Guia resuelta Matemáticas UNAN-MANAGUA

Elaborado por José A. Siles R.

1

Aritmética

1. La expresión 311 + 311 + 311 equivale a: Solution 1 311 + 311 + 311 = 3 311 = 31

311 = 31+11 = 312

2. Al número de tres dígitos 2a3 se le suma el número 326 y da el número de tres dígitos 5b9: Si sabemos que el número 5b9 es divisible entre 9, entonces a + b es: Solution 2 2a3 +326 = 5b9 apartir de aquí podemos podemos deducir que a+2=b ( ) Si el número 5b9 es divisible por nueve, signi…ca que la suma de sus dígitos es un múltiplo de nueve, i.e 9 j 5 + b + 9; (b solo puede ser un número entre 0 y 9) 5+0+9 5+1+9 5+2+9 5+3+9 5+4+9 5+5+9

= = = = = =

14 15 16 17 18 19

De los cálculos anteriores resulta claro que b = 4; sustituyendo este valor en ( ) y despejando a resulta: a+2 = 4 a = 4 a = 2

2

Luego la suma es a+b=2+4=6

3. A una determinada cantidad le sumo el 10% de sí misma y a la cantidad así obtenida le resto su 10%: ¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda?

1

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Solution 3 x (10%) (x)

=

0:1x

cantidad original su diez porciento

Luego la suma es x + 0:1x = 1: 1x 1: 1x (10%) (1: 1x)

=

0:1 (1: 1x)

nueva cantidad obtenida su diez porciento

Luego la resta es 1: 1x

Multiplicando por

100 x

0:1 (1: 1x)

= 1:1x 0:11x = 0:99x

para dejarlo en porcentaje (0:99x)

100 x

= 99:0%

4. Al simpli…car [(9 4) + ( 10 + 3)] ((6) ( 5)) [( 12 + 8) (6 el resultado es:

9) (95

Solution 4 [(9 4) + ( 10 + 3)] ((6) ( 5)) [( 12 + 8) (6 [(5) + ( 7)] ( 30) [( 4) ( 3) (5)] (5 7) ( 30) (60) ( 2) ( 30) (60) (60) (60) 1

5. ¿Cuántos divisores diferentes tiene el número 2000?

2

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9) (95

90)]

90)]


Solution 5 La descomposición en factores primos de 2000 resulta en 2000 = 24

53

así 24 posee 5 divisores positivos: 1; 21 ; 22 ; 23 ; 24 y 53 cuatro divisores: 1; 5 ; 52 ; 53 ; luego los divisores 24 53 son: 1

1; 2; 22 ; 23 ; 24 ; 51 ; 52 ; 53 ; 2 5; 2 52 ; 2 53 ; 22 5; 22 52 ; 22 53 ; 23 5; 23 52 ; 23 53 ; 24 5; 24 52 ; 24 53 ;

Para un total de 20 divisores positivos distintos. 6. Al simpli…car 4 (3) es:

2

6

p 3 4 + 2 [5 (7)

15

3]

4

12

9: El resultado

Solution 6 2

4 (3)

6

p 3 4 + 2 [5 (7)

15

3]

4

12

9

= = = = = = =

7. Simpli…que 1 2

3

5 3 4 3

3 4 5 6

5 3

3 4

=

17

1

Solution 7 Resolviendo el numerador 1 2

= =

1 2 2

5 4 5 4 3 4

3

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4 (9) 6 3 (2) + 2 [(35) 5] 4 36 6 6 + 2 (30) 4 12 9 6 6 + 60 4 12 9 60 4 12 9 240 12 9 20 9 11

12

9


Resolviendo el denominador 4 3 3

5 6

10 9 27 10 9 17 9

=

3

= =

Resolviendo toda la fracción compleja 1 2

3

5 3 4 3

3 4 5 6

3 4 17 9

=

3 4 27 68

= =

9 17

y …nalmente 1 2

3

5 3 4 3

3 4 5 6

17

1

= = = = =

27 17 68 459 1 68 27 1 4 31 4 3 7 4

1

8. ¿Cuántos números válidos de cinco cifras se pueden escribir usando solo los dígitos 0; 1; 2; 3 y 4? Solution 8 Para escribir un número válido de cinco cifras el cero no puede ocupar la primera posición, contando de izquierda a derecha, luego el cero tiene 4 posiciones posibles y los restantes números cinco posiciones posibles, así el número total de combinaciones sería 4 5 5 5 5 4 54 4

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9. Pedro tiene 69 años y su edad excede a la de Juan en un 15%: ¿Qué edad tiene Juan? Solution 9 Sea x la edad de Juan y 0:15x su 15%; luego 69 = x + 0:15x 69 = 1:15x 69 x = 1:15 x = 60 años

10. En una ciudad, 23 de los hombres están casados con los 53 de las mujeres. Si nunca se casan con forateros , ¿Cuál es la proporción de solteros en dicha ciudad? Solution 10 x y

proporción de hombres

2 3x

: hombres casados

proporción de mujeres

3 5y

: mujeres casadas

A partir de la inforación anterior y teniendo presente que son proporciones de un total, podemos plantear el siguiente sistema, recordemos además que un hombre se casa con una única mujer (idealmente) ( x+y = 1 2 3x

3 5y

=

0

Reescribiendo la segunda ecuación a una más cómoda 2 x 3 10x

3 y 5 9y

=

0 (15)

=

0

y ampli…cando la primera al mutiplicar por 9 x+y

=

1

9x + 9y

=

9

5

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El nuevo sistema será (

9x + 9y

=

9

( )

10x

=

0

( )

9y

Sumando ambas ecuaciones y resolviendo para x 19x = x =

9 9 19

Sustituyendo x en ( )

10

10x = 9y 9 = 9y 19 9y

=

9y

=

y

=

y

=

9 19

10

90 19 90 19 9 10 19

Luego la propoeción de hombres y mujeres casados será 2 3x

:

2 3

9 19

=

18 57

=

6 19

3 5y

:

3 5

10 19

=

30 95

=

6 19

6 6 12 + = 19 19 19 12 19

representa la proporción de casados, debe entenderse como: por cada 19 habitantes (hombres y mujeres) 12 están casados. Para determinar los solteros sólo debemos restar la totalidad (1 porque hablamos de proporciones) de la proporción de casados. 12 7 1 = 19 19

6

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11. El resultado de

h

2

1

1

125 3 + 16 2 + 343 3

i 12

Solution 11 Recordando la de…nición para exponentes racionales p x a y = y ax

tenemos 2

125 3 1

16 2 1 343 3

q q p 3 3 3 2 2 (125) = (53 ) = 56 = 52 = 25 p p 2 2 16 = 42 = 4 p p 3 3 343 = 73 = 7

= = =

Luego, h

2

1

1

125 3 + 16 2 + 343 3

i 12

1

=

[25 + 4 + 7] 2 1

= 36 2 p = 36 = 6

12. Obtenga el resultado de (0:027)

1 3

+ 2560:75

3

1

0

+ (4:5)

Solution 12

(0:027)

1 3

=

27 1000

1 3

=

(27) (1000)

1 3 1 3

= (27)

1 3

(1000)

1 3

=

1

1 1

(27) 3

7

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1

(1000) 3

=

1 1

(27) 3

!

1

(1000) 3 1

!


1

(1000)

luego 1 (27)

1 3

1 3

!

p 3

=

(27) 3

p 3

=

1

(1000) 3 1

p 3

33 = 3 p 3 1000 = 103 = 10 27 =

!

1 3

=

10 1

=

10 3

Rescribiendo el exponente de 2560:75 0:75 =

75 3 = 100 4

calculando 2560:75 resulta en 3

2560:75 = 256 4 =

q 4

q 4 3 (28 ) = 224 = 64

3

(256) =

Por las leyes de los exponentes enteros nos resulta que 3

1

=

0

=

(4:5)

1 3 1

Finalmente (0:027)

1 3

+ 2560:75

3

1

0

+ (4:5)

= = = =

8

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10 1 + 64 +1 3 3 10 + 192 1 + 3 3 204 3 68


5

13. ¿Cuál es el valor de a en (3a) = 248832 ?

Solution 13

5

(3a) = 248832 q p 5 5 5 (3a) = 248832 3a = 12 12 a = 3 a = 4

14. Un equipo de jugadores ganó 15 juegos y perdió 5. ¿cuál es la razón geométrica de los juego ganados a los jugados? Solution 14 15 5 20

ganados perdidos total jugados 3 15 = 20 4

15. Si x es un número par y y un número impar. ¿Cuál de la siguientes a …rmaciones siempre es falsa? Solution 15

x = 2n y = 2n + 1

x + y = (2n) + (2n + 1) = 4n + 1 = 2 (2n) + 1 = 2k + 1 siempre impar x + x = 2n + 2n = 4n = 2 (2n) = 2k siempre par 9

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xy (2n) (2n + 1) = = n (2n + 1) la paridad está en dependencia de n 2 2 y+y 2y = = y = 2n + 1 siempre impar 2 2

16. El mínimo común múltiplo de dos números es 105 y su máximo común divisor es 5. ¿Cuál de los siguientes números puede representar la suma de estos dos números? Solution 16

(a; b) = 5 [a; b] = 105

de la aritmética sabemos que ja bj = (a; b) [a; b] Es decir, el producto de el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números es igual al valor absoluto de dichos números. Replantendo el problema será a b a b

= =

5 105 525

esto es, dos números que multiplicados den 525 y además cumplan las condiciones pedidas 525 105 21 7 1

5 5 3 7

A partir de esta descomposición, determinamos todos los pares de números cuyo producto es 525, obtrnemos su suma y veri…camos que cumpla las condiciones pedidas. 10

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5 + 105 = 110 25 + 21 = 46 15 + 35 = 50 7 + 75 = 82 3 + 175 = 178

es claro que los únicos números que cumplen los requerimientos pedidos son 15 y 35 luego la suma es 50. 17. La maestra distribuyó la misma cantidad de dulces entre cada uno de 5 niños y se quedó 3 para ella misma. No se acuerda cuántos dulces tenía, pero se acuerda que era un múltiplo de 6 entre 65 y 100. ¿cuántos dulces tenía? Solution 17 Sea x el número total de caramelos, al repartirlos entre 5 niños sobran tres, para la maestra, esto se traduce en x = 5k + 3

es claro que el número de caramelos repartidos entre los niños debe ser un múltiplo de 5; luego los múltiplos de 5 entre 65 y 100 son 70; 75; 80; 85; 90; 95

ahora, agregamos los tres de la maestra y veri…camos cuál de ellos es múltiplo de 6, cómo asegura la maestra 70 + 3 75 + 3 80 + 3 85 + 3 90 + 3 95 + 3

= = = = = =

73 ! 6 - 73 78 ! 6 j 78 ! 78 = 5 (15) + 3 83 ! 6 - 83 88 ! 6 - 88 93 ! 6 - 93 98 ! 6 - 98

de ésta discriminación resulta que: la cantidad de caramelos era 78, repartieron 75 y 3 le quedaron a la maestra. (El símbolo j se lee divide y - no divide ) 11

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18. ¿Cuál de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero? Solution 18 2003n : la paridad está en dependencia de n n2 + 2003 : la paridad está en dependencia de n n3 : impar sólo si n es impar 2n2 + 2003 : impar siempre

La suma de un número par 2n2 con un número impar (2003) siempre es un número impar. 19. La solución de

Solution 19 " 5

"

4

1 2 2 1 2

1 1

5

1 2 2 1 2

4

!#4

=

1 1

5

!#4

1 4 1 2

4

4

3 4 1 2

=

5

4

=

5

4

=

5

4

=

[5

6]

3 4 6 4

4

1 1

2 1

4

4

4

4

= [ 1] = 1

20. Supongamos que 2001 = (n número entero?

n

n 1

2) (n + 1)

12

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+ 1 ¿Cuánto vale n, si n es un


Solution 20

2001 2000

=

(n

=

n

n 1

n

n 1

2) (n + 1)

(n

+1

2) (n + 1)

2000 1000 500 250 125 25 5 1

2 2 2 2 5 5 5

2000 = 24 53 Como la descomposición en factores primos es única entonces podemos escribir n n 1 (n 2) (n + 1) = 24 53 luego

n

2) = 24

(n de donde

n=4 también podemos escribir n 1

(n + 1)

= 53

de donde resulta n

1 = 3 n = 4

21. El resultado de la operación 2 4 5

4 1 2

2 5 1 4

+

3

+

5

4 3

1 3 1 5

24

7 20

13

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11 2


Solution 21 Resolviendo para el numerador 2 5

2 4 5

1 3

3 4 3

=

8 5 4 5

=

8 5

5 =2 4

=

8 3 4 3

=

8 3

3 =2 4

luego 2 5

2

+

4 5

1 3

3

=2+2=4

4 3

Resolviendo para el denominaor 1 4

4 1 2

1 5

5 24

=

=

15 4 1 2 24 5

24

=

15 4

2 15 = 1 2

=

24 5

1 1 = 24 5

luego 1 4

4 1 2

+

1 5

5 24

=

15 1 77 + = 2 5 10

Resolviendo toda la fracción compleja resulta en 4 77 10

7 20

11 2

= = =

(4)

10 77

77 40

40 40 1

22. Calcular el producto L H sabiendo que L = a + b + c; H = d + c = f + g; siendo a; b; c; d; f; g números naturales y que b f = 91; a d = 18; c d = 16; b g = 39:

14

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Solution 22

b b

f g

= 91 = 13 = 39 = 13

7 3

de aquí resulta evidente que b = 13; f = 7; g = 3 por otra parte a c

d d

= 18 = 32 = 16 = 23

2 2

de donde podemos concluir que a = 32 = 9; d = 2; c = 23 = 8 Finalmente L

H

23. Al desarrollar la expresión

= = = =

(a + b + c) (f + g) (9 + 13 + 8) (7 + 3) (30) (10) 300

qp p

2

625a8

el resultado es

Solution 23 2r 32 q p 4 625a8 5

=

hp 8

625a8

=

hp

=

5a2

8

54 a8 h 1 i2 = 52 a

15

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i2

i2


24. El resultado de

q p p a 3 a a es

Solution 24 r q p 3 a a a

rq

p a3 a a

3

=

rq

p

3

=

a6 a2 a

p 12

a9 = 9 = a 12 3 = a4 p 4 = a3

q

25. Al desarrollar el binomio

p A+ A2 B 2

+

q

2

p

A2 B 2

A

el resultado es

Solution 25 2

Recordemos que (a + b) = a2 + 2ab + b2 y que (a + b) (a 2s 0s @

4

A+

p

A2

2 p

A2 2 p A + A2 A+

12

BA B

A+

A2 2

0s

+2 @

0s

+ 2@

B+A 2

p

p

B

A+

A+

p

p

+

s

A2

p

A2 2

A

1 0s

2

BA@

A2

B

A

A

32 B5 p

A2

B

(A2

B)

4 A2

B

+2

2A p + B 2 p A+ B

1p 2 A 2

16

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b2

1 0s

A2

2

p

b) = a2

1

BA @ +

A+ A

p

A

A2 2

p

A2

2

B

12

BA


26. Una epidemia mató los 85 de las reses de un ganadero y luego él vendió los 23 de las que le quedaban. Si aún tiene 216 reses, ¿cuántas tenía al principio, cuántas murieron y cuántas vendió? Solution 26 Sea x el número de reses que tenía Una epidemia mató 58 x; luego le quedaron 38 x Vendió

2 3

3 8x

= 41 x

Luego, el total de reses es: las que murieron más las que vendió más las que aún tiene, es decir x = 5 x 8 8x 5x 8 x

1 x = 4 2x = x = 8 x = x =

Tenía 1728 reses, murieron 58 x =

5 8

5 1 x + x + 216 8 4 216 216 216 (8) (216) 1728

(1728) = 1080 y vendió 14 x =

1 4

(1728) =

432: 27. Una galina pone 2 huevos en tres días. ¿cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos? Solution 27 Vamos a usar la regla de tres compuesta + 1 gallina 4 gallina

2 huevos 24 huevos +

Luego encontramos x x = = =

(1) (24) (3) (4) (2) 72 8 9

17

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+ 3 días x días


28. El 41 23 % es equivalente a Solution 28 Aplicando una regla de tres simple tenemos que 1 x

100% 41 23 %

el número mixto 41 23 puede escribirse como tenemos x = = = =

125 3 ;

luego resolviendo para x

125 3 %

100% 125 1 3 100 125 300 5 12

29. Hallar el número cuyo 3.6% vale 1

3 + 4:2 0:1 0:3125 0:3 2 13

Solution 29

1

3 + 4:2 0:1 0:3 2 13 0:3125

= = = = =

2 3 + 4 10 3 10

1

3+ 1

10 3

7 3 42 10 7 3

1 10 3125 10000 10 1 3125 10000

3 + 42 10 3

45 3125 10000

144

18

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7 3

3125 10000


luego por regla de tres tenemos x 45

100% 3:6%

Resolviendo para x x = = =

144 100% 3:6% 14400 3:6 4000

19

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30. Resuelva la suma s

p

a+

r

a2

4 a

+

s

p

r

a

a2

4 a

Solution 30 Podemos reescribir la expresión de modo siguiente v s 12 u0s r r u 2 2 u p p a 4 a 4 A t@ a+ a + a a 2

Resolviendo el cuadrado del binomio en la forma (a + b) = a2 + 2ab + b2 v u0s r u u p a2 t@ a+

a

0s r p 4A a2 + 2@ a+ 12

v 0v u u r u 2 up p 4 Bu u a+ a + 2 @t a t a s

p

a+

r

a2 a s

4p

a

r

a2

r p a2 2 a+2 s

4A @

a

r

2

1 0s

a2

4 a

4 a

!2 r

p

r p 4 2 a+2 a s p 4 2 a+ p a s p 2 2 ( a) + 4 p a s 2a + 4 p a

1

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a2

1

a2

4 a

a r

C p A+ a

+2 a

a2 + 4 a

a

r

0s 4A @ p + a 1

a2

4 a

r

a2 a

12

4A


31. La operación está de…nida por a b = 2ab 3b en la que a y b son números enteros. ¿cuál es el resultado de [4 ( 1)] ( 3) ?

Solution 31 Aplicando la de…nición de

primeramente al corchete de la izquierda

[4 ( 1)] ( 3)

Aplicando la de…nición de

= [2 (4) ( 1) 3 ( 1)] ( 3) = [ 8 + 3] ( 3) = ( 5) ( 3) a la última expresión obtenida

[4 ( 1)] ( 3)

= ( 5) ( 3) = 2 ( 5) ( 3) = 30 + 9 = 39

32. El conjunto solución de la desigualdad 4

j1

3 ( 3)

xj

1 es:

Solution 32 Como es una desigualdad de valor absoluto, podemos escribir lo siguiente 4

[ (1 x)] 4+1 x 5 x x x x

1 1 1 1

5 4

4

Ahora cuando el valor positivo 4

(1 x) 4 1+x 3+x x

1 1 1

2

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2


luego la solución es ( 1; 2] [ [4; 1) Podemos ver este resultado grá…camente 4

j1

xj

33. El valor de

1

x2 + y 2

es igual a:

Solution 33 Recordemos la de…nición de valor absoluto 8 si a > 0 < a a si a < 0 jaj = : 0 si a = 0 Aplicando dicha de…nición entonces x2 + y 2

= =

x2 + y 2 x2 + y 2

3

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34. El conjunto solución de j2x

3j= jx + 5j es:

Solution 34 Recordemos que si jxj = jyj ! x = y ó x =

y

Teniendo esto presente podemos escribir j2x

3j

= ! ! !

jx + 5j 2x 3 = x + 5 2x x = 5 + 3 x=8

ó j2x

3j

= ! ! ! !

jx + 5j 2x 3 = (x + 5) 2x 3 = x 5 2x + x = 5 + 3 3x = 2 2 ! x= 3

luego tenemos que la solución es

2 3; 8

.

35. El valor necesario de n para obtener el quinto número primo en 1 + 2 + 22 + 23 + + 2n es igual a: Solution 35 Recordemos que los primeros número primos son 2 # 1ro

3 # 2do

5 # 3ro

7 # 4to

11 # 5to

13 # 6to

17 # 7mo

19 # 8vo

luego el quinto número primo es 11: Por otro lado evaluemos la suma 1 + 2 + 22 = 7

4

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además 11

= 7 + 4 = 7 + 22 = 1 + 2 + 22 + 22

De estos resultados podemos concluir que no existe un entero n en 1 + 2 + 22 +23 + +2n de manera tal que el resultado sea 11:(no existe n 6= 2; obsérvese que n es creciente en la sucesión 0; 1; 2; 3; 4; 5; : : :) 36. En el año 1982 la edad de la tierra era de 1:3 1017 segundos y la de la pirámide de Keops, 1:5 1011 segundos. La diferencia de edad entre la tierra y la pirámide en notación cientí…ca es: Solution 36. Teniendo presente la de…nición de notación cientí…ca a=c

10n ; donde 1

c < 10; y n entero

y las propiedades de los exponentes podemos escribir 1:3

1017

= 1:3 1011+6 = 1:3 106 1011 = (1300 000) 1011

Calculando la diferencia tendríamos 1:3

1017

1:5

1011

= (1300 000) 1011 1:5 1011 = (1300 000 1:5) 1011 = (1299998:5) 1011 = 1:2999985 106 1011 =

1:2999985

1017

37. La luz recorre aproximadamente 3 105 km por segundo. ¿Cuántos metros recorrerá en 365 días? El resultado en notación cientí…ca es:

5

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Solution 37 De la física sabemos que d t = ! v t ( )

! v = d

105 km=s a metros por segundos

Primero reescribimos la velocidad 3 3

105

km s

1000m 1s 103 m 1s

=

3

105

=

3

105

3

108 m=s

luego el tiempo 365 días a segundos 1 día 365 días d=

86400 segundos d (365) (86400 seg) 1

d = 31536000seg d = 3:1536000

107 seg

Aplicando la ecuación ( ) d

108 m=s

3:1536000

107 s

3:1536000) 108 m=s

107 s

=

3

=

(3

=

9:4608

1015 m

38. La velocidad de la luz es aproximadamente de 3 105 km=s: La estrella más cercana a la tierra está a 4300 años luz de distacia. La distacia en km y escrita en notación cientí…ca es:

6

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Solution 38 Por el ejercicio anterior sabemos que un año tiene 3:1536000 107 seg, luego un año luz es la distancia que recorre la luz durante todo un año, esto es 1 año luz

105 km=s

3:1536000

107 s

3:1536000) 105 km=s

107 s

=

3

=

(3

=

9:4608

1012 km

Luego como se trata de 4300 años tenemos que (4300) 9:4608

1012 km

=

4:300

=

(4:300

103

9:4608

1012 km

9:4608) 103

1012 km

= 40:68144 = 4:068144

1015 km 1015 km

Nota: la estrella más cercana a la tierra es el sol a 0:0000158125 años luz de distancia, seguida por Próxima Centauri (V645 Centauri) a 4:2420(16) años luz de distancia. 39. Según la constante de Avogadro, 22:4 litros de cualquier gas, en condiciones normales equivale a 6:02 1023 moléculas de ese gas. Una persona inspira 3:36 litros de aire y tarda, en la inspiración, 2 segundos. ¿Cuántas moléculas de aire ha inspirado por cada segundo? Dé la respuesta en notación cientí…ca. Solution 39 Podemos plantear una regla de tres para resolver el problema, como sigue 22:4 litros 3:36 litros

6:02

1023 moléculas x

resolviendo para x tenemos x = x = x =

(3:36 litros) 6:02 1023 moléculas 22:4 litros 20:2272 1023 moléculas 22:4 0:903 1023 moléculas

7

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en notación cientí…ca x = 9:03

1022 moléculas

en un segundo tendríamos 1022

9:03 2

= 4:515

1022 moléculas

40. El número de átomos de hidrogéno en un mol es la constante de Avogadro, 6:02 1023 . Si un mol del elemento tiene 1:01 gramos de masa, la masa de un átomo de hidrogénos es: Solution 40 Del enunciado del problema podemos establecer las siguientes relaciones 1 mol 1 mol

6:02

1023 número de átomos de hidrogéno 1:01 gramos de masa

luego podemos deducir que la masa de un átomo de hidrogéno es 1:01 6:02 1023

1 1:01 6:02 1023 = 0:16777 10 = 1: 677 7 10 =

23 24

esto es, el total de la masa entre el número de átomos.

8

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Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Teoría de Conjuntos 1. Dadas las expresiones: I. 3 2 = f1; 2; 3g II.

1 4

2 1; 12 ; 13 ; 14

III. 0 2 IV. El conjunto fx 2 R : 2 x < 5g está escrito por comprensión y es imposible describirlo por extensión. V. ffgg = fg Podemos a…rmar que: a) Todas son falsas c) Todas son verdaderas

b) Solamente II y IV son verdaderas d) Solamente la II es verdadera

Solución La relación de pertenencia 2; se establece de un elemento a un conjunto. Así 2 se lee: pertenece a y 2 = se lee no pertenece a: I. Por lo anterior esta proposición es falsa, ya que 3 está en el conjunto f1; 2; 3g : II. Esta proposición es verdadera, ya que se puede ver que 1; 12 ; 13 ; 14 III. Esta proposición es falsa ya que que no tiene elementos).

1 4

está en el conjunto

representa el conjunto vacío (que es el

IV. Esta proposición es verdadera, ya que el conjunto fx 2 R : tiene in…nitos elementos.

2

x < 5g

V. Esta proposición es falsa, ya que el conjunto ffgg posee el elemento fg ; y el conjunto fg representa el conjunto vacío. R.

b)

2. Si F = f0; f1; 2gg ; entonces el número de subconjuntos de F es: a)

2

b)

3

c)

El número de subconjuntos de F = f0; f1; 2gg son: ; f0g ; ffa; bgg ; f0; f1; 2gg R.

c) 1

4

d)

8

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 3. Sean A = fa; b; cg y B = fa; b; c; dg y las proposiciones: I. A 2 B II. d 2 B III. b

A 2A

IV.

V. fag 2 A De éstas, las formuladas incorrectamente son: a)

Todas

b)

I, III, IV y V

c)

II

d)

Ninguna

La operación de inclusión ( ; ) se establece sólo entre conjuntos. I. Esta proposición es falsa ya que la relación que se establece es de pertenencia y A y B representan conjuntos. II. Esta proposición es verdadera ya que se puede ver que d está en el conjunto B y la relación que se establece es de pertenencia (2): III. Esta proposición es falsa ya que b es un elemento y la operación que se establece es de inclusión ( ; ). IV. Esta proposición es falsa ya que representa el conjunto vacío, y la relación que se establece es de pertenencia (2). V. Esta proposición es falsa ya que fag es un conjunto y la relación que se establece es de pertenencia (2): R.

b)

4. El conjunto A = fx 2 Nj0 a) f0; 1; 2; 3; 4; 5g

x < 5g escrito por extensión es:

b) f1; 2; 3; 4g

c) f0; 1; 2; 3; 4g

d) f1; 2; 3; 4; 5g

Contando los números que cumplen con la condición de ser naturales y 0 x < 5; se tienen: 0; 1; 2; 3; 4: Así A = f0; 1; 2; 3; 4g : R.

c)

5. Sean A = f ; ; ; g y B = f ; ; "; ; g : Entonces es cierto que:

2

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] a) A

B

b) A 2 B

c)

2A\B

d)

2A[B

Puede verse que A [ B = f ; ; ; ; ; "; ; g, entonces es cierto que A [ B: Como A \ B = f g ; es cierto que 2 A \ B:

2

6. Dados los conjuntos M = fxjx es una vocalg ; N = fxjx es una letra del alfabetog y P = fxjx es una letra de la palabra "oscuridad"g : Entonces (M \ N ) [ P es igual a: a) fa; i; o; ug

b) fs; c; r; dg

c) fa; i; o; u; s; c; r; dg

d) fa; i; o; s; c; r; e; d; ug

M \ N = fa; e; i; o; ug ; P = fo; s; c; u; r; i; d; ag : Entonces (M \ N ) [ P = fa; e; i; o; u; c; d; s; rg R.

d)

7. Dados los conjuntos A = f1; 3; 5g ; B = f5; 4; 3; 2; 1g y C = f3; 6; 2g : Expresamos: B

I.

II. A \ B = f3g III. A [ C = B IV. A \ B \ C = f3g De estas a…rmaciones, son ciertas: a) Todas

b) Solo II

c) Solo I y IV

I. Esta proposición es verdadera ya que

d) Solo I, III y IV

es subconjunto de cualquier conjunto.

II. Esta proposción es falsa ya que A \ B = f1; 3; 5g : III. Esta proposición es falsa ya que A [ C = f1; 2; 3; 5; 6g IV. Esta proposición es verdadera porque efectivamente A \ B \ C = f3g R.

c)

8. Si A = fa; b; c; d; ig ; B = fc; d; e; f; jg y C = fd; h; g; i; jg ; entonces el diagrama de Venn que ilustra a estos conjuntos es:

3

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected]

En el diagrama (a) e; f están en el conjunto C, por lo cual este diagrama no cumple la condición que se pide. En el diagrama (c) los elementos c; d; e; f; j son del conjunto B, y no del conjunto C; por lo cual este diagrama no representa la situación. En el diagrama (d) los elementos a; b; c; d; i son del conjunto A y no del conjunto B; por lo cual este diagrama no representa la situación. Nos queda entonces el diagrma (b), que como se ilustra es el satisface las condiciones dadas. R.

b)

9. Si A = f1; 0; f1; 2gg ; entonces se a…rma: I.

2A

II. f0g 2 A III. ff1; 2gg

A

IV. 2 2 A De tales a…rmaciones las falsas son: a) Solo la I

b) Solo la I y II

c) Solo la III

4

d) Solo la I, II y IV

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] I. Esta proposición es falsa ya que representa el conjunto vacío y la relación que establecen es la de pertenencia (2): II. Esta proposición es falsa ya que f0g representa un conjunto y la relación que establecen es la de pertenencia (2): III. Esta proposición es verdadera ya que la inclusión ( ) establecida es entre los conjuntos: ff1; 2gg y A: IV. Esta proposición es falsa porque f1; 2g es un elemento de A y sólo el 2 no es elemento de A:

R.

d)

10. En el lanzamiento de dos dados, se forma el conjunto A, de…nido por: A = f(a; b) : a 2 N; b 2 N; a + b = 6g ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto A? a) 25

10 2

b)

d) 52

c) 5

Observemos los pares ordenados (a; b) que se forman con el lanzamiento de los dos dados: 1 2 3 4 5 6

1 (1; 1) (2; 1) (3; 1) (4; 1) (5; 1) (6; 1)

2 (1; 2) (2; 2) (3; 2) (4; 2) (5; 2) (6; 2)

3 (1; 3) (2; 3) (3; 3) (4; 3) (5; 3) (6; 3)

4 (1; 4) (2; 4) (3; 4) (4; 4) (5; 4) (6; 4)

5 (1; 5) (2; 5) (3; 5) (4; 5) (5; 5) (6; 5)

6 (1; 6) (2; 6) (3; 6) (4; 6) (5; 6) (6; 6)

De estos, los pares que suman 6 son: (1; 5) ; (2; 4) ; (3; 3) ; (4; 2) ; (5; 1) Por lo cual el conjunto A está formado por los elementos: A = f(1; 5) ; (2; 4) ; (3; 3) ; (4; 2) ; (5; 1)g :

La cardinalidad de un conjunto es el número total de elementos que tiene el conjunto. Así, el conjunto A posee 5 elementos (que son los que cumplen con la condición a + b = 6: R.

c)

5

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 11. Sea el conjunto A = fx 2 Z : jxj descripción por extensión es:

3g escrito por comprensión, entonces su

a) A = f1; 2; 3g c) A = f 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3g

b) A = f0; 1; 2; 3g d) A = f 2; 1; 0; 1; 2g

Probando cada elemento que cumple con la condición x 2 Z : jxj tiene: 3 2 1 0 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

Z : j 3j = 3 Z : j 2j = 2 Z : j 1j = 1 Z : j0j = 0 Z : j1j = 1 Z : j2j = 2 Z : j3j = 3

3 3 3 3 3 3 3

Así, el conjunto A estaría formado por los elementos: por lo cual A = f 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3g : R.

3; se

3; 2; 1; 0; 1; 2; 3;

c)

12. Dados los conjuntos ; f0g ; f g ; entonces la a…rmación verdadera es: a) El primero y el tercero son iguales c) El primero y el segundo son iguales

b) Cada uno es diferente de los otros d) Todos son iguales

Aclaramos lo que representa cada conjunto dado: : representa el conjunto vacío. f0g : es un conjunto que tiene 1 elemento el 0: f g : es un conjunto que tiene un elemento el : Así, analizamos cada proposición dada: a) Es falsa, ya que el conjunto f g tiene un elemento. b) Es verdadera, ya que el conjunto f0g tiene como elemento al 0 y el conjunto f g tiene como elemento a : c) Es falsa, ya que el conjunto f0g tiene un elemento. d) Es falsa, ya que los conjuntos f0g y f g son diferentes. R.

b)

6

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 13. Sean M = f1; 2; 3; 4g ; N = f1; 2; 3; 4; 5g y L = f1; 2g : Entonces N (M \L) es igual a: a) f1; 2g

b) f3; 4; 5g

c) f1; 2; 3; 4; 5g

d)

De los conjuntos dados y de la de…nición de intersección y diferencia de conjuntos se tiene:

N

R.

M \ L = f1; 2g (M \ L) = f3; 4; 5g

b)

14. Dados los conjuntos A = fxjx es una letra anterior a a en el alfabetog ; B = fxjx 6= xg ; C = xjx2 = 9 ^ 2x = 4 ; D = fxjx + 8 = 8g donde x es un número real, entonces podemos a…rmar que: a) Todos los conjuntos son iguales al vacío c) Solamente A y B son conjuntos vacíos

b) A = B = C = y D es unitario d) Ninguno de los conjuntos es vacío

Escribimos por extensión cada uno de los conjuntos dados anteriormente: A = fxjx es una letra anterior a a en el alfabetog = : Ya que en el alfabeto no hay una letra anterior a a: B = fxjx 6= xg = : Ya que no hay número diferente a sí mismo. C = xjx2 = 9 ^ 2x = 4 = : Aqui x =

3 y x = 2; esto muestra que x no

puede ser a la vez estos tres números. D = fxjx + 8 = 8g : Entonces D = f0g Por lo escrito anteriormente se puede a…rmar que: A = B = C = unitario. R.

b)

15. Sean los conjuntos numéricos N; Z; Q y R: Entonces es cierto que a) Q

Z

b) R

c) Z

Q

Solución. REcordemos la de…nición de subconjunto

7

R

d) Z

R

y D es

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] De…nition 1 Sean A y B dos conjuntos. Si ocurre que todo elemento de A pertenece a B, diremos que A está incluido en B, o que A es parte de B, o que A es un subconjunto de B, y escribimos A B: A

B () 8x : x 2 A =) x 2 B

En virtud de ésta de…nición podemos plantear. a) no es correcta puesto que existen números que están en Q pero no en Z; por ejemplo 12 2 Q; pero 12 2 = Z: b) no es correcta por un argumento análogo p p 2 2 R; pero 2 2 = Q; c) no es correcta porque 2 R; pero 2 = Z; d) si es correcto puesto que todos los números enteros están incluidos en los números reales. 16. Sean las a…rmaciones: I. f1; 4; 3g = f3; 4; 1g II. f1; 3; 1; 2; 3; 2g

f1; 2; 3g

III. f4g 2 ff4gg IV. f4g V.

ff4gg

ff4gg Entonces las correctas son: a) Todas son correctas excepto la IV c) Solamente I, II y III

b) Solo I y IV son correctas d) Solo la IV es correcta

Solución. I. Es correcto puesto que dos conjuntos son iguales si ambos se contienen mutuamente, es decir todos los elementos de uno están en el otro, II. es correcta porque en un conjunto no importan las repeticiones esto es f1; 3; 1; 2; 3; 2g = f1; 2; 3g f1; 2; 3g ; III. es correcta puesto que la notación en llaves indica que es un conjunto, f4g es un elemento del conjunto ff4gg y IV es incorrecta porque para ser subconjunto la notación es el elemento entre llaves, así ff4gg, V. es correcta puesto que el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto. 17. Sean los conjuntos I. El conjunto de rectas paralelas al eje x: II. El conjunto de letras del alfabeto. 8

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] III. El conjunto de números que son múltiplos de 5. IV. El conjunto de animales que viven en la tierra. V. El conjunto de números que son raíces de la ecuación. x35 + 42x23

17x18

2x5 + 19 = 0

VI. El conjunto de círculos que pasan por el origen. De ellos podemos a…rmar que: a) Todos son …nitos c) Solo I, II y III son in…nitos

b) Todos son in…nitos d) Solo II, IV y V son …nitos

Solución. La respuesta correcta es d) puesto que el alfabeto es …nito (27 caracteres), las especies animales están registradas por en grupos, familias y especies, y las soluciones de la ecuación x35 + 42x23 17x18 2x5 + 19 = 0; están determinadas por el teorema fundamental del algebra, es decir que tiene exactamente 35 raíces. 18. Sean los conjuntos A = fa; b; c; dg ; B = ff; b; d; gg y las siguientes operaciones entre conjuntos. I. A [ B = ff; gg II. A \ B = fa; b; c; d; f; gg III. A

B = fa; b; cg

IV. B

A = ff; b; gg

Entonces se a…rma que: a) Todas son incorrectas c) Solo III es correcta

b) Todas son correctas d) Solo IV es incorrecta

Solución.

9

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Recordemos las de…niciones de algunas operaciones entre conjuntos A[B A\B A B

= fxjx 2 A _ x 2 Bg = fxjx 2 A ^ x 2 Bg = fxjx 2 A ^ x 2 = Bg

En virtud de éstas de…niciones podemos escribir A[B A\B A B B A

= = = =

fa; b; c; d; f; gg fb; dg fa; cg ff; gg

Luego resulta que todas son incorrectas. 19. El conjunto A es subconjunto del conjunto B si: a) Al menos un elemento de A es elemento de B. b) Todo elemento de A es elemento de B. c) Ningún elemento de B está en A. d) Algún elemento de B estáen A. Solución. De la de…nición de subconjunto podemos establecer que b) es la correcta. 20. En el diagrama de Venn está sombreado una parte. La operación sombreada es:

a) B

(A \ C)

b) (A [ B) \ (A [ C)

10

c) (B \ C)

A

d) (A \ B) [ (A \ C)


Solución. 21. Si U = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g ; A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g y B = f2; 4; 6; 8; 10g ; entonces A B es el conjunto: a) f7; 8; 9; 10g

b) f1; 3; 5g

c) f8; 10g

d) f7; 9g

Solución. Recordemos la de…nicón de complemento A = fxjx 2 U ^ x 2 = Ag luego

A

A B B

= f7; 8; 9; 10g = f1; 3; 5; 7; 9g = f8; 10g

22. Sea N = fxjx es un número naturalg ; Z = fxjx es un número enterog ; Q = fxjx es un número racionalg ; Q = fxjx no es racionalg y R = fxjx es un número realg :Sean las siguientes proposiciones al respecto. 11

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] p

III. Q

Q

IV. N

Z

Q

3; ;

p

7; e

2:7182 y

p

2 son ejemplos de números racionales. p II. Los números 3.75, 2.131311313. . . , 25 y 144 son números que se pueden expresar como fracciones. I. Los números

R

De ellas las falsas son: a) I y II

b) II y III

c) II y IV

d) I y III

Solución. I. Es incorrecta puesto que todos esos números son irraciones no perteneccen a Q: II. Es correcta puesto que 75 3 15 =3+ = 100 4 4 211 13 = 2:131313 : : : = 2 + 0:131313 : : : = 2 + 99 99 25 25 = 1 p 12 144 = 12 = 1 3:75 =

3 + 0:75 = 3 +

III. Es falso puesto que 12 2 Q ^ 12 2 =Q IV. Es correcta los números naturales, enteros y racionales están incluidos en los números reales, los naturales en los enteros, los enteros en los racionales. 23. Dados los intervalos de números reales M = [ 3; 5) ; S = (3; 8) ; T = [0; 4] y W = ( 7; 8] ; y las a…rmaciones: I. M

S

II. S

W

III. M [ S = S IV. V. T

72W W

VI. M \ T = T 12

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Podemos concluir que: a) Todas son falsas c) Todas son verdaderas

b) Las verdaderas son la II, V y VI d) Solo la IV es verdadera

Solución. M S es falsa porque 3 2 M ^ 3 2 = S: S W es verdadero, nótese que todo elemento de S está incluido en W: M [ S = S es falso porque 3 2 M [ S pero 3 2 = S: 7 2 W falso porque W es abierto por la izquierda luego no contiene a ese extremo, es decir a 7: T W es verdadera todos los elementos de T están en W: M \ T = T verdadero, nótese que todo T está contenido en M: 24. Sea U = fn 2 N : n 10g ; A = fx 2 U : x 5g ; B = f1; 4; 7; 10g y C = fx 2 U : x es par y menor que 8g : Entonces (A C) \ (C B) es: a) f2; 6g

b) f1; 3; 7g

c) f1; 3; 5g

d)

Solución.

(A

(A (C (C C) \ (C

C) B) B) B)

= = = =

f1; 3; 5g f2; 6g f1; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10g f1; 3; 5g

25. Dados los conjuntos A = fx : x 2 R; (x La diferencia simétrica de A y C es:}

1) (x

2) (x

Solución. Recordemos la de…nición de diferencia simétrica A4B

= (A B) [ (B A) = (A [ B) (A \ B)

13

3 = 0)g ; B = x : x 2 R; x2

1=0 :

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Escribiendo los conjuntos A y B por extensión tenemos A = f1; 2; 3g B = f 1; 1g luego tenemos que (A [ B) = f 1; 1; 2; 3g (A \ B) = f1g A4B = (A [ B) (A \ B) = f 1; 2; 3g

26. Dado un conjunto cualquiera A, no es cierto que: a) A \

=

b) A [

=

c) A [ A = A d) A \ A = A Solución. A [ = es falsa porque la unión exige que estén todos los elementos de ambos conjuntos, por tanto A [ no puede ser vacío. 27. Sean los conjuntos arbitrarios A, B, C. Las siguientes leyes de conjuntos tienen su nombre apropiado. I. A [ A Idempotencia II. A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) Asociatividad III. (A) = A Ley de involución IV. (A [ B) = A \ B Ley de D´ Morgan. De ellas: a) Todas tienen su nombre correcto c) Solamente la II es incorrecta

Solución. 14

b) Solo la segunda es correcta d) Todas son incorrectas

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] La única incorrecta es la II, puesto que A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) es la ley distributiva.

28. A = fx 2 Z : jx + 3j 2g ; B = x 2 R : x es solución de la ecuación x2 y C = x 2 N : x2 x 56 = 0 : Entonces (B [ C) (A \ B) = C a) Eso es totalmente cierto c) (B [ C) (A \ B) = A

b) Eso es totalmente falso d) (B [ C) (A \ B) = B

Solución. En principio debemos escribir cada conjunto por extensión, así A = fx 2 Z : jx + 3j

2g

Debemos entonces resolver la desigualdad jx + 3j casos: x+3 2 _ (x + 3) 2 resolviendo la primera desigualdad tenemos x+3 x+ x

2 2

3 1

Para la segunda desigualdad (x + 3) x 3 x x x

2 2 2+3 5 5

así la solución está en el intervalo 5

x

1

Así, A = f 5; 4; 3; 2; 1g

15

2; aquí tenemos dos

7x

8=0

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Al escribir B por extensión resulta B = x 2 R : x es solución de la ecuación x2 x2 7x 8 (x 8) (x + 1) (x 8) x

8=0

0 0 0 _ (x + 1) = 0 8 _ x= 1

B = f 1; 8g

C por extensión, C

=

x 56 8) (x + 7) (x 8) x C

= = = = =

2

x (x

= = = =

7x

x 2 N : x2

(B [ C)

56 :

0 0 0 ^ (x + 7) = 0 8^x= 7 f8g

Realizando las operaciones (B [ C) A B C B[C A\B (A \ B)

x

= = = = = =

(A \ B) = C f 5; 4; 3; 2; 1g f 1; 8g f8g f 1; 8g f 1g f8g = C

29. Dados A y B conjuntos cualesquiera, el resultado de (A Solución.

16

B) \ B es:

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Obsérvese la parte sombreada que representa la diferencia y al conjunto B, es claro que no comparten elementos, luego su intersección es vacia. 30. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron aritmética, 6 hombre aprobaron literatura, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso, hay 16 hombres en total, 5 aprobaron los 2 cursos, 11 aprobaron sólo aritmética, ¿cuántas mujeres aprobaron solo literatura? Solución. Organicemos los datos en un tabla de doble entrada

hombres mujeres total

aritmética 2 9 11

literatura 4 2 6

ambos 5 0 5

reprobados 5 8 13

total 16 19 35

Obsérvese que para completar la tabla, si 7 hombres aprueban literatura y 5 hombres aprueban ambos cursos, entonces sólo 2 hombres deben aprobar únicamente el curso de aritmética. De aquí resulta claro que únicamente dos mujeres aprueban literatura.

17

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R.

Álgebra 1. Si los coe…cientes del polinomio a5 x5 + a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 cumplen la relación de recurrencia a1 = 1; ak+1 = 3ak + 1; para k 1 entonces a5 es igual a: Solución Usando el algorítmo ak+1 = 3ak + 1 tenemos que el número siguiente se obtiene multiplicando el anterior por tres y agregándole uno, así los coe…cientes serían: a1 a2 a3 a4 a5

= = = = =

1 3 (1) + 1 = 4 3 (4) + 1 = 13 3 (13) + 1 = 40 3 (40) + 1 = 121

3

2. La expresión algebraica (x + y)

3x2 y

3xy 2 es igual a:

Solución Recordemos de los productos notables que 3

(x + y) = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 entonces podemos escribir 3

(x + y)

3x2 y

3xy 2

=

x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3

=

x3 + y 3 + 3x2 y

= x3 + y 3 + 0 + 0 = x3 + y 3

1

3x2 y

3xy 2

3x2 y + 3xy 2

3xy 2

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 3. Si x4

y 4 = z 3 y x2 + y 2 = 8; entonces

z3 8

es igual a:

Solución Recordemos la diferencia de cuadrados x2

y 2 = (x + y) (x

y)

aplicando esto a la primera igualda tenemos x4

y 4 = x2 + y 2

x2

y2 = z3

sustituyendo en esta última igualdad x2 + y 2 = 8 x2 + y 2

x2

y2

= z3

(8) x2

y2

= z3

aplicando nuevamente diferencia de cuadrados (8) x2

y2

(8) (x + y) (x (x + y) (x

= z3

y) = z 3 z3 y) = 8

despejando y reordenando nos resulta que z3 = (x + y) (x 8

4. Si x < 2; entonces jx

2j + jx

y)

3j es igua a:

Solución Si x < 2 entonces x puede tomar cualquier valor del siguiente conjunto de número reales f1; 0; 1; 2; 3; :::g

2

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. en todo caso ocurre que (x 2) < 0; es decir el resultado es un número negativo, luego su valor absoluto será jx

2j =

(x

2) = 2

x

Analogamente ocurre para x 3; si se resta cualquier número de los que puede tomar x con tres, entonces (x 3) < 0 luego su valor absoluto jx

3j =

(x

3) = 3

x

Y …nalmente la suma será jx

2j + jx

3j = (2 x) + (3 = 5 2x = 2x + 5

x)

5. Para que la suma de dos polinomios de grado 2 sea un polinomio de grado 1 se debe cumplir: Solución Sean los polinomio de grado 2 a1 x2 + a2 x + c b1 x2 + b2 x + c0 Consideremos que su suma es igual a un polinomio de grado 1, esto es a1 x2 + a2 x + c1 + b1 x2 + b2 x + c2 = kx + c3 entonces debe ocurrir que a1 x2 + b1 x2 (a2 x + b2 x) (c1 + c2 )

= 0 = kx = c3

Es decir, que los terminos de x2 deben eliminarce a1 x2 + b1 x2 a1 x2 a1

= = =

0 b1 x2 b1

luego, los coe…cientes principales (los de x2 ) deben ser opuesto.

3

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 6. Dado el polinomio lineal f (x) = x f x + 34 es igual a:

1 2;

la suma f (x) + f x +

1 4

+f x+

2 4

+

Solución

1 2

f (x) = x f f f

1 4 2 x+ 4 3 x+ 4 x+

= = =

1 4 2 x+ 4 3 x+ 4 x+

1 1 =x 2 4 1 =x+0 2 1 1 =x+ 2 4

Luego la suma buscada es x

1 +x 2

1 1 + x + 0 + x + = 4x 4 4

1 2

7. Si multiplicamos n2 + 1 veces el número real a, el reultado …nal es: Solución La de…nición de potencia nos dice que n veces

z }| a a a a a

{ a = an

Si aplicamos esto a nuestro caso tenemos n2 +1 veces

z }| a a a a a 8. El polinomio p (x) = x3 por.

x2 + x

{ 2 a = an +1

1 se anula en 1, luego p (x) es divisible

Solución 4

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. Teorema del factor: Un polinomio f (x) tiene un factor x f (c) = 0

c si y sólo si

Aplicando el teorema del factor al caso que nos ocupa tenemos que p (1) = 13 12 + 1 1 = 1 1+1 1 = 0 entonces p (1) = 0; según el teorema el polinomio tiene un factor (es divisible por) x 1: (sug. haga la división) 9. Las primeras 17 letras en la alineación del genoma humano son A C

A A T

G

T

C

A T

T

A

G C

G

A T

donde A = Adenina, C = Citosina, G = Guanina, T = Timina. Si consideramos a estas letras como variables y admitimos la conmutatividad del producto "yuxtaposición", estas 17 letras pueden reducirse al monomio: Solución Recordemos que n veces

z }| a a a a a

{ a = an

Secuencia original A A

C C

A A T G T C A T T A G C G A T A2 T G T C A T 2 A G C G A T

Aplicando la propiedad conmutativa C

A A2

T

T

C

A

A T2

C

G C

A2

T2

G2

G

G G

A T

aplicando potenciación C

A3

T2

C

A T

Aplicando repetidamente estos pasos llegaremos a obtener la ordenación A

A3

A2

C

C

C

G G2

Finalmente A6

C3

G3

5

T5

T2

T2

T

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 10. Si x + y = 1 y xy = 1, ¿Cuál será el valor de x3 + y 3 ? Solución El cubo de un binomio es 3

(x + y) = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3

A partir de esto podemos escribir 3

(1) = x3 + y 3 + 3x2 y + 3xy 2

( )

Por otro lado podemos calcular cada variable xy xy

1 y 1 = 1!y= x

= 1!x=

Sustituyendo estas dos últimas igualdades en ( ) y reduciendo, tenemos 1 = x3 + y 3 + 3x2 y + 3xy 2 1 1 = x3 + y 3 + 3x2 +3 x 1 1 1 1 1 3 x3 + y 3

= = = = = =

1 y

y2

x3 + y 3 + 3x + 3y x3 + y 3 + 3 (x + y) x3 + y 3 + 3 (1) x3 + y 3 + 3 x3 + y 3 2

11. Dos enteros a > 1 y b > 1 satisfacen ab + ba = 57: Determinar la suma a + b:

Solución

6

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. Por simple inspección es facil notar que 25 52 25 + 52 25 + 52

= = = =

32 25 32 + 25 57

a partir de este cálculo podemos escribir que a ! 2 y b!5 a+b = 2+5 a+b = 7

12. Dada la expresión algebraica x3 y 2 + x2 y 2 ; los valores de x e y para obtener 64 son: Solución

x3 y 2 + x2 y 2

= x2 y 2 (x + 1) = 64 = 2 x (x + 1)

y2

64

Como 64 es un número par, entonces los número x y y deben ser números pares. Fijemos x = 2 (nótese que lo elegimos negativos, puesto que 64 también lo es ) y2

=

y2

=

y2

=

y2

=

y2 p y2 y

= = =

64 x2 (x + 1) 64 2

( 2) ( 2 + 1) 64 (4) ( 1) 64 4 16 p 16 4

7

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. Como tenemos dos raices evaluamos para elegir la adecuada 3

2

2

2

x3 y 2 + x2 y 2 = ( 2) ( 4) + ( 2) ( 4) =

luego los número buscados son x =

2 yy=

64

4:

13. Los valores naturales de x e y para la expresión 1 + x + xy + x2 y 2 dé el menor número par positivo son: Solución El menor número par positivo es 2 1 + x + xy + x2 y 2 x + xy + x2 y 2 x 1 + y + xy 2

= 2 = 2 = 1 1 = x 1 = x 1 =

1 + y + xy 2 y + xy 2 y + xy 2

1

1 x x

Ahora, observamos algunas cosas, x no puede ser cero, tampoco puede ser negativo, discriminando el numerador es fácil ver que x debe ser 1; así y + xy 2

1

=

x x

y + y2 = 0 y (1 + y) = 0 y = 0 ó y=

1

Evaluando los números x = 1 y y = 0 para comprobar 1 + x + xy + x2 y 2 2 2 1 + 1 + (1) (0) + (1) (0) 1+1 2

8

= 2 = 2 = 2 = 2

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 14. Si a =

1; b = 3; c = 5; entonces a + b ja bj jaj + jbj + jcj

es igual a: Solución De…nition 1 El valor absoluto de un número real, a; representado por jaj ; se de…ne como sigue. 1) si a

0; entonces jaj = a:

2) si a < 0, entonces jaj =

a:

a + b ja bj jaj + jbj + jcj

= = = =

15. La expresión

p 3

( 1) + 3 j( 1) 3j j 1j + j3j + j5j ( 1) + 3 j 4j j 1j + j3j + j5j 2 4 1+3+5 2 9

an3 +3n2 +5n+3 ; a 2 R y n 2 N; es:

Solución Por la propiedad de la potencia ax+y = ax ay , podemos escribir p p 3 3 an3 +3n2 +5n+3 = an3 +5n+3n2 +3 p p p 3 3 3 a3 = an3 +5n a3n2 p 2 3 = an3 +5n an a ( )

la anterior simpli…cación nos acaba de arrojar luz sobre los dos últimos radicales, los cuales tiene raiz cúbica exacta, ahora veremos que ocurre con el radica p 3 an3 +5n

Tomemos el exponente n3 +5n; si evaluamos n para algunos casos obtenemos: 9

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. n 1 2 3 4

! ! ! !

n3 + 5n 13 + 5 (1) 23 + 5 (2) 33 + 5 (3) 43 + 5 (4)

= 1+5 = 8 + 10 = 27 + 15 = 64 + 20

= 6 = 18 = 42 = 84

Si observamos la tabla anterior, podemos ver que la expresión n3 +5n siempre da un número múltiplo de 3, esto es 3jn3 + 5n ! n3 + 5n = 3k ( ) luego en el radical

p 3

an3 +5n =

Esto signi…ca que la expresión

p 3

p 3

a3k = ak

an3 +3n2 +5n+3 es raíz cúbica exacta.

Nota: Demostración de 3jn3 + 5n 8n 2 N Aplicaremos el principio de inducción matemática sobre n: 3jn3 + 5n es equivalente a n3 + 5n = 3k Para n = 1; tenemos 13 + 5(1) = 6 = 3 2, de donde 3jn3 + 5n es verdadero para n = 1: Hipótesis inducctiva 3jn3 + 5n 8n 2 N es verdadero. 3

Tesis de inducción 3j (n + 1) + 5 (n + 1) 8n 2 N 3

(n + 1) + 5 (n + 1)

= =

n3 + 3n2 + 3n + 1 + 5n + 5 n3 + 5n + 3n2 + 3n + 6

n3 + 5n es múltiplo de 3 por hipótesis de inducción, 3n2 + 3n = 3 n2 + n es evidente que es múltiplo de 3 y claramente 3 divide a 6; luego la suma de 3 tres múltiplos de 3 es un múltiplo de 3; esto es 3j (n + 1) + 5 (n + 1) 8n 2 N es verdadero. 16. Las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 serán recíprocas si: Solución

10

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. Supongamos las raíces x1 y x2 ; ambas raíces de la ecuación dada, ahora vamos a reducir la ecuación dada, así ax2 + bx + c = 0 c a 2 b x + x+ = 0 a a a b c x2 + x + = 0 ( ) a a la ecuación ( ) es la ecuación reducida de la ecuación ax2 + bx + c = 0; obsérvese que la ecuación ( ) es de la forma x2 + px + q = 0

y sabemos que para estas ecuaciones debemos encontrar dos números que multiplicados nos den q y sumados p; es decir que si existen sus raíces, digamos x1 y x2 ; entonces x1 x2 = q x1 + x2 = p Aquí podemos tomar b =p a Si la condición es que x1 = entonces x1

c =q a

1 x2 ,

es decir que sean recíprocas las raíces,

1 ! x1 x2 = 1 x2 = q=1 =

x1 x2 c = 1 a c = a

17. Si n es un entero positivo, la igualdad m4 se cumple si k toma el valor:

km2 n + n2

Solución Apliquemos el cuadrado del binomio a la parte derecha, así h i 2 n n m2 n = m4 2m2 n + n2 11

n

= m2

n

2n


ahora igualemos este resultado a lo que inicialmente teníamos m4

km2 n + n2

n

= m4

raíz n-ésima a ambos lados y listo q n n (m4 km2 n + n2 ) = m4

km2 n + n2 k

p p 18. El producto ( x + y + x + y

2m2 n + n2

q n (m4

= m4 = 2

n

n

2m2 n + n2 )

2m2 n + n2

p z) ( x + y

p

x+y

z) es igual a:

Solución Obsérvese con atención que lo que tenemos es una diferencia de cuadrados de la forma (a + b) (a b) = a2 b2 ; luego al hacer el producto resulta p

x+y+

p

x+y

z

p

x+y

p

x+y

z

p p 2 = x+y x+y = x + y (x + y z) = x+y x y+z = z

19. El coe…ciente del término lineal del producto (ax

b) (cx + d) x es:

Solución Si hacemos el producto de forma directa obtenemos la expresión (ax

b) (cx + d) x = acx3 + adx2 bcx2 = acx3 + (ad bc) x2

aquí el término lineal es

bdx; luego su coe…ciente es

Observación:

12

bdx bdx

bd:

z

2

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. Si el producto es simplemente (ax al …nal tendriamos (ax

b) (cx + d) ; omitiendo la x que aparece

b) (cx + d) = acx2 bd + adx bcx = acx2 + (ad bc) x bd

en este caso el término lineal es (ad bc) x; luego su coe…ciente es ad (esta es la respuesta de la guía, tenga en cuenta la aclaración) 20. Si 2 es raíz del polinomio x3 completa de éste es:

x2

bc:

14x + 24, entonces la factorización

Solución Theorem 2 Un polinomio f (x) tiene un factor x

c si y sólo si f (c) = 0

Si 2 es raíz de x3 x2 14x + 24; entonces anula al polinomio cuando x = 2: Así podemos aplicar el teorema anterior con c = 2 y como factor x 2: Hacemos ahora la división x3

x2

14x + 24

resulta como cociente el polinomio x2 + x x3

x2

14x + 24 = (x = (x

x

2

12; luego podemos escribir 2) x2 + x 12 2) (x + 4) (x 3)

lo cual es su factorización completa. 21. El polinomio x4

1 se descompone completamente en el producto de:

Solución Note que podemos expresar el polinomio como una diferencia de cuadrados x4

1 = x2

1

x2 + 1

luego un factor de estos engendra otra diferencia de cuadrados x4

1 = =

x2 (x

1

x2 + 1

1) (x + 1) x2 + 1

así la descomposición completa de x4

13

1 es el producto de 3 binomios.

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 3

3

22. La factorización de (x + 1) + (y + 6) es: Solución Apliquemos la factorización para la suma de cubos a3 + b3 = (a + b) a2

3

3

(x + 1) + (y + 6)

ab + b2

h i 2 2 = (x + 1 + y + 6) (x + 1) (x + 1) (y + 6) + (y + 6) h i 2 2 = (x + y + 7) (x + 1) (x + 1) (y + 6) + (y + 6)

luego observemos que quedan unos binomios al cuadrado 2

(x + 1) = x2 + 2x + 1 (x + 1) (y + 6) = 6x y xy 2

(y + 6)

6

= y 2 + 12y + 36

sumando y reduciendo términos semejantes nos queda h i 3 3 2 2 (x + 1) + (y + 6) = (x + y + 7) (x + 1) (x + 1) (y + 6) + (y + 6) = (x + y + 7) x2 + 2x + 1 = (x + y + 7) x2

23. Un factor de 5t

xy

6x

y

xy

4x + y 2 + 11y + 31

12 + 2t2 es t + 4 y el otro es

Solución Es su…ciente con hacer la división para encontrar el otro factor 2t2 + 5t 12 2t2 8t 3t 12 3t + 12 0 luego el cociente de esta diviión, 2t

14

6 + y 2 + 12y + 36

t+4 2t 3

3; es el factor buscado.

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 24. Si el producto de los monomios x2n y n y xm y es igual a x valores de m y n son respectivamente:

2 3

y ; entonces los

Solución Haciendo el producto y aplicando la inyectividad de la función exponencial, tenemos x2n y n (xm y) 2n+m n+1

x

y

= x

2 3

= x

2 3

y y

como las bases son invariantes, resulta 2n + m = 2 n+1=3 resolviendo este sistema resulta, n+1 = 3!n=3 n = 2 2n + m 2 (2) + m 4+m m m

= = = = =

Así, los números buscados son, m = 25. Para que la factorización de 2y 2 + 9y valer respetivamente:

2 2 2 2 6

1

4

6 y n = 2: s sea (2y + k) (y

2k) ; s y k deben

Solución Hagamos el producto directo de (2y + k) (y (2y + k) (y

2k) = 2y 2

2k) ; esto es 3ky

2k 2

Ahora igualando término a término los dos polinomios, resulta

15

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 2y 2 # 2y 2

+

9y # 3ky

s # 2k 2

como la factorización es única resulta claro pensar que 3ky

k

= 9y 9 = 3 = 3

= = = = =

2k 2 2k 2 2 2 ( 3) 2 (9) 18

k

s s s s s

luego s = 18 y k =

3:

26. El resultado de (am+n + bm

n

) (bm

n

am+n ) es:

Solución Apliquemos la diferencia de cuadrados bm

n

+ am+n

bm

n

am+n

bm

=

n 2

= b(2)(m

p

27. El producto de a

1

2

b3

p

3

con a

2

1

+ b3

am+n

n)

2

a(2)(m+n)

3

es igual a:

Solución Haciendo el producto y aplicando regla de los exponentes resulta p

a

2

1

b3

3

p

a

2

1

+ b3

3

=

h

16

p

a

2

1

b3

p

a

2

1

+ b3

i3

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. luego lo que está dentreo del corchete es una diferencia de cuadrados h

p

a

2

p

1

b3

a

2

i3

1

+ b3

p

=

a

2

2

1

2 3

b3

a esta última expresión aplicamos el cubo del binomio p

a

2

2

1

2 3

b3

p

=

a

= a6

p

2 3

2

2

3 3a4

p

2

p

a

2 2

2

2

1

b3

b 3 + 3a2

p

2

4

b3

2

+3

p

a

b2

28. Al simpli…car la expresión 2 x

1 1 x2

2

1 x

1+

obtenemos: Solución Resolvamos el denominador de la primera fracción compleja 1 2x2 1 = 2 x x2

2

luego 1 2

1 x2

=

1 2x2 x2

1

=

x2 2x2

1

Ahora resolvemos el denominador de la segunda fracción compleja 1+

1 x+1 = x x

luego 2 x

1+

1 x

=

2 x x+1 x

17

=

2 x+1

2

2

1

b3

2 2

1

b3

2 3

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. …nalmente 2 x

1 2

1 x2

1+

x2

=

1 x

2x2

1

2 x+1

x2 (x + 1) 2 2x2 1 (2x2 1) (x + 1) x3 + x2 4x2 + 2 (2x2 1) (x + 1) x3 3x2 + 2 (2x2 1) (x + 1)

= = =

29. El inverso multiplicativo de la fracción algebraica x2 + 1

2

(x + y)

2

(x4

1) (x2

y2 )

en su forma más simpli…cada es: Solución El invero multiplicativo de esta fracción es sencillamente el recíproco, es decir x4

1

2

x2 2

y2

(x2 + 1) (x + y)

= = = = =

x4

1 x4 1 (x + y) (x y) (x2 + 1) (x2 + 1) (x + y)

x4

1 x4 1 (x y) (x2 + 1) (x2 + 1) 2 x + 1 x2 1 x2 + 1 x2 (x2 + 1) (x2 + 1) x2 x2

1 1

2

x2

1 (x

(x

y)

y)

30. La expresión 2x 1 + 3y 1 5x 1 7y 1 en su forma simpli…cada es: Solución 18

1

1 (x

y)


2x 1 + 3y 1 5x 1 7y 1

1

5x 1 7y 1 2x 1 + 3y 1

=

7 5 x y 2 3 x + y 5y 7x xy 2y+3x xy

= =

5y 7x 2y + 3x

=

31. Si f (x) =

10 x 1;

x1 = 1 + k1 ; x2 = 1 +

1 k2 ;

donde k 6= 1; k 2 Z+ ; entonces

Solución

f (x) = f (x) =

10 x

1

10 x

1

! f (x1 ) =

! f (x2 ) =

10 1+

1 k

1

10 1+

1 k2

1

= =

10 1 k

10 1 k2

= 10k = 10k 2

luego f (x1 ) < f (x2 )

32. Supongamos que x1 y x2 son las raíces de la ecuaciòn ax2 + bx + c; (a 6= 0) la expresiòn 1 1 + 2 x21 x2 expresada en funciòn de las raíces, es igual a: Solución Note antes que todo que la expresiòn puede reescribirse como 1 1 x2 + x2 + 2 = 22 21 2 x1 x2 x1 x2 19

( )


La idea fundamental aquì serà calcular tanto numerador como denomiador por separado y luego realizar la divisiòn. Toda raíz de una ecuacón cuadrática puede escribirse en la forma p b2 4ac b x= 2a Luego para cada raíz dada tenemos p b b2 4ac x1 = 2a p 2 2 (2ax1 ) = b b2 4ac p 4a2 x21 = 2b2 4ac 2b b2 4ac

(1)

si consideramos la raíz x1 eventualmente encontraremos al análogo a lo anterior, esto es p 4a2 x22 = 2b2 4ac 2b b2 4ac (2) Ahora vamos a sumar las expresiones (1) y (2) 4a2 x21 4a2 x22 4a2 x21 + x22 a2 x21 + x22

p = 2b2 4ac 2bpb2 4ac = 2b2 4ac 2b b2 4ac = 4b2 8ac ( 4) = b2 2ac

Después de todas esas simpli…caciones encontramos que x21 + x22 =

b2

2ac a2

que es precisamente el numerador de ( ) : Ahora volvamos a considerar nuestra ecuación original ax2 + bx + c; y encontremos su ecuación reducidad dividiéndola toda por a: ax2 + bx + c

! !

20

c a 2 b x + x+ a a a x2 + px + q

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. con p = ab y q = ac ; si x1 y x2 son raíces de la ecuación original, también lo son de su ecuación reducida. Recordemos que al resolver la ecuación reducida por factorización encontramos que x1 x2 x1 + x2

= q = p

la primera de estas condiciones es lo que necesitamos x1 x2 2

(x1 x2 )

2

= q ! (x1 x2 ) = q 2 c 2 c2 ! x21 x22 = 2 = a a

y asì tenemos el denominador de nuestra esxpresión ( ) ; …nalmente 1 x22 + x21 1 + = = x21 x22 x21 x22

21

b2 2ac a2 c2 a2

=

b2

2ac c2

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 33. Si r +

1 2 r

= 3 entonces r3 +

1 r3

es igual

Solución. Consideremos el desarrollo de r + r+

1 r

3

esto es

3 1 + 3 + r3 r r 1 1 r3 + 3 + 3 r + r r

= 3r + =

Ahora consideremos la expresión r + r+

1 3 r

1 r

3

=

r+

1 3 r

1 r

( )

como sigue 2

r+

1 r

la expresión al cuadrado es 3; así, podemos escribir r+

1 r

3

=3 r+

1 r

Igualando esta última expresión con ( ) ; resulta 1 = 3 r+ r 1 r3 + 3 = 3 r+ r 1 r3 + 3 = 0 r q p 34. El valor de la expresión 24 x4 + y 4 es: r3 +

1 r3

+3 r+

1 r 1 r

3 r+

1 r

Solución. Recordemos que en radicales anidados podemos multiplicar los índices pp p de los radicales, es decir, n m x = n m x; luego q p qp 24 x4 + y 4 = 22 x4 + y 4 p = 4 4 x4 + y 4

22

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 35. La racionalización del denominador de la expresión 1 x

2 3

2

y3

da como resultado: En principio reescribiremos los exponentes racionales como radicales 1 x

2 3

y

2 3

= p 3

1 x2

p 3 y2

como la expresión a racionalizar es un radical de p índice 3,pmultiplicaremos p 3 numerador y denominador por la expresión x4 + 3 x2 y 2 + 3 y 4 ; esto es p p p 3 1 1 x4 + 3 x2 y 2 + 3 y 4 p p p p p p = p 3 3 3 3 3 x4 + 3 x2 y 2 + 3 y 4 x2 x2 y2 y2 p p p 3 x4 + 3 x2 y 2 + 3 y 4 = p p p p p 3 3 3 y2 x2 x4 + 3 x2 y 2 + 3 y 4 p p p 3 x4 + 3 x2 y 2 + 3 y 4 = x2 y 2 4

=

2

2

4

x3 + x3 y 3 + y 3 x2 y 2

36. La simpli…cación de la expresión r q 1 1p 6 2 6 6 (x y + z) x x y+z 4

y+z+

p

x

y+z

p 3

x

y+z

da como resultado: Solución. Como la expresión no tiene paréntesis, entonces tomamos en cuenta los ordenes de prioridad, primero división y multiplicación luego suma y resta. r q p p 1 1p 6 2 6 3 (x y + z) 6 x y+z+ x y+z x y+z x y+z 4 r q q 1 1p 6 6 2 3 2 6 6 (x y + z) x y + z + (x y + z) (x y + z) x y+z 4 p p 1p 6 6 x y+z x y+z+ 6x y+z 4 p 1p 6 6 x y+z 2 x y+z 4 7p 6 x y+z 4 23

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 37. La expresión

p

n2

a a33 a53

sugerencia: 13 + 33 +

a(2n

+ (2n

1)3

es igual a:

3

1) = n2 2n2

1

Solución. La cantidad subradical es un producto de potencias de la misma base, así que podemos escribir p p n2 n2 3 3 a a33 a53 a(2n 1) = a13 +33 + +(2n 1) p n2 an2 (2n2 1) = q n2 n2 = a(2n2 1) 2 = a(2n

1)

38. La raíz quinta de la raíz cuarta de la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de a2 + b2 es igual a: Solución. Traducimos del lenguaje ordinario al lenguaje común, y procedemos anidando las raices hacia atras. sr qp p 5 4 (a2 + b2 ) = 80 (a2 + b2 ) =

a2 + b2

1 80

39. Dadas las ecuaciones 2x + 3y = 4 y 2kx + 3ky = 4k; k 6= 0; el conjunto de todas las soluciones es: Solución. La segunda ecuación es múltiplo de la primera en un factor k; así estas serán rectas paralelas. Luego 2x + 3y 3y y

= 4 = 4 4 =

2x 2x 3

x; puede tomar valores arbitrarios y los de y están determinados por y = Así, el conjunto solución será x; 4 32x : x 2 R y = 4 32x

4 2x 3 :

24


y

4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-1

4

5

x

-2

40. El conjunto solución del sistema de ecuaciones es: jx

Solución.

y

1j + jy 5j = 1 jx 1j = 5

Recordemos la de…nición de valor absoluto a; si a = 0 a; si a < 0

jaj =

Debemos considerar entonces los casos positivos y los negativos. Primero que los valores absolutos sean positivos (x y

1) + (y 5) = 1 (x 1) = 5

Reduciendo x+y =7 y x=4 resolviendo este sistema por eliminación 2y y si y =

11 2 ;

= 11 11 = 2

entonces x+y = 7 x = 7 x = 7 x = 25

3 2

y 11 2

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. sol.

3 11 2; 2

La segunda combinación es jx 1j + jy 5j (x 1) + (y 5) x+1+y 5 x+y

= 1 = 1 = 1 = 5

Para la segunda ecuación

y

y jx 1j [ (x 1)] y+x 1 x+y

= = = =

5 5 5 6

Así formamos el sistema de ecuaciones x+y =5 x+y =6 eliminando x; resulta 2y y si y =

11 2 ;

= 11 11 = 2

entonces x+y = 6 x = 6 x = 6 1 2

x = luego, sol. 12 ; 11 2 La solución al sistema original es

y 11 2

3 11 2; 2

;

1 11 2; 2

:

41. Hallar tres números, sabiendo que el segundo es mayor que el primero en la misma cantidad que el tercero es mayor que el segundo, que el producto de los dos menores es 85 y que el producto de los dos mayores es 115. Solución. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraico

26


x1 x2 x3

: primer número : segundo número : tercer número

x2 x2 x1

>

x1 y x3 > x2 x3 x2

=

x1 x2 x2 x3

= 85 (1) = 115 (2)

Teniendo en cuenta todas estas relaciones, resolvemos las ecuaciones. Primero dividamos las dos ecuaciones x2 x3 x1 x2 x3 x1

115 85 23 17

= =

x3

= x1

23 17

( )

Por otro lado consideremos la proporción x2 x1 x22

x3 x2 = x1 x3 ( ) =

Sustituyendo ( ) en ( ) resulta x22

= x1 x1

x22

= x21

x2

= x1

r

27

23 17

23 17 23 ( ) 17

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. Sustituyendo ( ) en (1)

x1

x1 x2 = 85 r ! 23 x1 = 85 17 r 23 2 = 85 x1 17 85 x21 = q

23 17

v u 85 = u tq

x1

23 17

x1

=

8:5

Sustituyendo este valor en las ecuaciones (1) y (2) resulta x1 x2 (8:5) x2

= 85 = 85 85 = 8:5 = 10

x2 x2

x2 x3 (10) x3 x3 x3

= 115 = 115 115 = 10 = 11:5

Sol. (8:5; 10; 11:5) 42. El sistema kx + y = 1 x + ky = 5 tiene solución única si: Solución. Recordemos que según la regla de Cramer, un sistema de dos variables tiene solución única si el determinante de la matriz de coe…cientes no es cero, esto es

28


k2

k 1

1 k

6= 0

k 1

1 k

= k2

1 6= 0

1 6= 0, esto obliga a k a tomar valores distintos de 1 y

1:k 6= 1; 1

43. La suma de dos números es 666 y si se divide el mayor entre el menor el cociente es 5 y el residuo 78. Dichos números son: Solución. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraico

x1 x2

: primer número (mayor) : segundo número (menor) x1 + x2 x1

= =

666 (1) 5x2 + 78 (2)

x1 + x2 x1 5x2

= 666 = 78

Resolvemos el sistema por eliminación, multilplicando por ( 1) la ecuación (2) para eliminar x x1 + x2 x1 + 5x2 6x2 x2 x2

= 666 = 78

=

588 588 = 6 = 98

Sustituyendo en (2) x1

5x2 x1 x1 x1

= = = =

Sol.(568; 98)

29

78 78 + 5x2 78 + 5 (98) 568

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 44. Si suponemos que el cociente intelectual de Einstein era 170 y si éste se calcula al dividir la edad mental por la edad cronológica multiplicado por 100, la edad mental de Einstein cuando publicó en 1905 su teoría sobre el efecto fotoeléctrico era: Solución. El coe…ciente intelectual (IQ), edad mental (EM ) y la edad cronológica (EC) EM 100 IQ = EC Si publicó su teroría del efecto fotoeléctrico en 1905 y según su biografía nació en 1879; entonces su edad cronológica era 1905

1879 = 26

Luego, EM EC IQ = 100 170 = 100 = 44:2

IQ = EM EM EM

100 EC 26

45. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿cuántos años tiene? Solución. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraico

x : edad actual del padre y : edad actual del hijo Planteamos el sistema x

x = 3y 5 = 4 (y

5)

Simpli…cando x x

3y = 0 (1) 4y = 15 (2)

Resolvemos por eliminación, multiplicando por ( 1) la ecuación (1) para eliminar x:

30


y y

x 15 15

= =

x + 3y = 0 4y = 15 (2)

luego, el hijo tiene 15 años. 46. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unas empanadas, y lo pusieron todo en una cuenta que ascendió a 36 córdobas. Todos iban a pagar por igual, pero tres de ellos se habían ido, por lo que a cada uno le tocó pagar 1 córdoba más. ¿cuántas personas conformaban el grupo original? Solución. Digamos que x representa el número de personas en el grupo

(x

nx = 36 (n lo consumido por cada uno) 3) (n + 1) = 36 (se van 3 y agregan un córdoba)

Despejemos n de la primera ecuación y sustituimos en la segunda, así nx = 36 ! n =

(x

3) (n + 1)

=

36 ! (x

!

(x

! ! ! !

36 x

3)

36 +1 x

= 36

36 + 1 = 36 x 36 + x (x 3) = 36 x (x 3) (36 + x) = 36x 36x + x2 108 3x = 36x x2 3x 108 = 0 3)

Llegamos a una ecuación cuadrática, factorizando resulta en x2 3x 108 = 0 (x 12) (x + 9) = 0 x = 12 _ x =

9

tomamos la solución positiva, así habían 12 personas.

31

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 47. Un hombre entró en la cárcel para cumplir una condena. Para que su castigo fuera más duro no le dijeron cuanto tiempo tendría que estar allí dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente y el preso le había caído bien. Preso:¡vamos! ¿puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en este lugar? Carcelero:¿cuántos años tienes? Preso: veinticinco Carcelero: yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste? Preso: Hoy es mi cumpleaños Carcelero: Increíble. ¡también es el mío!. Bueno, por si te sirve de ayuda te diré (no es que deba, pero lo haré) que el día que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás. ¿cuánto tiempo dura la condena del preso? Solución. Digamos que x es la edad del carcelero y y la edad del preso, esto sería x = 54 y = 25

Luego podemos establecer una relación entre las edades x

y = 54 25 x = 29 + y

recordemos, que el preso saldrá cuando la edad del carcelero sea el doble que la del preso, es decir 2y 2y y y

= 29 + y = 29 = 29

lo que signi…ca que saldrá cuando tenga 29 años, así la condena dura 4 años.

32

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 48. La suma de las cuatro raíces de la ecuación ax2 +bx+c = 0 y ax2 bx+c = 0; con a 6= 0 y b2 4ac > 0 es igual a: Solución. Las raíces de toda ecuación cuadrática están dadas por p b2 4ac b x= 2a

Para la primera ecuación las raíces serán p b b2 x1 = 2a

4ac

Para la segunda ecuación, tenemos x2 =

p

( b)

b2

4ac

!

b

2a

Luego la direncia será x1 + x2

=

x1 + x2

= 0

b

p

b2 2a

4ac

+

49. El número de soluciones de la ecuación x2

p

b2 2a

4ac

!

5 jxj + 2 = 0; si x 6= 0 es:

solución. Recordando la de…ción de valor absoluto podemos plantear lo siguiente x2 5x + 2 x2 + 5x + 2

= 0 = 0

hemos obtenido dos ecuaciones cuadráticas distintas, como cada una tiene 2 soluciones, la ecuación original poseerá 4 soluciones. 50. Si x es un número real distinto de cero, la solución de la proporción x 7 12 es:

33

jxj 18

=

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. Solución. jxj 18 12 jxj 12 jxj 18x + 126

12 jxj

x

7 12 = 18 (x 7) = 18x 126 = 0 =

Por la de…nición de valor absoluto, podemos plantear 12x 12x

18x + 126 = 0 18x + 126 = 0

Resolviendo la primera ecuación 12x

18x + 126 = 6x + 126 = 6x =

0 0

126 126 x = 6 x = 21

Para el segundo caso 12x

18x + 126 = 30x + 126 = 30x = x = x =

0 0 126 126 30 21 5

Evaluando la primera solución en la proporción resulta jxj 18 j21j 18 21 18 21 12 252

= = = = = 34

x

7 12 21 7 12 14 12 18 14 252


Para la segunda solución se obtiene 21 5

18 21 40

= =

21 5

7

12 7 30

Lo cuál es falso, así la solución que veri…ca la proporción es x = 21. 51. Daniel y Arturo, dos viejos amigos, vuelve a encontrarse en la calle al cabo de algunos años. Después de saludarse, Daniel: ¿cuántos hijos tienes? Arturo: Tres hijos Daniel: ¿Qué edades tienen? Arturo: Tú mismo lo vas a averiguar. El producto de sus edades es 36: Daniel, después de pensar durante algún tiempo, le dice a Arturo que necesita más datos. Arturo: En efecto, la suma de sus edades es igual al número de la casa que tenemos enfrente, Daniel mira el número de la casa que le indica Arturo y quedándose pensativo durante un par de minutos. ¡No es posible!- responde, con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Me falta una dato más. Arturo: Perdona Daniel, olvidé decirte que mi hija la mayor toca el piano. Daniel: En ese caso, ya sé sus edades. ¿Qué edades tienen los hijos de arturo? Solución. Primero encontramos todas las triadas que multipliquen 36 1 3 2 2 6 18 12 36

9 3 2 6 6 2 3 1

35

4 4 9 3 1 1 1 1

= = = = = = = =

36 36 36 36 36 36 36 36

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. Ahora sumamos estos números 1 + 9 + 4 = 14 3 + 3 + 4 = 10 2 + 2 + 9 = 13 18 + 2 + 1 = 21 12 + 3 + 1 = 16 36 + 1 + 1 = 38 2 + 6 + 3 = 11 6 + 6 + 1 = 13

¡No es posible!- responde, con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Está exclamación resulta porque él conoce el número de la casa, la decisión no se puede tomar porque el número debe ser el número repetido 2 + 2 + 9 = 13 y 6 + 6 + 1 = 13; luego la mayor toca el piano, esto nos obliga a elegir (2; 2; 9) : 52. El producto de tres enteros positivos consecutivos es 3360 y su suma es 45. ¿cuál es el mayor de esos tres números? Solución. Si tenemos tres números consecutivos entonces x1 : 1er número x1 + 1 : 2do número (x1 + 1) + 1 : 3er número Si su producto es 3360 entonces (x1 ) (x1 + 1) (x1 + 2) = 3360

Su suma es 45; es decir x1 + x1 + 1 + x1 + 2 = 45 3x1 + 3 = 45 3x1 = 45 42 x1 = 3 x1 = 14

36

3

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. Luego los número buscados son x1 = 14 x1 + 1 = 15 x1 + 2 = 16

El mayor desde luego es 16: 53. Un autobús comienza su trayecto con cierto número de pasajeros. En la primera parada descienden 13 de los pasajeros y suben 8: En la segunda parada descienden 12 de los pasajeros que quedan y suben 2 nuevos. En este momento, el autobús lleva la mitad del número de pasajeros de los que llevaba al principio del trayecto. ¿cuántos pasajeros habia al principio? Solución. Llamemos x al número de pasajeros que había al inicio: 1ra parada quedan en el bus

1 3x

x

2 3 x+8

2da parada quedan en el bus

2

+ 8 = 23 x + 8

+ 2 = 13 x + 6 =

x 2

Luego resulta que;

1 x+6 3 x 1 x 2 3 3x 2x 6 x

=

x 2

= 6 = 6 = 36

54. En navidad, en cierta empresa todos los empleados se ofrecen regalos. En esta ocasión las mujeres se han dado mutuamente un regalo, pero los hombres lo han repartido: La mitad han dado un regalo a sus compañeros y la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compañeras. Sabemos que el doble del número de mujeres excede en 6 al número de hombres. Si en total se han dado 38 regalos, ¿cuántos empleados tiene la empresa?

37

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. Solución. Llamemos x al número de hombres de la empresa y y al número de mujeres, luego Sabemos que el doble del número de mujeres excede en 6 al número de hombres 2y = x + 6

Si las mujeres se dan un regalo mutuamente signi…ca que una da un regalo a las demás, excepto a ella misma, así como hay y entonces el número de regalos que dan las mujeres serán. y (y 1) En el caso de los hombres, la mitad han dado un regalo a sus compañeros y la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compañeras. La mitad de los hombres dan un regalo asu compeñero, excepto a si mismo, luego x (x 1) 2 La otra mitad da un regalo a las mujeres, cada hombre da un regalo a cada mujer esto es, x (y) 2 La ecuación …nal para los regalos es y (y

1) +

x (x 2

1) +

x (y) = 318 2

resolviendo esta ecuación resulta y2 2y

2

2y 2

x xy x2 + 2 2 2 2 2y + x x + xy 2 2y + x2 x + xy

y+

=

318

=

318

=

636

despejamos x de la primera ecuación 2y = x + 6 x = 2y 6 y sustituimos 2y 2 2y + x2 x + xy = 636 2y 2 2y + (2y 6) (2y 6) + (2y 6) y = 636 2 2y 2y + 4y 2 24y + 36 2y + 6 + 2y 2 6y = 636 8y 2 34y + 42 636 = 0 8y 2 34y 594 = 0 4y 2 17y 297 = 2

38


Aplicando la fórmula general, tenemos q 2 ( 17) ( 17) y = 2 (4) p 289 + 4752 17 y = p 8 17 5041 y = 8 17 71 y = 8 88 17 + 71 y1 = = = 11 8 8 54 17 71 y2 = = 8 8

4 (4) ( 297)

tomamos solución y = 11; para el caso la que tiene sentido, sustituimos esta en la primera ecuación para encontar x: x x x x

= = = =

2y 6 2 (11) 6 22 6 16

luego la solución es 11 mujeres y 16 varones para un total de 27 personas. 55. Al resolver el sistema de ecuaciones respecto a x e y si (a ^ b 6= 0; a 6= b (a

b) 6= 0; a 6= 0

b) x + (a + b) y = 1 (1) y + a+b = a2 1 b2 (2)

x a b

la solución que se obtiene es: Solución. Recordemos que a2 número (2) por a2 b2

b2 = (a + b) (a

39

b) ; luego multiplicamos la ecuación

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. (

(a (a2

b2 )x a b

b) x + (a + b) y = 1 1(a2 b2 ) (a2 b2 )y + a+b = a2 b2

(a b) x + (a + b) y = 1 (a + b) x + (a b) y = 1

(a

(1) (2)

Ahora multiplicamos la ecuación (1) por [ (a + b)] y la ecuación (2) por b) ; así [ (a + b)] (a b) x + [ (a + b)] (a + b) y = [ (a + b)] (a b) (a + b) x + (a b) (a b) y = (a b) Eliminando resulta [ (a + b)] (a + b) y = [ (a + b)] (a b) (a b) y = (a b) ya2 ya2

2yab yb2 = a b 2yab + yb2 = a b

4yab = 2b 2b y = 4ab 1 y = 2a Sustituyendo para encontrar x (a + b) x + (a (a + b) x + (a

b)

b) y 1 2a

= 1 = 1 b) 2a 2a a + b 2a a+b 2a 1 2a

(a + b) x = 1 (a + b) x = (a + b) x = x =

Así, la solució al sistema es

(a

1 1 2a ; 2a

56. Determinar un entero positivo con los datos siguientes: si se añade un 5 a la derecha el número resultante es divisible exactamente por un número que sobrepasa en 3 al buscado, siendo el cociente igual al divisor menos 16.

40

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. Solución. Llamemos x al número buscado, luego añadimos 5 a su derecha y resulta x5: Ahora vamos a escribir estos número en su representación decimal (con dos dígitos, de no resultar debe de seguirse con tres dígitos y así). x = a1 10 + a0 x5 = a1 102 + a0 10 + 5 Usando el algoritmo de la división (p = q k + r) resulta que: a1 102 + a0 10 + 5

= (a1 10 + a0 + 3) (a1 10 + a0 13) = a20 + 20a0 a1 10a0 + 102 a21 102 a1 = 102 a1 (a1 1) + 10a0 (2a1 1) + a20

a1 102 + a0 10 + 5 = 102 a1 (a1

1) + 10a0 (2a1

1) + a20

39 39

39

Segúnn este desarrollo decimal podemos igualar los sumandos, así a1 102 = 102 a1 (a1 1 = a1 1 a1 = 2

a0 10 + 5 a0 10 + 5 a0 10 + 5 a0 10 + 5 2 a0 + 20a0 44 (a0 + 22) (a0 2) a0

= = = = = = =

1)

10a0 (2a1 1) + a20 39 10a0 (2 (2) 1) + a20 39 40a0 10a0 + a20 39 30a0 + a20 39 0 0 22 _ a0 = 2

Para a0 tomamos el valor positivo así el número buscado es x x x x

= = = =

a1 10 + a0 (2) 10 + 2 20 + 2 22 41

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. La solución de mayor valor numérico de la ecuación jxj + x3 = 0 es: Aplicando las propiedades del valor absoluto, podemos escribir para esta ecuación los casos que siguen: jxj + x3 x3 x3

= = =

0 jxj x ó x3 =

( x)

Resolviendo la primera ecuación x3 = x x +x = 0 x x2 + 1 = 0 3

x = 0 _

x2 + 1 = 0

x2 + 1 = 0 no tiene solución en los números reales.

nótese que la ecuación

Para el segundo casos tenemos x3 x 1) x

3

x x(x2

Resolviendo la ecuación x2

= ( x) = x = 0 = 0 = 0 _ x2 1 = 0 1 = 0;

x2 = 1 x = 1 _ x=

1

Luego las soluciones de la ecuación original son: de mayor valor numérico es 0:

42

1 y 0; luego la solución

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 58. Para que la ecuación x2 cumplirse que:

2x + k = 0 ( ) no tenga solución en R debe

Aplicando la fórmula general para esta ecuación tenemos q 2 ( 2) ( 2) 4 (1) (k) x = 2 p 2 4 4k x = p2 2 4(1 k) x = p2 2 2 (1 k) x = p2 x = 1 (1 k) p Luego analizando el discriminante (1p k); resulta que para que la ecuación ( ) no tenga solución debe ser k > 1; así (1 k) 2 = R:

59. Si los valores de R1 ; R2 y R3 representan resistencias en ohmios, al calcular el recíproco de R2 utilizando la ecuación R1 = R11 + R12 + R13 se obtiene: Se trata de despejar

1 R2

de la expresión para la resistencia, así 1 R 1 R2

1 1 1 + + R1 R2 R3 1 1 1 R R1 R3

= =

60. Una solución irracional de la ecuación x2 + 1

2x2

x2

8

(x

2:5) = 0

es: Recordemos que un número irracional es aquel que no puede expresarse como un cociente indicado de dos números enteros, luego las soluciones de esta ecuación serán: x2 + 1

= 2

x = x = 43

0 1 p

1

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. las cuales son soluciones imaginarias en los números complejos. 2x2

8

= 0 2

2x

= 8 8 x = 2 x2 = 4 p 4 x = x = 2 2

las cuales son soluciones reales. x2

= 0 2

x = x2 = x =

p

las cuales son raices irracionales, puesto que x

es irracional.

2:5 = 0 x = 2:5

la cual es una solución racional. Por lo tanto una solución irracional es

p

:

61. Calcular los valores de x en la siguiente ecuación de segundo grado. 1

2b x

=

a

a2 b2 a2 + x2 2ax

Primero simpli…camos la expresión x2

a2 b2 2b + 2ax + a2 x a a2 b2 2b 2 + x a (x a) a2

b2 + 2b (x (x

a)

2

a)

a2 b2 + 2b (x a) a2 b2 + 2bx 2ba x2 2ax 2bx + b2 + 2ab x2 (2a + 2b) x + b2 + 2ab 44

=

1

=

1

=

1

= (x = x2 = 0 = 0

2

a) 2ax + a2


En este punto aplicamos la fórmula general para ecuaciones cuadráticas

x =

(2a + 2b)

q 2 [ (2a + 2b)]

2 4a2 + 8ab + 4b2 2 p 2 4a

(2a + 2b)

p

(2a + 2b) 2 (2a + 2b) x = 2 x = a+b a

2a

x = x =

4 (1) (b2 + 2ab) 4b2

8ab

separando las raices resulta que x1 = 2a + b

^ x2 = b

62. Determinar la ecuación de segundo grado cuyas raíces sean los cubos de las de x2 + 2x 8: Resolviendo esta ecuación por factorización tenemos.

x2 + 2x 8 (x + 4) (x 2) (x + 4) x1 x31

= (x + 4) (x 2) = 0 = 0 _ (x 2) = 0 = 4 _ x2 = 2 = 64 _ x32 = 8

Luego la ecuación buscada debe tener por raíces a

64 y 8:

Consideremos la forma de una ecuación cuadrática factorizable x2 + bx + c = 0 sabemos que puede escribirse en la forma de dos productos lineales (x + m) (x + n) = 0

45

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. donde n y m tienen las propiedades siguientes m n m+n si

= c = b

64 y 8 son soluciones de una ecuación cuadrática, entonces podemos escribir ( 64) (8) = 512 [( 64) + (8)] = 56

así, la ecuación buscada es x2 + 56x

512:

63. El número -1 es solución de la ecuación de segundo grado 3x2 + bx + c = 0: Si los coe…cientes b y c son números primos, el valor de 3c b es: Si

1 es solución de la ecuación 3x2 + bx + c = 0; entonces 2

3 ( 1) + b ( 1) + c 3 b+c c b b c

= = = =

0 0 3 3

entonces se trata de encontrar dos números primos cuya diferencia sea 3; por inspección podemos elegir b = 5 y c = 2; ambos primos y además 5 3 = 2; luego 3c

b

= = =

46

3 (2) 5 6 5 1

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 64. Cada letra representa un número en el siguiente arreglo. La suma de cualesquiera tres números consecutivos es 18. ¿cuánto vale H? 3

B

C

D

E

8

G

H

Podemos plantear las siguientes relaciones 3 + B + C = 18 de donde B + C = 15 Luego B+C +D 15 + D D D

= = = =

18 18 18 3

15

siguiendo el mismo argumento D+E+8 3+E E E

= 18 = 18 = 10 = 7

8 3

para las siguientes tres letras E+8+G 7+8+G G G

= = = =

18 18 18 3

8+G+H 8+3+H H H

= = = =

18 18 18 7

15

y …nalmente

47

11

I

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 65. El conjunto de las soluciones positivas de la inecuación jx + 5j <

4 es:

Recordemos la siguiente propiedad del valor absoluto jaj < b ()

b
aplicando esta propiedad tenemos jx + 5j 4 4 5 1

< 4 () ( 4) < x + 5 < < x+5< 4 < x+5 5< 4 5 < x< 9 sol: ( 1; 9)

4

nótese que este conjunto solución no satisface a la inecuación original, basta con tomar un valor de prueba, digamos k = 3; al evaluar resulta jx + 5j j 3 + 5j j2j 2

< < < <

4 4 4 4

lo que es absurdo, luego el conjunto solución de la inecuación es el conjunto vacío, : 66. Hallar un número de dos cifras sabiendo que el número de unidades excede en dos el número de decenas y que el producto del número deseado por la suma de sus dígitos es 144. Sabemos que es un número de dos cifras, escibamos su desarrollo decimal 10x + y donde x es el número de las decenas y y el de las unidades. Como el número de las unidades excede en dos al de las decenas, entonces y

x = 2 (1)

por otro lado, si el producto del número deseado por la suma de sus dígitos es 144, entonces (10x + y) (x + y) = 144 (2) podemos emplear la ecuación (1) y reducir términos y

x = 2 y = 2+x 48

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. sustituimos en la ecuación (2) (10x + y) (x + y) (10x + (2 + x)) (x + (2 + x)) (11x + 2) (2x + 2) 22x2 + 26x + 4 22x2 + 26x 140

= = = = =

144 144 144 144 0 (3)

Resolvemos la ecuación (3) usando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas x = x = x = x = x1

=

x1

=

26

q

2

(26)

4 (22) ( 140)

2 (22)

p

676 + 12320 p 44 26 12996 44 26 114 44 26 + 114 =2 44 35 26 114 = 44 11 26

tomamos para x el valor entero y positivo, 2; y lo sustituimos en la ecuación (1) y y

x 2 y y

= 2 (1) = 2 = 2+2 = 4

Así el número buscado es 10x + y = 10 (2) + 4 = 20 + 4 = 24

49

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 67. Si x < y y z es un número real diferente de cero, entonces la proposiciòn falsa es:

2

2

a) ( z) x < ( z) y

b) 1 + z 2 x < 1 + z 2 y

c) z 2 x > z 2 y

d)

1 z2 x

<

1 z2 y

Nótese que en el inciso c) z está al cuadrado, así que este valor (z 2 ) siempre será positivo, luego x < y; z 2 > 0 entonces por propiedades de las desigualdades se cumple que z2x < z2y de donde c) resulta der falsa. 68. Si x > 1; entonces se cumple que:

a)

p

x2 + x + 4 > x + 2

b)

p

x2 + x + 4 = x + 2

c)

p

x2 + x + 4 < x + 2

Tomando a) y eliminando el radical obtenemos p x2 + x + 4

2

2

> (x + 2)

x2 + x + 4 > x2 + 4x + 4 x > 4x

como x > 1 esto no puede ser. Tomando b) y eliminando el radical obtenemos p x2 + x + 4

2

2

= (x + 2)

x2 + x + 4 = x2 + 4x + 4 x = 4x

por el mismo razonamiento b) tampoco es posible. Del mismo modo para c) p x2 + x + 4

2

2

< (x + 2)

x2 + x + 4 < x2 + 4x + 4 x < 4x

Gracias a la condición x > 1; c) si es posibles. Evidentemente d) es absurdo.

50

d) x = 0

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 69. Si 0 < x < 1, entonces se cumple la relación a)

1 x

<1

b)

1 x

>

1 x2

c)

1 1+x+x2

<

1 1+x

d)

1 x

=

1 x2

Partiendo de la desigualdad dada como hipótesis tenemos 0 < x<1 x2 < x 1 + x2 < 1 + x al agregar x sólo al lado izquierdo de la desigualdad, entonces el signo se invierte 1 + x + x2 > 1 + x luego tenemos que 1 + x + x2 1 + x + x2

>

1 > 1 1+x 1 1+x 1 1 + x + x2

> > <

1+x 1 + x + x2 1+x 1 + x + x2 1+x 1 2 1+x+x 1+x 1 o 1 + x + x2 1 1+x

51

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. 70. Al resolver la ecuación

p 2

p

2 + x = x; se obtiene que el valor de x es:

Primero eliminamos los radicales de q 2 p 2+x 2 p 2 2+x p 2 2+x x4

la ecuación = x2 = x2 =

x2

x + 2 = x4 x+2 = 0

4x2

2

2

4x2 + 4

De lo que resulta una ecuación de cuarto grado. Tengamos presente el siguiente teorema Theorem 3 Si el polinomio f (x) = an xn + an

n 1 1x

n 2 2x

+ an

+

+ a0

tiene coe…cientes enteros y c=d es un cero racional de f (x) tal que c y d no posean un factor primo común, etonces i) el denominador c del cero es un factor común del término constante a0 , ii) el denominador d del cero es un factor del coe…ciente inicial an : Para la ecuación que nos ocupa tenemos opciones para el denominador c opciones para el numerador d opcines para c=d

1; 2 1 1; 2

Al efectual la división por el factor x + 1; resulta la descomposición x4 3

x

2

x

4x2

x+2

x3

=

3x + 2 (x + 1) =

x2

0

de donde una raiz de la ecuación es x+1 = 0 x = 1 de forma análoga resolvemos la ecuación cúbica x3

x2

3x + 2 = 0

52

3x + 2 (x + 1) = 0

Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R. al dividir por el factor x

2; resulta la descomposición x2 + x

1 (x

2) = 0

de donde otra raiz es x

2 = 0 x = 2

…nalmente resolvemos la ecuación cuadrática x2 + x

1

= 0

x = x = x1

=

x2

=

1 1

p 12 4 (1) ( 1) 2 (1) p 5

2p 1+ 5 = 2p 1 5 = 2

53

p 5 1 + 2 p2 5 1 2 2

Grupo Matagalpino de e Matemáticas "Los Karamazov" Jolman Enrique López José A. Siles R. Gerardo Manuel García

1

Funciones Reales 2 3x

1. Al evaluar la función lineal f (x) = f (x) es. a)

1 2

b) 1

c)

+

1 2

en x =

7 6

3 4

se obtiene que

d) 0

Solution 1 Sustituimos el valor de x en la función dada: f(

R.

3 ) = 4

2 3 1 ( )+ 3 4 2 1 1 = + 2 2 = 1

b)

2. Los interceptos de la función lineal f (x) = 2x

6 con el eje x y con el eje y;

1. respectivamente, son los puntos: a) (0; 6) y (3; 0)

b) (0; 6) y ( 3; 0)

c) (0; 0) y (3; 6)

d) (3; 0) y (0; 6)

Solution 2 Para los interceptos con el eje x, hacemos y = 0; en la función dada: 0 = 2x 2x = 6 6 x = 2 x = 3

6

Así el punto es (3; 0) Para los interceptos con el eje y; hacemos x = 0; en la función dada: y y y

= 2(0) 6 = 0 6 = 6

El punto es (0; 6) Los puntos de intercepción son: (3; 0) y (0; 6) R. a)

1

Grupo Matagalpino de De Matemáticas "Los Karamazov" Jolman Enrique López José A. Siles R. Gerardo Manuel García

3. La preimagen de y = a) x =

10 3

3, bajo la función f (x) = 7

b) x =

3 10

c) x =

3x es:

10 3

d) x = 0

Solution 3 Sustituimos el valor de y en la ecuación dada: 3 = 7 3x 3x = 7 + 3 3x = 10 10 x = 3 R.

a)

4. La regla de asignación de la función que pasa por los puntos ( 1; 3) y (2; 8) es: a) f (x) = 23 x

11 3

b) f (x) =

11 3 x

+

2 3

c) f (x) = 2x

11

d) f (x) =

11 3 x

Solution 4 La regla de asignación es dada por: f (x) = mx + b; donde m es la pendiente, así: m = m = m = m =

y2 y1 x2 x1 8 ( 3) 2 ( 1) 8+3 2+1 11 3

Ahora hallamos el valor de b, utilizando el punto (2; 8), así: f (x) = mx + b 11 (2) + b 8 = 3 22 b = 8 3 24 22 b = 3 2 b = 3 2

+

2 3


La regla de asignación es: f (x) = R. d)

11 3 x

+

2 3

5. En cálculo de interés simple, la cantidad devengada S es una función lineal de tiempo medido en años S = P (1 + rt): Si el capital es P = C$1000 y la tasa anual de interés es r = 4%; entonces la cantidad devengada S pasado 15 años es: a) $61000

b) $1600

c) $7000

d) $16000

Solution 5 Sustituimos los valores dados en la función: S = P (1 + rt) S S S S R.

= = = =

1000 [1 + (0:04)(15)] 1000(1 + 0:6) (1000)(1:6) 1600

b)

6. Sea h una función lineal tal que h( 2) = 5 y h(6) = 3; la función h(x); donde x es cualquier número real está de…nida por: a) h(x) = 5x + 3

b) h(x) = 92 x +

1 4

c) h(x) =

2x + 6

d) h(x) =

1 4x

+

Solution 6 Según los datos, tenemos dos puntos: A( 2; 5) y B(6; 3);la función buscada es del tipo f (x) = mx + b: Hallamos el valor de m :

m = m = m = m =

3

5 6 ( 2) 2 6+2 2 8 1 4

3

9 2


Ahora hallamos el valor de b, usando el punto: B(6; 3) : b

= f (x)

mx 1 )(6) 3 ( 4 3 3+ 2 6+3 2 9 2

b

=

b

=

b

=

b

=

1 4x

La función es de…nida por: f (x) = R. d)

+

9 2

7. Se f una función de números tal que f (2) = 3; y f (a + b) = f (a) + f (b) + ab; 8a; b:Entonces, f (11) es igual a: a) 22

b) 33

c) 44

d) 66

Solution 7 Utilizando los datos dados, hallamos el valor de f (4): f (4) f (4) f (4) f (4)

= = = =

f (2 + 2) f (2) + f (2) + (2)(2) 3+3+4 10

Ahora hallamos el valor de f (6) : f (6) f (6) f (6) f (6)

= = = =

f (4 + 2) f (4) + f (2) + (4)(2) 10 + 3 + 8 21

Ahora hallamos el valor de f (10) : f (10) f (10) f (10) f (10)

= = = =

f (6 + 4) f (6) + f (4) + (6)(4) 21 + 10 + 24 55

Para hallar f (11); debemos encontrar el valor de f (1);así:

4


f (2) 3 3 1 2

= = = =

f (1) + f (1) + (1)(1) 2f (1) + 1 2f (1) 2f (1) 2 f (1) = 2 f (1) = 1

Así: f (11) f (11) f (11) R.

= f (10) + f (1) + (10)(1) = 55 + 1 + 10 = 66

d)

8. Para niños entre 6 y 10 años de edad, la estatura y (en pulgadas) es frecuentemente una función lineal de la edad t (en años). Si la estatura de cierto infante es de 48 pulgadas a los 6 años de edad y 50:5 pulgadas a los 7; entonces al expresar y como función de t; se obtiene: a) y(t) = 33

2:5t

b) y(t) = 2:5t + 33

c) y(t) = 33t

2:5

d) y(t) = 2:5t

Solution 8 Por los datos dados, la función buscada es del tipo: y(t) = mx + b; y además nos dan dos puntos: A(6; 48) y B(7; 50:5): Hallamos el valor de m : m = m =

50:5 48 7 6 2:5

Usamos el punto A(6; 48), para hallar el valor de b : y(t) 48 48 b b

= = = = =

mx + b (2:5)(6) + b 15 + b 48 15 33

La función buscada es y(t) = 2:5t + 33 R. b) 5

33


9. Sabiendo que f (0) = 1 y f (1) = 0; determine la función lineal f (x) y el área acotada por dicha función y los ejes X; Y: a) f (x) = x 1; 2u2 c) f (x) = x + 1; 0:5u2

b) f (x) = x 1; 0:25u2 d) f (x) = x + 1; 2u2

Solution 9 La función buscada es del tipo: f (x) = mx + b; según los datos tenemos los puntos: A(0; 1) y B(1; 0); hallando m : 0 1

m =

1 0

1 1 1

m = m =

Hallando el valor de b usando el punto: A(0; 1) : y = mx + b 1 = ( 1)(0) + b 1 = b La función buscada es: f (x) = x + 1 Los puntos de intersección de la recta con los ejes son: A(0; 1) y B(1; 0); formando un triángulo de base 1u: Así: A = A = A = R.

1 bxh 2 1 (1)(1) 2 1 2 u 2

c)

6


10. Al evaluar la función cuadrática f (x) = que su imagen vale: a)

1 2

b) 1

c)

2 2 3x

+

1 2

en x =

1 8

3 4

se obtiene

1 4

d)

Solution 10 Sustituimos el valor de x en la función dada: 3 ) = 4 3 ) = 4 3 ) = 4 3 ) = 4 3 ) = 4

f( f( f( f( f( R.

2

2 3 1 + 3 4 2 2 9 1 + 3 16 2 3 1 + 8 2 3+4 8 1 8

c)

11. Los interceptos de la función cuadrática g(x) = x2 y con el eje y; respectivamente, son los puntos: a) ( 1; 0) y ( 5; 0)

b) (1; 0) y (5; 0)

c) (0; 0) y ( 1; 5)

Solution 11 Interceptos con el eje x, hacemos y = 0 0 2 x + 6x + 5 (x + 5)(x + 1) x+5 x+1

= x2 6x 5 = 0 = 0 = 0!x= 5 = 0!x= 1

Los interceptos en el eje x son: ( 1; 0) y ( 5; 0) Interceptos con el eje y, hacemos x = 0: y y y

= = =

(0)2 6(0) 0 0 5 5

El intercepto con el eje y es en (0; 5) 7

6x

5

5 con el eje x

d) (3; 0) y (1; 5)


12. El dominio y el rango de la función cuadrática f (x) = tivamente: a) R y ( 2; 6)

b) R y ( 1; 6]

c) ( 2; 0) y ( 1; +1)

2x2 + 6 son respec-

d) [ 6 ; +1) y [ 2 + 1)

Solution 12 2x2 + 6; es como se muestra:

La grá…ca de la función f (x) =

10

y

5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-5

-10

Vemos que su dominio es todo R. Para el rango debemos hallar el valor de k = f (x); el cual tiene como abscisa x = 0; por lo cual: y y y

= = =

2(0)2 + 6 0+6 6

Así, el rango es: ( 1; 6] R. b)

8


13. Dada la función f (x) = ax2 + bx + c; el valor de f ( a)

c

b2 4a

b) c2

b2 4a

b2 4a

c) c

b 2a )

es:

d) c +

b2 4a

Solution 13 Evaluamos

b 2a

en la función dada: f (x)

f f f f f f f R.

b 2a b 2a b 2a b 2a b 2a b 2a b 2a

= ax2 + bx + c b 2a

= a

2

b 2a

+b

+c

b2 b2 +c 2 4a 2a b2 b2 +c 4a 2a b2 2b2 + 4ac 4a 2 b + 4ac 4a 2 b 4ac + 4a 4a 2 b c 4a

= a = = = = =

c)

14. Dada las parábolas x2 3x + 1 y x2 + 2x + 7; la distancia entre el punto mínimo y máximo de dichas curvas es: a) 8:2345

b) 9:2635

c) 7:2635

d) 8:2635

Solution 14 Los puntos pedidos en las curvas son los vértices. Las coordenadas de éstos b están dadas por h = 2a y k = f (h): Así para x2 3x + 1; h1 y k1 valen: h1

=

( 3) 3 = 2(1) 2

k1

=

3 2

k1

=

k1

=

k1

=

9 4 9

2

3 9 +1 2 18 + 4 4

5 4 9

3 2

+1


El vértice de esta función es: V1 ( 32 ; 54 ) Ahora hallamos h2 y k2 para x2 + 2x + 7 : h2

=

k2 k2 k2

= = =

2 =1 2( 1) (1)2 + 2(1) + 7 1+2+7 8

El vértice de esta función es: V2 (1; 8) Hallamos la distancia entre éstos dos puntos: p d(V1 ; V2 ) = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 s 2 3 2 5 d(V1 ; V2 ) = (1 ) + 8 ( ) 2 4 s 2 2 32 + 5 2 3 d(V1 ; V2 ) = + 2 4 s 2 2 37 1 d(V1 ; V2 ) = + 2 4 r 1 1369 d(V1 ; V2 ) = + 4 16 r 4 + 1369 d(V1 ; V2 ) = 16 r 1373 d(V1 ; V2 ) = 16 d(V1 ; V2 ) 9:2635 R.

b)

15. Las funciones lineales de…nidas por f1 (1) = 0; f1 (0) = 1 y f2 ( 1) = 0; f2 (0) = 1; forman un triángulo isósceles con el eje X: El área de dicho triángulo es: a) 1:25u2

b) 0:75u2

c) 1u2

d) 1:5u2

Solution 15 Las coordenadas según f1 (1) = 0; f1 (0) = 1 y f2 ( 1) = 0; f2 (0) = 1: Son los puntos: A(1; 0); B(0; 1) y C( 1; 0); (0; 1) El triángulo que forman los puntos obtenidos con el eje X, tiene como base 2u y altura 1u:

10


Entonces: b h 2 (2u)(1u) 2 1u2

A = A = A = R.

c)

16. Las preimágenes de y = 5 bajo la función f (x) = x2 p p p a) x = 8 10 b) x = 4 10 c) x = 2 10

4x

1 son: p d) x = 1 10

Solution 16 Evaluamos y = 5 en la función: y = x2

x2

4x

5 6 x1;2 x1;2 x1;2 x1;2 x1;2

R.

4x

1

= x2 4x 1 = 0 p ( 4) ( 4)2 = 2(1) p 16 + 24 4 = p2 4 40 = 2p 4 2 10 = 2 p = 2 10

4(1)( 6)

c)

17. La expresión funcional de la parábola que pasa por los puntos ( 3; 20); ( 1; 4) y (2; 5) es: a) f (x) = 3x2 x + 5 c) f (x) = x2 4x 1

11

b) f (x) = 3x2 + 5x d) f (x) = 4x2 + 23

1


Solution 17 La expresión funcional de una parábola es de la forma: y = ax2 + bx + c Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Resolvemos: 8 < 9a 3b + c = 20 (1) a b+c=4 (2) : 4a + 2b + c = 5 (3) 8 < 9a 3b + c = 20 a b+c=4 Eliminando a : 6b 3c = 21 8 < a b+c=4 9a 3b + c = 20 Ordenando : 6b 3c = 21 8 < a b+c=4 6b 8c = 16 Eliminando a : 6b 3c = 21 8 < a b+c=4 6b 8c = 16 Eliminando b : 5c = 5 De lo anterior se puede ver que c =

a

5 5

=

6b 8c 6b 8( 1) 6b + 8 6b 6b

= = = = =

b

=

a b+c ( 4) + ( 1) a+4 1 a+3 a a

= = = = = =

1, y

16 16 16 16 8 24 24 = 4 6 4 4 4 4 4 1

3

La expresión buscada es: y y R.

= (1)x2 + ( 4)x + ( 1) = x2 4x 1

c) 12


18. El vértice y el rango de la función cuadrática que pasa por los puntos ( 2; 53); (0; 5) y (2; 29) es: a) ( 2; 3) y ( 1; 5

b) ( 2; 3) y ( 1; 3

c) ( 13 ; 4) y [4; 1)

d) (2; 3) y [2; 1)

Solution 18 Encontramos la ecuación de la parábola en la forma: y = ax2 + bx + c Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Resolvemos: 8 <

4a 2b + c = 53 c=5 : 4a + 2b + c = 29 8 < 4a 2b + c = 53 c=5 : 4b = 24

(1) (2) (3) Eliminando a y c

De lo anterior se puede ver que c = 5 y b = 4a 2b + c 4a 2( 6) + 5 4a + 12 + 5 4a + 17 4a 4a

= = = = = =

53 53 53 53 53 36 36 a = 4 a = 9

6: Así:

17

La ecuación de la parábola buscada es: y = 9x2 6x + 5: El vértice de esta función es dado por V (h; k); donde h = entonces: 6 h = 2(9) 1 h = 3 1 1 k = f (h) = 9( )2 6( ) + 5 3 3 k = 1 2+5 k = 4

b 2a

Por lo que el vértice V es: V ( 13 ; 4) Esta parábola abre hacia arriba, por lo cual el rango es [4; 1) R. c) 13

y k = f (h);


19. Al expresar la función cuadrática f (x) = 3x2 + 24x + 50 en la forma f (x) = a(x h)2 + k; resulta: a) f (x) = 5(x + 3)2 7 c) f (x) = 3(x + 3)2 + 3

b) f (x) = 3(x + 4)2 + 2 d) f (x) = 3(x 4)2 2

Solution 19 Resolvemos completando cuadrado, igualamos la función dada f (x) = 3x2 + 24x + 50 a cero: 3x2 + 24x + 50 3x2 + 24x 9x2 + 72x 9x2 + 72x + 144 9(x2 + 8x + 16) 9(x + 4)2 3(x + 4)2 3(x + 4)2 + 2 f (x) R.

= 0 = 50 = 150 = 150 + 144 = 6 = 6 = 2 = 0 = 3(x + 4)2 + 2

b)

20. La rapidez de crecimiento y (en libras por mes) de un infante está relacionada con el peso actual x (en libras) por la fórmula y = cx(21 x); donde c es una constante positiva y 0 < x < 21: El peso con el que se presenta la máxima rapidez es: a) 12 libras

b) 11 libras

c) 11:5 libras

d) 10:5 libras

Solution 20 La fórmula y = cx(21 x) ! y = 21cx cx2 : Aquí: a = c y b = 21c: La b máxima rapidez se presenta en k = f (h); o sea en f ( 2a ); así: b 21c 21 = = 2a 2( c) 2 21 f ( ) = f (10:5) 2 De lo anterior se puede ver que x = 10:5 R. d)

14


21. El número de millas M que cierto automóvil puede recorrer con un galón de gasolina, a una velocidad de v millas por horas, está dado por M = 1 2 5 30 v + 2 v; para 0 < v < 70: El valor máximo de M es: a) 40 millas

b) 46:875 millas

c) 50 millas

d) 60 millas

Solution 21 El valor máximo de M se da en k = f (h); o sea en f ( y b = 52 ; entonces: b 2a

f( f( f( f( f( R.

b 2a b 2a b 2a b ) 2a b ) 2a b ) 2a b ) 2a b ) 2a

= = = = = = = =

b 2a );

siendo a =

1 30

5 2

2 301 5 2 1 15

5 15 2 1 75 2 1 75 2 5 75 ( ) + ( ) 30 2 2 2 1 5625 375 + 30 4 4 187:5 375 + 4 4 187:5 4

= 46:875

b)

22. Sabiendo que f (x) es una función cuadrática y f (2) = 5; f ( 2) = 5; y f (0) = 1; determine dicha función: a) f (x) = x2

2x + 1

b) f (x) = x2 + 1

c) f (x) = x2

2x

1

d) f (x) = x2

Solution 22 De los valores dados, tenemos los puntos: A(2; 5); B( 2; 5) y C(0; 1): Utilizando la forma general de la función cuadrática: y = ax2 + bx + c: Formamos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resolvemos:

15

1


8 < 4a + 2b + c = 5 (1) 4a 2b + c = 5 (2) : c=1 (3) 8 < 4a + 2b + c = 5 4b = 0 Eliminando a y c : c=1

Como 4b = 0; entonces b = 0; así:

4a + 2(0) + 1 4a + 1 4a 4a

= = = =

5 5 5 4 4 a = 4 a = 1

1

La ecuación buscada es: y = x2 + 1: R. b) 23. Dadas las parábolas f (x) = x2 1 y f (x) = x2 + 1; determine los valores de x que pertenecen a la región limitada por la intersección de dichas grá…cas. a) f 1 < x < 1g

b) f 1

x

1g

c) f 2 < x < 2g

d) f 2

Solution 23 Gra…camos ambas parábolas: La grá…ca de y = x2 1; es:

y

2 1

-2

-1

1 -1 -2 -3

La grá…ca de y =

x2 + 1; es: 16

2

x

x

2g


3

y

2 1

-2

-1

1

2

x

-1 -2

Según las grá…cas, los puntos de intersección de ambas parábolas son: ( 1; 0) y (1; 0): Así, los valores de x pertenecientes a esta región son: f 1 x 1g R. b) 24. Al evaluar la función valor absoluto f (x) = jx que su imagen vale: a)

10

b)

4

3j en x =

c) 10

7 se obtiene

d) 4

Solution 24 Evaluamos f (x) = jx

3j en x = f (x) f ( 7) f ( 7) f ( 7) f ( 7)

R.

= = = = =

7: jx 3j j( 7) 3j j 7 3j j 10j 10

c)

25. Los intersectos de la función cuadrática g(x) = jxj con el eje y; respectivamente, son los puntos: a) (

3 2 ; 0)

y (0; 3)

b) (1:5; 0) y ( 3; 0)

jx

c) (0; 2) y (0; 3)

3j con el eje x y

d) (3; 0) y (0; 2)

Solution 25 Para resolver este ejercicio, utilizamos la propiedad: jaj = b $ a = b a = b: Haciendo g(x) = y = 0; obtenemos el intersecto con el eje x:

17

ó


0 jxj x x De x x+x 2x

= = = = = = =

jxj jx 3j jx 3j jx 3j x 3 ó x = x + 3 Aplicando propiedad x + 3; se tiene 3 3 3 x = 2

Así, el punto de intersección con el eje x es: ( 32 ; 0) Haciendo x = 0 en la ecuación dada, obtenemos el punto de intersección con el eje y : y y y y y

= j0j j0 3j = 0 j0 3j = j 3j = (3) = 3

El punto de intersección con el eje y es: (0; 3) Los puntos buscados son: ( 32 ; 0) y (0; 3): R. a) 26. Las preimágenes de y = 2 bajo la función f (x) = j3x a) x = 4; x = 8

b) x =

4 3; x

=

6

c) x =

4 3; x

=6

11j

5 son:

d) x = 4; x = 6

Solution 26 Evaluamos f (x) = y = 2 en la función dada: 2 2+5 7 7 7 + 11 3x

= = = = = =

j3x 11j 5 j3x 11j j3x 11j 3x 11 ó 7 = (3x 11) Aplicando propiedad de ejercicio 25 3x 7 = 3x + 11 18 7 11 = 3x 18 x = 3x = 4 3 4 4 x = 6 x= = 3 3

Las preimágenes buscadas son: x = 6 y x = R. c) 18

4 3


27. El dominio y el rango de la función valor absoluto f (x) = jxj respectivamente: a)( 1;

3] y ( 1; 3]

b) [ 1; +1] y ( 3; 3]

jx + 3j son

c)( 1; +1) y ( 3; 3)

d)( 1; +1) y [ 3; 3]

Solution 27 Gra…cando la función y = jxj

jx + 3j ; se tiene: 3

y

2 1 -4

-2

2

4

-1

x

-2 -3

De la grá…ca anterior puede verse que el dominio es todo R. Para el cálculo del rango usamos la propiedad: jaj = b $ a = b a = b; y hacemos y = 0 : 0 jx + 3j x x x 2x

= = = = =

jxj jx + 3j jxj x+3 3 3 3 x = 2

Evaluamos algunos valores de x : Para Para Para Para

x x x x

= 1 ! y = j1j j1 + 3j = 1 4 = 3 = 1 ! y = j 1j j 1 + 3j = 1 2 = 1 = 4 ! y = j 4j j 4 + 3j = 4 1 = 3 = 4 ! y = j4j j4 + 3j = 4 7 = 3

Consideramos entonces los números y = 3 y y = Así: i)x ii)x <

3 ! jxj 3 ! jxj

3:

jx + 3j = x (x + 3) = x x 3 = 3 jx + 3j = x [ (x + 3)] = x + x + 3 = 3 19

ó


Así, se puede ver que el rango es: [3; 3] Por lo cual, lo que se pide es: ( 1; +1) y [ 3; 3] : R. d) 28. El vértice y el rango de la función valor absoluto f (x) = a)(1; 1) y ( 1; 4]

b)( 1; 3) y ( 1; 3]

jx + 1j + 3 son:

c)( 1; 3) y [ 3 ; +1)

d)( 1; 3) y [3 ; +1)

Solution 28 Presentamos a continuación la grá…ca de la función y =

y

jx + 1j + 3

4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-1 -2 -3

De la grá…ca vemos que el mayor valor que toma la función está en y = 3; así:

3

y 3 3 0 0 x

= jx + 1j + 3 = jx + 1j + 3 = jx + 1j = jx + 1j = x+1 = 1

El vértice de la función es V ( 1; 3); también puede verse que el rango es: ( 1 ; 3] R. b)

20


29. Si expresamos la función f (x) = jjxj resulta: x 2; si x 2 8 2 x; si < 2 x 2; si x 2 > > < x 2; si x 2 c) f (x) = 2 x; si 0 x < 2 > > : 2 + x; si 2
2j sin el símbolo de valor absoluto,

b) f (x) =

jxj 2; si jxj 2 2 jxj ; si jxj < 0

c) f (x) =

x + 2; si x 0 2 + x; si x < 0

Solution 29

Probamos por casos: i)x 2 ! f (x) = x 2: Por ejemplo: x = 3 ! 3 2 = 1 y jj3j 2j = j1j = 1 ii)0 x < 2 ! f (x) = 2 x Por ejemplo: x = 1 ! 2 1 = 1 y jj1j 2j = j 1j = 1 iii) 2 < x < 0 ! f (x) = 2 + x Por ejemplo : x = 1 ! 2 + ( 1) = 1 y jj 1j 2j = j1 2j = 1 iv)x 2 ! f (x) = x 2 Por ejemplo: x = 3 ! ( 3) 2 = 1 y jj 3j 2j = j3 2j = 1 8 x 2; si x 2 > > < x 2; si x 2 Así, puede verse que: f (x) = 2 x; si 0 x < 2 > > : 2 + x; si 2
21


30. Al expresar la resulta: 8 < a) f (x) = : 8 < c) f (x) = :

función f (x) = jxj + jx 2x 5; si x 5 5; si 0 x < 5 2x + 5; si x < 0 2x 5; si x 5 5; si 0 x < 5 2x + 5; x < 0

5j sin el símbolo de valor absoluto,

b) f (x) =

c) f (x) =

2x 5; si x 5 2x + 5; si x < 5 2x

5; si x 5 5; si x < 5

Solution 30

Probamos por casos como en el ejercicio anterior: i)x Por ejemplo: ii)0 Por ejemplo: iii)x < Por ejemplo :

5 ! f (x) = x + x 5 = 2x 5: x = 6 ! 2(6) 5 = 7 y j6j + j6 5j = 6 + 1 = 7 x < 5 ! f (x) = 5 x = 1 ! f (1) = 5 y j1j + j1 5j = 1 + 4 = 5 0 ! f (x) = 2x + 5 x = 1 ! 2( 1) + 5 = 7 y j 1j + j 1 5j = 7 8 < 2x 5; si x 5 5; si 0 x < 5 Así puede verse que: f (x) = : 2x + 5; si x < 0 R. a)

22

Elaborado por: José A. Siles R y Jolman E. López Grupo Matagalpino de matemáticas: Los Karamasov

0.1

Funciones y Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

1. La expresión exponencial 7x + 7x a) x = 2

b) x = 1

7x + 7x

1

c) x = 0

= 8x es igual a:

d) x = - 1

= 8x ! 7x + 7x 7 ! 7x (1 + 7

1

1

1

= 8x

) = 8x

! 7x (1 + 17 ) = 8x

x ! 7x ( 7+1 7 )=8

! 7x ( 78 ) = 8x ! !

8 7 8 7

= =

8x 7x ( 87 )x

!1=x

Porque la función exponencial es biunívoca.

2. Sea el sistema de ecuaciones: ax + ay = 4 ax ay = 2 Si en el sistema anterior, a = 3, entonces x + y es igual a: a) 0

b) - 1

c) 2

d) 1

Si a = 3 entonces

3x + 3y = 4 3x 3y = 2

Eliminando 3x nos resulta 3x + 3y = 4 3x + 3y = 2

2 (3y ) 3y log 3y y log 3 y y

= = = =

2 1 log 1 log 1 log 1 = log 3 = 0

1

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Sustituyendo y en una de las ecuaciones originales tenemos 3x 3y 3x 30 3x 1 3x 3x x

= = = = = =

2 2 2 2+1 3 1

Luego hacemos la suma x + y = 1 + 0 = 1 3. En la ecuación exponencial 2x+2 + 2x+3 + 2x+4 + 2x+5 + 2x+6 = 31 la solución es: a)

1 2

b)

1 3

c)

2

d)

1 5

2x+2 + 2x+3 + 2x+4 + 2x+5 + 2x+6 2x 22 + 2x 23 + 2x 24 + 2x 25 + 2x 26 2x (22 + 23 + 24 + 25 + 26 ) 2x (4 + 8 + 16 + 32 + 64) 2x (124)

= = = = =

2x

=

log 2x

=

x log 2

=

x = x =

2

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31 31 31 31 31 31 124 1 log 4 1 log 4 log 14 log 2 2


4. Si en la expresión 2x = P , entonces 4 a) 2p

b) p

2

4

c) p

1

es igual a:

d) 4p

2x = P

1

!2=P

Porque la función exponencial es biunívoca, lo que implica que para números reales x1 y x2 : 1) Si x1 6= x2 , entonces ax1 6= ax2

2) Si ax1 = ax2 , entonces x1 = x2

4

1

= (2)

2

=P

2

10

x

5. El valor de x en la expresión y=

10x 2

está dado por: p p p a) log(y 2 + 1) b) 10 y 2 + 1 c) log(y + y 2 + 1) d) sen2(y y 2 )

y 2y

10x

10

x

2 x

= 10

1 10x

10x 10x 1 10x x x 2 (2y) 10 = (10 ) 1 x 10 2y 1 = 0 ( ) 2y

(10x )2

=

Haciendo la sustitución u = 10x en u2

=

se tiene:

2yu

1=0

Resolviendo utilizando la fórmula cuadrática haciendo: a = 1; b = 1

3

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2y; c =


u1;2

=

u1;2

=

u1;2

=

u1;2

=

u1;2

=

p

b2 4ac 2a p 2y) ( 2y)2 2(1) p 2 4y + 4 2 p 4y 2 + 4 p2 4(y 2 + 1) 2

(b) ( 2y 2y 2y

u1;2 u1;2 u1;2

4(1)( 1)

p 2 y2 + 1 2 p y 2 + 1) 2(y = p 2 y2 + 1 = y =

2y

Sustituyendo u = 10x en la última ecuación, se tiene: p y2 + 1 p y 2 + 1) log 10x = log(y p x log 10 = log(y y 2 + 1) p x = log(y y 2 + 1) 10x

6. Si f (x) =

a) 0

ex +e 2

b) 5

x

= y

entoces f (ln 2) es:

c)

5 4

d)

3 4

f (x)

=

f (ln 2) = f (ln 2) =

ex + e x 2 eln 2 + e 2 2 + 12 2 4

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ln 2


por propiedad: eln x = x 5 2

f (ln 2) =

2 5 4

f (ln 2) =

7. El valor de x en la ecuación: a(3x+1)(2x

a) x = 2

b) x = 2

2)

2

= a2x

c) x =

11 4

+5 4x2 +4

a

d) x = 1 2

2

a(3x+1)(2x 2) = a2x +5 a4x 2 2 a6x 4x 2 = a6x +9 6x2 4x 2 = 6x2 + 9

+4

ya que las bases son iguales 6x2

8. Si 33

25 = 4

a) 3

b) 9

4x 4x

2 = 6x2 + 9 2 = 9 4x = 11 11 x = 4

6m , entonces m2 es: c)

3 d) 6 33 33

25 25 22

33 23 (3 2)3

= 4

6m

= 6m = (3x2)m = (3 2)m

como las bases son iguales, entonces: 3 = m; de donde 9 = m2

5

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9. La respuesta al resolver la ecuación 4x+1 + 2x+3 = 320 es: a) x =

2 b) x =

3 c) x = 3 d) x = 2 4x+1 + 2x+3 = (22 )x+1 + 2x 23 = 22x 22 + 2x 8 = 4(2x )2 + 8(2x ) =

320 320 320 320

Haciendo u = 2x , sustituimos en la última ecuación: 4(2x )2 + 8(2x ) = 320 ! 4u2 + 8u

320 = 0

resolviendo usando la forma cuadrática con: a = 4; b = 8; c =

u1;2

p 64 4(4)( 320) 2(4) p 64 + 5120 p8 5184 8 72

8

=

8

=

8

=

8

=

320

8

Así, u1 =

64 8 + 72 = =8 8 8

^

u2 =

Tomando del valor positivo: 2x log 2x x log 2

= 8 = log 8 = log 8 log 8 x = log 2 x = 3

6

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8

72 8

=

80 = 8

10


10. La solución de la ecuación 5x + 5x+2 + 5x+4 = 651 es: a) x = 1 b) x = 2

c) x = 0

d) x =

1

5x + 5x+2 + 5x+4 = 651 5x + 5x 52 + 5x 54 = 651 5x + 25(5x ) + 625(5x ) = 651 5x (1 + 25 + 625) = 651 5x (651) = 651 651 5x = 651 5x = 1 Aplicando logaritmo: 5x log 5x x log 5

= 1 = log 1 = log 1 log 1 x = log 5 x = 0

11. La solución de 84x a) x = 2 b) x = 3

8

9=

8 es:

c) x = 1 84x

8

9

4x 8

8 84x

8

d) x =

= 8 = 8+9 = 1

Aplicando logaritmo: 84x 8 = 1 log 84x 8 = log 1 (4x 8) log 8 = log 1 log 1 4x 8 = log 8 4x 8 = 0 7

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2


4x = 8 8 x = 4 x = 2

12. Una expresión equivalente a 1 (3 loga x 2

5 loga y

30 loga z)

es igual a: a) loga

3x 5y+30z

1 (3 loga x 2

b) loga

x3 y 5 +30z

c) loga

5 loga y

30 loga z) !

x3 1 (loga 5 2 y

loga z 30 ) !

1 (loga x3 loga y 5 2 1 x3 (loga 5 30 ) 2 y z

x3 1 loga ( 5 30 ) 2 ! loga y z

13. Sea la expresión ln

q

ab e2

3x y 5 +30z

s

d) loga

q

x3 y 5 z 30

loga z 30 )

x3 y 5 z 30

y conociendo los valores de ln a = 0:6 y ln b = 2:4

entonces la solución es: c) e2 a) e b) 1e q 1 1 (ab) 2 ! ln ! ln(ab) 2 ln ab 2 e e

1 2 (3)

1!

!

3 2 2

!

d)

p

e

ln e ! 12 (ln a+ln b) ln e ! 21 (0:6+2:4) 1 !

1 2

8

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14. El log(a + b)2

log(a + b) es igual a:

a) log 2

b) log(a + b)

log(a + b)2

c) log a + log b

log(a + b)

= 2 log(a + b) = log(a + b):

15. Siendo log m = 13 (log x + log y a) 13 (xy

z)

b)

log m = log m = log m =

d) log a + 3 log b

log(a + b)

log z) entonces m es igual a:

1 xy 3 z

c)

p 3 xy z

d) x + y

z

1 (log x + log y log z) 3 1 (log(xy) log z) 3 xy 1 (log ) 3 z

xy 1 log m = log( ) 3 rz xy log m = log 3 z r xy m = 3 z

logb y 2 + logb xy 2 es igual a:

16. El resultado de realizar logb x a) x2 logb y

logb x

b) x logb y 2

logb y 2 + logb xy 2 ! logb

c) logb x2

d) x logb y

x x + logb xy 2 ! logb 2 xy 2 ! logb x2 y2 y

9

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17. Al resolver log(9x a) x = 2

5) = log(x

b) x = 4

1) + 1 el valor de x es:

c) x = 1

log(9x

5)

log(x 9x log( x 9x x

d) x = 5

1) = 1 5 ) = 1 1 5 = 10 1

ya que loga x = y $ x = ay

log10 10 = 1 $ 10 = 101

9x 5 9x 10x x x

= 10x 10 = 10 + 5 = 5 = 5

18. El valor de 13log13 (8+5) es: a) 26 b) (13)2

c) 13

d) (13)13

Propiedad: blogb x = x 13log13 (8+5)

= 13log13 (13) = 13

19. El valor de e1+ln 5 es: a) 5e

b) 1e c) e1 d) ln 5

Propiedad de logarítmos naturales: eln x = x e1+ln 5

= e eln 5 = e 5 = 5e 10

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20. Al simpli…car la expresión log5 16 log5 4 se obtiene: a) 5

b) 2 c) 4 d) log 4

Se tiene log5 16 = x ! 16 = 5y

log5 4 = y ! 4 = 5y ( )

^

Entonces: log5 16 = x ! log5 42 = x x 2 log5 4 = x ! log5 4 = 2 x = y por( ) 2 x = 2y Así:

log5 16 x 2y = = =2 log5 4 y y

21. La ecuación log(3

x2 ) = log 2 + log x

tiene por solución: a) x = 1 b) x = 2

c) x =

3

log(3 x2 ) = log(3 x2 ) = 3 x2 = x2 + 2x 3 =

(x + 3)(x

d) x1 =

2

log 2 + log x log 2x 2x 0

1) = 0 ! x + 3 = 0 x = 3; x = 1

Tomamos el valor positivo.

11

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_

x

1=0


22. En la expresión (log x)2 = 35

2 log x

el valor de x es: a) x = 105 b) x = 107

c) x1 = 10

5

d) x = 10

(log x)2 = 35 (log x)2 + 2 log x 35 = 0

7

2 log x

Haciendo u = log x ! u2 + 2u 35 = 0 (u + 7)(u 5) = 0 u+7 = 0 _ u 5=0 u=

7; u = 5

Tomado u = 5 ! log x = 5 ! 105 = x

ya que log x = y $ 10y = x

23. Si se aplica logarítmo a la ecuación 2x+1

5x = 9

el resultado es: a) log( 92 )

b) log( 29 )

c) log( 23 )

(2x+1 5x ) = 9 2x 2 5x = 9 2x 2 5x = 9 9 2x 5x = 2 9 x (2 5) = 2 9 10x = 2 9 2 9 x log 10 = log 2 9 x = log 2 log 10x

= log

12

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d) log( 53 )


24. Al despejar "t" en L = M at=N a) t = N loga

L+P M

P;obtenemos:

b) t = N loga

M +P L

c) t = N loga L+M P

t = loga ( L MM ) L L+P L+P M L+P loga ( ) M

= M at=N = M at=N

P

= at=N =

t N

prop: loga x = y $ ay = x N loga (

L+P )=t M

25. La forma logarítmica de la expresión e2t = 3

x

es: a) log(3 x) = 2t 2t

e2t ln e2t 2t t

b) ln (3 2 x) = t

= 3 x = ln(3 x) = ln(3 x) ln(3 x) = 2

c) 2 log(3 x) = t

aclaración t =

d) ln(3 x) =

ln(3 x) 3 x 6= t = ln 2 2

La respuesta correcta es d)

13

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d)


26. El conjunto solución de la ecuación 3(3x ) + 9(3

x

) = 28

es: a) f 1; 2g

b) f 1; 0g

c) f0; 1g

3(3x ) + 9(3

d) f2g

x

) = 28 9 3(3x ) + x = 28 3

Hacemos u = 3x Entonces: 9 = 28 u 3u2 + 9 = 28 u 2 3u + 9 = 28u 28u + 9 = 0 3u +

3u2

u1;2 =

( 28)

=

28

28 + 26 6

( 28)2 2(3)

4(3)(9)

p

784 108 6 p 28 676 = 6 =

u1 =

p

28

26 6

^

28

u2 =

26 6

54 6

=

2 6

=9

=

1 3

=

3x = 9

3x =

14

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1 3


log 3x = log 9

log 3x = log

1 3

x log 3 = log 9

x log 3 = log

1 3

x=

log 3 =2 log 9

x=

log 13 = log 3

1

Sol = f 1; 2g 27. Al simpli…car la expresión (ex + e

x

)(ex + e x ) (ex e (ex + e x )2

x

)(ex

e

x

)

se obtiene: a)

ex e ex +e

x

(ex + e

=

=

b)

x

(ex +e 4

x 2

)

c)

ex +e ex e

x

d)

x

4 (ex +e

)(ex + e x ) (ex e x )(ex e x ) (ex + e x )2 (ex )2 + 2(ex )(e x ) + (e x )2 (ex )2 2(ex )(e (ex + e x )2

x )2

x

(ex )2 + 2(ex )(e

x

) + (e

x 2

)

(ex =

(ex )2 + 2(ex )(e + e x )2

2(ex )(e x ) + 2(ex )(e (ex + e x )2 =

4 (ex + e

x )2

15

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x

)

x

x

)

) + (e

(e

x 2

)

x 2

)


28. Al resolver la ecuación log(x3 ) = (log x)3 se obtiene que el conjunto solución es: n 3o n p o p c) 3 2 a) 1; 10 3 b) 3 10 d) 103 log(x3 ) = (log x)3 ! (log x)3

3 log x = 0

Haciendo u = log x u3

3u = 0

u(u2 u=0 log x = 0

3) = 0 u2

_

3=0

u2 = 3 ! u =

p

3 ! log x =

x = 100

x = 10 p

x=1

x = 10 n p o Sol = 1; 10 3

29. Qué valor de x veri…ca que log(x2 9) =1 log(x + 3) a) f4g

p

b) f3g

c) f 3g log(x2 9) log(x + 3)

d) f 4g

= 1

log(x2 9) = log(x + 3) x2 9 = x + 3 x2 x 12 = 0 16

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3

3 p

3

_ x = 10

p

3


(x

4)(x + 3) = 0 ! x

4=0

x = 4;

x=

_

x+3=0

3

Tomamos entonces x = 4

30. Al expresar "x" en términos de "y" en la expresión y=

ex + e ex e

x x

obtenemos: y+1 1

a) 12 e y

b) ln

q

y+1 y 1

y

=

y

=

y

=

y

=

ye2x y ye2x e2x

c) ex + e x ex e x ex + e1x ex e 1 x e2x +1 ex e2x 1 ex 2x

e +1 e2x 1 = e2x + 1 = y+1

e2x (y

1) = y + 1 y+1 e2x = y 1 y+1 ln e2x = ln( ) y 1 y+1 2x = ln( ) y 1 1 y+1 x = ln( ) 2 y 1 r y+1 x = ln ( ) y 1

17

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ln(y 1) e1 y

d)

y+1 y 1


Estadística y Probabilidades 1. El valor de la expresión

(n+2)! n!

es:

Recordemos la de…nición de factorial n! = 1

2

3

n

aplicando esta de…nición al numerador la expresión resulta (n + 2)! n!

2. Dada la ecuación

10 2

x2

2

(n + 2) (n + 1) n! n! = (n + 2) (n + 1) = n2 + 3n + 2

=

10 2

+

10 2

= 0, entonces el valor de x es:

Recordando la de…nición de combinatorio tenemos n r

=

n! r! (n r)!

calculamos entonces los coe…cientes 10 2

= = = =

10! 2! (10 2)! 10 9 8! 2! 8! 90 2 45

traduciendo la ecuación 45x2 2 (45) + 45 = 0 45x2 90 + 45 = 0 resolvemos la ecuación cuadrática, primero dividimos todo entre 45 x2 2 + 1 = 0 (x 1) (x 1) = 0 x = 1

1

_ x=1

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 3. Sabiendo que 8 4

7 7 + 3 x

=

que valor debe tener x : Aplicando nuevamente la de…nición de combinatorio tenemos, para cada término 8 4

8

=

7

6 4!

5 4!

4!

1680 = 24 = 70 ahora para el combinatorio

7 3

7 3

7! 3! (7 3)! 7 6 5 4! 3! 4! 210 6 35

= = = =

podemos replantear la ecuación como 70 =

35 +

35 =

7 x

7 x

entonces se trata de encontrar un combinatorio cuyo resultado sea 35; ya conocemos uno, a saber, 73 : Recordemos la siguiente propiedad de los números combinatorios n n = r n r de aquí podemos deducir que 35 =

7 x

=

7 3

=

7 7

3

=

7 4

de donde x = 4: 4. Un domador de …eras desea acomodar en …la a 5 tigres y 4 leones de modo que no queden dos tigres o dos leones juntos. Considerando que cada …era es distinta a las otras. ¿De cuántas formas distintas puede acomodar sus …eras?

2

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Considere el siguiente esquema, donde T representa a un tigre y L a un león

T

L

T

L

T

L

T

L

T

como cada tigre y león se consideran distintos entonces, el primero se puede elegir de 5 formas distintas, el segundo de 4, el tercero de 3, el cuarto 2 y el quiento de 1 en el arreglo anterior y de forma análoga para los tigres, como en el siguiente esquema T 5

L 4

T 4

L 3

T 3

L 2

T 2

L 1

T 1

por el principio fundamental del conteo las formas de elección estaria dado por 5

4

4

3

3

2

2

1 = 5 42 = 5 16 = 2880

1

32 22 1 9 4 1

5. El promedio de cinco números es 40. Al eliminar dos de ellos el nuevo promedio es 36. ¿cuál es el promedio de los dos números eliminados?

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 5 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 x1 + x2 + x3 + x4 + x5

= 40 = 5 (40) = 200

Ahora consideremos el promedio de tres números x1 + x2 + x3 3 x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3

= 36 = 3 (36) = 108

Bien, ahora nos interesa saber el promedio de los dos números restantes, es decir x4 + x5 2 3

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] entonces x1 + x2 + x3 + x4 + x5 5 x4 + x5 x4 + x5 x4 + x5 x4 + x5 2 x4 + x5 2

= 40 = 200 = 200 = 92 92 = 2

(x1 + x2 + x3 ) (108)

= 46

6. Los padres de Julio tienen una edad media de 49 años. El padre tiene ocho años más que la madre. Si la media entre la edad de Julio y la de su padre es 27 años, ¿Cuál es la edad de julio? Edad del padre: x + 8 Edad de la madre: x Luego el promedio de estas edades es 49, es decir (x + 8) + x 2 x+4 x x

2x + 8 2 = 49 = 49 4 = 45 =

Edad de Julio y y + (x + 8) 2 y + (x + 8) y + (45 + 8) y + 53 y y

=

27

= = = = =

54 54 54 54 1

53

7. En un conjunto de 5 números, el promedio de los primeros tres es 15 y el promedio de los últimos dos es 10. ¿Cuál es el promedio de los cinco números?

4

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Solución. Denotemos los cinco número en cuestión por x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 luego podemos escribir x1 + x2 + x3 3 x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3

= 15 = (15) (3) = 45

x4 + x5 2 x4 + x5

= 10 = 20

Entonces el promedio de los cinco números será x1 + x2 + x3 + x4 + x5 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 5 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 5

= = = =

45 + 20 65 65 5 13

8. En un examen un estudiante responde correctamente 15 de las 20 primeras presguntas y solo 13 de las restantes.Si la nota …nal es 50, y considerando que todas las preguntas son equiprobables. ¿cuántas preguntas tiene el examen? Solución. Denotemos por x el número de preguntas del examen, después de responder 20 (15 fueron correctas), las restantes serán x 20; como son equiprobables y su cali…cación …nal fue 50 podemos deducir entoneces que respondio el 50% del

5

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] examen o para nuestros …nes la mitad x2 ; así podemos plantear la ecuación lineal 1 (x 20) = 3 x 20 = 15 + 3 3 25 x + = 3 3 25 = 3 25 = 3

15 +

x = x =

x 2 x 2 x 2 x 2 x 6 25 3 50

x 3

(6)

9. La media de tres números x; y; z es a; a su vez la media de los cuadrados de esos mismos números es b: ¿cuál será la media aritmética de los productos dos a dos de esos números expresada en función de a y b? solución. Usemos la de…nición de media aritmética x+y+z 3 x2 + y 2 + z 2 3

= a (1) = b (2)

Como nos preguntan por elproedio del producto dos a dos, entonces debemos calcular xy + xz + yz 3 Consideremos la ecuación (1) x+y+z 3 x+y+z 2 (x + y + z) x2 + 2xy + 2xz + y 2 + 2yz + z 2 x2 + y 2 + z 2 + (2xy + 2xz + 2yz) 6

= a = = = =

3a 2 (3a) 9a2 9a2 (3)

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] consideremos ahora la ecuación (2) x2 + y 2 + z 2 3 2 x + y2 + z2

= b = 3b

sustituyendo en la ecuación (3) y reacomodando para optener los productos necesarios tenemos 3b + (2xy + 2xz + 2yz) = 9a2 3b (2xy + 2xz + 2yz) 9a2 + = 2 2 2 9a2 xy + xz + yz = 2 9a2 xy + xz + yz = xy + xz + yz

=

2 3 3a2 2

3b 2 3b b

ya hemos conseguido los productos necesarios, ahora como se trata de el promedio, entonces dividimos por 3 xy + xz + yz 3 xy + xz + yz 3 xy + xz + yz 3

= = =

3 3a2 b 2 3 3a2 b 3 2 3a2 b 2

10. La altura media de los jugadores de un equipo de baloncesto que hay en un cierto momento en la cancha es 197cm. El entrenador sienta a julio Ortíz (208cm) y saca a la pista a Miguel López (203cm). ¿Cuál es la altura media del equipo que está en la cancha? Solución. Teniendo presente que un equipo de baloncesto tiene 5 jugadores, podemos plantear lo siguiente x1 + x2 + x3 + x4 + 208 = 197 5 Para el equipo que está en la cancha, luego x1 + x2 + x3 + x4 + 208 = (197) (5) x1 + x2 + x3 + x4 + 208 = 985 x1 + x2 + x3 + x4 = 985 208 x1 + x2 + x3 + x4 = 777 7

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] luego para el relevo de 203cm tendriamos una media dada por x1 + x2 + x3 + x4 777 + 203 5 R.

= 777 = 196

a)

11. La cali…cación media que obtuvo una clase de veinte 20 estudiantes es 60. Ocho de ellos reprobaron con una cali…cación de 30 y el resto superó el 60. ¿Cuál es la nota media de los estudiantes aprobados? Solución. Según los datos podemos escribir: x1 + x2 + ::: + x20 20 Como x1 Y x9 ; x10; :::; x20 x1 + x2 + ::: + x8 x1 + x2 + ::: + x8

= 60 (1) = > = =

x2 = ::: = x8 = 30 60 (30)(8) 240

Sustituyendo esta última igualdad en (1) y calculando el promedio de x9; x10 ; :::; x20 resulta: 240 + x9 + x10 + ::: + x20 x9 + x10 + ::: + x20 x9 + x10 + ::: + x20 x9 + x10 + ::: + x20 12 x9 + x10 + ::: + x20 12 R.

= 1200 = 1200 = 960 960 = 12

240

= 80

c)

12. En una urna hay 10 bolas enumeradas del 0 al 9. Se extrae una, se anota el número y se introduce de nuevo en la urna. Esta operación se repite tres veces hasta formar un número de tres cifras. Si la media de las tres cifras es 6 y la moda 8, ¿cuál es el mayor número y el menor número que se puede formar? Solución.

8

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Denotemos las 10 cifras por x0 ; x2 ; : : : ; x9; el promedio de las tres cifras que se sacan es 6; digamos sin perdida de generalidad que se sacaron las cifras x0 ; x1 ; x2 ; entonces x0 + x1 + x2 =6 3 y la moda de éstos mismos numeros es 8; por de…nición de moda resultan dos casos posibles, primero que x0 = x1 = x2 = 8; lo que no es posible, porque de ser cierto el promedio no sería 6. El segundo caso es x0 = x1 = 8 6= x2 ; de aquí resulta que 8 + 8 + x2 3 16 + x2 3 16 + x2 x2 x2

= 6 = 6 = 18 = 18 = 2

16

luego el mayor número que se puede formar es 882 y el menor 288: 13. En la clase de matemática, un grupo de estudiantes de secundaria tiene una cali…cación media de 62.5. Las mujeres tienen un promedio de 67.5, en cambio los varones tienen 52.5. ¿Cuál es la razón de mujeres y varones en la clase? Solución Según los datos del problema: x = xm = xv = n =

62:5 la media de todo el grupo 67:5 media del grupo de mujeres 52:5 media del grupo de varones n + n, n número de mujeres y n el de varones

Podemos plantear las siguientes relaciones: x1 + x2 + ::: + xn n x1 + x2 + ::: + xn

= 62:5 = n(62:5) (1)

Aplicando la de…nición de media al grupo de mujeres y al de varones tenemos: x1 + x2 + x1 + x2 +

+ xn + xn

9

= n(67:5) = n(52:5)

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Como n = n + n, entonces podemos sumar las dos igualdades anteriores y resulta que es exactamente la igualdad (1), es decir: n(67:5) + n(52:5) n(67:5) + n(52:5) n0 (67:5 62:5) n(5) n0 n00 n0 n00 n0

= = = =

n(62:5) n0 (62:5) + n(62:5) n(62:5 52:5) n00 (10) 10 = 5 = 2 = 2n00

Lo que signi…ca que las alumnas son el doble de los alumnos. 14. En los tres primeros sistemáticos de matemáticas, Pablo obtuvo una cali…cación media de 76 ¿Qué cali…cación debe obtener en las dos próximas evaluaciones para que la nota media total ascienda a 80? Solución. De la de…nición de media aritmética podemos plantear x1 + x2 + x3 3 x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3

= 76 = (3) (76) = 228

luego calculamos la nota que debe obtener para terminar con 80 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 5 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 228 + x4 + x5 x4 + x5 x4 + x5 x4 + x5 2 x4 + x5 2

=

80

= = = = =

5 (80) 400 400 400 228 172 172 2

=

= 86

como mínimo deberá obtener 86 en cada evaluación.

10

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 15. ¿Cuál de los números de la siguiente lista debería quitarse para que la media de los que quedaran fuera 15.25? 7; 12; 15; 21; 27 Solución La media de los números dados en la lista es: 7 + 12 + 15 + 21 + 27 = 16:4 5 Denotamos los números de la lista en la forma: x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 , así se tiene: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 5 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 x1

=

16:4

= = =

(5)(16:4) 82 82 (x2 + x3 + x4 + x5 ) (1)

Si la media de los números restantes debe ser 15.25, se tiene que: x2 + x3 + x4 + x5 4 x2 + x3 + x4 + x5 x2 + x3 + x4 + x5

= 15:25 = (4)(15:25) = 61

Sustituyendo esta última ecuación en (1), se tiene: x1 x1

= =

82 21

61

16. Cuando un profesor lleva corregidos los seis primeros exámenes de una clase, la nota media es 84 puntos. Al corregir el séptimo, la nota media se incrementa a 85 puntos. ¿Qué cali…cación se obtuvo en el séptimo examen? Solución. Por de…nición de media aritmética tenemos x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 6 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6

11

=

84

= =

(6) (84) 504

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] despues del séptimo examen tenemos una media de x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 7 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7

=

85

= =

(7) (85) 595

luego la nota del séptimo examen es x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 x7 x7 x7

= = = =

595 595 595 91

(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ) (504)

17. En un examen de matemática aprobó el 60% de los estudiantes de una clase. A un examen de recuperación se presentan la mitad de los reprobados. De éstos, el 50% aprueban. Si en total aprobaron 28 alumnos, ¿Cuántos han reprobado? Solución Sea x el número de los estudiantes de la clase. Entonces planteamos las siguientes relaciones: (0:6)(x) (0:4)(x) (0:4)(x) 2 (0:4)(x) (0:5) 2

: :

estudiantes aprobados estudiantes reprobados

:

van a examen de recuperación

: aprueban el examen de recuperación

Establecemos la siguiente ecuación y resolvemos: (0:4)(x) (0:5) = 28 2 (0:6)(x) + (0:1)(x) = 28 (0:7)(x) = 28 28 x = 0:7 x = 40

(0:6)(x) +

El número de reprobados sería: el número de reprobados en la clase menos el número de aprobados en el examen de recuperación, así planteamos y resolvemos

12

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] la ecuación: (0:4)(x)

(0:1)(x) = (0:3)(x) = (0:3)(40) = 12

18. Considere los puntos (x; y) sujeto a las condiciones 0 Determine la probabilidad de que d = x y > 3:

x

3; 2

y

0:

Solución. Consideremos que x y y toman sólo valores enteros, entonces X Y Al hacer el producto X

= f0; 1; 2; 3g = f 2; 1; 1; 0g

Y; resulta

X Y = f(0; 2) ; (0; 1) ; (0; 0) ; (1; 2) ; (1; 1) ; (1; 0) ; (2; 2) ; (2; 1) ; (2; 0) ; (3; 2) ; (3; 1) ; (3; 0)g Luego los que cumplen con la condición d = x

y > 3; son los puntos

f(2; 2) ; (3; 2) ; (3; 1)g Al aplicar le de…nición de probabilidad clásica resulta que P (E) =

3 1 = 12 4

19. En una prueba de matemáticas, 18 estudiantes respondieron correctamente a la primera pregunta, 23 respondieron correctamente a la segunda, 8 respondieron correctamente a las dos preguntas y 11 respondieron incorrectamente a las dos preguntas. ¿Cuántos estudiantes participaron en la prueba? Solución. Resumimos los datos del problema en la siguiente tabla 1ra pregunta 2da Pregunta ambas

Correcto 18 23 8

13

Incorrecto

11

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Primero necesitamos determinar cuántos contestan únicamente la primera y la segunda pregunta, es decir eliminar las personas que contestaron ambas preguntas para no contar dos vees a un estudiante, como sigue 18 + 23 = 41 41 8 = 33 33 estudiantes respondieron correctamente una de las dos preguntas, ahora sumamos quienes no respondieron ninguna correcta. 33 + 11 = 44

20. Supongamos que A y B son eventos con P (A) = 0:7; P (B) = 0:5 y P (A \ B) = 0:4: ¿Cuál es la probabilidad que ocurra A pero no ocurra B? Solución. Recordemos el teorema sobre la probabilidad de que ocurra cualquiera de dos eventos esto es P (A [ B) = P (A) + P (B)

P (A \ B)

Luego ésta probabilidad es P (A [ B) = 0:7 + 0:5 P (A [ B) = 0:8

0:4

0:8 es probabilidad de la ocurrencia de uno de los dos eventos, pero no nos dice cuál de los dos, así que la probabilidad de que ocurra A; será la probabilidad de ambos menos la probabilidad de B; es decir P (A [ B)

P (B) = 0:8 = 0:3

0:5

21. Tenemos un dado cargado en el que la probabilidad de obtener un número es proporcional a ese número. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar? Solución

14

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Recordemos que la suma de las probabilidades siempre debe ser 1, es decir n X

P (Ei ) = 1

i=1

Como cada número es proporcional a sí mismo el espacio muestral (S) será: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 De la de…nición de probabilidad y considerando que cada número es proporcional a sí mismo, se tiene que: 1 )= 21 1 P (3) = 3( ) = 21 1 P (5) = 5( ) = 21

P (1) = 1(

1 21 3 21 5 21

Finalmente la probabilidad de obtener un número impar es: P (1 [ 3 [ 5) = = =

3 5 1 + + 21 21 21 9 21 3 7

22. En un grupo de diez personas, dos tienen un peso de 60 kg, tres tienen un peso de una vez y media más que el de los anteriores y cuatro tienen un peso 15 menor que la media del grupo. ¿Cuál es el peso de la décima persona si el peso medio del grupo es de 70 kg? Solución Del grupo dos pesan 60 kg;tres pesan 90 kg ya que es una vez y media más que 60 kg: Los otros cuatro pesan 15 (70) = 14: Así que: 60 + 60 + 90 + 90 + 90 + 14 + 14 + 14 + 14 + x10 10 614 + x10 10 614 + x10 x10 x10

15

= 70 = 70 = 700 = 700 = 86

614

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 23. Sean A y B dos sucesos tales que P (A) = 38 ; P (B) = Entonces P (A \ B) vale:

1 2

y P (A \ B) = 14 :

Solución Por el teorema de la probabilidad el complemento se tiene: P (A) + P (A) = P (A) =

1 1

P (A) =

1

P (A) =

8 8

P (B) + P (B) = P (B) =

5 8 1 1

P (B) =

1

P (B) =

1 2

P (A) =

P (A) 3 8 3

P (B) 1 2

Por la probabilidad de uno de dos eventos, se tiene: P (A [ B)

= P (A) + P (B) 3 1 1 + = 8 2 4 3+4 2 = 8 5 = 8

P (A \ B)

Teniendo presente las leyes de D’Morgan, podemos escribir: A[B = A\B P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B) = P (A) + P (B)

P (A \ B) P (A [ B)

Calculamos ahora P (A[B) utilizando las leyes de D’Morgan (A [ B = A\B)

16

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] y la probabilidad del complemento, se tiene: A[B = A\B P (A \ B) = 1 P (A \ B) 1 = 1 4 3 = 4 Finalmente: P (A \ B)

= P (A) + P (B) 5 1 3 = + 8 2 4 3 = 8

P (A [ B)

24. De una caja que contiene 3 mangos, 2 naranjas y 4 jocotes se extrae una fruta al azar. La probabilidad que sea mango o naranja es: Solución. En total son 9 frutas, es decir que el espacio muestras S = 9; denotemos mango (M), naranjas (N) y jocote (J), luego las probabilidades serán, P (M )

=

P (N )

=

P (J) =

3 1 = 9 3 2 9 4 9

luego la probabilidad que sea mango o naranja es P (M [ N ) =

1 2 5 + = 3 9 9

25. Entre 5 profesores y 4 estudiantes se tiene que formar un grupo ambientalista de 3 miembros. ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 sean estudiantes? Solución.

17

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Tenemos en total 9 personas, las cuales serán seleccionadas en grupos de tres, entonces las formas de hacer estas elecciones está dado por la combinación 9 3

9! = 84 3! (9 3)!

=

con los cuatro estudiantes se pueden formar exactamente 4 3

=

4! =4 3! (4 3)!

luego por de…nición de probabilidad resulta que P (E) =

4 1 = 84 21

26. Se tiran dos dados al aire una sola vez. La probabilidad que la suma de los puntos sea 8 es: Solución Construyamos el espacio muestral como sigue 1 2 3 4 5 6

1 (1; 1) (2; 1) (3; 1) (4; 1) (5; 1) (6; 1)

2 (1; 2) (2; 2) (3; 2) (4; 2) (5; 2) (6; 2)

3 (1; 3) (2; 3) (3; 3) (4; 3) (5; 3) (6; 3)

4 (1; 4) (2; 4) (3; 4) (4; 4) (5; 4) (6; 4)

5 (1; 5) (2; 5) (3; 5) (4; 5) (5; 5) (6; 5)

6 (1; 6) (2; 6) (3; 6) (4; 6) (5; 6) (6; 6)

Las parejas que suman 8 son (2; 6) ; (3; 5) ; (4; 4) ; (5; 3) ; (6; 2) y de la de…nición de probabilidad tenemos P (E) =

5 36

27. En una distribuidora, el 75% de las compras hechas en un día cualquiera supera C$ 200.00. Se sabe que el 56% de las compras son hechas por mujeres y además superan C$200.00; y también que el 30% de las compras son hechas por hombres. La información en una tabla queda de la siguiente manera. 18

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Solución. Analizando la información y organizándola en una tabla de doble entrada resulta Hombres 0.19 0.11 0.30

Superior a los C$ 200 Inferior a los C$ 200 Total

Mujer 0.56 0.14 0.70

Total 0.75 0.25 1

28. Tres autos A,B y C compiten en una carrera; A tiene el doble de probabilidad de ganar que B, y B tiene el doble de probabilidad de ganar que C. ¿Cuál es la probabilidad que B o C ganen? Solución. Si cada auto tuviera la misma probabilidad de ganar, ésta sería de: 13 : Con estas condiciones, A tiene 4 posibilidades de ganar, B dos y C una posibilidad de ganar, luego el espacio muestral es el conjunto de todas las posibilidades, es decir: 4 + 2 + 1 = 7: De la de…nición de eventos mutuamente excluyentes tenemos que: P (B [ C) = P (B [ C)

=

2 1 + 7 7 3 7

29. Seis parejas casadas se encuentran en una habitación. Dos personas se eligen al azar. ¿Cuál es la probabilidad que uno sea hombre y la otra mujer? Solución. Para el espacio muestral debemos calcular todas las combinaciones posibles de parejas que pueden hacerse, esto es el combinatorio: 12 2

= 66

Luego, cada hombre puede emparejarse con cada una de las seis mujeres, es decir, cada hombre puede formar seis parejas distintas y son seis hombre, en total habrán 36 parejas distintas de hombre y mujeres, luego aplicando la de…nición de probabilidad tenemos que: P (E) =

36 6 = 66 11

19

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 30. En una caja se depositan dos …chas con el número 12 inscrito encima, dos con el 1 y dos con el 2. El experimento consite en extraer una …cha, escribir el primer número extraído que servirá como coe…ciente principal de un polinomio cuadrático y luego devolverla a la caja, extraer una segunda …cha y utilizarla como coe…ciente del término lineal; el último número extraído será el término independiente. La probabilidad de formar el polinomio 1 2 2 x + 2x + 1: Solución. Cada coe…ciente del polinomio dado tiene tres posibilidades de ser elegido, luego el espacio muestral es 27. Como el polinomio 12 x2 + 2x + 1 sólo puede formarse de una manera y por la de…nición de probabilidad se tiene: P (E) =

20

1 27

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Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Sucesiones 1. Dada la sucesión sin n2 a)

1

la suma de los primeros 5 términos es: b) 1

c)

2

d) 2

Solución. Para Para Para Para Para

n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5,

se se se se se

tiene: tiene: tiene: tiene: tiene:

sin 2 = 1 sin = 0 sin 32 = 1 sin 2 = 0 sin 52 = 1

La suma de estos términos es: 1 + 0 R:

1+0+1=1

b)

2. El valor de la suma de los múltiplos de 8 entre 7 y 792 es: a) 19; 600

b) 29; 600

c) 39; 600

d) 49; 600

Solución. La sucesión presentada es aritmética, ya que la diferencia común (d) es 8: Se tiene: a1 = 8 y an = 792. Encontrando el valor de n, con la expresión del n-ésimo término de una sucesión aritmética: an 792 792 8 8 98 n

= a1 + (n 1)d = 8 + (n 1)8 = n

1

= n 1 = 99

Utilizamos la expresión para encontrar la n-ésisma suma parcia Sn :

R:

Sn

=

S99

=

S99

=

S99

=

n (a1 + an ) 2 99 (8 + 792) 2 99 (800) 2 39600

c)

1

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Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 3. El término n-ésimo de la sucesión in…nta de…nida recurrentemente por x1 = 3; es: a) 3(4n )

xk+1 = 2xk

parak

c) 3( 12 )n

b) 2n

1

d) 3(2n )

Solución. Con los datos dados se tiene: k = 1; 2; 3; 4; :::; n Entonces: x1 = 3 x2 = 2(3) = 6 = 3(2) x3 = 2(6) = 12 = 3(4) = 3(2)2 x4 = 2(12) = 24 = 3(8) = 3(2)3 De lo anterior puede verse que: Xn = 3(2)n R:

d)

4. La sucesión de Fibonnaci se de…ne recurrentemente por ak+1 = ak + ak

1

; 8k

2

a1 = a2 = 1 La diferencia entre el séptimo y el tercer término es: a) 7 b) 9 c) 10

d) 11

Solución. Los datos dados son: ak+1 = ak + ak

1

; 8k

2

^

a1 = a2 = 1

Entonces: a1 = a2 = 1 a3 = a2+1 = a2 + a1 = 1 + 1 = 2

2

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a4 = a3+1 = a3 + a2 = 2 + 1 = 3 a5 = a4+1 = a4 + a3 = 3 + 2 = 5 a6 = a5+1 = a5 + a4 = 5 + 3 = 8 a7 = a6+1 = a6 + a5 = 8 + 5 = 13 Así: a7 R:

a3 = 13

2 = 11:

d)

5. Si fan g es una sucesión aritmética, a3 = 24 y a10 = 66, su primer término es: a) 12

b) 17

c) 22

d) 27

Solución. Utilizando la expresión del n-ésimo término de una sucesión aritmética: an = a1 + (n

1)d

a10 = 66 66 = a1 + (10 66 = a1 + 9d

1)d ( )

a3 = 24 24 = a1 + (3 24 = a1 + 2d

1)d ( )

Eliminando d de ( ) y ( ) nos queda: 84 = a1 R:

=

7a1 84 ! a1 = 12: 7

a)

3

Page 4

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 6. Encuentre la solución a la ecuación 2 + 5 + 8 + ::: + x = 155 a) 28

b) 30

c) 29

d) 27

Solución. Según 2 + 5 + 8 + ::: + x = 155. Puede verse que: a1 = 2, an = x ^ d = 3 Por tanto es una sucesión aritmética. De la expresión para encontrar la n-ésima suma parcial Sn : Sn =

n (a1 + an ) 2

se tiene: 155 =

n (2 + x) 2

310 = 2n + nx

( )

De la expresión del n-ésimo término de una sucesión aritmética: an = a1 + (n

1)d

se tiene: x = 2 + (n x = 2 + 3n 1 = 3n

x

1)3 3 ( )

Eliminado x de ( ) y ( ), se tiene: 3n2 + n 310 = 0, factorizando la última expresión: p 1 1 4(3)( 310) n1;2 = 2(3) p 1 3721 n1;2 = 6 n1;2

=

n1

=

1

61 6 1 + 61 = 10 ^ n2 = 6

Tomando el valor positivo n1 = 10:Se tiene: an = a1 + (n

4

1)d

1

61 6

=

10

1 3

Page 5


x = a1 + (n

1)d

x = 2 + (10

1)3

x = 2 + 27 x = 29 R:

c)

7. La razón de la sucesión geométrica que se obtiene al insentar 3 términos entre 5 y 80 es: a) 16

b)

75

c)

2

d) 4

Solución. Al agregar 3 términos desde 5; 80 queda en la quinta posición. Por lo tanto n = 5:Utilizando la fórmula del n-ésimo término de una sucesión geométrica: an = a1 rn

1

Se tiene: an 80 80 5 r r R:

= a1 rn 1 = 5r5 1 = r4 p 4 = 16 = 2

c)

8. La suma de los 5 primeros términos de una sucesión aritmética de enteros positivos es un número entre 71 y 79. ¿Cuál es el tercer término? a) 11 b) 15 c) 5 d) 20 Solución. Usando la expresión para encontrar la n-ésima suma parcial Sn = n2 (a1 +an ) Se tiene: S5 = 52 (a1 + a5 ). Esto nos indica que S5 debe ser múltiplo de 5. Así que S5 = 75: De lo anterior:

5

Page 6

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 5 (a1 + a5 ) 2

75 = 150 5 a1 + a5

= a1 + a5 =

30

Se sabe que: d = a5 d = a4 d = a3 d = a2

a4 a3 a2 a1

(1) (2) (3) (4)

Eliminando d de (2) y (3); nos queda: 0 = a4

2a3 + a2 ! a2 = 2a3

a4

( )

Como a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 75 y a1 + a5 = 30, entonces: a2 + a3 + a4 = 45: Sustituyendo ( ) en esto último, tenemos: 2a3

R:

a4 + a3 + a4 a3

= =

45 ! 3a3 = 45 15

b)

9. En una sucesión aritmética con términos a29 = 625 y a9 = 225, entonces el término a41 es: a) 665

b) 765

c) 865

d) 965

Solución. Usando al expresión an = a1 + (n a29 = a1 + (29 a9 = a1 + (9

1)d se tiene:

1)d ! 625 = a1 + 28d (1) 1)d ! 225 = a1 + 8d (2)

Eliminando a1 de (1) y (2) nos queda: d = 20: Hallando el valor de a1 :De (2) se tiene: 225 = a1 + 8(20) 225 = a1 + 160 a1 = 65: 6

Page 7

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Usando al expresión an = a1 + (n a41 a41 a41 R:

1)d con a41 se tiene:

= 65 + (41 = 65 + 800 = 865

1)(20)

c)

10. El primer término de una sucesión aritmética es 1 y la media aritmética de sus n primeros téminos es igual a n. ¿Cuál es el trigésimo cuarto término? a) 11 b) 43 c) 111 d) 67 Solución. Usando al expresión an = a1 + (n

1)d tenemos:

a1 = 1 a2 = 1 + (2

1)d ! a2 = 1 + d

a3 = 1 + (3

1)d ! a3 = 1 + 2d

Como la suma de los n términos es n, se tiene: a1 + a2 + a3 3 1 + (1 + d) + (1 + 2d) 3 3 + 3d 3d d

= 3 =

3

= = =

9 6 2

Así que: a34 = 1 + (34

1)(2)

a34 = 1 + 66 a34 = 67 R:

d)

7

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Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 11. La suma de los primeros 10 términos y la suma de los primeros cien términos de una sucesión aritmética dada son cien y diez respectivamente. Encuentre la diferencia de dicha sucesión. a)

11

11 50

b)

c)

111 50

d) 50

Solución. De los datos dados: a1 + a2 + a3 + ::: + a10 = 100 a1 + a2 + a3 + ::: + a100 = 10 Usamos la ecuación para la n-ésima suma parcial Sn =

n (a1 + an ) 2

En ( ), se tiene: 10 (a1 + a10 ) 2 20 = a1 + a10

100 =

a10 = 20

a1

(i)

En ( ), se tiene: 10 = 1 5 a100

100 (a1 + a100 ) 2

= a1 + a100 =

1 5

a1

(ii)

Usamos la ecuación para el n-ésimo término an = a1 + (n

1)d

En ( ), se tiene: a10 = a1 + (10

1)d

a10 = a1 + 9d

(1)

En ( ), se tiene: a100 = a1 + (100

1)d

a100 = a1 + 99d

(2)

8

( ) ( )

Page 9

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Eliminando a1 de (1) y (2), tenemos: a100

a10 = 90d

(3)

Sustituyendo (i) y (ii) en (3), tenemos: (

1 5

a1 )

(20

1 5

20 = 90d 11 50

d= R:

a1 ) = 90d

b)

12. En una sucesión aritmética dada, el primer término es 2, el último término es 29 y la suma de todos los términos es 155. La diferencia común es: a)

5

b)

3

c) 5

d) 3

Solución. Con la ecuación para la n-ésima suma parcial Sn = n: n (a1 + an ) 2 n 155 = (2 + 29) 2 310 = n(31)

Sn =

n = 10 Usamos la ecuación para el n-ésimo término an = a1 + (n

1)d:

an = a1 + (n

1)d

29 = 2 + (10

1)d

27 = 9d d = 3: R:

d)

9

n 2 (a1 + an ),

encontramos

Page 10

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 13. ¿Cuántos términos de la sucesión su suma sea 570? a) 11

11; 4; 3; 10; ::: hay que tomar para que

b) 13

c) 15

d) 17

solución. Hallando d, de la sucesión: 4

( 11) =

3

4 + 11 = 7

( 4) = 3 + 4 = 7

Así, d = 7: Lo que muestra es una sucesión aritmética. Como Sn = 570, entonces: 570 = 1140 = Usando an = a1 + (n

n (( 11) + an ) 2 11n + nan

( )

1)d, se tiene: an =

11 + (n

an = 7n

1)(7)

18( )

Sustituyendo ( ) en ( ), se tiene: 1140 =

11n + n(7n

18)

1140 =

11n + 7n2

18n:

7n2

29n

1140 = 0

Resolviendo con la fórmula cuadrática: a = 7; b = 1140 p ( 29) ( 29)2 4(7)( 1140) n1;2 = 2(7) p 29 32761 n1;2 = 14 29 181 n1 = 14

10

29

y

c =

Page 11


n1 =

29 181 29 + 181 = 15 ^ n2 = = 14 14

10:85:::

Tomamos el valor positivo n1 = 15: R: c)

14. El término general de la sucesión geométrica dada por 13 ; 1; 3; 9; ::: es: a) 3n

1

b) 3n

2

c) 3n

3

d) 3n

Solución. Encontrar el valor de la razón: r=1

1 = 3; 3

r=3

1 = 3;

r=9

3 = 3:

Utilizando la fórmula del n-ésimo término de una sucesión geométrica: an = a1 rn

1

an = a1 rn

1

1 n 3 3

1

an = an = 3

1 n 1

3

an = 3n R:

b)

11

2

4

Page 12

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 15. En una suscesión geométrica de números reales, la suma de los primeros dos términos es siete y la suma de los primeros seis es noventa y uno. La suma de los primeros cuatro términos es: a) 48

b) 18

c) 38

d) 28

Solución. De los datos dados: a1 + a2 = 7 a1 = 7

a2 :

Utilizando la expresión para la n-ésima suma parcial Sn de la sucesión geométrica: Sn = a1 7 = a1

1 rn 1 r

1 r2 1 r

r) = a1 (1 a1 (1 1 r =

r2 ) r2 )

7(1

( )

1 r6 1 r r) = a1 (1 r6 ) (

91 91(1

7

= a1

Sustituyendo ( ) en ( ), tenemos: 91(

r2 )

a1 (1 7

) = a1 (1

13(1

r2 ) = (1

r6 )

13

13r2 = 1

r6

13r2 + 12 = 0

u3

13u + 12 = 0:

r6

Haciendo u = r2 , tenemos:

12

r6 )

)

Page 13


u3 13u + 12 = 0 (u + u 12)(u 1) = 0 2

Factorizando (u + 4)(u u + 4 = 0;

3)(u

u

1) = 0

3 = 0;

u

1=0

u=

4;

u = 3;

u=1

r2 =

4;

r2 = 3;

r2 = 1

Sustituyendo r=

p

3 en 7 = a1 11

r2 r ;

r=

p

Probando con r =

p

4

3

r=

p

1=

1

tenemos:

p ( 3)2 p 7 = a1 1 3 p 3) 7(1 a1 = 2 1

Calculamos S4 : S4 =

"

p

7(1

3)

2

#"

1

p # ( 3)4 p 1 3

7 (1 9) 2 7 S4 = ( 8) 2 S4 = 28:

S4 =

R:

d)

16. El producto de los veinte primeros términos de la sucesión geométrica es: a) 215

1 1 1 16 ; 8 ; 4 ; :::

b) 2110

c) 211

13

d) 2210

Page 14

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Solución. Observamos la forma de todos los términos: a1 = a1 r1

1

a2 = a1 r2

= a1 r0 1

= a1 r1

Concluimos que el producto es: (a1 r0 )(a1 r1 )(a1 r2 ):::(a1 r19 ) Entonces: (a1 r0 )(a1 r1 )(a1 r2 ):::(a1 r19 ) = (a1 )20 r190 = (2 4 )20 (2)190 = (2 80 )(2)190

Suma de los números del 1 al 19 2110

n(n + 1) (19)(20) = = 190 2 2 R:

d)

17. Los lados de un triángulo rectángulo están en sucesión aritmética de diferencia 3. ¿Cuáles son esos lados? a) 9; 12; 15

b) 6; 9; 12

c) 12; 15; 18

d) 3; 6; 9

Solución.

De la …gura puede plantearse que:

a23 = a21 + a22 14

( )

Page 15

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Usamos la ecuación an = a1 + (n

1)d, con d = 3:

a2 = a1 + (2

1)(3)

a2 = a1 + 3 a3 = a1 + (3

1)(3)

a3 = a1 + 6 Sustituyendo a2 y a3 en ( ), se tiene: (a1 + 6)2 = a21 + (a1 + 3)2 a21 + 12a1 + 36 = a21 + a21 + 6a1 + 9 a21 6a1 27 = 0

Resolviendo usando la fórmula cuadrática con: a = 1 27

a1;2

( 6)

=

a1;2

=

a1;2

=

a1

=

a1

=

6 6

p

b =

p ( 6)2 4(1)( 27) (2)(1)

144 2 12

2 6 + 12 =9 2 6 12 = 3 2

Tomamos el valor positivo, así: a1 = 9; R: a)

15

a2 = 12;

a3 = 15:

6

c =

Page 16

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 18. La suma de tres números en sucesión aritmética es 33 y su producto 1287. Halla estos números. a) 8; 10; 15

b) 7; 12; 14

c) 10; 11; 12

d) 9; 11; 13

Solución. Según los datos: a1 + a2 + a3 = 33 ( ) Se sabe que: a2 a3 a3

( )

^

(a1 )(a2 )(a3 ) = 1287

= a1 + d ^ a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d

Sustituyendo los valores de a2 y a3 en ( ), se tiene: a1 + a1 + d + a1 + 2d = 33 3a1 + 3d = 33 a1 + d = 11 a1 = 11

d

De esto último: a2 = 11

d + d = 11 ^ a3 = 11

d + 2d = 11 + d

Sustituyendo los valores encontrados en ( ), se tiene: (11

d)(11)(11 + d) = 1287

(112 1331

d2 )(11) = 1287 11d2 = 1287

11d2 = 44 44 d2 = =4 11 p d= 4 d=

2:

Tomando el valor positivo: d = 2: Se tiene: a1 = 9; 13: R:

d)

16

a2 = 11;

a3 =

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Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 19. La suma de n números naturales consecutivos tomados a partir de 11 es 1715. ¿Cuántos términos hemos sumado? a) 41

b) 49

c) 51

d) 53

Solución. Según los datos: 11 + 12 + 13 + ::: + n = 1715: Utilizando la expresión Sn = n2 (a1 + an ), se tiene: n (11 + an ) 2 3430 = 11n + nan ( ) 1715 =

Encontrando an con la expresión an = a1 + (n

an = 11 + (n

1)d; se tiene:

1)(1);

ya que d = 1: an = n + 10 ( ) Sustituyendo ( ) en ( ), se tiene: 3430 = 11n + n(n + 10) 3430 = 21n + n2 n2 + 21n

3430 = 0

(n + 70)(n

49) = 0

n + 70 = 0 ^ n n=

70

_

Tomamos el valor positivo: n = 49 R: b)

17

49 = 0 n = 49

Page 18

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 20. Halla los ángulos de un triángulo sabiendo que están en sucesión aritmética. a) 60

b) 180

3d

c) 60

d

d) 120

d

Solución. Se sabe que: a2 = a1 + d; a3 = a2 + d a3 = (a1 + d) + d = a1 + 2d Si están en sucesión artimética, entonces: a1 + a2 + a3 = 180o Sustituyendo sus valores: a1 + a1 + d + a1 + 2d = 180o 3a1 + 3d = 180o a1 + d = 60 a1 = 60 R:

d

c)

21. Las edades de cuatro hermanos forman una sucesión aritmética, y su suma es 32 años. El mayor tiene 6 años más que el menor. Hallar las edades de los cuatro hermanos. a) 4; 6; 10; 12

b) 6; 7; 8; 11

c) 5; 6; 7; 14

d) 5; 7; 9; 11

Solución. Según los datos: a1 + a2 + a3 + a4 = 32, además: a4 = a1 + 6: Utilizando la expresión Sn = n2 (a1 + an ), se tiene: 4 (a1 + a1 + 6) 2 32 = 4a1 + 12 20 = a1 4 a1 = 5

32 =

Utilizamos la expresión an = a1 + (n 18

1)d, para hallar d.

Page 19


11 = 5 + 3d ! d =

6 =2 3

Así: a1 = 5; R:

a2 = 7;

a3 = 9;

a4 = 11

d)

22. Hallar los valores de x para que x geométrica. a) 1; 3

1; x + 1; 2(x + 1) estén en sucesión

b) 1; 3

c) 1; 3

d) 1; 3

Solución. De los datos dados: a1 = x ver que:

1;

a2 = x + 1;

a3 = 2(x + 1): Se puede

a3 2(x + 1) = =2 a2 x+1

r=

Utilizando la expresión: an = a1 rn

1

; se tiene: 1)(2)2

2(x + 1) = (x 2x + 2 = 4x

4

x + 1 = 2x

2

x=3 Utilizando nuevamente la expresión an = a1 rn 2(x + 1) = (x 2(x + 1) = 2(x2 2x2 x2

2x x

1)(

; con r =

x+1 2 ) x 1

(x + 1)2 x 1

1) = (x + 1)2 2 = x2 + 2x + 1

3 = 0 ! (x

3=0

1

_ 19

3)(x + 1) = 0 x+1=0

x+1 x 1;

se tiene:

Page 20


x=3

x=

1

Que son los valores buscados. R: a) 23. En una sucesión geométrica se sabe que el término decimoquinto es igual a 512 y que el término décimo es igual a 16. El valor de la razón es: a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

Solución. Con los datos del dados: a15 = 512; a1 rn 1 ; con a10 = 16 se tiene:

a10 = 16: Utilizando la expresión: an =

16 = a1 r9 ! a1 = Utilizando la expresión: an = a1 rn

1

16 r9

; con a15 = 512 se tiene:

512 = a1 r14 16 512 = 9 r14 r 512 = 16r5 512 r5 = = 32 16 p 5 r = 32 ! r = 2: R:

b)

24. La suma de los ocho primeros términos de una sucesión geométrica es 17 veces la suma de los cuatro primeros. Halla el valor de la razón. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Solución. Según los datos: a1 + a2 + ::: + a8 = 17(a1 + a2 + a3 + a4 ): Empleando la n expresión Sn = a1 11 rr , sería: S8 = 17S4 , es decir: a1

1 r4 1 r8 = 17a1 1 r 1 r

1

r8 = 17(1 20

r4 )

Page 21

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] (1

r4 )(1 + r4 ) = 17(1

r4 )

1 + r4 = 17 r4 = 16 p 4 r = 16 ! r = 2: R:

b)

25. Calcula el producto de los once primeros términos de una sucesión geométrica sabiendo que el término central vale 2. a) 28

b) 29

c) 210

d) 211

Solución. De los datos entonces: a6 = 2: Utilizando la expresión: an = a1 rn tiene: 2 = a1 r5 ! a1 = Como

11 Y

2 r5

an = a1 a2 :::a11

n=1

= a1 (a1 r)(a2 r2 ):::(a1 r10 ) 55 = a11 1 r

r55 , ya que

n(n+1) 2

=

10(10+1) 2

= 55 =(

2 11 55 ) r r5

=(

211 55 )r r55

= 211 R:

d)

21

1

, se

Page 22

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 26. La suma de los siete primeros términos de una sucesión geométrica de razón 3 es 7651. El séptimo término es: a) 4

36

36

b) 5

c) 6

36

d) 7

36

Solución. Empleando la expresión para la suma Sn = a1 Tenemos: 7651 = a1

1 rn : 1 r

1 37 (7651)( 2) ! a1 = 1 3 1 37

Empleando la expresión: an = a1 rn a7 = (

a7 = (

1

, se tiene:

(7651)( 2) 6 )(3 ) 1 37

(7)(1093)( 2) 6 )(3 ) 1 37

a7 = (

(7)(1093)(2) 6 )(3 ) 37 1

a7 = (

7(37 37

1) 6 )(3 ) 1

a7 = (7)(36 ): R:

d)

27. Las edades de 5 personas forman una sucesión aritmética. Si la menor de ellas nació en 1988, el mayor pudo haber nacido en: a) 1977

b) 1938

c) 1941

d) 1940

Solución. Consideramos la sucesión: a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a5 donde a5 = 1988 que es el año de nacimiento del menor y a1 representa el año de nacimiento del mayor.

22

Page 23

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Escribamos entonces: a5 = a1 + 4d 1988 = a1 + 4d a1 = 1988 4d Tenemos entonces una ecuación con un parámetro que especi…car, d: Como no podemos determinar d directamente, consideramos entonces la eliminiación de casos:

Por tanto R:

d=1 d=2 .. .

! ! .. .

a1 = 1984 a1 = 1980 .. .

d = 12

!

a1 = 1940

d)

28. Se da una sucesión aritmética de números naturales an entre 10 y 100. Al cambiar el orden de los dígitos de todos sus términos se obtiene de nuevo una sucesión aritmética. ¿Cuál es el máximo número de términos que puede tener la sucesión? a) 25

b) 40

c) 9

Solution 1 Se considera la sucesión con términos 10 sería:

d) 11

an

100; esta sucesión

10; 11; 12; 13; :::; 100 Al invertir los dígitos resulta: 1; 11; 21; 31; :::99 Luego, debemos determinar cuántos términos como máximo tiene esta sucesión, es decir, n. Consideremos a1 = 11 y d = 10; Nótese que después de invertir el primer bloque de 10 números, el último término resulta en 91, en el siguiente bloque de 10 números, el primero es 2, luego 91 y 2 no están en sucesión aritmética, así consideramos la sucesión como a1 an d

= 11 = 91 = 10 23

Page 24

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] A partir de an

= a1 + (n 1)d an a1 1 = d an a1 n = +1 d 91 11 n = +1 10 n = 9

n

Por tanto: R:

c)

29. ¿Cuántos términos se han tomado en una sucesión geométrica, sabiendo que el primer término es 7, el último 448 y su suma 889? a) 7

b) 9

c) 11

d) 13

Solución.

Usando la expresión: an = a1 rn 1 , se tiene: an = 7rn ran = 7rn ( ) Empleando la expresión para la suma: Sn = a1

1 rn 1 rn ! 889 = 7 1 r 1 r

889(1

rn )

r) = 7(1

889

889r = 7

7rn

889

889r = 7

ran

889

889r = 7

448r

Sustituyendo ( )

Ya que an = 448: 889 = 7 + 441r 441r = 882 24

1

! an =

7r n r

!

Page 25


r=2 De la expresión: ran = 7rn , se tiene: (2)(448) = 7(2)n ! 896 = 7(2)n 128 = 2n log 128 = log 2n log 128 = n log 2 n=

log 128 log 2

n=7 R:

a)

30. Tres números están en sucesión geométrica, el segundo es 32 unidades mayor que el primero y el tercero 96 unidades mayor que el segundo. Halla los números. a) 12; 46; 142

b) 16; 48; 144

c) 18; 50; 146

d) 20; 52; 148

Solución.

Según los datos: a2 = a1 + 32 y a3 = a2 + 96 De la de…nición de la razón, se tiene: a2 = a1 r y Puede verse que: a1 + 32 = a1 r

a3 = a1 r2

( ) También:

a1 r2 = a1 r + 96 ! a1 r2

a1 r

96 = 0

Aplicando la ecuación cuadrática con: a = a1 ;

b=

a1

y

c=

96

Se tiene: r=

( a1 )

p ( a1 )2 2(a1 )

4(a1 )( 96)

!r=

a1

p a21 + 384a1 ; 2a1

sustituyendo el valor de r (considerando el valor negativo) en ( ) 25

Page 26

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] se tiene: a1 + 32 = a1 (

a1

p

a21 + 384a1 ) ! 2a1 + 64 = a1 2a1 a21 + 384a1 q 64) = ( a21 + 384a1 )2

a1 + 64 = ( a1

q

q a21 + 384a1

a21 + 128a1 + 4096 = a21 + 384a1 4096 = 384a1

128a1

4096 = 256a1 a1 =

4096 = 16 256

Así: a1 = 16; R:

a2 = 16 + 32 = 48;

b)

26

a3 = 48 + 96 = 144

Grupo Matagalpino de Matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique Lòpez. Josè Augusto Siles.

Trigonometría 1. Exprese

7 4

radianes, en grados.

a) 310

b)390

c)360

d)315

Soluciòn. Utilizamos la relación:

S 180o

=

R

: Aquí: S =grados sexagesimales R = radianes

Entonces: S 180o S 180o

R.

7 4

=

7 4 (7)(180o ) 4 7 45o 315o

=

S

=

S S

= =

d)

2. Exprese 18 en radianes. a)

b) 52

2 5

c) 4

Soluciòn. Utilizando la relación:

S 180o

=

R

, se tiene:

18o 180o 1 10 R R.

= = =

d)

1

R R 1 10

d) 10


3. Exprese en radianes 2340 : a) 3

b)200

c)13

d)14

Soluciòn. Utilizando la relación:

S 180o

=

R

, se tiene:

2340o 180o

=

13 = R R.

R R

= 13

c)

4. Si tan x no está de…nido, ¿cuál de los siguientes valores tampoco lo está? a) sin x

b) cos x sec x

c) cot x sin x

d) cos x csc x

Soluciòn. Como tan x no está de…nido, x puede tomar los valores de 90o y 270o , o en radianes: 2 y 32 : Puede verse que sin x; cos x; sec x y csc x están de…nidos en estos valores. De lo anterior la expresión cot x sin x no está de…nido. 1. R.

c)

5. Calcular los valores de x en [0; 2 ] tales que 2 cos x = tan x + sec x: a) 0; 6 ;

b)

5 6; 6

c) 3 2 ; 6 ; 56

Soluciòn. De 2 cos x = tan x + sec x se tiene: sin x 1 + cos x cos x sin x + 1 2 cos x = cos x 2 cos2 x = sin x + 1 2(1 sin2 x) = sin x + 1 2 2 sin2 x = sin x + 1 2 sin2 x = sin x 1 2 sin2 x sin x + 1 = 0 2 sin2 x + sin x 1 = 0 2 cos x =

2

d)

; 6;

6


Resolviendo la ecuación cuadrática para a = 2; b = 1 y c =

sin x1;2

=

sin x1;2

=

sin x1;2

=

sin x1;2

=

sin x1

=

sin x2

=

(1)

1; se tiene:

p

12 4(2)( 1) 2(2)

1

p

1+8

1

4 p

9

4 1 3 4 2 1 1+3 = = 4 4 2 4 1 3 = = 1 4 4

Se tiene la relación sin x = a Entonces para 2k + sin 1 a 2k + ( sin 1 a

x= cualquier k 2 Z

Para k = 0 y a = 12 ; se tiene: x= R.

2(0) + sin 1 ( 12 ) = 6 2(0) + sin 1 ( 12 ) =

5 6

b)

6. La expresión sin

2

+

a) tan

es equivalente a: b) sin

c)

sin

d) cos

Soluciòn. Utilizamos la fórmula del ángulo doble: sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v Así: sin(

2

+ ) = = =

R.

sin

cos + cos sin 2 2 (1) cos + 0 cos

d)

3


7. La expresión cos

es equivalente a:

2

a) sin

b) sec

c) cos

d) csc

Solución. Utilizamos la fórmula del ángulo doble: cos(u Así: cos(

)

2

=

cos

cos + sin sin 2 2 0 + (1) sin sin

= = R.

v) = cos u cos v + sin u sin v

a)

8. El valor de la expresión sin a) 0

2

+x

b)

1 2

2

+ cos

c) 1

x

2

2

es:

d) x

De los ejercicios 6 y 7 resueltos anteriormente puede verse que:

2

sin

2

+x

2

+ cos

x

2

= (sin

2

cos x+cos

2

sin x)2 +(cos

2

cos x+sin

De aquí: (sin(

2

+ x))2

=

(sin

2

cos x + cos

2

sin x)2

cos x)2 + 2(sin cos x)(cos sin x) + (cos sin x)2 2 2 2 2 cos2 x ( )

= (sin = y (cos(

2

x))2

= (cos

2

cos x + sin

2

sin x)2

cos x)2 + 2(cos cos x)(sin sin x) + (sin sin x)2 2 2 2 2 2 = sin x ( ) = (cos

De ( ) y ( ), se tiene: cos2 x + sin2 x = 1 R. c)

4

2

sin x)2


9. ¿Qué valor toma cos2 (T ) si se sabe que sin(x + T ) = sin x para todo ángulo x? a)

1

b)

p

2 2

c) 0

d) 1

Soluciòn. De la expresión sin(x + 2 n) = sin t, se tiene que sin(x + T ) = sin x; 8 ángulo x Así que, T = 2 n; de donde n = 1; por lo cual cos2 (2 ) = cos2 (360) = 1 R. d) 10. La expresión (sin b) cos(a a) cos2 a

sin2 b

b) + (cos b) sin(a

b) sin a

b) es equivalente a:

c) sin(a

b)

d) 4 sin a cos b

Soluciòn. Utilizamos las fórmulas del ángulo doble para coseno y seno: cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b y sin(a b) = sin a cos b cos a sin b Así: (sin b) cos(a = = = = = = R.

b) + (cos b) sin(a

b)

(sin b)(cos a cos b + sin a sin b) + (cos b)(sin a cos b cos a sin b) sin b cos a cos b + sin b sin a sin b + cos b sin a cos b cos b cos a sin b sin2 b sin a + cos2 b sin a (sin2 b + cos2 b) sin a (1) sin a sin a b)

11. Resolver sin x + cos x = a) x = c) x =

3 4

2k + 2k

p

2 (k (k

Z) Z)

b) x = d) x =

5

3 4

+ 2k

(k

Z)


Soluciòn. A partir de la expresión dada, se tiene: p sin x + cos x = 2 p sin x = 2 cos x p (sin x)2 = ( 2 cos x)2 p p sin2 x = ( 2)2 2( 2)(cos x) + cos2 x p sin2 x = 2 2 2 cos x + 1 sin2 x p 2 sin2 x = 3 2 2 cos x p 2(1 cos2 x) = 3 2 2 cos x p 2 2 cos2 x = 3 2 2 cos x p 2 cos2 x = 1 2 2 cos x p 2 cos2 x + 2 2 cos x 1 = 0 p 2 cos2 x 2 2 cos x + 1 = 0 p Resolvemos la ecuación cuadrática para a = 2; b = 2 2 y c = 1

cos x1;2

p ( 2 2)

=

cos x1;2

=

cos x1;2

=

cos x1;2

=

p 2 2

p

q

p ( 2 2)2

2(2)

8

8

p 4 2 2 p4 2 2

De lo anterior se puede ver: cos x1 = cos x2 = De donde: x = 45o = 4 Así x = 4 + 2 n; 8n 2 Z: R. c) 12. Resolver la ecuación sin2 x a)

6

b)

2 3

c) d)

4(2)(1)

p

2 2

3 cos2 x = 0

+ 2k : k 2 Z 2 3

+2 k jk 2 Z

2 3

+2 k jk 2 Z [ +2 k jk 2 Z [

6

2 3

+2 k jk 2 Z 3

+2 k jk 2 Z


Soluciòn. Resolviendo para sin x: sin2 x 3 cos2 x sin2 x 3(1 sin2 x) sin2 x 3 + 3 sin2 x 4 sin2 x

= = = =

0 0 0 3 3 sin2 x = 4r

3 4 1p sin x = 3 2 1p x1 = sin 1 ( 3) ! x1 = 60o = 2 3 p 1 x2 = sin 1 ( 3) ! x2 = 60o = 2 sin x =

3

Resolviendo para cos x :

1

sin2 x cos2 x 1

3 cos2 x = 0 3 cos2 x = 0 4 cos2 x = 0 1 cos2 x = 4r cos x =

cos x = x1 x2

1 4

1 2

1 ( ) ! x1 = 60o = 2 3 1 2 o 1 = cos ( ) ! x2 = 120 = 2 3 = cos

1

Como la función coseno es par, también funciona para 23 2 De lo anterior puede verse que: S = 3 +2 k jk 2 Z [ R. d)

7

3

+2 k jk 2 Z


13. Resolver el sistema sin x + cos y = 1 x+y = 2 a) x = b) x = c) x =

+ 2k ; y =

6

4 6;

+ 2k ; y = y=

6

+ 2m ; (m; k 2 Z)

4

+ 2m (m; k 2 Z)

3

1 6

d) x = + 2 k; y = 3 + 2m ; k; m 2 Z [ x = De la expresión x + y = 2 ; tenemos:

5 6

+ 2 k; y =

x=

y( ) ^ y= x( ) 2 2 Sustituyendo ( ) en sin x + cos y = 1. Hallamos el valor de y sin( sin

2

cos y

cos

2 2

y) + cos y

=

1

sin y + cos y

=

1

cos y + cos y 2 cos y

= =

cos y

=

1 1 1 2

y

=

y

=

Por lo cual:

cos

1

1 ( ) 2

3 y=

3

+ 2k ;

8k 2 Z

Como la cos x es par, también funciona para 3 : Sustituyendo ( ) en sin x + cos y = 1. Hallamos el valor de x sin x + cos( sin x + cos

2

2

x) = 1

cos x + sin

sin x = 1 2 sin x + sin x = 1 2 sin x = 1 1 sin x = 2 x = sin x =

Por lo cual:

1 ( ) 2

6 x=

8

1

6

+ 2k ;

8k 2 Z

3

+ 2m ; k; m 2 Z


Como sin x = a; se tiene: x= R.

2k + sin 1 a 2k + ( sin 1 a)

! 2(0) + 6 = ! 2(0) + (

6 6

=

5 6

d)

14. El valor de 1 + cot2 x coincide siempre con el de: a) tan2 x

b) sec2 x

c) csc2 x

d) sin x cos x

Se tiene: cos2 x sin2 x sin2 x + cos2 x sin2 x 1 sin2 x csc2 x

1 + cot2 x =

1+

= = = R.

c)

15. El valor exacto de cos 15o es: a)

p p p 2 3+ 2 4

b)

p

p 2+ 3 4

c)

p

p 2( 3 1) 4

d)

p p 2 3 4

Soluciòn. Como cos(30o ) = cos(15o + 15o ); utilizamos la fórmula del ángulo doble para el coseno: cos(u + v) = cos u cos v sin u sin v De lo cual tenemos: cos(15o + 15o ) = cos 15o cos 15o sin 15o sin 15o cos 30o = cos2 15o sin 15o sin 15o ( ) Para resolver sin 15o sin 15o ; utilizamos la formula: sin u sin v = Entonces tenemos: sin 15o sin 15o

=

sin 15o sin 15o

=

1 [cos(15 15) cos(15 + 15)] 2 1 [1 cos 30o ] ( ) 2

9

1 2

[cos(u

v)

cos(u + v)]


Sustituyendo ( ) en ( ) se tiene: 1 (1 cos 30o ) 2 1 cos 30o cos2 15 + 2 p2 p 1 3 3 2 o cos 15 + ya que cos 30 = 2 4 2 p p 1 3 3 + 2 2 4 p p 2+2 3 3 p4 2+ 3 q4 p 1 2 + 3 sacando raiz cuadrada 2

cos 30o

= cos2 15o

cos 30o p 3 2

= =

cos2 15 = cos2 15 = cos2 15 = cos 15

Para resolver

p

=

2+

q

a

p

3; utilizamos la fórmula: s s p 2 p b a+ a a b= 2

p

a2 2

b

Por lo cual: cos 15

= =

= = = = =

q p 1 2+ 3 2 0s s p 1@ 2+ 4 3 2 + 2 2 r r ! 1 3 1 + 2 2 2 ! p 1 3+1 p 2 2 p 3+1 p 2 2 p p 3+1 2 p p 2 2 2 p p p 2 3+ 2 4

R. a) Presentamos otro procedimiento: 10

p

4 2

1

3A


Con base en los triángulos presentados a continuación, se tiene:

x = x = x2

=

x2

=

p

3 2 p 2 3 2 p !2 3 2 2 p 7 4 3 ( ) 4

1

Entonces:

11


2

1 2 p 7 4 3 1 = + s 4 p 4 8 4 3 = 4 q p = 2 3

y2

= x2 +

y2 y y Por lo cual: cos 15o

16. La expresión tan

=

o

cos 15

=

cos 15o

=

cos 15o

=

+ cot

a) sin csc

p 2 2

1 1

p

3

p

2+

p

3 p p p p 2 2 3 2+ 3 p p 2+ 3 p 2 4 3 p p 2+ 3 2

es equivalente a:

b) sec csc

c) sec tan

Tenemos: tan

+ cot

= = = = =

R.

b)

12

sin cos + cos sin sin2 + cos2 cos sin 1 cos sin 1 1 cos sin sec csc

d) cos tan


17. Si y son los ángulos no rectos de un triángulo rectángulo, el valor de sin2 + sin2 es: p a) 1 b) 2 c) 32 d) depende de los valores de y Soluciòn. De acuerdo a los datos del problema tenemos la …gura

De la …gura anterior, puede verse que: sin2

R.

+ sin2

a2 b2 + c2 c2 a2 + b2 = c2 2 c = ya que a2 + b2 = c2 c2 = 1 =

a)

18. Si ;

y

son los ángulos de un triángulo cualquiera, entonces a) sin( ) = sin(2 + ) c) sin( ) = sin( + )

b) sin( ) = cos( d) sin( ) = sin(

) )

Soluciòn. De los datos del problema, y usando la fórmula del seno para el ángulo doble: sin(u v) = sin u cos v cos u sin v; tenemos:

13


+

+

sin sin sin sin R.

= = = = = = =

180o 180o 180o ( + ) sin(180o ( + ) sin 180o cos( + ) ( 1) sin( + ) sin( + )

cos 180o sin( + )

c)

19. Hallar cos(2x) si sin x = 0:2 a) 0:4

b) 0:92

c) 0:092

d) 0:44

Soluciòn. Utilizamos la fórmula cos 2u = 1 cos 2x = = = = = R.

2 sin2 u; entonces 1 2 sin2 x 1 2(0:2)2 1 2 0:04 1 0:08 0:92

b)

20. Halle el valor exacto de 105o p p p p a) 22 ( 3) b) 23 (1 + 3)

c) 12 (1

p

3)

d)

p

2 4 (1

p

3)

Soluciòn. Utilizando la fórmula del ángulo doble para el coseno: cos(u + v) = cos u cos v sin u sin v; con u = 90o y v = 15o ; se tiene:

14


cos(90o + 15o ) = = = = = = = = R.

cos 90o cos 15o sin 90o sin 15o sin 15o " p # 3 2 p por segundo procedimiento de ejecicio 15 p 3 2 2 " p p p # 2 3 2+ 3 p p p p 2 2 3 2+ 3 " p p p # (2 3)( 2 + 3) 2 # " p p (2 3) 3+1 p por primer procedimiento ejercicio 15 2 2 # "p p 2( 3 1) 4 p p 2(1 3) 4

d)

21. Exprese cos 3a como una diferencia de cosenos a) 4 cos3 c) 3 cos2 a

b) 3 cos3 a d) 2 cos3 a

3 cos 3 cos

3 cos 3 cos

Soluciòn. Se tiene de los datos: cos 3a = cos(2a + a) A partir de la fórmula para el coseno: cos u cos v =

1 [cos(u + v) + cos(u 2

v)]

Tenemos: cos u cos v

=

2 cos u cos v 2 cos u cos v cos(u v) 2 cos 2a cos a cos(2a a) 2 cos 2a cos a cos a

= = = =

15

1 [cos(u + v) + cos(u v)] 2 cos(u + v) + cos(u v) cos(u + v) cos(2a + a) cos(2a + a) ( )


Como cos 2a = cos(a + a); se tiene:

cos u cos v

=

2 cos u cos v 2 cos u cos v cos(u v) 2 cos a cos a cos(a a) 2 cos a cos a cos 0 2 cos a cos a 1

= = = = =

1 [cos(u + v) + cos(u v)] 2 cos(u + v) + cos(u v) cos(u + v) cos(a + a) cos(a + a) cos(a + a) ( )

Sustituyendo ( ) en ( ); se tiene: 1. 2 cos 2a cos a cos a 2(2 cos a cos a 1) cos a cos a 2(2 cos a cos a cos a cos a) cos a 4 cos3 a 2 cos a cos a 4 cos3 a 3 cos a R.

= = = = =

cos(2a + a) cos(2a + a) cos(2a + a) cos(2a + a) cos(2a + a)

a)

22. Si ; y son los ángulos de un triángulo y se cumple que sin2 + sin2 + sin2 = 2; entonces el triángulo es: a) Equilátero

b) Isósceles

c) Escaleno

d) Rectángulo

Soluciòn. De los datos del problema: sin2

+ sin2

sin2 + sin2 + sin2 (sin2 + sin2 ) + sin2 1 + sin2 sin2 sin

Así el triángulo es rectángulo. R. d)

16

+ sin2 = = = = = = =

= 2; se tiene:

2 2 2 1 1 sin 1 (1) 90o


23. En un triángulo ABC; AB = 15; AC = 13 y BC = 14: Hallar el coseno del 6 C a)

7 13

b)

14 13

c)

5 13

d)

1 13

Según los datos tenemos la siguiente …gura:

Utilizamos las leyes de los cosenos: c2 cos C cos C cos C cos C R.

= a2 + b2 2ab cos C c2 a2 b2 = 2ab 152 142 132 = 2(15)(13) 140 = 390 5 = 13

c)

24. Un satélite de comunicación pasa, en cierto instante, sobre la línea imaginaria que une dos estaciones repetidoras A y B que están localizadas a 120km de distancia una de la otra. En ese momento se mide simultáneamente el ángulo de elevación de la estación A que es de 75o y el de la estació B que es de 60o : La distancia de la estación A al satélite en ese instante es igual a: a) 91:22 km

b) 103:76 km

c) 146:97 km

Soluciòn. Según los datos tenemos la siguiente …gura:

17

d) 152:75 km


Usamos la ley de los senos: sin A sin B sin S = = a b s El ángulo correspondiente a S es de 45o Tomamos: sin B sin S = b s así tenemos: sin B b b b b R.

sin S s (sin B)(s) = sin S (120)(sin 60o ) = sin 45o = 146:96km =

c)

18


25. Desde un globo que está volando sobre una torre a 1500 m de altura, se distingue un pueblo a un ángulo de depresión de 70o : ¿A qué distancia de la torre se halla el pueblo? a) 775 m

b) 809 m

c) 806 m

d) 805 m

Soluciòn. Según los datos del problema, tenemos la …gura:

Utilizando tan de 70o , tenemos: 1500 x 1500 x = tan 70o x = 545:95 m

tan 70o

=

R. 26. Calcule la altura de un árbol que está situado sobre un terreno llano, sabiendo que desde un punto del suelo se observa su copa bajo un ángulo de elevación de 45o y, desde un punto 15 metros más cerca del árbol, a un ángulo de 60o : a) 30:5 m

b) 45 m

c) 31:7 m


19

d) 35:49 m


Usamos la ley de los senos: sin B sin S sin A = = a b s Utilizamos la relación:

sin B sin A = a b

así pues: sin A a

sin B b b sin A a = sin B (15)(sin 45o ) a = o sin 15 p a = 15 + 15 3 =

Utilizando sin 60o ; tenemos: sin 60o h h h R.

h a = a sin 60o p = (15 + 15 3)(sin 60o ) = 35:49 m =

d)

27. Se da una circunferencia de radio 10 m: Calcule el coseno del ángulo que forman las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de 15 m de longitud. a)

p

2 3

b)

5 8

c)

2 3


20

d)

1 8


Encontramos el valor de x : (10)2

= x2 + (7:5)2 p 100 (7:5)2 x = 5p x = 7 2

Utilizamos el teorema de la altura p 5 2 7 = 15

x BC

=

y

=

y

=

encontrar el valor de y:

15 2

y

2

y

BC y para

=

2 ( 15 2 ) p 5 2 7 225 2 p 4 5 7 45 p 7 4

Adyacente Utilizamos cos = C.Hip otenusa ; para hallar el valor del ángulo, pero primero encontramos el valor de la Hipotenusa (H):

H2 H H

15 = y 2 + ( )2 2 s 45 p 7 = 4 30 p = 7 7

2

+

15 2

Así: cos

=

cos

=

cos

= =

R.

2

= =

cos 2

=

p

45 7 4 p 30 7 7

45 p 7 p 7 4 30 7 3 4 3 cos 1 4 41:4096::: 82:8192::: 1 8

d)

21

2


28. Sabiendo que sin x = a)

3 2

b)

2 3

y que

2

< x < ; encuentre el valor de tan x

p

5 3

c)

2 5

p

5

d)

p

3 2

Soluciòn. Opuesto De los datos: sin x = C. = 23 ; así: C. Opuesto = 2; Hipotenusa = 3; Hip p otenusa entonces C. Adyacente = 5: Así,

tan x = tan x = = Como 2 < x < ; entonces: R. c) 29. La expresión

1 2

[sin( + )

a) cos cos

sin(+) cos( )

C. Opuesto C. Adyacente 2 p 5 p 2 5 5 =

sin(

b) cos sin

; así debe ser: tan x =

p 2 5 5

)] es equivalente a: c) sin sin

d) 1

sin sin

Soluciòn. De los datos dados:

= = = = R.

1 [sin( + ) sin( )] 2 1 [(sin cos + cos sin ) (sin cos cos sin )] 2 1 [sin cos + cos sin sin cos + cos sin ] 2 1 (2 cos sin ) 2 cos sin

a)

30. La función f de…nida por f (x) = g dada por: a) g(x) = sin x cos x

1 2 (cos 4x

b) g(x) = sin2 x

22

cos x

cos 2x) coincide con la función

c) sin(3x) sin x

d) cos(2x) sin x


Soluciòn. Utilizamos la expresión: sin u sin v =

1 [cos(u 2

v)

cos(u + v)]

Así: f (x)

=

1 (cos 4x 2

cos 2x)

1 (cos 2x cos 4x) 2 1 f (x) = [cos(3x x) cos(3x + x)] 2 f (x) = sin 3x sin x Aplicando ( ) f (x)

R.

=

c)

23

( )

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Geometría Analítica

p p 1. El triángulo cuyos vértices son los puntos A(3; 3); B( 3; 3) y C( 3 3; 3 3) es un triángulo: a) Equilátero b) Isósceles c) Escaleno Encontramos la distancia entre cada punto: p d(A; B) = ( 3 3)2 + ( 3 p = 36 + 36 p = 72 p = 6 2

d(B; C)

= = = = = =

d(C; A) = = = = = =

d) Equilátero e Isósceles

3)2

q p p ( 3 3 ( 3))2 + (3 3 ( 3))2 q p p (3 3 3)2 + (3 3 + 3)2 q p p p p 32 (2)(3)(3 3) + (3 3)2 + (3 3)2 + (2)(3 3)(3) + 32 p 9 + 27 + 27 + 9 p 72 p 6 2 q p p (3 ( 3 3))2 + (3 3 3)2 q p p (3 + 3 3)2 + (3 3 3)2 q p p 32 + (2)(3)(3 3) + (3 3)2 + 32 p 9 + 27 + 9 + 27 p 72 p 6 2

p p (2)(3)(3 3) + (3 3)2

De lo anterior se puede ver que la distancia entre cada punto es la misma, por lo cual el triángulo es equilátero e isósceles. R. d)

1

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 2. El perímetro P y el área A del cuadrilátero cuyos vértices son A( 3; 1); B(0; 3); C(3; 4) y D(4; 1) son: a) P = 20u; A = 22u2 b) 22u; A = 22u2 c) P = 20u; A = 22u2 Gra…cando en el plano los puntos dados tenemos:

Hallamos las distancias: d(A; B); d(B; C); d(C; D) y d(D; A) d(A; B)

p = (0 ( 3))2 + (3 p = 9 + 16 p = 25 = 5

d(B; C)

p = (3 0)2 + (4 p = 9+1 p = 10

p d(C; D) = (4 3)2 + ( 1 p = 1 + 25 p = 26 p = ( 3 4)2 + ( 1 p = 49 + 0 = 7 p p El perímetro es: P = 5 + 10 + 26 + 7 = 20u d(D; A)

2

( 1))2

3)2

4)2

( 1))2

d) P = 20u; A = 22u2

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Para hallar el área del trapezoide, lo dividimos en cuatro partes: rectángulo BFGE, triángulo AEB, triángulo BFC y triángulo CDG. Ahora hallamos el área de cada …gura: Rectángulo BFGE: A = b h A = 3 4 A = 12u2 Triángulo AEB: A = A = A =

b h 2 3 4 2 6u2

Triángulo BFC: b h 2 3 1 2 1:5u2

A = A = A = Triángulo CDG:

b h 2 1 5 2 2:5u2

A = A = A =

El área del trapezoide es: A = 12u2 + 6u2 + 1:5u2 + 2:5u2 = 22u2 R. a) 3. Los vértices de un triángulo son A(3; 8); B(2; 1); C(6; 1): La longitud de la mediana trazada al lado BC es: p p b) 28 c) 82 d) 82 a) 28 Según los datos dados tenemos la …gura:

3


Calculamos las coordenadas del punto D: x1 + x2 2 2+6 x = 2 8 x = 2 x = 4

x =

y

=

y

=

y

=

y

=

y

=

y 1 + y2 2 1 + ( 1) 2 1 1 2 2 2 1

Encontramos la distancia d(A; D) : p (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 d(A; D) = p (4 3)2 + ( 1 8)2 = p 1 + 81 = p = 82 R.

c)

4

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 4. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto A(3; 2): Si la abcisa del otro extremo es 6; su ordenada es: a) 2

b) 2 y

6

c)

6

d) 5

Según los datos los puntos son: A(3; 2) y B(6; y) y d(A; B) = 5: Así:

d(A; B)

=

5 = 5 = 5 = 5 = 52 25 25 13 y 2 + 4y 12 (y + 6)(y 2) y+6 y

= = = = = = =

p (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 p (6 3)2 + (y ( 2))2 p 9 + (y + 2)2 p 9 + y 2 + 4y + 4 p 13 + y 2 + 4y p ( 13 + y 2 + 4y)2 13 + y 2 + 4y y 2 + 4y 0 0 0 ; y 2=0 6 ; y=2

De lo anterior se ve que la ordenada puede ser: 2 ó R. b)

6:

5. Sea un segmento cuyos extremos son los puntos A( 2; 3) y B(6; 3): Los puntos de trisección del segmento son: a) ( 23 ; 1); ( 10 3 ; 1)

1 3A

b) ( 23 ; 1); ( 10 3 ; 1)

c) (

2 10 3 ; 1); ( 3 ;

Los puntos de trisección están dados por: P1 = + 23 B: Así: P1 P1 P1 P1

2 1 A+ B 3 3 2 1 = ( 2; 3) + (6; 3) 3 3 4 = ( ; 2) + (2; 1) 3 2 = ( ; 1) 3 =

5

2 3A

1)

d) ( 23 ; 1); ( 10 3 ; 1)

+ 13 B

y

P2 =


P2 P2 P2 P2

2 1 A+ B 3 3 2 1 = ( 2; 3) + (6; 3) 3 3 2 ; 1) + (4; 2) = ( 3 10 = ( ; 1) 3 =

Por lo cual P1 = ( 23 ; 1) y P2 = ( 10 3 ; 1): R. a) 6. Uno de los extremos de un segmento es el punto (7; 8) y su punto medio es (4; 3): El otro extremo es: a) (1; 2)

b) ( 1; 2)

c) ( 1; 2)

d) (1; 2)

De las coordenadas del punto medio se tiene: x=

y1 + y2 x1 + x2 ;y = 2 2 7+x 2 8 = 7+x x = 1 4 =

8+y 2 8+y 2

3 = 6 = y = Así el punto buscado es (1; 2) R. d)

7. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3; 2). Si la abcisa de otro punto de la recta es 4; su ordenada es: a)

5

b) 5

c)

6

4

d) 4

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Según los datos dados: m = 3, A(3; 2) y B(4; y) Utilizamos la ecuación de la pendiente: m = 3

=

3

=

3 = y =

y 2 y1 x2 x1 y 2 4 3 y 2 1 y 2 5

La ordenada buscada es: R. b) 8. Un triángulo tiene vértices A( 2; 1); B(3; 4) y C(5; 2): Los ángulos interiores del triángulo son: a) 75o 380 ; 58o 150 ; 46o 70 b) 68o 300 ; 49o 100 ; 62o 200

c) 77o 280 ; 54o 100 ; 48o ; 220 d) 82o 120 ; 56o 160 ; 41o 320

Según los datos dados tenemos la …gura:

Encontramos las distancias: d(A; B); d(B; C) y d(C; A): p d(A; B) = (3 ( 2))2 + (4 1)2 p = 25 + 9 p = 34

d(B; C)

p = (5 3)2 + ( 2 p = 4 + 36 p = 40 7

4)2


p ( 2 5)2 + (1 d(C; A) = p = 49 + 9 p = 58

( 2))2

Utilizando las leyes de los cosenos tenemos: a2 A A A A A

b2 B B B B B

c2 C C C C C

= b2 + c2 2bc cos A a2 b2 c2 = cos 1 ( ) 2bc p 2 p 2 p ( 58) ( 34)2 1 ( 40) p p = cos ( ) 2( 58)( 34) 40 58 34 p = cos 1 ( ) 2( 1972) 52 = cos 1 ( p ) 4 493 = 54:16

= a2 + c2 2ac cos B b2 a2 c2 = cos 1 ( ) 2ac p 2 p 2 p ( 58) ( 40) ( 34)2 p p = cos 1 ( ) 2( 40)( 34) 58 40 34 p = cos 1 ( ) 2( 1360) 16 = cos 1 ( p ) 8 85 = 77:47

= a2 + b2 2ab cos C c2 a2 b2 = cos 1 ( ) 2ab p 2 p 2 p ( 40) ( 58)2 1 ( 34) p p = cos ( ) 2( 40)( 58) 34 40 58 p = cos 1 ( ) 2 2320 64 = cos 1 ( p ) 8 145 = 48:37 8

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Los ángulos buscados son: 54:16; 77:47 y 48:37:

R.

c)

9. Una recta l1 pasa por los puntos A(3; 2) y B( 4; 6) y otra recta l2 pasa por los puntos C( 7; 1) y el punto D(x; 6): Sabiendo que l1 es perpendicular a l2 , el valor de x es: a)

1

b) 3

c)

3

d) 1

Como l1 es perpendicular a l2 , entonces el producto de sus pendientes es (m1 m2 = 1) Hallamos las pendientes de ambas rectas: m1

6 4

=

2 3

8 7

= m2

1

6

=

x

1 ( 7)

7 x+7

=

Encontrando el producto de ambas pendientes: m1 m2 8 7 ( )( ) 7 x+7 8 x+7 8 x+7 8 x x R.

=

1

=

1

=

1

= 1 = x+7 = 8 7 = 1

d)

10. Una recta de pendiente forma simétrica es: a)

x+

y 2

=1

2 pasa por el punto A( 1; 4), su ecuación en la

b) x +

y 2

=1

c) x

y 2

=1

d) x +

y 2

=

1

La ecuación en forma simétrica de la recta es: x y + =1 a b De los datos dados la pendiente de la recta es: m = así: 9

2 y pasa por A( 1; 4),


2

=

2

=

2x 2 y + 2x 2x + y y x+ 2

= = =

y2 y1 x2 x1 y 4 x ( 1) y 4 x+1 y 4 2+4 2

=

1

m =

R.

b)

11. Una recta tiene pendiente rectas 2x + y 8 = 0 y 3x a)4x + y

10 = 0

4 y pasa por el punto de intersección de las 2y + 9 = 0: La ecuación general de la recta es:

b)4x + y + 10 = 0

c)4x

y

10 = 0

d)

Encontramos el punto de intersección de las rectas: 2x + y 2y + 9 = 0: 2x + y 8 = 0 3x 2y + 9 = 0

Sustituyendo x = 1 en 2x + y

4x + 2y 16 = 0 3x 2y + 9 = 0 ! 7x 7 = 0 ! 7x = 7 ! x=1 !

8 = 0; se tiene:

2x + y 2(1) + y 2+y y

8 = 8 = 8 = 6 = y =

Así, el punto de intersección es: (1; 6)

10

0 0 0 0 6

4x + y 8 = 0 y 3x

10 = 0

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Utilizando la forma de la pendiente, se tiene: y2 y1 x2 x1 y 6 x 1 y 6 y 6 6 4 10 10

m = 4 = 4(x 1) 4x + 4 4x y 4x y 4x + y R.

= = = = =

a)

12. Los extremos de un segmento son P1 ( 3; 2) y P2 (1; 6), la ecuación de la mediatriz del segmento es: a)

x+y

3=0

b)x + y

3=0

c)x + y + 3 = 0

d)x

y

3=0

Encontramos la pendiente (m1 ) del segmento dado: m1

=

m1

=

m1

=

6 1 4 4 1

2 ( 3)

Encontramos el punto medio del segmento dado: x = x = x = y

=

y

=

y

=

3+1 2 2 2 1 6+2 2 8 2 4

El punto medio es: ( 1; 4): Como la mediatriz es la recta perpendicular al segmento dado en su punto medio, el producto de las pendientes del segmento y la mediatriz debe ser 1: Así: m1 m2 1 m2 m2

= = = 11

1 1 1

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Entonces: m2

y

4 x ( 1) y 4 x+1 y 4 y 4 0 0 0

=

1 =

x

R.

1(x + 1) x 1 y 1+4 x y+3 x+y 3

= = = = =

b)

13. Una recta pasa por el punto A(7; 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C( 2; 2) y D(3; 4): Su ecuación general es: a)

6x + 5y

82 = 0

b)6x

5y

82 = 0

c)6x + 5y

82 = 0

d)6x + 5y + 82 = 0

Como las rectas son paralelas, sus pendientes son iguales. Así m1 = m2 Encontramos m2 (pendiente de la recta que pasa por C( 2; 2) y D(3; 4)): m2

=

m2

=

m2

=

4

2 3 ( 2) 6 3+2 6 5

Así, la pendiente m1 = 65 (pendiente de la recta que pasa por A). De la ecuación para el cálculo de la pendiente:

m1

6x

R.

6 5 6(x 7) 6x + 42 5y + 42 + 40 6x 5y + 82 6x + 5y 82

c)

12

= = = = = = =

y x y x 5(y 5y 0 0 0

8 7 8 7 8) 40

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 14. La recta k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 es ortogonal a la recta 3x valor de k es: a)

p 1+ 7 3

b)

1

p 3

7

c)

1

p 3

7

d)

2y p

1

11 = 0; el

7

3

Si las rectas son ortogonales, entonces son perpendiculares. Llevamos las ecuaciones de las rectas a la forma y = mx + b: k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 k 2 x + (k + 1)y = 3 (k + 1)y = k2 x 3 k2 x 3 y = k+1 k2 3 y = x k+1 k+1 3x 2y 11 = 0 3x 2y = 11 2y = 11 3x 11 3x y = 2 11 3x y = + 2 2 3 11 y = x 2 2 De las ecuaciones anteriores puede verse que las pendientes son:

13

k2 k+1

y 32 ;

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] así: 3 k2 )( ) k+1 2 3k 2 2k + 2 3k 2 3k 2 3k 2 + 2k + 2 3k 2 2k 2

(

k1;2 k1;2 k1;2 k1;2 k1;2 k1;2 k1 R.

=

1

=

1

= 1(2k + 2) = 2k 2 = 0 = 0 p ( 2) ( 2)2 4(3)( 2) = 2(3) p 4 + 24 2 = p6 2 28 = 6p 2 2 7 = 6 p 2(1 7) = 6 p 1 7 = 3 p p 1+2 2 1 2 2 = ; k2 = 3 3

b)

15. Sean las rectas paralelas 3x entre ellas es: a) 10

b)

10 7

4y + 8 = 0 y 6x c) 7

Encontramos el intercepto de la recta 3x 3(0)

d)

14

7 10

4y + 8 = 0 con el eje x:

4y + 8 = 0 4y + 8 = 0 4y = 8 8 y = 4 y = 2

Obtenemos el punto P1 (0; 2)

8y + 9 = 0: La distancia

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] La fórmula para el cálculo de la distancia entre ambas rectas es: d=

jAx1 + By1 + Cj p A2 + B 2

Los coe…cientes A; B y C; los tomamos de la recta: 6x puntos x1 ; y1 del punto P1 encontrado:

R. 16.

a)x

d

=

d

=

d

=

d

=

d

=

8y + 9 = 0; y los

jAx1 + By1 + Cj p A2 + B 2 j6(0) + ( 8)(2) + 9j p 62 + ( 8)2 j 16 + 9j p 36 + 64 j7j p 100 7 10

d)

La ecuación de una circunferencia es x2 + y 2 = 50: El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es el punto ( 2; 4): La ecuación de la cuerda es: 2y

10 = 0

b)x

2y + 10 = 0

c)x + 2y + 10 = 0

d)2x

2y + 10 = 0

Gra…camos la ecuación de la circunferencia dada: x2 + y 2 = 50: Ubicamos el punto medio de la cuerda ( 2; 4); y observamos que ésta sólo puede tener la ubicación mostrada en la grá…ca.

15


10

y

8 6 4 2

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-2

10

x

-4 -6 -8 -10

Se observa de la grá…ca de la cuerda que ésta corta el eje y en el punto (0; 5); por lo cual: b = 5: Calculando la pendiente de la cuerda, se tiene: 5

m =

0 1 2

m =

4 ( 2)

Así, utilizando la forma y = mx + b se tiene: 1 x+5 2 x + 10 y = 2 2y = x + 10 2y + 10 = 0 y

x R.

=

b)

17. Un espejo parabólico tiene una profundidad de 12cm en el centro y un diámetro en la parte superior de 32cm: ¿Cuál es la distancia del vértice al foco? a)

16 3

b)

16 3

c)

3 16

d) 4

Según los datos del problema tenemos el punto (12; 16), que se muestra en la grá…ca siguiente: 16


16

y

14 12 10 8 6 4 2 -12 -10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

-2

12

x

-4 -6 -8 -10 -12 -14 -16

De lo mostrado anteriormente y usando el punto (12; 16); utilizamos la ecuación: y 2 = 4P x; así: 162 = 4P (12) 256 = 48P 256 P = 48 16 P = 3 R.

a)

18. La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje focal 12 y pasa por el punto (8; 14) es: a)

x2 252

y2 36

=1

b)

x2 36

y2 252

=1

c)

y2 252

x2 36

=1

d)

x2 252

+

y2 36

=1

Como el eje focal de la hipérbola es 12, entonces c = 6: Por tanto la ecuación de la hipérbola es de la forma: x2 a2

y2 = 1: b2 17

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Como la hipérbola pasa por el punto (8; 14); entonces: 142 b2 2 64b 196a2 a2 b2 2 64b 196a2 2 64b 196(36 b2 ) 64b2 7056 + 196b2 260b2 36b2 + b4 7056 b4 + 224b2 7056 u2 + 224u 7056 82 a2

= 1 = 1 = = = = = =

u1;2

=

u1;2

=

u1;2

=

u1;2

=

u1

=

u2

=

a2 b2 (36 b2 )b2 porque a2 = c2 b2 36b2 b4 0 0 0 haciendo u = b2 p 224 2242 4(1)( 7056) 2(1) p 224 50176 + 28224 p 2 224 78400 2 224 280 2 56 224 + 280 = = 28 2 2 504 224 280 = = 252 2 2

Tomamos el valor positivo, por tanto: u = 28; y como u = b2 ; entonces: b = 28: De la relación a2 = c2 b2 ; se tiene: a2 = 36 28 = 8: Por lo cual la ecuación buscada es: x2 y2 =1 8 28 . 2

19. En una elipse, los radios focales son los segmentos que unen los focos con un punto cualquiera de ella. Las ecuaciones de las rectas que contienen los radios focales correspondientes al punto (2; 3) de la elipse 3x2 + 4y 2 = 48 son: a) x c) x

2 = 0; 3x 4y + 6 = 0 2 = 0; 3x + 4y + 6 = 0

b) x + 2 = 0; 3x 4y + 6 = 0 d) x + 2 = 0; 3x + 4y 6 = 0

18

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] De la ecuación de la elipse 3x2 + 4y = 48, se tiene: 3x2 + 4y 4y 2 3x2 + 48 48 x2 y2 + 16 12

= = = 2

48 48 48 1 2

Esta última ecuación tiene la forma: xa2 + yb2 = 1; por lo cual: a2 = 16; b2 = 12 y c2 = 4 (ya que a2 = b2 + c2 ): Entonces tenemos los puntos: A(2; 3); F 0 (2; 0) y F ( 2; 0) Encontramos la pendiente m1 usando los puntos A y F: 0 3 3 = 2 2 4 3 y = x + b utilizando la forma y = mx + b 4 3 3 = (2) + b 4 3 3 = +b 2 3 6 3 3 b = 3 = = 2 2 2 3 3 y = x+ 4 2 3 3 x y+ = 0 4 2 3x 4y + 6 = 0 4 3x 4y + 6 = 0: Ecuación de la recta 1 m1

=

Para la ecuación de la otra recta, usamos los puntos A y F 0 : m2 =

0 2

3 2

Vemos que el resultado anterior para la pendiente m2 se nos inde…ne, al observar los puntos A(2; 3) y F 0 (2; 0); vemos que tienen el mismo valor para x, esto indica que la línea es vertical, por lo tanto x = 2; y así la ecuación de la recta 2 es: x 2 = 0: R. a) 20. La ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto común a las rectas x + 3y 6 = 0 y x 2y 1 = 0 = 0 es: a) x2 y 2 c) x2 + y 2

b) x2 + y 2 + 6x d) x2 + y 2 6x

6x 2y = 0 6x + 2y = 0

19

2y = 0 2y = 0

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Para encontrar el punto común de ambas rectas, resolvemos el sistema: x + 3y = 6 x 2y = 1

x + 3y = 6 x 2y = 1

!

x + 3(1) x+3 x x

= = = =

5 x + 3y = 6 ! 5y = 5 ! y = = 1 x + 2y = 1 5 6 sustituyendo y = 1 en x + 3y = 6 6 6 3 3

El punto común de ambas rectas es A(3; 1): La forma de la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en (3; 1) es: (x h)2 + (y k)2 = r2 : Debemos encontrar el valor de r = d(O; A): Así: p d(O; A) = (3 0)2 + (1 0)2 p d(O; A) = 9+1 p d(O; A) = r = 10 Sustituyendo el valor de r, el punto común (3; 1) encontrado en la forma de la ecuación de la circunferencia anterior y resolviendo se tiene: (x 3)2 + (y 1)2 = 10 x2 6x + 9 + y 2 2y + 1 = 10 x2 + y 2 6x 2y + 10 10 = 0 x2 + y 2 6x 2y = 0 R.

d)

21. La ecuación de una hipérbola con centro en el origen, longitud del eje transverso 8; excentricidad 43 y con focos sobre el eje X es: a)7x2 + 9y 2 = 112

b)9x2

7y 2 = 112

c)7y 2

9x2 = 112

d)7x2

9y 2 = 112

Como la longitud del eje transverso es 8; entonces a = 4: Como e =

20

4 3

y

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] e = ac ; se tiene: e =

c a p

a2 + b2 a p = a2 + b2

4 3 4a 3 4 4 2 ( ) 3 256 9 256 16 9

=

= (4)2 + b2 = 16 + b2 = b2

b2

=

b2

=

256

144 9

112 9

De los datos dados la hipérbola tiene como ecuación: tuyendo a2 y b2 ; se tiene: x2 16

y2 112 9 2

9y x2 16 112 7x2 9y 2 112 7x2 9y 2 R.

=

1

=

1

=

1

=

112

y2 b2

x2 a2

= 1: Susti-

d)

22. El …lamento de una lámpara de ‡ash está a 38 de pulgadas del vértice del re‡ector parabólico y se encuentra en su foco. La ecuación del re‡ector, suponiendo que está dirigido hacia la derecha y su vértice en el origen es: a)3x

2y 2 = 0

b)3x + 2y 2 = 0

c)2x

3y 2 = 0

d)

De los datos dados: P = 38 : La ecuación del re‡ector está dado por: y 2 = 4P x; así: y2 y2 2y 2 3x + 2y 2 3x 2y 2 21

3 = 4( )x 8 3 x = 2 = 3x = 0 = 0

3x

2y 2 = 0

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] R.

a)

23. Una parábola cuyo foco es F (0; 6) y la ecuación de la directriz es y = tiene por ecuación: a) x2 = 24y

b) y 2 = 24x

c) x2 =

d) y 2 =

24y

24x

Como el foco está en (0; 6); entonces: P = 6: Como la directriz es y = la parábola tiene como ecuación x2 = 4P y; así: x2 x2 R.

6;

6;

= (4)(6)y = 24y

a)

24. Si la excentricidad de una cónica es e = 52 ; entonces se trata de una: a) Parábola

b) Elipse

c) Circunferencia

d) Hipérbola

Como la excentricidad tiene el valor 52 ; se trata de una hipérbola ya que ésta tiene excentricidad mayor que 1. R. d) 25. La longitud del lado recto de una elipse que tiene por ecuación es: a) 8

b) 16

c) 18

Las ecuaciones de la elipse son: x2 y2 + a2 b2 y2 x2 + 2 b2 a

= 1 (eje focal x) = 1 (eje focal y)

La grá…ca de la ecuación dada es:

22

d)

16 3

x2 36

2

+ y66 = 1


y

10 8 6 4 2

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

-2

6

8

10

x

-4 -6 -8 -10

De aquí deducimos que tiene la forma:

Como la ecuación dada es:

x2 36

+

a2 a b2 b

y2 66

x2 b2

+

y2 a2

= 1.

= 1: Entonces:

= 66 p = 66 = 36 = 6

La longitud del lado recto (LLR) está dada por:

LLR

=

LLR

=

LLR

=

LLR

=

2(6)2 p 66 p 72 66 p p 66 66 p 72 66 66 12 p 66 11

23

2b2 a :

Así el lado recto es:

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 26. La ecuación de una elipse con focos en ( igual a 6 es: a)9y 2

4x2 = 36

b)4x2 + 9y 2 = 36

p

5; 0) y longitud del eje mayor

c)9x2 + 4y 2 = 36

d)4x2

9y 2 = 36

La longitud del eje mayor = 3: p es 6; entonces: a p 5; 0); entonces: c = 5; y el eje principal de la elipse Como los focos son ( 2 2 está sobre el eje x: La ecuación de esta elipse es de la forma: xa2 + yb2 = 1: Necesitamos entonces encontrar el valor de b; de la relación: b2 = a2 c2 ; se tiene: p b2 = 32 ( 5)2 b2 = 9 5 b2 = 4 Sustituyendo los valores de a2 y b2 en la ecuación x2 y2 + 9 4 4x2 + 9y 2 36 4x2 + 9y 2 R.

x2 a2

+

y2 b2

= 1; se tiene:

= 1 =

1

=

36

b)

27. La ecuación de una parábola que tiene su foco en el punto F (2; 0) y su directriz es la recta de ecuación x = 2 es: a) y 2 =

8x

b) y 2 = 8x

c) y 2 =

1 8x

d) y 2 = 18 x

De los datos dados se puede ver que la ecuación de la parábola es de la forma: y 2 = 4P x: Como el foco es dado por (2; 0); entoces P = 2: Así: y2 y2 y2 R.

= 4P x = 4(2)x = 8x

b)

24

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] 28. Hallar el centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos A(0; 6); B(4; 2) y C(9; 3): a) C(4; 3) y r = 5

b) C( 4; 3) y r = 5

c) C(4; 3) y r = 5

d) C( 4; 3) y r = 5

La ecuación de la circunferencia con centro (h; k) y radio r; es dada por h)2 + (y k)2 = r2 : Evaluamos cada punto en la ecuación (x h)2 + (y k)2 = r2 : Para el punto A(0; 6); se tiene: (x

(0 h)2 + (6 k)2 h2 + 36 12k + k 2

= r2 = r2 (1)

Para el punto B(4; 2); se tiene: (4 h)2 + ( 2 k)2 = r2 16 8h + h2 + 4 + 4k + k 2 = r2 h2 8h + 4k + k 2 + 20 = r2

(2)

Para el punto C(9; 3); se tiene:

8 <

(9 h)2 + (3 k)2 = r2 81 18h + h2 + 9 6k + k 2 = r2 h2 18h 6k + k 2 + 90 = r2 (3) 8 (1) < h2 + 36 12k + k 2 = r2 h2 8h + 4k + k 2 + 20 = r2 (2) Resolvemos el sistema de ecuaciones: : 2 h 18h 6k + k 2 + 90 = r2 (3)

h2 + 36 12k + k 2 = r2 (1) h2 8h + 4k + k 2 + 20 = r2 (2) : 2 h 18h 6k + k 2 + 90 = r2 (3)

!

h2 18h 6k + k 2 + 90 = r2 (3) h2 36 + 12k k 2 = r2 (1)

! 6k 18h + 54 = 0 ! k 3h + 9 = 0 ! k 3h = 9 (4)

8 <

h2 + 36 12k + k 2 = r2 (1) h2 8h + 4k + k 2 + 20 = r2 (2) : 2 h 18h 6k + k 2 + 90 = r2 (3)

!

h2 + 36 12k + k 2 = r2 h2 + 8h 4k k 2 20 =

! 8h 16k + 16 = 0 ! h 2k + 2 = 0 ! 2k + h = 2 ! 2k h = 2 (5) 25

(1) r2 (2)

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Resolviendo (4) y (5); tenemos: k 3h = 9 2k h = 2

2k + 6h = 18 2k h = 2 ! 5h = 20 20 ! h= 5 ! h=4 !

Sutituyendo h = 4 en ecuación (5); se tiene: 2k 2k

h = 4 = 2k = 2k = k

=

k

=

2 2 2+4 6 6 2 3

El centro esta dado por: (4; 3): Sustituyendo estos valores en ecuación (1): h2 + 36 12k + k 2 4 + 36 12 3 + 32 16 + 36 36 + 9 25 r r 2

= = = = = =

r2 (1) r2 r2 r2 p 25 5

Tomamos el valor positivo, así r = 5: R.

a)

29. Dada la parábola que tiene por ecuación x2 = nadas del foco y la ecuación de la directriz: a) F (0; 32 ) y y = c) F ( 32 ; 0) y x =

3 2

3 2

6y; encontrar las coorde-

b) F (0; 32 ) y y = 32 d) F ( 32 ; 0) y x = 32

Según la forma dada de la parábola (x2 = 6y); su eje coincide con el eje Y; y abre hacia abajo. Esta parábola es de la forma: x2 = 4P y: Según la ecuación dada se tiene que: 4P y 4P

= =

P

=

6y 6 6 = 4 26

3 2

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov" [email protected] [email protected] [email protected] Por lo cual las coordenadas del foco son: (0; 32 ) La ecuación de la directriz es dada por: y = P; entonces:

R.

y

=

y

=

(

3 ) 2

3 2

b)

30. El foco y la directriz de una parábola cuya ecuación es y 2 = 36x son respectivamente: a) F ( 9; 0) y x = 9

b) F (9; 0) y x =

9

c) F (0; 9) y y = 9

d) F (0; 9) y y =

Según la forma dada de la parábola (y 2 = 36x); su eje coincide con el eje X; y abre hacia la derecha. La forma de esta parábola es: y 2 = 4P x; así: 4P x = 36x 4P = 36 36 P = 4 = 9 Por lo cual las coordenadas del foco son: (9; 0) La ecuación de la directriz es dada por: x = P; entonces: x= R.

b)

27

9

9

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles Geometría de Sólidos

1. Una piscina tiene forma de prisma rectangular de dimensiones 25m 3m. ¿Cuántos litros de agua son necesarios para llenar los a) 1; 125; 000 lt b) 400 lt c) 900; 000 lt

4 5

15 m

de su volumen? d) 90; 000

lt Encontramos el volumen del prisma rectangular: V =25x15x3 = 1125m3 Los

4 5

de este volumen son:

4 5

1125 = 900m3

Ahora: 1g(gramo) = 1ml(mililitro) = 1cm3 1l(litro) = 1000ml tonces: 1m3 = 1000000cm3 1m3 = 1000000ml 1000ml=l = 1000l

Son necesarios en900m3 x1000l = 900000l R: c)

2. Halla el volumen de un prisma de base hexagonal regular de lado 10cm y altura 25cm: a) 64:95 cm3

b) 6495 cm3

c) 6945 cm3

3

cm

Encontrando el apotema del hexágono: 102 a a a

= 52 + a2 p = 102 p = 100 p = 75

52 25

Hallando el área de la base del hexágono: Ab

= = =

Pa 2p 60 75 2 259:81cm2

1

d) 6495

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles Hallando el volumen del prisma hexagonal regular: V V V

= Ab h = (259:81)(25) = 6495:25cm3 R:

b)

3. Determinar la altura de un prisma recto para el cual el área de la super…cie lateral es 143 y el perímetro de la base es 13. a) 0:09 b) 11 c) 1859

d) 12

El prisma recto debe ser triangular (o con base un polígono de trece lados en el que cada uno mide 1) y la base debe ser un triángulo isósceles con medidas de sus lados: 3; 5 y 5: Representado por h la altura, entonces tenemos tres (o trece) super…cies laterales: 5h; 5h y 3h, por lo cual: 5h + 5h + 3h 13h h h

= 143 = 143 143 = 13 = 11 R:

b)

4. ¿Cómo se afecta el área total de la super…cie de un paralelepípedo rectangular si la longitud de cada arista se multiplica por 2? a) Se cuadruplica b) Se duplica c) Se triplica

d) Se reduce a la

mitad Representamos la longitud de la arista más larga por x: Representamos la longitud de la arista más corta por y: El área total del paralelepípedo con estas dimensiones es de AT = 4xy + 2y 2 : Si la longitud de cada arista se multiplica por 2, los nuevos valores de éstas son: 2x y 2y: Así el área total sería de:

2

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles

AT AT AT

= = =

4(2x)(2y) + 2(2y)2 16xy + 8y 2 4(4xy + 2y 2 )

De esto último puede verse que el área total se cuadruplica. R:

a)

5. Halla el volumen de un prisma cuyas bases son triángulos equiláteros de lado 9cm y altura 15cm: a) 679:2 cm3 b) 679:2 m3

c) 525:82 m3

El volumen buscado está dado por: V = Ab Calculamos el área de la base:

d) 525:82 cm3

h:

p l2 3 Ab = 4 (área del triángulo equilátero en función del lado) Ab

=

Ab

=

p 92 3 4 35:07cm2

Calculamos el volumen: V

= (35:07)(15) = 526:11cm3

R:

d)

6. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto, queremos

3

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar? a) 1; 250 b) 125

c) 521

d) 12; 500

Encontramos el volumen del almacen: VA = 5

2 = 30m3

3

: Hallamos el volumen (en metros cúbicos) de cada caja: Vc = 1

0:4 = 0:24m3

0:6

La cantidad de cajas a almacenar es de: 30 = 125 0:24 R:

b)

7. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto. a) 50; 000; 000 cm3

b) 5; 000; 000 cm3

c) 500; 000 cm3

3

cm

Convertimos las dimensiones a cm3 :

l = 5m = 500cm a = 40dm = 400cm h = 2500mm = 250cm Calculamos el volumen:

V V V

= l a h = (500)(400)(250) = 50000000cm3

R: 4

a)

d) 50; 000

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles 8. Calcula el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral. a) 5; 090:12 cm3 50; 093:83 cm3

b) 593:83 cm3

c) 5; 903:83 cm3

d)

Encontramos el apotema del hexágono 162 a a a a a

= = = = = =

82 + a2 p 162 82 p 256 64 p 192 p 26 3 p 8 3cm

Encontramos la altura de la pirámide: 282 h h h h h

162 h2 p 288 162 p 784 256 p 528 p 24 (3)(11) p = 4 33cm = = = = =

Hallando el área del héxagono (que sería el área de la base de la pirámide) Encontrando el volumen de la pirámide: V

=

Ab

=

Ab

=

Ab

=

V

=

V

=

1 (Ab)(h) 3 Pa 2 p (6)(16)(8 3) p2 384 3cm2 p p 1 (384 3)(4 33) 3 5094:34cm3

5

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles 9. En una pirámide triangular regular, la super…cie lateral es igual a 5 veces la super…cie de la base. Calcular el volumen de la pirámide, sabiendo que el lado de la base es 3. a) V = 5; 150 m3 b) V = 50; 510 m3 c) 5; 510 m3 d) 3 V = 5:55 m

Como el lado de la base es 3, la base es un triángulo equilátero; su área es: p Ab = 9 4 3 (área del triángulo equilátero en función del lado)

El área del triángulo pequeño rayado es igual

al área de los otros triángulos pequeños, por tanto podemos hallar su área para encontrar el valor de x (que lo necesitaremos después). p p 9 3 3 3 Área triángulo pequeño rayado = Ab 6 = (6)(4) = 8 El área de este triángulo pequeño esta dada por: Entonces:

1:5x 2

=

p 3 3 8

!x=

(b)(x) 2

=

1:5x 2

p 1 3 2

Ahora procedemos a encontrar la altura (H) de la pirámide: p p AL = 5( 9 4 3 ) = 454 3 (la super…cie lateral es igual a 5 veces la super…cie de la base). p p 45 3 Entonces la super…cie de 1 cara lateral es: A3L = (3)(4) = 154 3 El área de 1 cara lateral esta dada por: AL = (b)(h) 2 , como ya tenemos su valor p p 15 3 igualamos: (b)(h) = 154 3 ! 3h 2 2 = 4 p ! h = 5 2 3 (esta altura es del triángulo que forma la cara lateral).

6

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles Por el teorema de Pitágoras: h2 H H H H H

= x2 + H 2 p = h2 x2 s p 5 3 2 = ( ) 2 r 75 3 = 4 4 p = 18 p = 3 2

p 1 3 2 ( ) 2

El volumen de la pirámide está (Ab)(H) 3 p p (2:25 3)(3 2) = 3 = 5:51

V

=

V V R:

c)

10. Calcular el volumen de una pirámide, cuya base es un cuadrado y arista lateral es de 24m de largo y cuyas caras son triángulos equiláteros. a) 33; 258:432 m3 b) 258:432 m3 c) 3; 258:432 m3 3 30; 258:432 m

d)

Como las caras son triángulos equiláteros, la arista de la base también mide 24m. Así, Ab = l2 ! Ab = 242 = 576m2 Encontrando el apotema del triángulo equilátero: 242 a a a

= a2 + 122 p 576 144 = p = 432 p = 12 3

Encontrando la altura de la pirámide:

7


p (12 3)2 h h h

122 + h2 p 432 144 p 288 p 12 2

= = = =

Encontrando el volumen de la pirámide: V

=

V

=

V

=

1 (Ab)h 3 p 1 (576)(12 2) 3 3258:348m3 R:

c)

11. Calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14cm, de arista lateral 13cm. a) 4; 432 cm3 b) 4; 440 cm3

c) 4; 423 cm3

d) 4; 423

cm3

Hallamos primeramente

el valor de k:

k2 k k k

= 52 + 52 p = 25 + 25 p = 50 p = 5 2 8


Ahora hallamos el valor

de h (altura del tronco de 2 2 2 2 2 p la pirámide: 13 = h + k ! h = 13 119 Utilizamos la relación:

p p (5 2)2 ! h = 169

50 ! h =

S (T P )2 = S0 (T O)2

(La razón entre el área de la base de una pirámide y el área de una sección paralela a ésta, es igual a la razón entre los cuadrados de sus distancias al vértice.)

S S0

=

576 196

=

(T P )2 (T O)2 p ( 119 + y)2 y2

llamando y a altura correspondiente a T O. p 119 + 2y 119 + y 2 = y2 p 144y 2 = 5831 + 98y 119 + 49y 2 p 98 119y 5831 = 0 144 49

95y 2

Resolviendo la ecuación cuadrática, hacemos: a = 95 p b = 98 119 c = 5831 9


y1;2

=

y1;2

=

y1;2

=

y1;2

=

y1;2

=

y1

=

y2

=

y1

=

y2

=

y1

=

y2

=

p ( 98 119) p 98 119

p

q p ( 98 119)2

4(95)( 5831)

(2)(95)

1142876 + 2215780 (2)(95) p p 3358656 98 119 (2)(95) p p 98 119 (26 )(32 )(72 )(119) (2)(95) p p 98 119 168 119 (2)(95) p p 98 119 + 168 119 (2)(95) p p 98 119 168 119 (2)(95) p 266 119 (2)(95) p 70 119 (2)(95) p 133 119 95 p 7 119 19

Para los siguientes cálculos p tomamos el valor positivo, La altura de la pirámide desde P hasta T es: y1 + 119, esto es:

y1

=

p

119 = p p 133 119 + 95 119 = 95 y1 +

p 133 119 95 p 133 119 p + 119 95 p 228 119 cm 95

El volumen total de la pirámide desde la base mayor hasta T es:

10


V

=

V

=

V

=

p 1 (Ab)(y1 + 119) 3 p (576) 228 119 3 p 95 43776 119 3 cm 95

El volumen de la pirámide desde la base menor hasta T es: V0

=

V0

=

V0

=

1 0 Ab (y1 ) 3 p 196 133 119 3 p95 26068 119 3 cm 285

El volumen del tronco de pirámide V

V 00

=

V 00

=

V 00

=

V 00

=

V 0 = V 00 es:

p p 43776 119 26068 119 95 p 285p 131328 119 26068 119 p 285 105260 119 285 4028:95cm3 :

12. Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 25 cm y el radio de su base es de 12 cm. a) 3; 350:28 cm3

b) 3; 503:28 cm3

c) 3; 305:28 cm3

3

cm

Encontramos la altura del cono: 252 h h h

= = = =

122 + h2 p 252 122 p 625 144 p 481

11

d) 3; 305:28

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles Encontrando el volumen:

V V V

1 (Ab)(h) 3 p 1 (12)2 ( 481) = 3 = 3307:22cm3 =

13. Para una …esta, Luis ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz? a) 11; 775 cm2 b) 1; 177 cm2 c) 11; 775 cm3 d) 1; 570 cm2

El área total del cono está dada por: A = rg + r2 Como son gorros los que hace Luis, no consideramos el área de la base; por tanto el área que calculamos sólo es la lateral. Así: A = rg ! A = (15)(25) ! A = 1178:097cm2 Como son 10 gorros, entonces: 10A = (10)(1178:097) = 11780:97cm2 El área buscada es de 11780:97cm2 14. ¿Bajo qué condiciones son iguales las áreas laterales de un cono circular recto y de un cilindro circular recto si ambos cuerpos tienen el mismo radio en la base y p la misma altura? p b) r = 2h a) r = 3h

c) r = 3h

pÁrea lateral del cono: Acono = rg, donde g = r h2 + r 2 Área lateral del cilindro: Acilindro = 2 rh Asumiendo Acono = Acilindro

12

p

d) r =

p

3h

h2 + r2 . Así: Acono =


r

p h2 + r 2 p h2 + r 2 h2 + r 2 r2 r2 r

=

2 rh

= 2h = 4h2 = 4h2 h2 = 3h2 p = h 3 R:

d)

15. Represente el área total de un cono circular recto de radio constante como función de la altura. 2 b) Atotal = 2 r p a) Atotal = r r( h2 + r2 + r)

c) Atotal = r2

d) Atotal =

p El área total del cono + r2 , de aquí: g p = r 2 + h2 p está dada por: A = rg Sustituyendo g = r2 + h2 en A = rg + r2 , se tiene: A = r( r2 + h2 ) + r2 , p de aquí A = r( r2 + h2 + r): R:

d)

16. La generatriz de un cono circular recto es de 14 cm y la super…cie de la base es de 80 cm2 ? Calcular la altura. a) 13:05 cm b) 13:05 cm2

c) 130:3 cm

El área de la base esta dada por Ab = 80 = r2

=

r2 r2 80

Aplicando el teorema de Pitágoras: g2 142

= r 2 + h2 80 = + h2 r

h

=

h

=

h

=

142 r

196

13:06cm

13

80 80

d) 130:5 cm


R:

a)

17. En un cubo se inscribe un cono. ¿Cuál es la razón entre el área total de los cuerpos? a) 9

b) 0:9

c) 0:09

d) 9:9

De la …gura puede verse que l =

2r: El área total del cubo está dada por: Acubo = 6l2 = 6(2r)2 = 24r2

El área total del cono está dada por: Acono = rg + r2 Expresando g en función de r, se tiene: g2 g2 g g

= = = =

r 2 + l2 r2 + 4r2 p 5r2 p r 5

p Sustituyendo g = r 5, en Acono = rg + r2 , se tiene: 14

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles p Acono = r2 5 + r2 La razón de las áreas esta dada por: r

=

r

=

r

=

r

=

r

=

Acono Acubo p r2 5 + r2 2 24r p 2 r ( 5+ ) 2 p 24r 5+ 24 0:42

18. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6, 8 y 10 unidades. Si el triángulo gira alrededor de su lado de 8 unidades y ese lado está en posición …ja, hállese el área total de la super…cie que se genera. a) 60 b) 69 c) 96

d) 36

Al girar el triángulo engendra un cono. El área total está dada por: A = rg + r2 Sustituyendo: A = A = A =

(6)(10) + (6)2 60 + 36 96 R:

c)

19. Un ‡orero con forma cilíndrica tiene un diámetro interior de 12 cm y su altura es de 25 cm. Queremos llenarlo hasta los 23 de su capacidad. ¿Cuántos litros de agua necesitamso? a) 1:884 lt b) 2:826 lt c) 10:478 lt d) 18:84 lt

15

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles Encontrando el volumen del cilindro:

V V V

= r2 h = (6)2 (25) = 900

Como se llena hasta los 23 , entonces: 2 V( ) 3 2 V( ) 3

2 = 900 ( ) 3 = 1884:96cm3

Como 1cm3 1884:96cm3

= 1ml = 1884:96ml

Ya que 1lt 1884:96 1000

=

1000ml

= 1:88496lt R:

a)

20. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura. a) 7; 850 cm2 b) 6; 280 cm2 c) 6; 820 cm2

d) 780 cm2

El área total del cilindro esta dada por: A =

2 rh + 2 r2 . 16

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles Entonces para hacer un bote se necesita: = 2 (5)(20) + 2 (5)2 = 785:398cm2

A1 A1

Para hacer 10 botes se necesitan: 10A1

= =

(10)(785:398) 7853:98cm2 R:

a)

21. El suelo de un depósito cilíndrico tiene una super…cie de 45 m2 . El agua que contiene alcanza 2:5 metros. Para vaciarlo se utiliza una bomba que extrae 8 hl por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse? a) 223:87horas; 14min b) 134horas; 32hmin c) 1hora; 14min d) 2horas; 14min Hallamos el volumen del depósito: V

= = = = =

(45)(2:5)m3 112:5m3 112500000cm3 112500000ml 112500l

Considerando 1hl como un hectolítro, entonces 1hl = 100l y por tanto: 8hl = 800l El tiempo t para vaciar el depósito sería de: t t t

112500l 800l= min = 140:625 min = 2:34horas:

=

17

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles 22. Se tiene un cilindro circular recto de 30 cm de altura y 12 cm de diámetro. Se perfora un agujero a lo largo de su eje con diámetro 9 cm. Determinar el volumen del sólido resultante. a) 875:5 cm3 b) 148:365 cm3 c) 1; 483:65 cm3 d) 3 148; 365 cm Encontrando el volumen del cilindro de diámetro 12 cm: V1 V1 V1 V1

= Ab(h) = r2 (h1 ) = (6)2 (30) = 3392:92cm3

Encontrando el volumen del cilindro de diámetro 9 cm: V2 V2 V2 V2

= Ab(h) = r2 (h2 ) = (4:5)2 (30) = 1908:52cm3

Volumen del sólido resultante: V1

V2

= 3392:92 1908:52 = 1484:4cm3 R:

c)

23. Calcular el área de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura. a) 12:56 cm2 12:56 m

b) 12:56 m

c) 12:56 m2

d)

3

La altura del cilindro coincide con el diámetro de la esfera, por lo cual el radio de la esfera es igual al radio de la base del cilindro = 1m: El área de la esfera esta dada por: A = 4 r2 , entonces A = =

4 (1)2 12:566m2 R:

18

c)

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles 24. Un recipiente cilíndrico de 5 cm de radio y 10 cm de altura se llena de agua. Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío? a) 1:215 kg 1:415 kg

b) 1:215 gr

c) 1:315 dg

d)

Hallamos el volumen del líquido: V V V

= r2 (h) = (5)2 (10) = 785:398cm3

Como 1cm3 = 1ml = 1gr: Entonces el volumen del recipiente pesa: 785:398gr: Así, el peso del recipiente vacío es de: 2000gr

785:398gr = 1:2146gr

: R:

a)

25. El volumen de una esfera y un cilindro circular son iguales y el diámetro de la esfera es igual al diámetro de una base del cilindro. Determinar la altura del cilindro en términos del diámetro de la esfera. a) h = 3d b) h = 4d c) h = 3d d) 4 3 2 2d h= 3 Volumen de la Esfera (V e)

Ve=

4 3 r 3 e

Volumen del cilindro (V c): V c = rc2 (h) Como el diámetro de la esfera es igual al diámetro de la base del cilindro, sus radiosson iguales, esto es: re = rc .

19

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles Como

De donde:

r

=

de 2

=

d 2 dc 2

4 d 3 ( ) 3 2 d V c = ( )2 (h) 2 Ve=

Como Ve 4 d 3 ( ) 3 2 4 d3 3 8 2 3 d 3 h

= Vc d = ( )2 (h) 2 d2 = h 4 = d2 h =

2 d 3 R:

d)

26. El diámetro de la Luna es aproximadamente un cuarto del diámetro de la Tierra. Compárense los volúmenes de la Luna y la Tierra. a. VT ierra = 16 (Volumen de la Luna) b. VT ierra =

1 32 (Volumen

de la Luna)

c. VT ierra = 32(Volumen de la Luna) d. VT ierra = 65(Volumen de la Luna) Especi…camos las notaciones a usar: Volumen de la Tierra=VT Diámetro de la Tierra=dT Tierra=rT Volumen de la Luna=VL Diámetro de la Luna=dL Luna=rL El volumen de la esfera esta dado por: V = 43 r3 20

Radio de la Radio de la

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles Encontramos primero la relación entre los radios. Se sabe que: d = 2r Entonces:

dL dL dT

1 dT 4 = 2rL = 2rT =

Por lo cual: 2rL 2rL 2rL 4rL

1 dT 4 1 = (2rT ) 4 1 = rT 2 = rT

=

Comparando los volúmenes de la Luna y la Tierra: Volumen de la Tierra: VT

=

VT

=

VT

=

VT

=

VT

=

4 (rT )3 3 4 (4rL )3 3 r 4 3 3VL 3 (4 ) 3 4 4 3VL (64)( ) 3 4 64VL Volumen de la Luna:

VL

=

3VL 4

=

rL

=

4 (rL )3 3 (rL )3 r 3 3VL 4 R:

21

d)

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles 27. El volumen de una esfera es igual al volumen de un cubo cuya diagonal p mide 3 pulgadas. Calcular la longitud del radio de la esfera. a) 0:65 p b) 0:75 p c) 7:5 p p El volumen de la esfera esta dado por: Ve=

4 3 r 3

Según los datos el cubo es dado como se muestra

Volumen del cubo esta dado por: V c = l3 Por Pitágoras: d2 d d

= l2 + l2 p 2l2 = p = l 2

De lo anterior: p p ( 3)2 = (l 2)2 + l2 3 = 2l2 + l2 3 = 3l2 1 = l2 l = 1 Así, del volumen del cubo: Vc Vc

= 13 = 1pu lg3 22

d) 6:5

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles Como ambos volúmenes son iguales: Ve = Vc 4 3 r = 1 3 3 r3 = 4 r

3 4 = 0:62pu lg

r

3

=

r

28. Determinar el diámetro de una esfera si su volumen y super…cie tienen igual valor. a) 6

b) 12

c) 9

d)

8 La super…cie de la esfera esta dada por: A = 4 r2 El volumen de la esfera esta dado por: V = Si A = V ! 4 r2 =

4 3

4 3 r 3

r3 ! 3 = r ! 6 = d: R:

a)

29. Dado un cilindro circular recto que tiene en su base superior una semiesfera de radio 8 cm. La altura del cilindro es de 25 cm. Determinar el volumen del sólido formado. a) 5; 157:97 cm3 b) 7; 167:57 cm3 c) 6; 095:78 cm3 d) 695:78 3 cm El radio de la semiesfera es igual al radio de la base del cilindro. El volumen del cilindro esta dado por: Vc = Vc = Vc =

r2 (h) (8)2 (25) 5026:548cm3 23

Grupo matagalpino de matemáticas "Los karamazov" Jolman Enrique López Gerardo Manuel García José A. Siles El volumen de la esfera esta dado por V e = 43 r3 : El volumen de la semiesfera esta dado por Ve 2 Ve 2 Ve 2

= = =

2 3 r 3 2 (8)3 3 1072:33cm3

Volumen del sólido formado: Ve 2

Vc+

= 5026:548 + 1072:33 = 6098:878cm3 R:

c)

30. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1:5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón $ 6 el metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintarla? a) $ 540 b) $ 5400 c) $ 54 d) $ 54000

Hallamos el área total de la piscina: AT AT AT A1 A2 A3

= = =

= A1 + A2 + A3 = 48 + 24 + 18 = 90m2 (8)(6) = 48m2 (2)(8)(1:5) = 24m2 (2)(6)(1:5) = 18m2

Si se pinta a razón de $6 (dólares) el m2 , entonces cuesta pintarla: (90)(6) = 540 dólares. R:

24

a)


25

Guia resuelta Matemáticas UNAN-MANAGUA

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