PER METROS METROS Y
REAS DE REGIONES REGIONES SOMBREADAS SOMBREADAS Rpta: A
SOLUCIONARIO Resolución N° 2
Sea “R” el radio mayor y “r” el radio menor.
Resolución N° 1
Analizando cada alternativa, tenemos: A). El triángulo no tiene área.
R
h
Área b
=
b×h 2
R r
(área de una región triangular)
Perímetro
=4L
I. Aplicando Pitágoras en el triángulo trazado: (R + r )2 = (R − r )2 + (R)2
∴ El enunciado es correcto.
4Rr = R 2
Piden:
C). Sea el círculo:
R
R + r
2R
B). Sea el cuadrado:
L
R – r
R
Área
= π R2
Radiomayor R 4r 4 = = = radio menor r r 1
∴ La afirmación es verdadera.
∴ El enunciado es correcto. II. Del gráfico:
D). Sea una región poligonal:
El área de una región poligonal se mide en unidades cuadradas (m2; cm2; dm2; … etc).
(2p)S somb = 4( AB ) + 2
+4
= 4(4r) + 2 [ 2π( 4r ) ] + 4 [ 2πr ] = 16r + 16 πr + 8πr = 16r + 24 πr = 8r(4 + 3 π) m
∴ El enunciado es correcto. E). Sea el círculo:
⇒ R = 4r
∴ La afirmación es falsa.
R
III. Analizando, tenemos:
del enunciado:
Área π 2
R
Perímetro
= 2πR ⇒ R = 2
∴ El enunciado es correcto. El enunciado incorrecto es la alternativa A.
S somb = 2S
ABCD
− 2S
R − 4S
r
= 2 (8r )2 – 2 π( 4r )2 – 4 ( π r 2 ) = 128 r 2 – 32π r 2 – 4π r 2 = 128 r 2 – 36 π r 2 = 4r 2 (32 − 9π) m
Razonamiento Matemático
CEPREVAL
∴ La afirmación es verdadera.
1 r 2 = ( AB) ⇒ r 2 = R 3 (2p) = 2πR Del enunciado: (2p)S somb = (2p)
IV. IV. Del gráfico, en una circunferencia menor:
(2p)
menor
CICLO A – 200 9
= 2πr ∴ La afirmación es falsa.
2πR
14,28R El valor de verdad es VFVF. VFVF.
Son diferentes
Rpta: C
∴ La afirmación es falsa.
Resolución N° 3
III. Calculando el perímetro del rectángulo ABCD.
Sea “R”, la longitud del lado de un cuadrado, entonces: BC = 2R
ABCD = 2(3R + 2R)
(2p)
= 10R
AB = 3R
Del enunciado: (2p)S somb > (2p)
I. Trasladando áreas tenemos:
D
C R
14,28R
10R
∴ La afirmación es verdadera. S somb = πR 2
Son verdaderas I y III. Rpta: D Resolución N° 4 I. Identificando regiones equivalentes.
A B Calculando el área de un círculo de radio “r”. 1 O r = (BC) ⇒ r = R C 2 P E r o H C S = πR 2f : P A Del enunciado:
S somb = SNo somb 2 X + 2Y = 2 X + 2Y
Y Y
X X X X Y
(V)
Y
S somb = S
II. Identificando las líneas curvas.
∴ La afirmación es verdadera.
2r r
II. Analizando un cuadrante, tenemos:
R
ABCD
Perímetro
= 2R +
r
πR 2
Luego, el perímetro de la región sombreada será 4 veces el perímetro del cuadrante analizado. (2p)S somb
(2p)S somb =
2
+4
+
2π(2r ) 2π(r ) + 4 + 2π(r) 4 2 = 2πr + 4πr + 2πr = 8πr = 2
πR 2πR ≡6,28R = 4 2R + 2 = 8R + 2πR ≡ 14,28R
III. Del enunciado anterior:
Calculando el perímetro de una circunferencia de radio “r 2”.
(2p)S somb = 8πr 2π 2
= 8πr ⇒ r = 4
(V)
Razonamiento Matemático
CEPREVAL
CICLO A – 200 9
(F)
El valor de verdad es VVF.
El enunciado correcto es la alternativa E. Rpta: C
Rpta: E
Resolución N° 5 Resolución N° 6 X
X
S
3
2
X
= π ( 3 )2 = 3π m2
3
X
Rela Relaci cion onan ando do cada cada regi región ón poli poligo gona nall con con su respectiva fórmula, tenemos:
1 X
S
= L2
S
=
b ⋅h 2
(a)
h
S
= b ⋅h
(b)
d2
S
=
L
I.
(d)
A
X
h
II. 1
O
2
X
b
2
Calculo del área de la región sombreada (6X): X+S
AOB
=S
AOB + S
B
III.
b
AO
π(2)2 (60º ) 22 3 π ( 1)2 = X + 4 + 2 360 2π π X+
3
= 3 +
X= 3 + X = 3 –
IV. IV.
d1 ⋅ d 2 2
(c)
d1
2
π 2
–
2π 3
La relación correcta es: Id; IIa; IIIb; IVc. Rpta: B
π
Resolución N° 7
Trasladando regiones equivalentes.
6
Del gráfico: S somb = 6 X
∴ S somb = (6 3 − π) m 2 P
Calculo del perímetro de la región sombreada: (2p)S somb =
a
M
N
O
Q 2a
6
+
A
2π ( 1) + 2π(1) 2 = 6π + 4π = 10π
D 4a
= 6
Del gráfico: S somb
=S
APQD
+ 2S
π (a) 2 2
∴ ( 2p)S somb = 10π m.
= 4a(2a) + 2
Entonces: A) El enunciado es incorrecto B) El enunciado es incorrecto C) El enunciado es incorrecto D) El enunciado es incorrecto
= 8 a2 + π a2 = a 2 (8 + π ) 3
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Razonamiento Matemático
CEPREVAL
CICLO A – 200 9
2 2 =R −R 2 20
S somb = a 2 (8 + π) Rpta: D
9R 2 S somb = 20
Resolución N° 8
Rpta: C
Analizando el gráfico, tenemos:
Resolución N° 10
Como los cuatro triángulos comparten la misma altu ltura, sus regi egiones triangulare ares serán proporcionales a su base.
B
C 12m
B
R
2R
12k
Del gráfico: A = 4 ( AB ) + 2 [ (2pD) (2p)S somb = 4(2R) + 2(2πR) = 8R + 4πR
4k
K
3K
K K K
3K K
E H f : P A C K=
K
3k
3m
Nos piden:
Recordemos: r o
5m
4m
S somb 4k + 5k 9k = = SNo somb 12k + 3k 15k S somb 3 = SNo somb 5
Resolución N° 9
P
5k
D
Rpta: D
K
h
A
]
(2p)S somb = 4R(2 + π)
3K
C
C
O
Rpta: C Resolución N° 11
S
Por dato:
20
K
3K
S
L
L2 = 1m 2 L = 1m
En el problema, tenemos: A
= 1 m2
B
Luego, en el gráfico: 5m
R K
D
M
Y
C
Y
4m X
Del gráfico: S somb
= 2S
X
X
AMC − K
(R / 2) × R R 2 = 2 − 2 20
1m
Donde: 4
S somb
= 3 X + 2Y
1m
Razonamiento Matemático
CEPREVAL
1× 4 + 2 1× 5 2 2
CICLO A – 200 9
22 3 ⇒ K= 3 6K = 6 4 S somb = 3K = 3 3
=3
= 6 + 5 = 11 S somb = 11 m 2
Rpta: C
Rpta: D
Resolución N° 14
Resolución N° 12
Record Recordemo emoss que en un trapecio trapecio de bases bases “n” y “m”, las regiones triangulares que se obtienen al trazar trazar una diagona diagonall son propor proporcio cionale naless a sus bases.
2
A
n
N
nK
S1 S2
2 2
mK
M
m
Luego, en el gráfico tendremos:
C
B
2 2
En el 2c
2d
En el
2a
4
A
D
⇒ S1 + M = 2 π . . . . . . ( α)
AB:
S1 + N =
5a
2 )2
π (2
5b 2b
5d
ACD:
S1 + M =
4m2
5m
D
C 5c
π ( 2 )2 2
⇒ S1 + N = π
. . . . . . ( β)
Sumando miembro a miembro ( α) y (β):
Del gráfico: S somb = 2(a + b + c + d) Además: S ABCD = S + 7a + 7b + 7c + 7d
2 S1 + M + N = 3π En el
5 2 = 2 2 + 7(a + b + c + d) 3=a+b+c+d S somb
ABCD: S1 + S 2 + M + N = (2 2 )2 S1 − S 2
S1 − S 2
= 2(a + b + c + d) = 6 m 2
–
= 3π − 8
= 3π − 8 Rpta: B
Rpta: D Resolución N° 15
Resolución N° 13
Dividiendo el hexágono en regiones equivalentes:
O 2K
1m
2
2K
S2 K
K
1m
Triángulos equiláteros
1m S1
2
Entonces: S
B
1m
Del gráfico:
=6 S 5
http//www.unheval.edu.pe/cepre http//www.unheval.edu.pe/cepre
Razonamiento Matemático
CEPREVAL
S somb
CICLO A – 200 9
= S1 + S 2 1× 1 1× 1 + =1 = 2
2
∴ S somb = 1 m 2 Rpta: D Resolución N° 16
En el
Analizando un romboide:
ABE:
ABE = 28 m
S
2
b ⋅h = 28 2
⇒
b ⋅ h = 56
4m 8m
8m
(2p)
En el
= 2(4 + 8)
ABE:
S
ABCD
b ⋅ h = 12 + S somb
= 24 m
Proporción de 2 es a 1
= 12 + S somb
56 = 12 + S somb
Entonces podemos deducir que el perímetro de la región sombreada sombreada es 4 veces el perímetro perímetro de un romboide.
S somb = 44 m 2 Rpta: N.A. Resolución N° 18
Sea “x” el lado del cuadrado PQRS. 4 cm
B
A (2p)S somb = 2(24) = 96 m
Rpta:C DO
E r o H f : P A C
P Resolución N° 17 I Método
16
P
4
En el
3K 3K + 12
BPD
APB: 4
C
x
ABDE: APE = S
R
x
D
k 5
53º/2
2x
k
⇒ 3K = 16
S somb = 44 m 2 b A
x= Piden: (2p)S somb = 4 ( AB ) + 4 ( PQ )
B
4 5 = 4(4) + 4 5
2
12m
h 6
D
C
2k
x 5 =4
S somb = 12 + 6 K = 12 + 32
16m2
E
x
P
3
E
II Método
Q
S
4K
Del gráfico:
x
B 12
S
x
x
A
En el
x
Triángulo notable de 53º/2
4 5 5
Razonamiento Matemático
CEPREVAL
CICLO A – 200 9
Entonces: BH = 2 HC ⇒
= 16 + 16 5
HC = 6
53º
5
2
5 cm 5
(2p)S somb = 16 1 +
Piden:
S somb =
8×6 = 24 2
k 5
S somb = 24 m 2
Rpta: A
k Rpta: N.A.
Resolución N° 19
A
2
Resolución N° 21
M
B
C
2 2
16 m
C En el ∆CAM:
D
60°
A
CM = (2 2 )2 + ( 2 ) 2 El
ABC: (T. (T. Notable de 30º y 60º)
2
AD = (2 2 )2 + (2 2 )2
⇒ AC = 2(16) = 32 m
2 AD = 8 + 8 ⇒ AD = 4
Luego:
B 16 3 m
2
2 CM = 8 + 2 ⇒ CM = 10
En el ∆ACD:
Del gráfico: (2p)S somb = AB + BC +
(2p)S somb = AB + 2( CM ) + 2( AD )
π π
= 16 3 + 16 + 32 2
= 2 2 + 2( 10 ) + 2( 4 ) = 2,82 + 6,32 + 8 = 17,14
= 16 3 + 16 + 16π
(2p)S somb = 17,14 m
(2p)S somb = 16( 3 + 1 + π) m.
Rpta: C
Rpta: C
Resolución N° 20
Resolución N° 22 I Método
B
α
Calculando la altura del triángulo BHN. B
α α
H
h 12m
127º/2
A 5m
En el
2k
3m
H
3m
2 N
C
BHC: 127º = 90º α+ 2
M
1
53 º ⇒ α= 2
A En el 7
60º
C
BHC:
http//www.unheval.edu.pe/cepre http//www.unheval.edu.pe/cepre
Razonamiento Matemático
CEPREVAL
2
NH = (2) 2 − (1)2
CICLO A – 200 9
⇒ NH = 3
Del gráfico: S somb
12 × 3 2
=
S somb = 6 3 II Método
Se observa que el hexágono esta compuesto de 24K.
B 2m 2 M
Nos piden:
N 2k
Porcentaje =
10m
10 10k
60º
A
60º
12m
= C
9K × 100% 24 K
Es el 37,5%
(12)2 3 = ABC 4
Del gráfico: S
S somb × 100% Shexágono
Rpta: C Resolución N° 25
12K = 36 3 ⇒ K = 3 3
M S somb = 2K = 6 3
N A1
Rpta: A
E r o H f : P A C
P
Resolución N° 23
A
C
r
O 2r
A2
2K K
M
2K K
D
En el
π (2R)2
K
4 C
= A1 + A 2 + A 3 + S
π R 2 = 25 + S . . . . . . . ( α)
Del gráfico: S somb = 8k Por dato: ABCD
En el
de centro en O:
πR2 = A x + S
= 120 cm2
. . . . . . . ( β)
Reemplazando (α) y (β): 25 + S = A x + S
12k = 120 ⇒ k = 10
A x = 25 m 2
∴ S somb = 80 cm 2
Rpta: B
Rpta: D K
Resolución N° 24
K 2K
3K
K K
K K
K
P
MQP:
K
N
S
A3
Q
K
K
K
O S
B
K
K K 3K
Resolución N° 26 3K
2K K
K
Ax
En el 8
TOM: (Notable de 30º y 60º)
Razonamiento Matemático
CEPREVAL
⇒
Como MO = 2R En el
CICLO A – 200 9
OT = 4R
MHO: (Notable de 30º y 60º) Como MO = 2R ⇒ OH = R
También: OK = 2R
⇒ HK = R
Ubicando los datos en el gráfico:
Del gráfico: (2p)S somb = 4( MB ) +
M
= 4(5) + 2 π(5) + 2 [ 2π(2,5) ] = 10 + 10π + 10π = 20(1 + π)
P 2R
O
(2p)S somb = 20(1 + π) m
60º
R
+2
H
R
30º
2R
K
Rpta: B
T Resolución N° 28
Q 2R
En el
MON: S
MON =
M
O
(2R)2 3
K
6cm
O P K
MON: (2R)2 3 PQT = 3 4 2 S1 = R 3 3
S
6
4
S2 = R2 3
En el
2
4cm
M
N
2R
Del gráfico: (2p)S somb = 2 ( MN ) +
T
N +3
2π(6) + 3 [ 2π(2) ] 4 = 12 + 3π + 12π = 12 + 15π = 2(6) +
Q Área en función de la altura
(2p)S somb = 3(4 + 5π) cm
Nos Piden:
Rpta: B
4 2 R 3 S1 3 = S2 R2 3 S1 4 = S2 3
Departamento de Publicaciones
B
10m
Resolución N° 27 5m
C
Rpta: E
5
Huánuco, de agosto del 2008
M 2,5
9
http//www.unheval.edu.pe/cepre http//www.unheval.edu.pe/cepre
Razonamiento Matemático
CEPREVAL
PROFESOR:
Lic. R. Wilder PACHECO M.
P
r o
E H f : P A C
C
O
10
CICLO A – 200 9
