Trabajos Prácticos FISICA I Docentes: Docent es: Ing Ing . Ge Genaro naro Ma Mang ng ini – Ing. Alb erto Perez – Ing . María María del Carmen Venecia
COMISIONE COMI SIONES: S: 1K2 1K 2 – 1K4 – 1K 6 – 1K9 – 1k10 1k 10 - 1Q1 – 1R2 – 1S2 – 1M2
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL GUIA DE TRABAJOS PRACTICOS RECOPILADO POR ING. GUILLERMO BRITO
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Pág. 01
Introducción Anál An ális is is Dimens Dim ensio ional nal La dependencia entre una magnitud (unidad) derivada y las magnitudes (unidades) fundamentales se determina por la ecuación o fórmula dimensional, que representa un monomio formado por el producto de los símbolos de las magnitudes (unidades) fundamentales elevados ele vados a diversas potencias denominados dimensiones. Ejemplos: Si A: area
⇒ 2 ⇒ 3 2 ⇒ −3 ⇒ ⇒ el area se mide en
[ ]=
Si V: volumen
[ ]=
Si D: densidad =
[ ]=
=
la densidad se mide en
Sistema Internaci onal de Unidades Unid ades (S.I (S.I.) .)
Formulas dimension ales ales básicas
22 3 −1 −1 [ [ [ [ [ [
]= [ ]= [
]= [
][
]= [
]= .
][
]=
]= ]=1
=
]=
.
=
[
]
[
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[
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[
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¡
=
=
=
−3 �3
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Introducción Anál An ális is is Dimens Dim ensio ional nal La dependencia entre una magnitud (unidad) derivada y las magnitudes (unidades) fundamentales se determina por la ecuación o fórmula dimensional, que representa un monomio formado por el producto de los símbolos de las magnitudes (unidades) fundamentales elevados ele vados a diversas potencias denominados dimensiones. Ejemplos: Si A: area
⇒ 2 ⇒ 3 2 ⇒ −3 ⇒ ⇒ el area se mide en
[ ]=
Si V: volumen
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Si D: densidad =
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Sistema Internaci onal de Unidades Unid ades (S.I (S.I.) .)
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−1 −2 −2−1 −2 2−2 2−2 −1−2 3 −3 −1 2 −1 [
]=
[
]=
]
[
]
[
]
[
]
[
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[
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1
=
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][
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=
=
Canti Cantidades dades Fisicas Fisic as Deriv Derivadas adas Las unidades derivadas del SI se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de productos de potencias de las unidades SI básicas o suplementarias, con coeficiente igual a la unidad. Ejemplos de unidades derivadas del SI definidas a partir de las unidades básicas y suplementarias: •
•
•
•
Superficie: la unidad es el metro cuadrado, que que corresponde a un cuadrado de un metro de lado. Volumen: la unidad unidad es el metro metro cúbico, que es el volumen de un cubo de un metro de arista. Velocidad: su unidad es el metro metro por segundo, que es la velocidad de un cuerpo que, con movimiento uniforme, recorre un metro en un segundo. Aceleración: tiene tiene por unidad el metro por segundo segundo al cuadrado, que que es la aceleración de un objeto en movimiento uniformemente variado, cuya velocidad varía, cada segundo, 1 m/s.
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Notación Científica Como resultado de los cálculos científicos, a veces aparecen magnitudes físicas que toman valores muy grandes o por el contrario, surgen valores de medidas que, al ser comparadas con la unidad patrón, toman un valor muy pequeño. Para expresar el valor numérico de dichas magnitudes se utiliza la notación científica. En el manejo de la notación científica se emplean las cifras significativas y las potencias de 10. Para escribir una cantidad utilizando la notación científica, se ubican las cifras significativas con una parte entera (comprendida entre 1 y 9) y otra parte decimal, multiplicada por la correspondiente potencia de 10. Por ejemplo, la masa de un electrón es 9.1×10 , mientras que la masa de la Tierra es 6.0×10 . Por medio de la notación científica se pueden comparar los valores que toma una magnitud física en forma sencilla.
−31
24
Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero comas) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal. Ejemplos:
2
732,5051 = 7,325051×10 (se movió la coma decimal dos lugares hacia la izquierda)
−3
0,005612 = 5,612×10 (se movió la coma decimal tres lugares hacia la derecha).
Operaciones con Notación Científica Suma y resta: Para sumar o restar números en notación científica es necesario que todas las potencias de 10 tengan el mismo exponente en todos los sumandos. Cuando esto es así se suman o se restan los coeficientes y se deja la misma potencia. 3×10
−3
−2
+ 9,8×10
−2
= 0,3×10
−2
+ 9,8×10
−2
= 10,1×10
−1
= 1,01×10
Multiplicación: Para multiplicar números en notación científica se multiplican los números ya sean enteros o decimales. Las potencias de 10 se suman los exponentes.
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6
5
6+5
(2×10 )×(5,3×10 ) = 2×5,3×10
11
= 10,6×10
12
= 1,06×10
División: Al igual que en la multiplicación se procede de la misma forma
8
(2,4×10 ) ÷ (2×10
−2
) = (2,4 ÷ 2)×10
8− −2 (
)
8+2
= 1,2×10
10
= 1,2×10
Potencia: Para elevar un número expresado en notación científica el número lo elevamos a la potencia indicada y el exponente del número expresado en notación científica lo multiplicamos por el exponente al que está elevado dicho número expresado en notación científica.
32 2 32
(4×10 ) = 4 ×10
×
6
7
= 16×10 = 1,6×10
Radicación: Para obtener la raíz de un número expresado en notación científica, le extraemos la raíz al número y el exponente lo dividimos entre el índice n de la raíz.
12 √
27×10
=
27×10
123
4
= 3×10
Prefijos Numéricos y sus Símbolos Todas las unidades de medida que forman el SI tienen múltiplos y submúltiplos y para señalar estos se les antepone el símbolo numérico de un prefijo. Este es una letra que indica un número que es múltiplo o submúltiplo de 10.
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Conversión de Unidades Como las unidades de diferentes sistemas, o incluso diferentes unidades dentro del mismo sistema, pueden expresar la misma cantidad, a veces es necesario convertir las unidades de una cantidad a otra unidad. Matemáticamente, si queremos cambiar de unidades, usamos factores de conversión, que son enunciados de equivalencia, esto facilita la conversión de una cantidad de un conjunto de unidades a otro. Por ejemplo, al indicar que 1 min = 60 s, no queremos decir que el número 1 sea igual al número 60, sino que 1 min representa el mismo intervalo de tiempo que 60 s. Por ello, el cociente (1 min) / (60 s) es igual a 1, lo mismo que su recíproco (60 s) / (1 min). Equivalencias más usuales: 1 1 1 1 1 1 1
ℎ = 1000
= 1000
= 3600
= 86400
= 2.54
= 30.48
= 1609
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Pág. 06 Ejemplos:
Convertir 2 pulgadas cubicas a centímetros cúbicos
3 ⁄ �ℎ 2
Convertir 10
×
3 3 33 3 3 ℎ ℎ
2.54 1
10
= 1.84×(2.54 ) ×
×
1
1000
×
3600 1
= 36
= 30.2
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Trabajo Practico Nº1 1) Realice las operaciones que se indican a continuación a- 8.20×10 + 5.4×10 b- 3.72×10 2.65×10 2) Antes de efectuar las siguientes operaciones exprese los números en notación de potencias de 10.
8 4 −4 −2
� � −3 −1 8 2 −3
a- 700 0.0035 b- 0.052×0.0084 420 3) ¿Cuáles de las igualdades siguientes presentan el resultado expresado correctamente? a- 1.5×10 ×2×10 = 3×10 b- 3.41×10 5.2×10 = 3.41×10 c- 1.701×2×10 = 3.4×10 d- 9.2×10 ÷ 3×10 = 3.1×10
5
2
−4
−3
8
3
3 2 3 √ −6 −5 8
4) Indique el resultado de l siguiente operación 10 ×(10 ) × 10
5
10
5) La distancia media del Sol a la Tierra es de 1.496×10 y de la Tierra a la Luna de . Cuando estos tres estan alineados y la Tierra en medio de los dos, ¿la 3.84×10 distancia del Sol a la Luna será?
12 2 2 1 2 1 2 2 1 2 − − 2 21 2 1 2
6) La formula de la Energía Cinetica es
hallar su ecuacion dimensional
=
7) La energía de un choque es
= (1
Donde
=
)
(
)
+
2
Calcular su ecuación dimensional
8) Un cuerpo se mueve, y su trayectoria está definida por : =
2 (sin
+
cos )
Donde = ; = ; = ; = 9) Hallar las dimensiones de x para que la expresion sea dimensionalmente correcta: = sin 30°( +
)
Donde , , = ; = 10) ¿Cuál es la altura en centímetros de una mujer que mide 5 pies y 6 pulgadas? 11) Un campo de fútbol soccer mide 100 m de largo y 60 m de ancho. ¿Cuáles son la longitud y el ancho del campo en pies?
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL 12) La densidad del plomo es 11.3 g/cm³. ¿Cuál es su equivalencia en kilogramos por metro cúbico? 13) ¿Cuántos años más viejo será usted dentro de mil millones de segundos? (Suponga que un año tiene 365 días.) 14) Según la etiqueta de un frasco de aderezo para ensalada, el volumen del contenido es 0.473 litros (L). Use sólo las conversiones 1 L = 1,000 cm³ y 1 pulgada = 2.54 cm para expresar dicho volumen en pulgadas cúbicas. 15) ¿Cuántos nanosegundos tarda la luz en viajar 1 pie en el vacío? (velocidad de la luz 300000 m/s)
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Analisis Vectorial Cantidades Vectoriales y Escalares Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud que consta de un número y una unidad. Por ejemplo, rapidez (15 mi/h), distancia (12 km) y volumen (200 cm³). Una cantidad vectorial se especifica totalmente por una magnitud y una dirección. Consiste en un número, una unidad y una dirección. Por ejemplo, desplazamiento (20 m, N) y velocidad (40 mi/h, 30° NO).
Vector Es un segmento de recta orientado (flecha), que nos permite representar gráficamente a una magnitud vectorial. Los elementos de un vector son: a) Origen: Es el punto donde se aplica el vector, también se le llama punto de partida. b) Dirección: Es la recta que contiene al vector. Se define por el ángulo θ medido en sentido antihorario, también es llamada línea de acción. c) Sentido: Es la característica del vector que nos indica hacia dónde se dirige. Se le representa por una saeta o sagita. d) Módulo: Llamado también intensidad, medida, norma, viene a ser el valor de la magnitud vectorial representada. También es el valor absoluto del vector.
Tipos de vectores Vectores Colineales: Son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de acción.
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Vectores Concurrentes: Son aquellos vectores cuyas líneas de acción, se cortan en un solo punto. Vectores Iguales: Son aquellos vectores que tienen la misma intensidad, dirección y sentido. Vector Opuesto: Se llama vector opuesto de un vector cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentido contrario.
Operaciones con Vectores Suma de vectores Colineales: La suma se realiza algebraicamente, teniendo en consideración los signos (sentido hacia la derecha o hacia la izquierda).
⃗ ⃗ ⃗ ⇒ ⇒ ℎ ℎ ⃗ ⇒ ⇒ ℎ
Donde
= 4;
= 3;
=
+
=
=2
+
+
= 4 + ( 3) + 2
= +3
= ( 3) + 2
=
1
Suma de dos vectores (método del paralelogramo): Se construye un paralelogramo, trazando por el extremo de cada vector una paralela al otro. El módulo del vector resultante se obtiene trazando la diagonal desde el origen de los vectores. El módulo del vector resultante R se determina con la fórmula:
2 2 2 =
Donde =
=
+
+2
cos
=
;
;
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Caso particular: Cuando dos vectores forman ángulo recto (90°)
2 2 2 =
+
Ejemplo: ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de 3 N y 5 N para que actúen sobre un cuerpo como una sola fuerza de 7 N?
2 2 2 2 2 2 ⇒ ⇒ ⇒ =
+
+2
cos
7 = 3 + 5 + 2(3)(5) cos
15 = 30 c os
cos
=
15 30
=
1 2
49 = 9 + 25 + 30 cos = 60°
⇒
Método del triángulo para sumar dos vectores: El vector resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del segundo vector. Aplicando la ley del teorema del seno, se obtiene:
sin
=
sin
=
sin
Método d el polígono p ara sumar dos o más vectores: El vector resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.
Descomposici ón Rectangular Consiste en escribir un vector en función de dos componentes que forman entre sí un ángulo recto.
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Componente del vector A en el eje X: Ax = A cosθ
•
Componente del vector A en el eje Y: Ay = A senθ
Para determinar la resultante de un sistema de vectores, por este método, se sigue los pasos: I. II.
III. IV.
Cada vector se descompone rectangularmente, respecto de un sistema de ejes coordenados. Se determina la resultante en cada eje cartesiano: : resultante en el eje X : resultante en el eje Y
2 2 2
El módulo del vector resultante se halla aplicando el teorema de Pitágoras: = + La dirección del vector resultante, respecto del eje X, se determina
mediante la función tangente: tan = Propiedad
Vectores unitario s cartesianos: Son aquellos vectores cuyo módulo es la unidad de medida y se encuentran en los ejes coordenados cartesianos X e Y.
⃗ ⃗ ⊥ ⃗ ⃗ | | = | | = 1; =
=
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Los vectores se pueden escribir en función de los vectores unitarios cartesianos.
⃗
= (8 ; 6) = 8 + 6
Vectores unitarios cartesianos en el espacio: El vector unitario es aquel que tiene como módulo o tamaño la unidad de medida. Los vectores cartesianos son:
⃗⃗ ⃗⃗ =
ó
=
ó
=
ó
=
ó
=
ó
=
ó
El modulo de cada vector unitario es igual a la unidad. Los tres vectores unitarios son mutuamente perpendiculares. En el espacio tridimensional el vector tres componentes, =
+
+
Vector unitario direccional: Cada vector tiene su respectivo vector unitario. El vector unitario es paralelo a su respectivo vector de origen.
⃗ ⇒ ⃗ 2 2 2 √ ⃗ ⇒ ⃗ ⇒ =
| |
= | |
Ejemplo: Determine el vector unitario del vector: | |=
3 + 4 + 12 =
=
=
| |
169 = 13
3 + 4 + 12 13
= 3 + 4 + 12
=
3
13
+
4
13
+
12 13
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Producto Escalar
⃗ ⃗ ≤ ≤ ⃗
⃗
Dados los vectores , su producto escalar o punto se representa por . y se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman, esto es: .
= | | | | cos
= | | | | cos
0
Debemos enfatizar que . es un número real (positivo, negativo o nulo) y no un vector. Dados los vectores:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ =
+
+
=
+
+
.
=
+
+
Propiedades:
Propiedad conmutativa: .
=
Propiedad distributiva: .
+
.
=
.
+
.
Vectores paralelos: . = . = . = 1 Vectoers ortogonales: . = . = . = 0 Si .
= 0 y ninguno de los vectores es nulo, entonces ambos vectores son perpendiculares
Producto Vectorial
⃗ ⃗
Dados los vectores
⃗ ⃗
, su producto vectorial o externo se
representa por otro vector , que se denota como = × . Su módulo se define como el producto de sus módulos por el seno del ángulo que forman entre sí, esto es:
⃗ ≤ ≤ ⃗ ⃗ ⃗ ×
= | | | | sin
0
⃗
Debemos enfatizar que es perpendicular al plano formado por los vectores
⃗
.
Regla de la mano derecha: los dedos giran desde la dirección del vector hacia la dirección del vector y el dedo pulgar coincide con el vector . En la figura el ángulo θ gira en el sentido desde hacia .
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Propiedades:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⇒ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ � Si ×
= 0 entonces los vectores tienen la misma direccion o son paralelos.
Anticonmutotivo ×
=
×
Propiedad distributiva ×
+
=
×
+
×
Vectores paralelos: × = × = × = 0 Vectores ortogonales: × = ; × = ; × = Dados los vectores: =
+
+
=
+
+
Entonces se cumple que:
×
=
×
=
=
+
(
) +
El area del paralelogramo formado por los vectores es el producto vectorial ×
El area de la region triangular formado por los vectores es
×
2
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Trabajo Practico Nº 2 1) Una pequeña lancha atraviesa un rio de 50 metros de ancho; al mismo tiempo la corriente le arrastra 60 metros. ¿Qué camino ha recorrido? 2) Un nadador recorre 100 metros en 2 minutos. Va a nadar en un rio observando antes de lanzarse al agua, que un trozo de corcho flota en ella recorre en 1 minuto 20 metros. Calcular el tiempo que tardara el nadador en recorrer 100 metros en el rio, según vaya a favor o en contra de la corriente. 3) Deseamos volar en un avión a 500 km/h hacia el este, la velocidad del viento es 80 km/h. ¿Cuál debe ser la velocidad y rumbo de nuestro avión? A) Si el viento sopla hacia el sur; B) Si el viento sopla hacia el sureste; C) Si el viento sopla hacia el suroeste.
⃗ ⃗2 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
4) Hallar el producto escalar de dos vectores
en los siguientes casos: a)
coinciden en dirección y sentido; b) el ángulo que forman
es de 60°; c)
son perpendiculares entre si; d) forman un ángulo igual a 120°; e) son de la misma dirección y sentido contrario. 5) Determinar el módulo, la dirección y el sentido del producto vectorial de dos vectores en los siguientes casos: a)
que forman forman
coinciden en dirección y sentido; b) en ángulo
es de 30°; c)
es de 150 °; e)
son perpendiculares entre si; d) el ángulo que
son de la misma dirección y sentido contrario.
6) Los vectores (3,1, 5) y (2, 6,3) forman entre si un ángulo de 111,3°. Deducir el módulo de su producto vectorial: a) a partir de la definición; b) resolviendo el determinante. 7) ¿Para qué valores de x el vector 8)
, 3 , ( + 5) es perpendicular al vector
Hallar un vector que sea perpendicular a los vectores
= 4 + 3 + 2 y
(2,1,4)?
=3 +2 +
2 , tal que su módulo sea igual a seis.
9) Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son:
= 5 + 4 + 7 y
= +
.
10) Comprobar que los siguientes vectores: 4 forman un triángulo rectángulo.
=3 +2
,
=
+3
5 y
=2
+
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Estática Concepto de fuerza Se llama fuerza a la magnitud vectorial que sirve de medida de la acción mecánica que sobre el cuerpo (A) considerado, ejercen otros cuerpos. La interacción mecánica puede efectuarse tanto entre cuerpos en contacto directo (por ejemplo, en el rozamiento o cuando los cuerpos presionan entre sí), como entre cuerpos separados unos de otros (por ejemplo entre la Tierra y la Luna).
Una fuerza F está totalmente definida si se dan su módulo, su dirección en el espacio, sentido y su punto de aplicación. La recta a lo largo de la cual está dirigida la fuerza, se llama línea de acción de la fuerza.
Fuerzas Internas Es aquella fuerza generada internamente en un cuerpo(cable, soga, barra) cuando tratamos de estirarlo.
Si el peso de la cuerda es despreciable, la tensión T tiene el mismo valor en todos los puntos. Para graficar la tensión T se realiza previamente un corte imaginario. El vector tensión apunta a la línea de corte. Compresión Es aquella fuerza interna que se opone a la deformación por aplastamiento de los cuerpos rígidos (barras). Para graficar la compresión C se realiza previamente un corte imaginario. Se
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caracteriza por alejarse de la línea de corte. Si el peso es despreciable del cuerpo rígido (barra), la compresión es colineal con el cuerpo y tiene el mismo valor en todos los puntos.
Fuerza Elástica Es aquella fuerza interna manifiesta en los cuerposelásticos o deformables, tales como los resortes.La fuerza elástica se opone a la deformación longitudinal por compresión o alargamiento, haciendo que el resorte recupere su dimensión original. Importante A mayor fuerza, mayor deformación del resorte.
Ley de Hooke La fuerza generada en el resorte es directamente proporcionala la deformación longitudinal.
=
=
=
=
( )
ó
( )
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Leyes de Newton 1º Ley de Newton – Principio de Inercia En ausencia de la acción de fuerzas, un cuerpo en reposo continuará en reposo, y uno en movimiento se moverá en línea recta y con velocidad constante. 2º Ley de Newton – Ley de Aceleración La aceleración que un cuerpo adquiere es directamente proporcional a la resultante de las fuerzas que actúan en él, y tiene la misma dirección y el mismo sentido que dicha resultante.
ó =
3º Ley de Newton – Ley de acción y reacción
Cuando un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B, éste reacciona sobre A con una fuerza de la misma magnitud, misma dirección y de sentido contrario.
2
1
La figura muestra un bloque sobre una mesa, donde es la acción del bloque sobre la mesa y es la fuerza de reacción de la mesa sobre el bloque. Las fuerzas de acción y reacción actúan en cuerpos diferentes.
Primera Condición de Equilibrio Un cuerpo se mantiene en equilibrio, cuando la fuerza resultante aplicada al cuerpo es igual a cero. Un cuerpo está en equilibrio cuando carece de todo tipo de aceleración.
=0
=0
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Diagrama de Cuerpo Libre Consiste en aislar imaginariamente uno o más cuerpos del sistema en estudio, donde se grafican todas las fuerzas externas que actúan sobre la parte aislada. Las fuerzas internas se cancelan entre sí, siempre. Ejemplos: Realizar el diagrama del cuerpo libre, de cada cuerpo (esfera, barra, nudo, bloque) en los sistemas mostrados en equilibrio.
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Sistema Físico: Es aquel conjunto de cuerpos considerados en estudio, elegidos arbitrariamente. Consideremos nuestro sistema físico las esferas A y B, y realicemos el diagrama de cuerpo libre.
Momento de una Fuerza El efecto rotatorio de una fuerza se caracteriza por su momento o torque. El momento de una fuerza, es una magnitud vectorial y tiene los siguientes elementos: Modulo: Es igual al producto de la fuerza F, por la distancia trazada desde el centro de giro A, perpendicularmente a la línea de acción de la fuerza.
=
;
Dirección: Es perpendicular al plano de rotación, determinado por la línea de acción de la fuerza y el centro de giro. Sentido: Se determina aplicando la Regla de la Mano Derecha, los dedos indican el sentido de giro y el pulgar el sentido del vector momento de una fuerza. Tiene la misma dirección y sentido de la velocidad angular. Signo: El momento es positivo si el giro es antihorario (+) y negativo si el giro es horario (-).
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Giro horario, el momento es negativo
=
Giro antihorario, el momento es positivo
= +
Si la línea de acción de la fuerza pasa por el centro de giro, entonces el momento es nulo = 0
Equilibrio de un cuerpo Rigido Cuando las fuerzas están actuando sobre un cuerpo rígido (por ejemplo: una puerta, ventana, barra) es necesario considerar el equilibrio en relación a la traslación (desplazamiento), como a la rotación (giro), por lo tanto, se requiere las siguientes condiciones: Primera condición (Equilibrio de traslación) La suma de todas las fuerzas debe ser cero.
Σ Σ =0
=0
Segunda condición (Equilibrio de rotación) La suma de momentos respecto a cualquier punto debe ser cero.
Σ
=0
Fórmula g eneral: Si la fuerza F forma un ángulo agudo θ con la barra, entonces el m omento producido es: = sin d: distancia del centro de giro de A hasta el punto de aplicación B.
Pág. 23
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Cupla o Par de Fuerzas Es un sistema de dos fuerzas, que tienen el mismo módulo, rectas de acción paralelas y sentidos opuestos. El momento producido por una cupla es igual al producto de una de las fuerzas por la distancia entre sus líneas de acción.
=
El momento producido por una cupla es igual respecto a cualquier punto. La fuerza resultante de una cupla es igual a cero, esto significa que no produce traslación, solo rotación. TÉRMINOS IMPORTANTES Equilibrio mecánico: Estado de un objeto o sistema de objetos en el cual no hay cambios de movimiento. De acuerdo con la primera ley de Newton, si están en reposo, persiste el estado de reposo. Si están en movimiento, el movimiento continúa sin cambiar. Fuerza: En el sentido más simple, un empuje o un tirón. Es Una Magnitud Vectorial que mide el grado de intensidad de una interacción. Inercia: La propiedad de las cosas de resistir cambios de movimiento. Primera ley de Newton del movimiento (ley de la inercia): Todo objeto continúa en su estado de reposo, o de movimiento uniforme en línea recta, a menos que sea obligado a cambiar ese estado por fuerzas que actúen sobre él. Regla del equilibrio: En cualquier objeto o sistema de objetos en equilibrio, la suma de las fuerzas que actúan es igual a cero. En forma de ecuación. Momento de una fuerza: Es una magnitud vectorial que mide el efecto de giro o rotación que puede originar una fuerza aplicada a un cuerpo. Fuerza externa al si stema: Es aquella fuerza que actúa sobre el sistema debido a la interacción del sistema con cuerpos o partículas externas al sistema.
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Fuerza interna al sistema: Es aquella fuerza debido a la interacción de cuerpos o partículas considerados dentro del sistema físico. La sumatoria de todas las fuerzas internas siempre es igual a cero.
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Trabajo Práctico Nº 3 1) La figura muestra un bloque de peso W = 10N, en equilibrio. Si el peso de cada polea es P = 2N, determinar la lectura en el dinamómetro "D” instalado en el cable. 2) Los bloques A y B se encuentran en equilibrio en la posición mostrada. Si se retira lentamente el bloque A de peso 20N, ¿Que distancia ascenderá el bloque B? Constante elástica del resorte. K = 100 N/m 3) Se tiene un sistema de dos bloques como muestra la figura. El peso del bloque A, excede al peso del bloque B en 6N. Determinar la fuerza de Reacción entre los bloques A y B.
4) Calcular la tensión en cada de la figura, sabiendo que es el peso del cuerpo suspendido es 1000 N.
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL 5) Una escalera uniforme, de 10 metros de longitud y 600 N de peso, con su centro de gravedad en el punto medio, se encuentra en equilibrio con un extremo en A, sobre el suelo áspero y el otro en B, a 8 metros sobre el suelo, y apoyado sobre una pared vertical sin rozamiento. Se pide calcular las reacciones de la pared y del suelo, así como sus direcciones. 6) Las bisagras A y B de una puerta de 500 N de peso distan entre si 2 metros y la anchura de la puerta es de 1 metro. Sabiendo que todo el peso de la puerta lo soporta la bisagra superior, se desean saber los valores de las fuerzas ejercidas sobre la puerta en sus bisagras. 7) Una varilla de vidrio de sección uniforme y longitud 2L se apoya sobre el fondo y el borde de una capsula de porcelana de forma semiesférica de radio R (L < 2R). Determinar el ángulo α que formara la
varilla con la horizontal en la posición de equilibrio. 8) Dos esferas, ambas radios R y peso 20 N de peso, quedan en equilibrio en la posición que indica la figura, de manera que la línea que une sus centros forma un ángulo de 30° con la horizontal. Calcular las fuerzas que ejercen las esferas en los apoyos A, B y C. 9) El sistema físico mostrado en la figura consta de una barra AB uniforme y homogénea de 200 N de peso y 2 m de longitud cuyo extremo lleva soldado una esterilla metálica de 500 N de peso. Si el sistema se encuentra en equilibrio en la posición indicada por acción del resorte cuya longitud natural es de 0,8m, determinar la constante elasticidad del resorte. M es punto medio de AB.
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL 10) La figura muestra una estructura en forma de "T" de peso despreciable. En los extremos de la estructura se encuentran soldados dos esferas de pesos 14N y 17N respectivamente. Determinar el valor del ángulo " θ " que
define la posición de equilibrio. 11) Una barra homogénea de 100cm. es doblada en un ángulo recto tal que AB = 40cm. y BC = 60cm. Calcular la distancia "x" del cual debe sostener, para mantener el lado AB en posición horizontal.
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Cinematica Estudia el fenómeno del movimiento independientemente de las fuerzas que lo produce. Se considera en este curso solo el movimiento en una dimensión, esto es el movimiento de un objeto a lo largo de una línea recta. Se analizará los cambios de movimiento, rapidez y aceleración.
Distancia En nuestro entorno vemos muchos casos de movimiento. Pero ¿qué es movimiento? Esta pregunta parece sencilla; sin embargo, podríamos tener problemas para dar una respuesta inmediata (y no se vale usar formas del verbo “mover” para describir el movimiento). Después de reflexionarlo un poco, seguramente se llegará a la conclusión de que el movimiento (o moverse) implica un cambio de posición. El movimiento puede describirse en parte especificando qué tan lejos viaja algo al cambiar de posición; es decir, qué distancia recorre. Distancia es simplemente la longitud total del trayecto recorrido al moverse de un lugar a otro. En general, la distancia entre dos puntos depende del camino seguido. La distancia es una cantidad escalar, que es una cantidad que sólo tiene magnitud, o tamaño. Es decir, un escalar sólo tiene un valor numérico, como 160 km. La distancia únicamente nos indica la magnitud: qué tan lejos, pero no qué tan lejos en alguna dirección.
Rapidez Cuando algo se mueve, su posición cambia con el tiempo. Es decir, el objeto se mueve cierta distancia en cierto tiempo. Por consiguiente, tanto la longitud como el tiempo son cantidades importantes para describir el movimiento. Esta relación longitud-tiempo puede expresarse utilizando la razón a la cual se recorre la distancia, es decir, la rapidez. Rapidez media es la distancia recorrida; es decir, la longitud real del camino dividida entre el tiempo total que tomó recorrer esa distancia:
∆ 2 1 =
=
=
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL La unidad estándar de rapidez en el SI es metros por segundo (m/s, longitud/tiempo), aunque en muchas aplicaciones cotidianas se usa kilómetros por hora (km/h). La unidad inglesa estándar es pies por segundo (ft/s), pero con frecuencia también se usa millas por hora (mi/h).
1 ∆ 2 1 ⇒
A menudo el tiempo inicial que se toma es cero, =
=
=
= 0 de manera que la ecuación queda
0
=
Puesto que la distancia es un escalar (igual que el tiempo), la rapidez también es un escalar. La distancia no tiene que ser en línea recta. Rapidez Instantánea es una cantidad que nos indica qué tan rápido se está moviendo algo en un instante dado. El velocímetro de un automóvil da una rapidez instantánea aproximada. Si el automóvil viaja con rapidez constante (de manera que la lectura del velocímetro no cambie), la rapidez media y la instantánea serán iguales.
Desplazamiento unidimensional y velocidad cantidades vectoriales Como ya vimos, la distancia es una cantidad escalar que sólo tiene magnitud (y unidades). Sin embargo, al describir un movimiento podemos dar más información si especificamos una dirección. Esta información es especialmente sencilla cuando el cambio de posición es en línea recta. Definimos desplazamiento como la distancia en línea recta entre dos puntos, junto con la dirección del punto de partida a la posición final. A diferencia de la distancia (un escalar), el desplazamiento puede tener valores positivos o negativos, donde el signo indica la dirección a lo largo del eje de coordenadas. Por lo tanto, el desplazamiento es una cantidad vectorial. En otras palabras, un vector tiene tanto magnitud como dirección. Por ejemplo, cuando describimos el desplazamiento de un avión como 25 kilómetros al norte, estamos dando una descripción vectorial (magnitud y dirección). Otras cantidades vectoriales son velocidad y aceleración.
1 2 ∆ 2 1
Para especificar desplazamiento (un vector) entre =
, usamos la expresión
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Tomemos un ejemplo de un estudiante que se mueve de su aula al laboratorio de física, como puede verse en la figura es un movimiento recto. La distancia que recorrió es 8 metros para calcular el desplazamiento utilizamos la expresión
∆ 2 1 =
El resultado nos indica que se mueve en el sentido positivo de la recta (derecha), si tendríamos un valor negativo, el alumno estaría caminado en sentido contrario. Supongamos que la otra estudiante de la figura camina desde el laboratorio hasta el aula, su desplazamiento será:
∆ 1 2 =
= 1.0
9.0
=
8
El signo menos indica que la dirección del desplazamiento es en el sentido negativo de la recta (izquierda). En este caso decimos que los desplazamientos de ambos estudiantes son iguales (en magnitud) y opuestos (en dirección).
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL VELOCIDAD Otra cantidad que se usa para describir mejor el movimiento es la velocidad. En la conversación cotidiana, solemos usar los términos rapidez y velocidad como sinónimos; sin embargo, en física tienen distinto significado. La rapidez es un escalar y la velocidad es un vector: tiene magnitud y dirección. La velocidad nos dice qué tan rápidamente se está moviendo algo y en qué dirección se está moviendo. Así como podemos hablar de rapidez media e instantánea, tenemos velocidades media e instantánea que implican desplazamientos vectoriales. Podemos definir velocidad como aquella magnitud física vectorial que expresa la rapidez de cambio de posición de un móvil, evaluada en un i ntervalo de tiempo. La velocidad media se evalúa entre dos puntos de la trayectoria, para un movimiento unidimensional en el eje x se expresa como el desplazamiento dividido entre el tiempo total de recorrido.
∆∆ 22 11 =
=
=
La unidad con que se mide la velocidad en el SI es metro por segundo (m/s). Otra forma de expresar la ecuación anterior es:
∆∆ 22 11 ⇒ =
=
=
;
=0
=
Veloci dad Instantánea Una forma de estudiar más de cerca el movimiento es considerando intervalos de tiempo más pequeños, es decir, haciendo que el tiempo de observación sea cada vez más pequeño. La velocidad instantánea describe qué tan rápidamente y en qué dirección se está moviendo algo en un momento específico.
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Movimiento Rectilineo Uniforme (MRU) Movimiento uniforme se refiere a un movimiento con velocidad constante (magnitud constante y dirección constante). Como ejemplo un automóvil tiene una velocidad uniforme. Recorre la misma distancia y experimenta el mismo desplazamiento en intervalos de tiempo iguales (50 km en cada hora), y no cambia la dirección de su movimiento. La posición para MRU se determina con la siguiente ecuación que se deduce de la anterior
=
+
Analis is Grafico MRU El análisis gráfico a menudo es útil para entender el movimiento y las cantidades relacionadas con él. OBTENCION GRAFICA VELOCIDAD EN FUNCION DEL TIEMPO v-t Muestra gráficamente la relación, entre la velocidad que tiene la partícula en cada instante de tiempo. En este movimiento la velocidad no varía con el tiempo. La distancia o espacio recorrido está representado por el area bajo la recta, se calcula multiplicando la base por la altura, donde la base es el tiempo recorrido y la altura la velocidad que lleva el movil.
∆ = ×
OBTENCION GRAFICA ESPACIO EN FUNCION DEL T IEMPO x-t Muestra gráficamente la relación, entre la posición de una partícula en cada instante de tiempo.
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La pendiente de la recta es igual a la velocidad de la partícula = tan . La recta corta el eje de ordenadas en un punto que nos da la posición inicial de la partícula.
∆∆ = tan
=
Pendiente negativa: Si la velocidad es negativa (tan θ < 0), entonces el móvil se desplaza en el sentido del eje -x.
Veloci dad n egativa: El área negativa -A, significa que el móvil se ha desplazado hacia la izquierda, en el sentido del eje -x.
Recorrido: El recorrido es igual a la suma del valor absoluto de las áreas, en el diagrama v-t
1 2 = |
|+ |
|
Aceleracion Supongamos que algo se está moviendo a velocidad constante y luego la velocidad cambia. Semejante cambio de velocidad se denomina aceleración. En un automóvil, llamamos acelerador al pedal de la gasolina. Cuando pisamos el acelerador, el automóvil aumenta su velocidad; si levantamos el pie, el automóvil baja la velocidad. En ambos casos, hay un cambio de velocidad con el tiempo.
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Entonces definimos aceleración como magnitud vectori al que mide la razón co n que cambia la velocidad del móvil en módulo y dirección.
∆∆ =
=
=
La unidad con que se mide la aceleración en el SI es metro por segundo cuadrado (m/s²). En el caso del movimiento rectilíneo, usaremos signos más y menos para indicar las direcciones de velocidad y aceleración, como hicimos con el desplazamiento lineal. La ecuación anterior puede simplificarse, tomando = 0, como:
=
Aceleraci ón instantánea: es análoga a la velocidad instantánea, es la aceleración en un instante específico.
Movimiento Rectilineo Uniformemente Variado (MRUV) En este tipo de movimiento la velocidad de la partícula cambia en módulo en cada instante, aumentando o disminuyendo progresivamente, con aceleración constante. El movimiento puede ser: Acelerado . Si la velocidad aumenta progresivamente el movimiento se denomina acelerado. La aceleración se representa por un vector que tiene la misma dirección y sentido de la velocidad, en las fórmulas tendrán signos iguales. Retardado. Si la velocidad disminuye progresivamente, el movimiento se denomina retardado. La aceleración se representa por un vector que tiene la misma dirección, pero sentido opuesto que la velocidad, en las fórmulas tendrán signos opuestos.
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SIGNOS DE LA VELOCIDAD Y ACELERACION
Posición de una partícula en el MRUV La posición de una partícula en el eje x, en el instante de tiempo t se obtiene con la siguiente fórmula:
2 =
=
+ ;
+
12 2 =
+
=
+
2
=
=
Ecuacio nes para MRUV
1
;
;
=
2 2 ∆ =
=
+2
+2
Analis is Grafico MRUV OBTENCION GRAFICA ESPACIO EN FUNCION DEL TIEMPO x-t
La curva es una parábola. La pendiente de la recta tangente trazada a la curva, es igual a la velocidad de ia partícula en el instante t. = tan
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL La curva corta al eje de ordenadas en un punto que nos da la posición inicial
.
θ
Movimiento retardado: La partícula tiene la siguiente ley de movimiento
2 =
1
+
2
Condición inicial del movimiento derecha hacia la izquierda. Casos particulares:
=0
+ hacia la
=
OBTENCION GRAFICA VELOCIDAD EN FUNCION DEL TIEMPO v-t La pendiente de la recta es igual a la aceleración de la partícula.
= tan
El área bajo la recta, es igual al espacio recorrido por la partícula, en un intervalo de tiempo.
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Aceleraci ón negati va: Condición inicial
Casos particulares:
+ hacia la derecha
=0
hacia la izquierda.
=
OBTENCION GRAFICA ACELERACION EN FUNCION DEL TIEMPO a-t La recta es paralela al eje temporal, significa que la aceleración es constante. El área bajo la recta, es igual al cambio de velocidad que experimenta la partícula en un intervalo de tiempo.
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Aceleraci ón negati va: la gráfica tiene la siguiente forma:
El área negativa (- A) significa que la velocidad está disminuyendo en módulo
<
.
Recorrido: Para hallar el recorrido por una partícula, en la gráfica v-t, es suficiente sumar el valor absoluto de las áreas.
1 2 = |
|+ |
|
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Trabajo Práctico Nº 4 MRU 1) Un móvil que va a 15 km / h llega a su destino a la hora "t". Si va a 10 km / h se demora 2 horas más. ¿A qué velocidad tiene que ir para llegar a la hora (t + 1h)? 2) Un auto viaja desde una ciudad A hasta otra B distante 2 km. empleando 50 segundos. En uno de los viajes (de A hacia B) después de 20 segundos de haber iniciado su movimiento sufre un desperfecto que lo obliga a detenerse 15 segundos. ¿Cuál debe ser el módulo de la velocidad con que debe continuar el viaje para que llegue a B sin ningún retraso? 3) Dos automóviles A y B se desplazan en una misma carretera. El gráfico muestra la posición de cada uno en relación al comienzo de la carretera y en función del tiempo. Hallar la ecuación de la posición de los móviles A y B. 4) Se tiene 2 velas (1) y (2) de tamaños iguales, las cuales tienen una duración de T1 = 4 horas y T2 = 3 horas, emitiendo energía luminosa. Si las velas empiezan a emitir luz al mismo instante. ¿Después de cuánto tiempo el tamaño de una de ellas es el doble que el de la otra? 5) ) Dos relojes electrónicos están separados 1020 m, cuando dan la hora, uno de ellos se adelanta 2 segundos. ¿A qué distancia del reloj adelantado una persona oirá a los dos relojes dar la hora al mismo instarte? Velocidad del sonido en el aire = 340 m/s. 6) Un automóvil se dirige de una ciudad A, a otra ciudad B, la mitad de su camino recorre con una velocidad de 30 km/h y la otra mitad a 70 km/h, en línea recta. Determinar la velocidad media del móvil entre A y B. 7) Un tren con MRU pasa por delante de un poste en 10 s y atraviesa íntegramente un túnel en 15 s. ¿En cuánto tiempo (en segundos) el tren cruzará otro túnel si el tamaño de este fuera el triple del primer túnel? 8) Una persona sale del punto A en auto a una velocidad de 12 km/h, llega al punto B y desea regresar. caminando a 4 km/h (siguiendo el mismo camino). Si todo el recorrido duró 6 h, ¿durante cuánto tiempo estuvo caminando?
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9) Dos móviles parten simultáneamente al encuentro, uno al otro, con velocidades de 30 y 20 km/h. Calcular la distancia que recorre cada móvil hasta el instante de su encuentro, si inicialmente estaban separados por 80 km. 10) Dos móviles parten simultáneamente de un mismo punto en la misma dirección y sentido, con velocidad constantes de 27 y 18 km/h. Después de 5 h de recorrido el de mayor velocidad se queda dormido (y se detiene), pero se despierta después de 5 h y continúa su viaje. ¿A qué distancia del punto de partida alcanza al otro?
MRUV 11) Un auto corre en una pista horizontal con una aceleración de 2 m/s², después de 5 s de pasar por un punto "P", posee una velocidad de 72 km/h. ¿Qué velocidad tenía el auto cuando le faltaban 9 m para llegar al punto "P"? 12) Un leopardo africano puede lograr desde el reposo una aceleración de 80 m/s². Si va a la caza de una gacela que puede lograr una aceleración de 4 m/s², y si ésta inicia la huida desde el reposo en el mismo instante en que el leopardo está a 18 metros de ella. ¿Cuánto tardará el leopardo en atrapar a la gacela?, ¿Cuánto habrá recorrido la gacela antes de ser atrapada?, ¿A qué velocidad correrá el leopardo antes de atrapar a la gacela? 13) Un perro se encuentra echado sobre el piso. A 32 m de él un motociclista arranca y sale del reposo (V = 0) con una aceleración constante a = 1 m/s². Determinar la mínima velocidad constante del perro, tal que puede alcanzar al motociclista. 14) La figura muestra, la gráfica a - t de una partícula que inicia su movimiento (t = 0) con una velocidad inicial de +9 m/s, en el eje X. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I) En el instante t = 2 s, la velocidad del móvil es cero (V = 0). II) En el intervalo de tiempo (2 ;3) segundos, el móvil se encuentra en reposo. III) En el instante t = 4 s, la velocidad del móvil es 3m/s. IV) En el instante t = 5 s. la velocidad del móvil es 6 m/s. 15) Un muchacho con su bicicleta se encuentra a 32 m de una motocicleta el cual arranca y sale del reposo con aceleración constante de 1,0 m/s2. Determinar la mínima
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL velocidad constante a la cual debe manejar su bicicleta, tal que pueda alcanzar al motociclista. 16) Con una rapidez de 5 m/s un móvil llega a su destino en un tiempo determinado. A 3 m/s se demora 6 s más. ¿Cuál será la rapidez que debe imprimir para llegar solo 2 s más tarde? 17) Dos partículas partiendo de reposo recorren la misma distancia con movimiento rectilíneo de aceleración constante. La aceleración de la primera es “a” y la segunda es “A”. Si la segunda partícula hace el recorrido en la mitad del tiempo empleado por la primera, la relación a/A es: 18) Un automovilista parte desde el reposo al inicio de la Ira. cuadra de una calle, e incrementa su velocidad a razón de 2 m/s en cada segundo. En la 2da. Cuadra mantiene su velocidad constante; y en la 3ra. cuadra desacelera a razón de 2 m/s². Determine el tiempo transcurrido para recorrer las tres cuadras mencionadas. Considere que cada cuadra mide 100 m de longitud. Así mismo, desprecie el espacio entre cuadra y cuadra. 19) Dos autos “A” y “B” parten simultáneamente con la misma rapidez V=20 m/s, pero en sentidos opuestos separados entre sí una distancia de 250 m. “A” lo hace con M.R.U. mientras “B” se mueve con a = - 4 m/s² • Determinar la distancia (en m) que los separa después de 3s del encuentro. 20) Un policía motorizado ve pasar frente a él, a un automóvil con una rapidez no permitida de 20 m/s; en ese instante inicia la persecución. Después de acelerar uniformemente durante 10 s alcanza su rapidez máxima de 30 m/s notándose que aún no lo alcanza. ¿Cuánto tiempo demora en alcanzarlo desde que inició su movimiento?
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Movimiento de Caida Libre y Tiro Vertical Entre los diversos movimientos que se producen en la naturaleza siempre ha habido interés en el estudio del movimiento de caída de los cuerpos próximos a la superficie de la Tierra. Cuando dejamos caer un objeto (por ejemplo, una piedra) desde cierta altura, podemos comprobar que, al caer, su velocidad aumenta, es decir, su movimiento es acelerado. Si lanzamos el objeto hacia arriba, su velocidad disminuye gradualmente hasta anularse en el punto más alto, o sea, el movimiento de subida (ascendente) es retardado. ATRACCION TERRESTRE La causa por la cual todos los cuerpos caen es por el hecho de que ellos se ven atraídos por la tierra. La intensidad de esta atracción se denomina "peso", y éste es mayor en los cuerpos que poseen mayor masa. ACEL ERACION DE L A GRAVEDAD (g ) Soltando una piedra sabemos que parte del reposo y que su rapidez va en aumento mientras cae. La piedra acelera mientras cae debido a la atracción terrestre. La aceleración que adquieren los cuerpos a causa de la atracción terrestre se llama aceleración de la gravedad Variación de la gravedad: La aceleración de la gravedad no es la misma en todos los lugares de la tierra; depende de la latitud y de la altura sobre el nivel del mar.” g” tiene un valor diferente en cada lugar de la Tierra. En los polos, debido el achatamiento de la Tierra, la aceleración de la gravedad alcanza su mayor valor. g = 9.83 m/s². En el Ecuador, a causa del ensanchamiento y rotación de la Tierra; alcanza su menor valor. g = 9.79 m/s². A la latitud 45°N y al nivel del mar se llama aceleración normal de la gravedad y vale: g = 9.81 m/s². PROPIEDADES I)
El tiempo de ascenso de cierta altura es igual al tiempo de descenso de la misma altura.
=
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II) En un punto de la trayectoria la velocidad de ascenso posee igual valor que la velocidad de descenso. = III) En la posición de altura máxima (H max) la velocidad es nula. IV) La caída libre vertical para alturas pequeñas viene a ser un MRUV y cumple sus mismas leyes. V) Si el cuerpo se deja inicialmente en libertad, la velocidad inicial es nula: = 0
ECUACIONES Son las mismas ecuaciones del MRUV, donde la aceleración es siempre la aceleración de la gravedad (g) y el espacio es h
ℎ 12 2 2 2 ℎ =
±
=
±
=
±2
Se toma (+) cuando baja y (-) cuando sube. ECUACIONES PARTICULARES
2
•
Altura máxima
•
Tiempo de ascenso máximo
•
Tiempo total de vuelo
=
=
2
DESLIZAMIENTO LIBRE EN EL PLANO INCLINADO En este caso el cuerpo se desliza ascendiendo o descendiendo sobre un plano inclinado sin fricción. Características: Es un MRUV, acelerado en el descenso, retardado en el ascenso. La aceleración es una componente rectangular de la aceleración de la gravedad.
=
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL CAIDA LIBRE VERTICAL EN SISTEMAS ACELERADOS
⃗
I) El observador A (Qué analiza el movimiento) tiene aceleración ( ). II) Para el observador, la piedra tiene una aceleración efectiva (g*) diferente a g.
Procedimiento
⃗ ∗
⃗
a) Halle la aceleración efectiva ( ) (agregue a " " la aceleración contraria del observador ( )). Para el ejemplo: Observe que el sentido de se invierte. b) Use las fórmulas de la caída libre vertical.
⃗
Analis is Grafico Mo vimiento Vertical Trazando tangente en los puntos A, B y C de la parábola se puede definir:
→→ ↑ → ↓ = tan
= tan 0°
= tan
ó cuando A
→
B el cuerpo sube,
→
(+)
=0
( )
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Trabajo Práctico Nº 5 1) Dos cuerpos iguales se encuentran a una altura de 20 m; uno se deja caer y simultáneamente e1 otro se lanza hacia abajo con una velocidad de 15 m/s. Calcular la diferencia de tiempo en llegar al piso. g = 1 0 m/s². 2) Dos piedras A y B están separadas por una distancia de 200 m, como indica la figura, se ponen simultáneamente en movimiento, la de arriba (A) se suelta y la de abajo (B) se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad Vb = 40m/s. ¿Al cabo de qué tiempo chocan las piedras? 3) Un cuerpo “A " se deja caer a partir del reposo desde una cierta altura y después de 2 segundos otro cuerpo “B " se lanza verticalmente hacia abajo desde el mismo lugar de donde se dejó caer "A “, con una velocidad inicial de 25 m/s. Hallar a qué distancia del nivel de lanzamiento se producirá el encuentro de los cuerpos. 4) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba, desde la superficie de la Tierra, con una cierta velocidad inicial "V" que permite alcanzar una altura máxima "H". Si dicha velocidad inicial se duplicara, su altura máxima aumentaría en 60 m. Hallar "H”. 5) Una pistola dispara un proyectil verticalmente hacia arriba, alcanzando una altura máxima H. Si el disparo se realiza en la Luna, cuya aceleración de la gravedad es la sexta parte de la aceleración de la gravedad de la Tierra ¿A qué altura llegará, considerando que la variación de la gravedad en nada influye en el funcionamiento de la pistola? 6) Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde el borde de un acantilado de 60 m de altura, con una rapidez inicial V_0. ¿Después de qué tiempo de haber sido lanzado el cuerpo está a una altura de 35 m acercándose a la Tierra con una rapidez 1,5V_0? 7) Una persona lanza un objeto con 15m/s tal como se muestra y cae en el punto "B" con una rapidez "V”. Determinar "V", si el "bus" se desplaza con velocidad constante de 2 m/s. 8) Determinar el tiempo que emplea el auto en deslizar desde "A" hacia “B”. (No hay fricción). 9) Un pasajero, que viaja horizontalmente en un tranvía suficientemente largo observa que un foco se desprende
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL del techo del tranvía y llega al piso en 2 s. Determinar la altura del tranvía, si en el momento de la caída del foco, disponía de una aceleración constante.
√
10) Dos paredes verticales distan 2 m. ¿Qué longitud debe tener la tabla lisa MN, tal que al dejar en libertad a un cuerpo en M, emplee el mínimo tiempo en llegar a N?
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Movimiento Relativo Relativo y Compuesto Hasta ahora hemos estudiado al movimiento de una partícula respecto de un solo sistema de referencia dado. Sin embargo, hay casos en los que es razonable, y a veces necesario, examinar el movimiento de una partícula simultáneamente respecto de dos sistemas de referencia, uno de los cuales se considera convencionalmente inmóvil i nmóvil (Tierra) y el otro se mueve de un modo determinado respecto del primero. Si el coche de ferrocarril tiene una velocidad v, = 10 m/s respecto de la tierra y el hombre se mueve con una velocidad de 4 m/s respecto de la plataforma del coche, entonces la velocidad del hombre respecto de la tierra es:
2 1 =
+4
= 10
+4
= 14
Si el hombre se mueve sobre la plataforma en sentido contrario al movimiento del ferrocarril, entonces su velocidad respecto de la tierra es:
2 1 =
4
= 10
4
=6
En ambos casos el hombre se mueve hacia la derecha respecto al observador ubicado en la tierra.
VELOCIDAD RELATIVA Consideremos dos carros A y B que se mueven en línea recta con velocidades de un observador fijo en la tierra.
y
respecto
La velocidad del carro A respecto de un observador ubicado en el carro B, es igual a la diferencia vectorial de sus velocidades respecto de la tierra.
=
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL LA TRAYECTORIA ES RELATIVA Consideremos el siguiente caso, un avión vuela horizontalmente con velocidad constante v, paralelamente y sobre un automóvil que viaja también con velocidad v, en cierto instante el piloto del avión apaga los motores, entonces el avión se encuentra en caída libre. Entonces, un hombre que se encuentra fijo en la tierra observa que la trayectoria que describe el avión es una parábola. Figura b. El piloto del avión, dice que está cayendo en línea vertical sobre el automóvil. Figura c.3. El piloto del automóvil, dice que el avión está cayendo verticalmente en dirección a él.
La posición de un cuerpo, recorrido, desplazamiento, trayectoria, velocidad y aceleración son relativas, dependen del sistema de referencia que se elige, por consiguiente, la verdad es relativa. Todo movimiento es relativo, depende del sistema de referencia que se elige. MOVIMIENTO COMPUESTO Es aquel movimiento que puede ser descrito como la composición o superposición de 2 o más movimientos simples. En todo movimiento compuesto se deben tener en cuenta: I) Aquellos movimientos mecánicos que dan como resultado un movimiento compuesto, se les llama movimientos componentes. II) La velocidad resultante del movimiento compuesto es igual a la suma vectorial de cada una de las velocidades componentes. III) La aceleración resultante es igual a la suma vectorial de cada una de las aceleraciones componentes.
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Cuando una persona nada de una orilla hacia la otra de un río, lo hace con movimiento compuesto.
=
+
PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS En todo movimiento compuesto, los movimientos componentes pueden ser analizado independientemente, uno del otro; existiendo como parámetro común a ambos; EL TIEMPO. Ejemplos: Consideremos un avión que vuela horizontalmente manteniendo una velocidad constante y que, en determinado instante, suelta un proyectil. Notamos que el proyectil y el avión avanzan horizontalmente de la misma manera, es decir: recorren en la horizontal, distancias iguales en intervalos de tiempos iguales. Por lo tanto: el piloto al observar o bservar al proyectil nota que éste se encuentra debajo de él y descendiendo. De lo observado, podemos concluir conclui r que, al despreciar los efectos del aire sobre el proyectil, éste experimenta un movimiento de caída libre. También debemos indicar que la l a trayectoria descrita por el proyectil es una curva conocida como "parábola"; debido a ello, al movimiento movi miento del proyectil se le denomina "movimiento "movi miento parabólico de caída libre"
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Ahora examinemos el movimiento de un proyectil lanzado horizontalmente desde un acantilado y de otro que se suelta del mismo nivel que el anterior. Notamos que ambos cuerpos descienden recorriendo las mismas distancias verticales en los mismos intervalos de tiempo; esto porque siempre se encuentran en el mismo nivel (misma altura). Si consideramos que ambos proyectiles se encuentran en las cercanías de la superficie terrestre, experimentan la aceleración de la gravedad, cuyo valor permanece constante y es g = 9,8 m/s², dirigida verticalmente hacia abajo (hacia el centro de la Tierra). De las observaciones planteadas en los párrafos anteriores, podemos concluir que: para un estudio más sencillo del movimiento parabólico de caída libre, se le puede considerar como la composición de dos movimientos simultáneos: En la horizontal: Como un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.), en donde la velocidad en la horizontal se mantiene constante. En la vertical: Como un movimiento vertical de caída libre (M.V.C.L) , en donde la aceleración que experimenta el cuerpo, se mantiene (g).
2 =
=
1 2
MOVIMIENTO PARAB OLICO Es aquel movimiento cuya trayectoria es una curva llamada parábola en donde la aceleración es constante. Si un cuerpo se lanza en forma inclinada o se lanza en forma horizontal y se mueve cerca de la tierra despreciando la resistencia del aire, realiza un movimiento parabólico de caída libre en donde su aceleración de la gravedad es constante. El Movimiento Parabólico puede ser descrito como un movimiento compuesto por: I) Un movimiento vertical de caída libre
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II) Un movimiento horizontal a velocidad constante(MRU). Lanzamiento d e Proyectiles La velocidad inicial es
= (
cos ;
sin )
La velocidad en c solo tiene componente horizontal =
cos
Por el principio de independencia se pueden analizar como MRU + MRUV ECUACIONES
2 2 2 =
+
1 2 2 ℎ ℎ 2 2 2 2 ⇒ 2 ⇒ 22 ⇒
Movimiento Horizontal
=
Movimiento vertical
=
cos
=
±
=
±2
)
0= (
sin )
=
Altu ra Máxima (Hmax) De
=
(
2
=
2
2
Tiempo d e Vuelo (T) De
=
±
(
)
sin
=
2
sin
=
sin
±
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Alcance Ho rizontal (D)
⇒ 2 2 2 ⇒ ⇒ =
cos
=
2
=
cos
2
sin cos
sin
=
sin2
=
sin 2 = 1
; tan
=
4
2 = 90°
= 45°
En un lanzamiento parabólico se comprueba que el máximo alcance horizontal se presenta cuando el ángulo de disparo es de 45°.
Además, si 2 cuerpos son lanzados con igual rapidez, con inclinaciones " α" y “θ” entonces tendrán el mismo alcance, si: + = 90°
Tiro Horizontal Horizontalmente Verticalmente
=
En “A” la velocidad inicial vertical es nula
ℎ 2 =
1 2
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Trabajo Práctico Nº 6 1) En la figura el campo gravitatorio se representa mediante líneas de fuerza. Se lanza una pelota perpendicular a la superficie con una velocidad Vi = 20 m/s. Hallar la altura máxima que alcanza la pelota respecto a la superficie. La intensidad del campo gravitatorio es: g = 1 0 m/s². 2) Las gotas de lluvia caen con una velocidad constante de 10 m/s formando un ángulo de 37° con la vertical. Hallar la velocidad con que debe moverse el hombre con sombrero de charro para mojarse lo menos posible. 3) De lo alto de una torre, se lanza una piedra con una velocidad de 40 m/s. Sabiendo que la piedra estuvo en movimiento 3,0 segundos: ¿Cuál es la altura de la torre? ¿A qué distancia del pie de la torre la piedra alcanza el suelo? ¿Con qué velocidad la piedra alcanza el suelo? g = 10 m/s² 4) Un futbolista comunica a una pelota la velocidad de 10 m/s con un ángulo de 37° con la horizontal, encontrándose a 8 m de distancia de una portería (arco) de 2,5 m. ¿Había posibilidad del gol? 5) ) Un avión vuela horizontalmente con velocidad de 100 m/s, se deja caer una piedra respecto del avión y recorre una distancia horizontal de 1000 m. antes de llegar al suelo. ¿Cuál es la altura a la que se encuentra el avión? ¿Con qué ángulo llegó la piedra sobre el suelo respecto de la horizontal? g = 10 m/s². 6) ) Calcular la velocidad del móvil en el punto "P". El cuerpo es lanzado horizontalmente desde el punto A y llega al punto B como indica la figura, g = 10 m/s² 7) Dos esferitas A y B inician su movimiento simultáneamente, A es lanzada horizontalmente y B vertical mente. Hallar la distancia "x" si se sabe que los cuernos chocan a una altura H/2. Tienen igual velocidad de lanzamiento.
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL 8) En la figura mostrada, en el mismo instante que se abandona la esferita "A " se lanza la esferita "B " con una velocidad “V_0", determinar el ángulo θ de
lanzamiento, tal que, las esferitas A y B colisionen en el punto P. 9) Hallar la relación entre la tangente de los ángulos α y β con que se lanzan los dos proyectiles simultáneamente, si colisionan en el aire durante su movimiento.
10) Dos proyectiles "A” y "B " lanzados con inclinaciones de 53° y 37° respectivamente alcanzan iguales alturas máximas. El proyectil “A " experimenta un alcance horizontal de 9 metros, ¿qué alcance horizontal experimenta "B"? 11) ¿Cuál es la diferencia entre las alturas máximas alcanzadas por un proyectil disparado con una velocidad V_0= 2 m/s, cuando varía su ángulo de tiro de 30° a 60°? El módulo de la velocidad de lanzamiento es constante, g = 10 m/s².
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Movimiento Circular Es aquel movimiento efectuado por móvil que describe una trayectoria circular o parte de una circunferencia, como, por ejemplo, la trayectoria descrita por una piedra que se hace girar atada al extremo de una cuerda. Si además de eso, el valor de la velocidad permanece constante, el movimiento circular recibe el calificativo de uniforme. Entonces, en este movimiento el vector velocidad tiene módulo constante, pero su dirección varía en forma continua. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) Es el movimiento de trayectoria circular en donde el valor de la velocidad del móvil se mantiene constante en todo instante (pero su dirección cambia). Se recorren en la circunferencia distancias iguales en tiempos iguales y también se describen ángulos centrales iguales en tiempos iguales: DESPLAZAMIENTO ANGULAR (θ) Es el ángulo central barrido por el móvil, el cual se mide en radianes (rad).
Longitud de Arco (S): Es la longitud del arco de la circunferencia, el cual coincide con el recorrido de la partícula. Magnitud física que nos expresa el espacio recorrido por el móvil, se mide en "m" (metros).
⇒ ∆ ∆ =
=
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL PERIODO (T): En el M.C.U., se denomina periodo al intervalo de tiempo que emplea una partícula en realizar una vuelta, una revolución o un ciclo (describir 2 π rad). Si conocemos el número de vueltas (n) y el tiempo empleado, el periodo se determina así
=
El periodo siempre será expresado en segundos. Con fines descriptivos, algunas veces el periodo también se da en segundos por revolución (s/Rev.) o en segundos por ciclos (s/ciclo) FRECUENCIA (f): Es una magnitud física escalar que nos expresa el número de vueltas, revoluciones o ciclos que realiza una partícula, por cada unidad de tiempo al desarrollar un M.C.U. En consecuencia :
=
Es común dar la frecuencia en ciclos por segundo (cps) o revoluciones por segundo (RES) y en otros casos en revoluciones por minuto (REM). El número de vueltas, revoluciones y los ciclos son términos descriptivos que en consecuencia no tienen unidad, por ello la unidad de frecuencia, es 1/s y se le denomina Hertz (Hz). La frecuencia y el periodo están relacionados. Dadas las relaciones para determinarlas y las unidades que se maneja para cada una , se deduce que son magnitudes inversas, tal que:
⇒ =
1
(
)
1
=1
=
1
(
)
La frecuencia es la inversa del periodo y viceversa. El periodo y la frecuencia también se pueden relacionar con la rapidez angular. En una vuelta el radio de giro barre un ángulo θ = 2π rad y el tiempo que emplea en una vuelta es justamente el periodo, entonces:
=
=
2
=2
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VELOCIDAD TANGENCIAL O LINEAL (V) Es la velocidad instantánea del M.C.U., su valor nos indica la longitud de circunferencia recorrida en la unidad de tiempo y es tangente a la circunferencia de trayectoria. VELOCIDAD ANGULAR (ω) Es la magnitud física vectorial que nos indica la rapidez y dirección del ángulo central descrito. Su dirección se determina mediante la regla de la Mano Derecha, la cual consiste en girar los 4 dedos juntos, menos el pulgar en el sentido del movimiento; luego de ello el dedo pulgar indica la dirección de la velocidad angular ( ω), (se representa por un vector perpendicular al centro de la circunferencia).
� ∆∆ 22 11 =
=
⇒ ⁄ � Como
á
(
=
=
)=
2 =2 ( )
( )
(
)
(
)=
ACEL ERACIÓN ANGULA R (α)
Si un cuerpo se desplaza por una curva y su velocidad angular cambia, entonces aparece la aceleración angular cuya dirección es perpendicular al plano de rotación, y su sentido coincidirá con el de la velocidad angular si el movimiento es acelerado y será de sentido opuesto a ella, si el movimiento es desacelerado.
∆∆ 22 11 2 =
=
(
)
=
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL ACEL ERACIÓN TANGENCIAL O LINEAL (
)
Si un cuerpo se desplaza por una curva y el valor o módulo de su velocidad tangencial cambia, entonces aparece la aceleración tangencial cuya dirección será tangente a la circunferencia y su sentido coincidirá con el de la velocidad tangencial si el movimiento es acelerado y será de sentido opuesto a ella, si el movimiento es desacelerado.
∆∆ 2 ∆1 2 =
ACEL ERACION CENTRIPETA (
)
=
=
Es la aceleración que posee todo cuerpo con M.C.U. está relacionada con el cambio de dirección de la velocidad tangencial y está dirigida hacia el centro de la trayectoria circular. En un M.C.U. la velocidad en módulo se mantiene constante, sin embargo, continuamente cambia de dirección, por ello decimos que la velocidad es variable y debido a esta variación concluimos que el móvil experimenta aceleración.
2 ⇒ 2 =
=
=
En un movimiento circular la aceleración normal será igual a la centrípeta. ACEL ERACION TOTAL (a) Se denomina así a la resultante de la aceleración tangencial con la aceleración centrípeta, también se le denomina aceleración instantánea.
2 2 2 .
=
=
+
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL TRANSMISION DE MOVIMIENTOS Si dos o más partículas giran en base a un mismo centro, sus velocidades angulares serán iguales.
Propiedades de la Transmisi on de Movimientos
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ECUACIONES
=
=
=
=
=
=
+
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
Trabajo Práctico Nº 7 1) Una esfera hueca de radio 1,0 m gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Un proyectil se desplaza con una velocidad de 430 m/s perpendicularmente al eje, perforando la esfera en un punto cuyo radio forma 30° con el eje. Hallar la mínima velocidad angular que debe tener la esfera para que el proyectil entre y salga por el mismo agujero. 2) Dos móviles A y B parten de dos puntos diametralmente opuestos de una pista circular, desplazándose en el mismo sentido con velocidades angulares de π/2 y π/3 rad/s; respectivamente. ¿Después d e cuánto tiempo se encuentran juntos? 3) La figura muestra tres discos tangentes entre sí, de radios de curvatura: R; R/2; R/3 respectivamente. Cuando el disco de mayor radio gira 4 vueltas, ¿cuántas vueltas girará el disco de menor radio? 4) Un disco gira con una velocidad angular constante. Si los puntos periféricos tienen el triple de velocidad que aquellos puntos que se encuentran 5 cm. más cerca al centro del disco, calcular el radio del disco. 5) ) La figura muestra dos poleas concéntricas de radios de curvaturas a = 2 0 cm y b = 30 cm. Si las poleas giran en sentido horario con velocidad angular constante w = 4 rad/s. Hallar la velocidad relativa de alejamiento entre los bloques A y B. 6) Un disco que tiene un agujero a 50 cm de su centro geométrico, gira con velocidad angular constante en un plano horizontal. Respecto a un eje vertical, desde una altura H = 1,25 m se abandona una bolita en el instante en que el agujero y la bolita están en la misma línea vertical. Hablar la mínima velocidad angular del disco, tal que, la bolita pueda pasar por el agujero. 7) Sobre un eje que gira con una frecuencia de 1 200 R.P.M., se tiene montado dos discos separados a una distancia de 25 cm. Se dispara un proyectil paralelamente al eje, tal
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL que perfora los dos discos, notándose que el segundo agujero se desvía 12° respecto al primero. Determinar la velocidad del proyectil.
8) Un niño se encuentra sentado sobre el borde de un' disco que gira uniformemente. El padre del niño que está parado en tierra, observa que, desde un punto del borde del disco, el niño lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una rapidez V=20m/s. Si el ángulo central subtendido por los puntos de partida y llegada de la pelota sobre el disco es 79°, halle la rapidez angular (en rad/s) del disco. 9) Desde *’A” que se encuentra a 16 m del pie de la rampa lisa, se deja caer una billa la cual choca con la masa “m” que se mueve constantemente con MCU, pasando por “D” en el instante en que se suelta la billa en “A” . Si “m” sólo recorre media circunferencia, hallar aproximadamente su rapidez angular (en rad/s), (g = 10 m/s2). 10) Dos engranajes están girando uno engranado al otro, el mayor de 30 cm de diámetro gira a 200 RPM. Hallar la velocidad tangencial y la velocidad angular del segundo que tiene 10 cm de diámetro.
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)
I) La velocidad angular del móvil experimenta cambios iguales en tiempos iguales, en general los cambios de la velocidad angular ( Δω) son directamente proporcionales a los tiempos empleados:
∆ �2 =
=
=
(
)
La aceleración angular se representa por un vector paralelo a la velocidad angular, de igual sentido si el movimiento es acelerado y de sentido contrario si el movimiento es retardado. II) El módulo de la velocidad tangencial experimenta cambios iguales en tiempos iguales, en general, los cambios en modulo de la velocidad tangencial (ΔV) son directamente proporcionales a los tiempos empleados.
∆ �2 =
=
=
(
)
La aceleración tangencial es un vector tangente a la trayectoria en cada uno de sus puntos, teniendo el mismo sentido que la velocidad tangencial si el movimiento es acelerado y sentido opuesto si el movimiento es retardado. III) Aceleración del movimiento (a): Determina rapidez con la cual varía la velocidad del móvil, es decir determina que tan rápido cambia el módulo y la dirección del vector velocidad. Luego la aceleración en cualquier instante de tiempo es la resultante de la aceleración centrípeta y aceleración tangencial:
Pág. 64
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL ECUACIONES Son análogas a las del movimiento rectilíneo MRUV
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Trabajo Práctico Nº 8 1) Una partícula realiza un M.C.U.V. a partir del reposo (V = 0) con aceleración angular constante de 0,25 rad/s². Si se sabe que el radio de la trayectoria es de 2 metros y el cambio de la velocidad en módulo, es igual, al cambio de la velocidad en dirección y sentido en un determinado instante. Determine el tiempo de movimiento de la partícula hasta ese instante. 2) Una partícula sale del reposo, describiendo una trayectoria circular, con aceleración angular constante de α = π/5 rad/s². Hallar el desplazamiento angular que describe la
3)
4)
5)
6)
partícula en el OCTAVO segundo de su movimiento. La velocidad de un automóvil aumenta uniformemente en 10 s de 19 km/h a 55 km/h. Si el diámetro de sus ruedas es 50cm, ¿cuál es la aceleración angular de las mismas, en rad/s²? En el piso (sin fricción) de un salón una bolita atada a una cuerda gira alrededor del punto O, con aceleración y velocidad angulares constantes. ( α = π/6 rad/s² y ω = π rad/s respectivamente). La bolita inició su movimiento en el punto A y a los 12 s se rompe la cuerda. Calcule la longitud total en metros recorrida desde el inicio del movimiento hasta 5 s después de que la cuerda se rompió. U n motor eléctrico que hace girar una rueda de molino (R = 1 m) a 100 rev/min, se apaga. Suponiendo una desaceleración angular de 2 rad/s² para detener la rueda, indicar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas: I) La rueda se detiene en 2,5s. II) Antes de detenerse la rueda gira 27,4 rad. III) Antes de detenerse la rueda da 4,36 vueltas. En la figura se muestran tres ruedas que inician su movimiento desde el reposo, si "C" acelera a razón de 12π rad/s², durante dos minutos. ¿Cuántas vueltas dio la rueda “A"? 7) Los móviles A y B de la figura parten en t= 0 s desde el reposo con aceleraciones angulares de π/4 y -π/6 rad/s². En cuanto tiempo, “A” se encuentra con "B" por primera vez (desplazamiento angular).
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL 8) Una partícula describe un movimiento circular, con una aceleración angular a, partiendo del reposo en el punto P mostrado en la figura. Cuando llega al punto Q su aceleración cambia repentinamente α - 2α, llegando nuevamente a P con velocidad angular cero. Si la partícula tarda 1 s. en dar la vuelta completa, el valor de la aceleración angular a, en rad/s², ¿es? 9) Hallar la aceleración angular (en rad/s²) con la que una partícula debe Iniciar su MCUV. para que luego de 10 segundos sus aceleraciones tangencial y centrípeta sean de igual magnitud. 10) Un móvil parte del reposo y comienza a moverse con M.C.U.V. con una aceleración angular constante de 2 rad/s². Sabiendo que un cierto intervalo de tiempo, el móvil ha barrido con ángulo central "θ" y 2 segundos después ha barrido un ángulo "ε", donde se cumple que: θ/4= ε/5. Hallar el ángulo " ε "
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Dinamica Lineal Estudia la dependencia entre el movimiento de los cuerpos materiales y las fuerzas que actúan sobre ellos. El movimiento de un cuerpo dado, queda determinado por la naturaleza y disposición de los otros cuerpos que forman su medio ambiente, así como por las condiciones iniciales del movimiento.
Inercia Para hacer una descripción del movimiento mecánico (poniendo un mayor énfasis en los movimientos acelerados) en relación con las causas que lo originan es necesario conocer previamente la propiedad de la “Inercia”, lo cual nos permitirá abordar el análisis de algunos fenómenos que veremos en este capítulo de “dinámica” y en general en la “mecánica”. ¿Qué es la inercia? La propiedad de todo cuerpo, de mantener su reposo o movimiento (mantener su velocidad), recibe el nombre de inercia. La medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo dado, es una magnitud física escalar denominada masa del cuerpo. En mecánica se considera que la masa es una cantidad escalar positiva, y constante para cada cuerpo dado, es decir no depende de la velocidad del cuerpo considerado.
La masa: una medida de la inercia La inercia se manifiesta en los cuerpos como una tendencia a mantener su velocidad. Ahora, intentemos poner en movimiento una caja vacía hecha de madera y luego intentemos moverla cuando se encuentra llena de piedras. Al agregar piedras a la caja vacía (se incrementa la cantidad de sustancias) se hace más difícil moverla que cuando está vacía; ósea, la caja con piedras es más inerte que la caja vacía. Para medir la inercia de los cuerpos introducimos una magnitud llamada masa, cuya unidad de medida es el kilogramo (kg).
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Masa Inercial Aquella masa que se emplea para caracterizar la oposición que ofrecen los cuerpos al cambio de su velocidad se denomina “masa inercial Se obtiene dividiendo la fuerza aplicada entre la aceleración producida:
Masa gravitacional Aquella masa que se emplea para caracterizar la atracción que se ejercen los cuerpos debido a la interacción gravitacional se denomina “masa gravitacional", Se obtiene dividiendo el peso del cuerpo, entre su respectiva aceleración (g)
Segunda Ley de Newton Toda fuerza resultante no nula al actuar sobre un cuerpo de masa “ constante produce una aceleración que posee la misma dirección de la fuerza resultante, siendo su valor directamente proporcional al valor de la fuerza resultante o inversamente proporcional a la masa del cuerpo.
=
Esta última relación se va a emplear siempre y cuando la masa del cuerpo no cambie.
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⇒ 2 =
( )
De lo anteriormente analizado podemos concluir que: para que un cuerpo experimente aceleración es necesario que sobre él exista una fuerza resultante no nula (Fr = 0) en caso contrario, el cuerpo no experimentará aceleración.
Maquina de Atwood Este método se emplea con el fin de reducir el número de diagramas de cuerpo libre y con ello muchas ecuaciones. La máquina de ATWOOD se usa para hallar la aceleración de un sistema de partículas. Procedimiento: 1- En el D.C.L. al sistema ubicar: • Trace la línea de movimiento. • Las fuerzas externas que están en dirección de la aceleración • Las fuerzas externas están en dirección opuesta a la aceleración Observación: •
•
•
La sumatoria de fuerzas se halla en la línea del movimiento sumando las fuerzas en igual sentido que la aceleración y restando las opuestas es decir las fuerzas que van en sentido contrario a la aceleración. Las fuerzas deben descomponerse sobre la línea del movimiento. El peso se halla como W = mg.
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Determinar la aceleración con que se mueve el sistema formado por los bloques de masas
�2 =1
;
=2
;
=5
;
= 10
En el sistema:
Graficamos las fuerzas a favor del movimiento o dirección opuesta al movimiento.
Σ =
�2 �2 �2 = (
+
=
48
+2
+
. 10
1
+2
+
5
)
. 10
+5
= 2,25
Polea Movil
Es aquella polea cuyo centro se traslada.
1 2 3 =
+ 2
Si se considera aceleraciones:
1 2 3 =
+ 2
Sistema de Referencia Es aquel lugar del espacio en el cual se situará un observador con la finalidad de analizar un fenómeno físico; como por ejemplo el movimiento mecánico.
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En mecánica se utilizará con frecuencia los sistemas de referencia: I) Inerci al II) No Inercial En cada problema concreto el sistema de referencia se elige de tal modo que simplifique lo más posible su solución. En nuestro curso se utilizan generalmente sistemas de referencia inercial tal como lo hemos venido planteando en los problemas anteriores. En cada problema concreto el sistema de referencia se elige de tal modo que simplifique lo más posible su solución. En nuestro curso se utilizan generalmente sistemas de referencia inercial tal como lo hemos venido planteando en los problemas anteriores. I) Sistema de Referenci a Inercial (S.R.I.) Es aquel lugar del espacio que se considera en reposo o con M.R.U., y en el cual se sitúa un observador para analizar un movimiento mecánico Para efectos prácticos se toma un sistema de referencia cuyos ejes de coordenadas están asociadas rígidamente a la tierra y se le considera un S.R.I. II) Sistema de Referencia No Inercial (S.R.N.I.) Es aquel lugar o sistema acelerado en el cual se ubica un observador para analizar el estado de movimiento mecánico de un cuerpo. Generalmente este sistema de referencia lo utilizaremos cuando desde tierra observemos 2 aceleraciones inmiscuidas al cuerpo que se quiere analizar. Es importante tener presente que en los S.R.N.I. no se cumplen las Leyes de Newton, pero con la finalidad de emplearlas en dicho sistema de referencia, hay que aplicar sobre el cuerpo una fuerza adiciona], llamada: “Fuerza de Inercia” Fuerza Inerci al Es una fuerza ficticia que se añade al D.C.L. establecido por un observador no inercial, con la finalidad de hacer cumplir las Leyes de Newton. La fuerza de inercia siempre tiene un sentido opuesto a la aceleración del sistema donde está parado el observador (S.R.N.I.), su módulo se determina, así:
=
:
; :
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Sugerencias para resolver pro blemas sobre dinamica lineal •
Entender correctamente el problema con los datos e incógnitas.
•
Hacer el diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) al cuerpo o sistema por analizar.
•
•
Ubicar la(s) dirección(es) de la(s) aceleración(es) y descomponer la(s) fuerza(s) esa(s) dirección(es) y perpendicular (es) a ella(s).
Σ Σ Σ Σ
En la dirección del movimiento acelerado aplicar: =
•
En la dirección perpendicular al movimiento acelerado aplicar: =0
•
Si sobre el cuerpo hubiera varias aceleraciones y es factible descomponerlos en los ejes cartesianos, entonces conviene aplicar: =
•
;
=
En el caso de un vagón que acelera a la derecha con “a”, con un observador en su interior.
Se tendrá que: La fuerza inercial que se agrega (suponiendo fuera real) produce una aceleración, la que, sumada a la aceleración de la gravedad, nos da una nueva a la cual llamaremos en adelante aceleración efectiva (aef).
2 2 2 =
•
Para el caso de ascensores:
+
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Pág. 73
=
+
=
=
•
Si hay 2 o más cuerpos interactuando entre sí por medio de cuerdas o apoyados uno en el otro, de modo que no hay movimiento relativo entre ellos, entonces la aceleración del sistema es la misma de cada uno de ellos.
Rozamiento Fuerza que surge cuando la superficie rugosa de un cuerpo, intenta deslizarse sobre la superficie rugosa de otro cuerpo. Esta fuerza es independiente de las áreas de las superficies en contacto y siempre se oponen al deslizamiento o posible deslizamiento de los cuerpos. Las superficies en realidad no son lisas por lo que la reacción de un cuerpo sobra otro no es normal a dicha superficie de contacto. Si se descompone la reacción (F R) en dos componentes,
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL una perpendicular (F N) y otra tangente a la superficie de contacto, la componente tangencial (f) a dicha superficie se denomina fuerza de fricción o rozamiento. En consecuencia, los diagramas del cuerpo libre para problemas donde interviene el rozamiento roza miento son los mismos que para aquellos en que intervienen en superficies lisas, salvo que ha de incluirse una fuerza de rozamiento tangente a la superficie de contacto.
FUERZA DE ROZAMIENTO Es aquella fuerza que surge entra dos superficies ásperas y se opone al deslizamiento o tendencia de deslizamiento entre dichas superficies, se gráfica tangencialmente a las superficies de contacto. FUERZA NORMAL Es aquella fuerza que surge debido a la presión que un cuerpo ejerce sobre otros. Siempre se gráfica perpendicularmente a las superficies en contacto. FUERZA DE REACCION perpendicularmente a las superficies en contacto. COEFICIENTE DE ROZAMIENTO
2 2 2 =
+
Es aquella magnitud adimensional que se define como la tangente trigonométrica del ángulo máximo de rozamiento.
⇒ = tan
=
=
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL CLASES DE ROZAMIENTO Se suele hablar de dos tipos de rozamiento: a) Rozamiento estático: estático: Cuando no hay movimiento relativo entre los cuerpos en contacto; es decir, cuando ninguno se mueve, o ambos se desplazan como si fueran uno sólo, oponiéndose a cualquier intento de movimiento relativo. En este caso la fuerza de rozamiento desarrollada es exactamente suficiente para mantener el reposo relativo con las demás fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
=
b) Rozamiento cinético: Se cinético: Se genera cuando los cuerpos en contacto se encuentran en movimiento relativo. La fuerza de rozamiento es constante y prácticamente independiente del valor de la velocidad relativa. =
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Trabajo Practic Pract ico o Nº 9 1) En nuestro planeta un hombre hombre pesa 900 N. ¿Cuánto pesaría en la luna cuya aceleración de la gravedad es la sexta parte de la gravedad en la tierra? 2) Si en el interior de de un ascensor se halla una persona sobre sobre una balanza. ¿Cuánto ¿Cuánto registrara ésta si el ascensor baja con una aceleración de 4m/s²?, sabiendo que el hombre pesa 600 N. 3) En el sistema sistema mostrado determinar la aceleración de los bloques y la tensión en la cuerda. La polea no ofrece rozamiento. =4 ; = 1
;
= 10
2 /
4) Determinar la aceleración del sistema mecánico, tal que el bloque menor de masa "m " permanezca en reposo respecto del carro en forma de cuña. Considere Ø= 37° y g = 10 m/s². No hay rozamiento. 5) Determinar la aceleración mínima del sistema mecánico mostrado, tal que el bloque de masa "m " no resbale respecto del bloque mayor “M ". El coeficiente de rozamiento estático es de 0 ,8; g = 10 m/s². 6) Las superficies de los bloques en contacto son rugosas µ = 0,5 y la superficie horizontal donde descansan es lisa. Hallar la relación de las aceleraciones entre los bloques A y B. 7) Si el sistema mostrado mostrado se deja en libertad a partir del reposo, hallar el tiempo que tarda el bloque A de masa 2kg, en recorrer la distancia d = 5 metros sobre él móvil C de masa 6 kg. Los bloques A y B tienen ti enen igual masa. No hay rozamiento y las poleas tienen peso despreciable. (g = 10 m/s²)
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL 8) Un péndulo simple se suspende del interior de un carro; encuentre en función de la aceleración “a” el ángulo que el hilo forma con la vertical en la posición de equilibrio. 9) Una persona cuya masa es de 80 kg se eleva con el sistema mostrado. Si se sabe que la magnitud de la fuerza de interacción entre la canastilla de 20 kg y la persona es de 150N. Determine la magnitud de la fuerza que la persona aplica a la cuerda. 10) Un resorte, cuya longitud natural es de 10 cm, se cuelga del techo de un ascensor y en su extremo libre se coloca un peso de 10 N. Cuando el ascensor sube con aceleración de 2 m/s², la longitud total del resorte es de 15cm. ¿Cuál será, en cm, la longitud total del resorte cuando el ascensor baja con una aceleración de 4 m/s². (Considere g =10 m/s² )
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Dinamica Circular Es una parte de la mecánica que estudia las condiciones que deben cumplir una o más fuerzas que actúan sobre un cuerpo, para que éste realice un movimiento circular. Según la Segunda Ley de Newton la aceleración sobre un cuerpo se produce en la misma dirección y sentido que la fuerza resultante, esta aceleración cuando no es colineal con la velocidad produce en el móvil un movimiento curvilíneo. Dado el movimiento curvilíneo, la aceleración lineal (a) podrá descomponerse (proyectarse) en dos direcciones perpendiculares; normal y tangencial, generando las aceleraciones normal y tangencial. Entonces, para que un cuerpo describa un movimiento circunferencial uniforme (M.C. U), debe ser afectado por una fuerza resultante no nula dirigida hacia el centro de la circunferencia a la que denominamos fuerza centrípeta ( ) la misma que provoca una aceleración (dirigida hacia el centro de la trayectoria circunferencial) denominada aceleración centrípeta( )
2 2 ⁄ � 2 2
=
La aceleración centrípeta mide el cambio en la dirección de la velocidad tangencial a través del tiempo y se calcula así: =
(
=
);
=
=
;
=
=
=
OBSERVACIONES
I) En un movimiento rectilíneo no existe aceleración normal. II) Los movimientos que carecen de aceleración tangencial se denominan uniformes.
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
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III) En un movimiento circular la aceleración normal apunta hacia un centro estable. •
En todo movimiento curvilíneo existe aceleración normal debido al cambio constante de la dirección de la velocidad.
IV) Recordemos que, (de la segunda ley de Newton), la fuerza resultante y la aceleración presentan igual dirección. Para nuestro caso, la aceleración apunta hacia el centro de la circunferencia y se le denomina aceleración centrípeta o normal. La aceleración centrípeta no se encuentra a favor ni en c ontra de la velocid ad, en cons ecuencia, no mid e "c ambios en la rapidez". La aceleración centrípeta mide de los cambios en la direcció n de la velocidad.
Fuerza centrifuga Cuando un observador se sitúa en el eje de una plataforma giratoria y analiza el estado de movimiento de un cuerpo, dicho observador no inercial, añadirá al D.C.L. que plantea, una fuerza inercial centrífuga o simplemente "Fuerza Centrífuga”. La fuerza centrífuga es una fuerza inercial radial opuesta a la fuerza centrípeta aplicada al C.G. del cuerpo en estudio; su módulo es igual a:
2 2 =
Pendulo Conico
=
Una masa “m” suspendida de un punto fijo por una cuerda de longitud L y peso despreciable que gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante ω; este sistema se llama péndulo cónico. Anali cemos el péndulo cónic o: 1- Está formado por una esfera de masa “m" suspendida de un punto fijo por una cuerda de longitud L y masa despreciable que gira alrededor de la línea vertical con velocidad angular constante de módulo ω. 2- Realicemos el diagrama de cuerpo libre, de la masa del péndulo, respecto de un observador fijo en la Tierra (sistema de referencia inercial). Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son el peso (fuerza de gravedad) y la tensión en la cuerda.
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Aplicando la segunda ley de Newton, la fuerza resultante es igual a la fuerza centrípeta, como muestra la figura.
+
=
=
3- Ahora, analicemos el DCL de la masa pendular “m” respecto de un observador ubicado en el eje de rotación que gira con la misma velocidad angular o que el péndulo cónico (sistema de referencia no inercial). Respecto del observador giratorio, un cuerpo de masa “m” está en equilibrio (reposo relativo), por consiguiente, la fuerza resultante es igual a cero.
=0
4- Las fuerzas que actúan sobre la masa “m” son el peso o fuerza de gravedad, la tensión y una tercera fuerza “F” que anula a la fuerza resultante de sumar el peso, más, la tensión, como indica la figura
Comparando las figuras la fuerza de inercia y la fuerza centrípeta son iguales en módulo y direcciones opuestas.
⃗ =
5- La fuerza inercial se gráfica solo para sistemas de referencia no inercial, que tiene aceleración tangencial o centrípeta. 6- Para sistema de referencias inerciales, el sistema de referencia se encuentra en reposo se mueve con velocidad constante, y la fuerza inercial no existe. 7- esta fuerza inercial o de inercia debido a la rotación se le llama en mecánica fuerza centrífuga. 8- Fuerza centrífuga. Es una fuerza inercial, que tiene el mismo valor de la fuerza centrípeta, pero de sentidos opuestos. La fuerza centrífuga tiene sentido físico solo para sistemas de referencias no inerciales (sistema giratorio).
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Fuerza centrípeta. Es la fuerza resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo que tiene movimiento circunferencial con velocidad de módulo constante. Observa la expresión escalar de fuerza centrípeta:
2 =
=
Curvas en la carretera peraltadas y sin peralte Un ejemplo de aceleración centrípeta ocurre cuando un automóvil toma una curva, digamos, hacia la izquierda. En tal situación, quizás usted sienta que está siendo lanzado hacia afuera, hacia la puerta del lado derecho. Pero no hay ninguna fuerza centrífuga misteriosa jalando de usted. Lo que sucede es que usted tiende a moverse en línea recta, mientras que el automóvil ha comenzado a seguir una trayectoria curva. Para obligarle a moverse en la trayectoria curva, el asiento (fricción) o la puerta del vehículo (contacto directo) ejercen una fuerza sobre usted. El automóvil mismo debe experimentar una fuerza ejercida sobre él, hacia el centro de la curva, para que se mueva en esa curva. En un camino plano, esta fuerza es suministrada por la fricción entre los neumáticos y el pavimento. Pero en un camino con peralte la fuerza hacia el centro de la curva estará dada por las componentes de la fuerza de roce y normal.
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Trabajo Practico Nº 10 1) ¿Qué velocidad angular debe tener el sistema mostrado para que la tensión en la cuerda (A) sea 1,6 veces la tensión en la cuerda “A" es 25 cm. 2) Determinar la tensión en la cuerda AC si la esfera tiene una masa de 16 kg y la estructura gira con una velocidad angular de 2 rad/s. Además: AB = 4m. (g = 10 m/s²) 3) Un disco horizontal gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro geométrico "0". La ranura es lisa y contiene un bloque de masa 2 kg, sujeto a un resorte. El bloque está a 20 cm. del centro, cuando el disco no gira. Calcular la constante elástica del resorte, si se deforma 5cm. cuando el disco gira a 4 rad/s. 4) La figura muestra dos esferas de masa "M " y “m" unidos mediante una cuerda ABC de longitud "L ", en B se encuentra una polea pequeña que no ofrece rozamiento. Si el sistema gira con velocidad angular constante, hallar BC (X)
5) Dos esferas de masa m y 3m están unidas por una cuerda de 4 metros de longitud que pasa por una polea sin fricción. Calcular "d” cuando el conjunto gira a velocidad angular constante " ω" 6) Calcular el cociente entre las magnitudes de las fuerzas centrípeta y tangencial actuantes sobre "m".
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL 7) La velocidad de un avión es de 30m/s, ¿en cuánto debe inclinar sus alas, con respecto al horizonte, para que en el plano horizontal pueda describir una circunferencia de 120 m de radio? (g=10 m/s²) 8) Un automóvil se desplaza por una carretera de radio de curvatura 180m. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre las llantas y la pista horizontal es 0,5. Hallar la máxima velocidad del auto, tal que la llanta no resbale, g = 1 0 m/s². 9) Un automóvil ingresa a una curva de 30 metros de radio y 37° de ángulo de peralte. Determinar la velocidad del auto, tal que la fuerza de rozamiento sobre las llantas sea igual a cero, g = 1 0 m/s². 10) Calcular la velocidad del cilindro de radio R = 10 m, tal que, el bloque de masa "m" no resbale. El coeficiente de rozamiento estático es 0,25 entre el bloque y la pared vertical.
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Trabajo y Potencia Trabajo (W) Magnitud escalar que caracteriza la acción que ejerce la fuerza sobre el cuerpo, al comunicarle cierto desplazamiento. El trabajo caracteriza la acción de las fuerzas capaces de modificar el módulo de la velocidad del cuerpo, es decir, que pueden acelerar o retardar el movimiento del cuerpo considerado. Esto implica que sólo pueden realizar trabajo aquellas fuerzas que tengan un componente en la dirección del movimiento, es decir una componente tangente a la trayectoria en cada uno de sus puntos. “La cantidad de trabajo que se desarrolla depende de la fuerza aplicada y el desplazamiento” TRABAJO MECANICO Consideremos un cuerpo que es arrastrado sobre una mesa horizontal, sometido a la acción de una fuerza F. Supongamos que F es constante y que el cuerpo se desplaza una distancia d, siendo θ el ángulo entre F y la dirección del desplazamiento del cuerpo.
El trabajo realizado por la fuerza constante F, que forma con el desplazamiento d un ángulo 0, se obtiene aplicando la ecuación:
=
cos
La unidad de trabajo se denomina Joule (J). Entonces 1 Nm = 1 Joule = 1 J
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Forma grafica
2 1 =
= (
)
Sólo para el caso de ciertas fuerzas el trabajo es independiente de la trayectoria, como por ejemplo una fuerza constante. A estas fuerzas se denominan fuerzas potenciales o conservativas. Un caso particular de una fuerza constante es la fuerza de gravedad, por lo tanto, notaremos que: Como la fuerza de gravedad es vertical, entonces:
=
=
El trabajo de la fuerza de gravedad es independiente de la trayectoria, sólo depende del valor de dicha fuerza y la altura desde la posición inicial hasta la posición final. Cuando sube W(F g) = (-); W(F g) = (+) Casos Particulares 1- Las fuerzas perpendiculares al movimiento no realizan trabajo, si θ = 90°, entonces: W = 0, como indica la figura.
2- Las fuerzas que tienen sentido opuesto al movimiento realizan trabajo negativo, si θ = 180°, entonces: W = - Fd , como indica la figura.
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3- Las fuerzas que tienen la misma dirección y sentido del movimiento realizan trabajo positivo, si θ = 0°, entonces: W F = +Fd, como indica la figura.
4- Si la fuerza F y la dirección del vector desplazamiento forman un ángulo obtuso (90° < θ < 180°) entonces el trabajo realizado por la fuerza tiene signo negativo. El signo negativo significa que la fuerza F se opone al movimiento del bloque como indica la figura.
TRABAJO NETO O TOTAL Cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo en movimiento, el trabajo neto es el que desarrolla la fuerza resultante o es la suma de los trabajos efectuados por cada una de las fuerzas.
1 2 3 ⋯ =
=
+
+
+
•
Si el trabajo neto es positivo el movimiento es acelerado.
•
Si el trabajo neto es negativo el movimiento es retardado.
•
Si el trabajo neto es nulo el movimiento es con rapidez constante en módulo.
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL GRAFICA FUERZA EN FUNCION DE LA POSICION (F-X) La figura muestra la variación de la fuerza F en módulo con la posición en el eje x. El trabajo realizado por la fuerza F es Igual al área bajo la recta entre dos puntos de su trayectoria.
1 2 =
+
TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE Trabajo en un resorte. La fuerza deformadora varía linealmente de acuerdo a la ley de Hooke.
En la figura fuerza (F) en función de la posición (x), se cumple que el área bajo la gráfica representa el trabajo realizado.
Potencia (P) Magnitud escalar la cual determina la rapidez con la cual se realiza un trabajo. En el caso particular que el trabajo se realice de manera uniforme, es decir se realizan trabajos iguales en tiempos iguales cualesquiera, la potencia es constante e igual al trabajo realizado en la unidad de tiempo:
� =
=
:
(
)=
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL POTENCIA MEDIA Nos indica con muy poca exactitud el valor promedio de todas las potencias con que actúa un animal o máquina en un intervalo de tiempo determinado. Se define matemáticamente como el producto de la fuerza por la velocidad media.
=
;
=
=
,
=
POTENCIA POTENCI A INSTANTANEA
Se define, así como la rapidez con que se efectúa un trabajo en un intervalo de tiempo bastante pequeño de tal manera que este tiende tie nde a ser cero. Su valor instantáneo depende de la velocidad instantánea:
=
EFICIENCIA EFICI ENCIA DE UNA MAQUINA (η)
Denotada por un número fraccionario o en forma porcentual, es un indicador que va asociado en la estructura de una máquina y que usualmente indica la calidad de la l a máquina. Esta fracción refleja que parte de la potencia "absorbida o entregada" a la máquina es transformable en algo útil. Debido a que no es posible eliminar completamente las fuerzas internas de fricción, parte de la potencia absorbida será perdida en vencer dichas fuerzas, y , otra parte en poner en movimiento estos mecanismos; pudiendo manifestarse como un aumento en la temperatura y una transferencia de calor con el medio ambiente, de esta forma solamente queda una parte que es la potencia útil la que puede ser utilizada para efectuar un trabajo mecánico o de otro tipo.
=
%=
100%
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Trabajo Practic Pract ico o Nº 11 1) Una persona jala un cajón de 44 kg con velocidad constante. Determine cuánto trabajo realiza dicha persona en un tramo de 10 m. (µ k= 0,5; g = 10 m/s²) 2) Un ciclista cuyo peso total es 800 N, sube con velocidad constante de 36 km/h, sobre un plano inclinado que forma 30° con la horizontal. Determinar la potencia desarrollada por el ciclista. Desprecie la fuerza de oposición del aire. 3) De la figura mostrada, determine el trabajo neto realizado sobre el bloque de 10 kg, hasta que llegue al piso. (g =10 m/s²) 4) Un bloque de 1 kg es soltado soltado en "A". Indique la proposición falsa. (g =10 m/s²) a- El = +2 +250 50 b- El = 150
5) 6) 7)
8)
9)
c-
El
= +1 +100 00
d- El = +1 +100 00 e- El =0 ¿Qué potencia tiene tiene el motor de una bomba que eleva 18 000 000 litros de agua por hora hora de un pozo que tiene 30m de profundidad? (Considere g=10m/s²) (1HP = 746 watts). Dos lanchas con potencias potencias 3 kW kW y 12 kW desarrollan desarrollan las velocidades de 36 36 km/h y 72 km/h, respectivamente. ¿Qué velocidad desarrollarán si los enganchamos? Un limpiador de ventanas de 48 kg de masa sentado sobre una plataforma de 32 kg de masa como se muestra en la figura debe d ebe elevarse conjuntamente 3,40m. ¿Qué potencia (en W) desarrolla el obrero o brero al jalar la soga por uno de sus extremos; si el desplazamiento de dicha altura lo realiza con rapidez constante en un intervalo de 85 segundos? Un automóvil de 1000 kg inicialmente en reposo reposo es uniformemente uniformemente acelerado hasta alcanzar 25 m/s en 10 segundos. Halle la potencia (en kW) con la que se está acelerando el automóvil en el instante t= 4 s. Determine la máxima potencia instantánea (e n kW) que se requiere para elevar verticalmente un bloque de 100 kg con una aceleración de 3m/s² durante 5s, si
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL inicialmente el bloque se encuentra en reposo: además determine, en kW, la potencia media utilizada. 10) Un auto sube por un plano inclinado cuya pendiente es 2,50 % con una velocidad constante de 6m/s. ¿Qué velocidad poseerá al descender por el mismo plano, si utilizó la misma potencia que empleó en el ascenso? a scenso? La fuerza de fricción es una cincuentava parte del peso del auto.
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Energia Se entiende por energía la capacidad o aptitud que tiene un cuerpo para realizar un trabajo. Debido a esto la energía de un cuerpo se medirá por el trabajo que es capaz de efectuar en condiciones determinadas. En mecánica interesa conocer la posición y rapidez de un cuerpo, por lo que se tienen las siguientes formas de energía mecánica:
Energia Cinetica Es la aptitud que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en virtud de su velocidad. Se mide por el trabajo que habría que hacer sobre el cuerpo para que adquiera la velocidad que posee, partiendo del reposo. La energía cinética asociada al movimiento de traslación es la energía cinética de traslación (ECT) cuyo valor depende de la masa (m) del cuerpo y su rapidez (V).
2 ⁄ =
1 2
:
:
:
Observaciones A) Como la velocidad de un cuerpo depende del sistema de referencia elegido, la energía cinética de traslación también defiende del sistema de referencia. B) La energía cinética asociada al movimiento de rotación es la energía cinética de rotación (ECR) cuyo valor depende del momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación (I) y su rapidez angular ( ω).
2 � 2 =
:
:
:
1 2
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Energia Potencial Es la aptitud que tiene un cuerpo para efectuar un trabajo en virtud de su posición o de su configuración. Veamos los siguientes casos de energía potencial: ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA Es aquella energía asociada a la interacción gravitacional entre los cuerpos. La energía potencial gravitatoria depende de la masa de los cuerpos y la distancia entre ellos. Cuando un cuerpo de masa “m” se encuentra a cierta altura respecto de la superficie terrestre la energía potencial gravitatoria del sistema es:
=
ENERGIA POTENCIAL ELASTICA Es aquella energía asociada a un cuerpo elástico debido a su deformación longitudinal. La energía potencial elástica surge como consecuencia de las interacciones de las partes del cuerpo elástico cuando está deformado y es también igual al trabajo realizado sobre él para que adquiera una deformación. Para el caso de un resorte ideal de constante de rigidez K y la energía potencial elástica que almacena, se determina de la siguiente manera.
12 2 � =
:
:
:
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL ENERGIA MECANICA Un cuerpo o sistema puede tener asociado una energía cinética y/o potencial en virtud a su movimiento e interacción. La magnitud que caracteriza la energía total del cuerpo o sistema es la energía mecánica (E M) que matemáticamente viene a ser la suma de las energías cinética y potencial.
=
+
+
TEOREMA DE LA ENERGIA CINETICA Y EL TRABAJ O El trabajo realizado por la fuerza resultante (trabajo neto o total) que actúa sobre un cuerpo durante cualquier parte de su movimiento es igual al cambio que experimenta la energía cinética del cuerpo durante esa parte de su movimiento.
∆ 2 2 = =
=
1
1
2
2
Trabajo de la Fuerza de Gravedad como Cambio de la Energia Potencial La fuerza de gravedad (peso) realiza un trabajo que posee las siguientes características: 1- El trabajo no depende de la trayectoria recorrida. 2- El trabajo es igual al producto del peso con el desplazamiento vertical (y la diferencia de alturas):
ℎ0 ℎ1 ℎ ℎ0 ℎ1 0 1 ⇒ ∆ =
(
)
3- Se denomina energía potencial gravitatoria a: =
4- Con la cual el trabajo del peso se puede expresar como: =
(
)=
=
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL El trabajo realizado por la fuerza de gravedad depende de la posición inicial y final y no de la trayectoria seguida ni del tipo de movimiento que realiza el cuerpo sobre el cual se realiza el trabajo. Trabajo realizado por la Fuerza Elastica como cambio d e la Energia Potencial Consideremos un resorte inicialmente deformado unido a una esfera lisa.
2 2 2 2 ∆ =
=
1 2
1
1
2
2
(
)
=
=
FUERZAS CONSERVATIVAS Las fuerzas cuyo trabajo no depende de la trayectoria seguida por el punto de aplicación ni del tipo de movimiento se llaman fuerzas potenciales (fuerzas conservativas). Una de sus características es que su trabajo sólo depende de la posición inicial y final del punto de aplicación, es decir de la disposición de las partes del cuerpo o sistema. El trabajo realizado por las fuerzas conservativas en trayectoria cerrada, es nulo. En el estudio de la mecánica encontramos dos fuerzas conservativas: la fuerza de gravedad y la fuerza elástica. FUERZAS NO CONSERVATIVAS Son aquellas cuyo trabajo si depende de la trayectoria seguida por el cuerpo. Ejemplo: La fuerza de rozamiento.
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Ley de conservacion y t ransformacion de la Energia Constituye una de las leyes más importantes de la naturaleza, establece que: «La energía total de un sistema aislado no varía cualesquiera que sean las transformaciones que ocurran en él». Un sistema de cuerpos se considera aislado, cuando estos no interactúan con el exterior (no actúan fuerzas externas), es decir los cuerpos interactúan únicamente entre sí, sin intercambiar energía con el medio externo.
Σ Σ =
Teorema del Trabajo y la Energia Mecanica La suma de trabajos de las fuerzas no conservativas que actúan sobre una partícula es igual a la variación de su energía mecánica .
Δ =
=
Sugerencias para resolver problemas •
Ubicar la posición inicial y final trazando una línea horizontal de referencia, para luego aplicar:
=
•
•
Para hallar Energia Mecanica inicial o final en cada caso se debe sumar las 3 posibles energías (potenciales y cinéticas). L a s fuerzas conservativas usuales son el peso (W=mg) y la fuerza elástica en un resorte (F =K x ), las demás fuerzas se considerarán no conservativas.
•
Cuando un cuerpo desliza la fuerza normal (N ) no hace trabajo:
•
El trabajo de la fricción se hallará con:
=
=0
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Trabajo Practico Nº 12 1) Un móvil de masa "m " se mueve dentro de un aro situado en un plano vertical. En el punto más alto "A " su velocidad es de 4 m/s y en el punto más bajo "B " es de 6 m/s. Si se desprecia la fricción entre la pista circular y el cuerpo, calcular el radio del aro. g = 10 m/s². 2) Una esfera de peso 20 N se abandona en “A “, sabiendo que no hay rozamiento, determinar la reacción normal sobre la esfera cuando pasa por la posición B. g = 10 m/s² 3) Una partícula de masa m = 2 kg es abandonada en "A ". Calcular la reacción normal cuando pasa por la posición "C ", sobre la superficie de curvatura “2R". No hay rozamiento. g = 10 m/s² 4) En la figura se abandona un cubito de hielo en la posición "A”, luego se desliza sin rozamiento, abandona la rampa en dirección horizontal, describiendo un movimiento parabólico. Calcular el desplazamiento horizontal "x" que experimenta el hielo, donde: H = 4m.
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL 5) Una esferita de masa “m " se deja en libertad en la posición "A ". Hallar la distancia "d ", si el coeficiente de rozamiento entre B y C es 0,5 (cinético) La tubería es lisa. 6) En el sistema mecánico mostrado, hallar la mínima velocidad " V0" que debe tener el carrito en la posición "A " de modo que pueda rizar el rizo completamente. Desprecie la pérdida de energía por rozamiento. 7) La figura muestra un péndulo de masa "m" y longitud “L", que se abandona en la posición " A “, de tal modo que la cuerda forma un ángulo " θ" respecto a la vertical.
Hallar la tensión “T " en la cuerda cuando el péndulo pasa por su posición de equilibrio, esto quiere decir "Cuando adquiere su máxima velocidad". 8) Se suelta un rodillo (cilindro) de masa "M" unido a un resorte, desde una posición donde el resorte de constante de elasticidad "k" no está deformado (x = 0) y el cilindro rueda sin resbalar sobre el plano inclinado. Hallar la máxima deformación del resorte. El plano forma un ángulo " θ " respecto a la
horizontal. 9) En la figura un anillo de masa “m” se desplaza libremente en la varilla doblada. ¿Cuánto vale el ángulo θ, si “m” parte del reposo en el punto A y llega a B con
velocidad 2
?
10) Un bloque de 10 kg parte del reposo y desciende por la pendiente mostrada en la figura. Si la velocidad con que llega el bloque a la parte más baja es 8 m/s, encontrar la cantidad de trabajo negativo realizado por la fuerza de rozamiento.
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Impulso y Cantidad de Movimiento Cantidad de movimiento lineal Es una magnitud física de tipo vectorial que se calcula como el producto de la masa por la velocidad, su dirección coincide con la velocidad y mide el grado de oposición que presentan los cuerpos contra los agentes externos que pretenden alterar su velocidad y/o masa.
⁄ ⁄ =
:
(
)
(
:
)
(
:
)
Impulso Es una magnitud física de tipo vectorial que se calcula como el producto de la fuerza por el intervalo de tiempo que ella actúa, su dirección coincide con el de la fuerza y nos indica el grado de efectividad que posee una fuerza para cambiar la velocidad al cuerpo sobre el cual actúa.
∆⃗ ⃗∆ ⃗ ⃗ =
( )
:
( )
:
:
Grafica Fuerza (F) – Tiempo (t)
(
)
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Considerando a una fuerza media sobre la pelota. De
⃗ ⃗ ∆− ⇒ ⃗ ⃗∆−⃗ ⇒ ⃗∆ =
Pero
⃗∆ ⇒ ⃗ ∆ =
•
•
=
=
=
=
“Relación impulso y la cantidad de movimiento” El impulso de la fuerza origina cambio en la cantidad.
Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento El impulso que ejerce la fuerza resultante sobre un cuerpo durante un cierto intervalo de tiempo, se invierte en cambiarle su cantidad de movimiento.
⃗ ∆ =
=
“ Relación entre el impulso resul tante y cantidad de movimiento”
Conservacion de la Cantidad d e Movimiento Si la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo o sistema de cuerpos es nula, entonces la cantidad de movimiento total de este cuerpo o sistema se conservará, o sea, se mantendrá constante. Sabemos:
∆ ⇒ Σ Σ =
;
=0
=
=
SISTEMA FÍSICO
Es aquel conjunto de partículas o cuerpos considerados en estudio, elegidos en forma arbitraria. La figura muestra un sistema físico S 1, limitado por una línea curva cerrada. Las demás partículas pertenecen al sistema S 2.
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Fuerza Externa Es aquella fuerza que actúa sobre el sistema, debido a la interacción de una componente del sistema, con partículas externas al sistema. En la figura, F 43 es una fuerza externa al sistema físico S1. Fuerza Intern a Es aquella fuerza debido a la interacción de las partículas consideradas dentro del sistema físico. En la figura, las masas m 1, m2 y m3 pertenecen al sistema S 1, las interacciones entre ellas constituyen las fuerzas internas al sistema. La sumatoria de las fuerzas internas, siempre es igual a cero.
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Trabajo Practico Nº 13 1) Una granada de guerra de masa 3 m se desplaza a una velocidad v = 60 m/s, explotando luego en tres fragmentos A, B y C de masas iguales a “m” cada uno. Sabiendo que inmediatamente después de la explosión los fragmentos se mueven en las direcciones mostradas, donde A se mueve con velocidad U, = 50 m/s formando 53° con la horizontal, determinar la velocidad de los fragmentos B y C. 2) Una pelota de 200 g de masa rebota contra un piso horizontal como se muestra en la figura. Si V0 = 12 m/s y V f = 5 m/s, ¿cuánto es el módulo de la fuerza media que recibió la pelota durante el rebote, si este duró 0,01 s? (Desprecie la fuerza de gravedad). 3) Un cuerpo esférico de masa “m" que se mueve horizontalmente con una velocidad V 0 = 6 m/s hace contacto con la superficie superior de un carro de masa M = 5m, inicialmente en reposo. Si no existe rozamiento, hallar la velocidad de "m” cuando sale por la parte superior de la superficie cilíndrica de radio R = 1,1 m (g = 10 m/s²). 4) Un niño se encuentra sentado sobre una plataforma, la cual se mueve con una rapidez V0, la masa del niño es “m” y la de la plataforma 2 m, otro niño de masa “m” corre hacia la plataforma con una rapidez 2 V 0, la alcanza y luego sube en ella. ¿Cuál será la velocidad que habrá adquirido la plataforma luego de este suceso? 5) Un carro de masa M puede moverse sin fricción sobre un plano horizontal. En el techo del carro fue colgada una esfera de masa “m” (M = 9m) unido a una cuerda de longitud 1,0 m. En el momento inicial el carro y la esfera estaban en reposo, y la cuerda fue inclinada un ángulo de 60° con respecto a la vertical. Luego es soltada la esfera. ¿Cuál será la velocidad del carro en el instante, cuando la cuerda está en posición vertical?
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL 6) Un hombre de masa “m” se mueve sobre una tabla de masa M (M = 4m). Sabiendo que la tabla puede moverse libremente sin rozamiento sobre el plano horizontal, determinar el desplazamiento del hombre respecto de la tierra cuando se mueve de extremo a extremo de la tabla de longitud 5 metros. 7) En la proa y en la popa de un bote de masa M = 70 kg, están sentados a una distancia L = 8m una de otra, dos personas A (80 kg) y B (50 kg). Despreciando la resistencia del agua, determinar en qué sentido y distancia se desplazará el bote si las personas se cambian de asiento. 8) La figura muestra dos bloques A y B de masas 1 kg y 2 kg, respectivamente. Si se obliga a los bloques a aproximarse comprimiendo el resorte y luego se libera el sistema del reposo, se observa que el bloque B tiene una velocidad máxima de 0,5 m/s. Suponiendo que la masa del resorte es despreciable y que se desprecia la fricción, ¿cuál fue la energía potencial almacenada originalmente en el resorte? 9) Una esfera de masa m = 1,0 kg se abandona en la parte superior de un bloque de masa M = 2,0 kg que se encuentra en reposo, como indica la figura. Despreciando toda forma de rozamiento, hallar la velocidad de la esfera cuando abandona la superficie cilíndrica de radio de curvatura R = 0,3 m. 10) Un automóvil de masa “m" se encuentra inicialmente en reposo sobre un plano inclinado áspero de masa M (7M = 9m) que hace un ángulo de 37° con la horizontal y se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal perfectamente lisa. Si el automóvil comienza a subir sobre el plano inclinado, sin resbalar, y el velocímetro de éste marca 20 km/h, hallar la velocidad del plano inclinado respecto de la Tierra.
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Choques o Colisiones Un choque es aquel fenómeno que se produce cuando dos cuerpos interactúan por contacto durante un tiempo muy breve y se originan fuerzas impulsivas o impulsoras variables y muy intensas.
Durante el choque, los cuerpos que interactúan se deforman debido a las enormes fuerzas que surgen. Según sea la línea de movimiento de los cuerpos los choques se clasifican en: Choque Frontal: Son aquellos que se caracterizan porque antes y después de producido el choque, los cuerpos se desplazan a lo largo de la misma línea de acción.
Choque oblicuo: Son aquellos a través de los cuales se transfiere cantidad de movimiento lineal e inclusive se transmite momento angular (L), puesto que las líneas de acción de los cuerpos antes y después del choque son diferentes. Estos choques se denominan también bidimensionales.
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Observaciones •
•
•
•
•
Durante un choque o colisión la cantidad de movimiento de cada uno de los cuerpos en interacción y su energía varían, produciéndose de esta manera un intercambio de cantidad de movimiento y energía. Cuando la energía cinética total tiene el mismo valor antes y después del choque, es decir, la energía cinética del sistema se conserva, el choque es elástico. En general, una colisión es elástico cuando los cuerpos que chocan no sufren deformaciones permanentes durante el impacto. En caso contrario, si los cuerpos presentan deformaciones permanentes debido a la colisión o se hubiera producido calor durante el choque, hallaríamos que hubo una reducción en el valor de la energía cinética del sistema, pues parte de esta energía se utilizó para producir las deformaciones, o bien, se transformó en calor. Siempre que los valores de la energía cinética del sistema, antes y después del choque, son diferentes, decimos que el choque es inelástico. Un caso particular de colisión inelástica se produce cuando los cuerpos, luego de chocar, adquieren igual velocidad. Esto sucede, por ejemplo, cuando chocan dos automóviles y se mueven pegados después de la colisión. En este caso se realiza la mayor reducción posible en el valor de la energía cinética del sistema. Por ello, este tipo de impacto recibe el nombre de choque completamente inelástico (plástico).
CLASIFICACIÓN DE LOS CHOQUES SEGÚN LA D ISIPACIÓN DE LA ENERGÍA Choque perfectamente elástico (e = 1): Es un choque ideal, durante la cual los cuerpos no experimentan ninguna deformación permanente, ni tampoco liberan energía (calor). Por consiguiente, la energía cinética se conserva durante el choque . Choque elástico (0 < e < 1): Es aquel choque, que durante la interacción de los cuerpos se libera energía en forma de calor o por deformación de los cuerpos. Por consiguiente, la energía cinética final es menor que la inicial. Choqu e perfectamente inel ástic o (e = 0): Es aquel choque que durante su realización se libera energía en forma de calor, deformándose permanentemente los cuerpos, tal que después del choque los cuerpos avanzan juntos con la misma velocidad. La energía cinética que se pierde se gasta en la deformación de los cuerpos. La energía cinética que se pierde se gasta en la deformación de los cuerpos.
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COEFICIENTE DE RESTITUCION Es un factor adimensional que nos define la relación entre la velocidad relativa de alejamiento después del choque y la velocidad relativa de acercamiento antes del choque. Este coeficiente es muy usual, para los análisis de choques frontales, puesto que nos va a permitir distinguir los choques mediante un análisis cuantitativo de su valor comprendido entre cero y la unidad. Así por ejemplo tenemos: Antes del choque
Definimos:
ℎ 1 2 =
Después del choque
Definimos:
ℎ 2 1 12 21 =
Por definición:
=
=
LEY DE RFLEXION EN LOS CHOQUES
Una partícula incide sobre una superficie rugosa “µ” formando un ángul o “α” respecto de la normal y rebota formando un ángulo “β” El coeficiente de restitución “e” entre la partícula y la superficie es:
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=
tan tan
+
Casos Particulares I.
Una partícula incide sobre una superficie perfectamente lisa, formando un ángulo α respecto de la normal y rebota form ando un ánguloβ . El coeficiente de restitución entre la partícula y la superficie es:
=
II. III.
tan tan
Para un choque perfectamente elástico (e = 1), el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión son ¡guales. Si, e = 1 => α = β Cuando una partícula choca perpendicularmente con una superficie fija (tierra), su velocidad de incidencia “v” y su velocidad de reflexión U se relacionan del siguiente modo:
⇒ ≤ =
IV.
1
Cuando una partícula es abandonada desde una altura H y choca con una superficie horizontal, la altura máxima que alcanza después del primer rebote será:
ℎ 2 =
<1
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Trabajo Practico Nº 14 1) Una pelota pequeña de 0,5 kg. se mueve con una velocidad de 20 m/s horizontalmente, impacta con una pared vertical y luego rebota. Si el coeficiente de restitución es 0.8. Calcular el impulso que le da la pared a la pelota. 2) Una partícula es lanzada contra una superficie horizontal con un ángulo " θ " respecto de la vertical. El coeficiente de restitución para el choque es e = 1 / 2 y el coeficiente de fricción estática entre la partícula y la superficie es µ = 0,5. ¿Para qué ángulo de incidencia " θ " el rebote será vertical?
3) Un bloquecito de masa "m " se desliza partiendo del reposo por un tobogán completamente liso que termina horizontalmente, de tal manera que el bloquecito impacta sobre el péndulo de masa "M " al que queda adherido, elevándose los dos hasta una altura "h" máxima. Hallar "h" L: longitud de la cuerda. 4) Un bloque "A " de masa 2 kg. se desliza sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad de 10 m/s directamente y frente a él se mueve un bloque "B" de masa 5 kg. con una velocidad de 3 m/s, en la misma dirección y sentido. Si un resorte de masa despreciable y coeficiente de elasticidad K = 1120 N/m va fijo en la parte posterior de "B ", como indica la figura. Hallar la máxima deformación del resorte cuando chocan los bloques. 5) Un péndulo formado por una esferita de masa "m " e hilo de longitud L = 2,0 m, se desvía un ángulo θ = 60° respecto de la vertical y se suelta sin velocidad inicial. La esferita choca con un bloque de masa M (M = 2m) con coeficiente de restitución e = 1/2 Determinar el espacio recorrido por el bloque sobre el plano horizontal hasta detenerse, si el coeficiente de rozamiento cinético es 0.5. 6) En un plano horizontal descansa una cuña cuyo ángulo de inclinación es igual a 30°, y su masa, igual a M. Desde una altura H cae libremente una esferita de masa “m” y
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL después de golpear en forma elástica (e = 1) a la cuña, rebota formando un ángulo de 30° con la horizontal. ¿A qué altura se elevará la esferita? Despreciar la fricción entre la cuña y el plano horizontal. 7) Un bloque de masa M se encuentra asociado a un carrito de masa M0 mediante un resorte ingrávido de constante elástica k = 20 000 N/m, inicialmente en reposo. Se dispara horizontalm ente una bala de masa “m” con velocidad V (mv = 300 Ns). Si después del choque la bala queda incrustada en el bloque de masa M (M = 8m), hallar la máxima deformación del resorte. Desprecie toda form a de rozamiento. Considere: M 0 = 9m 8) Una esfera de masa M pende de un hilo de longitud L. La esfera es golpeada horizontalmente por un proyectil de masa “m” y que se introduce en ella. ¿Cuál debe ser la velocidad mínima del proyectil para que después de golpear la esfera, ésta alcance a realizar un ciclo completo en el plano vertical? 9) Una bala de masa “m” con velocidad “V” pasa a través de la esfera de un péndulo de masa M, saliendo con una velocidad V/2, tal como se aprecia en la figura. La esfera pendular cuelga del extremo de la cuerda de longitud L. ¿Cuál es el menor valor de “v” para el cual el péndulo realizará una circunferencia completa? 10) Se dispara una bala de 20 g en dirección horizontal hacia el bloque A (1 kg) y se introduce en el bloque B (3 kg). La bala comunica a los bloques A y B velocidades de 5 y 4 m/s respectivamente. Calcular: a) La velocidad inicial “v” de la bala. b) La velocidad de la bala en el espacio comprendido entre ambos bloques.
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Elasticidad Hasta ahora hemos estudiado objetos en movimiento o en reposo. Se ha partido de la suposición de que los objetos son rígidos y totalmente sólidos. Sin embargo, sabemos que el alambre puede alargarse, que los neumáticos de hule se comprimen y que los pernos se rompen en algunas ocasiones. Para tener una comprensión más completa de la naturaleza, es necesario estudiar las propiedades mecánicas de la materia.
Propiedades Elasticas de la materia Definimos como cuerpo elástico aquel que recobra su tamaño y su forma originales cuando deja de actuar sobre él una fuerza deformante. Considere el resorte de longitud l. Podemos estudiar su elasticidad añadiendo pesas sucesivamente y observando el incremento en su longitud. Es evidente que existe una relación directa entre el estiramiento del resorte y la fuerza aplicada. Robert Hooke fue el primero en establecer esta relación, descubrió que cuando una fuerza F actúa sobre un resorte produce en él un alargamiento s que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza. La ley de Hooke se representa como =
La ley de Hooke no se limita al caso de los resortes en espiral; de hecho, se aplica a la deformación de todos los cuerpos elásticos. Para que la ley se pueda aplicar de un modo más general, es conveniente definir los términos esfuerzo y deformación. El esfuerzo se refiere a la causa de una deformación elástica, mientras que la deformación se refiere a su efecto, en otras palabras, a la alteración de la forma en sí misma.
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Esfuerzos
En la figura se muestran tres tipos comunes de esfuerzos y sus correspondientes deformaciones. Un esfuerzo de tensión se presenta cuando fuerzas iguales y opuestas se apartan entre sí. En un esfuerzo de compresión las fuerzas son iguales y opuestas y se acercan entre sí. Un esfuerzo cortante ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas no tienen la misma línea de acción. La eficacia de cualquier fuerza que produce un esfuerzo depende en gran medida del área sobre la que se distribuye la fuerza. “ Esfuerzo es la razón de una fuerza aplic ada entre el área sob re la que actúa, por ejempl o, newtons po r metro cuadrado o libras por pie cuadrado.” Como se mencionó antes, el término deformación representa el efecto de un esfuerzo dado. La definición general de deformación es la siguiente: “ Deformación es el cambio relativo en las dimensiones o en la forma de un cuerpo como resultado de la aplic ación de un esfuerzo.” En el caso de un esfuerzo de tensión o de compresión, la deformación puede considerarse como un cambio en la longitud por unidad de longitud. Un esfuerzo cortante, por otra parte, puede alterar únicamente la forma de un cuerpo sin cambiar sus dimensiones. Generalmente el esfuerzo cortante se mide en función de un desplazamiento angular.
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Limite eslastico El límite elástico es el esfuerzo máximo que puede sufrir un cuerpo sin que la deformación sea permanente. Por ejemplo, una varilla de aluminio cuya área en sección transversal es de 1 in² se deforma permanentemente si se le aplica un esfuerzo de tensión mayor de 19000Ib. Esto o significa que la varilla de aluminio se romperá en ese punto, sino únicamente que el cable no recuperará su tamaño original. En realidad, se puede incrementar la tensión hasta casi 21000 Ib antes de que la varilla se rompa. Esta propiedad de los metales les permite ser convertidos en alambres de secciones transversales más pequeñas. El mayor esfuerzo al que se puede someter un alambre sin que se rompa recibe el nombre de resistencia límite. Si no se excede el límite elástico de un material, podemos aplicar la ley de Hooke a cualquier deformación elástica. La ley de Hooke establece: “ Siempre que no se exceda el límite elástico, una deformación elástica es di rectamente propo rcional a l a magnitud d e la fuerza aplicada po r unid ad de área (esfuerzo).” Si llamamos a la constante de proporcionalidad el módulo de elasticidad, podemos escribir la ley de Hooke en su forma más general:
=
Modulo de Young
Vamos a considerar que los esfuerzos y deformaciones son longitudinales cuando se aplican a alambres, varillas o barras. Por ejemplo, en la figura una fuerza F se aplica al extremo de un alambre con un área en sección transversal A. El esfuerzo longitudinal está dado por
=
La unidad métrica para el esfuerzo es el newton por metro cuadrado, que es idéntico al pascal (Pa).
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL El efecto de tal esfuerzo es el alargamiento del alambre, o sea, un incremento en su longitud. Por tanto, la deformación longitudinal puede representarse mediante el cambio de longitud por unidad de longitud. Podemos escribir
∆ =
donde I es la longitud original y Δl es la elongación (alargamiento total). Se ha demostrado experimentalmente que hay una disminución similar en la longitud como resultado de un esfuerzo de compresión. Las mismas ecuaciones se aplican ya sea que se trate de un objeto sujeto a tensión o de un objeto sujeto a compresión. Si definimos el módulo de elasticidad longitudinal como módulo de Young Y, podemos escribir la ecuación como
∆ ∆ =
=
=
Las unidades del módulo de Young son las mismas que las unidades de esfuerzo: libras por pulgada cuadrada o pascales.
Modulo de Corte Los esfuerzos de compresión y de tensión producen un ligero cambio en las dimensiones lineales. Como se mencionó antes, un esfuerzo cortante altera únicamente la forma del cuerpo, sin que cambie su volumen. El esfuerzo cortante se define como la relación de la fuerza tangencial F entre el área A sobre la que se aplica. La deformación cortante se define como el ángulo Φ (en radianes), que se conoce como ángulo de corte (consulte la figura 13.5b). Si se aplica la ley de Hooke, podemos ahora definir el módulo de corte S en la siguiente forma:
∅ =
=
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL El ángulo Φ por lo general es tan pequeño que es aproximadamente igual a tan Φ. Aprovechando este hecho, podemos volver a escribir la ecuación en la siguiente forma:
∅ =
tan
=
=
Debido a que el valor de S nos da información sobre la rigidez de un cuerpo, a veces se le conoce como módulo de rigidez.
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Trabajo Practico Nº 15 1) ¿Qué diámetro mínimo debe tener un cable de acero de esfuerzo de rotura igual a σ r = 7,85.10⁸ N/m² para soportar una carga de peso W=9,86.10³? 2) Del extremo de un cable de acero de longitud l = 4 m , sección transversal de diámetro D=2 mm, y módulo de Young E=2,16.10¹¹ N/m2 se cuelga un hombre de peso W= 686 N. Hallar la deformación en la longitud del cable.N? 3) Al elevar verticalmente un bloque de p eso W= 10⁴ N con un cable de longitud l = 2 m, área de sección A= 0,1 cm² y módulo de Young E=2.10¹¹ N/m², este experimenta un largamiento de Δl = 14 mm. Hallar la aceleración con la que se elevo el bloque.(g=10 m/s²) 4) ¿En cuánto se comprime la columna de una catedral de altura h=30 m, densidad ρ = 2,7 g/cm³ y módulo de Young E = 10¹¹ N/m², debido a su propio peso? (g=10 m/s²) 5) Un alambre de acero de longitud l = 5 m, área de sección recta A = 0,04 cm² y módulo de Young E = 2,46.10⁶ N/cm² está suspendido en la vertical. En su extremo inferior se le cuelga un bloque de peso W = 2 N efectuando oscilaciones verticales. Hallar el período de estas oscilaciones. (g=1 0 m/s²) 6) Un alambre de cobre (1) y otro de acero (2) de longitudes l1 =8 cm , l2 =4 cm, secciones transversales iguales, y módulos de Young E 1=11,8 .10¹º N/m², E 2=21,6.10¹º N/m² se someten por separado a una misma tracción. Hallar la razón de las deformaciones en sus longitudes ( Δl1/Δl2). 7) Un bloque de peso P al suspenderse verticalmente de un alambre homogéneo lo deforma, siendo la densidad de energía potencial elástica del alambre w=2.105 J/m3 y la deformación unitaria en su longitud = 2.10 ³. Hallar el módulo de Young. 8) A un alambre de masa m=36 g, longitud l =1 m, y módulo de Young E= 11,8.10¹º N/m² se le aplica una tracción de F=50 0 N, estirándose una longitud Δl = 1 mm. Hallar la densidad de masa del alambre. 9) Una esferita de peso W= 9,81 N esta unida al extremo de un alambre de hierro de Iongitud l = 50 cm, di ámetro de su sección transversal D=1 mm y esfuerzo de rotura σ r =2,94.10⁸ N.m² ¿A qué máxima frecuencia puede girar el alambre con l a esferita, en un plano vertical, sin romperse el alambre? 10) Un niño lanza una piedra de masa m=20 g con una lanzadera cuyo cordón de jebe tiene una longitud de l0 =42 cm y sección de radio r=3 mm, estirándose el cordón una Iongitud de Δl = 20 cm al desprenderse la piedra con una velocidad de v=20 m/s. Hallar el módulo de Young del cordón.
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Rotacion de Cuerpos Rigidos Se ha considerado únicamente el movimiento traslacional, en el que la posición de un objeto cambia a lo largo de una línea recta. Pero es posible que un objeto se mueva en una trayectoria curva o que tenga un movimiento rotacional. Por ejemplo, las ruedas, ejes, poleas, giróscopos y muchos otros dispositivos mecánicos, giran sobre su eje sin que haya movimiento traslacional.
Desplazamiento Angular El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación. Si el punto A en el disco giratorio de la figura, gira sobre su eje hasta el punto B. el desplazamiento angular se denota por el ángulo θ. Hay varias formas de medir este ángulo. Ya nos hemos familiarizado con las unidades de grados y revoluciones, las cuales están relacionadas de acuerdo con la definición 1rev = 360º. Ninguna de estas unidades es útil para describir la rotación de cuerpos rígidos. Una medida más fácil de aplicar el desplazamiento angular es el radián (rad). Un ángulo de 1 rad es un ángulo central cuyo arco s es igual en longitud al radio R. Es más común que el radián se defina por la siguiente ecuación:
Velocidad Angular A la razón de cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo se le llama velocidad angular. Por lo tanto, si un objeto gira a través de un ángulo θ en un tiempo t, su velocidad angular media está dada por
Aun cuando la velocidad angular puede expresarse en revoluciones por minuto (rpm) o revoluciones por segundo (rev/s), en la mayoría de los problemas físicos es necesario utilizar radianes por segundo para adaptarse a la opción básica del desplazamiento angular θ en radianes. Tenga en mente que la velocidad angular puede estar en el sentido de las manecillas
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL del reloj o contrasentido; es decir, tiene dirección. Debemos elegir una dirección positiva para la rotación y sustituir los signos que concuerden con esa elección. Puesto que la velocidad de rotación en gran número de problemas técnicos se expresa en términos revoluciones por minuto o revoluciones por segundo, es conveniente hallar una expresión para la conversión a radianes por segundo. Si la frecuencia de revoluciones en rev/s se denota por medio del símbolo f , la velocidad angular en rad/s está dada por
Aceleracion Angular Al igual que el movimiento rectilíneo, el movimiento rotacional puede ser uniforme o acelerado. La velocidad de la rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento de torsión resultante. Por ejemplo, si la velocidad angular cambia de un valor inicial ωo a un valor final ωf en un tiempo t, la aceleración angular es
Relacion entre los mo vimientos Rotacional y Traslacional El eje de rotación de un cuerpo rígido que gira se puede definir como la línea de partículas que permanecen estacionarias durante la rotación. Se puede tratar de una línea a través del cuerpo, como en el caso de un trompo, o puede ser una línea a través del espacio, como un aro en rotación. En cualquier caso, nuestra experiencia nos dice que cuanto más lejos está la partícula del eje de rotación, mayor es su velocidad tangencial.
Ahora deduzcamos una relación similar en términos de velocidad angular. La partícula de la figura gira a través de un arco s que se describe como
Si la distancia es recorrida en un tiempo t, la velocidad tangencial de la partícula está dada por
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Puesto que θ /t = ω, la velocidad tangencial se puede expresar como una función de la velocidad angular.
Consideremos de nuevo una partícula que se mueve en un círculo de radio R y supongamos que la velocidad tangencial cambia de cierto valor inicial V o al valor final V f en un tiempo t. La aceleración tangencial aT de dicha partícula está dada por
podemos expresar también la aceleración tangencial en función de un cambio en la velocidad angular.
Debemos ser cuidadosos en distinguir entre la aceleración tangencial, y la aceleración centrípeta definida por
La aceleración tangencial representa un cambio en la velocidad tangencial, mientras que la aceleración centrípeta representa tan sólo un cambio en la dirección del movimiento.
Energia Cinetica Rotacional – Momento de Inercia Hemos visto que una partícula que se mueve en un círculo de radio R tiene una rapidez lineal dada por
Si la partícula tiene una masa m, tendrá una energía cinética que se obtiene por
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Un cuerpo rígido como el de la figura se puede considerar formado por muchas partículas de diferentes masas localizadas a diversas distancias del eje de rotación O. La energía cinética total de un cuerpo será entonces la suma de las energías cinéticas de cada partícula que forma el cuerpo. Así.
Puesto que la constante ½ y la velocidad angular ω son las mismas para todas las partículas, se puede reorganizar la ecuación anterior y obtener
La cantidad entre paréntesis, Σ mr², tiene el mismo valor para un cuerpo dado
independientementede su estado de movimiento. Se define esta cantidad como el momento de inercia y se representa por I. La unidad del SI para I es el kilogramo-metro al cuadrado. Utilizando esta definición, podemos expresar la energía cinética rotacional de un cuerpo en términos de su momento de inercia y de su velocidad angular:
Segunda Ley del Movimiento en la Rotacion Suponga que analizamos el movimiento de rotación de un cuerpo rígido. Considere a una fuerza F que actúa sobre la pequeña masa m, indicada por la porción sombreada del objeto, a una distancia r del eje de rotación. La fuerza
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL F aplicada en forma perpendicular a r hace que el cuerpo gire con una aceleración tangencial:
donde α es la aceleración angular. Partiendo de la segunda ley de Newton del movimiento,
Al multiplicar ambos lados de esta relación por r queda
La cantidad Fr se reconoce como el momento de torsión producido por la fuerza F con respecto al eje de rotación. Por lo tanto, para la masa m escribimos
El momento de torsión resultante en todo el cuerpo es
“ Un momento de torsión resultante aplicado a un cuerpo rígido siempre genera una aceleración angular que es directamente proporc ional al momento d e torsión aplicado e inversamente proporcion al al momento de inercia del cuerpo.”
Trabajo y Potencia Rotacionales Se definió el trabajo como el producto de un desplazamiento por la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. Ahora consideremos el trabajo realizado en el desplazamiento rotacional bajo la influencia de un momento de torsión resultante. Considere la fuerza F que actúa al borde de una polea de radio r, como muestra la figura. El efecto de dicha fuerza es hacer girar la polea a través de un ángulo θ mientras el punto en el que se aplica la fuerza se mueve una distancia s. La longitud de arco s se relaciona con θ mediante Así, el trabajo de la fuerza F es por definición
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL pero Fr es el momento de torsión debido a la fuerza, por lo que obtenemos
El ángulo θ debe expresarse en radianes en cualquier sistema de unidades de modo que el
trabajo pueda expresarse en libras-pie o joules. La energía mecánica generalmente se transmite en la forma de trabajo rotacional. Cuando hablamos de la potencia de salida que desarrollan las máquinas, lo que nos interesa es la razón de cambio con que se realiza el trabajo rotacional. Por tanto, la potencia rotacional puede determinarse dividiendo ambos lados la ecuación entre el tiempo t requerido para que el momento de torsión lleve a cabo un desplazamiento θ:
Puesto que θ/t represe nta la velocidad angular media ω , escribimos
Rotacion Rotacion y Traslacion com binadas En anteriormente, resultaba conveniente considerar los movimientos de objetos suponiendo que éstos podían representarse como una partícula. No era necesario considerar la rotación o giro, porque una partícula o masa puntual no tiene dimensiones físicas. El movimiento rotacional entra en juego cuando analizamos el movimiento de objetos sólidos o cuerpos rígidos. Un cuerpo rígido puede someterse a movimientos traslacional y rotacional. El movimiento traslacional es básicamente el movimiento rectilíneo que estudiamos primeramente. Si un objeto únicamente tiene movimiento traslacional (puro), todas sus partículas tienen la misma velocidad instantánea, lo cual implica que el objeto no está girando. Un objeto podría tener únicamente movimiento rotacional (puro), es decir, movimiento en torno a un eje fijo. En este caso, todas las partículas del objeto tienen la misma velocidad angular instantánea y viajan en círculos en torno al eje de rotación. El movimiento general de los cuerpos rígidos es una combinación de movimiento traslacional y rotacional. Un ejemplo común de movimiento de cuerpo rígido en el que intervienen tanto traslación como rotación es el rodamiento.
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Cuando un objeto rueda sin resbalar, la longitud del arco entre dos puntos de contacto en la circunferencia es igual a la distancia lineal recorrida. Esta distancia es s = rθ . La rapidez del centro de masa es V CM = rω.
Si llevamos la ecuación anterior un poco más lejos, escribiremos una expresión para la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.
Cantidad Cantidad de Movimiento Angular Angul ar Considere una partícula de masa m que se mueve en un círculo de radio r, como muestra la figura a. Si su velocidad tangencial es v, tendrá una cantidad de movimiento rectilíneo p = mv. Con respecto al eje de rotación fijado, definimos la cantidad de movimiento angular “ L” de la partícula como el producto de su cantidad de movimiento rectilíneo por la distancia perpendicular que va del eje a la partícula que gira.
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Ahora consideremos la definición de la cantidad de movimiento angular cuando ésta se aplica a un cuerpo rígido extenso. La figura b describe este tipo de cuerpo, el cual gira alrededor al rededor de su eje O. Cada partícula del cuerpo tiene una cantidad de movimiento angular dado por la ecuación expresada. Sustituyendo v = ωr, cada partícula tiene una cantidad de movimiento angular dada por
Puesto que el cuerpo es rígido, todas las partículas que lo forman tienen la misma velocidad angular, y la cantidad de movimiento angular del cuerpo es
Por tanto, la cantidad de movimiento angular total es igual al producto de la velocidad angular del cuerpo por su momento de inercia:
Conservacion Conservacion de la Cantidad Cantidad d e Movimi Movimiento ento Angu lar Podemos entender mejor la definición de movimiento si regresamos a la ecuación básica para el movimiento angular, Recuerde la ecuación que define la aceleración angular
podemos escribir la segunda ley de Newton como
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Al multiplicar por t, obtenemos
Si no se aplica ningún momento de torsión externo a un cuerpo que gira, podemos establecer
De esta manera, llegamos a un enunciado para expresar la conservación de la cantidad de movimiento angular: “ Si la suma de los momentos de torsión externos qu e actúan sobre un cuerpo o si stema de cuerpos es c ero, la cantidad de mov imiento angular permanece sin cambios.”
Este enunciado resulta verdadero aun en el caso de que el cuerpo que gira no sea rígido, sino que pueda cambiar su forma de tal modo que su momento de inercia cambie. En este caso, la rapidez angular también cambia de tal modo que el producto I ω siempre es constante. Los patinadores, clavadistas y acróbatas controlan la rapidez con que giran sus cuerpos extendiendo o encogiendo sus extremidades para aumentar o disminuir su rapidez angular. Un experimento interesante que ilustra la conservación de la cantidad de movimiento angular se muestra en la figura. Una mujer está parada sobre una plataforma giratoria y sostiene unas pesas grandes en cada mano. Al principio, empieza a girar con los brazos completamente extendidos. Al acercar las manos a su cuerpo, disminuye su momento de inercia. Dado que la cantidad de su movimiento angular no puede cambiar notará un aumento considerable en su rapidez angular. Al extender sus brazos podrá disminuir su rapidez angular.
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Trabajo Practico Nº 16 1) Una rueda de molino de 1 metro de radio y 400 kg recibe un par constante de 200 Nm de las aspas introducidas en el agua. Calcúlese la aceleración a que está sometida. 2) A un cilindro de radio 10 cm y 4 kg se arrolla una cuerda. Calcúlese: a) si se le cuelga un peso de 1 N, la aceleración angular del cilindro; b) si se tira del extremo de la cuerda con una fuerza de 1 N, la aceleración angular del cilindro. I = ½ mr². 3) En lo alto de un plano inclinado 30° sobre la horizontal, de longitud de 10 metros, se coloca un cilindro para que caiga rodando sin deslizar. Suponiendo que toda la energía potencial del cilindro se transforma íntegramente en energía cinética de traslación y energía cinética de rotación del cilindro al llegar al suelo, deducir con que velocidad llega a este. 4) Una bola de billar (esfera maciza y homogénea), de masa de 100 g, tiene un diámetro de 6 cm. Si corre rodando sin deslizar a una velocidad de 3 m/s, ¿qué energía cinética posee? 5) Un cilindro de masa 5 kg puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por el centro de sus bases. El radio del cilindro es 10 cm. Externamente el cilindro lleva arrollada una cuerda de la que cuelga un cuerpo de 50 g. Deducir: a) la aceleración angular del cilindro; b) la aceleración lineal de la cuerda; c) la longitud de cuerda desenrollada en 5 segundos. 6) Un aro de espesor despreciable, de 3 mm de diámetro y masa 3 g gira a razón de 180 r.p.m. Calcular: su energía cinética de rotación; el par de frenado que habría que aplicarle para que se detenga después de efectuar 25 vuelas; el tiempo que tardara en pararse. 7) Un cuerpo gira sin rozamiento en torno a su eje fijo vertical con una velocidad angular de 2000 revoluciones por minuto. El momento de inercia respecto al eje de giro es de 5.10 ⁴ kgm². En estas condiciones se adhiere en un punto de la superficie que dista 0,1 m del centro, una pequeña partícula de 10 g que inicialmente estaba en reposo. ¿Cuánto vale la velocidad de rotación final del conjunto cuerpo – partícula? 8) Una rueda de 50 kg gira con una velocidad de 3000 rev/min, supuesta concentrada su masa en la periferia a una distancia de 50 cm del eje de giro. Sobre la periferia se aplica tangencialmente una fuerza constante que le hace parar en 1 minuto. Se pregunta: 1) el valor y signo de la aceleración angular; 2) el número de vueltas que da la rueda en el minuto considerado; 3) el valor de la fuerza aplicada; 4) la perdida de energía cinética de rotación experimentada por la rueda al pararse.
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Movimiento Armonico Simple Es aquel movimiento rectilíneo realizado por un móvil que es oscilatorio y periódico, donde su aceleración siempre señala hacia la posición de equilibrio y su magnitud es directamente proporcional a la distancia del móvil a la posición de equilibrio (elongación).
Oscilacion Completa Movimiento de ida de P a Q y de regreso de Q a P.
Periodo (T) Tiempo empleado en dar cada oscilación completa.
Frecuencia (f ) Es el número de oscilaciones completas efectuadas en la unidad de tiempo. Matemáticamente la frecuencia es la inversa del período.
∆ � =
=
1
:
(
) 1
Elongacion (x)
Es la distancia medida desde el punto de equilibrio al lugar donde se encuentra el cuerpo en movimiento en un instante cualquiera. A la elongación “x” se le da convencionalmente un signo, para ubicar la posición del cuerpo con relación al punto de equilibrio.
Amplitud (A)
Es la máxima elongación alcanzada por un cuerpo oscilante:
=
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Fuerza deformadora Es aquella fuerza exterior que deforma parcial o permanentemente a un cuerpo. Cuando esta fuerza deforma lineal y parcialmente a un cuerpo elástico; su módulo obedece a la Ley de Hooke
( =
)
Fuerza Recuperadora Fuerza interna que se manifiesta en los cuerpos elásticos, al ser estirados o comprimidos. Ejemplo: Analicemos al bloque en un instante cualquiera de su movimiento: Al hacer el diagrama de fuerzas, se determina que: •
=
=
=
Como para este caso particular, en la “PE” el resorte se encuentra sin deformar, entonces el módulo de la posición coincide con el de la deformación del resorte. •
•
•
El signo (-) se debe a que la fuerza tiende a volver a “PE”. La fuerza recuperadora es la tensión o comprensión de los resortes que se oponen a la fuerza externa o deformadora.
Proyecciones con M.A.S. Al proyectar el “M.C.U.” en un plano horizontal, se concluye que: la proyección horizontal de M.C.U., es un “M.A.S.”
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Ecuaciones del M.A.S. A continuación, definiremos las ecuaciones de la posición o elongación, velocidad, aceleración y período de una partícula que realiza un M.A.S. para lo cual analizaremos el movimiento de la proyección ortogonal (P) sobre el diámetro de la circunferencia, que describe un móvil “M” que se mueve con un M.C.U. ( ω= cte.) de radio: R = A En el gráfico masa-resorte que realiza el M.A.S. se mueve o desplaza en torno a la posición de equilibrio (P.E.) en donde: x= 0, en consecuencia, todos los desplazamientos se miden y medirán a partir de este punto. En la circunferencia su centro geométrico coincide con la P.E. (posición de equilibrio) y el ángulo de rotación (θ) empezaremos a medirlo a partir de la vertical que pasa por este punto o posición.
Ecuacion de la Posicion para el M.A.S. Tomaremos como línea de referencia el diámetro que pasa por la posición de equilibrio (x = 0) •
En la figura adyacente; "es la fase inicial que nos indica la desviación del cuerpo o partícula de su posición de equilibrio en el instante inicial; t= 0 (inicio del movimiento). •
Recordando que en el M.C.U. ( α = ω t), y del triángulo sombreado: x = A sen ( ω t + θ ) •
Esta ecuación nos permite determinar la posición (x) del móvil en cualquier instante de tiempo (t), donde: A: Amplitud de oscilación, se expresa en "m" o "cm". •
Para el M.C.U., es la rapidez angular, pero; para el M.A.S. se denomina: Frecuencia Cíclica y se expresa en (rad/s).
Además:
•
2 ⇒ 2 =
=2
=
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Pág. 128 Donde:
:
:
:
,
(
)
Ecuacion de la Velocidad para el M.A.S.
Al igual que para determinar la Ecuación para la posición, se puede hacer una analogía con el “M.C.U.” haremos lo mismo para determinar la Ecuación de la velocidad: En la figura después de un tiempo “t”, el móvil tiene una velocidad tangencial “V T”, mientras que su proyección que realiza el M.A.S. tiene una velocidad •
⇒ =
cos( +
)
=
cos( +
)
Esta ecuación nos permite determinar la velocidad del móvil en cualquier instante de tiempo. •
•
De la ecuación obtenida, se logra deducir que:
=
. .
=0
•
•
•
√ 2 2
Además, note del triángulo rectángulo cos( +
)=
−
Reemplazando en la ecuación: = Esta ecuación sólo nos permite determinar el módulo de la velocidad (rapidez) conociendo la posición del móvil.
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Ecuacion de la Aceleracion para el M.A.S. Debemos tener presente que siendo el “M.C.U.” un movimiento donde la rapidez (V) no varía; entonces
⇒ 2 2 2 =0
•
=
Del gráfico: =
Sabemos que
=
; Tambien
=
sin( + )
=
=
=
Reemplazando se tendría =
sin(
+ )
Esta ecuación nos permite determinar la aceleración del móvil en cualquier instante de tiempo. •
•
De la ecuación obtenida se logra deducir que:
2 =
=0
•
. .
2 2
Además, recordando que: =
sin(
+ )
Se tendrá que = El signo (-) indica que " " " " son direcciones contrarias Tomando módulos =
Dinamica del M.A.S.
La fuerza resultante (Fr) que actúa sobre el cuerpo que realiza el M.A.S. se llama FUERZA RECUPERADORA. Señala hacia la P.E. y su magnitud es directamente proporcional a la elongación.
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Pág. 130
Por la segunda Ley de Newton
2 =
=
Sistema Masa – Resorte
;
. .
=0
El resorte es de masa despreciable y es elástico. Efectúa el sistema un MAS. si el rozamiento es nulo.
2 2 2 ⇒ 2 ⇒ 1 ⇒ 21 12 2 12 2 12 2 12 2 12 2 12 2 =
;
Obtenemos:
Periodo (T):
Fecuencia (f) :
=
=
=
=
=
=2
=
Conservacion de la Energia Mecanica del M.A.S. =
(
)
=
•
=
+
La Energía en el extremo x = A donde V =0 es =
En el punto de equilibrio x = 0 donde la velocidad es máxima
=
Pág. 131
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Asoc iacion o conexión de resortes Los resortes unidos a masas se pueden conectar a ella, de dos formas básicas: En Serie y en Paralelo. El conjunto de resortes es factible de ser sustituido por un solo resorte equivalente y cuya constante se denomina Constante Equivalente. Puede apreciarse en el primer gráfico adjunto que, la tensión que soportan los resortes son iguales (T=Kx). Luego: •
11 22 33 1 23 =
=
=
=
El desplazamiento (xe) equivalente es igual a la suma de los desplazamientos de los resortes: •
=
+
+
(
=
+
)
+
=
+
+
En este caso la deformación (x) es igual en todos los resortes. •
123 1 2 3 ⇒ 1 2 3 •
La tensión equivalente (Te) es igual a: =
+
+
(
=
+
+
=
)
+
+
Movimiento Oscilatorio Vertical
El análisis cinemático del M.A.S. se hará de modo similar al movimiento oscilatorio en la horizontal. La oscilación es en torno a la posición de equilibrio (P.E.). Las ecuaciones a usar se escribirán; dependiendo donde está el referente angular.
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Pág. 132
2 2
A. Si se mide r esp ecto a la P.E.
=
=
sin(
cos(
sin(
=
+ )
+ )
+ )
B. Si se mide respecto al extremo positivo =
cos(
=
=
+ )
sin(
+ )
cos(
+ )
Recordar siempre (en caso de resortes) que, en la posición de equilibrio, en la masa oscilante se cumple:
Σ ⇒ ⇒ =0
=
=
:
Cuando se realice el balance energético tener presente la definición de energía de oscilación
⇒ 2 2 =
+
=
1 2
+
1 2
La energía de oscilación no es la misma que la energía total del sistema; puesto que el bloque hasta la posición de equilibrio, deformo δ al resorte.
Pendulo Simple o Matematico Es aquel sistema constituido por una masa de pequeñas dimensiones suspendidas de un hilo inextensible y peso despreciable, que puede oscilar alrededor de su posición de equilibrio; con un movimiento que es aproximadamente un armónico simple.
•
Para determinar la naturaleza de las oscilaciones, observemos que sobre la partícula que se mueve en un arco de círculo de radio “ L”, actúan el peso mg y la tensión “T" de la cuerda, del gráfico adjunto se ve que:
=
sin
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Donde el signo (-) se debe a que se opone al desplazamiento “x” •
Por la Segunda Ley de Newton considerando movimiento aproximadamente M.A.S. •
=
Igualando I y II
•
=
≈ ⇒ 2 ⇒ 2 ⇒ 22 ⇒ Para amplitudes pequeñas
•
En IV
•
En III
•
sin
De la figura =
•
•
, pendular =
2 2 ≤ =
que sin
=
(sin
=
)=
15° se cumple
sin
sin
=
=
=2
Note que el período con el cual oscila un péndulo simple no depende de la masa de la esfera ni de el ángulo que forme la cuerda con la vertical, sólo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la aceleración de la gravedad.
Ecuaciones Cinematicas de movimiento pendular Se deducen a partir de las ecuaciones del MAS.; por ello sus ecuaciones son análogas a la misma, pero con variables referidas al movimiento angular. En MAS
2 Ω 2 =
=
=
sin(
+ )
cos(
sin(
+ )
+ )
En el movimiento pendular tomando como referente pendular la P.E. =
=
=
sin(
cos(
sin(
+ )
+ )
+ )
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Trabajo Practico Nº 17 1) Un cuerpo cuelga del extremo de un resorte y oscila verticalmente con el período de 2 segundos. Al aumentar la masa del cuerpo en 1 ,0 kg, el nuevo período es de 3 segundos. ¿Cuál es el valor de la masa inicial? 2) Dada la ecuación x=4 sin (5t+3), determínese: a) su amplitud; b) su periodo; c) su frecuencia; d) su fase. 3) Determínese la ecuación del movimiento de la proyección sobre un diámetro, de un punto que describe una circunferencia de r = 20 cm en T = 2 seg, sabiendo que al comenzar el movimiento su proyección incide en el centro de la circunferencia y que, cuando se comienzan a contar los tiempos, su proyección va a dar por primera vez en la mitad del radio. 4) Se tiene un muelle tal que alarga 2 cm al colgarle 8 N. Se lo separa 2 cm de su posición de equilibrio. Calcúlese su periodo. 5) La carrocería de un camión, cuya carga es de m0 = 900 kg, baja s = 7 cm cuando se carga m1 = 1600 kg. Se pregunta: 1) el periodo de las oscilaciones que realiza así cargado; 2) el periodo de las oscilaciones que puede realizar vacío; 3) la carga a colocar para que se duplique el periodo observado en el apartado 2). 6) Un cuerpo que pesa 937 g está animado de movimiento armónico de periodo T = 4,6 seg y amplitud A = 26,8 cm. Se pide: 1) la velocidad y aceleración máximas; 2) la velocidad y aceleración del cuerpo 1/5 del periodo después de su paso por la posición de equilibrio en sentido positivo; 3) la fuerza que actúa sobre el cuerpo en las condiciones del segundo caso. 7) Del techo del laboratorio cuelga un muelle elástico helicoidal, del cual se suspende un cuerpo de 5 kg, experimentando, a causa de ello, un aumento de longitud de 1 cm. Se añaden después otros 15 kg más y se hace oscilar el sistema con una amplitud de 4 cm. Calcular: a) la frecuencia del movimiento; b) la velocidad, la aceleración y la fuerza recuperadora a los 2 segundos de haber empezado a oscilar el sistema. 8) Una partícula de 2,4 g realiza oscilaciones armónicas con un periodo de 1/6 de segundo y una amplitud de 4 cm. Calcúlese su energía cinética al pasar por la posición de equilibrio. 9) Calcular el periodo de un movimiento armónico simple sabiendo que a una distancia de 0,48 cm del centro de oscilación la aceleración vale 1,9 cm/s².
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Estatica de los Fluidos Se denomina fluido a un tipo de medio continúo formado por alguna sustancia entre cuyas moléculas sólo hay una fuerza de atracción débil. La propiedad definitoria es que los fluidos pueden cambiar de forma sin que aparezcan en su seno fuerzas restitutivas tendentes a recuperar la forma "original" (lo cual constituye la principal diferencia con un sólido deformable, donde sí hay fuerzas restitutivas). Un fluido es un conjunto de partículas que se mantienen unidas entre si por fuerzas cohesivas débiles y las paredes de un recipiente; el término engloba a los líquidos y los gases. En el cambio de forma de un fluido la posición que toman sus moléculas varía, ante una fuerza aplicada sobre ellos, pues justamente fluyen. Los líquidos toman la forma del recipiente que los aloja, manteniendo su propio volumen, mientras que los gases carecen tanto de volumen como de forma propias. Las moléculas no cohesionadas se deslizan en los líquidos, y se mueven con libertad en los gases. Los fluidos están conformados por los líquidos y los gases, siendo los segundos mucho menos viscosos (casi fluidos ideales).
Densidad (ρ) Consideremos una sustancia de masa m y cuyo volumen es V. La densidad p de una sustancia se define como la relación entre su masa y su volumen:
⇒ �3 �3 =
=
;
;
El peso de una sustancia es igual al producto de la masa por la aceleración de la gravedad
⇒ =
=
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
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Presion (p) La presión P que produce la fuerza normal F sobre el área A, es la relación de la magnitud F entre el valor del área A, es decir:
�2 =
;
=
=
Debe observarse que el valor de la presión no solo depende del valor de la fuerza ejercida F, sino también del área A sobre el cuál se distribuye la fuerza. “ Cuanto menor sea el área A sobre la cual actú a una fuerza F, tanto mayor s erá la presión que produzca”
Presion y Profundidad La forma en que la presión en un fluido varía con la profundidad se demuestra considerando un recipiente de líquido en reposo. Imaginemos que aislamos una columna rectangular de agua, como se muestra en la figura. Entonces, la fuerza sobre el fondo del recipiente bajo la columna (o sobre la mano) es igual al peso del líquido que constituye la columna. El volumen de la columna aislada de líquido es igual a la altura de la columna multiplicada por el área de su base. Por lo tanto, escribimos:
ℎ =
Como
=
=
=
� ℎ ℎ =
,
,
=
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Presion Total
0 ℎ 0 =
+
0
Donde es la presión aplicada a la superficie del líquido. En el caso de un recipiente abierto, es igual a (la presión atmosférica), es decir, el peso (fuerza) por unidad de área de los gases atmosféricos que están arriba de la superficie del líquido. La presión atmosférica media en el nivel del mar se utiliza también como unidad llamada atmosfera(atm): 1
= 101.325
5 �2
= 1.01325×10
Experimento de Torricelli
Torricelli ideó un mecanismo al que llamó barómetro, para medir la presión atmosférica, comprobando que ésta era capaz de equilibrar el peso de una columna de mercurio de 76 cm de altura, cuando el barómetro se situaba al nivel del mar. Ahora tendremos:
0 ℎ �3 �2 0 5 =
= 13600
×9,8
= 1,01×10
Manometro Es aquel instrumento que se utiliza para medir la presión de un gas encerrado en él. Como todos los puntos pertenecientes a una isobara están sometidos a la misma presión, entonces:
1 2 ⇒ ℎ =
=
+
×0,76
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Principio Fundamental de la Hidrostatica La diferencia de presiones entre dos puntos situados en un mismo líquido en reposo es directamente proporcional a la altura entre dichos puntos. Tenemos las presiones en los puntos (1) y (2)
2 ℎ2 1 ℎ1 2 1 ℎ2 ℎ1 ⇒ 2 1 =
+
=
+
Restando ambas ecuaciones
=
(
)
=
Vasos Comunicantes
Son recipientes de diversas formas comunicados entre sí por su base. Si por una de las ramas se vierte un solo líquido, la altura que alcanza en todas las ramas dicho líquido es la misma, esto es porque cuando un líquido se encuentra en reposo las presiones en todos los puntos correspondientes a un mismo nivel es la misma.
Del principio Fundamental de la Hidrostática:
1 2 3 ⇒ ℎ1 ℎ2 ℎ3 ℎ1 ℎ2 ℎ3 ⇒ ℎ1 ℎ2 ℎ3 =
=
+
=
=
=
+
=
=
+
=
Principio de Pascal
Pascal estudió la transmisión de la presión en fluidos, y el efecto que se observa se denomina así: “ La presión aplicada a un fluido encerrado se transmite sin perdida a todos lo s punto s del fluido y a las paredes del recipiente”
En el caso de un líquido incompresible, el cambio de presión se transmite de forma prácticamente instantánea. En el caso de un gas, un cambio de presión por lo general va
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL acompañado de un cambio de volumen o de temperatura (o de ambos); pero, una vez que se ha reestablecido el equilibrio, es válido el principio de Pascal.
Prensa Hidraulica Una importante aplicación del principio de Pascal lo encontramos en las máquinas hidráulicas capaces de multiplicar fuerzas. La prensa hidráulica consta de dos recipientes cilíndricas comunicantes que contienen un líquido (aceite, por ejemplo), en los que el área de la sección transversal de uno de ellos es mayor que la del otro (A 1 < A2). Si aplicamos una fuerza F 1 en el pistón del cilindro que es más pequeño, se provoca un aumento en la presión del líquido bajo el pistón. Siendo A1 el valor del área de este pistón. Esta presión P 1, se transmite al pistón de mayor área, A2. Cuando los émbolos se encuentran al mismo nivel y en equilibrio se cumple que: P1 = P2, donde P1, es la presión de bajo del émbolo A 1 y P2 es la presión de bajo del émbolo A2.
1 2 ⇒ 11 22 ⇒ 2 12 1 =
=
=
Principio de Arquimid es
Cuando un objeto se coloca en un fluido, o flota o se hunde. Esto se observa más comúnmente en los líquidos; por ejemplo, los objetos flotan o se hunden en agua. Sin embargo, se presenta el mismo efecto en gases: un objeto que cae se hunde en la atmósfera; mientras que otros objetos flotan. Las cosas flotan porque el fluido las sostiene. Por ejemplo, si sumergimos un corcho en agua y lo soltamos, el corcho subirá a la superficie y flotará ahí. Por nuestros conocimientos de fuerzas, sabemos que tal movimiento requiere una fuerza neta hacia arriba sobre el objeto. Es decir, debe actuar sobre el objeto una fuerza hacia arriba mayor que la fuerza hacia abajo de su peso. Las fuerzas se igualan cuando el objeto flota en equilibrio. La fuerza hacia arriba debida a la inmersión total o parcial de un objeto en un fluido se denomina fuerza de flotabilidad o empuje. Arquímedes realizo múltiples experimentos que concluyeron con su célebre Principio: “ Un cuerpo parcial o tot almente sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotabilidad igual en magnitud al peso del volu men del fluido desplazado”
Pág. 140
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL El peso del líquido desplazado se determina mediante la relación:
=
Luego el empuje (vertical hacia arriba) tiene como módulo:
=
En la figura la esfera se encuentra en reposo, entonces se concluye que el empuje se equilibra con el peso de la esfera.
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Trabajo Practico Nº 18 1) En el barómetro mostrado, determinar la presión absoluta del gas. Densidad del mercurio = 13600 kg/m³, Presión atmosférica = 76 cm.Hg. g = 1 0 m/s² 2) Un cuerpo pesa 100 N en el aire, 90 N en el agua y 80 N en un líquido "x". Determinar la densidad del líquido x. 3) Un bloque está sumergido parcialmente en el agua, sabiendo que el volumen no sumergido es el 20 % de su volumen total, determinar la densidad del cuerpo. Densidad del agua = 1 000 kg/m³ 4) La figura muestra a un bloque de volumen 2000 cm 3 sumergido en agua totalmente unido a una cuerda vertical que se encuentra atado en el fondo del recipiente. Si la masa del bloque es igual a 700 gramos, determinar la tensión en la cuerda AB. 5) La figura muestra dos líquidos (1) y (2) no miscibles contenidos en un recipiente. Determinar la densidad del cuerpo, sabiendo que el 10% de su volumen está sumergido en el líquido (1). Las densidades de los líquidos son: D1 = 1 000 kg/m³, D2 = 3 000 kg/m³ 6) La figura muestra dos esferas (1) y (2) de volúmenes iguales y densidades 900 kg/m ' y 1 700 kg/m3, respectivamente: Flotando en el interior de un líquido, unidos mediante una cuerda de peso despreciable. Determinar la densidad del líquido que establece el equilibrio de los cuerpos. 7) Despreciando el espesor de las paredes del recipiente cilíndrico de radio 0,5 m. ¿Cuál será el peso de dicho recipiente, si se encuentra en flotación en el agua? 8) La figura muestra un globo esférico inflado con Helio de densidad 0,1 kg/m³ y volumen 1 m³, y está unido por una cuerda de peso despreciable a un bloque de densidad 1100 kg/m³ y volumen 0,005 m³ sumergido totalmente en agua. Sabiendo que el bloque se encuentra en
Pág. 142
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL equilibrio, determinar el peso del material que está fabricado el globo. Densidad del aire = 1,2 kg/m³ 9) Le figura muestra dos bloques (1) y (2) de volúmenes iguales y de pesos 10 N y 40 N respectivamente. Despreciando to da forma de rozamiento, determinar el volumen de cada bloque, sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. 10) Un simple tubo en U que está abierto en ambos extremos se llena parcialmente con agua. Después se vierte querosene (densidad 0,82. 10³ kg/m³) en uno de los brazos del tubo, formando una columna de 6 cm de altura, como se muestra en la figura. ¿Cuál es la diferencia h en las alturas de las dos superficies del líquido?
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Hidrodinamica Hasta el momento, el estudio de los fluidos se restringió a fluidos en reposo. Ahora la atención se dirige a los fluidos en movimiento. Cuando el fluido está en movimiento, su flujo se caracteriza como uno de dos tipos principales. Se dice que el fluido es estable, o laminar, si cada partícula del fluido sigue una trayectoria uniforme de tal modo que las trayectorias de diferentes partículas nunca se cruzan unas con otras. En el flujo estable todas las partículas de fluido que llegan a un punto dado tienen la misma velocidad. Sobre cierta rapidez crítica, el flujo de fluido se vuelve turbulento. El flujo turbulento es flujo irregular que se caracteriza por pequeñas regiones con forma de remolino. El término viscosidad se usa comúnmente en la descripción del flujo de fluido para caracterizar el grado de fricción interna en el fluido. Esta fricción interna, o fuerza viscosa, se asocia con la resistencia que tienen dos capas adyacentes de fluido para moverse una en relación con la otra. La viscosidad hace que parte de la energía cinética del fluido se convierta en energía interna. Este mecanismo es similar a aquel mediante el cual un objeto que se desliza sobre una superficie horizontal rugosa pierde energía cinética. Ya que el movimiento de los fluidos reales es muy complejo y no se entiende por completo, en el enfoque se hacen algunas suposiciones simplificadoras. En este modelo de flujo de fluido ideal, se hacen las siguientes cuatro suposiciones: 1. El fluido no es viscoso. En un fluido no viscoso, se desprecia la fricción interna. Un objeto que se mueve a través del fluido experimenta fuerza no viscosa. 2. El flujo es estable. En flujo estable (laminar), todas las partículas que pasan a través de un punto tienen la misma velocidad. 3. El fluido es inco mpresible. La densidad de un fluido incompresible es constante. 4. El flujo es irrotacional. En flujo irrotacional el fluido no tiene cantidad de movimiento angular en torno a punto alguno. Si una pequeña rueda de paletas colocada en alguna parte en el fluido no gira en torno al centro de masa de la rueda, el flujo es irrotacional.
Ecuacion de la Continuidad La masa de un fluido en movimiento no cambia al fluir. Esto conduce a una relación cuantitativa importante llamada ecuación de continuidad. Considere una porción de un tubo de flujo entre
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL dos secciones transversales estacionarias con áreas A1 y A2. Los valores de la rapidez del fluido en estas secciones son v1 y v2, respectivamente. Durante un breve intervalo de tiempo dt, el fluido en A 1 se mueve una distancia v1dt, así que un cilindro de fluido de altura v1dt y volumen dV1 = A1v1dt fluye hacia el tubo a través de A1. Durante ese mismo lapso, un cilindro de volumen dV2 = A2v2dt sale del tubo a través de A2. Consideremos primero el caso de un fluido incompresible cuya densidad ρ tiene el mismo valor en todos los puntos. La masa dm1 que fluye al tubo por A1 en el tiempo dt es dm1 = ρ A1v1dt. De manera similar, la masa dm 2 que sale por A2 en el mismo tiempo es dm2 = ρ A2v2dt. En flujo estable, la masa total en el tubo es constante, así que dm1 = dm2 y
11 22 ⇒ 11 22 ⇒ =
=
El producto Av es la tasa de flujo de volumen dV/dt, la rapidez con que el volumen cruza una sección del tubo: =
=
Ecuacion de Bernoulli
El principio de Bernoulli establece que donde la velocidad de un fluido es alta, la presión es baja, y donde la velocidad es baja, la presión es alta. Para deducir la ecuación de Bernoulli, aplicamos el teorema del trabajo y la energía al fluido en una sección de un tubo de flujo. Los valores de la rapidez en los extremos inferior y superior son v1 y v2. En un pequeño intervalo de tiempo dt, el fluido que está en a se mueve a b, una distancia ds1 = v 1dt, y el fluido que está inicialmente en c se mueve a d, una distancia ds2 = v2dt. Las áreas transversales en los dos extremos son
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL A1 y A 2, como se indica. El fluido es incompresible, así que, por la ecuación de continuidad, el volumen de fluido dV que pasa por cualquier sección transversal durante el tiempo dt es el mismo. Es decir, dV = A1ds1 = A2ds2. Calculemos el trabajo efectuado sobre este elemento de fluido durante dt. Las presiones en los dos extremos son p 1 y p2; la fuerza sobre la sección transversal en a es p 1A1, y la fuerza en c es p2A2. El trabajo neto dW efectuado sobre el elemento por el fluido circundante durante este desplazamiento es, por lo tanto,
1 11 2 22 1 2 =(
=
)
El segundo término tiene signo negativo porque la fuerza en c se opone al desplazamiento del fluido. El trabajo dW se debe a fuerzas distintas de la fuerza de gravedad conservadora, así que es igual al cambio en la energía mecánica total (energía cinética más energía potencial gravitacional) asociada al elemento fluido. Al principio de dt, el fluido entre a y b tiene volumen A1ds1, masa ρ A1ds1 y energía cinética ½ρdV(A1ds1)v1². Al final de dt, el fluido entre c y d tiene energía cinética ½ρdV(A2ds2)v2². El cambio neto de energía cinética dK durante dt es
22 12 =
1
(
2
)
¿Y qué hay del cambio en la energía potencial gravitacional? Al iniciar dt, la energía potencial para la masa que está entre a y b es dmgy1 = ρdVgy1. Al final de dt, la energía potencial para la masa que está entre c y d es dmgy2 = ρdVgy2. El cambio neto de energía potencial dU durante dt es
2 1 1 2 22 12 2 1 1 2 22 12 2 1 (
=
)
Combinando las ecuaciones en la ecuación de energía (
)
=
=
1
(
2
1 2
(
)+
)+ (
=
+
(
, obtenemos
)
)
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
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Ésta es la ecuación de Bernoulli, y dice que el trabajo efectuado sobre una unidad de volumen de fluido por el fluido circundante es igual a la suma de los cambios de las energías cinética y potencial por unidad de volumen que ocurren durante el flujo. También podemos expresar la ecuación en una forma más practica
1 1 12 2 2 22 +
+
1
=
2
+
+
1 2
Los subíndices 1 y 2 se refieren a dos puntos cualesquiera del tubo de flujo, así que también podemos escribir
2 +
+
1 2
=
Teorema de Torricelli La ecuación de Bernoulli se aplica a muchas situaciones. Un ejemplo es el cálculo de la velocidad v1 de un líquido saliendo de un grifo en el fondo de un recipiente. Elegimos el punto 2 en la ecuación de Bernoulli como la superficie superior del líquido. Suponiendo que el diámetro del recipiente es grande comparado con el del grifo, v2 será casi cero. Los puntos 1 (el grifo) y 2 (la superficie superior) están abiertos a la atmósfera, por lo que la presión en ambos puntos es igual a la presión atmosférica: P 1 = P2. La ecuación de Bernoulli toma entonces la forma 1 2
O bien
12 1 2 1 2 1 +
=
=
2 (
)
Este resultado se llama teorema de Torricelli. Aunque se reconoce como un caso especial de la ecuación de Bernoulli.
Tubo de Venturi Un tubo de Venturi es, en esencia, un tubo con una constricción estrecha (la garganta). El flujo del aire se acelera al pasar por esta constricción, por lo que la presión es menor. Un medidor
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
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Venturi sirve para medir la rapidez de flujo de gases y líquidos, incluida la velocidad de la sangre en las arterias. Aplicamos la ecuación de Bernoulli a las partes ancha (punto1) y angosta (punto2) del tubo. La diferencia de altura entre los dos tubos verticales indica la diferencia de presión entre los puntos 1 y 2. Los dos puntos tienen la misma coordenada vertical (y 1 = y2), así que la ecuación dice
1 12 2 22 11 22 ⇒ 2 1 2 1 2 1 1 2 21 +
1
=
2
+
De acuerdo con la ecuación de continuidad ordenando
+
Resolvemos para es igual a ρgh
1 2−−1 =
(
)
1
=
2
1 2
=
+
=
. Sustituyendo y
1 2
, de acuerdo a la estática de fluidos la diferencia de presiones
1
=
ℎ 122 2
1
Tubo de Pitot El tubo de Pitot es un aparato que se utiliza para medir la velocidad de una corriente fluida, generalmente gaseosa y en régimen de flujo externo. El tubo de Pitot consiste en una sonda, diseñada con un perfil apropiado para evitar perturbaciones significativas en el régimen de flujo,
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL que posee una abertura (A) en su extremo, enfrentada directamente a la corriente fluida, y otras aberturas (B) laterales, colocadas lo suficientemente hacia atrás para que en ellas la velocidad y la presión correspondan a los valores de corriente libre. La abertura A constituye una toma de presión total (punto de estancamiento); las aberturas B son tomas de presión estática. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B tenemos
2 =
La diferencia de presiones manométrico (de densidad
+
1 2
2 ℎ 2 ℎ
estará medida por la diferencia de niveles (h) del líquido
)
=
=
2(
1 2
)
=(
)
2(
)
=
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Trabajo Practico Nº 19 1) La tasa de flujo de agua por un tubo horizontal es 2 m³/min. Determine la velocidad del flujo en un punto en donde el diámetro del tubo es: a) 10 cm; b) 5 cm. 2) En un gran tanque de almacenamiento lleno de agua se forma un pequeño hoyo en su costado en un punto 16 metros debajo del nivel de lagua. Si la tasa de flujo de la fuga es 2,5 . 10 , determine: a) la velocidad a la cual el agua sale por el hoyo; b) el / diámetro de este. 3) Un tubo horizontal de 10 cm de diámetro tiene una reducción uniforme que lo conecta con un tubo de 5 cm de diámetro. Si la presión del agua en el tubo más grande es y la presión en el tubo más chico 6.10 , ¿a qué tasa circula el agua a través 8.10 de los tubos? 4) Se bombea agua desde el rio Colorado hasta la villa del Gran Cañón a través de una tubería de 15 cm de diámetro. El rio está a 564 metros de altura y el pueblo a 2096 metros. A) ¿Cuál es la presión mínima con que debe bombearse el agua para llegar a la población? B) Si se bombea 4500 m³ diarios, ¿Cuál es la velocidad en la tubería? C) ¿Cuál es la presión adicional necesaria para entregar este flujo? 5) Un tubo de Venturi puede utilizarse como un medidor de flujo de fluido. Si la diferencia en la presión , encuentre la tasa de = 21 flujo del fluido en m³/s dado que el radio del tubo de salida es 1 cm. El radio del tubo de entrada es 2 cm y el fluido es gasolina (densidad: 700 kg/m³). 6) Con un tubo de Pitot se puede determinar la velocidad del flujo de aire al medir la diferencia entre la presión total y la presión estática. Si el fluido en el tubo es mercurio densidad de 13600 kg/m³ y Δh = 5 cm, encuentre la velocidad del flujo de aire. (suponga que el aire está estancado en el punto A y considere la densidad del aire como 1.25 kg/m³). 7) En la figura se muestra un sifón con el que se extrae agua de un tanque. El sifón tiene un diámetro uniforme. Considere flujo estable. a) Si la distancia h = 1 metro, encuentre
−3 3
4
1 2
4