Piero Pozzati - Teoria e Tecnica Delle Strutture - Vol.2 - Sistemi Di Travi (Parte Prima)

x,

x,

.l,

1/2

11Vz

1/2

A,

-11v2

o

11v2

).,

1/2

-11V2

P"~(2-V2) EJ/a'~9,37 EJ/l' (invece di 9,8696; differenza di ~ 5%). e) Per un'asta incernierata alle estremità, essendo Mint.=-EJv zione di equilibrio indifferente Mest.=M1nt. è (r.i'"=P/EJ):

1/2

Esempio 2.7.

I

Determinare il carico critico per l'asta indicata nella fig. 2.4 C2 •9): essa ha le estremità articolate ed è costituita da quattro tratti uguali e indeformabili, colleBELLUZZI,

i

I

x,

Si veda, per esempio, O.

I

a)

__ !____ ({ __ _

I

La prima configurazione dinamica e la terza sono simmetriche; la seconda è antimetrica (A 2 =0). Gli autovettori possono essere resi unici normalizzan~oii (nota 2.7); e poiché per i tre autovalori si ha l*(l. 1 )~cj/4 ~2c, l*(A,)~V2 e, l*(A,)~2c, risulta:

<2·0>

~ 1~0.

}e

tre equazioni an1mette in tale caso tre autovalori, a ognuno dei quali corrisporide un correlativo autovettore; posto per esempio À=A1 e x 3 =À 3 =c, da due qualunque delle stesse tre equazioni si ottengono x 1 e x 2 in funzione del moltiplicatore e indeterminato. In definitiva:

Scienza delle costruzioni, cap. XXXII, es. 1914.

! !ì

II

d'v --+a 2 v=O,

dx'

0 ,

[d]

Ja condi-

[e]

con le condizioni ai limiti v=O per x=O e x=l. L'equazione [e], scritta alle differenze finite (cap. XI), in corrispondenza di un generico punto x risulta (indicando con a la lunghezza di ciascun tratto): [/]

41

Capitolo secondo

Equazioni lineari

Divisa ad esempio la trave in quattro tronchi uguali e considerando v3 = v1 (ossia la deformata simmetrica), l'equazione [e] alle differenze, scritta nei punti 1 e 2 (fig. 2.5), diviene:

Condizioni ai limiti: v1=0 per x=O, quindi C 2 =0; dv 2 /dx=O per x=l, quindi C3 =C4 tg a 2/. Inoltre, dovendo essere v1 =v 2 e dv1 /dx=dv 2/dx per x=l1 , si ottiene:

40

C1 sen a 1 l 1 = C4 (sen a 2 /i · tg a 2l+cos a2l1)

[e]

C1 a 1 cos a 111=a2C 4 (cos a 2/1 · tg a 2/-sen a 2 / 1).

Al solito, il sistema può ammettere una soluzione non nulla se (posto a 2 a 2 = À):

I

1

A-2

I

,\-2 ~o,

2

Al solito, tale sistema può ammettere una soluzione non nulla se si annulla il determinante dei coefficienti, per cui, sviluppato questo, si ottiene (dividendo i vari termini per a 1 · sen a 1l 1 • cos a 2 / 1):

a,

-

a,

quindi se:

(tg a 2 1-tg a,1,)-cotg a,I, (tg a,I, · tg a,I+ 1)~0.

).-2~±V2;

(X-2) 2 -2~0,

[d]

p

2

Pa e il minor valore di}, risulta Àmin=(aa) 2 = EJ =2-V2 , da cui (a=l/4):

Poc~9,37

Elfi'.

Come è logico, si ottiene lo stesso valore ottenuto in b).

Fig. 2.6

i· "

(1)

Ma tg a 2 1,~tg viene:

11,

a,(1-1,)~(tg

a 21-tg a,I,) : (1 +tg a2 1 · tg a,l,), quindi la [d] di[e]

I

a

i-

Q)

L'equazione [e] può essere risolta per tentativi, o con interpolazione analitica o

v,

I

grafica. Ad esempio, per J 2 =2J1 , 12 =1/3 ( a1 l1=

(I

t' (Jj

v,

a1/a 2=

yli),

Jl2a 2 ~ l=0,9428 a l; 2

a 2l2 =a2l/3;

la [eJ risulta soddisfatta con a 2/= 1,324 quindi Pcr=Ef2a2 = 1,75 EJ2 /l2. 2

a

Fig. 2.5

j_

2.7. Matrici (e operazioni matriciali) particolari connesse con il calcolo degli autovalori.

Ese1npio 2.8.

2.7.1. Matrice degli autovalori <2•10l.

a) Nello studio di problemi riguardanti la stabilità dell'equilibrio o il regime vibratorio delle strutture si può giungere, anche nei casi aventi natura non discreta, a sistemi di equazioni omogenee; siste1ni che derivano dalle condizioni ai limiti, come mostra il seguente esempio. b) Determinare il carico critico per la trave a sbalzo della fig. 2.6, compren~ dente due tratti prismatici con sezioni e lunghezze diverse. In relazione agl.i assi di riferimento adottati, le condizioni di equilibrio limite (Mint.=Mest) per I due tratti sono: [a]

e gli integrali valgono

Viene definita «matrice degli autovalori» S la matrice diagonale i cui elementi sono gli autovalori dell'equazione caratteristica [2.20]:

oo ... ... oo J 2. 7.2. Matrice degli autovettori <2 .nJ.

Abbiamo visto che a un sistema di n equazioni omogenee nelle incognite x 1 ••• Xn del tipo [2.15] corrisponde l'equazione caratteristica di grado n [2.20]; e che, natu-

(a,'~P/EJ,, a,'~P/EJ,):

[b]

[2.22]

O ••• An

2 10 ( • )

<2 ·11 )

Detta spectral matrix nei testi inglesi. Detta moda! 1natrix nei testi inglesi.

42

Capitolo secondo

Equazioni lineari

ralm~n~e, ciascuna radice },! delle ~ radici di questa, genera, a meno di un arbitrario molt1ph.cat?re, una rosa di valori x 1(J.,) ... xn(Ài) delle incognite, oppure, come in breve si dice, g~nera un ~utovettore x(Ài). Tali n autovettori possono essere scritti come ~oloni:e ~I una rnatnce quadrata M che per I 'appunto viene detta «degli auto~ vettori 1>; qu1nd1 : x1 (À1) xi(}.,) ... x 1(Àn) M~ x,(A1) x,(À,) ... x,(Xn) [ .

Le matrici A, S, relative agli stessi autovalori, sono dette omoge~ee. _Pertanto la relazione [2.29] consente di trasformare una matrice A in una matrice diagonale, che è quella dei relativi autovalori: basta premoltiplicarla per l'inversa ~ella ma: trice M degli autovettori, e postmoltiplicarla per la stessa M. Tale operazione puo essere detta «trasformazione in matrice omogenea )>.

J

l

x;,(!.;) .

x~(X;) .:. x~(in)

2 231

'

e, ovy~amente, gli ,autovett?ri possono figurare nella M normalizzati (nota 2.7). In de:fin1tlva la M puo essere 1ntesa come «matrice riga» degli autovettori, ossia: M~[x(À1 ) ••• x(Àn)J. [2.24] Relativamente all'esempio 2.6b, le matrici degli autovalori e degli autovettori (normalizzati) sono: 2 -1

s~r ~J/z ~ ~ J.

l

o

M~r1~V2 -l~~

l 112

o 2+vz

11V2

1/rz] 112

2.7.3. Trasformazione di una matrice in una matrice diagonale. Con~ideriamo a~cora una volta un sistema di equazioni omogenee del tipo (2.15], che puo essere scritto, secondo la (2.16],

Ax=Ax;

e se n sono le equazioni e le incognite x 1 ... Xn, si hanno n autovalori A1 ... A che lo sodd_isfano. _QuiJ?-di, e l '.a~biamo ripetutamente detto, a ogni Ai corrisp~nde, a meno d1 un ar_b1t:rano Il_lOlhphcatore, la relativa serie dei valori delle incognite x1(Xi), •.. , Xn(J.i), ossia 11 ~elat~vo v~ttore x(Ai); per cui l'equazione [2.16] risulta verificata per Ai. ... , An e s1 puo scrivere: A· X (lc 1 )~À1 •X (À1) X (Àn)~).n ·X

A·

[2.25]

(Àn).

La «matrice degli auto~et~ori_ » M relativa alla matrice A può essere scritta nena forma (2.24]; se la premolt1pllch1amo per la stessa matrice A si ottiene: AM~A [x (À1)

•••

x (!cn)J~[A · x (!.1)

•••

A· x (Àn)J,

[2.26]

43

2.8. Matrice « ortogonale» e matdce « rotazione». Cambiamento degli assi di riferimento e trasformazione di matrici. 2.8.1. Matrice ortogonale. a) Si definisce matrice ortogonale nna matrice quadrata che ha l'inversa uguale alla trasposta, ossia: [2.30]

Le matrici ortogonali godono di alcune proprietà che è utile ricordare. Riferendoci, per fissar le idee, a una matrice del secondo ordine, si ha, per definizione, - [ au Aa21

a12] G22

[2.31]

'

Inoltre, essendo A A-1 =1, per la [2.30] si ha anche A A'=l, e la matrice I, per la regola del prodotto, dev'essere anch'essa del secondo ordine:

/=[ ~ ~ l· Sviluppando il prodotto A A' e uguagliando i vari termini a quelli corrispondenti della matrice I, si ottiene, per gli elementi di A A' sulla diagonale principale (con i simboli r, e si indica una riga e una colonna), r 1 (A) · c1(A')=a 211 +a 212 =1

[2.32]

r2(A) · c2(A')=a 221 +a'22 =1.

e tenendo conto delle [2.25], AM~[À1 • x

(.:t1)

•••

Àn

·X

(X,,)].

[2.27]

Ma essendo anche À' A=l, risulta:

Ma è semplice verificare che, sviluppato il prodotto:

MS~[x (,\1 ) si trova:

0... 01

À1

•••

x (!.•)]

~

f. o

[2.33]

.

~' ·:· 0.

Inoltre, calcolando gli altri elementi della A À'=l si trova:

o ... .:t,,

AM~MS;

r1(A) · c2(A')=a11a 21 +a12a22 =0 e, dovendo essere anche AtA=l,

per cui, pren1oltip1icando entrambi i membri della [2.28] per M-1, risulta: M-1 AM~M- 1 MS~S.

[2.34]

[2.28]

[2.29]

r1 (A') ·

c2

(A)=a11a 12 +a21a 22 =0.

[2.35]

Capitolo secondo

Equazioni lineari

Quindi, per le [2.32] e le [2.33], tanto le righe quanto le colonne della A sono vettori unitari (ossia di lunghezza I; si veda la nota 2. 7); e per la [2.34] e la [2.35] si ha che le colonne (e le righe) sono vettori tra loro ortogonali (di qui l'origine della denominazione) (2. 12J. Talf-proprietà sono state ricavate per una matrice del second'ordine, ma valgono in generale; quindi si può in definitiva affermare che in una ma~ trice ortogonale sia le righe, sia le colonne sono vettori unitari ortogonali. In formule, essendo AA'=l si deve avere:

rispetto a un secondo diverso riferimento cartesiano lo stesso vettore O-A ha tre diverse componenti, e può venir segnato:

44

"

{ I (per i=j) , O (per i# j) ;

n

{

!:, a,,aN=

I (per i=j), .

(A'= I I=

I II

I=

ortogonale, quanto quello della sua trasposta hanno lo stesso valore

3

3

b) Per quanto riguarda il determinante di una matrice ortogonale 1), poichè valgono le relazioni generali A A-1 I ('· 13l, A 2 14 1 At I ( • ), I At J I A- l=l, si ha che tanto il determinante di una matrice

=A-

=!

È utile determinare i legami tra i due diversi sistemi di coordinate. Indi-

chiamo con a 1 1' a 12 , a 13 gli angoli che l'asse 0-1 del primo riferin1ento forma con i tre assi del secondo, e con a11 , a 12 , a 13 i relativi coseni (coseni direttori); pertanto, dei due indici che accompagnano i simboli, il primo si riferisce al primo sistema di assi, il secondo al secondo sistema ruotato. Simboli analoghi stanno a indicare gli altri coseni direttori.

ed essendo anche A'A=I:

J;a,,a,,= O (per l·~·i r=l rj

45

A

A

1-

IX3

± l.

I

,O

T

L /"2 I/

I

---x;---

2.8.2. Cambiamento degli assi coordinati. Matrice « rotazione >>2

a) Un vettore O-A, che ammetta lungo i tre assi di un riferimento carte(fig. 2.7), può essere indicato con il simbolo: siano le componenti 1 2

2

x x x,

Fig. 2.7

La somma delle proiezioni di X1 , X2, X3 sull'asse 0-1 fornisce x1 ; altrettanto per x 2, x 3, quindi: 2 12

x1 =a11 X1 +a21X2 +a31X3

Per due vettori «tridimensionali» - ossia del tipo y=[x1 x 2 x 3] - (À1 , /ti. V1), (À 2, µ 2 , v2) siano i coseni direttori, ossia i coseni degli angoli che ogni vettore forma con i tre assi ortogonali del sistema di riferimento. L'angolo w compreso tra essi è dato dalla relazione: cos w=À1Àz+ft1µ2+v1V2. <·

J

Quindi, se i due vettori sono ortogonali tra loro (w=90°), si ha: Inoltre valgono le relazioni: 2 2 À1 +1.i1 -l-v/'=l, ( 2 •13 >

x2 =a12X1 +a22X2 +a32X3 X3

=a13X1 -·l-a23X2 +assXs .

Se si pone:

22 2 +µ2 2 +v2 2 =l.

R=

Può essere verificato che, se A, B, C sono matrici quadrate per le quali:

l

a,2

az1

au

G22

031

G32

a" G23

a,,

[2.36]

J

,

quindi Rt=

l

au G12

G21

a,2

a,, a,,

a" a32

j ,

[2.37]

ass

AB=C,

si ha anche:

IAI

1s1~1

le relazioni [2.36] possono venir scritte, in forma matriciale:

ci.

Di conseguenza, poichè per definizione AA-1=1 ed essendo

! Jl=l,

risulta:

I A 11A-'1~1 [è im1nediato verificare, con la regola di Laplace (par. 1.3.3b), che I I! =1]. 2 14 ( · -) Tra le varie proprietà dei determinanti si ha che non can1bia il determinante di una matrice, se in questa si scambiano ordinatamente le righe con le colonne. Di conseguenza risulta I A I~I A' I .

11

G21

G12

az2

a13

a2,

lx J la 1

X2 X3

=

a" G32 G33

j

lf:J

La R è detta matrice rotazione.

oppure

x=RtX.

[2.38]

46

Capitolo secondo

Equazioni lineari

b) Per proprietà riguardanti i coseni direttori si ha (v. nota 2.12):

a +a 21 +a a1=l 2 11

2

2

a 12+a 222+a 232=l, a 21a+a 223+a 2aa= 1 2

avendo posto:

a211 +a212-l-a21a=l

e analoga1nente

a221-f-a222+a22a=l. a 2a1+a 2s2+a 2aa=1

47

µ=sen..J.

[2.41]

x=Rx.

[2.42]

Per le [2.38] e [2.39] si ha:

Inoltre, essendo gli assi del secondo sistema fra loro ortogonali,

2

a11 a 12 +a21 a22 +a31 a 32 =0 (ortogonalità tra 0-1 e 0-2)

a 12 a13 +a22 a 23 +a32 a33 =0 (

»

» 0-2 e 0-3)

a 11 a13 +a21 a 23 -f-a31 a 33 =0 (

»

)) 0-1 e 0-3)

(e altrettanto dicasi per quelli del primo). Si ha quindi che la matrice rotazione è del tipo ortogonale e che, di conseguenza (par. 2.8.lb), il suo determinante è uguale a 1. Inoltre può essere opportuno osservare che ogni elemento aki=cos aki della matrice R non cambia considerando (360°-ak,) al posto di ak,. Dunque l'equazione [2.38] consente di esprimere le coordinate rispetto _a un secondo riferimento S, quando siano note quelle di un primo riferimento S. Ciò che avviene per il tramite della trasposta di una matrice [R] il cui elemento generico aki è il coseno dell'angolo che l'asse k di S (primo riferimento) fa con quello i di S (secondo riferimento). c) Dalla [2.38] si ottiene anche x=[R1]-1 x, quindi (essendo per una matrice ortogonale [R 1]-1 =[R']'=R) [2.39] X=Rx,

ossia (ed è un fatto ovvio che poteva essere ottenuto direttamente) il legarne che esprime un primo riferimento Sin funzione di un secondo riferimento S è espresso direttamente dalla stessa matrice R il cui elemento generico akh può essere opportuno ripeterlo, è il coseno dell'angolo che l'asse k di S (primo riferimento) fa con l'asse i del nuovo riferimento S. d) Cambiamento di assi coordinati per vettori con riferimento biassia/e.

In questo caso evidentemente si ha, posto a 11 =-& (fig. 2.8) e ricordando che dei due indici associati ai simboli il primo riguarda il primo sistema di assi (l'altro il secondo):

T

Fig. 2.8

2.8.3. Trasformazione di matrici. Le proprietà precedentemente illustrate consentono di rendere automatica la trasformazione di un'equazione data in forma matriciale quando si cambi il sistema di riferimento. Ossia, dati due vettori X, Y, riferiti entrambi a un dato riferimento cartesiano S, e legati dalla relazione: y=Ax,

passando a un secondo riferimento S, al posto della [2.43] si ha in genere una diversa relazione: y=Bx, [2.44] per la quale è facile determinare il legame della matrice B con la A. Infatti, per la [2.38], è y=R'y=R'Ax; e per la [2.39] x=R x; quindi si ha: y=R1ARx, per cui, essendo anche y=Bx, risulta: B=R'AR,

[2.46] Se il riferimento è biassiale, l'espressione di R è data dalla [2.40].

a12=sen {},

R= [ au

a"]

a21 a,,

[2.45]

o anche (poichè per la matrice« rotazione», che è ortogonale, si ha R'=R-1):

a 12 =270° +-& , quindi: a11 =COS {},

[2.43]

[

a 21 =-sen {},

cos .,J sen -& ]=[ À -µ -sen-& cos .,J

Gzz=COS {}'

~]

[2.40]

48

Capitolo secondo

CENNI STORICI E BIBLIOGRAFICI a) La teoria dei determinanti (così denominati da Gauss ncl 1801) è strettamente legata a quella dei sistemi di equazioni lineari. La loro storia, riguardando quindi uno dei fondamentali capitoli delle matematiche è densa di una vastissima messe di contributi tra i quali, dopo i primi basilari studi di matematici giapponesi (XVII sew colo) e di LEIBNIZ (1646-1716), spiccano quelli fondamentali di LAPLACE (17491827; fu pubblicata nel 1772 la sua regola di sviluppo di un determinante), CAUCHY (1789-1857; già nel 1815 diede un primo magistrale inquadramento delle principali proprietà dei determinanti) e JACOBI (1805-1851). Le matrici vennero introdotte neIIe matematiche, con esposizione organica, probabilmente da A. CAYLEY (<(A Memoir on the Theory of Matrices i>, Philos. Trans. Royal Soc. London. vol CXL, 1857); esse si svilupparono grandemente dopo le applicazioni che, nel 1925, Heisenberg, Born e Jordan fecero in studi riguardanti la meccanica quantistica, e soprattutto, come è stato detto nella premessa (par. 1.1),' con il rivoluzionario avvento degli elaboratori elettronici. I calcoli impiegati per sccpi pratici e teorici, principalmente nella meccanica dei mezzi continui e nell'elettronica, indussero ad occuparsi sempre più a fondo degli aspetti algoritmici di tali scienze e del conseguente utile impiego delle matrici. Pertanto il giudizio sulla loro importanza non può essere disgiunto dalla considerazione del peso rilevante che la simbologia ha avuto nello sviluppo del pensiero scientifico: tra i numerosi libri di interesse divulgativo che considerano ciò in una sintetica e chiara visione della storia della matematica vanno citati, ad esempio: B. CoLERUS, Piccola storia della matematica, Einaudi, Torino, 1939; F. WAJSMANN, Introduzione al pensiero matematico, Einaudi, 1939; il I vol. della raccolta, curata da F. BNRIQUES, Questioni riguardanti le matematiche elementari, Zanichelli, Bologna, 1928. In merito ai contributi dati nel campo matematico, sono utili le note storiche e le osservazioni disse1ninate nei 3 voli. dell'Analisi n1atematica di G. MORETTI, Hoepli, Milano, 1952. b) Abbiamo già ricordato che la soluzione dei sistemi di equazioni lineari è in genere connessa, più o meno direttamente, con gli studi sui determinanti: la regola di Leibniz-Cramer fu enunciata per la prima volta da LEIBNIZ nel 1678, poi da CRA~ MER nel 1750. Vari decenni dopo, precisamente nel 1810, GAuss (1777-11155), trovandosi a dover risolvere, in problemi di geodesia, sistemi di equazioni lineari derivanti dall'applicazione del metodo dei minimi quadrati, rese noto il suo semplice e pratico metodo di eliminazione progressiva delle incognite, ossia di trasformazione della matrice quadrata di un sistema in una matrice triangolare superiore. Osservazioni e ritocchi all'algoritmo di Gauss furono poi apportati da W. JORDAN (Handbuch des Vermessungskunde, Bd. 1, 7a ed., Stuttgart, 1920) e da A. C. AITKEN (« Studies in Practical Mathematics. IL The Evaluatìon of the Latent Roots a. Latent Vectors of a Matrix », Proc. Roy. Soc. Edinburgh, voi. LVII, 1937); chiare ~_intesi di esso e osservazioni s_i trovano, per.esempio, nelle memorie di R. MEMKE, «Uber die zweckmlissigste Art, lineare Gleichungen aufzulOsen )ì, Zeit. angew. Math. Mech., 1930; e di G. WoRCH, stesso tit., stessa rivista, 1932 (è del medesimo Autore il chiaro capitolo del Beton Kalender, 1966). Con il metodo di Gauss, e con i procedimenti da esso derivati, la matrice A dei coefficienti e il vettore dei termini noti vengono gradualmente trasformati sino ad

Equazioni lineari

49

otte~e~e. il siste~a finale a ~atrice triangolare U, calcolando un certo numero di matrici 1ntermed1e. La deter1?-1nazione di queste può essere aggirata, aln1eno formaln;ente, scomponendo la. A 1?- due matrici triangolari (una inferiore L, una superiore U): a tale elegante idea informativa si sono riportati i metodi di BANACHIEWICZ CHOLESKY, CROUT, DOOLITTLE; abbiamo visto che il semplice schema di CrouÌ nefla sostanza non diffe~isce, sotto il punto di vista operativo, dal metodo di Gauss, svilup~:;tto nella conve~iente. fori;na tabella~e indic<,tta nel par. 2.3.1. Un .1ntere~s~nt~ e, 1strutt1va I?terpretaz1one fisica del metodo di Gauss (detta « ~ell.e 1~t~r~1z1o:r~1 l)) ~ stata fornita da F. 0AMPOLINI, ((Un metodo di risoluzione dei c1rcu1t1 lineari)), L Elettrotecnica, 1963, 10; F. CIAMPOLINI-R. TROILI <(Il metodo delle interdizioni nello studio di sister;ii fisici lineari con più generat~rì )), L'Ingegnere, 19.68, 9 (nella seconda nota s1 trovano illustrate applicazioni a problemi strutturah). . Un'accurata disamin~ sui. vari procedimenti di risoluzione delle equazioni lineari s1 trova data,. ad esempio, in: C. LANczos, Applied Analysis, Prentice-Hall, Inc., Ei:glew~od Chffs, N. J., 1956; I. S. SorcoLNIKOFF-R. M. REDHEFFER, Mathen1atics oj Plryszcs.a. Modern.Engineering, McGraw-HiII, N. Y., 1958; L. A. PIPEs, Applieà Mathematzcs [or Engzneers a. Physicists, McGraw-Hill, 1958 (2a ed.)· R. BELLMAN lntroduction to matrix ana"!ysis, McGraw-Hill, N. Y., 1960; M. G. SA~VADORI, M. L: BARON, Nzunerical Methods in Engineering, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1961; L. Fox, An lntroduction to Nu1nerical Algebra, Clarendon Press, Oxford 1964; F. SCHEID, Numerica! Analysis, McGraw-Hill, Schaum's outline series, 1968:

e) L'importanza pratica dei 1netodi iterativi è strettamente subordinata alla sempl,icità ~ell.e operazioni d~ rip~tere e alla rapidità della loro convergenza. A JAco~.I e att~1bi~1to lo schema 1ter~t1vo per fasi distinte, secondo il quale il valore di ?n inc?gmt.a 1n :ina certa fase e ottenuto tenendo conto soltanto dei valori delle 1ncogn1te r1cavat1 ne11a fase precedente; mentre sembra che il metodo di iterazione continu~, in ge~ere di :più rap~da convergenza (par. 2.4), sia stato per la prima volta (1~2~; s1 veda il ::ontr1buto d1 FORSYTIIE, cit. Jn seguito) indicato da C. F. GAUSS P.01 ripreso e defìn~to da .P. L. SEIDEL, che trattò condizioni per la convergenza(« -Obe; e~.n Verph"!-ren; d.~e Ge1c~ungen, auf welche die Methode der kleinsten Quadrate fuh.-~t, sow1e hneare Gle1cungen ùberhaupt, durch successive Annaherungen aufz~losen », Abh, Bayer: Akad. Wiss. Math.-Phys., Munch. Akad., voi. XI, 1874). L ess~nza ?e1. metod1 1terat1v1,. fec,ond1 an~he nella .soluzi~ne d.i sistemi di ~quazioni non hnear1 (s1 veda ad esempio I opera d1 MILNE tn seguito citata), può significativamente e in forma generale venire espressa (Fox, op. cit., cap. VIII): [a]

nella quale x può esse~·e un numero o una funzione o un vettore, b(r) è indipendente da x. ma non ?ecessa:1amente da, r ~indice che numera la fase del calcolo), fr è una funz1on~ o un oper~~to,ne che puo dipendere da r. E s'intende che l'uso del calcolatore. pu~ essere 1!-tthss1mo .quando, per condizioni di non buona convergenza, il ragg1ung1~ento d1 u~ so?~1sfacente grado di app!os~imazione rìc~iede, per grande ~umer.o .d1 {;01te, la r1pet1z1one delle stesse operaz1ont. Se le equazioni sono lineari, I term1n1 b ) nella [aJ sono costa?t~ e f'operatore fr si riduce, per.c~ascuna componente xi, a un co~ffic1ente .. Per cui'. 1n~1ca:ido ~on D, L, U le .matr1c1 che rappresentano, d~lla matr1~e A. dei coeffic1ent1, rISpett1vamente la diagonale principale, la p~rte tnango~are 11ller1ore e quella superiore (A=D+ L+ U), i due citati metodi d1 JACOBI e d1 GAUSS-SEIDEL possono venire compendiosamente scritti:

4 -

POZZATI, ll-1.

DxC"+ 1J~b-(L+ U)xC"),

[b]

(D+ L)xC>"+iJ~b- UxVJ.

[e]

50

Capitolo secondo

d) I nzetodi di rilassantento (par. 2.4.2) nella sostanza non si differenziano da quelli iterativi ricordati nel punto e precedente. Seguendo lo schema indicato nel par. 2.4.2, .si ha l'incon".'eniente che il procedimento non è autocorrettivo, come sempre avviene quando s1 procede calcolando i valori delle incognite per incren1enti successivi (ma s'intende che si può procedere anche con i valori con1plessivi delle in~ cognite, come è stato mostrato per «l'iterazione continua »); la differenza con i metodi iterativi_ è pri?-~ipalme~te ~ipo~ta nel semplice. conce~to di « re~iduo l> e nel f~tto che, co?s1deratl 1 coe~c1entl d'influenza delle 1ncogn1te x, ogni incremento d1 una Xt puo essere dosato 1n modo da accelerare, volendo, la convergenza. Però, qualora ~i intenda ~ogliere questo particolare aspetto, si ha, rispetto al metodo di Gauss-Se1del, un minor grado di automaticità e «con l'esperienza, e soltanto con l'esperienza il calcolatore può apprendere gli accorgimenti che abbreviano il suo lavoro ... >> (G. ALLEN, cap. XIII del!' op. Handbook of Engineering Mechanics, diretta da W. FLi.iGGE, McGraw-Hill, 1962). Nel par. 2.4 sono stati illustrati alcuni metodi iterativi per la soluzione di sistemi di equazioni lineari. Nello studio delle strutture staticamente indeterminate, tali s~st~mi possono derivare dal <{metodo della congruenza)) e da quello <( dell 'equihbrlo l> (cap. XIV, cap. XIII): i procedimenti iterativi si adattano soprattutto per le equazioni ottenute da quest'ultimo metodo, perchè esse presentano spesso una forte . preval~nza dei coefficienti della diagonale principale, quindi una notevole rap1di~à dt convergenza. Inoltre le varie operazioni analitiche possono trov~re una cornspondenza fisica molto significativa; e il soddisfacimento di un'equa::-_ z1one (o _l'annullamento del suo ), elaborato da G. E. FORSYTHE, del val. Mathe1natiques modernes pour l'ingenieur, diretto da E. F. BECKENBACH (trad. frane., Dunod, Paris, 1965). e) Alla soluzione dei sisten1i di equazioni non lineari è dedicata l'opera di W. E. MILNE, Nun1erical Calculus, Princeton, Univ. Press, N. J., 1949; si veda anche il cap. XVI (<( Methodes non linéaires 1>) elaborato da C. E. MoRREY nell'op. di BECKENBACH dianzi citata.

. f) Vari dei metodi di calcolo citati per la soluzione dei sistemi di equazioni lineari s1 trovano, ad esempio, chiaramente esposti in capitoli delle seguenti opere, oltre a quelle di Fox e di SALvADoru-BARON precedentemente citate: H. MULLERBRESLAU, Statik der Baukonstr., vol. II, 5a ed., Stuttgart, 1922; K. BEYER, Die Statik iln Eisenbetonbau, vol. I, 2a ed., Springer, Berlin, 1933; O. BELLUZZI, Scienza

Equazioni lineari

51

delle costruzioni, val. II, Zanichelli, Bologna, 1950; M. F. RIIBINSTEIN, Matrix Computer Analysis of Structures, Prentice-Hall, 1966. g) Tra i numerosi volumi che trattano l'analisi delle n1atrici come premessa al calcolo delle strutt1;1re, ricordiamo: S. TIMOSHENKo-D. H. YouNG, Theory o/ Structures, McGraw-H1ll, 1965; H. C. MARTIN, Introduction to Matrix Methods of Struc~ural Analysis, McGr~w, Int. stu~ent ed., 19.66; M. F. RIIBINSTEIN (voi. cit., 1966), P. C. WA1;G, Numerica! a. Matnx Me_thods in St1:uctural Mechanics, J. Wìley, Inc., N. Y., 1966, G. N. SMITH, An Introductlon to Matnx a, Finite Element Methods i'! Ci~il E,ngineerìng, Applied Science Pubi. LTD, London, 1971. Un'esposizione sintetica s1 trova data da L. A. PIPES nel cap. XIII del voi. Mathén1atiques modernes pour l'in~enieu;, r~datto d~ E. F. ~ECKENBACH (trad. francese, Dunod, Paris, 1956). Cons1der~z1on1 generah, con. riferimento all'analisi delle strutture, si trovano nena nota d1 c. MEYER, (~ Solutton of Linear Equations-State-of-the-Art)} Journal of the Structural Divlsion », 1973, 7. '

B)

LA TRAVE ISOLATA: RICIIlAMI RICORRENTI NELLO STUDIO DEI SISTEMI DI TRAVI

CAPITOLO

III

TRAVI

3.1. Travi prismatiche con le estremità incastrate, articolate, cedevoli: richiami. a) La trave con le estremità incastrate perfettamente. È una condizione di vincolo di notevole interesse perchè costituirà tra l'altro uno dei punti di partenza per il calcolo degli insiemi di travi. Ci limiteremo a considerare il caso, di gran lunga il più frequente, in cui le forze esterne giacciono nel piano contenente l'asse della trave e la flessione risulta ovunque retta, con la conseguenza che l'asse geo1netrico incurvandosi non esce dal suo piauo. Il calcolo, come per qualunque caso staticamente indeterminato, può essere effettuato in diversi modi, a seconda della struttura principale isosta-

tica prescelta. Qui conviene assumere la trave semplicemente appoggiata (fig. 3.1), soggetta ai carichi e ai momenti incogniti Ma, M,, usando i simboli soprassegnati per indicare le reazioni degli incastri perfetti, e ricordando che i momenti applicati alle sezioni estreme sono considerati positivi, come d 'altronde le rotazioni estreme, quando il loro senso è· orario, ossia destrorso (vol. I, par. 8.3); per cui, in relazione all'usuale convenzione, Ma coincide

col momento flettente in A, mentre M, è uguale ma di segno opposto al momento flettente in B. _ I momenti d'incastro M., M, debbono rendere nulle le rotazioni delle sezioni estre1ne, quindi, indicando
Capitolo terzo

Travi

e con
Inoltre, se la condizione di carico è simmetrica o antimetrica, conviene adottare simmetrici o antimetrici anche i momenti unitari ausiliari (fìg. 3.2). E, relativamente ai coefficienti elastici, per due coppie simmetriche o antimetriche risulta, utilizzando i valori [3.3],

56

'Paa +'Paa Ma +'Pab M,=0

[3.1]

57

I l I raa3EJ +----6EJ - 2EJ (coppie simmetriche)

m

e da esse facilmente si ricavano Ma, Mb. È necessario però calcolare preliminarmente Tao, 'Pbo e i coefficienti elastici. Se si impiega il principio dei lavori virtuali, e si vuole ad esempio determinare le rotazioni in A, occorre immaginare di applicare in A una coppia ausiliaria Ma= 1; quindi, indicando con M il momento dovuto alle azioni q a)

r

Lo._

[3.5]
I

3

EJ -

l

6

l

.

EJ = E.T 6

Dalle equazioni [3.1], tenendo presenti le relazioni [3.3], s1 ha, dopo facili riduzioni,

2EJ M,=-- - (2cp,,+cp.,). 1

B

[3.6]

p

-;:i1

aAj: - a~,.,..,r~- b-----!

+

~B

!il

j

b)L

l----"i

1

~a~

Fig. 3.2

J

~a:;;;fi

~b----1

esterne in una sezione generica della struttura principale (trave appoggiata), X

Fig. 3.3

/-X

con M'(Ma)=y il momento corrente per Ma=l e con M'(M,)=--1 quello per M,=1 (fìg. 3.1), si ottiene

'Paa=fM,·M'(Ma)dx/EJ=fM,; dx/EJ, 'Paa=J[M'(M.)] dx/EJ=J( ;)'dx/EJ,

.

.h coppie ant1metnc e) .

11r =-2

A

2

(

x

1-x -dx/EJ, 1

Iz ·-

cp.,=-

cA)~~-x-~.,.q-"~--< h=J- ~B "'---a~

Un caso di particolare interesse è quello della trave prismatica sottoposta a un carico concentrato (fìg. 3.3 a), per il quale si ottiene

M.=-Pab 2/1 2

[3.2]

,

M.=Pa 2 b/l2 ;

[3.7]

e se agiscono due carichi simmetrici,

e s'intende che gli integrali vanno estesi all'intera lunghezza della trave, e che risultano sinistrorse quelle rotazioni per le quali si ottiene segno negativo. Essendo prismatica la trave, le [3.2] forniscono, come è ben noto, per la coppia agente in A, l l [3.3] 'Pa,=- 6EJ; quindi il valore della rotazione delle sezioni estreme della trave appoggiata soggetta soltanto ai momenti M., M, destrogiri vale [3.4]

M.=-M,=-Pab/l.

[3.8]

Tali valori consentono, sovrapponendo gli effetti, di calcolare con semplicità i momenti d'incastro per qualunque condizione di carico: ciò che è evidente quando si abbiano più forze concentrate; mentre, se il carico è distribuito con continuità, basta integrare gli effetti provocati da una forza infinitesima di intensità qx · dx. Così, ad esempio, per la trave della fìg. 3.3c si ottiene facilmente, utilizzando le relazioni [3.7] (q,=qx/a, a=a/I),

-

f

qa2

M.=-Jq,x(l-x) 2 dx/l 2 =-3o (IO-I5a+6a 2),

qa' M,= (5a-4a 2). 20

Capitolo terzo

Travi

S'intende che tutte le considerazioni fatte non cambiano qualunque sia la causa dello stato di sollecitazione: se, per esempio, una trave ha le estremità incastrate soggette a uno spostamento relativo o (fìg. 3.4), nelle [3.6] è da porre 'Paa=g;,,=o/l, ottenendo (M.=M,=M)

provvisoriamente impedisca la rotazione della sezione A, si calcolano i momenti d'incastro M,, M, indicati nella fìg. 3.6 con il loro senso positivo,

58

M=-6EJ o/12 ,

[3.9]

T=2M/l= 12EJ o/l',

e il valore di M si poteva ricavare immediatamente considerando che i momenti antimetrici debbono annullare la rotazione o/l che avverrebbe se la trave priva degli incastri seguisse lo spostamento ocon movimento di corpo rigido. Nella tab. 3.5, al termine del presente capitolo, sono riportati i valori dei momenti d'incastro per consuete condizioni di carico. Da tali dati si

59

todo dei vincoli ausiliari (voi. I, es. 9.1): applicato un vincolo fittizio che

quindi destrogiro; poi si allenta il vincolo, ossia si applica la sua reazione M, cambiato di segno, per cui sovrapponendo gli effetti si trova ~

Ma M,=M,---· 2

[3.12]

Inoltre la rotazione dell'estremità appoggiata si manifesta soltanto nella seconda fase in cui si applica alla trave il momento -M., quindi

M,l g;.=- 4EJ.

[3.13]

Pertanto, per il calcolo del momento d'incastro M,, possono essere utilizzati i valori della tab. 3.5, da introdurre s'intende nella relazione [3.12].

Fig. 3.6 Fig. 3.5

possono evidentemente trarre anche le rotazioni delle sezioni estreme per la trave semplicemente appoggiata, che per la [3.4] evidentemente valgono (si veda a tale proposito il punto seguente) l g;.,= EJ (-2M.+M,), 6

l

-

-

g;,,= EJ (-2M,+M,). 6

e da tali espressioni si ottengono facilmente i valori dei momenti per asse-

È di particolare interesse, soprattutto per il calcolo degli insiemi cou procedimenti iterativi, il caso noto della trave sottoposta alla coppia M,: il momento d'incastro perfetto è determinato dalla condizione g;,,M,+g;,,M,=0, dalla qnale, ricavato M,, si può dedurre ogni altra quantità, in particolare ottenendo, avendo supposto la trave prismatica (fìg. 3.5),

3 M,

Abbiamo già ricordato che, per una trave prismatica appoggiata, soggetta ai momenti M., M,, le rotazioni delle sezioni estreme valgono (rei. 3.4)

[3.1 O]

b) La trave con un'estremità articolata, laltra incastrata.

T=--· 2 I

e) I momenti alle estremità di una trave in funzione dei carichi e dei movimenti delle sezioni estreme.

[3.11]

Quando la condizione di carico è generica, il momento d'incastro perfetto si ricava dalla seconda delle [3.1] ponendo M,=0. Oppure, se è già stata risolta la trave con dupliée incastro, si può utilmente impiegare il me-

gnate rotazioni
2EJ M,=- - (2g;,+g;,), 1

2EJ M,=-- (2g;,+g;.), 1

[3.14]

valori che potevano essere ottenuti anche direttamente dalle [3.6] ponendo -rpa, -rplJ al posto di (/Jao,
Capitolo terzo

60

'Paa~J( ~

le stesse [3.14]. Quindi ricordando la [3.9], si ottiene

-

2EJ

1

M.~M.+--

6EJd (2'Pa+'P,)---2 - ; 1

[3.15]

~0,1928

e un'analoga espressione vale per M,. Il significato fisico dei termini che compongono la relazione [3.15] è chiaro: al momento che si av.rebbe ~on l~

}J,

'dx 2(12,5+4 · 21,232+2 · 32,77+ ...

(il coefficiente vale 0,333 per la sez. cost.),

~0,04852

PI' EJ, (0,056 per la sez. cost.),

M,~ -q;,,/q;,,~ -0,252

L ===i

f

f(x)dx;;;

,Jt (f,+4J,-i-2f,.+

[3.16]

PI (0,168 per la sez. cost.).

b) Per farsi un'idea dell'influenza che può esser data da una variazione della sezione C3 . 1), nella tabella 3.1 si trovano riportati i valori dei coefficienti elastici
Trave appoggiata con «mensole » rettilinee e simmetriche: coefficienti elastici
TABELLA 3 .1.

a/l

I

J,/J,

I 0,60 I0,40

0,20 I0,151 0.10 I0,081 0,061 0,041 0,02 J

o

+4J,+2J,+ ... +4Jn-1+fn)' in cui / 0 , / 1 , ••• , fn. sono i. valori della fun-. zione integranda 1n corrispondenza delle estremità dei tronchi Lix, il cui numero deve ' o,139Pl essere ovviamente pari. ',,, __ __..,,, Ad esempio, la trave della fig. 3.7 è ',,,.---soggetta a un carico P_, concentrato ~Ila Fig. 3.7 distanza x=0,41, ed ha 11 tratto À prossimo all'estremità A di altezza variabile con andamento parabolico (dh~ dh, !;'/A'). I dati necessari per il calcolo del coefficiente 2

elastico relativo al momento Ma=1 (IPaa= ; 2 fx ·dx/El), della rotazione dovuta al carico p (1Pao= jM0 x · dx/lEJ) e infine del momento Ma d'incastro sono riportati nella seguente tabella:

h J x'/J M, M,x/J

10

9

8

7

6

5

4

3

fattore

2

1,5625

1,25

1,0625

1

1

1

h,

8 12,5

3,815

1,953 32,770

1,199 40,867

1 36

16

1 9

0,8 3,277

1,2 7,006

1,6 9,6

1 25 2,0

1 1 2,4 9,6

1,8 5,4

J, dx'/J, Pdx Pdx'/J,

o o

21,232 0,4 0,944

10

)~

-JM,(P)x __ 1_ dx • • _ EJI dx- EJ,l 3 Pdx 2 (0+4 0,944+2 3,277+ ...)-

3.2. Travi di sezione variabile. a) Se la sezione della trave è variabile, nella sostanza n?lla ~ambia rispetto .a quanto si è visto precedentemente a proposito della trave.Er1smat1~a, e ad .e~emp10 valgono le relazioni [3.2], con la sola avvertenza c~e negh int~grah presenti .~n es~e si deve ora introdurre il momento d 1nerz1a p variabile della sezione. Però in genere è con]L1xjc 8 a --. ? . o _JL_ veniente o·nec7ssario 7ffettuare i1;1-·.modo ap71 f : i h prossimato l '1ntegraz1one, sudd1v~dendo la 2 JL~~i\dh" ~x----s.-l 71 trave in tronchi e pr?cedendo mediante ~e~le A~-À -~ 13 ordinarie sommatorie o, molto prefer1b1l, mente, con la nota formula di Simpson

61

'Paa-

estremità incastrate si aggiungono le ripercussioni dovute a1 mov1ment1 delle sezioni estreme.

nn

r:, ~E},/' ~X

Travi

0,1

I

fattore

0,939 0,900 0,852 0,834 0,816 0,810 0,798 0,789 0,771 0,728

0,2

0,882 0,813 0,723 0,693 0,660 0,645 0,627 0,609 0,582 0,504 'Paa

0,3

0,837 0,735 0,612 0,573 0,525 0,504 0,480 0,453 0,417 0,316

0,4

0,792 0,666 0,513 0,462 0,408 0,381 0,351 0,318 0,273 0,152

0,1

0,990 0,984 0,978 0,973 0,970 0,966 0,964 0,962 0,960 0,944

0,2

0,966 0,942 0,912 0,900 0,887 0,880 0,870 0,860 0,846 0,792 'Pba

0,3

0,93010,882 0,812 0,791 0,762 0,745 0,726 0,708 0,678 0,568

0,4

0,882 0,800 0,690 0,649 0,601 0,582 0,552 0,516 0,468 0,296

l/3EJ,

-l/6EJ,

<3.ii Utili tabelle si trovano riportate su nun1erose opere dedicate al calcolo dei telai; in paiiicolare ricordiamo, tra le prin1e, quelle riportate-da A. STRASSNER nel suo volun1e Neuere Methoden zur Statik der Rahmentragwerke, Ernst, Berlin, 1925 (3" ediz.), vol. 1°. Numerosi ed accurati diagrammi si trovano nelle opere di R. GULDAN, Rahmentragwerke und Durch/auftriiger, Springer, Wien, 1949, 4a ediz. (mensole rettilinee e paraboliche simmetriche o da una sola parte della trave; rotazioni delle estremità per effetto di coppie, di carichi concentrati e di un carico distribuito uniformemente). - J. M. GERE, Moment Distrihution, Van Nostrand, Princeton, N. Y., 1963. - P. CHARON, Le calcul pratique des constructions à inertie variab[e, Eyrolles, Paris, 1961.

62

63

Travi

Capitolo terzo

3.3. Trave con appoggio e incastro soggetta a un momento(« mensole» metriche e rettilinee).

nel caso frequente in cui i tratti estremi della trave presentano l'altezza della sezione crescente con legge lineare (tratti con «mensole >> rettilinee). Relativamente alla stessa trave considerata nella tab. 3.1 precedente e sottoposta a un carico q distribuito uniformemente sull'intera lunghezza, può convenire di notare che, espressa la rotazione della sezione A nella forma 'Pba

TABELLA

sim~

r

in cui evidentemente il termine tra parentesi si riferisce al caso prismatico, i valori del coefficiente Cao al variare delle sezioni coincidono con quelli relativi a Cfba e riportati nella stessa tabella (quindi, ad esempio, per a/l=0,2 e J 0/J1=0,2, Cao vale 0,912): infatti è facile riscontrare che, impiegando il principio dei lavori virtuali nel calcolo di dette rotazioni, quindi la formula [3.2], nei due casi è costante il rapporto delle funzioni M 0 • M; (a. z). Pertanto è facile calcolare il momento d'incastro per la trave caricata uniformemente, con un'estremità incastrata e l'altra appoggiata (M=
I

a/l

I J,/J, I0,60 I0,40 I0,20 I0,1510,10 I0,0810,0610,0410,02 I o I fattore

0,1

0,527 0,547 0,574 0,583 0,59610,598 0,605 0,612 0,623 0,648

0,2

0,548 0,579 0,631 0,649 0,673 0,684 0,694 0,704 0,727 0,786

M,

0,3

0,556 0,600 0,662 0,691 0,726 0,738 0,756 0,781 0,813 0,899

0,4

0,557 0,602 0,670 0,700 0,738 0,764 0,786 0,811 0,857 0,974

0,1

0,904 0,840 0,760 0,736 0,700 0,696 0,676 0,656 0,628 0,563

M

TABELLA

0,2

0,824 0,720 0,580 0,536 0,480 0,456 0,432 0,408 0,364 0,257

'Pa

a/l

I J,/J, I0,60 I0,40 I0,20 I0,1510,10 I0,0810,0610,0410,02 I o I

0,1 0,2

1,062 1,100 1,160 1,181 1,206 1,216 1,229 1,242 1,263 1,320

0,3

1,071 1,124 1,196 1,225 1,261 1,275 1,292 1,316 1,345 1,420

0,4

1,073 1,126 1,20611,238 1,272 1,299 1,320 1,344 1,385 1,480

0,772 0,628 0,460 0,400 0,332 0,304 0,276 0,236 0,188 0,081

0,4

0,728 0,568 0,376 0,314 0,249 0,212 0,179 0,145 0,097 0,0105

l/4EJ,

I

fattore

Può essere utile disporre anche dei coefficienti elastici «Paa' 'Pbb• 'Pab=
1,036 1,060 1,094 1,105 1,118 1,121 1,130 1,136 1,151 1,180 M

0,3

-ql'/12

3.4. Trave di sezione variabile linearmente da un'estremità all'altra: coef ftcienti elastici.

TABELLA

~l-~l

}~ ' B A

Inoltre si è già accennato che una condizione di carico ricorrente nei metodi di calcolo iterativi è quella del momento M applicato all'estremità di una trave con appoggio e incastro; se l'altezza della sezione dei tratti terminali varia con linearità e simmetricamente, utilizzando i dati dello specchio 3.1, si ricavano facilmente anche i valori riportati nella tab. 3.3.

J,/J,

I 0,60 I 0,40 I 0,20 I 0,151 0,10 I 0,081 0,061 0,041 0,02 I 0,01 I fattore

'Paa

0,681 0,501 0,294 0,237 0,171 0,144 0,114 0,084 0,048 0,027

l/3EJ,

M'=1 (pensando di

'Pbb

0,879 0,792 0,657 0,609 0,546 0,516 0,471 0,420 0,345 0,282

l/3EJ,

applicare due coppie ausiliarie simmetriche); nel caso di una coppia Ma applicata a una estremità, volendo ricavare la rotazione dell'altra sezione estrema, M 0 =Ma»/l, M'=

'Pub

0,774 0,630 0,438 0,378 0,300 0,270 0,228 0,186 0,126 0,084

-l/6EJ,

3 2

<• >

~1

Infatti nel caso del carico uniforme si ha M 0 =

(l-x)/l.

i (/x-x

2 ),

Travi

Capitolo terzo

64

MOMENTI D'INCASTRO PERFETTO(•)

TABELLA 3.5

r-(j)=1~-------q---------------+-cQ)=2----f<;---a""'-

---l-

A~!!! I!! I!!! I ~B -

-

2

Ma--Mb= - JJ1_ 12

TRAVE PRISMATICA: MOMENTI D'INCASTRO PERFETIO -

-;.;_:,-,"'-

---l-

{ill1q

HJJ); a"a!l

Ma=--Mb= -4,2a2(3_2a)

®

'

q A{In==- r;;,Ba=all ,, fE--- a -3>\2 2 2 Ma=-JJk 'fa('- a+q3a)

@

tp

ifj

m

>I a I< /E-- b ----'-"l

>I ah:

b/t

(tpt~(B

@)A"'( &)1(lt> a ava

a~

l~ia -

(*) Positivi se destrogiri.

-

-

@A

q

!a .-
-22 2 Ma-- al 30 a(10_15a+6a)

afa df5Aa)

®

M

A~

( ~Ba=a!l +a+-- b~ fl=b/l

Ma= M{J(2a-fJ) Mb= Ma(2{J_a)

tp

Ma=-Mb=-Pa

tE4

2 Ma--Mb--tJL.1§__ --1232

Mb=

2 3 Mb- ..fJ]; 30 2a(5_3a)

- ! - - - - - - --------/------------~

~

2 Ma--Mb-- qJ:, 12 JL 32

%

l/4

l/4

~

® 2

-A~~dtB

l/4

l/4

~

~ +o--l 2 Ma--4 - 30 Mb- _IJ12. 20

Ma-- - Mb-- _ __g_[ 19,2

@

A~AJ{,~B

@A,~B

-

65

2

Ma--Mb-- Pl 12 i+o.s i

tP

@

1iJ +--li2--+

f).

Ma=-Mb=-1/;l

@

A~JJ:tJJ:~B '

-

z::ia

MPli~1 a-- Mb---12z-

66

Capitolo terzo

TRAVE PRISMATICA: 21

tP b_J

A~

I• a' I'

Ma=- Pab2;1 -

2

B CAPITOLO

2

JY!b= Pa b!l

@>

MOMENTI D'INCASTRO PERFETTO

IV

ARCHI 2

4.1. Osservazioni introduttive.

A~VC\V~stg

24

l

-,.J-l!n J.,-

1

t

A ttr--.~s--,---f};, B h !i1I= ti Vi T

qx= qsen n7x (n=2,4.) -

-

Il comportamento statico di un arco può essere molto più favorevole di quello di una trave ad asse rettilineo, soggetta agli stessi carichi e di eguale luce, ma il vantaggio è fortemente influenzato dalle condizioni di vincolo e di carico, per cui può essere opportuna qualche considerazione preliminare.

2

Ma=Mb=-~

Linea d'influenza di

Ma

Linea d'influenza di V0 (mezz)

Fig. 4.1

i;;::

"~

Consideria1no, per esempio, un arco a tre cerniere soggetto a due carichi

a

('-..L--

I

qt

Q3

05

Lba~rave appogg)

07

Lb= spostamento in mezzeria

- - x/l .,-.-,

0,1

x/l

Mi>; 0,081

0,2

0,4

q5

q5

0,144

0,125

0,096

0,162 0,224

0;25

0,224 0,162 0,088 01026

q944

1,00

0,944 0,7"92 0,568 0,296

q3

0)28 0,147

'bi

0,026 0,088

Lba

0,296 0,568 0,792

0,7

qB

q9 fattore

0,063 0,032 0,009

~··

~·

-Pl }p/3

4BE]

concentrati simmetrici (fig, 4.1): praticato un taglio in chiave, per simmetria si ha il solo sforzo normale N=H=Pa/f, al quale consegue la tensione a0 =Pa/Af, indicando con A l'area della sezione; mentre nella mezzeria della trave ngualmente caricata e di uguale luce, al momento flettente M,=Pa consegue la tensione massima, considerando la sezione rettangolare b · h, '1,=6Pa/bh 2 =a.

r,

Quindi, essendo in genere f»h, la trave, nella sezione

considerata, risulta molto più sollecitata dell'arco; e tale prerogativa in sostanza dipende dal fatto che, per l'arco, le azioni H equilibranti la coppia (Pa) sono associate al braccio f, mentre per la trave la medesima coppia è equilibrata dalle risultanti R delle tensioni che hanno il braccio h, molto minore della freccia f.

Capitolo quarto

68

Archi

Se si pensa invece l'arco vincolato con cerniera e carrello (fig. 4.lc), lo stato di sollecitazione differisce assai poco da quello della corrispondente trave, e in particolare coincidono i diagrammi dei momenti.. Ma se il vi~colo è in grado di fornire un'azione orizzontale

1! che co.ntrasti coi: ~fficac1a ~o

spostamento relativo delle imposte, i momenti flettenti compless1v1, cabno m genere fortemente, rispetto al caso del carrello semplice, m v1rt~ dei momenti negativi forniti dalla spinta H; anzi, dato un arco iperstatico con le estremità vincolate da cerniere fisse o incastri, se per la sua

configuraz~on.e

principale a tre cerniere risulta assiale la curva o la poligonal~ de~e pre~s10m, di solito lo stato di sollecitazione per detta struttura isostatica e dommant~ e gli effetti delle azioni staticamente indeterminate hanno .s~ars.o pes.o. C10 avviene vale la pena di ricordarlo (voi. I, cap. 6), per condiz10m che m pratica

so~o frequentemente verificate,

e quanto più ci si

appro~sima a t~le st~t?

69

nella fìg. 4.2, in cui gli assi y, z si ritengono coincidenti con quelli principali d'inerzia della sezione, sulla faccia anteriore in generale agiscono lo sforzo assiale N, due sforzi di taglio (T., T,), e tre momenti, di cui uno è torcente (M,); due sono flettenti; e per tali sei caratteristiche di sollecitazione il senso è considerato positivo se i vettori che le rappresentano sono rivolti contrariamente agli assi, pensando, s'intende, di rappresentare le coppie con i relativi asse-momenti. Ovviamente tutte le azioni interne invertono il segno e s'incrementano di quantità infinitesime, pari ai rispettivi differenziali, quando, spostandosi nel senso degli archi crescenti, si passa alla faccia posteriore del tronco; quindi per tale seconda sezione i sensi dei vettori che rappresentano

le varie sollecitazioni concordano tutti con quelli stabiliti per i tre assi di riferimento. Inoltre le azioni esterne (ossia le forze unitarie qx, qy, qz e le

static~,

di cose tanto più l'arco comporta, per la sua forma, no:evoh vantaggi

quindi anche estetici, come testimonia~o g:i inn~erev.oh ardn~enti cos~ru~t1v1. Dalla presenza della spinta H, qumdi degli sforzi norma.II che prmcrpal-

mente da essa sono provocati, dipende la differenza sostanziale del compo~­ tamento degli archi rispetto a quello delle travi. E va da sè che, se le co!'d1zioni di carico rendono deboli le spinte, i privilegi consentiti dalla soluz1?ne ad arco tendono a svanire, come per esempio avviene per la struttur.a snn-

Fig. 4.2

metrica soggetta a carichi verticali antimetrici della fig. 4.ld, che evidentemente non provocano azioni orizzontali.

z~

dw

y

.

Per archi di limitata importanza, si adotta in genere la forma crrcolare 0

parabolica; mentre nei casi notevoli, essendo _opportuno ri~u~re al massllTI?

i momenti flettenti, di solito l'asse dell'arco viene fatto comc1dere col pohgono funicolare dei carichi permanenti (eventualmente ass?ciati a un~ ,quot~ di quelli accidentali) passante per i baricentri delle sez10m d1 estre~rt.a e dr mezzeria. Un dato importante per gli archi è il ribassamento, ossia 11 rapporto tra la freccia e la luce, il cui valore pratico in genere si aggira intorno a 1/5 71/6. . . . Analogamente a quanto è stato fatto per le travi, supporremo che il piano contenente l'asse dell'arco sia di simmetria, e che di conseguenza, per effetto di forze agenti nello stesso piano, l'asse geometrico deformandosi ~~n ~se~

da esso. Inoltre ci limiteremo a considerare, in vista del calcolo degh ms1em1

coppie unitarie mx, my, mz distribuite lungo l'arco) sono ritenute positive se rivolte concordemente con gli stessi assi. È evidente che, aflìnchè sia assicurato l'equilibrio dell'elemento, debbono

risultare soddisfatte le sei equazioni indefinite di equilibrio; indefinite nel senso di relazioni da ricavare per un generico tronco elementare, prescindendo

dalle condizioni ai limiti valide per la struttura in cui esso si trova inserito. Tali equazioni, delle quali ovviamente tre riguardano le traslazioni lungo gli assi di riferimento e tre le rotazioni, indicando con apici le derivate ri-

spetto alla linea s, risultano (f' =df7ds):

di travi, i casi staticamente indeterminati dell'arco isolato di piccola curvatura con le estremità articolate e incastrate.

Riteniamo anche utile (vedremo nel par. 10.3 alcuni esempi) una breve premessa sulle equazioni indefinite di equilibrio e di congruenza dell'arco piano soggetto a stato di sollecitazione piano e spaziale.

4.2. Equazioni indefinite di equilibrio e di congruenza. a) Se si pensa di estrarre un tronco infinitesimo dell'arco,. sulle due se: zioni A B che lo delimitano debbono essere applicate le vane componenti

dell'azi~ne

interna. Precisamente, adottato il riferimento cartesiano indicato

-T"+M/+m,=0,

Mx'-Mv/r+m,=0,

T,+M/+M"/r+mv=O.

[4.1]

Ciascuna di esse si ottiene annullando la somma di tutte le componenti dell'azione esterna e interna lungo ciascuna delle tre direzioni prescelte; così, ad esempio secondo x (fig. 4.3), trascurando gli infinitesimi di ordine supe-

riore, dN-Tv · ds/r+q,ds=O. È inoltre da notare che ogni azione compie lavoro a causa del correlativo movimento, il quale deve avere carattere di continuità, dovendo risultare compatibile con la compagine del materiale; quindi, essendo sei le azioni interne, si hanno sei relazioni indefinite di congruenza, ognuna delle quali

Archi

Capitolo quarto

70

esprime il legame tra la variazione infinitesima di un movimento e la deformazione ad opera della relativa caratteristica di sollecitazione. Se u, v, w sono gli spostamenti secondo gli assi coordinati x, y, z e
v'+u/r=-rp,+fi(Ty),

rp,'-
w'='Pv+fi(T,),

[4.2]

rp,' =fi(M,),

rpy' +rp,/r={J(My) ,

al solito ponendo f'=df/ds. Tali relazioni si ottengono facilmente appena si rifletta che, per il tronco infinitesimo A-B=ds, lo spostamento della sezione B rispetto alla A lungo

X

y

(V\ y

V

u+du 7

_,.,/

è noto, porre

{J(N)=N/EA, fi(M,,)=Mx/GJ,,

{J(Tv)=cvTvfGA , fi(Mu)= MvfEJv,

{J(T,)=c,T,/GA , fJ(M,)=M,/EJ,.

[4.3]

Inoltre in genere è lecito trascurare la deformazione degli sforzi taglianti quindi considerare ' {i( Ty);;; O , {i( T,) ;;; O ; e se può essere omessa anche quella di N, come frequentemente avviene, si ha {J(N)=O. b) L'arco circolare.

Dalle suddette equazioni di congruenza si possono ricavare le relazioni che consentano di esprimere le azioni interne in funzione dei movimenti tenuto conto dei legami [4.3]. In particolare, se si ammette il raggio costante: e se si omettono le deformazioni per gli sforzi taglianti e normale risulta (ponendo ora }=dfjdw, con dw=dsjr, fig. 4.2) '

EA (' ) N =-,.u-v ,

EJ, .. M,=-7 (v+v),

EJu .. Mv=7(w+rp,r), [4.4]

\v+dv

w+w=r'(MvfEJv-M,/GJ,), 1....--u·dw

""k02

Fig. 4.4

71

0 71u+du

essendo, come si è detto, f=df/dw. ~a pr~ma e la seconda relazione riguardano l'arco caricato nel suo piano, ed e ovv10 che, facendo tendere all'infinito il raggio, esse coincidono con le

Fig. 4.3

una generica direzione a avviene in genere per il dnplice contributo della rotazione della sezione A (intorno all'asse normale al piano ds-a) e della deformazione operata dalla caratteristica di sollecitazione che per lo stesso spostamento compie lavoro. Così, per la seconda relazione riguardante lo spostamento secondo y, ad esempio, lo spostamento relativo espresso per ds tramite delle funzioni spostamento, vale dv+u- (fig. 4.4); e deve d'altronde

Fig. 4.5

/'

risultare eguale, come si è detto, a -rp,ds+fi(Ty) · ds, essendo chiaro che, per la convenzione assunta nei riguardi dei segni, una rotazione positiva della sezione A intorno a z comporta uno spostamento della B contrario ad y; e che il taglio Ty applicato in B provoca, sempre per le ipotesi fatte sui segni (fig. 4.2), uno spostamento secondo y positivo. Le relazioni [4.2] godono di validità abbastanza generale. In esse, se si ammettono le consuete ipotesi valide per i corpi a prevalente sviluppo lineare, e avendo supposto il raggio di curvatura dell'arco grande rispetto alla relativa dimensione della sezione, si può poi, come

formule relative alla trave; dalla seconda, noto M,,,, si ricava v, quindi u, per integrazione, dalla prima delle [4.4] [supponendo fi(N);;;O]:

u=Jvaw+c.

[4.5]

Noti gli spostamenti u, v è poi facile passare agli spostamenti orizzontale e verticale (fig. 4.5) ç=u sen w+v cos w,

11=-u cos

w~t--v

sen w.

[4.6]

Capitolo quarto

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Le formule [4.4], [4.5] verranno estesamente utilizzate, ad esempio, nelle soluzioni, ricavate mediante le serie di Fourier, degli anelli soggetti a carichi complanari e normali al piano dell'anello (par. 10.3).

[4.7], della deformazione per effetto dello sforzo normale è trascurabile (voi. I, par. 5.2), e in particolare è molto piccolo il secondo termine della funzione integranda al denominatore.

4.3. L'arco a due cerniere.

b) Come si è detto (par. 4.1), nei casi d'importanza non corrente può essere opportuno, eliminata la connessione angolare in chiave, ossia adottato

72

a) È un caso assai semplice, poichè ammette al massimo una sola incognita staticamente indeterminata che, a seconda della struttura principale isostatica sulla quale si intende operare, può essere il momento in corrispondenza di una cerniera introdotta lungo l'asse o l'azione orizzontale X applicata alle estremità. Se M,, N, stanno a indicare il momento flettente e lo sforzo normale in una generica sezione dell'arco soggetto ai carichi e con l'estremità A libera di traslare orizzontalmente, e se si suppone la X rivolta verso l'interno, le azioni interne complessive risultano (fig. 4.6)

M=M,-Xy,

N=N,-X cos {} ;

e all'azione ausiliaria X=l (rivolta anch'essa verso l'interno), che viene fatta intervenire per l'applicazione del principio dei lavori virtuali, conseguono le azioni interne :fittizie M'=-y, N'=- cos {}. Quindi, supponendo che sus-

73

l'arco a tre cerniere come struttura principale isostatica, assumere l'asse della

struttura coincidente con la curva delle pressioni, quindi con la funicolare dei carichi permanenti passante per i baricentri delle sezioni d'imposta e di mezzeria. S'intende che, anche operando in tale modo, non è possibile toglier di mezzo completamente il momento flettente: infatti l'arco svincolato per esempio in A e soggetto ai carichi e alle reazioni trovate per la configurazione a tre cerniere, risulta semplicemente compresso, per cui è inevitabile un accorciamento del suo asse e un conseguente piccolo avvicinamento di A all'altra estremità B; quindi, per rispettare la congruenza, si deve applicare in A una forza orizzontale LIX, comunemente detta «spinta adclizionale », la quale in genere risulta di segno opposto e molto piccola rispetto alla spinta X, che compete all'arco a tre cerniere. E già vedemmo le ragioni (voi. I, cap. 6) per le quali risultano in genere inessenziali le alterazioni sia della spinta rispetto al valore X"' sia dello stato di tensione della struttura principale dominato dal solo sforzo assiale. Tuttavia qualora sia opportuno calcolare LIX perchè non sussistono le circostanze che ne rendono trascurabili gli effetti, essendo allora M 0 nullo in ogni sezione e, se i carichi sono verticali, N,=-X,/cos {}, la [4.7] diviene (con bxa=O) LIX

Fig. 4,6

-X,{ds/A+Ea,lto' j(y'-l-e 2 cos 2 fJ) ds/J.

[4.8]

In genere per l'integrale al denominatore il secondo termine ha piccola sista uno spostamento orizzontale ~xa verso l'interno e una variazione termica uniforme e positiva t0 ', l'equazione dei lavori virtuali risulta, omettendo la

deformazione della sollecitazione tagliante,

f

J

-M,y+Xy 2 El ds+

da cui, ponendo

e2 =J/A, X

importanza.

e) Effetti di azioni applicate alle sezioni estreme.

-N,cosfJ+Xcos2 fJ EA

essere utile conoscere i movimenti alle estremità di un arco e i diagrammi delle

ds · cos fJ=dx, si ottiene

sollecitazioni in conseguenza di azioni applicate alle sezioni estreme. Nel1'es. 4.1 si troveranno risolti alcuni casi per l'arco parabolico e circolare.

fM,y ds/J+fN,dx/A-1-Ea,lto' -1-Ebxa j(y2+e 2 cos 2 fJ) ds/J

Nello studio dei sistemi di travi in cui si abbiano elementi ad arco può

[4.7]

e per le integrazioni da estendere all'intero asse dell'arco può essere conveniente la formula di Simpson (relaz. 3.16). Frequentemente il contributo, nella

Esempio 4.1 (coefficienti elastici per un arco a due cerniere parabolico e cir-

colare). Per un arco simmetrico a due cerniere, soggetto a una coppia Mb applicata a un'estremità (fig. 4.7), calcolare la reazione orizzontale dei vincoli e le rotazioni delle sezioni estreme considerando l'arco stesso parabolico e circolare.

74

Capitolo quarto

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a) Arco parabolico.

75

c) Linea d'influenza della spinta X (4.i).

L'asse dell'arco è definito dall'equazione (fig. 4.6):

y~

7,

[a]

(lx- x') .

Il calcolo dell'incognita staticamente indeterminata si semplifica se la sezione è variabile con la legge (indicando con A 0 , J 0 la sezione e il momento d'inerzia della sezione di chiave): [b] A=A 0 /cos f}, È utile considerare tale variazione, seppure poco adatta per gli archi articolati alle estremità (comporta infatti una sezione crescente verso le imposte, con aumento però piccolo per gli usuali ribassamenti), perchè fornisce significativi risultati che poco si scostano, per archi abbastanza ribassati (f/l<;,1/5), da quelli

Applicando ripetutamente la formula [4.7] si può definire per punti il diagramma che fornisce i valori della spinta di un arco a due articolazioni fisse per effetto di un carico verticale P= 1 agente in un qualunque punto; ed è facile constatare che esso coincide con il diagramma degli spostamenti verticali conseguenti a una traslazione relativa delle imposte, secondo la direzione x della spinta, 8xa= -1 (4.2), Nell'esempio 4.2 sono riportati vari valori della linea d'influenza per l'arco parabolico. Esempio 4.2 (arco incernierato: linea d'influenza della spinta).

Calcolare la linea d'influenza della reazione orizzontale dei vincoli per un arco parabolico simmetrico, avente le estremità articolate e la sezione variabile con la legge J~J,/cos fJ (v. es. 4.1). Soluzione. - Procedendo come nell'esempio 4.1 si ottiene (J.=x/l):

Fig. 4.7

X=

relativi a un arco di sezione costante e di forma leggermente diversa. Le semplificazioni consentite dalle relazioni (b) (che vennero introdotte da Winkler e da Ritter; val. I, par. 10.2) dipendono dal fatto che in virtù di esse si ha ds/J~(dx: cos fJ)/(J,: cos fJ)~dx/J, e ds/A~dx/A,. Dalla [4.7], essendo:

M,~ -M,x/l,

JM,ydx/J,~

Jy'dx/J,~

-M,fl/3J,,

!6f'l/30J,,

5

-8 M,/f~0,625 M,jf.

[e]

Tale valore coincide ovviamente con quello relativo all'arco soggetto a due coppie M/2 simmetriche. Nota la reazione dei vincoli, applicando ad esempio il principio dei lavori virtuali si trovano facilmente le rotazioni delle sezioni estreme: [d]

'Pa,~M,l/24EJ,,

entrambe destrogire. b) Arco circolare di sezione costante. Procedendo come nel punto a), si ottengono i valori raccolti nella seguente tabella (tra parentesi le differenze con i valori relativi all'arco parabolico):

fil

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

fattore

X(M,)
0,6258 0,1304 (4,3%) 0,0443 (6,3%)

0,6265 0,1374 (9,9%) 0,0476 (14,2%)

0,6276 0,1470 (17,6%) 0,0524 (25,7%)

0,6289 0,1626 (30,1%) 0,0589 (41,3%)

0,6304 0,1752 (40,2%) 0,0670 (60,8%)

M,/f M 01/EJ

'Pao(M,)

ove PJ.l/2/ è la spinta per l'arco a 3 cerniere. J.

X(P)

O, 1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,0613

0,1160

0,1588

0,1860

0,1953

fattore Pl/f

Come è stato detto, la stessa linea d'influenza può essere impiegata, con buona approssimazione, anche per archi di forma leggermente diversa, a parità s'intende di //I.

si ottiene, trascurando la deformazione per effetto dello sforzo normale: X~

PJ./ 1-27.'+J.' 2/ 0,8 '

M,l/EJ

4.4. L'arco incastrato. a) Le espressioni delle incognite staticamente indeterminate. In genere presenta triplice grado di indeterminazione statica, e le tre relative azioni incognite vengono calcolate riconducendo al rispetto della congruenza la struttura principale, ossia la configurazione provvisoriamente priva dei vincoli iperstatici. Dalla scelta di tale configurazione può risultare notevolmente influenzata la laboriosità dei calcoli e, come è noto, di <4-1l <4.z1

Si veda, per es., O. BELLUZZI, Scienza delle costruzioni, cap. XIX, par. 408. Si considerino due sistemi: il primo, quello effettivo, soggetto al carico P=l nel punto generico C e alla spinta incognita X in A; il secondo (arco con appoggio in B e carrello in A) sottoposto all'azione X* che provoca lo spostamento 8x,.(X*)=-1. Se indichiamo con v(X*) lo spostamento verticale in C ad opera della stessa X*, per il teorema di Betti si ha P · v(X*)+X · 8x,.(X*)=X* ·O, da cui, essendo P=l, Ox,.(X*)= -1 (la forza X* ha le din1ensioni :fisiche di una forza su una lunghezza): X~v(X*).

Tale risultato è un caso particolare del teorema di LandMColonnetti (vedi, per es., op. cit., cap. XVIII, par. 381).

O. BELLUZZI,

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solito conviene che lo stato di sollecitazione iniziale, dovuto ai soli carichi agenti sulla struttura principale, si scosti il meno possibile da quello definitivo (4 • 3); quindi, almeno sotto questo punto di vista, l'arco a tre cerniere presenta prerogative molto favorevoli, poichè alle estremità mette già in gioco le spinte dalle quali dipende fortemente lo stato di sollecitazione effettivo; mentre risulta poco opportuno lo schema isostatico dell'arco a sbalzo. Ma per quest'ultimo - fu Mohr a segnalare tale proprietà CUJ - le relative tre condizioni di congruenza possono venire scritte in modo che ciascuna di esse contenga una sola incognita, per cui tutto sommato conviene optare di solito per la seconda configurazione principale. Su questo argomento avemmo già occasione di intrattenerci per illustrare alcune questioni generali riguardanti la scelta della struttura principale; ora interessa soffermarci su

zione terminale A*. Evidentemente il trasferimento delle condizioni di congruenza da A ad A* non modifica nulla, essendo, carne si è detto, considerato indeformabile il tratto A-A*; rna comporta ai fini calcolativi una rilevante semplificazione che risulta evidente appena si scrivano le condizioni di compatibilità relative ai vincoli. Per esprimere queste impiegando il principio dei lavori virtuali, si adottano, come è ben noto, le azioni ausiliarie XG=l, Y 0 =1, M 0 =1, a ognuna delle quali [attribuendo ad esse gli stessi segni delle corrispondenti azioni incognite e considerando l'origine degli assi coordinati in G (fig. 4.8)] conseguono le relative sollecitazioni fittizie (N' = -cos ff, M' = -y; N'=-sen{}, M'=-x; N'=O, M'=l). Consideriamo l'arco soggetto, oltre ai carichi, a una variazione uniforme t0 1 della temperatura; inoltre la sua impostaA presenti cedimenti noti Ua (secondo x), v. (secondo y), ip. (destrogira), che danno luogo, per la fittizia sezione terminale A*, ai movimenti UG= =Ua-TaYa, Va=Va-Taxa, Po=Ta (destrogira). Allora, se indichiamo con l'indice o le azioni interne conseguenti ai carichi agenti sulla struttura principale, poichè le sollecitazioni effettive valgono, in una generica sezione S,

76

'11.

B

T f ,l

77

N=N,-X0 cos ff-YG sen ff,

[4.9]

~l------~

y

si scrivono con facilità le equazioni di congruenza. Ad esempio, l'equazione riguardante la traslazione secondo x, omettendo al solito la deformazione dovuta allo sforzo tagliante, risulta (l'origine degli assi coordinati è in G) B ,,

Fig, 4.8

ciò che soprattutto concerne gli aspetti applicativi e il lavoro preparatorio necessario per affrontare il calcolo di insiemi di travi, dei quali la trave ad arco sia uno degli elementi. Pensiamo quindi, dovendo risolvere un arco incastrato che per il rnornento supponiamo sirnrnetrico (fig. 4.8), di sopprimere uno dei suoi incastri, per esempio quello A a sinistra, e di applicare quindi alla stessa estremità A la relativa reazione definibile, ad esempio, col momento Ma e le compo~ nenti Xa., Ya orizzontale e verticale. Conviene però, fu questo il suggerimento di Culrnann e di Mohr, pensare che l'arco prosegua, con un fittizio braccio indeformabile, oltre la sezione A sino a raggiungere, con la sua nuova estremità A*, il baricentro G delle masse ds/EJ (pesi elastici) considerate distribuite lungo l'asse dell'arco, e valutare, al posto dei tre parametri (Xa, Ya, Ma) della reazione in A, quelli Xa=Xa, Ya= Ya, Ma relativi alla nuova se<4 . 3 J

Si veda, ad es., vol. I, par. 9.3.1. o. 4 J Si veda, ad es., voi. I, par. 9.3.2.

I

N, cos ff ds EA

(Y ds MGJ EJ

+ [4.10]

ed è facile riscontrare che i vari termini presenti alla destra del segno di uguaglianza corrispondono, per I 'arco considerato provvisoriamente a sbalzo, agli spostamenti orizzontali della sezione A* conseguenti ai rnornenti flettenti e agli sforzi assiali dovuti ai carichi e alle azioni incognite Ma, Xa, Ya; per cui la stessa equazione con evidente significato dei simboli può venire scritta [4.11]

Ma tornando all'equazione risolvente [4.10] si nota che il coefficiente di M 0 è nullo, corrispondendo al momento statico delle masse ds/EJ rispetto a un asse passante per il loro baricentro G; altrettanto avviene, avendo supposto l'arco simmetrico, per il coefficiente di Y a, poichè esso è il momento

Capitolo quarto

Archi

centrifugo delle stesse masse rispetto agli assi x, y <4 "J. Analoghe osservazioni possono essere fatte a proposito delle altre due equazioni. In definitiva si ottiene (e 2 =J/A)

Tale rilevante proprietà venne già ampiamente illustrata a proposito di alcuni criteri generali importanti nel progetto delle strutture (voi. I, cap. 6) e non staremo quindi a ripeterci. Interessa concludere sottolineando che la deformazione {J(N) per effetto dello sforzo assiale gioca quindi in genere un ruolo irrilevante per gli archi esili: quando la configurazione principale

78

Ma

-jM, dsfJ+EcpG

79

fds/J

a tre cerniere è inflessa, le incognite staticamente indeterminate hanno impor-

JM,y ds/J+fN, cos{} ds/A+Ea,It;-Eua J(y +e cos ds/J JM,x ds/J+{N, sen {} ds/A +Eva Y=Y= · a a Jx• ds/J

tanza, ma sono in genere pochissimo influenzate da {J(N); e quando la medesima configurazione è soggetta a puro sforzo assiale, frequentemente sono le stesse incognite ad avere limitato peso sullo stato di tensione definitivo. Infine è appena il caso di notare che, avendo supposto l'arco simmetrico, se la condizione di carico è simmetrica le incognite staticamente indeterminate

2

2

2

[4.12)

{})

r

Le integrazioni debbono ovviamente venire estese all'intero arco e, quando le funzioni integrande sono complesse, possono venire trasformate in somme suddividendo l'arco in tronchi e ricorrendo, se il numero di questi è pari,

alla formula di Simpson (relaz. 3.16). Se sull'arco agisce anche una variazione termica variabile linearmente lungo l'altezza h della sezione (sinnnetrica rispetto all'asse) con i valori 7' all'estradosso e -!' all'intradosso, a ciascun numeratore delle tre relazioni [4.12) si aggiunge uno dei termini (posto
X-*"' A Fig. 4.9

•I

3..

6

r B~X

lì

sono soltanto due (la Ya= Ya è nota); e che si riducono a una quando i carichi, o in genere le azioni sollecitanti, sono antimetriche (voi. I, cap. 10); così, ad esempio per l'arco della fig. 4.9, la spinta Xa (quindi lo sforzo normale in chiave) risulta nulla; e le reazioni V.= -V, e M.= -M, sono evidentemente legate dalla condizione di equilibrio giratorio.

1

Inoltre, a proposito delle espressioni risolventi [4.12), è opportuno ricordare che frequentemente risultano trascurabili i lavori cli deformazione relativi agli sforzi assiali, per cui possono essere tralasciati sia gli integrali contenenti N, sia, al denominatore della seconda relazione, l'addendo contenente e2 • Tale semplificazione, è di regola lecita quando la struttura è snella e la curva delle pressioni è abbastanza eccentrica per effetto dei carichi pensati agenti sulla struttura principale. Quando, per la configurazione principale a tre cerniere, la curva delle pressioni relativa ai carichi è perfettamente assiale, è evidente che la deformazione per effetto di N, è l'unica causa delle azioni staticamente indeterminate; però il calcolo di queste diviene spesso inessenziale, poichè le tensioni da esse provocate sono tenui rispetto a quelle dovute ai soli carichi. <4 . 5 l L'arco è simmetrico rispetto all'asse y; quindi il momento centrifugo relativo a metà struttura è uguale e contrario a quello relativo all'altra metà. È un caso particolare della proprietà generale riguardante il momento centrifugo di un sistema di masse rispetto

ai due assi principali d'inerzia (vol. I, par. 9.3.2a).

b) Una variazione di sezione conveniente.

Il calcolo degli integrali presenti nelle formule [4.12] si semplifica notevolmente se l'arco è parabolico e la sezione è variabile con la legge A/A, cos {}, J/Jc cos ff, essendo Ac, Jc l'area e il momento d'inerzia della sezione di chiave (voi. I, par. 10.2 d). Ta~e variazione è adatta all'arco incastrato, che ha in genere le azioni interne crescenti dalla chiave verso le imposte; ma comporta, per gli usuali ribassamenti, una limitata modificazione della sezione. Essa è utile perchè fornisce, con notevoli facilitazioni per i calcoli, valori delle sollecitazioni che, per archi abbastanza ribassati (f/1~1/5), poco si scostano da quelli relativi a un arco di sezione costante e con andamento dell'asse leggermente diverso, per esempio circolare anzichè parabolico; per cui è possibile far riferimento ai risultati che competono a tale caso nei calcoli di massima e specialmente in quelli che richiedono il tracciamento delle linee d'influen;a ossia dei diagrammi che forniscono, in una prescelta sezione, le sollecitazioni e i movimenti per effetto di un carico unitario mobile lungo l'asse dell'arco. Nella fig. 4.10 sono riportare le linee d'influenza cli M., X., Ya all'imposta (ossia i loro diagrammi per posizione variabile di un carico concentrato verticale), i cui valori, calcolati nell'es. 4.3, possono essere frequentemente utilizzati per i motivi precedentemente detti. Note M 0 , X 0 , Y,, che sono

80

Capitolo quarto

le grandezze staticamente indeterminate, ogni altra caratteristica di sollecitazione può venire facilmente dedotta, e nella fig. 4.11 è ad esempio riportata la linea d'influenza del momento in chiave M,. Similmente a quanto avviene per l'arco parabolico con le estremità incernierate, se il carico è ripartito uniformemente sull'orizzontale per l'intera luce e se si trascura la deformazione per effetto dello sforzo assiale, Io stato di

Fig. 4.11. - Arco parabolico incastrato (J=Je/cos 1>): Linea d'influenza del momento in chiave.

-0,0tP.!

o/

§i

D' <

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1l D

I

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1,G

I

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q4

2

(6

•B

x/I

Fig. 4.10. - Arco parabolico incastrato (J=Jcfcos 1>): Linee d'influenza deile reazioni d'incastro.

l'\1 o

/

sollecitazione per l'arco incastrato coincide con quello relativo all'arco a tre cerniere, per il quale la curva delle pressioni è notoriamente centrata. e) Influenza delle variazioni di sezione e di forma dell'arco sullo stato di sollecitazione.

Il confronto delle linee d'influenza di M 0 , x., Y. per un arco di forma assegnata, ma con sezioni diversamente variabili, può dare utili indicazioni della misura in cui tale circostanza si ripercuote sul valore delle sollecitazioni: la fig. 4.12 ne riporta gli andamenti per un arco parabolico, con f/1=1/5, nei tre casi di sezione costante, o variabili secondo la legge J=J,/cosfJ (con J. di conseguenza fissato dal rapporto //I e di solito poco maggiore di J,) e

Ma

/

qoBPl i-i-t---i----i--i"t'---t-r--+-t---'

\ ®, J

6 -

POZZATI,

II-1.

Fig. 4.12. - Linee d'influenza relative all'arco parabolico incastrato: I (sezione costante, conf=l/5); 2 (J=JclcosD); 3 (variazione della sezione secondo Whitney).

Capitolo quarto

Archi

secondo l'altra legge (considerando l'origine dell'asse x nel centro dell'arco

bolico e circolare conf=l/5, e anche in questo caso le reazioni Xa e Y. si rivelano meno sensibili di M •.

82

e le ascisse positive) J=_}c__f} : [l-(1-c)2x//], con c=0,15 (quindi con J.= cos =J,/c·cosff0 fortemente maggiore di Jc) <4 •6l; e dai diagrannni si ha conferma del fatto che, qnando gli archi sono sufficientemente ribassati, per i primi due casi si hanno risultati poco diversi, e che per la Xa la differenza è addirittura graficamente inapprezzabile.

M ],!!: /--...: ,C' /f Ma

_o,oBPI

\

\\

i

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I

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V

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0,04,Pl

1:

ft'

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\

I

V \\\\

/- -

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o,aP·

//

I \\ I'-' .. ___, I

d) Se l'arco non è simmetrico e si vogliono mantenere separate le incognite nel sistema di equazioni risolvente (4.12], i due assi di riferimento baricentrici debbono, per quanto si è visto, venir scelti in modo che, rispetto ad essi, sia nullo il momento centrifugo dei pesi elastici ds/EJ, ossia che sia nullo il movimento secondo x provocato da una forza unitaria avente come retta d'azione y: per cui, assegnato un asse (per esempio orizzontale) risulta fissata (e in genere non verticale) la direzione del secondo asse detto coniugato; oppure, preferibilmente, volendo mantenere i due assi tra loro ortogonali, entrambe le direzioni risultano fissate e i due assi sono detti principali C4 .7l, Spesso, trattandosi di un arco non simmetrico, può convenire di far riferimento a una generica coppia di assi ortogonali baricentrici ma non principali, e allora risulta isolata la sola incognita MG·

Xa

- ~'.

'' \\

83

t,oP

Fig. 4.13. - Linee d'influenza relative all'arco incastrato (sez. cost.; flz=D,2): Arco parabolico (diagr. continuo). - Arco circolare (diagr. tratteggiato).

Il medesimo confronto effettuato mantenendo invece costante la sezione e leggermente variabile l'andamento dell'asse può utilmente indicare come le sollecitazioni risentono di piccole variazioni di forma: ad esempio nella fig. 4.13 sono riportate le linee d'influenza di M., X., Ya per gli archi parau.o) C. S. WHITNEY, ((Design of simmetrical concrete arches », Trans. ASCE, 1925, p. 931 e T[ans. ASCE, 1934, p. 1268; le sollecitazioni sono state calcolate per alcuni valori di c. E stata adottata anche la legge J=(Jcfcos 1!) : [1-(1-c) 4x2 // 2]. In merito alla correlazione tra forma dell'arco e stato di sollecitazione si veda, ad es., C. B. McCoLLOUGH- E. S. THAYER, EfasNc Arch Bridges, Wiley, N.Y., 1931.

e) Il metodo della spinta addizionale.

Nei casi d'importanza non corrente può essere opportuno, adottato l'arco a tre cerniere come struttura principale, assumerne l'asse coincidente con la funicolare dei pesi permanenti (ed eventualmente di una parte dei carichi accidentali) passante per le imposte A, B e per la chiave; per cui, se Xa è la componente orizzontale della reazione in A, Io sforzo assiale in un qualunque punto vale N,(ff)=-Xa/cos ff. Consideriamo ora l'arco a sbalzo soggetto ai carichi e, in corrispondenza dell'estremità A liberata daU'incastro, allo sforzo normale Na= - X./cosff. precedentemente determinato: la curva delle pressioni risulta ancora centrata e l'estremità A, se la struttura è simmetrica, compie, per effetto dell'accorciamento dell'asse, il solo movimento . ds . Pertanto, secondo le [4.12], riverso l'mterno o,,=JN,ds EA cos ff=X, EA

J

sultano nulli MG e ,Ya e la spinta «addizionale » capace di annullare quello spostamento, ossia di provocarne uno uguale e contrario, con ottima approssimazione vale, per la seconda delle citate espressioni (ds/A LIXGoe-x. ( , y'ds/J

[4.14]

ed ha segno opposto a quello della x. (le ordinate y sono da valutare rispetto all'asse baricentrico). Con tale procedimento, ideato da M6rsch e frequentemente detto «della spinta addizionale», al primitivo stato di puro sforzo assiale si aggiungono gli effetti della LJXG passante per il baricentro elastico e rivolta in genere verso l'esterno; per cui il diagramma dei momenti è dato, <4 . 7 >

Si veda il voi. I, par. 9.3.2a.

84

Capitolo quarto

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a meno di L1Xa, dallo stesso asse dell'arco riferito alla retta x baricentrica e le sollecitazioni in definitiva valgono

centro) vale 0,000489/0,000326=1,5, ed è quindi assai minore di quello rela-

N=-X./cosfJ-LlXacosfJ,

M=-L1Xay,

T=-LlXasen{},

essendo da attribuire a LlXa, secondo la [4.14], segno negativo. In genere la L1Xa è trascurabile rispetto alla spinta X. e le tensioni ad essa conseguenti hanno limitata importanza se la struttura è snella (voi. I, cap. 6); quindi il procedimento della spinta addizionale è opportuno, a parte la semplicità dei calcoli, perchè automaticamente conduce ad attribuire all'arco una forma tale da rendere dominante, per i carichi permanenti, lo stato di tensione più favorevole, che è quello conseguente allo sforzo normale. In relazione alla forma dell'arco è da tener presente che, nell'espressione [4.14], diminuendo il denominatore con i quadrati delle ordinate y dell'asse, la LlXa risulta all'incirca, a parità di luce, inversamente proporzionale al quadrato del ribassamento f/l, per cui i momenti massimi risultano all'incirca inversamente proporzionali a///; vale a dire più gravosi per gli archi ribassati.

85

. .condizioni di vincolo ( g : 2 =4) ; tivo alla trave prismatica, in eguali 384 384 ciò che conferma l'importanza limitata che, sullo stato di deformazione di un arco, hanno le condizioni di vincolo a confronto di quel che corrisponFig. 4.14. - Linea d'influenza dello spostamento verticale in mezzeria (arco parabolico; J= =Jc/cosf>): Estremi incastrati (diagr. continuo).·. Estremi incernierati (diagr. tratteggiato),

&

\

X_,,. ~l----f

/ ' / --\,, ' /,,/,

'

cA

x/l q3 \\,

g) Deformata di un arco. La notevole rigidezza del!' arco rispetto alla corrispondente trave.

Spesso può interessare conoscere l'entità di uno dei movimenti di una sezione di un arco per effetto dei carichi accidentali, e tracciarne la relativa

linea d'influenza. Ed è noto che una tale linea, ossia il diagramma di un certo movimento oper effetto di un carico 1 mobile sul ponte, ad esempio verticale, coincide, in virtù del teorema dei lavori muti, con il diagramma degli spostamenti verticali conseguenti a un'azione fittizia unitaria correlativa a O (ossia conseguenti a un carico verticale oppure orizzontale se, ad esempio, O è lo spostamento verticale od orizzontale). Per esempio nella fig. 4.14 è riportata la linea d'influenza dello spostamento verticale in chiave, calcolata nell'es. 4.6 per un arco parabolico avente le estremità articolate e incastrate, e da essa si può trarre qualche utile indicazione: il rapporto delle ordinate centrali delle due linee corrispondenti alle due condizioni di vincolo (ordinate che ovviamente corrispondono agli spostamenti della sezione di mezzaria per effetto di un carico applicato nel

.

''

f- ~ \, j',\ '

'I

i

\\ I I 3 o,ooo326Pl!E.fc \

Osservazioni del tutto analoghe a quelle sviluppate nel precedente punto in merito al calcolo della spinta addizionale valgono per gli effetti dovuti a

stato tensionale sensibile, in genere più gravoso per gli archi ribassati, per quanto è stato detto in chiusura del precedente punto, a parità delle altre grandezze geometriche. Tuttavia, a proposito delle azioni termiche, giova aver presente quanto venne detto nel par. 7.1 del I volume.

/!

'F

,.,

f) Variazioni termiche.

una variazione termica t0 ' uniforme, come d'altronde appare chiaramente dalle espressioni risolventi [4.12] (es. 4.4). La conseguente Xa può provocare uno

v. . -..

'

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'

! '\ / ' o,ooo4a9Pf;!Efc

.

0,5

o 3

Pr/4aE.fc q2

rJf

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\

\

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3

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\

0,4

VI)

q2

i--- '@ I

0,4

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0,6

0,6

\ 0,8

'

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~ '

~

I'-

qa

i--..1 1,0

Fig. 4.15. - Linee d'influenza dello spostamento verticale in mezzeria: 1 (trave appoggiata); 2 (trave incastrata); 3 (arco parabolico a due cerniere); 4 (arco parabolico incastrato).

dentemente accade per le travi. Inoltre può essere anche istruttivo il raffronto, riportato nella fig. 4.15, delle due linee d'influenza relative all'arco parabolico e alla trave prismatica di uguale luce, per mettere in evidenza le doti di rigidezza dell'arco, connesse con la presenza della spinta e dello sforzo normale (par. 4.1). Esempio 4.3 (arco parabolico incastrato: linee d'influenza delle reazioni). Un arco incastrato parabolico avente la sezione variabile con 1~ legge J=Jc/cos {} (par. 4.4b) è soggetto a un carico P verticale applicato in un punto generico

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Capitolo quarto

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distante e dalla mezzeria {fig. 4.16). Dedurre le linee d'influenza delle reazioni d'incastro, adottando la struttura principale indicata nella stessa figura.

87

quindi, dalle espressioni [4.12]:

PI Ma=--z (À,'+Àd-1/4),

Soluzione.

a) L'equazione dell'asse dell'arco, con l'origine degli assi nel vertice, è:

4fx'

Yi=--,-, 1

quindi la distanza del centro elastico G da x1 risulta (le integrazioni sono estese a metà arco; ds=dx/cos ff):

y

,,,-~

À,

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

Fattore

M,

o o

-0,064 0,096 0,896 0,32 -0,012

-0,03675 0,16537 0,784 0,22 -0,01012

o 0,216 0,648 0,180 0,008

PI Pl/J

Ya MG M,

l 0,5

o

-0,06075 0,03037 0,972 0,405 -0,00512

;;,

o

-0,1

-0,2

-0,3

-0,4

Fattore

M,

0,03125 0,23437 0,5 0,125 0,04687

0,048 0,216 0,352 0,08 0,008

0,04725 0,16537 0,216 0,045 -0,01012

0,032 0,096 0,104 0,02 -0,012

0,01125 0,03037 0,028 0,005 -0,00512

PI Pl/f

x.

R e

X·

Attribuendo all'ascissa e del carico vari valori, si deducono le linee d'influenza (si riporta anche quella del momento in chiave M,=Ma-Xaf/3):

G

B

ìf ,.l

x. Y, Ma M,

A Fig. 4.16- Condizioni di carico accidentale più gravose.

Essendo il momento dovuto al carico, e alla destra di questo, Mc= -P(c-x), l'origine degli assi in G, e y= { -y,, si ottiene (À,=c/I):

f

a

a

J

M,dx= M,dx+f M,dx=-

p;• (À,'+Ààli4),

f

p

PI PI

Tali linee d'influenza sono riportate nelle figg. 4.10, 4.11. Come è stato detto, esse possono essere utili anche per lo studio di archi aventi sezione costante o forma leggermente diversa (par. 4.4c) ('-'). b) Per effetto di un carico q uniformemente distribuito sull'intera proiezione orizzontale, considerando l'arco parabolico a tre cerniere, la curva delle pressioni risulta centrata e la spinta vale Xa=ql 2/Sf; quindi la situazione statica non si modifica anche quando l'arco è incastrato, se non si mette in conto la deforma~ zione per lo sforzo normale. Pertanto, poichè nel precedente punto le reazioni d'incastro sono state calcolate trascurando tale deformazione, indicando con r;(Ma) e r;(Xa) i valori delle reazioni che le [4.12] forniscono per un carico concentrato alla generica distanza x=c dalla mezzeria, è facile constatare che fqdxr;(Ma)=O e q dx r;(Xa)=qf'l·/Sf, considerando gli integrali estesi all'intero arco, quindi con i limiti 0;1/2 e -1/2;0.

f

e

-l/2

p

PI PI

Pl'f M,ydx=-- - (-li/+À,'/2-1/16), 3

Jx' dx=l'/12 ;

<4 · 8 > Linee d'influenza e varie tabelle relative all'arco circolare incastrato di sezione costante si trovano accuratamente calcolate per es. da J. PARCEL e R. B-. MooRMAN, Analysis o/ statically indeterniinate Structures, J. Wiley, New York, 1955.

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Capitolo quarto

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Esempio 4.4 (arco parabolico incastrato: reazioni per una variazione.di- temperatura);

d) Nella fig. 4.18 sono schematicamente raffigurate le condizioni di carico più grav
Lo stesso arco dell'es. 4.3 è soggetto a una variazione uniforme t 0 ' della t~peratura. Soluzione. Dalla seconda delle espressioni [4.12] si ottiene, trascurando la deformazione per effetto dello sforzo assiale (I 'integrale al denominatore è stato calcolato nel~ l'esempio precedente)~

•lini( ..

jJ_

)fi''

I

~

--~-­

r

"'e

5

Xa=4 EJ,a,t,'ff' ; il diagramma dei momenti (fig. 4.17) ha le ordinate, massime:

)!

M,=-M,/2 ..

Esempio 4.6 (arco parabolico incastrato: linea d'influenza dello spostamento verticale in chiave). Per l'arco parabolico dell'es. 4.3 determinare la linea d'influenza dello spostamento verticale Ve della sezione di mezzeria.

A~

+---[---+

Fig. 4.17

~max.

Per l'arco i.ncastrato dell 'es. 4.3 determinare su quali- suoi tratti deve agire un carico q (distribuito uniformemente sull'orizzontale) per provocare i valori massimi positivi e negativi dei momenti agli incastri (Ma) e in chiave (Mc). Soluzione. La· determinazione di Ma, Mc, qualunque sia la condizione di carico verticale, è semplice utilizzando le linee d'influenza calcolate nell'es. 4.3; per il calcolo degli integrali può essere impiegata la formula di Simpson (rei. 3.16). · a) Valore n1assimo negativo del momento d'incastro.

Esa1ninando la serie dei valori riportati nella tabella deU'es. 4.3, si riscontra chè il carico dev'essere esteso al tratto compreso fra Ac=0,5 e Ac=0,1, quindi (Llx=l/10): . .dx

Ma=-- (0-4.0,06075-2.0,064-4.0,03675-0) q/=-0,0173 ql';

3

per la stessa condizione di carico si trova, utilizzando ancora le linee d'influenza. dell'es. 4.3:

ql'/J,

Y.~0,349

J1imax. positivo

negativo ++

EseIÌtpio 4.5 (condizioni di carico più gravose).

Xa~0,0397

89

-3/8/->i-

i"'-3/8/4

~~ A{; max. positivo

~max. rz,egativo

Fig. 4.19

Fig. 4.18 - Condizioni di carico approssimativa~ mente più gravose.

Soluzione.

Tale linea d'influenza coincide con il diagramma degli spostamenti verticali conseguenti a un carico P agente in mezzeria (par. 4.4g): il calcolo di tale diagramma è semplice procedendo con il principio dei lavori virtuali, essendo noto lo stato di sollecit~zione provocato dallo stesso carico P (es. 4.3) e assumendo la condizione dì carico ausiliaria, anch'essa simmetrica, indicata nella fig. 4.19. Si ottiene, posto a~a/l e per O<;;a<;;0,5: v,=(-0,015625 a'+0,072916 a 3 -0,078125 a4 )Pl'/EJ,,

ql,

e, variando a, si ricava qualunque valore del diagramma:

b) Valore massimo positivo del momento d'incastro.

Procedendo come in a) si -trova: a=a/l

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

fattore

Dunque, com'era da attendersi, Ma (neg. max)=Ma (pos. max) e la somma dei due valori della spinta ottenuti in a), b) vale: x. (tot.)=(0,0397+0,0853) ql'if= ~ql'/8f: la ragione si trova detta nel punto b) dell'es. 4.3. ·

v,

-0,0911

-0,1666

-0,0703

0,1666

0,3255

PI" /1000 EJ,

Per provocare i valori massimi positivo e negativo del momento in chiave

vale

Ma~0,0173

e)

ql',

x.~0,0853

ql'/f,

Y.=0,151 ql.

3

.

debbono essere caricati i tratti 1/4 (centrale) e 2 · 8 /(laterali); utilizzando le linee d'influenza si ottiene: M,(max pos.)=0,00536 ql', Mc(max neg.)~-0,00536 ql',

x.~ -0,0562

ql'/J,

Xa= -0,0688 ql'/f;

Lo spostamento

conseguente a un carico concentrato in mezzeria (a=0,5) 1 Pl'/EJ,=16 (2Pl'/384EJ,); risulta quindi 16 volte infe-

Ve

v,~0,000325521

riore a quello di una trave prismatica (Jc) di uguale luce, con le estremità incastrate. Nella fig. 4.15 si trovano riportati i diagrammi Ve per l'arco parabolico incastrato e a due cerniere. Per quest'ultimo le ordinate valgono, a meno di P/3/1000 E/0 e per a=O,l~ ... -0,5: -0,2199; -0,2498; -0,0428; 0,2929; 0,4883.

Capitolo quarto

90

Archi

Esempio 4.7 (arco circolare incastrato, caricato uniformemente).

Ad esempio per:

Arco circolare incastrato di sezione costante soggetto a un carico distribuito uniformemente sull'orizzontale (fig. 4.20).

IJ.~,,14 (l~rvz, fll~0,2071, YG~0,90032 r, yg'~0,09968 r)'

-J xG~I

MG~

Soluzione.

a) Lo sforzo di taglio è nullo in chiave. Si può considerare metà arco a sbalzo (fig. 4.20) scegliendo al solito come centro di riduzione, per il calcolo della reazione interna (Nc=Xc, MG), il baricentro elastico della struttura principale:

M, ds:

M,y ds

Jds~-qr'(-0,071349510,785398)~0,09084 qr'~0,04542

M.(incastro)~(0,09084+0,8737

l

ql',

=Iy' ds~ -qr(-0,0053116/0,0060793)~0,8737 qr~0,6178 ql'

Mo(chiave)~(0,09084-0,8737

~----

91

· 0,09968) qr'~0,003748 qr'~0,001874 ql',

· 0,19321-0,25) qr'~0,009655

qr'~0,004828

ql'.

-----»1 ..Y_

''

A >,

''

' "r',,, '\ fJ> ''

a

Ì l

{;

Fig. 4.21

Per vari valori di fil si ottiene (ql'l8f è il valore della spinta per l'arco a 3 cerniere):

Fig. 4.20

sono quindi incognite le azioni Xa, MG ancora date dalle relazioni [4.12] per le quali essendo: x=rsen {}, yG=r sen fra/'&a,

y~r(cos

IJ-sen IJ.llJa),

0,15

0,20

0,25

1,006

1,017

1,022

1,035

0,00123

0,00256

0,00451

0,00700

0,30

Fattore

1,048

ql'l8f

0,00998

ql'

b) Per l'arco parabolico uniformemente caricato sull'orizzontale i momenti sono nulli, se si trascura il lavoro di deformazione per sforzo assiale.

,,,

Jds~IJ.r,

4.5. Arco con movimenti impressi alle estremità.

' -qr' sen' IJl2,

,,,

I

0,10

l=2r sen fra,

gli integrali valgono:

M,~ -qx'l2~

fil

M,yds~-

3 qr' [sen /Ja 3 2

sen /Ja ( 1J.-2sen21J. 1 )] ------w;:-

·

Sostituendo tali valori nelle relazioni [4.12] si ricavano (omettendo il lavoro di deformazione per sforzo assiale) Ma, Xa, quindi:

a) Le espressioni risolventi [4.12] consentono facilmente di ricavare per un arco i valori delle azioni applicate alle sezioni estreme quando queste siano soggette a movimenti; ossia di esprimere ad esempio il momento M. nella forma (adottando per le azioni e i movimenti i sensi positivi indicati nella fig. 4.21) [4.15] in cui evidentemente ogni coefficiente K, corrisponde al valore di M • per effetto del movimento unitario associato allo stesso [(;,, considerando i rima-

Capitolo quinto

92

Archi

nenti moviinenti nulli (al solito positive, per le sezioni estreme, le rotazioni e le coppie destrogire, le azioni orizzontali verso destra e le azioni verticali verso l'alto). Così, ad esempio, relativalnente alla rotazione destrogira rpc,,, essendo (par. 4.4a) "fPg='fla, uG=-
Ya2

12

+ Jy'ds/J + 4/x'ds/J

) '

[4.16]

Procedendo in modo analogo si ricava Ya' -+ ./y'ds/J 1

K 2 =Ma(
Eya

K4 =Ma(by=I)

jy'ds/J '

Similmente per la spinta Xa (

4 •9)

X.=K,

/2 ) 4fx 2ds/J ' [4.17]

El 2f x'ds/J

e per le altre azioni si ricava

('Pa-ro+

i:), [4.18]

Mb~K1
b) Arco in regime di simmetria e di antimetria. Nel caso che si abbia
[4.20] Esempio 4.8 (archi parabolico e circolare con le estremità soggette a movimenti impressi).

Per l'arco parabolico simmetrico con J=Jc/cos {}(es. 4.3) e per l'arco circolare di sezione costante calcolare le espressioni [4.16], [4.17] dei coefficienti Ki. ..., K 4 che definiscono le azioni alle estremità in conseguenza di movimenti impressi. a) Arco parabolico. -

Procedente come nell 'es. 4.3 si trova facilmente (si veda

anche !'es. 10.6 del voi. I): EJ, K1 = --. (1+5+3)~9EJJI, 1 K,~7,5 EJ,/fl,

K,~6

EJ,/l'.

Si veda ad es. K. BEYER, Die Statik im Eisenbetonbau, Springer, Ber1in, 1933 ediz.), vol. 1°, cap. 41. Chiara e corredata di tabelle è l'opera di PARCEL~MooRMAN (cap. 8, III), cit. nella nota 4.8. { 4 .oi

(za

b) Arco circolare. -

93

Nell'es. 4.7 si trovano le espressioni degli integrali che

definiscono i coefficienti K,, ... , K,: ad esempio per if0 ~n/4 (f/l~0,2071, r~l/j/2) si ottiene Ya=0,1932 r, fds=nr/2,

Jy ds=0,0l2159 r 2

3

,

Jx 2ds=0,285398 r 3 , K 1 =

EJ//, K,~2,765 EJ/I, K,~6,582 EJ/fl, K,~4,955 EJ/1 2• Alcuni valori dei coefficienti Ki sono riportati nella tabella seguente (si veda l'op. cit. nella nota 4.8): ~7,720

fil

0,1

0,15

0,20

0,25

0,30

Fattore

K,

8,67

8,62

7,79

7,25

6,70

EJ/l

K,

2,95

2,87

2,78

2,67

2,56

EJ/l

K,

7,27

6,98

6,64

6,24

5,83

EJ/fl

K,

5,72

5,41

5,02

4,58

4,13

EJ/I'

Travi a parete sottile aperta

I

I CAPITOLO

V

95

b) Innanzi tutto è opportuno osservare che le travi a parete sottile aperta oppongono in genere rigidezza assai limitata all'azione di una coppia torcente esterna, poichè questa si distribuisce lungo la linea media della sezione dando luogo a coppie interne aventi bracci molto piccoli, minori dello spessore dell'esile parete; le sezioni presentano un appariscente ingobbimento e può avere notevole ripercussione il fatto che per alcune di esse l'ingobbimento si trovi ad essere efficacemente contrastato. Le tensioni tangenziali conseguenti all'azione torcente sono distribuite pressochè linearmente lungo lo spessore, divenendo nulle in corrispondenza della snperficie media. Ma, se il momento torcente è variabile lungo l'asse della trave, lo stato di tensione

TRAVI SNELLE A PARETE SOTTILE APERTA

5.1. Premessa. a) Le sezioni delle travi inflesse vengono frequentemente conformate in modo da presentare aree addensate dove la loro utilizzazione è migliore quindi, con le necessarie connessioni, il più possibile lontane dai presumibili assi di rotazione. Seguendo questo criterio, sono state create sezioni cave delle più svariate forme, e numerose serie di profilati: la loro caratteristica comune è di essere costituite da lastre sottili, o pareti, aventi forma tale da ottenere grande rigidezza nei confronti della principale azione flessionale esterna, con spessore piccolo rispetto alle dimensioni che caratterizzano la sezione; ma il più delle volte le pareti, per esigenze funzionali o costruttive, non si possono richiudere su se stesse, per cui le sezioni si presentano interrotte, come si ha per la maggior parte dei più correnti tipi di profilati, o per le sezioni intere di scafi di veicoli, di ponti e di coperture di edifici {figg. 5.1, 5.2). In seguito a ciò, tali travi sono dette a parete sottile e a sezione aperta o, più sbrigativamente, a parete sottile aperta. Per esse, quando sono sufficientemente snelle, come supporremo nel presente capitolo, spesso è lecito adottare ancora I'ipotesi che le sezioni si conservino piane allorchè sono soggette a sforzo normale e a momento flettente. Tuttavia sul loro modo di comportarsi sono opport1me alcune annotazioni perchè possono acquistare notevole rilievo certi effetti che per le sezioni compatte sono invece generalmente trascurabili, con il manifestarsi di sollecitazioni e di deformazioni che interessano la trave in condizioni di vincolo sia isostatiche, sia iperstatiche: e la ricerca di tali effetti si semplifica notevolmente se si pensa che ogni sezione, pur ingobbendosi, mantenga invariato il suo contorno; invariato nel senso che, se per esempio esso è circolare, resta circolare anche dopo la deformazione della trave, per cui all'ipotesi della conservazione delle sezioni piane si sostituisce quella del contorno indeformabile nel suo piano. Lo studio delle travi a parete sottile aperta è stato sviluppato da Vlasov, dopo fondamentali contributi di Timoshenko e Weber (v. bibl.); esso presenta non pochi aspetti delicati, e può convenire premettere un cenno su quanto ci apprestiamo a prendere in esame.

o

Fig. 5.1

I I

risulta più complesso e si manifestano, oltre a tensioni normali, ulteriori

tensioni tangenziali in aggiunta a quelle precedentemente citate: le prime, ossia qnelle normali, scaturiscono dalla condizione che la parete mantenga integra la sua continuità longitudinale, ed hanno pertanto carattere di indeterminazione statica; le seconde, ossia le aggiuntive tensioni tangenziali, sono legate a quelle normali da condizioni di equilibrio, ed hanno, al contrario delle tensioni tangenziali primarie dalle quali derivano, valore pressochè costante lnngo lo spessore. La notevole sensibilità delle travi a parete sottile aperta all'azione torcente rende particolarmente interessanti le questioni connesse con il centro di taglio, essendo tale centro il punto per il quale deve passare lo sforzo tagliante esterno per non provocare torsione e potendo essere rilevante la sua lontananza dal baricentro della sezione. Un significativo esempio è quello della sezione aperta della fig. 5.1: è chiaro che, se la sezione a sottile corona circolare fosse chiusa, un carico centrato quale il peso proprio non provocherebbe torsione e le tensioni tangenziali avrebbero il loro massimo valore in corrispondenza dell'asse neutro; per cui, se si pensa di praticare l'incisione

I Capitolo quinto

Travi a parete sottile aperta

longitudinale a indicata nella stessa figura all'altezza di tale asse, si modificano fortemente le tensioni tangenziali, costrette evidentemente ad addensarsi nella parte della sezione integra; quindi la loro risultante risulta non centrata e un momento torcente deve intervenire per riportare la retta d'azione della stessa risultante a coincidere con quella dello sforzo di taglio esterno. Analoghe osservazioni possono essere fatte per la sezione a [ (fig. 5.lb), esempio ormai classico, perchè fu proprio tale tipo di trave ad essere impiegato nelle prime esperienze di Bach, per mettere in luce l'importanza dell'eccentricità del centro di taglio.

citata, gli effetti restano notevoli a distanze molto maggiori del diametro della sezione; e analogamente per il profilato a doppio T della fig. 5.3b, seppure con una propagazione in genere più frenata. Per l'importanza di tale fatto, in relazione anche al principio di De Saint Venant, possono essere

96

p p

Fig. 5.2

Fig. 5.3

Pertanto lo sforzo tagliante, quando dia luogo ad un'azione torcente, può provocare tensioni normali e tre diversi flussi di tensioni tangenziali, due dei

quali sono legati alle stesse tensioni normali, o più precisamente alle loro variazioni.

e) Per la facilità con la quale le sezioni sottili è aperte si ingobbiscono e ruotano intorno all'asse della trave, sistemi equilibrati di forze parallele all'asse, applicati su una sezione estrema, possono provocare sensibili stati di deformazione e di tensione aventi lento smorzamento. Nel determinare tale fenomeno, la forma e la sottigliezza della parete hanno ovviamente grande importanza; così, ad esempio, nel caso di una trave caricata come è indicato nella fig. 5.3a, avente quella sezione sottile e circolare già precedentemente

opportune alcune osservazioni preliminari

97

C5-1).

Consideriamo due travi a sbalzo, aventi la lunghezza uguale, con l'estremità soggetta a un uguale sistema equilibrato di forze, costituito da due coppie di momento ±M; le sezioni, rettangolare in un caso e a doppio T nell'altro, hanno le medesime dimensioni a, b pensate piccole rispetto alla lunghezza (fig. 5.3c). È chiaro che, nella trave di sezione rettangolare, per il principio di De Saint Venant le tensioni possono essere ritenute - come in realtà sono - trascurabili a una distanza pari alla maggiore delle dimensioni a, b. Invece per la trave avente la sezione a doppio T, le dimensioni a, b della sezione caricata sono 1nolto maggiori di una delle dimensioni che caratterizzano la forma del corpo, precisamente dello spessore s dell'anima; per cui non è più lecito affermare che gli effetti sono smorzati alla distanza a o b dalla sezione estrema. E a riprova di ciò basta osservare che se pensassimo l'anima di spessore s evanescente, ciascuna delle due ali sarebbe soggetta a un diagramma di momenti costante; crescendo lo spessore s, si fa via via più sensibile l'opposizione alla penetrazione degli effetti indotti dalle azioni equilibrate, sino al caso limite della sezione rettangolare. Vedremo che tale particolare comportamento delle travi a parete sottile aperta deriva dal}'esistenza di uno stato di tensione normale che ammette una caratteristica entità analitica, significativamente chiamata '' bimomento '', che, pur corrispondendo a un sistema equilibrato, provoca rotazioni delle sezioni intorno all'asse, tipiche deU'azione torcente; ossia proprio di quell'azione per la quale le stesse travi presentano scarsa capacità di resistenza. Quest'ultimo rilievo indica la necessità di considerare con attenzione gli effetti di carichi longitudinali concentrati, quindi di condizioni di vincolo che li n1ettono in gioco, come ad esempio quelle indicate nella figura 5.4. d) Le travi a parete sottile aperta risultano sensibili anche ad azioni che, agendo sulle strisce trasversali, le inflettono impegnandole con il loro piccolo spessore: tali effetti possono essere importanti ad esempio per i ponti, o per le travi corrugate di calcestruzzo impiegate nelle coperture, precompresse longitudinalmente ma non trasversalmente, per cui le sollecitazioni trasversali, quale m• (fig. 5.2), che agiscono su una sezione alta quanto lo spessore, richiedono apposite verifiche e armature, in particolare in prossimità delle sezioni estreme.

<5 .i) -Si veda, ad es., M. FILONENKo-BoRODICH, Theory of Elasticity, Moscow, Foreign Languages Publishing House; V. FEODOSYEV, Strength of Materials, Moscow, Mir Publishers, 1968; V. z. VLASOV, V. bibliografi.a.

7 -

PoZZATI, II-1.

98

Capitolo quinto

Travi a parete sottile aperta

99

cui al solito si ottiene, considerando il valore assoluto delle tensioni tangenziali, (dM,= Ty dx)

lP p

Ph

Ph

r

~)T"S,* ( 1y J,s

,

[5.1)

o

.~

' ~

,§,

<>.

<>.

~

~

~

~

+

essendo s lo spessore della parete nel punto b in cui s'intende ricavare il valore della.,;; S,*=.fy dA il momento statico della sezione a-b (di area A*) rispetto A•

all'asse neutro z; Jz il momento d'inerzia dell'intera sezione rispetto al mede-

simo asse. S'intende che le tensioni tangenziali debbono risultare nulle sui bordi esterni 1, 2, e infatti in corrispondenza di questi si annulla il momento statico Sz *; gli sforzi unitari rs diventano massimi dove Sz * raggiunge il valore

R R

+ •b

{

Fig. 5.4 '

'

\

,' '

~

5.2. Travi a parete sottile e aperta soggette a sforzo tagliante.

Fig. 5.5

~

a) Lo stato di tensione.

Una generica sezione retta di nna trave a parete sottile e aperta è soggetta a uno sforzo tagliante Ty agente secondo il suo asse principale y bari~ centrico (fig. 5.5); per la determinazione delle tensioni tangenziali, nulla sostanzialmente cambia rispetto al caso della sezione avente forma compatta,

e basta riportarsi col pensiero alla deduzione della semplice formula di Jourawsky. Consideriamo dunque un generico elemento a-b-c-d della trave, isolato mediante due sezioni rette vicinissime, distanti dx, e un terzo taglio b-d alla distanca e' dal bordo libero a-e, praticato dove si vuol conoscere il va-

lore della tensione tangenziale .,;; volendo ottenere il massimo valore della .,;, · si deve pensare di eseguire tale ultimo taglio secondo un piauo normale alla· linea media della sezione, potendo poi supporre che per l'esilità della parete' la tensione tangenziale resti costante nello spessore s. Le risultanti degli sforzi normali agenti sulle facce a-b, c-d siano N1 e N 2 , con N 2 > N, pensando il momento flettente positivo e crescente secondo il senso dell'asse x: per ristabilire l'equilibrio alla traslazione secondo x ed essendo il tratto esterno a-e scarico, alla faccia b-d deve essere applicato uno sforzo tangenziale longitudinale tale che (fig; 5.5) .,; s · dx=N2 -N1 =Jda · dA= dM, A* Jz

Jy dA; A*

per ·

massimo, ossia a livello dell'asse neutro z. Inoltre le tensioni tangenziali longitudinali, ossia quelle parallele a x, debbono mantenere, se l'asse neutro incontra una sola volta la parete (fig. 5.5), ugual segno indipendentemente dalla posizione del taglio b-d, perchè mantiene lo stesso segno la prevalenza (N2 -N1 ) degli sforzi normali agenti sulle facce trasversali dell'elemento esaminato; quindi, per il teorema di reciprocità, mantiene ugual senso la 7: agente sulla sezione, quando si pensi di percorrere la linea media di questa partendo da un punto estremo e raggiungendo l'altro.

b) Le condizioni affinchè lo sforzo tagliante non provochi torsione. Il centro di taglio. Ovviamente le azioni interne debbono realizzare nel loro complesso una caratteristica di sollecitazione nguale a quella esterna, quindi la risultante Y(.,;), secondo y, delle azioni tangenziali infinitesime .,; · dA=w · dc deve valere T", mentre dev'essere nulla quella [Z(.,;)) diretta secondo l'altro asse principale z; ed è facile constatare che tali condizioni sono in effetti rispettate,

Capitolo quinto

Travi a parete sottile aperta

pur non essendo state esplicitamente chiamate in causa <5• 2). Inoltre non è stata imposta la condizione che la retta d'azione della sollecitazione interna coincida con quella y della forza assegnata Ty, supposta baricentrica soltanto per rendere più concreto il caso in esame, ma che ovviamente, purchè parallela a y, può essere qualunque: poichè la retta d'azione y' della Y(r)~T" non coincide in genere con quella y della Ty (fig. 5.6), è necessario, se z, è la distanza tra y' e y (e vedremo come può essere determinata), associare la Y(r) a una coppia nel piano della sezione, quindi torcente, di momento M,~Y(r)z,~Tyz,; ed è soltanto a tale punto che l'uguaglianza tra l'azione interna e quella esterna è pienamente assicurata.

Ma tale espressione può essere scritta in forma pii1 conveniente: consideriamo la funzione, che chiameremo area settoriale,

100

Y'

101

w~f~ dc,

[5.3]

per la quale l'integrale è esteso da un'origine arbitraria a a un punto generico i della linea e, e i momenti elementari dc · r sono considerati positivi se destrogiri. Il differenziale dw~r · dc corrisponde al doppio dell'area del triangolo infinitesimo di base dc e di altezza r; pertanto w è il doppio dell'area racchiusa tra la linea media e le congiungenti i punti a, i con il polo P (fig. 5.6c). Integrando per parti l'espressione [5.2] si ottiene C5. 3J:

y

T"f

[5.2,]

M(P)=y w y dA ,

' '

per cui, se il polo è un punto P' della retta y' dev'essere:

f:"

y

dA~O.

[5.4]

Ma è facile constatare che c•.•J:

f

:"(P')y dA=f:"(P)y dA+z, J,,

J

(5,3)

Fig. 5.6

La retta d'azione y' (parallela a una direzione principale), che lo sforzo tagliante esterno deve avere per non dar luogo a momento torcente, può essere determinata con facilità. Rispetto a un qualunque punto (o polo) P, il momento delle azioni tangenziali vale, tenendo presente la [5.1] e indicando con r la distanza corrente valutata secondo la normale (fig. 5.6b),

M(P)~Jr dA r= e

(5.2)

Ty f S,*r dc, Jz J~

Y(r)=JTsdc sen iì=jrsdy=

[5.2]

S 2*r ·dc=fsz*dw=[S~*w]'-fds 1 z*w

con le integrazioni estese all'intera lunghezza della linea media. Ma il termine tra parentesi quadra è nullo, perchè S 2 * è nullo negli estremi dell'intervallo; inoltre dS2*= -s·dc·y (vedi nota 5.2), quindi risulta (s·dc=dA): Js2*r•dc=-jdS2 *w=Jw·y·dA. < Al Un generico elemento dw dell'area settoriale è uguale, a parte infinitesimi di ordine superiore, al doppio della differenza tra le aree dei triangoli 1-3-P, 2-3-P (fig. 5.7): dw=dc·r=dz·y-dy·z. [a] 5

Rispetto ai due sistemi di assi di riferimento indicati nella fig. 5.7 si ha quindi, per l'arco AB: [bi

y

~:JS * dy;

z~dZ"'j

2

y,

)\

integrando per parti si ottiene:

,

J S,*dy~[S,*yJ;-Jas:. y, con le integrazioni estese all'intera lunghezza e della linea media de11a sezione. Ma il termine tra parentesi quadra è nullo perchè sz* si annulla agli estremi dell'intervallo; inoltre dSz* y= Js dc y 2 =Jz (il segno negativo per dSz* dipende dal fatto che, dalla essendo parte delle ordinate y positive, a uno spostamento dy verso il lembo esterno della sezione corrisponde una diminuzione del momento statico), risulta Y(r)=T. In modo ana!Ogo si verifica che Z(r)=O, poichè è nullo il momento centrifugo dell'are; della sezione rispetto ai due assi principali y, z.

'

A/~

z,, Fig. 5.7

z

-J

li

P,

z

e integrando i vari termini moltiplicati per y ·dA:

f

f

wzy•dA= w 1 y·dA +z0Jz.

[e]

Capitolo quinto

102

Travi a parete sottile aperta

con il punto P' sulla retta y'; e per la [5.4] il primo integrale è nullo.

103

dev'essere associata al momento torcente:

Quindi risulta: f,w(P)y dA J,

Zo=

[5.9] [5.5]

In definitiva, l'operazione pratica è semplice: fissati gli assi della fig. 5.6, il polo P e il senso della percorrenza lungo e, se, considerando positivi i momenti dw destrogiri, la quantità ,w y dA risulta positiva, allora z, è negativa,

J

per cui alle tensioni tangenziali fornite dalla [5.6] debbono essere aggiunte quelle, facilmente calcolabili (par. 5.3), dovute al momento torcente. È chiaro quindi che le travi a sbalzo della fig. 5.1, soggette a un carico passante per il \Jaricentro della sezione, quale può essere ad esempio il peso proprio, si deformano anche per torsione.

e y' si trova a sinistra rispetto a y. Analogamente, cambiando senso all'asse z, il segno nella [5.5] è da assumere positivo (v. nota 5.4), e y' è ancora a sinistra di y (5•5).

S'intende che il passaggio al caso generale, quando lo sforzo tagliante T abbia direzione generica, è semplice, poichè basta considerare le due componenti Ty, T, secondo le due direzioni principali y e z. Quindi la complessiva tensione tangenziale dovuta a T, ricordando la [5.1], vale: [5.6] Fig. 5,8

la risultante degli sforzi tangenziali ha il modulo uguale a T, e passa per un punto O le cui coordinate valgono, riferite a un generico polo P (che alle volte può convenire far coincidere col baricentro G della sezione) e secondo le direzioni principali (fig. 5.8), [5.7]

z,

con i segni definiti in relazione a quanto è stato detto precedentemente, e

'' '' "'-----z,-'t'

In certi casi la posizione del centro di taglio O è determinabile a colpo d'occhio: così per la sezione a doppio T simmetrica (fig. 5.9a), O coincide con G essendo rispetto a tale punto nulli i momenti delle -r: dA indotte sia da Ty, sia da T,; se la sezione comprende due parti rettangolari (fig. 5.9b), evidentemente O è nel punto d'incontro dei due assi, poichè lungo questi agiscono le risultanti delle azioni tangenziali; e per la sezione a Z (fig. 5.9c) il centro di taglio cade a metà dell'anima, poichè si riconosce subito che rispetto ad esso è nullo il momento delle azioni interne tangenziali.

in particolare nella nota 5.4. Di conseguenza, se si pensa il polo in O, .

deve risultare

f;o
f;o
[5.8]

L' T-!-1 _

N;,

~I - N,1

-11,~

I

iI

Le coordinate z 0 , y 0 , come mostra la [5.7], sono indipendenti dai valori Ty, T,; quindi, qualunque sia la retta d'azione e il valore del taglio T, conside-

rando l'elasticità lineare e l'ipotesi della conservazione delle sezioni piane, si ottiene la stessa posizione del punto O, detto centro di taglio. Si può concludere osservando che, se lo sforza tagliante T passa per O, non si ha momento torcente per la sezione, perchè passa per O anche la risultante delle azioni -r: • dA (con la -r: definita dalla [5.6]); diversamente, se T ammette l'eccentricità d, (fig. 5.8), la risultante R(-r:) degli sforzi interni -r: • dA, per riprodurre T, 5 5 < • > S'intende che la stessa espressiOne [5.5] di z 0 può essere ottenuta dividendo il p:iomento M(P) dato dalla [5.21] per ~ ; ma le osservazioni fatte sono state necessarie per definire il segno di z 0 in relazionè ai Ysensi adottati per gli assi.

i()_ -b)

10

I

I

i

I !()_ i' !

I

j

!I

y

z

Fig. 5.9

e) Da quanto è stato detto è chiaro che, se si vuole evitare il ricorso alle proprietà geometriche sancite dalle [5.7], il centro di taglio O può essere ricavato direttamente: basta determinare le tensioni tangenziali -r: per effetto degli sforzi tangenziali T,, Ty (che conviene al solito pensare agenti secondo le direzioni principali), ottenendo poi il centro O come punto d'intersezione delle rette d'azione delle due risultanti delle stesse -r: • dA.

Travi a parete sottile aperta

Capitolo quinto

104

d) Un'osservazione sul calcolo di un integrale ricorrente.

In un tratto dell'intervallo d'integrazione, l'integrale presente nella [5.5] o nella [5.7] frequentemente può essere scritto nella forma:

I~

J w

(y)(c1 +c2 y) s dc.

[a]

~) Non ha i~portan~a, come si è avv~r.tit~, .la ~celta del polo P e dell'origine a deH intervallo d 1ntegraz1one. Con le pos1z1on1 indicate nella fig. 5.11, ad esempio, sì ottiene, scomponendo per semplicità i diagrammi trapezoidali in parti rettan~ golarì e triangolari, e tenendo presente il par. 5.2d (alcuni contributi si annullano, essendo, per aree Q uguali, le distanze Yc uguali e opposte):

f

wy dA~2

Ma, se si indica con:

(2 2

lbh2 h) s (2h T) (anima)+

3

+(]_ h 2 hs)"- (ali)~ bh's +2- b'h's, 2 2 12 4 sh' J,~ -12 (h+6b) (v. punto a),

[b]

l'area del diagramma w (y) s tracciato lungo la linea e, l'integrale [a] vale: I~ .Q (c1 +c,y,),

105

[e]

hh+9b' h+6b

essendo Yc il valore della y in corrispondenza del baricentro della stessa area D.

3b' ) ( h+ h+ 6b (negativa, quindi a sinistra del polo P).

Esempio 5.1.

Per il profilato avente la sezione a [ e lo spessore costante (fig.5. 10a), determinare la posizione del centro di taglio e la tensione tangenziale massima conseguente a uno sforzo di taglio Ty baricentrico.

Fig. 5.12 Fig. 5.11 Fig. 5.10

a) Il centro di taglio. Si trova sull'asse z di simmetria- e la distanza dall'arbi- · trario J.>Olo P di riferimento è data dalla [5.5]. Ponendo nel punto 1 (fig. 5.!0b) tanto il polo P q.uanto l'origine a dell'intervallo d'integrazione, si ha:

w (1-2)~0,

w,~hh/2

w,~ -bh/2,

(destrogira, quindi positiva),

y,~h/2,

y,~'-h/2 ;

quindi (v. par. 5.2d; si indica, per chiarezza, con s1 lo spessore delle ali e con s2 quello dell'anima): h 2h h'h's1

f '

wydA~2

(Tsi"zh)

~--,

4

< 1 ~6Ty

(h+6b)/12,

(b+h/4): [sh (h+6b)];

per h=20 cm, b=S cm, s=l cm risulta: <1 ~0,0574

Tu.

d) Diagrammar per il momento torcente Mt (conseguente all'eccentricità di Ty, supposto baricentrico, rispetto al centro di taglio):

di G dall'asse dell'anima)~h'/(h+2h)~l,8 cm, cm, M,~ Tv (1,8+2,8)~4,6 Ty, i (M,; rei. 5.12)~3 Mtfcs'~3.4,6 Tu/36~0,3833 Ty (sui lembi).

3b 2s 1 hs2 +6bs1

a)~-2,8

e) Tensione tangenziale massima:

e il segno negativo sta a indicare che il centro di taglio O è alla sinistra del polo. h=S cm,

J,~sh 2

(h'/8+hh/2),

zG~(distanza

h'

h=20 cm,

S,*~s

z, (v. punto

J,~s 2 h'/12+2hs 1 (h/2)'~ Ll (hs 2 +6bs,),

zo=

e) Diagrammar considerando Ty passante per il centro di taglio O. Ad esempio nel centro dell'anima, ossia nel punto I (fig. 5.12), secondo la [5.1] si ottiene:

risulta

z0 = -2,8 cm.

•max=0,0574 Ty+0,3833

Ty~0,441

Ty (in kg/cm', con Ty in kg) ;

l'importanza del momento torcente è quindi notevole.

Capitolo quinto

106

-r----Zol

y

, (T )= Ty 2(cosq;-cos a). P Y Rs 2a-sen 2a

R

\

"

R

---P

,,--+o

z

107

quindi dalla [5.1] (J, è stato calcolato in a):

---:---,;,\

/

'

Travi a parete sottile aperta

Per a=n/2 e a=n, la tensione massima risulta:

Ty 2

b)

a)

2R~J

e) Fig. 5.13

<:max(q;=O)=~R

-,

s " quindi i valori delle <:max risultano uguali, pur essendo le aperture diverse; ciò accade perchè, per a >n/2, cresce la superficie resistente, rispetto ad a=n/2, ma una parte delle -r: fornisce componenti secondo y di senso opposto a quello di Ty.

-a Fig. 5.14

Fig. 5.15

b)

a)

b)

a)

Esempio 5.2. Per la sezione indicata nella fig. 5.13 determinare la posizione del centro di taglio e la tensione tangenziale massima per Io sforzo tagliante T11 baricentrico. a) Centro di taglio. Essendo arbitrario il polo P per il calcolo della funzione ro, conviene collocarlo nel centro dell'arco di circonferenza; l'origine a dell'intervallo d'integrazione viene considerata sull'asse z di simmetria. Pertanto si ha:

e) Diagramma centrico e a=n.

Poichè

z,~2R

?:

per il momento torcente, quando lo sforzo tagliante è bari-

(v. punto a): Mt=Tu2R,

•-(M,; rei.

5.12,)=3Mtf2nRs'~ T~ _'!_(sui lembi), s

"

inolto maggiore della ?:max calcolata in b).

w(
y=R sentp,

5.3. Trave a parete sottile e aperta soggetta a momento torcente.

" wydA~-2R'sf

J

5.3.1. Osservazioni introduttive. I centri di torsione e di taglio coincidono.

"

J,~2sfy'R dp~R's(2a-sen 2a)/2, z,~R

per

a~n/6

4 (sena-a cosa) a-sen 2a

(positiva, quindi a destra del polo P);

(30°); n/2; n, risulta: z0 ~

1,02776 R ,

4 z 0 =-R,

"

z 0 =2R.

(a)

b) Diagramma< considerando Ty passante per il centro di taglio O (fig. 5.14):

" Sf(
•

a) Prima di entrare nel merito di questioni particolari può essere opportuno commentare brevemente la circostanza, altre volte rilevata, che le travi di cui ci stiamo occupando hanno rigidezza torsionale in genere fortemente minore di quella che si manifesta quando la sezione, pur essendo cava, è chiusa. Il fatto appare manifesto appena si consideri un caso concreto, ad esempio quello relativo alla sezione di una trave a parete circolare e di uniforme sottigliezza, soggetta a momento torcente M,: per quella anulare e continua (fig. 5.15a), in ciascun punto le tensioni tangenziali rimangono pressochè invariate nello spessore (le diremo di membrana) e gli sforzi tangenziali u dc agiscono con bracci elevati pari a 2R. Invece per la sezione anulare interrotta (fig. 5.15b) le tensioni tangenziali cambiano segno nello spessore ed hanno valor medio nullo, come appare evidente appena si pensi all'analogia idrodinamica o all'altra della membrana; per cni l'azione torcente

Capitolo quinto

Travi a parete sottile aperta

viene realizzata da sforzi interni che han bracci poco diversi dallo spessore, con l'evidente conseguenza che tensione massima e deformazione subiscono un forte aggravio rispetto alla corrispondente configurazione chiusa della

travi aventi la sezione costituita da più rettangoli (alcuni esempi sono indicati nella fig. 5.17), il momento torcente M, risulta dalla somma dei momenti parziali Mtt forniti dalle varie parti; e anche giovandosi di esperienze basate suil'analogia con la membrana, si è avuta conferma che i vari contributi M" sono poco diversi da quelli che si avrebbero considerando per i rettangoli, soggetti alla medesima deformazione unitaria{}, le tensioni fornite dalla [5.10], per cui è lecito scrivere C5 -8l:

108

sezione (5 •6).

Volendo poi passare a valutazioni concrete, può essere opportuno ricordare preliminarmente che per una sezione rettangolare molto allungata di lati a, b il valore massimo della tensione tangenziale e il valore della defor-

fJ~M,/GJ,,

rJ!lf ì

r

--y -

a ~'l-w+"'t-----z

.l'UJ '

1J=3 M,/Gcs 3

It[l TI

b)

Fig. 5.17

mazione unitaria {} (la cui dimensione fisica è l'inverso di una lunghezza) risultano (fig. 5.16a) 1'xu (max)~i'~ 3MJab 2

,

fJ ~ 3M,/Gab 3

;

formule [5.10], valide per la sezione rettangolare molto allungata, valgono anche per le sezioni sottili e aperte aventi la linea media curva, per le quali quindi può essere ancora scritto: i.'=3 M,/cs 2

[5.10]

inoltre r si manifesta sui lembi dei lati b maggiori e il diagramma dello scorrimento, quindi anche delle tensioni tangenziali, varia quasi linearmente lungo la mediana più breve, d'accordo con la circostanza che le fibre corte, più rigide delle altre, si conservano pressochè rettilinee c5•7J. Nel caso di C5·6l Per i casi citati, i rapporti delle tensioni 'massime e delle {} valgono rispettivamente all'incirca [per la formula di Bredt e per la 5.12J 3R/s e 3(R/s) 2 • , t 5 . 7 > Quindi per una sezione rettangolare di spessore esilissimo lo stato di sollecitazione può essere raffigurato (fìg. 5.16b, e) con due forze H (che, di segno opposto, applicat~ nel: l'intorno dei due lati corti, interpretano la presenza del flusso di tensioni h.~ngo 1 lat~ minori della sezione) e con una distribuzione, uniforme lungo l'altezza a, di momenti unitari (dy=l):

[a]

~

[5.12]

,

ottenendo così il risultato che si avrebbe per una sezione rettangolare di lati e, s. Inoltre, utilizzando l'analogia con la membrana, si è constatato che le

-k- h--4-

(il braccio del momento è uguale a

[5.11]

avendo indicato con at, si la lunghezza e lo spessore di una generica parte rettangolare. Di conseguenza, se lo spessore è costante,

a

Fig. 5.16

109

b per la linearità del diagramma -rXll, del quale con i

si indica il valore massimo). Pensando di isolare un elemento della parete di altezza generica e profondità dx (fig. 5.16d), la sua faccia superiore 1~3 è libera da azioni interne ed esterne,

,

1J=3 M,/Gcs 3

[5.121]

,

indicando con e la lunghezza della linea media e con s lo spessore. Tali espressioni si possono ricavare anche per via teorica <5 •9). mentre quella inferiore 2~4 è soggetta, per il teorema di reciprocità, al momento myx · dx. Considerando allora l'equilibrio alla rotazione intorno all'asse y, si ottiene H · dx=mxu ·dx, quindi: [b] H=mxy· Infine, il momento interno deve uguagliare quello esterno M 1, ossia: Ha+mxy · a=M1 ;

allora per la [b] e per la [a] risulta: ~b 2

M1

-6-=2a·

'"i=Mtf3ab 2

•

Supponendo che, per la rigidezza del collegamento, le varie parti rettangolari presentino un'uguale rotazione unitaria #, per ognuna di esse (di Iati a,, si) si ha, in virtù della seconda delle [5.10], Mu=Gf>.lu. con .lu,=ais.3/3. Quindi, dovendo essere .EM11 =M, e 'i=Afi.s.f.lfi=G#s;, si ricavano le relazioni [5.11]. <5 . 9 l Si' è visto che per la sezione rettangolare molto allungata le azioni H interpretano la presenza del flusso di tensioni lungo i lati minori (fìg. 5-16b). Nel caso della sezione cir<5 .s)

Capitolo quinto

Travi a parete sottile aperta

b) La precedente osservazione, che per le sezioni aperte la tensione tangenziale sulla linea media è nulla, interessa per alcune consegnenze rignardanti, come vedremo, lo stato di tensione e di deformazione. E a proposito di questo può essere opportuno notare che una sezione soggetta soltanto a momento torcente ruota intorno a un punto, centro di torsione, coincidente col centro di taglio O, come si riconosce subito in virtù del teorema di Betti: infatti, applicata la coppia, è chiaro che uno sforzo tagliante T comunque diretto e passante per O rende {} nullo, e non fa compiere ad essa lavoro mutuo. Invertendo allora l'ordine di applicazione delle due azioni, M, non fa compiere lavoro mutuo a T; quindi, risultando nulla la traslazione del punto O lungo la retta d'azione del taglio, che può essere generica, è possibile concludere che la sezione ruota intorno al centro di taglio C5 •10).

e) Oltre alle consuete ipotesi, per le sezioni anulari aperte si suppone anche che esse, pur ingobbendosi per effetto dell'azione torcente, mantengano invariata la loro proiezione piana, ossia che, gli spostamenti relativi secondo l'asse della trave siano molto prevalenti rispetto a quelli nel piano della sezione. L 'ingobbimento è in genere notevole e, come vedremo, può esser causa di tensioni normali che, ovviamente di risultante nuIIa, possono avere sensibile importanza.

110

5.3.2. Azione torcente variabile lungo l'asse della trave: conseguenti tensioni normali e tensioni tangenziali di n1cmbrana. a) Data la sezione di una trave a parete sottile aperta soggetta a un momento torcente, pensiamo di isolare l'elemento 1-2-3-4 della parete della trave indicato nella fig. 5-19, avente la base dx· dc e l'altezza s: i punti 3, 4 si spostano in 3', 4' e, se si indica con{} la rotazione unitaria (dx= I) intorno al centro di torsione O distante r dalla tangente 3-4, si ha, in corrispondenza della superficie media dell'elemento considerato, 3 - 3';:;; 4-4' = (i!dx)r, quindi: a=Dr, [5.13]

colare (fig. 5.18), dette azioni non sono più parallele tra loro, n1a l'uguaglianza tra azioni esterne e interne è ripristinata dalla presenza di sforzi tangenziali (,rp; di tale fatto può esser data la seguente semplice giustificazione. V al go no le relazioni: ttp;e=Jr~z,

(,rp= frxqi(l +z/R)dz,

m'P=Jr'P'"'z · dz,

m:ap= f-c.,rp(l +z/R)z · dz,

[a]

con tutti gli integrali estesi tra i limiti ±s/2, e con 1:px=Txrp· Ma si ha t'PX=O, per l'equilibrio del generico elemento 1-2-3-4 alla traslazione secondo x (fig.5. 18b); quindi, dalla seconda e dalla terza delle relazioni [a], risulta:

con 11 data dalla relaz. [5.12].

[b]

avendo posto

mrpz~ mxip

111

y

perchè lo spessore è supposto molto piccolo rispetto al raggio.

o

X

z

Fig. 5.19

Fig. 5.18

Considerando i momenti nixip (quindi per la [b] anche le azioni fxip) distribuiti uniformemente, uguagliando l'azione interna a quella esterna Afi, e indicando con e la lunghezza della linea media, si ottiene: mxqP+(txpR)c=Mi, mxrp=M1/2c;

All'angolo a corrisponderebbe, qualora aVvenissero altri movimenti, una modificazione degli angoli retti relativi alla superficie elementare 1-2-3-4, quindi uno scorrimento; ma dovendo questo essere nullo perchè, come è stato osservato, la tensione tangenziale è nulla lungo la linea media della sezione, deve aver luogo una ulteriore rotazione tra le fibre ({J=a) tale da ripristinare la conservazione degli angoli retti e da provocare quindi lo spostamento (indicando con u gli spostamenti secondo x):

per cui la tensione tangenziale sui lembi risulta: -~ 7:=

,_3M, 6mzrps 1 - csz

,

La presenza degli sforzi tangenziali fzp deriva in sostanza dal fatto che sull'elemento di superficie curvo e normale a x (fig. 5.18c), essendo le tensioni tangenziali sui lembi uguali tra loro (debbono essere uguali a quelle conseguenti a mrpJ, le due risultanti delle azioni tangenziali sopra e sotto la linea media 0-0 hanno valori diversi, essendo diverse le relative aree. <0 •10> Una sezione soggetta a momento torcente e a sforzo normale in genere non ruota intorno al centro di taglio (salvo che essa non ammetta due assi di simmetria). L'osservazione è interessante per lo studio della stabilità dell'equilibrio di travi a parete sottile aperta.

[5.14] per cui, posto r dc=dco, si ottiene:

I

u=-i!J~dc+C=-ilw+c;

[5.15]

Capitolo quinto

Travi a parete sottile aperta

e il segno meno dipende dal fatto che, stabiliti i sensi positivi per l'asse x e per la percorrenza lungo la linea media della sezione, e pensando sia gli spostamenti 3-3 ', 4-4', sia dw positivi, dcu ha senso opposto a quello fissato per x (fig. 5.19). La quantità:

tria, si ha C' =0 <5 •11l e la prima delle [5.19] è automaticamente soddisfatta. Altrilnenti, adottata un'origine a generica, si calcolano w e C'. Notiamo inoltre che la
112

[5.16] che è l'area settoriale definita precedentemente (re!. 5.3), è ora da calcolare assumendo come polo il centro O di torsione, ossia il centro di taglio; inoltre, se interessa conoscere soltanto l'ingobbimento della sezione, ossia lo spostamento relativo secondo x fra due punti a, i, questi costituiscono i limiti dell'in-

tervallo d'integrazione e non ha importanza la determinazione della costante C. Secondo la [5.15], lo spostamento u lungo la linea media di una sezione varia come la funzione w; e poichè, secondo quanto è stato già notato, w corrisponde al doppio dell'area racchiusa tra il tratto a-i cui si riferisce l'integrazione e le congiungenti O-a, O-i, è facile rendersi conto che per essa si possono avere anche ripetute variazioni di segno (es. 5.3). L'entità degli spo-

stamenti relativi, quindi dell'ingobbimento di una sezione, dipende ovviamente da ff, ossia dalla rotazione di due sezioni distanti dx~ 1; quindi detta entità resta costante se, pensando invariabile la sezione, il momento torcente non si modifica lungo l'asse della trave. Se Mt varia, come spesso avviene, si hanno dilatazioni per le fibre secondo x con conseguenti tensioni normali, e per la [5.15] si può scrivere, poichè la costante C è da considerare tale dC dff per una data sezione ma può variare lungo x, posto C' = - dx : dx '

du d{} d{} a ~Es ~E-=-E-(w+C')=-E-w* x x dx dx dx

[5.17]

w*=w+C'

[5.18]

con:

e con la costante C' facilmente determinabile: infatti, dovendo risultare (dA~sdc):

f~x dA~O,

quindi E

f

~: :;i* dA=O

[5.19]

113

diversa da quelle " primarie " che le hanno causate e che, come si è detto,

hanno invece valore nullo in corrispondenza della snperficie media. Il modo di calcolarle è quello già ricordato nel par. 5.2 e non staremo quindi a dilungarci: considerando al solito l'equilibrio alla traslazione secondo x di un tratto elementare di parete lungo dx, e tenendo presenti i simboli a suo tempo specificati, si trova (considerando Lh: concorde con x):

Lh · s dx= -fda., · dA ,

[5.21]

A•

e per la [5.17] (essendo C', secondo la [5.20], indipendente da x, avendo supposto invariabile la sezione):

I

d'{} w*dA,

Lh:·s~E-d 2 X

[5.22]

A'

con dA=s dc, A* area della sezione compresa tra uno dei bordi e il punto i generico, w* data dalla [5.18]. Inoltre, come si è detto, la costante C' (relazione 5.20) è nulla se la sezione è simmetrica e se si ha l'avvertenza di calcolare la funzione integranda w ponendo l'origine sul!' asse di simmetria, per cui w=w*. Nel caso generale, l'origine può essere arbitraria, ed è il valore della costante C' che provvede a render soddisfatta la condizione [5.19]. b) Osservazioni. Lo scorrimento è stato considerato nullo lungo la linea media e con tale condizione, unita a quella del contorno indeformabile, è stato

definito lo stato di deformazione e il conseguente ingobbimento delle sezioni trasversali. Quando il momento torcente è variabile, l'ingobbimento risulta disuniforme: nascono, per congruenza interna, tensioni normali e, per equilibrio, ulteriori tensioni tangenziali Ll'f, però, come si è detto, pressochè co-

(l'integrale è esteso all'intera sezione), deve aversi:

stanti lungo lo spessore; quindi, essendo le tensioni tangenziali non nulle sulla

C'=

[5.20]

e s'intende che, nel caso che la sezione sia simmetrica, se, per valutare la funzione w, si pone l'origine a dell'intervallo d'integrazione sull'asse di simme-

linea media, sono non nulli anche gli scorrimenti, contrariamente all'ipotesi


8 -

POZZATI, 11-1.

114

Capitolo quinto

Travi a parete sottile aperta

adottata. In generale ciò comporta una tenue influenza, pur avendo casi, ad esempio quando si hanno sezioni impedite d'ingobbirsi, in cui le Llr possono acquistare sensibile importanza; per cui la teoria precedentemente vista può essere considerata la fase iniziale di un procedimento di calcolo più complesso, eventualmente iterativo, però di non sempre soddisfacente convergenza.

Il fatto di trovare le conseguenze scaturite da una certa ipotesi in disaccordo con l'ipotesi stessa non è nuovo nello studio degli stati di tensione: per determinare ad esempio le tensioni tangenziali dovute a uno sforzo tagliante, si utilizza l'espressione che definisce le tensioni normali con l'ipotesi della conservazione delle sezioni piane, in contrasto in genere con la presenza delle stesse tensioni tangenziali. Inoltre, tanto le tensioni a quanto quelle Llr di membrana frequentemente presentano, dipendendo dalla funzione w*, ripetuti ca1nbiamenti di segno in una sezione trasversale (fig. 5.21): infatti per i termini elementari dw*=r · dc, disseminati lungo la linea media da percorrere dall'origine verso i punti estremi, i segni (positivi se destrorsi) variano a seconda della loro posizione rispetto al centro di rotazione. e) Proprietà relativa ali' area settoriale (conseguente al fatto che gli sforzi normali applicati a una sezione costituiscono un sistema equilibrato). L'area settoriale w*, per la definizione [5.18] precedentemente data, deve soddisfare la condizione:

f~*dA=O,

Esempio 5.3. La trave a parete sottile aperta e di sezione circolare indicata nella fig. 5.20 ha le estremità appoggiate e irrigidite con timpani [par. 5.5] ed è soggetta lungo un nx bordo al carico orizzontale distribuito con la legge qx=q cos - - (per x=O, in 1 mezzaria, qx=9_; per x=l/2, qx=O). Determinare gli effetti del momento torcente.

Fig. 5.20

a) Il momento torcente, che, nella mezzeria è nullo, alla distanza x dal centro, indicando con e la distanza della retta d'azione del carico dal centro O di torsione o di taglio, vale:

r - nx Mt= Jqx · e dx=Mt sen - -, con Mt=qel/n. X

1

f~*zdA=O.

Mt

[5.19, ripetuta]

nx [relaz. 5.121 ; J,=cs'/3], 1

ff= GJ, sen - -

dff E qe nx aX =-E-w*=---w*cosdx GJ, I [relaz . 5.17],

_

3Mt

x = - 2-

es

nx

sen -

I

[relaz. 5.121 ] ,

Llr= - -Efjen - sen -nxfw* dA [relaz. 5.22]. G J, ls I

[5.8, ripetuta]

.tli;,

b) Calcolare il valore delle tensioni massime per:

Essendo, in una data sezione, la funzione ro* proporzionale alla tensione normale a [rei. 5.17] e ponendo adA=dN, si ha allora oltre alla condizione f,dN=O, dalla quale per l'appunto venne ricavata la [5.19],

a=30°,

s=S cm, v (coeff. Poisson)=0,15,

1=15 m,

q=IOO kg/m=l kg/cm.

Si ottiene:

I:dN=O,

[d]

R=c0 /2sena=c 0 =5 m, y, (es. 5.2)=1,02776 R,

per cui gli sforzi normali dN applicati ad ogni sezione retta della trave costituiscono, come debbono, un sistema equilibrato.

[a]

Di conseguenza:

spontaneamente rispettata, se la sezione è simmetrica, calcolando w con l'origine sull'asse di simmetria. Inoltre il suo polo deve essere il centro di taglio, quindi per le [5.8], valide qualunque sia l'origine dell'intervallo d'in~ tegrazione, risulta anche (gli assi y, z sono baricentrici e principali; la costante C' risulta moltiplicata per fattori nulli):

f~*ydA=O,

115

e=y,-R cos a=0,1617 R=S0,9 cm,

M,=1·80,9 · 1500/n=38630 kgcm, J,=cs'/3=0,34907 s' R.

[b]

[e]

[d] [e]

Capitolo quinto

Travi a parete sottile aperta

Essendo la sezione simmetrica, conviene calcolare i valori della funzione ro* ponendo l'origine a dell'intervallo d'integrazione sull'asse di simmetria. Poichè il polo dev'essere il centro di taglio, si ottiene (fig. 5.20):

proporzionale a M, (quindi a /), e LIT (max) dipende da 1//. Pertanto l'importanza

116

•

•

ro*(p)~ Jr dc~RJ(y, cos fJ-R) dfJ~R (y sen
[/]

0

da cui, per
w*/R =0;

0,00394;

0,00245;

-0,00972.

2(1+v)l · 0,1617 . ,_ , 0,00972 R -5,60 kg/cm . 0,34907 s'

La tensione tangenziale primaria, diretta conseguenza del momento torcente (rel. d), alle estremità acquista il massimo valore (c=2a R=524 cm) i.'

Può essere interessante notare che a (max) è indipendente da /; mentre r è di Ll-r rispetto a i diminuisce con l'aumentare della snellezza della trave. e) Condizioni di carico complesse possono venire vantaggiosamente studiate impiegando le serie trigonometriche (cap. X).

5.3.3. Trave a parete sottile aperta soggetta a deformazione di tipo torsio-

Il diagramma ax è simile a quello della funzione w* ed ha l'ordinata massima (per x=O, nella mezzeria della trave, v. rel. e) a (max)

117

3 · 38630 524 . 8,

3,46 kgIcm , .

nale: equazione differenziale di equilibrio. Si è visto che, quando il momento torcente è variabile, si hanno tensioni tangenziali del tipo tanto variabile nello spessore, qnanto di membrana: I'uno con valore nullo sulla linea media e valore massimo I r [ sui lembi, l'altro con valore .dr pressochè costante nello spessore; ovviamente in una generica sezione ciascuno di essi dà luogo a una correlativa caratteristica di sollecitazione torcente, la cui somma deve uguagliare l'azione esterna applicata. Il momento torcente interno conseguente alle tensioni tangenziali di membrana vale, per la [5.22] e indicando con r la distanza dal centro di torsione, f d'ff f [5.23J M(Lh)=J~Lh; · s dc) r=E dx' J'f' dw*, avendo posto, con i simboli precedentemente significati, 'f=fw* dA. À~'

Ma integrando per parti si ottiene:

\

'

J:dw*=['Pw*Ji-f~w* dA) w*=-f;n*' dA,

"tJ'

\1 \ I

[5.24]

perchè il termine tra parentesi quadre scompare, essendo la quantità 'P nulla tanto nel punto iniziale, in cui A*=O, quanto nel punto terminale per la relazione [5.19]. Pertanto, se si pone:

\

Fig. 5.21

Anche la tensione tangenziale di membrana Lfr raggiunge il valore massimo (x~l/2, rei. e); e poichè l'integrale

l 00 =f;n*' dA,

[5.25J

alle estremità

"

f w* dA~R'sf(y0 sen {}-RfJ) A*

per

dfJ~R's [-yo(cos a-cos
(a'-
•


vale (a meno di R's) 0,000615; 0,000232; -0,000442;

O (fig. 5.21), si ottiene Lfr

l'espressione [5.23] del momento può esser scritta (la dimensione fisica di 100 è L 6): d'ff [5.26] M,(Llr)=-E dx' J00 •

(max)~ -2(1 +v) ~,;~9~~!:, ~ ~-0,34

150~. s

0,000615 R's~

kg/cm' (piccola rispetto a i.').

Inoltre il momento torcente interno conseguente alle r variabili nello spessore vale, per la [5.11], M, (i)=GJ,ff,

[5.27]

Capitolo quinto

Travi a parete sottile aperta

e un legame fra i due contributi [5.26], [5.27], di natura elastica, è stato tacitamente introdotto considerandoli generati l'uno direttamente dalla deformata {}, l'altro dalla derivata seconda della stessa {}. In conclusione si deve avere, come indicò Weber (v. bibl.) C5 •12J,

tuno tuttavia notare che, in una sezione in cui si abbia 1J=0, risulta per la [5.27] M,(r)=O, per cui il momento torcente esterno viene realizzato soltanto con tensioni Llr di membrana, in contrasto quindi, nell'intorno della sezione in questione, con I 'ipotesi inizialmente fatta. Concludiamo osservando che, come mostra I'esempio seguente, la presenza di vincoli Che contrastano con efficacia l 'ingobbhnento di una o più sezioni attenua fortemente il valore delle tensioni tangenziali 'i nell'intorno di ogni sezione irrigidita.

118

d'{}

M, (Lh:)+M, (i)=-Elw dx' +GJ,{}=M,;

[5.28]

119

per cui, posto : [5.29]

si ottiene l'equazione (a ha la dimensione fisica dell'inverso di una lunghezza, ossia L-1), d 2 {}

- - - a 2 if=-a 2

dx'

M, -- ,

GJ,

[5.30]

Esempio 5.4. Una trave, a parete sottile aperta, è incastrata a un'estremità ed è soggetta all'altra estremità, impedita di ingobbirsi, a un 'azione torcente Mt (fìg. 5.22). a) Lo stato di deformazione e di sollecitazione è approssimativamente definito dall'equazione differenziale [5.30], della quale un integrale particolare ovviamente è r-z12,~----11i--4

che esprime la deformazione {} della trave per un dato momento torcente e che quindi, per tramite delle formule precedentemente ricavate, consente di calcolare le sollecitazioni e le tensioni. La soluzione dell'equazione [5.30], se si indica con {}P un suo integrale particolare, risulta:

{}={}v+C1 cosh ax+C, senh ax,

con le costanti

e,, e,

[5.31]

• Fig. 5.22

it

I JI Bfil-c)Mt

'---x

#p=MtfGJt. Le costanti C1' C 2, presenti nella soluzione [5.31], sono determinate dalle condizioni che per x= ±l/2 si abbia fr=O, ossia dalle due equazioni, posto a!/2~À,

C1 cosh A-!-C2 senh A= -{}P

da determinare mediante le condizioni ai limiti.

C1 cosh A-C2 senh À=-{}p,

dalle quali,

5.3.4. Trave a parete sottile aperta, soggetta ad azione torcente, con alcune

sezioni impedite di ingobbirsi. Quando una sezione è impedita di ingobbirsi, non può aver luogo, lnngo la sua linea media, alcuna variazione dello spostamento u secondo l'asse_ della trave, quindi, per la [5.14], in essa è nulla anche la rotazione unitaria{}. Il fatto che, qualora si pensasse impedito l'ingobbimento di tntte le sezioni, {} risulterebbe ovunque nulla, per cui la trave soggetta a momento torcente non si deformerebbe, può a prima vista lasciare perplessi. Invece la conclusione appare chiara appena si rifletta che la deformazione{}, essendo univocamente connessa, nella schematizzazione teorica adottata, con l'inR

gobbimento delle sezioni, risulta nulla quando la mobilità della struttura viene limitata con l'ipotesi che l'ingobbimento non sussista.

Lo studio della trave a parete sottile aperta con alcune sezioni impedite d'ingobbirsi può essere effettuato impiegando l'equazione [5.30]. È opporL'espressione [5.26], connessa con Ja presenza di tensioni tangenziali Li-r di membrana ripartite pressochè uniformemente nello spessore, è in contraddizione con l'ipotesi dalla quale essa dipende (rel. 14 e seguenti), che gli scorrimenti, quindi le tensioni tangenziali, siano nulli in corrispondenza della linea media di una generica sezione. Ciò nonostante, i risultati sono in genere attendibili (un errore abbastanza sensibile può essere compiuto nello studio di travi aventi sezioni impedite d'ingobbirsi; par. 5.3.4). ~ <5 ·12l

quindi: coshax). cosh A

Per le formule [5.27], [5.26], [5.17] si ottiene M. "')

"' ~ E

M.(Lh)=M,G

M.

fw

'

(l

J;a'

(1'~al/2,

a'=GJtfEJw):

cosh ax ) ,

[b]

coshÀ

coshax

cosh,\

df} Mta senh ax w*=Ew* dx GJ, cosh À

a=~E-

[a]

M t

coshax coshJ. '

Mtro* aJw

senh ax cosh .lt

[e]

1

[d]

l/2

J M,l ( tgh1') OA·B~2j"!dx= GJ, 1 - - . - ·

[e]

In definitiva lo stato di sollecitazione risulta identico a quello di mezza trave avente un'estremità incastrata e l'altra libera soggetta all'azione Mt, come d'altronde dev'essere per evidente condizione d'antimetria; ·l'avremmo quindi potuto ottenere imponendo per quest'ultima sezione la condizione ai limiti che siano nulle le tensioni normali.

Capitolo quinto

Travi a parete sottile aperta

b) UD caso numerico. Profilato HEA 300 (fig. 5.23), 1~300 cm, v~0,3. Per il calcolo dell'area polare w* l'origine a dell'intervallo di integrazione viene posta nel baricentro G della sezione (C'=O, par. 5.3.2); anche il polo, che dev'essere il centro di taglio, coincide con G. La funzione w* è indicata nella fig. 5.23

e) Per un profilato IPE 300 di uguale lunghezza si ottiene (fra parentesi i valori calcolati per HEA 300): a (max)~ 96, 7 · 10-2M, (22, 7 · 10-2) ,

120

[fw•s·dc~4s,(+

J 00 [relaz. 5.25; par. J, [relaz. 5.11]~

Ll• (max)~3,2 · 10-2M,

~)]:

b:

b'h 2 bh) s1h'b' , (J6 · 3 4 ~-z;r-~1,1998 · 10' cm ,

Ea, · s, 2 ~

3

J, x~al/2~0,661

(1,3 · 10- 3) ,

'i' (rnax)~25,3 · 10-2M, (4,3 · 10-2) ;

5.2c]~4s 1

1

121

3

senh tgh

JCù s1_14 ! i

(5,3),

Ll• (max)/T (max)~0,13 (0,30),

1

(2 · 30 · 1,4'+27,6 · 0,85')~60,53 cm', a=4,405 · 10-3 cm~ 1 ,

19,404. 10-''

'

a (rnax)/r (max)~3,8

x~0,7102,

cosh x~ 1,2265,

x~o,5790.

y

M,l/GJ,

(0,124).

Nella fìg. 5.23c sono indicati i diagrammi delle tensioni Ll7: e a: i segni delle tensioni Lf-,; sono facilmente controllabili dovendo esse riprodurre, completamente o in parte, il momento torcente esterno; determinati i segni delle LI-,;, è facile controllare i segni delle tensioni a (equilibrio dell'elemento 1-2-3-4 della fig. 5.23c), deducibili per altro dal diagramma w* [fig. 5.23b; per la a) iJ' è negativa].

5.4. Sistemi equilibrati di forze longitudinali applicati alle estremità di una trave a parete sottile aperta. Bimomenti e relativi stati di tensione.

IQ)

G~P-a1--~z

a)

OA-n~0,252

a) Nel precedente paragrafo si è visto che l'esistenza di una deformazione 1} variabile lungo l'asse di una trave a parete sottile aperta comporta la presenza di tensioni normali:

X

d{}

<1=-E--w* dx

Fig. 5.23

In mezzeria

(x~O):

M,(T) [relaz.

b]~M,(1- l, 2; 65 )~o,185 M,, M,(Ll•)~0,815

a=O (in accordo con la configurazione antimetrica), i (max)~M,(i) s1 /J,~4,28 · 10-2M, kg/cm' (M, in kgcm).

All'estremità B

(x~l/2):

M,(i)~O

(quindi

i'~O),

Mw*

a (max)=---'---J tgh .1~22,68 · 10-3M,(w* ,,,.,~bh/4) ; a

e che a tali tensioni corrisponde per ogni sezione un sistema di sforzi equilibrato; circostanza, questa, fissata dalle relazioni (par. 5.3.2c):

f w* dA=O,

M,,

ro

[5.17, ripetuta]

'

fw*ydA=O,

f

~l,29

A•

OA-B [relaz. e]~0,124 M,l/GJ,.

· 10-'M,;

dA

[5.32]

Jw* zdA=O,

nelle quali la funzione w* è l'area settoriale calcolata assumendo come polo il centro O di taglio; e i suoi momenti statici w*y, w*z sono da valutare rispetto agli assi principali baricentrici della sezione. Inoltre è facile rendersi conto che se, per una data sez!one, si considerano le tensioni normali <1 (conseguenti alle caratteristiche di sollecitazione N, M,, My) valutate considerando l'elasticità lineare e la conservazione delle

sezioni piane, l'integrale:

il valore massimo della tensione tangenziale di membrana si ha nelle sezioni A, B, e per la [5.22] vale (a'~GJ,/EJ00 ): M, Mt S1b 2 h Ll• (max)=-J w* dA=-J 16 wS1 wS1

<1

[5.33]

risulta nullo: infatti, perio sforzo normale, u=

~,

quindi B=

~

Jw* dA =0,

in virtù della prima delle relazioni [5.32]; e ad esempio per il momento M,,

122

Capitolo quinto

Travi a parete sottile aperta

essendo a=M,y/J,, si ha B= M, fw*y dA=O, nulla anch'essa per la seconda J,

J'

delle stesse relazioni. Diversamente stanno le cose se la tensione a è data dalla [5.17], ossia, come si è ricordato, in assenza di N, M,, My; infatti in tale caso, ricordando la definizione [5.25] di Jm, si ha:

B=-E d{} fw* 2 dA=-E d{} J dxJ~

dx

w'

[5.34]

certamente non nulla, mantenendosi la funzione integranda ru* 2 sempre po-

sitiva. Pertanto l'entità B, alla quale competono le dimensioni fisiche FL 2, gode della proprietà di annullarsi quando esistono le caratteristiche di sollecita-

123

rilevare la correlazione formale tra le relazioni [5.36], [5.35], [5.34] e quelle relative allo stato fiessionale: My dM a=--, dx =T, J A proposito del valore del bimomento può essere opportuno notare anche che, nel caso di carichi longitudinali applicati alla sezione estrema di una trave, la tensione a non è nulla soltanto nelle zone di applicazione delle forze; per cui, nel caso di n carichi addensati su aree molto piccole, l'espressione [5.33] diventa, essendo in corrispondenza dell'intorno ±J di ogni carico P, (in cui si può considerare costante il valore di w*) dA=P,.

J,a

n

B=E P,w,*,

[5.37]

i=l

essendo w,* il valore della funzione w* in corrispondenza del relativo carico P,. p

p

(

(

r

~Mt

/

\

''

''

Fig. 5.25 Fig. 5.24

a)

b}

e)

a)

'' '' '' ''

'

"'\ '' '' b)

'' ''

d)

Così, ad esempio, per la trave avente la sezione a corona circolare aperta zione direttamente produttrici di tensioni normali, e viceversa di potere esi-:

stere quando esse sono nulle; e va da sè quindi che, se per nn dato stato di tensione la relazione [5.33] fornisce un certo valore di B non nullo, oppure B ha un valore assegnato, per le [5.17, 5.34] si ha: [5.35]

In conseguenza della sua genesi, alla quantità B, dipendente dall'azione simultanea di due coppie di senso opposto e agenti su due piani distinti e paralleli (fìg. 5.25), è stata data la denominazione di "himomento ". Ma è opportuno tener presente che con un momento essa nulla ha a che vedere: non per dimensioni fisiche, non per la possibilità di esser calcolata utilizzando condizioni di equilibrio; B è soltanto un'entità analitica di comodo. Inoltre, derivando rispetto a x la [5.34], si ottiene la [5.26], per cui risultando: dB dx =M, (Llr) ,

[5.36]

il bimomento è legato al momento torcente come, nella teoria della flessione semplice, il momento flettente è legato al taglio; ed è interessante

della fig. 5.24a (w*=n R 2 , es. 5.2, con
B=2 Pn R';

[5.37,]

e per la sezione a doppio T della fìg. 5.24b (il diagramma w* è riportato nella fig. 5.23):

d·h

B=4P-2

[5.37,]

o soltanto:

d·h

B=P-2

[5.37,]

nel caso di un solo carico, per il quale ovviamente sono da considerare anche le consuete caratteristiche di sollecitazione. Lo studio dello stato di deformazione per effetto di bimomenti applicati alle sezioni estreme di una trave scaturisce dall'equazione differenziale [5.30], la quale ovviamente in tale caso è omogenea, essendo nullo il momento torcente esterno; per cui la soluzione [5.31] diventa: fJ=C1 cosh ax+c2 senh ax.

[5.31,]

Capitolo quinto

Travi a parete sottile aperta

b) Deformazioni e tensioni si smorzano in genere lentamente per effetto di un bimomento agente su una trave a parete sottile aperta.

e con sezioni a doppio T (avente ali e anima tra loro uguali), a E e a corona circolare tagliata: per avere, ad esempio, soltanto il dimezzamento della e (e delle relative conseguenze), occorre una distanza da1l'estremità caricata pari h h in cifra tonda, in ciascuno dei tre stessi casi, a h · 0,23 - ; h · 0,27 - ; D s s D · 0,55- · Quindi, per una snellezza h/s=D/s=30 (paragonabili ai valori s ricorrenti per i profilati), a distanze pari all'incirca a 7 h; 8 h; 16 D.

124

Pensiamo che una trave a parete sottile aperta, cli lunghezza illimitata, abbia la sezione estrema soggetta a un bimomento B0 • Se si pone l'origine dell'asse x sull'estremità, poichè, per x=co, cosh ax=senh ax e gli effetti si possono considerare estinti (#=0), nell'equazione [5.31 1] si ha C2 =-C1 , quindi (cosh ax-senh ax=e-•"; a 2 =GJ,/EJw), D=C1e-~=(·'U') X=O e-•x '· 0

[5.38) Esempio 5.5.

d# ed essendo B=-E dx Jw, si ottiene, per x=O, B,=-E(-C1 a)J00 , C1 =BJaEJ00

•

125

[5.39)

Da1la formula [5.38] risulta d#/dx= -ae, d 2#/dx 2=a 2 #, pertanto, in base alle relazioni [5.17] [5.22], tutti gli effetti si propagano con lo stesso andamento deUa funzione e. Come vedremo nell'esempio 5.5, il valore del parametro a è tale che, per le sezioni a parete sottile aperta, in genere occorrono notevoli distanze x, molto superiori aUa maggiore delle dimensioni che caratterizzano la sezione, per ottenere sensibili smorzamenti; quindi, scaturendo il bimomento B da un sistema cli forze in equilibrio, per tale tipo di azione esterna le travi aventi sezione a parete sottile aperta possono comportarsi diversamente da quelle con sezione compatta, in relazione al principio di De Saint Venant. Sia l'entità del bimomento conseguente ad assegnate condizioni di carico, sia lo smorzamento dei relativi effetti dipendono fortemente, come vedremo nell'esempio 5.5, dalla forma deUa sezione e dall'esilità dei suoi spessori in relazione aUe altre dimensioni. Nel caso indicato nella fig. 5.25, o in casi analoghi, è facile rendersi conto, come già abbiamo accennato nella premessa, che la propagazione degli effetti di norma può spingersi assai lontano dalla sezione estrema soggetta al disturbo di cui il bimomento fornisce la misura: se le due ali fossero completamente separate l'una dall'altra, evidentemente il momento agente su ciascuna ala si propagherebbe conservando immutato il suo valore. Ma l'anima deve intervenire per mantenere collegate le due parti che tenderebbero a subire crescenti spostamenti relativi, essendo soggette a momenti di segno opposto; e ovviamente il suo intervento è tanto meno efficace quanto meno essa è rigida, ossia quanto più è piccolo il rapporto dello spessore con l'altezza. Inoltre può essere utile notare che la deformazione è simile a quella provocata da un momento torcente; ossia che il bimomento provoca, come Mh una rotazione unitaria {} la quale, penetrando nella trave, porta con sè una scia di tensioni tangenziali dei due tipi (i, Lh)

e cli tensioni normali. Per quanto poi riguarda l'influenza che la forma della sezione può avere su tale fenomeno di forte propagazione degli effetti, può essere utile citare i tre casi che verranno trattati nell'esempio seguente, riguar-

danti travi di grande lunghezza, con bimomento non nullo a un'estremità

Calcolare per alcuni tipi di trave a parete sottile aperta, aventi lunghezza infinita e l'estremità soggetta a un bimomento, l'entità dello smorzamento degli effetti.

Fig. 5.26

a) Sezione metallica, a corona circolare interrotta (fig. 5.26). L'area polare vale, considerando come polo il centro di taglio e l'origine dell'intervallo d'integrazione sull'asse di simmetria (z0 =2R, v. es. 5.2 e fig. 5.13),

w*=R' (2sen
•

2

Jw=2fw* 2 dA=2nR 5s(~ G~E/2

-2),

(con v~0,3),

(1 +v)

a'~GJ,/EJ00 ~0,099394

1 ' 2nR, Jt=3s

s'/R',

a~0,3153

s/R',

Per la [5.38], f>=fr 0 e-1X,'C; quindi la rotazione unitaria f> e le relative conseguenze ad esempio si dimezzano, rispetto ai valori iniziali, alla distanza x dalla sezione estrema per la quale e-«x=0,5, ossia ax=0,693. Sostituendo il valore di a si ottiene

x~2R (0,55

2 :),

[a]

che è notevole per avere soltanto il dimezzamento del disturbo impresso. Secondo

la [a], lo smorzamento è tanto più fievole quanto più è piccolo s/R.

126

Travi a parete sottile aperta

Capitolo quinto

b) Sezione n1etallica a doppio T, di spessore costante.

Le varie quantità si calcolano semplicemente (es. 5.4, fig. 5.23): lw~h'h's/24,

Per

J,~(2b+h)

a'~GJ,/EJ00 •

s'/3,

applicate sulle due facce, avendo come dianzi si è notato senso opposto, si neutralizzano. Di conseguenza l'azione tangenziale unitaria (dc=!) da considerare agente in un punto generico della stessa striscia vale, ricordando la relazione [5.1],

b~h:

d(-r:s)

a~ 3s/h 2

--dx= dx

;

e procedendo come in a) si ottiene che il disturbo impresso ad esempio si dimezza alla distanza: x:;;,h (0,23 h/s). [b]

x~

•

d(TyS,*/J,)

d(r:s)

7:S=t, - - = t '

. SI

dx;

dx dTy

e poichè la sezione e costante e dx

dx

Per un profilato HEA 300 (es. 5.4) si ottiene invece:

127

=

-qY, ponendo, per il tratto dc= I,

ottiene: S*

t'=-~­

[5.41]

J,

157 cm-;:;5,7 h;

[5.40]

e per un IPE 300, x~3,5

?',,,

h.

\

e) Sezione metallica a E con b=h e di spessore costante (fìg. 5.26). Zo

(es. 5.1)

3b's1 6bS1+ hS2

_

w,*~w,*+bh/2~0,2857

Jw~

f

w*'

dA~2s(

i-

h', Fig. 5.27

w,*' ; ) (anima)+2bs [w,*'+(w,*-w,*)'/3+

+w,* (w,*-w,*)] J,~hs'

\

3 h 7 '

(ali)~0,05952

(v. punto b),

h's,

a=2,54 s/h 2

;

e procedendo come in a), il disturbo impresso ad esempio si dimezza per x:;;,h (0,27 h/s).

5.5. Travi a parete sottile aperta: sollecitazioni per le strisce di parete trasversali; l'importanza degli irrigidimenti alle estremità della trave. a) Per una trave di sezione costante soggetta a lID carico unitario qy siano note le caratteristiche di sollecitazione Ty, Mz in una generica sezione, di cui con y e z si indicano al solito gli assi principali baricentrici. Se immaginiamo di isolare una striscia, di larghezza dx (fig. 5.27), sulle due facce che la delimitano debbono essere applicate le tensioni normali e tangenziali poste in evidenza dai tagli clie si pensa di avere praticato; le tensioni ovviamente in:vertono il loro senso passando da una faccia all'altra, e si incre1nentano di una quantità piccolissima pari al loro differenziale. Pertanto la striscia consideratà, che è una struttura piana, si trova in equilibrio sotto l'azione dei correlativi carichi e dei suddetti sforzi interni, dei quali però, per quanto concerne lo stato di sollecitazione piano,· interessano soltanto i differenziali delle tensioni tangenziali, poichè le parti finite

A tale punto per la striscia, che per semplicità può essere considerata di larghezza dx= 1, possono venire calcolati i diagrammi delle sollecitazioni, essendo note tutte le forze agenti su di essa: sono sollecitazioni che agiscono su sezioni aventi la larghezza dx=! e l'altezza pari allo spessore s della parete e che possono avere importanza ad esempio per strutture precompresse longitudinalmente, impiegate per coperture, di tipo analogo a quello indicato nella fig. 5.2. L'espressione dell'azione t', legata a quella delle tensioni "• (par. 5.2), vale nell'ipotesi che si possano considerare piane le sezioni, quindi per travi sufficientemente snelle. È ovvio che la superficie media di traslazione della parete può avere direttrice delle più svariate forme, anche poligonale (fig. 5.2). I lirniti di attendibilità dei valori delle sollecitazioni trasversali forniti dalla [5.41] sono evidenti appena si rifletta, come si è detto, sulle ipotesi che la legittimano; ad esempio per una trave prismatica soggetta a carico qv uniforme il diagramma delle azioni tangenziali t' resta costante lungo l'asse della stessa trave, insensibile quindi alle condizioni di vincolo in cui si trovano le sezioni estreme. b) L'importanza degli irrigidimenti alle estremità (timpani). Se si considera la striscia sugli appoggi in fregio a una delle testate (figura 5.28), per essa si deve tener conto, essendo la faccia 2 esterna, delle

129

Travi a parete sottile aperta

Capitolo quinto

128

azioni tangenziali t=u=TyS,*/J, applicate alla sezione interna I, oltre, s'intende, alle reazioni degli appoggi e ai carichi esterni agenti direttamente sulla striscia stessa. Tale concentrazione di azioni richiede in genere, per strutture di una certa importanza, l'irrigidimento delle sezioni estreme mediante sottili pareti verticali, o ispessimenti del bordo, o anche semplici tiranti (fig. 5.2). S'intende che se la trave è continua sugli appoggi, anche la faccia 2 si trova soggetta a sforzi che aggravano, rispetto al caso di appoggio semplice, lo stato di sollecitazione della striscia interessata dalle reazioni dei vincoli.

b) Carichi q/2 distribuiti lungo i bordi.

Rispetto al caso precedente, il momento dovuto alle azioni ( non si modifica (basta aver presente ]a rei. 5.41, in cui è da porre qy=q), mentre quello dovuto al carico vale (per qJ=O)-

~ R sena; quindi, per a=30°, si ottiene:

m.(
-0,320 qRa~ -0,1676 qR.

e) Può essere utile confrontare, ad esempio per il caso considerato in a), le massime tensioni per mrp (che agisce nel piano z-y) e M,,, (applicato alla sezione della trave), assumendo a=30° (c 0 =R), l=6c 0 , c0 =35 s (fig. 5.27) e considerando il materiale omogeneo, poichè interessa soltanto l'ordine di grandezza delle tensioni,

Iii (m,) I ~6m,/s'~ 10 q/s,

m, (max)~-0,0455 qc,,

M, (max)~ql'/8,

a,~M,ym.xfJ,~M,

· 0,088904 R/0,0016818

R's~ 238

q/s.

Fig. 5.28

Esempio 5.6.

Una trave a parete sottile aperta, appoggiata alle estremità, ha la sezione ad arco circolare ed è sottoposta a un carico distribuito uniformemente sulla superficie (fig. 5.29b) e a carichi q/2 applicati lungo i bordi rettilinei (fig. 5.29d).

A

a) Pressione uniforme. Con i simbo1i indicati nella figura si ha: Jz=R 3s (a+sen a cos a-2 sen 2 afa), sen_

(cos a-l)l+

a 2 +a sena cos a-2sen 2 a

m,(
con buona approssimazione si ha (per 15°:s;::a:s:;:35°):

-0,09 qRa ;

m, è indicato nella fig. 5.29c.

d)

·

qR;

5.6. Bibliografia.

per a=20°, m,(
Fig. 5.29

Pertanto, per le travi snelle soggette a condizioni di carico correnti, le tensioni normali per le strisce trasversali hanno valori molto minori di quello massimo in direzione longitudinale; tuttavia esse possono ugualmente interessare quando la trave sia precompressa soltanto longitudinalmente.

Per a=30° si ottiene:

il diagramma di

e)

~q/2

(1-cos a) (1-sen a/a)+0,5 sen' a-0,5 a sena ]

m,(
j_


>

il momento unitario mrp massimo dovuto, nella sezione di mezzaria (rp=O), al carico e all'azione tangenziale t' vale:

+ [2pR'a'

-i ~-o,09qaR

a

2aR;

m.(
'P

qR;

L'esistenza di azioni torcenti causate da carichi non passanti per il centro di taglio venne sperimentalmente rilevata nella memoria di C. BACH, " Versuche iiber die tatstichliche Widerstandsftihigkeit von Balken init E fOrmigem Querschnitt ", Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure, vo1. LIII, 1909, p. 1790; Bach nelle sue esperienze scelse con accortezza profilati aventi sezione a [, particolarmente idonea per inettere in luce l'esistenza della torsione anche quando il piano di sollecitazione è baricentrico, e, assegnando posizioni variabili alla retta d'azione del ca9 -

POZZATI,

TTM1.

Capitolo quinto

Travi a parete sottile aperta

rico, individuò sperimentalmente quella che non dava luogo a rotazione per torsione. Il problema fu per la prima volta risolto in un caso part!colare (trave con sezione semicircolare) da S. P. TIMOSHENKO, «Use of Stress Funct1on to Study Flexure and Torsion of Prismatic Bars » (in russo), Politecnico di St. Petersburg, 1913 (si trova notizia di ciò nella bibliografia del volume di S. P. TIMOSHENKO-!. M. GERE, Mechanics of Materials, Van Nostrand, New ~ork, 1_972).. La so~uz1one g_enerale "."e?TI-e chiaramente illustrata da R. MAILLART 1n vari suoi lavori, apparsi sulla r1v1sta Schweizerische Bauzeitung, dei quali in particolare ri~ordiamo <1 Zur Frage der Biegung », voi. LXXVII, 1921, p. 195 e 'Der Schubm1ttelpunkt », voi. LXXXIII, 1924, p. 109, p. 176: fu Maillart a proporre, tra l'altro, l'appropriata denommaz1one di «centro di taglio 1>. Interessanti osservazioni si trovano in una breve nota cnttca (riportata sotto forma di una lettera alla riv~sta) di A. EGGENSCH~YLER, Schwe~zeri­ sche Bauzeitung, vol. LXXVI, 1920, p. 206; s1 veda anche, a proposito della tor~1one, i chiari capitoli XII, p. 219, di H. PARKUS, Mechanik der festen_ Kiirper, ~pr1nger, Wien, 1966 (2a ed.), e p. 200, di W. FLUGGE, Festigkeitslehre, Spnnger, Berhn, 1967. Della posizione del centro di taglio trattano anche i lavori: W. L. ScHWALBE, «-Ober den Schubmittelpunkt in einem durch eine Einzellast gebogenen Balken l>, z.eit: schrift filr Angewandte Mathematik und Mechanik, voi. XV, 1935, p. 138 (sez10m di forma qualunque, non aventi una dimensione piccola rispetto alle altre; le equazioni differenziali esprimenti i legami di equilibrio tra le tensioni e di congruenza interna tra dilatazioni e scorrimenti, sono risolte con l'introduzione di due funzioni delle tensioni); E. TREFFTZ, «O-ber den Schubmittelpunkt in einem durch eine Einzellast gebogenen Balken », lbid., voi. XV, 1935, p. 220. . La torsione d~. profilati aventi sezione qualunque venne accuratamente studiata da C. WEBER, ' Ubertragung des Drehmornentes in Balken mit doppelflanschigem Querschnitt », Zeitschrift fiir Angewandte Mathematik und Mechanik, val. VI, 1926, p. 85 (dello stesso Autore 'Biegung und Schub in geraden Balken », Ibid., voi. IV, 1924, p. 334): nel primo dei due lavori cit~ti (1926, p. 93) si trova ricavata, ;;er trave soggetta a momento torcente var1ab1le, 1 equazione differenziale [5.30] (lì -r: 2&= = -a 2 MtfGJt) esprimente la suddivisione dell'azione torcente nelle du~ parti realizzate con tensioni tangenziali di membrana o ad andamento intrecciato, determinando le conseguenti tensioni normali a (la presenza e la possibile importanza di queste per profilati a doppio T era stata già rilevata da S. TIMOSHENKO~ Z~itschr. far Mathematik und Physik, 1910, p. 361); nel par. 3 della stessa memona Sl. trova rilevata, sostanzialmente impiegando il teor~ma d~l lavoro mutuo, _la co.1nc1~enza (in assenza di sforzo normale) del centro d1 tors1one col centro d1 taglio; In un esempio numerico l'esperienza di Bach è verificata con ottima concordan~a. P~r la correlazione tra centro di taglio e di torsione, impiegando il teorema d1 Betti, si veda: J. MANDEL, « Détermination du centre de torsion à l'aide du théorème de réciprocité », Anna/es des Ponts et Chaussées, voi. CXVIII, 1948, p. 271. Per il bimomento si veda BESCHKINE, «Théorie de la torsion flexion des poutres prismatiques », Anna/es de l'Jnstitut technique du Bdtiment et des Travaux_ Pub/ics, 1947. . . V. Z. VLAsov ha contribuito notevolmente alla soluzione e alla semphficaztone di numerosi problemi riguardanti le lastr~ sottili e. in partic?l.are l~ ~!avi a .parete' sottile aperta. Per queste da tempo era chiaro che v1 sono casi in cui 1 1ngobbnnento delle sezioni acquista grande importanza. yiassov ut!lizzò l'ip?tesi. della .«conservazione della forma del contorno » della sezione, con 11 vantaggio dt far dipendere lo stato di sollecitazione dalla sola deformazione unitaria {} e introdusse il concetto di «area settoriale»; è evidente che l'ipotesi dianzi citata è meno restrittiva di quella della conservazione delle sezioni piane. Per la determinazione del centro di tagli? O, !:impiego delle ?efinizioni rigua:danti l'area s~tto!iale conse~te qualc?e se~phfica~1one dei calcoli rrnpetto al procedimento, tuttaVIa di gran~e ev1de1?za fisica, di deter~t~are il punto O (secondo Timoshenko e Maillart) come 1ntersez1one delle rette d azione degli sforzi tangenziali conseguenti a due azioni taglianti che conviene fare agire

secondo le direzioni principali; inoltre col procedimento di Vlasov il centro di taglio scaturisce come proprietà intrinseca della sezione. L'introduzione del concetto di « area settoriale » e della quantità J w ad essa correlata ha consentito a Vlasov di calcolare, tra l'altro, gli stati di sollecitazione e di deformazione conseguenti a sistemi di carico equilibrati connessi con l'esistenza di quella particolare entità ana~ litica, indice dell'effetto d)ngobbimento e di penetrazione all'interno della trave, chiamata « bimomento ». E evidente che a un'impostazione così fatta dello studio delle travi a parete sottile aperta sono state dischiuse le porte a ·una trattazione, in parallelo a quella sviluppata con l'ipotesi della conservazione delle sezioni piane, di molti problemi delle travi a parete sottile aperta. A tali problemi Vlasov dedicò un nutrito numero di lavori, pubblicati a partire dal 1936 sino al 1949 circa. I risultati più significativi si trovano raccolti nel suo volume (del quale la 1a ed. in russo apparve nel 1940, la 2• ed. nel 1958) V. Z. VLASOV, Thin-walled Elastic Beams, tradotto dal russo, Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, 1961. Inoltre sono di particolare interesse i seguenti lavori: H. WAGNER, « Verdrehung und Knickung von offenen Profilen », Festschrift 25 Jahre T. Hochschule (Danzic), 1929. - H. WAGNER und W. PRESCHER, « Verdrehung und Knickung van offenen Profilen », Lufthartforschung, 1934, p. 174 (l'ipotesi adottata è analoga a quella del contorno indeformabile estesamente introdotta nel 1936 da Vlassov). - F. BLEICH und H. BLEICH, « Biegung, Drillung und Knickung van Sta.ben aus diinnen Wanden », Vorbericht Zweiter Kongress Internationale Vereinigung /tir Briickenbau und Hochbau (Berlin), ottobre 1936. - A. R. RzHANITSYN, « Combined Resistance of Thin-walled Profiles with Inflexibible Contour at and Beyond the Elastic Limit », Trudy Laboratorii stroitel'noi mekhaniki, 1941; dello stesso Autore, «The Stability of Thin-walled Beams Beyond the Elastic Limit », Ibid., 1949. - H. N. lIILL, 'Torsion of Flaged Members with Cross Sections Restrained against Warping », National Advisory Committee /or Aeronautics, Technical Note, n. 888, 1943. - T. von KARMAN e CH:rusTENSEN, «Methods of Analysis far Torsion with Variable Twist», Journal of the Aeronautica! Sciences, vol. XI, 1944. - S. TIMOSHENKO, « Theory of Bending, Torsion and Buckling of Thin-walled Members of Open Cross Section », Journal of the Franklin Institute, voi. CCXXXIX, 1945, p. 201 e seguenti. - W. J. DuNCAN, «The Flexural Centre or Centre of Shear l>, Journal of the Royal Aeronautica! Society, voi. LVII, 1953, p. 594. - M. CAPURSO, ' Sul calcolo delle travi di parete sottile in presenza di forze e distorsioni (5 note), La Ricerca scientifica, anno 34 (II-A), vol. VI, 1964, pp. 213-286, voi. VII, pp. 5-106 (accurata trattazione generale dell'equilibrio elastico delle travi di parete sottile soggette a carichi e ad ~zioni distorcenti); dello stesso Autore, Lezioni di Scienza delle costruzioni, Pitagora, Bologna, 1971, cap. VII-7. - V. FRANCIOSI, «Le travi a sezione sottile», Rendiconti del Corso di Perfezionamento per le costruzioni in c. a., Tamburini, Milano, 1965. - A. MIGLIACCI, «Sul problema della torsione di travi continue con sezione aperta di piccol~ spessore», Rivista di Ingegneria, ottobre 1965. - H. PARKUS, E. TuNGL, « Der E1nfluss van Eigenspannungen auf die Torsion diinnwandiger offener Profile » [monografia riportata a p. 135 del voi. H. GREGG, W. PELIKAN, F. REINITZHUBER, Stahbau und Baustatik aktue/le Prableme (in onore di Beer e Sattler), Springer, Wien, 1965]. A. PmLLIPS, «The Shear Center in Creep of Beams of Thin-walled Open Cross Sections l> (contributo riportato a p. 65 degli Atti del Congresso, tenuto nell'Università di Stanford, California, Creep in Structures, editi da N. J, HoFF, Springer, Berlin, 1962). - J. L. NowINSKI, «Theory of Thin-walled Bars », Applied Mechanics Surveys, ed. Abramson et al., Spartan Books, Washington, 1966, p. 325 (la questione del centro di taglio inquadrata nella trattazione generale di travi soggette a flessione e torsione). - S. DEI Pou-G. RAMPI, «Viscoelastic Stress Analysis by Finite Strip Method », Costruzioni in cemento armato, Corso di perfezionamento Fondaz. Pesenti, ed. Tamburini, Milano, 1974, p. 271 (si trovano trattati esempi di travi a parete sottile aperta). - F. MOLA, «Sul problema della flesso-torsione in fase viscosa

130

I

131

132

Capitolo quinto

lineare di travi in parete sottile a sezione aperta l>, Ist. Scienza e Tecnica delle costruzioni, Polit. di Milano, Nota tecnica n. 21, gennaio 1974. Magistrali capitoli sono contenuti nelle seguenti opere: V. FEODOSYEV, Strength of Materials, Mir Publishers, Moscow, 1968, cap. Xl. - S. TIMOSHENKo-J. 1':f· GERE, op. cit., cap. VIII. - J. CouRBON, Résistance des matériaux, Dunod, Fans, 1971,

voi. Il, cap. X. Per quanto riguarda il calcolo delle sollecitazioni trasversali, il procedimento «a trave l>, che consente di dedurle dando per buone le tensioni O'z, Txy dedotte dal1'ipotesi della conservazione delle sezioni piane, fu suggerito da U. FINSTERWALDER, « Die Theorie der zylindrischen SchalengewOlbe System Zeiss-Dywidag und i~re Anwendung auf die Crossmarkthalle in Budapest )>, Intern. Assoc. Bridge and Struct. Engineering, 1932, p. 127. Si veda in proposito H. LUNDGREN, Cylindrical Shells, Danish Technical Press, Copenhagen, 1951 (2a ediz.).

CAPITOLO

VI

LA TRAVE SU APPOGGI ELASTICI INFINITAMENTE VICINI

6.1. Osservazioni introduttive. Equazione della liuea elastica e sua integrazione. a) Frequentemente si presenta la necessità di conoscere il comportamento di una trave soggetta a vincoli elastici distribuiti, che applicano in ogni punto dell'asse una reazione proporzionale allo spostamento trasversale. Reazione che può essere effettivamente continua, come, ad esempio, per le travi di fondazione, schematizzando approssimativamente il terreno alla stregua di una distesa di molle elastiche indipendenti tra loro e vicinissime; ma che può anche agire in punti distanziati ed esser pensata invece diffusa, come può supporsi nello studio di certi reticoli di travi. Si comprende quindi che, per la possibilità di riportare innumerevoli problemi pratici al comportamento della trave su appoggi infinitamente ravvicinati, le soluzioni e i procedimenti sen1p1ificativi sono stati numerosi, per cui ci dovremo limitare a trattare l'argomento nelle sue linee di maggior rilievo per i casi che più interessano le applicazioni. La natura del sostegno continuo che vincola la trave, o come usualmente si dice del « suolo elastico alla Winkler », in ricordo di chi diede le prime soluzioni (v. bibl.), è caratterizzata dal «modulo del suolo» k, ossia dalla pressione che si deve applicare al « suolo » per avere lo spostamento v= l in direzione normale all'asse della trave. Per cui le dimensioni fisiche di k sono FL- 3 , e k si misura per esempio, in kg/cm3 ; e, se indichiamo con b la larghezza della sezione della trave in corrispondenza del lembo a contatto col mezzo vincolante, la reazione su un tratto lungo 1, se lo spostan1ento è v, vale r=-kbv=-{Jv, con senso opposto a quello di v; e al parametro:

competono le dimensioni fisiche di una pressione (FL- 2). Quindi se la trave è prismatica, e se si trascurano le eventuali azioni radenti (parallele all'asse) applicate dal suolo, l'equazione della linea elastica, con le note ipotesi, vale (fig. 6.1): d4 v EJ - d • =q-{Jv , X

[6.1]

Capitolo sesto

134

Travi su suolo elastico

e ponendo: (/3=kb)

[6.2]

la rotazione

(a è l'inverso di una lunghezza),

135

M=-EJv'',

T=-EJv'",

r=-f3v,

(6.6]

nelle quali le derivate hanno le seguenti espressioni:

vrv +4a'v=q/EJ.

[6.3]

La sua soluzione è data dalla somma di un integrale particolare, che tiene conto dell'eventuale carico q, e dell'integrale generale dell'equazione resa omogenea (q=O), col quale si prescrivono le condizioni di vincolo per le

v'=a[(-A+B)e-•' cosax+(-A-B)e-= sen ax+(C+D) e= cos ax+ +(-C+D) e= senax],

v"=2a 2 [-B e-r%C cos ax+A e-oci; sen ax+D era cos ax-C ea.x senax],

[6.7]

v"'=2a3[(A+B) e-"' cos ax+(-A+B) e-"' sen ax+ +(-C+D) e"' cos ax+(-C-D) e= sen ax];

per cui risultano simili le espressioni della v e delle sue derivate; ognuna delle quali, nota la prima, può essere immediatamente ricavata, per similitudine, dalla precedente.

Fig. 6.1

sezioni estreme. Formulando la [6.3], si pensa inoltre il «suolo» in grado di reagire indipendentemente dal senso dello spostamento e con il medesimo modnlo.

Con notazione matriciale (cap. 1) la scrittura risulta molto semplice: infatti posto: H~[A,

B, C, D],

b) Integrali particolari. Se il carico esterno applicato lungo la trave varia

con la legge q=cxn, con

n~ 3,

un integrale particolare della [6.1] risulta: v=cxn/{3,

[6.4]

come facilmente si verifica constatando che esso rende soddisfatta la stessa equazione [6.1]; per cui, essendo r=-f3v=-cxn=-q, il carico si riversa immutato sul suolo, il quale si deforma come se la trave non esistesse. Se n=O (carico uniforme) o n=l (carico variabile linearmente), la trave è per di più inerte (M= -EJv" =0), e il carico q ha come unica conseguenza quella di caricare il suolo. Se n=2, la superficie caricata s'incurva, e allora per la trave, costretta a seguirla, risulta costante il momento flettente; se n=3, è costante lo sforzo di taglio; ma sia il primo (n=2), sia il secondo stato di sollecitazione possono sussistere senza che la trave riceva alcuna azione esterna ripartita (q, 0 " =q-f3v= -T' =0). e) L'integrale generale.

Può essere scritto in due forme che, pur essendo del tutto equivalenti, conviene riportare entrambe per qualche vantaggio di ordine applicativo. Una prima espressione è: v=Ae-•x cos ax+Be-= sen ax+ce= cos ax+De"' sen ax,

[6.5]

e le costanti A, B, C, D, sono da determinare con le condizioni ai limiti della trave (due per ogni sezione estrema). Ottenuta la linea elastica v, si deducono

X=

l

J

e-"" cos ax e-a.x sen ax ea.x cos ax ' ea.x sen ax

o -1 o l-1 u~ g -1o 1 o 1

-rl

si ha: v=HX,

v'=HUX,

v'''=HU 3X,

[6.8]

[6.9]

ed è facile verificare l'uguaglianza delle [6.7] e delle [6.9]. L'integrale generale può essere espresso anche nella seguente seconda forma, comoda perchè pone in evidenza le funzioni che hanno carattere di simmetria (le prime due) e di antimetria:

v=A cosh ax cos ax+B senh ax sen ax+C senh ax cos ax+ +D cosh ax sen ax;

[6.10]

e le derivate, ricavabili, come si è detto, a catena, valgono:

v'=a [(C+D) cosh ax cos ax+(-C+D) senh ax sen ax+ +(A+B) senh ax cos ax+(-A+B) cosh ax sen ax],

v =2a 2 [B cosh ax cos ax-A senh ax sen ax+ +D senh ax cos ax-C cosh ax sen ax], 11

[6.11]

v"'=2a3 [(-C+D) cosh ax cos ax+(-C-D) senh ax sen ax+ +(-A+B) senh ax cos ax+(-A-B) cosh ax sen ax]. Inoltre, come per la precedente espressione, risulta sintetica la scrittura matriciale.

Travi su suolo elastico

Capitolo sesto

136

6.2. La trave di luughezza illimitata. La soluzione particolarmente semplice di tale caso è di prammatica, essendo utile non soltanto perchè per suo mezzo può essere studiata la trave di lunghezza finita (par. 6.3), ma anche per le indicazioni che da essa si traggono e per il fatto che in alcuni casi il valore della lunghezza può risultare trascurabile sullo stato di sollecitazione. Consideriamo la trave illimitata soltanto da una parte, soggetta a un carico P 0 o a una coppia Mo (q=O; fig. 6.2), applicati nella sezione iniziale; nel punto in cui agiscono le azioni esterne viene posta l'origine degli assi coordinati. Dovendo annullarsi la v e la v' per x=oo, è chiaro che nell'espressione [6.5] dell'integrale generale debbono essere nulli quei termini che, per la presenza della funzione e"",

137

Pertanto un qualunque effetto provocato da una forza e da una coppia in corrispondenza di una generica sezione (che ovviamente può essere anche quella dove agiscono P 0 e M,) pressochè si annulla spostandosi della lunghezza d'onda À; ossia al di là di À ogni effetto è praticamente smorzato e la trave resta inerte, per cui non ha importanza il fatto che essa prosegua, sia vincolata o cambi forma. In definitiva, se la lunghezza è maggiore di À la trave si comporta in pratica come se fosse illimitata; e il tratto attivo, sede di sollecitazioni e movimenti, è evidentemente tanto minore, come indica la [6.13], quanto più è elevato il parametro {!/El ossia, come d'altronde è ovvio, quanto più è rigido il mezzo vincolante ed è deformabile la trave. Che poi in tale tratto l'andamento della v (quindi di ogni altra conseguenza) sia oscillatorio, appare chiaro appena si rifletta che, per una trave illimitata da una }c-,- .. 2n"a.A.4

T \fosax l1

' '8(x)

>jet:x'r\\, __ /

Fig. 6.2

risultano invece crescenti con x; deve quindi aversi C=D=O, mentre le costanti A, B sono da determinare mediante le condizioni ai limiti in corrispondenza della sezione caricata. Pertanto sia la linea elastica v, sia le derivate successive, come risulta dalle relazioni [6.7], sono funzioni del tipo: [6.12] quindi funzioni oscillatorie smorzate, derivando il primo attributo dalla · presenza della f(x), e il secondo dall'intervento della funzione e-""=l/e"", che per l'appunto tende a zero aumentando x indefinitamente. Il valore della funzione trigonometrica f(x) in un generico punto evidentemente si ripete incrementando l'argomento di 2n, quindi incrementando l'ascissa x di un intervallo Llx=À, tale che a(x+À)=ax+2n; da cui si ottiene la lunghezza: À= 2n =2n1'/ 4EJ , a V f!

[6.13]

che viene detta «lunghezza d'onda». È interessante anche notare che se F(x) è il valore della nostra funzione in un generico punto x, alla distanza (x+À) si ha, per la [6.12], F(x+À)=e-•Cx+'>f(x+À)=e-•Cx+>lj(x)=r"' e-•"f(x)= =e-•'F(x)c;;F(x)/535,

essendo, per la [6.13], e-•'=e-'"c;; 1/535.

[6.14]

a) /

/+

!~

1

>{ax'r

\

/ \,_/ Fig. 6,3

sola parte, sottoposta a P, e a M 00 l'equilibrio tra la reazione del suolo (r=f!v) e le azioni esterne evidentemente non sussisterebbe se lo smorzamento della v avvenisse con legge assintotica. Quindi, come per altro mostrano le relazioni [6.5], [6.7], nell'espressione analitica di ogni effetto delle azioni P00 M, figura sempre una delle funzioni:

1J{x)=e-ccv cos ax'

'f(X)=r"" sen ax,

s(x)=il(x)+'P(x),

d(x)=il(x)-'P(X),

[6.15]

per le quali la variabile x è da assumere sempre col suo valore assoluto, anche quando vengono calcolate per ascisse negative. Di tali funzioni, vari valori sono elencati nella tab. 6.1, al termine del presente capitolo; il loro andamento è qualitativamente riportato nella figura 6.3, con l'indicazione in tratteggio di quello che si avrebbe per la presenza delle sole componenti oscillatorie, non tenendo conto cioè della funzione esponenziale e-a.l:. Nelle seguenti formule, la cui validità è legata all'ipotesi che la reazione del suolo agisca nei due sensi, il primo segno vale per la trave a destra del1'origine degli assi, il secondo per quella a sinistra; sono inoltre assunti positivi gli spostamenti verso il basso e le rotazioni destrogire.

Capitolo sesto

Travi su suolo elastico

a) Trave illimitata da uua sola parte, sottoposta al carico P, in x=O (fig. 6.2): 2a + 2a' v==i=P, ff(x),
d) Trave illimitata da entrambe le parti, sottoposta alla coppia M, in x=O (fig. 6.4): a' a' V= ±M, T '/)(X) ,
138

T

73

P,

M=±-'P(x), a per x=O:

T=:j=P, d(x);

2a 2a 2 v==i=P, T'
T

T

M==!=M,s(x),

T

per x=O:

b) Trave illimitata da una sola parte, sottoposta alla coppia M, in x=O (fig. 6.2): 2a 2 • 4a3 cp=±M, ff(x), v==M, d(x), [6.17] T==f2M,a'/)(x) ;

M,a T=---.

v=O,

2

e) Trave illimitata da entrambe le parti, con un tratto caricato uniformemente (fig. 6.4b). Un carico elementare q · dx, applicato alla distanza x da un generico punto X (distante a, b dagli estremi del tratto caricato), provoca in X lo spostamento dv e il momento flettente dM forniti dalla prima e dalla terza delle relazioni [6.18] in cui si ponga P,=q ·dx; integrando quindi da O ad a e da O a b si ottiene, in un generico punto del tratto caricato,

v=

per x=O:

~ [2-ff(a)-ff(b)] ,

essendo ad esempio, per le [6.15], e) Trave illimitata da entrambe le parti, sottoposta al carico P, in x=O (fig. 6.4a).

139

[6.20] ff(a)=e-~

cos aa.

6.3. La trave di lunghezza finita. 6.3.1. Condizioni di carico che non inflettono la trave. In seguito a quanto è stato notato a proposito degli integrali particolari dell'equazione indefinita di equilibrio (par. 6.lb), per la trave sottoposta a un generico carico trapezoidale (fig. 6.5) le sollecitazioni sono nulle, essendo

~~, Se ne ottiene la soluzione pensando di praticare un taglio in O (x=O) e considerando mezza trave con le relative condizioni ai limiti. Risulta quindi:

+

a

v= +P,

/3 2

+

P,

s(x) ,

M=+~d(x),

per x=O:


a'

73 'J'(X),

P,

T==J=- ff(x) ; 2

[6.18]

Fig. 6.5

i----

l

----4

la reazione del terreno uguale e opposta al carico <6 •1l. Quindi lo spostamento in un generico punto risulta: q v=p' essendo q=q,+(q2 -q1 ) x/l e f3=kb. 61 C • > Una trave illimitata, soggetta a un carico variabile linearmente, è inerte; pertanto nulla accade se pensiamo di isolare, mediante tagli, un suo tratto.

Travi su suolo elastico

Capitolo sesto

140

6.3.2. Soluzioni per la trave considerata indeformabile. Il diagramma delle reazioni kv del suolo evidentemente coincide con quello delle tensioni di una sezione rettangolare, avente i lati lungi /, b, premuta eccentricamente secondo la direzione del lato I maggiore; per cui, calcolata la reazione del suolo, facilmente possono essere calcolati i diagrammi delle sollecitazioni. Consideriamo, a titolo di esempio, il caso della trave soggetta ad azioni esterne applicate ad una delle sezioni estreme.

avendo indicato con 'J!,, s,, d, i valori delle funzioni [6.15] '/!(x), s(x), d(x) per x=l. Determinati M 0 ' , P 0 ' si ottengono quindi le sollecitazioni e i movimenti in qualunque sezione; ad esempio, per il caso simmetrico:

P' 0

M(x)=-- ['/!(x)+'f!(x')J+M,' [s(x)+s(x')], a v(x)=P/

!"--·-- l

ie


4P,

(~-~') .

J . .

[d(x)+d(x')].

J)M, ;,,

so;;vas;~Jyw,: Fig. 6.8

Fig. 6.7

[6.21] Riportiamo i valori delle azioni T 0 ' , M 0 1 , per alcune condizioni di carico, essendo, lo ripetiamo,

Due carichi simmetrici P, (fig. 6.7): [6.22]

2

M=P,l (-~ +e),

6.3.3. La trave deformabile sottoposta a forze e a coppie sulle sezioni estreme. a) Gli effetti provocati da forze e coppie applicate alle estremità di una

trave possono venire determinati semplicemente sovrapponendo le due soluzioni relative alla stessa trave A-B considerata di lunghezza indefinita da A verso destra in un primo caso,· e da B verso sinistra in un secondo, con le estremità A, B sottoposte a una forza e a un momento flettente aventi valore tale da rendere soddisfatte le condizioni ai limiti prescritte C6 · 2l. Così, ad esem-. pio, per due carichi simmetrici P, (fig. 6.7), sovrapponendo gli effetti dei due casi b), e) e impiegando per ciascuno di essi le relazioni [6.16], [6.17], le condizioni relative al taglio e al momento risultano: -P,' +(P,' d,+M/ 2mp,)=-P,,

T

[b]

~=x/l).

2P, fiv,=--1-'

fiv,=-1-,

[D(x)+D(x')]-M,'

SWV;,&;,1 1

"' MM

12M,

T

2a 2

!<--- x•--->j

At(~w

~=x/l).

2a

--~

M,(l'?' ;_ -'a) Coppia M 0 applicata a un'estremità (fig. 6.6,

141

M/+(M,'s,-P/'J!,/a)=O,

[a]

2 {B. ) In genere viene invece assunta, come configurazione principale, la trave illimitata nei due sensi (si veda, ad esempio, l'art. di H. BLEICH, cit. nella bibl., e l'op. di I<. BEYER, p. 144). La trave illimitata in un solo senso è una configurazione di solito più prossima a quella reale, ed è quindi preferibile.

l+s, P/=P, (1-d,) (l+s,)-2% 2

P' M'=-'-~. 0 a

1 +s0

[6.23]

'

due carichi antimetrici P, (fig. 6.8): 1-s P,'=P, (l+d,)(l-;,)-2% 2

P' / O 'lfJo • M o=-~ 1-so'

[6.24]

due coppie simmetriche M, (fig. 6.7): 1-d

M,'=M,

(1-d,)(l+~)-2%''

2tpo ' M' P o= o a l-d ;

[6.25]

'

due coppie antimetriche M, (fig. 6.8): M' 2% , P o=o a I+do •

[6.26]

Ovviamente gli effetti di una forza o di una coppia applicata a una sola estremità (fig. 6.9) si possono ottenere scomponendo tali azioni esterne in un'azione simmetrica e in una antimetrica. ,

142

Capitolo sesto

b) Gli effetti provocati da coppie e forze simmetriche o antimetriche possono venire calcolati anche impiegando l'espressione [6.10] dell'integrale generale. Consideriamo, ad esempio, la trave soggetta a due carichi simmetrici (fig. 6.10): le costanti C, D debbono esser nulle, perchè il terzo e il quarto termine dell'integrale citato (quindi della linea elastica) acquistano valori uguali ma di segno contrario in sezioni simmetriche. Le condizioni ai limiti

sono:

per cui, utilizzando le relazioni [6.11], si ottiene, posto al/2=y, cosh y cos y senhy seny

senhy seny senh 2y+sen 2y

A=B-~--­

noti tali valori, utilizzando ancora le stesse [6.10], [6.11], si ottiene qualunque effetto (r=v', M=-EJv", T=-EJv"'). Le espressioni si trovano riportate in numerosi testi <6• 3),

l;tx~

~(A"'~"':&'-"i!"'="'W-"i>"'k"%&"""'k"'Y"""'"'0"B .,_--I--~

Fig. 6.9

Fig. 6.10

e) Diagrammi dei momenti flettenti e delle pressioni. Nelle figure 6.11, 6.12 sono riportati alcuni diagrammi che forniscono, in funzione di al, i momenti flettenti in varie sezioni della trave per effetto di un carico P 0 e di una coppia M 0 applicati ad una sezione estrema. I valori

1--,-!'.x_lff

7,0

sono raccolti nelle tabelle 6.2 e 6.3, riportate al termine del presente capitolo. Diagrammi e tabelle forniscono i momenti per al variabile da O a 6. Ma per al<0,8 i valori dei momenti sono pochissimo diversi da quelli relativi alla trave immaginata indeformabile (relaz. 21, 22); mentre per a/>6 i momenti uel tratto sensibilmente sollecitato possono essere calcolati considerando la trave di lunghezza illimitata (la lunghezza 1=6/a è poco diversa dalla lunghezza d'onda A=2n/a). Nelle tabelle 6.4, 6.5 sono elencati i valori delle pressioni in varie sezioni, provocate dalle forze P,, M, applicate ad uno degli estremi della trave.

Si vedano, ad esempio, le opere, citate nella bibliografia, di K.

(vol. 1°

Ww~WJsv/hYA%

~-

M_µ,Af,, -i--,_

,.._

0,8

l_l1;J ~

0,6

',

xl4t/s

ì+-

0,4

;x_d/a , I ~~

Fig. 6.12

I-'--

al

I

'·

i'-1'-

1-

,X-7/fs ' I

,_e-.

I 2

', "i---

'"'~ I">

I I °' r---,

-,__ t-

',

''

,x~~i/s

0,2

0,0 _0,05

'-, '

'

BEYER

r-·r-

I I

Anche i movimenti delle sezioni estreme di una trave A-B per effetto di una forza P, e di una coppia M, applicate in A possono facilmente essere

p. 143), M. HETENYr, P. PozzATI.

-~

X 2/{s

d) Diagrammi dei coefficienti elastici.

<5.sJ

!"'-X --j 1tfsro M(o1234s·s1a 0

11

',

''

'

3

' 'e--

'" '

"

'

'

"'-i---

e-,_

I'-, ,__ 4

·-~ ~

i'-

5

e- t 6

2,8

144

Capitolo sesto

SEZIONE A

2p

calcolati come è stato dimostrato nei precedenti punti a), b): i valori, riportati nelle figg. 6.13, 6.14 e nella tab. 6.6, che si trova al termine del presente capitolo, sono dati dalle espressioni (positivi gli spostamenti verso il basso e le rotazioni destrorse): movin1enti della sezione A: 2P0 a 2P 0 a Vap=-{J- (senhal cosha1-senalcosal): D=C, -{!-,

p'

" ,.________ l ________,.

2,4

2.2 I

I\

" "r-.c;

'\

1,4

1,2

..

-~

_·

~

16

e' con buona approssimazione lzlleare ~

~

18

2.0


-

e valgono le espressioni per l== C3 C2 t -

r--_

-----

14

12

i==

per al< 0,8 la reazione del terreno

-:::::::~

--;-~C

1,0

2,2

2f3

2(3

2#

3,0

3,2

3,4

Fig. 6.13

[6.28]

, 2Moa2 Vbm=-C2 (3 ' (cosa/ senh al+sen al cosh al): D=-C3 '

'lzm=~f,o

p

Ì'-

"' " e,

t

0,8

4M a 3

2Moa'!

-i----···-

2P a' 2P a'
'Pbm=---t-


a_ -

'\: i'--

al

1,0

2P,a 2P,a v,v=--{J- (sen al cosh a/-cos al senhal): D=-C1 ' -{!-,

p'

-

~

movinienti della sezione B:

,rr

" ""G? JJ;J -----

'Pam



,\' 1,6

~1...i

Vip=~fo

2

[6.27]

1"•

'kp~c, 21~ 'lzm~C

\

1,8

T;

M0~t° A

I

A'

\

4Ma3

p

R

Moi;f

2,0

2P a' 2P a 2 'Pap=---j- (senh 2 al+sen 2 a1): D=-C,

(senhal cosh al+sen al cos al): D=-C3

-

4,0

SEZIONE B

-

4M,a 3

f3

f--'-

3,6

M0~~

-1_,,

E

,

con:

3,2

2/3

2


\

vbm =-c;2M,p /µ

\

\ '\.

'-

\

',\

I"\.

~ e2

---~

\'--- C'3

6.3.4. La trave di lunghezza finita caricata in modo generico. ad una serie di carichi concentrati, si può pensarla in una prima fase caricata ma di lunghezza illimitata, ed è allora semplice determinare lo stato

f]!bm=-C;4Moafµ

~

\

2,0

1,2 ~ ~

\

al

----

tQC' ""'I"" C'1

'

10 -


2

2,4

1==

vbp-{fl _-2Po

\I

1,6

a) Data la trave di lunghezza finita della fig. 6.15, soggetta per esempio

'

l

vbp =-c;21;5 a/µ

D=senh 2 a/-sen 2 al.

La tabella 6.6 e i diagrammi delle figure 6.13, 6.14 forniscono i valori dei coefficienti correttivi e,, e,, e, delle quantità 2a/{J, 2a 2/{J, 4a3/{J, che sono i coefficienti elastici relativi alla sezione iniziale A quando la trave ha la lunghezza illimitata (par. 6.2): per al> 3 tali coefficienti valgono all'incirca 1 per la sezione A e O per la sezione B, per cui la trave si comporta in pratica come se fosse illimitata; per al< 0,8 i coefficienti elastici sono dati con buona approssimazione dalle formule [6.21, 6.22] relative alla trave considerata indeformabile.

1~111v~r. l0

0

.

1,0

POZZATI,

11-1.

I

--1,4

.

i--- r-t-

1,8 Fig. 6.14

~

2,2

2,6

3,0

3,4

3,8

Capitolo sesto

146

Travi su suolo elastico

di sollecitazione e di deformazione, e in particolare gli sforzi di taglio r., Tb e i momenti flettenti Ma, Mb in corrispondenza delle sezioni estreme A, B (par. 6.2). Essendo però tali sezioni in realtà libere, occorre annullare in esse le sollecitazioni trovate, ossia considerare la trave A-B isolata sottoposta, in corrispondenza delle sezioni estreme, alle azioni Ta, Ma, Tb, Mb, con segno

r.. f.

ponendo gli effetti dei due carichi; ad esempio nella mezzeria, per k=2(al=3), si

ottiene

(P,/a~37,59

~, \Pi

(~ &

.i11;,(

Fig. 6.15

tm)

M(mezz.)~-2

· 0,2091 · 37,59~-15,72 tm.

In modo analogo possono venire facilmente calcolate le pressioni; ad esempio, alle estremità e nella mezzeria della trave si ottiene, utilizzando la tab. 6.4 (k=2, a/~3):

p(x~O)~(l,007-0,113) P,2a/b~0,317

AJP,,,,0 !avlB

~1)J ! ' ~ r. 1r.

147

p(x~l/2)~2

t1ì

· 0,0163 P,2a/b~0,012

kg/cm', kg/cm'

(considerando la trave indeformabile si sarebbe ottenuto p~2P,/bl~0,118 kg/cm').

~i)M[ ~ ç) bl1b .. ,,,;,;.•.,,, .,,,)Mb

Esempio 6.2• Per la trave su suolo elastico dell'esempio precedente, però con /=8 m (al= =0,266 · 8';;;,.2,1), risolvere i casi indicati nella fig. 6.17.

M,

M,

opposto a quello risultato nella prima fase: lo studio della trave A-B isolata è semplice utilizzando il procedimento e i diagrammi illustrati nel par. 6.3.3c (o le tabelle riportate al termine del presente capitolo).

G:@_bh&dYAY~ A

a)

B

b) Per condizioni di carico complesse, possono essere vantaggiosamente utilizzate le serie trigonometriche (cap. X, es. 10.3): nel caso della trave libera da vincoli alle estremità, si può pensarla in una prima fase del calcolo appoggiata; e occorre poi al solito annullare le reazioni degli appoggi immaginari. Il calcolo può essere eseguito vantaggiosamente utilizzando anche le linee di influenza (v. bibl.).

Esempio 6.1. Calcolare il diagramma dei momenti e delle pressioni per la trave su suolo elasticq

della fig. 6.16. I dati sono: 1~11,3 m, k~2

kg/cm', a'~300/

a~2,66

a) Trave con le estremità soggette a due coppie simmetriche Ma=-Mb=10 tm

J~750

/3~kb~300

kg/cm',

(4 · 2 · 10' · 750 · 10

· 10-3 cm-1 =0,266 m- 1

b~l50cm,

dm',

,

4

)~50

E~2

5

· 10 kg/cm',

· 10- cm- 4 , 15

a/';;;,.3,0,

(fig. 6.17a).

·

Dovendo essere nullo lo spostamento delle sezioni estreme, dalla tab. 6.6 si ottiene (-1,0965+0,4499) M,2a'f/3+ (1,1084-0,3634) V2a/f3~0, V~0,8681 Maa, quindi, sovrapponendo gli effetti dei momenti Ma e delle reazioni V, dalla stessa tabella risulta, ad esempio,



V2a 2//3~

· 10-•).

b) Trave con le estremità soggette a due coppie antimetriche Ma=Mb=10 tm

(fig. 6.17b). Fig. 6.16

o

Divisa la trave in 8 tratti, la tab. 6.2 (al termine del cap.) o i diagrammi della fig. 6.11 forniscono i valori riportati nella fig. 6.16 per k~2 e k~lO kg/cm', sovrap-

Procedendo come in a) si ottiene, ad esempio, V=l,051 Ma/a,
poggiata.

Travi su suolo elastico

Capitolo sesto

148

Utilizzando .le due soluzioni ricavate nei precedenti punti a), b) (coppie simmetriche e antimetriche) si ricava %~(168,4+85,5) · IQ-'/2~ 126,8 · 10-•,
149

Fig. 6.18

d) Trave con un'estremità soggetta a una coppia e con l'altra estremità incastrata (fig. 6.17c). Per quanto è stato ricavato nel punto e) si ottiene, dalla condizione che sia nulla la rotazione della sezione B, e tralasciando il fattore 1o~a,

-41,6·Ma+126,8 M0 ~0, M0 ~0,328 Ma, (senza il suolo elastico M1;=0,5 Ma); quindi, sovrapponendo gli effetti di Ma, Mb, 'Po~ 113,2 · 10-• M 0 (senza il suolo, 133,3). e) Le estremità della stessa trave si spostano relativamente di V=0,1 cm senza ruotare (fig. 6.17d). Le azioni incognite P 0 , M 0 sono determinate dalle condizioni ai limiti qJ1;=0, v1;=ii. Utilizzando la tab. 6.6, dalla prima condizione si ricava M 0 =0,6711 P 0 /a; poi, sovrapponendo gli effetti, P,~1,1521 µii/a, quindi M,~0,773 Pv/a'~32,8 tm (senza il suolo, M,~6EJv/l'~l4,l tm).

/) Trave di lunghezza illimitata soggetta a carichi concentrati P equidistanti (fig. 6.17e). Si può procedere in due modi diversi. Sovrapponendo gli effetti dei vari carichi concentrati e utilizzando quindi le formule [6.18] e la tab. 6.1, si ottiene ad esempio, nelle sezioni A in corrispondenza dei carichi, p

M0 ~4a [1+2d(ax~2,1)+2d(ax~4,2)+ ...]~

p

~-;;r,;-(1-2

· 0,1675+2 · 0,0057+2 · 0,0018)~0,1700 P/a,

Pa

v 0 ~2jf [1+2s(ax~2,1)+2s(ax~4,2)+ ... J~l,0507

40

tm

a) Prima fase (soluzione particolare): trave illimitata.

Dalle relazioni [6.18] si ha, ad esempio, (v. fig. 6.15) 1

essendo x la distanza di ciascun carico dalla sezione A [vari valori delle funzioni' d(ax), fJ(ax) sono riportati nella tab. 6.1]. Quindi, poichè risulta: (per x~l m, canco P,) ax;;;:0,27, d(ax)~0,5327, fJ(ax)~0,7358; (per x~7 m, carico PJ ax~l,86, d(ax)~-0,1929, fJ(ax)~~0,0443; (per x~13 m, carico P,) ax~3,46, d(ax)~-0,0201, fJ(ax)~ -0,0299, Sl ottiene

Pa/2P.

Si può considerare anche una campata A-A isolata, con le estremità soggette alle azioni P/2, Ma: il momento Ma è determinato dalla condizione che la rotazione delle sezioni A risultino nulle; e tale condizione viene scritta facilmente utilizzando la tab. 6.6.

Ma

q/µ-1,0507 Pa/2p~o, (senza il suolo,

P~l,9036 q/a,

M0 ~ql'/12~0,0833

Ma~0,17 P/a~0,0734 ql',

ql').

Esempio 6.3. .·La trave d) fondazione della fig. 6.18, avente la complessiva lunghezza di 14 m, è- soggetta ai carichi P 1 =70 t, P 2 =95 t, P 3 =70 t; i dati per la sezione e per il terreno sono quelli della trave dell'esempio 6.1, ossia k=2 kg/cm3 , a=0,266 m-1, P~kb~300 kg/cm'. Calcolare il diagramma dei momenti seguendo il procedimento del par. 6.3.4.

4

1 . o, (70 · 0,5327-95 · 0,1929- 70 · 0,0201)~ 16,5 tn\ , 266 1

P.~-z(70

· 0,7358-95 · 0,0443-70 · 0,0299)~22,6 t.

Procedendo in modo analogo,

g) Trave incastrata e caricata uniformemente (fig. 6.17/). La soluzione è ottenuta facilmente utilizzando i risultati del precedente punto/),

ossia imponendo per la trave di lunghezza illimitata (soggetta a un carico uniformemente distribuito sull'intera lunghezza e alla serie dei carichi concentrati inco'gniti P) che le sezioni A non si spostino. Così operando si ottiene (lo spostamento del solo carico uniforme vale q/p)

3

I: P,d(ax), 4a k=l

M.~-

M,~61,1

M 1 =44,3 tm,

tm.

b) Seconda fase (soluzione complementare): trave di lunghezza finita con le estremità soggette ai carichi Pa=Pb=22,6 t (verso il basso) e ai momenti Ma= ~M,~ -16,5 tm (tese le fibre superiori). Per a~0,266 m-', risulta al~0,266 · 14~3,72;:;: 3,8, P0 /a~22,6/0 266~85 tm; quindi, divisa la trave in 8 tronchi, dalle tabelle 6,2, 6,3 si ricava ' X

µ(Pa) µ(Po) µ(tot.) M(P0 ) µ(M.) (tot.) M(Ma)

o o o o o 1 -16,5

1/8

21/8

31/8

41/8

0,2843 0,0038 0,2881 -24,5

0,3143 0,0228 0,3371 -28,6

0,2379 0,0673 0,3052 -25,9

0,1423 0,1423 0,2486 -24,2

0,8294 -13,9

0,5265 -8,7

0,2877 -4,7

0,2004. -3,3

Fattore P0 /a~85

tm

» »

tm M.~-16,5

tm

tm

150

Capitolo sesto

Travi su suolo elastico

Tracciati i due diagrammi dei momenti relativi alle due fasi del calcolo, si ottiene il diagramma definitivo (fig. 6.18). In tratteggio è riportato il diagramma dei momenti supponendo la trave indeformabile (reazione del suolo lineare). In modo analogo può venire calcolato il di~gramma delle pressioni.

gramma dei momenti comprendente (se si considera nulla la reazione del terreno) una parte costante, dovuta alle eccentricità degli ancoraggi (supposte uguali alle estremità), e una parte M(prec.) variabile lungo l'asse. Quest'ultima può essere espressa con una serie di seni: se l'andamento è ad esempio parabolico, con ordinata massima M 0 , si può scrivere (cap. X) 32 M 0 1 nnx M(prec.)~--;a--f ll'sen--, (11~!, 3, 5, ...) [a] 1

Esempio 6.4. Il reticolo della fig. 6.19 è costituito da un elevato numero di travi appoggiate parallele tra loro,_ collegate da una nervatura longitudinale; nel nodo C è applicato un carico concentrato, avente direzione normale al piano del reticolo. a) Qualunque sia la condizione di carico agente sulla trave trasversale A-B, lo studio del reticolo può essere sempre riportato al carico concentrato i_n C: basta infatti considerare in una prima fase un appoggio ausiliario in C e calcolare la sua reazione P 0 , poi applicare questa cambiata di segno. Un siffatto reticolo può schematizzare, ad esempio, i vari tra1-'i+i->1< i 'i vetti portanti di un solaio con un cordolo di col_________ 4 _____ _ legamento centrale; oppure, nell'impalcato di un ponte, la serie dei traversi appoggiati su due travi principali e collegati da un longherone. e l Si considerano le travi trasversali tutte uguali (con la sezione di momento d'inerzia Jt) e sufficientemente accostate per poter ritenere continuo il -='=='========
1

l

P~F,/i~4SEJtfil'.

Il calcolo è allora immediato utilizzando le formule [6.18]: per esempio, il momento :flettente massimo (x=O) per la nervatura longitudinale risulta M=P0 /4a, essendo a4 ={3/4EJ; e il carico che si riversa sulla trave A-B trasversale vale Pt= =!'max. i=/3Vmax. i=Poai/2, essendo Dmax=Poa/2{3. Una precisazione può essere opportuna a proposito delle condizioni che legittimano la schematizzazione adottata: poichè si debbono considerare, come si è visto, le forze F 1 ripartite uniformemente sui vari tratti i, questi debbono poter essere ritenuti rigidi, per cui (par. 6.3.3c) aiS:::0,8; inoltre la lunghezza L deve risultare non sensibilmente inferiore alla lunghezza d'onda A=2n/a, per poter considerare illimitata la nervatura. b) Se le travi trasversali sono continue e le loro estremità si possono considerare incastrate, si ha /3=192EJtfil 3 , quindi, a parità di dimensioni, ainc.=V2 aapp. (smorzamento più rapido). Esempio 6.5. Trave su suolo elastico precompressa, libera alle estremità. a) La presenza della reazione del terreno annulla in parte gli effetti della ..P!ecompressione. Consideriamo la trave (o il suo tratto precompresso pensatd d1v_1so dalle parti restanti) provvisoriamente appoggiata alle estremità e sogget_ta al- ~ia-

151

o anche, arrestando lo sviluppo al primo termine per la forte convergenza della serie, nx M(prec.);;;:M,sen-- · [b] 1

Gli effetti provocati dalle due coppie estreme si determinano facilmente, impiegando i diagrammi dati precedentemente (par. 6.3.3c). Il diagramma [b] dei momenti suscita ulteriori reazioni del terreno e sia v~vsennx/l [e] la linea elastica; il momento complessivo M, dovuto per una parte a1la precompressione [b] e per una parte (M,) alla relativa reazione r del suolo (r~ -Pv~ ~-Pvsennx/l), vale (essendo M,"~Pv): M~(M,-fivl'/n') sen nx/1. [d] Dovendo poi essere v"~-M/EJ, utilizzando le [e], [d] e posto

PI' + n'EJ ,

y~ 1

[e]

si ottiene [j]

in definitiva, dalla [d], M, M=-- sen nx/1. y

[g]

La reazione di ciascun appoggio fittizio risulta

I

l

1 R~T

fi

Pv dx~ n'y

M,1' EJ ,

[h]

rivolta verso il basso se M 0 è positivo. Occorre infine eliminare le reazioni R, ossia applicarle alle estremità della trave cambiate di segno (e si possono utilizzare i soliti diagrammi). b) A titolo indicativo per la trave dell'esempio 6.1 si ha, dalla [e],

y=l+300 · 11,3' · 10 8/(n 4 • 2 · 10 8 • 0,75 · 10 7 )~4,348; e per M,~ 10 tm e per la [h], 300 10". 11,3'. 10 6 2141 R "' · 4,348 2 · 10 5 • 0,75 · 10' kg (rivolte verso il basso). Di conseguenza, applicate le reazioni R rivolte verso l'alto e utilizzando la tab. 6.2 (a/;;;:3,0), il momento totale nella mezzaria (x~l/2) vale: M, R 10 2,141 M(rnezz.J~y-+-;;- µ~ , 4 348 + 0, 266 2 · 0,2201~2,30+3,54~5,84 tm; la reazione del terreno provoca una riduzione del momento di precompressione pari a circa il 42%.

TABELLA 6.1. Valori delle funzioni l}(x), tp(x), s(x), d(x).

ax

l}(x)

o 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

1 0,95004 0,90031 0,85105 0,80241 0,75459

0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

tp(x)

o

s(x)

d(x)

0,04754 0,09033 0,12862 0,16265 0,19267

1 0,99758 0,99064 0,97967 0,96506 0,94726

1 0,90250 0,80998 0,72243 0,63976 0,56192

0,70773 0,66196 0,61742 0,57415 0,53228

0,21893 0,24164 0,26104 0,27734 0,29078

0,92666 0,90360 0,87846 0,85149 0,82306

0,48880 0,42032 0,35638 0,29681 0,24150

0,55 0,60 0,65 0,70 0,75

0,49186 0,45296 0,41559 0,37981 . 0,34562

0,30157 0,30988 0,31594 0,31990 0,32198

0,79343 0,76284 0,73153 0,69971 0,66760

0,19029 0,14308 0,09965 0,05991 . 0,02364

n/4 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

0,32240 0,31305 0,28208 0,25272 0,22496 0,19878

0,32240 0,32233 0,32111 0,31848 0,31458 0,30956

0,64479 0,63538 0,60319 0,57120 0,53954 0,50834

0,00000 -0,00928 -0,03903 -0,06576 -0,08962 -0,11078

1,05 1,10 1,15 1,20 1,25

0,17412 0,15099 0,12934 0,10913 0,09034

0,30354 : 0,29666 0,28901 0,28072 0,27189

0,47766 0,44765 0,41835 0,38985 0,36223

-0,12942 -0,14567 --0,15967 -0,17159 -0,18155

1,30 1,35 1,40 1,45 1,50

0,07290 0,05677 0,04191 0,02827 0,01578

0,26260 0,25295 0,24301 0,23286 0,22257

0,33550 0,30972 0,28492 0,26113 0,23835

-0,18970 -0,19618 -0,20110 -0,20459 -0,20679

1,55 1,60 1,65 1,70 1,75

0,00441 0,00000 -0,00590 -0,01519 -0,02354 -0,03097

0,21220 0,20788 0,20181 0,19145 0,18116 0,17099

0,21661 0,20788 0,19591 0,17626 0,15762 0,14002

-0,20779 -0,20788 -0,20771 -0,20664 -0,20470 -0,20196

1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

-0,03756 -0,04333 -0,04835 -0,05267 -0,05632

0,16099 . 0,15115 0,14153 0,13215 0,12306

0,12343 0,10782 0,09318 0,07948 0,06674

-0,19855 -0,19361 -0,18988 -0,18482 -0,17938

2,10 2,20 2,30

-0,06182 -0,06521 -0,06680 -0,06702 -0,06689 -0,06576

0,10570 0,08958 0,07476 0,06702 0,06128 0,04913

0,04388 0,02437 0,00796 0,00000 -0,00561 -0,01663

-0,16752 -0,15479 --0,14156 -0,13404 -0,12817 -0,11489

n/2

3n/4 2,40 2,50

TABELLA 6.1 (segue). Valori delle funzioni l}(x), tp(x), s(x), d(x). l}(x) ax tp(x) s(x)

-

d(x)

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0

-0,06576 -0,06364 -0,06076 -0,05730 -0,05343 -0,04929

0,04913 0,03829 0,02872 0,02037 0,01316 0,00703

-0,01663 -0,02535 -0,03204 -0,03693 -0,04027 -0,04226

-0,11489 -0,10193 -0,08945 -0,07767 -0,06659 -0,05632

3,1 3,3 3,4 3,5

-0,04501 -0,04321 -0,04069 -0,03642 -0,03227 -0,02828

0.00187 0,00000 -0,00238 -0,00582 -0,00853 -0,01059

-0,04314 -0,04321 -0,04307 -0,04224 -0,04080 -0,03887

-0,04688 -0,04321 -0,03831 -0,03060 -0,02374 -0,01769

3,6 3,7 3,8 3,9 4,0

-0,02450 -0,02097 -0,01769 -0,01469 -0,01197

-0,01209 -0,01310 -0,01369 -0,01392 -0,01386

-0,03659 -0,03407 -0,03138 -0,02861 -0,02583

-0,01241 -0,00787 -0,00400 -0,00077 0,00189

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5

-0,00953 -·0,00735 -0,00544 -0,00377 -0,00234

-0,01356 -0,01307 -0,01243 -0,01168 -0,01086

-0,02309 -0,02042 -0,01787 -0,01545 -0,01320

0,00403 0,00572 0,00699 0,00791 0,00852

4,6 4,7 3n/2 4,8 4,9 5,0

-0,00113 -0,00011 0,00000 0,00072 0,00139 0,00191

-0,00999 -0,00909 -0,00898 -0,00820 -0,00732 -0,00646

-0,01112 -0,00921 -0,00898 -0,00748 -0,00593 -0,00455

0,00886 0,00898 0,00898 0,00892 0,00871 0,00837

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5

0,00230 0,00258 0,00277 0,00287 0,00290

-0,00564 -0,00487 -0,00415 -0,00349 -0,00288

-0,00334 -0,00229 -0,00138 -0,00062 0,00002

0,00794 0,00745 0,00692 0,00636 0,00578

5,6 5,7 5,8 5,9 6,0

0,00287 0,00279 0,00268 0,00254 0,00238

-0,00233 -0,00184 -0,00141 -0,00102 -0,00069

0,00054 0,00095 0,00127 0,00152 0,00169

0,00520 0,00463 0,00409 0,00356 0,00307

6,1 6,2 2n 6,3 6,4 6,5

0,00221 0,00202 0,00187 0,00184 0,00165 0,00147

-0,00041 -0,00017 0,00000 0,00003 0,00019 0,00032

0,00180 0,00185 0,00187 0,00187 0,00184 0,00179

0,00262 0,00219 0,00187 0,00181 0,00146 0,00115

" 3,2

.

TABELLA

6.2. Trave di lunghezza finita su suolo elastico (Winkler) - Momenti per P 0

(fig. 6.11) - Valori dei coefficienti µ(M~-µP,/a). ·-·

TABELLA

6.3. Trave di lunghezza finita su suolo elastico (Winkler) - Momenti per lt-'10

(fig. 6.12) - Valori dei coefficienti

-

µ(M~µM,). x~61/8

x~71/8

x~l/8

x~21/8

x~31/8

0,0082

0,0

0,9570

0,8437

0,6836

0,5000

0,3164

0,1562

0,0430

0,0373

0,0109

0,6

0,9569

0,8433

0,6830

0,4993

0,3159

0,1559

0,0429

0,0870

0,0463

0,0135

0,8

0,9565

0,8424

0,6816

0,4979

0,3147

0,1552

0,0426

0,1472

0,1032

0,0548

0,0160

1,0

0,9558

0,8405

0,6787

0,4948

0,3122

0,1537

0,0422

0,1997

0,1691

0,1181

0,0626

0,0182

1,2

0,9546

0,8370

0,6736

0,4894

0,3077

0,1511

0,0413

0,2183

0,2241

0,1888

0,1312

0,0693

0,0201

1,4

0,9526

0,8313

0,6653

0,4806

0,3005

0,1468

0,0400

0,1682

0,2413

0,2457

0,2053

0,1418

0,0744

0,0214

1,6

0,9495

0,8229

0,6531

0,4676

0,2899

0,1405

0,0380

0,1848

0,2620

0,2637

0,2180

0,1491

0,0776

0,0222

1,8

0,9452

0,8113

0,6361

0,4496

0,2753

0,1319

0,0353

2,0 2,2

0,2003

0,2798

0,2774

0,2261

0,1526

0,0786

0,0223

2,0

0,9397

0,7959

0,6138

0,4262

0,2564

0,1208

0,0318

0,2148

0,2943

0,2864

0,2291

0,1519

0,0770

0,0215

2,2

0,9326

0,7767

0,5863

0,3975

0,2332

0,1072

0,0276

2,4 2,6

0,2280

0,3056

0,2904

0,2270

0,1472

0,0731

0,0201

2,4

0,9241

0,7539

0,5537

0,3638

0,2064

0,0916

0,0228

0,2400

0,3135

0,2898

0,2201

0,1388

0,0671

0,0180

2,6

0,9143

0,7278

0,5171

0,3264

0,1768

0,0746

0,0175

2,8

0,2508

0,3184

0,2850

0,2091

0,1272

0,0593

0,0154

2,8

0,9033

0,6991

0,4774

0,2865

0,1458

0,0569

0,0121

3,0 3,2

0,2606

0,3204

0,2766

0,1948

0,1134

0,0505

0,0125

3,0

0,8913

0,6684

0,4360

0,2458

0,1148

0,0396

0,0069

3,4

0,2693

0,3202

0,2655

0,1784

0,0983

0,0411

0,0095

3,2

0,8786

0,6366

0,3941

0,2057

0,0850

0,0233

0,0022

0,2772

0,3180

0,2523

0,1606

0,0827

0,0317

0,0065

3,4

0,8653

0,6043

0,3528

0,1675

0,0576

0,0088

-0,0020

3,6 3,8

0,2843

0,3143

0,2379

0,1423

0,0673

0,0228

0,0038

3,6

0,8515

0,5718

0,3129

0,1321

0,0334

-0,0034

-0,0053

0,2907

0,3093

0,2226

0,1243

0,0529

0,0147

0,0014

3,8

0,8373

0,5397

0,2751

0,1002

0,0126

-0,0132

-0,0079

4,0

0,3014

0,2963

0,1913

0,0906

0,0280

0,0018

-0,0022

4,0

0,8229

0,5082

0,2397

0,0720

-0,0043

-0,0206

-0,0096

4,4

0,3098

0,2804

0,1607

0,0618

0,0095

-0,0064

-0,0041

4,4

0,7932

0,4472

0,1765

0,0269

-0,0275

-0,0284

-0,0107

4,8

0,3159

0,2624

0,1319

0,0385

-0,0028

-0,0103

-0,0045

4,8

0,7627

0,3895

0,1233

-0,0046

-0,0387

-0,0291

-0,0096

5,2 5,6

0,3199

0,2429

0,1056

0,0204

-0,0099

-0,0111

-0,0040

5,2

0,7315

0,3353

0,0794

-0,0250

-0,0413

-0,0253

-0,0074

6,0

0,3220

0,2225

0,0819

0,0070

-0,0132

-0,0100

-0,0031

5,6

0,6997

0,2849

0,0439

-0,0368

-0,0384

-0,0194

-0,0048

6,0

0,6676

0,2384

0,0158

-0,0422

-0,0327

-0,0133

-0,0025

x~61/8

x~l/8

x~21/8

x~31/8

x~41/8

0,6

0,0574

0,0843

0,0878

0,0749

0,0527

0,0281

0,8

0,0765

0,1122

0,1169

0,0996

0,0700

1,0

0,0955

0,1400

0,1455

0,1239

1,2

0,1143

0,1671

0,1733

1,4

0,1328

0,1934

1,6

0,1508

1,8

x~71/8

x~41/8

x~51/8

al

x~5l/8

al

--

6.4. Trave di lunghezza finita su suolo elastico (Winkler) - Pressioni per P 0 (jig. 6.9.) - Valori dei coefficienti n[p~n(P,2a/b)]. -

TABELLA

x=O x=l/8 X=2/j8 al - - --- - - -2,510 2,236 2,019 1,843 1,699 1,580 1,480 1,395 1,325 1,265 1,215 1,173 1,138 1,108 1,084 1,049 1,027 1,014 1,007 1,003 1,001 1,001 1,001 1,001 1,001 1,001 1,001 1,000 1,000

0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0

2,035 1,810 1,631 1,486 1,365 1,264 1,178 1,104 1,041 0,9859 0,9378 0,8956 0,8586 0,8258 0,7967 0,7477 0,7078 0,6746 0,6459 0,6203 0,5968 0,5745 0,5531 0,5323 0,5119 0,4919 0,4723 0,4531 0,4342

1,561 1,387 1,247 1,132 1,036 0,9547 0,8844 0,8230 0,7688 0,7204 0,6769 0,6375 0,6015 0,5684 0,5378 0,4827 0,4341 0,3908 0,3515 0,3158 0,2829 0,2525 0,2242 0,1979 0,1733 0,1504 0,1289 0,1088 0,0901

x~31/8

x~41/8

x=5l/8

x=6l/8

x=7l/8

x=l

1,089 0,9660 0,8666 0,7842 0,7147 0,6548 0,6023 0,5556 0,5136 0,4753 0,4400 0,4071 0,3764 0,3475 0,3201 0,2693 0,2234 0,1818 0,1444 0,1110 0,0816 0,0557 0,0333 0,0139 -0,0026 -0,0167 -0,0286 -0,0385 -0,0466

0,6202 0,5488 0,4907 0,4422 0,4007 0,3645 0,3322 0,3030 0,2761 0,2510 0,2275 0,2051 0,1838 0,1634 0,1437 0,1068 0,0731 0,0428 0,0163 -0,0062 -0,0247 -0,0395 -0,0508 -0,0590 -0,0644 -0,0676 -0,0688 -0,0685 -0,0670

0,1530 0,1342 0,1187 0,1053 0,0933 0,0825 0,0724 0,0627 0,0535 0,0444 0,0356 0,0268 0,0181 0,0096 0,0013 -0,0147 -0,0294 -0,0423 -0,0529 -0,0610 -0,0664 -0,0693 -0,0699 -0,0686 -0,0657 -0,0616 -0,0567 -0,0512 -0,0455

-0,3128 -0,2782 -0,2506 -0,2281 -0.2094 -0,1936 -0,1802 -0,1686 -0,1586 -0,1498 -0,1420 -0,1350 -0,1288 -0,1232 -0,1181 -0,1089 -0,1008 -0,0933 -0,0861 -0,0790 -0,0719 -0,0647 -0,0575 -0,0504 -0,0435 -0,0369 -0,0307 -0,0249 -0,0197

-0,7779 -0,6897 -0,6185 -0.5595 -0,5096 -0,4666 -0,4289 -0,3953 -0,3650 -0,3374 -0,3119 -0,2881 -0,2659 -0,2450 -0,2253 -0,1889 -0,1564 -0,1274 -0,1021 -0,0802 -0,0617 -0,0464 -0,0339 -0,0239 -0,0160 -0,0100 -0,0054 -0,0021 0,0002

-1,243 -1,101 -0,9858 -0,8903 -0,8091 -0,7386 -0,6764 -0,6205 -0,5697 -0,5229 -0,4793 -0,4385 -0,3999 -0,3634 -0,3288 -0,2646 -0,2071 -0,1565 -0,1130 -0,0767 -0,0475 -0,0248 -0,0079 0,0038 0,0114 0,0158 0,0177 0,0178 0,0167

6.5. Trave di lunghezza finita su suolo elastico (Winkler) - Pressioni per M 0 (fig. 6.9) - Valori dei coefficienti n[p~n(M,2a'/b)].

TABELLA

-

al x=O --

x=l/8

x=2l/8

x=3l/8

x=4l/8

x=5l/8

x~61/8

X=7//8

x=l

4,754 3,788 3,104 2,605 2,232 1,949 1,731 1,562 1,430 1,327 1,246 1,183 1,134 1,097 1,068 1,031 1,012 1,003 1,000 1,000 1,001 1,001 1,002 1,002 1,001 1,001 1,001 1,001 1,000

3,533 2,800 2,277 1,892 1,601 1,377 1,200 1,059 0,9451 0,8521 0,7754 0,7115 0,6579 0,6124 0,5735 0,5105 0,4612 0,4206 0,3854 0,3534 0,3235 0,2950 0,2675 0,2409 0,2152 0,1903 0,1662 0,1431 0,1210

2,331 1,836 1,480 1,215 1,013 0,8538 0,7262 0,6220 0,5353 0,4622 0,3997 0,3,456 0,2982 0,2563 0,2190 0,1550 0,1019 0,0570 0,0184 -0,0151 -0,0445 -0,0704 -0,0933 -0,1136 -0,1314 -0,1470 -0,1605 -0,1721 -0,1818

1,145 0,8924 0,7087 0,5700 0,4618 0,3749 0,3033 0,2429 0,1911 0,1459 0,1058 0,0699 0,0376 0,0082 -0,0185 -0,0652 -0,1040 -0,1356 -0,1607 -0,1799 -0,1939 -0,2035 -0,2092 -0,2118 -0,2117 -0,2094 -0,2054 -0,1998 -0,1930

-0,0265 -0,0335 -0,0413 -0,0497 -0,0589 -0,0687 -0,0790 -0,0898 -0,1009 -0,1123 -0,1237 -0,1351 -0,1463 -0,1571 -0,1673 -0,1857 -0,2004 -0,2106 -0,2162 -0,2171 -0,2138 -0,2071 -0,1975 -0,1858 -0,1727 -0,1588 -0,1445 -0,1303 -0,1163

-1,189 -0,9469 -0,7759 -0,6510 -0,5577 -0,4867 -0,4319 -0,3891 -0,3555 -0,3289 -0,3076 -0,2906 -0,2767 -0,2653 -0,2557 -0,2402 -0,2270 -0,2144 -0,2011 -0,1866 -0,1709 -0,1543 -0,1372 -0,1200 -0,1032 -0,0871 -0,0721 -0,0584 -0,0461

-2,344 -1,852 -1,501 -1,240 -1,042 -0,8884 -0,7662 -0,6675 -0,5867 -0,5197 -0,4634 -0,4157 -0,3747 -0,3393 -0,3083 -0,2568 -0,2155 -0,1813 -0,1524 -0,1273 -0,1053 -0,0859 -0,0688 -0,0537 ...c-0,0406 -0,0293 -0,0198 -0,0119 -0,0055

-3,497 -2,754 -2,220 -1,824 -1,520 -1,282 -1,091 -0,9355 -0,8064 -0,6979

-4,648 -3,654 -2,939 -2,405 -1,996 -1,673 -1,413 -'- l,200 -1,023 -0,8722 -0,7434 -0,6321 -0,5351 -0,4500 -0,3751 -0,2510 -0,1549

- -- -

0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0

~0,6055

-0,5261 -0,4572 -0,3970 -0,3441 -0,2563 -0,1874 -0,1335 ~0,0819 -0,0915 -0,0281 -0,0594 0,0095 0,0341 -0,0354 0,0484 -0,0178 0,0548 -0,0052 0,0033 0,0555 0,0523 0,0088 0,0467 . 0,0121 0,0399 0,0137 0,0142 0,0328 0,0258 0,0138

Travi su suolo elastico

157

6.6. Trave di lunghezza finita su suolo elastico (Winkler), soggetta alle azioni P 0 , M 0 - Movimenti delle sezioni estreme (jig. 6.13; 6.14).

TABELLA

2

e 1/,m=2p' 2Ma

V

-

c'2Moa2

bm-- ,__,---,

al

Chavl

C,'(v,p)

C,(rap)

C,'('P,p)

C.C'Paml

C,'('P,ml

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0

3,3374 2,8636 2,5597 2,2360 2,0189 1,8432 1,6991 1,5795 1,4795 1,3954 1,3247 1,2650 1,2148 1,1727 1,1375 1,1084 1,0845 1,0649 1,0492 1,0368 1,0270 1,0138 1,0065 1,0029 1,0014 1,0008 1,0007 1,0007 1,0007 1,0006 1,0005 1,0004 1,0003

1,6635 1,4236 1,2427 1,1007 0,9858 0,8903 0,8090 0,7386 0,6763 0,6205 0,5696 0,5228 0,4793 0,4384 0,3999 0,3634 0,3287 0,2958 0,2645 0,2349 0,2070 0,1564 0,1130 0,0767 0,0475 0,0248 0,0079 -0,0038 -0,0114 -0,0158 -0,0177 -0,0178 -0,0167

8,3710 6,1737 4,7543 3,7882 3,1041 2,6050 2,2323 1,9493 1,7314 1,5623 1,4302 1,3269 1,2460 1,1830 1,1341 1,0965 1,0680 1,0466 1,0310 1,0197 1,0119 1,0033 1,0004 1,0000 1,0005 1,0011 1,0015 1,0015 1,0013 1,0010 1,0008 1,0005 1,0003

8,3110 6,0921 4,6480 3,6538 2,9386 2,4054 1,9958 1,6732 1,4134 1,2003 1,0225 0,8722 0,7434 0,6320 0,5350 0,4499 0,3751 0,3091 0,2509 0,1997 0,1549 0,0819 0,0281 -0,0095 -0,0341 -0,0484 -0,0548 -0,0555 -0,0523 -0,0467 -0,0399 -0,0328 -0,0258

14,1116 9,0061 6,1560 4,4486 3,3699 2,6601 2,1782 1,8430 1,6056 1,4353 1,3121 1,2225 1,1574 1,1102 1,0761 1,0519 1,0349 1,0232 1,0154 1,0103 1,0072 1,0044 1,0037 1,0037 1,0036 1,0032 1,0027 1,0021 1,0015 1,0010 1,0006 1,0003 1,0002

13,8118 8,6565 5,7569 4,0002 2,8727 2,1146 1,5850 1,2031 0,9201 0,7056 0,5398 0,4095 0,3058 0,2225 0,1550 0,1002 0,0557 0,0196 -0,0094 -0,0324 -0,0504 -0,0739 -0,0846 -0,0863 -0,0817 -0,0733 -0,0628 -0,0517 -0,0408 -0,0309 -0,0222 -0,0149 -0,0091

'

6.4, Cenni bibliografici.

Vengono citate le opere che più particolarmente trattano la trave su suolo elastico secondo Winkler: B. WINKLER, Die Lehre von der Elastizitii.t und Festigkeit, Praha, 1867. - H. ZIMMERMANN, Die Berechnung des Eisenbahnoberbaues, Berlin, 1888. - K. HAYASHI, Theorie des Trii.gers auf elastischer Unterlage, Berlin, Springer, 1921. - H. Mfu.LER-BRESLAU, Die graphisce Statik der Baukonstruktionen, B.II, Leipzig, KrOner, 1925 c2a ed.), par. 18. - s. TIMOSHENKO-M. LESSELS, Festigkeitslehre,

158

Capitolo sesto

Berlin, Springer, 1928, par. 37. - K. BEYER, Die -Statik ini Eisenbetonbau, Berlin, Springer, 1933, par. 22. - C. B. BIEZENO-U. GRAMMEL, Technische Dynamik, Berlin, Springer, 1939, cap. IV, par. 3 e cap. VII, par. 3. - O. BELLUZZI, Scienza delle costruzioni, Bologna, Zanichelli, 1944, cap. XII C. - M. HETBNYI, Beams on elasttc foundation, Ann Arbor, Michigan, University of Michigan Press, 1946. - P. Poz~ ZATI, Metodi per il calcolo delle fondazioni, Bologna, Zanichelli, 1953. - V. Z. VLASOV e U. N. LEONT'Ev, Beams, Plates and She!ls on elastic Foundations, Israel Program Scientifìc Translation, Jerusalem, 1966. - J. CoURBON, Résistance des matériaux, Paris, Dunod, 1971 (2a ed.), voi. Il, cap. II. - R. BALDACCI, Scienza delle costruzioni, vol. II, UTET, Torino, 1976, par. 32. Tra gli studi riguardanti la trave su appoggi elastici infinitamente vicini ricordiamo: J. W. SCHWEDLER, «Beitrage sur Theorie des Eisenbahnoberbaues », Zeits. Bauverw., 1889. -A. FruruNn, <(Theorie der gleichmiissig elastisch gestfitzten KOrper», Beton u. Eisen, 1917, 1918. - A. F'REDh'D, « Beitrag zur Berechnung der biegsamen Gri.i:ndungssohlen )), Z. Bauwes., 1924. - H. CRAEMER, , Beton u. Eisen, 1928. - H. FruTZ, << Einfiussftache des biegefesten Balkens auf elastischer Bettung i>, Beton u. Eisen, 1930. - P. NEMENYI, « Tragwerke auf elastischer Unterlage i>, Z. angew. Math. Mech., 1931. - H. BLEICH, « Berechnung von Eisenbeton Streifenfundamenten i>, Bautechnik, 1937. - G. MAGNEL, «Le calcul des poutres sur terrain élastique », La Tèchnique des Travaux, 1938. - A. RETI, «Calcul des semelles continues croisées», Travaux, 1949. - A. RAITHEL, «Un metodo di iterazione per la trave su suolo elastico)>, Rend. Ace. Se. Fis. Mat., Napoli, 1951. - O. ZANABONI, «Soluzione abbreviata della trave su suolo elastico », Ingegneria ferroviaria, 1955. - V. FRANCIOSI, «Contributo allo studio delle trav~ su mezzo el'.1stico »,L'Ingegnere, 1957. - C. RAYMOND!, «Sul problema delle travi con appoggio elastico continuo», Atti dell'Ist. di Scienza d. costruz. di Pisa, 1957. - E. FANELLI, «Travi di lunghezza finita su suolo elastico», Giornale Genio Civile, 1957. - B. BARBARITO, <, Il Cemento, 1961; «Linee d'influenza della trave semiinfinita su mezzo elastico l> (note I, Il, III), Costruzioni metalliche, 1970, 1971; «Le linee d'influenza della trave finita su mezzo elastico ... », 5 note, Giorn. Genio Civ., 1972, 1973, 1974. - M. MELE, «Proprietà e determinazione dei parametri caratteristici di un nuovo model~o di fondazione», Tecnica italiana, 1966. - F. M. MAZZOLANI, «La progettazione delle travi di fondazione sul suolo di Winkler )>, Rivista italiana di Geotecnica, 1967. G. ToNIOLO, « Sul calcolo dei coefficienti elastici delle travi appartenenti ai graticci di fondazione», Costruzioni metalliche, 1973.

CAPITOLO

VII

TRAVI SNELLE SOGGETTE A CARICHI TRASVERSALI E A SFORZO ASSIALE

7.1. l're!llessa. Per una trave snella prismatica soggetta a carichi trasversali che la inflettono, lo sforzo assiale P può alterare sensibilmente, quando oltrepassi certi valori, lo stato di tensione, a causa dell'eccentricità acquisita in seguito all'incurvamento. Ovviamente i risultati sono diversi a seconda che p sia di trazione o di compressione; e infatti nel primo caso I 'inflessione si allevia,

mentre si aggrava nel secondo, sino a ottenere valori nulli della rigidezza, ossia l'annullamento delle capacità reattive della trave, qnando si pensi ragginnta la soglia dell'instabilità dell'equilibrio. Inoltre, per il calcolo delle azioni staticamente indeterminate relative a membrature snelle, può presen-

tarsi l'opportunità, in pratica fortunatamente non freqnente, di tener conto dell'influenza dello sforzo assiale, che può risultare sensibile anche per valori di P abbastanza scostati da quelli critici: così, per dare un 'indicazione a titolo orientativo in merito alla ripercussione sui movimenti, la rotazione delle sezioni estreme di un 'asta soggetta a due coppie di estremità simmetriche, che vale rp,~Ml/2EJ quando lo sforzo normale è nullo, diviene rp-:;;; 1,27 rp00

per P di compressione pari a nn quarto del valore critico, e rp:;;; 0,83 rp"' per ugual valore di P, ma di trazione; e s'intende che, nel caso di aste tese, P può essere notevolmente superiore, in valore assoluto, a quello critico. Si troveranno trattati in seguito alcuni casi, in particolare l'asta compressa

soggetta a una coppia applicata ad una sezione estrellla, essendo tale schema ntile per studiare iterativamente strutture complesse. Inoltre verrà anche risolta l'asta tesa soggetta a un carico concentrato nel mezzo; caricamento, questo, che può essere attuato, ad esempio, per determinare il preesistente

sforzo normale della catena di una volta. Vedremo che, naturalmente nell'ambito dell'elasticità lineare, lo studio delle travi soggette a sforzo normale e inflesse è semplificato notevolmente dalla circostanza che, pensando costante il valore di P, è ancora lineare il legame tra carichi trasversali e loro conseguenze, per cni è legittima la sovrapposizione degli effetti; inoltre una significativa formula consente di ottenere ottime approssimazioni quando la configurazione è simmetrica e le estremità sono articolate.

Nei punti seguenti snpporremo la trave prismatica.

Capitolo settimo

160

Travi soggette a sforzo assiale

161

7.2. Compressione e carichi trasversali.

7.2.2. La trave con le estremità articolate.

7.2.1. L'equazione della linea elastica.

Se l'origine dell'asse x è in corrispondenza di uno degli appoggi, le costanti C1 , C2 sono determinate dalle condizioni che Io spostamento v sia nullo per x=O e x=l. Nei casi simmetrici, con l'origine di x nel centro della trave (fig. 7.lb), nell'espressione della v scompare il termine C2 sen ax che ha carattere di antimetria (poichè cambia il suo segno nelle due metà della trave). Quindi, ponendo À=al/2, [b]

Data la trave prismatica soggetta all'azione simultanea di un carico q(x) trasversale e dello sforzo assiale P (fig. 7.la), il complessivo momento flettente comprende, volendo considerare l'influenza dovuta allo sforzo assiale e indicando con v la linea elastica della trave, la parte Mtr conseguente ai carichi q(x)

a)

l'..._.A,g;=i VI i~B

1 --- --i-=

b) PA_gJl x•

f

tfl

l'integrale [7.2] diventa, in seguito alla condizione v=O per x= ±1/2, e con

-

Vv

simmetrico,

[7.3]

l!~B

In merito all'integrale particolare Vp vedremo alcuni esempi. Una soluzione approssimata dello stato di sollecitazione e di deformazione può essere ottenuta semplicemente. Esprimendo la funzione incognita v sotto forma di una serie trigonometrica (cap. X) ed arrestando questa al primo termine, si può scrivere:

·t
c)PA~B Fig. 7.1

:n:x V"'fcos ·

-

trasversali e quella Pv dovuta a P. Quindi l'equazione della linea elastica, nell'ambito delle consuete ipotesi, risulta d 2v

EJ dx' =-M,,.-Pv

[7.1]

l '

[7.4]

le condizioni ai limiti sono rispettate (v=O per x= ±1/2) ed f rappresenta lo spostamento massimo (v=f per x=O). Analogamente, per effetto del solo carico trasversale,

e in essa Mtr è termine noto, ossia indipendente da v, perchè si considerano gli spostamenti molto piccoli rispetto alla lunghezza I della trave. Se si pone a 2 =P/EJ

[a]

(la dimensione fisica di a è l'inverso di una lunghezza), la soluzione dell'equazione vale [7.2] essendo vP una soluzione particolare, e C1 , C2 le costanti d'integrazione da determinare con le condizioni ai limiti. Se si pensa di mantenere costante il valore del carico longitudinale P, il legame tra carichi trasversali q(x) e loro conseguenze complessive (ossia di q e P insieme) risulta lineare: infatti risulta lineare il legame tra la funzione v e il complessivo momento poichè, di questo, la parte M,,. è proporzionale ai carichi trasversali e la parte Pv, quando P resti invariato, è proporzionale alla stessa v.

:n: 2 nx quindi M,,=-EJv;;=EJ /2 f,, cos - - · 1 Sostituendo queste relazioni nell'equazione [7.1] si ha allora, essendo n 2EJ/l 2 =P" ed eliminando il fattore comune cos nx/l,

J-__J._,~ p

[7.5]

1-p"

Tale espressione può essere impiegata per varie condizioni di carico e anche per altre condizioni di vincolo (purchè interpretabili con una serie trigonometrica), sostituendo, s'intende, a Per il correlativo valore; però l'approssimazione può risultare non soddisfacente quando il carico non è 11 -

POZZATI, IIMl.

Capitolo settimo

162

Travi soggette a sforzo assiale

simmetrico, e non viene quindi rispettato l'andamento simmetrico della v e delle sue conseguenze iutrodotto adottando le relazioni [7.4], [c]. Poichè M=-EJv'', tenendo conto delle [7.4], [c], si ottiene//f,,=M/M,,

quindi, per la [7.5] , [7.6]

M

le approssimazioni sono in genere peggiori di quelle che si ottengono per la freccia (es. 7.1). a) Carico ripartito uniformemente. q/2 qx 2

b) Carico trasversale Q concentrato nella mezzeria. - In tale caso si ha (ponendo ancora l'origine dell'asse x nella mezzeria) M,,=Ql/4-Qx/2, quindi un integrale particolare della [7.1] è Vv=-M,,/P. Pertanto risulta (M,,,x~o= =Q 1/4, f,,=Q l'/48EJ, rp,,=Q f2/16EJ)

tg À Mmax=Mtr_A_,

f=fti

3(tg A-A)

;,s

'


2(1-cos A) A2 cos A

[7.10]

c) Coppie M, simmetriche applicate alle estremità. - In tale caso si ha M,,=M,, v,=-M,,/P. Quindi (f,,=MJ 2/8EJ, rp,,=M, l/2EJ)

Con l'origine nel centro, essendo

M,,=---2, un integrale particolare della [7.1] è (P=EJa 2) 8

163

f= f,,

tg A

2(1-cos A) A2 cos A


[7.11]

vp=-M,,/P-EJ q/P 2 =-M,,/EJa 2 -q/EJa 4 ,

d) Coppie Ma. antimetriche applicate alle estremità. - Per tale condizione di carico trasversale, con l'origine degli assi nella mezzeria, si deve

come si accerta immediatamente constatando che la stessa equazione [7.1] risulta soddisfatta. Quindi, sostituendo nella [7 .3],

senax V= -(v,),~ '·" sen A +vP '

q (cosax - EJa 4 cos A

v-

M

porre, analogamente alla [7.3],

a'- 1), " q

con vP=-MtrfP, M,,=Man 2x/l. Procedendo come si è visto precedentemente, si ottiene (rp,,=Ma.lf6EJ)

2

M=-EJv"=..'L(cosax -l)= q/ 2(cosax -l)· a2 cosA 8 A2 cosA


I valori massimi di v e di M si hanno per x=O: q ( 1 a'l' ) Vrrmx=f= EJa 4 COSA --8-- l =

__ 5 tj/4_ [~ (-1__ A'-1)] - 384 EJ 5A 4 cos A 0, 5 '

M max

= ql 8

2

[2 ).2

[7.7]

cosÀ

Mal 'Paa= EJ

' ql' [ 3(tg A-A) (v )x~z12=
[7.8]

l

[7.9]

(positive le rotazioni destrogire). I fattori posti fra parentesi quadra nelle ultime tre formule costituiscono i coefficienti di amplificazione dei valori che si avrebbero per effetto del solo carico trasversale e tendono al valore 1 per P tendente a zero (es. 7.1); tendono al valore infinito per P tendente al valore P"=n'EJjl2, cui corrisponde l'instabilità della trave (infatti per esso risulta A=al/2=n/2, cos A=O).

[7.12]

e) Coppia Ma applicata all'estremità A della trave (fig. 7.2). - È stato accennato nel par. 7.2.1., e d'altronde è evidente dalle varie formule ottenute, che è valido il principio della sovrapposizione degli effetti, pensando s'intende di tener costante P; quindi, utilizzando le espressioni date nei punti [e], [d] precedenti, e considerando positive le rotazioni destrogire, 3

1-cos A ] •

3(1-A cotg A) A2

3

Mal

4T (tg A-cotg À+ l/A)= 3EJ

Kaa,

[7.13] Mal rp,.= - GEJ

3

2T

Mal (tg A+cotg A-1/A)= - GEJ K, •.

I diagrammi dei coefficienti Kaa• K,. si trovano rappresentati nella fig. 7.2 in funzione di P/P,,, quindi di A=al/2=

~ VP/EJ= ~ VP/P";

alcuni valori

sono riportati nella seguente tabella. Da essi, sovrapponendo gli effetti, si possono ricavare immediatamente i valori delle rotazioni delle sezioni estreme,

quindi delle rigidezze alla rotazione, per coppie simmetriche o antimetriche; e può essere risolto senza alcuna difficoltà il caso della trave con appoggio e incastro.

164

Capitolo settimo

TABELLA 7.1. Trave compressa e soggetta a una coppia Ma (fig. 7.2). ~ r-~-

'Pa=Kaa Mal/3EJ,

'l»=K,. Mal/6EJ,

-··

(P"=n'EJ/l') --~-

P/P" Kaa K,.

o

0,1 0,2 0,3 0,7 0,9 1,0 0,4 0,5 0,6 0,8 1 1,073 1,162 1,277 1,427 1,636 1,946 2,460 3,480 6,527
''

---·-··

Ma __.__ ~- W p~ ~b ~,__,_MZ---~$$B

1-----

t

~A 'I!

a

3,0

--

---~

I I

- - --··

Esempio 7.1.

Data una trave appoggiata, soggetta a carico uniforme o concentrato nel centro, calcolare il momento massimo e la freccia per vari valori del carico P, impiegando anche le formule approssimate [7.5], [7.6].

I

2.5

I

'

m[

[

I

,

V2

Per P/P"=0,25; 0,5; 0,75 (7.=n/4; n/4; V3nf4), dalle formule [7.7], [7.8] si ha: f!f.,.= 1,334 ; 2,004 ; 4,011 ;

/ /

I

I

I I I

,_A1-p -

.

[

~I

3,0 - l',_ J:

I 2,0

a) Carico uniforme.

(K,,Kz}

I

--aa

---

I

I I

I

I I

I

I I l I I I I ~\

B\,_t

1-_._ ~ ! ! ! ! ! ! ! ~ ~ "'il B~

2,5 ~-A

/

1,5

[

M/M.,.=1,343 ; 2,030; 4,093.

/

/

-

/

Dalle [7.5], [7.6] si ottiene invece

•/

1,0

f/ft,=M/M.,.=1,333;

2; 4,

/-

o,o

2,0

0,2

o,sPlf,.

0,4

Fig. 7.2

con gli errori massimi di 0,2% per f e di 2,3% per M.

) ~~-

1,5

....

b) Carico Q concentrato in mezzeria. 1,0

Per i medesimi valori di P/P", dalle [7.10] risulta: ffft,=1,329;

0,0

1,986; 3,958 ;

D,5

__

,

1,op;:

P:d2itJ17?)

Fjg. 7 .3. - Diagrammi dei coefficienti K 1, K 2 : (trave doppiamente incastrata)

M/M.,.=1,273 ; 1,817; 3,551.

-

MmQ.=-K1

Dalle [7.5], [7.6] si ottiene invece:

ql"

l2•

(trave con incastro e appoggio)

ffft,=M/M.,.= 1,333 ; 2 ; 4,

-

con gli errori massimi di 1,1% per f e di 16,2% per M.

qP

Mme.=-K2g. 25•+--t-+++--t-+~-t-++-Hl-+--t+-I

7.2.3. Trave con le estremità impedite di ruotare.

~~

--1--

1-1-+++--fc .,_

È stato ripetutamente sottolineato il fatto che, pensando di mantenere

costante il carico longitudinale P, deformazioni e momenti sono proporzionali al carico trasversale, per cui può essere applicato il principio della sovrapposizione degli effetti. Ciò consente di risolvere facilmente la trave avente le estremità incastrate perfettamente o inserita ·in un insieme di membrature elastiche, utilizzando in quest'ultimo caso i procedimenti che verranno in seguito sviluppati; e anche quando lo sforzo normale non rimanga costante al variare del carico

trasversale, può essere facilmente istituito un calcolo per iterazioni.

!/

2,0 -~-

1,5

V/

1,0

y

o

0,5

··--

Fig. 7.4. - Diagrammi dei coefficienti Cba• Ka M C M. M 0 l) ( ba= ba2• (f>a=K,. 4EJ •

Travi soggette a sforzo assiale

Capitolo settimo

166

Consideriamo, ad esempio, la trave con entrambe le estremità impedite di ruotare, soggetta a un carico trasversale Q concentrato in mezzeria. Dev'essere nulla la rotazione delle sezioni estreme, quindi
-

-

Ma=Mtr

2(1-cos .l.) ,,..1 senA1

[7.14]

;

poi, sovrapponendo gli effetti del carico trasversale e dei momenti (/,,= =Q/3/192 EJ), 12 [ 2(1-cos .l.)' [7.15] f=ft,;;s tg.l.-.l.- sen2.l. ·

l

Per P tendente al valore P"=4n 2EJ/1 2 (.l.=n), M. e la freccia f tendono al valore infinito; valori approssimati della freccia e del momento si possono ottenere anche dalle formule [7.5], [7.6]. Può essere interessante a tale proposito un riferimento numerico: ad esempio per P=0,5 P"=2n'EJ/l' (À=nj/2/2), le [7.14], [7.15] forniscono

dalle formule approssimate [7.5], [7.6] si ottiene invece

7.3. Trazione e carichi trasversali. a) Le soluzioni possono essere dedotte procedendo in modo del tutto analogo a quanto è stato visto per la compressione. associata a carichi tra.. sversali. Ma, quando sono noti i casi relativi a tale condizione, conviene utilizzare le espressioni già ricavate sostituendo -P a P, -a 2 a a 2, ia ad a, i.l. a .l., essendo i l'unità immaginaria; impiegando poi le formule di correlazione tra funzioni circolari e iperboliche

sen ix= i senh x,

cos ix=cosh x ,

con l'errore di 10,1% per il momento d'incastro; per diverse condizioni di carico e uguale rapporto P/Pcr l'errore può essere sensibilmente maggiore.

Per la trave con entrambe le estremità impedite di ruotare, soggetta . a un carico distribuito uniformemente, procedendo nello stesso modo si ottiene per esempio con facilità M=- q/2 3(tg.l.-.l.) 2

.l. tg.l.

K1 (-ql'/12),

[7.16]

e altrettanto facilmente può essere ottenuta l'espressione del momento d'incastro quando soltanto un'estremità sia incastrata [Mn=K2 (-q/2/8)]. Nella fig. 7.3 sono riportati i diagrammi che forniscono i coefficienti di amplificazione K 2 , K 1 per la trave caricata uniformemente, con una o con entrambe le estremità incastrate. Procedendo in modo analogo, per la trave con appoggio e incastro, soggetta a una coppia M •• si ottiene Ma Mba=2

Kba

Ma

K=-2-

••

Cba'

I M.Z 'Pa= EJ (M.K•• -M,.K.,/2)= 4EJ Ka, 3

tg ix= i tgh X.

Ad esempio, per la trave appoggiata, soggetta a un carico Q concentrato nella mezzeria, dalle [7.10] si ottiene Ql tgh .l.

Ql'

f= 48EJ

3(.l.-tgh .l.) .l.3

;

[7.18]

e per la trave ugualmente caricata, però con le estremità impedite di ruotare, dalle [7.14], [7.15] risulta

f/ft,=M/M,,.=2,

12

con K •• , K.,=K,. dati dalle [7.13] e dai diagrammi della fig. 7.2 o della tabella 7.1; al solito, M, e 'Pa tendono all'infinito per P tendente al valore P,,=2,046 (n'EJ/1 2), che provoca l'instabilità della trave con appoggio e incastro. I diagrammi dei coefficienti e,., Ka sono riportati nella fig. 7.4.

Mmax=4-.l.~'

f/ft,= 1,986,

167

[7.17]

Ql 2(cosh.l.-l) M.=-3 .l.senh.l. '

[7.19]

3

f

Q/ 12 [ 192EJ JF .l.-tgh .l.

2(1-cosh .l.)'] · senh 2.l.

b) Anche nel presente caso di una trave soggetta a trazione e a carichi trasversali è applicabile il procedimento che ha ispirato le formnle approssimate [7.5], [7.6], le quali diventano, dovendo cambiare segno al carico P,

f

f,, p

1+P,,

M

M,,. p

[7.20]

1+P,,

e forniscono in genere buone approssimazioni per configurazioni simmetriche; approssimazioni, al solito, migliori per le frecce che per i momenti. È appena il caso di notare il fatto facilmente intuibile che lo sforzo assiale di trazione gioca nel senso di attenuare l'inflessione che si ha per effetto dei soli carichi trasversali . e) I coefficienti di riduzione delle frecce f per effetto di un carico trasversale Q concentrato in mezzeria, considerando la trave con le estremità ap-

168

Capitolo settimo

Travi soggette a sforzo assiale

poggiate e incastrate, sono riportati nella fig. 7.5; la conoscenza di tale caso pnò risultare utile ad esempio per determinare, mediante una prova di carico, la trazione preesistente nelle catene degli archi (es. 7.2). È opportuno notare che, se è elevata la prevalenza di P su Pc,, l'influenza dell'incastro

(K,,K4) o,o - p - - _,._LS--

-

.[,

-

~-----

V

\

P,,~4n'EJ/l'~ 12920

cm,

P~( t;-1) Pa~l,089·12920~14070

•i(,

V

K4

I

kg.

kg,

a(P)~914

kg/cm' ;

pertanto, dalla seconda delle stesse formule [7.20], si ha anche

~

Mmaxç;;Q//8: (l+P/P,,)~3875:

y

~

0,5

-

11- I/ V

----- I9l

I o

-------

p ~

2

1

3

2,089~1855

kgcm,

/

quindi amax(M)~103 kg/cm' (dalla formula [7.19], essendo J.~3,28, si ottiene invece Mmax=2191, con la conferma che la [7.20] non fornisce in genere approssimazioni molto buone per i momenti).

"-V

1,0

J,,~2Ql'/384 EJ~0,493

,V

Q"25

oB

a) Con la formula approssimata [7.20], considerando le estremità incastrate perfettamente. Il valore teorico della freccia dovuta al solo carico Q=50 kg e il carico critico risultano (E=2 · 10 6, J=62,88 cm4 ; si assume /=6,2 m)

Utilizzando quindi il valore sperimentale /~0,236 cm della freccia (che tiene conto di P e Q insieme) si ottiene che lo sforzo assiale esistente vale

--p

_,___,--

169

---

I

KJ! 1à

f

b) Se, al posto della formula approssimata, si impiega l'espressione [7.19] della freccia, operando per tentativi si ricava A.=3,32, quindi P=14430 kg.

r· -

.{·

Fig. 7.5. - Diagrammi dei coefficienti

1 hPiP*(P:~2Eif,/ w ' p;p•

Q/' Ql" ) Ka, K4 ( fa=Ka 48EJ • J,=K. 192EJ ,

c) Qualora si considerassero le estremità articolate, si otterrebbe

(P"~3230

è in generale piccola sul valore della freccia: infatti, adottando la formula [7.20], si può scrivere, per le estremità articolate e incastrate,

ftr,i

per cui, nel caso del carico concentrato in mezzeria, essendo !tr,i= =!tr,a/4, Pcr,i=4 Pcr,a• si ottiene (quando, come si è detto, sia P>>Pcn p

kg,

f,,~ 1,97

cm)

P~ ( 0~;376 -1) 3230~23730

kg.

Tale risultato conferma, anche in questo caso particolare in cui P non è fortemente diverso da Per. che il valore dello sforzo assiale P è influenzato molto meno della ftr dalle ipotizzate condizioni di vincolo. d) Nel caso in cui si disponga, avendo rilevato le dilatazioni alle estremità per effetto di Q, del valore del momento d'incastro M,(Q), si ha

!

~

8Ql' 3(7.-tgh J.) 384EJ l.'

M,l' 2(cosh J.-1) . SEJ .!' cosh J.

quindi p-:Pl; v. fig. 7.5)

"

,.

J,,,,

,.

,,-;;--~p-~Ja

•

1+Pcr,i Esempio 7.2.

Determinazione dello sforzo esistente nella catena di un arco. La catena di un arco di un vecchio edificio ha la luce netta di 6 m e la se-zione rettangolare di 7 x 2,2 cm2 (con il lato di 7 cm in direzione verticale). Per conoscere lo stato di sollecitazione, viene applicato nella mezzeria un carico concentrato progressivamente crescente, e per Q=50 kg si rileva la freccia di 0,236 cm; inoltre le dilatazioni sui lembi, lette in prossimità sia del centro sia delle sezioni estreme, risultano, a parte il segno, pressochè uguali tra loro (per cui è buono il grado d'incastro) e gli estensimetri sulla linea media confermano pressochè nulla la dilatazione (sono dati che riguardano un'effettiva prova). Deterrrùnare lo sforzo assiale esistente della catena.

poichè l'unica incognita è A, si può ricavare questa (quindi P) per tentativi; resta sempre significativo il confronto con i risultati relativi a condizioni di vincolo limiti. 7.4. Cenni bibliografici.

La trave soggetta a carichi trasversali e a sforzo assiale si trova di solito trattata nei testi che si occupano della stabilità dell'equilibrio. In particolare ricordiamo le s~guenti opere: H. ZIMMERMANN, Knickfestigkeit der Stabverbindungen, Ernst, Berhn, 1925. - J. RATZERSDORFER, Die Knickfestigkeit von Stiiben und Stabwerken, Springer, Vienna, 1936, - L. CEsARI, F. CONFORTO, C. MINELLI, Travi continue inflesse e sollecitate assialmente, Ist. per applicaz. del calcolo, C. N. R., Roma, 1941, - o. BELLUZZI, Scienza delle costruzioni, Zanichelli, Bologna, cap. XIII e, 1951. - R. K. LIVESLEY e D. B. CHANDLER, Stability Functions /or Structural Frameworks, Manchester University Press, 1956. - M. PAGANO, Strutture, Liguori, Napoli, parte 2•, 1963 (l'effetto instabilizzante di carichi verticali nel calcolo dei telai piani). - E. GIANGRECO, Teoria e tecnica delle costruzioni, Liguori, Napoli, vol. II, cap. IV, 1966. - V. FRANCIOSI, Scienza delle costruzioni, Liguori, Napoli, vol. V, 1967.

Travi su appoggi obliqui

171

sueto, di rappresentare le coppie mediante il loro asse momento, col senso stabilito in base al senso giratorio orario; e in modo analogo verranno indicate le rotazioni: così il simbolo MnA starà a significare il momento, in corrispondenza della sezione A, avente n come asse; inoltre i semplici simboli M, C indicheranno i momenti flettente e torcente. Si suppongono parallele

tra loro le linee dei due appoggi e costante la sezione della trave. CAPITOLO

VIII

TRAVE SU APPOGGI OBLIQUI

8.1. Premessa. Data una trave su appoggi obliqui, la rotazione di ciascuna sezione estrema è consentita liberamente nel piano di traccia n normale alla linea di appoggio, ed è invece impedita secondo l'altra direzione ortogonale (fìg. 8.1); per cui appare subito chiaro che la soluzione della trave, anche quando essa rignarda l'appoggio semplice, si presenta in tale caso di solito staticamente indeterminata, non essendo più libera di avvenire liberamente la rotazione secondo x; e vedremo che l'obliquità può comportare forti alterazioni dello stato di sollecitazione relativo all'usuale caso della linea d'appoggio ortogonale all'asse. Lo studio delle travi snelle su appoggi obliqui risulta semplice procedendo con il metodo dei vincoli ausiliari, ossia considerando le rota~ zioni delle sezioni estreme in un primo tempo bloccate ad opera di fittizi vincoli e dei relativi momenti d'incastro (soluzione particolare); poi consentite, applicando tali momenti cambiati di segno (soluzione complementare). Accade infatti che, quando la trave è supposta incastrata perfettamente, I'ipotesi di rotazioni nulle delle sezioni estreme intorno a z e x rende spon~ taneamente nulla anche la rotazione intorno all'asse n, per cui l'obliquità non fa risentire alcun effetto, s'intende ragionando nei termini sintetici e imperfetti della conservazione delle sezioni piane: allora le conseguenze dell'obliquità si possono riportare tutte al caso semplice di trave soggetta soltanto a coppie estreme; caso che verrà considerato subito, anche perchè esso consente di risolvere facihnente le travi oblique continue. Le ipotesi saranno al solito quelle relative ai solidi aventi prevalente sviluppo lineare; però la presenza dell'obliquità, che comporta in prossimità degli appoggi Ull funzionamento fortemente bidimensionale, rende opportune alcune osservazioni su cui ci soffermeremo a conclusione del presente esame approssimativo, che può essere utile per disporre di risultati limiti semplici e per saggiare le conseguenze derivanti dall'esistenza degli appoggi obliqui. Verrà fatto riferimento a una terna di assi cartesiani (fig. 8.1), di cui y è verticale e x coincide con l'asse della trave; di una seconda terna t- n -y, t è diretto lungo la linea dell'appoggio. Inoltre si conviene, come di con-

Fig. 8.1

8.2. Coppie applicate alle sezioni estreme. 8.2.1. Coppie

M~A

applicate alle sezioni estreme.

a) Coppie simmetriche M,A (fig. 8.2).

Come è stato accennato, la reazione lungo ogni appoggio obliquo deve sviluppare il momento staticamente indeterminato MnA per impedire la rotazione della sezione terminale intorno all'asse n ('!'nA=O); pertanto il momento

z MZA

AI

2

I

J

X

' "'-n

'"

t

I

i

iO ' I

4

'

;M(momjlett.)

~~--~-----------Fig. 8.2

'

;C(mom torc.)

.

flettente e quello torcente, considerati positivi se sono concordi coi sensi

degli assi coordinati, hanno i valori costanti C=MnAsena.

L'equazione dei lavori virtuali, che rende esplicita la condizione di congruenza ('!'nA=O) per tramite dell'azione ausiliaria MnA=Mnn= 1, risulta (M'=-l·cosa, C'=l·sena)

0=-f;1'1 cosa dx/EJ+Jf

sena dx/GJ,,

Travi su appoggi obliqui

Capitolo ottavo

172

e) Una coppia M,A applicata alla sola sezione A (fig. 8.4).

e da essa si ottiene, posto

y=l +e tg'a,

e=EJ/GJ,,

[8.1]

C=M,A tga/y,

[8.2] n

Le rotazioni delle sezioni estreme e la freccia si hanno immediatamente considerando la trave libera da vincoli, soggetta ai due momenti flettenti M dati dalla seconda delle [8.2] 'fJ,A=-
1) 1-y

M,A/

[8.3]

2EJ ,

Ar

Fig. 8.4

-f

X

È facile rendersi conto che il momento torcente nella sezione retta di mezzeria (quindi in ogni altra sezione) è nnllo (voi I, par. 10.5); pertanto l'obliquità non fa risentire effetti, e si ha

I

I

u..

M,A/ ( 3 ) q;,s=- 6EJ l - 2y '

a)

b)

I

I

,/

-r'

1*7(1

M,Alb

[8.8]

I

IO I

[8.7]

v1 =v,+ 24EJ ctg a,

MzA

2 X

132&

[8.6]

La rotazione 'Pxo della sezione di mezzeria può essere calcolata osservando che, se provvisoriamente non si tiene conto della presenza degli appoggi

/

}'

I

/B I

antimetriche, si ottiene

[8.4]

MzA

/

b

Scomponendo questa in due coppie M,A/2 simmetriche e in due ±M,A/2

b) Coppie antimetriche (fig. 8.3).

A/ .I

173

/B

I

I

7'

d) Effetti di una coppia M,A, essendo l'estremità B incastrata (fig. 8.5).

X

+

B

Fig. 8.5

Fig. 8.3

Per quanto è stato visto nel precedente paragrafo, l'equazione di congruenza (q;,s=O), necessaria per calcolare l'incognita M,s staticamente indeterminata risulta:

obliqui, le rotazioni terminali intorno a z hanno i valori, uguali tra loro, dati dalla [8.4], rappresentabili con i due vettori %A indicati nella fig. 8.3d; ad esse dev'essere poi sovrapposta la rotazione di corpo rigido Txo=IJ?zA ctga,

tale che il vettore-rotazione risultante sia diretto secondo l'asse I. Quindi risulta M,Alb [8.5] v1 = -v2 =q;,, b/2= EJ ctg a . 12

e da essa si ottiene

y-1,5 y-0,75 ,

[8.9]

Capitolo ottavo

174

M,Al ( 3 )
+ M,sl 6EJ

Travi su appoggi obliqui (

3 ) l-ly .

[8.10]

175

diretta o iterativa (cap. XIII), sia quello della congruenza (cap. XIV); e forse quest'ultimo in tale caso è conveniente, essendo limitato il grado di indeterminazione statica.

Ad esempio, per e= I e a=45° (y=2),

8.3.2. Trave appoggiata: carico concentrato in un punto qualunque. Procedendo come è stato indicato nel precedente paragrafo, si ottiene ad esempio, per un carico concentrato in un generico punto dell'asse, distante a, b dai punti estremi,

8.2.2. Coppie M..,A applicate alle sezioni estreme (fig. 8.6).

Pab'

[ Pab

2

I )

(

Pa'b

I

MA=--1-,- (l' fase)+ - -,- 1-2y - --,- y 1 1 2

l

(2' fase)=

Fig. 8.6

Procedendo in modo del tutto analogo a quello visto precedentemente, si trova e tga etga [8.11] M=MxA---, M n A=-MA x ycosa ' y M,Al e tga %A=-
[8.12]

Gli effetti delle due coppie MxA possono venire anche determinati, con riferimento ai relativi vettori, scomponendo questi secondo le direzioni n (tali momenti non danno conseguenze) e z (M,A=MxA · ctg a); e utilizzando quindi i risultati del par. 8.2.1 a.

8.3. Trave appoggiata soggetta a carichi. 8.3.1. La soluzione ottenuta considerando in una prima fase del calcolo la trave con le estremità incastrate. Secondo quanto è stato accennato nella premessa, lo studio della trave su appoggi obliqui è immediato seguendo il procedimento dei vincoli ausiliari: quindi alla situazione particolare della trave incastrata in entrambe le sezioni estreme e soggetta ai carichi, per la quale, nell'ambito delle consuete ipotesi, l'obliquità non produce alcun effetto, occorre aggiungere quella conseguente ai soli momenti d'incastro cambiati di segno, che è nota per quanto è stato precedentemente visto. In particolare le rotazioni terminali sono dovute soltanto a quest'ultima fase; e se una sola estremità è appoggiata, la soluzione complementare correttiva riguarda la trave con incastro e appoggio (par. 8.2.ld), quivi soggetta, al solito, al momento calcolato nella prima fase, cambiato di segno. La soluzione della trave continua su appoggi obliqui è semplice, perchè nella sostanza nulla cambia applicando sia il metodo dell'equilibrio per via

[8.13]

1

Pab

=--1-2y' [8.14] Se il carico è eccentrico, per la trave provvisoriamente incastrata debbono ;enir calcolati anche i momenti torcenti MxA' MxB; è facile poi completare il calcolo, quando vengono applicati cambiati di segno, avendo nota la soluzione del par. 8.2.2. 8.3.3. Carico ripartito uniformemente.

a) Entrambe le estremità sono appoggiate. Procedendo come è stato indicato nel precedente paragrafo, si ottiene ad esempio

ql' MA=Ms=-'-u (!' fase)+

+i~

(i-+) (2' fase, con due coppie simm.)=- i~ 7,

ql' ql' ( 1 -1-) , M, (nella mezzeria)=+-+24 12 y 4

2

2

q/ q/ 1 v,= 384EJ (!' fase)+Ll 8EJ

(

1-yI )

[8.15]

2

C= q/ tga' 12 y

[8.16]

(2' fase)= [8.17]

[8.18]

Capitolo ottavo

176

Travi su appoggi obliqui

b) Un'estremità appoggiata, l'altra incastrata.

Ad esempio, utilizzando il caso risolto nel par. 8.2.ld, il momento per la sezione B d'incastro vale [8.19]

8.4. Osservazioni sull'attendibilità delle formule ottenute. Può essere opportuno ricordare le semplificazioni introdotte, per rendersi meglio conto dell'attendibilità delle varie formule precedentemente ricavate. al

/,

'

''

X

''

-P

'

,! , I

/a

'

!I

l

177

Per la stessa struttura, considerata con1e trave e con1e piastra, calcolare anche la linea d'influenza dello spostamento nel centro. a) Carico uniformemente ripartito.

Per tale condizione di carico, il calcolo c9rne trave è stato indicato nel par. 8.3.3: supponendo lo spessore s piccolo rispetto alla larghezza b, risulta Jt~bs 3/3, quindi (v= 1/6), G=E/2(H->), e=EJ/GJ,=0,5833. Per effettuare i confronti, si considerano i valori medi dei momenti nella sezione di mezzeria, ossia m=Mnctt.fb, nitore.= =C/b(p=q/b). Per a=60°, ad es., risulta y=2,75; quindi, dalle [8.16], M,=0,0947 ql', C=0,0525 ql'. : v,=0,01302 pbl'/EJ,

mx=0,1250 pl2 ,

a=60°) come trave : v,=0,00923 pbl'/EJ, >) » , ) come piastra (b/1=1/3): v,~0,00859 >) ) )) » (b/I~ 1/2): v,=0,00819 >) >) ) (b/1=2/3): v,=0,00785

mx=0,0947 pi', m,=0,0884 >), mx=0,0845 >), mx=0,0808 >),

a=45°) come trave : v,=0,00658 pbl'/EJ, l) ) come piastra (b/1=1/3): v,=0,00484 » , )) ) » » (b/1=1/2): v,~0,00421 » ) » (b/1=2/3): v,=0,00377 »

mx=0,0724 plz, mx=0,0556 i> , m,=0,0464 » , tnx=0,0399 1> ,

a=90°)

mtorc.=0,0525, 111torc. =0,0321

0,0349 n1torc.=0,0368

mtorc. =

lntorc. =0,0526 .J mtorc. =0,0359 mtorc. =0,0377 ffltorc. =0,0357

b) Linea d'influenza dello spostamento nel centro. Fig. 8.7. - Linee d'influenza dello spostamento v in O:

Vi

(come trave); v1 (come lastra).

Al solito la struttura dev'essere snella, per poter ragionare in termini di caratteristiche di sollecitazione; e sussiste anche la circostanza che, per i tratti estremi della trave, risultano malamente definibili l'andamento dell'asse e la connessa entità delle sezioni rette. Quindi lo stato di sollecitazione è in genere attendibile al di fuori di tali tratti, tanto meno estesi, rispetto alla luce, quanto più b è piccolo rispetto ad essa ed è minore il grado di obliquità della trave. A tale riguardo si troveranno sviluppati, nell'es. 8.1, confronti tra i risultati ottenuti considerando, con il procedimento illustrato, la struttura come trave, poi anche come piastra obliqua, utilizzando per il calcolo di questa i numerosi casi già risolti (v. bibl.). Un sintetico giudizio indicativo può scaturire dall'esame delle varie linee d'influenza dello spostamento del centro O riportate nella fig. 8.7 e commentate nello stesso esempio. Esempio 8.1. Un ponte è realizzato con una soletta di calcestruzzo armato (v= 1/6) su appoggi obliqui. Calcolare le sollecitazioni e lo spostamento nel centro per. effett~ di un carico uniformemente ripartito, ponendo a=60° e a=45°; confron!are 1 valori che· si ottengono considerando il ponte come trave o come lastra, e In quest'ultimo caso per vari valori del rapporto b/a.

I dati sono uguali a quelli riportati nel punto a). La linea d'influenza dello nel _centro ~ella soletta coincide con il ~agramma degli spostamenti dovuti a un carico apphcato nel centro. Effettuando Il calcolo come trave, si ottiene il seguente valore dello spostamento nel centro (relaz. 8.3) spost~mento

2PI' . v,= 384EJ (trave mc.)+

(PI) I' (l--y1) = 3848 8 8EJ

3)

PI' ( EJ l - 4y ;

quindi per a=60° (y=2,75) e a=45° (y=l,583) il coefficiente di riduzione (l-3/4y) del valore della freccia per a=90° (8 Pl'/384EJ) acquista i valori 0,727; 0,526. Le linee d'influenza si ottengono sovrapponendo gli effetti del carico in mezzeria e delle coppie (fìg. 8. 7); nella stessa figura sono riportati gli andamenti per la piastra obliqua e per b/l=l/3 (v. bibl.). Ad esempio, le ordinate massime, a meno di Pl'/48EJ, valgono:

(calcolo come trave), (calcolo come piastra, b/I= 1/3) ;

per a=60°)

0,727 0,687

per a=45°)

0,526 (calcolo come trave), 0,400 (calcolo come piastra, b/I= 1/3).

8.5. Cenni bibliografici.

Per il calcolo della trave ad asse rettilineo su appoggi obliqui si veda J. CoURBON, Résistance des matériaux, Dunod, Paris, vol. Il, cap. VIII, 1971; la trave ad arco è 12 -

POZZATI, Il-1.

178

Capitolo ottavo

stata studiata da C. CEccou-M. MERLI, «Volta parabolica con appoggi obliqui rispetto ali 'asse l}, Inarcos, Bologna, n. 3, 1974. La bibliografia riguardante la lastra obliqua è molto estesa e interessa poco il presente paragrafo, dedicato al semplice calcolo come trave. Ricordiamo tuttavia in particolare, essendo stata utilizzata per i confronti numerici, l'opera di J. BALASA. HANUSKA, Inftuence surfaces far skew plates, Slovenskej Akadémie, Bratislava, 1964, nella quale si trovano accuratamente calcolate le superfici d'influenza degli spostamenti e dei momenti più significativi per vari valori di a e del rapporto bjl.

CAPITOLO

IX

TRAVI «MISTE» DI ACCIAIO E CALCESTRUZZO

9.1. Premessa e richiami. Pensiamo di dover determinare lo stato di tensione di una trave costituita da un profilato metallico e da una soletta di calcestruzzo (fig. 9.1) collegate tra loro tanto saldamente da poter supporre che la legge della conservazione delle sezioni piane sia soddisfacentemente verificata. Deriva da ciò che, se s1 ed s2 sono le dilatazioni in due punti distanti y 1 , y, dall'asse neutro, e se tali due punti giacciono l'uno sulla sezione metallica l'altro su quella di calcestruzzo, si può scrivere, ammettendo la validità della legge di Hooke: (a./E.) (a,/E,)

Y1

Y2

con n=E./E" ma col valore del modulo di elasticità E, del calcestruzzo non facilmente definibile, perchè esso risente, come accenneremo, di numerose circostanze.

I' G z

a)

q,

1y

1 d

l Fig. 9.1

Si ritrova quindi che, salvo la presenza del coefficiente n, vale ancora la relazione per i corpi omogenei, per cni è possibile adottare tutti i risultati della teoria ad essi relativa: è necessaria la sola avvertenza di fare riferimento a una sezione ideale comprendente l'area di calcestruzzo effettiva e quella metallica amplificata secondo il coefficiente n (oppure, ed è la stessa cosa, la sezione comprendente l'area metallica effettiva e quella di calcestruzzo ridotta secondo il rapporto n); e ciò vale ovviamente qualunque sia l'azione

180

Travi

Capitolo nono

interna che provoca lo stato di dilatazione, ossia tanto per lo sforzo assiale, quanto per la flessione semplice o composta. È chiaro che le ipotesi e le proprietà dianzi richiamate sono precisamente quelle poste alla base dello studio delle travi di calcestruzzo armato; quindi non ci staremo a dilungare, se non per quel tanto che più particolarmente interessa le sezioni in cui la parte inetallica, che sopperisce alla carente resistenza a trazione del calcestruzzo, è costituita, invece che da barre, da un profilato o da una trave composta di acciaio (fig. 9.1). Principalmente per le travi miste di acciaio e calcestruzzo, le deformazioni lente derivanti dalla viscosità e dal ritiro di quest'ultimo mettono in gioco delicate questioni per l'evoluzione del valore del rapporto n dei moduli di elasticità; e poichè tali questioni potranno essere in seguito soltanto accennate a causa del loro carattere specialistico, in merito ad esse si troverà riportata una bibliografia abbastanza estesa (saranno trattate in generale nel cap. I del voi. II parte 2") ..


miste»

181

dipendendo esso non soltanto dalla qualità del calcestruzzo, dalla sua età e dall'ambiente in cui avvengono Ia presa e l'indurimento, ma anche, e forte~ mente, dalla durata di applicazione dei carichi e dal numero delle loro ripetizioni. Quindi, anche dando per buona l'ipotesi dell'elasticità lineare, che invece sappian10 essere malamente verificata, resta l'influenza del fluage del calcestruzzo, ossia dell'accrescimento spontaneo della sua deformazione sotto carico. Accontentandosi di esaminare le cose nelle grandi linee, ossia dell'ordine di grandezza dei risultati, si può assumere, quando i carichi siano applicati per breve tempo, il valore del modulo di elasticità per compressione (9.l):

E/ (istantaneo)=2!000 VR,,' (kg/cm 2) ,

[9.5]

essendo R,' la resistenza (in kg/cm 2) del calcestruzzo a compressione, ovviamente al tempo in cui comincia ad essere soggetto allo stato di tensione; per i carichi permanenti si può adottare:

E,' (permanente);;;E,' (istantaneo)/3.

9.2. Sezione soggetta a momento flettente.

[9.6]

Ad esempio, per R/=400 kg/cm 2 si ha E/ (istantaneo)=420000 e

a) Sezione di acciaio e calcestruzzo.

E/ (permanente);;; 140000 kg/cm 2, quindi i due corrispondenti valori, in

Se ammettiamo, come di solito si ha per sezioni comprendenti profilati metallici, che l'asse neutro si trovi al di sotto della soletta di calcestruzzo, e che quindi questa risulti interamente compressa dal momento flettente che supponiamo positivo, le distanze del baricentro G della sezione complessiva (di area A) dai baricentri Ga, G, delle sezioni d'acciaio (A,) e di calcestruzzo (A,) valgono (fig. 9.1): [9.1] con: [9.2] essendo E, il modulo di elasticità del calcestruzzo. Ricordando allora la teoria della flessione semplice per sezioni omogenee, l'asse neutro passa per G, e le tensioni in corrispondenza di un generico punto della sezione di calcestruzzo e metallica risultano: <5a=nMy/J,

[9.3]

ove y è la distanza del punto in cui si calcola la tensione dall'asse neutro, J il momento d'inerzia della sezione ideale trasformata tutta in calcestruzzo: [9.4]

Pertanto la posizione del baricentro della sezione omogeneizzata (quindi anche lo stato di tensione e di deformazione) dipende dal coefficiente n il cui valore, come abbiamo già accennato, è purtroppo tutt'altro che certo,

cifra tonda, n ~ 5 e n ~ 15; valori che, conviene ripeterlo ancora una volta, sono da considerare soltanto indicativi. A tale proposito può essere opportuno tener presente che, a parte altre incertezze, introdurre nella valutazione di quantità dipendenti dalla deformazione viscosa l'ipotesi di un fittizio comportamento elastico lineare, e ispirare a tale assunzione ad esempio il calcolo delle azioni staticamente indeterminate, anche se sul piano della concretezza consente utili risultati, in effetti maschera l'essenza dello stesso fenomeno, che al contrario ha nella deformazione differita una componente pressochè irreversibile, di natura tutt'altro che elastica e lineare. b) Sezione di calcestruzzo preco1npresso e ordinario.

Nulla sostanzialmente cambia rispetto al caso precedente della sezione mista di acciaio e calcestruzzo, per cui valgono le formule ad esso relative. Si modifica ovviamente il valore del coefficiente n che, corrispondendo al rapporto dei valori medi dei moduli relativi al calcestruzzo precompresso e ordinario, spesso si assume prossimo a 1,4. Ed è prevedibile che un tale valore abbia piccola ripercussione sul diagramma delle tensioni, avendo presente quel che accade per le sezioni comprendenti acciaio e calcestruzzo (v. es. 9.1).

<9 .ll

Secondo le Raccon1andazioni del C.E.B. (Bulletin n. 84, maggio 1972).

182

Capitolo nono

Travi «miste»

9.3. Sezione soggetta a sforzo tagliante. Come è noto, la formula di Jourawsky che consente di ricavare la tensione tangenziale è: [9.7] e tale espressione, essendo dedotta da una condizione di equilibrio alla traslazione nella quale interviene il differenziale delle tensioni normali a eredita le ipotesi e le conseguenti limitazioni che vengono introdotte per 'ricavare le stesse tensioni normali. In essa 7: è il valor medio delle tensioni tangenziali 7:xy su tutti i punti della generica fibra trasversale i parallela all'asse neutro, b è la larghezza della sezione in corrispondenza della stessa fibra, J il momento d'inerzia rispetto all'asse neutro della sezione ideale reagente, S* il momento statico, rispetto allo stesso asse neutro, dell'area che precede (o di quella che segue) la medesima fibra; ed è chiaro che occorre moltiplicare per il coefficiente n le aree metalliche presenti nelle espressioni di S* e di J. Il valore massimo della tensione tangenziale si ha dunque in corrispondenza della corda per la quale è massimo il rapporto S* /b. Quindi, se, come di solito avviene, l'asse neutro interseca l'anima della trave metallica di spessore sa, si ha: [9.8] poichè si ha S*max=S. * quando la fibra i coincide con n, e J/Sn * corrisponde d'altronde al braccio h, della coppia interna. Spesso, in pratica, lo sforzo di taglio è assorbito pressochè interamente dall'anima (di altezza ha) della nervatura metallica; e lungo l'anima, se le ali sono consistenti rispetto ad essa, varia poco s. *, quindi anche la 7: (fig. 9.3.c). Pertanto è lecito porre: t'max~'fmedia (anima

trave)=T/hasa.

Notiamo infine che le tensioni tangenziali sono in genere debolmente influenzate dal valore di n (fig. 9.3c).

9.4. Tensioni conseguenti al ritiro del calcestrnzzo. Supponiamo la trave, avente sezione mista, appoggiata. Se, considerato un suo elemento lungo dx= l, si pensa di praticare un taglio che divida il profilato dalla soletta di calcestruzzo, quest'ultima per effetto del ritiro subisce l'accorciamento sr per cui, risultando non rispettata la congruenza interna, è inevitabile l'instaurarsi di autotensioni che, se si ammettono ancora le consuete ipotesi, e in p~rticolare la conservazione delle sezioni piane, possono essere calcolate semplrcemente. A~e~d~ praticato il taglio di cui dianzi si è detto, pensiamo dapprima, per npnstmare la congruenza, di applicare uno sforzo normale N 1 alla sola soletta (fig. 9.lb); se E, è il modulo di elasticità del calcestruzzo, il cui valore come si è detto è influenzato da numerose circostanze (si veda in proposito anche la nota 9.4) risulta: [9.10] Si avrebbe tale stato di tensione se la trave fosse perfettamente incastrata alle estremità: gli incastri ovviamente fornirebbero lo sforzo N 1 di trazione, e la trave non manifesterebbe alcun palese movimento; ma gli incastri non esistono, quindi si deve applicare lo sforzo N 1 cambiato di segno ad entrambi gli estremi, dando cosi luogo a un diagramma dei momenti costante. Pertanto, in quest'ultima fase del calcolo, l'intera sezione della trave (di area A e momento d'inerzia J) si trova soggetta allo sforzo assiale N 1 e al momento N 1 d, (fig. 9.lc). In corrispondenza dell'asse neutro deve essere nulla la tensione quindi, se si indica con YG la sua distanza dal baricentro, si può scrivere:

[9.8]

Inoltre, se si pratica un taglio verticale della soletta di calcestruzzo di spessore s" a filo con l'ala della trave metallica, la tensione tangenziale orizzontale risulta dalla stessa formula [9.7] e vale: [9.9] essendo S* il momento statico dell'area indicata con tratteggio nella fig. 9.la. Lo sforzo di scorrimento unitario tra la parte metallica e quella di calcestruzzo vale F 1 =7:1 b,, essendo 7:1 il valore della tensione tangenziale all'estradosso dell'ala superiore del profilato e b1 la larghezza della stessa ala. Lo sforzo di scorrimento F,, che per tramite della 7:1 dipende dal taglio, deve essere fronteggiato con adeguata armatura (fig. 9.4); esso acquista in genere i valori massimi nei tratti estremi della trave, dove agisce anche l'influenza del ritiro del calcestruzzo (par. 9.4).

183

o, da cui: [9.11]

ove [rei. 9.4] : J=J,+A,d/+n (J.+Aada'),

[9.12]

n=Ea/E,.

[9.13]

Se si indica con:

[9.14] la tensione media in corrispoudenza del baricentro G della sezione totale (che certamente cade nella parte metallica), in due generici punti apparte-

184

Capitolo nono

Travi « miste »

nenti rispettivamente alle sezioni metallica e di calcestruzzo si ha, tenendo conto della tensione applicata alla soletta nella prima fase del calcolo e pensando il calcestruzzo non fessurato:

(di trazione) o all'altra (di compressione) e valere quindi (per la 9.15):

f

F=J<1• · dA= Aa

[9 .15] essendo, come si è detto, Y la distanza dall'asse neutro. Per quanto riguarda il valore del modulo E, di elasticità del calcestruzzo, si deve in particolare tener conto che, relativamente al ritiro, si ha a che fare con uno stato di tensione per1nanente.

185


~s.,

Yc

[9.16]

essendo Sa il momento statico, dell'area dell'acciaio rispetto all'asse neutro (v. fig. 9.ld). È appena il caso di osservare che si è fatto riferimento a una trave appoggiata, ma nulla sostanzialmente cambia, per quanto riguarda lo stato di tensione, se la trave, anzichè appoggiata, è a sbalzo.

9.5. Deformazioni.

Fig. 9.2

Il diagramma delle tensioni è indicato nella fìg. 9.ld; ad esso evidentemente non corrisponde alcuna caratteristica di sollecitazione, essendo il risultato di due sforzi N1 uguali e contrari; inoltre la congruenza è certamente soddisfatta, poichè cosi avviene in entrambe le due fasi del calcolo. Infine può essere opportuno osservare che la soluzione ottenuta comporta la presenza delle tensioni [9.15] anche alle estremità della trave, per cui, avendo supposto questa appoggiata, occorre annullarle, ossia applicarle alle sezioni estreme cambiate di segno (fig. 9.2). Però non corrispondendo ad esse alcuna caratteristica ,di sollecitazione, come è stato dianzi ricordato, i loro effetti non si fan risentire oltre i tratti terminali lunghi quanto la maggior dimensione della sezione della trave, per cui sulla sezione B-B1 (fìg. 9.2), le tensioni possono essere ritenute smorzate, beninteso per effetto delle azioni applicate alle sezioni estreme nella situazione correttiva considerata per rispettare le condizioni ai limiti. In detti tratti ha particolare importanza Io sforzo longitudinale di scorrimento tra calcestruzzo e acciaio che, per l'equilibrio alla traslazione di ciascun tronco terminale di nervatura o di soletta, deve eguagliare il complessivo sforzo normale applicato all'una

Il calcolo di un generico movimento di una qualunque sezione può essere effettuato facilmente impiegando il principio dei lavori virtuali, e considerando quindi, come sistema di forze equilibrato, l'azione unitaria (con il suo corredo di conseguenze) correlativa al movimento incognito. Per le travi a sezione mista isostatiche, venendo i calcoli spesso ricondotti agli schemi semplificati precedentemente detti, il momento d'inerzia J dev'essere determinato cercando di attribuire al coefficiente n il valore adeguato alle varie circostanze alle quali si è fatto ripetutamente cenno. Poichè si tratta di calcolare le deformazioni, occorre considerare reagente l'intera sezione, anche quando la soletta di calcestruzzo armato risulta moderatamente tesa ed è pressochè inevitabile la formazione di fessure capillari: in tale caso si adotta, s'intende, nt=Ea/Ect al posto di n=Ea/Ec', essendo Ec' ed E" i valori dei moduli di elasticità del calcestruzzo compresso e teso; ed è chiaro che la presenza cli nna permanente e sensibile tensione di trazione comporta in genere, con armature ben proporzionate e distribuite, diffuse microfessure, delle quali si può in qualche modo tener conto adottando per n, un limitato valore (si veda la nota 9.4). In particolare notiamo che, in conseguenza del ritiro del calcestruzzo, per una trave prismatica, ad esempio semplicemente appoggiata, la rotazione delle sezioni estreme e la freccia valgono (ammesso che E, possa essere ritenuto costante):
[a]

con M=N1d, (rei. 9.10); e relativamente al valore da attribuire al modulo di elasticità E, del calcestruzzo, occorre fare riferimento all'entità della tensione alla quale la soletta è sottoposta a causa sia del ritiro, sia dei carichi pern1anenti. Per il calcolo delle incognite staticamente indeterminate si ha anche la complicazione di non conoscere a priori quale sia l'ampiezza dei tratti aventi la soletta tesa o compressa e quale sia quindi il momento d'inerzia da attribuire ad essi. In genere conviene procedere iterativamente, considerando dapprima costante il rapporto n dei moduli d'elasticità; poi, determinati

Capitolo nono

Travi «miste»

i tratti soggetti a momento negativo, si ripete il calcolo del diagramma dei momenti tenendo conto questa volta della variazione del momento d'inerzia e determinando un nuovo valore della lunghezza degli stessi tratti. E cosi si prosegue;: in genere la convergenza è rapida e non conviene, per le nume-

Il diagramma a per n~15 e n~5 è riportato nella fig. 9.3b: dal valore di n è maggiormente influenzato il valore massimo della tensione del calcestruzzo (passa da 7,1 a 9,2 kg/cm') che quello dell'acciaio (da 165 a 154).

186

rose incertezze, affinare molto i risultati. Esempio 9.1.

b) Tensioni tangenziali conseguenti a T ~ 100 t. Si riportano in vari punti della sezione i valori deile tensioni per n= 15, indicando tra parentesi queIIi per n=5:

•(all'intradosso dell'ala metallica

Per la trave avente la sezione mista acciaio-calcestruzzo indicata nella fig. 9.3 calcolare i diagrammi delle tensioni per effetto del momento M= 100 tm, del taglio T~ 100 t e del ritiro.

183

r'"

1

145

187

•max~392

• (ali 'estradosso dell'ala

super.)~383

kg/cm' (392),

(392), infer.)~ 300

(282) ;

la tensione tangenziale media per la sola anima vale 20·3,2

•m~431

n=(/

b)/

a)

Le tensioni tangenziali sono poco influenzate dal coefficiente n (fìg. 9.3c). All'estradosso dell'ala superiore del profilato (dove l'acciaio è a contatto col calcestruzzo) si hanno le tensioni tangenziali e i conseguenti sforzi di scorrimento:

/ / " n=15

T

1 <{;=r

o

50

'=P134·2)

kg/cm'.

kg/cm'

o

100

7:( T=10ot)

cr(M=100tm)

100

300

300

kg/cm'

kg/cm'

cr(ritiro cak.)

per

n~ 15)

•~ 13,8,

F~552

per

n~5)

T=15,6,

F~624;

kg/cm,

agli sforzi di scorrimento (compresi quelli dovuti al ritiro) debbono resistere adeguate armature (fig. 9.4).

Fig. 9.3

a) Tensioni normali conseguenti a M= 100 tm. Per la sola tra ve metallica si ha Aa=655 cm 2

Ja=229 · 104 cm4 ,

,

da'=54 cm.

Per la trave intera, considerando n= 15 e la sezione ideale omogeneizzata (ridotta tutta a calcestruzzo) <11 •2> A~450

· 20+n · 655~ 18.825 cm' ;

dG' =distanza del barie. dal lembo infer. = 111 cm , J~[450

· 203/12+9000 · 62'] (cale.)+

+n [229 · 10'+655 (111-54)']

(acciaio)~ 10.117

Fig. 9.4

· 10' cm',

aa (lembo infer.)~n · 100 · 105 • 111/10.117 · 10'~164,6 kg/cm',

e) Tensioni conseguenti al ritiro del calcestruzzo. Si assume, a titolo esemplificativo,

a,ai,. (lembo super.)~-100 · 10 5 • 72/10.117 · 10'~-7,1 kg/cm'.

e,=30 · lQ-5 ( 9•3), (9.2) Ovviamente il risultato non cambia considerando la fittizia sezione omogenea di calcestruzzo o di acciaio: nel primo caso si ha:

a~=My/Jc,

a,.=nMy/Jc ;

nel secondo: a,.=My/Ja,

a,~

I

-

n

(My/J,) ,

[a]

[b]

con n=E,,/Ec; e le tensioni ottenute nel secondo sono identiche a quelle del primo, essendo J,,=Jcfn,

E,1 =100.000 kg/cm' (M),

9 3 < • l Il ritiro si aggira sul valore 40 · 10-5 ; ma si può assumere un valore ridotto per tener conto che una parte del ritiro avviene quando il calcestruzzo possiede un limitato grado d'indurimento. 9 4 C • > La trazione del calcestruzzo provocata dal ritiro può prevalere o no rispetto a un precedente stato di compressione: nel secondo caso (pensando la trave appoggiata una parte dei carichi permanenti in generale agisce sulla sezione completa) la trazione pro~ voca una decompressione, e il modulo di elasticità è quindi praticamente quello all'origine del diagramma a-e (ma, essendo le azioni di lunga durata, dev'essere poi ridotto, secondo

Capitolo nono

Travi « miste ))

riportando tra parentesi, per utili confronti, anche i risultati relativi a Ect= =50.000 kg/cm'. Per la sezione omogeneizzata (ridotta tutta a calcestruzzo):

lata dai valori dei rispettivi moduli di elasticità e dalla deformazione a lenta evolu~ zione propria del calcestruzzo. Si comprende quindi che il comportamento delle strutture «miste)), cosi come è stato trattato nel precedente paragrafo, schematizza rozzamente un fenomeno complesso che è già stato oggetto di estese indagini teoriche e sperimentali.

188

A.=655 cm',

A,=450 · 20=9000,

d=119 cm,

a. (rei.

A=9000+20 · 655=22.100 cm' (35.200),

9.1)=48,5 (30,4)'

d,=70,5 cm (88,6),

J=(450 · 20'/12+9000 · 70,5 2) (calc.)+20 (229 · 10 4 +655 · 48,5') (acciaio)= = 121,6 · 10' cm' (186,8 · 10'), aG(rel. 9.14)=-244 kg/cm' (-153),

]G (rei. 9.11)=78 cm (59,9),

244 a. (lembo infer.; rei. 9.15)=73 24,5=77 (63), a. (lembo super.)=-

244

78 · 120,5=-377

(-308),

a"'1,, (lembo super.; rei. 9.15)=30 (1-0,827)=5,2 kg/cm' (4,9). Lo sforzo di scorrimento (rei. 9.16): s.=655 (54-24,5)=19.320 cm'' F=244 · 19.320/78=60,4 t (49,4). 9.6. Bibliografia. a) Il calcestruzzo quando viene sottop~sto a _uno stato di tensione, prolu;ngato nel tempo, manifesta, dopo una deformaz~one «1stant_anea » (pressoche ela~tica s_e la tensione ha valore moderato), un ulteriore accresc1mento spontaneo de1 moVImenti: tale deformazione, detta «viscosa», tanto più sensibile quanto più il calce: struzzo è giovane, ossia di recente costituzione, raggiunge valor~ che normalmente s1 aggirano sul doppio di quello istantaneo, con _andan:ento assa.1 lent~, ave?te carat: tere asintotico, simile al decorso del ritiro. L'1mped1mento dei. mov1ment1 naturah conseguenti in un corpo alla viscosità e al ritiro dà lu~go ovviamente a uno s~a~o di tensione: così accade, ad esempio, per le strutture in conglomerato cement1z10 armato o precompresso, e segnatamente per quelle ~ette «com~os~e », o anche «miste» («Verbundtriiger)} in lingua tedesca, « Compos.1te ~eams » 1n 1ngle:se) comprendenti una soletta di calcestruzzo, ad armatura ord1n~r1a o pr~tesa, sol~dale con una trave metallica; ed è ovvio che, per la n~tura. stat1cai_nent~ 1ndet~rt?1~ata del problema, la collaborazione delle parti costituite dai due diversi mater1ah sta rego-

quanto è stato accennato nel par. 9.2a). Nel primo caso le cose sono più incerte: la resistenza a trazione del calcestruzzo può essere calcolata con la formula Rc1;;;8+0,06 R/ (in kg/cm 2, indicando con R/ la resistenza a compressione; "."· bolle~tino ~it. nella nota 9.1, p, 77); per il modulo di elasticità E01 del calcestruzzo teso si ve~a 11 cap1t<;ilo.I del vol. II, parte 2a. Relativamente al calcolo delle deformazioni di elei;t1-e~t1 st~utturah d~ calcestr.uzzo permanentemente e sensibilmente tesi (par. 9.5), o delle azioni stati~mente. 1n~etenmnate dipendenti da tali deformazioni, si è soliti adottare un valore ~asso (a titolo d1 one~tam~nto Ec =50.000 kg/cm 11) per tener conto in modo approssimativo ~ella ~rest:nza d1 m1c:ofe~surazioni, la cui entità è fortemente condizionata dal tempo d1 applicazione del ~anco e dalla tensione delle barre di acciaio, alle quali deve essere com1:1-nque affidat.o l '~ntero sforzo di trazione. In seguito a tutto ciò appare evidente quantm siano notevoli le incertezze e le approssimazioni.

189

b) Le strutture «miste)> e le questioni ad esse relative sono state particolarmente trattate nelle seguenti opere: E. M6RSCH, Statik der GewOlbe und Rahmen, Stuttgart, Wittwer, 1947, parte A, p. 442. - K. SATTLER, Theorie der Verbundkonstruktionen, Ernst, Berlin, 1953. - F. SCHLEICHER, Taschenbuch fiir Bauingenieure, cap. «Stahlbau », p. 715, Springer, Berlin, 1955 (con ampia bibliografia). I. M. VIEST, R. S. FoUNTAIN, R. C. SINGLETON, Composite Construction in Steel and Concrete for Bridges and Buildings, McGraw-Hill, New York, 1958. - B. FRITZ, Verbundtrllger, Springer, Berlin, 1961. - H. WIPPEL, Berechnung von Verbundkonstruktionen aus Stahl u. Beton, Springer, 1963. - I. M. VIEST, «Composite Construction l>, cap. XIV del Structural Engineering Handbook, ed. da E. e C. Gaylord, McGraw-Hill, New York, 1968 (un breve par. anche sul calcolo limite). - S. I. CoLOMBINI, Le strutture miste acciaio-calcestruzzo, Roma, Cavalletto, 1975. e) Tra le numerose memorie ricordiamo per il loro particolare interesse: F. STt.iSSI, « Profiltriiger, kombiniert mit Beton, auf Biegung beansprucht » (esperienze), IVBH, Kongress Paris, 1932. - H. WoLF, « Stahlskelett u. Eisenbeton als kombinierte Bauweise », Beton u. Eisen, 1932. - M. L. BAES, « Poutrelles métalliques enrobées l>, Ossature metallique, Bruxelles, 1933. - H. MEIER-LEIBNITZ, << Versuche iiber das Zusammenwirken von I Triigern mit Eisenbetondecken )}, Bautechnik, 1941, p. 265. - A. ALBRECHT, « Der Verbundtriiger », Sch-weiz. Bauzeitung, 1945, nn. 2, 4 (esper. statiche e dinamiche in laboratori Svizzeri e di altri Paesi su travi «miste l>, con particolare riferimento a diversi tipi di collegamenti; citati i primi lavori su travi «miste»). - H. FROHLICH, « Einfluss des Kriechens auf Verbundtriiger 1>, Bauing., 1949, p. 300; 1950, p. 80 (« Theorie der Stahlverbund-Tragwerke »; confronto dei calcoli eseguiti con vari metodi su 3 diversi tipi di sezione; cenno allo stato limite). F. DrsCIDNGER, << Stahlbrilcken im Verbund mit Stahlbetondruclcplatten ... l), Bauing., 1949, p. 321. - W. KLINGENBERG, « Schubsicherungen », Bauingenieure, 1950, p. 77, [analisi critica di vari tipi di collegamenti (« connectors )) in inglese), con riferimento anche a risultati sperimentali eseguiti in America (Proc. ASCE, 74, 1948, p. 287) e in Svizzera (Schweiz. Bauz. 125, 1945, nn. 2-4; cit. in seguito). Il fascic, 3 dell'annata 1950 della rivista Bauingenieur è dedicato al convegno sulle «StahlverbundBauweise i> tenutosi nel dicembre 1949 in Hannover; il fascicolo si conclude con varie relazioni su ponti realizzati]. - K. ZENDLER, «Beitrag zur Entwicklungsgeschichte der Verbund-Trligerdecke », Bauing., 1950, p. 88 (dedicato alle coperture; esiti di prove su modelli). - B. FRITZ, « Vorschliige fiir die Berechnung durchlau~ fender Triiger in Verbund-Bauweise )}, Bauing., 1950, p. 271. - F. LEONHARDT, «Gedanken zur Baulichen Durchbildung von Durchlauftriigern in Verbund-Bauweise », Bauing., 1950, p. 284. - D. FucHs, « Versuche mit Spannbeton Verbundtriigern l), Bauing., 1950, p. 289 (prove spinte a rottura su un modello con soletta precompressa). - O. GRAF, « Versuche iiber den Verschiebewiderstand von Diibeln filr Verbundtrliger », Bauing., 1950, p. 297 (prove su modelli per saggiare il comportamento di vari tipi di collegamento). - R. BusEMANN, «Kriechberechnung von Verbundtriigern unter Benutzung von zwei Kriechfasern l), Bauing., 1950, p. 418. G. KRALL, «Armature metalliche, centine per ponti in c. a. e nuovi metodi d'impiego informati alla viscosità dei calcestruzzi », Ingegneria ferroviaria, Roma, maggio 1950. - W. KLlNGENBERG, « Verbundbauweise im Strassenbriickenbau gegenwiirtiger Stand und uberblick tiber laufende Versuche », Bauing., 1952, p. 186 (citate le esperienze di vari ricercatori; in particolare una di O. GRAF riguardante una trave «mista)) sottoposta a vibrazioni). - R. HfilLIG, « Zur Theorie des starren Verbunds »,

190

Capitolo nono

Stahlbau, 1953, p. 85. - K. SATTLER, «Die Fliessichereit von Vollwand-Verbundkonstruktionen », Bautechnik,, 1953, p. 153; 1954, p. 72 (« Ein einfache Naherungsberechnung fiir statisch unbestinunte vollwandige Stahltriigem-Verbundkonstruktionen »); Beton u. Stahlbetonbau, 1954,

p. 8 (« Kriecken u. Schwinden bei Vor-

gespannten Verbund - Stahlbeton Konstruktionen u. beliebigen Stahltragem Verbundkonstruktionen (procedimenti di calcolo anche approssimati per l'analisi di strutture «miste» staticamente determ. e indeterm., con o senza precompr., soggette a viscosità e ritiro). - K. KLOPPEL-H. WEIHBRMULLER, «Versuche mit Verbundtragern », Stahlbau, 1954, p. 121 (accurate esperienze con diversi tipi di collegamento). - E. MuLLER, « Beitrage zur Ermittlung der Kriechabhiingigen Spannungen von Verbundtrtigern 1>, Bautechnik, 1955, p. 145. - F. DE MIRANDA, «Le distorsioni elastiche impresse nei ponti a travata continua in sistema misto acciaio-calcestruzzo », Costruzioni metalliche, 1960, n. 4. - P. MATILDI, «Influenza della viscosità e del ritiro dei calcestruzzi giovani sul comportamento delle strutture miste in acciaio-calcestruzzo», Rendiconti (1962) del Corso di perfezionamento per le costruzioni in cemento armato, Tamburini, Milano, 1964, p. 96 (ampia, chiara trattazione, con analisi critica dei principali metodi di calcolo). - R. G. SLUITER e G. C. DruscoLL, « Flexural Strength of Steel-Concrete Composite Beams )), Proc. ASCE, aprile 1965. - R. G. SLUTTER e J. W. FISHER, «Fatigue Strength of Shear Connectors" Highway Research Board, 1965. - F. DE MIRANDA-M. MELE, «Travate da ponte presollecitate in acciaio e cemento armato collaborante l>, Costruzioni metalliche, 1972, n. 3. d) Il sistema misto acciaio-calcestruzzo si presentò come soluzione naturale nella realizzazione dei ponti in acciaio, e sono numerosi gli articoli che ne hanno descritto le caratteristiche. Vari esempi di impalcati di ponti (oltre a quelli riportati, come si è detto, nel fase. 3, 1950, della rivista Bauingenieur) sono stati riportati da F. Sri.issi, «Trager in Verbundbauweise », EMPA -Bericht n. 149, Ziirich, 1944. Un notevole esempio, per quel tempo, di un ponte a travate continue di 4 campate a Zagabria Umax~55 m) venne descritto da J. EREGA, Bauing., 1941, p. I; per la stessa opera un interessante confronto tra i valori sperimentali e teorici (n=6) è stato presentato da F. ScHLEICHER, Bauing., 1950, p. 101. Numerosi anche i riferimenti riguardanti le ossature degli edifici (si veda, per esempio l'art. cit. di ZENDLER). Accurate esperienze con sollecitazioni ripetute (500.000 cicli) su un viadotto di acciaio-calcestruzzo comprendente campate appoggiate di 20 m di luce sono state accuratamente illustrate da L. DONATO, L. SANPAOLESI, E. LEPORATI, «Esperienze a fatica e misure dinamiche su un viadotto di acciaio-calcestruzzo l>, Atti dell'Istituto di Scienza delle costruzioni dell'Università di Pisa, vol. XIII, 1973.

CAPITOLO

X

L'IMPIEGO DELLE SERIE DI FOURIER NELLO STUDIO DELLE TRAVI (PRISMATICHE E ANULARI)

10.1. Premessa. 10.1.1. Serie e coefficienti di Fourier. a) Si definisce serie trigonometrica una somma del tipo

b,+t;a. sen nz+f;bn cos nz, n=l

(10.1]

n=l

in cui ogni termine comprende una costante moltiplicata per il seno o il coseno del multiplo, secondo il numero intero n, dell'argomento z; la costante è detta an1piezza, e coincide col massimo valore che può acquisire il relativo termine. Se i coefficienti b, e bn sono nulli, la [IO.I] è detta serie di seni; se sono nulli i coefficienti an, è detta serie di coseni e la costante b0 può essere riguardata come il suo primo termine, ottenuto ponendo n=O. Una serie trigonometrica, quando converge, evidentemente rappresenta

una funzione f(z) periodica di periodo 2n, essendo periodici tutti i suoi termini; per cui è sufficiente esaminarla in un qualunque intervallo di ampiezza 2n, quindi, ad esempio, da ~n a n, da O a 2n. Viceversa, una funzione f(z) definita in un intervallo O:o;;z<2n può essere rappresentata, sotto certe condizioni, con una serie trigonometrica e venire quindi scritta

f(z)=b,+Lan sen nz+t;bn cos nz. n=l

(10.2]

n=l

Si dice allora che laf(z) è sviluppata in serie cli Fourier; e le costanti b"' an, bn vengono chiamate coefficienti di Fourier. Infatti fu Jean Baptiste Fourier, in una sua memoria presentata nel 1807 all'Accademia di Francia, dopo le soluzioni in forma sinusoidale di Taylor e di Bernoulli relative al problema delle corde vibranti, a indicare per primo la possibilità di rappresentare una funzione nella forma 10.2. La sua idea segnò uno storico passo nell'evoluzione del pensiero matematico e fornì un

potente mezzo di risoluzione delle equazioni differenziali, ancora pienamente attuale, che dallo stesso Fourier venne impiegato per i suoi fondamentali

Capitolo decimo

Serie di Fourìer nello studio delle travi

studi sulla trasmissione del calore; e che soprattutto consente, s'intende sotto determinate condizioni, d'interpretare ogni funzione, di conseguenza ogni fenomeno ad essa collegato, come somma di infinite funzioni elementari opportunamente ordinate e dosate, con l'evidente vantaggio di potere uti-

In modo ai:a!ogo si r!cavano i valori degli altri coefficienti: quelli hn, moltiplicando ~ntramb11 membn della.[10.2]_per co~nz·dz,_anzichè per sennz·dz, e integra;ido, la costante h0 , con diretta 1ntegraz1one de1 termini della serie moltiplicati per dz.

lizzare su scala generalizzata le loro semplicissime proprietà. Si ritenne quindi, sotto certi aspetti con giusta ragione, di aver detern1inato l'elemento primigenio delle funzioni, così come è stato per l'infinita gamma dei colori e dei suoni, riconducibili sempre a componenti fondamentali. In particolare il confronto si poneva con i suoni realizzati con strumenti a corda che, per quanto complessi ed elaborati, comprendono i suoni puri corrispondenti ai

Le espressioni dei coefficienti [10.3] sono state ottenute dando però per sco~tata la rapi:resentabilità di una funzione con una serie trigonometrica,

192

più semplici andamenti assunti dalla corda; andamenti che per l'appunto hanno forma sinusoidale. E in riferimento a tale «modello musicale », i termini delle serie di Fourier vennero chiamati «armoniche». b) Lo stesso Fourier definì quale dev'essere l'espressione dei coefficienti b,, an, bn affinchè la serie trigonometrica rappresenti una funzione f(z) assegnata. Ammessa la convergenza della serie ad essa e considerate lecite certe integrazioni termine a termine, egli ottenne: 1 2n b,= Zn { f(z) dz,

'"J, f(z) sen nz dz,

a.=I n

'"J f(z) cos nz dz,

bn=1 n

[10.3]

o

con la costante b, che evidentemente corrisponde al valor medio della funzione data. Fourier adottò un metodo già indicato da Eulero alcuni anni prima per un caso particolare. Volendo, ad esempio, esplicitare an, egli notò che basta moltiplicare nella relazione [10.2] tanto la /(z) quanto tutti i termini della serie per sen nz · dz, poi integrarli nei limiti 0-2n: allora è facile constatare che i termini si annullano tutti, eccettuato quello contenente an, che risulta pertanto definito. Infatti, avendosi 2n

2n

f

f

cos

sen nz dz=O,

mz · sen nz dz=O,

o

per qualsiasi n, m si annullano h0 e tutti i termini della serie dei coseni; ed essendo l'integrale 2n

f

sen mz · sennz dz

o

nullo per m=l=n ed uguale a n per m=n, vengono eliminati anche tutti i termini contenenti am, per qualunque m, ad eccezione di quello avente I'ampiezza an. Per cui rimane 2n

f

2n

f

f(z) sen nzdz=an sen 2 nzdz=ann.

o

193

ossia no~ considerando sotto_ quali condizioni la rappresentabilità possa essere legittimata: Per quanto nguarda tali condizioni, definite principalmente per merito d1 D1r1chlet e di Riemann, ci limitiamo ad osservare che assai frequentemente esse sono rispettate nei problemi ricorrenti nell'analisi delle strutt~re; e che se la funzione è discontinua in un punto, la serie di Fourier associata ad essa fornisce, se converge, la media aritmetica dei valori che la /(z) acquista immediatamente alla sinistra e alla destra dello stesso punto. e) Le serie di Fourier definibili nei problemi riguardanti le strutture pres~n~ano convergenza in genere buona, non di rado tanto rapida da poter

!mutare la somma al solo primo termine (oltre s'intende ab,), il quale viene spesso chiamato «armonica fondamentale», mentre sono denominati «armoniche superiori » i rimanenti termini; e si dice che viene fatta «l'analisi armonica» di una funzione quando si determinano i coefficienti della serie di Fourier associata. Ricordiamo inoltre, sempre in tema di proprietà generali, che qualora la funz10ne f(z) sia periodica con periodo 2n, la serie di Fourier associata, se converge, è uguale ad essa per qualunque valore di z ossia anche fuori dell'interva!lo 0-2n. Se la /(z) non è periodica e ci inte;essa rappresentarla In un solo intervallo, la serie di Fourier corrisponde a una funzione periodica che può coincidere con la funzione data soltanto in quell'intervallo: qnindi nell'espressione [10.2] non è lecito usare il segno di uguaglianza; o se per c~mod1tà lo si mantiene, dev'essere chiaro che la rappresentabilità si riferisce solamente allo stesso intervallo. S~ una serie di Fourier associata a una funzione f(z) diverge, la serie ottenuta mte!';'.andola t~rmine a te:mine converge e rappresenta l'integrale di/(z), q~alora s mtende sia mtegrab1le la stessa f(z); e poichè l'integrazione «migliora>> la convergenza di una serie di Fourier, è chiaro che la derivazione la peggiora; fatto, questo, che frequentemente avremo occasione di constatare. Quando si impiegano le serie di Fourier nella soluzione delle equazioni diffe:enziali, è opportuno aver presente che a ognuna delle due classi di funz1on1 componenti la stessa serie Q'una di seni, l'altra di coseni) compete un proprio corredo di condizioni ai limiti che occorre confrontare con le condizioni connesse col problema in esame. Per quanto concerne l'impiego delle serie di Fourier nel calcolo delle travi prismatiche e anulari, ricordiamo che notevoli vantaggi si possono ottenere nello studio di casi aventi iperstaticità diffuse, ma è principalmente per la soluzione delle lastre caricate nel piano o inflesse che l'utilità può essere di grande rilevanza. 13 -

POZZATI, ll-1.

Capitolo decimo

194

Serie di Fourier nello studio delle travi

195

10.1.2. Osservazioni. Proprietà dei termini delle serie.

a) Simmetrie e antimetrie presentate dai termini della serie. Il riconoscimento di alcune proprietà dei termini di una serie trigonometrica può essere utile sia per rendersi conto delle ragioni che dan luogo a certi frequenti risultati dell'analisi armonica, sia perchè le funzioni da rappresentare godono spesso di particolari caratteri di simmetria o di antimetria che possono esser messi in relazione con quelli dei termini della serie. Cominciamo con i termini an sen nz, per alcuni dei quali la fig. IO.la riporta l'andamento, con l'origine degli assi in O. Dalla stessa figura è quindi immediato constatare che l'ordine n corrisponde al numero delle semionde nel mezzo intervallo e che tutti i termini sono antimetrici rispetto ai punti di ascissa O, n, 2n, per cui frequentemente si dice che essi hanno carattere d'antimetria; pur essendo opportuno in sottordine osservare che altri ana~ loghi rilievi sarebbero possibili, e che ad esempio i termini a denominazione dispari (n=l, 3, 5, ...) presentano, contrariamente agli altri pari, simmetria rispetto a n/2. È evidente che tali proprietà si presentano completamente rovesciate per i termini bn cos nz (fig. 10.lb), per i quali si dice invece che

Fig. 10.1

!

I

hanno carattere di simmetria.

rt

Deriva da ciò che, in definitiva, ogni funzione f(z) risulta espressa dalla sovrapposizione di termini simmetrici e antimetrici, per cui, a seconda delle

sue caratteristiche, spesso possono senz'altro venire esclusi o. gli uni o gli altri; inoltre la costante b0 , facente parte dell'insieme dei termini simmetrici,

è evidentemente nulla, per la prima delle relazioni [I0.3], se la funzione data ha ordinata media nulla, come ad esempio avviene quando essa rappresenti un sistema di forze equilibrato. Volendo chiarire con un esempio quanto è stato detto, consideriamo la funzione periodica a gradino della fig. I0.2: utilizzando le espressioni [I0.3] si trova facilmente b,=0, bn=O,

'"J f(z) sennz dz=-f, 2 "J sennz dz=---' 2J; (cos nz),"; n nn

1 a,=n

0

ì µ.

•

b)

j!

! 1 t::---1 . 1~1~

[I0.4]

Fµ

I '

I_........

0

ma (cos nz ): si annulla per n pari ed è uguale a - 2 per n dispari, per cui

4[, an=--, n:n:

(n= l, 3, 5, ... )

4[, sennz f(z)=J;a, seu n z = - J ; - - . n=l n n n

(n= I, 3, 5, ... )

[10.5] Fig. 10.2

[10.6]

Ma l'annullarsi di una parte dei suoi termini può essere rilevata immediatamente notando che l'ordinata media è nulla per l'intervallo 0-2n (quindi b,=0); che, essendo l'andamento antimetrico rispetto agli estremi, risulta bn=O; ed essendo simmetrico rispetto a n/2 si annullano i termini sen nz di indice n pari (fig. IO.la). Lo stesso esempio consente di rendersi conto come

Fig. 10.3

si attua il graduale avvicinamento alla funzione data al crescere di n: con la prima sinusoide (n= I) si ottiene dalla [I0.6], nel centro (z=:n:/2), il valore J;=4[?/:n:;;:..1,273 [, (fig. I0.2b); il secondo termine (n=3) comincia a correggere il precedente andamento, e insieme col primo fornisce, nel centro (fig. I0.2c),

~

(1-+)=0,849[,; e così di seguito.

Capitolo decimo

Serie di Fourier nello studio delle travi

Notiamo inoltre che, ponendo l'origine nel centro di nn gradino (figura I0.2d), si ottiene analogamente, dalle [I0.3], b,=0, an=O,

È chiaro a colpo d'occhio che lo sviluppo di una funzione impulsiva non converge; ma possono convergere, come vedremo in seguito a proposito di un carico concentrato, le sue conseguenze (e son quelle che interessa conoscere), d'accordo con quanto è stato detto sul miglioramento della convergenza connesso con l'operazione d'integrazione (par. IO.I.I). Inoltre si è già accennato alla possibilità di ottenere l'espressione del coefficiente di una funzione continua utilizzando la [IO.li] relativa a una funzione impulsiva. Ad esempio per il caso della fig. I0.3c, si ha dF=

196

'"f

I h.=n

4 /(z) cos nz dz=-f, :n;

0

"''f 0

4J; (sen nz),"i'; cos nz dz=--' nn

n-I nn ma (sen nz),"12 si annulla per n pari, e per n dispari vale sen 2=(-I) 2 ' quindi 4J; n- I cos nz [10.7] f(z)=J::b.cosnz=-' L; (-!) 2 - - ; n :n; ~~··· n

=f(z) dz=f,z dz, e quindi, dalla [IO.IO],

"

~

(1-+++-.. )=1,.

'+'f

na.= f(z) sen nz dz=

(2•-,+')I

+

nn

"f:

0

2/, 2/, =---cos nn=-(-I)n+I. nn

[10.12]

n11:

Se la funzione impulsiva ha carattere di simmetria (fig. I0.3d) si ottiene, procedendo in modo analogo

I valori dei coefficienti di Fourier relativi a varie funzioni ricorrenti si troveranno raccolti nelle tabelle IO.I, 10.2 al termine del presente capitolo. Una citazione particolare può essere opportuna per la rappresentazione di una funzione impulsiva essendo possibile dedurre da essa, per integrazione, altri casi. Volendo esprimere con una serie trigonometrica la funzione indicata nella fig. I0.3a, si ha evidentemente, per la sua natura antimetrica, b,=0, b.=O, come d'altronde si ottiene impiegando le relazioni [10.3]. Da queste risulta inoltre

o

011:

[I0.8]

b) Il caso della funzione impulsiva.

'"f

"f

2dF 2J; an= --sennz=~ nz· sennz· d(nz)=

ed è facile constatare che tale serie fornisce risultati coincidenti con quelli dell'espressione [I0.6]: infatti, ad esempio nel centro (z=O), come con la [10.6] si ottiene

f,

197

2F hn=-cosne.

"

e) Cambiamento di denominazioni.

Se il mezzo periodo viene indicato con a anzichè con n, e se si indica con x la corrispondente variabile, si deve porre nella relazione [I0.2] z=nx/a; quindi Io sviluppo in serie può essere scritto

f(x)=b,+f; an senanx+f bn cos a.x, I

/, sen nz dz+ [I0.9]

f 0 sen nz dz=---;- sen ne sen nO .

e le espressioni di b,, a., bn sono ancora date dalle [I0.3], che diventano pertanto

(2n-e-<'J)

Quindi il coefficiente della funzione impulsiva della fig. I0.3b può essere dedotto dalla precedente espressione ponendo F=/, 2b, e facendo tendere b sennb) . a zero ( nO -+ 1 ; per cui si ottiene 2F an=-- senne,

1 b,=2a

"Jt
[IO.li]

"J

I /Cx) sen a.x dx, a.=a -a

-a

[I0.15)

I ].f(X)cosa.xdx. h.=-

a

[IO.IO]

"

oo 2F w f(z)=J:: a. seu nz=-J:: senne sen nz. I n I

[10.14]

I

dove

e-d

4j,

[I0.13]

-a

x

Negli integrali definiti [10.15] la variabile è stata indicata con per evitare di confonderla con x quando le stesse relazioni [I0.15] vengano sostituite nell'espressione [I0.14]; ma s'intende che, se tale possibilità di equivoco non sussiste, può essere impiegato il medesimo simbolo.

199

Capitolo decimo

Serie di Fourier nello studio delle travi

Quando una funzione periodica si sviluppa lungo una circonferenza di raggio r, e il suo periodo interessa una parte 2ff,r dello sviluppo della stessa circonferenza (con 2,, multiplo di 2ff,), la sua rappresentazione con serie di Fourier è ancora possibile, purchè nella [10.14] si ponga

Nella tabella 10.1 sono riportati i valori dei coefficienti di Fourier per alcuni casi ricorrenti. Quindi la funzione carico è nota e può venire espressa con lo sviluppo in serie [10.17] q(x)=fq. sena. x; (an=n,,/l)

198

x={}r;

n=l

n" n" pertanto l'argomento an x=---;;- X diviene a. ff=Tff. In particolare, per {}

0

'

=;n;, nelle relazioni [10.15] è da porre a=nr,

la linea elastica, mantenendo il carattere di antimetria della causa dalla quale è prodotta, è anch'essa esprimibile con una serie di seni

v(x)=

[10.16]

x=1Jr,

10.2. L'impiego delle serie di Fourier nello studio delle travi prismatiche.

f

Vn

sen an

[10.18]

(a.=n,,/l)

X,

n=I

ma ha le ampiezze "• incognite. Il legame tra le due funzioni è fornito dall'equazione differenziale EJ v'v=q; per cui, derivata l'espressione [10.18], per il principio di identità delle serie sussiste la relazione

10.2.1. La trave appoggiata.

[10.19]

(a.=n,,/l)

a) Condizione di carico qualunque. Evidentemente nulla cambia se si considera la trave appoggiata quale tratto di una trave comprendente infinite campate caricate antimetricamente

dalla quale risulta [10.20] Una volta nota l'ampiezza

Vn,

risulta determinata la linea elastica e ogm

altro effetto (q;=v', M=-EJv", T=-EJv'"); per cui si ottiene (a.= v( )=-1_•_ Eoo q. sen a. X x n 4E'J 1 n4

t

~,4 e)

i

i

t

p~,J.,,.i .LSO

Fig. 10.4

u

d) ~·'1t

12 Eoo q. sen a. x

M(x)= 2 " '

2t i i i i

I

i

p~',[

:A

l'una rispetto alle adiacenti (fig. I 0.4): infatti essendo antimetrica la condizione di carico (quindi ogni sua conseguenza) rispetto ai punti x=O, x=l, in tali punti, poichè risultano nulle le quantità che hanno carattere di simmetria (v=O, M=O), vengono rispettate le condizioni di vincolo della trave appoggiata.

n

2

'

,

/

3


Eoo q. cos a. n' 1

I !f. q. cos a. x

T(x) =-"'-' " '

n;)

X

' [10.21] ·

n

In definitiva la prima cosa da farsi è il calcolo dell'ampiezza qn dipendente dal dato del problema, che è il carico (tab. IO.I). Da essa si ottiene poi ogni altra quantità sviluppando la relativa somma, la cui convergenza è alle volte tanto notevole (specialmente per gli spostamenti) che è possibile ottenere buone approssimazioni anche limitandosi al solo primo termine, ossia all'armonica fondamentale (es. IO.I): naturalmente, per un dato carico, la convergenza dello sviluppo è più rapida per lo spostamento v di una sezione che per la sua rotazione
Serie di Fourier nello studio delle travi

Capitolo decimo

200

b) Effetti di una coppia concentrata in un punto generico.

La linea elastica v (quindi ogni altra conseguenza) dovuta a una coppia M= 1, concentrata alla distanza generica e da un appoggio, può essere dedotta derivando, rispetto alla variabile e, l'espressione della v relativa a un carico P= 1 concentrato nel medesimo punto (es. 10,1). Si può infatti pensare di realizzare la coppia di momento unitario mediante due carichi normali all'asse, agenti con un braccio L1e pic1 colissimo (fig. 10.4), aventi i valori (tra loro uguali e opposti) ±Te; allora se i;(e) è

201

La trave è appoggiata alle estremità: il carico e la linea elastica possono essere rappresentati con le sole serie di seni, secondo quanto è stato visto nel par. 10.2.la; quindi si ottiene, operando sull'equazione [a] e tralasciando il fattore comune sen an x,

e in definitiva

l'effetto di un carico P=l concentrato alla distanza e, entrambi i carichi producono 1/Lle [i;(e+Lle)-i;(e)], quindi, passando al limite, lo stesso effetto provocato dalla coppia risulta di;/de (v. es. IO.le).

[I0.25]

e) Carico radente lungo uno dei lembi (fig. I0.5).

Ad esempio sia applicato, lungo l'estradosso, il carico parallelo all'asse t(x)=l: fn cos Un x;

(u.=n n/l)

[10.22]

n

e) Trave inflessa e soggetta a sforzo normale, vincolata a un suolo elastico (appoggiata alle estremità).

L'equazione differenziale è quella vista nel cap. VII.

tale condizione di carico può essere utile per studiare insiemi di travi giacenti anche in piani diversi e collegate lungo i lembi.

-t- ~..L--··----

Fig. 10.5

il carico (che interviene nella definizione di Mtr) possono essere rappresentati con sole serie di seni. Però Mtn che è il momento provocato dai carichi trasversali,

l

in questo caso è conseguente tanto alle azioni esterne quanto alla reazione del suolo, ed è quindi esprimibile con la terza delle relazioni [10.25]. Pertanto, sostituendo nell'equazione [b] ed eliminando il fattore comune sen anx, si ottiene

l

In una generica sezione alta h si ha (le azioni t · dx hanno, lungo l'intero lembo della trave, risultante nulla, e sono quindi nulle le reazioni degli appoggi) fn N(x)= } t(x) dx=l:- son un x, n

[b]

e al solito, essendo la trave semplicemente appoggiata, tanto la linea elastica v quanto

t(x)~ff tn cosanx

1Fx t

EJv"=-Mtr-Pv,

a.'+kb/EJ

da cui si ricava vn e in definitiva v=J: Vn sen an X,

Un

X

[10.26]

Pvn,

1

[10.23]

M(x)=EJ

J:1 an

2

Vn

sen an

X.

[I0.27]

Esempio 10.1. quindi, essendo M = seni, si ottiene

-

EJ v", ed esprimendo al solito anche la v con una serie di

v=Evnsenanx,

Vn=

[10.24]

Trave appoggiata agli estremi, soggetta a varie condizioni di carico, studiata impiegando le serie di Fourier. a) Carico ripartito uniformemente:

n

4q nn

qn (tab. IO.I)=- ; d) Trave appoggiata alle estremità, su suolo elastico.

Nel cap. VI abbiamo visto che per una trave prismatica posata su vincoli elastici tra loro vicinissimi vale l'equazione differenziale d'v EJ dx' =q(x)-kbv,

freccia (rei. I0.21, x=l/2):

[a]

indicando con k il modulo del " suolo " ideale al quale può venire assimilata l'azione dei vincoli, e con b la larghezza della sezione a contatto con lo stesso suolo.

e tenendo conto soltanto del primo termine, il coefficiente vale:

-4,= 0,01307 (invece di 0,01302, con l'errore di 0,38%); "

Capitolo decimo

202

Serie di Fourier nello studio delle travi

momento nel centro [rei. 10.21, x=l/2]:

203

Coppia applicata alla sezione estrema A (e=O); rotazione 'PA (x=O):

(dv)

Mo=:, ql' (1- 31' + 51' - .. .).

'PA(M)= dx

.-r=O

2Ml ~ 1 J; - . n EJ 1 n 2

(n=l, 2, 3, ...).

=2

[e]

e arrestando lo sviluppo al. primo termine, il coefficiente risulta: La somma ha una lenta convergenza: tenendo per esempio conto dei primi _±_=O 129 (invece di 1/8=0,125; errore di 3,2%);

"'

5 termini, la rotazione risulta, a meno di Ml/EJ, 0,2966 (invece di 0,333; errore

di 11%).

'

Coppia applicata alla sezione estrema A (e=O); rotazione
rotazione di un'estremità [re!. 10.21, x=O]: 4 ql' (

1

1

)


'Pa=7 EJ 1+3'+5'+ ... '

e arrestando lo sviluppo al primo termine:

2Ml ) = n 2EJ

J: cos nn 1

-n-,-;

2 ( -1+22-3'+ 1 1 ... ) ~

b) Carico concentrato nel centro:

2P 1

nn

2

[d]

tenendo conto per esempio dei primi 5 termini, la rotazione risulta, a meno di Ml/EJ:

0,04106 (invece di 1/24=0,04167; errore di 1,5%).

q. (tab. 10.1)=-- sen

(n=l, 2, 3, ...);

2P~ = - --(-1) 2 1

=-0,1699

(invece di O, 1666; errore di 2%).

freccia [re!. 10.21, x=l/2]:

d) Due coppie simmetriche applicate alle estremità.

Sovrapponendo le linee elastiche [re!. b] provocate dalle due coppie ±M ap-

plicate alle ascisse e, (l-e), si ottiene: e con il solo primo termine:

2=0 02053 "' '

(M)= 4Ml' J; cos an e· sen a0 x v n;SEJ n ns '

(invece di 1/48=0,02083; errore di 1,5%);

(n= 1, 3, 5, ...)

[e]

quindi:

momento nel centro [re!. 10.21, x=l/2]:

[/]

2 ( 1+3'+5'+ 1 1 ... ) ' M 0 =7Pl

10.2.2. La trave doppiamente incastrata.

e con il solo primo termine: ..2__=0,2026 (invece di 0,25; errore di 19%).

"'

e) Coppia applicata a una sezione estrema. . La linea elastica per effetto di un carico P concentrato alla distanza e dall'appoggio A, dove si pensa collocata l'origine degli assi coordinati, vale (re!. 10.21 e tab. 10.1): 2Pl3 ~ sen an e · sen an x [a] V (p ) = - - " -

n4EJ

1

n4

•

La linea elastica per effetto di una coppia di mom~nto uni~ario, applicata ~n 1;lll generico punto di ascissa e, può essere ottenuta der1va:id? rispetto alla. var1ab1le e l'espressione precedente con P=l (par. 10.2.lb), qumd1 (figura 10.4).

_ 2Ml2 _E cos ane · sen anx . v(M)- n'EJ. 1 n'

[b]

a) Come per la trave appoggiata, nulla cambia se al posto della trave incastrata si considera un tratto I di una trave comprendente infinite campate caricate simmetricamente (fìg. 10.6). Lo sviluppo in serie di Fourier [10.14] comprende i soli termini aventi carattere di simmetria; per cui interessa soltanto il calcolo dei coefficienti b., b., dei quali la tab. 10.2 riporta i valori per alcuni casi rilevanti. Può essere opportuna qualche osservazione sulla costante b0 : se, ad esempio, per la trave la configurazione è simmetrica (ossia simmetrica rispetto alla sezione di mezzeria), b0 è evidentemente nullo per la funzione che, comprendendo insieme i carichi e le reazioni, rappresenta un sistema necessariamente equilibrato, quindi di ordinata media nulla. La linea elastica, invece, contiene il termine costante incognito v0 , da calcolare con la condizione che lo spostamento delle sezioni estreme sia nullo (es. 10.2), d'accordo con la circostanza che il caso è staticamente indeterminato.

Serie di Fourier nello studio delle travi

Capitolo decimo

204

In genere il procedimento di calcolo è del tutto analogo a quello già visto per la trave appoggiata: si rappresenta con serie di Fourier il carico e le reazioni, poi, mediante la solita equazione differenziale (EJv'v=q), si determinano le ampiezze Vn. Anche per la trave su suolo elastico le cose sostanzialmente non cambiano, a parte il fatto che v, è da determinare con una condizione di equilibrio.

Inoltre risulta:

qza

cosa X n · n2 '

e.o

M=-EJv''=---2 L: 2n 1

ql' ( ad es., per x=O, M=- 2n 2

205

(n= 1, 2, 3, ...)

1 ql' f Jl2=12 , 00

essendo

1 "') f !ì2=6 · 00

b) Carico concentrato P nella mezzeria.

Sovrapponendo i due casi (2, 4) riportati nella tab. 10.2 (il valore medio è al solito nullo, essendo il complessivo carico equilibrato; 2a=l, an=2nn/l): 2P r.t> P e.o q(x)=- L: [-l+(-1)"] cos a.x= - - L;cos "n x, a 1 a i

(n= 1, 3, 5, ... )

4P

q.=--,-.

Procedendo come si è visto per il caso precedente, si ottiene:

'"' V =~ 4n4EJ -;i

(1-cos an x)

(il coefficiente relativo alla freccia

Fig. 10.6

n4

(n= 1, 3, 5, ...)

f

risulta, con il solo primo termine 1/2n 4 =

=1/194,8, invece di 1/192); M=-Pl Ecosanx

Esempio 10.2.

n2

Soluzione, in serie di Fourier, della trave incastrata soggetta a un carico uniforme e a un carico concentrato nel centro. a) Carico uniformemente ripartito.

Il termine costante b0 della serie che rappresenta le reazioni concentrate

P=ql (caso 2 della tab. 10.2) insieme con l'azione esterna q uniformemente di-

stribuita è evidentemente nullo, essendo il complessivo carico equilibrato. Pertanto si ha (2a=l): 2P oo a=~= q(x)= - -COS an X, • a I 1

2mt)

(

f

2P q.=--1-=-2q·

Linea elastica:

00

V=v 0

n

[ad es., all'incastro (x=O) e per n= 1 si ottiene M= -Pl/9,87 invece di -Pl/8]. Esempio 10.3.

Studiare, impiegando le serie trigonometriche, una trave di lunghezza illimitata, appoggiata su suolo elastico e soggetta a una serie di carichi equidistanti. La soluzione della trave su suolo elastico è già stata trattata nel cap. VI: in generale l'impiego delle serie trigometriche non offre particolari vantaggi; alle volte può essere utile per ricavare integrali particolari relativi a condizioni di carico complesse. Venendo al caso in esame, poichè i carichi e la reazione del suolo di modulo k (r=kbv) costituiscono un sistema equilibrato, si ha b,=0 quindi (caso 2 della tab. 10.2; 2a=l, an=2nn/l):

+.E Vn COS an X•

q(x)= L: (qn-kbvn)

1

n

Dall'equazione EJ v1v =q si ottiene:

00

1

an X,

(n=l, 2, 3, ...)

q.=2P/l.

la costante v0 è determinata dalla condizione che per x=O sia v=O, quindi:

=-l.:vn,

COS

con

EJan 4 Vn=qn;

V0

(n= 1, 3, 5, ...)

n2

ql'

00

v=---L: 81-éEJ i

(1-cos "n x) n4

;

ql' ( 1 1 ) f=v(x=l/2)= 8n'EJ 2 l+34+s<+ ... 4

(con un solo termine, il coefficiente numerico vale 2/8n =1/389,6 invece di 1/384).

Linea elastica:

v=v0 + Evn cos an n

(n=l, 2, 3, ...)

X,

dove (par. 10.2.ld) EJa.'v.=qn-kbv., quindi, posto:

e

kbl' 16n 4EJ'

"•

q. EJa.'(l+efn')

206

Capitolo decimo

Serie di Fourier nello studio delle travi

La costante v0 è determinata dalla condizione che la risultante delle reazioni del terreno relative a una campata eguagli P:

del periodo (fig. 10. 7), valgono ancora sia l'espressione dello sviluppo [10.14], sia le tabelle IO.I, 10.2, purchè in esse si ponga (par. IO.le):

f'

a=nr,

r · dx=P, da cui, essendo r=kbv, kv 0 bl=P,

207

[10.28]

x=fJr,

Una volta definita la funzione carico, si passa al calcolo delle sne conseguenze (rappresentate anch'esse con serie trigonometriche), utilizzando. le formule che legano la prima alle seconde: per l'anello circolare tali formule

(n= I, 2,3, ... ) dove il primo termine rappresenta Io spostamento che si avrebbe se la trave fosse indeformabile; 2 M=-EJv''=_!!_E n cosanx. 2 2:ri: n n4 +e

Ad esempio, per P=IOO t, J=IOOO dm'=l07 cm', 1=8 m, b=120 cm, k=5 kg/cm', E=2 · 10' kg/cm', si ottiene: 5 • 120 · 0,8' · IO"

16n' · 2 · 105 • 10 7

0,07884,

p

10'

kbl

5. 120. 800

PI'

8n'EJ

100. 10'. 0,8'. 10' 8·n'·2· I0'· 107

0,2083 cm,

0,0329cm,

PI 2n 2 =40,53 tm ;

quindi lo spostamento e il momento per x=O (dove agisce il carico) valgono, arrestando lo sviluppo ai primi 5 termini:

v(x=0)=0,2083+0,0329 (0,9270+0,0622+0,0123+0,0039+0,0016)=0,241 cm ; M(x=0)=40,53 (0,9270+0,2487+0,lll0+0,0625+0,0400)= =40,53 · 1,3893=56,3 tm. Per quanto riguarda il momento flettente può essere opportuno notare che il resto della somma, pressochè indipendente da e, vale 0,1813 (I l/n'=n'/6 per n=l, 2, 3, ... ); quindi il valore effettivo è:

a) Fig. 10.7

furono ricavate nel par. 4.2; e pertanto dovremo anche qui supporre che le dimensioni della sua sezione retta siano piccole in confronto al raggio e che un asse principale d'inerzia della sezione giaccia nel piano dell'anello. Il riferimento cartesiano (fig. 10. 7) sarà ancora quello indicato nello stesso cap. IV. 10.3.1. Carichi radiali (fig. 10.8).

M(x=0)=40,53 (1,3893+0,!813)=63,7 tm. Considerando il carico ripartito uniformemente si sarebbe ottenuto: M=Pl/12=66,7 tm. Fig. 10.8

10.3. L'impiego delle serie di Fourier nello studio delle travi ad anello. È già stato accennato che, volendo rappresentare una funzione con serie trigonometriche, nulla camhia se essa si sviluppa con andamento periodico lungo una circonferenza anzichè lungo una retta. Nel nostro caso, al solito, la funzione primaria da rappresentare è il carico con le relative eventuali reazioni dei vincoli, e debbono essere impiegate le serie di coseni o di seni a seconda del loro carattere di simmetria o di antimetria. Non staremo a ripetere le osservazioni già fatte, ancora tutte valide; ricordiamo soltanto che, se r è il raggio della circonferenza caricata, e se 2fJ,r~2nr è la lunghezza

Pensiamo il carico rappresentabile con nna serie di coseni e che quindi il suo generico termine: [a] sia simmetrico rispetto all'origine {}~O (in seguito ai sensi adottati per l'asse y, si ritiene positivo il carico rivolto verso l'interno). Considereremo inoltre le conseguenze dovqte alla generica armonica [a], potendo poi da esse passare alle somme e quindi ai valori globali. È evidente che le varie

208

Capitolo decimo

formule servono anche quando il carico sia rappresentabile, per propria natura antimetrica, con una serie di seni, essendo sufficiente, per i relativi suoi effetti, scambiare cos nfJ con sen n{} e viceversa. Mostriamo per questa prima condizione di carico i passaggi, essendo poi possibile trattare gli altri casi in modo del tutto analogo. Dalla prima e dalla seconda delle relazioni [4.1] si ottiene (ds=r · d{}; l'ordine di derivazione rispetto a {} viene indicato con un corrispondente numero di punti) N+N=-qyr, quindi:

N=N. cos n{},

u= un sen nfJ ,

u.=

q

r' [

n~".._1

2

r 1 ] n 2 (n 2 -l)EJ, + EA ·

Il caso n= 1 è privo di significato, poichè la corrispondente condizione di carico non è equilibrata.

qyn I'

N = --· n n2-J

Dalla prima delle citate relazioni (Ty=N):

dalla quarta

209

Serie di Fourier nello studio delle travi

Fig. 10.9

(M,= T"r):

10.3.3. Carichi normali al piano dell'anello (fig. 10.10). Il generico termine del carico, pensato agente verso il basso, sia qz=-qzn cos nfJ

.. Mzr 2 Infine, essendo v+v=-EJ [form. 4.4], risulta:

(senso opposto a quello dell'asse z, fig. 10.7)

' V=Vn

cos n{} ,

qzn r2 n-

EJ,(n'-1)'

Myn=-.--I,

EA . ed essendo N=-- (u-v) [form. 4.4]: r

u= un sen n{} ,

u.

qyn r' ( r' n(n'-1) EJ,(n'-1)

Mvn Mxn=--,

1 )

+ EA

n

· W=Wn

Le precedenti formule non valgono per n=O, n= 1. Nel primo caso si ha N=-qr, M,=0; nel secondo la condizione di carico non è equilibrata.

cos nfJ,

wn

q,. r< (n 2 -1) 2

[

1 EJ"

1

+ n GJ, 2

] ·

i

10.3.2. Carichi radenti (fig. 10.9).

I

Il generico termine del carico sia

Fig. 10.10

qxn

r2

n(n'-1)

I I

I casi n=O, n= 1 sono privi di significato, poichè le corrispondenti condizioni di carico non sono equilibrate.

•

10.3.4. Momenti esterni m., (fig. 10.11). Il generico termine del momento esterno sia

V=Vn

cos nfJ,

n(n'-1) 2EJ,'

[a] 14 -

POZZATI, ll-1.

Capitolo decimo

210

TABELLA

mxnr Mvn=--,-1,

Carichi a:ntimetrici mjJjJresentati con serie di Fourier_ q(x)=] q senan x ltfa,,= nati\ n=t n a I

n-

W=Wn

cos nff,

mxn r Wn

3

(n'-1)'

(

I EJy

+

10.J.

n

I ) GJ, .

Il caso n~ I è privo di significato, poichè la condizione di carico [a] non è equilibrata.

Fig. IO.Il

~ ~ 4.({Jj

.

'2

Esempio 10.4. Studiare, impiegando la serie trigonometriche, l'anello della fig. 10.12 (#0 =n,

IJ1 =n/8).

3

a) Valgono le formule ricavate nel par. 10.3.l con (condizioni 1 e 3 della tab. 10.2; a=nr, anx=nff, c=nr/8, ·ana=nn)

4q 1 nn qy(IJ)=qo+-X:- sen cosnlJ. 8 n n n

(n=2, 4, 6, ... ) 4

5

! illJl~q--- ~e~ !>l2cl< >l2cl< i ! i lp I · !

~
sq senan c.senan e 13 a an 1 ,s, ...

I

P1

I

iI

t,J,s, ...

Fig. 10.12

Il carico radiale uniforme q0 =q/4 provoca N=-qo r; i vari coefficienti della somma che rappresenta il carico valgono (per n=2, 4, ... , 10, e a meno di q)

6

0,4502; 0,3183; 0,1500; O; -0,0900. Quindi, ad esempio per IJ=O, M,(IJ=O)=qr' (0,1501 +o,0212+0,0043+0-0,0009)=0,175 qr'. b) Considerando l'anello soggetto a due forze P uguali ed opposte:

n+1

2q (_7)

7

a an

8

~~(-1) 2,

qyn=2Pjnr;

1 1 M,(IJ=O)=l-_ Pr (2._+- + - + · · ·), " 3 15 35 e arrestando ad esempio il calcolo a n=lO si ottiene 0,909 Pr/n (invece di Pr/n).

Bq

ri.n

a2

n-1

qs, ...

212

Capitolo decimo

Serie di Fourier nello studio delle travi

213

10.4. Cenni bibliografici. TABELLA

10.2.

Carichi· simmetrici mppresentati con serie di Fourier,, . = f. n:rr) q(x)~q + 1: qn cosanx \CXn~--a0 n.. 1 . qn

~.

j«---a 1

2

3

'

'

I I I I I I I I

-?>12c\<'' 'p

I I I I

I I

I

i' .I

I I I I

l{_ffiTI

I I I

42c~

t I I I I I

{[Ilj] i [)IlJJ

I I· I I I I I

-fEe*e;.I

'

~e*e"'i

tp

I I I I I

I I

I

1,2,3, ...

n senan e qc -2qfi)--a a an

~213, ...

p

2a

n

p (-i)

1,2,3, ...

a

2qc 4q senan c.cosan e 1,2,q ... a a a,,

I I I I

pi

I I I I

I

Ia

.

I I I

_E_ a

I

:~:

'.l::- !

!a

1,2,3, ...

I

42c~ i ""\2c~

'

qc 2q sena,, e a- -a;;-

a

p'

I I

I

I I I

8

I I I I

I I I

I I I

7

I I

I

I I I I I

6

' ' I'

I I

I

'P

5

'

I I

t

rrtw

a,,-ncf

a--?f

lfITiq

I I

?o12c~

4

x.,

n

q

I I I

~I~

p

2f cosan.e

1,2,3, ....

~

4q 1 (;!~

1,3,5,. .•

a-

4q

~ - a2

a;1

1,3;5, .••

Tra i numerosi testi che trattano le serie di Fourier, ricordiamo L. TONELLI, Serie trigonometriche, Zanichelli, Bologna, 1928; G. MoRIDTI, Analisi matemati'ca, cap. XXI, Hoepli, Milano, 1953; T. v. KARMÀN-M. BroT, Mathematical Methods in Engineering, cap. VIII, McGraw, 1940; H. LEBESGUE, Leçons sur !es séries trigonométriques, Paris, 1906; valori delle ampiezze per vari casi di carico si trovano raccolti, ad esempio, nel 2° vol. del Beton-Kalender, 1963, p. 437. Numerose applicazioni allo studio delle travi prismatiche furono effettuate da S. TIMOSHENKO, « Application of general coordinates in solution of problems on bending of bars and plates », Boli. Ist. Po/it., Kiew, 1908; G. ALBENGA, «Su di alcune applicazioni di serie trigonometriche alla determinazione di linee elastiche i>, Atti R. Ist. Veneto, 1913. Per l'impiego delle serie di Fourier nella soluzione delle travi anulari si veda: W. FLUGGE, Stresses in Shells, Springer, Berlin, 1960 (appendice, p. 478); gli anelli su suolo elastico sono stati studiati da R. ALEss1 e A. CmARUGI, ((Travi anulari su suolo elastico sottoposte a condizioni di carico qualsiasi», Inarcos, Bologna, 1974.

Differenze finite nello studio delle travi

215

della soluzione per via numerica approssimata delle equazioni differenziali, verrà premesso un brevissimo richiamo di alcune proprietà relative alle differenze finite; l'impiego riguardante le travi è un caso particolare, nel quale, per altro, l'efficacia del procedimento trova limitata evidenza; vantaggi di ben maggiore utilità si ottengono, ad esempio, nello studio delle lastre piane e curve. CAPITOLO Xl

L'IMPIEGO DELLE DIFFERENZE FINITE NELLO STUDIO DELLE TRAVI

b) Di una funzione continua f(x) siano noti i valori in corrispondenza di una serie di pnnti equidistanti di ascisse x+kh, essendo Llx=h la lnnghezza

j(x)

11.1. Differenze finite. Premessa. a) Lo studio di numerosi problemi ricorrenti nell'ingegneria richiede frequentemente la soluzione di equazioni differenziali, ma non di rado le difficoltà sono tali da dover ricorrere a metodi numerici approssimati. Di questi, uno dei più efficaci è il metodo delle differenze finite, la cui idea ispiratrice, assai semplice e di vecchia data <11•1 ), consiste nel sostituire alle equa~ zioni differenziali le corrispondenti equazioni alle differenze, riconducendosi alla soluzione di tm sistema di equazioni algebriche: si ha quindi che l'espres-

X

1h 2h Fig. 11.1

sione continua dell'equazione differenziale viene spezzata in condizioni da

attuare in un adeguato numero di punti, pagando l'evidente prezzo dell'approssimazione e della perdita di utili indicazioni qualitative frequentemente fornite dalla soluzione generale, ma rendendo semplice la deduzione dei risultati che alla fin fine, purchè attendibili, sono quel che più importa all'ingegnere. Resta, è vero, la verifica del grado di approssimazione: ma frequentemente esso può essere saggiato con facilità, specialmente con l'ausilio di un elaboratore, confrontando gli esiti di calcoli relativi a differenze di diversa ampiezza; inoltre, come accenneremo in seguito, spesso è possibile, senza alterare le caratteristiche del metodo, affinare le approssimazioni sia direttamente, ricorrendo a particolari legami polinomiali, sia per estrapolazione,

una volta esaminati dne o più casi relativi a diverse lunghezze degli intervalli. Per l'importanza dell'argomento, che riguarda quindi il problema generale 1 <11 · l La prima trattazione organica delle equazioni alle differenze finite venne data da BROOKS TAYLOR, The Method of Increments (ricordata nel vol. in seguito cit. di v. KiirmRn); nun1erosi contributi furono forniti da lSAAC NEWTON. Per un ampio e appro~ fondito esame, in merito alle differenze finite, si veda il vol. di L. CoLLATZ, The Numerica/ Treatment of Dijferential Equations, Springer, Berlin, 1960, 3a ediz. (Band 60 della collana «Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen J)). Chiare e sintetiche esposizioni si trovano, ad esempio, in capitoli delle seguenti opere: K. BEYER, op. cit. (v. bibl.), 1933 (za ediz.), vol. 1°, p. 129; T. v. KARMAN e M. A. BroT, Mathematical Methods in Engineering, McGraw, 1940 (9" ediz.), cap. 11; C. T. WANG, Applied Elasticity, McGraw, 1953, cap. 6. Per impieghi pruticolari relativamente al calcolo delle strutture di fondazione: P. PozZATI, Metodi per il calcolo delle fondazioni, Zanichelli, Bologna, 1953 (capp. 6 e 7).

>i

I<

h=/J.x

di ogni intervallo tra due valori consecutivi di x, e k un numero intero. La fig. I I.I mostra la curva f(x): per il valore che essa assume in un punto

(x+kh) adotteremo per semplicità la scrittura [I I.I]

quindi in un generico punto O, di ascissa x=x,, e nei punti che da O distano ad esempio h, -h, indicheremo con f,, fin, f-in i corrispondenti valori della funzione.

Pensiamo di sostituire all'effettivo andamento della f(x) una poligonale avente le ordinate coincidenti con quelle della stessa funzione in corrispondenza degli estremi degli intervalli; se h è sufficientemente piccolo, nel punto O è lecito scrivere df) ~f1n-fo LIJ [J 1.2] ( ax , h T' ove Llf è detta prima differenza (a destra) della funzione in O, e Llf/h rapporto incrementale o delle differenze prime. Avremmo potuto esprimere, sempre in modo approssimativo, la prima derivata con il rapporto incrementale a sinistra df) ~f,-J_... [J 1.3] ( dx , h '

Capitolo undicesimo

Differenze finite nello studio delle travi

e s'intende che, per la derivata prima, una migliore approssimazione può essere ottenuta mediando i due precedenti valori, ossia scrivendo

Tali «differenze a destra » possono venire facilmente dedotte a catena in forma tabellare; così ad esempio per la funzione f=2(x/h)3

216

(dxdf) , -f,,,-f-1n, 2h

iJf

I

x/h [11.4]

o

o

I

2

iJ'f

iJ'f

217

iJ'f

2

e facendo pertanto riferimento al coefficiente angolare della corda BC. La derivata seconda in O della funzione può essere approssimativamente calcolata dividendo per h la differenza tra i coefficienti angolari dei due lati della poligonale sostitutiva, posti alla destra e alla sinistra del punto O, e scrivendo quindi

12 14

2

12

16

24 38

3

o

12

54

36 74

d'f) "'(/,,,-/, ( dx 2 0 h

4

[11.5]

In modo analogo possono essere ricavati i valori delle successive derivate.

Cosi, se per brevità poniamo s=d'f/dx', si ottiene

-

d'f) =(~) Srn-S-rn - (f,-2f,,,+f,,,)-(f_27,-2f_,,,+f,) ( dx', dx,2h 2h3 [11.6]

-[_,,, +2f-11,-2J;,,+J,.

Cose del tutto analoghe possono esser dette per le «differenze a sinistra». Può essere interessante notare che un errore relativo al valore in O della funzione fa risentire effetti in genere crescenti aumentando l'ordine delle differenze. Ciò, ad esempio, trova conferma nella sequenza delle differenze segnate nella seguente tabella, che mostra la propagazione di un errore localizzato unitario:

o o

2h3 [11. 7]

128

o

o o

iJf,=J;.-f,' iJ'f,=iJJ;,-iJf,=f,-2J;,,+f21,' iJ'f,=-f.+3frn-3J,,+f,,,

[11.8]

1

-3

1

-2

o o

o o

IO

-20

6

3

-1

o

-4

1

1

e) Le precedenti ospressioni [11.4], ... , [11.7] vengono dette rapporti «delle differenze centrali », per sottolineare il fatto che in esse compaiono le ordinate della funzione in punti posti a cavallo di O. Ma è possibile esprimere le derivate in O, seppure in genere con peggiore approssimazione, mediante valori (oltre a/,) posti soltanto alla destra o alla sinistra del punto O: abbiamo già visto che la differenza prima a destra della/(x) può essere definita come l'incremento (f,,-f,) che la funzione acquisisce spostandosi dal punto O al punto lh; analogamente la differenza seconda può essere calcolata come differenza delle differenze prime negli stessi punti, e così di seguito; per cui:

o

-10

-4

1

-1

o

11.2. Applicazioni allo studio delle travi. a) Travi prismatiche. - Divisa la trave in tratti lunghi h, l'equazione fondamentale indefinita EJv•v=q (ove al solito si indica con v la linea elastica) può essere scritta, mediante la [11.7] alle differenze finite, ricavando quindi, in corrispondenza di un generico punto O: 6v,-4 (v,. +v_11,) +v 21, +v_,.=q,h4/ EJ.

[11.9]

Analogamente è possibile scrivere, per le sollecitazioni in O, ,,

EJ

M,=-EJv, -;;;"fii" (2v,-v_,.-v,,,),

[Il.IO]

Differenze finite nello studio delle travi

Capitolo undicesimo

218

[11.11] È interessante notare che la relazione [11.9] può essere ricavata anche scrivendo l'equazione di equilibrio del nodo O alla traslazione verticale, com'è d'altronde da attendersi appena si rifletta alla genesi della stessa equazione (dT/dx=-q). Basta isolare i due tratti lunghi h e applicare le azioni interne rese esplicite in conseguenza dei tagli effettuati (fig. 11.2): espressi allora i momenti in funzione degli spostamenti, poi (mediante le condizioni di equilibrio alla rotazione) gli sforzi taglianti in funzione dei momenti, la condizione di equilibrio alla traslazione per il tratto infinitesimo collegato alla

Fig. 11.2

sezione O fornisce immediatamente l'equazione [11.9] (ll.zJ. Pertanto l'equazione [11.9] garantisce, se i carichi sono concentrati nei nodi, l'esattezza degli incrementi L1 T degli sforzi taglianti; e, se in una sezione viene prescritto il valore esatto del taglio, degli stessi sforzi taglianti T e degli incrementi L'.JM=TLix; infine l'esattezza anche dei momenti, se di questi è noto e viene imposto in una sezione il valore esatto (ad esempio valore nullo all'estremità di una trave appoggiata, o all'estremità libera di una mensola, esempio Il.la, b) (ll. 3J. Comunque, anche nei casi staticamente indeterminati per i quali lo stato di sollecitazione, dipendendo da quello di deformazione, risulta inevitabilmente approssimato, spesso si ottengono approssimazioni

soddisfacenti anche con un numero limitato di intervalli. Inoltre, per quanto è stato osservato nella nota 11.2, è chiaro che, se agisce in O il carico concentrato P 0 , il termine noto da introdurre nella [11.9] al posto di q,h 4/EJ vale [11.12] P,h'/EJ; 2 (ll.lll Facendo riferimento alla :fig.11.2, Mb=(2vb-va-v0 ) EJ/h , M 0 =(2v,,-vb-vJ EJ/h"', M =(lv -v -va) EJ/h 2 • Per l'equilibrio alla rotazione dei due tronchi h collegati al nodo O de~e es;ere" T0 b=(M0 -Mb): h, T0 c=(Mc-M,,): h; per l'equilibrio alla trasl~zione de~ nodo O si deve avere P0 -T0 b+T0 c=O, da cui (2M0 -M0 -Mc): h=P0 • Sostituendo fil momenti le relative espressioni segnate ali 'inizio della nota, si ottiene la rei. [11.9] con qh~P,. d . . fl . (p . h" {n. 3> S'intende che si ottiene il diagramma esatto e1 momenti ettenti er cane I concentrati nei nodi) anche se vengono imposti, essendo noti, i valori del momento in due sezioni (ad es., momenti nulli per entrambe le estremità di una ti·ave appoggiata).

219

e se il carico è ripartito con una generica legge (o agiscono carichi concentrati tra nodo e nodo), si applicano in O le reazioni, cambiate di segno, calcolate per i tratti h considerati indipendenti l'uno dall'altro appoggiati in corrispondenza degli stessi nodi. Pertanto, nel caso di un carico variabile linearmente (fig. 11.3), si può assumere h

P,=6 (q_ 1n+4q,+q1a).

[11.13]

Vediamo ora il modo di procedere. Divisa la trave in tratti di uguale lunghezza, si scrivono le equazioni di equilibrio alla traslazione [11.9] in corrispondenza delle varie sezioni (nodi) che delimitano gli intervalli, ma limitatamente a qnelle che sono suscettibili di traslare; ciò perchè, se lo spostamento di nn nodo k è nullo per la presenza di un vincolo, non è incognito v,, e d'altronde non ha senso imporre nna condizione di equilibrio che la reazione del vincolo è sempre in grado di soddisfare. Il numero delle incognite risnlta però più elevato di quello dei nodi e quindi delle stesse equazioni [11.9]. Infatti, se la sezione estrema O di una trave (e ad esempio quella di sinistra) può spostarsi, accade che nella relativa equazione compaiono due incognite v_11,,, v_ 21i relative a nodi giacenti sull'ideale prolungamento della trave, d'accordo col carattere della stessa equazione indefinita di equilibrio, la quale è stata ricavata per l'appunto prescindendo dalle condizioni di vincolo, ossia considerando la trave di lunghezza illimitata; ma le cose si sistemano, perchè alle due incognite supplementari (ausiliarie) che si sono aggiunte fanno riscontro le due correlative condizioni ai limiti. Osservazioni

Fig. 11.3

analoghe possono esser fatte quando l'estremità k è appoggiata o incastrata: in tale caso l'equazione deve venire scritta per il nodo adiacente a k, essendo vk=O, per cui interviene una sola incognita ausiliaria, d'accordo col fatto che, essendo già stato imposto vk=O, resta una sola condizione riguardante il momento o. la rotazione. Si ha quindi in conclusione che il numero delle incognite, comprese quelle ausiliarie, è nguale a quello complessivo delle equazioni di equilibrio e ai limiti. Ma può essere opportuno scrivere esplicitamente queste ultime per alcuni casi ricorrenti. Per l'estremità O appoggiata le due condizioni sono:

EJ

M, e;;; hz (2v,-v_ 1.-v1n)=O -+

V-Ili= -Vlli ;

(deformata antimetrica)

[11.14]

Capitolo undicesimo

220

Differenze finite nello studio delle travi

Esempio 11.1.

per l'estremità O incastrata: 0

--+ V-1n=V11t ; (deformata simmetrica)

[11.15]

Studiare, impiegando le differenze, travi prismatiche variamente vincolate.

a) Trave appoggiata e caricata uniformemente.

per l'estremità O soggetta a nn momento M, e a un taglio T, positivi:

b) Travi di sezione variabile. - Le relazioni differenziali che restano valide, perchè non dipendono dalla variazione della sezione, sono M'=T,

T'=-q.

[11.17]

6v,-4v1 =qh'/EJ. 14 qh'/EJ, v,=4 qh'/EJ=0,0137 ql'/EJ (il valore rigoroso

a)

b) qh 1111/lom

fltfttfOOff'ftttOfft <

h jqh jqh tqh I

I

3=-zt 2

B'

11.4a), l'equazione [11.9] scritta per i

6v1 -8v,=qh'/EJ,

!---

Quindi si ottiene, posto EJ=B,

fi~.

Divisa la trave in 4 tratti (h""'.1/4;

nodi 1, 2,, te;riendo conto della simmetria e delle condizioni di vincolo [vA=O; MA=O qu1nd1 v3 =-V 2 , rei. 11.14], fornisce il sistema:

[11.16]

M=-EJv",

221

-I

2+

A

I 2 !<------- l -----4

yqh

t---1-- I

I

I

2

4

3

~--i

A

5

1<--l __,,

T=-Bv"'-B' v,,=-Bv' 11 +-M, B

[11.18]

Fig. 11.4

Bvrv+2B' v'"+B" v"=q.

[11.19]

è 0,0130). D_alla [Il.IO] si ottiene M1 =(2v1 -2v2) EJ/h'=2qh'=ql'/8, che coincide col valore rigoroso [par. 11.2a; tener conto della simmetria comporta imporre

Le quantità B, B', B" sono note, essendo assegnata la sezione della trave in ogni punto. Quindi, mediante le relazioni [ll.4], ... , [11.7] l'equazione [11.19] in ogni nodo può essere espressa alle differenze.

T1 =0].

b) Trave a sbalzo caricata uniformemente. L'e.9-uazione [11.9] scritta per i nodi 1, 2, fornisce (nella prima il termine noto e posto uguale a zero, perchè di qh/2 si terrà conto nelle condizioni ai

Per quanto concerne le condizioni ai limiti, nulla cambia, rispetto a quanto è stato visto per la trave prismatica, se esse chiamano in causa lo spostamento, o la rotazione o il momento all'estremità. Ma anche la condizione che

limiti, fig. 11.46)

riguarda il taglio, la cui espressione è ora data dalla [11.18], coincide con quella valida per la trave prismatica qnando nella sezione in esame si ha M=O, oppure B'=O.

Condizioni ai limiti:

e) Trave su suolo elastico secondo Winkler. - Lo studio alle differenze non presenta alcuna difficoltà, bastando considerare nell'equazione [11.9] [o nella 11.19, se la sezione è variabile] il carico (q,-kbv,) al posto del solo carico q,, essendo k il modulo del suolo (cap. VI) che può essere anche variabile. Approssimazioni migliori si ottengono, secondo la [ll.13], considerando, come termine noto, [11.20]

[a]

6v,-4v1 +v,+v,=qh'/EJ.
Mi=O -+

V3

=2v1 -v 2 ,

T, =-qh/2 _,. v4 -2v,+2v,=- q:

~~.

La soluzione è:

v,=qh'/EJ, v,=2,5 qh'/EJ=0,156ql'/EJ (valore esatto O' 125·' errore 24' 8%)· o ' MA=-2v,EJ/h'=-2qh'=-ql'/2 (coincidente col valore esatto, par. 11.2a).

Si ottiene lo stesso risultato uguagliando a qh'/EJ la prima delle equazioni [a] e ponendo T1 =0. c) Trave doppiamente incastrata, caricata uniformemente.

In modo semplice possono essere risolti altri problemi che presentano iperstaticità diffusa.

Divisa· la trave in 4 tratti (fig. 11.4c), le condizioni di vincolo forniscono VA=O, Va=V2.

Differenze finite nello studio delle travi

Capitolo undicesimo

222

valori che si possono anche ottenere direttamente per analogia con quelli precedenti. È chiaro che, con tale modo di procedere, la funzione viene rappresentata mediante uno sviluppo polinomiale limitato ai soli addendi con esponenti compresi tra O e 3 <11 •4!.

Equazione [11.9] scritta per i nodi 1,2:

6v1 -8v,=qh'/EJ, 8v,-4v1 =qh'/EJ; La soluzione è:

v

'

223

5 qh'/EJ 8 '

=-

b) Ovviamente anche il procedimento ordinario alle differenze può essere visto nel quadro della rappresentazione di una funzione mediante sviluppi polinomiali. E a tale proposito può essere opportuno osservare che, considerato un polinomio di secondo grado

v1 =qh'/EJ=ql'/256 EJ (val. esatto 1/384, errore 50%). Di conseguenza, dalla [11.l O]: 10

MA=-2v 2 EJ/h'=-3 qh'=0,937 (-ql'/12),

v(x)=C,+c,x+C,x 2 ,

6 M, =g qh'= 1,125 (ql'/24) ;

se si vuole che esso assuma i valori v_1h, v0 , v1n in corrispondenza di una terna di punti -lh, O, lh (con l'originale delle ascisse in O), le costanti debbono valere

[MA[+ [M1 [=2qh'=ql'/8 (coincidente col valore esatto per l'equilibrio giratorio della trave, par. 11.2a).

11.3. Affinamento delle approssimazioni operando sulle condizioni ai limiti mediante svilnppi polinomiali. a) Approssimazioni migliori di quelle ottenute precedentemente nello studio di travi aventi sezioni estreme incastrate o libere si possono ottenere attribuendo l'andamento di una parabola cubida

v(x)=C,+c,x+C,x'+C,x'

[11.21]

al tratto della linea elastica interessato da due incognite ausiliarie e da altrettanti spostamenti incogniti effettivi. Posta l'origine delle x in O, imponendo le condizioni che in corrispondenza dei punti -2h, - Ih, O, Ih la funzione acquisti i valori v_ 2h, v_1 11., v 0 , v11"' per le costanti si ottengono i valori

e,

e,

per cui le derivate prima e seconda in O

coincidono con le espressioni [11.4], [11.5] del procedimento ordinario. Ma la derivata seconda coincide anche con la seconda delle relazioni [11.23]; quindi per la trave semplicemente appoggiata nulla cambia se si utilizzano, per esprimere le condizioni di vincolo, polinomi di secondo o di terzo grado. Esempio 11.2. Studiare, esprimendo le condizioni di vincolo mediante un polinomio di terzo grado, la trave a sbalzo caricata uniformemente, già risolta nell'es. 11.lb con il procedimento alle differenze ordinario. Soluzione.

[11.22]

e,

1 C3 = h' (-v_,.+3v_'"-3v,+v11,). 6

L'equazione fondamentale [11.9], scritta per i nodi 1, 2, fornisce (fig. 11.4b): 6v 1 -4v 2 -4v3 +v4 =0

6v,-4v1 +v,+v,=qh'/EJ,

Le derivate in O (x=O) valgono [11.23] Volendo invece che, sempre con l'origine delle x in O, la parabola cubica acquisti i valori v_1n, v 0 , v1h, v 2h (e correlando quindi una sola incognita ausiliaria con tre valori interni al dominio della funzione), i valori delle costanti sono: 1 [11.24] C1 = -611 (2v_11,+3v,-6v11,+v,.) ,. ..

quindi sin qui nulla di nuovo rispetto al procedimento solito. Risultano invece modificate le condizioni ai limiti, a parte quella riguardante il momento:
<11 A> Procedendo come si è detto, non si modifica la semplice espressione [11.9] del}'equazione differenziale del 4° ordine, e si opera soltanto sulle condizioni ai limiti. Migliori affinamenti, con espressioni più elaborate, si trovano esposti nel vol. di CoLLATZ citato nella nota 11.1. Interessante è il par. 6.6 del vol. di WANG, citato nella stessa nota.

Differenze finite nello studio delle travi

Capitolo undicesimo

224

quindi per le [11.23], [!J.24], ma con riferimento all'estremità destra, 2va+3vA-6v2+V1=0'

V5=3V2-0,5 Vi;

e per le [11.22], [! J.23], M 1 =-EJvi''=0 -+ v3 =2v1 -V2; EJ T1 =-EJv1 "'=-qh/2 -+ li' (-v,+3v,-3v1 +v,)=qh/2.

225

11.4. Affinamento delle approssimazioni per estrapolazione. Data una funzione f(x) continua insieme con le sue derivate negli intervalli alla destra e alla sinistra di un punto O in cui si considera posta l'origine delle ascisse, sono leciti gli sviluppi di Taylor:

±h, posti

h2

h3

h4

hn=f,+hlo'+-2 f,"+3! /,"'+ 41 Jr+ ... [11.25]

Effettuate le sostituzioni, si ottiene il sistema

v1 -2v,=qh'/2EJ -2,5 v1 +8v,=qh'/EJ.

Sottraendo membro a membro tali espressioni divise per 2h si ottiene:

La soluzione è

v1 =2 qh'/EJ (coincidente col valore esatto),

J,.-f_,.

v,=0,15 qh'/EJ (valore esatto 0,7083),

2h

v5 = 1,25 qh'/EJ.

Di conseguenza, per la [11.1 O] , EJ MA=-h' (v,+v,)=-2qh' (coincidente col valore esatto), M 2 =-0,5 qh

2

Studiare, esprimendo le condizioni di vincolo mediante un polinomio di terzo grado, la trave incastrata e caricata uniformemente, già risolta nell'es. 11.lc con il procedimento alle differenze ordinario.

[11.26]

per cui l'errore che si compie esprimendo la derivata prima della funzione con il rapporto delle differenze prime vale h4 rv E _,., _ Li'" _1_,, - - h' - ,.,,, __ 01-10 h 3! Jo 5! Jo -

(coincidente col valore esatto).

Esempio 11.3.

LI/, Lix

.

[11.27]

••• '

e sommando invece membro a membro le medesime espressioni divise per h 2, si trova che, quando la derivata seconda in O viene espressa con .il rapporto Ll 2/,,/h 2 delle differenze seconde, l'errore risulta [11.28]

Soluzione.

L'equazione fondamentale [11.9] al solito fornisce (fig. 1J.4c; vA=O): 6v1 -8v,=qh'/EJ 6v,-4v1 +v,+v,=qh'/EJ.

È facile quindi, procedendo in modo analogo, ottenere la rilevante proprietà che l'errore conseguente al fatto di esprimere la derivata di ordine n di una funzione con il rapporto delle corrispondenti differenze può essere scritto nella forma <11 .5)

Dovendo aversi 'PA=vA'=O, per le [11.23], [11.24], risulta

LI•/,,

,,.

E,n=lo•--~,=(h/l)'A,+(h/l)'B,+(h/[) 6 C,+

V3=3V2-Ù,5 V1;

... ,

[11.29]

quindi v1=0,75 qh'/EJ=0,00293 ql'/EJ (valore esatto 0,00260, errore 12,7%; col procedimento ordinario l'errore è stato invece del 50%, v. es. 11.lc), v,=0,4375 qh'/EJ, v,=0,9375 qh'/EJ;

MA=

EJ

li' (-v,-v,)= -1,375qh'=1,031 · (-ql'/12), M 1=0,625 qh.'=0,937 · (ql'/24);

IMAI + IM11=2 qh'=ql'/8

(coincidente col valore esatto).

essendo / l'ampiezza del dominio in c1ù si considera la funzione, e Am B0 , e,, ... quantità che, dipendendo soltanto dai valori delle derivate della f(x) in O, non risultano infinenzate dall'ampiezza dell'intervallo h, ossia mantengono (s'intende relativamente al punto O) il medesimo valore Ìl)dipendentemente dal rapporto h/l; ovviamente esse sono invece funzioni dix (o dix, y nel caso di un dominio bidimensionale). L'errore è quindi influenzato dalle cn.nJ W._ F. SHEPPARD, «Central Differences l>, Proc. London Jv[ath. Soç·., vol;· 31; 1899. Si veda, ad es., il chiaro par. 6.7 del voi. di WANG citato nella. nota ll.l.

15 -

PozzATI,

Il~1.

226

Differenze finite nello studio delle travi

Capitolo undicesimo

sole potenze con esponente pari di h, e la serie dei termini da cui esso dipende si smorza rapidamente, se h è piccolo rispetto a I. Ma, nella soluzione di un problema definito da un'equazione differenziale lineare e da condizioni ai limiti pure esse lineari, la proprietà [11.29] riguardante la derivata di ordine n della funzione vale anche per la funzione stessa; ossia anche l'errore nel valutare questa dipende soltanto dalle potenze pari di h C11 •6l, Pertanto, quando, relativamente a un'equazione alle differenze, siano stati calcolati in un punto O più valori/,, della funzione che si vuole determinare, avendo adottato ogni volta un diverso numero di intervalli h, lo sviluppo [11.29] consente di istituire un sistema di equazioni in cui figurano come incognite, oltre al valore più affinato f 0 * della funzione, le costanti A 0 , B 0 , ••• , e come termini noti i vari ..foi· S'intende che, quanto più questi sono numerosi, tanto maggiore può essere l'affinamento, ma in genere la velocità della con~ vergenza è notevole, ed è sufficiente un numero molto limitato di equazioni; se per f,, * si ottiene il valore rigoroso, ciò significa che le derivate al di là del! 'ordine considerato non hanno influenza.

227

Soluzione. a) Adottati due soli intervalli nisce (es. 11.lc) v,~0,0078125

v,~0,00390625

il consueto calcolo alle differenze for-

MA~-ql'/16~-0,0625

ql'/EJ,

Adottati 4 intervalli

(h~ 1/2),

(h~l/4)

ql'/EJ,

ql',

M,~0,0625

ql'.

si ottiene invece (es. 11.lc) MA~-0,078125

ql',

M,~0,046875

ql'.

b) Valore affinato di v., arrestando al solo primo termine lo sviluppo [11.29) (applicato alla funzione anzichè alla derivata):

E1 (h~tf2)~v 1 *-0,0078125 ql'/EJ~(l/2)' A, E 1 (h~l/4)~v 1 *-0,00390625 ql'/EJ~(l/4)' A,;

risulta

v,*~0,002604167

ql'/EJ, coincidente col valore esatto.

e) Valore affinato di MA*: MA*+0,0625 ql'~(l/2)' A,

Esempio 11.4.

MA *+0,078125 ql'~(l/4) 2 A, ;

Col metodo dell'estrapolazione affinare il calcolo della freccia e dei momenti per una trave incastrata, soggetta a un carico uniformemente distribuito (fìg. 11.5).

b)

a) q ~ nunhnnnn1uu ~ !<-----

l ________,,

I< h=l/21

~

I

1

h=l/4

I< 'i

~

~ 2I

I

1

I

2

11.5. Soluzione di nn sistema di equazioni alle differenze espressa mediante un'equazione algebrica Cll.7J •

~

.

Per quanto si è visto, un'equazione alle differenze relativa a un punto di ascissa x può essere scritta nella forma

Fig. 11.5 <11· 6 > Ad

risulta MA*= -0,0833 ql 2 , coincidente col valore esatto. Anche per M 1 * si ottiene il valore esatto.

[11.30]

esempio, data l'equazione differenziale dnf =0, se / 1 e / 2 sono rispettivamente

dx"

la sua soluzione esatta e quella di una corrispondente equazione alle differenze, si ha

Per tale equazione resa omogenea (b,=0), se si adotta la soluzione

[a], [b]

Per la [11.29], applicata alla funzione / 2, è lecito scrivere:

[cl

quindi, tenendo presente la [b], e sottraendo la [e] dalla [a] si ottiene

(/1 -/,)~-

1

[d]

Ma l'operatore differenziale dd'l è indipendente da h, come le costanti A 0 , B 0 ,

••• ;

e

allora l'errore E=fi-/2 riguardante la funzione è esprimibile anch'esso nella forma:

[11.32] [11.33]

ottenendo quindi, se le n radici
••• ,

n

[e]

Evidentemente, se lo sviluppo al secondo membro della relazione [e] viene la valutazione dell'errore risulta approssimata.

e
(4)'A,- (4)'B,...

x"

[11.31]

essendo C una costante arbitraria, risulta, effettuate le sostituzioni,

d"/, Ll"f, (h)' dx':-y= T A.,+ (h)' T B.,+ ... ; ::;,

f,=Cq;•,

troncato~

f,= E

'Pn sono distinte,

e, q;,• ,

[11.34]

i=l

cii.7 > Si veda, ad es., il chiaro cap. XI dell'op. di KARMAN e B1or citato nella nota 11.1 •.

Capitolo undicesimo

228

Differenze finite nello studio delle travi

con le costanti e, da determinare mediante le condizioni ai limiti che la funzione J-i: deve soddisfare; esse, come abbiamo visto, vengono inevitabilmente chiamate in causa nella scrittura del sistema delle equazioni alle differenze. In definitiva, la soluzione dell'equazione [11.30] può essere ottenuta (continuando a utilizzare la corrispondenza tra le proprietà delle equazioni differenziali e alle differenze) sommando alla soluzione [11.34] dell'omogenea associata una soluzione « particolare», che tiene conto del termine noto hx.

Adottata la soluzione particolare M,= C sostituendo nella [/] si ricava C= -ql'/12. La s?luzio'.'e generale dell'equ~zione [/] è data dalla somma d~lla soluzione dell associata omogenea (al solito con C2 =0 per la ragione vtsta nel punto a) e di una soluzione particolare: M,=C, (-0,26795)x-ql'/12,

Esempio 11.5.

a) Trave di infinite campate, con la sezione iniziale soggetta a un momento M, (fig. 11.6a)

(il.8)_

·

Rese indipendenti le campate mediante tagli praticati sugli appoggi, ed esplicitati i momenti Mi (i=l, 2, ... , x, ...), l'equazione ricorrente di congruenza è («equazione dei tre momenti», par. 14.2.1)

[g]

e imponendo la condizione che per x=O sia Mx=O, si ottiene

Mx= -

Risolvere, sostituendo al sistema di equazioni alle differenze la corrispondente equazione algebrica, una trave prismatica continua a campate uguali, variamente caricata.

229

ql'

JT [1-(-J)X (0,26795)'].

[h]

:r:a1~ risultato può essere ottenuto immediatamente con il metodo dei vincoli aus11Iar1, come conseguenza del caso trattato nell 'es. a): pensando, in una prima

M

. oc; O

b)

a) z::

I

z:: :zs: 2 3

J!1 tf';)f' !UJ!I ti '!R O

I

2

3

e)

~:zs: O I 2 X

Fig. 11.6

[a]

che, evidentemente, è un'equazione del tipo [11.30]. Posto Mx=C
Le radici sono
[b]
[e]

Mx=C, (-0,26795)"+C, (-3,73205)'.

[d]

Le costanti Ci, C 2 sono da deterniinare·con le condizioni ai limiti: i momenti si debbono estinguere facendo tendere x. all'infinito, pertanto dev'essere C 2 =0; inoltre per x=O si deve avere Mx=M0 , quindi C1 =M0 • In definitiva la soluzione risulta [(-0,26795)x=(-J)x (0,26795)x]

Mx=M, (-1)" (0,26795)".

[e]

b)' 'trrave di infinite campate cariccite uniformemente (fig. 11.6b). tr~

momenti in questo caso è (form. 14.3;
[/]

Si veda, ad es., il par. 3 del cap. citato nella nota 11.7. Tale equazione [b] puç, essere ·ottenuta direttamente. Infatti, avendo la trave infinite campate uguali, si ha: (ll.s)

,

;per

.(11 .9 >

e~~·

Mx

Mx+l

Mx-1

= Mx :;

detto