3. Un grup grupo o de inve invest stig igad ador ores es de Ecol Ecolog ogía ía mi midi dier eron on la conc concen enttraci ración ón de célu célullas roj rojas en la sangr angre e de 29 laga lagart rtos os (Sceloporis occidentales) capturados en el camp campo o. Tambi ambién én obse observ rvar aron on si lo los s laga lagart rtos os esta estaba ban n inect inectado ados s por por el par!sito par!sito de "alari "alaria a Plasmodium Plasmodium. #os recuentos de células rojas proporcionaron los siguientes valores. $nimales inectados% n1 s1
=
=
X 1
=
972 ,1
n 2 = 16
X 2
=
843, 4
245,1
$nimales no inectados% s 2 =
13
251,2
a) &ons &onstr tru' u'e e un inte interv rval alo o de con conan ana a al 99* 99* para para la dier dierenc encia ia entre entre la concen concentra tració ción n media media de célula células s rojas en la san sangre de animales inectados ' no inectados (se supone normalidad). b) +,e podría podría armar -ue la malaria malaria reduce reduce el nmero de células rojas/ 0aona la respuesta. ,olución% a) Se trata de compara compararr dos poblaci poblacione ones: s: P1, lagart lagartos os infectad infectados os con el parásito, y P2, lagartos no infectados. Concretamente, nos interesa comparar las medias dias poblaci acionale ales. En consecuencia, buscamos I µ µ . 1−
2
Asumimos ue las !arian"as poblacionales #$ son conocidas. Para !eri%car si pueden considerarse iguales o no, como s 2 > s1 , calculamos
( 251,2) 2 = ( 245,1) 2
2
s 2
2 s1
= 1,05 <
Por lo tanto, consideramos ue
2
2
2
σ 1 = σ 2
&caso b1). X 1
−
X 2
=
Como t α / 2, n
1 + n2 − 2
972,1 − 843,4
n1 = 13, n 2 = 16 = t 0 , 005, 27 =
(inalmente, s p
=
2
=
128,7
y
α
=
1%
&','1
en
tanto
po r
uno),
se
tiene
2,771
s p =
( n1 − 1) s12 + ( n2 − 1) s 22 n1 + n 2 − 2
operando
248 ,507
Sust Sustit itu uyend yendo o obtenemos
en la f*rmu *rmula la del del
inter nter!a !alo lo de con% con%an an"a "a,,
I = ( −128 '424 , 385 '82 )
b) Si el inter!alo contu!iera s*lo n+meros negati!os, estaramos diciendo ue la diferencia entre el n+mero medio de c-lulas roas de P1 y P2 es negati!a, o eui!alentemente ue el n+mero medio de c-lulas roas de P1 &lagartos infectados con malaria) es inferior al de P2 &lagartos no infectados). En ese caso, se podra a%rmar ue la malaria reduce el n+mero de c-lulas roas. Pero !emos ue el inter!alo contiene tanto n+meros negati!os como positi!os, con lo cuál tan aceptables es ue sea mayor la media de los infectados, como la de los no infectados. En consecuencia, #$ se puede a%rmar ue la malaria redu"ca el n+mero de c-lulas roas. 1. En un estudio sobre el eecto del dióido de aure como agente contaminante del aire se dispuso de cierto tipo de semillas de 4abic4uelas en c!maras -ue se mantuvieron a lo largo del eperimento abiertas por su parte superior. ,e asignaron aleatoriamente seis de esas c!maras a un tratamiento consistente en umigarlas con dióido de aure ' en las otras seis no se eectuó ningn proceso. Transcurrido un mes se registraron las cosec4as totales (en 5g) de 4abic4uelas en cada c!mara obteniéndose los siguientes datos% &on 6io. ,in 6io.
782
78
739
778
73:
78;
719
788
727
:<8
:;<
:<9
=alla un intervalo de conana al 9:* para la dierencia de producción media de 4abic4uelas con ' sin dióido de aure. >nterprétalo. /ueremos comparar dos poblaciones, P1 y P2. 0lamamos: P1: cosecas de abicuelas criadas con di*. Podemos comprobar ue X 1 1,463 , n1 = 6 , s1 = 0,243 . P2: cosecas de abicuelas criadas sin di*. Podemos comprobar ue X 2 = 1,058 , n2 = 6 , s 2 = 0,410 =
/ueremos determinar un inter!alo para la diferencia de medias poblacionales, I µ µ 1−
2
Para comprobar si las !arian"as poblacionales &ue suponemos desconocidas) pueden considerarse iguales o no, como s 2 > s1 , 2
calculamos &caso b2)
s 2
2 s1
=
2,847 > 2 . Por lo tanto, consideramos ue
2
2
σ 1 ≠ σ 2
#ecesitamos calcular Además,
α = 10%
f
podemos comprobar ue
. Por tanto, necesitamos
t 0.05, 9
=
f = 9,38 ≅ 9
1'833
(inalmente, sustituyendo en la epresi*n para I µ
1 − µ 2
I
=
, tenemos
( 0.049 , 0.761)
Como el inter!alo contiene s*lo n+meros positi!os, se tiene ue µ 1 − µ 2 > 0 , luego µ 1 > µ 2 , es decir, la coseca media con di*ido de a"ufre es superior a la coseca media sin -l. En otras palabras, efecti!amente el di*ido de a"ufre fa!orece el crecimiento de las semillas.
8. ,e realió un estudio para comparar el contenido en sodio en el plasma de las ocas peleteras australes jóvenes con el nivel de sodio en la lec4e de las ocas. ,e obtuvieron las siguientes observaciones sobre el contenido de sodio (en minimoles) por litro de lec4e (o plasma) en 7: ocas aleatoriamente seleccionadas% ,ujeto 7 2 3 1 8 < ; 9 7:
#ec4e 93 7:1 98 78 98 98 ;<8 :8 ;98 ;
?lasma 71; 78; 712 717 712 71; 71 711 711 71<
=alla un intervalo de conana del 98* para la dierencia de niveles de sodio en los dos lí-uidos corporales. +=a' pruebas de -ue eista alguna dierencia/ +En -ué sentido/ Sea 3 el ni!el de sodio en la 0ece, y sea 4 el ni!el de sodio en el plasma. /ueremos estudiar la diferencia de las medias de 4, y 3. Sin embargo, como los !alores ue tenemos para ambas pro!ienen de los mismos indi!iduos, en principio los !alores de 3 e 4 #$ son pueden considerarse independientes. Por lo tanto, estamos ante el caso de datos empareados.
En consecuencia, formamos una nue!a !ariable, 56374, cuyos datos corresponden a las diferencias entre los !alores de 3 e 4 es decir: Sujeto
Y=Sodio en Leche
X=Sodio en plasma
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total:
93 104 95 81,5 95 95 76,5 80,5 79,5 87 887
147 157 142 141 142 147 148 144 144 146 1458
D =X-Y 54 53 47 59,5 47 52 71,5 3,5 4,5 59 571
Sobre los datos de 5, calculamos media y cuasi!arian"a, 2.262 , t s D = 1.033 . obteni-ndose Como D 57.1 , aplicando la f*rmula del inter!alo de con%an"a se tiene 8 6 &9.;1, 9<.=;>). Es decir, la presencia del sodio en el plasma es claramente superior. =
0.025,9
=
Ejercicio% Utiliando los datos del Ejercicio 7 calcula el tama@o de la muestra -ue deberíamos tomar para -ue el error en la estimación de la media poblacional manteniendo el mismo nivel de conana uera menor -ue una milésima.
