DEL ARCHIVO COMBINATORIA.PDF Actividad 1. 1. Las matrículas de los automóviles en Ecuador constan de tres letras y de cuatro números. ¿Cuántas placas distintas pueden formarse suponiendo que usan todas las letras del abecedario? SOLUCION Los números se asumen son los dígitos entre 0 y 9, es decir 10 dígitos. Las letras son de A – Z, un total de 26 letras. Las placas, según el problema lucen de esta forma: AAA-####, AAA-####, donde A representa las letras y # a los dígitos. RESPUESTA: 26 *26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = 26^3 * 1 0^4 = 175760000. = 175760000.
Actividad 2. 2. Una familia desea adquirir una vivienda y se le presentan las siguientes posibilidades: vivienda terrera o piso. A su vez, cada una puede ser de 2 o 3 dormitorios.
a. Calcula cuántos tipos posibles de vivienda tiene a disposición mediante un diagrama de árbol.
b. Aplica b. Aplica el e l principio de multiplicación para corroborar el resultado. Respuesta: 2*2 = 4.
Actividad 3. ¿Cuántas personas ha de haber en una reunión para estar seguros de que al menos dos han nacido el mismo mes? Respuesta: En caso de año bisiesto 367, en caso de no ser año bisiesto 366.
Actividad 4. Un empresario quiere otorgarle a cada cliente un código de 2 letras y 2 números, pudiéndose repetir tanto las letras como los números. Si a cada cliente le corresponde un código distinto, ¿cuál es el número máximo de clientes al que le puede asignar un código? Respuesta: El código de clientes sigue el siguiente formato XX##, donde X denota las 26 letras del alfabeto y # representa los 10 dígitos del 0 al 9. Como las letras y los dígitos se pueden repetir, siempre van a existir las mismas 26 letras y los mismos 10 dígitos al momento de seleccionar la segunda letra y dígito respectivamente. El cálculo es el siguiente: 26*26*10*10 =262*102= 67600. Actividad 5. Demostrar que si se eligen 10 puntos cualesquiera en un triángulo equilátero de lado 1, al menos dos de ellos se encuentran a una distancia no superior a 1/3. Respuesta: Aplicando el Principio de las Cajas a los 10 puntos y 9 triángulos resultantes (m), si k = 1 punto, entonces de acuerdo al Principio de Dirichlet, n > mk, esto es n > 1*9, por tanto resulta que al menos dos de los 10 puntos caerán en un mismo triángulo pequeño. Por tanto, la distancia entre ellos no será superior al lado de dicho triángulo, pues cada uno de ellos mide 1/3 de lado.
Actividad 6. Lanzamos tres monedas ¿de cuántas formas se pueden obtener una o dos caras? a. Resuélvelo mediante un diagrama de árbol.
6 FORMAS
b. Aplica el principio de la suma para corroborar el resultado. Respuesta Por suma: 3 monedas + 1 cara + 2 caras = 6. Actividad 7. Toma un dado cualquiera, trata de averiguar de cuántas formas se puede obtener: a. Un múltiplo de 2. Respuesta: De 3 formas. (2, 4 y 6) b. Un múltiplo de 3. Respuesta: De 3 formas, (3 y 6) i. Un múltiplo de 2 o de 3 ¿puedes aplicar el principio de la suma? En caso de que no se pueda ¿qué condición no se da para poder aplicarlo? Resuélvelo restando los números que son múltiplos de ambos. Respuesta: El principio de la SUMA no puede ser aplicado sin antes restar el número en común, en este caso el 6, sólo si lo hacemos de esta forma obtendremos los cuatro elementos del nuevo conjunto, estos son 2, 3, 4 y 6.
Actividad 8. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes (no se pueden repetir) se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5? Respuesta: 5 * 4 * 3 = 60. Actividad 9. ¿Cuántos números de cinco cifras diferentes (no se pueden repetir) se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5? Respuesta: = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Actividad 10. A una competición de atletismos se han presentado 10 corredores, ¿de cuántas formas se puede componer el podio? Respuesta: 10 * 9 * 8 = 720 Actividad 11. Una persona ha olvidado el código PIN de su móvil. a. Sabiendo el código lo forman 4 números ¿cuántos intentos tiene que hacer para estar segura de acertar? Respuesta: Al decir que son cuatro números, en realidad estamos hablando de dígitos, del 0 al 9, y estos se pueden repetir en un PIN, por tanto, el número de intentos para poder acertar al PIN correcto se calcula como 10 4 = 10*10*10*10=10000. b. ¿Y si recuerda que no se repetía ningún número? Respuesta: 10*9*8*7 = 5040. c. Y si además recuerda que empezaba por el “2”? Respuesta: Como el primer número es el 2, sólo tiene que recordar los otros 3, el 2 podría o no podría repetirse, asumiendo que el número dos puede repetirse, este cálculo sería, 1*10*10*10= 1000, si asumimos que se repite sería, 1*9*9*9 = 729. Como el problema se presenta algo ambiguo, asumimos que si recuerda que empezaba por dos, no hay repetición, esto es 1*9*9*9 = 729. Actividad 12. Un byte de memoria es un octeto de unos y ceros. Con 5 unos y 3 ceros ¿cuántos bytes diferentes se pueden formar? Respuesta: Primero calculamos el número posible de octetos que se pueden formar, esto es 8!, luego buscamos los posibles arreglos de 5 unos y 3 ceros que podemos usar para formar un octeto, esto se logra al multiplicar 5! y 3!, luego dividimos de la siguiente forma:
Actividad 13. En una carrera en la que participan 10 caballos existen dos tipos de apuesta: en la primera hay que acertar quién va a quedar primero, quién segundo y quién tercero; en la segunda hay que acertar cuáles van a ser los cuatro primeros caballos en llegar, pero no su clasificación. ¿Cuál de los dos tipos de apuesta crees que es más sencilla? Respuesta: En la primera apuesta existen 720 formas en que 10 caballos pueden quedar en las primeras 3 posiciones. Este número resulta por la multiplicación 10 * 9 * 8 = 720. En la segunda apuesta se requiere determinar los arreglos en los cuales 4 caballos lleguen primero, esto se logra por la aplicación de la fórmula de Combinación, 10C4 = 210. Por tener, menor número de opciones, la segunda apuesta es más sencilla.
Actividad 14. Un grupo formado por seis hombres y siete mujeres, ha de constituir un comité de 2 hombres y 3 mujeres. ¿De cuántas formas pueden formarlo, si: a. Puede pertenecer a la comisión cualquier hombre o mujer? RESPUESTA: 6C2*7C3 = 525 formas. b. Una determinada mujer debe pertenecer al comité? RESPUESTA: 6C2*6C2 =225 formas c. Dos determinados hombres no pueden estar en el comité? RESPUESTA: 7C3*6 =210
DEL ARCHIVO PROBABILIDAD PROBLEMAS VARIOS Existen en el mercado varios tipos de dados, aunque el más normal sea el cúbico de seis caras. Los hay de 4, 6, 10, 12, y 20 caras. En general, van numerados del 1 1.
al nº de caras que tienen. Escribe el suceso “Par” para cada uno de ellos.
RESPUESTA: 4 CARAS {2, 4}; 6 CARAS {2, 4, 6}; 10 CARAS {2, 4, 6, 8, 10}; 12 CARAS {2, 4, 6, 8, 10, 12} y 20 CARAS {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}. 2. Tenemos
un dado de 4 caras numeradas del 1 al 4. Lo tiramos una vez. Escribe el suceso seguro, el imposible, y todos los posibles clasificados por su tamaño. RESPUESTA: SUCESO SEGURO {1, 2, 3, 4}, SUCESO IMPOSIBLE , {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}. {1,2}, {1,3} {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1, 2, 3 }, {1, 2, 4}, {2, 3, 4} Tenemos un dado de 6 caras blanco, en el que se han escrito en sus caras los siguientes números {1,1,1,2,2,3}. Escribe todos los sucesos posibles. RESPUESTA: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1, 2, 3} 3.
En la escuela municipal de un pueblo hay clases para deportes de equipo de baloncesto, fútbol y voleibol. Hay 100 inscritos en deportes de equipo, 70 van a clases de fútbol, 60 de baloncesto y 40 a fútbol y baloncesto. ¿Cuántos van sólo a voleibol? 4.
RESPUESTA: Sabemos que el total de inscritos es 100. Sea A el evento “hay m inscritos en clases de fútbol” y B el evento “hay n inscritos en clases de baloncesto”, por otro lado la diferencia será el número de inscritos en voleibol. El diagrama de Venn nos permite llegar a estas conclusiones, dado que hay 40 inscritos tanto en fútbol como en baloncesto , entonces por diferencia A = 70 – 40 = 30 y B = 60 – 40 = 20. Luego, sabiendo el TOTAL, llegamos a la siguiente ecuación TOTAL = A + B + C + D, donde D es el número de inscritos en voleibol, si reemplazamos los valores , obtenemos 100 = 30 + 20 + 40 + 10. Por tanto hay 10 inscritos en voleibol.
TOTAL 100 B
A
40
5. Determina
el número de cartas, en una baraja española de 40, que: a) Con numeración menor que 4. RESPUESTA: 12, pues tenemos en cada palo el as, el dos y el 3. b) De bastos y mayores que 4. RESPUESTA: 6, pues en una baraja de 40 cartas tenemos el 5, el 6, el 7, la sota, el caballo y el rey de bastos. Cabe indicar que en una baraja de 40 cartas, no existen el 8 y el 9. c) Figuras de oros o bastos. RESPUESTA: 6, pues hay 3 figuras para cada uno, la sota, el caballo y el rey. 6. En
una baraja española, cuenta las cartas de los sucesos : a) Oros y sietes. RESPUESTA: 1. b) Oros o sietes. RESPUESTA: OROS = 10, SIETES = 4, pero uno de los sietes es a la vez el siete de oro, por tanto debemos restar un siete. ORO o SIETE = 10 + 4 -1 = 13. c) Siete de oros. RESPUESTA: 1 d) Figuras. RESPUESTA: 12 e) Oros o figuras. RESPUESTA: un proceso similar al b) 10 + 12 – 3 = 19. f) Oros y figuras. RESPUESTA: 3.
7. Para
un dado de seis caras {1,2,3,4,5,6}, escribe los sucesos: a) Par. RESPUESTA: {2, 4, 6} b) No par. RESPUESTA: {1, 3, 5} c) Par y mayor que 3. RESPUESTA: {4, 6} d) Par o mayor que 3. RESPUESTA: {2, 4, 5, 6} e) Par menor que 3. RESPUESTA: {2} f) El contrario de (par y mayor que 3). RESPUESTA: {1, 2, 3, 5} Tenemos un dado con los números {1,1,1,2}. Si lo lanzamos 100 veces, alrededor de qué cantidad de veces saldrá cada uno de los posibles resultados. RESPUESTA: Dado que existen 3 posibles resultados de 1 y únicamente un posible resultado para el dos, podríamos estimar que 25 veces pueden suceder cualquiera de los cuatro eventos, esto da como resultado 25 veces para el 2 y 75 veces para el 1. 8.
9. Tenemos
un dado de diez caras numeradas como {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4}. ¿Cuál es la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales?. RESPUESTA: P(1) = 1 / 10, P(2) = 2 / 10, P(3) = 3/10, P(4) = 4/10. Tenemos una ruleta de 10 posiciones, 3 rojas, 4 verdes, 2 negras y una azul. ¿Cuál es la probabilidad de que al girarla se obtenga cada uno de los colores? RESPUESTA: P(ROJO) = 3/10, P(VERDE) = 4/10, P(NEGRO) = 2/10 Y P(AZÚL) = 1/10. 10.
Si lanzamos dos monedas podremos obtener uno de estos 4 resultados {OO, XO, OX, XX}. Puedes escribir de esta forma los posibles para tres monedas. Y para 4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras en cada uno de los experimentos? 11.
RESPUESTA: Para 3 monedas se esperan 8 posibles resultados, que son {OOO, OOX, OXO, OXX, XOX, XOO, XXX, XXO}. Para cuatro monedas se esperan 16 resultados, que son {000O, 000X, 00X0, 0X00, X000, 00XX, 0XX0, XX00, 0XXX, XXOX, XOXX, XXXO, XXXX, OXOX, XOXO, XOOX}. En 3 monedas, P(2 caras) = 3/8 En 4 monedas, P(2caras) = 6/16
Sabiendo que P(A)=0.5 , p(B)=0.7 y P(2)=0.3, calcula P(1), P(3), P(4), P(5), P(6), P(7) y P(8), 12.
RESPUESTA: P(1) = 1 – P(2) = 1 – 0.3 = 0.7. P(3) = P(A) – P(2) = 0.5 – 0.3 = 0.2 P(4) = P(3) + 0.1 = 0.3 P(5) = P(B) – P(2) = 0.7 – 0.3 = 0.4 P(6) = 1 – {P(3) + P(2) + P(5)} = 1 - {0.2 + 0.3 + 0.4} = 0.1 P(7) = P(6) + P(5) = 0.1 + 0.4 = 0.5 P(8) = P(3) + P (2) + P(5) = 0.2 + 0.3 + 0.4 = 0.9
¿Cuál es la probabilidad de obtener naranja, verde, azul o gris en cada una de las siguientes ruletas? 13.
RESPUESTA: 1RA RULETA: P(NARANJA) = 6/20, P(VERDE) = 5/20, P(AZÚL) = 3/20, P(GRIS) =6/20. 2DA RULETA: P(NARANJA) = 8/20, P(VERDE) = 6/20, P(AZÚL) = 3/20, P(GRIS) = 3/20. 3RA RULETA: P(NARANJA) = 2/20, P(VERDE) = 4/20, P(AZÚL) = 2/20, P(GRIS) = 12/20. 4TA RULETA: P(NARANJA) = 7/20, P(VERDE) =6/20, P(AZÚL) = 3/20, P(GRIS) = 4/20. Tenemos un dado de 10 caras de esta forma{1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2}. Y dos urnas, una A={R, R, R, V, V} y B={R,V, V, V, V}. Lanzamos el dado, si sale 1 , extraemos una bola de A, y si sale 2 de B. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una roja de A? ¿Y una roja de B? ¿Y una verde de A?. RESPUESTAS: P( ROJA DE A) = (4/10)(3/5) = 12/50 = 0.24. P(ROJA DE B) = (6/10)(1/5) = 6/50 = 0.12. P(VERDE DE A) = (4/10)(2/5) = 8/50 = 0.16. 14.
En una bolsa hay las siguientes bolas {1,2,2,3,3}. Extraemos primero una bola y la devolvemos para extraer otra. Calcule las probabilidades siguientes: P(1,1), P(1,2), P(1,3). RESPUESTAS: P(1,1) = (1/5)(1/5) = 1/25 = 0.04. P(1,2) = (1/5)(2/5) = 2/25 = 0.08. P(1,3) = (1/5)(2/5) = 2/25 = 0.08. 15.
Si para la segunda extracción del ejercicio anterior no devolvemos la 1º bola, ¿Cuál es el valor de las probabilidades ahora? RESPUESTAS: P(1,1) = (1/5)(0) = 0. P(1,2) = (1/5)(2/4) = 2/20 = 0.1. P(1,3) = (1/5)(2/4) = 2/20 = 0.1. 16.
Calcula las probabilidades de obtener 2 oros al extraer dos cartas de una baraja española en los casos de devolver y de no devolver la 1º carta a la baraja antes de extraer la 2ª. RESPUESTAS: P(2 OROS CON REPOSICIÓN) = (10/40)(10/40) = 100/1600 = 0.0625. P(2 OROS SIN REPOSICIÓN) = (10/40)(9/39) = 90 / 1560 = 0.057. 17.
Tenemos un dado de 10 caras de la forma {1,1,1,1,2,2,2,2,2,2}, y dos urnas, una A={R,R,R,V,V} y otra B={R,V,V,V,V}. Lanzamos el dado, si sale 1 extraemos una bola de A, y si sale 2 de B. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una R? ¿Y una V?. RESPUESTAS: a. P( EXTRAER “R”) = P(1)P(R de A) + P(2)P(R de B) =(4/10)(3/5) + (6/10)(1/5) = 12/50 + 6/50 = 18/50 = 0.36. b. P(EXTRAER “V”) = P(1)P(V de A) + P(2)P(V de B) = (4/10)(2/5) + (6/10)(4/5) = 8/50 + 24/50 = 32/50 = 0.64. 18.
Tenemos una urna con bolas numeradas como se indica {1,1,2,2,2} y dos urnas I={R,V} y II={N,N,R,V}. Extraemos una bola para decidir de qué urna escogemos otra. ¿Cuál es la probabilidad de obtener R ó N? RESPUESTA: P(R ö N) = P(R de I) + P (R de II) + P(N de II) = (2/5)(1/2) + (3/5)(1/4) + (3/5)(2/4) = 1/5 + 3/20 + 3/10 = 0.65. 19.
Realizado el experimento del ejercicio anterior, resultó ser V. ¿Cuál es la probabilidad de que fuera extraída de la urna I? ¿Y de la II? RESPUESTA: a. P(V) = P(V de I) + P(V de II) = (2/5)(1/2) + (3/5)(1/4) = 0.35 b. P(I / V) = = 20.
c. P(II / V) =
=
Se lanza dos monedas. Si salen dos caras se tira el dado {1,1,1,2,2,2} y si no el dado {1,1,2,2,3,3}. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1? ¿Cuándo sale uno con que probabilidad salió también dos caras? RESPUESTAS: a. P(1) = P(2 CARAS)P(1 en el 1er DADO) + P( < 2 CARAS)P(1 en el 2do DADO) = (1/4)(3/6)+(3/4)(2/6) = 0.375. b. P(DOS CARAS / salió 1) = 21.
Diez amigos organizan un viaje y elige el destino uno de ellos por sorteo. Seis quieren ir a la costa y cuatro al interior. De los primeros, dos quieren ir al norte y cuatro al sur. De los de interior, la mitad prefieren el norte y la otra mitad el sur. a) Halla la probabilidad de ir a la costa del norte. b) ¿Cuál es la probabilidad de ir al norte? c) Si van al norte, ¿cuál es la probabilidad de que sea en la costa? RESPUESTAS: Sean: P(costa) = 6/10. P(interior) = 4/10. P(norte / costa) = 2/6. P(sur / costa) = 4/6. P(norte / interior) = 2/4. P(sur / interior) = 2/4. 22.
a. P(costa del norte) = p(costa)p(norte / costa) = (6/10)(2/6) = 0.2. b. P(norte) = p(costa del norte) + p(interior del norte) = 0.2 + (4/10)(2/4) = 0.4. c. P(costa / norte ) =
DEL ARCHIVO PROBABILIDAD PROBLEMAS VARIOS, SECCIÓN AUTOEVALUACIÓN. 1. Tiramos
un dado de 10 caras. P(obtener<7 ) RESPUESTA: 6/10. En una bolsa tenemos 6 bolas rojas, 9 bolas azules y 5 bolas verdes. Extraemos una bola. ¿cuál es la probabilidad de obtener una bola roja? RESPUESTA: 6/20 = 0.3. 2.
3. Disponemos
de una baraja de 100 cartas, de cuatro colores y numeradas del 1 al 25. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 23? RESPUESTA: 4 /100 = 0.04 4.Sucesos
elementales
={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…20},
A={1,2,3,4,5},
C={1,2,3,4,···,14,15}. ¿Cuál es la probabilidad de AUC? RESPUESTA: SUCESOS ELEMENTALES ={1,2,3, …., 20}= 20 ELEMENTOS. AC = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} = 15 ELEMENTOS. PROBABILIDAD AC = 5. Lanzamos
dos dados normales. ¿Qué probabilidad hay de obtener menos de 8?
RESPUESTA: P (< 8) = P(2) + P(3) +…..+P(7) = 21/36 , lo cual es mucho más visible en el siguiente cuadro de 36 arreglos, las 21 celdas sombreadas, representan sumas menores a 8. DADO 1 DADO 2
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
6. ¿Qué
probabilidad hay de no sacar ni copas ni figuras al extraer una carta de una baraja española? RESPUESTA: P(no copas ni figuras) = 1 – {p( copas figuras)} = 1 – {p(copas) + p(figuras) - p(copas y figuras)} = 1- 10/40 - 12/40 + 3/40 = 21/40. Extraemos una carta de una bajara española. La devolvemos y extraemos otra, ¿Qué probabilidad hay de sacar alguna figura? RESPUESTA: P(2 figuras) + P(1ra no es figura y la 2da sí) + P(1ra es figura y la 2da no) = (12/40)(12/40)+(28/40)(12/40)+(12/40)(28/40) = 144/1600 + 336/1600 + 336/1600 = 816/1600 = 0.51. 7.
8. Tiramos
dos monedas. Si salen dos cruces extraemos una bola de una urna con 3 bolas blancas y 7 negras, y en caso contrario de una urna con 4 bolas blancas y 6 negras ¿cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca? RESPUESTA: P(BLANCA) = P(2 cruces)P(Blanca urna 1) + P(< 2 cruces)P(Blanca urna 2) = (1/4)(3/10)+(3/4)(4/10) = 0.375.
Tiramos un dado de 10 caras. Si sale menor que 7 extraemos una carta, y en caso contrario dos devolviendo la 1ª antes de sacar la 2ª. ¿Qué probabilidad hay de obtener algún oro? RESPUESTA: P(ORO) = P(1 carta y es ORO) + P(dos OROS) + P(1ra es ORO la 2da no) + P(1ra no es ORO la 2da sí) = (6/10)(10/40) + (4/10)(10/40)(10/40) + (4/10)(10/40)(30/40) + (4/10)(30/40)(10/40) = 13/40. Estos cálculos son visibles en el siguiente diagrama de árbol, donde existen 4 posibles rutas que producen Oro, sea un oro o dos oros. 9.
En un colegio el 60% de los alumnos practican fútbol, el 50 % Baloncesto, y el 90% uno o los dos. ¿Qué probabilidad hay de que un estudiante del colegio practique los dos deportes? RESPUESTA: P(F B) = P(F) + P(B) - P( F ö B) = 0.6 + 0.5 – 0.9 = 0.2. 10.
