MATEMATICA PARA LOS NEGOCIOS Sesión No. 09: Programación lineal La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales. Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programación lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales. Para sistemas de más variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamado método Simplex (ideado por George B. Danzig, matemático estadounidense en 1951). En la actualidad tiene amplia aplicación en el análisis industrial y económico. Desigualdades lineales con dos variables Una desigualdad lineal en las variables x e y es una desigualdad que puede escribirse de la siguiente forma ax by c 0 (o bien , 0, > 0), en donde a, b y c son constantes y a y b no son cero. En términos geométricos, la solución de una desigualdad lineal en x e y consiste en todos los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad. En particular, la gráfica de una recta y = mx + b no vertical divide el plano en tres partes distintas.
1. 2.
3.
la recta misma, que consiste en todos los puntos ( x ,y) cuyas coordenadas satisfacen, y = mx + 6; la región que se encuentra por encima de la recta, y que consiste en todos los puntos ( x ,y) que satisfacen y>mx+6; la región que se encuentra por debajo de la recta, y que consta de todos los puntos ( x ,y) que satisfacen y
Problema 01: Determinar la región descrita por: a) y 5 b) 2(2x y) 2(x y) 4 Sistema de desigualdades lineales con dos variables Un sistema de desigualdades lineales, por tanto, es un conjunto de desigualdades lineales. La solución de un sistema de desigualdades consiste en todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen simultáneamente todas las desigualdades dadas. En términos geométricos, es la región común a todas las regiones determinadas por cada una de las desigualdades.
Problema 02: Resolver los sistemas de inecuaciones lineales siguientes encontrando los vértices de las regiones que sean solución: 2x 3y 3 3x 6y 420 a) 2x y 9 0 b) 4x 2y 290 2x 5y 5 0
3x 5y 150 c) 3x 3y 120
x 2y 12 2x y 4 d) x 2y 6 x y 0
2x y 3 e) x y 2y 1 0
Nota: Rectas horizontales y verticales. En ocasiones, en estos sistemas, aparecen inecuaciones del tipo x ≥ k o bien y ≥ k, donde falta alguna de las dos incógnitas. Estas inecuaciones en realidad corresponden a rectas horizontales y verticales, y su representación es bien sencilla.
Programación Lineal En ocasiones se desea maximizar o minimizar una función sujeta a ciertas restricciones. Por ejemplo, un fabricante quizá desee maximizar una función de utilidad sujeta a restricciones de producción impuestas por limitaciones en el uso de la maquinaria y la mano de obra. Ahora se considerará la forma en que pueden resolverse problemas de este tipo cuando es lineal la función que se desea maximizar o minimizar. Una función lineal en x e y tiene la forma z ax by en donde a y b son constantes. También se requerirá que las restricciones correspondientes estén representadas mediante un sistema de desigualdades lineales (que implican " " o bien " ") o ecuaciones lineales en x e y, y que todas las variables sean no negativas. A un problema en el que intervienen todas estas condiciones se le denomina problema de programación lineal. En un problema de programación lineal a la función que se desea maximizar o minimizar se le denomina función objetivo. Aunque por lo general existe una cantidad infinitamente grande de soluciones para el sistema de restricciones (a las que se denomina soluciones factibles o puntos factibles), el objetivo consiste en encontrar una de esas
MATEMATICA PARA LOS NEGOCIOS Sesión No. 09: Programación lineal soluciones que represente una solución óptima (es decir, una solución que dé el valor máximo o mínimo de la función objetivo). En un problema de programación lineal de dos variables x e y, se trata de optimizar (hacer máxima o mínima, según los casos) una función (llamada función objetivo) de la forma: Z = F(x,y) = ax + by sujeta a una serie de restricciones dadas mediante un sistema de inecuaciones lineales del tipo: a 1x b1y c 1 a xb yc 2 2 2 am x bmy c m Los puntos del plano que cumplen el sistema de desigualdades forman un recinto convexo acotado (poligonal) o no acotado, llamado región factible del problema. Todos los puntos de dicha región cumplen el sistema de desigualdades. Se trata de buscar, entre todos esos puntos, aquel o aquellos que hagan el valor de F(x,y) máximo o mínimo, según sea el problema. Los puntos de la región factible se denominan soluciones factibles. De todas esas soluciones factibles, aquellas que hacen óptima (máxima o mínima) la función objetivo se llaman soluciones óptimas. En general, un problema de programación lineal puede tener una, infinitas o ninguna solución. Propiedad: Si hay una única solución óptima, ésta se encuentra en un vértice de la región factible, y si hay infinitas soluciones óptimas, se encontrarán en un lado de la región factible.
Resolución: Sea x e y que denotan los números de artefactos manuales y eléctricos, respectivamente, que se fabrican en el mes. Como el número de artefactos fabricados no puede ser negativo, se tiene que x 0, y 0 Para la máquina A, el tiempo que se requiere para trabajar en x artefactos manuales es 2x horas, y el tiempo necesario: para trabajar en y artefactos eléctricos es 1y horas. La suma de estos tiempos no puede ser superior a 180, por lo que 2x + y 180 De forma análoga, las restricciones para las máquinas B y C, dan x + 2y 160 y x + y 100. La utilidad (o ganancia) P es función de x e y, y está dada por la función de utilidad: P = 4x + 6y Resumiendo, se desea maximizar la función objetivo: P = 4x + 6y (1) sujeta a la condición de que x e y deben ser una solución para el sistema de restricciones. x0 y0 2x y 180 x 2y 160 x y 100 Consecuentemente, se tiene un problema de programación lineal. A las restricciones (2) y (3) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que satisface de modo simultáneo las restricciones (2) a (6) es la que aparece sombreada en la Figura.
Es posible que no haya solución óptima, pues cuando el recinto es no acotado, la función objetivo puede crecer o decrecer indefinidamente. Para resolver el problema, podemos abordarlo de dos formas, pero antes a aplicar cualquiera de ellas siempre hay que dibujar la región factible, resolviendo el sistema de inecuaciones lineales correspondiente, y se calculan los vértices de dicha región. Ejemplo: Una compañía fabrica dos tipos de artefactos, manuales y eléctricos. Cada uno de ellos requiere en su fabricación el uso de tres máquinas: A, B y C. Un artefacto manual requiere del empleo de la máquina A durante 2 horas, de 1 hora en la máquina B y de 1 hora en la máquina C. Un artefacto eléctrico requiere de 1 hora en A, 2 horas en B y 1 hora en C. Supóngase, además, que el número máximo de horas disponible por mes para el uso de las tres máquinas es 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad que se obtiene con los artefactos manuales es de $4 y de $6 para los eléctricos. (Véase la Tabla que contiene un resumen de los datos.) Si la compañía vende todos los artefactos que fabrica, ¿cuántos de ellos de cada tipo se deben elaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual? Manual Eléctrico Horas disponibles
A 2 1 180
B 1 2 160
C 1 1 100
Utilidad/unidad $4 $6
Cada uno de los puntos de esta región representa una solución posible, y a tal región se le denomina región factible. Aunque existe una cantidad infinita de soluciones, se debe hallar la que maximice la función de utilidad. Ya que P = 4x + 6y es equivalente a 2 P y x 3 6 define lo que se denomina como una “familia” de rectas paralelas, cada una de las cuales tiene pendiente -2/3 e intercepción y (0, P/6). Por ejemplo, si P = 600, entonces 2 se obtiene la recta y x 100 . 3
MATEMATICA PARA LOS NEGOCIOS Sesión No. 09: Programación lineal 5y 2x 10 t) 4x 6y 12 y0
2x 3y 12 u) 3x y 6 yx
Problema 02: Resolver
Esta recta, a la que se denomina recta de isoutilidad, proporciona todas las combinaciones posibles de x e y que arrojan la misma utilidad de $600. Obsérvese que esta recta de igual utilidad no tiene ningún punto común con la región factible, en tanto que la recta de igual utilidad para P = 300 tiene una cantidad infinita de puntos en común. Ahora, se procede a buscar el miembro de la familia que contenga un punto factible y cuyo valor de P sea máximo. Será la recta cuya ordenada al origen se encuentre lo más alejada de éste (lo cual dará el valor máximo de P) y que tenga cuando menos un punto común con la región factible. No es difícil observar que esa recta contendrá un vértice A. Cualquier recta de igual utilidad que represente mayores utilidades no contiene puntos que formen parte de la región factible. EJERCICIOS PROPUESTOS Problema 01: En los siguientes ejercicios, esboce la región descrita por las desigualdades. a) 2x 3y 6 b) 3x 2y 12 c) x 2y 7
d) y 6 2x
e) x 2y 4
f) 2x y 10
g) 3x y 0
h) x 5y 5
3x 2y 6 i) x 3y 9
2x 3y 6 j) 3x y 6
2x 3y 6 k) 3x y 6
2x 3y 6 l) x0
2y 3x 6 m) x0
y 3x 6 n) x y 3
2x 2 y ñ) 2x 3 2y
x y 4 o) x 2 y 5
2x y 1 p) y x 2x 6 0
y 2x 4 q) x 2 y 1
4x 3y 12 r) yx 2y 3x 6
xy1 s) 3x 5 y y 2x
Minimizar Z = x+y Sujeta a xy0 4x 3y 12 9x 11y 99 x8 x,y 0
Maximizar P = 5x+6y Sujeta a x y 80 3x 2y 220 2x 3y 210 x,y 0
Minimizar Z = 20x+30y Sujeta a 2x y 10 3x 4y 24 8x 7y 56 x,y 0
Minimizar Z=y–x Sujeta a x3 x 3y 6 x 3y 6 x,y 0
Problema 03: Un fabricante de juguetes que está preparando un programa de producción para dos nuevos artículos, “Maravilla” y “Fantástico”, debe utilizar la in formación respecto a sus tiempos de construcción que se proporciona en la tabla que aparece enseguida. Por ejemplo, cada juguete “Maravilla” requiere de 2 horas en la máquina A. Las horas de trabajo disponibles de los empleados, por semana, son: para la máquina A, 79 horas; para la B, 40 para terminado, 90 horas. Si las utilidades de cada juguete “Maravilla” y cada juguete “Fantástico” son de $4 y $6, respectivamente, ¿cuántas unidades de cada uno deben fabricarse por semana con el objeto de maximizar las utilidades? ¿Cuál sería la utilidad máxima? “Maravilla” “Fantástico”
Maquina A 2 1
Máquina B 1 1
Terminado 1 3
Problema 04: Una dieta debe contener cuando menos 16 unidades de carbohidratos y 20 unidades de proteína. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteína; el B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteína. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y B cuesta $0.80 por unidad, ¿cuántas unidades de cada alimento deben adquirirse para minimizar los costos? ¿Cuál es el costo mínimo? Problema 05: Un granjero va a comprar fertilizante que contiene tres ingredientes nutritivos: A, B y C. Los requisitos mínimos semanales son de 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos marcas usuales de fertilizante en el mercado. La marca I cuesta $4 el costal, contiene 2 unidades de A, 6 de B, y 4 de C. La marca II cuesta $5 el costal y contiene 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. ¿Cuantos costales de cada marca debe comprar el granjero cada semana para minimizar los costos y satisfacer los requisitos nutritivos?
MATEMATICA PARA LOS NEGOCIOS Sesión No. 09: Programación lineal Problema 06: Un fabricante produce dos tipos de parrillas para asar carne, Tipo I y Tipo II. Durante el proceso de producción las parrillas requieren del uso de dos máquinas, A y B. El número de horas que se requieren en cada una se señalan en la tabla que aparece a continuación. Si puede utilizarse cada una de las máquinas 24 horas al día, y las utilidades para la Tipo I y la Tipo II son de $4 y $6, respectivamente, ¿qué cantidad de cada tipo se debe fabricar diariamente para maximizar las utilidades? ¿Cuál es la utilidad máxima? Parrillas Tipo I Tipo II
Máquina A 2 4
Máquina B 4 2
Problema 07: Al maximizar: x+y; x,y R sujeta a las siguientes condiciones: 2x 3y 6 2x y 6 y4 x,y 0 Indique la alternativa correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I) Los puntos (2;2) y (4;1) pertenece a la región admisible. II) La región admisible es un polígono de cuatros lados. III) El valor óptimo es 5.
Problema 11: Un club social encarga a una empresa de transporte el viaje para llevar a los 1 200 socios a ver la final de su equipo, la empresa dispone de autobús de 50 plazas y de microbuses de 30 plazas. El precio de cada viaje en el autobús es 252 dólares y el del viaje en microbús de 180 dólares. Sabiendo que la empresa dispone de 28 conductores. ¿Cuál es el costo máximo del viaje? Problema 12: Dada la función objetivo z = x+y, sujeta a x y 2 ; x y 2 ; x,y 0 , señalar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) (1;1) pertenece a la región factible. ( ) b) (3;0) no pertenece a la región factible. ( ) c) (2;2) es el valor óptimo ( ) Problema 13: Un comerciante al por menor vende dos marcas de traje A y B. Nunca hace pedidos mayores de 60 trajes a la semana. La marca A cuesta $ 20 y la vende en $ 23, mientras que compra B en $ 40 para venderla en $ 44. Si restringe su gasto a $ 1 600 por semana, ¿cuánto de cada marca deberá comprar para que su utilidad sea máxima? (Admítase que vende todos los trajes) Problema 14: De la gráfica, señale las restricciones de la región factible.
Y
2
Problema 08: Sea f : R R una función definida por f(x,y)= – 3x+y. Determine el punto de la región convexa mostrada en la figura, donde f alcanza su mínimo.
5
Y 4
-1
3
0
Región
1
1
6
factible 0 -1
1
2
5
X
X
Problema 09: Considere el problema: Maximizar: z = 30x+20y Sujeto a las restricciones x 60 y 75 10x 8y 800 x,y 0 Dadas las siguientes proposiciones referidas al problema I) No existe región admisible II) El óptimo se da en el punto (60;0) III) Una solución factible es el punto (0;75) Son ciertas. Problema 10: En la ciudad de Chiclayo, se van a construir casas de dos tipos: nivel I y nivel II. La empresa constructora COLLPA S.A.C dispone de $ 1 800 000, siendo el costo de cada tipo de casa $ 30 000 y $ 20 000 respectivamente. La municipalidad exige que el número total e casas no debe superar a 80. Sabiendo que el beneficio por la venta de una casa nivel II es de $ 4 000 y por nivel I $ 3 000. ¿Cuántas casas nivel I deben construirse para obtener el máximo beneficio?
Problema 15: Dados los conjuntos: 2
A {(x; y) R / 2y x 5} 2
B {(x; y) R / 2x 5y 10} Calcule la solución de A B
Problema 16: Dado el conjunto
2
P (x;y) R / 2x
y 1 3
Calcule su solución. Problema 17: Una compañía de transportes posee 2 tipos de 3
camiones. El camión tipo A tiene 20 m de espacio 3
refrigerado y 40 m no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 3
m refrigerados y 30 m
3
no refrigerados. Una fábrica de 3
productos alimenticios debe embarcar 900 m de productos 3
refrigerados y 1 200 m no refrigerados. ¿Cuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica para minimizar costos si 3
3
el tipo A se alquila a S/ 30 m y el B a S/ 40 m ?
