MINISTERIO DE EDUCACION CONSEJO NACIONAL DE UNIVERSIDADES UNAN-MANAGUA UNI UNAN-LEON
Solucionario de Guía de Estudio de Matemática Agosto, 2014
UNIDAD DE ARITMÉTICA
1. La expresión 311 + 311 + 311 equivale a: Solución : Al sumar los tres términos se obtiene 311 = 312
3
2. Al número de tres dígitos 2a3 se le suma el número 326 y da el número de tres dígitos 5b9. Si sabemos que el número 5b9 es divisible entre 9, entonces a + b es: Solución : Al sumar ambos números se obtiene 2a3 + 326 = 5b9 como el número 5b9 es divisible entre 9; esto signi…ca que la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 9, entonces 5 + b + 9 = 18; de aqui b = 4; entonces a + 2 = b; lo cual signi…ca que a = 2 y por tanto a + b = 6: 3. A una determinada cantidad le sumo el 10% de sí misma y a la cantidad así obtenida le resto su 10%. ¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda? Solución : Sea x = Cantidad Inicial , entonces x + 0:1x = 1:1x es la cantidad aumentada en un 10%, pero a ésta le restamo su 10% y obtenemos 1:1x
0:1 (1:1x) = 0:99x
lo cual representa un 99% de la cantidad inicial. 4. Al simpli…car [(9
4) + ( 10 + 3)]
((6) ( 5))
[( 12 + 8) (6
9) (95
90)] el resultado es:
Solución : Al efectuar las operaciones indicadas se tiene [(9
4) + ( 10 + 3)]
((6) ( 5))
[( 12 + 8) (6
9) (95
2
90)]
= [5 + ( 7)] =
( 2) ( 30)
=
60
=
1
60
( 30) 60
[( 4) ( 3) (5)]
5. ¿Cuántos divisores diferentes tiene el número 2000? Solución : La descomposición del 2000 en factores primos es 2000 = 24 53 ; sumando 1 a cada exponente y multiplicando dichas expresiones, la cantidad de divisores será (4 + 1) (3 + 1) = 20
6. Al simpli…car 4 (3)
2
6
p 3 4 + 2 [5 (7)
15
3]
4
12
9. El resultado es:
Solución : Al efectuar las operaciones indicadas y respetando el orden de prioridad de los operadores aritméticos, se tiene 2
4 (3)
1 7. Simpli…que 2 3
6
5 3 4 3
p 3 4 + 2 [5 (7)
3 4 5 6
17
15
3]
4
12
9
=
36
=
6
=
60
=
240
=
20
=
11
6
6 + 2 [35
6 + 2 [35 4
12 12
5]
15 4
3] 12
4
12
9
9
9 9
9
1
Solución:
1 2 3
5 3 4 3
3 4 5 6
17
1
1 = 2 3 = = = =
3 4 17 9 27 68 27 4 3 7 4
5 4 10 9
17
1
17
1
17
1
1
8. ¿Cuántos números válidos (números que no tienen al cero como primer dígito) de cinco cifras se pueden escribir usando solo los dígitos 0; 1; 2; 3 y 4? Solución : El número 0 no puede ser el primer dígito, entonces, los otros lugares pueden ser ocupados por cualquieras de los 5 dígitos restantes, es decir, 4
5
5
5 3
5=4
54
9. Pedro tiene 69 años y su edad excede a la de Juan en un 15%. ¿Qué edad tiene Juan? Solución : 69 ! 115%
Una de la formas de resolver este problema es
, de aqui x =
x ! 100%
69
100% = 60 115%
2 3 de los hombres están casados con los de las mujeres. Si nunca se casan con forasteros, 3 5 ¿Cuál es la proporción de solteros en dicha ciudad?
10. En una ciudad,
Solución : Sea x = Cantidad de Hombres y = Cantidad de M ujeres 3 10 2 x = y ; de aqui, y = x 3 5 9 x+
10 x 9
2 x 3
2
=
10 x+ x 9 11. El resultado de
2 125 3
+
1 16 2
+
1 2
1 343 3
es:
Solución: 2 125 3
+
7 19
1 16 2
+
1 2
1 343 3
2 53 3
=
+
1 24 2
= 52 + 22 + 7
+
1 73 3
1 2
1 2
1
= [36] 2 =6 12. Obtenga el resultado de (0:027)
1 3
+ 2560:75
3
0
1
+ (4:5)
Solución: (0:027)
1 3
0:75
+ 256
3
1
0
+ (4:5)
= = =
1 3 3 3 3 + 28 4 10 1 3 + 26 31 + 1 10 10 1 3 + 64 3 +1
= 68 5
13. ¿Cuál es el valor de a en (3a) = 248832? Solución:
5
(3a)
= 248832
5 5
= 210 35 210 35 a5 = 35 a = 22
3 a
a =4 4
1 3
+1
14. Un equipo de jugadores ganó 15 juegos y perdió 5. ¿Cuál es la razón geométrica de los juegos ganados a los jugados? Solución : Total de juegos = 20, Total de juegos ganados =15, dicha proporción es
15 3 = 20 4
15. Si x es un número par y y es un número impar. ¿Cuál.de las siguientes a…rmaciones siempre es falsa? Solución: La falsa es
y+y 2
=
2y 2
= y es par, porque aqui se produce una contradicción, y no puede ser par e impar a la
vez. 16. El mínimo común múltiplo de dos números es 105 y su máximo común divisor es 5. ¿Cuál de los siguientes números puede representar la suma de estos dos números? Solución : Como su m.c.d es 5, signi…ca que 5 es el único divisor común. Por tanto, se trata de dos números múltiplos de 105 5. Como su m.c.m. es 105, entonces = 21. Descomponemos el 21 en el producto de dos divisores, esto es 5 3 y 7. Por tanto, uno de los números es 15 = 3 5, el otro es 35 = 5 7 , por tanto, su suma es 15 + 35 = 50 17. La maestra distribuyó la misma cantidad de dulces entre cada uno de 5 niños y se quedó tres para ella misma. No se acuerda cuántos dulces tenía, pero se acuerda que era un múltiplo de 6 entre 65 y 100. ¿Cuántos dulces tenía? Solución: Como se quedó con 3 dulces, el número inicial de dulces termina en 3 o en 8, pero como es un múltiplo de 6, es par, por lo que termina en 8. La única posibilidad es 78. 2 0 13 2 1 1 C7 6 B 2 6 B C7 18. El resultado de 65 4 B C7 es 4 @ 1 A5 1 2 Solución : Al desarrollar la fracción se tiene
5
0
B B 4B @
1 2 1 2
1
2
1
1C C C = A =
5
5
4
1
3 2
19. El resultado de
2 3
4 5
6 7
es:
Solución : Al realizar operaciones básicas aritmética se tiene 4 5
2 3
7 6
=
2 3
=
14 15 4 15
20. Juan gasta el 20% de sus ingresos en el pago de impuestos y 20% del resto en el pago de la mensualidad de su casa. ¿Qué porcentaje de su ingreso gasta en el pago de su casa? Solución : El valor gastado en el pago de impuesto es 0:2x luego lo que le queda es x
0:2x = 0:8x
por tanto, el pago de la mensualidad de la casa es 0:2 (0:8x) = 0:16x lo cual corresponde a un 16% 21. ¿Cuánto gano o pierdo si vendo por los
3 7 de los del costo de un juguete que me ha costado C$40:00? 5 2
Solución : Aplicando operaciones básicas aritméticas 3 5 luego se ha ganado 84
7 2
40 = 84:0
40 = 44:00 córdobas.
22. Cuatro personas juntaron sus ahorros para abrir un negocio aportando el 15%, 20%, 25% y 40%, respectivamente, del monto total. Si la menor de las aportaciones fue de C$9; 000, la mayor de las aportaciones fue de: Solución : La menor de la aportaciones equivale 0:15x = 9000 luego el monto total es x = 60; 000 La mayor de las aportaciones equivale 0:4 (60000) = 24; 000 6
23. De acuerdo al Reglamento de Admisión de una universidad, el puntaje total alcanzado por un estudiante está formado por el 70% de la nota obtenida en el Examen de Admisión y el 30% de su promedio de los dos últimos años de bachillerato. Si un estudiante alcanza un puntaje total de 81 y su promedio de los dos últimos años de bachillerato es 95, ¿qué puntaje obtuvo en el examen de admisión? Solución : Sea x la nota obtenida en el examen de admisión, entonces 0:7x + 0:3 (95)
=
81
x =
75
24. Un grupo de amigas va de paseo y disponen de C$240:00 para la compra de sus pasajes. Si compran pasajes de C$30:00, les sobra dinero; pero si compran pasajes de C$40:00, les falta dinero. ¿Cuántas amigas van de paseo? Solución : Sea n la cantidad de amigas, entonces 30n < 240 40n > 240 y la solución de dicho sistema de ecuación se encuentra en el intervalo (6; 8), de aqui que la solución entera es n = 7: 25. En el parqueo de una cierta universidad, entre carros y motos hay 20 vehículos. Sabiendo que el número total de ruedas es 70. ¿Cuántos carros hay? Solución : Sean x la cantidad de carros y (20
x) la cantidad de motos respectivamente, entonces 4x + 2 (20
x) = 70
x = 15 por tanto, hay 15 carros y 5 motos. 26. Un estudiante de una cierta universidad proveniente del interior del país gasta la cuarta parte de su “mesada” en el alquiler de una habitación, la mitad en comida, la quinta parte en materiales educativos y el resto, C$ 100.00, en recreación. ¿Cuánto es la “mesada” de este estudiante? Solución : Sea x la cantidad de la mesada recibida, entonces x
x 4
x 2 7
x = 5 x =
100 2000
27. El hielo disminuye su volumen en un 9% cuando se derrite. Si se derriten 1000cc de hielo, ¿Cuál es el volumen del líquido que se forma? Solución : Hay que obtener el 9% de 1000, es decir 0:09
1000 = 90cc
por tanto, el volumen que se forma es de 1000cc
90cc = 910cc
28. ¿Cuál de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero n? Solución : La expresión 2n2 es un número par y 2003 es un número impar, por tanto, su suma siempre será impar 2
6 6 29. El resultado de 65 4
0
B B 4B @
1 2 1 2
13
2
1
1 C7 C7 C7 es A5
Solución : Al desarrollar la fracción se tiene
5
30. Calcular el producto L naturales y que b
0
B B 4B @
1
2
1 2 1 2
1
1C C C = A
5
=
3 2
4
1
H sabiendo que L = a + b + c , H = d + c = f + g siendo a; b; c; d; f; g números
f = 91 ; a
d = 18 ; c
d = 16 ; b
g = 39
Solución : Como sabemos que b
f = 91 ; a
d = 18 ; c
d = 16 ; b
g = 39; podemos aplicar la teoria de máximo
común divisor y obtenemos : b = gcd (39; 91) = 13 , d = gcd (16; 18) = 2; de aqui f = 7; c = 8; a = 9; g = 3 y entonces L = a + b + c , H = d + c = f + g; y sustituyendo L = 9 + 13 + 8 = 30; H = 2 + 8 = 7 + 3 = 10; por tanto el producto es 300: qp p 31. Al desarrollar la expresión 625a8 Solución:
2
el resultado es: qp p
2
625a8
h
54 a8 h 1 i2 = 52 a =
= 5a2 8
1 8
i2
32. El resultado de
q p p a 3 a a es:
Solución:
q p q p p p 3 a3 a a = a a a2 qp p 3 = a3 a3 qp p 3 = a9 p 12 = a9 p 4 = a3
5 2 de las reses de un ganadero y luego él vendió los de las que le quedaban. Si aún 8 3 tiene 216 reses, ¿Cuántas tenía al principio, cuántas murieron y cuántas vendió?
33. Una epidemia mató los
Solución : 5 x = 216, cuya solución es x = 1728; este valor son las 8 5 reses que tiene al inicio, las que mata la epidemia son (1728) = 1080; las que le quedan son 1728 1080 = 648 8 2 y las vende son (648) = 432 3 Formamos una ecuación lineal
x
5 x 8
2 3
x
34. Una gallina pone dos huevos en tres días. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos? Solución : Este es un problema de proporcionalidad compuesta,
De aqui
Gallinas
Huevos
Dias
1
2
3
4
24
x
4 1
2 3 = ; x=9 24 x
2 35. El 41 % es equivalente a: 3 Solución: Usando una regla de tres simple: 100% 125 % 3 Tenemos que equivale a
5 12
9
!
1
!
x
36. Halla el número cuyo 3:6 porciento vale 3 + 4:2 0:1 1 0:3 2 0:3125 3
1
Solución : Llamamos N al número buscado y A a la expresión dada. Entonces: A =
(3:6 N ) ; de aqui N = A 100
100 3:6
;
haciendo las operaciones respectivas, se obtiene que
1 37. Al realizar la operación
4:62
10
100 36
3 + 4:2 0:1 1 0:3125 0:3 2 3 2
2:2
10
4
= 4000
se obtiene el número
Solución : Al realizar la división indicada
4:62 2:2
102 = 210
38. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta en 30 días. El número de días que podría hacer la obra el ayudante trabajando solo es: Solución: Al plantear una regla de tres compuesta Hombres
Dias Proyectado
Dias Reales
2
24
20
1
x
30
De aqui x= 39. Al simpli…car la expresión
2
24 1
30 20
= 72
21 + 20 + 2 1 se obtiene: 2 2+2 3+2 4
Solución: Al reescribir la expresión dada 1 2 1 1 1 + + 4 8 16 2+1+
y al efectuar operaciones básicas de suma y cociente, se tiene que el valor dado es 8 10
40. Se va a tender una línea eléctrica de 35:75km de longitud con postes separados entre sí por una distancia de 125m. Si el primer poste se coloca al inicio de la línea, y el último al …nal ¿cuántos postes serán necesarios en total? Solución: Al hacer la conversión de 35:75km a metros se tiene 35:75
1000 = 35750
lo cual a dividir entre 125; se tendría la cantidad de poste utilizado, es decir 35750 = 286 125 pero como el primer poste se coloca al inicio de la línea, se tiene que el total de poste es de 287: 41. La operación
está de…nida por a b = 2ab
3b en la que a y b son números enteros. ¿Cuál es el resultado
de [4 ( 1)] ( 3)? Solución: Realizando las operaciones por partes: [4 ( 1)] [( 5) ( 3)]
= 2 (4) ( 1)
3 ( 1) =
= 2 ( 5) ( 3)
8+3
3 ( 3) = 30 + 9 = 39
42. ¿Cuál es la diferencia entre el 50% de 50 y el 20% de 20? Solución: Calculemos los porcentajes dados 0:5 (50)
=
25
0:2 (20)
=
4
por tanto, la diferencia dada es 21 43. En la sustracción a
b = c, la suma del minuendo, el sustraendo y la diferencia es 32. ¿Cuál es el valor del
minuendo? Solución: Sabemos que a + b + c = 32 pero a
b = c; entonces a+b+a 11
b
=
32
a =
16
2 4 5
44. El resultado de la operación 4
1 2
2 3 5 + 1 5 4 +
Solución: 2 4 5 4 1 2
1 3 4 3
11 2
7 20
1 5
es:
24
1 3
2 3 5 +
4 3
1 5 4 +
7 20
1 5
11 2
=
2+2 + 51
77 40
15 2
24 =
4
77 40
77 10
=1 45. El valor numérico de la expresión
42
2
(3
2)
( 6 + 1)
es:
2
Solución: Al desarrollar la expresión dada 42
2
(3
2)
16 1 25 3 5
=
2
( 6 + 1)
=
1 1 1 de un queque, B comió de lo que quedó después que A comió; C comió de lo que quedó 4 3 2 después que A y B comieron ¿Qué parte del queque quedó?
46. Si A comió
Solución : Sea x el total del queque, entonces al restar las partes que se comieron, se tiene x
1 3
1 x 4
x
1 x 4
1 2
x
1 x 4
1 3
x
1 x 4
1 x 4 2 3 del dinero que tenía, Mara compró gaseosas para festejar su cumpleaños. Con los del dinero que 7 5 le sobró compró hamburguesas. Al …nal Mara se quedó con C$100:00. ¿Cuánto gastó Mara en hamburguesas?
47. Con los
Solución : Al aplicar los datos x
2 x 7
3 5
x 12
2 x 7
=
100
x =
350
lo gastado en hamburguesa es 3 5
x
2 x 7
=
3 5
350
2 7
350
= 150
48. En una fábrica 60% de los artículos son producidos por una máquina A y el resto por otra máquina B. Si 3% de los artículos producidos por la máquina A y 8% de los producidos por la máquina B resultaron defectuosos ¿cuál es el porcentaje de artículos defectuosos producidos en toda la fábrica. Solución : Sea x el total de artículos producidos por la máquina A, entonces según los datos 0:6x + 0:4 (x
0:6x) = 100
49. La última vez que llené el tanque de gasolina, mi automóvil había recorrido 47; 286km. Ahora que acabo de llenarlo, la bomba marcó 22 litros y el cuentakilómetros marcaba 47; 506 km recorridos. Si el litro de gasolina cuesta C$20. ¿Cuánto me cuesta en promedio recorrer un kilómetro? Solución : Haciendo la diferencia 47506 el promedio en kilometraje es
47286 = 220 220 = 11 20
50. Un frasco contiene 12 onzas de una solución cuya composición es una parte de ácido por cada 2 partes de agua. Se agrega a otro frasco que contiene 8 onzas de una solución que contiene 1 parte de ácido por cada 3 partes de agua. ¿Cuál es la razón entre el ácido y el agua de la solución obtenida? Solución : La relación en el frasco de 12 onzas es y el agua es
4 2 y en el frasco de 8 onzas es ; entonces la relación total entre el ácido 8 6 6 3 = 14 7
51. Por un préstamo de 20; 000 pesos se paga al cabo de un año 22; 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?
Solución : t
La fórmula dada es F = P (1 + i)
entonces 22400
=
i = lo cual representa 12%
13
20000 (1 + i) 0:12
52. Si un número N se divide entre 4, se obtiene 9 de cociente y 1 de residuo. Si N se divide entre M , se obtiene 5 de cociente y 2 de residuo. ¿Cuál es el valor de M? Solución : De acuerdo a los datos del problema N
= cd + R = 36 + 1 = 37
N
=
5M + 2
al sustituir los datos 37
2
= M
5 M
=
7
53. Un contratista compró 4000 piedras y las vendió por 8,800 córdobas. ¿Cuánto pagó el por cada piedra si ganó, en relación a lo que pagó, un porcentaje igual a 5 veces el número de córdobas que a él le costó cada piedra? Solución : El costo real de cada piedra es 8800 4000
= x + 5x
2:2
= x+
x =
54. El valor de la expresión
x 100
x2 20
2
2
1 2
2
+ ( 2)
es:
3
( 2)
Solución : Al reescribir la expresión dada 2
1 2
2
+ ( 2)
=
3
( 2)
22 + 4 = 8
1
55. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 córdobas invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual. Solución : La fórmula a utilizar es I=C
i
t = 25000
14
0:06
4 = 6; 000
1017 segundos y la de la pirámide de Keops, 1:5
56. En el año 1982 la edad de la tierra era de 1:3
1011 segundos.
La diferencia de edad entre la tierra y la pirámide en notación cientí…ca es: Solución : Sea d la diferencia de edad, entonces
57. La luz recorre aproximadamente 3
1017
d
=
1:3
d
=
1011 1:3 11
d
=
10
d
=
1:2999985
1011
1:5 106
1:5
(1299998:5) 1017 seg
105 km por segundo. ¿Cuántos metros recorrerá en 365 días? El resultado
en notación cientí…ca es: Solución: En un día hay 24 (60) (60) = 86; 400seg, en 365 días hay 365 (86; 400) = 31; 536; 000seg. Como la luz recorre 3
105
103 m, en esos segundos la luz recorrerá: 31; 536; 000
3
58. La velocidad de la luz es aproximadamente de 3
108 m =
94; 608
1011 m
=
9:4608
1015 m
105 km=seg: La estrella más cercana a la tierra está a 4300
años luz de distancia. La distancia en km y escrita en notación cientí…ca es: Solución: En un día hay 24 (60) (60) = 86; 400seg, en 365 días hay 365 (86; 400) = 31; 536; 000seg. Como la luz recorre 3
105
103 m, en esos segundos la luz recorrerá 31; 536; 000 31; 536; 000
3
3
108 m = 94; 608
108 m =
94; 608
1011 m
=
9:4608
1012 m=seg
1011 m, entonces:
La estrella más cercana está a 4300 AL, entonces 4300
9:4608
1012
=
40681:44
1012
=
4:068144
104
=
4:068144
1016 km
1012
59. ¿Qué altura tendría una pila de 1; 000; 000 de hojas de cuaderno si se necesitan 10 hojas para tener 1mm? Solución: Utilizando una regla de tres simple:
15
1; 000; 000 10 Entonces, la altura x de la pila es 1; 000; 000
!
!
x 1mm
10 = 100; 000mm = 105 mm.
60. ¿Cuántos rieles de 15m se necesitan para enlazar a una fábrica con la estación que dista 765m? Solución: Se necesitan 765m
15m = 51 rieles.
61. ¿Cuántos al…leres de 3:5cm de largo pueden fabricarse con un alambre de latón de 152:07m, sabiendo que hay una pérdida de 2mm de alambre por al…ler? Solución: En total hay 152:07m = 152:07
100 = 15; 207cm de alambre y se pierde 2mm = 2
10 = 0:2cm de alambre
por cada al…ler. Entonces, si x representa la cantidad de al…leres que pueden fabricarse: 15207 = (3:5 + 0:2) x 15207 = x 3:7 4110 = x
Se pueden fabricar 4,110 al…leres. 62. Para ir a clase, Pedro tiene que andar por término medio 1; 520 pasos de 62 cm. ¿Cuántos km habrá recorrido durante un año escolar de 210 días si va al colegio y vuelve a su casa? Solución: De su casa a la escuela (y viceversa) recorre 1; 520 2
0:62 = 942:40m, al día recorre
942:40m = 1884:8m = 1884:8
Durante el año habrá recorrido 210
1000 = 1:8848km:
1:8848 = 395:8km.
63. Se ha necesitado 54; 000 losetas para pavimentar los 2; 430 m2 que miden las aceras de una calle. ¿Cuál es en mm2 la super…cie de una loseta? Solución: La super…cie de cada loseta es de 2; 430 m2 0:045
54; 000 = 0:045m2 . Como 1m2 = 1; 000; 000mm2 . Entonces: 1; 000; 000mm2 = 45; 000mm2 16
64. Si el m2 de un terreno vale 2 dolar, ¿Cuántos dólares vale comprar un campo de 7 Ha? Solución: Como 7Ha = 7
10; 000m2 = 70; 000m2 , entonces comprar el campo cuesta 70; 000
$2 = $140; 000.
65. La isla mayor de la Tierra es Groenlandia y mide 2; 180; 000 km2 y una de las más pequeñas es Cabrera, con 2000 Ha. ¿Cuántas veces cabe Cabrera en Groenlandia? Solución: Como 2; 180; 000 km2 = 2; 180; 000
100 = 218; 000; 000Ha. Entonces la isla Cabrera cabe 218; 000; 000Ha
2000 Ha = 109; 000 veces en Groelandia. 66. Una tinaja que contiene 0; 4 m3 de aceite ha costado 800 euros ¿a cuántos euros resulta el litro? Solución: Como 0; 4m3 = 0; 4
1000 = 400l, el precio del aceite por litro es 800
400 = 2 euros.
67. Un caramelo tiene un volumen de 1; 3 cm3 . ¿Cuántos caramelos caben en una caja de 0; 4498 dm3 ? Solución: Como 0; 4498 dm3 = 0; 4498
1000cm3 = 449; 8cm3 . En la caja caben 449; 8
1; 3 = 346 caramelos.
68. Los trozos cúbicos de jabón de 5 cm de arista se envían en cajas cúbicas de 60 cm de arista. ¿Cuántos trozos puede contener la caja? Solución: 3
3
El volumen de los trozos de jabón es (5cm) = 125cm3 y el volumen de cada caja es (60cm) = 216; 000cm3 . Entonces cada caja puede contener 216; 000
125 = 1728 trozos de jabón.
69. ¿Cuántas botellas de 750 cm3 se necesitan para envasar 300 litros de refresco. Solución: Como 750 cm3 = 750
1000 = 0:75 litros, entonces se necesitan 300
0:75 = 400 botellas para envasar 300
litros de refresco. 70. La capacidad de un depósito de gasolina es 1500 litros. ¿Cuál es su volumen en cm3 ? Solución: El volumen del depósito es de 1500
1000 = 150; 000cm3 . 17
71. Un camión transporta 50 cajas con botellas llenas de agua. Cada caja contiene 20 botellas de litro y medio. Una caja vacía pesa 1500 g, y una botella vacía, 50 g. ¿Cuál es el peso total de la carga? Solución: Cajas vacías:
50
1500g = 75; 000g
Botellas vacías:
50
20
50g = 50; 000g
: 50
20
1:5l = 1500l = 1500
Cajas llenas
1000g = 1; 500; 000g
El peso total de la carga es de 75; 000g + 50; 000g + 1; 500; 000g = 1; 625; 000g = 1; 625; 000
1000 = 1; 625kg:
72. Si para construir un muro necesito 2 toneladas de cemento, ¿cuántos sacos de 25 kilos de cemento tendré que comprar? Solución: Como 2 toneladas = 2
1000 = 2; 000kg, se tienen que comprar 2; 000
25 = 80 sacos.
73. Un barco transporta 2800 toneladas de mercancía. ¿Cuántos vagones harán falta para transportar esa mercancía si cada vagón carga 1400 kg? Solución: Como 2800 toneladas = 2800
1000 = 2; 800; 000kg, hacen falta 2; 800; 000
1; 400 = 2000 vagones.
74. La temperatura del cuerpo humano es 37 C. ¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen? Solución: Para convertir grados celsius a Fahrenheit se utiliza la siguiente fórmula: o
En este caso: o
F =
o
F =
9 5
37
C
9 5
+ 32
+ 32 = 66:6 + 32 = 98:6o F
75. Para asar un pollo se necesita que el horno de la cocina alcance una temperatura de 374 F . ¿A qué temperatura debo …jar el graduador para asar el pollo, si la graduación está en grados centígrados ( C)? Solución: Para convertir grados Celsius a Fahrenheit se utiliza la siguiente fórmula: o
C = (o F
En este caso: o
C = (374
32)
5 = 342 9
32) 18
5 9 5 = 190o C 9
UNIDAD DE ÁLGEBRA
1. Dado el polinomio lineal f (x) = x
1 1 2 3 ; la suma f (x) + f (x + ) + f (x + ) + f (x + ) es igual a: 2 4 4 4
Solución: 1 ; se obtiene que 2
Al evaluar el polinomio f (x) = x
f (x) 1 4 2 x+ 4 3 x+ 4
f
x+
f f
1 2 1 = x+ 4 2 = x+ 4 3 = x+ 4
1 1 =x 2 4 1 =x 2 1 1 =x+ 2 4
3 4
1 +x 2
= x
de donde f (x) + f
x+
1 4
+f
x+
2 4
+f
x+
=x
1 1 + x + x + = 4x 4 4
1 2
2. Si x + y = 1 y xy = 1 , ¿cuál será el valor de x3 + y 3 ? Solución: Elevando al cubo la expresión (x + y) = 1, y aplicando las condiciones dadas en el ejercicio, se obtiene 3
= x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 = 1
(x + y)
x3 + 3xy (x + y) + y 3
=
1
x3 + 3 (1) (1) + y 3
=
1
3
x +y 3. Si a =
1; b = 3; c = 5, entonces
3
=
2
a + b ja bj es igual a: jaj + jbj + jcj
Solución: Haciendo las debidas sustituciones resulta 2 4 1 + 3 j 1 3j = = j 1j + j3j + j5j 9 4. El valor numérico de la expresión
a2 a + b2 a3 b3 a2 (a2 + b2 ) (2a 3b2 )
b
2 : 9
para a = 1 y b =
Solución : Al sustituir los valores respectivos se obtiene 2
(1)
2
1 + ( 2) 2
3
(1) 2
(1) + ( 2)
3
( 2) 2 (1) 19
2
(1)
2
3 ( 2)
( 2) =
27 10
2 es:
5. Las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 serán recíprocas si: Solución : Las raíces de la ecuación seran recíprocas si al multiplicarla el resultado es 1, de la fórmula general se puede ver que b+
p
b2 2a
4ac
!
p
b2 2a
b b2
4ac
!
b2 4ac 4a2
=
1
=
1
de aquí, c = a 6. El resultado de (bn
5y m ) (5y m + bn ) es:
Solución : El producto indicado es un producto notable y su resultado es 2
2
(bn )
(5y m ) = b2n
7. La descomposición en factores de la expresión 3x2
2x
25y 2m
8 es:
Solución : Al factorizar dicha expresión se tiene 3x2
2x
8 = (3x + 4) (x
8. La descomposición en factores de la expresión x3
2)
64y 3 es
Solución : Al factorizar se tiene x3 9. La simpli…cación de
a2 4b2 ab + 2b2
64y 3 = (x
3a2
4y) 4xy + x2 + 16y 2
5ab 2b2 es + ab
3a2
Solución : Al factorizar los diferentes términos de las fracciones, se tiene a2 4b2 ab + 2b2
3a2
5ab 2b2 + ab
3a2
= = = 20
(a + 2b) (a 2b) b (a + 2b) (a + 2b) (a 2b) b (a + 2b) a b
(a
2b) (3a + b) a (3a + b) a (3a + b) (a 2b) (3a + b)
1 1 p a a se obtiene 10. Al simpli…car la expresión 1 1 p + a a Solución : Al determinar el mínimo común de ambos denominadores p a a p p a a a a p =p a+ a a+a p a a al racionalizar el denominador, obtenemos p a a p a+a
p a p a
a a
p 2 ( a a) a a2
=
a1=2 1 a1=2 a (1 a) p 2 (1 a) 1 a
= =
11. El resultado de la siguiente operación
1 x
1
+
12x2 4x 4x2 11x 3
2
3x2 + 8x 3 x2 9
Solución : Al desarrollar las operaciones indicadas y factorizando, se tiene 1
4x (3x 1) x 1 (4x + 1) (x 3) 1 4x (3x 1) + x 1 (4x + 1) (x 3) 4x 1 + x 1 4x + 1 4x2 + 1 2 4x 3x 1 4x2 + 1 (4x + 1) (x 1) 12. Al desarrollar
x y
y x
+
(x + 3) (3x 1) (x 3) (x + 3) (x 3) (x + 3) (x + 3) (3x 1)
2
se obtiene
Solución : Desarrollando el cuadrado x y
y x
2
=
x2
y2 xy
21
2
=
x4
2x2 y 2 + y 4 x2 y 2
es
13. Al racionalizar el denominador de la fracción
3+
x 2 p se obtiene 2x + 5
Solución : Al multiplicar por su conjugado x 2 p 3 + 2x + 5 14. El conjunto solución de la ecuación
3x x
5
p 2x + 5 p 2x + 5
3 3 15
=1+
x
5
=
p
2x + 5 2
3
es
Solución : Al multiplicar por el mínimo común denominador (x
5)
3x x
=
(x
5) 1 +
5 3x = x 2x =
10
x =
5
15 x
5
5 + 15
15. El valor de k que proporciona sólo una solución real de la ecuación x2 + kx + k =
2
3x es:
Solución : Una ecuación de segundo orden tiene una solución si el discriminante b2
4ac = 0; entonces, al reescribir dicha
2
ecuación en la forma x + (k + 3) x + (k + 2) = 0 y al analizar su discriminante, se tiene 2
(k + 3)
4 (1) (k + 2) = 0
y al resolver dicha ecuación, se tiene que k = 1 8 2 4 > < + =3 3x + y 3x y 16. Al resolver el sistema de ecuaciones , se obtiene que el valor de la variable y es: 2 4 > : =1 3x + y 3x y Solución :
Al sumar ambas ecuaciones, 4 3x + y 3x + y y
=
4
=
1
=
1
3x
sustituyendo este valor en la primera ecuación, obtenemos 4 2 + 3x + 1 3x 3x 1 + 3x 4 6x 1
y al sustituir en y = 1
3x; obtenemos y =
3 2
22
=
3
=
1
x =
6 6
17. Al efectuar
x2 (x
4 2
2)
2
+
(x + 2) se obtiene : x2 4
Solución : La expresión dada se puede reescribir por (x + 2) (x
2) 2
(x 2) x+2 x+2 + x 2 x 2 2 (x + 2) x 2 18. Al resolver la ecuación raíces es :
2
+
(x + 2) (x + 2) (x 2)
x+1 2x 1 + = 4 se obtiene que la diferencia entre la mayor y la menor de las x 1 x+1
Solución : La expresión dada se puede reescribir por 2
(x + 1) + (2x 1) (x 1) = 4 x2 1 3x2 x + 2 = 4x2 x2 + x
6
=
4
0
al resolver dicha ecuación, se tiene que las soluciones reales son x1 =
3 ; x2 = 2; por tanto, la diferencia
entre las raíces es 5 19. Al resolver el sistema de ecuaciones y es:
(
p
2x +
p
3y
2x
2
p = 5 + 2 6xy
3y = 1
, se obtiene que el valor de la variable
Solución : Podemos ver que 2x = 1 + 3y al sustituir en la ecuación dada, se tiene que p p 1 + 3y + 3y p p 1 + 3y + 3y
2
= 2
=
p 5 + 2 (1 + 3y) 3y
p 5 + 2 3y (1 + 3y)
desarrollando el cuadrado p 1 + 3y + 2 3y (1 + 3y) + 3y
=
4 + 6y
=
y
=
23
p 5 + 2 3y (1 + 3y) 0 2 3
20. El conjunto solución de la desigualdad x3 + x2
2x > 0 es :
Solución : Al factorizar dicha expresión se tiene x (x + 2) (x
1) > 0
entonces los números críticos son x = 0; x =
2; x = 1
entonces Expresión x<
x
x+2
x
1
Signo
2
2
+
0
+
+
x>1
+
+
+ +
+
por tanto, el conjunto solución está de…nido por los intervalos donde está el signo positivo, es decir ( 2; 0) [ (1; +1) 21. El valor de k de manera que la ecuación 2x2 + kx + 4 = 0 tenga una raíz igual a Solución : Sabemos que la raices de la ecuación cuadrática tiene la forma p b b2 4ac 2a entonces, como una de las raices es
3; obtenemos p k k 2 4 (2) (4) 2 (2) k
2 22. El conjunto solución de la desigualdad jx + j 3
=
3
=
22 3
2 es
Solución : Aplicando propiedad de valor absoluto 2 2
2 3 8 3 24
x+
2 3
2
x
2
2 3
x
4 3
3 es:
23. El conjunto solución de la desigualdad 1
7
x
3 es
2
Solución : Aplicando propiedad de valor absoluto 7
1 2 2 multiplicando por
x
3
2 7
7
x x
6 6
7
1 y cambiando el sentido de la desigualdad 5
x
1
1
x
5
en forma de intervalo se tiene [ 1; 5] 24. El conjunto solución de la desigualdad j5
2xj < 7, está dado por el intervalo
Solución : Aplicando propiedad de valor absoluto 7 < 5 7
5 < 12
multiplicando por
2x < 7 2x < 7
<
5
2x < 2
1 y cambiando el sentido de la desigualdad 2 6 >
x>
1 <
x<6
1
la cual se puede escribir en notación de intervalo por ( 1; 6) 25. El conjunto solución de la desigualdad
(x + 10) (x 2) x2 7x 8
0 es
Solución : Factorizando la expresión del denominador, obtenemos x2
7x
8 = (x + 1) (x
8)
entonces los puntos criticos son x=
10 ; x =
25
1; x=2; x=8
entonces Expresión x
x
2
x+1
x
8
10 10
Signo +
x<
1
x + 10 1
+
2
x<8
x>8
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
por tanto, el conjunto solución está de…nido por los intervalos donde está el signo negativo, es decir [ 10; 1) [ [2; 8) 26. El conjunto solución de la ecuación
p
p
2x + 3
x
2 = 2 es
Solución : Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación p
p 2 2x + 3 x 2 = 4 p 2 (2x + 3) (x 2) = 3
3x
nuevamente elevando al cuadrado p 2 (2x + 3) (x
2
=
(3
24
=
9x2
14x + 33
=
0
8x2 x2
2
2)
4x
3x)
18x + 9
al resolver dicha ecuación, se tiene que el conjunto solución es f3; 11g 27. Si j2x
1j > 3, el valor de x que no pertenece al conjunto solución es
Solución : Por de…nición se obtiene 2x
1 > 3 o 2x
1<
3
entonces 2x >
4 o 2x <
x >
2 o x<
2 1
por tanto, el conjunto solución es ( 1; 1) [ (2; 1) ; es decir x 2 = [ 1; 2] ; lo cual es el valor x =
26
1
28. Si
x+
1 x
2
= 3 entonces x3 +
1 es igual a: x3
Solución : Multiplicando por
x+
1 x
a la expresión
x+
1 x
1 x
2
x+
1 x
3
x+
x3 + 29. El conjunto solución de 3x + jxj =
2
x+
1 x
=
3 x+
= 3 se obtiene que :
1 x
= x3 + 3x2 1 x3
=
1 3 1 1 + 3x 2 + 3 = 3x + x x x x
0
8 es
Solución : Aplicando la de…nición de valor absoluto, para x
0
3x + x =
8
x =
2
x =
8
x =
4
para x < 0 3x
podemos notar que para x = 30. Al factorizar la expresión
2 se tiene una solución extraña y por tanto, la única solución es x =
12x3 + 36x2
27x uno de los factores es:
Solución : Factorizando la expresión dada 12x3 + 36x2 31. El resultado simpli…cado de
27x =
3x (2x
2
3)
3y p 1 p 4 4 8x3 y 7 8x2 y 3 , es: 2 3x
Solución : Al efectuar las operaciones indicadas, se tiene p p y p y p p 4 82 x5 y 10 = 8x 4 xy 2 4 y 2 = y 3 4 4xy 2 2x 2x 27
4
1 1 1 7 = 4 ; y + = 1 ; z + = entonces el valor de xyz es: y z x 3
32. Si x; y; z, son números positivos que satisfacen x + Solución : Reescribiendo las expresiones dadas xy + 1
=
4y
xyz + z
=
4yz
xyz
=
4yz
xz + 1
=
xyz + y
=
4yz
z
1 (4y y
=
1 (13y 3y
1 (13y 3y
4)
= xyz
1 (13y 3y
4)
1 y
4
1) (z 0
1 (4y y
=
1 entonces x
1 y
= z 4 =
7 x 3 7 xy 3
7 1 ;z= y 3
Igualando las expresiones y sabiendo que x = 4
z
1)
B7 1) B @3
1
C 1C A
1 4
1 y
4)
pero
=
y
4
1 y
2 5
=
0
B7 yB @3
entonces x =
4
z
7 3
=
1 3 = y 2 1 5 = x 3
de aqui xyz = 1
28
1 4
1
C C 1A y
33. Si n > 1, entonces
q p p 3 n 3 n 3 n es igual a:
Solución : Aplicando la de…nición de radicales r q q p q p p p p 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1=3 n n n = n nn = n n4=3 = nn4=9 = n13=9 = n13=27 34. La expresión
p
n2
a:a33 :a53 ::::a(2n
1)3 es
igual a:
Solución : Al utilizar la igualdad 13 + 33 + ::: + (2n
3
1) = n2 2n2
1 ; y observando que la cantidad subradical es
un producto de potencia de la misma base y que dicha suma coincide con la dada en la sugerencia, podemos sustituir y obtener
p an2 (2n2
n2
2
35. Si (x + y) = 2 x2 + y 2 el valor de E =
1)
= a2n
2
1
3x + y 6y 3x3 y 3 + + será: 2 x y 5x 2x + y
Solución: Al efectuar la suma tenemos que 3x3 y 3 3x + y 6y + + 2 x y 5x 2x + y
30x4 + 21x3 y + 35x2 y 2 9xy 3 5 (2xy y 2 ) y (2x + y) 4 30x + 21x3 y + 35x2 y 2 9xy 3 20x2 y 2 5y 4
= =
2
Por otro lado, como (x + y) = 2 x2 + y 2 , resulta que x2 = 2xy 3x3 y 3 3x + y 6y + + x2 y 5x 2x + y
= = = = = =
y2
2
5y 4
+ 21 2xy y 2 xy + 35 2xy 20 (2xy y 2 ) y 2 5y 4 162x2 y 2 80xy 3 10y 4 20 (2xy y 2 ) y 2 5y 4 162 2xy y 2 y 2 80xy 3 10y 4 20 (2xy y 2 ) y 2 5y 4 4y 3 (43y 61x) 5y 3 (5y 8x) 172y 244x 25y 40x
29
5y 4
y 2 , así al sustituir obtenemos
30x4 + 21x3 y + 35x2 y 2 9xy 3 20x2 y 2 5y 4 30 2xy
5y 4
y2 y2
9xy 3
5y 4
36. Si el polinomio P (x) = x4 + ax3
bx2 + cx
1 es divisible por (x
1) (x + 1) (x
2
1) ; el valor de (a + b + c)
es: Solución El polinomio (x (a
1) (x + 1) (x
b + 2) x2 +(a + c) x+( a
1) es igual a x3 x2 x+1. Al dividir P (x) entre x3 x2 x+1, el residuo es 2) y el cociente x+(a + 1). Pero P (x) es divisible entre (x
así que el residuo debe ser cero, es decir, (a a + c = 0,
a
2
b + 2) x +(a + c) x+( a
2 = 0. De esto resulta que a =
1)
2), y para que esto ocurra a b+2 = 0,
2; c = 2 y b = 0. Por lo tanto, 2
(a + b + c)
37. Sabiendo que x +
1) (x + 1) (x
=
( 2 + 0 + 2)
=
02
=
0
2
1 1 1 = 3;al determinar el valor de E = x3 + x2 + 3 + 2 obtenemos: x x x
Solución Se tiene que x+ por lo cual al sustituir x +
1 = 33 x3
38. Si el cociente notable
x30 xn
2
= x2 +
1 +2 x2
1 1 = 3, resulta que x2 + 2 = 32 x x x+
se obtiene que x3 +
1 x
1 x
3
2 = 7: Similarmente, como
1 1 +3 x+ x3 x 1 = x3 + 3 + 9 x = x3 +
9 = 18. Por tanto, E = 7 + 18 = 25
ym tiene 10 términos, entonces el valor de (m + n) es: y2
Solución En un cociente notable, para hallar el número de términos que va a tener la solución de la división, por ejemplo de:
xp xr
yq ys
se calcula como la división de los exponentes de la misma variable: n= Así pues en este caso 10 =
p q = r s 30 m = n 2
de lo cual se deduce que n = 3 y m = 20; luego m + n = 23 30
39. Si 264 = aa
p
y
3
54
b
= (3b) ; al determinar el valor de 3a + b se obtiene:
Solución 16
p
54
= 33
9
Como el inverso multiplicativo de (2a + b) es 15 , signi…ca que (2a + b) = 5, resultando que b2 + 4ab + 4a2
c
Tenemos que aa = 264 = 24 (3
16
b
= (16) , así que a = 16. Por otro lado, (3b) =
3
27
= (3)
=
9
9) ; lo cual indica que b = 9. Luego, 3a + b = 48 + 9 = 57
40. Si (2a + b)
c
=
1 ; entonces el valor de b2 + 4ab + 4a2 5
c
es:
Solución Se tiene que c
b2 + 4ab + 4a2
h
= =
2
(2a + b)
c 2
[(2a + b) ] c
c
c 2
ic
2
[(2a + b) ] = 5 = 25 41. Sabiendo que a + b + c = 0; ab + ac + bc =
7 y
abc =
6 entonces el valor de
1 1 1 + 2 + 2 es: a2 b c
Solución Tenemos que 1 1 1 + + a b c
2
bc + ac + ab abc
2
1 1 1 + 2+ 2 a2 b c
=
2 2 2 1 1 1 + + + + 2+ 2 ab ac bc a2 b c
=
1 1 1 2 (c + b + a) + 2+ 2+ 2 abc a b c bc + ac + ab abc
=
2
2 (c + b + a) abc
Ahora haciendo las debidas sustituciones, resulta 1 1 1 + 2+ 2 a2 b c
= 42. Al simpli…car la expresión A =
(x
x2 y) (x
z)
7 6
=
(y
2
2 (0) 6
49 36
y2 z) (y
x)
+
(z
z2 x) (z
y)
el resultado es:
Solución Efectuando las operaciones indicadas se obtiene (x
x2 y) (x
z)
(y
y2 z) (y
x)
+
(z
z2 x) (z
y)
= = =
31
x2 (y
z) y 2 (z x) + z 2 (x (x y) (x z) (y z) (x z) xy xz + yz + y 2 (x y) (x z) (y z) xy xz + yz + y 2 (x y) (y z)
y)
=
43. El conjunto solución de la ecuación
x2 6x + 10 = x2 + 8x + 17
2
x 3 x+4
, es:
Solución Desarrollando el cuadrado en el miembro derecho de la igualdad, tenemos x2 6x + 10 x2 6x + 9 = 2 2 x + 8x + 17 x + 8x + 16 de lo cual se obtiene x2
6x + 10
x4 + 2x3
x2 + 8x + 16
22x2
=
x2
6x + 9
16x + 160
= x4 + 2x3
16x + 160
=
16x + 30x =
x2 + 8x + 17
22x2
30x + 153
30x + 153 153
14x = x = x =
160
7 7 14 1 2
44. Un barril contiene 120 litros de alcohol y 180 litros de agua;un segundo barril contiene 90 litros de alcohol y 30 litros de agua¿ Cuántos litros debe tomarse de cada uno de los barriles para formar una mezcla homogénea que contenga 70 litros de agua y 70 litros de alcohol. Solución El primer barril contiene una mezcla 300 litros, en la cual el
(120) (100) = 40 porciento es alcohol y el 300
(180) (100) = 60 porciento es agua. En el segundo barril hay una mezcla de 90 litros de alcohol y 30 litros de 300 (90) (100) (30) (100) agua, es decir el = 75 porciento es alcohol y el = 25 porciento es agua. Esto signi…ca que 120 120 cualquier cantidad que se tome del primer barril contiene un 60% de agua y un 40% de alcohol, así mismo al tomar cualquier cantidad del segundo barril contiene un 25% de agua y un 75% de alcohol.
Sea x la cantidad de litros que se tomará del primer barril y y la cantidad que será tomada del segundo barril. Como la mezcla debe contener 70 litros de agua y 70 litros de alcohol, entonces planteamos el siguiente sistema de ecuaciónes
(
0:4x + 0:75y = 70
Ec (1)
0:6x + 0:25y = 70
Ec (2)
Luego, si multiplicamos la primera ecuación por 0:25 y la segunda por 0:75, obtenemos ( 0:1x 0:1875y = 17:5 Ec (3) 0:45x + 0:1875y = 52:5
Ahora sumando miembro a miembro las ecuaciones 3 y 4 resulta 0:35x = 35: 32
Ec (4)
Despejando x se llega x = 100. Sustituyendo en la ecuación 1 o en la ecuación 2 se obtiene que el valor de y es 40. Por lo tanto, para formar una mezcla homogénea que contenga 70 litros de agua y 70 litros de alcohol hay que tomar 100 litros del primer barril y 40 del segundo. 45. La hierba crece en todo el prado de la hacienda "el Meymo" con igual rapidez y espesura. Se sabe que 70 vacas se la comerían en 24 días y 30 en 60 días ¿ Cuántas vacas se comerían toda la hierba en 96 días? Solución Sea p el prado y v la rapidez de crecimiento por día del pasto. Sabemos que # vacas
Cantidad de pasto consumida
# de días
70
p + 24v
24
30
p + 60v
60
Luego tendríamos que 30 70
p + 24v = p + 60v 30 60 = 70 24 15 = 14 15 (p + 24v) = 15p + 360v 15p
24 60 p + 60v p + 24v p + 60v p + 24v 14 (p + 60v)
=
14p + 840v
14p
=
840v
p
=
480v:
360v
Ahora # vacas
Cantidad de pasto consumida
# de días
70
p + 24v = 480v + 24v = 504v
24
x
p + 96v = 480v + 96v = 576v
96
por lo cual x 70
504v 576v x 7 70 8
= =
x = x =
24 96 24 96 24 96 20
8 7
70
46. En un gallinero había cierto número de gallinas, se duplicó el número y se vendio 27 quedando menos de 54. después se triplicó el número de gallinas que habia al principio y se vendió 78, quedando más de 39,¿Cuántas gallinas habia al principio? Solución Sea x el número de gallinas que había al principio. La expresión: "se duplicó el número y se vendió 27 quedando menos de 54" se representa en el lenguaje algebraico de la siguiente manera 2x 27 < 54, y el conjunto solución 33
de dicha desigualdad es ( 1; 40:5) : La otra expresión "Después se triplicó el número de gallinas que habia al
principio y se vendió 78, quedando más de 39" la representamos mediante la desigualdad 3x
78 > 39, cuyo
conjunto solución es (39; 1). Luego, como la intersección de los conjuntos soluciones de las dos desigualdades
es 40, resulta que inicialmente habían 40 gallinas.
47. Un grupo de abejas cuyo número era igual a la raíz cuadrada de la mitad de todo su enjambre se posó sobre 8 un jazmin, habiendo dejado muy atrás a de su enjambre, sólo una abeja del mismo enjambre revoloteaba en 9 torno a una ‡or de sacuanjoche, atraida por el zumbido de una de sus amigas que cayó imprudentemente en la trampa de dulce fragancia.¿cuántas abejas formaban el enjambre? Solución Sea x el número de abejas del enjambre. La información del problema nos proporciona la siguiente ecuación: r x x = 2 2 9 x x2 4x x2 17 = + 4: Luego, x + 4 = 0: 2 81 9 81 18 9 9 no Utilizando la fórmula general para resolver esta ecuación, se obtienen las soluciones 72 y ; pero como 2 2 es entero, nos quedamos 72, es decir que en el enjambre habían 72 abejas. Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, tenemos
48. Si x4
y 4 = z 3 y x2 + y 2 = 8, entonces
z3 es igual a: 8
Solución : Sustituyendo x4
y 4 = z 3 y x2 + y 2 = 8 en
z3 obtenemos 8 z3 x4 y 4 = 2 ; 8 x + y2
factorizando la diferencia de cuadrados x2 + y 2 x2 z3 = 8 x2 + y 2
y2
y simpli…cando z3 = x2 8 factorizando una vez más obtenemos
49. Al simpli…car
x x
2=3
y 4=3 z 4 1=3 y 2=3 z 7=3
y2
z3 = (x + y) (x 8
y)
3
resulta
Solución : Al aplicar propiedades de exponentes x x
2=3
y 4=3 z 4 1=3 y 2=3 z 7=3 34
3
=
x2 y 4 z 12 xy 2 z 7
= xy 6 z 5
50. Si 2x3 + x2 + px + 2p2 es divisible entre x + 1, siendo p un número real, entonces el valor de p es: Solución : Como el polinomio dado es divisible por x + 1; entonces P ( 1) = 0
2p2 (p + 1) p
P (x)
=
p
=
0
=
0
3 3 2
2
1
p + 2p2
luego el polinomio es divisible por (p + 1) 51. El conjunto solución de la desigualdad
3 1 < es 2x + 3 x 2
Solución : Al reescribir la desigualdad dada 3 2x + 3
1 x 2 x 9 2x2 x 6 x 9 (2x + 3) (x 2) de aqui, podemos observar que los puntos criticos son x = Expresión 3 x< 2 3
x
9
x>9
+
2x + 3
< 0 < 0 < 0 3 ; x = 2 ; x = 9; entonces 2 x
+
2
Signo
+
+
+
+
+
+
por tanto, el conjunto solución está de…nido por los intervalos donde está el signo negativo, es decir 1;
3 2
[ (2; 9)
52. Dos enteros a > 1 y b > 1 satisfacen ab + ba = 57. Determinar la suma a + b Solución : Uno de los enteros, digamos a, debe ser par, mientras que el otro, b, debe ser impar. Como 43 = 64 > 57, tenemos que a = 2; entonces b = 5. Entonces dicha suma debe ser 7
35
53. Si x + y = 1 y xy = 1 , ¿cuál será el valor de x3 + y 3 ? Solución : Elevando al cubo la expresión (x + y) = 1, y aplicando las condiciones dadas en el ejercicio, se obtiene 3
(x + y)
x3 + 3xy (x + y) + y 3
=
1
x3 + 3 (1) (1) + y 3
=
1
3
x +y 54. El polinomio p(x) = x3
= x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 = 1
x2 + x
3
=
2
1 se anula en 1, luego p(x) es divisible por:
Solución : Decir que P (x) se anula en 1 signi…ca que P (1) = 13 entonces (x
12 + 1
1=0
1) es un divisor de este polinomio.
55. La suma de dos números es 666 y si se divide el mayor entre el menor el cociente es 5 y el residuo 78. Dichos números son: Solución : Sean x el número mayor, y el número menor, entonces x + y = 666 x = 5y + 78 cuya solución es fx = 568; y = 98g 56. Si suponemos que el cociente intelectual de Einstein era 170 y si éste se calcula al dividir la edad mental por la edad cronológica multiplicado por 100, la edad mental de Einstein cuando publicó en 1905 su teoría sobre el efecto fotoeléctrico era: Solución : El coe…ciente intelectual (CI), se de…ne por CI =
EM EC
100
donde EM es la Edad Mental y EC es la Edad Cronologica, de aqui 170 = cuya solución es 44:2
EM 26
36
100
57. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene el hijo? Solución : Sea P la edad actual del padre y H la edad actual del hijo, entonces 3H = P 4 (H
5) = P
5
cuya solución es H = 15; P = 45 58. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unas empanadas, y lo pusieron todo en una cuenta que ascendió a 36 córdobas. Todos iban a pagar por igual, pero tres de ellos se habían ido, por lo que a cada uno le tocó pagar 1 córdobas más. ¿Cuántas personas conformaban el grupo original? Solución : Llamemos x al número de amigo al principio e y al costo si hubieran estado todos, entonces xy = 36 (x
3) (y + 1) = 36
cuya solución es x = 12; y = 3 59. Un hombre entró en la cárcel para cumplir una condena. Para que su castigo fuera más duro no le dijeron cuanto tiempo tendría que estar allí dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente y el preso le había caído bien. Preso: ¡Vamos!. ¿puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en este lugar? Carcelero: ¿Cuántos años tienes? Preso: Veinticinco. Carcelero: Yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste? Preso: Hoy es mi cumpleaños. Carcelero: Increíble. ¡También es el mío!. Bueno, por si te sirve de ayuda te diré (no es que deba, pero lo haré) que el día que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás. ¿Cuánto tiempo dura la condena del preso? Solución : Sea x tiempo de condena del preso, entonces 2
25 + x = x =
37
54 4
60. El producto de tres enteros positivos consecutivos es 3360 y su suma es 45. ¿Cuál es el mayor de esos tres números? Solución : Este problema se puede resolver utilizando la segunda condición x + (x + 1) + (x + 2)
= 45
x =
14
como los números son consecutivos, entonces el mayor es x + 2 = 16 61. Un autobús comienza su trayecto con un cierto número de pasajeros. En la primera parada descienden 1=3 de los pasajeros y suben 8. En la segunda parada descienden 1=2 de los pasajeros que quedan y suben 2 nuevos. En este momento, el autobús lleva la mitad del número de pasajeros de los que llevaba al principio del trayecto. ¿Cuántos pasajeros había al principio? Solución : 1 Llamamos x al número de pasajeros que había al comienzo del viaje. En la primera parada desciende de los 3 2 2 pasajeros. Luego se quedan x. Suben 8. Por tanto, después de la primera parada en el autobús hay x + 8 3 3 2 x+8 1 3 pasajeros. En la segunda pasada descienden de los pasajeros, luego se queda . Suben otros 2. Por 2 2 2 x+8 3 tanto, después de la segunda parada en el autobús hay + 2: En ese momento el número de pasajeros 2 x es la mitad de los que había al principio, es decir, : Igualamos y obtenemos 2 2 x+8 3 2
+2=
x 2
cuya solución es x = 36 62. Hallar tres números sabiendo que el segundo es mayor que el primero en la misma cantidad que el tercero es mayor que el segundo, que el producto de los dos menores es 85 y que el producto de los dos mayores es 115. Solución : Sean x; y; z los tres números buscados, además x < y < z; entonces 8 > > < y x=z y cuya solución es z =
17 23 ; y = 10; x = 2 2
> > :
xy = 85
yz = 115
38
63. Daniel y Arturo, dos viejos amigos, vuelven a encontrarse en la calle al cabo de algunos años. Después de saludarse, Daniel : ¿Cuántos hijos tienes? Arturo : Tres hijos. Daniel : ¿Qué edades tienen? Arturo : Tú mismo lo vas a averiguar. El producto de sus edades es 36. Daniel, después de pensar durante algún tiempo, le dice a Arturo que necesita más datos. Arturo : En efecto, la suma de sus edades es igual al número de la casa que tenemos enfrente. Daniel mira el número de la casa que le indica Arturo y quedándose pensativo durante un par de minutos. - ¡No es posible! responde, con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Me falta un dato más. Arturo : Perdona Daniel, olvidé decirte que mi hija la mayor toca el piano. Daniel: En ese caso, ya sé sus edades. ¿Qué edades tienen los hijos de Arturo? Solución : El problema se reduce a encontrar tres números naturales cuyos producto sea 36, sean x; y; z dichos números, entonces xyz = 36 entonces se forman las siguientes posibilidades, cada una con sus respectivas sumas 1
1
36
=
38
2
2
9
=
13
1
4
9
=
14
1
6
6
=
13
18
=
21
1
2
Observemos que el dato del número de la casa es la clave, ya que el número 13 se repite dos veces ( el cual constituye el número de la casa ), por tanto, de las posibilidades 2
2
9 = 13 y 1
6
6 = 13; la correcta
es la primera, ya que para el segundo caso, no existe una única hija mayor. 64. Un ciclista calcula que si avanza a 10 km=hora llegará a su destino a la 1p:m., y si avanza a 15 km=hora llegará a su destino a las 11a:m. ¿a qué velocidad, en km=hora, tiene que avanzar para llegar a las 12m.? Solución : Sabemos que d = vt aplicando las condiciones del problema d
=
10t
d
=
15 (t
2)
30
igualando 10t
=
15t
t
= 39
6
ahora 10t
= v (t
60
=
5v
v
=
12
1)
65. Un camino puede recorrerse en “t”horas con una cierta velocidad en km=hr. El mismo camino se puede hacer en una hora menos aumentando en un kilómetro por hora la velocidad. Hallar la longitud del camino en km. Solución : Sabemos que d = vt además la velocidad se aumenta en 1; disminuyendo el tiempo en 1; es decir d
=
(v + 1) (t
d
= vt
1)
v+t
1
entonces vt = vt v
v+t
= t
1
1
por tanto d
=
(t
d
= t2
1) t t
66. De un depósito de 100 litros de capacidad, lleno de alcohol puro, se saca una cierta cantidad de alcohol y se le reemplaza por agua. Se saca después la misma cantidad de mezcla y se reemplaza por agua, quedando ésta última mezcla con un 49% de alcohol. Determinar la cantidad de líquido que se ha sacado cada vez. Solución : La cantidad que se saca y se reemplaza es la misma, entonces la proporción de lo que se extrae es en la primera extracción, se tiene Seleccion
Alcohol
Agua
Inicio
100
0
1 2
100 (100
por tanto (100
x)
x)
x x (100 100
x (100 100
x ; entonces 100
x x)
x
x 100
x) = 49
y vemos que al resolver para x se obtiene el valor de x = 30: Note que este problema tiene una raíz rara, extraña o falsa y ocurre para x = 170 40
67. La suma de tres números es 21. El cociente de dos de ellos es 2:5 y la suma de estos dividida entre el tercero da como cociente 2. ¿Cuál es el menor de los tres números? Solución : Sean x; y; z los tres números, planteando el sistema de ecuaciones 8 > x + y + z = 21 > > < x = 2:5 y > > x+y > : =2 z 8 > > < x + y + z = 21 x 2:5y = 0 > > : x + y 2z = 0 al resolver dicho sistema, se tiene que
x = 10:0; y = 4:0; z = 7:0 entonces el número menor corresponde a y = 4 68. Un padre actualmente tiene el triple de la edad de su hijo; si hace 6 años la edad del padre era el quíntuple de la edad de su hijo. Señale la suma de cifras de edad del padre. Solución : Sean x; y las edades respectivas del padre e hijo respectivamente, entonces ( x = 3y x
6 = 5 (y
6)
al resolver dicho sistema de ecuación, se tiene x = 36; y = 12; entonces la suma de las cifras de la edad del padre es 9 69. Dos tuberías abiertas simultáneamente llenan un depósito en 1 hora 12 minutos. Si una de ellas tarda 1 hora más que la otra, en llenar el mismo depósito ¿en qué tiempo lo llenará la tubería de mayor caudal? Solución : Sean x : tiempo de la tubería de menor caudal y : tiempo de la tubería de mayor caudal planteando el sistema de ecuaciones lineales en formato de minutos 8 < 1+1 = 1 x y 72 : x = y + 60
resolviendo para y; se tiene que y = 120 min, lo cual equivale a y = 2 horas 41
70. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta del trabajo en 30 días. ¿En cuántos días podría hacer el trabajo el ayudante trabajando solo? Solución : Al plantear una regla de tres compuesta Hombres
Dias Proyectado
Dias Reales
2
24
20
1
x
30
se obtiene x=
2
24 1
30 20
= 72
71. En Navidad, en cierta empresa todos los empleados se ofrecen regalos. En esta ocasión las mujeres se han dado mutuamente un regalo, pero los hombres lo han repartido: la mitad han dado un regalo a sus compañeros y la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compañeras. Sabemos que el doble del número de mujeres excede en 6 al número de hombres. Si en total se han dado 318 regalos, ¿cuántos empleados tiene la empresa? Solución : Sean x número de hombres, y número de mujeres, sabemos que x = 2y 6, y (y 1) cantidad de regalos de x x las mujeres, porque cada mujer da un regalo a otra mujer, también (x 1) + y porque la mitad de los 2 2 hombres da un regalo a otro hombre y la otra mitad a las mujeres, de aqui, obtenemos que x (x 2
x = 2y 6 x 1) + y + y (y 2
1) = 318
cuya solución es y = 11; x = 16
72. Determinar un entero positivo con los datos siguientes: si se añade un 5 a la derecha el número resultante es divisible exactamente por un número que sobrepasa en 3 el buscado, siendo el cociente igual al divisor menos 16. Solución : Llamemos N al número buscado. El número divisible será (10N + 5), el divisor será (N + 3) y el cociente será (N + 3)
16 = (N
13). Entonces
N cuya solución es N =
2
(10N + 5)
= (N + 3)(N
20N
=
44
13)
0
2; N = 22; por tanto, la solución positiva es el resultado.
42
73. Hallar un número de dos cifras sabiendo que el número de unidades excede en dos el número de decenas y que el producto del número deseado por la suma de sus dígitos es 144. Solución : El número deseado N , cumplirá N = 10d + u; u = d + 2; entonces (10d + u)(d + u)
=
144
(10d + d + 2) (d + d + 2)
=
144
22d2 + 26d
=
0
= m2
n
140
cuya solución es d = 2; de donde u = 4 y N = 24 74. Si n es un entero positivo, la igualdad m4
n
km2 n + n2
2n
se cumple si k toma el valor:
Solución : Si k = 2, entonces La expresión m4
km2 n + n2
n
m4 2m2 n + n2 h i 2 n = m2 n =
también m2 75. Un factor de 5t
n
2n
=
12 + 2t2 es t + 4 y el otro es:
h
m2
n
n
i 2 n
Solución : Al factorizar el polinomio dado 5t el otro factor es 2t
12 + 2t2 = (t + 4) (2t
3)
3
76. Si el producto de los monomios x2n y n y xm y es igual a x
2 3
y , entonces los valores de m y n son respectivamente:
Solución : Como x2n y n (xm y) = x
2 3
y
entonces 2n + m = n+1
=
de donde se obtiene de forma inmediata que n = 2; m =
43
2 3 6
77. Supongamos que x1 y x2 son las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0; (a 6= 0) la expresión
1 1 + 2 2 x1 x2
expresada en función de las raíces, es igual a: Solución : La solución de una ecuación cuadrática tiene la forma 1 1 + 2 x21 x2
x22 + x21 x21 x22
=
b =
" b2
=
p
b2 2a
b
!2 b2 4ac + 2a ! p b + b2 4ac 2a
4ac
p
b+
b
entonces se pretende calcular
p
b2 2a
p
b2 2a
4ac
4ac
!2
!#2
2ac c2
78. La raíz quinta de la raíz cuarta de la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de (a2 + b2 ) es igual a: Solución : Simbolizando las raices respectivas y multiplicando cada uno de sus indices, obtenemos que sr 5
4
qp
(a2 + b2 ) =
79. El sistema
(
p (a2 + b2 ) = a2 + b2
80
1=80
kx + y = 1 x + ky = 2
tiene solución única si: Solución : Un sistema de ecuación tiene solución unica si y solo si el determinante del sistema es distinto de cero, para este ejercicio tenemos
de aqui que, k 6= 1; k 6=
k
1
1
k
= k2
1 44
1 6= 0
80. La suma de las cuatro raíces de las ecuaciones ax2 + bx + c = 0 y ax2 es igual a:
bx + c = 0; con a 6= 0 y b2
4ac > 0
Solución : Las raices de las ecuaciones ax2 + bx + c = 0 y ax2 sumarse se obtiene
bx + c = 0 son respectivamente
b b + =0 2a 2a
45
b b y las que al 2a 2a
UNIDAD DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1. En la …gura, el ]COB = 120o y el ]COD mide la mitad del ángulo BOA. Entonces, la medida del ]BOA es:
Solución: Sea m\BOA = x, luego m\COD = x2 . Se tiene x + 120o + x = 180o 2 3x = 60o 2 x = 40o 2. Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es: Solución: Por uno de los axiomas de la Geometría Euclidiana si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es una única recta. !?m !, m !?m !¿cuál de las siguientes expresiones es siempre verdadera? 3. . En la …gura, m 1 4 2 3
Solución: Con la información dada las parejas de rectas perpendiculares están “libres”, luego pueden ser giradas y
46
seguirían satisfaciendo los datos dados. Por tanto no puede a…rmarse ni A, ni B, ni C, ni D. ↔
m1 ↔
m2 ↔
↔
m4
m3
4. R; S y T son tres puntos colineales como se muestran en la …gura. Si ST = 4x + 4 y RS es la mitad de ST , entonces la longitud de RT es:
Solución: Dado que los puntos son colineales, se tiene RT
= RS + ST 1 = ST + ST 2 3 = ST 2 3 = (4x + 4) 2 = 6x + 6
5. A partir de la información indicada en la …gura, el valor de Y es:
Solución: Sean A, B y C los puntos indicados en la …gura, y sean m\BAC = , m\ACB = . Se tiene opuesto por el vértice con el ángulo que mide 50o y
= 180o
= 50o , por ser
130o = 50o . El ángulo que mide y o es un ángulo
exterior con respecto al 4ABC, luego su medida equivale a la suma de los ángulos internos no adyacentes, es decir y =
+
= 50o + 50o = 100o
47
6. En la …gura, si AB k CD, el valor de X es:
Solución: Dado que las rectas son paralelas, xo = m\F CE, por ser ángulos correspondientes. A su vez este ángulo por ser externo al 4ECD, es la suma de las medidas de los ángulos CED y EDC.Se tiene m\CED = 90o y m\EDC = 180o
140o = 40o , luego x = 90o + 40o = 130o :
7. A partir de la información brindada en la …gura, el valor de Z resulta:
Solución: Las marcas en el ángulo A, indican que AD es bisectriz de dicho ángulo, luego x = 40o y m\A = 80o . Al considerar el 4ABC, se tiene z = 180o
80o
70o = 30o .
8. En la …gura, AD ? AC; EB k DC,entonces el valor de Y es:
Solución: Dado que EBkDC, se tiene x = 180o 130o = 50o por ser ángulos internos al mismo lado, entre paralelas y como AD?AC el 4ADC es triangulo rectángulo y por tanto “y”es el complemento de “x”, luego y = 90o 50o = 40o . 48
9. En la …gura el valor de X es
Solución: Se tiene m\ABC = 180o
140o = 40o , x = 115o
40o = 75o ya que el \ACD es externo al 4ABC.
10. En la …gura el valor de X es:
Solución: Se tiene m\EDB = 180o semejanza AA, 4ABC 11. A
B
C
150o = 30o , \ABC = \DBE por ser opuestos por el vértice y por el teorema de 4DBE, luego m\BAC = xo = m\EDB = 30o .
D; E y F son puntos medios de AB y CD respectivamente; Si AC = 10 y BD = 12, entonces
EF =?
Solución: Sean AE = EB = x, CF = F D = y (E y F son puntos medios de AB y CD respectivamente).Se tiene: BC = AC
AB = 10
2x
(1)
y también BC = BD
CD = 12 49
2y
(2)
Igualando (1) y (2): 10
2x = 12
2y: Al simpli…car se obtiene: y
x=1
(3)
Por otro lado se tiene EF = EB + BC + CF = x + (10
2x) + y = 10
x + y = 10 + (y
x)
Al introducir (3) resulta EF = 10 + 1 = 11 12. En la …gura
o
+
o
= 255o , entonces ¿m\A =?
Solución: En el 4ABC, tenemos que m\A = 180o
m\ABC
Se tiene que m\ABC = 180o +
m\ACB = 180o
y m\ACB = 180o
= 255, resulta m\ABC + m\ACB = 360
Sustituyendo en (1) obtenemos m\A = 180o
o
(m\ABC
m\ACB) (1)
, luego m\ABC + m\ACB = 360o o
( + ); Como
o
255 = 105 ;
105o = 75o
13. ¿Para qué valor de x, los segmentos ABy CD son paralelos?
Solución: Como el ángulo a la izquierda de C es congruente con el ángulo a la derecha, también mide 25o . Luego m\ACD = 180o
2 (25o ) = 130o .
Como el 4AP C, es recto en P , m\P AC = 90o
25o = 65o . 50
Para que AB y CD sean paralelos, el ángulo CAB debe ser el suplemento del ángulo ACD ya que serían ángulos internos al mismo lado entre paralelas o sea m\CAB = 180o
130o = 50o .
Se tiene entonces x + 50 + 65
=
180
x =
180
x =
65
50
65
14. Si AB k CD, ¿cuál es el valor de X?
Solución: Trazamos EF , paralela a las rectasAB y CD, luego m\AEF = 180o
120o = 60o y m\F EC = 180o
Además se tiene m\AEF + m\F EC = m\AEC = 90o , luego 60o + (180o
xo .
xo ) = 90o . Al despejar x, resulta
xo = 150o . 15. Si la medida de un] es tres veces la medida de su suplemento, ¿cuál es la medida de dicho ]? Solución: Sean
la medida del ángulo buscado y
El ejercicio indica que
la medida de su suplemento, luego
+
= 180o )
= 180o
.
= 3 , luego
4
=
3(180o
=
540o
=
o
540
=
135o
) 3
16. . Dos veces la medida de un ] es 30 menos que cinco veces la medida de su complemento, ¿cuál es la medida de dicho ángulo? Solución: Sean
la medida del ángulo buscado y
la medida de su complemento, luego +
=
90o
= 51
90o
Al interpretar la información del ejercicio se tiene 30o
2
=
5
2
=
5 (90o
2
=
450o
7
=
420o
=
60o
) 5
30o 30o
!ym ! son paralelas. Entonces el valor de x es: 17. En la …gura las rectas m 1 2
Solución: !ym ! , se forman ángulos Sean A, B, C y D los puntos indicados en la …gura. Al trazar por B una paralela a m 1 2 alternos –internos entre paralelas, y por tanto congruentes con los ángulos indicados inicialmente, luego x + 60
=
110
x =
110
x =
50
60
Otra Forma:
!. Se tiene m\ADB = xo , por ser alterno –interno Al prolongar CB, sea D el punto donde corta a la recta m 1 con el ángulo que se forma en C. El ángulo ABC es externo al 4ABD, luego 60 + x = 110 ) x = 50. !ym ! son paralelas. Entonces el valor de x es: 18. En la …gura las rectas m 1 2
52
Solución: Como las rectas son paralelas se tiene: (3x + 10) + (x
6)
=
84
4x + 4
=
84
4x =
80
x =
20
19. Si m\P = 90o ; \1 = \2; \3 = \4, entonces m\R es
Solución: Sean
y
las medidas de los ángulos indicados en la …gura. Se tiene
+
= 90o . Como \SQR = \2 y
\1 = \2, se tiene 2 m\SQR = 180o
(1)
2 m\QSR = 180o
(2)
Similarmente se obtiene que
Al sumar (1) y (2) resulta 2 m\SQR + 2 m\QSR
= =
Como
+
(180o
) + (180o
o
360
)
( + )
= 90o ,
Luego m\R = 180o
2(m\SQR + m\QSR)
=
360o
2(m\SQR + m\QSR)
=
270o
m\SQR + m\QSR
=
135o
(m\SQR + m\QSR) = 180o
90o
135o = 45o
20. En una recta se toman los puntos A; B y C, de manera que B es punto medio de . Se toma otro punto O, tal AO OC que B O C. Encuentre el valor numérico de: OB Solución: 53
Se tiene AB = BC = x, por ser B punto medio de AC. Sea OB = y, luego OC = x sustituir estos valores en la expresión dada se tiene: AO
OC = (x
y)
y, AO = x + y. Al
(x + y) = 2y, luego
AO OC 2y = =2 OB y Nota: en ejercicios de este tipo no se admite asignar valores arbitrarios, ya que se estaría resolviendo para valores especí…cos. El planteamiento es general. Cuando se a…rma que B
O
C, está indicando que O es un
punto cualquiera que se encuentra entre B y C, y el valor numérico encontrado es valido para cualquier punto O que esté entre B y C. 21. Un poste cercano a un árbol mide 2m y su sombra en un momento dado mide 1:8m, entonces si la sombra del árbol en ese momento mide 11m, la altura del árbol es: Solución: Dado que los rayos del sol prácticamente caen paralelos y que el poste y el tronco del árbol son perpendiculares al piso, el árbol y su sombra y la línea que une sus extremos forman un triángulo semejante al formado por el poste su sombra y la línea que une sus extremos, tenemos h 11
=
h
=
h
=
2 1:8 11:2 1:8 12:22
22. Una varilla clavada en el piso y cercana a un árbol mide 3m y su sombra mide 1:5m, entonces si el árbol mide 36m, su sombra mide. Solución: El problema es similar al anterior, en este caso se tiene x 36
=
x = x =
1:5 3 36 1:5 3 18
23. El perímetro de un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa igual a 10 redondeado a dos decimales es Solución: En un triángulo rectángulo isósceles, la hipotenusa mide p
2x =
p
2x, siendo x la longitud de sus catetos, luego
10 10 x = p 2 p x = 5 2 54
Su perímetro será P
=
p 10 + 2 5 2 p 10 + 10 2
=
24:14
=
24. En el triángulo rectángulo de la …gura, los valores de x y y, respectivamente son
Solución: Por el teorema de la altura se tiene 82 = 64
4x = x =
16
y la hipotenusa mide 4 + x = 20. Por el teorema de los catetos se tiene y2 y y
=
4 20 = 80 p = 80 p = 4 5
y
8:94
25. Un método para encontrar la altura de un edi…cio es colocar un espejo en el suelo y después situarse de manera que la parte más alta del edi…cio pueda verse en el espejo ¿qué altura tiene un edi…cio si una persona cuyos ojos están a 1:5m del piso observa la parte superior del edi…cio cuando el espejo está a 120 m del edi…cio y la persona está a6m del espejo? Solución: Dado que las leyes de la óptica indican que en un espejo plano, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de re‡exión, se forman dos triángulos rectángulos semejantes, luego h 120 h
= =
1:5 6 30 m
26. La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10m y los segmentos que determina sobre la hipotenusa son entre sí como 7 es a 14. Entonces la longitud del cateto menor es
55
Solución:
Sean m y n los segmentos determinados por la altura sobre la hipotenusa, con m < n, luego m n n
= =
7 14 2m
Por el teorema de la altura =
102
m 2m =
100
m n
m2
=
50 p m = 5 2 p n = 10 2
p La hipotenusa mide c = m + n = 15 2 Por el teorema de los catetos a2 a2
= m (m + n) p p = 5 2 15 2
a2
=
150 p p a = 150 = 5 6 a
12:25
27. El perímetro de un rectángulo es 85m y su diagonal mide M . Por lo tanto los lados del rectángulo miden: Solución: Sean a y b los lados del rectángulo. Se tiene P
=
2 (a + b) = 85
a+b
=
42:5
(1)
Además a2 + b2 = 32:52 = 1056:25
(2)
Despejando b de (1), e introduciendo en (2) 2
=
1056:25
85a + 750
=
0
a2 + (42:5 2
2a
a)
a = 56
12:5 _ a = 30
Al sustituir en (1) se obtiene b = 30 _ b = 12:5 28. El perímetro de un triángulo mide50 y sus lados son proporcionales a 4; 6 y 8. Entonces su lado mayor mide. Solución: Sean a, b y c las longitudes de los lados, con a < b < c, luego P = a + b + c = 50 y
a b c = = 4 6 8
Por las propiedades de las proporciones a 4
=
c = 29. En un triángulo rectángulo, un lado mide 2
b c a+b+c 50 = = = 6 8 4+6+8 18 8 50 200 = 18 9 p
p 106, otro 5 15. Si el lado desconocido es el menor, ¿cuánto
mide? Solución: p p p Como 2 106 > 5 15, la hipotenusa de este triángulo es 2 106, luego el cateto menor es r 2 2 p p p p 5 15 = 424 375 = 49 = 7 a= 2 106 30. El área del triángulo de la …gura, redondeada al entero más cercano, mide:
Solución: p Aplicamos la fórmula de Herón: A = s (s a) (s b) (s c), donde s es el semiperímetro. Se tiene s = 6+7+9 = 11, luego 2 p p p A = 11 (11 6) (11 7) (11 9) = 11 5 4 2 = 440 20:97 31. ¿Cuál es el área del triángulo de la …gura?
Solución:
57
Dado que es un triángulo rectángulo su área es la mitad del producto de sus catetos. El cateto desconocido mide b= Por tanto A =
1 2
(6) (8) = 24
p
102
62 =
p
100
36 =
p
64 = 8
32. Si un rectángulo de 3mde ancho y 10mde largo tiene la misma área que un triángulo rectángulo isósceles, entonces la longitud de cada cateto del triángulo es Solución:
El área de un triángulo rectángulo isósceles está dada por A = 21 x2 , donde x es la longitud de sus catetos, luego tenemos que el área del rectángulo es 30, por tanto 1 2 x = 30 2 p x = 60 p x = 2 15 33. El área de un trapecio isósceles de bases 22m y 10m y cuyos lados congruentes miden 10 es Solución:
Por ser un trapecio isósceles, al proyectar la base menor sobre la base mayor, la base mayor queda dividida en tres segmentos de 6, 10 y 6 metros. Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene p p h = 102 62 = 64 = 8 Aplicando la fórmula para el área de un trapecio: A = A=
(B+b) h 2
resulta
(22 + 10) 8 = 128 m2 2
34. La siguiente …gura consta de siete cuadrados congruentes. El área total de esta …gura es 63cm2 . Entonces el perímetro de la …gura es:
58
Solución: Observamos que el perímetro está formado por 16 veces el lado de cada cuadrado. Como hay siete cuadrados congruentes, cada uno tiene un área de x2
=
x =
63 =9 7 3
Por tanto el perímetro de la …gura es P = 16 3 = 48cm. 35. Si
ACEG es un cuadrado y el área del cuadrilátero BDF H mide 162 ¿cuánto mide AC? (las marcas iguales
representan partes congruentes).
Solución: La …gura indica que B, D, F y H son puntos medios de los lados del cuadrado ACEG, luego su área es el p doble del área del cuadrado BDF H, es decir [ACEG] = 2 162 = 324 luego AC = 324 = 18 36. Se tiene un trapecio ABCD donde es la base menor. BC = 10cm y CD = 20cm. Las medidas de los ángulos A; B y C son 30 ; 150 y 120 respectivamente, entonces AD =? Solución:
Sean B0 y C0 las proyecciones de B y C sobre la base mayor y sean AB0 = x, C0D = y. Por ser BC paralela a AD, m\D = 180
m\C = 180o
120o = 60o
p El 4CC0D es un triángulo 30 – 60, luego h = CC0 = 10 3 y y = C0D = 10. También el 4AB0B resulta ser p p p un triángulo 30 –60, con su cateto menor BB0 = h = 10 3, luego AB0 = 10 3 3 = 30. Tenemos entonces que la base mayor mide AD = x + 10 + y = 30 + 10 + 10 = 50
59
37. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden 5cm p y 40cm, entonces la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo es. Solución:
Sean M y N los puntos medios de BC y AB respectivamente. Sean AM = 5 y CN = c a luego BM = y N B = . 2 2
p
40, BC = a, AB = c,
Sea la hipotenusa AC = b: Aplicando el teorema de Pitágoras en los 4ABM y 4BCN AM 2 CN 2
a2 = 25 4 c2 = 40 = N B 2 + BC 2 = a2 + 4
= AB 2 + BM 2 = c2 +
(1) (2)
Al sumar (1) y (2) resulta 5c2 5a2 + 4 4
=
a2 + c2
=
b
65
4 (65) = 52 = b2 5 p p = 52 = 2 13
38. En la …gura, los cuadrados ABCD y EF GH son congruentes. AB = 10cm y G es el centro del cuadrado ABCD. Entonces el área total cubierta por el polígono AHEF BCDA es.
Solución: Dado que los cuadrados son congruentes sus áreas son iguales y como el lado AB mide 10, cada uno tiene un área de 100cm2 , pero ellos comparten el 4ABG de manera que para el área total del polígono a la suma de las áreas de los cuadrados debemos restarle el área de este triángulo para que sea considerada solo una vez.
Dado que G es el centro del cuadrado ABCD, el área del triángulo es la cuarta parte del área del cuadrado o sea 25cm2 . Luego el área buscada es A = [ABCD] + [EF GH]
[ABG] = 100 + 100 60
25 = 175cm2
39. ABCD es un cuadrado, el 4ABE es isósceles, CF = F B. Entonces, la medida del ángulo EF B es igual a.
Solución: Como el 4ABE es isósceles, AE = BE y por ser ABCD un cuadrado, E es el punto medio de DC y por
tanto EC = CF , ya que por ser CF = F B, F es punto medio de BC. Luego el 4ECF resulta ser triangulo
rectángulo isósceles y como consecuencia m\CF E = 45o . El ángulo buscado es el suplemento del \CF E, luego m\EF B = 180o 40. En la …gura,
m\CF E = 180o
45o = 135o
ABCF es un paralelogramo. B; C y D son colineales. Si AB = 18; AD = 30 y F E = 12.
¿Cuánto mide AE?
Solución: Se tiene que CF = AB = 18, ya que ABCF es un paralelogramo. CE = CF
F E = 18
12 = 6.
Por otro lado BD y AF son paralelas, luego \F AE = \CDE, ya que son alternos internos entre paralelas y \F EA = \CED, ya que son opuestos por el vértice. Como consecuencia se tiene 4F EA Sea AE = x, luego ED = AD
AE = 30
4CED.
x. Por la semejanza anterior, CE = FE 6 = 12 6x =
ED EA 30 x x 360 12x
18x =
360
x =
20
41. En un trapecio isósceles, la diferencia de las bases es de 10m. La altura mide 12m. y el perímetro 76m. Entonces su área es:
61
Solución:
Como B
b = 10, al proyectar la base menor sobre la base mayor se forman tres segmentos de longitudes 5, b
y 5 como se muestra en la …gura. Luego como la altura es 12, en los extremos del trapecio se forman triángulos rectángulos de catetos 5 y 12. Aplicando el teorema de Pitágoras hallamos que la hipotenusa mide 13 lo cual corresponde a la longitud de los lados no paralelos del trapecio. Considerando que el perímetro mide 76 m. se tiene: 2b + 2(13) + 2(5) b Al considerar que B
= 76 =
20
b = 10, resulta B = 30. Aplicando la fórmula para el área de un trapecio, el área buscada
resulta (B + b) h 2 (20 + 30) 12 = 2 = 300 m2
A =
42. En la …gura ABCD es un cuadrado de lado 1cm y CE = 2cm, entonces el área del triángulo ADF en cm2 es igual a
Solución: Dado que ABCD es un cuadrado AD y CE son paralelas, resultando que 4ADF
4ECF por el teorema de
semejanza AA, ya que \DAF = \CEF por ser alternos internos entre paralelas y \DF A = \CF E por ser
opuestos por el vértice. De la semejanza resulta que AD CE 1 2 CF
= = =
DF CF DF CF 2DF
(1)
Como CD = CF + F D = 1, resulta DF = 31 . Por tanto el área buscada resulta [ADF ] =
1 1 1 1 AD DF = 1 = 2 2 3 6 62
43. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC = 10 y AC = 16. Sea BD la mediana trazada sobre el lado AC y sea G el baricentro. Entonces el área del triángulo ADG es Solución:
Por ser BD mediana, D es punto medio de AC, o sea AD = DC = 8. Ya que 4ABC es isósceles, BD además de mediana también es altura, luego m\ADB = 90o . Aplicando el teorema de Pitágoras hallamos que BD =
p 102
82 = 6
Como G es el baricentro, BG = 2 GD y como BD = BG + GD = 6, resulta GD = 2. Por tanto el 4ADG resulta ser un triángulo rectángulo con catetos de longitudes 8 y 2, por tanto su área es [ADG] =
1 1 AD DG = 8 2=8 2 2
44. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC = 17cm y P un punto cualquiera del lado BC, diferente de los puntos extremos. Por P se trazan una paralela a AC que corta a AB en Q y una paralela a AB que corta a AC en R. El perímetro del cuadrilátero AQP R es.
Solución: Dado que QP kAC y RP kAB, AQP R es un paralelogramo y de ahí AQ = RP y AR = QP . Del paralelismo de los segmentos señalados anteriormente también resulta que los 4QBP y 4RP C son semejantes con el 4ABC
y por tanto también son isósceles y de ahí QB = QP y RP = RC. Por tanto el perímetro del cuadrilátero
AQPR, resulta P
= AQ + QP + AR + RP =
(AQ + QB) + (AR + RC)
= AB + AC =
17 + 17
=
34
63
45. De acuerdo a la información que se proporciona en la …gura, el segmento de mayor longitud es.
Solución: Dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 180o , en el 4ABD, resulta que el ángulo
ABD mide 180o
70o
60o = 50o y en el 4BDC, m\BDC = 180o
55o
60o = 65o .
Una de las propiedades de los triángulos indica que el lado mayor se opone al ángulo mayor y viceversa. Al comparar las medidas de los ángulos del 4ABD, resulta que el mayor mide 70o y su lado opuesto es BD, luego BD es mayor que AB y AD. Pero al considerar el 4BDC, su ángulo mayor es 65o y el lado que se le opone es BC y por tanto BC > BD. Luego el lado mayor de la …gura resulta BC.
46. En la …gura ABCD es un cuadrado de lado 1; 4CM N es equilátero. El área de 4CM N es igual a.
Solución: El área de un triángulo equilátero está dada por
p
3 2 4 x ,
donde x es la longitud de su lado, luego debemos
encontrar primero cuanto mide cada lado del triángulo equilátero CM N . Como ABCD es un cuadrado y CM = CN = x, se tiene que 4CDM = 4CBN y de ahí M D = N B y como AD = AB, resulta AM = AN y por tanto el 4M AN es rectángulo isósceles, luego MN
= x p x = 2AN x AN = p 2
Como AB = 1, resulta N B = 1
AN = 1
x p 2
=
p 2 x p . 2
el teorema de Pitágoras resulta 2
2
2
El 4CBN es un triángulo rectángulo luego al aplicar
CN = CB + N B = 1 + 64
p
2 x p 2
!2
= x2
Al desarrollar, simpli…car y resolver la ecuación resultante se obtiene x = es [CM N ] =
p
3 p 6 4
p
p
6
p
2. Por tanto el área buscada
2
2
0:4641
47. La siguiente …gura muestra dos cuadrados de lado 1cm, donde AEF G se ha obtenido de ABCD al girar este cuadrado 45 sobre el vértice A. Entonces el área sombreada es.
Solución: Al girar 45o , la recta diagonal AC se convierte en la recta AB la cual equivale a la recta diagonal AF , por tanto A, B, F son colineales. Además se tiene m\BF H = 45o y por tanto F BH es un triángulo rectángulo isósceles con F B = BH. Luego [AGHB] = [AGF ] p AB = 1, BF = BH = 2
[F BH]. Por ser AEF G un cuadrado de lado 1, su diagonal mide
p
2 y como
1. Como [AGF ] tiene como área la mitad de la área del cuadrado, que tiene lado
de longitud 1, resulta [AGHB] =
1 2
1 p 2 2
2
1
=
1 2
1 2 2
p p 2 2+1 = 2
1
48. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, que también es isósceles, miden Solución: Por ser triángulo rectángulo isósceles tiene un ángulo de 90o y los otros dos ángulos congruentes, y dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 180o , cada uno de ellos mide 45o . 49. En la …gura ABCD es un cuadrilátero con AD kBC . La diagonal AC es perpendicular al lado CD .m\BAC = p 30 ; AC = 4 3 y AB = BC. Entonces el área de ABCD es igual a.
65
Solución:
p Como AB = BC, el 4ABC es isósceles con m\ABC = 120o y m\BCA = 30o y su base AC = 4 3. Al trazar
una perpendicular desde B a AC, sea E el pie de la perpendicular.
Por ser isósceles, BE también es mediana es decir E es punto medio de AC, luego se forman dos triángulos 30 p –60 con las hipotenusas AB = BC y catetos mayor AE = EC = AC 2 = 2 3: Luego como el cateto mayor en un triángulo 30 –60, es veces el cateto menor, en este caso se tiene BE = 2. Como ADkBC el \BAD es el suplemento del \ABC, resulta m\BAD = 180o 120o = 60o y como m\BAC = p 30o , se tiene m\CAD = 30o y de ahí también el 4ADC es un triángulo 30 –60 con cateto mayor AC = 4 3. p Como en todo triangulo 30 –60, el cateto mayor es 3 el cateto menor, se tiene CD = 4. Finalmente tenemos [ABCD]
= [ABC] + [ACD] 1 1 = AC BE + AC CD 2 2 1 p 1 p = 4 3 2+ 4 3 4 2p 2 = 12 3
50. Se tiene un trapecio ABCD donde BC es la base menor. BC = 10cm y CD = 20cm. Las medidas de los ángulos A; B y C son 30 ; 150 y 120 respectivamente, entonces el área del trapecio mide. Solución:
Sean B0 y C0 las proyecciones de B y C sobre la base mayor y sean AB0 = x, C0D = y. Por ser BC paralela a AD, m\D = 180
m\C = 180o
120o = 60o .
p El 4CC0D es un triángulo 30 – 60, luego h = CC0 = 10 3 y y = C0D = 10. También el 4AB0B resulta ser p p p un triángulo 30 –60, con su cateto menor BB0 = h = 10 3, luego AB0 = 10 3 3 = 30. Tenemos entonces que la base mayor mide AD = x + 10 + y = 30 + 10 + 10 = 50 66
Luego el área del trapecio resulta p p (50 + 10) 10 3 [ABCD] = = 300 3 2 51. En la …gura, m\BAC = ; m\BP C = m y \BQC = 90 : Entonces la medida de \BHC es.
Solución: Como m\BP C = m\BQC = 90 , también m\AP H = m\AQH = 90 . APHQ es un cuadrilátero convexo y en todo cuadrilátero convexo la suma de sus ángulos internos es 360o , luego m\BHC + y de ahí m\BHC = 180
o
+ 90o + 90o = 360o
.
52. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden 5cm p y 20cm, entonces la medida en cm de la hipotenusa del triángulo rectángulo es. Solución:
Sean M y N los puntos medios de BC y AB respectivamente. Sean AM = a c luego BM = y N B = . 2 2
p
20 y CN = 5, BC = a, AB = c,
Sea la hipotenusa AC = b. Aplicando el teorema de Pitágoras en los 4ABM y BCN AM 2 CN 2
a2 = 20 4 c2 = N B 2 + BC 2 = a2 + = 25 4
= AB 2 + BM 2 = c2 +
Al sumar (1) y (2) resulta 5c2 5a2 + 4 4
=
a2 + c2
=
b
= 67
45 4 (45) = 36 = b2 5 6
(1) (2)
53. En la …gura, los dos cuadrados tienen el mismo centro. La razón entre el lado del cuadrado menor y el lado del 2 cuadrado mayor es . Entonces la razón entre el área sombreada y el área del cuadrado mayor es. 5
Solución: Sean “b”la longitud del lado del cuadrado menor y “a”la longitud del lado del cuadrado mayor, luego
b 2 = . a 5
Por la simetría de la …gura se deduce que el área sombreada, es decir el trapecio ABF E, representa la cuarta parte de la diferencia entre los dos cuadrados, luego [ABF E] [ABCD] y de ahí [ABF E] =
1 2 a 4
b2 . La razón buscada será [ABF E] = [ABCD]
Como
1 ([ABCD] [EF GH]) 4 2 = a y [EF GH] = b2 =
b 2 = , resulta a 5
1 4
a2 b2 1 = a2 4
1 [ABF E] = [ABCD] 4
1
a2
b2 a2
4 25
=
=
1 4
1
b2 a2
21 100
54. En la …gura, AB = AC = 4, BD = DC = 3 y m\BAC = 60 , entonces la longitud del segmento AD es
Solución: Al unir B con C, obtenemos un triángulo equilátero, ya que AB = AC y m\BAC = 60 . Se tiene que 4ABD = 4ACE, ya que sus tres pares de lados son congruentes, de ahí resulta m\BAD = m\CAD y por tanto AD es bisectriz del \BAC.
68
Al prolongar AD, sea E el punto donde corta a BC. Luego como el 4ABC es equilátero, AE además de
bisectriz es mediatriz y por tanto AE ? BC y BE = EC = 2. Resulta entonces que el 4BED es rectángulo, p p con hipotenusa BD = 3 y un cateto, BE = 2. Por el Teorema de Pitágoras, DE = 32 22 = 5:
p Por otro lado AE es una altura en un triángulo equilátero de lado 4 y por tanto AE = 2 3. Finalmente p p obtenemos que AD = AE DE = 2 3 5: 55. En la …gura el cuadrilátero ACDE es un trapecio tal que ED = 15cm , AC = 24 cm y la altura es 12cm. Sabiendo que B es el punto medio del lado AC, el área del cuadrilátero OBCD es.
Solución: Como EDkAC, resulta que 4ABO
4DEO, con razón de semejanza
AB DE
=
12 4 = . 15 5
Sean a y b las alturas de los triángulos ABO y DEO respectivamente, indicadas en la …gura. Dado que los a 4 elementos homólogos en triángulos semejantes están en la misma razón de semejanza, se tiene = . b 5 16 20 ,b= . Al analizar la 3 3 [DEO]. Tenemos que el área del trapecio ACDE resulta
Como a + b = 12 (la altura del trapecio), al considerar la razón anterior resulta a = …gura vemos que [OBCD] = [ACDE]
[ABE]
24 + 15 2
[ACDE] =
12 = 234
El 4ABE, tiene base 12 y altura 12, luego su área es
Para el 4DEO, resulta ) [OBCD] = 234
72
[ABE] =
1 12 12 = 72 2
[DEO] =
1 20 15 = 50 2 3
50 = 112
56. En la …gura, ABCD es un cuadrado de lado 6cm y CE = DE = 5cm, entonces la longitud de es.
69
Solución: Sean F y G los puntos medios de CD y BA respectivamente. Luego CF = F D = BG = GA = 3 y F G = 6: Como CE = DE, el 4CED es isósceles y por tanto E, F , G son colineales y EF ? CD y EG ? AB. El 4CF E p es rectángulo en F , luego por el Teorema de Pitágoras, EF = 52 32 = 4. EG = EF + F G = 4 + 6 = 10. El 4F GA también es rectángulo con EG = 10 y GA = 4, luego EA =
p
102 + 32 =
p
109:
57. En la …gura, a partir de la información dada, ¿cuál es el valor de x?
Solución: Se tiene \A = \E , por dato, y \ACB = \ECD, por ser opuestos por el vértice, luego 4ABC
por el teorema de semejanza AA. Entonces:
CD = CE x = 10 x =
4EDC,
BC AC 66 132 5
58. ABCD es un paralelogramo. P es un punto de la diagonal AC. Trazamos por P paralelas a los lados del paralelogramo. Estas paralelas intersecan a los lados del paralelogramo en los puntos indicados en la …gura. Sabiendo que el área de ABCD es 40cm2 , entonces el área del cuadrilátero RQM N es igual a.
Solución: Dado que RM kADkBC y N QkABkDC, resulta que los cuadriláteros AN P R, P QBR, DM P N y M CQP son
paralelogramos y los segmentos N R, RQ, QM y M N son diagonales de esos paralelogramos. Es sabido que una diagonal divide a un paralelogramo en dos triángulos congruentes, con áreas igual a la mitad del área del paralelogramo. Por tanto [RQM N ] = [ABCD] = 20: 70
59. En el triángulo rectángulo ABC¿cuál es la longitud del segmentoBC?
Solución: Basta aplicar el teorema del cateto: 3x =
62
x =
12
60. Sea ABCD un cuadrado. Por el vértice A se traza un segmento que corta a la prolongación del ladoBC en E, al lado DC en F y a la diagonal BD en G. Si AG = 3 y GF = 1 ¿cuál es la longitud de F E?
Solución: Sea x la longitud de cada lado del cuadrado. Desde G tracemos una perpendicular a AD y sea H el pie de esta perpendicular. Luego 4AGH
4AF D. Como AG = 3 y GF = 1, resulta AF = 4:
De la semejanza se tiene AG AF 3 4 AH
= = =
AH AD AH x 3 x 4
3 1 x = x: 4 4 Como G está sobre la diagonal, HG = HD = 14 x. De la misma semejanza se tiene y HD = AD
AH = x
AG AF 3 4
= =
DF = 71
HG DF x 4
DF 1 x 3
Luego F C = DC
DF = x
resulta que 4ADF
1 3x
= 23 x. Como ABCD es un cuadrado, ADkBC y por tanto ADkCE. De ahí
4ECF . De esta semejanza se tiene FE FA FE 4 FE
FC FD 2 3x 1 3x 8
= = =
61. En la …gura de abajo si la medida de los arcos AD y BC son 140o y 80 respectivamente, entonces el valor de es.
Solución: Tenemos que
=
d + mCD d mAC . Dado que 2
d + mBC d + mCD d + mAD d mAB
d + mCD d = 140o , luego Entonces mAC
=
d + mAD d mBC
d + mCD d mAC = 2
=
360o
=
80o + 140o = 220o
140o 2
y
= 70o
62. El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB. Si AC = 8 y CD = 6, el área de la región sombreada tiene un valor de. Solución:
El área sombreada es la diferencia entre el área del semicírculo y el área del triángulo. El 4ABC es rectángulo
en C, por estar inscrito en un semicírculo.
Luego por el Teorema de Pitágoras, AB =
p
82 + 62 = 10, entonces r = 5. Por tanto el área del semicírculo es
1 2 1 r = 2 2 El área del triángulo está dada por
52 =
25 2
1 1 AC BC = 8 6 = 24 2 2
El área buscada es A=
25 2 72
24
15:27
63. El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB. Si AC = 8 y CD = 4:8, el área de la región sombreada tiene un valor de Solución:
Por el Teorema de Pitágoras, AD =
p
82
4:82 = 6:4. Como el 4ABC es rectángulo en C, se tiene por el
teorema del cateto . Y de nuevo por el Teorema de Pitágoras resulta BC = 6. Dado que estos valores coinciden con los datos del ejercicio anterior, el área resulta la misma. 64. La circunferencia de la …gura tiene radio 2 y el arco XY Z tiene longitud . ¿Cuánto mide la cuerda XZ?
Solución:
Sea
la medida del ángulo central XOZ. La longitud de un arco está dada por s = r
en radianes. Tenemos s =
y r = 2, luego
=
s r
=
2,
, con el ángulo medido
o
es decir 90 .
p Luego XOZ es un triángulo rectángulo isósceles con XZ como hipotenusa y por tanto XZ = 2 2 65. En la …gura el área del círculo mayor es 1 m2 . El círculo menor es tangente internamente al círculo mayor y también es tangente a los lados del ángulo inscrito que mide 60 . Entonces el área del círculo menor es
73
Solución:
Desde el vértice del ángulo inscrito, trazamos un diámetro. Sean O y O0 los centros de los círculos, mayor y menor respectivamente. Sea B el otro extremo del diámetro trazado, C el punto donde uno de los lados (el arriba) del ángulo corta a la circunferencia. Y sea D el punto de tangencia de este lado del ángulo con el círculo menor. Sean R y r los radios de los círculos, mayor y menor respectivamente.Tenemos que AO0 biseca al ángulo inscrito, luego m\O0AD = m\BAC = 30o . Como AB es un diámetro del circulo mayor, m\ACB = 90o resultando que m\ABC = 60o , y el 4ABC es
30 –60.
Dado que AB = 2R, se obtiene que BC = R, ya que BC es el cateto menor y AB la hipotenusa del 4ABC. Como AC es tangente al círculo menor en D, AD?DO0, es decir m\ADO0 = 90o y de ahí m\AO0D = 60o .
Luego también el 4AO0D es un triángulo 30 –60 y su cateto menor O0D = r, mide la mitad de su hipotenusa,
AO0. Se tiene O0B = r, por ser radio del circulo menor y de ahí AO0 = AB AO0 = 2R
r
=
r
=
O0B = 2R
r. Luego
2 O0D 2r 2 R 3
Como el área del círculo mayor es R2 = 1 el área del círculo menor es r2
2R 3
= = =
4 9 4 9
2
R2
66. En la …gura C es el centro de la circunferencia de radio r y T P es un segmento tangente en T , de longitud 2r, entonces P C mide
Solución:
74
Como T P es tangente a la circunferencia en T , m\P T C = 90o . Luego aplicando el teorema de Pitágoras resulta PC =
q p p 2 (2r) + r2 = 5r2 = r 5
67. Los extremos de la …gura son semicírculos, ¿Cuál es el área de la región sombreada?
Solución: Como el área sombreada únicamente son los extremos y estos son semicírculos, al unirlos se forma un circulo de diámetro 8, es decir de radio 4, luego A = r2 =
42 = 16
68. En la …gura AC es un diámetro. Si m\AB = 50 , entonces m\BAC =?
Solución: d = 50 , se tiene m\BCA = 1 mAB d = 25 , por ser ángulo inscrito que subtiende dicho arco; Dado que mAB 2
m\ABC = 90o , por estar inscrito en una semicircunferencia ( es diámetro). Luego la medida del ángulo buscado es:
m\BAC
=
180
=
180o
=
65o
m\BCA 25o
m\ABC
90o
69. En la …gura, los círculos son tangentes y tienen radio igual a 10. Si se unen los centros de los círculos se forma un cuadrado. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
75
Solución: El área de la región sombreada es la diferencia entre el área del cuadrado formado y las áreas de los cuatro sectores circulares que se forman. Dado que la distancia entre los centros de dos círculos tangentes exteriormente, es la suma de las longitudes de los radios, resulta que el cuadrado formado tiene lado de longitud 20 y por tanto el área del cuadrado es 400. Cada sector formado tiene un ángulo central de 90o , luego entre los cuatro forman un circulo de radio 10, cuyas áreas suman entonces r2 =
102 = 100 : Por tanto el área buscada es: A = 400
100
70. En la …gura, la medida del arco AB es 30 , y la medida del \BP A es 35 . Las medidas del arco CD y el ángulo DAC (en grados) son respectivamente.
Solución: Dado que \BP A es un ángulo exterior, formado por dos secantes, su medida es la semidiferencia de los las medidas de los arcos que intercepta. Es decir m\BP A = d resultando De esta expresión despejamos mAB, d mCD
= = =
d mCD
2
d mAB
d 2 m\BP A + mAB 2 35o + 30o 100o
Por otro lado se tiene que el \DAC es un ángulo inscrito que subtiende el arco DC, luego m\DAC =
1 1 d mCD = 100o = 50o 2 2
71. La expresión (p + q)p = (r + s)r, se cumple en la situación representada por
76
Solución: Al recordar las relaciones métricas en una circunferencia, vemos que los productos de esta forma surgen cuando se tienen dos secantes que se cortan (también aparecen cuando hay semejanzas de triángulos) o una secante y una tangente que se cortan. A partir de estas relaciones tenemos: En la …gura a), la relación es r2 = s (s + p) : En la …gura b), la relación es r(r + s) = p(p + q), la cual es la misma expresión dada. La respuesta es ésta. Para estar más seguros vemos que resulta en las otras. En la …gura c), la relación es r s = p q y en la …gura d), r2 = (p + q), que son diferentes a la dada. Solo b) satisface y por tanto es la respuesta. 72. En la …gura se dan tres semicircunferencias mutuamente tangentes.CD y DA son diámetros de las circunferencias menores. El punto B está en la semicircunferencia mayor. BD ? BC . Si BD = 2; entonces el área sombreada es igual a.
Solución: El área de la región sombreada es la diferencia entre el área del semicírculo exterior menos las áreas de los semicírculos interiores. Sean r1 , r2 , R los radios del semicírculo menor, del semicírculo mediano y del semicírculo exterior respectivamente. Luego CD = 2r1 , DA = 2r2 y CA = 2R. Como CA = CD + DA, se tiene 2R
=
R
2r1 + 2r2
= r 1 + r2
(1)
Al unir B con A y con C, se forma un triángulo rectángulo, con CA como hipotenusa y BD como altura relativa a la hipotenusa. Por el teorema de la altura, BD2
= CD DA
2
=
2r1 2r2
r1 r 2
=
1
2
Como el área de un semicírculo está dada por
1 2
A=
(2)
r2 , el área buscada es 1 2
R2 77
r12
r22
Al considerar (1) A = = = =
1 h 2 (r1 + r2 ) r12 2 1 r12 + 2r1 r2 + r22 2 1 2r1 r2 2 r1 r 2
r22
i
r12
r22
Al considerar (2) A = r1 r 2 = 1 73. Las medidas de los arcos AB y AC se indican en la …gura. La medida del \BAC es.
Solución: El \BAC es un ángulo inscrito en una circunferencia, por tanto su medida es la mitad de la medida del arco que subtiende, en este caso el arco BC. Tenemos que d = 360o mBC
d = 60o Luego m\BAC = 12 mBC
d mAB
d = 360o mAC
110o
130o = 120o
74. En la …gura, BC une los centros de los círculos tangentes. AB ? BC; BC = 8 y AC = 10, entonces la longitud de la circunferencia pequeña es igual a
Solución: Sean R y r los radios de las circunferencias grande y pequeña respectivamente. Como las circunferencias son tangentes exteriormente, R + r = BC = 8. Dado que el 4ABC es rectángulo en B, tenemos R = AB = p 102 82 = 6 y r = 2. Luego la longitud de la circunferencia pequeña resulta C = 2 r = 4 . 78
75. La …gura representa un hexágono regular, ¿cuál es el valor de x?
Solución: Todo hexágono regular puede dividirse en seis triángulos equiláteros congruentes. En la …gura se indica que x p equivale al doble de la altura de cada triangulo: x = 2h. Como el lado de cada triangulo mide 6 3, las alturas p p miden h = 23 6 3 = 9 ) x = 2h = 18 76. La …gura representa un círculo inscrito en un cuadrado que a su vez está inscrito en otro cuadrado. B es punto medio de AC ¿Cuál es el área de la región sombreada?
Solución: Si llamamos A1 al área del cuadrado mayor,A2 al área del cuadrado menor y A3 al área del círculo, el área de la región sombreada resulta A = A1
A2 + A3 : El lado del cuadrado mayor mide 0:4, luego su área es
A1 = 0:16. Como B es punto medio AB = 0:2. Los triángulos que se forman en cada esquina del cuadrado mayor, son rectángulos isósceles, y sus hipotenusas forman los lados del cuadrado menor, por tanto, el lado del p p 2 cuadrado menor resulta 0:2 2 y su área es A2 = 0:2 2 = 0:08. Como el circulo está inscrito en el cuadrado menor, su diámetro es el lado de dicho cuadrado, y su radio es la p p 2 mitad o sea r = 0:1 2, su área A3 = r2 = 0:1 2 = 0:0628. Luego A = 0:16
0:08 + 0:0628 = 0:1428
77. Los segmentos AC y BD se cortan en P y son tangentes a las circunferencias en los puntos A, C, B y D.
79
Solución: Dado que P B y P C son segmentos tangentes a la circunferencia de la izquierda, desde un mismo punto, son congruentes, luego P C = P B = 19. Como AC = AP + P C, AP = AC
P C = 31
19 = 12
78. Seis triángulos equiláteros de 1cm. de lado se unen para formar un hexágono como se muestra en la …gura. Se circunscribe un círculo alrededor del hexágono ¿cuál es el área de la región sombreada?
Solución: Tenemos que el área de la región sombreada es el área del circulo menos el área del hexágono. El radio del circulo es la longitud del lado de los triángulos, es decir r = 1, luego su área es r2 = . El área de cada triángulo equilátero es a
p
3 4 .
p
3 2 4 x ,
donde x es el lado del triángulo, y como el lado mide 1, se reduce
Como hay seis triángulos, el área del hexágono es 6
p
3 4
. Por tanto el área de la región sombreada es
p ! 3 cm2 2
A=
79. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia como se muestra en la …gura. Se tiene m\A = 50o y 0
0
0
m\C = 60o . Se trazan tangentes por A; B y Cde manera que se forma el triángulo circunscrito A ; B ; C . 0
Entonces la medida del ángulo A es:
Solución: 80
Como BA0 y CA0 son tangentes a la circunferencia, los \A0BC y \A0CB son ángulos semiinscritos que subtienden el arco BC y el ángulo A es un ángulo inscrito que subtiende el mismo arco. Por tanto estos ángulos son congruentes, es decir m\A0BC = m\A0CB = m\A = 50o
Luego al considerar el 4A0BC, se tiene m\A0
=
180
m\A0BC
=
180o
=
80o
50o
m\A0CB
50o
80. El triángulo ABC es equilátero y sus lados AC y BC son tangentes a la circunferencia con centro en O y radio p 3. El área del cuadrilátero AOBC es
Solución: Se tiene OC?AB, ya que los triángulos OAB y ABC son isósceles. También 4OAC = 4OBC, ya que sus tres
lados son congruentes. Como además el 4ABC es equilátero, m\ACO = 30o , luego el 4OAC es un triángulo p 30 –60 y de ahí resulta que OC = 2 3 y AC = 3. Tenemos entonces [AOBC] = 2 [OAC] = 2
p 1 p 3 3=3 3 2
81. Si un ángulo central de 30 en una circunferencia intercepta un arco de 6m de longitud, entonces el radio de la circunferencia mide. Solución: Se tiene s = r , donde s es la longitud del arco, r el radio de la circunferencia y correspondiente, medido en radianes. Como
o
= 30 equivale a =6 radianes, tenemos 6 r
= r =
81
36
6
es el ángulo central
82. En la …gura se tiene una circunferencia de radio 1 y un hexágono regular de lado 1. Si O es el centro de la circunferencia, entonces el área de la región sombreada es.
Solución: En vista que el hexágono tiene lado 1 y la circunferencia tiene radio 1, el centro del hexágono es un punto de la circunferencia. La región sombreada puede descomponerse en dos triángulos que tienen la misma base y la misma altura que los triángulos que forman el hexágono. Luego el área buscada es p p 3 2 3 A=2 1 = 0:866 4 2 83. Los arcosAB y BC son semicírculos cuyos centros están sobre un diámetro del círculo que se muestra en la …gura.Si BC = 2AB, entonces la razón entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada es:
Solución: Sean r1 el radio del semicírculo mayor,r2 el radio del semicírculo mediano y r3 el radio del semicírculo menor. Se tiene r3 =
AB 2
BC = 2AB
AC = AB + BC
2r2 = 2AB
2r1 = 3AB
r2 = AB
r1 = 23 AB
Luego las áreas de estos semicírculos son: Semicírculo mayor:
1 2
Semicírculo mediano: Semicírculo menor:
1 2
r12 = 1 2
r22 =
r32 =
2 3 2 AB
1 2
1 2
1 2
=
9 8
AB 2
AB 2 AB 2 2
=
1 8
AB 2 82
El área sombreada está dada por: área del semicírculo mayor menos el área del semicírculo mediano más el área del semicírculo menor o sea Área sombreada =
9 8
AB 2
La razón buscada resulta
1 2
AB 2 +
1 8
AB 2 =
3 4
AB 2
3 AB 2 1 Área sombreada 4 = = 3 2 Área no sombreada AB 2 2
84. Una moneda circular de radio 1, está sobre una mesa. Si ponemos cuatro monedas más grandes de igual tamaño alrededor de ella, ¿cuál es el radio de las monedas grandes que permite que cada una sea tangente a las dos adyacentes y a la de radio 1? Solución:
Sea R el radio de las monedas grandes. Como estas monedas son tangentes a las monedas adyacentes y a la vez son tangentes a la moneda pequeña, al unir los centros de las monedas grandes se forma un cuadrado de lado 2R. Al trazar una diagonal, esta debe pasar por el centro de la moneda pequeña, la cual tiene diámetro 2, luego la longitud de la diagonal resulta 2R + 2. Por tanto, dado que en todo cuadrado de lado x, su diagonal mide p 2 2
Al racionalizar el denominador obtenemos R =
2R + 2
=
p
2 R
=
2
R
=
p
p
p
2x, se cumple en este caso que
2 (2R)
1 2 1
2+1
85. En la siguiente …gura ABC y AEB son semicírculos, F es el punto medio del diámetro AC; B es punto medio del arco AC y AF = 1. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
83
Solución: El área de la región sombreada resulta de la diferencia entre el semicírculo AEB y el segmento circular determinado por la cuerda AB en el semicírculo ABC. Como F es el punto medio del diámetro AC, B es punto medio del arco AC, resulta BF ?AC, luego el 4ABF p es un triángulo rectángulo isósceles de cateto 1 y por tanto AB = 2. AB es diámetro del semicírculo AEB, luego su radio es
p
2 2
y el área de este semicírculo resulta p !2 2 = 2 4
1 A1 = 2
El área del segmento circular, está dada por la diferencia entre el área del sector circular que lo contiene y el área del triángulo determinado por la cuerda y los radios extremos. En este caso el sector circular correspondiente tiene ángulo central de 90o y radio 1, por tanto su área es la cuarta parte del área de un círculo de radio 1 o sea
1 4
y el triángulo correspondiente tiene base 1 y altura 1, 1 1 luego su área es El área del segmento circular resulta A2 = 4 2 Finalmente el área buscada es 1 1 = A = A1 A2 = 4 4 2 2 1 2.
86. Si el radio de un círculo aumenta en
unidades, ¿cuánto aumenta su perímetro?
Solución:
Sean L y L0 los perímetros del círculo original y el círculo con el radio aumentado, respectivamente. Luego L = 2 r y L0 = 2 (r + ) = 2 r + 2
2
. El aumento es la diferencia
4 = L0
L= 2 r+2
2
2 r=2
2
87. Dos semicírculos de radio 3 están inscritos en un semicírculo de radio 6 como se muestra en la …gura. Un círculo de radio r es tangente a los tres semicírculos. ¿Cuánto vale r ?
Solución:
84
Cuando se tienen círculos tangentes exteriormente, la distancia entre los centros es la suma de los radios, y cuando son tangentes interiormente, la distancia entre los centros es la diferencia entre los radios. Además en ambos casos los centros y el punto de tangencia están alineados.
Sean A, B, C y D los centros de los semicírculos y del círculo interior como se muestra en la …gura. Se tiene AB = AD = 3 + r, CA = 6
r, BC = CD = 3. Como 4ABD es isósceles y C es punto medio de BD,
AC?BC, luego el 4ABC es rectángulo en C y por tanto sus lados cumplen con el teorema de Pitágoras. Luego 2
=
(6
r) + 32
9 + 6r + r2
=
36
12r + r2 + 9
18r
=
36
r
=
2
(3 + r)
2
88. En la …gura los círculos adyacentes son tangentes y tienen radio 1. ¿Cuánto vale el área de la región sombreada?
Solución:
Al considerar el círculo central y dos círculos externos contiguos, vemos que encierran la sexta parte del área buscada. Vemos también que esta fracción corresponde al área de un triángulo equilátero de lado 2 menos tres sectores circulares de radio 1 y de 60o cada uno, que juntos forman un semicírculo de radio 1. 85
Luego A=6
"p
3 2 2 4
1 2
12
#
p = (6 3
3 )u2
89. En la …gura, m\BCA = 90o ; BA = 5y AC = 3: ¿Cuál es el área del círculo con centro en O?
Solución: Como el 4ABCes rectángulo en C, aplicamos el Teorema de Pitágoras para hallar BC BC =
p AB 2
AC 2 =
p 52
32 = 4
Como BC es diámetro del círculo, se tiene r = 2 y su área resulta A = r2 = 4 90. El lado mayor del rectángulo de la …gura mide 20. La curva trazada en su interior está formada por cinco semicircunferencias ¿cuál es la longitud de la curva?
Solución: Se observa que la curva está formada por 5 semicircunferencias, cuyos diámetros suman 20, luego cada diámetro mide 20
5 = 4 y los respectivos radios la mitad o sea 2 unidades. Luego L=5
1 2 r=5 r=5 2
2 = 10
91. La …gura muestra dos segmentos perpendiculares tangentes a ambas circunferencias, las cuales son tangentes entre sí. Si el radio de la circunferencia pequeña mide 1, entonces el radio de la circunferencia más grande mide
Solución:
86
Sea r el radio de la circunferencia buscado. Sean A y C los centros de las circunferencias, pequeño y grande respectivamente. Desde A y C trazamos perpendiculares a los segmentos perpendiculares iniciales, formando el cuadrado rotulado en la …gura como ABCD. Sean E, F , G y H los puntos donde estas perpendiculares cortan a los segmentos perpendiculares, como se indica en la …gura.
Tenemos que AE = AG = DH = BF = 1, el radio de la circunferencia pequeña. Como CH = BG = CF = r, tenemos que CD = CB = BA = DA = r
1, luego por esto y la perpendicularidad anterior ABCD es un
cuadrado. Como las circunferencias son tangentes exteriormente, la distancia entre sus centros es la suma de sus radios, es decir AC = r + 1. Luego el 4ABC es un triángulo isósceles, rectángulo en B, con AB = BC = r p p p AC = r + 1. Luego AC = 2AB, es decir r + 1 = 2(r 1). Al despejar r, se obtiene r = 3 + 2 2
1y
92. Tres círculos de radio 1, con sus centros colineales son tangentes como se muestra en la …gura. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
Solución: Rotulemos los puntos extremos de la región sombreada, como se muestra en la …gura, vemos que se forma un rectángulo. En los extremos de la región se tienen dos semicírculos, que juntos forman un circulo. Luego la región sombreada es la diferencia entre las áreas del rectángulo y los dos círculos que se forman. Dado que el radio de los círculos es 1, AD = 2 y AB = 4 Luego A=2 4
2
87
12 = 8
2
93. La …gura muestra un hexágono regular inscrito en un círculo. Si el área del círculo es 1; ¿cuánto mide el área del triángulo ABC?
Solución: Se observa que los triángulos ABC y ABO tienen la misma área, ya que tienen la misma base y la misma altura. Por ser un hexágono regular el 4ABO es un triángulo equilátero de lado igual al radio del círculo. Como el área del circulo es 1, se tiene r2
=
1
r
=
1 p
Luego el área del triángulo es [ABC] =
p
1 p
3 4
2
=
p
3
4
94. ¿Qué polígono regular tiene la misma cantidad de diagonales que de lados? Solución: Como el número de diagonales en un polígono está dado por D =
n(n 3) , 2
donde n es el número de lados del
polígono. Luego n (n 3) 2 n2 3n
= n =
2n
n2
5n
=
0
n (n
5)
=
0
n
=
0_n=5
Se descarta n = 0, por carecer de sentido. Por tanto el polígono buscado es un pentágono. 95. Sean O el centro de una circunferencia de radio r y ED = r. Si m\DEC = k (m\BOA), entonces el valor de k es:
88
Solución: Trazamos el radio OD y vemos que el 4ODE es isósceles ya que OD = ED = r, luego \DEC = \DOC. Como el \DEC es un ángulo exterior con sus lados secantes a la circunferencia, su medida está dada por m\DEC =
d mAB
2
d mCD
(1)
d y m\DOC = mCD d = Como los ángulos BOA y DOC, sus medidas están dadas por m\BOA = mAB
m\DEC. Se tiene
Sustituyendo en (1):
d = DC d m\DEC = k(m\BOA) = k mAB d k mAB
=
d 2k mAB
d mAB
d = mAB
3k
=
k
=
1 1 3
d k mAB 2 d k mAB
96. Si se aumenta el radio de un círculo en un 100%, ¿en qué porcentaje aumenta su área? Solución: Si el radio original es r, el circulo con el radio aumentado, tiene radio 2r. Se tiene A1 = r2 y A2 =
2
(2r) =
4 r2 . El aumento está dado por 4A = A2
A1 = 4 r2
r2 = 3 r2
Porcentaje de aumento: 4A 3 r2 100% = 300% 100% = A1 r2 97. Se tienen tres círculos concéntricos de radios 1; 2 y 3 respectivamente. ¿Cuál es la razón entre el área de la región cuadriculada y el área de la región oscura?
Solución: El circulo pequeño tiene área , ya que su radio es 1 El círculo mediano tiene área 4 , ya que su radio es 2 89
El círculo grande tiene área 9 , ya que su radio es 3 Área de la región oscura = área del circulo grande –área del circulo mediano = 9
4 =5
Área de la región cuadriculada = área del circulo mediano –área del circulo pequeño = 4 Área de la región cuadriculada 3 = 5 Área de la región oscura
=
=3
3 5
98. El segmento AB es diámetro de una circunferencia de radio 1 y lado del triángulo equilátero ABC. Si la circunferencia corta a AC y BC en los puntos D y E respectivamente, entonces la longitud AE es: Solución:
Como m\AEB = 90o , AE es una altura del triángulo equilátero ABC. Como p p el radio es 1, AB = 2, luego p 3 3 AE = 2 = 3: (En todo triángulo equilátero de lado x, la altura mide x) 2 2 99. En una circunferencia se tienen dos cuerdas paralelas de longitudes 10 y 14 que distan 6 entre sí. Entonces la longitud de la cuerda paralela a ambas y que equidista de ellas mide: Solución: Sean CD = 10 y AB = 14, las cuerdas dadas. Como la distancia entre ellas es 6, la cuerda paralela equidistante de ellas está a 3 unidades de cada una. Sea EF la cuerda buscada. Inicialmente no sabemos la posición de las cuerdas con respecto a un diámetro paralelo a ellas. Comencemos asumiendo que están al mismo lado del diámetro paralelo, como se muestra en la …gura
Al trazar desde el centro una perpendicular a las cuerdas, esta pasa por el punto medio de cada cuerda. Sean P , Q, R los puntos medios de las cuerdas, como se muestra en la …gura. 90
Se tiene P B = 7, RD = 5. Sea QF = y, la longitud de la cuerda buscada es EF = 2y. Supongamos que la cuerda AB está a x unidades del centro. Se forman tres triángulos rectángulos, todos ellos con hipotenusa igual al radio de la circunferencia.
Al aplicar el teorema de Pitágoras en cada uno ellos se forma el siguiente sistema de ecuaciones r2 = x2 + 12x + 36 + 25
r2 = x2 + 6x + 9 + y 2
r2 = x2 + 49
r2 = x2 + 12x + 61 Restando la tercera ecuación de la primera 12x = x =
12 1
El valor negativo de x, nos indica que las cuerdas están en lados opuestos del diámetro paralelo a las cuerdas. Sustituyendo el valor de x en la tercera ecuación, obtenemos r2 = 50. Sustituyendo el valor de x y r2 en la segunda ecuación obtenemos 50 = 1 )
6 + 9 + y2 y=
p
p p 46yEF = 2y = 2 46 = 184
100. Un triángulo equilátero y un hexágono regular están inscritos en el mismo círculo. Si se divide el área del hexágono entre el área del triángulo se obtiene: Solución: Al observar el gra…co fácilmente se deduce que el área del hexágono es el doble del área del triángulo. Esto puede veri…carse considerando que el lado de un triángulo equilátero inscrito en un círculo de radio r, está dada p por 3r y por tanto su área es p p 2 3 p 3 3 2 A1 = 3r = r 4 4 También se tiene que el lado de un hexágono inscrito es igual al radio de la circunferencia, luego su área es p 6 3 2 A2 = r 4 Luego
p 6 3 2 r A2 4 = p =2 A1 3 3 2 r 4
91
101. En el prisma recto de la …gura, las bases son triángulos equiláteros, con perímetros de 30cm. Si la altura del prisma es 10cm. ¿Cuál es el área total de la super…cie del prisma?
Solución: Como las bases son triángulos equiláteros de perímetro 30 cm, sus lados miden 10 cm y por tanto tienen una área de
p
p 3 102 = 25 3 4 Su área lateral es AL = P h = 30 10 = 300. El área total está dada por Ab =
p p AT = 2 Ab + AL = 2 25 3 + 300 = 50 3 + 300 102. Tres vértices de un cubo, de los cuales no hay dos que estén en la misma arista, se unen para formar un triángulo. Si la arista del cubo tiene longitud 1. ¿Cuál es el área del triángulo formado? Solución:
En la …gura se muestra un triángulo que satisface el enunciado. Vemos que sus lados son diagonales de las caras p y como las aristas de los cubos tienen longitud 1, estas diagonales miden 2. Como el área de un triángulo equilátero de lado x está dada por
p
3 2 4 x ,
en este caso tenemos p
3 p A= 2 4
2
=
p
3 2
103. La …gura representa un cubo. La intersección del plano ABG y el plano BCE es la recta
Solución:
92
Al bosquejar los planos indicados vemos que comparten los puntos B y F , y dado que la intersección de dos ! planos diferentes es una única recta, la intersección es la recta BF .
104. De un cubo de 5” de arista se forma un cilindro circular recto de 3” de diámetro, entonces el volumen de la parte sobrante del cubo, en pulgadas cúbicas, es aproximadamente
Solución: El volumen de la parte sobrante es la diferencia entre el volumen del cubo y el volumen del cilindro, luego V = 53
3 2
2
(5) = 125
45 4
125
35:34
89:67
90
105. La altura de un prisma rectangular es un tercio de su longitud y el ancho es la mitad de su longitud. Si la diagonal del prisma mide 30cm, su volumen es Solución:
Sean z la altura, y la longitud y x el ancho del prisma. Se tiene z = y3 , x = y2 . La diagonal está dada por p d = x2 + y 2 + z 2 = 30 x2 + y 2 + z 2
=
900
Al expresar en términos de “y” esta ecuación, se obtiene y2 y2 + y2 + 4 9 1 1 +1+ y2 4 9 49 2 y 36 93
y
=
900
=
900
=
900
=
180 7
El volumen está dado por V
= xyz y y = y 2 3 y3 = 6 1 180 = 6 7
2
2833:8 cm3 106. Al introducir un trozo de metal en un tanque rectangular con agua, de dimensiones 50cm
37cm, el nivel del
agua subió 1cm. ¿Cuál es el volumen del trozo de metal? Solución:
El volumen del trozo de metal es equivalente al volumen que incrementó el tanque, lo cual equivale al volumen de un paralelepípedo de dimensiones 1
50
37, es decir 1850 cc:
107. ¿Cuál es el número máximo de diagonales que pueden trazarse sobre las caras de un cubo de manera que no hayan dos diagonales que tengan un punto en común? Solución:
Trazamos inicialmente sobre una de las caras una diagonal, digamos AD, ninguna otra puede involucrar estos puntos para satisfacer la condición. Con los puntos restantes trazamos otra diagonal, digamos BE. Nos quedan cuatro vértices en este caso los vértices C, F , G y H, con los cuales solo podemos trazar dos diagonales más. En total cuatro diagonales. Cualquier otra variante conduce a la misma cantidad.
94
108. En la …gura se muestra un paralelepípedo rectangular. Si a = 2b y b = c?
c , ¿Cuál es el volumen en términos de 2
Solución: Como a = 2b y b = 2c , entonces a = c. Por ser un paralelepípedo rectangular, V = abc = c
c3 c c= 2 2
109. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la altura de la pirámide es 6 ¿a qué distancia de la sección transversal está el vértice? Solución:
Sea A0 = 20, el área de la sección transversal y A = 45, el área de la base de la pirámide. Sea h la distancia desde la sección transversal al vértice. Se tiene A0 A h 6 h
h 6
=
2
=
4 20 = 45 9
2 3 4
= =
110. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la altura de la pirámide es 6 ¿cuál es la razón entre los volúmenes de la pirámide mayor y la menor? Solución: Los datos forman parte del ejercicio anterior, de manera que ya sabemos que la distancia desde la sección transversal al vértice es h = 4. Luego, si V es el volumen de la pirámide mayor y V 0 el de la pirámide menor, se tiene
V = V0
6 4
3
=
95
3 2
3
=
27 8
111. La base de una pirámide es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 12. Si la altura es 10; el volumen de la pirámide es Solución: Como la base de la pirámide es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 12, su lado mide 4, luego p p 3 2 Ab = 4 =4 3 4 y como h = 10, el volumen de la pirámide es p 1 1 p 40 3 V = Ab h = 4 3 10 = 3 3 3 112. La …gura muestra dos esferas tangentes que descansan sobre una mesa plana. Si los radios de las esferas son 8cm. y 16cm respectivamente, entonces la distancia en cm. entre los puntos de contacto de las esferas con la mesa es:
Solución: Al considerar los centros de las esferas y los puntos de tangencia con la mesa, se forma un trapecio, como el que se muestra en la …gura, en el cual OO0 = 24 ya que las esferas son tangentes. OA = 16 y O0B = 8
Si trazamos una paralela a la mes desde O0, sea D el punto donde corta al radio OA. Tenemos que AB = P O0, P A = O0B = 8, luego OP = OA de Pitágoras se tiene
P A = 8. Como OA?AB, también se tiene OP ?P O0. Luego por el teorema P O0 = AB =
p 242
p 82 = 16 2
113. En una pirámide cuadrada, en la que el lado de la base mide 8cm y la altura mide 20cm, se traza una sección paralela a la base a 14cm de ésta. Entonces el área de dicha sección es
96
Solución:
Sea x la longitud de la arista de la sección, se tiene entonces x 8
=
x = x =
6 20 48 20 2:4
2
Como es un cuadrado, su área es A = x2 = (2:4) = 5:76 114. Los diámetros de dos cilindros circulares rectos concéntricos son 12 y 6 pulgadas respectivamente y la generatriz común es de 20 pulgadas, entonces el volumen del espacio que queda entre ambos cilindros es. Solución:
El volumen buscado es la diferencia entre los volúmenes de los cilindros. Como los diámetros son 12 y 6, los radios son 6 y 3, luego, V =
R2
r2
h=
62
32
20 = 540
115. El volumen de una cisterna cilíndrica es 1200m3 y su altura es igual al diámetro, por lo tanto su área total es Solución: Como el diámetro es igual a la altura se tiene r = h2 . Luego V
=
V
=
1200
=
h
=
h
r2 h 2 h h 2 h3 r4 3 4800
11:5176
97
El área total está dada por AT = 2 AB + AL :
El área de la base es AB =
h 2
El area lateral es AL = 2 rh = 2
h2
h2 =
Al sustituir el valor de h obtenemos AT =
h2 4
=
h=
h2 + 4
Luego AT = 2 AB + AL = 2
2
h 2
r2 =
3 2 h 2
3 2 h 2
625:13
116. Un cono de revolución tiene 13cm. de generatriz y el radio de la base es de 5 cm. Se corta por un plano paralelo a la base que corta a la generatriz en un punto distante 5:2cm. del vértice. Entonces el volumen del tronco de cono formado es Solución: Sea r el radio de la base menor del cono truncado. Sea y la altura del cono menor y H la altura del cono truncado. Al considerar la altura del cono, los radios de las bases y la generatriz obtenemos los triángulos rectángulos que se muestran en la …gura.
La altura del cono original es h = se tiene
p g2
Como H + h = 12, se tiene H = 12 V =
3
r2 =
p
132
y 12
=
y
=
52 = 12: Como los triángulos formados son semejantes
r 5:2 = 5 13 24 , r=2 5
24 36 = : El volumen buscado es 5 5
H R2 + r2 + Rr =
3
36 (25 + 4 + 10) 5
294:05
117. Dado un cono circular recto con radio 3m y generatriz 5m, entonces su área lateral es Solución: El área lateral está dada por AL = rg =
3 5 = 15 . 98
118. El área lateral de un tronco de cono que se forma cuando se corta un cono recto de 6cm. de radio y 8cm de altura, por medio de un plano paralelo a la base del cono y que lo corta a una altura de 4:5cm es Solución:
Se tiene AL = g (R + r), donde g es la generatriz del tronco de cono. La generatriz del cono está dada por g0 =
p p h2 + r2 = 82 + 62 = 10
Como los triángulos que se forman con la altura, la generatriz y los radios son semejantes, se tiene r 6 r
= =
3:5 8 2:625
Por el teorema de Thales, g 4:5 g Luego AL = g (R + r) =
5:625 (6 + 2:625)
= =
10 8 5:625
152:42
119. Dos esferas de metal de radios 2a y 3a se funden juntos para hacer una esfera mayor. El radio de la nueva esfera es Solución: El volumen de la nueva esfera es la suma de los volúmenes de las esferas dadas. La esfera de radio 2 a tiene un volumen V1 =
4 3 4 32 3 3 r = (2a) = a 3 3 3
La esfera de radio 3 a tiene un volumen V2 =
4 3 4 108 3 3 r = (3a) = a 3 3 3
El volumen de la nueva esfera es V 140 3 a 3 r
= V 1 + V2 = 4 3 r 3p 3 = a 35
=
99
32 3 108 3 140 3 a + a = a 3 3 3
120. Un cono tiene una altura igual al doble de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del cono. La razón entre el volumen del cono y el volumen de la esfera es Solución:
Volumen del cono Vc =
1 2 1 2 2 3 r h= r 2r = r 3 3 3
Volumen de la esfera VE =
4 3 r 3
Luego 2 3 r Vc 1 = 3 = 4 3 VE 2 r 3 121. Un cono tiene una altura igual al triple de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del cono. La razón entre el volumen del cono y el volumen de la esfera es Solución:
Volumen del cono Vc =
1 2 1 2 r h= r 3r = r3 3 3
Volumen de la esfera VE =
4 3 r 3
Luego Vc r3 3 = = 4 3 VE 4 r 3 122. La altura de un cono es 5cm. Un plano a 2cm del vértice es paralelo a la base del cono. Si el volumen del cono más pequeño es 24cm3, el volumen del cono más grande es Solución:
100
Se tiene que los volúmenes de cono semejantes son proporcionales al cubo de su razón de semejanza 5 3 2
Luego el volumen del cono más grande es V =
V1 V2
=
h 3 H
:
24 = 375
123. Un cubo está inscrito en una esfera. Si el área de la super…cie total del cubo es
40
m2 , entonces el área de la
super…cie de la esfera es Solución:
Tenemos que la diagonal del cubo es el diámetro de la esfera. Si x es la longitud de la arista del cubo, su área total es
En un cubo la diagonal es d =
p
6x2
=
x2
=
40 20 3
3x, luego el radio de la esfera es r =
p
3 2 x.
El área de la super…cie de la esfera es S = 4 r2 , al sustituir los valores encontrados resulta S = 4 r2 = 4
3 2 x =3 4
20 = 20 3
124. La base de una pirámide hexagonal tiene un área de 26m2 . Si el volumen de dicha pirámide es 78m3 , entonces su altura mide Solución:
Tenemos que el volumen de una pirámide está dado por
Al sustituir los datos se obtiene h =
V
=
h
=
3V 3:78 = =9 AB 26 101
1 AB h 3 3V AB
125. Si el cono de la …gura tiene un volumen de ,C es el vértice, un diámetro y m\ACB = 120 ; entonces el diámetro de la base, en centímetros, es.
Solución: Al considerar el triángulo formado por el diámetro AB y el vértice, tenemos que m\CAB = m\CBA = 30o . Luego la altura del cono es h =
pr . 3
El volumen es V =
1 2 r 1 2 r3 r h= r p = p 3 3 3 3 3
Se tiene entonces r3 p 3 3 r3 r
=
p 1000 3 9
=
1000
=
10
y por tanto el diámetro es d = 20. 126. El área de la super…cie total de un cubo es 12m2 . Entonces la longitud de su diagonal es Solución: El área de la super…cie total de un cubo de lado x, está dada por AT = 6x2 y su diagonal por d = 6x2
p
3x. Luego
12 p x = 2
Yd=
p
=
p p p 3x = 3 2= 6
127. Si la generatriz de un cono mide 25my el diámetro de su base es 8m; su volumen mide Solución: El volumen está dado por V = 13 r2 h y la altura es h = p p p luego h = 252 42 = 609, por tanto V = 13 42 609
102
p g2
r2 . Tenemos que g = 25 y d = 8 o sea r = 4,
413:48.
128. En una esfera de radio 2, se tiene inscrito un cilindro de manera que el diámetro del cilindro es igual al radio de la esfera. Entonces el área lateral del cilindro es Solución:
Sean A, B y C los puntos marcados en la …gura. Tenemos que AB es diámetro del cilindro y BC diámetro de la esfera, luego AB = 2 y BC = 4. La altura del cilindro es AC, el cual al aplicar el Teorema de Pitágoras resulta AC =
p BC 2
AB 2 =
p 42
22 =
p
p 12 = 2 3
El área lateral de un cilindro está dada por AL = 2 rh. Como el diámetro del cilindro mide 2, su radio mide p p 1. Luego AL = 2 1 2 3 = 4 3 .
103
UNIDAD DE FUNCIONES
1. Los intersectos de la función lineal f (x) = 2x
6 con el eje x y con el eje y, respectivamente, son los puntos:
Solución : Los intersectos con el eje Y y X se obtienen haciendo x = 0; y y = 0 respectivamente, por tanto y
=
6
x =
3
entonces los puntos de intersección son (0; 6) y (3; 0) 2. La preimagen de y =
3 bajo la función f (x) = 7
3x es :
Solución : Sustituyendo el valor de y =
3 en la función, se obtiene 3
=
7 3x 10 3
x =
3. La regla de asignación de la función que pasa por los puntos ( 1; 3) y (2; 8) es Solución : La función lineal tiene la forma f (x) = ax + b entonces
al resolver el sistema de ecuación se obtiene a =
3
=
a+b
8
=
2a + b
11 2 ; b = ; por tanto, la función lineal es 3 3
f (x) =
11 2 x+ 3 3
4. En cálculo de interés simple, la cantidad devengada S es una función lineal de tiempo medido en años S = P (1 + rt). Si el capital es P = C$1000 y la tasa anual de interés es r = 4%, entonces la cantidad devengada S pasado 15 años es : Solución : Sustituyendo en la expresión dada S
= P (1 + rt) =
1000 [1 + 0:04 (15)]
=
1600 104
5. Sea h una función lineal tal que h( 2) = 5 y h(6) = 3, la función h(x), donde x es cualquier número real está de…nida por : Solución : La función lineal tiene la forma h (x) = ax + b entonces
al resolver dicho sistema, se obtiene a =
5
=
2+b
3
=
6a + b
1 9 ; b = ; por tanto, la función es 4 2 h (x) =
1 9 x+ 4 2
6. Para niños entre 6 y 10 años de edad, la estatura y (en pulgadas) es frecuentemente una función lineal de la edad t (en años). Si la estatura de cierto infante es de 48 pulgadas a los 6 años de edad y 50:5 pulgadas a los 7, entonces al expresar y como función de t, se obtiene: Solución : La función lineal tiene la forma f (x) = ax + b; al sustituir los valores respectivos 48
=
6a + b
50:5
=
7a + b
al resolver dicho sistema, se obtiene que a = 2:5; b = 33; entonces la función lineal tiene la forma f (x) = 2:5t + 33 7. Sabiendo que f (0) = 1 y f (1) = 0; determine la función lineal f (x) y el área acotada por dicha función y los ejes X; Y . Solución : Al sustituir los valores en la función lineal, se tiene 1
= b
0
= a+b
entonces la función es de la forma f (x)
= ax + b =
105
x+1
Al aplicar las condiciones del problema y gra…car 2
y
1
-2
-1
1
2
x
-1 -2
se observa que forma un triángulo isósceles, cuya área es 0:5u
8. Al evaluar la función cuadrática f (x) =
2 2 1 x + en x = 3 2
3 se obtiene que su imagen vale : 4
Solución : Al sustituir el valor de x en la función dada, se tiene f
3 4
2 3
=
9. Los intersectos de la función cuadrática g(x) =
=
1 8
x2
6x
2
3 4
+
1 2
5 con el eje x y con el eje y, respectivamente, son
los puntos : Solución : Los intersectos con el eje Y y X se obtienen haciendo x = 0; y y = 0 respectivamente, por tanto g (0)
Al resolver esta ecuación cuadrática
x2
=
5
x2
6x
6x
5 = 0 se obtiene x =
5
=
0
intersección con el eje Y es (0; 5) y con el eje X, ( 5; 0) y ( 1; 0) Gra…camente se puede observar que
y
10 5
-10
-5
5 -5 -10
106
10
x
1 ;x =
5; por tanto, los puntos de
2x2 + 6 son, respectivamente :
10. El domino y el rango de la función cuadrática f (x) = Solución : Dom (f )
= R
Rang (f )
=
( 1; 6]
b 2a
11. Dada la función f (x) = ax2 + bx + c, el valor de f
es :
Solución : Al sustituir el valor de x =
b en la expresión funcional 2a f
b 2a
b 2a
= a
3x + 1 ;
b 2a
+b
+c
b2 4a
= c 12. Dadas las parábolas x2
2
x2 + 2x + 7: La distancia entre el punto mínimo y máximo de dichas curvas
es: Solución : Los puntos máximos y mínimos de estas parábolas se encuentran en sus vértices, por tanto, para la primera 3 5 parábola su vértice es el punto mínimo ; y para la segunda, el máximo es (1; 8) ; aplicando la fórmula 2 4 de la distancia se tiene d (M; m) = 9:2635 13. Las funciones lineales de…nidas por f1 (1) = 0; f1 (0) = 1 y f2 ( 1) = 0; f2 (0) = 1; forman un triángulo isósceles con el eje X. El área de dicho triángulo es: Solución : Al aplicar las condiciones dadas, se tiene para la primera función
de aqui f1 (x) =
0
= a+b
1
= b
x + 1: Para la segunda función 0
=
1
= b
a+b
se obtiene f2 (x) = x + 1: Grá…camente
y -2
-1
2 1
-1 -2
107
1
2
x
por tanto, su área es 1 (b 2 1 u2
A = =
h)
14. El vértice y el rango de la función cuadrática que pasa por los puntos ( 2; 53), (0; 5) y (2; 29) es : Solución : Primeramente determinaremos la expresión funcional de la función cuadrática, aplicando las condiciones 53 5 29 al resolver dicho sistema, se tiene a = 9; b =
=
4a
2b + c
= c =
4a + 2b + c
6; c = 5; entonces la forma funcional es f (x) = 9x2
Ahora, el vértice está dado por
b ; c 2a
b2 4a
V
=
V
=
6x + 5
; al sustituir los valores respectivos, se tiene 6 ; 5 18
2
( 6) 36
!
1 ; 4 3
El rango está de…nido por [4; +1) 15. Al expresar la función cuadrática f (x) = 3x2 + 24x + 50 en la forma f (x) = a(x
h)2 + k, resulta :
Solución : Expresemos la función dada en la forma f (x)
=
3x2 + 24x + 50
=
3 x2 + 8x + 50
=
3 x2 + 8x + 16 + 50
48
2
=
3 (x + 4) + 2
16. Sabiendo que f (x) es una función cuadrática y f (2) = 5; f ( 2) = 5; y f (0) = 1: Determine dicha función : Solución : Sustituyendo las condiciones iniciales dadas en la forma funcional f (x) = ax2 + bx + c 5
=
4a + 2b + c
5
=
4a
1
= c 108
2b + c
Al resolver dicho sistema de ecuación, se tiene que a = 1; b = 0; c = 1; entonces f (x) = x2 + 1 17. Dadas las parábolas f (x) = x2
1 ; f (x) =
x2 + 1: Determine los valores de x que pertenecen a la región
limitada por la intersección de dichas grá…cas. Solución : Los puntos de intersección de ambas parábolas, se obtiene igualando dichas ecuaciones x2 al resolver dicha ecuación x2
1=
x2 + 1
1=
x2 + 1, se obtiene que x =
1; x = 1; entonces la región limitada está
dada por el intervalo f 1 18. Al evaluar la función valor absoluto f (x) = jx
x
1g
3j en x =
7 se obtiene que su imagen vale :
Solución : Al sustituir el valor de x en la función dada, se tiene f ( 7)
= j 7 =
3j
10
19. Las preimágenes de y = 2 bajo la función f (x) = j3x
11j
5 son:
Solución : Sustituyendo el valor de y = 2 en la función, se obtiene 2
= j3x
11j
7
= j3x
11j
5
al resolver dicha ecuación, se tienen que las preimágenes son x =
20. El domino y el rango de la función valor absoluto f (x) = jxj
jx + 3j son respectivamente :
Solución : Dom (f )
= R
Rang (f )
=
109
4 ; x=6 3
[ 3; 3]
21. El vértice y el rango de la función valor absoluto f (x) =
jx + 1j + 3 es :
Solución :
y
4 2
-4
-2
2
4
x
-2
Para deteminar el vértice se hace iguala el argumento de la función valor absoluto a cero, es decir x+1 = x =
0 1
por tanto y=3 de donde el vértice es el punto ( 1; 3) : Ademas, como el signo de la función valor es negativo, la gra…ca se abre hacia abajo y el rango es ( 1; 3] 22. Si expresamos la función f (x) = jjxj
2j sin el símbolo de valor absoluto, entonces resulta:
Solución : La expresión jxj
2 es equivalente a jxj
2=
(
x
2
x
si x
0
2 si x < 0
ahora al aplicar módulo sobre cada una de las ramas dadas, se tiene ( x 2 si x 2 0 jx 2j = 2 x si x 2 < 0 ( x 2 si x 2 jx 2j = 2 x si x < 2 de forma similar j x j x
2j =
2j =
(
(
x
2 si
x+2 x
110
2
x
2<0
2 si x
x+2
efectuando el análisis correspondiente
si
x
si x >
2 2
0
8 > x 2 > > > < x+2 f (x) = > 2 x > > > : x 2
23. Al expresar la función f (x) = jxj + jx
si
x
si
2
si
2
0
si
0 2
x>2
5j sin el símbolo de valor absoluto, resulta:
Solución : Para x
Para x
0 ^ x
5
0 ^ x
5
f (x) = x + x
f (x)
5 = 2x
= x =
Para x
0 ^ x
5
x+5
5
5 f (x)
=
x
x+5
=
2x + 5
en consecuencia 2x + 5 si f (x) =
5 2x
24. El valor de x en la expresión exponencial 7x + 7x
x<0
si 0 5
1
si
x<5 x
5
= 8x es igual a:
Solución : 7x + 7x 7x + 7x
7
7x 1 + 7
1
=
8x
1
=
8x
=
8x
1
8 7
=
por igualdad de bases, se tiene que x = 1 25. Sea el sistema de ecuaciones
(
ax + ay = 4 ax
ay = 2
Si en el sistema anterior, a = 3, entonces x + y es igual a: Solución : 111
8 7
x
Al sustituir el valor de a = 3 en dicho sistema, se obtiene ( 3x + 3y = 4 3x
3y = 2
3x + 3x
=
6
3x
=
6
3x
=
3
Al sumar dichas ecuaciones
2
entonces por igualdad de bases, se tiene x = 1 26. En la ecuación exponencial 2x+2 + 2x+3 + 2x+4 + 2x+5 + 2x+6 = 31, la solución es: Solución : Escribamos en otra forma la expresión dada 22 2x + 23 2x + 24 2x + 25 2x + 26 2x
=
31
2 (4 + 8 + 16 + 32 + 64)
=
31
2x
=
x
124
2x 2x entonces x =
2
27. Si en la expresión 2x = P , entonces 4
1
es igual a:
Solución : Igualando y elevando al cuadrado
para x =
28. Si f (x) =
22x
= P2
22
x
= P2
4
1
1; tenemos ex + e 2
=P
2
x
entonces f (ln 2) es:
Solución : Al evaluar la función en ln 2 se tiene f (ln 2)
= = 112
eln 2 + e 2 5 4
ln 2
31 31 = 124 = 2 2
29. El valor de x en la ecuación: a(3x+1)(2x
2)
2
= a2x
+5 4x2 +4
a
Solución : Al igualar ambos exponentes ( por igualdad de bases ) (3x + 1) (2x
2)
=
2x2 + 5 + 4x2 + 4
6x2
2
=
2x2 + 5 + 4x2 + 4
11
=
0
4x 4x
11 4
x = 30. Si 33 25 = 4
6m , entonces m2 es:
Solución : Al hacer la equivalencia entre los exponentes 33
25
=
22
3m
33
25
=
22+m
2m 3m
de aqui m = 3 =) m2 = 9 31. La respuesta al resolver la ecuación 4x+1 + 2x+3 = 320 es: Solución : Reescribamos la ecuación dada en la forma
4
2x
2
22(x+1) + 2x+3
=
320
x
320
=
0
80
=
0
+8
2
22x + 2
2x
haciendo un cambio de variable u = 2x entonces
entonces el valor de u =
u2 + 2u
80
=
0
(u + 10) (u
8)
=
0
u
=
10 ; u = 8
10 se desprecia ( el logaritmo de un número negativo no existe ) y por tanto 8
=
x =
113
2x 3
32. La solución de la ecuación 5x + 5x+2 + 5x+4 = 651 es: Solución : 5x + 5x+2 + 5x+4
=
651
5x
=
651
5 (1 + 25 + 625)
=
651
5x
=
1
5x
=
50
5x + 25
5x + 625 x
x = 33. La solución de 84x
8
9=
0
8 es:
Solución : 84x
8
=
1
84x
8
=
80
8
=
0
x =
2
4x
34. Una expresión equivalente a
1 (3 loga x 2
5 loga y
30 loga z) es igual a:
Solución : 1 (3 loga x 2
5 loga y
30 loga z)
= =
2
35. El log (a + b)
x3 y 5 loga 30 z s x3 loga 5 y z 30 1 2
log (a + b) es igual a:
Solución : 2
log (a + b)
36. Siendo log m =
1 3
(log x + log y
log (a + b)
=
2 log (a + b)
=
log (a + b)
log (a + b)
log z) entonces m es igual a
Solución : Por propiedades e igualdad de logaritmos 1 (log x + log y 3 1 xy log m = log 3 z 1 xy 3 log m = log r z xy m = 3 z 114
log m =
log z)
37. El resultado de realizar logb x
logb y 2 + logb xy 2 es igual a:
Solución : Por propiedades de logaritmos logb x
38. Al resolver log (9x
5) = log (x
logb y 2 + logb xy 2
x2 y 2 y2
=
logb
=
logb x2
1) + 1 el valor de x es :
Solución : Por propiedades de logaritmos log (9x
5)
log (x 1) = 1 9x 5 log = 1 x 1 9x 5 = 10 x 1
al resolver dicha ecuación, se tiene x=5 39. El valor de 13log13 (8+5) es : Solución : Por propiedad de logaritmo aloga x = x entonces 13log13 (8+5) = 13 40. El valor de e1+ln 5 es : Solución : Por propiedad de logaritmo eloge x = x entonces e1+ln 5
= e =
115
5e
eln 5
41. Al simpli…car la expresión
log5 16 se obtiene : log5 4
Solución : log5 16 log5 4
log5 24 log5 22 4 log5 2 2 log5 2 2
= = =
42. La ecuación log 3
x2 = log 2 + log x tiene por solución :
Solución : Aplicando propiedades de logaritmos e igualando x2
log 3 3
=
log (2x)
x2
=
2x
3
=
0
2
x + 2x cuya solución es x = 1 2
43. En la expresión (log x) = 35
2 log x, la respuesta es:
Solución : Realizando un cambio de variable u = log x se tiene
2
u + 2u
u2
=
35
35
=
0
2u
al resolver dicha ecuación, se obtiene que u = 5; pero u
44. Si se aplica logaritmo a la ecuación 2x+1
=
log x
x =
10u
x =
105
5x = 9, el resultado es:
Solución :
2
2x+1
5x
=
9
2x
5x
=
x
=
9 9 2
10
x = 116
log
9 2
45. Al despejar \ t " en L = M at=N
P , obtenemos :
Solución : Al aplicar propiedades de logaritmos = M at=N
L+P L+P M L+P loga M
= at=N
t 46. El conjunto solución de la ecuación 3(3x ) + 9(3
x
t loga a N L+P = N loga M
=
) = 28 es :
Solución : La expresión dada es equivalente 3(3x ) + 9(3
x
) = 28 9 3(3x ) + x = 28 3 28 (3x ) + 9 = 0
3 32x
Haciendo un cambio de variable u = 3x se obtiene 3u2 cuya solución es u =
28u + 9 = 0
1 ; u = 9; entonces 3 1 = 3x =) x = 1 3 9 = 3x =) x = 2
47. Al simpli…car la expresión
(ex + e
x
)(ex + e x ) (ex e (ex + e x )2
x
)(ex
e
x
)
se obtiene :
Solución : Al multiplicar y simpli…car la expresión (ex + e
x
)(ex + e x ) (ex e (ex + e x )2
x
)(ex
e
x
)
= =
+ e2x + 2 e 2x (ex + e x )2 4 x (e + e x )2 e
2x
48. Al resolver la ecuación log(x3 ) = (log x)3 se obtiene que el conjunto solución es : Solución : 117
e2x + 2
Haciendo el cambio de variable u = log x; se tiene
u3 u u2 Las soluciones son u = 0; u =
p
= u3
3u
=
0
3
=
0
3 ; entonces 0
=
x = 49. Que valor de x veri…ca que
3u
log x ;
p
1
x = 10
;
3 = log x p
3
log(x2 9) =1 log(x + 3)
Solución : Reescribamos la ecuación dada por log(x2
9)
log (x + 3) = 0 x2 9 log = 0 x+3 x2 9 1 = x+3
cuya solución es x = 4
50. Exprese
7 radianes, en grados. 4
Solución : Si x representa la cantidad buscada, entonces x 180 = 7 4 Luego x=
(180)(7 =4)
=
(180)(7) = (45)(7) = 315 4
o
51. Exprese 18 en radianes Solución : Si x representa la cantidad buscada, entonces
luego,
x = 18 180 18 = 180 10 118
x=
o
52. Exprese en radianes 2340 Solución :
Si x representa la cantidad buscada, entonces x = 2340 180 luego, x=
2340 = 13 180
53. Si tan x no está de…nido, cuáles de los siguientes valores tampoco está de…nido: Solución : Puesto que tan x =
sin x cos x
el valor de tan x no está de…nido si cos x = 0 en tal caso tampoco está de…nido
1 = sec x cos x
luego también se inde…ne cos x sec x 54. Calcular los valores de x en [0; 2 ] tales que 2 cos x = tan x + sec x Solución : Puesto que tan x =
sin x 1 y sec x = tenemos que cos x cos x sin x 1 sin x + 1 + = cos x cos x cos x
2 cos x = de donde 2 cos2 x = sin x + 1. Luego
2 cos2 x sustituyendo cos2 x = 1
sin x
1=0
sin2 x obtenemos que 2(1
sin2 x)
sin x
1=0
o 2
2 sin2 x
sin x
1=0
es decir 2 sin2 x 119
sin x + 1 = 0
o equivalentemente 2 sin2 x + sin x
1 = 0:
Haciendo la sustitución u := sin x obtenemos la ecuación 2u2 + u
1 = 0:
Factorizando la parte izquierda se llega a la ecuación equivalente (2u + 2)(2u
1) = 0
cuyas soluciones son u=
1; u =
1 2
1 :Pero si sin x = 1, entonces cos x = 0 y en ese 2 caso ni tan x ni sec x están de…nidas. Por tanto, la única posibilidad es que sin x = 12 y en ese caso los valores Puesto que u = sin x, se debe tener sin x = posibles de x en el intervalo [0; 2 ] son 55. La expresión sin
2
+
6
1 ó sin x =
y 5 =6.
es equivalente a
Solución : Puesto que sin(u + v) = sin u cos v + sin v cos u; sustituyendo u por
2
y v por
obtenemos que sin
Pero sin
2
= 1 y cos
2
2
2
= sin
cos
2
+ sin cos
:
2
= 0; por tanto sin
56. La expresión cos(
+
2
+
= 1 cos
+ sin
0 = cos :
) es equivalente a
Solución : Puesto que cos(u entonces sustituyendo u por
2
y v por cos
2
v) = cos u cos v + sin u sin v;
se obtiene =
cos
=
0 cos
=
sin 120
2
cos
+ sin sin
+ (sin ) 1
2
2
57. El valor de la expresión sin
2
+x
2
+ cos
x
2
es :
Solución : Puesto que sin
2
+ x = cos x y
tendremos que
2
sin
2
+x
cos
2
+ cos
2
= sin x
2
= cos2 x + sin2 x = 1
58. ¿Qué valor toma cos2 (T ) si se sabe que sin(x + T ) = sin x para todo ángulo x: Solución : Dado que sin(x + T ) = sin x para todo ángulo x, tenemos en particular que sin(T ) = sin(0 + T ) = sin 0 = 0 Luego
59. La expresión (sin b) cos(a
1
=
cos2 T + sin2 T
1
=
cos2 T
b) + (cos b) sin(a
b) es equivalente a
Solución : Sabemos que cos (a
b)
=
cos a cos b + sin a sin b
sin (a
b)
=
sin a cos b
sin b cos a
sustituyendo estas expresiones, se tiene sin b [cos a cos b + sin a sin b] + cos b [sin a cos b sin b cos a cos b + sin a sin2 b + sin a cos2 b 2
2
sin a sin b + cos b sin a 60. Resolver sin x + cos x =
p
2
Solución : 121
sin b cos a]
sin b cos a cos b
Elevando al cuadrado tenemos que sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x = 2 de donde 2 sin x cos x = 1 es decir sin x cos x = pongamos u = sin x y v = cos x; entonces u + v =
p
2 y uv =
p u( 2 p u 2 2u2
1 2
u)
1 ; 2
v=
p
2
1 2
=
1 u2 = 0 2 p 2 2u + 1 = 0
cuya solución es
p p (:2 2) 2 = 2(2) 2
u= además u = sin x; entonces
p
2 sin( ) = 4 2 de modo que x= 61. Resolver la ecuación sin2 x
4
+ 2k
(k 2 Z)
3 cos2 x = 0
Solución : La ecuación dada se puede reescribir por medio de sin2 x
3 1
sin2 x
=
4 sin2 x = sin x =
0 3p
3 2
de donde la solución dada es n o 2 +2 k jk 2Z [ +2 k jk 2Z 3 3 62. Resolver el sistema
8 < sin x + cos y = 1 : x+y = 2
Solución : Si x + y =
2
, entonces y =
2
x y cos y = cos(
x) = sin x; 2 122
u asi que
luego, sin x + cos y = sin x + sin x = 2 sin x entonces 2 sin x =
1 1 2
sin x = la solución de esta ecuación es 1 +2 k jk 2Z [ 6 Pero si x =
1 6
+2 k o x= y=
5 6
2
5 +2 k jk 2Z : 6
+ 2 k, entonces x=
2
6
2k
o y=
2
5 6
k
(k 2 Z)
de donde y=
3
+ 2m
o y=
3
+ 2m
(m 2 Z)
Por tanto la solución es x=
1 + 2 k y = + 2m 6 3
y
x=
5 + 2 k; 6
y=
3
+ 2m
63. El valor de 1 + cot2 x coincide con el de Solución : Sabemos que sin2 x + cos2 x = sin2 x cos2 x + = sin2 x sin2 x 1 + cot2 x =
1; 8 x 2 R 1 sin2 x csc2 x
o
64. El valor exacto de cos 15 es Solución : Escribiendo la expresión por cos (15 )
= = = = =
cos (60 45 ) = cos 60 cos 45 + sin 60 sin 45 p p p 1 2 3 2 + 2 2 2 2! p p 2 1 3 + 2 2 2 p p ! 2 1+ 3 2 2 p p p 2+ 2 3 4 123
65. La expresión tan
+ cot
es equivalente a
Solución : sin x cos x + cos x sin x sin2 x + cos2 x = cos x sin x 1 1 1 = = cos x sin x cos x sin x = sec x csc x
tan x + cot x =
66. Hallar cos(2x) si sin x = 0:2 Solución : cos(2x)
67. Si ;
y
=
cos(x + x) = cos x cos x
=
cos2 x
=
(1
sin2 x)
=
1
2 sin2 x
=
1
2(0:2)2
=
0:92
sin x sin x
sin2 x sin2 x
son los ángulos de un triángulo y se cumple que sen2
+ sen2
+ sen2
= 2, entonces el triángulo
es : Solución : Se veri…ca que
+
+
= ; supongamos que algunos de los ángulos, digamos
los otros dos ángulos es menor que
2
; es decir +
< 90
sea w el complemento de , entonces + w = 90 de aqui +
<
+w
<
w
sin
<
sin w
sin2
<
sin2 w
esto implica que
pero w = 90 124
>
2
; entonces la suma de
entonces sin w
=
sin (90
=
sin 90 cos
=
cos
) sin cos 90
y sin2
+ sin2
< sin2
+ sin2 w = sin2
+ cos2 a = 1
consecuentemente sin2
=2
sin2
sin2
=1
lo cual es imposible, por tanto, ninguno de los ángulos puede ser mayor que 90 : 68. En un triángulo ABC, AB = 15; AC = 13 y BC = 14. Hallar el coseno del \C Solución : Utilizando la ley del coseno AB 2 = AC 2 + BC 2
2 (AC) (BC) cos (]C)
se tiene 152
132 + 142 2 (13) (14) cos (]C) 169 + 144 225 cos (]C) = 2 (13) (14) 22 = 91 =
69. Un satélite de comunicación pasa, en cierto instante, sobre la línea imaginaria que une dos estaciones repetidoras A y B que están localizadas a 120 km de distancia una de la otra. En ese momento se mide simultáneamente el ángulo de elevación de la estación A que es de 75 y el de la estación B que es de 60 . La distancia de la estación A al satélite en ese instante es igual a Solución : Utilizando la ley del seno y sabiendo que la suma de los ángulos internos de un triángulo es ; se tiene ]A + ]B + ]C
=
75 + 60 + ]C
=
]C
=
además c sin C 120 sin 45
= =
b sin B b sin 60
entonces b = 146:97 km 125
45
70. Desde un globo que está volando sobre una torre a 1500 m de altura, se distingue un pueblo a un ángulo de depresión de 70o . ¿A qué distancia de la torre se halla el pueblo? Solución : Denotemos por A el punto donde se encuentra el pueblo, B donde se halla el globo y C el pie de la torre, entonces el triángulo ABC tiene ángulos interiores ]A; ]B; ]C que miden 70 ; 20 ; 90 : Ademas BC = 1500 y la distancia entre el pueblo y la torre es AC; entonces tan 70
=
x = x = x =
BC x BC tan 70 1500 tan 70 545:96m
71. Calcule la altura de un árbol que está situado sobre un terren llano, sabiendo que desde un punto del suelo se observa su copa bajo un ángulo de elevación de 45a y, desde un punto 15 metros más cerca del árbol, a un ángulo de 60o Solución : Sea h la altura del árbol y x la distancia al punto A donde se tiene un ángulo de elevación de 45 ; luego a 15 metros mas cerca del pie del árbol, la distancia es x
15 y su ángulo de elevación es 60 ; entonces
tan 45
=
tan 60
=
h x h x
15
igualando ambas expresiones en función de h; se tiene x tan 45
=
(x 15) tan 60 p p x = 3x 15 3 p 15 3 x = p 3 1 x = 35:49
72. Se da una circunferencia de radio 10 m. Calcule el coseno del ángulo que forman las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de 15 m de longitud. Solución : Una tangente a la circunferencia con el radio trazado al punto de tangencia forma un ángulo de 90 ; si E es el punto de intersección de las tangentes y C y D son los puntos de tangencia de las cuerdas con la circunferencia, entonces los ángulos ]CDE y ]DCE miden
2 con la cuerda CD: Entonces el ángulo ]CED mide 2
; donde
2 126
=2
es el ángulo que forman los radios OC y OD
siendo su coseno igual a cos (2 ) = 2 cos2
1
Para calcular el valor del ángulo ; consideremos el triángulo OCD, por ley de los cosenos 102 cos
102 + 152 2 (10) (15) cos 102 + 152 102 = 2 (10) (15) 3 = 4 =
luego el valor buscado es cos (2 )
73. Sabiendo que sin x =
=
2 cos2 3 4
=
2
=
1 8
1 2
1
2 y que < x < , encuentre el valor de tan x 3 2
Solución : Sabemos que sin2 x + cos2 x =
1
cos2 x =
1
cos2 x = cos2 x = pero
2
sin2 x 2 2 1 3 p 5 3
< x < ; entonces el coseno debe ser negativo tan x =
=
= =
74. La expresión
1 [sin( + ) 2
sin(
)] es equivalente a
Solución :
127
sin x cos x 2 3 p 5 3 2 p 5 p 2 5 5
Utilizando las identidades trigonométricas sin ( + )
=
sin cos
+ sin cos
sin (
=
sin cos
sin cos
)
de aqui sin ( + ) sin ( 1 [sin ( + ) sin ( 2 1 (cos 4x 2
75. La función f de…nida por f (x) =
)
=
2 sin cos
)]
= sin cos
cos 2x) coincide con la función g dada por
Solución : Utilizando la igualdad trigonométrica sin x sin y
1 1 cos (x y) cos (x + y) 2 2 1 (cos 4x cos 2x) 2
=
sin 3x sin x = 76. Si f (x) = 10x4
6x3
5x2 + 3x
2, entonces la función g(x) =
1 [f (x) + f ( x)] está dada por 2
Solución: Se tiene que f ( x) = 10( x)4
6( x)3
5( x)2 + 3( x)
2 = 10x4 + 6x3
5x2
3x
2;
de manera que f (x) + f ( x)
= =
(10x4 4
20x
6x3
5x2 + 3x
2
10x
2) + (10x4 + 6x3
5x2
3x
2)
4;
por lo cual g(x)
= =
77. Si sin es negativo y tan es positivo, entonces
1 [f (x) + f ( x)] 2 10x4 5x2 2: se encuentra en el
Solución: Recordemos que sin
es negativo en el tercer y cuarto cuadrante y tan
cuadrante, de lo cual se deduce que
se encuentra en el tercer cuadrante.
128
es positivo en el primer y tercer
78. Si f (x) =
p 3
x + 8 entonces f
1
(x) está dada por
Solución: Si f (x) = y =
p 3
x + 8; tenemos que p 3
x
=
y
x
=
(y
) f 79. El conjunto solución de la ecuación
1
sec2 x = sin2
8 8)3 1
(x) = (x
8)3
2, en el intervalo [0 ; 360 ] es
Solución: sec2 = 2 en el intervalo [0 ; 360 ] debemos considerar primeramente que sin 6 0 ; 180 : Así, haciendo uso de las identidades pitagóricas, la ecuación dada es euivalente =
Para resolver la ecuación sin 6= 0; es decir, a
1
1
sec2 sin tan2 sin sin2 cos2 sin sin cos2
=
2
=
2
=
2
=
2
! 2(1
!
sin = 2 cos2
sin2 ) = sin
! 2 sin2 + sin 2=0 p 1 17 ! sin = 4 p ! 1 17 1 = sin = 51 4 80. Si f (x) = 2x + 1 para 0
x
3, ¿cuál de los siguientes conjuntos es el rango de f ?
Solución: Para determinar el rango de f tomaremos los valores extremos para x; es decir, x = 0 y x = 3; de manera que f (0) = 2(0) + 1 = 1 y f (3) = 2(3) + 1 = 7; por lo cual el rango de f es fy : 1 81. Si f (x) = 2x y f (g(x)) =
y
7g
x, entonces g(x) está dada por:
Solución: 129
Dado que f (x) = 2x y f (g(x)) =
x; se tiene que f (g(x))
=
x
) 2g(x) = ) g(x) =
x x 2
p 82. El conjunto solución de 3 tan t + 3 cot t = 4 3 en el intervalo [0; 2 ] es Solución: Utilizamos la identidad a
1 tan
= cot
para tan 6= 0; es decir, 3 tan 3 tan2 + 3 tan 3 tan2 + 3 p 4 3 tan + 3
3 tan +
3 tan2
tan
= = = = = !
83. Si f (x) = x x y g(x) =
p
6=
2
;
3 : La ecuación dada es equivalente 2
p 4 3 p 4 3 p 4 3 tan 0 p
3;
=
p
3 3
4 7 ; 3 6 3 6 ;
;
x + 2, para x 2 R, el dominio de (f + g) está dado por
Solución: La función f + g está de…nida como (f + g)(x)
= f (x) + g(x) p = x+ x+2
y el dominio de está es Dom(f + g) = Dom(f ) \ Dom(g) = R \ [ 2; 1) = [ 2; 1) 84. El intercepto de la grá…ca de la función f (x) = log8 (x + 2) con el eje Y es el punto Solución: Dado que queremos el punto de intercepto del eje Y con la función dada, hacemos x = 0 en f (x) = log8 (x+2); de modo que y
=
log8 (0 + 2) = log8 2 = log23 2 1 , 2 = 23y , 1 = 3y , y = : 3
Por lo cual el punto de intersección del eje Y con f (x) = log8 (x + 2) es el punto 130
0;
1 3
85. Al reducir eln x
ln(2ex )
ln
1 se obtiene 2
Solución: Haciendo uso de las propiedades eln x = x; ln ex = x y ln(uv) = ln u + ln v se tiene eln x
1 ln( ) 2
ln(2ex )
= x
ln 2
ln ex
= x
ln 2
x
=
( ln 2)
ln 2 + ln 2 = 0:
86. El valor de x que satisface la ecuación log 21 x = 4 es Solución: Por de…nición de logaritmo tenemos que log 21 x
=
4
, x= 87. La expresión sec
1 2
4
=
1 16
cos es equivalente a
Solución: Haciendo uso de la identidad sec =
1 cos
se tiene
sec
cos
= = =
88. Sean f (x) = 3x + 5, g(x) = jx
2j, al calcular (f
1 cos cos 1 cos2 cos sin2 cos
g)( 1) resulta
Solución : Por de…nición de función compuesta se tiene (f
g)(x)
= f (g(x)) = f (jx =
3 jx
2j)
2j + 5:
De manera que (f
g)( 1)
=
3j 1
=
3(3) + 5 = 14
131
ln 2
2j + 5
1
p 89. Determine el valor de k si el par ordenado A(2 5; 4) pertenece a la función cuya ecuación está dada por p y = k x2 Solución: p p En vista de que A(2 5; 4) está en la grá…ca de y = k
x2 , las coordenadas de dicho punto satisfacen la
ecuación anterior, de modo que
p
4
=
k
20
=
q k
k
20
=
42 = 16
k
=
16 + 20 = 36
p (2 5)2
4
90. De la ecuación (sin A + cos A)2 = 1:5 se concluye que la expresión sin A cos A equivale a Solución: Haciendo uso de la identidad sin2 + cos2 = 1 resulta que (sin A + cos A)2
=
1:5
sin A + 2 sin A cos A + cos A =
1:5
2
2
1 + 2 sin A cos A = sin A cos A = 91. El dominio de la funciónf (x) = log4 (3x
1:5 0:5 1 = = 0:25 2 4
6) es
Solución: El dominio de la función dada lo determinamos resolviendo la desigualdad 3x una función logarítmica debe ser positivo. Así, 3x
6 > 0 6 x > =2 3 x 2 (2; 1)
Luego, Dom(f ) = (2; 1) 92. Si f (x) = 1
x2 y g(x) = 2x + 5, entonces el valor de g (f (2)) es:
Solución: Por de…nición de función compuesta se tiene (g f )(x)
= g(f (x)) = g(1 =
2(1
x2 ) + 5
= 2x2 + 7 132
x2 )
6 > 0 ya que el argumento de
De manera que (g f )(2)
p 93. La función inversa de f (x) = 2 x
=
2(2)2 + 7
=
8+7=
1
5, corresponde a:
Solución: p Si f (x) = y = 2 x
5; tenemos que p 2 x
=
x
=
y+5 2
y+5 2
) f
1
(x) =
x+5 2
2
94. Si f (x) = 2x + 1 y f (g(x)) = x, entonces g(x) está dada por: Solución: Dado que f (x) = 2x + 1 y f (g(x)) = x; se tiene que f (g(x))
=
x
) 2g(x) + 1 = x x 1 ) g(x) = 2 95. . Si f (x) =
p
x2 + 1 entonces f ( 2) es igual a
Solución: Al efectuar la evaluación requerida tenemos que f ( 2)
= =
p ( 2)2 + 1 p p 4+1= 5
96. . El valor de x que satisface la ecuación log x = 1 + log
p
x es
Solución: Al resolver la ecuación dada tenemos que log x log x log
log x x
1 2
1
x2 1
log x 2 1 log x 2 log x
=
1 + log
=
1
=
1
=
1
=
1
=
2
p
x
, x = 102 = 100 133
x+3
97. .Si f (x) = xx+1 (x + 2)
, entonces el resultado de f ( 1) + f ( 3) es
Solución: Al efectuar las correspondientes evaluaciones se tiene f ( 1)
f ( 3)
1+1
=
( 1)
=
1(1)2 = 1;
=
( 3)
3+1
=
( 3)
2
( 1 + 2)
( 3 + 2)
( 1)0 =
De modo que f ( 1) + f ( 3) = 1 +
1+3
3+3
1 1 = : 2 ( 3) 9
10 1 = 9 9
1 + tan x es idéntica a sin x
98. En los puntos donde está de…nida la expresión Solución: Haciendo uso de las identidades tan x =
sin x 1 1 ; sec x = y csc x = se tiene cos x cos x sin x
1 + tan x sin x
=
1 tan x + sin x sin x
=
csc x +
=
sin x cos x
sin x 1 = csc x + sec x csc x + cos x
99. Si f (x) es una función lineal y la pendiente de y = f (x) es
1 ; ¿cuál es la pendiente de f 2
1
(x)?
Solución: Al ser y = f (x) una función lineal, esta se de…ne como y = mx + b siendo en este caso m = y 1 x 2 x
=
1 x+b 2
=
y
=
2y
) f Por tanto, la pendiente de f
1
b 2b 1
(x) es igual a 2
134
(x) = 2x
2b:
1 : Luego, 2
100. Si f (x) = 2x3 y g(x) = 3x , ¿cuál es el valor de g[f ( 2)]
f [g( 2)]?
Solución: Para encontrar el valor en cuestión determinaremos f (g(x)) y g(f (x)): f (g(x))
= f (3x) = 2(3x)3 = 54x3
g(f (x))
= g(2x3 ) = 3(2x3 ) = 6x3
Al efectuar las evaluaciones necesarias se tiene g(f ( 2))
= 6( 2)3 =
f (g( 2))
= 54( 2)3 =
48 432
Por tanto, g [f ( 2)]
f [g( 2)] =
135
48 + 432 = 384
UNIDAD DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
1. El triángulo de vértices A( 5; 1), B(2; 3) y C(3; 2) es: Solución: Basta con encontrar la distancia entre los vértices del triángulo y luego comparar los resultados. Recordemos que la distancia entre dos puntos cuyas coordenadas son A(x1 ; y1 ) y B(x2 ; y2 ) está dada por la fórmula d (A; B) = Luego
q d (A; B) = ( 5 d (B; C) =
d (A; C) =
q
q
(2
( 5
2
2
x2 ) + (y1
y2 )
q p p 2 2 3) = ( 7) + ( 4) = 49 + 16 = 65 = 8:0623
2
2
2) + ( 1
q p p 2 2 ( 2)) = ( 1) + (5) = 1 + 25 = 26 = 5:099
2
2
3) + (3
2
q (x1
3) + ( 1
2
( 2)) =
q p p 2 2 ( 8) + (1) = 64 + 1 = 65 = 8:0623
de donde claramente se ve que d (A; B) = d (A; C) y así podemos decir que dicho triángulo es isósceles. 2. El perímetro P y el área A del cuadrilátero cuyos vértices son A ( 3; 1), B (0; 3), C (4; 3) y D (4; 1) son: Solución : Sean los puntos A ( 3; 1), B (0; 3), C (4; 0), D (4; 1) ; entonces su perimetro es P = d (A; B) + d (B; C) + d (C; D) + d (A; D) de aqui P
q q 2 2 (0 + 3) + (3 + 1) + (4 p p p p = 25 + 16 + 16 + 49 =
=
2
0) + (3
2
3) +
q (4
2
0) + ( 1
2
3) +
q 2 2 (4 + 3) + ( 1 + 1)
20u
Para el área se tiene un trapecio recto de bases b1 = BC; b2 = AD y h = CD; entonces b1 =
p
16 = 4; b2 =
p
49 = 7; h =
de donde, su área es (b1 + b2 ) h 2 (4 + 7) 4 = 2 = 22u2 136
A =
p
16 = 4
3. Los vértices de un triángulo son A (3; 8), B (2; 1), C (6; 1). La longitud de la mediana trazada al lado BC es: Solución : Sea E el punto medio de BC; entonces x=
6+2 = 4; y = 2
1 1 = 2
1 ! E (x; y) = E (4; 1)
La mediana es la recta que pasa por A y E y su longitud es AE; entonces q p p 2 2 AE = (4 3) + ( 1 8) = 1 + 81 = 82 4. Los vértices de un cuadrado son ( 1; 3), (3; 1), ( 1; 1) y (3; 3). La longitud de sus diagonales es: Solución: Nótese que los puntos con coordenadas A( 1; 3) y B(3; 1) son vértices no consecutivos del cuadrilátero, al igual que C( 1; 1), D(3; 3). Por lo cual, el problema se resume a encontrar la distancia entre cualesquiera de las parejas de vértices no consecutivos, no importando con cual trabajar ya que las diagonales de un cuadrado son congruentes. Luego d (A; B) =
q ( 1
2
2
3) + (3
( 1)) =
q q p 2 2 2 ( 4) + (4) = 2 (4) = 4 2
p En consecuencia la longitud de las diagonales del cuadrado es 4 2.
5. Dos vértices opuestos de un cuadrado son (5; 1) y ( 1; 3). El área del cuadrado es: Solución: Encontremos la longitud de la diagonal que se forma a partir de dichos puntos, es decir, la distancia entre los vértices opuestos A(5; 1) y B( 1; 3). Así q 2 d (A; B) = (5 ( 1)) + (1
2
3) =
q p p p 2 2 (6) + ( 2) = 36 + 4 = 40 = 2 10:
Recordemos que una de las fórmulas que podemos emplear para calcular el área de un cuadrado es A = En nuestro caso tenemos
p 2 10 A= 2
2
=
D2 . 2
4(10) = 2(10) = 20: 2
Por lo tanto, el área de dicho cuadrado es 20 unidades cuadradas. 6. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto A(3; 2). Si la abcisa del otro extremo es 6, su ordenada es: Solución :
137
Segun datos del problema, se tiene que A (3; 2) ; B (6; y) ; D (A; B) = 5 entonces
25
q = (6 =
9 + y 2 + 4y + 4
12
=
0
5
y 2 + 4y
2
2
3) + (y + 2)
al resolver dicha ecuación, se obtienen que las soluciones son y=
6; y = 2
7. Sea un segmento cuyos extremos son los puntos A( 2; 3) y B(6; 3). Los puntos de trisección del segmento son: Solución : Para P se tiene
1 AB 1 AP = 3 = r= 2 PB 2 AB 3
entonces 1 (6) 2 2 = 1 3 1+ 2 1 3 + ( 3) 2 = =1 1 1+ 2
X
=
xA + rxB = 1+r
Y
=
yA + ryB 1+r
2+
de aqui, P
2 ;1 3
para Q se tiene 2 AB AQ = 3 =2 r= 1 QB AB 3 entonces X
=
xA + rxB = 1+r
Y
=
yA + ryB 3 + 2 ( 3) = = 1+r 1+2
de aqui 10 ; 1 3 138
Q
2 + 2 (6) 10 = 1+2 3 1
8. Uno de los extremos de un segmento es el punto (7; 8) y su punto medio es (4; 3). El otro extremo es: Solución : Utilizando la fórmula del punto medio x =
x1 + x2 y1 + y2 ; y= se tiene 2 2
4
=
3
=
7+x =) x = 1 2 8+y =) y = 2 2
por tanto, B = (1; 2) es el extremo buscado. 9. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3; 2). Si la abcisa de otro punto de la recta es 4, su ordenada es: Solución : Utilizando la fórmula de la pendiente m =
y2 x2
y1 se tiene x1 3
=
y
=
y 4 5
2 3
10. Dados los puntos A(3; 2) y B(5; 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera que se obtenga
CA 3 = . CB 2
Solución: El problema pide encontrar las coordenadas del punto C. Utilizando la ecuación de la abscisa y ordenada de x1 + rx2 y un punto que divide a un segmento en una razón dada x = 1+r y1 + ry2 y= y sustituyendo los valores correspondientes tenemos 1+r 3 15 21 3 + (5) 3+ 21 2 2 x= = = 2 = 3 5 5 5 1+ 2 2 2 3 2 + (4) 2+6 8 16 2 = = = y= 3 5 5 5 1+ 2 2 2 En consecuencia las coordenadas del punto C son
21 16 ; 5 5
11. Dado el segmento de extremos P1 (3; 2) y P2 ( 4; 1), encuentre las coordenadas del punto P que lo divide en la razón
2.
Solución: Consideremos los puntos P1 (3; 2) y P2 ( 4; 1) extremos del segmento que es dividido por un punto P en una x1 + rx2 y1 + ry2 razón r = 2. Al sustituir los valores correspondientes en las fórmulas x = y y= resulta 1+r 1+r que las coordenadas de P son 139
3 + ( 2) ( 4) 3+8 = = 1 + ( 2) 1
x=
2 + ( 2) (1) = 1 + ( 2)
y=
2
2 1
11
=4
Por lo tanto, P tiene por ( 11; 4). 12. Las medianas de un triángulo el baricentro B(x; y) es tal que las distancias de este punto al vértice M (2; 4) y MB al punto medio N (1; 1) del lado opuesto están en la relación = 2. Las coordenadas de B son: MN Solución : Recordemos la mediana es el segmento de recta que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto. El punto de intersección de las medianas se llama Baricentro. y1 + ry2 x1 + rx2 y y = y considerando al vértice M (2; 4) y al punto medio 1+r 1+r N (1; 1) del lado opuesto como extremos de la mediana M N resulta que las coordenadas del baricentro B son Utilizando las fórmulas x =
x=
y= Es decir, B
2 + (2) (1) 2+2 4 = = 1+2 3 3
4 + (2) ( 1) 4 2 2 = = 1+2 3 3
4 2 ; . 3 3
13. Las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos A( 1; 4) y B( 5; 8) en la razón
1 son: 3
Solución: Usando las fórmulas x =
x1 + rx2 y1 + ry2 y y= y sustituyendo los valores correspondientes tenemos 1+r 1+r 1 3
1+ x=
y= 1+
1 3
( 8) 1 3
5 2 3 = 3 =1 2 2 3 3
1+ =
1 3
1+
4+
( 5)
8 20 3 = 3 = 20 = 10 2 2 2 3 3
4+ =
Es decir, las coordenadas del punto son (1; 10). 14. Las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos A(3; 2) y B( 1; 1) en la razon Solución: 140
1 son: 2
Similarmente al ejercicio anterior, al hacer uso de las fórmulas x = resulta
1 2
3+ x=
1+ 2+ y=
1 2 1+
( 1)
3 =
1 2 ( 1) 1 2
2 =
x1 + rx2 y1 + ry2 y y= y sustituir valores 1+r 1+r
1 5 2 = 2 =5 3 3 3 2 2 1 3 2 = 2 =1 3 3 2 2
5 ;1 . 3
Es decir, las coordenadas del punto son
15. Encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son A(5; 4); B( 3; 8). Solución: Las coordenadas del punto medio de un segmento están dadas por las fórmulas x = De este modo al sustituir valores tenemos x=
y 1 + y2 x1 + x2 y y= . 2 2
5 + ( 3) 5 3 2 = = =1 2 2 2
y=
4+8 12 = =6 2 2
En consecuencia, las coordenadas del punto medio son (1; 6). 16. El punto medio de un segmento es (2; 2). Si uno de sus extremos es ( 2; 3), el otro es: Solución: Consideremos el punto con coordenadas (2; 2) como el punto medio del segmento con extremos ( 2; 3) y (a; b) : El problema pide encontrar los valores de las coordenadas del extremo desconocido. Usando las fórmulas de las coordenadas del punto medio tenemos 2=
2=
2+a )4= 2
2+a)a=4+2=6
3+b )4=3+b)b=4 2
3=1
Por lo tanto, las coordenadas del otro extremo son (6; 1). 17. Encuentre dos puntos equidistantes de (2; 1), los tres sobre la misma línea, si la abscisa de uno de ellos es x = 6 y la ordenada del otro es y =
1
Solución: Como los puntos son colineales y equidistantes del punto con coordenadas (2; 1) esto quiere decir que dicho punto es el punto medio del segmento cuyos extremos son (6; y1 ) y (x2 ; 1) dado que sabemos la abscisa de uno 141
de ellos es 6 y la ordenada del otro es 1. Usando las fórmulas de las coordenadas del punto medio x = y1 + y2 y y= tenemos 2 6 + x2 2= ) 4 = 6 + x2 ) x2 = 4 6 = 2 2 1=
x1 + x2 2
y1 + ( 1) ) 2 = y1 + ( 1) ) y1 = 2 + 1 = 3 2
Por tanto, los puntos que equidistan de (2; 1) son (6; 3) y ( 2; 1) 18. Una recta l1 pasa por los puntos A(3; 2) y B( 4; 6) y otra recta l2 pasa por los puntos C( 7; 1) y el punto D(x; 6). Sabiendo que l1 es perpendicular a l2 , el valor de x es: Solución : Aplicando la fórmula de la pendiente para ambas rectas
Como l1 ? l2 entonces m1 m2 =
m1
=
m2
=
6 2 = 4 3 6 1 = x 7
8 8 = 7 7 7 x+7
1; de aqui 7 x+7
8 7
= x =
1 1
19. Dados los vértices de un triángulo A(2; 0), B(1; 3) y C(2; 5), el otro extremo de la mediana correspondiente a B es: Solución: Basta encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son A(2; 0) y C(2; 5). Haciendo uso de las fórmulas para las coordenadas del punto medio tenemos 2+2 4 = =2 2 2 0 + ( 5) 5 y= = 2 2 x=
Es decir, el otro extremo de la mediana correspondiente al vértice B es
2;
5 2
20. La mediatriz del segmento determinado por los puntos A( 2; 3) y B(4; 1) pasa por el punto Solución: Recordemos que mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por su punto medio. Entonces el ejercicio se reduce a encontrar el punto medio del segmento determinado por A( 2; 3) y B(4; 1): Usando las fórmulas para encontrar las coordenadas del punto medio tenemos x=
2+4 2 = =1 2 2 142
y=
3+1 4 = =2 2 2
Por lo tanto, la mediatriz de dicho segmento pasa por el punto (1; 2). 21. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 4; 1) y (5; 2). Solución: La ecuación de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos es m=
y2 x2
y1 y2
Usando esta ecuación y sustituyendo los valoresde las coordenadas de los puntos tenemos m=
Es decir, la pendiente de la recta es
2 5
( 1) 2+1 3 1 = = = ( 4) 5+4 9 3
1 3
22. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 3; 3) y (4; 4) Solución: Usando la ecuación de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos y sustituyendo los valores correspondientes tenemos m= Es decir, la pendiente de la recta es
4 4
3 7 = = ( 3) 4+3
7 = 7
1
1.
23. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 5; 2) y ( 5; 4) Solución: Por la forma de las coordenadas de los dos puntos puede notarse que dicha recta es paralela al eje y y por lo tanto no existe la pendiente. Además se puede comprobar al usar la ecuación de la pendiente. 24. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (x; 3) y ( 2; 6) es 3, entonces el valor de x es: Solución: Al sustituir valores en la ecuación de la pendiente de una recta tenemos 3=
6
( 3) 6+3 = = 2 x 2 x
de lo cual se sigue 3( 2
x) = 9
luego por distributividad resulta 6 3x = 9 143
9 2
x
es decir, 3x = 9 + 6 = 15 obteniendo así que
15 = 3
x= Por tanto, el valor de x es
5
5.
25. La pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 3; 4) y (1; y) es cero, entonces el valor de la ordenada es: Solución: Como la pendiente de la recta es cero, entonces estamos hablando de una recta horizontal y por tanto y = 4. Valor que se puede obtener también sustituyendo los datos dados en la ecuación de la pendiente. 26. Una recta de pendiente
2 pasa por el punto A( 1; 4). Hallar su ecuación en la forma simétrica.
Solución: Usando la ecuación punto pendiente y
y0 = m(x y
4
=
2(x
y
4
=
2x
2x + y y x+ 2
=
2
=
1
27. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es 2x + y
8 = 0 y 3x
x0 ) y sustituyendo valores ( 1)) 2
4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas
2y + 9 = 0.
Solución: Encontremos el punto de intersección de las rectas 2x + y resolver el sistema
(
2x + y 3x
8 = 0 y 3x
2y + 9 = 0 lo cual es equivalente a
8=0
2y + 9 = 0
cuya solución es x = 1, y y = 6. Por lo tanto, el punto de intersección de las rectas es (1; 6). Luego, usando la ecuación punto pendiente
4x + y
y
6
=
4(x
1)
y
6
=
4x + 4
10
=
0
28. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son P1 ( 3; 2) y P2 (1; 6). Solución: 144
Encontrando la pendiente de la recta que contiene al segmento resulta m1 =
6
2 =1 ( 3)
1
La mediatriz del segmento tendrá por pendiente m2 = ( 1) (1) =
1
Determinemos las coordenadas del punto medio 3+1 = 2 2+6 =4 2
x = y
=
1
Por lo cual la recta que pasa por el punto ( 1; 4) con pendiente m = y
4
x+y
3
=
1(x
=
x
=
1, tiene por ecuación
( 1)) 1
0
29. Una recta pasa por el punto A(7; 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C( 2; 2) y D(3; 4). Hallar su ecuación Solución: Como las rectas son paralelas tienen la misma pendiente. Determinemos la pendiente de la recta que pasa por los puntos C( 2; 2) y D(3; 4) como sigue m=
4 3
2 = ( 2)
6 5
Usando la ecuación punto pendiente resulta y
8
=
5y
40
=
6x + 5y
82
=
6 (x 7) 5 6x + 42 0
30. Hallar el valor de k para que la recta k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x
2y
11 = 0.
Solución: Recordemos que para que dos rectas sean perpendiculares debe veri…carse que el producto de sus pendientes sea
1. La pendiente de la recta 3x
2y
11 = 0 es m=
3 3 = 2 2
lo cual implica que la pendiente de la otra es m0 = 145
2 3
es decir, k2 k+1 3k 2 3k 2
2k
=
2 3 2k + 2
2
=
0
1
p
=
cuyas raices son k= 31. Sean las rectas paralelas 3x
4y + 8 = 0 y 6x
7
2
8y + 9 = 0. La distancia entre ellas es:
Solución : La distancia entre las dos rectas paralelas está dada por jc1 c2 j d= p a2 + b2 Para aplicar la fórmula, los coe…cientes de ambas ecuaciones deben ser iguales, por lo cual multiplicando por 2 en 3x
4y + 8 = 0 se tiene la ecuación equivalente. j9 16j 7 j 1j d= p = =p 10 36 + 64 100
32. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos ( 2; 1) ; (3; 4) y (5; 2). Solución: Recordemos que el ángulo entre dos rectas está dado por la fórmula m2 m1 1 + m1 m2
tan =
donde m1 y m2 representan las pendientes de las rectas involucradas respectivamente. Encontremos la pendiente de las rectas que pasa por los puntos: ( 2; 1) y (3; 4) 4
m1 =
3
1 3 = ( 2) 5
(3; 4) y (5; 2) m2 =
2 4 = 5 3
3
( 2; 1) y (5; 2) m3 =
2 5
1 = ( 2)
son respectivamente la pendiente de las rectas l1 , l2 y l3 .
146
3 7
De esta manera el ángulo entre l1 y l2 es tan
3 5
3
=
3 5
1+
=
9 2
=
18 13
( 3)
9 2 0 77 28 1600
=
1
tan
= Por otro lado el ángulo entre l1 y l3 es tan
3 5
=
3 7 3 7
1+
3 5
18 13
1
=
tan
=
54 90 4400
Del mismo modo el ángulo entre l2 y l3 es tan
3 7
=
( 3) 9 = 8 ( 3)
3 7
1+
9 8 0 48 21 5900
=
tan
=
1
33. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45 . La recta inicial pasa por los puntos ( 2; 1) y (9; 7) y la recta …nal pasa por los puntos (3; 9) y A cuya abscisa es
2. Hallar la ordenada de A.
Solución: Al despejar m2 de la fórmula tan 45 = se tiene
tan 45 + m1 1 (tan 45 ) m1
m2 = pero según los datos del problema m1 = y m2 =
m2 m1 1 + m1 m2
7 9
1 6 = ( 2) 11
y 9 y 9 9 y = = 2 3 5 5
de donde, y
=
9
5m2
y
=
9
5
=
9
5
=
9
17
= Usando el hecho que tan 45 = 1:
1
tan 45 + m1 (tan 45 ) m1
1+ 1
8 147
6 11 6 11
34. Una recta l1 pasa por los puntos (3; 2) y ( 4; 6) y la otra recta pasa por el punto ( 7; 1) y el punto A cuya ordenada es
6. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que l1 es perpendicular a l2 .
Solución: Recordemos que como l1 es perpendicular a l2 entonces el producto de sus pendientes es
1. Encontremos las
pendientes de l1 y l2 como sigue 6 4
m1 =
2 8 = 3 7
por lo cual
7 8
m2 = De modo que 7 = 8 7 (x + 7) =
7 x+7 56
7x = x =
7 1
35. Encuentre la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta paralela a la recta que pasa por los puntos (1; 2) y (3; 8). Solución: La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1; 2) y (3; 8) es m1 =
8
( 2) =5 3 1
pero dicha pendiente es la misma para ambas rectas ya que son paralelas, es decir, m2 = 5. Así el ángulo de inclinación buscado ; 0 <
< 90 .
Ahora bien tan
=
5
=
tan
=
1
(5)
0
78 41 2400
36. Hallar los ángulos agudos del triángulo rectángulo cuyos vértices son A (2; 5), B (8; 1) y C ( 2; 1). Solución: Consideremos l1 la recta que pasa por ( 2; 1) y (8; 1) l2 la recta que pasa por ( 2; 1) y (2; 5) l3 la recta que pasa por (8; 1) y (2; 5) 148
por lo tanto sus pendientes son respectivamente m1
=
m2
=
m1
=
1
1 1 = 8 ( 2) 5 5 1 =1 2 ( 2) 5 ( 1) = 1 2 8
Luego
tan
A =
=
A = A =
=
3 2
3 2 0 56 18 3500
A =
tan C
1 5 1 5
1 1+1
tan A =
1 5
1
( 1) 2 = 3 ( 1)
1 5
1+
2 3 33 410 2400 tan
1
37. La ecuación de una circunferencia es x2 + y 2 = 50. El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es el punto ( 2; 4). La ecuación de la cuerda es: Solución : El radio pasa por el puntoP ( 2; 4) y (0:0) : La ecuación del radio es y = mx + b, la pendiente está dada por
m=
y2 x2
y1 4 0 = = x1 2 0
2
aplicando la fórmula punto pendiente, obtenemos la ecuación del radio y
y0 y
= m (x =
x0 )
2x
La ecuación de la cuerda es perpendicular a la ecuación del radio por lo que su pendiente es m =
1 2
Además la ecuación de la cuerda pasa por el punto medio P ( 2; 4) ; es y
x
y0
= m (x x0 ) 1 y 4 = (x + 2) 2 2y + 10 = 0
38. Un espejo parabólico tiene una profundidad de 12cm en el centro y un diámetro en la parte superior de 32cm. ¿Cuál es la distancia del vértice al foco? 149
Solución : Los ejes coordenados se eligen de modo que la parábola tenga su vértice en el origen y su eje a lo largo del eje Y y se abre hacia arriba. La ecuación es x2 = 4py Como el punto (16; 12) está en la parabola, sus coordenadas satisfacen la ecuación dada. 2
=
p
=
(16)
4p (12) 16 3
donde p es la distancia en centrimetro del centro al foco. 39. La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje focal 12 y pasa por el punto (8; 14) es: Solución: El eje mayor tiene por ecuación 2a = 12
a=6
La grá…ca pasa por el punto (8; 14) y la ecuación de una hiperbola está dada por punto dado, se tiene
64 36
x2 a2
y2 = 1; sustituyendo el b2
196 =1 b2
de donde b2 = 252 La ecuación buscada es
x2 36
y2 =1 252
40. En una elipse, los radios focales son los segmentos que unen los focos con un punto cualquiera de ella. Las ecuaciones de las rectas que contienen los radios focales correspondientes al punto (2; 3) de la elipse 3x2 +4y = 48 son: Solución : La ecuación de la elipse es 3x2 + 4y 2 = 48 la cual puede ser escrita por x2 y2 + =1 16 12 de donde a2
=
c2
= a2
c =
16; b2 = 12 b2 = 16
12 = 4
2
Encontramos la pendiente de la recta que pasa por ( 2; 0) y (2; 3) 3 0 3 m1 = = 2 + 2 4 150
Con la ecuación punto pendiente encontramos la ecuación 3x
4y + 6 = 0
La ecuación de la recta que pasa por (2; 3) y ( 2; 0) por ser una paralela al eje y tiene por ecuación x = 2 ó x
2 = 0.
41. La ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto común a las rectas x + 3y
6=0 y x
2y
1 = 0 es:
Solución : La ecuación de la circunferencia de centro (h; k) está dada por 2
(x
h) + (y
2
k) = r2
necesitamos resolver el sistema de ecuación de las rectas dadas para encontrar el centro de la misma, es decir x + 3y
6=0
x
1=0
2y
cuya solución es el punto (3; 1) : Como la circunferencia pasa por el punto (0; 0) entonces podemos obtener el radio por 2
(x
3) + (y
2
= r2
2
= r2
10
= r2
1)
2
( 3) + ( 1)
la ecuación es (x
2
3) + (y
2
1) = 10; lo cual puede escribirse por x2
6x + y 2
2y = 0
42. La ecuación de una hipérbola con centro en el origen, longitud del eje transverso 8; excentricidad sobre el eje X es: Solución : La longitud del eje transverso está dada por 2a =
8
a =
4
la excentricidad e = c = 151
c 4 = a 3 16 3
4 y con focos 3
la ecuación buscada tiene la forma
x2 a2
y2 =1 b2
pero c2 = a2 + b2 entonces b2
= c2
b2
=
b2
=
a2 2
16 3 112 9
2
(4)
de aqui, la ecuación buscada es x2 16 7x2
y2 112 9 2
9y
=
1
=
112
3 de pulgadas del vértice del re‡ector parabólico y se encuentra 8 en su foco. La ecuación del re‡ector, suponiendo que está dirigido hacia la derecha y su vértice en el origen es:
43. El …lamento de una lámpara de ‡ash está a
Solución : La ecuación solicitada tiene la forma y2 y 3x
2
2y 2
=
4px 3 = 4 x 8 = 0
44. Una parábola cuyo foco es F (0; 6) y la ecuación de la directriz es y =
6, tiene por ecuación:
Solución : Los datos del problema permiten deducir que la ecuación de la parabola corresponde a la ecuación x2 = 4py entonces p = 6 y sustituyendo en la ecuación x2 = 24y 45. Si la excentricidad de una cónica es e =
5 , entonces se trata de una: 2
Solución : La cónica corresponde a una hipérbola, ya que e > 1
152
46. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por ( 3; 4) es Solución: Dado que ( 3; 4) es un punto de la circunferencia entonces satisface la relación x2 + y 2
= r2
2
( 3) + 42
= r2
25
= r2
Por lo tanto, la ecuación pedida es x2 + y 2 = 25 47. De los siguientes puntos el único que se encuentra sobre la circunferencia x2 + y 2 = 1 es Solución: Para encontrar que puntos pertenecen a la circunferencia unitaria basta sustituir las coordenadas de estos en la ecuación x2 + y 2 = 1. Veamos p
2
2
2 + ( 1) p !2 2 3 1 + 2 2
=
2 + 1 = 3 6= 1
=
3 1 + =1 4 4
2
=
2
1 + 1 = 2 6= 1
( 1) + ( 1)
=
2
2
1 + 1 = 2 6= 1
=
4 + 1 = 5 6= 1
2
(1) + (1) 2
(2) + (1)
Por lo tanto el único punto perteneciente a la circunferencia es
p
3 ; 2
1 2
! p
48. Si los extremos de un diámetro es una circunferencia con centro en el origen son
5; 2
ecuación de dicha circunferencia es Solución: Determinemos la longitud del diámetro entre los puntos r p p 2 2 5 5 + ( 2 2)
p =
5; 2 y r
=
p
=
6
pero D = 2r, es decir, r=3 Por lo cual, la ecuación buscada es x2 + y 2 = 9 153
36
p p 2 5
5; 2
2
como sigue 2
+ ( 4)
y
p
5; 2 , la
49. Si (2; 2) es el punto medio de una cuerda en la circunferencia x2 + y 2 = 16 , la ecuación de dicha cuerda es Solución: Como (2; 2) es el punto medio de una cuerda en la circunferencia x2 + y 2 = 16, entonces el radio pasa por los puntos (2; 2) y (0; 0). Pero la ecuación del radio es de la forma
y = mx, relación que cumplen los puntos
anteriores, es decir, 2m =
2
m =
1
La cuerda es perpendicular al radio, ya que si una cuerda pasa por el centro de una circunferencia y biseca a otra cuerda, que no sea el diámetro, entonces es perpendicular a la cuerda, de modo que tiene por pendiente m0 =
1
Usando la ecuación punto - pendiente tenemos que la ecuación de dicha cuerda es y
2
=
1 (x
y
2
=
x+2
x+y
4
=
2)
0
50. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x + 3y = 15 y 2x + 2y = 22 es Solución: Encontremos el punto de intersección de dichas rectas, lo que es equivalente a resolver ( 3x + 3y = 15 2x + 2y = 22
cuyas solución es el par (2; 3). Ahora bien
22 + 32
= r2
4+9
= r2
13
= r2
Por lo tanto, la ecuación es x2 + y 2 = 13 51. La ecuación de una elipse con focos en
p
5; 0 y longitud del eje mayor igual a 6 es:
Solución : 154
Como la longitud del eje mayor es 6 entonces
ademas c =
p
2a =
6
a =
3
5 lo cual indica que la ecuación tiene sus focos en el eje X y por tanto la ecuación tiene la
forma
y2 x2 + =1 a2 b2
El valor de b2 lo podemos obtener de la ecuación c2 = a2
b2
de donde b2 = 4 por tanto, la ecuación es x2 y2 + =1 9 4 la cual puede ser escrita por 4x2 + 9y 2 = 36 52. La ecuación de una parábola que tiene su foco en el punto F (2; 0) y su directriz es la recta de ecuación x =
2
es: Solución : La ecuación de una parábola con foco (2; 0) es de la forma y 2 = 4px entonces y2
=
4 (2) x
2
=
8x
y
53. Hallar el centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos A(0; 6), B(4; 2) y C(9; 3) Solución : La ecuación de la circunferencia es (x
2
2
k) = r2 ; al sustituir cada punto en dicha ecuación, se forma
h) + (y
las ecuaciones
2
( h) + (6 (4 (9
2
h) + ( 2 2
h) + (3
155
2
k) = r2 2
k) = r2 2
k) = r2
al desarrollar h2 + 36 16 81
12k + k 2
= r2
8h + h2 + 4 + 4k 2
= r2
18h + h2 + 9
6k + k 2
= r2
al igualar las ecuaciones (1; 2) y (2; 3) se tiene 2k
h=2
k+h=7 cuya solución es h = 4; k = 3; que al sustituir en la ecuación (1) se tiene que r = 5; por lo tanto la ecuación es 2
(x
4) + (y
54. Dada la parábola que tiene por ecuación x2 =
2
3) = 25
6y, encontrar las coordenadas del foco y la ecuación de la
directriz: Solución : La coordenada del foco y la directriz es:
Las coordenadas del foco es 0;
3 2
4p
=
p
=
6 3 2
y la ecuación de la directriz viene dada por y y
= =
p 3 2
55. Las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola x =
1 2 y es 4
Solución: La parábola x = de donde
1 2 y puede ser vista también de la forma y 2 = 4 4p
=
4
p
=
1
4x y tiene eje focal sobre el eje de las x,
Por lo tanto, las coordenadas del foco son ( 1; 0) y la ecuación de la recta directriz es x = 1. p 56. La ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco 2; 0 es Solución: Dado que el foco tiene por coordenadas p p 4 2 x = 4 2x
p
2; 0 , entonces p = 156
p
2
y la ecuación solicitada es y 2 =
57. El foco y la directriz de la parábola 2y
x2 = 0 son:
Solución: x2 = 0 es una parábola cuyo eje focal esta sobre el eje y. Vista de 1 otra forma la ecuación anterior es x2 = 2y, de donde 4p = 2, es decir, p = . Por lo tanto, las coordenadas 2 1 1 la directriz es la recta y = del foco son 0; 2 2
La parabóla que tiene por ecuación 2y
58.. La ecuación de la parábola cuyo foco es (4; 0) y directriz
x=
4 es
Solución: Como el foco de la parábola es (4; 0) y directriz x =
4, entonces p = 4. Por lo tanto, la ecuación buscada
2
es y = 4 (4) x = 16x. 59.. La ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es el eje y, vértice en el origen y que pasa por ( 2; 2) es Solución: Como la parábola tiene eje de simetría al eje y y pasa por el punto ( 2; 2), entonces estamos tratando con una parábola vertical y por ende dichos puntos cumplen la relación x2 = 4py en particular tenemos 2
=
4
=
p
=
( 2)
En consecuencia, la ecuación de la parábola es x2 =
4p ( 2) 8p 1 2
2y
60. Si la longitud del eje mayor es 16 y la distancia focal es 8, entonces la ecuación de la elipse con eje focal en el eje y es Solución: Sabemos que la longitud del eje mayor de una elipse está dado por 2a y la distancia focal por 2c, con los datos del problema obtenemos 2a =
16
a =
8
2c =
8
c = 157
4
Pero a2 = b2 + c2 , es decir, b2
=
82
42
=
64
16
=
48
Por lo tanto, la ecuación de la elipse es x2 y2 + =1 48 64 61.. Si la excentricidad es
4 y la distancia focal es 16, la ecuación de la elipse con eje focal en el eje x es 5
Solución: Como la distancia focal es 16, entonces 2c =
16
c =
8
pero al sustituir los valores de e y c en e=
c a
tenemos 4 = 5 4a =
8 a 40
a =
10
Ahora encontremos b2
=
100
=
36
64
Finalmente, la ecuación de la elipse es x2 y2 + =1 100 36 62. La excentricidad de la elipse 2x2 + 4y 2 = 8 es Solución: La ecuación de la elipse 2x2 + 4y 2 = 8 en su forma canónica es x2 y2 + =1 4 2 De manera que
Por lo tanto, la excentricidad es
c =
p
4
=
p
2
p 2 e= 2 158
2
63. El único punto que pertenece a la elipse con eje mayor 20 y eje menor 10 es Solución: Similarmente al ejercicio 60 tenemos 2a =
20
a =
10
2b
=
10
b
=
5
Por lo cual, la ecuación de la elipse es x2 y2 + =1 100 25 Veamos
2
( 5) + 100
p !2 5 3 2 25
= = =
2
(5) + 100
2
(5) + 100
p !2 5 3 2 25
p !2 2 3 2 25
75 25 = + 4 100 25 1 3 = + 4 4 = 1
= = =
2
(5) + 100
p 5 3 2
25
2
75 25 + 4 100 25 1 3 + 4 4 1
25 3 + 100 25 1 3 + 4 25 37 6= 1 100
75 25 = + 4 100 25 1 3 = + 4 4 = 1
De lo cual se ve que tres de los puntos dados satisfacen la ecuación, es decir, son puntos de la circunferencia. 159
p 3; 2 3 , con vértice correspondiente al eje menor (0; 4) es
64. La ecuación de la elipse que pasa por Solución:
Como uno de los vértice correspondiente al eje menor es (0; 4), entonces a = 4 y estamos tratando con una p elipse vertical. Así el punto 3; 2 3 debe cumplir la relación y2 x2 + =1 b2 a2 es decir, p 2 3 32 + b2 42
2
b
2
=
1
=
36
Por lo tanto, la ecuación es x2 y2 + =1 36 16 65. Los focos de la hipérbola 4x2
9y 2 = 36 son
Solución: La hipérbola 4x2
9y 2 = 36 puede ser vista como y2 =1 4
x2 9 de donde a2 = 9 y b2 = 4, y por lo tanto c2
=
9+4 p 13
c = En consecuencia, las coordenadas de los focos son 66. Las asíntotas de la hipérbola 25y 2
p
13; 0 .
16x2 = 400, son
Solución: Como la hipérbola tiene por ecuación 25y 2 b=
16x2 = 400, entonces a2 = 16 y b2 = 25, es decir, a =
4 y
5. Lo cual implica que las directrices son las rectas y=
67. La ecuación de la hipérbola con asíntotas y =
4 x 5
3 x, es 2
Solución: Como las asíntotas son las rectas y = es
3 x entonces a = 2 y b = 3. Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola 2 x2 y2 =1 4 9 160
68. Las coordenadas de los vértices de una hipérbola son ( 1; 0) y sus focos ( 2; 0). Entonces su ecuación es Solución: Según los datos del problema a = 1 y c = 2, por lo cual b2
=
4
=
3
1
La ecuación de la hipérbola es x2 1 69. La excentricidad de la hipérbola y 2
y2 =1 3
4x2 = 4 es
Solución: De la ecuación de la hipérbola se tiene que a2 = 4 y b2 = 1, así que c2
=
5 p
c = Por lo tanto, la excentricidad es e=
5
p
5 2
70. El foco y la directriz de una parábola cuya ecuación es y 2 = 36x son respectivamente: Solución : La parábola está sobre el eje X; también 4p
=
36
p
=
9
el foco está dado por (9; 0) y la ecuación de la directriz por x =
161
9
