Equacoes diferenciais ordinárias - J. Sotomayor.pdf

˜ es Diferenciais Ordinarias ´ rias Equac ¸ oes o a Jorge Sotomayor

2

Sum´ ario Pref´ acio

5

Introdu¸c˜ ao

7

1 Existˆ encia e unicidade de solu¸c˜ encia co ˜es 1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 O problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Teoremas de Picard e de Peano . . . . . . . . . . . 1.5 1.5 Solu Solu¸c˜ çoes o˜es máximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 1.6 Siste Sistemas mas e equa¸ equa¸ c˜ coes o˜ es dif difer eren enci ciai aiss de de ord ordem em supe superi rior or . 1.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Equa¸c˜ oes Diferenciais Lineares 2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Propriedades gerais . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 2.3 Equa Equa¸c˜ ções o es li line near ares es com com coefi coefici cien ente tess cons consta tant ntes es 2.4 Sistemas bidimensionais simples . . . . . . . . 2.5 2.5 Co Conj njug uga¸ a¸ c˜ cão de sistemas lineares . . . . . . . . 2.5. 2.5.11 Intr Introdu odu¸c˜ çaõ . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 2.6 Clas Classi sifica fica¸c˜ ção ao dos sistemas lineares hiperb´ olicos 2.7 Sistemas lineares complexos . . . . . . . . . . 2.8 2.8 Osci Oscila la¸c˜ ções oes mecˆ anicas e elétricas . . . . . . . . 2.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9 10 11 12 17 22 23 26

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37 37 38 45 52 56 56 64 68 70 74

3 Teoria Qualitativa das EDOs: Asp ectos Gerais 89 3.1 Camp os vetoriais e fluxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.2 3.2 Dife Difere renc ncia iabi bili lida dade de dos dos flux fluxos os de campo camposs vet vetor oria iais is . . . . . . . . . . . . 93 3.3 Retrato de fase de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.4 Equivalˆ Equivalência encia e conjuga¸c˜ cao aõ de campos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.5 Estrutur Estruturaa local dos dos pontos pontos singul singulares ares hiperb hiperb´ o´licos . . . . . . . . . . . 105 3

4

Sumário

3.6

Estrutura local de o´rbitas peri´ odicas . . . . . . 3.6.1 A transforma¸ cão de Poincaré . . . . . . 3.6.2 Ciclos limites no plano . . . . . . . . . . 3.6.3 Derivadas da Transforma¸ ca˜ o de Poincaré 3.7 Fluxos lineares no toro . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. 107 . 107 . 109 . 110 . 113 . 115

4 Teorema de Poincar´ e - Bendixson 4.1 Conjuntos α-limite e ω-limite de uma o´rbita . . . . . . . . . . . . . 4.2 O Teorema de Poincaré-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Aplica¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Pontos singulares no interior de uma orbita ´ peri´ odica . . . . 4.3.2 As equa¸cõ es de Lienard e van der Pol . . . . . . . . . . . . . 4.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129 . 129 . 134 . 140 . 140 . 141 . 144

5 Estabilidade no sentido de Liapounov 5.1 Estabilidade de Liapounov . . . . . . 5.2 O Critério de Liapounov . . . . . . . 5.3 Teorema de Cetaev . . . . . . . . . . 5.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . .

155 . 155 . 159 . 162 . 164

Referˆ encias Bibliogr´ aficas

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167

Pref´ acio Este livro desenvolve a Teoria das Equa¸cões Diferenciais Ordin´ arias. Isto é o estudo das propriedades gerais das fun¸ co˜es que s˜ ao solu¸cões deste tipo de equa¸cões, a partir de hipóteses amplas sobre as fun¸co˜es que as definem, usando recursos da An´ alise ´ Matemática Clássica e da Algebra Linear, sem recorrer necessariamente a` forma particular das equa¸co˜es. A Teoria das Equa¸cões Diferenciais Ordin´ arias se distingue tanto por sua riqueza de ideias e métodos como por sua aplicabilidade. O leitor obter´ a de seu estudo uma experiência de grande valor formativo. Ter´ a a oportunidade de integrar, num unico ´ ´ corpo, os fundamentos da An´ alise Matem´ atica Clássica, Algebra Linear e Elementos de Topologia, disciplinas ami´ ude apresentadas isoladamente. Os três primeiros cap´ıtulos, devotados respectivamente a` Existência e Unicidade, às Equa¸cões Lineares e à Teoria Qualitativa, s˜ ao basicamente auto-suficientes e podem ser abordados diretamente. Ao nosso ver, estes enfoques independentes d˜ ao uma visão mais ampla dos métodos dispon´ıveis. Todos os cap´ıtulos contém exerc´ıcios propostos. Quando n˜ ao rotineiros, estes representam complementos, aplica¸co˜es ou abordagens diferentes para a teoria; algumas vezes, eles visam fornecer informa¸cões sobre assuntos correlatos importantes que não foram tratados com plenitude no texto. Recomendamos ao leitor abordar e pensar em todos os exerc´ıcios propostos. Quase sempre inclu´ımos sugest˜ oes para aqueles menos imediatos. Esta é uma vers˜ ao abreviada e revista de parte do j´ a esgotado “Li¸cões de Equa¸cões Diferenciais Ordin´ arias”, [23]. Ela contém os assuntos mais estudados na maioria dos cursos de mestrado e in´ıcio de doutorado em prestigiosos centros de p´ os-gradua¸caõ no Brasil. ` longa lista de agradecimentos de 1979, devo acrescentar com prazer os nomes A de Ronaldo A. Garcia, Daniel C. Panazzolo, Luis F. Mello, Anderson L. Maciel e Mariana S. V. Garcia pela invalorável ajuda prestada na diagrama¸cão, arte gr´ afica e revisão da edi¸caõ deste texto. Jorge Sotomayor São Paulo, novembro de 2009.

5

6

Sumário

Introdu¸ c˜ ao Uma equa¸caõ da forma F (t,x,x(1) , x(2) , . . . , x(n) ) = 0, onde a incógnita x é fun¸caõ de uma variável, chama-se equa¸caõ diferencial ordin´ aria. Muitas das leis gerais da F´ısica, Biologia e Economia, entre outras Ciências, encontram sua express˜ ao geral nestas equa¸cões. Por outro lado, in´ umeras quest˜ oes dentro da pr´ opria Matem´ atica (por exemplo na Geometria Diferencial e no C´ alculo de Varia¸co˜es) formuladas convenientemente se reduzem a estas equa¸ cões. As equa¸cões diferenciais evolu´ıram dos métodos do C´ alculo Diferencial e Integral, descobertos por Newton e Leibnitz, e elaborados no u´ltimo quarto do século XVII para resolver problemas motivados por considera¸ cões de natureza f´ısica ou geométrica. Estes métodos conduziram gradualmente a` consolida¸caõ de um novo ramo da Matem´ atica, que a meados do século XVIII transformou–se uma disciplina independente. Neste est´ agio, a procura e an´ alise de solu¸cões tornou-se uma finalidade pr´ opria. Também nesta época ficaram conhecidos os métodos elementares de resolu¸ cão – integra¸cã o – de vários tipos especiais de equa¸co˜es diferenciais, entre elas as de vari´ aveis ′ ′ ′ separ´ aveis (x = f (t)g(x)), as lineares (x = a(t)x+b(t)), as de Bernoulli (x = p(x)+ ′′ q (t)x ), as de Clairaut (f (x′ ) + tx′ = x), as de Riccati (x′ = a 0(t) + a1 (t)x + a2(t)x2 ), todas estudadas até nossos dias em cursos introdut´ orios. A natureza daquilo que era considerado solu¸ cão foi evoluindo gradualmente, num processo que acompanhou e, a`s vezes, propiciou o desenvolvimento do própio conceito de fun¸cão. Inicialmente buscavam-se solu¸co˜es expressas em termos de fun¸co˜es elementares: polinomiais, racionais, trigonométricas, exponenciais. Posteriormente, passou-se a considerar satisfat´ orio expressar a solu¸cão em termos de uma integral – quadratura – contendo opera¸ co˜es elementares envolvendo estas fun¸ cões. Quando estes procedimentos deixaram de resolver os problemas focalizados, surgiram a solu¸cões expressas por meio de s´ eries infinitas (ainda sem a preocupa¸ cã o com a análise da convergência). Em fins do século XVIII a Teoria das Equa¸co˜es Diferenciais se transformou numa das disciplinas matem´ aticas mais importantes e o método mais efetivo para pesquisa cient´ıfica. As contribui¸co˜es de Euler, Lagrange, Laplace, entre outros, expandiram notavelmente o conhecimento dentro do C´ alculo de Varia¸co˜es, Mecˆ anica Celeste, Teoria das Oscila¸cões, Elasticidade, Dinâmica dos Fluidos, etc. 7

8

Sumário

No século XIX os fundamentos da An´ alise Matem´ atica experimentaram uma revisão e reformula¸caõ gerais visando maior rigor e exatid˜ ao. Assim, os conceitos de limite, derivada, convergˆ encia de séries de fun¸ cões e outros processos infinitos foram definidos em termos aritméticos. A integral, que no século anterior era concebida como primitiva (ou inversa da deriva¸cão), foi definida como limite de somas. Este movimento de fundamenta¸cã o n˜ ao deixou de atingir as equa¸cões diferenciais. Enquanto no século anterior procurava-se a solu¸ cão geral para uma dada equa¸cão diferencial, passou-se a considerar como quest˜ ao prévia em cada problema a existência e unicidade de solu¸co˜es satisfazendo dados iniciais. Este é o Problema de Cauchy, ponto no qual o presente livro se inicia. O cap´ıtulo 1 estuda o Problema de Cauchy e quest˜ oes correlatas. O cap´ıtulo 2 aborda as propriedades b´ asicas dos sistemas de equa¸co˜es diferenciais lineares, classe para a qual um conhecimento bastante completo é poss´ıvel. Um marco de referência fundamental na evolu¸ cão das equa¸co˜es é o trabalho de Poincaré M´ emoire sur les courbes définies par une équation differentielle , de 1881, no qual são lan¸cadas as bases da Teoria Qualitativa das Equa¸ cões Diferenciais. Esta teoria visa a descri¸cão global das solu¸co˜es e o efeito nelas de pequenas perturba¸co˜es das condi¸cões iniciais e de parâmetros. Os cap´ıtulos 3, 4 e 5 s˜ ao devotados respectivamente aos fundamentos da Teoria Qualitativa das Equa¸co˜es Diferenciais, ao Teorema de Poincaré – Bendixson e a Estabilidade de Liapounov. Os cap´ıtulos que seguem cobrem boa parte dos assuntos cl´ assicos de equa¸co˜es diferenciais que tem conservado atualidade por sua aplicabilidade e interesse te´ orico. Eles formam um subconjunto pr´ oprio do já esgotado e mais abrangente “Li¸co˜es” [23]. Esta sele¸caõ obedece a` possibilidade da leitura da presente versão ser completada num curso semestral. Numerosos caminhos promissores se abrem a partir dos passos iniciais dados neste livro. Alguns foram abordados em [23], outros, visando a dimens˜ ao superior, podem ser encontrados em Palis e Melo [17], assuntos de interesse para as aplica¸co˜es podem ser vistos em Chicone [3]. Para um estudo inicial da estabilidade estrutural das equa¸co˜es diferenciais e de suas bifurca¸co˜es (a quebra da estabilidade estrutural) recomendamos Andronov e Leontovich [1], Sotomayor [24] e Roussarie [20]. As rela¸cões entre a Geometria Cl´ assica e as Equa¸cões Diferenciais podem ser estudadas em Sotomayor e Gutierrez [8] e Sotomayor e Garcia [7]. Citaremos aqui poucas obras de uma longa lista que evolui muito rapidamente e deve ser atualizada permanentemente.

Cap´ıtulo 1 Existˆ encia e unicidade de solu¸co ˜es Este cap´ıtulo introduz, de maneira precisa, os conceitos fundamentais da teoria das equa¸cões diferenciais ordin´ arias, iniciando o seu estudo. Assim, em vez de lidar com “equa¸cões que envolvem fun¸cões e suas derivadas” damos na se¸caõ 1.1 a defini¸cão de uma equa¸caõ diferencial ordin´ aria de primeira ordem x′ = f (t, x) e do que vem a ser uma solu¸caõ desta equa¸caõ. Na se¸cão 1.2 formulamos o problema de Cauchy para a equa¸ ca˜ o acima. Isto significa que dados t0, x0 fixos queremos saber se existe alguma solu¸caõ da equa¸cão que no ponto t 0 assume o valor x 0 e se essa solu¸caõ é uńica. O problema de Cauchy com condi¸cão inicial (t0 , x0 ) é denotado abreviadamente por x′ = f (t, x),

x(t0) = x 0 .

Na se¸caõ 1.3 discutimos alguns casos elementares de existência e unicidade do problema de Cauchy, entre os quais est˜ ao o de variáveis separ´ aveis e o linear. O estudo geral do problema de Cauchy é feito na se¸ cão 1.4. A´ı é provado o teorema de Picard que garante a existência e unicidade com condi¸ cões bastante ∂f gerais em f . Por exemplo, basta que f e ∂x sejam cont´ınuas. Provamos também o teorema de Peano que afirma que mesmo que f seja apenas cont´ınua, a equa¸ caõ diferencial que ela define admite pelo menos uma solu¸ caõ. Neste caso porém a unicidade é, em geral, perdida. Na se¸caõ 1.5 consideramos as solu¸cões que n˜ ao podem ser prolongadas, ou seja, as solu¸cões máximas. Na se¸caõ 1.6 definimos as equa¸co˜es de ordem superior e mostramos que seu estudo se reduz ao dos sistemas de equa¸cões de primeira ordem. 9

10

1.1

1. Existˆ encia e unicidade de solu¸c˜ oes

Preliminares

Sejam Ω um subconjunto aberto do espa¸co R E, onde R é a reta real e E = Rn um espa¸co euclidiano n-dimensional. Um ponto de R E será denotado por (t, x), t R e x = (x1 , x2 , . . . , xn ) em E; salvo men¸cão em contr´ ario, adotaremos em R E a norma: (t, x) = max t , x , onde x denota uma norma em E, por exemplo x = x21 + x22 + + x2n ou x = max x1 , . . . , xn ou ainda x = x1 + + xn . Seja f : Ω cão cont´ınua e seja I um intervalo n˜ ao degenerado na E uma aplica¸ reta, isto é, um subconjunto conexo de R não reduzido a um ponto. O intervalo I pode ser fechado, aberto, semi aberto, limitado ou n˜ ao.

×



|

| ··· →

{| | | |} | |

|| {| |

×

| |}

∈ × || | | | | ·· · | |

→ E chama-se solu¸c˜ ao da equa¸caõ

Defini¸c˜ ao 1.1 Uma fun¸caõ diferenci´ avel ϕ : I

dx = f (t, x) dt

(1.1)

no intervalo I se: (i) o gr´ afico de ϕ em I , isto é, (t, ϕ(t)); t I está contido em Ω e (ii)

{

dϕ (t) dt

∈ }

= f (t, ϕ(t)) para todo t I . Se t é um ponto extremo do intervalo, a derivada é a derivada lateral respectiva.

∈

A equa¸caõ (1.1) chama-se equa¸c˜ ao diferencial ordin´ aria de primeira ordem e é denotada abreviadamente por x′ = f (t, x). Sejam f i : Ω R, i = 1, . . . , n as componentes de f ; ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) com R ´ ϕi : I e uma solu¸caõ de (1.1) se, e somente se, cada ϕi é diferenciável em I , (t, ϕ1(t), . . . , ϕn (t)) Ω para todo t I e

→ ∈

→

    

∈

dϕ1 (t) = f 1 (t, ϕ1 (t), . . . , ϕn (t)) dt dϕ2 (t) = f 2 (t, ϕ1 (t), . . . , ϕn (t)) dt

(1.1′ )

.. . dϕn (t) = f n (t, ϕ1 (t), . . . , ϕn (t)) dt

para todo t I . Por esta raz˜ ao diz-se que a equa¸cão diferencial “vetorial” (1.1) é equivalente ao sistema de equa¸co˜es diferenciais escalares

∈

dxi = f i (t, x1 , . . . , xn ), i = 1, . . . , n . dt

(1.1′′ )

1.2 O problema de Cauchy

1.2

11

O problema de Cauchy

Consideremos inicialmente dois exemplos. (1) Ω = I R, f (t, x) = g(t), onde g é uma fun¸cão cont´ınua no intervalo I ; ϕ é t uma solu¸cã o de x′ = g(t) em I se, e somente se, ϕ(t) = c + t0 g(s)ds onde t0 I e c é uma constante.

×



∈

(2) Ω = R2 , f (t, x) = 3x2/3 . Para todo c ϕc (t) =



∈ R a fun¸caõ ϕ : R → R dada por (t − c) , t ≥ c 0, t ≤ c c

3

é uma solu¸cão da equa¸cão x′ = 3x2/3 em I = R, como se vê por verifica¸ caõ direta das condi¸co˜es (i) e (ii) da defini¸caõ 1.1. Mas a fun¸cão constante ϕ = 0 também é solu¸caõ desta equa¸caõ. Ver Figura 1.1 Estes exemplos ilustram o fato de que as equa¸cões diferenciais possuem em geral uma infinidade de solu¸co˜es. Porém, no exemplo 1, por cada ponto de Ω passa uma u ńica solu¸caõ; isto é, dado (t0 , x0 ) Ω existe uma u ńica solu¸caõ ϕ tal que ϕ(t0 ) = x 0 .

∈

x

ϕc2

c2

x

ϕ0

ϕc1

ϕc2

ϕc1

c1

ϕc

c t

t0

0

c1

t

c2 2

x′ = g(t)

x′ = 3 x 3

Figura 1.1: Exemplos: (1) a` esquerda; (2) a` direita

O mesmo n˜ ao acontece no exemplo 2; neste caso para cada ponto da forma (t0, 0) existe uma infinidade de solu¸cões passando por ele. Sob hip´ oteses bem gerais sobre ∂f f – por exemplo, se f e ∂x são cont´ınuas em Ω – existe uma, e só uma, solu¸caõ de (1.1) num intervalo que contém t 0 e tal que ϕ(t0 ) = x 0 . Uma tal ϕ será chamada de solu¸c˜ ao do problema com dados iniciais (t0 , x0 ) para a equa¸cão (1.1). Este problema é também conhecido como problema de Cauchy e ser´ a denotado abreviadamente por x′ = f (t, x),

x(t0 ) = x 0 .

(1.2)

12


Observa¸c˜ ao. A equa¸caõ (1.2) é equivalente a` equa¸caõ integral

 t

x(t) = x 0 +

f (s, x(s))ds.

(1.3)

t0

Isto é, se t0 I , uma fun¸cão cont´ınua ϕ : I afico est´ a contido em Ω é E cujo gr´ solu¸cão de (1.3) se, e s´ o se, é solu¸cão de (1.2). Isto decorre do Teorema Fundamental do Cálculo. A equa¸cão (1.1) (ou (1.2)) admite a seguinte interpreta¸ cão geométrica, ilustrada na Figura 1.2. ℓ(t′ , x′ ) E ℓ(t, x)

∈

x′

→

(t′ , x′ )

x

(t, x)

ϕ

Ω t′

t

R

Figura 1.2: Interpreta¸cão geométrica A fun¸cão f define em Ω um campo de dire¸co˜es. Isto é, associa cada ponto (t, x) à reta ℓ(t, x) : ξ x = f (t, x)(τ t)

−

−

de “declividade” f (t, x) que passa por (t, x). A equa¸caõ (1.1) (ou (1.2)) coloca o problema de achar (se existirem) as curvas passando por (t0 , x0 ), cujas retas tangentes em cada ponto coincidem com as dadas pelo campo de dire¸cões.

1.3

Exemplos

Discutimos a seguir quatro exemplos elementares de existência e unicidade de solu¸cões para o problema de Cauchy que admitem um tratamento direto. ˜ autˆ onomas. Exemplo 1.2 Equa¸coes Seja Ω = R (a1 , a2) e f (t, x) = f (x). Supomos que f é cont´ınua e n˜ ao se anula em (a1 , a2 ). Dados x0 (a1 , a2 ) e t0 R , calculemos a solu¸cão para o problema de Cauchy x′ = f (x), x(t0 ) = x 0 . (1.4)

×

∈

∈

1.3 Exemplos

13

Se ϕ é uma solu¸caõ de (1.4), ent˜ ao ϕ′ (t) = f (ϕ(t)) e ϕ(t0 ) = x 0 , donde segue-se

Se F : (a1 , a2 )

ϕ′ (t) = 1. f (ϕ(t))

→ R é dada por



x

F (x) =

x0

(1.5)

(1.6)

dξ , f (ξ )

vê-se que F ′ (x) = f (1x) = 0 em (a1 , a2 ), provando que F é invers´ıvel e aplica (a1 , a2 ) num intervalo (b1 , b2 ) onde F −1 está definida. De (1.5) e (1.6) resulta que



1=

ϕ′ (t) = F ′ (ϕ(t))ϕ′ (t), f (ϕ(t))

ou seja, (F ϕ)′ (t) = 1.

◦

Integrando ambos os lados entre t0 e t obtemos F (ϕ(t))

− F (ϕ(t )) = t − t 0

0

e como F (ϕ(t0 )) = 0, F (ϕ(t)) = t Logo, a solu¸cão de (1.4) é dada por ϕ(t) = F −1 (t

− t ), 0

−t . 0

t (t0 + b1 , t0 + b2).

∈

Vê-se facilmente que esta é a uńica solu¸caõ. Compare este exemplo com o exemplo 2 da se¸caõ 1.2, onde não existe unicidade de solu¸cões e com a equa¸cão do tipo x′ = g(t) apresentada no exemplo 1 da se¸ cão 1.2. dt 1 Note também que dx = f (x) , que é deste tipo, tem solu¸co˜es que s˜ ao inversas das solu¸cões de (1.4) e vice-versa.

Exemplo 1.3 Equa¸coes ˜ de vari´ aveis separ´ aveis. Consideremos o problema de Cauchy x′ = g(t)f (x),

x(t0 ) = x 0 ,

(1.7)

14

1. Existˆ encia e unicidade de solu¸c˜ oes a2 ϕ(t)

x0

a1 b1

b1 + t0 b2 t0

b2 + t0 t

Figura 1.3: Ilustra¸caõ do Exemplo 1.2 onde g e f são cont´ınuas em intervalos abertos (t1 , t2 ) e (a1 , a2 ), respectivamente, e f não se anula em (a1 , a2 ). Procedendo como no exemplo anterior (que é o caso particular e que g(t) 1), se ϕ é solu¸cão de (1.7), obtemos

≡

ϕ′ (t) = g(t)f (ϕ(t)), ou seja, definindo F (x) =

 x x0

dξ/f (ξ ) obtemos,

g(t) = F ′ (ϕ(t))ϕ′ (t) = (F ϕ)′ (t).

◦

Integrando ambos os lados entre t0 e t resulta

 t

γ (t) =

g(τ )dτ = F (ϕ(t))

t0

e da´ı, no intervalo I contendo t0 tal que t

  t

∈ I implica b

1

<

 t t0

g(τ )dτ < b2 , a solu¸caõ

é ϕ(t) = F −1 t0 g(τ )dτ . O leitor deve verificar que esta é a unica ´ solu¸caõ de (1.7). Observe que a solu¸caõ obtida é dada implicitamente, para constantes de integra¸cão apropriadas, pela rela¸cão

  g(t)dt =

entre as integrais indefinidas.

dx f (x)

1.3 Exemplos

15

F (x) x Ω

b2

a2

x0

ϕ(t)

a1 t0

t1

t2

t γ (t)

b1

Figura 1.4: Ilustra¸caõ do Exemplo 1.3 ˜ lineares. Exemplo 1.4 Equa¸coes Sejam a(t) e b(t) fun¸cões cont´ınuas em (t1 , t2 ) e consideremos o problema de Cauchy x′ = a(t)x + b(t), x(t0) = x 0. (1.8) Se b 0 esta equa¸cão chama-se homogênea e é do tipo de vari´ aveis separ´ aveis, vistas no exemplo anterior. Os casos x < 0 e x > 0 poderiam ent˜ ao ser analisados à luz do exemplo anterior. Preferimos porém seguir o método cl´ assico de “varia¸caõ de parˆ ametros”, que é aplicável mesmo no caso não homogêneo. Este método consiste em fazer a mudan¸ ca de vari´ aveis

≡

  −    −     ∈ t

x = c exp

a(τ )dτ ,

(1.9)

t0

que transforma (1.8) no problema

t

c′ = b(t)exp

a(τ )dτ ,

c(t0 ) = x 0 ,

t0

cuja solu¸cão u ńica é

t

γ (t) = x 0 +

s

b(s)exp

t0

a(τ )dτ ds.

t0

Logo, o problema de Cauchy (1.8) admite como uńica solu¸cão t

ϕ(t) = γ (t)exp

a(τ )dτ , t (t1 , t2 ).

t0

(1.10)

16


Para ver qual é a mudan¸ ca de variáveis que transforma (1.8) em (1.10), basta derivar (1.9) e substituir em x′ = a(t)x + b(t). Obtemos ent˜ ao

      −   t

c′ exp

t

a(τ )dτ + ca(t)exp

t0

a(τ )dτ

t0

t

= ca(t)exp

a(τ )dτ + b(t),

t0

isto é,

t

c′ = b(t)exp

a(τ )dτ .

t0

O termo “varia¸cão de parˆ ametros” deriva do fato de c(t)

≡ x no caso homogêneo. 0

ao a uma equa¸c˜ ao linear complexa. Exemplo 1.5 Redu¸c˜ Consideremos agora um sistema de duas equa¸ cõ es lineares e o problema de Cauchy x′ = α(t)x β (t)y + δ (t), y ′ = β (t)x + α(t)y + η(t), (1.11) x(t0 ) = x 0 , y(t0 ) = y0 ,

 

−

onde α, β , δ e η são fun¸co˜es cont´ınuas num intervalo (t1 , t2 ) que contém o ponto t 0. Este problema n˜ ao difere em seu tratamento formal do exemplo anterior. Introduzindo nota¸cão complexa, z = x + iy, a(t) = α(t) + iβ (t) e b(t) = δ (t) + iη(t), vemos que (1.11) se escreve z ′ = a(t)z + b(t), z (t0) = z 0, cuja u ńica solu¸caõ é, para t

∈ (t , t ), 1

2

   −   t

ϕ(t) = γ (t)exp

a(τ )dτ ,

t0

t

s

onde γ (t) = z 0 + t0 b(s)exp a(τ )dτ ds. t0 Ilustremos o caso homogêneo (δ η 0), com coeficientes constantes (α(t) α e β (t) β ) e com t0 = 0. Neste caso, ϕ(t) = z 0 eαt eiβt . A figura 1.5 d´ a uma ideia das possibilidades para v´ arios valores de α e β .

≡

≡ ≡

≡

1.4 Teoremas de Picard e de Peano

17

y

y z 0 x

z 0

a) β > 0, α < 0

b) β < 0, α > 0

y

y z 0

x

z 0 x

x

c) β > 0, α = 0

d) β = 0, α < 0

Figura 1.5: Ilustra¸caõ do Exemplo 1.5

1.4

Teoremas de Picard e de Peano

Rn chama-se Lipschitziana em Ω relativamente Uma aplica¸caõ f : Ω R Rn à segunda vari´ avel ou, simplesmente, Lipschitziana , se existe uma constante K tal que f (t, x) f (t, y) K x y

⊆ ×

→

|

−

|≤ | − |

para todos (t, x), (t, y) Ω. Uma K nestas condi¸co˜es chama-se de constante de Lipschitz de f . Por exemplo, se f admite derivada parcial em rela¸cão a` segunda vari´ avel, D2 f , com D2 f K em Ω e Ωt = x; (t, x) Ω é um conjunto convexo para todo t, ent˜ ao f é Lipschitziana em Ω e K é sua constante de Lipschitz. De fato, pelo teorema do valor médio,

∈



≤

{

∈ }

|f (t, x) − f (t, y)| ≤ { sup |D f (t,θx + (1 − θ)y)|} |x − y| ≤ K |x − y|. 0<θ<1

2

A aplica¸cão f diz-se localmente Lipschitziana em Ω se cada (t0 , x0 ) tem uma vizinhan¸ca V = V (t0 , x0 ) tal que f V é Lipschitziana em V . Por exemplo, se f admite derivada parcial em rela¸caõ a` segunda vari´ avel, D2 f , cont´ınua em Ω, então f é localmente Lipschitziana em Ω. Isto resulta de se aplicar o argumento anterior a vizinhan¸cas convexas V onde D 2 f é limitada. Lembramos a seguir o Lema da Contra¸ caõ e, principalmente, um corol´ ario deste que ser´ a usado na demonstra¸cão do Teorema 1.8, abaixo.

|

18


Lema 1.6 (Lema da Contra¸ca õ) Sejam (X, d) um espa¸co métrico completo e F : X X uma contra¸c˜ ao, isto é, d(F (x), F (y)) Kd(x, y), 0 K < 1. Existe um unico ´ ponto fixo p, para F , isto é, F ( p) = p. Mais ainda, p é um atrator de F , isto n é, F (x) p quando n , para todo x X . F n(x) é definido por F (F n−1 (x)).

→

≤

→

→∞

≤

∈

Demonstra¸ c˜ ao Unicidade: sejam p e p1 dois pontos fixos. d( p, p1 ) = d(F ( p), F ( p1 ))

≤ K d( p , p), 1

o que implica que d( p, p1 ) = 0, donde p1 = p. Existência: sejam x X e xn = F n (x). Provaremos que xn é uma sequência de Cauchy. Realmente, d(xn+r , xn ) K n d(x, xr ) e

∈

d(x, xr )

≤ ≤

{ }

≤

d(x, F (x)) + d(F (x), F 2 (x)) + + d(F r−1 (x), F r (x)) (1 + K + K 2 + + K r−1 )d(x, F (x)).

· ··

n

···

K Portanto, d(xn+r , xn ) d(x, F (x)). Logo, xn é convergente. Provemos 1−K que lim xn = p é ponto fixo de F . De fato:

≤

{ }

F ( p) = F (lim xn ) = lim F (xn ) = lim xn+1 = p.

Corolário 1.7 Seja X um espa¸co métrico completo. Se F : X X é cont´ınua e, para algum m, F m é uma contra¸cao, ˜ ent˜ ao existe um ´ unico ponto p fixo para F . Mais ainda, p é um atrator de F .

→

Demonstra¸ c˜ ao Seja p o ponto fixo atrator de F m dado pelo Lema da Contra¸cão (Lema 1.6). Seja n = mk + ℓ com 0 ℓ < m. Dado x X , como p é atrator de F m, temos (j´ a que F ℓ (x) , 0 ℓ < m, é finito) [F m]k (F ℓ (x)) p, quando k . n m k ℓ Da rela¸caõ F (x) = [F ] (F (x)) e do fato que quando n tem-se k , segue-se que F n (x) p, quando n , isto é, p é um atrator de F . Provaremos agora que F ( p) = p. Com efeito,

≤

∈

{ } ≤ → → ∞

→ → ∞

→ ∞ → ∞

p = lim F n (F ( p)) = lim F n+1( p) = lim F (F n( p)) = F (lim F n ( p)) = F ( p).

Teorema 1.8 (Teorema de Picard) Seja f cont´ınua e Lipschitziana com rela¸cao ˜ à segunda vari´ avel em Ω = I a Bb , onde I a = t; t t0 a , B b = x; x x0 b . Se f M em Ω, existe uma unica ´ solu¸cao ˜ de

×

| | ≤

{ |− |≤ }

x′ = f (t, x), x(t0 ) = x 0 em I α , onde α = min a, b/M .

{

}

{ | − | ≤ }


19

E

(t0 , x0 )

Ω

b x0

t0

− a t0 − α

t0 + α t0 + a

R

t0

Figura 1.6: Teorema de Picard

Demonstra¸ c˜ ao Seja X = (I α , Bb ) o espa¸co métrico completo das fun¸co˜es cont´ınuas ϕ : I α B b , com a métrica uniforme

C

→

d(ϕ1 , ϕ2 ) = sup ϕ1 (t) t I α

∈

|

− ϕ (t)|. 2

→ E definida por

Para ϕ X , seja F (ϕ) : I α

∈

 t

F (ϕ)(t) = x 0 +

f (s, ϕ(s))ds, t I α .

∈

t0

Assim a correspondência ϕ propriedades:

→

F (ϕ) define uma fun¸caõ F com as seguintes

(1) F (X )

⊂ X ;

(2) F n é uma contra¸cão, para n suficientemente grande. Ou seja, F : X X é uma fun¸caõ tal que F n é uma contra¸cão. De fato, para todo t I α ,

→

∈

 t

|F (ϕ)(t) − x | = 0

f (s, ϕ(s))ds

t0

Isto prova (1). Quanto a (2), para todo par ϕ1 , ϕ2

 ≤

M α

≤ b.

∈ X e todo n ≥ 0, |F (ϕ )(t) − F (ϕ )(t)| ≤ K |tn!− t | d(ϕ , ϕ ), t ∈ I , n

1

n

n

2

0

n

1

2

α

∗

( )

20


onde K é a constante de Lipschitz de f . Verificamos esta desigualdade por indu¸cão em n. Para n = 0 ela é o´bvia. Suponhamos que é válida para k. Então, k+1

|F

(ϕ1 )(t)

  ≤  |   ≤  |   ≤  t

t0 t

k+1

− F

f (s, F k (ϕ1 )(s))

K F k (ϕ1 )(s)

t0

t

K

t0

(ϕ2 )(t) = F (F k (ϕ1 ))(t)

| |

k

− F (F (ϕ ))(t)|

|  |   | − |

k

2

− f (s, F (ϕ )(s)) ds k

2

− F (ϕ )(s) ds 2

K k (s t0 )k K k+1 t t0 k+1 d(ϕ1 , ϕ2 )ds = d(ϕ1 , ϕ2 ). k! (k + 1)!

−

n

n

K α Portanto, d(F n(ϕ1 ), F n (ϕ2 )) d(ϕ1 , ϕ2 ) e, para n grande, K n αn /n! < 1, n! pois este é o termo geral de uma série cuja soma é eKα , donde F n é uma contra¸caõ em X . Pelo corol´ a rio do Lema da Contra¸caõ, existe uma uńica ϕ X tal que F (ϕ) = ϕ. De fato, o ponto fixo ϕ é de classe C 1 e isto prova o teorema de Picard.

≤

∈

Corolário 1.9 Seja Ω aberto em R E e seja f : Ω E cont´ınua com D 2 f tamb´ em cont´ınua. Para todo ponto (t0 , x0 ) em Ω existe uma vizinhan¸ca V = I (t0 ) B(x0 ) tal que x′ = f (t, x), x(t0) = x0 , tem uma unica ´ solu¸c˜ ao em I (t0 ). Al´ em disso, o gr´ afico desta solu¸c˜ ao est´ a contido em V .

×

→

×

Demonstra¸ c˜ ao Seja U uma vizinhan¸c a de (t0, x0) tal que f U é Lipschitziana e f M em U . Seja α > 0 suficientemente pequeno para que V = I α (t0 ) Bb (x0 ) U , onde b = αM . Conclui-se o argumento aplicando o Teorema 1.8.

|

| |≤

Proposi¸c˜ ao 1.10 Seja f cont´ınua e Lipschitziana em Ω = [a, b] todo (t0 , x0 ) Ω existe uma ´ unica solu¸c˜ ao de (1.2) em I = [a, b].

∈

×

⊆

× E. Ent˜ ao, para

Demonstra¸ c˜ ao Considerar X = (I, E) e F : X tra¸caõ do Teorema 1.8

→ X definida como na demons-

C

 t

F (ϕ)(t) = x 0 +

f (s, ϕ(s))ds.

t0

F tem um u ´ nico ponto fixo pois, para n grande, F n é uma contra¸caõ. Basta observar que a desigualdade ( ) da demonstra¸cão do Teorema 1.8 é verificada.

∗

Corol´ ario 1.11 (Equa¸c˜ oes lineares) Sejam A(t) e b(t) respectivamente matrizes n n e n 1 de fun¸c˜ oes cont´ınuas num intervalo I . Para todo (t0 , x0 ) I Rn existe uma unica ´ solu¸c˜ ao de x′ = A(t)x + b(t), x(t0) = x 0 definida em I .

×

×

∈ ×




21

Demonstra¸ c˜ ao Seja I = n I n, onde I n I n+1 são intervalos compactos que contém t0 . f (t, x) = A(t)x + b(t) satisfaz as hip´ oteses da Proposi¸cão 1.10 em cada ´ claro intervalo I n . Seja ϕn a u ´ nica solu¸caõ neste intervalo passando por (t0 , x0 ). E ´ claro que ϕn+1 I n = ϕn . Logo, ϕ(t) = ϕn(t), t I n está bem definida em I . E também que ϕ é a u ńica solu¸caõ em I passando por (t0 , x0 ).

⊂

|

∈

Se retirarmos a hip´ otese de f ser Lipschitziana, ainda temos existência de solu¸cões. Antes de provar este fato, lembramos o Teorema de Arzel´ a.

Teorema 1.12 (Teorema de Arzelá) Seja (X, d) um espa¸co métrico compacto. R. Isto ´ Seja F uma fam´ılia equicont´ınua de fun¸c˜ oes ϕ : X e, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que se d(x, y) < δ ent˜ ao ϕ(x) ϕ(y) < ε para todo ϕ F . Se F é uniformemente limitada (isto é, existe M > 0 tal que ϕ < M para todo ϕ F ), ent˜ ao toda sequência ϕn de elementos de F tem uma subsequência ϕnk uniformemente convergente em X .

|

∈

−

→

|

∈ { }

| |

{ }

Demonstra¸ c˜ ao Ver Espa¸cos Métricos, E. Lima [12], pg. 244. Teorema 1.13 (Teorema de Peano) Seja f cont´ınua em Ω = I a Bb como no Teorema 1.8. Se f < M em Ω, (1.2) tem pelo menos uma solu¸c˜ ao em I α , onde α = min a, b/M .

×

| | }

{

Demonstra¸ c˜ ao Pelo Teorema de Aproxima¸cão de Weierstrass, existe uma sequência ao polinômios, que converge para f , uniformef n de fun¸co˜es, cujas componentes s˜ mente em Ω. Para n grande, f n satisfaz as hipó teses do Teorema 1.8. Seja ϕn solu¸cão de x′ = f n (t, x), x(t0 ) = x 0 em I α , cuja existência e unicidade decorrem do Teorema 1.8. A fam´ılia ϕn é equicont´ınua e uniformemente limitada, pois

{ }

 

t′

|ϕ (t) − ϕ (t′)| = n

n

f n (s, ϕn (s))ds

t

 ≤ 

| − t′|

M t

e ϕn x0 b, para todo n suficientemente grande. Pelo Teorema de Arzel´ a existe uma subsequência, que denotaremos também por ϕn , tal que ϕn converge uniformemente em I α para uma fun¸cão ϕ. Provaremos que ϕ é solu¸cão de (1.2). Aplicando a desigualdade triangular a f n (s, ϕn (s)), f (s, ϕn(s)) e f (s, ϕ(s)) resulta que f n (s, ϕn (s)) converge uniformemente em I α para f (s, ϕ(s)). Portanto, fazendo t n tender a em ambos os membros de ϕ n(t) = x 0 + t0 f n(s, ϕn (s))ds, temos, para t todo t I α , ϕ(t) = x 0 + t0 f (s, ϕ(s))ds.

| − | ≤

∈

∞



{ }



Corol´ ario 1.14 Seja Ω aberto em R E e f : Ω E cont´ ınua. Se C Ω é um conjunto tal que f < M em Ω0 , onde Ω Ω 0 C com dist(C, Ω Ω0 ) > 0, ent˜ ao existe α > 0 tal que, para todo ponto (t0 , x0 ) C , existe uma solu¸c˜ ao de x ′ = f (t, x), x(t0 ) = x 0 em I α (t0) = t R : t t0 α .

| |

{∈

×

⊇ ⊇ ∈ | − |≤ }

→

−

⊂

22


Demonstra¸ c˜ ao Seja 0 < a < dist(C, Ω Teorema 1.13 a I a (t0 ) Ba (x0) Ω 0 .

×

⊆

− Ω ). Tomar α = min{a, a/M } e aplicar o 0

Observa¸c˜ ao. Se C é compacto contido no interior de um outro compacto Ω0 as hipóteses deste corol´ ario são satisfeitas para M > sup f em Ω0 .

||

1.5

Solu¸co ˜es m´ aximas

Proposi¸c˜ ao 1.15 Seja f cont´ınua num aberto Ω R E. Suponhamos que para todo (t0 , x0 ) Ω exista uma ´ unica solu¸c˜ ao de x′ = f (t, x), x(t0 ) = x0 definida num intervalo aberto I = I (t0 , x0 ) (por exemplo, se f é localmente de Lipschitz esta condi¸c˜ ao é satisfeita). Ent˜ ao, para todo (t0 , x0 ) Ω existe uma ´ unica solu¸cao ˜ ′ ϕ = ϕ(t, t0 , x0 ) de x = f (t, x), x(t0 ) = x0 , definida num intervalo M (t0, x0 ) = (ω− (t0 , x0 ), ω+ (t0 , x0 )) com a propriedade de que toda solu¸c˜ ao ψ de x′ = f (t, x), x(t0 ) = x 0 num intervalo I satisfaz a I M (t0 , x0 ) e ψ = ϕ I .

⊆ ×

∈

∈

⊆

|

´ suficiente tomar M (t0 , x0 ) = I ψ , onde I ψ é o intervalo de Demonstra¸ c˜ ao E defini¸cã o de alguma solu¸caõ ψ de x′ = f (t, x), x(t0 ) = x0 . Se t I ψ definimos ϕ(t) = ψ(t). Esta defini¸ca˜ o n˜ a o depende da ψ usada. Com efeito, o conjunto C = t I ψ1 I ψ2 ; ψ1 (t) = ψ 2 (t) é n˜ ao vazio, fechado e aberto em I ψ1 I ψ2 . Como este u ´ltimo conjunto é conexo, segue-se que C = I ψ1 I ψ2 . O conjunto C é fechado pois é igual a (ψ1 ψ 2)−1 (0); C é aberto porque para todo ponto t′ ele contém I (t′ , ψ1(t′ )) I (t′ , ψ2 (t′ )).

∪

{∈ ∩

}

∩

∩

−

∩

∈

ao m´ axima de Defini¸c˜ ao 1.16 Chama-se solu¸c˜ x′ = f (t, x)

(1.12)

a toda solu¸caõ ϕ definida num intervalo I , denominado intervalo m´ aximo de ϕ, tal que se ψ é uma outra solu¸caõ no intervalo J com J I e ϕ = ψ I , então I = J . Em outras palavras, ϕ é m´ axima se não admite nenhuma extens˜ ao que também é solu¸cão de (1.12).

⊇

|

O exemplo 2 da se¸cão 1.2 mostra que, em geral, existe uma infinidade de solu¸co˜es máximas por um ponto se apenas a continuidade da f é exigida. A Proposi¸cão 1.15 mostra que se (1.12) tem por cada ponto (t0 , x0 ) uma u ńica solu¸cão local (isto é, num certo intervalo I (t0 , x0 )), então (1.12) tem solu¸cões máximas u ńicas.

Teorema 1.17 Seja f cont´ınua num aberto Ω de R E. Se ϕ é uma solu¸c˜ ao m´ axima ′ unica ´ de x = f (t, x) definida em (ω− , ω+ ), ent˜ ao a aplica¸c˜ ao g(t) = (t, ϕ(t)) tende a ∂ Ω quando t ω ± . Isto é, para todo compacto K Ω existe uma vizinhan¸ca V de ω± tal que g(t) K para t V .

→

∈

∈

× ⊆

1.6 Sistemas e equa¸c˜ oes diferenciais de ordem superior

23

Demonstra¸ c˜ ao Suponhamos que para algum compacto K Ω exista uma seq¨ uên′ cia tn ω+ tal que g(tn) K . Seja tn uma subsequência de tn tal que g(tn ) é convergente. Seja limn→∞ g(t′n ) = (ω+, x0 ) K . Para (t0 , x0 ) = (ω+ , x0 ), seja V = I α Bb a vizinhan¸ca dada pelo Teorema de Peano, onde α = b/M e M > f em V . Seja V 1 = I α/3(t0 ) Bb/3(x0 ). Para todo (t1, x1) V 1 existe uma solu¸cão definida em I α1 (t1 ), com α 1 = α/2. De fato, aplicando o Teorema de Peano ao ponto (t1, x1 ) ˆ = I α (t1) B b (x1 ), b1 = αM , contida em V , encontramos uma da vizinhan¸ca V 1 1 2 solu¸cã o de (1.12) passando por (t1 , x1 ) definida para todo t I α1 (t1 ). Tomando ′ ′ t1 = tn com n suficientemente grande de modo que g(tn) V 1 temos que ϕ pode ser prolongada até t ′n + a2 > t0 = ω + , uma contradi¸caõ. Analogamente, procede-se para ω− .

→ ×

∈

⊆

{ }

{ }

∈

×

| |

∈

×

∈

∈

Observa¸c˜ oes. (a) Não é verdade, em geral, que exista o limite da solu¸ cão m´ axima ϕ de x ′ = g(t) quando t ω ± , mesmo que ω± < .

→

∞

Basta ver, por exemplo x′ =

, − cos1/t t 2

t > 0,

que tem como solu¸caõ máxima a fun¸caõ ϕ(t) = sen 1t , t > 0. (b) No entanto, se f é limitada em Ω, digamos f limite existe. Pois se ϕ é solu¸cão e t, s < ω+ < final da se¸caõ 1.2 sai que

| | ≤ M , e se ω± < ∞, então o ∞, usando a observa¸cão do



 ≤

t

|ϕ(t) − ϕ(s)| =

f (τ, ϕ(τ ))dτ

s

M t

| − s|.

Logo, a afirma¸cão resulta do critério de convergência de Cauchy, pois quando t, s ω +, ϕ(t) ϕ(s) 0.

→ |

−

|→

Analogamente para ω− .

1.6

Sistemas e equa¸ co ˜es diferenciais de ordem superior

Sejam E1 , E2 , . . . , Em espa¸cos euclidianos e seja Ω um subconjunto de R E, onde E = E1 E 2 Em . Sejam f i : Ω Ei , i = 1, . . . , m, fun¸ co˜es cont´ınuas. Ei , i = 1, . . . , m, ´ Uma fam´ılia ϕ1 , . . . , ϕm , onde cada ϕi : I e uma fun¸caõ

× × ·· · × { }

→

×

→

24


diferenciável de um intervalo I em Ei , chama-se solu¸c˜ ao do sistema de equa¸c˜ oes diferenciais ordin´ arias

   

no intervalo I , se:

dx1 = f 1 (t, x1 , x2 , . . . , xm ), dt dx2 = f 2 (t, x1 , x2 , . . . , xm ), dt .. . dxm = f m (t, x1 , x2 , . . . , xm ), dt

(1.13)

(i) para todo t I , (t, ϕ(t)) = (t, ϕ1 (t), . . . , ϕm (t)) Ω;

∈

∈

(ii) para todo i = 1, 2, . . . , m, dϕi (t) = f i (t, ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕm (t)), dt para todo t I .

∈

O sistema (1.13), denotado abreviadamente por x′i = f i (t, x1 , x2 , . . . , xm ), i = 1, . . . , m ,

(1.13′ )

é equivalente a` equa¸caõ diferencial ordin´ aria x′ = f (t, x),

(1.14)

onde f = (f 1 , f 2 , . . . , fm ) : Ω e, uma fam´ılia (ϕ1 , . . . , ϕm ) E = E1 Em . Isto ´ E ´ de fun¸cões é solu¸caõ de (1.13) em I se, e somente se, ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕm) : I e solu¸cão de (1.14) em I . Em particular, a equa¸caõ “vetorial” (1.1) da se¸caõ 1.1 é equivalente a um sistema de equa¸co˜es “escalares” do tipo (1.13) acima, em que f i é a i-ésima coordenada de Em , onde Ei = R, i = 1, 2, . . . , m. Note que este fato o f em E = E1 ´bvio foi estabelecido na pr´ opria se¸cão 1.1. O problema de Cauchy para sistemas de equa¸cões da forma (1.13) formula-se do seguinte modo: dados t0 , x1,0 , . . . , xm,0 tais que (t0 , x1,0 , . . . , xm,0 ) pertence a Ω, encontrar uma solu¸cão ϕ1 , . . . , ϕm de (1.13) num intervalo I que contém t0 tal que ϕi (t0 ) = x i,0 para todo i. Abreviadamente, escrevemos

→

×···×

→

×···×

{

}

x′i = f i (t, x1 , x2 , . . . , xm ), xi (t0 ) = x i,0 .

(1.15)

1.6 Sistemas e equa¸c˜ oes diferenciais de ordem superior

25

Este problema é equivalente ao problema de Cauchy x′ = f (t, x), x(t0 ) = x 0 .

(1.16)

Para a equa¸cão (1.14), onde x0 = (x1,0 , . . . , xm,0 ) tendo em conta que a fun¸caõ f em (1.14) é, respectivamente, cont´ınua, Lipschitziana com constante de Lipschitz K , diferenci´ avel em rela¸cão a` segunda vari´ avel, etc., se, e somente se, cada uma das f i de (1.13) também é do mesmo tipo, temos que todos os teoremas de existência, unicidade e solu¸co˜ es máximas das se¸co˜ es 1.4 e 1.5 s˜ a o válidos para solu¸cões da equa¸cão (1.13). E Seja agora Ω um aberto de R Em , onde E é um espa¸co euclidiano e f : Ω uma fun¸caõ cont´ınua. E, de classe C m , definida num intervalo, chama-se solu¸ Uma fun¸cão ϕ : I cao ˜ da equa¸c˜ ao diferencial ordin´ aria de ordem m

×

→

→

dmx = f (t,x,x′ , x′′ , . . . , x(m−1) ) m dt

(1.17)

em I , se: (i) para todo t I , (t, ϕ(t), ϕ′ (t), . . . , ϕ(m−1) (t)) Ω;

∈ (ii) para todo t ∈ I ,

∈

dm(ϕ) (t) = f (t, ϕ(t), ϕ′ (t), . . . , ϕ(m−1) (t)). m dt A equa¸cão (1.17) também é denotada por x(m) = f (t,x,x′ , x′′ , . . . , x(m−1))

(1.17′ )

e é equivalente ao sistema

 

x′r = x r+1, r = 1, 2, . . . , m x′m = f (t, x1 , x2 , . . . , xm) xi (t0) = x i+1 0 .

− 1,

(1.18)

Isto é, se uma fun¸cão ϕ é solu¸caõ de (1.17), ent˜ ao ϕ, ϕ′ , ϕ′′ , . . . , ϕ(m−1) é uma solu¸cão de (1.18); e se (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕm) é uma solu¸cão de (1.18), ent˜ ao ϕ = ϕ 1 é uma solu¸cão de (1.17), isto é, ϕ é de classe C m e satisfaz (i) e (ii), acima. O Problema de Cauchy para a equa¸c˜ ao (1.17) formula-se do seguinte modo: dado m 1 − um ponto (t0 , x00 , x10 , . . . , x0 ) Ω, encontrar uma solu¸cão ϕ de (1.17) definida num intervalo I que contém o ponto t 0 e satisfaz a

{

∈

−1 . ϕ(t0 ) = x 00 , ϕ′ (t0 ) = x 10 , . . . , ϕ(m−1) (t0) = x m 0

}

26

1. Existˆ encia encia e unicidade unici dade de solu¸c˜ c˜ oes oes

Abreviadamente escrevemos x(m) = f ( f (t,x,x′ , . . . , x(m−1) ), x(i) (t0 ) = x i0 , i = 0, 1, . . . , m

− 1.

(1.19)

Este problema problema é equivalent equivalentee ao seguinte seguinte problema de Cauchy Cauchy para sistemas sistemas de equa¸cões x′r = x r+1, xi (t0 ) = x i0−1 , i = 1, 2, . . . , m , (1.20) x′m = f = f ((t, x1, . . . , xm), r = 1, 2, . . . , m 1. Assim, questões oes relativas a` existˆ ex istência, encia , unicida u nicidade de e intervalos m´ aximos aximos de solu¸c˜ coes o˜es de (1.1 (1.17) 7) s˜ ao a o reduzi reduzido doss a quest quest˜ oes o˜es simi simila lares res para para siste sistema mass (1.18 (1.18)) e portan portanto to a equa¸c˜ cões oes do tipo (1.1) da se¸ c˜ cao aõ 1.1. Em particular particular,, todos os resulta resultados dos relativo relativoss a estas quest˜ oes demonstrados nas se¸c˜ oes coes o˜ es 1.4 e 1.5 s˜ ao a o v´ alidos alidos para equa¸c˜ coes o˜es de ordem m qualquer.



1.7

−

Exerc´ Exerc´ıcios

1. Seja g(t) = t22−1 , t = 1.

| | 

(a) Mostre Mostre que toda solu¸ solução de x′ = g( g (t) é da form fo rmaa ϕ(t) = c + c + log onde c R. (b) Fa¸ca ca um esbo¸co co destas solu¸c˜ coes o˜es em

∈



 − 

t 1 , t+1

{ ∈ R; |t| = 1} × R. Sugestão: ao: Note que g (t) = − − . Ω= t 1

1 t+1

t 1

2



2. Seja f Seja f ((x) = x 2−1 . Mostre Mostre que que toda solu¸ solu¸ cão ao de x de x ′ = f = f ((x) diferente das solu¸c˜ coes o˜es ϕ+ 1 e ϕ− 1 é da form fo rmaa

≡

≡ −

1 + cet , c = 0. 1 cet Qual é o intervalo m´ aximo I aximo I c = (ω− (c), ω+ (c)) de defini¸c˜ cao ão destas solu¸c˜ coes? o˜es? 2 Fa¸ca ca um esbo¸co co geométrico etric o das solu¸c˜ cões oes em Ω = R e compare compa re com o exerc exer c´ıcio anterior. ϕ(t) =

−



3. Denote por I por I ((t0 , x0 ) = (ω− (t0, x0 ), ω+ (t0 , x0 )) o intervalo máximo aximo de defini¸c˜ cão ao da solu¸c˜ cao aõ ϕ = ϕ = ϕ((t, t0 , x0 ) do problema de Cauchy x′ = f ( f (x)g(t), x(t0 ) = x 0, onde (t (t0, x0) (t ( t1 , t2 ) (a1 , a2 ) e f e g são ao como no exemplo 1.3 da se¸c˜ cão ao 1.3. Pode supor primeiramente que f ´ f é posit po sitiva iva em (a1, a2 ).

∈

×

1.7 Exerc´ıcios

27

(a) Mostre que D = (t, t0 , x0 ); (t0 , x0 ) (t ( t1 , t2)

{

∈

I (t , x )} × (a , a ), t ∈ I ( 1

2

0

0

é abert ab ertoo e que ϕ é cont´ınu ın ua em D. D . (b) Se f Se f e g são ao de classe C 1 mostre que ϕ é de clas cl asse se C 1 em D. (c) Calcule Calcule D e ϕ no caso x′ = x 2 cos t, x = 0.



4. Estenda Estenda os resultados resultados dos exemplos exemplos 1.2 e 1.3 da se¸ cão ao 1.3 para o caso em que 1 f ´ f é de clas cl asse se C na vizinhan¸ca ca de cada um de seus zeros. Use o teorema de Picard para garantir a unicidade das solu¸ cões o es da forma ϕ(t) a, a , onde f ( f (a) = 0. Estenda as conclus˜ oes oes do exerc e xerc´´ıcio anterior para este caso e fa¸ ca c a o c´ alculo alculo de D e ϕ para x′ = x 2 cos t, (t, x) R2.

≡

∈

5. Equa¸c˜ coes oe ˜ s homogˆ ho mogêneas en eas . Seja f Seja f : R

→ R.

(a) As equa¸c˜ cões oes da forma



x x′ = f = f , t=  0, t

são ao chamadas chamadas homogˆ homogêneas. eneas. Prove Prove que a mudan¸ mudan¸ ca de variáveis aveis x = yt transforma equa¸c˜ coes o˜es homogêneas enea s em equa¸c˜ cões oe s com co m vari´ variaveis a´veis separ´ aveis. aveis. (b) Resolv Resolvaa a equa¸ equa¸c˜ cao aõ x′ =

x + t , x(1) = 0. 0. t

6. Encontre Encontre os valores valores de α de α e β para para os quais x′ = at α + bxβ se transforma numa equa¸c˜ cão ao homogênea enea por meio de uma mudan¸ ca de vari´ aam veis da forma x = y = y . 7. Seja





dx at + bx + bx + c = F . dt dt + ex + f (a) Mostre que se ae variáveis aveis

∗

∗

( )

ao existem h, k tais que as mudan¸cas c as de − bd = 0 então t = τ = τ − = y − k − h, x = y

transformam ( ) numa equa¸c˜ cao aõ homo ho mogˆ gênea en ea..

28

1. Existˆ encia encia e unicidade unici dade de solu¸c˜ c˜ oes oes

(b) Se ae bd = bd = 0 encontre uma mudan¸ca ca de vari´ aveis aveis que transforme ( ) numa equa¸c˜ cão ao com variáveis aveis separ´ aveis. aveis.

−

∗

8. Equa¸c˜ cao ˜ de Bernoulli . Mostre que que a mudan¸ mudan¸ ca ca de variáveis aveis x1−n = y transforma y transforma a equa¸c˜ cao aõ de Bernoulli dx = a( a (t)x + c(t)xn dt numa equa¸c˜ cao ˜ linear . 9. Equa¸c˜ cao ˜ de Riccati . A equa¸c˜ cao aõ do tipo = r((t)x2 + a(t)x + b(t) x′ = r

( )

∗

∗

chama-se equa¸c˜ cão ao de Riccati. Suponha que os coeficientes em ( ) são ao fun¸c˜ coes o˜es cont co nt´´ınuas ınu as de t. Most Mostre re que que se ϕ1 é uma solu¸ sol u¸c˜ cão ao de ( ) ent˜ ao ao ϕ = ϕ1 + ϕ 2 é solu so lu¸c˜ çao a˜ o de ( ) se e só se ϕ2 é uma solu¸ sol u¸c˜ cao aõ da equa¸c˜ cao aõ de Bernoulli (veja exerc´ exe rc´ıcio ıci o anterio ante rior) r)

∗

∗

y ′ = (a(t) + 2r 2 r (t)ϕ1 (t))y ))y + r (t)y2 . Ache as solu¸c˜ coes o˜es de

x + t3x2 t5 t sabendo que esta equa¸c˜ cao aõ admite ϕ admite ϕ 1(t) = t como solu¸c˜ cão. ao. x′ =

−

10. Prove Prove que se ϕ(t, t0 , x0 ) é a solu so lu¸c˜ çao aõ da equa¸c˜ cao ão de Riccati ( ) com ϕ(t0, t0 , x0 ) = x0 ent˜ ao ao a transforma¸c˜ cão ao T : x 0 ϕ( ϕ(t, t0 , x0 ) é linear fracion´ aria na vari´ avel Ax0 +B x0 , isto é, e, pode po de exprimir-se na forma T ( T (x0 ) = Cx 0+D . Uma transforma¸c˜ cao aõ de desta forma é dita de M¨ oebius. oebius. (Sugestão: ao: Revise no seu livro favorito de Vari´ avel avel Complexa a no¸c˜ cão ao de raz˜ de raz˜ ao cruzada e e a sua rela¸c˜ cao ão com as tranforma¸c˜ cões lineares oes lineares fracionais . Prove Prove que que T T preserva a raz˜ a raz˜ ao cruzada .) .)

∗

→

11. Em cada um dos seguintes exemplos, encontre ou demonstre que n˜ ao ao existe uma constante de Lipschitz nos dom´ dom´ınios indicados. n

| | | | ∈R . (b) f ( f (t, x) = x , |x| < 1. < 1. (c) f ( f (t, x) = 1/x, /x, 1 ≤ x ≤ ∞. (d) f ( f (t, x) = (x x , t + x , x ), |x| ≤ b, b , |t| ≤ a. a . 12. Seja f ( f (x, y ) : R → R definida por f ( f (x, y ) = |y|. (a) f ( f (t, x) = t x , t < a, x 1/3

2 1 2

2

diferencial

dy dx

3

2 3



= f ( f (x, y ) com a condi¸c˜ cao aõ inicial y(0) = 0.

Cons Co nsid ider eree a equa equa¸c˜ çao aõ

1.7 Exerc´ıcios

29

(i) Dê uma solu¸caõ desta equa¸cão. (ii) Ela é uńica? (iii) Caso a resposta de (ii) seja negativa, contradiz o Teorema de Picard? Justifique. (Sugestão: Use o método de vari´ aveis separ´ aveis para encontrar a seguinte solu¸cão x2 , x 0, 4 y(t) = x2 , x 0 .) 4 13. Seja a equa¸caõ

dy dx

  −

≥ ≤

= f (x, y), onde f : R2 f (x, y) =



→ R é dada por , se (x, y) =  (0, 0)

xy x2 + y2 0 , se (x, y) = (0, 0)

(i) Mostre que a equa¸cão acima admite solu¸co˜es para condi¸cões iniciais y(x0) = y 0 arbitr´ arias. (ii) f satisfaz localmente as condi¸co˜es do Teorema de Picard? Justifique. (iii) E as do Teorema de Peano? Justifique. (Sugestão: y(x) f (x, x) = 21 .) 14. Seja f : R solu¸cão de

n

≡ 0 é solu¸caõ da equa¸caõ. n

×R →R

Note que se x

∈ R − {0}, então

de classe C 1 e suponhamos que ϕ(t) definida em R é a x′ = f (t, x), x(t0 ) = x 0 .

∗

( )

´ poss´ıvel que exista t1 = t 0 tal que ϕ(t1 ) = ϕ(t0 ), porém ϕ′ (t1 ) e ϕ′ (t0 ) (a) E são linearmente independentes?



(b) Caso (a) seja afirmativo, estude isso em termos da unicidade das solu¸ cões dadas pelo Teorema de Picard. d d 2 (Sugestão: Note que dt (tsen t) = t cos t + sen t e dt (t sen t) = t 2 cos t + 2tsen t. Seja ϕ(t) a solu¸caõ de ( ) com f : R R2 R2 dada por

∗

× →

f (t, (x, y)) = (t cos t + sen t, t2 cos t + 2tsen t) e condi¸co˜es iniciais (x(0), y(0)) = (0, 0). Calcule ent˜ ao ϕ(π), ϕ(2π), ϕ′ (π) e ϕ′ (2π).)

30


ϕ(t0 ) = ϕ(t1 ) ϕ′ (t1 ) ϕ′ (t0 ) Figura 1.7: Exerc´ıcio 14 Rn cont´ınua e Lipschitziana com respeito a` segunda vari´ 15. Seja f : R Rn avel. n Prove que dado (t0 , x0 ) R R existe uma u ńica solu¸cão de

× →

∈ ×

x′ = f (t, x), x(t0 ) = x 0 , definida em todo R. 16. Seja f : Rn de

n

→R

de classe C 1 e suponhamos que ϕ(t) definida em R é solu¸caõ x′ = f (x), x(t0 ) = x 0 .

´ poss´ıvel que exista t 1 = t 0 tal que ϕ(t1 ) = ϕ(t0 ) mas ϕ′ (t0 ) = ϕ ′ (t1 )? (a) E





(b) Compare (a) com o exerc´ıcio 14, parte (a). 17. Sejam g, f : R

→ R cont´ınuas sendo f Lipschitziana. Prove que o sistema



x′ = f (x), x(t0 ) = x 0 , y′ = g(x)y, y(t0 ) = y 0

tem solu¸cão u ´ nica em qualquer intervalo (onde ela esteja definida). Pode-se retirar a hip´ otese de f ser Lipschitziana e obter a mesma conclus˜ ao? 18. Com as mesmas hipóteses e nota¸co˜es do Teorema de Peano, sejam c [t0 , t0 +α] e S c o conjunto dos pontos x tais que existe uma solu¸cão x ′ = f (t, x), x(t0) = x0 , definida em [t0, c] e que passa por (c, x). Prove que S c é um intervalo fechado, no caso n = 1.

∈

Nota: Este resultado é conhecido como Teorema de Kneser e é v´ alido para n 1 qualquer, substituindo no enunciado acima S c , intervalo fechado, por dom´ınio (i. e. , conexo e compacto). (Sugestã o: Seja xn uma sequência de pontos em S c tal que xn x. Se ϕn é

≥

→

1.7 Exerc´ıcios

31 x z w gráfico de ψ

gr´ afico de ψ

y ψ(t0 ) x0 t0

c

t

Figura 1.8: Teorema de Kneser solu¸cão de

x′ = f (t, x), x(t0 ) = x 0 ,

∗

( )

com ϕn (c) = x n, aplique o teorema de Arzelá para encontrar uma solu¸ cão ϕ de ( ) tal que ϕ(c) = x. Para provar que S c é conexo, sejam y, z S c , y < z . Se y < w < z é preciso provar que ω S c . Use o teorema de Peano para encontrar uma solu¸cão ψ de x′ = f (t, x), x(c) = ω definida em [t0 , c]. Pode acontecer que ψ(t0 ) = x0 (ver Figura 1.8) porém certamente existir´ a uma solu¸cão θ de x′ = f (t, x), x(t0 ) = x 0 , tal que θ(c) = w).

∗

∈

∈



19. Seja f cont´ınua no aberto Ω

⊆ R × E. Prove que se |f | ≤ M em Ω, então

(a) Toda solu¸ cão de x ′ = f (t, x) pode ser prolongada a uma solu¸caõ máxima ϕ definida num intervalo (ω− , ω+ ). (b) (t, ϕ(t))

→ ∂ Ω quando t → ω±.

(c) Se ϕ é limitada, limt→ω ϕ(t) existe? Compare com a observa¸cão 5.4. (d) Retire a hip´ otese de limita¸cão de f e prove (a) e (b) neste caso. ±

(Sugestão para (c): considere 2

2

2

{ ∈ R ; x + y < 1}, Ω = R × D e f (t,x,y) = (y + x(1 − x − y ), −x + y(1 − x − y )).) D = (x, y) 2

2

2

2

20. Sejam Ω, f e (ω− , ω+ ) como no exerc´ıcio 19(a). prove que se Ω é compacto ent˜ ao limt→ω ϕ(t) = x ± existe e (ω± , x± ) ∂ Ω. ±

∈

32


21. Seja Ω = R Rn e f (t, x) = f (x) cont´ınua, localmente Lipschitziana e tal que f M em Ω. Prove que

×

| |≤

∈ R

(a) Para todo x 0

n

a solu¸cão ϕ(t, x0 ) de x′ = f (x), x(0) = x 0

∈ R. : x → ϕ(t, x ) é um homeomorfismo de R

está definida para todo t (b) Para todo t Rn .

∈ R, ϕ

t

0

n

0

(c) ϕt+s = ϕt ϕs , quaisquer que sejam t, s

◦

sobre

∈ R.

(Sugestão para (b): suponha que x n x 0 mas ϕ(t, xn) não seja convergente a ϕ(t, x0 ). Considere ϕn (τ ) = ϕ(τ, xn ), τ [0, t]. Prove que ϕn é equicont´ınua e use o teorema de Arzel´ a para achar uma solu¸cã o de x′ = f (x), x(0) = x0 diferente de ϕ(t, x0 ).)

→

∈

22. (Aproxima¸caõ Poligonal) Sob as hip´ o teses do Teorema de Peano, defina a fam´ılia de fun¸co˜es ϕσ (t) da seguinte maneira: seja σ : t0 < t1 < < tm = t 0 + α uma parti¸caõ de [t0 , t0 +α] com norma σ = max(tk+1 tk ), k = 0, . . . , m 1. Em [t0 , t1 ] defina ϕ σ (t) = x 0 + (t t0 )f (t0 , x0 ). Se ϕ σ (t) for definido em [t0 , tk ], k < m, e ϕσ (t) x0 b, defina ϕ σ (t) = ϕσ (tk ) + (t tk )f (tk , ϕn (tk )) para t [tk , tk+1 ]. Este processo define ϕ σ como uma fun¸caõ cont´ınua e seccionalmente linear. Demonstre o Teorema de Peano obtendo uma solu¸ cão como limite uniforme de uma sequência de fun¸ co˜es da fam´ılia acima definida.

|

− |≤

−

||

···

−

−

− ∈

23. Sejam f 1 , f 2 , . . . uma sequência de fun¸cões cont´ınuas em Ω = (t, x); t0 t t0 +a, x x0 b tal que f n f uniformemente em Ω. Seja ϕn uma solu¸caõ de x′ = f n(t, x), x(tn) = x n,

| − |≤ }

{

→

≤ ≤

em [t0 , t0 + a], onde n = 1, 2, . . . e tal que tn t0 , xn x0 quando n . Prove que existe uma subsequência ϕn1 , ϕn2 , . . . , ϕnj , . . . uniformemente convergente em [t0 , t0 + a] e que, para qualquer subsequência nestas condi¸ cões, o limite ϕ(t) = limk→∞ ϕnk (t) é uma solu¸caõ de

→

∞

→

x′ = f (t, x), x(t0 ) = x 0 , em [t0 , t0 + a].

→

∗

( )

Em particular, se ( ) possuir uma u ´ nica solu¸cão ϕ(t) em [t0 , t0 + a], então ϕ(t) = limn→∞ ϕn (t) uniformemente.

∗

1.7 Exerc´ıcios

33

24. (Aproxima¸co˜es Sucessivas) Com as mesmas hip´ oteses e nota¸co˜es do Teorema de Peano, prove que a seguinte sequência, ϕn , chamada sequência de aproxima¸cões sucessivas, est´ a bem definida para t [t0 , t0 + α]:



{ } ∈

t

ϕ0 (t) = x 0 , ϕn+1 (t) = x 0 +

f (s, ϕn (s))ds, n = 0, 1, . . . .

t0

(a) Se f é Lipschitziana, foi provado (Teorema de Picard) que ϕn é convergente. Verifique que para a fun¸cão f , não Lipschitziana, dada por

{ }

 −  − 2t

f (t, x) =

2t 2t

, t2 < x <

∞,

4x , 0 < x t2 , t t , x 0,

≤

≤

≤ 1,

a sequência de aproxima¸co˜es sucessivas, para t0 = x 0 = 0, não é convergente. (b) No caso n = 1, seja t0 = x0 = 0 e seja f cont´ınua tal que f (t, x1 ) f (t, x2 ) se x1 x2 e f (t, 0) 0, para todo t [0, a]. Prove que as aproxima¸cões sucessivas convergem para uma solu¸cã o de x′ = f (t, x), x(0) = 0.

≤

≥

≤

∈

25. (a) Seja f cont´ınua em Ω = (t, x); t a, x b R2 . Se f (t, x) < 0 quando tx > 0 e f (t, x) > 0 quando tx < 0, mostre que x′ = f (t, x), x(0) = 0, tem ϕ = 0 com u ´ nica solu¸cão.

{

(b) Seja f : R2

→ R dada por f (t, x) =

||≤ | |≤ }⊂

 −  −

2t , se x t 2 , 2x , se x < t2 , t 2t , se x t2.

≥ | | ≤−

Prove que x′ = f (t, x), x(0) = 0, tem uma u ´ nica solu¸cão, embora F n – definida na demonstra¸cão do Teorema de Picard – n˜ ao seja contra¸caõ para nenhum n. R2 , sejam f, g duas 26. No retˆ angulo P = (t, x); t t0 < a, x x0 < b fun¸co˜es cont´ınuas e localmente Lipschitzianas. Se g < f em P , então para ϕ e ψ solu¸co˜es de, respectivamente,

{

|− |

x′ = g(t, x), x(t0 ) = x 0

| − |

}⊂

e x′ = f (t, x), x(t0) = x 0 ,

definidas para 0 t c, prove que ϕ(t) ψ(t) para todo t0 < t c. Nas mesmas hipóteses, se g f , prove que ϕ(t) ψ(t), t 0 t c.

≤ ≤

≤

≤

≤

≤ ≤

≤

34


27. Seja ϕn a sequência de fun¸cões definidas por

{ }



x

ϕ0 (x) = 1, ϕn(x) = 1 +

0

(ϕn−1 (t))2 dt.

Mostre que ϕn é um polinˆ omio de grau 2n 1, cujos coeficientes est˜ ao em [0, 1]. dy 2 Mostre que, para x < 1, ϕn ϕ, onde ϕ é a solu¸caõ de dx = y , y(0) = 1, a qual é dada por ϕ(t) = 1−1 t = 1 + t + t2 + .

− | | → ·· · 28. Seja f (t, x) definida e cont´ınua em Ω = R × E, onde f (t, x) = f (t + 1, x) e f é Lipschitziana em [0, 1] × E. Prove que toda solu¸cão ϕ(t, t , x ) est´ a definida para todo t ∈ R e ϕ(t, t , x ) = ϕ(t + 1, t + 1, x ). 29. Seja H : E → E de classe C . Seja f (t, x) cont´ınua em R × E tal que f (t, H (x)) = DH (x) · f (t, x), para todo (t, x) em R × E. Se f é Lipschitziana ′ 0

0

0

0

0

0

1

e ϕ(t, t0 , x0 ) denota a solu¸cão de x = f (t, x) que passa por (t0 , x0 ), prove que ϕ(t, t0 , H (x)) = H (ϕ(t, t0 , x0 )).

30. Se X = (X 1 , X 2 , . . . , Xn ) é um campo vetorial de classe C 1 em Rn e V é uma ∂v fun¸caõ real diferenci´ avel em Rn tal que ni=1 ∂x (x)X i (x) 0 e V (x) x 2, i para todo x Rn, prove que toda solu¸cã o de x′ = X (x) est´ a definida para todo t > 0.



∈

≤

≥ | |

31. No enunciado do Teorema de Peano, mude a condi¸ cão f < M por f M e obtenha as mesmas conclus˜ oes que neste teorema. (Sugestão: considere a sequência de aplica¸ co˜es ϕk : [t0 , t0 + α k ] Rn , onde ϕk é a solu¸caõ de

| |

| | ≤

→

x′ = f k (t, x), x(t0 ) = x 0

e αk = b(M + εk )−1 ,

sendo εk = sup f k α] B(x0 , b).)

×

{| − f | em K }, onde K ⊂ Ω é compacto e contém [t , f + 0

0

32. (Extens˜ ao do dom´ınio da fun¸caõ inversa) Seja B(0, b) = x Rn ; x < b a Rn uma aplica¸ bola de centro 0 e raio b em Rn . Seja f : D = B(0, b) cão de 1 classe C numa vizinhan¸ca de D tal que f (0) = 0 e A(x) = Df (x) é invers´ıvel x D, sejam M = max (A(x))−1 , M 1 = max A(x) para x D, e seja B1 = B(0,b/MM 1 ). Observe que B1 D (por quê?). Prove que existe um aberto B 0 , B 1 B 0 B, tal que f B0 é um difeomorfismo de B 0 sobre a bola B(0,b/M ). (Sugestã o: Seja ξ Rn com ξ = 1. Prove que a equa¸caõ f (x) = tξ tem uma solu¸cão u ńica x = x(t, ξ ) para 0 t b/M com x(0, ξ ) = 0. Para isto considere a equa¸caõ diferencial x ′ = (f ′ (x))−1 ξ e aplique o Teorema de Peano

→

∀ ∈



⊂ ⊂ ∈

|

| |

 ⊂

≤ ≤



{ ∈



||

∈

}

1.7 Exerc´ıcios

35

| | 

na vers˜ ao do exerc´ıcio anterior. Prove que g(y) = x y , |yy| é uma inversa a` direita de f , definida em B(0,b/M ). Para encontrar B 0 aplique a mesma ideia a g.) 33. (Equa¸cões anal´ıticas no Campo Complexo) Seja f : Ω Cn anal´ıtica no aberto Ω C Cn . Denotemos por (z, w) os pontos de Ω com w = (w1 , . . . , wn). Cn , holomorfa no aberto H C, chama-se solu¸ Uma fun¸cão ϕ : H caõ da equa¸caõ w′ = f (z, w), se ( )

⊂ ×

→

→

⊂

∗

(i) graf ϕ Ω. dϕ (ii) = f (z, ϕ(z )), para todo z H . dz

⊂

∈

Demonstre o seguinte resultado: seja Ω = Ba (z 0 ) B b (w0 ), onde Ba (z 0 ) = z ; z z 0 < a , Bb (w0 ) = w; w w0 < b , e seja f tal que f M em Ω. Ent˜ ao existe uma uńica solu¸cão ϕ de ( ) em H = Bα (z 0 ) tal que ϕ(z 0 ) = w0 e α = min a, b/M . (Sugestão: defina F (ϕ)(z ) = w 0 + Γ(z) f (ξ, ϕ(ξ ))dξ , onde

{ | − | } { }

{ | − | } ∗

Γ(z ) = θ(z



×

| | ≤

{ − z ) + z ; 0 ≤ θ ≤ 1} 0

0

é o segmento que liga z 0 a z . Mostre que para cada a′ < a existe um u ´ nico ponto fixo atrator de F , considerada como aplica¸cã o de (Ba , Bb ). Utilize o Teorema de Montel, segundo o qual uma sequência de fun¸ cões anal´ıticas complexas convergindo uniformemente num aberto tem limite anal´ıtico.)

C

′

34. Formule e demonstre um teorema an´ alogo ao do exerc´ıcio anterior para fun¸ cões anal´ıticas reais. 35. Nas hipóteses do exerc´ıcio 33, prove que a série ϕ(z ) = para a solu¸cã o de ( ), onde

∗





∞ a (z −z )i converge 0 i=0 i



1 ∂f ∂f a0 = w 0 , a1 = f (z 0, w0), a2 = (z 0 , w0 ) + (z 0 , w0 )a1 , etc. 2 ∂z ∂w Isto é, os a′i são determinados formalmente, derivando a expressão ϕ′ (z ) = f (z, ϕ(z )) e avaliando-a no ponto z = z 0 , assim ϕ′′ (z 0 ) =

∂f ∂f (z 0 , w0 ) + (z 0 , w0 )ϕ′ (z 0 ), ∂z ∂w

é o coeficiente do termo de ordem 2 da série de Taylor formal. 36. (Solu¸cões aproximadas, Desigualdade de Gronwall)

36


Rn cont´ınua com constante de Lipschitz K relati(i) Seja f : R Rn vamente a` segunda vari´ avel. Sejam ϕ1 (t), ϕ2 (t) fun¸cões seccionalmente diferenciáveis num intervalo I = (a, b) que contém o ponto t0 . Suponha que para t I ϕ′i (t) f (t, ϕi (t)) ε i , i = 1, 2, ( )

×

→

∈

|

−

|≤

∗

mostre a seguinte forma aperfei¸coada da Desigualdade de Gronwall:

|ϕ (t) − ϕ (t)| ≤ |ϕ (t ) − ϕ (t )|e | − | + (ε +K ε ) (e | − | − 1). (Sugestão: Seja t ≥ t . Integrando (∗) entre t e t obtenha |ϕ (t)−ϕ (t))− (ϕ (t ) − ϕ (t )) − [f (s, ϕ (s)) − f (s, ϕ (s))]ds| ≤ (ε + ε )(t − t ) e 1

1

0

2

2

1

0

2

 0 t t0

0

da´ı conclua que

1

K t t0

0

2

K t t0

0

1

1

2

1

 t t0

2

2

0

|ϕ (t) − ϕ (t)| ≤ |ϕ (t ) − ϕ (t )| + K |ϕ (s) − ϕ (s)|ds (∗∗) +(ε + ε )(t − t ). Defina agora R(t) = |ϕ (s) − ϕ (s)|ds, t ≤ t ≤ b. Então, R′(t) − KR(t) ≤ |ϕ (t ) − ϕ (t )| + (ε + ε )(t − t ) e multiplicando ambos os − − 1

2

1

0

2

1

 t t0

1

0

2

lados desta express˜ a o por e R(t)

2

0

1

0

2

1 K (t t0 )

− ϕ (t )| (e ≤ |ϕ (t ) K 1

+

0

2

0

0

2

0

2

0

e integrando entre t0 e t resulta

K (t t0 )

−

1

+ ε ) (1 + K (t − t )) − 1) − (ε K 1

2

0

2

(ε1 + ε2 ) K (t−t0 ) e . K 2

∗∗ tais que f → f uniformemente em I × R

Combinando esta desigualdade com ( ) segue-se o resultado.)

(ii) Sejam f m : R Rn Rn m 0 todas têm a mesma constante de Lipschitz K . Se ϕm é a solu¸caõ de

× →

n

e

x′ = f m(t, x), x(t0) = x m, use (i) para provar que ϕm tende uniformemente em I para ϕ0 se xm

→ x . 0

(iii) Usando a desigualdade em (i) e as aproxima¸ cões poligonais contru´ıdas no exerc´ıcio 22, prove o Teorema de Picard. R cont´ınua. Suponha que existem duas solu¸ 37. Seja f : R2 co˜es ϕ1 , ϕ2 : [0, 1] ′ R de x = f (t, x) satisfazendo

→

Graf ϕ1

→

∩ Graf ϕ = {(0, p), (1, q )} 2

e Graf ϕ1 Graf ϕ2 = fronteira de uma regi˜ ao D homeomorfa a um disco . Prove que para todo x D existe uma solu¸caõ ϕ de x′ = f (t, x) tal que seu gráfico contém (0, p), (1, q ) e x.

∪

{ ∈

}

Cap´ıtulo 2 Equa¸c˜ oes Diferenciais Lineares Para a classe das equa¸cões lineares é poss´ıvel um alto grau de perfei¸ cã o no conhecimento das propriedades de suas solu¸cões. No caso de coeficientes constantes é poss´ıvel resolvê-las, com aux´ılio da a´lgebra linear, em termos de fun¸ co˜es elementares. Este conhecimento apurado é importante para o estudo local das solu¸ cões de uma equa¸ca˜ o n˜ ao linear, que é feito através da compara¸ ca˜ o com as solu¸co˜es do ´ sistema linear que a aproxima. E um processo semelhante ao que ocorre no C´ alculo Diferencial, onde obtêm-se informa¸co˜es locais sobre uma fun¸cã o a partir de sua derivada. Assim, para compreender o comportamento das solu¸ cões da equa¸cão do pêndulo com friçcão x′′ + εx′ + g sen x = 0 na vizinhan¸ca de (0, 0), estuda-se a equa¸caõ linearizada x′′ + εx′ + gx = 0. Neste cap´ıtulo nos limitaremos a estabelecer as propriedades gerais das solu¸ cões das equa¸cões diferenciais lineares. Somente nos cap´ıtulos 3, 4, 5 e 6 relacionaremos com precis˜ ao as propriedades das equa¸co˜es n˜ ao lineares com as das obtidas delas por lineariza¸caõ. Para isso ser´ a fundamental o estudo que faremos nas se¸cões 2.5 e 2.6, dos sistemas lineares hiperb´ olicos.

2.1

Preliminares

Salvo men¸caõ expl´ıcita em contrário, neste cap´ıtulo E representar´ a o espa¸co euclin n diano n-dimensional real R ou complexo C , com a norma

|x| = sup |x |, x = (x , x , . . . , x ), x ∈ R ou C. i

1

2

37

n

i

38

2. Equa¸co ˜es Diferenciais Lineares

Sejam I um intervalo e aij , bi , i, j = 1, . . . , n, fun¸co˜es cont´ınuas em I , com valores reais ou complexos. Consideraremos um sistema de n equa¸cões da forma

 

x′1 = a11 (t)x1 + .. .

··· + a

x′n = an1 (t)x1 +

· ·· + a

1n (t)xn + b1 (t),

(2.1) nn (t)xn + bn (t),

que é denotado abreviadamente por n

x′ = i



aij (t)x j + bi (t), i = 1, 2, . . . , n .

j=1

Uma fam´ılia de fun¸cões ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , reais ou complexas, de classe C 1 num intervalo I 0 I , chama-se solu¸c˜ ao do sistema (2.1) em I 0 se para todo t I 0

{

⊂

}

∈

n



dϕi (t) = aij (t)ϕ j (t) + bi (t), i = 1, . . . , n . dt j=1 A equa¸cão vetorial x′ = A(t)x + b(t),

(2.2)

onde A(t) = (aij (t)) é a matriz n n, cujos elementos s˜ ao aij (t), e b(t) = (bi (t)) é o vetor coluna cujas coordenadas s˜ ao b i (t), é equivalente ao sistema (2.1) no seguinte sentido: uma fam´ılia ϕ1, ϕ2 , . . . , ϕn é solu¸caõ de (2.1) em I 0 se, e somente se, a aplica¸caõ ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ) é solu¸cão de (2.2) em I 0 , isto é, se

×

{

}

ϕ′ (t) = A(t)ϕ(t) + b(t),

∀t ∈ I . 0

O sistema (2.1) ou a equa¸cã o (2.2) em I E chama-se linear ; se bi (t) = 0 , chama-se linear homogênea . Embora, neste livro, estejamos interessados principalmente no caso real (E = Rn ) trataremos, simultaneamente, do caso complexo que é obtido, na sua maior parte, sem esfor¸co adicional.

×

2.2

Propriedades gerais

Teorema 2.1 Para todo (t0 , x0 ) I E existe uma ´ unica solu¸c˜ ao ϕ(t) = ϕ(t, t0, x0 ) de (2.2) definida em I tal que ϕ(t0 ) = x 0 .

∈ ×

Nota. A prova dada a seguir ilustra o “método das aproxima¸ cões sucessivas” e é direta e elementar. Porém, ela é essencialmente idêntica a` prova usando métodos

2.2 Propriedades gerais

39

de espa¸cos métricos de fun¸co˜es cont´ınuas, dada no cap´ıtulo 1, se¸caõ 4. Ver também exerc´ıcio 24, cap´ıtulo 1.

Demonstra¸ c˜ ao Consideremos a sequência de aplica¸cões ϕi de I em E, dada por

 

ϕ0 (t) = x 0 ,

 t

ϕi (t) = x 0 +

t0

[A(s)ϕi−1 (s) + b(s)]ds, i

≥ 1.

( )

∗

Provaremos que para todo intervalo compacto [a, b] I , a sequência ϕ i converge uniformemente em [a, b] para uma solu¸cão de (2.2). Sejam

⊂

K = sup A(s) ; s [a, b] e c = sup ϕ1 (s) ϕ0 (s) ; s [a, b] .

{ {|

 ∈ } − | ∈

}

Notemos que

  |   ≤ | ≤  | − | |   t

|ϕ (t) − ϕ (t) 2

1

=

A(s)[ϕ1 (s)

− ϕ (s)]ds

A(s)[ϕ1 (s)

− ϕ (s)] ds

t0 t

t0

Kc t

0

0

t0 ,

t

|ϕ (t) − ϕ (t) 3

2

A(s)[ϕ2 (s)

=

t0 t

≤ ≤

t0 2

 | 

− ϕ (s)]ds 1

|A(s)[ϕ (s) − ϕ (s)]|ds

K c t 2!

2

1

2

| −t | . 0

Por indu¸cão, temos

|ϕ

i+1 (t)

− ϕ (t)| ≤ i

K i c t i!

i

| −t |. 0

Portanto, temos que sup ϕi+1 (t) t [a,b]

∈

i

|

− ϕ (t)| ≤ i

[K (b

i

− a)] c . i!

Por ser (K (b−i! a)) c uma série convergente, a série de aplica¸ co˜es ϕi = ϕ0 + (ϕ1 ϕ0 ) + + (ϕi ϕi−1 ) converge uniformemente em [a, b], pelo critério de Weierstrass.

·· ·

−

−

40


Denotemos por ϕ o limite (pontual) desta série. Notemos que este limite existe em I , pois I é uni˜ ao de intervalos compactos da forma [a, b]. Fazendo i tender a infinito em ( ) temos que, para todo t I ,

∗

∈

 t

ϕ(t) = x 0 +

[A(s)ϕ(s) + b(s)]ds.

t0

Derivando com respeito a t, verificamos que ϕ satisfaz (2.2). Suponhamos que existe outra aplica¸ cão ψ que satisfaz (2.2) em I . Portanto, para t I ,

∈

 t

ψ(t) = x 0 +

[A(s)ψ(s) + b(s)]ds.

t0

Denotemos por m o sup ψ(t)

|

− ϕ (t)|, t ∈ [a, b]. Para t ∈ [a, b], temos 1

  |   ≤ | t

|ψ(t) − ϕ (t) 2

=

A(s)(ψ(s)

− ϕ (s))ds

A(s)(ψ(s)

− ϕ (s))|ds ≤ Km|t − t |,

t0 t

t0 2

|ψ(t) − ϕ (t)| ≤ 3

.. .

|ψ(t) − ϕ (t)| ≤ i



1

1

0

K m t t0 2 , 2! .. . K i−1 m t t0 i−1 . (i 1)!

|− |

− |− |

Logo, ψ(t) = lim ϕi (t) = ϕ(t). Isto prova a unicidade de ϕ(t) = ϕ(t, t0 , x0 ).

Exemplo 2.2 Se E = C e A(t) = a

∈ R ou C e b(t) ≡ 0, temos que

ϕ0 (t) = x0, ϕ1 (t) = x 0 (1 + ta), t2 2 ϕ2 (t) = x0 1 + ta + a , . . . , 2! t2 2 ti i ϕi (t) = x0 1 + ta + a + + a . 2! i!

 



···

Portanto, ϕ(t, x0 ) solu¸caõ, em R, de x′ = ax, x(0) = x0 , é dada por ϕ(t, x0 ) = x 0 eta . Ver Figura 2.1.




41 ϕ = e at ϕ2 ϕ1

x

ϕ0

x0 = 1

t

Figura 2.1: Aproxima¸co˜es sucessivas para ϕ = e at

Corolário 2.3 Sejam ϕ, ψ solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao homogênea x′ = A(t)x.

(2.3)

(a) Se a, b s˜ ao constantes arbitr´ arias, reais ou complexas, ent˜ ao γ = aϕ + bψ é solu¸cao ˜ de (2.3). (b) Se ϕ(s) = 0 para algum s I , ent˜ ao ϕ(t) = 0, t I .

∈

∀ ∈

Demonstra¸ c˜ ao (a) dγ (t) = dt = = =

dϕ dψ (t) + b (t) dt dt aA(t)ϕ(t) + bA(t)ψ(t) A(t)[aϕ(t) + bψ(t)] A(t)γ (t). a

´ consequência imediata da unicidade das solu¸cões, pois a fun¸caõ nula também (b) E é solu¸cão de (2.3). Consideremos o espa¸co = (I, E) das fun¸co˜es cont´ınuas ϕ : I E como espa¸co vetorial munido das opera¸cõ es de soma de fun¸co˜es e produto de uma constante, real ou complexa conforme o caso, por uma fun¸ cão. Assim, neste espa¸co vetorial, ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn, são linearmente dependentes se existem constantes c1 , c2 , . . . , cn, não todas nulas, tais que ci ϕi = 0 , isto é, se para todo t I , ci ϕi (t) = 0. Observemos o seguinte:

C C



→

∈C

∈

A



(i) O Corolário 2.3, parte (a), mostra que o conjunto das solu¸cõ es de (2.3) forma um subespa¸co vetorial de (sobre os reais ou complexos, conforme o caso).

C

42


(ii) Seja s I . Representemos por εs a aplica¸caõ de em E dada por εs (ϕ) = ´ ϕ(s); εs é um isomorfismo de espa¸cos vetoriais. E o´bvio que εs e´ linear. Ela é sobre E pelo Teorema 2.1, pois εs (ϕ(t,s,x0 )) = x0 para qualquer x0 E. Finalmente, o Corol´ a rio 2.3, parte (b), implica que o n´ ucleo de εs é 0 , portanto, ela é biun´ıvoca.

∈

A

∈ {}

Em particular, dim = dim E. Resumindo estas propriedades, temos:

A

A

oes de (2.3) é um espa¸co vetorial Proposi¸c˜ ao 2.4 O conjunto de todas as solu¸c˜ de dimens˜ ao igual à dimens˜ ao de E. Mais ainda, para cada s I , a aplica¸c˜ ao que a x0 E associa a solu¸cao ˜ ϕ(t,s,x0 ), que passa por (s, x0), é um isomorfismo de E sobre . Em particular, se v1 , v2 , . . . , vn formam uma base de E, ent˜ ao ϕ1 = ϕ(t,s,v1 ), . . ., ϕn = ϕ(t,s,vn ) formam uma base de ; isto é, toda solu¸cao ˜ de (2.3) se exprime como combina¸c˜ ao linear unica ´ de ϕ1 , . . . , ϕn , com coeficientes reais ou complexos, segundo o caso.

∈

∈

A

A

1 Demonstra¸ c˜ ao Imediata, por (i) e (ii), acima. Observar que ε− s (x0 ) = ϕ(t,s,x0 ).

Corolário 2.5 A aplica¸c˜ E dada por φts (x) = ϕ(t,s,x), onde ϕ(t,s,x) ao φts : E é a solu¸cao ˜ de (2.2) passando por (s, x) e tomada no ponto t, é um isomorfismo que tem as seguintes propriedades:

→

(a) φss = identidade; (b) φts φsu = φ tu ;

◦

(c) φts = [φst ]−1 . 1 Demonstra¸ c˜ ao Imediata, pois φts = ε t ε− s .

◦

Consideremos agora as equa¸co˜es matriciais lineares X ′ = A(t)X,

(2.4)

em I M (n), onde M (n) é o espa¸co das matrizes X = (xij ) com n linhas e n 2 2 colunas, de elementos reais ou complexos, identificado com o espa¸ co Rn ou Cn , com a norma X = sup xij . A equa¸cão linear (2.4) chama-se linear homogênea . Por ser (2.4) equivalente ao sistema do tipo (2.1),

×

| |

| |

n

x′ij =

 k=1

aik (t)xkj , 1

≤ i, j ≤ n,


43

e, portanto, a uma equa¸caõ do tipo (2.2), o Teorema (2.1) se aplica neste caso para garantir a existência e unicidade, em I , das solu¸co˜es de (2.4) que passam por (t0 , X 0 ) I M (n). Isto também decorre da seguinte observa¸ cão: φ(t) é solu¸caõ de (2.4) se, e somente se, para todo 1 j n a j-ésima coluna φ j (t) de φ(t) é solu¸cão da equa¸cão homogênea x ′ = A(t)x.

∈ ×

≤ ≤

Defini¸c˜ ao 2.6 Uma matriz φ(t) de ordem n n cujas colunas formam uma base do espa¸co de solu¸cões de (2.3) chama-se matriz fundamental de (2.3).

×

A partir do Corol´ ario 2.3, parte (b), temos que uma matriz φ(t) é uma matriz fundamental de (2.3) se, e somente se, φ(t) é uma solu¸cã o de (2.4) tal que para algum t0 I , e portanto para todo t0 I , φ(t0 ) é n˜ ao singular. Pelo Teorema 2.1, dado t0 I e M 0 uma matriz n˜ ao singular, existe uma u ´ nica matriz fundamental φ tal que φ(t0 ) = M 0 . Por substitui¸cão direta verifica-se que se φ(t) é uma solu¸cão de (2.4), ent˜ ao para toda matriz C , n n, ψ(t) = φ(t)C é também solu¸cão de (2.4).

∈ ∈

∈

×

Proposi¸c˜ ao 2.7 Sejam φ(t) e ψ(t) solu¸c˜ oes de (2.4), sendo φ fundamental. Existe uma unica ´ matriz C de ordem n n tal que para todo t I

×

∈

ψ(t) = φ(t)C. C é n˜ ao singular se, e somente se, ψ(t) é fundamental.

Demonstra¸ c˜ ao Temos (φ−1(t)ψ(t))′ = (φ−1 (t))′ ψ(t) + (φ−1 (t))ψ ′ (t). Mas (φ−1 (t))′ =

1

1

1

−φ− (t)φ′(t)φ− (t) = −φ− (t)A(t). Portanto, (φ− (t)ψ(t))′ = −φ− (t)A(t)ψ(t) + φ− (t)A(t)ψ(t) = 0. 1

1

1

Por conseguinte, φ−1 (t)ψ(t) = C.

Exemplos 2.8 (a) No caso n = 1, A(t) = a(t) e x′ = a(t)x, temos que φ(t) = t t e t0 a(s)ds é uma matriz fundamental. Aqui, ϕ(t, t0 , x0 ) = x 0 e t0 a(s)ds é a solu¸caõ que passa por (t0 , x0 ).





(b) Seja A(t) definida em I = R e peri´ odica de per´ıodo τ , isto é, A(t + τ ) = A(t), R. Seja φ uma matriz fundamental de (2.3). Existe C n˜ para todo t ao singular tal que φ(t + τ ) = φ(t)C.

∈

De fato, ψ(t) = φ(t + τ ) é também matriz fundamental, pois ψ ′ (t) = φ ′ (t + τ ) = A(t + τ )φ(t + τ ) = A(t)ψ(t). A aplica¸caõ da Proposi¸caõ 2.7 conclui o argumento.

44


O teorema seguinte mostra que o conhecimento de uma matriz fundamental de (2.3) implica no conhecimento da “solu¸ caõ geral” de (2.2).

Teorema 2.9 Se φ(t) é uma matriz fundamental de (2.3), ent˜ ao a solu¸c˜ ao ϕ(t, t0 , x0 ) de (2.2) tal que ϕ(t0 , t0 , x0 ) = x 0 é dada por



ϕ(t, t0 , x0 ) = φ(t) φ−1(t0 )x0 +

 t



φ−1 (s)b(s)ds .

t0

(2.5)

Em particular, ϕ(t, t0, x0 ) = φ(t)φ−1 (t0 )x0, no caso homogêneo.

Demonstra¸ c˜ ao Imediata por substitui¸cão direta em (2.2). Indicaremos o processo heur´ıstico que motiva a f´ ormula (2.5), chamada na terminologia cl´ assica “f´ ormula de varia¸cão dos parˆ ametros”. Seja C (t), vetor coluna, tal que ϕ(t) = ϕ(t, t0 , x0 ) = φ(t)C (t). Ent˜ ao A(t)ϕ(t) + b(t) = ϕ′ (t) = φ ′ (t)C (t) + φ(t)C ′ (t) = A(t)φ(t)C (t) + φ(t)C ′ (t) = A(t)ϕ(t) + φ(t)C ′ (t). Por conseguinte, C ′ (t) = φ −1 (t)b(t) e como C (t0 ) = φ −1(t0 )x0 , temos C (t) = φ −1 (t0 )x0 +

 t

φ−1 (s)b(s)ds.

t0

Proposi¸c˜ ao 2.10 (F´ ormula de Liouville) Seja φ(t) uma matriz cujas colunas s˜ ao solu¸c˜ oes de (2.3). Ent˜ ao para todo t I e t0 I fixo,

∈

 det φ(t) = det [φ(t )]e tra¸co 0

onde tra¸co A =



n i=1

∈

t t0

A(s)ds

,

aii , se A = (aij ).

´ suficiente provar que ϕ(t) = det φ(t) é solu¸cã o da equa¸caõ Demonstra¸ c˜ ao E x′ = [tra¸co A(t)]x. Derivando ϕ(t) = det φ(t) = det (φ1 , . . . , φn ), como fun¸cão n-linear alternada das colunas de φ(t), temos n

ϕ′ (t) =

 

det(φ1 (t), . . . , φ′i (t), . . . , φn (t))

i=1 n

=

i=1

det(φ1 (t), . . . , A(t)φi (t), . . . , φn (t)).

2.3 Equa¸co ˜es lineares com coeficientes constantes

45

´ suficiente supor que φ(t) é fundamental, caso contrário o teorema é trivialE mente satisfeito. Exprimamos para cada t o vetor A(t)φi (t) em termos da base φ1 (t), . . . , φn (t) de E,

{

}

n

A(t)φi (t) =



αij (t)φ j (t).

j=1

Isto é, a matriz (αij (t)) é a matriz do operador x A(t)x na base φi (t) . Lembrando que o tra¸co n˜ ao depende da express˜ ao matricial do operador, temos

→

n

tra¸co A(t) =



{

}

n

αii (t) =

i=1



aii (t).

i=1

Logo, n

ϕ′ (t) =

 

n

det(φ1 (t), . . . ,

i=1 n

=



αij (t)φ j (t), . . . , φn (t))

j=1

αii (t)det(φ1 (t), . . . , φi (t), . . . , φn (t))

i=1

= [tra¸co A(t)]ϕ(t).

2.3

Equa¸c˜ oes lineares com coeficientes constantes

Consideremos agora a equa¸caõ linear homogênea x′ = Ax,

(2.6)

onde A é uma matriz real ou complexa de ordem n n. Esta é a equa¸cão associada ao campo vetorial definido pela aplica¸ cão linear x Ax. ´ claro, Seja φ(t) a matriz fundamental de (2.6) tal que φ(0) = E (identidade). E pelo Teorema 2.1, da se¸caõ 2, que φ está definida para todo t R. No caso n = 1, A = a R ou C, e temos φ(t) = eat . Na seguinte proposi¸caõ mostraremos que a aplica¸caõ t φ(t) tem propriedades an´ alogas a` fun¸cão exponencial. Isto motivar´ a a defini¸cão de exponencial de matrizes.

× →

∈

Proposi¸c˜ ao 2.11

→

(a) φ′ (t) = Aφ(t), φ(0) = E ;

∈ R, φ(t + s) = φ(t)φ(s); = φ(−t);

(b) para todo t, s (c) [φ(t)]−1

∈

46


(d) a série

∞ tk Ak

 k=0

k!

(2.7)

converge para φ(t) em R, uniformemente em cada intervalo compacto. ´ o´bvio, por defini¸cão de φ. Demonstra¸ c˜ ao (a) E (b) Fixado s, ψ(t) = φ(t + s) e θ(t) = φ(t)φ(s) são solu¸cões de X ′ = AX , X (0) = φ(s). A prova segue ent˜ ao da unicidade das solu¸co˜es. (c) Segue de (b), fazendo s =

−t.

´ imediata a partir da prova do Teorema 2.1 aplicada a` equa¸caõ linear ho(d) E mogênea X ′ = AX , X (0) = E . ´ suficiente observar que a sequência φk de aplica¸co˜es de R no espa¸co das E matrizes n n definida por

×

 t

φ0 (t) = E, φk+1 (t) = E +

Aφk (s)ds

t0

é a sequência das somas parciais da série (2.7). De fato,

      t

φ1 (t) = E +

AE ds = E + tA,

0

t

φ2 (t) = E + .. .

0

t 2A2 A(E + As)ds = E + tA + , 2! k 1 j

t

φk (t) = E +

A

0

− s A j

j=0

j!

k

ds =

j=0

t j A j . j!

Defini¸c˜ ao 2.12 A matriz eA definida por φ(1) chama-se exponencial da matriz A. Reescrevendo a Proposi¸cão 2.11 temos que detA (a) = Ae tA , e0A = E ; dt (b) e(t+s)A = e tA esA ; (c) (etA )−1 = e−tA ;

2.3 Equa¸co ˜es lineares com coeficientes constantes (d) etA =

∞ tk Ak

 k=0

k!

47

,

sendo a convergência da série uniforme em cada intervalo compacto.

Defini¸c˜ ao 2.13 Uma aplica¸caõ ϕ : R

1

× E → E de classe C

é dita um fluxo se:

(i) ϕ(0, x) = x;

∈ R. Um fluxo chama-se linear se para cada t ∈ R, ϕ (x) = ϕ(t, x) é uma aplica¸cão linear (ii) ϕ(t + s, x) = ϕ(t, ϕ(s, x)), t, s

t

em E.

Demonstramos a seguir que para cada fluxo linear existe uma uńica matriz A tal que ϕt (x) = e tA x. De fato, se f é dada por



∂ϕ f (x) = (t, x) ∂t

ent˜ ao f é linear, pois



∂ϕ(t,ax + by) f (ax + by) = ∂t = af (x) + bf (y).

t=0

t=0

,

∂ [aϕ(t, x) + bϕ(t, y)] = ∂t



t=0

Logo, f é definida por uma matriz A, f (x) = Ax e isto implica ϕ(t, x) = etA x, pois para x fixo, ambas s˜ ao solu¸co˜es de y′ = Ay, y(0) = x. Um estudo mais geral dos fluxos e sua rela¸cã o com as equa¸co˜es diferenciais ordinárias ser´ a feito no cap´ıtulo 3.

Exemplo 2.14 (a) Introduzimos a matriz A1 0 .. .

 

0

nota¸caõ diag(A1 , A2 , . . . , Am) para designar a 0 A2 ...

· ·· · ··

0 0 ...

0

· ··

Am

 

,

que tem blocos quadrados, A i , de diversas ordens, na diagonal principal, sendo nulos seus elementos restantes. Temos etA = diag(etA1 , etA2 , . . . , etAm ).

48


De fato, tA

e

=

∞ 1

  k=0

=

k!

∞ 1

k=0

k!

= diag

[diag(A1 , A2 , . . . , Am )]k tk diag(Ak1 tk , Ak2 tk , . . . , Akm tk )

  ∞ Ak tk 1 k!

k=0 tA1 tA2

= diag(e

,e

∞ Ak tk 2

,

k!

k=0 tAm

,...,e

,...,

  ∞ Ak tk m

k=0

).

k!

∈ R ou C, então

Em particular, se A = diag(a1 , a2 , . . . , am ), ai

etA = diag(ea1 t , . . . , eamt ).

(b) Se I (α, β ) =

  α β β α

−

, então

etI (α,β ) = e tα



cos tβ sen tβ sen tβ cos tβ

−



.

Este fato segue-se, por verifica¸caõ direta de que ϕ1 (t) = eαt (cos tβ, sen tβ ) e ϕ2 (t) = eαt (sen tβ, cos tβ ),

−

as colunas da matriz, s˜ ao solu¸co˜es da equa¸caõ (2.6), com A = I (α, β ), e satisfazem a ϕ1 (0) = (1, 0) e ϕ2 (0) = (0, 1). (c) Se A é nilpotente, isto é, existe inteiro positivo r tal que A r = 0, então tA

e

= E + At +

···

Ar−1 tr−1 + . (r 1)!

−

Um exemplo de matriz nilpotente é o seguinte:

E 1 =

 

0 0 0 .. .

1 0 0 ...

0 1 0 ...

·· · ·· · ·· ·

0 0 0

·· ·

0 0 0 1 0

 

.


49

Isto é, E 1 é a matriz n n, com todos os elementos da forma a i (i+1), localizados uma posi¸caõ a` direita da diagonal principal, iguais a 1 e o resto dos elementos iguais a 0. E 1 é nilpotente, pois E 1k é a matriz cujos elementos k posi¸co˜es à direita da diagonal principal são iguais a 1 e os restantes elementos s˜ a o iguais a zero. Logo, E 1n = 0. Em particular,

×

tE 1

e

t 2 E 12 = E + tE 1 + + 2!

· ··

t n−1 E 1n−1 + (n 1)!

−

ou mais explicitamente,

etE 1 =

Proposi¸c˜ ao 2.15

  

1 t t2 /2! 0 1 t t2/2! .. . .. . .. .

· ·· · ·· · ··

0 0

· ··

0

tn−1 /(n tn−1 /(n ...

− 1)! − 2)!

t2 /2! t 1

0

  

.

(i) Seja C tal que BC = CA. Ent˜ ao etB C = CetA .

(ii) Se AB = BA, ent˜ ao para todo t etA B = BetA

e etA etB = e t(A+B) .

Demonstra¸ c˜ ao (i) Segue da Proposi¸caõ 2.11(d) por ser B k C = C Ak para todo k, donde tB

e C =

     ∞ B k tk

k=0

=

∞

k=0

k!

C =

(CAk )tk = C k!

∞ (B k C )tk

k=0

∞

k=0

k! Ak tk = C eAt . k!

(ii) A primeira parte de (ii) segue imediatamente de (i). A segunda parte de (ii) decorre de que tanto etA etB como et(A+B) são solu¸co˜es da equa¸cão X ′ = (A + B)X , X (0) = E . De fato, (etA etB )′ = Ae tA etB + etA Be tB = Ae tA etB + Be tA etB = (A + B)etA etB . ao Observa¸c˜ ao. Trabalhando com exponenciais de matrizes é preciso lembrar que n˜ (A+B) A B é verdade, em geral, que e = e e . Também não é verdade, em geral, que t e t0 A(s)ds seja uma solu¸cão da equa¸cão X ′ = A(t)X . Ver exerc´ıcios 16, 17 e 18.



50


Exemplo 2.16 (a) Seja J (λ) = λE + E 1 , onde E 1 é a matriz nilpotente definida no Exemplo 2.14(c). Temos λE E 1 = E 1 (λE ). Portanto, a Proposi¸cão 2.15 implica em

·

etJ (λ) = et(λE +E 1) = eλt etE 1 E 12 t2 λt = e E + E 1 t + + 2!

λt

= e

  

·

1 t

··· ···

0 1 .. . 0 0

···

0

· ··

E 1n−1 tn−1 + (n 1)!

n−1

t (n 1)!

− ...

 − 



.

t 1

(b) Analogamente, para J (α, β ) = diag[I (α, β ), . . . , I ( α, β )] + E 2 , onde I (α, β ) = α β e E 2 = E 12 , temos β α

  −

diag[I (α, β ), . . . , I ( α, β )]E 2 = E 2diag[I (α, β ), . . . , I ( α, β )]. Portanto,



etJ (α,β ) = diag etI (α,β ) , . . . , etI (α,β ) onde R(t, β ) =



cos tβ sen tβ sen tβ cos tβ

−



·

etE 2 = eαt diag [R(t, β ), . . . , R(t, β )] etE 2 ,

. Ver Exemplo 2.14(b).

Observa¸c˜ ao. No Exemplo 2.16(a) o valor pr´ oprio λ de J (λ) tem multiplicidade n, se J (λ) é n n. No Exemplo 2.16(b), com α e β reais, J (α, β ) tem os valores próprios λ = α + iβ e λ = α iβ , cada um com multiplicidade n/2, se J (α, β ) é n n. As matrizes J (λ) e J (α, β ) são os blocos que aparecem na diagonal da forma de Jordan real de uma matriz, que ser´ a considerada com maiores detalhes na se¸ cão 2.5. Para referência futura determinaremos o comportamento assint´ otico de suas exponenciais. Precisaremos do seguinte lema.

×

−

×

Lema 2.17 (Lema de C´ alculo) Seja ε > 0. Ent˜ ao para todo k > 0, limt→∞ e−εttk = 0. Da´ı, para qualquer polinˆ omio p(t), e−εt p(t) é limitado para t 0.

≥

arias vezes a s−k /eε/s , obtida Demonstra¸ c˜ ao Segue da regra de l’Hospital aplicada v´ da fun¸cão e−εttk após a mudan¸ca de vari´ aveis t = s −1 . Isto também decorre da observa¸ cão seguinte: para t 0,

≥

eεt/tk > (ε t)k+1/(k + 1)!tk , εt k

∞ se t → ∞. Portanto, lim →∞ e−

que tende para +

t

t = 0.


51

Proposi¸c˜ ao 2.18 Seja 0 < µ < que

−α = −Re (λ). Ent˜ ao existe constante K ≥ 1 tal

tJ (λ)

e  ≤ e  ≤ tJ (α,β )

Ke−tµ, t Ke−tµ, t

≥ 0, ≥ 0.

Demonstra¸ c˜ ao Pelo Exemplo 2.16(a) temos, para ε = tJ (λ)

λt

E 1n−1 n−1 E + E 1 t + + t (n 1)! e−εt (a0 + a1t + + an−1 tn−1 ) ,

e  ≤ |e |  ≤ e− µt

E i 



·· ·

···

onde a0 = E = 1 e ai = i!1 , i = 1, . . . , n 1. Pelo lema 2.17, existe K tal que para t 0,

 

−µ − Re(λ) > 0,

− ≥

  ≤

−





n 1

e−εt

−

ai ti

K .

i=0

A prova do outro caso é similar.

Lema 2.19 Seja A uma matriz complexa (respectivamente, real). Se λ é um valor pr´ oprio complexo (respectivamente, valor pr´ oprio real) de A e v é um vetor pr´ oprio λt correspondente, ent˜ ao ϕ(t) = e v é uma solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao complexa (respectivamente, real) (2.6). Demonstra¸ c˜ ao Av = λv. Logo, ϕ′ (t) = λe λt v = A(eλt v) = Aϕ(t). Proposi¸c˜ ao 2.20 Se a matriz complexa (respectivamente, real) A de ordem n n tem valores pr´ oprios complexos (respectivamente, valores pr´ oprios reais) λ1 , λ2 , . . . , λn e v1 , v2 , . . . , vn s˜ ao vetores (pr´ oprios) linearmente independentes, com Avi = λi vi , ent˜ ao a matriz V (t), cuja coluna i-ésima, i = 1, . . . , n, é ϕ i (t) = v i eλi t , é uma matriz fundamental de x′ = Ax. Em particular,

×

etA = V (t)V −1 (0). ´ Demonstra¸ c˜ ao Obvia a partir do Lema 2.19 e da independência linear dos vi = ϕi (0). A u ´ ltima parte segue da unicidade da solu¸caõ de X ′ = AX , X (0) = E .

Observa¸c˜ ao 2.21 Sejam A uma matriz real, λ = α + iβ um valor próprio e v = v1 + iv2 um vetor pr´ oprio de A correspondente a λ. Então, v = v 1 iv2 é um vetor próprio correspondente a λ = α iβ , pois λ v = Av = Av, por ser A real.

−

−

52

2. Equa¸c˜ coes o ˜es Diferenciais Lineares

Pela Proposi¸c˜ cao aõ 2.20, ϕ(t) = eλt v e ϕ(t) = eλt v são ao solu¸c˜ coes ões linearmente independentes da equa¸c˜ cao aõ (2.6), com A com A considerada complexa. Logo, 1 ϕ1 (t) = [ϕ [ϕ(t) + ϕ(t)] 2

e ϕ2 (t) =

1 [ϕ [ ϕ(t) 2i

− ϕ(t)]

são ao solu¸c˜ coes o˜es reais de (2.6), com ϕ1 (0) = v1, ϕ2 (0) = v2 , como equa¸c˜ cão a o rea real. l. Por n serem v serem v1 , v2 vetores de R linearmente independentes, segue-se que estas solu¸ c˜ cões oes são ao linearmente independentes. Os vetores v vetores v 1 e v2 são ao linearmente independentes, pois, caso contr´ ario ar io ter te r´ıamo ıa moss v2 = cv 1 , donde v = (1 + ic + ic))v1 e v = (1 ic) ic)v1 resultariam linearmente dependentes em Cn . Por exemplo, se A é 2 2 temos que

−

×

ϕ1(t) = eαt [v1 cos βt v2 sen βt] βt ] = Re ϕ(t), ϕ2(t) = eαt [v1 sen βt + v2 cos βt] βt ] = Im ϕ(t)

−

é uma base de solu¸c˜ coes o˜es de (2.6), onde v1 + iv 2 é vetor veto r próprio oprio associado a λ = α + iβ . iβ . No caso caso gera geral, l, onde onde A é n n, n , temos que toda solu¸c˜ cao ão cuja condi¸c˜ cão ao n inicial pertence ao plano gerado por v1 , v2 de R é comb co mbin ina¸ a¸c˜ cão ao linea lin earr de ϕ1 e ϕ2 e, consequenteme consequentemente, nte, est´ a contida neste plano.

× { }

A seguir aplicaremos a Proposi¸c˜ cão ao 2.20 2.2 0 e a Observa¸ Obs erva¸c˜ cao ão 2.21 na determina¸c˜ cao aõ da configura¸c˜ cão ao geométrica etrica de todas as solu¸ c˜ coes o˜es dos sistemas lineares bidimensionais.

2.4

Sistem Sistemas as bidime bidimensi nsiona onais is simple simpless

Consideremos agora sistemas reais da forma



x′1 = a 11 x1 + a12 x2 , x′2 = a 21 x1 + a22 x2 ,

(2.8)

det A = 0.

(2. (2.8′ )

com a com a ij R e a11 a22 a12 a21 = 0. Ou, equivalentemente, equa¸c˜ cões oes lineares homogêneas eneas do tipo

∈

−



x′ = Ax, com A =



a11 a12 a21 a22



e



Estas equa¸c˜ coes o˜es são ao associadas a campos vetoriais lineares A em R2 . A condi¸c˜ cao aõ 2 det A = 0 é equivalente equivalente a que a origem 0 R seja o unico u ´ nico ponto onde A se anula, tA ou seja, o unico uńico ponto fixo do fluxo linear ϕ(t, x) = e x. Este ponto fixo, ou todo o sistema, chama-se simples chama-se simples se se det A = 0. O polinômio omio caracter carac ter´´ıstico de A de A é



∈



λ2

co A)λ + det A. − (tra¸co

2.4 Sistemas bidimensionais simples

53

Logo, os valores pr´ oprios oprios são ao λ1 , λ2 =

tra¸co co A

±



(tra¸co co A)2 2

− 4det A .

Distinguimos os seguintes casos: (a) Os valores valores pr´ oprios λ oprios λ 1 , λ2 de d e A s˜ A são ao reais e distintos. distintos. Necessariamen Necessariamente, te, λ λ 1, λ2 = 0.



(b) Os valor valores es pr´ oprios oprios são ao complexos complexos conjugados: conjugados: λ1 = α + iβ , λ 2 = λ 1 = α = α com β = 0.

 

− iβ ,

(c) Os valor valores es pr´ oprios oprios s˜ ao ao reais e iguais: λ1 = λ 2 = λ = 0.



Caso (a) E 2

E 2

E 1

E 1

(a1 ) n´ o atrator

(a2) nó instável avel (fonte)

Figura 2.2: Nós os Sejam v1 , v2 vetores pr´ oprios correspondentes aos valores pr´ oprios oprios oprios λ1 , λ2 . Denotemos por E 1 , E 2 as retas geradas por estes vetores. A Proposi¸ c˜ cao aõ 2.20 da se¸c˜ cão ao 2.3 garante que toda solu¸c˜ cão ao de (2.6’) (isto é, e, trajet´ tra jet´ oria oria de A) pode ser escrita na forma ϕ(t) = c 1 eλ1t v1 + c2 eλ2t v2 . Caso (a 1 ). λ2 < λ1 < 0, nó atrator. Toda trajet´ oria oria tende a 0, quando t quando t + ; exceto a origem que permanece fixa, toda a trajet´ oria oria tende a , quando t quando t . Se c Se c1 = 0, a reta tangente a` tra tr a jet´ je tória or ia λ2 t tende a` reta E 1 , quando t + . De fat fato, o, se se t + , cc21eeλ1 t = cc21 e(λ2−λ1 )t 0, pois λ pois λ 2 λ1 < 0. Se c1 = 0, as solu¸c˜ coes o˜es s˜ ao ao semiretas de E 2 .

−

∞ → ∞

→ ∞ → −∞

 → ∞

→

54

2. Equa¸c˜ coes o ˜es Diferenciais Lineares

Na Figura 2.2 (a (a1) está ilustrado o comportamento de todas as trajet´ orias. orias. As setas indicam o sentido de percurso com t crescente. Caso (a 2 ). λ2 > λ1 > 0, nó instável avel (fonte). Discussão ao similar ao caso anterior, mudando o sentido das setas. Ver Figura 2.2 (a2 ). Caso (a 3 ). λ2 > 0 > 0 > λ1 , sela. As trajet´ o rias que passam por pontos de E 1 (c2 = 0) (ou de E 2 (c1 = 0)) orias permanecem nesta reta e tendem para 0, quando t + (ou t ). S e c1 , c2 = 0, as solu¸c˜ coes õ es tendem a , quando t . A compone component ntee segundo segundo E 1 (respectivamente, E 2) tende a 0 (respectivamente, ), quando quando t + , a componente componente segundo E segundo E 2 (respectivamente, E (respectivamente, E 1) tende a 0 (respectivamente, ). Ver Figura 2.3.



→ ∞ → ±∞ ∞

∞

→ −∞ → ∞ ∞

E 2

E 1

(a3) sela Figura 2.3: Sela

Caso (b) Da Observa¸c˜ cao aõ 2.21 segue que toda solu¸c˜ cao aõ de (2.8) pode ser escrita na forma ϕ(t) = c1 ϕ1 (t) + c2 ϕ2 (t), onde ϕ1 (t) = eαt [cos βtv 1 sen βtv 2 ] e ϕ2 (t) = eαt [sen βtv 1 + cos βtv 2 ].

−

Escrevemos c1 = ρ cos ω, c 2 = ρsen ρ sen ω . Temos ϕ(t) = eαt ρ[(cos ω cos βt + sen ω sen βt)[ βt )[vv1 + (sen ω cos βt = eαt ρ[cos(ω [cos(ω βt) βt )v1 + sen sen (ω βt) βt )v2].

−

−

βt )v ] − cos ωsen βt) 2

2.4 Sistemas bidimensionais simples

55

Caso (b1 ). α = 0, centro. Todas as solu¸cões, exceto a solu¸caõ nula, são elipses. Ver Figura 2.4. E 2

E 2

E 2

E 1

(b1 ) centro

E 1

(b2 ) foco est´ avel

E 1

(b3 ) foco inst´ avel

Figura 2.4: Centro e focos.

Caso (b2 ). α < 0, foco atrator. Toda solu¸cão tende para 0 espiralando em torno da origem quando t + . Isto é, ϕ(t) 0 e ω β , ângulo entre ϕ(t) e E 1 , tende para + ou , segundo β seja negativo ou positivo. Ver Figura 2.4 para o caso em que β < 0.

| | →

−

∞ −∞

→ ∞

Caso (b3 ). α > 0, foco instável. Toda solu¸cão tende para 0 espiralando em torno da origem, quando t Ver Figura 2.4.

→ −∞.

Caso (c). nó impróprio. Distinguimos dois casos. Caso (c 1 ), n´ o estrelado O núcleo de A λE é bidimensional. Em outros termos, λ tem vetores pr´ oprios v1 , v2 linearmente independentes. Pela Proposi¸ cão 2.20 da se¸cão 2.3, toda solu¸caõ de (2.8) pode ser escrita na forma

−

ϕ(t) = e λt (c1 v1 + c2 v2 ). Todas as o´rbitas, exceto a solu¸caõ nula, são semiretas. Ver Figura 2.5. Caso (c 2 ) O núcleo, E 1, de A λI é unidimensional. Seja v um gerador de E 1 e w um vetor n˜ ao colinear com v. A matriz do operador x Ax na base v, w é da forma

−

  λ α 0 µ

→

, α = 0,



{ }

56


λ < 0

λ > 0

Figura 2.5: Nó impróprio estrelado (c1 ) pois Av = λv, Aw = µw + αv. Os valores próprios desta matriz s˜ ao λ e µ. Logo, λ = µ. Definindo v1 = αv e v 2 = w, temos Av1 = λv 1 , Av2 = λv 2 + v1 . Usando estas propriedades da base v1 , v2 , verifica-se, por substitui¸caõ direta, que

{

}

ϕ(t) = eλt [(c1 + tc2)v1 + c2 v2 ] é a solu¸cão de (2.8) por ϕ(0) = c 1 v1 + c2 v2. As órbitas que passam por E 1 (c2 = 0), exceto a origem que é ponto fixo, s˜ ao semiretas. Para toda outra o´rbita (c2 = 0), a sua reta tangente tende a E 1 , quando t , pois c2 eλt 1 = 0 . c 1 (c1 + tc2 )eλt + t c2



→ ±∞

→

Se λ < 0 (respectivamente, λ > 0), toda trajet´ o ria tende a 0, quando t (respectivamente, ). Ver Figura 2.6.

−∞

2.5 2.5.1

→ +∞

Conjuga¸c˜ ao de sistemas lineares Introdu¸ c˜ ao

Como em toda estrutura matem´ atica, nas equa¸cões diferenciais e nos fluxos ou sistemas dinˆ amicos, levanta-se o problema de comparar dois objetos com a mesma estrutura, identificando-os se tiverem as mesmas propriedades essenciais pertinentes ´ à estrutura. Assim, na Algebra, dois grupos são considerados equivalentes se eles s˜ ao isomorfos; na Topologia, dois espa¸cos topol´ ogicos s˜ ao identificados se s˜ ao homeomorfos. Estas no¸co˜es de equivalência ou identifica¸cão revelam o que há de essencial da estrutura nos dois objetos comparados. No primeiro caso o isomorfismo preserva a

2.5 Conjuga¸c˜ ao de sistemas lineares

57 E 2

E 2

E 1

E 1

Figura 2.6: Nó impróprio (c2) opera¸caõ do grupo, no segundo caso o homeomorfismo preserva os conjuntos abertos ´ dos espa¸cos. Sendo a opera¸cão, na Algebra, e os abertos, na Topologia, os elementos essenciais da estrutura respectiva, os conceitos de isomorfismo e homeomorfismo s˜ ao satisfatórios para a compara¸caõ de dois objetos. No caso das equa¸co˜es diferenciais ou fluxos, é ineg´ avel que as solu¸cõ es ou tra jetórias são os elementos mais relevantes. Portanto, é de se esperar que nesta estrutura qualquer no¸cão de equivalência preserve, em alguma forma, as solu¸ cões ou trajetó rias. Nesta se¸cão trataremos dos sistemas de equa¸cões lineares ou fluxos lineares. A quest˜ ao geral, para o caso n˜ ao linear, é abordada no Cap´ıtulo 3.

Defini¸c˜ ao 2.22 Sejam x Ax e x Bx campos vetoriais lineares em Rn . Estes campos, seus fluxos ϕ(t, x) = eAt x, ψ(t, x) = eBt x ou seus sistemas de equa¸co˜es lineares associados

→

→

x′ = Ax, x′ = Bx são ditos conjugados se existe uma bije¸cão h : Rn tal que para todo t R e x Rn tem-se

∈

∈

(2.9) (2.10)

n

→ R , chamada de conjuga¸c˜ ao,

h(ϕ(t, x)) = ψ(t, h(x)). Se h é, respectivamente, um isomorfismo linear, C r -difeomorfismo, homeomorfismo, diz-se que (2.9) e (2.10) s˜ ao linearmente conjugados , C r -diferenciavelmente conjugados , topologicamente conjugados .

Observa¸c˜ ao 2.23 Claramente, a rela¸cão de conjuga¸cão é uma rela¸caõ de equivalência entre sistemas lineares.

58


Exemplo 2.24 (1) Seja A matriz real 2 2 com valores próprios reais λ1 = λ2 e vetores pr´ oprios v1 , v2 . Então h(x1 , x2 ) = x 1 v1 + x2 v2 define uma conjuga¸caõ linear λ1 0 entre x ′ = x e x′ = Ax. Este é o caso (a) da se¸cão 2.4. 0 λ2 Analogamente, nos casos (b) e (d) da se¸cão 2.4, resulta que os sistemas

×

 

x′ =

  α β β α

−



x e x′ =

  λ 1 0 λ

x

são conjugados linearmente ao sistema x′ = Ax, onde A tem respectivamente valores próprios λ1 = α + iβ , λ2 = α iβ e λ1 = λ 2 = λ, com A λE = 0. O leitor verificar´ a que h(x1, x2 ) = x1 v1 + x 2v2 é uma conjuga¸caõ linear, onde v1 , v2 são os vetores definidos em 2.4, caso (a).

−

− 

(2) Um centro n˜ ao pode ser conjugado a uma sela. Pois teremos que h(ϕ(2π/β,x)) = ψ(2π/β,h(x)) = h(x) uma vez que ϕ(2π/β,x) = x, isto é, todas as trajet´ orias do centro, fora da origem, são peri´ odicas de per´ıodo 2π/β . Contradi¸cão, pois a sela n˜ ao tem trajet´ orias peri´ odicas, isto é, ψ(t1 , y) = ψ(t2 , y) se t1 = t2 e y = 0.



 ∈ − −

(3) h(x) =





xλ , x > 0, 0, x = 0, é uma conjuga¸cão topol´ ogica entre x′ = x e x′ = λx, ( x)λ , x < 0

λ > 0, x R. De fato, para x > 0, h(et x) = e λt xλ = e λt h(x); para x = 0 é o´bvio; e para x < 0 ´ claro que se λ = 1, h não é difeomorfismo. é similar. E Da Proposi¸caõ 2.28 resultar´ a que se λ = 1, não existe nenhuma conjuga¸cão diferenciável entre estes sistemas.





Proposi¸c˜ ao 2.25 A transforma¸c˜ ao linear h : x Cx é uma conjuga¸c˜ ao linear entre (2.9) e (2.10) se, e somente se, a matriz C satisfaz a CA = BC . Em particular, (2.9) e (2.10) s˜ ao linearmente conjugados se, e somente se, as matrizes A e B s˜ ao similares.

→

Demonstra¸ c˜ ao Se C A = BC , a Proposi¸caõ 2.15 da se¸cão 2.3 implica que C etA x = etB Cx, para todo x. Isto é, h(x) = Cx é uma conjuga¸caõ linear entre (2.9) e (2.10). Se h(x) = Cx satisfaz a CetA x = etB Cx, derivando com respeito a t em t = 0 resulta CAetA x t=0 = C Ax = BetB Cx t=0 = BCx.

|

|

Logo, CA = BC .


59

´ claro que a rela¸caõ de conjuga¸caõ linear é uma rela¸ Observa¸c˜ ao 2.26 E ca˜ o de equivalˆ encia entre sistemas lineares. Segundo a proposi¸ cão anterior, as classes de conjuga¸cão linear dos sistemas lineares est˜ ao determinadas pelas classes de similaridade das matrizes correspondentes. Consequentemente, o problema de determinar a ´ classe de conjuga¸cão linear de um sistema reduz-se ao seguinte Teorema da Algebra Linear, cuja demonstra¸caõ pode ser encontrada em Hoffman-Kunze [10] ou CoelhoLouren¸co [4].

Teorema 2.27 (Forma Canˆ onica de Jordan) Caso complexo. Seja A uma matriz complexa. Existe uma matriz complexa C , n˜ ao-singular, tal que J = C −1 AC = diag(J 1 , J 2 , . . . , Jk ), onde cada J i é da forma J (λ) = λE + E 1 , definido no Exemplo 2.16, e λ é um valor pr´ oprio de A. A soma das ordens dos blocos da forma J (λ) é igual a` multiplicidade de λ como raiz do polinˆ omio caracter´ıstico de A. A matriz J chama-se forma de Jordan de A e é unica, ´ salvo a ordem dos blocos J i . Finalmente, duas matrizes s˜ ao similares se, e somente se, elas tˆ em a mesma forma de Jordan. Caso real. Seja A uma matriz real. Existe uma matriz real C , n˜ ao-singular, tal que J = C −1 AC = diag(J 1 , J 2 , . . ., J k ), onde cada J i é da forma J (λ) ou J (α, β ) definidos no Exemplo 2.16 da se¸cao ˜ 2.3, onde λ é valor pr´ oprio real e α + iβ é valor pr´ oprio complexo. A soma das ordens dos blocos da forma J (λ) é igual a´ multiplicidade de λ como raiz do polinˆ omio caracter´ıstico de A. A soma das ordens dos blocos da forma J (α, β ) é igual ao dobro da multiplicidade de α + iβ como raiz do polinˆ omio caracter´ıstico de A. A matriz J chama-se forma canˆ onica real de A e é unica, ´ salvo as ordem dos blocos e o sinal da parte imagin´ aria β das ra´ızes complexas de A. Duas matrizes reais s˜ ao similares se, e somente se, tˆ em a mesma forma canˆ onica real.

Proposi¸c˜ ao 2.28 Os sistemas (2.9) e (2.10) s˜ ao C 1-diferenciavelmente conjugados se, e somente se, A e B s˜ ao similares. Em particular, dois sistemas s˜ ao C 1 diferenciavelmente conjugados se, e somente se, s˜ ao linearmente conjugados. Demonstra¸ c˜ ao Se A e B são similares, a Proposi¸caõ 2.25 implica que (2.9) e (2.10) são linearmente conjugados. Portanto, C 1-diferenciavelmente conjugados. Seja h um difeomorfismo de classe C 1 tal que h(etA x) = etB h(x), para todo t e x. Suponhamos inicialmente que h(0) = 0. Derivando com respeito a t, em t = 0, temos Dh(x)Ax = Dh(etA x)Ax t=0 e Be tB h(x) t=0 = Bh(x), para todo x. Em

|

|

60


particular, para x = λy, Dh(λy)Ay = B h(λy) . Quando λ 0, Dh(λy) Dh(0) λ h(λy) por continuidade de Dh, e também λ Dh(0)y. Logo, Dh(0)A = BDh(0). Se h(0) = c = 0, k : x x c é uma conjuga¸cão C ∞ diferenci´ avel de (2.10) tB tB tA com ele pr´ oprio. De fato, e c = e h(0) = h(e 0) = h(0) = c. Logo, k(etB x) = etB x c = e tB x etB c = etB (x c) = e tB k(x). Portanto, h1 = k h é uma conjuga¸caõ C 1 -diferenciável entre (2.9) e (2.10) tal que h1 (0) = 0. A u ´ ltima afirmativa decorre da Proposi¸cão 2.25.

 −

−

→

→

→ − −

→

◦

Defini¸c˜ ao 2.29 Um sistema linear x′ = Ax (ou a origem de Rn ) chama-se atrator (do sistema) se para todo x Rn , etA x 0, quando t .

∈

→

→∞

´ claro que se h é uma conjuga¸cão topol´ E ogica entre um atrator x′ = Ax e um sistema x′ = Bx, então este u ´ltimo também é um atrator. De fato, h(etA h−1 (x)) = etB x, logo para todo x, etB x h(0), quando t ; mas h(0) = 0, pois etB 0 = 0. O teorema seguinte caracteriza os sistemas lineares atratores.

→

→∞

Teorema 2.30 As seguintes proposi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: ( 1) O sistema x′ = Ax é um atrator. (2) Todos os valores pr´ oprios de A têm parte real negativa. (3) Existem µ > 0 e K 1 tais que etA x

µt

n

| ≤ Ke− |x| para todo x ∈ R e t ≥ 0. (4) O sistema x′ = Ax ´ e topologicamente conjugado a x′ = −x. Demonstra¸ c˜ ao O sistema x′ = −x é um atrator pois e− x → 0, t → ∞. Logo, (4) → (1), pela observa¸caõ anterior. Suponha que λ é um valor pr´ oprio de A com parte real n˜ ao negativa. Se λ é real e v um vetor pr´ oprio, |e v | = e |v | não tende a zero. Se λ = α + iβ é complexo, pela Observa¸ cão 2.21, |e v | = e | cos βv − sen tβv |, que também não tende a zero se α ≥ 0. Logo (1) → (2). Notemos que (3) não depende da norma | · | em R pois se α| · | ≤  ·  ≤ β | · |, e x ≤ β |e x| ≤ βK e− |x| ≤ β/αKe− x, com β/αK ≥ 1. ≥

|

t

tA

λt

tA

αt

1

2

n

tA

tA

µt

µt

Observemos que (3) n˜ ao depende da classe de similaridade de A. De fato, se C é uma matriz real ou complexa invert´ıvel, temos tC −1 AC

|e

x

|

= C −1 etA Cx = K 1 e−µt x ,

|

||

1

tA

| ≤ |C − | |e

1

µt

| ≤ |C − |Ke− |C | |x|

Cx


61

onde K 1 = C −1 C K . Verifique que K 1 1. Portanto, na prova de (2) (3) é suficiente supor que A está na forma de Jordan complexa e que x é o sup dos valores absolutos das coordenadas de x. Ent˜ ao A = diag(J 1 , J 2 , . . . , Jk ), J i = λi E + E 1. Seja µ < Reλi , i = 1, . . . , n. Pela Proposi¸cão 2.18 da se¸cão 2.3 temos

| || |

≥

||

→

−

At

|e x|

=

≤

x1 , eJ 2 t x2 , . . . , eJ k txk ) sup K i e−µt xi K e−µt x ,

|(e

J 1 t

| |≤

i=1,...,k

| ||

onde K = sup K i e x = sup xi , pois trabalhamos com a norma de sup. Isto mostra que (2) (3). Demonstremos que (3) (4). Seja < x, y >= xi yi e x =< x, x >1/2 . Destaquemos o seguinte:

→

| |

{| |}

→  



(i) A forma quadr´ atica q (x) =



∞ < etAx, etAx > dt é definida positiva e 0

dq (etA x) = dt

tA

− < e

x, etA x >,

(a)

para todo x Rn e t R. A convergˆ encia da integral impr´ opria é consequência da desigualdade em (3). Por outro lado,

∈

∈

tA

q (e x) =

   ∞

0

=

∞

< euA etA x, euA etA x > du < e(u+t)Ax, e(u+t)A x > du.

0

Fazendo a mudan¸ca de vari´ aveis u + t = v, temos tA

∞

q (e x) =

< evA x, evA x > dv;

t

derivando resulta a express˜ ao (a). (ii) Para toda forma quadr´ atica q , definida positiva, existem n´ umeros positivos α e 2 2 n β tais que α x q (x) β x , para todo x R . Verifica-se este fato tomando α = min q (x); x = 1 e β = max q (x); x = 1 .

  ≤ ≤   ∈ {  } {  } (iii) Para todo x =  0, a trajetória e x intercepta todos os esferóides q (x) = r > 0. tA

De fato, por (a) e (ii),

− α1 ≤ dtd q (e

tA

x)/q (etA x)

≤ − β 1 .

62


Logo,

− αt ≤ log q (e

tA

Portanto, se t

≥ 0

e−t/αq (x)

x)

≤ q (e

− log q (x) ≤ − β t .

tA

t/β

≤ e−

x)

q (x).

(b)

Se t 0 temos a mesma desigualdade trocando β por α. Da´ı, quando t percorre R, q (etA x) percorre todo o eixo positivo. Note-se que, em virtude de (a), etA x corta cada esfer´ oide uma u ńica vez, apontando para o seu interior. Se x = 0, denotemos por t x o (´ unico) n´ umero real tal que q (etxA x) = 1.

≤



(iv) A fun¸caõ tx é de classe C ∞ em Rn 0 . Este fato decorre do Teorema da Fun¸ cão Impl´ıcita aplicado a` equa¸cão q (etA x) = 1, pois por (a), ∂t∂ q (etA x) = 0, se x = 0. Passamos a definir a conjuga¸caõ topol´ ogica h, da seguinte maneira:

−{ }





h(0) = 0 e h(x) = etx etxA x, se x = 0.



tx x

tx

h(x) y

y h

q = 1

q = 1

Figura 2.7: Conjuga¸caõ Topol´ ogica de Atratores ´ claro por (iv) que h (Rn 0 ) é um difeomorfismo de classe C ∞ sobre Rn E Provemos a continuidade de h em 0. Por (ii) temos

| −{ }

h(x)

  ≤ 1 α

1/2 tx tx A

(q (e e

x))

1/2

=



pois q (etxA x) = 1. De (b) obtemos e−tx /β q (x)

tx A

≥ q (e

x) = 1

1 α

1/2

etx ,

−{0}.


63

e da´ı etx Logo,

β

≤ [q (x)] .

  ≤ 1 α

h(x) e claramente, se x → 0, h(x) → 0. − A continuidade de h

1

1/2

[q (x)]β

em 0 resulta de sua express˜ ao: h−1 (z ) =

e−

1 2

log

√

q(z)A

 

q (z )

z ,

pela desigualdade em (3), observando que z/ q (z ) é limitado e que , quando z 0. Verifiquemos agora que h é conjuga¸cão:

∞

→

−

1 log 2



q (z )

→

h(etA x) = h(e(t−tx )A etxA x) = e(−t+tx) etxA x = e −t (etx etx A x) = e −t h(x). No passo do segundo para o terceiro termo destas igualdades usamos o fato que para y = e tA x tem-se ty = (t tx).

− −

 |

|→∞

→∞

n

∈ R ) chama-se fonte

Defini¸c˜ ao 2.31 Um sistema linear x′ = Ax (ou a origem 0 se para todo x = 0, etAx quando t . oes s˜ ao equivalentes: Teorema 2.32 As seguintes condi¸c˜ (1) x′ = Ax é uma fonte. (2) Todos os valores pr´ oprios de A têm parte real positiva. (3) Existem n´ umeros µ > 0 e K 1 tais que

≥ |e x| ≥ K − e |x|, se t ≥ 0. tA

1 tµ

(4) x′ = Ax é topologicamente conjugado ao sistema x′ = x.

Demonstra¸ c˜ ao A demonstra¸cão é imediata serva¸cão seguinte: x′ = Ax é topologicamente conjugado a x′ é topologicamente conjugado a x′ = ( B)x. e−t(−B) h(x) = etB h(x). Logo, se h conjuga x′ = Ax com x′ = x′ = Bx.

−

−

a partir do Teorema 2.30 e da ob= Bx se, e somente se, x′ = ( A)x De fato, h(etA x) = h(e(−t)(−A) x) =

−

−Bx, também conjuga x′ = Ax com

64


Assim (4) implica que x′ = ( A)x é topologicamente conjugado a x′ = portanto os valores pr´ oprios de A têm parte real negativa, donde segue (2). Aplicando o Teorema 2.30 a A, temos que (2) implica que

− − − |x| = |e −

t( A) tA

µt

tA

| ≤ Ke− |e x|,

e x

donde segue (3). Obviamente (3) (1). Deixamos a cargo do leitor a prova de (1) implica¸cão (2) (4) decorre do Teorema 2.30 aplicado a A.

→

2.6

→

−x,

→ (2).

−

A

Classifica¸c˜ ao dos sistemas lineares hiperb´ olicos

Defini¸c˜ ao 2.33 Um sistema linear x′ = Ax (ou o campo vetorial linear x Ax, n ou a origem 0 olico se todos os valores próprios de A têm R ) chama-se hiperb´ parte real diferente de zero. O n´ umero s = s(A) de valores próprios, contando suas multiplicidades, que têm parte real negativa, chama-se ´ındice de estabilidade do sistema.

→

∈

Note-se que esta defini¸cão depende apenas da classe de similaridade da matriz A, ou equivalentemente da classe de conjuga¸ cão linear do sistema.

Exemplo 2.34 Dos sistemas bidimensionais simples considerados na se¸cão 2.4, todos são hiperb´ olicos, exceto o centro. O ´ındice de estabilidade da sela é 1 , do foco e nó atratores é 2, do foco e n´ o instáveis é 0. Em geral, o ´ındice de estabilidade de um atrator é n e de uma fonte é 0. A Figura 2.8 mostra os retratos de fase de alguns sistemas lineares hiperb´ olicos 3 em R . O leitor justificar´ a analiticamente estas configura¸ cões com base nos dados sobre os valores pr´ oprios que nelas aparecem.

Defini¸c˜ ao 2.35 Chama-se subespa¸co est´ avel de x′ = Ax o subespa¸co maximal E s , invariante por A (i. e. Av E s , v E s ) tal que A/E s tem todos os valores pr´ oprios ′ com parte real negativa. Analogamente, define-se o subespa¸co inst´ avel de x = Ax u u como o subespa¸co maximal invariante E onde A/E tem todos os valores pr´ oprios com parte real positiva. Para um atrator E s = Rn e E u = 0 ; para uma fonte E s = 0 , E u = Rn .

∈

∈

{}

{}

Proposi¸c˜ ao 2.36 Seja x′ = Ax um sistema linear hiperb´ olico de ´ındice de estabilidade s.

2.6 Classifica¸ c˜ ao dos sistemas lineares hiperb´ olicos

65

x3

x3

λ2

λ1 λ2 λ3 0

x2

x1

0 λ3

x3 λ3

λ1

λ2

0

λ1 x2

x2

x1 x3 λ2

x1 x3 λ1 λ2 0 λ3

λ3 0

λ1

x1

x2

x2

x1

Figura 2.8: Sistemas lineares hiperb´ olicos em R3 (1) Rn = E s E u e E s e E u s˜ ao invariantes pelo sistema, isto é, para todo i x E , i = s, u, a trajet´ oria do sistema, etA x, pertence a E i para todo t R. A dimens˜ ao de E s é igual a s.

⊕

∈

∈

(2) Existem µ > 0 e K 1 tais que

≥ (a) |e x| ≤ K e− |x|, para x ∈ E e t ≥ 0; (b) |e x| ≤ K e |x|, para x ∈ E e t ≤ 0. tA

µt

tA

s

µt

u

Demonstra¸ c˜ ao A demonstra¸caõ é imediata a partir das seguintes observa¸ cões: (i) Se h é uma conjuga¸caõ linear entre dois sistemas x′ = Ax e x′ = Bx, cujos subespa¸cos est´ aveis são E s e E 1s , então h(E s ) = E 1s . Imediato, pois A E s e B h(E s ) resultam similares e, portanto, têm os mesmos valores pr´ oprios. Verificar este fato. Analogamente para o subespa¸co E u .

|

|

| · | nem da classe de similaridade da

(ii) A conclusão (2) não depende da norma matriz A.

A prova desta afirmativa é similar a` dada no Teorema 2.30 da se¸caõ 2.5 e fica a cargo do leitor.

66


(iii) Se x′ = Ax é um sistema linear hiperbólico de ´ındice de estabilidade s, então ele é linearmente conjugado a um sistema da forma



s

∈ R ,− ∈ R ,

x′1 = A 1 x1 , x1 x′2 = A 2 x2 , x2

∗

( )

n s

onde os valores pr´ oprios de A1 têm parte real menor do que 0 e os valores pr´ oprios de A 2 têm parte real maior do que 0. Para verificar este fato é suficiente conjugar A com sua forma de Jordan real J , na qual aparecem agrupados na parte superior da diagonal os blocos correspondentes às ra´ızes de parte real negativa. O bloco de ordem s s da esquina superior esquerda de J é A 1 ; o bloco de ordem (n s) (n s) da esquina inferior direita é A2 . Com base nas observa¸co˜es acima, é suficiente demonstrar a Proposi¸ cão 2.36 para s s n−s sistemas da forma ( ). Para estes sistemas, E = R 0 R e E u = 0 Rs Rn−s . Donde resulta (1). A parte (2) resulta de que x′1 = A 1 x1 ´ e um atrator ′ e x 2 = A 2 x2 é uma fonte, aplicando os Teoremas 2.30 e 2.32 da se¸ cã o 5 a A 1 e A 2 .

×

− × −

∗

}×

× { ∈

}

{ ∈

oteses da Proposi¸c˜ ao 2.36, temos Corol´ ario 2.37 Nas hip´ (a´) etA x

1 µt

u

| | ≥ K − e |x|, para todo x ∈ E e t ≥ 0; (b´) |e x| ≥ K − e− |x|, para todo x ∈ E e t ≤ 0. tA

1

µt

s

Demonstra¸ c˜ ao Pela desigualdade (b) da Proposi¸cão 2.36 (2), aplicada a τ = tA e x = e x E u , temos

∈

|x| = |e

(τ +t)

x = eτ Ax

| |

µτ

µt

−t ≤ 0

tA

| ≤ K e |x| = K e− |e x|.

Logo, tA

Isto prova (a′ ); (b′ ) é similar.

1 tµ

|e x| ≥ K − e |x|.

Observa¸c˜ ao. A desigualdade (a) da Proposi¸caõ 2.36 (2) significa que todas as trajetó rias que passam por pontos de E s tendem a 0 exponencialmente quando t . A desigualdade (b′ ) do Corol´ ario 2.37 implica que estas mesmas trajet´ orias, exceto a nula, se afastam exponencialmente de 0 quando t . Em outras palavras, o comportamento de um sistema hiperb´ olico em E s é an´ alogo ao comportamento de um atrator. Considera¸ co˜es an´ alogas s˜ ao válidas para E u onde o comportamento das trajet´ orias é similar ao caso de uma fonte. Finalmente, as trajet´ orias que passam por pontos x fora de E s E u se comportam de forma similar a`s hipérboles: as suas componentes segundo E s tendem a 0,

→∞

→ −∞

∪

2.6 Classifica¸ c˜ ao dos sistemas lineares hiperb´ olicos

67

enquanto as suas componentes segundo E u tendem a , quando t + ; quando t as componentes segundo E s tendem a , e as componentes segundo E u tendem a zero. Isto decorre de que eAt x = e At xs + eAt xu , onde xi E i , i = s, u, e x = x s + xu.

→ −∞

∞

∞

→ ∞

∈

olico. Um ponto x Rn pertence a E s Lema 2.38 Seja x′ = Ax um sistema hiperb´ se, e somente se, etA x é limitado para t 0. Um ponto x Rn pertence a E u se, e somente se, etA x é limitado para t 0.

≥

≤

∈

∈

Demonstra¸ c˜ ao Seja x = x s + xu com x i E i , i = s, u, donde etA x = etA xs + etA xu . Em virtude de (a′ ) do Corolário 2.37, temos

∈

tA

tA

tA

1 µt

tA

| − |e x | ≥ K − e |x | − |e x |. Ou ´ ltimo termo tende para ∞ quando t → ∞ se, e somente se, |x |  = 0, pois |e x | → 0, logo e x é limitado para t ≥ 0 se, e somente se, x ∈ E (i. e. x = 0). Analogamente para t ≤ 0 e E . Lema 2.39 Se x′ = A x é topologicamente conjugado a x′ = B x , x ∈ R , i = |e x| ≥ |e

xu

s

u

s

u

tA

tA

s

s

u

u

i i

i

1, 2, ent˜ ao

é topologicamente conjugado a

i

 

i i

i

n

x′1 = A 1 x1 x′2 = A 2 x2

(α)

x′1 = B 1 x1 x′2 = B 2 x2

(β )

Demonstra¸ c˜ ao Seja hi uma conjuga¸caõ topológica entre x′ = Ai xi e x′i = Bi xi , i = 1, 2. Então h = (h1 , h2 ) é uma conjuga¸cão topol´ ogica entre (α) e (β ). De fato, h(etA1 x1 , etA2 x2 ) = (h1(etA1 x1 ), h2 (etA2 x2)) = (etB1 h1 (x1 ), etB2 h2 (x2 )) = (etB1 , etB2 )(h(x1 ), h(x2 )).

olicos x′ = Ax e x′ = Bx em Rn Teorema 2.40 Dois sistemas lineares hiperb´ s˜ ao topologicamente conjugados se, e somente se, ambos têm o mesmo ´ındice de estabilidade.

Demonstra¸ c˜ ao Se x′ = Ax tem ´ındice de estabilidade s, ele é conjugado linearmente ao sistema ( ) da observa¸cão (iii) da Proposi¸caõ 2.36. Em virtude do Lema

∗

68


2.39, o sistema ( ) e consequentemente o sistema x′ = Ax é conjugado topologicamente ao sistema x′1 = x1, x1 Rs , x′2 = x 2 , x2 Rn−s .

∗



−

∈ ∈

Ver Teoremas 2.30 e 2.32. Disto resulta que dois sistemas hiperb´ olicos de ´ındice s são topologicamente conjugados entre si. Por outro lado, se h é uma conjuga¸cão topol´ ogica entre dois sistemas hiperb´ olicos n s s s ′ ′ x = Ax e x = Bx em R , temos que h(E A) = E B , onde E i denota o subespa¸co estável de x′ = ix, i = A, B. De fato: etB h(x) = h(etA x). Logo, se s E As e t , temos por continuidade que h(etA x) h(0) = 0. s Portanto, h(x) E B , pelo Lema 2.38. O Teorema da Invariˆ ancia da Dimens˜ a o de Brouwer implica que dim E Bs = dim E As . A demonstra¸cão deste teorema foge ao car´ ater deste livro. Daremos porém uma ideia dela. A Teoria da Homologia associa a cada espa¸co topol´ ogico X uma subsequência de grupos H i (X ), i = 0, 1, . . . e a cada homeomorfismo h : X Y uma sequência ′ h1 : H i (X ) H i (Y ) de isomorfismos destes grupos. Para X = S k , esfera kdimensional, calcula-se

∈

∈

→∞

→

→

→

H i (S k ) =



Z (inteiros), i = k, 0, se k = 0; 0, i = k; H 0 (S 0 ) = Z2 .





∗

( )

Em nosso caso, compactificamos E Bs e E As adjuntando o ponto infinito (compactifica¸cão de Alexandrov), obtemos S n(A) e S n(B) , onde n(α) = dim E αs , α = A, B, e n(a) ˆ estendemos h para h : S S n(B) , que é um homeomorfismo. ˆ ′ : H n(A) (S n(A) ) = Z H n(B) (S n(B) ) é isomorfismo. A express˜ Temos que h ao n(A) ( ) prova que n(A) = n(B). O leitor encontrar´ a em Greenberg e Harper [6] os fundamentos da Teoria da Homologia.

→

→

∗

2.7

Sistemas lineares complexos

Nesta se¸caõ vamos considerar brevemente a equa¸ cão linear ω ′ = A(z )ω + b(z ),

(2.11)

onde A(z ) é matriz n n e b(z ) é um vetor n-dimensional, ambos anal´ıticos num conjunto simplesmente conexo D C.

×

⊂

2.7 Sistemas lineares complexos

69

Por solu¸caõ de (2.11) entendemos uma fun¸caõ anal´ıtica ω : D ω ′ (z ) = A(z )ω(z ) + b(z ),

n

→ C

tal que

para todo z D.

∈

n

´ solu¸c˜ ao de (2.11) (em ∈ D, ω ∈ C , existe uma unica

Proposi¸c˜ ao 2.41 Dados z 0 D) tal que ω(z 0 ) = ω0 .

0

Demonstra¸ c˜ ao Se z D e se γ 1 , γ 2 são caminhos em D com extremidades z 0 e z , sabemos que para toda fun¸cão f (z ) anal´ıtica em D, γ 1 f (z )dz = γ 2 f (z )dz . z Denotaremos esta integral por z0 f (τ )dτ . Definamos ent˜ ao

∈

ϕ0 (z )

≡

ω0 ,

 





z

ϕn (z ) = ω0 +

z0

[A(τ )ϕn−1 (τ ) + b(τ )]dτ, 1 < n.

Fixemos agora um dom´ınio compacto K com z 0 K D e sejam M > 0, L > 0 tais que A(z ) < M , b(z ) < M em K e todo ponto de K possa ser ligado a z 0 por um caminho de comprimento menor que L. Sejam z 1 K e γ um caminho entre z 0 e z 1 de comprimento menor que L. Se s é o comprimento de arco ao longo de γ , partindo de z 0 , e z γ , temos

|

| ∈

∈ ⊂

| |

∈ |ϕ (z ) − ϕ (z )| ≤ M (|ω | + 1)s ≤ M L(|ω | + 1) 1

0

0

0

e em geral M n sn M n Ln ϕn (z ) ϕn−1 (z ) ( ω0 + 1) ( ω0 + 1). n! n! Da´ı, ϕ n(z ) converge uniformemente nas partes compactas de D a uma fun¸cão ϕ que deve ent˜ ao ser anal´ıtica. Além disso,

|

−

|≤

| |



≤

| |

z

ϕ(z ) = ω 0 +

[A(τ )ϕ(τ ) + b(τ )]dτ.

z0

Logo, ϕ(z 0 ) = ω 0 e

ϕ′ (z ) = A(z )ϕ(z ) + b(z ).

Se ψ é outra solu¸caõ de (2.11) em D com ψ(z 0 ) = ω 0 , fazendo m = supz ∈K ψ(z ) ϕ1 (z ) e procedendo como acima obtemos para z γ ,

|

M n−1m n−1 s (n 1)!

|ψ(z ) − ϕ(z )| ≤ − provando que ψ(z ) ≡ ϕ(z ) em D.

∈ M − L − ≤ (n − 1)! m n 1

|

−

n 1

O leitor pode agora verificar facilmente que todos os resultados das se¸co˜es 2.1 e 2.2 mantém-se válidos para o sistema (2.11).

70


Observa¸c˜ ao 2.42 Suponhamos que o sistema (2.11) esteja definido numa bola aberta de centro z 0 ao A(z ) e b(z ) admitem expans˜ oes C e raio r > 0. Ent˜ ∞ ∞ A(z ) = m=0(z z 0 )m Am , b(z ) = m=0 (z z 0 )mbm válidas para z z 0 < r, onde Am é matriz n n constante e b m é vetor constante n-dimensional.



− ×

∈



−

| − |

Consideremos agora uma série formal (isto é, uma série para a qual n˜ ao sabemos em princ´ıpio se converge em algum ponto z = z 0 )



∞



(z

m=0

− z ) 0

m

am ,

(2.12)

onde am é vetor constante m-dimensional. Se seus coeficientes satisfazem para m as rela¸cões de recorrência

≥ 1

m 1

mam =

−



j=0

A j am− j −1 + bm−1 ,

(2.13)

ent˜ ao a série (2.12) converge para z z 0 < r e é a´ı a uńica solu¸caõ de (2.11) que no ponto z 0 assume o valor a 0 . Pois, se

| − |

ω(z ) =

∞



(z

m=0

m

− z ) 0

cm

(2.14)

é a uńica solu¸caõ de (2.11) em z z 0 < r com ω(z 0 ) = a 0 , então claramente c = c 0. Para obter cm , m 1, substitu´ımos (2.14) e sua derivada ω′ (z ) = ∞ m=1 mcm (z m−1 m z 0 ) em (2.11) e igualamos os coeficientes de cada termo (z z 0 ) . Obtemos ent˜ ao que cm , m 1, deve satisfazer as rela¸cões de recorrência (2.13). Logo, cm = am, donde resulta a afirma¸cão feita acima.

≥

≥

2.8

|− |

−



−

Oscila¸co ˜es mecˆ anicas e el´ etricas

O objetivo dessa se¸caõ é dar uma ilustra¸cão simples de como as equa¸co˜es diferenciais lineares aparecem na descri¸caõ dos fenˆ omenos oscilat´ orios mecˆ anicos e elétricos. Consideremos uma massa m presa a uma mola horizontal cuja outra extremidade está fixa, como na figura (2.9). Suponhamos que o atrito entre m e a superf´ıcie S é desprez´ıvel e que quando o sistema est´ a em repouso a massa ocupa a posi¸cão x = 0. Pela lei de Hooke, quando uma mola é esticada ou comprimida, ela reage com uma for¸ca proporcional a` sua deforma¸cã o e que tende a restaurar sua posi¸cã o de equil´ıbrio. Isto significa que quando a massa est´ a em x, a for¸ca sobre ela é cx, onde c é a constante de rigidez da mola.

−

2.8 Oscila¸ c˜ oes mecˆ anicas e el´ etricas

71

m

S Figura 2.9: Lei de Hooke Da´ı, se o sistema é afastado de sua posi¸ cão de equil´ıbrio e em seguida é solto, a equa¸cão do movimento de m é dada, a partir da segunda lei de Newton, por d2 x m 2 + cx = 0, dt que é igual a

d2 x + ω02 x = 0, 2 dt



(2.15)

onde ω0 = mc . A solu¸caõ geral de (2.15) é x(t) = c 1 cos ω0 t + c2sen ω0t, ou seja, x(t) = R cos(ω0t



− α),

com R = c21 + c22 e α = arctg cc21 . Vemos ent˜ ao que o sistema oscila perpetuamente com per´ıodo T 0 = ω2π0 em torno de sua posi¸caõ de equil´ıbrio sendo que R x(t) R. Por causa disso, R é chamado amplitude m´ umero de oscila¸co˜es axima do sistema e ω0 , que denota o n´ num tempo igual a 2π chama-se frequência natural do sistema. Notemos que a expressão ω0 = mc confirma quantitativamente a ideia de que a frequência cresce com a rigidez da mola e diminui com a massa. O tipo de movimento que acabamos de considerar chama-se movimento harmˆ onico simples . Uma situa¸caõ mais realista ocorre se levarmos em conta o atrito produzido pela resistência do meio. Em condi¸cões ideais esta friçcaõ é proporcional a` velocidade e tem sentido contr´ ario ao da velocidade dx . A equa¸caõ do movimento passa a ser dt ent˜ ao d2 x dx m 2 +k + cx = 0. (2.16) dt dt

− ≤

≤



√ √ k+ k −4mc k− k −4mc − − Como as ra´ızes de mλ + kλ + c = 0 são λ1 = e λ2 = , 2m 2m 2

temos três casos a considerar:

2

2

72 (i) k2


− 4mc > 0; neste caso λ

1

< 0, λ 2 < 0 e a solu¸caõ geral de (2.16) é x(t) = c 1 eλ1t + c2 eλ2t .

(ii) k2

− 4mc = 0; neste caso λ

1

= λ 2 =

−

k e 2m

a solu¸cão geral é

x(t) = c 1 e−kt/2m + c2 te−kt/2m. Em ambas as situa¸cões o sistema tende exponencialmente para zero, sem oscilar. (iii) k2

− 4mc < 0; neste caso a solu¸cão geral é √ 4mc − k x(t) = e − c cos t kt/2m

  1

2m

ou seja, x(t) = Re −kt/2m cos



 √ −  √ − −  2

+ c2 sen

4mc k 2 t 2m

4mc k2 t 2m

,

α ,

onde R = c21 + c22 e α = arctg cc21 . Segue-se que o gr´ afico de x(t) é dado por uma fun¸cão coseno que decresce exponencialmente, isto é, x(t) oscila enquanto tende para zero. Em qualquer dos três casos x(t) tende rapidamente para a posi¸cão de equil´ıbrio do sistema. Este é dito ent˜ ao um sistema amortecido. Quando interessa manter uma oscila¸ cão n˜ ao trivial, aplicamos uma for¸ca externa F (t) = F 0 cos ωt à massa m. Temos então um sistema mecˆ anico for¸cado e a oscila¸caõ que resulta chama-se oscila¸cao ˜ for¸cada . A equa¸caõ do movimento é ent˜ ao d2 x dx m 2 +k + cx = F 0 cos ωt. dt dt

Uma solu¸caõ particular de (2.17) é dada por F 0 [(c (c mω 2 )2 + k2 ω 2 F 0 cos(ωt β ) = , (c mω 2 )2 + k2 ω2

g(t) =

−

 −

2

− mω )cos ωt + kωsen ωt]

−

onde β = arctg c−kω . Logo, a solu¸cão geral de (2.17) é mω2 x(t) = f (t) + g(t),

(2.17)

2.8 Oscila¸ c˜ oes mecˆ anicas e el´ etricas

73

onde f (t) é a solu¸caõ geral de (2.16). Como, por hip´ otese k > 0, f (t) tende rapidamente para zero, conclu´ımos que para todo t suficientemente grande, x(t) é dado praticamente por g(t), quaisquer que tenham sido as condi¸cões iniciais. Por esse motivo, g(t) é dita a parte estacion´ aria da solu¸caõ e f (t) a parte transiente . Analisemos finalmente o caso em que o atrito pode ser desprezado (k = 0) e c a for¸ca externa é dada por F (t) = F 0 cos ω0 t, onde ω0 = . A equa¸ca˜ o do m movimento é ent˜ ao d2 x F 0 2 + ω x = cos ω0 t. 0 dt2 m



Uma solu¸caõ particular desta equa¸cão é F 0 t sen ω0 t. 2mω0 Logo, x(t) = c 1 cos ω0 t + c2 sen ω0 t +

F 0 t sen ω0 t. 2mω0

Resulta que quando o atrito pode ser desprezado e a for¸ca externa tem a frequência natural do sistema, as oscila¸cões são ilimitadas quando t . Tal fenˆ omeno chama-se ressonˆ ancia . Suponhamos agora que ao invés de um sistema mecˆ anico temos um circuito elétrico como na figura 2.10, com indutˆ ancia, resistência e capacitˆ ancia respectivamente L, R e C . Se o gerador produz uma voltagem E (t) = E 0 sen ωt, então a corrente I no circuito é dada pela equa¸ caõ

→ ∞

d2 I dI 1 L 2 + R + I = E 0 cos ωt, dt dt C que é semelhante a (2.17). Logo, a an´ alise desenvolvida anteriormente tamb´ em se aplica aqui. I R E (t)

L C

Figura 2.10: Circuito Elétrico

74

2.9


Exerc´ıcios

1. Seja φ(t) uma matriz n n cujos elementos s˜ ao fun¸cões de classe C 1 , não singular para cada t R. Prove que existe uma u ´ nica matriz A(t) cont´ınua ′ tal que φ(t) é matriz fundamental de x = A(t)x.

∈

×

2. Sejam a0 , . . . , an−1 fun¸co˜es cont´ınuas, reais (ou complexas), num intervalo I . A seguinte equa¸caõ linear dn x dn−1 x = a n−1 (t) n−1 + dtn dt

··· + a (t)x, chama-se “equa¸caõ linear de ordem n”. Considere C = C

∗

( )

0

n

n

(I, R) (ou n (I ; C)) o espa¸co vetorial das fun¸co˜es reais (ou complexas) de classe C n em I . Prove que:

C

(a) O conjunto das solu¸ co˜es de ( ) é um subespa¸co vetorial de n de dimens˜ ao n. (Sugestão: escreva x1 = x, x2 = x′ , . . . , xn = x(n−1) e verifique que ( ) é equivalente a um sistema linear da forma x′ = A(t)x.)

∗

C

∗

(b) Sejam ϕ1 , . . . , ϕn em n e W (t) = W (ϕ1 , . . . , ϕn )(t) o determinante da i 1 i 1 matriz n n cuja i-ésima linha é formada por ddti ϕ11 , . . ., ddti ϕ1n , as derivadas de ordem i 1, i = 1, . . . , n, de ϕ1 , . . . , ϕn . Então W (t) = t W (t0 )exp t0 an−1(s)ds desde que ϕ1 , . . . , ϕn sejam solu¸cõ es de ( ). (W (t) é chamado o Wronskiano do sistema de fun¸ cões ϕ1 , . . . , ϕn .) Prove que n fun¸co˜es ϕ 1, . . . , ϕn , solu¸co˜es de ( ), são linearmente independentes se, e somente se, para todo t, W (t) = W (ϕ1 , . . . , ϕn)(t) = 0.

C −

×



−

−

−

−



∗

∗

 (c) Sejam ϕ , . . . , ϕ n fun¸cões de C , tais que W (ϕ , . . . , ϕ )(t)  = 0 em I . Prove que existe uma uńica equa¸caõ da forma (∗) que tem {ϕ , . . . , ϕ } 1

n

n

1

n

1

n

como base de solu¸cões.

3. Se A(t) é anti-simétrica para todo t I , i. e., ∗ A(t) = A(t), onde ∗ A(t) é a transposta de A(t), prove que toda matriz fundamental Φ(t) de x′ = A(t)x satisfaz a ∗ Φ(t)Φ(t) = C , constante. Em particular, se Φ(t0) é ortogonal para algum t0 , então Φ(t) é ortogonal para todo t I .

∈

−

∈

Aplica¸ca õ: Prove o Teorema Fundamental da Teoria das Curvas : dadas duas fun¸co˜es cont´ınuas k(s) > 0 e τ (s), existe uma u ´ nica curva parametrizada pelo comprimento de arco (m´ odulo congruência em R3 ) cuja curvatura e tor¸caõ são, respectivamente, k(s) e τ (s). (Sugestão: primeiro lembramos alguns fatos da teoria das curvas. Sejam I um intervalo e x(s), s I , uma curva diferenci´ avel em R3 , tal que x′ (s) = 1,

∈

|

|

2.9 Exerc´ıcios

75

para todo s I . Se t(s) = x′ (s), ent˜ ao k(s) = t′ (s) é chamada curvatura de x. Denotemos por n(s) o vetor unit´ ario tal que k(s)n(s) = t′ (s). Dado R chamada tor¸ b(s) = t(s) n(s) existe uma fun¸caõ τ : I caõ, satisfazendo db (s) = τ (s)n(s). Note que t(s), n(s) e b(s) são unit´ arios e mutuamente ds ortogonais. As fórmulas de Frenet s˜ ao:

−

∈ ×

|

|

→

dt dn = kn, = ds ds

−kt + τ b,

db = ds

−τn.

Para provar o teorema fundamental da teoria das curvas escrevemos a seguinte equa¸caõ diferencial matricial: d ds

   − −   

com a condi¸cão inicial

t n b

0 k 0

=

t(0) n(0) b(0)

k 0 0 τ τ 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1

=

    t n b

,

, onde supomos que 0 I .)

∈

4. Sejam A, B,C e D matrizes de ordem n cujos elementos s˜ ao fun¸cões cont´ınuas, reais ou complexas, definidas num intervalo I . (a) Seja U = U (t) uma matriz fundamental de x′ = A(t)x. Prove que a inversa de U satisfaz a equa¸cão y ′ = yA(t).

−

(b) Sejam U e V solu¸cões de X ′ = A(t)X , X (t0 ) = E e X ′ = X B(t), X (t0 ) = E . Prove que Φ(t) = U (t) X 0 V (t) é a solu¸caõ de X ′ = A(t)X + XB(t), X (t0 ) = X 0 .

· ·

(c) Seja U, V uma solu¸caõ do seguinte sistema

{

}

X ′ = A(t) X + B(t)Y Y ′ = C (t) X + D(t)Y.

· ·

Prove que se V é invers´ıvel em I , então W (t) = U (t) V −1 (t) é uma solu¸cão da equa¸cão

·

Z ′ = B(t) + A(t) Z

· − Z · D(t) − Z · C (t) · Z.

5. Seja A(t) cont´ınua em I = [0, s]. Suponha que x′ = A(t)x

∗

( )

tem a solu¸caõ nula como u ´ nica solu¸caõ de per´ıodo s. Então para toda fun¸cão cont´ınua b(t) existe uma u ´ nica solu¸caõ ϕb , de per´ıodo s, de x′ = A(t)x + b(t).

76


Mais ainda, existe uma constante C > 0, independente de b, tal que ϕb C b . (Sugestão: use o fato de ψ(t) = 0 ser a u ´ nica solu¸caõ de ( ) que satisfaz ψ(0) = ψ(s) para provar que se φ(t) é matriz fundamental de ( ) tal que φ(0) = E , ent˜ ao φ(0) φ(s) = E φ(s) é invers´ıvel. Depois use a f´ ormula de “varia¸cão de parˆ ametros” para provar que se ϕ(t, 0, x0 ) é solu¸cão de x′ = A(t)x + b(t) e satisfaz ϕ(0, 0, x0 ) = ϕ(s, 0, x0 ), ent˜ ao

| | ≤

||

−

∗ ∗

−

x0 = (E − φ(s))−1 φ(s)



s

φ−1 (u)b(u)du .)

0

6. Seja A(t) cont´ınua e periódica de per´ıodo s em R. Suponha que ( ) (Exerc´ıcio 5) tem ϕ 0 como uńica solu¸caõ peri´ odica de per´ıodo s. Prove que existe odica de per´ıodo E, peri´ δ > 0 tal que para toda fun¸caõ cont´ınua f : R E s na primeira vari´ avel com D2 f (t, x) < δ para todo (t, x), ent˜ ao

∗

≡

|

× →

|

x′ = A(t)x + f (t, x) tem como uńica solu¸caõ ϕf periódica de per´ıodo s. Prove também que se f 0 uniformemente, ent˜ ao ϕ f 0 uniformemente. (Sugestão: use o Exerc´ıcio 5 para concluir que, para toda fun¸ cão cont´ınua b de per´ıodo s, existe uma uńica solu¸cão ϕ b de per´ıodo s, de x ′ = A(t)x + f (t, b(t)). Prove que a aplica¸caõ b ϕb é uma contra¸caõ, se δ é pequeno.)

→

→

→

7. Considere o sistema n-dimensional x′ = A(t)x tal que A(t) pode ser desenvolvida em série de potências A(t) =

∞



Amtm

m=0

Rn para t ( r, r), onde Am é matriz constante n n. Seja x : ( ε, ε) m uma solu¸caõ do sistema com desenvolvimento em série x(t) = ∞ m=0 am t , am Rn . Mostre que

∈ −

×

∈

−



→

m

(m + 1)am+1 =



j=0

para todo m em ( r, r).

−

Am− j am

∗

( )

≥ 0. Deduza que o desenvolvimento em série de x(t) é convergente

2.9 Exerc´ıcios

77

(Sugestã o: sejam 0 < ρ1 < r. Da convergência absoluta da série em t = ρ, deduzir que existe c > 0 tal que

A

m

  ≤ c

1 ρ



∞ A tm m=0 m

m

, m

≥ 0.

Da´ı , usando ( ), provar por indu¸cão, em m, que existe K > 0 tal que

∗

|a | ≤ m



1 K ρ1

m

.)

8. Suponha que f é de classe C 1 em R E e que para todo (t0 , x0 ) R E, ϕ(t, t0 , x0 ), solu¸cão de x ′ = f (t, x), x(t0 ) = x 0 , está definida para todo t R.

×

∈ × ∈

∂ϕ (a) Prove que se D3 ϕ = ∂x (t, t0 , x0 ) existe e é cont´ınua, ent˜ ao X (t) = 0 ′ D3 ϕ(t, t0 , x0 ) é solu¸caõ da equa¸cão matricial X = D2f (t, ϕ(t, t0 , x0 ))X , X (t0 ) = E (a matriz identidade). (Sugestã o: note que ϕ(t, t0 , x0 ) é solu¸cã o de x′ = f (t, x), x(t0 ) = x0 se t e só se ϕ(t, t0 , x0 ) = x 0 + t0 f (s, ϕ(s, t0 , x0 ))ds. Use então o teorema de Leibnitz: sejam [a, b] intervalo em R, U Rn aberto e g : [a, b] U R p cont´ınua com ∂ 2 g : [a, b] U (Rn , R p ) cont´ınua. Então φ : U R p b b definida por φ(x) = a g(t, x)dt é de classe C 1 e φ′ (x) = a ∂ 2 g(t, x)dt.)



⊂

 × → L



× → →

(b) Suponha que f : R E Λ e de classe C 1 , onde E e Λ são espa¸cos euE´ clidianos e que para todo λ Λ, ϕ(t, t0 , x0 , λ), a solu¸cão de x′ = f (t,x,λ), ∂ x(t0 ) = x 0 , está definida para todo t R. Se D 4 ϕ = ∂λ ϕ(t, t0 , x0 , λ) existe e é cont´ınua, prove que Y (t) = D4 ϕ(t, t0 , x0 , λ) é solu¸caõ da equa¸cão matricial

× × → ∈

∈

Y ′ = D 2 f (t, ϕ(t, t0 , x0 , λ), λ)Y + D3 f (t, ϕ(t, t0 , x0 , λ), λ), Y (t0 ) = 0. R de classe C 1 com f < M em R2 . Prove que ϕ(t, t0 , x0 ) (c) Seja f : R2 está definida e é de classe C 1 em R3 . Demonstre que

→

| |

∂ϕ (t, t0 , x0 ) = e ∂x 0



t t0

∂f/∂x(s,ϕ(s,t0 ,x0 ))ds

.

(Sugestão: defina a sequência de fun¸cões ϕi como segue:

{ }

ϕ0 (t) = x0 ,

 t

ϕi (t) = x0 +

t0

f (s, ϕi−1 (s))ds.

78

2. Equa¸co ˜es Diferenciais Lineares Usando o mesmo argumento do Teorema 2.1 da se¸cão 2.2 prove que ϕ(t) = limi ϕi (t) é solu¸cã o de x′ = f (t, x), x(t0) = x0 . Depois use (a) para escrever



2 t ∂ ϕ(s,t0 ,x0 ) ∂t∂x0 ds = ∂ϕ(s,t0 ,x0 ) t0 ∂x 0

 t

D2 f (s, ϕ(s, t0 , x0 ))ds .)

t0

9. Sejam

A =

 

4 0 0 0 0

1 4 0 0 0

0 1 4 0 0

0 0 0 1 1

−

0 0 0 1 1

 

B=

 − 

1 0 0 0 0

1 1 0 0 0

−

0 0 2 0 0

0 0 0 0 3

  −  0 0 0 3 0

(a) Encontrar uma base de solu¸ cões para x ′ = Ax e provar que toda solu¸cão desta equa¸cão tende para 0 quando t .

→ −∞

(b) Calcular a solu¸cão ϕ de x′ = Bx, x(0) = (a1 , a2 , a3 , a4 , a5). Provar que ϕ(t) é limitada se, e somente se, a1 = a 2 = a 3 = 0.

|

|

 t

10. Seja p(t) um polinômio em R. Defina p0 (t) = p(t), p1(t) = 1 + 0 p 0(s)ds, t . . ., pk (t) = 0 p k−1(s)ds. Prove que pk (t) converge uniformemente em cada intervalo compacto de R, quando k . Calcule limk→∞ pk (t).



→ ∞

11. Se V é um subespa¸c o de E = Rn ou Cn , invariante por A, prove que V é também invariante por e tA , para todo t. (V é invariante por A se Av V para todo v V .)

∈

∈

12. Prove que: (a) eA

| | ≤ e|

|; (b) det eA = e(tra¸co A) .

A

13. Suponha que µ não é valor próprio de A. Prove que para todo b, a equa¸caõ x′ = Ax + eµt b tem uma solu¸cão da forma ϕ(t) = veµt. 14. Encontre a solu¸caõ de x′′ + x = g(t), x(t0 ) = x0 , x′ (t0 ) = x′0 onde g é uma fun¸caõ cont´ınua em R. (Sugestã o: use o Teorema 2.9. Melhor ainda, desenvolva uma f´ ormula de varia¸caõ dos parˆ ametros para equa¸cões de segunda ordem.) 15. Seja Φ(t) uma matriz de n n fun¸cões de classe C 1 . Se Φ(0) = E e Φ(t + s) = Φ(t)Φ(s) para todo t, s em R, prove que existe uma u ´ nica matriz A tal que Φ(t) = e tA . (Sugestão: considere A = Φ′ (0).)

×

2.9 Exerc´ıcios

79

16. Seja A(t) uma matriz n todo t

× n de fun¸co˜es cont´ınuas num intervalo de R. Se para

  t

t

A(s)ds A(t) = A(t)

t0

 prove que Φ(t) = e

t t0

 

A(s)ds ,

t0

A(s)ds

é uma matriz fundamental de x′ = A(t)x. (Sugestão: Imite a prova da Proposi¸cão 2.11, tendo em conta que a condi¸caõ acima implica d dt

  t

m

A(s)ds

  t

= mA(t)

t0

m 1

A(s)ds

−

, m = 1, 2,

t0

· ·· .)

17. Sejam A, B matrizes reais ou complexas. Prove que et(A+B) = etA etB , para todo t R se, e somente se, AB = BA.

∈

18. Sejam A, B matrizes n n de n´ umeros reais ou complexos. Defina o colchete de A e B por [A, B] = BA AB. Se [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0, prove que para todo t R 2 tB tA t(A+B) t2 [A,B] e e = e e .

×

∈

−

(Sugestão: verifique que Φ(t) = e−t(A+B) etB etA é solu¸caõ de X ′ = t[A, B]X .) 19. Considere o seguinte sistema complexo em C2 : dz 1 dz 2 = ω 1 z 1 , = ω 2 z 2 , ω1 = 0. dt dt



Denote por ϕ(t, z 1 , z 2 ) a solu¸cão deste sistema tal que ϕ(0, z 1 , z 2 ) = (z 1 , z 2 ). Seja T 2 = (z 1, z 2 ); z 1 = z 2 = 1 o toro bidimensional em C2 = R4 , T 2 = S 1 S 1 .

×

{

| | | |

}

(a) Prove que T 2 é invariante por ϕ (i. e., ϕ(t, z 1 , z 2 ) T 2 para todo t, se (z 1 , z 2 ) T 2 ), se, e somente se, Re (ω1 ) = Re (ω2 ) = 0.

∈

∈

C2 , se, e (b) Prove que ϕ(t, z 1 , z 2 ) é periódica em t, para todo (z 1 , z 2) somente se, Re (ω1) = Re (ω2 ) = 0 e Im (ω2 )/Im (ω1 ) é racional.

∈

(c) Se Re (ω1 ) = Re (ω2) = 0 e Im (ω2 )/Im (ω1 ) é irracional, prove que para todo (z 1 , z 2 ) T 2 a aplica¸caõ t ϕ(t, z 1 , z 2) é biun´ıvoca e sua imagem é densa em T 2 .

∈

→

(d) Seja S 3 = (z 1 , z 2 ) C2 ; z 1 2 + z 2 2 = 1 a esfera tridimensional em C2 = R4 . Prove que ´ e poss´ıvel decompor S 3 como uni˜ ao disjunta de curvas simples e fechadas, i.e, curvas homeomorfas a c´ırculos. (Sugestã o: (c) Defina ξ (z 2 ) = e2πiω2/ω1 z 1, ξ : S 1 S 1 . Prove que para todo z 2 S 1 , θ(z 2 ) = z = ξ n (z 2 ), n Z é denso em S 1 . Prove que o

{

∈

∈

| | | |

{

∈ }

}

→

80

2. Equa¸co ˜es Diferenciais Lineares conjunto dos pontos onde a solu¸cão ϕ(t, 1, z 2 ) intercepta 1 S 1 T 2 é 1 θ(z 2 ). (d) Considere as solu¸co˜es da equa¸caõ acima com Re (ω1) = Re (ω2 ) = 0 e Im (ω2 )/Im (ω1 ) racional. Observe que S 3 é invariante por ϕ.)

{ } × ⊂

{ } ×

20. Seja x′ = Ax um sistema bidimensional real. Em termos de ∆ = detA e τ = tra¸co A, decida quando este sistema define uma sela, n´ o est´ avel, foco instável, nó impróprio, centro, etc. Por exemplo, se ∆ < 0, temos uma sela, etc. Ilustre graficamente suas conclus˜ oes. 21. Seja o conjunto das matrizes reais 2 2 tais que o sistema x ′ = Ax, A , define (a) uma sela; (b) n´ o atrator; (c) n´ o fonte; (d) foco atrator; (e) n´ o impróprio; (f) centro, etc. Prove que é aberto nos casos (a), (b), (c), (d) e tem interior vazio no caso (e).

U

×

∈ U

U

U

22. Fa¸ca um esquema aproximado das solu¸co˜es de x′ = Ax nos seguintes casos: 2 1 1 8 1 1 (1) A = (2) A = (3) A = 3 4 1 1 3 2

   −

 −   

  − −  − 

2 0 0 0 3 0 (4) A = (5) A = (6) A = 0 1 3 Nos casos (1) a (5) diga se o sistema define uma sela, centro, foco est´ avel, nó instável, etc. 2 1

3 2

−

5 3 3 1

−

23. Equa¸coes ˜ lineares de ordem superior com coeficientes constantes (I) Caso das ra´ızes simples

Defini¸ca õ A equa¸cão linear homogênea de n-ésima ordem com coeficientes constantes é a equa¸cão da forma z (n) + a1 z (n−1) +

(1)

·· · + a − z n 1

+ an z = 0,

(I.1)

onde z é a fun¸cão inc´ ognita na vari´ avel independente t e os coeficientes a 1 , a2 , . . ., an são constantes (reais ou complexas). Tamb´ em indicamos que z ( j) é a j-ésima derivada de z . (a) Escrever a equa¸ caõ (I.1) na forma de uma equa¸cão matricial (X ′ = AX , sendo A uma matriz com coeficientes constantes). omio Defini¸ca õ Dada a equa¸caõ (I.1), o polinˆ L( p) = p n + a1 pn−1 +

·· · + a − p + a n 1

n

2.9 Exerc´ıcios

81

é chamado polinˆ omio caracter´ıstico da dita equa¸ caõ. (b) Suponhamos que o polinˆ omio caracter´ıstico da equa¸ cã o (I.1) n˜ a o tem ra´ızes m´ ultiplas e que as ra´ızes s˜ ao λ1 , λ2 , . . . , λn . Se consideramos z 1 = e λ1t , z 2 = e λ2 t , . . . , zn = e λn t ,

(1)

ent˜ ao para constantes complexas quaisquer c 1 , c2 , . . . , cn , a fun¸caõ z = c 1 z 1 + c2 z 2 +

n

··· + c z

n

(2)

é solu¸caõ da equa¸cã o (I.1). Esta solu¸ cão é a solu¸caõ geral no sentido seguinte: cada solu¸caõ da equa¸cão (I.1) pode ser obtida de (2) por uma apropriada elei¸caõ das constantes c1 , c2 , . . . , cn . Aqui ditas constantes, chamadas constantes de integra¸c˜ ao, estão definidas de modo uńico para cada solu¸caõ z dada. As fun¸co˜es de (1) constituem uma base para o espa¸co vetorial de solu¸cões de (I.1) e chamam-se sistema fundamental de solu¸c˜ oes de (I.1). (c) Sejam z 1 , z 2 , . . . , zn

(3)

um sistema de n vetores complexos linearmente independentes em um espa¸co n-dimensional que satisfa¸cam z 1 = z 2 , . . . , z 2k −1 = z 2k , z j = z j , j = 2k + 1, . . . , n ,

(4)

sendo z i = conjugado de z i . Então o vetor z = c1 z 1 +

n

··· + c z

n

(5)

é real se e s´ o se os coeficientes de todo par de vetores conjugados s˜ ao conjugados e os coeficientes de todos os vetores reais s˜ ao reais. Esta proposi¸caõ ser´ au ´til no exerc´ıcio seguinte. (d) Suponhamos que os coeficientes do polinˆ omio caracter´ıstico L( p) de (I.1) são reais. Ent˜ ao para que a solu¸cão (2) de (I.1) seja real é necess´ ario e suficiente que os coeficientes de pares de solu¸ co˜es complexas conjugadas sejam conjugados e os coeficientes de solu¸ cões reais sejam reais. Observe que se a raiz λ de L( p) é real, e λt é solu¸cão real, se λ é complexa e λt e e λt são solu¸co˜es mutuamente conjugadas.

82


(Sugestão: Denotemos por Z k o vetor com coordenadas z k (0), z k′ (0), . . ., (n−1) (0) (sendo z k como em (1)). Ent˜ ao é fácil ver que Z 1, Z 2 , . . . , Zn z k são linearmente independentes e assim pode-se usar o Exerc´ıcio (c) para provar a necessidade da condi¸caõ.) (e) Provar que se substituirmos cada par de solu¸ cões complexas conjugadas λt λt a rias Re(eλt ), Im(eλt ) no e , e de (I.1) pelas partes reais e imagin´ sistema fundamental (1), obtemos um sistema fundamental de solu¸ co˜es reais. (f) Se as solu¸co˜es (1) satisfazem

{

}

z 1 = z 2 , . . . , z 2k −1 = z 2k , z 2k−1 = z 2k+1 , . . . , z n = z n , ent˜ ao cada solu¸caõ real z pode ser escrita na forma z = ρ1 eµ1t cos(ν 1t + α1 ) + + ρk eµk t cos(ν k t + αk ) +c2k+1 eλ2k+1t + + cn eλn t ,

···

···

onde ρ1 , . . . , ρk , α1 , . . . , αk , c2k+1 , . . . , cn são constantes reais arbitr´ arias. Observe que, intuitivamente, para j 1, 2, . . . , k , ν j dá um caráter oscilatório a` solu¸cão com frequência ν j e µ j tende a afastar ou aproximar a solu¸cão da origem segundo seja µ j > 0 ou µ j < 0.

∈{

(II) Caso das ra´ızes m´ ultiplas Defini¸c˜ ao Seja L( p) = a 0 pn +a1 pn−1 +

}

·· ·+a − p+a um polinômio arbitrário n 1

n

com coeficientes constantes (reais ou complexos) com respeito ao s´ımbolo p, e seja z uma certa fun¸cão real ou complexa na vari´ avel real t. Definimos: L( p)z = a 0 z (n) + a1 z (n−1) +

··· + a − z ′ + a z. n 1

n

(6)

Pela nota¸cão introduzida na equa¸caõ (I.1), (6) pode ser escrita na forma L( p)z = 0, onde L( p) = a 0 pn + a1 pn−1 +

(7)

·· · + a − p + a . n 1

n

(g) Se L( p) e M ( p) são dois polinˆ omios arbitr´ arios no s´ımbolo p (ou, como em geral se diz, no operador diferencial p), z 1 , z 2 e z são fun¸co˜es de t e λ é qualquer número complexo, ent˜ ao temos as identidades L( p)(z 1 + z 2 ) (L( p) + M ( p))z L( p)(M ( p)z ) L( p)eλt L( p)(eλt z )

= = = = =

L( p)z 1 + L( p)z 2 L( p)z + M ( p)z (L( p)M ( p))z L(λ)eλt eλt L( p + λ)z

2.9 Exerc´ıcios

83

(h) Seja L( p) um polinômio arbitr´ ario no s´ımbolo p, e seja a fun¸caõ ω r (t) na variável real t definida pela f´ ormula ωr (t) = L( p)tr eλt , onde λ é um n´ umero complexo. Temos que, se λ é raiz de multiplicidade k de L( p), ent˜ ao as fun¸co˜es ω 0 (t), ω1 (t), . . . , ωk−1 (t) são identicamente zero. (i) Seja L( p)z = 0 uma equa¸caõ linear homogênea de n-ésima ordem com coeficientes constantes. Ademais, sejam λ 1 , λ2 , . . . , λm o conjunto de ra´ızes mutuamente distintas do polinˆ omio L( p), a raiz λ j tendo multiplicidade k j , assim que ki = n. Se considerarmos

  

z 1 = e λ1 t , z 2 = te λ1 t , . . . , zk 1 = tk1−1 eλ1t ; z k1+1 = e λ2t , , . . . , zk1 +k2 = t k2−1 eλ2 t ; , . . . , zn = tkm−1 eλmt

(8)

ent˜ a o as fun¸cões (8) s˜ ao solu¸co˜es da equa¸caõ L( p)z = 0; além disso a solu¸cão geral da equa¸cão L( p) = 0 tem a forma z = c 1 z 1 +

n

· ·· + c z .

(9)

n

sendo c1 , c2 , . . . , cn constantes complexas. (j) Suponhamos que os coeficientes do polinˆ omio caracter´ıstico L( p) da equa¸cão L( p)z = 0 são reais. A fim de que a solu¸caõ (9) seja real, é necess´ ario e suficiente que os coeficientes das solu¸ cõ es reais sejam reais, e os coeficientes de pares de solu¸co˜es complexas conjugadas sejam complexos conjugados. (k) Sejam tr eλt e tr eλt duas solu¸co˜es complexas conjugadas de (8). No caso de uma solu¸caõ real z , a parte da soma (9) correspondente a estas solu¸ cões pode ser escrita na forma zˆ = ct r e(u+iv)t + ctr e(u−iv)t . Se consideramos c = 21 ρeiα , teremos zˆ = ρt r eut cos(vt + α).

(10)

Deste modo é poss´ıvel substituir cada par de solu¸ cões complexas conjugadas que aparecem em (9) por uma fun¸cão real da forma (10) contendo duas constantes reais arbitr´ arias ρ e α.

84


24. Polinˆ omios est´ aveis e equa¸c˜ oes lineares n˜ ao homogˆ eneas com coeficientes constantes Defini¸ca õ Um polinômio L( p) é dito est´ avel se todas as suas ra´ızes têm parte real negativa. R, ´ Prove que se pn + a 1 pn−1 + + a n , com ai e estável, então ai > 0 para todo i. Demonstre também que toda solu¸ cão ϕ da equa¸cão diferencial L( p) = 0, onde L é est´ avel, é tal que ϕ(t) 0 se t .

···

∈

→

→∞

(a) O polinˆ omio L( p) = a 0 p3 + a1 p2 + a2 p + a3 , a0 > 0, com coeficientes reais é est´ avel se e só se os n´ umeros a1 , a2 , a3 são positivos e a1 a2 > a0 a3 .

Defini¸ca õ Um quase-polinômio é qualquer fun¸cão f (t) que pode ser escrita na forma F (t) = f 1 (t)eλ1t + f 2 (t)eλ2t + + f m (t)eλmt , (1)

···

onde λ 1 , λ2, . . . , λm são n´ umeros complexos e f 1 (t), f 2 (t), . . . , fm (t) são polinômios em t. Nos exerc´ıcios seguintes estudaremos a equa¸ caõ L( p)z = F (t),

(2)

onde F (t) é um quase-polinô mio. Junto com a equa¸ cão (2) estudaremos a equa¸caõ homogênea correspondente L( p)u = 0.

(3)

(b) Se zˆ é alguma solu¸cã o da equa¸cão (2) (ou também dita, uma solu¸ cão particular), ent˜ ao uma solu¸caõ arbitr´ aria z desta equa¸caõ pode ser escrita na forma z = zˆ + u, onde u é solu¸cão da equa¸caõ (3). (c) Consideremos a equa¸caõ n˜ ao-homogênea L( p)z = f (t)eλt

(4)

na qual f (t) é um polinˆ omio de grau r em t e λ é um n´ umero complexo. Seja k = 0 caso L(λ) = 0 e seja k a multiplicidade da raiz λ se L(λ) = 0. Nestas condi¸co˜es, existe uma solu¸caõ particular da equa¸cão (4) da forma



z = t k g(t)eλt , sendo g(t) um polinômio em t de grau r.

(5)

2.9 Exerc´ıcios

85

25. Seja A uma matriz n

× n de números reais ou complexos.

    n

(a) Prove que limn→∞ E + An = e A, E = identidade. n (Sugestão: desenvolver E + An usando o Teorema do Binˆ omio de New∞ ton e comparar com eA = i=0 Ai /i!.) Rn e xk+1 = xk + f (xk )∆t, (b) Sejam f um campo vetorial em Rn, x0 k = 1, . . . , n 1, onde ∆t = t/n. A poligonal cujos vértices s˜ ao os pontos xi chama-se poligonal de Euler. Se f (x) = Ax, prove que para todo t R o extremo xn = x n(t) desta poligonal converge para eAt x0 . n (Sugestão: verifique que xn (t) = E + At x0 .) n

−

∈

∈

 

d (c) Prove que dθ det(E + θA) θ=0 = tra¸ co A. (Sugestão: Se λ1 , λ2 , . . . , λn são os autovalores de A, entã o det (E +θA) = n n 2 i=1 (1 + θλ i ) = 1 + θ i=1 λi + O(θ ).)

     

|

(d) Usando as ideias do exerc´ıcio prove que det (eA ) = e tra¸coA . n (Sugestão: Note que det eA = det limn→∞ E + An e que n n det E + An = 1 + n1 tra¸co A + 0 n12 .)

     

(e) Em que condi¸ cões nos valores pr´ oprios de eA a matriz A define um sistema linear atrator, uma fonte, um sistema hiperb´ olico? 26. Se x′ = Ax e x′ = Bx são atratores e AB = BA, prove que x′ = (A + B)x também é atrator. Reformulando se nescess´ ario a conclus˜ ao, desenvolva a mesma quest˜ ao mudando atrator por fonte e por sistema hiperb´ olico. (Sugestão: use o Teorema 2.30). 27. Seja f o campo vetorial associado a um fluxo ϕ(t, x) = ϕ t (x), de classe C 2 em Rn , isto ´ e, f (x) = ϕ′ (0, x). Prove que para todo subconjunto de Rn aberto limitado B, v(t) = volume [ϕt (B)] satisfaz a dv (t) = ϕt (B) div f . dt Lembramos que vol [D] = Rn χD , onde χD = 1 em D e χD = 0, fora de D, ∂f i e que a divergência de f = (f 1 , . . . , fn ) é definida como ni=1 ∂x = tra¸ c o de i Df . Em particular, se div f 0, vol[ϕt (B)] = vol [B] para todo t. Isto é, ϕt preserva o volume. (Sugestã o: Aplicar a f´ ormula de mudan¸ c a de vari´ aveis para obter v(t) = det (Dϕt ) e usar a F´ ormula de Liouville, Proposi¸caõ 2.10, para uma matriz B fundamental do sistema linear x′ = Df (ϕt (x0 ))x.)





≡





× n identificado com R

28. Sejam M n o conjunto das matrizes de ordem n S = A M n; x′ = Ax é hiperbólico . Mostre que S é aberto e denso em M n .

{ ∈

}

n2

e

29. Sejam x′ = Ax um sistema hiperbólico com ´ındice de estabilidade s. Escreva E s = x Rn tal que etA x 0 quando t e E u = x Rn tal que

{ ∈

→

→ ∞}

{ ∈

86


etA x 0 quando t . s Mostre que E é um subespa¸co vetorial de dimens˜ ao s; e Rn = E s

→

→ −∞}

u

⊕ E . 30. M denota o conjunto de matrizes de ordem n × n. Seja C = {A ∈ M que x′ = Ax é hiperbólico e tem ´ındice de estabilidade i}. n

i

n

tal

Mostre que C i é aberto em M n . Lembre que i denota o n´ umero de valores próprios com parte real negativa.

31. Um sistema linear x′ = Ax chama-se estruturalmente est´ avel se existe uma vizinhan¸ca V (A) tal que para toda matriz B V (A) o sistema linear x ′ = Bx é topologicamente conjugado a x ′ = Ax. Prove que x ′ = Ax é estruturalmente estável se, e somente se, x′ = Ax é hiperbólico. (Sugestã o: para a prova de observe que se λ é autovalor de A e v é um autovetor correspondente a λ, então ϕ(t) = eλt v é solu¸cã o de Ax = x′ . Além disso, ϕ(t) = eαt v se α = Re (λ).)

∈

⇒

| |

||

32. Prove que x′ = Ax é um atrator se e s´ o se existe uma forma quadr´ atica q definida positiva tal que Dq (x) Ax < 0 para todo x = 0.

·



33. Seja C uma matriz n n complexa com det C = 0. Prove que existe uma matriz B complexa tal que C = e B . (Sugestão: use a forma de Jordan complexa de C .)

×



34. Para toda matriz real D com det D = 0 prove que existe uma matriz real B tal que eB = D 2 . (Sugestã o: observe que se A é uma matriz complexa e A denota a sua con jugada, ent˜ ao eA = (eA). Use ent˜ ao o exerc´ıcio 33. Alternativamente, use a Forma de Jordan Real.)



35. (Teorema de Floquet) Seja A(t) peri´ odica de per´ıodo τ como no Exemplo 2.8(b) da se¸cã o 2. Prove que existem uma matriz P = P (t) peri´ odica de per´ıodo τ e uma matriz B, em geral complexa, tais que, para a matriz fundamental φ(t), tem-se φ(t) = P (t)eBt . (Sugestã o: se φ(t + τ ) = φ(t)C , defina B por C = eBt e P (t) = φ(t)e−Bt .) 36. Seja A(t) como no exerc´ıcio 35. Prove que existe uma matriz peri´ odica P (t) tal que a transforma¸caõ ϕ(t) P (t)ϕ(t) transforma biunivocamente as solu¸cões de x′ = A(t)x nas solu¸cões de uma equa¸caõ linear x′ = Bx com coeficientes constantes.

→

2.9 Exerc´ıcios

87

37. Mostre que as partes reais dos valores pr´ oprios de B não dependem da matriz fundamental φ escolhida. Estes valores pr´ oprios chamam-se expoentes caracter´ısticos da equa¸caõ x′ = A(t)x. Prove que eles têm parte real negativa se, e somente se, φ(t) Ke−µt para certos K , µ > 0 (veja o exerc´ıcio anterior).

| | ≤

38. Um sistema linear periódico x′ = A(t)x chama-se hiperb´ olico se os valores próprios da matriz B obtida no exerc´ıcio 36 têm parte real diferente de zero. Prove que esta defini¸caõ n˜ ao depende de P (t) e desenvolva uma teoria an´ aloga à das se¸co˜es 2.5 e 2.6 para estes sistemas. 39. Achar a uńica solu¸cão limitada da equa¸cão x′′ + bx′ + ω02 x = A cos ωt, onde b > 0, ω0 > 0 e b2 4ω02 < 0. Se x ω : R e esta solu¸cão, definir f (ω) = supt∈R xω (t) . Para que valor de R´ ω esta fun¸caõ toma seu valor m´ aximo? (Sugestão: Tentar uma solu¸caõ da forma x(t) = k 1 sen ωt + k2 cos ωt. Compare com a parte estacion´ aria das oscila¸cões for¸cadas e também com o fenˆ omeno de ressonância tratados na se¸caõ 2.8.)

→

−

|

|

88


Cap´ıtulo 3 Teoria Qualitativa das EDOs: Aspectos Gerais Iniciaremos neste cap´ıtulo o estudo de sistemas de equa¸ cões diferenciais da forma

 

x′1 = X 1 (x1 , . . . , xn ), x′2 = X 2 (x1 , . . . , xn ), .. .

(3.1)

x′n = X n (x1 , . . . , xn ),

chamados autˆ onomos (isto é, as fun¸co˜es X i são independentes de t). Não procuraremos solu¸co˜es na forma expl´ıcita ou mesmo aproximada, mas propomo-nos a determinar, pelo estudo direto das fun¸ cões X i , o retrato de fase de (3.1), isto é, a forma global da fam´ılia de solu¸co˜es máximas de (3.1). No Cap´ıtulo 2 fizemos uma descri¸cão completa do retrato de fase de um sistema linear hiperb´ olico por meio do estudo da exponencial etA . Entretanto, quando os X i ’s sã o n˜ ao lineares, a determina¸cão do retrato de fase de (3.1) tem real interesse, pois na maioria das vezes não é poss´ıvel encontrar explicitamente as solu¸ cõ es e, por outro lado, as solu¸cões aproximadas convergem para solu¸ cões verdadeiras somente em intervalos compactos, sendo a convergência tanto mais lenta quanto maior for o comprimento do intervalo. O pioneiro no estudo do retrato de fase de um sistema de equa¸co˜es diferenciais foi H. Poincar´ e, que encontrou em problemas da Mecˆ anica Celeste a motiva¸caõ inicial. Um dos problemas que recebeu sua particular aten¸ cão foi o da estabilidade do sistema solar, sendo o movimento modelado pelas leis de Newton. Várias quest˜ oes são relevantes para o estudo global das solu¸ cões de (3.1). Desejase saber, por exemplo, quais solu¸cões x(t) = (x1 (t), , xn(t)) de (3.1) s˜ ao peri´ odicas ou permanecem numa regi˜ ao limitada do espa¸co. Ou ent˜ ao, se convergem para um ponto de equil´ıbrio (que é uma solu¸cã o constante) ou para uma o´rbita peri´ odica quando t ou t . Os m´ etodos desenvolvidos para responder estas

···

→∞

→ −∞

89

90

3. Teoria Qualitativa das EDOs: Aspectos Gerais

questões constituem um corpo de resultados que Poincaré chamou de Teoria Qualitativa. Atualmente esta teoria é significativa para muitos problemas n˜ ao lineares que transcendem a` Mecˆ anica Celeste. Assim, no estudo matem´ atico da dinˆ amica das popula¸cões aparecem equa¸cões do tipo (3.1), onde cada xi denota a densidade da popula¸caõ de uma esp´ ecie e as fun¸ cões X i exprimem a lei de intera¸cão entre as espécies. Nestas registram-se fatos como a competi¸ cão pelo mesmo alimento e espa¸c o ou a a¸caõ predat´ oria de uma espécie sobre outra. Se as solu¸ cões xi (t), i = 1, . . . , n, tendem para um ponto de equil´ıbrio (a1 , . . . , an ) quando t e ai > 0 para i = 1, . . . , n, interpreta-se este comportamento dizendo que as popula¸cões evoluem para uma situa¸cão de coexistência. Se as solu¸cões tendem para uma solu¸cão peri´ odica γ (t) = (x1 (t), . . . , xn (t)), xi (t) > 0, i = 1, . . . , n, tem-se uma flutua¸caõ de popula¸co˜es no dom´ınio do habitat em um ciclo ininterrupto. Os pontos singulares ou de equil´ıbrio desempenham um papel crucial na descri¸ cão do retrato de fase. Poincaré fez um cat´ alogo destes pontos para n = 2, classificando sua estrutura local por compara¸caõ com os sistemas lineares (s˜ ao o foco, a sela, o n´ o, etc.). Veja a se¸cão 2.4. De igual importância s˜ ao as solu¸co˜es peri´ odicas, cujo estudo é mais sutil. Poincaré idealizou métodos geométricos e anal´ıticos para analisar a existência e estabilidade de solu¸cões peri´ odicas. Neste cap´ıtulo apresentamos os fundamentos da Teoria Qualitativa e discutimos, sem pretender esgot´ a-los, alguns problemas importantes. Este estudo tem continuidade nos Cap´ıtulos 4, 5, na Estabilidade Estrutural e Bifurca¸ cões [18], [24], e na Teoria dos Sistemas Dinˆ amicos [17].

→∞

3.1

Campos vetoriais e fluxos

Seja ∆ um subconjunto aberto do espa¸ co euclideano Rn . Um campo vetorial de classe C k , 1 k em ∆ é uma aplica¸cão X : ∆ R n de classe C k . Ao campo vetorial X associamos a equa¸cão diferencial

≤ ≤ ∞

→

x′ = X (x).

(3.2)

As solu¸cões desta equa¸cão, isto é, as aplica¸cões diferenci´ aveis ϕ : I ∆ (I intervalo da reta) tais que dϕ (t) = X (ϕ(t)), (3.3) dt para todo t I , são chamadas trajet´ orias ou curvas integrais de X ou da equa¸caõ diferencial (3.2). Um ponto x ∆ é dito ponto singular de X se X (x) = 0 e é chamado ponto regular de X se X (x) = 0. Se x é ponto singular ent˜ ao ϕ(t) = x, < t < , é solu¸cão de (3.2). Reciprocamente, se ϕ(t) = x, < t < , é solu¸cão de (3.2) ent˜ ao x é ponto singular

→

∈

∈



−∞

∞

−∞

∞

3.1 Campos vetoriais e fluxos

91

de X , pois 0 = ϕ ′ (t) = X (ϕ(t)) = X (x).

→

Uma curva integral ϕ : I ∆ de X chama-se m´ axima se para toda curva integral ψ : J ∆ tal que I J e ϕ = ψ I ent˜ ao I = J e, consequentemente, ϕ = ψ. Neste caso, I chama-se intervalo m´ aximo. A equa¸cão (3.2) (ou (3.3)) admite a seguinte interpreta¸ c˜ ao geométrica: ϕ é uma ′ curva integral de X se e só se seu vetor velocidade ϕ (t) em t coincide com o valor do campo X em ϕ(t). Veja a Figura 3.1.

→

⊆

|

∆ ϕ′ (t) = X (ϕ(t)) ϕ

I

ϕ(t)

t Figura 3.1: Campo de Vetores e Curva Integral

Uma equa¸caõ diferencial do tipo (3.2) é chamada equa¸c˜ ao diferencial autˆ onoma , isto é, o campo de vetores X = (X 1 , , X n ) é independente de t. Para coloc´ a-la R por f (t, x) = X (x), onde no contexto do Cap´ıtulo 1, podemos definir f : Ω ′ Ω = R ∆. Por outro lado, toda equa¸ caõ x = f (t, x) não autˆ onoma em Ω Rn+1, pode ser considerada como uma equa¸ caõ autˆ onoma z ′ = F (z ) em Ω, onde z = (s, x) ´ fácil verificar a correspondência biun´ıvoca entre as solu¸ e F (z ) = (1, f (z )). E cões da equa¸cão n˜ ao autˆ onoma x ′ = f (t, x) e as solu¸cões da equa¸caõ autˆ onoma associada ′ z = F (z ).

·· ·

→

×

⊆

Teorema 3.1 (a) (Existência e unicidade de solu¸c˜ oes m´ aximas) Para cada x ∆ existe um intervalo aberto I x onde est´ a definida a unica ´ solu¸cao ˜ m´ axima ϕx de (3.2) tal que ϕx (0) = x.

∈

(b) (Propriedade de grupo) Se y = ϕx (s) e s I x , ent˜ ao I y = I x I x , ϕy (0) = y e ϕy (t) = ϕ x (t + s) para todo t I y .

∈

}

∈

− s = {r − s; r ∈

(c) (Diferenciabilidade em rela¸c˜ ao a`s condi¸coes ˜ iniciais). O conjunto D = (t, x); n+1 Rn dada por x ∆, t I x é aberto em R e a aplica¸c˜ ao ϕ : D ϕ(t, x) = ϕ x (t) é de classe C k . Mais ainda, ϕ satisfaz a` equa¸cao ˜

∈

∈ }

→

D1D2 ϕ(t, x) = DX (ϕ(t, x)) D2 ϕ(t, x),

·

D2 ϕ(t, x) t=0 = E

|

{

92


para todo (t, x) D. Aqui E denota a identidade de Rn

∈

A prova será dada na se¸caõ 3.2.

Defini¸c˜ ao 3.2 A aplica¸caõ ϕ : D

→ ∆ chama-se fluxo gerado por X .

Note-se que as condi¸cões da defini¸cão de fluxo de classe C k estão satisfeitas, isto é, ϕ(0, x) = x e ϕ(t + s, x) = ϕ(t, ϕ(s, x)), sendo que a segunda condi¸caõ é ´ claro que se I x = R válida apenas no contexto da parte (b) do Teorema 3.1. E para todo x, o fluxo gerado por X é um fluxo de classe C k em ∆, veja se¸cão 2.3. Entretanto, muitas vezes I x = R. Por este motivo o fluxo gerado por X é chamado frequentemente de fluxo local ou grupo local a um parˆ ametro gerado por X . Esta u ´ ltima denomina¸cão decorre do fato de que a condi¸cão (b) do Teorema 3.1 define, quando D = R ∆, um homomorfismo do grupo aditivo dos reais no grupo dos difeomorfismos de classe C r de ∆ munido da opera¸cão de composi¸ca˜ o. Ou seja, o 1 homomorfismo é t ϕ t e temos ϕt+s = ϕ t ϕs e ϕ−t = ϕ − t , para ϕt (x) = ϕ(t, x). ´ válida assim a imagem de que os pontos de ∆ fluem ao longo das trajet´ E orias de X do mesmo modo que um fluido desloca-se ao longo de suas linhas de corrente.



×

→

◦

cões e do Observa¸c˜ ao 3.3 A parte (b) do Teorema 3.1 decorre da unicidade de solu¸ fato da equa¸cão ser autˆ onoma. De fato, neste caso, ϕy (s) e ϕx (t + s) são solu¸co˜es do mesmo problema de Cauchy. 1, em ∆ ∆ e Corolário 3.4 Seja X um campo vetorial C k , k Rn . Se x I x = (ω− (x), ω+(x)) é tal que ω+ (x) < (resp. ω− (x) > ) ent˜ ao ϕx (t) tende a ∂ ∆ quando t ω + (x) (resp. t ω − (x)), isto é, para todo compacto K ∆ existe ε = ε(K ) > 0 tal que se t [ω+ (x) ε, ω+ (x)) (resp. t (ω− (x), ω− (x) + ε]) ent˜ ao ϕx (t) K .

→

→

∈

∈

≥

∞

−

−∞

⊆

∈

⊆

∈

Demonstra¸ c˜ ao Por contradi¸cão, suponhamos que exista um compacto K ∆ e uma sequência tn ω + (x) < tal que ϕx (tn ) K para todo n. Passando a uma subsequência se necess´ ario podemos supor que ϕ x (tn ) converge a um ponto x 0 K . Sejam b > 0 e α > 0 tais que Bb I α D, onde Bb = y R n ; y x0 b ∆ e I α = t R; t < α . Pela parte (c) do Teorema 3.1, D é aberto. Pela parte (b), ϕ x (tn + s) est´ a definido para s < α e coincide com ϕ y (s) para n suficientemente grande, onde y = ϕ x(tn ). Mas ent˜ ao tn + s > ω+ (x), contradi¸caõ.

→

{ ∈

||

∞

∈

× ⊆

}

{ ∈

Corolário 3.5 Se ∆ = R n e X (x) < c para todo x x Rn .

|

∈

|

∈ R

n

⊆ ∈ | − |≤ }⊆

, ent˜ ao I x = R para todo

para algum x Demonstra¸ c˜ ao Suponhamos que ω+ (x) < Rn . Como x t ϕx (t) = 0 X (ϕs (x))ds ct cω + (x), resulta que para todo t [0, ω+ (x)), ϕx (t) está na bola fechada de centro x e raio cω+ (x), o que contradiz o Corol´ ario 3.4. Logo, ω+(x) = para todo x Rn . Do mesmo modo, prova-se que ω− (x) = para todo x Rn .

|



∈

∞

 ≤

≤

∈

∞

∈ ∈

| − −∞

3.2 Diferenciabilidade dos fluxos de campos vetoriais

93

Corolário 3.6 Se ϕx é uma solu¸c˜ ao regular de (3.2) definida no intervalo m´ aximo I x e ϕx (t1 ) = ϕ x (t2 ) para t 1 = t2 , ent˜ ao I x = R, ϕx (t + c) = ϕ x(t), para todo t, onde c = t 2 t1 . Isto é, ϕx é uma solu¸c˜ ao peri´ odica.



−

Rn por ψ(t) = ϕ x (t c), tem-se ψ ′ (t) = Demonstra¸ c˜ ao Definindo ψ : [t2, t2 + c] ϕ′x (t c) = X (ϕx (t c)) = X (ψ(t)) e ψ(t2 ) = ϕx (t1) = ϕx (t2 ). Em virtude da unicidade das solu¸co˜es, tem-se [t2 , t2 + c] I x e ϕx (t) = ϕx (t + c) se t [t1 , t2 ]. Prosseguindo desta maneira, obtemos I x = R e ϕx (t + c) = ϕx (t) para todo t R.

−

3.2

→ ⊆

−

−

∈

∈

Diferenciabilidade dos fluxos de campos vetoriais

Nesta se¸cão daremos uma demonstra¸caõ autosuficiente do Teorema 3.1. Usamos um método baseadonuma elabora¸caõ muito u ´ til do lema da contra¸cão (Lema 1.6). ˙ ˙ d) espaTeorema 3.7 (Teorema da contra¸c˜ ao nas fibras) Sejam (X, d) e (X, ˆ : X X ˙ ˙ uma aplica¸c˜ ˆ x) ¸cos métricos completos e F X X ao na forma F (x, ˙ = ˙ (F (x), F (x, x)). ˙ Suponha que

× → ×

(a) F : X X tem um ponto fixo atrator p. Isto é, F ( p) = p e limn→+∞ F n(x) = p para todo x X .

→

∈ ˙ a aplica¸c˜ (b) Para todo x˙ ∈ X ao F

x˙

: X

cont´ınua.

˙ x) ˙ é → X ˙ definida por F (x) = F (x, x˙

˙ x : X ˙ ˙ definida por F ˙x (x) ˙ (c) Para todo x X a aplica¸cao ˜ F X ˙ = F (x, x) ´ ˙ e uma ˙ F ˙ x, ˙x (x), ˙ x (y)) ˙. λ-contra¸cao, ˜ com λ < 1, isto é, d( ˙ F ˙ λ d( ˙ y) para ˙ todo x, ˙ y˙ X

∈

→

≤

∈

˙ p , o ponto pˆ = ( p, p) Ent˜ ao, se p˙ denota o unico ´ ponto fixo atrator de F ˙ é um ˆ ponto fixo atrator de F .

A demonstra¸cão deste teorema depende dos seguinte lemas. umeros reais n˜ ao negativos tal que Lema 3.8 Seja cn , n 0, uma sequência de n´ cn 0, e seja λ tal que 0 < λ < 1. Ent˜ ao, σn 0, onde

→

{ } ≥

→

n

σn =

 i=0

λn−i ci .

94

3. Teoria Qualitativa das EDOs: Aspectos Gerais ˙ X ˆ = (x, ˙x) x ˆ (ˆ F x) pˆ = ( p, p˙ )

p

F 2 (x)

X

x

F (x)

Figura 3.2: Contra¸caõ nas fibras

Demonstra¸ c˜ ao Seja M k = sup ci , i k , temos M k ci 0. Tomemos k = n2 (parte inteira de n2 ); temos

→

n

σn =



{



k

λn−i ci =

i=0

≤

M 0

≥ }



n

k



λn−i ci +

i=0



→ 0, quando k → ∞, pois

λn−i ci

i=k+1 n



n i

λ − + M k

n i

λ −

≤ M

0

  λn−k 1 λ

+

M k . 1 λ

− − Quando n tende para ∞, n − k e k também tendem a ∞, logo λ − para 0 e, portanto, σ → 0. i=0

i=k+1

n k

e M k tendem

n

Lema 3.9 Seja F n uma sequência de λ-contra¸c˜ oes de um espa¸co métrico completo (Y, d). Se para todo y Y a sequência F n (y) converge para F ω (y), F ω também é uma λ-contra¸cao. ˜ Denotemos por yω seu unico ´ ponto fixo atrator. Ent˜ ao para todo y0 Y , a sequência yn definida por

∈ { }

∈

y1 = F 1 (y0 ), y2 = F 2 (y1 ), . . . , yn = F n (yn−1 ) converge para yω , quando n

→ ∞. Demonstra¸ c˜ ao Temos y = F ◦ F − ◦ · · · ◦ F (y ) e d(y , y ) ≤ d(F ◦ · · · ◦ F (y ), F ◦ · · · ◦ F (y )) + d(F ◦ · · · ◦ F (y ), y ) ≤ λd(F − ◦ · · · ◦ F (y ), F − ◦ · · · ◦ F (y )) +d(F ◦ · · · ◦ F (y ), F (y )) + d(F (y ), y ) ≤ λ d(y , y ) + λd(F − ◦ · · · ◦ F (y ), y ) + d(F (y ), y ) n

n

ω

n

n

n 1

1

0

n 1

0

n

1

n

n

1

ω

1

1

0

ω

n 1

0

ω

n 1

n

n

1

ω

n

1

ω

1

ω

ω

ω

ω

ω

n

ω

ω

ω


≤

95

λn d(y0 , yω ) + d(F n (yω ), yω ) + λd(F n−1(yω ), yω ) +λ2 d(F n−2 (yω ), yω ) + + λn−1 d(F 1 (yω ), yω )

···

n 1

= λn d(y0 , yω ) +

−

 i=0

λi d(F n−i (yω ), yω ).

O primeiro termo desta u ´ ltima parcela tende para 0, pois 0 < λ < 1; o segundo termo tamb´ em tende para 0, pelo Lema 3.8, aplicado a c n = d(F n (yω ), yω ). Observe que cn 0. Por hipótese F n (yω ) y ω . Consequentemente,

→

→

d(yn , yω )

n

→ 0,

→ ∞.

Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 3.7 Seja xˆ0 = (x0, x˙ 0) e xn = F n(x0 ), temos ˆ n (ˆ ˙ xn F x0 ) = (xn, F

◦ · · · ◦ F ˙

˙ 0 )). x0 (x

−1

˙ xn , resulta pelo Lema 3.9 que F ˆ n(ˆ Logo, fazendo F n = F x0 ) 1 −

˙ → ( p, p).

Teorema 3.10 (Teorema local de diferenciabilidade, [21]) Seja f uma aplica¸c˜ ao de classe C 1 definida num aberto ∆ Rn . Para todo ponto x0 ∆ existem n´ umeros positivos α, β e uma ´ unica aplica¸c˜ ao ϕ de classe C 1 em

⊆

I α

×B

β

∈

= (t, x); t < α, x

{

| − x | < β }

||

0

com valores em ∆ tal que D1ϕ(t, x) =

∂ϕ (t, x) = f (ϕ(t, x)), ϕ(0, x) = x, e ∂t

D1 D2ϕ(t, x) = Df (ϕ(t, x))D2 ϕ(t, x), para todo (t, x) I α

D2 ϕ(t, x) t=0 = E

|

∗

( ) ( )′

∗

∈ ×B . β

b ∆ e sejam m = Demonstra¸ c˜ ao Seja b > 0 tal que B b = x; x x 0 sup f (x) , x B b , ℓ = sup Df (x) , x B b , onde Df (x) = sup Df (x)v , v = 1 . Tomamos α e β tais que αm + β < b e λ = ℓα < 1. Seja X o espa¸co de aplica¸co˜es cont´ınuas de I α Bβ em B b , munido da métrica

{ | − | ≤ } ⊆ {| | ∈ } {  ∈ }   {| | | | } × d(ϕ, ψ) = sup |ϕ(t, x) − ψ(t, x)|, (t, x) ∈ I × B . Para ϕ ∈ X , definimos F (ϕ)(t, x) = x + f (ϕ(s, x))ds, a condi¸cão αm + β < b implica que F toma valores em X e, assim, F : X → X está bem definida. Ser´ a α

 t 0

visto abaixo que λ = ℓα < 1 implica que F é uma contra¸caõ.

β

96


Denotemos por o espa¸co de aplica¸co˜es lineares de Rn em Rn com a norma ˙ espa¸co de aplica¸cões cont´ınuas e limitadas de L = sup Lx ; x = 1 . Seja X o I α Bβ em munido da métrica

 ×

L {| | | | } L

˙ ϕ, ˙ = sup ϕ(t, d( ˙ ψ) ˙ x)

{

˙ x), (t, x) ∈ I × B }. − ψ(t, α

β



t ˙ : X X ˙ ˙ por F (ϕ, ˙ Definimos F X ϕ)(t, ˙ x) = E + 0 Df (ϕ(s, x)) ϕ(s, ˙ x)ds, onde E denota a identidade em . ˆ = (F, F ) ˙ satisfaz as hipóteses do Teorema 3.7. De fato: A aplica¸caõ F

× →

L

·

(a) F é uma λ-contra¸caõ:

  | 

 |  ≤

t

d(F (ϕ), F (ψ)) = sup

[f (ϕ(s, x))

0

− f (ψ(s, x))]ds

t

− ψ(s, x) ds αℓd(ϕ, ψ) = λd(ϕ, ψ). Portanto, F tem um uńico ponto fixo atrator ϕ ∈ X . ≤

ℓ ϕ(s, x)

sup

0

´ imediata, por ser Df uniformemente cont´ınua em B b . (b) E ˙ F ˙ = sup ˙ ϕ (ϕ), ˙ ϕ (ψ)) (c) d( ˙ F

t Df (ϕ(s, x))[ϕ(s, ˙ x) 0

−

˙ x)]ds ψ(s,

 ≤

˙ ϕ, ˙ λ d( ˙ ψ).

ˆ é da forma ϕ = O ponto fixo atrator de F ˆ (ϕ, ϕ), ˙ onde F (ϕ) = ϕ. Donde resulta, derivando com respeito a t, que ( ) é satisfeita; ϕ é u ´ nica, por ser uńico o ponto fixo de F , e cont´ınua em I α Bβ , por ser elemento de X . Obviamente D1 ϕ = f ϕ é cont´ınua. Provaremos a seguir que ϕ é de classe C 1 com respeito a x e que D2 ϕ = ϕ. ˙ Disto resultará que ϕ é de classe C 1 em I α Bβ . ˆ n (ϕˆ0), onde ϕ0(t, x) = x e ϕ˙ 0(t, x) = E . ClaraDe fato, seja ϕˆn = (ϕn, ϕ˙ n ) = F mente ϕn ϕ e ϕ˙ n ϕ uniformemente ˙ em I α Bβ . Mais ainda, toda ϕn é de 1 classe C e D2 ϕn = ϕ˙ n, para todo n, como se verifica por indu¸caõ. Portanto, por ˙ , temos que D 2ϕ existe e é igual a ϕ, ser ϕ˙ n = D 2 ϕn cont´ınua, pois pertence a X ˙ que é cont´ınua em I α Bβ . Usamos aqui o teorema de intercˆ ambio da ordem entre as opera¸c˜ oes de limite uniforme e diferencia¸cao; ver ˜ [16]. A igualdade ( )′ decorre imediatamente por deriva¸ caõ da rela¸caõ

× ◦

→

∗

×

→

×

× ∗

˙ D2 ϕ(t, x) = F (ϕ, D2ϕ(t, x)) = E +

 t

Df (ϕ(s, x))D2 ϕ(s, x)ds.

0

Teorema 3.11 (Teorema global de diferenciabilidade) Seja f um campo vetorial de classe C k , k 1, num aberto ∆ Rn.

≥

⊆

(a) Para cada ponto x ∆ existe um intervalo aberto I x, onde est´ a definida uma unica ´ curva integral m´ axima ϕx : I x ∆, do campo passando por x; i. e., ϕx satisfaz em I x a equa¸cao ˜ dy = f (y), y(0) = x. dt

∈

→


97

(b) Se y = ϕ x (s), s I x, ent˜ ao

∈

I y = I x

− s = {τ − s; τ ∈ I } e ϕ (t) = ϕ (t + s), para todo t ∈ I . (c) O conjunto D = {(t, x); x ∈ ∆, t ∈ I } é aberto em R ϕ : D → R , definida por ϕ(t, x) = ϕ (t) é de classe C . y

x

x

y

x

n

n+1

e a aplica¸cao ˜

k

x

A menos de nota¸caõ, este é o mesmo enunciado do Teorema 3.1. A sua demonstra¸caõ é dividida em três partes.

Proposi¸c˜ ao 3.12 Seja f um campo vetorial C 1 em um aberto ∆ de Rn. Dado x ∆, seja I x = I ψ , onde ψ : I ψ ∆ percorre o conjunto das solu¸ coes ˜ de ′ x = f (x), x(0) = x. Ent˜ ao

∈

∪

→

(a) ϕx : I x ∆ definida por ϕx (t) = ψ(t) se t m´ axima de f por x;

→

(b) se s I x e y = ϕ x (s), ent˜ ao I y = I x tem-se ϕy (t) = ϕx (t + s).

∈

´ curva integral ∈ I é a unica ψ

− s = {τ − s; τ ∈ I } e para todo t ∈ I x

y

´ suficiente verificar que ϕx está bem definida. Isto é, se ψ1 Demonstra¸ c˜ ao (a) E e ψ2 são solu¸co˜es do problema de Cauchy x′ = f (x), x(0) = x, então ψ1 = ψ2 no ´ claro intervalo (a, b) = I ψ1 I ψ2 . De fato, seja A = t (a, b); ψ1 (t) = ψ2 (t) . E que A é fechado em (a, b) e não vazio. Vamos provar que A é aberto. Sejam t′ A e y = ψ 1 (t′ ) = ψ 2 (t′ ). Então, pelo Teorema 3.10, existe uma unica ´ curva integral ψ do problema de Cauchy x′ = f (x), x(0) = y, definida em um certo intervalo aberto I . Notemos que ψ˜1 (s) = ψ 1 (t′ + s) é também uma solu¸cão de x′ = f (x), x(0) = y. d ˜ d De fato, ds ψ1 (s) = ds ψ1 (t′ + s) = f (ψ1 (t′ + s)) = f (ψ˜1(s)). Portanto, por unicidade, ψ1 = ψ em (a, b) (I + t′ ). Do mesmo modo ψ˜2 (s) = ψ 2 (t′ + s) coincide com ψ em (a, b) (I + t′ ). Logo, ψ1 = ψ 2 em (a, b) (I + t′ ) e isto prova que A é aberto. Por conexidade, A = (a, b).

∩

{ ∈

∩

∩

}

∈

∩

(b) Temos ϕy (s) = ϕx (t + s); logo, ϕy (s) est´ a definida para s I x t, donde I x t I y . Por outro lado, ϕy ( t) = x e ϕx (s) = ϕy ( t + s), donde ϕx (s) est´ a definida para todo s I y + t. Logo, I y + t I x e da´ı I y I x t. Fica provado que I y = I x t.

− ⊆ −

∈

−

⊆

− ⊆ −

∈ −

Proposi¸c˜ ao 3.13 Seja f um campo vetorial de classe C 1 em um aberto ∆ de Rn . Ent˜ ao D = (t, x); x ∆ e t I x é aberto em Rn+1 . Ainda, ϕ(t, x) = ϕ x (t) é uma aplica¸c˜ ao de classe C 1 em D e

{

∈

∈ }

D1 D2 ϕ(t, x) = Df (ϕ(t, x))D2 ϕ(t, x),

D2 ϕ(t, x) t=0 = E

|

∗

( )

para todo (t, x) D. I x é o intervalo maximal da solu¸cao ϕ ˜ x do problema de Cauchy ′ x = f (x), x(0) = x.

∈

98


Demonstra¸ c˜ ao Seja C o conjunto dos pontos t I x0 , t > 0, tais que existe uma vizinhan¸ca Bt de x0 tal que [0, t] B t D e ϕ é de classe C 1 e satisfaz ( ) em (0, t) Bt . Pelo Teorema 3.10, C = . Seja s o supremo de C . Provaremos que s é o extremo superior de I x . De fato, se for s I x , seja x1 = ϕ(s, x0 ). Pelo Teorema 3.10, existe I B, vizinhan¸ca de (0, x1 ), na qual ϕ satisfaz ( ). Sejam d o comprimento ˜ uma vizinhan¸ca de x0 tal que do intervalo I , u tal que u < s e s u < d/2 e B ˜ Se y B ˜ e t [0, u + d/2] temos pela Proposi¸caõ 3.12 ϕ(u, y) B para todo y B. que ϕ(t, y) = ϕ(t u, ϕ(u, y)). Portanto, ϕ é de classe C 1 em (0, u+d/2) ˜ B. Vamos verificar que ϕ satisfaz ( ) neste conjunto. A partir de ϕ(t, x) = ϕ(t u, ϕ(u, x)), temos que D2 ϕ(t, x) = [D2ϕ(t u, ϕ(u, x))]D2 ϕ(u, x).

× ⊆  ∅ ∈ − ∈ ∈

×

× ∈

∈ ∗

−

∈

∗

∗

× −

−

Portanto, derivando com respeito a t e usando o fato de que t

− u ∈ C , temos

D1 D2ϕ(t, x) = [D1 D2 ϕ(t u, ϕ(u, x))]D2 ϕ(u, x) = [Df (ϕ(t, x))D2 ϕ(t u, ϕ(u, x))]D2 ϕ(u, x) = Df (ϕ(t, x))D2 ϕ(t, x).

−

−

Portanto, u + d/2 C é maior do que s, o que é uma contradi¸ ca˜ o. Logo, s = sup I x . Tomando agora pontos t I x0 , t < 0, conclui-se a demonstra¸caõ.

∈

∈

Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 3.11 Procedemos por indu¸caõ em k. A Proposi¸caõ 3.13 prova o caso k = 1. Supomos v´ alido o teorema para k 1. Consideremos 2 o campo F = (f,Df ), que é de classe C k−1 em ∆ Rn , definido por F (x, L) = (f (x), Df (x)L), onde L é uma matriz n n identificada canonicamente com uma 2 aplica¸caõ linear de ou com um ponto de Rn . Pela Proposi¸cã o 3.13 e a hip´ otese de indu¸cão aplicada a F , temos que o seu fluxo Φ(t,y,Y ) = (ϕ(t, y), D2 ϕ(t, y) Y ) é 2 de classe C k−1 em D′ = D Rn . Portanto, D2 ϕ é de classe C k−1 em D. Também D1 ϕ = f ϕ é de classe C k−1 , pois f é C k e ϕ é C k−1 . Logo, ϕ é de classe C k em D. Isto termina a demonstra¸caõ do Teorema 3.11.

×

L

·

×

◦

3.3

×

−

Retrato de fase de um campo vetorial

I p , isto é, a imagem da curva Defini¸c˜ ao 3.14 O conjunto γ p = ϕ(t, p); t integral de X pelo ponto p, chama-se orbita ´ de X pelo ponto p.

{

∈ }

Observe que q γ p γ q = γ p . De fato, se q γ p , q = ϕ(t1 , p) e ϕ(t, q ) = ϕ(t + t1 , p) e I p t1 = I q . Em outros termos, duas o´rbitas de X coincidem ou são disjuntas. Isto é, ∆ fica decomposto numa uni˜ ao disjunta de curvas diferenci´ aveis, podendo cada uma ser

−

∈

⇔

(a) imagem biun´ıvoca de um intervalo de R,

∈

3.3 Retrato de fase de um campo vetorial

99

(b) um ponto, ou (c) difeomorfa a um c´ırculo, correspondendo cada caso a uma das alternativas do Teorema 3.15 a seguir. No caso (b) p = γ p ; a o´rbita chama-se ponto singular ; no caso (c) a o´rbita chama-se fechada ou peri´ odica . ao m´ axima de (3.1) ou (3.2) em I x , verifica-se Teorema 3.15 Se ϕx é uma solu¸c˜ uma unica ´ das seguintes alternativas: (a) ϕx é 1

− 1, i.e, ϕ é injetiva; x

(b) I x = R e ϕx é constante; (c) I x = R e ϕx é peri´ odica, isto é, existe τ > 0 tal que ϕx (t + τ ) = ϕx (t) para todo t R e ϕx (t1) = ϕx (t2 ) se t1 t2 < τ .

∈



| − |

Demonstra¸ c˜ ao Se ϕx não é biun´ıvoca, ϕx (t1 ) = ϕ x (t2 ) para algum t1 = t 2 . Logo, pelo Corol´ a rio 3.6 da se¸caõ 3.1, I = R e ϕx (t + c) = ϕx (t) para todo t R e c = t 2 t1 = 0. Provaremos que o conjunto



− 

∈

{ ∈ R; ϕ (t + c) = ϕ (t) para todo t ∈ R}

C = c

x

x

é um subgrupo aditivo de R que tamb´ em é um subconjunto fechado de R. De fato, se c, d C , então c + d, c C , pois ϕx (t + c + d) = ϕx (t + c) = ϕx(t) e ϕx (t c) = ϕ x (t c + c) = ϕx (t) e, portanto, C é um subgrupo aditivo de R. Por outro lado, se cn C e cn c temos que c C , pois

−

∈

−

− ∈ →

∈



∈

 

ϕx (t + c) = ϕx t + lim cn = ϕ x =

n

→∞

lim (t + cn)

n

→∞



lim ϕx (t + cn ) = lim ϕx (t) = ϕ(t).

n

n

→∞

→∞

Como demonstraremos no lema seguinte, todo subgrupo aditivo C de R é descrito na forma τ Z, τ 0 ou então C é denso em R. Aqui Z denota o subgrupo aditivo dos n´ umeros inteiros. Por ser C = 0 e fechado, segue que C = R ou C = τ Z, τ > 0. Cada uma destas alternativas corresponde, respectivamente, aos casos (b) e (c) do enunciado.

≥  { }

Lema 3.16 Todo subgrupo aditivo C = 0 de R é da forma C = τ Z, onde τ > 0, ou C é denso em R.

 { }

100


Demonstra¸ c˜ ao Supor que C = 0 . Então C R+ = , onde R+ denota os reais positivos, pois existe c C , c = 0, o que implica que c ou c está em C R+ . Seja τ = inf[C R+ ]. Se τ > 0, C = τ Z, pois se c C τ Z, existe um u ńico K Z tal que Kτ < c < (K + 1)τ e, portanto, 0 < c Kτ < τ e c Kτ C R+. Contradi¸caõ com τ = inf[C R+ ]. Se τ = 0, verificamos que C é denso em R. De fato, dado ε > 0 e t R, existe c C tal que c t < ε. Para ver isto é suficiente tomar c0 C R+ tal que 0 < c0 < ε. Todo n´ umero real t dista menos de ε de um ponto c0 Z C , pois este conjunto divide R em intervalos de comprimentos c0 < ε, com extremos nele.

∩

∈

 { } 

∈

∩  ∅ − ∈ − −

∩

∈

| − |

∩ − ∈ ∩ ∈ ∈ ∩ ⊆

Defini¸c˜ ao 3.17 O conjunto aberto ∆, munido da decomposi¸ca˜ o em o´rbitas de X , chama-se retrato de fase de X . As órbitas s˜ ao orientadas no sentido das curvas integrais do campo X ; os pontos singulares s˜ ao munidos da orienta¸caõ trivial. Exemplos 3.18 (a) Descrevamos o retrato de fase de um campo X de classe C k , k 1, em R, onde X tem um n´ umero finito de pontos singulares. Sejam a1 < a2 < < an esses pontos e fa¸camos a0 = e an+1 = . Em cada intervalo (ai , ai+1), i = 0, . . . , n, X tem sinal constante. Fixemos um intervalo (ai , ai+1 ) no qual X é positivo. Então, se x (ai , ai+1) temos que ϕ(t, x) é estritamente crescente no seu intervalo m´ aximo I x = (ω− (x), ω+(x)). Além disso, podemos afirmar que

≥ ·· ·

−∞

(i) quando t

∞ ∈

→ ω−(x), ϕ(t, x) → a e quando t → ω (x), ϕ(t, x) → a . Pois se ϕ(t, x) → b > a quando t → ω− (x), como ϕ(t, b) é estritamente crescente segue-se que as o´rbitas γ e γ interceptam-se; em consequência, γ = γ , o que é uma contradi¸cão. Isto mostra que ϕ(t, x) → a se t → ω − (x). Da mesma forma vê-se que ϕ(t, x) → a se t → ω (x). (ii) se i ≥ 1, temos que ω− (x) = −∞. Pois, para todo t ∈ I temos ϕ(t, x) > a > −∞ e isto implica, devido a` Proposi¸caõ 3.4, que ω − (x) = −∞. (iii) se i < n, temos que ω (x) = ∞. i

+

i+1

i

x

x

b

b

i

i+1

x

+

i

+

A prova é idêntica a` de (ii). O leitor deve formular e provar o caso em que X é negativo no intervalo (ai , ai+1 ).

(b) Sistemas bidimensionais simples e sistemas hiperb´ olicos: ver os retratos de fase nas se¸co˜es 2.4 e 2.6. (c) Sejam X = (X 1 , X 2 ) e ∆ = R2 , onde X 1 = x e X 2 = y + x3 . O fluxo de X é dado por a3 −t a3 3t t ϕ(t, (a, b)) = ae , b e + e , 4 4

 − 

−



3.4 Equivalˆ encia e conjuga¸ca õ de campos vetoriais

a1

a2

a3

101

a4

a5

Gráfico de X

a1

a2

a3

a4

a5

Retrato de fase de X Figura 3.3: Retrato de fase em R onde t R e (a, b) R2 . Seja ψ(t, p) o fluxo da “sela” Y = (x, y). O leitor deve verificar que h : (x, y) 3 x, y + x4 satisfaz h(ψ(t, p)) = ϕ(t, h( p)).

∈

 

∈

−

y

→

y h

x

retrato de fase de Y

x

retrato de fase de X

Figura 3.4: Conjuga¸caõ de duas selas, sendo uma não linear

3.4

Equivalˆ encia e conjuga¸ c˜ ao de campos vetoriais

Introduzimos a seguir v´ arias no¸co˜es de equivalência entre dois campos vetoriais, as quais permitem comparar seus retratos de fase.

102


Defini¸c˜ ao 3.19 Sejam X 1 , X 2 campos vetoriais definidos nos abertos de Rn , ∆1, ∆2 , respectivamente. Diz-se que X 1 é topologicamente equivalente (resp. C r -equivalente ) a X 2 quando existe um homeomorfismo (resp. um difeomorfismo de classe C r ) h : ∆1 ∆ 2 que leva órbita de X 1 em o´rbita de X 2 preservando a orienta¸cão. Mais precisamente, sejam p ∆ 1 e γ 1 ( p) a o´rbita orientada de X 1 passando por p; ent˜ ao h(γ 1 ( p)) é a o´rbita orientada γ 2 (h( p)) de X 2 passando por h( p).

→

∈

Observe que esta defini¸cão estabelece uma rela¸cão de equivalência entre campos definidos em abertos de Rn . O homeomorfismo h chama-se equivalência topol´ ogica (resp. diferenci´ avel) entre X 1 e X 2. Rn e ϕ2 : D2 Rn os fluxos gerados pelos Defini¸c˜ ao 3.20 Sejam ϕ1 : D1 Rn e X 2 : ∆2 Rn respectivamente. Diz-se que X 1 ´ campos X 1 : ∆1 e topologir camente conjugado (resp. C -conjugado) a X 2 quando existe um homeomorfismo (resp. um difeomorfismo de classe C r ) h : ∆1 ∆ 2 tal que h(ϕ1 (t, x)) = ϕ 2 (t, h(x)) para todo (t, x) D 1 . Neste caso, tem-se necessariamente I 1 (x) = I 2 (h(x)), onde I 1 (x) e I 2 (h(x)) denotam os intervalos m´ aximos das respectivas solu¸cões máximas. O homeomorfismo ogica (resp. C r -conjuga¸caõ) entre X 1 e X 2 . h chama-se conjuga¸caõ topol´

→ →

→

→

→

∈

Observa¸c˜ ao 3.21 Esta defini¸caõ estende a campos vetoriais quaisquer os conceitos de conjuga¸cão topol´ ogica e diferenci´ avel definidos no Cap´ıtulo 2 para campos lineares. A rela¸caõ de conjuga¸caõ é também uma rela¸ caõ de equivalência entre campos n ´ definidos em abertos de R . E claro que toda conjuga¸caõ é uma equivalência. Uma equivalência h entre X 1 e X 2 leva ponto singular em ponto singular e o´rbita peri´ odica em o´rbita peri´ o dica. Se h for uma conjuga¸caõ, o per´ıodo das o´rbitas peri´ odicas também é preservado. 2

Exemplo 3.22 (a) h : R

  x3 4

2

r

→ R definida por h(x, y) = x, y + é uma C -conjuga¸caõ entre X (x, y) = (x, −y) e Y (x, y) = (x, −y + x ). De fato, Dh(x, y)X (x, y) = 3

Y (h(x, y)). Veja o exemplo 3.18 (c).

   

0 a 0 b e B = matrizes de R2 com a > 0 e b > 0. Os a 0 b 0 ′ ′ sistemas x = Ax e x = Bx definem centros cujas o´rbitas peri´ odicas têm per´ıodo 2π/a e 2π/b, respectivamente. Se a = b, estes sistemas nã o são conjugados. Por outro lado, h = identidade de R2 é uma C r -equivalência. (b) Sejam A =

−

− 

O lema seguinte fornece uma caracteriza¸ cão para a conjuga¸cão diferenci´ avel.

Lema 3.23 Sejam X 1 : ∆1 Rn e X 2 : ∆2 Rn campos C k e h : ∆1 ∆2 um r difeomorfismo de classe C . Ent˜ ao h é uma conjuga¸c˜ ao entre X 1 e X 2 se, e somente se, Dh( p)X 1 ( p) = X 2(h( p)), p ∆ 1 . ( )

→

→

→

∀ ∈

∗

3.4 Equivalˆ encia e conjuga¸ca õ de campos vetoriais

103

Demonstra¸ c˜ ao Sejam ϕ 1 : D 1 ∆ 1 e ϕ 2 : D 2 ∆ 2 os fluxos de X 1 e X 2 , respectivamente. Suponhamos que h satisfaz ( ). Dado p ∆1 , seja ψ(t) = h(ϕ1 (t, p)), t I 1 ( p). Então ψ é solu¸cão do problema de Cauchy x′ = X 2 (x), x(0) = h( p), pois

→

∗

∈

ψ ′ (t) = Dh(ϕ1 (t, p))

→

∈

· dtd ϕ (t, p) = Dh(ϕ (t, p))X (ϕ (t, p)) 1

1

1

1

= X 2 (h(ϕ1 (t, p))) = X 2 (ψ(t)). Portanto, h(ϕ1 (t, p)) = ϕ 2(t, h( p)). Reciprocamente, suponhamos que h seja uma C r conjuga¸ca˜ o. Dado p ∆1, tem-se h(ϕ1 (t, p)) = ϕ2 (t, h( p)), t I 1 ( p), intervalo contendo 0. Derivando esta rela¸cão com respeito a t em t = 0, obtém-se ( ).

−

∈

∈

∗

Rn um campo de classe C k , k 1, ∆ Rn aberto Defini¸c˜ ao 3.24 Sejam X : ∆ e A Rn−1 um aberto. Uma aplica¸cão diferenci´ avel f : A ∆ de classe C r chamase se¸c˜ ao transversal local de X (de classe C r ) quando, para todo a A, Df (a)(Rn−1 ) e X (f (a)) geram o espa¸co Rn . Seja Σ = f (A) munido da topologia induzida. Se f : A Σ for um homeomorfismo, diz-se que Σ é uma se¸c˜ ao transversal de X .

→

⊆

≥ → ∈

⊆

→

Observa¸c˜ ao 3.25 Sejam p ∆ não singular e v1 , , vn−1 , X ( p) uma base de n R . Seja B(0, δ ) uma bola de Rn−1 com centro na origem e raio δ > 0. Para δ −1 x v suficientemente pequeno, f : B(0, δ ) ∆ dada por f (x1 , . . . , xn−1 ) = p + ni=1 i i é uma se¸caõ transversal local de X em p.

∈

{ · ··

}

→



ao singular de Teorema 3.26 (Teorema do fluxo tubular) Seja p um ponto n˜ n k R de classe C e f : A X : ∆ Σ uma se¸c˜ ao transversal local de X de classe k C com f (0) = p. Ent˜ ao existe uma vizinhan¸ca V de p em ∆ e um difeomorfismo h : V ( ε, ε) B de classe C k , onde ε > 0 e B é uma bola aberta em Rn−1 de centro na origem 0 = f −1 ( p) tal que

→ → −

(a) h(Σ

→

×

∩ V ) = {0} × B;

(b) h é uma C k -conjuga¸cao ˜ entre X V e o campo constante Y : ( ε, ε) Y = (1, 0, 0, . . . , 0) Rn .

|

∈

−

n

× B → R ,

Demonstra¸ c˜ ao Seja ϕ : D ∆ o fluxo de X . Seja F : DA = (t, u); (t, f (u)) D ∆ definida por F (t, u) = ϕ(t, f (u)). F aplica linhas paralelas ao eixo t em curvas integrais de X . Vamos mostrar que F é um difeomorfismo local em 0 = (0, 0) R Rn−1 . Pelo Teorema da Fun¸ cão Inversa , é suficiente provar que DF (0) é um isomorfismo. Temos d D1 F (0) = ϕ(t, f (0)) = X (ϕ(0, p)) = X ( p) dt t=0

→

}→

{

∈ ×



∈

104

3. Teoria Qualitativa das EDOs: Aspectos Gerais ( ε, ε)

−

B

V

f (B)

×B h−1

Σ h ε

0

−ε

Figura 3.5: Fluxo Tubular Σ ϕ(t, f (u)) = F (t, u) F (t, u)

u

f (u)

t X Figura 3.6: Prova do Teorema 3.26 e D j F (0) = D j−1 f (0) para todo j = 2, . . . , n, pois ϕ(0, f (u)) = f (u), u A. n Portanto, os vetores D j F (0), j = 1, . . . , n, geram R e DF (0) é um isomorfismo. Pelo Teorema da Fun¸cão Inversa, existem ε > 0 e uma bola B em Rn−1 com centro na origem 0 tais que F ( ε, ε) B é um difeomorfismo sobre o aberto V = F (( ε, ε) B ). Seja h = (F ( ε, ε) B)−1 . Ent˜ ao h(Σ V ) = 0 B, pois F (0, u) = f (u), u B. Isto prova (a). Por outro lado, h−1 conjuga Y e X :

∀ ∈

− ×

∀ ∈ Dh− (t, u) · Y (t, u) 1

para todo (t, u) ( ε, ε)

∈−

|− × | − ×

∩

{ } ×

= DF (t, u) (1, 0, . . . , 0) = D 1 F (t, u) = X (ϕ(t, f (u)) = X (F (t, u)) = X (h−1 (t, u)),

·

× B. Isto termina a demonstra¸caõ.

ao transversal de X . Para todo ponto p Σ existem Corol´ ario 3.27 Seja Σ uma se¸c˜ R de classe C k ε = ε( p) > 0, uma vizinhan¸ca V de p em Rn e uma fun¸c˜ ao τ : V tais que τ (V Σ) = 0 e

∩

→

∈

3.5 Estrutura local dos pontos singulares hiperbólicos

105

(a) para todo q V , a curva integral ϕ(t, q ) de X V é definida e biun´ıvoca em J q = ( ε + τ (q ), ε + τ (q ));

−

∈

|

(b) ξ (q ) = ϕ(τ (q ), q ) Σ é o unico ´ ponto onde ϕ( , q ) J q intercepta a se¸c˜ ao Σ. Em particular, q Σ V se e s´ o se τ (q ) = 0;

∈ ∈ ∩

· |

(c) ξ : V Σ é de classe C k e Dξ (q ) é sobrejetiva para todo q V . Mais ainda, Dξ (q ) v = 0 se e s´ o se v é colinear com X (q ), i. e., v = αX (q ) para algum α R.

∈

→ ·

∈

Demonstra¸ c˜ ao Sejam h, V e ε como no Teorema 3.26. Ponhamos h = ( τ, ξ ). O campo Y daquele teorema satisfaz a todas as afirma¸ co˜es acima. Como h é uma k C -conjuga¸caõ, conclui-se que X também satisfaz estas afirma¸ cões.

−

ξ (q )

h(q ) q h

−ε

ε

t

−τ (q ) (−ε, ε) × B

V Σ

Figura 3.7: Prova do Corolário 3.27

ater local do Teorema 3.26. Nem Observa¸c˜ ao 3.28 Gostar´ıamos de enfatizar o car´ todo campo sem singularidades no plano admite um homeomorfismo que trivialize suas o´rbitas. Um exemplo é dado na Figura 3.8, ilustrando o chamado Fluxo de Reeb. Verifique que X = (ey (x2 1), 2xey ), o Hamiltoniano de f (x, y) = e y (x2 1), tem este retrato de fase.

− −

3.5

−

Estrutura local dos pontos singulares hiperb´ olicos

Seja p um ponto regular de um campo vetorial X , de classe C k , k 1. Pelo teorema do fluxo tubular, sabemos que existe um difeomorfismo de classe C k que conjuga

≥

106


Figura 3.8: Fluxo de Reeb X ,numa vizinhan¸c a de p com o campo constante Y (1, 0, . . . , 0). Consequentek mente, dois campos X e Z são localmente C -conjugados em torno de pontos regulares. Por causa desta observa¸caõ podemos considerar satisfat´ orio o conhecimento qualitativo local das órbitas de um campo vetorial em torno de pontos regulares, sendo que existe apenas uma classe de conjuga¸caõ diferenci´ avel local. Se p é um ponto singular, a situa¸ cão é bem mais complexa. Mesmo nos sistemas lineares estudados no Cap´ıtulo 2 j´ a se apresentam v´ arias classes diferentes de conjuga¸cão diferenci´ avel. Em R2 temos a sela, o centro, o n´ o, etc. Nesta se¸caõ estudaremos os pontos singulares hiperb´ olicos. Na seguinte trataremos das o´rbitas peri´ odicas.

≡

Defini¸c˜ ao 3.29 Um ponto singular p de um campo vetorial X de classe C k , k 1, chama-se hiperb´ olico se todos autovalores de DX ( p) têm parte real diferente de zero.

≥

´ fácil ver que esta defini¸ca˜ o n˜ Observa¸c˜ ao 3.30 E a o depende da classe de con2 juga¸cão local C de X em p. Sejam X e Y campos de classe C k , k 2 e h uma 2 C -conjuga¸caõ entre X e Y em torno de uma singularidade p0 de X ; q 0 = h( p0 ) é uma singularidade de Y e pelo Lema 3.23 da se¸cão 3.4 tem-se Y = Dh h−1 X h−1 . Da´ı

≥ ◦ · ◦

DY (q ) = D2 h(h−1 (q ))Dh−1 (q )X (h−1 (q )) + Dh(h−1 (q ))DX (h−1 (q ))Dh −1(q ). Logo, DY (q 0 ) = Dh( p0 )DX ( p0 )[Dh( p0 )]−1 . umero de autovalores de Defini¸c˜ ao 3.31 Com a nota¸caõ da Defini¸cão 3.29, o n´ DX ( p) que têm parte real menor do que 0 chama-se´ındice de estabilidade de X em p. A Observa¸cão 3.30 acima mostra que é o mesmo o ´ındice de dois campos C 2conjugados em torno de uma singularidade hiperb´ olica. Entretanto, vale mais do que isto: o ´ındice determina a classe de conjuga¸ caõ topol´ ogica local. Este é o conte´ udo do teorema de Hartman.

3.6 Estrutura local de ´ orbitas peri´ odicas

107

Teorema 3.32 (Teorema de Hartman-Grobman) Sejam X : ∆ Rn um campo vetorial de classe C 1 e p um ponto singular hiperb´ olico. Existem vizinhann ¸cas W de p em ∆ e V de 0 em R tais que X W é topologicamente conjugado a DX ( p) V .

→

|

|

A demonstra¸caõ deste teorema pode ser encontrada em [17] e [23]. Aqui limitarnos-emos a dar sua interpreta¸ caõ geométrica na Figura 3.9. Os teoremas 3.32 e 2.40 permitem classificar localmente os pontos singulares hiperb´ olicos. Entretanto, os exerc´ıcios 16 a 19 deste cap´ıtulo tratam da determina¸ cão dos retratos na vizinhan¸ca de pontos singulares em casos bidimensionais importantes, alguns n˜ ao hiperb´ olicos. E u

W

V

conjuga¸cão E s

x′ = X (x)

x′ = DX ( p) x

·

Figura 3.9: Teorema de Hartman-Grobman

3.6 3.6.1

Estrutura local de o ´rbitas peri´ odicas A transforma¸c˜ ao de Poincar´ e

A transforma¸cão de Poincaré associada a uma orbita ´ fechada γ de um campo vetorial é um difeomorfismo π que definiremos a seguir. Esta transforma¸ cã o descreve o comportamento do camponuma vizinhan¸ca de γ . Seja ent˜ ao γ = ϕ(t, p); 0 t τ 0 uma órbita peri´ odica de per´ıodo τ 0 de um k n campo X de classe C , k 1, definido em ∆ R . Seja Σ uma se¸caõ transversal a X em p. Em virtude da continuidade do fluxo ϕ de X , para todo ponto q Σ próximo de p a trajet´ oria ϕ(t, q ) permanece pr´ oxima a γ , com t em um intervalo compacto pré-fixado, por exemplo, [0, 2τ 0 ]. Define-se π(q ) como o primeiro ponto onde esta o´rbita, partindo de q , volta a interceptar novamente a se¸ cã o Σ. Seja Σ0 o dom´ınio de π. Naturalmente p Σ 0 e π( p) = p.

{

≥

≤ ≤ }

∈

⊂

∈

108

3. Teoria Qualitativa das EDOs: Aspectos Gerais Σ π(q )

γ

p q

Figura 3.10: Transforma¸cão de Poincaré Muitas propriedades do retrato de fase de X perto de γ se refletem em π e reciprocamente. Por exemplo, as o´rbitas peri´ odicas de X vizinhas de γ correspondem aos pontos peri´ odicos de π, que são pontos q Σ 0 para os quais π n (q ) = q para algum inteiro n 1. O comportamento assint´ otico das o´rbitas de X perto de γ também n é descrito por π. Assim, limn→∞ π (q ) = p implica limt→∞ d(ϕ(t, q ), γ ) = 0, onde d(ϕ(t, q ), γ ) = inf ϕ(t, q ) r , r γ .

∈

≥

{|

− | ∈ }

odico Defini¸c˜ ao 3.33 Com as nota¸cões acima, a o´rbita fechada γ é um atrator peri´ (ou ent˜ ao γ diz-se orbitalmente est´ avel) quando limt→∞ d(ϕ(t, q ), γ ) = 0 para todo q numa vizinhan¸ca de γ .

Observa¸c˜ ao 3.34 A se¸cão Σ tomada acima é uma hipersuperf´ıcie ou uma subvariedade diferenci´ avel (n 1)-dimensional do aberto ∆ Rn . Pode-se supor que a variedade Σ que aqui aparece é um disco de um subespa¸ co vetorial ou afim de Rn, sem que isto constitua uma restri¸cão séria.

−

⊂

A seguir, demonstraremos que π : Σ0 Σ é um difeomorfismo de classe C k sobre sua imagem Σ1. Vamos usar o teorema do fluxo tubular 3.26 e seu corol´ ario 3.27 para dar precis˜ ao a` defini¸cão de π. Seja V uma vizinhan¸ca de p dada pelo Corol´ ario 3.27. Como ϕ(τ 0 , p) = p, existe uma vizinhan¸ca Σ0 de p em Σ tal que ϕ(τ 0 , q ) V para todo q Σ0 . Seja ξ : V Σ a aplica¸caõ definida no Corol´ ario 3.27. Pomos π : Σ0 Σ, π(q ) = ξ (ϕ(τ 0 , q )). Outra express˜ ao para π é π(q ) = ϕ(τ 0 +τ (ϕ(τ 0 , q )), q ), onde τ : V e o tempo R´ τ (x) que leva a o´rbita por x em V para interceptar Σ. Do Teorema das Fun¸ cões k Impl´ıcitas , τ é de classe C . Destas express˜ oes resulta que π é da mesma classe de diferenciabilidade que X . A inversa π−1 : Σ1 Σ0 de π é definida tomando-se o campo X . Fica provado que π é um difeomorfismo C k .

→

→

∈

∈

→

→

→

−


3.6.2

109

Ciclos limites no plano

R2 um campo vetorial Defini¸c˜ ao 3.35 Sejam ∆ um aberto de R2 e X : ∆ de classe C 1 . Uma o´rbita peri´ odica γ de X chama-se ciclo limite se existe uma vizinhan¸ca V de γ tal que γ é a u ńica o´rbita fechada de X que intercepta V .

→

Proposi¸c˜ ao 3.36 Com as nota¸c˜ oes da defini¸c˜ ao acima, existem apenas os seguintes tipos de ciclos limites (diminuindo V se necess´ ario): (a) Est´ avel, quando limt→∞ d(ϕ(t, q ), γ ) = 0 para todo q V ;

∈ (b) Inst´ avel, quando lim →−∞ d(ϕ(t, q ), γ ) = 0 para todo q ∈ V ; t

(c) Semi-est´ avel, quando limt→∞ d(ϕ(t, q ), γ ) = 0 para todo q V limt→−∞ d(ϕ(t, q ), γ ) = 0 para todo q V Int γ , ou o contr´ ario.

∈ ∩ Ext γ ;

∈ ∩

e

Demonstra¸ c˜ ao Diminuindo a vizinhan¸ca V se necessário, podemos supor que ela não contém singularidades. Sejam p γ e Σ uma se¸caõ transversal a X em p. Seja π : Σ0 Σ a transforma¸cão de Poincaré (veja a Figura 3.11). Suponhamos que Σ esteja ordenado, sendo o sentido positivo de Ext γ para Int γ . Dado q Σ 0 Ext γ , temos π(q ) > q ou π(q ) < q . Suponhamos π(q ) > q . Considere a regi˜ ao A limitada  ) e pelo segmento qπ(q ) por γ , pelo arco de trajet´ oria qπ(q Σ0 . A região A é homeomorfa a um anel e positivamente invariante, isto é, dado x A, ϕ(t, x) A para todo t 0. Isto segue pela unicidade de solu¸cões e pela orienta¸caõ das o´rbitas. Ainda, ϕ(t, x) intercepta Σnuma sequência estritamente mon´ otona de pontos x n que converge para p. Conclui-se que limt→∞ d(ϕ(t, x), γ ) = 0.

∈

→

∈ ∩

⊂

≥

Σ

∈

∈

q π(q ) p

γ

Figura 3.11: Ciclo Limite no Plano Se π(q ) < q , considerando o campo X , fica provado que limt→−∞ d(ϕ(t, x), γ ) = 0 para todo x A. As mesmas considera¸co˜es podem ser feitas em Int γ . Combinando todas as possibilidades podemos provar a proposi¸cão.

∈

−

110


Observa¸c˜ ao 3.37 Com as nota¸cões da proposi¸cão, temos que γ é um ciclo limite se e só se p é um ponto fixo isolado de π. Ainda, (a) γ é est´ avel se, e somente se, π(x) p;

|

− p| < |x − p| para todo x = p próximo de

(b) γ é inst´ avel se, e somente se, π(x) p > x p para todo x = p próximo de p;

|

− | | − |



(c) γ é semi-estável se, e somente se, π(x) p < x p para todo x Σ Ext γ próximo de p e π(x) p > x p para todo x Σ Int γ próximo de p, ou o contr´ ario.

|

| − | | − | − | | − | ∈ ∩

∈ ∩

Veja a Figura 3.12 para uma ilustra¸cão destes comportamentos. Em particular, se π ′ ( p) < 1, podemos aplicar o teorema do valor médio e concluir que γ é est´ avel. Por outro lado, γ é inst´ avel se π′ ( p) > 1.

3.6.3

Derivadas da Transforma¸c˜ ao de Poincaré

O teorema abaixo estabelece uma condi¸caõ suficiente para que uma o´rbita peri´ odica seja um ciclo limite est´ avel.

Teorema 3.38 Sejam ∆ R2 um aberto e X = (X 1 , X 2 ) : ∆ R2 um campo vetorial de classe C 1 . Seja γ uma ´ orbita peri´ odica de X de per´ıodo T e π : Σ0 Σ a transforma¸c˜ ao de Poincarénuma se¸cao ˜ transversal Σ em p γ . Ent˜ ao

⊂

→



 ∈ 

T

π′ ( p) = exp

→

div X (γ (t))dt ,

0

onde div X (x) = D 1 X 1 (x)+D2 X 2 (x). Em particular, se T γ é est´ avel e se 0 div X (γ (t))dt > 0, γ é inst´ avel.



∗

( )

T div X (γ (t))dt 0

< 0 ent˜ ao

Demonstra¸ c˜ ao Para cada t, ponhamos A(t) = DX (γ (t)). Seja φ(t) a matriz fundamental de x′ = A(t)x, com φ(0) = E ; pela fórmula de Liouville (Proposi¸cão 2.10),



T

det φ(T ) = exp



div X (γ (t))dt .

0

Vamos provar que π′ ( p) = det φ(T ). Seja ϕ o fluxo gerado por X . Pelo Teorema 3.11 temos φ(T ) = D 2 ϕ(T, p). Notemos primeiro que D2 ϕ(T, p) X ( p) = X ( p). De d fato, como dt ϕ(t, p) = X ( p), vem



·

t=0

 



d d D2 ϕ(T, p) X ( p) = ϕ(T, ϕ(t, p)) = ϕ(T + t, p) dt dt t=0 d = ϕ(t, p) = X ( p). dt t=0

·

t=0


111 Σ

Σ

γ

γ y

estável

x = y

graf π x = y

y

instável

graf π x

x Σ

Σ

γ

γ

y graf π x = y

y

x = y graf π

x

x

semi-estáveis Figura 3.12: Comportamentos est´ avel, instável e semi-est´ avel dos ciclos limites no plano Por outro lado, se g : ( ε, ε) Σ é uma parametriza¸ca˜ o de Σ tal que g(0) = p, o conjunto B = X ( p), g ′ (0) é uma base de R2 . Por defini¸caõ, π(g(s)) = ϕ(T + τ (ϕ(T, g(s)), g(s)), donde

−

{

→ }

 

d π g(s) = D 1 ϕ(T, p) a + D2 ϕ(T, p) g ′ (0) ds s=0 = aX ( p) + D2ϕ(T, p) g ′ (0),

π′ ( p) · g ′ (0) =

◦

·

·

·

onde a é a derivada de τ (ϕ(T, g(s))) em s = 0. Portanto, a matriz de D 2 ϕ(T, p) na base B é 1 a ′ 0 π ( p)

−



e obtemos det φ(T ) = π′ ( p). As u ´ ltimas afirma¸cõ es do teorema seguem da Observa¸cão 3.37. O teorema a seguir conduz a` uma express˜ ao para a derivada da Transforma¸ caõ de Poincaré com rela¸cão a um parˆ ametro.

112


Teorema 3.39 Seja γ (t) = (γ 1 (t), γ 2 (t)) uma curva integral do campo vetorial Y = (Y 1 , Y 2 ), isto é, uma solu¸c˜ ao de



x′1 = Y 1 (x1 , x2 ) x′2 = Y 2 (x1 , x2 ).

(3.4)

Seja Z = (Z 1 , Z 2 ) um campo vetorial em R2 , ent˜ ao a componente normal a γ (t), η(t) =

−v .Y (γ (t)) + v .Y (γ (t)) , |Y (γ (t))| 1

2

2

1

de uma solu¸c˜ ao (v1 (t), v2 (t)) do sistema linear n˜ ao homogêneo



v1′ = v2′ =

∂ Y (γ (t)).v1 + ∂x∂ 2 Y 1 (γ (t)).v2 + ∂x 1 1 ∂ Y (γ (t)).v1 + ∂x∂ 2 Y 2 (γ (t)).v2 + ∂x 1 2

Z 1 (γ (t)) Z 2 (γ (t))

(3.5)

satisfaz a` equa¸c˜ ao diferencial





Y |′ det(Y, Z ) | ′ η = σ(Y ) − (γ (t)) .η + (3.6) |Y | |Y | (γ (t)), onde Y = Y (γ (t)), |Y |(γ (t) ) = (Y (γ (t)) + Y (γ (t))) , |Y |′ (t) = |Y |(γ (t)), det(Y, Z ) = Y .Z − Y .Z e σ(Y ) = div(Y )(γ ) = Y (γ (t)) + Y (γ (t)). 2 1

1

2

2

2 2 ∂ ∂x 1

1

1 2

1

∂ ∂x 2

d dt

2

Mais ainda, a solu¸cao ˜ η = η(t) da equa¸c˜ ao diferencial linear (3.6), com a condi¸c˜ ao inicial η(0) = η 0, é dada por

|Y (0)| .exp |Y (t)|

    −   t

t

σ(Y )dτ . η0 +

0

τ

exp

0

0



det(Y, Z ) σ(Y )du . dτ Y (0)

|

|

(3.7)

Demonstra¸ c˜ ao Para demonstrarmos esse lema, basta que derivemos a express˜ ao (3.7) dada acima para η = η(t). Observa¸c˜ ao 3.40 A equa¸c˜ ao (3.7) também permite concluir que a derivada da Transforma¸c˜ ao de Poincaré é dada por



T

π ′ (0) = exp

σ(Y )dt.

0

Para isso é suficiente tomar Z 0 e η0 = 1. Compare com o Teorema 3.38

≡ ao de Poincaré associada a Teorema 3.41 Se π(., λ) : L −→ L é a Transforma¸c˜ uma ´ orbita peri´ odica γ 0 de um campo X 0 = X (x, λ0 ), onde X é uma fam´ılia de campos, que depende de um parˆ ametro real λ, ent˜ ao, se L é normal a γ 0, temos

3.7 Fluxos lineares no toro

∂ π(u0 , λ0) ∂u

|X (u , λ )| 0

0

 −  T

.

113

∂ π(u0 , λ0) ∂λ



t

exp

0

=

σ(X )(γ 0 (u))du .det(X (γ 0 (t)), λ0),

0

∂ X (γ 0 (t), λ0 ))dt. ∂λ (3.8)

∂ X (., λ0 ); Demonstra¸ c˜ ao Para verificar isso, é suficiente tomar η0 = 0 e Z (.) = ∂λ assim a equa¸caõ (3.5) coincide com a equa¸caõ que dá a derivada do fluxo com rela¸caõ a um parâmetro. ∂ A fórmula (3.8) decorre de (3.7) pois ∂u π = π ′ .

3.7

Fluxos lineares no toro

Os fluxos de campos vetoriais lineares com valores pr´ oprios puramente imagin´ arios conduzem ao estudo de fluxos em superf´ıcies toroidais. Assim, consideremos em R4 o seguinte sistema de equa¸co˜es diferenciais

 

x′1 x′2 x′3 x′4

= αx2 , = αx 1 , = βx 4 , = βx3 .

− −

α, β > 0.

(3.9)

Usando coordenadas complexas z 1 = x 1 + ix2 e z 2 = x 3 + ix4 , o sistema (3.9) se escreve z 1′ = iαz 1 , (3.10) z 2′ = iβ z 2 ,



cujo fluxo é ϕ(t, z 1 , z 2 ) = (ϕ1 (t, z 1 ), ϕ2 (t, z 2 )) = (z 1 eiαt , z 2 eiβt ). Fixemos r1 , r2 > 0 R4 tais que z 10 = r1 e z 20 = r2 . A curva t e sejam (z 10, z 20 ) C2 ϕi (t, z i0 ) (isto é, a imagem desta curva) est´ a contida em C i = z C; z = ri , i = 1, 2. Portanto, o toro T 2 = C 1 C 2 de R4 é invariante pelo fluxo ϕ. As solu¸co˜es de (3.9) que est˜ ao contidas em T 2 são imagens pela aplica¸caõ R : R2 T 2, R(θ1, θ2 ) = (r1e2πiθ1 , r2 e2πiθ2 ), das solu¸co˜es do seguinte sistema de equa¸co˜es em R2 :

∈

≈

| |

| |

×



{ ∈ | | →

θ1′ = α/2π, θ2′ = β/2π.

→ }

(3.11)

Observamos que o toro T 2 pode ser obtido de outras maneiras. Uma delas consiste em identificar os lados opostos do quadrado [0, 1] [0, 1] R2 . Isto equivale a tomar a aplica¸ caõ quociente Q : R2 e o grupo aditivo dos inteiros. R2 /Z2 , onde Z ´ 3 Outra maneira consiste em tomar no espa¸ co R = (x,y,z ) o c´ırculo de raio 1 e

→

×

{

⊂

}

114

3. Teoria Teoria Qualitativ Qualitativa a das EDOs: Aspectos Gerais

centro (2, (2, 0) contido no plano (x, (x, z ) e rod´ a-lo a-lo em torno do eixo z eixo z . A superf sup erf´´ıcie obtida obtid a 2 3 R definida por desta maneira é a imagem da aplica¸ c˜ cao aõ R

→

(θ1 , θ2 )

)cos2πθ , (2 + cos cos 2πθ )sen2πθ )sen2πθ , sen2πθ sen2πθ ). → ((2 + cos 2πθ )cos2πθ 2

1

2

1

2

Veja a Figura 3.13 como ilustra¸c˜ cao. aõ. x4

C 2

x3 T 2

⊂R

4

orbita órbita de (3) x2

θ2

R

a

C 1

b

x1 z

b a

Q θ1

T 2

⊂R

3

y

x Figura 3.13: Toro T 2

C2 . Para Seja C = 1 C 2 ara todo (1 (1, z 20 ) C a orbita o´rbita ϕ(t, 1, z 20 ) intercepta C (n) (n) numa sequência encia de pontos ponto s (1 ( 1, z 2 ) dada por z 2 = z 20e2πniβ/α, n Z . Na realidade estes pontos s˜ ao ao os iterados π n (z 20) pela transforma¸c˜ cao aõ de Poincar´ Poin caré π : C C , 2πiβ/α π (z ) = ze z e .

× ⊂

∈

∈

→

/α é racional, todas as orbitas ´ de (3.10) contidas em T 2 s˜ ao Teorema 3.42 Se β /α 2 peri´ odicas. Se β/α é irracional, elas s˜ ao densas em T . ao inteiros primos entre si e q > 0. Demonstra¸c˜ ao Seja β /α = p/q , onde p e q são Ent˜ ao, ao, todas as orbitas órbitas de π têm per´ıo do q , o que significa que as orbitas o´rbitas de (3.10) são ao peri´ odicas odica s de per´ıodo ıodo 2π/q .

3.8 Exerc´ıcios

115

Suponhamos β/α irracional. Para provar a afirma¸c˜ cao ão acima basta fixar z 20 C 2 e provar que a sequência encia π n (z 20 ) é densa no c´ırculo. ırcul o. Para isto é suficiente sufici ente mostrar mostr ar que o subgrupo de R gerado por 1,β/α é dens de nsoo em R. Mas esta afirma¸c˜ cão ao decorre do Lema 3.16.

∈

{

}

ao as imagens pela aplica¸c˜ cao aõ R dos pontos Observa¸c˜ ao ao 3.43 Os iterados πn (z 20 ) são 2 de abscissa inteira da orbita o´rbita correspondente de (3.11) em R . Obse Observ rvee que esta esta orbita órbita é uma reta de inclina¸ c˜ cao β aõ β /α /α..

3.8

Exerc´ Exerc´ıcios

Rn . Uma 1. Seja X um X um campo vetorial de classe C 1 num aberto ∆ Uma fun¸ fun¸c˜ cao aõ R chama-se integral primeira de X em cont´ınua nu a f : ∆ em ∆ se:

⊂

→

(a) f ´ f é constante ao longo de toda orbita ´ de X ; (b) f não ao é constante em nenhum ab erto de ∆. Resolva as seguintes quest˜ oes: oes: R de classe C 1 tal que Df ( (i) Seja f : ∆ Df ( p) p) X ( p) p) = 0 e Df ( Df ( p) p) = 0 para todo p ∆. Então ao f ´ f é uma integral integr al primeira prime ira de X de X ..

∈

→

·



(ii) Se p ∆ não ao é ponto singular de X X ent˜ ao ao existe uma vizinhan¸ca ca V de p tal que X V tem n 1 integrais primeiras f 1 , . . . , fn −1 de classe C 1 funcionalmen funcionalmente te independentes independentes (isto é, e, tais que df 1 (q ), . . . , df n−1 (q ) são ao linearmente independentes para todo q V ). V ). (Sugestão: a o: Use Use o corol corol´ a´rio do teorema do fluxo tubular, pensando priario meiro em um campo paralelo (1, (1, 0, . . . , 0).)

∈

|

−

∈ ∈

(iii) Encontre Encontre uma integral primeira primeira do centro dado por x′1 = βx 2 x′2 = βx 1

−

e da sela x′1 = λ1 x1 x′2 = λ2 x2 onde λ1 < 0 < 0 < λ2. (iv) Não ao existe nenhuma integral primeira em R2 nem para os nós os nem para os focos definidos na se¸c˜ cão ao 2.4 do Cap´ Cap´ıtulo 2. (v) Generalize Generalize (iii) e (iv) para sistemas lineares em Rn .

116

3. Teoria Teoria Qualitativ Qualitativa a das EDOs: Aspectos Gerais

R uma fun¸ (vi) Seja H : R2n c˜ cão ao de classe cla sse C r , r 2. Supon Suponha ha que que os pontos onde dH dH q é nula nul a são ao isolados e encontre uma integral primeira para o campo

→

X =

≥



∂H ∂H ,..., , ∂x n+1 ∂x 2n

−

∂H ,..., ∂x 1

−

∂H ∂x n



(tal campo é conhecido como Hamiltoniano ). R de classe C 2 , tal que df (vii) Dada uma fun¸c˜ cão ao f : ∆ df não a o se anula em nenhum aberto, encontre um campo X cuja cuja integral primeira seja f . f . 2 Suponha Suponha ∆ R .

→

⊂

(viii) (viii) Se X 1 e X 2 em ∆1 e ∆2, respectivamente, são ao topologicamente equivalentes e X 1 tem uma integral primeira, ent˜ ao ao o mesmo mes mo é v´ alido alido para X para X 2 . (ix) Se f é uma integral primeira de X , então ao M c = f −1 (c) é invariante invaria nte por po r como M c não ao contém em abertos, podemos po demos considerar as X . Em particular, como M orbitas órbitas contidas em M c como um “subsistema”, com dimens˜ ao ao inferior em uma unidade com respeito ao sistema definido por X por X .. (x) Se X X tem uma integral primeira f e df ( f ( p) p) = 0 ent˜ ao ao existe uma vizinhan¸ca V ca V de p de p tal tal que X que X V ´ V é diferenciavelme difer enciavelmente nte conjugad con jugadoo a um sistema si stema da forma Y = (Y 1 , Y 2 , . . . , Yn −1 , 0). 0).

|



V X V

|

Y = (y1, y2 , . . . , yn−1 , 0)

Figura 3.14: Campo com Integral Primeira (xi) Generalize Generalize este ultimo ´ resultado para o caso em que X que X possui possui k k integrais primeiras funcionalmente independentes (ver (ii)) em um ponto p ponto p ∆. (Sugestão: ao: Compare com o teorema do fluxo tubular 3.26 e imite a prova, usando o Teorema da Fun¸c˜ cao ão Inversa.)

∈

3.8 Exerc´ıcios

117

2. Sejam Σ1 , Σ2 hiperplanos transversais a um campo X de classe C k num aberto ∆ Rn. Se pi = ϕ(ti ) Σi (i = 1, 2) e t1 < t2 , existe uma vizinhan¸ca V i de R de classe C k tal que pi e uma fun¸caõ τ : V 1

⊂

∈ →

f : q

→ ϕ(τ (q ), q ) é um difeomorfismo de V ∩ Σ sobre V ∩ Σ . 1

1

2

2

(Sugestão: Use o teorema do fluxo tubular.)

3. Seja f (x, λ) de classe C 1 em Rn

n

×R

tal que

x′ = f (x, 0) tem uma solu¸caõ peri´ odica p(t) não constante. Suponha que ω é o per´ıodo desta solu¸cã o e que as u ´ nicas solu¸cões y(t) de

y ′ = D 1 f ( p(t), 0)y, y(0) = y(ω) são as fun¸co˜es da forma ap′ (t) com a

∈ R.

Prove que existe δ > 0 e uma fun¸cão τ (λ) de classe C 1 em λ < δ tal que τ (0) = ω e x′ = f (x, λ)

| |

tem uma solu¸cão p(t, λ) de classe C 1 peri´ odica de per´ıodo τ (λ) com p(t, 0) = p(t). (Sugestã o: Seja H o hiperplano normal a` curva p(t) no ponto p(0). Sem perda de generalidade, pode-se supor que p(0) = 0 e p ′ (0) = (1, 0, . . . , 0) e da´ı H = Rn−1 . Para h = (h2, . . . , hn ) H seja a solu¸caõ ϕ(t,h,λ) do problema de valores iniciais x′ = f (x, λ), x(0) = h.

∈

Aplique o Teorema das Fun¸cões Impl´ıcitas à equa¸caõ ϕ1 (t,h,λ) = 0 (ϕ1 é a primeira coordenada de ϕ) para obter ξ (h, λ) com ξ (0, 0) = ω e ϕ(ξ (h, λ), h , λ) H . Fica assim definida uma transforma¸ cão de Poincaré de H em H de 1 classe C . Para encontrar p(t, λ) resolva a equa¸cão ϕ(ξ (h, λ), h , λ) = h usando o Teorema das Fun¸co˜es Impl´ıcitas.)

∈

4. Sejam f 1 , f 2 de classe C 2 em R2 . Dado a > 0 prove que uma condi¸caõ necessária para que o sistema x′1 = x2 + µf 1 (x1 , x2 ) x′2 = x 1 + µf 2 (x1, x2 )

−

( )

∗

118


tenha uma solu¸cão peri´ odica ϕ(t,a,µ) de per´ıodo τ (µ) para todo µ suficientemente pequeno tal que ϕa = ϕ(t,a, 0) = a(cos t, sen t) e τ (µ) é diferenci´ avel com τ (0) = 2π, é que β (a) =



f 2 dx1

ϕa

− f dx 1

2

= 0.

Prove que se β (a) = 0 e β ′ (a) = 0, então ( ) tem de fato uma solu¸cão peri´ odica com as propriedades acima. (Sugestão: Introduza coordenadas polares



∗

x1 = r cos θ x2 = rsen θ

∗

transformando ( ) em r ′ = µR1 (r,θ,µ) θ′ = 1 + R2 (r,θ,µ) que é equivalente a uma equa¸cão do tipo dr = µR(r,θ,µ). dθ

(

∗∗)

Prove que a solu¸caõ ρ(r,θ,µ) de ( ), com ρ(r, 0, µ) = r, satisfaz a ρ(r, 2π, µ) = r + µ(β (r) + ε(r, µ)µ).)

∗∗

5. Use o exerc´ıcio 4 para mostrar que a equa¸ cão de van der Pol x′′ =

2

−x + εx′(1 − x )

possui, para todo ε > 0 suficientemente pequeno, um uńico ciclo limite est´ avel 2 2 ′ na vizinhan¸ca do c´ırculo x + (x ) = 4. Prove também que quando ε 0 este ciclo tende para o c´ırculo mencionado.

→

6. Que condi¸cões dever˜ ao satisfazer a e b para que a curva

√

√

γ (t) = (A cos at,B cos bt) seja densa no retˆ angulo [ A, A] [ B, B]? (Sugestão: Considere o sistema de osciladores harmˆ onicos x′′ + ax = 0, y′′ + by = 0. Analise a possibilidade das curvas integrais em R4 (x, x′ , y , y ′ ) serem densas em toros.)

−

×−

3.8 Exerc´ıcios

119

7. Sistemas conservativos unidimensionais: Considere a equa¸ cão x′′ = F (x) num intervalo da reta. Claramente ela é equivalente ao sistema x′ = v v ′ = F (x)

∗

( )

(i) Mostre que a energia total E = T + U é uma integral primeira de ( ) 2 x onde T (v) = v2 é a energia cinética e U (x) = F (ξ )dξ é a energia x0 potencial.

∗

− 

(ii) Mostre que todos os pontos de equil´ıbrio de ( ) est˜ a o no eixo dos x. Mostre também que todas as o´rbitas peri´ odicas de ( ) interceptam o eixo dos x e são simétricas em rela¸caõ a ele.

∗

∗

(iii) Mostre que se U (x1 ) = U (x2 ) = c e U (x) < c para x 1 < x < x2 ent˜ ao ( ) tem uma o´rbita peri´ odica passando pelos pontos (x1 , 0) e (x2 , 0). 2 (Sugestã o: A o´rbita que passa por (x0 , 0) é dada por v2 +V (x) = E , onde dv E é sua energia. Use o fato de dx = F (x) para concluir que esta o´rbita v torna a encontrar o eixo dos x e que isto deve acontecer em (x2 , 0). Use ent˜ ao (ii).)

∗

v

U (x) c

x1 x1

x2

x2 x

x

Figura 3.15: N´ıveis de energia, Potencial e Total, (iii) (iv) Suponha que F (x) = 0 para 0 < x x0 < a. Mostre que ( ) tem um centro ou uma sela em (x0 , 0) conforme U (x0 ) seja um m´ınimo ou um máximo relativo.



| − |

∗

8. Com base no exerc´ıcio anterior, determine o espa¸ co de fase das seguintes equa¸co˜es: (i) x′′ =

−x (mola)

120

3. Teoria Qualitativa das EDOs: Aspectos Gerais v

U (x)

x

b a

b

a

x

Figura 3.16: N´ıveis de energia, Potencial e Total, (iv) (ii) x′′ =

−sen x (pêndulo) (iii) x′′ = − (gravita¸caõ.) 1 x2

9. Considere a equa¸caõ (ver exerc´ıcio 7) x′′ + q (x) = 0, onde q C 1 , q ( 0) = 0 e xq (x) > 0 se x = 0. Interprete-a como a equa¸ cão do movimento de uma massa unit´ aria presa a uma mola el´ astica que reage a um deslocamento x com uma for¸ca q (x). Defina a rigidez h(x) da mola por h(x) = q(x) . Por (iv) do exerc´ıcio 7, sabemos que (0,0) é um centro no espa¸ co x de fase (x, v).

∈



−

(i) Dada uma o´rbita na vizinhan¸ca de 0, com energia E e limites de oscila¸caõ B e A (ver Figura 3.17), mostre que seu per´ıodo é

−

  −  − A

T = 2

dx . 2(E U (x))

−B

(Sugestão: note que x′ = v =

2(E

U (x)).)

(ii) Considere duas molas com h 1(x) h(x) que oscilam dentro dos mesmos limites (ver(i)). Se T 1 , T são seus per´ıdos de oscila¸cão, ent˜ ao T T 1 . A (Sugestã o: Note que no ponto A, E = U (A) = 0 q (u)du e da´ı E A U (x) = x q (u)du. Use isso para provar que E U (x) E U 1 (x). Aplique ent˜ ao (i).)

≥





−

≥

≤ −

−

(iii) Uma mola para a qual h(x) = h( x) é dita simétrica. Neste caso, U (x) = U ( x) e B = A em (i). O n´ umero A é dito amplitude da oscila¸cão. Dizemos que uma mola simétrica é dura se h′′ (0) > 0 e macia se h′′ (0) < 0. Mostre que o per´ıodo de uma mola dura (resp. macia) descresce (resp.

−

−

3.8 Exerc´ıcios

121 v

−B

A

x

´ Figura 3.17: Orbita com energia E, Exerc´ıcio 9 cresce) quando a amplitude das oscila¸cões cresce. (Sugestã o: seja A1 = cA com c > 1. Por simetria é preciso considerar apenas o tempo que a mola gasta para oscilar entre 0 e A (resp. 0 e A 1 ). Fa¸ca x = cy e obtenha a equa¸cão y′′ + yh(cy) = 0. Note que a oscila¸caõ de amplitude A para a equa¸cão original, ambas com o mesmo per´ıodo. Use então (ii).) 10. No enunciado do Teorema 3.11 substitua a classe C k de f pela classe C ω (anal´ıtica real) em ∆. Prove que ϕ, o fluxo gerado por f , é anal´ıtico em D. Lembramos que uma fun¸cão real (resp. complexa) num dom´ınio n-dimensional real (resp. complexo) é anal´ıtica se cada ponto do dom´ınio tem uma vizinhan¸ca onde ela é a soma de uma série de potências uniformemente convergente. O Teorema de Montel garante que uma sequência de fun¸ cões anal´ıticas complexas, convergindo uniformemente em partes compactas do seu dom´ınio, tem como limite uma fun¸caõ anal´ıtica complexa. (Sugestão: Prove uma vers˜ ao do Teorema 3.10 para f anal´ıtica complexa em n ∆ cão C e obtenha ϕ anal´ıtica complexa. Para o caso real estenda a fun¸ para uma vizinhan¸ca complexa de seu dom´ınio e aplique a ideia anterior.)

⊂

11. Duas espécies animais A e B coexistem num meio ideal onde o alimento para A é ilimitado. Esta espécie, porém, constitui o alimento principal de B. Denotemos por x e y as densidades (elementos por unidade de a´rea) de A e B respectivamente. Segundo Volterra e Lotka, temos que a evolu¸ cão destas densidades obedece ao sistema x′ = αx βxy y′ = γy + δxy

−

−

( )

∗

onde α,β, γ,δ sã o n´ umeros positivos. Justifica-se o sinal de α a partir da Lei de Malthus segundo a qual a popula¸caõ de uma espécie A em condi¸cões ideais cresce exponencialmente. Este crescimento é inibido pela presen¸ ca da espécie

122


B. A inibi¸caõ é, nesse caso, proporcional aos encontros por unidade de area ´ entre predadores B e v´ıtimas A; isto acarreta o sinal negativo antes de β . Analogamente para γ e δ . Prove que ( ) tem uma integral primeira E que possui em (γ/δ, α/β ) um ponto de m´ınimo não degenerado (D2 E é definida positiva nesse ponto). Conclua que todas as solu¸cõ es de ( ) no quadrante positivo s˜ ao peri´ odicas. Interprete os resultados obtidos em termos de oscila¸co˜es ininterruptas das densidades das espécies. (Sugestão: Transforme ( ) numa equa¸caõ de vari´ aveis separ´ aveis e encontre α γ −βy −δx E = y x e e .)

∗

∗

−

∗

12. Seja X um campo vetorial anal´ıtico em R2 . Prove que uma o´rbita fechada de X é um ciclo limite ou é interior ao conjunto P X = x R2 ; γ x é periódica de o´rbitas fechadas de X . (Sugestão: Use o exerc´ıcio 10 e prove que a transforma¸ cão de Poincaré associada a` o´rbita fechada de um campo anal´ıtico é anal´ıtica.)

{ ∈

}

13. Sejam a,b,c,d números reais e f, g : B cões de classe C 1 definidasR fun¸ numa bola B de centro na origem (0,0) de R2 e raio r. O sistema

→



x′ = ax + by + f (x, y), y′ = cx + dy + g(x, y),

(3.12)

chama-se sistema perturbado do sistema linear



x′ = ax + by, y′ = cx + dy.

(a) Prove que se f = o(r), g = o(r) e ad ponto singular isolado de (3.12).

(3.13)

− bc = 0, então a origem (0,0) é um

(b) Suponha que f (0, 0) = g(0, 0) = 0 e Df (0, 0) = Dg(0, 0) = 0. Determine condi¸cões sobre a, b, c, d para que (0,0) seja uma singularidade hiperb´ olica de (3.12). Neste caso, descreva o retrato de fase (3.12)numa vizinhan¸ ca da origem. Existem três tipos topol´ ogicos. (c) Desenhe o retrato de fase dos sistemas abaixo. Mostre que n˜ ao s˜ ao topologicamente equivalentes entre si ou a um dos tipos encontrados em (b). z ′ = z 2, x′ = x2 ,

z = x + iy, y ′ = y, 1 2 x′ = e−1/x sen , y ′ = x

−

(3.14) (3.15)

−y.

(3.16)

3.8 Exerc´ıcios

123

(d) Dê exemplo de um sistema (3.12) tal que a origem é um ponto singular e toda vizinhan¸ca da origem possui uma o´rbita fechada. 14. Sejam Σ, Λ espa¸cos métricos, o primeiro deles completo. Seja φ : Σ cont´ınua tal que existe 0 < λ < 1 satisfazendo d(φ(x1 , τ ), φ(x2 , τ ))

× Λ → Σ

≤ λd(x , x ) 1

2

para todo (x1 , τ ), (x2 , τ ) Σ Λ. Se τ Λ, seja x ∞ (τ ) o uńico ponto fixo da fun¸caõ φ r : Σ Σ definida por φτ (x) = φ(x, τ ).

→

∈ ×

∈

(i) Prove que x ∞ (τ ) depende continuamente de τ . (ii) Seja agora Σ espa¸co métrico completo e Φ : Σ Σ˙ Λ Σ Σ˙ ˙ uma aplica¸caõ cont´ınua da forma Φ(x, ˙ τ ) = (φ(x, τ ), φ(x, x, ˙ τ )) com x, ˙ ˙ ˙ ˙ d(φ(x, x˙ 1 , τ ), φ(x, x˙ 2 , τ )) λd(x˙ 1 , x˙ 2 ). Prove que o ponto fixo (x∞ (τ ), ˙ = (φ(x, τ )) depende contix˙ ∞ (τ )) de φˆτ : Σ Σ Σ˙ dada por φτ (x, x) nuamente de τ . ˙ (Sugestão: Note que x˙ ∞ (τ ) é ponto fixo da aplica¸ cão φ˙ 1 : Σ˙ Σ, ˙ ∞ (τ ), x, φ˙ 1(x) ˙ = φ(x ˙ τ ) e por (a) x∞ (τ ) depende continuamente de τ .)

× × → ×

× ×

≤

→

(iii) Aplique as conclus˜ oes de (ii) e o método da se¸ cão 3.2 para provar que se 1 f 0 , f 1 , f 2, . . . são campos vetoriais de classe C em ∆ tais que f n f 0 e Df n Df 0 uniformemente em partes compactas de ∆, então ϕ n ϕ 0 e Dϕn Dϕ0 uniformemente em partes compactas de D0 R ∆ onde D0 é o dom´ınio do fluxo gerado por f 0 . Generalize este resultado para classe C k , k > 1.

→ →

⊂ ×

→ →

15. Prove que a defini¸cão de ponto singular hiperb´ olico 3.29 depende apenas da 1 classe de C -conjuga¸cão local. (Sugestão: Ao contr´ ario do feito na Observa¸caõ 3.30, trabalhe com a equa¸caõ de conjuga¸cão entre os fluxos de X e Y .) 16. Suponha que r = r(x, y) e s = s(x, y) são fun¸co˜es de classe C 2 numa vizinhan¸ca de (0, 0), ponto no qual elas e suas primeiras derivadas parciais se anulam. Sela. Sejam λ < 0 < µ. Prove que existe uma uńica curva de classe C 1 , da forma y = S (x), para x [ ǫ, ǫ], nula com derivada nula em 0 tal que uma solu¸caõ de

∈ −

x′ = λx + r(x, y),

y ′ = µy + s(x, y)

(3.17)

tende a (0, 0) quando t se, e somente se, existe um t0 tal que, para t t 0 ela está contida em y = S (x).

≥

→∞

124


Diz-se que a curva y = S (x) é dividida por 0 em duas separatrizes estáveis. Analogamente para as separatrizes instáveis. Nota. Este resultado vale também para r(x, y) e s(x, y) de classe C 1 [23]; se elas são apenas diferenci´ aveis, com derivadas parciais limitadas a unicidade da separatriz não é uńica. Ver Exerc´ıcio 18 abaixo. A vers˜ ao aqui apresentada deve-se a Pontrjagin [19]. Nó. Suponha agora que λ < µ < 0 e que r = r(x, y) e s = s(x, y) são ainda de classe C 3 . Prove que existe uma u ´ nica curva de classe C 1 , da forma y = N (x), para x [ ǫ, ǫ], nula com derivada nula em 0 tal que uma solu¸cão de de 3.17 tende a (0, 0) com sua reta tangente tendendo ao eixo x quando t se, e somente se, existe um t0 tal que, para t t0 ela está contida em y = N (x). Prove também que as solu¸co˜es que tendem a (0, 0) quando t sem encontrarem y = N (x), são tais que as suas retas tangentes tendem ao eixo y.

∈ −

→ ∞

≥ → ∞

17. Suponha que r = r(x, y) e s = s(x, y) são fun¸co˜es de classe C 3 numa vizinhan¸ca de (0, 0), ponto no qual elas e suas derivadas parciais até ordem 2 se anulam. Prove que (0, 0) é um ponto singular isolado de x′ = y + r(x, y),

y ′ = x 2 + kxy + s(x, y), k

∈ R,

(3.18)

e que existe uma u ´ nica curva de classe C 1 da forma y = A(x) (resp. y = R(x)) definida em [0, ǫ] tal que uma solu¸cão de (3.18) tende a (0, 0) quando t (resp. t ) se, e somente se, dita solu¸caõ encontra y = A(x) (resp. y = R(x) ).

→ ∞

→ −∞

Este ponto de equil´ıbrio é denominado de cuspidal . Tenha uma ideia inicial das solu¸co˜es considerando o caso Hamiltoniano que resulta de supor k = 0 e r = r(x, y) e s = s(x, y) identicamente nulas. Para o caso geral transforme o sistema usando as coordenadas polares generalizadas x = r 2 cos θ, y = r 3 sen θ. Prove que o sistema transformado tem duas selas. Prove que por mudan¸cas de coordenadas, todo sistema da forma x′ = y + ax2 + bxy + cy 2 + r1 (x, y),

y ′ = x 2 + dxy + ly 2 + s1 (x, y), (3.19)

R, e r1 e s1 como r e s acima, pode ser transformado em com a,b,c,d,l um da forma (3.18), para algum k R e fun¸cões r e s com as condi¸co˜es de anula¸cão até ordem 2 em (0, 0) acima.

∈

∈

3.8 Exerc´ıcios

125

18. Sela com Funil Est´ avel [25]. Seja τ uma fun¸cão real de class C ∞ , crescente no intervalo [0, 1], τ (−∞,0) = 0, τ (1,∞) = 1. Ver Figura 3.18. Considere a

|

|

Figura 3.18: Fun¸cões τ (v), a esquerda, e τ (v)/v, a direita. seguinte familia de campos de vetores em R2

− − ǫx τ ( xy )).

X ǫ (x, y) = ( x, y

2

2

(3.20)

Prove que este campo é diferenci´ avel em R2 , com derivadas parciais de primeira ordem limitadas numa vizinhan¸ca de (0, 0), mas não cont´ınuas em (0, 0). Assim ele é de Lipschitz e portanto tem solu¸ cões u ńicas. Encontre um numero ǫ0 > 0 tal que: 1. Para 0 < ǫ < ǫ0 o retrato de fase de X ǫ near pr´ oximo a (0, 0) é topologicamente equivalente a uma sela linear. 2. Para ǫ ǫ 0, o conjunto de solu¸cões que tendem a (0, 0) tem interior n˜ ao vazio, formando dois funis est´ aveis , contidos na região (x, y); 0 y 3 2 x . Ver Figura 3.19 ǫ0

≥

}

{

≤ ≤

Figura 3.19: Dois funis est´ aveis, duas separatrizes inst´ aveis Encontre ǫ0 de modo que 3/ǫ0 seja o máximo de τ (v)/v, o qual é atingido no intervalo ]0, 1[. Ver figura 3.18. Para tanto estude os pontos de equil´ıbrio do campo acima, depois de fazer a mudan¸ca de vari´ aveis x = u, y = vu2 .

126


19. Considere o seguinte sistema, cuja parte linear em (0, 0) é um centro: x′ = P (x, y) = y + p2 (x, y) + p3 (x, y) + P 4 (x, y), y ′ = Q(x, y) = x + q 2 (x, y) + q 3 (x, y) + Q4 (x, y).

(3.21) (3.22)

−

Suponha que pi , q i 2 i 3 são polinômios homogêneos de grau i e P 4 , Q4 são fun¸cões de classe C 4 com todas as suas derivadas parciais até ordem 3 nulas em (0, 0).

≤ ≤

Escreva os polinˆ omios explicitando os coeficientes, na forma: p2 (x, y) q 2 (x, y) p3 (x, y) q 3 (x, y)

= = = =

p20 x2 + p11 xy + p02 y2 q 20 x2 + q 11 xy + q 02 y 2 p30 x3 + p21 x2y + p12 xy 2 + p03 y 3 , q 30 x3 + q 21 x2 y + q 12 xy 2 + q 03 y3 .

(3.23) (3.24) (3.25) (3.26)

Prove que existem polinˆ omios f i , i = 3, 4, homogêneos c´ ubicos e quárticos, 2 2 tais que L(x, y) = (x + y )/2 + f 3 (x, y) + f 4 (x, y), com f 3 (x, y) = f 30 x3 + f 21 x2 y + f 12 xy 2 + f 03 y 3 , f 4 (x, y) = f 40 x4 + f 31 x3 y + f 22 x2 y2 + f 13 xy 3 + f 04 y4 ,

(3.27) (3.28)

verificam:

L′ = (∂L/∂x)P + (∂L/∂y)Q =

Λ1 2 (x + y2 )2 + L5 (x, y), 8

(3.29)

onde L5 é uma fun¸caõ de classe C 4 tal que as derivadas parciais até ordem 4 se anulam em (0, 0) e Λ1 R, denominado o primeiro n´ umero de Liapounov do sistema (3.22), é dado por

∈

Λ1 = 3 p30 + p12 + q 21 + 3q 03 p20 p11 + q 11 q 02 2 p02 q 02 p02 p11 + 2 p20 q 20 + q 11 q 20 .

−

−

−

(3.30) (3.31)

Conclua que se Λ1 < 0 (resp. Λ1 > 0 ) a origem é um atrator (resp. repulsor) para as solu¸cões com condi¸co˜es iniciais vizinhas a ela. Os coeficientes de f 3 (x, y), organizados como vetor coluna [f 30 , f 21 , f 12 , f 03 ], são u´ nicos, pois eles satisfazem um sistema de equa¸ co˜es lineares cuja matriz, A4 , 4 4, tem por linhas (0, 1, 0, 0), (3, 0, 2, 0), (0, 2, 0, 3) e (0, 0, 1, 0), a qual é não singular.

×

−

−

−

3.8 Exerc´ıcios

127

Os coeficientes de f 4 (x, y), organizados como vetor coluna [f 40 , f 31 , f 22 , f 13 , f 04 ], que denotaremos por f 4 , devem satisfazer um sistema de equa¸cões lineares cuja matriz, A5, 5 5, tem por linhas (0, 1, 0, 0, 0), (4, 0, 2, 0, 0), (0, 3, 0, 3, 0), (0, 0, 2, 0, 4) e (0, 0, 0 1, 0). Denote por d ( e calcule-o em termos dos coeficientes até ordem 3 do sistema (3.22)), o lado direito desta equa¸caõ, organizado como vetor coluna.

−

×

−

−

−

A matriz A 5 , entretanto, é singular pois seu n´ ucleo é gerado pelo vetor coluna n = [1, 0, 2, 0, 1]. Observe que e a sua imagem (como operador), i. e. o espa¸c o gerado por suas colunas, consiste no n´ ucleo da forma linear a, cuja expressão, como (co-) vetor linha, é dada por (3, 0, 2, 0, 3). ´ claro que o sistema A 4 f 4 = d - a (d)n/a(n) que deve ser identificado com os E termos de ordem 4 da equa¸cão (3.29), tem solu¸caõ u ńica, f 4 , desde que a (f 4) = 0. Para concluir identifique Λ1 com o resultado do c´ alculo de a(d)/a(n). Dê exemplos de pontos de equil´ıbrio atratores e repulsores, de sistemas n˜ ao n lineares em R , n 2, cujas partes lineares têm dois valores pr´ oprios no eixo imaginário.

≥

Compare o resultado acima com o c´ alculo da derivada terceira da transforma¸cão de Poincaré associada ao sistema (3.22). Prove que os dois resultados são equivalentes. Isto é, os resultados diferem por um fator positivo; assim a conclusão de estabilidade ou instabilidade é a mesma com os ambos métodos de calculo. Suponha que Λ1 < 0, somando um campo radial da forma (ǫx,ǫy), com ǫ > 0, pequeno, ao sistema (3.22), obtenha uma o´rbita peri´ odica que n˜ ao é repulsora para o sistema modificado. 20. Seja f de classe C 2 num aberto ∆ de Rn . Prove que, na demonstra¸ ca˜ o do ˆ ˙ Teorema 3.10, os dom´ınios da transforma¸cão F = (F, F ) podem ser escolhidos ˆ = X X ˙ , com a métrica dˆ = tais que esta é uma contra¸ cã o do espa¸co X sup(d, ˙d). Isto é, com esta hip´ otese de Df não ser só cont´ınua mas também ter derivada cont´ınua, o Teorema de Contra¸ caõ nas Fibras 3.7 não é necess´ ario, bastando o Lema da Contra¸caõ 1.6.

×

Nota. Exerc´ıcio baseado em Arnold [2] e Sotomayor [21]. 21. Seja f = f (x, λ) com derivadas parciais com rela¸cão a x cont´ınuas em Rn R p . Prove que o fluxo local ϕ(t,x,λ) de x′ = f (x, λ) no Teorema 3.10 também é cont´ınuo em (t,x,λ).

×

22. Seja f de classe C 1 em R3 tal que ∂f/∂x > 0. Seja ϕ = ϕ(t, a0 , a′0 ) a solu¸caõ de x′′ = f (t,x,x′ ), x(0) = a 0 , x′ (0) = a ′0.

128


Prove que ∂ϕ(1, a0 , a′0 )/∂a ′0 > 0. Nota. Exerc´ıcio baseado em Coddington e Levinson [5], p.38. (Sugestã o: Prove que u = u(t) = ∂ϕ(t, a0 , a′0 )/∂a 0 satisfaz a` equa¸cão u′′ = A(t)u + B(t)u′ , onde A(t) > 0, com as condi¸co˜es iniciais u(0) = 0, u′ (0) = 1. Assim, u(t) é não decrescente e portanto positiva em [0, 1]. Caso contrario, ela teria um m´ aximo em um ponto onde u ′ = 0 e portanto u ′′ 0, em contradi¸caõ com u′′ = A(t)u > 0.)

≤

Cap´ıtulo 4 Teorema de Poincar´ e - Bendixson A conclusão deste cap´ıtulo, que lhe d´ a o nome, constitui um dos primeiros resultados da Teoria Qualitativa das EDOs. Sob hip´ oteses simples, estabelece o comportamento assint´ otico das o´rbitas de campos vetoriais no plano ou na esfera, havendo apenas três padr˜ oes poss´ıveis para os conjuntos limites das o´rbitas. Como visto em 3.7 estes padr˜ oes se complicam consideravelmente em dimens˜ oes superiores, onde aparecem também os sistemas dinâmicos ditos ca´ oticos como o de Lorenz.

4.1

Conjuntos α-limite e ω -limite de uma ´ orbita

Sejam ∆ um subconjunto aberto do espa¸co euclidiano Rn e X : ∆ Rn um campo vetorial de classe C k , k 1. Seja ϕ(t) = ϕ(t, p) a curva integral de X passando pelo ponto p, definida no seu intervalo m´ aximo I p = (ω− ( p), ω+ ( p)). Se ω+( p) = , define-se o conjunto

→

≥

ω( p) = q ∆;

∞ ϕ(t ) → q, quando n → ∞}.

{ ∈ ∃{t } com t → ∞ e Analogamente, se ω − ( p) = −∞, define-se o conjunto α( p) = {q ∈ ∆; ∃{t } com t → −∞ e ϕ(t ) → q, quando n → ∞}. n

n

n

n

n

n

Os conjuntos ω( p) e α( p) são chamados, respectivamente, de conjunto ω-limite e conjunto α-limite de p.

Exemplo 4.1 (a) Seja X : R2

2

→R

o campo C ∞ dado por

X (x, y) = (x, y).

−

As curvas integrais de X são representadas pela sela da Figura 4.1, em R2 . Se p = 0, α( p) = ω( p) = 0 ;

{}

129

130

4. Teorema de Poincar´ e - Bendixson E 2

E 1

Figura 4.1: Conjuntos limites, sela Se p E 1

∈ − {0}, ω( p) = ∅ e α( p) = {0}; Se p ∈ E − {0}, ω( p) = {0} e α( p) = ∅; Se p ∈ / E ∪ E , ω( p) = α( p) = ∅. 2 1

2

(b) Se ϕ(t) = ϕ(t, p) é periódica de per´ıodo τ , então ω( p) = γ p = ϕ(t, p) tal que 0

{ ≤ t ≤ τ } = α( p). De fato, se q ∈ γ , existe t′ ∈ [0, τ ] tal que ϕ(t′ , p) = q . Definindo a sequência t = t′ + nτ , tem-se que t → ∞ e ϕ(t ) = ϕ(t′ + nτ,p) = ϕ(t′ ) = q . Para provar que α( p) = γ , basta tomar a sequência t = t ′ − nτ . (c) Seja X : R → R com X (x, y) = (X (x, y), X (x, y)) um campo C cujas o´rbitas p

n

n

n

p

2

2

n

1

2

k

são espirais exteriores e interiores ao c´ırculo C de centro na origem e raio 1, como mostra a Figura 4.2 . Por exemplo, se X 1(x, y) = y + x(1 x2 y2 ), X 2(x, y) = x + y(1 x2 y 2),

−

ent˜ ao X satisfaz a condi¸caõ acima. Ent˜ ao: α( p) = 0 , se p é interior a C ;

{} α( p) = ∅, se p é exterior a C ; α( p) = C , se p ∈ C ;

− − − −

4.1 Conjuntos

-limite e

α

ω

-limite de uma ´ orbita

131

C Figura 4.2: Conjunto limite, o´rbita peri´ odica ω( p) = C , qualquer que seja o ponto p diferente da origem.

Observa¸c˜ ao 4.2 (a) Se p é um ponto singular do campo X , então qualquer que seja o ponto p, α( p), ω( p) = p , pois neste caso ϕ(t) = p, para todo t R.

{}

∈

(b) Se γ p é a o´rbita de X pelo ponto p e q γ p , então ω( p) = ω(q ). Com efeito, se q γ p , existe c R tal que ϕ(t, p) = ϕ(t + c, q ). Analogamente, α( p) = α(q ).

∈

∈

∈

Em virtude da observa¸cão (b), podemos definir

Defini¸c˜ ao 4.3 O conjunto ω-limite de uma ´ orbita γ , que denotaremos por ω(γ ), é o conjunto ω( p), para qualquer p γ . O conjunto α-limite de uma ´ orbita γ , que denotaremos por α(γ ), é o conjunto α( p), para qualquer p γ .

∈

∈

Observa¸c˜ ao 4.4 Sejam ϕ(t) = ϕ(t, p) a curva integral do campo X pelo ponto p e ψ(t) = ψ(t, p) a curva integral do campo X pelo ponto p, então ψ(t, p) = ϕ( t, p). Segue-se da´ı que o ω-limite de ψ(t) é igual ao α-limite de ϕ(t) e, reciprocamente, o ω-limite de ϕ(t) é igual ao α-limite de ψ(t). Por este motivo, para estudarmos as propriedades gerais dos conjuntos α-limite e ω-limite de órbitas é suficiente nos restringirmos ao estudo do conjunto ω-limite.

−

−

Teorema 4.5 Sejam X : ∆ Rn um campo de classe C k , k 1, definido num n + − aberto ∆ R e γ ( p) = ϕ(t, p); t 0 (respectivamente, γ ( p) = ϕ(t, p); t 0 ) a semi´ orbita positiva (respectivamente, a semi´ orbita negativa) do campo X pelo ponto p. Se γ + ( p) (respectivamente γ − ( p)) est´ a contida num subconjunto compacto K ∆, ent˜ ao

⊂

{

→

≥ }

⊂

(a) ω( p) = (respectivamente, α( p));

∅

(b) ω( p) é compacto (respectivamente, α( p));

≥

{

≤ }

132

4. Teorema de Poincar´ e - Bendixson

(c) ω( p) é invariante por X (respectivamente, α( p)), isto é, se q ω( p), ent˜ ao a curva integral de X por q est´ a contida em ω( p);

∈

(d) ω( p) é conexo (respectivamente, α( p)).

Demonstra¸ c˜ ao Pela observa¸caõ anterior é suficiente mostrar o teorema para o conjunto ω( p). (a) ω( p) = . Seja t n = n N. Temos, por hip´ otese, que ϕ(tn) K compacto. Existe então uma subsequência ϕ(tnk ) que converge para um ponto q K . Temos ent˜ ao: tnk , quando nk e ϕ(tnk ) q . Logo, por defini¸cão, q ω( p).

∅

∈

{

∈

{ →∞

} →∞

}⊂ ∈ →

(b) ω( p) é compacto. Temos que ω( p) γ + ( p) K , por conseguinte é suficiente mostrar que ω( p) é fechado. Seja q n q , q n ω( p). Vamos mostrar que q ω( p). Desde que q n ω( p), (n) existe para cada q n uma sequência t(n) e ϕ(t(n) q n , quando m tal que t m m , p) m . Escolhamos para cada sequência t(n) um ponto tn = t(n) m m(n) > n e tal que d(ϕ(tn , p), q n ) < n1 . Temos ent˜ ao:

⊂ ∈

→

⊂

∈ →∞

{ } { }

→∞

∈

→

≤ d(ϕ(t , p), q ) + d(q , q ) < n1 + d(q , q ). Segue-se, ent˜ ao, que d(ϕ(t , p), q ) → 0, quando n → ∞, isto é, ϕ(t , p) → q . Como t → ∞ quando n → ∞, segue-se que q ∈ ω( p). d(ϕ(tn, p), q )

n

n

n

n

n

n

n

(c) ω( p) é invariante por X . Seja q ω( p) e ψ : I (q ) ∆ a curva integral de X passando no ponto q . Seja q 1 = ϕ(t0 , q ) = ψ(t0 ) e vamos mostrar que q 1 ω( p). Como q ω( p), existe uma sequência tn tal que tn e ϕ(tn , p) q , quando n . Como ϕ é cont´ınua, segue que

∈

→

∈ { }

∈ →∞

→∞

→

q 1 = ϕ(t0 , q ) = ϕ(t0 , lim ϕ(tn , p)) = lim ϕ(t0 , ϕ(tn, p)) n

=

→∞

n

→∞

lim ϕ(t0 + tn, p).

n

→∞

Temos ent˜ ao a sequência (sn ) = (t0 + tn ) tal que sn , isto é, q 1 ω( p). n Para uma ilustra¸cão geométrica, ver Figura 4.3 .

→∞

∈

→ ∞ e ϕ(s , p) → q , quando n

1

4.1 Conjuntos

-limite e

α

ω

-limite de uma ´ orbita

133

ϕ(tn)

q

ψ(t) ϕ(t0 + tn ) q 1 = ϕ(t0, q )

Figura 4.3: Invariância do conjunto limite (d) ω( p) é conexo. Suponhamos que ω( p) não é conexo. Ent˜ ao ω( p) = A B , onde A e B são fechados, n˜ ao vazios e A B = . Sendo A = , existe uma sequência t′n tal que t′n e ϕ(t′n ) a A, quando n . Analogamente, existe uma ′′ ′′ ′′ sequência tn tal que tn e ϕ(tn) b B, quando n . Logo, podemos construir uma sequência tn , tn , quando n e tal que d(ϕ(tn), A) < d/2 e d(ϕ(tn+1 ), A) > d/2 (onde d = d(A, B) > 0) para todo n ´ımpar. Como a fun¸cão g(t) = d(ϕ(t), A), t n t t n+1, para todo n ´ımpar é cont´ınua e g(tn) < d/2 e g(tn+1 ) > d/2, segue-se do teorema do valor intermedi´ ario que existe ∗ ∗ tn , tn < tn < tn+1 tal que

→∞ { }

∪

∩ ∅  ∅ → ∈ →∞ → ∞ → ∈ { } → ∞ → ∞ ≤ ≤

{ }

→ ∞

g(t∗n ) = d(ϕ(t∗n ), A) = d/2. Desde que a sequência ϕ(t∗n ) está contida no conjunto compacto Q = x ∆; d(x, A) = d/2 K , ϕ(t∗n ) possui uma subsequência convergente, que denotaremos também por ϕ(t∗n ) . Seja p∗ = limn→∞ ϕ(t∗n ). Então p∗ ω( p). Mas, p∗ A, pois d( p∗ , A) = d/2 > 0; também, p∗ B, pois d( p∗ , B) d(A, B) d( p∗ , A) = d/2 > 0. Chegamos portanto a uma contradi¸cão.

}∩ { { }

{

}

}

∈

≥

˜ do teorema anterior, se q Corolário 4.6 Nas condi¸coes integral de X , pelo ponto q , est´ a definida para todo t R.

∈

∈

∈

−

{ ∈ ∈

ω( p), ent˜ ao a curva

´ de X Demonstra¸ c˜ ao Como ω( p) é compacto e invariante, segue-se que a orbita passando por q está contida no compacto ω( p). O resultado segue do Corol´ ario 3.4.

Os exemplos (a) e (b) abaixo mostram que a existência de um compacto K contendo γ + ( p) não pode ser retirada do Teorema 4.5.

⊂ ∆

134


ω( p)

p

Figura 4.4: Conjunto limite n˜ ao compacto

Exemplo 4.7

(a) O leitor dar´ a as express˜ oes para o exemplo na Figura 4.4.

(b) Consideremos X o campo do Exemplo 4.1 (c) restrito ao aberto ∆ = R2 p1 , p2 , onde p 1 e p 2 são pontos distintos sobre o c´ırculo unit´ ario C . Se p = 0 e p C p1 , p2 , ω( p) é o c´ırculo unitário menos os pontos p1 e p2 , mostrando que ω( p) é desconexo.

{

4.2

}

∈ −{



}

−

O Teorema de Poincar´ e-Bendixson

No que se segue, vamos supor ∆ um subconjunto aberto de R2 e X um campo vetorial de classe C k , k 1, em ∆. Lembremos que a semi´ orbita positiva por p, + + denotada γ p , segundo o Teorema 4.5, é definida por γ p = ϕ(t, p); t 0 .

≥

{

≥ }

Teorema 4.8 (Poincaré-Bendixson) Seja ϕ(t) = ϕ(t, p) uma curva integral de X , definida para todo t 0, tal que γ p+ esteja contida num compacto K ∆. Suponha que o campo X possua um n´ umero finito de singularidades em ω( p). Têm-se as seguintes alternativas:

≥

⊂

(a) Se ω( p) contém somente pontos regulares, ent˜ ao ω( p) é uma orbita ´ peri´ odica. (b) Se ω( p) contém pontos regulares e singulares, ent˜ ao ω( p) consiste de um con junto de orbitas, ´ cada uma das quais tende a um desses pontos singulares quando t .

→ ±∞

(c) Se ω( p) n˜ ao contém pontos regulares, ent˜ ao ω( p) é um ponto singular. Os lemas seguintes facilitar˜ ao a demonstra¸cão do teorema. ao transversal a X e γ = ϕ(t) uma Lema 4.9 Se p Σ ω(γ ), sendo Σ uma se¸c˜ orbita de X , ent˜ ´ ao p pode ser expresso como limite de uma sequência de pontos, ϕ(tn), de Σ, onde tn .

∈ ∩ → ∞

{

}

4.2 O Teorema de Poincar´ e-Bendixson

135

Demonstra¸ c˜ ao Suponhamos que γ = ϕ(t) = ϕ(t, q ) e p Σ ω(γ ), como mostra a Figura 4.5. R dadas no Corol´ Consideremos a vizinhan¸ca V e a aplica¸caõ τ : V ario 3.27. Como p ω(γ ), existe uma sequência (tñ ) tal que tñ e ϕ(tñ ) p quando . n Σ ϕ(tn ) ϕ(tñ )

{

→∞

} {

}

→

∈

∈ ∩

→ ∞

→

p V

q γ

Figura 4.5: Ilustra¸cão do Lema 4.9

Logo, existe n0 N tal que ϕ(tñ ) para n n 0 , temos

∈ V para todo n ≥ n . Se t

∈

≥

0

n

= tñ + τ (ϕ(tñ ))

ϕ(tn) = ϕ(tñ + τ (ϕ(tñ)), q ) = ϕ(τ (ϕ(tñ)), ϕ(tñ)) e por defini¸cão de τ resulta que ϕ(tn) Σ. Como τ é cont´ınua, segue-se que

∈

lim ϕ(tn ) =

n

→∞

pois ϕ(tñ ) p e τ (ϕ(tñ )) Isto prova o lema.

→

lim ϕ(τ (ϕ(tñ )), ϕ(tñ ))

n

→∞

= ϕ(0, p) = p,

→ τ ( p) = 0 quando n → ∞.

Observamos que uma se¸cã o transversal Σ a um campo X tem dimensão um, pois estamos considerando o campo X em R2 . Logo, localmente, Σ é a imagem difeomorfa de um intervalo da reta. Consideraremos daqui por diante que toda se¸caõ transversal Σ é a imagem difeomorfa de um intervalo. Assim, Σ tem uma ordena¸cã o total “ ” induzida pela ordena¸cão total do intervalo. Podemos, pois, falar em sequências monótonas em Σ.

≤

136


Lema 4.10 Seja Σ uma se¸c˜ ao transversal a X contida em ∆. Se γ é uma orbita ´ de + X e p Σ γ , ent˜ ao γ p = ϕ(t, p); t > 0 intercepta Σ numa sequência mon´ otona p1, p2 , . . . , pn , . . .

∈ ∩

{

}

Demonstra¸ c˜ ao Seja D = t R+ ; ϕ(t, p) Σ . Decorre do teorema do fluxo tubular que D é discreto. Podemos portanto ordenar o conjunto

{ ∈

∈ }

D = 0 < t1 < t2 <

{

··· < t < ·· ·}. n

Seja p1 = p. Definamos, caso exista, p2 = ϕ(t1 , p). Por indu¸ cão, definiremos pn = ϕ(tn−1 , p). Se p1 = p2 , então γ é uma tra jet´ oria fechada de per´ıodo τ = t1 e p = pn para todo n. Se p1 = p 2 , digamos, p1 < p2 e se existir p3, vamos mostrar que p3 > p2 . Orientemos a se¸cão Σ, segundo a Figura 4.6 (a) e observemos que devido ao fato de Σ ser conexo e a` continuidade do campo, as o´rbitas de X cruzam a se¸cão sempre no mesmo sentido, digamos, da “esquerda” para a “direita”, como mostra a Figura 4.6 (b).



Σ

(a)

(b) Figura 4.6: Orienta¸caõ da se¸cão Σ

Lembramos também que em R2 vale o Teorema da Curva de Jordan , ou seja, “Se J é uma curva fechada, cont´ınua e simples (J é a imagem homeomorfa da um c´ırculo), então R2 J tem duas componentes conexas: S i (limitada) e S e (não limitada) as quais têm J como fronteira comum.” Consideremos ent˜ ao a curva de Jordan formada pela uni˜ ao do segmento p1 p2 Σ com o arco p1 p2 da o´rbita, p1 p2 = ϕ(t, p); 0 t t 1 , como mostra a Figura 4.7. Em particular, a o´rbita γ , a partir de p2 , isto é, para valores de t > t1 , fica contida em S i . De fato, ela não pode interceptar o arco p1 p2 devido à unicidade das órbitas (Figura 4.8 (a)) e n˜ ao pode interceptar o segmento p1 p2 porque contraria o sentido do fluxo (Figura 4.8 (b)).

−





{

⊂

≤ ≤ }



Pelo que foi visto acima, caso p 3 exista, devemos ter p1 < p2 < p3 , como mostra a Figura 4.9. Continuando com este racioc´ınio, obteremos p1 < p2 < p3 < < pn < .

···

· · ·

4.2 O Teorema de Poincar´ e-Bendixson Σ

137 p = p 1 S e

p2 S i

Figura 4.7: Curva de Jordan Σ

Σ

p1

p2

p2 (a)

p1

(b)

Figura 4.8: Impossibilidades Portanto, pn é uma sequência monótona. Se p2 < p1 , a demonstra¸caõ é an´ aloga. Σ p1 p2 p3

{ }

Figura 4.9: Ordena¸caõ da interse¸cã o de o´rbita com se¸cão

Lema 4.11 Se Σ é uma se¸c˜ ao transversal ao campo X e p ∆, ent˜ ao Σ intercepta ω( p) no m´ aximo em um ponto.

∈

Demonstra¸ c˜ ao Em virtude do lema anterior, o conjunto de pontos de γ p+ em Σ tem no máximo um ponto limite pois o mesmo forma uma sequência mon´ otona. Da´ı o resultado segue do Lema 4.9.

138


Lema 4.12 Sejam p ∆, com γ p+ contida num compacto, e γ uma ´ orbita de X com γ ω( p). Se ω(γ ) contém pontos regulares ent˜ ao γ é uma orbita ´ fechada e ω( p) = γ .

∈

⊂

Demonstra¸ c˜ ao Seja q ω(γ ) ponto regular e sejam V vizinhan¸ca de q dada pelo Corolá rio 3.27 e Σq a se¸caõ transversal correspondente. Pelo Lema 4.9 existe uma sequência tn tal que γ (tn) Σq . Como γ (tn ) ω( p), a sequência γ (tn) reduz-se a um ponto, pelo Lema 4.11. Isto prova que γ é peri´ odica. Provemos agora que γ = ω( p). Como ω( p) é conexo e γ é fechado e n˜ ao vazio, basta provar que γ é aberto em ω( p). Sejam p γ , V p uma vizinhan¸ca de p dada pelo Corol´ a rio 3.27 e Σ p a se¸caõ transversal correspondente. Mostraremos que V p γ = V p ω( p). Obviamente V p γ V p ω( p). Por contradi¸caõ, suponhamos que exista q V p ω( p) tal que q γ . Pelo Teorema do Fluxo Tubular, 3.26 e pela invariˆ ancia de ω( p), existe t R tal que ϕ(t, q ) ω( p) Σ p e ϕ(t, q ) = p. Da´ı existem dois pontos distintos de ω( p) em Σ p , o que é imposs´ıvel pelo Lema 4.11. Logo, V p γ = V p ω( p). Obviamente U = p∈γ V p é aberto em M , γ U e U ω( p) = U γ = γ , isto é, γ é a interse¸caõ de um aberto de R2 com ω( p). Então γ é aberto em ω( p).

∈

→∞

∈

∈

∈

∩

∈

∩ ⊂ ∩ ∈



{

∩

∈

∩

∩

∈



⊂

}

∩ ∩

∩

∩

Demonstra¸ c˜ ao do Teorema de Poincar´ e-Bendixson (i) Se acontece a hip´ otese de (a) e q ω( p), ent˜ a o a o´rbita γ q ω( p). Sendo ω( p) compacto resulta ω(γ q ) = . Decorre imediatamente do Lema 4.12 que ω( p) = γ q = órbita fechada. Ver Figura 4.10. p

∈

∅

q

⊂

γ q ω( p) = γ q

Figura 4.10: Caso (a) no Teorema

(ii) Se acontece a hip´ otese de (b) e γ é uma órbita contida em ω( p), γ não reduzida a um ponto singular, ent˜ a o, pelo Lema 4.12, e por α(γ ) e ω(γ ) serem conexos sai que α(γ ) e ω(γ ) são ambos pontos singulares do campo X (lembre-se que X tem somente um n´ umero finito de singularidades em ω( p)). Ver Figuras 4.11 (a), (b) e (c).

4.2 O Teorema de Poincar´ e-Bendixson

139

(iii) O caso (c) decorre diretamente do fato de ser ω( p) conexo e do fato de X possuir somente um n´ umero finito de singularidades, em ω( p). Ver Figura 4.12. p γ 1

p2

(b)

(a)

p1

p1

p

p3 γ 2 p1

p2 p

ω( p) = γ 1 (c)

∪ γ ∪ { p } 2

1

p3

p4

Figura 4.11: Caso (b) no Teorema p

ω( p)

Figura 4.12: Caso (c) no Teorema

Exemplo 4.13 Seja X um campo vetorial de classe C 1 em R2 que não possui pontos singulares em Br,R = (x, y); r2 x2 + y 2 R2 , com 0 < r < R. Se X aponta para o interior de Br,R, em todo ponto de sua fronteira, ent˜ ao X tem uma órbita periódica em Br,R. Isto pelo Teorema de Poincaré-Bendixson aplicado a qualquer semiórbita positiva por um ponto da fronteira de Br,R.

{

≤

≤ }

140


Teorema 4.14 (Teorema de Poincar´ e - Bendixson na Esfera S2) Seja X : R3 R3 um campo vetorial de classe C 1 em R3 tal que se x S2 = (x1 , x2 , x3 ); x21 + x22 + x23 = 1 , ent˜ ao ϕ(t, x) S2 para todo t R. Se X tem um n´ umero finito de pontos singulares em S2 , ent˜ ao o conjunto ωlimite de uma ´ orbita por x S2 apresenta as mesmas possibilidades (a), (b), (c) como no Teorema de Poincaré - Bendixson em R2 .

}

∈

∈

∈

{

∈

A demonstra¸caõ deste teorema é similar a` dada para R 2 , usando o fato que uma curva de Jordan J em S2 divide S2 J em duas componentes conexas cujas fronteiras coincidem com J . O leitor dará os detalhes da prova.

−

Observa¸c˜ ao 4.15 A hip´ otese de que ϕ(t, x) S2 é equivalente a X (x) T S2x para todo x S2 . Aqui T S2x denota o plano tangente a S 2 em x, que coincide com o plano ortogonal a x. O leitor justificar´ a estes fatos.

∈

∈

4.3 4.3.1

∈

Aplica¸c˜ oes Pontos singulares no interior de uma o ´rbita peri´ odica

Teorema 4.16 Seja X um campo vetorial de classe C 1 num conjunto aberto ∆ R2 . Se γ ´ e uma orbita ´ fechada de X tal que Int γ ∆ ent˜ ao existe um ponto singular de X contido em Int γ .

⊂

⊂

Demonstra¸ c˜ ao Suponhamos que n˜ ao existem pontos singulares em Int γ . Consideremos o conjunto Γ de o´rbitas fechadas de X contidas em Int γ , ordenadas segundo a seguinte ordem parcial γ 1

≤ γ → Int γ ⊇ Int γ . 2

1

2

Mostraremos que todo subconjunto S totalmente ordenado de Γ, (i. e., γ 1 = γ 2 em S implica que γ 1 < γ 2 ou γ 2 < γ 1) admite uma cota superior ; isto é, um elemento maior ou igual que qualquer elemento de S . Um conjunto ordenado nestas condi¸co˜es chama-se indutivo. De fato, seja σ = Int γ i ; γ i S . Notemos que σ = , pois cada Int γ i é compacto e a fam´ılia Int γ i ; γ i S tem a propriedade da Interse¸c˜ ao Finita . Isto é, qualquer interse¸cão finita de elementos da fam´ılia é n˜ ao vazia. Seja q σ. Pelo Teorema de Poincaré-Bendixson ω(q ) é uma o´rbita fechada contida em σ, pois este conjunto é invariante por X e não contém pontos singulares. Esta o´rbita é uma cota superior de S . Pelo Lema de Zorn, Γ tem um elemento maximal , µ, pois Γ é indutivo. Lembremos que, segundo Lang [11], p. 10, isto quer dizer que n˜ ao existe nenhuma o´rbita fechada de Γ contida em Int µ. Mas, se p Int µ, α( p) e ω( p) são o´rbitas fechadas



{∩ {

∈ } ∈ }

 ∅

∈

∈

→

4.3 Aplica¸ c˜ oes

141

pelo Teorema de Poincaré-Bendixson (pois n˜ ao existem pontos singulares). Como α( p) e ω( p) não podem ser ambos iguais a µ (Por quê?), um deles estar´ a contido em Int µ. Esta contradi¸cão prova que devem existir pontos singulares em Intγ .

Exemplo 4.17 A equa¸caõ x′′ + x4 + 3 = 0 não tem solu¸co˜es peri´ odicas. De fato, o sistema bidimensional associado é x′ = y, y′ = x4 3, que não tem pontos singulares.

− −

4.3.2

As equa¸c˜ oes de Lienard e van der Pol

Seja g : R

1

→ R uma fun¸caõ de classe C

(a) G(u) = (b) G(u)

 u 0

tal que

g(s)ds é ´ımpar em u, isto é, G( u) =

−

−G(u).

→ ∞ se u → ∞ e existe β > 0 tal que se u > β , G é crescente.

(c) Existe α > 0 tal que G(u) < 0 se 0 < u < α. oes acima, a equa¸c˜ ao de segunda ordem Teorema 4.18 Nas condi¸c˜ u′′ + g(u)u′ + u = 0 (Equa¸c˜ ao de Lienard)

(4.1)

admite uma solu¸c˜ ao peri´ odica n˜ ao constante.

Demonstra¸ c˜ ao A equa¸caõ (4.1) é equivalente ao sistema u′ = v G(u) v ′ = u.

− −

(4.2)

Anotemos as seguintes propriedades do sistema (4.2). (a) O u ńico ponto singular de (4.2) é 0 = (0, 0), pois G(0) = 0. (b) Vê-se de (4.2) que toda solu¸ cão (u(t), v(t)) é tal que u(t) é crescente onde v(t) > G(u(t)) e decrescente onde v(t) < G(u(t)). Também v(t) é decrescente se u(t) > 0 e crescente se u(t) < 0. Além disso, o campo (v G(u), u) é horizontal no eixo v e vertical na curva v = G(u).

−

−

Segue-se que qualquer solu¸ cã o de (4.2) saindo do ponto A = (0, v0 ), com  tal como o v0 suficientemente grande, tem uma o´rbita com um arco ABCD mostrado na Figura 4.13.

142

4. Teorema de Poincar´ e - Bendixson v A

B

K

v = G(u)

J (α, 0)

(β, 0)

F

u

E

D

C

Figura 4.13: Teorema de Lienard (c) As solu¸co˜es de (4.2) s˜ ao invariantes por reflex˜ o es (u, v) ( u, v), isto é, (u(t), v(t)) é solu¸caõ de (4.2) se, e somente se, ( u(t), v(t)) também o for. Isto decorre de G ser ´ımpar. Portanto, se conhecemos um arco de trajet´ oria  ABCD como na Figura 4.13, ent˜ ao sua reflex˜ ao com respeito a` origem também é um arco de trajet´ oria. Em particular, se A = (0, v0 ), D = (0, v1 ) e v 1 < v0, ent˜ ao a semiórbita positiva que passa por A será limitada e, de fato, contida  sua na regi˜ ao limitada pela curva de Jordan J formada pelo arco ABECD, reflexão com respeito a` origem e os segmentos do eixo v que ligam os extremos destes arcos. Ver Figura 4.14.

−

→ − − − −

A seguir provaremos que se v0 é suficientemente grande temos que v1 < v0. Portanto, o conjunto ω(A) estar´ a contido na regi˜ ao limitada por J . Verificaremos que (0, 0) é uma fonte de (4.2). Portanto, ω(A) = (0, 0) e pelo Teorema de PoincaréBendixson ω(A) ser´ a uma o´rbita fechada. Isto terminar´ a a prova.



Consideremos a fun¸cão R(u, v) = 21 (u2 +v 2 ). Para uma solu¸caõ u = u(t), v = v(t) de (4.2) temos dR(u(t), v(t)) = u(t)G(u(t)). (4.3) dt

−

4.3 Aplica¸ c˜ oes

143 v

v0

J u

v1

Figura 4.14: Simetria na Equa¸cão de Lienard Com referência a` Figura 4.13, temos 1 2 (v 2 1

2 0

− v )

 −            − 

= R(D)

R(A) =

dR

ABECD

=

+

AB

=

CD

+

AB

=

dR +

CD

+

AB

CD

dR

BEC

dR dt dR dt du + dv dt du BEC dt dv uG(u) du + G(u)dv. v G(u) BEC

−

As primeiras duas integrais tendem monotonicamente a zero quando v0 , pois o denominador do integrando tende uniformemente para . Se F é um ponto qualquer no eixo u, entre (β, 0) e E (veja a Figura 4.13), temos que

∞

φ(v0) =

 

G(u)dv satisfaz a

BEC

=

CE B

G(u)dv >



EK

 −

G(u)dv − φ(v ) = G(u)dv > FJ × F K. 0

BEC

→ ∞

144


Au ´ ltima desigualdade resulta do fato que G é crescente e seus valores a` direita de F são maiores do que F J . Como F K se v 0 , isto prova que φ(v0) 2 2 se v0 . Portanto, v1 < v0 , se v0 é grande. Por (4.3) se 0 < u < α, dR (t) > 0. Portanto, 0 é uma fonte de (4.2), isto é, 0 é dt o α-limite de todo ponto numa vizinhan¸ca de 0.

→ ∞

→ ∞

→ ∞

→ −∞

||

Observa¸c˜ ao 4.19 Não é dif´ıcil provar que se α = β então (4.2) admite uma uńica órbita peri´ odica que, necessariamente, ser´ a est´ avel. Ver exerc´ıcio 15. ao de van der Pol x′′ + ε(x2 1)x′ + x = 0 com ε > 0 tem Corol´ ario 4.20 A equa¸c˜ uma unica ´ solu¸c˜ ao peri´ odica n˜ ao constante que é est´ avel.

−

Demonstra¸ c˜ ao Imediata pelo Teorema de Lienard e a observa¸ caõ anterior.

4.4

Exerc´ıcios

1. Seja X um campo vetorial de classe C 1 em ∆ Rn . Prove que se ϕ(t) é uma trajetória de X definida no intervalo m´ aximo (ω− , ω+) com limt→ω+ ϕ(t) = p ∆, então ω+ = e p é uma singularidade de X .

⊂

∈

∞

2. Seja X = f = grad f , onde f é uma fun¸cão de classe C r , r 2, definida num aberto ∆ Rn . Prove que X não possui o´rbitas peri´ odicas. Se X tem pontos singulares isolados, ent˜ ao, para todo p ∆, o conjunto ω-limite de p é vazio ou é um ponto singular. (Sugestã o: Se ϕ(t) é uma tra jet´ oria de X , note que df (ϕ(t)) > 0, isto é, f ϕ é dt crescente.)

∇

≥

⊂

∈

◦

3. Seja ϕ(t, x) o fluxo gerado por um campo vetorial X de classe C 1 em Rn . Um subconjunto S Rn não vazio chama-se minimal (de X ), se ele é invariante (i. e., x S ϕ(t, x) S , t R), compacto e não contém subconjuntos próprios com estas propriedades.

⊂ ∈ →

∈ ∀ ∈

Prove que em R2 (i. e., n = 2) os u ´ nicos subconjuntos minimais de X são os pontos singulares e as o´rbitas peri´ odicas de X . Se n > 2, é v´ alido este resultado? Justificar. 4. Determinar ω( p) e α( p), para p por Y 1 =

2

∈ R , no caso do campo Y = (Y , Y ) dado 2 1

1

2 2

   

−y + y (y + y )sen 2

1

Y 2 = y1 + y2 (y12 + y22 )sen

π

y12 + y22

π

y12 + y22

.

,

2

4.4 Exerc´ıcios

145

(Sugestão: Estude o produto interno < x, Y (x) >= x 1 Y 1 + x2 Y 2 .) 2

∈ R , no caso do sistema x′ = y[y + (x − 1) ] + x(1 − x − y ), y ′ = −x[y + (x − 1) ] + y(1 − x − y ).

5. Determine o conjunto ω( p), para todo p



2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(Sugestão: idêntica a` do exerc´ıcio 4.) 6. (Critério de Bendixson) Se X = (X 1 , X 2 ) é um campo de classe C 1 em ∆ ∆ um conjunto simplesmente conexo, com div X =

2

⊂R ,

∂X 1 ∂X 2 + =0 ∂x 1 ∂x 2



para todos os pontos de ∆, ent˜ ao X não tem o´rbitas peri´ odicas em ∆. (Sugestã o: suponha que X tem o´rbita peri´ odica e aplique o teorema da divergência na regi˜ ao limitada por ela.) 7. Determine os pontos singulares do seguinte sistema



x′ = y y ′ = b sen x

−

− ay, a, b > 0.

Prove que ele n˜ a o tem o´rbitas peri´ odicas. Fa¸ca um esbo¸co do retrato de fase deste sistema. Compare com o caso em que a = 0. (Sugestão: use o exerc´ıcio 6.) 8. Verifique se as seguintes equa¸ cões diferenciais possuem solu¸co˜es peri´ odicas. (a) x′′ + (x6

2

− x )x′ + x = 0. (b) x′′ + (x′ ) − (1 + x ) = 0. 2

2

(Sugestão: use o Teorema de Lienard ou o teorema sobre existência de pontos singulares.) 9. Sejam X 1 e X 2 campos em ∆1, ∆2 , abertos do Rn . Ent˜ a o, para toda con juga¸cão topol´ ogica h : ∆1 ∆ 2

→

temos que h(ω( p)) = ω(h( p)), para todo p em ∆1 . 10. Dê um exemplo de um campo X em R3 tal que o conjunto ω-limite de um de seus pontos é compacto, conexo e n˜ ao contém singularidades mas n˜ ao é uma órbita peri´ odica.

146


11. Prove que



x′ = 2x x5 y 4 x y′ = y y 3 yx 2

− − − −

nã o tem o´rbitas peri´ odicas. (Sugestã o: Mostre que o campo acima s´ o possui singularidades nos eixos coordenados. Considere o retrato de fase deste campo restrito a estes eixos e procure demonstrar que a existência de uma orbita ´ fechada leva a uma contradi¸cão.) 12. Seja X um campo de classe C 1 em R2 . Se p é um ponto regular de X tal que p ω( p) ent˜ ao ω( p) é o´rbita peri´ odica.

∈

13. Seja X um campo em R2 de classe C 1 e γ uma órbita de X . Prove que se γ não é singularidade nem órbita peri´ odica, ent˜ ao ω(γ ) α(γ ) = , ou então ω(γ ) α(γ ) é ponto singular. Suponha que X possui apenas singularidades isoladas.

∩

∩

∅

14. Seja X um foco linear em R2 . (a) Prove que existe δ > 0 tal que se Y é um campo C 1 em R2 com sup DY (x) x

∈R

2

 ≤ δ,



ent˜ ao X + Y não possui órbitas peri´ odicas. (b) Prove que existe δ > 0 tal que se Y é um campo C 1 em R2 com sup DY (x)

sup Y (x) < δ,

|x|≤1

x



 ≤ δ e

2

∈R

|

|

ent˜ ao X + Y não tem o´rbitas peri´ odicas. (Sugestão: use o exerc´ıcio 6.) 15. Com as hip´ oteses do Teorema de Lienard (4.18) mostre que se α = β , então o sistema u′ = v G(u) v′ = u

− −

admite uma u ´ nica solu¸caõ peri´ odica, que é est´ avel. (Sugestão: Com a nota¸caõ usada na prova do Teorema de Lienard mostre que se u0 β , então

≤

R(D)

− R(A) =



ABECD

G(u)dv > 0

4.4 Exerc´ıcios

147

A = (0, v0 )

B

G(u)

(β, 0) E = (u0, 0)

C

D

Figura 4.15: Unicidade do ciclo de Lienard e que se u0 > β , então R(D)

− R(A) =

   −   +

AB

CD

uG(u) du + v G(u)

−

G(u)dv

BEC

tende monotonicamente para quando v0 . Para provar esta u´ltima afirma¸cão analise separadamente cada uma das três integrais acima.)

−∞

→ ∞

16. Seja X = (X 1 , X 2 ) campo em R2 , onde X 1 = X 2 =

2 1 2 1

2 2 2 2

−x + x (1 − x − x ) x + x (1 − x − x ) 2

1

1

2

Prove que este campo tem uma uńica o´rbita peri´ odica γ . Calcule a transforma¸cão de Poincaré π associada a γ e prove que π′ = 1. (Sugestão: Em coordenadas polares o sistema acima se transforma no sistema



r′ = r(1 θ′ = 1. Usando que



r(1

dr

−

1 = log r2) 2

conclua que π: eixo positivo x1

2

−r )

  r2

2

|1 − r |

,

→ eixo positivo x é dada por 1

148


π(r) =

√ 1 −

re2π .) r2 + r 2 e4π

17. Seja X um campo de classe C 1 em R2 tal que existe uma vizinhan¸ca V de 0, onde X/V é o campo linear (x1 , x2 )

→ (λ x , λ x ) 1 1

2 2

com λ1 λ2 < 0 e λ1 + λ2 < 0. 2

∈ R , p = 0 tal que α( p) = ω( p) = {0}. Prove que se L = γ ∪ {0} ent˜ ao existe uma vizinhan¸ca W de L tal que, para todo q ∈ W ∩ J , onde J é uma componente conexa de R − L, tem-se Suponha que existe p

p

L

L

L

2

L

ω( p) = L. (Sugestão: Considere a Figura 4.16.

γ p

f

Σ

p g J L

0 Σ0

Figura 4.16: Gráfico la¸co Note que se pode definir uma transforma¸cão de Poincaré π para o la¸co L usando o segmento da se¸cão Σ que está contido no quadrado superior direito. Mostre que π = f g, onde g leva pontos deste segmento em Σ0 e f : Σ0 Σ. Prove que g(x) = x ρ com ρ = λ2 / λ1 > 1 e conclua que π(0) = 0 e π ′ (x) < 1. Analise também o caso em que a transforma¸ cão de retorno est´ a definida na 2 parte n˜ ao limitada de R L.)

◦

| || |

−

→

4.4 Exerc´ıcios

149

18. Seja um campo X com as hip´ oteses do exerc´ıcio 17, mas suponha agora que existem dois pontos p1 , p2 diferentes de 0, com γ p1 = γ p2 e tal que



ω( p1 ) = α( p1 ) = ω( p2 ) = α( p2 ) = 0 .

{}

Se L = γ p1 γ p2 0 prove que existe uma vizinhan¸ca W L de L tal que se q W L , então ω(q ) L. (Sugestão: Considere a Figura 4.17.

∈

∪ ∪ { } ⊂

π1 p1

π3 p2 π2

Figura 4.17: Gr´ afico em forma de “oito” Estude as transforma¸co˜es de Poincaré π1 , π2 e π3 . Considere também a configura¸caõ onde o retorno est´ a definido na componente n˜ ao limitada do “oito”.) 19. Analise o caso λ1 + λ2 > 0 para os exerc´ıcios 17 e 18. Considere também o caso λ1 + λ2 = 0. No caso do la¸co, dê um exemplo em que é um atrator e outro onde é repulsor. No caso do “oito”, dê um exemplo onde este é atrator e os la¸ cos são de estabilidades opostas. Rn tal 20. Seja X λ = X (x, λ) um campo de classe C 1 em R2 para cada λ que X : (x, λ) X (x, λ) é de classe C 1 em Rn+2 . Se X 0 tem uma órbita peri´ odica γ 0 com γ 0 div X 0 = 0, prove que existe uma vizinhan¸ca W de γ 0 e uma vizinhan¸ca V de 0 em Rn tal que para todo λ V , X λ tem uma uńica órbita peri´ odica γ λ W ; além disso γ λ tem com respeito a X λ o mesmo caráter de estabilidade que γ 0 com respeito a X 0 . (Sugestão: Aplique o Teorema das Fun¸cões Impl´ıcitas a π(x, λ) x = 0, onde

∈

→





⊂

∈

−

150


π( , λ) é a transforma¸caõ de Poincaré em rela¸caõ ao campo X λ por uma se¸caõ transversal a γ 0 .)

·

21. Seja γ uma o´rbita peri´ odica est´ avel de X = (X 1 , X 2 ), campo de classe C 1 num aberto ∆ de R2 . Seja X θ =



cos θ sen θ sen θ cos θ

−

  X 1 X 2

.

Este é o campo vetorial em R2 , obtido a partir de X dando-lhe uma rota¸caõ de um aˆngulo θ. (i) Prove que existe ε > 0 tal que X θ com θ < ε tem uma órbita peri´ odica γ θ tal que γ θ γ quando θ 0.

→

| |

→

(ii) Prove que as γ θ são todas disjuntas, isto é, γ θ1 e prove que



∩ γ

θ2

=

∅

se θ1 = θ 2



|θ|≤ε γ θ é uma região anular do plano.

(iii) Se γ é instável, prove uma vers˜ ao an´ aloga.

(iv) Se γ é semi-est´ avel prove que para θ com sinal apropriado (positivo ou negativo, conforme o caso), existem duas o´rbitas peri´ odicas γ 1θ e γ 2θ com γ iθ γ , quando θ 0, com i = 1, 2. Analise a existência de o´rbitas peri´ odicas quando θ tem sinal oposto ao considerado na primeira parte deste item.

→

→

(v) No caso do la¸co L do exerc´ıcio 17, prove que a rota¸ cão, em sentido apropriado, produz uma o´rbita fechada γ θ tal que γ θ L, quando θ 0.

→

→

(Sugestã o: Para (iv) veja na Figura 4.18 que se γ 1 e γ 2 são o´rbitas de X ent˜ ao o α-limite da órbita de X θ passando por a e o ω-limite da órbita de X θ passando por b são o´rbitas peri´ odicas distintas. Adapte a Figura e a ideia para tratar dos casos (i), (ii) e (iii). Só quando γ div X = 0, chamado caso em que γ é o´rbita hiperb´ olica de X , estes três u´ltimos casos podem ser tratados usando a sugest˜ ao do exerc´ıcio anterior. Para (v) procure pensar de maneira semelhante.)





22. Um cientista tem uma amostra de l´ıquido que contém v´ arias espécies misturadas de “platelmintos fototr´ opicos”, i. e, “minhoquinhas” que reagem a` luz e nadam em dire¸caõ a ela. Sabe-se que cada espécie nada a diferente velocidade. Para isolar e extrair aquela esp´ ecie de velocidade v, o cientista coloca o l´ıquido num recipiente transparente cil´ındrico, de raio R. Depois, submete

4.4 Exerc´ıcios

151

γ

a

X X θ

b

X θ X θ Figura 4.18: Campo rodado este recipiente a` rota¸cão, perto de uma fonte luminosa, com uma velocidade angular α > v/R. Ver Figura 4.19. Os platelmintos nadam em dire¸cão a` luz, contra o sentido de rota¸caõ do l´ıquido. O cientista espera que os platelmintos que ele procura se acumulem num ponto P do recipiente, quando t + (o experimento inicia com t = 0), de modo que, mergulhando uma colher nesse ponto, possam ser retirados.

→ ∞

Prove que, com as condi¸cões acima especificadas, o ponto P = P (v, α) existe e é u ńico. Prove também que P = P (v, α) varia continuamente com v e α, e que, quando α v/R, P tende ao ponto (R, 0), o foco luminoso.

→

Estude o limite quando α

→ 0.

Esbo¸co da prova As trajet´ orias dos platelmintos de velocidade v são solu¸cões do sistema X de equa¸co˜es diferenciais

X =

  

x′ =

y′ = αx

R

x x)2 + y 2

 −− −  −

−αy + v v

(R

(R

(1)

y . x)2 + y 2

Se (x(t), y(t)) é solu¸caõ de (1), seja U (t) = x(t)2 +y(t)2 . Prove que U ′ = dU < 0 dt 2 2 se, e somente se, o ponto (x(t), y(t)) est´ a fora do c´ırculo C : x R2 +y 2 = R4 .

−

152


.. . .. . . .. . . . .. . .. . .. ... .. . . . . ... . . . . . ... . . . . . . . .. ... . . ... . . . .. . . ... .. . .. .. ... .. . .. . . .. .. .. . . . . .. . .. . . .. . . . .. . .. . .. . . .. .. .... .. . . . .. . .. .. . . .. . . . . . .. .. . . .. .... . . .. .. .. . .. . . .. . . .. . . . .. .. .. . .. . . . . . . ... .. .... .. . .. .. . . .. . ... .. . . .. . ... . .. . . . .. . . . . .. .. .. . . . .. .. . . .. .. . .. .. .. . . ... . .. .. . .. . . .. . . .. .. . .. . . .. .. . ... . .. . . . .. . . .. . .. .. ... . ... . . . .... . ... . .. . .. . . .. .. .. ... . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . . . . . . .. . .. . . .. ... . . . . .... . .. . . . . . .. . .. .. .. . .. . .. . ... . . .. . . . . . . . . . . .. .. .. . .. . .. . . .. . . .. .. . ... . . . . .. . . . . . . . . . .. . . .. . ... .. . .. .. .. . . . .. . . . . .. . .. . . ... . ... . ... . . .. . .. .. . .. ... .. .. . . .. .. . ... . .. . .. . .. . . . .. . . . . . .. .. .. . .. . . .. . . . . . .. . ... . . .... .. .... . .. . . . . . .. .. .... . . . . .. . . . .. .. . ... . . . . .. . . . .. . .. . . . ... . . .. . .. ... . . . . . . . . . . ... . . . . . . .. ... . . ... .. . .... . .. .

.

Figura 4.19: Platelmintos fototr´ opicos (*) Prove que uma solu¸caõ ϕ(t) com condi¸caõ inicial em G = x2 + y 2 < R permanece em G, para todo t 0, e que, de fato, n˜ ao existe nenhuma tal solu¸cão com ϕ(t) (R, 0) quando t ξ +, onde ξ + é o extremo superior do intervalo m´ aximo, que neste caso satisfaria a ξ + < + . Prove também que, exatamente uma o´rbita por ponto de G tende a (R, 0) para tempo negativo.

≥

→

{

→

}

∞

P

G 0

(R, 0) é a fonte luminosa C

Figura 4.20: Esbo¸co do retrato de fase.

Prove que n˜ ao existem o´rbitas peri´ odicas de X em G (usar o critério de Bendixson: se div X = 0numa regi˜ ao G, simplesmente conexa, não existem o´rbitas peri´ odicas de X , em G).



Para provar (*), introduza coordenadas polares em torno de (R, 0), com (R, 0) como polo, e conclua que as trajet´ orias do sistema acima correspondem a` Figura 4.20.

4.4 Exerc´ıcios

153

Nota. Este exerc´ıcio é baseado em modelo no livro de Wilson [27], onde, entretanto, n˜ a o aparece a parte (*). Por sua vez, sem citar fonte, Wilson atribui a L. Markus a autoria do modelo. Ver também Sotomayor [26] onde uma solu¸cão da parte (*) é apresentada. 23. Mostre que y(t) é solu¸cão da equa¸cão de Rayleigh y ′′

√

2

− ε(1 − (y′) )y′ + y = 0,

ε > 0,

∗

( )

se, e só se, x(t) = 3y′ (t) é solu¸caõ da equa¸caõ de van der Pol. (Sugestão: Diferencie ( ).)

∗

24. Mostre que se g satisfaz as condi¸co˜es do Teorema de Lienard e f C 1 é uma fun¸caõ ´ımpar com f (u) > 0 se u > 0 ent˜ ao as conclus˜ oes daquele teorema s˜ ao válidas para a equa¸caõ

∈

u′′ + g(u)u′ + f (u) = 0. (Sugestão: Considere o sistema u′ = v G(u) v′ = f (u)

− −

e proceda como no Teorema de Lienard.) 25. Mostre que as equa¸co˜es x′′ + (5x4 9x2 )x′ + x5 = 0 x′′ + (x6 x2 )x′ + x = 0

− −

possuem uma o´rbita peri´ odica.

154


Cap´ıtulo 5 Estabilidade no sentido de Liapounov Considere uma solu¸caõ x(t), periódica ou singular, de um sistema de equa¸cões diferenciais. Grosso modo dizemos que x(t) é est´ avel quando toda solu¸caõ com valores iniciais próximos aos de x(t) est´ a definida para todo t 0 e permanece pr´ oxima a x(t) quando t + . Se o sistema de equa¸cões descreve a evolu¸caõ de um processo natural ou um mecanismo, as solu¸co˜es est´ aveis adquirem uma importância especial para o estudo do mesmo. Um exemplo simples é o funcionamento do rel´ ogio com pêndulo, que possui dois regimes estacion´ arios est´ aveis: um é o funcionamento normal, quando o pêndulo se movimenta com uma amplitude bem determinada ario temos θ, durante um tempo, pode-se dizer, infinito; no outro regime estacion´ ausência de movimento. Os dois regimes s˜ ao est´ aveis. De fato, afastemos o pêndulo de sua posi¸caõ vertical com a for¸ca de um impulso. Se esta for¸ ca for pequena, o pêndulo para depois de um certo n´ umero de oscila¸co˜es. Se a for¸ca for suficiente para dar ao pêndulo um movimento de amplitude pr´ oxima a θ, ele funcionar´ a normalmente ap´ os um pequeno intervalo de tempo. Portanto, toda solu¸ cão se confunde com um dos dois regimes estacion´ arios ap´ os certo tempo. Neste cap´ıtulo desenvolvemos os elementos b´ asicos da teoria de estabilidade.

≥

→ ∞

5.1

Estabilidade de Liapounov

Consideremos o sistema x′ = f (t, x), onde f : Ω

n

→R

é cont´ınua, Ω

n

⊂ R×R

(5.1)

aberto.

Defini¸c˜ ao 5.1 Seja ϕ(t) uma o´rbita de (5.1) definida para t 0. Diz-se que ϕ(t) é est´ avel se para todo ε > 0 existir δ > 0 tal que se ψ(t) é solu¸ca˜ o de (5.1) e

≥

155

156

5. Estabilidade no sentido de Liapounov

|ψ(0) − ϕ(0)| < δ , então ψ(t) está definida para todo t ≥ 0 e |ψ(t) − ϕ(t)| < ε, ∀t ≥ 0. Se além disso existir δ tal que |ψ(0) − ϕ(0)| < δ implica lim → ∞ |ψ(t) − ϕ(t)| = 0, 1

1

t

+

ent˜ ao ϕ diz-se assintoticamente est´ avel .

δ

y x ε

x = ϕ (0) y = ψ (0)

t órbita est´ avel

δ 1

y x

órbita assintoticamente est´ avel

t

´ Figura 5.1: Orbitas est´ avel e assintoticamente est´ avel Um ponto singular x 0 de um sistema autˆ onomo x′ = f (x), x ∆

n

∈ ⊂R ,

(5.2)

é est´ avel quando para toda vizinhan¸ca U de x0 existe uma vizinhan¸ca U 1 de x0 tal que toda solu¸cão ϕ(t) de (5.2) com ϕ(0) U 1 está definida e contida em U para todo t 0. Se além disso limt→+∞ ϕ(t) = x 0 , diminuindo U 1 se necessário, ent˜ ao x 0 é assintoticamente est´ avel.

≥

∈

5.1 Estabilidade de Liapounov

157

U

x0

U

U 1

U 1

x0

singularidade assintoticamente est´ avel

singularidade est´ avel

Figura 5.2: Singularidades est´ avel e assintoticamente est´ avel

Exemplo 5.2 Seja A um operador linear em R n cujos autovalores têm todos parte real < 0. Existem K e µ > 0 tais que At

µt

|e | ≤ Ke−

,

∀t ≥ 0.

Rn ´ Conclui-se que 0 e um ponto singular assintoticamente est´ avel do sistema ′ x = Ax. Ver Teorema 2.30.

∈

Exemplo 5.3 Seja x′ = Ax um centro em R2 ; 0 R 2 é uma singularidade estável mas não assintoticamente est´ avel. Seja ϕ(t) uma solu¸caõ de (5.1). Verificar a estabilidade de ϕ equivale a testar a estabilidade da solu¸caõ nula de x′ = f (x + ϕ(t), t) f (ϕ(t), t). O leitor pode constatar facilmente esta afirma¸ caõ. Suponhamos ent˜ a o que (5.1) tenha solu¸cão 1 nula e f seja C . O desenvolvimento de Taylor de f (x, t) em torno de x = 0 nos fornece o sistema x′ = A(t)x + g(t, x), (5.3)

∈

−

onde A(t) (Rn), g(t, 0) 0 e g(t, x) = o( x ) quando x 0, para cada t. Um sistema deste tipo chama-se quase-linear. O teorema abaixo estabelece uma condi¸cão suficiente para que a solu¸cão nula seja assintoticamente est´ avel em (5.3).

∈L

≡

||

→

Teorema 5.4 Consideremos o sistema quase-linear x′ = Ax + g(t, x), (t, x) Ω b ,

∈

(5.4)

onde Ω b = (t, x) R Rn ; x < b , A é um operador linear em Rn cujos autovalores têm parte real < 0, g é cont´ınua e g(t, x) = o( x ) uniformemente em t. Suponhamos ainda que (5.4) tenha solu¸c˜ oes unicas ´ em todo ponto. Ent˜ ao a solu¸c˜ ao nula de (5.4) é assintoticamente est´ avel.

{

∈ × || }

||

158


Demonstra¸ c˜ ao Provamos no Teorema 2.30 que existem µ > 0 e K 1 tais que tA tµ − e K e , t 0. Ainda, existe δ 1 > 0 para o qual x < δ 1 implica g(t, x) µ x , para todo t R. 2K δ1 Dado x < δ = K , seja ϕ(t) a solu¸cão de (5.4) em Ωδ1 , com ϕ(0) = x e intervalo maximal (ω− , ω+ ). Sabemos que

| |≤ ||

| |

∀ ≥ ∈

≥

| |

 t

tA

ϕ(t) = e x +

|

|≤

e(t−s)A g(s, ϕ(s))ds

0

para todo t (ω− , ω+ ). Como ϕ(t) < δ 1 , t, isto implica, para t

∈

| |

∀

|ϕ(t)| ≤ K e−µt|x| + K

 t

 t

≥ 0,

e−µ(t−s) g(s, ϕ(s)) ds,

|

0

|

donde e µt ϕ(t) K x + µ2 0 e sµ ϕ(s) ds. Aplicando a desigualdade de Gronwall (Exerc´ıcio 36, Cap´ıtulo 1), obtemos

|

|≤ | |

|

|

eµt ϕ(t)

µ/2

| | ≤ K |x|e , t ≥ 0. , t ≥ 0. Afirmamos que ω = ∞. Se não, pelo Teorema

Portanto, ϕ(t) δ 1e−µ/2t 1.17, ter´ıamos que δ 1 = lim ϕ(t)

|

|≤

t

→ω

+

+

µ/2ω+

| ≤ δ e−

|

1

< δ 1 ,

∞

absurdo. Portanto, ω + = , e é imediato concluir que a solu¸ caõ nula é assintoticamente est´ avel, a partir da desigualdade µ/2t

|ϕ(t)| ≤ δ e− 1

, t

≥ 0, se |ϕ(0)| < δ.

∗

( )

Corolário 5.5 Seja x0 um ponto singular de x′ = f (x), f : ∆

n

→R

de classe C 1 , ∆

n

⊂R

aberto,

(5.5)

e suponhamos que Df (x0 ) tem todos os autovalores com parte real < 0. Ent˜ ao existem uma vizinhan¸ca U de x0 e constantes K > 0 e ν > 0 tais que para todo x U a solu¸c˜ ao ϕ(t) de (5.5) tal que ϕ(0) = x est´ a definida em U , para todo t 0, e ϕ(t) x0 Ke−νt x x0 , t 0. Em particular, x0 é assintoticamente est´ avel.

∈ | − | ≤

≥

| − | ∀ ≥

∗

Demonstra¸ c˜ ao Imediata a partir da rela¸caõ ( ) da demonstra¸cão anterior.

5.2 O Crit´ erio de Liapounov

5.2

159

O Crit´ erio de Liapounov

Consideremos o sistema autˆ onomo x′ = f (x), f : ∆

n

→R

(5.6)

onde f é de classe C 1 no aberto ∆ Rn . A solu¸cã o de (5.6) passando por x ∆ será sempre indicada por ϕx (t), com ϕx (0) = x. Seja V : ∆ cão diferenci´ a vel. Ponhamos, para cada x ∆, R uma fun¸ d ˙ ˙ V (x) = DV x f (x), ou seja, V (x) = dt V (ϕx (t)) .

⊂

·

→

∈

∈



t=0

ao de Liapounov para Defini¸c˜ ao 5.6 Seja x 0 um ponto singular de (5.6). Uma fun¸c˜ x0 é uma fun¸caõ V : U R diferenciável definida em um aberto U x 0 , satisfazendo às seguintes condi¸cões:

→

∋

(a) V (x0 ) = 0 e V (x) > 0, x = x 0 ;

∀ 

˙ (b) V

≤ 0 em U .

A fun¸caõ de Liapounov V diz-se estrita quando (c) V˙ < 0 em U

− {x }. 0

O critério de Liapounov para o sistema (5.6) é:

Teorema 5.7 Seja x0 um ponto singular de (5.6). Se existe uma fun¸ c˜ ao de Liapounov para x0 , ent˜ ao x0 é est´ avel. Se a fun¸c˜ ao for estrita, x0 é assintoticamente est´ avel. caõ de Liapounov para x0 . Dado B = Demonstra¸ c˜ ao Seja V : U R uma fun¸ x Rn ; x x0 δ U , o n´ umero m = min V (x); x x0 = δ é positivo. Em virtude da continuidade de V , existe um aberto U 1 x 0 , contido em B, tal que V (x) < m para todo x U 1 . Como V é n˜ ao crescente ao longo das o´rbitas de (5.6), temos que ϕ x (t) permanece no interior de B para todo t 0 e x U 1 . Portanto, x 0 é est´ avel. Vamos supor agora que V˙ < 0 em U x0 . Sejam x U 1 e tn uma sequência crescente de n´ umeros reais positivos tal que ϕx (tn ) y B. Temos V (ϕx (tn)) ao V (ϕy (t)) < V (y) e V (y) e V (ϕx (t)) > V (y), t 0. Suponhamos y = x0 . Ent˜ para todo z suficientemente pr´ oximo de y, V (ϕz (1)) < V (y). Mas ent˜ ao, se n for suficientemente grande, V (ϕx (tn + 1)) < V (y), absurdo. Portanto, y = x 0 . Como B é compacto, isto é suficiente para provar que x0 é assintoticamente est´ avel.

{ ∈

| − |≤ }⊂ ∈

→

∀ ≥

{

| − |

∋ ≥ −{ } ∈ → ∈ 

∈ { }

}

→

160


Corolário 5.8 Nas condi¸c˜ oes do Corol´ ario em 5.5 existe uma fun¸c˜ ao quadr´ atica definida positiva que, numa vizinhan¸ca de x0 , é de Liapounov estrita para f . Portanto x0 é assintoticamente est´ avel. Demonstra¸ c˜ ao Tomar como fun¸caõ de Liapounov a forma quadr´ atica q associada a` parte linear de f (que é um atrator linear), usada na prova da parte (4) do Teorema 2.30. Exemplo 5.9 Consideremos o sistema x′ =

2

y ′ =

−x + 2x(x + y) ,

−y

3

+ 2y3 (x + y)2, (x, y)

2

∈R .

A origem (0,0) é um ponto singular isolado. Observe que n˜ ao é poss´ıvel aplicar o 1 2 2 Teorema 5.4. Consideremos a fun¸caõ V (x, y) = 2 (x + y ). Temos V (0, 0) = 0 e V (x, y) > 0, Ainda,

∀(x, y) = (0, 0).

˙ V (x, y) = xx ′ + yy ′ = [2(x + y)2

2

− 1](x

+ y 4 ),

˙ donde V (x, y) < 0numa vizinhan¸ca de (0,0) (exceto em (0,0)). Em virtude do teorema de Liapounov, (0,0) é assintoticamente est´ avel. avel do sistema Exemplo 5.10 A origem (0,0) é uma singularidade est´ x′ = y

2

− xy ,

y′ =

3

−x ,

2

∈ R .

(x, y)

∗

( )

De fato, V (x, y) = 41 x4 + 21 y 2 é uma fun¸caõ de Liapounov do sistema ( ). Note que (0,0) é uma singularidade n˜ ao est´ avel da parte linear x ′ = y, y′ = 0 deste sistema.

∗

Defini¸c˜ ao 5.11 Seja x0 uma singularidade assintoticamente est´ avel de (5.6). O conjunto B(x0 ) = x ∆; ϕx (t) x 0 quando t chama-se bacia de atra¸cao ˜ ou variedade est´ avel de x0 . Um conjunto P ∆ diz-se positivamente invariante para (5.6) quando para cada x P , ϕx (t) est´ a definido e contido em P para todo t 0.

{ ∈

∈

→

→ ∞}

⊂

≥

Observe que B(x0 ) é um conjunto aberto em ∆. Quando (5.6) representa um sistema f´ısico, é importante determinar B (x0), pois a´ı todo estado confunde-se com x0 depois de certo tempo.

Teorema 5.12 Sejam x0 uma singularidade de (5.6) e P ∆ uma vizinhan¸ca de x0, compacta e positivamente invariante. Seja V uma fun¸c˜ ao C 1 tal que V˙ < 0 em P x0 . Ent˜ ao x0 é assintoticamente est´ avel e P B(x0 ).

⊂

− { }

⊂

5.2 O Crit´ erio de Liapounov

161

Demonstra¸c˜ ao Sejam x P e ω(x) = y ∆; tn com ϕx (tn ) y o conjunto ω -limite de x. Como P ´ P é fechado fech ado,, temos tem os ω(x) P . P . Ainda, Ainda, sabemos sabemos que ω (x) é invarian invariante. te. Por outro lado, V é constante cons tante em ω(x). De fat fato, o, com comoo V é cont co nt´´ınua, ınu a, lim n→∞ V ( V (ϕx (tn)) = V ( V (a) para toda to da sequência encia tn de n´ umeros umeros positivos positivos tal que limn→∞ ϕx (tn ) = a. de ϕ x (t), donde a . Mas, V decresce V decresce ao longo de ϕ

∈

{ ∈ ∃ →∞ ⊂ { }

→ }

lim V ( V (ϕx (tn )) = lim V ( V (ϕx (t)). )).

n

t

→∞

→∞

Assim, V ( con stante nte em ω (x). V (a) = V ( V (b) quaisquer que sejam a e b ω (x), e V é consta ˙ Mas, ent˜ ao ao V 0 em ω (x), donde ω(x) = x0 , o que prova o teorema.

≡

{ }

∈

Exemplo 5.13 Consideremos o sistema:



x′ = x 3 y′ = x,

− x − y,

2

∈ R .

(x, y )

Observe que (0,0) é a unica uńica singularidade e a parte linear do sistema em (0,0) tem autovalores com parte real < 0. Portanto, Portanto, (0,0) é assintoticamen assintoticamente te est´ avel. 1 2 2 2 ′ ′ ˙ (x, y ) = xx + yy = x (1 Consideremos a fun¸c˜ cao V aõ V ((x, y ) = 2 (x + y ). Temos V ( V ˙ (x, y ) < 0. x). Porta ortan nto, to, 0 = x < 1 implica V ( V 0. Seja 0 < r < 1 e ponhamos 2 2 P = (x, y ); x + y r . Obser Observ ve que P P é fechado fech ado e V˙ < 0 em P (0, (0, 0) . Vamos provar provar que P P é positivamente invariante. invariante. Seja z = (x, y ) P . P . Entao aõ 1 r 2 2 V ( V (x, y ) = 2 (x + y ) . Co Como mo V decresce V decresce ao longo das orbitas o´rbitas positivas em P , P , 2 r vem V ( , para todo t 0, e da´ı ϕz (t) P , teoremaa acima acima V (ϕz (t)) P , t 0. Do teorem 2 conclu´ conclu´ımos que a bola aberta de centro em zero e raio 1 est´ a contida na bacia de (0,0).

{

≤

|| ≤ } ≤

∈

≥

− − − {

− }

∈ ∀ ≥

Co nsideremos remos um pêndulo endu lo de massa m oscilando na ponta de uma Exemplo 5.14 Conside linha de comprimento ℓ. Supon Suponha hamo moss que que a for¸ for¸ ca c a de friçc˜ cao ão seja proporcional a` velocidade veloc idade do pêndulo, endul o, sendo send o k > 0 a constante de proporcionalidade. Supondo que a acelera¸c˜ cao aõ da gravida grav idade de é g = g = 1, o sistema siste ma que qu e descreve des creve o movimento do pêndulo endul o é

−



∗

( )

x′ = y, y ,

− 1ℓ sen x − mk y. As singularidades deste sistema s˜ ao ao (nπ, 0), n 0), n ∈ Z; (0,0) é uma singularidade assiny′ =

toticamente est´ avel, pois a parte linear do sistema em (0,0) tem autovalores com avel, parte real < 0. Vamos amos estima estimarr o taman tamanho ho da baci baciaa de (0,0). (0,0). A energi energiaa total total do 1 2 sist si stem emaa é E (x, y ) = mℓ 2 ℓy + 1 cos x . E ´ é uma um a fun¸ fu n¸c˜ cao ão de Liapounov de ( ). Ainda, E ( π, y ) = 21 mℓ2 + 2mℓ 2 mℓ 2mℓ 2 mℓ.. Portanto, Portanto, E (x, y ) < 2mℓ 2 mℓ implica implica x = π. Da´´ı se conclui que o conjunto P a = (x, y ); E (x, y ) a e x < π é fechado Da fech ado para par a

±



− ≥

{



≤ | |

}

∗  ±

162


todo 0 < 0 < a < 2mℓ. mℓ. Ainda, Ainda, P a é positivamente invariante. De fato, seja (x(t), y (t)) ˙ 0, temos E (x(t), y (t)) < a uma orbita o´rbita de ( ) com (x (x(0), (0), y (0)) P a . Co Como mo E para todo t 0. Ainda, Ainda, x(t) = π, t 0, donde x(t) < π, t 0. Po Portan rtanto, to, (x(t), y (t)) P a para todo t 0 e P a é positivamente invariante. Em virtude do ´ claro, portanto, que teorema acima, P a B(0 B (0,, 0). E

≥ ∈

∗

∈  ± ∀ ≥ ≥

⊂ < 2mℓ mℓ {(x, y); E (x, y) < 2

≤ | |

e

∀ ≥

B (0,, 0). 0). |x| < π} ⊂ B(0

l x m

Figura Figur a 5.3: Pêndulo endul o

Exemplo 5.15 Considere o sistema x′ = y, y , y′ = ay

− − bx − x

2

.

Determine os pontos de equil´ equil´ıbrio, suas localiza¸c˜ coes o˜es e seus tipos; dê uma descric˜ ¸cão a o gr´ afica afica do retrato retrato de fase. fase. Use o Teorema eorema 5.12 para estimar estimar quantita quantitav vamente amente a bacia de atra¸c˜ cao a˜ o do unico u ´ nico ponto atrator. Para tanto tanto considere V ( V (x, y ) = y2 /2 + bx2 /2 + x3/3.

5.3 5.3

Teore eorema ma de Ceta Cetaev ev

diz-se inst´ avel quando quando não ao Defini¸c˜ ao ao 5.16 Um ponto singular x0 do sistema (5.6) diz-se inst´ for est´ avel. avel. Por exemplo, seja A um operador linear em Rn que tenha algum autovalor com parte real > real > 0. 0. Então ao zero é um ponto singular inst´ avel avel do sistema linear x linear x ′ = Ax. Ax. O teorema teor ema abaixo, devido a Cetaev, fornece for nece um critério erio para par a a instabilidade.

5.3 Teorema de Cetaev

163

Teorema 5.17 Consideremos um sistema autˆ onomo (5.6) onomo (5.6) admitindo admitindo um ponto singular x0 . Seja D um dom do m´ınio ın io em ∆ tal que x0 ∂D ∂ D. Suponhamos que exista uma 1 R tal que V > 0 e V˙ > 0 em D e V 0 em ∂D. fun¸c˜ c˜ ao C , V : ∆ ∂D . Ent˜ ao x0 é e inst´ avel.

∈

→

≡

Demonstra¸c˜ ao Seja B uma bola fechada com centro em x0 e contida em ∆. Seja que ϕx (t) esteja definida e contida contida em B em B para para todo t todo t 0. x D int B e suponhamos que ϕ Em D, V cresce V cresce ao longo das solu¸c˜ cões oes de (5.6), (5.6) , donde V ( V (ϕx (t)) V ( V (x) > 0 para todo t todo t 0 tal que ϕ que ϕ x(t) D. D . Conclui-se que para um compacto U compacto U disjunto de ∂ de ∂ D, ϕx (t) U para U para todo t todo t 0 (veja a Figura 5.4). Ainda, em virtude da continuidade continuidade de 1 V , V , existe δ existe δ > 0 tal que d que d((ϕx (t), ∂U ) ∂U ) δ , t 0. Como f Como f e V são C ao C , existem m existem m > 0 t ˙ (ϕx (t)) m, t 0. Da´ı V ( para o qual V ( V V (ϕx (t)) > V ( V (x) + 0 md m ds = V ( V (x) + mt + mt,, para todo t 0. 0. Entretanto, Entretanto, V é limitad limi tadaa em B , absurdo. absurdo. Ent˜ Ent˜ ao, ao, ϕx(t) deve sair de B de B e x0 é ins in stavel. a´vel.

∈ ∩ ≥ ∈

≥

∈

≥ ≥ ∀ ≥ ≥ ∀ ≥

≥

≥



B

D x U

x0

∂D Figura 5.4: Teorema de Cetaev

Exemplo 5.18 Consideremos o sistema em R2



x′ = x = x + + ax2 + bxy + bxy + cy 2 y ′ = dx = dx 2 + exy + exy + f y2 .

Vamos provar provar que (0,0) é uma singularidade inst´ avel. avel. Sejam Sejam V ( V (x, y ) = x2 y 2 e D = (x, y ); 0 < y < x . Temos V > 0 em D e V = V = 0 na fronteira de D. Ainda,

{

||

−

}

˙ (x, y ) = 2[x2 + ax3 + (b V ( V (b = 2x2



2

2

3

− d)x y + (c(c − e)xy − f y ] y y 1 + ax + ax + (b ( b − d)y + (c ( c − e) y − f y x x 2

2

2



.

Em D Em D,, o termo ax termo ax+( +(bb d)y +(c +( c e) xy y f xy 2 y tende para zero quando (x, (x, y ) (0, (0 , 0). ˙ (x, y ) > 0 para todo Ent˜ ao, a o, existe uma bola B com centro na origem tal que V ( V (x, y ) D B . Em virtude do teorema de Cetaev, (0,0) é inst´ avel.

−

∈ ∩

−

−

→

164

5.4


Exerc´ıcios

1. Prove que a origem é um ponto singular assintoticamente est´ avel do sistema

2. Seja f : Rn Prove que x em x = 0.

 

n

x x′ = −x −

3

− 2sen y,

3 3

y y′ = −y − ,

(x, y)

3

2

∈R .

de classe C 1 tal que f ( 0) = 0 e < x, f (x) > < 0, x = 0. 2 é uma fun¸caõ de Liapounov estrita para o sistema x′ = f (x)

→R → |x|

∀ 

Rn de classe C 1 , 3. Seja x 0 uma singularidade do sistema ( ) x ′ = f (x), f : ∆ ∆ Rn aberto. Seja V : U R uma fun¸cão de Liapounov de x0 . Suponha que ˙ não exista trajet´ oria de ( ) inteiramente contida em Z = x U ; V (x) =0 , exceto x0 . Então x0 é assintoticamente est´ avel.

⊂

∗

→ ∗

→ { ∈

}

4. Considere o sistema n

x′ = A(t)x + g(t, x), 0

(∗) ≤ t < +∞, |x| < b, x ∈ R , onde A e g são cont´ınuas, g(t, x) = o(|x|) uniformemente em t. Seja Φ(t) a matriz fundamental de x′ = A(t)x tal que Φ(0) = E e suponha que existam constantes K > 1 e µ > 0 tais que |Φ(t)| ≤ Ke− , t ≥ 0. Ent˜ a o a solu¸cão nula de (∗) é assintoticamente est´ avel. 5. Seja x um ponto singular de x′ = f (x), onde f : ∆ → R é de classe C , ∆ ⊂ R aberto. Seja V uma fun¸caõ C definidanuma vizinhan¸ca de x tal que ˙ V (x) > 0 para todo x  = x e V (x ) = 0. Se em toda vizinhan¸ca de x existe µt

n

0 n

1

0

1

0

0

0

x tal que V (x) > 0, então x0 é inst´ avel.

Rn ´ 6. Seja x0 um ponto singular de x′ = f (x), onde f : ∆ e de classe C 1, Rn aberto. Seja V : U R uma fun¸ ∆ cão de Liapounov estrita de x0 . 1 − Ent˜ ao, para cada c > 0 tal que V [0, c] é compacto, tem-se V −1 [0, c] B(x0 ) (bacia de atra¸cão de x0).

⊂

→

→

⊂

7. Sejam ∆ Rn um aberto e V : ∆ cão de classe C 2. O campo R uma fun¸ gradiente associado a V é definido por

⊂

onde grad V (x) = classe C 1 e satisfaz

→



x′ =

−grad V (x), x ∈ ∆,

∂V ∂V (x), . . . , ∂x (x) ∂x 1 n



. Observe que o campo gradV é de

DV x y =< grad V (x), y >,

·

5.4 Exerc´ıcios

165 ˙ derivada de V ao longo das trajet´ orias do ∈ R . Seja V a n

para todo x ∆, y campo. Prove:

∈

˙ (a) V (x)

˙ = 0 se e só se x é uma singularidade de grad V ; ≤ 0, ∀x ∈ ∆, e V (x)

(b) Se x0 é um m´ınimo isolado de V , então x0 é uma singularidade assintoticamente est´ avel de grad V ;

−

−grad V não possui trajetórias periódicas não singulares. 8. Seja V : ∆ → R de classe C , ∆ ⊂ R aberto. Dado c ∈ R, o conjunto V − (c) é chamado superf´ıcie de n´ıvel de V . Se x ∈ V − (c) é ponto regular (isto é, DV  = 0), ent˜ ao V − (c) é uma superf´ıcie C de dimens˜ ao n − 1 em torno de x. Prove que, neste caso, grad V (x) é perpendicular a V − (c) em x. Em cada um dos casos abaixo, esboce o gr´ afico de V e o retrato de fase de −grad V . (c)

2

n

1

1

1

x

1

1

(a) V (x, y) = x 2 + y 2 ; (b) V (x, y) = x 2 (c) V (x, y) = x 4

2

−y ; −x +y . 2

2

R de classe C 2 , ∆ Rn aberto, e p um ponto α-limite ou 9. Sejam V : ∆ ω-limite de uma trajet´ oria do campo grad V . Então, p é uma singularidade deste campo. (Sugestão: dado x ∆, prove que V é constante em α(x) e em ω(x).)

→

⊂ −

∈

10. Considere uma part´ıcula movendo-se sob a influência de uma fun¸ cão potencial 2 3 R, de classe C , ∆ R aberto. O sistema dinˆ P : ∆ amico correspondente é x′ = v, ( ) v ′ = grad P (x), (x, v) ∆ R3 .

→

⊂



∗ Prove o teorema de Lagrange, segundo o qual uma singularidade (x , 0) de (∗) −

∈ ×

0

é est´ avel se x0 for um m´ınimo local estrito de P .

11. Seja A uma matriz real n n cujos autovalores λ1, . . . , λn satisfazem λi +λk = 0, i, k. Seja S (Rn ) o conjunto das matrizes simétricas reais n n e consideremos o operador T : S (Rn ) S (Rn ) dado por T (B) = At B + BA, onde At é a transposta de A. Prove que T é sobrejetiva. Conclua que existe B S (Rn ) ˙ ˙ tal que a forma quadr´ atica V (x) =< x, Bx > satisfaz V (x) = x 2 , onde V é a derivada de V ao longo das trajet´ orias de x′ = Ax. Ainda, se Re λi < 0, 1 i n, então V (x) > 0 para todo x = 0. (Sugestão: Observe que T é linear. Seja B = 0 tal que T (B) = µB. Ent˜ ao (At µI )B = BA, donde A t µI e A têm um autovalor comum. Conclua que µ = 0.)

× →

∀



×

−| |

≤ ≤ − 

−

−

  −

∈

166


R de classe C 1 tal que f ( 0) = 0. A solu¸ Rn diz-se 12. Seja f : Rn caõ 0 globalmente est´ avel quando for estável e limt→∞ ϕ(t) = 0 para toda solu¸cão ϕ(t) de x′ = f (x). ( )

→

∈

∗

Seja V : Rn caõ de Liapounov estrita para ( ) em 0. Suponha Rn uma fun¸ que para cada c > 0 dado exista R > 0 tal que x > R implica V (x) > c, x Rn . Ent˜ ao, 0 é uma solu¸caõ globalmente est´ a vel de ( ). Observe que ´ suficiente supor que não é necess´ aria a condi¸caõ x Rn; V (x) = 0 = 0 . E este conjunto n˜ ao contém tra jet´ oria inteira de ( ) distinta de x(t) 0.

→

∗

| | ∀ ∈ ∗ { ∈ } {} ∗ ≡ 13. Mostre que toda forma quadr´ atica V : R → R definida positiva satisfaz a` condi¸caõ: dado c > 0, existe R > 0 tal que |x| > R implica V (x) > c. Prove ′ n

novamente que a solu¸caõ nula é globalmente est´ avel para x = Ax, onde A é um operador linear em Rn cujos autovalores têm parte real < 0.

14. Seja f : R

1

→ R de classe C

tal que f (0) = 0. Considere o sistema

x¨ + ax + ˙ f (x) = 0, x

∈ R.

∗

( )

Se a > 0 e f (x)x > 0, x = a, então a solu¸cão nula é uma solu¸cão assintoticamente est´ avel para o sistema ( ) (isto é, para o sistema de primeira ordem associado). Se f (x)/x > ε > 0, x = 0, ent˜ ao a solu¸caõ nula é globalmente estável. x (Sugestão: Tome V (x, y) = y 2 + 2 0 f (x)dx.)

∀ 

∗ ∀ 



15. Considere a equa¸caõ

x¨ + g(x)x˙ + f (x) = 0,

x

∈ R.

∗

( )

Sob quais condi¸cões em f e g a solu¸caõ nula é globalmente est´ avel? (Sugestão: Transforme ( ) no sistema

∗

 −

x

x = y ˙

ϕ(x)dx, y˙ =

0

usando a mudan¸ca de vari´ aveis y = x + ˙ exerc´ıcio 14.)

 x 0

−f (x),

ϕ(x)dx. Proceda ent˜ a o como no

16. Seja p uma singularidade da equa¸cão Lipschitziana n

∈ ⊂ R .

x = f (x), ˙ x U

5.4 Exerc´ıcios

167

(a) Se p é est´ avel, prove que não existe q tal que p α(q ) . Se p ω(q ) prove que ω(q ) = p . (Sugestão: Se p α(q ), existem tn + tais que ϕ( tn , q ) p. Sejam z n = ϕ( tn, q ) e W uma vizinhan¸ca de p tal que q W . Ent˜ ao ϕ(tn , z n ) = q W . Deduza que p não é está vel. Se p ω(q ) e p1 = p com p1 ω(q ), existem tn + tais que ϕ(tn , q ) p1 e sn + tais que sn < tn e ϕ(sn , q ) a o, se W é p. Seja z n = ϕ(sn, q ) . Ent˜ uma vizinhan¸ca de p tal que p1 W , como ϕ(tn sn, z n ) p1 resulta ϕ(tn sn , z n) W para todo n suficientemente grande.)

∈

−

∈

{} ∈ − ∈

∈ − ∈

→ ∞

∈ →

→ ∞ → ∈

∈

−

→  → ∞

→

(b) Se p é assintoticamente est´ avel, prove que existe uma vizinhan¸ca W de p tal que α(q ) W = implica q = p.

∩  ∅

(c) Suponha n = 2. Se p é uma singularidade isolada est´ avel e n˜ ao assintoticamente est´ avel, então toda vizinhan¸ca de p contém uma o´rbita peri´ odica não trivial. 17. Considere a equa¸caõ Lipschitziana x = f (x), ˙ x tal que < grad V (x), f (x) > 0 para todo x.

∈ U ⊂ R

m

≤ (a) Prove que V (ϕ(t , p)) ≤ V (ϕ(t , p)) para todo p, se t ≥ t ; (b) Prove que p ∈ ω(q ) implica V ( p) ≤ V (q ); 1

2

→ R

. Seja V : U

1

m

2

(c) Prove que todo conjunto limite est´ a contido no conjunto Σ = x; < grad V (x), f (x) >= 0 .

{

}

(Sugestã o: Se p ω(q ) e < grad V ( p), f ( p) >> 0, existe t0 > 0 tal que V (ϕ(t0, p)) < V ( p). Então, existe ε > 0 tal que x p < ε implica V (ϕ(t0 , x)) < V ( p). Seja T > 0 tal que ϕ(T, q ) p < ε. Então V (ϕ(t0 + T, q )) = V (t0 , ϕ(T, q )) < V ( p), e da´ı

∈

|

− |

|−|

p ω(ϕ(t0 + T, q )) = ω(q ).)

∈

168


Referˆ encias Bibliogr´ aficas [1] A. Andronov, E. Leontovich et al, Theory of Bifurcations of Dynamic Systems on a Plane. Jerusalem, Israel Program of Scientific Translations, 1973. [2] V. Arnold , Equa¸cões Diferenciais Ordin´ arias. Moscou: Editora Mir, 1985. [3] C. Chicone, Ordinary Differential Equations with Applications. New York: Texts in Appl. Math. 34, Springer, 1999. ´ [4] F. Ulhoa Coelho e M.L. Lourenc Linear. S˜ ao ¸o , Um Curso de Algebra Paulo: Editora Edusp, 2001. [5] E.A. Coddington e N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw–Hill Book Co., 1955. [6] M.J. Greenberg and J. Harper, Algebraic Topology: A First Course. New York: Westview Press, 1982. [7] R. Garcia e J. Sotomayor, Differential Equations of Classical Geometry, a Qualitative Theory, 27th Brazilian Math. Colloquium, Rio de Janeiro, IMPA, 2009. [8] C. Gutierrez e J. Sotomayor, Lines of Curvature and Umbilic Points on Surfaces, 18th Brazilian Math. Colloquium, Rio de Janeiro, IMPA, 1991. Reimpresso e atualizado como Structurally Stable Configurations of Lines of Curvature and Umbilic Points on Surfaces, Lima, Monografias del IMCA, 1998. [9] P. Hartman, Ordinary Differential Equations. New York: J. Wiley & Sons Inc., 1964. [10] K. Hoffman e R. Kunze , Algebra Linear. S˜ ao Paulo, Editora Pol´ıgono SA, 1971. [11] S. Lang, Analysis II, Addison - Wesley, 1969. [12] E. Lima, Espa¸cos Métricos, Rio de Janeiro: IMPA–CNPq, Col. Proj. Euclides, 1977. 169

170

Referências Bibliográficas

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Equacoes diferenciais ordinárias - J. Sotomayor.pdf

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