Sesion1-2-3-4 -5estadistica Para Negocios Iiisemestre2014

Bienvenidos a

Estadística para los Negocios Roger Cruz Mere [email protected]

Logro del curso

¿Cuál es la meta que nos proponemos alcanzar en este curso?  Al finalizar el curso, el estudiante aplica herramientas estadísticas para la toma de decisiones tácticas en el ámbito empresarial.

Esa meta se debe refejar en un resultado o producto concreto que será presentado en su evaluación nal ¿Cuál es ese producto  qu! características debe tener?

Evaluación nal Producto: /esolución de un caso propuesto  presentación con e0posición de los criterios utilizados# Criterios de Evaluación "# Calcula probabilidades asociadas a una variable aleatoria discreta que se distribuen de $orma %inomial& 'oisson  una (#) que se distribue de $orma Normal *# +etermina el tama,o de muestra para poblaciones nitas e innitas  construe intervalos de conanza para la media  proporción poblacional# -# )plica t!cnicas para estimar  pronosticar la tendencia de una serie de tiempo# .# )naliza un caso empresarial aplicando la t!cnica

Sistea de evaluación 

'roceso permanente



Entrenamiento progresivo para alcanzar la meta nal



/etroalimentación sobre nuestras $ortalezas  sobre los aspectos que debemos mejorar

Cronograa de Evaluación

Sesión &

Sesión '

Sesión !%

Sesión !(

Evaluaci ón continua !

Evaluaci ón Parcial

Evaluaci ón continua "

Evaluaci ón nal

"#$

%#$

"#$

"#$

Proceso

Resulta do

/eglas de juego )sistencia 1 $altas como má0imo Con más de 1 $altas se desaprueba el curso

Puntualidad

"2 minutos de tolerancia 3en la sesión de la primera 4ora5 2 minutos de tolerancia 3en la sesión despu!s del re$rigerio5 - tardanzas equivalen a " $alta

'/67E/) 8N6+)+ +69:/6%8C6;NE9 +E '/;%)%6<6+)+

)l nalizar la unidad el alumno calcula probabilidades 3para di$erentes casos empresariales5 asociadas a una variable aleatoria que se distribue de $orma %inomial& 'oisson o Normal#

Estadística in$erencial • Es una parte de la estadística que comprende los m!todos  procedimientos que por medio de la inducción determina propiedades de una población estadística& a partir de una peque,a parte de la misma#

(ariable aleatoria • 8na variable aleatoria es una variable que toma valores num!ricos determinados por el resultado de un e0perimento aleatorio# No 4a que con$undir la variable aleatoria con sus posibles valores#  – Ejemplos= • n> de caras al lanzar  veces una moneda 3valores= @& "& *A5 • n> de llamadas que recibe un tel!$ono en una 4ora

Las varia*les aleatorias pueden ser: +iscreta • el conjunto de posibles valores es numerable. Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el nmero de veces que sucede al!o.

Continua

• el conjunto de posibles valores es no numerable. "uede tomar todos los valores de un intervalo. Son el resultado de medir.

Ejemplo • Clasicar como discretas o continuas las siguientes variables aleatorias=  – a5 n> de páginas de un libro B  – b5 tiempo que tarda en $undirse una bombilla B  – c5 n> de preguntas en una clase de una 4ora B  – d5 cantidad de agua consumida en un mes B

+istribución de una variable aleatoria • Sea  x   una varia*le aleatoria discreta.

Su distri*ución viene dada por los valores ,ue puede toar-  x 1-  x 2- x 3-  x k -

/

las

pro*a*ilidades

de

,ue

aparezcan  p1-  p2- p3- - pk . Estas

Ejemplo= • (ariable aleatoria 0n> de caras al lanzar tres veces una moneda# 'osibles valores de 0= @& "& *  -#
•
EGE7'<; "= Sea E el experimento aleatorio# $lanzar una moneda dos veces% & la v.a. '#%nmero de caras obtenidas(. )etermine# a*+l dominio de ' b*+l ran!o de '

EGE7'<; *= +n un lote de  artículos ha& - buenos. )el lote se toma al azar una muestra sin reposicin de cuatro artículos. sea ' el numero de artículos buenos en la muestra. )etermine# a*+l ran!o de '

EGE7'<; -= +n un lote de /0 artículos ha& 1 defectuosos. Si se toma al azar una muestra sin reposicin de tres artículos. sea ' el numero de artículos buenos en la muestra. )etermine# a*+l ran!o de '

H8NC6IN +E '/;%)%6<6+)+ Sea =J→/ una v.a. talque R x { x1 , x2 ,..., xn ,...} )iremos que p2x * es funcin de probabilidad si#  p ( xi ) =  P [ X  =  xi ] = {ω  ∈ Ω /  X (ω ) = xi } =

i

0 p305

EGE7'<; " Sea ' una variable discreta con funcin de probabilidad. )etermine la esperanza matemática & la desviacin estándar 

0

0"

p305 "K2

#

!

1

%

"K2

"K2

"K2

"K2

H8NC6IN +E +69:/6%8C6IN )C7

3a funcin de distribucin acumulada de una v.a. ', denotada por 4, es una funcin  F  : ℜ → [ 0,1] definida por la re!la de correspondencia

 F ( x ) =  P [ X  ≤  x ] =  P [ {ω  /  X (ω ) ≤  x} ] )e esta manera, 42x* denota la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores menores o i!uales a x.

EGE7'<; 5onsideremos la v.a# '#%nmero de caras obtenidas al lanzar una moneda - veces %. )etermine # a* la funcin de probabilidad o cuantía b*3a funcin de distribucin. c* 3a esperanza 6atemática & la varianza

EGE/C6C6; " +n un lote de 7 artículos ha& 0 defectuosos. )el lote se toma al azar una muestra sin reposicin de cuatro artículos. sea ' el numero de artículos defectuosos en la muestra. a*)etermine los valores que asume el ran!o b*)etermine la funcin de probabilidad de x c*)etermine la )istribucin de probabilidades d*3a desviacin estándar 

EGE/C6C6; * +n un lote de /8 artículos ha& - buenos. )el lote se toma al azar una muestra sin reposicin de cinco artículos. sea ' el numero de artículos buenos en la muestra. a*)etermine los valores que asume el ran!o b*)etermine la funcin de probabilidad de x c*)etermine la )istribucin de probabilidades

EGE/C6C6; 9n inversionista se da cuenta que tiene la probabilidad del 18: de obtener una utilidad de ;0< 888& una probabilidad de perder ;/< 888. a*)etermine la )istribucin de probabilidades b* 3a media & la desviacin estándar.

EGE/C6C6; . 9n contratista hace estimaciones para terminar una obra de la si!uiente manera en /8 días avanza el -8:, en /< días el 08: & el resto de la obra en 00 días en cuantos días se espera & termine la obra & además determine la dispersin de los dias

EGE/C6C6; 9na urna contiene = bolas de las cuales 1 son blancas. )e la urna se toma al azar una muestra de tama>o 0 si reposicin .Sea 3a variable aleatoria ' que representa el numero de bolas blancas a*)escribe el ran!o b*)etermine la distribucin de probabilidad o cuantía de x, constru&a su !rafica c*)etermine la funcin de )istribucin acumulada

EGE/C6C6; 2 Se tiene una urna con tres fichas ,numeradas del / a -.se extrae al azar una ficha, lue!o se lanza una moneda tantas veces como indica el numero de la ficha obtenida. Si ' representa el numero de caras. )eterminar# a*+l dominio de ' b*+l ran!o de ' c*)etermine la funcin de probabilidad o cuantía de x, constru&a su !rafica d*)etermine la funcin de distribucin

9E96;N * +2S3R2B4C256 B267M2)L

EN9)L; +E %E/N;8<<6 +l ensa&o de ?ernoulli es un experimento que tiene 0 posibles resultados mutuamente exclu&entes, !eneralmente llamados# @xito & 4racaso. • 3anzar una moneda • 3anzar un dado, siendo los resultados posibles un nmero < o un nmero distinto de <

EN9)L; +E %E/N;8<<6 +n todos los casos, interesa la ocurrencia de xito o fracaso. "ara cada experimento se define una v.a. ' que toma solamente dos valores# 8, /

1 ,  si ocurre éxito ( p)  X  =  0 , si ocurre  fracaso (q = 1 −  p)

+69:/6%8C6IN +E %E/N;8<<6

3a v.a. ' que toma solamente dos valores# 8, / & con funcin de probabilidad dada por 

 p q  p ( x) =  P [ X  =  x ] =  0  x

1− x

,  si  x = 0;1 , en otro

caso

+69:/6%8C6IN %6N;76)< Se dice que un experimento es ?BCD6BA3 si# +l experimento consiste de n ensa&os ?ernoulli 3a probabilidad de xito en un ensa&o es p & es constante para todos los ensa&os. 3a probabilidad de fracaso es constante e i!ual a qE/ – p.

 n    x 1− x     p q ,  si  x = 0;1   p ( x ) =  P [ X  =  x ] =  k   0 , en otro caso 

1. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. n grupo de ! amigos son a"icionados a la lectura#

8Cu9l es la pro*a*ilidad de ,ue en el grupo a/an le;do la novela " personas<

$. La proailidad de que un artículo producido por una "arica sea de"ectuoso es p & 0.0$. 'e envi( un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. )allar el número esperado de artículos de"ectuosos, la varian*a y la desviaci(n típica.

+. La proailidad de que un homre acierte en el lanco es 1!. 'i dispara 10 veces -cul es la proailidad de que acierte exactamente en tres ocasiones/ ?2/8, /F1* pEG qEH

!. n agente de seguros vende p(li*as a cinco personas de la misma edad y que dis"rutan de uena salud. 'egún las talas actuales, la proailidad de que una persona en estas condiciones viva +0 aos o ms es $+. )llese la proailidad de que, transcurridos +0 aos, vivan# • "#
• -# E0actamente dos personas #

. 2n una ca3a hay 8 canicas negras, 4 canicas ro3as y 5 canicas verdes, si extraemos  canicas al a*ar. 6alcular la proailidad de que $ de ellas sean ro3as. 7e"inir éxito# sea canica ro3a. nE< xE0 p E =F0- E 8,0= q E / – 8,0= E 8,1

 :)/E) "5 En un área geográca determinada& el .@M de la población pertenece al partido democrata#se selecciona una muestra de "@ adultos • ¿u! probabilidad 4a de que - de ellos pertenezcan al partido demócrata? • ¿u! probabilidad 4a de que O no pertenezcan al grupo de los demócratas?

*5 El "@M de las cerraduras producidas en una $abrica son de$ectuosas# 9e selecciona una muestra de  cerraduras al azar #+etermine= a5E0actamente * sean de$ectuosas? b5) lo mas - sean de$ectuosas c5'or lo menos 2 sean de$ectuosas d5Entre *  . sean buenas e5) lo mas 2 de$ectuoso

-* Ieneralmente un 18: de los alumnos desaprueban un examen de estadística B J5uál es la probabilidad de que en un !rupo de 08 , desaprueben# a*+xactamente /8 alumnos b*"or lo menos 0 estudiantes c*A lo mas - estudiantes d*+ntre = & /8 alumnos

1* Se!n datos confiables el -<: de los estudiantes del B"A+ son solteros. Se selecciona una muestra aleatoria de /< estudiantes. Kallar la probabilidad de que el numero de solteros del !rupo sea# a*6a&or que /8 b*6enor que 1 c*Kalle la media & la desviacin estándar 

5) De acuerdo a los registros acumulados por largo tiempo en una cooperativa de ahorro y crédito , el 80% de los socios que solicitaron un préstamo a dicha entidad la obtuvieron. El gerente inanciero recibi! la solicitud de "# socios en un determinado mes$ alcular la probabilidad de que se le otorgue el préstamo$ a)E&actamente a "0 socios b) ' mas de "( socios

+) En una empresa , el +5% de los trabaadores est-n sindicali*ados u-l es la probabilidad de que en una muestra de "5 trabaadores$ a)/odos estén sindicali*ados b)Entre 5 y  estén sindicali*ados c)1inguno este sindicali*ado d)Determine el promedio y la desviaci!n est-ndar

* 9na secretaria que debe lle!ar a su trabajo todas las ma>anas a las 7#88 am se tarda /< minutos el 08: de las veces. +l !erente que lle!a a las /8 am llama ocasionalmente a la oficina entre las 7#88 & 7#/< am para dictar una carta, Jcuál es la probabilidad de que tres ma>anas de las = en que el !erente llama, la secretaria no está en la oficinaL

+69:/6%8C6IN +E ';699;N  2a • distribuci!n de 3oisson se aplica a problemas donde la variable aleatoria es el n4mero de eventos independientes que ocurren en un intervalo de tiempo, o en una regi!n plana, con un promedio dado. 3or eemplo, entre otros • 14mero de llamadas que recibe una central tele!nica en un minuto • 14mero de accidentes de trabao que ocurren en una -brica durante una semana. • 14mero de allas en la supericie de una cer-mica rectangular • 14mero de bacterias en un volumen de un de agua 4/12/15

C)R)C3ER=S32C)S: En este tipo de e&perimentos los é&itos buscados son e&presados por unidad de -rea, tiempo, pie*a, etc.  6 de deectos de una tela por m(  6 de aviones que aterri*an en un aeropuerto por d7a, hora, minuto, etc.  6 de bacterias por cm( de cultivo  6 de llamadas tele!nicas a un conmutador por hora, minuto, etc.  6 de llegadas de embarcaciones a un puerto por d7a, mes, etc. 1F/0F/<

• 2a unidad o intervalo de tiempo unitario, puede en las aplicaciones, ser cambiada por unidad de longitud, de -rea, de volumen o de cualquier otra medida. • El n4mero medio de eventos en cada unidad se denomina tasa de ocurrencia y se denota por  o u • 2a distribuci!n de probabilidad de 3oisson se denota por

'305

1F/0F/<

0 @Q "Q *Q -Q A

Es importante& en una distribución de 'oisson& considerar

•

μ = λ=n*p λ σ = x: numero de ocurrencias e= 2.7182 :pro!a!i"idad de #xi$o  =x / n 1F/0F/<

Ejemplo " 9i un banco recibe en promedio  c4eques sin $ondo por día& ¿cuáles son las probabilidades de que reciba=  a5 cuatro c4eques sin $ondo en un día dado 9olución= u   c4eques sin $ondo por día e  *#1"O* '30.5

4/12/15

Ejemplo * ;btenga la probabilidad de encontrar . artículos de$ectuoso de una muestra de -@@ en el que se dice que 4a *M de artículos de$ectuosos +atos= '*M n -@@ u '3.5

4/12/15

+2S3R2B4C2 6 +E P72SS76

"# 9i a se conoce que solo el -M de los alumnos de contabilidad son mu inteligentes ¿ calcular la probabilidad de que si tomamos "@@ alumnos al azar 2 de ellos sean mu inteligentes#

• n  "@@ • '  @#@• lambda  "@@ R @#@-  • 02 • e *#1"O*O"O*O

*#
n  O2 '  @#@* . lambda  "#1

+2S3R2B4C2 6 +E P72SS76

-# 9e calcula que en la ciudad el *@M de las personas tienen de$ecto de la vista si tomamos una muestra de 2@ personas al azar ¿ calcular la probabilidad de que "@ de ellos tengan de$ecto en la vista# • n  2@ • p  @#* • lambda "@

+2S3R2B4C2 6 +E P72SS76 .# El OM de los registros

contables de una empresa presentan algTn problema& si un auditor toma una muestra de .@ registros  ¿ calcular probabilidad de que e0istan 2 registros con problemas ? • n  .@ • p  @#@O • lambda -#* • 2

2#
3ue!o, " 2x E -* E 8,87M0

'or lo tanto& la probabilidad de tener accidentes de tráco en -@@ viajes es del O&UM

+2S3R2B4C2 6 +E P72SS76 # 9i un banco recibe en

promedio  c4eques sin $ondo por día& ¿cuáles son las probabilidades de que reciba= a5 cuatro c4eques sin $ondo en un día dado b5 "@ c4eques sin $ondos en cualquiera de dos días consecutivos? a?  A varia*le ,ue nos dene el nero de ce,ues sin fondo ,ue llegan al *anco en un d;a cual,uiera A #- !- "1- .....- etc- etc.

A  ce,ues sin fondo por d;a A ".D!(

EGE/C6C6;9 +E )'<6C)C6IN 9e sabe que el promedio de llamadas en una central tele$ónica es de tres por minuto# Calcular la probabilidad de que en un minuto = a5 no ocurra llamada alguna b5 ocurran al menos . llamadas# • 9olución

a) %a$os: u -

Entonces b5

p30@5 

 @[email protected]

'3  V -5  p30  @5W p30 "5W p30  *5 W p30 -5  3  @&.1*-"OOO
 :)/E)=EGE/C6C6;9 +E )'<6C)C6IN " •
1F/0F/<

EGE/C6C6;9 +E )'<6C)C6IN * • 8n "M de lo empleados de una empresa $altan diariamente al trabajo# si se eligen 1@ nombres al azar ¿Cuál es la probabilidad de que solo " este ausente?

1F/0F/<

EGE/C6C6;9 +E )'<6C)C6IN • ;btenga la probabilidad de encontrar . artículos de$ectuosos de una muestra de -@@& en la que se dice que 4a *M de artículos de$ectuosos#

1F/0F/<

EGE/C6C6;9 +E )'<6C)C6IN . • +espu!s de revisar 2@ paginas de un libro & se encuentra que 4a un promedio de * errores en cada 2 pagina #Zallar la cantidad de paginas con @&"&*&-&. errores en "@@ paginas#

1F/0F/<

EGE/C6C6;9 +E )'<6C)C6IN 2 • 9i un banco recibe en promedio  c4eques sin $ondo al día =Cual es la probabilidad que reciba . c4eques sin $ondo al día#

1F/0F/<

EGE/C6C6;9 +E )'<6C)C6IN  • 8na ocina de ventas recibe un promedio de 2#2 pedidos por 4ora# 9uponiendo que los pedidos siguen una distribución de poisson ¿Cuál es la probabilidad de que se realicen al menos . pedidos en una 4ora determinada

4/12/15

EGE/C6C6;9 +E )'<6C)C6IN 1 • 8na ocina de ventas recibe un promedio de 2#2 pedidos por 4ora# 9uponiendo que los pedidos siguen una distribución de poisson ¿Cuál es la probabilidad de que se realicen al menos . pedidos en una 4ora determinada

4/12/15

Eeplo 1 8na empresa te0til produce un tipo de telas en rollos de "@@m# El nTmero de de$ectos que se encuentra al desenrollar la tela es una variable aleatoria de 'oisson que tiene en promedio . de$ectos por *@m de tela# a5 ¿u! probabilidad 4a de que al desenrollar la tela& se 4alle a lo mas * de$ectos en los primeros 2@ metros? b5 Zalla la probabilidad de que al desenrollar la tela no se 4alle de$ectos en el primer segmento de 2m# de tela# 4/12/15

9olución a5 "@& •  np 2@# "@& "5 W p30  *5

p30V p30V -5  p30  @5 W p30 p30

  3" W "@W2@5  #"  @&@@*1U b5  np  2#

1F/0F/<

p30  @5   @&-1O1U

%6%<6;S/)H6) 6aximo 6itacc 6eza Dscar Acosta Acosta 6alpica 6alpica Nufino 6o&a

E9:)+[9:6C) ')/) NES;C6;9 Belisa 3ornero Medina

SES256 6F

+2S3R2B4C256 67RM)L LOGRO DE LA SESIÓN $

'l inali*ar la sesi!n, el estudiante hace uso adecuado de la /abla de Distribuci!n 1ormal.

+69:/6%8C6IN N;/7)< ; S)8996)N) distribución normal es una de

• 
\

#&

#-&

C)7')N) +E S)899

(rmula 7istriuci(n 9ormal  f  ( X ) =

1 e 2πσ 

−

1  X  − µ  2 ( ) 2 σ 

e E constante matemática con valor aproximado de 0./707 P E constante matemática con valor aproximado de -./1/
-

:ropiedades de la distriuci(n normal "# :iene $orma de campana 3es sim!trica5

*# 9us medidas de tendencia central son id!nticas 3media& mediana& moda5

&rea 'ao "a cura norma"

• En la la de encabezado se busca el que tiene el segundo decimal#

<

Ejemplos Calcular '3Y@#21 V \ V "#@*5

Calcular

'3\ V "#""5

5alcular

"2 T 0.8/*

5alcular

"2 U O /.07*

5alcular

"2 U /.07* =

5alcular

"2/.88 T  T /.0<-* ]/E) @#-U.. ^ @#-."-

5alcular

"2O/.0< T  T O/.88*

9:E' /otal ;

0.(+#<





@#@2-

EJEMPLOS: 1.-¿Cuál es la probabilidad de que un  valor de z est entre ! " -#.!$% #.-¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z est entre -#.!$ " &#.!$% $. 'allar P( z )1.#* +

,. 'allar P ( z ) -!.$, +

*. 'allar P ( !.$,  z  #.$! +

7

Zalla el área bajo la curva comprendida entre  @

       C        #        !        1          #

Y@&OO

@

#-1!#

Zalla el área bajo la curva a la derec4a de z  Y *&"2

#-%(%"

#-&

Y*#"2

#-%(%" G #-& A #-'(%"

Zalla el área bajo la curva a la izquierda de z  *&2.

*&2. #-%'% #-&G &

#-%'%& A#-''%&

Zalla el área bajo la curva entre

       C        (        C        1          #

Y"&"*

       !        D        C        %          #

"&O.

#-1( G #%D! A #-(1&D

Zalla el área bajo la curva entre

       !        #   -       D        #        1

Y*&"* Y"&O1

#-%(1#0#-%'1 A#-#!1D

Zalla el área bajo la curva entre  "&"2   *&*.

       C        "        !        !          #

@

"&"2

*&*.

@&.O12 ^ @&-1.U  @&""*

Ejercicios propuestos •Zallar el área bajo la curva normal tipicada& en cada caso=

"# Entre  Y*&"2  "&@.

*#Y Entre  Y"&*-  *&"

-#Y Entre  "&"2  &"

.#Y Entre  Y@&"O 

2#Y ) la derec4a de z  *&1  Y"&*.

#Y ) la derec4a de z

1#Y ) la izquierda de z  "&* z Y-&"

O#Y ) la izquierda de

7istriuci(n normal estndar 9n conjunto de datos con distribucin normal siempre se puede convertir en su forma estandarizada & despus determinar cualquier probabilidad deseada, a partir de la tabla de distribucin normal.

 z  =

 x −  μ σ  7=

Ejemplo Supon!amos que los datos de una muestra van de -8 a M8 2en el plano cartesiano se traza la recta en una escala de /8 en /8*.

+n la muestra, la media aritmtica es =8 & la desviacin estándar es /8. +standarizar cada uno de los datos de la recta del plano cartesianoV es decir, cuál es el valor de  de cada dato desde -8 hasta M8. 7

 Para  X  = *0

 Para  X  = +0

⇒ Z  =

⇒ Z  =

*0 − +0 10

+0 − +0 10

=

=

− *0 10

0 10

= −*

=0

77

Ejemplo 1 En un e0amen de estadística la media $ue 12  la desviación típica "2# Zalla las re$erencias tipicadas de las siguientes puntuaciones= a5 O. b5 12 c5 @

a5 z

b5 z

c5 z 

Ejemplo 2 n un examen de ma$em-$ica, "a ca"iicacin media ue 72  "a desiacin $pica 1. %e$erminar en unidades es$-ndar "as pun$uaciones de "os a"umnos 3ue o!$uieron (a) +0 (!) 4  (c) 72.

• • • • •

@Y1*K"2  Y@#O@  U-Y1*K"2  "#.@ 1*Y1*K"2  @#@@ El alumno 3b5 sobresalió a que su puntuación esta "#.@ desviaciones típicas sobre la media#

EJEMPLO $ Sea una variable distribuida noralente /on edia de , " desvia/i0n tpi/a de 1.*. ¿Cuál es la probabilidad de en/ontrar por lo enos un valor 2%

 3 ,

 3 1.*

'allar P ( 4 ) 2 +

M/

1.5 trans5orar 4 en un valor de z z 3 (2 - ,+91.* 3 1.$$

 z  =

#.- 'allar P ( !  z  1.$$+  =

 x −  μ σ 

0.

$.- !.*!!! - !.,!6#, 3 !.,!6#,

!.!7182

% 50. -$

1 -#

2.

6

-1

!

. 2 1 1.$$

4

7

8.

#

$

M0

z

EHERC2C27S "# En una ciudad se estima que la temperatura má0ima en el mes de junio sigue una distribución normal& con media *-_  desviación típica 2_# Calcular el nTmero de días del mes en los que se espera alcanzar má0imas entre *"_  *1_#

+istri*ución 6oral *#
".7ás de U@ `g# 1.7enos de . `g#

+istri*ución 6oral -# 9e supone que los resultados de un e0amen siguen una distribución normal con media 1O  desviación típica-# 9e pide= ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el e0amen obtenga una calicación superior a 1*?

+istri*ución 6oral .# (arios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una le normal con media "@@  desviación estandar "2# a. +eterminar el porcentaje de población que obtendría un coeciente entre U2  ""@#

+istri*ución 6oral *. En una población de *2@@ individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeciente superior a "*2?

+istri*ución 6oral 2# En una ciudad una de cada tres $amilias posee tel!$ono# 9i se eligen al azar U@ $amilias& calcular la probabilidad de que entre ellas 4aa por lo menos -@ tengan tel!$ono#

+istri*ución 6oral # En un e0amen tipo test de *@@ preguntas de elección mTltiple& cada pregunta tiene una respuesta correcta  una incorrecta# 9e aprueba si se contesta a más de ""@ respuestas correctas# 9uponiendo que se contesta al azar& calcular la probabilidad de aprobar el e0amen#

+istri*ución 6oral 1# 8n estudio 4a mostrado que& en un cierto barrio& el @M de los 4ogares tienen al menos dos televisores 9e elige al azar una muestra de 2@ 4ogares en el citado barrio# 9e pide= "# ¿Cuál es la probabilidad de que al menos *@ de los citados 4ogares tengan cuando menos dos televisores?

Eje p l ensambladora o El gerente demuna de automóviles estudia el proceso para montar una pieza especíca de un automóvil& con el n de reducir el tiempo requerido para el montaje# +espu!s de estudiar el proceso& el equipo determina que el tiempo de montaje se apro0ima a una distribución normal con media aritm!tica de 12 segundos  desviación estándar de  segundos# Como puede el equipo aprovec4ar esta in$ormación para responder preguntas acerca del proceso actual# Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar requiera= "5 más de O" segundos para ensamblar la pieza *5Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar realice la tarea en un tiempo entre 12  O" segundos -5Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar realice la tarea en mas de O" segundos o menos /8/

+atos=   12   P ( X  > 81) =  P ( Z  >

 Z  =

x −  µ 

81 − 72 +

σ 

) =  P ( Z  > 1)

 P ( Z  > 1) = 0. − 0.*61* = 0.187 3a probabilidad de que un empleado ensamble una pieza en mas de 7/ se!undos es de /<.7: /80

*5Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar realice la tarea en un tiempo entre 12  O" segundos

 P (72 <  X  < 81) =  P (

72 − 72

<  Z  <

+  P (72 <  X  < 81) =  P (0 <  Z  < 1)

81 − 72 +

)

 P (0 < Z  < 1) = 0.*61* 3a probabilidad de que un empleado ensamble una pieza +ntre < & 7/ se!undos es de -1./-: /8-

-5Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar realice la tarea en mas de O" segundos o menos de 12 segundos

 P ( X  < 7 ó  X  > 81) =  P ( X  < 7) + P ( X  > 81)

 P ( Z  < 0) +  P ( Z  > 1)  P ( Z  < 0) +  P ( Z  > 1) = 0.2 + 1287 = 0.+287 3a probabilidad de que un empleado tarde menos de <  más de 7/ se!undos es de ==: /81