Soal Latihan Topik : Bilangan
1.
Hasi Ha sill kali kali dua dua bil bilan anga gan n asl aslii m dan n adalah 10000, dengan m dan n bukan kelipatan 10. Tentukan jumlah m dan n. Alternatif Penyelesaian. m.n = 10000 = 2 4 5.4 4 leh ka!ena m dan n bukan kelipatan 10 " 2. 5, maka m = 2
=
1# dan n = 54
=
#25 $atau sebalikn%a&. sebalikn%a&.
Jadi m + n = 1# + #25 = #41
2.
4x
5$mod 11& dan 5 y
2$mod 11&
. Tentukan
x.y $mod $mod 11& 11&
Alternatif Penyelesaian.
Teo!ema. 'ika 'ika
ax = b$mod m& $ a , m& b
maka
mempun%ai solusi maka ax = b$mod m&
$ a, m& b
mempun%ai solusi seban%ak $ a, m&
4 x �5$mod 11 11& �1#$mod 11 11& � x = 4 5 y �2$mod 11 11& �(5$mod 11& � y = )
Jadi
(.
xy$mod11 $mod11&& �2*$m 2*$mod11 od11&& �#$mod11 #$mod11&&
Ha!i Ha !i ini ini ada adala lah h ha! ha!ii Sen Senin in,, mak makaa 10
201)
adalah ha!i
Alternatif Penyenelsaian. 102 �2$mod )& $102 &( �*$mo $mod)& �1$mo $mod)& 10201) �$10# &((# .10$mod )& )&
�1.10$mod)& �($mod)& 201) +ang a!tin%a a !tin%a 10 ha!i lagi sama a!tin%a dengan ( ha!i lagi. 201) Jadi 10 hari lagi setelah hari Senin adalah hari Kamis.
4.
ibe!ikan ibe!ikan bilang bilangan an 22- m me!up e!upakan akan bilang bilangan an p!ima p!ima dengan dengan tepat tepat dua dua angka angka kemba!, kemba!, tentuka tentukan n ban%ak bilangan p!ima dengan tepat dua angka kemba! anta!a 200 dan dan (00. Alternatif Penyelesaian.
Bilangan p!ima anta!a 200 (00 adalah 211, 22(, 22), 22-, 2((, 2(-, 241, 251, 25), 2#(, 2#-, 2)1, 2)), 2*1, 2*(, 2-(. +ang memiliki tepat dua angka: 211, 22(, 22), 22-, 2((, 2)) Jadi banyak bilangan prima antara 200 – 300 yang memiliki tepat dua angka kembar adalah 6 bilangan
5.
Tentukan entukan bilangan bilangan %ang %ang dapat dapat dibagi dibagi # tetapi tetapi tidak tidak dapat dapat dibagi dibagi - anta!a anta!a 101 sampai sampai 1--. 1--. Alternatif Penyelesaian.
Bilangan kelipatan # anta!a 101 sampai 1-102, 10*, 114, 120, 12#, 1(2, 1(*, 144, 150, 15#, 1#2, 1#*, 1)4, 1*0, 1*#, 1-2, 1-* //$-, #& " 1* Bilangan kelipatan 1* anta!a 101 sampai 1-10*, 12#, 144, 1#2, 1*0, 1-* Jadi bilangan kelipatan 6 antara 101 sampai 1 yang tidak habis dibagi adalah 102! 11"! 120! 132! 13#! 1$0! 1$6! 16#! 1%"! 1#6! 12.
#.
e!kalian (.5.# dapat din%atakan dalam bentuk pe!kalian bilangan p!ima. Tentukan jumlah pangkat da!i 2 dan ( Alternatif Penyelesaian. (.5.#
=
(.2.1.5.4.(.2.1.#.5.4.(.2.1
=
2 (.((.4 2.52.#
=
2 (.( (.2 4.5 2.2.(
=
2*.(4.52
Jadi ¨ah pangkat dari 2 dan 3 adalah # ' " ( 12
).
'ika 5# disajikan dalam 211 dalam basis b, maka 112 dalam basis b disajikan dalam basis 10 adalah Alternatif Penyelesaian.
211b
=
2.b 2 + 1.b1 + 1.b 0
5#
=
2b 2 + b + 1
0
=
2b 2 + b - 55
Sehingga nilai b %ang mungkin adalah 5.
112 b Jadi
*.
=
112 5
1125
=
=
1.5 2 + 1.5 1 + 2.5 0
=
25 + 5 + 2 = (2
(2
k Tentukan bilangan te!besa! k sedemikian sehingga (0 dapat habis dibagi #
lte!nati3 en%elesaian.
(0 = (0.2-.2*.2).2#.25.24....(.2.1 -.
Tentukan ban%ak suku %ang sama da!i dua ba!isan a!itmatika 5, 12, 1-, , 2014 dan 2, 1(, 24, , 2015. Alternatif Penyelesaian.
Teo!ema: e!samaan liniea! iophantine
ax + by = c
mempun%ai pen%elesaian jika dan han%a jika
$ a, b& c
ax + by = c x , y Teo!ema: 'ika d = $a, b& dan o o me!upakan pen%elesaian pe!samaan iophantine , maka pen%elesaian umum pe!samaan te!sebut adalah
x = xo + $b d& k
dan
y = yo - $a d&k
Ba!isan a!itmatika 5, 12, 1-, ,
dengan k pa!amete! bilangan bulat.
ux , , 2014 memiliki beda ) =
Ba!isan a!itmatika 2, 1(, 24, , 6isalkan
ux
u y
dan
u y , , 2015 memiliki beda = 11
be!tu!ut7tu!ut me!upakan suku pe!tama pada ba!isan a!itmatika 5, 12, 1-,
dan 2, 1(, 24, . %ang men%ebabkan
ux
=
uy
5 + $ x - 1&.)
=
2 + $ y - 1&.11
)x - 2
=
11y - -
) x - 11y
=
-
ux
=
uy
.
)
/a!ena $), 711& " 1 dan
1 -)
maka
) x - 11y = -)
mempun%ai selesaian.
1 = ).( - 11.2
-
) = ).21 - 11.14
-
6aka
xo
=
21, yo
=
14
Selesaian umumn%a:
x = 21 - 11k dan y = 14 - ) k
x = 10, y = ) 8ntuk k = 1 dipe!oleh sehingga
ux
=
5 + $ x - 1&.) = 5 + #( = #*
'adi suku pe!tama %ang sama pada kedua ba!isan adalah #*. /a!ena 9),11 " )), maka ba!isan a!itmatika #*, 145, 222, , 1--( me!upakan ba!isan suku7suku %ang sama pada kedua ba!isan a!itmatika di atas. Ban%ak suku %ang sama adalah 1--(
=
#* + $ n - 1&.))
1--(
=
)) n - -
n
=
n
=
1--( + )) 2#
Jadi banyak suku yang sama dari dua barisan aritmatika tersebut adalah 26 suku.
10. 12* dapat din%atakan menjadi 2 bilangan p!ima. Tentukan selisih kedua bilangan p!ima te!sebut. Alternatif Penyelesaian.
Bilangan p!ima 1- dan 10- jika dijumlahkan menjadi 12*. Jadi selisih kedua bilangan prima tersebut adalah 0. 44 11. Sisa pembagian $4 + 4& oleh 11 adalah
Alternatif Penyelesain. 44 Soal te!sebut sama saja dengan men;a!i x pada $4 + 4& �x$mod11&
$ 444 + 4&$mod 11& �$$ 4.11&44 + 4&$mod 11&
�$0 + 4&$mod11& �4$mod11& 44 $4 + 4& Jadi sisa pembagian )leh 11 adalah ".
12. 1#00 dapat din%atakan sebagai pe!kalian m dan n , m dan n bukan kelipatan 10. Tentukan selisih m dan n. Alternatif Penyelesaian. 1#00 = 1#.100 = 2 4.2 2.52 2#
=
#4, 52
=
=
2 # .52
25
6isal m " #4 dan n " 25 $atau sebalikn%a& Jadi selisih m dan n ( 6" – 2$ ( 3
1(.
#x �($mod11&
dan
2 y �)$mod11&
. Tentukan
xy$mod11&
.
Alternatif Penyelesaian.
Soal ini mempun%ai bentuk %ang se!upa dengan soal nomo! 2. #x �($mod 11& �(#$mod11& � x = # 2 y �)$mod 11& �1*$mod11& � y = -
Sehingga Jadi
xy$mod11& = 54$mod11& �10$mod11&
xy$mod11& �10$mod11&
14. 'umlah ) bilangan be!ututan 2*0. Tentukan ban%ak bilangan p!iman%a. Alternatif Penyelesaian.
Bilangan be!u!utan be!makna b " 1. 6isalkan a adalah suku pe!tama da!i ) bilangan be!u!utan
te!sebut. 'umlah ) bilangan be!u!utan be!makna
S)
=
n $2a + $n - 1&b& 2 dengan n = 7, dan b = 1.
Sehingga 2*0
=
a
=
a
=
)
$2a + $) - 1&.1& 2 2*0 = ) a + 21 2*0 - 21 ) ()
leh ka!ena itu ) bilangan te!sebut adalah: (), (*, (-, 40, 41, 42, 4( +ang me!upakan bilangan p!ima: (), 41, 4( Jadi banyak bilangan prima pada s)al tersebut adalah 3. 51 15. Sisa pembagian x + 51 dengan $ x + 1& adalah
Alternatif Penyelesaian.
f $ -1& . f $ x & = x 51 + 51 6isalkan dibagi dengan $ x + 1 &, maka sisan%a Sehingga
f $-1& = $ -1& 51 + 51 = 50
51 'adi sisa pembagian x + 51 dengan $ x + 1& adalah 50
1#. Tentukan jumlah semua bilangan %ang te!letak anta!a (01 550 %ang habis dibagi * tetapi tidak habis dibagi 12.
Alternatif Penyelesaian.
Bilangan %ang habis dibagi * anta!a (01 550 (04, (12, (20, , 544 6en;a!i ban%akn%a suku.
un = a + $n - 1&b 544 = (04 + $ n - 1&* 544 - (04 +1 n= * n = (1 'umlah n suku pe!tama (04 + (12 + ... + 544
=
(1 2 (1
$(04 + 544&
*4* 2 = 1(144 =
/a!ena 9*, 12 " 24, maka bilangan %ang habis dibagi * dan 12 anta!a (01 550 adalah (12, ((#, (#0, , 52* 6en;a!i ban%akn%a suku
un = a + $n - 1&b 52* = (12 + $ n - 1&24 52* - (12 n= +1 24 n = 10 'umlah n suku pe!tama (12 + ((# + ... + 52*
10
$(12 + 52*& 2 = 4200
=
Jadi ¨ah semua bilangan yang habis dibagi # dan tidak habis dibagi 12 adalah 131"" – "200 ( #""
1). Tentukan ban%ak bilangan p!ima %ang ku!ang da!i 100 dan setiap angka pen%usunn%a bilangan p!ima. Alternatif Penyelesaian.
Bilangan p!ima ku!ang da!i 100. 2, (, 5, ), 11, 1(, 1), 1-, 2(, 2-, (1, (), 41, 4(, 4), 5(, 5-, #1, #), )1, )(, )-, *(, *-, -) Jadi bilangan prima yang setiap angka penyusunnya bilangan prima adalah 2! 3! $! %! 23! 3%! $3! %3 105
1*. Tentukan apakah (
+
4105 habis dibagi ).
Alternatif Penyelesaian. $(105
4105 &$mod )&
+
�$(105
+
$) - (&105 &$mod )&
�$(105 - (105 &$mod )& �0$mod )& 105
Jadi (
+
4105 habis dibagi %.
1-. Tentukan bilangan 4 digit %ang memenuhi 4$abcd& = dcba Alternatif Penyelesaian.
4$ abcd& = dcba , ka!ena bilangann%a 4 digit, maka kemungkinan nilai a adalah 1 atau 2. /a!ena dcba = 2.2$abcd& , maka dcba me!upakan bilangan genap. Sehingga a ha!uslah genap. 'adi
a = 2 . /a!ena 4a = d , dipe!oleh d = * , sehingga: 4$2 bc *&
=
* cb2
*.1000 + 4b.100 + 4 c.10 + (2
=
*.1000 + c.100 + b.10 + 2
*.1000 + 4 b.100 + $4 c + (&.10 + 2
=
*.1000 + c.100 + b.10 + 2
ipe!oleh: 40b + 4c + ( = 10c + b (-b + ( = #c
Hal ini dipenuhi untuk b = 1, c = ) Jadi bilangan yang dimaksud abcd = 21)* 12(4
20. Tentukan dua digit te!akhi! da!i bilangan ( Alternatif Penyelesaian.
(12(4 �x$mod100& x Soal ini sama maknan%a dengan menentukan pada (5 �24($mod 100& �4($mod 100& 4(.4($mod 100& �1*4-$mod 100& �4-$mod 100&
(10
=
$(5 &2
(20
=
$(10 &2 �4-.4-$mod 100& = 2401$mod 100& = 1$mod 100&
12(4
(
=
�$(20 .(10 .(4 $mod 100& �1.4-.*1$mod 100& �(-#-$mod 100& �#-$mod 100& 12(4
Jadi dua digit terakhir dari bilangan (
adalah 6.
21. 'ika ditulis dalam basis 10 tentukan ban%akn%a angka bilangan
41# x 5 25
Alternatif Penyelesaian. 41#.525
=
2 (2 .525
=
$2.5&25 .2)
=
1025.12* 1#
25
Jadi banyaknya angka pada bilangan 4 .5 adalah 2# 2 2 22. Tentukan semua pasangan7pasangan bilangan asli a dan b sehingga a - b
Alternatif Penyelesaian.
a2 - b2
=
1--1
$a - b &$ a + b& = 1--1
/a!ena 1--1"1.1--1 atau 1--1 " 11.1*1, maka te!dapat dua kemungkinan /emungkinan 1 6isal 1--1 " 1.1--1, dipe!oleh
=
1--1
a-b = 1 a + b = 1--1
+
2a = 1--2 � a = --#
b = 1--1 - --# = --5 asangan bilangan aslin%a a = --# dan b = --5 /emungkinan 2 6isal 1--1 " 11.*1, dipe!oleh
a - b = 11 a + b = 1*1 + 2 a = 1-2 � a = -#
b = 1*1 - -# = *5 asangan bilangan aslin%a a = -# dan b = *5 2 Jadi pasangan bilangan asli a dan b yang memenuhi a
-
b2
=
1--1 adalah $a, b& = $--#,--5&
atau $a, b& = $-#,*5&
2(. Tentukan angka te!akhi! da!i )))
(((
Alternatif Penyelesaian.
Soal ini sama dengan men;a!i x pada pe!samaan kong!uensi )))
))) ((( �x$mod 10&
)$mod 10&
)))4 ))) 2 �-$mod 10& �-1$mod 10& , sehingga ))) (((
=
$))) 4 &*( )$mod 10&
=
)$mod 10&
=
1$mod 10&
((( Jadi angka terakhir dari ))) adalah % 1--0 24. Tentukan sisa ( jika dibagi 41
Alternatif Penyelesaian.
(1--0 �x$mod 41& Soal ini sama dengan men;a!i x pada pe!samaan kong!uensi (4 �*1$mod41& �-1$mod41& (1--0
=
sehingga
(*
=
1$mod 41&
$(* &24* .(4 .( 2
�124* .$-1&.-$mod 41& �--$mod 41& �(2$mod 41& 1--0 Jadi sisa ( &ika dibagi "1 adalah 32. ( ( ( ( + $2 & + $( & + ... + $ 201) & $1& 25. Tentukan angka satuan da!i
Alternatif Penyelesaian. $1&( + $2 &( + $(&( + ... + $201) &( �x$mod 10& Soal ini sama dengan men;a!i x pada
/a!ena
5 = 120 �0$mod 10& #$mod10& �)$mod 10& �... �201)$mod 10& �0$mod 10& , maka
Sehingga $1&( + $2&(
+
$(&(
+
$4&(
+
$5&(
+
... + $201) &( �$1 + * + # + 4 + 0&$mod 10& �-$mod 10&
( ( ( ( + $2 & + $(& + ... + $ 201) & $1& Jadi angka satuan dari adalah
(x 2#. iketahui )
1
+
=
5# , tentukan nilai da!i ) 2 x
1
-
Alternatif Penyelesaian. ) (x
+
)(
1
x
)x
) Jadi
=
5#
=
*
=
2
2 x -1
$) x &2 = )
=
4 )
2). ada tahun <, ha!i ke7(00 dalam tahun te!sebut adalah Selasa. ada tahun <=1, ha!i ke7200 n%a juga Selasa. Ha!i apakah ha!i ke7100 pada tahun <71> Alternatif Penyelesaian.
da dua kemungkinan untuk tahun <, %aitu tahun < me!upakan tahun kabisat atau tahun < bukan me!upakan tahun kabisat. /emungkinan 1: Tahun < bukan me!upakan tahun kabisat. Ha!i ke7(00 dalam tahun < sama dengan ha!i ke7200 tahun < = 1 hal ini be!a!ti
2#5 �0$mod)&
. Hal
ini tidak bena! ka!ena ) tidak membagi 2#5. 'adi tahun < me!upakan tahun kabisat. Tahun < me!upakan tahun kabisat, sehingga tahun < 1 bukan me!upakan tahun kabisat. 8ntuk menentukan ha!i apakah ha!i ke7100 tahun < 1 sama saja menentukan x ha!i sebelum ha!i selasa pada kong!uensi
5#5 �x$mod ) &
. /a!ena 5#5 = ).*0 + 5 , maka x = 5 .
Jadi hari ke*100 pada tahun + – 1 adalah hari Kamis. 55 2*. Sisa pembagian 2 + 5 oleh 11 adalah
Alternatif Penyelesaian. 55 Soal te!sebut sama saja men;a!i x pada 2 + 5 �x$mod 11&
$255 + 5&$mod11& �$$25&11 + 5&$mod11&
�$$-1&11 + 5&$mod11& �4$mod11& 55 Jadi sisa pembagian 2 + 5 )leh 11 adalah ".
2-. Bilangan 12# dapat ditulis sebagai jumlah dua bilangan p!ima. Selisih te!besa! %ang mungkin anta!a kedua bilangan te!sebut adalah .. 2 (0. alam sistem bilangan be!basis sepuluh, bilangan #45 be!makna #.10
+
4.101
+
5.10 0 . kan tetapi,
di
ha!ga 440 satuan monete!$sm&. ?a membe!i penjualn%a ;ek 1000 sm dan mene!ima kembalian (40 sm. Basis ! adalah 2 (1. Ban%ak bilangan bulat m dengan 10 < m < 100 sedemikian hingga 1- me!upakan 3akto! m - m - (0
adalah (1. 8ntuk suatu bilangan bulat n ,5n + 14 dan *n + 1- mempun%ai 3akto! pe!sekutuan lebih besa! da!i pada satu. @akto! pe!sekutuan te!sebut adalah (2. Himpunan A1, 2, 4 membentuk g!up dengan ope!asi pe!kalian modulo m, dengan m " 24) ((. Sisa pembagian ( + 11 oleh 1) 2 ( (4. 'ika a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehigga x - x - 2 me!upakan 3akto! ax + bx + 4
b maka a sama dengan
(5. iketahui 1 + k habis dibagi (, 1 + 2k habis dibagi 5, 1 + *k habis dibagi ). 'ika k adalah bilangan bulat positi3, maka nilai te!ke;il untuk k adalah (#. 'ika (). 'ika
10a �1$mod 1(&
N �2$mod 4&
maka 1) a jika dibagi 1( akan be!sisa
dan
M �*$mod 1#&
maka sisa 6< jika dibagi (2 adalah
N �1$mod 2& N �2$mod (& (*. N adalah bilangan asli %ang memenuhi dan . Tentukan sisan%a jika N
dibagi #. (-. 6isalkan < adalah bilangan bulat te!ke;il %ang be!si3at: be!sisa 2 jika dibagi 5, be!sisa ( jika dibagi oleh ), dan be!sisa 4 jika dibagi -. Be!apakah hasil penjumlahan digit7digit da!i <> 40. Ba!isan (, 15, 24, 4*, adalah ba!isan bilangan asli %ang me!upakan kelipatan ( dan ku!ang 1 da!i suatu bilangan kuad!at. Tentukan sisan%a jika suku ke71--4 dibagi 1000. 41. Be!apa sisan%a jika 1 . ( . 5 . . 2005 dibagi 1000>(
