UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ´ CRISTOBAL DE HUAMANGA FACULT ACULTAD INGENIER INGE NIER´ IA DE MINAS, GEOLOG´ IA Y CIVIL ´ PROFESIONAL ESCUELA DE FORMACION DE INGENIER´ IA CIVIL
CURSO :
ANALISIS ESTRUCTURAL II (IC-443)
TEMA : CAPITULO VII
DOCENTE : Ing. YACHAPA CONDEÑA
Ruben Americo
ALUMNO :
VARGAS ÑAUPA, Hilmar
CODIGO: CODIGO: 16115684
Ayacucho -
Octubre
2015
,
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIO 01: Determinar el coeficiente de forma β de una columna de sección constante de forma de L:
2
1 X
Solución: a) Por ser de sección constante:
β =
A1 I
2
1 x b
2
∫
S 1 x dA1
+
A2 I
2
2 x b
2
∫ S
2 x dA2
b) Luego hallamos el área y el momento de inercia con respecto aleje “X” para cada caso:
A1 = Bh
A2 = b( H − h)
dA1 = Bdy I 1 x =
Bh
dA2 = bdy
3
I 2 x =
3
B S 21 x = (h 2 − y 2 ) 2
b
3
2
S 2 2 x =
( H − h)( H 2 + h 2 + Hh) b
2
( H 2 − y 2 )
c) Reemplazando: 2
H b( H − h b B 2 2 β = − + ( h y ) Bdy ( H 2 − y 2 )bdy 2 ∫ 2 ∫ 3 2 b h 2 2 Bh 0 b 2 ( H − h)( H 2 + h 2 + Hh) B 3 3
Bh
h
Resolviendo las integrales, además se sabe que: H = 2h, tenemos:
β = 1.36
UNSCH
2
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
EJERCICIO 02: Encontrar el elemento de rigidez
2 EI L
a partir de los resultados presentados en el ejemplo
05:
Solución: a) Se sabe que: 2
2 X 2 X 3 X v( x ) = θ 1φ 3 ( x ) = θ 1 X 1 − = θ 1 X − + L L L Como
θ 1 = 1 :
v( x ) = X −
2 X 2 L
+
X 3 L
La derivada de v ( x ) es el giro θ ( x ) y la derivada del giro es la curvatura φ ( x ) y a su vez la curvatura es igual a
M EI
:
θ ( x) =
dv( x ) dx
= 1−
4 X L
2
φ ( x) =
d v( x ) dx
2
=−
4 L
+
+
3 X 2 L2
6 X 2
L
Por la convención de signos con la que se está trabajando se tiene que:
d 2 v( x) dx 2
=−
M EI
Al reemplazar x = L, se tiene que:
M =
2 EI L
De tal manera que el momento que produce el giro unitario en el nudo final vale
2 EI L
que es el término de rigidez que se está buscando.
UNSCH
3
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
EJERCICIO 03: Encontrar la matriz de rigidez asociada al sistema de coordenadas de la fig. 7.1 para un muro de 20 por 400cm (bxh). La altura del elemento es de 3.0 m. El módulo de elasticidad es de 2173706.5 T/m2. Calcular sin considerar el efecto de corte y considerando el efecto de corte.
Dónde:
•
b = 0.2 m
•
h = 4.0 m
•
L = 3.0 m
•
E = 2173706.5 T/m2
•
G = 0.4*E = 869482.6 T/m2
Solución: a) Hallamos el momento de inercia y el área de la sección:
I =
b*h
12
3
= 1.067m 4
A = b * h = 0.8m
2
b) Calculando la matriz sin considerar el efecto de corte:
4 EI L 2 EI K = L 0
2 EI L 4 EI L
0
0
0
AE L
Resolviendo:
4 EI L
=
2 EI L
UNSCH
=
4 * 2173706.5 * 1.067 3 2 * 2173706.5 * 1.067 3
= 3092459.78Tm.
= 1546229.89Tm.
4
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
AE L
=
0.8 * 2173706.5 3
= 579655.067T / m.
Luego reemplazamos en la matriz K:
0 309259.78 1546229.89 0 K = 1546229.89 309259.78 0 0 579655.067 c) Calculando la matriz considerando el efecto de corte:
EJERCICIO 04: Con la ayuda de las tablas de Guldan determinar la matriz de rigidez del elemento para el sistema de coordenadas de la fig. 7.5 para la viga de sección variable que se indica a continuación considerar el módulo de elasticidad igual al del ejercicio anterior.
Solución: a) Coordenadas de la figura 7.5:
b) Se tiene la matriz de flexibilidad:
c) Considerando el efecto de corte:
UNSCH
6
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
d) Tratándose de una sección variable:
Para 0
Para 0
h( x) = 0.8 − 0.4 x
h = 0.4m
A( x ) = 0.24 − 0.12 x
A = 0.12m
bh 3 ( x )
I = 0.0016
I ( x ) =
12
= 0.03(0.8 − 0.4 x) 3
2
Para 3
h( x) = 0.4 x − 0.8 A( x) = 0.12 x − 0.24 I ( x) = 0.03(0.4 x − 0.8)
3
Se sabe que E = 2173706.5 Tn/m 2 y G = 869482.6 Tn/m2 y remplazando en cada caso se obtiene:
f 11 = 2.37 x10 −4 f 12 = f 21 = −1.58 x10
−4
f 22 = 2.37 x10 − 4 Luego al reemplazar en la matriz de flexibilidad:
2.37 x10 −4 f = −4 − 1.58 x10
− 1.58 x10 −4 2.37 x10 −4
Se sabe que: K = f -1 Considerando el efecto de corte:
7625.9 K = 5096.8
5096.8
7625.9
Sin considerando el efecto de corte:
8042.5 K = 5513.2
UNSCH
5513.2
8042.5
7
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
EJERCICIO 05: Determinar los términos f 11 y f 21 utilizando las ecuaciones (7.4.1) y (7.4.2) de la viga acartelada.
Se
recomienda
resolver
las
integrales
empleando
métodos
numéricos
concretamente utilizar 5 puntos de la nomenclatura de Gauss. Solución: a) Al igual que en el ejercicio anterior y considerando el efecto de corte: 2
2
L L − x dx 1 dx f 11 = ∫ + ∫ β L EI x 0 L GA x 0 L
L
f 21 =
∫
x( L − x ) dx 2
L
0
2
L
1 dx + ∫ β EI x 0 L GA x
b) Tratándose de una sección variable:
Para 0
Para 0
h( x) = 0.8 − 0.4 x
h = 0.4m
A( x) = 0.24 − 0.12 x
A = 0.12m 2
I ( x ) =
bh
3
( x )
12
I = 0.0016
= 0.03(0.8 − 0.4 x) 3
Para 3
h( x) = 0.4 x − 0.8 A( x ) = 0.12 x − 0.24 I ( x ) = 0.03(0.4 x − 0.8)
3
Se sabe que E = 2173706.5 Tn/m 2 y G = 869482.6 Tn/m2 y remplazando en cada caso se obtiene: −4 f 11 = 2.37 x10 −4 f 12 = f 21 = −1.58 x10
