Sistemas de Control Avanzado - 1ra ED

Control Avanzado Luis Edo García Jaimes

1.1

DEFINICIÓN

Un controlador adaptativo es aquel que puede modificar su comportamiento en respuesta a cambios en la dinámica del proceso y en las perturbaciones. El control adaptativo puede controlar sistemas con parámetros constantes ó sistemas con parámetros variables. La idea básica del control adaptativo es estimar on-line las variaciones de los parámetros de la planta, basándose en la medida de las señales de entrada – salida de la misma y utilizar los parámetros estimados para realizar los ajustes del controlador. El control adaptativo, tanto para sistemas lineales ó no lineales, es esencialmente no lineal.

1.2

ESQUEMAS BÁSICOS DE CONTROL ADAPTATIVO

Existen dos tipos principales de controladores adaptativos: Sistemas con adaptación en lazo cerrado (STR, MRAC) Sistemas con adaptación en lazo abierto (Ganancia programable) Para el diseño de algoritmos de control adaptativo se han propuesto diferentes métodos, unos que utilizan criterios de optimización y otros que no los utilizan, en este sentido se tiene la siguiente clasificación [1]: Criterio óptimo: o Controladores de mínima varianza o Controladores predictivos generalizados Criterio no óptimo: o Asignación de polos y ceros o Controladores de tiempo finito o Controladores PID


1.2.1 Controlador autosintonizado (STR): Este regulador se obtiene mediante un acoplamiento entre el controlador convencional y los parámetros de la planta estimados on-line. La operación del controlador con auto-ajuste es la siguiente: en cada instante el sistema de identificación en línea estima los parámetros de la planta, los cuáles son calculados a partir de la medida de los datos entrada-salida de la misma. Con los parámetros estimados se calculan los nuevos parámetros del controlador lo cual causa una nueva salida de la planta. El ciclo de adaptación se repite, y así la acción de control cambia cuando hay cambio de los parámetros de la planta. Para una planta lineal existen muchos métodos disponibles para estimar la variación de los parámetros. Uno de los más utilizados es el método “Mínimos cuadrados recursivos”. También existen diferentes técnicas de control para plantas lineales, tales como controladores PID, Controladores tipo Deadbeat, controladores de mínima varianza etc. Mediante la conjunción de las diferentes técnicas, métodos de control y estimadores se obtienen varios tipos de reguladores STR. La figura 1.1 muestra un esquema general del sistema de control con autosintonia.

Figura 1.1 Sistema de control autosintonizado

1.2.2 Control con modelo de referencia: En este regulador la adaptación se obtiene a partir de la señal de error que resulta de comparar la salida real del sistema con la esperada a partir de un modelo de comportamiento establecido. El comportamiento ideal del modelo de referencia debería poder ser alcanzado por el sistema de control adaptativo. La figura 1.2 da una idea del control con modelo de referencia. La teoría de control dispone de varios métodos que se pueden utilizar para obtener el mecanismo


de adaptación: método de Lyapunov, método de la hiperestabilidad etc. En cualquier caso, los resultados obtenidos son semejantes, en cuanto a la estabilidad del sistema se refiere.

Figura 1.2 Sistema de control con modelo de referencia.

1.2.3 Control con ganancia programada (Gain Scheduling): El control por ganancia programable se refiere a un sistema donde los parámetros del controlador varían dependiendo de las condiciones de operación medidas. La variable programable para el cálculo de los parámetros del controlador puede ser el set-point, la variable controlada ó una señal externa. Una vez seleccionadas las variables, se calculan los parámetros del regulador para varios puntos de operación o zonas de trabajo en base a una adecuada estrategia de control que puede ser del tipo PID, Deadbeat, etc. La figura 1.3 representa un esquema del control con ganancia programable.

Parámetros del Controlador

Programación Precalculada

Controlador SP

+

-

Punto de Trabajo

Planta Señal de Control

Salida

Figura 1.3 Sistema de control con ganancia programable.


La identificación de sistemas tiene por objeto obtener el modelo de un sistema dinámico a partir de datos experimentales. La figura 2.1 es una representación conceptual de un sistema dinámico. El sistema es comandado por variables de entrada controlar las variables de entrada salida

y por perturbaciones

El usuario puede

, pero no las perturbaciones

. Las señales de

son variables que suministran información útil acerca del sistema.

Figura 2.1 Representación de un sistema dinámico. 2.1 TIPOS DE MODELOS Los modelos de los sistemas dinámicos pueden ser de varias clases, incluyendo los siguientes: Modelos Mentales, Intuitivos o Verbales: éste es el tipo de modelo que se forma por ejemplo cuando se maneja un carro (pisando el freno decrece la velocidad, girando la cabrilla el carro voltea en determinada dirección, etc.)


Modelos Gráficos: En este caso el modelo del sistema está dado mediante una gráfica. Un diagrama de Bode de un servo sistema es un ejemplo de un modelo dado en forma gráfica. La respuesta de un sistema ante una entrada en escalón es otro tipo de modelo gráfico. Modelos Matemáticos: Son aquellos que describen el comportamiento del sistema a partir de ecuaciones diferenciales (sistemas continuos) o de ecuaciones en diferencias (sistemas discretos). Estos modelos son muy utilizados para el análisis, predicción y diseño de sistemas dinámicos, controladores y filtros. Existen dos formas básicas para obtener el modelo matemático de un sistema dinámico: o Matemáticamente: Es un método analítico en el cual se utilizan leyes físicas, tales como las leyes de Newton y ecuaciones de balance para describir el comportamiento dinámico de un fenómeno o de un proceso. o Identificación del Sistema: Es un método experimental en el cual se realizan algunas pruebas sobre el sistema que permiten obtener los datos necesarios para estimar el valor de los parámetros del modelo representativo del sistema.

2.2 PROCEDIMIENTO PARA LA IDENTIFICACIÓN. La obtención de un modelo a partir de datos experimentales conlleva las siguientes etapas fundamentales: la recolección de datos, la selección del modelo y la validación del modelo. 2.2.1 Recolección de datos: Los datos de entrada y salida se pueden obtener mediante un experimento diseñado específicamente para la identificación del sistema. En este caso, el usuario puede determinar que señales va a medir, cuándo y cómo las va a medir y también puede escoger las señales de entrada. El objetivo del diseño del experimento es entonces, seleccionar los datos que proporcionen la máxima información posible. En otros casos, el usuario no tiene la posibilidad de realizar el experimento pero puede utilizar los datos obtenidos a partir de la operación normal del sistema y llevar a cabo con ellos la identificación del mismo. 2.2.2 La Selección del Modelo: Esta se realiza a partir de un grupo de modelos, eligiendo el más adecuado y representativo del sistema. Este paso es sin duda, el más


importante y al mismo tiempo constituye la etapa más difícil en el procedimiento de la identificación. Es acá en donde el conocimiento previo del sistema y el de las características

de

cada

modelo

deben

combinarse

para

obtener

resultados

satisfactorios. Algunas veces el modelo apropiado sólo se obtiene después de un cuidadoso proceso de modelado. 2.2.3 Validación del Modelo: La evaluación de la calidad del modelo se basa en determinar cómo se desempeña el modelo cuando se trata de reproducir con él los datos obtenidos en la medición experimental. Un comportamiento deficiente del modelo en este aspecto hace que el modelo sea rechazado, mientras que un buen desempeño, proporcionará cierta confianza en el modelo. Un modelo no se puede aceptar como la última y verdadera descripción del sistema; por el contrario, es mejor mirarlo sólo como una descripción suficientemente buena de ciertos aspectos que son de interés particular para un fin determinado.

2.3 IDENTIFICACIÓN PARAMÉTRICA Algunas técnicas de diseño de sistemas de control, incluyendo el método del lugar geométrico de las raíces y el de asignación de polos, requieren de un modelo paramétrico del sistema. Este tipo de modelo es particularmente importante en sistemas de control adaptativo, en los cuales, los parámetros de la planta deben ser estimados en línea para calcular el controlador correspondiente. Para dar una idea de la identificación paramétrica se consideran a continuación el método de mínimos cuadrados no recursivo y el método de mínimos cuadrados recursivos. 2.3.1 Identificación por el método de mínimos cuadrados no recursivo. Se asume que la función de transferencia de pulso del modelo es de la forma:

En donde

es la entrada e

es la salida.

El sistema dado por 2.1 queda descrito por la ecuación en diferencias:


Este modelo se conoce como “MODELO ARMAX” (Auto Regressive Moving Average) y en él se debe estimar el vector de parámetros dado por:

A partir de un conjunto de

pares de mediciones de entrada–salida del sistema:

Debido al error que se puede introducir en la medición, la ecuación 2.2 se puede escribir en la forma:

El primer error es función solamente de las mediciones conocidas. Entonces, para periodos de muestreo

En donde

, se tendrá:

es el vector de parámetros definido en la ecuación 2.3 y:

Para facilitar el tratamiento matemático, se definen las siguientes ecuaciones:


Así, las ecuaciones dadas en 2.6 se pueden escribir en forma matricial cómo:

En donde:

Es de orden

.

Es de orden ( Es de orden Es de orden Al utilizar el método de mínimos cuadrados para estimar

, el vector

debe ser tal

que minimice la suma de los cuadrados del error, es decir, que minimice la función:

Si se despeja e(N) de la ecuación 2.9 y se reemplaza en la ecuación 2.10 se obtiene:

El valor de

que minimiza a

debe cumplir con la ecuación:

Es decir:

Por lo tanto, el valor estimado de

es:

EJEMPLO 2.1 Los datos que se dan a continuación corresponden a la respuesta de un sistema de control ante una entrada en escalón unitario. Obtener, a partir de ellos, un modelo de segundo orden que describa la dinámica del sistema. K

0

1

2

3

4

5

u(k)

0

1

1

1

1

1

y(k)

0

0.73

1.26

1.55

1.73

1.84


SOLUCIÓN: El modelo pedido es:

El vector de parámetros a estimar es: Para ello se utiliza la ecuación: El número de pares de medidas es: Orden de Orden de

Con los resultados anteriores se obtiene:

El modelo estimado es, entonces:

entonces:


La figura 2.2 corresponde a una representación gráfica de los datos reales y de los datos estimados, éstos últimos se dan como una función en línea continua.

Figura 2.2 Respuesta del modelo estimado a la señal de entrada u(k)

2.3.2 Identificación por el método de mínimos cuadrados recursivos: En el método no recursivo, el vector de parámetros

se calcula utilizando toda la información

disponible, siendo esta pequeña en los primeros instantes, pero aumenta a medida que transcurre el tiempo, lo que genera un alto costo computacional al procesar la información. En el método recursivo el vector de parámetros se calcula a partir de los resultados obtenidos en el instante anterior actuales (instante

y de los datos de entrada y salida

).

Se supone que el sistema puede ser modelado como un proceso estable, linealizable y con una sola entrada y una salida por lo que puede ser descrito por una ecuación en diferencias lineal de la forma:

La ecuación 2.14 se puede escribir en forma vectorial así:

En donde:


El procedimiento para la identificación es el siguiente [1]: 1. Seleccionar

y

.

2. Obtener los nuevos valores de

y

3. Calcular el error:

4. Calcular L(k+1) mediante la ecuación:

5. Calcular los nuevos parámetros estimados:

6. Actualizar la matriz de covarianza:

7. Actualizar el vector de medidas: 8. Hacer

y regresar al paso 2.

EJEMPLO 2.1 Los datos que se dan a continuación corresponden a la respuesta de un sistema de control a un escalón unitario. Obtener a partir de ellos, un modelo de segundo orden que describa la dinámica del sistema. Asumir

y utilizar mínimos cuadrados

recursivos. K

0

1

2

3

4

5

6

u(k)

0

1

1

1

1

1

1

y(k)

0

0.73

1.26

1.55

1.73

1.84

1.91

SOLUCIÓN: el modelo pedido es:

El vector a estimar es: Orden de P(k):


El orden de

es:

1. Se toma:

y

2. Nuevos valores de

y de

:

3. Calcular el error:

4. Calcular

:

5. Calcular los nuevos parámetros estimados

6. Actualizar la matriz de covarianza:

7. Actualizar el vector de medidas:



El modelo del sistema es:

La figura 2.3 corresponde a una representación gráfica de los datos reales y de los estimados, éstos últimos se presentan como una función en línea continua. Obsérvese la correspondencia entre los valores reales y los valores estimados.


A continuación se presenta un programa en Matlab para identificación recursiva con modelo de segundo orden.

Figura 2.3 Respuesta del modelo estimado a la señal de entrada u(k) clc u=[0 1 1 1 1 1 1]; y=[0 0.73 1.26 1.55 1.73 1.84 1.91]; n=input('entre el orden del sistema n='); p=1000*eye(2*n); th=[zeros(1,2*n)]'; for k=1:length(y)-1 phit=[-y(k+1) -y(k) u(k+1) u(k)]; e=y(k+1)-phit*th l=p*phit'/(1+phit*p*phit'); th=th+l*e; p=eye(2*n)-l*phit*p; end u1=[1 1 1 1 1 1 1]; n=[th(3) th(4)]; d=[1 th(1) th(2)]; y1=dlsim(n,d,u1) plot(y1) hold plot(y,'*') grid


Estos controladores conforman una estructura subóptima basada en el principio de la separación de las tareas de control e identificación. El diseño se realiza suponiendo inicialmente parámetros conocidos y luego éstos son sustituidos por los estimados. En estos reguladores se aplica el principio de equivalencia cierta pues se supone que los parámetros identificados coinciden con los reales. En el diseño de controladores autoajustables se distinguen tres partes [1]: Un algoritmo recursivo de identificación de parámetros. Un mecanismo de adaptación que realiza la tarea de diseño del controlador Un controlador con parámetros ajustables. 3.1 ECUACIÓN GENERAL PARA CONTROLADORES LINEALES Un controlador lineal se puede describir mediante la función de transferencia de pulso:

En donde los grados de

y de

y los parámetros

y

deben seleccionarse

adecuadamente para satisfacer los requerimientos del sistema de control [3]. Se asume que el proceso lineal que se va a controlar tiene como función de transferencia de pulso:

En donde Para el diseño del controladores adaptativos se pueden utilizar diferentes métodos: Asignación de polos, optimización de parámetros, ajuste por tablas etc.


3.1.1 Método de asignación de polos: El objetivo de este método es diseñar el controlador de modo que los polos del sistema en lazo cerrado, queden ubicados en el lugar deseado de acuerdo a sus especificaciones de funcionamiento. El diseño del controlador consiste básicamente, en resolver una ecuación polinomial con ciertas restricciones en los órdenes de los polinomios para asegurar que el controlador propuesto sea causal y con realización mínima [3]. La ecuación característica deseada para el sistema en lazo cerrado toma la forma:

El orden de en la ecuación 3.3 está determinado por:

La ecuación 3.3 genera

ecuaciones simultáneas cuya solución da como resultado los

parámetros del controlador. Para asegurar error de estado estable igual a cero es necesario que el controlador tenga un integrador, con esta condición, el denominador del controlador

cumple

con la igualdad:

Con la adición del integrador se obtienen parámetros desconocidos

y

ecuaciones y el controlador tendrá . La solución de orden mínimo se obtiene

haciendo:

En este caso los parámetros del controlador se obtienen con la ecuación:


EJEMPLO 3.1 La función de transferencia de pulso de cierto sistema neumático está dada por:

Diseñar para el sistema un controlador digital de modo que los polos dominantes del sistema en lazo cerrado estén ubicados en z=0.6 j0.2 SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema se puede escribir como:

En donde:

y

El orden del numerador del controlador es: El orden del denominador del controlador es: Por lo tanto, la función de transferencia de pulso del controlador toma la forma:

El orden de la ecuación característica deseada es: es decir 5. Se da como polo dominante z=0.6 j0.2 los tres polos restantes se pueden asignar en el origen, así la ecuación características es:

Teniendo en cuenta las ecuaciones 3.1, 3.2 y 3.7 se obtiene:

Resolviendo resulta:


Por lo tanto el controlador pedido es:

La figura 3.1 muestra la respuesta del sistema ante un escalón unitario aplicado en el set-point.

Figura 3.1 Respuesta del sistema al escalón unitario

3.1.2 Controlador de mínima varianza: Este tipo de controlador puede englobarse dentro de los de síntesis óptima, ya que se utiliza la minimización de un índice de coste como criterio de diseño. Sin embargo, también puede interpretarse como un problema de asignación de polos, puesto que el método de síntesis está basado en manipulaciones algebraicas con los polinomios que se utilizan en la descripción externa. El interés de este tipo de controladores se ve acentuado sobre todo en multitud de procesos industriales en los cuales es de vital importancia la minimización de la varianza de la salida. Esta técnica de control se utiliza cuando la salida del sistema está contaminada por una perturbación estocástica. Estas perturbaciones no se pueden eliminar por completo, pero se puede reducir su varianza. El controlador de mínima varianza tiene como objetivo minimizar el efecto de las perturbaciones sobre la salida [1]. La estrategia control consiste en calcular la señal de control los valores disponibles en ese instante o sea tal forma que minimice el criterio:

como una función de , de


En donde:

, es el valor de consigna o referencia.

También se han propuesto controladores de mínima varianza minimizando el criterio:

Si se supone que sobre el sistema actúan perturbaciones estocásticas, el proceso estará descrito por un modelo ARMAX de la forma (ver figura 3.2):

Donde:

Figura 3.2 Proceso con perturbación

Para el instante

, la ecuación 3.10 se puede escribir en la forma:

Utilizando la identidad:

En donde:

La ecuación 3.11 se transforma en:


Los dos últimos términos del lado derecho de la ecuación 3.13 tienen el siguiente significado: : Es el efecto sobre la salida correspondientes a las perturbaciones anteriores a . : contiene las perturbaciones producidas entre el instante instante

, cuyo efecto sobre la salida no se puede controlar con

y el pues

es independiente de Resolviendo la ecuación 3.10 para

Reemplazando la expresión para

se obtiene:

en 3.13 resulta:

En la ecuación 3.15 se debe calcular la acción de control

que minimice la varianza

de la salida:

El mínimo de se encuentra derivando con respecto a

Resolviendo para

:

se obtiene la ley de control:

La figura 3.3 corresponde al sistema con el controlador de mínima varianza incorporado. Eliminación del offset: El controlador de mínima varianza presenta offset (Error de estado estable) ante cambios en la referencia ó ante cambios en la perturbación, para


eliminar el offset se puede adicionar al controlador un integrador así, la ecuación 3.16 se puede escribir en la forma:

Figura 3.3 Controlador de mínima varianza (MVR3) Control de mínima varianza con seguimiento de referencias: Se debe calcular la acción de control que minimice la varianza de la salida:

O sea:

Tomando la esperanza matemática a lado y lado de la ecuación se obtiene:

Para hallar el valor mínimo de la ecuación anterior se deriva con a respecto

Despejando

:

se obtiene la ley de control así:

La ecuación 3.19 corresponde al controlador de mínima varianza con seguimiento de referencias.


La figura 3.4 representa el diagrama de bloques correspondiente al sistema de control de minina varianza con ley de control dada por la ecuación 3.19

Figura 3.4 Control de mínima varianza con seguimiento de referencias (MVR2)

Controlador de mínima varianza ponderado: en este caso se debe calcular la acción de control que minimice la varianza de la salida:

Tomando la esperanza matemática a lado y lado de la ecuación 3.20 se obtiene:

Para hacer mínimo el valor de

es necesario calcular su derivada con respecto a

e igualar

el resultado a cero lo cual da como resultado:

Resolviendo para

se obtiene la ley de control:

La figura 3.5 representa el diagrama de bloques correspondiente al sistema de control de minina varianza con ley de control dada por la ecuación 3.21

Figura 3.5 Control de mínima varianza ponderado (MVR1)


EJEMPLO 3.2 Se desea diseñar un controlador de mínima varianza para un sistema con función de transferencia discreta siguiente:

La salida de dicho sistema se ve afectada por una perturbación estocástica cuyo comportamiento se puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la perturbación estocástica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro siguiente:

Solución: La función de transferencia del sistema y de la perturbación se pueden escribir en la forma:

En donde:

Con

y

, se obtiene:

)

Igualando los coeficientes de igual potencia en

Resolviendo se obtiene:

se obtiene:


Para compensar el error de estado do estable se adiciona el integrador con

así el

controlador toma la forma:

La figura 3.6a muestra la respuesta del sistema con el controlador de mínima varianza estimado y la figura 3.6b la del sistema con controlador de mínima varianza mas el integrador.

Figura 3.6 Respuesta con el controlador de mínima varianza (MVR3)

3.1.3 Diseño de un controlador PI Adaptativo por asignación y cancelación de polos para un sistema de primer orden (POR): Si la dinámica del sistema se aproxima a la de un sistema de primer orden con retardo de la forma:


El modelo discreto correspondiente para dicho sistema es:

Para el diseño, se asume que la función de transferencia del controlador PI toma la forma:

Si se selecciona el cero del controlador de modo que cancele el polo de la planta, es decir, si se hace

la ecuación característica del sistema en lazo cerrado es:

Si al sistema en lazo cerrado se le condiciona a que tenga un polo estable en entonces, al evaluar

en

,

se obtiene:

Despejando q0 resulta:

Entonces, conociendo

y

del modelo, los parámetros

y

pueden calcularse especificando un polo dominante en lazo cerrado en

del controlador que ha de

cancelarse con el cero del controlador. Resolviendo

se puede determinar la ubicación de los n polos restantes,

comprobándose que corresponden a polos no dominantes que decaen rápidamente y que el polo

es efectivamente el polo dominante.

Este método de diseño de controladores PI se recomienda especialmente cuando:

En donde T es el periodo de muestreo del sistema.

EJEMPLO 3.3 Un sistema de flujo tiene como función de transferencia:


Diseñar Para el sistema un controlador PI utilizando el método de cancelación y asignación de polos de modo que el sistema tenga un polo dominante de lazo cerrado en z=0.8. El sistema se muestrea cada 0.2 s. SOLUCIÓN: la función de transferencia del sistema se puede escribir como:

0

1

El controlador PI toma la forma:

Si se asume que el cero del controlador cancela el polo de la planta, entonces . El polo dominante deseado es

, por lo tanto:

El controlador pedido es:

La figura 3.7 muestra la respuesta del sistema con el controlador PI calculado.

Figura 3.7 Respuesta con el controlador PI por cancelación y asignación de polos.


Esta técnica se emplea con modelos matemáticos simulados en computador y es muy útil para sistemas complicados de controlar por ejemplo, sistemas no lineales o con parámetros variables en el tiempo. Se trata de que el sistema controlado siga el comportamiento de un modelo determinado para lo cual se debe generar una señal de control que haga converger la respuesta de la planta a la del modelo para una cierta señal de entrada. En esta estrategia de control se selecciona como referencia un modelo que cumpla con las condiciones deseadas para el funcionamiento adecuado de la planta y se desarrolla un mecanismo de control que permita que la planta siga el modelo escogido. No es necesario un conocimiento extensivo de la planta, pero si es necesaria la escogencia del modelo adecuado para lograr la salida deseada. El modelo de referencia que se utiliza es usualmente lineal. Como se indica en la figura 4.1, el control por modelo de referencia está formado por tres partes fundamentales: [1] El controlador primario: Debe cumplir la condición de hacer posible que el conjunto de la planta y el controlador puedan reproducir el modelo de referencia. El modelo de referencia: Debe seleccionarse con un comportamiento dinámico estable y que pueda ser seguido por el proceso a controlar. La ley de adaptación: esta se puede obtener por diferentes métodos: Método de sensibilidad, método de Lyapunov y método de hiperestabilidad.


Figura 4.1 Control por modelo de referencia 4.1 MRAC PARA SISTEMAS CONTINUOS, MÉTODO DE LYAPUNOV Este método establece que un sistema tiene un punto de equilibrio asintóticamente estable, si existe una función

que cumpla con las siguientes

condiciones [1]: : Definida positiva para Definida negativa para para

Procedimiento para aplicar el método de Lyapunov: 1. Encontrar la ecuación de error en la salida: 2.

Encontrar la función de Lyapunov como una función del error entre las señales

y del error en los parámetros. Esta función es de la forma:

Donde las matrices

y

deben ser definidas positivas.

3. Calcular la derivada de la función de Lyapunov. Esta derivada debe ser definida negativa. Por lo general toma la forma:

El primer término garantiza que la derivada es negativa definida, entonces, haciendo el resto igual a cero se tiene una posible solución para la adaptación. 4. Hacer

el término extra igual a cero para obtener la ley de adaptación.

Normalmente tiene la forma:


, está relacionado directamente con el error

y

tiene que ver con el vector de

señales (Referencia, salida etc.)

EJEMPLO 4.1 Diseñar un sistema de control por modelo de referencia para un sistema de primer orden [2]. SOLUCIÓN: Sea el sistema de primer orden:

Si se toma como modelo de referencia:

El error es:

La ecuación de la planta se puede escribir como:

Haciendo:

Se obtiene:

En donde

es la salida y

es la ley de control.

La ecuación del modelo de referencia se puede escribir como:

Para que el error sea cero se debe cumplir que:

Despejando :

por lo tanto:


Es decir:

Haciendo:

La ecuación 4.12 corresponde a la ley de control del sistema y en ella no se conocen los parámetros

y

debido a que

Los valores apropiados de

y

y

son desconocidos.

que se adapten al sistema de control se pueden

determinar tomando en cuenta las siguientes consideraciones:

Reemplazando 4.8 y 4.9 en 4.13 se obtiene:

Reemplazando 4.12 en 4.14:

Sumando y restando

en la ecuación anterior se obtiene, después de simplificar:

De la ecuación 4.15 se deduce que

si

,

Se trata de diseñar un sistema que lleve los parámetros

y y

.

a los valores deseados.

Para este propósito se define la función de Lyapunov:

Esta función es cero cuando óptimo.

y los parámetros del controlador tengan su valor


Derivando parcialmente la ecuación la ecuación 4.16 con respecto a los parámetros se obtiene:

Reemplazando la ecuación 4.15 en la 4.16 se obtiene:

De acuerdo con la teoría de la estabilidad de Lyapunov, el sistema es estable si

es

semidefinida negativa, esto se cumple si en la ecuación 4.18 se da:

Entonces:

La figura 4.2 muestra el diagrama de bloques y la respuesta del sistema de control MRAC aplicado al sistema de primer orden. En donde: Señal de entrada. La señal de control. La salida del proceso. La salida del modelo de referencia. : El error. y

son las ganancias adaptativas y

es una constante positiva que se puede

tomar como parámetro de ajuste. Se trabajó con Para realizar la simulación se tomaron como modelo para el proceso y como modelo de referencia:


ym

5 s+5 R

e

Modelo de Ref u

yp

4

to

0.8s+1 Proceso

2

1 s So -2

1 s

Figura 4.2 Diagrama de bloques y respuesta del control MRAC

EJEMPLO 4.2 Diseñar un sistema de control por modelo de referencia para un sistema de segundo orden. SOLUCIÓN: Sea el sistema de segundo orden:

En donde

y

son parámetros del proceso variables en el tiempo.


Sea el modelo de referencia:

Se asume como ley de control para el sistema [3]:

En donde

es la señal de referencia.

La ecuación diferencial que describe el sistema es:

Factorizando y simplificando se obtiene:

La ecuación diferencial del modelo de referencia es:

Restando las ecuaciones 4.26 y 4.27 se obtiene:

Introduciendo los parámetros de error:

Y teniendo en cuenta que el error es:

Se obtiene:

La ecuación anterior se puede escribir así:

Ahora se introduce la función de Lyapunov:

En donde

y

son constantes positivas.


Como el modelo de referencia se supone estable, entonces

es positiva y

es una

función positiva definida. La derivada de la función de Lyapunov introducida es:

Factorizando y simplificando se obtiene:

La teoría de estabilidad de Lyapunov garantiza la estabilidad global del sistema dinámico si

es una función semidefinida negativa. Esto se puede asegurar para la

ecuación 4.33 si:

De la ecuación 4.29 se obtiene:

Integrando cada una de las ecuaciones anteriores se obtiene:


La figura 4.3 muestra el diagrama de bloques y la respuesta del sistema de control MRAC aplicado al sistema de segundo orden. En donde: La señal de entrada. La señal de control. La salida del proceso. La salida del modelo de referencia. El error. Para realizar las simulaciones se tuvieron en cuenta los siguientes valores:

El modelo del proceso a controlar se tomó como:

El modelo de referencia se tomó como:

r

1

ym

s2 +1.6s+1 1 s

-2

f

5

q1 u

4

yp

s2 +2s+4

1 s

qo

5

1 s

du/dt

du/dt


Figura 4.3 Control MRAC para sistema continuo de segundo orden

4.2 MRAC PARA SISTEMAS DISCRETOS Al igual que en los sistemas continuos, la idea básica del control con modelo de referencia MRAC, para sistemas discretos, es que el proceso con función de transferencia [3]:

Con:

Siga el modelo:

En donde:

Mediante la aplicación de la ley de control:

En donde:


La figura 4.4 muestra el diagrama en bloques del sistema de control con modelo de referencia propuesto.

Figura 4.4 Control con modelo de referencia La función de transferencia en lazo cerrado para el sistema de la figura 4.4 es:

El procedimiento para el diseño es el siguiente: 1. Seleccionar el modelo de referencia adecuado. 2. Reescribir el polinomio

En donde:

del proceso en la forma:

: Contiene los ceros estables del proceso. : Contiene los ceros inestables del proceso.

3. Los ceros estables del proceso se incluyen en el polinomio

4. Los ceros inestables del proceso deben ser ceros de

5. Si el grado de

es decir:

, es decir, ceros de

seleccionado es menor que el grado de

después de la cancelación de

, el lado derecho de la ecuación 4.38 se

multiplica y divide por el polinomio 6. Los polinomios

,

y

quedan deteminados por las

ecuaciones:

NOTA: En caso de que el sistema tenga solo ceros estables se considera que , en este caso la ley de control toma la forma:


La ecuación 4.41 se puede escribir en forma vectorial como:

En donde:

EJEMPLO 4.3 La función de transferencia de un sistema de presión está dada por:

Diseñe para el sistema un controlador con modelo de referencia de modo que el sistema, en lazo cerrado siga la dinámica del modelo:

SOLUCIÓN: Los modelos discretos son:

La ley de control es:

Grado de Grado de


Condición de los polinomios:

Comparando término a término y resolviendo las ecuaciones resultantes se obtiene qué: ,

, y

Entonces: y Por lo tanto:

Finalmente, la ley de control es:

Despejando

se obtiene:

Tomando transformada z y reuniendo términos:

Es decir:

La figura 4.5 muestra el diagrama en bloques del sistema de control y la respuesta del mismo ante una entrada en onda rectangular.

4.0394z(z+0.4404) (z+0.4631)(z+0.0819)

0.038(z+0.4631) z2(z-0.8607)

1.855z2 (z+0.4631)(z+0.0819)


Figura 4.5 Control con modelo de referencia


La técnica de la ganancia programable (Gain scheduling) es un acercamiento al control de sistemas no lineales que utiliza una familia de controladores

lineales, para

proporcionar el control satisfactorio en diversos puntos de operación del sistema. Este enfoque asume que el sistema se puede representar mediante un modelo parametrizado por ciertas variables, llamadas variables de tabulación o de programación (“scheduling variables”), de modo que cuando estas variables asumen un valor constante se obtiene un punto de funcionamiento [2]. Para sintonizar el controlador adecuado se utilizan una o más de las variables de programación. En este caso, se linealiza el sistema alrededor de distintos puntos de operación de interés, obteniéndose una familia de modelos lineales para la cual se diseña una familia de controladores lineales. Luego, se implementa el esquema de control con un controlador cuyos parámetros son cambiados acorde a los valores que toman las variables de programación, que deberán monitorearse continuamente. La literatura no documenta reglas generales para el diseño de controladores con ganancia programable. Sin embargo, se pueden establecer los siguientes pasos:


Determinar las variables de programación: Estas variables deben reflejar las condiciones de operación de la planta y permitir establecer expresiones simples que relacionen los parámetros del controlador con las variables de ajuste. Esto se hace normalmente mediante la identificación física del sistema. Obtener el modelo del proceso para diferentes puntos de operación: estos puntos deben estar parametrizados por las variables de programación. Si el sistema es no lineal se linealiza alrededor de dichos puntos. Calcular los parámetros del controlador para los diferentes puntos de operación: Se calculan los parámetros del controlador para un determinado número de condiciones de trabajo, en función de las variables de programación, empleando algún método de diseño apropiado. El controlador se calibra o sintoniza para cada condición de operación. No existe norma sobre el número de condiciones o zonas de operación en que debe dividirse el rango de operación de la planta, el diseñador decide al respecto. Seleccionar el controlador en función de las variables de programación: según el punto de operación en que se encuentre el proceso, se selecciona el controlador diseñado para dicho punto de operación. Para evitar los inconvenientes que puede causar la conmutación de un controlador a otro se puede generar una ecuación de regresión que permita calcular los parámetros del controlador en función de las variables de programación. En la figura 5.1 se presenta un diagrama básico de la técnica de control por ganancia programable.

Parámetros del Controlador

Programación Precalculada

Controlador SP

+

-

Punto de Trabajo

Planta Señal de Control

Salida

Figura 5.1 Control con ganancia programable.


EJEMPLO 5.1 La figura 5.2 muestra la respuesta de un intercambiador de calor ante escalones aplicados

en diferentes zonas de operación. La temperatura se midió con un

instrumento calibrado de 0 a 100 ºC y la apertura de la válvula se da en porcentaje. Diseñar para el sistema un controlador PI con ganancia programable.

Figura 5.2 Prueba del escalón

SOLUCIÓN: La dinámica del intercambiador se aproximó a un sistema de primer orden con retardo. Se obtuvo un modelo para cada uno de los escalones aplicados, se discretizaron los modelos y para cada uno de ellos se calculó un controlador PI utilizando el método de Ziegler-Nichols. Los resultados se dan en la tabla 5.1 Modelos continuo y discreto:

Controlador PI:

Formulas empleadas para el cálculo del controlador:


Tabla 5.1 Controladores obtenidos

22

1.5261

-1.2592

40

1.8289

-1.5233

52

1.6498

-1.3781

67

2.2663

-1.8818

78

1.7412

-1.4606

Las ecuaciones para el cálculo de

y de

que se han de utilizar para estimar el

controlador son:

Los datos presentados en la tabla 5.1 y las ecuaciones de regresión para estimar los parámetros

y

del controlador, se obtienen a partir de los valores de los puntos de

operación y de los modelos de primer orden con retardo correspondientes. Para ello se utilizó el programa en MATLAB que se da a continuación:

% GANANCIA PROGRAMABLE % El programa calcula un controlador PI según Ziegler-Nichols % Para este caso, el modelo debe ser de primer orden con retardo POR % Para cada punto de operación se debe estimar el modelo correspondiente. % Puntos de operación: los valores medios de la respuesta de la variable en cada uno % de los escalónes. clc T=input('Entre los puntos de operacion V=');


L=length(T); N=0; while N

coeq1=polyfit(T,q11,4); T1=50:95; qo2=polyval(coeqo,T1); q12=polyval(coeq1,T1); figure(1) plot(T1,qo2,T,qo1,'*') title('VALORES DE qo') xlabel('T (ºC)') ylabel('qo') grid figure(2) plot(T1,q12,T,q11,'*') title('VALORES DE q1') xlabel('T (ºC)') ylabel('q1') grid

La figura 5.3 muestra la variación de

con la temperatura

VALORES DE qo 2.5

qo

2

1.5

1 20

30

40

50

60

70

T (ºC)

Figura 5.3 Variación de La figura 5.4 muestra la variación de

con la temperatura

con la temperatura

80

90


VALORES DE q1 -0.6 -0.8 -1

q1

-1.2 -1.4 -1.6 -1.8 -2 20

30

40

50

60

70

80

90

T (ºC)

Figura 5.4 Variación de

con la temperatura

La figura 5.5 muestra la forma de simular el sistema con ganancia programable con el controlador PI. Los polinomios para el cálculo de

r(k)

m(k)

y

se incluyen en el bloque f(u).

1.5

T

42s+1

e(k)

20

-1 Z -K-

f(u)

qo

To Workspace

-1 Z e(k-1)

D

q1 -K-

f(u)

Figura 5.5 Simulación para el ejemplo 5.1 Los resultados de la simulación se muestran en la figura 5.6, se manejaron los puntos de operación correspondientes a 40, 70 y 50 ºC respectivamente. Para disminuir el sobreimpulso los valores estimados para

y

se multiplicaron por 0.75

Otra alternativa para realizar el control por ganancia programable consiste en seleccionar un controlador fijo para cada punto de operación. En este caso se utilizan ciertos valores de la variable de programación para realizar la conmutación entre los diferentes controladores. En el ejemplo 5.2 se ilustra el método.


Figura 5.6 resultado de la simulación con ganancia programable.

EJEMPLO 5.2 La dinámica de los tanques interconectados de la figura 5.7 se describe mediante las ecuaciones diferenciales no lineales:

Figura 5.7 Tanques interconectados para el ejemplo 5.2

Para el diseño del controlador se proponen como puntos de equilibrio: ,

y

,

. a) Linealice el sistema alrededor de cada uno de los puntos de

operación establecidos. b) Obtenga, para cada punto de operación, la matriz de


ganancia de realimentación incluyendo integrador de modo que los polos de lazo cerrado del sistema queden ubicados en

. c) Simule el

sistema de control obtenido con el sistema no lineal propuesto originalmente. SOLUCIÓN: Para ilustrar el procedimiento se resuelve completamente el problema para el punto de equilibrio correspondiente a

. Los resultados para todos los puntos

de equilibrio se presentan en la tabla 5.2 La dinámica del sistema linealizado se puede representar mediante la ecuación de estado:

En donde:

Las derivadas parciales se calculan en el punto de equilibrio: Los puntos de equilibrio cumplen con la condición:

Resolviendo las dos ecuaciones anteriores para equilibrio es: Para el cálculo de las matrices

y

El sistema linealizado es, entonces:

se tiene:

es decir:

se obtiene que el punto de


La matriz de ganancia de realimentación del sistema incluyendo integrador está dada por la fórmula de Ackerman:

En donde:

Siendo

los coeficientes de la ecuación característica deseada:

Entonces:

La ecuación característica deseada es:

Entonces:

La ganancia correspondiente al integrador es:

La matriz de ganancia de realimentación es:

En la tabla 5.2 se presentan los valores de la ganancia del integrador y de la matriz de ganancia de realimentación para cada punto de operación.


Tabla 5.2 Ganancias del sistema en función del punto de operación

A continuación se presenta el programa en Matlab utilizado para realizar los cálculos de la matriz de ganancia de realimentación y de la ganancia del integrador. % GANANCIA PROGRAMABLE % gananciavar11 % Se trabaja conjuntamente con el diagrama gananciavar1 de simulink clc % Generacion de puntos de operacion t=0:1999; t=t'; ref1=[0.4*ones(600,1)]; ref2=[0.7*ones(500,1)]; ref3=[0.5*ones(500,1)] ref4=[0.3*ones(400,1)]; reft=[ref1;ref2;ref3;ref4]; ref=[t,reft]; %Parametros y puntos de operacion q1=0.4; q2=0.8; q3=0.6; q4=0.2; % Estados de equilibrio para punto1 h1=8*q1^2; h2=4*q1^2; a11=-0.25/sqrt(h1-h2);


a12=0.25/sqrt(h1-h2); a21=0.25/sqrt(h1-h2); a22=-0.25/sqrt(h1-h2)-0.25/sqrt(h2); b11=1; b21=0; c=[1 0]; % Matrices linealizadas punto1 a=[a11 a12;a21 a22]; b=[b11;b21]; c=[1 0]; cero=zeros(length(a),1); A=[a cero;c 0]; B=[b;0]; p=[-0.1 -0.2 -0.5]'; % Polos deseados K1=acker(A,B,p); k11=K1(1,1:2); k21=K1(1,3); % Estados de equilibrio para punto2 h1=8*q2^2; h2=4*q2^2; a11=-0.25/sqrt(h1-h2); a12=0.25/sqrt(h1-h2); a21=0.25/sqrt(h1-h2); a22=-0.25/sqrt(h1-h2)-0.25/sqrt(h2); b11=1; b21=0; c=[1 0]; % Matrices linealizadas punto 2 a=[a11 a12;a21 a22]; b=[b11;b21]; c=[1 0];


cero=zeros(length(a),1); A=[a cero;c 0]; B=[b;0]; K2=acker(A,B,p); k12=K2(1,1:2); k22=K2(1,3); % Estados de equilibrio para punto3 h1=8*q3^2; h2=4*q3^2; a11=-0.25/sqrt(h1-h2); a12=0.25/sqrt(h1-h2); a21=0.25/sqrt(h1-h2); a22=-0.25/sqrt(h1-h2)-0.25/sqrt(h2); b11=1; b21=0; c=[1 0]; % Matrices linealizadas punto 3 a=[a11 a12;a21 a22]; b=[b11;b21]; c=[1 0]; cero=zeros(length(a),1); A=[a cero;c 0]; B=[b;0]; K3=acker(A,B,p); k13=K3(1,1:2); k23=K3(1,3); % Estados de equilibrio para punto4 h1=8*q4^2; h2=4*q4^2; a11=-0.25/sqrt(h1-h2); a12=0.25/sqrt(h1-h2);


a21=0.25/sqrt(h1-h2); a22=-0.25/sqrt(h1-h2)-0.25/sqrt(h2); b11=1; b21=0; c=[1 0]; % Matrices linealizadas punto4 a=[a11 a12;a21 a22]; b=[b11;b21]; c=[1 0]; cero=zeros(length(a),1); A=[a cero;c 0]; B=[b;0]; K4=acker(A,B,p); k14=K4(1,1:2); k24=K4(1,3); sim('gananciavar1')

La figura 5.8 muestra el comportamiento del sistema ante cambios en la referencia y la figura 5.9 corresponde al diagrama de bloques en simulink realizado para simular el sistema.

Figura 5.8 Control MRAC con variables de estado



Es una estrategia de control que se basa en la utilización de forma explícita de un modelo del proceso para predecir el valor de las variables controladas a lo largo de un horizonte temporal especificado por el usuario, calculando el valor de las variables manipuladas para hacer que en ese horizonte las variables controladas estén en sus valores de referencia. Los controladores predictivos calculan los valores de las variables manipuladas en cada periodo de muestreo de acuerdo con los valores de consigna deseados para las variables controladas y las restricciones y condiciones de operación del proceso.

6.1

ESTRATEGIA DE LOS CONTROLADORES PREDICTIVOS

La metodología de los controladores predictivos se caracteriza por la siguiente estrategia [4] , representada en la figura 6.1 En cada instante t y haciendo uso del modelo del proceso se predicen las salidas futuras para un determinado horizonte, llamado horizonte de predicción. Estas salidas predichas,

para

dependen de los valores conocidos de

las entradas y de las salidas pasadas hasta el instante futuras u

para

y de las señales de control


Las señales de control futuras se calculan optimizando un determinado criterio en el que se pretende mantener el proceso lo más próximo posible a la trayectoria de referencia

(que puede ser directamente el set-point o una suave

aproximación a este). Este criterio suele tomar la forma de una función cuadrática de los errores entre la salida predicha y la trayectoria de referencia también predicha, incluyendo en muchos casos el esfuerzo de control. Si el criterio es cuadrático, el modelo lineal y no existen restricciones se puede obtener una solución explicita, en otro caso se debe usar un método iterativo de optimización. Sólo la señal de control

se envía al proceso mientras que las demás señales

de control calculadas se desechan, puesto que en el siguiente instante de muestreo ya se conoce

y se repite el paso 1 con este nuevo valor y todas las

secuencias son actualizadas. Se calcula por tanto será diferente al

(que en principio

al disponer de nueva información), haciendo uso del

concepto de horizonte deslizante.

Figura 6.1 Estrategia del control predictivo

6.2 ESTRUCTURA BÁSICA DEL CONTROL PREDICTIVO Para llevar a cabo la estrategia propuesta, se usa una estructura como la mostrada en la figura 6.2. Se hace uso de un modelo para predecir las salidas futuras del proceso, basándose en las señales de control futuras propuestas. Estas señales son calculadas por el optimizador teniendo en cuenta la función de coste así como las restricciones.


El modelo elegido debe describir lo mejor posible la dinámica del proceso para poder predecir las salidas futuras al mismo tiempo que debe ser sencillo de usar y de comprender. El optimizador es otra parte fundamental de la estrategia pues proporciona las acciones de control.

Figura 6.2 Estructura básica del control predictivo

6.3 ELEMENTOS DE CONTROL PREDICTIVO Hay una serie de elementos comunes a todos los controladores predictivos [4]: El modelo de predicción. La función objetivo Obtención de la ley de control 6.3.1 Modelo de predicción. Debe ser capaz de capturar la dinámica del proceso para poder predecir las salidas futuras, al mismo tiempo debe ser sencillo de usar y comprender y además, debe permitir un análisis teórico. A continuación se presentan los principales modelos de procesos y de perturbaciones utilizados en la formulación del control predictivo. Modelo de respuesta al impulso. Este modelo no requiere información previa sobre el proceso y permite una fácil identificación del mismo. Esta representación sólo es válida para sistemas estables. La figura 6.3 muestra la respuesta del sistema al impulso.


Figura 6.3 Respuesta al impulso

La salida del sistema está dada por:

En donde:

Siendo

los valores muestreaos cuando el proceso es excitado con un impulso

unitario. La predicción del modelo está dada por:

Modelo de respuesta al escalón. Este modelo no requiere información previa sobre el proceso y permite una fácil identificación del mismo. Esta representación sólo es válida para sistemas estables. La figura 6.4 muestra la respuesta del sistema al escalón.

Figura 6.4 Respuesta al escalón


La salida está dada por:

En donde

son los valores muestreados de la salida correspondientes a la entrada en

escalón y La predicción del modelo es:

Modelo de función de transferencia. Este modelo está dado por la ecuación:

En donde:

La predicción del modelo es:

Esta representación es también válida para procesos inestables y tiene la ventaja de que necesita pocos parámetros. Modelo de las perturbaciones. Tan importante como la elección del modelo del proceso es la elección del modelo utilizado para representar las perturbaciones. Uno de los modelos más utilizados para modelar las perturbaciones es el Autorregresivo Integrado de Media Móvil

(Auto-Regressive and Integrated Moving Average,

ARIMA):

A continuación se definen los siguientes modelos estocásticos de los modelos de proceso y perturbaciones utilizados: Modelo ARX


Modelo ARMAX

Modelo ARIX

Modelo ARIMAX

6.3.2 Función objetivo: Los diversos algoritmos de control predictivo proponen distintas funciones de coste para la obtención de la ley de control. En general se persigue que la salida futura en el horizonte considerado siga a una determinada señal de referencia al mismo tiempo que se puede penalizar el esfuerzo de control requerido para hacerlo. La expresión general de tal función objetivo es:

Parámetros: predicción y

representan el horizonte mínimo y el horizonte máximo de es el horizonte de control. El significado de

resulta bastante

intuitivo: marcan los límites de los instantes en que se desea que la salida siga a la referencia. Los coeficientes

y

son secuencias que ponderan el comportamiento futuro.

6.3.3 Algoritmos de control predictivo: Existen diferentes algoritmos de control predictivo que han sido aplicados con éxito: DMC, IDCOM, PFC, EPSAC, APC, GPC, MUSMAR, NPC, UPC, SCAP, HPC, etc. Control con matriz dinámica (Dynamic Matrix Control, DMC): Este método usa la respuesta ante un escalón para modelar el proceso, considerando solo los primeros términos, asumiendo por tanto que el proceso es estable. Control predictivo con modelo heurístico: (Model Predictive Heuristic Control, IDCOM) Este método se conoce comercialmente como IDCOM (IdentificationCommand). Es muy similar al DMC con la diferencia principal de utiliza un modelo de respuesta impulsional.


Control predictivo funcional (Predictive Functional Control, PFC): Este algoritmo utiliza un modelo en el espacio de estados, por lo que permite el manejo de procesos inestables y procesos no lineales. Control adaptativo con predicción extendida. (Extended Prediction Self Adaptive Control, EPSAC). El algoritmo EPSAC usa un modelo de función con transferencia:

Donde

es el retardo y

es la perturbación.

Control adaptativo con horizonte extendido. (Extended Horizont Adaptive Control, EHAC) Esta formulación también emplea un modelo de función de transferencia y pretende minimizar la discrepancia entre la salida calculada y la referencia en el instante El único coeficiente de ajuste es el horizonte de predicción

, lo cual simplifica el uso

pero proporciona poca libertad para el diseño. No utiliza trayectoria de referencia porque el error se considera sólo en un instante

, tampoco se pondera el esfuerzo

de control. Control predictivo generalizado. (Generalized Predictive Control, GPC) Este método utiliza un modelo CARIMA (Controlled Auto-Regressive Integrated Moving Average) para la predicción de la salida:

Donde la perturbación viene dada por un ruido blanco coloreado por el polinomio . Este algoritmo, al igual que otros que usan el modelo de función de transferencia, se puede implementar fácilmente en forma adaptativa usando un algoritmo de identificación en línea como los mínimos cuadrados recursivos.

6.4 CONTROL PREDICTIVO GENERALIZADO (GPC) La idea básica del GPC es calcular una secuencia de futuras acciones de control de tal forma que minimice una función de coste multipaso. El índice a minimizar es una función cuadrática que mide por un lado, la diferencia entre la salida predicha del sistema y una cierta trayectoria de referencia hasta el horizonte de predicción, y por otro el esfuerzo de control necesario para obtener dicha salida.


6.4.1 Formulación del control predictivo generalizado. El GPC utiliza un Modelo Autorregresivo de Media Móvil (Controller Auto-Regressive Moving-Average CARMA). Para aplicaciones industriales en las que las perturbaciones son no-estacionarias resulta más conveniente el uso de un modelo CARMA integrado, dando lugar al CARIMA, que viene descrito por [5]:

En donde:

Para simplificar se considera que

, así la ecuación 6.15 se puede escribir en

la forma:

El algoritmo del Control Predictivo Generalizado consiste en aplicar una secuencia de señales de control que minimice una función de coste de la forma:

En donde: : Es la predicción óptima de la salida del proceso pasos adelante. : Horizonte mínimo de coste. (Horizonte mínimo de predicción). : Horizonte máximo de coste. (Horizonte máximo de predicción). : Horizonte de control. y

:Secuencias de ponderación. En la práctica

y

se toma como

parámetro de diseño. : Es la trayectoria futura de referencia o Set-point. El objetivo es el cálculo de la secuencia de control futura que la salida futura del proceso

de tal manera

permanezca se aproxime lo mejor posible a

. Esto se logra minimizando la función de costo dada en la ecuación 6.16


6.4.2 Predicción óptima. Para minimizar la función de costo, es necesario obtener primero la predicción óptima de

en el intervalo

. Aplicando el

algoritmo de la división, el último término de la ecuación 6.16, se puede escribir en la forma:

Para simplificar se utiliza:

,

,

,

Entonces:

Haciendo:

Multiplicando la ecuación 6.15 con

por

se obtiene:

Despejando

Haciendo

Los polinomios

resulta:

y

valores en el paso La mejor predicción de

se pueden obtener recursivamente, de forma que los nuevos (

y

sean función de los del paso .

se obtiene cuando

El conjunto de las predicciones óptimas es:

, es decir:


La ecuación 6.23 se puede escribir en forma matricial así:

Donde:

Los dos últimos términos de la ecuación 6.24 dependen solo del pasado por lo tanto, pueden agruparse en un solo término , dando lugar a:

6.4.3 Obtención de la ley de control. La función de costo a minimizar propuesta para el control predictivo generalizado, según la ecuación 6.17 es [5]:

Reemplazando

en esta ecuación y con

La ecuación anterior se puede escribir como:

Factorizando la expresión anterior resulta:

Haciendo:

se obtiene:


Se obtiene:

La ecuación 6.26 debe ser un mínimo, el cual se obtiene derivando la función con respecto a la variable

e igualar el resultado a cero.

Para el cálculo de la derivada se tienen en cuenta las siguientes propiedades del cálculo matricial:

Es decir:

Por lo tanto:

Debido a que en el instante

solo se aplica al sistema de control la salida

, solo

interesa el primer elemento del vector . Por lo tanto, en la ecuación 6.27 sólo interesa la primera fila de la matriz

Siendo

así, la ley de control para el GPC queda:

, la primera fila de

EJEMPLO 6.1 Para el sistema de control de la figura 6.6, diseñe un controlador predictivo. Asuma horizonte de predicción 3, horizonte de control 3,

y periodo de muestreo T=2 seg.

Figura 6.6 Sistema para el ejemplo 6.1 SOLUCION: La función de transferencia de pulso para el sistema es:


Las ecuaciones para obtener la predicción son:

La ecuación de predicción está dada por:

En donde:


La ecuación anterior se puede escribir en la forma:

Finalmente, la ley de control es:

En donde

es la primera fila de la matriz:

Con

Se obtiene:

Pero:

Entonces:

Tomando la transformada z a la ecuación anterior:

Es decir:


La figura 6.7 muestra el diagrama en bloques del sistema con el controlador predictivo calculado para el sistema.

Figura 6.7 Diagrama en bloques para el control predictivo del ejemplo 6.1

En la figura 6.8 se presenta la respuesta del sistema con el control predictivo con diferentes valores de la referencia

.

Figura 6.7 Respuesta del control predictivo para ejemplo 6.1

EJEMPLO 6.2 La función de transferencia de un sistema neumático está dada por:

El periodo de muestreo es de 0.5 s. Calcular para el sistema, un controlador predictivo con

, horizonte mínimo de predicción 3, horizonte máximo de predicción 5 y

horizonte de control 5. SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema se puede escribir como:


En donde:

,

,

y

.

Entonces:

Entonces la de predicción entre

y

es:


Es decir:


En donde

es la primera columna de

Por lo tanto:


. Con

se obtiene:


Es decir:

Finalmente:

Figura 6.8 Respuesta del sistema del ejemplo 6.2

6.5

CONTROL CON MODELO INTERNO

Los métodos de control basados en modelos, incorporan dentro del controlador un modelo del proceso. Este tipo de control es conocido como control con modelo interno o , por sus siglas en inglés. La figura 6.9a muestra un sistema de control realimentado en donde GP(S) es el modelo de la planta y

es el controlador del sistema. La figura 6.9b muestra el diagrama de

bloques básico del sistema de control basado en modelo, en donde de la planta

, en la práctica se hace

controlador con modelo interno como el controlador

y

es un modelo es el modelo del

. Comparando las Figuras 6.9a y 6.9b, se observa

equivalente está dado por:

La ecuación 6.29 es la base para el diseño de los controladores del tipo PID cuyos parámetros se calculan aplicando alguna de las técnicas de control con modelo interno.


Figura 6.9 a) Sistema de control realimentado. b) Estructura IMC básica Tomando como base la estructura

general, Rivera, Morari y Stogestad

demostraron que para modelos simples esta estructura conduce a controladores del tipo PID y desarrollaron un procedimiento para obtener los controladores y lograr un cierto desempeño deseado. Para lograr la solución redefinieron el controlador IMC como:

Donde

es un filtro pasa bajo, que debe seleccionarse de manera que garantice que

la función de transferencia del controlador

sea propia. El filtro es de la forma:

EJEMPLO 6.3 Se desea diseñar un controlador PI con modelo interno para un sistema de primer orden sin retardo. Obtener los parámetros

y

del controlador.

SOLUCIÓN: El modelo del sistema de primer orden sin retardo es:

La ecuación del controlador PI ideal es:


Se elige la ecuación del filtro

Con

como:

Se obtiene:

Reemplazando en la ecuación 6.29 resulta:

Comparando las dos ecuaciones obtenidas para el controlador G C(S) se obtiene:

Con un procedimiento similar al anterior, Rivera et al dedujeron, para diferentes modelos de la planta, los parámetros para los controladores como se indica en la tablas 6.1 y 6.2. Es necesario tener en cuenta que la ganancia del controlador varía inversamente con el valor del parámetro

es decir, si

es pequeño la ganancia del

controlador es alta y la respuesta del sistema en lazo cerrado es rápida y si

es grande

la ganancia del controlador es pequeña y la respuesta del sistema en lazo cerrado es lenta. La tabla 6.1 se aplica a un modelo de primer orden con retardo:


Para obtener los parámetros de dicha tabla, Rivera, Morari y Stogestad utilizan una aproximación de Padé de primer orden para el retardo así:

Tabla 6.1 Parámetros del IMC para un modelo POR

Tabla 6.2 Parámetros del IMC para diferentes modelos

P PI PD PID PID PID

EJEMPLO 6.4 El modelo de cierto sistema de flujo puede aproximarse al de un sistema de segundo orden sin retardo con función de transferencia:

Obtenga para el sistema un controlador PID con modelo interno. Asuma como periodo de muestreo

. Resuelva el problema para

respuestas ante una entrada en escalón unitario.

y

y grafique las


SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema se puede escribir en la forma:

Por comparación se obtiene:

a) Los parámetros del controlador con

son:

El controlador PID discreto tiene por ecuación:

La ecuación del controlador es, entonces:

b) Los parámetros del controlador con

Los parámetros del controlador son:

son:


La ecuación del controlador es, entonces:

La figura 6.10 muestra la respuesta del sistema de flujo a un escalón unitario. Como puede verse, para sistema con

la respuesta del sistema es más rápida que para el pero presenta un sobreimpulso considerable (18%). Por lo

tanto, cuando se diseñan controladores por el método de control con modelo interno es necesario seleccionar el valor de

adecuado para que el sistema en lazo cerrado tenga

un desempeño adecuado.

Figura 6.10 Respuesta del sistema con el controlador PID-IMC

6.6 DISEÑO DE COMPENSADORES POR EL MÉTODO DE RAGAZZINI Para el sistema de control discreto mostrado en la figura 6.11, la función de transferencia de lazo cerrado es:


Si se especifica cuál debe ser el comportamiento de la planta en lazo cerrado, es decir, si se especifica

, el compensador

resultante a partir de la ecuación 6.32 es:

Figura 6.11 Sistema de control digital Como puede verse, a partir de la ecuación 6.33, una parte del controlador cancela los polos y ceros de la planta. El problema consiste en establecer e implementar restricciones específicas sobre

de modo que el controlador sea realizable y que el

sistema, en lazo cerrado, tenga un comportamiento adecuado. Dichas restricciones se pueden resumir en las siguientes [7]: 1. Restricción de causalidad: un sistema causal o realizable es aquel que no responde antes de ser excitado. Para que necesario que

y

tengan ceros del mismo orden en el infinito es decir, si

se expande en potencias de potencias de Si

en la ecuación 6.33 sea causal, es

, el término más significativo de

debe ser al menos tan grande como el de

es de la forma:

En donde:

Es la ecuación característica deseada. La restricción de causalidad implica qué:

en


2. Restricción de estabilidad: Si sistema es inestable. El controlador

tiene polos fuera del círculo unitario,

el

no debe cancelar dichos polos pues

cualquier error en la cancelación entre ceros y polos hará que con el tiempo, el sistema se haga inestable. Entonces, para que los polos inestables se cancelen, se deben cumplir las siguientes condiciones: debe tener como ceros todos los polos de

que estén fuera del

círculo unitario. debe tener como ceros todos los ceros de

que estén fuera del

círculo unitario. 3. Restricción de exactitud: Como

es la función de transferencia del sistema

en lazo cerrado, entonces:

Si el sistema es tipo 1, con constante de error de velocidad Kv, debe tener un error de estado estable igual a cero ante una entrada en escalón unitario y 1/K v de error de estado estable ante una entrada en rampa unitaria, es decir: Para un escalón unitario :

Para una rampa unitaria:

Utilizando el teorema de L'Hopital se obtiene:

La aplicación de las restricciones anteriores y el cumplimiento de las especificaciones impuestas al sistema, permiten el diseño del compensador.


EJEMPLO 6.5 La figura 6.12 representa el esquema de una antena diseñada para rastrear un satélite. La dinámica del sistema que describe el movimiento de la antena se puede aproximar mediante la expresión:

Diseñar un compensador de modo que el sistema, en lazo cerrado, tenga tiempo de crecimiento de 10 seg, sobreimpulso máximo

10% y coeficiente estático de error de

velocidad igual a 2.

Figura 6.12 Antena rastreadora de satélites

SOLUCION: La constante de tiempo equivalente del sistema continuo en lazo cerrado es:

. Por lo tanto, se puede tomar como periodo de muestreo

La ubicación deseada para los polos de lazo cerrado está dada por:

.


De las condiciones del problema:

La ecuación característica deseada es, entonces:

Como el sistema es de segundo orden,

debe ser de la forma:

a) Restricción de causalidad :

b) Restricción de estabilidad: no se aplica pues

no tiene polos ni ceros fuera del

círculo unitario. c) Restricción de exactitud :

Ahora se evalúa la derivada de

Evaluando la expresión anterior en

con respecto a

resulta:

en

, es decir:


Resolviendo las ecuaciones

y

se obtiene:

Por lo tanto:

La ecuación del controlador es:

La función de transferencia de lazo cerrado del sistema, con el controlador diseñado, es:

La figura 6.13a corresponde a la respuesta del movimiento de la antena cuando se le aplica un escalón unitario en la señal de referencia y la figura 6.13b representa la acción del controlador sobre el elemento final de control de la misma. Como puede verse, el controlador presenta oscilaciones ocultas ("efecto timbre"), debido al polo ubicado en

. Para obviar el problema se reemplaza dicho polo por una

ganancia que se obtiene haciendo en él z=1, como se indica a continuación:

La figura 6.13c representa la respuesta del movimiento de la antena y la figura 6.13d la acción del controlador sobre el elemento final de control de la misma al aplicar un


escalón unitario en la referencia, una vez suprimido el efecto timbre que producía el controlador.

Figura 6.13 Respuesta del movimiento de la antena y del controlador al aplicar un escalón unitario a) y b) con efecto timbre c) y d) sin efecto timbre. REFERENCIAS [1] Rodriguez, R. Lopez, M. Control Adaptativo y Robusto. Universidad de Sevilla.1996. [2] Aström, K. Wittenmark, B. Adaptive Control. Addison Wesley, 1989. [3] Iserman,R. Lachman,K. Adaptive Control Systems. Prentice Hall 1991. [4] Bordons, C.

Control Predictivo: metodología, tecnología y nuevas perspectivas.

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática. Universidad de Sevilla. 2000 [5] Camacho,E. Bordons, C. Model Predictive Control. Springer Verlag, 1999. [6] Franklin, G. Powell, D. Digital Control of Dynamic Systems. Addison Wesley, 1990. Ollero, A. Control por Computador. Descripción interna y diseño óptimo. Marcombo Boixareu Editores, 1991. Phillips, C. Nagle, H. Digital control systems. Análysis and Desing. Ediciones G. Gili. 1997.


BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA Äström, K., Hägglung: Automatic Tuning of PID Controllers, ISA.1988 Äström, K., Wittenmark: Adaptive Control, Prentice Hall.1989 Äström, Karl J.: Computer Controlled Systems. Theory and Design, Prentice Hall. 1984. Bellman, R.: Adaptive Control Processes: A Guided Tour, Princeton University. 1961. Bordons, C.

Control Predictivo: metodología, tecnología y nuevas perspectivas.

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática. Universidad de Sevilla. 2000. Camacho,E. Bordons, C. Model Predictive Control. Springer Verlag, 1999. Franklin, G. Powell, D. Digital Control of Dynamic Systems. Addison Wesley, 1990. Isermann, R.: Digital Control Systems, Springer Verlag .1981. Iserman,R. Lachman,K. Adaptive Control Systems. Prentice Hall 1991. Kuo, B: Discrete Data Control Systems, Prentice Hall. 1970 Ljung, Lennart : System Identification: Theory for the User, 2nd Edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1999. Ljung, Lennart: System Identification Toolbox, for use with Matlab, User's Guide Version 4, The MathWorks, Inc, Natick, MA.1997. Ollero, A. Control por Computador. Descripción interna y diseño óptimo. Marcombo Boixareu Editores, 1991. Phillips, C. Nagle, H. Digital control systems. Análysis and Desing. Ediciones G. Gili. 1997. Richalet, J.: Pratique de la Commande Predictive, Hermes.1993 Rodriguez, R. Lopez, M. Control Adaptativo y Robusto. Universidad de Sevilla.1996. Sinha, N. K.: Modelling and Identification of Dynamic Systems, Van Nostrand Reinhold Co.1983. Söderström, T. & Stoica, P.: System Identification, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1989.

Sistemas de Control Avanzado - 1ra ED

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