I.6.HIDROMECÁNICA La ecuación de Bernoulli para los puntos de un fluido ideal pertenecientes a una misma línea de flujo es 1 P + ρ v 2 + ρ gh = const. 2
donde P es la presión estática, D. Bernoulli
ρ v 2 2
es llamada presión
dinámica y ρ gh la presión hidrostática, ρ la densidad del fluido, v su velocidad, h la altura del fluido correspondiente
respecto a cierto nivel. La fuerza de rozamiento interno que actúa entre las capas del fluido con un área S e s ( ecuación de Newton para fluidos viscosos ) ∆ u S ∆ y
F = η
donde η es la viscosidad, y
∆u es la variación de ∆ y
velocidad en dirección transversal a la misma. (ver figura). En la misma se sitúa a la velocidad en la dirección del eje x, pero la variación de velocidad, que también es un vector, está dirigida según el eje y.
95
En este caso, la fuerza entre las capas del fluido se origina por la transferencia de momento de las capas más veloces a las menos veloces, (las más veloces arrastran a las menos veloces). Esta fuerza por unidad de superficie transversal a la velocidad,
F S
, se
llama esfuerzo transversal, y provoca una cizalladura entre las distintas capas del fluido. Así, la viscosidad es el coeficiente de proporcionalidad entre la variación transversal de la velocidad y el esfuerzo. El volumen de fluido viscoso transportado por una tubería de sección circular ( ley de Poiseuille ) es
Q=
π R 4 P1 − P2
8η
l
donde l es la longitud del segmento del tubo en delimitada por la variación de presión P1 − P2 .
La fuerza de rozamiento que actúa sobre un cuerpo esférico de radio r que se mueve en un fluido viscoso con velocidad v es F = 6π rη v
La velocidad de caída uniforme de una esferita en un líquido viscoso es
v=
2 2 ( ρ − ρ 1 ) r g
9
η
donde ρ y ρ 1 son las densidades de la esferita y del fluido respectivamente. El número de Reynolds para un tubo con diámetro D es
96
Re =
donde v es la velocidad del fluido, ν =
ρ vD η
=
vD
ν
η la viscosidad cinemática. Para los tubos ρ
cilíndricos lisos el número crítico de Reynolds, que indica el paso del régimen laminar al turbulento es del orden de 1000-2000. La ley de Hooke describe la relación entre el esfuerzo aplicado a un cuerpo y su deformación relativa. En el caso más simple, de estiramiento de un alambre de sección S y longitud l0 que ante la fuerza F se estira hasta l, la fórmula es: F S
= Y
l − l0 l0
o sea, la deformación relativa y el esfuerzo (fuerza por unidad de superficie) son proporcionales. La constante de proporcionalidad es el módulo de Young La presión adicional bajo la superficie esférica de un líquido es ∆ p =
2σ r
donde σ es el coeficiente de tensión superficial del líquido, r el radio de la superficie esférica. La altura de ascenso (descenso) de un líquido en un capilar es h=
2σ cos θ R ρ l g
donde θ es el ángulo interfacial, R el radio del capilar, ρ l la densidad del líquido.
97
La tensión que actúa sobre una superficie elástica debida a una fuerza perpendicular aplicada en cierta parte del contorno de la superficie es el valor de dicha fuerza perpendicular a la longitud de contorno en que la misma está aplicada dividida por la longitud T =
F w
donde w es la longitud del contorno en que la componente perpendicular de la fuerza está aplicada. En un tubo elástico de paredes de grosor ε << R (ver figura), la sobrepresión del fluido interior al tubo tiende a incrementar su radio, lo cual se equilibra por la acción de la tensión. Entonces, para un tubo elástico (como puede ser un vaso sanguíneo) T = Y ε
R − R0 R0
, es la ley de Hooke para un tubo cilíndrico elástico de sección circular.
R0 es el radio cuando no hay sobrepresión interna y R cuando hay
sobrepresión.
Dada una sobrepresión P en el interior del tubo , la tensión es
T = PR ,
que es la ley de Laplace para tubos elásticos.
98
DENSIDADES (g/cm3 ) Sólidos
Líquidos
Gases
Aluminio---2,65
Hg------------13,60
Aire------0,001293
Acero-------7,82
Alcohol------0,79
Hidrógeno--0,000089
Hielo--------0,92
Cloroformo-1,49
Oxígeno----0,001430
Corcho------0,24
Petróleo-----0,88
Nitrógeno-0,001257
Platino-----21,50
Gasolina-----0,70
Helio-------0,000179
Hierro--------7,80
Glicerina-----1,26
CO2---------0,001974
99
TENSIONES SUPERFICIALES EN DIN/CM Líquido
Temperatura
Contacto
Tensión
0C
con
superficial
Líquido
Temperatur
Contacto
Tensión
a 0C
con
superficial
Agua
0
Aire
75,6
Hg
15
Aire
513
Agua
15
Aire
73,5
Hg
20
Agu
375
a Agua
20
Aire
72,75
Solución
20
Aire
25
jabonosa Agua
25
Aire
71,9
Glicerina
20
Aire
63,14
Alcohol
0
Aire
24,0
ter
20
Aire
16
Alcohol
15
Aire
22,8
Aceite
20
Aire
35
de oliva Alcohol
20
Aire
22,3
Alcohol
25
Aire
21,8
100
ÁNGULOS DE CONTACTO Sustancia
ngulo
Sustancia
( 0 )
ngulo ( 0 )
Agua pura-vidrio limpio
0
Turpentina-vidrio
25
Agua impura-vidrio
25
Keroseno-vidrio
26
Mercurio-vidrio limpio
148
Agua-parafina
107
Mercurio expuesto al aire
140
Éter-vidrio
0
I.6.1.- Ejemplo- Se tiene un recipiente cilíndrico de 22 cm. de altura y 6 cm. de radio conteniendo alcohol, estando su superficie libre a 2 cm. del borde de la vasija. Calcule a) la presión a 10 cm de profundidad b) la presión en el fondo, c) la fuerza total sobre el fondo d)la fuerza total sobre la pared lateral del recipiente. R: La densidad del alcohol es 0,70 g/cm 3. Entonces: a) Para un punto a 10 cm. de profundidad h=10 cm. Luego P = ρ gh = 7,9 gf/cm 2
b) En el fondo h= 20 cm. Luego, con la misma fórmula obtenemos P=15,8 gf/cm 2. c) Como el fondo está horizontal la presión es la misma en todos sus puntos, además como A = π r 2 :
101
F = PA = Pπ r 2 = 17,52 N .
d) Para calcular la fuerza sobre la pared lateral observemos que es una superficie cilíndrica de 20 cm. de altura y 6 cm. de radio. Su área es por consiguiente A = 2π rh = 2 *3,14 *6 cm.*20 cm=754 cm
2
Como la altura media es hg = 10 cm tenemos que la fuerza total será F = ρ ghg A = 58,49N.
I.6.2.- ¿Cuánto vale la presión en el fondo de un recipiente que contiene mercurio si la distancia del fondo al nivel libre es de 46,7 cm? R: 635.12 gf/cm2. I.6.3.-Si el peso específico del agua de mar es 1,025 gf/cm3, halle la presión a una profundidad de 300 m. ¿Qué fuerza se ejerce allí sobre una superficie rectangular de 3 m X 5 m? R: 3075 kgf/dm2; 4612.5 Tf. I.6.4.-Calcule la altura de una columna de mercurio que ejerce una presión de 5 kgf/cm2. Calcule la columna de agua que ejerce igual presión. R: 3,7 m; 50 m. I.6.5.- En un recipiente se tiene mercurio hasta una altura de 12 cm y agua sobre el mercurio. Si la altura del agua sobre el mercurio es 60 cm. calcule la presión en el fondo
102
R: 223,2 gf/cm2. I.6.6.- Se tiene un tubo en U con aceite en una rama y agua en la otra. La densidad del aceite es 0,8 g/cm3. Su altura es de 20 cm. a partir del nivel común. halle la altura del agua . R: 16 cm. I.6.7.- Si el émbolo pequeño de una prensa hidráulica tiene un área de 5 cm 2 y el émbolo mayor 120 cm2, halle la fuerza que ejerce el líquido sobre el segundo si sobre el primero se ejerce una fuerza de 25 kgf. R: 3000 kgf. I.6.8.- El viento actúa sobre una muralla de 50 m. de largo y 6 de alto ejerciendo sobre la misma una fuerza total de 1,2 . 107 kgf que forma un ángulo de 30 0 con el plano de la muralla. Cuál es la fuerza normal por cm 2?. R: 2 kgf/cm2. I.6.9.- Si la presión atmosférica vale 1033 gf/cm 2, halle la presión total (absoluta) en el fondo de un recipiente que contiene ácido sulfúrico hasta 90 cm de altura si la densidad de este líquido es 1,84 g/cm 3. R: 1198,6 gf/cm2. I.6.10.- Se vierten 4 kg de mercurio en un vaso cónico cuyo fondo es de 2,5 cm de radio. Si la altura del líquido en el vaso es de 12 cm, calcule la diferencia entre el peso del mercurio y la fuerza en el fondo. R: 795,97 gf.
103
I.6.11.- Halle el área que debe tener el fondo de un tanque cilíndrico que ha de contener 6 m3 de agua para que la presión en el fondo no exceda de 2000kgf/m2. R: S≥ 3m2.
I.6.12.- Determine la fuerza que ejerce el agua en reposo sobre la puerta de una esclusa rectangular de 3,40 m de ancho por 5,30 m. de altura si la altura del líquido es de 4,80 m. R: 39168 kgf. I.6.13.- Un tanque rectangular de 3,60 m de ancho por 6,80 m de largo contiene agua de mar con densidad de 1,026 g/cm 3 hasta una altura de 3 m. Halle las fuerzas sobre el fondo y sobre las paredes laterales. R: fondo: 75350 kgf; pared mayor: 31390 kgf; pared menor: 16620 kgf.
I.6.14.- ¿Qué empuje recibe uno de los maderos que soporta un muelle clavado en el fondo del mar? Explique. R: cero. I.6.15.- Un paralelepípedo recto rectangular de hierro con aristas 1,20 m, 2 dm, 48 cm. está sumergido en el agua. Calcule el empuje del agua sobre él. R: 288 kgf. I.6.16.- Halle el empuje sobre el cuerpo anterior si está sumergido en agua de mar con densidad 1,026 g/cm3. R: 295,49 kgf 104
I.6.17.- Una caja rectangular de dimensiones 3,2 m, 0,8 m, 0,6 m, flota en el agua con la arista más corta en posición vertical. Calcule cuánto se sumerge por la acción de una ca rga de 640 kgf. R: 25 cm. I.6.18.- Calcular, en el caso anterior, la carga que hace sumergir la caja 34 cm. R: 870,4 kgf. I.6.19.- Se tiene un cuerpo de volumen 5,4 dm 3 cuyo peso es 22 kgf. ¿Cuál es su peso en el agua? R: 16,6 kgf. I.6.20.- La densidad del aluminio es 2,75 g/cm 3 ¿Cuánto pesa en el agua una esfera de aluminio de 1,20 m de diámetro? R: 1583,37 kgf. I.6.21.-¿Cuál es el volumen de un cuerpo que pesa 456 gf. en el aire y 242 gf. en el agua? R: 114 cm3 I.6.22.- Si un cuerpo de 3,42 dm 3 pesa 2,80 kgf sumergido en el agua, halle el peso del cuerpo fuera del agua y cuánto pesa el agua desplazada. R: 6,22 kgf; 3.42 kgf.
105
I.6.23.- Calcule el peso de un cuerpo flotante sabiendo que la parte sumergida es un prisma triangular de 5,3 m de altura y cuya sección recta es un triángulo isósceles de 80 cm. de lado y 60 cm. de base. R: 1179,2 kgf. I.6.24.- La densidad del alcohol a 0 0 C.es 0,8 g/cm3. ¿Cuánto pesa, sumergido en este líquido, un cuerpo de 364 cm 3 de 500 gf de peso en aire?. ¿Qué diferencia existe entre el empuje del alcohol y el del agua? R: 208,8 gf; 72,8 gf. I.6.25.- Un pedazo de mármol pesa 450 gf en el aire y 400 en alcohol. Calcule su peso cuando está sumergido en agua de mar. Densidad del alcohol 0,8 g/cm 3, densidad del agua de mar 1,026 g/cm3. R:385,9 gf. I.6.26.- Un cuerpo flota en el agua de forma que emerge 0,25 de su volumen. Calcule su peso específico. R: 0,75 gf/cm3 I.6.27.- Si el peso específico del hielo es 0,918 gf/cm3 y un cilindro de hielo flota en el mar de modo que emerge 60 cm. de la generatriz del cilindro, calcule su altura total si la densidad del agua de mar es 1,026 g/cm 3. R: 5,1 m. I.6.28.- Cuando un submarino flota, emerge la décima parte de su volumen. Calcule el peso del submarino si para sumergirlo en el mar es preciso cargar 40 m3 de agua de mar. 106
R: 36936 0 kgf. I.6.29.- Un cuerpo de densidad 0,25 g/cm 3 se sumerge en agua a una profundidad de 20 m. y se deja libre . Calcule el tiempo que necesitará para alcanzar la superficie. Desprecie el rozamiento. R: 1,17 s. I.6.30.- Ejemplo- La aorta humana tiene un diámetro aproximado de 2 cm. La salida cardiaca es de aproximadamente 5 litros por minuto. a) Cuál es la velocidad media del flujo en la aorta (en cm/s). b) Si hay aproximadamente 5.10 9 capilares con un diámetro de 8 micras, halle la velocidad media en un capilar. R: a) Podemos aproximar la aorta como un tubo y calculemos la velocidad de la sangre a través de la fórmula del gasto: Q = Ava
donde A es el área de la sección transversal de la aorta y va la velocidad promedio de la sangre en la aorta. Así 5000 cm 3 / 60 s v= = = 26,5 cm/s . (a) A π (1cm ) 2 Q
107
b) El área de los capilares es Ac = π r 2 N donde r ahora es el radio del capilar y N=5.109. El gasto es ahora esta área por la velocidad de la sangre en el capilar vc . Entonces dicha velocidad puede hallarse teniendo en cuenta que , como Q = Acvc entonces 5.103 cm 3 / 60 s vc = = = 0,33mm/s. (b) π r 2 N π (4 µ )2 .5.109 Q
I.6.31.- La velocidad del flujo de agua en cierta sección de un tubo horizontal es 5 cm/s. Halle la velocidad del flujo en aquella parte del tubo en que el diámetro es dos veces menor, y donde el área de la sección transversal es dos veces menor. R: 0,2 m/s.; 0,1 m/s. I.6.32.- En un depósito de agua se abren 3 orificios a profundidades de 16, 64 y 144 cm. respectivamente. Halle las velocidades respectivas del líquido al salir por los agujeros. R: 32, 64 y 96 cm/s. respectivamente. I.6.33.- Se tiene un recipiente con agua a nivel constante, en cuyo fondo hay un orificio de bordes delgados. Calcule la velocidad de salida por el orificio si su distancia a la superficie libre es de 1,72 m. R: 580 cm/s. I.6.34.- Calcule el gasto en el caso anterior y la cantidad de líquido que sale en 4 minutos si el área del orificio es 2 cm2. R: 1160 cm3/s.; 278,4 litros.
108
I.6.35.- ¿Qué masa de mercurio sale en 3 minutos por un orificio practicado en una pared delgada si la altura del líquido es constante e igual a 20 cm. y el orificio es rectangular, de dimensiones 4 mm. y 3 cm.?. densidad del mercurio 13,6 g/cm 3. R: 581,6 kg. I.6.36.- Un líquido se mueve en un tubo y su velocidad en una sección de área 3 cm 2 es 50 cm/s. Halle su velocidad en una sección de 40 mm2. R: 375 cm/s. I.6.37.- Un tanque con agua tiene un orificio en la pared a 3 m. de profundidad y en estas condiciones el gasto es de 2 litros por segundo. Calcule el gast cuando se aplica a la superficie libre del líquido una presión de 12 kgf/cm2. R: 12,81 dm3/s. I.6.38.- Ejemplo- Si la velocidad de la sangre en una arteria excede la velocidad crítica se producen vibraciones en las paredes elásticas de los vasos. Suponga que el radio de la aorta es 1 cm., la viscosidad de la sangre 4 centipoise y la densidad de la sangre 1 g/cm3. a) ¿Cuál es el valor de la velocidad crítica para la aorta? b) Si la salida media del ventrículo izquierdo es 5 litros por minuto, halle la velocidad media de sangre en la aorta. R: a) El número de Reynolds Re =
ρ Rv η
, de donde
109
vc =
η Rec ρ R
donde con el subíndice "c" se denota la magnitud crítica. Sustituyendo los valores numéricos se obtiene que la velocidad crítica es
vc
b) Como Q = Av ⇒ v =
Q A
=
Q π R 2
40 cm/s. (a)
.
Sustituyendo los valores numéricos da v = 26,5 cm/s
(b)
I.6.39.- Sobre una superficie rectangular de 30 cm de largo y 12 cm de ancho actúa una fuerza uniformemente distribuida que produce una presión de 4,25 kgf/cm 2. Calcule la fuerza. R: 1020 kgf. I.6.40.- La punta de un lápiz tiene un área de 0,001 cm2. Si se le comprime contra el papel con una fuerza de 1,2 kgf, halle la presión sobre el papel. R: 1200 kgf/cm2. I.6.41.- Ejemplo- De una jeringa médica de diámetro 1,5 cm y puesta horizontalmente la solución fisiológica sale por la aguja con una fuerza de 10 N. Halle la velocidad de salida 110
del líquido de la aguja de la jeringa. La densidad de la solución fisiológica es 1,03 g/cm 3. La sección del émbolo es mucho mayor que la de la aguja. R: Un esquema simplificado de la situación se presenta en la siguiente figura:
Observe que la fuerza de que habla el problema no es la que se aplica al pistón sino la fuerza con que sale el líquido de la aguja. Como la jeringa está en posición horizontal la ecuación de Bernoulli toma la forma:
P1 +
ρ v12
2
= P+
ρ v 2
2
y la ecuación de continuidad permite relacionar las velocidades en el émbolo y la aguja: A1v1 = A2 v pero A1 >> A2 ⇒ v1 >> v
y se puede considerar v1 0 . Entonces queda P1 = P +
La presión P1 sobrepasa a la atmosférica en
P+
ρ v 2 2
= P+
F A2
F A2
2 ρ v
2
, por lo tanto P1 = P +
⇒v=
F A2
. De ahí que
2 F A ρ
v ≅ 10,5 m/s.
111
I.6.42.- Ejemplo- Un tubo cilíndrico pasa a cónico como se muestra en la figura. El agua fluye por este sistema en dirección del eje x. Considere el agua un fluido ideal. Obtenga la relación P = f ( x) y represéntela gráficamente. desprecie la presión hidrostática. R:
Como para x<0 la sección es constante,
P = const = P0 .
Para x>0:apliquemos la ecuación de Bernoulli:
P+
ρ v02 2
= P( x ) +
ρ v 2 ( x) 2
A0v 0 = Av ⇒ v = r v0 ( x + r ) 2
2
empleando ambas ecuaciones es fácil obtener: 4 ρ v02 r − 1 P( x) = P0 + 4 2 ( x + r )
Empleando estos resultados para x<0 y x>0 para la presión, la dependencia de la presión estática con la coordenada x se puede graficar como sigue 112
I.6.43.- Una tubería horizontal tiene un área de 10 cm 2 en una región y de 5 cm2 en otra. La velocidad del agua en la primera es de 5 m/s. y la presión en la segunda es de 2 kgf/cm2. Calcule la presión en la primera y la velocidad en la segunda. R: 10 m/s.; 2,3 kgf/cm 2 I.6.44.- La velocidad del flujo del agua es igual en todas las secciones de un tubo inclinado. Halle la diferencia de presiones en dos puntos cuyas alturas sobre el nivel de la tierra se diferencian en 0,5 m. ¿A qué es igual la diferencia de presiones si el sistema se encuentra en estado de ingravidez? R: 4,9 kPa.; Cero. I.6.45.- En la parte ancha de un tubo horizontal el agua fluye a una velocidad de 50 cm/s. Halle la velocidad del flujo del agua en la parte estrecha del mismo si la diferencia de presión entre ambas partes es 1,33 kPa. R: 5,2 m/s.
113
I.6.46.- Ejemplo- El agua fluye por un tubo horizontal de sección variable. La presión estática en el punto x 0 es 0,3 Pa. y la velocidad del agua es 4 cm/s. Halle las presiones estática y dinámica en el punto x 1 si la relación entre las secciones del tubo es
A( x0 ) A( x1 )
= 0, 5 .
R:
Apliquemos la ecuación de Bernoulli en este caso en que ambos puntos están a la misma altura.
P0 +
ρ v02 2
= P1 +
ρ v12 2
Además, de la ecuación de continuidad A0v 0 = A1v1 Entonces
P1 = P0 +
ρ 2
(v
2 0
− v ) = P0 + 2 1
ρ v02
2 A0
2
A1
1−
2
= 0,9 Pa es la presión estática
y la dinámica es ρ v12
2
=
ρ v02 A02
2 A12
= 0,2 Pa
114
I.6.47.- Una tubería tiene sección uniforme pero tiene una inclinación de 30 0 con la horizontal. La velocidad en un punto a 8m. del suelo es 40 cm/s. y la presión es la atmosférica. ¿Cuál será la presión en otro punto más bajo situado a 6 m. del primero a lo largo de la tubería ? R:1333 gf/cm2 I.6.48.- Un tubo tiene 6 cm. de diámetro en una parte y en otra se contrae a 4 cm. de diámetro. Cuando por el mismo fluye un líquido de densidad 0,9 g/cm 3 la presión en el primer lugar excede la presión en el segundo en 16,2 gf/cm 2. halle la velocidad del líquido en cada punto. R: 209,79 cm/s.; 565,2 cm/s. I.6.49.- En un tanque la presión de agua en un orificio practicado en su pared es 490 gf/cm2. ¿Cuál es la profundidad del orificio?. ¿Cuál es la velocidad de salida del agua? ¿Cuál es la velocidad del líquido en un punto del chorro que está a 50 cm. por debajo del orificio? R: 4,9 m.; 9,8 m/s; 223,4 m/s. I.6.50.- En un punto de un buque a 4,5 m. de profundidad se abre ocasionalmente un boquete circular de i m. de diámetro. ¿Cuántos litros de agua por minuto penetran en el buque? R: 128094,7 l/min. I.6.51.- Ejemplo- Corazón "enfermo". Si las dimensiones lineales de un corazón se incrementan x% , ¿La deformación de las fibras musculares individuales se incrementa en igual cantidad o más? Asuma el corazón como una esfera. La máxima presión desarrollada por el ventrículo izquierdo es 120 mm 115
Hg. Considere un corazón enfermo con un radio 20% mayor que lo normal. Para mantener la presión de 120 mm Hg, la tensión en este corazón agrandado debe ser mayor que la normal. a) ¿Cuál es el % de incremento de la tensión? b) El corazón enfermo tiene el mismo número de fibras musculares que el normal. ¿Cuál es el % de incremento en la fuerza por fibra ejercida por el corazón enfermo manteniendo una presión sanguínea normal? R: a) Por la ley de Laplace P =
T R
. De ahí que un incremento en las dimensiones lineales
∆ R de un incremento de tensión ∆T = P∆R de modo que la tensión se incrementa
linealmente con el tamaño. Si el incremento es del 20%, así será el incremento de tensión. b) La fuerza, para una presión constante, se incrementa con el área. F = PA ⇒ ∆F = P ∆A
Pero en una esfera, que es la geometría que por simplicidad estamos considerando ( el lector puede convencerse de que al final lo importante no es la geometría sino el tipo de proporcionalidad), A = 4π R 2 entonces ∆F = P∆A = P.4π ( R + ∆R )2 − R 2 = 4π P (2R∆R + ∆R )2
La variación relativa
116
∆F
∆R ∆ R =2 + F R R
2
Por dato, ∆ R = 0, 2 R , entonces ∆F F
o sea
∆F F
= 2(0, 2) + (0, 2)2 = 0, 44
= 44% (b)
¡La fuerza sobre las fibras cardiacas se incrementa mucho más que el tamaño del corazón!
I.6.52.-¿Qué fuerza ejerce la superficie del agua sobre cada lado de un palillo de 4 cm de longitud que flota en este líquido? La temperatura es 25 oC. R: 287,6 din. I.6.53.- Un palillo de 4 cm. de longitud flota en el agua. La tensión superficial en un lado es de 50 din/cm., pero en el otro lado se adicionó alcanfor y se redujo la tensión superficial a 40 din/cm. Hallar la fuerza resultante sobre el palillo. R: 40 din. I.6.54.- La tensión superficial de un líquido es 65 din/cm. Halle la fuerza necesaria para extraer del mismo un alambre en forma de U de 10 cm. de longitud. R: 1300 din.
117
I.6.55.- ¿Cuál es la tensión superficial de un líquido en el cual para extraer un alambre de 8 cm. de longitud hace falta una fuerza de 1,2 gf? R: 73,5 din/cm. I.6.56.- En el interior de un tubo de ensayo cuyo diámetro exterior es 1,5 cm. se introduce lastre para que el tubo flote vertical en agua a 25 oC. ¿Qué fuerza hacia abajo ejerce la superficie del agua sobre el tubo? R: 338,65 din. I.6.57.- En la superficie libre de un estanque se forma una burbuja hemisférica que tiene 0,8 cm. de diámetro. Si la tensión superficial es 75 din/cm., ¿Cuál es la fuerza que impide que la burbuja se desprenda? R: 376,8 din. I.6.58.- Un tanque de 2 m. de ancho tiene un tabique que lo separa en 2 partes una de las cuales contiene agua y la otra alcohol a 25 oC, ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el tabique debida a la tensión superficial? R: 10,21 gf. I.6.59.- ¿Qué fuerza se requiere para extraer del agua un aro de platino de 1,5 cm. de radio dispuesto horizontalmente? La tensión superficial es 70 din/cm. R: 1318,8 din. I.6.60.- En ciertos casos las medicinas son dosificadas en gotas. ¿En qué por ciento variará la dosis de solución acuosa de una medicina al bajar la temperatura de 25 0C a 10
118
0
C?. A estas temperaturas corresponden las tensiones superficiales 71,78 mN/m y 74,01
mN/m. R: aumentará aproximadamente en un 3%. I.6.61.- Calcule la presión adicional determinada por la tensión superficial en una gota esférica de niebla de diámetro 3 micras. R: 9,6 kPa. I.6.62.- ¿Qué trabajo es necesario para extraer de una solución jabonosa un alambre de platino de 10 cm. de longitud de modo que se forme una película de 2 cm. de altura? La tensión superficial es de 35 din/cm. R: 1400 erg. I.6.63.- ¿A qué altura subirá el agua a 15 0 C en un tubo capilar con diámetro interior de 1,2 mm? R: 2,5 cm. I.6.64.- ¿Cuál es la tensión superficial de un líquido cuya densidad es 0,9 g/cm3 si asciende 2,4 cm. en un capilar de 0,6 mm. de diámetro? R: 31,75 din/cm. I.6.65.- ¿Cuánto descenderá el menisco en un tubo de radio interior 0,5 mm. si se introduce en mercurio a 20 0C? (suponga ángulo de contacto nulo). R: 1,12 cm.
119
I.6.66.- Suponiendo que el ascenso de la savia en un árbol se debe enteramente a la capliaridad (lo cual no es enteramente correcto) ¿cuál debe ser el diámetro de los capilares de un árbol de 50 m. de altura si la savia tiene una densidad de 1,2 g/cm3 y una tensión superficial de 60 din/cm.? R: 4,8.10-5cm. I.6.67.-Halle la densidad de un líquido que asciende 12 mm. en un tubo capilar de 1 mm. de radio si su tensión superficial es 50 din/cm. R: 0,85 g/cm3. I.6.68.- Halle la presión en el interior de una gota de agua de 4 mm. de diámetro a 20 0
C. R: 7,27.107 Pa. I.6.69.- Utilizando la ley de Stokes, determine qué tiempo demora el polvo en asentarse
completamente en un cuarto en que la altura del techo es 3 m. Considere las partículas de polvo esféricas con un diámetro de una micra y una densidad de la sustancia de 2,5 g/cm3. R: 161 min. I.6.70.- Halle la velocidad y el tiempo del asentamiento completo de partículas esféricas de radio 2 micras y densidad 2,5 g/cm 3 en una capa de agua de un grosor de 3 cm. en los casos: a) bajo la acción de la fuerza de gravedad; b) al centrifugarse con una frecuencia de 500 Hz. (en este caso, desprecie la acción de la gravedad). El radio de la centrífuga es 10 cm R: a) v=1,3.10-5 m/s.; t=2,3.103s. b) v= 1,3 m/s.; t=2,3.10-2 s. 120
II.- SEGUNDA PARTE: CALOR
Se llama presión normal a la presión atmosférica que al nivel del mar y 0 0C de temperatura equilibra una columna de mercurio de 76 cm. de altura. Esta presión recibe el nombre de atmósfera 1 atmósfera= 1013928 barias = 1033,6 gf/cm2 = 10336 kgf/cm2. 1 atmósfera= 76 cm. Hg. A temperatura constante las presiones de una masa gaseosa y sus volúmenes respectivos son inversamente proporcionales. PV = const .
( Ley de Boyle-Mariotte ).
121
Se llama coeficiente de dilatación lineal al aumento de longitud que experimenta la unidad de longitud al aumentar su temperatura en un grado. k =
l − l0 l0 ∆T
∆T es la variación de temperatura T − T 0 , l0 es la longitud a la temperatura T 0 y l la
longitud a T . Los coeficientes de dilatación superficial y volumétrica se definen por analogía con el lineal y son respectivamente el doble y el triple del valor del lineal. El coeficiente de dilatación de los líquidos es obviamente volumétrico y tiene un valor mucho mayor que el de los sólidos. Como ejemplo tenemos: alcohol- 1,22.10-3 Hg- 1,82.10-4 glicerina- 5,05.10-4 La ecuación de los gases ideales PV = nRT
donde n es el número de moles del gas y R=0,082 cuando P se mide en atmósferas, y V en litros. En esta ecuación T siempre está dado en Kelvin. Se llama calor específico de una sustancia la cantidad de calor Q que es necesario suministrarle a la unidad de masa para elevar su temperatura un grado. Conocido el calor específico c de una sustancia podemos halla la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de la masa m de la temperatura T 0 a la temperatura T: 122
Q = mc(T − T0 ) = mc ∆T
Calor de combustión de una sustancia es el calor que desprende la unidad de masa al arder. Calor de fusión es el calor que hay que suministrar a la unidad de masa de un cuerpo en
estado sólida y a la temperatura de fusión para que pase al estado líquido. Si L es el calor de fusión de una sustancia, el calor necesario para fundir una masa M del mismo es Q = ML
De manera análoga se define el calor de vaporización , haciendo las equivalencias correspondientes. El equivalente mecánico del calor establece la relación entre el trabajo realizado sobre una sustancia para elevar su energía interna y el calor equivalente para lograr el mismo efecto. 1 caloría = 4,185 Joule = 4,185.10 7 erg.
El primer principio de la Termodinámica relaciona entre sí el calor, el trabajo y la variación de energía interna de un sistema Q = ∆ U + W
o sea calor absorbido=aumento de energía interna + trabajo realizado.
123
COEFICIENTES DE DILATACIÓN LINEAL ( 0C-1 ) Aluminio-----24.10-6
Invar-----9.10-6
Cobre-----16,6
Cuarzo------5,8
Acero-----10
Vidrio ordinario----9,0
Hierro-----11,7
Vidrio pírex-----3,0
CALORES ESPECÍFICOS DE ALGUNOS METALES (cal/g 0C ) Metal
Calor esp.
Aluminio
0,212
Cobre
0,004
Hierro
0,113
Hg
0,033
Plata
0,056
Estaño
0,055
Zinc
0,094
124
CALORES DE COMBUSTIÓN EN CAL/G. COMBUSTIBLES
CALOR DE COMB.
ALIMENTOS
CALOR DE COMB.
Alcohol etílico
7180
Mantequilla
3030
Hulla
8000
Leche
310
Gasolina
11530
Tocino
4080
Hidrógeno
34000
Espinacas
75
Carbón
8000
Azúcar
1860
CONSTANTES DE LOS CAMBIOS DE ESTADO Cuerpo
T. de fusión ( 0C) Calor de fusión T. de ebullición Calor de vaporización
Agua
0
79,71
100
539,55
Aluminio
659,7
76,8
1800
.....
Argón
-189,2
6,71
-185,7
37,6
Cobre
1083
42
2300
----
-259.14
14,0
-252,7
108
-38,8
2,82
356,9
65
-209,86
6,09
-195,8
47,6
-130
---
78,3
208
Hidrógeno Mercurio Nitrógeno Alcohol etílico
125
II. 1.- Neumática. Gases. II.1.1.- Ejemplo-Calcular en atmósferas, gf/cm 2 y kgf/cm2 la presión atmosférica cuando el mercurio tiene una altura de 80 cm. R: La altura es 80 cm, por lo que la presión atmosférica es 80 cm. Hg. Entonces es de 80 76
= 1,052 atm.
y como el peso específico del Hg es 13,6 g/cm3:
p = 80 cm.13,6
gf cm
3
= 1088
gf cm
2
= 1, 088
kgf cm 2
II.1.2.- Ejemplo- Suponiendo la presión normal, calcular la fuerza con que la atmósfera oprimió los hemisferios de Von Guericke. La base de cada hemisferio era un círculo de radio 27 cm. R: El área de cada hemisferio es F = pA = 1,033
kgf cm
2
.2289 cm2 = 2364,5 kgf .
II.1.3.- Un gas ocupa un volumen de 250 cm 3 cuando la presión es 70 cm Hg. Halle su volumen si la presión pasa a ser 1,5 atm. sin alteración de la temperatura. R:
PV 1 1 = PV 2 2 ⇒ V2 =
PV 1 1 P2
3
=
70 cm. 250 cm 114 cm
= 153,3 cm3
II.1.4.- Al aproximarse un ciclón la presión baja de 76 cm Hg a 73 cm Hg. Halle la disminución de presión en atmósferas y en gf/cm2. R: 0.038 atm, 40,8 gf/cm 2. 126
II.1.5.- Un gas está en un cilindro vertical cerrado por un émbolo que pesa 4 kgf y tiene un área de 25 cm2. Si el barómetro señala 75 cm Hg, halle la presión del gas. R:1,18 kgf/cm2. II.1.6.- Se comprimen 1000 cm3 de gas cuya presión es de 76 cm. de Hg hasta que su volumen se reduce a 20 cm3. ¿Cuál es la nueva presión del gas? R: 3800 cm Hg. II.1.7.- Cierta cantidad de aire ocupa un volumen de 800 cm 3 cuando la presión es de 70 cm. Hg. ¿Qué volumen ocupará si la presión se aumenta a 3,2 atmósferas? R: 230,2 cm3. II.1.8.- En un recipiente de 3,5 litros se tiene un gas con una presión de 2 atmósferas. Si se conecta el recipiente con otro de 2,2 litros y en el cual se ha hecho el vacío, halle la presión final del gas cuando se alcanza el equilibrio. R: 933,3 mm Hg. II.1.9.- Un tanque tiene un volumen de 0,25 m 3. Halle la masa de hidrógeno que puede contener a 0 0C y 30 atmósferas. R: 0,667 kg. II.1.10.- Calcule el volumen que ocupa 1 g. de aire en condiciones normales. ¿Qué volumen ocupa ese aire a una altura en que la presión es 36 cm. Hg? R: 773,4 cm3, 1632,6 cm3.
127
II.1.11.- A 20 m. de profundidad en el agua se forma una burbuja de aire de 3 mm 3 de volumen. Halle el volumen que tendrá cuando llegue a la superficie, en que la presión atmosférica es 76 cm Hg. R: 8,8 mm3. II.1.12.- En una operación de tubo de vidrio de 75 cm de largo
sondeo se introduce en el mar un con su extremidad superior cerrada
y convenientemente lastrado. ¿A qué profundidad descendió si al extraerlo se comprobó que l agua lo había mojado interiormente 70 cm.? . La densidad del agua de mar es 1,03 g/cm3. La presión en la superficie es 1 atm. R: 140,5 m. II.1.13.- Si un buzo a una profundidad de 30 metros inhala aire a una presión de 2,9 atm., podrá llenar sus pulmones a su capacidad normal de 6 litros. Si sus pulmones pudieran expandirse para albergar esta cantidad de aire a la presión atmosférica, ¿Cuál sería el volumen pulmonar resultante?. aquí podemos darnos cuenta de por qué el buzo que asciende muy rápidamente sin expulsar el aire de sus pulmones corre un grave peligro. R: 23,4 litros II.1.14.- Un tubo de ensayo tiene una longitud de 10 cm. ¿A qué profundidad bajo el agua hay que introducirlo invertido para que el agua penetre hasta la mitad del tubo? ¿Cuál es la presión de aire en ese momento ? ¿Qué distancia penetra el aire en ese tubo cuando su extremo abierto está a 5 m de profundidad? ¿Qué distancia penetra el agua y a qué profundidad se encuentra el extremo abierto cuando la presión del aire encerrado es 3 atm.?. La presión en la superficie es 1 atm. R: 10,3 m., 2 atm., 3,3 cm., 6,7 cm., 20,6 m. 128
II.1. 15.- El diámetro interior de 2 hemisferios de Magdeburgo es de 8 cm. La presión atmosférica es de 76 cm. Hg. La presión interior es de 8 cm. Hg. Calcular la fuerza que es necesario ejercer sobre cada uno de ellos para separarlos. R: 48,51 kgf. II.1.16.- Ejemplo- Los alambres del alumbrado público son de cobre. Suponiendo que los postes están separados 25 m. y que los alambres están tensos cuando la temperatura es 0 0C, halle la longitud de cada alambre un día de verano cuando la temperatura es 30 0C. R: tenemos l = l0 (1 + k ∆T )
donde l0 = 25 m., k=1,66.10 −5 0C −1 , ∆T=30 0C . entonces l = 25,012 m.
Los alambres se han alargado 1,2 cm . II.1.17.- Ejemplo- halle la longitud de una cinta de aluminio a 80 0C que a -30 0C tiene 78 cm. R: l = l0 (1 + k ∆T ) = 78 cm. (1 + 0, 000024(80 − (− 30)) = 78, 206 cm.
II.1.18.- Ejemplo- Una lámina de acero tiene un área de 400 cm 2 a -12 0C. Halle su área a 82 0C. 129
R: Sabemos por las tablas que k=10 -5 0C-1. Además A = A0 (1 + 2k ∆T ) . Sustituyendo en la fórmula los valores numéricos dados, tenemos: A=400,8 cm2. II.1.19.- Ejemplo- Un recipiente de vidrio está construido de modo que tiene una capacidad de 300 cm3 a 15 0C. Halle su capacidad a 125 0C. R: V = V0 (1 + 3k (T − T0 )) Y al sustituir los datos nos da: V=300,9 cm3. II.1.20.- Ejemplo-Un recipiente cerrado está lleno de agua con la temperatura de 27 0C. ¿Cuál sería la presión dentro del recipiente en caso de desaparecer súbitamente la interacción entre las moléculas de agua? R: Al no haber interacción entre las moléculas tenemos un gas ideal y podemos aplicar la ecuación de los gases ideales: PV =
m M
RT
o sea: P=
ρ M
RT
sustituyendo aquí los valores de las magnitudes
130
ρ = 103 kg/m3 ; M=1,8.10−3 kg/mol; R=8,31 kg/(mol.K) y
T=300K
obtenemos P ≈ 1, 4.107 N/m 2
¡Esta presión es 140 veces superior a la atmosférica! II.1.21.- Un tubo en U está lleno de agua. De un caño del tubo se retira el aire; la presión del aire en el otro caño a T=20 0C es igual a la atmosférica. Ambos extremos del tubo están soldados. La diferencia entre los niveles de agua en los caños es 15 m. ¿Cuál será la diferencia de los niveles de agua en los caños si el tubo se calienta hasta 100 0C? R: La presión en el codo izquierdo es igual a la presión de vapor saturado, pero esa misma presión existe también en el derecho, por lo que no la consideraremos. La condición de equilibrio del agua en el tubo a 20 0C es: ρ gh0 = P0
donde P0 es el valor de la presión atmosférica normal. Por eso
h0 ≈
P0
ρ g
= 10 m.
131
A la temperatura de 100 0C la presión del aire en el codo derecho aumenta a un valor P mientras que la diferencia de niveles de agua será
(1.1)
h=
P
ρ g
se cumple que PV 0 0 T0
=
PV T
Además 1 ( h − h0 ) 2 V0 = l0 S l − l0 =
V = lS
donde S es la superficie de corte del tubo. Entonces P = P0
Tl0 T0l
= P0
l0
T T 0
l0 +
1 ( h − h0 ) 2
Sustituyendo en (1.1): h = h0
Si
1 2
l0
T T 0
(h − h0 ) << l0 , despreciemos el valor
l0 +
1 ( h − h0 ) 2
1 ( h − h0 ) en comparación con l0 y 2
obtenemos el resultado aproximado: 132
h ≈ h0
T 0 T
= 13 m .
II.1.22.- Una barra de acero a 0 0C tiene una longitud de 4,80 m. Calcule su longitud a: a) 50 0C; b) -30 0C. R: a) 4,8 m.; 4,798 m. II.1.23.- Una barra de hierro tiene 3 m. de largo y está a -10 0C. ¿Cuál será la variación de temperatura y cuál la temperatura final si se dilata 0,22 cm?. R: 62,67 0C;. 52,67 0C. II.1.24.- Un puente de acero tiene en verano (30 0C) una longitud de 200 m. Calcule su longitud en invierno (-10 0C). R: 199,92 m. II.1.25.- Calcular el coeficiente de dilatación de una barra de 8 m. que se dilata 0,45 mm. cuando su temperatura aumenta 40 0C. R: 1,4.10-6. II.1.26.- Ejemplo- El gráfico de dependencia entre el volumen del cuerpo y la temperatura en el intervalo desde 0 0C hasta la temperatura T1 es una parábola que a partir de T1 pasa a ser una recta que no es tangente a la parábola. ¿Cómo depende el coeficiente de dilatación térmica de esta cuerpo con la temperatura en los intervalos T< T 1 y T > T1?. ¿Qué se puede decir de dicho coeficiente en la temperatura T=T 1?.
133
R: El coeficiente de dilatación térmica es numéricamente igual al valor de la tangente del ángulo de inclinación del gráfico de V(T). Con T > T 1 el coeficiente de dilatación es constante, mientras que para T < T1 es proporcional a la temperatura. En T = T 1 el coeficiente de dilatación experimenta un salto. II.1.27.- Cuando la temperatura de una barra de cobre pasa de -8 0C a 52 °C se dilata 0,80 mm. Calcule su longitud inicial. R: 0,803 m. II.1.28.- Se tiene un aro de acero de 4 m. de circunferencia a 200 °C. ¿Cuál será su circunferencia si su temperatura desciende a 20°C?. R: 3,9928 m. II.1.29.- En una plancha de hierro a 0 °C hay un orificio de 6 cm. de radio. ¿Cuál será su radio si su temperatura se eleva a 50 °C? R: 6,00351 cm. II.1.30.- Las temperaturas extremas de cierta región son 5 °C y 35 °C. Durante el invierno se tiende una vía de ferrocarril empleando rieles de acero de 8 m. de longitud. ¿Qué distancia debe dejarse entre dos rieles consecutivos? R: 0,24 m.
134
II.2.-Calorimetría En esta sección los calores específicos están dados en cal/(g.°C). Estas unidades no serán especificadas en las respuestas, es decir, están sobreentendidas
II.2.1.-Ejemplo- Calcular la cantidad de calor que debe suministrarse a 300 g. de cobre para elevar su temperatura de -8 °C a 122 °C. R: Aplicando la fórmula Q = mc(T − T0 ) = 300 g. 0,094
cal g.°C
.(122 °C -(-8)°C)=366,7 cal.
II.2.2.- En 200 g. de agua a 10 °C se introducen 150 g. de hierro a 110 °C. Halle la temperatura final del conjunto. R: Designándola por T tenemos: calor perdido por el hierro: mFe cFe (T − T0 Fe ) = 150 g . 0,115
cal g.°C
. (110°C − T )
calor ganado por el agua: ma ca (T − T0 a ) = 200 g . 1
cal g .°C
. (T − 10°C )
Igualamos ambas magnitudes y despejamos T T=17,95 °C
II.2.3.- Calcule la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 200 g. de aluminio a) de 10 °C a 40°C. b) de -70 °C a -40 °C. 135
R: 1272 cal. II.2.4.- Halle el calor específico de un cuerpo cuya masa es 400 g. si necesita 80 cal. para elevar su temperatura de 20 °C a 25 °C. R: 0,04. II.2.5.- Qué variación experimentará la temperatura de una masa de 240 g. de zinc si absorbe 450 calorías?. Si la temperatura inicial era -30 °C, ¿cuál es la temperatura final? R: 10,9 °C., -10,1 °C. II.2.6.- ¿Qué calor desprenden 150 g. de hierro cuando su temperatura desciende de 120 °C a 30 °C? R: 1552 cal. II.2.7.- Cierta cantidad de plata absorbe 300 calorías y su temperatura pasa de 5 °C a 85 °C. Calcular su masa. R: 66,9 g. II.2.8.- Se ponen en contacto una masa de cobre de 200 g. a 100 °C y una masa de hierro de 120 g. a 20 °C. Calcular a) su temperatura final b) el calor perdido por el cobre c) el calor ganado por el hierro. R: a) 66,1 °C; b,c) 637,2 cal. II.2.9.- En un recipiente con 40 cm 3 de agua a 4 °C se introduce una masa de aluminio de 80 g. a 80 °C. Despreciando el efecto del recipiente, calcular a) la temperatura final, b) el calor ganado por el agua, c) el calor perdido por el aluminio.
136
R: a) 26,6 °C, b,c) 904 cal II.2.10.- Un cuerpo está compuesto por una aleación de 200 g. de cobre, 150 g. de estaño y 80 g. de aluminio. Calcular su capacidad calorífica y el calor necesario para elevar su temperatura 50 °C. R: 44,01; 2200,5 cal. II.2.11.- ¿Cuál es el calor específico de un cuerpo cuya masa es 100 g. y cuya temperatura es 100 °C si al introducirlo en 200 g. de agua a 30 °C la temperatura final es 32,7 °C? R: 0,08 II.2.12.- Un recipiente de cobre tiene una masa de 4200 g. y una temperatura de 15 °C. En el mismo se introducen 3 litros de agua a 80 °C. Calcule la temperatura final. R: 72,4 °C. II.2.13.- Qué masa de agua a 100 °C debe mezclarse con 2 l. de agua a 4 °C para que la temperatura final sea 20 °C? R: 400 g. II.2.14.- Una bola de aluminio de 20 g. y a 100 °C se introduce en un calorímetro de cobre cuya masa es 200 g. y contiene 100 g. de agua a 10 °C. calcule la temperatura final. R: 13,1 °C. II.2.15.- 100 g. de hierro se colocan en un calorímetro de cobre de masa 180 g. y contiene 120 g. de agua a 20 °C. Si la temperatura final es 25 °C, calcule la temperatura inicial del hierro. 137
R: 85,4 °C. II.2.15.- Calcule la cantidad de alcohol necesaria para calentar 2 l. de agua de 4 °C a 86 °C suponiendo que el agua absorbe todo el calor producido. R: 0,0285 l. II.2.16.- Ejemplo- Calcular la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 150 g. de hielo de -10 °C hasta 120 °C suponiendo la presión igual a la atmosférica. R: El problema se divide en 5 partes: 1- calor absorbido por el hielo para elevar su temperatura de -10 °C a 0 °C. Q1 = mc∆T
m=150 g, chielo= 0,5 cal/g.°C, ∆T = 10°C . esto da Q1=750 cal. 2- Calor necesario para fundir el hielo. Q2 = ML = 150 g. 80 cal/g=12000 cal.
3- calor para elevar la temperatura del agua de 0 °C a 100 °C: Q3 = mc∆T
m=150 g, ca=1 cal/g.°C, ∆T = 100°C entonces Q3=15000 cal. 4- calor para vaporizar el agua: 138
Q4 = MLv = 150 g .540 cal / g . = 81000 cal
5- calor necesario para elevar la temperatura del vapor de agua desde 100 °C a 120 °C a presión constante. El calor específico a presión constante del vapor de agua es 0,4820 cal/g.°C. Entonces: Q5 = mc p ∆T
con m= 150 g, c p=0,4820 cal/g.°C., ∆T = 20°C El calor total es la suma de todos los resultados parciales:
Q = 110196 cal
II.2.17.- Calcular la cantidad de calor necesaria para fundir a) 30 g. de hielo, b) 200 g. de aluminio, c) 50 g. de hidrógeno, si estas sustancias se encuentran a sus respectivas temperaturas de fusión.. R: a) 2400 cal, b) 15360 cal, c) 700 cal. II.2.18.- Calcule la cantidad de calor necesaria para fundir 60 g. de hielo a -4 °C R: 4920 cal. II.2.19.- Calcule la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 100 g. de hielo de -10 °C a 20 °C. R: 10500 cal. II.2.20.- Qué masa de hielo a 0 °C puede fundirse con 658 cal? R: 8,225 g. 139
II.2.21.- calcular en Joules la energía necesaria para vaporizar 20 g. de agua a 100 °C. R: 45198 J. II.2. 22.- Un hombre que trabaja consume energía a razón de 140 W. ¿Qué cantidad de pan, cuyo calor de combustión es de 8000 cal/g, debe comer para trabajar una hora? R: 15,12 g. II.2.23.- Expresar 2500 cal en Joules y kgm. R: 1,046.104 J; 1067 kgm. II.2.24.- Exprese en calorías a) 250 J, b) 85 kgm. R: a) 59,73; b) 199,04. II.2.25.- Calcule la temperatura final de 200 g. de cobre a 10 °C si se les suministra una energía de 68 J. que se transforma íntegramente en calor. R: 10,87 °C. II.2.26.- Calcular en Joules la energía necesaria para vaporizar 20 g. de agua a 100 °C R: 45198 J II.2.27.- Una bala de 20 g. y a 0 °C, con una velocidad de 300 m/s., penetra en un bloque de hielo también a 0 °C. Calcule la masa del hielo fundido. R: 2,70 g. II.2.28.- Un automóvil tiene una masa de 800 kg. y una velocidad de 72 km/h. Si se detiene al aplicar los frenos, calcular el calor desarrollado por la fricción de las ruedas con el pavimento. 140
R: 38231,7 cal. II.2.29.- Cuántos kWh se necesitan para fundir una tonelada de cobre que se encuentra a la temperatura de fusión? R: 48,8 kWh. II.2.30.- Se desea perforar un orificio en un bloque de hierro de 250 g. que se encuentra a 20 °C. Para ello se emplea una barrena que da 5000 vueltas y que se hace funcionar con un manubrio de 5 cm. de radio sobre el que se ejerce en promedio una fuerza de 10 6 din. Suponiendo que 3/4 de la energía suministrada se transforman en calor, calcule la temperatura final del hierro. R: 117 °C. II.2.31.- Un cuerpo absorbe 10000 cal. y realiza un trabajo de 30000 J. Calcule la variación de energía interna. R: 8200 J.
141
ANEXO: Tablas útiles A continuación ponemos a disposición del lector un conjunto de datos y fórmulas que le serán de utilidad no sólo en la resolución de los problemas, sino también en múltiples ocasiones en relación con el trabajo, la docencia y la vida diaria. ALGUNAS CONSTANTES FÍSICAS
Nombre
Símbolo
Valor aproximado
velocidad de la luz en el
c
3 × 108 m/s
constante de gravitación
G
6.67 × 10-11n.m2/kg 2
numero de Avogadro
N
6.02 × 1023mol-1
constante de los gases
R
8.32 J/mol K
constante de Planck
h
6.63 × 10-34 J.s
constante de Boltzmann
k
1.38 × 10-23 J/K
constante de Stefan-
σ
5.67 × 10-8 J/(K)4
J
4.19 J/cal
-
273.16 K
vacío
Boltzmann equivalente mecánico del calor punto triple del agua
142
punto de congelación del
-
273.15 K
-
1 g/cm3
µo
1.26 × 10 -6H/m
constante de permitividad
εo
8.85 × 10-12 f/m
carga del electrón
e
1.60 × 10-19 C.
masa del electrón en
me
9.11 × 10-31 Kg.
mp
1.67 × 10-27 Kg.
mn
1.67 × 10-27 Kg.
-
9.28 × 10-32 J.m2/Wb
a0
5.29 × 10-11 m
µB
9.27 × 10-24 J/T
agua máxima densidad del agua ( a 3.98 oC y 1 atm) constante de permeabilidad
reposo masa del protón en reposo masa del neutrón en reposo momento magnético del electrón radio de la primera órbita de Bohr en el átomo de hidrógeno magnetón de Bohr
143
unidad de masa atómica
uma
1.6 × 10-27 Kg.
EL PLANETA TIERRA
atmósfera normal
1.013 × 105 N/m2
densidad del aire seco a TPN
1.293 Kg./m3
velocidad del sonido en el aire seco a TPN
331.4 m/s
aceleración de la gravedad*
9.8066 m/s2
constante solar (intensidad solar media en
495 W/m2
la superficie de la tierra) radio ecuatorial de la Tierra
6.4 × 106 m
radio polar
6.357 × 106 m
volumen de la Tierra
1.087 × 1021m3
densidad media de la Tierra
5522 Kg./m3
masa de la Tierra
5.98 × 1024 Kg.
campo magnético terrestre, B
5.7 × 10-5 Wb/m2
momento del dipolo magnético terrestre
6.4 × 1021 A.m2
distancia a la Luna
380000 km.
área del planeta ocupada por tierra (km2 )
1.5 × 108
144
área ocupada por los océanos (km2 )
3.6 × 108
EL SISTEMA SOLAR
cuerpo
masa
distancia
revoluci
respecto a la
al Sol
ón sideral
Tierra
(millones de
(días)
Densida d (g/cm3 )
diámetr o (km.)
aceleraci ón de la gravedad en
km.)
su superficie, (cm/s2 )
Sol
329390
--
-
1.42
1390600
27440
Mercurio
0.0549
58
87.97
5.61
5140
392
Venus
0.8
108
244.7
5.16
5.14
882
Tierra
1
149
365.26
5.52
12756
980
Marte
0.1
228
687
3.95
6860
392
Júpiter
314
778
4332
1.34
143600
2646
Saturno
94.1
1426
10759
0.69
120600
1176
Urano
14.4
2869
30686
1.36
53400
980
16.72
4495
60187
1.3
49700
980
Neptuno
145
Plutón
-
5900
90885
-
-
-
Luna
0.0123
-
-
3.36
3476
167
DIMENSIONES Y UNIDADES DE ALGUNAS CANTIDADES FÍSICAS
nombre
símbolo
metro
m
Definición longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío en 1/299792458 s (1983)
kilogramo
kg.
segundo
s
masa del prototipo de Platino e Iridio duración de 9192631770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado básico del Cesio-133 (1967)
Ampere
A
corriente constante entre dos cables paralelos de longitud infinita y diámetro despreciable a una distancia de un metro en el vacío que produce una fuerza entre los conductores de 2*10-7 N por metro de longitud (1946)
Kelvin
K
fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua
146
(1967)
mol
mol
cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0.012 kg. de carbono-12 (1971)
candela
cd
intensidad luminosa en la dirección perpendicular de una superficie de 1/600000 metros cuadrados de un cuerpo negro a la temperatura de fusión del platino a una presión de 101.325 N por metro cuadrado (1967)
ALGUNOS MOMENTOS DE INERCIA 147
mR 2
MASA PUNTUAL RESPECTO A UN EJE
= CILINDRO MACIZO O DISCO RESPECTO AL EJE DEL CILINDRO
= ANILLO DELGADO RESPECTO AL EJE DELCILINDRO
= ( + ) CILINDRO CIRCULAR O ANILLO RESPECTO AL EJE DEL CILINDRO
148
= CASCARÓN ESFÉRICO RESPECTO A UN DIÁMETRO
= ESFERA MACIZA RESPECTO A UN DIÁMETRO
149
FACTORES DE CONVERSIÓN:
LONGITUD Metro
Pulgada (in.)
pie
milla
M
1
39.37
3.281
6.214 × 10-4
In
2.54 × 10-2
1
8.33 × 10-2
1.578 × 10-5
Pie
0.3048
12
1
1.894 × 10-4
Milla
1609
63360
5280
1
PRESIÓN Atm.
din/cm2
cm Hg
Pascal (Pa)
lb/in2 (psi)
Atm
1
1.013 × 106
76
1.013 × 105
14.7
din/cm2
9.869 × 10-7
1
7.5 × 10-5
0.1
1.405 × 10-5
cm Hg
1.316 × 10-2
13330
1
1333
0.1934
Pascal
9.869 × 10-6
10
7.5 × 10-4
1
1.45 × 10-4
lb/in2 (psi)
6.8 × 10-2
6.895 × 104
5.171
6.895 × 103
1
150
ENERGIA, CALOR Btu
Btu
erg.
J
Cal
KW. h
eV
1
erg. 1.055 × 10
10
9.481 × 10
1
-11
9.481
10
-4
× 10
3.969 -3
× 10
3413
1.519 × 10
-22
J
1055
10
7
4.186 × 7
10
cal
-7
1
eV
2.93 ×
6.585 ×
10-4
1021
2.389 ×
2.778 ×
6.242 ×
10-8
10-14
1011
2.778 ×
6.242 ×
10-7
1018
1.163 ×
2.613 ×
10-6
1019
252
0.2389
4.186
3.6 ×
3.6 ×
13
6
10
KW.h
10
1
8.6 × 10
5
1
1.6 ×
1.6 ×
3.827 ×
4.45 ×
-12
-19
-20
-26
10
10
10
10
2.247 × 1025
1
151
CAMPO MAGNÉTICO Gauss
T
Gauss
1
10-4
Tesla (T)
104
1
ALGUNAS MASAS APROXIMADAS
Objeto
Masa en kilogramos
Universo conocido
1053
nuestra galaxia
1041
cúmulo interestelar típico
34
10
Sol
1030
Luna
7 × 1022
atmósfera terrestre
6 × 1018
biosfera
1016
montaña pequeña
1012
World Trade Center, cada torre (antes del
5 × 108
11/9/01)
152
trasatlántico
107
elefante
103
partícula de polvo
7 × 10-10
rango de masas de las partículas de polvo
10−2 − 10−18
cósmico molécula de penicilina
5 × 10-17
átomo de uranio
4 × 10-25
protón
2 × 10-27
electrón
9 × 10-31
ALGUNAS DENSIDADES MATERIAL
densidad (Kg./m 3 )
espacio interestelar
10-20
alto vacío de laboratorio
10-17
aire: 20ºC y 1 atm
1.21
20ºC y 50 atm.
60.5
espuma de petróleo
100
cerveza
105
153
corcho
240
diamante
350
cedro
520
gasolina
730
alcohol
790
petróleo
800
aceite de oliva
910
vino
990
agua destilada: 20ºC y 1 atm
0.998 × 103
20ºC y 50 atm
1000
agua de mar: 20ºC y 1 atm
1024
sangre humana
1060
hielo
917
caucho
930
glicerina
1260
azúcar
1600
marfil
1870
154
mármol
2700
acero
7700
hierro
7900
bronce
8800
mercurio
13600
Tierra: promedio
5500
núcleo
9500
corteza
2800
Sol: promedio
1400
núcleo del Sol
160000
enana blanca (núcleo)
1010
núcleo de uranio
3 × 1017
estrella de neutrones (núcleo)
1018
hueco negro (1 masa solar)
1019
ALGUNAS PRESIONES
PRESIÓN (Pa) Centro de la Tierra
4 × 1011
155
mayor presión sostenida obtenida en el
1.5 × 1010
laboratorio Fondo de una fosa oceánica
108
Interior de la litosfera
108
Goma de automóvil
2 × 105
Presión en el interior de la cámara de
3 × 10 − 10 4
5
algunos moluscos nautiloideos Atmósfera a nivel del mar
105
Presión arterial sistólica normal
1.6 × 104
Alto vacío de laboratorio
10-12
CALORES ESPECÍFICOS DE ALGUNAS SUSTANCIAS A TEMPERATURA AMBIENTE
Sustancia
calor específico (cal/g ºC)
Plomo
0.0305
Tungsteno
0.0321
Plata
0.0564
156
Cobre
0.0923
Aluminio
0.215
Latón
0.092
Granito
0.19
Vidrio
0.2
Hielo (-10 ºC)
0.53
mercurio
0.033
Alcohol etílico
0.58
Agua de mar
0.93
Agua
1
157
CALORES ESPECIFICOS DE ALGUNOS GASES
Gas
Cp (J.mol-1.K -1 )
C v (J.mol-1.K -1 )
Cp/C v
He
20.78
12.47
1.67
A
20.78
12.47
1.67
H2
28.74
20.42
1.41
N2
29.07
20.76
1.40
O2
29.41
21.10
1.39
CO
29.16
20.85
1.40
CO2
36.94
28.46
1.29
SO2
40.37
31.39
1.30
SH2
34.60
25.95
1.33
158
EL ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO
13
10
ondas de radio y ondas largas
12
10
.
11
10
.
10
.
10
9
10
microondas y radar
8
10
7
.
Se muestran las regiones
.
aproximadas de las distintas
10
Longitud de onda (Angstroms)
zonas del espectro.
6
10
5
10
infrarrojo
Los límites entre zonas no están definidos exactamente
.
4
10
espectro visible (4000-7000 Angstroms) 3
10
2
10
1
10
0
10
ultravioleta
rayos γ y X .
159
LA TABLA PERIÓDICA
160
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
sin(90º θ ) cos θ cos(90º θ ) sin θ sec 2 θ tan 2 θ 1 csc 2 θ cot 2 θ 1 sin 2θ 2 sin θ cosθ cos 2θ cos 2 θ sin 2 θ sin( a b) sin a cos b cos a sin b cos(a b) cos a cos b sin a sin b tan( a b)
tan a tan b
1 tan a tan b 1 1 sin a sin b 2 sin ( a b) cos ( a b) 2 2 1 1 cos a cos b 2 cos ( a b ) cos ( a b) 2 2 1 1 cos a cos b 2 sin ( a b) sin ( a b) 2 2
161
Se define x = log c a (a>0) con c>0 (c ≠ 1) significa que c =a x
log c c = 1; log c c = p; log c 1 = 0 p
Al no escribir la base se sobreentiende que es 10: n log x = n log x
log(ab) = log a + log b log10 = 1 (base 10) lne=1 (base e) loga b = log d c =
log n b logn a 1 logc d
(cambio de base)
Gráfica de la función logaritmo de x: og x 2 1 2
4
6
8
10
-1 -2 -3 -4
162
x
Cuando n es un número natural, la potencia n de un número a significa el producto de a por sí mismo n veces 0 Si a ≠ 0, a = 1
Si a>0 y n es un numero natural, la raiz n-esima de a es 1
la solucion de x = a y se representa como a n = n
m n
a
m n
= a = ( a) n
n
a.
m
a = mn a
ab =
n
m
n
n
n
a b;
n
a b
=
n
a
n
b
(b ≠ 0)
+ a p a q = a p q
(a ) = a p q
a
− p
a p a
q
(a > 0)
pq
p
a p a = p ; (ab) = a b ; = p a b b
1
p
p
p
= a p − q
Tres números positivos enteros a, b, c son pitagóricos si cumplen
2
2
a b c
2
NÚMEROS COMPLEJOS:
c=a+ib es un número complejo si a y b son reales con
2 i 1 .
c=0 si a=b=0 Se denota :
c a ib conjugado de c
a Re c
*
c c*
2
;
b Im c
c c*
2i
163
i 3 i 4 n 3 i 4
i i
4n
1
i 4 n 2 1
n 0,1, 2...
c1 c2 ( a1 a2 ) i (b1 b2 ) c1c2 ( a1a2 b1b2 ) i ( a1b2 a2 b1 ) c1 c2
( a1a2 b1b2 ) i ( a2 b1 a1b2 ) 2
a b
2
(c2 0)
*
* c1 c 1 ; * c c 2 2
*
* *
(c1c2 ) c1 c2 ;
* * * (c1 +c2 ) c1 c2
* *
((c) ) c
164
Representación geométrica de los números complejos:
ϕ
c a ib r (cos ϕ i sin ϕ ) rei
r c
a 2 b 2 cc* c*
a r cos ϕ ;
b r sin ϕ
c1c2 r1r2 cos(ϕ1 ϕ 2 ) i sin(ϕ1 ϕ 2 ) r1r2 e c1 c2
r 1 r 2
i (ϕ1 ϕ 2 )
cos(ϕ1 ϕ 2 ) i sin(ϕ1 ϕ 2 ) (r1 / r2 ) ei (ϕ ϕ ) 1
ϕ
n n n in c r cos( nϕ ) i sin(nϕ ) r e
(n-entero)
n
c
n
2
ϕ 2 k π ϕ 2kπ ϕ 2k π n i n re c cos i sin k=0,1,...n-1 n n
165
ln c ln r iϕ
1 1;
3
1
1 cos cos
-1 i
2π 2π 1 i 3 i sin 3 3 2 1 i 3 2π 2π i sin 3 3 2
π cos 3 3 1 1 π cos 3
i sin
i sin
π
3 π
3
1 i 2
3
1 i 2
3
166
CUERPO
VOLUMEN
FÓRMULA
GEOMÉTRICO PRISMA
h*S
Altura * área de la base
ORTOEDRO Altura*longitud*ancho
h*l*a
Cubo de la arista
a3
CUBO
PIRÁMIDE 1 3
*área de la base *altura
1 3
*S *h
167
CILINDRO
S *h área de la base *altura
CONO
1 1 3
3
* S *h
*área de la base *altura
ESFERA
4π * cubo del radio 3
4π 3
3
r
168
ALGUNAS INTEGRALES a) Indefinidas
∫ tanxdx ∫ sin ∫ xe ∫
x
∫
1
1
=
xdx
− ax
e
x
dx
− ax
= −
dx
( x
2
+
a
)
xdx
( x
2
+
a
2
)
3
( x
∫ x
m
+
ln
a
2
)
xdx
a
3
a
sin 2 x
( ax + 1) e − ax
3
(a 2
x
2
+ 2ax + 2) e −
(x
= ln( x +
+
2
a
2
ax
))
1
=
(x
2
+
a
2
)
1 2
x
= a
2
=
2
4
1
2
dx 2
1
= −
2
−
x
2
dx
∫ ∫
2
2
= ln sec
x
2
m+1
(x
2
+
a
2
)
1 2
ln x 1 − 2 ( m + 1) m + 1
∫ xsinxdx = sinx − x cos x ∫ x cos xdx = cos x + xsinx ∫ ∫
e
e
ax
ax
sin( nx )dx
=
cos( nx ) dx =
e
ax
( asin( nx ) − a
e
ax
+
2
n
n
( nsin( nx ) + a
2
+
cos( nx ))
2
a
n
cos( nx ))
2
169
