4.8 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN REPASO DE MATERIAL Puesto que el método de eliminación sistemática desacopla un sistema en distintas EDO lineales en cada variable dependiente, esta sección le brinda la oportunidad de practicar lo que aprendió en las secciones 4.3, 4.4 (o 4.5) y 4.6. ●
INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas tienen que ver con dos o más ecuaciones que contienen derivadas de dos o más variables dependientes (las funciones desconocidas) respecto a una sola variable independiente. El método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se basa en el principio algebraico de eliminación de variables. Veremos que la operación análoga de multiplicar una ecuación algebraica por una constante es operar en una EDO con cierta combinación de derivadas.
ELIMINACIÓN SISTEMÁTICA La eliminación de una incógnita en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se facilita al rescribir cada ecuación del sistema en notación de operador diferencial. Recuerde de la sección 4.1 que una sola ecuación lineal
+ −− + ⋯+ ′ + =, ,1,..., son constantes, puede escribirse como donde las , = 0,1,..., ( + −− +⋯+ + )=, Si el operador diferencial de n-ésimo orden − − se factoriza en operadores diferenciales de menor orden, entonces los factores conmutan. Ahora, por ejemplo, para rescribir el sistema
+
+⋯+ +
′′ + 2′ + ′′ = + 3 + ′ + ′ =4+2+− ,
en términos del operador primero se escriben los términos con variables dependientes en un miembro y se agrupan las mismas m ismas variables.
′′ + 2′ + ′′ 3 = ′ +4+′ 2= −
Es lo mismo que
+21 + 3 = 4 + 2 = −
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un
= , = , = , etcétera, que .
conjunto de funciones suficientemente derivables satisface cada ecuación del sistema en algún intervalo común
MÉTODO DE SOLUCIÓN Considere el sistema simple de ecuaciones lineales de primer orden
= 3 = 2
O, equivalentemente
3=0 2=0
(1)
3
Operando con la primera ecuación de (1) en tanto que la segunda se multiplica por y después se suma para eliminar del sistema, se obtiene . Puesto que las raíces de la ecuación auxiliar de la última ED son y , se obtiene
6=0 = √ 6 = √ 6 = −√ + √ . 2
Multiplicando la primera ecuación en (1) por 2 mientras que se opera la segunda con y después restando, se obtiene la ecuación diferencial para . Inmediatamente se tiene que
, 6 = 0 = −√ + √ . 3 Ahora (2) y (3) no satisfacen el sistema (1) para toda elección de , , y porque el sistema en sí pone una restricción al número de parámetros en una solución que se puede elegir en forma arbitraria. Para ver esto, observe que sustituyendo y en la primera ecuación del sistema original (1), después de simplificar, se obtiene
(√ 6 3)−√ + (√ 6 3)√ = 0. Puesto que la última expresión es cero para todos los valores de , debemos tener √ 6 3 = 0 y √ 6 3 = 0. Estas dos ecuaciones nos permiten escribir como un múltiplo de y como un múltiplo de : = √ 36 = √ 36 . 4 Por tanto se concluye que una solución del sistema debe ser
= −√ + √
= √ 36 −√ + √ 36 √
Se recomienda sustituir (2) y (3) en la segunda ecuación de (1) y comprobar que se cumple la misma relación (4) entre las constantes.
EJEMPLO 1 Solución por eliminación Resuelva
+ + 2 = 0 3 2 = 0 3 2 0. 2 0
(5)
– 3 la primera ecuación y la segunda con y luego restándolas se elimina del sistema. Se deduce que la ecuación diferencial para es [ 3 + 2 + 2]=0 + 6 = 0. Puesto que la ecuación característica de esta última ecuación diferencial es + 6 = 2 + 3 = 0, se obtiene la solución = + − . 6 Eliminando de modo similar, se obtiene + 6 = 0, a partir de lo cual se encuentra que SOLUCIÓN Operando con
= + − .
6
Como se observó en la descripción anterior, una solución de (5) no contiene cuatro constantes independientes. Sustituyendo (6) y (7) en la primera ecuación de (5) se obtiene
4 + 2 + 3− = 0. De 4 + 2 = 0 y 3 = 0 se obtiene =2 y = . Por tanto una solución del sistema es =2 13 −, = + − Ya que sólo se podría despejar fácilmente a y en términos de y , la solución del ejemplo 1 se escribe en la forma alternativa
= + −,
= 12 3−
En ocasiones da resultado mantener los ojos abiertos cuando se resuelven sistemas. Si en el primer ejemplo se hubiera resuelto para , entonces se podría encontrar y , junto con la relación entre las constantes, usando la última ecuación del sistema (5). Usted debe comprobar que la sustitución de en produce − . Observe también en la
= 3 = 3 descripción inicial que la relación que se proporciona en (4) y la solución de (1) se podría haber obtenido al usar en (2) y la primera ecuación de (1) en la forma = 13 = 13 √ 6−√ + 13 √ 6√ .
EJEMPLO 2 Solución por eliminación Resuelva
′ 4+′′ = ′ + + ′ = 0.
SOLUCIÓN Primero se escribe el sistema en notación de operador diferencial:
4 + = + 1+=0.
9
, obtenemos [ + 1 4] = + 1 40 o + 4 = +2. Puesto que las raíces de la ecuación auxiliar + 4 = 0 son =0, = 2 y =2, la función complementaria es = + 2 + 2 . Para determinar la solución particular , se usan coeficientes indeterminados suponiendo que = + +. Por tanto ′ = 3 +2+, ′′ = 6 + 2, ′′′ =6, ′′′ + 4′ =12 +8+6+4= +2. Entonces, eliminando a
La última igualdad indica que Así
12 = 1, 8 = 2 y 6+4=0; por tanto = , = , y = .
= + = + 2 + 2 + 121 + 14 18 .
10
Eliminando y del sistema (9), se obtiene
[ 4 + 1] = + 4=. Debe ser obvio que = 2 + 2 y que se pueden aplicar coeficientes indeterminados para obtener una solución particular de la forma = ++ . En este caso usando derivadas y álgebra usuales se obtiene = + , y así = + = 2 + 2 14 + 18 . 11 Ahora se expresan y en términos de y sustituyendo (10) y (11) en cualquier ecuación de (8). Utilizando la segunda ecuación, se encuentra, después de combinar términos,
2 2 2 + 2 + + 2 2 = 0, así 2 2 = 0 y 2 + + 2 = 0. Despejando y en términos de y se obtiene = 4 + 2 y = 2 4. Por último, se encuentra que una solución de (8) es = 15 4 + 2 cos2+ 15 2 4 2 14 + 18 . = + 2 + 2 + 121 + 14 18 . EJEMPLO 3 Volver a tratar un problema de mezclas En (3) de la sección 3.3 vimos que el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
= 2 + 1 25 50 = 2 2 25 25 es un modelo para la cantidad de libras de sal y en mezclas de salmuera en los
tanques A y B, respectivamente, que se muestran en la figura 3.3.1. En ese momento no podíamos resolver el sistema. Pero ahora, en términos de operadores diferenciales, el sistema anterior se puede escribir como
=0 + 252 ++ 252 = 0
Operando con
+
la primera ecuación y multiplicando la segunda ecuación por
,
se suman
625 +100+3 = 0. De la ecuación auxiliar 625 +100+3= 25+125+3 = 0 se observa inmediatamente que = −/ + −/ . Ahora se puede obtener usando la primera ED del sistema en la forma =50+ . De esta manera se encuentra y simplifican, y se obtiene
que la solución del sistema es
= −/ + −/,
= 2−/ 2−/ 0 = 25 + = 25 2 2 = 0 = = .
En el análisis original de la página 107 se supuso que las condiciones iniciales eran y . Aplicando estas condiciones a la solución se obtiene y . Resolviendo simultáneamente estas ecuaciones se obtiene Por último, una solución
0 = 0
del problema con valores iniciales es
= 252 −/ + 252 −/,
=25−/ 25−/.
En la figura 4.8.1 se muestran las gráficas de ambas ecuaciones. Consistentes con el hecho que se bombea agua pura al tanque en la figura vemos que y conform
→0 →0
→∞.
FIGURA 4.8.1 Libras de sal en los tanques A y B. EJERCICIOS 4.8 En los problemas 1 a 20 resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales dado por eliminación sistemática.
1. = 2 , Solución:
=
2. = 4 + 7 , Solución:
=2
3. = + , Solución:
=
4. 4 = 1 , Solución:
+ = 2
5. + 5 2=0 2+ + 2 = 0 Solución:
6. + 11=2 3 + + 2=1 Solución:
7. =4+ , Solución:
=4
8. + =5, Solución:
9.
= +1+ 1=4
Solución:
10.
= +3+ + 3 = 2
Solución:
+ =+4
11. 1 = 0 1+=0 Solución:
12. 2 12+1=1 1+ =1 Solución:
= 13. 2 5+ + = 5 Solución:
14. + = + + + = 0 Solución:
15. 1 + + 1=1 1++1=2 Solución:
16. 2 + = + =2 Solución:
17. = =
=
Solución:
18.
+ = 1++=0 +2+=
Solución:
19. =6 = + = + Solución:
20. =+ =+ =+ Solución:
En los problemas 21 y 22 resuelva el problema con valores iniciales.
21. =5 =4 1 = 0, 1 = 1 Solución:
22. =1 =32 0 = 0, 0 = 0 Solución:
Modelos matemáticos
23. Movimiento de un proyectil Un proyectil disparado de una pistola tiene un peso
= y
una velocidad tangente a su trayectoria de movimiento. Ignorando la resistencia del aire y las fuerzas que actúan sobre el proyectil excepto su peso, determine un sistema de ecuaciones diferenciales que describa su trayectoria de movimiento. Véase la figura 4.8.2. Resuelva el sistema. [Sugerencia: Use la segunda ley de Newton del movimiento en las direcciones y .]
FIGURA 4.8.2 Trayectoria del proyectil del problema 23 Solución:
24. Movimiento del proyectil con resistencia del aire Determine un sistema de ecuaciones diferenciales que describa la trayectoria de movimiento en el problema 23 si la resistencia del aire es una fuerza retardadora (de magnitud ) que actúa tangente a la trayectoria del proyectil pero opuesta a su movimiento. Véase la fi gura 4.8.3. Resuelva el sistema. [Sugerencia: es un múltiplo de velocidad, digamos, ]
k
c.
FIGURA 4.8.3 Fuerzas en el problema 24. Solución:
Problemas para analizar 25. Examine y analice el siguiente sistema:
2= + 12+1=1. Solución:
Tarea para el laboratorio de computación 26. Examine de nuevo la figura 4.8.1 del ejemplo 3. Luego utilice una aplicación para determinar raíces para saber cuando el tanque B contiene más sal que el tanque A. Solución:
27. a) Lea nuevamente el problema 8 de los ejercicios 3.3. En ese problema se pidió demostrar que el sistema de ecuaciones diferenciales
= 1 50 = 1 2 50 75 = 2 1 75 25 , y que se 0 = 15, = 10, = 5.
es un modelo para las cantidades de sal en los tanques de mezclado conectados muestran en la figura 3.3.7. Resuelva el sistema sujeto a
b) Use un SAC para graficar
[0,200].
, y en el mismo plano coordenado (como en la figura
4.8.1) en el intervalo c) Debido a que se bombea agua pura hacia el tanque A, es lógico que en algún momento la sal salga de los tres tanques. Utilice una aplicación de un SAC para encontrar raíces para determinar el tiempo cuando la cantidad de sal en cada recipiente sea menor o igual que 0.5 libras. ¿Cuándo son las cantidades de sal y simultáneamente menores o iguales que 0.5 libras? Solución:
,
