solemne 3 calculo avanzado unab

Universid Unive rsidad ad Andr´ es es Bello Bel lo Departamento Depart amento de Matem´ aticas aticas ´ CALCULO ALCUL O AVANZADO ANZADO - FMM 132

1er Semestre, 2010 PAUTA AUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Vierne Viernes s 25 de Junio Junio de 2010 2010

1. Utilizando Utilizando la trayectoria trayectoria y  = mx  =  mx,, determine el valor de la constante m  de modo que x·y 1 = 3 (0,0) 2x2 + y 2

lim

(x,y)

→

Sol: Si y Si  y  = mx  =  mx,, entonces: mx2 mx2 m   = lim = x 0 2x2 + m2 x2 0 x2 (2 + m + m2 ) 2 + m +  m2

lim x→

→

Imponiendo la condici´ on: on: m 1 = 2 + m +  m2 3

 m  = ⇒  m =

1 ∨ m  = 2 1.5 Ptos

2. Demuestr Demuestree que si z  =

1 y 2 · (e − e

y

−

) · sin x, entonces ∂ 2 z  ∂ 2 z + =0 ∂x 2 ∂y 2

Sol: zx  =

1 y (e − e 2

y

−

1 zy = (ey + e 2

1 ) · cos x ⇒  zxx = − (ey − e 2 y

−

1 ) · sin x ⇒  zyy = (ey − e 2

y

−

y

−

) · sin x

) · sin x 1.0 Pto

Reemplazando: zxx + z  +  zyy = (e ( ey − e

y

−

1 1 ) · [  sin x −  sin x] = 0 2 2

 

 0

 

0.5 Ptos

3. Si z  = x · y + f (u, v), donde u = x 2 ; v = y 2 , y adem´as y·

∂z ∂x

−

x·

∂f  ∂f  =  = 1, demuestre que ∂u ∂v

∂z = y 2 − x2 ∂y

Sol: zx  = y + f u · 2x + f v · 0 = y + 2x zy = x + 1 · 0 + 1 · 2y = x + 2y 1.0 Pto. Luego: y(y + 2x) − x(x + 2y) = y 2 + 2xy − x2 − 2xy = y 2 − x2 0.5 Ptos. 4. Sea la funci´ on f (x, y) = 2x2 + 4x + y2 + 6y. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o´ falsas, justifique en cada caso: (a) f (x, y) tiene un punto silla en (−1, −3) (b) f (x, y) alcanza un valor m´ınimo de −11.

Sol: Al imponer que f x  = f y  = 0 se obtiene que 4x + 4 = 0 ⇒  x =

−1

y 2y + 6 = 0 ⇒ y =

−3.

Adem´ as:

H (x, y) = 4 · 2 − 02 = 8 > 0 y f xx  = 4 > 0

⇒  ( −1, −3)

es un m´ınimo. Por tanto la parte (a) es Falsa. Calculemos el valor m´ınimo:

f (−1, −3) = 2 · (−1)2 + 4 · −1 + ( −3)2 + 6 · −3 = −11 Por tanto la parte (b) es Verdadera. 1.5 Ptos 5. Encontrar la soluci´ on particular de la siguiente ecuaci´ on diferencial de primer orden: (1 + y 2 ) · dy − y · cos x · dx = 0

; y(0) = 1

Sol: Separando variables: 1 + y 2 y

dy = cos xdx /

ln y +

 

 y 2   = sin x + C  2 0.8 Ptos.

Si x = 0; y = 1:

 1 1 ln1 +  = sin0 + C  ⇒  C  = 2 2

Luego, la soluci´ on particular es: y2 ln y + 2

−

sin x −

1 =0 2 0.7 Ptos.