7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES OPERACIONALES I REPASO DE MATERIAL ● Continúe practicando la descomposición en fracciones f racciones parciales. ● Completar el cuadrado.
INTRODUCCIÓN No es conveniente usar la definición 7.1 cada vez que se desea encontrar la
ℒ 3
transformada de Laplace de una función . Por ejemplo, la integración por partes requerida para evaluar es formidable en pocas palabras. En esta sección y la que sigue se presentan varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace que ahorran trabajo y permiten construir una lista más extensa de transformadas (vea la tabla del apéndice III) sin tener que recurrir a la definición básica y a la integración.
− ℒ ℒ 4 ℒ ℒ 4 ,, ℒ = , ℒ
7.3.1 TRASLACIÓN EN EL EJE
UNA TRASLACION Evaluar transformadas tales como
y es directo siempre que se conozca (y así es) y y . En general, si se conoce la transformada de Laplace de una función , es posible calcular la transformada de Laplace de un múltiplo exponencial de es es decir, sin ningún esfuerzo adicional que no sea trasladar sin o desplazar , la transformada a a . Este resultado se conoce como primer teorema de traslación o primer teorema primer teorema de desplazamiento.
TEOREMA 7.3.1 Primer teorema de traslación Si
ℒ = y
es cualquier número real, entonces
= . − ℒ = ∫ =∫ =∫ −−− = = . | | > 0 | | <0
PRUEBA La demostración es inmediata, ya que por la definición 7.1.1
Si se considera una variable real, entonces la gráfica de es la gráfica de desplazada en el eje por la cantidad . Si , la gráfi ca de se desplaza unidades a la derecha, mientras que si , la gráfica se desplaza unidades a la izquierda. Véase la fi unidades gura 7.3.1.
FIGURA 7.3.1 Desplazamiento en el eje s. Para enfatizar, a veces es útil usar el simbolismo
→
donde el símbolo
= |→− →−,
significa que en la transformada de Laplace se reemplaza por .
de
siempre que aparezca
EJEMPLO 1 Usando el primer teorema de traslación
− 4 = ℒ |→− →− = 3!3!→− = 65 2 − 4 = ℒcos4 cos4|→−→−− = 16→+ = →+ 2 16 , − − | ℒ = ℒ →− = , 1 →− = ℒ− Evalúe
.
SOLUCIÓN Los siguientes resultados se deducen de los teoremas 7.1.1 y 7.3.1.
FORMA INVERSA DEL TEOREMA 7.3.1 Para calcular la inversa de
, se debe reconocer para encontrar obteniendo la transformada de Laplace inversa de y después multiplicar por la función exponencial por . Este procedimiento se resume con símbolos de la siguiente manera:
donde
.
En la primera parte del ejemplo siguiente se ilustra la descomposición en fracciones parciales en el caso cuando el denominador de contiene factores lineales repetidos.
EJEMPLO 2 Fracciones parciales: factores lineales repetidos
Evalúe
/25/3 − ℒ− 25 ℒ 3 46 . ≥2 , , . . , = 3 = 2 25 = 3 3 3 25= 25= 3 = 2 =11 25 2 11 = 3 3 3 2 1 1 − − ℒ− 25 =2ℒ 11ℒ 3 3 3 3 1/3 =1/ ℒ− =, SOLUCIÓN a) Un factor lineal repetido es un término
, donde es un número real y es un entero positivo . Recuerde que si aparece en el denominador de una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes . Por tanto, con y se escribe
. Colocando los dos términos del lado derecho con un denominador común, se obtiene el numerador y esta identidad produce y . Por tanto,
y
Ahora
tiene de (1) que
es
desplazada tres unidades a la derecha. Ya que
se
EJEMPLO 1 Usando el primer teorema de traslación
− 4 = ℒ |→− →− = 3!3!→− = 65 2 − 4 = ℒcos4 cos4|→−→−− = 16→+ = →+ 2 16 , − − | ℒ = ℒ →− = , 1 →− = ℒ− Evalúe
.
SOLUCIÓN Los siguientes resultados se deducen de los teoremas 7.1.1 y 7.3.1.
FORMA INVERSA DEL TEOREMA 7.3.1 Para calcular la inversa de
, se debe reconocer para encontrar obteniendo la transformada de Laplace inversa de y después multiplicar por la función exponencial por . Este procedimiento se resume con símbolos de la siguiente manera:
donde
.
En la primera parte del ejemplo siguiente se ilustra la descomposición en fracciones parciales en el caso cuando el denominador de contiene factores lineales repetidos.
EJEMPLO 2 Fracciones parciales: factores lineales repetidos
Evalúe
/25/3 − ℒ− 25 ℒ 3 46 . ≥2 , , . . , = 3 = 2 25 = 3 3 3 25= 25= 3 = 2 =11 25 2 11 = 3 3 3 2 1 1 − − ℒ− 25 =2ℒ 11ℒ 3 3 3 3 1/3 =1/ ℒ− =, SOLUCIÓN a) Un factor lineal repetido es un término
, donde es un número real y es un entero positivo . Recuerde que si aparece en el denominador de una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes . Por tanto, con y se escribe
. Colocando los dos términos del lado derecho con un denominador común, se obtiene el numerador y esta identidad produce y . Por tanto,
y
Ahora
tiene de (1) que
es
desplazada tres unidades a la derecha. Ya que
se
ℒ− 1 3 = ℒ− 1→− = . ℒ− 25 =2 11 . 4 3 46 /25/3 /25/3 = 46 2 2. 5 2 2 2 = 2 = 2 . ℒ− 1 2 2 /25/3 1 2 2 1 2 3 = = 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 1 − − ℒ− /25/3 = ℒ ℒ 46 2 2 2 3 2 2 2 2 √ − = 12 ℒ− 2→+ ℒ 6 2 3 2 →+ √ →+ = 12 − cos√ cos √ 22 √ 32 −√ √ 22. 7 6 9=, 0 =2, 0 = 17 = ℒ :: ℒ 6ℒ6ℒ 9ℒ9ℒ = ℒ 0 0 6 0 9 = 23 69 =25 23 3 =25 23
Por último, (3) es
b) Para empezar, observe que el polinomio cuadrático
no tiene raíces reales y por tanto no tiene factores lineales reales. En esta situación completamos el cuadrado:
El objetivo aquí es reconocer la expresión del lado derecho como alguna transformada de Laplace en la cual se ha reemplazado por . Lo que se trata de hacer es similar a trabajar hacia atrás del inciso b) del ejemplo 1. El denominador en (5) ya está en la forma correcta, es decir, con en lugar de . Sin embargo, se debe arreglar el numerador manipulando las constantes: Ahora mediante la división entre el denominador de cada término, la linealidad de e) y d) del teorema 7.2.1 y por último (1),
, los incisos
EJEMPLO 3 Un problema con valores iniciales
Resuelva
.
l ado derecho es similar a la l a función del SOLUCIÓN Antes de transformar la ED, observe que su lado inciso a) del ejemplo 1. Después de usar la linealidad, el teorema 7.3.1 y las condiciones iniciales, se simplifica y luego se resuelve para
2 = 25 3 3 . = 2 3 113 23. = 2ℒ− 1 311ℒ− 13 4!4!2 ℒ− 4!4!3 8 ℒ− 1→−= ℒ− 4!4!→− = . = 2 11 121 . 4 6=1−, 0 =0,0 = 0 ℒ 4ℒ 6ℒ = ℒ1 ℒ− 0 0 4 0 6 = 1 1 1 21 46 = 1 = 121 46 = 1/6 1/3 1 /25/3 46
El primer término del lado derecho ya se ha descompuesto en fracciones parciales en (2) del inciso a) del ejemplo (2).
Por lo que
De la forma inversa (1) del teorema 7.3.1, los dos últimos términos de (8) son
Por lo que (8) es
EJEMPLO 4 Un problema con valores iniciales Resuelva
.
SOLUCIÓN
Puesto que el término cuadrático en el denominador no se factoriza en factores lineales reales, se encuentra que la descomposición en fracciones f racciones parciales para es es
Además, en la preparación para tomar la transformada inversa, ya se manejó el último término en la forma necesaria del inciso b) del ejemplo 2. Por lo que en vista de los resultados en (6) y (7), se tiene la solución
= 16 ℒ− 1 13 ℒ− 1 1 12 ℒ− 22 2 3√ 22 ℒ− √ 22 2
= 16 13 − 12 − cos√ 2 √ 32 − sen√ 2. 0
7.3.2 TRASLACIÓN EN EL EJE
FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO En ingeniería es común encontrar funciones que están ya sea “desactivadas” o “activadas”. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa en un sistema mecánico, o un voltaje aplicado a un circuito, se puede desactivar después de cierto tiempo. Es conveniente entonces definir una función especial que es el número (desactivada) hasta un cierto tiempo y entonces el número 1 (activada) después de ese tiempo. La función se llama función escalón unitario o función de Heaviside.
=
DEFINICIÓN 7.3.1 Función escalón unitario
=01,, 0≤< ≥.
La función escalón unitario
se define como
=0
Observe que se define sólo en el eje no negativo, puesto que esto es todo lo que interesa en el estudio de la transformada de Laplace. En un sentido más amplio, para . En la figura 7.3.2, se muestra la gráfica de .
<
FIGURA 7.3.2 Gráfica de la función escalón unitario
≥0
=2 0≤<1 0 ≥
Cuando una función definida para se multiplica por , la función escalón unitario “desactiva” una parte de la gráfica de esa función. Por ejemplo, considere la función . Para “desactivar” la parte de la gráfi ca de para , simplemente formamos el producto . Véase la figura 7.3.3. En general, la gráfica de es (desactivada) para y es la parte de la gráfica de (activada) para .
323 1 0≤<
=23 1 0≤<2,2≤<3 ≥3 2 3 FIGURA 7.3.3 La función es
La función escalón unitario también se puede usar para escribir funciones definidas por tramos en una forma compacta. Por ejemplo, si consideramos , y y los valores correspondientes de ( y , debe ser evidente que la función definida por tramos
=23 2 3 =ℎ,, 0≤< ≥ 9 = ℎ . 10 0, 0≤< =0,, ≤< 1 1 ≥ = . 12
que se muestra en la figura 7.3.4 es igual que función general definida por tramos del tipo
es la misma que:
. También, una
Análogamente, una función del tipo
puede ser escrita como
FIGURA 7.3.4 La función es
=23 2 ℎ 3.
EJEMPLO 5 Una función definida por tramos Exprese
=20,0, 0≤<5 ≥5
en términos de funciones escalón unitario. Trace la gráfica.
=2020 5 =5, = =2020 5 = ≥0
FIGURA 7.3.5 La función es
20 ℎ =0
SOLUCIÓN En la figura 7.3.5 se muestra la gráfica de . Ahora, de (9) y (10) con y
, se obtiene
Considere una función general
.
definida para
. La función definida por tramos
= 0, 0≤< , ≥ 13 == ,≥0 = 0≤<
>0 ≥
juega un papel importante en la explicación que sigue. Como se muestra en la figura 7.3.6, para la gráfica de la función coincide con la gráfica de para (que es la gráfica completa de desplazada unidades a la derecha en el eje , pero es idénticamente cero para .
. − ,>0
FIGURA 7.3.6 Desplazamiento en el eje
−
Vimos en el teorema 7.3.1 que un múltiplo exponencial de da como resultado una traslación de la transformada en el eje . Como una consecuencia del siguiente teorema, se ve que siempre que se multiplica por una función exponencial , la transformada inversa del producto es la función desplazada a lo largo del eje en la manera que se muestra en la figura 7.3.6b. Este resultado, presentado a continuación en su versión de transformada directa, se llama segundo teorema de traslación o segundo teorema de desplazamiento.
TEOREMA 7.3.2 Segundo teorema de traslación Si
=ℒ >0 y
, entonces
ℒ =−. ∫ − − ℒ =∫ ∫ − =∫ − . =1 =1, =ℒ1 =1/
DEMOSTRACIÓN Por la propiedad de intervalo aditivo de integrales,
se puede escribir como dos integrales:
Con frecuencia se desea encontrar la transformada de Laplace de sólo una función escalón unitario. Esto puede ser de la definición 7.1.1 o teorema 7.3.2. Si se identifica en el teorema 7.3.2, entonces y por tanto,
− ℒ = . 14 ℒ =2ℒ1 3ℒ− 2− ℒ 3 =2 1 3 . =ℒ− ℒ−− = 15
Por ejemplo, si se usa la ecuación (14), la transformada de Laplace de la función de la figura 7.3.4 es
>0
FORMA INVERSA DEL TEOREMA 7.3.2 Si , es
, la forma inversa del teorema 7.3.2
EJEMPLO 6 Uso de la fórmula (15) Evalúe
ℒ− 41 −
ℒ− 9 −/. =2, =1/4 ℒ− = ℒ− 41 −=− 2 2. =/2, =/ 9 ℒ− =cos3 ℒ− 9 −/=cos3 2 2. 3 2 = 2 =2 4 24 ℒ 2 =ℒ2 2 4 2 2 4 2, = SOLUCIÓN a) De acuerdo con las identidades
y
, se
tiene de (15)
b) Con
y
, de la ecuación (15) se obtiene
La última expresión se puede simplificar un poco con la fórmula adicional para el coseno. Compruebe que el resultado es igual a
FORMA ALTERNATIVA DEL TEOREMA 7.3.2 Con frecuencia nos enfrentamos con el problema
de encontrar la transformada de Laplace de un producto de una función y una función escalón unitario donde la función no tiene la forma precisa de desplazamiento del teorema 7.3.2. Para encontrar la transformada de Laplace de , es posible arreglar en la forma requerida usando álgebra. Por ejemplo, si se quiere usar el teorema 7.3.2 para determinar la transformada de Laplace de , se tendría que forzar a la forma . Se debe trabajar algebraicamente y comprobar que es una identidad. Por tanto,
donde ahora cada término del lado derecho se puede evaluar con el teorema 7.3.2. Pero como estas operaciones son tardadas y con frecuencia no obvias, es más simple diseñar una forma alternativa del teorema 7.3.2. Usando la definición 7.1.1, la definición de , y la sustitución , se obtiene
Es decir,
− ℒ =∫ =∫ −+ . ℒ =−ℒ . 16
EJEMPLO 7 Segundo teorema de traslación: forma alternativa Evalúe
ℒcos . = = = = ℒcos =−ℒcos = 1 −. =, 0 =5 0, 0≤< =3cos, ≥. =3 ℒ ℒ=3ℒ 0 =3 1 − 1=5 31 − = 15 32 11 − 11 − 1 −. 17 = ℒ− 11 −=−− , ℒ− 11 −=sen . ℒ− 1 −=cos =5− 32 −− 32 sen 32 cos =5− 32 [−− cos] →
SOLUCIÓN Con
y , entonces adicción para la función coseno. Por tanto, por la ecuación (16),
por la fórmula de
EJEMPLO 8 Un problema con valores iniciales Resuelva
, donde
SOLUCIÓN La función
se puede escribir como , y entonces por linealidad, por los resultados del ejemplo 7 y por las fracciones parciales usuales, se tiene
Ahora procediendo como se hizo en el ejemplo 6, se tiene de (15) con los términos dentro del paréntesis son
y
Por lo que el inverso de (17) es
que los inversos de
−, 3 3 5 0≤< =5− 2 −− 2 sen 32 cos , ≥. 18
Usando un programa de graficación hemos obtenido la gráfica de (18) que se muestra en la fi gura 7.3.7.
FIGURA 7.3.7 Gráfica de la función en (18).
=, 19 0, 2 (1 ), 0<</2 = 0, 2 <<.
VIGAS En la sección 5.2 vimos que la deflexión estática con carga cuarto orden
de una viga uniforme de longitud por unidad de longitud se determina a partir de la ecuación diferencial lineal de
donde es el módulo de Young de elasticidad e es un momento de inercia de una sección transversal de la viga. La transformada de Laplace es particularmente útil para resolver la ecuación (19) cuando se define por tramos. Sin embargo, para usar la transformada de Laplace se debe suponer de manera tácita que y están definidas en y no en . Observe, también, que el siguiente ejemplo es un problema con valores en la frontera más que un problema con valores iniciales.
0, ∞
EJEMPLO 9 Un problema con valores en la frontera
Una viga de longitud se empotra en ambos extremos, como se muestra en la figura 7.3.8. Determine la deflexión de la viga cuando la carga está dada por
FIGURA 7.3.8 Viga empotrada con carga variable.
0 =0, =0, =0 0 =0, = (1 2 ) (1 2 )( 2) = 2 2 ( 2)( 2) , 0 0 0 ′′ = 2 /2 1 1 −/ 0 0 = 2 /2 1 1 −/ =′′0 =′′0 = 2 /2 1 1 −/, = 2! ℒ− 2! 3! ℒ− 3! 2 4!/2 ℒ− 4! 5!1 ℒ− 5! 5!1 ℒ− 5! −/ = 2 6 60 52 ( 2) ( 2) =0 =0 2 2 1920 49 =0 85 2 960 =0. = = 23 3 5 = 1920 80 60 2 ( 2) ( 2) 1. ℒ
SOLUCIÓN Recuerde que debido a que la viga esta empotrada en ambos extremos, las condiciones de frontera son puede expresar en términos de la función escalón unitario:
Transformando la ecuación (19) respecto a la variable
Si hacemos
y
. Ahora usando (10) se
se obtiene
, entonces
y en consecuencia
Aplicando las condiciones ecuaciones para y :
Resolviendo se encuentra que
y
al último resultado, se obtiene un sistema de
y
. Por lo que la deflexión está dada por
EJERCICIOS 7.3
7.3.1 TRASLACIÓN EN EL EJE
En los problemas 1 a 20 encuentre
Solución:
o
, como se indica.
2. ℒ− Solución:
3. ℒ− Solución:
4. ℒ− Solución:
5. ℒ − Solución:
6. ℒ 1 Solución:
7. ℒ 3 8. ℒ− 4 Solución:
Solución:
9. ℒ1 3− 5 Solución:
10. ℒ (9410 2) Solución:
11. ℒ− 21 Solución:
12. ℒ− 11 Solución:
1 13. ℒ− 610 Solución:
1 14. ℒ− 25 Solución:
1 15. ℒ− 45 Solución:
25 16. ℒ− 634 Solución:
17. ℒ− 1 Solución:
18. ℒ− 25 Solución:
19. ℒ− 21 1 Solución:
1 − 20. ℒ 2 Solución:
En los problemas 21 a 30, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales.
. 4=−, 0 =2 Solución:
. =1, 0 =0 Solución:
. 2 =0, 0=1, 0=1 Solución:
. 4 4=, 0 =0, 0 =0 Solución:
. 6 9=, 0 =0, 0 =1 Solución:
. 4 4=, 0 =1, 0 =0 Solución:
. 6 13=, 0 =0, 0 =3 Solución:
. 2 20 51=0, 0 =2, 0 =0 Solución:
. = cos, 0 =0, 0 =0 Solución:
. 2 5=1, 0=0, 0=4 Solución:
En los problemas 31 y 32, use la transformada de Laplace y el procedimiento descrito en el ejemplo 9 para resolver el problema con valores en la frontera dado.
. 2 =0, ′0 =2, 1 =2 Solución:
. 8 20=0, 0=0, =0 Solución:
33. Un peso de 4 lb estira un resorte 2 pies. El peso se libera a partir del reposo 18 pulgadas
7/8 .
arriba de la posición de equilibrio y el movimiento resultante tiene lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a veces la velocidad instantánea. Use la transformada de Laplace para encontrar la ecuación de movimiento Solución:
34. Recuerde que la ecuación diferencial para la carga instantánea circuito RCL en serie está dada por
en el capacitor en un
1 =. 20 =1 ℎ, = 20 Ω, =0.005 , =150 , >0,0=0 0=0 Véase la sección 5.1. Use la transformada de Laplace para encontrar cuando . ¿Cuál es la corriente ? Solución:
2=/ =1/ 2 = / 0 =0, 0=0 − 1 (cos h ℎ ), > √ = 1 [1−−1], = (cos h ℎ ), < { √ 35. Considere una batería de voltaje constante
que carga el capacitor que se muestra en la figura 7.3.9. Divida la ecuación (20) entre y defina y . Use la transformada de Laplace para demostrar que la solución de sujeta a 0 es
FIGURA 7.3.9 Circuito en serie del problema 35 Solución:
0=0
=−,>0
≠1/ =1/
36. Use la transformada de Laplace para encontrar la carga cuando Solución:
y
. Considere dos casos:
en un circuito RC en serie y .
7.3.2 TRASLACIÓN EN EL EJE
En los problemas 37 a 48 encuentre
37. ℒ1 1 38. ℒ− 2 Solución:
Solución:
39. ℒ 2 Solución:
40. ℒ31 1 Solución:
41. ℒcos Solución:
42. ℒ 2 Solución:
o
, como se indica.
− − 43. ℒ Solución:
− 1 − 44. ℒ 2 Solución:
− − 45. ℒ 1 Solución:
−/ − 46. ℒ 4 Solución:
− − 47. ℒ 1 Solución:
− − 48. ℒ 1 Solución:
En los problemas 49 a 54, compare la gráfica dada con una de las funciones de los incisos a) a f). La gráfica de se presenta en la figura 7.3.10.
FIGURA 7.3.10 Gráfica para los problemas 49 a 54. Solución:
49.
FIGURA 7.3.11 Gráfica para el problema 49. Solución:
50.
FIGURA 7.3.12 Gráfica para el problema 50. Solución:
51.
FIGURA 7.3.13 Gráfica para el problema 51. Solución:
52.
FIGURA 7.3.14 Gráfica para el problema 52. Solución:
53.
FIGURA 7.3.15 Gráfica para el problema 53. Solución:
54.
FIGURA 7.3.16 Gráfica para el problema 54. Solución:
En los problemas 55 a 62, escriba cada función en términos de funciones escalón unitario. Encuentre la transformada de Laplace de la función dada.
55. =2,2, 0≤<3≥3 Solución:
1, 0≤<4 56. =0,1, 4≤<5≥5 Solución:
57. =0, , 0≤<1 ≥1 Solución:
58. =0, , 0≤<3/2 ≥3/2 Solución:
59. =0,, 0≤<2 ≥2 Solución:
60. =0,, 0≤<2 ≥2 Solución:
61.
FIGURA 7.3.18 Gráfica para el problema 61. Solución:
62.
FIGURA 7.3.17 Gráfica para el problema 62. Solución:
En los problemas 63 a 70, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales.
. =, 0 =0, =05,, 0≤<1≥1 Solución:
. =, 0=0, =1,1, 0≤<1≥1 Solución:
. 2=, 0 =0, =0,, 0≤<1≥1 Solución:
. ′′4=, 0 =0, 0 =1 =10,, 0≤<1≥1 Solución:
. ′′ 4= 2 , 0 =1, 0 =0 Solución:
. 5′6= 1 , 0 =0, 0 =1 Solución:
. ′′=, 0=0, Solución:
0=1 =0,1,
0≤< ≤<2 0, ≥2
. 4 3=1 2 4 6, 0=0, 0=0 Solución:
71. Suponga que un peso de 32 libras estira un resorte 2 pies. Si el peso se libera a partir del
=20
0≤<5
reposo en la posición de equilibrio, determine la ecuación de movimiento si una fuerza actúa en el sistema para y luego se retira (véase el ejemplo 5). Desprecie
0,10
cualquier fuerza de amortiguamiento. Use un programa de graficación para trazar intervalo . Solución:
72. Resuelva el problema 71 si la fuerza aplicada y después se retira. Solución:
=
actúa en el sistema para
en el
0≤<2
0 =0, =2.5 Ω, =0.08
En los problemas 73 y 74 use la transformada de Laplace para encontrar la carga capacitor en un circuito en serie sujeto a las condiciones indicadas.
73.
,
dada en la figura 7.3.19.
FIGURA 7.3.19 Solución:
en el problema 73.
en el
74.
0 =, =10 Ω, =0.1 ,
dada en la figura 7.3.20.
FIGURA 7.3.20 Solución:
en el problema 74.
0 =0, =1 ℎ, =10 Ω .
75. a) Use la transformada de Laplace para encontrar la corriente
en un circuito LR en serie es como se ilustra en la figura
de una sola malla cuando y 7.3.21. b) Use un programa de computadora para graficar y dibuje en el intervalo gráfica para estimar e , los valores máximo y mínimo de la corriente.
0≤≤6.
Use la
FIGURA 7.3.21 Solución:
en el problema 75.
0=0, =50 Ω, =0.01 =100 0≤≤6 76. a) Use 1a transformada de Laplace para determinar la carga circuito RC en serie cuando 7.3.22.
b) Suponga que
y
en el capacitor en un es como se muestra en la figura
. Use un programa de computadora para graficar y dibuje . Use la gráfica para estimar el valor máximo de la carga.
para
FIGURA 7.3.22 Solución:
en el problema 76.
=0,, 0<</2 /2≤<.
77. Una viga en voladizo está empotrada en su extremo izquierdo y libre en su extremo derecho. Use la transformada de Laplace para determinar la deflexión
Solución:
cuando la carga está dada por
78. Resuelva el problema 77 cuando la carga está dada por
Solución:
, 0<</3 =0,0, /3<<2/3 2/3<<.
79. Encuentre la deflexión
de una viga en voladizo empotrada en su extremo izquierdo y libre en su extremo derecho cuando la carga total es como se da en el ejemplo 9. Solución:
80. Una viga está empotrada en su extremo izquierdo y apoyada simplemente en el extremo derecho. Encuentre la deflexión Solución:
cuando la carga es como la que se da en el problema 77.
Modelo matemático 81. Pastel dentro de un horno Lea de nuevo el ejemplo 4 en la sección 3.1 acerca del enfriamiento de un pastel que se saca de un horno.
=0 =0 ≥4
a) Diseñe un modelo matemático para la temperatura de un pastel mientras está dentro del horno con base en las siguientes suposiciones: en la mezcla de pastel está a temperatura ambiente de 70°; el horno no se precalienta por lo que en , cuando la mezcla de pastel se coloca dentro del horno, la temperatura dentro del horno también es 70°; la temperatura del horno aumenta linealmente hasta minutos, cuando se alcanza la temperatura deseada de 300°; la temperatura del horno se mantiene constante en 300° para .
=4
b) Use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales del inciso a). Solución:
Problemas para analizar 82. Analice cómo se podría arreglar cada una de las siguientes funciones, de tal forma que el teorema 7.3.2 se pudiera usar directamente para encontrar la transformada de Laplace dada. Compruebe sus respuestas con la ecuación (16) de esta sección.
ℒ2 1 1 ℒ 5 ℒcos ℒ 3 2 Solución:
=1
ℒ } ℒ = ℒ = 2
83. a) Suponga que el teorema 7.3.1 se cumple cuando el símbolo es un número real e
. Demuestre que
se reemplaza por se puede usar para deducir
,
donde
