Capitolo 7 LE TRAVI IPERSTATICHE
7 - 1. GENERALITÀ Si definiscono IPERSTATICHE le travi t ravi che hanno un grado di vinicolo sovrabbondante, per le quali cioè: v > g essendo: Il numero:
v = grado di vincolo, g = numero di gradi gradi di libertà. i = v - g
è definito: GRADO DI IPERSTATICITÀ. IPERSTATICITÀ. Poiché una trave nel piano ha 3 GRADI DI LIBERTÀ, LIBERTÀ, tutti i gradi di vincolo superiori a 3 la rendono IPERSTATICA. ESEMPI
i = 1 UNA volta iperstatiche
i = 2 DUE volte iperstatica
i = 3 TRE volte iperstatica Mentre nelle travi isostatiche le reazioni vincolari possono essere calcolate utilizzando unicamente le relazioni di equilibrio, nel caso delle TRAVI IPERSTATICHE le sole EQUAZIONI DI EQUILIBRIO NON SONO PIÙ SUFFICIENTI e occorre definire ULTERIORI “i” EQUAZIONI per determinare i valori delle “i” reazioni sovrabbondanti dei vincoli.
7 - 2. PROCEDIMENTO PER LA RISOLUZIONE DI UNA TRAVE IPERSTATICA (1) SI RENDE ISOSTATICA LA LA STRUTTURA ELIMINANDO ELIMINANDO gli “i” VINCOLI SOVRABBONDANTI e SOSTITUENDOLI CON le rispettive “i” REAZIONI VINCOLARI INCOGNITE, INCOGNITE, ipotizzandone i versi. 7-1
La struttura che si ottiene è chiamata STRUTTURA PRINCIPALE (o trave principale). E’ una struttura ISOSTATICA caricata dalle FORZE ESTERNE (note) e dalle REAZIONI IPERSTATICHE (incognite) agenti in corrispondenza dei vincoli soppressi. (2) SI SCRIVONO “i” EQUAZIONI “DI CONGRUENZA” che esprimono che la DEFORMATA della STRUTTURA PRINCIPALE, caricata dalle FORZE ESTERNE (note) e dalle REAZIONI IPERSTATICHE (incognite), è IDENTICA ALLA DEFORMATA DELLA STRUTTURA IPERSTATICA REALE. (3) SI RISOLVE IL IL SISTEMA DELLE DELLE “i” EQUAZIONI DI CONGRUENZA ricavando ricavando i valori delle “i” INCOGNITE IPERSTATICHE. Eventuali SEGNI NEGATIVI di una o più incognite iperstatiche significano che i VERSI IPOTIZZATI PER QUESTE REAZIONI (e solo per esse) ERANO ERRATI. I valori numerici sono invece corretti; corretti; basta quindi invertire i versi di queste reazioni. Nota: LA SCELTA dei vincoli sovrabbondanti da eliminare e quindi DELLA STRUTTURA PRINCIPALE NON E’ UNIVOCA. Tuttavia tutte le strutture principali che si possono ottenere da una data struttura iperstatica danno gli stessi risultati. ESEMPIO n. 1 Trave doppiamente incastrata.
P
La trave doppiamente incastrata risulta 3 VOLTE IPERSTATICA. Un solo incastro infatti è sufficiente a reggere isostaticamente la trave; i tre gradi di vincolo in più introdotti dal secondo incastro sono quindi sovrabbondanti. Tuttavia IL NUMERO DELLE REAZIONI IPERSTATICHE INCOGNITE NON E’ SEMPRE UGUALE AL NUMERO DEI GRADI DI VINCOLO SOVRABBONDANTI perché i carichi applicati non sempre generano reazioni vincolari nelle direzioni che interessano tutti i gradi di vincolo. In questo esempio il carico verticale P non genera nessuna reazione in direzione orizzontale; pertanto il vincolo sovrabbondante in direzione orizzontale “non lavora” e la sua reazione iperstatica orizzontale è nulla. Si chiama “GRADO DI INDETERMINAZIONE STATICA” il NUMERO DELLE REAZIONI IPERSTATICHE IPERSTATICHE NON-NULLE che devono essere determinate. La trave dell’esempio, caricata caricata verticalmente da P, è quindi “3 VOLTE IPERSTATICA” IPERSTATICA” e “2 VOLTE STATICAMENTE INDETERMINATA”. POSSIBILI STRUTTURE PRINCIPALI
7-2
1 - Sostituzione degli incastri con cerniere. Le incognite iperstatiche sono i due momenti d’incastro M1 e M2. M1
M2
P
2 - Eliminazione di un incastro. Le incognite iperstatiche sono le reazioni M 1 e X1. M1
P X1
3 - Eliminazione del vincolo interno costituito dalla continuità materiale della trave, mediante il taglio della trave stessa. Il taglio può essere eseguito in un punto qualunque della trave. In questo caso è stato scelto il punto di applicazione del carico P. P M1 M1 X1
X1
Lo sforzo di taglio X 1 e il momento flettente M 1 sono quelli che si trasmettono mutuamente i due spezzoni della trave. In tutti i casi le relazioni che permettono di calcolare i valori delle reazioni iperstatiche sono delle EQUAZIONI DI CONGRUENZA che esprimono il fatto che la trave reale iperstatica e la trave principale caricata anche dalle reazioni iperstatiche SI DEVONO DEFORMARE ALLO STESSO MODO, presentando quindi in tutti i punti, ed in particolare NEI PUNTI DI APPLICAZIONE DELLE REAZIONI IPERSTATICHE LO STESSO SPOSTAMENTO E LA STESSA ROTAZIONE. Considerando ad esempio la struttura principale (1), le incognite iperstatiche M 1 e M2 si calcolano imponendo le due condizioni di congruenza che esprimono che le rotazioni delle due estremità della trave sono nulle: M1
M2
P
B
A
7-3
αA
(M1) – αA (P) + α A (M2 ) = 0
α B (M 1 )
– αB (P) + α B (M2) = 0
Dalla risoluzione di questo sistema si ricavano le due incognite iperstatiche M1 e M2 . Considerando invece la struttura principale (2), le incognite iperstatiche X 1 e M1 si calcolano imponendo le condizioni di congruenza che lo spostamento verticale e la rotazione dell’estremità B siano nulli: P
M1
B
A X1 y B (P) – yB (X 1) – yB (M 1) = 0 α B (P )
– α B (X1) – α B (M1 ) = 0
Considerando infine la struttura principale (3), le incognite iperstatiche X 1 ed M1 si calcolano imponendo le condizioni di congruenza che lo spostamento verticale e la rotazione del punto estremo dei due tratti di trave a destra e a sinistra del taglio siano uguali: P M1 M1 X1
C C X1
C ( P – X1) – y C (M 1) = y C (X 1) – y C (M 1) y sx sx dx
C ( P – X 1) α sx
dx
C (M 1 ) = – α C (X 1 ) + α C (M 1) – α sx dx
dx
Ovviamente i risultati che si ottengono sono gli stessi nei tre casi. Verifichiamo questo fatto con un semplice esempio. ESEMPIO n. 2 Calcolare le reazioni vincolari e la freccia in mezzeria della trave doppiamente incastrata e caricata da una forza verticale P applicata nel centro.
7-4
P L/2
L/2 L
Come si è detto, la struttura principale può essere scelta in infiniti modi. Vediamo tre possibili scelte, uguali a quelle dell’esempio n. 1. - 1° MODO M1
P
M 2 = M1 B
A C TRAVE PRINCIPAL P RINCIPALE E
Si elimina l’iperstaticità della trave sostituendo i due incastri con due cerniere e si mettono in evidenza i due momenti iperstatici M 1 e M2 che davano i due incastri eliminati. Per simmetria sarà: M 1 = M2 Il valore di M1 si calcola imponendo la condizione di congruenza che la rotazione negli incastri sia nulla: α A (M 1) – α A (P) + α A (M 2 ) = 0 Esplicitando i termini: da cui: da cui: da cui: da cui, infine:
2 M1 L M1 L P L – + 3 EJ 1 6 EJ 6 EJ = 0
M1 P L + M1 = 0 – 3 16 6
M1 ( 1 + 1 ) = P L 3 6 16 M1 2 + 1 = P L 6 16 M 1 = P L = M2 8
L’equazione di congruenza delle rotazioni nell’incastro B è identica alla precedente. - REAZIONI VINCOLARI
7-5
M1
M1 = P L 8
P C
VA
VB = VA
- Equilibrio verticale: VA + VB – P = 0 Segue:
con:
VA = VB
VA = VB = P 2 M 1 M2 = P L 8
Inoltre si è già trovato: - FRECCIA IN MEZZERIA
Facendo riferimento alla trave principale si ha: Esplicitando i termini:
yC = yC (P) – y C (M) 3 M1 L 2 P L P L3 – P L 3 = y C = 48 EJ – 8 EJ = 48EJ 6 4 EJ
da cui, infine:
3 3 = P L ( 1 – 1 ) = PL 4–3 EJ 48 64 EJ 192
1 P L3 yC = 192 EJ Nota: Confrontando questo valore della freccia in mezzeria della trave doppiamente incastrata con quello relativo alla trave appoggiata caricata allo stesso modo: 3 y C = 4P8LEJ si vede che la freccia si riduce a 1 nel caso dei due incastri. 4 - DIAGRAMMI DELLE SOLLECITAZIONI I diagrammi del taglio e del momento flettente si possono ottenere dalla trave principale effettuando la sovrapposizione degli effetti:
7-6
P
PL 8
+
P 2 P 2
PL 8
+
= P 2
=
P 2
TAGLIO
PL 8
PL 8
=
+
PL 4
P
MOMENTO FLETTENTE
PL 8
- 2° MODO M
P A
B
C
X
TRAVE PRINCIPAL P RINCIPALE E Si elimina l’iperstaticità della trave togliendo l’incastro di destra e sostituendolo con la reazione verticale X e il momento flettente M iperstatici dei quali si ipotizzano i versi indicati in figura. Le equazioni di congruenza degli spostamenti verticali e delle rotazioni nel punto B sono: s ono: y B (P) – yB (X) – yB (M) = 0 α B (P )
Calcoliamo a parte il termine: deformazioni:
– α B (X) – α B (M) = 0
yB (P) utilizzando la composizione cinematica delle
P yC
A C
αC
αC
B
7-7
L 2
yB (P) = y C (P ) + α C L 2
Esplicitando i termini: 3
2
P ( L2 ) P(L 2 ) L = P L3 + P L3 = P L3 ( 1 + 1 ) = + 3 EJ 2 EJ 2 24 EJ 1 6 EJ EJ 24 16 3 3 = P L 2+ 3 = 5 PL EJ 48 48 EJ
Ritornando alle equazioni di congruenza, queste diventano: 5 P L3 – X L3 – M L 2 = 0 48 EJ 3 EJ 2 EJ P L 2 – X L2 – M L = 0 8 EJ 2 EJ EJ da cui:
5 PL – X L – M = 0 48 3 2
PL – XL – M = 0 8 2 Moltiplicando la prima equazione equazione per - 2 si ha: 2 XL + M = 0 – 10 P L + 48 3 PL – XL – M = 0 8 2 Sommando membro a membro: P L ( 1 – 10 ) + X L ( 2 – 8 48 3 da cui: P L 6–10 + X L 4 – 3 48 6 da cui: – 4 P + 1X = 0 48 6 da cui, infine: X= P 2
1) = 0 3 = 0
Dalla seconda equazione di congruenza, sostituendo il valore di X trovato, si ha:
da cui:
PL – P L = M 8 2 2 M = PL – PL = – PL 8 4 8
7-8
Nota: Il segno “ - “ del momento flettente sta a indicare che il VERSO REALE del momento M è OPPOSTO A QUELLO IPOTIZZATO. IPOTIZZATO. La situazione reale della trave principale sarà quindi: P
B
A
M= PL 8
P 2
- REAZIONI VINCOLARI NEL PUNTO A - Equilibrio verticale:
VA – P + P = 0 2
da cui:
VA = P 2
P
M= PL 8
B P 2
VA - Equilibrio alla rotazione intorno ad A: P
B P 2
MA
da cui:
M= PL 8
MA – P L + P L – P L = 0 2 2 8 MA = P L 8
Le reazioni trovate ora sono le stesse che si erano trovate col 1° modo. Si omette per brevità il calcolo della freccia in mezzeria. - 3° MODO P M C A
M C X
X
7-9
B
Eliminiamo l’iperstaticità della trave tagliandola in corrispondenza del punto C. Nota: Il taglio potrebbe essere effettuato in uno qualunque dei punti della trave, portando agli stessi risultati. La scelta del punto C rende più semplice il calcolo. Le incognite iperstatiche sono il taglio X e il momento flettente M che le due metà della trave si scambiano. Per calcolare X ed M scriviamo le equazioni di CONGRUENZA DEGLI SPOSTAMENTI VERTICALI E DELLE DELLE ROTAZIONI dei due tratti di trave: y C Sini Sinist stra ra = y C Dest Destra ra α C Sinis inistr traa = α C Dest Destra ra cioè:
y C Sini Sinist stra ra(P ) – yC Sini Sinist stra ra( X) – yC Sini Sinist stra ra(M)= yC Dest Destrra(X ) – y C Dest Destra ra(M) α C Sini Sinist stra ra(P) – α C Sini Sinist stra ra(X ) – α C Sini Sinist stra ra(M)= – α C Dest Destra ra( X) + α C Dest Destra ra(M)
Esplicitando i termini: 3 3 2 3 2 P ( L2 ) X ( L2 ) M ( L2 ) X ( L2 ) M ( L2 ) 3 EJ – 3 EJ – 2 EJ = 3 EJ – 2 EJ 2 2 2 P ( L2 ) X ( L2 ) X ( L2 ) M L2 M L2 2 EJ – 2 EJ – EJ = – 2 EJ + EJ
da cui: PL – XL – M = XL – M 6 6 2 6 2 PL – XL – M = – XL + M 4 4 4 Dalla prima equazione si ha: da cui:
PL = 2 XL 6 6 X= P 2
Dalla seconda equazione si ha: da cui:
PL = 2 M 4 M = PL 8
Le reazioni vincolari sono quindi:
7 - 10
- PUNTO A P-
MA C
P P = 2 2 PL 8
M=
VA - Equilibrio verticale:
VA = P 2 - Rotazione intorno al punto A: da cui:
MA – P L + PL = 0 2 2 8 MA = PL – PL 4 8
da cui, infine:
M A = PL 8 - PUNTO B P 2
PL 8
VB MB
C
- Equilibrio verticale: VB = P 2 - Rotazione intorno al punto B:
da cui:
PL – P L + M = 0 B 8 2 2 M B = PL 8
Le reazioni vincolari ottenute anche in questo terzo modo coincidono con quelle trovate con gli altri due metodi. - FRECCIA IN MEZZERIA P 2 C A
7 - 11
PL 8
Considerando la semi-trave di sinistra si ha: yC = yC( P ) – yC( PL ) 2 8 Esplicitando i termini: P (L )3 PL ( L ) 2 3 3 yC = 2 2 – 8 2 = P L – P L = 3 EJ 2 EJ 48 EJ 6 4 EJ 3 1 – 1 = PL 3 4 – 3 = 1 PL 3 = PL EJ 48 64 EJ 192 192 EJ
che coincide col valore trovato col 1° modo. Nota: Come si è visto, la scelta della trave principale è arbitraria; tuttavia è conveniente scegliere una trave principale che consenta di scrivere le equazioni di congruenza utilizzando le formule già note relative ai casi semplici di travi appoggiate o di mensole caricate alle estremità ed utilizzando eventuali simmetrie del sistema. Nell’esempio precedente il 1° modo è senz’altro il più conveniente perché, sfruttando appunto la simmetria, consente la risoluzione con una sola equazione. ESEMPIO n. 3 Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi del Taglio e del Momento Flettente di una TRAVE SU TRE APPOGGI caricata alle estremità da due coppie C uguali e contrarie.
C
l/2
l/2
C
l
Il grado di iperstaticità di questa trave è: i = v-g essendo: Segue:
g = 3,
v = 2+1+1= 4
i = v-g = 4-3 = 1
(UNA volta iperstatica)
TRAVE PRINCIPAL P RINCIPALE E Eliminiamo l’appoggio centrale sostituendolo con la reazione verticale incognita X.
7 - 12
C
C X
- Equazione di congruenza degli spostamenti verticali nell’appoggio centrale: f (C (C) – f (X (X ) = 0 Esplicitando i termini: C l2 – X l3 = 0 8 EJ 48 EJ
da cui:
C – X l = 0 e infine: 6
X = 6C l
La trave da studiare è quindi: 6C l C -
C
REAZIONI VINCOLARI: 6C l C
3C l
3C l
C
Nota: Nella trave isostatica con due appoggi alle estremità, caricata da due coppie C, i vincoli sono scarichi. L’introduzione di un vincolo centrale sovrabbondante carica anche i vincoli di estremità. - DIAGRAMMI DELLE SOLLECITAZIONI: TAGLIO: 3C l
+ -
7 - 13
3C l
Per tracciare il diagramma del momento flettente applichiamo la sovrapposizione degli effetti. - DEFORMATA La deformata avrà due punti di FLESSO in corrispondenza dei due punti in cui si annulla il momento flettente.
ESEMPIO n. 4 Calcolare le reazioni iperstatiche nella struttura rappresentata in figura.
L P
P
l/4
l/4 l/2 l
Il grado di iperstaticità di questa struttura s truttura può essere calcolato tenendo conto che: n = 2 (numero degli elementi) g = 3 n = 3 ×2 = 6 (gradi di libertà)
7 - 14
Cerniere equivalenti: c = m - 1 = 2 - 1 = 1 v = 2
+
3
+
1 +
2
= 8
i = v-g = 8-6 = 2 (2 volte iperstatica). Tuttavia, con i carichi presenti tutti verticali, la struttura è UNA VOLTA STATICAMENTE INDETERMINATA INDETERMINATA perché i carichi non “eccitano” l’iperstaticità orizzontale. Basterà quindi una sola equazione di congruenza per determinare l’incognita iperstatica. STRUTTURA PRINCIPALE
2
X P
X
P 1
Spezzando la struttura in corrispondenza della cerniera interna, i due membri 1 e 2 si scambiano una forza verticale incognita X che può essere calcolata mediante l’equazione di congruenza degli spostamenti verticali del punto in cui si è effettuato il taglio (freccia della trave 1 uguale all’allungamento dell’asta 2): f 1 (P , P , X) = ∆ L 2 (X) Nota: La formula della freccia in mezzeria della trave su due appoggi caricata dalle due forze P può essere ricavata applicando il METODO di MOHR.
7 - 15
TRAVE REALE P
TRAVE AUSILIARIA AUSILIARIA Pl 4 EJ
P
l/4
l/2
l/4
Pl 4 La freccia in mezzeria nella trave reale coinciderà con il momento flettente in mezzeria nella trave ausiliaria. Per calcolare il momento flettente in mezzeria della trave ausiliaria, calcoliamo la risultante del carico e le reazioni vincolari. - CARICHI FITTIZI RISULTANTI
F1
F2
F3 = F1
2 F1 = 1 P l l = P l = F3 2 4 EJ 4 32 EJ 2 F2 = P l l = P l 4 EJ 2 8 EJ 2 2 CARICO FITTIZIO TOTALE = F 1 + F2 + F3 = 2 P l + P l = 32 EJ 8 EJ 2 2 2 = P l 1 + 1 = Pl 1+2 = 3 P l EJ 16 8 EJ 16 16 EJ
- REAZIONI VINCOLARI FITTIZIE
F1
F2
F3
RB
RA 3 P l2 = 3 P l2 R A = R B = 12 16 EJ 32 EJ
7 - 16
(ROTAZIONI in A e B)
- MOMENTO FLETTENTE FITTIZIO IN MEZZERIA 1 l 3 4
l/4 F2 2
F1
l/8
RA
l/3 l/2
Il braccio della forza F 1 rispetto alla mezzeria è: 1 l + l = l+3l = 4 l = l 34 4 12 12 3 Il momento flettente fittizio in mezzeria è quindi: 2 2 2 M = 3 Pl l – P l l – 1 Pl l = 32 EJ 2 32 EJ 3 2 8 EJ 8 3 3 3 = P l 3 – 1 – 1 = P l 1 8 – 4 – 3 = 11 P l EJ 64 96 128 EJ 384 384 EJ
Pertanto nella trave reale la FRECCIA IN MEZZERIA MEZZERIA prodotta dalle due forze P vale: 11 P l 3 f 1 (P, P ) = 384 EJ L’equazione di congruenza:
f 1 (P , P , X) = ∆ L 2 (X)
diventa quindi: 11 P l 3 – X l3 = X L 384 EJ 48 EJ E A2 essendo A2 l’area della sezione dell’asta 2. Da questa equazione si ricava il valore dell’incognita iperstatica X. Il sistema da studiare è quindi ridotto alle due travi isostatiche:
7 - 17
2
X X
P
P 1
in cui i carichi sono ora tutti noti. ESEMPIO n. 5 Calcolare le reazioni iperstatiche nella struttura rappresentata in figura.
P A
L/2
E L
F
d
B
d C
2L a
La struttura è costituita da due aste perpendicolari collegate fra loro nel punto C da una CERNIERA SFERICA in grado di trasmettere forze in tutte le direzioni ma non in grado di trasmettere coppie di nessun tipo (né flettenti né torcenti). Nel punto F vi è un incastro. La struttura è 3 volte iperstatica: n = 2, g = 3 n = 6, v = 2 + 2 + 2 + 3 = 9, i = v - g = 9 - 6 = 3 ma è una sola volta staticamente indeterminata. La STRUTTURA PRINCIPALE PRINCIPALE più conveniente è:
7 - 18
P
X
X
1
2 L’incognita L’incognita iperstatica è la forza verticale X che si scambiano s cambiano le due travi in corrispondenza del punto C. L’EQUAZIONE DI CONGRUENZA DEGLI SPOSTAMENTI VERTICALI in corrispondenza del punto C per le due travi t ravi è: η C 1(
P ) – ηC 1( X ) = ηC 2( X )
dove: P A
η C 1( P
αB
η
B
C( P )
C
2 P L3 ) = αB ( P ) × L = 1P6LEJ L = 16EJ
XL η C 1( X
L 3 + (X L) L L = X L 3 + X L 3 = 2 X L 3 ) = X3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ 3 EJ η C 2( X
3 ) = Xa 3 EJ
L’EQUAZIONE L’EQUAZIONE DI CONGRUENZA diventa quindi: P L3 – 2 X L3 = X a3 1 6 EJ 3 EJ 3 EJ
da cui si ricava l’incognita iperstatica X. Per i successivi calcoli delle reazioni vincolari isostatiche, delle azioni interne e delle tensioni nella struttura, si procede considerando i due tratti della struttura principale caricati dal carico esterno e dall’incognita iperstatica X che ora è nota.
7 - 19
ESEMPIO n. 6 E P
A
d
C
B a
b L/2 L
Calcolare le reazioni iperstatiche nella struttura rappresentata in figura.
Nei punti A e B vi sono due cerniere che consentono tutte le rotazioni (flessionali e torsionali) mentre nel punto E vi è una cerniera che consente le rotazioni flessionali ma non consente le rotazioni torsionali. Nel punto B i due tratti di trave sono saldati tra di loro l oro ed entrambi si appoggiano al vincolo. La struttura è una volta staticamente indeterminata. La scelta della STRUTTURA PRINCIPALE può essere effettuata in vari modi; vediamo due possibili scelte, entrambe convenienti. 1° MODO
E P Mt
A Mt
B M
1
Mt B
2
M
Il carico P, trasportato nel punto di mezzo della trave 1 dà luogo ad una forza P e ad un momento torcente M t: Mt = P b Tagliando la struttura nel punto B, le due travi 1 e 2, entrambe appoggiate, si scambiano due momenti: - un Momento Mt: torcente per la trave trave 1, flettente per per la trave trave 2, 2, di valore noto, - un Momento iperstatico M: flettente per la trave 1, torcente per la trave 2, che va determinato con l’equazione di congruenza delle rotazioni (flessionale per la trave 1, torsionale per la trave 2) nel punto B: 7 - 20
α B( P 1
) – α B( M ) = αB( M ) 1
2
Esplicitando i termini, si ha: P L2 – M L = M a 16 EJ 3 EJ G JP
da cui si ricava l’incognita iperstatica M. 2° MODO E
M
P A
B
C Mt
Un’altra possibile struttura principale può essere ottenuta eliminando l’appoggio nel punto E sostituendolo con le reazioni che esso dà e che sono: una forza verticale X ed un momento M (torcente) tali da impedire l’abbassamento e la rotazione (torsionale) in corrispondenza dell’appoggio eliminato. La reazione X, isostatica, può essere calcolata direttamente dall’equazione di equilibrio alla rotazione intorno all’asse AB dell’intera struttura: Mt = X a
da cui:
M X = a t = Pab
Il momento iperstatico M può essere calcolato dall’equazione di congruenza delle rotazioni nel punto E: θ E( M 2
) – α B( P ) + α B( M ) = 0 1
1
Esplicitando i termini, si ha: M a – P L2 + M L = 0 G JP 16 EJ 3 EJ Questa equazione di congruenza coincide con quella ottenuta nel 1° Modo.
7 - 21
ESEMPIO n. 7 Nel punto C della trave AB, di lunghezza L e Sezione S, con le estremità vincolate da due cerniere è applicato un carico assiale P. Calcolare le reazioni vincolari negli appoggi. La struttura è una volta iperstatica. Una possibile STRUTTURA PRINCIPALE è quella che si ottiene sostituendo la cerniera nel punto A con un carrello, introducendo la reazione incognita X. A
C
P
B
a
b L
X
HA = X
A
P
C
B
P
HB
EQUAZIONE DI CONGRUENZA Per effetto dell’allungamento prodotto dal carico assiale P (che sollecita a trazione solamente il tratto CB) e dell’accorciamento prodotto dalla reazione incognita X (che sollecita a compressione tutta la trave), il punto p unto A deve avere uno spostamento orizzontale globale nullo. ∆b ( P ) − ∆L ( X ) = 0
Esplicitando: P b XL − =0 ES E S b da cui: X = P = HA L Dall’equilibrio orizzontale della trave si ottiene: HB = P − X = P − P Il carico assiale P si ripartisce quindi fra i due appoggi in parti inversamente proporzionali alle distanze dal punto di applicazione. Il diagramma dello sforzo normale sarà quindi quello riportato a lato.
b L−b a b = P 1− = P =P L L L L
P
b L
+
P
-
2
ESEMPIO n. 8
P
B
Calcolare le reazioni vincolari e le azioni interne nella struttura a portale rappresentata in figura.
a
C
b L
c
La struttura è tre volte iperstatica e due volte staticamente indeterminata (l’iperstaticità orizzontale non è eccitata dal carico). 7 - 22
a L
3 1 A
D
La struttura principale più conveniente è quella che si ottiene introducendo due cerniere interne nei punti B e C ed inserendo i due Momenti Flettenti M 1 ed M2 che devono ripristinare l’uguaglianza delle rotazioni delle estremità delle travi 1 e 2 nel punto B e delle travi 2 e 3 nel punto C. P
B
C
P
B
P
M1
M2
M1
M2 a P L
b L
C
Le EQUAZIONI di CONGRUENZA delle rotazioni, che permettono di calcolare M 1 ed M2 sono: PUNTO B:
ϕB1 ( M1 ) = ϕB2 ( P ) − ϕB2 ( M1 ) − ϕB2 ( M 2 )
PUNTO C:
ϕC3 ( M 2 ) = ϕC 2 ( P ) − ϕC2 ( M 2 ) − ϕC 2 ( M1 )
Esplicitando: 2 2 M1c Pb ( L − b ) M1L M 2 L = − − EJ1 6EJ 2L 3EJ 2 6EJ 2 2 2 M 2c Pa ( L − a ) M 2L M1L = − − EJ 3 6EJ 2L 3EJ 2 6EJ 2
Risolvendo questo sistema si ottengono i valori di M 1 ed M2. Diagrammi delle AZIONI INTERNE. Pb L
-
Pa L
Pb L
M1
+ -
-
SFORZO NORMALE
TAGLIO
7 - 23
Pa L
M2 M = −M1 +
Pb a L
MOMENTO FLETTENTE
7 – 3. LE TENSIONI TERMICHE NELLE STRUTTURE IPERSTATICHE Si chiamano Tensioni Termiche quelle tensioni che nascono per effetto di variazioni di temperatura. Esse rivestono un’importanza fondamentale nel calcolo strutturale perché possono raggiungere valori anche molto elevati (che possono portare a deformazioni permanenti o a rotture) apparentemente in assenza di carichi applicati dall’esterno.
- Variazione di temperatura temperatura ∆T uniforme nella sezione Una variazione di temperatura in una trave causa una variazione delle dimensioni lineari pari a: ∆L = α L ∆T − − −
Coefficiente di dilatazione termica lineare: α [1/°C]. Per l’acciaio è: α = 0,000012 °C -1 Dimensione lineare L Variazione di temperatura ∆T (positiva se in aumento, negativa se in diminuzione).
Quindi tutte le dimensioni della trave variano con la temperatura: lunghezza, altezza, larghezza o diametro. Nelle travi “snelle” le variazioni delle dimensioni della sezione provocate dalle variazioni di temperatura sono molto piccole e vengono generalmente trascurate. La variazione della lunghezza della trave, in termini assoluti, è ancora piccola ma assume una grande importanza se deve essere contrastata o annullata con l’applicazione di una forza. Ad esempio, una trave in acciaio lunga 1000 mm, di diametro 50 mm, con un aumento di temperatura ∆T = 100 °C, subirà su birà un allungamento: ∆L = α L ∆T = 0,000012 × 1000 × 100 = 1,2 mm ed un aumento di diametro:
∆D = α D ∆T = 0,000012 × 50 × 100 = 0,06 mm
QUESTE VARIAZIONI DI DIMENSIONI, SE NON SONO OSTACOLATE, NON PROVOCANO NESSUNA TENSIONE. Quindi, nelle travi isostatiche, le dilatazioni termiche non provocano nessuna tensione; inoltre la variazione della lunghezza può essere trascurata nei calcoli. Nelle travi o nelle strutture IPERSTATICHE, quando le dilatazioni termiche sono ostacolate o impedite, nascono invece delle tensioni (chiamate “tensioni termiche”) generate dalle forze che devono ostacolare o impedire queste dilatazioni. ESEMPIO n. 9 Esaminiamo il caso di una trave vincolata da due cerniere alle estremità e soggetta ad un aumento di temperatura + ∆T. + ∆Τ
+ ∆Τ
L
N
L ∆L
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La trave è iperstatica assialmente e la dilatazione termica è totalmente impedita; trasformando la cerniera destra in un carrello, dovremo inserire una forza assiale N che annulli lo spostamento del carrello. L’equazione di congruenza è: ∆L ( ∆T ) − ∆L ( N ) = 0 αL∆T −
essendo S l’area della sezione della trave. Si ottiene: N = αES∆T
NL =0 ES (compressione)
La tensione nella trave è quindi:
L
N σ = − = − Eα∆T S Si osservi che, essendo la dilatazione impedita pari a:
la tensione che nasce è pari a:
ε=
∆L
L
=
αL∆T
L
= α ∆T
σ=Eε
cioè è proporzionale alla dilatazione impedita. Pertanto, se in una struttura iperstatica solamente una parte della dilatazione termica è impedita, la tensione che nascerà sarà proporzionale solamente alla parte di dilatazione impedita. Fissando dei valori numerici: L = 1000 mm, S = 1963, 49 mm 2 (diametro = 50 mm), -1 2 α = 0,000012 °C , E = 206000 N/mm , ∆T = 100 °C, si ottiene: N = αES∆T = 485376 N (compressione),
σ = − Εα∆Τ = - 247,2 N/mm
2
Si noti che la forza N è di circa 50 tonnellate. ESEMPIO n. 10 + ∆T
+ ∆T a
X X
L
Separando i due tratti della struttura, il tratto orizzontale subirebbe un aumento di lunghezza che viene contrastato, non completamente, dal tratto verticale che si inflette. Chiamando X la forza che si scambiano i due tratti, l’equazione di congruenza è: XL X a 3 αL∆T − = ES 3EJ 7 - 25
essendo: S = Area della sezione della trave orizzontale, J = Momento d’inerzia della sezione della trave verticale. Si ottiene: X=
αL∆T
L a3 + ES 3EJ
Si può osservare che la forza X è tanto minore quanto meno rigide sono le due aste, cioè quanto meno è ostacolata la dilatazione termica. Fissando dei valori numerici: L = 1000 mm, a = 500 mm, 50 mm), J = pd4 /64 = 306796,15 mm4, α = 0,000012 °C-1, ∆T = 100 °C, si ottiene: X = 1813,36 N (compressione),
S = 1963, 49 mm 2 (diametro = E = 206000 N/mm 2,
σ = - X/S = - 0,92 N/mm
2
La scarsa rigidezza a flessione dell’asta verticale richiede una forza N molto piccola per compensare la dilatazione termica dell’asta orizzontale. Pertanto il valore di: σ = − Eα∆T , trovato nell’ESEMPIO n. 9, è il valore massimo che può assumere la tensione termica e si verifica solamente quando la dilatazione termica è totalmente impedita.
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