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UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA FACULTAD DE INGENIERIA CIENCIAS  Y ADMINISTRACION DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA TEMUCO

SISTEMAS DE POTENCIA I (Versión Preliminar, sólo uso interno)

SERGIO CARTER FUENTEALBA

MARZO 2005

i

INDICE INDICE PROPOSITO

I iv

CAPITULO 1: ALGUNOS ANTECEDENTES SOBRE LA ENERGIA ELECTRICA

1.1 1.2 1.2.1 1.3 1.4 1.4.1 1.4.2 1.5 1.5.1 1 .5.2 1.6 1.7

LOS INICIOS DE LA GENERACION DE ENERGIA ELECTRICA SISTEMAS DE TRANSMISI ON EN CORRIENTE CONTINUA (HVDC) Algunas Ventaj as as y De sv sventajas de la Transmis ió ión en HVDC LOS INICIOS EN CHILE CARACTERISTICAS GENERALES DE LOS SISTEMAS ELECTRICOS Fue ntes de Energía Eléctr ica Ofer ta de l a E nergí a Eléct rica en Chi le ASPECTOS BA SICOS DE LAS LINEAS ELECTRICA S Obj eti vos y Clasi ficación de las Líne as Eléctricas Carac terizaci ón Top oló gi ca de los Sistema s E léctricos CARACTERISTICAS DE ALGUNOS TIPOS DE CONDUCTORES UNIDADES DE MEDIDA DE LOS CONDUCTORES ELECTRICOS

1

1 3 4 5 14 14 24 25 25 26 28 28

CAPITULO 2: CALCULO DE LOS PARAMETROS DE LAS LINEAS ELECTRICAS

30

2.1 2.2 2 .2.1 2 .2.2 2.3 2 .3.1 2.4 2 .4.1 2 .4.2 2 .4.3 2 .4.4

30 31 31 33 39 39 41 44 45 46 47

DEFINICION CONCEPTUAL DE LOS PARAMETROS CALC ULO DEL PARAMETRO RESIST ENCIA Resistencia Ohmica (de C.C.) Resistencia E fectiva (de C.A .) CALCULO DEL PARAMETRO I NDUCT ANCIA Y DE LA RE ACTANCIA INDUCTIVA Caso de un Sólo Conductor F LUJO ENLAZADO POR UN SISTEMA MULTICONDUCTOR L ínea Mon ofásica de Dos Con ductore s: Línea Trifásica de Disposición Equi látera L ínea Trifásica con Tran spo sicione s Con cepto de Di st ancia Media Ge ométrica Cálculo de Inductancias y Reactancias Inductivas Empleando los Conceptos de RMG y DMG Línea Mon of ási ca Multifi lar Línea Trifási ca en Doble Circuito con Tran spo siciones L ínea Trifási ca en Circuito Simple con un H az de dos Con ductores T res Conductores po r Fase Cua tro Con du ctore s po r Fa se U so de Tab la s pa ra el Cálcu lo de la Reactancia Ind uctiva CA LCULO DE CAPACIDADES Y REAC TANCIAS CAPACITIVAS Cál culo de Cap aci dade s de Líne as sin Con si de rar el Efecto de Ti erra Línea Mon ofásica L ínea Trif ási ca de Dispo sición Equilátera Línea Trifási ca con Tran spo sicion es U so de Tab la s Cálculo de la Capacidad y Reactancia Capacitiva de Líneas Trifásicas en Doble Circuito Conductores Fasci cul ado s Cálculo de Capacidade s de Lí L íneas Conside rando el Efecto de Ti erra Línea Mon ofásica Línea Trif ási ca con Tran sposicion es PROB LEMAS PROP UE STOS

2.4.5 2.4 .5.1 2.4.6 2.4.7 2.4.8 2.4.9 2.4. 10 2.5 2.5.1 2.5 .1.1 2.5 .1.2 2.5 .1.3 2.5 .1.4 2.5.1.5 2.5.1 .6 2.5 .2 2.5 .2.1 2.5 .2.2 2.6

48 48 51 55 56 56 57 61 62 63 64 66 67 67 68 71 72 74 75

CAPI TULO 3: LI L INEAS EN REGIMEN PERMANENTE EQUILIBRADO

79

3.1 3.2 3.2 .1

79 79 80 80 81 82 82

a) b) c) d)

CONS IDERACIONES PRELIMINARES CIRCUITOS EQUIVALENTES Línea Corta Relaciones Tensión, Corriente, Poten cia Reg ulaci ón de Tensi ón Rendimien to Cap aci dad de Trans misión de la Líne a

ii

3.2.2

3.2.3

3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.4 3.4.1 3 .4.2 3 .4.3 3.5

Línea de Medi ana Lo ngi tud - Ci rcuito Equival ente Nomi nal a) Relaci ones Ten sión, Corriente, Potencia b) Reg ulación de Tensión Línea de Gran Lo ngitud - Relaci ones Ten sión, C orriente - Impe dancia Caracter ística ( Impe dan cia Natural o Impe dan cia de Onda ): - Constan te de Propaga ción - Rég imen de Carga Na tural - Ef e cto Fe rr an ti - Lo ngitud de Onda - Ci rcuito Equi val ente E xacto - Cá Cálc ulo de las Fun ci ones Hiperból icas Compl ejas LAS L INEAS CONSIDERADAS COMO CUADRIPOLOS Int ercon exión de Cuadri polos (Cua dripol os Eq uivalen tes - Dos Línea s en S er ie (Cascad a - Dos Línea s en Parale lo (Dob le Ci rcuito) Cua dripo los Simpl es - Línea Corta - Carga Constan te Ecua ciones de P otencia en Término s de los Pa Parámetros A BCD DIAGRA MAS DE CIRCULO Di agrama de Círculo del Extremo Re cep tor Di agrama de Círcul o de l Extre mo Tran smisor Di agrama de Círculo Generalizado P ROBLEMAS P ROP UESTOS

84 84 85 85 86 87 88 88 89 91 91 91 92 97 99 99 10 0 10 1 10 1 10 2 10 2 10 6 10 6 10 8 11 0 11 1

CAPITULO 4: 4: LINEAS EN EN REGIMEN PERMANENTE DESEQUILIBRADO

114

4.1 4.2 4 .2.1 4 .2.2 4 .2.3 4 .2.4 4.3 4 .3.1

11 4 11 5 11 5 11 5 11 6 11 7 12 0 12 3

4.3.2 4.3.3 4.4

C ONSI DERACIONES GENERALES A NALIS IS EMPLE ANDO CANTIDADES DE FA SE Im pe dancias P ro pias y Mu tuas de un Sistema Multicon ductor Línea Trifásica con Neutro Aisl ado Línea Trifási ca con Neutro Físico Línea Trifási ca con Retorno por T ierra A NALIS IS EMPLE ANDO CANTIDADES DE S ECUE NCIA Impedancias de Secue ncia Impedancia de Secuencia Cero de una Línea Trifásica Trifásica en Doble Circuito, Transpuesta Transpuesta y con Retorno por Tierra Impedancia de S ecue ncia Cero de L íne as con Cab le de Guardia P ROBLEMAS P ROPUEST OS

125 12 6 13 1

CAPITULO 5: TRANSFORMADORES

134

5.1 5.2 5.2.1 5.2.1.1 5.2 .1.2 5.2.2 5.2 .2.1 5.2 .2.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5 .3.3 5 .3.4 5.3 .4.1 5.4

13 4 13 4 13 4 13 5 13 6 13 8 13 8 13 8 141 14 1 14 4 14 5 14 7 14 7 15 1

CONSIDERACIONES P RELI MINARES E L SIS TE MA EN POR UNI DA D . Ci rcuit os Mon ofá sicos Red es con Tran sformad or Caso Gen eral Ci rcui tos Trifásico s Pérdi das de P otencia Ban co de Transfor mad ores CIRCUITOS EQUIVALE NTE S Transformad or Trif ásico de Dos Enrollados Transformador Trif ási co de Tres Enrollado s A utot ransformador T ransformad ores con Ca mbio de Derivaci ones Ci rcuito Equi val ente en (pu) de un un Transformad or con Ca Cambio de Deriva ci ones P ROBLEMAS P ROP UESTOS

CAPITULO 6: CARGAS

155

6.1 6.2

15 5 155

CLASI FICACION Y CARACTERISTICAS GE NERALES P ROBLEMAS P RINCIPALES Y MODELOS DE REPRESE NTACION

iii

6.2.1 6.2.2 6.3 6.3.1 6.3.2 6.4

Representación Mediante una Impedancia o Admitancia Constante Representación como Potencia Compleja Constante DEPENDENCIA DEL CONSUMO RESPECTO A LAS VARIACIONES DE TENSION Y FRECUENCIA. Consumo Constituido por una Impedancia Estática Consumos Mixtos PROBLEMAS PROPUESTOS

BIBLIOGRAFIA

155 156 156 156 157 157 158

iv

PROPOSITO.

Durante varios años el Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de La Frontera, me encomendó que impartiera el primero de una secuencia de dos cursos de Sistemas de Potencia. Después, por  diversas razones, dejé de dictar esta asignatura por un tiempo prologado, hasta que hace un par de años nuevamente he recibido el especial encargo de impartirla. Ello me llevó a buscar, dentro de los materiales académicos que almaceno desde siempre, los apuntes que había preparado antaño para ese curso y que han sido puestos al día en lo pertinente. Esta situación, me condujo a reescribir esas notas y prepararlas en forma ordenada para mis actuales estudiantes, de modo que dispongan de un material que les facilite la comprensión de las materias propias del curso. Dentro de los antecedentes que he empleado para editar estas notas, tienen un lugar destacado los Profesores Hernán Sanhueza H., de la Universidad de Santiago de Chile y Walter Brokering C. de la Pontificia Universidad Católica de Chile, fundamentalmente a partir de apuntes que ellos han editado a través de sus instituciones. Asimismo, he sostenido una fuerte interacción con mi colega y amigo Manuel Villarroel M. en el análisis de problemas que pudieran resultar de mayor interés para el curso. También he usado material de ENDESA, proveniente de publicaciones realizadas por esa Empresa y algunos antecedentes de otras empresas del área y de la Comisión Nacional de Energía, dados a conocer en una conferencia dictada en el XII Congreso Chileno de Ingeniería Eléctrica, Temuco, 1997. En cuanto al texto propiamente tal, se ha dividido en tres secciones: La primera de ellas, relativa a aspectos históricos del desarrollo de la generación de electricidad, desde sus inicios hasta la actualidad, con especiales consideraciones al caso chileno, se revisan las diversas posibilidades de generación de energía, hidráulica, térmica (convencional y nuclear), eólica y solar. La segunda sección, que abarca los capítulos 2, 3 y 4, está dedicada a un estudio profundo de las líneas de transmisión, cálculo de sus parámetros, sus modelos de representación y las condiciones de operación, con alcances específicos al diseño y configuración de las líneas. La última sección está dedicada a transformadores y cargas, con énfasis en el empleo del sistema en por unidad . En cada uno de los capítulos, se han incluido algunos problemas resueltos, que deben servir de guía a los estudiantes y al término de cada uno de ellos, se proponen algunos problemas adicionales para ejercitar los conceptos revisados anteriormente. Esta versión preliminar está destinada solamente al uso interno de los estudiantes de la Universidad de La Frontera y toda sugerencia o corrección de errores que se deben haber deslizado en el texto, serán, por  supuesto, muy bien venidas. Quiero dejar constancia del apoyo brindado en la digitación del manuscrito, por la Sra. Myriam Alarcón O. secretaria del Departamento de Ingeniería Eléctrica.

Sergio E. Carter Fuentealba

TEMUCO, MARZO DE 2005

1

CAPITULO 1: ALGUNOS ANTECEDENTES SOBRE LA ENERGIA ELECTRICA. 1.1. LOS INICIOS DE LA GENERACION DE ENERGIA ELECTRICA. Los sistemas de generación de Energía Eléctrica, originados a partir del descubrimiento de Michael Faraday el 28 de octubre de 1831, sobre el f enómeno de la Inducción Electromagnética con un generador elemental, desencadenó, primero lentamente y después con gran dinamismo, el uso creciente de la energía eléctrica, que en nuestros días se ha convertido en la fuente de energía utilizada preferentemente en todas las aplicaciones más comunes, como por ejemplo iluminación, calefacción y fuerza motriz. Después de la invención del generador eléctrico de Corriente Continua (CC), más conocido como dínamo, debido a Gramme en 1870, surgió la idea de emplear esta energía para reemplazar la antigua iluminación a gas, que solamente existía en algunas ciudades de importancia y sirviendo únicamente a algunas calles principales. En Inglaterra, St. George Lane Fox y Tomás Alva Edison en Estados Unidos, propusieron planes para el suministro de energía eléctrica para iluminación a varios usuarios en forma simultánea y coordinada. Así, en forma casi coincidente, en Londres y Nueva York, en enero y septiembre de 1882 comenzaron a operar las centrales térmicas de Holborn y de la Calle Pearl, suministrando un servicio muy limitado en extensión. Esta última central tenía 4 calderas con una potencia de 250 HP, que suministraban vapor a un grupo de 6 dínamos. La distribución ideada por Edison, era subterránea, con conductores de cobre aislados que operaban a una tensión de 110 Volts. La baja tensión del sistema, limitaba en forma severa el área de servicio atendida por la Central y, como consecuencia de esta restricción, las centrales proliferaron en las grandes ciudades. Inicialmente la energía eléctrica se utilizaba en iluminación por medio de lámparas incandescentes de filamento de carbón; y, como otro hito destacado, en 1884 se empezaron a utilizar motores de corriente continua. Los primeros sistemas fueron de dos hilos y el aumento de la carga condujo a desarrollar el sistema de tres hilos. La figura 1.1, siguiente muestra en a) un sistema de dos hilos y la b) un sistema de tres hilos.

E  E

+

C1

-

C1

C2

C1

C2

-

C2

E a)

+

+ b)

Figura 1.1: Sistemas de Distribución en CC; a): Sistema de dos Hilos; b): Sistema de tres Hilos. Por otra parte, la baja tensión limitaba la distancia de transmisión de la energía con una regulación de tensión aceptable. Por tanto, para transmitir mayores bloques de energía a un costo razonable, fue necesario disminuir las pérdidas por efecto Joule, así como los costos de los equipos y/o elementos del sistema. Se encontró que al elevar la tensión, el peso del conductor necesario para transmitir una potencia dada, manteniendo constante las pérdidas, se reducía significativamente. Si a ello se suma que en el año 1881 Marcel Deprez anunció en la academia de Ciencias en París, que elevando el nivel de tensión se puede transmitir  energía eléctrica de cualquier potencia a una gran distancia con pérdidas mínimas, la interconexión de sistemas distantes era ya prácticamente una realidad. Por este hecho, a Marcel Deprez se le considera como el precursor de la transmisión de energía eléctrica en alta tensión. En 1882 realizó el experimento para transmitir una potencia de 1,5 kW, a una distancia de 57 km, con una tensión de 2.000 Volts en CC. Paralelamente al desarrollo de los sistemas de 2 y tres hilos para la distribución de la energía eléctrica en CC. se comenzó a investigar la distribución en Corriente Alterna (CA). En 1881, Gaulard y Gibbs, patentaron un sistema de distribución serie en CA y éstos mismos ingleses, en 1883, desarrollaron el transformador que permitió elevar la tensión, con lo que las limitaciones de distancia, debido a las fuertes caídas de voltaje y pérdidas de energía asociadas que afectaban a la generación y distribución en CC, dejaron de tener relevancia y permitieron atender a una mayor cantidad de usuarios en forma simultánea. A ello se suma la invención en 1885 del generador de CA de potencial constante.  A partir de esa fecha, el empleo de la energía eléctrica, su ge neración, transmisión y distribución, inicialmente en forma monofásica y posteriormente, a partir de 1891, en forma trifásica, permitieron su propagación por el mundo hasta llegar a ser hoy día la forma más frecuente de uso de la energía final. Por esta razón, el sistema de corriente alterna en generación y transmisión desplazó al de corriente continua, permitiendo transmitir grandes bloques de energía a distancias significativas. La superioridad de los motores de corriente

2 continua con respecto a los de corriente alterna en la tracción, han permitido que aún se mantengan sistemas de tracción de corriente continua, con tensiones de hasta 3.000 Volts. Hasta hace pocos años se mantenían en ciertos sectores de algunas ciudades, sistemas de distribución en corriente continua. Actualmente, cuando se requiere de corriente continua se prefiere hacer la conversión de alterna a continua, en el mismo punto de utilización de ésta. Los primeros sistemas de corriente alterna fueron monofásicos. En el año 1884 Gaulard transmitió en CA monofásica, en Turín (Italia), a través de una línea de 40 km de longitud. En el año 1886 W. Stanley en Great Barrington, Massachussets, instaló en los EE.UU. el primer sistema de distribución monofásico práctico, usando transformadores de 500/100 Volts. En 1887 entró en servicio un sistema de transmisión y distribución con corriente alterna en la ciudad de Lucerna (Suiza) y en 1888 en Londres. En 1883 Tesla inventó las corrientes polifásicas; en 1886 construyó un motor polifásico de inducción y en 1887 patentó en EEUU un sistema de transmisión trifásico. En 1891 se construyó en Alemania la primera línea de transmisión trifásica, con una longitud de 180 km a 12 kV. Los sistemas trifásicos se desarrollaron rápidamente y actualmente son de uso general, por las ventajas sobre los sistemas monofásicos que tienen, algunas de las cuales se enumeran a continuación: 1. En un sistema trifásico equilibrado la potencia instantánea es constante, en cambio, en un sistema monofásico es pulsante. 2. Para una misma potencia, un generador o motor trifásico es más pequeño (menor costo) que su correspondiente monofásico. 3. El peso total de los conductores de un sistema trifásico, en relación a uno monofásico, por el cual se transmite la misma potencia a igual distancia, resulta sustantivamente menor que en el caso del sistema monofásico. Otra de las características de la evolución que han sufrido los sistemas de distribución de energía, lo constituye la frecuencia del sistema. Inicialmente se usaron frecuencias bajas para disminuir las reactancias inductivas de las líneas y las pérdidas debido a las corrientes parásitas en las máquinas eléctricas. Posteriormente se fue incrementando la frecuencia y actualmente en los sistemas eléctricos de potencia se utilizan frecuencias de 50 Hz y 60 Hz, debido a que una frecuencia mayor permite utilizar circuitos magnéticos de menor sección para una misma potencia dada, lo que da como resultado aparatos de menor tamaño y menor  costo. Desde el punto de vista de los niveles de tensión, ésta se ha ido elevando cada vez más, buscando un óptimo económico en la explotación de los Sistemas de Potencia, manifestado en la transmisión de mayores bloques de energía y en la disminución de las pérdidas de energía por efecto Joule en los conductores de la línea. Hasta el año 1917, los sistemas eléctricos operaban como sistemas aislados, transmitiendo energía solamente de un punto a otro a niveles de tensión relativamente bajos comparados con los actuales. Los niveles de tensión en la transmisión aumentaron rápidamente desde 3,3 kV utilizados en la línea de transmisión Willamette Portland en el año 1890, a 11 kV en el año 1896 usados para transmitir aproximadamente 10 MW desde Niágara Falls a Buffalo en Nueva York, para una distancia de 32 km. En ese mismo año se instaló en EEUU una línea de 25 kV. En el año 1903 entró en servicio una línea de 60 kV entre la planta hidroeléctrica de Necaxa y la ciudad de México, siendo este nivel de tensión el más elevado del mundo en aquel entonces. En el año 1913 los niveles de tensión en la transmisión aumentaron a 150 kV y en 1923 a 220 kV. En el año 1936 entró en servicio en EEUU una línea en doble circuito de 287 kV para transmitir 240 MW a una distancia de 428 km, desde la central de Hoover Dam, a través del desierto, hasta las cercanías de Los Angeles. En el año 1946 se inicia un programa de ensayo para diseñar una línea de 345 kV realizado por la American Electric Power (AEP). Esta línea se terminó de construir en el año 1953. Durante el mismo período la Swedish State Power Board de Suecia construyó una línea de 400 kV. En el año 1964 fue energizada la primera línea de transmisión de 500 kV en EEUU. Una de las razones más significativas para preferir este nivel de tensión sobre el de 345 kV, fue que el incremento de la tensión desde 230 kV a 345 kV, representaba una ganancia de solamente un 140 % de la potencia a transmitir, comparada con la ganancia del 400% al usar un nivel de tensión de 500 kV, que se analizará en mayor detalle en un capítulo posterior. En ese mismo año se inauguró en Canadá la central hidroeléctrica de Quebec con una línea de 603 km de longitud, operando a 735 kV. En 1969 la AEP pone en servicio una línea de 765 kV y en los años 80 se pone en servicio un sistema de transmisión de 1.100 kV en la Administración de Energía Bonneville (BPA). La tendencia a incrementar los niveles de tensión, es motivada principalmente con la intención de aumentar la capacidad de transmisión de la línea y a la vez reducir las pérdidas por unidad de potencia transmitida.

3

1.2. SISTEMAS DE TRANSMISION EN CORRIENTE CONTINUA EN ALTA TENSION (HVDC). Un sistema de transmisión en CC, considera las siguientes etapas: La energía eléctrica se genera en corriente alterna, la tensión se eleva al valor requerido mediante un transformador elevador, a continuación se rectifica para realizar la conversión a corriente continua y enviar el bloque de energía por la línea; en el extremo receptor se transforma mediante un inversor la corriente continua a corriente alterna, cuyo nivel de tensión se disminuye a través de un transformador reductor a un valor adecuado, para posteriormente inyectarla a los sistemas de CA. La figura siguiente, muestra un sistema de transmisión en CC. T/F Elevador 

Línea de Transmisión

Rectificador 

T/F Reductor  Inversor 

Carga

Figura 1.2: Esquema Típico de un Sistema de Transmisión en Corriente Continua en Alta Tensión. La primera instalación de este tipo entró en Servicio en el año 1954 en el continente europeo entre Suecia (Swedish Mainland) y la Isla de Gotland, a través de un cable submarino de 98 km, de longitud, transmitiendo 20 MW a 100 kV. A partir de ese año a la fecha existen en operación numerosos sistemas de transmisión de corriente continua en el mundo. En menos de treinta años, la potencia nominal en un sistema típico aumentó a 1.800 MW. Los niveles de tensión y las corrientes en la transmisión aumentaron en el mismo lapso de tiempo desde 100 kV a 1.066 kV ( 533 kV a tierra) y desde 200 a 2.000 Amperes, respectivamente. El uso de corriente alterna para el enlace submarino sueco tuvo grandes trastornos y finalmente no fue posible de operar en forma continua, porque la potencia reactiva de compensación requerida por el cable de transmisión no era factible de proporcionar. La eficacia de un tipo de válvula electrónica inventada por U. Lamm en Suecia durante la Segunda Guerra Mundial, hizo posible la primera transmisión submarina en corriente continua exitosa. Su op eración confiable y económica justificó posteriormente conexiones entre Suecia y Dinamarca, entre Inglaterra y Francia, entre las principales islas de Nueva Zelandia y entre la isla de Cerdeña e Italia. La transmisión en corriente continua en alta tensión por vía terrestre se ha utilizado en Estados Unidos, Canadá, Inglaterra, Japón, Rusia, Zaire y entre Mozambique y Africa del Sur. En general, el uso de la corriente continua es factible cuando los ahorros en costo de una línea en corriente continua compensan los costos de las unidades convertidoras (Rectificador-Inversor). Para la misma potencia a transmitir, el costo por unidad de longitud de una línea en corriente continua es más bajo que el de una línea en corriente alterna. En la figura siguiente se muestran los costos comparativos de líneas aéreas en corriente continua y corriente alterna, en función de la distancia de transmisión. Costo Transmisión en CA

Distancia mínima comparable

( Break-even ) Transmisión en CC

325

650

975

1.300

1.525

Distancia en km.

Figura 1.3: Costo Comparativo en Líneas de Transmisión Aéreas en CC y CA.

4

1.2.1: Algunas Ventajas y desventajas de la Transmisión en HVDC: La transmisión en corriente continua requiere solamente de dos conductores por circuito, en lugar de los tres necesarios en la transmisión en corriente alterna. En consecuencia, existe un menor peso de los conductores en una línea de corriente continua que en una línea de corriente corriente alterna, por ende, las las torres pueden pueden ser más pequeñas, con un un costo de fabricación menor y de más fácil instalación. Para líneas de igual longitud e igual potencia a transmitir, las pérdidas en la línea son menores en corriente continua que en corriente alterna. Despreciando el efecto pelicular, las pérdidas en la línea de corriente corriente alterna alterna son un 33% más grande que las las pérdidas en la línea de corriente continua. En caso de una falla monofásica en la línea de corriente continua los conductores continuarán funcionando a través del retorno por tierra lo que permite reparar la sección en falla sin dejar de transmitir transmitir potencia. El hecho de que cada conductor puede actuar como un circuito circuito independiente es muy importante, ya que esto hace que las líneas en corriente continua sean más confiables. En transmisión transmisión submarina submarina de una longitud superior superior a 32 km. En el caso caso de líneas de transmisión transmisión aérea de gran longitud y gran potencia a transmitir. En la interconexión interconexión de grandes sistemas eléctricos eléctricos mediante enlaces de pequeña capacidad, donde pequeñas diferencias diferencias de frecuencia producirían producirían serios problemas problemas en el control de la potencia transferida. En la interconexión de dos sistemas de corriente alterna que tienen diferentes frecuencias de operación. En ciudades con sistemas de cables subterráneos donde las distancias involucradas son grandes. Las sobre tensiones de maniobra maniobra en líneas de corriente continua son son menores que en líneas de corriente corriente alterna. En líneas aéreas de corriente corriente alterna se hacen hacen intentos para limitar los valores valores máximos de las sobre tensiones a magnitudes de dos a tres veces el valor máximo de la tensión nominal, y a 1,7 veces para el caso de líneas en corriente corriente continua. La radio radio interferencia interferencia y las pérdidas por efecto efecto corona corona son menores en en el caso de corriente continua que en el caso de corriente alterna. La resistencia de un conductor en corriente alterna es más grande que la resistencia de éste en corriente corriente continua, debido al efecto pelicular. pelicular. Por otra parte, un enlace de transmisión en corriente continua no presenta problemas de estabilidad. Al interconectar  sistemas de corriente alterna por medio de un enlace de corriente continua, las corrientes de cortocircuito no se incrementarán tanto como si existiera un enlace de corriente alterna. Esto puede ahorrar requerimientos de condensadores sincrónicos en el sistema. La reactancia transiente transiente de algunas plantas hidroeléctricas hidroeléctricas tiene valores por debajo de lo normal (para (para aumentar el límite de estabilidad), estabilidad), en este caso caso el costo de los generadores es más alto. Esto no se requeriría si se utiliza transmisión en corriente continua. Desde este punto de vista, una de las más importantes economías que se puede lograr al utilizar transmisión transmisión en corriente corriente continua, es que la máquina motriz motriz acoplada al alternador, no precisa fijar fijar su velocidad para obtener 50 Hz ó 60 Hz, sino que podría escogerse otra velocidad diferente para optimizar económicamente la operación de la central. En corriente alterna la potencia reactiva que se produce por la capacidad paralelo de un cable conductor, excede largamente a la consumida por la inductancia serie. serie. Esto se debe a que la impedancia de carga está por debajo de la impedancia característica, para evitar sobrecalentamiento de los conductores. Para un cable de 40 80 km, a 60 Hz, la corriente corriente de carga es prácticamente prácticamente igual a la corriente corriente nominal. Una comcompensación shunt podría teóricamente solucionar este problema. Sin embargo, esto es difícil de implementar  en aplicaciones con cables submarinos. Los cables para corriente continua no tienen tales limitaciones. Una línea en corriente continua en si misma no requiere de potencia reactiva. Los convertidores en ambos extremos de la línea absorben potencia reactiva desde el sistema de corriente alterna. Esto es independiente del largo de la línea, en contraste contraste con el sistema sistema de corriente alterna, alterna, donde el consumo consumo de potencia reactiva varía casi linealmente linealmente con la longitud longitud de la línea. Dentro de las desventajas más importantes, es la ausencia de interruptores de poder en CC, que representa una seria limitación para este tipo de transmisión, ya que en circuitos de corriente alterna, los interruptores de poder aprovechan la ventaja de los cruces por cero de la corriente, los que ocurren dos veces por ciclo. El arco no se restablece entre los contactos, porque el diseño del interruptor es tal, que la fuerza de interrupción de la trayectoria del arco entre los contactos permite su extinción. En el bloqueo de la corriente continua en líneas radiales, se realiza mediante el control de la grilla de los convertidores a válvulas. La producción de armónicos debido a la operación del convertidor, ocasiona problemas de interferencia en líneas telefónicas telefónicas de audiofrecuencia. audiofrecuencia. Esto obliga a poner filtros en ambos extremos extremos de la línea de transmisión en corriente continua para suprimir estos armónicos. Finalmente, se debe consignar que en un sistema de corriente alterna la tensión del extremo receptor de una línea larga en vacío, es considerablemente más alta que la nominal. Este fenómeno, denominado efecto Ferranti, es una limitación limitación en líneas de corriente corriente alterna que no aparece en líneas de corriente corriente continua. La figura siguiente muestra un típico sistema bipolar de transmisión en CC.

5

Id (+)

Vd

Vd

Id  (-) Figura 1.4: Sistema Sistema Bipolar de Transmisión en CC. 1.3. LOS INICIOS EN CHILE. Solamente unos pocos pocos años después de de la aparición de las centrales centrales de Holborn Holborn y de Pearl Pearl Street, en el el año 1897, se puso en operación la primera central generadora chilena: la Central Hidroeléctrica de Chivilingo, ubicada 10 km al sur de Lota, con dos alternadores Siemens de 250 kVA cada uno, 400 Volts, 50 Hz, con una altura de la caída de agua de 110 m dotada con turbinas Pelton, fabricadas por Voith, que fue la primera planta generadora de América del Sur. Fue construida por la firma norteamericana Consolidated Company para la Compañía Carbonífera Carbonífera de Lota. La energía generada generada se transmitía por una línea trifásica trifásica en 10 kV, con una longitud de 10 km. El 1 de junio de 1900, se puso en servicio la primera central de servicio servicio público propiamente propiamente tal en Santiago, en la esquina de las calles Mapocho con Almirante Barroso, con dos máquinas de 676 kW cada una, de CC. Se generaba generaba en 500 500 Volts Volts y se distri distribuía buía en 250 Volts. Volts. Ese Ese mismo mismo año, en Valpar Valparaíso aíso,, se puso en en servicio servicio la Central Térmica Térmica Aldunate, con dos unidades de CC, tipo locomóvil, locomóvil, que posteriormente, posteriormente, en el año 1904, se reemplazaron por turbogeneradores de 500 y 1.000 kW, cada uno. En 1905, se organizó la Compañía General de Electricidad Industrial, actual CGE, que puso en servicio una planta térmica en el camino de Lo Bravo, Ñuñoa, de 100 kW. La migración hacia hacia la CA. se inició inició el año 1905 con la puesta puesta en servicio servicio de la central hidroeléctrica hidroeléctrica de El Sauce, en el embalse Campamento Campamento sobre el lago P eñuelas, próximo próximo a Valparaíso, Valparaíso, propiedad de la Cía.  Alemana Trasatlántica de Electricidad, E lectricidad, que contaba con un alternador de 1 MVA, 7 kV, 50 Hz, interconectai nterconectada con la S/E Aldunate mediante una línea de unos 20 km a 7 kV. Esta misma empresa, empresa, puso puso en servicio la Central Hidroeléctrica Florida, cerca de Santiago con 4 generadores de 3 MVA cada uno, 50 Hz y 12 kV. Esta central se interconectó con la de Mapocho en Santiago mediante las líneas Florida-Victoria-Mapocho en 12 kV. Este sistema se amplió posteriormente con las subestaciones de Unión Americana, 1910 y Villavicencio, 1914, para posteriormente formar un anillo en torno al centro de Santiago en el año 1924. La Chile Exploration Company, que explotaba la mina de Chuquicamata, puso en servicio la Central Termoeléctrica de Tocopilla en 1915, con tres unidades Escher Wyss de 10 MVA cada una, 50 Hz y 5 kV, unida a la mina por una línea de transmisión transmisión a 110 kV, instalada instalada solamente solamente 5 años después después de haberse utilizado utilizado esta tensión por primera vez. Desde allí en adelante comienza el empleo masivo de la electricidad en Chile, en forma aislada primeramente, primeramente, para llegarse llegarse a interconexiones graduales graduales del sistema eléctrico eléctrico nacional en forma posterior.  A continuación continuació n se muestran algunas de los sistemas eléctricos existentes en Chile, desde el año 1935, en que prácticamente prácticamente solamente existían existían sistemas aislados. aislados. En la figura 1.5, se aprecian que existían existían esbozos de interconexiones interconexiones en la segunda región entre Tocopilla y Chuquicamata y entre las Oficinas Salitreras María Elena, Coya Sur y Pedro de Valdivia. En la tercera región, entre Chañaral, Montandón y Potrerillos, en la Zona Central, uniendo la Región Metropolitana con la Quinta Región, contando con los aportes de las centrales Sauce, Florida, Maitenes, Queltehues y Las Vegas. En la Sexta Región, se interconectaban las centrales de Coya y Pangal con la mina de Sewell. Más al sur no había otra interconexión interconexión que la existente entre la Central de Chivilingo y Lota. Las restantes restantes ciudades,

6 tenían generación local local y en algunos casos sólo por ciertos períodos durante el día. La figura 1.6, muestra el sistema existente en la zona que va desde el límite norte hasta la Isla grande de Chiloé. A los dos sistemas interconectados presentes en el Norte Grande, se le agrega el del Norte Chico, con base en las Centrales hidroeléctrica hidroeléctrica de Los Molles, con una caída de 1.050 metros y termoeléctrica de Guayacán que permitían atender los requerimientos conjuntos de La Serena, Coquimbo, Ovalle y Punitaqui. El Sistema de la Zona Central, se extendió desde desde la Quinta Región por el Norte, hasta Talca, Talca, en la Séptima Región por el Sur. Los nuevos aportes a la generación, fueron: Laguna Verde, Los Quilos, Volcán y Sauzal. Siguiendo hacia hacia el Sur, Sur, el Sistema Sistema de la Región del Bío Bío, sustentado sustentado por la Central Central Abanico, unía desde desde Chillán por el Norte, hasta Victoria por el Sur, con un ramal por la zona costera, que arrancando desde Concepción unía Coronel, Coronel, Lota, Carampagne Carampagne y Tres Pinos. Pinos. Aparece ya por esta época, otro sistema que interinterconecta parte importante importante de la Décima Región. Con base en la Central Pilmaiquén, Pilmaiquén, se unían, Valdivia Valdivia por el Norte, hasta Puerto Montt por el Sur, atendiendo a Corral, La Unión, Osorno y Puerto Varas. La figura 1.7, muestra el sistema interconectado interconectado Norte Norte Grande (SING), al año 1997, que abarca la primera y segunda regiones geográficas geográficas y las figuras 1.8 a 1.10, muestran los sistemas sistemas existentes en el país al año 1990. La figura 1.11, muestra la predicción realizada realizada por ENDESA, a mediados de la década de los 70, del Sistema Eléctrico esperado para el año 2.000, que se ha cumplido aproximadam aproximadamente. ente.

7

Figura 1.5: Sistema Eléctrico Chileno en el año 1935

8

Figura 1.6: Sistema Eléctrico Chileno en el año 1954

9

.

Figura 1.7: Sistema Interconectado Norte Grande.

10

Figura 1.8: Sistema Interconectado Central

11

Figura 1.9: Sistema de la Sexta Zona Eléctrica

12

Figura 1.10: Sistema de la Séptima Zona Eléctrica

14

1.4. CARACTERISTICAS GENERALES DE LOS SISTEMAS ELECTRICOS. Un sistema eléctrico, está constituido por centrales de generación de energía eléctrica, subestaciones, líneas de transmisión, líneas de distribución, gran diversidad de cargas eléctricas y una enorme variedad de equipos adicionales, con el objetivo que el suministro de energía eléctrica se realice con una calidad de servicio óptima. La demanda total de un sistema eléctrico, está formada por un gran número de cargas individuales de diferentes tipos (industrial, comercial, residencial); en general, una carga absorbe potencia activa y potencia reactiva, de modo que la potencia total suministrada por el sistema en cada instante es igual a la potencia total absorbida por las cargas, más las pérdidas del sistema. En el capítulo 6, se hace un estudio más detallado de las cargas. La potencia media total suministrada por el sistema varía en función del tiempo siguiendo una curva que puede predeterminarse con bastante aproximación y que depende del ritmo de las actividades humanas en la región servida por el sistema (conexión y desconexión de cargas individuales en forma aleatoria). En la figura 1.12 se representa una curva de este tipo, durante un período de 24 horas, lo que se denomina curva de carga diaria. El área bajo la curva representa la energía eléctrica provista por el sistema eléctrico durante ese período de tiempo. Potencia [MW]

0

4

Potencia Máxima Demandada Sobre el Sistema

8

12

16

20

24

Tiempo [Hrs.]

Figura 1.12: Curva de Demanda Diaria de un Sistema. La tabla siguiente muestra el uso de la energía eléctrica en Chile en el año 1996, según cifras de la Comisión Chilena de Energía, este consumo, porcentualmente, no difiere sustancialmente de lo que ocurre en otros países.

Tabla Nº 1.1: CONSUMO SECTORIAL DE ENERGIA EN CHILE (Año 1996) Sector Industria y Minas Comercial Público y Residencial Transporte Centros de Transformación Total

Consumo [GWh] 18.442 8.184 200 1.225 28.051

Consumo [%] 65,75 29,18 0,71 4,36 100,00

1.4.1: Fuentes de Energía Eléctrica: La energía eléctrica proviene de la transformación de la energía existente en alguna de las siguientes fuentes: Hidroenergía, en que la transformación de la energía en este caso, se realiza por medio de las centrales hidráulicas. Eólica, en este caso se aprovecha la energía del viento. Combustibles fósiles, como carbón, petróleo, gas o nuclear, en que se obtiene energía térmica a partir de estos para accionar una turbina. Geotermia, en que se aprovecha la temperatura elevada de capas subterráneas, biomasa, en que se aprovechan residuos vegetales (forestales) y/o plantaciones con carácter energético y energía solar, que se puede emplear directamente mediante celdas fotovoltaicas o

15 bien para elevar la temperatura de algún líquido que, gasificado, accionará una turbina.

- Hidroenergía:  En este caso pueden existir diferentes tipos de centrales hidráulicas: De embalse, de pasada, mixtas y mareomotrices. Las primeras pueden almacenar el agua por períodos de tiempo largos (dependiendo de la capacidad del embalse) y generar cuando es necesario realizar aportes al sistema. Las de pasada deben generar permanentemente, pues en este caso el agua no se puede almacenar; las mixtas tienen un pequeño embalse que permite un período reducido de almacenamiento y finalmente las mareomotrices, que operan por diferencias de nivel entre la alta y baja marea. Las figuras siguientes muestran estos tipos de centrales hidráulicas. La figura 1.13, muestra una típica central de embalse chilena, la central de Rapel, que en la fotografía está descargando exceso de agua acumulada por sus vertederos. Esta central tiene una potencia instalada de 350 MW. La figura siguiente, muestra la Central Cipreses de 101,4 MW, ubicada en la cabecera de la cuenca del río Maule captando las aguas de la Laguna Invernada y la figura 1.15, muestra un esquema de operación de una central mareomotriz. De este último tipo la más conocida es La Rance ubicada en el estuario del río del mismo nombre, en las cercanías de Saint-Malo en Bretaña, Francia, con una potencia de 350 MW, que opera desde 1966, funcionando 2.000 horas a plena potencia y cuatro mil horas a potencia reducida. Otra central de este tipo es la de Kislaya, en Rusia de 400 kW, de carácter experimental.

Figura 1.13: Central de Embalse Típica: Rapel

16

Figura 1.14: Central Cipreses, Mostrando Parte del Patio de Alta Tensión

Figura 1.15: Esquema de una Central Mareomotriz - Centrales Térmicas: Entre estas están las de Vapor Convencional , que se muestra en la figura 1.16, donde el calor desprendido por l a combustión de carbón, petróleo o gas, convierte el agua en vapor que acciona una turbina que va solidariamente unida al alternador. La figura 1.17, muestra una central de gas natural de Ciclo Combinado. Estas centrales trabajan con dos ciclos separados, uno opera con una turbina de gas y el otro con una turbina de vapor. De esta manera la producción global de electricidad se debe al aporte de los dos alternadores. El primero de ellos está movido por la turbina de gas cuyos gases de escape, de alta temperatura, se utilizan como fuente de energía del segundo ciclo, de vapor convencional, el que a su vez opera como una central de vapor clásica. Luego, las figuras 1.18 a 1.21, muestran centrales de fisión nuclear, cuyo principio de funcionamiento es similar a las centrales térmicas convencionales, con la diferencia que aquí la fuente de calor es la fisión de los átomos de un combustible nuclear. Entre estas centrales están las de agua a presión, de agua en

17 ebullición, enfriada por gas y con reactor reproductor rápido. El primer tipo, con Reactor de Agua a Presión,   mostrado en la figura 1.17, es la más difundida en el mundo y fue desarrollada principalmente en los Estados Unidos y Rusia. Inicialmente el diseño de estos reactores, fue realizado por Westinghouse y posteriormente Kraftwerk Union y Framatome, desarrollaron modelos basados en estos mismos principios. En estos reactores, el agua es usada como moderador (es decir, el material que es empleado para reducir la energía de los neutrones) y como refrigerante. Su combustible es Uranio enriquecido, hasta un 4 %, en forma de óxido. El agua de refrigeración, que circula a gran presión lleva la energía térmica desprendida en el núcleo del reactor a un intercambiador de calor, donde se genera el vapor que acciona el grupo turbina generador.

1: Quemador 2: Serpentín 3: Chimenea 4: Turbina

5: Alternador   6: Bomba de Condensado 7: Condensador   8: Agua de Refrigeración

Figura 1.16: Central Térmica Convencional

Figura 1.17: Central de Ciclo Combinado con gas natural Los Reactores de Agua en Ebullición , figura 1.19, son ampliamente usados en el mundo. Utilizan como combustible uranio ligeramente enriquecido en forma de óxido. El agua, actúa como refrigerante y mode-

18 rador. En este tipo de reactores la ebullición del agua ligera tiene lugar en el interior del núcleo del reactor, en el que la presión es inferior a la del sistema anterior. El vapor producido se separa del caudal del agua refrigerante por medio de unos separadores y unos secadores y a continuación opera sobre la turbina. Los reactores de este tipo han sido diseñados por General Electric y construidos principalmente en Estados Unidos, Japón y Suiza.

1 2 3 4 5 6

Cuerpo del Reactor Combustible (Uranio enriquecido) Moderador (Grafito) Refrigerante (Ag ua a 42 atmósferas) Varillas de regulación Protección Biológica

7 8 9 10 11 12

Intercambiador de Calor   Turbina de vapor   Generador   Condensador   Bomba de recirculación de la turbina Bomba de recirculación del refrigerante

Figura 1.18: Reactor de Agua a Presión (PWR) Otro tipo de reactores, son los enfriados por gas  (CO 2), donde éste está en contacto directo con el material fisionable que es Uranio natural. El calor es transferido a un circuito de agua-vapor, que actúa como refrigerante secundario y cuyo salto térmico es aprovechado para sobrecalentar el agua vaporizándola y es este vapor el que acciona directamente la turbina, como se aprecia en la figura 1.21.

19

1 2 3 4 5

Cuerpo del Reactor Combustible (Uranio enriquecido) Moderador (Agua natural) Refrigerante (Agua natural) Varillas de regulación

6 7 8 9 10

Protección Biológica Turbina de vapor   Generador   Condensador   Bomba de recirculación de la turbina

Figura 1.19: Reactor de Agua en Ebullición (BWR)

1. Núcleo 2. Barras de Control 3. Cambiador Sodio Sodio 4. Separador 5. vasija

6. Turbina 7. Alternador   8. Bomba de Condensado 9. Condensador   10. Agua de Refrigeración

Figura 1.20: Reactor Reproductor Rápido

20

Figura 1.21: Reactor Enfriado por Gas (CGR) Fusión Nuclear: Tecnología no disponible en la actualidad, basada en la liberación de energía proveniente de la fusión de átomos ligeros que se obtiene a millones de grados de temperatura. El desafío de la fusión implica un doble reto: aumentar la velocidad de desplazamiento de las partículas y mantenerlas  juntas, de manera que un número suficiente de ellas reaccione. Con ello se busca conseguir un gas sobrecalentado de manera que los electrones salgan despedidos de sus órbitas y en ese estado de disgregación de la materia, llamado plasma, las partículas cargadas puedan ser controladas por un campo magnético. En la actualidad la tecnología de la fusión se encamina fundamentalmente por dos vías: la magnética de los reactores llamados Tokamak , que en síntesis es un dispositivo toroidal, y los de Espejo , que es un dispositivo lineal, cuyo principal desarrollo se encuentra en los laboratorios de Estados Unidos y Rusia. La otra vía es la del confinamiento inercial, con intervención del láser. La energía ilimitada que los reactores de fusión generarían y la casi despreciable contaminación de sus deshechos radioactivos que se producirían, explican que los reactores de fusión sean el gran desafío de la ciencia actual y los enormes recursos que los países más desarrollados invierten en tales proyectos. La solución óptima sería el lograr  una fusión fría , dado que el principal problema consiste en la actualidad en lograr durante un tiempo suficiente la elevada temperatura requerida, en condiciones controladas, para desencadenar el proceso. La figura 1.22, muestra un reactor de fusión, del tipo toroidal descrito anteriormente.

Figura 1.22: Reactor de Fusión Otro tipo de centrales térmicas, son las Geotérmicas, figura 1.23, en que básicamente se aprovecha la

21 temperatura de la tierra, en forma de una concentración de calor, producida por diversas razones, tales como reacciones exotérmicas, zonas volcánicas o yacimientos de minerales radioactivos. Esta concentración de calor, se puede aprovechar mediante una corriente de agua existente o inyectada, para la producción de energía útil. Hay dos clases de geotermia, de baja temperatura y de alta temperatura. La primera de ellas corresponde a yacimientos subterráneos de agua caliente, con temperaturas que en general no sobrepasan los 90 ºC y se encuentran a profundidades normalmente accesibles por sondeo. La geotermia de alta temperatura se presenta bajo cuatro modalidades, el vapor seco, el vapor húmedo, la roca seca caliente y los depósitos de geopresión. La primera de ellas es la de más fácil aprovechamiento y el ejemplo más antiguo de esta aplicación, corresponde a las instalaciones de Larderello y Monte Amiata con 420 MW en Italia, siendo la más importante la de San Francisco en USA con 900 MW. Existen otros aprovechamientos en México, e Islandia y sitios con alto potencial en Centro y Sur América. En Chile el yacimiento más conocido es el de El Tatio al interior de Antofagasta, que según prospecciones realizadas en su momento, podría producir algunos cientos de kW, aunque últimamente el proyecto más avanzado es el de Calabozo en la Laguna de El Maule que usará una nueva tecnología desarrollada en USA en los últimos años, que se conoce como "tubos de potencia". Esta nueva opción energética, aprovecha las mayores temperaturas que hay en el subsuelo terrestre para generar electricidad. A diferencia de la geotermia convencional, los "tubos de potencia" no necesitan agua o vapor, ya que para generar electricidad se instalan módulos y un generador bajo la superficie. Para ello, se requiere realizar perforaciones de 116 centímetros de diámetro, que lleguen a profundidades en que el calor esté sobre 105 ºC. Los prototipos que hay en Austin y Houston necesitaron 6 mil metros para alcanzar esas temperaturas. Ese calor se necesita para calentar los tubos de la caldera. Estos contienen aceites, que al gasificarse ejercen presión para poner en rotación una turbina, que está acoplada a un generador. Una vez que se realiza ese proceso, el gas que asciende es nuevamente condensado, permitiendo reutilizar el aceite en un nuevo ciclo. Mientras haya calor estas plantas están operativas el 100% del tiempo. Sólo se requieren seis horas y media, cada cinco años, para realizar las mantenciones. La figura 1.23 muestra una planta geotérmica convencional.

Figura 1.23: Planta Geotérmica convencional Finalmente, dentro de las centrales térmicas están las plantas OTEC  (Ocean Thermal Energy Conversion) y las Termo solares. La figura 1.24, muestra un esquema básico de la operación de la primera de estas centrales. Estas obtienen la energía, mediante un ciclo termodinámico, aprovechando la diferencia de temperatura existente en el agua del mar a distintas profundidades. Las corrientes marinas templadas, provenientes del trópico, calientan un fluido térmico de bajo punto de ebullición (por ejemplo amoníaco) el que convertido en gas, acciona una turbina. A la salida de ésta, el amoníaco es condensado por una corriente de agua fría situada a una mayor profundidad.

22 Los costos de las componentes de la central, tuberías (pueden alcanzar entre 600 y 1.000 metros para tener el gradiente de temperatura adecuado entre los focos caliente y el frío), turbina y cambiadores de calor, son muy elevados lo que ha hecho que esta tecnología no se haya desarrollado hasta la fecha.

Figura 1.24: Esquema de una Planta OTEC Por último, las Centrales Termo solares , son similares a una planta térmica convencional, con la peculiaridad de que el calor empleado para producir el vapor que acciona el grupo turboalternador proviene de la radiación solar concentrada en un sistema receptor. Según la forma de concentrar la radiación solar, estas centrales pueden ser de dos tipos: De Colector Central y de Colector Distribuido. En el primer  caso, la radiación solar se concentra en un receptor colocado en una torre mediante grandes espejos (helióstatos), que se orientan automáticamente siguiendo el curso del sol. Las centrales del segundo tipo, concentran la radiación solar mediante espejos parabólicos en tubos que llevan un fluido térmico, siguiendo la línea focal del colector. En general estas centrales requieren de un sistema de almacenamiento de calor para funcionar en horas nocturnas o en días nublados. En España, Almería, existe un centro de ensayo para este tipo de tecnología, en donde hay instaladas una central de colector central de 1 MW, instalada en 1982 y dos de 0,5 MW, instaladas en el año 1981, de las que una de ellas es de colector central y la otra de colector distribuido. La figura 1.25, muestra una central del primer tipo.

Figura 1.25: Central Termosolar de Colector Central - Energía Eólica: Convierte la energía del viento en energía eléctrica mediante una aeroturbina que hace

23 girar un alternador. La máquina aprovecha el flujo dinámico de duración cambiante y con desplazamiento horizontal del viento. La cantidad de energía obtenida es proporcional al cubo de la velocidad del viento, lo que muestra la importancia de este factor. El procedimiento es viable para una gama de vientos comprendidos entre los 5 y 20 m/s. Para velocidades inferiores a 5 m/s el aparato no funciona y por encima del límite superior debe detenerse para evitar  averías, poniéndose en bandera. Las principales limitaciones de estas máquinas, se presentan por el límite impuesto a la eficiencia de ellas. En efecto el coeficiente de Betz, establece un límite teórico máximo inferior al 60 %, lo que obliga a que las aspas sean de grandes dimensiones para obtener potencias elevadas. En general, aunque el viento tiene un comportamiento muy aleatorio en cortos intervalos, en grandes períodos de tiempo es bastante predecible. Ello ha llevado a la construcción de importantes Granjas Eólicas, de las que las más conocidas son las de California en USA, cuyo aporte al sistema eléctrico es significativo. Sin embargo, siempre deben operar con el respaldo de un sistema, dado que la ausencia de viento impide la generación. En la actualidad la tecnología más difundida es la de rotor horizontal, por su madurez, sin embargo también se han desarrollado las máquinas de rotor vertical (del tipo Darrieus o variantes de éste con geometría variable). El inconveniente de estas máquinas es que carecen de suficiente torque de arranque, pero su ventaja en relación a las máquinas de rotor horizontal es que el generador está ubicado a ras del suelo, en lugar de estar en la cúspide de la torre como ocurre con aquellas. En USA, se han construido generadores experimentales de 2,5 MW y en Suecia de 3 MW con torre de 70 metros de altura. La figura 1.26a), muestra una máquina de rotor horizontal y la b) una de rotor Vertical.

a)

b)

Figura 1.26: Centrales Eólicas. a) Rotor Horizontal; b) Rotor Vertical - Energía Solar: El último tipo de energía aprovechable para generación de grandes potencias, puede

24 ser, a futuro, el denominado sistema fotovoltaico. El gran inconveniente que presenta en la actualidad es el bajo rendimiento de estos sistemas, del orden de un 12 %, lo que obliga a que los paneles que portan las células fotovoltaicas, deban ocupar enormes superficies para generar potencias significativas, por lo que actualmente, la tecnología está siendo empleada solamente para producir pequeñas potencias en lugares aislados que permiten atender radio estaciones, ayudas de navegación aérea, consumos domésticos, etc. El principio de funcionamiento de estos sistemas es la generación de corriente continua debido a la excitación que sufren los electrones de ciertos semiconductores como por ejemplo silicio, sulfuro de cadmio, fosfuro de indio, etc. debido a la incidencia de la radiación solar La base de la generación son las celdas fotovoltaicas, cuya corriente típica es del orden de los 0,2 A. a una tensión de 0,5 V. De este modo, para lograr potencias significativas, se deben realizar arreglos de grandes unidades conectadas entre sí, lo cual ha limitado su aplicación. La figura 1.27 muestra una aplicación de muy baja escala

. Figura 1.27: Sistema Fotovoltaico

1.4.2: Oferta de la Energía Eléctrica en Chile: Según cifras de la Comisión Nacional de Energía (CNE), el sector Eléctrico en Chile, año 2001, tenía la composición que se muestra en la tabla Nº 1.2: Tabla Nº 1.2: Composición de la Oferta del Sector Eléctrico en Chile al año 2001 Sistema SING SIC AYSEN MAGALLANES ISLA DE PASCUA TOTAL

Potencia Bruta [MW] Hidroenergía 13,390 4.025,800 4,060 0,000 0,000 4.043,250

Térmica 3.437,550 2.548,900 13,050 64,500 2,775 6.066,775

Total 3.450,940 6.574,700 17,110 64,500 2,775 10.110,025

Fuente: Comisión Nacional de Energía En cuanto a la disponibilidad de fuentes de energía primaria, los recursos hídricos y su ubicación se muestran en la tabla siguiente:

25

Tabla Nº 1.3: DISTRIBUCION GEOGRAFICA DEL POTENCIAL HIDROELECTRICO CHILENO POTENCIA [MW] ZONA

TOTAL VIABLE DE EXPLOTAR (Est.)

NORTE: I A IV REGIONES CENTRO SUR: V A X REGIONES AUSTRAL: XI Y XII REGIONES TOTAL PAIS

EN EXPLOTACION

% EXPLOTADO

POSIBLE DE EXPLOTAR

200

27

13,50%

173

14.430

4.009

27,78%

10.421

5.800

9

0,16%

5.791

20.430

4.045

19,80%

16.385

Fuente: Comisión Nacional de Energía Desde el punto de vista del abastecimiento de energéticos primarios, las cifras y predicciones de la CNE, señalan la siguiente composición para los años 1997, 2005 y 2015, expresados en porcentaje del total requerido:

Tabla Nº 1.4: COMPOSICION ESPERADA DE LA OFERTA ENERGETICA EN CHILE AÑO 1997 2005 2015

GAS NATURAL 1% 28 % 24 %

HIDRO 59 % 41 % 44 %

INTERCONEXION 0% 3% 11 %

CARBON 29 % 19 %

PETROLEO OTROS 9% 2% 7% 2% 21 % (*)

TOTAL 100 % 100 % 100 %

(*): Para el año 2015, se han agrupado las fuentes menos relevantes: carbón, petróleo y otros. Fuente: Comisión Nacional de Energía. 1.5. ASPECTOS BASICOS DE LAS LINEAS ELECTRICAS. En este apartado, se pretende sentar las bases conceptuales del curso de Líneas de Transmisión (Sistemas de Potencia I), entregando algunas definiciones y formalizando un lenguaje común a emplear durante el curso.

1.5.1: Objetivos y Clasificación de las Líneas Eléctricas: Los objetivos de las líneas como componentes de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP), se pueden resumir en: Transmitir la Energía Eléctrica (EE) desde las centrales de generación a los centros de consumo. Distribuir la EE a los consumos individuales Interconectar distintas centrales y/o subestaciones (S/E) entre si, para configurar un sistema más confiable y económico en su operación. No existe una clasificación normalizada para las líneas eléctricas, por lo que se establecerá una como la siguiente:

a) Según su Objetivo: Desde este punto de vista, las líneas se clasifican en: -

-

Líneas de Transmisión:  Transmiten la Energía Eléctrica (EE) desde las centrales de generación a Subestaciones (S/E) importantes; interconectan centrales o S/E. entre sí. Se caracterizan por  transmitir grandes bloques de energía a tensiones elevadas. En Chile los niveles de tensión actualmente en uso son: 66; 110; 154; 220 y 500 kV. En otros países hay líneas de 750, 1100 y 1.750 kV (esta última de tipo experimental). Líneas de Distribución Primaria: Transmiten la EE desde S/E importantes a centros de consumo localizados, grandes ciudades o áreas geográficas específicas. Los valores de tensión usuales son: 12, 13, 2, 15 kV y 23 kV, este último nivel de tensión para distribución rural.

26 -

Líneas de Distribución Secundaria:   Tienen por objeto proporcionar la EE a los usuarios que representan consumos pequeños. Las tensiones son 220 y 380 Volts.-

La figura 1.28 siguiente, muestra un diagrama unilineal de un SEP, con diferentes niveles de tensión de operación.

Circuito A 13,2 kV

154/12 kV

12/0,38 kV

Consumos 13,2/154 kV

Circuito B

Alimentador de 12 kV Figura 1.28:

Diagrama Unilineal de un SEP, Mostrando los Diferentes Niveles de Tensión a los que Operan las Líneas Eléctricas.

b) Según su Forma Constructiva: De acuerdo a esta alternativa, las líneas se clasifican en: Líneas Aéreas: En ellas, los conductores, usualmente desnudos, van montados en estructuras convenientemente aisladas de las fases que conforman la línea por sistemas de aislación apropiados al nivel de tensión de operación de ésta. - Líneas Subterráneas:  En este caso los conductores, adecuadamente aislados, van ubicados directamente bajo tierra o bien en ductos especiales.  Ambos tipos de líneas se pueden emplear indistintamente en alta o baja tensión. Sin embargo, por razones de economía, se emplean preferentemente las líneas aéreas en alta tensión y subterráneas en media y baja tensión. La línea en mayor tensión subterránea existente en Chile es de 110 kV y alimenta el Metro de Santiago. -

c) Según su Tensión de Operación:  La normativa eléctrica chilena define las líneas según su tensión de operación en: -

Líneas de Baja Tensión (BT): Son aquellas que operan a tensiones menores que 1.000 Volts. Líneas de Media tensión (MT): Las que operan a tensiones comprendidas entre 1 y 60 kV. Líneas de Alta Tensión (AT): Las que operan a tensiones comprendidas entre 60 y 220 kV. Líneas de Extra Alta Tensión (EAT):  Las que operan a tensiones mayores de 220 kV.

d) Según su Modelo Eléctrico:   Dependiendo del modelo empleado para representarlas, las líneas se clasifican en: -

Líneas Cortas: Son aquellas en que su tensión de operación es menor a 110 kV y su longitud es inferior a 50 km. Líneas de Mediana Longitud:  Su tensión de operación es mayor o igual a 110 kV y su longitud está comprendida entre 50 y 200 km. Líneas de Gran Longitud:  Su tensión de operación es mayor que 110 kV y su longitud es superior a 200 km.

1.5.2: Caracterización Topológica de los S istemas Eléctricos: Desde el punto de vista topológico, los sistemas de potencia reciben diferentes denominaciones, dependiendo de la configuración que presentan. Se distinguen los sistemas radiales, en anillo y enmallados. El primero de ellos, se muestra en la figura 1.28. Se caracterizan porque en estos sistemas no existen caminos cerrados. Es decir, las líneas que arrancan de los alimentadores siguen caminos separados sin volver a encontrarse. Desde el punto de vista de la economía, son los más baratos, pero a la vez, desde el punto de vista técnico, ofrecen poca confiabilidad y son sensibles a fallas, que pueden desenergizar todo el alimentador.

27

Figura 1.29: Ejemplo de un Sistema Radial Los Sistemas en Anillo, al menos tienen un lazo, por lo cual mejoran los aspectos de confiabilidad, ya que en caso de alguna falla, parte del sistema se puede mantener operando. La figura 1.30, muestra un ejemplo de este tipo de sistemas.

Figura 1.30: Ejemplo de un Sistema en Anillo Finalmente están los Sistemas Enmallados, en que existen varios lazos dentro de él, por lo que la confiabilidad de este tipo de sistemas aumenta considerablemente en relación a los anteriores, pero también se incrementa su costo. La figura 1.31, muestra un ejemplo de sistema enmallado.

Figura 1.31: Ejemplo de un Sistema Enmal lado

28 En la etapa de diseño de u n SEP, deberá optarse por uno u otro tipo de sistema, dependiendo de numerosos factores, dentro de los cuales los principales lo representan la confiabilidad que debe tener el sistema y el factor económico.

1.6. CARACTERISTICAS DE ALGUNOS TIPOS DE CONDUCTORES. En general, las principales características de un buen conductor son: elevada conductividad, apropiada resistencia mecánica a la tracción y bajo costo. Adicionalmente en el caso de líneas aéreas, se requiere que sean de bajo peso por unidad de longitud. Los mejores conductores a temperatura ambiente son los metales y de entre éstos, el cobre y el aluminio puros o combinados con acero u otros materiales. De los conductores señalados, el acero tiene la mayor  resistencia a la tracción, el cobre la mejor conductividad ( ) y el aluminio el menor peso, cuando se les compara en iguales condiciones de longitud, sección y temperatura de trabajo. En cuanto al cobre, existen tres clases comerciales referente a su resistencia mecánica; duro, semiduro y recocido. Los primeros se trefilan en frío, los segundos con un proceso de recocido antes de las últimas etapas de trefilación y los últimos se someten a un proceso de recocido después de las etapas finales de trefilación. Los fabricantes comerciales de conductores de cobre, le asignan nombres específicos a sus productos y entre los principales tipos empleados en la construcción de líneas se tienen: Conductores macizos, usualmente cilíndricos. Conductores cableados, formado por varios hilos convenientemente trenzados Conductores copperweldt, conductor cableado de cobre, con alma de acero Conductores copperweld-copper conductor cableado de cobre con alma de acero y cobre. 2 En general los conductores macizos se emplean para secciones pequeñas, hasta 16 mm   aproximadamente, y los cableados para secciones mayores. Los conductores de aluminio puro se fabrican tanto macizos como cableados. En cuanto a los conductores compuestos, el más utilizado es el ACSR. (Aluminium Cable Steel Reinforced) formado por hilos de aluminio, trenzados sobre un núcleo compuesto de hilos de acero. Existen otras denominaciones de fábrica para cables de aluminio, que dependen del tratamiento térmico que se le ha aplicado y tipo de aleación, como por ejemplo: ALDREY, que es una aleación de aluminio magnesio y hierro. La elección del conductor a emplear en la construcción de una línea, depende de varios factores, como por ejemplo ubicación geográfica, limitaciones eléctricas, mecánicas y térmicas y, por supuesto, el factor  económico que usualmente es decisivo.

1.7. UNIDADES DE MEDIDA DE LOS CONDUCTORES ELECTRICOS. Para especificar un conductor, además del material de que está fabricado, se debe señalar su diámetro y/o sección. En los países en que se emplea el sistema inglés, el diámetro se especifica en pulgadas o milésimas de pulgada (mil) y el área de la sección transversal en pulg2 o más habitualmente en circular  mils (CM). Estas unidades se definen como sigue: 1 Mil = 0,001 pulgada = 10-3 pulgada 1 CM = Area de un conductor cuyo diámetro es igual a 1 mil Entonces: 1 CM =

4

(10

3

pulg) 2

Por tanto: 1 mm2 = 1.973,5 CM.

4

10

6

(25,4001 mm) 2

0,5067 10

3

mm 2

2. 000 CM para estimaciones prácticas.

Si el diámetro de un conductor se expresa en mils, su área, expresada en CM resulta igual a d2:  A =

4

(d 10

3 2

)

4

10

6 2

d

Por lo cual, la sección de un conductor expresada en CM, resulta igual al cuadrado de su diámetro expresado en mils. En el sistema inglés, es muy utilizado el sistema AWG (American Wire Gage). Este sistema se define en

29 base a una serie de calibres, en el cual la razón entre diámetros consecutivos se mantiene constante. El primer calibre (mayor) se identifica como 4/0 y se le asigna un diámetro de 460 mils, y al calibre Nº 36, último de la serie (menor) se le asigna un diámetro de 5 mils, como se muestra en la tabla siguiente:

Tabla Nº 1.5: CALIBRES AWG DE ALGUNOS CONDUCTORES DE COBRE Nº 0000 = 4/0 000 = 3/0 00 = 2/0 1 2 .. .. 36

Diámetro 460/1 = 460 460/k 460/k2 460/k3 460/k4 .. .. 460/k39 = 5

Esta razón k , entre diámetros consecutivos se calcula a partir de la relación entre los valores extremos: 460 5

460 K 39 92 K 39 92 1,1229 460 K 39  A su vez, la razón entre secciones consecutivas (correspondiente a diámetros sucesivos) será:  A 1  A 2

4

d1

d1 4 k

2 2

k2

1,261

La tabla siguiente muestra algunas secciones y diámetros de conductores

Tabla 1.6: SECCIONES Y DIAMETROS DE CONDUCTORES Calibre AWG

Sección en CM

4/0 3/0 2/0 1/0 1 2 3 4 5 6 7 8

211.600 167.860 133.100 105.500 83.690 66.370 52.630 41.740 33.100 26.250 20.820 16.510

Sección en mm2 107,2 85,1 67,4 53,5 42,4 33,6 26,7 21,1 16,8 13,3 10,5 8,4

Diámetro en mm. Calculado Tablas 11,68 13,30 10,41 11,80 9,27 10,50 8,25 9,40 7,35 8,34 6,54 6,54 5,83 5,83 5,19 5,19 4,62 4,62 4,12 4,11 3,66 3,66 3,26 3,26

31

CAPITULO 2: CALCULO DE LOS PARAMETROS DE LAS LINEAS ELECTRICAS. 2.1: DEFINICION CONCEPTUAL DE LOS PARAMETROS. En general, una línea, como componente de un SEP, está constituida por un sistema de conductores separados entre sí por distancias relativamente pequeñas, montados sobre estructuras, de las cuales están convenientemente aisladas y que los mantienen a una distancia adecuada del suelo. En condiciones de operación normal, cada conductor está sometido a una cierta tensión y circulan por ellos corrientes, que establecen campos eléctrico y magnético respectivamente en el espacio ubicado entre los conductores y en el primer caso, entre los conductores y tierra, generándose adicionalmente una pérdida de energía en forma de calor. La figura 2.1. muestra esquemáticamente el caso de una línea formada por dos conductores y recorrida por una cierta corriente instantánea, la disipación de energía que ocurre en la línea y los campos eléctrico y magnético asociados a ella.

i

i B

E

B

B

B

E

E

Figura 2.1. Campos Eléctrico y Magnético en una Línea de dos Conductores y la Disipación de Energía que Ocurre. Esta figura permite visualizar en forma práctica tres de los cuatro parámetros, los relevantes en cualquier  condición de operación, de las líneas eléctricas.

- Parámetro Resistencia, R: Como la línea está formada por conductores físicos, tiene una resistencia eléctrica que es la principal causante de las pérdidas de energía, que en este caso, se manifiesta en forma de calor, por tanto, este parámetro es de capital importancia en los estudios económicos de transmisión de energía.

- Parámetro Inductancia, L: Caracteriza el efecto del campo magnético que rodea a los conductores, el cual produce en ellos efectos de autoinducción e inducción mutua. El parámetro inductancia reunirá a ambos efectos en uno sólo y resulta ser clave en el diseño de las líneas de transmisión, ya que es dominante en relación a los otros parámetros de éstas.

- Parámetro Capacidad, C: Representa el efecto del campo eléctrico existente entre los conductores y entre conductores y tierra. Circuitalmente este parámetro constituye un camino de fuga para las corrientes que circulan por los conductores. Como se verá en su oportunidad, las corrientes de fuga

32 dependen de la tensión de operación de la línea y de su longitud, por lo que tendrán importancia en las líneas de mediana y gran longitud.

- Parámetro Conductancia, G: Representa el efecto de las corrientes de fuga desde los conductores a tierra debido a la imperfección del sistema de aislación. Las corrientes de fuga, principalmente fluyen a través de las superficies de los aisladores que soportan a los conductores, cuyas propiedades aislantes varían decisivamente con el estado de sus superficies. En los cálculos normales se desprecia su efecto debido a su valor pequeño y a que no existen expresiones analíticas que permitan su evaluación. Cuando se requiere, las pérdidas debido a la conductancia, se determinan experimentalmente. Los parámetros R y L determinan la impedancia serie de la línea y los parámetros C y G su admitancia shunt o paralelo. En general los parámetros se expresan en unidades/unidad de longitud como se indica: R : [ m] o en /km] L : [H/m] o en [H/km] C : [F/m] o en [F/km] o más habitualmente en [ F/km] atendido al gran tamaño del Farad. G : [ /m] o en [ /km]

Obs.: La unidad internacionalmente aceptada para  es el Siemens [S]. Finalmente debe señalarse que las líneas eléctricas de un SEP son en general trifásicas y, en condiciones normales, operan en régimen balanceado. En este caso se calculan los parámetros por fase que permiten reemplazar el circuito trifásico original, por una equivalente monofásico. En caso de operación en régimen desequilibrado, el problema se debe resolver directamente en cantidades de fase o bien en cantidades de secuencia, que se verán en un capítulo posterior. En los apartados que sigue, se calcularán los parámetros por fase de una línea eléctrica.

2.2: CALCULO DEL PARAMETRO RESISTENCIA. En general se distinguen dos tipos de Resistencia eléctrica: óhmica o de C.C. y efectiva o de C.A. La primera responde a la que presenta un conductor recorrido por una corriente continua y la segunda al caso que el conductor sea recorrido por una corriente alterna. Ambas están relacionadas por el denominado efecto pelicular, piel, skin o Kelvin, que depende fundamentalmente de la frecuencia y la permeabilidad magnética del material. La resistencia de un conductor es función de la temperatura, la frecuencia y de sus dimensiones físicas. Para una frecuencia determinada (o nula -C.C.-) la resistencia es una función alineal de la temperatura y se puede representar por una serie como la siguiente: 2

3

Rt = R0 + a1t + a2 t  + a3t + ...

(2.1)

Sin embargo, dentro del rango habitual de la temperatura de operación para los conductores (entre 0 ºC y 100 ºC, normalmente), se puede aproximar esta serie de potencias por una relación lineal, lo que equivale a considerar que no hay modificación de las dimensiones físicas del conductor.

2.2.1: Resistencia Ohmica (de C.C.):  La expresión usual para el cálculo de la resistencia de un conductor de largo ; área de la sección transversal  y de resistividad , está dada por: l R=  [  A En que usualmente las unidades en que están expresados son: l = [m] 2  A = [mm ] =

mm m

2

(2.2)

33 La resistividad, inversa de la conductividad, es propia de cada material y varía con la temperatura como se aprecia en la figura 2.2. t

t [ºC]

Figura 2.2. : Variación de con la Temperatura.  Así se puede escribir: t  =

0  +

(2.3)

ct

Donde: t : Resistividad del conductor a la temperatura  en ºC. 0 : Resistividad del conductor a la temperatura de 0 ºC c : Pendiente de la recta, que representa la variación de la resistividad por cada grado de aumento de . Este valor es una constante positiva, independiente de la temperatura y propia de cada material. Para otros compuestos, diferente de los metales, puede ser negativa.  A partir de esta constante, se define un coeficiente de temperatura tal que: c -1 [ºC ]: coeficiente de temperatura relativa a 0º . 0= 0

Este coeficiente depende del material y de la temperatura de referencia. Es positivo para los metales, negativo en aislantes en general y aproximadamente cero en ciertas aleaciones como manganina, advance, nicrom, constantan, etc. Dimensionalmente, sus unidades son recíprocas de la temperatura. Si se reemplaza en (2.3.), se tiene: t =

0 +

0

0 t

=

0 (1

+

(2.4)

0 t)

Y combinando esta expresión con (2.2): Rt = R0 (1 +

0t

(2.5)

)

En que: Rt  : Resistencia a la temperatura t ºC. R0 : Resistencia a la temperatura de 0 ºC. Si se requiere calcular la resistencia a la temperatura t 2  conocida la resistencia a una temperatura t 1, distinta de 0 ºC. Se puede obtener una relación a partir de (2,5): Rt1 = R0 ( 1 + 0 t1) Rt2 = R0 ( 1 + 0 t2) Entonces, dividiendo miembro a miembro y despejando R t2, se puede escribir: 1 o t2 Rt2 = R t1 1 t o 1 Por otra parte, a veces el valor disponible es c t1 t1 = 0= t1  c t1 c t2 t2 =

1,

a temperatura t1 en lugar de

(2.6) 0,

entonces de (2.3):

34  Así:

t2 =

Si se define:

t1  ct1 + 1=

ct2 =

t1 +

c (t2  t1)

c t1

Entonces:

t2 =

t1 +

t1 (t2  t1)

1

+

1 (t2  t1)]

(2.7)

Rt2 = Rt1 [1 +

1 (t2  t1)]

(2.8)

t2 =

t1 [1

Por tanto, análogamente a (2.5):

De las relaciones (2.6) y (2.8): 1+

1(t2  t1)

=

1

0t 2

1

0 t1

;

 Entonces se tiene: 1 =

1

0

1

0

t1

(2.9 )

1

t1

0

Con el objeto de comparar las características eléctricas de los conductores, se ha definido la resistividad de un cobre patrón, normalizado, a 20 ºC de temperatura correspondiente a una muestra de cobre puro 2 de un metro de longitud, un gramo de peso y densidad de 8,89 (gr/mm ). El valor de la resistividad de 2 2 este cobre patrón es de: 0,0172414 [ /m/mm ] por lo cual su conductividad es de 58 [ /mm /m]. Comercialmente los conductores se expresan en términos de la conductividad y no de la resistividad y, además, como un porcentaje de la correspondiente al cobre patrón, considerada igual a 100%. La tabla siguiente, muestra algunos conductores usuales y sus características eléctricas.

Tabla 2.1: ALGUNAS CARACTERISTICAS DE CONDUCTORES Conductor: Cobre recocido Cobre duro, estirado en frío  Aluminio duro, estirado en frío  Acero

2

2

[ /mm /m] 100% 97% 62% 12,3%

[ /m/mm ] 0,017241 0,01772 0,02781 0,14017

0  a

0 ºC

0,00427 0,00414 0,00438 0,00471

1a

20 ºC

0,003934 0,003823 0,004027 0,004305

Las tablas que se incluyen en las páginas siguientes muestran las características de diferentes tipos de conductores: cobre; aluminio; aleación de aluminio y ACSR. En particular se señalan la resistencia óhmica y efectiva, además de otras características que se emplearán posteriormente.

2.1.2: Resistencia Efectiva (de C.A.): La densidad de corriente solamente es uniforme en el caso que el conductor esté recorrido por C.C. En el caso de corriente alterna, a mayor frecuencia, la densidad de corriente se incrementa en la superficie, disminuyendo en la zona central del conductor, fenómeno que se conoce como efecto superficial, pelicular, skin, piel o Kelvin. Esto trae como consecuencia una disminución de la superficie útil del conductor y por tanto un aumento de la resistencia. Esta resistencia se denominará Resistencia efectiva (Re) y se determina normalmente en forma experimental o bien a partir de la resistencia óhmica. En el primer caso, se mide la potencia perdida en el conductor y la corriente que circula por él, tal que: Re =

Pp I 2e

(2.10)

35

Tabla Nº 2. 2: CARACTERÍSTICAS DE CONDUCTORES DE COBRE COMERCIAL Resistencia: /km 25 ºC 50 ºC

Nº AWG

CC

50 Hz

50 Hz

= 97 %

Componentes de Conductor  Xa Xa Reactancia Reactancia Serie: Paralelo:  /km M km

---------

1000,00 950,00 900,00 850,00

61 61 61 61

29,30 28,50 27,80 27,00

4595 4365 4136 3905

20,41 19,41 18,37 17,37

1300 1260 1220 1170

0,0365 0,0384 0,0405 0,0429

0,0385 0,0405 0,0424 0,0448

0,0418 0,0440 0,0460 0,0486

0,2816 0,2835 0,2853 0,2868

0,2418 0,2433 0,2447 0,2464

---------

800,00 750,00 700,00 650,00

61 61 61 37

26,20 25,40 24,50 23,60

3676 3447 3216 2987

16,33 15,47 14,42 13,52

1130 1090 1040 990

0,0456 0,0486 0,0521 0,0561

0,0472 0,0501 0,0535 0,0576

0,0513 0,0546 0,0582 0,0626

0,2884 0,2909 0,2934 0,2959

0,2481 0,2499 0,2520 0,2542

---------

600,00 550,00 500,00 450,00

37 37 37 37

22,60 21,70 20,70 19,60

2758 2527 2298 2067

12,25 11,25 10,21 9,28

940 890 840 780

0,0608 0,0663 0,0729 0,0810

0,0620 0,0675 0,0738 0,0818

0,0675 0,0735 0,0805 0,0893

0,2984 0,3012 0,3040 0,3083

0,2564 0,2590 0,2616 0,2631

---------

450,00 400,00 350,00 300,00

19 19 19 19

19,60 18,50 17,30 16,00

2067 1838 1609 1378

9,00 7,96 7,08 6,12

780 730 670 610

0,0810 0,0912 0,1042 0,1215

0,0918 0,0918 0,1046 0,1219

0,0893 0,1002 0,1143 0,1330

0,3083 0,3120 0,3164 0,3207

0,2647 0,2682 0,2720 0,2763

------4/0

300,00 250,00 250,00 211,60

12 19 12 12

16,70 14,60 15,20 14,00

1378 1149 1149 972

5,96 5,10 5,06 4,30

610 540 540 490

0,1215 0,1458 0,1458 0,1723

0,1219 0,1460 0,1460 0,1725

0,1330 0,1597 0,1597 0,1883

0,3182 0,3269 0,3238 0,3288

0,2740 0,2817 0,2790 0,2838

4/0 3/0 2/0 1/0

211,60 167,80 133,10 105,50

7 7 7 7

13,30 11,80 10,50 9,40

972 771 616 485

4,15 3,34 2,69 2,16

480 420 360 310

0,1723 0,2173 0,2738 0,3455

0,1725 0,2173 0,2738 0,3455

0,1883 0,2374 0,2989 0,3765

0,3356 0,3425 0,3499 0,3574

0,2871 0,2938 0,3004 0,3071

1 1 2 2

83,69 83,69 66,37 66,37

7 3 7 3

8,34 9,14 7,41 8,12

384 381 305 302

1,73 1,64 1,38 1,32

270 270 230 240

0,4356 0,4340 0,5494 0,5450

0,4356 0,4340 0,5494 0,5450

0,4753 0,4704 0,5990 0,5934

0,3648 0,3630 0,3717 0,3704

0,3137 0,3083 0,3203 0,3151

2 3 3 3

66,37 52,63 52,63 52,63

1 7 3 1

6,54 6,60 7,24 5,83

299 242 240 237

1,36 1,10 1,07 1,11

220 200 200 190

0,5386 0,6928 0,6858 0,6792

0,5386 0,6928 0,6858 0,6792

0,5872 0,7556 0,7481 0,7407

0,3754 0,3791 0,3779 0,3829

0,3274 0,3270 0,3216 0,3341

4 4 5 5

41,74 41,74 33,10 33,10

3 1 3 1

6,45 5,19 5,74 4,62

190 188 151 149

0,85 0,89 0,68 0,72

180 170 150 140

0,8650 0,8562 1,0874 1,0790

0,8650 0,8562 1,0874 1,0790

0,9432 0,9339 1,1893 1,1775

0,3847 0,3897 0,3922 0,3972

0,3282 0,3409 0,3349 0,3475

6 6 7 8

26,25 26,25 20,82 16,51

3 1 1 1

5,10 4,11 3,66 3,26

120 118 94 74

0,55 0,58 0,47 0,37

130 120 110 90

1,3732 1,3620 1,7170 2,1650

1,3732 1,3620 1,7170 2,1650

1,4975 1,4851 1,8703 2,3612

0,3996 0,4046 0,4114 0,3673

0,3417 0,3540 0,3606 0,3673

(*): Para conductores a 75 ºC; ambiente a 25 ºC; suave brisa de 2,2 [km/hr]

36

Tabla Nº 2.3: CARACTERÍSTICAS DE CONDUCTORES DE ALUMINIO

= 62 %

Resistencia: /km 25 ºC 50 ºC CC

50 Hz

50 Hz

Componentes de Conductor  Xa Xa Reactancia Reactancia Serie: Paralelo:  /km M km

Jessamine Coreopsis Gladiolus Carnation

1750,0 1590,0 1510,5 1431,0

61 61 61 61

38,7 36,9 36,0 35,0

2446 2226 2116 2005

14,90 13,59 12,91 12,23

1550 1460 1410 1370

0,0326 0,0359 0,0378 0,0399

0,0346 0,0381 0,0399 0,0419

0,0378 0,0415 0,0435 0,0457

0,2618 0,2673 0,2702 0,2704

0,2260 0,2285 0,2298 0,2313

Columbine Narcissus Hawthorn Marigold

1351,5 1272,0 1192,5 1113,0

61 61 61 61

34,0 33,0 32,0 30,9

1893 1781 1670 1560

11,80 11,09 10,62 9,91

1320 1270 1220 1160

0,0423 0,0449 0,0479 0,0513

0,0442 0,0467 0,0496 0,0529

0,0482 0,0510 0,0542 0,0578

0,2725 0,2740 0,2762 0,2782

0,2331 0,2348 0,2367 0,2387

Larkspur 1033,5 Bluebell 1033,5 Goldenrod 954,0 Magnolia 954,0

61 37 61 37

29,8 29,8 28,6 28,6

1445 1445 1333 1333

8,28 8,84 7,65 8,16

1130 1130 1080 1080

0,0553 0,0553 0,0599 0,0599

0,0568 0,0568 0,0613 0,0613

0,0621 0,0621 0,0671 0,0671

0,2808 0,2813 0,2834 0,2839

0,2408 0,2408 0,2429 0,2431

Crocus  Anemone Lilac  Arbutus

874,5 874,5 795,0 795,0

61 37 61 37

27,3 27,3 26,1 26,0

1222 1222 1111 1111

7,87 7,47 6,50 6,94

1020 1020 960 960

0,0652 0,0652 0,0721 0,0721

0,0664 0,0664 0,0732 0,0732

0,0728 0,0728 0,0803 0,0803

0,2860 0,2864 0,2890 0,2896

0,2454 0,2456 0,2483 0,2483

Petunia Nasturtium Violet Orchid

750,0 715,5 715,5 636,0

37 61 37 37

25,3 24,8 24,7 23,3

1048 1000 1000 889

6,55 5,96 6,38 5,67

930 900 900 830

0,0765 0,0795 0,0795 0,0895

0,0776 0,0805 0,0805 0,0904

0,0852 0,0884 0,0884 0,0993

0,2909 0,2922 0,2927 0,2963

0,2497 0,2512 0,2514 0,2547

Mistletoe Dahlia Zinnia Syringa

556,5 556,5 500,0 477,0

37 19 19 37

21,8 21,8 20,6 20,2

774 774 696 664

4,46 4,76 4,28 3,90

760 760 710 690

0,1025 0,1025 0,1142 0,1199

0,1033 0,1033 0,1150 0,1206

0,1135 0,1135 0,1265 0,1325

0,3005 0,3014 0,3051 0,3057

0,2585 0,2587 0,2617 0,2630

Cosmos Canna Tulip Peony

477,0 397,5 336,4 300,0

19 19 19 19

20,1 18,4 16,9 16,0

664 553 467 417

4,08 3,47 3,00 2,67

690 610 550 510

0,1199 0,1435 0,1696 0,1910

0,1206 0,1325 0,1441 0,1584 0,1701 0,1870 0,1917 0,2107

0,3067 0,3117 0,3174 0,3211

0,2630 0,2682 0,2730 0,2764

Laurel Daisy Oxlip Phlox

266,8 266,8 211,6 167,8

19 7 7 7

15,1 14,9 13,3 11,8

369 369 293 232

2,18 2,28 1,81 1,44

475 475 410 350

0,2144 0,2144 0,2697 0,3405

0,2148 0,2148 0,2700 0,3407

0,2363 0,2363 0,2970 0,3748

0,3247 0,3282 0,3351 0,3430

0,2798 0,2803 0,2871 0,2938

 Aster Poppy Pansy Iris

133,1 105,6 83,7 66,4

7 7 7 7

10,6 9,4 8,3 7,4

184 146 116 92

1,19 0,94 0,78 0,63

305 260 225 195

0,4294 0,5412 0,6823 0,8606

0,4296 0,5414 0,6824 0,8607

0,4726 0,5956 0,7508 0,9470

0,3502 0,3574 0,3646 0,3719

0,3002 0,3070 0,3135 0,3203

Lily Rose Peachbell

52,6 41,7 26,2

7 7 7

6,6 5,9 4,7

73 58 36

0,52 0,41 0,25

175 145 105

1,0855 1,0856 1,1944 1,3683 1,3684 1,5056 2,1773 2,1773 2,3956

0,3791 0,3866 0,4011

0,3268 0,3334 0,3467

(*): Para conductores a 75 ºC; ambiente a 25 ºC; suave brisa de 2,2 [km/hr]

37

Tabla Nº 2.4: CARACTERISTICAS DE CONDUCTORES DE ALEACION DE ALUMINIO Resistencia: /km 25 ºC 50 ºC CC

50 Hz

50 Hz

Componentes de Conductor  Xa Xa Reactancia Reactancia Serie: Paralelo:  /km M km

Tola Tincal Turret Tenet

1750,0 1700,0 1600,0 1500,0

61 61 61 61

38,7 38,2 37,0 35,8

2445 2375 2235 2095

19,10 18,51 17,46 17,33

1470 1450 1390 1340

0,0370 0,0382 0,0408 0,0434

0,0393 0,0405 0,0430 0,0458

0,0429 0,0442 0,0472 0,0499

0,2618 0,2644 0,2671 0,2692

0,2260 0,2265 0,2283 0,2302

Tasset Taper Taker Tetro

1400,0 1300,0 1250,0 1200,0

61 61 61 61

34,6 33,4 32,7 32,1

1955 1816 1746 1677

16,15 15,20 14,61 14,06

1280 1220 1190 1160

0,0464 0,0500 0,0520 0,0543

0,0487 0,0522 0,0540 0,0562

0,0531 0,0570 0,0591 0,0614

0,2713 0,2735 0,2749 0,2760

0,2321 0,2341 0,2354 0,2364

Spate 0Saker Greeley Solar

1100,0 1000,0 927,2 927,2

37 37 37 37

30,7 29,2 28,1 28,1

1537 1397 1295 1295

12,11 11,02 13,83 10,84

1100 1050 990 1000

0,0592 0,0651 0,0714 0,0701

0,0610 0,0669 0,0730 0,0717

0,0667 0,0731 0,0800 0,0785

0,2790 0,2822 0,2846 0,2846

0,2390 0,2418 0,2440 0,2440

Sora Flint Spar Sural

833,6 740,8 740,8 704,6

37 37 37 37

26,7 25,1 25,1 24,5

1165 1035 1035 984

9,71 11,07 8,75 8,44

940 860 870 840

0,0780 0,0895 0,0878 0,0924

0,0794 0,0908 0,0891 0,0936

0,0870 0,0997 0,0978 0,1027

0,2878 0,2917 0,2917 0,2932

0,2469 0,2505 0,2505 0,2519

Elgin Rune Ruble Darien

652,4 652,4 587,2 559,5

19 19 19 19

23,5 23,5 22,3 21,8

911 911 820 782

9,93 7,35 6,62 8,53

790 800 750 720

0,1017 0,0997 0,1109 0,1184

0,1027 0,1007 0,1120 0,1193

0,1128 0,1106 0,1230 0,1311

0,2966 0,2966 0,2999 0,3014

0,2543 0,2543 0,2573 0,2585

Remex Rex Cairo Ragout

559,5 503,6 465,4 465,4

19 19 19 19

21,8 20,7 19,9 19,9

782 703 650 650

6,31 5,67 7,08 5,53

730 680 640 640

0,1161 0,1293 0,1425 0,1398

0,1170 0,1286 0,1302 0,1431 0,1433 0,1575 0,1406 0,1545

0,3014 0,3046 0,3071 0,3071

0,2585 0,2615 0,2638 0,2638

Rede Canton Radian Radar

419,6 394,5 394,5 355,1

19 19 19 19

18,9 18,3 18,3 17,4

586 551 551 496

5,08 6,03 4,76 4,35

600 570 580 540

0,1550 0,1681 0,1648 0,1833

0,1558 0,1688 0,1655 0,1837

0,1710 0,1855 0,1819 0,2021

0,3103 0,3124 0,3124 0,3155

0,2667 0,2686 0,2686 0,2714

Butte Ramie Ratch  Alliance

312,8 312,8 281,4 246,9

19 19 19 7

16,3 16,3 15,5 14,3

437 437 393 345

4,99 3,83 3,45 3,88

490 500 465 420

0,2119 0,2079 0,2313 0,2685

0,2125 0,2085 0,2317 0,2690

0,2336 0,2292 0,2549 0,2959

0,3196 0,3196 0,3228 0,3306

0,2752 0,2752 0,2781 0,2827

Kittle  Amherst Kopeck  Anaheim

246,9 195,7 195,7 155,4

7 7 7 7

14,3 12,8 12,8 11,4

345 273 273 217

2,87 3,08 2,28 2,44

425 365 365 315

0,2635 0,3389 0,3323 0,4277

0,2640 0,3393 0,3327 0,4280

0,2904 0,3732 0,3659 0,4708

0,3306 0,3375 0,3375 0,3448

0,2827 0,2890 0,2890 0,2956

Kayak  Azusa Kibe  Ames

155,4 123,3 123,3 77,5

7 7 7 7

11,4 10,1 10,1 8,0

217 172 172 108

1,94 2,02 1,56 1,27

315 270 275 200

0,4178 0,5363 0,5264 0,8554

0,4180 0,5365 0,5266 0,8555

0,4599 0,5903 0,5794 0,9413

0,3448 0,3524 0,3524 0,3671

0,2956 0,3026 0,3026 0,3159

Kench  Alton Kaki  Akron

77,5 48,7 48,7 30,6

7 7 7 7

8,0 6,4 6,4 5,0

108 68 68 43

1,01 0,80 0,65 0,50

205 150 150 110

0,8390 1,3621 1,3357 2,1681

0,8391 1,3622 1,3358 2,1681

0,9232 1,4987 1,4697 2,3855

0,3671 0,3811 0,3811 0,3966

0,3159 0,3287 0,3287 0,3428

(*): Para conductores a 75 ºC; ambiente a 25 ºC; suave brisa de 2,2 [km/hr]

38

Tabla Nº 2.5: CARACTERÍSTICAS DE CONDUCTORES DE ALUMINIO REFORZADO CON ACERO (ACSR) Resistencia: /km 25 ºC 50 ºC CC

50 Hz

50 Hz

Componentes de Conductor  Xa Xa Reactancia Reactancia Serie: Paralelo:  /km M km

Chukar Falkon Parrot Plover

1780,0 1590,0 1510,5 1431,0

84/19 54/19 54/19 54/19

40,7 39,2 38,2 37,2

3086 3028 2877 2725

24,31 25,45 24,18 22,86

1440 1350 1310 1260

0,0324 0,0365 0,0384 0,0405

0,0326 0,0367 0,0386 0,0407

0,0372 0,0419 0,0441 0,0465

0,2587 0,2605 0,2623 0,2636

0,2229 0,2250 0,2263 0,2281

Martin Pheasant Grackle Finch

1351,5 1272,0 1192,5 1113,0

54/19 54/19 54/19 54/19

36,2 35,4 34,0 32,8

2574 2422 2271 2120

21,60 20,32 19,55 18,24

1220 1170 1120 1070

0,0429 0,0456 0,0487 0,0521

0,0431 0,0458 0,0488 0,0523

0,0492 0,0522 0,0556 0,0595

0,2654 0,2673 0,2698 0,2716

0,2296 0,2313 0,2333 0,2352

Curlew Cardinal Canary Crane

1033,5 954,0 900,0 874,5

54/7 54/7 54/7 54/7

31,7 30,4 29,5 29,1

1979 1826 1723 1674

16,85 15,54 14,65 14,25

1020 990 960 940

0,0561 0,0608 0,0646 0,0665

0,0564 0,0610 0,0646 0,0665

0,0637 0,0695 0,0730 0,0757

0,2741 0,2766 0,2785 0,2791

0,2373 0,2396 0,2412 0,2421

Condor Drake Mallard Crow

795,0 795,0 795,0 715,5

54/7 26/7 30/19 54/7

27,8 28,1 29,0 26,3

1522 1624 1833 1370

12,95 14,18 17,44 11,95

880 890 880 820

0,0727 0,0727 0,0727 0,0814

0,0733 0,0727 0,0727 0,0814

0,0844 0,0800 0,0800 0,0915

0,2822 0,2810 0,2779 0,2853

0,2448 0,2439 0,2423 0,2477

Starling Redwing Gull Flamingo

715,5 715,5 666,6 666,6

26/7 30/19 54/7 24/7

26,7 27,4 25,4 25,4

1462 1648 1276 1277

12,75 15,69 11,14 10,77

830 820 790 790

0,0814 0,0814 0,0870 0,0870

0,0814 0,0814 0,0876 0,0876

0,0896 0,0896 0,0989 0,0989

0,2841 0,2816 0,2878 0,2882

0,2470 0,2454 0,2499 0,2500

Goose Grosbeak Egret Rook

636,0 636,0 636,0 636,0

54/7 26/7 30/19 24/7

24,8 25,2 25,9 24,8

1218 1299 1466 1219

10,73 11,34 14,33 10,27

760 770 760 760

0,0913 0,0913 0,0913 0,0913

0,0920 0,0913 0,0913 0,0913

0,1043 0,1005 0,1005 0,1005

0,2890 0,2884 0,2853 0,2897

0,2512 0,2504 0,2487 0,2514

Duck Teal Squab Peacock

605,0 605,0 605,0 605,0

54/7 30/19 26/7 24/7

24,2 25,2 24,5 24,2

1158 1397 1268 1159

10,21 13,63 10,95 9,80

730 730 740 740

0,0957 0,0960 0,0957 0,0957

0,0963 0,0965 0,0957 0,0963

0,1091 0,1075 0,1069 0,1075

0,2909 0,2871 0,2897 0,2912

0,2526 0,2500 0,2518 0,2527

Dove Eagle Parakeet Heron

556,5 556,5 556,5 500,0

26/7 30/7 24/7 30/7

23,6 24,2 23,2 23,0

1137 1293 1067 1162

10,19 12,36 9,00 11,09

700 700 700 680

0,1044 0,1044 0,1044 0,1162

0,1044 0,1044 0,1051 0,1162

0,1115 0,1115 0,1120 0,1280

0,2921 0,2897 0,2937 0,2928

0,2541 0,2526 0,2550 0,2556

Hawk Hen Flicker Ibis

477,0 477,0 477,0 397,5

26/7 30/7 24/7 26/7

21,8 22,4 21,5 19,9

975 1108 914 812

8,82 10,59 7,80 7,34

640 630 630 560

0,1218 0,1218 0,1218 0,1460

0,1218 0,1218 0,1218 0,1460

0,1342 0,1342 0,1342 0,1609

0,2971 0,2940 0,2987 0,3027

0,2585 0,2570 0,2595 0,2637

Lark Linnet Oriole Ostrich

397,5 336,4 336,4 300,0

30/7 26/7 30/7 26/7

20,4 18,3 18,8 17,3

923 687 782 613

9,06 6,38 7,74 5,73

560 510 510 470

0,1460 0,1727 0,1727 0,1932

0,1460 0,1727 0,1727 0,1932

0,1609 0,1901 0,1901 0,2125

0,2996 0,3083 0,3052 0,3120

0,2620 0,2684 0,2670 0,2718

Piper Partridge Penguin Pigeon

300,0 266,8 211,6 167,8

30/7 26/7 6/1 6/1

17,8 16,3 14,3 12,7

697 545 433 343

7,00 5,10 3,82 3,03

480 440 360 315

0,1932 0,2175 0,2745 0,3460

0,1932 0,2175 0,2745 0,3465

0,2125 0,2392 0,3015 0,3805

0,3089 0,3151 0,3755 0,3959

0,2703 0,2751 0,2828 0,2893

Quail Raven Robin Sparrow

133,1 105,5 83,7 66,4

6/1 6/1 6/1 6/1

11,3 10,1 9,0 8,0

272 216 171 136

2,43 1,94 1,59 1,27

270 235 205 180

0,4370 0,5500 0,6960 0,8550

0,4375 0,5500 0,6960 0,8550

0,4800 0,6050 0,7650 0,9400

0,4064 0,4145 0,4189 0,4190

0,2959 0,3026 0,3090 0,3160

(*): Para conductores a 75 ºC; ambiente a 25 ºC; suave brisa de 2,2 [km/hr]

39 Se define un coeficiente   que relaciona las resistencias efectiva y óhmica que es función de la frecuencia, la permeabilidad y las dimensiones del conductor. Se tiene: k = Re/R

Re = k R

(2.11)

Ejemplo 2.1: Calcular la resistencia óhmica de un conductor de cobre estirado en frío de 33,63 mm 2 de sección (66,37 MCM) a 25 ºC y 50 ºC; en las siguientes situaciones. Expresar los valores en [

/km].

a) El conductor es macizo

b) El conductor es de 3 hilos

c) El conductor es de 7 hilos

Solución: Para cada uno de los conductores, se tendrá: a) Conductor macizo: 2 De la tabla 2.1: 20 ºC = 0,01772 [ /m/mm ] 3

0,01772 10 De (2.2): R 20 ºC  = = 0,5269 [ /km] 33,63 -1 De (2.6) y de la misma tabla 2.1; con  0 = 0,00414 [ºC  ] R25 ºC =

R 50 ºC =

1 0,00414 25 1 0,00414 20 1 0,00414

50

1 0,00414

20

0,5269 = 0,537 [ / km]

0,5269 = 0,5873 [

(*)

/km]

Nota: (*): Se pudo haber calculado con (2.8): Considerando: (t 1=20 ºC

(*) 1=

-1

0,003823 [ºC ] )

b) Los conductores cableados, aunque tengan igual sección y longitud que uno macizo, presentan una mayor resistencia debido a que las hebras componentes van trenzadas, por lo que su longitud es mayor que la del cable mismo. En general, para representar este efecto, se suele considerar un incremento porcentual de la longitud y por ende de la resistencia, como el señalado:

-

Para conductores de 3 hilos: aumento de 1% Para conductores de 7 hilos: aumento de 2% Para conductores de más de 11 hebras aumento de 3%

Usando este criterio se tiene: - Conductor de 3 hebras: R 25 ºC = 0,537 *1,01 = 0,5424 [ /km] R 50 ºC = 0,5873 *1,01 = 0,5932 [ /km] - Conductor de 7 hebras: R 25 ºC = 0,537 *1,02 = 0,5477 [ /km] R 50 ºC = 0,5873 *1,02 = 0,599 [ /km] Puede apreciarse que estos valores son prácticamente coincidentes con los valores dados por los fabricantes y contenidos en las tablas anteriores.

40

Ejemplo 2.2: Calcular la resistencia óhmica en [ /km] a 50 ºC de un conductor ACSR (54/7) formado por  54 hilos de aluminio y 7 de Acero 954 MCM de sección. Las hebras de aluminio y acero tienen el mismo diámetro de 3,38 mm.

Solución: Los conductores de aluminio y acero están en paralelo y tienen resistencias distintas que se deben evaluar por separado, como se muestra a continuación: a): Resistencia de la sección de aluminio:  Area = A1 = 54

2

3,38 2  = 484,526 [mm ]

4 Resistencia a 20 ºC. De la tabla 2.1 y consideración anterior del inciso b) del problema anterior:

0,02781 10 3 1,03 R 20 ºC = = 0,0591 484,526

[ /km]

De (2.8): R 50 ºC = 0,0591(1 + 0,004027* 30) = 0,0663 [ /km]

(*)

b): Resistencia del alma de Acero: A2 = 7

2

4 Resistencia a 20 ºC: R20ºC =

3,38 2  = 62,8089 [mm ]

0,14017 10 3 1,02 = 2,2763 [ /km] 62,8089

R50ºC = 2,2763 (1+ 0,004305*30) = 2,5703 [ /km]

(*)

Resistencia equivalente del conductor completo a 50ºC. 0,0663 2,5703 = 0,0646 [ /km] 0,0663 2,5703 (*) Se pudo evaluar usando la expresión (2.6) al igual que en el caso del ejemplo 2.1. R=

2.3: CALCULO DEL PARAMETRO INDUCTANCIA Y DE LA REACTANCIA INDUCTIVA. 2.3.1: Caso de un Sólo Conductor:  Para establecer las consideraciones generales que permitan el cálculo de  y XL, se considerará inicialmente el caso de un único conductor recorrido por una corriente. Instantánea . Su retorno ocurre por un conductor, tan alejado del primero, que su efecto sobre éste es despreciable. La figura siguiente ilustra esta situación:

i

e i

e

Figura 2.3: Flujos Interno y Externo Asociados a un Conductor Recorrido por una Corriente Instantánea . De acuerdo con la ley de Faraday-Henry, abreviadamente se puede escribir:

41 d di  Ahora bien, si el flujo se establece en un medio lineal, de permeabilidad constante, se tendrá: L=

(2.12)

L=

(2.13) i El valor de , y por tanto el de la inductancia, depende, como en el caso de la figura anterior, del flujo interno i y del flujo exterior  e que rodea al conductor. Por ello, para el cálculo de la inductancia total del conductor se evaluará el flujo enlazado interno i y su inductancia asociada Li y luego la componente debido al flujo enlazado externo e y su inductancia asociada Le. Finalmente como se ha supuesto un medio lineal, se cumple el principio de superposición y la inductancia total será la suma de ambas componentes.

a): Cálculo del Flujo Enlazado Interno y su Inductancia Asociada: Considérese la figura siguiente para graficar la aplicación de la Ley de Ampere: dx

x

C r 

Figura 2.4: Corte del Conductor para el Cálculo del Flujo Interno. Si se aplica la ley de Ampere al contorno interior  de la fig. 2.4, se puede escribir: H d l = Hx 2 x = ix

Hx

ix 2 x

(2.14)

En que ix es la corriente instantánea que circula por la sección interna de radio x en el conductor. Si se considera una densidad de corriente uniforme en toda la sección transversal del conductor, se puede establecer la siguiente proporción: ix

x2

i

r 

2

ix

x r 

2

i

Si se reemplaza esta expresión en (2.14): x i   [A/m] Hx = 2 r 2  Además: x Bx = Hx = i   [Web./A/m] r  2 r 2 En que: -7 : permeabilidad absoluta del vacío = 4 10   [Web./A/m] r : permeabilidad relativa del conductor [Adimensional] Por otro lado:

(2.15)

(2.16)

(2.17)

42 = B  A

d

(2.18)

B dA

Por tanto, escogiendo un elemento de área tal que: dA = 1 dx d

x =

x

B dx = Bx dx =

r 

2 r 2

i dx

(2.19)

Este flujo elemental solamente enlaza a la corriente i x, de tal modo que el flujo interno enlazado d i, resulta igual a: d i = d

x

ix

x2

d

i

x

( 2.20)

r 2

Entonces: r 

r 

d

i

i

0

0

2

x xi r  2 r  0

r  2

r  0

dx

r  4

2 r 

i x 3 dx 0

0

r  4

8 r 

i r 4 - 0

0

r 

8

i

 De donde: Li =

i

0 r 

i

H/m

8

(2.21)

b): Cálculo del Flujo Externo Enlazado:  La figura siguiente, muestra el esquema para el cálculo del flujo externo. La intensidad magnética, H, a una distancia  del centro del conductor, será i H d l Hy 2 y i Hy  A/m 2 y  Además: Con:

d B

e =

0

(2.22)

B dA

H

By

0

i

Hy

0

(2.23)

2 y

El elemento de área escogido es: dA = dy * 1 = dy 1 d y = By dA = o  i dy 2 y

Así se puede escribir:

i

dA = p

y

r 

dy D

Figura 2.5: Flujo Externo al Conductor  El flujo externo que enlaza el conductor hasta un punto  cualquiera ubicado a una distancia , del centro del conductor, será: D

d

e =

d

e

d

e r 

Con lo que:

0i e

2

D

r 

dy y

0

2

i Ln

D r 

43 Le =

e

i

0

2

Ln

D r 

H/m

(2.24)

D r 

(2.25)

Finalmente la inductancia total, será: L= Li + Le =

0

r 

8

0

2

Ln

De la expresión anterior, se observa que la inductancia depende de la ubicación del punto  (distancia D). Si este punto se aleja hasta el infinito, la inductancia se hará también infinita. Por lo anterior la inductancia de un único conductor recorrido por una corriente instantánea , resulta indeterminada, lo que es consistente con el hecho que físicamente no es posible disponer de un único conductor recorrido por una corriente, sin que exista retorno para ella. Sin embargo, esta expresión será útil para los cálculos posteriores.

2.4: FLUJO ENLAZADO POR UN SISTEMA MULTICONDUCTOR. Consideremos una línea constituida por  conductores, cilíndricos y paralelos entre sí, recorridos, cada uno de ellos por una cierta corriente instantánea, como se muestra en la figura siguiente: 2

i2 D2

D12

1 i1

D1 D1k

D1n

 k ik Dk

D13 Dn

in

 n

D3 3

i3

Figura 2.6: Línea Multiconductor. Como no existen otros conductores en el espacio, se tiene: n

ik

0

(2.26)

k 1

De esta manera, como el sistema es lineal, se calculará el flujo enlazado por el conductor , debido a su propia corriente y luego a las restantes n - 1, corrientes que circulan por los otros conductores. El flujo externo se evaluará hasta el punto   que se aprecia en la figura anterior. Por tanto se empleará el principio de superposición. Se supondrá que inicialmente sólo existe corriente en el conductor 1 y que en los restantes conductores ésta es nula y evaluaremos la inductancia hasta el punto . De acuerdo con (2.25), se tiene: D 0 r  0 i1 i1 Ln 1 11 (p) 8 2 r 1 Si ahora se considera que sólo circula corriente por el conductor 2, el flujo enlazado por el conductor , será:

44 12 (p )

0

i 2 Ln

2

D2 D 12

Sucesivamente es posible evaluar el flujo enlazado por el conductor   debido a la circulación de corriente en los restantes conductores. Particularmente el efecto de la circulación de corriente por el conductor n  ésimo será: 1n (p)

0

i n Ln

2

Dn D1n

 Así, el flujo total enlazado por el conductor , debido a la circulación de corriente en todos los conductores de ésta línea, incluido él mismo, será: n 1 (p )

0

1k (p )

r 

8

k 1

i1

0

2

i1 Ln

D1

0

r 1

2

i 2 Ln

D2

0

D12

2

in Ln

Dn

(2.27)

D 1n

Los dos primeros términos del segundo miembro se suelen presentar como:

0

8

r 

i1

0

D1

i1 Ln

2

r 1

0

2

r  i1 Ln e

4

Ln

D1

0

r 1

2

i1 Ln

D1 RMG1

Donde: r 

RMG1  = r 1 e

4

(2.28)

[m]

Se denomina Radio Medio Geométrico del conductor, en este caso , y depende de la permeabilidad relativa del conductor. En conductores homogéneos, de material no magnético, r  = 1; y entonces: 1 4

RMG = r e [m] Esta expresión solamente es válida para conductores macizos. Bajo estas consideraciones la expresión (2.27), se puede reescribir como: 0

1 (p)

i1 Ln

2 0

i1 Ln

2

D1 RMG1 1 RMG1

i 2 Ln

D2

in -1 Ln

D12

i n Ln

1 D1n

D n-1 D1(n -1)

i1 Ln D1

i n Ln

Dn D1n

i n-1Ln D n-1

=

i n Ln Dn

n 1

De (2.26):

in

-

ik k 1

Por tanto, reemplazando in en el último término de la expresión anterior, se tiene: D D D 1 1 0 i1 Ln in Ln i1 Ln 1 i 2 Ln 2 i n-1 Ln n -1 1 (p) 2 RMG1 D1n Dn Dn Dn Haciendo tender p

D1 = D2 =......... = Dn-1 = Dn

Por tanto: 1 (p) p

0 1

2

i1 Ln

1 RMG1

i 2 Ln

1 D12

i k Ln

1 D1k

i n Ln

1 D1n

Si ahora se hace variar el índice de 1 a n, se tendrá el siguiente sistema de ecuaciones:

(2.29)

45

0

1

2 0

2

2 0

n

2

i1 Ln

i1 Ln

1 RMG1

1 D 21

i2 Ln

i 2 Ln

1 i 1 Ln Dn1

1 D12

1 RMG2

1 i 2 Ln Dn2

in Ln

1 D1n

i n Ln

1 D 2n

(2.30)

1 i n Ln RMGn

Que se puede escribir también en forma matricial como: 1 RMG1 1 Ln D 21

1

Ln

2

1 D12 1 Ln RMG2

1 D1k 1 Ln D 2k

Ln

Ln

1 D1n 1 Ln D 2n

i1

1 D kn

ik

Ln

i2

0

2 k

Ln

1 D k1

Ln

1 Dk 2

Ln

1 D n1

Ln

1 Dn 2

n

Ln

1 RMGk

Ln

Ln

1 D nk

Ln

1 RMGn

(2.30a)

in

La ventaja que presentan estas expresiones generales, es que a partir de ellas, es posible calcular la inductancia de líneas de cualquier configuración.

2.4.1: Línea Monofásica de Dos Conductores: La figura siguiente muestra una línea monofásica: i1

i2 2 r 2

1 r 1 D

Figura 2.7: Línea Monofásica de dos Conductores con Disposición Horizontal. De (2.26):

i1 + i2 = 0

i1 = - i2

 Además: D12 = D21 = D De (2.30), y haciendo n =2, se puede escribir: 0 1

2

i1 Ln

1 RMG1

i 2 Ln

1 D

0

2

i1 Ln

D RMG1

Con lo que: L1

0

1

i1

2

Ln

D RMG1

H/m

(2.31)

46  Análogamente: 0 2

2

i1 Ln

1 D

i 2 Ln

1 RMG2

Ln

D RMG2

0

2

i 2 Ln

D RMG2

Entonces: L2

0

2

i2

2

 Así: 0

LT = L1 + L2 =

Ln

2

D2 RMG1 RMG 2

H/m

(2.32)

Si en particular los conductores son idénticos (r 1 = r 2), los Radios Medios Geométricos también serán iguales, es decir: RMG 1 = RMG2 = RMG; y por tanto: D 3 LT = 0 10 Ln H/km RMG La reactancia inductiva será: XL = L; con lo cual: 0

XL1

2

Ln

2 0

X LT 0

10 3

0

X L1

X LT

2

2 10

Ln

D RMG1 D

RMG1 D2

RMG1RMG 2

3

Ln

Ln

D2 RMG1 RMG 2

/m /km /m

(2.33)

/km

Y sí r 1 = r 2: X LT

0

10 3

Ln

D RMG

/km

2.4.2: Línea Trifásica de Disposición Equilátera: La figura siguiente muestra una línea trifásica de distribución equilátera:

i3

3

Ds

i2

Ds i1 Ds

2

1

Figura 2.8: Línea Trifásica de Disposición Equilátera (Simétrica) Por (2.26): i1 + i2 + i3 = 0; además de la figura D 12 = D13 = D23 = Ds. Ahora, si en (2.30), se hace n = 3, se puede escribir:

47 0 1

i1 Ln

2

1 RMG1

i 2 Ln

1 Ds

i 3 Ln

1 Ds

0

2

i1 Ln

1 RMG1

(i 2

i 3 ) Ln

1 Ds

0

2

i1 Ln

Ds RMG1

De donde: 0

L1

2

Ln

Ds RMG1

H/m

(2.34)

 Además: 0 2

2 0

3

2

i1 Ln

1 Ds

i1 Ln

1 Ds

i 2 Ln i 2 Ln

1 RMG2 1 Ds

i 3 Ln

i 3 Ln

1 Ds

0

2

1 RMG 3

0

2

i 2 Ln

Ds

L2

RMG2

i 3 Ln

Ds

L3

RMG 3

0

Ln

2 0

2

Ln

Ds RMG2 Ds RMG 3

H/m H/m

Si se cumple que r 1 = r 2 = r 3 RMG1 = RMG2 = RMG3 = RMG L1 = L2 = L3 = L; De modo que: Ds Ds 0 0 L= Ln H/m XL Ln /m/fase 2 RMG 2 RMG (2.35) Ds Ds 0 3 0 3 L= 10 Ln H/km XL 10 Ln /km/fase 2 RMG 2 RMG En que como la línea tiene un solo conductor por fase, a estos valores es usual llamarlos inductancia y reactancia inductiva por fase.

2.4.3: Línea Trifásica con Transposiciones: La disposición equilátera de los conductores en una línea, es poco frecuente en la práctica por problemas constructivos. Lo habitual es que las líneas de alta tensión sean de disposición asimétrica. En estas condiciones, los flujos enlazados por cada conductor serán diferentes entre sí, por lo que la caída de tensión será distinta en cada fase y el sistema operará en condiciones desequilibradas, generando problemas de interferencia inductiva en líneas de comunicaciones adyacentes. Sin embargo, es posible determinar una inductancia para cada conductor, haciendo algunas aproximaciones razonables. Para evitar los trastornos señalados, se recurre al mecanismo de transposición que consiste en cambiar cíclicamente la posición que ocupan los conductores a lo largo de toda la línea, de modo de asegurarse que cada uno de los conductores ocupe las tres posiciones posibles durante un tercio o múltiplo de éste de la longitud total de la línea. La figura siguiente ilustra este mecanismo. I II III 2 1 3

1

2

l/3

3

1

l/3

2

3

l/3

l = largo total de la línea

Figura 2.9: Línea Trifásica con Transposiciones Este mecanismo de transponer las líneas permite calcular un valor promedio del flujo enlazado por cada conductor, evaluándolo, parcialmente, en cada uno de los ciclos de transposición. Así, para el primer  tramo, de (2.30) con n = 3, se tiene:

48 0

1 (I)

i1 Ln

2

1 RMG1

i 2 Ln

1 D12

i 3 Ln

1 D13

En el segundo tramo del ciclo de transposición, para el mismo conductor , se tiene: 0

1 (II)

i1 Ln

2

1 RMG1

i 2 Ln

1 D 23

i 3 Ln

1 D 21

En el tercer tramo, para el mismo conductor , se puede escribir: 0

1 (III)

i 1 Ln

2

1 RMG1

i 2 Ln

1 D 31

i 3 Ln

1 D 32

Entonces, el promedio del flujo enlazado por el conductor 1, será; 1 1 prom. 1 (I) 1 (II) 1 (III) 3 Reemplazando los valores del flujo enlazado para cada uno de los tres tramos, y considerando que la distancia entre conductores es un escalar, por tanto D ij = D ji; se tiene: 1prom.

1 0 1 3i1 Ln 32 RMG1

1prom.

1 0 1 3i1Ln 32 RMG1

I2 Ln (i 2

Pero por (2.26): i1 +i2 + i3 = 0 expresión, se puede escribir: 1

prom.

0

i1

2

1 D12 D 23 D 31

i 3 ) Ln

i 3 Ln

1 D13 D 21D 32

1 D 12 D13 D 23

i1 = -(i2 + i3). Por lo tanto, reemplazando (i2 + i3) en la última

1 1 1 Ln - Ln RMG1 3 D12 D 13 D 23

0

2

3

i1 Ln

D12 D13 D 23 RMG1

Weber/m

(2.36)

Por lo tanto: 1prom.

DMG H/m i1 2 RMG1 Donde se ha definido, Distancia Media Geométrica (DMG) entre conductores, como: L1

0

Ln

DMG

3

D12 D 13 D 23

(2.37)

(2.38)

[m]

Realizando el mismo análisis para los conductores 2 y 3, se encuentra que sí: r 1 = r 2 = r 3  = r; entonces RMG1 = RMG2 = RMG3 = RMG; por tanto: L1 =L2 = L3 = L y con ello, la reactancia inductiva, será: XL

L

0

2

10 3 Ln

DMG RMG

/km

(2.39)

Ejemplo 2.3: Calcular la inductancia y reactancia inductiva de la línea que se muestra en la figura. Los conductores son macizos, de cobre Nº 2 AWG y la línea está convenientemente transpuesta. 1

2

0,7

3

0,7

Figura 2.10: Línea Trifásica de Disposición Horizontal del Ejemplo 2.3. Solución: De acuerdo con la tabla, el diámetro del conductor es de 6,54 mm. De donde su RMG, será

49 1

6,54 RMG = r e = e 4 2,5467 mm 2 tanto su permeabilidad relativa r  = 1. -1/4

2,5467 10 -3 m ; ya que el material es cobre, por 

De la figura: D12 = D23 = 0,7 [m] D13 =2 * 0,7 =1,4 [m] Entonces, de (2.37): 3 0,7 2 1,4 10 7 3 L= 10 Ln 2 2,5467 10 -3 L = 1,1695 [mH/km]

4

2 10 - 4 Ln 346,3118

Con lo cual, la reactancia inductiva de la línea será: X L  =

L

2

0,0011695 H/km

50 1,1695 10 -3

0,3674

/km

2.4.4: Concepto de Distancia Media Geométrica:  En el cálculo de inductancias y capacidades de líneas, cuyas fases están formadas por varios conductores, resulta práctico emplear los conceptos de radio medio geométrico y Distancia Media Geométrica (DMG).

- Distancia Media Geométrica de un punto a otros puntos: Se define la DMG de un punto  a otros puntos. 1,2,....,n como la raíz n-ésima del producto de las distancias entre el punto  y los restantes n puntos. Es decir: (2.40) DMG = n D D D 1

2

n

La DMG de un punto a una circunferencia, se tiene si los puntos están ubicados sobre ella y su número tiende a infinito.

- Distancia Media Geométrica de un punto a una superficie:  Si se divide la superficie en un gran número de elementos iguales y se calcula la DMG del punto a cada elemento de superficie, la DMG del punto a esos elementos de superficie está dado por (2.40). Si el número de elementos tiende a infinito, se tiene el concepto de DMG de un punto a una superficie; así : DMG

 A la sup.

lim n D1 D 2

n

Dn

- Distancia Media Geométrica entre dos superficies:  Supongamos dos superficies A 1 dividida en m elementos y otra A2 en m elementos. La DMG entre ambas superficies, se define como la raíz mm -ésima de los mm productos de las distancias entre los elementos de A 1 y A2, cuando el número de ellos tiende a infinito. La figura siguiente muestra algunas distancias entre elementos.

1



D11

D12

2

D21 D13

D22 D23 2

Figura 2.11: Algunas Distancias entre Elementos de dos Superficies.



50 1 mm '

m,m'

DMG = lim m m'

(2.41)

Dii' i 1 i' 1

- Distancia Media Geométrica propia de una superficie: Es el límite de la DMG entre todos los pares de elementos en que se ha dividido la superficie considerada, cuando el número de ellos tiende a infinito. Se demuestra que para una superficie circular de radio , su distancia media geométrica resulta igual a r  - 1/4 e  . Este valor coincide con la definición de RMG para un conductor cilíndrico de material homogéneo no magnético. Habitualmente, en el caso de conductores compuestos de varios hilos, la distancia media geométrica propia, se denomina Radio Medio Geométrico del conductor.

2.4.5: Cálculo de Inductancias y Reactancias Inductivas Empleando los Conceptos de RMG y DMG: En general los conductores de las líneas de transmisión no son macizos sino cableados, formados por varias hebras trenzadas y en consecuencia no tienen la misma inductancia que uno macizo del mismo diámetro. Por ello es necesario disponer de un método de cálculo que posteriormente se pueda aplicar a otras configuraciones de líneas.

2.4.5.1: Línea Monofásica Multifilar : Considérese una línea monofásica multifilar, como la que se muestra en la figura siguiente. El conductor a, de fase, se supone compuesto de n hebras idénticas entre sí y el b, de retorno, formado por m hilos iguales entre sí, pero que pueden ser distintos de los que forman el conductor a. Ambos conductores transportan la misma corriente instantánea .

ib = - i

ia = i

Conductor a: n hilos

Conductor b:  hilos

Figura 2.12. Línea Monofásica Multifilar. Si se asume una distribución uniforme de corriente, cada hebra del conductor a, transportará una corriente i/n y cada uno de los hilos de b transportará una corriente i/m. Usando las ecuaciones (2.30), se tendrá para el hilo , perteneciente al conductor a, que el flujo enlazado por éste será: i 1 Ln 2 n RMG1 0

1

0

2

i Ln

mD n

Ln

11' D12'

RMG1D12

1 D12

Ln

D1m D1n

0

2

1 i 1 - 0 Ln D1n 2 m D11'

i Ln

mD D 11' 12 ' n

D11D12

Ln

1 D12'

D1m D1n

En que se ha denominado D 11 = RMG1 Distancia Media Geométrica Propia del hilo 

Ln

1 D1m

51 Con ello: L1 =

0

1

n Ln

mD

11' D12'

D1m

n D D i 2 D1n 11 12 n  Análogamente, para una hebra  cualquiera, se tendrá:

 j

L j =

0

n Ln

mD D  j1'  j2 '

D jm

(2.42)

i n D D 2 D jn  j1  j2 n Entonces, la inductancia promedio de cada hebra será n

L j

L prom. =

 j 1

(2.43)

n

 Adicionalmente, como los n hilos del conductor , están conectados en paralelo, la inductancia total de dicho conductor, será: n

L j

L prom. La = n

 j 1

n

(2.44)

2

Reemplazando en esta última expresión L j, según (2.42) y teniendo en cuenta que todas las hebras del ...  ... conductor cableado  son iguales entre sí, (es decir r 1 = r 2 = = r n; por lo cual RMG1 = = RMGn = D jj), se tiene: 1 n La = Ln 2 n  j 1 0

La

0

2

Ln

mD D  j1'  j 2' n

D jm

D j1D j2

D jn mn D

n2

RMGn D12

11'

D1n D 21

D1m

D j1'

D 2n

D j1

D jm D jn

D n1' D(n

1)1

D nm D (n

1)n D n1

D n (n

1)

En que se ha retornado a la definición de Radio Medio Geométrico. La

0

2

mn D

Ln n2

n

RMG

D1m

11'

2 D12

D j1'

D 12n D 223

D jm

Dn1'

2 D 22n D 34

Dnm

D 23n

D

(2.45)

2 (n 1)n

Si en esta expresión, se define como Distancia Media Geométrica entre los conductores  y : DMGab =

mn

D11'

D 1m D 21'

D 2m

D n1'

D nm

(2.46)

Y al denominador, se le denomina RMG del conductor cableado , o bien DMG propia del conductor  cableado . Es decir: 2 (2.47) 2 RMGa = n RMGn D 12 D12n D 2(n 1)n La expresión (2.45), se puede escribir como: DMGab La = 0 Ln   [H/m/conductor] 2 RMGa Repitiendo el procedimiento para el conductor , se tendrá: DMGab 0 Lb Ln [H/m/conductor] 2 RMGb

(2.48)

(2.49)

52 Finalmente la inductancia total será: DMG 2ab 0 Ln H/m L = La + Lb = 2 RMG a RMG b La reactancia inductiva a su vez, será: DMGab 0 X La Ln /m/conduct or  2 RMGa XL

0

2

Ln

DMG2ab RMGa RMGb

(2.50)

(2.51)

/m

El RMG de los conductores comerciales, se encuentra en algunas tablas y en otras, se establece, en lugar de éste, la denominada componente de conductor , que está directamente ligada con el RMG, como se aprecia en las tablas 2.2 a 2.5 de este mismo capítulo. Mediante el empleo de (2.47), se puede encontrar el RMG de conductores cableados homogéneos, en forma aproximada. En caso de conductores ACSR, es posible obtener un valor aproximado del RMG, considerando solamente las hebras de aluminio.

Ejemplo 2.4: Calcular el RMG de un conductor de cobre de 7 hebras de igual radio  que se muestra en la figura siguiente: r  1 2

6 7 5

3 4

Figura 2.13: Disposición de un Conductor Cableado de 7 Hebras. Solución: De acuerdo con (2.47), y llamando RMG 1 al radio medio geométrico de cada hebra, se tiene: RMG

49

2 2 2 2 2 2 2 2 RMG17 D12 D13 D14 D15 D16 D17 D 223 D 224 D 225 D 226 D 227 D 234 D 235 D 36 D 237 D 245 D 246 D 247 D 56 D 257 D 267

Como el conductor es de cobre; RMG1 = r e

 1/4

r  =

1; por lo tanto el Radio Medio Geométrico de cada hebra será:

= 0,7788 r 

Pero de la figura: D12 = D23 = D34 =D45 = D56 = D61 = D17 = D27 = D37 = D47 = D57 = D67 = 2 r  D13 = D24 = D35 = D46 = D51 = D62 = 2 r  3 D14 = D25 = D36 = 4 r  Entonces: RMG =

49

(0,7788r ) 7 (2r ) 24 (2r  3 )12 ( 4r ) 6

49

3,56578916 10 16 r 49

2,1767 r 

Si se considera el radio exterior del conductor, r e, (que de acuerdo con la figura 2.13 es de 3 r), se puede establecer: RMG = 0,7256 r e Donde, como ya se ha mencionado, r e  es el radio exterior del conductor. A modo de ilustración, para establecer algunas órdenes de magnitud, se han encontrado los siguientes valores de RMG para conductores de material homogéneo formado por distintos números de hebras, en función del r e.

53

Tabla Nº 2.6: FACTORES EMPIRICOS CONDUCTORES.

PARA

EL

Conductores Homogéneos Tipo de Conductor RMG Macizo 7 hebras 19 hebras 37 hebras 61 hebras 91 hebras 127 hebras

CALCULO

DEL

RMG

DE

ALGUNOS

Conductores ACSR Tipo de Conductor RMG

0,7788 r e 0,7256 r e 0,7576 r e 0,7682 r e 0,7721 r e 0,7738 r e 0,7756 r e

30 hebras (2 capas) 26 hebras (2 capas) 52 hebras (2 capas)

0,8257 r e 0,8091 r e 0,8103 r e

Nota Importante:  Como todo valor empírico, estos valores son aproximados y se usarán solamente mientras se encuentra una manera analítica de calcular el RMG de conductores cableados, a partir de las tablas de conductores, proporcionadas por los fabricantes.

2.4.6: Línea Trifásica en Doble Circuito con Transposiciones: Las líneas que tienen esta configuración están formados por dos circuitos independientes trifásicos, que van montados sobre la misma estructura (postación común) o bien que corren paralelamente a corta distancia con estructuras independientes (ruta común). En cualquiera de ambas alternativas, cada fase está formada por dos conductores que están conectados en los extremos de la línea. La figura siguiente muestra una configuración en postación común y una alternativa de transposición. Esta conexión permite, razonablemente, suponer que la corriente de cada fase, se reparte uniformemente y por tanto es posible aplicar el método de la DMG y RMG. Fase a

1

3

1

Fase b 2



Fase c 3

1

 2



2

3

2

3

 1





1 2 3    l/3

l/3

l/3

Figura: 2.14: Línea Trifásica en Doble Circuito con Transposición en Postación Común El proceso de cálculo es análogo al caso de un simple circuito y por tanto se evaluará el flujo enlazado por el conductor 1 en cada tramo y se encontrará su valor promedio, a continuación se repetirá para el conductor 1, con la finalidad de encontrar, finalmente la inductancia de la fase . Se tiene: 1 (I)

0

2

i1 Ln

1 RMG1

i 2 Ln

1 D12

i 3 Ln

1 D13

i 1' Ln

1 D11'

i '2 Ln

1 D12'

i '3 Ln

1 D13 '

54 Para los tramos II y III, se tendrá: 0

1 (II)

2 0

1 (III)

1

i1 Ln

RMG 2

1 RMG3

i1 Ln

2

i 2 Ln

1 D 23

i 2 Ln

1

i 3 Ln

1 D 31

i1' Ln

D 21

i 3 Ln

1 D 32

1 D 22 '

i1' Ln

1 D 33'

1

i '2 Ln

D 23'

1 D 31'

i '2 Ln

i '3 Ln

1 D 21'

i '3 Ln

1 D 32 '

En que nótese que se ha asociado el RMG, con la posición que ocupa el conductor en cada uno de los ciclos de transposición. Además, como los conductores que forman cada fase son iguales entre sí, se tendrá: i1 = i1 = i2 = i2 = i3 =i3  =

ia 2 ib

(2.52)

2

ic 2

Y también: ia + ib + ic = 0 El flujo enlazado promedio será: 1 3

1prom.

1prom.

1 0 3 2

1 (I)

1 (III)

1 RMG1D11'

Ln

1 RMG2 D 22'

1 D 13 D 21D 32

Ln

ic 1 D13' D 21' D 32' 2

Ln Ln

1 (II)

Ln

ia 1 RMG3 D 33' 2

Ln

1 D12 D 23 D 31

Ln

ib 1 D12' D 23' D 31' 2

 Análogamente para el conductor 1, se tendrá en cada uno de los tres tramos: 0

1' (I)

i1 Ln

2 0

1' (II)

2

i 2 Ln

1 D1'2

i 3 Ln

1 D1'3

i1' Ln

1 RMG1

i1 Ln

1 D 2'2

i 2 Ln

1 D 2'3

i 3 Ln

1 D 2'1

i1' Ln

i1 Ln

1 D 3'3

i 2 Ln

1 D 3'1

i 3 Ln

1 D 3'2

i1' Ln

0

1' (III)

1 D1'1

2

i 2' Ln

1 D1'2'

1 RMG2

i '2 Ln

1 RMG3

i '2 Ln

1 D 2'3' 1 D 3'1'

i 3' Ln

1 D1'3'

i '3 Ln

1 D 2'1'

i '3 Ln

1 D 3 '2 '

El promedio del flujo enlazado por el conductor 1 será: 1' prom.

1 0 3 2 Ln

Ln

1 RMG1D1'1

1 D1'3 D 2'1D 3'2

Ln

Ln

1 RMG2 D 2'2

Ln

1

ic

D 1'3' D 2'1' D 3'2'

2

ia 1 RMG3 D 3'3 2

Ln

1 D1'2 D 2'3 D 3'1

El flujo enlazado por cualquiera de los conductores de la fase , 1 ó 1, será 1 1 1prom 1' prom 2

Ln

1

ib

D1'2' D 2'3' D 3'1'

2

55 Reemplazando en esta relación las expresiones anteriores se puede escribir: 11 2 43 0

1

Ln

2 Ln

1 ib D12' D 23 'D 31'

Pero como: 0 1

1 ia RMG1D11' RMG2 D 22 ' RMG3 D 33'

1

Ln

1 ib D1'2 D 2'3 D 3 '1

1 ib D12 D 23 D 31

ic

Ln

1 D1'2' D 2'3' D 3 '1'

ib

ic

ic

Ib + ic = - ia 1

Ln

2 3

ic

Ln

4

1

Ln

2 2 2 2 2 RMG12 D11 ' RMG 2 D 22' RMG 3 D 33'

4

D12 D 23 D 31D12' D 23 ' D 31' D1'2 D 2'3 D 3'1D1'2' D 2'3' D 3'1'

ia

Llamando: 4

RMGa =

2

RMG1D 11'

RMG2 D 22'

RMG de la fase  

RMG3 D 33'

RMG de la fase 

RMGb =

4

RMG22 D 222'

RMGc =

4

RMG3 D 33'

2

2

RMG de la fase 

2

RMG1 D 11'

DMGab = 4 D12 D12' D1'2 D1'2'

DMG entre fases  y 

DMGac = 4 D13 D13' D1'3 D1'3'

DMG entre fases  y  

DMGbc =

4

D 23 D 23' D 2'3 D 2'3'

(2.53)

(2.54)

DMG entre fases  y 

Se tiene: 0 1

2

3

i a Ln

DMGab DMGac DMGbc 3

0

2

RMGa RMGb RMGc

i a Ln

DMGe RMGe

(2.55)

Donde: DMGe: Distancia Media Geométrica Equivalente y RMG e: Radio Medio Geométrico equivalente, definidos como: DMGe = 3 DMGab DMGac DMGbc RMGe =

3

(2.56)

RMGa RMGb RMGc

Finalmente: La = L1 = L  =

0

0

2

Ln

Ln

DMGe

X La

RMGe

DMGe RMGe

X L1

0

0

2 Ln

Ln

DMGe RMGe

DMGe RMGe

/m/fase

/m/conduct or 

(2.57)

Si se realiza un análisis similar para los conductores que forman las fases  y , se encuentran las mismas expresiones anteriores. Nótese que en el cálculo realizado, se ha considerado el efecto mutuo que aparece entre los conductores de los dos circuitos. Cuando las distancias son grandes entre ambos circuitos (ruta común), es usual despreciar este efecto de inducción mutua y en ese caso se calcula la inductancia como en el caso de un circuito simple con transposiciones y luego, para encontrar los valores por fase, obtenerlos como dos conductores en paralelo.

Ejemplo 2.5: Calcular la reactancia inductiva por fase de la línea de transmisión que se muestra en la figura. La línea opera a 220 kV, 50 cps y tiene una longitud de 100 km. Los conductores son ACSR 954 MCM 54/7. La línea se supone transpuesta en todo su recorrido y es simétrica con respecto a la vertical. Las distancias están expresadas en metros.

56  Fase a

1 D11 = 10,82 [m] D12 = 6,74 [m] D23 = 6,74 [m] D12 = 12,75 [m] D13 = 17,29 [m]



2

 Fase c

5,41

3

Fase b

Circuito A

Circuito B

Figura 2.15: Línea de Transmisión de Simetría Vertical en Doble Circuito del Ejemplo 2.5. Solución: De (2.57): XL = DMGe =

3

DMGab =

0

2

10 3 Ln

DMGe

/ km / fase

RMGe

DMGabDMGac DMGbc

4

4

D12 D12 ' D 1'2 D1'2'

2 2 D12 D12 '

D12 D12'

D13 D13'

17,29 13,48

6,74 12,75

9,27 m

DMGbc = DMGab = 9,27 [m] DMGac = DMGe =

4 3

D13D13'D1'3 D1'3'

9,27 9,27 15,27

De (2.5 3): RMGa =

10,95

15,27 m

m

RMG1D11'

El radio medio geométrico, se obtendrá, por ahora, de la expresión empírica de la tabla 2.6, en tanto encontremos una expresión analítica para calcularlo. De acuerdo a lo allí indicado, para un conductor   ACSR, 54 hebras el RMG = 0,8103 r e. De la tabla de conductores ACSR, el Cardinal corresponde al de la línea del ejemplo, con un diámetro de 30,4 [mm], por lo cual su radio es de 15,2 [mm]. Entonces:

-3

RMG = 0,8103 * 15,2 * 10 = 0,0123 [m]

 Así, de la simetría de la línea, se tiene: RMGa = RMGb = RMGc = De (2.56):

De (2.57): XLa = X La

3

RMGe =

200

0

2

10

RMG1D11'

0,0123 10,82

0,3651  [m]

RMG a RMGb RMGc = 0,3651 [m] * 10 3 Ln

4

Ln

DMG e

2

RMG e

10,95 0,3651

0,2137

50 4

10

2

/km/fase

7

10 3 Ln

10,95 0,3651

57

2.47: Línea Trifásica en Circuito Simple con un Haz de dos Conductores: La figura siguiente muestra una línea con estructura tipo portal, de dos conductores por fase:



1



2

s

s

s

fase 

 fase 



3 fase 

Figura 2.16. Línea trifásica con dos Conductores en Haz. Como la línea es similar al caso de una línea en doble circuito, se usarán las expresiones encontradas en el apartado anterior, con las particularizaciones del caso. Los conductores que constituyen el haz están fijados a la misma cadena de aisladores y conectados eléctricamente en paralelo en cada una de las estructuras. En general estas líneas operan en EAT (sobre 220 kV) y se asumirá que están transpuestas en la misma forma ya revisada. Entonces se tiene; de (2.54) RMGa =

4

2

2

RMG D11'

RMG s

(2.58)

Donde: RMG: Radio Medio Geométrico de los conductores. Por la simetría de la línea: RMGa = RMGb = RMGc ; RMGe =

3

RMGa RMGb RMGc

3

Luego:

3

RMG s

D (D

s) (D - s)D

RMGa

(2.59)

De (2.54) DMGab =

4

D12 D12' D1'2 D1'2'

Pero Pero con conside sidera ran ndo que que D

4

(2.60)

s D

s

D

s

D

(2.61)

Entonces: DMGab = D DMGbc = D DMGac = 2 D  Así: DMGe =

3

DMGab DMGbc DMGac

3

2D 3

D3 2

Recordando que en el caso de una línea en doble circuito se tenía para la reactancia inductiva:

(2.62)

58 XL = L = 2 f L = 2 f  XL

4

0

10 3 Ln

2 10

4

f Ln

DMGe

/km/fase

RMGe

(2.63)

DMGe

/km/fase

RMGe

Por tanto, para el caso de dos conductores por fase será: XL = 4

4

10

DMGe

f Ln

/km/fase

(2.64)

RMG s

En ésta, como en las anteriores relaciones encontradas para la inductancia como para la reactancia inductiva, tanto la DMGe, como el RMGe están expresados en las mismas unidades, metro en el caso del Sistema MKS Racionalizado. .

2.4.8. Tres Conductores por Fase: En este caso los subconductores están ubicados en el vértice de un triángulo equilátero como se muestra en la figura siguiente, separados entre sí una distancia . . 1 s

s s





Figura 2.17: Haz de Tres Conductores: Si recordamos que según (2.47) el RMG está dado como: De acuerdo a la figura 2.17, se tiene:  Así:

RMGe = XL = 4

9

3

RMG s

10

4

f Ln

3

6

RMG e

n2

2 2 2 RMG1n D12 ... D1n ... D (n -1) n

D 11 11 = D11 11 = D = s

RMG s

DMG e

RMG =

4

2

10

; con lo cual, según (2.63) 4

f Ln

DMG e 3

RMG s

/km/fase

2

(2.65)

2.4.9: Cuatro Conductores por Fase:  En este caso los conductores se ubican en los vértices de un cuadrado de lado . . Como se muestra en la figura siguiente, donde análogamente el caso de tres conductores por fase, se tiene: D11 11 = D = D = D1  1 = s D11 11 = D  = s

2 s



Figura 2.18: Haz de Cuatro Conductores

Entonces: RMGe = XL = 4

10

4

16



s

1

RMG 4 s 8 (s 2 ) 4 DMGe

f Ln 4

RMGs

3

4

s

s



RMGs 3 2 Reemplazando en (2.64): /km/fase

2

s 2

(2.66)

59

2.4.10: Uso de Tablas para el Cálculo de la Reactancia Inductiva:   La reactancia inductiva por  conductor de una línea monofásica o por fase de una línea trifásica de configuración simple, simétrica o asimétrica transpuesta, se puede escribir en general como: 0

XL  =

Ln

2

DMG RMG

/unidad de longitud

(2.67)

En que la unidad de longitud dependerá del sistema de medida empleado y debe ser consistente con el valor de la contante 0 Esta expresión se puede escribir también como: XL = Xa + Xd [

(2.68)

unid unidad ad de long longit itud ud]]

Donde :

Xd =

-

1 RMG

/unidad de longitud

Ln DMG

/unidad de longitud

0

Xa =

Ln

2 0

2

(2.69)

Xa:  Se interpreta como la reactancia por unidad de longitud, debida al flujo interno del conductor, hasta una distancia igual a la que se ha expresado el RMG. (Pié, cm, m, etc.) y depende de la frecuencia y del RMG del conductor y en algunas tablas se le denomina Componente de Conductor .

-

Xd:  Representa la reactancia inductiva del conductor, debido al flujo externo, desde una distancia entre la unidad de medida del RMG y DMG hasta el valor de la DMG. Este término se conoce como factor de separación y depende de la frecuencia y distancia entre conductores.

En los desarrollos realizados anteriormente se ha empleado el sistema MKS racionalizado con la 3 salvedad de amplificar, la constante por 10  para expresar los resultados en [ /km] /km] en en luga lugarr de de [ /m]. /m]. Por  Por  tanto en general se ha expresado la reactancia inductiva como: DMG DMG -4 4 10 f Ln 2 RMG RMG Entonces los valores de Xa y Xd, serán respectivamente: XL

0

3

10 Ln

Xa = 4

10

4

f Ln

1 RMG

/km

Xd = 4

10

4

f Ln DMG

/km

/km

(2.70)

Los valores de Xa se encuentra en la tabla de características de los conductores y los valores de Xd, se encuentran en la tabla de componente de distancia o factor de separación. De (2.70): Se puede despejar  el valor del RMG, tal que: Ln

1 RMG

Xa 4 f  10

RMG

4

e

-

Xa 10 4 4 f 

(2.71)

m

Nota: Esta será la expresión analítica para encontrar el RMG de los conductores. - Caso de dos Conductores por Fase:  En el evento que la línea este formado por un haz de dos conductores. De ( 2.64): XL = 4

10

4

XL  = 4

10

4

f Ln f 

1 2

DMGe

4

RMG s Ln

1

-

1

RMG 2

-4

10 f Ln Ln s

1 1 Ln 2 RMG

Ln DMG e

1 1 Ln 2 s

Ln DMGe

60 1 1 Xa - Xs 2 2

XL =

Xd

/km/fase

(2.72)

Con: 1 RMG

/km

Xs = 4 f  10 -4 Ln s

/km

f  10 -4 Ln DMG e

/km

Xa = 4 f  10 - 4 Ln

Xd = 4

(2.73)

 Así se puede escribir, análogamente a (2.72) 1 1 XL = Xa Xd - Xs /km/fase 2 2

(2.74)

- Caso de Tres Conductores por Fase:  Esta situación, considera que cada una de las fases está formado por un haz de tres conductores, como se estableció en 2.4.8. De (2.65): XL = 4

4

f  10

XL =

1 3

Ln

Xa

DMGe 3

RMG s 2 Xd -

2 3

4

4 f  10

Xs

1 1 2 Ln - Ln s Ln DMGe 3 RMG 3

/km/fase

(2.75)

- Cuatro Conductores por Fase: Esta situación se ilustró en el apartado 2.4.9. Así de (2.66): XL = 4 f  10 - 4 Ln

XL =

1 Xa 4

DMGe 4

RMG s

Xd -

3

4 f  10 2

3 Xs - 0,0054 4

4

1 1 3 1 Ln - Ln s - Ln 2 4 RMG 4 4

Ln DMG e

/km/fase

(2.76)

1 Ln 2 4 Nota: Si se conoce el valor de Xa en el sistema inglés y se trata de llevar este valor al sistema MKS racionalizado, con además un cambio de frecuencia desde f 1 (60 cps) a f 2 (50 cps) por ejemplo, se puede aplicar la relación: En que el valor constante:

XA = 0,6214

f 2 f 1

0,0054 = 4

Xa 0,00149 f 2

50 10 - 4

[ /km]

En general el valor de la reactancia inductiva para líneas de alta tensión, fluctúa entre 0,38 y 0,46 [ debido a la poca sensibilidad del factor logarítmico a la variación de magnitudes. En la página siguiente, Tabla 2.7, se muestra los valores de Xd calculados para distintas distancias:

(2.77)

/km],

61

Tabla 2.7: COMPONENTE DE DISTANCIA Xd EN [ /km] PARA 50 cps. Centímetros Metros 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

Metros 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0 21,0 22,0 23,0 24,0 25,0

0 ---0,1447 -0,1011 -0,0756 -0,0576 -0,0436 -0,0321 -0,0224 -0,0140 -0,0066 0 0,0060 0,0115 0,0165 0,0211 0,0255 0,0295 0,0333 0,0369 0,0403

1 -0,2894 -0,1387 -0,0981 -0,0736 -0,0560 -0,0423 -0,0311 -0,0215 -0,0132 -0,0059 0,0006 0,0066 0,0120 0,0170 0,0216 0,0259 0,0299 0,0337 0,0373 0,0407

2 -0,2458 -0,1332 -0,0951 -0,0716 -0,0545 -0,0411 -0,0300 -0,0206 -0,0125 -0,0052 0,0012 0,0071 0,0125 0,0174 0,0220 0,0263 0,0303 0,0341 0,0376 0,0410

3 -0,2203 -0,1282 -0,0923 -0,0697 -0,0530 -0,0399 -0,0290 -0,0198 -0,0117 -0,0046 0,0019 0,0077 0,0130 0,0179 0,0225 0,0267 0,0307 0,0344 0,0380 0,0413

0

10

20

30

0 0,0436 0,0690 0,0871 0,1011 0,1126 0,1223 0,1307 0,1381 0,1447 0,1507 0,1561 0,1612 0,1658 0,1702 0,1742 0,1780 0,1816 0,1850 0,1882 0,1913 0,1942 0,1970 0,1997 0,2022

0,0060 0,0466 0,0711 0,0887 0,1024 0,1136 0,1232 0,1314 0,1387 0,1453 0,1512 0,1567 0,1616 0,1663 0,1706 0,1746 0,1784 0,1820 0,1853 0,1885 0,1916 0,1945 0,1973 0,1999 0,2025

0,0115 0,0495 0,0731 0,0902 0,1036 0,1146 0,1240 0,1322 0,1394 0,1459 0,1518 0,1572 0,1621 0,1667 0,1710 0,1750 0,1788 0,1823 0,1857 0,1889 0,1919 0,1948 0,1976 0,2002 0,2027

0,0165 0,0523 0,0750 0,0916 0,1048 0,1156 0,1249 0,1330 0,1401 0,1465 0,1524 0,1577 0,1626 0,1671 0,1714 0,1754 0,1791 0,1826 0,1860 0,1892 0,1922 0,1951 0,1978 0,2005 0,2030

4 -0,2022 -0,1235 -0,0897 -0,0678 -0,0516 -0,0387 -0,0280 -0,0189 -0,0110 -0,0039 0,0025 0,0082 0,0135 0,0184 0,0229 0,0271 0,0311 0,0348 0,0383 0,0416

5 -0,1882 -0,1192 -0,0871 -0,0660 -0,0502 -0,0376 -0,0271 -0,0181 -0,0102 -0,0032 0,0031 0,0088 0,0140 0,0189 0,0233 0,0275 0,0315 0,0352 0,0387 0,0420

Centímetros 40 50 0,0211 0,0550 0,0769 0,0931 0,1060 0,1166 0,1258 0,1337 0,1408 0,1471 0,1529 0,1582 0,1631 0,1676 0,1718 0,1758 0,1795 0,1830 0,1863 0,1895 0,1925 0,1953 0,1981 0,2007 0,2032

0,0255 0,0576 0,0787 0,0945 0,1071 0,1176 0,1266 0,1345 0,1415 0,1477 0,1535 0,1587 0,1635 0,1680 0,1722 0,1761 0,1798 0,1833 0,1866 0,1898 0,1928 0,1956 0,1984 0,2010 0,2035

6 7 8 9 -0,1768 -0,1671 -0,1587 -0,1513 -0,1151 -0,1113 -0,1077 -0,1043 -0,0846 -0,0823 -0,0800 -0,0778 -0,0642 -0,0625 -0,0608 -0,0592 -0,0488 -0,0474 -0,0461 -0,0448 -0,0364 -0,0353 -0,0342 -0,0332 -0,0261 -0,0252 -0,0242 -0,0233 -0,0172 -0,0164 -0,0156 -0,0148 -0,0095 -0,0088 -0,0080 -0,0073 -0,0026 -0,0019 -0,0013 -0,0006 0,0037 0,0043 0,0048 0,0054 0,0093 0,0099 0,0104 0,0109 0,0145 0,0150 0,0155 0,0160 0,0193 0,0198 0,0202 0,0207 0,0238 0,0242 0,0246 0,0251 0,0279 0,0283 0,0287 0,0291 0,0318 0,0322 0,0326 0,0330 0,0355 0,0359 0,0362 0,0366 0,0390 0,0393 0,0397 0,0400 0,0423 0,0426 0,0429 0,0432

60

70

80

90

0,0295 0,0600 0,0805 0,0959 0,1082 0,1186 0,1274 0,1352 0,1421 0,1483 0,1540 0,1592 0,1640 0,1685 0,1726 0,1765 0,1802 0,1837 0,1870 0,1901 0,1931 0,1959 0,1986 0,2012 0,2037

0,0333 0,0624 0,0822 0,0972 0,1094 0,1195 0,1283 0,1359 0,1428 0,1489 0,1545 0,1597 0,1645 0,1689 0,1730 0,1769 0,1806 0,1840 0,1873 0,1904 0,1934 0,1962 0,1989 0,2015 0,2040

0,0369 0,0647 0,0839 0,0986 0,1104 0,1204 0,1291 0,1366 0,1434 0,1495 0,1551 0,1602 0,1649 0,1693 0,1734 0,1773 0,1809 0,1843 0,1876 0,1907 0,1936 0,1965 0,1992 0,2017 0,2042

0,0403 0,0669 0,0855 0,0999 0,1115 0,1214 0,1299 0,1374 0,1440 0,1501 0,1556 0,1607 0,1654 0,1697 0,1738 0,1776 0,1813 0,1847 0,1879 0,1910 0,1939 0,1967 0,1994 0,2020 0,2045

62

2.5. CALCULO DE CAPACIDADES Y REACTANCIAS CAPACITIVAS. Otro de los parámetros relevantes de las líneas de transmisión, es la reactancia capacitiva, que ofrece un camino de fuga a las corrientes que circulan por la línea y que es el parámetro dominante de la admitancia shunt. Para determinarla, es preciso evaluar primeramente la capacidad entre conductores. Recordemos que al aplicar una diferencia de potencial instantánea a dos conductores separados por una cierta distancia, éstos adquieren una carga +q(t) y -q(t). El valor absoluto de la carga dependerá de la diferencia de potencial v(t) y una constante de proporcionalidad , tal que: C=

q(t ) v( t )

(2.78)

Esta capacidad depende de las dimensiones y configuración geométrica de los cuerpos cargados, de la posición de ellos respecto a otros cuerpos conductores, de la naturaleza del medio que los separa, es decir del dieléctrico y de la distancia o posición relativa de un cuerpo con respecto al otro. Un condensador elemental está constituido por dos cuerpos, tales, que todas las líneas de fuerza comienzan en uno y terminan en el otro. Así se tiene una capacidad única y ambos cuerpos tienen la misma carga pero con signos distintos. Si se tiene un conjunto de cuerpos cargados, no existe una única capacidad y se tendrá un condensador  compuesto y por tanto existirán capacidades parciales. Como ejemplo, considérese el conjunto de cuerpos cargados que se muestra en la figura siguiente:

a

+

+

+ + +

-

+

+

-

+

+ + +

2

-

+ 1 b

+ + + +

+ + + +

 -

c

+

3

+

 + +

Figura 2.19. Sistema de Cuerpos Cargados y Líneas de Fuerza. Si se emplea la definición de capacidad y expresión (2.78), se puede escribir: C12 = Donde:

q12 v1

v2

C13

q13 v1 - v 3

C1n

q1n v1 - v n

(2.79)

q12 = qab: Carga en el sector superficial ab del conductor  q13 = qbc: Carga en el sector superficial bc del conductor 

En el caso de las líneas de transmisión, el concepto de capacidades parciales se puede apreciar en la figura siguiente:

63

2  -q2

1 +q1

C12 1

2

C10

- - -

C20

+ + +

Figura 2.20. Línea de dos Conductores en Presencia de Tierra y Capacidades Parciales que Presenta. En este caso aparecen tres capacidades parciales: Entre los conductores y entre cada uno de ellos y tierra. Estas son: q q q12 C12 = ; C10 = 10 ; C20 = 20 v1 v 2 v1 v2

2.5.1: Cálculo de Capacidades de Líneas sin Considerar el Efecto de Tierra: Esto implica considerar  nulos C10 y C 20 en la figura 2.20. Es decir, se supone que los conductores están ubicados en un medio dieléctrico de extensión infinita, por tanto se calculará el potencial en un punto  debido a la presencia de  conductores cargados en su espacio cercano en relación a un origen arbitrario  y que además, son cilíndricos. 2 q2 D2

D12

1 q1

d20 D1   k qk Dk

D1n

D13 d10

Dn qn

 n

D3 3

dn0

d30

q3

O

Figura 2.21. Sistema de  Conductores Cargados. Si se asume que no hay otros conductores cargados en las cercanías, se tiene: n

qk k 1

0

(2.80)

 Además, la diferencia de potencial entre los puntos  y   debida a la presencia de un conductor  cilíndrico cargado uniformemente con  [Coulomb/m] y de extensión infinita, está dado como:

64 D1

(vp  vo)1 =

q1

E dl

2

d10

Con

o=

- 12

8,85 * 10

Ln 0

d10

(2.81)

D1

[F/m] : constante de permitividad del vacío.

 Asimismo, la presencia de los restantes conductores hará que: q2 d (vp-vo)2 Ln 20 2 0 D2

. . qn

 (vp-vo)n

2

Ln 0

(2.82)

dn0 Dn

Finalmente, la diferencia de potencial entre los ptos.  y , debido a la presencia de los  conductores cargados ubicados en ese espacio será: n

1

vp  v0 =

2

qk Ln 0 k 1

dk 0

(2.83)

Dk

Esta expresión se puede reescribir como:

vp - v0 =

n

1 2

0

k

1 qk Ln Dk 1

n

1 2

(2.84)

qk Ln dk0 0

k 1

Se aprecia que el segundo término es constante para una elección fija del punto , por tanto: vp - v0 =

n

1 2

qk Ln 0

k 1

1 Dk

Constante

Si se considera que el potencial del punto  está referido al  y que la constante se eliminará en cada cálculo de diferencia de potencialmente conductores, se tiene, finalmente: vp =

n

1 2

qk Ln 0

k 1

1 Dk

volts

(2.85)

Se debe recalcar que los conductores son cilíndricos, paralelos entre sí y uniformemente cargados en toda su superficie, lo que es razonable para líneas aéreas.

2.5.1.1: Línea Monofásica: Considérese una línea monofásica, como la que se muestra en la figura siguiente:

 p p

D1

v1 r 1

D2 r 2

q 1

q2 v2 D

Figura 2.22: Línea Monofásica de dos Conductores.

65  Aplicando la ecuación (2.85), el potencial en el punto , será: vp =

q1 2

Ln 0

q2

1 D1

2

Ln 0

1 D2

(2.86)

Trasladando el punto  a la superficie de cada uno de los conductores 1 y 2 y considerando que q 1 + q2 = 0: q1 q1 1 1 D v1 = Ln - Ln Ln 2 0 r 1 D 2 0 r 1 v2 =

q2 2

Ln 0

q2

1 1 - Ln r 2 D

2

Ln 0

D r 2

q1 2

Ln 0

r 2 D

Nótese que se ha considerado que como D >> r i ; se tiene D - r 1 q1 q1 D2 D v1  v2 = Ln Ln 2 0 r 1 r 2 r 1 r 2 0

 D  r 2

D. Entonces: (2.87)

 Así la capacidad de la línea será: C=

q1 v1

0

v2

D

Ln

F/m

(2.88)

F/m

(2.89)

m

(2.90)

r 1 r 2 Si r 1 = r 2 = r, se puede escribir: 0

C= Ln

D r 

Y la reactancia capacitiva total de la línea será: 1 1 1 D XC Ln 2 C 2 f C 2 f  0 r 

-12

Recuérdese que o es la permitividad del vacío, de valor 8,85 x10  [Coulomb/volt] en el Sistema MKS. En el caso de conductores cableados  corresponde al radio exterior. Normalmente se expresa el valor  de la capacidad por conductor, por lo que en (2.89), se ha determinado la capacidad total de la línea. Empleando el concepto de capacidades parciales, se puede representar como: Cn

C = C12 1

2

1

n

Cn 2

Figura 2.23 Capacidades Parciales Equivalentes. En que el punto , es un punto de potencial cero y corresponde a la mitad de la distancia que separa a ambos conductores. Se tiene: Cn = 2 C =

2 Ln

0

D

F/m/conduc tor 

(2.91)

r 

Normalmente, atendiendo al gran tamaño del Farad, la capacidad se expresa en

F/km, por lo que:

66 Cn =

2

0

10 6

2

D 10 -3 Ln r  Con lo que:

XCn =

10 9

0

1 2

4

F/km/condu ctor 

(2.92)

M km/conduct or 

(2.93)

D Ln r 

9

0

10 f 

Ln

D r 

2.5.1.2: Línea Trifásica de Disposición Equilátera: La figura siguiente muestra esta disposición para una línea de transmisión:

q3 p

D3

3

D2

D1

Ds

q2

Ds q1 Ds

2

1

Figura 2.24: Línea Trifásica de Disposición Equilátera Se cumple que D12 = D13 = D23 = Ds ; r 1 = r 2 = r 3 = r ; q1 + q2 + q3 = 0 De (2.85), se puede escribir: vp =

1 2

q1 Ln 0

1 D1

q 2 Ln

1 D2

q3 Ln

1 D3

Trasladando el punto  a la superficie de cada conductor y considerando que D >> r. v1

1 2

q1 Ln 0

1 1 q 2 Ln r  Ds

q3 Ln

1 Ds

1 2

q1 Ln

Ds

0

r 

 Análogamente el potencial para los conductores 2 y 3, será: v2 v3

1 2

q1 Ln 0

1 2

q1 Ln 0

1 Ds

q 2 Ln

1 Ds

q 2 Ln

1 1 q 3 Ln r  Ds 1 Ds

q3 Ln

1 r 

1 2

q 2 Ln 0

1 2

q3 Ln 0

Ds r  Ds r 

De allí, se tiene: C1 = C2 = C3 = Cn =

2 Ln

0

Ds r 

F/m

(2.94)

67 Esta capacidad corresponde a cada fase (conductor) con respecto a un punto de potencial cero, que en este caso, por la disposición de la línea está ubicado en el centro del triángulo equilátero, como se muestra en la figura siguiente. 3 C3 = Cn C1 = Cn

O

C2 = Cn

1

2

Figura 2.25: Diagrama de Capacidades Esta capacidad en la nomenclatura de USA, se llama capacidad al neutro y en Europa, capacidad de servicio. Se aprecia que (2.94) es idéntica a (2.91), por tanto si se expresa en [ F/km/fase], se tendrá (2.92) y la reactancia capacitiva estará dada por (2.93).

2.5.1.3: Línea Trifásica con Transposiciones: Asumiendo la línea convenientemente transpuesta como se muestra en la figura siguiente I

II

3

2

1

2

3

1

l/3

l/3

III

1

2

3

l/3

l = largo total de la línea

Figura 2.26: Línea Trifásica con Transposiciones: Usando la expresión (2.85) y de la figura 2.26, se puede escribir: v1

v2 v3

1 2

q1 Ln 0

1 2 2

0

r 

q 2 Ln

1 D 12

q 3 Ln

1 D13

q1 Ln

1 D 21

q 2 Ln

1 1 q3 Ln r  D 23

q1 Ln

1 D 31

q 2 Ln

1 D 32

0

1

1

q 3 Ln

1 r 

Este juego de ecuaciones se puede aplicar a cada tramo del ciclo de transposiciones. Sin embargo, se debe considerar que si se asume que la tensión permanece contante, el valor de las cargas debe variar 

68 dada la diferente posición que tienen los conductores en cada tramo. Si se asume que lo que permanece constante son las cargas, variará el potencial. Esta última suposición es la que se hará y en ese caso el potencial del conductor  en cada tramo será: 1

v 1 (I)

2 2

q3 Ln

1 D13

q1 Ln

1 1 q 2 Ln r  D 23

q3 Ln

1 D 21

1 1 q 2 Ln r  D 31

q3 Ln

1 D 32

0

1

v 1 (III)

1 1 q 2 Ln r  D12

0

1

v 1 (II)

q1 Ln

2

q1 Ln 0

La tensión promedio en todo el ciclo de transposiciones será: v1 v1

1 v 1 (I) 3

3

1 2

v 1 (II)

q1 Ln

1 1 3 2

v 1 (III)

D12D13D 23

0

1

r 

0

3 q1 Ln

2

q1 Ln 0

1 (q2 r 

q 3 ) Ln

1 D12 D13 D 23

DMG r 

Entonces: 2

q1

C1 =

v1

Ln

0

DMG

F/m

(2.95)

r 

Si se repite el proceso para los otros 2 conductores, se comprueba que C 1 = C 2 = C3 = C n, por tanto la capacidad por fase de la línea será: 2 0 Cn = F/m DMG Ln r  (2.96) O bien: 2 0 10 9 Cn = F/km DMG Ln r  Y la reactancia capacitiva será a su vez: 1 1 DMG XCn = Ln 2 f C n 4 2 0 f  r  XCn =

1 4

2 0

DMG Ln 9 r  f  10

m (2.97)

M km

2.5.14: Uso de Tablas: Para calcular la reactancia capacitiva y entrar directamente a las tablas, se puede escribir, en forma análoga al cálculo de la reactancia inductiva: XCn = Xa +Xd

[M

km]

(2.98)

Donde: 10

a = d =

4

10 4

2

2

9 0 f 

Ln

1 M km r 

9 0 f 

Ln DMG M km

(2.99)

69

2.5.1.5: Cálculo de la Capacidad y Reactancia Capacitiva de Líneas Trifásicas en Doble Circuito: Es posible hacer un desarrollo igual al del caso de la inductancia y reactancia inductiva de líneas en doble circuito. La diferencia se presenta que en lugar de emplear el RMG de cada conductor, se emplea , radio exterior del conductor, dado que la carga eléctrica está distribuida en la periferia de éstos. En general la disposición de los conductores es asimétrica, por lo que se debe asumir que la línea está convenientemente transpuesta. Además se supone que las cargas por unidad de longitud se mantienen constantes en todo el ciclo de transposiciones y los conductores que forman una fase tienen igual carga por unidad de longitud. 1

 2

2



3 Circuito A

Fase  Fase 

Fase 

Circuito B

Figura 2.27: Línea Trifásica en Doble Circuito En este caso se tiene: 2

Cn =

10 9 DMGe 0

F/km

(2.100)

M km

(2.101)

DMGabDMGbc DMGac

(2.102)

Ln

RMGe

La reactancia capacitiva será: XCn =

1 Cn

10 4

-9

2 0

f 

Ln

DMGe RMGe

Donde: DMGe =

3

DMGab = 4 D 12D12'D1'2D1'2'

DMG entre fases  y 

DMGac = 4 D13 D 13' D1'3 D1'3'

DMG entre fases  y  

4

DMGbc =

D 23 D 23' D 2'3 D 2'3'

(2.103)

DMG entre fases  y 

y: RMGa =

Con lo que:

4

2

2

r 1 D11'

r D11' RMG de la fase 

RMGb =

4

r12 D 222'

r 2 D 22' RMG de la fase  

RMGc =

4

r32 D 233'

r 3 D 33' RMG de la fase 

(2.104)

70 3

RMGe =

(2.105)

RMGa RMGb RMGc

2.5.1.6: Conductores Fasciculados: Se analizarán los casos de dos, tres y cuatro conductores por fase: - Dos conductores por Fase: Si se considera la línea mostrada en la figura 2.16. y considerando que la separación entre los conductores se designará por , se tiene D11 = s = D22 = D33, de donde, para los Radios Medios Geométricos de cada fase se cumplirá que: RMG a = RMGb = RMGc = Entonces, reemplazando en la expresión (2.105) RMGe =

3

RMG 3a

r s

Reemplazando en (2.101), se tiene: 9 9 DMGe 10 10 1 1 1 XCn = Ln Ln - Ln s r  2 4 2 0 f  4 2 0 f  2 r s 1 X' a 2

X Cn

r s

1 X' s 2

X' d

Ln DMGe

M km

M km

(2.106)

En que:

10

d =

4

9

10

a =

2

4

0

f 

Ln

1 r 

M km

9

2

f 

0

LnDMG e

2

4

(2.107)

9

10

s =

M km

0

f 

Ln s

M km

- Caso de Tres Conductores por Fase: En este caso los subconductores están ubicados en los vértices de un triángulo equilátero de lado , como se muestra la figura 2.28. 1 s

s s





Figura 2.28: Haz de Tres Conductores por Fase Si en (2.101) se reemplaza la expresión del RMG e según (2.47); es decir, 2

2 RMGe = n RMG n D12

D12n

D (2n

1)n

El RMGe, en particular, resulta igual a:

X Cn

10 4

9

2 0

f 

Ln

DMGe 3

XCn = Con:

r s

2

1 X' a 3

10 4

9

2 0

X' d

y considerando, según la figura 2.28 que: D11 = D11 = D = s RMGe =

9

r 3 s6

1 1 2 Ln - Ln s r  3 f  3 2 X' s 3

M km

3

r  s 2 ; por tanto,

Ln DMGe

M km

(2.108)

(2.109)

71 a =

9

10 2

4

0

10

s =

2

4

0

f 

0

1 r 

M km

-9

2

4

10 -9

d =

f 

Ln

f 

Ln s M km

(2.110)

Ln DMGe M km

- Cuatro Conductores por Fase: En este caso los conductores están en el vértice de un cuadrado de lado , como se indica en la figura siguiente:

D11 = D = D = D1 = s D11 = D = s



s

1

s

s 2

s

2



s



Figura 2.29: Haz de Cuatro Conductores Reemplazando en (2.47), se tiene; RMGe =

16

r 4 s 8

2 s

4

4

r s 3 2

Introduciendo esta relación en (2.101) DMGe 10 9 10 XCn = Ln 2 2 4 4 0 f  r s 3 2 4 X Cn

1 X' a 4

X' d -

3 X' s - 0,00496 4

9 0

1 1 Ln Ln DMGe r  f  4 M km

3 1 Ln s - Ln 2 4 4

M km

(2.111)

Con: a = d =

10 4

0

f 

Ln

1 r 

M km

9 0

f 

Ln DMGe

10 4 10

4

9

2

4

2

s = 0,00496 =

10

M km (2.112)

9

2 0

Ln s

M km

Ln 2

M km

f 

9

2 0

f 

En la página siguiente se muestra la tabla Nº 2.8, que incluye los valores calculados para X d y Xs. Los valores de Xa se obtienen directamente de la tabla de características de los conductores en la columna, componentes de conductor 

72

Tabla 2.8: COMPONENTE DE DISTANCIA X d EN [M km] PARA 50 cps. Metros 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

Metros 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0 21,0 22,0 23,0 24,0 25,0

0

1

---0,2636 -0,1318 -0,1264 -0,0921 -0,0893 -0,0689 -0,0670 -0,0525 -0,0510 -0,0397 -0,0385 -0,0292 -0,0283 -0,0204 -0,0196 -0,0128 -0,0121 -0,0060 -0,0054 0 0,0006 0,0055 0,0060 0,0104 0,0109 0,0150 0,0155 0,0193 0,0197 0,0232 0,0236 0,0269 0,0273 0,0304 0,0307 0,0336 0,0340 0,0367 0,0370

2

3

-0,2239 -0,1214 -0,0867 -0,0652 -0,0497 -0,0374 -0,0274 -0,0188 -0,0114 -0,0048 0,0011 0,0065 0,0114 0,0159 0,0201 0,0240 0,0276 0,0310 0,0343 0,0373

-0,2007 -0,1168 -0,0841 -0,0635 -0,0483 -0,0363 -0,0264 -0,0180 -0,0107 -0,0042 0,0017 0,0070 0,0119 0,0163 0,0205 0,0243 0,0280 0,0314 0,0346 0,0376

0

10

20

30

0 0,0397 0,0629 0,0794 0,0921 0,1026 0,1114 0,1190 0,1258 0,1318 0,1373 0,1422 0,1468 0,1511 0,1550 0,1587 0,1622 0,1655 0,1686 0,1715 0,1743 0,1769 0,1795 0,1819 0,1843

0,0055 0,0425 0,0648 0,0808 0,0933 0,1035 0,1122 0,1197 0,1264 0,1324 0,1378 0,1427 0,1473 0,1515 0,1554 0,1591 0,1625 0,1658 0,1689 0,1718 0,1746 0,1772 0,1797 0,1822 0,1845

0,0104 0,0451 0,0666 0,0821 0,0944 0,1044 0,1130 0,1204 0,1270 0,1329 0,1383 0,1432 0,1477 0,1519 0,1558 0,1594 0,1629 0,1661 0,1691 0,1721 0,1748 0,1775 0,1800 0,1824 0,1847

0,0150 0,0477 0,0683 0,0835 0,0955 0,1054 0,1138 0,1211 0,1277 0,1335 0,1388 0,1437 0,1481 0,1523 0,1562 0,1598 0,1632 0,1664 0,1694 0,1723 0,1751 0,1777 0,1802 0,1826 0,1849

Centímetros 4 5 -0,1843 -0,1125 -0,0817 -0,0618 -0,0470 -0,0353 -0,0255 -0,0172 -0,0100 -0,0035 0,0022 0,0075 0,0123 0,0168 0,0209 0,0247 0,0283 0,0317 0,0349 0,0379

-0,1715 -0,1086 -0,0794 -0,0601 -0,0457 -0,0342 -0,0247 -0,0165 -0,0093 -0,0029 0,0028 0,0080 0,0128 0,0172 0,0213 0,0251 0,0287 0,0320 0,0352 0,0382

Centímetros 40 50 0,0193 0,0501 0,0701 0,0848 0,0965 0,1063 0,1146 0,1218 0,1283 0,1341 0,1393 0,1441 0,1486 0,1527 0,1565 0,1601 0,1635 0,1667 0,1697 0,1726 0,1754 0,1780 0,1805 0,1829 0,1852

0,0232 0,0525 0,0717 0,0861 0,0976 0,1071 0,1153 0,1225 0,1289 0,1346 0,1398 0,1446 0,1490 0,1531 0,1569 0,1605 0,1638 0,1670 0,1700 0,1729 0,1756 0,1782 0,1807 0,1831 0,1854

6 -0,1610 -0,1049 -0,0771 -0,0585 -0,0445 -0,0332 -0,0238 -0,0157 -0,0086 -0,0023 0,0033 0,0085 0,0132 0,0176 0,0217 0,0255 0,0290 0,0324 0,0355 0,0385

7

8

-0,1522 -0,1446 -0,1014 -0,0982 -0,0750 -0,0729 -0,0569 -0,0554 -0,0432 -0,0420 -0,0322 -0,0312 -0,0229 -0,0221 -0,0150 -0,0142 -0,0080 -0,0073 -0,0017 -0,0012 0,0039 0,0044 0,0090 0,0095 0,0137 0,0141 0,0180 0,0184 0,0221 0,0224 0,0258 0,0262 0,0294 0,0297 0,0327 0,0330 0,0358 0,0361 0,0388 0,0391

9 -0,1378 -0,0951 -0,0709 -0,0539 -0,0408 -0,0302 -0,0212 -0,0135 -0,0067 -0,0006 0,0049 0,0100 0,0146 0,0189 0,0228 0,0265 0,0300 0,0333 0,0364 0,0394

60

70

80

90

0,0269 0,0547 0,0733 0,0874 0,0986 0,1080 0,1161 0,1232 0,1295 0,1351 0,1403 0,1450 0,1494 0,1535 0,1573 0,1608 0,1642 0,1673 0,1703 0,1732 0,1759 0,1785 0,1810 0,1833 0,1856

0,0304 0,0569 0,0749 0,0886 0,0996 0,1089 0,1168 0,1238 0,1301 0,1357 0,1408 0,1455 0,1498 0,1539 0,1576 0,1612 0,1645 0,1676 0,1706 0,1735 0,1762 0,1787 0,1812 0,1836 0,1858

0,0336 0,0589 0,0764 0,0898 0,1006 0,1097 0,1176 0,1245 0,1307 0,1362 0,1413 0,1459 0,1502 0,1543 0,1580 0,1615 0,1648 0,1679 0,1709 0,1737 0,1764 0,1790 0,1814 0,1838 0,1861

0,0367 0,0609 0,0779 0,0910 0,1016 0,1106 0,1183 0,1251 0,1312 0,1367 0,1418 0,1464 0,1507 0,1546 0,1584 0,1618 0,1651 0,1682 0,1712 0,1740 0,1767 0,1792 0,1817 0,1840 0,1863

73

2.5.2: Cálculo de Capacidades de Líneas Considerando el Efecto de Tierra: Se considera en el caso de líneas que operan en Extra Alta Tensión (EAT), ya que la separación entre conductores es comparable a la existente entre conductores y tierra. Para el análisis se harán las siguientes consideraciones: -

La superficie de la tierra se considera un plano equipotencial de potencial cero y extensión infinita. La carga en la superficie de cada conductor se supone uniformemente distribuida. Los conductores se suponen ubicados a una altura  constante sobre el plano de tierra, cilíndricos, paralelos entre sí y sus radios son mucho menores que las distancias entre conductores.

Se empleará el método de imágenes, en que a cada conductor le corresponde un conductor imagen ubicado a la misma distancia que el conductor real bajo el plano de tierra. Las cargas de los conductores imágenes son de igual magnitud y signo distinto que la de los conductores reales. Es decir: k = - q k  Así el cálculo del potencial en un punto   respecto a tierra, debido a la presencia de   conductores cargados, se transforma en un problema de 2n  conductores (los   conductores reales y sus  imágenes). q2 q1 1

2

D12

D2

Dn

p

D1

n qn

Dk

k qk

D12

H1

D21

D

D22

V=0

D11

D

D

H1

  1

q1 

qk

D  n

q2

Figura 2.30 Línea de  Conductores y sus Imágenes Respectivas. Bajo las condiciones estipuladas precedentemente, se cumple entonces que: n

qk

q' k

k 1

Según (2.85), el potencial en el punto  será:

0

(2.113)

74 n

1

vp =

2

1 Dk

qk Ln 0 k 1

q' k Ln

1 Dk '

(2.114)

2.5.2.1: Línea Monofásica: Este caso, se considerará como una situación particular del caso general. En efecto, si se hace en (2.114), n = 2 y de acuerdo con la figura 2.30, se tiene: vp = vp =

1 2

q1 Ln 0

1 2

q1 Ln 0

1 D1

q2 Ln

D1'

1 D2

q 2 Ln

D1

q'1 Ln

1 D1'

q' 2 Ln

1 D 2'

D 2' D2

Trasladando el punto , sucesivamente a la superficie de los conductores 1 y 2, se tiene: v1 =

v2 =

1 2

q1 Ln

2H1 r 1

0

1 2

q1 Ln 0

q 2 Ln

D12'

q 2 Ln

D12

D 12' D 12

2H 2 r 2

Considerando que q1 = -q2 y que D12 = D12 (diagonales de un cuadrilátero simétrico), se tiene:

v1  v2 =

q1 2

Ln 0

2H1D 12 r 1 D12 '

- Ln

D12' r 2

q1

2 D12 H2

2

Ln 0

2 4H1H2 D12 2 r 1 r 2 D12 '

q1

Ln

2D12 H1H2

0

D12 ' r 1 r 2

Por tanto; la capacidad total de la línea será: C=

q1 v1

0

v2

Ln

10

9

F/km

2 D12 H1 H 2

(2.115)

D12' r 1 r 2

Si en particular r 1 = r 2 = r ; H1 = H2 = H y D12 = D; Se tiene C=

10 9 2DH Ln D12' r  0

0

Ln

10 9 2 DH

r  4H2

F/km

(2.116)

D2

Nótese que si H >> D, esta expresión es igual a la línea monofásica sin considerar el efecto de tierra. En términos de capacidades parciales   corresponde a la combinación en paralelo de C 12 y la rama serie C10 y C20. C12 1 2

C10

C20

C = C12 +

C10 C 20 C10

C 20

75

Figura 2.31: Capacidades Parciales de la Línea Monofásica  Análogamente al caso en que no se consideró el efecto de tierra: 2

Cn =

Ln

10 9 2DH

0

F/km/condu ctor

 

(2.117)

r  4 H 2 D 2  A su vez, la reactancia capacitiva: XCn =

10

9

Ln

2DH

M km/conduct or 

(2.118) r  4 H D Considerando que la altura H no es constante, debido a la catenaria o parábola que describe el conductor  entre las estructuras vecinas, se realiza la siguiente corrección empírica: 4

2

0

f 

2

2

Hm = H  0,7 F

(2.119)

Donde H: Altura del conductor sobre tierra en la torre F: Flecha del conductor 

2.5.2.2: Línea Trifásica con Transposiciones: La figura siguiente muestra la distribución de los conductores. 2

3 1 H1

H1

H2

H3

H2

H3

 



Figura 2.32. Línea Trifásica Asimétrica  Asumiendo que la línea está convenientemente transpuesta, se pueden hacer las siguientes consideraciones: La distancia D, se reemplaza por la DMG entre los conductores. La altura H, por la altura media geométrica HMG; considere la corrección empírica señalada en (2.119) En el caso que la línea esté formada por conductores fasciculados, se reemplaza r por RMG de los conductores que forman la fase.  Así se tiene:

76 2 0 10 9 2 DMG HMG

Cn = Ln RMG

X Cn

10 4

2

4 HMG

9

2 0

f 

Ln

F/km/fase

(2.120)

2

DMG

2 DMG HMG RMG 4 HMG2

DMG2

M km/fase

(2.121)

En el caso de la figura anterior: HMG = DMG = RMG = r

3

H1H2 H3

3

m

D12 D13 D 23

m

(para el caso de un solo conductor por fase)

Dada la característica del término logarítmico, la variación de la capacidad es reducida y para líneas trifásicas aéreas la capacidad por fase, varía entre 0,008 [ F/Km/Fase] y 0,009 [ F/Km/fase].

2.6. PROBLEMAS PROPUESTOS. 2

2.1.

Determinar el área, en [ mm ], para los siguientes conductores: a) Nº 2 AWG, de 66,37 MCM, 7 hebras b) Nº 4 AWG, de 211,6 MCM, 12 hebras, 3 capas c) 250 MCM, 19 hebras

2.2.

Determine al radio de cada hebra de los mismos conductores del problema Nº 2.1

2.3.

Un conductor de aluminio está compuesto por 37 hilos, cada uno de los cuales tiene un diámetro de 0,333 cm. Calcular la resistencia óhmica en [ /km], a 75 ºC.

2.4.

El conductor Marigold, de 61 hebras, 1.113 MCM, tiene una resistencia óhmica de 0,0513 [ /km] a 25 ºC y una resistencia efectiva de 0,0578 [ /km] a 50 ºC. Verificar el valor de la resistencia óhmica dada por la tabla y calcular el valor del coeficiente de efecto superficial K = Ref/R

2.5.

Los datos de un cierto conductor de aluminio son 0,02828 mm /m] a 20 ºC; -1 0,00438 (ºC) ; coeficiente de efecto superficial K = 1,1; diámetro, 15 [mm]. Calcular las resistencia óhmica y efectiva a 50 ºC en [ /km].

2.6.

Verifique que el valor de la resistencia óhmica para el conductor ACSR de 500 MCM, 30/7, Heron, 2 . es de 0,1162 [ /km]. Determine su diámetro y la sección en [mm ]  Calcule además el diámetro de cada una de las hebras, asumiendo que tanto las de aluminio como las de acero son idénticas.

2.7.

Un cable ACSR, tiene una resistencia efectiva de 0,66 [ /km] a 50 ºC. Se desea reemplazar la línea construida con este cable, por otra formada por dos conductores de cobre estirado en frío, ambos de igual sección y conectados en paralelo. Calcular la sección de cada conductor de cobre, de modo que la línea tenga la misma resistencia, en [ /km], que la original. Los valores medidos, 2 -1 para el cobre, ambos a 20 ºC, son: 0,01772 mm /m] y 0,00382 (ºC)  .

2.8.

Calcular el RMG de los conductores que se muestran en la fig. siguiente, en función del radio  de cada una de las hebras, que es igual para todas ellas.

2

a)

b)

c) r 

r

r 

77 2.9.

El RMG de un conductor de 3 hebras iguales que se muestra en la figura siguiente, es de 0,05 [m]. Determinar el radio de cada uno de los hilos.

r 

2.10. Una línea monofásica opera a 50 cps. y tiene una separación de tres metros entre conductores. El conductor y su retorno son de aluminio con 62 , macizos y su diámetro es de 0,412 [mm]. Calcular el valor de la inductancia y reactancia inductiva de la línea por conductor y total. 2.11. Una línea trifásica de disposición horizontal está compuesta por conductores de material no magnético, de tres hebras, con una separación entre las fases D ab = Dbc = 3,5 [m]. El radio de cada hilo es de 3 [mm]. Calcular el RMG y determinar la inductancia y reactancia inductiva por fase de la línea. 1

2.12. Una línea monofásica tiene las siguientes características: Conductor de fase, formado por dos cables, retorno, por uno sólo, todos de aluminio y de iguales características ( 62 266,8 MCM 7 hebras). Calcular la reactancia inductiva, en [ /km], de la línea, cuya configuración se muestra en la figura. Las distancias están expresadas en metros y el gráfico no está dibujado a escala.

1 

3,0 1,0 2

2.13. Una línea monofásica, tiene la disposición mostrada en la figura. La fase está formada por 3 conductores de 2 [mm] de diámetro y el retorno, por  dos conductores de 4 [mm] de diámetro cada uno. Calcular la inductancia de la línea en [H/km]. Las distancias están expresadas en metros y todos los conductores son macizos.

5 F a s e

2

2

Retorno

2

2.14. Una línea trifásica de disposición equilátera, tiene una separación entre conductores de 2 metros entre ellos. Se ha decidido rediseñar la línea, empleando el mismo conductor, pero con disposición horizontal, tal que D13 = 2D12  = 2d23. ¿Cuál deberá ser la separación entre conductores adyacentes, para tener la misma inductancia que en el diseño original? 2.15. Una línea trifásica en simple circuito, convenientemente transpuesta, tiene la configuración mostrada en la figura y está operando a 50 cps. El diámetro de cada uno de los conductores, que son macizos, es de 5,83 [mm]. Evaluar la inductancia y reactancia inductiva por fase de la línea. Las distancias están expresadas en metros.

a 2

2 b

c

5

2.16. Determinar la reactancia inductiva de la línea en doble circuito, que opera a 50 cps. cuya disposición se muestra en la figura. La línea está convenientemente transpuesta y el conductor es de cobre 250 MCM y 12 hebras. a  5,0 m 3,0 m

b



7,5 m

4,5 m c

5,0 m



78

2.17. Calcular la reactancia inductiva en [ km/fase] y [ m/fase] de la línea, en doble circuito, que opera a 50 cps, con la disposición mostrada en la figura y que está formada por conductor ACSR Ostrich.

a

b

c 1,8 m

1,8 m

18m







1,8 m

1,8 m

2.18. Una línea trifásica en doble circuito es simétrica con respecto a la vertical y está construida con conductor Drake. La línea está convenientemente transpuesta y tiene la disposición que muestra la figura. Calcular la reactancia inductiva, si la línea opera a 50 Hz. a



6m

3m b



3m c



2.19. Calcular la reactancia inductiva de la línea con conductores fasciculados que se muestra en la figura. Los subconductores son ACSR 27/6 de 795 MCM. Las distancias están medidas en metros.

 1

1

1

0,1

2 2

4

 2

3

3

3

2.20. La línea de la figura está construida con 3 conductores por fase que forman un triángulo equilátero entre sí, con separación de 45 cm entre sub conductores. La línea está operando a 440 kV, 50 cps y está formada por conductores de Al 62 , 795 MCM, 37 hebras. Calcular L y X L. Verifique además que el radio de un sub conductor es de 13,1 mm. Fase a

12 m

8m

Fase b

9m Fase c

79

2.21. Calcule las reactancias inductiva y capacitiva para la línea fasciculada de la figura, cuyos cuatro subconductores están ubicados en los vértices de un cuadrado de lado 0,4 [m]. La línea opera a 500 kV, 50 cps y está formada por cables ACSR 27/6 de 795 MC 7,5 m

7,5 m

Fase a

Fase b

Fase c

2.22. Calcule la capacidad y reactancia capacitiva de las líneas correspondientes a los problemas 2.10 al 2.20. No considere para ellos la presencia del plano de tierra. 2.23. Calcule la capacidad y reactancia capacitiva de la línea del problema Nº 2.15 considerando la presencia del plano de tierra. Las distancias entre conductores y tierra son: H a = 12 [m], Hb = Hc = 10 [m]. Flecha máxima 80 [cm]. 2.24. Calcule la capacidad y reactancia capacitiva de la línea del problema Nº 2.11, considerando la presencia del plano de tierra y en que la distancia a tierra de uno cualquiera de los conductores es de 12,56 [m] y la flecha máxima es de 0,8 [m] 2.25. Demuestre que para una línea trifásica con transposiciones y considerando el efecto del plano de tierra, la capacidad está dada como: 2

C Ln

0

2 HMG DMG 2

RMG 4HMG

DMG

2

80 CAPITULO 3: LINEAS EN REGIMEN PERMANENTE EQUILIBRADO. 3.1: CONSIDERACIONES PRELIMINARES:

Las características de operación más importantes de las líneas áreas, son las siguientes: Seguridad de servicio Regulación de tensión Rendimiento El diseño de las líneas, tanto en los aspectos mecánicos como eléctricos deben satisfacer la primera característica. Los conductores y las estructuras se deben dimensionar para resistir las solicitaciones que el sistema eléctrico pueda imponerles en las peores condiciones atmosféricas que puedan preverse. La separación entre conductores, entre conductores y torres, entre conductores y tierra, deben ser las apropiadas a los niveles de tensión de operación de la línea. Los aisladores deben escogerse en cantidad y calidad, de manera que ofrezcan una alta seguridad, por lo que deben considerarse, entre otros factores, las condiciones atmosféricas, contaminación ambiental, resistencia mecánica, sobre tensiones internas (maniobras, fallas) y externas (descargas atmosféricas). La Regulación de Tensión , se define como el aumento de tensión en el extremo receptor de la línea cuando se desconecta el consumo de plena carga, permaneciendo constante la tensión del extremo transmisor y refiriendo esta diferencia a la tensión del extremo receptor a plena carga, es decir:

Reg =

En que

VRO VR

VR

º /1

(3.1)

VR: Tensión del extremo receptor a plena carga VRO: Tensión del extremo receptor en vacío

La regulación depende de los parámetros de la línea y del factor de potencia de la carga. Una buena regulación implica que la resistencia y reactancia inductiva de la línea deben ser de magnitud reducida y mantener un adecuado factor de potencia en el consumo. El Rendimiento,  se define como la relación entre la potencia efectiva suministrada al consumo y la potencia efectiva enviada desde el extremo transmisor. La diferencia entre ambas, se debe fundamentalmente a las pérdidas por efecto Joule y en menor medida a las producidas por las corrientes de fuga y efecto corona. Estas dos últimas sólo son significativas en líneas que operan a tensiones elevadas, en cambio las debido a efecto Joule están presente en todo tipo de líneas. Para mejorar el rendimiento se debe disminuir al máximo la resistencia lo que está limitado por el aumento del costo en conductor. La otra alternativa para lograr este mismo resultado, es aumentar la tensión de operación de la línea con lo cual las pérdidas disminuyen con el cuadrado de la tensión. 3.2.CIRCUITOS EQUIVALENTES.

El estudio de la transmisión de potencia en C.A. por medio de líneas, hace necesario establecer circuitos equivalentes que dependen del tipo de línea y de sus condiciones de operación. Tanto las líneas monofásicas como trifásicas, se supondrán operando en régimen permanente sinusoidal y en el caso de las trifásicas, se considera que operan en condiciones equilibradas. Esto último implica que el consumo debe ser equilibrado, que los parámetros por fase sean iguales para las tres fases y que la tensión de alimentación sea balanceada, esto es las tres fases con igual tensión y desfasadas 120º entre sí. En estas condiciones la línea trifásica se puede representar por un circuito equivalente monofásico. Adicionalmente, todos los cálculos por fase de una línea trifásica son aplicables al caso de líneas monofásicas. La figura siguiente muestra la representación monofásica de una línea trifásica. En ella, R , L, C y G representan los parámetros por unidad de longitud.

81

 dl

 dl

L dl

 dl

 dl

 dl

L dl

 dl

L dl

 dl

 dl

 dl

dl l = longitud total de la línea Figura 3.1: Parámetros Distribuidos de una Línea Trifásica en Representación Monofásica.

La conductancia G usualmente se desprecia, en atención a las consideraciones realizadas en el segundo capítulo, por lo que la rama shunt puede considerarse solamente capacitiva. El valor de las corrientes que fluyen por estas ramas se suma a la requerida por el consumo y será parte de la que la línea toma de la fuente de alimentación. Dependiendo de la longitud de las líneas y de su tensión de operación se pueden realizar simplificaciones importantes en el modelo, pero que garantizan una precisión razonable. De esta manera es posible clasificar  las líneas en cortas, de mediana longitud y líneas largas. 3.2.1: Línea Corta:   Se designan así, aquellas líneas cuya longitud es menor a 50 km y su tensión de operación es menor que 110 kV. En estas condiciones es posible despreciar los efectos de la capacidad distribuida y representar la resistencia e inductancia por parámetros concentrados. El circuito equivalente en régimen permanente sinusoidal, se muestra en la figura siguiente, con su correspondiente diagrama fasor. IR

IT

VT

R

XL VR

VT

O

C R

V XL I

VR

 A B

RI IT

(a)

IR

I

90º -

R

(b)

Figura 3.2: (a): Circuito equivalente de una línea corta (b): Diagrama Fasor para un consumo inductivo.

En la figura: R = R l : Resistencia total de la línea XL = L =  l : Reactancia inductiva total de la línea Z = R + jX L : Impedancia total de la línea I I I : Corriente de línea T

R

a) Relaciones Tensión, Corriente, Potencia: Directamente de la figura se tiene: VT (R  j X L ) I VR V VR

Con :

VR  = VR / 0º : Tensión del extremo receptor, escogido como origen de fases.

(3.2)

82 : Tensión del extremo transmisor 

VT = VT  / IT

IR

I= I /

R

: Corriente del consumo que se ha supuesto inductivo

V : Fasor caída de tensión de la línea. La potencia compleja suministrada por el extremo transmisor será: S T PT  j Q T VT I T  A su vez, la correspondiente al extremo receptor será SR

VR I R

PR

(3.3)

 j Q R

(3.4)

b) Regulación de Tensión: Según (3.1):

Reg =

VRO

VR

VR

º /1

O bien: Reg =

VRO

VR

VR

100

%

Si se desconecta el consumo de plena carga la corriente en la línea será nula, es decir  I VR0 = VT Entonces: V VR Reg = T º /1 VR

VT

Reg =

VR

 ___ 

(3.5)

100 %

VR

Del diagrama fasorial, fig. 3.2 (b) y para ángulos  ___ 

0, por tanto:

 ___ 

 ,

pequeños, se puede escribir:

 ___ 

 ___ 

VT - VR = VT  VR = OB - OC OA - OC

 AB 0

 Así: VT - VR = V = R I cos

R

+ XLI cos (90º-

R)

= RI cos

R +

XL I sen

R

(3.6)

Que se define como caída de tensión en la línea. Para la regulación de tensión, se puede escribir: Reg =

R I cos

X L I sen

R

R

º /1

VR

(3.7)

 Además: PR = VR I cos QR =VR I sen

R

R

I cos I sen

R

PR VR QR

R

(3.8)

VR

Reemplazando (3.8) en (3.6), la caída de tensión en la línea será: R PR X L QR V = VT - VR VR Si se reemplaza 3.8 en (3.7), se puede escribir en forma alternativa para la regulación de tensión:

(3.9)

83 Reg =

 Además, de (3.9):

2

VR

VR =

  VTVR +

VT

VT

2

2

R PR

X L QR

(3.10)

VR2

(R PR + XL QR) = 0 ; por tanto: 2

R PR

(3.11)

XL QR

c) Rendimiento: El rendimiento se calcula de la forma clásica, es decir, la relación entre las potencias activa del extremo receptor, sobre la del extremo transmisor. Así se tiene:

PR

100 % PT La potencia perdida en la línea se puede evaluar como: 2 Pp = PT - PR = R I

(3.12) (3.13)

Con ello, el rendimiento o eficiencia de la línea se puede reescribir como: Pp 1100 % PT

(3.14)

d) Capacidad de Transmisión de la Línea: Se define como la máxima potencia efectiva que la línea puede proporcionar al consumo (extremo receptor) para valores preestablecidos de tensiones en ambos extremos. Del diagrama fasorial de la figura (3.2) b) y de (3.4), se tiene:

SR

PR

Definiendo: VT

 j Q R

VR I R

VR

VT

VR

R  j X L

VT /  VR / 0º

VR

Se tiene: 1  (VT VR /R - j X L

SR

2

- VR )

O lo que es lo mismo: R  j XL 2 SR VT VR cos - j VT VR sen - VR 2 2 R XL Separando en partes real e imaginaria, se puede escribir: 1 PR = 2 R VT VR cos - R VR2 X L VT VR sen 2 R XL QR =

1 R

2

X L2

(3.15)

XL VT VR cos - X L VR2 - R VT VR sen

Para obtener el máximo de potencia a transferir desde la línea a la carga, se deriva con respecto a entonces: PR 1 R VT VR sen X L VT VR cos 0 2 2 R XL R sen

= XL cos

tg

=

XL R

 ,

(3.16)

84 De esta relación se aprecia que P R  será máxima, cuando el ángulo de desfase entre las tensiones del extremo transmisor y del receptor, sea igual al ángulo propio de la impedancia de la línea, usualmente designado como " , que se muestra en la figura siguiente en el triángulo de impedancias:

Z

Z sen

Z cos

XL

R

Figura 3.3: Triángulo de Impedancias de una Línea Corta.

Es decir:

tg

XL

tg R De modo que se cumple que: Z cos

=R

sen

= XL

Z

R cos

R2

X L sen

X L2

(3.17)

VT VR

(3.18)

 Reemplazando en (3.15) 1

PR

R

2

2 XL

R VR2

VT VR

R2

X L2

-

R R

2

2 XL

1

VR2 R

2

2

XL

Si R << XL, se puede despreciar el valor de R; es decir; por tanto la primera ecuación de (3.15), se puede escribir, bajo esta consideración, como: PR

1 XL

VT VR sen

PR máx sen

(3.19)

Gráficamente esta variación de la potencia con el ángulo de desfase entre las tensiones de los extremos transmisor y receptor, se puede visualizar como lo muestra la figura siguiente: PR PR máx.

Figura 3.4: Variación de la Potencia Activa Suministrada a la Carga Como una Función del Angulo

Haciendo un desarrollo análogo para el extremo transmisor  sin despreciar la resistencia de la línea-, se encuentra que: PT

PR

Pp = PT  PR

85 QT

Qp = QT  QR

QR

Ejemplo 3.1:  Una línea trifásica de 10 km de longitud, tensión nominal 12 kV; 50 cps. está construida de conductores de Cobre Nº 4 AWG y tiene los siguientes parámetros por fase: R = 0,943 [ km/fase]; X L = 0,342 [ km/fase]. La línea alimenta un consumo trifásico equilibrado de 750 kW con cos = 0,85 Ind. La tensión se mantiene constante en el extremo transmisor en 12 kV. Calcular la tensión VR ; la corriente por 

línea; la potencia perdida y la regulación de la línea. Solución: Inicialmente se determinan los parámetros totales de la línea, lo que implica multiplicar los valores señalados precedentemente por la longitud total de ésta y llevar los valores de tensión y de potencia a cantidades monofásicas, en atención a que el modelo de la línea es por fase. Así:

R = 0,943 * 10 = 9,43 [ ] XL= 0,342 * 10 = 3,42 [ ] 12 VT =  = 6,93 [kV] 3 750 PR = = 250 [kW] 3 QR = PR tg

= 250 * 0,6197 = 154,94 [kVAr] = 0,1549 [MVAr]

Usando (3.11) y expresando las tensiones en [kV] y las Potencias en [MW] y [MVAr], se tiene

VR

6,93 2

VR = 6,48

6,93 2

2

9,43 0,25

3 = 11,23 [kV]

3,42 0,1549

6,48 kV

(fase - neutro)

(entre líneas)

La corriente de línea se puede encontrar a partir de la información del extremo receptor: PR 250 IR = 45,36  A VR cos 6,48 0,85 La potencia monofásica perdida, será a su vez: 2

Pp = R IR2 = 9,343 * 45,36 = 19,40 [kW] monofásicos Con lo cual la potencia total perdida: Pp =3 Pp = 58,2 [kW] totales o trifásicos La regulación, según (3.5): Reg =

VT

VR VR

12 11,23 11,23

0,068

º /1

6,8 %

Nota:  En la expresión (3.11), se puede emplear la tensión en [kV] entre líneas y las potencias activa en [MW] y reactiva en [MVAr] trifásicas, con lo que el resultado que se obtiene estará expresado en [kV] entre fases. (Los parámetros de la línea estarán expresados en [ ] 3.2.2: Línea de Mediana Longitud:   Se consideran líneas de longitud media, a aquellas que operan a tensiones mayores o iguales a 110 kV y su longitud está comprendida entre los 50 y 200 km. En este caso no es posible despreciar el efecto de la capacidad sin cometer un error apreciable, por lo que la aproximación más aceptada es considerar la capacidad concentrada en uno o más puntos, entonces se tienen los dos circuitos más empleados: nominal y T nominal.

86 - Circuito Equivalente Nominal:  Se obtiene de la figura 3.1; concentrando la resistencia e inductancia en un solo punto y considerando la capacidad concentrada en mitades en los extremos transmisor y receptor, de modo que C, es la capacidad total por fase de la línea.

iR(t)

iT(t)  R vT(t)

IT I1

L VT

vR(t)

C/2

C/2

I2

Y/2

a) Z=R+j Y/2= j Figura 3.5. Circuito Equivalente

IR

Z I3

Y/2

b) L = R + j XL

C/2 = j b/2

Nominal de una Línea de Longitud Media.

a) Relaciones Tensión, Corriente, Potencia:  A partir de la figura 3.5.b), se puede escribir: VT VR Z I 2 IT

I1

I2

Pero del mismo circuito de la figura 3.5 b), se puede apreciar que: Y I 2 I3 I R I R VR 2 Y I1 VT 2 Reemplazando (3.21) en (3.20), se tiene: ZY Z Y VT VR Z IR VR 1 VR Z IR 2 2 IT

Y VT 2

Y VR 2

IR

VR

Z Y2 VR 4

Y 2

Z Y IR 2

IR

(3.20)

(3.21)

Y VR 2

Entonces: IT

Y

Z Y2 VR 4

Z Y IR 2

1

Con ello se genera el siguiente sistema de ecuaciones: Z Y VT 1 VR Z IR 2 IT

Y

Z Y2 4

VR

1

Z Y 2

(3. 22)

IR

La relación inversa será: VR IR

- Y

Z Y 4

1

Z Y VT - Z IT 2

2

VT

1

Z Y IT 2

(3.23)

87 b) Regulación de Tensión:  La tensión que aparece en el extremo receptor, cuando la línea está en vacío, I 2 I3 I20 . Entonces: es distinta a la del extremo transmisor; de la figura 3.5 b); cuando IR 0 VT

I20 Z

Y 1

ZY

2

VT

Y/2

VR0

1 I20 Y/2

2 VT ZY 2

(3.24)

El rendimiento se evalúa al igual que en la línea corta y se emplea el mismo procedimiento para calcular la capacidad de transmisión. Ejemplo 3.2: Una línea trifásica de 100 [km] de largo, tensión nominal 154 [kV]; 50 cps. tiene los siguientes parámetros R = 0,1216 [ /km ] a 50ºC; L  = 1,354 [mH/Km] y C  = 0,00843 [ F/Km]. La línea alimenta un consumo trifásico de 30 [MW], con un Factor de Potencia 0,9 Ind. La tensión entre líneas en el consumo es de 154 [kV] y se requiere calcular la tensión en el extremo transmisor; la regulación de la línea y la potencia perdida. Solución:  Se calcularán los parámetros del circuito equivalente

Nominal:

R = 0,1216 * 100 = 12,16 [ ]  -3

XL = L = 2 * 50 * 1,354 * 10 Z = 12,16 + j 42,54 [ ] Y=j2

 -6

* 50 * 0,00843 * 10

* 100 = 42,54 [ ]  -3

* 100 = j 0,265 *10  [ ]

 -3

Y/2= j 0,132 *10  [ ] La corriente en el consumo es: IR =

30 10 3 3 154 0,9

124,97 A

Entonces: IR = 124,97 /-25,84º = 112,47  j 54,47 [A] Si se introducen estos valores calculados en (3.22) y considerando como origen de fase la tensión del extremo receptor, es decir: 154 VR / 0º = 88,914 / 0º [kV] 3  -3

VT  = [1+ (12,16 +j 42,54) ( j 0,132*10  )]* 88,914 + (12,16 + j 42,54) *  124,97 /-25,84º =

= 92,1 + j 4,26 = 92,2 / 2,6º

[kV]

fase neutro

entre líneas Para calcular la tensión en vacío del extremo receptor, se usará (3.24) 2 92, 2 / 2,6º VR0 92,72 kV fase neutro 12,16  j 42,54  j 0,265 10 -3 2 V'T

3 VT = 159,69 / 2,6º [kV]

 Así la regulación de la línea será: Reg =

92,72 - 88,914

100 4,28 % 88,914 La potencia efectiva perdida en la línea exige conocer la corriente que circula por la impedancia longitudinal;

llamando I 2 a este valor: I2

VT

VR Z

92,1  j 4,26 - 88,914 12,16  j 42,54

10 3

121  A

Con esta corriente se está en condiciones de calcular la potencia perdida en la línea como: Pp

Re Z

I2

2

12,16 1212

178, 03 kW

fase

88 p =

3 Pp = 3 *  178 = 534 [kW] totales o trifásicos

3.2.3: Línea de Gran Longitud:  Si la longitud de la línea es superior a 200 [km] y su tensión de operación, mayor que 110 [kV], es necesario considerar la naturaleza distribuida de los parámetros para realizar los cálculos, pues de otra manera se introduce un error significativo. La figura siguiente muestra las variables asociados a una línea larga. I (x)

IT

d I (x)  dx

VT

V( x )

IR d I( x )  dx

d V( x )

VR

V( x )

x

dx Figura 3.6 Variables Asociadas a una Línea de Gran Longitud.

En la figura:  es la distancia, que está medida desde el extremo receptor. Además:  =

R + j  = G + j



: Impedancia por unidad de longitud  : Admitancia por unidad de longitud

- Relaciones Tensión, Corriente: En un elemento de longitud dx, como el señalado en la figura 3.6, se cumple: d V( x ) Z' dx (I(x) dI(x)) Z' dx I (x) d I( x )

Y' dx V (x)

En que se ha despreciado el producto de los diferenciales dx * dI (x). Con esta aproximación, se tiene: dV( x ) dx

Z' I (x) (3.25)

d I (x) Y' V (x) dx Derivando ambas ecuaciones con respecto a : 2

d V ( x) dx

2

2

d I (x) dx 2

Z'

d I(x) dx

(3.26)

dV(x)  Y' dx

Resolviendo el sistema para la tensión V ; reemplazando (3.25) en (3.26): 2

d V ( x) 2

dx Con ello:

2

Z' Y' V(x)

d V ( x) dx

2

- Z' Y' V(x) 0

s x

s x

V( x ) K 1e 1 K 2e 2 2 Donde: s1 y s2 son las raíces de la ecuación característica: s   Z Y = 0, por tanto: s1 =

Z' Y'

s2 = - Z' Y' de lo cual se aprecia que s1 = - s2  Usando la identidad: e

s1x

= cosh s1x + senh s1x

(3.27) (3.28)

89 -s x

e 1 = cosh s1x  senh s1x Se puede escribir (3.28) como: V (x) = (K1 + K2) cosh s1x + (K1 - K2) senh s1x Derivando con respecto a  y considerando (3.25), se tiene: 1 I ( x) s1 (K 1 K 2 ) senh s 1x s 1 (K 1 K 2 ) cosh s 1x Z' Reemplazando en (3.29) y (3.30) el valor de s 1, se tiene: V (x) (K 1 I (x) (K 1

K 2 ) Y'

K 2 ) cosh Z' Y' x

Z'

(K 1 - K 2 ) senh

(K 1 - K 2 ) Y'

senh Z' Y' x

Z'

(3.29)

(3.30) (3.31)

Z' Y' x

cosh Z' Y'  x

(3.32)

Las constantes K1 y K2, se deben evaluar a partir de las condiciones de borde que presenta el sistema: Para x = 0; se tiene que: V(0 ) I( 0 )

VR IR

K1

senh 0 = 0; cosh 0 = 1;

VR ; I (x)

x 0

x 0

IR

K2

(K 1 - K 2 ) Y'

De donde:

V (x)

Z' y:

 K1 + K2  = VR IR

K1 - K2  =

Y'

IR Z'

1 VR 2 1 K2 = VR 2

K1 =

Y'

IR

Z'

IR

Z'

Y' (3.32a) Y'

Z'

Reemplazando los valores de (K 1 + K2) y (K1 - K2) en (3.31) y (3.32): V( x ) VR cosh Z' Y' x I (x)

VR

Z'

IR

senh Z' Y' x

Y'

(3.33)

Y'

senh Z' Y' x IR cosh Z' Y' x Z' Este sistema permite calcular la tensión y la corriente en un punto cualquiera de la línea ubicado a una distancia  del extremo receptor, conocidas las tensión y corriente en dicho extremo y los parámetros de la línea. Algunos términos de estas ecuaciones tienen especial importancia y reciben nombres especiales, como por ejemplo: - Impedancia Característica (Impedancia Natural o Impedancia de Onda): Se define:

Zc = Yc =

1

Y

Zc

Z

Z' Y'

Z Y

R  j L

(3.34)

G  j C

[ ] ; corresponde a la admitancia característica de la línea.

En general, Zc  es un valor complejo y cuando se considera el caso teórico de una línea sin pérdidas; es L  y se conoce como C 0. Así se tiene de (3.34):

decir: R = G = 0, la impedancia característica tiene un valor puramente resistivo: Z c impedancia de sobretensión. En general en las líneas aéreas G

Zc =

R  j L  j C

 j L

R  j L  j C

1

L C

1 - j

R L

La segunda raíz se puede desarrollar en serie de potencias, y considerando que

R L

2

1 ; se tiene:

90 Zc =

L C

R 1  j 2 L

1 8

R L

2

 Además, como R << L, se puede recortar la serie, dejando solamente los dos primeros términos, con lo cual, es usual representar este valor en forma aproximada como: Zc

L C

1  j

R 2 L

Los valores típicos para de la impedancia característica para un simple circuito con un conductor por fase, fluctúan entre los 380 y 400 [ ]; para un doble circuito, la impedancia característica está alrededor de los 300 [ ]. - Constante de Propagación: Se define esta constante como:

Z' Y' Con

R'  j L' G'  j C'

 j

l

1

(3.35)

: Constante de atenuación [Nepper/km]; que es la parte real de la raíz : Constante de fase [rad/km]; que corresponde a la parte imaginaria de la raíz

Estas definiciones se justifican en atención a que según (3.28) tanto la tensión como la corriente, en un punto cualquiera de la línea se puede considerar formada por una onda incidente y otra reflejada. La propagación de estas ondas a lo largo de la línea, depende de  ; la variación de amplitud depende de   y su fase de  . De (3.28) se puede escribir  x x (3.36) V( x ) Vinc e Vref  e En que el primer sumando de la expresión anterior se conoce como Tensión Incidente y el segundo como Tensión Reflejada. Por otra parte, Vinc y Vref  , son generalmente complejos, por tanto: .

V(x)

En que

Vinc e Vinc  y

x  j ( x

V inc )

(3.36a)

.

Vref  e

x  j (

V ref  - x )

Vref  , representan los ángulos respectivos de las tensiones incidentes y reflejadas.

 Analizando el término  , se ve que a medida que  aumenta, éste crece, a la vez que se puede apreciar  que   modifica en fase esta onda de tensión. La figura siguiente muestra la variación de la onda de tensión en la línea:

VT VR

x Figura 3.7: Variación de la Onda de Tensión en una Línea de Transmisión.

Si se comparan (3.28) con (3.36) y se consideran las expresiones de (3.32a), se aprecia que: 1 Vinc K 1 VR IR Z' Y' 2 1 Vref  K 2 VR IR Z' Y' 2 Para obtener las condiciones del extremo transmisor de la línea, basta hacer x = l; longitud total de la línea en (3.33) y considerando (3.34), las condiciones en este extremo son:

91 VT IT

VR cosh ZY

IR Z c senh ZY

VR Yc senh ZY

(3.37)

IR cosh ZY

O bien por (3.35): VT IT

VR cosh l IR Z c senh l VR Yc senh

(3.37a)

l IR cosh l

El cálculo de potencias y rendimiento se puede realizar de la misma manera que en los casos anteriores. La regulación se puede obtener de (3.37), haciendo IR 0 , de modo que: VT

VR 0 cosh ZY

VR0

VT

(3.38)

cosh ZY

- Régimen de Carga Natural: Se dice que una línea larga funciona en régimen de carga natural, cuando el cuociente entre la tensión y corriente en el extremo receptor es igual a su impedancia característica. Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones (3.33), y considerando (3.35), se tiene:

Z( x )

V( x ) I ( x)

VR cosh x VR Zc

IR Z c senh x

senh x Z( x ) Z c

Con:

ZR

IR

IR cosh  x ZR

IR cosh  x

Zc

cosh  x

VR IR VR IR

Z c tgh  x tgh x

Zc

Z c tgh  x

Z R tgh x

(3.39)

Zc

VR IR

En (3.39), si Zc =ZR, entonces Z(x)=Zc; es decir, en estas condiciones la impedancia, en cualquier punto de la línea, es igual a la impedancia característica y por tanto es constante. El ángulo de Z c es pequeño y varía entre 0º y 15º, por lo que Z c se puede considerar como puramente resistiva para todos los efectos prácticos.  Así se define: VR2 Pnat (3.40) Zc Considerando valores típicos de impedancia característica, se puede establecer la siguiente tabla comparativa: Tabla Nº 3.1: IMPEDANCIA CARACTERISTICA DE LINEAS DE TRANSMISION Impedancia Característica

Conductores por fase

Zc

400

1 conductor por fase

Zc

300

2 conductores por fase

Zc

250

3 conductores por fase

Zc

200

4 conductores por fase

 A partir de la relación (3.40), y expresando la tensión en [kV], se pueden determinar los siguientes valores: 2 Para: [kW] trifásicos Zc = 400 [ ] ; Pnat = 2,5 kV 2 [kW] trifásicos Zc = 300 [ ] ; Pnat = 3,3 kV 2 [kW] trifásicos Zc = 250 [ ] ; Pnat = 4,0 kV 2 [kW] trifásicos Zc = 200 [ ] ; Pnat = 5,0 kV

92 En que kV: es la tensión entre líneas. Para un conductor por fase, considerando los niveles de tensión actualmente en uso en Chile, se tienen las potencias naturales que se muestran en la tabla siguiente:

Tabla Nº 3.2: POTENCIA NATURAL DE LINEAS DE TRANSMISION PARA DISTINTOS VALORES DE TENSION DE OPERACION. Tensión Nominal [kV] 66 110 154 220

Potencia Natural [MW] 11 30 60 120

La potencia natural de una línea se emplea como referencia para evaluar la capacidad de transmisión que se puede obtener en diferentes tensiones nominales y con distinto número de conductores por fase.  Además, cuando la línea alimenta su potencia natural, del análisis de las ecuaciones (3.37) y considerando Zc puramente resistiva, se concluye que: VR2 2 l PT PR e -1 Zc QT  - QR = 0 Lo anterior significa que las pérdidas de potencia activa en la línea son muy bajas y que no absorbe potencia reactiva de la fuente de alimentación a la cual está conectada. En otras palabras la capacidad distribuida de la línea, proporciona la potencia reactiva inductiva que la línea requiere. Por otro lado, la potencia natural de la línea, sirve como límite para especificar las características que presentan las líneas cuando se transmiten por ella distintos niveles de potencia efectiva. Así se verifica que si la carga efectiva conectada a la línea P R > Pnat; la QT > QR; es decir la línea absorbe potencia reactiva de la fuente y se comporta como una inductancia. Si PR  < Pnat, entonces Q T < QR; lo que significa que la línea suministra potencia reactiva y se comporta como una capacidad. Finalmente, cuando P R  = Pnat, se encuentra que QT = QR = 0; es decir, la línea se comporta como una resistencia. En general las líneas aéreas se diseñan para transmitir una potencia efectiva mayor que su Potencia Natural, pero por razones de estabilidad en su funcionamiento y aspectos económicos, la potencia a transmitir se limita a valores cercanos a la potencia natural, siendo del orden de 3 veces la Pnat como máximo. - Efecto Ferranti:  Es un fenómeno muy importante en líneas de gran longitud. Básicamente consiste en el hecho que cuando se energiza una línea en vacío, la tensión del extremo receptor resulta mayor que la tensión del extremo transmisor; es decir se produce un fenómeno de sobretensión. De (3.38) se puede escribir:

VR0

1

VT

cosh ZY

Como para las líneas largas cosh ZY

1

(3.41)

VR0

VT . En otras palabras, la tensión en vacío es

mayor que la del extremo desde el cual se está energizando la línea.  Al aumentar la longitud de la línea, este fenómeno de sobretensión se incrementa, lo que obliga a tomar  precauciones especiales al energizar líneas en vacío para evitar someter a tensiones excesivas los equipos terminales de la línea, como ser, transformadores de potencial, condensadores, etc. - Longitud de Onda:  Si se supone que la línea no tiene pérdidas, es decir: R = 0 y G = 0; entonces de (3.34 a) y (3.35).

93 Zc

L' C'

Rc

 j  j L' C' Reemplazando estos valores en (3.33), se tiene: V( x ) I (x)

VR cosh j x VR Rc

senh  j x

IR R c senh  j  x IR cosh j  x

Pero como:

cosh j x = cos x senh j x = j sen x Entonces se puede escribir: V( x ) I (x)

VR cos

x  j IR R c sen  x

IR cos

x  j

VR Rc

(3.42)

sen  x

Estas ecuaciones indican que en una línea sin pérdidas, la tensión y corriente varían sinusoidalmente a lo largo de ella con respecto de la variable . Así se tendrá un ciclo completo cuando   = 2 rad radiane ianes. s. La longitud correspondiente a un ciclo completo se designa como longitud de onda y se denota por  , tal que: 2 2 1 m (3.43) 2 f  L' C' f  L' C' La cantidad   L' C'  es la velocidad de propagación de la onda, por lo que tomando en cuenta los valores usuales de los parámetros por unidad de longitud, esta velocidad es del orden de los 300.000 [km/seg]; de donde donde para la la frecue frecuenci ncia a del siste sistema ma chilen chileno o que es es de 50 cps; cps; la longitud longitud de de onda será será 6.000 6.000 [km]. [km]. - Circ Circuit uito o Equiv Equivalen alente te Exacto Exacto:: Las ecuaciones (3.37) permiten efectuar los cálculos usuales en este tipo de líneas, pero sin embargo, resulta práctico emplear un circuito equivalente en lugar de las ecuaciones. El siguiente circuito satisface las ecuaciones anteriores:

Zc senh

IT

1

VT

Zc

Figura Figura 3.8: Circuito Circuito Equivale Equivalente nte

Zc senh ZY

tgh

ZY 2

ZY

1 tgh Zc

IR

ZY 2

VR

Exacto. Exacto.

Z senh ZY Y

Z

senh ZY ZY

Z A 1

(3.44)

94

1 1 tgh ZY Zc 2

Y tgh Z

ZY 2

Y 2

1

ZY 2

tgh

ZY 2

Y  A 2 2

(3.45)

Estas dos dos expresiones expresiones muestran muestran que es posible posible emplear emplear el el circuito circuito equivalente equivalente nominal nominal de una una línea de mediana longitud, corregido en estos factores A 1 y A2. Se puede verificar que para las líneas medias los valores de A1 y A2 son prácticamente unitarios. - Cálculo de las Funciones Hiperbólicas Complejas:  La resolución de problemas en líneas largas, implica el cálculo de funciones hiperbólicas complejas para lo cual se puede recurrir a: Desarrollo en Serie:

Cosh

ZY

1

ZY 2!

ZY 4!

2

5

3

ZY ZY Senh ZY ZY 3! 5! Para cálculos manuales, es suficientemente preciso el considerar solamente los dos primeros términos de estas series; por tanto: (3.46) ZY cosh ZY 1 2

Zc senh

ZY

Z Y

ZY

ZY 6

3

Z

Z Y

2

ZY ZY 6

1 senh ZY Zc

Y Z

Z

ZY

Z Y 6

ZY 6

Z 1

ZY 6

(3.47)

Y 1

ZY 6

(3.48)

3

Disponiendo de las funciones seno y coseno hiperbólicos, se puede calcular la tangente hiperbólica, empleando la identidad: tgh

ZY

cosh ZY - 1

2

senh ZY

senh ZY cosh ZY

1

(3.49)

Funciones Hiperbólicas Reales y Funciones Trigonométricas Circulares: En general, la raíz de ZY es

un número complejo, es decir: ZY a  j b ; en que   es la parte real de este complejo y imaginaria del mismo. Entonces, empleando las identidades: cosh (a + j b) = cosh a cos b + j senh a sen b senh(a + j b) = senh a cos b + j cosh a sen b

,

la parte

(3.50) (3.51)

Exponencial Trigonométrico: Trigonométrico: Haciendo uso de las identidades:

cosh ZY

cosh (a  j b)

senh ZY

senh (a  j b)

1 a e 2 1 a e 2

e

a

e

a

1 a e 2 1 cos b  j e a 2

cos b  j

e

a

sen b

(3.52)

e

a

sen b

(3.53)

95 Empleo de tablas (Abacos de Woodruff): Debe entrarse a cada uno de los tres gráficos con los valores de módulo y ángulo de ZY y se obtiene: cosh ZY  y ángulo correspondiente

senh ZY ZY tgh

y ángulo correspondiente

ZY 2 ZY

 y ángulo correspondiente

2

Este método, como la gran mayoría de los métodos gráficos, ha perdido vigencia en la actualidad debido a la popularización de las calculadoras de bolsillo. En las páginas siguientes se muestran estos gráficos.

96  Angulo de cosh

Figura 3.9: Gráfico de cosh

Z Y  (Parámetro A)

Z Y

97  Angulo de : senh

Figura 3.10: Gráfico de senh

Z Y Z Y

Z Y Z Y

98 tgh

 Angulo de

1 2

1

Figura 3.11: Gráfico de tgh

2 1 2

Figura 3.11: Gráfico de

tgh

1 ZY 2

1 2

Z Y

Z Y Z Y

1 2

ZY ZY

99 Ejemplo 3.3:   Una línea trifásica de 300 [km] de longitud; tensión nominal 220 [kV] a 50 cps, tiene los -3

-9

siguientes parámetros: L =1,33*10  [H/km/fase]; C  = 8,86 * 10  [F/km/fase]; R = 0,093 [ /km/fase]; G es despreciable. La tensión en el extremo transmisor es la nominal y se está suministrando una potencia compleja a la línea ST = (150 + j 50) [MVA] trifásicos; es decir: P T = 150 [MW] y QT = 50 [MVAr]. Calcular  tensión y corriente en el extremo receptor; potencia compleja en ; la regulación y el rendimiento de la línea. Solución:  A partir de la ecuación (3.37), se pueden despejar los valores de tensión y corriente del extremo receptor. Así se tiene:

VR

VT cosh ZY

I T Z c senh ZY

IR - Yc VT senh ZY  Además de (3.34): R'  j

Zc

 j

L'

IT cosh ZY 0,093  j 2

C'

0  j 2

50 1,33 10 - 3 50 8,86 10 - 9

392 /-6,28º [ ];

-3

De donde: Yc = 2,55 * 10  / 6,28º [ ] ZY

300

50 1,33 10 -3

0,093  j 2

0  j2

50 8,86 10 -9 = 0,328 /83,7º

= 0,036 + j 0,326 Entonces : Senh

ZY = senh 0,036 cos 0,326 + j cosh 0,036 sen 0,326 = 0,034 + j 0,319

Cosh ZY = cosh 0,036 cos 0,326 + j senh 0,036 sen 0,326 = 0,948 + j 0,011 Tomando como origen de fases, la tensión del extremo transmisor: 220 VT = VT / 0º = 127 kV/fase 3 ST

150  j 50 3

I T = 0,394  j 0,131 = 0,415 /- 18,43º [kA]

VT I T

Se tiene: VR  = 127(0,948 + j 0,011)  0,415/ -18,43º * 392 /-6,28º * (0,034 + j 0,319) VR = 103,27 /- 24,87º [kV/fase] -3

IR = - 127* 2,55 * 10

/ 6,28º * (0,034 + j 0,319) + 0,415 /-18,43º * (0,948+ j 0,011)

IR = 0,437 /-30,8 [kA]

La potencia compleja en el extremo receptor será: S R = 103,27 /- 24,87 * 0,437/ 30,8º = 45,129 /5,93º [MVA/fase] = 44,886 [MW/fase] + j 4,662 [MVAr /fase] = 134,66 [MW] + j 13,99 [MVAr] trifásicos V - VR La regulación, según (3.1) es: Reg = R0 VR

Y según (3.38): VR 0

VT cosh ZY

127  = 133, 957 [kV/fase] 0,948  j 0,011

Por tanto la regulación será: V - VR 133,957 - 103,27 Reg = R 0  = 0,297 [º/ 1 ] = 29, 7 [%] VR 103,27 El rendimiento, será a su vez:

Psalida Pentrada

134,66 150

0,8977

89,77 %

100 3.3. LAS LINEAS CONSIDERADAS COMO CUADRIPOLOS.

Con el objeto de generalizar las ecuaciones tensión, corriente, potencia, de las líneas eléctricas, resulta conveniente considerarlas como cuadripolos caracterizados por las constantes de transmisión o parámetros  A, B, C, D. Además el empleo de estos parámetros permiten establecer con facilidad las ecuaciones de líneas conectadas en diferentes formas (serie, paralelo, cascada) y de líneas conectadas con otros elementos constitutivos de un Sistema Eléctrico de Potencia. La figura siguiente muestra una línea de simple circuito, representada en términos de sus parámetros de transmisión o constantes generalizadas. IR

IT

VT

A

B

C

D

VR

 CONSUMO

Figura 3.12. Representación de una Línea Eléctrica Cualquiera como Cuadripolo (Dos Puertas)

En general en el cuadripolo se cumplen las siguientes relaciones: VT

 AV R

B IR

VT

 A

B

T

CV R

D IR

I

C

D IR

VR

DV T

B IT

VR

D

-B

VT

- CV T

 AI T

IR

-C

A

IT

I

IR

T

VR

 AD BC = 1

(3.54)

(3.55)

(3.56)

De las relaciones anteriores, se pueden establecer las siguientes definiciones para cada uno de los parámetros, (nótese que éstos son en general complejos). VT

 A =

B=

C=

D=

VR

[Adimensional] IR 0

VT I

I

Impedancia de Transferencia

R V 0 R

Admitancia de Transferencia

IR 0

T

IR

(3.57) -1

T

VR I

Ganancia Inversa de Tensión

[Adimensional]

Ganancia Inversa de Corriente

VR 0

 Aplicando las relaciones anteriores a los diferentes tipos de líneas se tienen los valores dados en la tabla siguiente.

101 Tabla Nº 3.3: PARAMETROS A; B; C; D DE DIFERENTES TIPOS DE LINEAS PARAMETROS TIPO DE LINEA Corta

A

B

C

D

1/0º

Z

0

1/0º

Media ( Nominal)

1

ZY 2

Media (T Nominal)

1

ZY 2

Larga

cosh

Larga (Aprox. Serie)

Doble

o Steinmetz

1

Zc senh

ZY

ZY 2

1

ZY 2

ZY 36

ZY 4

Z 1

ZY 6

Z 1

ZY 6

4

Y

Yc sen h

ZY

Z 1

2

ZY

Y 1

Z

Y 1

ZY 2

1

ZY 2

cosh

ZY

ZY 6

5 Y 1 ZY 6

1

1

2

ZY 216

1

ZY

ZY 2

ZY 2

ZY 36

2

Nota: Siempre A = D; lo que se cumple para todos los cuadripolos simétricos 3.3.1: Interconexión de Cuadripolos (Cuadripolos Equivalentes): En este apartado se analizarán diversas alternativas de conexión de dos puertas: - Dos Líneas en Serie (Cascada): Corresponde al caso en que dos líneas que concurren a una sub estación, se reducen a una sola, conectando las dos sub estaciones extremas, como se aprecia en la figura siguiente: VM

VT

VR

Línea 2

Línea 1

Consumo IT

VT

IM

 A1 C1

B1 D1

VM

IR

 A2 C2

B2 D2

VR

Figura 3.13: Conexión Serie de Dos líneas y Representación Como Cuadripolos en Cascada

De (3.54), se tiene para cada uno de los dos puertas:

102

Entonces:

VT

 A 1

B1

VM

I

T

C1

D1

IM

VM

 A 2

B2

VR

IM

C2

D2

IR

VT

 A 1

B 1  A 2

B2

VR

I

C1

D1

D2

IR

T

C2

 Así: VT

 A 1 A 2

B1C 2

A 1B 2

B1D 2

VR

I

C1 A 2

D1C 2

C1B 2

D1D 2

IR

T

(3.58)

Comparando (3.58) con (3.54), se verifica que:  A = A1 A2 + B1 C2 B = A1 B2 + B1 D2 C = C1 A2 + D1 C2 D = C1 B2 + D1 D2

(3.59)

- Dos Líneas en Paralelo (Doble Circuito): VT

VR

Lín Línea 1

IT

I T'

' IR

''

IR

''

IT

IR

Línea 2

IT

 A1 C1

IT'

VT

B1 D1

IT''

B2 D2

Figura 3.14Conexión de Dos Líneas de Transmisión en Paralelo.

De (3.54), (3.55) y (3.56), se tiene; para cada uno de los cuadripolos:

D1 B1 1

' IR

B1

-

1 B1

VT

 A1 B1

VR

IR '' IR

 A2 C2

IT'

Consumo IR'

VR

103 IT''

D2

-

B2 ''

IR

1 B2

-

VT

1 B2  A 2 B2

VR

Y para el cuadripolo equivalente: D B 1 B

IT IR

1 B  A B

VT

-

(3.60) VR

De la conexión de ambos dos puertas: IT

I T'

I T''

IR

IR

'

IR

''

(3.61)

Sumando las ecuaciones de corriente de cada uno de los cuadripolos individuales, se tiene: IT

IR

D1

D2

B1

B2

1 B1

1 B2

1 B1

1 B2

 A 1

 A 2

B1

B2

-

VT (3.62) VR

Comparando (3.60) con (3.62) D B

D1

D2

B1

B2

1 B

1 B1

1 B2

 A 1

 A 2

B1

B2

 A B

(3.63)

La restante ecuación, se obtiene a partir de (3.56):  A D - B C

1

 A D - 1 B

C

(3.63a)

Entonces: B1

1 B D B  A B

D1 B 2

B2

B1 B 2 D 2 B1

D

B1 B 2  A 1 B 2  A 2 B1

A

B1 B 2 C C

C1 C1

C2 C2

B1 B 2

B

B1

D1 B 2

B2

D 2 B1

B1

B2

 A 1 B 2  A 2 B1 B1

D 2 - D1 B1 D1 - D 2 B1

B2

(3.64) (3.65) (3.66)

 A 1 - A 2 B2  A 2 - A 1

(3.67)

B2

3.3.2. Cuadripolos Simples:   Mediante su adecuada conexión, permiten encontrar con facilidad representaciones más complejas de sistemas. Se analizarán dos de ellos:

104 - Línea Corta:  La figura siguiente muestra la representación de una línea corta: I1

I2

Z

V1

V2

Figura 3.15: Línea Corta Como Cuadripolo Cuadripolo

Usando las definiciones (3.57), se tiene:  A

B

V1

V1

V2

V1

I2 0

1 / 0º

V1

V1

I2

V1

V2

0

Z (3.68)

Z C

D

I1

0

V2

V1

I2

0

I1

I1

I2

I1

V2 0

0

1 / 0º

- Carga Constante: Se representa como una admitancia, tal como se muestra en la figura siguiente: I1

I2

V1

Y

V2

Figura 3.16: Carga Como Cuadripolo. Cuadripolo.

De las definiciones de las constantes generalizadas, según (3.57), se pueden escribir las siguientes expresiones de acuerdo a la figura anterior:  A

B

C

D

V1

V1

V2

V1

I2 0

1 / 0º

V1

0

I2

I2

V2 0

I1

Y V1

V2

V1

I2 0

I1

I1

I2

I1

V2 0

0 (3.69) Y

1 / 0º

105 3.3.3: Ecuaciones de Potencia en Términos de los Parámetros ABCD:   En relación a la figura 3.12 y ecuaciones (3.54) y (3.55), la potencia compleja del extremo transmisor es: ST

VT I T

Pero por (3.60): D 1 IT VT - VR B B Reemplazando esta última expresión en la primera, se tiene: D

ST

VT2 -

1

(3.70)

VT V R

B B  Análogamente la potencia compleja en el extremo receptor, será:

SR

-

 A

1

VR2

(3.71)

VR V T

B B Considerando como origen de fases el extremo receptor y teniendo en cuenta que los parámetros de transmisión son complejos, se puede escribir: VR = VR / 0 º VT  = VT /

(3.72)

 A = A /

= B/ = D/

B D

Reemplazando en términos de módulo y ángulo las expresiones (3.72) en (3.70) y (3.71), se puede escribir: ST

SR

D 2 V V VT cos ( - ) - T R cos ( B B VR VT cos ( B

)-

)

 A 2 VR cos ( - ) B

 j

D 2 V V VT sen ( - ) - T R sen ( B B

 j

VR VT sen ( B

)-

)

 A 2 VR sen ( - ) B

(3.73)

(3.74)

Derivando las partes reales de estas ecuaciones, es decir las potencias efectivas, con respecto al ángulo   de desfase entre las tensiones del extremo transmisor y receptor, se pueden determinar los límites máximos de potencia efectiva que es posible transmitir por la línea y recibir en el consumo en función de los parámetros A, B, C, D de la línea. Se tiene: VT VR D 2 PT máx VT cos ( - ) ; para = 180º   (3.75) B B PR máx

-

 A 2 VR cos ( B

)

VR VT B

; para

(3.76)

Desde el punto de vista práctico, interesa la potencia máxima en el extremo receptor (ésta es la que se suministra a la carga). Por ejemplo, para el caso de la línea corta y asumiendo R  A = 1 B = Z = R + j XL C=0 D=1

XL / 90º

0, se tiene según la tabla (3.3):

106 Las ecuaciones (3.73) y (3.74), resultan entonces: V V 1 2 PT Re S T VT cos 90º - T R cos ( 90º XL XL PR

Re S R

VT VR XL

cos ( 90º - ) -

)

1 VR2 cos 90º XL

Por tanto: PT

VT VR XL

cos ( 90º

)

-

VT VR XL

cos 90º cos - sen 90º sen

VT VR XL

sen

 A su vez: PR

VT VR XL

VT VR

cos ( 90º - )

XL

cos 90º cos

sen 90º sen

VT VR XL

sen

De donde: PT

PR

VR VT XL

sen

(3.76a)

Nótese que esta es la misma ecuación (3.19). Esta relación descrita por la ecuación (3.76a), solamente se cumple en el evento que se desprecie la resistencia de la línea. Esta ecuación, a veces es conocida también como el límite de estabilidad estática de la línea y se aprecia que la potencia aumenta en prácticamente el cuadrado de la tensión de transmisión y es inversamente proporcional a la reactancia de la línea. Ejemplo 3.4: Una línea de transmisión de 154 [kV], 50 [cps.] tiene los siguientes parámetros por fase: -1 Z = 95 / 78º [ ; Y= 0,001 / 90º [ ]. Debido a un aumento del consumo, se decide construir otra línea, idéntica a la primera, para absorber esta mayor demanda. Cuando ambas líneas están operando, se debe alimentar una carga de 120 [MW] a Factor de Potencia 0,9 Inductivo, a un 90 % de la tensión nominal. Represente las líneas por su circuito equivalente nominal y calcule:

a): Los parámetros A, B, C y D de cada una de las líneas. b): Los parámetros de transmisión del sistema formado por ambas líneas c): Potencia compleja en el extremo transmisor para las condiciones de operación señaladas Solución: La figura siguiente muestra el sistema señalado

T

R L1

L2

120 MW; F. de P. = 0,9 Ind.

Figura 3.17: Sistema del Ejemplo 3.4

Como ambas líneas son idénticas; A 1 = A2; B1 = B2; C1 = C2 y D1 = D2 La línea es de mediana longitud, se representará por el circuito equivalente nominal; de donde es preciso calcular los parámetros de transmisión  a) Cálculo de los parámetros A, B, C y D. Para su cálculo se recurrirá a la tabla Nº 3.3 95 /78º  j 0,001 ZY 1 1 0,0475/ 168º 2 2 1 0,0465  j 0,0099 0,9536 /0,5934º

 A1 = A 2 = 1 +

B1 = B2 = Z = 95 /78º [

107 ZY 4

C1 = C2 = Y 1

= 0,001 /90º * (1  0,0232 + j 0,0049) = 0,001 /90º * 0,9768 /0,2896º =

-4

= 9,768 * 10 /90,2896º [ ] D1 = D2 = A1 = A2 = 0, 9536 / 0,5934º b) Como se pretende ampliar la capacidad de transmisión, se deben conectar ambas líneas en paralelo, por  tanto de las expresiones correspondientes, se tiene:  A 1B 2  A 2 B1

 A

B1

B2

B 1B 2

B=

B1

B2

C = C1 + C2 + = 1,9536 * 10 D1B 2

D=

2 A 1B1

 A 1

2B 1 B1

2

B1

2B1

2

D2

47,5 /78º [

D1  A 1  A 2 B1

  3

0, 9536 / 0,5934º

B2

-4

C1 + C2 = 2 C1 = 2 * 9,768 * 10  /90,2896º

/90,2896º [ ]

D 2 B1

2D1B 1

D1 = 0,9536 / 0,5934º B1 B 2 2B 1 c) Cálculo de la potencia compleja del extremo transmisor con 90 % de la tensión nominal en *

D B

ST

VT 2

1

VT V R

VT I T

B

VT

 A B

VR

IT

C

IR

VT

 AVR

VR

138,6  / 0º [kV] entre líneas

D BI R

PR

IR



3 VR cos

/ cos

VR

 80,0207 / 0º [kV]

120 MW

1

3 * 138,6 * 0,9

/ cos

1

fase neutro

555,4115  / -25,84º [Amp.]

0,9

-3

0,9536/ 0,5934º * 80,0207 + 47,5 /78º *  555,4115 * 10  / -25,84º =

VT

= 76,3077  / 0,5934º + 26,3820 / 52,16º = 76,3036 + j 0,7903 + 16,1843 + j 20,8346 = = 92,4879 + j 21,6249 = 94,9824 /13,16º [kV] fase neutro = 164,5143 /13,16º [kV] IT

CVR

DIR

 1,9536 * 10

entre fases   3

3

/90,2896º * 80,0207* 10  + 0,9536 / 0,5934º * 555,4115  / -25,84º

= 0,7912 + j 1.546,32 + 479,04  j 222,89 = 482,86 / -7,92º

[Amp.]

.

ST =

3 VT IT

3 164,5143 / 13,16º 482,86 / 7,92º

137,59 / 21,08 MVA

Ejemplo 3.5:  Una línea de 250 [km] de longitud; de 110 [kV], 50 [Hz], tiene los siguientes parámetros por 

fase: Z = 0,019 + j 0,04084 [

-4

km]; Y = j 2,8274 *10  [Mho/km].

108 Si la tensión en los extremos transmisor y receptor es de 110 [kV] y el ángulo de desfase entre ellas es de 30º; calcular la potencia compleja en ambos extremos y sus correspondientes factores de potencia, indicando si son inductivos o capacitivos. Solución: Se calcularán inicialmente los parámetros totales de la línea, y luego, empleando el método de series, se evaluarán los parámetros A, B, C y D de la línea.  =

0,019 + j 0,04084 [ /km] = 0,0450 / 65,0507º [ /km]

Z = Z * 250 = 11,26 / 65,0507º [ ] -4

Y = j 2,8274 * 10

*

250 = j 0,0707 [ ]

ZY = 0,7959 /155,05º

ZY

0,8921 / 77,53º = 0,1927 + j 0,8711

0,7959/ 155,05º ZY 1 2 2 = 0,6392 + J 0,1679 = 0,6609 / 14,72º

 A = cosh

ZY

1

B=Z 1

ZY 6

11,26/ 65,05º 1

1 + 0,3980 /155,05º = 1  0,2608 + J 0,1679 =

0,7959/ 155,05º 6

= 11,26 / 65,05º (1 + 0,1327 /155,05º )

= 11,26 / 65,05º (0,8797 + j 0,056) = 11,26 / 65,05º * 0,8815 /3,64º = 9,9258 / 68,69º [ ] ZY 6

C= Y 1

= 0,0707 / 90º * 0,8815 /3,64º = 0,0623 / 93,64º [ ]

D = A = 0,6609 / 14,72º VR

110 / 0 º kV ;

VT

110 / 30º

kV Entre líneas, por tanto para tener valores fase neutro se

debe dividir por  3 . D B

ST

*

VT2

1 B

*

VT V R

0,6609/ 14,72º 110 9,9258 / 68,69 3

2

1 110 110 / 30º 9,9258/ 68,69 3 3

= 268,5557 /53,97º - 406,3484 / 98,69 = 157,9668 + j 217,1834  (- 61,3945 + j 401,6837) = = 219,3613 - j 184,5 = 286,6352 /-40,07º [MVA / fase] = 859,91 /-40,07º [MVA] 3 Cos

SR

= 0,9846 capacitivo  A B

*

VR2

1 B

*

VR V T

0,6609 / 14,72º 110 9,9258 / 68,69º 3

2

1 110 110/ 30º * 9,9258 / 68,69º 3 3

= -157,9668  j 217,1834 + 406,3484 /38,69º = -157,967 - j 217,183 + 317,171 + j 254,01 = 159,204 + j 36,827 = 163,408 /13,02º [MVA] 1 = 490,225 /13,02º [MVA] 3

cos

= 0,974 Inductivo.

109 3.4 DIAGRAMAS DE CIRCULO.

Constituyen un procedimiento gráfico de cálculo que permite estudiar el comportamiento de las líneas bajo diversas condiciones de operación. Estos diagramas relacionan gráficamente las potencias activa y reactiva y las tensiones en módulo y ángulo en ambos extremos de una línea. Cabe destacar que actualmente estos diagramas son de poco uso práctico, debido a la existencia de los computadores digitales. Sin embargo, se introducirán para ilustrar algunas características de operación de una línea de transmisión. 3.4.1. Diagrama de Círculo del Extremo Receptor: A partir de las ecuaciones (3.74) se puede escribir: VR VT  A 2 PR VR cos ( - ) cos ( ) B B VR VT  A QR  VR2 sen ( - ) sen ( ) B B Elevando el cuadrado ambas ecuaciones y sumando miembro a miembro, se obtiene:

PR

 A 2 VR cos ( - ) B

2

QR

 A 2 VR sen ( - ) B

2

2

VR VT

(3.77)

B

Esta ecuación representa para valores de tensión V R y V T constantes, la ecuación de un círculo en el plano complejo de ordenada QR y abscisa PR, de las características siguientes: Coordenadas del centro (OR):

 A

 Abscisa

B  A

Ordenada Radio

VR2 cos (

B

-

VR2 sen ( -

)

)

VT VR B

La figura (3.18) muestra gráficamente la ecuación (3.77) considerando V T y VR constantes. Como se aprecia de las relaciones anteriores, el centro del circulo, queda ubicado en el segundo cuadrante. Las proyecciones de un punto cualesquiera del círculo sobre los ejes coordenados, representan las potencias activa P R y reactiva QR, respectivamente; en consecuencia, la distancia desde el centro (O) al punto considerado, es igual a la potencia aparente del consumo. La recta de referencia para medir el ángulo de las ecuaciones (3.74). Entonces: PR0 Q R0

VR VT

 ,

se puede establecer calculando P R y QR para

 A 2 VR cos ( B B VR VT  A sen - VR2 sen ( B B cos -

= 0; a partir 

) (3.78) )

Es fácil verificar que el punto señalado como = 0 en el diagrama, satisface las ecuaciones (3.78). Dicho punto corresponde a la intersección con el círculo de una recta trazada con una pendiente de grados a partir del centro OR. En la figura 3.18 se ha representado un punto de operación correspondiente a un ángulo 1; se observa claramente, además, que P R será máximo cuando = , como se puso de manifiesto en la expresión (3.76). Si la tensión VR permanece constante y varía solamente V T, se obtiene una familia de círculos concéntricos uno para cada valor de V T. Si la tensión VT permanece constante y VR varía, se obtiene una familia de círculos excéntricos de diferentes radios; lo que complica bastante el uso de los diagramas.

110  = 0 QR QR0

QR1

SR1

PR1

PR0

PR

VT VR B

O OR

 A B

VR2

Figura 3.18: Diagrama de Círculo del Extremo Receptor  3.4.2. Diagrama de Círculo del Extremo Transmisor:  A partir de la ecuación (3.73) se puede escribir:

D 2 PT - VT cos ( - ) B

2

QT

D 2 - VT sen ( - ) B

2

VT VR

2

B

(3.79)

Esta ecuación representa para valores de V T y VR constantes, la ecuación de un círculo en el plano complejo de ordenada QT y abscisa P T, de las características siguientes: Coordenadas del centro (QT):

D 2 VT cos ( - ) B D 2 Ordenada VT sen ( - ) B VT VR Radio B

 Abscisa

La figura 3.19 ilustra gráficamente la ecuación (3.71) para V T y V R constantes. El punto correspondiente a = 0, se determina en forma análoga al caso anterior. En el diagrama se ha indicado un punto de operación para un ángulo de desfase 1; se observa claramente, además, que P T será máximo cuando = 180º - , como se puede observar de la expresión (3.75)

111 Si la tensión VT permanece constante y varía solamente V R, se obtiene una familia de círculos concéntricos. Por el contrario, si V T  es variable y VR  constante, se obtiene una familia de círculos excéntricos. Ambas tensiones son tensiones de fase; luego, las ordenadas y abscisas de las figuras 3.18 y 3.19 corresponden a las potencias activas y reactivas por fase, respectivamente. Sin embargo, si las tensiones V T y VR se expresan como cantidades de línea, las coordenadas de dichos diagramas representan cantidades trifásicas.

QT

OT PT máx. VT VR B

D B

2

VT

QT1

O

PT1

PT

Figura 3.19 Diagrama de C írculo del Extremo Transmisor. Ejemplo 3.6: Si se conocen los parámetros A, B, C, y D de una línea de transmisión, la potencia compleja S R = P R + j QR que se debe suministrar a un cierto consumo a una tensión especificada VR . Se pretende

determinar la tensión en el extremo transmisor, la potencia compleja en ese extremo y la potencia perdida en la transmisión. Solución:  A continuación se detalla la secuencia a seguir para realizar estos cálculos en forma gráfica: 1. A partir del valor de tensión especificado para el extremo receptor y las constantes generalizadas de la línea, se determinan las coordenadas del centro del círculo del extremo receptor OR  y la recta de

112 referencia para medir los ángulos (está dada por la recta que une el centro del círculo y el origen de coordenadas). 2. Los valores de potencia activa y reactiva que se debe servir (P R1 y QR1) determinan un punto en el plano complejo, por el cual deberá pasar el círculo que se trazará con centro en OR, con un radio tal que corresponda exactamente al del punto fijado por la demanda de potencia compleja. El radio de este círculo, se debe medir, con lo cual es posible determinar el valor de V T, ya que este radio tiene el valor  VT VR , de donde es posible despejar de esta relación el valor de la tensión del extremo transmisor, B necesaria para suministrar la potencia especificada. 3. A continuación se debe trazar la recta de = 0º. Para ello, como se tiene la recta que une el centro del círculo con el origen de coordenadas, se mide a partir de ésta el ángulo , con lo cual, se identifica el punto en el cual se intersectan esta recta con el círculo, encontrándose allí el punto para el cual = 0º. 4. Conocido este punto, midiendo con transportador, se puede determinar el valor del ángulo 1, correspondiente a los valores de potencia activa y reactiva en , con lo cual se conoce el ángulo de desfase entre las tensiones del extremo transmisor y receptor, es decir el ángulo de fase de V T. 5. Con el valor calculado de VT, se está en condiciones de calcular las coordenadas del círculo del extremo transmisor. Nótese que el radio de este círculo es igual al del extremo receptor. El centro de este círculo D 2 quedará ubicado a una distancia )º, VT , del origen de coordenadas y con una inclinación de ( B medidos desde la abscisa. Luego se debe encontrar el punto de intersección entre este círculo y la recta que se trazará a º, desde la paralela a la abscisa que pasa por el centro del círculo, definiendo este punto el origen de medición del ángulo , es decir = 0º. 6. A partir de esta recta, es posible medir con transportador el ángulo 1 (sobre este círculo), ya encontrado en el punto 4, anterior, con lo cual se define el punto de operación y proyectando este punto sobre los ejes coordenados, se encuentran los valores de las potencias activa y reactiva, que están siendo proporcionados por el extremo transmisor a la línea, P T1 y QT1. 7. Finalmente, la potencia perdida en la transmisión, será la diferencia entre las potencias activa del extremo transmisor y receptor, es decir: P T1  PR1. Como comentarios al proceso señalado, es necesario destacar que se requiere el uso de escalas apropiadas para construir los gráficos y ser cuidadoso en las medidas, con todo el sistema expresado en p.u. base común. 3.4.3. Diagrama de Círculo Generalizado: Es un diagrama combinado donde la representación gráfica se realiza en un plano de coordenadas escaladas, de modo que las coordenadas del centro de los círculos sean independientes del valor de la tensión del extremo respectivo. Esta representación evita los círculos excéntricos, lo que constituye una dificultad cuando se trata de estudiar distintas condiciones de operación de la línea. Su construcción se efectúa según lo establecido, con la única diferencia que se deben escalar  las ecuaciones correspondientes a cada extremo.

Dividiendo la ecuación (3.77) por  VR4   y la ecuación (3.79) por  VT4 se obtienen las siguientes relaciones escaladas para cada uno de los dos extremos de la línea: Extremo receptor: PR VR2

 A cos B

Extremo transmisor:

2

-

QR VR2

 A sen B

2

-

VT B VR

2

(3.80)

113 PT VT2

D cos B

2

-

QT VT2

D - sen B

2

-

VR B VT 2

2

(3.81)

2

Estas ecuaciones representan diagramas de círculo en el plano: P/V , Q/V  y se observa claramente que las coordenadas del centro son independientes de las tensiones. La figura 3.20 ilustra gráficamente estas ecuaciones, en la cual se ha considerado la propiedad de los cuadripolos simétricos, A = D, lo que implica que ; y en consecuencia la línea recta que une los centros de ambos círculos pasa por el origen de coordenadas. En este caso se debe tener en cuenta que las magnitudes que se leen en la abscisa y ordenada son PT Q y T2   respectivamente para puntos ubicados en el círculo correspondiente al extremo transmisor, y, 2 VT VT PR VR2

y

QR VR2

para puntos que estén ubicados en el círculo del extremo receptor.

114

Q V2

VR OT

QT

1

VT2 =0

QR V

BVT

2

PT VT

OR

1

PR VR2

BV R

Figura 3.20: Diagrama de Círculo Generalizado

2

VT

P V2

115   En este caso se debe tener en cuenta que las magnitudes que se leen en la abscisa y ordenada son PT QT y   respectivamente para puntos ubicados en el círculo correspondiente al extremo transmisor, y, VT2 VT2 PR VR2

y

QR VR2

para puntos que estén ubicados en el círculo del extremo receptor.

3.5. PROBLEMAS PROPUESTOS

3.1.

Dada la línea de 66 [kV] mostrada en la figura, calcular  V1  para mantener  V2 en su tensión nominal. La longitud de la línea es de 30 [km], el conductor es de Cu. Nº 4/0 AWG y la carga es equilibrada con una potencia compleja S C   = 150 + j 60 [MVA]. La configuración de la línea es equilátera con separación entre conductores de 5,5 metros. Calcule, además, la regulación y el rendimiento de la línea y las potencias activa y reactiva perdidas en ella.

V1

V2 SC

3.2.

Una línea de 120 [km] tiene los siguientes parámetros: R = 0,08 [ km]; L = 0.3818 [mH/km], C  = 0,0114 [ F/km]. Obtenga los circuitos nominal y T nominal de ella. La tensión del extremo transmisor  es de 154 [kV] y está suministrando una potencia de 80 [MW] con F.P. 0,95 inductivo. Calcule la tensión del extremo receptor de la línea, su regulación de tensión y las potencias activa y reactiva perdidas en la línea.

3.3.

Dibuje el diagrama fasorial para una línea corta considerando que la carga tiene un F. P. a) Inductivo b) Capacitivo c) Resistivo

3.4.

Una línea trifásica de 282 km. de longitud tiene los siguientes parámetros totales por fase: Z = 35 + j -6 -1 140 [ ];Y = j 930*10 [ ]. La potencia activa del extremo transmisor es de 40 [MW], factor de potencia 0,9 Inductivo a 220 [kV]. Calcular la tensión en el extremo receptor de la línea: a) Usando circuito nominal. b) Usando ecuación de línea de gran longitud. Compare los resultados obtenidos.

3.5.

Una línea trifásica de 400 [km]. de longitud está operando con: 220 [kV] en el extremo receptor. Sus -1. parámetros por fase son: R = 0,12 [ km]; XL = 0,44 [ km]; Y = j 3,29 [M km] Calcule la corriente en el extremo receptor de la línea si la carga es de 75 [MW]; cos 1. Calcule además, tensión en el extremo transmisor, corriente y potencia en dicho extremo y el efecto Ferranti que se produciría al energizar la línea. Calcule asimismo, la impedancia característica de la línea. En las condiciones de carga señalada, evalúe las constantes de atenuación y de fase de la línea, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. Encuentre además, su representación como circuito equivalente exacto.

3.6.

Una línea trifásica de 220 [kV], 50 [cps] y 300 [km] de longitud tiene los siguientes parámetros por  fase: R = 27 [ ]; XL = 120 [ ; C = 0,009 [ F/km]. La línea está sirviendo una carga equilibrada de 100 [MW] con cos inductivo a tensión nominal. Calcule: impedancia característica, constante de propagación, longitud de onda, velocidad de propagación de la onda, tensión, corriente y factor de potencia en el extremo transmisor.

116 3.7.

Una cierta línea de transmisión trifásica de 400 [km] de longitud, tiene los siguientes parámetros por  -9 fase: R = 0,46 [ km]; L = 0,0009 [H/km]; C = 9,4*10 [F/km]; G = 0. La tensión de operación de la línea es de 220 [kV] a 50 [cps] Si la tensión del extremo receptor es la nominal y se está sirviendo una carga equilibrada de 120 + j 60 [MVA], calcule: Impedancia característica, constante de propagación, longitud de onda, velocidad de propagación de la onda y las tensiones incidente y reflejada a 100 [km] del extremo transmisor.

3.8.

Una línea trifásica de 190 [km] de largo, tensión nominal de operación 154 [kV], frecuencia 50 [cps], tiene los siguientes parámetros por fase: R = 0,12 [ km];L = 1,33 [mH/km]; C = 0,0085 F/km]. La línea está suministrando, en su extremo transmisor, una potencia compleja de 60 + j 30 [MVA] a tensión y frecuencia nominales. Calcule: Potencia compleja en el extremo receptor; tensión en dicho extremo y potencia perdida en la línea.

3.9.

Una línea de transmisión tiene los siguientes parámetros por conductor: R = 0,09 [ km]; X L = 0,32 [ km]. La línea tiene 20 [km] de longitud y su tensión es de 110 [kV] a 50 [cps]. La carga es de 60 [MW], cos inductivo y la tensión en el consumo es de 100 [kV]. Evalúe tensión y cos del extremo transmisor y potencia perdida en la línea.

3.10. Si se instala un segundo circuito idéntico al existente, para servir el mismo consumo en las mismas condiciones iniciales, realizar el mismo cómputo anterior. 3.11. Las constantes A y B, de una cierta línea de transmisión son 0,96 /1º y 100 /80º [ ] respectivamente. La tensión de operación es VT = VR = 100 [kV] con = 30º. Determinar: IR ; PR y factor de potencia de la carga. 3.12. Una línea trifásica tiene una impedancia serie de 0,1 + j 0,5 [ km] y una admitancia paralelo de j 3,3 * 6 -1 10 [ km] . Calcular las constantes A, B, C, D de la línea si ésta tiene 24 [km] de longitud. Calcular  el efecto Ferranti si la línea tiene 121 y 300 [km] de largo respectivamente. 3.13. Calcular las constantes generalizadas de una red resultante de la conexión en serie de un cuadripolo formado por una única rama paralelo de 10 [Siemens] al extremo transmisor de otro dos puertas que -1 tiene los siguientes parámetros A, B, C, D: A = 0,96 /0 º; B = 40 / 90º [ ]; C = 0,002945 /0 º [ ] y D = 0,92 / 0º 3.14. Idem anterior pero ahora conectando la red con los 10 [Siemens] al extremo receptor del otro dos puertas. 3.15. Idem anterior, pero ahora conectando ambos cuadripolos en paralelo. 3.16. Mediciones realizadas en una cierta red de cuatro terminales dieron los siguientes resultados: Impedancia de entrada desde el extremo transmisor con el extremo receptor en circuito abierto (c/a): Z1a  = 20 [ Impedancia de entrada desde el extremo receptor con el extremo transmisor en c/a: Z 2a = 20 [ Impedancia de entrada desde el extremo transmisor con el extremo receptor en corto circuito Z 1c  = 5 [ Impedancia de entrada desde el extremo receptor con el extremo transmisor en corto circuito Z 2c  = 5 [ Calcular los parámetros A, B, C, D del dos puertas. 3.17. Una cierta línea de transmisión de un sólo circuito a 220 [kV], tiene los siguientes parámetros: Z = 0,051 + j 0,376 pu; B/2 = 0,312 pu, ambos valores expresados en la misma base. Se pide: a) Determinar el circuito equivalente nominal.

117 b) Encontrar la matriz de transmisión con uso de: Abacos de Woodruff, Desarrollo en Serie, Exponencial trigonométrico y funciones hiperbólicas reales y funciones trigonométricas circulares. Compare sus resultados con estas cuatro alternativas de cálculo. c) Calcular el efecto Ferranti de la línea al energizarla con tensión nominal. d) Si se instala un segundo circuito, idéntico al anterior, entre las mismas Sub Estaciones (S/E) recalcular los tres puntos anteriores en la nueva condición. e) Si se instala un reactor de 30 [MVAr] en el extremo receptor de la línea, cuando está operando un sólo circuito, encontrar la potencia reactiva en el extremo transmisor de la línea. 3.18. Realizar los mismos cálculos señalados en el problema anterior, para una línea que tiene los parámetros: Z = 0,023 + j 0, 202 pu. y B = 0,133 pu., ambos expresados en la misma base. -6

1

3.19. Una cierta línea trifásica tiene los siguientes parámetros: Z = 160 / 80º [ ; Y = j 900 * 10 [ . En su extremo receptor alimenta una carga de 70 [MVA], factor de potencia de 80 % en atraso a 200 [kV]. Se desea calcular: a) Factor de Potencia en el extremo transmisor de la línea b) Si se instala un segundo circuito, idéntico al anterior, calcular el nuevo factor de potencia del extremo transmisor, asumiendo que la carga se mantiene constante. Desprecie el efecto mutuo entre circuitos. 3.20. Una línea de gran longitud, de 220 [kV] nominales es energizada desde una fuente de tensión del 100 % de la tensión nominal, como se muestra en el unilineal siguiente, cuyos valores están expresados en pu. base común:

E = 100 % Z = j 0,4 T

 A

Z = 0,6887/53º Y = j 0,02962

B

Z = 0,2 + j 0,8

R

B/2 = 0 02

Representando los tramos entre las SS/EE A y B y B y R como  nominal, calcule el efecto Ferranti y las tensiones que aparecen en las SS/EE A y B al energizar la línea. 3.21. Los parámetros de una cierta línea de transmisión de 80 [km] de longitud, 50 [cps] son: Z = 0,1 + j 0,5 -6 [ km]; Y = j 3 *10 [ km] . Si la tensión en los extremos transmisor y receptor es de 110 [kV] y el ángulo de desfase entre ellas es de 30º, calcular potencia compleja y factor de potencia, indicando si es inductivo o capacitivo, en ambos extremos.

118 CAPITULO 4: LINEAS EN REGIMEN PERMANENTE DESEQUILIBRADO 4.1: CONSIDERACIONES GENERALES.

Se dice que un sistema eléctrico opera en condiciones equilibradas, cuando la potencia instantánea suministrada por las fuentes, es independiente del tiempo. En particular, la operación equilibrada de un consumo estático, en términos de fasores e impedancias complejas, implica que las tensiones aplicadas al consumo, constituyen un sistema de fasores simétricos equilibrado (todos de igual módulo y desfasados 120º entre sí). Como consecuencia de estas condiciones, las corrientes por fase resultan ser  simétricas equilibradas. Considérese el sistema generador línea consumo que se muestra en la figura 4.1, siguiente. a

Ia

b

Ib Ic





 CONSUMO



c n

In



Figura 4.1: Sistema Elemental: Generador, Línea, Consumo con Neutro Físico.

El sistema, y en consecuencia la línea, operará en condiciones desequilibradas cuando se verifique una cualquiera de las siguientes situaciones: a) Las tensiones generadas por la fuente y aplicadas al extremo transmisor de la línea sean un sistema trifásico de fasores asimétrico desequilibrado. b) El consumo sea desequilibrado, es decir que las potencias asociadas a cada fase, o las impedancias reales o equivalentes de cada fase, sean distintas entre sí. c) Cuando se produzcan fallas asimétricas (cortocircuitos o apertura de fases) en cualquier parte del sistema. d) Cuando la línea sea de disposición asimétrica y no transpuesta. Las causas más frecuentes e importantes de desequilibrio son las b) y c) anteriores. Cuando el sistema está operando en condiciones asimétricas, no se puede representar en forma monofásica y para resolver  el problema se pueden emplear alternativamente dos procedimientos: i): Empleo de Cantidades de Fase:   En que todos los elementos componentes del sistema se representan mediante circuitos equivalentes trifásicos. En la red trifásica resultante se aplican las técnicas usuales del análisis de circuitos, empleando variables convencionales de tensión, corriente, impedancia, etc., que en general se denominan  cantidades o variables de fase . ii): Empleo de Cantidades de Secuencia:  En este caso y mediante el procedimiento llamado Método de Componentes Simétricas o de Fortescue , la red trifásica se transforma en tres redes monofásicas, usualmente independientes entre sí, denominadas de secuencia positiva, de secuencia negativa y de secuencia cero, respectivamente. Las tensiones y corrientes asociadas a cada una de las redes, llevarán los mismos nombres, es decir, de secuencia positiva, negativa y cero.

Desde el punto de vista de los retornos, para las corrientes de desequilibrio, se distinguen los siguientes casos para los sistemas: a) Con retorno por neutro físico (encadenado), que es el caso mostrado en la figura 4.1.

119 b) Con retorno por tierra; en los cuales los neutros de generadores, transformadores y consumos, se conectan a tierra. En un sistema real solamente pueden haber algunos sectores con conexión a tierra. c) Con neutro aislado (flotante): En este caso los sistemas no disponen de neutro físico ni conexión a tierra que permitan la circulación de corrientes de retorno.

4.2: ANALISIS EMPLEANDO CANTIDADES DE FASE.

Es necesario, para representar adecuadamente la línea, establecer, en primer lugar los conceptos de impedancias propias y mutuas: 4.2.1: Impedancias Propias y Mutuas de un Sistema Multiconductor:  A partir de la ecuación general del flujo enlazado, (2.30), la caída de tensión por efecto inductivo en un conductor  cualquiera será: v Lk

d

k

0

dt

2

Ln

1 di1 Dk1 dt

0

2

Ln

1

dik

RMGk dt

0

2

Ln

1 din Dkn dt

V/m

(4.1)

En relación a la expresión (4.1), se definirá: 1 0 L'kk Ln H/m : Inductancia propia /unidad de longitud del conductor  2 RMG k

L'kj

0

2

Ln

1 D kj

H/m

: Inductancia mutua /unidad de longitud entre los conductores  y 

Entonces, si además se multiplica por la longitud total de la línea, se puede escribir: di di di v Lk L k1 1 L kk k L kn n V dt dt dt Si se pasa al dominio de s =j : VLk  j L k1I1  j L kk Ik  j L knIn

(4.2) (4.3)

 Además, si Rk es la resistencia efectiva a temperatura de trabajo del conductor , la caída de tensión total, será: (4.4) Vk  j L k1I1 R k  j L kk Ik  j L kn In Si se varía , entre  y , para considerar todos los conductores que forman el sistema, se puede escribir:

O bien: En que:

V1

Z 11 Z 12

Z1k

V2

Z 21 Z 22

Z 2k

Z 2n

I2

Vk

Z k1 Z k2

Z kk

Z kn

Ik

Vn

Z n1 Z n2

Z nk

Z nn

In

V

Z kk

Rk Z kj

I1

Z1n

Z

(4.5)

I

(4.5a)

L kk : Impedancia propia del conductor   j L kj : Impedancia mutua entre los conductores  y 

 j

4.2.2: Línea Trifásica con Neutro Aislado:  La figura siguiente muestra un sistema elemental, en que los elementos, distintos de la línea, se han dibujado en línea discontinua:

120 a



b



c

CONSUMO

DESEQUILIBRADO

 Va '

Va

Vc

Vb '

Vb

Vc '

Figura 4.2: Línea Trifásica sin Neutro Físico y Consumo Desequilibrado.

De (4.5), se tiene: Va

Va '

Va

Zaa Zab Zac

Ia

Vb

Vb '

Vb

Zba Zbb Zbc

Ib

Vc

Vc '

Vc

Zca Zcb Zcc

Ic

(4.6)

Si la línea es transpuesta, todas las impedancias mutuas resultan iguales entre sí. En general, la línea se puede representar como: Zaa Zab

abc

Z

Zbb Zac

Zbc Zcc

Figura 4.3: Representaciones Equivalentes de una Línea sin Neutro Físico 4.2.3: Línea Trifásica con Neutro Físico: Considerando la figura 4.1 y a partir de la ecuación (4.5), se puede escribir: Va

Z aa

Z ab

Z ac Z an

Ia

Vb

Z ba

Z bb

Z bc Z bn

Ib

Vc

Z ca

Z cb

Z cc Z cn

Ic

Vn

Z na

Z nb

Z nc Z nn

In

(4.7)

 Además, respecto a las tensiones se cumple que: Va

Va

Va '

Vn

Va

Va '

Van

Va

Vn

Vb

Vb

Vb '

Vn

Vb

Vb '

Vbn

Vb

Vn

Vc

Vc

Vc '

Vn

Vc

Vc '

Vcn

Vc

Vn

Lo que se puede apreciar más fácilmente en el esquema que se muestra en la figura siguiente:

(4.8)

121 Ia

-

Va

+

Va

Va '

+

In

-

Vn

Figura 4.4: Caídas de Tensión en la Línea.

Si en (4.7), se resta la última ecuación de las tres primeras:

Pero:

Van

Va

Vn

(Z aa

Z na ) I a

( Z ab

Z nb ) Ib

( Z ac

Z nc ) Ic

(Z an - Z nn ) In

Vbn

Vb

Vn

(Z ba

Z na ) Ia

( Z bb

Z nb ) Ib

( Z bc

Z nc ) Ic

(Z bn - Z nn ) In

Vcn

Vc

Vn

(Z ca

Z na ) Ia

(Z cb

Z nb ) Ib

(Z cc

Z nc ) Ic

(Z cn - Z nn ) In

In

- ( Ia

Ib

Ic )

Y como: Zkj = Z jk ; se tiene: Van

(Z aa

2 Z an

Z nn ) I a

( Z ab

Vbn

(Z ba

Z bn

Z na

Z nn ) Ia

Vcn

(Z ca

Z cn

Z na

Z nn ) Ia

Z an

Z bn

Z nn ) Ib

( Z ac

Z an

Z cn

Z nn ) Ic

( Z bb

2 Z bn

Z nn ) Ib

( Z bc

Z bn

Z cn

Z nn ) Ic

(Z cb

Z cn

2 Z cn

Z nn ) Ic

Z nb

Z nn ) Ib

(Z cc

(4.9)

O bien: Van

Z aan Z abn Z acn

Ia

Vbn

Z ban Z bbn

Z bcn

Ib

Vcn

Z can Z cbn Z ccn

Ic

(4.9a)

Se ha producido entonces la denominada absorción del neutro. a



Zaan Zab

b

Zbbn Zacn

c n

abc



n

Zbcn Zccn

Z

 

Neutro Ideal

Neutro Ideal Figura 4.5: Representaciones Equivalentes de una Línea Trifásica con Neutro Físico. 4.2.4: Línea Trifásica con Retorno por Tierra: En general en un SEP, nunca se utiliza la tierra como retorno normal para las corrientes de desequilibrio. El retorno por tierra ocurre cuando se producen cortocircuitos asimétricos entre fases y tierra y cuando los neutros de los generadores y transformadores están conectados a tierra. Para cálculos, sobre todo de las protecciones que deben despejar las fallas, es necesario evaluar las corrientes de cortocircuitos lo que implica conocer las impedancias de las líneas en estas condiciones. Además, se ha verificado que la corriente alterna, al circular por tierra, no sigue la trayectoria más corta entre dos puntos, sino que sigue el tendido de la línea distribuyéndose hacia abajo y hacia los lados en una zona limitada.

 Adicionalmente, muchas líneas, ubicadas en lugares de un alto índice isoceráunico, están protegidas contra descargas atmosféricas mediante uno o más conductores conectados a las estructuras metálicas

122 de las torres. Estos conductores son los llamados cables de guardia. En caso de fallas, la corriente de corto circuito puede circular tanto por tierra como por los cables de guardia aunque la mayor parte lo hará por tierra. El problema de líneas con retorno por tierra, fue estudiado por J. R. Carson y se publicó en el año 1926, en Bell System Teach Journal vol. 5, 1926: Wave Propagation in Overhead Wires with Ground Return . Una simplificación de la teoría de Carson, considera que la corriente retorna por un conductor ficticio ubicado bajo tierra a una distancia De de los conductores de la línea, tal que: De = 658 En que

m

f 

(4.10)

: resistividad del terreno expresada en [ m] f : frecuencia de operación del sistema, medida en [cps].

Los valores de la resistividad del terreno varían, usualmente entre los 100 y 1.000 [ m]. La distancia D e se mide con respecto a la altura media de los conductores sobre el terreno, como se muestra en la figura siguiente: a Dab Dac b Dbc

c

Hm

Ha

Hc

Ha

Hb

Hc

3

Hb

De

Conductor Ficticio de Retorno Figura 4.6: Línea con Retorno por Tierra.

Bajo las condiciones señaladas, se puede asimilar este tipo de línea a una con retorno por neutro físico. Las impedancias propias y mutuas se pueden calcular como: Z aa

Zbb Z cc

( Ra

( Rb ( Rc

0,000988f 

0,000988f 

0,000988f 

R a )  j

Rb )  j R c )  j

10 3

0

2 0

103

2 0

2

10 3

Ln

Ln

Ln

De RMG a

De RMGb De RMG c

Xa

/km

Xb

/km

Xc

/km

(4.11)

Si los conductores son idénticos, ello significa que sus resistencias son iguales entre sí, es decir: R a = Rb = Rc y a su vez ocurrirá lo mismo con los Radios Medios Geométricos: RMG a = RMGb = RMGc. Por otra parte:

123 Ra

Xa

1,015 f 

Rb

Xb

1,015f 

Rc

Xc

1,015 f 

Ha

10

6

/km

10

6

/km

10

6

f 

Hb f  Hc

(4.12)

/km

f 

Donde: Ha; Hb; Hc: alturas de los conductores ,  y ; sobre el terreno, respectivamente medidas en [m]. Las impedancias mutuas serán a su vez: Z ab Z ac Z bc

( 0,000988f 

( 0,000988f 

( 0,000988f 

R ab )  j

0

R ac )  j

0

R bc )  j

0

10 3

2 10 3

2

Ln

Ln

10 3

2

De D ab De D ac

Ln

X ab

/km

X ac

/km

X bc

/km

De Dbc

(4.13)

En que Dab; Dac y Dbc, son las distancia entre los conductores respectivos, expresadas en metros. Ha

Hb

2

f 

Ha

Hc

2

f 

Hb

Hc

2

f 

R ab

X ab

1,015 f 

R ac

X ac

1,015 f 

R bc

X bc

1,015 f 

10

6

/km

10

6

/km

10

6

(4.14)

/km

En general los términos Ra; Xa; Rab; Xab ..., etc., resultan de magnitudes despreciables y se pueden omitir en todos los cálculos sin cometer un error apreciable. Por tanto una línea trifásica con retorno por  tierra y asimétrica, se puede representar en la misma forma que la indicada en la figura 4.5, en que las impedancias propias y mutuas incluyen el efecto del retorno por tierra. De lo anterior se desprende que una línea trifásica alimentando un consumo desequilibrado, se puede representar como: a



Zaan Zabn

b

Zbbn Zacn

c

Zbcn Zccn

 

Zc

Zb

Za



n Neutro Ideal

Carga desequilibrada

Figura 4.7. Línea Trifásica Alimentando un Consumo Desequilibrado

Si se asumen conocidas las tensiones del extremo transmisor, las corrientes por línea se pueden calcular  resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:

124 Va

Z aan

Z a Ia

Vb

Z ban Ia

Z bbn

Vc

Z can Ia

Z cbn Ib

Z abn Ib

Z acn Ic

Z b Ib

Z bcn Ic

Z ccn

(4.15)

Z c Ic

4.3: ANALISIS EMPLEANDO CANTIDADES DE SECUENCIA.

El uso de cantidades de fase, solamente resulta práctico en casos simples como el mostrado en la figura 4.7. En el caso real, en que las líneas forman parte de una red total muy compleja y donde las situaciones de desequilibrio corresponden a fallas asimétricas (corto circuitos o fases abiertas), resulta más conveniente el empleo del método de componentes simétricas, que se presenta brevemente a continuación; y que obliga al cálculo de las impedancias de secuencia de las líneas. El Método de Componentes Simétricas (MCS) es un tipo de transformación lineal, en el cual, las variables y parámetros asociados a una red trifásica, se transforman a otras cantidades denominadas de secuencia positiva, negativa y cero. Los cálculos se realizan en este dominio y luego, mediante una transformación inversa, se retorna a las cantidades de fase. En la mayor parte de los casos de interés práctico, la red trifásica original sólo presenta desequilibrios en algún punto de ella, producto de una falla o carga desequilibrada. En estos casos el MCS, transforma la red original (exceptuando el punto de desequilibrio) en tres redes monofásicas independientes denominadas redes de secuencia, que se interconectarán dependiendo del tipo de falla en particular. Se adoptarán las siguientes definiciones: a) Sistema Equilibrado de Fasores:  Es aquel cuya suma fasorial es cero. b) Sistema Simétrico de Fasores: Es aquel en que todos los fasores tienen igual módulo y el ángulo de desfase entre ellos es 2 , con   número de fases del sistema y es válido para 3. c) Sistema Desequilibrado de Fasores: Es aquel que no cumple con la definición b) anterior.

De acuerdo con el MCS un sistema desequilibrado de fasores se puede descomponer en tres sistemas de fasores, dos simétricos de secuencia positiva y negativa y uno colineal, de secuencia cero, como se muestra en la figura siguiente: Va1 Vc

Va0

Vb 2

Vc 1

Va

Va 2

Vb 0 Vc 0

Vb

(a) Figura 4.8

Vb1

Vc 2

(b)

(c)

(d)

(a): Sistema Trifásico de Fasores Desequilibrados; (b): Sistema de Secuencia Positiva; (c) Sistema de Se cuencia Negativa;(d) Sistema de Secuencia Cero.

- Sistema de Secuencia Positiva:  Es un sistema trifásico simétrico de fasores, cuya secuencia es igual a la del sistema original. Considerando como referencia al fasor  Va1 , se puede escribir: Va1 Vb1 Vc 1

Va1 / 240 º Va1 / 120 º

Va1 2

a Va1 aVa1

(4.16)

125 Donde: 1

a = 1 /120º = 2

a  = 1 /240º =

1

 j

2 1

3

2 1

 j 3 2 2 3 a  = 1 /360º = 1 + j 0  Además, se ve, por simple inspección de la expresión anterior, que:

(4.17)

2

1+a+a =0 a2

a

a2

(4.18)

a

- Sistema de Secuencia Negativa: Es un sistema trifásico simétrico de fasores, cuya secuencia es inversa a la del sistema original. Considerando el fasor  Va 2 como referencia se puede escribir. Va 2 Vb 2

Va 2

Va 2 / 120 º

Vc 2

a Va 2

(4.19)

2

Va 2 / 240º

a Va 2

- Sistema de Secuencia Cero:   Es un sistema trifásico de fasores colineales todos de igual módulo y ángulo de fase. Es decir: (4.20) V V V a0

b0

c0

La combinación de los 3 sistemas de secuencia, debe dar por resultado el sistema original de fasores desequilibrado: Va Va0 Va1 Va2 Vb

Vb0

Vb1

Vb2

Vc

Vc 0

Vc 1

Vc 2

(4.21)

Reemplazando en (4.21); las expresiones (4.18); (4.19) y (4.20), se tiene: Va Vb Vc

Va 0

a 2 Va1

Va 0 Va 0

Va1

Va 2 a Va 2

(4.22)

2

a Va1

a Va 2

O bien, en forma matricial: Va

1

1

1

Va 0

Vb

1

a2

a

Va1

2

Va 2

Vc

1

a

a

(4.22a)

Que se puede escribir en forma compacta: abc

012

V

T

V

(4.22b)

En que [ T ], se define como la matriz de transformación a componentes simétricas. Es decir: 1 1 1 T

1 1

a a

2

a a

2

(4.23)

126 Estas ecuaciones permiten calcular las tensiones en componentes de fase: Va , Vb y Vc , conocidas las 012

tensiones en componentes simétricas. Para resolver el problema inverso, basta despejar el vector  V de (4.22b). 012

abc 1

V

T

V

1 1 1 3 1

1

1

a

a2

a2

a

1

1

Va

a

a2

Vb

2

a

Vc

Vb

Vc

(4.24)

Donde: 1 T

1

1

1

a

1

a

1

1 2

a a2

(4.24a)

Entonces: Va 0

1 1 1 3 1

Va1 Va 2

a

(4.25)

O bien: Va0 Va1 Va2

1 Va 3

1 2 Va a Vb a Vc 3 1 Va a 2 Vb a Vc 3

(4.25a)

Si en lugar de tener fasores tensión, estamos en presencia de fasores corriente, se procede de igual manera y se tiene;

Ib Ic

Ia

Ia 0

Ia 0

2

Ia 0

Ia1

I a2

a Ia1

a Ia 2

a Ia1

2

(4.26)

a Ia 2

También: abc

012

I

T

I

Ib

Ic

(4.26a)

Entonces: I a0

1 Ia 3

1 Ia 3 1 I a2 Ia 3 Que también se puede escribir como: Ia1

2

a Ib

a Ic

2

a Ib

a Ic

012

I

(4.27)

abc

T

1

I

(4.27a)

Nota:   De las ecuaciones (4.25a) y (4.27), se concluye que un sistema simétrico de fasores tensión o corriente, sólo tiene componentes de secuencia positiva (las componentes de secuencia negativa y cero son nulas). Además la corriente de secuencia cero también será nula cuando en la red eléctrica no existan neutros o conexiones a tierra.

127 Ejemplo 4.1:  Las corrientes por fase de una línea trifásica con neutro físico que alimenta un consumo trifásico desequilibrado son: Ia 5 / 0º [A]; Ib  = - 3  j 4 = 5 / 233,13º [A]; I c  = 1  j 1 = 1,414 /-45º [A] Se desea calcular las corrientes de secuencia cero, positiva y negativa de cada fase. Solución:   Las componentes de secuencia correspondientes a la fase (4.27): 1 Ia 0  ( 5 + ( - 3   j 4) + (1   j 1)) = 1   j 1,667 = 1,94 /- 59,04º 3 1 I a1  (5 + ( 1 / 120º * 5 / 233,13º ) + (1 / 240º * 1,414 / -45º )) = 3 = 2,886  j 0,321 = 2,904 / - 6,35º 1 Ia 2  (5 + ( 1 / 240º * 5 / 233,13º ) + (1/ 120º *  1,414 / -45º )) = 3 = 1,134 + j 1,988 = 2,289 / 60,3º

a, se calculan directamente de

1 ( 5 + 5 / -6,87 + 1,414 / 195º ) 3 1 ( 5 + 5 / 113,13 + 1,414 / 75º ) 3

Las corrientes de secuencia de las fases b y c, se obtienen de (4.16); (4.19) y (4.20) reemplazando las tensiones por corriente. I b0 I c0 Ia0  = 1,94 /- 59,04º I

b1

I c1

a 2 Ia1  = 1 / 240º * 2,904 / - 6,35º = 2,904 / 233,65º

a Ia1

= 1 / 120º * 2,904 / - 6,35º = 2,904 / 113,65º

I b2

a Ia2 = 1 / 120º * 2,289 / 60,3º

= 2,289 / 180,3º

Ic2

a 2 Ia2 = 1 / 240º * 2,289 / 60,3º

= 2,289 / -59,7º

4.3.1: Impedancias de Secuencia:  A partir de la figura 4.7 considerando solamente la línea, se puede escribir:

Va Vb

-

Vc

Va'

Z aa

Z ab

Z ac

Ia

Vb'

Z ba

Z bb Z bc

Ib

Vc'

Z ca Z cb

Z cc

(4.28)

Ic

O en forma compacta: abc

a 'b 'c '

V abc

Pero:

V

abc

Z

I

(4.28a)

012

T

a 'b 'c '

Y análogamente: V

abc

V

V 012

T

012

abc

V' ;

I

T

I

Reemplazando en (4.28 a) y factorizando [ T ]: 012

T

012

V - V'

012

abc

Z

T

I

Entonces: 012

012

V - V'

T

-1

012

abc

Z

T

I

(4.29)

El producto matricial que premultiplica al vector de corrientes de secuencia, se denomina matriz de impedancias de secuencia . Así: 012

Z

T

-1

abc

Z

T

(4.30)

128 O bien: 1 012

Z

1 3

1 1

1

1

a

2

Z ba

Z bb

Z bc

a

Z ca

Z cb

Z cc

a

2

a

Z aa

Z ab

Z ac

1 1 1

1 a a

2

1

Z0

Z 01

Z 02

a

Z 10

Z1

Z 12

2

Z 20

a

Z 21

(4.31)

Z2

En que: 1 2 Z aa Z bb Z cc Z ab Z bc Z ca : Impedancia de secuencia cero. 3 3 1 1 Z1 Z aa Z bb Z cc - Z ab Z bc Z ca : Impedancia de secuencia positiva. 3 3 Z2 = Z1: Impedancia de secuencia negativa. Z0

Las impedancias mutuas entre secuencias son: 1 1 Z 01 Z 20 Z aa a 2 Z bb a Z cc a Z ab a 2 Z ac Z bc 3 3 1 1 2 2 Z 10 Z 02 Z aa a Z bb a Z cc a Z ab a Z ac Z bc 3 3 1 2 Z 12 Z aa a 2 Z bb a Z cc a Z ab a 2 Z ac Z bc 3 3 1 2 2 Z 21 Z aa a Z bb a 2 Z cc a Z ab a Z ac Z bc 3 3 En el caso usual, en que la línea sea transpuesta, la matriz en coordenadas a b c, es igual a: abc

Z

Zp

Zm

Zm

Zm

Zp

Zm

Zm

Zm

Zp

Con:

1 Z aa Z bb Z cc 3 1 Zm = Z ab Z ac Z bc 3 Reemplazando (4.32) en (4.30), la matriz de impedancias de secuencia, resulta: Zp =

012

Z

Z0

0

0

0

Z1

0

0

0

Z2

Donde :

Z0 = Zp + 2 Zm Z1 = Z2 = Zp - Zm

(4.32)

(4.33)

Es decir la matriz de impedancias de secuencia es una matriz diagonal y de (4.29), se puede escribir: Va0 Va1 Va 2

-

Va'0

Z0 0

0

Ia0

Va'1

0 Z1

0

Ia1

Va'2

0 0

Z2

Ia2

Esta relación muestra que las tres redes de secuencia son independientes y sus condiciones de equilibrio, se pueden escribir como:

129 Va 0 - Va'0

Z 0 Ia0

Va1 - Va'1

Z 1 Ia1

Va 2 - Va'2

Z 2 Ia2

(4.34)

 Así la línea trifásica con retorno por tierra o neutro físico, se puede representar mediante circuitos monofásicos, uno para cada secuencia, como se muestra en la figura siguiente. Z0

I a0

Z1

I a1

Va '0

Va 0

Va1

(a)

Ia 2

Va '1

(b)

Z2

Va'2

Va 2

(c)

Figura 4.9: Circuitos Equivalentes de Secuencia de una Línea Trifásica con Transposiciones: (a): Secuencia Cero (b): Secuencia Positiva (c): Secuencia Negativa.

Reemplazando en (4.33) los valores de impedancias propias y mutuas correspondientes a una línea con retorno por tierra y despreciando los términos R, X, se obtienen las siguientes ecuaciones para calcular las impedancias de secuencia de una línea trifásica con transposiciones y retorno por tierra. [ /km]

 (4.35)

Z1 = Z2 = R + j (Xa + Xd)

(4.36)

Z0 = (R + r e) + j ( Xa + Xe - 2Xd)

Donde: -3

r e: depende de la frecuencia y es igual a 2,964 * 10 * f y se puede escribir como constante = 0,1481 [ /km] para una frecuencia de la red de 50 ciclos por segundo. Xa y Xd están dados por la expresión (2.69), es decir: 3 1 0 10 Xa Ln /km 2 RMG Xd

0

2

10

3

Ln DMG

/km

(4.37)

y a su vez: 3

Xe 0 10 Ln D e /km 3 2 En las relaciones anteriores: R: Resistencia del conductor en [ /km], obtenida directamente de las tablas de características de los conductores f : Frecuencia en cps De = 658

m ;

Dado por la expresión (4.10); por lo cual para un valor de para 50 cps., Xe, valdrá 1,2880 [ /km]  : Resistividad del terreno en [ m] RMG: Radio medio geométrico de los conductores en [m] DMG

3

f 

= 100 [ m] y

D ab D ac D bc : Distancia Media Geométrica expresada en [m]; previamente definida en el

capítulo 2. Notas:  Obsérvese de la ecuación (4.36) y anteriores, que las impedancias de secuencia positiva y negativa son iguales entre sí (esto se cumple en todos los elementos estáticos pero no en las máquinas rotatorias) y su valor resulta el mismo de la impedancia por fase calculadas para las líneas operando en régimen permanente equilibrado.

130 Por otra parte, la impedancia de secuencia cero es mayor que la de secuencia positiva y su cálculo se realiza en la forma ya señalada, para una línea trifásica. Para el cálculo de líneas con otras configuraciones, el método debe extenderse, como se presenta a continuación. Desde el punto de vista de la secuencia cero, una línea trifásica con transposiciones y retorno por tierra, se puede reemplazar por un circuito monofásico considerando los tres conductores en paralelo. En efecto, el valor de la impedancia de secuencia cero dado por la ecuación (4.35) resulta ser 3 veces la impedancia propia Zaa  dada por (4.11), de un conductor equivalente con retorno por tierra, siendo el conductor equivalente un conductor tal que su resistencia es igual a 1/3 de la resistencia de los 3 conductores considerados en paralelo, es decir R/3 si todos son iguales y cuyo RMG equivalente es igual al conjunto de tres conductores. 4.3.2: Impedancia de Secuencia Cero de una Línea Trifásica en Doble Circuito, Transpuesta y con Retorno por Tierra: La figura siguiente muestra esquemáticamente la situación:

1

Z0A

I0

Fase 



2

I 0 A

Fase 



Z0AB 3

3 Circuito 

Fase 

Circuito 

Z0B

I0B

V0 A

(a) Figura 4.10:

V0 B

(b)

Esquemas para el Cálculo de la Impedancia de Secuencia Cero de una Línea en Doble Circuito.

Como ambas líneas están en paralelo; de la figura 4.10.b), se puede escribir:

 Además :

V0A

Entonces: Z 0 I0 A I 0B

V 0B

V0 A

Z 0A I0 A

Z 0AB I0B

V0B

Z 0AB I0 A

Z 0B I0B

(4.38)

V0

V0

V0

I0

I0 A

I0B

V0 Z 0B - Z 0AB Z 0A Z 0B - Z 20AB V0

Z 0A - Z 0AB

Z 0A Z 0B - Z 20AB

 Así se tiene: 2

Z0

Z 0A Z 0B - Z 0AB Z 0A

Z 0B - 2 Z 0AB

/km

(4.39)

Si ambos circuitos son idénticos: Z 0A = Z0B  Así:

Z0

2 2 1 Z 0A - Z 0AB

1

2 Z 0 A - Z 0AB

2

Z 0A

Z 0AB

(4.40)

131  Aquí se tiene, según (4.37): Z0A = (R + r e ) + j ( Xa + Xe   2 Xd) Z0AB = r e  + j ( Xe  3XD)

[ /km]

(4.41)

[ /km]

(4.42)

En que XD se debe extraer desde la tabla de factor de separación o bien calcular como: 3 0 10 XD = Ln D /km 2 Con: D=

9

D11' D12' D13' D 21' D 22' D 23' D 31' D 32' D 33'

(4.43) (4.44)

m

4.3.3: Impedancia de Secuencia Cero de Líneas con Cable de Guardia: Los cables de guardia o cables de tierra, como también se les llama, se emplean para proteger líneas contra descargas atmosféricas, proveyendo una conexión para que la descarga circule a tierra por este conductor y por la torre. Su número, ubicación y distancia a los conductores de fase, se debe estudiar cuidadosamente en la etapa de diseño de la línea, considerando varios factores entre los cuales los de mayor relevancia son las condiciones atmosféricas prevalecientes en la zona del tendido eléctrico.

Evidentemente la presencia de este conductor hará aparecer un efecto inductivo mutuo sobre los conductores de fase que es preciso evaluar. La figura siguiente muestra una representación esquemática para ilustrar el concepto del cable de guardia. V

V

V

Cable de Guardia

V

Resistencia de Puesta a Tierra ( Pié de Torre) (a)

(b)

Fig. 4.10: a) Representación Esquemática del Cable de Guardia, b) Representación Equivalente.

En la figura a), como en general las torres están equiespaciadas, las caídas de tensión en cada tramo se pueden considerar iguales entre sí, por lo que las corrientes de cada malla se anulan y el cable de guardia quedará con una diferencia de potencial cero, que es lo que se muestra en la figura b). De (4.28), incluyendo el cable de guardia; se puede escribir; en coordenadas de fase: Va

Z aa

Z ab

Z ac Z ag

Ia

Vb

Z ba

Z bb

Z bc Z bg

Ib

Vc

Z ca

Z cb Z cc Z cg

Ic

Vg

Z ga Z gb

Z gc Z gg

(4.45)

Ig

Como consideraciones previas, existe bilateralidad; esto es: Z kj = Z jk  Además:

Vg

0

Y si se particionan las matrices de (4.45) como se señala con la línea de puntos, se puede reescribir:

132 abc

abc

V 0

Z A

Z Ag

I

t Z Ag

Z gg

Ig

(4.46)

Se define una nueva matriz de transformación ampliada, tal que: T

0

T'

T' 0

T -1

0

0

1

-1

(4.48)

1

Para pasar a componentes de secuencia, según (4.22 b) 012

012

V

Z A

Z Ag

I

T'

T' t

0

Z Ag

Z gg

Ig

Premultiplicando por la matriz de transformación ampliada inversa, se tiene: 012

012

V

Z A T'

Z Ag

I

-1

T' t Z Ag

0

Z gg

Ig

Realizando operaciones 012

V

012

T

-1

Z A T

T

t Z Ag T

0

-1

Z Ag

I

Z gg

Ig

Cada uno de los términos de la matriz de impedancias de secuencia será entonces; bajo la consideración que la línea es transpuesta es decir: Z ag = Zbg = Zcg y que la condición de bilateralidad es aplicable a las impedancias mutuas entre el cable de guardia y los conductores de fase:

T

1

Z Ag

1 1 1 1 a 3 1 a2

1

Z ag

2

Z ag

a

Z ag

a

1 t Z Ag T

Z ag

Z ag

Z ag

3 Z ag 1 Z ag 1 a a 2 3 Z ag 1 a 2 a 1

1

1 a2

a

1

a

a

3 Z ag

1 3

3 Z ag

Z ag

0

0

0

0

0 0

2

Por (4.33) se ha verificado que la matriz de impedancias propias del circuito se diagonaliza al pasar  desde componentes de fase a componentes simétricas; entonces, directamente se puede escribir:

133 V0

Z 0A

0

0

Z ag

I0

V1

0

Z1

0

0

I1

V2

0

0

Z2

0

I2

0

3Z ag

0

0

Z gg

Ig

De la última fila de la matriz: 3 Z ag Ig I0 Z gg Por tanto, reemplazando Ig en la primera ecuación y considerando que: Z0

V0 I0

V0

Z 0Ag

Z 0A -

V0 Z 0 A -

3

2 3 Z ag

Z gg

(4.48)

Xe - Xdg

(4.49)

1 Xe 3

(4.50)

2 Z ag

Z gg

En que Z0A, esta dada por (4.41) Z ag

1 3

r e

 j

1 3

Con: dg

3

d ag d bg d cg

m

 A su vez: Z gg

r g

1 r e  j 3

Xg

En esta expresión r g es la resistencia propia del conductor de guardia y Xg la reactancia debida al flujo interno del conductor, calculada de igual manera que Xa, pero para este cable; ambas, r g y Xg, se obtienen a partir de la tabla de características de conductores. Finalmente si se tiene un doble circuito con cable de guardia, la impedancia mutua entre circuitos con cable de guardia será:

Z0ABg = Z0AB  3

Z 2ag Z gg

(4.52)

Con Z 0AB, dada por (4.42)  A continuación se presenta una hoja que resume las relaciones anteriores para el cálculo de las impedancias de secuencia, de diferentes configuraciones, que fue recogida de ENDESA hace ya un tiempo, pero que sigue teniendo vigencia. Para ilustrar su empleo, se presenta el siguiente ejemplo: Ejemplo 4.2: Una línea de transmisión, en doble circuito, de 36 [km] de longitud, tiene la configuración que se muestra en la figura, que no está dibujada a escala, y es simétrica con respecto a la vertical. La tensión de operación es de 220 [kV]. Los conductores de fase son ACSR 54/19 de 1.113 MCM. El cable de guardia es de aleación de aluminio de 30,6 MCM; y 7 hebras. La resistividad del terreno es de 100 [ m], la potencia base es de 100 [MVA] y la frecuencia es de 50 [cps]. Nota:  Las distancias están expresadas en metros.

134 IMPEDANCIAS DE LINEAS

CONFIGURACION: DISTANCIAS EN [m]

LINEA: S/N  LONGITUD: 36  [km] ; TENSION: 220    [kV] Nº DE CIRCUITOS: 2  CONDUCTOR:   FINCH  Nº DE HEBRAS:   54/19 CABLE DE GUARDIA:   AKRON  Nº DE HEBRAS 7/ 5,0    DIAMETRO SEP. EQ. ENTRE CONDUCTORES:  DMG = SEP. EQ. ENTRE 1 CIRCUITO Y C/G: dg =

3

3

DabDbcDac = 8,1094

c/ 9

6,1

D=

Daa ' Dab' Dac' Dba' D bb' D bc' D ca' D cb' D cc'  =   12,6812  (K V B ) 2 M V AB

484

 [

7,1

[m] 

c

RESISTIVIDAD MEDIA DEL TERRENO:

ZB



b

SEP. EQ. ENTRE CIRCUITOS: 9



a

[m]

dagdbgdcg =   14,3582 

= 100

[

8

5,1

[m]

m]

]

IMPEDANCIAS DE SECUENCIA POSITIVA Y NEGATIVA Z 1 = Z 2 1: IMPEDANCIA DE UN CIRCUITO: Xa = 0,2716  R (50ºC) = 0,0595   / Km Xd = 0,1316  Z1=   0,0595  + j   0,4032    2,1420  Z1= + j   14,5152    0,0044 Z1= + j   0,0300  0,0303 81,6055º   p.u. Z1=

2 : SUSCEPTANCIA DE UN CIRCUITO:  / Km Xa =   0,2352   / Km Xd =   0,1198   / Km Xc =   0,3550  Xc =   0,0099 p.u. B1 =1/Xc = 101,4085  B1 = 0,0491   



M M M

Km Km Km M -1

p.u.

IMPEDANCIAS DE SECUENCIA CERO: 3: UN CIRCUITO SIN CONDUCTOR DE GUARDIA Xa =   0,2716  Xe = 1,2880 R = 0,0595  Xa + r e = 0,1481 -2 Z0A = 0,2076  + Z0A = 7,4736  + Z0A = 0,0154 + j   0,0964

Xe =   1,5596   / Km Xd = - 0,2632   / Km j   1,2964  / Km j 46,6704 = 0,0976 80,9236º    p.u.

5: PROPIA DEL CABLE DE GUARDIA

1/3 r e = 0,0494 r g =  2,3855  Zgg =   2,4349 +  Zgg =   87,6564 + Zgg =   0,1811  + j   0,0614 =

1/3 Xe = 0,4293 Xg = 0,3966  0,8259 j   j   29,7324   0,1912

Zag Zag Zag Zag

= 0,0494 =   1,7784 =   0,0037  = 0,0198

+ j 0,2619 + j 9,4284 + j   0,0195   79,3183º  

/ Km  / Km  / Km

 

p.u. p.u.

6: UN CIRCUITO CON CABLE DE GUARDIA

18,7366º 

7: MUTUA ENTRE CIRCUITOS SIN C / GUARDIA

XD = 0,1596 

 / Km / Km

4: MUTUA ENTRE UN CIRCUITO Y C / G. 1/3 Xe = 0,4293 1/3 re  = 0,0494 - X dg = - 0,1674

/ Km Z0A = 0,0154 + j 0,0964 p.u. 2  / Km - 3 (Z ag)  / Zgg = - 0,0062139,9º =   0,0047 - j 0,0040 p.u. / Km Z0Ag = 0,0201 + j 0,0924 p.u. Z0Ag = 0,0946 77,7324º   p.u. p.u.

8: MUTUA ENTRE CIRCUITOS CON C / GUARDIA

/ Km Z0AB =   0,0110  + 2 Xe = 1,2880 / Km - 3 (Zag )  / Zgg =   0,0047  r e = 0,1481 - 3 XD = - 0,4788   / Km Z0AB = 0,1481 + j   0,8092   / Km Z0AB = 5,3316  + j   29,1312  Z0ABg =   0,0157  + Z0AB  =   0,0110 + j   0,0602  = =   0,0584   0,0612 79,6285º    p.u. Z0AB g

j 0,0602   j 0,0040  

p.u. p.u.

j 0,0562  

p.u. p.u.

74,3918º 

135 4.4. PROBLEMAS PROPUESTOS

4.1.

Demuestre que en un sistema trifásico equilibrado de fasores corriente, solamente existe componente de secuencia positiva.

4.2.

Demuestre que en un sistema trifásico equilibrado de fasores tensión, solamente existe componente de secuencia positiva.

4.3.

Dada la siguiente línea de transmisión:

En que:

Ia

Zaa Zab

Ib

abc

V

V'

abc

abc

I

Z

Demostrar que: Zbb

Ic

abc

Zbc

Zac

012

Z

T

1

abc

Z T  ;

Zcc

Va

Vb

Vc

V' c

V'b

1

V' a

con

1

1 a2 a

T

a2

1 a

4.4.

4.5.

La línea de la figura tiene sus conductores de fase de aluminio con alma de acero, 54/19 de 1.272 MCM. El cable de guardia (c/g) es de aleación de aluminio, 7 hebras y 30,6 MCM. Asuma = 100 [ m], tensión de operación 154 [kV] a 50 [cps]. Calcular, impedancias de secuencia, susceptancia, impedancia propia del c/g y mutua entre el c/g y el circuito. Las distancias están expresadas en metros y la figura no está dibujada a escala.

1

c/g 3,6

3,6 2

a

b

2

c

En relación al problema anterior, la tensión del extremo transmisor es de 154 [kV] y se está sirviendo una carga desequilibrada de modo que las corrientes absorbidas por el consumo por  cada una de las fases, son: Ia = 120 + j 20 [A]; Ib Ic  100   j 10 [A]. Calcular las tensiones V' a ; V ' b  y V ' c en el consumo (extremo receptor de la línea).

4.6.

Se tiene una línea de 154 [kV] y paralela a ella, se está construyendo una línea de 13,8 [kV] de la que se tiene tendido un conductor en una longitud de 1 [km] y con uno de sus extremos a tierra. Bajo estas condiciones ocurre un cortocircuito bifásico a tierra en la línea de alta tensión, cuyo valor es de 6.000 [A]. Determinar la tensión que aparece en el extremo abierto del conductor con respecto a tierra en la línea de media tensión. La línea de 154 [kV] es de Cu, 19 hebras, 250 MCM; la línea de 13,8 [kV] es de Cu Nº 2 AWG y 7 hebras. La configuración del sistema, con distancias expresadas en metros, se muestra en la figura siguiente, que no está dibujada a escala.  Asuma  = 100 [ m].

b

7

6,5

7

a c 4 11 Línea de AT

Línea de MT Nº 2 AWG

136

4.7.

En la línea mostrada en la figura, calcule las impedancias de secuencia cero, positiva y negativa y la susceptancia que presenta la configuración.

c/g

Evalúe además, las impedancias mutuas entre el circuito y c/g, propia del c/g y la de un circuito con c/g. Los conductores de fase son de aleación de aluminio, 1500 MCM y 61 hebras.

6,7

El conductor de guardia es de aleación de aluminio, 48,7 MCM y con una resistencia a la ruptura de 0,65 [Ton] y 7 hebras. Suponga que el terreno tiene = 100 [ m]. La tensión de operación es de 154 [kV] a 50 [cps] y la longitud de la línea es de 125 [km].

5

4

b

4,1 6

c

4,2

Las distancias están expresadas en metros y la figura no está dibujada a escala.

4.8.

a

c/g

La línea trifásica que se muestra en la figura, tiene una longitud de 12 km y tensión de operación de 110 kV. El conductor de fase es de Cu, 2/0 AWG, 7 hebras, el c/g es Nº 7 AWG, 20,82 MCM. Asuma = 100 [ m], frecuencia de 50 cps.

2 2,25 1,4

Se desea calcular las impedancias de secuencia positiva y negativa, las de secuencia cero de un circuito, mutua entre el circuito y c/g, total del circuito con conductor de guardia.

2,25 1,4 2,25

El gráfico no está dibujado a escala y las distancias están medidas en metros. 4.9.

La línea mostrada en la figura es simétrica con respecto a la vertical. Tiene una longitud de 100 [km] y opera a 220 [kV] y 50 [cps]. Los conductores de fase son ACSR de 1510,5 MCM, 54/19 y el c/g, es de aluminio, 26,2 MCM, 7 hebras.

c/g 3,606

2 

a

Se desea calcular: 7 a) Las impedancias de secuencia positiva y negativa, la susceptancia de un circuito y la impedancia total de ambos circuitos en paralelo. b) Las impedancias de secuencia cero de un circuito sin c/g, mutua entre un circuito y c/g, propia del c/g, mutuas entre circuitos sin c/g y mutua entre circuitos con c/g. Suponga que el terreno tiene = 100 [ m]. El gráfico no está dibujado a escala y las distancias están expresadas en metros.

6 

b 5

c



137 c/g

4.10. Realizar los mismos cálculos del problema anterior, considerando que los conductores de fase de la línea de transmisión de la figura, que es simétrica con respecto a la vertical, son de aluminio = 62 %, 61 hebras, 1033,5 MCM; c/g de aluminio = 62 %, 26,2 MCM y 7 hebras.

2 a



2 3

La tensión de operación de la línea es de 154 [kV] a 50 [cps] y tiene una longitud de 100 [km].

b

Suponga que el terreno tiene = 100 [ m]. El gráfico no está dibujado a escala y las distancias están expresadas en metros.

3,5 c



2 3



138 CAPITULO 5: TRANSFORMADORES. 5.1. CONSIDERACIONES PRELIMINARES.

Los transformadores son los dispositivos que enlazan los generadores con las líneas de transmisión y éstas con otras que operan a diferentes tensiones. Los transformadores, en un sistema eléctrico de potencia, se pueden clasificar en transformadores de generadores; de transmisión y de control. Los primeros se utilizan para elevar la tensión, desde el nivel de generación al de transmisión. En el S.I.C. (Sistema Interconectado Central) los valores más empleados en la generación son 12,5; 13,2 y 13,8 [kV]. Los transformadores de transmisión, se emplean para modificar los valores de la tensión entre los distintos niveles normalizados de transmisión. De acuerdo a lo revisado anteriormente, la transmisión en Chile opera en 66; 110; 154; 220 y 500 [kV]. Los transformadores de control, se usan fundamentalmente para regular el flujo de potencias activa y reactiva en las líneas de un sistema. Con el objeto de resolver problemas específicos, es necesario disponer de modelos adecuados para representar los transformadores trifásicos según sus diversas condiciones de operación. Usualmente los modelos corresponden a circuitos equivalentes que facilitan los cálculos y análisis. En particular interesan los circuitos equivalentes en tanto por uno (p.u.) y las redes de secuencia de los transformadores de dos y tres enrollados. En este capítulo, se analizarán los circuitos equivalentes en p.u. y las redes de secuencia se examinarán en forma posterior. En atención a estas consideraciones revisaremos inicialmente el sistema en por unidad. 



5.2: EL SISTEMA EN POR UNIDAD .

Es un sistema adimensional en el que se expresan las cantidades eléctricas; V; I; Z; S, etc., como una proporción de magnitudes base o referencias apropiadas.  A primera vista, este método de cálculo puede aparecer como una complicación innecesaria, pero en la práctica tiene decididas ventajas como las siguientes: -

-

-

-

Existen menos posibilidades de error por mezclar tensiones fase neutro con tensiones entre fases; potencias monofásicas con potencias trifásicas y tensiones primarias con secundarias en el caso de haber transformadores. Simplifica los cálculos cuando hay varios transformadores, puesto que se elimina la necesidad de referir cantidades de un lado al otro de cada transformador. En particular, las impedancias en p.u.; si se expresan en una base adecuada, son idénticas referidas a uno u otro lado de un transformador. Este hecho no se ve afectado por la conexión de los enrollados ( , Y; etc.). Los valores en p.u. dan información sobre magnitudes relativas que es muy útil. Por ejemplo, las impedancias de los componentes de un SEP, expresadas en p.u.; b.p. (base propia) están circunscritos a un rango bastante estrecho, lo que facilita su verificación y permite usar valores supuestos cuando no se dispone de valores exactos. El sistema en p.u. es indispensable para trabajos en el A.R.C.A. (Analizador de Redes de Corriente  Alterna) ya que estos son fabricados cubriendo un rango muy específico de impedancias. Esto obliga a trabajar con sistemas escalados en cuanto a las magnitudes de parámetros y variables. Esta última ventaja resulta cada día menos significativa, dado que los computadores digitales se han popularizado grandemente en desmedro de las máquinas analógicas.

5.2.1: Circuitos Monofásicos:  Las variables de circuitos; V; I; S; Z; son cantidades relacionadas entre sí, de manera que con fijar dos cantidades base, quedan automáticamente determinados las otras dos. Usualmente se emplea la tensión expresada en [kV] y la potencia aparente en [MVA] como bases de referencia, por lo que las bases de corriente en [A] e impedancia en [ deben expresarse en función de las primeras. Así se tiene:

139

IB

ZB

VB

kVB

IB

IB

SB

kVA B

MVA B

VB

kVB

kVB

10

(kV )B2

3

10

kVA B

10 3

(kV ) B2

3

MVA B

[A]

(5.1)

[ ]

(5.2)

Conviene hacer presente que las cantidades base son escalares y por tanto ocurre que: RB = XB = ZB PB = QB = SB

 (5.3)

5.2.1.1: Redes con Transformador:  Recordemos que el circuito equivalente de un transformador, despreciando la corriente de excitación, es el que se muestra en la figura siguiente:

 V1n/V2n

1

X1

2

I1

I1

I2

V1

V2

V

(a) Figura 5.1

V1n/V2n

V2

(b)

a): Circuito Equivalente de un Transformador b): El Mismo Circuito Equivalente Referido al Primario

El estudio normal de un circuito de este tipo presenta el inconveniente de mantener siempre el transformador ideal de razón V 1n/V2n, lo que obliga a transferir toda la información desde un lado al otro. La figura 5.1 b) muestra todo el sistema referido al primario, de modo que:

X1

X 1'

X '2

V1n

2

V2n

(5.4)

Del circuito 5.1 b): V1

I1  j X1 V2

V1n V2n

(5.5)

Si se dividen ambos miembros por V 1n, se tiene: V1

I1

V1n

I1n

 j

X1

V2

V1n

V2n

(5.6)

I1n Como V1n/I1n, corresponde a la impedancia base del lado primario: V1 (pu1)  j I1 (pu1)X1(pu1) = V2 (pu2)

(5.7)

Donde los subíndices que acompañan a pu, corresponden al lado correspondiente del transformador  tomado como base. Nótese que el transformador ideal ha desaparecido. Desde el punto de vista de la representación circuital, se tiene:

140 X1(pu1) I1(pu1) V1(pu1)

V2(pu2 )

Figura 5.2: Representación Circuital del Transformador en p.u. Referido al Primario

Por otra parte, resulta independiente referir las impedancias del primario al secundario. Consideremos X 1, medida en ; una reactancia ubicada en el primario. Si se refiere al secundario tendrá un valor: 2

X

X

2

V 2n 1

(5.8)

V1n

Expresada en p.u., base secundaria será

X 2 (pu 2 )

X1

X2 V2n

2

V2n V1n V2n

Sn

2

X1

2

V1n

Sn

2

(5.9)

X1 (pu1 )

Sn

5.2.1.2: Caso General:  La manera de trabajar la situación se explicitará a través del sistema que se muestra en la figura 5.3; con 2 transformadores T 1 y T2 que conectan 3 redes diferentes: I; II; y III.2n /

 V1n / V2n

Z1

V3n

 Z2

Z3

V1

Sector I

T1

Sector II

T2

Sector III

Figura 5.3: Red con Tres Sectores Unidos por Transformadores.

El procedimiento a seguir se ilustra en la siguiente secuencia: i. Se elige una potencia base común a todo el sistema SB. Este valor puede ser cualquiera: Un valor  común a varios equipos o bien un valor normalizado como por ejemplo 100 [MVA]. ii. Se escoge la tensión base en alguno de los sectores. Ella no tiene porque ser la nominal y se elige de modo de simplificar la elección de las tensiones base de los otros sectores que se hará a continuación. iii. Las tensiones base, en los otros sectores, deben cumplir las relaciones: VBI V1n VBII

iv.

V2n

VBII

V2'n

VBIII

V3 n

(5.10)

Teniendo VB y SB  en cada sector, pueden expresarse las impedancias correspondientes en tanto por unidad. En el caso que alguna de las impedancias ya esté expresada en [º/ 1], en una base

141 distinta (base propia por ejemplo), se debe efectuar el cambio desde la base antigua a la nueva, para lo cual se debe proceder como se muestra a continuación. Sean todas las cantidades con subíndice   referidas a la base antigua y las cantidades con subíndice , las correspondientes a la nueva base en la cual se expresará la impedancia. En general, de la definición del sistema por unidad, se tiene: Z Z(pu) (5.11) ZB  Así: (5.12)

Z[ ] = Z A(pu) ZBA = ZN(pu) ZBN Entonces: Z N (pu)

Z A (pu)

Z BA

(5.13)

Z BN

De (5.2): (kVBA ) 2

Z N (pu)

Z A (pu)

MVA BA (kVBN ) 2

Z A (pu)

kVBA

2

kVBN

MVA BN MVA BA

Z A (pu)

VBA VBN

2

S BN (5.14)

S BA

MVA BN v.

Una situación especial se presenta cuando, por alguna razón se han definido V BI y VBII, pero en forma tal que no se cumple la relación (5.10); es decir: VBI

V1n

VBII

V2n

(5.15)

En que V1n/V2n, es la razón de transformación del transformador de unión entre ambos sectores. Por ejemplo, sea VBII = V2n y VBI  V 1n. La figura siguiente a); ilustra el caso general y 5,4 b) la solución que permite la interconexión de ambos sistemas.

I1

Base

V1n / V2n Base

X1

VB1

V1

VB2

V2

Figura 5.4. a): Sistema General I1

Base VB1

V1n / VB1 Base

X1 V1

Fig. 5.4. b) Solución Particular.

V2

VB2

142 De la figura. 5.4 a), se tiene: V1 - j I1 X 1

V2

V1n

(5.16)

V2n Dividiendo ambos miembros por V BI, se puede escribir : V1 VBI

 j

I1 X1 IBI VBI

V2 V1n V 2n VBI

IBI Por tanto: V1 (pu) - j I1 (pu) X1 (pu)

V2 (pu)

(5.17)

V1n VB1

Es decir, el problema se ha solucionado intercalando un transformador ideal de razón V 1n/VBI entre los sectores con bases VBI y VBII. 5.2.2: Circuitos Trifásicos:   En la generalidad de los estudios de los SEP, la mayoría de los circuitos trifásicos se analizan como redes monofásicas, tanto en condiciones equilibradas (modelos de líneas por  fase) como en condiciones asimétricas (componentes de secuencia). Bajo estas condiciones, todo lo establecido en el apartado anterior tiene completa validez y los valores de tensión corresponden a fase neutro, así como la potencia es monofásica. Sin embargo, lo usual en los cálculos que se presentan en la práctica, es disponer de datos con la tensión entre líneas y la potencia trifásica o total. Para evitar  diferencias entre los cálculos en p.u. y las cantidades físicas reales, se ha extendido el uso de las llamadas bases trifásicas, en que en realidad se resuelve el mismo circuito monofásico, pero empleando como bases la tensión entre líneas y la potencia trifásica. Esto no constituye ningún problema, e incluso las tensiones, potencias e impedancias resultan numéricamente iguales que en las llamadas bases monofásicas. El único cambio se produce en la corriente base.

 Así se tiene: V(pu3 ) =

VL

3 Vfn

VB3

3 VB1

S(pu3 ) =

Stotal

3S 1

SB3

3S B1

V(pu1 )

(5.18)

=S(pu1

(5.19)

De (5.18) y (5.19) kVBL ZB3

3 = MVA

2

kVB1 B3

2

MVAB1

= ZB1

(5.20)

3 Para cambiar de base, análogamente a (5.14) ZN(pu) = Z A(pu)

VBA VBN

2

S BN S BA

(5.21)

La corriente se modifica a: IB3 =

VA B3 3  VB3

kVA B3 3 kVB3

MVA B3 3 kVB3

10 3

(5.22)

143 2

5.2.2.1: Pérdidas de Potencia:  Trabajando en pu, se calculan directamente haciendo el producto RI y 2 no como pudiera pensarse igual a 3RI , como ocurre al trabajar en cantidades físicas. Se tiene:

Ptotal S B3

P(pu) 3

3R

I 2  A

(5.23)

3 VB3 IB3

Multiplicando y dividiendo el denominador por I B3 , según (5.22), se puede escribir: 2

3R

P(pu) 3

3 VB3 IB3

I  A IB3 VA B3

2

R

I  A 2

VB 3 VA B3

IB 3

2

R Z B3

2

I  A IB3

2

R(pu) 3 I2 (pu) 3 (5.24)

3  VB3 5.2.2.2: Banco de Transformadores:   En la práctica, y sobre todo en sistemas de mayor antigüedad, suelen existir transformadores trifásicos formados por la combinación de tres unidades monofásicas. En tal caso, la impedancia en pu base 3 del banco, es numéricamente igual a la impedancia de cada unidad monofásica, en tanto por uno bases monofásicas. Ejemplo 5.1:  El sistema que se muestra en la figura tiene las siguientes tensiones nominales en las barras: 6,9 kV; 66 kV; 12 kV. Las características de los distintos elementos están expresados ya sea en [ ] o en % base propia. En ciertas condiciones de operación, la tensión en las barras de 12 kV es de solamente 10,8 kV. Trabajando en p.u. base 100 MVA 3 se pide determinar la tensión que se establecería en dichas barras si el consumo (pasivo) bajara a la mitad. 66kV G

66 kV 12 kV

6,9 kV Z= 10 + j 16,8 [

40 MVA 6,6 kV X= 90 %

circuito]

0,97

T2

T1

Sector I

20 MW cos = Inductivo

Sector II

Sector III

Figura 5.5: Sistema del Ejemplo 5.1

Las características de cada uno de los transformadores T1 y T2, son: T1: 45 [MVA]; 6,9 / 69 [kV]; X = 12,2 % T2:

Banco de transformadores: 3 x 15 [MVA] 1 ; 38,1 / 12 [kV]; X = 9,5 [ ] en el lado de alta

Solución:  El sistema se subdivide en 3 sectores. Escogiendo como base en el sector I, correspondiente al generador, la tensión nominal de éste, se tiene:

VBI = 6,6 [kV] Esta elección fija la tensión en el sector II que corresponde a la línea. De acuerdo con (5.10). VBI V1n V 69 VBII VBI 2n 6,6 66 kV VBII V2n V1n 6,9  Análogamente:

144 VBII

V2' n

VBIII

V3 n

 VBIII

V3 n

VBII

12

66

V2' n

3

12 kV

38,1

66 2 43,56 100  A continuación se llevará todo el sistema a tanto por uno base común: 100 De (5.13): XG = 0,9 * 2,25 pu 40 La impedancia base para el sector II será; según (5.2): Z B

100 XT1 = 0,122 * 45

De (5.14): ZL =

1 10  j 16, 8 2 43,56

XT2 =

9,5 43,56

69 66

2

0,2963 pu

0,1148  j 0,1928

0,2244 /59,23 º pu

0,2181 pu

 Así se tiene el siguiente circuito equivalente en pu base común: j 2,25

j 0,2963

0,1148

j 0,1928

j 0,2181

+

. VR

E

Figura 5.6: Circuito Equivalente en p.u. Base Común.

ZT = 0,1148 + j 2,9572 = 2,9594  /  87,78º 10,8 VR =  = 0,9 pu 12 -1 S R = 0,2 + j 0,2tg (cos ) = 0,2 + j 0,0501 = 0,2062 /14,07º

pu

Tomando como referencia la tensión en el consumo se tendrá: .

S

VI

E

VR

I I ZT

S V

*

0,2062/ 14,07º 0,9

 0,2291  / -14,07º pu

 0,9 + 0,2291 /- 14,07º * 2,9594 /87,78º =

= 0,9 + 0,678 / 73,71º = 1,0902 + j 0,6508 = 1,2696 / 30,84º pu Como el consumo es pasivo, es posible representarlo por una impedancia equivalente: ZC =

V I

0,9  = 3,9284 /14,07º = 3,8108 + j 0,955 pu 0,2291 / 14,07º

ZC

145 En las condiciones estipuladas el consumo baja a la mitad, entonces C = .

IL =

VR

2 ZC = 7,6216 + j 1,91 = 7,8568 / 14,07º 1,2967 / 30,84 º

E Z' T C

0,1184  j2,9572

1,2697 / 30,84 º

7,6216  j1,91

9,1401/ 32,18 º

0,1389 / 1,34 º pu

I ' L = 7,8568 /14,07º * 0,1389 / -1,34º = 1,0914 /12,73º

pu.

VR = 12 * 1,0914 = 13,0972 [kV] De acuerdo con las diferentes bases, la corriente en cada sector, expresada en Amperes, será: IG = IL *

IL = IL *

IL = IL *

100

10 3 = 1.215,06 [Amp.]

En el generador 

3 6,6 100 3 66 100

10 3 = 121,506 [Amp.]

10 3 = 668,2829 [Amp.]

En la línea

En la carga.

3 12

5.3: CIRCUITOS EQUIVALENTES.

Veremos a continuación, los circuitos equivalentes en tanto por uno. En cuanto a las redes de secuencia, se estudiarán en el próximo curso. 5.3.1: Transformador Trifásico de Dos Enrollados:  Antes de establecer en detalle el circuito equivalente en tanto por unidad, se revisará el procedimiento necesario para determinar el circuito equivalente en cantidades reales ya sea referido al primario o secundario.

Como se sabe, es posible determinar el circuito equivalente de un transformador trifásico operando en condiciones balanceadas e independientemente del tipo particular de conexión realizando las pruebas de circuito abierto y cortocircuito (obteniéndose el circuito equivalente por fase). Consideremos la Figura 5.7. I A  A B

H1

IB

H2 H3

C

T/F 3

X1

Ia

X2

Ib

a

 X3 Ic

IC V A

VB

VC

b c

VVca V Vbb VVca

Figura 5.7. Diagrama Esquemático de un Transformador Trifásico de Dos Enrollados

La relación entre las tensiones, primarias aplicadas y medidas en vacío en el secundario, define la relación de transformación que en general será compleja debido al posible desfase entre estas tensiones según sea el tipo particular de conexión. Es decir:

146 V A

a

(5.25)

V' a

En que V ' a es la tensión inducida en el secundario y distinta de Va . La prueba de cortocircuito, se realiza aplicando tensiones simétricas equilibradas al lado de alta tensión, estando el lado de baja en cortocircuito y midiendo las respectivas corrientes en cada fase. La relación entre las tensiones aplicadas y las corrientes determina la impedancia de cortocircuito referida al lado en que se hizo la prueba. Si se supone que el lado de alta corresponde al secundario, la impedancia de cortocircuito (impedancia equivalente) quedará referida al secundario. Es decir: Vcc

Z eq2

(5.26)

Icc

Donde VCC es la tensión de cortocircuito por fase, que hace circular la corriente nominal I cc, es decir: Vcc

Vab

Vbc

Vca

3

3

3

(5.27)

De esta forma el circuito equivalente por fase con la impedancia equivalente en el secundario se puede representar como se muestra en la Figura 5.8, en que tanto a como dependen de la conexión de los enrollados de alta y baja tensión: I1

Zeq. 2

a: 1

+

+

I2

+

V1

V2'

V2

-

-

-

 T/F Ideal Figura 5.8.

Circuito Equivalente por Fase de un T/F Secundario

donde:

a

V1

a /

V 2'

con la Impedancia Equivalente en el

(5.28)

El valor de  (módulo de la razón de transformación del transformador trifásico) corresponde a la razón entre el número de espiras de los enrollados cuando las conexiones son las mismas en ambos lados, debiendo dividirse por  3  el número de espiras en el lado conectado en en las conexiones Y- y -Y. Por otra parte, según las normas americanas, para designar los terminales H 1 y X1 en transformadores Y se requiere que en secuencia positiva, el voltaje al neutro en H 1 (lado de alta) adelante en 30º al voltaje al neutro en X1 (lado de baja), independiente de si el devanado en o en Y sea el de alto voltaje. Lo mismo ocurre para los otros terminales (H 2 con X2 y H3 con X3). Por otra parte, en el transformador ideal de la Figura 5.7. debe cumplirse la invariancia a la potencia compleja, o sea: .

V1 I1

V '2 I 2

I1

1

I2

a

(5.29)

147 Para determinar el circuito equivalente en tanto por unidad de un transformador trifásico, las cantidades bases deben elegirse de acuerdo a las relaciones siguientes: VB1 I 1 SB1 SB 2 S B ; a ; B1 (5.30) (5.30) VB 2 IB 2 a Por lo que en el circuito equivalente de la Figura 5.7 se cumple que: V'

2

( pu )

V ( pu ) / 1

I

2

( pu )

(5.31)

I ( pu ) / 1

Zeq1(pu) = Zeq2(pu) = Z(pu)

(5.32)

 A partir de las ecuaciones (5.31) y (5.32) el circuito equivalente en tanto por unidad se puede representar  como se muestra en la figura siguiente: I1 (pu)

e

 j

Z (pu)

: 1

I 2 (pu

+

+

V1 (pu)

V2' (pu)

V2 (pu)

-

-

-

T/F Ideal Figura 5.9. Circuito Equivalente en Tanto por Unidad de un Transformador Trifásico.

En particular, para las conexiones Y-Y y

- , el circuito equivalente se reduce a la Figura 5.10.

Si las impedancias de cortocircuito de los transformadores de un SEP están expresados en (pu), el valor  de Z(pu) que hay que utilizar es independiente del tipo de conexión. Sin embargo, el tipo de conexión determina la relación entre las tensiones bases a ambos lados del transformador. Por otra parte, cuando se representa la red equivalente de un SEP en cantidades en tanto por unidad, es usual no tomar en cuenta los desfases de tensiones y corrientes entre los lados estrella y delta de los transformadores; es decir, utilizar el circuito equivalente de la Figura 5.9. para todos los tipos de conexiones trifásicas, pero al determinar los valores reales de corriente y tensión, se debe considerar  este desfase. Z(pu) I 2 (pu) I1 (pu) + + V1 (pu)

-

V2 (pu)

-

Figura 5.10. Circuito Equivalente en Tanto por Unidad para las Conexiones Y-Y y

-

En sistemas radiales, los desfases no son muy importantes, debido a que rara vez se necesita comparar  los ángulos de fase de las corrientes en lados opuestos de un transformador, pero esto no significa que los desfases no existan. El sistema radial es un caso especial de un SEP, ya que en general el sistema

148 de transmisión es del tipo red, en el que puede haber una o varias mallas que contengan transformadores con diferentes tipos de conexión, tal como se muestra en la Figura 5.11. Y11

Y

1

0

Carga Figura 5.11. Ramas en Paralelo con Transformadores de Distintos Tipos de Conexión

En este caso, la condición necesaria para dibujar la red en (pu) sin introducir transformadores ideales es que los productos de las razones complejas de transformación en ramas paralelas sean iguales. Esta condición no es otra que la necesaria para una correcta conexión de transformadores en paralelo. 5.3.2: Transformador Trifásico de Tres Enrollados: Los devanados primario y secundario de un transformador de dos enrollados tienen la misma potencia nominal, pero los de un transformador de tres devanados pueden tener diferentes capacidades. La impedancia de cada bobinado de un transformador  de este tipo se puede expresar en tanto por unidad sobre la base de su propio devanado o bien se pueden hacer pruebas para determinarlas. En cualquier caso; sin embargo, se deben mostrar sobre la misma base de potencia.

Una de las conexiones más empleadas de un transformador trifásico de tres bobinados es la conexión YY y un terciario conectado en . Sin embargo, el análisis que conduce al circuito equivalente en (pu) se aplica a transformadores de tres enrollados en general. Consideremos la representación mediante el circuito equivalente por fase aproximado que se muestra en la Figura 5.12. Los terminales y variables asociadas a los enrollados primario, secundario y terciario se identificarán con subíndice p, s y t, respectivamente. Todas las impedancias y tensiones se suponen referidas al enrollado primario y en cantidades convencionales. Para determinar las impedancias Z p; Zs y Zt, es necesario efectuar tres pruebas independientes de cortocircuito. En cada caso, un enrollado queda en circuito abierto y uno en cortocircuito y por lo tanto se miden: Zps: Zpt: Zst:

Impedancia de cortocircuito medida en el primario, con el secundario en cortocircuito y el terciario abierto. Impedancia de cortocircuito medida en el primario, con el terciario en cortocircuito y el secundario abierto. Impedancia de Cortocircuito medida en el secundario, con el terciario en cortocircuito, el primario abierto y referida al primario. Z + Z t Z s Vp

+

+ Vt

Vs

-

-

-

Figura 5.12. Circuito Equivalente por Fase de un Transformador Trifásico de Tres Enrollados

 A partir del circuito de la Figura 5.12, se puede escribir: Zps = Zp + Zs Zpt = Zp + Zt Zst = Zs + Zt

(5.33)

149

Resolviendo el sistema de ecuaciones (5.33) se obtiene: Zp = ½ ( Zps + Zpt  Zst )

(5.34)

Zs = ½ ( Zps + Zst  Zpt ) Zt = ½ ( Zpt + Zst  Zps )

 Al igual que en el caso de transformadores de dos enrollados, para determinar el circuito equivalente en (pu) de un transformador trifásico de tres enrollados deben elegirse las tensiones bases de manera que ellas queden en relación con las tensiones nominales entre líneas y la potencia base debe ser común para todos los enrollados. Considerando que el transformador está conectado en Y-Y-  y tomando en cuenta las consideraciones relativas al desfase existentes entre las tensiones del lado estrella y las correspondientes del ; el circuito equivalente en (pu) es el que se muestra en la Figura 5.13, donde todas las variables y parámetros están en tanto por unidad. En los cálculos usuales, se omite el transformador ideal, por las mismas razones dadas en el caso del transformador de dos enrollados. Conviene tener presente que los Z p, Zs y Zt no son cantidades físicas reales ya que se obtienen a través de una manipulación matemática. Es por ello que pueden resultar negativos (capacitivos) dependiendo de la disposición física relativa de los enrollados. Por ejemplo, en el caso más común en que los enrollados se disponen de menor a mayor tensión a partir  del núcleo, resulta que Z pt  Zps + Zst. Según sea la aproximación de esta relación, puede resultar Zs = 0; o, incluso, ligeramente negativa. Tampoco se debe olvidar que el punto común de la estrella es ficticio (no representa un neutro) y que el circuito equivalente es monofásico (y no trifásico como se tiende a pensar). Zp +

Z t

e

 j

+

Z s Vp

Vt Vs

-

-

T/F Ideal Figura 5.13. Circuito Equivalente en Por Unidad de un Transformador Trifásico de Tres Enrollados 5.3.3: Autotransformador: Se puede interpretar como la conexión eléctrica en serie de dos enrollados situados en un mismo núcleo magnético. La ventaja de esta forma constructiva, respecto a la conexión normal como transformador, radica en la mayor capacidad que es posible conseguir, manteniendo las corrientes por enrollado y con ello, las pérdidas óhmicas.

En efecto; si consideramos la Figura 5.14, que corresponde a un autotransformador reductor y despreciando las pérdidas se tiene: V1 V2 I1 I2

1 N

E1

E2 E1 con

N1

N2

N

N1 a

N

(5.35)

1

(5.36)

a

Donde   corresponde a la razón de transformación del autotransformador y   es la razón de transformación del transformador a partir del cual se armó. De modo que se puede demostrar que: S (Autrotran sformador) S (Transform ador)

N1

N2

N2

1

(5.37)

150 I1

+

E2

N2

V1

I2

+ I'1

E1

N1

-

V2 -

Figura 5.14. Autotransformador Monofásico Armado a Partir de un Transformador 

El aumento de capacidad se obtiene a través de la suma de I'1 , que es la corriente transformada magnéticamente, con la corriente primaria I1  que es transferida eléctricamente al circuito secundario. La impedancia de dispersión o de cortocircuito se puede determinar experimentalmente, aplicando una tensión reducida al lado de alta tensión y midiendo la corriente en el mismo, estando en cortocircuito el otro lado. Por otra parte, también es posible determinarla a partir de la impedancia equivalente del transformador respectivo. Para ello consideremos la Figura 5.14. donde se puede demostrar que: Zeq2 (Autotransformador) = Z eq2 (Transformador)

(5.38)

2

Zeq1 (Autotransformador) = (1-N) Zeq2 (Transformador)

(5.39)

Donde: N = N 1 / (N1+ N2) 1, es la razón de transformación del autotransformador elevador.  Adicionalmente, de (5.39), se deduce que la impedancia equivalente de un autotransformador es menor  que la respectiva del transformador a partir del cual se armó. Ello se traduce en un mejor rendimiento y una menor caída de voltaje interno. Supongamos que se ha determinado la impedancia equivalente referida al lado secundario y por lo tanto, el autotransformador elevador de la Figura 5.15, se puede representar por el circuito equivalente de la Figura 5.16. Z2 I2

N2

I1 +

Z1

I' V2

V1 N1 -

-

Figura 5.15. Diagrama Esquemático de un Autotransformador Elevador 

151 I1

+

I2

Zeq. 2

N:1 +

+

V1

V2'

V2

-

-

-

 T/F Ideal Figura 5.16. Circuito Equivalente de un Autotransformador con su Impedancia en el Secundario

Para determinar el circuito equivalente en tanto por unidad, las cantidades de base se deben elegir de acuerdo a las relaciones siguientes: SB1 = SB2 = SB ;

VB1 VB2

N;

IB1 IB2

1 ; N

2

ZB1 = N ZB2

(5.40)

Con lo que en el circuito de la Figura 5.17. se puede escribir: V ' 2 (pu)

V1 (pu) ; I 2 (pu) I1 (pu) ;

(5.41)

Zeq2(pu) = Zeq1(pu) = Z(pu)

Las ecuaciones (5.40) permiten representar el autotransformador según la Figura 5.17. I1 (pu)

Z(pu)

I 2 (pu)

+ V1 (pu)

-

+ V2 (pu)

-

Figura 5.17. Circuito Equivalente en pu de un Autotransformador 

Todo lo expuesto para el autotransformador monofásico se puede aplicar directamente al análisis por  fase de los autotransformadores trifásicos. La conexión Y-Y de autotransformadores trifásicos tiene un comportamiento similar al del transformador  de igual conexión, particularmente en lo referente a los terceros armónicos. Una falla a tierra en el lado de mayor tensión, repercutirá en tensiones anormalmente altas entre los terminales del lado de menor  tensión y tierra. La forma usual de superar estos problemas consiste en agregar un tercer enrollado de estabilización conectado en . La conexión en - es poco usada y su comportamiento es similar al del transformador de igual conexión, sin embargo en este caso las tensiones secundarias quedan desfasadas respecto a las del primario. 5.3.4: Transformadores con Cambio de Derivaciones: Los transformadores con cambio de derivaciones se emplean para regular la tensión en un punto determinado de un SEP, mediante el cambio manual o automático de las derivaciones (TAP) de alguno de sus enrollados. Existen transformadores con cambio de derivaciones en vacío, los que requieren su desconexión del sistema antes de proceder al cambio de TAP, suministrando un método de regulación fija, y transformadores con cambio de derivaciones en carga, que no requieren su desconexión del sistema para realizar la maniobra, permitiendo una regulación casi continua.

152 En la especificación de un transformador con cambio de derivaciones, se deben tener en cuenta dos aspectos importantes como son: el rango total de variación de la tensión y la magnitud del paso entre derivaciones sucesivas. Atendiendo a razones económicas y calidad de la regulación, se emplean usualmente los siguientes valores para las magnitudes mencionadas: Rango total de variación:  10% ; 12% ; 15% (como límite) Magnitud del paso entre derivaciones: 1,25%; 1,5% 5.3.4.1: Circuito Equivalente en (pu) de un Transformador con Cambio de Derivaciones: La teoría de transformadores demuestra que la impedancia de cortocircuito en (pu) de un transformador no varia al cambiar las derivaciones de uno de sus enrollados siempre que las tensiones bases correspondientes a ambos lados estén en la nueva relación del número de espiras. Esto significa que en los cálculos en (pu) debe modificarse la tensión base en el lado donde se produjo el cambio de derivaciones. En los sistemas radiales es siempre posible elegir las tensiones bases de modo que estén en la relación del número de espiras, es decir, se puede tomar en cuenta desde un comienzo el cambio de derivaciones (respecto a la tensión nominal) existente en los transformadores; o bien es posible recalcular todas las impedancias conectadas al lado donde se modifica la tensión base, aunque esto último puede resultar poco práctico, cuando se desea estudiar situaciones con varios cambios de derivaciones.

En sistemas enmallados, la situación es diferente ya que en muchos casos no es posible obviar el empleo de transformadores o un circuito equivalente en la red en (pu) correspondiente al SEP. Esto se ilustra en el ejemplo de la Figura 5.18, en la cual T 2 corresponde a un transformador con cambio de TAP en el lado de 66 [kV], conectado en la derivación 67,98 [kV] (+3%) y donde se supone que los sectores I y II no incluyen otros transformadores. T1

SECTOR I

154/66

VB1

T2

SECTOR II M

VB2

154/67,98 Figura 5.18. Presencia de un Transformador con Cambiador de TAP, en un Sistema Enmallado

De acuerdo con la Figura 5.18,V B1 = 154 [kV] y VB2 = 66 [kV], pero al punto M le corresponden simultáneamente dos tensiones bases distintas. Aproximándose a M por la derecha le corresponde V B2 = 66 [kV] y por la izquierda VB2 = 67,98 [kV] (definida por T2). Si por ejemplo VM = 65 [kV], se obtienen para VM dos valores distintos en pu; 0,9848 por la derecha y 0,9562 por la izquierda, con lo cual el valor de V M queda indeterminado. Esto se soluciona intercalando en el punto M de la red en pu del sistema, un transformador o autotransformador ideal, tal como se muestra en la Figura 5.19, en que t 2 representa el rango de variación en pu de la tensión en el lado donde se encuentra el cambio de TAP (t 2  para el secundario).

153 ZT1 Red Equivalente en pu Sector  I

ZT2

Red Equivalente en pu Sector  II

1:1+t2 +

VM i

VM d

-

-

T/F Ideal Figura 5.19. Inclusión de un Transformador Ideal para Considerar el Cambio de Base

En algunos casos y, especialmente en el cálculo de Flujos de Potencia, resulta conveniente emplear un circuito equivalente en tanto por unidad que elimine el transformador ideal. Consideremos un transformador con cambio de derivaciones conectado entre las barras 1 y 2 de un SEP, como se muestra en la Figura 5.20 y con el fin de generalizar más el modelo, supongamos que hay cambio de TAP tanto en el primario como en el secundario (en la práctica existe sólo en un lado). Con el fin de tomar en cuenta el cambio de tensión base en ambos lados, es necesario incluir un transformador ideal en el circuito equivalente en tanto por unidad en cada lado, donde t 1 y t2 representan la variación en tanto por unidad de la tensión base en el lado respectivo. Barra 1

I1

1+t1: 1

+

Figura 5.20.

Y(pu)

I

1: 1+t2

I2

Barra 2 +

+

+

V1

V'1

V' 2

V2

-

-

-

-

Esquema para Deducir el Modelo General de un Transformador con Cambiador de TAP

 A partir de la Figura 5.20, se pueden plantear las siguientes ecuaciones: Y

I1 - I2

-

Y

2

Y

V1 -

Y

V1 V2

Y Y 2

V1 Y

Y

V2

(5.42)

V2

(5.43)

Donde: = 1 + t1 y = 1 + t2; Y es la admitancia de cortocircuito (recíproco de la impedancia equivalente en pu). De esta forma, si el transformador tiene cambio de TAP sólo en el primario, t 2 = 0, = 1 y = 1 + t1. Debe hacerse notar que tanto t 1 como t 2  pueden ser positivos o negativos según corresponda. Las expresiones (5.42) y (5.43) permiten hacer una representación circuital como la indicada en el cuadripolo de la Figura 5.21.

154

B C

 A

Figura 5.21. Modelo Circuital en Tanto por Unidad de un Transformador con Cambiador de TAP

En la Figura 5.21, se tiene que: Y Y  A ; B 2

Y

; C

Y 2

-

Y  

(5.44)

Ejemplo 5.2:  Dos transformadores de 110/12 kV, 60 MVA, X = 14,52 , medidos en el lado de alta tensión, operan en paralelo alimentando una carga total de 110 MW, factor de potencia 80 % en atraso, con tensión nominal (12 kV). ¿Cómo se reparte la carga entre estos dos transformadores, si uno de ellos está operando en la derivación central y el otro está en el tap +4?. El cambiador de tap está en el secundario y cada paso es de 1,25 %. Solución: El Sistema se puede representar como:

110 MW, Cos Inductivo 110

=0,8

12

Figura 5.22. Sistema del Ejemplo 5.2

Escogiendo como potencia base, la nominal de los transformadores (60 MVA), y la tensión del lado de alta (110 kV) se tiene: X(pu)

14,52 110

2

0,072

60

El circuito equivalente, se muestra en la figura siguiente: 12

110  j 0,072

I1 1: 1,05

I

2

 j 0,072

V' 1

I2

V1

Figura 5.23. Circuito Equivalente con T/F Ideal

1/0º

155 V' B2

Se tiene: t 2

12 4 0,0125 12

VB2

Entonces: V' 1

1

1

V' 1

1,05

I' 2

1,05 1

I2

I' 2

0,05

0,9524

1,05 I 2

V1  = 1 / 0º + j 0,072 I1 = j 0,072

Pero: I I1 I 2 barra, como:

110 I

V(pu) cos

(*)

I - I 2 ; entonces, la corriente de carga se puede calcular, directamente en pu, en la

I1

P(pu)

1,05 I2 + 0,9524

/

cos

1

60

/

cos 10,8

1/0º 0,8

2,2917/

36,87º

Por tanto, reemplazando en (*), y expresando esa relación en términos solamente de la corriente 2: 1/0º + j 0,072 I - I2 = j 0,072 * 1,05 I 2 + 0,9524 1/0º + j 0,072 * 2,2917 /-36,87º - 0,9524 = (j 0,072 + j 0,0756) I 2 0,1973 /42,0º = 1,3367 / - 48,0º I2

 j 0,1476

I1  = 2,2917 / -36,87º - 1,3367 / - 48º = 1,0135 / -22,121º Con ello la carga en cada uno de los T/F, será: S1 = V1

I 1 = 1 / 0º * 1,0135 /22,121º *  60 = 60,81 /22,121º [MVA]

S2 = V1 I 2 = 1 / 0º * 1,3367 / 48º * 60 = 80,202 / 48º [MVA] Entonces el T/F, que está operando en el tap + 4 (105 % de su tensión nominal), está sobrecargado en un 33,67 % y el otro transformador está sobrecargado en un 1,35 % de su potencia nominal.

5.4. PROBLEMAS PROPUESTOS.

5.1.

Dado el diagrama unilineal que se muestra en la figura siguiente y tomando como bases los valores nominales del generador; determine el circuito equivalente en pu, identificando cada uno de los elementos en diagrama. Calcule, además, las corrientes de líneas en [A] en la línea y generador, si la tensión en la carga es de 11 /0º [kV]. Las cantidades expresadas en pu están en base propia (b.p).

ZL = 4 + j 12 [ Gen: 130 [MVA]   11[kV] X = 0,16 pu

T1: 135 [MVA] 12,5/132 [kV] X = j 0,15 pu

T2: 130 [MVA] 132/11 [kV] X = 0,12 pu

S c = 88 + j 27 [MVA]

156 5.2.

En relación al unilineal de la figura, se desea mantener la tensión del extremo receptor en 30 /0º [kV]. Determinar la tensión en bornes del generador, necesaria para esa condición de operación. Trabaje en pu, base 100 [MVA]. Todos los valores de impedancia expresados en [º/1], están en base propia.

VR = 30/0º [kV]

ZL = j 100 [ T1 Generador  11/132 [kV] 11,8 [kV] 50 [MVA] cos = 0,8 XT1 = 0,1 pu Xg = 0,63 pu 5.3.

5.4.

T2 132/33 [kV] 50[MVA] XT2 = 0,12

Para el sistema de la figura determinar  el circuito equivalente en pu. Considere como potencia base 1000 [kVA], tensión base 13,3 [kV]. Calcule además la corriente en pu y [A] en la línea y secundario del transformador, considerando que la tensión de la carga es de 220 / 0º Volts.

cos

= 0,8 Ind

0,6 + j 1 [ /km] 5 [km]

13,2/0,22 [kV] 500 kVA XT = 0,6 º/1 S C = 400+j 300 [kVA]

En relación al unilineal de la figura, determinar la tensión que debe existir en bornes del generador  para servir una carga de 100 + j 50 [MVA] manteniendo en la barra de carga una tensión de 11,4 [kV]. Represente todo el sistema en pu, individualizando cada uno de los elementos que lo forman. Evalúe la corriente de línea en el generador, transformador T 1  y línea de transmisión. Considere como potencia base 100 [MVA] y tensión base, la nominal del generador. Generador: 150 [MVA] 13,2 [kV] X = 90 % b.p.

10+j 70 [ ] T1 145 [MVA] 13,2/154 [kV] X = 14,5 % b.p.

5.5.

S c = 50 [MVA]

En relación al unilineal de la figura se desea representarlo como un circuito equivalente en pu individualizando cada uno de los elementos que lo forman. Si bajo ciertas condiciones de operación el generador está entregando en bornes una potencia compleja de 50 + j 10 [MVA], con una tensión de un 105 [%] de la nominal, evaluar la potencia compleja que se está suministrando a la carga y la tensión en la barra de carga. Considere VB la nominal del generador y potencia base, 100 [MVA]

T2 3x50 [MVA] 1 88,9/12 [kV] x = 0,288 [ ] lado de baja

S C = 100 + j 50 [MVA]

13,2 [kV] 110 [kV]

110 [kV] 6 [kV] 20+ j 50 [

3 x 20 [MVA] 1 13,8/63,5 [kV] X= 10 % b.p

Características del Generador: 60 MVA 13,2 kV X= 1 º/1 b.p

60 [MVA] 110/6 [kV] X= 11% b.p

SC

157

5.6.

5.7.

5.8.

En relación al unilineal de la figura, se desea representarlo como un circuito en pu identificando cada uno de los elementos. La línea, es de median longitud. En una cierta condición de operación el sistema está sirviendo una carga de 60   j 30 [MVA], con una tensión, en la barra de carga de 110 % de la tensión nominal. Evalúe la tensión en [kV] y la corriente de línea en bornes del generador para estas condiciones de operación.

6,8 [kV] 110 [kV]

110 [kV]

12,8 [kV]

Z =15+ j60 [ ] -3

Y = j 8,34*10 [

-1

]

75 MVA 6,8/110 kV X = 10% b.p

80 [MVA] 110/12,8 [kV]  X = 9 % b.p

SC

Características del Generador: 75 MVA 6 kV X = 1 º/1 b.p

Dado el sistema de la figura, se desea representarlo como un circuito en pu identificando cada uno de los elementos. Calcule la fuerza electromotriz del generador  Nº 2 para que el sistema en su conjunto proporcione una potencia de 40 [MW] con cos = 0,95 inductivo a la carga. El generador 1 está operando con tensión nominal en sus terminales y está entregando, a la barra de 13,8 [kV] una potencia de 30 [MW] a cos = 1. Evalúe además la tensión en la barra de carga. Represente la línea como T nominal. Utilice como tensión base del primer sector, la nominal del generador  Nº 1 y potencia base 100 [MVA]

G1

T1

Z = 18 + j 30 [ Y = j 0,0021[

T2 1

G2

]

Carga Elemento

Reactancia

Tensión

Potencia

G1

90 %

G2

100 %

6,4 [kV]

T1

10 %

13,8/154 [kV]

100 [MVA]

6,4/154 [kV]

40 [MVA]

T2

0,1 [

13,2 kV

baja

90 MVA 45 [MVA]

Representar el sistema de la figura en pu, base común, usando como valores base, 50 [MVA] y 138 [kV] en la línea corta con impedancia j 40 [ ]. Si la tensión en la barra C es de 6,6 [kV], cuando el motor síncrono, M, absorbe 24 [MW] con cos = 0,8 en adelanto, calcular las tensiones en las barras A y B. Suponer que la contribución de cada generador es la misma. A

B

G1

20 [MVA] 13,2 [kV] X = 15 % b.p.

T1

 j 40 [ ] T3

T2

T4  j 20 [ ]

G2

20 [MVA] 13,2 [kV] X = 15 % b.p.

 j 20[ ] T1 = T2 = T3 = T4 20 [MVA] 13,8 /138 [kV] x = 10 % b.p.

T5

T6 C

M 30 [MVA] 6,9 [kV] X = 20 % b.p.

T5 = T6 15 [MVA] 6,9 /138 [kV] x = 10 % b.p.

158 5.9.

Un Transformador Trifásico de Tres Enrollados (TTTE) tiene las siguientes características:   Primario : 6,6 [kV] , 15.000 [kVA], conexión estrella Secundario : 33 [kV], 10.000 [kVA], conexión estrella   Terciario : 2,2 [kV], 7.500 [kVA], conexión triángulo Los datos de las pruebas de cortocircuito a corriente nominal son: Vcc [Volts]

Pcc [kW]

Lado 1

Lado 2

Lado 3

540 675

261 310

IN IN

Cortocircuito  Abierto

Abierto Cortocircuito

2.662

110

Abierto

IN

Cortocircuito

Determinar el circuito equivalente en [ ], referido al primario y en tanto por unidad. 5.10. Tres TT/FF monofásicos tienen las siguientes características: 100 [kVA], 4.400/220 [V], R 1= 0,85 [ ], R2 = 0,002 [ ], X1 = 8 [ ], X2 = 0,02 [ ]. Determinar el circuito equivalente en tanto por unidad base propia, cuando se conectan como autotransformador trifásico estrella-estrella con las siguientes razones de transformación: a) 7.620 / 8.000 [V], b) 8.000 / 7.620 [V] 5.11. Si en cada T/F monofásico del problema anterior se conectan en serie los bobinados primario y secundario y luego se forma un autotransformador trifásico en conexión delta-delta, determinar las tensiones primaria y secundaria entre líneas cuando se conecta como reductor y como elevador. En ambos casos determinar también el ángulo de desfase entre las tensiones primaria y secundaria. Considere cada transformador monofásico como ideal. 5.12. Se tiene un Transformador con Cambio de Derivación (TCD) de 200 [MVA], 154/69 + 9 x 1,25% [kV], con una reactancia de cortocircuito del 16%. Determinar el circuito equivalente en pu cuando su característica de funcionamiento es: a) 154/69 - 5 x 1,25%, b) 154/69 + 4 x 1,25%. 5.13. El TCD anterior se conecta en paralelo con un T/F de 150 [MVA], 154/69 [kV], sin cambiador de TAP y con una reactancia del 8%. Si la tensión aplicada es la nominal y el TCD tiene su secundario en el TAP + 6, determinar la potencia suministrada por cada T/F cuando ambos alimentan una carga de 300 [MVA] con factor de potencia 0,8 inductivo. 5.14. Un TTTE de razón 220/60/10 [kV] (P/S/T), de 75/75/25 [MVA], conexión YY reactancias de dispersión: Xps = 11.5% base 75 [MVA]

1

, con las siguientes

Xst = 2.5% base 25 [MVA] Xpt = 0.2533 [ ], medida en el lado de 10 [kV]  Alimenta un consumo de 68 + j35 [MVA], independiente de la tensión en el lado de 60 [kV]. En el terciario está conectado un banco de condensadores estáticos que a tensión nominal 10 [kV] entrega 21 [MVAr]. Calcular las tensiones existentes en el primario y en el terciario del transformador, si la tensión en el consumo es de 61.8 [kV]

159 CAPITULO 6: CARGAS.

Usualmente, el término carga o consumo se refiere a un dispositivo o conjunto de dispositivos eléctricos que consumen energía en un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP). A continuación se establece una caracterización general de los diferentes consumos que se presentan habitualmente en un SEP.

6.1: CLASIFICACION Y CARACTERISTICAS GENERALES.

Desde el punto de vista de su naturaleza, los consumos se pueden clasificar en: Motores Equipos de calefacción Equipos de iluminación Equipos diversos como: electrónicos, hornos de arco, etc. Según sus características eléctricas los consumos difieren fundamentalmente en los siguientes aspectos: -

Potencia nominal, tensión, frecuencia Tipo de alimentación requerida (mono o trifásica) Dependencia o variación respecto de la tensión y/o frecuencia Ciclos de uso o trabajo: regular, irregular.

Desde el punto de vista de su utilización se distinguen los consumos industriales y domiciliarios. Entre las diversas variables que afectan a un SEP, la que corresponde al consumo es en general una de las más difíciles de tratar en forma analítica. Sin embargo, se han establecido algunas características generales que se resumen a continuación: -

Los consumos individuales varían en forma errática en el nivel de distribución, pero los consumos concentrados en el nivel de transmisión varían en forma predecible, es decir, se puede estimar su variación durante las horas del día, durante los diferentes días, diversas estaciones del año, etc.

-

 Aunque los consumos varían en el tiempo, lo hacen lentamente en comparación con las constantes de tiempo de los otros componentes del SEP. Luego, en ausencia de fenómenos transitorios, el sistema se puede considerar en régimen permanente.

-

Un consumo típico siempre consume potencia activa y reactiva, debido a que casi siempre, los motores forman una parte importante de él. Además, un consumo típico se puede considerar  balanceado; en el caso de los equipos trifásicos esto queda fijado por diseño y en el caso de dispositivos monofásicos, se trata de distribuirlos adecuadamente entre las distintas fases.

6.2: PROBLEMAS PRINCIPALES Y MODELOS DE REPRESENTACION.

Los problemas básicos relacionados con el consumo son: -

Predicción de la demanda a corto, mediano y largo plazo Modelos de representación o circuitos equivalentes

El problema de predicción de la demanda tiene especial importancia en la planificación de un sistema nuevo y en la expansión y operación de uno existente. Se han desarrollado técnicas analíticas para predecir la demanda con una precisión aceptable y cuyo detalle escapa a los objetivos de este curso. Desde el punto de vista del análisis y solución de problemas relacionados con un SEP, es importante analizar los modelos adecuados para representar un consumo. Al respecto, se utilizan prácticamente dos formas básicas.

160 6.2.1: Representación Mediante una Impedancia o Admitancia Constante: Es una de las representaciones clásicas de las cargas. La figura siguiente muestra esta representación.

p +

Sc

Vp

Pc

 j Q c

CONSUMO

-

Figura 6.1. Consumo en una Barra Cualquiera p

La Figura 6.1 presenta un consumo en una barra p de un SEP donde Vp es la tensión en la barra p; Pc y Qc  son los valores de potencia activa y reactiva correspondientes al consumo. A partir de la potencia compleja especificada, la impedancia equivalente queda definida por la relación siguiente: 2

Zc

Vp

Rc

Pc - j Q c

 j X c

(6.1)

O bien: Yc

Pc - j Q c Vp2

Gc - j B c

(6.2)

Este modelo es muy utilizado en los estudios de estabilidad y en algunos estudios de cortocircuitos. 6.2.2: Representación como Potencia Compleja Constante:   Ultimamente y en particular en la representación de un SEP para estudios de flujos de potencia, se ha introducido el concepto de fuente de potencia, que es una fuente que puede inyectar o extraer una potencia compleja constante e independiente de la tensión. En el caso de un generador, la potencia se supone inyectada a la barra a la cual está conectado y en el caso de un consumo, se supone extraída de la barra en cuestión, como se ilustra en la figura siguiente. p +

Vp

Sc

Pc

 j Q c

-

Figura 6.2. Representación de un Consumo Como Potencia Compleja Constante 6.3: DEPENDENCIA DEL CONSUMO RESPECTO A LAS VARIACIONES DE TENSION Y FRECUENCIA.

Se consideran, dos tipos de consumo: 6.3.1: Consumo Constituido por una Impedancia Estática: Que se puede representar en la forma usual, es decir: Zc = Rc + j 2 f Lc Suponiendo que la impedancia está conectada a una tensión V, la potencia compleja asociada es:

161

Sc

Pc

R c  V

 j Q c

R 2c

2

2 f L c

2

 j

2 f L c V R c2

2

2

f L c

2

(6.3)

O sea: PC y QC son funciones de f y V. En la práctica, las variaciones de la frecuencia son pequeñas; luego puede decirse que en una carga tipo impedancia, las potencias activa y reactiva varían con el cuadrado de la tensión. 6.3.2: Consumos Mixtos: Estos pueden estar constituidos por motores de inducción o motores síncronos; iluminación, calefacción, etc.

En general, no es posible encontrar una expresión analítica simple como el caso anterior, sin embargo puede escribirse que: P = P (V, f ) Q = Q (V, f )

(6.4)

En la mayoría de los casos prácticos interesan las variaciones de P y Q para cambios pequeños finitos de la tensión y/o frecuencia, por lo que a partir de (6.4) se puede escribir: P Q

P V V Q V V

P f  f  Q f  f 

(6.5)

Las cuatro derivadas parciales de (6.5) no se pueden determinar analíticamente en consumos mixtos, por  lo tanto, se recurre a métodos usualmente experimentales para su cálculo.

6.4: PROBLEMAS PROPUESTOS

6.1.

Para un cierto consumo monofásico, conectado a 12 [kV], 50 [Hz] se puede escribir: -4

1,9



0,5

P = 12,56 * 10 V f  -6 2,1 0 Q = 13,50 * 10  V f  ¿En cuánto cambian P y Q? cuando: a) El voltaje baja en un 5 %, b) La frecuencia sube un 2 %