contoh soal fungsi turunan beserta jawaban
1.Diketahui f(x) = 2x3 + 3x – 4 .Tentukan turunannya ... Penyelesaian : f(x) = 2x 3 +3x-4 f’(x) = 2 . 3x 3-1 + 3 . 1x f’(x) = 6x 2 + 3
1-1
-0
2.Diketahu 2.Dike tahuii f’(x f’(x)) adalah turunan turunan dari f(x) f(x) = 5x 3 + 2x2 + 6x + 12,tentukan nilai f’(x) adalah.... Penyelesaian : f(x) = 5x 3 +2x 2 + 6x + 12 f’(x) = 15x 2+ 4x +6 f’(3) = 15 . 32 +4 . 3 + 6 = 135 + 12 + 6 = 153
3.Diketahui fun!i f(x) = 3x 4 + 2x3 " x + 2 dan f’(x) f’(x) adal adalah ah turunan #erta$a dari f(x). %ilai dari f’(1) adalah... Penyelesaian : f (x) = 3x 4 + 2x 3 – x + 2 f’ (x) = 12x 3 + 6x 2 – 2 f’(1) f’( 1) = 12 + 6 + 2 = 18 – 2 =16
4.Diketa 4.Dik etahui hui fun fun! !ii f( f(x) x) = x 5 +1&x4 +5x2 "3x"1& dan f’ adalah turunan #erta$a dari f. %ilai f’ (1) adalah.... Penyelesaian : f(x) = x 5 +10x 4 +5x 2-3x-10 f’(x) = 5x 4 + 40x 3 + 10x-3-10 f’(1)= f’(1) = 5.1 + 40.1 + 10.1 – 3 − 10 = 5 + 40 +10 – 3 – 10 = 42
5.Turunan #erta$a fun!i f(x) =(3x 2"5)4 adalah f’(x) =.... 5.Turunan Penyelesaian : f(x) =(3x 2-5)4 f’(x) = (6x – 5 )4
6.Diketahu 6.Dike tahuii f(x) = x6 + 12 12x x4 +2x2 – 6x + '.Dan f’(x) adalah turunan #erta$a dari f(x). %ilai f’(1) adalah.... Penyelesaian:
f(x) = x 6 + 12x 4 +2x 2 – 6x + 8 f’(x)= 6x 5 + 48x 3 – 6 + 8 f’(1)= 6.1 + 48.1 – 6 + 8 = 6 + 48 – 6 + 8 = 56
.Turunan #erta$a dari f(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2 adalah f’(x).%ilai f’(1) adalah.... Penyelesaian: f(x) = 2x 3 + 3x 2 – x + 2 f’(x) = 6x 2 + 6x – 1 + 2 f’(1)= 6.1 + 6.1 – 1 + 2 = 6 + 6 – 1 +2 = 13
'.Diketahui f(x) = 6x4 – 2x3 + 3x2 – x – 3 dan f’(x) adalah turunan #erta$a dari f(x).%ilai f’(1) adalah Penyelesaian: f(x) = 6x 4 – 2x 3 + 3x 2 – x – 3 f’(x) = 24x 3 – 6x 2 + 6x – 1 – 3 f’(1)= 24.1 – 6.1 + 6.1 – 1 -3 = 24 – 6 + 6 -1 -3 = 20
*.Diketahui y = 3x4 "2x5 – 12x6 "51"3.Tentukan turunannya Penyelesaian :
y’=12x 4-1 – 2. 5x 5 -1 – 1/2 .6x 6-1 – 5.1x = 12x 3 -10x 4 -3x 5 -5
1-1
- 0
&.Diketahui f(x) = (x – 2)2.Tentukan turunanya Penyelesaian : f(x) = (x – 2)2 = x2 – 4x + 4 f(x) = x2 – 4x + 4 f’(x) = 2x2-1 – 4x1-1 + 0
f’(x) = 2x – 4 11.ika f(x) = !in 2 (2x + -6), $aka nilai f (&) = f(x) = !in2 (2x + -6) ′
Pembahasan: f’(x) = 2 sin (2x + π/6)(2) = 4 sin (2x + π/6) f’(0) = 4 sin (2(0) + π/6) = 4 sin (π/6) = 4(1/2) =2
12. Turunan #erta$a dari f(x) = !in 3(3x2 – 2) adalah f ‘(x) = Penyelesaian: f(x) = sin3(3x 2 – 2) f’(x) = sin(3-1)(3x 2 – 2).3.6x.cos (3x 2 – 2) = 18x sin2(3x 2 – 2) cos (3x 2 – 2)
13. Turunan dari f(x) =
adalah f ‘(x) =
PEMBAHASAN : f(x) = = (cos2(3x 2 + 5x))1/3 = cos2/3(3x 2 + 5x) f’(x) = 2/3 cos-1/3(3x 2 + 5x).(-sin(3x 2 + 5x)).(6x + 5) = -2/3 (6x + 5) cos-1/3(3x 2 + 5x) sin(3x 2 + 5x)
14. Turunan #erta$a f(x) = /! 3 x adalah PEMBAHASAN : f(x) = cos3 x f’(x) = 3 cos2 x (-sin x) = -3 cos2 x sin x = -3/2 cos x (2 cos x sin x) = -3/2 cos x sin 2x
15. 0er!a$aan ari! !inun kura y = denan a!i! 3 adalah
di titik
PEMBAHASAN : y = = (5 + x)1/3 m = y’ = 1/3 (5 + x) -2/3 (1) y’(3) = 1/3 (5 + 3)-2/3 (1) = 1/3 ((8)2/3 )-1 = 1/3 (4)-1 = 1/12
16. uatu #ekeraan da#at di!ele!aikan dala$ x hari denan iaya (4x – 16& + 2&&&x)riu ru#iah #er hari. iaya $ini$u$ #er hari #enyele!aian #ekeraan ter!eut adalah PEMBAHASAN : Biy !"oy#$ %&m 1 '"i : 4x – 160 + 2000/x Biy !"oy#$ %&m x '"i : (4x – 160 + 2000/x)x f(x) = 4x 2 – 160x + 2000 " *iy minimm : f’(x) = 0 f’(x) = 8x – 160 0 = 8x – 160 8x = 160 x = 20 '"i ,%i *iy minimm !#" '"i %&' = (4x – 160 + 2000/x) "i* "!i' = (4(20) – 160 + 2000/20) "i* "!i' = (80 – 160 + 100) "i* "!i' = 20 "i* "!i' = 20.000
1. uatu #eru!ahaan $enha!ilkan #r/duk yan da#at di!ele!aikan dala$ x a$, denan iaya #er a$ (4x – '&& + 12&x) ratu! riu ru#iah. ar iaya $ini$u$, $aka #r/duk ter!eut da#at di!ele!aikan dala$ 7aktu a$. PEMBAHASAN : Biy !"oy#$ %&m 1 '"i : 4x – 800 + 120/x Biy !"oy#$ %&m x '"i : (4x – 800 + 120/x)x f(x) = 4x 2 – 800x + 120 " *iy minimm : f’(x) = 0 f’(x) = 8x – 800 0 = 8x – 800 8x = 800
x = 100 m
1. 0er!a$aan erak !uatu #artikel dinyatakan denan ru$u! ! = f(t) = (! dala$ $eter dan t dala$ detik). 8ee#atan #artikel ter!eut #ada !aat t = ' adalah $det. PEMBAHASAN : = (3 + 1)1/2
s = f() = =
= f’() = 1/2 (3 + 1)-1/2 (3)
f’(8) = 3/2 (3(8) + 1) -1/2 = 3/2 (24 + 1)-1/2 = 3/2 (251/2 )-1 = 3/2 (5)-1 = 3/10
1'. uatu #eru!ahaan $e$#r/duk!i x uah aran. etia# aran yan di#r/duk!i $e$erikan keuntunan (225x – x 2) ru#iah. u#aya t/tal keuntunan $ena#ai $ak!i$u$, anyak aran yan haru! di#r/duk!i adalah PEMBAHASAN : 8euntunan !etia# aran 9 225x – x 2 8euntunan x aran 9 (225x – x 2)x f(x) = 225x2 – x3 f’(x) = 45&x – 3x2 & = 45&x – 3x2 & = x(45& – 3x) x = & atau x = 15& adi u$lah aran yan di#r/duk!i aar untun $ak!i$u$ adalah 15& aran. 1*. y =(akar)2x^5 JAWAB: y =:(2x;5 ) = :2x;(52) y’= 52 :2 x;(32) y = "2x;4 = "2x;"4 y’ = ' x;"5 = 'x;5 y = "'x;1& = "' x;"1& y’ = '& x;"11 = '&x;11 y = 23x;6 y’ = 4x;5 y = 3x;3 " 1x;4 = 3x;"3 – x;"4 y’ = "*x;"4 + 4x;"5 = "*x;4 + 4x;5 y = 2(3x) " 23 = (23) x;"1 – 23 y’ = ("23) x;"2 = "2 (3x;2) →
→
→
→
→
→
20. ) 2x^2 y ! "y^# = " JAWAB: 4xy.dx + 2x;2.dy "12y;2.dy=& 4xy.dx +(2x;2 "12y;2)dy=& dydx=4xy(12y;2 "2x;2) d;2(y)dx;2 = <(4y + 4x.dydx)(12y;2 " 2x;2)"(24y.dydx "4x)(4xy)(12y;2 "2x;2);2
Soal Nomor 1
Diberikan suatu fungsi dengan persamaan y = 2x − √x Tentukan persamaan garis singgung kurva melalui titik (9, 16 Pembahasan
!enggunaan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung" Turunkan fungsi untuk mendapatkan gradien dan masukkan x untuk mendapat nilainya"
!ersamaan garis yang melalui titik (9 , 16 dengan gradien 11#6 adala$
Soal Nomor 2
%ebua$ benda bergerak dengan persamaan gerak y = &t2 − 't ) dengan y dalam meter dan t dalam satuan detik" Tentukan ke*epatan benda saat t = 2 detik Pembahasan
!ersamaan ke*epatan benda diper+le$ dengan menurunkan persamaan p+sisi benda" y = &t2 − 't ) = y - = 1.t − ' /ntuk t = 2 detik dengan demikian ke*epatan benda adala$ = 1.(2 − ' = 2. − ' = 16 m#detik
Soal Nomor 3
!ersamaan garis yang menyinggung kurva y = x 0 2x2 − &x di titik (1, −2 adala$"""" " y = 2x " y = 2x − 0 3" y = 2x − ' D" y = 2x 0 4" y = 2x ' (Dari umptn 1996) Pembahasan
Tentukan dulu gradien garis singgung y = x0 2x2 − &x m = y - = 0x2 'x − & 5ilai m diper+le$ dengan memasukkan x = 1 m = 0(12 '(1 − & = 2 !ersamaan garis dengan gradiennya 2 dan melalui titik (1, −2 adala$ y − y1 = m(x − x1 y − (−2 = 2(x − 1 y 2 = 2x − 2 y = 2x − ' Soal Nomor 4
Tentukan nilai maksimum dari fungsi f(x = 0x(x 2 − 12 Pembahasan
5ilai maksimum diper+le$ saat f -(x = . /rai kemudian turunkan f(x = 0x(x2 − 12 f(x = 0x0 − 06x f -(x = 9x2 − 06 = . 9x2 = 06 x2 = ' x = √' = 2 Untuk x = +2 f(x = 0x0 − 06x = 0(20 − 06(2 = 2' − 72 = − ') Untuk x = −2 f(x = 0x0 − 06x = 0(−20 − 06(−2 = −2' 72 = ') Dengan demikian nilai maksimumnya adala$ ') Soal Nomor 5
%uatu pr+yek pembangunan gedung sek+la$ dapat diselesaikan dalam x $ari dengan biaya pr+yek per$ari
ratus ribu rupia$"
gar biaya minimum maka pr+yek tersebut diselesaikan dalam 8aktu"""" " '. $ari " 6. $ari
3" 9. $ari D" 12. $ari 4" 1&. $ari (umptn 2..1 aplikasi turunan Pembahasan
Tentukan dulu fungsi biaya pr+yek dalam x $ari, kalikan biaya pada s+al dengan x
iaya minimum ter*apai saat turunannya = .,
Soal Nomor 6
%uatu perusa$aan mempr+duksi x bua$ barang" %etiap barang yang dipr+duksi memberikan keuntungan (22&x − x2 rupia$" %upaya t+tal keuntungan men*apai maksimum, banyak barang yang $arus dipr+duksi adala$""" " 12. " 10. 3" 1'. D" 1&. 4" 16. (un 2005) Pembahasan
:euntungan satu barang adala$ (22&x − x 2, se$ingga ;ika dipr+duksi x bua$ barang maka persamaan keuntungannya adala$ keuntungan satu barang dikalikan dengan x / (x = x (22&x − x2 / (x = 22& x2 − x0 5ilai maksimum / (x diper+le$ saat turunannya sama dengan n+l / - (x = . '&. x − 0x2 = .
?asukkan nilai x = 1&. ke fungsi / (x untuk memper+le$ besarnya keuntungan maksimum" Soal Nomor 7
Dua bilangan bulat m dan n memenu$i $ubungan 2m − n = '." 5ilai minimum dari
p = m2 n2 adala$"""" " 02. " 29& 3" 2). D" 26. 4" 2.. Pembahasan
5ilai minimum ter*apai saat p- = .
Soal Nomor 8
Dari selembar kart+n berbentuk persegi yang berukuran sisi 1) *m akan dibuat k+tak tanpa tutup, dengan *ara menggunting empat bua$ persegi di setiap p+;+k kart+n, seperti gambar berikut"
@+lume k+tak terbesar adala$""" " 2&6 *m0 " 092 *m0 3" '02 *m0 D" &12 *m0 4" &)) *m0 (un matematika 2013 - penerapan turunan) Pembahasan
:+tak yang terbentuk memiliki sisi alas sepan;ang (1) − 2x dan tingginya sebesar x seperti gambar berikutA
%yarat yang diperlukan untuk nilai x adala$ x B . dan 1) − 2x B . 1) B 2x xC9 adi nilai x nantinya diantara . dan 9 @+lume akan maksimum saat turunan pertamanya sama dengan n+l"
ang memenu$i syarat adala$ untuk x = 0
Eead m+reA $ttpA##matematikastudy*enter"*+m#kelas11sma#12'aplikasi turunanFixGG0t+7)Hmp
