Solucionario Vectores I

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.







Resolución Nº 01

El problema pide la variación de la resultante de 2 vectores A y B, cuyos módulos son 10 y 2 respectivamente. Para hallar esto, debemos obtener prime pri meram rament ente e los va valor lores es mí míni nimos mos y má máxi ximo mos s que pue puede de to toma marr di dich cha a resu re sult ltan ante te (R (R), ), ya qu que e se será rán n lo los s lí lími mite tes s de la va vari riac ació ión. n. * Ca Calc lcul uland ando o va valor lor mí míni nimo: mo: Simp Si mple lemen mente te de debem bemos os res resta tarr ar arit itmé méti tica came ment nte e lo los s mód módul ulos os de deA A y B. →10-2=8 ** Ca Calc lcul uland ando o va valor lor mí míni nimo: mo: Simp Si mple lemen mente te de debem bemos os sum sumar ar ar arit itmé méti tica came ment nte e lo los s mód módul ulos os de deA A y B. →10+2=12 **** En ** Ento tonc nces es la va vari riac ació ión n es esta tará rá co comp mpre rend ndid ida a en entr tre e 8 y 12 12.. 8≤R ≤1 2 Clave: B Resolución Nº 02

Nos piden la resultante de 2 vectores, cuyos módulos se desconocen, cuan cu ando do fo form rman an un án ángu gulo lo re rect cto o (9 (90º 0º). ). En Ento tonc nces es nu nues estr tro o pr prop opos osit ito o es conoc co nocer er lo los s mó módul dulos os de los ve vect ctore ores s me menc ncion ionado ados. s. * Com Complet pletando ando var variabl iables: es: Llam Ll amar arem emos os a lo los s ve vect ctor ores es “a “a”” y “b “b”. ”. ** Po Porr da dato to:: Nota No ta:: De Dell pr prob oble lema ma an ante teri rior or di diji jimo mos s qu que e la re resu sult ltan ante te má máxi xima ma er era a la suma su ma ar arit itmé méti tica ca de lo los s mó módu dulo los, s, mi mien entr tras as qu que e la mí míni nima ma er era a la dif diferen erencia cia.. a+b= a+ b=7. 7... ..((α) a-b= ab=1 1 ... ..((β) **** Pa ** Para ra ha hall llar ar mó módu dulo lo de “a “a”” su suma mamo mos s (α) y ( β): a+b=7 a-b=1 2a=8 (operando la ecuación de 1er grado) a=4...(I) **** ** ** Pa Para ra ha hall llar ar mó módu dulo lo de “b “b”” re reem empl plaz azam amos os (I ) en (α ): 4+b= 4+ b=7 7 (o (ope pera rand ndo o la ec ecua uaci ción ón de 1e 1err gr grad ado) o) b=3...(II)







*****A **** *Aho hora ra te tene nemo mos s lo los s mód ódul ulos os de “a “a”y ”y “b “b”” y de debe bemo mos s co colo loca carl rlos os perpendi perp endicul cularme armente nte (90º (90º). ). Nos resu resulta lta lo sig siguien uiente: te: 2

2

2

Donde R =a Donde =a +b ... ...(II (III) I) Reemplazando (I) y (II) en (III)

R a

2

2

R =4 +3 R=5

2

b Clave: E Resolución Nº 03

El pr prob oble lema ma da tr tres es ca caso sos s no nota tabl bles es de ar arre regl glos os de ve vect ctor ores es.. *CasoI R=A 2 Demostración: Aplicando teorema de Pitágoras

R

A

R =A +A R=A 2 (l.q.q.d.) A **Ca ** Caso so II R

A

R=A 3 Demostración: Aplicando teorema de cosenos 2

60º A ***Caso ***C aso III

2

2

R =A +A + 2.A.A.Cos(60º) R=A 3 (l.q.q.d.)

R=A Demostración: Aplicando teorema de cosenos







Resolución Nº 04

Piden resultan Piden resultante te de dos vectores vectores A y B; pero en la figura nos los muest muestran ran separados, sin embargo sabemos que una propiedad importante de los vect ve ctor ores es es qu que e se pu pued eden en tr tras asla lada darr en un mi mism smo o pl plan ano. o. Lo cu cual al da la sg sgte te.. gr gráf áfic ica: a: Aplicando teorema de cosenos R

A=5

2

2

2

R =5 +1 + 2.5.1.Cos(37º) R= 34 49º-12º=37º

B=1

Clave: A

Resolución Nº 05

Debemos hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores de la sgte. sgt e. form forma: a: 3 9 r 30º 30º

3

Aplicando teorema de cosenos en los vectores de módulo 2

2

3

2

r = 3 + 3 + 2. 3. 3.Cos(30º+30º) r=3 Además notamos que el vector “r” es colineal con el vector de módulo igual a 9, por lo que podemos decir que la resultante del conjunto de vectores será igual a la diferencia aritmética de los módulos de estos vectores. → R= 9-3=6 Clave: B Resolución Nº 06

En el pr prob oble lema mas s pr prim imer ero o ha hall llam amos os el mó módu dulo lo de la re resu sult ltan ante te de lo los s ve vect ctor ores es







Notemos que los dos vectores de 20 forman un caso de arreglo notable, ya que forman un ángulo de 45º+15º=60º → R=20 3 Demostrado Demost rado el ejercic ejercicio io número tres.

20

10 2

R 45º 10 2 15º 20

Clave: C Resolución Nº 07

Dan Da n el sg sgte te.. co conj njun unto to de ve vect ctor ores es (e (ell gr gráf áfic ico o es so solo lo re refe fere renc ncia ial) l):: B

B

A R

E C

C

D Este se Este sect ctor or de dell ar arre regl glo o so son n vectore vec tores s cons consecut ecutivo ivos s y por propiedad su resultante es 0. E s c o mo mo s i n o e x i s t i e ra ra .

Ahora para hallar los que nos piden (la resultante del conjunto de vectores) solo debemos encontrar la resultante de B y C. Entonces del gráfico se nota que qu e R es ig igua uall a E Clave: B

Resolución Nº 08

Sigamos Sig amos el proc procedim edimient iento: o: En el grá gráfi fico co ve veri rifi fica camo mos s que

a







Resolución Nº 09

Debemo Debe mos s de dete term rmin inar ar el va valo lorr de la re res sul ulta tant nte e y pa para ra el ello lo de debe bemo mos s comp co mple leta tarr al algu guno nos s da dato tos s qu que e po pode demo mos s in infe feri rirr de la fi figu gura ra.. Seleccionamos este sector (1) y descomponemos el vector “5”.

3 5

5 4 3

5 Estos vectores 4 se pueden sumar aritméticamente por ser paralelos (4+4=8).

4 3

Estos vectores se anulan por tener igual módulo y sentidos opuestos.

3

Seleccionamos este sector (2) y descomponemos el vector “5”. Haciendo un procedimiento parecido al anterior nos da un vector paralelo a “8” de módulo 4. Entonces el módulo de la resultante del conjunto de vectores que nos presentaron inicialmente es la suma de los módulos de las resultantes parciales de los sectores (1) y (2), cuyos módulos son 8 y 4 respectivamente. →8+4=12 Clave: A Resolución Nº 10

Hay que hallar la resultante del conjunto de vectores en función de los vect ve ctor ores esA A y B. En Ento tonc nces es co comp mple leta tamo mos s el tr triá iáng ngul ulo o co con n el ve vect ctor or au auxi xili liar ar C: Podemos decir que: N A+C=X...(α) C+X=B C+ X=B... ...((β) B A Rest Re stan ando do (α) y (β) X A+C=X...(α) -









Resolución Nº 11

El pr prob oble lema ma no nos s pi pide de ha hall llar ar la re resu sult ltan ante te de la re reun unió ión n de ve vect ctor ores es.. Operando: A+B=2C (Propiedad demostrada en el ejercicio anterior) B A → A+B+C=3C C Clave: D Resolución Nº 12

Piden hallar el modulo de la resultante de los vectores. Para eso debemos sola so lamen mente te su suma marr ve vect ctori orial alme ment nte e de la si sigui guient ente e fo forma rma:: b c

a+b

a

d a+b+c e+f e

La figura demuestra que: a+b+c=d e+f=d →a+b+c+d+e+f=3d Como piden el modulo de la resultante (dato: módulo de d=6) →3x6=18

f

Clave: A

Resolución Nº 13

El pr prob oble lema ma pi pide de ha hall llar ar α Aplicando teorema de cosenos 2

2

2







Resolución Nº 14

Debemo Debe mos s ha hall llar ar el mo modu dulo lo de la re res sul ulttan ante te de dell co conj njun unto to de ve vect ctor ores es,, pa para ra lo cual nos dan como dato que la figura ABCD es un paralelogramo y que AB=AD=5; de aquí deducimos que AC también es igual a AB. C La figura muestra un caso notable de B arreglo de vectores (demostrado en el ejercicio número tres) R 5 →R=5 5 60º →R+5=5+5=10 60º A

5

D

Clave: C

Resolución Nº 15

Debemo Debe mos s ha hall llar ar el mo modu dulo lo de la re res sul ulttan ante te de dell co conj njun unto to de ve vect ctor ores es,, pa para ra lo cual cu al no nos s da dan n com omo o da dato to a la fi figu gura ra..

R A 60º

La figura muestra un caso notable de arreglo de vectores (demostrado en el ejercicio número tres) →R=A →R+A=A+A=2A

A

60º 60º A

Resolución Nº 16

Debe De bemo mos s ha hall llar ar el án ángu gulo lo β.

Clave: C







Resolución Nº 17

Nota: Del problema número uno dijimos que la resultante máxima era la suma su ma ar arit itmé méti tica ca de lo los s mó módu dulo los, s, mi mien entr tras as qu que e la mí míni nima ma er era a la di dife fere renc ncia ia.. De lo los s da dato tos: s: A+B=8...(α) A-B=2 ...(β) * Par ara a ha hall llar ar mó módu dulo lo de “A “A”” su suma mamo mos s (α) y ( β): A+B=8 A-B=2 2a= a=10 10 (ope (o perran ando do la ecuac aciión de 1e 1err gra rad do) a=5...(I) ** Pa Para ra ha hall llar ar mó módu dulo lo de “b “b”” re reem empl plaz azam amos os (I ) en (α ): 5+B=8 (ope (o perran ando do la ecuac aciión de 1e 1err gra rad do) B=3 **** Ap ** Aplilica cando ndo te teore orema ma de co cose senos nos R =5 +3 + 2.5.3.Cos(120 ) R= 19 Clave: A Resolución Nº 18

Para simplificar el problema hay que descomponer los vectores que están oblicuos. A

Luego de sumar aritméticament aritméticamente e vectores vect ores parale paralelos los y anular vectores opuestos tenemos: Aplicando teorema de







Resolución Nº 19

Análogamente al problema anterior debemos descomponer los vectores oblicuos. (El problema está incompleto ya que debería decirnos que la figur fi gura a mo most strad rada a es un par paral alel elepí epíped pedo o rec recta tangu ngular lar,, por lo cu cual al se as asume ume.) .) Estos vectores se anulan por ser opuestos. a Estos vectores se suman aritméticamente por ser paralelos. →R=5+5=10

b

Clave: B Resolución Nº 20

Piden Pide n ha hallla larr la el mó módu dulo lo de la re res sul ulttan ante te (R (R)) de la re reun unió ión n de ve vect ctor ores es.. Reso Re solv lvam amos os en la fi figur gura: a: Por teorema de Pitágoras se calcula “r”. 2

R

2

2

→r =3 +4 r=5 Además α es igual a 53 . Tambi n notamos que los vectores de módulo igual a 5 forman un arreglo notable







Resolución Nº 21

En problemas anteriores se había visto que este tipo de arreglo resultaba 0

b

a A

De la figura notamos: B d

c

a+b=-AB...(I) d+c=-AB...(II) Sumamos ambas expresiones a+b+c+d=-2AB Clave: E

Resolución Nº 22

10

10 α

α

2α

2α 8 Clave: B

Resolución Nº 23

2α+ α+ α+2 α=360º α=60º En la figura notamos el arreglo notable cuya resultante es igual a 10, además esta resultante parcial es colineal con el vector de módulo 8. Entonces el módulo de la resultante totales igual a 10-8=2









Resolución Nº 24

En el gráfico observamos lo siguiente:

B

b

a+b=AB c+d=AC

a+b a 60º

C

A c+d c

d

Clave: D

Pero para hallar la resultante total debemos debemo s agrega agregarr los vect vectores ores AB y AC Entonces quedarían 2 vectores formando un ángulo de 60º, cuyos módulos son 2AB y 2AC. Haciendo uso del teorema de cosenos nos da como resultante total un vector cuyo modulo es igual a 7.

Resolución Nº 25

Trasladando vectores a

Solucionario Vectores I

Recommend Documents