Konsep Bilangan Bulat
Dalam sistem bilangan cacah, operasi pengurangan dan pembagian tidak selalu memberikan hasil. Misalnya, tidak ada bilangan cacah yang sama dengan (2 - 5), begitu pula tidak ada bilangan cacah yang sama dengan dengan (5 : 7). Dengan kata lain sistem bilangan cacah tidak tertutup terhadap pengurangan pengurangan dan pembagian. Untuk itu perlu memperluas sistem bilangan cacah agar terdapat suatu sistem bilangan yang tertutup terhadap semua operasi hitung. Perluasan ini kita lakukan lakukan secara bertahap. bertahap. Tahap pertama, sistem bilangan cacah diperluas sehingga diperoleh sistem bilangan bilangan yang tertutup terhadap pengurangan. Sistem bilangan hasil perluasan tahap pertama ini disebut sistem bilangan bulat. Pada sistem bilangan cacah, pengurangan (2 – 5) supaya ada hasilnya bilangan terkurang ditambah dengan 3, berarti bilagan terkurang masih kurang 3 atau (2 – 5) 5) = kurang 3 yang ditulis (-3). Jadi sistem pada bilangan bulat hasil dari 2 - 5 = -3 (dibaca negatif 3). Maka himpunan bilangan bulat yang diberi simbol B adalah {......, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ......}. {......, -3, -2, -1 } disebut himpunan bilangan bulat negatif dan diberi simbol himpunan bilangan bulat positif dan diberi simbol
.
. Jadi B =
{1, 2, 3, ......} disebut {0}
.
Catatan: Perlu diperhatikan bahwa tanda ““-“ mempunyai dua arti yang berbeda yaitu: 1) Untuk tanda bilagan negatif 2) Untuk tanda operasi pengurangan Jadi pada 3 + (-2) berarti operasi penjumlahan antara bilangan 3 dan bilangan -2, sedangkan pada 3 – 3 – 2 2 berarti operasi pengurangan bilangan 3 dengan bilangan 2.
2. Operasi Penjumlahan Pada Bilangan Bulat
Seperti halnya pada operasi penjumlahan bilangan cacah, karena himpunan bilangan cacah memuat elemen-elemen bilangan positif dan bilangan negatif, maka perlu didefiisikan penjumlahan pada bilangan bulat sbb: Definisi: Jika n bilagan bulat maka n + (-n) = (-n) + n = 0. Bilangan (-n) ini disebut lawan dari (invers) jumlah dari n dan 0 disebut elemen identitas terhadap penjumlahan. penjumlahan. Sifat-sifat pada operasi penjumlahan bilangan bulat adalah: 1) Tertutup, yaitu a + b = c, maka c
B
2) Komutatif, yaitu a + b = b + a 3) Assosiatif, yaitu (a + b) + c = a + (b + c)
4) 0 sebagai elemen identitas, yaitu a + 0 = 0 + a = a 5) Tiap elemen mempunyai elemen invers
teori bilangan bulat SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat a dalah bilangan riil yang mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02. Notasi Himpunan : B = {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}. Dalam bentuk garis bilangan B. Operasi Bilangan Bulat Jika n bilangan bulat, maka n(-n) + n = 0. Bilangan (-n) dise but lawan dari (invers penjumlahan dari) n, dan 0 disebut elemen identitas terhadap penjumlahan. Definisi diatas menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat n ada dengan tunggal bilangan bulat (-n) sedemikian hingga n + (-n) = (-n) + n = 0. Lawan dari (-n) adalah – (-n) sehingga (n) + (-(-n)) + (-n) = 0. Karena (-n) + n = n + (-n) = 0 dan (-(-n)) = n. Jadi lawan dari (-n) adalah n. Operasi Penjumlahan a. Tertutup a + b anggota bilangan bulat b. Komutatif a + b = b + a c. Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) d. Identitas a + 0 = a e. Invers a + (-a) = 0 Operasi Pengurangan a – b = a + (-b) Lawan (invers) Catatan : Penjumlahan 2 bilangan bulat 1. (-a) + (-b) = - (a + b) penjumlahan 2 bilangan negatif 2. (-a) + b = b – a jika a < b 3. a + (-b) = a – b jika b < a Bukti bahwa (-a) + (-b) = - (a + b) Misalkan a dan b bilangan – bilangan cacah, maka (-a) + (-b) merupakan jumlah dua bilangan negatif. Misal (-a) + (-b) = c maka c = (-a) + (-b). c + b = ((-a) + (-b)) + b sifat kesamaan c + b = (-a) + ((-b) + b) sifat asosiatif penjumlahan c + b = (-a) + 0 invers penjumlahan (c + b) + a = (-a) + a sifat kesamaan (c + b) + a = 0 invers penjumlahan c + (b + a) = 0 sifat asosiatif penjumlahan c + (a + b) = 0 sifat komutatif penjumlahan (c + (a + b)) + (-(a + b)) = – (a + b) sifat kesamaan c +((a + b) + (-(a + b))) = – (a + b) sifat asosiatif c + 0 = – (a + b) invers penjumlahan Jadi kesimpulannya (-a) + (-b) = – (a + b). Bukti bahwa (-a) + b = b – a . Penjumlahan dua bilangan bulat, yang satu positif dan yang lain negatif, kita jelaskan sebagai berikut : Misal a dan b dua bilangan cacah dengan a < b, berarti ada bilangan asli c
sedemikian hingga a + c = b dan menurut definisi pengurangan bilangan cacah, a + c = b sama artinya dengan b – a = c (-a) + b = (-a) + (a + c) = ((-a) + a) + c asosiatif penjumlahan = 0 + c invers penjumlahan =c=b-a Jadi terbukti bahwa (-a) + b = b – a. Contoh operasi penjumlahan dan pengurangan: Buktikan jika r + t = s + t dengan r, s, t adalah bilangan bulat, maka r = s. Jawab : r + t = s + t pernyataan r + t + (-t) = s + t + (-t) sifat penjumlahan pada kesamaan ( di tambah – t) r + (t + (-t)) = s + (t + (-t)) sifat asosiatif penjumlahan r + 0 = s + 0 invers penjumlahan r = s kesimpulan Latihan Soal 1. Buktikan bahwa – (x + y + z) = - x – (y + z) dengan x, y, z merupakan bilangan bulat positif. 2. Buktikan bahwa (a + h) – (h + b) = a – b dengan a, b, dan h adalah bilangan bulat positif dan b < a.