Ejercicios resueltos listado 1 1.- La figura figura muestra un tambor lleno con agua, que gira con la velocidad ω.El manómetro indica la presión Pm. Calcular: a) la presión en A b) la energía específica (m) (m) que tiene una partícula de agua ubicada en N . ω = 100 rad/s otros datos: H = 4m R o = 1m solución: a) presión en A: el punto A y el M se encuentran sobre la misma normal, por lo tanto se pued e aplicar la siguiente relación: p A γ
+ ZA −
p A = p M −
2 VA
2g
=
p M γ
+ ZM −
2 VM
con Z A = Z M
2g
V = ω R
R A = 0
ω2 R 2M ρ
2
b) energía específica en N: b1) relacionando M con C (según la normal) y C con N (según la binormal), p C γ
+ ZC −
VC2 2g
=
p M γ
+ ZM −
2 VM
p C
2g
γ
+ ZC =
p N γ
+ Z N
La energía específica de la partícula de agua en la posición N es por lo tanto:
B N =
p N γ
+ Z N +
Con: VC=V N =ω R o
V N 2
2g y
=
pC γ
+ Z C +
V N 2
2g
=
p M γ
+ Z M −
V M 2
2g
+
V C 2
2g
+
V N 2
2g
VM= ω R M=0.75R o
2 ω 2 Ro2 − 0.5625ω 2 Ro2 0.875ω 2 Ro2 p p B N = M + Z M + = M + Z M + 2g 2g γ γ
b2) relacionando A con B (según la binormal) y B con N (según la normal) - M con C - C con N 2.- Por una tubería horizontal de 0.1m. de diámetro interior circula aire con una densidad de 1.2kg/m3 y con una velocidad media de 20 m/s, determine las diferencias de nivel en mm. columna de agua en los tubos en U conectados a un tubo de Pitot, ubicado en r = 0.04 m. Desprecie el efecto de las colu mnas de aire.
⎡ ⎛ r ⎞ 2 ⎤ ⎟⎟ ⎥ u = K ⎢1 − ⎜⎜ R ⎢⎣ ⎝ o ⎠ ⎥⎦
Solución: - K según la ecuación anterior es a la velocidad máxima Como K = Umax = 2*U media = 40 m/s la velocidad en r = 0.04m 0.04 m es : 2 ⎛ ⎛ 0.04 ⎞ ⎞ ⎟ = 14.4m / s u = 40⎜1 − ⎜ ⎜ ⎝ 0.05 ⎠⎟ ⎟ ⎝ ⎠ Aplicando Bernoulli entre 1 y 2, despreciando pérdidas, se obtiene:
u12
2g
=
p2 − p1 g ρ aire
Aplicando relación de la estática de fluidos y despreciando el peso de las columnas de aire, se obtiene:
1
p2 − p1 = g ρ agua h h=
u12
ρ aire
2 g ρ agua
=
(14.4)2
y reemplazando 1.2
2 * 9.8 1000
= 0.0127m → h = 12.7mm
Nota: otra manera de calcular K es empleando el caudal 2 ⎛ ⎛ r ⎞ 2 ⎞ R 2 ⎟⎟ ⎟2π r dr = K π o → K = 40m/s Q = u * A f = 20 * πR o = ∫ udA = ∫ K ⎜1 − ⎜⎜ ⎜ ⎝ R o ⎠ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 3.- Una turbina Pelton, cuyas características son: diámetro rodete 0.5m, velocid ad de giro 1000 RPM, ángulo de salida alabe 30º, rendimiento rodete- eje de 80%. La presión manométrica antes de la válvula de aguja es de 120.m c. de agua, en este lugar la tubería ti ene un diámetro interior de 80 mm. y el caudal es 100 litros / seg. a) calcule la potencia al eje b) calcule la fuerza resultante al freno si éste tiene un diámetro de 0.48m. Solución a) cálculo de la velocidad del chorro, aplicando Bo = B1 + Δ 01 C o =
Q A f
=
0.1 π (0.08)
2
/4
= 20m / s
p1 = 0 C 12
2g
= 120 +
20 2 2 * 9.8
→ C 1 = 52.5m / s
b) aplicación de los principios de conservación al rodete al fluido contenido en el volumen de control con (“2” entrada, “3” salida) - la relación de bernoulli aplicada considerando el sistema absoluto referencia, al agua que pasa por la rueda:
B2 = B3 + H T Donde HT representa la energía específica que el agua transfiere a la rueda (turbina) - la relación de bernoulli aplicada al agua entre la entrada y salida de la rueda, pero en sistema relativo de referencia queda: B R 2 = B R 3 + Δ 23
→
W 22
2g
2
=
W 3
2g
+ Δ 23
→ si
Δ 23 = 0 → W 2 = W 3
- aplicación de la conservación del momentum lineal al flujo de agua que pasa por el rodete r r r r ∑ F = [m& 3C3 + m& ′3C3 ]− m& 2C2 con m& 3 = m& ′3 m& 2 = m& 3 + m& ′3 = ρ Q2 Como el fluido es incompresible y todo el caudal del chorro impacta sobre la r ueda, y aplicando la relación anterior según el eje x, se obtiene: − Fu = ρ Q 2 [C 3u − C 2u ] con : C 3u = U 3 − W3u U3 = U 2 =
πRPM D
60 W3u = W3cos30º
=
π *1000 * 0.5
60
= 26.2m/s
W3 = W2 = C 2 − U 2 C 2 = C1
sin pérdidas roce agua − aire
C1 = C 2 = C 2u = 52.5m/s
W 2 = W 3 = 26.3m/s
C 3u = 3.4m/s
Q 1 = Q 2 = Q ′3 + Q 3 = 0.1m 3 /s
la fuerza que la rueda ejerce sobre el agua es por lo tanto: − Fu = 1000 * 0.1[3.4 − 52.5] = −4910N → Fu = 4910 N El signo + de la fuerza indica que el sentido asignado es el correcto Potencia que transfiere el agua a la t urbina:
2
PT = F u *U = 4910 * 26.2 = 128.642W
Potencia al eje de la turbina (potencia al freno) Pe = η T * PT = 0.8 *128.642 = 102.914W Torque y fuerza al freno o al e je: Pe
T e =
102.914
=
2π 1000 60
ω
=
102.914
= 983 Nm
104.7
Fuerza neta o resultante al freno F R =
T e RF
=
983 0.48 2
= 4096 N
4.- El cilindro de la figura de 2m de alto por 0.8m de radio, lleno con agua, se hace girar en torno a su eje con una velocidad de rotación de 300r.p.m. En estas r=0.3m p=1.8bar condiciones un sensor de presión conectado a un punto de la tapa superior en la posición r=0.3m indica una presión de R=0.8m 1.8bar man. a)(20%) deduzca la expresión que permite calcular la 2m distribución de presiones según la dirección radial b)(10%) calcule la presión que indicaría un manómetro A(0,0.8) ubicado en el punto “A”. a)aplicando la 2ª ec. de Newton en la dirección normal
⎛ ⎝
pdA − ⎜ p +
∂ p ⎞ 2 dn ⎟dA = ρ dV ω r ∂n ⎠
Como el movimiento es de vortice forzado u = ω r → ω = du = − du dr
dn
Con las dos relaciones anteriores se obtiene: 2 ∂ p ∂ ⎡ p u 2 ⎤ p u + ρω 2 r = 0 → ⎢ − ⎥ = 0 → − = cte ∂n ∂n ⎣ ρ 2 ⎦ g ρ 2 g
b) llamando con subíndice “1” al punto donde está ubicado el manómetro, “2” al punto ubicado a la misma altura pero en el borde, y aplicando la relación anterior se obtiene: p2 g ρ
=
p1 g ρ
−
u12
2g
+
u 22
2g
=
2
p1 g ρ
−
ω
r 12
2g
2
+
ω
r 22
2g
=
180000 9800
+
(31.42)2 2 * 9.8
[0.8
2
− 0.32 ] = 46.1m
Como según la vertical rige la ley de la estática de fluidos, se obtiene: p A g ρ
=
p 2 g ρ
+ Δ Z = 46.1 + 2 = 48.1m → p A = 48.1* 9800 = 471380Pa 5.- La figura muestra el escurrimiento de agua generado por el movimiento de la placa superior, que se mueve con una velocidad de 10 m/s. Calcule el caudal y la velocidad media r Cálculo del caudal, con Q = ∫ ur o d A = ∫ udA y u = uo
dA = 1 * dy
y = H
→ Q = ∫ y=0 10
y H
dy = 5
y 2 H
y H
en y = H
u = u o = V = 10m/s
= 5 H = 5 * 0.1 = 0.5m 3
Velocidad media con: Q = u * A = u * (1 * H) = 0.1u = 0.5m 3 /s → u = 0.5 = 5m/s 0.1
3
6.- La figura muestra una tobera que se emplea para acelerar un flujo de aire (Ra=287, k=1.4). Calcule las velocidades, flujos másicos y caudales volumétricos en la sección de entrada 1-1 y en la de salida 2-2 - En la entrada con: M = U1 = a1
U1 kR a T1
= 0.1
Velocidad: U 1 = 0.1 * kR a T1 = 0.1 1.4 * 287 * (400 + 273) = 52m/s Caudal Q1 = U1 * A1 = 52 * π D12 = 52 * π (0.1)2 = 0.408m3 /s 4 4 p1 Flujo másico m & 1 = ρ1 * Q1 con ρ1 = = R a T1
4.5 *105 287 * (273 + 400)
= 2.33 kg/m3
& 1 = 2.33 * 0.408 = 0.951 kg/s m
En la salida m & 2 =m & 1 = 0.951 kg/s Conservación de la masa Q2 =
Q2 =
& 2 m
ρ2
0.951 0.803
∂m & =0 +m ∂t
p ⎞ para proceso isentrópico ρ = ρ * ⎛ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ 2 1 ⎝ p1 ⎠
= 1.184 m 3 /s
U2 =
Q2 A2
=
1
k
⎛ 101300 ⎞ = 2.33 * ⎜ ⎟ ⎝ 450000 ⎠
1 1.4
= 0.803 kg/m 3
1.184 = 1675 m/s 2 π ( ) * (0.03) 4
7.-La figura muestra un cilindro que contiene 400 litros de oxígeno. La presión inicial en el tanque es de 200 bar abs. y la temperatura permanece invariable en 20ºC. El caudal volumétrico que sale se mantiene fijo en 50 litros/minuto mediante la válvula de control. Calcule la masa de oxígeno y la presión en el tanque, habiendo transcurrido 10 minutos. Nota: considere que para cada instante de tiempo, la densidad del oxígeno se mantiene uniforme hasta antes de la válvula. Aplicando el principio de conservación de la masa al volumen de control (cilindro de oxígeno) se tiene: en cualquier instante de tiempo m = ρ Vo y m & = ρ Q con Q = 50 l/min
Reemplazando se obtiene: ∂ (ρ V ) + ρQ = 0 → V dρ + ρQ = 0 → dρ = − Q dt o o dt Vo ∂t ρ ⎛ ρ ⎞ Q ⎟⎟ = − * Δt Vo ⎝ ρ i ⎠
ln ⎜⎜
⎛ ρ ⎞ 50 *10 = −1.25 → ln⎜⎜ ⎟⎟ = − 400 ⎝ ρ i ⎠
→
p
RT = p = e −1.25 p i p i RTi
p = 200 * 0.2865 = 57.3bar ρ =
La masa de oxígeno transcurridos 10 min es
ρ ρi
p R O2 T
=
= e −1.25 57.3 *10 5 260 * (273 + 20 )
= 75.22kg/m 3
m = ρ * Vo = 75.22 * 0.4 = 30.1kg
8.- La figura muestra un manómetro en U, con mercurio, conectado a una tubería con agua. El mercurio alcanza la condición de equilibrio h = 0, cuando p1= 1.2 bar absoluto. Calcular el valor de p1 manométrica, 3 3 para h =0.3m densidades mercurio = 13600 kg/m , agua 1000 kg/m presión atmosférica= 101.325Pa, 1 bar = 100.000 Pa . Según se muestra en la figura (izq.) siguiente para la condición de equilibrio:
p B = p A = p atmf
p1 = p A + γ W Z1 = 1.2 *10 5 = 101325 + 9800 * Z1
→ Z1 = 1.91m Para la medición actual de la presión, se tiene según
4
figura derecha: p C = p D + h * γ M = p atmf + 0.3 * (9.8 *13600) = p atmf + 39.984.0 p 2 = p C + Z 2 * γ W = p atmf + 39.984.0 + 1.76 * 9800 = p atmf + 57.232.0 p 2man = p 2 − p atmf = 57.232.0Pa Z 2 = Z1 − 0.5 * h = 1.91 − 0.5 * 0.3 = 1.76m
con
9.-calcule la fuerza resultante sobre la unión (tee) que se encuentra en un plano horizontal, si el líquido que circula es agua, y las presiones que se indican son manométricas. Para estado estacionario, se cumple: r
r
r
r
r
r
r
− m& 1C 1 − m& 2C 2 + m& 3C 3 = F p1 + F p 2 + F p 3 + R Donde F p son las fuerzas provenientes de las presiones y R es la fuerza que ejerce la tee sobre el agua.. Descomponiendo según sistema de coordenadas X- Y se obtiene con: & 1 = ρ A 1 C1 = 1000 * 0.0079 * 4 = 31.42kg/s m & 2 = ρ A 2 C 2 = 1000 * 0.0079 * 5 = 39.27kg/s m Del balance de masas se obtiene: &3 = m &1 + m & 2 = 31.42 + 39.27 = 70.69 m & 3 = ρ A3 C 3 m
→ C 3 = 6.25m / s
− m& 1C 1 cos 45 − m& 2C 2 cos 45 + m& 3C 3 = p1 A1 cos 45 + p 2 A2 cos 45 − p3 A3 + R X − m& 1 (−C 1sen45) − m& 2C 2 sen45 + 0 = − p1 A1sen45 + p2 A2 sen45 − 0 + RY
X Y
Reemplazando se obtiene: R x = -186.68 N R y = -332.99 N El signo – significa que la fuerza R tiene un sentido cont rario al supuesto en la figura
10.-obtenga la expresión que permite calcular la pérdida de carga Δ (m) en función de C1, d1 y d2, que se produce en el ensanche brusco, para tuberías con flujo vertical descendente.
Aplicando: a) conservación de la masa, para fluido incompresible, se 2 obtiene: ⎡ d1 ⎤ C1A 1 = C 2 A 2 C 2 = C1 ⎢ ⎥ ⎣d2 ⎦ b) conservación de la energía mecánica se obtiene
p1 γ
+
c12
2g
+ z1 =
p 2 γ
+
c 22
2g
+ z 2 + Δ 12
→ Δ12 =
p1 − p 2 γ
+
c12 − c 22
2g
+ z1 − z 2
c) conservación del momentum lineal según la dirección vertical: & (c 2 − c1 ) p1 A1 + p1 ( A2 − A1 ) − p 2 A2 + γ V o = m aproximando el volumen de control a V o ≈ A2 ( z1 − z 2 ) y dividiendo por γ A2
p1 − p 2 γ
+ ( z1 − z 2 ) =
c2
(c 2 − c1 ) g reemplazando en la ecuación de Bernoulli se obtiene: se obtiene:
5
Δ12 =
c2 g
2
(c 2 − c1 ) +
2
c1 − c 2
2g
=
(c1 − c 2 )2 2g
(Queda demostrado que el valor de la pérdida no depende de la orientación de la tubería) 11.- La figura muestra en un plano horizontal un chorro de agua que saliendo de la tobera impacta sobre la placa lisa inclinada. Calcule: a) los caudales Q1 y Q2 b) la magnitud y dirección de la fuerza Ro a aplicar sobre la placa para que ésta no se mueva El manómetro indica una presión equivalente a 100 metros columna de agua. Solución: - La placa está fija por lo que todo el caudal QB que sale desde la tobera llega a ella. - El roce del aire sobre el chorro es despreciable, la velocidad media CB no disminuye - El agua saliendo de la tobera queda expuesto a la presión atmosférica, si no existe roce entre el agua y la superficie inclinada, se tiene: BB = B1 =B2 con lo que CB = C1 = C2 Aplicación de los principios de conservación: &B =m &1 +m & 2 - de la masa m con ρ = cte → * Q B = Q1 + Q 2 - de la energía BA = BB
→
PA γ
C 2B ⎡ 1⎤ 1 − ⎥ = 100 ⎢ 2 g ⎣ 16 ⎦
+
C 2A 2g
=
PB γ
+
C 2B 2g
con
PB = 0
CA = CB
y
AB AA
⎛ 0.05 ⎞ = CB ⎜ ⎟ ⎝ 0.10 ⎠
2
→ C B = 2 * 9.8 * 100 * 16/15 = 45.72m/s π
2 → Q B = C B A B = 45.72 * (0.05 ) = 0.09m 3 /s
4
- del momentum dirección paralela a la placa ρ Q1C1 + (−ρ Q 2C2 ) − ρ Q BC Bcos30° = 0 a * * Q1 − Q 2 = Q Bcos30° - del momentum dirección perpendicular a la placa 0 − ( −ρ Q B C B sen 30°) = R F → R F = 1000 * 0.09 * 45.72 * sen 30° = 2057 N - resolviendo ecuaciones * y ** se obtiene: Q1= 0.084 m3/s - la fuerza Ro = RF = 2057N (perpendicular a la placa)
Q2=0.006m3/s
12.- Calcular la presión P2 en el circuito de la figura Aplicando conservación de la masa: 2
⎛ 0.10 ⎞ U1A 1 = U 2 A 2 → U 2 = 12⎜ ⎟ = 4.69m/s ⎝ 0.16 ⎠ Aplicando conservación del momentum al fluido en el volumen de control: & U2 − m & U 1 = P1A 1 + P1 (A 2 − A 1 ) − P2 A 2 m Con
& (U 2 − U 1 ) = (P1 − P2 )A 2 m
2 & = ρ U1A1 = 1000 *12 * π * (0.1) /4 = 94.25kg/s m
P2 = P1 −
& (U 2 − U1 ) m
A2
= 250.000 −
94.25 (4.69 − 12 ) 2 π (0.16) /4
= 284.266Pa
6
