Sistemas Dinámicos Elementos, El t Sistemas Si t y Leyes L Físicas para Modelar Dr. Andrés Blanco Ortega
1
F Formulismo li E Euler-Lagrange l L d L L D Qi dt q i qi q i L=K-V L: Lagrangiano K: Energía cinética total del sistema V: Energía potencial total del sistema D: Disipación de energía
qi: Coordenada generalizada: cada grado de libertad del
sistema i t se expresa mediante di t una coordenada d d generalizada. li d
Qi: Fuerzas externas aplicadas al sistema
2
Grados de libertad
Es el número mínimo de coordenadas necesarias para p establecer completamente el movimiento de un sistema.
3
Grados de libertad
4
Energía
Energía: E í puede d ser definida d fi id como la l capacidad id d de efectuar trabajo. Cuando la energía proviene del movimiento de la partícula se llama energía cinética. Cuando p proviene de la p posición de la p partícula,, medida desde un punto fijo o plano de referencia, se denomina energía potencial.
5
Formulismo Euler-Lagrange
6
Formulismo Euler-Lagrange
La energía cinética y potencial del péndulo es: K
1 2 1 2 2 J ml 2 2
V mgh mgl1 cos
El lagrangiano del sistema es LL=K-V: K V: Finalmente el modelo matemático del péndulo está dada por:
1 ml 2 2 mgl 1 cos 2 d L L g 0 sin 0 dt l L
7
Sistema Péndulo - Resorte
8
Sistema carro-péndulo Considere un carro q que p puede deslizarse en la dirección horizontal y que tiene acoplado un péndulo. El carro está acoplado a las paredes mediante dos resortes, t como se muestra t en la l figura. fi
9
Las
energías cinética y potencial del sistema están dadas por: K
1 1 1 2 2 mx l cos m l ssin Mx 2 2 2 2
1 1 V mgl 1 cos kx 2 kx 2 2 2 1 1 L m x 2 2 l x cos l 2 2 M x 2 mgl 1 cos kx 2 2 2
10
L
mlx cos ml 2
d L dt L L x
mlx sin mgl sin
M m x ml cos
d L dt x L x
mlx cos mlx sin ml 2
M m x ml cos ml 2 sin
2kx k
Finalmente
las ecuaciones que rigen la dinámica del sistema son: mlx cos ml 2 mgl sin 0
M m x mll cos mll 2 sin 2kx k 0 11
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador
12
Sistema barra horizontal-péndulo Considere el sistema mecánico que consiste de una barra horizontal de masa m, restringida g a tener sólo movimiento en la dirección vertical. La barra se encuentra interconectada con un péndulo p de masa despreciable y longitud l como se muestra en la figura. Determine el modelo matemático que rige la dinámica de este sistema. 13
Sistema de Empaquetado Determine el modelo matemático que rige la dinámica de la máquina para envolver cajas. El sistema consiste de un brazo (J, M) que gira un ángulo g g al aplicar p un torque el cual es proporcionado por un motor. En el brazo se encuentra montado el rollo de masa m (plástico que se utiliza para envolver las cajas), el cual puede moverse en la dirección vertical ti l debido d bid a la l fuerza f F F. Consideré el amortiguamiento C entre el brazo y el piso, y el amortiguamiento c entre la cuerda y el rollo.
14
Sistema de Empaquetado
15
Las
energías cinética y potencial, y la disipación de energía í están tá dadas d d por:
1 1 1 J Ma 2 2 md 2 2 mz 2 2 2 2 1 1 V mgz D cz 2 C 2 2 2
K
El
lagrangiano del sistema está dado por L=K-V: L
Las
1 1 1 J Ma 2 2 md 2 2 mz 2 mgz 2 2 2
ecuaciones para las coordenadas generalizadas son: d L L D dt
d L L D F dt z z z 16
Los términos de la ecuación de Euler-Lagrange para el l lagrangiano i d l sistema del i t son determinados d t i d como: d L 2 2 2 2 J Ma md J Ma md dt L 0 D C
d L mz dt z L mg z D cz z
Finalmente las ecuaciones que rigen la dinámica del sistema son:
J Ma
2
md 2 C mz cz mg F
17
Sistema de Poleas Determine modelo matemático del sistema de poleas. poleas El sistema consiste de una polea que tiene una cuerda rígida y en sus extremos está acoplada a dos resortes. Un resorte esta empotrado a una base fija y en ell otro t resorte t esta t acoplado l d a una masa (m1). La polea gira un ángulo cuando se aplica un torque t , proporcionado i d por un motor.
18
Las
energías cinética y potencial están dadas por: 1 2 1 J m1 x 2 2 2 1 1 2 2 V k1 x R k 2 R 2 2
K
El
lagrangiano del sistema está dado por L=K-V: L
Las
1 2 1 1 1 2 2 J m1 x 2 k1 x R k 2 R 2 2 2 2
ecuaciones para las coordenadas generalizadas son: d L L dt
d L L 0 dt x x 19
Los
términos de la ecuación de Euler-Lagrange para el l lagrangiano i d l sistema del i t son determinados d t i d como: d L J dt L k1 x R R k 2 R R Finalmente
sistema son:
d L mx dt x L k1 x R z
las ecuaciones que rigen la dinámica del
J k1 x R R k 2 R 2 mx k1 x R 0
20
Sistema de Péndulo-Resorte-Amortiguador g Determine el modelo matemático del péndulo que se muestra en la figura. figura La varilla rígida del péndulo de masa m se encuentra fija en el punto 0. Posteriormente, determine la frecuencia del péndulo, considerando ángulos de oscilación pequeño (sen= y cos=1) y b=0. b=0
21
• Las energías cinética y potencial, y la disipación de í están tá dadas d d por: energía 1 2 2 mL 2 1 2 V k L1 sin mgL1 cos 2 2 1 D b L2 cos 2
K
• El lagrangiano del sistema está dado por L=K-V: L
1 2 2 1 2 mL k L1 sin mgL1 cos 2 2
• La ecuación para la coordenada generalizada es: d L L D 0 dt
22
22
• Los términos de la ecuación de Euler-Lagrange para el l i d l sistema i t d t i d como: lagrangiano del son determinados d L 2 mL dt L k L1 sin L1 cos mgL sin D cos L cos b L 2 2
• Finalmente la ecuación que rige la dinámica del sistema es: 2 2 2 2 mL kL1 sin cos mgL sin bL2 cos 0
23
23
Sistemas Mecánicos
24
Robot de 2 gdl
25
Si t Sistema masa-resorte t Obtenga las ecuaciones que rigen la dinámica del sistema, y realice li un programa de d simulación i l ió considerando id d los l parámetros á del sistema como: K1= K=4N/m, K2=3N/m, m1=6kg, m2=4kg. a) x1(0)=0.01m y x2(0)=0. 0095m b) x1(0)=0.01m y x2(0)=-0. 0157m
26
Sistema esfera-viga El sistema de la esfera-viga consiste en una esfera de masa m y momento de inercia Jb, la cual p puede rodar,, sin deslizamiento, en una viga de masa M y momento de inercia J. La viga esta empotrada en uno de sus extremos, y en el otro extremo se encuentra conectada a un eslabón el cual permite controlar la posición angular de la viga, mediante un torque , como se muestra en la figura. Determine el modelo matemático que rige la dinámica del sistema. sistema
27
La energía cinética del sistema está dado por: 2 1 1 r 2 2 2 T J J b mr mr J b 2 2 R
y la energía potencial es:
V mgr sin
Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange para las generalizadas, q1=r y q2=. El dos coordenadas g lagrangiano está dado por: L=T-V. d L L 0 dt r r d L L dt 28
d ∂L m J b r̈ dt ∂r ∂̇ R2 ∂L mṙ 2 − mg sin ∂r
d ∂L J J mr 2 ̈ 2mrṙ ̇ b dt ∂ ∂̇ ∂L −mgr cos ∂
El modelo matemático del sistema viga-esfera está dado por el conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales: Jb 2 m 2 r mr mg sin 0 R
J J
2 mr 2mrr mgr cos b
En forma matricial: m RJb2 0
29
r 0 0 2 J J b mr mr
mr r mg sin 0 mrr mgr cos
Sistema esfera-viga
30
Amortiguador pendular Determine
el modelo matemático del sistema amortiguador pendular que se muestra en la figura. g Se considera que la masa M se mueve sólo en la dirección vertical y en la p parte central tiene acoplado un péndulo que oscila un ángulo φ . El péndulo de longitud l tiene acoplado un amortiguador rotacional con un coeficiente de amortiguamiento viscoso c Dr. Andrés Blanco Ortega
31
Sistema rotor-chumacera rotor chumacera
Las fuentes más comunes de vibración en maquinaria rotatoria son el desbalance, desbalance desalineamiento y resonancias, resonancias las cuales constituyen del 80% al 90% de los problemas de vibración [Wowk, 1991]. Determine el modelo matemático del sistema rotorchumacera. y y
Disco Disco
Centro de masa
y
t
z Chumacera
Chumacera a)
0
u Gt S
x b)
x
x
Desbalance: es una condición donde el eje principal de inercia no coincide con el eje geométrico. geométrico 32
Sistema rotor-chumacera
33
Péndulo Invertido Utilice la ecuación de Euler-Lagrange para deducir las ecuaciones de movimiento del p péndulo invertido. Suponga p g q que la masa del péndulo invertido es m, con momento de inercia J, y que el centro de gravedad del péndulo se ubica en el centro de la barra. La que se aplica p para mover el carro de masa M está denotada p fuerza q por F.
34
Péndulo Invertido
1 1 2 1 2 2 2 K Mx x p y p J 2 2 2 x1 x l cos , y1 l sin x p x l sin , y p l cos x12 y12 x 2 2lx cos l 2 2
La energía cinética y potencial del sistema está dado por: K 1 Mx 2 1 mx 2 2lx cos L2 2 1 J 2 2 2 2 1 1 K M m x 2 mlx cos J ml 2 2 2 2 V mgl cos
Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange Euler Lagrange para las dos coordenadas generalizadas, q1=x y q2= . d L L d L L F dt x x
0 dt
donde:
1 1 2 L M m x mlx cos J ml 2 2 mgl cos 2 2
L M m x ml cos x d L M m x ml cos ml 2 sin dt x L 0 x 2
mlx cos J ml 2 d L ml x cos ml x sin J ml dt L mlx sin mgl sin m sin gl lx L
El modelo matemático del péndulo invertido está dado por el conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales:
M m x ml cos ml 2 sin F
mlx cos J ml 2 mgl g sin 0
Sistema masa-resorte-amortiguador Obtenga el modelo matemático, utilizando la segunda ley de newton, del sistema mecánico compuesto por dos masas, dos resortes y un amortiguador como se muestra en la figura.
38
Péndulo de Furuta
Dr. Andrés Blanco Ortega
39
Péndulo con longitud g variable Una pequeña masa m puede deslizar libremente sobre una varilla homogénea de sección uniforme de masa M y longitud l, la cual está pivotada en uno de sus extremos. La barra es controlada por un torque que es proporcionado por un motor. motor
40
La energía cinética y potencial del sistema está dado por: 1 2 2 1 2 2 1 2 Ml mr 2 2 2 V mgr sin Mgl sin T
mr
Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange para las dos coordenadas generalizadas, generalizadas q1=r y q2= .
donde:
d L L 0 dt r r
d L L dt
1 2 2 1 2 2 1 2 L mr Ml mr mgr sin Mgl sin 2 2 2 41
d L mr dt r L mr 2 mg sin r d ∂L mr 2 ̈ Ml2 ̈ 2mrṙ ̇ dt ∂̇ ∂L −mgr g cos − Mglcos g ∂ ∂ El modelo matemático del péndulo variable está dado por el conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales: mr mr 2 mg sin 0 mr 2 Ml2 ̈ 2mrṙ ̇ mr Mlg cos
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Sistema TORA El sistema TORA (Translational Oscillatory Rotational Artifact) consiste de un carro de masa M conectado por un resorte, de rigidez k, a una pared fija. En la parte superior tiene una masa excéntrica é ti rotacional t i l que es controlada t l d por un torque u.
43
Sistema mecánico traslacional-rotacional
44
Sistema Elevador de 3 gdl
45
Sistema Elevador de 3 gdl
Diagramas de Cuerpo Libre
Diagramas de Cuerpo Libre
Diagramas de Cuerpo Libre
Dinámica de Sistemas Un eslabón de masa despreciable tiene dos masas, una de masa m1 está fija en un extremo, mientras que otra masa m2 esta restringida a moverse a lo largo del eslabón y está unida a la masa m1 por medio de un resorte de rigidez g k. Utilice la ecuación de EulerLagrange para encontrar las ecuaciones de movimiento cuando se aplica un torque. Considere que el resorte está en equilibrio (sin elongar) cuando rr=L/2. L/2. Simule las ecuaciones dinámicas.
La energía cinética del sistema está dada por: K
1 1 1 m1 L2 2 m1r 2 2 m1r 2 2 2 2
y la energía potencial: 1 L V m1 gL1 cos m2 gr 1 cos k r 2 2
2
El lagrangiano del sistema está dado por L=K-V, por lo cuál queda como: L
1 1 1 m1 L2 2 m2 r 2 2 m2 r 2 m1 gL1 cos 2 2 2
L 1 m2 gr 1 cos k r 2 2
2
Las ecuaciones para las coordenadas generalizadas son: d L L dt
d L L 0 dt r r
Los términos de la ecuación de Euler-Lagrange g g p para el lagrangiano del sistema son determinados como: L
m1 L2 m2 r 2
L
m1 L2 m2 r 2 2m2 rr m1 gL sin m2 gr sin
d L dt
m2 r
L r d L dt r L r
m2 r m2 r 2 m2 g 1 cos k r L2
Finalmente las ecuaciones que rigen la dinámica del sistema son: m L2 m r 2 2m rr m L m r g sin 1
2
2
1
2
L 2 m2 r m2 r m2 g 1 cos k r 0 2
Sistemas de Fluidos
El análisis de sistemas de fluidos se realiza en el régimen de flujo laminar, es decir, considerando un número de Reynolds menor a 2000.
Definiciones
La densidad de un cuerpo p de define como la relación de su masa m con respecto a su = 2700kg/m3 volumen V. = 7800kg/m3 m = 1000kg/m3 V Aluminio Acero Agua
El gasto se define como el volumen de fluido que pasa a través de cierta sección transversal en la unidad de tiempo. p
V Q vA t
Ecuación de Bernoulli La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente: en donde: P:
1 2 P gh v CTE 2
presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. ρ: densidad del fluido. fluido V: velocidad de flujo del fluido G: aceleración de la gravedad H: altura sobre un nivel de referencia
Resistencia de sistemas de fluidos
La resistencia R para el flujo de líquido, en un tubo corto que conecta dos tanques, se define como el cambio en la diferencia de nivel (diferencia entre el nivel de liquido en los dos tanques) necesaria para producir un cambio de una unidad en la velocidad del flujo, flujo es decir: R
cambio b en la l diferencia df d nivell , m de cambio en la velocidad de flujo, m 3 / s
Resistencia de sistemas de fluidos
h h R1 1 2 q1
h2 R2 q0
Capacitancia de sistemas de fluido
La capacitancia de un tanque se define como el cambio necesario en la cantidad de liquido almacenado, para producir un cambio de una unidad en el potencial (altura). cambio en el liquido almacenado, m 3 C cambio en la altura, m dh C q dt
Capacitancia de sistemas de fluido
dh C1 1 qi q1 dt
dh2 C2 q1 q j q0 dt
Sistema de nivel de liquido
Sistema de nivel de liquido
Dinámica de SIstemas EL MÉTODO DE LA LINEALIZACIÓN APROXIMADA
62
Linealización mediante expansiones en serie de Taylor Consideré el sistema no lineal: x t f xt , u t , y t h xt
xt0 x0
Cuyos puntos de equilibrio son constantes, dados por (U,X,Y). Expresando este sistema como una ecuación integral equivalente: t xt x0 f x , u d t0
t y t h x0 f x , u d t0
63
Suponga que el sistema dinámico se encuentra operando en perfecto equilibrio. xt0 x0 X ;
u t U ;
y t h x Y
Consideré sendas perturbaciones en el estado t d inicial i i i l y en la l función f ió de d entrada, t d descritas de la manera siguiente xt0 x0 x0 X x0 ;
u t U u t
64
La ecuación integral equivalente puede ser expresada como: t xt X x0 f X x , U u d t y t h X x 0
Expresando esta ecuación en términos del estado perturbado y la salida perturbada, tenemos: x t x0 t f X x ,U u d
t0
y t h X x h X 65
Aplicando el Teorema de expansión en serie de Taylor Ta lor como: como f X x t , U u f X , U h X x t h X
f f x t x X ,U u
X ,U
u t
h x t x X
Tomando en cuenta que f(X,U)=0, podemos calcular el valor del estado perturbado como: x 0 x t y t
t t0
∂f ∂x
hX ∂h ∂x
X,U
x t
∂f ∂u
X,U
d u t
x t − hX ∂h ∂x X
X
x t 66
Despreciando los términos de orden superior, se obtiene sólo una aproximación a los valores de x(t) y de y(t). (t) Se adoptara como valor aproximado de x(t) el valor x t . f x t x0 t 0 x h y t x t x X
f x t u t d u X ,U X ,U
f x t x0 t 0 x h y t x t x X
f x t u t d u X ,U X ,U
t
t
67
La ecuación anterior se escribe como: t x t x0 Ax t Bu t d t y t Cx t Si tomamos derivadas respecto del tiempo en la ecuación anterior, anterior obtenemos una ecuación equivalente para x(t). 0
x t Ax t Bu t ;
y t Cx t
x t0 x0
68
Las ecuaciones anteriores, anteriores representan el sistema dinámico que aproxima las perturbaciones ocurridas al sistema no lineal cuando opera en condiciones de equilibrio. Las matrices constantes (A, (A B, B C) que definen a esta aproximación lineal están dadas por: f f h A
x X ,U
;B
u X ,U
;C
x
X
69
Y en forma aproximada tendremos que: xt X x t , u t U u , y t Y y t
o equivalentemente: i l t t x t xt X , u u t U , y t y t Y
U
u (t) +
X +
u(t)
x=f(x,u)
x(t) +
-
x (t)
70
Representación en funciones de transferencia Considere el sistema no-lineal, dimensional, de una entrada-una salida:
n-
x t f xt , u t
y t h xt
Sea u(t)=U un punto de operación constante para la entrada escalar del sistema anterior. El valor de equilibrio para el vector de estado y para la salida están dados, respectivamente, ti t por x(t)=X(U) (t) X(U) y y(t)=Y(U). (t) Y(U) 71
La expresión linealizada del sistema alrededor del punto de operación (U,X(U),Y(U)), parametrizada en términos del valor constante de la entrada de control t l en equilibrio ilib i U, U está tá dada d d por: x AU x B U u
y C U x
donde y
AU
f x, u f x, u h x ; BU ; C U x X U ,U u X U ,U x X U
x x X U , u u U , y y Y U 72
A p partir de esta representación p del sistema linealizado podemos obtener la función de transferencia del sistema en lazo abierto, dada por: 1 GU s C U sI AU BU FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
u (t) ENTRADA INCREMENTAL
GU (s)
y (t) SALIDA INCREMENTAL
73
u (t)
x (t) x=Ax (t)+bu (t)
u (t)
x (t) x=Ax (t)+bu (t)
u (t)=-Kx (t) 74
Punto de operación nominal U
u (t) +
X +
u(t)
x=f(x,u)
x(t) +
-
x (t)
u (t)=-Kx (t)
75
Dinámica de SIstemas Simulación y Control de un Sistema de Fluidos Dr. Andrés Blanco Ortega 76
Sistema de Fluidos
Donde:
El sistema de nivel de líquido de dos tanques dispuestos en cascada se muestra en la figura. Donde c es una constante que representa p la resistencia a la salida de líquido y A es el área de la base de cualquiera de los dos tanques. La altura de los tanques 1 y 2 está denotada, respectivamente, por h1 y h2. La entrada de flujo al tanque 1 es qi
c 2 g A0
A0 denota el área del orificio de desagüe de cada uno de los dos tanques. tanques 77
Sistema de Fluidos
El modelo matemático del sistema de fluidos está dado por: dh1 1 q c h i
1
dt A A dh2 c c h1 h2 dt A A
x1 h1 , x2 h2
Haciendo un cambio de variables:
y u qi
1 c u x1 A A c c x2 x 2 x1 A A x1
78
Igualando a cero los segundos miembros obtenemos los puntos de equilibrio del sistema, para una u=U=CTE. c 1 U X1 0 A A c c X1 X2 0 A A U X1 c
2
U X 2 X1 c
2
U c X1 79
La linealización del modelo alrededor del punto de equilibrio está dado por: x Ax Bu y Cx donde
A
f x , u x X U , U
f x , u u X U , U
u u t U
x x t XU 1 / 2 f 2cA x1 c 1/ 2 x 2 A x1
B
c 1 1 0 1 / 2 c 2 A x2 X ,U 2 A X 1 1 1 0
f 1A 1 1 u 0 X ,U A 0 80
El modelo linealizado alrededor del punto de equilibrio está dado por: x1 c 1 1 0 x1 1 1 u x 2 A X 1 1 1 x2 A 0 2 y x2
Haciendo: c1
c 2A
1 X1
u A c1 x1 c1 x2
x1 c1 x1 x 2
y x2 81
Controlabilidad x1 1 0 x1 1 1 x c1 1 1 x A 0 u 2 2 c1 AB c1
0 1 c1 c1 0 c1 C B
AB
1A c1 Det (C ) 0 c1 1 Det (C ) c1 A 82
Con una ley de control lineal por realimentación del estado se logra que el estado incremental tienda a cero asintóticamente y por lo tanto el sistema no lineal se acercará a su valor de equilibrio. u k1x1 k 2 x 2 El polinomio característico en lazo cerrado del sistema está dado por: s c1 Det ( sI A BK ) c1
0 1 1 A k1 s c1 0
k2
83
Det ( sI A BK ) s 2 2c1 1A k1 s c12 1A c1k1 1A c1k 2
Igualando a un polinomio de Hurwitz para que el sistema en lazo cerrado tenga sus polos ubicados en el semiplano izquierdo del plano complejo. P ( s ) s 2 s 2
n
s
2
2 n
2 n s n2 s 2 2c1 1A k1 s c12 1A c1k1 1A c1k 2
Las ganancias se calculan como: k1 2 An c1 1 A k 2 n2 c12 c1k1 A c1 84
El controlador lineal queda dado por: u k1x1 k 2 x 2
x x t XU
u u t U
El controlador en las variables originales del sistema no lineal queda definido como: x t x XU u t u U
85
Sistemas eléctricos Ley de corrientes de Kirchhoff (ley de nodos). La suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es igual g a cero. Ley de voltajes de Kirchhoff (ley de mallas). La suma algebraica de todos los voltajes alrededor de cualquier q malla en un circuito eléctrico es igual a cero.
86
Sistemas Análogos
La analogía entre fuerza y corriente implica que un elemento de masa es análogo a un elemento capacitor, por lo tanto también se conoce como analogía masa-capacitor. Fue introducida por Firestone en 1933, motivado por el problema de construir un modelo de circuito equivalente con un comportamiento dinámico análogo al de un sistema mecánico. mecánico La comparación de fuerza con corriente se justificó en primer lugar por los métodos de medición. 87
Es decir, tanto la velocidad como el voltaje se miden como la diferencia de valores entre dos puntos. Por otro lado, la fuerza y la corriente se clasifican como del mismo tipo porque se miden en cualquier punto a lo largo de la línea de transmisión de potencia entre dos puntos. puntos
88
Analogía de impedancia o FuerzaTensión
Sistema Mecánico
Sistema Eléctrico
Fuerza (F)
Tensión (v)
Desplazamiento (x)
Carga (q)
Velocidad (dx/dt)
Corriente (i)
Cte. elasticidad (K)
Capacidad (1/C)
Rozamiento (R)
Resistencia (R)
Masa (M)
Inductancia (L) 89
Analogía de movilidad o Fuerzacorriente
Sistema Mecánico
Sistema Eléctrico
Fuerza (F)
Corriente (i)
Desplazamiento (x)
Carga (q*Z)
Velocidad (dx/dt)
Tensión (v)
Cte. elasticidad (K)
Inductancia (1/L)
Rozamiento (R)
Resistencia (1/R)
Masa (M)
Capacidad (C) 90
Simulación de una suspensión
Determine el circuito eléctrico análogo de un sistema de suspensión de automóvil.
91
BIBLIOGRAFÍA 1. 2.
3. 4. 5.
Sira-Ramírez, “Control De Sistemas No Lineales,” ISBN: 8420544493, EDITORIAL ALHAMBRA. 2005. Close, Ch. M. y Frederick, D. K. (1993) Modeling and analysis of dynamic systems. Ed. Houghton Mifflin.
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92
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8 8. 9.
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