Dept. Física Fundamental, UNED Apartado de Correos 60.141 28080 Madrid Tel: 91 398 7140
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Departamento de Física Fundamental
Madrid, 14 de noviembre de 2002. Estimado/a alumno/a:
Con esta carta le adjuntamos el material complementario de la Primera Prueba Personal de la asignatura de Física Cuántica (3º curso de Ciencias Físicas), opción A. Esta opción es la recomendada para los alumnos que se propongan cursar la especialidad de Física Industrial. Después de los exámenes de febrero recibirá otro envío, correspondiente a la Segunda Prueba Personal. Debe usted trabajar debidamente este material complementario, así como las propuestas de ejercicios y los ejercicios resueltos.
Además de la presente carta, el envío consta de: - Una pequeña guía de estudio, en la que se recalcan los puntos más importantes de los temas de esta parte de la asignatura. Se incluyen complementos que debe usted estudiar. - Una colección de problemas resueltos, algunos de ellos del texto-base (Física Cuántica, de Eisberg y Resnick, Editorial Limusa). - Un examen modelo, mezcla de varios propuestos en cursos anteriores, resuelto con bastante detalle para que usted vea cómo debe explicar los pasos que realiza en un examen. Además, se le incluye la solución del examen de la primera prueba personal de septiembre de 2000. - Una pequeña lista de términos habituales de Física Cuántica en inglés, junto con los términos utilizados en la traducción del texto-base y otras posibles alternativas a dichos términos que también se usan en español. - Una pequeña lista de términos que, en nuestra opinión, están mal traducidos en el texto. Tenga en cuenta esta lista al estudiar los temas, porque puede ayudarle a entenderlos mejor.
Quisiéramos comentarle una serie de puntos que nos parecen de interés para ayudarle a estudiar la asignatura. MATERIAL DE ESTUDIO Los textos-base sirven para fijar los contenidos y el nivel del temario de la asignatura, pero no son los únicos textos que usted puede y debe consultar en los casos de duda o en caso de necesitar ampliación de algún tema. Le recomendamos que utilice más de un libro para asegurar sus conocimientos, pues cada alumno suele encontrar más útil un libro que todos los demás, incluyendo los recomendados en la guía del curso.
Para estudiar la Relatividad que usted necesita para el curso, una buena elección es el libro de Mecánica de la colección de Berkeley (texto-base de la asignatura Mecánica y Ondas de segundo curso). También puede consultar el nuevo libro de Alonso y Finn, en único volumen (Física, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995; en inglés tiene el título de Physics). Como mínimo, debe usted estudiar el apéndice A del libro de Eisberg y Resnick para tener las nociones básicas de Relatividad que se van a utilizar en el curso.
En particular, además de los textos-base y de los textos mencionados en la Guía del curso, son libros recomendables para trabajar con ellos durante el estudio de toda la asignatura: 1.- Como libro de apoyo, cualquier buen libro de Física que incluya tanto temas de Relatividad como de Física Cuántica. Este libro de consulta debe tenerlo siempre a mano para resolver dudas o puntos que no recuerda con precisión. Un texto que incluye estos temas es el conocido libro de Alonso y Finn Física en tres volúmenes (Addison-Wesley Iberoamericana o Fondo Educativo Interamericano): la Relatividad está tratada en el primer volumen y la Física Cuántica en el tercero. Note que este último volumen es texto-base de la asignatura. También puede utilizar como libro de consulta el nuevo texto de los mismos autores en único volumen (Alonso y Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995), aunque profundiza menos en los distintos temas. 2.- Para completar la discusión del texto-base, con un enfoque alternativo de la Física Cuántica y una buena colección de problemas (no resueltos, pero muchos con la solución al final del libro), puede utilizarse el texto de
French y Taylor, Introducción a la Física Cuántica (Editorial Reverté) y quizás el libro de Wichmann Física Cuántica (Curso de Física de Berkeley, vol. 4, editorial Reverté) En todo caso, antes de decidirse a comprar algún libro le recomendamos que lo consulte en alguna de las bibliotecas de las que estén a su alcance.
Los libros de problemas resueltos pueden ser de ayuda para iniciarse en los temas, pero creemos que la colección que le enviamos, junto con los ejemplos resueltos que están intercalados en los capítulos de los textosbase, es suficiente. Sin embargo, queremos resaltar la importancia que en nuestra opinión tiene la dedicación del alumno a la resolución personal de problemas no resueltos. Resolver problemas de manera independiente (pero no estudiar solamente la solución) es la única manera de asegurarse que se dominan los conceptos y permite, además, prepararse adecuadamente para las pruebas presenciales. Las soluciones que se envían (excepto la del examen modelo) son en general muy breves y poco detalladas; nuestro interés es recalcar la importancia de los principios físicos básicos, siendo usted el que debe desarrollar con más cuidado cada uno de los pasos que se dan en dichos problemas.
EXÁMENES: INSTRUCCIONES PARA SU REALIZACIÓN Como es habitual en esta asignatura, los problemas de los exámenes serán de nivel similar a los de los libros de texto. Como ya le hemos comentado, en los problemas que nosotros le enviamos se omiten a veces pasos intermedios, bien porque ya se han explicado en otros problemas o bien porque son suficientemente sencillos para que el alumno pueda hacerlos por sí mismo. Evidentemente, estos pasos deberán detallarse en un examen. Debe usted resolver tanto los problemas que le enviamos como los que están propuestos en los libros de texto (incluyendo los ejemplos resueltos) sin la ayuda de la solución; posteriormente es cuando debe hacer la comprobación de que el resultado (que podría haber obtenido de modo distinto al que nosotros sugerimos) coincide con dicha solución. Nuestra experiencia es que una gran parte de los alumnos apenas explican los razonamientos y pasos que exponen en sus exámenes, siendo en ocasiones imposible saber qué es lo que está haciendo el alumno. En un examen se deben explicar las hipótesis y detallar todos los pasos que se realicen en cada problema o cuestión. Por eso, debe usted acostumbrarse a redactar cuidadosamente los problemas que resuelva en su casa (éstos que le mandamos u otros de los que encuentre usted propuestos en los libros de texto o en cualquier otro libro), puesto que cuando le corrijamos sus exámenes ese detalle es fundamental para poder calificarle adecuadamente. Una parte de los exámenes de esta asignatura consiste en responder breve y razonadamente a algunas cuestiones. No se trata, pues, de exponer todo lo que sabe sobre el tema, sino que debe responderse concretamente a lo que se pregunta. Además, debe usted tener en cuenta que la principal diferencia entre cuestiones y problemas reside fundamentalmente en que éstos requieren cálculos matemáticos más extensos, que el alumno debe realizar (y no sólo indicar), pero no hay diferencias esenciales en cuanto a los contenidos físicos. Recuerde que, al ser su examen una comunicación directa con el profesor (que no le conoce), debe usted explicar los pasos lo más detalladamente posible, definiendo las variables que use y explicando la notación y las fórmulas que utilice. No es suficiente poner la solución: si Vd. conociera la solución directa de algún apartado, debe exponerla y explicarla con claridad, detallando los pasos intermedios. Es muy importante que no sustituya los valores numéricos hasta el final, después de haber obtenido una expresión algebraica; si se le pide algún cálculo numérico hágalo solamente en la expresión algebraica que haya obtenido finalmente (en este caso, debe como mínimo estimar en órdenes de magnitud los resultados que se le pidan).
EXÁMENES: CALIFICACIÓN Le recordamos que, al ser las pruebas presenciales de febrero y junio independientes (y éstas respecto a las de septiembre), no se podrá compensar la calificación de una de ellas con la otra. Los exámenes se califican globalmente y los errores graves cuentan de forma negativa en esa calificación. Además, la nota de un examen se obtendrá del promedio de las calificaciones de la parte de las cuestiones y la parte de los problemas. En cualquier caso se requerirá una calificación mínima de 4 puntos (sobre 10) en cualquiera de las dos partes de cada examen (así, un examen con calificaciones de 9 puntos en cuestiones y 3 puntos en problemas da lugar a un NO APTO en la prueba presencial).
EXÁMENES: FECHAS Y HORARIOS Como está indicado en la Guía del Curso, en febrero los exámenes de las dos semanas corresponden a la primera Prueba Presencial (primer parcial) mientras que los exámenes de las dos semanas de junio corresponden a la segunda Prueba Presencial (segundo parcial). En junio, pues, no hay examen de la primera Prueba Personal. En el mes de septiembre los exámenes de la asignatura son dos: el de las 9:00 corresponde a la primera Prueba Presencial mientras que el examen de las 11:30 corresponde a la segunda Prueba Presencial. Usted deberá realizar el examen correspondiente a la(s) parte(s) que le quede(n) pendiente(s) de los exámenes de febrero y de junio.
FORMA DE TRABAJO DURANTE EL CURSO Como ya le hemos comentado, nuestra experiencia nos demuestra que una gran parte de los alumnos apenas explican los razonamientos y pasos que exponen en sus exámenes, siendo en ocasiones imposible saber qué es lo que está haciendo el alumno y, como consecuencia, la calificación de dichos alumnos no puede ser positiva. Por esa razón, una de las mejores manera de enfocar la asignatura, esto es, de llevar adelante el trabajo durante el curso, es que usted se haga una colección propia de problemas de los que no tenga la solución; los problemas pueden ser estos que le mandamos (sin que usted consulte la solución) u otros que encuentre usted propuestos en los libros de texto o en cualquier otro libro. Los objetivos básicos de hacer esa colección de problemas son: - que usted se acostumbre a elegir aquellos problemas que son más relevantes, que no es lo mismo que resolver infinidad de problemas triviales; intente resolverlos aunque le lleven mucho tiempo. - que usted se dé cuenta de sus fallos en la preparación de la asignatura, sus lagunas de conocimiento (de ésta u otra asignatura) y que sepa afrontar y resolver dichas dificultades. - que usted redacte finalmente la solución de los problemas con cuidado y claridad, haciendo hincapié en los conceptos importantes y explicando los pasos que lleva a cabo. Si usted es capaz de hacer esa colección, el trabajo realizado le será de suma utilidad para las pruebas presenciales. Finalmente le agradeceríamos que nos comunique los errores y omisiones que encuentre en este envío, así como también cualquier otra sugerencia para mejorar su contenido o su presentación.
Reciba un cordial saludo del equipo docente:
El equipo docente de Física Cuántica (Tercer curso de CC. Físicas): Dra. Emilia Crespo del Arco. Teléfono: 91 398 71 23 Dr. José E. Alvarellos Bermejo. Teléfono: 91 398 71 20 Dr. Javier García Sanz. Teléfono: 91 398 71 25
- Dirección postal (para cualquier comunicación con los profesores): Nombre de un Profesor (póngalo para que la carta llegue más rápidamente) Departamento de Física Fundamental. Apartado de Correos 60.141. 28080 Madrid. - Dirección de correo electrónico (ponga sus datos en el mensaje, indicando la asignatura y la opción) Dra. Emilia Crespo del Arco.
[email protected] Dr. José E. Alvarellos Bermejo.
[email protected] Dr. Javier García Sanz.
[email protected]
EQUIVALENCIAS Traducción
Alternativas
binding energy eigenfunction eigenstate eigenvalue linear momentum
energía de amarre eigenfunción eigenestado eigenvalor impulso lineal
angular momentum torque stopping potential ground state recoil speed cross section vacuum chamber
impulso angular impulso rotativo potencial de frenamiento estado base rapidez de retroceso sección transversal cámara evacuada bremsstrahlung velocidad de onda valor de expectación spin espacio fase diagrama fase arreglo experimental arreglo (de átomos, electrones) razones de transición (por unidad de tiempo) traslape razón de radiación qué tan ... fierro
energía de ligadura, energía de enlace autofunción, función propia autoestado, estado propio autovalor, valor propio cantidad de movimiento, momento lineal, impulso momento angular, momento cinético par de fuerzas, torque potencial de frenado estado fundamental velocidad de retroceso sección eficaz (de dispersión) cámara de vacío radiación de frenado velocidad de fase (p.e. en pág. 98) valor medio, valor esperado espín espacio de fases diagrama de fases montaje experimental distribución (de átomos, electrones) probabilidades o ritmo de transición
Inglés
expectation value spin phase space phase diagram transition rates overlapping
solapamiento, solape potencia de radiación cuán ... hierro
MALAS TRADUCCIONES
Además de los términos que se han citado anteriormente, que pueden tener distintas versiones en español, el texto-base adolece de términos o expresiones mal traducidas. Como en algunas partes del libro aparecen estas malas traducciones y en otras no, nos queda la impresión de que han sido varios los traductores y que la labor del revisor científico de la traducción ha sido muy escasa. He aquí algunos ejemplos: Traducción adecuada despreciable sugerente ahora (con) valor bien definido impulso rotativo (par de fuerzas, torque) deslocalizada nabla al cuadrado cuantizada discretamente desaparición desviadas preceder torques externos niveles de menor energía sección eficaz (o transversal)
Traducción en el libro tremendo sugestivo en seguida definitiva(mente) impulso relativo desconocida del al cuadrado discretamente cuantizada desvanecimiento (smearing off) deflectadas precederse torcas externas niveles menores de energía sección cortada
(al principio de la página 344) (en múltiples páginas) (ej. en página 97) (ej. en página 99) (en página 319) (ej. página 222) (ej. página 281) (ej. página 287) (ej. página 223) (ej. página 323) (ej. página. 332) (ej. página 332) (ej. página 340) (en página 72).
Además hay que estar atentos a las múltiples veces en que la tipografía parece indicar un uno (1) cuando se quiere indicar una ele (l). Finalmente, conviene hacer notar que en la página 341 se alterna, en el texto, la “P” mayúscula con la “p” minúscula en las fórmulas para denotar el momento dipolar eléctrico.
EXTRACTO DE LA INFORMACIÓN SUMINISTRADA EN LA GUÍA DEL CURSO
TEMA 1. Radiación térmica y postulado de Planck. Eisberg y Resnick: capítulo 1. Alonso y Finn: apartado 1.3 TEMA 2. Aspectos corpusculares de la radiación. Eisberg y Resnick: capítulo 2. Alonso y Finn: apartados 1.4 a 1.6.
TEMA 4. Principio de indeterminación. Eisberg y Resnick: apartados 3.3 a 3.6. Alonso y Finn: apartado 1.12. TEMA 5. Modelos atómicos clásicos. Eisberg y Resnick: apartados 4.1 al 4.4.
TEMA 3. Aspectos ondulatorios de la materia. Eisberg y Resnick: apartados 3.1 y 3.2. Alonso y Finn: apartados 1.10 y 1.11.
A) Primera Prueba Presencial
Programa de la Opción A. El programa de esta opción es el siguiente, donde se indican los apartados de los libros de Eisberg y Resnick (texto-base del programa) y de Alonso y Finn (texto complementario) que corresponden a cada tema:
TEMA 6. Modelo atómico de Bohr-Sommerfeld. Eisberg y Resnick: apartados 4.5 al 4.12. Alonso y Finn: apartados 1.7 a 1.9
TEMA 7. Ecuación de Schrödinger; interpretación estadística de la función de ondas; estados cuánticos estacionarios. Eisberg y Resnick: capítulo 5. Alonso y Finn: apartados 2.2, 2.3, 2.7, 2.9, 2.10, 2.12.
TEMA 8. Problemas unidimensionales: estados de colisión Eisberg y Resnick: apartados 6.1 al 6.6. Alonso y Finn: apartados 2.4 y 2.8.
TEMA 9. Problemas unidimensionales: estados ligados; el oscilador armónico. Eisberg y Resnick: apartados 6.7, 6.8 y 6.9. Alonso y Finn: apartados 2.5 y 2.6.
B) Segunda Prueba Presencial
TEMA 10. Ecuación de Schrödinger para átomos hidrogenoides; propiedades de los niveles ligados. Eisberg y Resnick: apartados 7.1 al 7.7. Alonso y Finn: apartados 3.1, 3.2, 3.3 y 3.5.
TEMA 11. Momento angular orbital. Eisberg y Resnick: apartados 7.8 y 7.9. Alonso y Finn: apartado 3.4 y ejemplo 3.4.
TEMA 12. Momento magnético. Espín. Eisberg y Resnick: apartados 8.1 al 8.3 y 8.5. Alonso y Finn: apartados 3.6, 3.7
TEMA 13. Ritmos de transición y reglas de selección. Eisberg y Resnick: apartado 8.7. Alonso y Finn: apartado 2.11. TEMA 14. Partículas idénticas. Principio de exclusión. Eisberg y Resnick: apartados 9.1, 9.2 y 9.3. Alonso y Finn: apartados 4.1 a 4.3.
TEMA 16. Estadísticas cuánticas. Eisberg y Resnick: apartados 11.1 a 11.11. Alonso y Finn: capítulo 13.
TEMA 17. Sólidos: conductores y semiconductores. Eisberg y Resnick: capítulo 13. Alonso y Finn: capítulo 6.
TEMA 15. Moléculas. Espectros moleculares. Alonso y Finn: apartados 5.1 a 5.4 y 5.7 a 5.9. Eisberg y Resnick: apartados 12.4 a 12.7.
4. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
EISBERG, R. y RESNICK, R.: Física Cuántica (Ed. LIMUSA). Texto-base de este programa. El libro discute completamente todos los temas del programa. Tiene buenos ejemplos resueltos (que el alumno debería estudiar con detalle) y muchos problemas al final de cada capítulo. ALONSO, M. y FINN, E. J.: Física, vol III: Fundamentos Cuánticos y Estadísticos. (Ed. Fondo Educativo Interamericano). Este texto no es el texto-base, pero complementa al anterior: no discute todos los temas del programa de manera completa, pero puede ser de utilidad que el alumno consulte aquellos temas que se indican anteriormente, en el apartado 3. También contiene ejemplos con resolución, así como muchos problemas al final de cada capítulo. 5. OTROS MATERIALES DIDÁCTICOS
A los alumnos que hayan enviado la ficha del Departamento de Física Fundamental se les hará llegar desde la Sede Central instrucciones para el estudio de los temas, material complementario (que el alumno también debe estudiar) y tanto propuestas de ejercicios como ejercicios resueltos. 5. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA.
Damos aquí una lista de libros con el espíritu de ayudar a aquellos alumnos que necesiten explicaciones alternativas a las del textobase en algunos puntos del programa.
ALONSO, M. y FINN, E. J.: Física, vol III: Fundamentos Cuánticos y Estadísticos. (Ed. Fondo Educativo Interamericano). Como ya hemos comentado, este texto complementa al libro de Eisberg y Resnick, y sugerimos que el alumno consulte aquellos apartados que se indican en el apartado Contenidos de la asignatura. Tiene bastantes ejemplos con resolución detallada y muchos problemas al final de cada capítulo. FRENCH, A. P. y TAYLOR, E.: Introducción a la Física Cuántica. (Ed. Reverté). Excelente introducción tanto al formalismo como a los conceptos fundamentales, a partir de la fenomenología de los sistemas con un número finito de estados. Tiene una buena colección de problemas al final de cada capítulo.
WICHMANN, E. H.: Física Cuántica. (Curso de Física de Berkeley, vol. IV) Ed. Reverté. Es el libro que se utiliza como texto-base en la opción B de la asignatura. Excelente discusión física de los principios de la Mecánica Cuántica. SÁNCHEZ DEL RIO, C. (coordinador): Física Cuántica (2 vol.): (Ed. Paraninfo, Madrid). Es un libro colectivo, con varias secciones que cubren todo el espectro de la Física Cuántica a un nivel introductorio. Cada sección se completa con una colección de problemas resueltos. Las secciones más interesantes para nuestro curso se encuentran en el volumen 1. Libros de Problemas.
El alumno debe seguir la buena costumbre de resolver los problemas de los libros recomendados (muchos de los problemas, aunque no estén resueltos, tienen la solución al final de cada libro), especialmente de los libros de EISBERG, R. y RESNICK, R.: Física Cuántica (Ed. Limusa), de ALONSO, M. y FINN, E. J.: Física, vol III: Fundamentos Cuánticos y Estadísticos. (Ed. Fondo Educativo Interamericano) y de FRENCH, A. P. y TAYLOR, E.: Introducción a la Física Cuántica. (Ed. Reverté). Por otra parte, en el material complementario que se enviará a los alumnos que hayan enviado su ficha, hay ejercicios resueltos (con problemas propuestos en exámenes de cursos anteriores).
Como libros de problemas resueltos, en castellano, se pueden citar dos.
R. FERNÁNDEZ ÁLVAREZ-ESTRADA y J.L. SÁNCHEZ GÓMEZ: 100 problemas de Física Cuántica. (Alianza Editorial, 1996) Es el único libro de problemas en castellano con problemas para todo el curso. Su nivel es intermedio entre las asignaturas de tercero y de cuarto cursos. R. GAUTREAU y W. SAVIN: Teoría y problemas de Física Moderna. Colección Schaum. (Ed. McGraw-Hill). Libro de problemas resueltos, recomendable para la primera parte del curso y, en general, para los problemas que no requieren el uso de la
teoría formal de la Mecánica Cuántica. Cada capítulo tiene una introducción teórica. La edición en castellano de este libro (hecha en México) está agotada, pero se puede consultar en las bibliotecas. Los datos de la edición más reciente en inglés son: R. GAUTREAU y W. SAVIN Schaum's Outline of Theory and Problems of Modern Physics (Ed. McGraw-Hill, 1996). 7. EVALUACIÓN 7.1 Prácticas Esta asignatura no tiene prácticas por el momento.
7.2 Pruebas presenciales
8. CONSULTAS Consulta telefónica o personal:
Las Pruebas Presenciales constarán de una parte teórica y una parte práctica. La parte teórica consistirá en responder de forma clara, concisa y razonada a una serie de cuestiones que apenas requerirán cálculos numéricos. La parte práctica consistirá en resolver problemas que serán de un nivel similar a los enunciados en el libro de texto-base y a los que figuren en la colección de problemas resueltos que se enviará a los alumnos como material complementario. La nota del examen se obtendrá del promedio de las calificaciones de la parte de cuestiones y de la parte de problemas. En cualquier caso, se requerirá una calificación mínima de 4 (sobre 10) en cualquiera de las dos partes de un examen. Las dos Pruebas Presenciales son independientes, por lo que la calificación de una no compensa la de la otra. En las Pruebas Presenciales no se podrán utilizar ni libros ni ningún tipo de material auxiliar. Si para la resolución de algún problema se necesitara alguna fórmula o valor numérico que no sea evidente o fácil de recordar, dicho dato figurará en la hoja de enunciados.
Miércoles de 16,00h. a 20,00h, excepto en las semanas de exámenes. Cuando un miércoles sea festivo, el horario de consulta pasa al siguiente día lectivo. Dra. Emilia Crespo del Arco. Despacho 211-A. Teléfono: (91) 398 71 23 Dr. José E. Alvarellos Bermejo. Despacho 206. Teléfono: (91) 398 71 20 Dr. Javier García Sanz. Despacho 203. Teléfono: (91) 398 71 25
Los despachos están en el edificio de la Facultad de Ciencias de la UNED, calle Senda del Rey, nº 9 (Madrid).
Otras consultas (para cualquier comunicación con los profesores):
Dirección de correo ordinario Nombre de un Profesor (póngalo para que la carta llegue más rápidamente) Departamento de Física Fundamental. Apartado de Correos 60.141 28080 Madrid.
Dirección de correo electrónico:
(recuerde poner sus datos en el mensaje, indicando la asignatura y la opción elegida por usted)
[email protected]
Dr. José E. Alvarellos Bermejo.
[email protected]
Dr. Javier García Sanz.
[email protected]
Dra. Emilia Crespo del Arco.
Primera Prueba Personal: Teoría
Recibirá usted dos envíos, correspondientes a las dos Pruebas Personales.
En esta pequeña guía de estudio de la primera parte de la asignatura Física Cuántica del tercer curso de Ciencias Físicas (opción A), le resaltamos los puntos que, a nuestro entender, son más importantes en cada tema. Al mismo tiempo, le presentamos algunos complementos de interés para comprender mejor la física que se discute en los textos. Quiere esto decir que este material es para añadir a los textos-base (Eisberg y Resnick, Alonso y Finn vol. III) y no es para sustituir al texto.
El esquema de los contenidos del programa de la Primera Prueba Personal es como sigue:
• Resumen y estudio de algunos de los problemas que la Física de principios del siglo XX no era capaz de resolver. • Discusión de los aspectos corpusculares de la radiación (1905) y de la idea de los aspectos ondulatorios de la materia (1924). • Éxitos y dificultades de los distintos modelos atómicos que se fueron proponiendo desde 1910 a 1916. • Ecuación de Schrödinger (dependiente e independiente del tiempo) e interpretación de las funciones de onda. • Solución de la ecuación de Schrödinger para sistemas unidimensionales sencillos.
La física de principios del siglo XX tenía planteados un conjunto de problemas no resueltos, que se consideraban fundamentales, entre los que destacan: (1) El problema de la ley de radiación del cuerpo negro. (2) El problema de comprender el efecto fotoeléctrico. (3) El problema de cómo interpretar los espectros atómicos, así como de entender la estabilidad y tamaño de los átomos. El primer tema del curso trata de la radiación del cuerpo negro y de la introducción por Planck de la cuantización de la energía de los osciladores.
En el tema 2 se discute el problema del efecto fotoeléctrico, al que Einstein dio una solución cuantizando la energía de la radiación electromagnética. En los temas 3 y 4 se estudiará la manera de compatibilizar los aspectos corpusculares de la radiación y los aspectos ondulatorios de la materia. El problema atómico se tratará en el tema 5, mientras que en el tema 6 se expondrán los modelos que paliaron durante algún tiempo la falta de una explicación consistente de los fenómenos atómicos.
A partir del tema 7 se entra a discutir la formulación de la mecánica cuántica, así como su interpretación y aplicación a distintos sistemas unidimensionales. Posteriormente, y ya en la segunda paret de la asignatura, se estudiarán sistemas tridimensionales.
1
1
Tema 1. Radiación térmica y postulado de Planck.
El esquema de este tema es el siguiente: • Resultados empíricos de la radiación térmica.
Contenido de los textos-base: Eisberg y Resnick: capítulo 1. Alonso y Finn vol. III: apartado 1.3
Ley de Stefan (o de Stefan-Boltzmann): la radiancia de un cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta T , esto es, proporcional a T 4 . Ley del desplazamiento de Wien: la frecuencia para la que ocurre el máximo de la radiancia espectral es proporcional a T .
• Teoría clásica de la cavidad radiante.
Para una discusión de la distribución de Boltzmann, véase el apéndice C del libro de Eisberg y Resnick. Ejemplo 1-3 del libro de Eisberg y Resnick: el resultado importante es que la densidad de estados resulta ser proporcional a ω2 (o a ν 2 ) en tres dimensiones. Esto está directamente relacionado con la dimensionalidad del sistema físico; para una discusión quizás más esclarecedora véase la sección 3.1 del libro de Reif Física Estadística, volumen 5 del Berkeley Physics Course (Editorial Reverté), que es el texto-base de la asignatura de Termología y Mecánica Estadística del tercer curso de CC. Físicas. Se pueden también consultar los ejemplos (2.3) y (2.4) del libro de Alonso y Finn (volumen III). Nota: esta relación entre la forma de la densidad de estados y la dimensionalidad del sistema la volveremos a encontrar más adelante, en el tema 16 de la segunda Prueba Personal (Estadísticas Cuánticas). Relación de Rayleigh-Jeans para la densidad de energía: la densidad de energía emitida por un cuerpo negro a una cierta frecuencia ν es proporcional a T y al cuadrado de la frecuencia
ρT (ν) ∝ ν 2 T.
• Teoría de Planck de la cavidad radiante: La relación de Planck (1900) nos dice que la energía total de un oscilador1 tiene necesariamente la forma E = nhν, con n = 0, 1, . . .; por tanto, el oscilador sólo puede tomar o ceder energía en porciones de magnitud hν.
Posteriormente, después de las ideas de Einstein para el efecto fotoeléctrico (véase el tema 2), se interpreta que las paredes de un cuerpo negro (que se suponen compuestas de electrones que oscilan alrededor de sus posiciones de equilibrio) emiten radiación electromagnética con múltiplos de dicha energía. Como resultado importante de este tema, debe usted recordar que el postulado de Planck nos permite afirmar que la emisión de energía de un oscilador armónico viene dada por un múltiplo de hν.
• COMPLEMEN T O Pequeña nota histórica sobre el descubrimiento de la constante de Planck.
Algunas características generales de la radiación del cuerpo negro se conocían con bastante anterioridad a la formulación de Planck. Por ejemplo, mediante razonamientos termodinámicos muy generales aplicados a la radiación, W. Wien dedujo que la densidad de radiación del cuerpo negro debía tener la forma general2 ³ν ´ ρT (ν) = ν 3 f T
1 En 2 La
el caso de la discusión del cuerpo negro, el oscilador es un oscilador cargado, ya que la partícula que oscila es un electrón. demostración puede encontrarse, por ejemplo, en Atomic Physics de Max Born (Dover Publications).
2
siendo f una función que depende de ν y de T solamente a través del cociente ν/T . A partir de esta expresión pueden demostrarse la ley de desplazamiento de Wien y la ley de Stefan-Boltzmann, ya comentadas.
donde α es una constante.
Lo anterior es válido cualquiera que sea la función f (ν/T ) (lo único que cambia son las constantes de proporcionalidad). Para avanzar un poco más, Wien sugirió que la función f debía ser de la forma ³ αν ´ ³ν´ ³ αν ´ ∝ exp − ⇒ ρT (ν) ∝ ν 3 exp − , f T T T
ρT (ν) =
8πν 2 kT. c3
Por su parte, lord Rayleigh, mediante un razonamiento basado en el principio de equipartición de la mecánica clásica, obtuvo una expresión completamente diferente, ya comentada antes:
La fórmula de Wien y la de Rayleigh son claramente incompatibles. Además, ninguna de ellas ajusta los valores experimentales en todo el intervalo de frecuencias. La fórmula propuesta por Planck es ρT (ν) =
8πh ν3 ¡ hν ¢ , 3 c exp kT − 1
de la que las fórmulas de Wien y de Rayleigh son casos límite.
3
2
Tema 2. Aspectos corpusculares de la radiación.
Contenido de los textos-base: Eisberg y Resnick: capítulo 2. Alonso y Finn vol. III: apartados 1.4 a 1.6.
• Efecto fotoeléctrico (1905). La idea de Einstein fue admitir que la energía radiante está constituida por cuantos de magnitud hν; la radiación electromagnética está por tanto cuantizada en pulsos de energía electromagnética discretos, con su correspondiente cantidad de energía. Estos pulsos recibieron posteriormente el nombre de fotones.
Al unir la idea de Planck con la de Einstein encontramos que:
Note que una suposición importante que se hace en el tratamiento del efecto fotoeléctrico es que el cátodo absorbe completamente el fotón que llega a la superficie del metal. Además, para este estudio sólo se necesita conservar la energía.
- la energía de las partículas que oscilan en las paredes del cuerpo negro (electrones que oscilan alrededor de sus posiciones de equilibrio, suponemos oscilaciones en una dimensión) es E = nhν y, por tanto, dichas partículas sólo puede absorber o ceder energía en cantidades proporcionales a hν. - la energía de la radiación electromagnética que esos osciladores emiten es un múltiplo de la frecuencia de oscilación, esto es hν. Nótese que un fotón de frecuencia ν tiene exactamente la energía hν, no una energía múltiplo de hν. Sin embargo, es posible que haya un número n de fotones, siendo entonces la energía de todos esos fotones nhν. Debe usted recordar y entender la relación (que viene de la anteriormente citada conservación de la energía en el proceso de interacción de un fotón con un electrón del metal) entre la energía cinética de salida K del fotoelectrón emitido, la energía hν del fotón incidente y la función de trabajo W0 del metal: Kmax = hν − W0 . • Efecto Compton (1923). Para la explicación de este efecto, se supone que la radiación electromagnética está cuantizada, con energía y momento bien definidos. Por tanto, los fotones son partículas que colisionan con los electrones.
En este caso aplicamos los conceptos de la dinámica relativista3 y necesitamos conservar tanto la energía como el momento lineal del sistema. Como resultado de aplicar ambas leyes de conservación, se obtiene la siguiente fórmula para la diferencia entre las longitudes de onda del la radiación incidente y saliente: ∆λ = λC (1 − cos θ) donde λC ≡ h/m0 c = 0.0243 Å es la llamada longitud de onda de Compton del electrón.
Le recordamos que debe manejar con soltura conceptos básicos de la relatividad especial, como las fórmulas: mo c2 E=p 1 − v2 /c2 ¢2 ¡ E 2 = p2 c2 + mo c2 , así como los conceptos fundamentales de mecánica, como son las leyes de conservación.
• Naturaleza dual de la radiación electromagnética. • Otros efectos: rayos X, producción y aniquilación de pares de partículas.
3 Los
conceptos mínimos que debe usted conocer de Relatividad son los que se exponen en el apéndice A del libro de Eisberg y Resnick. También puede consultar los textos que le citamos en la carta que acompaña a este envío.
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• COMPLEMEN T O ¿Pueden dividirse los fotones?
En los textos-base se tratan los fotones como entidades indivisibles. Quizá sea una cuestión interesante plantearse la pregunta de si es posible dividir un fotón de frecuencia ω en dos partes, tales que cada una transporte una fracción de la energía hν (o ~ω, con ~ = h/ (2π) la constante de Planck racionalizada) pero conservando cada parte la frecuencia ω. Esta pregunta parte de que sabemos que la teoría electromagnética clásica es capaz de describir con excelente precisión un gran número de experimentos con luz, y establece además una relación entre la energía y el impulso de la onda electromagnética. ¿No podría decirse que un fotón es, simplemente, un paquete de ondas de radiación, regido por las leyes de la teoría electromagnética clásica? Obviamente, son los experimentos los que deben ayudarnos a responder a esta pregunta.
(1) Supongamos un tren de ondas, construido por un dispositivo que emite radiación a una frecuencia bien determinada ω durante un cierto tiempo, y lo hacemos incidir sobre una célula fotoeléctrica (un sistema que presenta el efecto fotoeléctrico). Si nosotros interponemos un divisor de haz de tal manera que las intensidades de los haces transmitidos y reflejados por el divisor sean las mismas, resulta que podemos disminuir a la mitad la intensidad luminosa que incide sobre la célula fotoeléctrica. Si llamamos Emin a la energía mínima o umbral necesaria para hacer saltar un electrón de la célula, encontraremos que la célula emitirá electrones cuando la radiación sea tal que ~ω > Emin .
Supongamos que se cumple, por ejemplo, que ~ω > Emin > 23 ~ω; al dividir el haz como se ha comentado antes no cabría esperar que se emitieran electrones si se hiciera un análisis clásico; pero se sabe a ciencia cierta que esto no es así: se siguen emitiendo electrones, aunque sólo la mitad de ellos. Esto indica que los paquetes de energía siguen teniendo energía ~ω. Nótese que no es posible justificar el proceso como un efecto acumulativo, de forma que cuando se sumaran un número suficiente de paquetes de energía fraccionados, con energía total mayor que Emin , se logra emitir un electrón: en efecto, si esto fuera así también ocurriría emisión de electrones si ~ω < Emin y esto no se ha observado nunca. Por lo tanto, los fotones, cuando se les hace interactuar con un metal en el efecto fotoeléctrico, no se comportan como trenes de onda clásicos. Debemos también recordar, por otra parte, que para entender tanto los experimentos relativos al efecto Compton como la emisión de rayos X y la creación y aniquilación de pares hay que suponer que la relación E = ~ω (que es la correspondiente a un fotón de frecuencia ω) es siempre válida, sin que existan los fotones fraccionados.
(2) Es interesante plantearse si el análisis sobre los resultados experimentales del efecto fotoeléctrico que hemos hecho anteriormente (esto es, para paquetes de radiación electromagnética interaccionando con los electrones del metal de la célula fotoeléctrica) pudiera hacerse también para experimentos más tradicionales de óptica. Ya a principios del siglo XX se realizaron medidas de las figuras de difracción producidas por focos luminosos extraordinariamente débiles (en alguno de los experimentos el tiempo de exposición fue de unos tres meses), y resultaron ser iguales a las figuras de difracción que se obtienen con focos intensos.
Supongamos un experimento en el que la luz emitida por un foco luminoso atraviesa una lámina en la que hay dos rendijas (difracción de Young)4 y llega a una célula fotoeléctrica situada lejos de dicha lámina (que únicamente sirve para contar si llegan o no fotones). Hay dos preguntas que nos podríamos hacer5 :
(a) ¿Por cuál rendija ha pasado un fotón que acaba de contar la célula? La respuesta es: en parte por una de las rendijas y en parte por la otra, pues hay que interpretar que el flujo de radiación que pasa por una rendija debe ser proporcional a la probabilidad de que el fotón sea detectado por la célula colocada justo detrás de la rendija. (b) ¿Podemos modificar el dispositivo experimental de forma que sepamos por cuál rendija ha pasado un fotón que acaba de contar la célula? La respuesta es: si tapamos una de las rendijas es claro que todos los fotones detectados habrán pasado por la otra. El problema es que entonces no habrá figuras de difracción debidas a dos rendijas, sino sólo las debidas a una rendija.
4 La configuración experimental es idéntica a la que se dicute en el complemento sobre ¿Pueden dividirse las ondas materiales?, que se discute más adelante. 5 Para más detalles, véase el capítulo primero del libro Introducción al formalismo de la Mecánica Cuántica, cuyos autores son P. García González, J. E. Alvarellos y J. García Sanz (Cuadernos de la UNED, 2000).
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¿Pero no podemos imaginar algún dispositivo ingenioso que permita preservar la figura de difracción de dos rendijas, pero sabiendo por dónde ha pasado cada fotón? Esta pregunta carece de sentido y veremos ahora por qué. Si suponemos que podemos marcar a los fotones que pasan por cada una de las rendijas entonces podemos construir las figuras de difracción debidas a cada una de ellas (teniendo en cuenta sólo los fotones de cada marca al hacer la figura de difracción). Pero al sumar ambas figuras de difracción no obtenemos, como es bien sabido, la figura de dos rendijas, pues las figuras de difracción no son aditivas. Por tanto si queremos que la figura de difracción sea como la obtenida por un dispositivo de dos rendijas no podemos preguntarnos por cuál de ellas pasó el fotón.
Todo lo anterior lo podemos resumir de la siguiente manera: la amplitud de la onda asociada a un fotón puede tratarse como en la teoría electromagnética clásica (que es la que nos da las figuras de difracción) pero el cuadrado de dicha amplitud debe interpretarse en términos de la probabilidad de detectar un fotón con algún dispositivo. De esta manera cuando usamos un divisor de haz dividimos el haz de luz, y también la probabilidad de detectar a un fotón después del divisor de haz, pero no dividimos al fotón en el sentido de encontrar algo que tenga una cierta parte de la energía ~ω.
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Tema 3. Aspectos ondulatorios de la materia.
• Comportamiento dual de la materia
Contenido de los texto-base: Eisberg y Resnick: apartados 3.1 y 3.2. Alonso y Finn vol III: apartados 1.10 y 1.11
Comportamiento dual de la materia, longitud de onda de De Broglie (1924): λ = h/p Ejemplos:
(a) Difracción de electrones (Davisson-Germer(1926), Thomson (1927)). (b) Difracción de átomos de helio y de neutrones.
(c) Rejilla de átomos en un sólido: propiedades ondulatorias de los rayos X y propiedades ondulatorias de neutrones y electrones. • La dualidad onda-partícula ya había sido establecida por Einstein (1905) para la radiación electromagnética (esto es, para los fotones). La idea de De Broglie amplía dicha dualidad a cualquier partícula material, esto es, a cualquier partícula con masa en reposo no nula. Como se verá en el tema 7, la interpretación de Born (1926) afirmando que es más probable encontrar una partícula material en aquellas regiones en las que el módulo de la función de onda toma valores grandes, permite cerrar la dualidad onda-partícula. Tanto la radiación como las partículas materiales están descritas de manera simétrica: - la radiación tiene energía y momento en forma de cuantos
- las partículas materiales tienen una distribución espacial continua que les hace tener propiedades ondulatorias.
• COMPLEMEN T O
La constante de Planck es única.
La suposición fundamental de De Broglie es que la energía y el momento lineal de cualquier ente físico (bien sea radiación o bien sea una partícula material) se expresan como E = ~ω
p = ~k,
en función de la frecuencia y longitud de onda (o vector de onda) asociados.
Debido a que el modelo de partícula-onda satisface el principio de relatividad especial6 , en el sistema de referencia en el que la partícula está en reposo la energía de la partícula se puede escribir Eo = mo c2 = ~ωo ,
donde Eo es la energía en reposo de la partícula y ω0 la podríamos llamar ”frecuencia en reposo”. De aquí obtenemos que la constante de Planck es una constante característica para cada partícula material, que se puede definir como Eo /ω o . En principio, no existe razón alguna por la que esta constante Eo /ω o sea la misma para todas las partículas materiales. Todas las medidas experimentales directas (del tipo los experimentos de Davisson y Germer) apoyan la creencia en la universalidad de las relaciones E = ~ω y p = ~k, independientemente del tipo de partícula. Ahora bien, el número de medidas directas de ~ es muy pequeño, por lo que la base real de creer en estas relaciones es el éxito general de la mecánica cuántica. En este sentido, podemos afirmar que tenemos una comprobación experimental de las relaciones E = ~ω y p = ~k de la misma forma que la tenemos de la expresión Eo = mo c2 (de la que tenemos muy pocas medidas experimentales directas). Suponemos que todas estas ecuaciones son exactas y constituirán las piedras angulares de nuestra teoría física.
6 Esto no está explícito en el texto-base, pero es así como De Broglie lo formuló. Por tanto, la relación entre el vector y la frecuencia de onda con el impulso y la energía de la partícula, respectivamente, debe ser la misma en cualquier sistema inercial.
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• COMPLEMEN T O
¿Pueden dividirse las ondas materiales?
De igual manera que se ha tratado el tema de la indivisibilidad de los fotones, se podría hacer una discusión similar con las ondas materiales. La discusión podría ser sobre un experimento de difracción de electrones (por ejemplo, la configuración de Davisson-Germer, véase el apartado 3.1 del libro de Eisberg y Resnick). Aquí pasa una cosa parecida al caso de los fotones y las rendijas: se observa que el flujo de carga que llega a un contador de electrones se ha dispersado por el cristal, pero lo que se ha dispersado son electrones que llevan consigo toda su carga y toda su energía.
Por consiguiente, al igual que cuando hablamos de los fotones, la amplitud de la onda asociada al electrón es la que nos da las figuras de difracción, pero es el cuadrado de dicha amplitud la que debe interpretarse como la probabilidad de detectar un electrón. De esta manera no dividimos al electrón cuando se dispersa o difracta por la red cristalina y no encontramos partes de electrones con parte de su energía.
La onda de De Broglie y la partícula son la misma cosa: la partícula material tiene propiedades ondulatorias, de forma que podemos hablar de la onda de De Broglie de la partícula, pero no de que la onda de De Broglie viaje junto con (o guiando a) la partícula.
• Vamos ahora a mencionar algunos resultados experimentales de interés sobre este tema y el anterior.7
Por ello, resulta más interesante e instructivo un experimento en el que la estructura periódica “infinita” (en realidad, basta con que sea mucho mayor que la anchura del haz de partículas) queda reducida a un par de rendijas paralelas8 . Una fuente de partículas lanza un haz de partículas en el mismo estado (es decir, preparadas de la misma forma) sobre una pared en la que hay dos rendijas paralelas separadas una distancia a. (La anchura de las rendijas también es importante pero, por simplicidad, supondremos simplemente que es mucho menor que a). Tras atravesar las rendijas, las partículas inciden sobre una pantalla situada a una distancia d, donde son registradas por detectores distribuidos por la misma (ver Figura 1). Cuando sólo está abierta la rendija 1, el registro de las partículas que llegan a los diferentes puntos de la pantalla corresponde a la curva P1 , que tiene un único máximo frente a dicha rendija. Esto parece lógico, puesto que todas las partículas que llegan a la pantalla han tenido que pasar necesariamente por la rendija 1; el ensanchamiento de la curva (mayor cuanto más estrecha es la rendija) no sería difícil de explicar teniendo en cuenta que los bordes de la rendija pueden afectar a algunas de las partículas que la atraviesan. Una curva similar se obtiene cuando sólo está abierta la rendija 2.Ahora bien, desde el punto de vista clásico parece claro que la trayectoria de una partícula que pasa por la rendija 1 no debería verse afectada por el hecho de que la rendija 2 esté abierta o cerrada. Por consiguiente, cabría esperar que cuando están abiertas las dos rendijas, la curva que da la distribución de los puntos de llegada de las partículas fuera la suma de las curvas 1 y 2 (para una misma duración del experimento). Sin embargo, no es esto lo que se observa cuando ambas rendijas están abiertas; lo que se observa realmente es una figura con varios máximos y mínimos, similar a los patrones de interferencia de las ondas. Lo más destacable es que existen puntos en la pantalla a los que pueden llegar partículas cuando está abierta sólo la rendija 1 o sólo la rendija 2, pero a los que apenas llegan partículas cuando están abiertas ambas rendijas. Asimismo, existen puntos para los que el número de partículas que llegan cuando ambas rendijas están abiertas es mayor que la suma de las que llegaban atravesando la rendija 1 (cuando la 2 estaba cerrada) y las que llegaban atravesando la rendija 2 (cuando la 1 estaba cerrada).
La forma de estas curvas puede explicarse, una vez más, a partir de un formalismo tomado de la teoría ondulatoria. En efecto, supongamos que p = ~k es el módulo del momento lineal de las partículas incidentes. Si suponemos que la interacción de las partículas con las rendijas es una colisión elástica, cada rendija se convierte en la fuente de una onda cilíndrica, siendo coherentes ambas ondas emergentes, es decir que tienen una misma fase bien definida. Para un instante t, las amplitudes de la onda 1 y la onda 2 en un punto (0, z) de la pantalla serán respectivamente A ψ 1 (0, z) = √ exp (ikr1 ) r1
A ψ2 (0, z) = √ exp (ikr2 ) , r2
siendo r1 y r2 las distancias desde cada rendija al punto de la pantalla. Las intensidades de dichas
7 Para más detalles, véase el capítulo primero del libro Introducción al formalismo de la Mecánica Cuántica, cuyos autores son P. García González, J. E. Alvarellos y J. García Sanz (Cuadernos de la UNED, 2000). 8 Una exposición de dicho experimento puede encontrarse en el capítulo primero del volumend tercero de las Lecciones de Física , de Richard Feynman y colaboradores (editorial Fondo Educativo Interamericano). Véase también el capítulo quinto del libro Física Cuántica de E. Wichman, volumen 4 del Curso de Física de Berkeley (editorial Reverté).
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Figura 1: Experimento de la doble rendija. Arriba, las probabilidades de llegada cuando está abierta una u otra rendija (no las dos). Abajo, en línea de trazos la suma de las probabilidades P1 +P2 ; en línea continua la probabilidad de llegada cuando ambas rendijas están abiertas simultáneamente. ondas en dicho punto son
I1 (0, z) = |ψ1 (0, z)|2 = I2 (0, z) = |ψ2 (0, z)|2 =
|A|2 |A|2 =p r1 d2 + (z − a/2)2
|A|2 |A|2 =p . r2 d2 + (z + a/2)2
y su intensidad
Ambas curvas presentan un único máximo (centrado en z = ±a/2) y decrecen a medida que nos alejamos de él. Éstas expresiones describen a las curvas 1 y 2 que, recordémoslo, son las que se obtienen cuando sólo la rendija 1 o sólo la rendija 2 está abierta. Por su parte, cuando ambas rendijas están abiertas la amplitud de la onda en (0, z) sería la suma de las amplitudes de las dos ondas procedentes de 1 y de 2 A A ψ12 (0, z) = ψ1 (0, z) + ψ2 (0, z) = √ exp ikr1 + √ exp ikr2 r1 r2 I12 (0, z) = |ψ12 (0, z)|2 = |ψ1 (0, z) + ψ2 (0, z)|2
2 |A|2 = |ψ1 (0, z)|2 + |ψ2 (0, z)|2 + √ cos [k(r1 − r2 )] . r1 r2
Si d À a podemos aproximar r2 − r1 ' za/d. Además, a/d ' θ, siendo éste el ángulo subtendido por las rendijas desde el centro de la pantalla. Así pues p I12 (0, z) = I1 (0, z) + I2 (0, z) + 2 I1 (0, z)I2 (0, z) cos (kθz) .
Vemos así que, superpuesto a la suma de las intensidades de ambas ondas, hay un término oscilante que da lugar a varios máximos y mínimos en la curva. La distancia ∆z entre dos máximos sucesivos viene dada por9 hd 2π = . kθ∆z = 2π ⇒ ∆z = kθ pa
9 Cuando se tiene en cuenta también la anchura finita de las rendijas, hay que introducir algunas correcciones; la expresión exacta puede encontrase en cualquier libro de óptica.
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Lo realmente notable es que el formalismo de la teoría ondulatoria explica exactamente los resultados. Por ejemplo, la figura 2 muestra una comparación de la teoría con los resultados de un experimento con neutrones fríos (de baja energía) correspondientes a λ = 2 nm. Las rendijas tienen 22 µm de anchura y están separadas 104 µm (es decir, la separación entre rendijas es 50000 veces mayor que la longitud de onda asociada a los neutrones). La distancia de las rendijas a la pantalla es de 5 m.
Figura 2: Figura de difracción por una doble rendija para neutrones fríos con una longitud de onda de 2 nm, correspondiente a una velocidad de 200 m/s. Las rendijas tienen una anchura de 22 µm y están separadas una distancia de 104 µm. Los ángulos de difracción resultantes son del orden de 10 microrradianes, de modo que el plano de observación está situado a 5 m de la doble rendija para poder resolver esta figura de interferencia (de un experimento de Zeilinger et al Rev. Mod. Phys. 60 (1988) 1067). • Lo único que hemos hecho hasta aquí es utilizar un artificio matemático basado en ondas para calcular la distribución de puntos de llegada en la pantalla. ¿Podemos ir más allá y dar algún significado físico adicional a estas funciones de onda? ¿Quiere esto decir que las partículas se comportan en todos los aspectos como ondas? Evidentemente, no. Una onda es un objeto extenso y continuo, mientras que las partículas se detectan de una en una y en un punto concreto de la pantalla.
Una posible solución consistiría en decir que la onda describe a un conjunto de partículas que actúan colectiva y simultáneamente, pero esta interpretación queda fácilmente refutada si podemos asegurar que sólo hay una partícula en vuelo entre la fuente y la pantalla. Consideremos, por ejemplo, un experimento llevado a cabo por Tonomura et al. en 1989. En este experimento, las partículas son electrones en un microscopio electrónico y la doble rendija es lo que se denomina un biprisma de Mollendstat. La particularidad de este experimento es que el ritmo de emisión de los electrones es muy lento (1000 por segundo), aunque la velocidad de los electrones en vuelo es de 0.4 c. Por lo tanto, cada electrón tarda aproximadamente 10−8 s en llegar a la pantalla. Después de eso, hay que esperar un tiempo aproximadamente 105 veces mayor hasta que sea emitido el siguiente electrón. Es decir, sólo durante un cienmilésima parte del tiempo total del experimento hay electrones en vuelo. Es más, si los electrones no fueran frenados por la pantalla, un electrón se habría alejado cien kilómetros antes de que saliera el siguiente. (A modo de analogía, esto es similar a una etapa ciclista contra reloj que se recorriera aproximadamente en 1 hora y en la que los corredores salieran con intervalos de 10 años). En estas circunstancias resulta difícil pensar en que cada electrón puede transmitir a los que le siguen alguna información de por dónde ha pasado. Gracias a este ritmo de emisión relativamente lento, puede registrarse la llegada de cada electrón a la pantalla. Así, las fotografías de la figura 3 muestran de arriba a abajo los impactos acumulados tras la emisión de 10, 100, 1000,... electrones. En la primera fotografía podemos ver que los electrones inciden en la pantalla de una forma aleatoria. No aparece ninguna pauta discernible y no hay forma de predecir dónde irá a parar el próximo electrón.
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Figura 3: Evolución temporal de la figura de interferencia de los electrones que atraviesan una doble rendija. El número de electrones registrados en cada placa es: (a) 10, (b) 100, (c) 3000, (d) 20000 y (e) 70000. De un experimento de Tonomura et al (Am. J. Phys. 57 (1989) 117). Nótese que las fotografías están giradas y las franjas aparecen verticalmente.
No obstante, a medida que aumenta el número de electrones aparece una pauta clara en la pantalla, y cuando el número de electrones acumulado es muy grande, aparece una pauta de interferencia bien definida que se mantiene estable. En otras palabras, cuando el número de electrones emitidos es muy alto, el cociente entre el número de electrones N (z) que inciden en un punto determinado de coordenada vertical z en la pantalla y el número total de electrones emitidos NT tiende a un valor constante, es decir N (z) = Prob(z). lim NT →∞ NT Ésta es precisamente la llamada definición frecuencial de la probabilidad. Nótese que la existencia de este límite y, por lo tanto, de una probabilidad definida, sólo se manifiesta cuando se acumulan muchos sucesos (impactos en la pantalla), pero la probabilidad se asigna a cada suceso individual. Esto es característico de las teorías probabilistas, del mismo modo que se habla de la probabilidad de obtener una determinada cara de un dado cuando lo lanzamos sobre una mesa.
En resumen, el experimento nos dice lo siguiente: i) los electrones se emiten de uno en uno y se detectan en puntos concretos de la pantalla, es decir, se detectan como partículas puntuales; ii) no es posible predecir el punto de impacto de cada electrón individual; iii) pese a todo, cuando el número de electrones emitidos es suficientemente alto existe una probabilidad definida de detectar un electrón en un punto; iv) la figura global muestra una pauta de interferencia, aunque ésta sea el resultado de sucesos independientes; esto quiere decir que existe coherencia entre las diferentes partículas en el mismo estado de preparación.
El experimento nos sugiere también la interpretación que hay que dar a la función de onda. A cada estado de preparación de una partícula le corresponde una función ψ(~r), en general compleja, de las coordenadas espaciales; la probabilidad de encontrar la partícula en un volumen infinitesimal d3 r en torno a un punto ~r es Prob(~r) d3 r = |ψ(~r)|2 d3 r.
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Tema 4. Principio de indeterminación.
Contenido de los textos-base: Eisberg y Resnick: apartados 3.3 a 3.6. Alonso y Finn vol III: apartado 1.12.
• Origen matemático.
∆x · ∆p ≥ ~/2.
La introducción de la dualidad onda-partícula lleva a poner en entredicho la posibilidad de que la posición y el impulso de una partícula puedan determinarse completamente de manera simultánea. Esto ya se ha comentado al hablar de los experimentos de las dos rendijas: no podemos preservar la figura de difracción de dos rendijas si queremos saber por dónde ha pasado cada fotón. La dualidad onda-partícula cambia la posibilidad de determinar completa y simultáneamente la posición y el impulso por una limitación en la precisión de dichas medidas: este es el principio de incertidumbre de Heisenberg, que en una dimensión puede escribirse como:
El principio de incertidumbre tiene un claro origen matemático, que se puede ver con facilidad mediante la teoría de la integral de Fourier (puede interesarse por el tema en un libro de Métodos Matemáticos para la Física o en un curso de Mecánica Cuántica más avanzado). Una demostración matemática, basada en otro tipo de argumentos, se expone con más extensión en este material complementario (véase más adelante, en la parte correspondiente al tema 7).
• Interpretación física (Heisenberg, 1927).
En los procesos de medida se puede medir con total precisión, por ejemplo, el momento lineal de una partícula pero eso impide que se pueda determinar a la vez la posición de dicha partícula. El principio de indeterminación nos da una guía acerca de cuál puede ser el valor mínimo del producto de las incertidumbres ∆x y ∆p al hacer una medida simultánea de la posición y del momento lineal.
• Propiedades de las ondas de materia: velocidad de fase y velocidad de grupo (para estos conceptos, recuérdese lo aprendido en la asignatura de Mecánica y Ondas acerca de ellos).
Debe comprender el alumno que la velocidad de grupo de un paquete de ondas determina el momento lineal de la partícula asociada (es la discusión de las págs. 98 y 99 del Eisberg y Resnick; vea también el apartado 1.11 del Alonso y Finn vol III).
• Algunas consecuencias del principio de incertidumbre.
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Tema 5. Modelos atómicos clásicos.
Contenido de los textos-base: Eisberg y Resnick: apartados 4.1 a 4.4.
• Descubrimiento del electrón (1897).
Modelos atómicos de Thomson (1910) y Rutherford (1911): debe usted adquirir una idea cualitativa de ambos modelos, sin que sea necesario que entre en excesivos detalles.
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• Espectros de emisión y absorción de los átomos: son espectros discretos en ambos casos. Para el caso del átomo más sencillo (el hidrógeno) estos espectros son relativamente simples y regulares.
Tema 6. Modelo atómico de Bohr-Sommerfeld.
Contenido de los textos-base: Eisberg y Resnick: apartados 4.5 a 4.12. Alonso y Finn vol III: apartados 1.7 a 1.9.
• Modelo atómico de Bohr (1913).
(a) Niveles de energía del átomo de hidrógeno (estado fundamental y estados excitados). Órbitas estables. Número cuántico n.
La energía de los estados ligados de un electrón en un átomo hidrogenoide, en el caso en que se suponga que la masa del núcleo es infinita (comparada con la del electrón), viene dada por la expresión: En = −13.6
Z2 eV. n2
Como se ve, las energías de ligadura de los átomos hidrogenoides son del orden de decenas o centenas de eV.
Es conveniente que el alumno conozca el valor aproximado (unos 0.5 Å) del radio de Bohr (que es el radio de la trayectoria circular que corresponde al nivel más bajo del electrón). Este radio nos da una idea del orden de magnitud de las dimensiones atómicas en general. (b) Espectros de emisión y de absorción. Al pasar de una órbita permitida a otra, el electrón cede o absorbe energía electromagnética.
Si hablamos de la longitud de onda de la radiación emitida en una transición entre dos niveles diferentes podemos escribir10 Ã ! 1 1 1 = R∞ Z 2 − 2 λ n2f ni (c) Experimento de Franck y Hertz (1914).
1 0 En el caso en que la masa del núcleo no se considere infinita hay que utilizar R en vez de R , donde µ es la masa µ ∞ reducida del sistema núcleo-electrón (vea en el apartado 4.7 del libro de Esiberg y Resnick una discusión completa de los efectos de considerar la masa del núcleo finita).
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• Modelo de Wilson y Sommerfeld (1916).
Este modelo generaliza la regla de cuantización de Bohr a las variables dinámicas conjugadas (repase las nociones que sobre ello se han estudiado en Mecánica y Ondas): I pq dq = nq h,
donde h es la constante de Planck.
Note que en un sistema unidimensional estas variables son la posición x y el momento lineal p; pero en un sistema con simetría central se puede, como hace el libro de Eisberg y Resnick, usar las variables angulares θ y el momento angular L para cuantizar el átomo de hidrógeno.
Esta generalización introduce nuevos números cuánticos (el número cuántico principal y el número cuántico azimutal), así como el concepto de degeneración.
• Principio de correspondencia (1923). Nos permite enunciar cómo podemos pasar de una descripción cuántica a su límite clásico.
• COMPLEMEN T O
• Crítica a la teoría cuántica antigua.
Número entero de ondas de De Broglie en una órbita circular.
La expresión para los niveles de energía de un átomo hidrogenoide se puede justificar usando conceptos provenientes de las ondas estacionarias. En efecto, supongamos un electrón describiendo una órbita circular de radio r. Para que la órbita corresponda a un estado estacionario parece lógico que deba permitir la existencia de ondas estacionarias de De Broglie en el recorrido de la órbita; esto es, que quepan un número entero de ondas en la órbita que estemos considerando. Como la longitud de onda es λ = h/p, debe cumplirse que 2πr = nλ = nh/p ⇒ rp = mvr = nh/2π = n~ (que es el momento angular del electrón). Por otra parte, para que la trayectoria sea circular, la fuerza centrífuga debe ser igual a la culombiana entre núcleo y electrón: mv 2 = Ze2 /(4π²o r). Eliminando la velocidad de ambas ecuaciones se obtiene el valor del radio de la órbita r=
n2 n2 h2 ²o ao . = πmZe2 Z
La energía total del electrón es (usando las ecuaciones para la velocidad y para el radio de la órbita) Ze2 me4 Z 2 1 Ze2 Z2 E = mv2 − =− = − 2 2 2 = −R∞ hc 2 . 2 4π²o r 4π²o (2r) 8²o h n n
Recuerde que esto es sólo una justificación, no una explicación rigurosa.
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Tema 7. Ecuación de Schrödinger. Interpretación estadística de la función de ondas. Estados cuánticos estacionarios.
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Construcción de la ecuación de Schrödinger.
Al estudiar la forma de construir la ecuación de Schrödinger, el texto de Eisberg y Resnick hace dos aproximaciones fundamentales (en esencia, ambas aproximaciones significan lo mismo que decir que la deducción de la ecuación es para un sistema no relativista):
•
Contenido de los textos-base: Eisberg y Resnick: capítulo 5. Alonso y Finn vol III: apartados 2.2, 2.3, 2.7, 2.9, 2.10 y 2.12.
I. Se ignoran los fenómenos de creación y destrucción de partículas materiales.
II. Se supone que todas las velocidades de las partículas materiales son suficientemente pequeñas para que sea válida la aproximación no relativista (hay una discusión interesante sobre la estimación de energía relativista en el ejemplo 6.6 del Eisberg y Resnick). Partiendo de dichos puntos, se desarrollan un conjunto de suposiciones para la construcción de la ecuación de Schrödinger (1926), cuya plausibilidad se discute en detalle en el texto. El resultado resulta ser ∂ ~2 2 ∇ Ψ (~r, t) + V (~r, t) Ψ (~r, t) = i~ Ψ (~r, t) . − 2m ∂t
COMPLEMEN T O: Ecuación de Schrödinger: linealidad y principio de superposición.
Dado que una dimensión la ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal (repase lo que significa eso) y en general una ecuación en derivadas parciales lineal, sus soluciones satisfacen el principio de superposición: cualquier combinación lineal de (dos) soluciones de la ecuación es también una solución. La amplitudes de las ondas materiales pueden sumarse, de igual manera que se pueden sumar las amplitudes de las ondas electromagnéticas (pues las ecuaciones de Maxwell también son lineales). Nótese que ya hemos supuesto implícitamente la linealidad, cuando hablamos de sumar las amplitudes de las ondas materiales al discutir las figuras de difracción de los experimentos del tipo Davisson y Germer.
Se sabe que una onda plana es solución de la ecuación de Schrödinger en zonas donde la energía potencial es constante (véase el tema 8), por lo que una combinación cualquiera de ondas planas también será solución de dicha ecuación de Schrödinger. Dada una función compleja cualquiera Q (k), podemos escribir la combinación lineal más general como una integral Z Ψ (x, t) = dk Q (k) ei(k·r−ωt) .
Por lo tanto, podemos concluir que cualquier onda material Ψ (x, t) se puede considerar como una superposición de ondas materiales planas.11
Interpretación estadística de la función de onda.
El postulado de Born (1926) establece la relación entre la densidad de probabilidad (esto es, la probabilidad por unidad de volumen de encontrar la partícula en la vecindad de un punto ~r en un instante t) y la función de onda como
•
P (~r, t) = Ψ∗ (~r, t) Ψ (~r, t) .
1 1 Nota matemática: la teoría de la integral de Fourier (véase algún libro de Métodos Matemáticos para la Física) nos dice R que la integral dk Q (k) ei(k·r−ωt) existe siempre y cuando la función Q (k) se comporte razonablemente bien; además, nos demuestra que cualquier función de onda Ψ (x, t) puede expresarse como superposición de ondas planas.
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Por tanto, la densidad de probabilidad es el cuadrado complejo de la función de onda.
COMPLEMEN T O: Como ya hemos discutido al hablar de la posible divisibilidad de fotones y ondas materiales, lo que debe interpretarse como la probabilidad de detectar una partícula es el cuadrado de la amplitud (del campo para un fotón, de la onda material para el electrón). La extensión formal de estos comentarios, que hicimos en los temas 2 y 3, constituye la base de la interpretación estadística de la función de onda por Born (1926). Vamos a dar algún argumento más para justificar dicha interpretación.
Como ya es sabido (véase el complemento anterior), la ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal, con lo que sus soluciones satisfacen el principio de superposición. Dado que una onda plana es la solución de la ecuación de Schrödinger para un partícula en el espacio libre, la solución más general de dicha ecuación para una partícula que se mueve libremente en el espacio será la combinación lineal más general de ondas planas, esto es Z Ψ (x, t) = dk Q (k) ei(k·r−ωt) ,
donde Q (k) es una función en general compleja. Si elegimos adecuadamente la función Q (k) podemos construir paquetes de ondas que estén localizados en una cierta región del espacio en un instante dado; ese paquete de ondas representará una partícula confinada en dicha región finita del espacio (esto es, representará cualquier partícula que se quiera estudiar experimentalmente). Parece natural afirmar que es más probable encontrar la partícula en aquellas regiones del espacio en que la función de onda es grande. Por eso, dado que la función de onda es en general compleja, se asocia el cuadrado de su módulo (la densidad de probabilidad) a la probabilidad de encontrar la partícula . La dualidad onda-partícula queda, pues, cerrada en base a las dos interpretaciones que ya se han discutido: (1) el tratamiento por Einstein (1905) para la radiación electromagnética (fotones).
(2) la interpretación estadística de la función de onda (Born, 1926) para las partículas materiales. Más adelante, en el tema de Estadísticas Cuánticas se verá que los cuantos de las vibraciones de una red cristalina (los fonones) también cumplen esta dualidad.
Valores esperados, de expectación o valores medios
•
(apartado 5.4 del libro de Eisberg y Resnick).
La interpretación estadística de la función de onda permite definir los valores medios o valores esperados como los que obtendríamos de una medida sobre un gran número de sistemas, en cada uno de los cuales la partícula tuviera la misma función de onda. Esto es el significado de calcular el valor medio mediante la densidad de probabilidad.
Sólo para una partícula en un estado de energía bien definida (esto es, para un estado estacionario; véase más adelante las propiedades de las autofunciones) la densidad de probabilidad es independiente del tiempo. En general, en una dimensión el valor medio de cualquier función de la posición vendrá dado por Z +∞ Z +∞ Z +∞ ∗ f (x, t) = f (x, t) P (x, t) dx = f (x, t) Ψ (x, t) Ψ (x, t) dx = f (x, t) |Ψ (x, t)|2 dx.
−∞
−∞
−∞
Como observará, el valor medio f (x, t) es una función que en general depende del tiempo (aunque no de x, pues ya se ha integrado en esa variable).
Como puede ver usted discutido en el complemento sobre las variables cuánticas (vea más abajo), en general una variable cuántica es un operador lineal, cuyo valor medio podemos calcular mediante el procedimiento acabado de esbozar.
16
Variables dinámicas en mecánica cuántica (apartado 5.4 del Eisberg y Resnick).
•
La relación entre las variables dinámicas en mecánica cuántica y los operadores que actúan sobre las funciones de onda viene discutida en el complemento. Los operadores más comunes pueden expresarse como xop ↔ x
∂ ∂x y de igual manera para las otras coordenadas cartesianas. El operador hamiltoniano o energía se escribe como p2op ∂ + Vop (x, t) =⇒ Hop ↔ i~ Hop = 2m ∂t
COMPLEMEN T O.
px, op ↔ −i~
Nota: haremos el tratamiento en una dimensión, pero lo aquí explicado se generaliza sin ninguna dificultad a más dimensiones. Sea Ψ (x, t) una función de onda normalizada a la unidad. Llamaremos Ψ (x, t0 ) a dicha función de onda en un instante de tiempo determinado to . Si aceptamos la interpretación probabilística de la función de onda, dado que |Ψ (x, t0 )|2 es una densidad de probabilidad que define la distribución probabilística del observable físico x, los valores medios de x y x2 deben venir dados por Z ∞ Z ∞ x ≡ hxi = dx Ψ∗ (x, t0 ) x Ψ (x, t0 ) = dx x |Ψ (x, t0 )|2 −∞
® x2 ≡ x2 =
Z
−∞
∞
−∞
dx x2 |Ψ (x, t0 )|2 ,
donde x o hxi es el valor esperado, valor de expectación o valor medio de x en el estado ψ. Esto es, claro está, generalizable para cualquier función de x, de forma que el valor media de la energía potencial de una partícula será: Z ∞ V = dx V (x) |Ψ (x, t0 )|2 . −∞
Definimos ahora la indeterminación en x como la desviación cuadrática media de x, esto es, E Z ∞ D ® ® (∆x)2 = (x − x)2 = (x − hxi)2 = dx (x − hxi)2 |Ψ (x, t0 )|2 = x2 −2 hxi hxi+hxi2 = x2 −hxi2 ; −∞
de manera que cuando más concentrada se encuentre la función de onda en torno a su posición media, hxi = x, tanto menor es ∆x.
Pregunta: ¿se imagina el alumno qué tipo de función de onda sería necesario para un estado en el que se conozca exactamente la posición, con ∆x = 0?
Ahora bien, sabemos calcular, por ejemplo, el valor medio de la variable cuántica de posición x, ¿pero cuál es valor numérico de la propia variable cuántica x? La respuesta es: una variable cuántica NO tiene un valor numérico, sólo podemos definir procedimientos mediante los que se pueden calcular valores medios para cualquier función de onda (esto es, para cualquier estado cuántico).
Lo anteriormente dicho es válido para variables cuánticas que dependan de la posición, pero el problema está en cómo definir otras variables cuánticas que no dependen de x. Para intentar avanzar, supongamos p/~) en un intervalo muy una función de onda normalizada que tiene la forma Ψ (x, t0 ) = C exp (ixe grande de la recta real; fuera de ese intervalo la función de onda tiende a cero. Dado que la función de onda es prácticamente una onda plana en una zona muy grande, podemos decir que aproximadamente tiene un vector de onda muy bien definido, de valor k ' pe/~. Por tanto, el valor medio del momento lineal debe ser muy cercano a pe, esto es p ' pe. Dentro del citado intervalo se cumple que −i~
∂ Ψ (x, t0 ) = peΨ (x, t0 ) . ∂x 17
De esta manera, y dado que Ψ (x, t0 ) está normalizada, podemos multiplicar la ecuación anterior por Ψ∗ (x, t0 ) e integrar µ ¶ Z ∞ Z ∞ ∂ dx Ψ∗ (x, t0 ) −i~ dx Ψ∗ (x, t0 ) pe Ψ (x, t0 ) ' pe ' p, Ψ (x, t0 ) = ∂x −∞ −∞
donde se ha tenido en cuenta que la parte importante de la integración proviene del intervalo antes definido. En definitiva, para una función de onda como la utilizada aquí, podemos calcular el valor medio del momento lineal mediante esta integral.
POSTULAMOS entonces que esto es cierto para cualquier función de onda, esto es, que el valor medio p del momento lineal de un estado cuántico definido por una función de onda cualquiera Ψ (x, t0 ) viene dado por: µ ¶ Z ∞ ∂ ∗ p = hpop i = dx Ψ (x, t0 ) −i~ Ψ (x, t0 ) . ∂x −∞ Este postulado nos permite entonces afirmar que la variable cuántica de momento lineal es el operador diferencial (que denotamos por pop ) ∂ pop = −i~ , ∂x cuyo valor medio hemos calculado. De esta manera podemos definir el operador cuadrado del momento lineal como el resultado de operar dos veces con dicho operador µ ¶µ ¶ ∂ ∂2 ∂ p2op = −i~ −i~ = −~2 2 , ∂x ∂x ∂x cuyo valor medio se calcula también como µ ¶ Z ∞ ® ∂2 p2op = p2op = dx Ψ∗ (x, t0 ) −~2 2 Ψ (x, t0 ) . ∂x −∞
La indeterminación del momento lineal la podemos evaluar pues como E Z ∞ D ® dx Ψ∗ (x, t0 ) (pop − hpop i)2 Ψ (x, t0 ) = p2op − hpop i2 . (∆p)2 = (pop − hpop i)2 = −∞
El postulado se puede extender en general a cualquier variable cuántica Q, para que su valor medio se pueda calcular mediante la integración Z ∞ dx Ψ∗ (x, t0 ) Qop Ψ (x, t0 ) , hQop i = −∞
donde Qop es un operador lineal adecuado a la variable cuántica, que actúa sobre la función de onda de su derecha. Ejemplo: Si llamamos m a la masa de la partícula que queremos estudiar, la energía cinética vendrá representada por el operador diferencial
p2op ~2 d2 =− . 2m 2m dx2 Por otra parte, en mecánica clásica, la energía total puede expresarse en función de las variables de momento y de posición mediante la función de Hamilton (recordar los conceptos aprendidos en la asignatura de Mecánica y Ondas). Por ello, en mecánica cuántica podemos obtener el operador hamiltoniano correspondiente, Hop , al escribirlo como un operador diferencial suma de los operadores de energía cinética y energía potencial. En una dimensión esto es simplemente: Hop =
p2op ~2 d2 + Vop (x) = − + V (x) 2m 2m dx2
y en tres dimensiones
Hop =
p2op ~2 ∂ 2 ~2 ∂ 2 ~2 ∂ 2 + Vop (x) = − − − + V (x) . 2m 2m ∂x2 2m ∂y 2 2m ∂z 2
18
Separación de la variable temporal y las variables espaciales: la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
•
(apartado 5.5 del Eisberg y Resnick).
~2 2 ∇ + V (x) ⇐⇒ Hop ψ (x) = Eψ (x) , 2m
Hop ≡ −
En el caso en que la energía potencial del sistema no dependa de manera explícita del tiempo, es posible encontrar para todo instante de tiempo t soluciones en las que las variables espacial y temporal están separadas, de forma que la función de onda Ψ (x, t) tenga dos partes: una puramente espacial ψ (x) y otra puramente temporal T (t), de manera que la función de onda total será Ψ (x, t) = ψ (x) T (t). Cuando se introduce esta expresión en la ecuación de Schrödinger, nos queda una ecuación diferencial para la parte espacial de la función de onda en términos de un operador diferencial Hop :
que se denomina ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. De lo anterior resulta que la función de onda puede escribirse como:
Ψ (x, t) = ψ (x) exp (−iEt/~) .
En estas expresiones la constante E es la energía total de la partícula.
Note que en este caso los valores medios no dependen del tiempo y por eso a estos estados se les llama estados estacionarios.
Aunque existan soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, pero sólo podemos admitir las que sean aceptables para el sistema físico que queremos describir. Es, por consiguiente, parte esencial de la búsqueda de las soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo el incluir las condiciones que hacen que una determinada solución sea admisible desde un punto de vista físico para el sistema que se está estudiando. Esas condiciones están explicitadas, hablando en lenguaje matemático, por las llamadas condiciones de contorno de la ecuación diferencial. Aquellos valores de E para los que la ecuación de Schrödinger tiene una solución aceptable (esto es, que la solución cumpla las condiciones físicas impuestas por las condiciones de contorno) son los autovalores o valores propios o eigenvalores del operador Hop (o de la ecuación diferencial). Las correspondiente soluciones ψ (x) son las autofunciones o funciones propias o eigenfunciones del operador y cosntituyen la parte espacial ψ (x) de la función de onda total, Ψ (x, t) = ψ (x) exp (−iEt/~).
Cuantización de la energía (apartado 5.7 del Eisberg y Resnick). Al estudiar la solución del problema de la cuerda vibrante entre dos extremos fijos12 se obtienen soluciones discretas de la ecuación diferencial que describe dicho problema (por ejemplo, la longitud de onda de los posibles modos de vibración de la cuerda tiene soluciones discretas, sin que los valores posibles constituyan un contiunuo). Esa discretización de los valores que se obtienen en el caso de la cuerda que vibra corresponde justamente al mismo problema matemático que se nos plantea al resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
•
Propiedades de las autofunciones (apartado 5.6 del Eisberg y Resnick).
•
En mecánica cuántica debemos resolver habitualmente la ecuación diferencial (ecuación de Schrödinger independiente del tiempo) ¶ ¸ µ 2 · ∂2 ∂2 ∂ ~2 + + + V (x, y, z) ψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z) − 2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
con las condiciones físicas de contorno adecuadas para nuestro problema. Esta es una ecuación diferencial llamada de valores propios (o autovalores 13 ), que sólo tiene solución para algunos valores determinados de la constante E; para cada uno de ellos, por tanto, se corresponde una determinada función
1 2 Tratada,
por ejemplo, en la asignatura de Mecánica y Ondas. la traducción del libro de Eisberg y Resnick recibe el nombre de ecuación de eigenvalores, que respeta (al igual que en inglés) el prefijo alemán eigen. 1 3 En
19
ψ (x). Esto es debido a que como es una ecuación diferencial en derivadas parciales, hay que definir las condiciones de contorno de cada problema en particular que se quiera resolver; para un sistema determinado sólo existirán soluciones de dicha ecuación diferencial para algunos valores de E, que reciben el nombre de valores propios de la ecuación diferencial. Como ya hemos comentado, las soluciones ψ (x) que corresponden a dichos valores propios se llaman funciones propias (o autofunciones; en la traducción del libro de Eisberg y Resnick se llaman eigenfunciones) de la ecuación diferencial.
Por tanto, si la partícula está representada por una función de onda que corresponde a un valor propio En , entonces la función propia viene etiquetada por dicho valor propio n y la escribimos como ψn (x). Por tanto, si queremos hallar los niveles de energía de un sistema físico descrito por la energía potencial V (x, y, z), debemos solucionar la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo correspondiente a ese potencial.
•
Por otra parte, podemos afirmar que si la partícula está representada por una función de onda que es un autoestado n del hamiltoniano con autovalor14 En , este valor En es el valor esperado (o valor de expectación o valor medio) del operador hamiltoniano. (¡demuéstrelo!; ¿hace falta alguna condición más para obtener ese resultado?)
El apartado 5.8 del texto-base (Eisberg y Resnick) es muy importante, debe estudiarse con especial atención.
Como complemento, se presenta aquí una discusión sobre las diferencias que se pueden establecer entre soluciones estacionarias y no estacionarias de la ecuación de Schrödinger. Consideremos una caja unidimensional (o pozo cuadrado infinito, véase el apartado 6.8 del libro de Eisberg y Resnick para las soluciones) de longitud a, situada entre x = 0 y x = a. Las soluciones estacionarias de la ecuación de Schrödinger tienen la forma Ψ (x, t) = ψ (x) e−iEt/~ , donde la energía E toma los valores discretos
En =
n2 π2 ~2 , 2ma2
siendo n = 1, 2, 3, . . . La autofunción ψ (x) que corresponde a la n-ésima energía es r µ µ ¶ ¶ ³ nπx ´ iEn t iEn t 2 sin exp − = ψn (x) exp − Ψn (x, t) = a a ~ ~
dentro del pozo, esto es en el intervalo (0, a), y nula fuera de él (verifíquese que está normalizada). La densidad de probabilidad es entonces ³ nπx ´ 2 Pn (x, t) = |Ψn (x, t)|2 = Pn (x) = |ψn (x, t)|2 = sin2 a a
dentro del intervalo (0, a) y cero fuera de él. Esta densidad de probabilidad no depende del tiempo, como debe ser para una solución estacionaria. Consideremos ahora la combinación lineal (normalizada) de cualesquiera dos soluciones: r 1 [Ψn (x, t) + Ψm (x, t)] , Ψ (x, t) = 2
con n 6= m. La densidad de probabilidad asociada es µ ¶¸ · ³ ³ ´ ´ ³ nπx ´ ³ mπx ´ (En − Em ) t 1 2 2 nπx 2 mπx + sin + 2 sin sin cos P (x, t) = |Ψ (x, t)| = sin a a a a a ~
que depende del tiempo, con un término oscilatorio en el tiempo (proveniente de los términos cruzados del cuadrado) cuya frecuencia es 2πν nm = ωnm =
(En − Em ) ~
1 4 Esto es, es una de las posibles soluciones ψ (x) de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo con autovalor E n n y por tanto cumple que Hop ψ n (x) = En ψn (x) .
20
(véase también el ejemplo 5.13 del libro de Eisberg y Resnick). Se obtendrá este tipo de resultado (con términos oscilatorios dependientes del tiempo) siempre que se utilice cualquier combinación lineal de soluciones estacionarias: el resultado es no estacionario.
NOTA: Se puede demostrar (haga usted un intento) que cualquier solución físicamente aceptable de la ecuación de Schrödinger se puede escribir de manera única en la forma X cn Ψn (x, t) Ψ (x, t) = n
donde las Ψn (x, t) son las funciones de onda estacionarias que corresponde a la n-ésima energía y las cn son constantes complejas. Sólo aquellas soluciones de la ecuación de Schrödinger cuya densidad de probabilidad es independiente del tiempo son soluciones estacionarias (esto es, que corresponden a un único autovalor de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo). Utilizando el argumento que se acaba de usar, para los estados no estacionarios, la densidad de probabilidad muestra una dependencia oscilatoria en el tiempo con un conjunto de frecuencias dadas por ω nm = (En − Em ) /~, en función de las diferencias entre las energías de los niveles estacionarios. Estas frecuencias son, por tanto, características del sistema y cabe esperar que sean las frecuencias de absorción y emisión de radiación del sistema15 . La existencia de los niveles discretos de energía puede determinarse de manera experimental observando la energía emitida o absorbida cuando el sistema hace una transición de un estado a otro.
Debe aquí recordarse que en mecánica clásica una partícula cargada irradia energía electromagnética cuando se acelera; en particular, si la partícula cargada oscila con una frecuencia dada, la frecuencia de la radiación electromagnética emitida es igual a la frecuencia de la oscilación. Sin embargo, una distribución estacionaria de carga no emite radiación. En efecto, supongamos un sistema cuántico formado por una partícula con carga q en un estado cuántico estacionario n: Ψn (x, t) = ψn (x) exp (−iEn t/~)
donde En es la energía del estado y ψn (x) es la n-ésima solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una energía potencial V (x). Podemos identificar la cantidad qΨ∗n (x, t) Ψn (x, t) como la densidad de carga del sistema, que resulta ser independiente del tiempo, con lo que el sistema no radiará energía (explíquese usted ahora el por qué del postulado de Bohr acerca de las órbitas que no radian).
Pero nosotros sabemos que existen transiciones experimentales entre estados cuánticos: estas transiciones pueden estar inducidas por una acción externa, por ejemplo por la interacción entre un campo electromagnético externo y la partícula cargada. En un curso posterior de mecánica cuántica se estudiará en detalle esta interacción, ahora sólo vamos a hacer alguna discusión cualitativa. Escribamos la función de onda de un sistema cuántico que está haciendo una transición como una mezcla de dos estados Ψn y Ψm : Ψ (x, t) = cn Ψn (x, t) + cm Ψm (x, t)
Como ya hemos comentado antes, la densidad de probabilidad (y, por tanto la distribución de carga) asociada a este sistema mezclado oscila con el tiempo, con una frecuencia es 2πν nm = ω nm =
(En − Em ) , ~
que coincide con la frecuencia de transición de Bohr entre órbitas distintas. Este es el argumento que se usará en el tema 13, cuando se hable de las probabilidades de transición entre niveles de un sistema cuántico.
• COMPLEMEN T O:
Propiedades generales de los sistemas cuánticos.
Para simplificar, vamos a suponer un sistema cuántico constituido por una única partícula. Supongamos que el conjunto de coordenadas lo denotamos por16 ~r.
1 5 Estas frecuencias son, por así decirlo, las frecuencias para las que el sistema entra en resonancia: ¿rememora ahora las ideas de Bohr acerca de las frecuencias de absorción y emisión de radiación? 1 6 Así, si tenemos una partícula sin spin, las coordenadas designadas por ~ r son las tres coordenadas espaciales pero si la partícula tiene spin entonces podemos representarla por las tres coordenadas espaciales y la de spin (el spin se tratará en el tema 12).
21
El elemento básico del tratamiento cuántico es que cada estado de este sistema cuántico puede describirse por una función (en general, compleja) de las coordenadas Ψ (~r, t), llamada función de onda. El cuadrado del módulo de dicha función nos da la densidad de probabilidad P (~r, t) = Ψ (~r, t)∗ Ψ (~r, t) (véase Eisberg y Resnick, apartado 5.3), que representa la distribución de probabilidad de encontrar la partícula cuántica en un punto del espacio..
Si Ψ (~r, t) es la función de onda, llamaremos ψ (~r) a dicha función de onda en un instante de tiempo determinado to . Veamos alguna de las propiedades que debe cumplir Ψ (~r, t).
1. La densidad de probabilidad debe estar normalizada y por lo tanto para todo valor de t se cumple R que |Ψ (~r, t)|2 d~r = 1. Esta es la condición de normalización de la función de onda.
2. Como el valor esperado (o valor de expectación) de cualquier función de ~r y t (apartado 5.4 del Eisberg y Resnick) viene dado por Z f (~r, t) = Ψ (~r, t)∗ f (~r, t) Ψ (~r, t) d~r,
que es únicamente una función de t, es claro que la función de onda normalizada está definida salvo un factor constante de fase del módulo unidad (esto es, del tipo eiα , siendo α un número real cualquiera). Esta falta de unicidad no tiene importancia alguna, dado que no se refleja en ningún resultado físico (en particular, en ninguna medida). Pregunta para el alumno: ¿por qué no se refleja ese factor de fase en ningún resultado físico? 3. Supongamos, por ejemplo, que al efectuar una medida de la energía de un sistema caracterizado por el estado ψm (~r) se obtiene el resultado Em y que al efectuar la medida con otro estado ψn (~r) se obtiene el resultado En . Entonces (por el principio de superposición) cualquier combinación lineal de esos estados ψ (~r) = cn ψn (~r) + cm ψm (~r), representa un estado cuya medida puede dar el resultado o bien Em o bien En . Esto se debe a que las ecuaciones que deben satisfacer las funciones de onda son lineales respecto de ψ (~r) pues si se calcula el valor esperado de la energía en ese estado combinado resulta que ese valor medio da como resultado |cn |2 En + |cm |2 Em (haga el cálculo el alumno). Por tanto, el cuadrado complejo de cada constante cn nos da la probabilidad de encontrar la energía correspondiente al autoestado n.
4. Consideremos una magnitud física A que caracteriza el estado de un sistema cuántico (por ejemplo, puede ser la energía, el momento lineal, el momento angular, etc.). Los valores que puede tener una magnitud física en mecánica cuántica se llaman sus valores propios, sus autovalores o sus eigenvalores. El conjunto de estos valores es el llamado espectro de la magnitud física. En mecánica clásica los valores suelen tomar una sucesión continua, pero en mecánica cuántica los valores propios puede tener una sucesión continua de valores (espectro continuo) o una sucesión discreta (espectro discreto) o ambas a la vez. Para simplificar, supondremos que nuestra magnitud A tiene espectro discreto. Sus valores propios los denotamos por A0, A1,... Si llamamos a las funciones correspondientes a cada uno de esos autovalores ψn (~r), con n = 0, 1, . . ., el principio de superposición nos dice que la función de onda más general que sea solución de nuestro sistema físico será la combinación lineal de estas ψn (~r) X ψ (~r) = cn ψ n (~r) , con constantes cn complejas y se dice que el conjunto de funciones ψn (~r) es un sistema completo.
5. Asociamos a cada magnitud física (como se ha hecho anteriormente) un operador lineal Aop de tal manera que el valor medio de la magnitud física A lo podamos calcular mediante la integral Z A = ψ (~r)∗ (Aop ψ (~r)) d~r
siendo Aop un operador lineal. Como los valores medios que pueden tomar las magnitudes físicas son reales, al hacer la conjugación compleja de la ecuación anterior se verifica la igualdad Z Z ¡ ¢ ψ (~r)∗ (Aop ψ (~r)) d~r = ψ (~r) A∗op ψ∗ (~r) d~r,
siendo A∗op el operador conjugado complejo del operador Aop . Pero esta ecuación no se cumple para cualquier operador lineal: sólo aquellos operadores llamados hermíticos la verifican. Por ello, 22
e integrando, y teniendo en cuenta que el operador Aop es hermítico, se llega a Z (An − Am ) ψn (~r) ψ∗m (~r) d~r = 0
los operadores correspondientes a las magnitudes físicas deben ser hermíticos (por ejemplo, pop , Hop , Lop , etc.).17 Además, si a partir de la ecuación de autovalores hacemos las operaciones algebraicas siguientes: ¾ Aop ψn = An ψ n ⇒ ψ∗m Aop ψn − ψn A∗op ψ∗m = (An − Am ) ψn ψ∗m Aop ψm = Am ψm
con lo que se encuentra que las funciones de onda correspondientes a valores propios R distintos de una magnitud física son ortogonales, esto es, que ψn (~r) ψ∗m (~r) d~r = 0. Si, además, las autofunciones están normalizadas se tendrá que el conjunto de funciones propias de una magnitud física constituye un sistema completo de funciones normalizadas y ortogonales dos a dos (esto es, un conjunto de funciones de onda ortonormales): ½ Z = 1 si n = m ψn (~r) ψ ∗m (~r) d~r = δ mn = = 0 si n 6= m
6. Sea un sistema constituido por dos partes (que llamaremos 1 y 2), de manera que podamos describir cada una de las partes separadamente de manera completa, cada una con su conjunto de coordenadas ~r1 y ~r2 . Podemos entonces afirmar que la distribución de las probabilidades de la parte 1 es completamente independiente de la de la parte 2 y, por tanto, que la distribución de probabilidades para el sistema total es el producto de las probabilidades de cada una de sus partes. En el lenguaje de las funciones de onda: Ψ12 (~r1 , ~r2 , t) = Ψ1 (~r1 , t) Ψ2 (~r2 , t)
Esto significa que un sistema de, por ejemplo, dos partículas independientes tiene una función de onda que es el producto de las funciones de cada partícula por separado (se verá esto más adelante cuando se discutan los sistemas de partículas idénticas: tema 14).
ca cuántica.
Resumen muy breve de los postulados de la mecáni-
• COMPLEMEN T O: 18
1. Para un sistema de una partícula hay una función de onda que determina todo lo que se puede conocer del sistema. Esta función de onda de la partícula es una función compleja de las coordenadas y del tiempo. 2. Con cada observable físico (la energía, la posición de la partícula, etc.) hay asociado un operador. Este operador asociado debe ser hermítico, pues todos los valores propios de un operador hermítico son números reales. 3. Si llamamos Aop al operador asociado al observable A, una medida de A da como resultado uno de los valores propios (o autovalores) de la ecuación de valores propios siguiente: Aop ψn = an ψn
Por consiguiente, si la función de onda de la partícula antes de la medida es ψn se obtendrá exactamente an como resultado de medir A. Sin embargo, si la función de onda de la partícula antes de la medida no es una de las autofunciones es imposible predecir con seguridad cuál de los resultados posibles se obtendrá. 4. La evolución temporal de la función de onda Ψ se determina mediante la ecuación de Schrödinger Hop Ψ (~r, t) = i~
∂ Ψ (~r, t) ∂t
donde el operador hamiltoniano Hop corresponde al observable energía total del sistema.
1 7 Sería
conveniente que usted repase los conceptos de matriz hermítica, etc., de Álgebra elemental. un estudio más profundo de este tema, véase el libro Introducción al formalismo de la Mecánica Cuántica, cuyos autores son P. García González, J. E. Alvarellos y J. García Sanz (UNED, colección Cuadernos de la UNED). 1 8 Para
23
5. El conjunto de funciones propias (o autofunciones) de un observable, esto es, aquellas que cumplen la ecuación Aop ψn = an ψn ,
forman un conjunto infinito de funciones linealmente independientes, que puede usarse para desarrollar cualquier función de onda del sistema. Se supondrá siempre que ese conjunto de funciones está normalizado, con lo que forma un conjunto ortonormal completo de funciones. Por tanto, cualquier función de onda Ψ puede desarrollarse como combinación lineal de esas autofunciones: X ci ψi (~r, t) . Ψ (~r, t) = i
i
i
i
En el caso de que estemos hablando de las autofunciones del operador hamiltoniano (o energía), si llamamos ψi (~r) a sus autofunciones, esto es si se verifica que Hop ψi (~r) = Ei ψi (~r), sabemos que la función de onda correspondiente a esas autofunciones es Ψi (~r, t) = ψi (~r) exp (−iEi t/~). Por consiguiente, una función de onda cualquiera se podrá escribir como X X X ci Ψi (~r, t) = ci ψi (~r) exp (−iEi t/~) = Ci (t) ψi (~r) Ψ (~r, t) =
6. El valor esperado de un observable A cuando el sistema está descrito por una función de onda Ψ viene dado por Z A = Ψ∗ (~r, t) Aop Ψ (~r, t) d~r.
Esto significa que si la función de onda está normalizada a la unidad, y dado el carácter ortonormal de las funciones propias, que el valor esperado de ese observable se puede escribir (¡demuéstrelo con detalle!) como X A= ai |ci |2 , i
2
de manera que el número real |ci | puede interpretarse como la probabilidad de encontrar al sistema en el estado designado por el subíndice i. Para un ejemplo sencillo, véase la solución a los problemas 5.33 y 5.34 del libro de Eisberg y Resnick en el apartado de problemas de este envío.
Relaciones de incertidumbre posición-impulso (aparta-
• COMPLEMEN T O: do 3.3 del libro de Eisberg y Resnick)
Nota: haremos el tratamiento en una dimensión, pero lo aquí explicado se generaliza sin problemas a más dimensiones. Veamos cómo demostrar con toda generalidad que ∆x · ∆p ≥ 12 ~. Sea Ψ (x, t) una función de onda de Schrödinger, normalizada a la unidad. Llamaremos ψ (x) a dicha función de onda en un instante de tiempo determinado to .
Elegimos hxi = 0 y hpi = 0, sin que esto merme la generalidad de la demostración. Primeramente, tómese la integral I (λ) siguiente, que es mayor o igual a 0 (para todo valor del parámetro real λ): ¯2 ¯ Z ∞ ¯ dψ (x) ¯¯ ¯ dx ¯xψ (x) + λ~ . I (λ) ≡ dx ¯ −∞
Al integrarla por partes, nos da Z Z ∞ I (λ) = dx |xψ (x)|2 + λ~ −∞
∞
−∞
dx
µ
dψ∗ (x) dψ (x) xψ (x) + xψ∗ (x) dx dx
¶
+ λ2 ~2
¯ ¯ ¯ dψ (x) ¯2 ¯ . dx ¯¯ dx ¯ −∞
Z
∞
R∞ El primero de los sumandos lo podemos reescribir como −∞ x2 |ψ (x)|2 dx, de manera que si la función ® de onda ψ (x) está normalizada ese sumando es x2 . El segundo sumando podemos escribirlo como µZ ∞ ¶ Z ∞ dψ∗ (x) dψ (x) xψ (x) + dx dx xψ∗ (x) λ~ dx dx −∞ −∞ ¶ µZ ∞ Z ∞ ∗ dψ (x) dψ∗ (x) ∞ xψ (x) + [xψ∗ (x) ψ (x)]−∞ − dx − 1 = −λ~ dx xψ (x) = λ~ dx dx −∞ −∞ 24
si suponemos que ψ(±∞) = 0. Por último, si escribimos el valor medio del cuadrado del momento lineal como Z ∞ 2® d2 ψ (x) ψ∗ (x) dx, p = −~2 dx2 −∞ e integramos por partes Z
∞
ψ∗ (x)
−∞
¯ ¯ · ¸∞ Z ∞ Z ∞ ¯ dψ (x) ¯2 d2 ψ (x) dψ (x) dψ∗ (x) dψ (x) ∗ 2 2 2 ¯ ¯ dx = ~ dx = −~ (x) +~ dx ψ ¯ dx ¯ dx2 dx −∞ dx dx −∞ −∞
2® p = −~2
después de usar que ψ(±∞) = 0. Por tanto, la integral nos queda como un polinomio de segundo grado en λ, ® ® I(λ) = x2 − λ~ + λ2 p2 .
Pero la integral es definida positiva, I(λ) ≥ 0, por lo que no puede cumplirse que la ecuación I (λ) = 0 tenga dos soluciones reales: que el discriminante del polinomio ha de ser negativo19 ; por 2 ® eso ® significa 1 2 2 tanto, obtenemos que x p ≥ 4~ .
Como se ve, esta ecuación es menos restrictiva que la que buscamos. Queda, sin embargo, como trabajo para el alumno ver que si utilizamos la integral ¯2 ¯ µ ¶ Z ∞ ¯ ¯ ∂ I 0 (λ) = − i hpi ψ (x)¯¯ ≥ 0 dx ¯¯(x − hxi) ψ (x) + λ ~ ∂x −∞
entonces el polinomio de segundo grado en λ resulta ser
I 0 (λ) = (∆x)2 − λ~ + λ2 (∆p)2 ≥ 0 y como su discriminante debe ser negativo
1 ∆x · ∆p ≥ ~ 2
que es lo que se quería demostrar.
Nótese que en esta demostración NO se ha utilizado ninguna suposición acerca de la forma de la función de onda, de manera que la relación de indeterminación es una propiedad completamente general de los sistemas cuánticos, pues lo único que se ha usado en la demostración es que el operador momento está asignado a un operador diferencial proporcional a d/dx (además, obviamente, que ψ(±∞) = 0).
1 9 En efecto, si el discriminante fuera positivo y no nulo, entonces existirían dos soluciones reales λ y λ de la igualdad 1 2 I (λ) = 0. Por tanto, si por ejemplo λ1 > λ2 , para aquellos valores de λ entre λ2 y λ1 se cumpliría que I(λ) = (λ − α) (λ − β) < 0.
25
8
Tema 8. Problemas unidimensionales: estados de colisión.
Contenido de los textos-base: Eisberg y Resnick: apartados 6.1 a 6.6 (resumen en el apartado 6.10). Alonso y Finn, vol. III, apartados 2.4 y 2.8.
Hay al menos dos razones para estudiar sistemas unidimensionales en mecánica cuántica:
1.- los modelos unidimensionales son modelos sencillos, que permiten poner de manifiesto algunas de las propiedades cuánticas que aparecen posteriormente en sistemas físicos más complicados.
2.- algunos problemas, después de ser elaborados adecuadamente, quedan reducidos a ecuaciones en una dimensión (por ejemplo, en el estudio del átomo de hidrógeno, que se hará en el tema 10 y siguientes de la Segunda Prueba Personal, la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones, utilizando el método de separación de variables, se puede reescribir como un conjunto de tres ecuaciones, cada una en una dimensión).
En el libro de Eisberg y Resnick se estudian varias aplicaciones concretas a sistemas unidimensionales. • Región con energía potencial constante • Escalón de potencial.
• Barrera de potencial. (transmisión resonante).
Hay un resumen muy gráfico de todo lo tratado en este tema (y en los dos siguientes) en el apartado 6.10 del Eisberg y Resnick, pág. 270.
Para completar el estudio que el texto hace de algunos ejemplos, nos gustaría exponerle algunos puntos que resumen propiedades importantes de los sistemas cuánticos unidimensionales.
• COMPLEMEN T O Comportamiento de la función de onda en regiones de energía potencial constante.
Supongamos que la energía potencial V (x) sea constante, V (x) = Vo . La ecuación de Schrödinger será d2 ψ 2m + 2 (E − Vo ) ψ = 0. dx2 ~ p (a) Si la energía verifica que E > Vo , definiendo k = 2m (E − Vo )/~, se obtiene la solución ψ (x) = A eikx + A0 e−ikx
donde A y A’ son constantes, en general complejas. Esta solución es oscilatoria, siendo uno de los sumandos una onda viajando hacia la izquierda y el otro viajando hacia la derecha. p (b) Si la energía verifica que E < Vo , definiendo q = 2m (Vo − E)/~, la solución es ψ (x) = B eqx + B 0 e−qx
donde B y B 0 son constantes, en general complejas. En este caso, debe usted notar que el primer sumando de la solución crece con el valor de x (diverge cuando x → ∞), mientras que el segundo se anulará rápidamente al aumentar x (pero converge cuando x → −∞).
(c) Si E = Vo , entonces ψ (x) es una función lineal de x.
Cuando en el el apartado 6.2 del texto de Eisberg y Resnick se discute el caso de la energía potencial constante (o cero, si se iguala el origen de energías a ese valor), después de calcular cómo es la autofunción de una partícula libre de autovalor de la energía E, calcula el valor del momento lineal correspondiente a esa autofunción. Al final se comenta de pasada el llamado teorema de Ehrenfest, que aquí detallamos un poco más.
26
• COMPLEMEN T O
Teorema de Ehrenfest.
El postulado introducido en el material complementario del tema 7, donde se postula la forma de calcular el valor medio de una variable cuántica, viene apoyado por el teorema de Ehrenfest:20
Los valores medios de las variables de la mecánica cuántica satisfacen las mismas ecuaciones del movimiento que las variables clásicas correspondientes (cuando se hace una descripción clásica del sistema físico), de forma que la ley cuántica de evolución de los valores medios es formalmente idéntica a las ecuaciones de la mecánica clásica.
En concreto, el teorema afirma que la evolución de los valores medios (o de expectación) de la posición y del momento lineal es ¿ À hpop i dV (x) d hpop i d hxop i = =− , dt m dt dx
siempre que la función de onda Ψ (x, t) respecto a la que se calculan los valores medios h· · ·i satisfaga la ecuación de Schrödinger ∂Ψ (x, t) , Hop Ψ (x, t) = i~ ∂t siendo ~2 ∂ 2 + V (x) . Hop = − 2m ∂x2 Nótese que la función de onda Ψ (x, t) depende del tiempo y, por lo tanto, así lo harán los valores medios hxop i y hpop i.
Como se ve, este teorema permite ver cómo la mecánica clásica puede considerarse como un caso límite de la mecánica cuántica, siempre que pueda ignorarse la indeterminación de las variables21 .
• COMPLEMEN T O
Propiedades generales del movimiento en una dimensión.
(vea también el apartado 2.7 del Alonso y Finn, vol. III).
Supongamos que la energía potencial V (x) es una función que cumple las siguientes condiciones:
V(x)
-`
+`
Vmin
Figura 4: Energía potencial con las propiedades (i) y (ii).
(i) V (x) tiende a límites constantes en ±∞.
(ii) Definimos V (∞) = 0 y V (−∞) = V∞ > 0. El mínimo de la energía potencial lo llamamos Vmin < 0.
Se tienen entonces las siguientes propiedades: (a) Para valores de la energía que cumplan que Vmin < E < 0 los autovalores de la energía tienen una distribución discreta. Como vemos, este espectro discreto corresponde al intervalo de energías para las que la partícula no puede escapar al infinito, pues la función de onda se anula rápidamente tanto para x → ∞ como para x → −∞ (por eso se llaman también estados ligados).
2 0 Véase, por ejemplo, el final del apartado 6.2 y el problema 7.8 del libro de Eisberg y Resnick o el apartado 3.13 del libro Introducción al formalismo de la Mecánica Cuántica de P. García González, J. E. Alvarellos y J. García Sanz (UNED, colección Cuadernos de la UNED, 2001). También puede consultarse el apartado 4-5c del libro de D.T. Gillespie Introducción a la Mecánica Cuántica. Ed. Reverté. 2 1 El lector interesado puede leer la discusión de las páginas 105 a 107 del citado libro de Gillespie.
27
Todos los niveles de energía de este espectro discreto son no degenerados.
Para x → ∞, la ecuación de Schrödinger se reduce a d2 ψ 2m + 2 Eψ = 0 =⇒ ψ (x → ∞) = A cos (kx + δ) dx2 ~
(b) Para autovalores de la energía que verifiquen que 0 < E < V∞ , entonces el espectro es continuo, pudiendo escapar la partícula hacia x = ∞, pero no hacia x = −∞ (pues la función de onda se anula rápidamente, vea el complemento sobre el comportamiento de la función de onda en regiones con energía potencial constante). En esta parte del espectro también los niveles de energía son no degenerados.
Para x → −∞, la ecuación de Schrödinger se reduce en cambio a
√ siendo A, δ y k = 2mE/~ constantes. Nótese que el efecto neto del potencial que queda a la izquierda de la partícula es únicamente el defasaje δ de la función de onda.
d2 ψ 2m + 2 (V∞ − E) ψ = 0 =⇒ ψ (x → −∞) = B exp (qx) dx2 ~
p siendo B y q = 2m (V∞ − E)/~ constantes, de forma que la función de onda se amortigua exponencialmente cuando se penetra en la región en que E < V (x). (c) Si la energía verifica que E > V∞ , entonces el espectro es continuo, y el movimiento será infinito en x = ±∞. En esta parte del espectro todos los niveles de energía son doblemente degenerados, pues la partícula puede viajar tanto hacia la derecha como hacia la izquierda. (d) Nota: Para los estados ligados se tiene además la siguiente propiedad:
Si colocamos los estados propios por orden creciente de energías (E1 , E2 , . . . , En , . . .), entonces la función propia n-ésima tiene (n − 1) nodos, entre los que hay al menos un nodo de cada una de las funciones propias de mayor energía. En otras palabras, la autofunción del estado fundamental no tiene nodos, la función de ondas del primer estado excitado posee un nodo, y así sucesivamente.
• COMPLEMEN T O Comportamiento de la función de onda en los puntos en los que hay discontinuidades finitas del potencial (condiciones de empalme de la función de onda). En estos puntos de discontinuidad finita, por propiedades matemáticas de la ecuación diferencial de Schrödinger (que es una ecuación de segundo orden), se debe verificar las condiciones de contorno: (a) ψ (x) es continua.
(b) dψ (x) /dx es también continua.
Además, se cumple que la segunda derivada d2 ψ (x) /dx2 es discontinua en el punto de discontinuidad de V (x). Para calcular la función de onda de cualquier sistema físico descrito por un potencial constante a trozos, esto es con valores distintos en zonas diferentes del espacio (es decir, con discontinuidades en la energía potencial), se procederá de la manera que sigue:
(1) La función de onda se escribirá como combinación de exponenciales reales o imaginarias, de alguna de las maneras que se han descrito anteriormente. (2) Se aplican condiciones de empalme de las funciones de onda en cada punto de discontinuidad, exigiendo la continuidad de ψ (x) y de dψ (x) /dx o, lo que es lo mismo, de la derivada logarítmica de ψ (x).
Nota importante: en los puntos en los que hay una discontinuidad infinita (por ejemplo, en los que el potencial pasa de ∞ a 0 de manera súbita, como en un pozo de potencial infinito) no se verifica la continuidad de la derivada primera de la función de onda. Sin embargo, note que cuando el potencial es infinito la función de onda tiene que ser necesariamente nula Ψ (x, t) = 0, lo que nos da una nueva condición de contorno. 28
Tema 9. Problemas unidimensionales: estados ligados; el oscilador armónico.
9
Contenido de los textos-base: Eisberg y Resnick: apartados 6.7 a 6.9. Alonso y Finn vol III: apartados 2.5 y 2.6. • Pozo cuadrado finito
(véase el apéndice G del libro de Eisberg y Resnick para la solución exacta de este problema).
Fíjese en la figura 6.26 del Eisberg y Resnick, que muestra las características más importantes de los autoestados de este potencial: (i) el número de nodos de cada autoestado depende de la energía del mismo, aumentando con ella (no tiene nodos el primer nivel, el segundo nivel tiene uno, tiene dos el tercero, ...).
• Pozo cuadrado infinito.
(ii) hay una probabilidad no nula de encontrar la partícula más allá de las paredes del pozo de potencial (la función de onda penetra en la barrera). Ahora es la figura 6.31 del Eisberg y Resnick la que muestra algunas características de los autoestados de este potencial: (i) el número de nodos de cada autoestado depende de la energía del mismo, aumentando con ella (si no contamos los valores de ψ (x) en los extremos del pozo, la primera autofunción no tiene nodos, tiene uno el segundo nivel, tiene dos el tercero, ...). (ii) en este caso, no existe probabilidad de encontrar la partícula más allá de las paredes del pozo de potencial, ya que el pozo tiene profundidad infinita y la función de onda se anula en los extremos del pozo y en el exterior del pozo. Esa condición simplifica notablemente el problema y, de una manera muy sencilla, se puede calcular la energía de los estados ligados de este pozo de potencial. El valor de las energías varía inversamente con el cuadrado de la anchura del pozo, En ∝ n2 /a2 . • El oscilador armónico.
(i) Estudie la solución de la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico en el apéndice H del libro de Eisberg y Resnick. (ii) La energía de un oscilador cuántico viene dada por la expresión µ ¶ µ ¶ 1 1 hν = n + ~ω. En = n + 2 2
Un resultado importante de la solución cuántica del oscilador armónico es que la energía mínima es 12 ~ω, que se llama energía del punto cero porque corresponde a n = 0. Este resultado está relacionado con el principio de indeterminación. En efecto, el primer nivel de energía del sistema (el estado fundamental o estado base) tendrá aproximadamente la mínima energía compatible con dicho principio. Este sistema es un sistema localizado (la partícula no se va al infinito) y, por simetría, el valor medio de la posición de la partícula es el centro del potencial. Si en este nivel la amplitud máxima es xo podremos estimar esta amplitud diciendo que es aproximadamente la mitad de la dispersión de la variable x, esto es, que xo ' 12 ∆x. El mismo argumento se puede aplicar a la amplitud del momento lineal po ' 12 ∆p. Clásicamente un oscilador con esa amplitud tiene una energía E = 12 mω 2 x2o = 12 mxo po donde hemos tenido en cuenta que po = mωxo . De ahí E ' 18 ω ∆x ∆p ' 12 ~ω, que es lo que se quería demostrar. Por lo tanto, se puede estimar la energía del punto cero de un sistema utilizando el principio de indeterminación.
(iii) Ejercicio: hágase la estimación anterior para el nivel de mínima energía de un pozo cuadrado,basándose en el principio de incertidumbre, y compárelo con el resultado exacto. Otro ejercicio: estime el orden de magnitud del número cuántico n en un péndulo macroscópico. ¿Se puede describir el movimiento macroscópico del péndulo con un único autoestado de un oscilador cuántico?
29
1
Primera Prueba Personal. Problemas. Problemas del tema 1.
• ¿A qué longitud de onda, una cavidad a 6000 K radiará más por unidad de longitud de onda? (Problema 1.1 del libro de Eisberg y Resnick) La ley de Wien nos dice que λmax T = CW .
CW = 4830 Å. T
λmax =
El valor experimental de la constante de Wien es CW = 2.898 × 10−3 m K. Como la temperatura es 6000 K, sustituyendo tenemos:
Esta longitud de onda está comprendida en el intervalo de luz visible y corresponde al color azul, que el ojo percibe cuando la longitud de onda está entre 4550 y 4920 Å.
• Demuestre que la relación entre la radiancia espectral RT (ν) y la densidad de energía ρT (ν) es RT (ν) dv = (c/4) ρT (ν) dν. (Problema 1.2 del libro de Eisberg y Resnick) Por simplicidad consideraremos una caja cúbica de dimensiones Lx , Ly , Lz . El campo electromagnético dentro de esa cavidad se puede descomponer como una suma de modos armónicos. Cada modo es una onda electromagnética estacionaria, descrita por un vector de ondas k, de componentes, kx , ky , kz . Consideremos el número de modos que están caracterizados por un vector de ondas entre k y k + dk. Llamemos a la componente en la dirección x del campo eléctrico Ex = sin (kx x) sin (2πνt). Para que este campo eléctrico cumpla las condiciones de contorno en x = 0 y en x = Lx ha de verificarse que Ex = 0 en ambos puntos. Entonces sin (kx Lx ) = 0, y 2π nx , kx = Lx donde nx = 1, 2, 3, .... Por tanto
Lx ∆kx . 2π Si llamamos ∆N (k) el número de modos (u ondas) cuyo número de ondas k tiene componentes entre kx y kx + ∆kx , ky y ky + ∆ky y kz y kz + ∆kz , entonces ∆nx =
∆N (k) =
Lx Ly Lz (2π)3
∆kx ∆ky ∆kz
y dado que el volumen de la cavidad es V = Lx Ly Lz
dN (k) = V
d3 k (2π)3
.
Por tanto, para longitudes de onda del orden del tamaño de la cavidad, el número de modos en una cavidad es proporcional al volumen V de la caja y al volumen en el espacio k.1 Consideremos ahora en la figura los fotones que llegan a una pared de la caja con un vector de onda entre k y k + dk. Hay 2f (k) V −1 dN (k) fotones de este tipo por unidad de volumen, (2 porque son dos las polarizaciones posibles, y f (k) es la función de distribución; véase el texto si se considera conveniente). Como los fotones viajan con la velocidad de la luz c, los fotones contenidos en un volumen cilíndrico (que son los que chocan con el área dA en el tiempo dt, véase la figura 1) son (cdt cos θ) f (k) dN (k).
1 Aunque
no lo hemos probado, este resultado es independiente de la forma de la cavidad.
1
z
θ k
area dA
cdt
Figura 1: Fotones que llegan a una pared de la caja con un vector de onda k
Como cada fotón lleva energía ¯hω se obtiene que la potencia incidente de radiación por unidad de frecuencia y de ángulo sólido es Rinc (k) dω dΩ = (¯ hω) 2c cos θ f (k)
d3 k
(2π)3
.
Expresando el elemento de volumen d3 k en coordenadas esféricas se tiene d3 k = k2 dk dΩ = y por tanto
Rinc (k) =
8π3 ν 2 dν dΩ c3
2ν 3 h f (k) cosθ. c2
R π/2 0
cos θ sin θ dθ = π, tenemos:
Como 2π
Determinemos ahora la potencia total emitida por unidad de área en el intervalo de frecuencias ν y dν. Para ello es preciso integrar en todas las direcciones posibles de emisión, es decir, para todos los ángulos sólidos en el intervalo de ángulos polares 0 < θ < π/2 y en el de ángulos azimutales 0 < ϕ < 2π. Como dΩ =senθ dθ dϕ se obtiene ! Ã Z Z π/2 2ν 3 h cosθ senθ dθ dν Rinc (k) dΩ dν = 2 f (k) 2π RT (ν) dν = c Ω 0
RT (ν) dν =
2πν 3 h f (k) dν. c2
Vemos que el segundo miembro es proporcional a (hv) f (k) d3 k, esto es, a la densidad media de la energía de radiación ρ (v) dv dentro de la cavidad. Por tanto, RT (ν) dν puede expresarse explícitamente en función de ρ (ν) como veremos a continuación:
1. el número de valores permitidos de la frecuencia ν en el intervalo ν y ν + dν es dN (k), dN (k) = V
d3 k (2π)3
¢ R ¡ y sustituyendo d3 k = k2 dkdΩ = 8π 3 v2 /c3 dvdΩ e integrando en el ángulo sólido Ω dΩ = 4π, se obtiene Z 8πV 8π 3 v2 V dvdΩ = 3 ν 2 dν N (ν) dν = 2 × 3 3 c c (2π) Ω donde se ha multiplicado por un factor dos, ya que para cada frecuencia permitida hay dos ondas independientes que corresponden a dos estados de polarización (véase también el apartado 1-2 del libro de Eisberg y Resnick). 2
ρT (ν) dν = (hν)
2. la energía de los fotones es hv. Por tanto, la densidad media de energía, es decir la energía por unidad de volumen en el intervalo de frecuencias entre ν y ν + dν es: 8πν 2 f (k) dν c3
c RT (ν) dν = ρT (v) dv. 4
y entonces se obtiene el resultado pedido
• (a) Suponiendo que la temperatura en la superficie del Sol es 5700 K, utilice la ley de Stefan, ecuación (1-2), para determinar la masa en reposo que se pierde por segundo en la radiación del Sol. Tome el diámetro del Sol como 1.4 × 109 m. (b) ¿Qué fracción de la masa en reposo del Sol, se pierde cada año en radiación electromagnética? Suponga que la masa en reposo del Sol es 2.0 × 1030 kg. (Problema 1.5 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: (a) La ley de Stefan nos dice que la radiación total emitida por unidad de tiempo y unidad de área RT = σ T 4 , donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann y T la temperatura. La superficie de una esfera, en este caso el Sol, es: S = 4πr2 , donde r es el radio de la esfera. La potencia radiada por el Sol es P = RT S. Sabemos que la energía y la masa en reposo están relacionadas por la fórmula de Einstein, E = m0 c2 , y por otra parte, P = E/t, donde t es el tiempo y E la energía. Así, podemos escribir que P σT 4 4πr2 mo = 2 = = 4.1 × 109 kg/seg t c c2
(b) Si en un segundo se pierde 4.1 × 109 kg, en un año se perderán esa misma cantidad multiplicada por el número total de segundos que tiene un año, con lo que se perderán en total 1.3 × 1017 kg. La masa en reposo del Sol es aproximadamente 2.0 × 1030 kg, por lo que anualmente se pierde un tanto por ciento igual al 6.46 × 10−12 , una cantidad realmente pequeña.
• En una explosión termonuclear, la temperatura en la bola de fuego es, momentáneamente, 107 K. Encuentre la longitud de onda para la cual la radiación emitida es máxima. (Problema 1.6 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: Como en el problema (1.1), utilizamos la relación:
λmax T = CW
Como sabemos que la temperatura es 107 K, sustituyendo los valores correspondientes en la ecuación anterior, tenemos: λmax =
CW ' 2.9 Å. T
Esta longitud de onda, 2.9 × 10−10 m, se encuentra en la región del espectro correspondiente a rayos ultravioleta. La región ultravioleta cubre desde 6 × 10−10 m hasta 3.8 ×10−7 m, que es el límite del intervalo de luz visible (donde empieza el color violeta).
• Para una cavidad de cuerpo negro a una temperatura dada, la máxima radiación se da para λmax = 6500 Å ¿Cuál será λmax si la temperatura de las paredes de la cavidad aumenta de modo que la razón de emisión de radiación espectral se duplica? (Problema 1.7 del libro de Eisberg y Resnick)
3
Solución: Según la ley de Stefan, RT = σT 4 , así 2RT = σT 0 4 , por lo que el cociente entre ambas expresiones nos relaciona las temperaturas T y T 0 , según la ley: 4
T 0 = 2T 4 .
Por otro lado, λ0max T 0 = CW ,
λmax T = CW
λmax T = 1. λ0max T 0
con lo que el cociente de ambas expresiones, relaciona las longitudes de onda y las temperaturas según:
Sustituyendo la expresión de T 0 por su valor en la ecuación anterior, se obtiene que:
λmax λ0max = √ = 5465 Å. 4 2
• ¿A qué longitud de onda emite el cuerpo humano su radiación térmica máxima? Haga una lista de las hipótesis que utilice para llegar a su respuesta. (Problema 1.8 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: Si suponemos que el cuerpo humano es un cuerpo negro, la radiación térmica máxima del cuerpo humano, según la ley del desplazamiento de Wien, correspondería a una temperatura corporal de aproximadamente 37o C. Por tanto, la temperatura absoluta sería T = 310 K, partiendo de la ecuación λmax T = CW =⇒ λmax =
CW ' 105 Å = 10−5 m, T
habiendo usado que CW ' 3×10−3 m K = 3×107 Å K. La longitud de onda encontrada está en el infrarrojo. • Supongamos que el color rojo del espectro corresponde a la menor longitud de onda del infrarrojo cercano (esto es 7.8 × 10−7 m o 7800 Å), y que el color azul corresponde a la mayor longitud de onda del ultravioleta cercano (esto es 3.8×10−7 m o 3800 Å). A partir de la ley del desplazamiento de Wien, utilizando como λmax dichas longitudes de onda ¿a qué temperatura aproximadamente corresponderá el color rojo?¿y el color azul? (Problema 1.9 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución: La ley de Wien nos dice que, para una temperatura dada T , la radiancia alcanza su valor máximo en una longitud de onda λmax tal que: λmax T = CW ,
donde CW es la constante de Wien. Tomando para el color rojo y azul las longitudes de onda que nos dice el enunciado, esto es λmax = 7800 Å y λmax = 3800 Å y despejando la temperatura de la ecuación anterior se tienen las temperaturas aproximadas que podemos asignar a los dos colores citados: CW = 3715 K λmax
Tazul =
Tro jo =
4
CW = 7626 K. λmax
• La radiación que incide sobre la tierra por unidad de área es 338 W m−2 .
(a) Explique la consistencia de este número con la constante solar (energía solar que llega a la tierra por unidad de tiempo incidiendo normal a una unidad de área de la superficie terrestre) cuyo valor es 1340 W m−2 .
(b) Considere la tierra como un cuerpo negro que radia energía al espacio en esta misma razón. ¿Cuál sería la temperatura de la superficie de la tierra bajo estas circunstancias? (Problema 1.10 del libro de Eisberg y Resnick)
1340 W m−2 × πR2 donde R es el radio de la tierra (véanse dibujos adjuntos, figura 2).
Vista lateral
Solución: (a) La constante solar es 1340 W/m2 . La energía que incide sobre la cara de la tierra por unidad de tiempo será:
Vista frontal
R
S= π R 2
Figura 2: Radiación incidente sobre una esfera.
Para calcular la radiación solar media en toda la Tierra, hay que considerar toda la superficie, S = 4πR2 , luego: Q=
1340 W m−2 × πR2 = 338 W m−2 4πR2
que coincide con el valor que nos da el enunciado de la radiación por unidad de área. (b) Según la ley de Stefan, RT = σT 4 , donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann, y T , la temperatura. Despejando la temperatura de dicha ecuación se tiene: p T = 4 RT /σ = 278 K.
• Demuestre que la ley de radiación de Rayleigh-Jeans, ecuación (1-17), no es consistente con la ley de desplazamiento de Wien ν max ∝ T o bien λmax T = cte. (Problema 1.11 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
5
El valor de la densidad de energía de la radiación de cuerpo negro ρT (ν) según la fórmula de RayleighJeans es : 8πν 2 kB T . c3 Para una temperatura dada, esta función es siempre creciente con ν. No tiene ningún máximo, y esto no es consistente con la ley de Wien. Sin embargo la ley de radiación de Planck es: ρT (ν) =
8πν 2 hν 3 c exp (hν/kB T ) − 1
ρT (ν) =
Esta función se comporta como ρT (ν) → 0 para ν → 0 y para altas frecuencias también tiende a cero: ρT (ν) ∼ ν 3 exp(−hν/kT ) → 0 (realice el cálculo de estos límites con detalle). Para frecuencias intermedias, tendrá, por lo tanto, un máximo ya que la función es definida positiva. Este comportamiento sí está de acuerdo con los experimentos.
• A partir del espectro del cuerpo negro, ν max se puede obtener de dρT (ν)/dν = 0 y λmax de dρT (λ)/dλ = 0. ¿Por qué a partir de λmax T = cte o ν max ∝ T no es posible obtenerlas si se utiliza simplemente λmax = c/ν max ? Es decir, ¿por qué es erróneo suponer que ν max λmax = c, donde c es la velocidad de la luz? (Problema 1.12 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: La cantidad ρT (λ) se define como ρT (λ) dλ = −ρT (ν) dν. Como dλ = −(c/ν 2 )dν se tiene, c ρT (λ) = ρT (ν) 2 λ · · ¸ 2¸ d c 2λ λ λ2 dρT (λ) dρT (ν) dλ = =− 2 ρT (λ) + ρT (λ) · dν dλ c dν ν c c dλ
λ3 λ4 dρ (λ) dρT (ν) = −2 2 ρT (λ) − 2 T . dν c c dλ Para que ρT (ν) tenga un máximo ha de cumplirse que dρT (ν)/dν = 0. Se ve por la ecuación anterior que esto no equivale a dρT (λ)/dλ = 0. • Utilizando la relación RT (ν) dν = (c/4) ρT (ν) dν entre la radiación espectral y la densidad de energía, junto con la ley de radiación de Planck, derivar la ley de Stefan. Es decir, demuestre que: RT =
Z
0
∞
2πh ν 3 dν = σT 4 , 2 c exp (hν/kB T ) − 1
4 2π5 kB /15c2 h3 .
(Problema 1.16 del libro de Eisberg y Resnick) donde σ = Solución: Sabemos que la densidad de energía es 8πhν 3 1 dv c3 exp (hν/kT ) − 1 R∞ (ecuación 1-27 del Eisberg y Resnick) y la energía total RT = 0 RT (ν)dν (ecuación 1-1 del Eisberg y Resnick) , con lo que tendremos: Z ∞ Z ∞ 8πhν 3 1 dν. (c/4) ρT (ν) dν = (c/4) RT = c3 exp (hν/kB T ) − 1 0 0
ρT (v) dv =
Haciendo el cambio de variable: x = hν/kB T e integrando se tiene que: Z ∞ 4 4 2π5 kB T RT (ν) dν = = σT 4 . RT = 2 h3 15c 0
6
2
Problemas del tema 2.
• La energía necesaria para extraer un electrón del sodio es 2.3 eV. ¿Presentará el sodio efecto fotoeléctrico para luz amarilla con λ = 5890 Å?, (b) ¿Cuál es la longitud de onda de corte para emisión fotoeléctrica de sodio? (Problema 2.1 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución: (a) La energía cinética del electrón emitido desde la superficie de un metal es cero cuando la frecuencia del fotón incidente en el metal es hν 0 = W0 . Por tanto, la frecuencia umbral o frecuencia mínima a partir de la cual hay emisión fotoeléctrica es ν 0 = W0 /h = 5.56 × 1014 Hz. Dado que con λ = 5890 Å la frecuencia correspondiente es ν = c/λ = 5.09 × 1014 Hz, el sodio no presentará efecto fotoeléctrico. (b) La longitud de onda pedida es λ0 = c/ν 0 = hc/W0 = 5398 Å, correspondiente a luz verde en el intervalo del espectro de radiación electromagnética.
• Sobre una superficie de aluminio incide luz de longitud de onda 2000 Å. Se requieren 4.2 eV para extraer un electrón del aluminio.
(a) ¿Cuál será la energía cinética del más rápido de los fotoelectrones emitidos? (b) ¿Cuál será la energía cinética del más lento de los fotoelectrones emitidos? (c) ¿Cuál será el potencial de frenado?
(d) ¿Cuál es la longitud de onda de corte para el aluminio?
(e) Si la intensidad de la luz incidente es 2.0 W/m2 , ¿cuál es el número promedio de fotones por unidad de tiempo por unidad de área que inciden sobre la superficie? (Problema 2.2 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: (a) Como sabemos, la máxima energía cinética de los electrones emitidos es Kmax = eV0 = hν − W 0 ,
Por lo tanto
Kmax = hc/λ − W0 = 2 eV.
(b) La energía cinética del electrón emitido es K = hν − W , donde W es el trabajo necesario para sacar el electrón del metal. Por otra parte no todos los electrones requieren la misma energía para escapar de un metal, sino que ésta depende del nivel de energía que ocupa el electrón. Los fotoelectrones que se emiten desde el metal provienen de un continuo de niveles, que se llama banda de conducción (sección 2.4, pág. 53). Si no hay pérdidas por colisiones durante el trayecto, los electrones que ocupan los estados superiores de la banda de conducción, cercanos a la energía de Fermi, necesitan menos energía para ser emitidos. La energía cinética máxima sólo depende de la función de trabajo, como se ve en el apartado anterior. La energía cinética mínima depende además del valor de la energía de Fermi del metal, esto es, de la anchura en energías de la banda de conducción (para entender mejor la idea de la energía de Fermi, lea las secciones 11.11 y 11.12 del libro de Eisberg y Resnick y también la sección 13.3). (c) Como eV0 = 2 eV, se tiene que V0 = 2 V
(d) De la expresión hν 0 = W 0 , se deduce que hc/λ0 = W 0 , con lo que, despejando el valor de λ0 , obtenemos: hc λ0 = = 2956 Å W0
(e) Por último, si a un fotón tiene una energía hν, igual a 6.2 eV, entonces, el número de fotones correspondientes a una intensidad igual a I = 2 W/m2 = 2 J m−2 s−1 , se obtiene mediante una simple regla de tres: fotones I = 2 × 1018 2 n= , m seg hν donde se ha utilizado que 1 eV=1.602 × 10−19 J y que 1 W=1J/s.
7
• La función trabajo para una superficie limpia de litio es 2.3 eV. Haga una gráfica esquemática del potencial de frenado V0 en función de la frecuencia de la luz incidente para esta superficie, indicando los puntos importantes (Problema 2.3 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución: La conservación de la energía nos permite escribir que Kmax = e V0 = hν − W0 .
En este caso, tenemos W 0 = 2.3 eV, y supongamos V0 = 0, con lo que la expresión anterior queda reducida a: 0 = hν 0 − W0 .
V 0 (eV) 2
Así, despejando ν 0 de la anterior expresión, tenemos la frecuencia de corte, ν 0 = 5.56 × 1014 Hz. Si hacemos ahora, por ejemplo, V0 = 2 V , la frecuencia obtenida es 10.4 × 1014 Hz, y para el caso en que V0 = 4 V, obtenemos ν = 15.2 × 1014 Hz.
ν (Hz)
10.4 x10 14
5.56 x10 14 -2.3
Figura 3: El potencial de frenado V0 en función de la frecuencia de la luz incidente
La gráfica de la figura 3 representa el potencial de frenado V0 en función de la frecuencia ν de la luz incidente siendo la intersección con el eje horizontal la frecuencia de corte y la intersección con el eje vertical la función trabajo W0 , característica de la superficie. La pendiente de la recta es la constante de Planck, h.
• El potencial de frenado para fotoelectrones emitidos desde una superficie iluminada con luz de longitud de onda λ = 4910 Å es 0.71 V. Cuando se cambia la longitud de onda incidente, se encuentra que el potencial de frenado es 1.43 V ¿Cuál será la nueva longitud de onda? (Problema 2.4 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución: Tengamos en cuenta, como en los problemas anteriores la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico: En cada caso λV0 y λ0 V00 están relacionados en la forma eV00 = hc/λ0 − W0 .
eV0 = hc/λ − W0 ,
De estas dos ecuaciones, se puede despejar λ0 , obteniéndose: λ0 =
hc , hc/λ + e(V00 − V0 )
con lo que sustituyendo cada variable por su valor, se obtiene:
λ0 = 3820 Å.
8
• En un experimento fotoeléctrico en el cual se utiliza luz monocromática y un fotocátodo de sodio, se encuentra un potencial de frenado de 1.85 V para λ = 3000 Å y 0.82 V para λ = 4000 Å. A partir de estos datos determine: (a) un valor para la constante de Planck. (b) la función trabajo en electrón-volts para el sodio
(Problema 2.5 del libro de Eisberg y
(c) la longitud de onda umbral para el sodio. Resnick)
Kmax K 0 max K
= eV0 = hν − W0 = eV0 0 = hν 0 − W0 = 0 = hν 0 − W0
Solución: Para resolver el problema podemos plantear tres ecuaciones con tres incógnitas (h, W0 y ν 0 ):
(a) Operando con las dos primeras ecuaciones, podemos obtener un valor para h, e(V0 − V00 ) = 6.6 × 10−34 J seg. c(1/λ − 1/λ0 )
h=
(b) Una vez obtenido el valor de h, podemos calcular fácilmente el valor de la función de trabajo W0 , con sólo despejar de la primera ecuación: W0 = hν − eV0 = 2.28 eV.
(c) Por último, de la última ecuación se obtiene la longitud de onda umbral λ0 =
hc = 5437 Å. W0
• Considere luz incidiendo sobre una placa fotográfica. La luz es registrada si disocia una molécula de AgBr en la placa. La energía mínima para disociar esta molécula es del orden de 10−19 J. Evaluar la máxima longitud de onda de corte para la cual la luz no sería registrada. (Problema 2.6 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: Para disociar la molécula de AgBr se necesita que la luz tenga una longitud de onda menor que Emin =
hc , λmax
donde Emin es la energía de disociación de la molécula. Por tanto,
λmax =
hc = 19878 Å = 1.99 × 10−6 m, Emin
que está en la región del infrarrojo en el espectro electromagnético.
• En condiciones normales el ojo humano registrará una sensación visual a 5500 Å si cuando menos se absorben 100 fotones por segundo. ¿Cuál es el nivel de potencia equivalente? (Problema 2.10 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: Sea λ = 5500 Å. La energía de un fotón con esta longitud de onda es E = hν = hc/λ = 3.6 × 10−19 J.
De esta forma la potencia equivalente de 100 fotones incidiendo por segundo con esa energía E será: PT = 3.61 × 10−19 × 100 W = 3.61 × 10−17 W.
9
• ¿Cuáles son la frecuencia, longitud de onda e impulso de un fotón cuya energía es igual a la energía de masa en reposo de un electrón? (Problema 2.12 del libro de Eisberg y Resnick)
p = E/c = 2.73 × 10−22 kg × m/s.
Solución: La energía de la masa en reposo de un electrón es E = m0 c2 = 8.19 × 10−14 J= 0.511 MeV. Como para un fotón la energía es E = hν = hc/λ, se tendrá que la frecuencia del fotón del enunciado es ν = E/h = 1.23 × 1020 Hz. La longitud de onda λ es λ = hc/E =⇒ λ = 0.024 Å= 2.4 × 10−12 m, que está en la región de los rayos X en el espectro electromagnético. La energía relativista total es E 2 = c2 p2 + (m0 c2 )2 , donde p es el impulso. La masa en reposo de un fotón es cero, y por tanto la energía relativista total puede ser escrita como E = cp. Despejando el impulso, se obtiene:
• Derivar la ecuación cot (θ/2) = (1+hν/m0 c2 ) tan φ entre la dirección de movimiento del fotón dispersado y el electrón de retroceso en el efecto Compton. (Problema 2.14 del libro de Eisberg y Resnick) Solución:
y
E 1=cp 1
E 0=cp 0
θ
φ
e-
x
e-
E, p
Figura 4: Efecto Compton
Sabemos que la conservación tanto del momento lineal como de la energía en el efecto Compton nos llevan a la ecuación: λ1 − λ0 = h(1 − cos θ)/m0 c. Las proyecciones de los momentos sobre los ejes coordenados (véase dibujo adjunto, figura 4): p0 = p1 cos θ + p cos φ
0 = p1 sin θ − p sin φ.
Por lo tanto, tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas; tomamos como incógnitas por ejemplo λ1 , θ y p. Por otra parte, como p = h/λ, podremos escribir (h/λ0 ) = (h/λ1 ) cos θ + p cos φ
0 = (h/λ1 ) sin θ − p sin φ. 10
p sin φ = (h/λ1 ) sin θ
p cos φ = (h/λ0 ) − (h/λ1 ) cos θ =
hλ1 − hλ0 cos θ λ0 λ1
tan φ = Como ya se ha comentado, además tenemos:
λ0 sin θ . λ1 − λ0 cos θ
λ1 − λ0 = h(1 − cos θ)/m0 c, de manera que si introducimos este valor en la expresión de la tangente, resulta: λ0 sin θ . (λ0 + mh0 c )(1 − cos θ)
tan φ = Utilizando la relación trigonométrica sin θ 1 − cos θ
=⇒
¢¤ £ ¡ cot (θ/2) = 1 + hν 0 /m0 c2 tan φ.
cot (θ/2) =
y por tanto
Operando
• Se hacen incidir fotones de una longitud de onda de 0.024 Å sobre electrones en reposo.
(a) Encontrar la longitud de onda de un fotón que es dispersado a 30 grados de la dirección incidente y la energía cinética suministrada al electrón. (b) Repetir el cálculo si el ángulo de dispersión es 120 grados (Problema 2.16 del libro de Eisberg y Resnick).
Solución:
e-
E 1=cp 1
θ
x
φ e-
E=m 0 c2+ K
Figura 5: Problema 2.16 del Eisberg y Resnick
E 0=cp 0
y
Sabemos que la conservación de energía y momento lineal en el proceso nos llevan a la relación de Compton con λC = h/m0 c λ1 − λ0 = λC (1 − cos θ) 11
la longitud de onda de Compton. a) Para el caso de 30 grados, con2 λ0 = 0.024 Å, se tiene: λ1 = λ0 + λC (1 − cos θ) = 0.02725 Å m0 c2 + cp0 = cp1 + m0 c2 + K,
donde K es la energía de retroceso del electrón. De aquí podemos obtener que µ ¶ 1 1 K = c (p0 − p1 ) = hc − . λ0 λ1
La energía total relativista en el choque se escribe como
b) Para el caso de 120 grados, con λ0 = 0.024 Å, se tiene: λ1 = λ0 + λC (1 − cos θ) = 0.06039 Å.
e igualmente para la energía cinética del electrón
K = hc
µ
1 1 − λ0 λ1
¶
.
• Un fotón de rayos X de energía inicial 1 × 105 eV que viaja en la dirección positiva del eje x, incide sobre un electrón libre y en reposo. El fotón es dispersado en ángulo recto, a lo largo de la dirección positiva del eje y. Encontrar las componentes del impulso del electrón de retroceso. (Problema 2.17 del libro de Eisberg y Resnick) Solución:
y
E1=cp 1
ο θ =90
e-
x
φ e-
E, p
Figura 6: Problema 2.17 del Eisberg y Resnick.
E0=cp 0
De la relación de Compton (que se obtiene conservando la energía y el momento lineal en el proceso) la relación entre las longitudes de onda es: 2 Esta
es la longitud de onda Compton, λC = h/m0 c, del electrón.
12
λ1 − λ0 = λC (1 − cos θ). p0 = p1 cos θ + p cos φ ⇒ p0 = p cos φ = px p1 sin θ = p sin φ ⇒ p1 = p sin φ = py donde hemos usado que θ = 90. Como la energía es E0 = cp0 , el momento p0 será: p0 = E0 /c = 5.344 × 10−23 kg × m/s = px
Las ecuaciones de conservación del momento son:
p0 m0 c h = = 4.469 × 10−23 kg × m/s = py . λ0 + λC (1 − cos θ) m0 c + p0
p1 =
El momento p1 se puede escribir como p1 = h/λ1 ; sustituyendo λ1 en función de λ0 se tiene:
• ¿Cuál es la energía cinética máxima posible de un electrón de retroceso de Compton en términos de la energía hν 0 del fotón incidente y de la energía en reposo del electrón m0 c2 ? (Problema 2.19 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: La ley de conservación de la energía nos dice:
E0 + m0 c2 = E1 + K + m0 c2
por lo que K = E0 − E1 . A partir de la conservación del momento y de la energía relativista se obtiene la relación de Compton λ1 − λ0 = h(1 − cos θ)/m0 c. E0=hν0
-
e
Antes
E1=hν1
-
e
p
E0=cp0 x
-
e
Después
E, p
Figura 7: Energía cinética máxima en el efecto Compton.
La máxima energía se obtiene cuando θ = 180◦ y φ = 0◦ (demuéstrelo), que es la situación que muestra el dibujo (figura 7). En este caso nos da 2h . λ1 − λ0 = m0 c 13
E1 = cp1 = hc/λ1 = hν 1
E0 = cp0 = hc/λ0 = hν 0 .
1/E1 = 2/(m0 c2 ) + 1/E0 =
m0 c2 2hν 0 + m0 c2
¶
.
Dado que K = E0 − E1 , operando se encuentra que: µ K = hν 0 1 −
2E0 + m0 c2 . E0 m0 c2
Sustituyendo en la ecuación que nos daba la diferencia entre las dos longitudes de onda se tiene:
Ahora bien, las energías de los fotones pueden ser expresadas en términos de los momentos como:
• (a) Demostrar que la longitud de onda de corte en la parte baja del espectro continuo de rayos X está dada por λmin = 12.4/V0 Å, donde V0 es el voltaje aplicado expresado en kilovolts. (b) ¿Cuál es la λmin si el voltaje a través de un tubo de rayos X es 186 kV? (Problema 2.21 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: (a) El examen de los datos experimentales ha llevado a la conclusión de que existen dos mecanismos diferentes responsables de la emisión de rayos X. El primero de esos mecanismos de emisión de rayos X son las transiciones de los electrones internos (los más fuertemente ligados) de los átomos. Por tanto, esta radiación presenta unos picos pronunciados en el espectro y se debe a la emisión de radiación por un átomo, que ha sido excitado por un choque. La otra fuente de rayos X (en este caso continua) es el bremsstrahlung o radiación de frenado o desaceleración, que está descrita en la Figura 2-11 del libro: un electrón incidente de energía cinética K es desacelerado durante una colisión con un núcleo pesado y la energía que pierde aparece en forma de radiación, como un fotón de rayos X. Si llamamos K 0 a la energía cinética del electrón después del choque, se tiene que K − K 0 = hν,
donde hν es la energía del fotón emergente. Esta parte del espectro de rayos X es, claro está, continua. El fotón de longitud de onda más corta (o energía más grande) debería emitirse cuando el electrón incidente pierde toda su energía cinética en el proceso de desaceleración, de manera que K 0 = 0, por lo que la expresión inicial se transforma en: hc . K = hν = λmin
La energía adquirida por el electrón al acelerarse mediante la diferencia de potencial V0 aplicada al tubo de rayos X es K = eV0 . Entonces sustituyendo, se podrá escribir: λmin =
hc eV
Por lo tanto, operando tendremos:
λmin =
12.4 Å, V0
donde el voltaje V0 está expresado en kiloVoltios (b) En este caso, utilizando la fórmula anterior λmin = 0.0666 Å.
En el espectro electromagnético los rayos X tienen longitudes de onda entre 10−9 hasta 6 × 10−12 m; la parte baja corresponde por tanto a una longitud de onda de λ = 6 × 10−12 m, tal como se ha obtenido en el apartado (b).
14
p~i Ei + mc2
Nota: algún detalle sobre la teoría subyacente a este problema. En primer lugar, un electrón en movimiento uniforme no puede emitir radiación3 . Pero cuando el electrón atraviesa el intenso (y rápidamente variable) campo eléctrico de un núcleo, es posible la transferencia de momento y energía al núcleo, cumpliéndose las ecuaciones de conservación. Si el núcleo está originalmente en reposo y llamamos p~i al momento lineal del electrón antes de la emisión, p~f a su momento lineal después de la emisión, p~n´ucleo el momento lineal del núcleo después del proceso, las ecuaciones de conservación son = p~f + ~ pn´ucleo + ~ pf ot´on = Ef + En´ucleo + h ¯ ω.
Para más detalles de cómo llegar a la expresión para energía máxima del fotón emitido, puede verse los apartados 4.23-4.25 del libro de Wichmann Física Cuántica, vol.4 del Curso de Física de Berkeley (editorial Reverté).
• (a)¿Cuál es el voltaje mínimo a través de un tubo de rayos X que producirá un rayo X con la longitud de onda de Compton? ¿Y una longitud de onda de 1 Å?
(b) ¿Cuál es el voltaje mínimo necesario a través de un tubo de rayos X si la radiación bremsstrahlung resultante es capaz de producir pares? (Problema 2.22 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: (a) La longitud de onda de Compton es
λC =
h = 0.02426 Å. m0 c
Vimos en el problema anterior (2.21) que K = e V0 = hc/λc = 8.18 × 10−14 J, por lo que despejando el valor de V0 , se obtiene: K = 511 kV. V0 = e Cuando λ = 1 Å, se tendrá igualmente el valor del voltaje mínimo siguiente: c = 1.98 × 10−15 J λ
=⇒
V0 =
K = 12.4 kV. e
K = eV 0 = h
(b) La energía mínima para crear un par electrón-positrón es 2m0 c2 , por lo que K = eV0 = 2m0 c2 = 1.63 × 10−13 J
y así, V0 = K/e = 2m0 c2 /e = 1.02 × 106 V.
• Se produce un par positrón-electrón al chocar un fotón con un núcleo. El positrón está en reposo y el electrón tiene una energía cinética de 1.0 MeV moviéndose en la dirección de vuelo del fotón productor. (a) Despreciando la energía transferida al núcleo del átomo cercano, encuentre la energía del fotón incidente.
(b) ¿Qué porcentaje del impulso del fotón se transfiere al núcleo? (Problema 2.25 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: La conservación de la energía relativista total es hν = E− + E+ = 2mo c2 + K− + K+ .
Si el positrón que resulta se queda en reposo, K+ = 0, y la energía cinética del electrón es K− = 1 MeV, entonces la energía del fotón incidente es hν = 2.02 MeV. 3 Esto se ve con facilidad usando el sistema de referencia en que el electrón esté en reposo antes de cualquier emisión que pudiera producirse: en ese sistema la energía total es mc2 y la emisión de un fotón no conservaría la energía total.
15
1 c
q 2 + 2K m c2 . K− − o
pe =
La conservación del impulso viene dado por hν/c = pe +P , donde hν/c es el momento del fotón incidente, pe es el impulso del electrón resultante, y P el impulso transferido al núcleo (el impulso del positrón es ¢2 ¡ lógicamente cero). El impulso del electrón viene dado por la expresión relativista, Ee2 = c2 p2e + mo c2 = ¢ ¡ 2 K− + mo c2 . Entonces
3
Problemas de los temas 3 y 4. • Una bala de 40 gramos viaja a 1000 m/seg.
(a) ¿Qué longitud de onda se le puede asociar?
Sustituyendo valores se obtiene pe = 1.42 MeV/c y hν/c = 2.02 MeV/c. Entonces el porcentaje de momento transferido al núcleo es (hν/c − pe )/(hν/c) que da un resultado del 29.7%.
(b) ¿Por qué no se revela la naturaleza ondulatoria de la bala por medio de efectos de difracción? (Problema 3.1 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: (a) La longitud de onda asociada a la bala se puede escribir como4 : λ=
h h = = 1.66 × 10−35 m = 1.66 × 10−25 Å. p mv
(b) Los efectos de la difracción son despreciables cuando λ/a tiene a cero, siendo a la dimensión característica de la rendija. Sin embargo, los comportamientos ondulatorios son observables si λ/a es del orden de uno. Para utilizar una rejilla de difracción, el valor típico de a en física atómica y sólidos (distancia interatómica) es alrededor de 1 Å. En ese caso, utilizando a = 1 Å, resulta que λ/a es de orden de 10−25 , con lo que será imposible ver efectos de difracción.
• La longitud de onda de emisión amarilla del sodio es 5890 Å. ¿Qué energía cinética tendría un electrón con una longitud de onda de De Broglie igual? (Problema 3.2 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: La longitud de onda, en función del momento, viene dada por la expresión λ = h/p. Si suponemos que la dinámica del electrón es no relativista, entonces la energía cinética es K = mv 2 /2, podemos reescribir esta energía cinética en función de λ:
1 p2 = K= 2m 2m
µ ¶2 h ' 4 × 10−6 eV, λ
que es una cantidad pequeña.5
• Sea una partícula libre que se mueve en una dimensión. Supongamos que la imprecisión en su localización es ∆x. Encontrar una imprecisión en la medida del tiempo de manera que se verifique que ∆E · ∆t > ¯h.
Sea una partícula libre, cuya imprecisión en la posición es aproximadamente ∆x (vea la figura 8; el paquete de ondas tiene una anchura aproximada de 2∆x). La imprecisión en el momento lineal la llamamos ∆p y, de acuerdo con el principio de incertidumbre, cumple que: ∆p ∆x ≥ ¯ h/2.
velocidad de la bala es aproximadamente del orden de 10−5 c. importante: Dado que la velocidad de un electrón con esta longitud de onda es v ≈ h/(me λ) ' 1.2 × 103 m << c, está justificado no haber tomado en cuenta aproximaciones relativistas
4 La
5 Nota
s−1
16
∆x Figura 8: Paquete de ondas de una partícula libre.
Como la posición de la partícula se conoce con una imprecisión ∆x, y la velocidad de grupo es v, el tiempo ∆t que debe ser observada la partícula al pasar por una posición determinada es entonces ∆t ∼ 2∆x/v, que podemos considerar como la imprecisión en la medida del tiempo. Veamos que se verifica la relación ∆E · ∆t > ¯ h. Dado que la partícula es libre, la energía total de la partícula E es igual a su energía cinética. Entonces la imprecisión en la energía es E= Como el momento es p = mv, tendremos
p2 2m
∆E ∆t ≈
⇒
∆E =
p∆p . m
p∆p 2∆x ≈ 2∆p ∆x > ¯ h. m v
• Un electrón y un fotón tiene cada uno una longitud de onda de 2.0 Å.¿ Cuáles son sus impulsos y energías totales? Compare las energías cinéticas del fotón y el electrón. (Problema 3.3 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución: Como λ = h/p, despejando el momento de esta ecuación, se obtiene:
h = 3.31 × 10−24 kg × m/s, λ que es el impulso para cada una de las dos partículas. La energía del fotón es E = cp = 9.93 × 10−16 J= 6200 eV, mientras que la energía total relativista del electrón es: q Ee = m20 c4 + c2 p2 = 512 keV.
p=
La energía cinética del fotón es 6200 eV, puesto que E = K + m0 c2 y su masa en reposo es m0 = 0. Para calcular la energía cinética del electrón, no utilizaremos la fórmula relativista, ya que el término cp es mucho menor que el término m0 c2 y por tanto m0 c2 ' Ee . Podemos obtener su energía cinética mediante la expresión clásica, p2 = 37.6 eV. K= 2m Note que la energía cinética del fotón es mucho mayor que la energía cinética del electrón (en realidad, esto lo único que refleja es que cualquier fotón debe ser tratado relativísticamente).
• Un neutrón térmico tiene una energía cinética de (3/2)kB T donde T es la temperatura ambiente (300 0 K). Tales neutrones están en equilibrio térmico. (a) ¿Cuál es la energía en electrón-volts de un neutrón térmico? (b) ¿Cuál será su longitud de onda de De Broglie? (Problema 3.4 del libro de Eisberg y Resnick) 17
3 K = kB T = 0.0388 eV, 2
donde kB es la constante de Boltzmann cuyo valor es kB = 1.38 × 10−23 J /K. Entonces:
Solución: (a) La energía cinética media es idéntica a la de las moléculas de un gas ideal a la misma temperatura:
E = K = 0.0388 eV. (b) Como
p2 h2 1 = K = mv2 = 2 2mn 2mλ2 donde hemos usado que p = h/λ. La masa del neutrón es mn = 1.675 × 10−27 kg, por lo que podemos escribir: h λ= √ = 1.45 Å. 2mK
Nota: Dado que la separación de los planos de un cristal puede ser de ese orden (por ejemplo para el ClNa es d = 2.82 Å) vemos que haciendo incidir un haz de neutrones procedentes de un reactor nuclear (con un amplio rango de energías) en un cristal, el cristal actúa como monocromador: los neutrones que se observan en la dirección de salida tienen energía bien definida, que corresponde a la longitud de onda dada por la condición de Bragg (ecuación 3-3 del libro de Eisberg y Resnick). Este haz de neutrones es monocromático y puede utilizarse, a su vez, para estudiar otros materiales o para el análisis de reacciones nucleares con neutrones.
• Supongamos una partícula de masa en reposo m0 y carga e moviéndose libremente a velocidades relativistas, habiendo sido acelerada previamente por un potencial de aceleración V . Demuestre que su longitud de onda de De Broglie viene dada por µ ¶−1/2 h e V √ λ= 1+ , 2m0 c2 2m0 eV
donde e es la carga, y la masa en reposo de la partícula.
Demuestre que la expresión anterior concuerda con la relación de De Broglie, λ = h/p, en el límite no relativista. (Problema 3.5 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: La energía total se escribe como
E = m0 c2 + K =
q m20 c4 + c2 p2 = m0 c2 + e V.
Elevando al cuadrado ambos miembros de la anterior expresión, obtenemos: m20 c4 + (eV )2 + 2m0 c2 eV = m20 c4 + c2 p2 ,
de donde podemos despejar el valor de p2 como: p2 =
2m0 c2 eV + (e V )2 . c2
Por otra parte, como λ = h/p, sustituyendo en la expresión anterior y despejando λ, se tiene finalmente: h λ= √ 2m0 eV
· 1+
eV 2m0 c2
¸−1/2
.
En el límite no relativista, e V = K = (1/2) mv2 y la energía m0 c2 es muy grande comparada con K = e V , luego el quebrado del paréntesis se hace prácticamente cero, de donde se deduce que: h , λ= √ 2m0 K 18
√ que es la expresión no relativista, donde p = 2m0 K. Note que la relación de De Broglie es válida tanto para la mecánica relativista como para la no relativista. En el texto se obtiene la ecuación de Schrödinger usando tanto dicha relación como la energía total no relativista (E = p2 /2m + V ), además de otras condiciones: por tanto la ecuación de Schrödinger es sólo válida en el límite no relativista.
• Determine la energía, en electrón-volts, para la cual la expresión no relativista para la longitud de onda de De Broglie dará un error de un uno por ciento, para (a) un electrón (b) un neutrón. (Problema 3.6 del libro de Eisberg y Resnick)
h h = . λnr = √ p 2m0 K
Solución: Como vimos en el problema anterior, en el caso no relativista, la longitud de onda de De Broglie es:
Para el caso relativista, y utilizando el resultado del problema (3.5), sabemos que la longitud de onda de De Broglie era: µ ¶−1/2 eV h 1+ λr = √ . 2m0 c2 2m0 eV Para calcular la energía cinética a partir de la cual se deben utilizar expresiones relativistas, expresamos el cociente entre ambas longitudes de onda como: r K λnr = 1+ . λr 2m0 c2 En el caso del enunciado, el error máximo permitido es λnr − λr = 0.01λr , con lo que λnr = 1.01λr . Como me c2 = 0.511 MeV para un electrón y mn c2 = 939.6 MeV para el neutrón, se obtienen los valores: Kn = 37.77 MeV.
Ke = 20.5 keV
• La distancia entre los planos principales de un cristal de cloruro de potasio es 3.14 Å (esto quiere decir que los planos cristalinos más separados del cristal lo están por dicha distancia). Para una reflexión de Bragg de primer orden en estos planos, compare el ángulo de reflexión en el caso (a) de usar electrones con energía cinética de 40 keV
(b) y en el caso de que se usen fotones de 40 keV. (Problema 3.11 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: (a) De acuerdo con la ley de Bragg, las ondas se reflejan por los planos cristalinos como por un espejo, si se satisface la condición de Bragg nλ = 2d sin ϕ,
donde n es un entero que nos da el orden de la difracción, d = 3.14 Å y ϕ es el ángulo que forma la dirección de la onda incidente con el plano cristalino. Por lo tanto, para primer orden tendremos la siguiente ecuación: λ = 2d sin ϕ.
Además, como vimos en el problema 3.6, la expresión para la longitud de onda de una partícula material era: · ¸−1/2 eV h 1+ . λ= √ 2m0 c2 2m0 eV
19
· 1+
h λ= √ 2m0 eV
eV 2m0 c2
¸−1/2
Al igualarla a 2d sin ϕ tendremos que = 2d sin ϕ,
de donde podemos despejar el valor del seno de ϕ
sin ϕ = 9.57892 × 10−3 =⇒ ϕ = 0.54880
λ=
hc E
e igualando esta expresión a la ecuación inicial para n = 1, tendremos:
Despejando sin ϕ, nos queda:
hc . E
2d sin ϕ =
para electrones, donde se ha tomado me c2 = 0.511 MeV. (b) Para los fotones, se tiene E = hν, con lo que la longitud de onda correspondiente será:
sin ϕ = 0.04935 =⇒ ϕ = 2.8290 .
La relación entre ambos ángulos vendrá dada por el cociente entre dichos ángulos, que vale 5.15.
• Supongamos que la indeterminación en la longitud de onda de un fotón es ∆λ/λ = 10−7 . ¿Cuál es el valor medido simultáneamente de ∆x en los siguientes casos? (a) λ = 5.0 × 10−4 Å (rayos γ)
(b) λ = 5.00 Å (rayos X)
(c) λ = 5.0 × 103 Å (luz visible) (Problema 3.16 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: La relación de incertidumbre se puede reescribir para una partícula como:
∆λ ∆x ≥
λ2 4π
(véase problema 3.15). Dividiendo ambos lados de la igualdad por λ, tenemos: λ ∆λ ∆x ≥ λ 4π
En el caso en que ∆λ/λ = 10−7 , (a) Rayos γ:
10−7 ∆x ≥
5 × 10−4 =⇒ ∆x = 398 Å 4π
(b) Rayos X
10−7 ∆x ≥
5.0 =⇒ ∆x = 0.398 mm 4π
(c) Luz visible
10−7 ∆x ≥
5 × 103 =⇒ ∆x = 0.398 m 4π
• Demuestre que si la incertidumbre en la posición de una partícula, es aproximadamente igual a su longitud de onda de De Broglie, entonces la incertidumbre en su velocidad es aproximadamente igual a su velocidad. (Problema 3.19 del libro de Eisberg y Resnick)
20
Solución: Según el enunciado, supongamos que ∆x ≈ λ. La relación entre longitud de onda y momento viene dada por h = pλ. Si escribimos p = mv, entonces ∆p = m∆v, y al sustituir en la ecuación del principio de incertidumbre, tendremos: pλ . ∆p ∆x = m∆v ∆x ≥ 4π Si operamos se tiene que: v , ∆v ≥ 4π que nos dice que ∆v ≈ v.
• (a) Considere un electrón cuya posición está en algún lugar de un átomo de 1 Å de diámetro. ¿Cuál es la incertidumbre en el impulso del electrón? ¿Es esto consistente con la energía de ligadura de electrones en átomos? (b) Imagine que un electrón se encuentra en algún lugar dentro de un núcleo de diámetro 10−12 cm. ¿Cuál será la incertidumbre en el impulso del electrón?
(c) Considere ahora un protón o un neutrón en ese núcleo. ¿Cuál será la incertidumbre en el impulso del neutrón o del protón? ¿Es esto consistente con la energía de ligadura de los constituyentes nucleares? (Problema 3.22 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: (a) El principio de incertidumbre nos dice que:
∆p ∆x ≥ h/4π =⇒ ∆p = 5.27 × 10−25 kg × m/s
donde hemos usado que ∆x = 1 Å. Por otra parte, dado que el electrón está en un sistema ligado (y, por tanto, que el electrón está confinado en una región finita del espacio) podemos pensar que el valor medio del momento es nulo y que, por ello, el valor de la energía cinética del electrón viene dado por el cuadrado de la incertidumbre del momento K≈
(∆p)2 = 0.95 eV, 2me
donde hemos utilizado la expresión clásica, dado que p ¿ m0 c. Nótese que la energía de ligadura del electrón en el átomo es del mismo orden que K (como demuestra el teorema del virial) por lo que la incertidumbre del impulso del electrón es consistente con que los átomos liguen electrones. (b) En el caso de que el electrón esté confinado a un núcleo, la incertidumbre del momento será ∆p ≥
h h = = 5.27 × 10−21 kg × m/s. ∆x4π 4 × 10−14 π
Utilizando el mismo argumento que antes, pero usando en este caso la energía cinética relativista y la masa m0 del electrón, q q E = m0 c2 + K = m20 c4 + c2 p2 =⇒ K ≈ m20 c4 + c2 (∆p)2 − m0 c2 = 9.37 MeV. (c) En este caso hay que usar la masa del protón (o del neutrón), que es mp = 1.675 × 10−27 kg. Por tanto la energía cinética nos queda (∆p)2 = 0.052 MeV. K≈ 2mp
La energía que liga las partículas nucleares es del orden de algunos MeV. En el resultado del apartado (b) se observa que la energía cinética del electrón en una región restringida del tamaño de un núcleo es mayor que dicha energía de ligadura, por lo que es muy difícil que el electrón se encuentre en el núcleo en un estado ligado. En el apartado (a) el valor de la energía cinética es menor, pero del mismo orden de magnitud, que la energía de ligadura (que es la energía de ionización, 13.6 eV), por lo que el electrón puede permanecer en una región del espacio de un tamaño del orden de un radio atómico en un estado ligado; por eso no hay ninguna inconsistencia. Ese mismo razonamiento se aplica al apartado (c), lo que justifica que en el núcleo haya protones y neutrones, pero no electrones.
21
• La vida media de un estado excitado de un núcleo es, generalmente, 10−12 s. ¿Cuál será la incertidumbre en la energía del fotón de rayos γ emitido? (Problema 3.23 del libro de Eisberg y Resnick)
4
Problemas de los temas 5 y 6.
Solución: Como ∆E ∆t ≥ h/4π, podemos estimar ∆t mediante la vida media del estado excitado, τ = 10−12 s, y así escribir: h = 3.291 × 10−4 eV. ∆E ≥ 4πτ Comentario: la energía de los estados ligados nucleares es del orden de varios MeV y las diferencias típicas entre esas energías son mayores que 10−3 MeV = 103 eV. Por eso, los núcleos en estados excitados realizan transiciones a su estado base emitiendo fotones de una energía superior a esos 103 eV, por tanto emiten rayos X o γ. La incertidumbre encontrada, del orden de 10−4 eV, es pues muy pequeña.
Solución: Si E = hν, h = E/ν, por lo tanto, [h] =
• Demostrar que la constante de Planck tiene dimensiones de impulso angular. (Problema 4.11 del libro de Eisberg y Resnick)
J [E] = −1 = J-s = kg m/s2 m s = kg m2 /s. s [ν]
Si L = mvr, siendo L el impulso angular, tendremos de igual manera: [L] = kg (m/s) m=kg m2 /s resultado que coincide con el correspondiente a h.
• ¿Cuáles son la energía, el impulso y la longitud de onda de un fotón emitido por un átomo de hidrógeno que sufre una transición directa desde un estado excitado con n = 10 al estado fundamental o estado base, con n = 1? Encontrar la velocidad de retroceso del átomo de hidrógeno en este proceso. (Problema 4.16 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: A partir de la energía del nivel n podemos encontrar la expresión para la energía del fotón emitido: En = −
13.6 =⇒ ∆E = Ei − Ef = E10 − E1 = 13.464 eV, n2
que es la energía pedida. Como ∆E = hν = h λc = cp, se deducen el momento lineal y la longitud de onda del fotón emitido: h 13.464 E = = 7.2 × 10−27 kg.m/s =⇒ λ = = 920.8 Å p= c c p
La conservación del momento se expresa como, dado que el fotón está emitido por un átomo que inicialmente suponemos en reposo, pa´tomo +
E ∆E E = MH v + = 0 =⇒ v = − . c c cMH
Como MH = 1.672 × 10−27 kg, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos la velocidad de retroceso del átomo |v| = 4.30 m/s.
22
• (a) Demuestre que cuando se tiene en cuenta la energía cinética de retroceso del átomo, P 2 /2M (P es el momento transferido al núcleo y M es la masa del núcleo) la frecuencia de un fotón emitido en una transición entre dos niveles atómicos cuya diferencia de energía es ∆E se reduce por un factor que es aproximadamente (1 − ∆E/2M c2 ).
(b) Compare la longitud de onda de luz emitida cuando un átomo de hidrógeno sufre una transición 3 → 1, teniendo en cuenta el retroceso y sin tenerlo en cuenta. (Problema 4.24 del libro de Eisberg y Resnick)
h2 ν 2 P2 = hν o − 2M 2M c2
=⇒
νo + νox = νo −
hν 2o (1 + x)2 . 2Mc2
hν o (1 + x) = ∆E −
Solución: (a) Llamemos hν o = ∆E = Ei −Ef a la energía de un fotón emitido en una transición sin tener en cuenta el retroceso del átomo. Si se tiene en cuenta la energía cinética transmitida al núcleo, la energía del fotón emitido será distinta: hν = ∆E − P 2 /(2M), donde M es la masa del núcleo. La conservación del momento exige que el momento de dicho fotón sea igual al momento transferido al núcleo, hν/c = P . Suponiendo que la corrección de la frecuencia x, es muy pequeña | x |<< 1, escribimos la frecuencia como ν = ν o (1 + x); sustituyendo en las expresiones anteriores se obtiene:
Despreciando el término de orden superior, x2 (dado que | x |<< 1) nos queda, hν 2o −hν 2o − 2x νox ∼ = 2Mc2 2M c2 con lo que podemos escribir
=⇒
x=−
µ ν∼ = νo 1 −
1 ∆E hν o , =− 2 2 M c + hν o 2(Mc2 + ∆E)
∆E 2(Mc2 + ∆E)
¶
,
que es la expresión del enunciado si Mc2 À ∆E. Dado que M c2 = 938.3 MeV, se satisface en efecto que Mc2 À ∆E. (b) En el caso de una transición en el átomo de hidrógeno 3 → 1, el modelo de Bohr predice una diferencia de energías entre dichos niveles: ∆E = E3 − E1 = −13.6(1/n2f − 1/n2i ) eV= 12.1 eV (vea el ejemplo 4-6 del libro de Eisberg y Resnick). Dado que ν 0 = ∆E/h, el valor de la longitud de onda del fotón emitido es λo = c/ν 0 = 1025.7 Å. La corrección de la longitud de onda debida al retroceso es muy pequeña,
∆E c/ν 1 λ ∼ = = = 1 + 6.5 × 10−9 . =1+ 2 λ o c/ν o 1 − ∆E/(2M c ) 2M c2
• Suponga que el impulso angular de la Tierra, debido a su movimiento alrededor de Sol con un radio de R = 1.5 × 1011 m, está cuantizado según la relación de Bohr L = nh/2π. ¿Cuál es el valor del número cuántico n? ¿Podría detectarse esta cuantización? Nota: tómese la masa de la Tierra igual a 6.0 × 1024 kg. (Problema 4.35 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución: (a) Suponiendo que el movimiento es circular, el momento angular L, tiene la siguiente expresión: L = mvR = mR2 ω =
nh , 2π
siendo v la velocidad lineal de la Tierra y ω su velocidad angular constante, v = ωR. Si ahora suponemos que ω = 2πν = 2π/T , donde T es el periodo de rotación de la Tierra (un año), y sustituyendo en la primera ecuación se tiene: 4π2 R2 m = 2.55 × 1074 . n= hT (b) Al ser el número cuántico tan elevado no podría detectarse la cuantización y estaríamos en el límite clásico.
23
• Utilice las reglas de cuantización de Wilson-Sommerfeld para calcular los niveles de energía y el espectro de emisión de una partícula de masa m que se mueve dentro de una caja rectangular de lado a y que choca elásticamente con las paredes (considere el problema unidimensional)
`
px
`
p0
Solución: Supongamos que la partícula se mueve con momento ±p0 entre las paredes de la caja. Clásicamente, la partícula podría moverse con cualquier velocidad, por lo que los espectros de impulso y energía serían continuos; veremos que la solución cuántica genera espectros discretos para ambas variables. La figura 9 clarifica el cálculo de la integral de fase para el movimiento de la partícula dentro de la caja, que resulta ser: I I dx = 2ap0 L = px dx = p0
x
-p 0
x=a
x=0
Espacio de las fases
Caja
Figura 9: Izquierda: caja de potencial. Derecha: espacio de las fases de una partícula en la caja.
Por otro lado, las reglas de cuantización nos dicen que L = 2π¯ hn. Igualando ambas expresiones y despejando, queda π¯ h n. p0 = a La energía de la partícula es π2 ¯ p2 h2 2 E= 0 = n . 2m 2ma2 El espectro de emisión también es discreto, con frecuencias ω n2 →n1 =
π2 ¯ h 2 (n − n21 ), 2ma2 2
con n2 > n1 .
En el caso de grandes números cuánticos, podemos escribir la siguiente expresión aproximada, obtenida haciendo n22 − n21 = (n1 + n2 )(n2 − n1 ) ≈ 2n∆n:
π2 ¯ πp h ∆n, n∆n = 2 ma ma en donde ∆n puede tener cualquier valor entero mayor que cero. Para comparar este resultado con la frecuencia clásica que caracteriza al movimiento periódico dentro de la caja, notamos que el periodo fundamental de este movimiento es T = 2a/v0 , donde v = p0 /m. Por tanto, se tendrá: ω n→n+∆n ≈
ωc =
πv0 πp0 2π = = , T a ma 24
de manera que las frecuencias de emisión son las armónicas de ω c :
ω n,∆n = ω c ∆n.
• Haga lo mismo que en problema anterior, pero para un oscilador armónico unidimensional. Solución: El diagrama en el espacio de las fases es el representado en la figura 10
b
x
a
px
0
Figura 10: Espacio de las fases de una oscilador armónico. La energía asociada a un oscilador armónico tiene la expresión: E=
p2x 1 + mω 20 x2 . 2m 2
Dividiendo esta ecuación por el valor de la energía E, obtenemos en el espacio de fases (x, px ) la ecuación de una elipse (ver figura 10): x2 p2x + 2 = 1, a2 b p √ en donde a = 2E/m/ω 0 y b = 2mE. Por lo tanto, de las reglas de cuantización se sigue que: I 2πE = 2π¯ hn =⇒ E = n¯ hω 0 L = px dx = abπ = ω0 que es la regla de cuantización de la energía y coincide con la hipótesis de Planck. El espectro de radiación es ω ∆n = ω 0 ∆n.
Vemos que, igual que en el caso anterior, si tomamos ∆n = 1 el espectro de emisión cuántico se reduce al clásico (clásicamente, un oscilador armónico cargado emite radiación cuya única frecuencia es igual a la frecuencia de vibración del oscilador). Si ∆n 6= 1 entonces la frecuencia de emisión cuántica resulta ser un múltiplo de la clásica.
Problemas del tema 7.
• (a) Determinar la frecuencia ν de la parte dependiente del tiempo de la función de onda para el estado de energía más bajo de un oscilador armónico simple. Ã √ ! Ã r ! Cm 2 C ψ(x, t) = A exp − x exp −i/2 t 2¯ h m
5
25
(b) Utilice este valor de ν y la relación de De Broglie-Einstein E = hν para evaluar la energía total E del oscilador. (c) Utilice estepvalor de E para demostrar que los límites del movimiento clásico del h1/2 /(Cm)1/4 (Problema 5.3 del libro oscilador x = ± 2E/C se pueden escribir como x = ±¯ de Eisberg y Resnick).
donde hemos escrito
r 1 C =⇒ ν = . 4π m p (b) Como la energía total de la partícula E = hν = (h/4π) C/m, se tendrá: r h C ¯ . E= 2 m ¡ ¢2 1 2 (c) En el caso clásico, la conservación de la energía nos dice que E = 12 m dx + 2 Cx . Como E = dt (1/2) Cx2max,min , los puntos en los que la energía potencial se hace igual a la total son: r 1 h2 ¯ 2E =± . xmax,min = ± C (Cm)1/4 C m
1 ω= 2
r
Solución: (a) Sea una partícula de masa m ligada en el potencial de oscilador armónico simple V (x) = 12 Cx2 , donde C es la constante restauradora lineal. Como sabemos, eiθ = cos θ + i sin θ, por lo tanto, podemos escribir el término dependiente del tiempo como à r ! C t = cos ωt − i sin ωt, exp −i/2 m
• (a) Verificar que la función de onda µ ¶ 2πx iEt Ψ(x, t) = A sin ) para −a/2 < x < a/2 exp(− a ¯ h Ψ(x, t) = 0 cuando x < −a/2 o x > +a/2
es una solución a la ecuación de Schrödinger en la región −a/2 < x < a/2 para una partícula que se mueve libremente a través de la región, pero que se encuentra estrictamente confinada en ella.
(b) Determine también el valor de la energía total E de la partícula en dicho estado, que es el primer estado excitado del sistema y compárela con la energía total del estado base o fundamental E1 = π 2 ¯h2 /2ma2 . (Problema 5.9 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: (a) y (b) Si en la región no hay fuerzas que actúen sobre la partícula, la energía potencial V (x) se puede tomar como cero. Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger se escribe como −
¯ 2 ∂ 2 Ψ(x, t) h ∂Ψ(x, t) . = i¯ h 2m ∂x2 ∂t
∂Ψ(x, t) ∂x ∂ 2 Ψ(x, t) ∂x2
2π iEt A cos(2πx/a) e− h¯ a 2π 2π iEt A sin(2πx/a) e− h¯ . = − a a
=
Sustituyendo Ψ(x, t) por la función del enunciado, tenemos
Operando se obtiene la siguiente expresión i iEt iEt ¯2 h h A (2π/a)2 sin(2πx/a) e− h¯ = E A sin(2πx/a) e− h¯ 2m 26
=⇒
¯2 h E= 2m
µ
2π a
¶2
=
2¯ h2 π2 . ma2
La energía del estado fundamental es: E . 4 Sugerencia: Realice el problema 5.15 del libro de Eisberg y Resnick.
h2 /2ma2 = E1 = π 2 ¯
• Demostrar por sustitución directa en la ecuación de Schrödinger que la función de onda Ψ(x, t) = ψ(x) e−iEt/¯h
satisface la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo si la autofunción ψ(x) satisface la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un potencial V (x). (Problema 5.16 del libro de Eisberg y Resnick) Solución: La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es
∂Ψ(x, t) ¯ 2 ∂ 2 Ψ(x, t) h . + V (x)Ψ(x, t) = i¯ h 2m ∂x2 ∂t
Sustituyendo la función de onda
−
Ψ(x, t) = ψ(x) e−iEt/¯h
tendremos
∂Ψ(x, t) ∂x ∂ 2 Ψ(x, t) ∂x2 ∂Ψ(x, t) ∂t con lo que −
∂ψ(x) ∂x 2 ∂ ψ(x) = e−iEt/¯h 2 µ ∂x ¶ iE = ψ(x) − e−iEt/¯h , h ¯
= e−iEt/¯h
¯ 2 ∂ 2 ψ(x) −iEt/¯h h e + V (x)ψ(x) e−iEt/¯h = ψ(x)(i¯ h) 2m ∂x2
µ ¶ iE − e−iEt/¯h . h ¯
El término exp (−iEt/¯h) puede eliminarse, y la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es ¯ 2 ∂ 2 ψ(x) h + V (x)ψ(x) = Eψ(x). 2m ∂x2
−
Comentario: Los estados en los que la energía tiene valores bien determinados se llaman estados estacionarios del sistema. Estos estados se describen mediante funciones de onda que son funciones propias del operador de Hamilton, es decir, que satisfacen la ecuación (de Schrödinger independiente del tiempo) Hop Ψn = En Ψn , donde En son los valores propios de la energía. Además, este estado estacionario debe ser solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo,
Hop Ψn = i¯h
∂Ψn (x, t) = En Ψn (x, t). ∂t
Si el operador Hop es independiente del tiempo (para la energía sea una constante) entonces la ecuación anterior puede integrarse respecto del tiempo de manera directa mediante separación de variables, dando lugar a Ψn (x, t) = ψn (x) e−iEn t/¯h ,
donde ψn (x) sólo depende de la coordenada espacial (ver apartados 5.4 y 5.5 del libro de Eisberg y Resnick).
• Sean Ψ1 (x, t) y Ψ2 (x, t) las dos primeras funciones de onda normalizadas para una partícula que se mueve libremente en una región de longitud L , pero estrictamente confinada a esa región. Construyendo la combinación lineal Ψ(x, t) = c1 Ψ1 (x, t) + c2 Ψ2 (x, t), derive una relación que incluya las constantes c1 y c2 de manera que se asegure que Ψ(x, t) también esté normalizada. Utilizando la función de onda Ψ(x, t) = c1 Ψ1 (x, t) + c2 Ψ2 (x, t), calcule el valor esperado o de expectación de la energía total E de la partícula en términos de las energías E1 y E2 de los dos estados y de los valores c1 y c2 . (Problemas 5.33 y 5.34 del libro de Eisberg y Resnick) 27
−L/2
Solución: La condición de normalización de la función Ψ(x, t) = c1 Ψ1 (x, t) + c2 Ψ2 (x, t) se escribe como Z +L/2 [c∗1 Ψ∗1 (x, t) + c∗2 Ψ∗2 (x, t)] [c1 Ψ1 (x, t) + c2 Ψ2 (x, t)] dx. 1=
Como sabemos que las funciones de onda correspondientes a las partículas de energías E1 y E2 son de la forma ψ1 (x)e−iE1 t/¯h y ψ2 (x)e−iE2 t/¯h y, dado que Ψ1 (x, t) y Ψ2 (x, t) están normalizadas, la ecuación anterior nos queda Z +L/2 Z +L/2 ∗ 2 2 ∗ −i(E2 −E1 )t/¯ h ∗ i(E2 −E1 )t/¯ h ψ 1 (x)ψ2 (x)dx + c2 c1 e ψ∗2 (x)ψ1 (x)dx. 1 =| c1 | + | c2 | +c1 c2 e −L/2
−L/2
−L/2
−L/2
Sabemos también que las funciones de onda correspondientes a partículas en una caja son ortogonales (vea el problema 6-26 del Eisberg y Resnick), entonces Z +L/2 Z +L/2 ∗ ψ1 (x)ψ2 (x)dx = 0, ψ∗2 (x)ψ1 (x)dx = 0,
y la relación pedida es 1 =| c1 |2 + | c2 |2 . El valor esperado de la energía es el correspondiente al valor medio del operador cuántico asociado a la energía, Z +L/2 ∂ E = i¯h [c∗1 Ψ∗1 (x, t) + c∗2 Ψ∗2 (x, t)] [c1 Ψ1 (x, t) + c2 Ψ2 (x, t)] dx ∂t −L/2 Z +L/2 = [c∗1 Ψ∗1 (x, t) + c∗2 Ψ∗2 (x, t)] [c1 E1 Ψ1 (x, t) + c2 E2 Ψ2 (x, t)] dx −L/2
y obtenemos
E =| c1 |2 E1 + | c2 |2 E2 .
Sugerencia: calcule el valor esperado de la variable x. ¿Depende este valor del tiempo?
• Estudiar el comportamiento asintótico de la función de onda de un problema unidimensional bajo la hipótesis de que V (x) tiende a una constante finita cuando x → ±∞. (Nótese que esta condición corresponde a la situación física real). Dar una interpretación física al resultado.
Solución: Basta estudiar el caso x → ∞, pues para x → −∞ la situación es enteramente análoga. Llamemos V∞ al valor de V (x) en el infinito; dado un valor de E pueden ocurrir dos casos, según sea el signo de E − V∞ ; estudiaremos cada uno por separado. (a) E < V∞ . En la región asintótica podemos aproximar la ecuación de Schrödinger mediante la ecuación ψ00 − q 2 ψ = 0,
en donde q es esencialmente una constante con valor dado por q2 =
2m (V∞ − E). h2 ¯
Las soluciones generales de la ecuación diferencial dada son las exponenciales eqx y e−qx . Para que la solución sea finita para x → ∞, debemos escoger la solución e−qx , esto es, una exponencial decreciente. Este resultado se puede interpretar geométricamente notando que si ψ > 0, también ψ00 = q 2 ψ > 0, y la curva de ψ resulta cóncava hacia arriba; análogamente si ψ es negativa la curva es cóncava hacia abajo. Las exponenciales poseen evidentemente estas propiedades (su pendiente crece o decrece monótonamente). (b) E > V∞ . Procediendo como en el caso anterior, aproximamos la ecuación de Schrödinger en la región asintótica mediante la expresión ψ00 + k2 ψ = 0, en donde la constante k se determina de la expresión k2 =
2m (−V∞ + E) > 0. ¯h2 28
ψ (x)
ψ(x)
-q 2eqx
eqx
ψ ''(x) -q 2e-qx
ψ (x)
ψ>0 ψ ´<0
x
e-qx
x
ψ<0 ψ ´>0
E>V `
Figura 11: Comportamientos asintóticos.
Las soluciones de esta ecuación son funciones periódicas de la forma general A cos(kx + θ). Podemos interpretar geométricamente el resultado notando que en este caso, ψ 00 = −k2 ψ > 0; por lo tanto, cuando ψ es positiva, ψ00 es negativa y ψ tiende a decrecer hasta hacerse negativa, pero cuando ψ es negativa, ψ00 es positiva y ψ tiende a crecer, hasta hacerse positiva; esto produce oscilaciones acotadas. Nota: En el caso más realista, k será una función que varía lentamente en vez de una constante (pues el potencial es una función de la coordenada x) y eso modifica los detalles (la longitud de onda de De Broglie varía con la posición) pero no las conclusiones generales.
• Demostrar que cuanto mayor sea el número de nodos de una autofunción, mayor es su energía y viceversa.
Solución: Consideremos dos autofunciones, ψ 1 y ψ2 , que se intersectan en un punto P. El valor de la energía potencial en P es VP . Supongamos que ψ2 tiene un número mayor de nodos que ψ1 . Dado que ambas funciones satisfacen la ecuación de Schrödinger podemos escribir ψ001 + (E1 − VP )ψ1 = 0
ψ002 + (E2 − VP )ψ2 = 0.
Como en el punto P la autofunción ψ2 tiene mayor curvatura que ψ1 , se cumple que ¯ 00 ¯ ¯ 00 ¯ ¯ψ2 ¯ > ¯ψ1 ¯ =⇒ |(E2 − VP )ψ2 | > |(E1 − VP )ψ1 | .
Además, como ψ1 y ψ2 toman el mismo valor en P, la desigualdad anterior se reduce a E2 > E1 . Como esto mismo habrá de suceder en cualquier punto de intersección P, tenemos el resultado solicitado.
Problemas de los temas 8 y 9.
• Considere la región interior de un pozo de potencial cuadrado finito. Verifique por sustitución que la solución general de ondas estacionarias satisface la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. (Problema 6.11 del libro de Eisberg y Resnick)
6
Solución:
29
V (x) =
½
V0 0
x < a2 o x > − a2 < x < a2
a 2
¯ 2 d2 ψ(x) h = E ψ(x). 2m dx2 La solución general de ondas planas estacionarias es: −
ψ(x) = A0 sin kx + B 0 cos kx
para − a/2 < x < a/2
Para sustituir ψ(x) en la ecuación de Schrödinger calculamos sus derivadas,
d2 ψ(x) = −A0 k2 sin kx − B 0 k2 cos kx = −k2 ψ(x) dx2
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, en la región interior del pozo es:
Sea el pozo de potencial
Vemos que para que ψ(x) sea una solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se requiere que el vector de onda k sea: ¯2 2 h k = E. 2m Entonces, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo posee soluciones cuya forma es la de ondas planas estacionarias, ψ(x) = A0 sin kx + B 0 cos kx, √ donde A0 , B 0 son constantes y el vector de onda k = 2mE/¯ h. • En la figura (12) se muestran dos posibles autofunciones para una partícula que se mueve libremente en una región de longitud a pero que está confinada estrictamente a esta región. Cuando la partícula está en el estado que corresponde a la autofunción ψI , su energía total es 4 eV. (a) ¿Cuál es la energía total correspondiente al estado ψII ?
(b) ¿Cuál es la energía total más baja posible para la partícula en este sistema? (Problema 6.19 del libro de Eisberg y Resnick).
Ψ ΙΙ
ΨΙ
-a/2
a/2
-a/2
a/2
Figura 12: Posibles autofunciones para una partícula que se mueve libremente en una región de longitud a.
Solución: (a) Si se mueve libremente V (x) = 0, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en la región −a/2 < x < a/2 es: ¯h2 d2 ψ(x) = Eψ(x). − 2m dx2 La solución general es ψ(x) = A sin kx + B cos kx. La partícula está confinada en esta región, por lo que la función de onda se anulará para x ≥ a/2 y x ≤ −a/2 . Entonces para calcular las constantes A y B utilizamos las condiciones de contorno: ψ(x) = 0 en la frontera de la región x = ±a/2. De manera que se obtienen dos tipos de soluciones: 30
A=0 B cos (ka/2) = 0 =⇒ kn a/2 = nπ/2 para n = 1, 3, 5, . . .
• Soluciones en seno: B=0 A sin (ka/2) = 0 =⇒ kn a/2 = nπ/2
• Soluciones en coseno:
para n = 2, 4, 6, . . .
En =
¯2 2 h π2 ¯ h2 2 kn = n 2m 2ma2
Sustituyendo cualquiera de las soluciones anteriores en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se obtiene la energía: para n = 1, 2 . . .
(Esta es la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un potencial de pozo cuadrado infinito, vea la sección 6.8 del libro de Eisberg y Resnick). Observando la figura nos podemos dar cuenta que ψI corresponde a ψ2 (x) = A2 sin (nπx/a) es decir con n = 2, y su energía será: π2 ¯ h2 2 2 = 4 eV. E2 = 2ma2 De aquí obtenemos el valor de la constante que multiplica a las energías: h2 π2 ¯ = 1 eV. 2ma2
A la autofunción ψII corresponderá a ψ3 (x) = B3 cos (nπx/a) con n = 3, y la energía será E3 =
π2 ¯ h2 2 3 = 9 eV, 2ma2
donde se ha sustituido π 2 ¯h2 /(2ma2 ) por su correspondiente valor.
(b) De entre todos los estados posibles de este pozo, el de energía total más baja es: E1 =
π2 ¯ h2 2 1 = 1 eV. 2ma2
• Estimar la energía del punto cero para un neutrón en un núcleo; para ello calcule la energía del estado fundamental de un neutrón en un pozo cuadrado infinito cuya anchura sea igual a un diámetro nuclear ' 10−14 m (Problema 6.20 del libro de Eisberg y Resnick).
Solución: Conocida la masa del neutrón aproximadamente igual a 10−27 kg y sustituyendo en la expresión obtenida en la solución del problema 6.19 del Eisberg y Resnick en esta colección: En =
π2 ¯h2 2 n =⇒ E1 = 3.4 MeV. 2ma2
• Aplicar la condición de normalización para demostrar que el valor de la constante multiplicativa para lapautofunción n = 3 del pozo de potencial cuadrado infinito ψn (x) = Bn cos kn x es B3 = 2/a. (Problema 6.23 del libro de Eisberg y Resnick) 31
la expresión para ψ3 (x) será: ψ3 (x) = B3 cos
nπ x, a
3π x. a
Entonces, usando la condición de normalización es: ¶ 3π x dx = 1. a
2
|B3 | cos
µ
a 3π |B3 | = 1 =⇒ B3 = 3π 2
r
a/2 ∗
ψ (x)ψ(x)dx =
−a/2
Z
a/2
−a/2
2
Sacando factor común |B3 |2 , e integrando se tiene:
2 . a
2
Z
ψn (x) = Bn cos kn x = Bn cos
Solución: Como la autofunción general es
• (a) Determinar las autofunciones y autovalores de la energía para el caso de un pozo rectangular infinito tridimensional. (b) Determinar bajo qué condiciones los niveles de energía son degenerados. Solución: (a) Sean a1 , a2 , a3 los lados x, y, z, respectivamente del pozo rectangular infinito definido de la siguiente manera: x ∈ [−a1 /2, a1 /2], y ∈ [−a2 /2, a2 /2], z ∈ [−a3 /2, a3 /2]. La ecuación de Schrödinger en un sistema de coordenadas rectangulares es: ¸ · ¯h2 d2 ψ(x, y, z) d2 ψ(x, y, z) d2 ψ(x, y, z) + + ψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z) . − 2m dx2 dy2 dz 2
Utilizando el método de separación de variables, es decir suponiendo: ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z), se obtiene la solución: r µ ¶ µ ¶ µ ¶ n1 π n2 π n3 π 8 cos x cos y cos z ψ n1 ,n2 ,n3 (x, y, z) = a1 a2 a3 a1 a2 a3 y una expresión para la energía:
En1 ,n2 ,n3
π2 ¯ h2 = 2m
µ
n21 n22 n23 + 2 + 2 a21 a2 a3
¶
,
en donde cada uno de los números cuánticos n1 , n2 , n3 pueden tomar valores enteros 1, 2, 3, ...
(b) Observe que si la relación entre dos lados es un entero k, de forma que a2 = ka1 , entonces existe una degeneración para la pareja de números cuánticos n1 , n2 , es decir siempre que n2 /k sea un entero. En efecto, sustituyendo n1 por n2 /k y n2 por n1 k, se obtiene la misma energía que con n1 y n2 . En particular, basta que dos lados del pozo sean iguales para que exista degeneración.
• Determinar los niveles de energía que cumplan E < U1 para el pozo de potencial definido por: −∞ < x < 0 U1 , 0, 0
Solución: Cuando E < U1 (el caso que nos piden) el espectro de energías es discreto. 32
U2 U1
x
1. En la región x < 0, la función de onda es: κ1 x
2. En la región con x > a, se tiene:
−κ2 x
ψ2 (x) = C2 e
donde
κ1 =
2m (U1 − E). h2 ¯
ψ1 (x) = C1 e
r
Figura 13: Pozo de potencial.
donde
κ2 =
r
2m (U2 − E). h2 ¯
3. Dentro del pozo (0 < x < a), escribiremos ψ de la forma siguiente: ψ3 (x) = C3 sin(kx + δ)
donde
k=
r
2m E. h2 ¯
(Note que poner ψ3 (x) = C3 sin(kx + δ) es equivalente a escribir ψ3 (x) = A sin(kx) + cos(kx)). La condición de continuidad de ψ y ψ0 en las fronteras del pozo da las siguientes ecuaciones: r r 2m 2m 2 − k U k cot(ka + δ) = −κ = − U2 − k2 k cot δ = κ1 = 1 2 ¯h2 h2 ¯ o bien
p sin δ = k¯h 2mU1
p sin(ka + δ) = −k¯ h 2mU2 .
Eliminando δ, obtenemos la ecuación trascendente: µ ¶ µ ¶ k¯h k¯ h ka = nπ − arcsin √ − arcsin √ 2mU1 2mU2
(1)
(donde n = 1, 2, 3.... y los valores de arcsin se toman entre 0 y 2π), cuyas raíces determinan los niveles de energía E = k2 ¯ h2 /2m. Para cada valor de n se tiene, en general, una raíz; los valores n numeran los niveles en orden creciente de energías. Dado que el argumento del arcsin no puede ser ·mayor y U2 > U1 , está claro que los valores ¸ q que la unidad
de k pueden pertenecer sólo al intervalo entre k ∈ 0,
2mU1 /¯ h2 . Como el primer miembro de la ecuación
(1) es una función monótona creciente de k y el segundo miembro una función monótona decreciente. Por q consiguiente, para que exista una raíz de la ecuación (1) es necesario que para k = 2mU1 /¯ h2 el segundo miembro sea menor que el primero. En particular, la desigualdad: q p 1 a 2mU1 /¯h2 ≥ π − arcsin U1 /U2 , (2) 2
que se obtiene para n = 1 es la condición para que en el pozo exista por lo menos un nivel energético. Vemos así que si U1 6= U2 existen siempre valores de la anchura a del pozo tan pequeños que no existirá ni un solo nivel discreto de la energía. Cuando U1 = U2 , la condición (2) se cumplirá siempre, evidentemente. Si tomamos en efecto U1 = U2 = U0 (pozo simétrico) la ecuación (1) se reduce a: 33
k¯ h √ 2mU0
¶
=
1 (nπ − ka) . 2
arcsin
µ
Introduciendo la variable ξ = ka/2, obtenemos para n impar la ecuación:
donde
(3)
cos ξ = ±γξ, p γ = (¯ h/a) 2/mU0 ,
de la que hay que tomar aquellas raíces para las que tan ξ > 0. Para n par, obtenemos la ecuación: (4)
sin ξ = ±γξ,
y hay que elegir las raíces para las que tan ξ < 0. De las raíces de estas dos ecuaciones (3) y (4) se deducen los niveles energéticos E = 2ξ 2 ¯h2 /ma2 , y el número de niveles es finito (para γ 6= 0). En particular, para un pozo poco profundo, en el que U0 ¿ ¯ h2 /ma2 , tenemos γ À 1 y la ecuación (4) no tiene ninguna raíz. La ecuación (3), en cambio, tiene una raíz (para el signo superior en el segundo miembro), ξ ≈ 1/γ(1 − 1/2γ 2 ). En este pozo de potencial se tiene así únicamente un nivel energético h2 )U02 = U0 (1 − ma2 /2¯ h2 U0 ), E0 ≈ U0 − (ma2 /2¯ situado muy cerca del borde del pozo.
• Considere una partícula que pasa sobre una barrera de potencial rectangular. Escriba la solución general que da la forma de ψ en las distintas regiones del potencial. (a) Encuentre cuatro relaciones entre las cinco constantes arbitrarias acoplando ψ y dψ/dx en las fronteras entre las regiones. (b) Utilice estas relaciones para evaluar el coeficiente de transmisión T .
(c) Encuentre una condición sobre la energía total de la partícula que haga que el coeficiente de transmisión sea igual a uno.
V(x)
ψ 2(x)
V0
ψ 1(x)
x=L
x=0
ψ 3(x) x
Figura 14: Barrera de potencial rectangular.
Solución (a) En la mecánica cuántica, el movimiento de la partícula está descrito por la función de onda Ψ(x, t) = ψ(x) exp(−iEt/¯ h). La eigenfunción ψ(x) satisface la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la energía potencial, que en este caso es: x<0 0, V (x) = V0 , 0 < x < L 0, x>L √ x donde k1 = 2mE/¯ En la región x < 0 la solución general es ψ1 (x) = Aeik1 x + Be−ik1√ h. En la región h. La partícula pasa sobre la x > L la solución general es ψ3 (x) = Ceik1 x + De−ik1 x donde k1 = 2mE/¯ barrera de potencial, luego tenemos E > Vo y la solución es en este caso ψ2 (x) = F eik2 x + Ge−ik2 x , donde p 2m(E − V o) k2 = h ¯ 34
Si suponemos que la partícula se desplaza en la dirección positiva del eje X, entonces no hay nada a partir de x > L que pueda reflejar la onda, por lo que D = 0. (Esto no se cumple para x < L ya que las discontinuidades del potencial hacen que la onda se pueda reflejar y como consecuencia la función de onda puede tener una parte que viaje hacia la izquierda, e−ikx ). x = 0 ⇒ ψ1 (0) = ψ2 (0), x = L ⇒ ψ2 (L) = ψ3 (L),
ψ01 (0) = ψ02 (0) ψ02 (L) = ψ03 (L)
De ellas se obtienen las siguientes relaciones: = = = =
F +G k2 (F − G) Ceik1 L k1 Ceik1 L
(1) (2) (3) (4)
A+B k1 (A − B) F eik2 L + Ge−ik2 L ¡ ¢ k2 F eik2 L − Ge−ik2 L
Las condiciones de contorno que se deben cumplir son:
Tenemos cuatro relaciones y cinco incógnitas, A, B, C, F y G. Necesitaríamos una condición más, que es precisamente la condición de que la solución esté normalizada entre ∞ ≤ x ≤ ∞. Sin embargo, como veremos más abajo, no es necesario obtener dicha constante para obtener los resultados correspondientes a la reflexión y transmisión. (b) El coeficiente de trasmisión está determinado por T =
v3 | C |2 , v1 | A |2
donde v1 y v3 son las velocidades de la partícula en las regiones x < 0 y x > L . Pero v1 = v3 dado que el potencial en ambas regiones es el mismo, V = 0, y por consiguiente: v1 = p1 /m = h ¯ k1 /m = h ¯ k3 /m = v3 . A partir de las ecuaciones (1-2) obtenemos la expresión 2k1 A = F (k1 + k2 ) + G(k1 − k2 ) y a partir de las ecuaciones (3-4) obtenemos las relaciones 2k2 F eik2 L 2k2 Ge−ik2 L
= (k2 + k1 )Ceik1 L = (k2 − k1 )Ceik1 L
(5) (6)
Sustituyendo ahora F y G de las ecuaciones (5) y (6) en la ecuación (1) se obtiene la expresión para C en función de A: (k1 + k2 )2 C (k1 − k2 )2 C 4k1 k2 A − = . eik1 L eik2 L e−ik2 L Despejando C, 4k1 k2 e−ik1 L . C = A −ik2 L e [(k1 + k2 )2 − ei2k2 L (k1 − k2 )2 ] La expresión conjugada de ésta es
C ∗ = A∗
4k1 k2 eik1 L eik2 L [(k1 + k2 )2 − e−i2k2 L (k1 − k2 )2 ]
y utilizando cos(2k2 L) = 1 − 2 sin2 (k2 L) se llega a la expresión | C |2 =| A |2
Entonces
(k12
−
4k12 k22 2 2 k2 ) sin2 (k2 L)
+ 4k12 k22
.
"
#−1 ¢2 ¡ 2 k1 − k22 2 T = 1+ sin (k2 L) 4k12 k22
(c) El coeficiente de transmisión es uno cuando se cumple que sin2 (k2 L) = 0, y esto sucede si k2 = nπ/L siendo n un entero n = 0, 1, 2.... Sustituyendo el valor de k2 vemos que esta situación es la de una partícula cuya energía es uno de los valores discretos siguientes: ¯h2 ³ nπ ´2 n2 π 2 ¯ h2 para n = 0, 1, 2... = Vo + E = Vo + 2m L 2mL2 (puede leer en el ejemplo 6-4 del libro de Eisberg y Resnick el significado físico de esta condición, por la que las partículas con esta energía pasan la barrera sin ninguna reflexión, T = 1, como si la barrera no existiera) 35
Examen tipo de MECANICA CUANTICA. Opción A. Primera Prueba Personal. No se permite usar ni calculadora ni material auxiliar.
Cuestiones: conteste breve y razonadamente, ajustándose a la pregunta que se le hace. Problemas: hay que resolverlos, no sólo decir cómo se harían, definiendo todas las variables que use y explicando la notación y las fórmulas que utilice. No es suficiente poner la solución: si Vd. conoce la solución directa de algún apartado, debe exponer dicha solución y explicarla con claridad. No haga números hasta el final, una vez tenga una expresión algebraica (haga una estimación en órdenes de magnitud).
h = 6.63 × 10−34 J s, mp = 1.67 × 10−27 kg, me = 9.11 × 10−31 kg, R∞ = 109737 cm−1 , e = 1.6 × 10−19 C kB = 1.38 × 10−23 J K−1 , 1eV=1.6 × 10−19 J, µb = 9.27 × 10−24 J T−1 , c = 3 × 108 m s−1 ' 0.52 Å, 1/ (4π²o ) = 9 × 109 m3 kg s−2 C−2 ao = 4π²o ~2 /me2 p p R ∞ −ax2 R ∞ −ax2 R ∞ 2 −ax2 1 1 e dx = 2 π/a xe dx = 1/(2a) x e dx = π/a3 4 0 0 0 p ¡ 2 ¢ R ∞ 4 −ax2 R ∞ 3 −ax2 R ∞ 5 −ax2 3 3 5 x e dx = 1/ 2a x e dx = 8 π/a x e ³ dx = 1/a ´ 0 0 R0∞ n −ar ∂ ∂ ∂ n+1 = −i~ ∂ϕ − y ∂x r e dr = n!/a L = −i~ x ∂y z 0
Nota: en el examen habrá sólo dos cuestiones y dos problemas; aquí se ponen más ejemplos para que el alumno pueda disponer de más material. CUESTIONES
1.- En un instante determinado, una partícula se encuentra en un estado descrito por la función de onda Ψ(x) = A x exp(−x2 /2Γ) en un sistema en una dimensión e infinito. Calcule la posición más probable de la partícula. La densidad de probabilidad, por unidad de longitud en el eje x, especifica la probabilidad de encontrar la partícula en la coordenada x en el instante t. Según el postulado de Born (1926), la densidad de probabilidad en ese instante es: P (x) = Ψ∗ (x)Ψ(x). Por tanto: P (x) = |Ψ(x)|2 = |A|2 x2 exp(−x2 /Γ)
La probabilidad máxima viene determinada por un máximo de esa densidad de probabilidad: µ ¶ 2 x3 dP (x) = 0 =⇒ 2x − exp(−x2 /Γ) = 0 dx Γ √ √ cuyas soluciones son x = 0, ± Γ. De ellas, x = 0 es un mínimo. Las posiciones más probables son entonces x = ± Γ.
m = m0 γ,
2.- Demuestre que si se quiere asignar (relativísticamente) una onda de de Broglie a un fotón, éste debe viajar con la velocidad de la luz y tener una masa en reposo nula. Suponemos que sabemos que los fotones son cuantos del campo electromagnético y su energía es por tanto E = hν. Sin embargo supondremos que no conocemos la relación p = E/c, es decir que no sabemos que la velocidad del fotón es c ni que su masa en reposo es nula . Si llamamos mo a la masa en reposo del fotón donde
1 γ≡p 1 − v2 /c2
λ=
Para una onda de de Broglie asociada a una partícula de masa en reposo m0 , la longitud de onda asociada es h h h = = p mv m0 γv
p Para un fotón de masa en reposo m0 la energía relativista total es E = m0 c2 / 1 − v2 /c2 = m0 c2 γ. La velocidad de una onda monocromática es v = λν hv hv v = λ= = ν hν m0 c2 γ igualando ambas relaciones nos da v = c, lo que nos da una masa no infinita m0 γ sólo si m0 = 0.
3.- En un pozo cuadrado infinito, calcular la relación entre la diferencia de energías del nivel n + 1 y el nivel n y la energía En . Cuando se usan números cuánticos grandes (esto es, para n → ∞) ¿se explica usted que en el límite clásico la distribución de valores de la energía resulte ser prácticamente continua? Como en cualquier otros sistema, en un pozo cuadrado infinito x ∈ [−a/2, a/2], las vienen determinadas por las condiciones de contorno sobre la función de onda, que en esta caso son ψ (−a/2) = ψ (a/2) = 0
Los autoestados del pozo infinito cumplen que 2a λ = a =⇒ λ = 2 n
n y como
nh n~π h = = λ 2a a nos queda que la energía de los autoestados es n = 1, 2, 3, . . .
π 2 ~2 n2 ~2 2 pn = , 2m 2ma2 Por tanto En+1 − En 2n + 1 = En n2 En =
p=
Esto significa que, para valores grandes de n, aun cuando la separación entre los niveles de energía aumenta con n [pues En+1 − En ∝ (2n + 1)], la separación relativa a En de dichos valores se hace cada vez más pequeña y tiende a cero (distribución prácticamente continua). 4.- Una partícula se puede mover libremente a lo largo del eje x desde x = −1 hasta x = 1, pero le está estrictamente prohibido encontrarse fuera de esta región. Se encuentra en un estado descrito por la función de onda ψ(x) = A cos(πx/2). Normalice la función y represéntela. Calcule la probabilidad de encontrar la partícula en el rango −0.5 ≤ x ≤ 0.5. Solución: La densidad de probabilidad da la probabilidad, por unidad de longitud del eje x, de encontrar la partícula en la coordenada x en el instante t. Según el postulado de Born es: P (x, t) = Ψ∗ (x, t)Ψ(x, t). La función de onda dada es un autoestado del sistema; por tanto la parte temporal de esa función de onda desaparece al calcular la P (x, t) y ésta resulta ser independiente del tiempo. La normalización se hace teniendo en cuenta que la partícula se puede mover R +1 entre x = ±1, de manera que −1 P (x)dx = 1. Por tanto: Z +1 A2 cos2 (πx/2)dx = A2 = 1 −1
de manera que A = 1. Represente usted la función de onda o la densidad de probabilidad. La probabilidad de encontrar la partícula en el rango especificado es la integral de la densidad de probabilidad en el intervalo dado · ¸π/4 Z +0.5 Z +π/4 1 u sin(2u) (π + 2) 2 2 + = 0.64 P (x)dx = 2A cos (u)du = = π 2 4 8π −0.5 0 0 PROBLEMAS
1.- Pruebe que si se conservan simultáneamente la energía y el momento lineal del sistema, no sería posible la creación de pares mediante el proceso hν −→ e+ + e− si no hay alguna materia (por ejemplo, un núcleo) presente. La conservación de la energía relativista total se escribe: hν = E+ + E− = 2m0 c2 + K− + K+ donde K± es la energía cinética de cada una de ellas y estando la energía total (E± ) y el momento de cada partícula (p± ) relacionados por las ecuaciones:
2 2 = (K± + m0 c2 )2 = p2± c2 + (m0 c2 )2 ⇒ p2± c2 = K± + 2m0 c2 K± E±
Supongamos que elegimos el eje OX a lo largo de la dirección de propagación del fotón inicial (vea la figura 1). La suma de los momentos de salida de las partículas en la dirección OY debe ser nula. Además, por ser el electrón y el positrón partículas idénticas, excepto en que son una la antipartícula de la otra, el módulo de p+ y el de p− coinciden. Llamaremos p a dicho módulo y K a la energía cinética que tiene cada partícula. El valor absoluto del ángulo que forman los momentos de las partículas e+ y e− con el eje OX es el mismo. Por tanto, la conservación del momento nos dice entonces que hν = 2pc cos θ y ¢ ¡ (hν)2 = 4p2 c2 cos2 θ = 4K 2 + 8Kmo c2 cos2 θ Si se conservara la energía, tendríamos ¡ ¢2 (hν)2 = 2m0 c2 + 2K = 2p2 c2 + 4K 2 + 8Km0 c2
p hν /c
θ
x
p
θ
Figura 1: Creación de pares mediante el proceso hν −→ e+ + e− .
y esta expresión no coincide con la anterior. Por tanto, para que se produzca el par e+ y e− a partir del fotón debe haber algo que permita conservar a la vez el momento lineal y la energía total en la colisión: por ejemplo, un núcleo que intervenga en el proceso, absorbiendo la energía y el impulso necesarios para la conservación de ambos. 2.- Sea una partícula en un pozo cuadrado de profundidad infinita del anchura x ∈ (0, L). Llamamos En a los autovalores de la energía de la partícula. La función de onda de la partícula es una combinación de dos autoestados µ ¶ ³ πx ´ 2πx exp (−iω 1 t) + A sin Ψ(x, t) = A sin exp (−iω 2 t) L L
(a) Calcule la constante de normalización A ¿Depende del tiempo la constante de normalización? Nótese que los dos sumandos que dan lugar a Ψ(x, t) son autofunciones del hamiltoniano del pozo cuadrado. Eso significa que son ortogonales la una a la otra. Escribimos r r µ ¶ ³ πx ´ 2πx 2 2 sin exp (−iω1 t) , sin Ψ2 (x, t) = exp (−iω 2 t) Ψ1 (x, t) = L L L L
La constante de normalización se calcula haciendo uno la probabilidad de encontrar la partícula en todo el sistema, esto es, que la integral de la densidad de probabilidad en todo el pozo sea la unidad RL ∗ 0 ΨR (x, t) Ψ(x, t) dx = 1 L |A|2 h0 [Ψ∗1 (x, t) + Ψ∗2 (x, t)] [Ψ1 (x, t) + Ψ2 (x, t)] dx = 1 i R RL RL RL L |A|2 0 Ψ∗1 (x, t) Ψ1 (x, t) dx + 0 Ψ∗2 (x, t) Ψ2 (x, t) dx + 0 Ψ∗1 (x, t) Ψ2 (x, t) dx + 0 Ψ∗2 (x, t) Ψ1 (x, t) dx = 1 Pero, dado que Ψ1,2 (x, t) son autofunciones del hamiltoniano en el pozo se verifica que Z L Ψ∗i (x, t) Ψj (x, t) dx = δ ij 0
que es la condición de ortonormalidad (esto es, que son ortogonales y que están normalizadas). Esto quiere decir que la expresión anterior de normalización para Ψ(x, t) nos queda |A|2 [1 + 1 + 0 + 0] = 1 =⇒ A =
1 2
(b) Calcule la probabilidad de que la partícula esté localizada en la mitad izquierda del pozo, 0 ≤ x ≤ L/2. La probabilidad de encontrar la partícula en esa zona es la integral de la densidad de probabilidad en esa zona Z L/2 Ψ∗ (x, t) Ψ(x, t) dx 0 "Z L Z L Z L Z L 2
2
= |A|
0
Ψ∗1 (x, t)
2
Ψ1 (x, t) dx +
0
Ψ∗2 (x, t)
2
Ψ2 (x, t) dx +
Ψ∗1 (x, t)
2
Ψ2 (x, t) dx +
0
Ψ∗2 (x, t)
Ψ1 (x, t) dx
0
Nota: Ahora ya no se verifica que las integrales de los términos cruzados sean nulas (sólo son cero en el pozo de potencial, entre 0 y L). El cálculo de las integrales se deja como ejercicio. (c) Calcule el valor esperado x(t) de la posición de la partícula en ese estado.
#
0
0
El valor medio de la posición se calcula mediante la densidad de probabilidad Z L x = Ψ∗ (x, t) x Ψ(x, t) dx 0 "Z Z L Z L Z L ∗ ∗ ∗ ∝ Ψ1 (x, t) x Ψ1 (x, t) dx + Ψ2 (x, t) x Ψ2 (x, t) dx + Ψ1 (x, t) x Ψ2 (x, t) dx + 0
L
Ψ∗2 (x, t) x Ψ1 (x, t) dx
0
Tampoco ahora se verifica que las integrales de los términos cruzados son nulas y también se deja como ejercicio el cálculo de las integrales.
(d) ¿Cuál es la relación entre En y ωn ? ¿Por qué? Si hacemos actuar el operador energía i~∂/∂t sobre cada uno de las autofunciones Ψ1 (x, t) y Ψ2 (x, t) se ve que hay una relación inmediata entre los autovalores En y las frecuencias ω n : ∂ Ψi (x, t) = ~ω i Ψi (x, t) = Ei Ψi (x, t) ∂t la última igualdad viene de la definición de la energía asociada a un autoestado.
i~
(e) Calcule y dibuje la densidad de probabilidad de la partícula para t = π~ [2 (E2 − E1 )]. Hágalo. (f ) Demuestre que la densidad de probabilidad en x = L/2 es independiente del tiempo. Sustituya y verifíquelo. (g) Si se realiza una medida de la energía, ¿cuáles son los posibles resultados de esta medida, y cuál es la probabilidad asociada con cada una de ellas?; ¿varían con el tiempo dichos resultados y probabilidades? Los posibles resultados de la medida son los valores asociados a cada autofunción, esto es, ~ω1 y ~ω 2 . Como el peso de cada autofunción en la función de onda total es el mismo, la probabilidad de encontrar uno u otro autovalor es 1/2 para cada uno. Estos valores no varían con el tiempo pues la energía es Z L ∂ E = Ψi (x, t) i~ Ψ(x, t) dx ∂t 0 " Z Z Z Z L
2
= |A|
L
|Ψ1 (x, t)| dx + E2
E1
0
1 1 E1 + E2 2 2
0
L
2
|Ψ2 (x, t)| dx + E2
Ψ∗1 (x, t)Ψ2 (x, t)
0
L
Ψ∗2 (x, t)Ψ1 (x, t)
dx + E1
0
=
2
(h) ¿Es Ψ(x, t) un estado estacionario? No es un estado estacionario, pues la densidad de probabilidad (y otras magnitudes, como por ejemplo el valor medio de la posición) no son constantes en el tiempo.
3.- Queremos describir una partícula que se mueve en un sistema unidimensional (el eje OX) por ! Ã ¶ µ ipo x − (x − xo )2 exp (iωo t) exp Ψ (x, t) = A exp 4a2 ~ (a) Calcular los valores medios x, x2 y la incertidumbre en la posición de la partícula ∆x. La función de ondas debe estar normalizada de manera que Z ∞ Z ∞ 2 ∗ 2 Ψ (x, t) Ψ(x, t)dx = A e−(x−x0 )/(2a ) dx = 1
−∞
−∞
Haciendo el cambio de variable u = x − x0 , dx = du, la constante de normalización es Z ∞ √ √ 2 2 2 e−u /(2a ) du = a 2π =⇒ A2 = 1/(a 2π) 1=A −∞ ∞
x = A2
Z
−∞
µ Z 2 u e−u/(2a ) du + x0 A2
∞
−∞
¶ 2 e−u/(2a ) du = x0
Note en el primer término que la integral de una función impar en un intervalo simétrico x ∈ [−∞, ∞] , da cero. Z ∞ Z ∞ 2 2 x2 = A2 (u2 + x20 + 2x0 u) e−u/(2a ) du = 2A2 u2 e−u/(2a ) du + x20 −∞
0
#
#
dx
Como
R∞
−u/(2a2 ) du −∞ u e
= 0, y utilizando la integral
x2 = x20 + a2
R∞ 0
2 u2 e−u/(2a ) du de los datos
¯ ¯1/2 ¯ ¯ ∆x = ¯x2 − x2 ¯ =a
(b) Calcular los valores medios p, p2 y la incertidumbre en el momento lineal de la partícula ∆p. ∂2 ∂x2 · ¸ ~ (x − x0 ) pop Ψ(x, t) = p0 − Ψ(x, t) i 2a2 ~ ∂ , i ∂x
p2op = −~2
pop =
· ¸ ~ (x − x0 ) ~2 Ψ(x, t) p2op Ψ(x, t) = p20 + 2 − 2p0 4a i 2a2 R∞ 2 y como −∞ (x − x0 ) e−(x−x0 )/(2a ) dx = 0 R∞ ) ∂ p = −∞ Ψ∗ (x, t) ∂x Ψ(x, t)dx =³p0 ~2 ´ R ⇒ (∆p)2 = 2 ∂2 ~2 2 ∞ ∗ 2 2 p = −~ −∞ Ψ (x, t) ∂x2 Ψ(x, t)dx = p0 + 4a2 4a
(c) ¿Son consistentes los resultados con el principio de incertidumbre? ¿Qué significa eso físicamente? ∆x · ∆p =
~ 2
Como se ve, es plenamente consistente. Esto quiere decir que la función de onda que se da en el enunciado tiene sentido físico, es decir, puede describir el estado de una partícula porque es compatible con el principio de incertidumbre. 4.- Supongamos la función de energía potencial descrita en la figura (2) `
V(x)
`
0
x L/2
L
-V 0
Figura 2: Pozo de potencial.
a) Escriba la forma de la función de onda en las distintas regiones del potencial. a1) En las regiones x < 0, y x > L, el potencial es infinito, de manera que ψ(x) = 0. a2) La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se escribe: ~2 d2 ψ(x) − V0 ψ(x) = Eψ(x), 2m dx2
−
−
~2 d2 ψ(x) = Eψ(x), 2m dx2
de forma que sus soluciones son:
0 < x < L/2
L/2 < x < L,
0 < x < L/2, ψI (x) = A cos(kI x) + B sin(kI x), kI =
q
2m(V0 +E) ~
• En la región I la solución será una función oscilatoria,
En la región II hay dos posibilidades: 1.- si E < 0 (en el caso de la mecánica clásica la partícula no podría entrar en la región I): q L kII = −2mE 2 < x < L, ψ II (x) = C exp(kII x) + D exp(−kII x), con ~ L 2
< x < L, ψIII (x) = C 0 cos(kIiI x) + D0 sin(−kIII x), con
q
2.- si E > 0, la solución será una función oscilatoria,
kIII =
2mE ~
b) Dibuje esquemáticamente la densidad de probabilidad ψ∗ ψ en cada zona del potencial. Hágalo.
ψI (0) = 0
y
ψII (L) = 0
ψI (L/2) = ψII (L/2)
y
c2) las funciones y sus derivadas deben ser continuas en L/2, esto es,
c) ¿Qué condiciones debe cumplir la función de onda en x = 0, x = L/2 y x = L? Las constantes arbitrarias se escogen de modo que las funciones satisfagan las condiciones siguientes: c1) la función debe anularse en la fronteras del pozo donde el potencial es infinito, esto es,
ψ0I (L/2) = ψ0II (L/2).
d) Considerando sólo los estados con E < 0, escriba las ecuaciones que nos permitan calcular los niveles de energía. Las cuatro condiciones anteriores determinan las cuatro constantes arbitrarias (A, B, C, D o A, B, C 0 , D0 ). Si E < 0, las expresiones que nos pide el enunciado son las siguientes: A C exp(kII L) + D exp(−kII L) B sin(kI L/2) kI B cos(kI L/2)
= = = =
0 0 C exp(kII L/2) + D exp(−kII L/2) kII [C exp(kII L/2) − D exp(−kII L/2)]
A continuación escribiremos estas expresiones de forma algo más simplificada. Dado que D = −C exp(2kII L), podemos escribir ψII (x) = C exp(kII L) [exp[kII (x − L)] + exp[−kII (x − L)]] = F cosh [kII (x − L)]. La solución nos queda finalmente como ψI (x) = B sin(kI x), y ψII (x) = F sinh [kII (x − L)] habiendo una relación entre las constantes B sin(kI L/2) = −F sinh [kII (L/2)] BkI cos(kI L/2) = kII F cosh [kII (L/2)]
que proviene de las condiciones de empalme. Estas ecuaciones son las que nos piden. Sólo pueden ser resueltas numéricamente, dado que llevan a expresiones transcendentes, y su solución nos llevaría a los valores de B y F que cumplieran las ecuaciones de empalme y a la cuantización de la energía.
Nota: Para ver que la solución de estas dos últimas ecuaciones llevan a la cuantización de la energía podemos reescribirlas como: " µ ¶2 µ ¶ µ ¶# L L kII 2 2 2 2 cosh kII + B = F sinh kII 2 kI 2
µ µ ¶ ¶ L L −kII tan kI = kI tan kII 2 2
MECANICA CUANTICA (ADAPTACION) MECANICA CUANTICA (3o curso) Opción A (la otra opción figura al dorso de la hoja; indique su opción en el examen). Primera Prueba Personal. Original. Septiembre de 2000. No se permite usar ni calculadora ni material auxiliar.
CUESTIONES
Cuestiones: conteste breve y razonadamente, ajustándose a la pregunta y explicando lo que haga. Problemas: hay que resolverlos, no sólo decir cómo se harían, definiendo todas las variables que use y explicando la notación y las fórmulas que utilice. No es suficiente poner la solución: si Vd. conoce la solución directa de algún apartado, debe exponer dicha solución y explicarla con claridad. No haga números hasta el final, una vez tenga una expresión algebraica (haga una estimación en órdenes de magnitud).1
1.- Sea una partícula de masa en reposo mo . Si su energía es E, sabemos que es posible asignar una frecuencia ω a la energía, mediante la relación E = h ¯ ω = hν. También se puede asignar una longitud de onda λ a cualquier partícula con momento lineal p. En base a lo anterior, calcúlese la velocidad de fase Vf correspondiente a esas λ y ν de la partícula en función de λ. Comparar el resultado con c si mo > 0. Solución: Una partícula que posee una energía determinada E y un impulso determinado p se puede representar mediante una onda en la forma: ψ = cte × exp(−i/¯h)(Et−px) .
Esta función describe una onda plana que se propaga en la dirección x y posee una frecuencia E/¯h y una longitud de onda λ = h/p La definición de velocidad de fase es Vf = λν, entonces Vf = νλ =
E h E × = . h p p
Utilizando la expresión de la energía total relativista:
E p
=
s
p2 c2 + m20 c4 m20 c2 = c 1 + p2 p2
E = cp
s
1+
λ2 m20 c2 h2
Vf c
=
s
´2
³
E 2 = p2 c2 + m0 c2
Por tanto obtenemos como resultado que las fases de las ondas de materia se propagan con una velocidad que excede la de la luz, lo cual es una indicación más de que la velocidad de fase no tiene significado físico. 2.- Clásicamente, un electrón que interacciona con un protón situado en el origen tiene su energía mínima cuando se encuentra en el origen de coordenadas. Sin embargo, cuánticamente la energía mínima será cuando el electrón se encuentra a una distancia a0 del protón ¿Por qué sucede esto último? Solución:
1
Datos: h = 6.63 × 10−34 J s, mp = 1.67 × 10−27 kg, me = 9.11 × 10−31 kg, R∞ = 109737 cm−1 , e = 1.6 × 10−19 C kB = 1.38 × 10−23 J K−1 , 1eV=1.6 × 10−19 J, µb = e¯ h/ (2me ) = 9.27 × 10−24 J T−1 , c = 3 × 108 m s−1 , 2 2 9 3 ' 0.52 Å, 1/ (4π²o ) = 9 × 10 m kg s−2 C−2 h /me p ao = 4π²o ¯ p R ∞ −ax2 R ∞ −ax2 R ∞ 2 −ax2 1 1 e dx = 2 π/a xe dx = 1/(2a) x e dx = π/a3 4 0 0 0 p R ∞ 3 −ax2 R ∞ 5 −ax2 ¡ 2 ¢ R ∞ 4 −ax2 3 3 5 x e dx = 1/ 2a x e dx = 8 π/a x e dx = 1/a 0 R0∞ n −ar R0t 1√ n+1 2 r e dr = n!/a exp(−x )dx = π erf (t) 2 0 h i ´ ³ ¡ ¢0 ∂2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = −i¯ h ∂ϕ L2op = −¯ sin θ ∂θ + sin12 θ ∂ϕ − y ∂x h2 sin1 θ ∂θ h x ∂y ; Lz,op = −i¯ 2
La energía total no relativista de un electrón en un campo electrostático es
K p2 − 2m r
E=
K h2 p2 K − ∼ − 2 2m r 2mr r
E=
La energía del estado fundamental es la menor energía del sistema y sabemos que ha de ser negativa, ya que de lo contrario no habría enlace. Ahora bien, el primer término es positivo y el segundo negativo. Clásicamente podemos hacer que la energía de enlace sea tan grande como queramos simplemente eligiendo una órbita con un radio pequeño. Para un estado del movimiento de este tipo la indeterminación en la posición sería pequeña, y si intentamos ahora tratar el problema dentro de la mecánica cuántica llegamos a la conclusión de que la indeterminación en el valor del momento debe ser grande en virtud del principio de incertidumbre, lo cual a su vez significa que la cantidad p2 /2m será a su vez grande. Cabe imaginar que habrá cierto radio óptimo para el cual la energía total tome su mínimo valor. Se puede estimar, al menos en orden de magnitud, la energía mínima y la distancia mínima, que resulta ser a0 . El valor de r que vamos a suponer es del orden de ∆r. Dado que ∆r∆p ∼ h tenemos que p ∼ ∆p ∼ h/∆r ∼ h/r, y
Calcularemos el valor de la distancia que haga la energía más estable, que denominaremos R, µ
dE dr
¶
r=R
=−
h2 Ze2 4πε0 ¯h2 + = 0 ⇒ R = = a0 mR3 4πε0 R2 µZe2
PROBLEMAS
1.- El radio de la órbita del estado de energía más baja del átomo de hidrógeno (radio de Bohr) es ao . Un átomo de uranio neutro tiene 92 electrones, que rodean a un núcleo con 92 protones. (a) Explicando claramente las suposiciones que haga, estime un valor numérico aproximado para el radio de la órbita más pequeña de los electrones del átomo de uranio alrededor de su núcleo. (b) Suponga ahora que el átomo se desprende de todos sus electrones y que posteriormente captura un único electrón. Calcule la energía mínima que debe tener un fotón que sea capaz de desprender a ese electrón, ligado al núcleo de uranio. (c) Calcule el valor de la velocidad del electrón del apartado (b) y compárelo con el valor de la velocidad de la luz; ¿debe tratarse ese electrón de forma relativista?
Solución: (a) Para hacer una estimación del radio de la órbita más pequeña utilizaremos el modelo de Bohr. Por ello supondremos un átomo hidrogenoide, es decir, con un núcleo con carga Ze y un electrón en el estado de energía más baja, de manera que lo que se supone es que la trayectoria de los demás electrones es suficientemente lejana como para que el electrón en la trayectoria más cercana al núcleo apenas tiene interacción con ellos. En ese estado el momento angular es L = rp = nh. La ecuación de la energía para este electrón en su órbita interna, n = 1, es:
p2 K h2 − +V = 2 2m 2mr r 2h2 Ze2 4πε0 ¯h2 = − + = 0 ⇒ a = 2mr3 4πε0 r2 mZe2
E =
dE dr
donde hemos despreciado el efecto del resto de los electrones en el potencial. Comparando el radio obtenido con el radio del átomo de hidrógeno: a=
a0 92
es mucho más pequeña la órbita.
(b) Con este modelo, la energía de este estado −13.6 2 −13.6 × 922 × 1.6 × 10−19 J = −1.84 × 10−14 J Z eV= 1 1 ¡
En =
¢2
v =
s
s
2E = m
2×1.84 × 10−14 = 2 × 108 m s−1 9.11 × 10−31
que comparando con m0 c2 = 9.11×10−31 × 3 × 108 J=8. 199 × 10−14 J, vemos que es del mismo orden de magnitud. (c) Si queremos comparar la velocidad, como según el teorema del virial en valor medio E = −Ec , donde Ec es la energía cinética, la velocidad ses
∞ x<0 1 2 x>0 Kx 2 ³
´
V (x) =
½
v 2 ∼ c 3 Por tanto se deberían tener en cuenta los efectos relativistas 2.- Sabiendo cuáles son los valores posibles de la energía de una partícula en un pozo de potencial armónico, y usando argumentos de simetría, demostrar que en el caso de un potencial
hω con n = 0, 1, 2, . . . Dar una razón, basada en el principio de los valores son E = 2n + 32 ¯ incertidumbre, que justifique el por qué la energía del estado fundamental de este potencial es mayor que en el caso del oscilador armónico. Solución: En el caso del armónico el término de la energía potencial es V = Kx2 /2 en −∞ ≤ x ≤ ∞ y ³ potencial ´ la energía E = n + 12 ¯ hω con n = 0, 1, 2, . . . . Dado que V (x) = V (−x) las autofunciones tienen paridad bien definida: son simétricas (n = 0, 2, 4, ....) o antisimétricas (n = 1, 3, 5..) . Ahora bien, en el caso que nos ocupa las autofunciones del oscilador armónico satisfacen la ecuación de Schroedinger pero no las condiciones de contorno. En el presente caso deberán cumplir la condición ψ (x = 0) = 0, lo cual implica que solo las autofunciones antisimétricas, ψ´(x) = −ψ (x), son soluciones ³ 1 válidas. Las energías correspondientes a estas autofunciones son E = n + 2 ¯hω con n = 1, 3, 5 . . . o lo que ³
´
∆p ∼ h/∆x Como ∆p =
q
hω con n = 0, 1, 2, . . . . es lo mismo E = 2n + 32 ¯ Para estimar la energía del punto cero, E0∗ , supondremos que el valor de la indeterminación de la posición ∆x es aproximadamente x. Entonces, el valor ∆p más pequeño posible viene dado por la relación
p2 porque p = 0 en un estado ligado, se tiene que la energía mínima o de punto cero es
(∆p)2 1 + K (∆x)2 . 2m 2 Sin embargo observamos que las dimensiones del pozo del enunciado son más pequeñas, ∆x∗ ∼ ∆x/2, de manera que
E0 = Ec + Ep =
∆x∗ ∼ ∆x/2, ∆p∗ ∼ h/∆x∗ ∼ 2h/∆x ∼ 2∆p
por tanto la energía mínima del sistema del enunciado se puede comparar con la anterior
17 ∆p∗2 1 ∆p2 1 Ep ≈ E0 > E0 + K (∆x∗ )2 = 4 + K (∆x)2 = 4Ec + 2m 2 2m 4 4 8 en la estimación hemos utilizado que según el teorema del virial, para el pozo de potencial armónico en promedio Ec = Ep = E/2 Nota: Para comprender mejor que ∆x∗ ∼ ∆x/2 se puede pensar los siguiente: en el estado fundamental (que no tiene nodos) la función de onda ha de ser nula para x = 0, puesto que el potencial es infinito en ese valor; por lo tanto la zona con mayor probabilidad de encontrar a la partícula será aproximadamente la mitad que en el caso del potencial armónico.
E0∗ ∼
