Secuencia para Enseñar la Teoria Especial de la Relatividad en la escuela Secundaria

2016

Secuencia para enseñar la Teoría Especial de la Relatividad en la Escuela Secundaria María Rita Otero, Marcelo Arlego

Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología (NIECyT) Facultad de Ciencias Exactas Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires

Otero, María Rita Secuencia para enseñar la Teoría Especial de la Relatividad en la escuela secundaria / María Rita Otero ; Marcelo Fabian Arlego. - 1a ed . - Tandil : Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires, 2016. Libro digital, PDF Archivo Digital: descarga y online ISBN 978-950-658-397-2 1. Didáctica. 2. Física. 3. Teoría de la Relatividad. I. Arlego, Marcelo Fabian II. Título CDD 371.1

Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología (NIECyT) Facultad de Ciencias Exactas Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires Hecho el depósito que prevé la ley 11.723 © 2016 María Rita Otero y Marcelo Arlego e-mail: [email protected] ; [email protected] ISBN: 978-950-658-397-2

Secuencia para Enseñar la Teoría Especial de la Relatividad en la Escuela Secundaria

María Rita Otero  Marcelo Arlego

Índice

Introducción

5

Parte 1:

13

Parte 2:

20

Parte 3:

35

Referencias

53

4

Introducción

Maria Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria 1. Introducción

Este texto es fruto del trabajo que se está realizando como parte de un proyecto a largo plazo, cuya finalidad es aportar al desarrollo de una Didáctica de la Teoría de la Relatividad (especial y general) y estudiar la conceptualización de sus nociones fundamentales en los últimos años de la escuela secundaria y/o en los cursos introductorios de la universidad.

Toda investigación didáctica requiere la elaboración y la explicitación de una posible Estructura Conceptual de Referencia (ECR), donde la palabra concepto es utilizada en el sentido de Vergnaud (1990, 2013). Dicha estructura, cumple con una condición que podríamos llamar autopoiética, es decir, que existe en el mismo proceso que se desarrolla, se adapta y cambia. Se analiza el campo conceptual de la TER y se explicita una posible organización conceptual, que considera tanto el conocimiento producido por la comunidad científica y la génesis histórica y social de dicho conocimiento, como la institución en la cual se pretende enseñarlo. Esta ECR fundamenta el desarrollo de ciertos dispositivos didácticos, es decir, concebidos y utilizados para enseñar un campo conceptual. Aún fuera de un contexto de investigación, esta estructura puede permancer implícita y subyace al conjunto de decisiones didácticas que se toman, acertadas o no.

La enseñanza carece de sentido y de feedback si no genera aprendizaje, razón por la cual es ineludible considerar el proceso de conceptualización de los estudiantes en el aula, analizando el aprendizaje de los conceptos relativistas que la enseñanza logra o no, producir. En nuestro trabajo de investigación, la conceptualización se estudia en un contexto de enseñanza, pues solo enfrentando cierto tipo de situaciones y preguntas, se podrá arribar a la idea contra intuitiva de la equivalencia entre el reposo y el movimiento uniforme, o a la imposibilidad del movimiento absoluto, o a la relatividad del movimiento. Algo similar sucede con el carácter universal de la pérdida de simultaneidad -indetectable a bajas velocidades-, que surge al aplicar juntos los postulados relativistas y realizar los cálculos pertinentes. Lo mismo puede decirse sobre otros aspectos como la dilatación del tiempo o la contracción de las longitudes. Así, la escuela o la universidad brindan un marco 6

Maria Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria adecuado para

una

conceptualización más o menos aproximada de las nociones

relativistas. Es difícil que la mera lectura de los llamados textos “de divulgación” contribuya al aprendizaje de las nociones relativistas, sobre todo, porque dichos textos eluden a la matemática (sencilla) necesaria para fundamentar los espectaculares resultados de la TER y en general carecen de una ECR adecuada.

El aprendizaje de conceptos relativistas, requiere formularse ciertas preguntas, presentes en ciertas situaciones que convoque al uso de dichos conceptos, situaciones que presentan algunas continuidades y profundas rupturas con relación a la física de la vida cotidiana.

2. La Teoría de los Campos Conceptuales (TCC)

Para la Teoría de los Campos Conceptuales, la conceptualización se produce en todos los ámbitos de la experiencia humana: el familiar, el de la escolarización obligatoria, el de la formación profesional, el laboral, etc. En lo relacionado con los conocimientos físicos y matemáticos, se trata del aprendizaje de conceptos complejos, que ocurre en situaciones que la escuela secundaria puede recrear más probablemente, que ninguna otra institución social. En cada campo de conocimiento, son necesarios ciertos procesos de conceptualización, que se presentan en ciertos tipos de situaciones y de fenómenos, que convocan al desarrollo de determinadas formas de hacer. Por lo tanto, es preciso explicitar el conocimiento de referencia desde el cual se concebirá la enseñanza, el conocimiento que se pretende enseñar y sus transformaciones, y el que efectivamente es enseñado, atendiendo a los procesos transpositivos (Chevallard, 1985).

Según Vergnaud, estudiar el aprendizaje de un cierto dominio requiere especificar de una manera precisa una relación con esa porción de lo real, que se manifiesta en una situación, en “une tâche” (tarea). La situación, dice Vergnaud (1990: 8), tiene el carácter de tarea y toda situación compleja puede ser analizada como una combinación de tareas, acerca de las cuales es importante conocer su naturaleza y sus obstáculos. Aquí la palabra situación se 7

Maria Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria entiende como una clase o tipo de situaciones con especificidades epistemológicas bien definibles (Otero et. al 2014), como ejemplos de tarea se pueden mencionar desde saltar una valla; pilotear un automóvil, podar una viña; resolver una ecuación; calcular una integral, calcular una velocidad, determinar el punto de encuentro de dos móviles, calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento físico, modelar un sistema físico y predecir su evolución, etc.

Vergnaud propone una definición pragmática -útil y funcional- del concepto, al que define como una terna formada por tres conjuntos distintos, que no son independientes entre sí, (Vergnaud, 2013: 156)

Concepto = def (S, I, L)

S: es el conjunto de las situaciones que le dan sentido al concepto, I: es el conjunto de los invariantes operatorios que integran los esquemas, evocados en las situaciones, L: es el conjunto de las representaciones lingüísticas y simbólicas (algebraicas, gráficas, etc.) que permiten representar los conceptos y sus relaciones.

La definición evidencia que los conceptos están compuestos de un elemento propio del sujeto, como los invariantes operatorios presentes en los esquemas, de un elemento de carácter epistémico, como los tipos de situaciones, las cuales a su vez interactúan dialécticamente con los esquemas, y de un elemento semiótico, que se refiere a los sistemas de signos o de representación, utilizados para enunciar los conceptos, las relaciones entre ellos y para referirse a los objetos (Otero et. al, 2014).

La TCC no distingue entre conceptos cotidianos y conceptos científicos, el proceso de conceptualización tiene las mismas características en todos los casos: consiste en identificar los objetos, sus propiedades y sus relaciones (Vergnaud, 2013, p.41). Así, podemos usar la definición para analizar el proceso mediante el cual un individuo desarrolla una profesión o 8

Maria Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria un deporte, o considerar el proceso de Newton, desarrollando los conceptos de la Mecánica o a Einstein creando la Teoría Especial de la Relatividad (TER) o a Feynman construyendo su enfoque para la Mecánica Cuántica. También podemos referirnos a las clases de situaciones usadas por estas personas, a los teoremas en acto y a los conceptos en acto con los cuales identifican los conceptos y describen sus propiedades y relaciones entre ellos, en este caso de manera explícita y provisoriamente correcta y considerando que dichos conceptos se formulan a partir de invariantes formalizados, en sistemas de representación sofisticados propios de la disciplina (Otero, 2015).

Una contribución central de Vergnaud (2007) a la enseñanza, es la distinción entre la forma operatoria del conocimiento, que permite al sujeto actuar en situación y la forma predicativa, que consiste en enunciar las relaciones entre los objetos. Estas formas no se desarrollan en paralelo, y esto es muy evidente cuando se observa que los alumnos saben qué hacer en una cierta situación, aunque no pueden ponerlo en palabras. Es enormemente complejo saber qué hacer y no necesariamente se puede decir qué se hace. Lo anterior es muy evidente por ejemplo en un deportista de élite, o en un chef muy reconocido, o en el operador de una central nuclear, o de la torre de control de un aeropuerto, en un profesor, en un estudiante, etc. Si bien la enseñanza es irremplazable en el proceso de conceptualización, no se la puede reducir a poner en palabras el contenido conceptual de los conocimientos. La enunciación es esencial en el proceso de conceptualización, las dificultades que tienen los alumnos en el aprendizaje de de la física y de la matemática evidencian tanto complejidad de las situaciones involucradas, como de las operaciones de pensamiento necesarias para tratarlas.

3. Metodología

El diseño de una secuencia didáctica contempla al menos tres grandes etapas. La primera es la construcción de una estructura conceptual de referencia, en base a la cual se diseña un conjunto de situaciones, cuya resolución requiere la emergencia de ciertos conceptos. Esto 9

Maria Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria es conocido como análisis a priori. En segundo término se diseña la secuencia, y luego, se la somete a prueba en varias experiencias piloto, para generar un análisis a posteriori, que a su vez permitirá una reformulación. Este proceso genera un ciclo que conduce a una relativa estabilización de la secuencia y de sus grandes etapas, a las que se pueden adicionar, mas tareas si es necesario estabilizar las nociones, o por el contrario, reducirlas. La secuencia es el producto de un desarrollo continuo. El funcionamiento didáctico y la viabilidad de la secuencia que aquí se propone, se experimentan en cursos de Física de 6to año de la escuela secundaria. Además, se analiza ¿qué se aprendió? o ¿qué no se aprendió? tomando en cuenta el proceso de conceptualización de los estudiantes. El trabajo asume la complementariedad de las dimensiones didáctica y cognitiva en la perspectiva de la TCC.

En esta propuesta se propone el resultado actual, de varios ciclos surgidos de la implementación en cuatro cursos, dos de sexto año de la escuela secundaria argentina N=43, y dos cursos de la escuela secundaria colombiana, N= 60.

4. Etapas de la secuencia didáctica para enseñar la TER

La secuencia contiene tres partes, que a grandes pasos representan una evolución de las ideas relativistas en Física desde Galileo hasta Einstein. La primera se refiere a la cinemática clásica (pre-relativista) y al principio de relatividad de Galileo. Se analiza el movimiento de objetos desde distintos sistemas de referencia, introduciendo la relatividad del movimiento desde el inicio. Se usa el concepto de velocidad relativa en situaciones familiares para los estudiantes: por ejemplo, un auto que viene en la ruta por el carril contrario se nos aproxima a mayor velocidad que la que indica su velocímetro. Esta clase de situaciones convocan al uso de la ley de adición de velocidades de Galileo. La etapa finaliza con situaciones que utilizan el principio de inercia y la relatividad galileana: los estudiantes experimentan con un péndulo en su mano, en reposo y con movimiento uniforme (respecto al piso), y también al frenar, acelerar o moverse en círculo. Se busca 10

Maria Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria evidenciar la indistinguibilidad entre reposo y traslación uniforme -base del principio de relatividad-, para usarlo en una situación donde hay que decidir el estado de movimiento de un vagón -idealmente aislado- sólo con la ayuda de un péndulo que cuelga del techo.

La segunda etapa consiste en una transición hacia la TER, donde se retoma y generaliza el principio de relatividad y se postula la invariancia de la velocidad de la luz, c, (en base a la evidencia experimental). Ambos postulados se usan para analizar y modelar situaciones relativas a la simultaneidad o no-simultaneidad de eventos observados desde sistemas de referencia diferentes con proyectiles y con luz.

La tercera etapa considera los aspectos cinemáticos de la TER propiamente dicha. Utilizando el principio de relatividad y la invariancia de c, se obtiene la dilatación del tiempo, la contracción de las longitudes y la adición relativista de velocidades. Luego se retoma el problema de los proyectiles en un contexto completamente relativista, otorgando al fenómeno de pérdida de simultaneidad un carácter general. En su estado actual, la secuencia comprende 10 situaciones, que se muestran esquemáticamente en la siguiente figura:

11

Maria Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria S.1 y 1.1

S.10 Pérdida de Simultaneidad Generalizada

¿Cómo puede alguien decir que otra persona o cosa se está moviendo? O y SR

S.9 Contracción de la Longitud

S.8 Dilatación del Tiempo

S.7 Pérdida de Simultaneidad para la LUZ Segundo postulado

S.2 , 2.1 y S.3 ¿Cómo se calculan las velocidades en cada SR? ¿Cómo se relacionan las velocidades entre dos SR diferentes?

S4 y S5 Primer Postulado ¿Qué diferencia al comportamiento del péndulo cuando el sistema se mueve con velocidad constante, variable o está reposo? ¿Es posible distinguir el reposo del MU en un SRI aislado?

S6 Simultaneidad para las Balas de Goma ¿Cómo se determinan las velocidades de las balas en el SR del observador en el camión? ¿Cómo se determinan las velocidades de las balas en el SR del observador en la ruta? ¿Cómo calcular el punto de encuentro?

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Primera Parte

La Relatividad de Galileo

Maria Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria Cinemática Clásica y Principio de Relatividad de Galileo Situación 1: Se quieren utilizar y discutir los conceptos cinemáticos básicos: Observador, Sistemas de Referencia, Sistemas de Coordenadas, medir el espacio, medir el tiempo, medir la velocidad y considerar las unidades para cada magnitud en el SI. Primero se propone la situación siguiente: S1: ¿Qué es necesario hacer para establecer que un objeto se está moviendo o no? Propongan ejemplos y si lo desean dibujen y por favor, escríbanlo. Y luego, se propone esta otra para considerar ejemplos específicos donde los estudiantes tengan que posicionarse como observadores y establecer cuál es el SR que adoptan. S 1.1: Dos amigos A y B viajan parados en el metro, uno al lado del otro, un tercer amigo (C), los observa desde la plataforma. ¿Qué puede decir cada uno de ellos sobre el movimiento o no, de los demás? Si pueden, dibújenlo en cada caso.

Situación 2 S2: Estoy viajando en auto por un tramo de ruta recto y muy largo, otro auto va delante del mío y siempre estamos separados por la misma distancia. Por el carril contrario vemos venir el auto de un amigo, mi acompañante dice que ese auto se nos acerca a 150 km/h.

La ruta tiene cámaras que controlan la velocidad, siendo el máximo permitido en este tramo de 80 km/h. Mi acompañante afirma que el auto que viene por el carril contrario será multado y yo le digo que ninguno de los tres lo será, porque programé la velocidad de crucero de nuestro auto para evitar sobrepasar la máxima permitida. Para salir de dudas enviamos un mensaje de Whatsapp a nuestro amigo en el otro auto, para que nos diga su velocidad. ¿Qué habrá dicho la respuesta del Whatsapp? ¿A qué velocidades va cada auto? ¿A quién habría que darle la razón?

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Maria Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria 2.1 Un estudiante de otro curso dice que las respuestas anteriores dependen de lo que observa cada conductor, porque son diferentes sistemas de referencia. ¿Es correcto? ¿Cuáles serán las magnitudes de las velocidades si se observaran los autos desde cada uno de los sistemas de referencia?

En las situaciones 2 y 2.1 se usa la adición de velocidades de Galileo y si es posible se formula. Es decir, puede que se la use “en acto”, los estudiantes dicen “lo que da” y lo hacen bien, aunque inicialmente no pueden decir por qué, o lo hacen con números sin las unidades y lo escriben, o con números y unidades, o dicen cómo se hace en lenguaje verbal o escrito sin particularizar en ningún caso. Finalmente, con todos los aportes y las diferentes propuestas, la clase logra formular (es decir poner en fórmula) la ley de adición de velocidades. Lo más importante es que la mayoría de los estudiantes pueden hacerlo en acto y avanzar luego (lentamente y a diferente ritmo) hacia formas más explícitas. Se busca maximizar el cuestionamiento a los estudiantes, alentándolos a formularse preguntas previas, necesarias para responder la pregunta que sí ha colocado el profesor. Se intentará que los estudiantes escriban esas preguntas aunque no sepan las repuestas evitando ir directamente a la generalización, ya que la escritura de fórmulas es el fin del proceso, nunca el comienzo. Lo más importante al inicio es decidir qué se va a hacer, sin temor a equivocarse. Para promover el posicionamiento de los estudiantes como observadores en distintos sistemas de referencia se propone la situación 2.2, insistiendo en la identificación de las regularidades que podrían conducir a algunos estudiantes a formular la adición de velocidades de Galileo, además de usarla.

Situación 3: Se espera que al finalizar esta situación, se puedan calcular las velocidades relativas utilizando la ley de adición de velocidades de Galileo, entendida cómo una regla que relaciona lo que un observador mide en un sistema, con lo que otro observador mide en otro sistema.

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Maria Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria Siendo

la velocidad que mide el observador en el Sistema de Referencia

velocidad que mide el observador en el Sistema de Referencia

y

,

la

la velocidad con la

que se desplaza un Sistema respecto del otro.

S3: Voy por la autopista y el velocímetro indica constantemente 70 km/h, para evitar una foto-multa. a) Un auto que viaja en un carril paralelo en igual sentido que el mío, se adelanta. ¿Se puede calcular su rapidez? ¿Cómo se podría expresar el cálculo para cualquier rapidez? b) Y si un auto viaja en un carril paralelo, en sentido contrario al mío. ¿Se puede calcular su rapidez? ¿Cómo expresarían el cálculo para cualquier rapidez?

Situación 4: En esta situación sería deseable poder remarcar al finalizar, si es que los estudiantes no lo hacen por si solos, que los incisos b y d son equivalentes. Es decir, que no es posible diferenciar el movimiento rectilíneo uniforme del reposo.

S4: Realicen las siguientes experiencias, mientras van caminando o viajando en un auto, o en el metro, o en tren, o en bicicleta. Usando una goma o una bolita o una piedrita que puedan colgar de un hilo, armen un péndulo y analicen lo que ocurre cuando: a) Van caminando en línea recta con el péndulo en una mano y frenan de golpe. b) Van caminando en línea recta con el péndulo en una mano sin acelerar ni frenar. c) Van caminando en línea recta con el péndulo en una mano y se ponen a correr. d) Están parados con el péndulo en una mano. e) Van en tren o auto o en bicicleta y toman una curva. Realicen dibujos o esquemas de los distintos casos y explíquenlos.

Al finalizar esta situación, se intentará expresar el Primer Postulado en alguna de las siguientes maneras que son equivalentes:

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Maria Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria 1. El movimiento de un objeto aislado (libre de fuerzas) solo tiene sentido por comparación con otros objetos 2. No hay ningún experimento que permite detectar el movimiento uniforme. Por ejemplo si el péndulo colgado en un vagón aislado permanece vertical no puedo asegurar que me muevo a velocidad constante o que estoy en reposo. 3. El movimiento a velocidad constante es relativo. 4. Es imposible distinguir el reposo del movimiento en línea recta con velocidad constante, por lo tanto son equivalentes. Situación 5: Esta situación permite analizar si los estudiantes logran usar el Primer Postulado. Es decir si pueden tomar en cuenta que están dentro del vagón, y que no miden un cambio de posición de las paredes en el tiempo, es decir para ellos el vagón está en reposo en ese SR. Esto es difícil, porque ellos deben desconsiderar que según un observador en un SR externo, ej.: el andén, el vagón se mueve. Es muy importante que ellos puedan responder sin la intervención del docente, una vez que ellos ya han realizado sus anticipaciones, probablemente el profesor necesitará intervenir. Es interesante que dibujen antes y después, para discutir los diferentes puntos de vista.

S5: Supongamos que nos quedamos encerrados en un vagón de tren o en un auto y no podemos ver hacia afuera, ni tomar ninguna referencia externa, pero, tenemos nuestro péndulo en el bolsillo. ¿Queremos saber si nos estamos moviendo y cómo: el péndulo podría ayudarnos o cualquier otro instrumento?

Antes de comenzar con la Segunda parte, proponemos una situación de síntesis, que también puede funcionar como una evaluación y servir para una posterior acreditación. En este caso, es una síntesis propuesta por el profesor, pero también los estudiantes pueden ser invitados a sintetizar por grupos, qué es lo que se sabe hasta ese momento. Se sugiere realizar ambas cosas.

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Maria Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria

1.

Calculen la velocidad medida por la cámara para D, G Y B.

2.

Determine la velocidad de A y B medida desde C

3.

Calculen la velocidad con la que D pasa a G

4.

Calculen la velocidad con la que G ve venir a E y con la que C ve pasar a E

5.

A B Y C, llevan colgado del espejo retrovisor un escapulario, cómo se ve cada escapulario en la foto que tome la cámara detectora de velocidad.

Presentamos a continuación solo algunas de las soluciones que podríamos esperar, dentro de todas las posibilidades y la riqueza con la que responden los estudiantes: 1. la velocidad medida por la cámara para D, G Y B Velocidad para D, a partir del enunciado de B

Velocidad para G

18


Velocidad para B

(igual distancia que A)

2. Determine la velocidad de A y B medida desde C La velocidad de A medida desde C es

ya que conservan la misma distancia.

3. Calculen la velocidad con la que D pasa a G Velocidad de D

, velocidad de G

La velocidad con la que D pasa a G

4. Calculen la velocidad con la que G ve venir a E y con la que C ve pasar a E Velocidad de G

, velocidad de E

La velocidad con la que G ve venir a E

Velocidad de C

, velocidad de E

5. La velocidad con la que C ve pasar a E

6.

A B Y C, llevan colgado del espejo retrovisor un escapulario, cómo se ve cada escapulario en la foto que tome la cámara detectora de velocidad. Para los tres, el escapulario se observa vertical, en reposo, al considerar como sistema de referencia el interior de cada carro.

.

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Segunda Parte

Transición de la Relatividad de Galileo a la de Einstein

María Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria

Parte 2: Transición de la Relatividad de Galileo a la de Einstein Situación 6: Esta situación requiere utilizar el Primer Postulado y la adición de velocidades galileana para resolver un problema de encuentro que conduce a afirmar la simultaneidad del arribo de las balas de goma a la pared. Podríamos decir que son unos proyectiles “galileanos”, pues según predice la TER, en una situación así, no existe simultaneidad: hay una diferencia de tiempo siempre, aunque para velocidades ordinarias respecto de c, es muy muy pequeña.

Para calcular el tiempo y la posición del encuentro en cada Sistema de Referencia, es necesario escribir las ecuaciones horarias en cada uno de ellos, que son de primer grado considerando como incógnita al tiempo. El sistema se puede resolver por igualación o bien utilizar planillas de cálculo y graficadores. Esto último es importante sobre todo para la continuidad de la secuencia. La tabla ayuda a repetir unas cuantas veces el cálculo con números o con herramientas de software.

Se intenta que los estudiantes desarrollen una notación para distinguir los sistemas, por ejemplo: agregar índices con la finalidad de identificar las variables. Esto es una manera de insistir sobre el hecho de que esas velocidades son medidas por observadores distintos, es decir en diferentes Sistemas de Referencia, y que la ley de adición de velocidades relaciona matemáticamente las mediciones que realizan cada uno de ellos. También habría que acordar en qué dirección se consideraría que se mueve el Vagón y asignar valores a las velocidades.

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María Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria S6 Un observador está sentado en el medio de un vagón vacío. Otro observador que está parado al costado del andén, determina que el vagón se mueve a velocidad constante. El observador que está en el vagón tiene un dispositivo que puede lanzar bolas de goma hacia adelante y hacia atrás, en el mismo instante. a) Primero analicen para cada observador, sin hacer cálculos, si los proyectiles llegan al mismo tiempo o no a cada pared del vagón. b) Completen el siguiente cuadro para cada observador y propongan diferentes velocidades para el vagón y los proyectiles. 𝑣𝑣

Observador en el Vagón 𝑚 𝑠 𝑣 𝑏𝑑 𝑚 𝑠 𝑣 𝑏𝑖 𝑚 𝑠

Observador en el Andén 𝑣𝑣 𝑚 𝑠 𝑣𝑏𝑑 𝑚 𝑠 𝑣𝑏𝑖 𝑚 𝑠

c) Luego calculen el punto de encuentro (posición y tiempo) entre los proyectiles y las paredes del vagón, para cada observador, teniendo en cuenta los diferentes valores de velocidades que han propuesto.

Las tablas pueden completarse usando planillas de cálculo, permitiendo que los estudiantes programen las celdas, pues esto supone una toma de conciencia para poder explicitar las operaciones realizadas. A continuación, y solo a título ilustrativo, se ha completado la Tabla 1 para distintas velocidades, y se ha escrito la generalidad a la que se arribaría. Tabla 1: Velocidades relativas para las balas para el SR del andén y dentro del vagón.

Observador en el Vagón

Observador en el andén

0

60

-60

20

80

-40

5

0

65

-65

20

85

-45

5

0

60

-60

30

90

-30

5

0

22

María Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria Nótese que se ha agregado en la última columna una longitud arbitraria de 5 m desde el centro a cada pared del vagón (o sea 10 m de longitud total).

Una vez que se completó la tabla, y se programó la planilla, y si es posible se escribió la adición de manera general, se pasa a calcular el punto de encuentro entre la pared y el proyectil utilizando los valores de cada fila, hasta dominar el procedimiento, o usando más de uno. Por ejemplo, para la primera fila de la Tabla 1 y suponiendo que el vagón mide 10 m, y que el observador dispara en la mitad del mismo, en el SR del observador dentro del vagón sería: Para el proyectil que viaja hacia la izquierda:

Para el proyectil que viaja hacia la derecha:

Si se escribieron las expresiones, el punto de encuentro entre cada proyectil y cada pared, se pueden determinar de varias maneras, por ejemplo con herramientas de uso libre como

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María Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria GeoGebra o Graphmática u otra. Para el observador dentro del vagón, el tiempo de encuentro a la derecha y a la izquierda es

(Gráfica 1).

Es importante analizar con los estudiantes que el lado izquierdo que ofrece inicialmente la salida del software carece de sentido físico y debe desconsiderarse, porque el tiempo es siempre positivo. Gráfica1: Representación gráfica de la posición y del tiempo de encuentro con la pared para los proyectiles que se mueven hacia la derecha e izquierda para el observador ubicado dentro del vagón.

Fuera del vagón, para el SR del observador que está en el andén, y para la primera fila de la Tabla 1, el encuentro entre la pared y el proyectil tomando por ejemplo la primera fila de la Tabla 1 sería: Para el proyectil que viaja hacia la izquierda (SR en la ruta):

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Para el proyectil que viaja hacia la derecha (SR en la ruta):

Gráfica 2: Representación gráfica del tiempo y la posición de encuentro entre el proyectil que se mueve hacia la derecha o la izquierda y la pared para el observador ubicado fuera del vagón.

Es decir que para el observador en el andén, el tiempo de encuentro entre los proyectiles que viajan tanto hacia la derecha como hacia la izquierda y la pared, es el mismo (Gráfica 2). 25

María Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria Después de repetir este procedimiento para varias filas de la tabla, primero manualmente, los estudiantes pueden programar una planilla de cálculo para hallar todos los valores que deseen, simplemente completando las dos primeras columnas. Dicha planilla puede proveer una posible tabla como la siguiente: Tabla 2: Cálculo del tiempo de encuentro según los observadores en el vagón y en el andén.

No Relativista Dentro del vagón

En el andén

Tiempos L (m)

0

60

-60

80

-40

20

5

0,083333333

0,083333333

0

0

65

-65

85

-45

20

5

0,076923077

0,076923077

0

0

60

-60

90

-30

30

5

0,083333333

0,083333333

0

0

65

-65

95

-35

30

5

0,076923077

0,076923077

0

0

60

-60

100

-20

40

5

0,083333333

0,083333333

0

0

La Tabla 2 muestra que para cualquier velocidad propuesta por los estudiantes, los tiempos de encuentro entre los proyectiles y la pared son los mismos, en total acuerdo con las resoluciones gráfica y analítica que se pueden realizar manualmente. En este momento, el profesor puede decidir si usa o no la planilla de cálculo. Se recomienda que en el caso de ser posible, la introduzca aquí mismo, pues se trata de una herramienta muy potente y valiosa para los estudiantes. En cualquier caso, al finalizar la secuencia el uso de la planilla será indispensable para comprender la diferencia entre la relatividad galileana y la de Einstein.

Después de obtener la planilla y de realizar los cálculos, si el grupo de clase lo permite, y si el profesor lo considera apropiado, podría intentarse realizar un cálculo más general como el que se presenta en la Tabla 3. Tabla 3: Cálculo generalizado del punto de encuentro según el observador este en el vagón o en el andén.

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María Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria Observador en el Vagón Pared derecha

Pared izquierda

Observador en el andén Pared derecha +

Pared izquierda +

O igualar usando las

O igualar usando las

expresiones que vinculan

expresiones que vinculan

las velocidades en S’ y S

las velocidades en S’ y S

mediante la adición

mediante la adición

galileana

galileana

En el cálculo anterior se ha remarcado en verde el hecho de que las dos primeras ecuaciones se formulan en el sistema en el cuál se encuentra O, y que luego, se usa la adición de velocidades para relacionar las mediciones en S’ y S.

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María Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria Situación 7: En esta situación se realiza una experiencia similar a la propuesta en la situación previa, pero en lugar de proyectiles, se lanzan rayos de luz. S7: Un observador está sentado en el medio de un vagón vacío. Otro observador que está parado en el andén, determina que el vagón se mueve a velocidad constante. El observador que está en el vagón tiene un dispositivo que puede disparar rayos de luz hacia adelante y hacia atrás, en el mismo instante. a) Analicen para cada observador, sin hacer cálculos, si los rayos de luz llegan simultáneamente o no a cada pared del vagón. b) Completen el siguiente cuadro para cada observador, proponiendo diferentes velocidades para el vagón y los rayos de luz. 𝑣𝑣

Observador en el vagón 𝑚 𝑠 𝑣 𝐿𝑑 𝑚 𝑠 𝑣 𝐿𝑖 𝑚 𝑠

Observador en el andén 𝑣𝑣 𝑚 𝑠 𝑣𝐿𝑑 𝑚 𝑠 𝑣𝐿𝑖 𝑚 𝑠

c) Calculen el punto de encuentro (posición y tiempo) entre los rayos de luz y las paredes del vagón, para cada observador, teniendo en cuenta diferentes valores de velocidades. La invarianza de la velocidad de la luz hace el problema de encuentro en este caso más sencillo y a su vez más interesante, porque aquí se manifiesta por primera vez en la secuencia el fenómeno de pérdida de simultaneidad.

Respecto de esta invarianza, las implementaciones que hemos realizado en varias oportunidades, evidencian que los estudiantes saben de su vida cotidiana, que la velocidad de la luz es un límite máximo. Esto permite expresar el Segundo Postulado, que al menos parcialmente, parece formar parte del bagaje cultural de nuestros estudiantes. En la mayor parte de los casos, los estudiantes señalan haber obtenido fuera de la escuela lo que conocen acerca de c. Así el Segundo Postulado, puede expresarse en alguna de las formas siguientes:

28

María Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria 1. La velocidad de la luz es la misma para todos los observadores. 2. No puedo ni sumarle ni restarle a c ninguna velocidad. 3. c es siempre la misma. 4. c es la misma para todos los observadores. 5. Si voy en mi auto y veo la luz de otro, esos rayos viajan a c y no a c más la velocidad del auto.

Inicialmente, es muy importante que los estudiantes anticipen sin cálculos, qué esperan que ocurra en cada caso, para luego, analizar los resultados que obtendrán en los cálculos y revisar sus predicciones, considerando por qué se equivocaron o no. En general ellos predicen que los haces llegarán juntos según el observador en el camión, pero no según el que está en el andén. O también debido a que consideran que la velocidad de la luz es muy grande y que la propagación es instantánea, dirán que los haces llegan juntos en ambos casos. Es muy importante discutir estas ideas, y ofrecer evidencias acerca de que la propagación de la luz no es instantánea, y que esto se vuelve más evidente en las grandes distancias: ejemplo: “si se apaga el Sol” tardaríamos 8 minutos en saberlo en la Tierra. En la Tabla 4 se proponen a modo de ejemplo, distintas velocidades del vagón. Tabla 4: Cálculo de las velocidades de la luz a derecha e izquierda en el vagón y el andén.

Observador en el Vagón


0

c

-c

20

c

-c

0

c

-c

25

c

-c

0

c

-c

30

c

-c

0

c

-c

c

-c

Según la experiencia que proviene de nuestras implementaciones, los estudiantes logran completar la tabla y escribir las ecuaciones de movimiento para obtener el punto de encuentro. Para el haz que viaja hacia la izquierda (SR en el vagón):

29


Para el haz que viaja hacia la derecha (SR en el vagón):

Es decir que los rayos de luz llegan juntos a las paredes, para el observador en el vagón.

Para el observador parado en el andén: (tomamos el primer ejemplo de la Tabla 4) Para el haz que viaja hacia la izquierda (SR en el andén):

30

María Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria Para el haz que viaja hacia la derecha (SR en el andén:

≠

Es decir que los sucesos para este observador, no son simultáneos, la luz tarda más en llegar a la pared de la derecha que a la de la izquierda. Es importante destacar que en este caso se trata de una diferencia muy difícil de detectar experimentalmente, debido al bajo valor de la velocidad del vagón comparada con c.

La reiteración de este cálculo evidencia que el resultado podría escribirse de manera más general como se muestra a continuación. Esta generalización no es imprescindible, pero hay alumnos a quienes les puede interesar. Por otro lado, luego de resolver la situación 7, es posible que los estudiantes puedan leerlo, seguir el proceso y comprenderlo.

La pérdida de simultaneidad es un resultado general de la TER, aunque en este momento de la secuencia no podamos probarlo. Además la diferencia entre los tiempos, solo depende de la velocidad de un sistema respecto del otro, y no de las velocidades de los objetos que se mueven. Esto si puede ponerse en evidencia si se calculan los tiempos de encuentro de manera general como propone la tabla siguiente:

31

María Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria Tabla 6: Cálculo del punto de encuentro de los haces de luz con la pared en el sistema del vagón y en el andén.

Observador en el Vagón Derecha


Izquierda

Derecha

Izquierda

+

+

+

+

En el cálculo precedente, estamos cometiendo un error que a esta altura de la secuencia, aún no podemos reparar. En efecto, estamos considerando que

cuando en realidad

habría que efectuar la corrección relativista debido al fenómeno de la contracción de la longitud (que todavía no hemos analizado), siendo

.

Aún sin efectuar la corrección, es posible realizar con los estudiantes la cuenta siguiente

Donde

, siendo

el coeficiente relativista. Como se puede apreciar,

si

( )

.

Como se aprecia, la diferencia de tiempo sólo depende de la velocidad de un sistema respecto del otro, que es la velocidad del vagón y de la longitud.

32

María Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria Si se usa una planilla de cálculo para evaluar

, se puede notar que las diferencias ocurren

para órdenes de magnitud muy pequeños, y que serían difíciles de detectar en la práctica. Sin embargo, es destacable que para los estudiantes, que se sienten seguros en el dominio numérico, aún una pequeñísima diferencia del orden de

es una evidencia que toman

en cuenta.

Como ya se ha señalado, la diferencia obtenida no es exactamente la expresión que predice la TER, debido a que a esta altura de la secuencia, no podemos tomar en cuenta la contracción de la longitud que mediría el observador en el andén. Si corrigiéramos la longitud obtendríamos la conocida expresión de la pérdida de simultaneidad:

Como ya mencionamos, este efecto relativista del experimento realizado con haces de luz, es evidentemente inapreciable en nuestra vida cotidiana, debido al elevado valor de c. Pero, si en lugar de ser c= 3.108 m/s, fuera por ejemplo c = 3.102 m/s, la diferencia cobraría mucha importancia (otra opción es tomar L muy grande, astronómico). Este tipo de suposiciones son muy sencillas de evidenciar si se utiliza la planilla de cálculo, tal como se muestra en la Tabla 7.

En el caso en que no se puedan realizar estos cálculos con la planilla, igualmente, en la situación 10, se retoma el problema de la generalidad de la pérdida de simultaneidad, tanto para las balas como para la luz y su independencia del valor de la velocidad del objeto en movimiento y su dependencia con la velocidad de un sistema, respecto del otro y la longitud (propia) que separa a los eventos en el sistema donde son simultáneos.

33

María Rita Otero, Marcelo Arlego Secuencia didáctica para enseñar la TER en la Escuela Secundaria Tabla 7: Cálculo del tiempo de encuentro entre los haces de Luz y las paredes del vagón suponiendo que (hipotéticamente) c= 300 m/s

Adentro del vagón

En el andén

Tiempo

L

(s)

(s)

0

300

-300

300

-300

20

5

1,5625000000E-02

1,7857142857E-02

2,2321428571E-03

0

300

-300

300

-300

30

1,5151515152E-02

1,8518518519E-02

3,3670033670E-03

0

300

-300

300

-300

40

5 5

1,4705882353E-02

1,9230769231E-02

4,5248868778E-03

1,1111111111E-02

3,3333333333E-02

2,2222222222E-02

9,2592592593E-03

8,3333333333E-02

7,4074074074E-02

8,7719298246E-03

1,6666666667E-01

1,5789473684E-01

0 0 0

300 300 300

-300 -300 -300

300 300 300

-300 -300 -300

150 240 270

5 5 5

34

Tercera Parte

La Relatividad de Einstein


Parte 3: Principales resultados cinemáticos de la TER. La situación siguiente se refiere a la Dilatación del Tiempo, que es un resultado muy relevante de la TER. S 8: Un observador está sentado justo en el medio de un vagón, que se mueve a una velocidad constante con una rapidez v respecto a la ruta recta por la cual circula. En el techo del vagón hay un espejo plano. El observador tiene un dispositivo que puede emitir un rayo de luz perpendicularmente hacia el techo. El rayo impacta sobre el espejo y se refleja nuevamente hacia el observador. ¿Cuánto tiempo tarda el rayo de luz en ir y volver? para:  El observador en el vagón.  Otro observador que se encuentra parado en la ruta y ve pasar el vagón.

Las implementaciones realizadas previamente muestran que cuando se permite a los estudiantes pensar acerca de la situación anterior, ellos utilizan los siguientes Teoremas en Acto: “desde arriba la luz va y viene verticalmente” y “desde abajo la luz sigue un camino oblicuo”.

Los teoremas anteriores representan solo un punto de partida, ya que de hecho los estudiantes podrían predecir lo mismo para proyectiles (no relativistas). Sin embargo, asociados con la proporcionalidad entre distancia y tiempo, y la constancia de la velocidad de la luz, que fueron institucionalizadas en las Partes 1 y 2, respectivamente, es posible que surjan anticipaciones correctas para el observador en la ruta, ya que la luz recorre más distancia a igual velocidad, demorando más tiempo para este observador. Este punto es decisivo en el proceso de conceptualización de la dilatación del tiempo, evidenciando que en acto, dicho fenómeno, es precozmente comprendido, mucho antes de la determinación cuantitativa de la diferencia de tiempos.

36


Para determinar la diferencia de tiempos cuantitativamente, se deben plantear las trayectorias del haz de luz, el espejo reflector y el punto medio del vagón (de donde sale el haz), desde ambos Sistemas de Referencia y resolver el problema de encuentro correspondiente.

Una vez realizadas las anticipaciones tenemos dos opciones: 1) Realizar la deducción con el conjunto de la clase, o dárselas hecha en una hoja y discutir en pequeños grupos y luego con toda la clase, cómo se llega a ese resultado. Nosotros optamos por la segunda opción. El texto que se entrega a los estudiantes contiene la siguiente deducción que puede adaptarse a cada grupo:

Deducción de la dilatación del tiempo Para el observador dentro del vagón la luz describe una trayectoria en línea recta vertical. El tiempo que tarda la luz en subir y bajar dentro del vagón (tiempo propio) se calcula sumando el tiempo de subida y el de bajada que son iguales:

Donde D es la altura del vagón (2m), c la velocidad de la luz y t’ tiempo propio medido por el observador dentro del vagón.

La distancia que recorre la luz en un trayecto a partir de (1)

El observador parado en la ruta observa que la luz describe una trayectoria oblicua. Para el análisis de ésta situación se utilizará el triángulo rectángulo, como se describe a

37


continuación: La hipotenusa corresponde a la distancia recorrida por el rayo de luz para el trayecto de subida, la base (cateto) corresponde al desplazamiento del vagón en ese tiempo, y D, el otro cateto corresponde a la altura del vagón.

Distancia recorrida por la luz en la subida, en la mitad del tiempo total 𝑐

𝑡

medido

𝐷

por el observador desde afuera. Distancia recorrida por el vagón

𝑣

𝑡

durante la subida en la mitad del tiempo total medido por el observador desde afuera.

A partir de (2) y aplicando el Teorema de Pitágoras:

Para pasar de (3) a (4) hemos usado (2). Luego, se despeja en función de

de (4):

En (3) se tiene que es el tiempo medido por el observador en la ruta. Si de (3) se despeja t en función de

, tiempo medio por el observador dentro del vagón, se obtiene:

38


√

donde (como ya hemos definido):

√

Es decir que el tiempo propio

(medido por el observador donde los sucesos ocurren en el

mismo lugar), es menor que el tiempo medido por el observador que está afuera del vagón A este fenómeno se le llama Dilatación del tiempo.

A los efectos de que los estudiantes tomen conciencia de lo que implicaría en nuestra vida cotidiana que la dilatación del tiempo fuera apreciable, se propone la situación siguiente, que es una entre muchas otras posibles del mismo tipo. S 8.1 Por la ecuación de la dilatación del tiempo sabemos que: 𝑡

𝑡 √

𝑣 𝑐

El árbitro dice que el tiempo reglamentario terminó y da un adicional de n segundos. ¿Cuánto tiempo sigue narrando un comentarista en la tribuna y otro que viaja en un helicóptero a velocidad relativista? ¿Quién mide el tiempo propio? ¿Por qué en la vida cotidiana no medimos la dilatación del tiempo?

39


Situación 9: S 9:Un observador dentro de un vagón determina que este tiene una longitud 𝐿 de 20 m. Dentro se encuentra una mujer con una caja de dimensiones 40 cm x 50 cm (según ella), y un hombre con una bicicleta 1,20 m x 2 m (según él).

Otro

observador parado en la ruta recta, determina que el vagón se mueve con una rapidez constante y afirma que él medirá longitudes diferentes para las personas, vagón y

objetos. ¿Qué longitud para la bicicleta, la caja y el vagón medirá el observador en la plataforma? ¿Cómo los observaría?

Al igual que para la Dilatación del Tiempo, no parece posible que los alumnos solos, sin el soporte de un texto o de otra índole, puedan llegar al fenómeno de contracción de longitudes. Optamos nuevamente por presentar el resultado y discutir una posible forma de llegar a él.

Contracción de la Longitud

La longitud

de un objeto medida por un observador en reposo respecto al objeto es

mayor que la longitud dicho objeto, es decir que

del objeto medida por otro observador en movimiento respecto a , siendo la relación entre ambos:

Donde √

La longitud

se denomina longitud propia y este fenómeno es conocido como

contracción de la longitud. Por lo tanto, la longitud propia

es la mayor longitud posible

atribuible al objeto. Cualquier otro observador mide una longitud menor o “contraída” para dicho objeto.

40


Para determinar la relación anterior, consideremos un ejemplo particular donde queremos calcular la distancia entre los extremos de un vagón medida por un observador dentro del vagón y otro en el andén, en el caso en que el vagón se mueve respecto al andén con velocidad .

Para medir dicha distancia, el observador dentro del vagón (que mide la longitud propia) envía un rayo de luz láser desde un extremo del vagón vuelve al observador en

al otro

, el cual rebota y

. Esto se indica con líneas punteadas en la Figura 1. Para este

observador, el vagón está fijo, entonces sólo considera el movimiento del haz de luz. Como la luz se desplaza a velocidad c, el tiempo se relaciona con la longitud propia

(tiempo propio) que la luz tarda en ir y volver

y c mediante:

Notar que el 2 en el denominador se debe a que tomamos el viaje de ida y vuelta. Vagón Pared izquierda

𝐿

Pared derecha

Figura 1

Por otro lado, desde el punto de vista del observador en el andén, tanto el vagón como el haz de luz láser se mueven, como se indica en la Figura 2. Para el viaje de ida de la luz, este observador debe calcular el tiempo que tarda el rayo de luz en ir desde pared izquierda hasta pared derecha

. Para realizar este cálculo planteamos un problema de encuentro

entre el borde derecho del vagón y el rayo de luz.

41


Vagón 𝐿 Pared izquierda

Pared derecha

Figura 2

El rayo de luz tarda un tiempo

en ir de

hacia

recorriendo una distancia

:

Nótese que el observador en el andén también mide c para la velocidad de la luz de acuerdo al segundo postulado. Para ese mismo tiempo , la posición del borde del vagón

es:

Además, en ese tiempo se encuentran, es decir:

lo cual implica:

Para la vuelta, el rayo de luz va de borde del vagón

a

en un tiempo

(a partir de ) la posición del

es:

42


La posición del rayo de luz en ese mismo tiempo

es

Además se cumple:

con lo cual:

Obsérvese que

porque la luz “persigue” a la pared derecha a la ida pero “va al

encuentro” de la pared izquierda a la vuelta (ver líneas punteadas de la Figura 2). Por lo tanto, para el observador parado en la plataforma el tiempo que tarda el rayo de luz en ir y volver, será:

Utilizando las expresiones anteriores esto se puede reescribir en la forma:

donde hemos utilizado:

Además de acuerdo a la dilatación del tiempo se cumple que:

que al ser sustituido en la Ec. (4) implica:

43


Finalmente despejando

de la Ec. (1) y reemplazando en la Ec. (5) obtenemos:

como se anticipó al principio.

Este fenómeno es conocido como contracción de la longitud.

La longitud propia

es la mayor longitud posible atribuible al objeto. Cualquier otro

observador (por ejemplo el que está en el andén) mide una longitud menor o “contraída” para dicho objeto.

Situación 10

En esta situación, que es la última de la secuencia, nos proponemos utilizar la transformación de velocidades de Lorentz, para analizar nuevamente el problema de los proyectiles (balas de goma) considerado en la Situación 6, pero ahora, desde un punto de vista relativista.

La secuencia aborda los aspectos centrales de la relatividad, aplicando directamente los postulados. Es decir no utiliza la transformación de Lorentz. Pero esto que puede llevarse a cabo para la pérdida de simultaneidad, la dilatación del tiempo y la contracción de longitudes, es bastante más complejo para la adición relativista de velocidades.

Mermin (2009) deriva la fórmula de adición de velocidades directamente a partir de los postulados, sin utilizar la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud. Si bien estos trabajos son muy interesantes como ejercicio lógico, tal vez no sean tan eficientes como estrategia didáctica. De algún modo u otro, estas propuestas siempre involucran sutilezas o cadenas de razonamiento elaboradas, cuya implementación en una situación deviene en un

44


artefacto complejo que atrae al investigador pero pierde de vista al estudiante. Por lo expuesto anteriormente, hemos decidido tomar un camino directo, que institucionaliza la ley relativista de adición de velocidades. Luego, en una segunda parte de la situación, se propone reconsiderar el problema de encuentro con balas de goma utilizando dicha fórmula relativista, en contraste con lo llevado a cabo en la Situación 6, donde se utilizó la ley de adición de velocidades Galileana.

S 10: En las situaciones anteriores hemos establecido que si las velocidades de un proyectil medidas por observadores desde un vagón y el andén son 𝑣 y 𝑣, respectivamente, entonces se cumple la siguiente relación: 𝑣

𝑣

𝑣𝑣 (1)

donde 𝑣𝑣 es la velocidad del vagón respecto al piso. Por otro lado, también hemos analizado que para la luz ambos observadores miden la misma velocidad, es decir 𝑐

𝑐 (2)

Según la TER, la relación general entre las velocidades de cualquier cosa (incluida la luz) medidas en dos sistemas de referencia es: 𝑣

𝑣

𝑣𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑐

A continuación te proponemos realizar lo siguiente: a)

Construyan la planilla de cálculo para la Situación 6, incluido el cálculo de los

tiempos en llegar a la pared para cada observador, relacionando las velocidades con la

ecuación (1). b)

Utilicen la planilla para la Situación 6, pero en lugar de usar la Ec. (1), usen la

Ec. (3) y corrijan desde un punto de vista relativista la longitud del vagón L’. Tomen en cuenta altas velocidades para las balas y el vagón, incluso cercanas a c (hipotéticas). c)

Analicen estos cálculos con detenimiento: ¿cuál es la diferencia de usar una u

otra relación de velocidades? d)

Analicen los tiempos de la llegada de las “balas relativistas”.

e)

Regresen ahora a los cálculos de la Situación 7, si corregimos la longitud L’ y

usamos (2) ¿cambiaría algo? 45


Si antes no se había utilizado la planilla de cálculo, se propone ahora calcular o recalcular si fuera el caso, los puntos de encuentro entre los proyectiles y la pared, como indica la Situación 6, usando la planilla de cálculo. Se trata de construir una tabla similar a la que se muestra a continuación, y similar a la que se presentó antes al tratar la situación 6, sólo que aquí, se añaden valores de velocidad próximos a c para los proyectiles (hipotéticos):

Tabla 8: Cálculo de las velocidades de los proyectiles y del tiempo de encuentro cuando se utiliza la Transformación de velocidades de Galileo No Relativista Dentro del vagón

En el andén

Tiempos L (m)

0

60

-60

80

-40

20

5

0,083333333

0,083333333

0

0

65

-65

85

-45

20

5

0,076923077

0,076923077

0

0

60

-60

90

-30

30

5

0,083333333

0,083333333

0

0

65

-65

95

-35

30

5

0,076923077

0,076923077

0

0

60

-60

100

-20

40

5

0,083333333

0,083333333

0

0

10000

-10000

10040

-9960

40

5

0,0005

0,0005

0

0

100000 -100000

100040

-99960

40

5

0,00005

0,00005

0

0

0,5 c

-0,5 c

0,5 c +40

40 -0,5 c

40

5

3,3E-08

3,3E-08

0

0

0,7 c

-0,7 c

0,7 c +40

40 -0,7 c

40

5

2,4E-08

2,4E-08

0

0

Los tiempos han sido calculados tal como lo hacen los estudiantes, según muestra la expresión de la última fila, en donde explícitamente las velocidades quedan expresadas en el sistema de referencia del andén. Aunque en el caso no relativista, esta expresión no es la más simple, es una forma general, útil para aplicarla al caso de proyectiles relativistas incluida la luz.

46


La planilla de cálculo permite considerar muchas velocidades, incluidas las próximas a c, a los efectos de constatar que si se emplea la transformación de velocidades galileana, nunca se pierde la simultaneidad, para cualquier velocidad considerada de las balas o del vagón.

Una vez hecho esto, es posible resolver el punto b de la Situación 10, utilizando la transformación de Lorentz para las velocidades. La comparación muestra que si las velocidades son bajas comparadas con c, ambas transformaciones predicen velocidades muy similares, pero no idénticas. Esto sugiere que los tiempos de encuentro entre las paredes y el proyectil que se dirige hacia atrás y el que se dirige hacia adelante, podrían no ser los mismos, y en consecuencia, ya no se conservaría la simultaneidad. Estos cálculos se pueden apreciar en la Tabla 9, donde además se calcula el valor de L que efectivamente mediría el observador en el andén, debido al fenómeno de contracción de la longitud.

Tabla 9: Cálculo de las velocidades de los proyectiles cuando se usa la Transformación de velocidades de Lorentz. RELATIVISTA Dentro del vagón

En el andén L=L’/

(m/s)

(m/s)

(m/s)

(m/s)

(m/s)

(m/s)

(m)

0

60

-60

79,99999999999890

-40,00000000000050

20

4,999999999999990

0

65

-65

84,99999999999970

-45,00000000000060

20

4,999999999999990

0

60

-60

4,999999999999980

65

-65

-30,00000000000060 -35,00000000000080

30

0

89,99999999999940 94,99999999999930

30

4,999999999999980

0

60

-60

99,99999999999890

-20,00000000000050

40

4,999999999999960

0

10000

-10000

10039,99999999980

-9960,00000004427

40

4,999999999999960

40

4,999999999999960

40

4,999999999999960

0 0

100039,99999999800 -99960,00000444270 1000000 -1000000 1000039,99999998000 -999960,00044442700 100000

-100000

0

0,5 c

-0,5 c

150000039,999997

-149999969,999998

40

4,999999999999960

0

0,7 c

-0,7 c

210000039,999996

-209999979,599998

40

4,999999999999960

0

0,9 c

-0,9 c

270000039,999995

-269999992,399999

40

4,999999999999960

0

c

-c

c

-c

0,5 c

4,330127018922190

47


¿Cómo podría calcularse el tiempo de encuentro entre las paredes y los proyectiles de una manera que fuera accesible a los estudiantes? Esto podría hacerse usando las mismas expresiones que se propusieron en la Tabla 3 de la Situación 6 y en la Tabla 8, del siguiente modo:

Pero aquí, para las relacionar las velocidades medidas en S con las de S’ se utiliza la transformación relativista de velocidades:

A continuación se presenta la Tabla 10 dónde se han calculado los tiempos de encuentro de la manera descripta anteriormente, las diferencias entre ellos y la longitud corregida (contraída).

En síntesis, si se vuelve a la planilla de cálculo utilizada para calcular los tiempos de encuentro entre las bolas y la pared, tanto dentro como fuera del vagón, pero se utiliza la transformación de velocidades de Lorentz y se corrige la longitud del vagón aplicando la contracción de la longitud, se obtiene que la pérdida de simultaneidad se detecta también para las balas de goma, en cualquier caso. Esas diferencias de tiempo se conservan (para un dado L’) independientemente de las velocidades de los proyectiles.

Es decir, que la pérdida de simultaneidad es un fenómeno general, e independiente del objeto que se mueve o de su velocidad. Dos eventos cualesquiera que ocurren simultáneamente y separados cierta distancia en un SR, no serán simultáneos desde otro SR que se mueve respecto al primero con cierta velocidad relativa. Dicha

48


diferencia de tiempo dependerá solamente de esta distancia y de la velocidad relativa entre ambos. Tabla 10: Cálculo de las velocidades de los proyectiles cuando se usa la Transformación de velocidades de Lorentz y de los tiempos de encuentro con las paredes del vagón. RELATIVISTA Dentro del vagón

En el andén

Tiempo L=L’/

0

60

-60

79,9999999999989

-40,00000000000050

20

0

65

-65

84,9999999999997

-45,00000000000060

20

0

60

-60

89,9999999999994

-30,00000000000060

30

0

65

-65

94,9999999999993

-35,00000000000080

30

0

60

-60

99,9999999999989

-20,00000000000050

40

0

10000

-10000

10039,9999999998

-9960,00000004427

40

0

100000

-100000

100039,999999998

-99960,00000444270

40

0

1000000

-1000000

1000039,99999998

999960,0004444270 0

40

0

0,5 c

-0,5 c

1,50000029E8

-1,49999969E8

40

0

0,7 c

-0,7 c

2,100000024E8

-2,09999979E8

40

0

c

-c

c

-c

0,5 c

4,9999 999999 9999 4,9999 999999 9999 4,9999 999999 9998 4,9999 999999 9998E 4,9999 999999 9996 4,9999 999999 9996 4,9999 999999 9996 4,9999 999999 9996 4,9999 999999 9996 4,9999 999999 9996 4,3301 270189 2219

0,08333333333333 0,08333333333333 2,22222222222 2400 4600 2230000E-15 0,07692307692307 0,07692307692307 2,22222222222 6000 8200 2230000E-15 0,08333333333333 0,08333333333333 3,33333333333 2100 5400 3350000E-15 0,07692307692307 0,07692307692307 3,33333333333 5600 9000 3350000E-15 0,08333333333333 0,08333333333333 4,44444444444 1900 6300 4480000E-15 0,00049999999999 0,00050000000000 4,44444444444 7782 2227 4480000E-15 0,00004999999999 0,00005000000000 4,44444444444 7778 2223 4480000E-15 0,00000499999999 0,00000500000000 4,44444444444 7778 2222 4480000E-15 0,00000003333333 0,00000003333333 4,44444444444 1111 5556 4480000E-15 0,00000002380952 0,00000002380952 4,44444444444 1587 6032 4480000E-15 9.622504486E-9

2.8867513459E-8 1,92450089729 8750000E-08

Para los estudiantes, el cálculo de los tiempos resulta relativamente natural pues se usa la misma expresión que ellos habían usado antes para calcular los tiempos de los proyectiles, pero en lugar de usar la transformación de velocidades galileana, utilizan los valores que arroja la transformación relativista.

49


Por otro lado, en el caso de particular de c, la expresión de los tiempos de encuentro coincide con la que se había obtenido en la Situación 7, usando ahora la longitud contraída. Nótese además cómo se verifica empíricamente que las diferencias de tiempo mostradas en la última columna de la Tabla 10 son las mismas cuando se mantiene la longitud y la velocidad del tren, aunque se cambien las velocidades de los proyectiles. Sin embargo, no sucede lo mismo para cada tiempo por separado, que sí depende de la velocidad del proyectil. A continuación, se justifican las expresiones usadas para el cálculo del tiempo de encuentro.

Para el observador en el andén las ecuaciones de movimiento de la pared y el proyectil hacia la derecha son:

En

las posiciones coinciden y se cumple que

= Despejando

Y de manera similar puede obtenerse el tiempo de encuentro con la pared izquierda:

La longitud L se relaciona con la medida en el vagón L’ por medio de

.

Y del mismo modo, las velocidades en el sistema del vagón (S’) y en el del andén (S) se relacionan a través de la transformación de velocidades relativista.

50


Finalmente, si retomamos la Situación 7 y realizamos las operaciones con la planilla de cálculo, tomando en cuenta que se trata de haces de luz y aplicando la transformación de Lorentz, obtenemos los mismos resultados que ya habíamos calculado en 7. Ellos evidencian la pérdida de la simultaneidad para el observador en el andén, debido a que si la velocidad es c en el sistema dentro del camión, la transformación de Lorentz predice que también lo será en el del andén, en correspondencia con el segundo postulado. Por otro lado, las diferencias de tiempo se vuelven más evidentes a medida que la velocidad del vagón aumenta y adopta valores próximos a c. Los cálculos se presentan en la Tabla 11, a continuación: Tabla 11: Cálculo de los tiempos de encuentro con las paredes del vagón para la luz. CALCULO PARA LA LUZ En el vagón v'v

v'Ld v'Li

En el andén

Tiempos

vLd

vLi

vv

L=L’/ 4,9999999 9999996 4,3301270 1892219

0

c

-c

c

-c

40

0

c

-c

c

-c

0,5 c

ti 0,00000001666666444 4 0,00000000962250448 6

td

∆t

0,00000001666666888 4,44444444444448000E 9 -15 0,00000002886751345 1,92450089729875000E 9 -08

La tabla también muestra la longitud corregida de acuerdo a la contracción de la longitud que sería detectada por el observador en el andén.

Por otro lado, también resulta evidente al considerar la Tabla 11 y comparando con la Tabla 10, que la diferencia de tiempo, depende de la velocidad del vagón para una longitud dada.

Finalmente, es posible calcular en general del punto de encuentro en la situación siete corrigiendo la longitud. Como ya se adelantó, al no estar disponible la contracción de la longitud, se realizó el cálculo sin tomar en cuenta este fenómeno, cuando se calculó el encuentro de los haces de luz con las paredes del vagón. Además ahora se ha confirmado que si se usa la transformación de Lorentz para los haces de luz, la velocidad

.

51


Si se rehacen los cálculos corrigiendo el valor de la longitud, es posible obtener de manera relativamente sencilla los cálculos de la Tabla 12: Tabla 12: Cálculo del punto de encuentro de los haces de luz con lapared en el sistema del vagón y en el andén.

CALCULO PARA LA LUZ Observador en el Vagón Derecha


Izquierda

Derecha

Izquierda

+

+

+

+

Y restando los tiempos de encuentro con la pared de la derecha y de la izquierda, se obtendría

Esta expresión muestra explícitamente que la diferencia de tiempos depende únicamente de la longitud propia y la velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia. Aquí está demostrada para el caso de luz. También puede mostrarse para el caso de los proyectiles a velocidades arbitrarias restando los tiempos obtenidos anteriormente en ese caso. Aunque no llevamos a cabo este cálculo hemos ilustrado este hecho empíricamente en la Tabla 10. El caso general puede deducirse aplicando la transformación de Lorentz, que como se ha mencionado no es la vía que se sigue en esta secuencia.

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Referencias

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Otero, M. R., Arlego, M. y Prodanoff, F. (2016) Teaching the basic concepts of the Special Relativity in the secondary school in the framework of the Theory of Conceptual Fields of Vergnaud. Il Nuovo Cimento C. Proceedings of the international Conference on Teaching/Learning Physics: Integrating Research into Practice. DOI: 10.1393/ncc/i201515108-0. Published on line: 9-02-2016.

Otero, M. R., Arlego, M. y Prodanoff, F. (2015) Design, analysis and reformulation of a didactic sequence for teaching the Special Theory of Relativity in high school. Revista Brasileira

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Física,

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(2015)

DOI:

http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11173731891.

Otero, M. R., Fanaro, M. Sureda, P., Llanos, V. C., Arlego, M. (2014) La Teoría de los Campos Conceptuales en el Aula de Matemática y Física, Editorial Dunken, Buenos Aires.

Vergnaud, G. (1990): La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques, 10 (23): 133-170. La Pensée Sauvage, Marseille.

Vergnaud, G. (2013) Pourquoi la théorie des champs conceptuels? Infancia y Aprendizaje V. 36.2, 131-161.

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Secuencia para Enseñar la Teoria Especial de la Relatividad en la escuela Secundaria

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