Soal Latihan Topik : Bilangan
1.
Hasi Ha sill kal kalii dua dua bila bilang ngan an asli asli m dan n adalah 10000, dengan m dan n bukan kelipatan 10. Tentukan jumlah m dan n. Alternatif Penyelesaian.
m.n = 10000 = 2 45.4 4 leh ka!ena m dan n bukan kelipatan 10 " 2. 5, maka m = 2
=
1# dan n = 54
=
#25 $atau
sebalikn%a&. 'adi m + n = 1# + #25 = #41
4 x �5$mod 11 11& 2.
5 y �2$mod 11 11&
. Tentukan
$mod11& x.y$mod11&
Alternatif Penyelesaian. Teo!ema. 'ika 'ika
ax = b$mod m& $ a, m& b
maka
mempun%ai solusi maka
$ a, m& b
ax = b$mod m& mempun%ai solusi seban%ak $ a , m&
4 x �5$mod 11 11& �1#$mod 11 11& � x = 4 5 y �2$mod 11 11& �(5$mod 11 11& � y = ) Sehingga 'adi (.
xy$mod11 $mod11&& �2*$m 2*$mod11 od11&& �#$mo #$mod11 d11&&
xy$mod11 $mod11&& �#$mo #$mod11 d11&&
Ha!i Ha !i ini adal adalah ah ha!i ha!i Seni Senin, n, maka maka 10
201)
adalah ha!i
Alternatif Penyenelsaian. 102 �2$mod )& $102 &( �*$mod)& �1$mod)& 10201) �$10# &((# .10$mod )& )&
�1.10$mod)& �($mod)& 201) +ang a!tin%a 10 ha!i lagi sama a!tin%a dengan ( ha!i lagi. 201) 'adi 10 ha!i lagi setelah ha!i Senin adalah ha!i amis.
4.
-ibe!ikan -ibe!ikan bilangan bilangan 22 me!upakan me!upakan bilangan bilangan p!ima dengan tepat dua angka angka kemba! kemba!,, tentukan tentukan ban%ak bilangan p!ima dengan tepat dua angka kemba! anta!a 200 dan (00. Alternatif Penyelesaian. Bilangan p!ima anta!a 200 / (00 adalah 211, 22(, 22), 22, 2((, 2(, 241, 251, 25), 2#(, 2#, 2)1, 2)), 2*1, 2*(, 2(. +ang memiliki tepat dua angka: 211, 22(, 22), 22, 2((, 2))
'adi ban%ak bilangan p!ima anta!a 200 / (00 %ang memiliki tepat dua angka kemba! adalah # bilangan 5.
Tentukan bilangan %ang dapat dibagi # tetapi tidak dapat dibagi anta!a 101 sampai 1. Alternatif Penyelesaian. Bilangan kelipatan # anta!a 101 sampai 1 102, 10*, 114, 120, 12#, 1(2, 1(*, 144, 150, 15#, 1#2, 1#*, 1)4, 1*0, 1*#, 12, 1* $, #& " 1* Bilangan kelipatan 1* anta!a 101 sampai 1 10*, 12#, 144, 1#2, 1*0, 1* Sehingga bilangan kelipatan # anta!a 101 sampai 1 %ang tidak habis dibagi adalah 102, 114, 120, 1(2, 1(*, 150, 15#, 1#*, 1)4, 1*#, 12.
#.
e!kalian (.5.# dapat din%atakan dalam bentuk pe!kalian bilangan p!ima. Tentukan jumlah pangkat da!i 2 dan ( Alternatif Penyelesaian.
(.5.#
=
(.2.1.5.4.(.2.1.#.5.4.(.2.1
=
2(.((.42.52.#
=
2(.((.2 4.5 2.2.(
=
2*.(4.52
'adi jumlah pangkat da!i 2 dan ( adalah * 4 " 12 ).
'ika 5# disajikan dalam 211 dalam basis b, maka 112 dalam basis b disajikan dalam basis 10 adalah Alternatif Penyelesaian.
211b
=
2.b 2 + 1.b1 + 1.b 0
5#
=
2b2 + b + 1
0
=
2b2 + b - 55
Sehingga nilai b %ang mungkin adalah 5.
112 b 'adi *.
=
112 5
112 5
=
=
1.5 2 + 1.5 1 + 2.5 0
=
25 + 5 + 2
=
(2
(2
Tentukan bilangan te!besa! k sedemikian sehingga (0 dapat habis dibagi #
k
3lte!nati en%elesaian.
(0 = (0.2.2*.2).2#.25.24....(.2.1 .
Tentukan ban%ak suku %ang sama da!i dua ba!isan a!itmatika 5, 12, 1, , 2014 dan 2, 1(, 24, , 2015. Alternatif Penyelesaian. Teo!ema: e!samaan liniea! -iophantine
$ a , b& c
ax + by = c
mempun%ai pen%elesaian jika dan han%a jika
ax + by = c x , y Teo!ema: 'ika d = $ a, b& dan o o me!upakan pen%elesaian pe!samaan -iophantine , maka pen%elesaian umum pe!samaan te!sebut adalah
x = xo + $b 6 d&k
y = yo - $a 6 d&k
dan
dengan k pa!amete! bilangan bulat.
Ba!isan a!itmatika 5, 12, 1, ,
ux , , 2014 memiliki beda ) =
Ba!isan a!itmatika 2, 1(, 24, ,
u y
7isalkan
ux
u y
dan
, , 2015 memiliki beda = 11
be!tu!ut8tu!ut me!upakan suku pe!tama pada ba!isan a!itmatika 5, 12, 1,
dan 2, 1(, 24, . %ang men%ebabkan
ux
=
uy
5 + $ x - 1&.)
=
2 + $ y - 1&.11
)x - 2
=
11y -
) x - 11y
=
-
ux
=
uy
.
)
a!ena $), 811& " 1 dan
1 -)
maka
) x - 11y = -)
mempun%ai selesaian.
1 = ).( - 11.2
-
) = ).21 - 11.14
-
7aka
xo
=
21, yo
=
14
Selesaian umumn%a:
x = 21 - 11k dan y = 14 - ) k
x = 10, y = ) sehingga 9ntuk k = 1 dipe!oleh ux
=
5 + $ x - 1&.) = 5 + #( = #*
'adi suku pe!tama %ang sama pada kedua ba!isan adalah #*. a!ena ),11; " )), maka ba!isan a!itmatika #*, 145, 222, , 1( me!upakan ba!isan suku8suku %ang sama pada kedua ba!isan a!itmatika di atas. Ban%ak suku %ang sama adalah
1(
=
#* + $ n - 1&.))
1(
=
)) n -
n=
1( + ))
n = 2# 'adi ban%ak suku %ang sama da!i dua ba!isan a!itmatika te!sebut adalah 2# suku. 10. 12* dapat din%atakan menjadi 2 bilangan p!ima. Tentukan selisih kedua bilangan p!ima te!sebut. Alternatif Penyelesaian. Bilangan p!ima 1 dan 10 jika dijumlahkan menjadi 12*. 'adi selisih kedua bilangan p!ima te!sebut adalah 0. 11.
4 44 + 4$mod11&
"
3lte!nati en%elesain.
12. 1#00 dapat din%atakan sebagai pe!kalian m dan n , m dan n bukan kelipatan 10. Tentukan selisih m dan n. Alternatif Penyelesaian.
1#00 = 1#.100 = 24.22.52 2#
=
#4, 52
=
=
2# .52
25
7isal m " #4 dan n " 25 $atau sebalikn%a& 'adi selisih m dan n " #4 / 25 " ( 1(.
# x �($mod11&
dan
2 y �)$mod11&
. Tentukan
xy$mod11&
.
Alternatif Penyelesaian. Soal ini mempun%ai bentuk %ang se!upa dengan soal nomo! 2.
# x �($mod 11& �(#$mod 11& � x = # 2 y �)$mod 11& �1*$mod 11& � y = Sehingga 'adi
xy$mod11& = 54$mod11& 10$mod11&
xy$mod11& �10$mod11&
14. 'umlah ) bilangan be!ututan 2*0. Tentukan ban%ak bilangan p!iman%a. Alternatif Penyelesaian. Bilangan be!u!utan be!makna b " 1. 7isalkan a adalah suku pe!tama da!i ) bilangan be!u!utan
te!sebut. 'umlah ) bilangan be!u!utan be!makna
S)
=
n $2a + $n - 1&b& 2 dengan n = 7, dan b = 1.
Sehingga
2*0
=
a
=
a
=
)
$2 a + $) - 1&.1& 2 2*0 = ) a + 21 2*0 - 21 ) ()
leh ka!ena itu ) bilangan te!sebut adalah: (), (*, (, 40, 41, 42, 4( +ang me!upakan bilangan p!ima: (), 41, 4( 'adi ban%ak bilangan p!ima pada soal te!sebut adalah (. 15. 2* bilangan
1#. Tentukan jumlah semua bilangan %ang te!letak anta!a (01 / 550 %ang habis dibagi * tetapi tidak habis dibagi 12. Alternatif Penyelesaian. Bilangan %ang habis dibagi * anta!a (01 / 550 (04, (12, (20, , 544
7en
un = a + $n - 1&b 544 = (04 + $n - 1&*
n=
544 - (04 *
+
1
n = (1 'umlah n suku pe!tama
(1 $(04 + 544& 2 (1 = *4* 2 = 1(144
(04 + (12 + ... + 544
=
a!ena *, 12; " 24, maka bilangan %ang habis dibagi * dan 12 anta!a (01 / 550 adalah (12, ((#, (#0, , 52* 7en
un = a + $ n - 1&b 52* = (12 + $ n - 1&24 52* - (12 +1 24 n = 10
n=
'umlah n suku pe!tama
(12 + ((# + ... + 52*
10 $(12 + 52*& 2 = 4200
=
'adi jumlah semua bilangan %ang habis dibagi * dan tidak habis dibagi 12 adalah 1(144 / 4200 " *44 1). Tentukan ban%ak bilangan p!ima %ang ku!ang da!i 100 dan setiap angka pen%usunn%a bilangan p!ima. Alternatif Penyelesaian. Bilangan p!ima ku!ang da!i 100. 2, (, 5, ), 11, 1(, 1), 1, 2(, 2, (1, (), 41, 4(, 4), 5(, 5, #1, #), )1, )(, ), *(, *, ) Bilangan p!ima %ang setiap angka pen%usunn%a bilangan p!ima adalah 2, (, 5, ), 2(, (), 5(, )( 105 105 1*. Tentukan apakah ( + 4 habis dibagi ).
Alternatif Penyelesaian.
$(105 + 4105 &$mod )& �$(105 + $) - (&105 &$mod )&
�$(105 - (105 &$mod )& �0$mod )& 105
'adi (
+
4105 habis dibagi ).
1. Tentukan bilangan 4 digit %ang memenuhi 4$abcd& = dcba
Alternatif Penyelesaian.
4$ abcd& = dcba , ka!ena bilangann%a 4 digit, maka kemungkinan nilai a adalah 1 atau 2. a!ena dcba = 2.2$ abcd& , maka dcba me!upakan bilangan genap. Sehingga a ha!uslah genap. 'adi
a = 2 . a!ena 4a = d , dipe!oleh d = * , sehingga: 4$2bc*&
=
*.1000 + 4 b.100 + 4 c.10 + (2
=
* cb2 *.1000 + c.100
b.10 +2 *.1000 + 4 b.100 + $4 c + (&.10 + 2 = *.1000 + c.100 + b.10 + 2 +
-ipe!oleh:
40b + 4c + ( = 10c + b (b + ( = #c Hal ini dipenuhi untuk b = 1, c = ) 'adi bilangan %ang dimaksud abcd = 21)* 12(4 20. Tentukan dua digit te!akhi! da!i bilangan (
Alternatif Penyelesaian.
(12(4 �x$mod 100& x Soal ini sama maknan%a dengan menentukan pada (5 �24($mod 100& �4($mod 100& 4(.4($mod 100& �1*4$mod 100& �4$mod 100&
(10
=
$(5 &2
(20
=
$(10 &2 �4.4$mod 100& = 2401$mod 100& = 1$mod 100&
=
(12(4 �$(20 .(10 .(4 $mod 100&
�1.4.*1$mod 100& �(#$mod 100& �#$mod 100& 12(4 'adi dua digit te!akhi! da!i bilangan ( adalah #.
21. 'ika ditulis dalam basis 10 tentukan ban%akn%a angka bilangan
41# x 5 25
Alternatif Penyelesaian.
41#.525
=
2(2.525
=
$2.5&25 .2)
=
1025.12*
1# 25 'adi ban%akn%a angka pada bilangan 4 .5 adalah 2*
2 22. Tentukan semua pasangan8pasangan bilangan asli a dan b sehingga a
Alternatif Penyelesaian.
a2 - b2
=
11
$ a - b &$ a + b& = 11 a!ena 11"1.11 atau 11 " 11.1*1, maka te!dapat dua kemungkinan emungkinan 1
-
b2
=
11
7isal 11 " 1.11, dipe!oleh
a-b =1 a + b = 11
+
2 a = 12 � a = #
b = 11 - # = 5 asangan bilangan aslin%a a = # dan b = 5 emungkinan 2 7isal 11 " 11.*1, dipe!oleh
a - b = 11 a + b = 1*1 + 2 a = 12 � a = #
b = 1*1 - # = *5 asangan bilangan aslin%a a = # dan b = *5 2 2 'adi pasangan bilangan asli a dan b %ang memenuhi a - b
=
11 adalah $ a, b& = $#,5& atau
$ a , b& = $# ,*5& ((( 2(. Tentukan angka te!akhi! da!i )))
Alternatif Penyelesaian. Soal ini sama dengan men
))) ((( �x$mod 10&
))) �)$mod 10&
))) 2 �$mod 10& �-1$mod 10&
, sehingga
))) (((
=
$))) 4 &*( )$mod 10&
=
)$mod 10&
))) 4
=
1$mod 10&
((( 'adi angka te!akhi! da!i ))) adalah ) 10 24. Tentukan sisa ( jika dibagi 41
Alternatif Penyelesaian.
(10 �x$mod 41& x Soal ini sama dengan men
=
sehingga
(*
=
1$mod 41&
$(* &24* .(4 .(2
�124*.$-1&.$mod 41& �-$mod 41& �(2$mod 41& 10 'adi sisa ( jika dibagi 41 adalah (2. ( ( ( ( 25. Tentukan angka satuan da!i $1& + $2 & + $ (& + ... + $ 201# &
Alternatif Penyelesaian.
2#. -iketahui )
( x +1
=
5# , tentukan nilai da!i ) 2 x
-
1
Alternatif Penyelesaian.
) (x
1
=
5#
) (x
=
*
)x
=
2
) 'adi
+
2 x -1
$) x & 2 = )
=
4 )
2). ada tahun =, ha!i ke8(00 dalam tahun te!sebut adalah Selasa. ada tahun =1, ha!i ke8200 n%a juga Selasa. Ha!i apakah ha!i ke8100 pada tahun =81> Alternatif Penyelesaian. 3da dua kemungkinan untuk tahun =, %aitu tahun = me!upakan tahun kabisat atau tahun = bukan me!upakan tahun kabisat. emungkinan 1: Tahun = bukan me!upakan tahun kabisat. Ha!i ke8(00 dalam tahun = sama dengan ha!i ke8200 tahun = 1 hal ini be!a!ti
2#5 �0$mod)&
.
Hal ini tidak bena! ka!ena ) tidak membagi 2#5. 'adi tahun = me!upakan tahun kabisat. Tahun = me!upakan tahun kabisat, sehingga tahun = / 1 bukan me!upakan tahun kabisat. 9ntuk menentukan ha!i apakah ha!i ke8100 tahun = / 1 sama saja menentukan x ha!i sebelum ha!i selasa pada kong!uensi
5#5 �x$mod )&
. a!ena 5#5 = ).*0 + 5 , maka x = 5 .
'adi ha!i ke8100 pada tahun = / 1 adalah ha!i amis.
