Simulación del valor de 𝝅 según el método de Montecarlo, utilizando Microsoft Excel Simulation of the value of π according to the Monte Carlo method, using Microsoft Excel
Millones Isique, Elvis Eugenio (Código Universitario: 140498-B) Santisteban Quiroz, Juan Piero (Código Universitario: 144034-K) Estudiantes de ingeniería de sistemas – UNPRG – Lambayeque
Curso: Investigación de Operaciones II Docente: Ing. Gavino Loyaga Orbegoso
RESUMEN Este es un trabajo de simulación para determinar el valor de PI utilizando el Método de Montecarlo, y la Hoja de Cálculo Microsoft Excel.
ABSTRACT This is a simulation work to determine the value of PI using the Monte Carlo method, and Microsoft Excel Spreadsheet
PALABRAS CLAVE Método Montecarlo, Calculo de PI, Números Aleatorios
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Millones Isique, Elvis Eugenio Santisteban Quiroz Juan Piero
1. Introducción El número π (pi) según (Salas Vergara , 2013) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente: 3,1415. El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas. La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro) de un círculo, notación que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660), y propuesto su uso por el matemático galés William Jones (1675-1749), aunque fue el matemático Leonhard Euler, con su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748, quien la popularizó. El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind, donde se emplea un valor aproximado de π afirmando que: el área de un círculo es similar a la de un cuadrado, cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir, igual a 8/9 del diámetro.
2. Antecedentes Todos los casos que hemos analizado hasta ahora, desde Arquímedes hasta las últimas fórmulas de Bailey y otros son intentos deterministas. En unos casos se utilizan técnicas geométricas, en otras técnicas aritméticas, cálculo diferencial. Sin embargo, a lo largo de la historia han surgido también formas de cálculo probabilísticas. Sorprende que el número π, la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, pueda calcularse utilizando el azar. Pero en esto consiste el problema de la aguja de Buffon, ideado en 1777 por el francés Georges Louis Leclerc, Conde de Bufón.
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Figura 1 :Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon (1707-1788). Buffon propuso el siguiente problema: En un plano hemos dibujado rectas paralelas (como en la figura 10) separadas, una de otra, a una distancia constante d. Lanzamos sobre el plano una aguja de longitud l (con d ≥ l). Calcular la probabilidad de que la aguja toque a alguna de las líneas. Se puede demostrar que en (Aigner, 2005) la probabilidad de que la aguja cruce a alguna de las líneas es
En particular, si dl=, la probabilidad es entonces
Como consecuencia de este resultado, es posible obtener valores aproximados de π experimentalmente. Si lanzamos una aguja N veces y, de estas veces, en M ocasiones la aguja corta a una de las rectas; entonces un valor aproximado de π será
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Figura 2:La aguja de Buffon Tal fascinación supuso el problema entre los matemáticos, que hay documentados algunos experimentos que dieron, presuntamente, los siguientes valores de π:
Todos los experimentadores tuvieron una suerte sorprendente aunque, sin duda, el beneficiado por la diosa fortuna fue el experimentador llamado Lazzarini, ya que los cálculos muestran que para obtener un resultado, en el problema de Buffon, con un error del orden de 0’0000002, sería necesario tirar la aguja unas 1'156675 10 veces. Tirando una aguja cada 5 segundos (la tiramos, miramos si corta y anotamos), habría que estar unos 3.600.000 años, sin parar. El problema de Buffon tiene una enorme importancia histórica, e incluso consecuencias cómicas. No obstante, hay mejores formas de obtener el número π mediante técnicas probabilísticas. Se trata de utilizar el llamado método de MonteCarlo según (Metropolis, 1915 - 1999) que consiste en lo siguiente: Construyamos una diana circular (no hace falta dibujar nada dentro del círculo) de un metro de radio y la ponemos inscrita en un cuadrado de dos metros de lado, como se muestra en la figura 11. El área del círculo es π y la del cuadrado en el que está inscrito es 4. Por tanto, al lanzar repetidas veces un dardo (suponiendo que, al menos, seamos capaces de acertar en dentro del cuadrado que tiene 4 metros cuadrados de área), la proporción de dardos dentro del círculo entre dardos totales, debería tender al número π/4
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Figura 3 Diana para aplicar el método de Monte Carlo Ahora ya sólo queda encontrar a un lazzarini dispuesto a lanzar el dardo. Bien, para que no nos ocurra como antes, simplemente podemos simular los lanzamientos mediante un ordenador 10 . Cada lanzamiento de dardo consiste, para el ordenador, en la generación de dos números aleatorios, las coordenadas del punto. El método de Monte Carlo se utiliza, de hecho, para estimar áreas de figuras irregulares. En este sentido, se puede considerar un método de integración más.
3. Metodología usada El Método usado es el Método de Montecarlo. Softwares usados en el experimento: Hoja de Cálculo Microsoft Excel
Versión: 2016 MSO (16.0.6868.2062)
Arquitectura: 64 bits
Id. Del Producto: 00339-10000-00000-AA304
Sistema Operativo Windows
Versión: Windows 10 Enterprise Insider Preview
Build: 14342.rs1_release.160506-1708
Arquitectura: 64 bits
Id. Del Producto: 00329-00000-00003-AA259
Computadoras usadas en el experimento:
Laptop Marca Lenovo
Modelo: Z-50
Procesador: Intel Core i5-4210U @ 2.3 GHz
Memoria RAM: 6 GB
Disco Duro: 1 TB
Tarjeta Gráfica: NVIDIA GeForce 820M 2GB
Laptop Marca HP Simulación PI
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Modelo: HP 240 G3
Procesador: Intel Core i3-4005U @ 1.70 GHz
Memoria RAM: 4 GB
Disco Duro: 1 TB
Tarjeta de Video: Intel(R) HD Graphics Family 2GB
Para la simulación con el método Montecarlo se procedió siguiendo la forma en que se desarrolla este método, la cual se dieron instrucciones de su aplicación en clase, se utilizó una hoja de Microsoft Excel 2016 para realizar los cálculos con 120´000,000 ensayos. Inicialmente se experimentó con 4,000 ensayos o tiros y el numero resultante era 3,1... con el primer decimal estático, aún lejos del número real de PI, pero se aproxima mientras se aumenta el número de ensayos, ya que en los siguientes se probó con 10,000 ; 20,000 ; 50,000, obteniendo 3.14…, y se fue acercando más al número real de PI. A continuación, se pueden observar algunos de los primeros cálculos de este experimento, no todos los resultados ya que son muy extensos y se pueden simular al guiarse de las siguientes imágenes.
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La cantidad de ensayos se tuvo que dividir en “Círculos” (Como se aprecia en la imagen anterior), pues el Microsoft Excel 2016 tiene un límite máximo de filas (1’048,576 filas para ser exactos) en cada hoja. A continuación, se explicará las funciones utilizadas en cada columna:
COLUMNA A Las primeras 4 filas están conformadas por el encabezado de la tabla resumen. Luego en la fila 6 tenemos el encabezado “N”, y luego una serie de números naturales que nos indica la cantidad de ensayos o tiros por cada círculo.
COLUMNA B, C, D, … A partir de la Columna B el resto adopta en mismo modelo:
En la primera fila nos muestra la cantidad de puntos dentro de la circunferencia.
La segunda fila nos muestra la cantidad de puntos fuera de la circunferencia.
La tercera fila nos muestra la cantidad de Ensayos por círculo
La cuarta fila nos muestra el valor promedio de Pi, en ese círculo o bloque.
Luego en la fila 6 tenemos el encabezado “Circulo 1”, nos indica el número de circulo en la tabla
Luego en el resto de filas se utilizó la función que se detalla a continuación: SI (0,25 >= ((Aleatorio)-0,5)^2 + ((Aleatorio)-0,5)^2 ; 1; 0) Se utilizó la función condicional “SI”, que devuelve 1 (Si cumple la condición) o 0 (si no cumple la condición). Y la Condición es la adaptación de la ecuación de la circunferencia, con los valores X y Y aleatorios.
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COLUMNA AP Aquí nos muestra el valor promedio general de todo el experimento, el valor aproximado de PI.
4. Presentación de resultados Los resultados fueron los siguientes:
Gráfico 1: Tendencia del Valor de PI. Elaboración Propia
Los datos muestran el resultado promedio de PI en cada uno de los 40 Círculos, y al promediar estos valores se obtiene un valor de PI ≅ 3,141….. Obteniendo una aproximación estática al tercer decimal.
5. Conclusiones Con este experimento concluimos que cada método o algoritmo para calcular el número PI se acercan al número real mientras más iteraciones se van realizando. Además, podemos concluir que, el método de Montecarlo utilizando la hoja de cálculo de Excel, es factible ya que se acerca al valor real de PI, pero no es recomendable usar este software ya que existe un déficit de tiempo en ejecución. Por último, podemos concluir que este método es aplicable para cualquier tipo de problema ya sea determinístico, como en problemas complejos que solamente se pueden resolver por programas de computadora, así como problemas simples que se resolverán a mano sin tanta dificultad.
6. Referencia bibliográfica Aigner, M. Z. (2005). El libro de las demostraciones. Madrid: Nivola. Metropolis, N. C. (1915 - 1999). Salas Vergara , P. (2013). Simulacion del numero pi.
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