Sisteme de ecuatii liniare
Prof. Dana Cârcoan Colegiul National ´Lucian Blagaµ Sebes
Notiuni generale Definitia 1: Sistemul ® a11 x1 a12 x2 . ± a x a21 x2 . (1) ¯ 21 1
a1n xn ! b1 a2n xn ! b2 ............................................. ± am1 x1 am2 x2 . amn xn ! bm °
unde aij , bi {R , i { {1,«,m}, j {{1,«,n} se numeste sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute. Definitia 2: Numerele reale x 1, x 22 , x 3 , , x n care verifica fiecare ecuatie a sistemului (1) reprezinta solutia sistemului (1).A rezolva sistemul (1) inseamna aa-i -i determina toate solutiile.
Definitia 3: Un sistem de ecuatii liniare care : - are solutie solutie unica se se numeste numeste sistem compatibil determinat; - are o infinitate infinitate de de solutii solutii se numeste numeste sistem compatibil nedeterminat; -nu are solutii se numeste sistem incompatibil.
Definitia 4. Sistemul (1) se numeste omogen daca toti termenii liberi sint egali cu zero.
Notatii
Matricea
¨ a11 a12 a13 . a1n ¸ se numeste matricea © a 21 a 22 a 23 . a 2n ¹ A ! © ...................................... ¹ ©a a a . a ¹ mn º ª m1 m2 m3
sistemului (1)
Matricea
¨a11 a12 . a1n b1 ¸ ©a21 a22 . a2n b2 ¹ A ! © .......... .......... .......... .......¹ ©a a . a b ¹ mn m º ª m1 m2
se numeste matricea extinsa a sistemului (1).
¨ b1 ¸ © b2 ¹ se numeste matricea termenilor liberi B ! © ¹ / ©b ¹ ª º m
¨ x1 ¸ © x 2 ¹ X ! © ¹ / © x ¹ ª º
se numeste matricea necunoscutelor
n
Observatie: AX = B este forma matriceala a sistemului (1).
Rezolvarea Rezolvare a matriceala a sistemelor liniare de n ecuatii cu n necunoscute
Fie sistemul
Etapa1:
® ±a11 x1 . a1n x n ! b1 ¯.......... .......... .......... .... ± °a n1 x1 . a nn x n ! bn
--se se scrie sistemul sub forma AX = B si se calculeaza detA;
Etapa
-1 ; 2:2:-daca -daca detA 0, se calculeaza A-1
Etapa
-1B. 3: --solutia solutia sistemului este X =A -1
Observatie: daca detA = 0, atunci sistemul poate fi f i compatibil nedeterminat sau incompatibil.
Exemplu:
Sa se rezolve sistemul urmator utilizind metoda matriceala:
x y 2 z 1 ± ¯ 2 x y 2 z 4 ± °4 x y 4 z 2
Sistemul dat se scrie astfel:
¨1 1 © 2 -1 ©4 1 ª
2 ¸¨ x ¸ 2¹© y¹ 4 º¹©ª z º¹
¨1 ¸ © 4¹ © 2¹ ª º
¨1 1 2 ¸ det A ! © 2 -1 2¹ 2 { 0 A1 © 4 1 4¹ ª º t
A
¨1 2 ! ©1 -1 ©2 2 ª
¨ a a12 a13 ¸ © 11 ¹ 1 ; A ! a21 a22 a23 ¹ ©a a a ¹ 4 º¹ ª 31 32 33 º 4 ¸
a11
! (1)11 21 14 ! 4 2 ! 6
a21
a31
! (1)31 -21 14 ! 2 4 ! 6
a12
! (1)12 12 14 ! (4 2) ! 2
! (1)21 22 44 ! (88) ! 0
a22
a32
! (1)32 11 14 ! (14) ! 3
a13
! (1)13 12 -12 ! 2 2 ! 4
! (1)22 12 44 ! 48 ! 4
a23
! (1)23 12 22 ! (24) ! 2
a33
! (1)33 11 -21 ! 12 ! 3
Deci ,
A
¨ © © ª
¸ y ¹ ! z º¹
¨ 6 - 2 4 ¸ 1 1 ¨© 6 - 2 4 ¸¹ 1 © ¹ 0 -4 2 ! 0 - 4 2 A ! A ! © 6 3 -3 ¹ 2 ©ª 6 3 - 3 º¹ det A ª º
x
A
1
¨ 1 ¸ ¨ x ¸ ¨ 3 ¸ © 4 ¹ © y ¹ ! © 6 ¹ © 2 ¹ © ¹ © ¹ z 6 ª º ª º ª º
± x ! 3 ¯ y ! 6 ± ° z ! 6
Aplicatii 1. Utilizind metoda matriceala sa se rezolve sistemele: a).
c).
2 x 3 y ! 5 ® ¯ x 4 y ! 3 °
b).
x y 2 z ! 1 ® ± ¯2 x y 2 z ! 4 ± 4 x y 4 z ! 2 °
x 2 y z ! 1 ± ¯ x y z ! 1 ± °2 x 4 y z ! 4
2. Utilizind metoda matriceala , sa se rezolve sistemele urmatoare in functie de
parametrul real m: a).
mx 2 y ! 1 ® ¯2 x m y! 1 °
b).
±m x y z ! 1 ¯ x m y z ! 2 ± x y m z ! 3 °
Metoda
lui Cramer de rezolvare a sistemelor de n ecuatii ecuatii cu n necunoscute
Fie sistemul
® ±a 11 x1 . a1 n x n ! b1 ¯.......... .......... .......... .... ± °a n1 x1 . a nn x n ! b n
(1)
Teorema: Daca pentru sistemul de ecuatii liniare (1) d = detA 0 atunci sistemul este compatibil determinat , iar solutia solutia este data de formulele x 1
unde
d
i
!
d 1 d
, x 2 !
d 2 d
, . , x n !
d n
(2)
d
este determinantul obtinut din d prin inlocuirea coloanei i cu coloana termenilor
liberi , celelalte coloane raminind neschimbate. Obs: 1). ± ± in conditiile conditiile teoremei de mai sus , sistemul sistemul (1) se numeste sistem sistem de tip Cramer; ± for formul formulele mulele ele (2) se numesc formulele lui Cramer. 2). ±
Exemple 1.Sa se rezolve urmatorul sistem cu ajutorul regulii lui Cramer: x1 2 x 2 3 x3 4 x 4 ! 22 ® ± 4 x x 2 x 3 x ! 6 ¯3 x 1 4 x 2 x 3 2 x !4 4 3 4 ±2 x1 3 x 2 4 x 3 x 4 ! 6 2 ° 1
Rezolvare: determinantul sistemului este
d=
1 -2 3 -4 1 2 3 4 -1 2 3 4
4
3
2
-1
c 2 c 3 c 4
2 c1 3 c1
4
!
c1
7 7 12 7 12 1 0 0 = 7 5 - 2 = -10 -10 5 - 2
1 0 0 0 7 14 19 7 14 19 - 4 - 7 14 19 1 -1 -1 3 10 - 10 - 10 = 10 -10 - 10 = 10 7 -2 -9 2 7 - 2 -9 7 - 2 -9
= -10( -10(10(-1 -14 ±± 60 60)) = 7 40
Pentru
d 1
!
ca d 0 , sistemul este compatibil determinat. Avem:
22 - 2 3 6 1 2 - 4 4 -1 6 3 4
1 -2 -4 1 d 3 ! 3 4 2 3 Deci,
x1
x3
!
!
d 3 d
3 ! 740
d 2
2
-1
22 4
6 3 ! 2220 -4 2 6 -1
d 1 d
!
1 22 3 ! - 34 - 46 - 12 2 6 4
4
!
740 !1 740
2220
740
!3
d 4
d 2
x2
!
x4
!
1 -2 ! - 34 14 2 3 !
Solutia sistemului este S={(1, -2, 3 , 2 )}
d 4 d
!
740
3 ! 1480 2
-1
3 22 2 6 ! 1480 -1 - 4 4 6
1480
d
4
! 2
1480 !2 740
2. Sa se arate ca sistemul
F x E y ! K are solutie unica daca si numai daca ± EFK { 0 ¯ K x E z ! F ± °K y F z ! E
Rezolvare: determinantul sistemului este d
!
F E 0 K 0 E E K F
2 = -2
Sistemul este compatibil determinat d 0 0 .In acest caz solutia sistemului este data de formulele lui Cramer. Avem
K E 0
d x
! F E
0 E
E 3 EF 2 EK 2
=
K 3 KE2 KF2
K F
F E
d z
=
K
! K 0 F 0 K E
2 2 2 Deci, x ! F K E , 2 FK
d y
F K 0 ! K F E 0 E F
E 2 K 2 F 2 , y ! 2EK
= F 3
E 2 F 2 K 2 z ! 2EF
FE 2 FK 2
Aplicatii 1. Sa se rezolve sistemele urmatoare utilizind regula lui Cramer:
a).
3 x y z !0 ® ± ¯2 x y 3 z ! 7 ± x 2 y 2 z !7 °
x y z t ! 2 ® ± 2y 2z t ! 2 b). ¯ ! 2x 2y - t ! 2 ± t!3 3x y °
2. Sa se determine parametrul real m astfel incit sistemele de mai jos sa aiba solutie
unica: a).
m x y z ! 1 ± b). ¯ x m y z ! 1 ± x y m z ! 1 °
m x 2 y z ± ¯2 x t m z ± 3 x 2 y z °
!2 !5 !3
mx 2 y 2 z ! 0 ¯mx m y z ! 0 ± x m y z ! 0 °
± c). ®
ezolvarea R ezolvarea
sistemelor de m ecuatii cu n necunoscute
Fie sistemul a11 x1 a12 x2 . a1n xn ! b1 (1). ® ± a21 x1 a21 x2 . a2n xn ! b2 ¯.......... .......... .......... .......... ..... ± am1 x1 am2 x2 . amn xn ! bm °
¨ a11 a12 a13 . a1n ¸ © a21 a22 a23 . a2n ¹ A ! © ...................................... ¹ ©a a a . a ¹ mn º ª m1 m2 m3
¨a11 a12 . a1n b1 ¸ ©a21 a22 . a2n b2 ¹ A ! © ..................................... ¹ ©a a . a b ¹ mn m º ª m1 m2
Teorema lui KroneckerKronecker-Capelli: -Capelli Capelli:: Sistemul Sistemul de ecuatii liniare (1) este compatibil compatibil daca si numai daca rangA = rang. rang. Metoda de lucru: - fie rangA rangA rang A = rang rang = r a 1r a11 . - din rangA rang ra ngA A = r in A minorul d = .................. 0 numit minor principal a r 1 .
a rr
- necunoscutele necunoscutele ale caror coeficienti coeficienti apar in d se numesc necunoscute necunoscute principale; principale; --ecuatiile ecuatiile ale caror coeficienti apar in d se numesc ecuatii principale; -necunoscutele ale caror coeficienti nu apar in d se numesc necunoscute secundare; lor -necunoscutele li se vor atribui valori arbitrare (E , F, K , P , etc.).; -rezulta un sistem de r ecuatii cu r necunoscute -rezulta necunos cute care se rezolva cu regula lui Cramer. 2 x y z 2t ! 1 ± Exemplu: 1. Sa se rezolve sistemul: ¯ x y 2 z t ! 2 ± 3 x 2 y z 3t ! 1 °
¨ 2 -1 1 2 1 ¸ = ©1 1 2 1 2¹ ©3 - 2 1 3 1 ¹ ª º
¨ 2 - 1 1 2 ¸ Rezolvare: A= ©1 1 2 1 ¹ ©3 - 2 1 3 ¹ ª º 2
d =1
-1 1 =3 0
-1 1 si 1 1 2 3 - 2 1 2
d este minor principal;
2 -1
2
=0 , 1 1 1 3 -2 3
2 -1 1 deoarece 1 1 2 3 - 2 1
=0
rangA = 2
= 0 rang = 2
deoarece rangA = rang sistemul este compatibil nedeterminat; , y sint necunoscute necunoscu te principale z , t sint necunoscute secundare; notam z = E , t = F , unde E , F x
2 x y !1E2 F cu solutiile =1 - E - F si y = 1 - E x ¯ x y ! 22E F ° x !1E F ® ± y !1E Solutia sistemului dat este ¯ z ! E ± t ! F, E, F ° Avem sistemul
®2 x 3 y z ! 1 2. Rezolvati sistemul : ± x 2 y 3 z ! 0 ¯ x 12 y 11 z ! 1 ±4 x 15 y 9 z ! 0 °
¨2 -3 ©1 2 Avem A = © 1 - 12 © 4 - 15 ª
1 ¸ -3¹ 11 ¹ 9
¹ º
¨2 -3 1 ©1 2 - 3 si = © 1 - 12 11 © 4 - 15 9 ª
- 1 ¸ 0¹ -1 ¹ 0 º¹
1 2 -3 1 - 12 11 = 4 - 15 9
d=
28
0 rangA = 3 iar d este minor principal
1 -1 1 2 - 3 0 = 14 0 rang = 4 1 - 12 11 - 1 4 - 15 9 0 2
-3
Deoarece rangA rang Observatie: In
sistemul este incompatibil.
exemplul anterior se observa ca pentru a calcula rangul matricei am bordat minorul principal cu elementele corespunzatoare coloanei termenilor liberi si elementele de pe linia ramasa in . De aici deducem urmatoarea definitie: Definitie: Minorul obtinut prin bordarea minorului principal cu elementele corespunzatoare coloanei termenilor liberi si elementele corespunzatoare unei linii ramase in se numeste minor caracteristic. Teorema lui R ouche: ouche: Un sistem de ecuatii liniare liniare este compatibil compatibil toti minorii caracteristici sint nuli. Obs: metoda de determinare a solutiilor sistemului este cea descrisa la teorema lui Kronecker Krone cker-- Capelli Capelli..
Aplicatii 1.Sa se rezolve sistemul
2 x1 3 x2 x3 x4 ! 5 ± x1 x2 2 x3 2 x4 ! 5 ¯3 x x 2 x 2 x ! 3 2 4 1 3 ± 3 x1 x2 2 x3 2 x4 ! 3 °
3 = -5 0 si Rezolvare: avem d= 1 -1 2
2 3 -1 1 -1 2 ! 0 , 3 1 2
2 3 -1 1 - 1 - 2 ! 0, 1 -1 2 ! 0 -3 -1 - 2 3 1 -2 2 3
1
Deci d este minor principal. Minorii caracteristici sint: 2 3 5 2 3 5 1 -1 - 5 ! 0 si 1 -1 - 5 ! 0 , deci sistemul este compatibil. 3 1 -3 - 3 -1 3 Avem: x1 , x2 necunoscute principale si x3 , x4 necunoscute secundare. Notam x3 = E , x4 = F . Avem sistemul de tip Cramer 2 ® x 3 x ! 5 E F ¯ x 1 x !2 5 2E 2 F °1 2 Cu solutiile x1 = -2 -E + F si x2 = 3 + E - F F. Solutia generala a sistemului dat este: x1 ! 2 E F ® ± x ! 3 E F ¯ x2 ! E 3 ± x °4 ! F , E , F
2. Sa se determine E si F astfel incit urmatoarele sisteme sa fie compatibile
a). 2 x y z 2t ! 1 ± ¯2 x 2 y z 2t ! E ± 3 x 2 y z 3t ! 1 °
b).
x 3 y ± x 2 y ¯ 3 x y ±2 x y °
¨ 2 -1 1 Rezolvare: a). A = © 2 2 4 ©3 - 2 1 ª Avem d= 2 - 1 = 6 2 2
2 ¸ 2¹
3 º¹
si =
2 -1 1 0 iar 2 2 4
! 2 !3 !E ! F
¨2 -1 1 2 1 ¸ ©2 2 4 2 E¹ ©3 - 2 1 3 1¹ ª º
2 -1 2 ! 0 si 2 2 2 3 -1 1 3 -2 3
!0
rangA = 2 iar d este
minor principal.Sistemul este compatibil toti minorii caracteristici sint nuli.Exista un singur minor caracteristic, deci trebuie sa avem 2 - 1 1 2 2 E ! 0 E-4=0 3 -2 1 E = 4. ¨1 - 3 - 2 ¸ ¨ 1 - 3 ¸ ©1 2 3 ¹ ©1 2 ¹ b). A= ; © 3= - 1 E ¹ © 3 - 1¹ © 2 1 F ¹ ©2 1 ¹ ª º ª º
1 -3 Avem d = 1 2 compatibil
= 5 0 rangA = 2 iar d este minor principal. Sistemul este
toti minorii caracteristici sint nuli.Avem
1 -3 -2 1 2 3 !0 3 -1 E
E=2
si
1 -3 -2 1 2 3 !0 2 1 F
F
= 3.
E x y z ! 1 ± 3. Sa se rezolve sistemul ¯ x E y z ! 1 , E ± x y E z ! 1 ° Solutie: d=
E
1 1 1 E 1 = (E - 1)2 (E + 2) 1 1 E
Cazul 1. daca E 1 si E -2 atunci d 0 iar sistemul este compatibil determinat, solutia fiind data de formulele lui Cramer. dx =
1 1 1 = (E - 1)2 ,, dy = E 1 1 = (E - 1)2, dz = E 1 1 1 E 1 1 E 1 1 1 1 1 1 E 1 1 1 1 1 E
= (E - 1)2
solutia sistemului este
x
1
= y = z = E 2
Cazul 2. daca E = 1 , sistemul se reduce la ecuatia x + y + z = 1 iar solutia solut ia sistemului este 1- F F - P , y = F , z = P unde F , P x = 1 2 x y z ! 1 ® ± Cazul 3. daca E = -2 avem sistemul ¯ x 2 y z ! 1 ± x y 2 z ! 1 ° d = 0 si minorul
princip al. Singurul minor caracteristic este 2 1 = 3 0 este minor principal. 1- 2
2 1 1 1 -2 1 = 1 1 1
9
0 deci sistemul este incompatibil.
Aplicatii 1.
Sa se se re rezolve si sistemele ur urmatoare:
a).
2 x y 2 z ! 1 ® ± ¯ 2 x 3 y z ! 0 ± 4 x 2 y z ! 1 °
2 x y z ! 3 ® 3 x 2 y z ! 2 3 x 2 y 5 z 4t ! 1 c).± ± b). ® ± ¯4 x 2 y z ! 3 ¯2 x y 3 z 3t ! 0 x y z ! 6 ± ± x 2 y 3 z ! 3 ° ± x 3 y 2 z ! 1 °
2. Sa se rezolve si sa se discute dupa valorile parametrilor reali m si n sistemele: m x 2 y 2 z ! 1 a). ± ¯m x 3 y 2 z ! 1 ± m x 2 y 5 z ! 2n 1 °
y z ! n ¯ x m y z ! 1 ± °nx y z ! 1
x b). ±
Sisteme de ecuatii liniare omogene ® ±a11 x1 . a1n x n ! 0 Sistemul ¯.......... .......... .......... .. ± °a m1 x1 . a mn x n ! 0
se numeste sistem omogen.
Observatii: 1. ±± un sistem omogen omogen este este intotdeauna intotdeauna compatibi ccompatibil ompatibill ( intotdeauna intotdeauna rangA = rang, deci conform teoremei rang, teoremei lui Kronecker Kronecker ±± Cape Kronecker Capelli lli sistemu sist sistemul emull este este compatibil); ± daca rangA rangA = r atunci avem urmatoarele urmatoarele situatii: situatii: 2. ± a). pentru r = n singura solutie a sistemului omogen este solutia nula; b). pentru r < n sistemul are si solutii nenule ; se utilizeaza metodele invatate anterior pentru determinarea solutiilor solutiilo r sistemului . 3. ±daca ± daca m = n atunci sistemul are solutii nenule detA = 0; ± daca m < n atunci sistemul are solutii nenule. 4. ±daca Exemplu:
Sa se determine E astfel incit incit sistemul sistemul urmator sa aiba solutii nenule si , in acest acest caz sa se rezolve:
x 2 y z t ! 0 ® ± 2 x y 3 z 3t !0 ¯ x y z t !0 ± 2 x (E 1) y 2 z Et !0 °
d=
1
-2 1 2 -1 3 1 1 1 2 E -1 2
-1 -3 1
= « = -E
E
Cazul 1. daca E0 sistemul are solutia unica x = y =z = t = 0 ;
Cazul 2. daca E = 0 sistemul are solutii nenule; in acest caz caz avem sistemul x 2 y z t ! 0 ® ± 2 x y 3 z 3t ! 0 ¯ x y z t ! 0 ± 2 x y 2 z ! 0 °
Minorul d¶ =
1 -2 2 -1 1 1
1 -3 0 este principal; 3= -3 1
-
x , y , z sint necunoscute necunoscute principale t = P - necunoscuta secundara; avem de rezolvat sistemul sistemul de tip tip Cramer Cramer x 2 y z ! P ± ¯2 x y 3 z ! 3P ± x y z ! P °
Solutia este x = 10 P
3
,
2P y= 3
,
z = 3 P
Deci , pentru E = 0 solutia generala a sistemului omogen dat este:
10P x ! ± 3 ± 2P ¯ y ! 3 ± z ! 3P ± t ! P, P °
Aplicatii 1.Sa se rezolve sistemele urmatoare: a).
±2 x 3 y 3 z ! 0 ¯3 x 4 y 5 z ! 0 ± °5 x y 2 z ! 0
b).
x 2 y z ! 0 ® ± ¯4 x 8 y 4 z ! 0 ± 5 x 10 y 5 z ! 0 °
x 5 y z 7t ! 0 ± c). ¯5 x 13 y z 13t ! 0 ± 2 x 7 y z 2t ! 0 °
±m x y ! 0 2.Se considera sistemul ¯ x m y ! 0 ± °m x y z ! 0
a). Sa se determine parametrul real m astfel incit sistemul sa aiba solutie unica.. b). Pentru m = 1 determinati solutia sistemului.
