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Significado físico de las “Ecuaciones de Maxwell” (Mayo 2015) Tania Lucero Hernández Echáurregui Resumen—En este trabajo se describen de manera física las Ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial, así como los operadores matemáticos que se utilizan en ellas. Abstract—In this paper describes physically the "Maxwell equations" in differential form as well as mathematical operators that are used in them. Índice de Términos— Divergencia, Ecuaciones de Maxwell, Gradiente, Operadores Matemáticos, Rotacional.
I. INTRODUCIÓN
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ames Clerk Maxwell (1831-1879) es considerado el padre de la teoría electromagnética contemporánea. Sus célebres estudios condijeron al descubrimiento de las ondas electromagnéticas. Luego de cinco años de indagación teórica, dio a conocer la primera teoría unificada de la electricidad y el magnetismo, en la que, además de reunir todos los resultados experimentales y teóricos obtenidos hasta entonces, introdujo la corriente de desplazamiento y predijo la existencia de ondas electromagnéticas [1].
Rotacional, se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero [5]. II. DESARROLLO A. Significado físico de los operadores vectoriales Para comprender el significado físico de los operadores vectoriales que se utilizan en las ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial, se propusieron diferentes experimentos con los que se obtuvo un panorama más claro de cada operador. Los experimentos, se describen a continuación: Para comprender mejor los operadores, primero ejemplificamos una carga que simplificaría el entendimiento del significado físico de los operadores, pero esto solo sirvió como referencia, no va implícita ninguna carga en la definición de cada operador.
Las ecuaciones de Maxwell relacionan los campos eléctricos y magnéticos con las cargas y corrientes que los crean. La solución general de las ecuaciones, en el caso variable en el tiempo, es en forma de ondas, que pueden estar ligadas a una estructura, como es el caso de una línea de transmisión o guía de ondas, o bien libres en el espacio, como ocurre con las producidas por las antenas [2]. Figura 1. Cargas
Los operadores matemáticos utilizados en las ecuaciones de Maxwell son: Gradiente, que se define como la medida de la inclinación de una curva (con frecuencia una línea recta), como la relación del cambio vertical (elevación) con respecto al cambio horizontal (recorrido) para una línea no vertical. En coordenadas Cartesianas rectangulares, el gradiente es la razón a la cual cambia la coordenada y con respecto a la coordenada x. Para una curva, el gradiente cambia de punto a punto [3]. Divergencia, es una medida de si el campo brota de un punto (divergencia positiva), se concentra hacia él (divergencia negativa) o ninguna de las dos cosas (divergencia nula). Un campo que tiene divergencia nula en todos los puntos se denomina campo solenoidal [4].
En la Figura 1, se pueden ver las cargas (positiva a la derecha y negativa a la izquierda) con sus líneas de fuerza y sus flechas de dirección indicando si la carga es positiva o negativa. Para describir el significado físico del operador gradiente, se propuso el siguiente ejemplo:
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Figura 2. Gradiente (carga roja negativa, carga azul positiva)
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En la figura 2 podemos observar 3 espacios con diferentes cargas, si al primer espacio aplicáramos un barrido, obtendríamos que existe una carga, o una variación en el espacio, al igual que en el espacio 3, donde existen dos diferentes variaciones, por el contrario en el espacio 2 aunque hay cargas, no se podría reconocer una variación, puesto que las cargas están a la misma distancia y son del mismo valor de carga. Con lo anterior concluimos que la definición física de gradiente indica una variación en el espacio. Si esta variación es constante en distancia y valor, su gradiente es cero, de lo contrario, se obtiene un campo vectorial, porque conocemos su magnitud, dirección y sentido. Esto lo podemos visualizar mejor retomando la Figura 2, en el espacio 1, a simple vista podemos reconocer la posición de la carga, si le diéramos valor, podríamos obtener su magnitud y sabemos que es una carga negativa. El segundo operador fue el de divergencia. Para este experimento se tomó un bastidor con un guante de látex desechable y observó lo que ocurría cuando se jalaba o empujaba por el centro y se tiraba una moneda.
Figura 4. Ejemplo de Rotacional.
En la Figura 4, observamos del lado izquierdo como el flujo de automóviles va de forma recta por el camino, y en la imagen de la derecha, si el flujo de carros fueran las líneas azules y el círculo rojo un “bache”, podemos observar como el flujo se desvía y rodea el obstáculo para luego volver a su curso original. Si aplicáramos el rotacional a la imagen e la izquierda, nos daría cero porque no hay nada que perturbe su flujo, por el contrario el de la imagen de la derecha sería diferente de cero, porque hay algo que hace que las trayectorias de los automóviles se curven. B. Significado físico de las ecuaciones de Maxwell Ahora que se tiene un concepto claro de los operadores matemáticos que se utilizan en las ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial, podemos dar un significado a cada una de ellas.
Figura 3. Divergencia
Cuando el guante era jalado se formaba un sumidero que atraía la moneda por la gravedad, pero independientemente de este efecto, podemos describir las trayectorias de la moneda como circulares, por el contrario cuando se empujaba, la moneda caía a los lados y su trayectoria no era circular. Lo que concluye que al aplicar la divergencia a un campo eléctrico nos indica el punto donde tenemos una fuente de la cual, salen las líneas de campo o si tenemos un sumidero en donde entran estas líneas, si la aplicamos a un campo magnético, no podemos deducir donde se encuentra esa fuente o sumidero, porque el campo magnético tiene trayectorias cerradas y no es posible deducir donde hay una fuente o donde un sumidero. El último operador, el rotacional, nos indica la perturbación que sufre el flujo (campo) cuando algo lo perturba indica si es cero o diferente de cero. Esto lo podemos entender mejor con un ejemplo muy cotidiano:
Tabla 1. Ec. De Maxwell Símbolo Β J E p μ0 ε0
Significado Nabla Campo magnético Corriente Campo eléctrico Densidad de carga Permeabilidad magnética (4πx10-7 Hy/m) Permitividad eléctrica (1x10-9/36π F/m) Tabla 2. Simbología
Primera ecuación de Maxwell (Ley de Gauss para campo eléctrico): Aplicando la divergencia a un campo eléctrico obtenemos la posición y magnitud de la densidad de carga que lo genera. En otras palabras, el valor escalar que obtenemos de esta ecuación es la consecuencia de aplicar las derivadas parciales al campo eléctrico y lo que se obtiene es la densidad de carga. Segunda ecuación de Maxwell (Ley de Gauss para campo magnético):
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Al aplicar la divergencia a un campo magnético el resultado será siempre cero, ya que no existen fuentes o sumideros aislados en un campo magnético. Tercera ecuación de Maxwell (Ley de Faraday): La variación de un campo magnético en el tiempo produce un campo eléctrico con líneas curvas (rotacional). Cuarta ecuación de Maxwell (Ley de Ampère generalizada): Una densidad de corriente de conducción y/o una densidad de corriente de desplazamiento generan un campo magnético rotacional. III. CONCLUSIONES Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. Entender su significado físico nos facilita su aplicación en áreas de interés tales como la fabricación de dispositivos como amplificadores o resonadores. REFERENCIASS [1] [2] [3] [4]
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Matthew N. O. Sadiku, Elementos de electromagnetismo, 3ra ed. Enrique C. Ed. New York: Oxford,2003,pp.369-370 Ángel C. Aznar, “Antenas”, 2da ed. J.Girona Ed. Barcelona: EDICIONS UPC, 2002, pp.87-89. Visual Matematics Disctionary, Edu2000 America Inc. http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/g/gradient.htm BluWiki's simple skin. Available: http://laplace.us.es/wiki/index.php/Fundamentos_matem%C3%A1ticos# Flujo_y_divergencia Departamento de Tecnología Electrónica - Universidad de Vigo paging if given. Available: http://quintans.webs.uvigo.es/recursos/Web_electromagnetismo/magnetis mo_rotacionalydivergencia.htm
