EV2_U2_IO_4°M3_IZAMAR BUENO TREJO -

INSTITUTO TECNÓLOGICO SUPERIOR DE TAMAZUNCHAL TAMAZUNCHALE E I N G E N I E R Í A I N D U S T R I AL INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES UNIDAD _2_.

El Método Simpl! EVIDENCIA # 2: PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES APLICANDO LOS M%TODOS& SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES( AS+ COMO EL USO DE SO)T,ARE INDICADO

INDICADOR(ES) A EVALUAR: A - ) DOCENTE: ING. EDUARDO )RANCO AUSTRIA ALUMNOS: NOMBRE MARCOS ANTONIO GONZ$LEZ IZAMAR "UENO TRE3O ALMA ELIZETH HERN$NDEZ OVIEDO IVAN GONZ$LEZ CANO CRISTHIAN OLVERA HERN$NDEZ

SEMESTRE: 4TO.

NO.CONTROL /IIN0 /IIN// /II IIN N10 /IIN0# /IIN/4

GRUPO: M3-G6

TAMAZUNCHAL TAMAZUNCHALE E S.L.P. LUNES( / DE MARZO DEL 201.

CONTENIDO

1 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES )ASES * CASOS ESPECIALES. PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN PROGRAMACIÓN LINEAL MÉTODO SIMPLEX.......................................2 SIMPLEX.......................................2 PROBLEMA 1...................................... 1.......................................................... ........................................ .................................. ............................. ................... .... 2 PROBLEMA 2...................................... 2.......................................................... ........................................ .................................. ............................. ................... .... 6 PROBLEMA 3...................................... 3.......................................................... ........................................ .................................. ............................. ................... .... 9 PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN PROGRAMACIÓN LINEAL MÉTODO MÉTODO DE LAS DOS FASES.............. FASES................... ......14 .14 PROBLEMA 4...................................... 4.......................................................... ................................................................. ................................................... ...... 14 PROBLEMA 5...................................... 5.......................................................... ................................................................. ................................................... ...... 20 PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN PROGRAMACIÓN LINEAL LINEAL MÉTODO CASOS ESPECIALES...... ESPECIALES........... .......... ........23 ...23 PROBLEMA 6...................................... 6.......................................................... ................................................................. ................................................... ...... 23 PROBLEMA 7...................................... 7.......................................................... ................................................................. ................................................... ...... 25 PROBLEMA 8...................................... 8.......................................................... ................................................................. ................................................... ...... 27 PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON SO DE SOFT!ARE.................... SOFT!ARE.............................29 .........29 ANEXOS................ ANEXOS................................... ....................................... ........................................ ........................................ .......................................... ...................... 30

M678o9 A:to:io Go:;o Alm6 Eli;t? H7:<:d; O@ido I@<: Go:;
1 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES )ASES * CASOS ESPECIALES. PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN PROGRAMACIÓN LINEAL MÉTODO SIMPLEX.......................................2 SIMPLEX.......................................2 PROBLEMA 1...................................... 1.......................................................... ........................................ .................................. ............................. ................... .... 2 PROBLEMA 2...................................... 2.......................................................... ........................................ .................................. ............................. ................... .... 6 PROBLEMA 3...................................... 3.......................................................... ........................................ .................................. ............................. ................... .... 9 PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN PROGRAMACIÓN LINEAL MÉTODO MÉTODO DE LAS DOS FASES.............. FASES................... ......14 .14 PROBLEMA 4...................................... 4.......................................................... ................................................................. ................................................... ...... 14 PROBLEMA 5...................................... 5.......................................................... ................................................................. ................................................... ...... 20 PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN PROGRAMACIÓN LINEAL LINEAL MÉTODO CASOS ESPECIALES...... ESPECIALES........... .......... ........23 ...23 PROBLEMA 6...................................... 6.......................................................... ................................................................. ................................................... ...... 23 PROBLEMA 7...................................... 7.......................................................... ................................................................. ................................................... ...... 25 PROBLEMA 8...................................... 8.......................................................... ................................................................. ................................................... ...... 27 PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON SO DE SOFT!ARE.................... SOFT!ARE.............................29 .........29 ANEXOS................ ANEXOS................................... ....................................... ........................................ ........................................ .......................................... ...................... 30

2 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES )ASES * CASOS ESPECIALES.

PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL MÉTODO SIMPLE PROBLEMA ! L6 m6=il6do76 d 868?=8?69 dl 9=7 :89it6 dt7mi:67 l6 86:tid6d d # 8o77id69 d p7od=88iB: po7 9m6:6 = l p7mit6 ot:7 l i:79o m6-o7 po7 l6 @:t6 d # modlo9 :=@o9 d 9= p7od=8to E( ) - GF. L69 m6t7i69 p7im69 <9i869 p676 l6 p7od=88iB: 9o: lo:6( ?ilo - poli=7t6:o. D lo9 8=6l9 9 di9po: di9po: d # to:l6d69( 0  - 100  79p8ti@6m:t. El modlo E =tili;6 =tili;6 #J d to:l6d6 d lo:6 : 86d6 8o77id6 mi:t769 = l modlo ) =tili;6 =: mdio - l modlo G =tili;6 2J d to:l6d6. El ?ilo = 7=i7 86d6 modlo po7 8o77id6 9o:5 #J(2J( - #0  p676 86d6 =:o d llo9( mi:t769 = 9olo lo9 modlo9 ) - G 7=i7: d poli=7t6:o 6 =:6 76;B: d 20 - 00  79p8ti@6m:t : 86d6 8o77id6. Co:9id76:do = l i:79o p676 86d6 8o77id6 9t< 9tim6do : K10 000 p676 l modlo E( K0 000 p676 l modlo ) - KJ 000 p676 l modlo G. 6F Dt7mi: l6 8omi:68iB: Bptim6 d p7od=8to9 p676 l6 8omp66. F Co:8l=-6

V"$"%&': X 1= ¿ C6:tid6d d 8o77id6 d p7od=88iB: po7 9m6:6 modlo E X 2= ¿

C6:tid6d d 8o77id6 d p7od=88iB: po7 9m6:6 modlo )

X 3= ¿

C6:tid6d d 8o77id6 d p7od=88iB: po7 9m6:6 modlo G

*+,$+ %/'0$1: M6! Z 

160,000 x 1 + 170,000 x2 + 175,000 x 3

R'0$,,$+': X 1

X 2

X 3

Lona

3"5

1"2

2"5

Hilo

35

25

30

3 T#$. 17 170 %&

3 / 5 x1 + 1 / 2 x 2+ 2 / 5 x 3 ≤ 3 35 x1 + 25 x 2+ 30 x 3 ≤ 170

3 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. 120

Poliuretan

100

o

120 x2 + 100 x 3 ≤ 1600

1600%& x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0

Max Z =160,000 x 1+ 170,000 x 2+ 175,000 x 3 + 0 S1 + 0 S 2 + 0 S 3

3 / 5 x1 + 1 / 2 x 2+ 2 / 5 x 3 ≤ 3

3 / 5 x1 + 1 / 2 x 2+ 2 / 5 x 3+ S 1=3

35 x1 + 25 x 2+ 30 x 3 ≤ 170

35 x1 + 25 x 2+ 30 x 3 + S2=170

120 x2 + 100 x 3 ≤ 1600

120 x2 + 100 x 3+ S 3=1600

x 1 , x 2 , x 3 , s1 , s 2 , s 3 ≥ 0

x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0

Max Z =160,000 x 1+ 170,000 x 2+ 175,000 x 3 + 0 S1 + 0 S 2 + 0 S 3 + 0

¿ Z − 160,000 x 1−170,000 x 2−175,000 x 3− 0 S 1−0 S 2−0 S3

P$'" 0"%&" $&' x 1

x2

x3

Z

10(000

0(000 J(000

S1

3/ 5

1/ 2

S2

#J

2J

S1

S2

S3

S&*,$+

0

0

0

0

2/ 5



0

0

# 2 / 5=7.5

#0

0



0

0#0 J.11

4 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES.

0

S3

x 1 Z

#2J00#

20

00

x2

0

x3

2J00#

0

S1

0

0



S3

S2

J00#

0

10000 1

S&*,$+ NZ = 175,

24J000#

Z S1

2 / 15

1/ 6

0



J

0

J11.

NS1=

−2 5

S x 3

S3

#J#0

#J0#

x 1 Z

#22.22

2J#0

Q

0#

0

0

0

x3

x2

0

0

S1

0

#0

0

0#

S2



S3

0#02J#01. 1J2#0# J.0

x 3=

S2 30

NS3=−10

S#

S&*,$+

/0000 2J0 141000

NZ = 72500

Z S1

x 3

73 / 110

/2

0

0

0





0

JJ0

1JJ

220

//

/0#0J./

200/2/.1

NS1=

x 3= x 3

−1 6

−25 30

x

x2

5 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. #J

x 2

x 1 Z 0

Q

x2

0

0

x3

J./2J

0

S1

0

S2

/J./2J



S3

/1/.2J

#0

21JJ

Nx2=

S3 110 /

S&*,$+ /J./2/

NZ = 32727.2727 x 1

Z S1 0

x 1 Q x 2 0

0

0 

#/20

/2 J1



0 0

#J

#J 0

V"$"%&' B5$," V"$"%&' + B5$," x 1 M678o9  A:to:io 002 Go:;o S20 Alm6 Eli;t? H7:<:d; O@ido x 2=2 / 15 I@<: Go:;
02

10

1 20

02

002 2J

N S 1=

x 1=

−73 110

x 1 + S 1

x3

/

42 11

Nx2=

35 11

x 1 + x 2


C%",$+ /

3 5 x1

+ 1 / 2 x + 2 / 5 x + S 2

3

1

≤3

3/ 5

35 x1 + 25 x 2+ 30 x 3 + S2 ≤ 170

35

120 x2 + 100 x 3+ S 3 ≤ 1600

( ) ( ) 100 21

+1 / 2

2

15

+2 / 5 ( 0 ) +

10 21

3 ≤3

≤3

( ) ( ) 100 21

120 (

2 15

+ 25

2

15

170 ≤ 170

+ 30 ( 0 )+ 0 ≤ 170

)+ 100 (0 )+ 0 ≤ 1600

1600 ≤ 1600

PROBLEMA 2 U:6 8omp66 67i86 t79 p7od=8to9( A( " - C. El @ol=m: d @:t69 d A 9 8omo m:imo J0 d l69 @:t69 tot6l9 d lo9 t79 p7od=8to9. Si: m67o( l6 8omp66 :o p=d @:d7 m<9 d J =:id6d9 po7 d6. Lo9 t79 p7od=8to9 =tili;6: =:6 m6t7i6 p7im6 d l6 8=6l l6 m
x 1=Cantidad de productos A a producir x 2=Cantidad de productos B a producir x 2=Cantidad de productosC a producir

M6! Z

20 x1 + 50 x 2+ 35 x 3

x 1

x2

x3

R9t7i88io:9

7 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. Vol=m: d @:t6



C6:tid6d 6 @:d7 m






2J

M6t7i6 p7im6

2

/

#

2/0

50 x1 ≤ 50

x 1

 x 2+ x 3 ≤ 25

2 x 1

+ 4 x + 3 x 2

3

≤ 240

P" ! M6! Z

20 x1 + 50 x 2+ 35 x 3

x 1+ S1 =50

x 1 ≤ 50 x 1

 x 2+ x 3 ≤ 25

x 1

2 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 ≤ 240

 x 2+ x 3 + S2=25

2 x 1 + 4 x2 + 3 x 3+ S 3=240

P" 2 A'" &" 1"$"%&' 7' 8&*" ,+ ,'9$,$'+0' 7' ;. M6! Z

20 x1 + 50 x 2+ 35 x 3

0 S 1 +0 S 2+ S 3

P" 3 I*"&" &" 9*+,$+ %/'0$1 " ,' Z Z

20 x1 + 50 x 2+ 35 x 3

0 S 1 + 0 S 2+ S 3  0

20 x1 −50 x 2−35 x 3

 0 S 1−0 S2− S 3  0

P" 4 P$' 0"%&" $&'

X 1

X 2

X 3

S1

S2

S3

Sol=8iB:

8 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. Z

20

J0

#J

0

0

0

0

S1



0

0



0

0

J0

S2







0



0

JJ

S3

2

/

#

0

0



2/0/10

X 1

Z

X 2

X 3

S1

S2

S3

Sol=8iB:

20

J0

#J

0

0

0

#000 NZJ0 X 2 + 2

S1



0

0



0

0

J0

S2







0



0

J

NS 

X 2 + S 2 X 3

2

/

V"$"%&' B5$," X 3= 60 S 1=50 S 2=15

Z #2

C%" M678o9 A:to:io Go:;o Alm6 Eli;t? H7:<:d; O@ido I@<: Go:;
#

0

0

V"$"%&' N B5$," X 1= 0 X 2= 0 S 3=0



10

X 2=

S1 4

9 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. x 1 ≤ 50 x 1

 x 2+ x 3 ≤ 25

2 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 ≤ 240

0F  J0 0F  0F  10F  2J 20F  /0F  #10F  0

PROBLEMA 3 El8t76 p7od=8 8=6t7o tipo9 d moto79 lé8t7i8o9( 86d6 =:o : =:6 l:6 d :96ml di9ti:t6. L69 86p68id6d9 79p8ti@69 d l69 l:69 9o: J00( J00( 00 - J0 moto79 po7 d6. El moto7 tipo  =tili;6  =:id6d9 d =: dt7mi:6do 8ompo::t l8t7B:i8o& l moto7 tipo 2 =tili;6 J =:id6d9& l moto7 tipo # =tili;6 / =:id6d9( - l moto7 tipo / =tili;6 1 =:id6d9. El p7o@do7 dl 8ompo::t p=d 9=7ti7 000 pi;69 po7 d6. Lo9 p78io9 d lo9 tipo9 d moto7 79p8ti@o9 9o: K10( K/0( K2J - K#0. 6F Dt7mi: l6 8omi:68iB: Bptim6 d p7od=88iB: di67i6. F Co:8l=-6.

10 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. x 1= produccion de motor tipo 1 x 2= produccionde motor tipo 2

@67i6l9

x 3= produccionde motor tipo 3 x 4= produccionde motor tipo 4

{ Max z =60 + 40 +25 + 30

)=:8iB: o>ti@o

x 1

x 2

x 3

x 4

R9t7i88io:9 x 1

P7od=88iB: po7 l:6 Moto7  P7od=88iB: po7 l:6 Moto7 2 P7od=88iB: po7 l:6 Moto7 # P7od=88iB: po7 l:6 Moto7 / =:id6d9

x3

x2

x4

   

J

/

 1

J00 J00 00 J0 000

{ Max z =60 + 40 +25 +30 x 1

x 2

x 3

x 4

x 1 ≤ 500 x 2 ≤ 500 x 3 ≤ 800 x 4 ≤ 750 8 x 1 + 5 x 2+ 4 x 3+ 6 x 4 ≤ 8000

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0

.Co:@7ti7 l69 d9i=6ld6d9 6 i=6ld6d9 67<:dol9 l69 @67i6l9 = 8o779po:d6. M678o9 A:to:io Go:;o Alm6 Eli;t? H7:<:d; O@ido I@<: Go:;
11 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. x 1+ s1 =500 x 2+ s 2=500 x 3+ s 3=800 x 4 + s4 =750 8 x 1 + 5 x 2+ 4 x 3+ 6 x 4 + s 5=8000

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , s 1 , s2 , s 3 , s4 , s5 ≥ 0

2.6767 l69 @67i6l9 d ?ol=76 6 l6 =:8iB: o>ti@o 8o: =: 8oi8i:t 0.

{ z =60 x + 40 x + 25 x + 30 x +0 s + 0 s +0s +0 s +0 s 1

2

3

4

1

2

3

4

5

{ z =60 + 40 + 25 + 30 +0 + 0 +0 +0 +0 + 0 x 1

x 2

x 3

x 4

s1

s2

s3

s4

s5

#.I=6l67 l6 =:8iB: o>ti@o 6 87o. z −60 x 1 −40 x 2−25 x 3−30 x 4 −0s 1− 0s 2−0 s 3−0 s 4− 0s 5= 0

/.T6l69 9impl!.

z

solucio

x 1

x2

x3

x4

s1

s2

s3

s4

s5

'60

'40

'25

'30

0

0

0

0

0

0

s1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

500

s2

0

1

0

0

0

1

0

0

0

500

s3

0

0

1

0

0

0

1

0

0

800

1

0

0

0

1

0

750

6

0

0

0

0

1

8000

0 Go:;o 8 5 4 Alm6s 5Eli;t? H7:<:d; O@ido I@<: Go:;
12 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. x 1

s4

s 5 solucion

x2

x3

x4

s1

s2

s3

' 25 0

' 30 0

60

0

0

0

0

30000

1

0

0

0

0

500

z

0

x 1

1

' 40 0

s2

0

1

0

0

0

1

0

0

0

500

s3

0

0

1

0

0

0

1

0

0

800

s4

0

0

0

1

0

0

0

1

0

750

s5

0

5

4

6

'8

0

0

0

1

4000

x 1

x2

x3

x4

s1

s2

s3

s4

' 30 0

60

40

0

0

0

50000

1

0

0

0

0

500

0

0

x 1

1

0

' 25 0

x 2

0

1

0

0

0

1

0

0

0

500

s3

0

0

1

0

0

0

1

0

0

800

s4

0

0

0

1

0

0

0

1

0

750

s5

0

0

4

6

'8

'5

0

0

1

1500

s1

s2

s3

10 0 1

15

0

0

5

57500

0

0

0

0

500

x2

x3

x4

z 0

0

'5

0

1

0

0

0

x 1

s4

Ns5=(−8) x 1+ s 5

s 5 solucion

z

x 1

Nz=( 60 ) x 1 + z

Nz=( 40) x 2+ z

Ns5=(−5 ) x 2+ s5

s 5 solucion Nz=( 30 ) x 4 + z

13 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. x 2

0

1

0

0

0

1

0

0

0

500

s3

0

0

1

0

0

0

1

0

0

500

s4

0

0

−

0

−

5

0

1

−1

500

3

x 4

0

0

2

3

1

3

x 1

x2

x3

0

0

0

x 1



0

0

x 2

0



0

s4

x 3

4

−5

3

6

s1

s2

15

z

s3

x4

0 0

0 0

0 0

0

1

0

0

1

250

6

s3

s4

35

25

4

0

0

0



0

0

0

0

J00

0

0



0

0

0

J00

− 2

5

2



0

2

2

4

0

−5 4

 0

0 

4

−1 4

0

J4#J

2J J0

1

0

0

x 4=

s5 6

s 5 solucion

0

2

3

0

6

6

4

375

Nz=( 5 ) x 3 + z

N s 3=(−1 ) x 3 + s 3

N s 4=

() 2 3

x3 + s 4

x 3 x 3= 2 3

14 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. VARIA"LES "$SICAS x 1=500

VARIA"LES NO "$SICAS x 4= 0

x 2=500

s 1 =0

x 3=375

s 2 =0

s 3=125

s 5= 0

s 4 =750 z =59375

COMPRO"ACIÓN x 1+ s1 =500 ∴ ( 500 ) + ( 0 ) =500 x 2+ s 2= 500 ∴ ( 500 ) + ( 0 ) =500 x 3+ s 3=800 ∴ ( 375 )+ (125 ) =500

x 4 + s4 =750 ∴ ( 0 )+ (750 )=750 8 x 1

+ 5 x + 4 x + 6 x + s =8000 ∴ 8 ( 500 )+ 5 ( 500 ) + 4 ( 375 ) + 6 ( 0 ) + ( 0 )=800 0 2

3

4

5

CONCLUSIÓN Como 79=lt6do d 9t p7olm6 l6 mp796 El8t76 d p7od=8i7 J00 moto79 d tipo  : l6 li:6( J00 moto79 d tipo 2 : l6 l:6 2(#J moto79 d tipo # : l6 l:6 # 8o: =: <76 d opo7t=:id6d d 2J moto79( t6mié: 8o: =: <76 d opo7t=:id6d : l6 l:6 / d J0 8o: =:6 =tilid6d di67i6 d J4#J p9o9.


PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL MÉTODO DE LAS DOS ASES PROBLEMA 4 U: 8o:9t7=8to7 8=:t6 8o: t79 tipo9 di7:t9 d 6l6il95 M"( R - P( lo9 8=6l9 p=d: 8olo867 /00( #00 - 2J0 l6d7illo9 di67io9 d@:6:do 96l67io9 d #J0( 20 - 200 p9o9 di67io9( 79p8ti@6m:t. Si l 8o:9t7=8to7 :89it6 8olo867 #200 l6d7illo9 di67io9 - 8=:t6 8o: 8=6t7o 6l6il9 tipo M"( 9i9 dl tipo R - o8?o dl tipo O( CBmo 9 69i:676: 0 6l6il9 p676 8olo867 lo9 l6d7illo9 6 =: 8o9to 96l67i6l m:imoW

V"$"%&' x 1=Cantidad dealbañiles MB

16 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. x 2=Cantidad dealbañiles R x 3=Cantidad dealbañiles P

UNCION DE OB
RESTRICCIONES. R'0$,,$+'

X 1

C+7$,$+

X 2

X 3

C"+0$7"7 7$"$" 7' &"7$&&. A&%"=$&' "$+"7.

/00

#00





A&%"=$&' MB



A&%"=$&' R A&%"=$&' P

2J0 

3200 ! 400 x 1

+ 300 x + 250 x

10 ! X 1+ X 2+ X 3=10 4 ! x1≤ 4



6 ! x2 ≤ 6



8 ! x3 ≤ 8

x " ≤ 0 " =1,2,3,4 #

I=6l67 l69 79t7i88io:9 66di:do l69 @67i6l9 d ?ol=76 !8d:t - 67tii8i6l. 400 x 1+ 300 x 2 + 250 x3 ≥ 3200 ! 400 x 1 + 300 x 2 + 250 x 3− $ + A= 3200

2

3

≤ 320

17 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. x 1+ x 2 + x 3=10 ! x 1 + x 2+ x 3 + A2=10 x 1 ≤ 4 ! x 1+ s1 =4 x 2 ≤ 6 ! x 2 + s 2=6 x 3 ≤ 8 ! x 3 + s 3=8 x 1 , x 2 , x 3 , − $ 1 , A1 , A 2 , S1 , S 2 , S3 ≥ 0

D9p>67 A - A 2 d l69 79t7i88io:9. 400 x 1+ 300 x 2 + 250 x3 − $ 1+ A 1=3200 ! A 1=3200− 400 X 1−300 X 2 −250 X 3 + $ X 1 + X 2 + X 3+ A 2=10 − X 1− X 2− X 3

S=9tit=i7 l @6lo7 d A 1 - A 2 : Mi: A. Mi: A

[ 3200− 400 x − 300 x −250 x + $ ]+ [10 − x − x − x ] 1

2

3

Mi: A 3210− 401 x 1−301 x 2−251 x 3 + $ 1 I=6l67 Mi: A 6 l6 8o:9t6:t. A + 401 x 1+ 301 x 2 + 251 x 3− $ 1= 3210

1

1

2

3


T"%&" $&' S&*,$+'.

x 1 x 2 x 3 $ 1 A 1 A 2 s1 s 2 s3

A A 1

/0 #0 2J  /00 #00 2J0 

0 

0 0

0 0

0 0 0 0

32!; 32;;>/00

A 2 





0

0



0

0 0

!;>0

S1 

0

0

0

0

0



0 0

4>/

S2 0



0

0

0

0

0

 0

6

S3 0

0



0

0

0

0

0 

?

S&*,$+'.

x 1 x 2 x 3 $ 1 A 1 A 2 s1 s 2 s3

A A 1

0 0

#0 2J #00 2J0

 

0 

0 0

/0 0 0 /00 0 0

!6;6 !6;;>#001#

A 2 0





0

0





0 0

6>1

X 1 

0

0

0

0

0



0 0

4

S2 0



0

0

0

0

0

 0

6>1

S3 0

0



0

0

0

0

0 

?

0

0 0.#11 #00

−301

0

300

1

2

3

3

0

N A 2=− x1 + A 2

NA =−301 x2 + A N X 2=

0 0 X 2

N A 1=−400 x 1+ A

S&*,$+'.

x 1 x 2 x 3 $ 1 A 1 A 2 s1 s 2 s3

A

NA=−140 x 1+ A



251

−1

1

300

300

300

16

0

3

A1 300

N A 2=− x2 + A 2 N S 2=− X 2 + S 2

19 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. 4

0 0

3

A 2

0

0

49

1

−1

300

200

300

2



3

/¿

#2

1

0 0

3

X 1  S2

0

0

0

0

0

0

0



−251

1

−1

300

300

300

4/

0 0

2

0

> /#

3

4

 0

3

S3 0

0



0

0

0

0

?

0 

S&*,$+'.

x 1 x 2 x 3 $ 1 A 1 A 2 s1 s 2 s3

− 401

A 0

0 0.12J /00

−1 X 2 0 A 2



0

0

−1

0

0

0

0

0

149

1

−1

400

400

400

0 0 −3  X 2 0 4

 00

−1

1

0 0

0 0

−251 1 0 A:to:io 0 400 400 M678o9 Go:;o 3 Alm6 Eli;t? H7:<:d; O@ido 0 I@<: Go:;
0 



0 N 0 X 2= 3 ;S1 + X 2  0 6

0 

 0

0 0

 0

 0

$ 1 0

0 /4 6





/00

X 1 

0

0

0



0

0/00 0





 NA 0 = −1 $ 1+ A S ;

0

0

0

0 

 0 0 S1 0 0



1

2

/¿

200



0

−1

0 00 N 0 A 2= 3 S 1+ A 2 2;;  N 0 X =−S + X 41 1 1 2 400 N S 1=

4

0

0

N $ 1=

0 S&*,$+'. 0 2 X 2 + S2=6

6→

400

1

0



2

>

/00200

0

0

0 

?

?

− A2 1 400

;

0 0

−1

S&*,$+'.

0 X 2 0

7

400

S1

0

4

S 1 + A

A

 0

0 0

3

3

 x 1 x02 x 3 $ 1 s 1 s 2 s3 400 400

A

−1

x 1 x 2 x 3 $ 21 A 1 A 2 s1 s 2 s3

0

S3 0

251

S3 0

0

400

0

4

X 1

1

0

4

NA=

N X 1=− N S 1=

1 400

−1 400

$ + X 1 1

$ 1 + S1

20 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. $ 1

0

0 /4



0 00 0

2;; 4→

X 1



0



0

0



0

S1

0

0



0





0

;

S3

0

0



0

0

0



?

X 1

- X 2 - 9=9tit=i7lo : Mi: Z.

D9p>67

X 1 + X 3 −S 2= 4

X 1= 4 − X 3 + S2 X 2= 6− S2 X 3= 4 − X 1 + S2

Mi: Z#J0'20'2200'# Mi: Z  Z

350 ( 4 − X 3+ S 2 )+ 280 ( 6− S 2) + 200 ( 4 − X 1+ S 2) 1400−350 X 3 + 350 S2 + 1680 −280 S 2+ 800−200 X 1 + 200 S2 3080

+ 270 S −200 X − 350 X 2

1

3

I=6l67 6 l6 =:8iB: o>ti@o 6 l6 8o:9t6:t. Z −270 S 2+ 200 X 1+ 350 X 3=3880


S=9tit=i7 lo9 @6lo79 : l6 9i=i:t t6l6. x 1 x 2 x 3 $ 1 s 1 s 2 s3

S&*,$+'.

200 0

#J0

0

0

X 2

0



0

0

0



0

6

$ 1

0

0 /4



0 00

0

2;;/4.#/

X 1



0



0

0



0

4

S1

0

0



0





0

;

S3

0

0



0

0



?

0

20 0

x 1 x 2 x 3 $ 1 s 1 s 2 s3

Z X 2

200 0 0



0 0

S&*,$+'.

−150

0 #0.1 0

149

0

0



1

X 3 0

0



0 X 1 

3??;

Z

0

0

149

−1 149

0

0

0

−100 149

− 49 149

2?@?.6 N x 3 =

6 200 149

396 149

0 1

S1 0

0

0

0 S3 0

0

0

149

−1 149

49



149

100

0



149

NZ =−350 x 3+ z

200 149

992 149

$ 1 149

N x 1=− x 3 + x 1 N S 1= x 3+ S 1 N S 3=− x3 + S3

22 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. Z

X 1

X 2

X 3

$ 1

S1

0

0

0

−150 0

S 3 S&*,$+

S2 #0.1

0

2.1J



0

1

NZ = 200 X 1+ Z

149

X 2

0



0

X 3

0

0



0 1

0

−100 0

0

149

X 1



0

0

−1

149

− 49

0

149

S1

0

0

0

1



49

442/4

149



149 $ 1

S1

149S 2

S 3 Sol=8iB:

NZ =−30.67 S2 + Z N X 2=−S 2 + X 2

X 1

X 2

X 3

Z

0

0

0

.1#

X 2

0



0



200/4

100

0

0

0

0

0

0

#41/4

−1

0

X 3

0

149

149

S3

200/4

4#.21

0

0

2J#./1

−1

−149

0

0

4//4

49

49

1

100

149

49

0

0

200/4

X 1



0

0

0



0

0

/

S2

0

0

0

1

149



0

200/4

49

49

−1

100

49

49

S3

0

0

0

V67i6l9 <9i869



#.42

NX 1 =

X 2=

94

X 3=

200

=2

49

=4

149 S2 49 149 S 2

NS2=

$ 1=0 S 1=0

A 1=0

+ X 3 + X 1

3=¿

49 149

−100 149

NS¿

A 2=0

100

S1

V67i6l9 :o <9i869

Z =2753.46

49

0

NX 3 =

S2 + S 3

23 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. X 1= 4

S 2=

200 49

=4

S 3=3.92

COMPRO"ACIÓN 400 x 1+ 300 x 2 + 250 x3 − $ + A =3200

(

400 ( 4 ) + 300 ( 2 ) + 250 ( 4 ) −0 + 0 =3200 ∴ 3200 =3200

x 1+ x 2 + x 3+ A 2=10

X /2/00 ) 00

x 1+ s1 =4

X /0/ ) //

x 2+ s 2=6

X 2/1 ) 11

x 3+ s 3=8

X // ) 

PROBLEMA  U: !p:dio :6t=7i9t6 p7p676 9=9 6lim:to9 - lo9 @:d 6l pYli8o 69<:do9 : t79 m6t7i69 p7im69( 8=-o9 8o:t:ido9 9 p79:t6: :9=id65 M6t7i6 p7im6 A " C

Co9to K

A;=8679 

G76969 

P7ot:69 

I:7t9 

2.#J 2 .0

2 0 

0 0 1

10 J0 //

 #0 /2

24 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. C=<:to d7<: m;8l67 d 86d6 =:6 d l69 t79 9i 9 d96 mi:imi;67 l 8o9to p676 p7p6767  . D 6lim:to( 8=-o 8o:t:ido d 6;Y867 :o 96 m:o7 6 0( 9= 8o:t:ido d 7696 :o m6-o7 d 4.J - 9= 8o:t:ido d p7ot:69 :o m:o7 d J2W X 1=¿

C6:tid6d d m6t7i6 p7im6 A 6 m;8l6

X 1=¿

C6:tid6d d m6t7i6 p7im6 " 6 m;8l6

X 1=¿

C6:tid6d d m6t7i6 p7im6 C 6 m;8l6

). O. S. A.

Min Z =2.35 X 1 + 2 X 2 + 1.70 X 3 12 X 1+ 10 X 2+ 8 X 3 ≥ 10 10 X 1 + 10 X 2 + 6 X 3 ≤ 9.5 60 X 1 + 50 X 2 + 44 X 3 ≥ 52

X 1 + X 2 + X 3=1 Min A = A1 + A2 + A3

D9p>67 A 1 ( A 2 -

A 3

12 X 1+ 10 X 2+ 8 X 3− $ 1 + A1=10

A 1=10 −12 X 1−10 X 2− 8 X 3+ $ 1 60 X 1 + 50 X 2 + 44 X 3− $ 2 + A2= 52

A 2=52 −60 X 1−50 X 2− 44 X 3+ $ 2 X 1 + X 2 + X 3+ A 3=1

12 X 1+ 10 X 2+ 8 X 3− $ 1 + A1=10 10 X 1 + 10 X 2 + 6 X 3− S 1=9.5 60 X 1 + 50 X 2 + 44 X 3− $ 2 + A2= 52

X 1 + X 2 + X 3+ A 3=1

25 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. A 3=1 − X 1− X 2− X 3

S=9tit=i7 A 1 ( A 2 - A 3 : Min A 10−12 X 1−10 X 2−8 X 3 + $ 1

Min A =¿

F

52−60 X 1 −50 X 2− 44 X 3 + $ 2

F



1− X 1− X 2− X 3

F A = 63−73 X 1− 61 X 2−53 X 3 + $ 1+ $ 2

I=6l67 Min A

6 l6 8o:9t6:t

A + 73 X 1 + 61 X 2 + 53 X 3− $ 1 − $ 2=63 x 1

x2

x3

S1

$ 1

$ 2

A1

A2

A3

A 1

# 2

1 0

J# 

0 0

 

 0

0 

0 0

0 0

S&*,$ + 63 !;

S1

0

0

1



0

0

0

0

0

.

A 2

10

J0

//

0

0



0



0

2

A 3







0

0

0

0

0



!

x 1

x2

x3

S1

$ 1

$ 2

A1

A2

A3

S&*,$ +

0

1

13

0

61



−73

0

0

13

6

3

5

2

6

3

A

A X 1

()

12

0

−1 12

12

0

1 12

6

0

0

5 6

26 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. S1

0

5

−2

3

3



5

0

6

−5

0

0

7 6

6

A 2

0

0

/

0

J



J



0

2

A 3

0

1

1

0

1

0

−1

0



1

6

3

x 1

x2

x3

S1

$ 1

0

1

4

0

0

6

15

5

11

6

15

5

−4

3

3

A X 1 S1 $ 1

 0 0

0

4

12

0

0

A

0

0

S&*,$ +

1



−61

0

2

−1

0

1

()

−1

0

0

15

60

0

1

0

15

60

0

−1

0

6



5

0

5 6

0

1

13

2 5

−1



1

4

6

15

x 1

x2

x3

S1

$ 1

$ 2

A1

A2

A3

0

1

0

0

−1

1

−2

−13

0

S&*,$ + ;

3

12

3

2

−11

1

11

−1

0

1

12

6

12

6

5

−1

−5

1

3

6

3

6

5

−1

−5

1

4

4

4

4



5

0

0

5

0

0

0

()

1

60

60

0 

3

X 3

A3

5

6

S1

A2

6

6

X 1

A1

60



6

$ 2

60

5

A 3

12

0

2 15

2

0

3 2

0

1 2

27 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. A 3

0

1

0

0

16

A X 1 X 2

−1

1

1

−1

3

12

3

12

A 3

;

S&*,$ + −3

x 1

x2

x3

S1

$ 1

$ 2

A1

A2

A3

0

0

0

−1

−1

1

−1

−391

0

10

2

10

2

60

−1

−7

1

7

−1

2

4

4

4

4

−1



1



0

()

0

0 0

3



5

X 3



0

0

0

0

 0

10

0

−1

−5

1

4

4

4

4

−3

−19

43

19

− 43

80

80

480

48

480

−1 4

0

10

5

0

20

9 10

0

1 2



−9 160

C+,&*$+ El p7olm6 :o ti: 9ol=8iB: po7= 9i 9 p=d li7 =:6 8ol=m:6 pi@ot p7o :o 9 p=d li7 =: 7:lB: pi@ot po7= todo9 lo9 lm:to 9o: :6ti@o9.

PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL MÉTODO CASOS ESPECIALES

PROBLEMA 6 Max Z = 4 A + 8 B

Su"eto a : 2 A + 2 B ≤ 10

− A + 1 B ≥ 8 M678o9 A:to:io Go:;o Alm6 Eli;t? H7:<:d; O@ido I@<: Go:;
28 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. A , B ≥ 0

2A  2"  S 1=10 A  "  $ 1 % 8 Mi:Z R R1

R1=8 + 1 A −1 B + $ 1 R2=1 A + 1 B − $ 1=8

A

"





0



0



S1

2

2



0

0

0

R1





0







A

"

S1

2

0

2

R

R

S1

$ 1

R1

$ 1



R1

0

Sol=8iB:

Sol=8iB: #

NR"R

29 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. B1

R1

 2

 0

2 2

PROBLEMA @ Max Z = x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 Su"eto a : x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 ≤ 10

0 

0 

J 

S1 2

N R1=1 B + R 1

30 PRO"LEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE # O M$S VARIA"LES M%TODOS5 SIMPLE'( DOS )ASES * CASOS ESPECIALES. x 1+ x 2 ≤ 5 x 1 ≤ 1 x 1 , x 2 ≥ 0

x 1+ 2 x 2+ 3 x 3 + S 1=10 x 1+ 2 x 2+ 3 x 3 + S 2=5 x 1+ x 2 + S 3=1

MaxZ = x 1 +2 x 2 + 3 x 3+ 0 S 1 + 0 s 2 + 0 s 3 + 0 Z − x1− 2 x 2−3 x 3−0 S 1−0 s 2−0 s 3 =0 x 1

 S! S2 S3



-! ! ! !

2 2 ! ;

x 1

x2

;

x3

x2

0

-3 3 ; ; x3

;

S!

S2

S3

S&*,$+

; ! ; ;

; ; ! ;

; ; ; !

; !;  !

S!

S2

S3

S&*,$+

!

;

;

!;

N3 x 3

x 3

S2 S3

!>3

2>3

!

!>3

;

;

!;>3

! !

! ;

; ;

; ;

! ;

; !

 !

NS!!>3


V"$"%&' B5$,"

Variables no Básicas

!;

X1=0

3!;>3

S1=0

S2 S3!


PROBLEMA ? Max Z =1 A −2 B Su"eto a : − 4 A + 3 B ≤ 3 1 A −1 B ≤ 3

A , B ≥ 0

−4 A + 3 B + S1=50 1 A −1 B + x 2=25

A , B , S 1 , S2 ≥=0

P" 2 A'" &" 1"$"%&' 7' 8&*" ,+ ,'9$,$'+0' 7' ;. M6!Z A  2"  0 S 1 +0 S 2

P" 3 I*"&" &" 9*+,$+ %/'0$1 " ,' Z A  2"  0 S 1 + 0 S 2  0 Z A  2"  0 S 1−0 S2  0


P" 4 P$' 0"%&"

A

"



2

0

0

0

S1

/

#



0

J0

S2





0



JJ

Z

X 1

Z S1

A

X 2

S1

S1

Sol=8iB:

S2

Sol=8iB:

S2

0

#

0



#

NZA  Z

0





/

J

NS /A S 1





0



#

V"$"%&' B5$," A =3 S 1=15

Z # M678o9 A:to:io Go:;o Alm6 Eli;t? H7:<:d; O@ido I@<: Go:;
V"$"%&' N B5$," B =0 S 2= 0


C%" −4 + 3 B ≤ 3 1 A −1 B ≤ 3

−4 ( 3 ) + 3 ( 0 ) + S1 =3 1 ( 0 ) −1 ( 3 ) =3

PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON USO DE SOTARE


EV2_U2_IO_4°M3_IZAMAR BUENO TREJO -

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