UNIVERSIDAD RICARDO PALMA FA CUL TAD DE INGENIE I NGENIERI RIA A
Asignatura:
INGENIERIA ECONOMICA Elaborado por:
Ing. Raúl Geldres Muñoa Profesor en: Escuela Académica Profesional de Ingeniería Industrial
Junio, 2012
CAPITULO
INTERES Y LAS RELACIONES DINERO TIEMPO (equivalencia) ________________________________________________________ ________________________
En el análisis de ingeniería económica se utilizarán los principios que se plantean en este capítulo, como base base de casi todo el análisis de los proyectos de inversión, inversión, porque es esencial considerar considerar el efecto del interés interés que opera en las cantidades cantidades monetarias monetarias con el paso del tiempo.
2.1 Valor del dinero en el tiempo ________________________________________ ________________________________________ Este es un principio que se puede definir de la siguiente manera: “ el valor económico de una cantidad de dinero depende del momento (o cuándo) en que se reciba este”. Como el
dinero tiene poder de ganancia a través del tiempo (por ejemplo, se puede invertir en un negocio, obteniéndose más dinero para el dueño), un nuevo sol que se recibe hoy vale más que otro que se obtenga en el futuro. Los cambios en el valor de una cantidad de dinero pueden ser muy significativos con el paso del tiempo cuando se manejan grandes cantidades de dinero, largos periodos o altas tasas de interés. El concepto de que una cantidad de dinero cambia de valor por el hecho de que transcurra el tiempo, significa, que una cantidad monetaria vale más cuanto más pronto se reciba porque está directamente relacionada a su capacidad de generar ganancia en el tiempo.
2.2 El interés compuesto: el costo del dinero ________________________________________________________ ______________________ ________________________ __
El concepto de Interés en la mayoría de las personas esta comprendido de la siguiente manera: por el hecho de hacer un depósito de dinero en un banco a una cierta tasa de interés a final de cada periodo pactado se recibirá una cantidad proporcional adicional llamado los intereses, o en caso contrario el hecho de pedir prestado una cierta cantidad de dinero para adquirir un bien, se tendrá que devolver unas cantidades mayores a la solicitada por en esta se considera el interés y la cantidad original solicitada.
CAPITULO
INTERES Y LAS RELACIONES DINERO TIEMPO (equivalencia) ________________________________________________________ ________________________
En el análisis de ingeniería económica se utilizarán los principios que se plantean en este capítulo, como base base de casi todo el análisis de los proyectos de inversión, inversión, porque es esencial considerar considerar el efecto del interés interés que opera en las cantidades cantidades monetarias monetarias con el paso del tiempo.
2.1 Valor del dinero en el tiempo ________________________________________ ________________________________________ Este es un principio que se puede definir de la siguiente manera: “ el valor económico de una cantidad de dinero depende del momento (o cuándo) en que se reciba este”. Como el
dinero tiene poder de ganancia a través del tiempo (por ejemplo, se puede invertir en un negocio, obteniéndose más dinero para el dueño), un nuevo sol que se recibe hoy vale más que otro que se obtenga en el futuro. Los cambios en el valor de una cantidad de dinero pueden ser muy significativos con el paso del tiempo cuando se manejan grandes cantidades de dinero, largos periodos o altas tasas de interés. El concepto de que una cantidad de dinero cambia de valor por el hecho de que transcurra el tiempo, significa, que una cantidad monetaria vale más cuanto más pronto se reciba porque está directamente relacionada a su capacidad de generar ganancia en el tiempo.
2.2 El interés compuesto: el costo del dinero ________________________________________________________ ______________________ ________________________ __
El concepto de Interés en la mayoría de las personas esta comprendido de la siguiente manera: por el hecho de hacer un depósito de dinero en un banco a una cierta tasa de interés a final de cada periodo pactado se recibirá una cantidad proporcional adicional llamado los intereses, o en caso contrario el hecho de pedir prestado una cierta cantidad de dinero para adquirir un bien, se tendrá que devolver unas cantidades mayores a la solicitada por en esta se considera el interés y la cantidad original solicitada.
En el mundo financiero el dinero es un bien, y que como todos los bienes que se compran o se venden, el dinero cuesta dinero. El costo del dinero se establece y mide con una Tasa de interés, esta es un porcentaje asociada a un tiempo, y se podría definir de la siguiente manera: “ Es la ganancia o costo de la unidad monetaria al cabo de una unidad de tiempo”.
De lo anterior se derivan dos premisas fundamentales: 1° Es necesario el transcurso del tiempo para la generación de intereses. 2° El costo del deudor es la ganancia del acreedor. En el análisis de ingeniería económica se emplea de manera exclusiva el interés
compuesto.
2.3 Equivalencia económica ________________________________________________________ ________________________
El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés utilizadas conjuntamente generan el concepto de equivalencia, esto significa que diferentes cantidades de dinero en diferentes tiempos pueden tener igual valor económico. Por ejemplo, si la tasa es del 10% anual, entonces S/. 200 hoy pueden pueden ser equivalentes a S/. 220 un año después. Es decir, si alguien le ofrece hoy entregarle S/. 200 o S/. 220 dentro de un año, no habría diferencia en la propuesta. Por lo tanto ambas cantidades de dinero son equivalentes. Ahora los cálculos para determinar el efecto económico de uno o más flujos de efectivo se basan en el concepto de la equivalencia económica. Existe equivalencia económica entre aquellos flujos de efectivo que tienen el mismo efecto económico y por ende pueden intercambiarse en el mercado financiero. La equivalencia económica se refiere al hecho de que un flujo de efectivo, ya sea un pago único o una serie de pagos, puede convertirse en un pago equivalente en cualquier instante; entonces, para un pago o serie de pagos, podemos hallar un pago único equivalente para la tasa de interés y el instante indicados. Es necesario precisar algunas observaciones importantes sobre la equivalencia.
Los cálculos de equivalencia que comparan alternativas requieren una base temporal común: es decir se debe elegir un único punto en el tiempo y es ahí donde se realizarán la comparación de las cantidades equivalentes.
La equivalencia depende de la tasa de interés.
Los cálculos de equivalencia pueden requerir la conversión de flujos de efectivo de pagos múltiples a un solo flujo de efectivo.
La equivalencia se mantiene sin importar el punto de vista.
2.3.1 Símbolos, formas del dinero y el diagrama de flujos de caja (DFC) a) Las relaciones matemáticas utilizadas en ingeniería económica emplean los siguientes símbolos:
P
: cantidad de dinero ubicado en el presente ($, S/.)
F
: cantidad de dinero ubicado en un tiempo futuro ($, S/.)
R
: flujo de dinero constante y consecutivo a final de cada período ($/año)
n
: horizonte temporal, o plazo, o número de períodos ( meses , años)
i
: tasa de interés por período (tanto por ciento o tanto por uno)
b) En ingeniería económica el dinero se puede considerar en dos “formas”
STOCK, significa, una cantidad de dinero en un momento dado del tiempo, por ejemplo: hoy deposita S/. 1000 (stock inicial de dinero) en un banco al 10% anual durante 2 años, al final del plazo Ud. va y retira el monto final que es S/ 1210 (stock final de dinero).
FLUJO, se considera a una sucesión de cantidades de dinero a través del tiempo, este serie de dinero puede ser constante (R), o no constante. Por ejemplo se tiene una deuda con un Banco de 7 cuotas mensuales de S/. 120 cada una.
c) Diagramas de flujo de caja (DFC), es la representación gráfica de los flujos de ingresos y egresos (a estos se les denomina flujos de caja) que se dan, asociadas a una escala de tiempo. A los ingresos se les representa con una flecha vertical orientada hacia arriba acompañadas de un signo positivo y a los egresos en sentido contrario acompañadas con el sigo negativo, por convención, a final de período (salvo que expresamente se exprese que sea a inicio de período). Los DFC son parte de la solución de un problema. Sea el siguiente ejemplo:
1000(stock)
0
R1 = 500 (flujo constante)
1
2
3 4 5 6 7 8
( + ) Ingresos
9 10 11 12 13 tiempo (día, mes, año) R2 = 350 (flujo constante)
( - ) Egresos
800 (stock)
d) Todas las cantidades de dinero pueden transformarse en una sola cantidad de dinero, en un solo punto de tiempo, al cual se le denomina:
Flujo de caja neto = ingresos – egresos
2.3.2 Los cinco tipos de flujo de efectivo y sus DFC respectivos a) Pago único: Es el caso más sencillo comprende la equivalencia de una cantidad actual o presente (P) y su valor equivalente futuro (F)
F i (%) 0
1
2
3
4
5 años
P b) Serie uniforme o constante: Es una serie de flujos de efectivo iguales a intervalos regulares. Ejemplo se tienen 6 ingresos iguales de valor 10 cada uno:
10
10
10 10
10
10
10
i (%) <> 0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
Nota: por simplicidad el gráfico de la derecha representa al gráfico de la izquierda.
5
6
c) Serie de gradiente lineal o aritmética: aquí el flujo no es constante sino que va aumentando o disminuyendo una cantidad fija denominada gradiente aritmética. Por ejemplo se tiene un primer pago de 100 y estos crecerán 30 más cada período:
i(%)
220
190
G = 30
160 130 100 0
100
1
2
3
4
<>
5
0
1
5
d) Serie de gradiente geométrico: Es otro tipo de serie con un factor de creciente o decrecimiento denominado gradiente geométrico (valor porcentual). Por ejemplo se tiene que el primer año el costo de mantenimiento será de 500 y estos crecerán a un 10% anual durante 4 años, su gráfica correspondiente será:
0
1 500
2
3
4
<>
1
4
500
550
i (%)
0
605 g = 10%
i (%) 665.5
e) Serie que tienen flujos hacia el infinito: 380 1
n (tiende al infinito)
0 R = 50 (tiende al infinito)
f) Serie irregular: este flujo no tiene ningún patrón regular.
120
80 40 0
8
5
11
15
18
22
80
25
90 120
2.4 Los Factores: sus fórmulas y su empleo ________________________________________________________ ________________________
El objetivo es exponer los factores de interés compuesto, utilizando una notación convencional nacional, muy utilizados en los cálculos económicos.
2.4.1 Deducción del Factor Simple de Capitalización (FSC): Por ejemplo: Hoy se realiza un préstamo ( P) a una tasa de interés de ( i ) ¿cuánto dinero (F) se habrá acumulado al final de ( n) periodos? :
F??
P i%
0 1 2 3
n
¿Cómo se calcula este valor futuro equivalente F en el período n? Se desarrollará un análisis período a período:
Periodo (n) 0 1 2 3 4 . . n
Monto Acumulado (F)
Interés (I) 0 ixP i x P(1+ i ) i x P(1+ i )² i x P(1+ i )³ . . i x P(1+ I )n-1
P P + iP = P (1 + i) P (1+i) + i x P (1+i) = P (1+i)² P (1 + i)³ P (1 + i)4 . . P (1 + I)n
Entonces el monto final acumulado será: F = P (1 + i) n (esta es la expresión matemática) Donde el factor: (1+ i ) n se denomina Factor Simple de Capitalización ( FSC)
La expresión en factor es: F = P ( FSC) La expresión matemática es: F = P ( 1 + i )n 2.4.2. Factor Simple de Actualización (FSA): Se utiliza cuando se quiere conocer el valor presente ( P) de una cantidad futura conocida (F) y dados el número de períodos a trasladar ( n) y la tasa de interés ( i ): F
P = F (FSA) P=
P??
F (1 + i ) n
0
1
2
3 ……..
n
2.4.3. Factor de Actualización de una Serie (FAS): Se utiliza este factor cuando se quiere conocer un valor presente (P) cuando se conoce el valor de una serie constante (R) y la tasa de interés (i) y el número de cuotas iguales (n):
i (%)
P = R (FAS ) i .1
P??
n
R
P=R 0 1
n
(1+ I )n - 1 i (1 + I )n
2.4.4. Factor de Recuperación del Capital (FRC): Se utiliza cuando se quiere conocer el valor de un flujo constante (R) cuando se conoce el valor inicial (P), la tasa de interés (i) y el número de cuotas iguales (n): i (%)
R = P (FRC ) i .1
P
n
R??
R= P
i (1+ i )n (1 + I )n -1
n
0 1
2.4.5. Factor de Capitalización de una Serie (FCS): Se utiliza cuando se quiere conocer el valor futuro (F) cuando se conoce el valor de un flujo constante (R), la tasa de interés (i) y el número de cuotas iguales (n):
i (%)
F ??
F = R (FCS ) i
n
R
F=R 0
1
(1 + i)n -1 i
n
2.4.6. Factor de Depósito al Fondo de Amortización (FDFA): Se utiliza cuando se quiere conocer el valor de un flujo constante (R) cuando se conoce el valor futuro (F), la tasa de interés (i) y el número de cuotas iguales (n):
F
i
R = F (FDFA ) n
¿R? R=F 0 1
2
3
n
i _ (1 + i)n -1
2.4.7 Desarrollo de un ejemplo simple aplicando las 6 primeras fórmulas: Se tiene hoy un capital de S/. 1000 y se quiere realizar las transformaciones en otros valores equivalentes para un plazo de 8 meses y a una tasa de interés del 10% mensual. a) Uso del FSC (transformación de un stock inicial o un stock final):
F??
1000
F = P(FSC ) F = 1000 (FSC ) F = 1000 (1+0.1) 8 i
n
0 .1
8
i = 10%
mes 0
1
2
8
F = s/. 2143,6
b) Uso del FSA (transformación de un stock final a un stock inicial) i = 10% P = F ( FSAin)
0
1 2
8 mes
P = 2143.6
¿P?
P = F (FSA 80.0 ) 1 (1.1)8
P = S/.1000
2143,6 c) Uso del FAS (Transformación de un flujo constante a un stock inicial):
0
8 meses
1
i
P = R(FAS ) n
P = 187.44 (FAS
0 .1 8
)
P = 187.44 (1.1) 8 – 1 0.1 (1.1)8
R =187.44
¿P? P = s/. 1000 d) uso del FRC (transformación de un stock inicial o un flujo constante): 0
1
8
mes
i
P = R(FAS ) n
P = 187.44 (FAS
¿R?
1000
0 .1 8
)
P = 187.44 [(1.1) 8 – 1] 0.1 (1.1)8
R = 187,44 S/./mes
e) Uso del FCS (Transformación de una serie a un stock final): i = 10%
F ??
F = R (FCS ) i
n
(1.1)8 -1 0.1
F = 187.44
R=187.44
F = 187.44 (FCS 80 .1 )
i = 10% 0
1
mes
8
F = s/. 2143,6
f) Uso del FDFA (Transformación de un stock final a un f lujo constante):
2143,6
i
R = F (FDFA ) n
R = 2143.6
¿R?
R = 2143.6 (FDFA 80 .1 )
0.1 _ (1.1)8-1
mes 0
1
2
3
8
R = 187,44 S/./mes
2.4.8 Factor de Actualización de una Gradiente Aritmética (FAGA): Se utiliza este factor cuando se quiere obtener el valor presente (P), cuando se conoce el valor inicial (A) de una serie o flujo que va creciendo una cantidad constante (G), la tasa de interés (i) y el número de cuotas (n):
P ??
P = A (FAS) + G (FAGA)
i(%)
P = A (1 + i )n – 1 + G (1 + i )n –1 n n 2 n i (1 + i ) i (1 + i ) i (1+ i)n
G A
0
1
2
3
n
2.4.9 Factor de Actualización de una Gradiente geométrico (FAg): Se usa este factor cuando se quiere obtener el valor presente (P), conociendo el valor inicial (A) de un flujo que va creciendo una cantidad porcentual (g), la tasa de interés (i) y el número de cuotas (n), y se presentan dos casos:
P??
P = A (FAg) ((1 + g )n / ( 1 + i)n ) - 1
i(%)
1) P = A g(%)
(g -i)
A 0
n
2) P = A 1
2
3
si: i g
si: i = g
1+g
n
2.4.10 Ejemplos de aplicación de los factores FAGA y FAg: a) Uso del FAGA (transformación de un flujo creciente en una cantidad constante G a un stock inicial) i = 10%
i
i
n
n
PG = A(FAS ) + G(FAGA )
¿PG?
PG = 100 [ (1.1)8 –1 ] + 50 (1.1)8- 1 8 8 8 0.1 (1.1) (0.1)²(1.1) 0.1 (1.1)8
G = 50
PG = 533.492 + 801.435
A=100
PG = S/. 1134,92
0
1
8
b) Uso del FAg (transformación de un flujo creciente en un porcentaje g (%) período a período a un stock inicial). Se presentan dos casos:
1° Caso: cuando i g: i = 15%
y g = 10%
¿Pg? g = 15 % A = 100
0
1
i = 10% mensual
8 mes
Pg = A (FAg in) ((1+0.15) /(1 + 0,1))8 - 1 (0,15 – 0,1 )
Pg = 100
Pg = 100 (8.5412)
Pg = S/. 854,12
2° Caso cuando i = g:
i = 10% y g = 10%
¿Pg? g = 10 % i = 10% mensual A = 100
0
1
Pg = A (FAG)
8 meses
Pg = 100
8 1 + 0.1
Pg = S/. 727,27
2.5 EJEMPLO DE APLICACIÓN COMBINADA DE LOS FACTORES: ________________________________________________________ ________________________
1) Dado el siguiente DFC hallar el presente equivalente (Peq.): ¿Peq?
1000 i = 5% mensual (+) Ingresos
500 mes 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 (-) Egresos
800
Procedimiento:
a)
Cada flujo de caja de ingreso se traslada al punto cero con el factor respectivo, transformándose en un stock. La suma de estos valores nos dará el presente equivalente de los ingresos (Pi).
b)
Cada flujo de caja de egreso se traslada al punto cero con el factor respectivo. La suma de estos valores nos dará el presente equivalente de los egresos (Pe).
c)
Con ambas resultados se formula la ecuación de equivalencia en el punto cero, que es donde se desea el resultado.
d)
La ecuación será:
Solución:
Peq. = Pi – Pe
Peq = (500 (FAS 0.057)(FSA0.05 2) + 1000 (FSA0.0514)) - 800 (FAS 0.058) Peq = (2624,20 + 505,06) – (5170,60) 0
Peq = - 2041,33 S/.
mes
1
14
2041,33
Nota: a) Si el resultado es positivo significa que el monto neto equivalente es un ingreso, por lo tanto se grafica la flecha hacia arriba. b) Si el resultado es negativo se representa con una flecha hacia abajo.
2) Dado el siguiente DFC hallar el futuro equivalente (F)
¿F? G=100 (+) Ingresos 0
500 1
6
10
15 años
3 (-) Egresos 200
1000 i = 10%
g =8%
Procedimiento:
a)
Se llevará al punto cero los flujos de caja de ingresos, hallando el Pi.
b)
Lo mismo que el punto (a) con los egresos, hallando el Pe.
c)
Aquí se formulará la ecuación presente equivalente: Peq. = Pi – Pe
d)
Para hallar la incógnita, el futuro equivalente F, se tiene la nueva ecuación equivalente: F = Peq.(FSC).
Solución:
a) Se hallará primero el presente equivalente:
Peq. = (500FAS 80 .1 +100FAGA 80 .1 )FSA 02.1 - (1000FAS 06.1 + 200FAg 06 .1 FSA 90.1 ) Peq. = 3529,19 - (4355,24 + 442,12) Peq. = - 1268,18 b) Se hallará el futuro equivalente: F = -1268,18(FSC 150 .1 ) F = -1268,18 ( 1.10) 15 F = S/. - 5297,49
0
1
15
<>
años
5297,49
2.6 TASA DE INTERES EFECTIVA ________________________________________________________ ________________________
La tasa anual efectiva
ie f
correspondiente a una tasa nominal anual J
capitalizable n veces en el año, se obtiene la siguiente fórmula
(1 + i ef ) = (1+ J/n) n
Los valores más comunes de período de capitalización y su respectiva frecuencia dentro de un año, se presentan en el siguiente cuadro:
Período de Capitalización Anual Semestral Cuatrimestral Trimestral Bimestral
Frecuencia 1 2 3 4 6
Mensual Quincenal Semanal Diario
12 24 52 360 / 365
Ejemplo : Calcular las tasas efectivas que resulten a partir de la tasa nominal del 30% anual, considerando diferentes períodos de capitalización (ver cuadro siguiente) a interés vencido:
Tasa (%) Nominal 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30
Período de capitalización
Frecuencia de capitalización (n)
Anual Semestral Cuatrimestral Trimestral Bimestral Mensual Quincenal Semanal Diario Horario Minuto
1 2 3 4 6 12 26 52 360 8640 518400
Tasa efectiva anual vencida (%) 30.00 32.35 33.10 33.35 34.01 34.489 34.754 34.870 34.969 34.983 34.985
Notas : 1. Se observa que cuando más pequeño es el período de capitalización (o mayor frecuencia de capitalización se da en un año) la tasa efectiva respectiva ya no aumenta significativamente. 2. Esto significa que cuando el periodo de capitalización tiende a infinito (capitalización continua) la tasa efectiva anual es:
ief = e j - 1 3. Ejemplo: Calcular la tasa efectiva si la tasa anual es del 30% con capitalización continua
ief = (e0,3 – 1)100
ief = 34,9858% anual
2.7 TASAS DE INTERES EQUIVALENTES ________________________________________________________ ________________________
2.7.1 Definición de tasas equivalentes: Dos o más tasas efectivas correspondientes a diferentes unidades de tiempo son equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo horizonte temporal.
Ejemplo: Las siguientes tasas i = 1.530947 %, mensual, i = 4.6635139 % trimestral son equivalentes, porque ambas producen la misma tasa efectiva anual del 20%
I ef = (1+0.01530947) 12 – 1
I ef = 20 % anual
I ef = (1+0.046635139) 4 – 1
Ie f = 20 % anual
2.7.2 Fórmula para obtener tasas efectivas de diferentes períodos: Tasa nominal
(1 + ief ) = (1 + J / n)n
Si:
Tasas Equivalentes Tasa efectiva
Tasa proporcional
n = es el número de períodos de capitalización dentro del año.
Tasas equivalentes se dan cuando los intereses se capitalizan en períodos menores de un año. En este caso, no debe hablarse de tasa anual sino de tasa semestral, o trimestral, o mensual, en general, según el período de que se trate. Sin embargo, aunque la tasa no sea anual, existe una tasa anual que equivale a la tasa por período y con la que se consigue el mismo rendimiento al cabo del mismo tiempo capitalizando cada año en vez de capitalizar en cada período menor. Así, para una tasa de interés bimestral, la tasa anual equivalente será la que haga producir a un capital el mismo interés que produce también en un año esa tasa bimestral.
Sea:J/n = i’ (ojo, esta tasa periódica también es efectiva para ese período) Entonces:
(1 + i ef ) = (1 + i’) n
Donde:
A partir de una tasa efectiva periódica se pueden calcular otras tasas efectivas para el horizonte que se desea.
Siempre se va a suceder que: en valor numérico
Ief
Ief > i’ en período,
>
i’
excepto cuando los períodos de capitalización son iguales para ambos.
Ejemplo: Se tiene una tasa bimestral del 6.5%, ¿cuál sería la tasa efectiva anual? Solución: (1 + ief ) = (1 + 0,065 )6
¿Tasa anual?
ief = 45,91% anual
Tasa bimestral
Ejemplo: calcular una tasa cuatrimestral partiendo de una tasa del 3.4% mensual efectiva Solución: (1+ ief ) = (1 + 0,034 )4
¿Tasa cuatrimestral?
ief = 14,31% cuatrimestral
Tasa mensual
Ejemplo: Se quiere obtener una tasa bimestral partiendo de una tasa del 15% semestral. Solución: (1+ 0.15) = (1+ i”)3
Tasa semestral
i”= 4,769% bimestral efectiva
¿tasa bimestral?
2.7.3 Aplicación de la fórmula de tasa equivalentes en las series generales En todo problema de ingeniería económica básicamente se tienen los flujos de caja y la tasa de Interés (además el número de períodos), estos flujos de caja (ingresos o egresos) están referenciados a un período de pago (PP) y la tasa de interés a un período de capitalización (PC). De la relación entre estos periodos se dan tres casos a analizar:
1° Caso: El período de capitalización es mayor que el período de pago (PC > PP): Ejemplo: Usted tiene una deuda pendiente de 5 pagos mensuales de 1000 soles cada uno que ha sido pactada a una tasa del 24% anual capitalizable trimestralmente . Se pide hallar el presente equivalente.
Solución
1° Elaboración del DFC: ¿Peq?
i = 24% anual capit. trimestral
PC (trimestral) > PP ( mensual)
1000 ¿Qué tasa de interés se va a usar? mes 0
1
2
3
4
5
“Siempre el período de la tasa será Igual al período de pago”
(Significa que se tiene que convertir el periodo de la tasa al periodo de pago)
2° Cálculo de la tasa de interés: Usando la Fórmula General:
(1 + ief . ) = ( 1 + i ’ )n
(1 + 0,24/4 ) = (1+ i’ )3
tasa trimestral
i =1,96%mensual
tasa mensual?
3° Cálculo del Presente Equivalente: Ahora: Peq = 1000FAS(0,0196; 5)
Peq = s/. 4721,1
Notas: 1. Siempre se deberá convertir el período de la tasa al período de pago. 2. La tasa incógnita ( i’ ) en este caso estará en el lado derecho por ser una tasa de menor período (mensual) y de menor valor numérico. 3. El exponente ( n ) será 3, porque 3 meses es igual a un trimestre
2° Caso: El período de capitalización es menor que el período de pago (PC < PP): Ejemplo: Sea una tasa del 30% anual capitalizable mensualmente y se tienen 8 pagos semestrales de 100 soles cada uno. Se pide hallar el presente equivalente. Solución
¿Peq?
i = 30% anual c/mensual
PC (mensual) < PP ( semestral)
100
¿qué tasa de Interés se va a usar? “Siempre el período de la tasa será Igual al período de pago”
semestres 0
1
2
8
(1 + i ) = (1+ 0,30/12 )6
i =15,96%semestral
semestral mensual
Ahora: Peq = 100FAS(0,1596; 8)
Peq = s/. 435,03
Notas: 1. Siempre se deberá convertir el período de la tasa al período de pago. 2. La tasa incógnita ( i ) en este caso estará en el lado izquierdo por ser una tasa de mayor período (semestral) y de mayor valor numérico. 3. El exponente ( n ) será 6, porque 6 meses es igual a un semestre.
3° Caso: El período de capitalización es igual al período de pago (PC = PP): Ejemplo: Sea una tasa del 24% anual capitalizable mensualmente y se tienen 4 pagos mensuales de 500 soles cada uno. Se pide hallar el presente equivalente.
Solución
¿Peq?
i = 24% anual c/mensual
PC (mensual) = PP ( mensual)
500
¿qué tasa de Interés se va a usar? “Siempre el período de la tasa será Igual al período de pago”
meses 0
1
2
4 (1 + i ) = (1+ 0,24/12 )1
mensual
i =1%mensual
mensual
Ahora: Peq = 500FAS(0,01; 4)
Peq = s/. 1950,79
Notas: 1. Siempre se deberá convertir el período de la tasa al período de pago. 2. La tasa incógnita ( i ) puede estar en cualquier lado, en este caso estará en el lado izquierdo. 3. El exponente ( n ) será 1, porque al exponente 1 se mantiene la igualdad mensual para ambos casos.
2.8 COSTO DEL CREDITO Préstamos en moneda nacional y extranjera ________________________________________________________ ________________________
Toda empresa siempre esta a la búsqueda de capital, es decir de dinero, ya sea para adquirir nueva maquinaria, reemplazar equipos, ampliar instalaciones, o cambiar sistemas que mejoren sus procesos. Para conseguirlo se tienen varias fuentes de financiamiento y una de ellas son los préstamos bancarios tanto en moneda nacional o extranjera. Cuando se logra conseguir un préstamo de dinero, este como todo factor de producción tiene un costo su uso, en consecuencia la pregunta en este caso sería ¿cuánto realmente me cuesta usar ese dinero?, ¿es la tasa de interés promocionada en los afiches del banco mi costo de crédito?, estas preguntas se podrán responder a través del análisis del costo del crédito.
2.8.1 Préstamo En Moneda Nacional Nuestro sistema financiero constituido por los bancos, normalmente dan préstamos en moneda nacional, todas ellas ofertan diferentes modalidades y requerimientos para hacerse acreedor a una sus líneas crediticias. En todo préstamo están presentes algunos términos que se van a definir:
Monto del préstamo (P): cantidad que se solicita al banco. Tasa de interés del banco ( i ): es la que supuestamente te va a cobrar la institución Plazo ( n ): es el total de tiempo que te da el banco para pagar la deuda. Cuota (C): cantidad de dinero que se va pagar período a período. Período de pago de la cuota: es el período en que cada cuota se paga. Modalidad de pago de la deuda: la cuota a pagar puede ser constante, creciente decreciente, etc. Comisión flat: es un sobrecosto que el banco aplica en el período cero, es un porcentaje del préstamo. Retenciones: otro sobre costo, es porcentual, se devuelve al final del préstamo con o sin intereses. Otros sobrecostos: que cada banco aplica según sus requerimientos.
Ejemplo de Aplicación: caso de una sola moneda Se requiere financiar la compra de un sistema de iluminación que mejore las condiciones laborales en el taller de una empresa, el monto de la inversión es de S/. 50 000 para tal efecto se ha conseguido la siguiente información de un banco comercial, Crédito en Nuevos soles (S/.):
Plazo : 2 años Pagos trimestrales Cuotas iguales Tasa de interés 22% anual capitalizado mensualmente Comisión flat 1% Retención 5% del préstamo y devuelto al final del plazo sin intereses. Monto máximo a prestar S/. 200000.00
Se pide ¿calcular el costo de crédito de este préstamo?:
Solución :
a) Diagrama del Flujo de Caja (DFC): aquí se detallan los datos e incógnitas monetarios 100(*) 0
i = 22% anual c/mensual 1
1 5
5 8 Trimestres
C = ???
(*) Para estos casos se recomienda asumir un préstamo de S/. 100, los resultados de las tasas, son los mismos si se calcularán con el préstamo original. b) Cálculo de la Tasa de interés trimestral para poder hallar la cuota: (1+ i’ trim) = (1+ 0.22/12 mens.) 3
i = 5.6% trimestral c) Cálculo de la cuota trimestral (C): siempre se tomará el monto asumido (en este caso será S/. 100), la tasa de interés del período y el número de cuotas: C = 100*FRC (5.6%, 8)
C = 15.849 S/./trimestre d) Cálculo del Costo de Crédito en nuevos soles ( i ): formulando la ecuación de equivalencia en el punto cero: 100 – 1 – 5 = 15.849*FAS(i, 8) - 5*FSA(i, 8) i = 6.3535% trimestral efectiva
o
i = 27,94% anual efectiva
Comentario: La tasa de interés del banco 22% anual c/mensual (o su equivalente 24,36% anual efectiva) es solo referencial, tal como se muestra en el ejemplo, el verdadero costo a pagar es del 27, 94% anual. Este valor es producto únicamente por los sobrecostos que cobran los bancos, si estos no se dieran el costo de crédito si sería la misma tasa de interés que promocionan en sus afiches.
2.8.2 Préstamo En Moneda Extranjera Los bancos nacionales también prestan dinero en moneda extranjera, normalmente en dólares americanos, y como en el caso de préstamo en moneda nacional, este tiene su propio costo de crédito en esa moneda extranjera, por tanto también es necesario encontrar el equivalente de ese costo en moneda nacional, para poder comparar y tomar decisiones óptimas. Para tal efecto se necesita definir otros términos además de los otros ya mencionados líneas arriba:
Devaluación: consiste consist e en la pérdida de un valor porcentual de una moneda frente a otra, por ejemplo: dev s/./ $ = 5% mensual. Revaluación: significa que, si una moneda de devalua frente a otra, esta última adquiere más valor (se revalua), pero no en el mismo porcentaje. Por ejemplo sean dos monedas a y b, entones la fórmula a utilizar es: Rev a/b = (dev b/a) / (1 + dev b/a)
Para el caso de tres monedas a, b y c: (1 + dev a/c) = (1 + dev a/b)(1 + dev b/c)
Como el financiamiento financiamiento es es en moneda extranjera (ME) (ME) y encontrado su costo, se hace necesario conocer conocer su costo equivalente equivalente en en moneda nacional nacional (MN), para tal efecto se necesita la siguiente fórmula: En forma general:
En particular si las monedas son en soles y en dólares:
( 1 + iMN ) = ( 1 + iME ) ( 1 + dev MN/ME )
( 1 + iS/. ) = ( 1 + i$ ) ( 1 + dev S//$ )
Donde: contiene el factor inflación) IMN : tasa efectiva corriente en MN (la tasa contiene tasa contiene el factor inflación) IME : tasa efectiva corriente en ME (la tasa devaluación Dev = tasa de devaluación t asas deben estar siempre en el mismo período de tiempo. Ojo: las tres tasas S/./$ se obtiene de tablas ya ya elaboradas por el El valor de la devaluación S/./$ INEI, pero tambien tambien uno lo puede calcular calcular considerando considerando el tipo de de cambio (TC) referido a un período base y el siguiente período en estudio, por ejemplo: Al 1° de enero del 2000 Al 31 de diciembre del 2000 2000
TC = S/. 1,90 por dólar TC = S/. 2,35 por dólar
Por lo tanto: La tasa de devaluación fue: dev s/./$ = ((2,35/1,95) – 1) *100
dev s/./$ = 17,95% anual
Ejemplo de Aplicación: caso de dos monedas Se requiere financiar financiar la compra de un torno CNC, CNC, el monto necesario de la inversión es de US$ 45 000, para tal efecto se ha conseguido la siguiente información de un banco comercial, Crédito en dólares (US$): Plazo : 1 año Pagos bimestrales
Cuotas iguales Tasa de interés en US$ 26% anual capitalizable mensualmente Comisión flat 3,5% Monto máximo a prestar $ 60 000 Dev S/./$ = 1,50% mensual.
Se pide ¿calcular el costo de crédito equivalente en S/. del préstamo en dólares?:
Solución :
a) Diagrama del Flujo de caja: aquí se detallan los datos e incógnitas monetarios $100 i = 26% anual c/mensual <> i = 29,33% anual efectiva efectiva 0
1
6 bimestres
3,5 C = ??? b) Cálculo de la Tasa de interés bimestral para poder hallar la cuota: (1+ i’ bim) = (1+ 0.26/12 mens.) 2
i$ = 4,38% bimestral c) Cálculo de de la cuota trimestral trimestral (C): siempre siempre se tomará tomará el monto monto total asumido asumido en este caso $ 100, la tasa de interés del período y el número de cuotas: C = 100*FRC (4,38%, 6)
C= 19,313 $/bimestre d) Cálculo del Costo de de Crédito en en dólares ( i $ ): formulando la ecuación en el punto cero: 100 – 3,5 = 19,313*FAS( i, 6)
i$ = 5.5% bimestral <> 37,88% anual
e) Cálculo del Costo de Crédito Equivalente anual en S/. : (1 + IS/.) = ( 1 + i$ ) ( 1 + dev S/./$)
(1 + iS/. ) = ( 1 + 0,055 ) 6 ( 1 + 0,015 )12
anual
iS/. = (1,6485 - 1)100
bimestral
mensual
IS/. = 64,85% anual efectiva
Comentario: La tasa de interés en dólares del banco 26% anual c/mensual (o su equivalente 29,33 anual efectiva) es solo referencial, tal como se demuestra en el ejemplo, ejemplo, el verdadero verdadero costo en dólares a pagar pagar es del 37, 88% anual anual efectiva. efectiva. Este Este costo es producto únicamente por los sobrecostos que cobran los bancos. El costo equivalente en nuevos soles es del 64,85% anual efectiva y esto es producto de considerar la tasa de devaluación existente entre estas dos monedas. A mayor devaluación mayor será el costo equivalente en nuevos soles. En la fórmula se tienen 3 variables: la tasa en MN, la tasa en ME y la devaluación, cualquiera de ellas puede ser la incógnita y las otras dos los datos, por lo tanto se puede resolver la ecuación.
Ejemplo de Aplicación: caso de tres monedas Se requiere financiar financiar la compra de un CIM, el monto necesario de la inversión inversión es de US$ 650 000, para tal efecto se ha conseguido la siguiente información de un banco comercial, Crédito en Yenes (Y) Plazo : 1 año Pagos mensuales Cuotas iguales semestralmente ente Tasa de interés en Y 30% anual capitalizable semestralm Dev S/./$ = 2,0% mensual. Revaluación Y/$ = 1,5% mensual ¿Calcular el costo de crédito equivalente en S/. del préstamo en Yenes?:
Solución :
a) DFC del crédito en yenes 100 Y i = 30% anual C/ semestral 0
1
12 mes ¿C?
b) Cálculo del Costo Efectivo en Y (aquí el cálculo es directo porque no existen sobrecostos, por lo tanto tampoco es necesario calcular el valor de la cuota): (1 + i’ ) = (1 + 0.30/2 )2
anual
semestral
i (Y) = 32.25% anual efectiva
c) Calculo del Costo Equivalente en $: Si: i ($) = (1 + i Y)(1+ dev $/Y) – 1, pero como no tenemos como dato la dev $/Y Pero se tiene: Rev Y/$ = 0.015 = (dev $/ Y) / (1+ dev $/Y), despejando dev $/Y
dev $/Y = (0.015 / 1 - 0.015)*100 = 1,522% mensual
reemplazando: i ($) = ( 1+ 0,3225 año)(1+ 0,01522 mes) 12 – 1
i ($) = 58,53% anual efectiva d) Calculo del Costo Equivalente en Soles:
i (S/.) = (1+ 0,5853) (1+ 0,02)12 –1 annual
mensual
i (S/.) = 101,0% anual efectiva
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Determine la cantidad de dinero que debe depositar ahora Ud. para que pueda retirar s/. 2000 anuales durante 5 años, comenzando dentro de 8 años, si la tasa de interés es del 12% anual. 2. Carla ha depositado s/. 800 anuales durante 5 años. A partir del 6to año aumentó sus depósitos a s/. 1100 anuales durante 3 años. ¿Cuánto dinero tenía en su cuenta inmediatamente después que hizo su último depósito si la tasa de interés es del 10% anual capitalizable mensualmente. 3. Juan se propone ahorrar para cuando se jubile, de manera que pueda retirar dinero todos los años durante 15 años, empezando dentro de 15 años. El calcula que podrá empezar a ahorrar dentro de 1 año y se propone ahorrar s/. 1500 anuales. ¿Cuál será la cantidad anual uniforme que podrá retirar cuando se jubile si la tasa de Interés es del 20% anual capitalizable trimestralmente. 4. Un hombre de negocios compró un edificio usado y encontró que el aislamiento del techo era insuficiente. Estimó que con 6 pulgadas de espuma aisladora podría disminuir la cuenta de la calefacción en s/. 150 mensuales y el costo del aire acondicionado en s/. 95 mensuales. Suponiendo que los 6 primeros meses del año son verano y los 6 siguientes invierno, ¿cuánto puede permitirse gastar en el aislamiento si espera tener el edificio dos años solamente? Suponga una tasa de interés del 2% bimestral. 5. Una pareja de esposos se propone hacer una inversión ahora para financiar la universidad de su hijo. Si el hijo pudiera retirar $ 1500 anuales en los años 17 hasta 22 de tal manera que el último retiro cierra la cuenta, ¿cuánto dinero debe depositarse ahora si la tasa es del 15% anual efectivo? 6. Titos Pizza tiene un contrato de arrendamiento de 9 años por 250 m 2 de superficie en un centro comercial cerrado. El arriendo se paga anualmente a un valor de $90 por m2. Al final de 3er año del contrato, el dueño de la pizzería decide comprar su propio local en otro lugar. ¿Cuánto debe pagársele al propietario del centro comercial por el resto del contrato si la tasa de interés es del 16% anual c/ mensual? 7. Determine el valor del pago constante de comienzo de año que podría ser equivalente al siguiente flujo de caja. Use 10% anual. 0 1 5 6 11 años
1000
1500
8. El Ingeniero Industrial (es una revista profesional) ofrece tres tipos de suscripciones
pagaderas por adelantado: un año por s/. 50, dos años por s/. 94 y tres años por s/. 134. Si el dinero puede obtener un interés del 10% anual capitalizable trimestralmente, ¿cuál es la suscripción que debe elegir? Suponga que piensa suscribirse a la revista durante tres años.
9. Carlos va a comprar una casa por $90 000. Si hace un pago inicial de $18 000 y obtiene una hipoteca por la cantidad restante a una tasa de interés del 15% anual c/ bimestralmente, ¿cuál sería el valor de la cuota mensual para liquidar la hipoteca en 20 años? 10. Determine el valor de X de tal manera que el flujo de caja positivo sea exactamente equivalente al flujo de caja negativo, si la tasa es del 20% anual. 200
150 100 2
0
3
7
5
12
8
X
15
años
2X
500 11. Se calcula que los ingresos de un negocio se reducirán con una tasa constante
desde un valor inicial de $ 1MM en el año cero aun valor final de $ 400M al término del 6to año. Si la tasa de interés se compone continuamente con una tasa nominal del 10%, determine el valor presente de este flujo de efectivo. 12. Un restaurante piensa comprar un terreno adyacente a sus instalaciones a fin de ofrecer estacionamiento a sus clientes. El restaurante requiere de un préstamo de $ 22000 para adquirirlo. Un banco local le ha ofrecido prestarle la cantidad, y el restaurante se compromete a reponer el préstamo en 5 años con los siguientes montos: el 15, 20, 25, 30 y 35% del préstamo inicial al final del primero, segundo, tercer, cuarto y quinto año, respectivamente. ¿Cuál es la tasa de interés que gana el banco? 13. Encuentre el valor de G en el siguiente DFC que haría que el flujo de ingresos sea equivalente al flujo de egresos, usando una tasa de interés anual del 15%.
500 10 0
1
7
13 años
G
4G
14. Calcule el número de años que debe Ud. depositar $1000 anualmente, para que pueda retirar a perpetuidad $ 350 anuales empezando al año siguiente del último depósito. Si la tasa de interés es del 10% anual. 15. Ud. desea hacer un total de 6 depósitos iguales cada trimestre empezando hoy, de tal manera que pueda realizar retiros durante 8 trimestres consecutivos, siendo de $900 el primer retiro y los siguientes montos crecerán al 10% trimestral, empezando a inicios del 10mo trimestre. Si la tasa de interés es del 25% anual efectiva. ¿calcular el valor de cada depósito? 16. Se tienen los siguientes desembolsos, de S/. 35M hoy, de S/. 7 M por año durante 5 años consecutivos empezando al final del primer año, y de allí en adelante durante los 8 años siguientes, con incrementos del 12% anual. Utilizando una tasa de interés real del 15% anual capitalizable/ mensualmente, se pide ¿Calcular el costo presente equivalente? 17. A Ud. le han ofrecido prestarle US$ 15000 para la compra de una fresadora, que lo recibirá en dos cuotas de US$ 11000 y de 4000 hoy y un mes después respectivamente, sin recargo de intereses. Posteriormente el préstamo lo pagaría en 10 cuotas mensuales que decrecerán linealmente, siendo el primer pago de $ 1500. Dadas estas condiciones. ¿Cuál será el valor de la última cuota, si la tasa de interés es del 20% anual capit/bimestralmente?
18. Dado el siguiente DFC hallar el presente equivalente 150
Peq?? 90
0
6
7
11 12
16 17
9
22
20
20 60
26
20 60 i = 10%
120
21
60 ……sigue al infinito
19. Dado el siguiente DFC hallar el Presente Equivalente (Pe): 900 300 100 5 0
12
3
20
9
16 80
¿ Peq?
400
i = 10% 1200
20. Calcular la Cuota Equivalente (Re) entre los períodos vencidos 21 y 27: 300 G = 25 g = 5% 30
6
13
0
21 23
9
27
19
29
Re?? i = 25%
15
21. Dado el siguiente DFC hallar el Futuro Equivalente (Fe):
¿Feq? 1000
100 5 0
2
12 9
22 16
semestral
80 400
I = 30% anual c/mensual 700
21. ¿Calcular la Cuota Equivalente (Re) entre los períodos vencidos 16 y 21? 300 G = 25 g=
30
11 0
6
16
5%
21
9
26
30
18
meses
¿Re? i = 15% anual c/trimestral
300
22. Dado el siguiente DFC hallar el Presente Equivalente (Pe): 900 300 100 0
5
3
12
9
20
16
meses
80
¿ Peq?
400
i = 10% anual efectiva
1200
23. Dado el siguiente DFC hallar el presente equivalente 150 90
0
6
7
90
11 12
16
17
9
22
20 i = 10% 120
21
20 120
26
20 120
120 se repite la gradiente al infinito
24. Una empresa tiene tres posibles fuentes de financiamiento, cuyas condiciones son las siguientes: Fuente 1: Línea de crédito en dólares ($), con una tasa de interés del 15% anual capitalizable trimestralmente, a modalidad de pago constante y con un plazo de 1 año. Fuente 2: Línea de crédito Alemán en euros (E), con una tasa de interés del 10% anual capitalizable/ bimestralmente, a pago creciente y a 2 años de plazo. Fuente 3: Línea en Nuevos Soles (S/.), a interés adelantado con una tasa del 4% mensual, a cuota constante y a 1,5 años. dev $/E = 1,2% mensual Datos: dev S/./$ = 1,5 mensual Se pide calcular los costos de créditos financieros en soles de cada fuente y decidir por el más conveniente. 25. Ud. solicita un préstamo de S/. 5000 a un Banco en las siguientes condiciones: Tasa de interés del 10% mensual. Modalidad de pago a cuotas constantes. Plazo 4 meses. Comisión flat del 1.5%. Retención del 5% valor que será devuelto al final con una tasa de interés del 20% anual capitalizable bimestralmente. Determinar el costo del crédito. 26. Se requiere financiar la compra óptima de un torno CNC para optimizar la línea de producción. Para tal efecto se recabo la siguiente información: Información Financiera Línea en US$ Línea en E Línea en S/. Taza de Interés 18% anual /mensual 15% anual c/mensual 45% anual fectivo Plazo Total 1 año 1 año 1año Movilidad Cuota decreciente Cuota constante Cuota constante Periodo de pago Mensual Trimestral Bimestral Retención ........ 8% devueltos al final ......... con una taza del 4% anual Comisión Flat 3% ........ 2% Comisión de ........ ........ 1% Estudio Periodo de 2 1 1 gracia Información Adicional Hoy : 1 dólar = 3,5 soles Devaluación: S/./ $ = 5% mensual 1 dólar = 1,5 DM $ / E = 3% trimestral ¿Con quién se financiara la compra del equipo? 27. Se tiene un préstamo en las condiciones siguientes: Monto = S/.10 000, tasa de interés = 10% mensual, Modalidad = Cuota constante, Plazo = 8 meses. Se pide hallar: a) El programa de pagos. b) Si Ud. ha cancelado las tres primeras cuotas y quiere saldar la deuda a final del 4to mes. ¿Cuánto debería desembolsar? c) Suponga que a partir del 4to mes la tasa de interés se incrementa al 15% mensual, a una modalidad de cuota decreciente. ¿Cómo se modifica el programa de pagos, elaborarlo?
CAPITULO
COSTO DE CAPITAL El costo de obtener financiamiento ________________________________________________________ ________________________
Normalmente las decisiones de inversión no siempre son independientes de la fuente de financiamiento. Primero se elige la alternativa de inversión y después se considera la elección de la fuente de financiamiento. Una vez seleccionada esta fuente de financiamiento, se hacen los ajustes o correcciones necesarias a la decisión de inversión. La adquisición de un activo ya sea nuevo o usado o de una línea de producción se obtiene a través de dos tipos de financiamiento: a) Por fuentes externas: Por financiamiento de deuda ( capital por deuda) Por arrendamiento. b) Por fuentes internas (capital por aporte propio, o capital de la empresa, o patrimonio, o capital contable) Apoyándonos en el estado financiero del balance general, esta nos muestra de donde se han obtenido estas fuentes: INVERSIÓN
FINANCIAMIENTO PASIVO (capital por deuda)
Costo del Pasivo (Tasa de interés)
ACTIVO PATRIMONIO (capital por aporte)
Costo del Patrimonio (Costo de oportunidad)
3.1 FUENTES DE LOS TIPOS DE FINANCIAMIENTO ____________________________________________ ____________________________________
En el siguiente cuadro se mostrará, en forma particular, cada fuente de donde se obtiene el dinero necesario para poder realizar la inversión:
FUENTES DEL CAPITAL POR DEUDA (estos generan intereses) - Préstamos bancarios - Emisión de bonos - Crédito de proveedores - Venta de activos - Arrendamiento operativo o financiero
FUENTES DEL CAPITAL POR APORTE (estos generan dividendos) - Emisión de acciones preferenciales - Emisión de acciones comunes - Utilidades retenidas
El financiamiento por deuda representa el capital obtenido en préstamo de terceros, detallando el monto de participación de cada una, la tasa de Interés y las fechas establecidas. El prestamista no tiene riesgo directo en el retorno de los fondos de interés, ni participa en los beneficios obtenido por el proyecto. Con este tipo de financiamiento, el interés que se paga por los préstamos se considera como gastos deducibles de impuestos. El financiamiento por aporte representa el capital obtenido por los fondos invertidos por los dueños actuales o nuevos de la empresa. Si una empresa no dispone de dinero suficiente para realizar una inversión y no quiere endeudarse con más préstamos, esta puede obtener los fondos necesarios para el financiamiento vendiendo acciones preferenciales o comunes o usando utilidades retenidas. Aquí la empresa debe decidir cuánto dinero requiere, el tipo de acción a emitir y la base para la asignación del precio de la emisión; la empresa también debe estimar los costos de emisión, que consideran los costos de corretaje y de impresión y grabado del título.
3.2
CALCULO DEL COSTO DE CADA TIPO DE FUENTE DE FINANCIAMIENTO POR DEUDA
________________________________________________________ ________________________
El objetivo que se busca en este punto es detallar la metodología cuantitativa de calcular el costo de cada fuente, y no hacer un desarrollo teórico de las características de las mismas, para tal caso se recomienda leer cualquier libro de finanzas.
Notas: a) El costo de una fuente de financiamiento vía deuda es casi siempre diferente a la tasa de interés que esa fuente declara en sus anuncios. b) El costo obtenido en cada modelo es antes de impuesto a la renta, posteriormente se tendrá que corregir este costo con la tasa impositiva.
3.2.1 Costo de un Préstamo Bancario: En el capítulo 2, acápite 2.8 se demostró en extenso la forma de calcular el costo de un crédito bancario o financiero.
3.2.2 Costo de la Emisión de un Bono: Un bono es un documento a largo plazo, emitido y dado por el deudor (la empresa) quien toma el dinero entregado por el acreedor (persona natural o jurídica) al adquirir el bono, este a cambio de recibir los intereses en forma periódica y al final del plazo la empresa le compra al acreedor el bono al valor nominal estipulado en el bono.
Las características del bono son: Valor Nominal (VN): o “valor a la par”, es el valor estipulado en el bono. Precio de colocación o precio de mercado (PC): es el valor monetario que realmente recibe la empresa por cada bono, esto se debe por que se tiene que restar al VN los costos de emisión, corretaje y otros. Vida útil del bono (n): es el plazo de vigencia del bono en el mercado. Tasa de interés del bono (iB): tasa establecida en el bono. Interés del bono (IB): pagos periódicos que la empresa paga al acreedor.
Pasos para encontrar la solución:
1. DFC para la empresa:
PC 1
iB
n
0
(período de pago de los intereses) IB = iB VN VN
Nota: el período de la tasa i”B debe ser igual al período de pago de los intereses. 2. Cálculo del costo de emisión del bono: declarando la variable incógnita CB como la tasa del costo de emisión y formulando la ecuación en el punto cero:
PC = IB FAS(CB , n) + VN FSA(CB , n) Resolviendo esta ecuación obtenemos el valor del costo de esta emisión del bono para la empresa
Ejemplo: Una empresa piensa emitir bonos con las siguientes características: Valor a la par de $ 100, con una tasa del 20% anual capitalizable bimestralmente, el bono tendrá una vigencia de 3 años, los costos de emisión serán del 5,5% y el pago de los intereses será mensualmente. Hallar el costo de esta emisión para la empresa.
Solución
1° DFC:
PC = 100(1 – 0.055) = 94,5 iB = 20% anual c/bimestral <> i = 21,74% anual efectiva 1
36 mes
0 IB = i”B VN
100 2° Cálculo de la tasa mensual i” : ( 1 + 0,20/6 ) = ( 1 + i” )2
i” = 1,653% mensual
3° cálculo del Interés del Bono: IB = 0,01653 x 100
I B = 1,653 $/mes
4° cálculo del costo de emisión del bono (C B): 94,5 = 1,653 FAS(CB, 36) + 100 FSA(C B, 36)
94,5 = 1,653 (((1+CB)36 – 1) / ( CB(1+ CB)36)) + 100 (( 1 /(1+CB)36)) Existen dos formas de obtener el costo C B(que es la tasa de interés): a) Con una calculadora programable. b) Mediante tanteo e interpolación: esta forma se empleará para obtener el C B TANTEO:
CB
Valor Presente
(estos valores se reemplazan en los factores FAS y FSA) 1,7% CB 1,9% INTERPOLACION:
98.742 94,5 93.602
Observación
Salio un valor mayor Dato Salio un valor menor
1,7 - CB = 98,742 – 94,50 1,7 – 1,9 98,742 – 93,602
CB = 1,865% mensual
CB = 24,82% anual efectivo
3.2.3 Costo del Crédito de Proveedores: Muchas veces algunos proveedores entregan bienes físicos por un valor monetario (M), este hecho financiero tiene un costo, además siempre el proveedor plantea las siguientes situaciones: 1° si se paga en “pronto pago” dentro de un intervalo corto de días (m), el monto total
facturado (M) se acogerá a un descuento porcentual (D), lo obvio es que si se dispone del dinero se cancele el último día posible, 2° si no se cancela en pronto pago, entonces al final del plazo pactado (n) se tendrá que pagar el total facturado (M). Lo anterior se refleja en el siguiente DFC:
0
m
n (días)
¿Cp? ( 1 – D% ) M 1M
Donde:
Descuento (D): es un valor porcentual de descuento de lo facturado por pronto pago Total Facturado (M) m = es el día límite del intervalo en pronto pago n = es el plazo final del crédito Cp = es la tasa del costo de este crédito buscado.
Ejemplo: En una cierta inversión se ha presupuestado para el capital de trabajo un monto de US$ 35 000, este va ha ser financiado mediante un crédito de proveedores. El proveedor pone las siguientes condiciones:
En pronto pago dentro de los7 primeros días se acogerá a un descuento del 7% de lo facturado, Si no al final de los 45 días se pagará el total facturado.
¿Calcular el costo de este crédito?
Solución:
1° DFC:
0
7
45 (días)
¿Cp? ( 1 – 0,07% ) M Nota: no es necesario utilizar el monto de lo facturado.
1M
2° Cálculo del costo del crédito: formulando la ecuación de equivalencia en el día 7:
0,93 F = F FSA( Cp, 38 días) Cp = 0,191% diario
0,93 = 1 / ( 1 + CP)38
Cp = 100,67% anual efectivo
3.2.4 Costo por la venta de un activo: Es el caso que una empresa posea un activo, por ejemplo maquinaria o equipo, en buenas condiciones operativas pero que no lo utiliza por diversos motivos, asimismo, el activo también puede ser un terreno, entonces existe la posibilidad de disponer de ese activo para obtener capital. Pero el hecho de la venta esta contrastada con el costo de oportunidad de darle otro uso, por ejemplo el de alquilar el activo, por tanto aparece un costo que hara equivalente estos flujos de caja.
Ejemplo para el caso de una máquina: Una empresa tiene un torno CNC operativo que no lo utiliza, su valor de mercado actual es de $35000, pero
alternativamente ese torno puede ser alquilado por el monto de $ 2000 mensuales durante 6 años. ¿Cuál es el costo de esta alternativa?
1° DFC:
Solución:
35000
0
¿Cv?
1
72 mes
2000 2° Cálculo del costo de la alternativa: 35000 = 2000 FAS( Cv, 72)
17,5 = FAS(Cv, 72)
Cv = 5,61% mensual
Cv = 92,51% anual efectiva
3° Análisis del resultado: si el costo calculado es muy elevado no convendría vender el activo, porque se estaría perdiendo esa rentabilidad. Pero si el costo es bajo sí es conveniente vender el activo. Como la venta del activo es un ingreso adicional para la empresa, entonces está sujeta al impuesto a la renta.
Ejemplo para el caso de un terreno: se tiene un terreno cuya área es de 2000 m 2 cuyo valor de mercado hoy es de $ 200000, pero se tiene como alternativa alquilarlo en $ 12000 al mes. ¿Cuál es el costo de esta alternativa?
Solución:
1° DFC: 200000 1
meses
0 12000 2° Cálculo del costo de la alternativa: 200000 = 12000 FAS( Cv, 00) Cv = 6% mensual
16,666 = 1 / Cv
Cv = 101,22% anual efectiva
3° Análisis del resultado: análogo al de la venta de una máquina.
Nota: Se está considerando que la vida útil del terreno es infinita.
3.3 CALCULO DEL COSTO DE CADA TIPO DE FUENTE DE FINANCIAMIENTO POR APORTE PROPIO ___________________________________________________ _____________________________
Los modelos cuantitativos a exponer nos darán la forma de calcular los costos de cada tipo de esta fuente, estos costos ya son después de impuestos a la renta porque los dividendos se entregan después de pagarle al Estado.
3.3.1 Costo por la emisión de Acciones Preferenciales: Es un título valor que una empresa emite y vende en bolsa a un precio (PC) y se compromete a pagar un dividendo (D) constante establecido en forma anual. El período de vida es infinito, puesto que la empresa es una organización en marcha y no esta obligada a devolver el capital accionario. Si el propietario de las acciones desea recuperar su capital tendrá que tomar los servicios de un Corredor de Bolsa para poder venderlos en la Bolsa de Valores.
El modelo tiene el siguiente DFC:
PM = precio de mercado PC PC = precio de colocación = PM ( 1 – CE ) Vn = valor nominal o a la par D = valor del dividendo 1 C AP= costo de emitir la acción preferencial 0 CE = costos de emisión (%)
¿cAP? años D
Formulando la ecuación de equivalencia en el punto cero: PC = D FAS(C AP, 00)
PC = D ( 1/ C AP )
CAP = (D / PC) 100
Ejemplo: Una empresa metal mecánica requiere de 1MM de dólares para modernizar su planta, para tal efecto desea emitir acciones preferenciales de 100 dólares a la par con un dividendo del 10%. Las acciones se venderían en el mercado por 95 dólares y además debe pagar un 5% del precio de mercado en costos de emisión de títulos ¿calcular el costo de esta emisión para la empresa?
Solución:
90,25 PC = $ 95 (1 – 0,05) = 90,25 Vn = $ 100 D = $ 0,1*100 = $ 10 C AP= costo de emitir la acción preferencial 0 CE = 0,05* 95 = $ 4,75
1
¿cAP? años D = 10
Formulando la ecuación de equivalencia en el punto cero: 90,25 =10 FAS(C AP, 00)
90,25 = 10 ( 1/ C AP )
C AP = 10 / 90,25
CAP = 11,08% anual efectiva
3.3.2 Costo por la emisión de Acciones Comunes: Es un título valor que una empresa emite y vende en bolsa a un precio (PC) y se compromete a pagar el dividendo del primer año (D 1) y que este crecerá una cantidad porcentual (g%) por año. El período de vida es infinito, puesto que la empresa es una organización en marcha y no esta obligada a devolver el capital accionario. Si el propietario de las acciones desea recuperar su capital tendrá que tomar los servicios de un Corredor de Bolsa para poder venderlos en la Bolsa de Valores. El modelo tiene el siguiente DFC: PM = precio de mercado PC = precio de colocación = PM (1- C E) Vn = valor nominal o a la par D1 = valor del dividendo del primer año C AP= costo de emitir la acción común CE = costos de emisión (%) g% = tasa de crecimiento del dividendo
PC
¿cAC?
1 0
años D1 g (%)
Formulando la ecuación de equivalencia en el punto cero: PC = D1 FAg(C AC, 00)
CAC = ((D1 / PC) + g )) 100
Ejemplo: Una empresa hidroeléctrica requiere de 2MM de dólares para modernizar su planta, para tal efecto desea emitir nuevas acciones comunes. Hoy el precio de mercado de las acciones comunes es de $40, y piensa pagar un dividendo anual en efectivo de $ 6 al término del primer año y este crecerá a una razón anual del 9%. Las nuevas acciones tendrán el mismo precio de $40 pero se incurrirá en un costo de emisión del 11% ¿calcular el costo de esta nueva emisión para la empresa?
Solución:
1° Elaboración del DFC: PC = 40 (1 - 0,11) = $ 35,6 D1 = $ 6 C AC = ¿costo de emitir la acción común? CE = 11% PM g% = 9% anual
35,6
¿CAC?
1
año
0 6
9%
2° Formulando la ecuación de equivalencia en el punto cero: 35,6 = 6 FAg(C AC, 00)
C AC = ((6 / 35,6) + 0,09 )) 100
CAC = 25,85% anual efectiva 3.3.3 Costo de las Utilidades Retenidas: Las utilidades generadas al final de un año fiscal pertenecen a los dueños o poseedores de las acciones comunes. La gerencia puede pagar las ganancias en forma de dividendos o retenerlas y reinvertirlas en la empresa. Si la gerencia decide retener las ganancias, esto implica un costo de oportunidad; los accionistas podrían haber invertido este dinero en otros activos financieros. Por tanto, la empresa debe obtener de sus ganancias retenidas al menos lo mismo que ganarían los accionistas en inversiones alternativas pero comparables. Pero lo usual es al menos pagar la misma tasa que ganarían con sus propias acciones comunes. Por lo tanto se usará el mismo modelo del costo de emisión de acciones comunes, pero con una corrección: que el PM (precio de mercado) no tienen ninguna deducción ni comisión por emisión.
CUR = (( D1 / PM ) + g ) 100
Ejemplo: Una empresa metalúrgica requiere de 4MM de dólares para modernizar su planta, para tal efecto se va a financiar mediante utilidades retenidas. Hoy el precio de mercado de las acciones comunes es de $60, y piensa pagar un dividendo anual en efectivo de $ 16 al término del primer año y este crecerá a una razón anual del 6% ¿calcular el costo específico de las ganancias retenidas para un período infinito de retención?
Solución:
1° Elaboración del DFC:
PC = 60 D1 = $ 16 ¿CUR? CE = 11% PM
g% = 6% anual
60 1
¿CUR?
año
0 16
6%
2° Formulando la ecuación de equivalencia en el punto cero: 40 = 16 FAg(CUR, 00)
CUR = ((16 / 40) + 0,06 )) 100
CUR = 46% anual efectiva
3.4 CALCULO DEL COSTO PROMEDIO PONDERADO DE CAPITAL CON AJUSTE FISCAL (CPPK) ________________________________________________________ ________________________
Un proyecto puede financiarse de diversas maneras, dependiendo de la disponibilidad y el costo de las fuentes de financiamiento, así como de la estructura de capital deseada. La mayoría de los proyectos están realizados en la combinación de deuda y financiación propia, obtenida particularmente para el proyecto. En estas situaciones, el costo de capital de la empresa debe reflejar el costo medio de las diversas fuentes de los fondos a mediano y largo plazo que emplea la empresa, que es el CPPK. La relación deuda / capital propio (D/C) da los porcentajes de financiación de deuda y capital contable para una empresa. Por ejemplo una relación 30/70 significa históricamente, que el 30% de su capital se origina en la fuente deuda, mientras que el 70% proviene del aporte propio. Una vez calculado los costos específicos de cada fuente que utilizó para financiar un proyecto en particular, y considerando que se tiene establecido la estructura de financiamiento (D/C o los montos que cada fuente aportará), ya podemos determinar el CPPK:
CPPK =
(D1*CD1*(1 – T) + D2*CD2* (1 - T) +...….) + (A1*C A1 + A2*C A2 + ....) D1 + D2 + ………..+ A1 + A2 +…… = Io
Donde:
D = monto de la deuda de la fuente 1, 2, 3, ... CD = Costo de la deuda antes de impuestos de la fuente 1, 2, 3, .... A = monto del aporte de la fuente 1, 2, 3, .... C A = costo del aporte después de impuestos de la fuente 1, 2, 3, .... T = tasa impositiva. Io = monto del total de la inversión, que es la suma de todos los montos parciales.
La fórmula del CPPK tiene dos componentes, una que detalla las fuentes de deuda con sus montos y costos específicos, y la otra fuente de aporte igualmente, por lo tanto podemos simplificar el modelo anterior:
CPPK = id D + i A A Io Io Donde: id i A
= es la tasa media de interés de las deudas después de impuestos. = es la tasa media de interés de las fuentes de aporte (o capital contable) después de impuestos. CPPK = es el costo promedio ponderado de capital.
Ejemplo: Una empresa requiere de 1MM de dólares para modernizar su planta, para tal efecto se va a financiar mediante las siguientes fuentes, cuyos montos y costos se especifican en el siguiente cuadro: FUENTE DE CAPITAL
MONTOS (US$)
1° DEUDA: Préstamo bancario Emisión de bonos
COSTO DE CADA FUENTE (Antes de impuestos) 200 000 12% 400 000 9%
2° APORTE PROPIO Acciones preferenciales Acciones comunes Utilidades retenidas
(después de impuestos) 150 000 13% 200 000 16% 50 000 15%
Se pide calcular el CPPK para la empresa, si está sujeta a una tasa marginal impositiva del 30%.
Solución:
(200*0,12*(1- 0,30) + 400*0,09*(1 – 0,30)) + (150*0,13 + 200*0,16 + 50*0,15) CPPK = -------------------------------------------------------------------------------------------------------200 + 400 + 150 + 200 + 50 = 1000
CPPK = 10,1% Comentario: el resultado que es el costo de capital nos muestra la tasa de interés de una nueva deuda, no de las deudas vigentes; en otras palabras, nos interesa el costo marginal de la nueva deuda. El costo de capital (CCPK) se utilizará para evaluar un nuevo proyecto
de inversión. Esta Tasa de 10,1% sería el costo de capital que la empresa con esta estructura financiera esperaría pagar a sus acreedores.
3.5 ELECCION DE LA TASA MINIMA ATRACTIVA DE RETORNO (TAMAR) ____________________________________________________ ____________________________
La elección de la tasa de interés para evaluar alguna alternativa de inversión es un problema difícil, porque no existe una tasa que siempre sea la apropiada. A esta tasa la llamaremos TAMAR. La fijación de la TAMAR para la presupuestación de capital y la evaluación de alternativas y el costo de cada tipo de financiación para una empresa se calculan independientemente, tal como se ha hecho anteriormente. La TAMAR se fija con relación a las fuentes: Cuando se desconoce las fuentes de financiamiento del proyecto: cuando se quiere evaluar inversiones sin tratar explícitamente los flujos de deuda (los monto del capital o amortizaciones e intereses), se emplea el valor del CPPK. En este caso, se hace el ajuste fiscal a la tasa de actualización (CPPK) por medio de la aplicación del costo de deuda efectivo después de impuestos. Esta estrategia reconoce que el costo neto del interés se transfiere del cobrador de impuestos (Estado) al acreedor, en el sentido de que hay una reducción equivalente en los impuestos hasta esta cantidad de pagos de interés. Por lo tanto el financiamiento de deuda (amortizaciones e intereses) se considera de manera implícita. Este método sería apropiado cuando el financiamiento de deuda no se identifica con inversiones individuales, y más bien permite a la empresa participar en un conjunto de inversiones. Cuando se conoce las fuentes de financiamiento del proyecto: cuando en el flujo de caja elaborado se consideran los intereses, los impuestos y la reposición del capital (la amortización), lo que queda es un flujo de capital contable neto. Si el objetivo de la empresa es maximizar la riqueza de los accionistas podemos usar el costo del capital contable (i A) como la tasa de actualización apropiada (TAMAR)
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Se quiere financiar un proyecto, el monto de la inversión es de US$20 000 000,00, para tal efecto se ha conseguido la información de las siguientes fuentes:
1. CREDITO EN DOLARES
Plazo: 4 años Pagos cuatrimestrales iguales Tasa de interés 20% anual capitalizado mensualmente Comisión flat 2,5% cada inicio de año, Retención: 7,5% del préstamo devuelto al final del plazo a una tasa del 4, 5% anual c/bimestralmente. Monto máximo a prestar US$ 4 000 000,00
2. EMISION DE BONOS
Vida de 5 años Valor nominal $. 1000,00 Descuento del 10% si se compra recién emitido Tasa de interés: 60% anual capitalizable / bimestralmente Pago de interés trimestral Los costos de emisión son del 5% del valor nominal No hay límite a la emisión
3. CREDITO EN EUROS (E)
Plazo 4.5 años Cuotas mensuales iguales Tasa de interés 30% anual capitalizable trimestralmente Monto máximo a prestar el equivalente a US$ 8 000 000,00 Esta incluido dos períodos de gracia (solo se pagan intereses)
4. EMISIÓN DE ACCIONES PREFERENCIALES
Valor a la par del $ 400,00 Valor del dividendo será del 15% Costos de emisión y corretaje serán del 12% Monto máximo a la emisión por valor de $ 4 500 00,00
5. EMISIÓN DE ACCIONES COMUNES
Valor Nominal de $500,00 Valor del primer dividendo 10% con una tasa de crecimiento del 15% anual Valor de mercado $375 Costos de emisión y corretaje del 15% Monto máximo de la emisión $ 1 000 000,00 A) Se tiene un terreno que se alquila a US$ 45 000,00 mensuales. Si se pudiera vender obtendríamos US$1 500 000,00 B) Se puede vender una máquina por US$100 000,00 que produce utilidades operativas de US$8 500,00 mensuales. 1$ = 1.70 E Otros datos: 1$ = 3.50 S/. DEV S/./$ = 3,5% bimensual mensual
Tasa Impositiva = 30% REVALUACION E/$ = 2,5%
Se pide: a) Determinar la estructura de financiamiento óptima en S/.? b) Calcular el CCPK en S/.?
2. Un comité financiero quiere obtener S/ 100M de capital. Sé estableció la siguiente estructura con los siguientes porcentajes y tasas antes de impuestos. a) Capital Propio: el 65% - Acciones comunes: 25% a una tasa del 11,5% anual - Ganancias retenidas: 75% a una tasa del 9,0% anual b) Capital de endeudamiento: el 35% - Préstamo: 45% a una tasa del 13,5% anual - Bonos a largo plazo: 55% al 10% anual Se sabe además que la tasa impositiva para esta empresa es del 30%. Se pide calcular el CPPK. 3. Un analista de una empresa desea conocer la mezcla deuda-capital a la que el CPPK pueda ser el menor (obtener un rango aprox.). Obtuvo la siguiente información para proyectos de gran inversión: a) Dibuje la curva para la deuda-capital Vs CPPK (Plano cartesiano) b) Qué mezcla deuda-capital parece ofrecer históricamente los valores más bajos de CPPK?
CAPITAL PROPIO Porcentaje 80 66 56 35 20
Tasa 14,5 12,7 10,8 9,3 10,0
CAPITAL DE ENDEUDAMIENTO Porcentaje Tasa 20,0 5,5 34,0 5,5 44.0 8,2 65,0 9,8 80,0 13,8
4. Una empresa está analizando la posibilidad de llevar a cabo un proyecto que requiere una inversión de $ 60000, estructurada de la siguiente manera: Capital de trabajo= $ 15000 Maquinaria = $ 45000 Para financiar esta inversión cuenta con las siguientes fuentes:
Para capital de trabajo (adquisición de mercaderías) se utilizará el crédito de los proveedores en las siguientes condiciones: descuento de pronto pago del 10% si lo cancela en los primeros 7 días o pagar el neto de lo facturado el día 30. Emitir bonos con una vida útil de 4 años a una tasa de interés de 100% efectiva anual capitalizable / bimestralmente, con un precio de colocación de $ 900 y un valor nominal de $ 1000, el pago de los intereses será bimestralmente. Emitir acciones preferenciales que tienen un precio un precio de mercado de $ 450, los dividendos se espera que sean de $ 550 por año.
La tasa impositiva de la empresa es del 35% y se ha estimado que la estructura óptima posible de financiamiento es de: D/C = 60/40. Encuentre los montos de cada fuente y el CPPK. 5. Se quiere financiar un proyecto, el monto de la inversión es de US$500000,00, para tal efecto se ha conseguido la información de las siguientes fuentes A) Crédito En Dólares Plazo: 2 años Pagos trimestrales iguales Tasa de interés 22% anual capitalizado mensualmente
Comisión flat 1% Retención: 5% del préstamo devuelto al final del plazo sin intereses Monto máximo a prestar US$200000.00
B) Emisión De Bonos Vida de 2 años Valor nominal S/. 1000.00 Descuento del 10% si se compra recién emitido Tasa de interés: 60% anual capit/trimestralmente Pago de interés trimestral Los costos de emisión son del 3% del valor nominal No hay límite a la emisión C) Crédito En Marcos Alemanes (DM) Plazo 1 año Cuotas mensuales iguales Tasa de interé0s 30% anual capitalizable semestral Monto máximo a prestar el equivalente a US$ 180000.00 Se tiene un terreno que se alquila a US$ 1500.00 mensuales. Si se pudiera vender obtendríamos US$ 100000.00 D) Se puede vender una máquina por US$ 40000.00, que produce utilidades operativas de US$ 3000,00 mensuales Otros datos: 1$ = 3.50 S/. 1$ = 1.70 DM Tasa Impositiva = 30% DEV S/./$ = 2% mensual REVALUACION DM/$ = 1.5% mensual Se pide: a) Determinar la estructura de financiamiento óptima? b) Calcular el CCPK? 6. Usted cuenta con un capital de $ 6000 y ha obtenido un préstamo por $ 4000 de un amigo personal. Ud. ha estimado que el retorno sobre su inversión es de 50% anual y la tasa de interés que su amigo le cobra por el préstamo es del 25%.
Puede invertir en uno o más de los siguientes proyectos: PROYECTO VIDA UTIL INVERSION INGRESOS NETOS (años) INICIAL ANUALES A 5 $ 5000 $ 3100 B 5 $ 3000 $ 2200 C 5 $ 2500 $ 2000 Además se puede invertir en bonos que tienen las siguientes características: Valor nominal: $ 1.00 Vida del bono: 5 años Tasa del bono: 36% anual Período de pago: anual Precio de mercado hoy: $ 0.80 Se le pide que optimice la inversión determinando cual o cuales alternativas debe elegir. Se sabe que la tasa impositiva es del 30%.
CAPITULO
DEPRECIACIÓN _______________________________________________ _________________________________
Todas las organizaciones necesitan y utilizan activos fijos y que estos pierden valor, a la cual se le denomina depreciación, debido al uso, deterioro u obsolescencia. La función principal de la contabilidad de depreciación es tener en cuenta el costo de los activos fijos de acuerdo con un patrón que equivalga a la disminución de su valor con el paso del tiempo. Para el caso de la formulación y evaluación de un proyecto, los ingenieros debemos ser capaces de determinar la forma en que la depreciación de los activos fijos influye en el valor de la inversión de un proyecto. Para ello se tiene que estimar la asignación de costos de activos durante la vida del proyecto, para lo cual es necesario comprender la normatividad y las técnicas que usan los contadores para depreciar activos. El conocimiento de estas técnicas permitirá al ingeniero aplicarlas en la evaluación de la depreciación de activos adquiridos en proyectos de ingeniería.
4.1 DEPRECIACION DE ACTIVOS FIJOS ________________________________________________________ ________________________
Los activos fijos son los recursos económicos adquiridos para proporcionar flujos de efectivos futuros. Podemos definir la depreciación de manera general como la reducción gradual en la utilidad de los activos fijos con el uso y el paso del tiempo.
4.1.1 Categorías de la depreciación: Según CHAN S, Park, se puede clasificar la depreciación en las categorías de depreciación física y funcional.
La depreciación física se define como una reducción en la capacidad de un activo para llevar a cabo su servicio debido a deficiencias físicas. La depreciación física puede presentarse en cualquier activo fijo, como: 1ro: desgaste por el uso; 2do: deterioro por la interacción con el medio ambiente, incluyendo agentes como la corrosión, descomposición y otros cambios químicas. La depreciación física ocasiona una disminución en el rendimiento, así como incrementos en los costos de mantenimiento. La depreciación funcional ocurre como resultado de cambios en la organización o en la tecnología que reducen o eliminan la necesidad del activo. Como ejemplo de la depreciación funcional están la obsolescencia por adelantos tecnológicos, la reducción en la necesidad de los servicios prestados por un activo o en la incapacidad para satisfacer las exigencias de cantidad o calidad.
4.1.2 Tipos de depreciación: La depreciación según el enfoque económico y contable puede ser:
Depreciación Económica: se define de la siguiente manera: “Es la reducción gradual de la utilidad de un activo con el uso y el tiempo ”. Este valor se puede calcular considerando el precio de compra original del activo y el valor de mercado actual a un tiempo determinado, por lo tanto:
Depreciación Económica Acumulada = precio de compra - valor de mercado
La depreciación física y funcional son categorías de la depreciación económica. Depreciación contable: “Es la asignación sistemática del valor de un activo en porciones durante su vida depreciable”. Todo activo adquirido tiene un costo y este
tiene que reflejarse como gasto en el balance general y ganancias y pérdidas de la empresa durante un periodo de tiempo prefijado. Sin embargo, a diferencia de los costos de materia prima, mano de obra, insumos, que son efectivos de dinero que sale de la empresa, el gasto por depreciación es un monto de dinero que no sale de la empresa. Por tanto, la asignación sistemática parcial del costo inicial de un activo durante cierto tiempo, es lo que conocemos como depreciación contable. La depreciación contable tiene dos usos: la depreciación en libros y la depreciación fiscal.
4.1.3 La depreciación y su relación con el impuesto a la renta y la Utilidad Neta: La relación existente entre estos conceptos esta establecida en la siguiente estructura contable: Ingreso bruto por ventas - Gastos: Costo de bienes vendidos Gastos operativos Depreciación Utilidad Imponible - Impuesto a la renta Utilidad Neta
Ejemplo de Aplicación: Una empresa adquirió un sistema de envaso al frío por $ 35 000 (año cero) y la utilizo durante 6 años. Se ha obtenido la siguiente información histórica de ingresos y gastos para el primer año:
Ingreso por ventas Costo de los bienes vendidos Gastos operativos Depreciación
= $ 60 000 = $ 25 000 = $ 7 000 = $ 5 500
Si la empresa esta afecta a una tasa impositiva del 30% sobre sus ingresos gravables, ¿cuál fue su utilidad neta para el primer año?
Solución: Se procederá a elaborar el cuadro anterior consignado las cantidades de dinero respectivas: Ingreso bruto por ventas - Gastos: Costo de bienes vendidos Gastos operativos Depreciación
$ 60 000
Utilidad Imponible - Impuesto a la renta (30%) Utilidad Neta
22 500 6 750 $ 15 750
25 000 7 000 5 500
Comentarios: Incluir un gasto por depreciación refleja el costo real de las actividades del negocio. Este gasto debe ser equivalente a la porción de los $ 35 000 del costo total del torno CNC que se ha usado en el primer año. Si la empresa pudiera cargar como gasto los $ 35 000 en el primer año, habría una discrepancia entre la salida única de efectivo por el costo del CNC y los beneficios graduales de su uso productivo. Esta discrepancia produciría variaciones considerables en la ganancia neta de la empresa y esta ganancia no sería una medida muy precisa del rendimiento de la organización. Ahora, si no se considera este costo de depreciación por $ 5 500, se obtendría un aumento en la utilidad obtenida en el primer año contable. Esta situación, daría una utilidad “falsa”, pues no representaría de manera apropiada el costo real de la máquina. La depreciación del costo (lo que cuesta el activo) con el paso del tiempo permite a la empresa distribuir racionalmente los costos en una forma equivalente a la utilización del valor de la máquina.
4.1.4 La depreciación, la utilidad neta y el flujo de efectivo Se ha demostrado que el monto de depreciación anual influye sustantivamente en la Utilidad Imponible y Neta. Sin embargo este monto de depreciación no es una salida de dinero para la empresa (es un gasto no Desembolsable, es decir, dinero que sigue dentro de la empresa). La utilidad neta es importante para fines contables, pero los flujos de efectivo son más importantes para la evaluación de un proyecto. Sin embargo, como se observará, la utilidad neta puede servir como un punto de partida para estimar el flujo de efectivo de un proyecto. El flujo de efectivo se calcula de la siguiente manera:
Flujos de efectivo = Utilidad neta + Depreciación En otra presentación sería: Ingreso bruto por ventas - Gastos: * Costo de bienes vendidos * Gastos operativos * Depreciación Utilidad Imponible - Impuesto a la renta Ganancia Neta + Depreciación Flujos de Efectivo
4.2 DEFINICIONES EN LA DEPRECIACIÓN DE ACTIVOS 4.2.1 Bienes Depreciables. Son depreciables los bienes del activo fijo, toda propiedad que esta sometido a un desgaste o agotamiento, y que además están destinados a la generación de rentas
de tercera categoría. Desde un punto de vista legal un activo depreciable tendrá las siguientes características: Debe utilizarse en la empresa o retenerse para la producción de ganancias. Debe tener una vida útil definida, la cual debe ser mayor que un año. Debe ser algo que se desgaste, averíe, utilice, se vuelva obsoleto o pierda valor por causas naturales.
4.2.2 Depreciación o recuperación de capital (D) Es el monto de dinero anual que se obtiene utilizando algún método de depreciación en libros, y que reduce el valor inicial del activo. La depreciación anual se considera como gastos deducibles de impuestos.
4.2.3 Monto base, o costo base o precio inicial (P) Es aquella cantidad de dinero que representa el costo total que se reclama como gasto durante la vida del activo. El monto base generalmente incluye el precio del activo y todos los otros gastos incidentales, tales como fletes, seguros, gastos de despacho, derechos aduaneros, comisiones, acondicionamiento del lugar e instalación (es decir, hasta que quede el activo en condiciones de operatividad). Este costo total será la base de la depreciación que se carga como gasto durante la vida del activo.
4.2.4 Vida Util o Vida Depreciable (n) Es la vida que tendrá el activo (en años) para los propósitos de depreciación e impuestos. Esta vida contable usualmente no tiene nada que ver con la vida productiva del activo. La determinación de la vida contable lo establece cada país, y para tal efecto se han elaborado tablas que dan referencias sobre las vidas útiles de los activos.
4.2.5 Valor en Libros (VL) Es el valor contable que tendrá el activo en un momento determinado de su vida útil. Se calcula restando al precio base la depreciación acumulada hasta ese período en estudio. Se usa la siguiente fórmula:
Valor en Librost = Precio base - Depreciación acumulada
t
4.2.6 Valor Residual (VR) Es el valor contable que se espera tendrá el activo al final de su vida útil. Este valor se estima y usualmente es un porcentaje del precio de compra (o precio de lista) del activo, este valor puede ser positivo o cero.
4.2.7 Valor de Mercado (VM) Es el valor, de la oferta y demanda, que tendrá el activo en el mercado en un momento determinado. También es la cantidad que se recupera por la venta del activo en un tiempo t.
4.2.8 Valor de Salvamento (VS) Es el valor de mercado que tendrá el activo al final de la vida del proyecto.
4.3 METODOS DE DEPRECIACIÓN EN LIBROS Se han desarrollado varios métodos contables para calcular el monto depreciable de un activo para fines fiscales, entre los cuales tenemos:
4.3.1 Método de Línea Recta (LR) Este método interpreta que el activo proporciona la misma cantidad de servicio en cada año de su vida útil. El método lineal carga un gasto cada año como una fracción igual al costo neto del activo. Es el método más simple y utilizado en nuestro país, con este método el valor en libros decrece linealmente con el tiempo. a) Cargo anual por depreciación:
D = P - VR n b) Monto del Valor en Libros:
VLt = P – t x D
Donde: t = 1, 2, ....., n (años) t: representa el período de tiempo en el cual se desea el valor en libros.
Ejemplo: Una empresa ha comprado un equipo por $ 15000, los costos de instalación hasta quedar operativa el equipo fue de $ 5000. La vida útil esperada es de 10 años con un valor residual del 10% del valor del activo. Calcular: a) Monto inicial b) Valor residual c) La depreciación anual d) El valor en libros al año 6.
Solución:
a) Calculo del monto inicial:
P = 15 000 + 5000
b) Calculo del valor residual:
VR = 0,10 (15000)
P = $ 20000 VR = $ 1500
c) Calculo de la depreciación anual: D = (20000 – 1500)/10
D = 1850$/año
d) Calculo del valor en libros al 6 año: VL 6 = 20000 – 6x 1850
VL6= $8900
4.3.2 Método de Suma de los Dígitos Anuales (SDA): Este es un método acelerado de depreciación, comparado con el método lineal, porque produce mayores cargos por depreciación en los primeros años del activo, reduciéndose en el tiempo. El monto a depreciar anualmente es variable año a año.
a) Cargo anual por depreciación: Donde:
Dt = n - t + 1 (P – VR) S
S = 1 + 2+ 3+ .....+ n t = 1, 2, 3, .........., n (años) dt = (n – t + 1)/S
b) Monto del Valor en Libros:
VLt = P - t( n - 0,5 t + 0,5 ) (P - VR)
Donde: t = 1, 2, ....., n (años)
S Existe una forma más práctica para calcular los montos de depreciación, en el siguiente ejemplo se demostrará
Ejemplo: Una empresa ha comprado un equipo por $ 15000, los costos de instalación hasta quedar operativa el equipo fue de $ 5000. La vida útil esperada es de 10 años con un valor residual del 10% del valor del activo. Calcular: a) Monto inicial b) Valor residual c) La depreciación anual d) El valor en libros al año 6.
Solución:
a) Calculo del monto inicial:
P = 15 000 + 5000
b) Calculo del valor residual:
VR = 0,10 (15000)
P = $ 20000 VR = $ 1500
c) Calculo de la depreciación anual:
S = 1+2+3+.....+10 = 55 Dt = dt ( P – VR)
dt = (n – t +1) / S Dt = dt (20000 – 1500)
Elaborando el cuadro:
n dt Dt VLt
1 2 3 4 5 7 8 9 10 6 10/55 9/55 8/55 7/55 6/55 5/55 4/55 3/55 2/55 1/55 3363.6 3027.3 2690.9 2354.5 2018.2 1681.8 1345.5 1009.1 672.7 336.4 16636.4 13609.1 10918.2 8563.7 6545.5 4863.7 3518.2 2509.1 1836.4 1500
NOTAS: algunos ejemplos de cómo se calcula los parámetros 1° El numerador para dt para el año 1 será el último año 10, y así sucesivamente 2° Para calcular D4 = 7/55 ( 18500) = 2354,5 3° El valor en libros para el 6to año: VL 6 = 6545,5 – 1681,8 = 4863,7
4.3.3 Método de Unidades de Producción (UP): Esta forma de depreciación considera al activo como un generador de unidades de servicio; a diferencia de los otros métodos, este no supone que las unidades de servicio serán consumidas en un patrón con distribución temporal. Este método consiste en dividir el costo depreciable (P – VR) entre el número total de unidades de servicio, esta relación es la tasa de depreciación, si la multiplicamos por el número de unidades de servicio consumidas en el año (u otro período) nos da el monto de depreciación.
Dt = unidades de servicio consumidas en el año (P – VR) Total de unidades de servicio
Este método puede ser útil para depreciar equipos como el que se usa para explotar recursos naturales. Sin embargo, no se considera un método aceptable para usarse de manera general en la depreciación de equipo industrial.
Ejemplo: Una retroexcavadora tiene un costo inicial de $ 60 000 y se espera que brinde servicio de 15000 horas, en el cual tendrá un valor residual de $ 6 000. Calcule la cantidad de depreciación cuando el equipo haya trabajado: a) Primer año 2600 horas b) Segundo año 2500 horas
Solución:
a) Cálculo de la tasa de depreciación: dt = (P – VR) / total unidades de servicio dt = (60000 – 6000) / 15000
dt = 4 $/hora
b) Cálculo de los montos a depreciar: Primer año: D1 = 4 $/hora x 2600 horas Segundo año: D2 = 4 $/hora x 2500 horas
D1 = 10400 $ D2 = 10000$
4.3.4 Método Porcentual: Este método consiste en la aplicación de un a tasa porcentual al monto inicial del activo (no se considera valor residual), el monto obtenido se mantiene constante para toda la vida útil del activo. El valor porcentual nos da indirectamente la cantidad de años a depreciar, en el siguiente cuadro se muestran estos valores:
Bienes 1. Ganado de trabajo y reproducción , redes de pesca 2. Vehículos de transporte terrestre (excepto ferrocarriles), hornos en general 3. Maquinaria y equipo usados por las actividades minera, petrolera y de construcción, excepto muebles, enseres y equipos de oficina. 4. Equipos de procesamiento de datos. 5. Maquinaria y equipo adquirido a partir del 1-1-91 6. Otros bienes del activo fijo.
Vida Util (años) 4 años 5 años
% Anual de Depreciación 25% 20%
5años
20%
5 años 5 años 10 años
20% 20% 10%
Fuente: Impuesto a la Renta 1999
Ejemplo: Una peladora de papas al vacío tiene un costo inicial de $ 40 000 y se depreciará al 10% anual. Calcule el monto a depreciar anualmente
Solución:
Dt = (10%) x 40000
Dt = 4000 $/año (para los 10 años)
DEPRECIACION
Problemas Propuestos: 1. Para automatizar uno de sus procesos de producción una empresa compró 3 celdas de manufactura flexible a un precio de $ 100 000 cada una. La empresa proveedora hizo entrega de las celdas en el almacén de la empresa cobrándole $ 20000 por gastos de transporte y de $15000 por cargos de manipuleo. El acondicionamiento del lugar en donde se ubicaron las celdas fue de $ 22000. Siete trabajadores con un costo de 10$/hora, trabajaron 4 semanas de 40 horas para instalar y probar las celdas. El alambrado especial y otros materiales relacionados con las nuevas celdas de manufactura costaron $ 10000. Determine el precio base de estas celdas. 2. Se compra una camioneta en $40000 y a cambio se entrega un vehículo similar y se paga en efectivo la diferencia en valor. Suponiendo que la provisión de intercambio es de $ 10000 y que el valor en libros del activo entregado a cambio es de $8000, ¿cuál es el costo base del nuevo activo para el cálculo de la depreciación para fines de depreciación? 3. Una empresa adquirió un activo para su proceso de producción, los datos económicos se muestran a continuación: Costo base: de $ 45000, Vida útil: de 6 años y un valor residual de $ 5000. Se pide calcular las provisiones de depreciación anual y el valor en libros simultáneamente y un gráfico comparativo usando: LR, SDA y método porcentual. 4. Honda SA tiene ganancias brutas de $ 500M en el 1er año fiscal, $ 150M en salarios, $150M en sueldos, $ 20M en interés y $ 60M en gastos de depreciación por un activo comprado hace 3 años. Suzuki SA. Tiene ganancias brutas de $500M en el 1er año, $150M en salarios, $110M en sueldos y $20M en gastos por intereses. Suponiendo una tasa de impuesto a la renta del 20% para ambas empresas, determine los flujos de efectivos netos para cada empresa.
5. Para automatizar uno de sus procesos de producción una empresa compró 3 celdas de manufactura flexible a un precio de $500M cada una. Al ser entregadas la empresa pagó $ 25M en cargos de transporte y $ 35M en cargos de manejo. El acondicionamiento del lugar donde se ubicaron las celdas fue de $40M. Seis trabajadores, con salarios de $15 por hora, trabajaron 5 semanas de 40 horas para instalar y probar las celdas de manufactura. El alambrado especial y otros materiales relacionados con las nuevas celdas de manufactura costaron $ 1.5M. Determine el costo base (P, cantidad que se capitalizará) de estas celdas.
6. Se compró un nuevo taladro de banco por $90M, entregando a cambio una máquina similar con valor en libros de $30M. Suponiendo que la provisión del intercambio es de $ 25M y que se pagan $65M en efectivo por el nuevo activo, ¿cuál es el costo base del nuevo activo para fines de depreciación? 7. Un generador que usa diesel cuesta $ 120M y se espera que tenga una vida operativa de 50000 horas. El valor residual del generador se calcula en $ 15M. El generador operó 6000 horas en el primer año. Determine la depreciación correspondiente a ese año. 8. Una firma constructora acaba de comprar una máquina mezcladora por $275M. Los costos de instalación necesarios para poder utilizar la máquina son de $75M. La vida útil esperada es de 30 años con un valor de salvamento de 10% del precio de compra. Utilice el método de depreciación en línea recta para calcular (a) costo inicial, (b) valor de salvamento, (c) depreciación anual y (d) valor en libros al cabo de 20 años. 9. Una máquina cuesta $12M y tiene una vida útil de 8 años con un valor de salvamento de $ 2M. Calcule (a) el costo de depreciación y (b) el valor en libros de la máquina para cada año, utilizando el método de la línea recta. (c) ¿Cuál es la tasa de depreciación por ese método?
CAPITULO
FLUJO DE CAJA OPERATIVO ________________________________________________________ _______________________ Todo proyecto significa la asignación “hoy” de recursos monetarios con la finalidad de
generar flujos de efectivo en un tiempo determinado. Esto significa para el analista que tiene que proyectar los flujos de efectivo, que es la etapa más sensible del análisis de un proyecto. Existen una gran variedad de tipos de proyectos, para tal efecto las empresas usualmente clasifican los proyectos como de adición de ganancias o de mantenimiento de ganancias.
5.1
CLASIFICACION DE LOS PROYECTOS TECNICOS
Retomando la clasificación genérica antes mencionada, se detallan los tipos de que existen en cada una de ellas:
5.1.1 Proyectos de adición de ganancias: Lo que se busca con estos proyectos es que la inversión inicial efectuada sirva para generar flujos de efectivo que posibiliten generar una rentabilidad deseada. 5.1.1.1Proyectos de expansión, estos proyectos se realizan para aumentar las ventas y las utilidades, entre los cuales tenemos a: Introducción de nuevos productos. Construcción de instalaciones para satisfacer oportunidades de ventas actuales o previstas de productos existentes. 5.1.1.2 Proyectos de mejora de productos, aquí se está considerando la mejora o innovación del producto existente, para mejorar la posición competitiva de estos productos 5.1.1.3 Proyectos de mejora de costos, aquí se plantea la posibilidad de comprar nuevos equipos para obtener ahorros mediante la reducción de los costos.
5.1.2 Proyectos de mantenimiento de ganancias: Estos proyectos son aquellos cuyo propósito principal no es reducir los costos ni incrementar las ventas, sino mantener las operaciones actuales. 5.1.2.1 Proyectos de reemplazo, estos sirven para reemplazar activos existentes que ya no son tan eficientes, ya sea por obsolescencia o por desgaste. 5.1.2.2 Proyectos por necesidad, y no por un análisis de rentabilidad, estos proyectos generan beneficios intangibles. Como ejemplos típicos tenemos al de las instalaciones de recreo para los empleados, guarderías, equipos de contaminación e instalación de dispositivos de seguridad. Estos proyectos generan uso de dinero pero no generan flujos contables de ingresos de efectivo.
5.2
LOS FLUJOS DE EFECTIVO INCREMENTALES
Al analizar y evaluar una inversión de dinero en algún proyecto, lo que realmente nos interesa son los flujos de efectivo generados en forma directa por esa inversión. Estos flujos de efectivo incrementales representan el cambio en el flujo de efectivo total de la empresa que ocurre como resultado directo de la inversión. Estos flujos incrementales propios del proyecto en estudio se pueden agrupar en función al sentido de si es ingreso o salida de efectivo:
FLUJOS DE SALIDA DE EFECTIVO TIPO DE ACTIVIDAD Inversión inicial (se incluye los costos de transporte e Inversión instalación) Inversión en capital de trabajo Inversión Costos en reparación y mantenimiento Operativo Costos incrementales de operación Operativo Gastos de arrendamiento de equipos o edificios Operativo Pagos de los intereses Operativo Pago de la amortización Financiamiento Impuestos sobre la renta Operativo FLUJOS DE ENTRADA DE EFECTIVO Ingresos Incrementales de operación Operativo Reducción de costos (o ahorros) Operativo Créditos fiscales permitidos Inversión Valor de recupero de los activos tangibles e Inversión intangibles Inversión Recupero del capital de trabajo Inversión Recupero del terreno (si es el caso) Financiamiento Recepción de los préstamos bancarios o emisión de bonos Fuente: Cuadro adaptado de: “ingeniería Económica”, Chan S. Park. Pearson.2000
ESTRUCTURA DEL F.C.O
Conceptos / Periodos INGRESOS EN EFECTIVO (Ahorros)
COSTOS PRODUCCION - Mano de Obra - Materia Prima - Costos Indirectos Depreciación Física Amortización Intangibles UTILIDAD BRUTA - Gastos de Comercialización y Administración.
UTILIDAD ANTES IMPUESTOS. - Impuestos (%) UTILIDAD DISPONIBLE + Depreciación + Amortización intangibles + Recupero Activo Fijo + Recupero de capital trabajo + Recupero de terreno Flujo de Fondos Netos
EVALUACION ECONOMICA Operación 1 2 3 ...... n
FLUJO DE CAJ A OPERATIVO
Problemas Propuestos: 1. Se ha elaborado el siguiente proyecto para la instalación de una empresa que producirá artículos de plásticos: La producción será de 30 000 artículos anuales, de los cuales el 60% estará destinado a la exportación, y el resto para el consumo local. El precio nacional para el primer bimestre será de 55 u.m/u.u. Se estima que el precio crecerá a un 10% anual. En el mercado exterior el artículo se cotizará en $ 20.00 y se mantendrá constante durante el año. El costo unitario por mano de obra será de 15 u.m. y crecerá anualmente al 15%. El costo de materia prima nacional es de 10 u.m por artículo, tendrá incrementos bimestrales del 12% anual. La materia prima importada tiene un costo de $ 3.00 por unidad y este precio no variará durante el año. Otros gastos de operación se estiman en 10.00 u.m por artículo con incrementos anuales del 8%. La inversión necesaria para este proyecto está estructurado de la siguiente forma: Maquinaria y equipo: 20 MM u.m y se depreciará mediante FA, con n = 10 años. Sistema de cómputo: 2.5 MM u.m y se depreciará mediante SDA, con n = 3 años. 2,5 MM u.m Terreno: Capital de trabajo: 4.0 MM u.m Todos los activos se deprecian totalmente, y el valor de mercado al f inal del 5to año se estima que será de 15MM de u.m. Se estima que la futura empresa tendrá una tasa de retorno aceptable del 70% anual efectivo. La devaluación u.m / $ será del 8% anual. El tipo de cambio inicial será de 50 u.m / $. La empresa estará afecta al 35% de impuesto a la renta. El proyecto tiene 2 potenciales fuentes de financiamiento, cuyas condiciones son: Banco XX en $: Financiará el capital de trabajo y el terreno Tasa de interés de 22% anual c/mensual Plazo de 2 año Modalidad a cuota bimestral constante Comisión flat del 2.5 % Banco XY en U.M.: Financiará el resto de los activos Tasa de interés del 30% anual efectiva c/semestral Plazo 1 año Modalidad a cuota mensual igual
Se pide hallar todos los valores que se requerirán para evaluar este proyecto. 2. Una empresa ha decidido introducir al mercado un nuevo producto a un precio
de S/. 200. La empresa estima que la demanda anual sería de 50000 unidades. Por otra parte la empresa se encuentra analizando 2 tipos de equipos (alternativas mutuamente excluyentes), en la producción de este producto. A continuación se detallan las características técnicas y los costos asociados de cada equipo:
CARACTERISTICAS Costo Inicial Vida Util Valor de Salvamento Capacidad de Producción / año Razón de Producción / hora Costo Por Unidad de Producto: - Materiales directos - Accesorios Costo Por Hora de Operación: - Mano de obra - Mantenimiento - Energía Costos Fijos Por Año
EQUIPO A S/. 2000000 4 años ----10000 unidades 5 unidades
EQUIPO B S/. 12000000 7 años S/. 1500000 50000 unidades 25 unidades
S/. 40 S/. 10
S/. 40 S/. 10
S/. 20 S/. 10 S/. 10 S/. 50000
S/. 20 S/. 5 S/. 15 S/. 20000
La vida útil para el proyecto será 5 años. Ambos equipos se deprecian totalmente, el equipo A mediante SDA y el equipo B mediante FA. Además se estima una inversión adicional en capital de trabajo de S/. 3000000, el cual se recuperará totalmente. Si la tasa de interés utilizada por la empresa es del 30% y la tasa impositiva es del 35%. Elabore el FCO y dibuje el DFC respectivo (Detallando todos los valores) de cada alternativa.
CAPITULO
METODOS BÁSICOS PARA LA EVALUACIÓN ECONOMICA DE ALTERNATIVAS ----------------------------------------------------------------------------------------------
VALOR PRESENTE NETO (VPN) El valor presente consiste en la determinación de la contribución al proyecto de todos los saldos netos del flujo económico llevados al periodo cero y restados de la inversión inicial. Sea el proyecto A, con sus respectivo DFC:
El equivalente DFC del VPN es:
100 80
60
80
VPN
0 1
2
3
4
<>
0
i = 10% 150 Para calcular el VPN del proyecto A se usa la siguiente expresión matemática:
VPN( i%) = - Io + FC1(FSA1) + FC2(FSA2) + FC3(FSA3) + ..... + FCn(FSAn) El VPN para el ejemplo es: VPN(10%) = - 250 + 80FSA 1 + 100FSA2 + 60FSA3 + 80FSA4 = $ 105
Interpretación del resultado: los $105 representan la ganancia neta que el proyecto proporciona, sobre lo exigido (10%) por el inversionista. El VPN es un método confiable para realizar una evaluación, porque: 1. Tiene en cuenta el efecto del tiempo sobre el valor de la moneda de acuerdo con el valor de la tasa “i” que se haya selec cionado para el cálculo. 2. Resume el valor el valor equivalente de cualquier flujo de caja en un índice único, en un punto único (tiempo cero). 3. El valor de la cantidad presente es siempre único independientemente de cuál pueda ser el patrón del flujo de caja de la inversión.
La representación gráfica de la función VPN (i%, n) es:
VPN 170
105 ----
40
0
10
20
60
80
i%
- 80 -
El criterio utilizado para la toma de decisión es: 1. VPN > 0 SE ACEPTA EL PROYECTO (hay ganancia neta) 2. VPN = 0 ES INDIFERENTE, se requiere de mayor información 3. VPN < 0 SE RECHAZA EL PROYECTO (hay perdida) Cuando se evalúan alternativas de inversión siempre uno esta comparando 2 o más de ellas, porque existe la opción el de “No hacer nada”, que significa que los recursos
excedente que tiene una empresa puede seguir invirtiendo en sus propias actividades y no en otros nuevos proyectos. Usualmente, en las empresas se presentan situaciones, las alternativas de evaluación (los proyectos ingenieriles) los flujos de caja son de costos: el precio inicial, costos de energía, de mantenimiento, mano de obra, etc. y puede ocasionalmente haber un ingreso (el valor de salvamento), Se presentan casos de evaluar 2 o más proyectos a la vez, con la siguiente situación: a) que los proyectos tengan igual vida útil. b) que los proyectos tengan diferentes vidas útiles.
Primer Caso: Evaluación de proyectos con igual vida útil Procedimiento: 1. Cada proyecto se evalúa calculando su VPN 2. luego se comparan sus VPN, 3. Se toma la decisión utilizando el criterio de decisión
Ejemplo: Una empresa de construcción civil ha estado subcontratando un trabajo particular a un costo de $ 32000 anuales, pagadero a final de cada año. Los ingresos anuales asociados a este trabajo particular han promediado en $ 40000. El convenio con el subcontratista acaba de expirar pero se podría renovar por otros 5 años. Se espera que continúen los mismos ingresos y gastos del subcontrato.
La empresa también está considerando la compra de equipo para realizar este mismo trabajo y terminar el contrato. El costo inicial del equipo más los gastos de instalación es de $50000. La vida económica del equipo es de 10 años con un valor residual de $ 5000 en este tiempo. Pero la empresa sólo está interesada en un horizonte de planificación de 5 años, en el cual se estima que el valor de salvamento del equipo será de $ 20000. Con el equipo se espera que los ingresos anuales sigan siendo de $ 40000 pero se estiman gastos anuales medios de $18000 por operación. La empresa usa el método de depreciación de línea recta. Si la tasa impositiva anual es del 30%, y si se espera una tasa de rendimiento después de impuestos del 10%. Debe adquirirse el equipo o se debe renovar el subcontrato?. Use valor presente.
Solución:
Alternativa A: SUBCONTRATA:
0
40M 40M
40M
40M 40M
1
2
3
4
32M
32M
32M 32M 32M
5
VP = (40M – 32M)(1-0.3) * FAS(10%,5) VP = $ 21228.4
Alternativa B: COMPRAR EQUIPO CONCEPTO INGRESOS EGRESOS UTILIDAD OPER. DEPRECIACIÓN(*) U.A.I IMPTO.(30%) U.D.I DEPRECIACION RAF FCO
1 – 4 40000 18000 22000 4500 17500 5250 12250 4500 -16750
5 40000 18000 22000 4500 17500 5250 12250 4500 22250 39000
(*) Cálculo de la Depreciación: LR Da = (50000 - 5000) / 10 = 4500 $ / año Cálculo del RAF: VS5 = $ 20000 VL5 = P – t.VL = 50000 - 5*4500 = $ 27500 RAF = 20000 + (27500-20000)*0.3 = 22250
Cálculo del VPN:
VP = - 50000 + 16750*FAS(10%,4) + 39000*FSA(10%,5) VP = $ 27311
REGLA DE DECISION: si se tienen dos proyectos A y B en evaluación
1. VPN A > VPNB Se elige el proyecto A 2. VPN A = VPNB Es indiferente la elección 3. VPN A < VPNB Se elige el proyecto B Por lo tanto: para el caso del ejemplo se tiene VPN A > VPNB
Respuesta: Se elige seguir con el subcontrato.
Segundo Caso: Evaluación de proyectos con diferentes vidas útiles Existen varias formas de superar esta situación, pero la regla importante es comparar ambos proyectos sobre la misma base temporal. La más común es el método del Mínimo Común Múltiplo (MCM) Procedimiento: 1. Se tiene que igualar las vidas útiles de los proyectos, para tal efecto se obtiene el MCM de todas las vidas útiles diferentes de los activos que participan en cada proyecto. 2. luego se comparan sus VPN, 3. Se toma la decisión utilizando el criterio de decisión
Ejemplo: Un taxista quiere decidir entre comprar cuatro llantas radiales nuevas o reencauchar las cuatro usadas. Las llantas nuevas costarían $ 55 cada una, y duraría 42000 Km. Las llantas usadas se pueden reencauchar por $15 cada una pero durarán sólo 12000 Km. Ya que este es un carro usado probablemente registraría sólo 6000 Km. por año. Si se compraran las llantas radiales el kilometraje por cada galón aumentaría un 10%. Si se supone que el precio de galón $0.6 y el auto consume un galón por cada 20 Km. Qué clase de llantas se debe seleccionar si la tasa de interés es del 6%? Use valor presente. Solución: “La primera consideración a tener en cuenta es que se están analizando proyectos de servicios (solo tienen egresos)”
Alternativa A: COMPRAR LLANTAS NUEVAS Costo Llantas = 4 * 55 = $ 220 Duración = 42000 km Recorrido = 6000 Km/año n = (42000 Km / 6000 Km/año) = 7 años = (20 Km/galón)*1.1 = 22 Km/galón Costo combustible = ( 0.6 $/galón)*(6000 Km/año)*(1 galón/22Km) = 163.63 $/año Alternativa B: RENCAUCHAR LLANTAS Costo Llantas = 4 * 15 = $60 Duración = 12000 km Recorrido = 6000 Km/año n = (12000 Km / 6000 Km/año) = 2 años = 20 Km/galón Costo combustible = ( 0.6 $/galón)*(6000 Km/año)*(1 galón/20Km) = 180 $/año
Cálculo del periodo de análisis común: MCM (2 , 7) = 14 años, i = 6% En este caso las vidas útiles se refieren a las vidas útiles de las llantas tanto nuevas como las reencauchadas.
DFE: Alternativa A 0 1
7
14
año
163,63 220
220
VPN = 220 [1+ FSA(6%,7)] + 163.63*FAS(6%,14)
VPN = $ 1887.2 DFE: Alternativa B 0
1
60
2
60
4
6
60
8
60
60
10
60
12
14 año
60
180
VPN = 60[1+ FSA (6%,2)+ FSA (6%,4)+ FSA (6%,6)+ FSA (6%,8)+ FSA (6%,10)+ FSA (6%,12)] +180*FAS(6%,14)
VPN = $ 1977 Respuesta: Por lo tanto se elige comprar las llantas radiales (VPNA > VPNB) Nota: en algunos casos, el MCM de las vidas de los proyectos es un periodo de análisis incomodo (por ejemplo: 7 y 9 años, su MCM es 63 años), este valor haría muy tedioso el cálculo y podría generar inconsistencia y confiar menos en los resultados.
VAL OR PRESENTE
Problemas Propuestos: 1. La clasificación de un motor eléctrico es de 100HP y cuesta $800. Su eficiencia con carga total se especifica como 85%. Un motor de diseño nuevo, de alta eficiencia, tiene el mismo tamaño con una eficiencia del 90%, pero cuesta $1200. Se prevé que los motores operarán con la salida nominal de 10HP durante 1000 horas anuales y que el costo de la energía será de $ 0.07 por KW-hora. La vida de
servicio que se espera de los motores es de 15 años. El primer motor tendrá valor residual de $ 200 y el segundo de $300, en ambos casos en el año 15. Considere que la TAMAR es del 8%. (Nota: 1HP = 0.7457KW). 2. Una empresa minera esta analizando la adquisición de una torre de microondas, ha recibido las siguientes propuestas de compra, instalación y operación: Propuesta A Propuesta B Costo del equipo $ 45 000 $ 40 000 Costo de Instalación 15 000 25 000 Costo de mantenimiento anual e 1 000 1 400 inspección Impuestos adicionales anuales 300 Vida útil 50 años 40 años Valor residual 0 0 ¿Cuál es la propuesta más económica si la tasa de interés es del 10%? Ninguna de las torres tendrá valor residual después de 20 años de servicio. 3. Las empresas de televisión por cable y sus proveedores de equipo están a punto de instalar nueva tecnología que empaquetará muchos canales más en los sistemas de televisión por cable, creando una potencial revolución en la programación. Un sistema de TV por cable que usa tecnología de compresión digital podrá ofrecer más de 100 canales, comparado con la media de 35 de un sistema típico actual. La empresa TV+ desea evaluar la posibilidad de instalar esta nueva tecnología para aumentar la venta de suscripciones y ahorrar en tiempo de uso del satélite. Se estima que el tiempo de instalación de todos los equipos durará 2 años, el primer ingreso se recibirá a finales del 3er año. El sistema tendrá una vida de servicio de 8 años (total 10 años) con los siguientes flujos de caja: Flujos de Efectivo INVERSION: - Primer año $ 3 200 000 - Segundo año 4 000 000 Ahorros anuales en tiempo de satélite 2 000 000 Ingresos anuales incrementales por nuevas suscripciones 4 000 000 Gastos anuales incrementales 1 500 000 Impuestos anuales incrementales sobre la renta 1 300 000 Vida de servicio económica del sistema 8 años Valor residual neto 1 200 000 Si la empresa tiene un TAMAR del 10% se justifica la implementación del sistema. 3. Una empresa está considerando la posibilidad de reemplazar su equipo actual de manejo de materiales, por uno que puede ser comprado o arrendado. Con el sistema actual se tienen gastos anuales de operación de y mantenimiento de S/. 40000, una vida remanente estimada de 10 años y un valor de salvamento al término de esta vida de S/. 2500. El nuevo sistema cuyo costo inicial es de S/. 200000, tiene una vida útil de 10 años, un valor de salvamento de S/. 20000 y costos anuales de operación y mantenimiento de S/. 20000. Si este sistema es comprado, el sistema actual puede ser vendido en S/. 25000. Si el sistema es arrendado la renta que se pagaría sería de S/. 25000 al principio de cada año. Además incurrirían en gastos adicionales de operación y mantenimiento de S/. 10000. Si el sistema es arrendado, el sistema actual no tendría ningún valor de salvamento.
Utilice una TAMAR del 20% y el método de valor presente, para determinar cuál de las 3 alternativas es la mejor.
TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) Es aquella tasa de interés, propia de la estructura de caja del proyecto, que hace que los flujos de beneficios traídos al presente sumados algebraicamente al flujo de costos en el presente, sea igual a cero.
a) Caso de 1 solo Proyecto: ¿ i = TIR ? n
0 P Bt ( FSAni ) VS ( FSAni ) t 1
Beneficios Netos VS n
¿i ? P De la ecuación se despeja (i) que es l a incógnita VP
VP= f(i,n)
+VP1
i2 i1
-VP2
TIR
i
Para hallar la TIR se tantea i
VP1
i1 VP TIR 0 i2 VP2 Luego se interpola
i1 - TIR i1 - i2
Regla de Decisión : TAMAR:
=
VP1 - 0 Luego se despeja la TIR hallando VP1 - VP2 su valor.
Dado una tasa de interés referencial, por ejemplo: CPPK o
TIR > CPPK Se acepta el proyecto TIR = CPPK Es indiferente TIR < CPPK Se rechaza el proyecto b) Caso para 2 o más proyectos: Solo costos, se usa para el método de inversión incremental. PROYECTO A 0
PROYECTO B VS A
1
0
VSB
1
n
n
C A
CB
P A
PB
Nota: - Los proyectos cuyas estructuras de caja son en gran mayoría costos, no se les puede obtener su TIR por si solos, en estos casos se tiene que construir una tabla relativa entre los costos de los proyectos; tomando como base el proyecto de mayor inversión inicial. - Se usa la metodología del valor presente ( se halla el m.c.m, de las vidas útiles de cada proyecto ). - Asumiendo que el proyecto B tiene mayor inversión inicial, se tiene: N (m.c.m) 0 1 2 3 4 . . . n
F.C Proyecto B
F.C Proyecto A
F.C Neto (FCB – FC A)
-
Se evalúa el F.C Neto y se calcula el TIR*, que representa el valor de cruce de ambas gráficas de cada proyecto original.
Regla de Decisión TIR* > CPPC, Se elige el proyecto B, de mayor inversión TIR* = CPPK, Es indiferente la elección TIR* < CPPK, Se elige el proyecto de menor inversión TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)
Problemas Propuestos: 1. Un cierto componente que es utilizado en la fabricación de un producto tiene actualmente un costo de $ 100 la unidad. La empresa esta analizando la posibilidad de comprar el equipo necesario para su producción, siendo el costo inicial de $ 100 M y su valor de salvamento de $ 5 M al 5to año de uso. Además, si el equipo es adquirido los costos fijos anuales serían de $ 5M y los gastos variables serían de $ 25 la unidad. Si la demanda anual para este componente es de 500 unidades. ¿Cuál será su TIR? 2. Los propietarios de una nueva casa están tratando de decidir entre dos tipos de jardín. Pueden comprar semilla de pasto a S/: 250 la libra y sembrarla ellos mismos sin ningún costo. Calculan que necesitarán una libra por cada 250 pies cuadrados. El jardín exterior es de 500 x 130 pies, y el jardín interior es de 300 x 100 pies. También tendrían que comprar 3 toneladas de abono cuando hayan sembrado el pasto y una tonelada cada 3 años desde entonces, a un costo de S/. 20 tonelada. Si siembran el pasto, también tendrían que instalar un sistema de riego a un costo de instalación de S/. 350, y con un costo anual de mantenimiento de S/. 15 y con una vida útil de 18 años. Se espera que los costos de agua, fertilizantes y productos químicos sean de S/. 120 al año. Por otra parte, ellos pueden hacer un jardín que imite un desierto a un costo de S/. 2800, y se espera que incurrirá en un costo anual de agua de S/. 25, sin embargo tendrán que reemplazar el pasto bajo la gravilla cada 6 años, a un costo de S/. 350. Determinar cual debe seleccionarse, si la tasa es del 6%. Utilice el método de la TIR. 3. Se tienen los siguientes flujos de caja neto de tres proyectos diferentes:
PERIODO PROYECTO A PROYECTO B PROYECTO C
0 $ - 1000 $ + 1000 $ - 1000
1 $ + 7000 $ + 1000 $ + 2800
2 $ -12000 $ - 1200 $ - 1960
Realizar un análisis de cada proyecto y determinar para qué valores de TIR cada proyecto es rentable. (7 ptos) 4. Usted piensa comprar uno de dos automóviles. El modelo A cuesta $ 18000 y el modelo B $ 15624. Aunque los dos modelos son esencia iguales, el modelo
A podrá venderse por $9000 después de 4 años de uso, mientras que el modelo B podrá venderse en $ 6500 en el mismo periodo. El modelo A obtiene un mejor precio de reventa porque su diseño es popular entre los estudiantes universitarios. Determine la tasa de rendimiento de la inversión incremental de $2376. ¿En qué intervalo de valores de TAMAR es preferible el modelo A?
RELACION BENEFICIO – COSTO (B/C) a) Caso de 1 solo proyecto: Beneficios 1
0
n
VS
B = Beneficios – Desbeneficios C Costos
Costos de Operación P
Beneficio: Se refiere a la satisfacción en términos monetarios. Lo recibe el público usuario. Desbeneficio: Es la no satisfacción en términos monetarios. Afecta al público usuario. Costos: Se refiere a la Inversión Inicial (P), Costos operativos, Costos de mantenimiento, etc. Lo realiza el gobierno.
Ejemplos de Beneficios, desbeneficios y costos :
Detalle
Gasto de $11000 para una nueva autopista Ingreso anual de $50000 para residentes locales debido al flujo turístico a un área de recreación $150000 anuales por mantenimiento de canales de irrigación $25000 de pérdidas anuales a los granjeros debido a los derechos de paso de una autopista
Regla de Decisión: B
1 Se acepta el proyecto
Clasificación Costo Beneficio Costo Desbeneficio
C B < 0 Se rechaza el proyecto C
b) Caso de 2 o más proyectos:
Se usará metodología del flujo uniforme
Proyecto A
Proyecto B
Beneficios
Beneficios VS A n
0
VSB n
1
0
Costos de Operación P A
1 Costos de Operación
PB B A C
BB C
Regla de Decisión B A C
>
BB C
Se elige el Proyecto A
B A C
=
BB C
Es indiferente la elección
B A C
<
BB C
Se elige el Proyecto B
RELA CION B ENEFICIO COSTO (B/C)
Problemas Propuestos: 1. Se están considerando 2 rutas para una carretera. La ruta mas larga tendría 22 Km. de longitud de terreno casi llano y un costo inicial de $ 21 MM. La ruta mas corta tendría una longitud de 10 Km. de terreno accidentado y un costo inicial de $ 35 MM. Los costos de mantenimiento anual se estiman en $ 40M para la ruta mas larga y en $ 65M para la mas corta. Independientemente de cual ruta se seleccione, se espera un volumen de tráfico de 400M vehículos. Si los gastos de operación de un vehículo se estima en $ 0.12 por Km., determine cuál ruta debería elegirse mediante el análisis B/C. Considere una vida útil de 20 años para cada carretera y una tasa de interés de 6% anual. 2. Una ciudad que opera instalaciones de estacionamiento público estudia una propuesta para construir y operar un estacionamiento en el centro de la ciudad. Se han identificado tres diseños para la instalación, la cual se construirá en sitios disponibles. (En miles de $) Diseño A
Costo de instalación. Costo del edificio. Ingresos a cobrar. Costo anual de mantenimiento. Vida del servicio
$ 240 $ 2200 $ 830 $410 30 años
Diseño B $ 180 $ 700 $ 750 $ 360 30 años
Diseño C $ 200 $ 1400 $ 600 $ 310 30 años
Al término de la vida de servicio estimado se demolerá el estacionamiento y se venderá el terreno. Se prevé que las percepciones por la reventa del terreno serán iguales que el costo de mantenimiento. Si la tasa de interés de la ciudad es del 10%, ¿qué alternativa de diseño debe elegirse? 3. Se consideran para una nueva carretera interestatal.
Costo Inicial Mantenimiento anual Longitud de la carretera
Ruta Larga Atajo por las Montañas $ 21MM $ 45MM $ 140 M $ 165M 35.4 Km. 16 Km
En ambas rutas, el volumen de tráfico será de 400000 vehículos anuales, los cuales se supone operan a un costo de $ 0.20 por kilómetro. Suponga una vida de 40 años para cada ruta y una tasa de interés del 10%. Determine la ruta que debe elegirse.
PERIODO DE RECUPERO DE LA INVERSI N (PRI)
Es un método para hallar el número de años que debe retenerse o utilizarse económicamente un activo o proyecto para recuperar su costo inicial con un retorno dado. No es una técnica de evaluación por si sola, se utiliza como complemento de las otras técnicas (VP, CAUE, TIR, B/C), para la toma de decisión. Sea el siguiente DFC: VS
i Beneficios 0 1
¿n’ = PRI ?
n
P Donde : n = Es el horizonte temporal del proyecto n’ = Es el periodo en donde se recupera la inversión inicial
El análisis del PRI se realizara utilizando el método de VP. n'
0 P Bt ( FSAt i ) VS ( FSAni ) t 1
Regla de Decisión : n’ < n , n’ = n , n’ > n ,
El proyecto es atractivo El proyecto es indife rente El proyecto no es atractivo
Notas:
Este método no toma en cuenta los flujos de caja posteriores a n’, siendo una
desventaja para el análisis.
PERIODO DE RECUPERO DE LA INVERSION (PRI)
Problemas Propuestos: 1. Ud. desea comprar un equipo de sonido y luces para su negocio, y estima los siguientes datos: Costo Inicial Costo Anual de Operación Ingresos Anuales Valor Residual
$ 1500 80 + 5 (K) 250 + 60 (K) $ 500
K = 1, 2, 3, ......... K = 1, 2, 3, .........
a) Calcule el período de recupero de la inversión , para lograr un 10% de retorno. b) Débe comprarse el equipo si se espera que su período útil sea de 5 años? 2. El costo de alquiler de un camión es de $ 3300 anuales que deben pagarse por anticipado. No hay devolución si el arriendo dura menos de 1 año. Como alternativa se puede comprar el camión pagando $ 1700 hoy y pagos mensuales de $ 300 durante 4 años. Un camión puede venderse en un promedio de $ 1200 independientemente de lo que se haya tenido en propiedad. El propietario en perspectiva, en este caso una cadena de farmacias, aspira aumentar sus ingresos en $ 400 y quiere un retorno del 12% nominal anual. Los costos de mantenimiento, operación y seguros son los mismos si el camión se alquila o se compra, es decir no se consideran. a) ¿Cuántos meses deben durar los planes tanto de renta como de compra a fin de conseguir el retorno esperado? b) Si la vida útil esperada de un camión es de 6 años, ¿Se debe comprar o alquilar los camiones?. 3. (a) Use el análisis CAUE para evaluar las alternativas siguientes si los años de retención son la vida máxima. (b) Si has un retorno del 10% anual, se utiliza un análisis de periodo de retorno para evaluar las alternativas, sin cálculos de CAUE, ¿la diferencia es diferente? ¿Por qué?
Máquina A Precio inicial $ 12000 Flujo de caja: $ 3000 anuales Vida máxima 7 años
Máquina B Precio inicial $ 8000 Flujo de caja = $ 1000 (años 1 a 5) = $ 3000 (años 6 al 15) Vida máxima 15 años.
