MURRAY R. SPIEGEL Pb.
D., PROFESSOR DE MATEM!TICA DO INSTITUTO POLITECNICO RENSSELAER.
,
AN ALISE VETORIAL (COM INTRODU<;XO A
RESUMO
ANA.LIE S TENO S RIAL)
DAT E ORI A
329 PROBLEMAS RESOLVIDOS 419
PROBLEMAS PROPOSTOS
TRADUZIDO POR
WALD O
RUSSO
ENGEN HEIRO
EDITORA McGRAW-IDLL DO BRASIL, LTDA. SA.O PAULO - RIO DE JANEIRO
Do original Shaum's
Outline of Theory and Problems of VECTOR ANALYSIS AND
AN INTRODUCTION TO TENSOR ANALYSIS
publicado nos E.U.A. por Schaum Publishing Co. Copyright Copyright
© 1959 by McGraw-Hill, Inc.
© 1972
da Editora McGraw-Hill do Brasil
Ltda·.
Nenhuma parte desta publicacao podera ser reproduzida, guar · dada pelo sistema "retrievar· ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio,
seja este eletrOnico. mec3nico, de fotoc6pia,
gravac;:3o,
sem
ou
outros,
prl!via
autorizac;:i'o
por
escrito
da
de
Editora.
1. a lmpressao, 1961 2. a lmpressao, 1966 3.a Impressao, 1969 4.a lmpressao, 1972
1972
Todos os direitos reservados EDITORA McGRAW-HILL DO BRASIL LTDA. Rua Tabapui, 1105 ITAIM-BIBI, SAO PAULO ESTADO DE SAO PAULO
.
lmpresso no Brasil
Printed in Brazil
Av. Rio Branco, 156 -s/2614 RIO ,OE JANEIRO GUANA BARA
PREFA.CIO
A. andlise vetorial, cujo in!cio data dos meados do seculo XIX, tornou-se nos tempos atuais uma parte essencial da base m atemci tica e xigida a engenheiros, fisicos, matenuiticos e outros cientistas. �ste requisito niio foi acidental, pois a ancilise veto rial alem de pro porcionar uma notat;iio concisa para a apresentai;iio das e quai;oes q ue surgem das formulai;oes matematicas dos problemas de fisica e de geometria, e tambeni, um subsi d io natural na materializai;iio mental das ideias d a fisica e da geometria. Em suma, pode muito bem ser
considerada coma· um dos metodos de raciocinio e linguagem mais vaZorosos para as ciencias fisicas.
�ste livr o fo i idcalizado para ser usado tanto como um livro texto para um curso comum de ancilise vetorial como um su ple m e n to util aos livros textos corre ntes. E tam b im de grande utilidade para aqueles
que estao estudando fisica, mecanica, teoria eletromagne
tica, aerodinamica, ou outro qualquer dos numerosos assuntos em
que se emp1·egam ve tores. Cada capitulo comei;a com um enunciado claro das definii;oes, principios e teoremas relativos ao assunto, acompanhados de ilus trai; oes e descrii;oes . Seguem-se, entiio, problemas gradativos resol t1idos e propostos. Os problemas reso l vidos servem para ex emplifi-i car e ampliar a te o ria, focalizando os pontos mais im p ortant es, sem o que os estudantes se sen tem, continuamente, in seguros, e propor cionando uma repetii;ao dos principios bcisicos tiio vital ao ensino efetivo. Numerosas demonstrai;oes de teoremas e dedw;oes de formu las estiio entre os problem as resolvidos. 0 grande numero de pro blemas propostos, com respostas, serve para fazer uma revisao com pleta do assunto de cada capi.tulo.
Os t6picos tratados incluem a alge b ra e o cdlculo diferencial e vetores, o teorema de Stoke, o te o rem a da d iverge nc ia
integral de
PREFACIO
VI e
outros teoremas de integrais, acompanhados de muitas avlica(nt's
tirada.� de varios campos. Como complemento forarn introduzidos denadas curvilineas
e
OS
oapitulos sobre COOi'·
analise tensorial que ja deram prova de .ma
extrema utilidade no estudo avant;ado da engenharia, da fi.�ica
<'
dn
matematica. Foi incluida aqui muito mais materia do que a que se pode dar nos primeiros cursos d.e analise vetorial. E assim foi feito para dar a
este livro maior flexibilidade, para torna-lo um livro de referh1-
fia mais util e para estimular novos interesses nesses t6pico.�.
0
autor
agradece
a
inesti1navel
Hayden na composi<;iio tipografica
e
colabora<;iio
do
Sr.
Henry
na confect;iio das figuras,
111�r
eficacia da apresentat;iio num a.�sunto em que
visualizai:;iio
a
espa<;o desempenha um papel de grande importancia.
)I. I nstituto •
Politerniro Renssrlarr .
J unho, 1959.
R. SPIEGEL.
1111
1NDICE
P.AG.
CAP.
1.
E ESCALARE8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . algrbra de vetores. Veto r Ps unitario�. Vetores unitarios r etangula r e s . CompoHPntrs de um vrtor. Campos escalares. Campos vetoriais.
1
PRODl!TO ESCALAR E PR ODU TO VETOR!AL . . . . . . . . . . Pscalarps ou intrriorPS. Prod ut os wtoriais ou <'XtPl'ion•s. Produtos triplos Conjuntos rpdpro<'os dP v<>tores.
2:1
DI FERENCIA<;'.AO DE VETORE8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DPriva
nciabilidade. Formulas de derivac;iio. Derivadas par-
4i
VETORES
Vt>torPs. Escalares. .Algebra dP vetores. Leis da
2.
Produtos
·
3.
.
_
ciais dr wtorPs. Difi>rPnciais de vetores. Geometria difereneial.
:Vfrd\ nira. 4.
GRADIE N TE, IHVERGfjNCTA E RO'l'ACION.\L ......... 0 operador difrn•ncial vetorial del. GradiPnk. Divergeneia. Ro
5.
lNTEGRA<:.Ao DE VETORE8 I ntegrais de vetores. Integrais de linha. lntegrais de super:fi cie. lntegrais tle volume.
.
tacional.
6.
Formulas corn o operador dt>l. .
TEOREMA 'l'EOREMA
.
.
.
.
.
.
Jnvariancia. .
.
.
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.
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.
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.
.
.
.
115
DA DlVERG:f:NC!A ' TEOREMA DE STOKE E . . .. . . .. . . . .. . DAS· INTEGRAIS .
80
.
H9
Teorema da divergencia de Gauss. Teorema de Stoke. Teorema de Green. no plano. TPorema das i nte gra is. Forma integral do operador del.
7.
COORDENADA8
CURVJLiNEAS
. . . . . . . .. .. .. .. .. .. . .. .. .
187
Transf . orma�ao rl<· coordenadas. Coordenadas curvilineas ortogonais. Vetore� o.nitarios nos,sistemas curvilincos. Elementos dP eomprime nto de areo e de volume. Gradi<>nte, divergencia e ro tacional. Sistprnas d<> coordenadas ortogon a is especiais. CoordPnadas cilindricas. Coordenadas esfericas. Coordenadas cilindri·
cas parabolica�. Coordenadas paraboloidais. Coordenadas ci lindricas clitica5·. Coordenadas esferoidais oblongas. Coordenadas esferoidais acha tadas. Coordenadas elipsoidais. Coorilenadas bipolares.
8.
AN ALISE TENSORlAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de N dimensoes. Transformac;ao de eoordc, nadas. A convern;iio da soma. Vetores eontravariantes e cova-
Leis fisicas. Espac;os riantes.
Tensores
contravariantes,
covariantes
e
mistos. _ ])_<:>lta
s.
Campos
tensoriais. Tensores simetricos e
anti-si-
228
VIII
fNDIOE m6tr i cos. Operac;oes fundamentais com tensores. Ma t rizes . Al· gebra das matrizes. El e m ento de linha e o tensor mCtrico. Ten· &ores rl'ciprocos e conj ug a dos. Tensores associados. Compri· mcnto de um vet o r Angulo cntre dois vctores. Componentes fisicos. Simbolos de Christoffel. Leis da transformac;iio dos simbolos de Christoffel. Geod6s i ca Derivadas c ovar i an tes. Tcnsorei;· ou s i mbol os de permmac;iio. Forma tensorial do gra· diente, da divergencia e do rotacional. Derivada in t rin seca ou .
.
absoluta. Tensores
tNDICE
ALFABf:TICO
relativ o s
e
absolutbs.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
293
CAPiTULO 1
VETORES E ESCALARES
Vetor
e uma grandeza que tern m 6 dulo OU valor a bsoluto ,
direc;ao e sentido, tais como deslocamento, velocidade, f 6r9& e acele rac;ao.
OP
Graficamente representa-se um vetor por uma seta definindo a direc;ao e o sentido, sen-
(Fig. 1) p
do o seu m6dulo ou valor absoluto indicado pelo seu comprimento.
0 ponto inicial 0 da seta e chamado de origem do vetor e o terminal
P,
de extremidade.
Anallticamente
0
representa-se
Fig. 1
um vetor por uma letra corn uma seta em cima, como
A
na Fig. 1, e seu m6dulo, por
IAI
ou A.
Em
trabalhos impressos, usa-se o tipo negrito, tal como A, para d esignar
o vetor
A,
enquanto
IAI
ou A designa seu m6dulo.
usaremos a notac;ifo em negrito.
por
OP
IOPI
OU
OP; OP I I.
ou
0 v etor
OP
.
Neste livro
e tambem designado
neste caso seu m6dulo sera represent.ado por
OP,
Escalar e uma gran de za que nao tem nem dire�A.o nem sen• tido, por exemplo massa, comprimento, tempo, temperatura equal quer n umero real.
Um escala r e representado
por
letras do tipo
comum como na algebra elementar.
Algebra de
vetores.
AB opera�Oes de adi�A.o, subtrai;A.o e
multipli cac;ao , comum na algebra dos numeros e cscalares, sio, com as devidas definic;oos, extensiveis A algebra de vetores. aeguintes sao fundamentais.
As definic;oos
ANALISE
2
B
Dois vetores A e
I.
mcsma
VETORIAL
sao iguais :;e tern o mesmo modulo,
direc;ao e o mesmo sentido, embora nao t.enham Assim A
ongem.
2.
=
B
a
a
mcHma
na Fig. 2.
Um vetor que tern o mesmo modulo e a mesma
um vetor A, mas tern sentido oposto, e representado por
-
A (Fig.
3).
Fi11:. 2
A soma ou resultante dos vetores A e B e um vetor C obtido
3.
colocando-se a origem de
B
na extremidade de A e unindo-se a origem de A a extremidade de B. (Fig.
4).
Esta soma e assim escrita: A+B isto e, C
=
A + B.
Esta definic;ao e equivalente a lei do paralelogramo para a adic;ao de vetores (veja o Prob.
C=A+B
:�).
A extensao desta definic;ao ·pa Fig. 4
ra a soma de mais de dois vetores e imediata (veja o Prob.
A dijerenr;a dos vetores A e
4.
um vetor C que somado a
B da
=
B,
entao A
- B
e representado por 0
a
zero e nao tern direc;ao especifica.
vetor pr6prio. que
j
se a
5. e
( - B).
simplesmente 0.
Tern um modulo i'gual
um vetor que nao e nulo e um
Consideraremos todos os vetores proprios, a menos
estabelecido o contrario.
0 produto de um vetor A por um escalar m e um vetor
cujo modulo e
de A
- B, e -B
Da mesma forma, A
e definida como o vetor nulo ou zero
(l
OU
representada por A
o vetor A.
pode ser definida como a soma A +
Sc A
B,
4).
!ml
vezes o modulo de A, cuja direc;ao
cujo sentido e o mesmo ou contrario ao de A, conforme
positivo ou negativo.
Se m
=
0,. mA e um vetor nulo.
mA
e a mesma
m seja
VETORES E
3
ESCALARES
Se
Leis da algebra de vetores.
A, B
e
C
sao vetores e
m
e n,
e8ealares, teremos: 1)
A + B=B+ A
Lei romutativa da adi9ao
2)
Lei assoriativa da adi9ao
3)
A+ (B+C) = (A+B) + C mA=·Am
4)
m (nA) = (mn) A
Lei associativa da multiplica9ao
!) )
(m + n) A= mA + nA
Lei distributiva
6)
m
Lei romutativa da multiplica9ao
Lei distributiva.
(A+B) = mA + mB
� ote-se que nessas lei8 s6 aparece multiplica9ao de um vetor por um ou mais escalares.
No capitulo 2, serao definidos produtos de
vetores. Essas leis nos habilita a tratar as equa9oes de vetores da mesma forma corn que tratamos as equa9oes algebricas ordinarias. por exemplo, se
Assim,
podemos, por transposi9ao1 escrever
A+ B = C,
A= C- B. Vetor unitario e um vetor que tern o m6dulo igual a unidade. um vetor de modulo A .,t. 0, entao A/A e um vetor unitario
Se
A e
que tern a mesma dire9ao e o mesmo sentido de Qualquer vetor
A
A.
pode ser representado por um vetor unitario
a na dire9ao de A multiplicado pelo m6dulo de A. A= Aa. Os vetores unitarios retangulares i, j, k.
Em simbolos,
Um
sistema
importante de vetores unitarios e 0 formado pelos unitarios dos eixos dos x, y e z de um siste ma de cooraenadas cartesianas retangulares no espa901 sao
representados
mente por
e
que
respectiva
i, j e k (Fig. 5).
A menos que seja estabe le!'ido o contrario, usaremos o �istema de coordena.das retangu lares de triedro positivo ou destro. Em
tal
dispostos
sistema
eixos
sao
de modo a que
um
OS
x
Fig. 5
:oaca-rolhas, girando de 90° de Ox para Oy, avance no sentido positi vo
da dire9ao z, como na Fig.
5.
&N!LISE VETORI&L
4
De um modo ge ral , tr� vetores A, B e C qu e t�m as origens coincidentes e nao sao complanares, isto e, nao estao num mesmo plano, formam um triedro posilivo ou um sistema destro se um saca-r6lhas,
girando de um Angulo menor .que 1800 de A para B, avan9a no sen tido de C, como mostra a Fig. 6.
,,
--P---.,
Ask,/ ,
J5------
,'
Fig. 7
Fig. 6
Componentes de um vetor.
Um vetor qualquer A no cs
pa 90 pode ser re presentado corn sua origem na origem 0 de um sis tema de coordenadas retangulares (Fig. 7).
Sejam
(A1, A2, A3)
as
coordenadas retangulares da extremidade do vetor A cuja origem esta em 0. Os vetores
A1i, A2j e A3k
chamam-se vetores componentes
retangulares ou simplesmente vetores componentes de A nas dir�Oes
Ai, A2 e A3 sao chamados componentes rctangulares ou simplesmente componentes de A nas dire90es x, y e z
x,
y e z respectivamente.
rcspcctivamente.
A soma ou resultante de A1i, A2j e A3 k e o vetor A, de modo
que podemos escrever
A
=
A1i + A2j + Aak.
O m6dulo de A e dado por
A
=
IAI
=
VA12 + A22 + A11•
Em particular, o vetor posi�ao ou
(x, y, z)
raio vetor r de 0 ao ponto
e escrito
r=xi+yj+zk e Bell m6dulo
e r = lrl =
·
Campo escalar.
V :z:2 + y2 + zl.
Se a cada ponto (x, y,
z)
no espac;o corresponde um nu.xnero ou um escalar q,
de uma regiAo R
(x, y,
z),
q, e cha-
VETORES
E
ESOALABE8
5
Junr{J,o ucalar de posir{J,o ou Jun'® eacalar de um campo escalar cf> foi definido em R.
mado de um.a e se diz que
EXE:U:PLOS.
{l) A
Ponto
temperatura num ponto qualquer no inte
rior ou na superffcie da terra define um campo escalar.
"'(x, y, z) =x• y -
(2)
12 define um campo escalar.
Um campo escalar que nao depende do tempo � chamado de campo escalar estaciondrio.
Campo vetorial.
Se a cada po nt o
(x,
y,
z) de uma regiao
R no espai;o corresponde um vetor V (x, y, z), V e chamado de jun,ao vetorial de posir;iio ou junr;iio vetorial de ponto, e dizemos, neste caso,
que se definiu um campo vetorial V em R.
ExEMPLOS. (x, y,
z)
·
(1)
Se se conhece a velocidade em qualquer ponto
no interior de um fluido em movimento, num determinado
instante, esta definido um campo vetorial.
V (x, y,
(2)
z)
=
xy2i
- 2 yzaj + x2zk
define um campo vetorial. Um campo vetorial que nao depende do tempo e chamado de campo vetorial estaciondrio. PROBLEMAS RESOLVIDOS l.
Dizer quais das seguintes grandezas silo escalares
(a)
p�so caloria.
(J) (g)
energia.
(b) (c)
calor especffico
(h)
dist:\ncia.
(d)
quantidade de movimento
(i)
velocidade (va.lor a.bsoluto)
(e)
de nsidade
(j)
campo magnctico
Resp.
2.
(a) o
NE.
quais silo vetoria.is.
e
(a)
vetor
(d)
vetor
(b)
escala.r
(e)
escalar
(c)
escalar
(j)
escalar
volume
(g) (h)
escalar
(i)
escalar
(j)
vetor
escalar
Representar graficamente.
uma for<;a de 10 kg numa direi;ito de 30" corn o leste apontando para
ANAJ,JSE VETORIAL
6 (/,)
o
Uma f0f9& de
15 kg numa dire �io de 30"
com o norte apontando paru
NE.
N
N
Uuldade
•
5 k&,
s
s
E.
a
Fi11:. (b)
la)
Fil(.
unidade mostrada
na
figurn,
vetores pedid os siio os acima
os
trn�ados. 3.
Um autom6vel percorre 3 km para o norte e depois 5 km para o nor
tle A te . Representar graficamente �ses deelocamentos e determinar o
0 vetor
OP
ou A re presenta o deslocamento de 3 km para
0 vetor
PQ
ou
B representa
o deslocamento de
5
0 vetor N
o
km para
OQ
ou
norte. o
nordeste.
C reprclWnta
deslocamento resultante ou
Q
a
o
soma
dos vetores A e B, isto e, C=A+B. a lei do tridngulo para a adi.;iio
Esta ii
de vetores.
A
0 vetor resultante
OQ
pode
acr
obtido tamMm tra�ando-ee o diago nal do paralelogramo OPQR conetru fdo s6bre oe vetores (igual ao vetor
OP OU
A e OR B). Esta e =
lei do paralelogramo para a adi�iio
a
A
PQ
de vetoree.
(a)
Determina,iio grajica da re-
Dividindo-se o vetor OQ 0----�------- ---E sultante. O pela unidade de 1 km eetabelecida � na figura, acha-ee 7,4 km (a.proxiUnldade =I km ma.da.mente).
s
Entil.o o vetor
de 7,4 km e faz com a dire�ii.o leste um Angulo de
(b)
ll
e
Determinaciio· analftica da resultante. C os m6dulos de A, B e C, temoe, pela lei C2 ., A2 + B2 (.'2 • 32 +
E corn um tramrferi
dor acha.-se o angulo EOQ
52
-
2 X 3 X
-
2 AB
5 cos 135°
-
61,5°
OQ tern
"'
61,5°.
um modulo
para o norte.
Do triangulo OPQ, fazendo A, dos co-eenoe, cos < OPQ
34
+ 15v'2 - 55,21
VETORES
C
e
7
ESCALARES
E
7,.l:3 (aproximadamente ).
=
Pela lei dos senos, temos:
A
C:: OQP
=
sen
=
4. A,
10
para
7,43
OQ tern um modulo 61°35' para (45° + 16°35') =
Al'har sul.
de 7,43 km e faz corn a direr;ao leste um 0
norte.
soma ou a resultante dos seguintes drslocamentos:
a
Vrja
a
B,
20
m fazendo :m0 corn o norte para \este;
C,
35
m
fig. (a) ahaixo.
Na extrPmidad<' dr A <"oloquemos origPm de C.
origem de B na extremidade di' B, a
a
A n·sultante D c ohtida ligando-se a origem de A a extremidade
dr C, ist o e, D
=
A + B +C.
l\Iedindo-sc· grafiC'amPnte I'
0,285 5
16°35'.
m para· nororste: o
logo
3 X 0,707
C
Assim, o vetor angulo de
C:: OPQ
C:: OPQ
Asen
/ OQP sen._ e
c
------ ,
� OQP
sen
numa dircr;iio que faz
60°
a
resultante encontra-sP 4,1 unidadrs
Um mctoclo analiticu
e indicaclo no Prohlerna
=
20,5
m
corn o leste e para o sul. no
espac;o,
26.
N
p c
-
Unldade
=
5 m 0
s
R Fig.
5.
Fig.
(b)
:Mostrar que a soma de vetores e c om u tat iva, isto c, A + B
Veja a Fig.
(b)
acima.
OP c
(u)
+
PQ
OR + RQ Logo
=
=
OQ
OU
A + B
=
OQ
ou
B + A
=
A + B
=
B + A.
c, C.
=
B + A.
ANiLISE VETOBIAL
8 6.
Mostrar que
a
soma de vetorea 6 uaociativa, isto 6, A + (B +C) -
- (A +B) +C. OP + PQ - OQ - (A + B), e PQ + QR ... PR ... (B + C) .
OP + PR - OR "" D, isto 6, A +(B +C) - D.
OQ + QR ... OR - D, isto 6, {A +B) +C ... D . Logo
o-----�=---illR
A +( B +C ) ... {A + B) +C .
A generaliza�ao dos resultados dos Problemas 5 e 6, mostra que a ordem na soma de qualquer nllinero de vet.ores
6 indiferente. 7. a figura.
As ftm;as Fi, F2,
•
•
•
, Fe agem s6bre um objeto P, conforme mostra
Que f6r�a 6 necessll.ria para evitar o deslocamento de P?
JA que a ordem dos vetores para a soma 6 indiferente, podemos come�ar com qualquer vetor, digamos F1.
A. F1
acrescentemos F2, depois Fa, etc.
0 vetor tra�ado da origem de F1 aM a extremidade de F e 6 a resultante R, isto 6, R
=
F1 + F2 +Fa + F, +Fa +Fe.
A ftir�a necessaria para impedir o desloca.mento de P 6 - R que 6 um vetor igual a R em dire�ao e grandeza (ou m6dulo) mas de sentido opos� ,
a8 vAzes cha-
mada de equ.ilibrante.
p
8.
Dados os vetores
1
(b) 3 C - 2 (2 A - B).
A, B
e C (Fig. 1 (a)) construir (a)
A - B + 2C.
VETORES
E
ESCALARES
9
(a)
Fig. 1
(a)
Fig. 2
(a)
(b)
-j(2A-8)
Fig. 2
Fig:. 1 (b)
9.
(b)
Um aviiio dirige-se numa direi;iio norocste a 125 km/h em relai;iio ao
solo, corn um vento soprando de leste para oeste corn uma velocidade de 50 tambern em relai;iio ao solo.
km/h
Qual scria -"
a velocidade e a direi;iio de voo do aviiio se niio houvesse vento? Seja
V
=
Va
=
velocidade do vento velocidade do aviiio corn vento
Vb
=
velocidade do aviiio sem o vento.
Logo
Va Vb
=
=
Vb + V Va - V
ou =
-----i • 25 km/h
Unidade
Va + ( - V)
Vb tern um m6dulo de 6,5 unidades ou seja, 163 km/h e uma direi;iio de 33° corn o norte para o oeste.
10.
Dados dois vetores niio colineares
presente qualquer vetor
r
a
e b, achar uma expressiio que
situado no piano determinado por
a
e b.
re
ANALISE VETORIAL
10 Vet.ore& nii.o
colineares sii.o vet.ores que nii.o sii.o paralelos a mesma reta.
quando suas origens coincidem, �le& determina.m um piano.
Seja
r
Logo,
um vetor
qualquer situa.do no piano de
e
a
b,
tendo a origem coincidente corn as de
R
a
e b em 0.
r
tra.cemos pa.ralelas aos vetores
b
e
completemos
ODRC, de
Da extremidade
e
o paralelogramo
prolongando as linhas de ai;ii.o
e b,
a
de a
se necessario.
Da figura
tiramos:
0
OD
= x
(OA)
= xa,
onde
yb,
onde
x
e um
esca.lar
OC
B
y (OB)
=
=
y e
um
escalar. Mas, pela. lei
do paralelogramo
para a soma de vet.ores, temos
OR
-
OD + OC
ou
r - xa
+ yb
que e a expressii.o pedida. Os vet.ores e
xa
e yb sii.o cha.ma.dos vetores componentes de
b respectivamente.
Os escalares
x
e
y
dendo da relativa orientai;ii.o dos vetores. mente que, para um dado valor de
Os
vet.ores
11.
a
a,
b e
r
nas direi;Cies de
a
podem ser positivos ou negativos, depen Pela construi;ii.o acima verifica-se clara r,
s6 existe um valor para
x
y.
e um para
e b sii.o cha.ma.dos vetores Msicos de um piano.
Dados tr�s vet.ores niio complanares,
represente qualquer vetor
r
a,
b e c, a.char uma expressiio que
num espai;o de 3 dimens5es.
s
Vetores niio complanares siio vet.ores que niio siio paralelos ao mesmo piano. Portanto, quando suas origens coincidem eles niio ficam no mesmo piano. Seja
r
B
um vetor qualquer no espai;o,
tendo a origem coincidente corn as de a,
b e c em
O.
Pela extremidade de
r
pa.ssemos pianos paralelos aos pianos de terminados por a e b, b e c e pletemos
o
paralelepfpedo
a
e c; e com
PQRSTUV
prolongando as linhas de ai;iio de c, se
a,
b e
necessario.
Da figura ao la.do tiramos:
OV
mas
OR
=
e um escalar
"" xa
onde
x
onde
y e
onde
z
x
-
OT
- z
-
(OA)
y (OB) ""yb
OP
(OC)
= zc
OV + VQ + QR
""
um escalar
e um escalar
OV +OP +OT
ou
r = xa
+ yb + zc.
VETORES E
ESCALARES
II
Pela constru�ii.o verifica-ee claramente que x, y e z Mm apenas um valor para um dado valor de a, b, Os vetores a,
xa,
c
·
e
r.
yb e zc siio chamados v.etores componentes de
r
nas direQOe&
be c respectivamente. Os vetores a, b e c sii.o chamados vetores bdsicos em tr&
dimens0es. No caso particular de
a,
b e c serem os vetores unitarios i, j e k, que sio
perpendiculares entre si, qualquer vetor
r
em termos de i, j e k, da seguinte maneira: E tambem do Problema
12.
c = O,
se
r
pode entii.o ser expresso upicamente r
= xi + yj + zk.
deve estar no piano de a e b, obtendo-se o resultado
10.
Provar que,
se
a e b nii.o sii.o colineares,
xa + yb= O implica em
x = y = 0. Suponhamos que x � 0. Entii.o, se xa + yb 0 teremos xa - yb ou a = - (y/x) h, isto e, a e b devem ser paralelos A mesma reta (colineares), o que contraria a hip6tese. Logo x= 0, e portanto yb = 0, donde y= 0. =
=
13. Se XIa + y1h = x2 a + y2h, onde a e b nii.o sii.o colineares, devemos ter XI = x2 e Y1 = Y2· A expressii.o XI& + Yih = x2a + y2b pode ser escrita OU
x1a + Yih - (X28 + Y2b) = 0 (x1 - X2) a + (y1 - Y2) b= o. 0 e Y1 - Y2 = 0 ou x1 = x2 e YI =rt· Logo, pelo Problema 12, XI - x2 =
14.
Provar que, se
em x= y =
z=
a,
b e c nii.o sii.o complanares, xa + yb + zc= 0 implica
0.
Suponhamos que x �
0. Entii.o se xa + yb + z� = 0 teremos :i:a = a = - (y/x) b - (z/x) c. Mas - . (y/x) b- (z/x) c e um vetor situado no piano de b e c (Problema 10), isto e, a esta situado no plano de b e c o que contraria a hip6tese de a, be c nii.o serem complanares. Logo x= O. Da mesma forma, se fizermos y � 0 e z � 0 chegaremos a conclus0es contrarias Aque-
= - yb - zc
OU
·
la hip6tese. Se x 1 a +y1b + z1c = X28 + y2b + z,.c, onde a, b e
15.
nares, devemos ter XI = x2, YI
=
y2 e ZI
=
c
nii.o sii.o compla
zz.
A equa�ii.o dada pode ser escrita da seguinte forma (xI -x2) a + (y1 - 111) b + + (zI - z2) c = 0:
Logo, pelo Problema 14,
x1 - x2 - O, y1 - y2 - O,
ou XI = x2, YI = yz e ZI = z2.
16.
Provar que as diagonais de um
paralelogramo cortam-se ao meio. Seja ABCD um paralelogramo
cu
jas diagonais cortam-se em P. Como BD + a= b, BD = b - a. Logo Como Mas
BP = x (b - a).
AC =
a
+ b,
AP = y (a + b).
AB = AP + PB = AP - BP,
isto e,
a= y (a.+ b) - x (b - a)= = (x + y) a + (y - x) b.
A
b
e z1
-as-0
ANALISE VETORIAL
12 Como
y
-
x
a
e
b
0, isto e,
=
17.
niio siio colineares, tcmos, pclo Problema 13, x
=
y = !.
p e
e
0
x
+y = 1 e
.ponto medio das diagonais.
Provar que, ligando-se os pontos medios dos lados consecutivos de um
quadrilatero qualquer, a figura resultante e um paralelogramo. Seja ABCD
quadrilatero dado e P, Q, R, s
0
OS
pontos medios dos lados.
Veja a Fig. (a) abaixo.
Teremos Mas
PQ = t (a + b),
QR= t (b+c),
RS = t (c + d),
SP = t (d +a).
a + b +c + d = 0 .
Logo
PQ
QR
e
=
! (b
=
t (a + b) =
+ c) =
-
-
t (c + d) = SR
t (d +a) = PS.
E assim a figura PQRS tern
OS
lados opostos paralelos, logo e um paralelo-
11;ramo.
18. vet.ores
Se P1, P2 e Pa sii.o pontos fixos em rela9ii.o a uma origem 0, e r1, r2 e·ra, posi9ii.o ligando
0
a
· cada ponto, mostrar que se a equa9ii.o vetorial
c
Fig.
G1r1
+ air2 + aara
qualquer
v o
(a) ..
Fig. (b)
0
se
outra origem 0'
verifies para se,
e sc}mente
se
veriii ca
para
=
Bejam r'1, r'1 e r'a QB vet.ores posi9'<> de P1, P2 e Pa em rela9ii.o a 0', e de 0' em re1.a9Ao a 0.
vetor posi9io
Vamos procurar entiio
as
a1r'i 119
a origem 0, tambem ee, a1 + a2 + aa 0.
verifique no novo sistema
+ G!.r'2 + aara'
de refer�ncia.
Da Fig. (b), acima, tiramos:
111ue levados na equa9ii.o
condiQ
0
a
equa9io
VETORES E
13
ESCALARES
dao
a1 (v + r'1) + a2 (v + r'2) + aa (v + r'a) = 0 OU
Logo, s6 teremos a1r'1
+ a2r'2 + aar'a
(a1 + a2 + aa) v = 0 , isto e,
= a1
0 se e somente se
+ a2 + aa
=
0 .
Esse resultado pode ser generalizado.
l9.>
Achar a equai;iio da reta que passa por dois pontos dados A e B, cujos
vetores posii;iio em relai;iio a uma origem 0 siio Seja
ro
a
e b.
vetor posii;iio de um ponto P qualquer da reta que passa por A e B.
Da figura ao lado tiramos:
OA + AP OP ou isto e, AP = r -:- a
a + AP = r,
=
e
OA
+
isto e,
AB OB AB = b
ou
=
Como
AP
e
a
+
AB = b,
a. siio colineares,
AB
ou
AP = t AB
-
r -
a = t (b
-
a).
Logo, a equai;iio pedida e r=
ou
a + t (b - a)
r=
(1
-
t) a + tb.
Se escrevermos essa equai;iio sob a forma rcmos que a soma dos coeficientes de
a, b
(1
-
t) a + tb
e r e nula.
- r
=
O, verifica
Logo, pelo Problem& 18
verifica-se que o ponto P esta sempre s6bre a reta que liga A a B e independe
de. escolhe. de. origem 0, como, ne.turalmente, era de se espere.r. Outro �todo. ..:·,: m
ond�
m
e
n
Como
AP =
n
PB
AP ou
e
siio colineares, teremos:
PB m (r
-
a)
= n
(b - r)
siio escale.res.
Resolvendo, obtemos r=
ma +nb m+n
que e cha.made. a jorma simetrica de. eque.i;iio de. reta.
20.
(a) Achar os vetores posii;iio r1 e r2 para os pontos P (2, 4,
3)
e Q
(1, -5, 2) de um sistema de coordenadas retangulares em funi;iio dos vetores uni Urios i,
j,
k.
(bj
Determinar grafica e e.naliticamente a resultante d�sses vetores.
(a) r1 = OP = r2 -
OC + CB +
BP =
OQ = OD +DE + EQ =
2i i
+ 4j -
5j
+
3k
+ 2k
ANALISE VETORIAL
14 (b) Graficamente ri
r2 e
a resultante de r1 e
do paralelogra.mo OPRQ.
obtida tra�ando-se a diagonal OR
Analiticamente, a resultante de r1 e r2 e da.da por
+ r2 = (2i + 4j + 3k) + (i -5j +2k) = 3i -j + 5k
R
'I
21.
Provar que o m6dulo A do vetor
A=
A1i
+
A2j + A3k
6
= V Ai2 + A22 + Aa2
A
•
Pelo teorema de Pitagoras
(0P)2 = (OQ)2 + (OP)2
"A-
s ----t�-�,__
-
__
.,
onde OP designs. o m6dulo do vetor OP, etc. Da mesma forma
(OQ)2 = (OR)2+ (RQ)2. Logo
Q
22.
Dados
ri
""
(OP)2 = (OR)2+ (RQ)2 + (QP)2
3i -2j + k,
r2 = 2i -4j -3k ,
ra
=
-i + 2j + 2k,
achar os m6dulos de (a)
ra,
(c) 2r1 -3r2 -5ra.
\ral = \ -i+2j +2k\ = v(-1)2+(2)2+(2)2-3.
(a) (b)
(b) ri+r2 + ra,
ri+r2+ra
=
- 4i -4j Lo11:0
(3i -2j + k) +(2i - 4} - 3k) + (-i+ 2j + 2k) + Ok
=-
4i - 4j
[r1 +r2 +ral = \4i - 4j +Oki=
- v (4)2 + <
-
4)2 + co>2
-
v 32
-
4
-v2.
...
VETORES E
(c)
15
ESCALARES
2r1 - 3r2 - 5ra = 2 ( 3i - 2j+k)-3 (2i-4j - 3k)- 5
( -i+2j +2k) -
= 6i - 4j + 2k - 6i + 1 2j + 9k + 5i - IOji - 10k=5i - 2j+k. 2
23.
2
2 l2r1 - 3r2 - 5ral = l5i - 2j+kl = V(5) + (-2) + (1) = v3o.
Logo
Se ri = 2i
- j +k, r2 = i+3j - 2k, ra = - 2i+j - 3k
e
r4 = 3i +2j+5k, achar os escalares a, b, c tais que r4 = ar1+br2+era. Devemos ter
3i + 2j + 5k = a (2i - j + k)+b (i + 3j - 2k)+c (- 2i+j - 3k) = (2a+b - 2c)i+ (-a+ 3b + c)j+ (a - 2b - 3c)k. Como i, j, k nii.o sii.o complanares, temos, pelo Problema 15,
2a + b Resolvendo,
a
=
- 2c = 3,
-2, b = 1,
-a+ 3b.+ c = 2,
c = -3
e
a - 2b - 3c = 5.
r4 = -2r1+r2- 3ra.
Diz-se que o vetor r4 e linearmente dependente de ri, r2 e ra; em outras pa lavras ri, r2, ra e r• constituem um conjunto de vetores linearmente dependentes. Por outro lado, tres ou menos desses vetores siio linearmente independente. Em geral, os vetores A, B, C ... sii.o ditos linearmente dependentes, se con
seguirmos um conjunto de escalares a, b, c ... , num todos nulos, tais que tenha
mos aA + bB+cC+ ... = O; caso contrario eles sii.o linearmente indepen
dentes.
24.
Achar um vetor unitario paralelo a resultante de r1 = 2i +
e r2 = i + 2j+3k.
4j - 5k
Resultante R = r1+r2 = (2i + 4j - 5k) + (i+ 2j + 3k) = 3i + 6j - 2k.
2 2 2 R= IRI = l3i+6j - 2kJ =V (3) +(6) +(-2) =7. 2 6. 3 3i+ 6j - 2k R l . .,_. + = - k Lo . go, um vetor umtzw-io paraelo a R e = ll 11 7J 7 7 •
·
Verifica�iio:
em
25.
Determinar o vetor que tern a origem em P (:t1, y1, 211) e a extremidade
Q (:t2, Y2, 212)
e achar seu m6dulo.
0 vetor posi�ii.o de p e 0 vetor posi�ii.o de
PQ
=
ri = :t1i +
yJ +z1k.
Q e r2 = :t2i+ yJ +212k.
r2 - r1 = (:i:2i + yJ +212k) - (z1i+ yJ +211k) "'" (z2 - :t1)i+ (y2 - Y1)j + (z2- 211)k
•
ANALISE VETORIAL
16
Observar que &se valor e a distAncia de
P
a
Q.
Z------
%
26.
Dao-se as f6r911.s A, B e C que agem s6bre um corpo, em fun9ii.o de suas
componentes,
C =
pelas
C1i + C� + Cak.
equa90es
A -
A ii + A� + Aak,
B -
B1i + B� + Bak,
Achar o m6dulo da result.ante dessas f6r,.as.
F6r9a result.ante
M6dulo da resultante ""
ll:l!Be
result.ado e fAcilmente generalizado para mais de 3 f6J'988.
-0.
Determinar os Angulos
a,
fJ
as z
:i:i + yj + zk
e 'Y que o vetor r -
faz corn
dire,.OOs positivas dos eixos· coor-
denados, e mostrar que cos2 a
+ cos2 fJ + cos2 'Y
= 1.
Pela figura verificamos que o tri Angulo
OAP
e retAngulo, com o An
A,
gulo reto em
logo cos
a
=
:i:
j;j.
Da inesma forma, tiramos dos tri Angulos retAngulos cos{J =
y -
IrI
e
OBP
e
cos-y
OCP: , =
-
lrl
;
It
e tambem
lrl
= r ==
R+-112+12•
VETORES E
:i: r
...
Entao cos a res de a, {3 e 'Y·
,
cos {3
=
.JL, r
17
ESCALARES
cos 'Y
... � donde r
podemos tirar os valo-
Dessas expressoos segue-se que
cos2 a + cos2 {3 + cos 2 'Y
:i:2
+
=
2 y 2
+
z2
Os numeros cos a, cos {3, cos 'Y chamam-se
1.
=
T
co-senos diretores
do vetor OP.
Determinar as equa90es da reta que passa pelos pontos P ( :i:1,
·28.
Q (:i:2, Y2, z2).
r1 e r2 os vetores posii;ao de Q respectivamente, e r o de qual
Sejam
P e
111, 11) e
z
quer ponto R da reta que liga P e Q.
r1
+ PR
r1
+
PQ
=
=
Mas PR lar.
r
ou
PR
r2
ou
PQ
=
=
r - r1 Q ("2
r2 - ri
tPQ onde t e um e sca r - r1 t (r2 - ri) e a
Y2• z2l
· ���-����
=
Logo
•
,_j
"
=
equai;ao vetorial da linha reta (compare com o Problema 19). Em coordenadas retangulares temos, jd. que
r
:i:i. + yj
•
+ zk,
OU
Como
i, j,
15:
k nio sio complanares, temoe, pelo Problem&
:i: - :i:1 -
t (:i:2
- :i:1) ,
11
- 111 - t (Vt - 111) ,
z
-
- t (zt - z 1)
•1
que sio as equa90es parametricas da reta, t sendo o parAmetro.
Eliminando t,
ficamos com
_=._:-__.!!_ :i:2 - :i:1 4'
29.
-
11 112
- 1/1 - t/1
tl> (:i:, 11, z) - 3:i:2z - :i:yl+5, (a) (0, 0, 0), (b) (1, -2, 2) (c) (-1, -2, 3)
Dado o campo escalar definido por
nos pontos
-
(a)
t/>(O, O, 0), - 3 (0)2 (0) - (O)(O)I + 5
(b)
f/1(1, -2, 2) ... 3 (1)2 (2) - (1) ( -2)' + 5 -
-
0 -0
(c) f/J (-1, -2, -3) - 3 (-1)2 (-3) - (-1)(-2)1+5 30.
Representar grliicamente
(a) V(:i:, y) (a)
Em cada
5 -5
6 + 8 + 5 - 19
- -9
-
8
+5
- ..:.. 12
campos vetoriais definidos por
yj, (b) V(:i:, 11) -:i:i. - yj, (c) V(:i:, 11, z) :i:i. + yj + zk. ponto ( :i:, y) exceto (0, 0), do plano :i:y, temos um dnico vetor V :i:2 + y2 , que pe.ssa pela origem e dela se afasta. Para aim-
=:i:i +
:i:i + yj de m6dulo
os
+
achar
.
=
=
ANALISE VETORIAL
18
o gr&fico, note-se que todos os vetores associados a pontos da circunfe :i;2 +·y2 a2, a> O, t�m m6dulo igual a a. 0 campo, portanto, aparece na Fig. (a) onde usamos uma escala apropriada.
plilicar r�ncia como
=
y
Fig.
(b)
Neste
Fig. (b)
(a)
cada vet.or 6 igual mas de sentido oposto ao seu correlipon
caso
(a). 0 campo, portanto, 6 o da Fig. (b), (a) o campo se assemelha a um fluido emergindo
dente no caso Na Fig.
tual 0 e escoando
naa
dixe�s indicadas.
de
uma
fonte pon
Por eeta razao o campo 6 chamado
campo de f
0 e 6, portanto, cha
•
. Em tr& dimene6es a interpreta9ao correepondente 6 o de que o fluido es� emergindo radialmente de um
)'.>090
uma
fonte linear, ou
se
dirigindo radialmente para
linear.
0 campo vetorial 6 chamado de bi-dimensional, ·
uma
vez que 6
indepen
dente de•·
(c)
Como
o
m6dulo de cada vetor 6
superf(cie da ellfera gadoa.
:r:'-
+ y2 + 12
- az, a>
v' x2
+ y2 +
•
2 , todos oe pontos da
0, Um vetores de m6dulo
a
a �lee li
0 campo toma, portanto, o aspecto do de um fluido emergindo de uma
fonte 0 e
se
escoando em t6das as
dire96es
do eepa90.
�see
6 um
campo de
J
PROBLEMAS PROPOSTOS
31.
Quais das seguintes grandezas sao escalares e quais sao vetoriais?
(a) Energia cin6tica, (b) intensidade de campo el6trico, (c) entropia, (d) tra balho, (e) f6r9a centdfuga, (J) temperatura, (g) potencial gravitacional, (h) carga, (i) tenalo de cizalhamento, (j) freqil�ncia. Reap. (.a) escalar, (b) vetorial, (c) escalar, (d) escalar, (e) vetorial, (J) escalar, (g) e1e&lar, (,\) escalar, (i} vetorial, (j) eecalar.
VETORES E
200
Um aviiio percorre
32.
60"
metros a
graficamente,
(b)
para o oeste e depois
150
quil6-
Determinar o deslocamento resultante
(a)
analiticamente.
M6dulo
Resp.
quil6metros
N O I/. partir do norte.
19
ESCALARES
304,1
km
(50 .../ 37 ),
direi;iio e sentido
25°17
'NE (arc sen
3 vm/74). Achar a resultante dos seguintes deslocamentos:
33.
B 50
km para Oeste; M6dulo
Resp.
C 40
km
20,9 km,
45°
NE;
60" SE. 21°39' SE.
A, 20
30"
km
SE;
km
direi;ii.o e sentido
Mostrar graficamente que
34.
D 30
- (A -B)
=
-A + B.
Um objeto P esM sob a ai;iio de tres f6ri;as, de ac6rdo corn a Fig.
35. abaixo.
(a)
Determinar a f6ri;a necessaria para evitar o deslocamento de P.
323
Resp.
kg na direi;iio e iientido oposto ao da fOri;a de
Dados os vetores A, B,
36.
(b)
- (C - D);
Ce D
(Fig.
(b)
! C+ � (A - B + 2D).
150
abaixo) construir
kg.
(a) 3A - 2B -
IOOkg
Fig.
·
(a)
Fig.
(b)
Se ABCDEF �o os vlirtices de ufn hexagono regular, achar a resul
37.
tante das f6r�as representadas pelos vetores
38.
AB, AC, AD, AE
e
AF.
3AD
Resp.
Se
A
e
B
sii.o vetores dados mostrar que
(a)IA+B l�IAI +IB I, (b)
IA -BI� IAl - IBI. IA+B+Cl � IA I + IBI + I CI.
39.
Mostrar que
40.
Duas cidades A e B estiio situadas nas margens de um rio, uma direta
mente em frente da outra.
4 km/h. de B e � de
a.
10
A
largura do rio li de 8 km e sua correnteza li de
Uma pessoa em A quer ir a outra cidade C que fica na mesma margem
6
km, rio acima, desta ultima cidade.
Se a vefocidade maxima do barco
km/h e, desejando a pessoa chegar em C no tempo mais curto
possfvel,
pergunta-se qual o curso que deve seguir e quanto tempo levara.o viagem.
Resp.· Uma linha reta fazendo um Angulo de
34°28'
corn a margem. lh
25 min.
ANALISE VETORIAL
20
Uma pessoa, viajando a
41.
rece vir do oeste. do sudoeste.
15 km/h para o sul, observa que o vento pa
Ao aumentar a velocidade para 25 km/h o vento parece vir
Achar a dire<;iio e a velocidade do vento.
0 vento vem de noroeste, fazendo 56° 18' corn o norte
Resp.
e
tern uma
velocidade de 18 km/h. Um peso de 100 kg e suspenso por uma corda, de ac6rdo corn a figura
42.
ao
lado.
Determinar
a
tensiio
T
da corda.
Resp. 43.
100 kg.
Simplificar
2 A + B + 3C -
- {A-2B -2(2A-3B -C)}.
Resp. 44.
IOOkg
5A - 3B + C.
Se a e b siio vetorcs niio co
lineares e A=(x+4y)a+(2x+y+l)b e B = (y - 2x + 2) a + (2x -3y - I) b achar os valores de
3A = 2B. Resp.
e y que fazem
= 2 e y = -1.
Dii,o-se os vetores bases ai, a2 e aa em fun<;iio dos vetores bases bi, b2
45. e
x
x
ha pelas rela<;oes a2 = bi - 2h2 + 2ba,
a, = 2b1 + 3b2 - bs,
aa = - 2b1 + b2 - 2ba.
Se F = 3b1 - h2 + 2ba, exprimir F em fun<;iio de ai, a2 e aa.
Resp.
2a1 + 5a2 + 3aa.
Se os vetores
46. r1 = 2a
.
-
a, b e c niio siio complanares verificar se os vetores
3b + c, r2 = 3a - 5b + 2c e ra = 4 a - 5b + c siio linear"mente de
pedentes ou nao: Sao linearmente dependentes, visto que, ra = .'5r1 - 2r2.
Resp. 47.
Dados os vetores A e B que representam as diagonais de um paralelo
gramo, construir o paralelogramo.
48.
Provar que a reta que liga
OS
pontos mcdios de dois lados de um trian
gulo e paralela ao terceiro !ado e e igual a metade desse lado.
49. (a) Se 0 c um ponto qualquer no interior de um triangulo ARC e P, Q e R siio os pontos que dividem ao meio os lados AB, BC e C�, respectivamentc, provar que
OA +OB +oc =OP +OQ +OR.
(b)
Essa igualdade persiste se o ponto
0 f6r exterior ao triangulo? Resp. 50.
Provar,
Sim.
Na figura ao lado ABCD e um
paralelogramo, sendo
P e Q os pontos
qi.le dividem ao meio os lados BC e CD, respectivamente.
Provar que AP e AQ
dividem a diagonal BD em tres
iguais.
partes
D.._____________,
Q
VETORES ·51.
E
ESCALARES
21
Provar que as medianas de um triiingulo cortam-se num ponto comum,
e que esse ponto fica a dois ter9os de mediana a partir do vertice.
52.
Provar que as bissetrizes dos dngulos intemos de um triaingulo cortam-se
no mesmo ponto.
53.
Mostrar que existe um tridngulo cujos lados. siio iguais e paralelos As
medianas de um triangulo dado qualquer.
54. Sejam p e q, respectivamente, os vetores posi9iio dos pontoS' P e Q relativamente a uma origem 0. Se o ponto R dividir a reta PQ em segmentos cuja rela9iio e m
: n,
mp + nq e m+n
mostrar que o vetor posic;iio de R e dado por r
que independe da origem.
" '55 )
Se ri, r2 ... rn siio vetores posi9oes das massas m1, m2
• • •
mn, respecti
vamente, em rela9iio a uma origem 0, mostrar que o vetor posiQiio do centro de
gravidade dessas massas e dado por
r
m1r1 + m2r2 + .. . + mn rn m1 + m2 +. . .
=
.
+mn
e que independe da origem. Um quadrilatero ABCD tem massas de 1,
56.
respectivamente,
D (3, 1,
2).
nos
A (-1, -2,
vertices
2)
2, 3 e 4 unidades localizadas, -1), C (1, -2, 4) e
B (3, 2,
Achar as coordenadas do centro de
gravidade.
(2, 0, 2).
Resp. 57.
Mostrar que a equac;iio de um piano que passa por tres pontos dados
A, B e C, niio em linha ret.a, e cujos vetores posi9iio em rela9iio a uma origem 0
siio a, b e
c,
pode ser escrita assim:
r onde m,
r2
n
58.
e
p siio escalares.
m+n+p
Verificar que a equa9iio niio depende da origem.
Os vetores posi<;�Q dos pontos P e
4i - 3j + 2k.
=
ma +nb +pc =
Determinar
PQ
Q
siio dados por r1
em func;iio de
2i + 3j - k e i, j e k e achar seu m6dulo. =
2i - 6j + 3k, 7.
Resp. 59.
Se
A
=
3i - j - 4k, B
(a)
2A-B+3C,
(d)
Um· vetor unitario· paralelo a
- 2i +4j -3k, C
=
(b) IA+B+CI,
(a) lli;
-
8k
(b)
i + 2j - k,
achar
l3A- 2B+4CI
3A - 2B +4C.
.
Resp.
(c)
=
_;v 93;
(c)
. 1 v
-
398;
(d)
M-W+� •
V398 F2
60.
Sohre
a
particula P agem as seguintes forc;as:
-5i + j + 3k, Fa i - 2j +4k, F4 4i -3j - 2k. tante das fOrc;as, (b) 0 modulo da resultante. =
Resp.
=
(a) 2i - j;
(b)
=
V5.
F1
=
2i +3j - 5k,
Achar (a) a resul�
ANALISE VETORIAL
22 61.
Determinar, em cada
se os vetores seguintes llio linearmente inde
ea.so,
pendentes ou dependentes:
(a)
A
=
2i + j - 3k,
(b)
A
=
i
-
B
3 j + 2k ,
-
B
i
-
-
2
4k,
C
i - 4j
-
-
4i + 3j
k,
C
(a)
Re,sp.
(b)
62.
P rov ar
...
-k 3i +2j
-
k.
li� earmente dependentes linearmente independentes.
que que.tro vetores que.isquer em tr�s dimensi'les devem ser
linearmente dependentes.
63.
Mostrar
que a condi�iio necessaria e suficiente para que os vetoree
Bii + B:J + Bak e C = A = Aii. + A:J +Ask, B linearmente independente 6 que o determinante =
Ai A2 A3 Bi B2 Ba Ci C2 Ca 64. C
=
(b)
2j
Prov'ar -
que
OS
3i +j
vetores A =
- 2k,
B =
Achar os comprimentos das m edia na s desse triangulo.
Dado o campo escalar definido por
Achar (a)
(1,
-
1,
-2),
(b) v6' !
(x, y, z)
=
Vlli I! v
150.
4 yz3 +3xyz - z2+2
(b) (0, -3, 1).
Resp. ·(a) 36; 66.
- i + a; + 4k,
6k podem formar um triiingulo.
Resp. 65.
sejam
seja diferente de zero.
(a)
4i -
Cii + C:J +Cak
(b)
-11
.
Representar graficamente os campos vetoriais definidos por
(a) V(x, y) = x1 •
-yJ , (b) V (x, y) •
= y1 -:- XJ. •
•
(c) V(x, y, z)
=
xi + yj + zk
.
vx2+y2+z2
CAPiTULO 2
PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL
Produto escalar ou interior de dois vetores A e tado por A
·
B (leia-se A escalar
de
B),
A e B pelo co-seno do angulo () que el4'!s formam.
B
A·
ABcosO,
=
B,
represen
e o produto dos m6dulos de Em simbolos,
0 ;;a()� 7r.
Note-se que A· B e um escalar e nao um vetor. Sao validas as seguintes leis.
1) A B ·
2)
A
3)
m(A
=
B
Lei comufativa para os produtos escalares.
A
•
(B + C) = A B + A
•
·
·.B) = (mA)
·
Lei distributiva
C
B =A· (mB )= (A·
B)m, ondemeum escalar.
i
=j .j
4)
i
5)
Se A= Ai i
.
A
k . k
=
·
B Se A
•
•
1,
=
+Ad+
A3k
i e
j
.
=
j
. k
=
B = B1 i +
k . i
0
=
B2j +Bak, entao
B = AiB1 + A2B2 + AaBa
A· A= A2
6)
·
B
B= 0
=
Ai2 + A22 + Aa2
B2 = B12
=
e A e
B
+
B22+ Ba 2
sao vetores nao nulos, entao A e B
sao perpendiculares.
Produto vetorial (leia-se A veforial de dulos de A e
B
OU
exterior de A e
Be
pelo seno do angulo () que eles formam.
do vetor C e a perpendicular ao piano de A e
A,
B
um vetor c
e C formam um triedro positivo.
B
B
AXB
=
ABsen () u ,
A dire9ao
e o sentido e tal
Em simbolos.
-
AX
=·
0 m6::lulo de A X B e o produto dos m6-
B).
0 ;;a () � 7r
ANALISE VETORIAL
24 onde
e um vetor unitario indicando a direc;ao de AX B. Se A=B, A e paralelo a B, entao sen () = 0 e dizemos que AX B = 0.
u
OU se
Sao validas as seguintes leis: 1)
A X B = - BX A
(A
lei comutativa nao se aplica para Produtos Vetoriais.)
2) AX (B+C) =AX B + AX C 3)
Lei Distributiva.
m (AX B) = (mA) X B =AX (mB) =(AX B) m, onde m e um escalar.
4)
i Xi = jXj = kXk = O,
i
J
k
Ai
A2
Aa
Bi
B2
Ba
AX B =
6)
O
lados sao
7)
modulo de
iXj = k , j X k = i , kXi = j
AX B e igual a area do paralelogramo cujos
A e B. AX B = 0, e A e B sao vetores nao nulos, entao A e B
Se
sao paralelos.
Produtos triplos. significativos
(A B) C
2) A
·
·
A, B B) C, A
Com os vetores da
forma
(A
·
e ·
C podemos ter e AX
(B X C)
Sao validas as seguintes leis:
X (B X C).
1)
produtos
�
A( B
(B X C) = B
·
·
C) (CX A) =C
paralelepipedo cujas arestas sao A, volume, conforme A,
B
B
·
e
(AX B) = volume do C ou o negativo desse
e C formem ou nao um triedro positivo.
A= A1i +A2j+Aak, B=B1i + B2j +Bak entdo
A· (BX C) =
Ai
A2
Aa
Bi
B2
Ba
C1
C2
Ca
e
Ee
C=C1i +C2j +Cak,
25
PBODUTO ESCALAB E PRODUTO VETORIAL
3) AX (8XC)
;i6. (AX8) X C (A Lei Associativa nao se aplica para produtos vetoriais).
4) A X (8 X C)
(A · C) 8 - (A · B) C
=
(A X 8) X C
(A · C) 8 - (B
=
C) A
·
e, as vezes; chamado de triplo produto e pode ser representado por [ADC]. 0 produto A X (BXC)
O produto A
escalar
. (8 X C)
triplo produto vetorial. A (BXC) as vezes
e chamado Em
·
omitimos parentesis e escrevemos
A·BXC (veja o Prob. 41). Entretanto devemos usar os parentesis em A X (BXC) (Veja os Problemas 29 e 47). Conjunto reciproco de vetores. Os conjuntos de vetores a, b, c ea', b', c' sao ditos conjuntos ou sistemas rec!procos de vetores se a · a' = b a' ·, b =a' Os conjuntos
:.
·
b'
=
c = b' ·a= b' · c
c : c' = 1 c' ·a
=
=
c' · b
=
0
a, b, c e a', b', c' sao conjuntos reciprocos de
ve
tores se e somente se
a, = onde
bXc a · b Xc
b'=
----
a
. ·
bXc
;i6.
cXa a · b Xc '
c' =
----
aXb a· b X
-----
Veja os Problemas 53 e 54.
0.
PROBLEMAS RESOLVIDOS
Produto escalar ou produto interior. 1.
Provar que A
·
B
=
A
·
B
..,
B
A.
·
AB cos 8
-
BA cos 8
-
B
·
A
Entao e vii.Iida a lei comutativa para o produto escalar.
2.
Provar que a proje9io de A e6-
bre .B e igual a A
·
b, onde b e
vetor
um
unit&rio na dire9io de B. Paseemoe pela origem e pela extre midade de A pianos perpendiculares a B em G e H respectivamente, como na
.
figura ao lado
GH
-
�F
I I I
G
Proje9ao de A s6bre -
� I
Entao
B
£
EF
""
A
COB
(J
-
A
.
b
I I I I
H
B
c
ANALISE VETORIA.L
26 3.
A · (B + C)
Provar que
,.
A
B
·
+A
•
C.
Seja re�iio de
um vetor uniUrio
a
A;
di
na
entii.o
+C) s6bre A = proj. A + proj. de C s6bre A
Proje�iio de'(B de
\
·
\
I
\
s6bre
(B +C) a = B · a + C · a
I B+C I
\
B
Multiplicando por
(B +C)
\ I
I
\ ___.r \ J\---�\�-;------cc :-- A £
·
A,
Aa = B · Aa +C
·
Aa
e
(B + C) A = B A +C · A ·
·
Entiio, pela lei comutativa para os produtos escalares, temos
A· (B +C)
... A
·
B +A·C
e a lei distributiva � v11.lida.
4.
·
C + B D. ·
(C +D) =A·(C +D) + B·(C +D)=A·C +A·D +B ·C +B ·D.
AB leis comuns da algebra siio validas para 5.
·
3,
Pelo Problems
(A +B)
(A + B) ·(C +D) =A · C +A·D + B
Provar que
OS
produtos escalares.
Calcular os seguintes produtos:
i
= Iii i·k = I i i
i
Iii cos Cl" = (1)(1)(1) = 1 lklcoa90°=(1)(1)(0)=0 lk I lj I cos 90" X (1) (1) (0)= 0 k j f. (2i 3j +k) = 2 j • i - 3j . j +j k 0 - 3 + 0 = -3 (e) (2i -j) · (3i +k) = 2i (3i + k) j (3i +k) = 6i·i + 2i· k 3j i -j . k = 6 + 0 - 0 - 0 = 6
(a) (b) (c) (d)
·
·
=
_·
.
-
·
.
-
=
A = A1i + AJ +Aak A1B1 + A2 B2 + AaBa
=
(A1i + AJ + Aak)· (B1i + BJ + Bak)
6. A
·
B
A
·
B
=
·
Se
e
B
=-
B1i +BJ +Bak,
provar que
•
-A1i
·
(B1i +BJ +Bak) +AJ·(B1i+BJ+Bak)+Aak·(B1i+B2i+Bak)
= A1Bi i · i + A1B2 i·j + A1Bai·k + A2 Bo ·i + A2 Bd ·j + A2Baj ·k + + AaB1k i + AaB2k-j + AaBak ·k ·
= A1B1 + A2B2 + AaBa Poie,
7.
i·i = j -j = k·k = 1 Se A=A1i
e todos os outros produtos escalares siio nulos.
+ AJ + Aak,
mostrar que
A ·A "" (A)(A) cos Cl" = A2• Temos tamMm, •
A=VA·A= VA12+A22+Aa2.
Logo,
A = y'"A":A .
A A =(A1i + AJ + Aak) · (A1i + AJ + Aak) (A1)(A1) + (A2) (A2) + (Aa) (Aa)"" Ai2 + A2 2 + Aa2. •
...
PRODUTO ESCALAB E PRODUTO VETORIAL Pelo Problema 6, fazendo B
-=
A.
Logo A - v' A · A - V A12 + A 2 + Aa2 6 o m6dulo de A. As vAze B A ·A 2 se escreve A2.
Achar o Angulo entre A - 2i + 2j - k
8.
B - 6i - 3j
e
+ 2k.
A-V(2)2 +(2)2 + (-1)2 ... 3, B-V(6)2 + (-3)2 + (2)2 + (2) (-3) + (-1) (2) 12 - 6 - 2 - 4.
A·B •AB coB B, A·B- (2) (6) Logo,
A ·B All
8 ...
COB
Be
9.
-7
=
A
4
4
.
- (3)(7) - 21 - 0,1905 e 8-7'¥' aproxunadamente.
B - 0 e Be A e B niio sio nulos, mostrar que
•
A
6 perpendicular
a B.
Se
A·
B "' AB COB 8 ... O, entiio cos 8 ... 0 ou 8 8 ,.. 90",
A
-=
90". E inversamente,
se
B - 0.
•
Determinar o valor d e a tal que A - 2i + aj + k e B .. 4i - 2j - 2k sejam perpendiculares. 10.
Do Problema 9, A e B siio perpendiculares
A ·B
Logo
11. C
=
2i
=
(2) (4) +(a) (-2) + (1) (-2)
se
A
•
B "" 0.
- 8 - 2& - 2 -o
para a-3.
Mostrar que os vetores A 3i - 2j + k, B ... i - 3j + 5k, 4k formam um triAngulo retdngul.o. =
+j -
� (3)
(1)
(a)
(b)
Em primeiro lugar temos que mostrar que �sses vetores formam um triAngulo. Pelas figuras verificamoa que formariio um triAngulo se:
(a) um dos vetorea, digamos (3), f6r ((1) (b)
e
a resultante ou a soma dos outros dois
(2).)
a soma da resultante dos vetores (1)+ (2)
+ (3) f6r
nula.
Para o caao (a) dois vetores Mm que ter extremidades comunB, e para o caso (b) nii:o hit vetorea com extremidade comum. Por tentativa achamos A =B+c d e modo que formam realmente um ·triAngulo. . Como
A
•
B
=
(3) (1) + ( -2) ( - 3) + (1) (5)
A
•
C
=
(3) (2) + (-2) (1) + (1) ( -4) "" O,
B
·C
=
=
14, e
(1) (2) + (-3) (1) + (5) (-4) - - 21,
segue-se que A e C siio perpen diculares e o triAngulo 6 retAngulo. 12.
denados.
Achar os Angulos que o vetor A • 3i - 6j + 2k faz com os eixos c�
AN!�ISB VBTORIAL
28 Sejam
a,
{3, "(
os :ingulos que A faz com oa semi�ixos positivos Ox, Oy, Oz,
rupectivamente. A
•
A
·
Logo cos
i i
""
a
(1) cos a - v' (3)2 + ( -6)2 + (2)2 cos a "" 7 cos a (3i - 6j + 2k) i 3i i - 6j i + 2k i = 3.
= (A) =
·
3/7
=-
0,428 6, e
Prob.
27,
-
·
/3
,. 149° e cos"(
=-
2/7,
"( = 73,4°.
/3 e 'Y sao chamadoa de co-senos diretores de A (Veja
1).
Cap.
Achar a projeQiio do vetor A =i - 2j + k s6bre o vetor
13.
B
a,
·
= 64,6° aproximadaruente.
a
Da mesma forma, cos /3 = -6/7, Os co-senos de
·
=-
4i - 4j
+
7k.
Um vetor unitario na direQiio de 8 e b = .!!_
B
4i - 4j + 7k y' (4)2 + ( 4)2 + (7)2
=
ProjeQiiO de A sobre
B
= .! 9
_
=A
·
0
vetor
b = (i
-
2j +
(:)
- (1)
k)
( _!
·
9
+ ( - 2)
.
•
-
Da Fig.
(a)
abaixo, C
Logo
·
B
+C =A
B)
C = (A -
C2
e
+
1. k . 9
) ( : ) (1) ( � ) 1: _! j
i -
9
+
-
_!_ k
=
9
=
+
= A2
·
+ B2
ou C =A -
(A
- B)
•
=A
·
B.
A +
B B ·
- 2A
·
B
- 2AB cos 8.
B . Fig. (b)
0
Fig. (a) 15.
9
Provar a lei dos co-senos para triangulos planos.
14.
Fig. (b)
.! ,.
Provar que as diagonais de um losango siio perpendiculares. acima.
•
OQ =OP OR
+RP .,.
Logo OQ Donde
+ PQ .. A
OP
ou
·RP - (A +
0.,. Q
1;- B B
B)
·
e perpendicular
+RP
=
(A - 8) a
RP.
A
...
e
RP - A - B
A2 - B2
.. O, pois A ...
B.
Veja
PRODUTO ESCALAB E PRODUTO VETORIAL 16.
29
Determinar um vetor uniUrio perpendicular ao piano de
A
Seja C
-=
.,.
2i - 6j - 3k
B
e
4i + 3j - k.
-
c1i + c� + cak um vetor perpendicular ao piano de A e B.
C e perpendicular a A e a B. C
•
C
·
Resolvendo
A
B (1)
Donde,
-
2c1 - 6c2 - 3c3
-
4c1 + 3c2 -
e
0
...
ea
=
(1) 2c1 - 6c2 - 3e3
ou
0
Entlo
(2) 4c1 + 3e2
ou
•
ea
•
(2) simultAneamente:
1
c1 -= 2 ea,
c2
""
1 - 3 ea,
C
Ci
.,.
(!
! j +k )
i -
.
Logo, um vetor uniUrio na dire9ao de C e
�
( � [< � r < ea
'
C32
17.
vetor r
(a)
) !r
..!. i - ..!. ; + k
�;====2==3=====
-
+
_
+ (1)2
...
(�
±
J
i
�j+� k)
-
.
Achar o trabalho realizado quando um objeto se desloca ao longo do ...
3i + 2j
abaixo.
-
5k,
se
a f6�a aplicada e F
-
2i - j
-
k.
•
(F cos 8)
(r)
•
F
·
r
•
- (2i - ; - k) . (3i + 2j - 5k)
-=
6
-
2 +5
Figura
(dist,Ancia
Trabalho feito .. (grandeza da fOr9a na dire9Ao do movimento) percorrida)
a
Veja
9.
-
:r
Fig. (b) 18.
Achar a equa9ao do piano perpendicular ao vetor A
e que passa pela extremidade do vetor
Seja e
r o vetor posi9ao do ponto P,
Como a
PQ
-
B - re
perpendicular
B e
Q
a
equa9'<> procurada, na forma vetorial.
(:ri + � + ik)
.
(2i + 3j + 6k)
i + 5j
-
=
a
A,
+ 3k
extremidade de
(B - r).
- 2i + 3j + 8k
(Veja Fig.
A - 0
B. OU
r
.
(b) acima).
A
-
A equa9'<> cartesiana serif.:
(i + 5j + 3k) . (2i + 3j + 6k)
B
.A
ANALISE VETORIAL_
30 OU
2z
+ 3y + 6z
=
(1) (2) + (5) (3)
+
(3) (6)
=
35.
No Problema 18, achar a distAncia da origem dos eixos ao piano.
19.
A distAncia da origem ao plano e a proje9iio de B s6bre A. Um vetor unitario na dire9iio de A e =
a
A
A
=
-v
2i
+ 3j + 6k
c2)2 + <3)2
Logo, proje9iio de B s6bre A
. 20.
( � i +; j+ � ) k
Se
Como
A
==
=
1
3
·
B
= (i
a
+ 5 j + 3 k)
+5
(�)
·
·i)i+(A-j)j
+(A·k)k,
A i A1i · i + Au ·i + Aak i · j A2 e A · k A3. = A1i +A� +Aak = (A i)i+ (A-j)j + (A·k) k.
A = A1i + A2j + Aak, A
k.
( � ) + 3 ( � ) - 5.
e um vetor qualquer,provar que A-(A
Da mesma forma, A Logo
= 72 i + 7 j + 76
+ <6)2
·
•
=-
=
= A1.
=-
·
0 produto vetorial ou produto exterior. '
21.
Provar que A X B = - B X A.
,\xB: C
B>
Fig.
(a)
Fig. (b)
AB sen (J e dire9ao e sentido tais que (a) acima). D tern m6dulo igual a BA sen fJ e dire9iio e sentido tais que B, um triedro positivo (Fig. (b) acima).
AX B = C tern m6dulo igual a B
e
BX A e
A,
C formam um triedro po11itivo (Fig.
=
D formam
Logo D tem o mesmo m6dulo de C mas sentido oposto, isto e, C
A XB ..
OS
produtos vetoriais.
Se A X B = O e se A e B niio sao nulos, mostrar que A e paralelo a B.
Se AX B 23.
-D ou
- BX A.
A lei comutativa nao e valida para 22.
=
A
= ABsen fJ u =
J AX BJ2 +JA ... JABsenfJuJ2+
Mostrar que
IAXBJ2 +JA
·
BJ 2
O, entiio senO .
BJ2
0 e
=
=
fJ
=
00 ou
180".
JAJ2 JBJ2.
IABcos012=A2B2sen20+A2B2 cos2fJ=
=AB 2
2
=
JAl2 JBJ2
31
PRODUTO ESCALAB E PBODUTO VETOBIAL 24.
Calcular os seguintes produtos:
(a) i Xj =k (b) j Xk=i (c) kx i=j (d) kXj =-jXk=-i (e) ix i =O
(j) j Xj =O (g) iXk= -kXi=-j (h) (2j)x (3k)=6j x k 6i - 6ix k =6j (i) (3i) x (-2k) =-
""'
(j)
2jx i
-
3k
- 2k - 3k =
=
5k
-
Provar que AX (B +C) =AX B +AX C no caso em que A e per
25.
pendicular a B e tambem a C. Como A e perpendicular a B, AX B e um vetor perpendicular ao piano de A e B e cujo m6dulo e AB sen
90"
...
AB ou m6dulo de AB. e equivalente
resultado
multiplicando-se B por A o
ao
l!'.:ste obtido
e girando
vetor resultante de 90" para a po
si9ao indicada no diagrama ao !ado. Da mesma forma,
AX C e o
vetor obtido multiplicando-se C
A e girando o 90" para
a
vetor
vetor
0
I
de
obtido
'""� . ,. , ,0
I1 A>
posi9ao indicada.
Do mesmo modo,
e
resultante
-- "xc - -� 1 ',-t+
por
AX (B +C)
l
multiplicando-se
'
--
I
I
I
I
' I
-- -
-'S
B'+C por A e girando o vetor re
sult.ante de 90" para a posi9ao indicada. Como AX (B +C) e a diagonal do paralelogramo cujos Jados siio e�A]X C temos AX (B +C) = . AX B +AX C.
AX B
26. Provar que AX (B +C)= AX B +AX C no caso geral de A, B e c_.:nao serem complanares. Decomponhamos B em dois vetores, uni perpendicular e outro parale•o
A, e
OS
a
Logo, B=BJ. +Buse 8 e 0 il.ngulo formado por A e B, entii.o BJ. =B sen 8. 0 m6dulo de AX B1
designemos por BJ. e B11 , respectivamente.
e AR sen 8, o mesmo que o m6dulo de AX B.
E tambem, a dire9ao
e
sentido de
Bu
de
AX Bi siio as mesmas AX B. Logo, AX Bi=AX B.
Da mesma
BJ.
forma,
se
decompuser
mos C, em dois vetores CJ. e C111
um
paralelo e outro perpendicular a A,
teremos AX CJ. = A +C. Alem disso, como B +C=BJ.+
+ Bu + CJ. + C11= (BJ. +CJ.) +
+(B11 + C11 ) segue-se que AX (BJ. +CJ.)= AX (B +C).
•
ANALISE VETORIAL
32
B.l
Mas
temos
e
C.l
entiio, pelo Problema
25,
A X (B.l +C.l) =AX B.l +AX C.l.
Logo
e .se
Ae
siio vetores perpendiculares a
AX (B +C) =AX B +AX C
Multiplicando por -1, pelo Prob. 21, ficamos
verifica a lei distributiva.
corn (BXC) X A=B X A+CXA.
Note-se que a ordem dos fa
As
leis usuais da algebra aplicam-se somente se fOr mantida a devida ordem.
27.
Se
A= Aii + A2.i +Ask -
A XB
=
A XB=
e
Ai Bi
B= Bii + B?,j 4- Bsk, j A2 B2
provar que
k Aa Ba
(Aii +A� +Aak) X (B1i + B2j + Bak)
= A1i X (B1i + B2.i + Bsk) + A2.i X (B1i + B2j +Bak) + + Aak X (B1i + B� +Bsk)= .
=AiB1i X i+ A1B2iXj +A1BaiXk +A2BJ Xi+A2B� Xj + + A2BajX k+ AaB1kXi + AaB2kXj + AaBakXk = . k = (A2Ba-AsB2)i + (AsB1-A1Bs)j + (AiB2-A2B1)k= �1 �2 As,. B1 B2 Ba achar 28. Se A = 2i - 3j - k e B =i + 4j - 2k, •
(a) AXB,
(a)
AXB
(c) (A+B) X (A-B).
•
-3
4
1
-
-
11 -2
2 j11
-
11 -2
+k
-:I� 1
j -3 4
=
= (2i - 3j - k) x (i + 4j - 2k) =1
Outro MeUJdo.
(b) BXA,
2 11
.
k
-1
-2
= lOi + 3j + llk
(2i - 3j - k) x (i + 4j - 2k) =
- 2i x (i+4j-2k) - 3j x (i+4j-2k) - k x (i+4j-2k) =
-2iX i +Si X j-4iXk-3j X i-12j X j +6j X k-kXi- 4kXj+2kXk-= - 0 + 8k + 4j + 3k - 0 + 6i - j + 4i + 0 =lOi +3j + Uk (b)
B X A = (i + 4j - 2k) X (2i - 3j - k) =
,;.,
i
I 4 -21-3 -1
Comparando corn
j 1 1 2
j
4
-3
k
l
-21 -1
=
4 -2 1 + k 11 - 1 =-lOi - 3j - Uk. -1 -3
(a), A X B = - B X A. Note-se que �sse resultado � Se se trocarem 2 filas de um determinantc· entre si,
equivalente ao teorema: o
2
2
1
determinante muda de sinal.
PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL
(c) A + B=(2i - 3j - k) + (i + 4j - 2k) A - B = (2i - 3j - k) - (i + 4j -2k)
=
i
,....
=
3i + j - 3k
7j + k.
Entao (A+B) x (A -B) = (3i+j -3k) x (i-7j+k) =
i =
1
1
-3
-7
1
1
1
- j
Outro M etodo
3
-3
1
1
,
1
+ k
33
3
1
1
-7
1 I
i
I
3
j k ,1 -3
1
-7 1
= - 20i -6j
I ·-
22k.
( A +B) X (A -B) = A X (A -B) + B X (A -B) = = A X A -A XB+BXA-BXB
=
O-A XB-AXB-0 =
= -2A X B = = -2 (10i + 3j +Ilk)=-20i -6j -22k, aproveitando o resultado de ( a) . / 29. Se A 3i - j + 2k, B= 2i + j - k, (a) (A X B) X C, (b) A X (B X C).
e
=
(a)
I
AX B =
i 3 2
j -1 1
k 2 -1
I
= - i + 7j + 5k.
Logo (AXB)XC.,. (-i+7j+5k)X(i- 2j+2k)
(b)
BXC =
I
i 2 1
j 1 -2
k
-1
2
I
C = i - 2j + 2k, acha r
=
=
l -� j � I
= 24i + 7j-5k.
Oi - 5j -5k = -5j - 5k.
I
i LogoAX(BXC)=(3i -j+2k)X(-5j-5k)= 3 0
j -1
-5
I
k 2 =15i+15j-15k. -5
Assim, (A X B) X C -;t. A X (B X C), mostrando a necessidade do par�n tesis emA X B X C para evitar ambigUidade. 30. Provar que a 11rea de um paralelogramo cujos lados eao A e B � A I X BI.
Area do paralelogramo .,. = hlBI = -=
IA I sen8 IBI =
= IA X BI. Note-se que a area de um tridngulo cujoe lados sao A e B = ! IA X BI •
B
ANALISE VET"ORIAL
34 :n.
P(l,3,2), Q(2, -1; 1),
Achar a lirea do triangulo de vertices em
R( -11 2, 3).
PQ (2 -1) i +( -1 -3) j + (1 -2) k = i - 4j - k PR = ( -1 -1) i + (2 - 3) j +(3 - 2) k = - 2i - j + k. =
Do Problema
30,
area do triangulo
=. t1
j�
j -4
-2
-1
temos
=
k
-�
l
! I PQ
x
PR I = ! I (i - 4j - k)
x ( -2i - j + k) I �
1 = ! 1-si + j - 9kl = !vc -s)1+(1)2+c -9)2 = !v101.
Determinar um vetor unitario perpendicular ao piano de
32.
A AXB
=
2i - 6j - 3k
e
B= 4i + 3j - k.
e um vetor perpendicular ao piano de
j -6
AXB=
3 -1 �
3
Um V\!tor paralelo a
A
x
B e
1
A
e B.
= 15i - lOj + 30k
A XB 15i - lOj + 30k = =� i 7 IA x BI v (15)2 + ( -10)2 + (30)2 Um outro vetor unitario, de sentido oposto, e Comparar com o Prob iema
_
_! j
+
� k. 7
( -3i + 2j - 6k)/7.
16.
Provar a lei dos senos para os triangulos pianos.
33.
7
Representemos por
a, b e c os lados do tridngulo ABC, conforme mostra a figura ao lad.o; entiio a + b +c= 0. Fazendo sucessivamente o produto vetorial por a, h e -c vem aXh=bXc=cXa i.e.
ab sen C
=
be sen A =.ea sen B sen A
sen B
sen C
= = -a- -b -c-
OU
A
Os vetores V11 V21 Va, v, tern m6dulos iguais., respectivamente, as areas Fi, F2, Fa e F4 de um tetraedro e dire�<>es perpendiculares a essas faces dirigidos do dentro para fora. Provar que V1 + V2 +Va + V4 = 0.
34.
das faces e
35
PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL Pelo Problema 30,
a
area de uma fac � triangular determinada por
! IR x SI.
R
e
S
6
Os vetores ligados a cada ·uma das faces do tetracdro sao
V1 =!A X B,
V2 =!B X C,
v, =! (C -A) X (B -A).
Va=! C X A,
Logo
V1 +V2 +Va+ v, = ! [AXB +BXC +CxA +(C-A)X(B-A)] = = !!AXB +BXC +CXA +CXB -CXA -AXB +AXA]= O. Este resultado pode ser generalizado para qualquer poliedro e, no limite, para qualquer superffcie fechada .. Por causa desta aplicac;iio e
£8
vezes conveniente dar-se um sentido a area
e, cntao, referimo-nos a area vetorial.
/
Achar uma expressao para o momento da f6rc;a Fem relac;ao ao ponto P.
35.
0 momento M de F em relaitao a P e, em grandeza, igual a F vezes a dis Logo,
tiincia de p a linha de ac;ii.o de F.
Q
SC
de F,
M = F(rsen8) = rFsen8
=
r
e
vetor que liga p a origem
0
lr X
FI
se concebermos um saca-r6lhas em P, perpendicular ao piano de a f6rc;a F agir, o saca-r6lhas se deslocara no sentido de niente definir o momento como o vetor M
=
rX
r
X F.
e F, quando
r
Por isso, .e conve
F.
p I
\
I W! \ " I
�
Q)
__
\
I ....1..--
-- -
..J..
-
-
Q
Um corpo rlgido gira em t6rno de um eixo que passa pelo ponto 0 corn
36.
uma velocidade angular
w.
Provar que a velocidade linear
do corpo, cujo vetor posiQii.O e m6dulo
w,
e dada por
r,
V = W «
r,
v
onde
de um ponto P W
e
Uffi
vetor de
de direitii.o do eixo c sentido do deslocamento de um saca-r6lhas que
girasse corn o corpo. Como P percorre uma circunferencia de raio r sen 8, o m6dulo do vetor velo cidade linear
w,
a·
r
v
e
(
w r
sen
8) = I w X r I.
e e ta! que forme corn
Logo,
portanto,
v v
w
e
r
Ademais,
v
deve ser perpendicular
coincide tanto cm m6dulo como em direitii.o =
wX
r.
a
um triedro positivo. e
sentido corn
0 vctor w e chamado vetor velocidade angular.
w1X r;
e,
ANALISE VETORIAL
36 Produtos triplos. 37.
Mostrar que
A· (B X C) e, em
valor absoluto igual ao volume de
um
paralelepfpedo cujas arestas sao
A,
Be C.
A
h
Seja
I I
n
um unitario normal ao
paralelogramo I, tendo direi;ao e sen
C
B X C,
tido de
l-----� ---
e seja h,
a
em que fica a extremidade de
I
altura
A
aci
ma do paralelogramo I.
B
Volume do paralelepfpedo =(al
h) X(area
tura
=(A
•
n
de
I)
=
)(IB XCI)
= A· { IB XClnl =A· (B XC). Se A, B e C -IA·(B XC)j.
38.
Se
mostrar
que
A
=
nao formam um triedro positivo,
A· (BXC)
�31
C2
=
Ca
•
e
o volume =
B = B1i + B2j + Bak, C ... C1i + c� +Cak
A1i + A� + Aak,
12
A n <0
=
=
(A1i + A2.i + Aak) · [(B2Ca - BaC2) i + (BaC1 - B1Ca) j + + (B1C2 - B2C1)k] ..,
=
39.
A1 (B2Ca - BaC2) + Ai (BaC1 - B1Ca) + Aa (B1C2 - B2C1) -
Calcular
Pelo Prob.
(2i - 3j)
•
[(i + j - k) X (3i - k)].
I�
38, o resultado e
Outro Mttodo.
-3
1 0
-
0 resultado e igual a
(2i - 3j) . [i x (3i - k) + j x (3i
-
�
-1
1
4.
k) - k x (3i - k)]
=
- (2i - 3j) . [3i x i - i x k + 3j x i - j x k - 3k x i + k x kl ..
=
(2i - 3j) . (0 + j - 3k - i - 3j + 0) ..
- (2i - 3j) . ( - i - 2j - 3k) 40.
Provar
qYe A (B X C) ·
=
(2) ( -1) + ( -3) ( -2) + (0) (- 3) = 4.
=B
•
(C X A)
= C·
(A X B).
37
PRODUTO ESCALAB E PRODUTO VETORIAL
A·(BXC)
Pelo Problema 38,
=
j
Ai A2 Aa Bi B2 Ba Ci C2 Ca
I
Como, quando se trocam entre si duas filas paralelas de um determinante ele muda de sinal, temos
Ai A2 Aa Bi B2 Ba C i C 2 Ca Ai A2 Aa Bi B2 Ba C i C2 C a
I I
=
-
As vezes
•
=
·
A (B X C) ·
I I
Bi B2 Ci C2 Ai A2
Ba Ca Aa
C1
Ca Aa Ba
C2
Ai Bi
A2 B2
(AX B) C.
A (B X C)
Do Problema 40,
I I
c, C2 Ca Bi B 2 B a . Ai A2 Aa
A (B X C)
Mostrar que
41.
I I
B1 B2 Ba Ai A2 Aa Ci C2 Ca
=
•
C (A X B) ·
=
I I
B · (C X A)
=
C ·(AX B)
(AX B) C ·
aparece escrito sem os parentesis:
A · B X C.
Neste
Caso nao pode haver ambigiiidade porque as unicas interpretaQoes poss(veis Sa.O
A (B X C) ·
e
(A B) X C. ·
Esta ultima, no entanto, nao tern significaQiiO algu
d e um escalar por um A X B C e, As vezes,
ma, visto como o produto vetorial
A·BXC
A propriedade
=
·
vetor nao tern sentido. enunciada da seguinte
maneira: o resultado de um produto triplo nao se altera quando se trocam
011
produtos escalar e vetorial. Provar que
42.
Provar que
43.
B
C
e
=
a
A, B
e zero.
e
A· B X C
C
e
que
A·BXC
=
O.
nao pode ter outra significaQao senao a de
Entao pelo Problema 37,
A, B
C e
e
A ·BXC
A BXC •
=
=
0.
zero, e, portanto, os vetores devem estar num mesmo
xii + yij + z1k, P1 (x1, yi, z1), P2 (x2, y2, z2) e Pa (xa, ya, za), Sendo
ri
=
os vetores posiQaO dos pontos
achar a equaQii.O do piano que passa por esses tres pontos. Suponhamos que
Pi, P2 e Pa nii.o
estejam cm linha reta, logo, determi nam um piano. Designemos por o
vetor
posigii.o
r
==
xi + yj +zk
de qualquer ponto
P (x, y, z) do piano. Os
P1 Pa
=
A·(BXC).
0 o volume do paralelep!pedo formado
piano.
44.
0.
sao complanares o volume do paralelep!pedo por eles formados
Reclprocamente, se pelos vetores
=
c6ndigao necessaria e suficiente para que os vetores A,
sejam complanares
Note-se que Se
A · (AX C) O. A · (A X C) ( A X A) · C =
Do Problema 41,
vetores Pi P2 ra - ri e P1Pa
t!o todoe nesse piano.
=
r2 r1, ra - r1 es
=
z
ANALISE
38
Pelo Problema 43, P1P
VETORIAL
P1P2 X P1Pa - 0 ou
•
(r -r1)
·
(r2 -r1) X (ra -r1)
=
0
que se transforma em
[(x - x1) i + (y - Y1) j + (z - z1) kl [(x2 - x1) i + (Y2! - u1) j + (z2 - z1) kl X X [(xa - x1) i + (ys - Y1) j + (za - z1) kl = 0 ·
e, u ti
liz an do
o
results.do do
I
Problema 38, temos
x - x1 y - Y1 X2 - X1 Y2 - Y1 Xa - X1 Ya - Yl
I
z - z1 Z2 - Z1 = 0. Za - Z1
45. Achar a equa9iio do piano aeterminado pclos pontos P1 ( 2, -1, 1), P2 (3, 2, - 1 ) e Pa ( -1, 3, 2).
P1, P2, Pa e um ponto qualquer P ( x, y, z) siio respec 2i-j+k, r2 3i+2j-k, ra -i+3j+2k e r = xi+yj+zk.
Os vetores posi9iio de tivamente
r1
=
=
Entiio PP1 = r -r1, P:iP1
=
=
r2 -r1, Pa P1
=
ra - r1 estiio todos
no
piano
pedido, de modo que temos
(r -r1)
•
(r2 -r1) X (ra -r1) = 0
lsto e
(x - 2) i + (y + 1) j + (z - 1) kl
l
·
•
[i + 3j - 2kl X I -3i + 4j + k) = 0 [11i + 5j + 13kl = 0
11 ( x - 2) + 5 (y + 1) + 13 (z - 1) = 0
ou
llx + 5y + 13z = 30.
P, Q e R, niio estiio em linha reta e tern a, b e c como aXb + bXc + cXd e um vetor perpendicular ao piano de P, Q e R. 46.
Se os pontos
vetores posi9iio, em rela9iio a uma dada origem, mostrar que Seja os
r o vetor posi9iio de um ponto qualquer do piano de P, Q e R. Entiio r - a, b -a e c - a sil.o complanares, logo, pelo Problema 43, temos (b - a) X (c -a) = 0 ou (r - a) ·(a X b + hXc + cXa) = 0.
vetores
(r -a)
·
Assim
aXb + hXC! + cXa e perpendicular a r - a e e portanto, perpen e R.
dicular ao piano de P, Q
47. Provar que: (a) AX (BXC) = B(A·C) -C(A·B), (b) (AXB) X C = = B (A C) -A(B C). ·
(a)
·
Sejam
A A1i + A2j + Aak, =
B=B1i + B2j + Bak,
Logo
AX (BXC)
=
(A1i + A2j + Aak)X
I
i j k B1 B2 Ba C1 C2 Ca
I
I
C=C1i + C2j + Cak.
=
= (A1i + A2j + Aak) X ([B2Ca - BaC2] i + [BaC1 -B1Ca) j + [B1C2-B2C1l k)
=
(A2B1C2 - A2B2C1 - AaBaC1 + AaB1Ca) i + (AaB2Ca - AaBaC2 - A1B1C2 + + A1B2C1) j + (A1BaC1 - A1B1Ca - A2B2Ca + A2BaC2) k
=
PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL
Por outro lado
39
B(A ·C) - C(A ·B)=
-(B1i +BJ +Bak) (A1C1 +A2C2+AaCa) - (C1i +CJ +Cak) (A1B1 +A2B2+AaBa)
=
-(A2B1C2 +AaB1Ca -A2C1B2 -AaC1Ba)i+(B2A1C1 +B2AaCa -C2A1B1 -C2AaBa)j + + (BaA1C1 + BaA2C2 - CaA1B1 - CaA2B2) k que e o mesmo resultado eneontrado
para
A X (B X C).
(b) (A X B) X C= -C X (A X B)= -(A(C ·B)-B(C ·A)} = -B(A· C)-A(B ·C) pela substitui<;iio de A, Be C em (a) por C, A e B respecti vamente. Note-se que
A X (B X C) ;'! (A X B) X C, isto e a lei associative. para pro A, B e C.
dutos escalares niio e valida para quaisquer vetores
48.
Provar que:
Do Problema 41,
(A X B) ·(C X D)= (A ·C)(B ·D) -(A ·D)(B ·C). Fai;amos X=
X ·(C X D)=(X X C) ·D.
A X B; logo
(A X B) (CXD)= ((A X B) X C) ·D= (B(A ·C) -A(B ·C)) ·D= ·
=(A· C)(B ·D) -(A· D)(B
49.
C), utilizando o Problema 47 (b).
A X (BXC) +B X (C X A) +C X (A X B)= O.
Provar que:
Pelo Problema 47
·
(a),
A X(BXC)= B(A
·
C) -C(A ·B)
B X (C X A) = C(B ·A) -A(B ·C) C X (A X B)= A(C
·
B) -B(C ·A).
Somando membro a membro chegaremos ao resultado desejado.
50.
Provar que:
= C(A
·
(A X B) X (C X D)= B(A
BXD) -D(A
CXD) - A(B ·CXD) =
·
BXC).
(a),
Pelo Problema 47
X X (C X D)= C(X
·
•
D) - D(X
·
C).
X= A X B;
Fa<;amos
logo
(A X B) X (C X D)= C(A X B ·D) - D (A X B ·C) = = C (A ·B X D) -D(A ·B X C). Pelo Problema 47
(b),
(A X B) X Y= B(A
·
Y)-A(B
·
Y).
Fa<;amos
(A X B) X (C X D)= B (A ·C X D) -A(B 51.
·
Y= C X D; logo
C X D).
Sendo PQR um tridngulo esferico cujos lados p, q,
r
siio arcos de gran
dee circulos, provar que
sen p
sen q
sen
r
Suponhamos que a esfera (veja a figura na pagina seguinte) tenha raio uni tario, e tracemos os vetores unitarios e
R respectivamente.
(1)
A, B e C do centro 0 da esfera para P, Q
Do 'Problema 50, temos
(A X B) X (A X C) "" (A
·
B X C) A
ANALISE
40
VETOBIAL
Um vetor unitario perpendicular a A XB e A XC e A, de modo que se transforma em
(2)
sen r
(1)
A = (A · B XC) A
sen q sen P
OU
(3)
sen q sen P = A · B XC.
sen r
Pela permuta�ii.o cir cular de p, q, e A, B, C obtemos
r; P, Q, R
(4)
sen p sen r sen Q = B
(5)
sen q sen p sen R
=
·
C XA
C · A XB.
Como os membros direitos de (3), (4) e (5) sii.o iguais ( Problema 40) temos sen
r
sen q sen P
sen Q
=
=
sen p sen r
�en q sen p sen R
donde tiramos sen P sen Q sen R =-= senr scn p sen q --
--
que e
a
52.
lei dos senos para os. triangulos esfericos.
(AX B)
Provar que:
•
(B XC) X (C X A) =(A · B XC)2•
Pelo Problema 47 (a),
X X (C XA) = C (X
•
A) - A (X
(B XC) X (C XA) = C (B X C =
C (A
·
·
Fai;amos X = B XC; logo
C).
A) - A (B XC
•
B XC)
-
·
C) =
A (B · C XC = C (A ·B XC).
Donde
(A X B)
·
(B XC) X (C X A) =(A X B) = (A X B
53.
I
mostrar que,
se
bX C a·bXc '
·
B XC)2.
·
(b) a'
·
a ,
X
C
3
a·bXc
e
c'
==
aXb a· bXc' --'--'---
•
·
b = c'
b =a' · c
=-
O,
Se a· bX c = V. '
b' =
a bX c � 0,
(a) a' a = b'
(d)
C (A · B XC) =
C) (A · B XC) = (A
Dado os vetores
a =
(c)
·
·
·
c = 1, b' · a
En tii.o
=
a
b' · c '
·
=
O,
b' X c'
c' · a =
=
c' · b = 'o,
1/V,
b' e c' nii.o sii.o complanares se a, b e c nii.o o forem.
PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL
(a) a, a · =a·a, =a
·
41
a·b Xc bXc ---- = =1 a· bXc a· b Xc
b'.b=b.b' =b .
cXa a· bXc
b cXa a· b Xc
a· bXc =1 a· b Xc
c' c=c c'
aXb a·bXc
c· aXb a·b Xc
a· b Xc = 1. a· bXc
bXc a· b Xc
b b Xc a· b Xc
bX b · c =0. a· bXc
·
·
=
c
(b) a'· b=b·a' =b
·
·
·
·
De modo an alogo se mostram as outras igualdades.
Podemoe
tam�lil
a' tern a direi;ao de b X c logo, deve perpendicul,ar a b e c, donde a' · b= 0 e a' · c= 0, chegar a �sses resultados, notando que De
(a)
cfprocos.
e (b) verificamos que os conjuntos de vetores a, b, c e a',b',c' sio Veja ta mbe m os Problemas Propostos 104 e 106.
-�
, b Xc a =
(c)
v
'
=
._, u. .
re
--
aXb , c=
cXa v
ser
v
'
Logo,
a'
(a X b) (b X c) X (c X a)
(bXc) ( c Xa) X (a X b) b' Xc'= �-�-�-�-�---'--ya ·
·
(a· bXc)2
(d)
Pelo Problema 43, se
(c)
ya
empregando o resultado do Problems 52.
ya
Logo, do item
·
a, b e c nao sao complanares a· b X c � 0. b' X c' � 0, donde a', b' e c' nao sio com
segue-se que a'
·
planares. 54.
Mostrar que um vetor qualquer
r
pode ser expresso em
fun980 doa
vetores reclprocos do Prob. 53 pela seguinte equai;ao:
r = ( r · a)' a+(r
·
b)' b+(r · c') c
•
Do Problema 50,
BA ( C X D) -A(B C X D) =C A ( ·B X D) - D (A·B X C). ·
·
Donde
D= Fai;amos
r=
AB ( ·C X D) A·BXC
_
!J(A C X D) +C(A ·BX D) A·BXC A·BXC ·
A=a, B= b, C =c e D =r.
Logo,
r·hXc +r·cXa +r· aXb c= b a·bXc3 a·bXc a·bXc
=r·
(
hXc a·bXc
)
a+r·
(
cXa a·bXc
= (r · a)' a +(r b' )b +(r · c')c. ·
)
b+r·
(
)
aX b a·bXc
c=
ANALISE
42
VETORIAL
PROBLEMAS PRQPOSTOS Calcular:
55.
(a) k
·
(a)
Resp. (a) A
·
(b) - 6 ;
O;
B,
(b)
(c)
A,
(a) - 10;
Resp.
(c) B,
(c) (2i - j + 3k)
(j + 3k),
·
(3i + 2j - k).
·
I.
B= 4i - 2j
e
(d) I 3A + 2B I, (c) 6;
(b) V i-:i-;
+ 4k, ar,har:
(e) (2A + B)
(d) V 150 ;
·
(A - 2B).
(e) - 14.
g
Achar o :1n ulo cntre:
57. D = 3i
(b) (i - 2k)
Se A = i + 3j - 2k
56.
(a)
(i + j),
A =·3i +
2j - 6k
- 6j - 2k.
(a) 90°;
Resp.
e
B= 4i - 3j + k,
e
(b) arc cos 8/21= 67°36'.
Para que valores de
58.
(l.i)C = 4i - 2j + 4k
a
sao A =
ai - 2j + k e B= 2ai + aj - 4k
perpendiculares?
a= 2, -1.
Resp.
Achar os :1ngulos agudos
59. (3,
-5,
Resp.
arc cos
(1,
- 1 , 2) .
Resp. 61. B
=
4i
e
2/3, arc cos 2/3, arc cos 1/3 ou 48°12', 48°12', 70032'. (3, 2, -4)
.
2/7, 3/7, -6/7 ou - 2/7, - 3/7, 6/7.
Dois dos lados de um tri:1ngulo siio os vetores
- j + 3k.
Resp. 62.
(1, -3, 2)
Achar os co-senos diretores da reta que passa pelos pontos
60. e
que a reta que liga os pontos
1) faz corn os eixos coordenados.
arc cos
A = 3i + 6j - 2k e
Determinar os :1ngulos do tri:1ngulo.
7/V 75 , arc cos V 26/V 75, 900 ou 36°4', 53°56', 900. I
As diagonais de um paralelogramo siio dadas por A = 3i
B = 2i + 3j - 6k.
- 4j - k
Mostrar que o paralelogramo e um losango e determinar
e o
comprimento dos seus lados e os :1ngulos.
5v3/2'
Resp.
Resp. 64.
OU
4,33;
72°8', 107°52'.
2i - 3j + 6k s6bre o vetor i + 2j + 2k.
8/3.
Achar a projec;iio do vetor
4i - 3j + k sobre a reta que passa pelos
(2, 3, -1) e (-2, -4, 3).
1.
Resp. 65.
Se A = 4i
perpendicular a ·
23/75, 180° - arc cos 23/75
Achar a projec;iio do vetor
63.
pontos
arc cos
Resp. 66.
Resp.
-j
+ 3k e
A e a B.
B = - 2i + j - 2k,
achar um vetor unitario
± (i - 2j - 2k)/3. Achar o :1ngulo agudo formado por duas das diagonais de um cubo. arc cos
1/3 ou 70° 32'.
43
PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL
Achar um vetor unitario paralelo ao piano xy e perpendicular ao
67. vetor
4i
aj + k.
-
± (3i + 4j)/5.
Resp.
A= (2i-2j+k)/:�,
Mostrar qua
68.
B
= (i+2j+2ki,;l
e
C=(2i+j-2k)/3
sao vetores unitarios perpendiculares entre si. Achar o trabalho feito quando se move um ohjeto, ao longo de uma
69.
reta, do ponto (3, 2, F
=
4i - 3j + 2k.
Resp.
ao ponto (2,
-1)
-1, 4)
num campo de fon;a dado
por
15. Se F for um campo de fOr<;a vetorial constante, mostrar que e nulo o
70.
trabalho realizado para se movimentar um ohjeto ao longo de um pollgono fechado.
71.
Provar que um angulo inscrito num semicfrculo e um angulo reto.
72.
Se A.BCD for um paralelogra�o, provar que AB2 + BC2 +CD2+
+ DA2
-
-
-
= AC2 + BD2•
73.
Se ABCD tor um quadrihitero qualquer, e p e
diagonais, provar que AB2 + BC2 +CD2 + DA2
Q
OS
pontos medios das
= AC2 +BD2 + 4PQ2•
Este problema e uma generaliza<;ii.o do anterior.
(a) Ar.har a equa<;ii.o de um piano perpendicular a um dado vetor A e
74.
distante p da origem.
(b)
Escrever a equac;:io encontrada no item (a) em
coordenadas car-
tesianas.
(a)
Resp. 75.
r
Se r1 e r
Angulos a e
/3
2
n
= p onde
n =
forem vetores unitarios situados no piano xy e que fazem os
=
cos a i + sen aj
provar que r1
(b)
aplicando o produto escalar r1
76.
=
-
r2 = cos f3 i + sen {3j;
· r2, provar as formulas trigonomctricas. (a +{3) = cos a ·cos {3-sen a ·sen f3.
Se a for o vetor posic;iio de um ponto· dado (x1i
a)
·
Resp.
r
z).
Que lugar descreve r se (a) lr - a l
Esfera de centro em
Piano perpendicular a
Se A
pontos P e
Q (a)
a,
-
e raio 3;
passando pela sua extremidade;
Esfera de centro em (x1/2, Y1/2, z1/2)
=
ou uma esfera cujo diametro e
3i + j + 2k e B
=
e
raio igual
a
a.
i - 2j - 4k forem os vetores poRic;ii.o dos
respectivamente, (a) achar a equac;ii.o do piano que passa por
e p<>rpendicular a reta Resp.
(x1i Yli z1)
(a)
(b) (c)
Yli z1) er o de um ponto = 3, (b) (r a) ·a = 0,
0.
=
! Vx12 + y12 + z12, 77.
e
cos a ·cos f3+sen a ·sen f3 e cos
qualquer (x, y,
(c) (r
A/A;
corn o sentido positivo .do eixo dos x,
(a)
cos (a -{3)
e
·
PQ; (b)
(r-B)
achar
(A-B)
...
a
0
distancia do ponto ( -1, 1, ou
2x + 3y + 6z =
Q
1)
a esse piano.
-
28;
(b)
5.
AN ALISE
44
VETORIAL
Calcular:
78.
(a) 2j X (3i - 4k), (d) - (4i + j - 2k) x (3i + k), (b) (i + 2j) x k, (e) (2i + j - k) X (3i - 2j + 4k). (c) (2i -'- 4k) X(i + 2j), Resp. (a) -Si - 6k; (b) 2i - j; (c) Si - 4j + 4k (d) i - 10j - 3k; (e) 2i - llj -7k. Se
79.
A
3i - j -2k e B
=
(a) IA XBI,
(a) V195;
Resp. 80.
=
2i + 3j + k, achar:
(b) (A +2B) X (2A -B), (b) -
(c) ICA +B) X (A -B>I�
25i + 35j - 55k;
(c) 2Vl95.'
Se A i - 2j - 3k, B 2i + j -k e C (B XC), (c) A (a) I (A XB) XCl, (d) (A x B)-C, (b) IA x (B x C)I, =
=
=
·
Mostrar que �e
81.
(a) A
B
·
=
A
·
(e) (A XB) X (B XC), (j) (A x B) (B . C).
(a) 5V26; (b) 3Vl0; (c) -20, (d) -20; (e) - 40i - 20j + 20k;. (j) 3 5i -35j + 35k.
Resp.
di90es de
i + 3j - 2k, achar:
A � 0 e se siio satisfeitas simultAneamente as con C e (b) A X B =A X C, entao B C, mas que, se =
apenas uma das condi90es acima e satisfeita, entiio B � C, necessariamente. Achar a area do paraielogramo cujas diagonais siio
82. e
B
A
=
i - 3j + 4k.
=
3i + j - 2k
Resp. 5 v3. 83.
(1,
Achar a area do triAngulo que tern
-1, -3) e
OS
vertices
1108
pontos
(3, - 1 2), ,
(4, -3, 1). Resp. ! V165.
Se
84.
A
m6dulo igual a
2i + j - 3k e B i - 2j + k, achar um vetor que tinha 5 e que .'!eja perpendicular a A e B ao mesmo tempo.
=
=
Resp. 85. blema
Deduzir as seguintes f6rmulas empregando o estabelecido
75:
(a - {1) sen (a + {1) sen
86.
sv3.
= =
a sen a
sen
f1 -cos a sen f1 cos f1 + cos a sen {1.
cos
(2, -1, 3).
no Pro
e
Achar o momento de uma f6r9a F aplicada no ponto
la9iio ao ponto
.
±- -.(i +J +k). 3
(i,
-1 , 2) em re
Resp. 2i -7j -2k. 87.
A velocidade angular de um corpo rfgido que gira em t6rno de um eixo
e dada por
w =
4i + j - 2k.
Achar a velocidade linear de um ponto
P do
corpo, cujo vetor posi9iio em rela9iio a um ponto do eixo de rota9iio e 2i-3j +k.
Resp.
-5i -Sj - .14k.
PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL
Simp lifica r
88.
45
(A +B) · (B +C) X (C +A).
A
I
b X c) =
1
2 A · B X C.
Resp.
A ·a·A ·b A ·c B a B ·b B c C ·a·C ·b C ·c
89.
Provar que
90.
Achar o volume do paralelepfpedo cuj as arestas siio representadas por
=
(A ·B X C) (a
·
2i - 3j + 4k, B = i + 2j - }{
·
·
C = 3i - j + 2k.
e
7.
Resp.
91.
Se
A · B X C = 0,
mostrar que ou
(a) A, B
e
C
•
siio complanares mas
que em nenhuma das combinai; o es de dois desses vetores aparecem dois coli
(b)
neares, ou
dois desse s vetores siio colineares ou (c) todos os vetores
A, B
e
C
siio colineares.
92.
Achar o valor de
3i + aj + 5k
a
para o qua! os vetores
2i - j + k, i + 2j - 3k Resp.
93.
Se
A = x1a + y1b + z1c, B = x2a + Y2b + Z2C
provar que
A ·B X C =
I �� xa
94.
t! �! ya
za
I
e
95.
Se
Q
r1
que
(A X C) X B = 0.
= 3i - 2j - k,
r2
a=
(a ·b X c).
A X (B X C) ""' que A ·B 0
Discutir os casos e m
= i + 3j + 4k forem
=
os vetores posii;iio doe
e Rem relai;iio a uma origem 0, aehar a distA ncia de P ao_ piano
OQR.
3.
Reap.
96.
(2, I,
2) e
Achar a dista n cia do ponto
(6, -4, 4) A
reta que passa pelos pontos
(3, -1, 4).
3.
Resp.
97.
Dados os pontos P (2,
1, 3), Q (1, 2, 1), R ( -1, PQ e RS.
-2,
-2)
e S
achar a menor distancia entre as retas
3
Resp.
. 98.
-4.
C = xaa + yab+ zac,
Provar que a condii;ao necessaria e suficiente para que
= (A X B) X C e OU B . c = 0.
pontos P,
e
siio complanares .
(1, - 4, 0),
v2 .
Provar que as perpendiculares baixadas dos vertices de um triangulo
aos lados opostos
(prolongados
se necessario ) encontram-se num ponto (o orto
centro do triangulo).
99.
Provar que as mediatrizes dos lados de um triangulo encontram-ee
num ponto (o centro do triangulo).
100.
Provar que
101.
Num triangulo esferico PQU cujos lados
(AXB)
·
(CXD)+(BXC)
cfrculos, provar a lei dos co-senos cos p
=
cos q cos r
-
para
sen
os
·
(AXD)+(CXA)
p, q e.r siio tridngulos esjericos.
q sen r cos P
·
(B XD)=O.
arcos de grandes
ANALISE
46
YETORIAL
com f6rmulas analogas para cos q e cos
r
obtidas por permuta1tiio ci rcular das
letras.
[Sugestao:
i
102.
-
j
-
I n terp reta r ambos os membros da identidade
(AXB)
·
(AXC) = (B C) (A ·A) - (A C) (8
Achar um conjunto de vetores r ecfprocos ao
2k,
-
j +
2j + 2k.
2. I 3 I+ k 3
Resp. 103.
·
·
Se a' =
bXc
' b =
----
a · bXc '
8 ,+, I J
'
cXa
A))
2i +3j
conjunto
.
-3
-
e
a ·bXc
·
3 7k, - 3 7 I, +J
c'=
-
-
k,
3 5k .
aXb ---
a ·bXc '
provar que a=
104.
b'Xc'
b
a' · b'Xc' '
c'Xa'
c=
a' · b' Xc' '
a'X b' a' · b'X c'
·
Se a, b, c e a', b', c' siio tais que a' a'
·
·
a
= b'
·
b = c'
·
c= I
b =: a' · c = b' · a = b' · c = c'
·
a = c'
·
b= 0
provar que, necessariamen te , se tern , a =
105.
bXc a ·bXc '
c Xa a · bXc '
c'
aXb =
a · bXc '
Provar que o unico sistema de vetores recfproco a si mesmo e o for
mado pelos unitarios
106.
b' =
i, j, k.
Provar que ha um e somente um conjunto de vetores recfprocos a um
dado conjunto de vetores niio complanares a, b
c
c.
CAPiTULO 3
DIFERENCIA�AO DE VETORES
Derivada de vetores. unico escalar variavel
AR Au=
u.
Seja
R (u) um vetor funi;ao de
um
Entao
R(u+Au)-R(u) Au
6R
Au representa um incre mento de u (veja a figura ao
•
R(u +6u)
-
Rful
onde
0
lado).
A derivada do vetor R (u) em relai;ao ao escalar u e dada por:
dR du
lim
Au-+O
AR _ Au
=
lim
R(u + Au) - R(u) Au
Au-+O
se �sse limite existe.
dR e um vetor que e tambem funi;ao de u, podemos condu siderar sua derivada em relai;ao a u. Se existe, essa derivada re _
Como
presenta-se por
d2R
du2
•
E assim por diante para as derivadas de ordem
superiores.
Curvas r
no
espa�o.
Se em particular
R (u) e o vetor posii;ao
(u) que liga a origem 0 de um sistema de coordenada a qualquer (x, y, z), entao
ponto,
r
e a funi;ao vetorial
(u) =
x
(u)i + y (u)j + z (u)k
r (u) define x, y e
z
como funi;oes de u.
ANALISE VETORIAL
48 Quando
u
varia, a extremidade de r descrevem uma
urva no
c
espar;o cujas equa9oes parametricas sao: x = x
Logo
Ar
y
(u) ,
r (u + Au) Au
Au =
" (ve1. a a f"1gura d e u. r
a
. ). ba1xo
=
r
y
(u)
(u)
z
=
z (u) .
e um vetor de mesma dire9ao .
·
Se
,
Ar
dr
.
u.U
· ex1stir, o irm1te
sera um
vetor
na dire9ao da
�
Au->O
=
(x, y, z) e
e dado por: dr
=
du Se
senta o
reprcsenta sua
r
descreve a curva.
acelera�ao
a
.
.
dU
l"1m
tangente a curva em
a extremidade de
_
dx i dy , dz k + J + du du du
u
·
dr
e o tempo t, dt repre-
vetor velocidade
Da mesma forma,
ao longo da curva.
v
corn que
dv
d2r
dt = dt2
Continuidade e diferenciabilidade. Uma funQao escalar q, (u) e dito cont£nua em u se lim cf>(u + Au) = cf>(u). AnalogaAu
mente
cf>(u) e
continua em
u
--->o
se para cada numero
positivo e po
demos achar uin numero 0 positivo, tal que
let> (u +Au) - et> (u)j
< e
para
jAuj
<
o.
Diz-se que uma fun9ao vetorial R (u) = R1 (u) i + R2 (u) j + + Ra (u) k e continua em u se as tres fun9oes escalares R1 (u), R2(u) e Ra (u) sao continuas em u ou se lim R (u + Au) = R (u). AnaAu--->o
logamente, R
(u) e
continua emu se para cada numero positivo e po
demos ter um numero positivo 0 tal que
I R(u +Au)j
< e
p ara
Uma fun9ao escalar OU vetorial de
jAuj
<
o.
u e diferenciavel de ordem
SC existir sua 9.8 derivada. Uma funQiiO diferenciavel e necessaria mente continua, mas a reciproca nao e verdadeira. A menos que
n
DIFERENCIAQAO DE VETORES
49
se estabelei;a o contrario, vamos considerar como diferenciaveis, aM a ordem necessaria para a dcvida discussao, todas as funi;oes corn que trataremos.
Formulas de derivadas�
diferenciaveis de um escalar vel de
u,
u,
c
entao:
Se A, B e C sao funi;0es vetoriais e uma funi;ao escalar diferencia
1)
dA dB _c/:_ (A + B) = +
2)
A du (
3)
AXB) = AX du + du (
du
du d
. B)=A
du
dA
dB .
du + du
d
(A)= _!I_ du ·
5)
d du (A +A
6)
B X C) =A
·
·
dA d A du + du ·
dB d XC+ A du du
du
·
XB
dC du +
BXC
� {AX(BXC))=Ax ( Bx �� ) a:u X(B X C). A X ( �� XC )
+
d
+
+
A
BX
B
dA
dB
·
4)
.
ordem nesses produtos
e importante.
Derivadas parciais de vetores. Se A e um vetor que de pende de mais de uma variavel escalar, digamos x, y, z por exemplo, temos A A (x, y, z). A derivada parcial de A em relai;ao a x e .
=
definida da seguinte maneira:
<3A
ax se
=
este limite existir.
<3A dy
=
<3A
Tz
lira A .:lx--+0
z) dx
y,
-
A (x,
y,
z)
Analogamente,
r
A (x,
y,
+ dy, z)
.:l•--+O
-
A (x ,
y,
z)
dy
a:�o lira
=
(x + dx,
A (x,
y, z
+
&)
dz
-
A (x, y, z)
ANALISE
50
serao as derivadas parciais de
Be esses limites existirem.
A
VETORIAL
y
em relaQao a
e z, respectivamente,
As observaQoes feitas para a continuidade ou diferenciabilidade
de funQoes de uma variavel aplicam-se a funQoes de duas ou mais variaveis.
(x, y)
Assim, por exemplo,
diz�se que
(x + t::.x, y + t::.y)
se lim
Ax -+0 Ay ->0
mero positivo
E
=
(x, y),
(x, y) e ou
existir um numero positivo
I (x + t::.x, y + t::.y) - (x, y) I
<
E
As mesmas definiQoes sao validas para o caso de
diferencidvel
Usaremos o termo
cada
em nu-
o tal que tenhamos < o e Jt::.yJ < o.
Jt::.xJ
para
continua
se para
funQoes vetorais.
para funQoes de duas ou mais va
riaveis para significar que tern derivadas parciais de primeira ordem
continua (outros autores o empregam num sentido ligeiramente mais restrito). Definem-se as derivadas parciais de ordem superior da mesma manei r a que no calculo diferencial.
Se
A
Assim, por exemplo,
tiver derivadas parciais continuas de segunda ordem pelo
menos, entao
rente.
a2A
dx dy
a2A
dy dX
=
isto e a ordem de derivaQiiO e indife-
I
Para a derivaQao parcial de vetores aplicam-se as mesmas regras do calculo elementar para funQOCS escalares. fun��e:-; de
1) 2) a)
x, y,
a
()
=
(A x B)
ox 02
a y ax -
A
Assim, se
A
e B sao
teremos, por exemplo,
(A . B)
ax
=
z,
(A. B)
A
=
=
.
A
aA dx ox B
an
+
•
x ax + ax x B
{-
(A . B) _E_ ay ax
()28
oB
.
}
=
ox + ax
{
_i_ A. ()B + a A B ax ax oy l .
oB a2A 7fY + oy ax B, .
.
etc.-
}
=
DIFERENCIA�AO DE VETORES
51
Diferenciais de vetores seguem regras analogas as do calculo
elementar. Por exemplo,
1)
Se
A = A 1 i + A2j + Aak,
2)
d (A B) = A
3)
d (A
4) A
·
Se
X
·
B) = A
A=A (x,
y,
dB + dA
dA = dAii+dA2j +dAak
B
dB + dA
X
z),
·
entao·
X
B
aA aA ()A dx + c1y dy + az dz, ax
entao dA=
geometria diferencial e a parte da deri vada de vetores
que esta ligada ao estudo de curvas e superficies no espa<;o.
e uma curva no espa<;o definida pela furn;ao r
�:
que
etc.
( )
u ,
e um vetor na dire<;a � da tangente a C.
Se C
entao ja vimos
Se o escalar
u
o comprimento do arco medido de um ponto fixo de C, entao
fOr
_ dr du
e um vetor unitario tangente a C e que e designado por T (veja
a
figura ao )ado).
A taxa de varia<;ao de T em
rela<;ao a s mede a curvatura de
dT C e e dada por ds . de
dT
ds
-
A dire<;ao
num ponto dado qual0
quer de c e a normal a curva
nesse ponto (veja o Problema
�
9).
0 vetor unitario N dessa direyao
normal chama-se normal prin-
cipal da curva.
onde
ponto dado.
B=
Entao,
� = KN
A grandeza p
0 vetor unitario
B
= 1/K
K
e a curvatura de C no
e chamada de raio de curvatura.
perpendicular ao plano de T e N
T X N e a bi-normal da curva.
e
ta! que
Por conseguinte, T, N
e
B
fonnam um sistema de coordenadas retangulares positivo localizado num ponto dado qualquer de chama-se o triedro no ponto.
C.
:f:sse sistema
Quando
s
de
coordenadas
varia, o sistema de coor
denadas se desloca, por isso e conhecido como o triedro m6vel. Ha um conjunto de rela<;oes ligando os vetores T, N e
dc:rivadas, <'onhecido por formulas de Fi·enet-Serret. sao as seguintes:
B
e suas
Essas formulas
ANALISE
52 tIT
-- =KN ds ' onde T
dN
VETORIAL
='TB - KT
-
ds
dB
= - TN
-
'
ds
e um escalar e se chama tor�iio.
A grandeza q = 1/r chama-se raio de tor�iio. 0 plano osculador de uma curva num ponto P e o plano que contem a tangente e a normal principal em P.
0 plano normal e o plano perpendicular a tangente em P.
0
plano retijicador e a perpendicular a normal principal em P.
A mecanica estuda, numa de suas divisoes, a cinematica, movimento de particulas ao longo de curvas.
o
La, as ronclus0es da
geometria diferencial podem ser de grande valia. dinamica, ja estuda o movimento dos corpos
Noutra parte, a ligado as fOr
0
produz.
0 fundamento desse estudo e a fa
mosa lei de Newton que estabelece que se F e a resultante das fOr
entii.o
d F =-(mv) dt Se m (6r cons
onde mv e a quantidade de movimento. do corpo. tante a rela
F
=
dv m-· =ma,
dt
onde a e a acelera
Se R
(u)
= x
(u) i + y (u) j +
z
(u) k, onde x, y
e
z
sao fun�oos dife
renciaveis de um escalar u, provar que
dR du
_
lim Llu->0
=
lim Llu-+O
R (u + Au)
-
R
(u)
-
[x (u)i + y (11) j + z (u) kl
Au
[x (u+Au) i + y (u+Au) j + z (u+ Au) k) Au
""
DIFERENCIAQAO (u + au) - z (u) 1 �
z
1.
- 1m
•
�
dz
•
.. �· 2.
dy
+
•
R
Dado
dz du
+
T,;J
=
'!
(b)
(c) (d) 3.
d2R dt2
--
=-
I dR 1 I �� I dt
:
(b)
d dt
-
( ) dR dt
-
z (u + au) �
- ll
(u)
=
.
d dt
,.
-(cos t,
=
! )
1
- sent i
(t k
-
=
cost i
d dt
- sent j +
k
· +
(sent ) J -
- cost
j
c - sen ,12 + (1)2 - v2
,., -v (cos t)2 +
..
(d)
sen t)2 +
(-
cos t)2
=-
1.
z =
e-t, y
2 cos, 3 t,
2 sen 3 t
ll =-
onde t e
0
tempo.
(a)
Determinar sua velocidade e acelerac;i&o num tempo qualquer.
(b)
Achar o valor absoluto da velocidade e acelerac;iao para t
0 vetor posic;iao r da partfoula er
-
Para t
=
zi + yj + tzk
=
0.
=
e-1 i + 2 cos 3t j + 2 sen 3t k.
e o vetor acelerac;iao e
=
0,
��
a =
=
��
�;
v =
= e-1
- i + 6k
i
e
=
-
e -1
i
- 6 sen 3t j + 6 cos 3t k
- 18 cos 3t j - 18 sen 31 k.
��
=
i
- 18j.
Logo,
valor absoluto da velocidade para t
=
0 e
v ( -1)2
valor absoluto de acelerac;iao, para t
=
0 e
v (1)2
4.
k ""
I '! I• I : I·
, (cost) j +
+ .!:__ (1) k dt
v (-
(c)
'
:
, (sent) i +
Entao o. vetor velocidade e
(b)
•
sen t i + cost j + t k, achar
:
=
J+
Uma partfcula move-se ao longo de uma curva cujas equac;ioos param6-
tricas sao:
(a)
=
�
·
'! '
(a) (a)
k
y (u + au) - y (u)
+
53
DE VETORES
Uma parUcula se move ao longo da curva
onde t e o tempo.
na direc;iao i
- 3j
z =
+ ( 6)2
+ ( - 18)2
2t2, y
=
'=
=
y"37 v 325 .
t2-4t,
,
z =
3t
-
5
Achar os vetores componentes da velocidade e da acelerac;ia�
+
2k, no tempo t
=
1.
ANALISE VETORIAL
54
= !!!.._ dt
Vetor velo cidade
=
...!!. [2t2 i dt
+ (t2 - 4t) j + 3t - 5)k) = .·
4t i + (2t - 4) j + 3 k = 4i
=
0 ve tor unitiirio na dire�ao i
- 3j + 2k
-
i
-
Acelera�ao
=
V' 14
8
=
.,.
1.
V' 14
dada e
(4) (I) + ( -2) ( -3) + (3) (2)
v'-14
16
t
3j + 2k
Logo, a componente do vetor velocidade na dire�iio
=
a
e
i - 3j + 2k v' (1)2 + ( - 3)2 + (2)2
(4i - 2j + 3k) . (i - 3j + 2k)
2j + 3k
v' 14
V'l4 7
�� = :t ( �; ) ! =
[4t i + (2t - ·1) j
Logo, a componente da acelera�ii.o na dire�ii.o
dada
+ 3k] =
4i + 2j + Ok.
e
(4) (1) + (2) ( -3) + (0) (2) V' 14
(4i + 2j +Ok) (i - 3j + 2k) v' 14 ·
5. Uma curva C e definida pelas equa�oes parametricas :z=J(a), y=J (a), = j (s), onde s e o comprimento do arco de C medido de um ponto fixo da c tirva . Se r e o vetor posi�ii.o de um ponto qualquer de C, mostrar que dr/da e um vetor unitario tangente a c. z
0 vetor
x = x (s),
curva
d
dr
d; = d; (xi y
=
y
•
(s),
+ YJ + zk) = •
z = z
(1).
x 1 d; d
•
+
dy
d;
•
J
+ dz k
d8
Para mostrar que tem
�
.,
.
tangent�
.. ..
m6dulo unitirio
basta notar que
I : I �( : r =
pois,
(ds)2 = (dx)2
6. y
-
que
(a)
+
+
(dy)2 + (dz)2
2.
(b).
-
1
ja visto no calculo diferencial.
Achar o vetor unitario tangentc a qualquer ponto da
4t - 3, z = 2t2 - 61.
t=
( �� r + ( : r = � (dx)2 + �:�;: + (dz)2 curva x
=t2+l,
D e te rminar o unitairio tangente no ponto em
VETORES
DIFERENCIAQAO DE (a)
��
55
Um vetor tangente a curva num ponto q�lquer e
=
!
[(t2 + 1) i + (4t
= 2ti + 4j + (4t
3) j + (2t2 - 6t) kl
-
-
6)k.
0 m6dulo do vetor e
I :; I Logo,
o
=
-v (2t)2 + (42) + (4t - 6)2•
vetor unitario pedido e T
i=
2ti + 4j + (4t - 6) k
_
v (2t)2 + (4)2 + (4t- 6)2
Note-se que., como
ds
dr
I dt I =Tt· t = 2,
(b) Para
o
T =
(a)
Se A
e
B
d (A du
•
B) = A
dB
•
+ dA du
du
l.!ill
=
X
.
1
2
2
dA
� -
Au
+
u,
d (A X B) du
provar:
-
B.
A · AB + AA
lim A ·
.6.u->0
d.�
= 3i +3; +3k.
d;; + d;; · B, (b)
d (A + AA) - (A · B) = lim du .6.u->O
.6.u->O
.!!!._
sao furn;oes diferenciaveis de um escalar
= A X dB
(a)
=
vetor unitario tangente e
4i + 4j + 2k T =-========v (4)2 + (4)2 + (2)2 7.
dr/dt
ds/dt
·
·
(B + AB) - A · B Au
B + AA
Au
M. -
Au
•
·
AB =
B +
M -
Au
·
AB
=
A
� •
du
-
+
� du
--
•
B
•
VETORIAL
ANALISI!
56
dB dA =A· -+-·B. du du
A AA) X ( B +AB) - A ,X B = lim ( + Au Au->O
(AXB) (b) � du
"'lim
Au->0
AXAB + AAX B +AA X AB Au AB
dB
AA
AA
XAB=AX =limAX XB+ + Au Au· Au du Au->0
+
dA du
XB.
Terceiro Metodo.
d d -(A XB) =du du Empregando
dB1 d·u
8.
dA 1
+
dBa
dB2
Se A
(A X
- t3k
dt
(a)
dt (A B)=A • dt
B),
(c)
d
e
d
(b)
dAa
dA AX dB + du du
du
com
XB.
Ba
d B =sent i-cos t j, achar (a) dt (A ·B),
dt (A · A). dB
·
=
d1h B2
B1
5t2i + tj
=
k
---;fu" �
du
�
j '--
Aa
A2
d
i
k
j
Ai
teorema para derivada de um determinante, fi c amo s
o
+
dA
dt ·B
=
(5t2i + tj - t3k) ·(cost i + sen t j) + +
(10 ti
+j
-
3t2k) · (sent i - cost j)
=5t2 cost + t sent + lOt sent - cos t=(5t2 - 1) c o s t+11 t sent.
Outro Metodo. d dt
- (A
• B)
=
d dt
-
A
·
B=5t2 sent - t cost.
(!it2 sen t
-
t cos t)
=
Entao
5t2 cos t + lOt sent + t sen t - cost
= (5t2
-
1) cost
+ llt sent
=-
DE VETORES
DIFERENCIAQAO
57
i k dB dA d tj -t3 + IOt (b)-(AXB)-AX - + -X B= 5t2 i dt dt dt cost sent 0 een t
I
- [t 3
een
t i - ea cos t j + (5t2 + [
sen t - cost)k]
-3t2 cos t i - 3t2 sent j
- (t1 een t ...., 3t2 cos t) i - (t1 cos t + 5t2
Terceiro A XB
I' �
�
�
- 3 t2 sent -cost 0
-
d
- (A dt
•
Logo,
sen t) k] -
+ 3t2 sent) j +
M�tod-0.
2
I
-t3 cost i-t3 sent j +(-5t2 cost -t een I) k.
=
(•' s e nt- 3t2cost) i - (t3 cos t
=
=A
A)
=
Quarto
+ (- IOt cost -
M�todo.
+ (5t2 sent
(c)
+
I
j1 -k3t2 -cOll t 0
sent - sent - litcost) k.
;t (A X B)
Entao
11
-
lit cost - seri
dA
•
-
dt
dA
dA
·
(5t2i + tj - t3k)
·
sen
t) j
+
t) k,
+ - A = 2A
dt
+ 3t2
•
-
dt
=
(lOt i + j - 3t2k) ... 100t1 + 21 + w•.
A A = (5t2)� + (t)2 + (-t3)2 = 25 t• + t2 + t'. •
! ( 5t 2
'
+t2 + t&) = 100t3 + 2t +
6t5•
9. Se A tern m6dulo constante mostrar que A e dA/dt silo perpendiculares, desde que I dA/dt I >'6 0. Como A tem m6dulo constante A A = constante. •
Logo,
d - (A
dt
Donde A
10. +
•
dA
A) =A
�
·
Provar
��
•
=0 dt d
e
+
dA dt
-
·
A = 2A
.
A c perpendicular
que du (A
B X
dt
-
•
•
B X
C) = A
•
B
a
•
dA
dt
-
� dt-
.., 0
desde
rlC X -;;:;;: + A
•
,�,
que -;ft
;;o! 0.
tlu X C +
dB •
C, onde A, B, C siio furn;0es diferenciiiveis de um escalar
u.
ANALISE VETORIAL
58
Peloe Pro ble ma s 7(a) e
d
-A . du
·
7(b), d
X C) =A
(B
=A
d
dt
Calcular
(
V
v
.
·
du
·
=A
11.
-
·
·
[B
(B
X
C) +
dC du
X-+
dC B X-
du
dV
dt
iFV X�
dA
-
du
dB du
-
·
XC
=
dA X Cl + du
dB +A · d·ii
)
B
B XC
·
dA
X C +du
·
B
-=
X C.
•
Pelo Problema 10,
(
d dl
v .
i12V dV dt .x di2
)
""
dV
dt
x
d3V
d(I
+v
dV iFV cPV dt2 x dt2 +dt
.
dV
.
dt
x
d2V dt2 -
12.
Uma partfcula move-se de modo a que seu vetor posii;ao seja dado por C11t i + senwt j onde "' e uma constante. Mostrar que (a) o vetor veloci dade v da pa rtfc ul a e perpendicular a r, (b) a acelerai;iio a e dirigida para a origem e tem um valor absoluto proporcional a distanc ia do ponto a origem, (c) r x v -
r
""
um
cos
vetor constante.
( ) a
v
...
Entiio
dr dt
. - "' senwti +"' cos C11t J. •
.,.
r · v.,.
[coswti+ senwtj] ·{-wsenwti+wcoswtj].,.
= ( cos C11t) (-w sen wt) + ( senwt) (w coBwt) = 0 logo,
e
r
(b)
v
sao perpendiculares.
dt2
dv
-
dt
=
=
-w2
cos
wt 1• - w2 sen wt J•
=- w2 [cos wti + Benwtj] = -
w2r.
r, isto e, e dirigido para a ori ea distancia do ponto a origem.
Logo, a acelerai;ao tern Bentido oposto ao de
gem.
E seu m6dulo e proporcional a
(c)
-
I
r
Xv
.
:
-"1
[cos wt i +Ben wt j] X [- w Benwti + w COB wtj]
=
.
co wt
sen wt
se'n wt
Cll
lr I que
coswt
k 0 0
I
=
w (coB2wt + sen2 wt) k
=
=
wk, sem vetor conetante.
DIFERENCIAQAO DE VETORF.S
59
Flsicamente, o movimento e o de uma partfoula que ocentro da circunfer�ncia e a aceler�ao centrtpeta.
13.
d2B AX di2
Provar que
(
d dt
dB dt
-
di2
X
(
d
-
B
se
move s6bre uma cil'
A acelera9lio, dirigida para
cunfer�ncia com uma velocidade angular constante.
dt
dB A X dt
dA
- dt X B)
) =- ( AX- ) - - (
dA
- AX---XB
dt
d
dB
d
dt
dt
dt
dA
--
dt
XB
)
)
•
..
d2A
-AX 7 - dj2 X B. 14.
Mostrar que A
+A 2 +A 3�)-1/2
dA .. _!_( 2 A 2 . 1 dt
(
'\
2
dA2
dA1 + A2
A1
dA
A1i + A2j + Aak.
..
A
Fa9amos
dA
• dt = A dt
+A 3 dt 2 2 (A12 + A 2 + Aa J1fi
dt
•
A
Logo,
2A
1
dA1
dt
dA2
+ 2A 2
dt
dA A . dt
dAa
V A12
""
dt
isto eI
A
+ A22 + Aa2• +2A
3
dA
Adt
dAa
dt
.. A
)
-
dA
• -
dt '
Outro Metodo.
A
Como
d - (A
st
Logo,
·
A)
2A
Note-se que
15.
Se A
=
•
A·
dt
dt
dA dA +dt dt
-
= 2A
dA
dt
·
A
OU
dt
==
2A
A .
dA •
dt
d -(A2J =
e
-
dt
dA
•
=A
dt
d.a
24dt
dA dt
•
A e um vetor constante A •
��
•O como vimoe no Problema 9.
i +
x) j
+
(2x2y - x4)
A 0 = .l_ ( 2x2y ox OX -=
d d -( A ·A)= -(A2)
A =A2 ,
dA
se
=
·
- x•) i
(4xy - 4x3)i
+
(e"11
-y
een
.l_ (e"Y - y sen x) j ox
+ (ye"11 - y cos x
)j
(x2 cosy) k,
+
achar:
.l_ (x2 cosy) k = OX
+ 2x cosy k
ANALISE
60 aA
=
iJy
� ( 2 z2y - x') i iJy '
+
� (e"'ll iJy
""'
a:ir
� ( 4 xy -
4x3) i +
ax
- ysen x)j +
- x2
'"' 2x2 i + (xe"'! - sen :r)j iJ2 A
VETORIAL
�
� (x2 iJy
seny k
(yezu - y cos x)j +
ax
cosy)k ..
� (2x cosy) k"'" ax
2 2)i + (y2e"'ll +ysen x) j + 2 cosy k .. (4y - 1.x
iJ2A
=
iJy2
� ( x2 2)i + � (x e"'IJ -
) sen .xj
iJy
iJy
"" O + x2t"'llj - .x2 cos yk
a2A
--
,..
ax iJy
( )
a
aA
-
a2A
iJy ax
.
=-
a
-
iJy
=
-
=
iJy
= .x 4 i +
--
a
-
ax
a.x
(i 2 2)
•
i
iJy
x 2ez1J j - .x2 cosyk
=
+
� (x2 seny) k""
a (xe"'TJ ax
- sen.x)J •
a
- (x2 sen y)k .,. ax
(xye"'IJ + e"'ll - cos.x j ) - 2x seny k
( A) a
a
ax
a oy
a iJy
.
-(.x ( e"'ll-ycosx J 4 y-4.x3) i+- y ) +-( 2.x cosyk ) -
=
-
•
iJy
= 4.x i + (xye"'IJ +
t"'IJ
- cos x)
j - 2x senyk.
a2A
a2A uyux
Note-se que � = � , isto e, a ordem de deriva,.iio
vxuy
e indiferente.
·
Isto e valido de um modo geral se A tern derivadas parciais continuas , pelo meno�, ate a segunda ordem. Se
16.
no ponto
q, (:i:, y, z)
� (ij>A) az
� (ij>A)
=
- xy2
zi
j + yz2k, achar
(J3
( ij>A)
iJ.x2 iJz
=
=
- xy2 j + yz2 .x2y2z2 i - x2y4z j + :z:y3z3 � (:z:2y2z2 - x2y4z .xy3z3 k) 2.x2y2zi - x2y4 + 3zy3z2 az k)
� (2x2y2z i ax
x =
2, y ...
k
=
j +
i
( -1)2 (1) i - 2 ( -1)'j 17.
=x
(.xy2z) (xz i
Se fizermoe 4
xy2z e A
=
2 ( , -1, l).
,4'A
ax az
·
- x2y4 j
=
- 1, z
+ 3.xy3z2k)
=
j
=
1
a
=
4xy2z i - 2xy' j +3y3z2 k
expressao acima
se
Se F f'elr uma fun,.iio de x, y,
dt
iJF =
at
traneforma
em
4i -2j. z,
t, onde
:z:, ye z
siio fun,.0011 de t.
que: dF
k
+
iJF
dx
ax
dt
+
iJF (Jy
.!!:JL dt
+
iJF az
dz dt
Provar
VETORES
DIFERENCIAgAO DE
61
na hip6tese de serem derivii.veis as funi;0es. Suponhamos que F = 1 (x, y, z, t)i+ 2
F (x, y, z, t) j +Fa (x, y, z, t) k.
F
[ iJF2 dt at
+
iJF2 at
iJFa at
+
=
(
iJF1 at
i +
� dt
Donde
•
J
+
iJF at
=
+
iJF2 ax
dx +
dt +
)
k
dx
iJF ax
dt
iJF2 d oy
(
Y
+
i+
iJF1 az
+ iJF au
iJF2 dz az
dy dt
iJF2 ax
+
•
J
J
+
.
J
iJFa ax
+
Entiio
k
)
dz
iJF az
di
·
Geometria diferencial. -�--.Demon&trat-iiaa itr
(a) di (a}
-
dB (b) di"- -
KN,
Como T
� perpendicular
a
f6rmulas de Frenet-Serret
•
T
=
TN,
de
Como
B
-
KT.
�
•
-
O, isto 6,
'!:
T.
normal principal,
(b)
TB
...
1, segue-se pelo problema 9 que T
Se N 6 um vetor unitii.rio-na dire<;ao de
N
dN
(c) dB
..
K de
curvatura
T XN, entao
+KN XN-T+ dN · (k
�
, entao
e p - 1/IC de
dB
dN
:
- KN.
Chamamos
raio de curvatura. itr
� = T X dS + di
XN
=
dN T X di +
ANALISE
62
Logo,
dB
T .
dB
= T T X dN = 0 ' donde T e per pendicular a
ds
Mas, como B
VETORIAL
ds
·
·
B = 1 segue-se que B ·
dB da = 0
9),
(Problema
•
ds
dB da
donde
e perpendicular a B e, por conseguinte est& no piano de T e N.
��
Como,
dB
da =
lelo a N; logo,
... l/T de
(c)
est& no piano de T e N e e perpendicular a T, deve ser para-
raio de
- TN.
Chamamos
B de
binormal,
de
T
tor9iio
e
tor,ao.
Como T, N, B forma um triedro positivo, N, B e T, tambem o fazem,
logo, N "" B X
T.
dB ds
dT ds
dN ds
Donde - =BX - + -XT=BXKN-TNXT=-KT+TB=TB-KT.
19.
Fazer um esb690 da curva
:i: =
3 cost, y
(a)
=
3 sent,
= 4t,
z
e achar
o vetor tangente unit&rio T,
(b)
a
normal principal N, a curvatura k e o raio de curvatura p,
tor9iio
T,
(c)
a binormal B, a
e o raio de tor9iio
A curva e uma
figura ao !ado).
Mlice circular
Como t
(veja a
z/4, as equa-
=
:i: = 3 cos (z4 / ) e y .. 3 sen (z/4), e, portanto, ela fica t6da no cilindro :i:2 + y2 .. 9.
90ee da curva siio
0 vetor posi9iio de um ponto
(a)
qualquer da curva e: r
dr dt
Logo,
= - 3 sen t i +3 cos t J' •
ds = dt
Don de,
dT
(b) dt dT
T
...
=
dr dt
l l � -
rd ds
=
drldt ds/dt
- = --
d dt
(
dT/dt
da- ds/dt
3
.5
- - sen
dr dt
-
=
-
·
dr dt
=
V
- sen t i
5
•
· 3 · ti.+ - cos t J 5
3 cos
+ 3 sen
( -3 sen t)2 +
3 + - cos t J •
5
4 +- k 5
3 3 , =-25costi-25sentJ. •
ti
tj
+ 4 t k.
+4 k
-
3
=
) .
=
+
(3 cos t)2
4
-k 5
+ 42
•
5
•
.
3 . - - cos 5
.
3
ti-5
sen t
.
J
VETORES
DIFERENCIAQAO DE
�
Como,
I�I
=KN,
63
= J K J JN J =K pois K � 0.
...
3
25
e
De
dT ds
N= l
' = KN, tiramos
i
(c)
B =T XN-
dB
dt
=
4
·
-
= x
•
dB
ds t} )
Bell
-
"
=
•
5
5
5
0 4
dB/d t ds/dt
=
cos t
25
4 cos t I + 4
25
--
-
25
•
i
+
4
25
een
tJ •
J OQ een •'.
•
=
3
4
=-een t i--co&tJ·+ - k
5
cost
•
-
4
4
sen t
-
.
( - cos t I
T
T
�
...
[{ =
0 vetor posi9ao de Logo,
y
(s),
P
y
(a),
""
ds
= KN donde
K
+
.
Mostrar que:
d2y
)2 { +
ds2
d2z
)
2
J
ds2
ponto qualquer da curva e: r = x
dx
dr
= ds
z - z (s) e dado por:
)2 {
d2x ds2
um
1 . C.Q.D., po1s, p = 21.
4
t
k
sen t J.
.
1
Provar que o raio de curvatura de uma curva cuj as equac;ooe param�
tricas sao x
Mas
c os
cost1 + sent1, 5 5
- 7'N =
20.
5
5
t
= - c os
j
3
- _.'.!_sent -
dT ds
K
•
1
+ dy
•
ds J
K
-
+ dz k
I�I
ds
e
( =
dT =
ds
)
d2x ds2
·
2
-!f2
•
(s) i + y (s) j
d2x ds 2
+
(
•
1
+
z
(a)k.
d2y ds2
) ( 2
+
)2
ANALISE
64 dr tflr - ... T d8 ' ds2
dT
-
ds
=
=
KN
d3r
' ds3
-
VETORIAL dN
=
ds
Donde podemos escrever: T
onde
as
+
[(z")2
=
(y")2
+
linhas indicam derivadas em rela�ao
tura
Dada a curva no espa�
(b)
"•
torQio
a
Lo go
dr
•
dt
-
:
=
=
I
=
t, y
=
ti + t2j +
I :; I � �;
�:
.
=
+ 2t2) (2j +
(1
"(TB - KT)
:: �:. y'"
,
1"'
dK + -N ds
=
-
� ds
=
dr/dt ds/dt
utilizando o resultado do Pro
t2, •:- �-ta,
achar
(a)
a curva
: tlk.
v (1)2 + (2t)2 + (2t2)2
=
-
1 + 2t2
i + 2tj + 2t2k
1 + 2t2
4tk) - (i + 2t j + 2t2 k) (4t) (1 + 2t2)2
•
-4ti
+ (2 - 4t2) j + 4tk (1 + 2t2)2
Logo,
- 4ti + (2 - 4t2) j + 4 tk (1 + 2t2)3
Como
dT da
.
--
·(b)
K . N
,
IC .,.
De (a), N
=
Jr
I
I
d..�
1
IC
I
-
=
I
•
T dT
:r,"'
=
+ 2tJ + 2t2k
e
fit =
' z "
z
a e,
-
N
T.
0 vetor posi�ao e r
(a)
z
ds
-
j
(z")2]-1
blema 20. 22.
dK
+
"-
v' ( --11)2 + (2 - 4t2)2 + ( 4t)2 <1 + 2t2)3 •
....:21 i + (1 - 2t2)j + 2t k 1 + 2t2
�
2 <1 + 2t2>2
•
DIFERENCIA�AO DE
VETORES
65
Logo,
B=TXN=
j
k
1 1+2t2
2t 1+212
2t2 1+2t2
-2t 1+2t2
1-2t2 1+2t2
2t 1+2t2
2t2 i - 21j + k 1+2t2
Entao
dB
4ti + (4t2 - 2)j - 4tk (1 + 2t2)2
...
dt
dB
e
ds
=
11B/dt 4ti + (412 - 2)j - 4t k = (1 + 2t2)3 dsfdt
E tamMm
_
N=
T
T
_
T
[ -2ti + (1 - 2t2)j + 2t k 1 + 212
Como
dB
ds
=
. - TN, tiramos
2
.,. (1 + 2t2)2
Note-se que 23.
J.
K ...
•
T
para esta curva.
Achar as equa90011 nas formas vetorial
e
cartesiana da (a) tangente,
(b) normal principal, e (c) binormal da curva do Problema 22, no ponto em que
t
-
1.
Representemos por
To, No,
normal no ponto dado.
Bo
e
011 vetores tangente, normal principal
T0 = i + 2j + 2k 3
N O'
,
=
-2i - j + 2k , 3
Se designarmos por A um dado vetor e por
e,
bi
por conseguinte, a equac;iio de A ser4:
2i - 2j + k . 3
B o-
ro e r
os vetores posi9Ao respec
tivamente da origem e de um ponto qualquer de A, entao
A
e
Entii.o, do Problema anterior temos:
(r - ro)
X A
r
-ro
-
O.
ser4 paralelo
a
Portanto, teremos: Equac;ao da tangente: Equac;Ao da normal principal: Equac;ao da binormal:
(r - ro) X To - O. (r - ro) X No - O. (r - ro) X Bo - O.
Levando nessas equ�oos as expreBSoos de
+ 11 j +
z
k e ro = i + j +
1
x-
1
1
y 1 .,. 2_
- 1
y
____
z
:
-
1
To, Noe Bo acima
e de
r
- z
i +
k, e desenvolvendo obtemos, respectivamente
,
- -, 2/3 2
z
- 2/3
-2-- �--l-
x- 1
-2
y - 1
- ---=!"
2 -
-2/3 -2-
e
ANALISE
66
VETORIAL
que siio as equai;oos cartesianas pedidas.
24.
Essas equai;oes podem
(Veja o Problema 28 do Cap(tulo
escritas na forma parametrica.
tamMm
ser
I).
(a) plano oscula (c) plano retificador da curva dos Problemas 22 e 23, no
Achar as equai;oes nas formas vetorial e cartesiana do
dor; (b) plano normal e ponto em que t = 1.
(a)
0 plano osculador e o plano que conte m a tangente e a normal prin Se r ftir o ..vetor posii;iio de qualquer ponto d�sse plano e
cipal.
t = I, r - ro sera perpendicular a Bo, a
(r
-
r o)
(b)
binormal
no
ponto
ro o do ponto t 1, isto e, ""
Bo = 0.
·
0 piano normal e perpendicular ao vetor tangente no ponto dado.
Logo, a equai;iio pedida e
(r - ro)
·
T
=
0.
(c)
0 plano retificador e per
pendicular A normal principal no pon to dado. no e (r
Logo, a equal(iio d�sse pla
- ro) ·No
...
O.
As equai;oos cartesianas d�s pianos siio respectivamente,
2 (x-1)-2 (y-1) + 1 (z-2/3)=0, (x-1)+2 (y-1) + 2 (z-2/3)�0, e
P la no· retiflcador
-2 (x-1)-(y-l) + 2 (z-2/3)-0. A figura
ao
lado mostra. os pla
nos osculador, normal e retificador, da curva C no ponto P.
25.
(a) Mostrar que a equai;iio r
=
r (u, v) representa uma superffoie.
iJr . iJr X a; representa um vetor normal a essa superffo1e. u
(b) Mostrar que iJ
(c ) Determinar um unitario normal A seguinte superffoie, onde r = a cos u
(a) tara
Se dermos a
uma
curva
u
> 0:
a sen u sen v j + a cos v k.
sen v i +
·
a
um valor constante digamos
uo, r
..
r
(uo, v)
represen
que pode ser de
signada por u = uo. Analogamente, u=u1 define outra curva r=r (u1, v). Portanto, quando u varia r = r (u, 11)
•
�
•o
representa uma curva que se desloca no espai;o, gerando a superffoie. S.
(u, 11)
Logo, r = r
representa a super
ffoie S assim gerada, como mostra a figura ao lado. Ai!
curvas
representam superffoie. superffoie.
u =
curvas
uo,
u=
u,
definidas
Da mesma forma
11
. .
.
nessa ,.
vo, 11-111
•
•
•
representam tambem curvas de1111&
DIFERENCIA�AO DE VETORES u
Dando valores definidos a
u
uo
=
f!cie.
e
v
=
vo,
e a
v,
67
obtemos pontos da superf!cie.
por exemplo, se encontram e definem o ponto
(u, v) definem as u = constante e v
Dizemos que os pares de mimeros
neas da 'superf!cie.
Se t6das as curvas
(uo, vo)
As curvae da super
coordenadas curvilf constante siio per
=
pendiculares entre si nos pontos de interse�iio, o sistema de coordenadas curvili neas 6 dito ortog
No capftulo 7 entraremos em mais detalhes s6bre as coorde
nadas curvilfneas.
(b)
Tomemos um ponto P, s6bre a superffcie S, e admitamos que suas coor
denadas sejam
(uo, vo),
em P derivando
r
de ac6rdo corn a figura ao lado.
em rela�iio a
curvas no esp�o, sabemos que 11 -
vo
u,
mantendo
or/ou em P
em P,. como mostra a figura.
tangen te a curva Como
or/ou
u =
e
const.
or/ou
"'
v
..,
Obtemos o vetor
constante
represent.a
Anllogamente,
um
""
110.
or/ou
Da teoria da1
vetor tangente a curva
ro/011
representa um vetor
uo.
repreeentam vetores tangentes em P ae cnrvas perten
centes a superffcie S, segue-se que �sses vetores s&.o tangentes l superfkie em P.
or/iJu X or/ov 6 um
Por conseguinte,
(c)
OrfiJu or/iJv
=
""
-
vetor normal a S em P.
a sen 'U sen Vi +a sen
a cos u cos v i +
a
sen
'U
II COB U
cos "j
j
- a
sen Ilk
Logo,
or/ou. x iJr/ov =
I
i -a sen u sen v a COS U COS 11
a a
;
cos u sen 11 sen u cos v
-a
k 0 sen
11
OU
or
OU represent.a
X
um
or 011
=
- 2 a
COS 'U se n
2
11
i
- a2
sen
'U sen2 11 j
vetor nor ma l a superffcie n um ponto
-
2 a. sen
II COS
qualquer (u, v).
11k
AN .\.LISE
68
•
VETORIAL
0 unitari o normal sera obtido dividindo-se iJr/iJu X iJr/iJv por eeu m6d ulo,
I or/au x or/ov I dado po r:
V a4 cos2 u sen4 v +
a4
sen2 u sen4 v +
= v a4 (cos2 u + sen2 u) sen4 v +
=
V a4 sen2 v (sen2 v
{
+ cos2 v) =
a
4
a4
sen2
11 cos2 11 =
v cos2 v
sen2
==
a2
sen
v
se sen
o
-a2
sen
v
se sen
11 < O.
> 0
Ha, portanto, do is vetores unitarios normais, dados por:
± (cos u sen·v i + sen u sen v
j +cos
v k) = ± n.
a superficie dada e definida por x u sen 11 , z = a cos v donde se verifica que x2 + y2 + esfera de raio a. Como, r = an, segue-se que
Deve-se notar que a
y = uma
se n
n ""'
e
0
cos
u sen v i + sen u sen 11 j +
cos
=
a cos
u
z2 = a2,
een
11,
que e
vk
11etor unitdrio normal 26.
exterior a es fera no ponto (u, 11). 2 Achar a equa9ao do plano tangente a su perficie z =- x2 + y no ponto
(1, -1, 2). Sejam x
...
u, y
=v
e
u2 +
z =
112
as equa90es parametricas da euperffcie.
0 vetor posi9ao de um ponto qualquer da su perficie e: r ... u
Logo (1, -1,2),
::
=
onde
n
=
i + 2u k - i + 2k,
u
Pelo Problema
i + 11 j +
::
(u2 + 112) k ponto
.,. j + 211 k ... j - 2k no
= 1e11 - -1. 25, um vetor
� au
X
� CJv
-
n
normal a superffcie nesee ponto e:
(i + 2k) X (j - 2k) - -2i + 2j + k. 0 vetor posi9 ao do ponto (11-1, e Ro
•
i - j + 2 k.
2)
O vetor posi9ao
de um ponto qualquer do plano e:
R Tiramos
==
xi + y j +I k. da
fi gura
l a do
ao
Ro e perpendi cular a ---- y equ�ao do pla no e (R - Ro)
n,
R -
n
que,
logo
a
= 0 -ou [(xi+yj+zk)-(i-j+2k)] [-2i+2j + +kl= 0 isto e, - 2 (x-1) + ( 2 (y+l)+ 2. + ( z-2) = 0 OU 2x - 2y - I ·
·
•
DIFERENCIA�AO
DE
VETORES
69
Mec!nica. 27.
MoBtrar que a acelera1:ii.o
a de
uma partfoula que se move ao longo de
uma curva no espaQO corn uma velocidade
v
6 dada por:
dv v2 a--T +-N dt
p
onde T 6 o vetor unitlirio tangente A curva, N 6 o normal principal unitl!.rio, e p "
6 o raio de curvatura. Vetor velocidade v =modulo de v multiplicado pelo vetor unitario tangente T . ., =
OU
vT.
Derivando,
a
=
v d dt
=
d - (vT) td
dv dT -T + v td dt
=
mas, pelo Problema 18 (a),
dT
-dt
=
dT
--:;::.....
ds
ds
dt
dt
.
- - KN - = KvN
Logo,
vd a=-T +v &
(- )
dv
vN p
=-
&
vN
=
T
p
+
v2 -
p
N
.
0 que mostra que dv/dt 6 a componente de acelera1:ii.o na dire1:ii.o da tangente A trajet6ria e
v
2/p, na dire1:ao da normal
geralmente de acelera�
28.
Se
r
principal.
Esta ultima 6 chamada,
0 Problema 12 6 um caso particular deste.
m r X F =M 6 dH/dt, onde H = r X mv
6 o vetor posi1:ii.o de uma partfcula de massa
ponto 0 e F, a f0r1:a externa aplicada na partfcula,
F em rela1:ii.o
a
0.
Mostrar que M
=
em relaf,'ii.o ao o momento de e v 6 o yetor
vclocidade da partfcula.
M
Mas
d
= r
dt (r
X
X F
= r
X
d di (mv)
mv)
=
r
X
d dt (mv)
-r
X
dt (mv) +v
pela lei de Newton.
+
d
d r dt
X
X mv
mv
�
=
r
X
d
dt (mv) +0
isto 6,
Note-se que a relaQii.O 6 satisfeita para quantidade de movimento angular.
m
constante ou nii.o.
H
chama-se a
ANALISE
70
VETORIAL
Essa. relai;iio estabelece que o momento e a taxa de variai;iio da quantidade
de movimento angular.
�sse resultado e facilmente generalizado para um sistema de
massas m1, m2,
.
• • •
, m,.
aplicam fori;as F1, F2,
e cujos vetores posii;iio siio
•
•
•
Neste caso, H
, F,..
n
de movimento angular total, M
M
dH
= dt 29.
rk
= �
k-1
como antes.
=
n
r11 r2 ,
•
•
.
n
, rn
particulas de nas quaia
se
ea quantidade
� mr.r1cXvr.
k-1
X Fk e o momento resultante
e
tamMm
Um observador localizado num ponto fixo em relai;iio a um sistema de coordenadas xyz de origem 0, como mos-
tra JI, figura ao !ado, observa um vetor
z
A = Ai i + Ax j + Aa k e verifica que
a sua derivada em relai;iio ao tempo e
dA1/dti
+
dA2/dtj + dAa/dt k.
de, nota-se que
ele
e
seu
Mais tar
sistema de
coordenadas estiio girando em relai;iio a
um sistema XYZ, fixo no espai;o e de ori
gem tambem em 0.
seria a derivada de
Pergunta-se
qual
A em relai;iio ao
tempo para um obaervador que se man
y tivesse fixo em rela�iio ao sistema XYZ.
(a) as derivadas de A respectivamente
Se
dA
dt
I
1 e
dA
dt
I
m
.
qes1gnarem
em
relai;iio ao sistema fixo e ao sistema
dA
I
m6vel, mostrar que existe uma grandeza vetorial <.ii, tal que,
dA dt
I
-
/
=
--
dt
m
+
X A.
(b). Se D1 e Dm forem os operadores das derivadas em relai;iio ao tempo no
sistema fixo e no m6vel respectivamente, demonstrar A identidade
D1 ED,,.+ cox
(a) tempo.
(10 isto e,
(2)
.Para o observador fixo, os vetores i, j, k variam, na realidade, corn Logo tal observador calcularia a derivada de A assim:
dA dt dA dt
dA1 =
I
/
dt
= ·
•
l .
dA dt
+ dA2 dt
I
m
+ A
+
•
J
1
!!i._ dt
dAa + k +A 1 !!i._ A dj dt 2 dt dt +A
2
dj dt
+A
3
+A dk 3
dt
dk
dt .
Como i e um vetor unitario, di/dt e perpendicular a i
portanto estar no piano de j e k.
o
(veja
Problema 9) e deve
DIFERENCIAQAO
DE
71
VETORES
Logo
di
(3)
+a2 k
- = alJ dt •
AnAlogamente,
(4)
dj dt
(5)
dt
dk
C omo
i •
(4),
:;
de
= aa k
e
"
+ Q41 •
. . + aeJ· =au
=
J'
•
j
0, a. der1' vad a da
=
ai
de
(3);
Da mesma forma, como i
•
J
•
k
=
0
dk , J • dt .
+
dj
dt
k
=
"
i
dj • dt
logo at = -
·
k
0 e
= 0, i
ae
·
+ di
-di
·
J" = O .
M � as 1•
·
dj dt
=
at
a1.
dk d t +.!!i._ !lt
·k= 0 e a5 = -;- a2; como
= - aa.
Logo,
e
que pode ser escrito da seguinte maneira:
Entao, se fizermos
aa - w11 -a2
=
w2, a1
=
wa
o determinante fica igual a
kI W3
Aa
on de
"'
=
W1 i
+ W2 j
+ Wa k.
A grandeza Qt e
i;istema m6vel em rela9ao ao siatema fixo.
(b)
Por defini9ao D1A
D,.A
..
�� I
,
�� Im
=
=
0
=
Cal
X A
vetor velocidade angular do
derivada no sistema fixo
derivada no sistema m6vel
ANALISE
72 De
VETORIAL
(a),
o que demonstra.
identidade
a
D1 "" Dm +
Achar (a) o vetor velocidade e
30.
llJ
X
•
(b) a aceleraQiio de uma
partlcula m6vel
ta! como e vista pelos dois observadores do Problema 29. (a)
Seja o vetor A do Problema 29 o vetor posiQiio
r da partfcula.
Empre
gando a notaQ:io de operadores do Problema 29 (b), temos:
D1r X (Dm + CIO X ) r
(1)
=
Dmr + Cll X r
Mas
Dtr Dmr
(1)
=
vetor velocidade da partfcula relativa ao sistema fixo
=
Vplm
=
CllXr Logo
Vpf/
=
vetor velocidade da partfcula relativa ao sistema m6vel
=
Vm//
=
ve tor velocidade do sistema m6vel relative. ao sistema fixo .
pode ser escrita da seguinte maneira:
(2)
Vpf/
=
Vp/m +
Cd
Xr
ou, numa nota.Qao mais sugestiva:
Vpf/
(3)
=
vv/m + Vm//
Note-se que os papeis dos ob se r va dores podem ser trocados.
Assim o obser
vador fixo pode considerar-se como se estivesse, na realidade, se movimentando em relaQiio ao outro.
Neste ea.so devem os trocar os
indices
tambem mudar "' para -C'IO, uma vez que a rotaQiio relativa
m
e j entre si
e invertida.
e
Fa
zendo essas alteraQCies (2) se transforma em
Vp/m e
assim
p
r
Vpf/
-
CiO x r
OU
Vp//
=
Vp/m +"' x r
resu ltado e vilido para qu alquer o bserva dor.
A acelerai;ao da partlcula determinada pelo observador fixo em 0 6
(b)
D/
=
-
D1(D1r). Tomando D1 de ambos os membros de (1) e empregaudo (b) teremos:
eqilival�ncia de operadore s estabelecida no Problema 29
D1(D1r)
=
=
=
D1(Dmr +• Xr)
=
(Dm + wX) (Dm r + CllJXr)
=
Dm (Dmr + fOXr) + IAJX(Dm r + coXr)
... Dm2r + Dm (WXr) + W X Dmr +cio X (tlJXr) OU Dr
r
=
Dm2 r + 26J X Dm r + (Dm Cll) X r +al X (til X r).
FaQamos
apff
=
ap/m
=
Dfr D,,.2r
=
a cele raQiio da partfcula rela ti va ao sistema fixo
=
aceleraQ iio da partlcula relativa ao sistema m6vel
.
a
DIFERENCIA
DE
VETORES
73
Logo,
Bmlf= 2w X Dm.r + (Dm •.i) X r +et X (.., X r) =
<',
=
aceleraQiio do sistema m6vel relativa ao sistema fixo
cntiio, podemos escrever
8p//
=
8p/m + Bm/f
•
Em muitos casos importantes, flt e um vetor constante, isto e, a ro taQii o processa corn uma velocidade angular constante.
am/f
=
200 X Dmr +
QJ X
Logo
(00 X r) =
Be
Dmtll = 0 e
2(11 X Vm +(&IX ((&IX r ) .
A grandeza 2(&1 X vm chama-sc a acelera�i'io de Cori6lis e
co X
(GIXr) chama-se
a acelera�i'io centripeta.
As leis de Newton siio estritamente validas somente para isto e, sistemas fixos ou que men te a um sistema fixo.
OS
sistemas inertes,
movem corn uma velocidade constante relativa
se
A terra nao e exatamente um sistema inerte, da{ a
presenQa das chama
si
a
segunda lei de
Newton fica assim cxpressa:
onde
Dm
resultante de t6das as forQas reais medidas pelo dito observador. termos do segundo memoro de
(4)
e
F e
a
Os dois ultimoa
siio desprez{veis na maioria dos casos e niio
siio usados na pratica.
A teoria da rela.tividade, devida a Einstein, modificou radicalmente os
con
ceitos de movimento absoluto que estiio subentendidos nos conceitos ncwt.onianos e ja provocou uma revisiio nas leis de Newton.
PROBLEMAS PROPOSTOS
31.
(c)
Se R
I �� , , Resp. 32.
=
e-1i + I n (t2 + I)j - tg t
(d)
(a)
I �; I
- i
- k,
para t
(b)
=
k,
achar
(a)
� , (b) �� ,
0.
i + 2j,
(c) v2,
(d) v5.
Achar o vetor velocidade e a aceler&Qiio de uma parUcula quc se dc�loca
ao longo da curva
:i:
=
2 sen 3t,
y =
2 cos 3t,
z =
St num tempo qualquer t > 0.
Achar o m6dulo do vetor velocidade e da aceleraQiio. Reap.
11
= 6 cos 3t i - 6 sen 3t j + 8k,
Iv I
=-
10,
I
a
I
=
is.
a=
-18sen3ti -18ccs3tj,
ANALISE
74
x
33.
Achar um vetor unitario tangente, num ponto qualquer, A curva
= a cos wt, y = a sen w!,
Sendo A
34.
=
= bt onde a, b, w siio const.antes.
z
Resp
Sc A
scn
=
u
i +
cos
36.
Achar
1 (A
·
achar
Sc
A(I)
= 3t2
j +
38. dA
Se
d2A
- i - 3k
dt
=
dt2
k,
(B X C)
A·
i-(t + 4) j
B = cos para
u
(c)
1,
i
-
u
( AX --;ft dB )
(d) i + 6j + 2k. sen
se
d2B d2A ---- ·B ds2 ds2
+ w 2r
+ (t2-2t) kc B(t)
-3()i
=
sen
0, onde a
(b) (c) ondc C1
r
=
=
r = e-al c
e
a ic e- t \ 1e e-at
s.
+ 14j.+20k. dado
A= 2i + j
e
em t = 0.
Mostrar que
(a) r
e
t i + 3e-1j-3 cost k,
·A
=
(t3 - t + 2) i + (1 - 2t4)j + (t - 4 sen t) k.
r= e-1 (C1 cos 2t + C2 se:i 2t), onde C1 e C2 siio vetores =
"ld2r
-
=
j - 3k,
•
os rar que a soI UQao Mt - gera · Ida equaQao diferenc1a
•
u
Ac B siio fu rn,oe s
. 1 d2r dr constantes e a sol w;ii.o da equaQiio d"f 1 erencm di2 + 2 dt + 5r
40
para
= 0.
6t i-2412 j + 4 sent k, a�har A sendo
Resp. 39.
u
(/1) 7j + 3k,
·
d2 (A X B) para t = O. dt2
Resp.
d
(d) di
7i +
Resp. 37.
-6,
. 6j - 6k. �� - �� B )
Resp
B = (2 t - 3) i + j - / k, achar
d
d du (A X
2i + 3j - k, achar
+ b2
(c) di IA + BI,
(a) u
e
bk
+ aw cos UJ{ j +
V aZ w2
(b) di (A XB ), Resp.
i
sen wt
t2 i - t j + (21 + I) k
t = 1.
35.
- aw
.
d
d (a) di (A· B),
C =
VETORIAL
O.
dr
dt2 +2a -;ft+
w siio constantes, e
Va2 - w2t + C e - v a2 - w2t) 2
se
a2
-
(C1 sen v' w2 - a2 t + Cz cos v' w2 - a2 t)
(C1 + Czt) se a2 - w2
.. 0.
C2 sao vetores arbitrarios conetantee.
2 > 0
w
se
a2
- w2 < O.
DIFERENCIAQAO 41.
Resolver
d2r
(a)
(c) di2
+ 4r = O.
42.
Resolver
d2r dr - 4 dt dt2
dY
dt
X = C1 cost + C2 sen t,
Resp.
oA
Tx oA
,
+2
(b) dt2
dr
dt
+
r
= 0,
- Y. Y = C1 sen t - C2 cost.
oA 7iY,
-y2 cos xy i o1A = ox oy 44.
o1A
oy ox
=
-
Resp. 45.
-4i
��
= -x sen xy i +
3x j - 2k,
o1A 2 - -x cos xy i, oy -
-2
(xy cos xy + sen xy) i +
j
. oy ox .
3j
+ xz2 k e B=2zi + yj-x2k, ach a r
0;�y
(AX B)
- 8j.
e
C2 siio vetores ronstantes e A e um e�calar constante, mostrar
e->-x (C1 sen Ay + C2 cos Ay)
o�u 02u + = ox2 -a!T o. 46.
ox oy )
-2).
Se C1 =
oy2,
(3y-4x) j-3 k,
- 4j,
Se A=x2yz i-2xz3
em (I, 0,
ox2,
-y sen xy i +
Resp.Tx
Provar que A
escalares eonstantes e i
E:ste
d?r
75
Se A = cos xy i + (3xy - 2x2) j - (3x + 2y) k, achar
43.
que H
VETORES
5r = 0,
-
dX X,dt =
=
DE
=
satisfaz
po eiw(t-r/C)
1 • = v
r
,
•
resultado e muito importante na
parcial
onde po e um vetor constante, we
f -1, sa hs az
-
a equac;iio diferencial
, a
_
equac;ao
c
siio
1 o2A 'a A = -;: 7); c2 ¥ .
o2 A + 2
�
teoria eletromagnetica.
Geometria diferencial. 47.
Achar
(a)
o uniM.rio tangente
cipal N, (d)a hinormalB, e (c)a torc;iio
T
T, (b)
a curva tura
para a curva
x
K,
(c) a norm al prin
= t-t3/3, y=t2, z=+t3/3
ANALYSE
76
(I -t2)i
+
2tj
+
VETOBIAL
(1 t2)
+
t2)k
(t2
+
Resp. (a)
T=
-'--�--'--'--0..--'---'-
(c)
N =
-
(d)
B
48.
V2 (1
2t
.
I
1 + t2
(t2
=
-
no
Uma curva
+
+
1-t1 1 + tl
-
2t;
1) i
+
V 2 (I
t2)
+
1) k
(e )
1
1' -
s,
espa'
compri
mento do arco, pelas equai;aes: z =
Achar
(a)
(b)
T,
Re8p. (a)
T=
(b)
N=
(c)
B=
8
arc tg
(c)
(d)
K,
v2s; + 82 +I
82
N, i +
- v2 8 i s2
i
-
! v2 In (s2
y=
I
B,
(l 82
+
v2s; ,2 +I
-
(e)
T,
+
1)
(j) p, (g)
k
.�2) j
+I
z = 8
I
(d) + vr2 8k
(e)
+k
Achar
Resp.
e ,,. para a curva
2 v 9t4 + 9t 2 + I (9t• + 4t2 + l.)3/2
=
.
z '
v2 82 + I
= ----
v2 s2+I
= T
82 + 1
=
_t,
s2 +I
= ----. v' 2
y = t2 , z = tJ chamada cubica
1' =
9t•
reveres.
3 + 9t2 +I . T
= 0.
50.
Moetrar que numa curva plana a tori;iio
51.
Mostrar que o· raio de curvatura de uma curva plana, cujas equai;i'ies
silo: y =
e:
K
K
K
(j) p =-----=v2 (g)
49.
- arc tg 8
52.
r =
f (z),
z =
Achar
curvatura
e
=
s Re p.
U:ma elipse,
IC
=
se
b.
(a2 sen2 u
tran sfor ms
ab +
=
v
1 + (y')2
I
y"
I
o raio de curvatura da curva cujo vetor posii;iio
a cos u i + b aen u j, onde a e b sao constantes positivas.
caso em que a
p=-a.
a
O, isto e, a curva fica no piano zy, e dado por p
b2 cos 2 u)312
=
1
p
; se a
=
Interpretar
o
b, a curva dada, que e
_ numa circunferencia de raio a, e o raio de curvatura
em
DIFERENCJA�AO 53.
dT y,
dN T, Ta
Reap.
(IO
54,
(b)
I; 11
que
Provar
·
p -
r
·
57. - . Achar z .. 4 sen (8/2).
58.
"
XB
e
.
de term mar
ao .
.
rX r
no
espa 90 r
r (t)
- r Xr,
1 '"' 8
_
e dada num�rica-
em
rela�o a t.
para a curya no eepa90 r, -
..
•
do arco, mO!ltrar
d1r dr d'lr d;·�Xd;i° (cflr/ds2)2 que
mos trar
16 - 2 cos . 8,
Achar a tor9iio da curva
que
Q_ I; 11 - 8 - sen 8, f1 - 1 ..:..
x
cos
8,
(3 + co s/J) cos 8/2 + 2 sen 8 sen 8/2
., ..
v
r(t).
_
IC -
., para a curva no espa1;0
" c
=
significam derivadas
Se o parAmetro t ftir o comprimento
"' Sen
Resp.
U1
lr X r J 2
1' -
56.
-
que a curvatu ra da curva 1; X�I , onde os pontos
IC -
(4)
55.
dB {ii
podem ser escrita R sob a forlllll
TT + rB.
-
Prova r
mente por
- GI X N,
77
VETORES
de Frenet-Serret
Mostrar que ae formulae
.. c.t X
DE
12 cos 8 - 4
x
•
2t + 1
"'t=l""
12
t"="J ,
, y -
z
., t + 2 .
Explicar a reeposta obtida.
Reap.
1'
Mostrar que as equa1;6es da
59.
normal A curva no esp390. r =
ro
tNo, r
+
60. A curva
=
7
A curva estA no piano
- 0.
ro
tBo
+
r=-r (I)
no
ta ngente,
Resp.
(a) Tangente:
z
(b)
Normal:
(c)
Binormal:
r ==
r
z
r -
-3 , y
==
z
- 3i + ""
(b)
4rj
+ t
3 411" - 5 t,
-3i + 4rj + t
ou
I
t
ou
-3 + t, y •41'", � • 0.
x-=
3
-
5
t
•
+tTo,
binormal
4 5 t.
z =
z =-
e (c)
- r.
+
-
r-ro
parAmetro.
( : f : k)
+
t
ser eecritaa
em que
( :j : k)
4 = -3I y = 4r + 5
5.
normal p ri ncipal
- 4t no ponto
-3i + 4rj + ti
=
podem t e um
respectivamente onde
3 cos t, 11 ... 3' se n t,
•
da normal principal e da bi
ponto t=to
Achar as equ39oos de (a) tangente, x =
- 3y + 3z
ou
ANALISE
78 61.
Achar as equai;ces do
retificador a
c u rv a x
(a)
piano os cu la dor ,
(b) piano
normal e
(c)
piano
= 3t - t3, y = 3t2, z = 3t + t3 no ponto em que t = 1.
(a) y -
Resp. 62.
(a)
YETORIAL
z
+ 1 = 0,
(b) y + z - 7 = O, (c) x = 2.
Mostrar que (} diferenrial do comprimento do arco na superffcie
r = r (u, v) e dada por: ds2 = E du2 + 2F du dv + G dv2 onde
(b)
que a condi.,ao necess,ria
Provar
coordenadas curviUneas
u, v
e
suficiente para que o sistema de
seja ortogonal e que F = 0.
Achar a equa�o do piano tangent.ea superffcie z =xy no ponto (2,3,6).
63.
Resp.
3x +
21f
-
z
6.
=
Achar as equa.,0es do piano tangente e da normal a su perf fcie 4z =z2-y
64.
2
no ponto (3, 1, 2).
Resp. Provar
65.
� n
=±
ou
x
que
3z - y - Zz = 4; um
unitario
x =
normal
3t + 3, a
y = 1 - t, z =
s u perf fc ie
r
= r
2 - 2t.
(u, 11) e
..E!_. iJv
, onde E, F e G siio definidos do mesmo mod . o que no Pro-
v EG - F2
blema 62.
Mecanica. 66.
Uma parUcula se desloca ao longo da curva
r = (t3 - 4t) i + (t2 + 4t) j +
onde t e o tempo.
Achar os m6dulos das componentes tangencial e normal da
acelera.,ao quando t =
Resp. 67.
.
2. Tangencial, 16;
normai,
2v73.
Se uma partfcula se desloca ao longo de uma curva com uma velocidade
e uma acelera.,ao
v
(8 t2 -'- 3t3) k .
ncament_e
por
p
provar que o raio de curvatura da trajet6ria e dado num�-
a,
v3
=
J
vXaJ.
DIFERENCIAQAO 68. chamada que
r
DE
VETORES
79
Um corpo e atraido par11 um ponto fixo 0 corn uma f6ri;a F = j
jfJri;a central,
onde re o vetor posii;iio do corpo em relai;ao a 0.
X v=h, onde he um vetor constante.
(r) r,
Mostrar
Provar que a quantidade de movi
mento angular e constante.
69.
Provar que o vetor acelerai;ao de uma partfcula que se desloca .ao longo
de uma curva no espai;o fica sempre no piano osculador.
70.
(a)
Achar a acelerai;ao de uma pa�tfcula que se move no piano xy em
funi;ao das coordenadas polarea
(p, tf>). (b) p?
Quais siio as componentes da acele
rai;ao paralela e perpendicular a
Resp.
(a) :;
=
[(j:j
-
+ [(j:j (b)
ii
-
p;p2) cos tf> -
-
(p;,; + 2 p1 i+
p;p2) aen q, + (p¥ + 2p�) coll If>] j
P4>2, po·+ 2 P�·
CAPiTULO 4
GRADIENTE, DIVERG�NCIA E ROTACIONAL
0 operador diferencial vetorial de L, que se escreve V, e definido por:
1tste vetor possui propriedades analogas as dos vetores comuns:
E
muito tltil na defini9ao de tr�s grandezas que aparecem nas apli
ca9oos praticas e conhecidas por
gradiente, divergbicia
0 operador V chama-se tamhem nabla. Gradiente.
define um campo
creve
V,
OU
e
rotacional.
;
(x, y, z) uma furn;ao definida e derivavei (x, y, z) de uma dada regiao do espa90 (isto e, escalar derivavel}. 0 gradiente de , que se es. , e definido por:
Seja
em todos os pontos
·
grad
Note-se que V
V
e e chamada de
derivada dirigida
no ponto (x, y, z)
de
Flsicamente, representa a taxa de varia9ao de na dire9ao a.
Divergencia.
Seja
a
fun9ao
V
definida e derivavel em todos os pontos do espa90 (isto
gbicia
e, V
(x, y, z) (x, y, z)
=
V1i + V2j + Vak
numa dada regiao
define um campo vetorial derivavel). A
de V, que se escreve
V
•
V
OU
div V,
e
definida por:
diver
DIYERGtXCIA
GRADIE::-\TE,
cW1
=
Note-se a
0V2
+
ox
+
oy
ROTACIONAL
81
A B= AiB1 + A2B2 + A3B3•
E
o V3 oz
analogia com
tamhem que V · V;;CV · V.
E
•
·
Rotacional. Se V (x, y, z) e um campo vetorial derivavel, o V,. que se escreve V X V, ou rot V, e definido por :
rotacional de VXV=
(a:
i +
l
}
:y
j +
! )
k X (Vii + V2j + Vak)
=
k
o o o ox oy ai Vi
Va
V2
o o oy Tz
=
a
ox c
( oVa oy
V2 _
Va
<1V2
oz
o o ox o�
if
)i ( +
Vi
<1V1
oz
_
Va
o Va iJx
o o iJx 7fii
j+
) ( .
}
+
Vi <1V2
iJx
_
k=
V2
oVi oy
)
k.
Note-se que no desenvolvimento do determinante os operadores a a , Tz devem, preceder Vi, V2, Va. ,
oy
Formulas corn V. Se Ae Bsao funi;oes vetoriais derivaveis,
1) 2)
V ( + 1/1)
=
V +
V · (A+B)=V
·
1/1) = grad + grad 1/1
A+V ·Bou div (A+B)=div A + divB
3)
V X (A +B)=V X A+ VXB ou rot (A+B)=rot A+ rotB
4)
V · (A)
5)
) A + (V X A) V X (A) = (Ve/>X
6) V
·,
=
(Ve/>)
(A XB)
=
·
A +
B:, (VX A) - A.� (V X B)
.ANALISE
82
7)
V X (A X B)
8)
V (A·B)
9)
V
.
·
-
B (V ·A) - (A· V)B + A (V· B)
(B·V)A+ (A·V)B +BX (VXA)+ AX(VXB)
.=
(V )
(B V) A
=
VETORIAL
=
v2cp
=
CJ2 a2<1> a2<1> + + ()z2 () ax2 y2
on de
e
0
chamado operadof laplaciano. 10)
V X (V)
11)
V (V X A)
12)
V X (V X A)
·
O rotacional do gradiente de e zero.
0.
=
0. A divergencia do rotacional de A e zero.
=
V (V · A)
=
-
V2A.
Nas f6rmulas 9-12, supoe-se que e
A
tern derivadas parciais
de 2. • ordem continuas.
lnvariancia. sianas retangulares
Tomemo s dois sistemas de coordenadas carte
xyz
x'y'z'
e
(veja a figura abaixo) de mesma ori
gem O, mas cujos eixos giram um em relac;ao ao outro. Um ponto P no espac;o tern para coordenadas nesses dois sistemas.
retangulares sao dadas por:
x' y'
(1)
'
z
=
=
=
lux + l12y + l13z l21x
=
l22Y + l23Z
l31X + l32Y + l33Z
z'
P•
..
(x, y, z) ou (x', y', z')
As equac;oes de transformac;ao de coordenadas
(;t,y, z) (z:y� z')
GRADIENTE, DIVERGENCIA onde l;ki em
'E
ROTACIONAL
83
k= 1, 2, 3, sao os co-senos diretores dos eixos
j,
rela9ao aos eixos
x,
y
e
z
(veja o Problema 38).
' x ,
y'
e
z
'
Quando os dois
sistemas nao tern a origem no mesmo ponto as f6rmulas de transfor· ma9ao tomam o seguinte aspecto:
(2)
onde a origem 0 do sistema xyz esta localizado no ponto (a1', a2', a3') do sistema
x', y',
' z .
As equai;oes de transformai;ao de coordenadas
(1)
definem uma
rota<;iio simples, enquanto as equai;oes (2), uma rota<;iio mais transla<;iio de eixos.
uma
Qualquer movimento de um corpo rigido pode
ser decomposto numa translai;ao seguida de uma rota9ao.
Uma trans
formai;ao de um sistema de coordenadas retangulares em outro diz-se
ortogonal.
Uma transformai;ao linear geral chama-se uma transjor
ma<;iio ajim. Fisicamente uma func;ao de ponto escalar ou um campo escalar
calculada para um dado ponto deve ser independente das
coordenadas do ponto.
Assim, a temperatura num ponto independe
do sistema de coordenadas usado.
Entao se
for a tempe
ratura no ponto P quando usamos o sistema de coordenadas
(x, y, z)
·
=
Analogamente, uma func;ao vetorial de ponto ou vetorial A
(x, y, z)
e um invariante se A
(x, y, z)
= A'
um campo
(x', y', z').
Essa
igualdade verificar-se-a se:
A1 =
(x,y,z) i A1'
+ A2
(x,y,z) j
(x', y', z') i'
+ A2'
+ Aa
(x,y,z) k
(x', y', z') j'
=
+ Aa'
(x', y', z') k.
Nos Caps. 7 e 8 trataremos de transforma90es mais gerais e os conceitos arima serao ampliados.
ANALISE
84
VETORIAL
Pode-se demonstrar que (veja o problema 41) o gradiente de um campo escalar invariante �um campo vetorial invariante sob as trans forma9oes (1) ou
E, da mesma forma, a diverg�ncia e o rota
(2).
cional de um campo vetorial invariante sao invariantes sob aquelas transforma9oes. PROBLEMAS RESOLVIDOS
Gradiente.
,i: Se q, (x, y, z) -= 3 x2y - y3z2, (1, -2, -1) .
V
achar
(ou
grad.
t/>)
... 6 (1) (-2) i + {3 (1)2 - 3 (-2)2(-1)2 )j - 2 (-2)3 (-l)k ... -12 i
(a)
F
e
G
-
i
ux
!
V (FG) ..
•
=
=
16 k. + G)
=
VF + VG, (b) V (FG) x, y e z.
siio furn;oes escalarcs derivaveis de
V (F + G)
=
(b)
9j
Provar que (a) V (F
2. onde
-
no ponto
( ! i + � j + i- ) (F k
(F + G) + j
( :x i : +
y
uy
!
(F + G) + k
j +
!
: k ) (FG) z
a: (FG)i :y (FG)j + : +
uz
,
+ G)
=
(F + G)
=
(FG)k ...
=
=
F VG + G VF
GRADIENTE, DIVERGf:NCIA E ROTACIONAL
=
F
( aa i + aaya } + aa k ) + a ( aF i aa ax •
oz
aF .
+
ay }
+
aF k az
85
) ...
=FVG+GVF. 3.
Achar Vt/>
sendo (a) q, = In JrJ, (b) 4'
(a) r = xi+yj+zk.
Logo JrJ =v'x2+y2+z2
Vt/> = !V In (x2 + y2 + z2)
=
e
.!... r
(p =In Jr J =!In (x2+y2+z2).
==
xi yj -zk r 1 -1/I l + k I - 1. 2 (z 2+ 11 + •2 ) 2 I - (x2 + yl + r)il2 - - • . r -
Mostrar que
4.
Vr"
=i
{;
=-
-
Vr" - nr"-ir.
2 V (V :t2 + y + z2 )"
(zl+y2 + z2)nf2-12z +k
{;
=
V (z2+ y2+12)'ft/2 -
} {; +j
(zl + 11'+z2)nf2..12y
(:t2 + y2+ z2)nf2-12z
=n (:t2 + 712 + z2)nf2-1 (:d + yj + zk)
=-
}
=
}
+
ANALISE
86 Note-se que se r
Vrn
rr1,
=
onde
r1
VETORIAL
e um vetor unitario da dire c;ii o r, teremos
= nrn-I r1.
5. onde
c
Mostrar
que Ve/> e um vetor
cf> (x, y, z)
pe rpe ndicula r A superffcie
e uma constante.
Seja r = xi
+ yj + zk o vetor posic;iio de um ponto qualquer P (x, y, z) da dxi + dy j + dz k esta situado no piano tangente A su
Logo dr
superffcie.
perficie em P.
= c
=
M as
OU
( �: isto e,
6.
Ve/>
·
i+
�� j + �� ) k
·
(dx i + dy j + dz k) =0
dr = 0 donde Ve/> e pe rpe ndi cular a dr e, portanto, A superffcie.
Achar um unitario normal A super ficie
V(x2y + 2xz) = (2xy + 2z) i + x2 j + 2x k
=
x2y + 2xz 4 no ponto (2, - 2, 3). -2i +4j + 4k no ponto (2, -2, 3). =
Lo go , um unitario normal A superffcie e igua l a:
-2i + 4j + 4k y(-2)2+ (4)2+ (4)2 Outro unitario normal e
! i- � j - �
k de sentido oposto ao do vetor
acima.
7.
Achar a e qua c;iio do piano tangente A superffcie
no ponto
2zz2
(1, -1, 2).
- 3xy -
4x
=
7
V \2xz2 - 3xy - 4x) = (2z2 - 3y - 4) i - 3x j + 4xz k. Logo, o vetor normal A super ffc ie em (1, -1,
2) e 7i
- 3j + Sk.
A equac;iio de um piano que passa por um ponto, cujo vetor posic;ao e c
6 perpendicular ao vetor normal N e (r - ro)
Logo, a equac;iio pedida e:
[(xi + y i + z k) - (i OU
7 (x
- 1) -
- j + 2k)]
·
·
ro,
N = 0 (Veja Cap. 2, Prob. 8).
(7i
- 3j + Sk)
=
0
3 (y + 1) + 8 (z - 2) = 0.
8. Scja cf> (x, y, z) c cf> (x + t:.x, y + �y, z + �z) as te mperaturas em dois pontoR v i zi nh oR P (x, y, z) e Q (x + �x, y + �y, z + �z) de uma dada regiiio.
GRADIENTE, DIVERG�NCIA (a)
87
Interpretar fisicamente a grandeza
A (x +Ax, �= onde As e
a
E ROTACIONAL
y
+Ay, z +Az)
-
(x, y, z)
As
a dist a ncia entre os p o ntos P e Q,
(b)
Calcular lim
�...s
(c)
Mostrar
-='V
(a)
Como
�.-.0
d
que
A
d q, ds
=
e interpreta-lo fisicamente.
dr
e a diferen�a das temperaturas ent re
d i stancia entrc l-sses pontos
�: re
OS
pontos p e
Q
e Vs,
presenta a taxa de varia�iio media da tempe
ratura na dire�iio PQ e no sentido de P a Q.
(b)
A
Sabemos, do calculo diferencial, que:
�� Ax+ �� Ay + �! Az+
infinitesimos de ordem superior
a
Ax,
Ay e Az
Logo,
lim
A
=
� ....o As
o
lim
� ....o
Ax .6.s
+
Ay + � Az .6.s oz .6.s
o
OU
� ds d ds
=
ox
de
(c)
dy + .E.!!!_
ds
oz
dz
Ta
representa a taxa de variai;iio da temperatura em r ela�ii o A distdncia
ao
,
ponto P sobre a reta PQ.
gida
dx + oq, ds oy
�
Essa expressiio chama-se
tambem derivada diri
q,. d o dx o + --;;;- = ax ds oy
dy ds
+
.E.!!!_ dz oz
Ta
=
dr
='V ·a;· Note-se que, como,
vq,
na
::
e um vetor u nitario
dire�iio d�sse vetor unitario.
v•
�:
e
a
componente
de
ANALISE VETORIAL
88 9.
cp, isto e, a derivada dirigida m' Vcp, e tern grandeza igual ao m6dulo
Mostrar que a maior taxa de varia9iio de na
xima, se vcrifica
dire9iio do vetor
d�sse vetor .
•
Pelo Problema S
dr
�·
(c) ,
::
=VI/>·
e
:
a
dr
Esta proJe�ao ser11. mII.x1ma quan do V"" .,, e ·
-
ds-
•
Logo, o mll.ximo de
10.
derivada - 2k,
Achar a
2i
re9iio de
Vcp
se verifica na dire9iio de
��
=-
-j
cp
dirigida de
=
Vcp s6bre a dire9iio
proje�iio de
f
iverem
a mesma d'1re9ao. .
Vcp e sua grandeza e !Vcf>I
•
x2yz + 4xz2 em (1, -2, -1) na di
V(x2yz + 4xz2) ... (2xyz + 4z2) i + x2z j + (x2y + Sxz) k
=
=Si - j - IOk a (1, -2, -1). 0 vetor unitll.rio
na
dire9iio de
2i
-
j - 2k e:
2i - j - 2k . 2 �2:- = 3 I = (2::;)2=+=(=-=1=):;:2 =+=c== -;: - 2) V
1 2 3' - 3 k.
•
a ...
Logo, a derivada dirigida
Vcp ·a
...
Como 6
11.
de cp
=
(a)
(Si -j-10 k).
=
=
DO
12.
3
3
_!_ 3
+
20 3
=
37 3·
nessa dire9iio.
e
o
(2, 1,
-1) a derivada dirigida
valor absoluto Msse mll.ximo?
V(x2yz3) :" 2xyz8 i + :r;2z8 j + 3x2yz2 k -4i - 4j + 12k a (2, 1, -1).
""
9,
valor absoluto d�sse mll.ximo =
+
3
a derivada dirigida e mixima na dire9iio:
(b) o v116 pon to
3
(b) Qual
Logo, pelo Problema
=
(.!i - _!_ -j .!k ) = l6
Em que dire9ao, a partir do ponto
Vcp
(a)
e:
positiva, cp aumenta
x2uz• e mll.xima?
•
-
e: IVl/>I
=
Vc/>
-
=
4.i - 4j + 12k,
v (-4)2 + (-4)2+ (12)2
4vii.
Achar
o Angulo entre (2, -11 2).
as superffoies
x2 + y2 + z2
=
9e
z
=
z2 + y2 - 3
0 Angulo formado pelas superffoies ao ponto dado e o Angulo formado pela11
normais as superffoies
no
Um vetor normal a
dito pon to .
x2 + y2 +
Vcp1 .. V(x2 + y2 + z2)
i2
-
=
2z
9 em
(2, -1, 2) e:
i + 2y j + 2z k
=
4i - 2j + 4k.
DIVERGtN'CIA
GRADIENTE,
= x2
Um normal a z
V 4'2
+ y2 - 3
V (x2 + y2 - z)
=
ou =
x2
E
ROTACIONAL
+ y2 - z
2xi + 2yj - k
(Vr/>1). (Vr/>2) = IVr/>tl IVr/>21 cos8, onde 8 e
(4i - 2j I
e
co s 8 =
+ 4k)
·
16
6 y21
8
0
(4i - 2j - k) = l4i - 2j
16 + 4 - 4 = V (4)2 + (-2)2 + (4)2
-----=
V2i
=0,581 9; =3 6
=3 =
89
em (2, -1, 2) 6:
4i - 2j - k Logo,
Angulo p roc urado .
+ 4k I
l4i - 2j - k I cos 8
V (4)2 + (-2)2
+
( -1)2 COS
8
d onde o Angu lo e8 = arc cos 0,5819 =54"25'.
13. Se R for a distancia de um pon to fixo A (a, b, c) a um ponto P qualquer, mostrar que VR e um vetor Ul!li tario na dire<;ao AP = R.
(x, y, z)
Se rA e rp f orem os vetores posi<;iio ai + bj + ck e xi + yj - zk de A e P, = rp - rA = (x - a) i + (y - b) j + (z-c) k, don de
re spe c tiv amente, teremos R
R =
v (x - a)2 + (y - b)2 +· (z - c)2
VR = V
•
Logo,
(v(x - a)2 + (y - b)2 + ( z - c)2)
=
(x-a)i+(y-b)j+(z -c)k v
=
R
If
e um vetor unitario na dire<;iio R. 14. A e
B,
Se
P for
um ponto qualque r de uma elipse cujos focos estiio nos pontos
c omo mostra a figura ao lado,
BP
fazem An
Ri=AP
e R2=BP
provar que as retas AP e
gulos iguais corn a tangente A e lip se no
ponto P.
Designemos por
o s vetores tra<;ados respectivamente dos
f oc os A e B ao ponto P, e se j a T um uni tttrio tangente a e lipse no ponto P.
Como a elipse e o lugar geometrico pontos cuja soma das distancias a dois pontos fixm1 e um a constante P, a equai;ao da elipse e: R1 + R P. 2 dos
=
Pelo Problema 5, V (R1 + R2) e u ma normal a elipse, donde
Sendo VR1 e VR2 vetores unita rios nas dire<;i'ies de R1 e R2, respectiva mente, (Problema 13), o co-seno do Angulo entre VR2 e Te igual ao co-seno do Angulo entre VR1 e -T; donde, OS Angulos siio iguais. A int erpretar;ao ffsica do p roblema e a seguin te :
OS
raios lumin080B (ou ondas
sonoras) emitido8 do foco A, por exemplo, quando refletidos pela elipse, passa rii.o pelo foco
B.
ANALISE VETORIAL
90 Diverg�ncia.
Se A=x2zi-2y3z2j+xy2zk, achar V·A ou (divA) no ponto (1,-1, l).
15.
a
a
a
= - (x2z) + ( 2y3z2) + - (xy2z) = oy ax az -
- 2xz - 6y2z2+xy2 = 2
(1) (1)
-
q, = 2x3y2z4•
16.
Dado
(b)
Mostrar que V
·
6 (-1)2 (1)2 + (1) (-1)2 = -3 em (1, -1, 1).
(a) Achar
V
•
Vq,
'illjJ='i/21/J' onde 'i/2=
(ou div grad l/J).
a2
a2
a2
- +-- + iJx2 iJy2 iJz2
-
deeigna o operador laplaceano.
Logo,
_i_
=
=
17.
ox
.
(
(
02
ox2
aq, ox
+
)
+
oy
(
a2 02 + oz2 oy2
Provar que
v2
�
'i/2
=
oy
)
iJx2
)
q, =
( +)
( _!_ ) ( L r
oq,
+
+
� oz
(�) oz
02q, a2q, - iJx2 + oy2 _
+
v2 "'·
= 0.
� oy2
+
£ oz2
) ( v'
1 x2 + y2 + z2
)
02q, oz2 -
_
GRADIENTE, DIVERGtNCIA
E
ROTACIONAL
91
An8Iogamente,
il2 ()y 2 ()2
(
(
V .i;2
7i;!
2y2 - z2 - x 2 e (x 2 z2)6/2 y2
1
)=
1
) = ( 2z+2
V x2 + Y2 + z2
+ + - z2
+ y2 +z2
x2
y2
- y2
+z2)6fl
Logo, somando vem,
) ( --;:::= : I�::;-) = (�2 +�+_(Ji ()z2
0
e chamada equafao de e a solui;iio dessa equai;iio. 18.
Provar:
•
(A + B)
(a)
V
·
(b)
V
· (r/>A) = (Vr/>) ·A
=
V
·
[(A1 + B1) i + (A2 + B2) j
A
+
Laplace. '
V
+r/>
·
0.
Segue-se que cp =
B
(V
·A).
+(Aa +Bak)]=
1/r
ANALISE
92
VETORIAL
=V·A+V·B (b )
V· (f/IA) =V·(f/IA1i + f/IAJ +f/IAsk)
=
( aa.41z
a a a =_ p_ Ai + q, A 2 + q, A.a + q, . az ay a:z: =
( ��
i+
:: j + �� k )
+ t/>
·
+
a.42 aAa + ay az
)=
(A1i + A2j +Ask) +
( ! i � j+ ! k ) ·(A1i + AJ + Aak) +
=
- (Vf/I)· A+q, (V· A). 19.
V
Provar que:
·Fa9amos Entiio
q,
= r-3
( 1� )
·
e A
-
r
na solm;iio do Problema 18 (b).
V·(r-3 r) ., (Vr-3) ·r +(r-3) V·r
- -3r--6r 20.
.. 0.
Provar que
V
·
·
r
+ 3,-3
=
=
0, utilizando o Problema. 4.
(UVV- V VU) = U V2V - VV2U.
Temos, do Problema 18 (b), com q, = U e A
v
.
(U VV) = (VU) . (VV)+u (V
•
VV)
=-
=1
(VU)
VV, •
(VV)+uV2V
Trocando U e V entre si, temos:
v . (V VU) .. (VV) . (VU) + v V2U. E subtraindo membro a membro:
V ·(UVV) -V·(VVU)
=
V
•
(UVV- VVU)
-�U)·�V)+U�V-WV)·�U)+Y��- uv2v- vv2u.
DIVERGtN'CIA
GRADIENTE1
E
ROTACIONAL
93
21. Um fluido escoa de modo que sua velocidade num ponto qualquer seja V (x, y, z). Mostrar que o ganho de fluido por unidade de volume por unidade
de tempo ao atravessar um p:ualelepipedo de centro em P (x, y, z) e arestas para lelas aos eixos coordenados e de comprimentos ll.x, ll.y, dado por: div
v =
V
·
v,
llz, respectivamente, �
aproximadamente.
Da figura acima tiramos, componente do vetor velocidade componente de
v
na d.1re9ii.o
x,
v
na dire9iio x em P
=
VJi
no centro de face AFED
=
VJ
Bv
J Ax 2 a;: l.l 1
-
aproximadamente; componente de
v
na dire9ii.o
x
no centro de face GH CB
=
VJ
+
1 8 v1 2 {f;-
11 x
aproximadamente. Logo,
(1)
volume do fluido que atravessa AFED na unidade de tempo
(2) volume do fluido que atravessa GHCB na unidade de tempo ..
}
=
(v1 + 2
8Vt A_ A A_ 8x .ux) l.lY tJ.Z.
Ganho em volume na unidade de tempo na direi;ii.o
x =
(2)
AnAlogamentc, ganho em volume na unidade de tempo na dire9ii.o
-
(1)
=
ANALISE
94
VKTOBIAL
ganho em volume na unidade de tempo na dire9ao z
=-
bva
az � Ay tl.z.
Logo, o ganho total em volume
unidade de tempo por unidade de volume
na
e igual
.,.
iJva iJz AxAytl.z
iJv (� + 0 2 + iJx iJy
) &:Ay Az
. =d1v v
=-
V
·
v.
Essa expressiio da resultado exato s<'imente no limite quando o paralelepf pedo se reduz ao ponto P, isto e, quando !:i.x, 6y e Az tendem para zero. ha ganho de Iluido em parte alguma, entiio V
.
v
=
O.
de equa,ao de continuidade de um fluido incompress(vel. se
Como nao se gera nem
destr6i fluido em ponto algum, diz-se que nao ha fontes ou po9os.
tal como
v
22.
Se nii.o
Esta equa9iio e chamada Um vetor
cuja divergencia e zero e, as vez es , chamado de solenoidal.
Determinar a constante
a
para que o vetor
V = (x + 3y) i + (y - 2z) j + (z + ax) seja solenoidal. Um vetor V e solenoidal se su a divergenci a e z ero (Problema 21).
V
iJ
iJ
·
V = 7fi (x + 3y) + Ty (y - 2z) +
Logo, V
·
V =a+ 2
=
0 quando
iJ iJz
(z + ax) = 1 + l + a.
- 2.
a=
Rotacional. Se A
23.
V X A
=
=
xz3i-2x2yzj+2yz4k, achar V XA (ou rot A) no ponto (1, -1, l)'
( a: i :u j + ! k )
X (xz3 i - 2x2yz j + 2yz4 k) =
+
k
j
=
iJ
iJ
iJ
iJ.x
iJy
a;
xz3
- 2x2yz
2yz4
[ _E._ (2yz4) - _E._ ( - 2x2 yz) J iJy iJz
+
i+
[ __E__ (xz3) - __E__ (2yz4) J j + iJz
iJ;;
[� ( - 2x2yz) - _E._ (xz3) J k ... dx iJy
(2z4 + 2x2y)i + 3xz2 j - 4xyz k - 3j + 4k em (1, -1, 1).
E
GRADIENTE, - DIVEBGiNCIA 24.
Se A
rot rot A -
... :&2y i
2z:e j + 2y:e k, achar rot rot
95
A.
V X (V X A) i
j
az
(Jy
k a
a
a
... v x
2y:e
i
j
k
az
a;
2z+2:e Provar que:
a
a
a
0
-z2-2:e
(a) V X (A + B)
(A + B)
=
(
[
CJBa
h
_
=
V
X A+V XB
(Vt/>) X A+ q, (V X A)
=
a
az
i+
�; ! ) k
+
i
j
az
(Jy
&
A1 +B1
A2 +B2
Aa +Ba
CJB2 �
J
i
+
[
iJB1 �
•
x
k a
a
a
+
+ 2:e) kl-
- (2z+2) j.
&
(b) V X (A)
v x
- v x [(2:& + 2:i:) i - (:&2
&
-2z:e
z2y
25.
BOTACIONAL
_
CJBa �
J
. [ CJ
J
+
B2
�
_
CJB1
h
Jk
,..
ANALISE VETORIAL
96 (b) VX (4>A)
=
V X (4>.4.1i + 4>A2j + 4>Aak)
k
j
=
"'
iJ iJ:&
ajj
Tz
4>A1
4>A2
4>Aa
iJ
[ ( a �a - aa�2 ) i ( aa!.l a +
+
=
� ) j ( aa�2
a a a
-
a q, aq, [ (Aa--A2 ) iJz
iJ !I
iJ
.
1+
(
+
-
aq, aq, -Ai--Aa iJz iJz
a l a
� ) k] -
) 1+
j =
·q,(V X A )+
aq,
aq,
�
ay
A1
A2
- q,cv x A) + (Vq,) x A.
26.
Calcular V
Fa�amos:
Entao:
A
AX
•
=
r
(A X r) se nd o V X A A1i + A2j + Aak,
=
r =
}
k
y
z
0.
zi + yj + zk.
=
x
- (zA2
-
yA.a) i + (:&A.a - zA1) j + (yA1 -xA2) k
.
GRADIENTE1
V
e
(A X r)
·
iJA2 - ' ifX
=x
(
= r ·
27.
iJAa �
[ ( iJ�Aa
tamMm.
(div rot
-
iJ;c
(zA2 - yAa)
Y
iJA2 &
_
+
x
)
+y
iJAa iJy
a 7Jii (Axa - zA1)
+
( �t
_
&
+
iJA1 iJy
2
_
(V X A)
Provar que
A
=
)i (� &
iJA2 &
_
O).
(a) V X (V,P)
= r
+
·
rot
Se
A
&
...
(a) V X (V,P)
...
VX
( a(J;cq,
i
+
)
+
1
g7
a
+
iJA1 y iJz
iJA a &
0
""
) 0
7h (yA1 - xA2)
_
(
iJA2 x iJz
iJA2
_
&
.
.,.
...
iJA1 �
)
...
rot (grad
aq, j iJy
+
q,
oz
a;-
a Ti/
iJz
aq, (J;c
ay
_
i
+
=
&
0), (b) V
)
�q,_ k k
aq,
(� � ) k J ... �
+
•
J
a expressiio
j
[ _.!_ ( ft ) � ( aq, )J iJy iJz iJz iJy +
_
V XA
a
=
ROTACIONAL
[xi + y j + z kl x
!"'"
X
a
=
E
DIVERGiNCIA
achada se
·
(V X A)
anula
=
0
=
a
aq, Tz
[� ·( �) iJz iJx
[ � ( aq, ) � ( aq, ) iJy ax iJy J _
;J;c
+
_
k
_
_E_ iJx
( aiJzq, ) J j
+
=
( �-� ) k=O. ;J;c i)y
ily i);c
contanto que consideremos como tendo derivadas parciais de segunda ord1>m contfnuas para que
seja indiferente a
ordem de derivai;ii.o.
AN
98
ALISE VETO RIAL k
j (b}
V·(V X A) =V
•
iJ iJx
iJy
Tz
Ai
A2
Aa
iJ
iJ
-V·
considerando que A tenha as segundas derivadas parciais conUnuas. Note-se a semelhan,..a entre as rel�oos acima e as seguintes: (C X Cm)
- (C XC)m ... O, onde
m
um escalar e C (C X A),.. (C XC)
6
·
·
A
=-
0.
Achar rot (r j (r)) onde j (r) 6 derivavel.
28.
rot (rj (r)) = V X (r/ (r)) ...
= V X (xj (r)i +yJ(r)j +zJ(r)k)
Mas
iJj iJx
J' (r) x
=
j
iJ iJx xj (r)
iJ
iJ
iJy
Tz
yj (r)
zj (r)
( iJJ ) ( iJr ) -
-
iJr
.
=
Logo, rot (rJ (r) - z
i
iJx
�
=
k
iJj iJ ( ../x2 iJr iJx .
AnAlogamente,
r
=
+
y2
iJJ
+z2)
J' y
-=-
r
iJy
e
=
iJj
7fi
=
J'z -:;:-
=-
( j'y f'z ) -;:- - y -:;:-
i +
(
·
x
j'z
-:;:-
- z
j'x
-:;:-
)j ( +
y
j'x
j'y
-:;:- - x -:;:-
)
k
=
0.
=
GRADIENTE, DIVERGbCIA E ROTACIONAL 29.
Provar que: V X (V X A)
=
V2A
-
i
V X (V X A)= V X
_
V X
[(
_
(Jy
+ V(V
a
a (Jy
a;
Ai
A2
Aa
a
_
A).
k
j
)i+ (
·
ax
=-
)j+ (
j a
a (Jy
(Jy
+[� (
(Jy
+[�(�
=
(-
+( =
( +
iJ2A1
_
(
+(
_g. 2A1
_
+
_
(Jy2
_
+
_
+
_
ax
_
(
)
_§__
(�
)
_
(
) +( •
J
(Jy
)
k
) Ji+
_
) J .+
_
)] +
ox
(Jz
(
•
iJ2A2 (Jy2
+
k
_
_
+
_
+
+
J
J
_
ay-
+
•
J
-
_
) +(
iJ2�
_
k +
(Jy
+
(
i +
g2Aa (Jz2
_
(Jz
) �(
i +
)
vz
+
_
_
jA2
)i ( )
) J
a
az--ifC
_
ax
.
_
a;
[ � ( � �) � (
=
k
ay--az-
99
k+
)
k-
) + •
J
+
)
) i+ )
k
=
ANALISE VETORIAL
100 +i
+
J!... ax
( aA1
J!... k az
(_aA1
ax
+
= - V2A
+
= - V2A
+
v
( aA1
+
ax
aAa az
+
A
a 2 ay
+
ax
+
A
a 2 ay
)
+
. �
J
(a
A1 +
.ax
ay
A
a 2 a.11
+
a.!!_ az
)
+
A )=
a a az
aA2 +
aAa az_
ay
)
V (V A). ·
Caso se queira, pode-se simplificar esta e outras opera90es de deriva9iio escre
vendo-se somente as componentes de i,
j'
que as outras podem ser obtidas por
simetria.
Essa rela9ao pode tamMm ser estabclecida formalmente como segue: Do Problema 47
(a),
Caprtulo 2,
A X (B X C) =
(I)
A= B
Fazendo
V
X
(V
B (A C) - (A B) C ·
=Ve C=F,
X F)
·
vem:
... V (V F) - (V V) F = V (V F) - V2F ·
·
·
Note-ee que a f6rmula (1) deve ser escrita de modo que os operadores A e B
C,
do contmrio nao
= 6J X r,
provar que Cl)'=
precedam o operando
30.
rot
Se
v
v
=V =V
Xv
X
=V
X
(Cl>
X r)
[(W2Z - way) i
+
Donde Cl>
=! V
V
!
rot
X
onde c.> e
v
i
j
k
w1
w2
wa
y
z
+
um
vetor constante.
(w1y - W2X) kl
k a
a ay
7h
WaX - W1Z
W1Y - W2X
Xv
v.
- ! r_ ot
pode aplicar o metodo convencional.
(wax - w1z) j
j
a ax w2z - way
=
se
l!;ste proble� indica que o rotacional de um campo vetorial tern algo a ver c_orn as propriedades rotacionais do campo. o
campo
Fe
lsto se confirms no capitulo 6.
Se
o devido a um fluido em movimento, por exemplo, uma roda de p's
colocada em diferentes pontos do c�mpo tenderia a girar em regioes onde tives11Cmos rot F -F- 0, ao passo que, onde rot
irrotacional. lhondrio.
F=
0 ela nao giraria, e o campo F e dito
Um campo nao irrotacional e, As v�zes, chamado de
campo turbi
GRADIENTE1
:n.
V E=
Se ndo
mostrar que
E
·
U
e
DIVERGtN'CIA.
V U
o,
·
at ,
.V
101 aE
X U =- at ,
a2u
V2 u = iiiF .
satisfazem
V X (V X E) = V X
au
V XE
o,
=
ROTACIONAL
E
(- -) = - - (V X H) = - - ( --E ) a
au at
a
a
at
at
at
..
-
a2E
-�
at2
Pelo Problems 29,
V
X (V X E) = - V2E + V (V E) = - V2E .
V2E
Logo
·
... �� .
Analogamente,
V X (V X H) = V X V X (V X H)
Mas
(�) at
=
a =
a_t
a
(V X E) =
at
- V2U + V (V·U) =
V2 U.
de
As equ890es dadas relacionam-se com as eq1.UJfi5ea
magn�tica.
a2u + a2u + a2u az2 . ay2 az2
-
A equa9ao
=
a2u
ai2
( - m) = - � 7ft
at2
Donde
V2U= ai2.
MaxweU
h
-
c ama-se eq�ao
•
a2H
da teoria
de ondd
eletro
•
PROBLEMAS DIVERSOS 32.
(a) Diz-se que um vetor V 6 irrotacional quando rot V Achar as constantes a, b, c, de modo que:
blems 30).
V= (:e + 2y
+
az) i + (b:e - 3y
- z) j
+
;;..;.
0 (Veja Pro
(4:e + cy + 2z) k
sej a irrotacional.
(b) Mostrar que V pode ser expresso como o gradiente de uma fun9ao e scalar.
j·
i (a)
rot V =
a
V XV=
a:r:
z+2y+az =
(b)
=
Fa9amos
a
a
a;:
T,j b:e-3y-z
4:e+cy+2z
(c+l) i + (a-4) j + (b-2) k
Essa. expressiio 6 nula quando
V
k
(:e + 2y + 4z)
v
= Ve/'
=-
a = 4, b = 2,
c =
-1
e
i + ( 2:e - 3y - z) j + (4;r; - y + 2z) k a
aq, i + aq, j + q, ay a as :e
k.
ANALISE VETORIAL
102
::
(1)
Logo,
-
x
+ 2y + 4z,
-
z,
a;-•4x-y+2z.
Integrando parcialmente
q,
(4)
(y, z)
(1)
.,.
em relac;:ito a
(5)
q, = 2xy
-
(6)
4' =
-
Comparando as equac;:0es
q,
J (y, z)
ee
4:z:z
mantendo 11 e
(4), (5)
- 2 + z2,
y e z.
z constantes, vem
Analogamente de
3 2 - yz + -f
(2) e (3) obtemos
g (x, z)
2
yz + z + h (x, y). e
escolhermoe.
3y2
=
:z:,
:z:2 2 + 2xy + 4:z:z +J (y, z)
4! uma func;:ito arbitraria de
comum para
e
2x - 3 y
=
aq,
(3)
onde j
�:
(2)
g (x, z)
(6),
=
verificamos que havera uma expressao
x2 2 + z2,
h
x2 (x, y) - 2
-
3y 2 2
aseim
z2 q, = 2
3y2 . + z2 + 2xy + 4xz - y z. T
-
Note-se que podemos tambem somar uma constante qualquer a geral, se
V
XV
-
0, podemos achar q, de modo que tenhamos V
campo vetorial V, que pode ser deduzido de um campo escalar
= 'Ve/> e cial ·escalar. ter V
V XV
ll.
=
chamado de Note-se
Campo Vetorial Conservativo
que,
reclprocamente,
0 (veja o Problema 27
Mostrar que
se
se
(a).
q, (x, y, z)
4>
q,.
Em
= Vq,.
Um
de modo a se
tP e = Ve/>,
e diz-Re QUe
tivermos V
Por hip6tese, q, satisfaz a equac;:ito de Laplace V2 Do Problems
34.
OS
poten�
teremos
e uma soluc;:ito da equar;ito de Laplace,
e um vetor que e ao mesmo tempo solenoidal e irrotacional. Logo vq, e solenoidal (veja
0
Problemas
21 e 22).
4>= 0,
isto e,
V
·
Ve/>.
(Vt/i)=O.
27 (a) temos: V X (Ve/>) =o donde Ve/> e tambem irrotacional.
Dar uma definic;:ito possfvel de grad ·B.
Fac;:amos grad B como:
B
= B1
i +
B2 j
+
Bak.
Convencionalmente
podemos
definir
GRADIENTE1 DIVERGbCIA
VB
ROTACIONAL
E
( ! i + :y j + :z k ) (Bi i + B2 j +Bak)
=
iJB1
iJBa '
iJB2 .
. -a-;- u + a;- lJ + Tx
=
••
+ iJBi ki
iJy
lk
103
=
+
+..ii!� kj + iJz
iJBa kk. + az
As grandezas ii, ij, etc., chamam-se diadas unitarias. (Note-se que ij, por exemplo, niio e a mesma coisa que ji).
auii + a12ij + a13ik
Uma grandeza da forma:
+ a21.ji + a22jj
.
+ aa1ki + aa2kj + aaakk
+ a2ajk
chama-se diddica e os coeficientes au, a12, .
. siio suas componentes.
Dispon
do-se e�sas noves componentes da seguinte maneira:
au
(
aa1
temos uma matriz 3 por 3.
)
aas
Uma diatica � uma generalizac;iio de um vetor.
Uma generalizac;iio ainda mais ampla nos conduz as triddicas que siio grandezas corn 27 Mrmos da forma am iii
+ a211 jii + .
. . . 0 estudo da transformat;ao
dae componentes de uma diadica ou triadica de um sistema de coordenadas para outro e assunto da andlise tensorial de que trataremos no Capftulo 8. Sejam um vetor A, definido por: A
35.
=
=
A1i
+ A2j
·
dica , por:
+ Aak, e uma diii-
auii + a12ij + a13ik + a2di + a22jj + a2ajk + aa1ki + aa 2kj + aaakk.
Dar uma definic;iio poss(vel para A
·
.
Pelo metoao conveneional, fazendo a hip6tese de que a lei distributiva e vii lida, temos:
A
·
=
(A1i + A2j + Aak)
·
Como exemplo, consideremos i
·
A1i
=
·
+ A2j
·
+ Aak
•
.
Efetua-se este produto fazendo-se os
.
produtos escalares de i corn todos os termos de e somando-se os resultados, Siio exemplos tfpicos: i
·
auii,
,i
·
a12ij, i
·
a2di, i
·
aa2kj, etc. Escrevend9 eases
produtos de maneira mais conveniente, verificamos que:
i i i i
·
·
•
•
auii
=
au (i
·
i)i
=
aui
pois
i. i i. i
a12ij
=
a12 (i
·
i)j
=
a12j
pois
a21ji
=
a21 (i
·
j)i
=
0
pois
i. j
0
pois
i. k
as2kj
=
aa2 (i
·
k)j
=
=
1
=
1
=
0
=
0
ANALISE
104
VETORIAL
e chegaremos a conclusoes analogas para os termos de
A
If>
·
=
=
j
·
If> e kif>, logo:
+ A1 (aui +ad a 1ak) +A2 (a21i +ad +a2ak) + Aa (aaii +aa2j +aaak)
=
(A1a11 +A2a21 + Aaaa1) i + (A1a12 +A�22 + Aaaa2)j + + (A 1a13 + A2a23 + Aaaaa) k
que e um vetor.
36. de
(A
·
(a) Interpretar o sfmbolo A V. .(b) Dar uma significar;iio possfvel V) B. (c) lr: possfvel escrever-se a expressiio anterior assim A VB sem ·
•
causas ambigilidade?
(a)
Seja
A
= A1i +A2j + Aak.
Entao podemos, seguindo a marcha con
vencional, escrever:
A
·
V
=
que e um operador.
( : : (A1i +A2j + A.a�):x i + y j + z k
)
Assim, por exemplo:
Note-se que essa expressiio e a mesma que
A
·
V.
(b) Da mesma forma, empregando o resultado de (a), substituindo-se q, por B =B1i +B2j + Bak, temos. a a a ) aB aB an (A· V)B = ( Ai- +A2- +Aa- B =Ai- +A2- +Aa-- . ax ay az ax ay az
(c) corn
=
A
Tomando a interpretar;iio de
VB dado no Problema 34, temos, de ac6rdo
o 8imbolismo estabelecido no Problema 35.
1
( aB1 i + aB2 j + asa k) + A2 ( as1 i + aB2 j + asa k ) + ax ax ax ay ay ay aB1 a as!} k) + Aa ( i + s2 j + az
az
az
GRADIENTE,
DIVERGENCIA E ROTACIONAL
105
cujo resultado e o mesmo do item (b). Por conseguinte (A V) B A VB sem ambigiiidade contanto que se introduzam os conceitos de diadicas adequa damente, conforme indicado. ·
37.
Sendo A
achar (a) (A
(a)
·
2yzi - x2yj +xz2k, B
=
(b) A
V) c/>,
(A • 'V)c/>
=
=
(c) (B
·
2x2yz3,
(e) A X Ve/>.
2yz
..E._ (2x2yz3)
ox
..E._ (2x2yz3)
- x2:y
+xz2
oy
..E._ (2x2yr1) oz
(2yz) (4xyz3) -(x2y) (2x2zS) + (xz2) (6x2yz2)
( ooxfjJ i +ooycjl j +oozf/> k )
(2yz i -x2y j +xz2 k)
(4xyz3 i +2x2z3 j + 6x2yz2 k)
·
=
=
=
(2yz i -x2yj +xz2 k).
=
8xy2z4 - 2x4yz3 +6x3yz4•
(B · V) A
=
=
=
=
[ (x2 i +yz j +xy k) ( �
o o o (x2 +yz - - xy - ) oy iJz ·
OX
(A X V),P
·
V)l/J
=
A
·
V,P.
! j ! k ) JA
i +
·
+
=
oA i>A oA x- - + yz - - xy OX oy dz •
A
=
x2 (-2xy j +z2 k) +yz (2z i + x2j) - xy (2y i + 2.rz k)
=
=
(2yz2 - 2xy2) i - (2x3y +x2yz) j + (x2z2 - 2x2yz) k.
Compare-se este resultado corn B
(d)
=
+
Comparando corn (a) verificamos a relai;ao (A
(c)
e c/>
(d) (A X V) t/J,
V) A,
·
=
=
V c/>,
x2i +yzj - xyk
[ (2yzi -x2yj +xz2k) ( :x i + :y j :z k ) J q,
=
=
(b) A·V,P
·
=
·
=
=
[ (2yz
·
VA, do Problema 36 (c).
i - x.2y j + xz2 k) X
( :x
j
k
2yz
- x2y
xz2
o
d
()
ox
i)y
oz
i +
"'
�1 j !z k) J 4> +
=
ANALISE
106
[ (
-x2y _i_ az
i
=
xz2 _i_ ay
) + j ( xz2 _i_ ax
( 2yz _i_ + x2y _i_ ) J ef> ax ay
+ k
-
-
VETORIAL
( x2y aazq, + xz2 ayaq, ) i + ( xz2 axaq, . aq, aq, ) ( 2yz-+x2y ay ax
+
(e) AX Vef>
=
k
(2yzi -x2yj + xz2k) X j
-
)+
2yz
_i_
aq, az
)j +
az
=
-
2yz
=
( �� + i �: j + �� k)
k xz2
aq, ( - x-., y 7h
+
=
-
2
xz
aq, 7fY
) . + ( xz- aq, ax •
l
aq, aq, ) ( 2yz+ x2yay ax ·
k
-
aq, 2yz -a;
).+ J
=
-(6x4y2z2 + 2x3z5) i + (4x2yz6 -12x2y2z3) j + (4x2yz4 + 4�3y2z3) k. Comparando corn
(d)
verificamos que:
(AXV)ef> = AXVef>.
Invariancia. 38. mesma
!
Dois sistemas de coordenadas retangulares origem giram um em relac;iio ao outro.
x, y,
z
e
' z ,
' y,
' z
tendo
a
Deduzir as equac;Cies de trans
formac; o das coordenadas de um ponto nos dois sistemas. Sejam
r
e
r
'
os vetores posic;iio de um ponto qualquer P nos dois �istemas
(veja a figura da pagina
(1)
:r:
'
82.
Logo, como
i' + y' j' + z' k' = x i + y j + z k.
Ent.iio, para um vetor qualquer
A
-
' r = r .
A, temos (Problema 20, Capftulo 2).
(A· i')i' + (A· j')j' +(A· k')k'.
GRADIF.NTE, DIYERGENCIA E ROTACIONAL Logo, fa1,endo A = i,
lI
(2)
OR
= (i
j = (j
j, k, sucessivamente, temos:
i') i' + (i
·
.
107
j') j' + (i
·
i') i' + (j . j') j' + (j
.
k = (k · i') i' + (k
·
j')j' + (k
·
·
k') k' = Z11 i' + 121 j' + l;n k' k') k' = l12 i' + l2d' + /32 k'
k')k'
=
l 13 i' + l2a';' + l:ia k'.
Levando os valon's de i, j, k das cquai;6es (2) na equai;iio (1), cocficientes de i' j' e k' cncontramos:
(:J) que siio
y' = lzt.i; + l22Y + l2sz z',
x' = lnx + l12X + l13z,
c
igualando
= l:nX + /:12!/ + l33Z
as equai;0es de transformai;iio pedidas:
39.
i' = /11 i + 112 j + /13 k
Provar que:
j' = 121 i +l2d + /23 k k' = la1 i + la2 j + /33 k. Para um vetor qualquer A tcmos: A = (A
·
i) i +(A
•
j) j + (A
·
k) k.
Logo, fazendo A = i', j', k', s ucess i vamcnt e, temos:
i' = (i'
·
i) i + (i' · j) j + (i'
·
k) k = lu i +lid + /13 k
j' = (j' . i) i + (j' . j) j + (j' . k) k = l2 i i + bj + /23 k k' = (k'
·
i) i + (k'
·
j) j + (k'
·
k) k = lad +lad + la:i k
3
40.
Provar quc � IP1"/pn 1 se m= n, e 0 p=l assumir quaisquer dos valorcs 1, 2, 3. =
se m
�
n,
onde
m e n
podPm
Das equai;oes (2) do Problema 38, tcmos:
i
.
i = 1 = (/11 i' + b j' + la1 k') . (/11 i' + 121 j' + /31 k') = = Zi1 + 1�1 + 1�1
i j = 0 = (lu i' + /21 j' + /31 k') ·
·
= lul12 + l21l22 + /31la2
(112 i' + 122 j' + /32 k') =
i · k = 0 =Un i' + l2d' + l31k') · (l1:i i' + /23j' + laak') = = luli3 + bl2a + /31/ag memhro a membro chegaremos ao re su lta do deSE'jado para
Somando
mesma causa para j i, j · j, j k. k remos a igualdade para m = 2 e m= :J. Fazendo
a
Fazendo
·
·
Omn =
I
·
i, k
·
j,
e
k
·
m = 1. k, d c monstra
lsem=n a
igualdade pode ser escri ta da 3
Osem�n
forma:
� lpm lpn = Omn· p=l
seguinte
ANALISE
108
VETORIAL
0 �rmholo �inn e cham ado de simbolo de Kronecker.
41.
Sc
(x, 11, z)
e uma inva ria n te escalar sob uma rota�iio de eixos, provar a
qm· grad e um vetor invariante sob Por hip6te�e temos
dita transforma�iio.
' y , z').
(x, y, z) "" ' (x',
pedido dcvcmos provar que
aq, iJx
aq, .
i+
iJy J
+
�k
=
iJz
aq,' . iJx'
1
que
Para demonstrar o
, + iJ
iJz'
foi
k' ·
Emprcgando as regms das dc rivada s parciais e as equa�oos de transforma
�·,10 (:l)
do Problema :ls, temos:
iJ' iJx' aq, = i)x' a; a:;
aq,
7iii = �- = az
iJ' iJy' + o' oz' a;: 7iX iJy' 7iX
+
o' o'. iJx' + iJy' ox' Ty o'
iJx'
ax' &
+
oy' + o' oy a;;-
iJ' iJ' o' + a ox' lu oy' l21 + iJz' l 1
=
oz'
ay =
iJ' o
aq,' iJ' o' oy' o' + o' oz' + iJy' l2a + oy' Tz iJz' la� oz' Tz = -Oz' Zia
Multiplicando ambos os mcmbros dessas equa�i'ies por
i, j,
•
k rcspectiva
mente, somando membro a membro e utilizando o resultado do Problema :w,
!'hegnrt>mos a igua lda de acima.
PROBLEMAS PROPOSTOS
42. 43. no
Se = 2xz - x2y,
4
Sc
ponto (I,
44.
c
IVI no
Re.�p. e
A= 2x2i-3yzj +xz2k -1, 1).
Se F = x2z
+ eYl:e c G =
2z y - xy2,
-2).
2
A.char: VJrJ3.
46.
Provar quc: Vj(r)=
47.
Calcular V
48.
Se VU =
31'2
( -
2r4 r,
f'(r) r
-r
4
5, 7i -j
-
achar (a) V
Resp.
(a)
Resp.
3rr.
c
•
AX Ve/>
llk.
(P +
- 4i + llj
G) c
+ k,
(IJ)
•
.y---; +
achar U.
-2, -1). - 4j - 16k, 2 V !1:3
ponto (2,
IOi
Resp.
(b) v (FG) no ponto (I, 0,
45.
achar Ve/>
__Q_) �---;
Resp.
(6
Resp.
,.s1:3 + uma con�tantc.
- 2,.-a/2 - 2r-7f3)
r.
-
8
j.
GHADIENTE, Dl\"ERGEKCIA 49.
cp(r)
Achar
moclo
de
Vi/t
Achar
onde if;
:1
(
1-
= 0.
)
_.!._ r3
109
•
(x2 + y2 + z2)e - vx2+Y2+12,
=
(2 - r)
R esp. SI.
..!_
=
'*''
cp(l)
e
r"
.i.rr)
Resp. 50.
Vcp = �-
que
ROTACIONAL
E
e-r r.
Vcp = 2xyz� i+ x2z3 j + :�x2yz2 k, achar cp(x, y, z) sc cp(J, -2, 2) =4. Resp. cp x2yz3 + 20.
Sc
=
52.
Vi{;
Se
=
(y2- 2xyz3) i + (3 + 2.�y-x2z3) j + (6z3- 3x2yz2)k, achar if;. Resp. if; xy2-x2yz3+ 3y+(3/2)z4 + uma constante. =
" 53. 54.
Sc U c uma func;iio diferenciavel de
F
Se
c uma funi;iio diferenciavel
diferenciavcis de t provar que
dF 55.
A
Se
=
at
de x,
+VF
.
y,
.!!!._ dt
z,
t ondc x, y,
Sc A (x, y, z) A1 i +Ad + Aa k, mostrar (VA1 dr) i + VA2 dr) j + (VAa dr) k. =
•
·
V
z
silo fun90es
·
V (r
c um vetor constantc provar quc
56. dA
oF
=
dt
y, z, provar que \U: dr=dU.
x,
·
A)
=
A.
quc
·
( -0F )
=
GVF - FVG
G ;e. 0.
57.
Provar que
58.
Achar um vetor unitario perpendicular a superffcie da parabuloidc de
revolui;iio z
=
x2 + y2
no
G2
se
(I, 2, 5).
ponto
Resp.
no
59.
ponto
60.
ponto
z =
Achar o unitario normal exter or a su pe rfi cie
(3,
Achar
(I, -
61.
i
I, -4).
Resp.
a equai;iio do piano
3, 2).
Resp.
-
tangente a superffcie
2x - y - 3z + 1
no ponto (2, -1, 5).
""4t + 2, y
=
-21 - 1,
z =
4x
- 2y - z
-t+5 .
=
9
2k)/3.
Achar as equai;oes do piano tangente
x2 + y2
Resp. x
(2i + j
(x -1 )2 + y2 + (z +2)2
=
=
c
xz2 + x2y
= z - 1
110
0.
x.- 2
{) ,-4-
=
+
11 1 �
=
z- 5
-=l ou
AN.\LISE VETORIAL
110 - 3j
+ 6k.
Resp. 376/7.
Achar a derivada dirigida de P= 4e2z-y+z no ponto
6l.
(-3, 5, 6).
direi;iio Mste para o ponto
Resp.
-
20/9
Em que direi;iio
64.
=2.r.z- y2 6 maxima?
Na
Resp.
a
pttrtir do ponto
Qua\ e
64
Achar
·
Achar x,
(l,
(a) Se
dii;iio nccessaria
constautcs
a
b e c de modo que a derivada dil'i - 1 ) tenha um maximo de modulo
-8
.
xy2z= 3x + z2
1').
-2,
v6 _121 = arc cos 14 = i\)055'.
b
a c
.
de ta! modo que a superficie ax2 - byz =
·
a= 5/2 b= l.
u e v
(1,
-1, 2).
forem funi;oes derivaveis de x, y, e
suficiente para que
c
u
e
v
it = arc
tg
x
z,
mostrar que
a
con
sejam liga
6 que Vu X Vv= O.
Determinar se
e
v
·
superficie 4x2y + z3= 4 no ponto
(u, v)= 0
<>quai;iio F
(b)
V4.
a,
2,
e c=
/_1v 14
arc cos:�
as
scja
(l,
ponto
no
Resp. 68.
na
a derivada dirigida de
o angulo agudo formado pelas superficies
Resp. 67.
(1, 2, 3)
direi;ao do vetor 4i - 6j + 2k, 2
a= 6, b= 24
3.r.2 - y2 + 2z= 1
= (a + 2)
e
na direi;iio paralela ao Pixo dos z.
Resp. 66-.
(1, 1,-1)
di
valor absoluto desse maximo?
0
Achar os valores das constantes
65.
na
.
gida de =axil+ byz + cz2xa em igual a
-1, 2)
Achar a derivada dirigidtt de = 4xz3 - 3x2y2z em (2,
62. re�·iio 2i
+ arc tg y e v=
---
x + 11 1 - xy
estiio
ligados
funeionalment<'.
(b)
Resp.
(v
Sim
=
tg
)
11 .
(a) Mostrar que a condii;ao necessaria e suficiente para quc u (x, y, z), w (.r., y, z) <'stejam. ligados funcionalmente pela equac;-iio F (u, v, w) = 0 6 q111• Vu Vv X Vw= 0. 69.
v (x, y,z)
e
·
(b)
Exprimir Vil
minante e dito
(11, V, 11') il(x,y,z)
_iJ
(<')
il O
O
.J
·
Vt• X vw
jacohiano de
(
Dl'terminar
11, V,
11'
x,y,z sf'
)
forma de um
Pm
u,
V1
W
u = :r:
au ax (b)
determinante. a. X,
y,
Z C SC
Esse deter designa por
•
+ y + z,
Pstiio ligados funeionalmente.
Resp.
em relac;-iio
av ax
aw il.r.
au ay
av ay
aw ay
v=x2 + y2 + z2
e
w = xy
+ yz +
zx
au Tz av
7fi: aw az
(c)
Sim
(u2 - v -
2u·= 0)
GRADTENTE, DIVERGENCIA E RO'fACIONAL 70.
(b)
Se A
A· Vt/J,
3xyz2 i + 2xy3 j - x2yz k e q,
=
·
(c) V
Calcular div
72.
Se
Resp.
"'
V2 (ln r ) . Resp. 1/r2•
74.
Provar que
75.
Se F
76.
Se CIO e um vetor constante e
77.
Provar que
78.
Se
79.
Calcular
80.
Calcular
81.
Calcular
82.
Se A
83.
(a)
V2 rn
U
=
n (n
n
+ 1) rn-2 onde
e uma constante.
(3x2y - z) i + (xz3 + y4) j - 2x3z2 k, achar V(V
=
·
F)
no pon to
-6i + 24j - 32k.
Resp.
V2 (t/>i/I)
=
v
=
C10
tj>V2 if + 2Vtj>
X r, provar que div
v
=
0.
Vi/I -t- i/IV2tj>.
·
3x2y, V xz2 - 2y calcular grad [(grad U) · (gr a d V)] Resp. (6yz2 - 12x) i + 6xz2 j + 12xyz k.
=
=
•
V · (r3r). Resp. 6r3• V · [rV (1/r3)]. Resp. 3r-4• V2 [V (r/r2)] . Resp. 2r-4•
=
·
r/r, achar grad div A. Resp. -2r-3 r.
=
Provar que
0.
Resp.
j
V2 j (r)
(r)
=
Provar que o vetor A
85.
Mostrar que A
nao e solenoidal, m a s B
Achar
solenoidal.
a
=
=
Resp. j (r)
U
dj --;t;:·
2 + r
=
c
(b)
Achar
j (r)
tal que
H silo constantes arbitraciat1.
3y4z2 i + 4z3z2 j - ax2y2 k e solenoidal.
funi;iio diferenciavel mais geral
F az er o grafico e dar Se
d2j r-
d
.
(2x2 + 8xy2z) i + (::lx3y - axy) j - (4y2z2 + 2x3z) k xyz2 A o e.
=
a
j (r) de modo que j (r)
r
scja
C/r3 onde C e uma constante arbi traria .
Mostrar que o campo
e MOlenoidal.
=
A + B/r onde A
84.
88.
A,
6z + 24xy - 2z3 - 6y2z.
Calcular
(2, -1, 0).
te".
•
(2x2z i - xy2z j + 3yz2 k). 4xz - 2xyz + 6yz.
73.
87.
V
3x2z - y2z3 + 4x3y + 2x - 3y - 5, a ch ar V2 q,.
=
Resp.
86.
(a)
achar
(I/JA) , (d) V · (Vt/J), no ponto (1, -1, 1). Resp. (a) 4, (b) -15, (c) 1, ( d) 6. ·
71.
V2 J (r)
3x2 - yz,
=
111
vetorial V
-x i - yj =
V x2
in terpretai;iio ffsica.
+ Y2
e um "eampo de fon-
e V silo campos escalares diferenciaveis, provar qm· VU X VY
VETORIAL
AN.\.LJSE
112
Se A=2.i:z2 i-yzj+3xz3 k e cp=x2yz, achar (a) V_X A, (b) rot (cpA),
89.
(c) V X (VX A), (d) V[i\ Rup.
Se F =
90.
(b) V
·
·
rot A],
(e) rot grad (cpA) no ponto
(1, 1, 1).
(a) i + j, (b) 5i - 3j - 4k, (c) 5i + 3k, (d) - 2i + j + Sk,
x2yz, G = xy -:-- 3z2,
[(VF)X ('VG),
achar
(a) V[(VF)
•
(e) 0.
(VG)],
(c) V X [(VF)X (VG)].
(a) (2y2z + 3x2z - l2xyz) i + ( 4xyz - 6x2z) j + (2xy2 + x3 - 6x2y) k
Resp.
(b) 0 (c) (x2z - 24xyz) i - (l2x2z + 2xyz) j + (2xy2 + l2yz2 + x3) k. Calcular V X
91. 92.
(r/r2).
0.
&sp.
Achar o valor da constante
a
para a qua! o vetor
A = (axy - z3) i +
+ (a - 2) x2 j + (1 - a) xz2 k tern rotacional identicamente igual a zero.
a = 4.
Resp.
(cp grad cp) = 0.
93.
Provar que rot
94.
Fazer o grafico dos caropos vetoriais A
=xi + yj
e
B
=
y i- x j.
Calcular a divergencia e o rotacional de cada campo vetorial e explicar o signifi
cado fisico dos resultados. Se A=x2z i + yz3 j - 3xy k, B =y2 i-yz j+2x k
95.
(a) A
·
(Vt/'), (b) (A
·
(a) 4x3z + yz4 - 3xy2, (b) 4x3z + yz4 - 3xy2
Resp.
cp=2x2+yz,
e
V ) q,, (c) (A· V)B, (d) B(A · V), (e) (V
·
achar
A) B.
(o mesmo que
(a)),
(c) 2y2z3 i + (3xy2 - yz4) j + 2x2z k, (<() o operador (x2y2z i-x2yz2 j + 2x3z k) ..i. +(y3z3 i-y2z'j +2xyz3 k) � + iJy iJx iJ + ( -3xy3 i + 3xy2z j - 6x2y k) & , (e) (2xy2z + y2z3) i - (2xyz2 + yz4) j + (4x2z + 2xz3) k. 96.
Se A = yz2i - 3xz2 j + 2xyz k, B = 3x i + 4z j-xy k e q, =xyz, racha
(a) A X (Vcp), (b) (A X V) q,, (c) (VX A)X B, (d) B· VX A. Resp.
(a) -5x2yz2 i + xy2z2 j + 4xyz3 k, (b) -5x2yz2 i + xy2z2 j + 4xyz3 k
(o mesmo que
97. A
=
Achar AX (VX B) e (AX V ) X B
xz2 i + 2y j - 3xz k e B llesp.
=
no
(a)),
(d) 24x2z + 4xyz2•
(c) 16z3 i +(8x2yz - 12xz2) j + 32xz2 k,
ponto
(1, -1, 2),
se
3xz i + 2yz j - z2k.
A X (VX B) = 18 i - 12j + 16k, (AX V)X B = 4j + 76k.
98.
Provar q ue
99.
Provar q ue V
(v
·
·
V) v = !Vv2 - v X (VX
v
).
(AX B) = B (V X A) - A· (V X B). ·
100.
Provar q ue VX (AX B)=(B
101.
Provar que V(A
·
·
V)A-B(V·A)-(A
·
VJB+A(V
·
B).
B)=(B·V) A-t'
Ii3
GRADIENTE, DIVERGENCIA E ROTACIONAL :\Iost rar
102. eional.
Achar
103. que
A = (6xy + z3) i + (3x2 -z) j + (3xz2 - y) k A = VI/>.
onde
e irrota
uma constante.
= r/r2 e irrotacional. a > 0.
:Mostrar que E
q, (a) = 0
Achar
t/l
tal
que E
Resp.
q, = ln (a/r).
104.
Se A e B siio irrotacionais, provar que A X B e solenoidal.
105.
Se
106.
(b)
que
tal que
q, = 3x2y + xz� - yz +
Resp.
e
q,
rot V
J (r)
e diferenciavel provar que
Ha alguma func;ao vetorial =
2i + j + 3k?
J (r ) r
=
- Vt/l
e irrotacional.
diferenciavel V tal que
(a) rot V =
r.
Se houver, achar V.
(a) Nao, (b) V = 3x j + (2y - x) k + Vf/>, onde t/l e uma func;iio vezes diferenciavel.
Resp.
arbit ra ria duas
107.
::\fost rar que as soluc;Cies das equac;Cies de Maxwell
V XE =
....:
.
onde p e uma func;iio de
sao dad a s por:
x, y, z e
c
V
·
H
O,
=
V
•
E =
411'p
e a vel
1
Ae
at '
c
E = - Vq, - � onde
_!__ cm
iJA
at'
1/1, chamados respectivamente de
H
=
V X A
potencia1'.s vewrial
e
escalar, satisfaiwm
as equac;oos
(I)
V·A+ 108.
(11)
1 c
a!),q, =O, u t
Havera alguma ambigiiidade em
(a)
r
r ·
·
• · r = 1.
se
escrever r · •
(� r) = (r · io) · r = x2 ·
raio unitario e centro na
109.
(:3) V2A=-!. c·
·
(a) Dada a diatica • =ii + jj + kk, calc ula r r · (•·r)
geometricamen te
Resp.
2 0 "1 = -411'p . ot2
v2q,--!. c·
(2)
(a) Se A = xz i
+ y2 +
·
z2, (b)
r? (c ) Nao,
e
02A iJt2
(r·) +
·
r.
Que representa
(c)
Esfera
de
origem. -
y2 j + yz2 k e B =
2z2 i - xy j + y3 k, dar a signi (1, -1, 1). (b) E possfvel escrever-se
(A X V) B no ponto o produto assim A X (V B) utilizando-se as diaticas?
ficac;iio possfvel de
Resp.
110.
(et) -4ii- ij + 3ik -jj (b) Sim, se as operac;Cies
-
4ji
+ 3kk,
forem efetuad.as adequadamente.
Provar que q, (x, y, z) = x2 + y2 + z 2 e um escalar invariante sob
uma rotac;ao de eixo s.
111.
Se A (x, y, z) e um campo vetorial diferenciavel invariante sob uma
rotac;iio de eixos, provar que
(a) div A e (b) rot A siio campos escalar e vetorial
invariantes, respectivamente, sob dito transformac;iio.
AN.\.LISE
114 112.
YE'l'ORIAL
Resolver as equa"Cies (3) do Problema :3g para x, y, z em fum;ao ·de
x', y', z'. Resp.
x
=
111 x' + b y' + la1 z', '
y = l,12
' x
' + 122 y + 132
z
'
, z = li:i x' +
+ l2a y + laa z'.
113.
Se A e B siio invariantes sob uma rota"iio mostrar que A
114.
Mostrar que sob uma rota"ii.o
siio tambem invariantPs.
·
B e A X B
., a + . , a , k' a "' !ii !if = V J !lf T U!J UX UZ
I
115.
l\fostrar que o operador laplaciano e
uma
invarinnte sob
•
uma
rota"iio.
CAPiTULO 5
INTEGRACAO DE VETORES
Integrais ordinarias de
vetores. Seja R (u) R1 (u) i-+ (u) j +Ra (u) k um vetor que depende de uma Unica va nave l escalar u, onde R1 (u), Rt (u) e Ra (u) BAo supoetas continuas num dado intervalo. Entio: =
+ R1
f
R (u) du
if
=
Ri (u)du +
6 a integral indejinida de R (u). R
(u)
=
R, (u) du + k
f
=
lb
(u) du
Se .existir um vetor S(u) tal que
R (u) du
=
f :u
(S (u))du
=
S (u) +
c
arbitrdrio independente de u. escrever a integral dejinida entre os limites b da seguinte maneira: c 6 um vetor comtante
caso pode-se
u
Ra
d (S (u) ), teremos: du
f onde
f
j
R ( u ) du
=
lb a
d
du
(S(u))du
=
j S (u) + cj.,0
=
Em tal u
=
a
e
S(b) - S(a).
Esta integral pode tam�m ser definida como o limite de· uma so ma, de modo analo go
ao visto no
calculo
integral elemental'.
Integrais de linha. Sejam a curva C definida por r (u) (u) i + y (u)j + z (u) k, onde r (u) 6 o vetor posi9ao de um ponto (x, y, z) da curva, e dois pontos P1 e P1 dessa curva para OS quais u U1 e u 1t2, respectivamente. =
=
x
=
=
·
ANALISE
116
Vamos fazer
a
VETORIAL
hip6tese
finito de c�urvas para .cada uma das quais continua.
Seja
A (x,
z)
y,
=
r (u) A1 i + A2 j + A3k
tern uma derivada uma
torial de posic;ao definida e continua ao longo de C.
funrtiio
ve
Entiio, a inte
gral da componente tangencial de A ao longo da curva C do ponto P1
e
ate P2,
que se escreve
e
exemplo de
um
uma.
integral de linha.
Se A for a forc;a F que age
sobre uma particula que se desloca ao longo de· C, a integral de linha representa o trabalho feito pela
(e que vamos supor seja uma
forc;a.
Se C e uma curva fechada
curva jechada simples
isto e, uma curva
que nao tern pontos duplos, ou que niio corta a si mesma) a integral ao longo de
c e geralmente representada por:
f
A· d
r =
f A1 dx
+ A2ay + Aadz._
Em aerodinamica e em mecanica dos fluidos essa integral e cha mada de circula�ao de A em t6rno de C, onde A representa a veloci dade de um fluido. Em geral, qualquer integral que deve ser efetuada ao longo de Tais integrais podem eer
uma curva e chamada de integral de linha.
definidas como o li mi te de uma soma como o sao as integrais do cal culo integral elementar.
N OS Problemas Resolvidos apresentamos
.
OS metodos
de cal
culo das integrais de linha.
0 teorema seguinte e muito importan�e. Se A
Teorema.
=
V
em todos os pontos de uma regiao R
do espac;o, definida por
(:i-,
y,
I) liga P1
2)
a1 � x � a2 , b1 � y � b2, c1 � z � c2, z) e uma func;ao univoca e tern derivadas continuas em R,
11P2 c
A
·
dr
onde entiio
e independente da trajet6ria C de R, que
P2.
jc
A
·
dr
=
0
a-0 longo de qualquer curva fechada
C em R
INTEGRA\(AO
DE
VETORES
117
Em tal caso A e chamado de campo vetorial conservativo e
e
o seu potencial escalar.
Um campo vetorial A e conservativo se
e
somente se
V X A= 0,
e equivalente, A= V. Em tal caso A dr = A1 dx + + A2 dy + Aa dz = d e uma difen•ncial exata. Veja os Problt,' mas 10 a 14.
ou, o que
·
Integrais de superffoie. n
Seja S
qa figura abaixo,. de duas fases.
uma superficie, tal como
Consideremos uma das fases de
S, arbitrariamente ·escolhida, como sendo mal,
n,
S for Um unitario nor
a face positiva (se
uma superficie fechada esta sera a face externa).
em qualquer ponto
mal positivo, ou exterior.
I 1' 1
I!
11 1I 111
II
11 11
�J�
>o ____,C '""" ------
-....-.. y
A880ciemos agora a diferencial de area dS da superficic um VC'tor
dS
n.
I.ogo, dS
=
n
dS.
A integral
e um exemplo dP uma intq!;ml dP 8Uperficie chamada de atrave8 de S. Outras intcgraiH de superflcie
sao
1J ndS, J:J onde C
uma
funyiiO CHCaJar.
Ax d S
fluxo de A
VETORIAL
ANALISE
118
Tais integrais podem ser definidas como o limite de uma soma como no calculo elementar (veja o Problema 17).
A notai;ao
#s
e, ·as vezes, usada para indicar uma integra9ao
s6bre uma s u perfic ie fcchada
S.
Onde nao puder haver confusao
podrr-se-a usar tarn hem a nota9ao
s
Para se calcular uma integral de superficie e conveniente
ex-
sobre a area da super fir ie S projetada sobre um dos pianos roordenados. Isto e possivel
pressa-la como uma integral dupla efetuado se
uma reta qualquer perpendicular ao piano coordenado escolhido Entretanto, isto niio
niio fura a supcrfirie em mais de um ponto.
apresenta nenhum embara90 para qualquer problema real, uma vez
S em
que podemos geralmente subdividir essa restri9ao.
sup er ficies que satisfa9am
lntegrais de volume. Consideremos uma superficie fechada um volume V. Entao
enrP1T1mdo
sao <'xemplos
f.lf
Adl'
f!vf
e
de i n tegra is de
v olu
nw .
�dV
N os Problemas HPsolvidos integrais.
aprPSPntarPmOS OS metodos de ca]eu]o dessas
PROBLEMAS RESOLVIDOS l.
S<·ndo R 1 u)
(u
=
-
J
J
R1u)
du
=
=
=
J J
[(u
i
i
(u
(2 (2 (2 112
2 u
,. u
Onde
C
e
0
Vetor COn8Utnte
2
C1
- u2J -
"
-
113
du + + <:1
) ) 3 l u3
i +
3
Cz
)
l +
3 u
:�k, (/,)
i + 2u:i j
1.12) 3
-
j
R(u) du
ia) (11)
u2) i + 211a
•
j
+
+
j
f
u4
j
2j u4
•
2) k.
2
R(11) du.
-.:{kj du
J
+
C3
:t('har
=
2 u3 du + k
(2
J
c2
)
+
-
311 k +
C1
j +
-
.fo k +
c.
114
.
+
-3 du
k( C2
=
- 311 + ea)
j
+
C3
k
=
=
INTEGRAQAO Dt·
(b)
f
(a),
R(11)d11 =
2
1 2
-
i
119
( ; � ) .!_;�j [ 2 :J- ) j (
( ';� -f ) I : -
,5 -;;
+
;
•
i+
1; 3
-
2�
=
VETORES
DE
-
2:;
15
i +
2)
I
l '
-
•
311
24
-
2
k +c
:�
=
:{ (2\ k + c
J
-
- :{k.
(f) I:
+k -
< :fo)
I:
=
A :H·Plt•1·a<;>>io de um a partil'Ula 11um tc>mpo I � 0, qualquer, e dada por
2.
dv • a= - = 12cos2 11. - 8Hen21) + 161 k di Sc
velo<'ida
a
tempo qualquer. Intcgran
{•
v
v =i
dcsloeumento
o
f
12
••os
r
siio nulos para l = O, achar
f
21 di+ j
-8 s•·n 21di+k
f
num
v <' r
161 di=
'."' Ii sen 21i+1cos21 j + 812 k + c1 Fazcn
Logo
d on
0 quan
v = v
0, Pncontramos 0 = Oi +
=
= fJ 8en 21 i + (4 cos 21 -
dr
dt = 6 scn 21 1 •
lntt!grando,
r
=i
=
Fazendo
r =
+ (4
/n -3
r =
o
j
4j
+Ok +c1
-
e c,
+ 812 k
4j.
21 - 4). ). + St-0 k .
Hen 21 dt t-
cos
0 quan
E temos finalmente
<'OR
4)
•
211 + (2
j
f
�n
2t
(4
-·
cos
21 - 4 I di + k
. . +3 8 t3 k + 41))
t = 0, tPmos 0 = - 3i +
(3 - 3 cos 2t)
i + (2
sen
21 -
41)
f
+
13 k. .
=
c2.
Oj + Ok + c2
j �
8 t2 dt
e
c2
=
3i.
ANALISE VE'l'ORIAL
120 3.
f
Calcular
d
Tcmos que
f
Logo,
4.
-it
(A
rJ!A dt2
A X
A X
•
X
dt =
rt-A . dA ) dt 1 rt-
-
=
A X
f ( d
dt
d2A
rlA
+
dt2
dA A X dt
dt
)
dt
=
X
dA
·dt
=
A X
dA A X dt +
A equac;iio do movimento de uma partfcula P de massa m
onde
dt.
·
m
d2r
1/lA dt2
•
c.
e dada por
=J (r)r. d. t-
r e o vetor posic;iio de P em relac;ao a uma origem 0, r1 e o vetor unitiirio r e j (r) c uma func;iio da distancia de P a 0.
da dire�•iio de
r X dr/dt = c onde
c
e um vetor constante.
(a)
Mostrar que
(b)
Interpretar fisicamente os casos em que J (r) <
(c)
Interpretar, geomet.ricamente, o resultado do item (a).
(d)
Descrever como se aplicam os rcsultados obtidos ao movimt>nto
0
e j (r)
> 0. do�
pl:metas de nosso sistema solar.
(a)
tcremos
Multipliquemos ambos os membros
r X d2r/dt2 = J (r) r X r1
=
0
porqu:mto r c r1 siio colinearcs, e porta.nto, r X r1 = 0. r
o
a
X d2r/dt2 = 0
ou
3).
(b) Se j (r) <0; a fCm;-a e d irigida para Sc f (r) > 0
a
acelerac;iio
Entao
d/dt (r X dr/dt) = 0.
lntegr:mdo temos r X dr/dt = c, onde
l'roblema
c
J,ogo,
e um vetor constante
..(Compare
com
d2r/dt2 tem scntido oposto a r1; por conseguinte
0 e a particula esta sempre sendo atraida para 0.
forc;a se a fasta de 0 e a particula esta sob a influencia de uma
fbr<,:a repulsi'.va em 0.
Uma fOn;a· dirigida sempre para um
ponto fixo 0, no sentido delc ou dele se afastando, e tendo um valor absolun
=
area de velocidade
lr x � constante ·.k<:::--2�---=d• ;__ -jY
to que depende somente da distancia de 0 clmma-se uma
r
j/Jri;a central.
=
(c)
____
N
Num tempo
�ta partlcula
se
move de M a N (veja a figura ao !ado).
A area varrida pelo vetor posic;ao nessc
tempo c, aproximadamente,
a
da area de um paralelogramo
do�
siio
re
Lh,
o.u
ir X �r.
metadc
c uj os
!a
DE
INTEGRAQlo
VETORES
121
Logo, a ltrea varrida pelo raio vetor na unidn.de de tempo e
!r
X
!:
; por con
seguinte, a taxa de v aria9iio inst.ant4nea da area e :
lim !
At-+O oode
v
r
X
�LJ.tr .,. ! r
X
dr/dt
=
Xv.
e o vetor velocidade instantanea da partfcula.
A grandeza H
=
!r
�:
X
=
!r
velocidade de
X v e dita
tirarnos: Velocidade de area
Como r
•
H
=
=
H
!r
=
x
�:
=
Do item
drea.
Constante.
.
Um planet a e atraido pelo sol de acordo corn
a
lei da gravi�iio uni
versal de Newton, que estabelece que dois corpos quaisquer de massas respectiva rnente , se atraem corn UI11a for9a cuja grandeza e F =GM r
(a)
0, o rnovirnento se· realiza nurn piano, que tomamos como
sendo o pi ano xy na figura da pagin a ante rio r
(d)
!r
e a dist4ncia entre eles e G e uma Constante universal.
S ej am
m m/r2,
e M
m
e M, onde
as �
eas de um planeta e do sol, respectivame�te, e tornernos um sistema de eixos coor denados corn a origem 0 no sol.
m
d2r/dt2
...
Portanto, a equa9iio do movimento do planeta 6.
GMm
- -- r1
r2
1ou
d2r/dt2
=
-
GM
-- r1.
r2
considerando desprezivel a influencia dos outros planetas. De acc'.lrdo corn o item
(c),
um planeta move-sc em Mrno do sol de tal modo
que seu vetor posi9iio varra areas iguais em tempos iguaie. Esta
afirm39iio e
a
do Problema 5 sii.o duas dae tres famosas leis de Kepler que ele deduziu emplri camente aproveitando os dados compilados pelo astrc'.lnomo Tycho Brahe. Essaa leis possibilitaram a Newton a Iorrnulaviio das suas leis da 1gravita9iio.
Veja
a
a.• lei de Kepler no Pr oblema 36. 5.
Mostrar que a trajet6ria de um planeta em tc'.lmo do sol e
uma
ocupando o sol um doe focos. Dos Problemas 4
(c)
e 4
(d),
temos
(1) (2) . Mas,
(3)
r
r • r r1,
h
Xv= 2H =h.
dr dr dr1 dt "" r di + di r1.
=
r
Xv
= r
r1
X
Logo,
(rdr1 dr ) r1 dt dt
+
2 r1
""T
X
dr1
dt,
elipse,
ANALISE
122
De
dv
dtXh= -
(1),
=
GM
-
VETORIAL
GM
r1Xh=-GMr1X �
[ ( r1
) r1 - (ri
dr1
dt
•
-
empregando a equai;ao (3) e o fato de r1
dt
0
=
dr1 r1) -
dr1
dt' J = GM -
dt
(Problema 9, Capftulo
dv d dt X h= dt (v X h)
Mas, como h e um vetor constante,
..1:__ (v X h)
�1
·
•
( r1Xdt dr1 ) ""
GM
=
dri dt
3).
donde
•
E integrando temos
v Xh = GMr1
donde r •
(v Xh) = GM r ri •
"" Giil
r
+r
+ r ri
•
•
+p
p =
p
=
GM r + r pcos 8
onde p e um vetor constante arbitrario de m6dulo p, e 8 e o Angulo entre p e r1• Como r
(v X h) = (r X v)-h
·
=
h·h
=
h2, temos h2
r=
=
h2 GM+pcos8
GMr +rpcos 0 e h2/GM
1
' +(pJGMJcosO
Da geometria analftica sabemos --&------<:I'--'---+-- •
que a equai;iio polar de uma c6nica de foco na origem e excentricidade
e r Elipse
=
1
+E
COS
()
onde
a
e uma cons-
a deduzida acima verificamos que a
e
6rbita em questiio e uma conica cuja A 6rbita e uma elipse, uma parabola ou uma hiper
excentricidade e
E =
bole conforme
seja menor, igual ou maior que um. Como as 6rbitas dos
E
e
tante .. Comparando esta equai;iio corn
a ' = l + E cos
P/GM.
a
pla
n�tas sii.o curvas fechadas, devem ser elipses.
Integrais de linha. 6.
Se
ate (1, I, 1)
A.,. (3x2 + 6y) i - 14yz j
.
(A Jc
(1, 1, 0),
e
+20 xz2 k,
calcular
ao longo das aeguintes trajet6rias C:
... t2,
(a)
x =
(b)
as retas de
(c)
a reta que liga
t, y
z
•
drde
(0, O, 0)
= t1•
(0, 0, 0)
a
(1, O, O),
(0, 0, O)
e
(1,
depois
1,
1)
a
depois
a
(1, 1,
1).
INTEGRA
{. A Ja,
•
{ {(3x2 + 6y) i - 14yz j Ja
dr =
r (3x2 + 6y) d:c Ja .
=
a
VETORES
DE
123
+ 20xz2 k]
(dx i + dy j + dz k)
•
=
- 14yz dy + 20xz2 dz.
(a) Sendo x = t, y = t2, z = t3, os pontos (0, O, 0) e (1, 1, 1) correspondem t = 0 e t = 1 respectivamente. Logo,
=
J. 1.
1 9t2 dt - 28t6 dt + 6019 dt
=
1-0
=
1 (9t2 - 28t6 + 60t9) dt = 3t3 - 417 + 6t10
1i = 5.
1-0
Outro Metodo. Ao longo de
C temos A = 9t2 i - 14t6 j + 20t7 k e r = xi + yj + zk =
= ti + t2j + t3k e dr = (i + 2tj + 3t2k) dt.
Logo,
=
(b) quando
1.1
J.1 fo1
{ A·dr= Ja
1-0
(9t2 i - 1 4t6 j + 20t7 k)
(i + 2t j + 3t2 k) dt =
(9t2 - 28t6 + 60t9) dt = 5.
Ao longo da reta ligando (0, O, 0) a x
·
varia de 0 a 1. Logo
a
(1, 0, 0) y = 0, z = O, dy = 0, dz = 0
integral ao longo desta porc;iio da trajet6ria e
(3x2 +6 (0) ) d:c - 14 (0) (0) (0) + 20x (0)2 (0)
=
-o
J.1
3x2 d:c = x3 J
z-o
Ao longo da reta ligando quando y varia de 0 a 1.
(1, 0, 0)
a
(1, 1, O)
x
= 1, z = 0, d:c
=
I=-
0, dz
1
=
O
Logo a integral ao longo dessa outra por�iio da traje
t6ria e
1.1
11-0
(3 (1)2 + 6y) 0 - 1 4y (0) dy + 20 (1) (0)2 0 = 0.
Finalmente, para o ultimo trecho, reta de
d:c = O, dy = 0 quando z varia de 0 a 1.
1.1
(I, 1, 0) a (1, I, I) x ='I, y = I,
Temos a integral, cujo resultado e
(3 (1)2 + 6 (1)) 0 - 14 (1) z (0) + 20 (I) z2 dz=
-o _
20z3 3
j 1 = 20 0
3 .
J.1
:-o
20 z2 dz =
ANALISE
124
VETOBI.&.L
Donde, somando, temos
/"c A. dt J (c)
20
Logo,
A dr ·
=
t, y
z -
J. J.
1
t e z
=
(1, 1, 1) tern as seguintes equacOes
e
t.
(3t2 + 6t) dt - 14 (t) (t) dt + 20 (t) (t)2 dt
1-0
=
=
23
1 +o +3 .. 3.
A reta que liga os pontos (0, 0, 0)
param6tricas,
f" Jc
=
1
1-0
(3t2 + 6t - 14t2 + 2013) dt
=
1
1
= ·
(6t- l lt2 + 20t3) dt
=
1uO
13 . 3
Achar o trabalho total feito no deslocamento de uma partfoula num ftirca dado por F = 3xy i - 5z j + lOz k ao longo da curva z t2 +1, 2t2, z t3 de t 1 at6 t 2.
7.
campo de
11
=
=
==
==
Trabalho total
=
1
F
·
dr
=
=
=
=-
=
1 1 dx J. (3xy i
axy
1
-
5z j + lOx k)
•
(dx
i + dy j + dz k)
-
- 5z dy + lOz dz -
3 (t2+1) (2t2) d (t2 + 1)-5 (t1) d (2t2)+10 (t1+1) d (t1) -
1-1
=
8.
y
•
Se F
12.
(12t& + 10t4 + 12t1 + 30t2) dt - 303.
1
3xy i - y 2 j, calcular
=
1
F
•
dr onde C 6
a
curva no piano z ),
2x2, de (0, 0) at.6 (1, 2). Como
Logo,
a
integracao 6 feita n o piano
1
F
•
dr
=-1 l·axydx (3xy i
-
Primeiro M�t.odo. de C do
z
- t, 71
respectivamente.
•
Beja
2t2•
zy (z
z "!"'
t em y
y2 j)
-
-
=-
(dx i + dy j)
•
•
y2 dy.
2x2.
Os ponto11 (0, 0). e
0), podemos tomar r-zi + y j.
Logo, as equacOea param6tricaa
(1, 2) correspondem A t
-
0
e
t
-
1
DE
INTEGRAQAO
VETORES
125
Logo,
{F Ja
•
J.1
dr =
1-0
3 (t) (2t2) dt - (2t2)2 d (2t2)
=
J.1
(6t3 - 16t6) dt
1-0
Substituamos diretame.nte y por 2x2,
Segundo M�todo.
x
""' - � . 0
variando de
1.
a
Logo,
(F Jc
·
dr
f1 J
=
z-o
Note-se
3x (2x2) dx - (2x2)2 d (2x2) =
que se
a
curva f6sse percorrida
11
(6x3- 16x6) dx
""
z-o
em
-�
sentido contrario, isto e,
(1, 2) para (0, 0) o valor da integral seria 7 /6 em vez
de
-
•
de
7 /6.
Achar o trabalho feito para se deslocar uma particula uma vez ao longo
9.
de uma circunferencia C no piano xy, sabendo-se que a circunferencia tern o cen tro na origem e raio igual a 3 e que o campo de fllrr;a e dado por :
F = (2x No plano
+ dy j donde
l
0
F· dr
z = 0, F
=
=
.l .l
[(2.c
equai;oes
nha e igual a
[2 (3 cost)
-
(211" =Jo (9 - 9 sent c
a
parametricas
da
·
dx i +
[dx i + dy j) ...
circunferencia
2'11" (veja a figura -abaixo).
x
...
3
cos
os
9 2 t) dt = !Jt- 2sen t
1211" 0
ponteiros
do rel6gio
curva C.
Dizemos que esse
para
percorrer
=18'11". y
a
eentido e
positivo ou que a curva C foi percor
rida no sentido positivo. Se C f6sse per corrida no sentido dos ponteiros do re l6gio eeria
(negativo)
- 18 10.
o
valor
da
integral
Se F = V c/>, onde
c/> e unl
'II".
(a)
voca e tern derivadas parciais continuas, mostrar que
o
trabalho feito para
se
r
It
Logo a integral de li
3 sent) [- 3 sent] dt + (3 cost + 3 sent ] [3 cost) dt
Tomamos o sentido contrario ao dos
o
=-
•
(2x - y)dx + (x + y)dy.
para
-o
y) i + (x + y)j + (3x- 2y) k]
-
y =3 sent, onde t varia de 0
1.211"
(2x - y) i + (x + y) j + (3x - 2y) k e dr
trabalho feito e:
=
Escolh!lmos
y + z) i + (x + y - z2) j + (3x - 2y .+ 4z) k
-
= xi + yj = 3 cos Ii + 3 sen tj
==
ANALISE
126
VETORIAL
deslocar uma partfoula de um p on to P1 "" (x1, 111, z1) a outro P2 "" (x2, Y2,
n es se campo, e ind ependen te do caminho que liga l\sses dois pontos.
Inversament e, se
(b)
1
F·dr e independente do caminho C que liga dois
pontos quaisquer, mostrar que existe uma fun9iio r/> tal que F
(a)
Trabalho feito
=
2
1:
=
1 P2 1
=
{ P2 F J
·
dr
=
P1
( ��
i +
�t
j +
{P2 Vcp. } pl
�� k ) -
pon tos P1 e P2. (b)
Naturalmente, isto s6 e verdadeiro
·
Seja F
=
F1 i + F2 j +Fa k.
se
=
Vr/>.
=
(dx i + dy j + dz k)
·
o
dr
=
Logo, a integral depende a penas dos pontos P1 e P2
os l iga.
zz),
cp (x, y, z) e unfvoc a em
Por hip6tese,
e
la
n iio do caminho que todos oe
F · dr i ndepende do
ca minho C que liga dois pontos qua is quer, que tomamos como (x1 , Y1, z1) e (x, y,
respectivamente.
independe do trajeto que l i ga (x1,
rf> (x + !::i.x, y, z)
=
-
1(:i:1.111.•1) (z,y,z)
=
1
(z+�.r,y,z)
(z,11,1)
modo que
dy
yi, z1) e (:e, y, z).
=
1
F · dr + l
(:i:+�.11.•)
(:i:1.111 .•1)
(:i:+�.11.•)
(:i:1.11i.•1)
F
•
dr
=
1
(x,y,z)
F · dr
F
(:i:+�.11.•)
Assim
·
-
1
(z,11,•)
F
•
dr
=
(z1,111.•1)
dr
F1 dx + F2 dy + Fa dz.
independente do trajeto de
(x, y, z) 9
podemos escolher a reta que liga �sses pontos para o trajeto, de
Como a dltima integral de ve
(.i: + x!::i., y, z),
z)
Logo,
e
dz sejam nulos.
ser
INTEGRAQAO
VETORF.s
DE
127
Logo,
q, (z+ �z,
(z,
y, z)-rp
�z
1 =-
y, z)
�z
l
Tomando o limite de ambos os membros quando
Analogamente podemos mostrar que
F = Fii
Logo,
F2j
+
.
Se .
+
F�k
�uq,z
=
·
i
[ Pi F·dr independe do trajeto } pi
po conservativo, Por conseguinte se camente.
aq, (Jy
+
= F2
�x-+ O,
e
aq,
+
k
uz
�
•
temos
aq,
a;- =Fi.
F3•
=
az
�q, j �q, uy
F1 dz
Vq,.
C que liga P1 e P , Fe dito um
2
F = Vq, entao F
cam
e conservativo, e reclpro
Se a integral de linha independe do tra
Demonstr°'lio empregando vetores. jeto, entiio
q, (z,
y,
z)
-
l(z.11,1)
(z1,111.�1)
Derivando, temos
F
: = F :: •
•
dr
=
F
dr •
--
(z1.111.•1l
' Mas
•
l(z,71,1)
: = Vq, �: ·
ds
da. ·
donde
dr
(Vrp - F)- d;" = 0. Como essa igualdade se verifies para qualquer dr/ds, temo s 11. (a) Se F e um campo conservativo, (isto e, F irrotacional).
provar que rot
e
(b)
F
Reclprocamente, se
e conservativo.
(a)
Se
Fe
V X F=0
(isto e, F e irrotacional),
=
V X Vq, =
0 (veja o Problema 27
j Se
V
F=VXF
X F
=
aFa
0, temos
aF2
ay=az,
a Fi aF1
OX
a;-
�· --a;:
=
Vq,.
(a), Ca p ltul o 4).
k
a a a,; a; F2 Fa a aF2 = Fa
=
=
0 donde.
iJF1 (Jy
...
0
provar que
um campo conservativo, temos pelo Problema 10, F
Donde rot F
(b)
F = Vq,.
ANALISE VETORIAL
128
Devcmos provar que F
=
'ill/>
c uma conseqiiencia dessas rela-.oos.
0 trabalho realizado no deslocamento da partfcula de
no campo de for-.a F e
1
(:i:1, 111, z1) at6 (r, 11, z)
F1 (x, y, z) dx + F2 (x, y, z) dy + Fa (x, y, z) dz
onde C e o trajeto de (xi. Yi. z1) ate {x, y, z). Escolharuos como um caminho par ticular os segmentos de reta que ligam os pontos (x1, 111, z1) a · (x, y1, z1) depois a (x, y, z1) e depois (:i:, y, z) e ehamemos de l/>(x, y, z) o trabalho feito ao longo d�sse traj e to particular. Logo,
t/J (x, y, z)
=
f,z
F1 (x, yi, z1) dx +
�
f,11
F2 (x, y, z1) dy +
n
1• q
Fa
(:i:, 11, z) dz
Segue-se que
ot/J Tz =
olj>
T y
=
Fa (x, y, z)
.
F2 (x, y, z1) +
1· T iJFa
•1
�
=
F2 (x,
y, z1)
=
x,
(
C:i;, y, z) 1;1
y,
=
z) dz =
·
F2 (x, y, z1) + F2 (x, y, z) - F2 (x, y, z1) -
F2 (x, y, z).
aq, iii" = F,1 (x, Yi. z1)
=
+ F2
y
+
Fi (x, Yi, zi) +
Fi
(x,
y,
z).
f,11 a;-
(x, y, z1) dy +
[ oFa x, y z j • a;, z) d (
111
(x, y, z1) dy
1•
iJF2
111
Ill
iJF1
T y
+
•i
·
•1
1
iJF -az (x, y, z) dz
INTEGRA9iO
DE
VETORES
129 con
Assim, a condi9iio necessaria e suficiente para que um campo F seja servativo e que rot F
12.
(a)
V X F
Mostrar que F .
f6r1;a conservativo.
ao
=
=
O.
(2:cy + z3) i + ;i;2 j + 3:cz2 k e um
=
(c)
(b) Achar o potencial escalar.
Acha r
se deslocar um corpo nesse carnpo de (1, -2, 1) a (3, 1,
(a)
o
campo de
trabalho feito
4).
Do Problema 11, a condi9iio necessaria e suficiente para que urna
seja conservativa e que
j Temos
fOr�
rot F= V X F = O.
a
VXF=
k
a
a
iJ:c
iJy
a;
2:cy + z3
;c2
3xz2
=
0.
Logo F e um campo de f6r9a conservativo. (b)
Primeiro M�todo.
Temos
pelo Problema 10,
OU
iJrp iJ:c
i +
iJJ!_ j iJy
·
+
.E!I!_ iJz
k = (2xy + z3) i + :c2 j + 3:cz2 k.
Donde (1)
�:
=
2:cy + z3
r��
(3)
(2)
-
3:i:z2•
Integrando, temos de (1), (2) e (3) respectivamente,
q, = :c2y + :cz3 + J (y, z) + g (x, z)
xz3 + h (z, y) Elas representarao
a
mesma fun9iio se fizermos J (y,
z) = O, g (:c, z)
=
:cz1,
h (:c, y) = :c2y donde q, = :c2y + xz3 a qual devemos somar uma constante qual quer. Segundo Mttodo. Como F e conservativa
ate (:c, y, z).
la
F·dt e independente do trajeto C de (x1,111,z1).
Empregando o metodo
4> (:c, y, z)
=
1"' "'l
do Problema 11
(2:cy1 + z13) d:c +
(b).
{" :c2 dy + �Ill
1• �
3xz2 dz =
ANALISE
130
VETORIAL
... :r2y1 + :rz13 - :r12:r1 - :r1z13 + x2y - :r2y1 + :rz3 - :rz18 ... x2y + :rz3 - :r12Y1 - :r1 z13
Terceiro Mttodo.
F
·
Entiio
e
q,
dr
=
V,P
d,P
=
F
·
·
=
dr
dr
=
z2y + :rz3 + constante.
=
aq, d:i: + aq, dy + a q, dz iJy
iJx
iJz
=
d,P.
... (2xy + z3) dx + x2 dy + 3xz2 dz =
(2xy d:c + x2 dy) + (z3 dx+3xz2 dz)
=
d (x2y) + d (xz3)
=
=
d (x2y +xz3)
x2y + :rz3 + constante.
=
Outro Mttodo.
Do
item
(b), q, (x, y, z)
Logo o trabalho 13.
pontos
=
Provar que se
;1
q,
=
i:2
e
a
·
=
202.
dr e independente a trajet6ria que liga dois
f
F
•
dr
=
0 para todos os trajetos
reclprocamente.
Seja P1AP2BP1 (veja a
pois,
F
e P2, numa dada regiao, entao
fechados da regiao,
a
x2y + xz1 + constante.
(3, 1, 4) - q, (1, -2, 1)
figura
abaixo) uma
curva fechada.
integral de P1 ate P2 ao longo do trajeto que passa em A e
fc i ta ao longo do trajeto que passa por B, por hip6tese.
Entao
a mesma
qu e
INTEGRAQAO
f
Reclprocamente, ee
F
DE
VETORES
131
dr = 0, entiio
•
logo,
14. (a) Mostrar que a condii;ii.o necessaria e suficiente para que F1 d:i: + + F2 dy + Fa dz seja uma diferencial exata e que V X F = 0 onde F
""
Fi i + F2 j + Fa k.
(b)
Mostrar que (y2za cos
(a)
Suponhamos que
i; -
4zaz) di; + 2zay sen z dy + (3y2z2 sen :i: -:i:4) dz
e uma diferencial exata de uma funi;ii.o q, e achar q,,
q,
q,
q,
a dy + az a d:i: + ay a dz, F1 d:i: + F2 dy + Fadz = dcp 7fX seja uma diferencial exata.
Portanto, como
x,
y e z sii.o variaveie independen
'
q, Fa= a�
tee, temos
q,
Fi= a
o:i: ,
-
donde
F = F11 + F2) + F3k
Logo
VX F
•
•
Reclprocamente
F
•
dr = V_q,
·
=
F2
-
=
q,
a -:;;uy
q,
uz
q,
a l + ay} a a; ·
·
q,
a k + Tz
T"/,j. V'j'•
=
V X Vq, = O.
VX F
=
0 entii.o pelo Problema 11, F = Vcp e assim
dr= . dcp, isto e, F1dx+F2dy +Fadz=dcp, que e uma diferencial
exata.
(b)
F = (y2 za cos z
-
4zaz) i + 2z ay sen x j + (3y2z2 sen x
deve ser nulo, logo, pelo item
(y2za cos E,
por
q, = y2z3 een
x -
metodos
x4z + constante.
-
temos
4x3z) dz + 2z3y sen x d y + (3y2z2 sen x
qualquer dos x -
(a)
do
Problema
-
z4) dz
x1)
=
12 'achamos
k e V X F
dlf>.
ANALISE
132
Seja F um
15.
campo de f6rc;a
nhamos que uma par tic ula de
e
massa
VETORIAL on se rv tivo tal que
m constan te se
c
a
F= - Vq,.
move ncsse campo
B forem dois pontos quaisquer no espac;o, provar que t/>(:1) +
!mv�= tf>(B) + !rtw�
onde llA e llB siio os m6dulos d os
vetores velocidade
particula em
pectivamente.
Se F= -
(B F
vem
Integrando,
V,P,
F.
Logo
JA
1B F
·
dr
dt
=
dr
m dt
m
dr = 2112
·
dr =
Donde t/>(A) - tf>(B) = !mv�
-18
- !mv�
.
I
B
= A
V't/>
A relac;iio estabelece que
(conservac;iio de energia).
16.
q, =
Sendo
•-t• de
t=O
(a)
ate
a
(b)
Ao
1 4t9 (2ti+ 2 j+ 3t2 k) dt
Logo
i
2t3 2t
e
C,
j 2
-1B
k
t4 3t2
dt/>=t/>(A)-t/>(B).
!mv!
e
a.
energia cin�tica
em
F= - Vq,.
k e C a curva x= t2, y= 2t,
1
t/>dr, (b)lF Xdr.
F = xy i
-
zj
e
=
{1St9dt+k
Jo
F X dr= (2t3i - t3 j -t3
dt
= (2ti + 2 j+3t2 k) dt.
t-o
longo de
2 dt
2
da qual tiramos a relac;iio pedida.
z j+ x2
f.
f1stt0dt + j
dr
( )
q, = 2xyz2= 2 (t2) (2t ) (t3)2 = 4t9, r = x i+ y j+ z k "" t2i + 2t j + t3 k,
dr
Jo
A e B res
1 2 1 2 2mvB - 2mvA.
t=l, calcular as i ntegrais Ide linha (a)
Logo,
=i
d
m
empr�go do sinal menos em
o
F= xyi -
Ao longo de C tem os,
q, dr =
=
Se A
energia. total em A e igual a e nergia total em B
Note-se
2zyz2,
di2
dr =
•
t/>(A) e chamada. de energia potencial em A e A.
d2r
Supo
.
+
f112111dt=.!i+i.j+k. 11 5
Jo
x2
k= 2t3i - t3 j + t' k.
+ t4 k) X (2ti + 2 j + 3t2 k) dt
dt= [( -3t6 - 2t') i + (2t6 - 6t6) j + (4t3 +2t') kl dt
133
la
F X
dr
i
=
-
11
_
10
.!i
( - 3t&
_
-
2t4) dt + j
3
5
.!j +1.k
11
( -416) dt + k
fo
1
(4ta+2t•) dt -
•
lntegrais de superfide. 17.
Da r
limite de
a
uma
1 fA ·n
definic;io de
aoma.
Dividamos a
lf.rea Sein M
elementos de 11rea
Tomemos qualquer ponto P,,, dentro de
Seja Ap - A (x,., y,., Zp).
c;amos
agora a
E eeja
aoma
np M
p•l 2;
onde
A
,
•
nente
ero. �te normal de
18.
a
Mp,
CD,
o unitd.rio
�
positivo normal a
(xp, y,,. • • •
/lSp em P.
,
M.
Zp).
Fa-
Em
eeguida
tomemoB o limite
a
cada Mp tenda
integral de superffcie
da
compo
designada por
A
•ndS.
Supondo que a projec;io da superflcie Mostrar que
l!A·ndS s
1, 2, 3,
•
1!
17).
...
de modo que a maior dimensiio de
sObre S e
figura do Problema
llSp onde p
A11 n11Sp
limite, ee exiete chama-ee
A
uma euperffoie S, como o
cujas coordenadae eao
np �a componente normal de Ap em P,,.
desea 11oma quando M -
para
dS s6bre
=-
S sObre
o piano
fJA·n �. ln·kl Ja
xy
ja R (veja
ee
ANALISE
134 Pelo Problema
17,
VETORIAL
a integral de superffcie e o limite da soma
(1)
A proje�ao de llSp s6bre o piano xy e l(np/lSp). kl 1gual a LJ.XpLJ. Yp donde LJ.S p A
•
A
A
=
flxp flyp I np. k I
OU
lnp. klllSp que e
Logo, a soma (1) fica igual a
llxp llyp Ap·np-��� lnp·kl
(2)
Pelo teorema fundamental do ciUculo integral o limite dessa soma quando
M --+
co
de tal maneira que os maiores llxp e llyp tendam para zero e
C.Q.D.
A rigor, a igualdade llSp
-
I�: ��PI
e apenas
aproximada, mas pode
mos mostrar que diferem, um do outro, por um infinitel:'imo rior
I\
de ordem supe
llxpllyp, de modo que os limites de (1) e (2) podem ser confliderados iguais.
19. do piano
Calcular
11
A·ndS, onde A= 18zi-12j +.3yk
2x + 3y + 6z = 12
e
Se
a
parte
situada no primeiro octante.
A superffcie S e sua proje�iio R no piano xy cstiio indicadas na figura abaixo.
Do Problema 17, temos:
A. n
dxdy In· k 1 •
INTEGRAQAO Para
2:i:
+ 3y
obtermos
+ 6z
12
=
VETORES
DE
lembremos que um vetor
n
(2x
e dado por \7
+ 3y + 6z)
135
perpendicular A
2i + 3j
=
superffoie
+ 6 k (veja o Pro
blema 5 do Capftulo 4). Logo, o unitario normal a S num ponto qualquer (veja figura da pli.gina anterior).
a
n""
Portanto,
dxdy ln·k I
n
7
- -
6
•
k
(
=
.! 7
i +
�j
12 j
+
+
7
7
•
k =
·
�
donde
7
da; dy.
E tambem A
}
�k
n
= {18z i 36z
-
3y k)
36
36 + 18y 7
-
(
.! i 7
-
7
12 - 2x 6
levando em conta que z =
·
-
3y
+
�j 7
+
�k 7
12x
da equa9iio de
.
}
S.
Logo,
Para calcularmos esta integral dupla ao longo de R, mantemos x constante e in tegramos em rela9iio a
y,
de y=O(Pnafigura da pagina anterior)ate
y
(Q figura da pagina anterior); em seguida intcgramos em rela9iio a
12
; 2x
de
x=O
=
x,
ate :i:=6. Desta mu.neira se cobre completamente a superffoie R. Ternos, entiio,
1.6 1.(12-:ZZ)/3
para a integral,
-o
- 2x) dy dx
(6
11-0
=
1.6 (
24 - 12x +
:i-o
Se tivessemos escolhido para positivo o unitario normal
ao da figura da pagina anterior, terfamos obtido -
20.
Calcular
ffoie do cilindro
1f
:z;2
+
y2
A
=
•
16
n
dS,
onde A
=
z
i +
24
:z;
n
4 2 T } dx
=
•
em sentido oposto
para resultado.
j - 3y? z k
situada no primeiro octante entre
e S e a su z
=
0
e z
Pr ojeternos S s6bre o piano xz, como na figura da pagina seguinte,
memos de R essa proje9iio.
24
e
i:e
...
r
5.
cha
VETOBIAL
ANALISE
136
Note-se que, neste caeo, nii.o podemos empregar a proje1;ii.o de S stlbre
o
piano :r;y.
Temos entiio, It
Um vetor normal a z2 + y2=16 e v (z2 + y2)"' 2z i + 2 y j. Logo, 0 unitll.rio normal a S, como mostra a
figura ao lado, e
I .,. ... , ,. ., I 5 \,
n=
...
2z i + 2y j
+ (2y)2
v' (2z)2
visto como z2 + y2 = 16 em S.
A
Logo,
a
•
n
•
R
+
:t
j
- 3y2z k)
1. -1.5
xz + zy d:r;dz = Y
1f
Calcular
do Problema 20.
•
i
( z ! 7d ) ! (zz
de superffcie e igual
integral
1! 21.
(ad
a
5
{4 •-o lz-o
•-O
4' n dS
=
onde
(
xz
Vl6
(4z + S)ch 4'
=-
-
z2
+z
+ :r;y)
) dzdz""
- 90.
: zys
e,
S e
a
mesma
superffcie
Tem os
Empregnn do esta liltima
fj :
.JR
os
integral
-·1 dos re.wta
n
dat
=
z i + yj 4
,
n
: ·15 .lz-0 ( .. : 1.5 (
:ez (:e i + y j) dz dz -
'
1-0
•-o
'Y J - 4 •
·
(z2 z
i + zz
634 z i + 634 zj
)
do
problema 201
V'16
- x')dz d• -
dz - 100 i + 100 j
•
INTEGRA�O DE VETORES
22.
Se
F
=
- 2.cz)j -
y i + (:i;
S e a superffcie da esfera
:&2 + y2 +
=
a2
a
a
y Um vetor normal a
:&
:r;2
-
a
2.cz
+.y2 + z2
V (;i;2 + y2 + z2)
do piano .cy.
acima
ai
ay
d.C
(V X F)-n dS onde.
k
j VXF-
1f
:cy k, calcular
z2
137
�
=
,
=
:&
i + yj
- 2z
k
:r.y
a2 e
=-
2.c i + 2yj + 2z k
%
Logo,
pois
o
unitario normal
n
=-
iJ + y2 + z2
=
n
da
figura acima e dado por
2.c i + 2y j + 2z k + 4y2 + 4z2
x
.Y 4z2
i+yj+z k a
a2•
A proje9io de S s6bre o piano .cy e a i;2 + y2 .., a2, z O (veja a figurn acima).
regiao R limitada pela circunferencia
=
Logo,
=
fRJ } li
(.c i + y j
_
2, k) .
(
x
i + yj + t1
z
k '
)
d:& dy
z/a
=
138
z
onde substituimos fizermos
p
co8
q,,
a
ANALISE
y2•
0 calculo do integral
se
p sen q,
y por
dx
e
-
·
dy
2
2 a p dp df/J V a2 - p 2 3 p2
pcO
=
211' [
1
.p-o
=
[Sendo
F
2r
{ 14>-0 =
p dp
por
4xz i
=
x
(aB - a3) dtf>
2 - a2) + a p dp df/J V a2 - p2
3 (p2
.p �
=
a2
V a2
- I p2
a
-
p-o
J df/J
=
1 f dS S F·n
onde
e a· su
perf!cie do cubo limitado por
x
=
c �-----""!1118
1, y
=
=
0, y
1,
z
n =
Face DEFG:
0,
=
i,
x
z =
x =
1.
Entiio
D 0
=
Face .ABCO:
n =
{ J
JABCO
Face ABEF:
{ J
}ABE�
F .
n
F
n
•
dS
n
.
x i=
0.
1 1
( { lo lo
y
=o
1.
dS
"'
i=
fo1 fo1
4zdydz
=
2.
�t.iio
=-
j,
=
i;
=
0.
yz k, calcular
"
por
E a integral se transformn em
12,,.o lp-oa
(a2 - p2)a/2
- y2 j +
df/J.
•
se
simplifica
transforma�iio para coordenadas polares, isto e, substituindo
1.p-o2..- la
23.
-
V a2 - x2
por
VETORIAL
(-
2 y
j
+ yz k)
( - i) dy dz =
·
Entao
dx dz 1111-dxdz-=-1. (l { 1 (4xz i lo lo
j
+
z
k)
·
j
=
0.
=
O,
1.
INTEGRAgAO Face OGDC:
= - j,
n
y
=
0.
Entiio
= 11 Jo{1 = { f n S 111·1 JBCDE .f
{ JoGDC
Face BCDE:
F
·
dS
n
VETORES
DE
(4.r.z i)
·
u
n
=
F
·
k,
I.
z
d
13{)
(- j) d.r. dz = O.
Entiio
=
o
(.i.c i -
O
y2 j + y k). k rlx dy =
n { JF·ndS= Jof1 Jof\-y�jl·(-k)dxdy=O, JAFGO
Face AFGO:
=
z
=
0.
Ent:io
1 f ·ndS = F
Somando vem
24.
k,
2 + 0 + ( - 1) + 0 +
!
+ 0
=
;.
Quando operamos corn integrais de superf!cie n6s nos restringimos
a�
superf!cies de duas faces. Dar um exemplo de uma superficie que n3o e de dua� faces. Tomemos uma tira de pnpel ABCD, como a da figura abaixo.
as
Liguemos
extremirlades, dando antes uma tor�iio,
de modo que A e B caiam s6bre D e C respectivarnente.
Ar--------------... c
Sen e 0 normal posi- B.._
que quando
n
JI)
_____________
AD
tivo no ponto P da superffcie, verificarnos der uma volta cornpleta
s6bre a superf!cie, chegara de volta o P corn o sentido
invertido. Se tentarmos
colorir somente a
face
intcrna
mente a externa, veremos que
ou so·
tllda.
a
tira fica colorida. Esta 8Uperffcie, cha mada tira de Moebius, e nm exemplo de uma superffcie de uma face.
As
vllzes chama-fle
superffcie niio orienlavel.
Ao
passo que uma superf!cie de duas faces e orientdvel.
Integrais de volume. 25.
Se
4x + 2y +
cf> -=
z-=
45x2y e V designar a reg1110 fechada lirnituda pelos pianos
8, x
=O, y = 0, = 0, z
(a)
exprimir
f!vf
mite de uma soma. (b) calcular a integral do item (a).
cf> dVcomo
o
Ji.
ANALISE VETORIAL
140
k
(a)
Divi
.
I, 2,
=
.
.
a
regiiio V cm Jf cubos
..:l:c1c ..:ly1c iiz1c,
·-
(z1c, Ylc, z1c) um rf>k· 4' (z1c, Yk1 Zk)
, ]{ como esta indicado na figura abaixo, e seja Defi11amos ainda
dentro de um
ponto
,.
0 limite da soma
OI!
feita para todos
cubos
da regiiio, quando M
posl!iveis
-+ oo
modo que ..:l Yk tenda para
, de ta.I
/!vf
existe,edesignado por
\.-�1 �--::::if.-----1'
se
zero,
ef,dl'.
Pode-se mostrar que asse limite in
depende .do metodo
se ,,.
f6r continua em tOda a regiiio V.
Ao formar a soma
(1)
corn todos os
cubos poss!veis da regiiio, eaco �selhit
vel seguir uma determinada ordem. Um ·caminho, por exemplo, e somar primeiro
(1) correspondentes ao:i Vf)lumes elementares contidos numa PQ, da figura acimn.. Isto implies. em <'onservnrmos Xk e Ylo todoi:i os zr.'s. Depoi�, eonserva1mos zr. fix<> e somarmo�, va
todos os termos de
roluna, tal eomo
fixos e somarmos
riando os yk's. Isto e a mesma coisa que sorilarmol.' tOda!I a� colunas,
PQ,
ta!· como
contidas numa IAmina RS, ou, o que da na mesma, somarmos todos os cubos na
contidos
ta! lAmina.
Finalmente, fazemos va ri ar
:Ck·
lsto implica em somar
mos t6das as lamina� possiveis.
No processo csb()(,:ado a �oma foi feita primeiro sobre
Yk's e finalmente sobre cos Xk's. qualquer outra ordem.
'!ef
(b)
z •
0 (base da coluna
Em seguida, <'Onservamos ate y
=
Zk's, depois sob re
As mesmas ideins apresentadas no metodo Ja soma do item
utilizadas no cnlculo da integral.
dcs
OS
4
piano zy
2z,
-
(z
o
z
OS
Entretanto, pode, evi
PQ)
Mantendo
ate
z
""
8
-
4.i:
(a)
podem
:i;
e y Constante�, integramos
-
2y (cabe.-;a da coluna
cons tante e integramos em rela.-;iio
a
PQ).
y desde y
=
0
que equivale a soma de tOdas as colunas cujas bares estiio no
O) e numa linha paralela ao eixo dos y e a um,a distancia Xk do
=
piano yz, y variando, portanto,
do piano dado no piano
zy,
isto e, 4z + 2y
=
=
8,
0) z
ate S (que estii sobre o tra<;o =
0,
OU
y
=-
4
-
2x).
Final
mente, somamos tOdas as l:'llninas paralelas ao piano yz, o que equivale a inte
grn<;iio d e sde
x
.
ate
F:, entiio, podemos escrever
14-2:1: 18-4:.-211 =
0
ll-0
z
=
2.
•-0
=
=
45 .c2y dz rl y d:c �
45
12 14-2z .i;=O
i., �
.--o
=
y=O
1
3 .c2 (-!,
-
��-�-���= . 2.i:)3 d.c
=
12�
•
DE
INTIWRA�AO de
Nota:
"' - 45 :c2 y. 26.
Seja F
=
2xz i
- :c
z
(c)
e
:c
=
Podemos cobrir Mda a regiiio V :c1
ate
z
con ee rvan do :c •
-=
a
cujn densidade
vari11 segundo
J!vf
0, y = 0, y
(a)
q,
-
6,
con servando :c
a
Illal!8&
formula
F dV onde V � a
2 z .. :c , z
•
constante
integral pedida
4.
e y constan te s e integrando
e
in te grando de y :c
=
c
0 ate
""
:c ..
0 ate y
-
2 (on de
6 (de R a S da !Amina),
z "' :c2
intercepta
z
•
r=6
I
I
---
____________
_J/
;
/
.r
12
z•O
- i ·
re
4 (de uma extrem idade a outra da coluna PQ), (b) em ee guida,
finalmente integrando de
Entiio,
e
+ y2 k. Calcular
j
giiio limitada pelas superflcies
de
141
Fl�icamente �sse resultado po
corpo que ocup11 a regiiio V
um
VETOR:ES
rs J11•0
J.'
1•zt
(2:cz i
- :c j
+ y2
k) dzdy dx -
r rs {' 2xz dz dy dx - ; r r 6 {' Jo Jo J Jo Jo J,,2
2
2
+k
12 Jo{ 5 J,,2{' u
y2dzdydx
..2
=
128 i
-
:c
dz dy dx +
24j
+
384 k.
4).
ANALISE
142 27.
VETORIAL
A char o volume da regiiio comum aos cilindros
x2 +y2 = a2 e
.i;2
+z2 = ai.
Volume pedido = 8 vezes o volume da regiii.o indicado na figura acima
- 8
la 1Va2-x21.Va2-z2
- s
y=O
1a J va2-.,2 x-0
-
o
z-o
v' az
.:.__
x2
dz dy di;=
dy dx
=
y-0
s
la
z-o
1 (a2 - x2) dx = 16a 3
PROBLEMAS PROPOSTOS
Se R (t) = (3
28,
(b)
l
t
R
(t) t d.
12
- t) i + (2 �61) j - 4t k, achar (a)
Resp.
29,
Calcular
A
(t3 -
12/2)
R
(t) dt
e
i + (21 - 312) j - 2t2 k +
(b) 50 i - 32 j - 24 k. (3
sen u
i + 2 cos u j ) du.
Resp.
3
i + 2j.
Se A (t) =ti-t2j +(t-l)k e B(t) ,;,2 t2i-!-6tk calcuhu (a)
30.
12
11f/Z
(a)
f
·
B dt, (/J)
fo2
A X B dt.
Resp.
(a) 12, (b) - 24 i - 40/3 j + 64/5 k.
c
INTEGRA�AO 31, eular
(a)
32.
= e-t i
f1 A -
2
A· BX Cdt, (b}
acelera<;iio a
t = O,
v
v
Se a velocidade
v
0 e
o deslotaniento
e
r
forem
e r num tempo qualquer.
= (1 - e-1) i
r = (t a
Cal
; i - �4 j+ 1: k.
de uma partlcula num tempo qualquer t �
achar
-
-
(3 t2+ 6 t) j+ (3
3
-
1 + e-1) i - (t3 + 3 l') j+ 3 t
cos t)k -
3
de um corpo num·tempo qualquer e da
l!lln
=
a
t) k. -
gj
No tempo t = 0 a velocidade e dada por
onde g 6 uma constante. v
C=3i+tj-k.
e
8
(a) 0, (b) -
Resp.
A acelera<;ao
143
f2 AX (BX C) dt. . 11
6 (t + 1) j + 3 sen t k.
nulas no tempo
33.
VETORES
A=ti -3j+2tk, B=i-2j+2k
Se
Resp.
a
DE
= vo cos Oo i + vo sen Oo j
e o deRlocamento porr = O. A c h ar
v
er num tempo qualquer t >
0. ·I!:
a
equa
<;iio do movimento de um projetil lan<;ado de um canhiio inclinado
80
corn o eixo dos
x
_
e corn velocidade inicial de valor absoluto igual
Resp.
v
Calcular
13
- 2j + 3 k. 35.
A
·
= (vo cos 80) ti + [ (vo sen Oo) t - ! gt2] j.
dA/dt sendo A (2)
=
2i
-
j+2k e A (3) = 4 i
-
Re.•p. 10.
Achar a velocidade de area
da trajet6ria r=a cos wti+b sen wt j, onde
Resp. 36.
�
= vo cos Oo i + (vo scn Oo - gt) j
r
34.
a vo
a,
b e w siio constantes e t e o tempo.
! a b w k.
Provar que os quadrados dos periodos dos planetas nos seus movimentos
ao redor do sol siio proporcionais aos cubos dos eixos maiores de
suas
trajet6rias
el!ticas (terceira lei de Kepler).
37.
Se A = (2 y + 3) i
= xz j = (yz
-
x) k,
calcular
la
A
·
dr
ao longo
(a) x = 2t2, y=t, z=t3 de t=O a l=l; (b) as re tas pontos (0, O, 0), (0, 0, I), (0, 1, I) e (2, 1, l); (c) a (2, I, 1).
dos s�guintes trajetos C:
que
Jigam sucessivamente os
reta
que liga
(0, 0, 0)
a
Resp. 38.
(ll) 288/35, (b) 10, (c) 8.
Se F = (5.cy- 6.c2) i + (2y
curva y =
x3
do
piano xy, Resp.
do ponto
35.
-
J.c)j,
(I, l)
ao
calcular ponto
1
(2, 8).
F
·
dr ao longo da
.ANALISE
144
:;9.
Se F
do plano :r11 e
"'
(2x + 11) i + (3y -
formada pela8 retas
VETORl.AL
:r) j calcular
1
F
dr onde C � a linha
·
que ligam sucessivamente os pontos
(0, O), (2, 0)
(3, 2). Resp. 11. Achar o trabalho feito para se deslocar uma partrcula no campo de fo�a
40. F
-=
(b)
3:r2 i + (2 zz - y) j + z k
da curva z .. 2t2, 11
nida por
:i:2 -
Reap.
11, 3:r3
4
fechada
8
z
(a)
ao longo
de
:r
0 ate z
==
(0, 0, O) 1; (c) da
da reta que liga
4t2 - t de t
-=
.., -=
0 2.
atk t
-=
a
(2, 1, 3);
curva defi
(a) 16; (b) 14,2; (c) 16.
fc
Calcular
41.
..,
1
t,
•
F
·
z -= 2 cost, 11 -= 3 se� t, 6
Resp.
r, 11e
== (z
dr onde F
.;...
3y) i + (y
do piano zy,, de t
C for percorrida
-=
-
0 ate t
2z) j
e C e a curv11
211".
•
no sentido pollitivo (contrl!.rio ao dos
pon
teiros do rel6gio).
42.
um
Se T e
vetor tangente unitll.rio
a
curva C,
r - r
(u),
mostrar que o
trabalho feito para se deslocar uma particula num campo de f6n;a F ao longo
de C e dado por
43.
Se F
1
•
F
(2z +
(a)
-
(a)
Calcular
f
• •
-
e
o
comprimento do arco.
4z) j, calcular
indirado, (b)
fc
F
•
dr
ao
redor do
no eentido contnl.rio.
•
,
Fig. I
A
s
no eentido
14 14 ; (b) 3 3
1
44.
onde
y2) i + (3y
triangulo C da Figura 1,
Reap.
ds,
T
·
Fig.
A c
(z - 11) i + (z + y) j. Reap. 213.
•
2
dr ao longo da curva fechada C da Fig. 2 acima
1e
INTEORA�AO 45.
Se A
(y - 2z)
•
DE
145
VETORF.S
i + (3z + 2y) j,
calc u lar a
circula�4o de A em t6mo
de uma circunfe rAncia C no piano xy, de centro na origem e raio igual a 2, sendo
C percorrida no sentido positi vo . Resp.
46 •
(a)
.
(4zy
Se A•
-
8
3z2z2) i+2z2 j-2z3z k, provar
pende da curva C que liga dois p on tos dados.
vavel
c/> tal
qu e A
Ve/> e achar
-=
,
(a)
47.
Provar
que F
•
(b)
(b)
que
1
A• dr inde
M ost rar que ha uma fun�4o deri
el!lsa fun�ao.
(b) c/>
Reap.
# uma f6r�a conservativa.
r.
- 2x2y -
x�z2 +
constante.
(y2 cos z + z3) i + (2y sen z - 4) j + (3zz2 + 2) k Achar o potencial escalar de F. (c) Achar o tra
balho realizado ao se deslocar um c orpo no campo dessa f6�a de (0, 1, -1)
(r/2
a
- 1, 2 ).
Reap . 48.
(b) q,
- y2 sen
r
Provar que F +
+ zz8
r'r
- 4y + 2z + constante ;
e conservativa
)leap.
"9.
q,
Verificar se o campo de f6� F
e
15 + 4
r.
achar o potencial escalar. ,,
-
•
(c)
T
+ constante.
2zz i + (:r2
-
y) j + (2z - z2) k e
coneerv ativo ou nlo.
Reap. 50.
N4o.
Mostrar que o trabalho realizado s6bre uma partlcula que
se
desloca
de A ate B e igual a varia�ao da energia cinHica; quer seja o campo de f6�a con
eervativo ou nilo.
Calcular
51. ate
(I, O, 1)
1
A· dr ao longo da c urva
no sentido poeitivo, sendo,
A-
z!
+ y2 - 1,
(yz + 2x)
z
I,
1)
+ (xy + 2z)
k.
.. 1, de
i + xz j
(0,
Reap. 1'.
(a)
62. achd.-la.
(b)
Se E
•
Calcular
have rd. uma fun�fio cl> tal que E
rr,
f
-=
-
Vq,?
Se houver,
E· dr se C e uma c urva simples fechada qualquer.
c
Reap.
uma
..,
r•
-3
+ constante;
diferencial exata.
(2z
cosy +
z
sen y) dz
(b)
+ (xz cos y-x2 sen 71) dy +x sen E da( resolver a eq�4o dife re nc ial
Mostrar que (2.i cos 11+z sen y) dx
63. f
(a) q,
+ (xz cos 71
-
Rup.
:i2 sen y) dy
+ x sen 71 dz
•
0.
z2cos11 + xz sen 11 - constante.
0.
71 dz
ANiLISE VETORIAL
146 Resolver
54.
Resp. 55.
(a) e (b)
e
(a)
(e-11 + 3x2y2) dx + (2x3y - ze-11) dy = O.
(b)
(z- e-"' sen y )dx + (1 + 'r"' cos y) dy + (z -8z) dz = 0.
(a) ze-11 + x3y2 = constante. Se = 2.cy2z +
a curva
z2y, calcular
z = t, y = t2, z = ta
(b) zz + e-"' sen y+y
1
dr
de t = 0
Se F = 2y i
56.
- zj +
k, cal ul ar
x
c
l = cos I, y = sen t, z = 2 cos t de t
=
t = 1;
a
Se A =
f
(3.c +y) i -
.c
a
(1,1,0), e depois a (1,1,1).
1 11 9 1+ • J• + 75J• 45 15 77
(a )
la
1 J• + 2k (b) 2
•
F X dr ao longo da cur va
0 a t = 7r/2.
(2 - : )
Resp.
57.
4z2 =constante.
onde C
form ada pelas retas de (0, 0, 0) a (1,0,0), depois
Resp.
-
j + (y - 2) k
e
i + (7r - !J j
•
B = 2i - 3j + k, c(ilcular
(A X B) X dr ao lon�o
ceu
tro na origem e r io 2, percorrida no sentido posi tivo .
a
Resp.
1f
58.
Calcular
(a)
A = y i + 2.c j - z k
A
•
47r (7i + 3j).
n dS para cada um dos seguintes casos:
e
S e a superffoje ·do piano 2.c + y = 6 no pr.i,..
meiro octante cortado pelo plano z = 4.
(b)
A = (.c + y2) i - 2.c j + 2yz k e S e a superffoie do piano 2x + y + 2z = 6
no primeiro octante.
Resp. 59.
Se
F
= 2y i
-
z j + x2
k
e
(a) 108;
Se a superficie do cilindro parab6lico y2 =Bx
no primeiro octante limitada pelos pianos y=4 Resp. 60.
Calcular
1f
mitada pelo cili ndro
+ (2.; + y) j
-z
x
2
(b) 81.
e
z=6, calcular
132.
1 fF
·n
dS.
A·n dS ao longo de t6da a superffoie S da regiao li
+ z2= 9,
x
= O, y
=
0, z = 0 e y = 8, sendo A=fiz i+
k. Resp.
18
7r.
INTEGRA<;AO
61.
1fr•
Calcular
n
DE
VETORES
pS ao longo: (a) da superffcie S do cubo unitario
limi�ado pelos pianos coordenados e pelos pianos
.c
f!cie de uma esfera de raio a e centro na origem .
Resp. 62.
1f
Calcular
63. a a
Re�p.
A·n dS ao longo de t6da a superffoie na rngiao acima
= .c2 + y2 e pelo piano z = -1, sendo A = -1.cz i +
32011'.
(a) Se R f6r a projeQao de uma superffoie S sobre o piano .cy, provar que
area s e dada por
lf �
1 +
equaQao de S.
(b)
=l, y=l, z=l; (b) da super
(b) 411'aa.
(a) 3;
do piano xy limi tada pelo cone z2
+ .cyz2 j + 3 z k.
147
( ;; r ( :: r
d.crly, sendo z=J(.c, y)
+
Qual seria a area de S se sua equaQao fOsse F (x, y,
z) = 0?
r ( �� r �� � r �� ( ( Re.•Jl·lf [ _Q�_ +
+
!
i az
dxdy.
I
64. A char a area da superf icie do p iano x + 2y 2z 12 cortado por: + x = O, y = 0, .c = 1, y = 1; (b) x = O, y = 0 e z2 + y2 = 16. Resp. (a) 3/2; (b) 6 11'. =
(a)
e
.c2
6E. +
z2
A char =
a
area da su pcrffcic da regiao comum aos cilindros .c2 + y2 = cor tam . Resp.
66.
a2
a2 que se
Calcular (a)
16a2•
1f
C'V X F)
· n
dS e (b)
1f
cp n dS sendo
F = (x + 2y) i - 3zj + xk, cp = 4x + 3y -2z, e S a superf!cie de 2.c+y+2z= = 6 limitada por x = O, x=l, y = O e y 2. =
Re,•p.
(a) 1;
(Ii) 2i + j +
2k.
67. Resolver o problema precedente sendo Sa superffoie de 2.c+y+2z lim i tada por x = 0, y = 0 e z = 0. Resp.
68.
; 1f.../
Calc ular
tada por x2 + y2
(a) 9/2;
=
6
(b) 72i + 36j + 72k.
2 + y2 dx dy ao longo da re gi iio R no piano xy limi
=
36.
Resp.
144
r.
ANALISE VETORIAL
148
JJ:_J
69. cilindro
Cal<'ui:Lr z
=
4
-
x2 c
(2x+y) dl', onde r c x •
pclos pianos
0, y
a
regiao
Rup. 70 .
(h)
Sendo
.
Jff
x =
F..;,(2x2-3z)i
-
V X F dl", onde V
0, y = 0, i
==
0
e
2x + 2y +
a
t
-
regiiio
O.
80,rJ.
2xyj-4xk, calcular
e
z -=
0, II -= 2 e
""'
fechada lirnitada pelo
(a)!!.!
fechada
lirnitada
V·FdV
pelos
pianos
4. Rup.
(a)
:;
(b)
:
(j
e
-
k).
CAPiTULO 6
TEOREMA DA DIVERGENCIA, TEOREMA DE
STOKE
E
TEOREMAS DAS INTEGRAIS
0 teorema da divergencia de Gauss diz que se V e. o vo lume limitado por uma superffoie fechada. S e A, uma. fun9ao vetorial de posi9ao com derivada.s contfnuas, entao
J!vf
V ·AdV =
1!
A· ndS =
#c
A· dS
onde n e o vetor normal positivo a S.
0 teorema de Stoke diz que se S e uma. superffoie
aberta
de dua.s faces e limita.da. por Uma curva. 0 fecha.da. e que nao corte a si mesma (curva.
fechada. simples),
entao,
se
A tern deriva.das
c ontfnu as,
fa
A
·
dr
=
1J _
x A) · n as
=
1j
(V x
A)
.
as
onde c e percorrida. no sentido p ositivo . Diz-se que o sentido de 0 e p ositivo qua.ndo um observador a.n da.ndo sobre a linha. lim1trofe de S ncsse sentido e na face positiva.
dela., deixa. a sup erficie do la.do esquerdo.
Teorema de Green no piano.
Se R fOr uma regiao fechada.
do piano xy limitada. por uma curva simplcs fechada. C c se .�[ e N forem func;5es continuas de x e y corn d eriva
£ Jc
M dx + N dy
=
f JR
j( aN - aM) . ax ay
dx d11
ANALYSE
150
VETORIAL
onde C e percorri� a no sentido positivo (contrario ao dos ponteiros do rel6gio). sempre
0
fc
A menos que se estabelei;a o contrario consideraremos indicando que a integral e efetuada no sentido positivo.
teorema de Green no piano e um caso particular do teorema
de Stoke (veja o Problema o
4).
Alem disso, e interessante notar que
teorema de divergencia de Gauss e uma generalizai;ao do teorema
de Green no piano, onde a regiao R (piano) e seu limite fechado (cur va) C foram substituidos por uma regiao V (espai;o) e seu limite fe chado (superficie)
S.
Por esta razao e que se chama, geralmeute,
o teorema da divergencia de teorema de Green no espai;o (veja o Pro blema
0
4). teorema de Green no piano vale tambem para regieies limi ta
dos por um m1mero finito de curvas simples fechadas que nao se cortam (veja os Problemas 10 e
11).
Teoremas das integrais. 1.
·� 2.
lt
f!vf [V2if;
+ {V). (Vl/t)] dV=
1.f (Vi/;). as.
a chamada primeira identidade ou teorema de Green.
Jf,�(
(\121/; - if;V2) dl' =
1! (\ly1 -
if;V) . dS.
a chamada seg un da identidade ou teorema simetrico de Green.
Yeja o Problema 21.
3.
!ff V XAdV= 1! (nXA)dS 1! =
dSXA.
N ote-se que aqui o produto escalar do teorema da divergencia de Gauss foi substituido pelo produto vetorial.
4.
� dr = 1! (
n
X V)dS =
Veja o Problema 23.
1! dS X
V .
TEOREMAS
5.
I/;
Se
:
DIVERO:�NCIA, STOKE E INTEGRAIS
151
representa uma fun9ao escalar ou vetorial conformc
o simbolo o designe um produto escalar ou comum ou um produto vetorial, ternos
JJ.JVo I/; 1 J n o I/; 1JdSo I/; f dr I/; 1 f (n V)o I/; 1 f ( dS V) o I/; . dV
0
c
dS
=
dS
X
=
=
X
=
0 teorema da divergencia de Gauss, o teorema de Stoke igu·aldades 3 e 4 sao casos particulares destes.
e
as
Veja os Problemas
22, 23 e 24.
Forma integral do operador V. terminologia ·do Problema 19, que
s imbolicamente na forma
Vo= lim -1t:.. v->0 AV ·
onde
0
o
E
de interesse,
operador
,ff..
'J-:f"st:.
V
usando a
possa ser expresso
dSo
designa um produto escalar, vetorial ou uma multiplica9ao
corn.um (veja o Problema 25).
A rela9ao se mostra util na extensao
dos conceitos de gradiente, divergencia e rotacional para outros sis
temas de coordenadas que nao o retangular (veja os Problemas 19,
24 e tambem o Capitulo 7).
PROBLEMAS RESOLVIDOS
Teorema de Green no piano. 1.
Provar o teorellltl de Green
no plano sendo C uma curva fecha
da
que
tern
a propriedade de kier
cortado no maxirno em dois pontos
por qualqucr
reta paralela aos eixos
coordenados. Sejam -y
Y1 (x) e y -= Y2 (x) e AFB
as equai,:6es das curvas AEB =
(veja figura ao lado), riispectivamen
te. Sendo.R temos
a
,
regiiio limitada por C,
B
--0-+----' .o . ------'--"- --"' ,,
ANALISE Yl�1'0RIAL
152
Jf R
-oy iJM
jb [ 1Y2(z)
dxdy=
=
.• -a
lb
z-a
M
Logo,
�'OeS das curvas EA.F
e
M dx ""X1
EBF.
Anhloga.mentR, sejam
;i;
=-1' [ ;• Logo,
(2)
(l) y
(y)
e
Entil.o
.
;i; =
d.c
b[
J a
�
Ndy
=
M
f
'
(I }0
:e2,
-C
Ndy.
iJN
dy.
i) _ y
Verificar o teorema. de Green no
piano para.
(] e a.
fc
(zy + y2) di! +
;i;2
dy
curve. fechada. da regiai.o =
;i;
e
y
=
.:2.
0 sentido positivo do percurso de (] e 0 indicado na figure. ao kdo. =
;i;
e
a integral de linha e igual
( (z) (z�) + ;i;4) dx + (x2)
f
d;i;dy.
ox
R
.
=
=
=
y (1, 1).
y
M dz.
dxdy.
N(X2,y)dy
1! ��
onde
Ao longo de
JctC.
] dy ,.
limita.da por y 0
J d:e,.
(.r., Y2)-M (x, Y1)
X2 {y), re�pectiva.mente, as equa
2.
(1,11
=
a::
N (X�, y) - N (X1, y)
M d;i; + N dy
e (2), vem
==
]
dy
- - fnj
N(Xi,y)dy +
=
Soman do
l"1(z) oy
(.r., y) I1 y2 dx I 11•Y1(z)
f
(1)
11-
i).If
-
(2x) d.c
=
j(0
'
y
= :r;2
cortam-se em
a
(3z2 + z-') d:c
=
19
.20
•
(0, 0)
e
TEOREMAS:
Ao longo de y
DIVERGENCIA, STOKE E INTEGRAIS
. . 1 a D onde, a mtegral d e 1·mha ped'd
=
=
=
c 0
fJ(x
J
O)
de (1, 1) ate (0,
= x
-
2y)dxdy
=
I
d (x - 2y) y
z3) dx
=
HJ 20 - 1
- 2y)dyd.i:
]
dx
=
1
I (xy
- .1;2)
! :2
dx
20
te orema c, pois, verificado.
3. Tornar extensiva as curvas que possam ser c ortad s em mais de dais pontos por paralela� aos eixos coordenados a prova do tcorema de Green no pi n o, dada no Problema 1.
a
a
r
da C, da figura ao lado, que pociP
Consideremos a curva fccha-
ser cortada em mais de dais pon
-
tos por retas paralelas aos eixos coordenados. Tra<;a n d o se a reta ST a regi:fo fica dividida cm duas outras R1 e R2 quc siio do ti po considerada no Prohlcma 1 c pa ra as quais se aplka o tcorema de Green, isto e,
-
(1)
(2)
( JI dx + N dy JSTUS
1
Sl'TS
a
=
z=O
1 [ f2x 11 -
a
in teg ral de linha c ig u l
[I {" (x J Ju =r2
=
R
(z4
a
I !i3
Md.i:+Ndy
=
0
( J
Ri
=
v
f ( a;'_
1! ( R2
u.i:
ax ·� u.i:
- iJ:iM uy
-
)
rl:i; dy.
)
dxrly.
a 11
-iuy
=
ANALISE VETORIAL
154
Somando os membros esquer �ps
de (1)
(2), temos,
e
omitindo o integran do
M dx + N dy em cada caso,
1TUS 1VTS 1T !rus 1VT +ls lus ll'T lusVT +
+
+
=
onde levamos em conta que
+
=
1T
=
-
=
ls
Somando os membros direitos de (l)
e
(2),
temos, omitindo o inte gr ando,
(
aN ax
onde R e formada pe las regioes R1 e R2.
Logo,
M dx + N dy { JTUSVT
=
f JR
J
- -a:f ) Y
dx dy C.Q.D.
Uma regiao R, como a considerada neste e no Problema 1, para a qual qual quer curva fechada situada em R p ode ser continuamente reduzida a um ponto sem sair de R, e chamada uma regiao simplesmente ligada. Caso c on tr ari o e dita multiplamente ligada. Pro vamos que o teorema de Green no plano se aplica as teorema para regioes simplesmente ligad s No problema 10 gener_alizaremos regioes multiplamente lig da s
aa . .
Para regioes simplesmente ligadas, de aspecto mais complicado, pode ser necessario o trai;ado de mais linhas eomo a ST, p ara que se possa estabelecer o teorema. 4.
r =
·
Exprimir o teorema de Green no piano corn
Temo s M dx+N dy = (Mi+Nj) (dx i+dy j) = xi + yj donde dr = dxi + dyj. Tambem, = Mi + Nj temos
sendo A
VXA=
donde (V X
A)
j
k
a a;
a ay
a a;
M
N
0
·
k
aN ax -
= --
_
a
notai;iio vetorial.
A·dr, oncfo A
aN aM + i az + az }
aM ay .
Logo, o teorema de Green no pian o pode ser escrito
�A· 1! dr
=
onde dR = dx dy.
('V
X A)· k dR
(
aN ax
_
=
Mi+Nj e
aM ay
)
k
TEOREMAS: DIVERGENCIA, STOKE E INTEGRAIS
155
Uma generalizac;iio deste resultado para superffcies S do espac;o limitada por uma curva C leva ao teorema de Stoke que e provado no Problerna ::31.
Outro M etodo. Ja vimos que M dx + N dy =
=A; dr =A· .!!!_ds =A· Tds, ds
�:
onde a
= T = vetor unitario tangente
C (veja a figura ao lado).
o unitario
Sendo n
normal exterior a C, temos
T = k X n, donde M dx + =A
N dy =A ·
V
·
0
(k X n) ds = (AX k) · nds.
·
Como A=Mi+ =
-+-----S
T ds =
Nj,
B =AX k= (Mi+
��
Nj) X k=Ni.- Mj e
-
-�·:f
Entiio o teorema de Green no piano da
B.
f
c
B
n ds =
·
1!
V
·
B dR
onde dR =dx dy. Generalizando este caso pela substituic;ao da diferencial do comprimento de arco ds de uma curva fechada C pela diferencial da area dS de uma superficie fechada S, e da correspondente regiiio'plana R limitada pcla curva C pelo volume
V limitado por S, chegaremos ao teorema da divergencia de Gauss ou tcorema de Green no espa�o.
1! 5.
B
·
ndS=
!Iv!
V ·BdV.
Dar a interpretac;iio flsica do prirneiro resultado do Problema 4.
Se A designar o campo de f6rc;a que age sob.re uma particula, entiio
f
c
A·dr
e o trabalho realizado para se deslocar a partlcula ao longo de urn trajeto fe chado C
e
edeterminado pelo valor de VXA. Segue-se, em particular, que sendo
V X A= O ou, o que ea rnesma coisa, A= V
SC
e
Esses resulta
ja
foram demons
curvas no e3pac;o (veja o Capftulo
5).
a integral e independente do trajeto que liga dais pontos
qu!iisquer de uma regiao, isto e, se
a
integral· ao longo que qualquer trajeto fe-
ANALISE VETORIAL
156
= O. No plano, a condi9iio V X A = 0 e equiva iJM/iJy = iJN/iJx onde A Mi + N j.
�hado e zero, entiio V X A lente a condi9ii.o
Calcular
6.
:i;4 - 6xy3
=
4y2.
1(2,1) (0.0)
=
(lOxt - 2xy3) dx - 3x2 y2 dy
A opera9ao direta e dificil.
ao
longo
Entretanto, notando que M
=
da
curva
10x4 - 2xya,
N=-3x2y2 e iJM/iJy=- 6xy2 = iJN/iJx, verificamos que a integral e i ndepe n
dente do trajeto.
Logo, podemos
empregar
formado pelos segrnentos de reta que ligam
(2, 1).
e
Assim, temos:
. J.2
Ao longo do segmento de. reta de
c igual a
z=O
f
1
11-0
outro, por exemplo, o
sucessivamente os pontos (O, O), (2, 0) at e
(2, 0), y = 0, dy = 0 e a integral
10 x4 dx = 64.
Ao longo do segmento de reta de
e igual a
(0, 0)
qualquer
(2, O) ate (2, 1),
x
= 2, dx
- 12y2dy = -4.
Por conseguinte, o valor pedido para a integral e
64
-
4
=
=
0 e a integral
60.
Dutro M etodo.
Como iJM/iJy iJN/iJx, (10x4 - 2xy3) dx - 3x2y2 dy e uma diferencial exata 2x6 - x2y3). Logo, =
(de
1(2.1)
(10x4-2xy3) dx-3x2y2 dy=
(O,Q)
.
t iC
chada c e dada por
Ia
·
a
1! ( ;
y
area procurada.
Achar a area da elipse
Area=!
=
t
.f0
xdy-ydx=}
(x)-:
Assim,
A 8.
'
(0,0)
=60.
xdy :_ ydx.
x dy-ydx =
onde A e
I (21)
superffoie limitada por uma curva simples fe
No teorema de Green fa9amos AI
f0
d(2x6-:e2y3)=2x6-x2y3
(0,0)
Mostrar que a area da
7.
f°(2,l)
=
t
=
x.
Logo,
:y (-y)) dx dy = 2 1/ dxdy=2A
f
x= a
i2r
= -y e N
x dy - y dx
c
cos 8,
y
=
•
b sen 8.
(acoa8)(bcos8)d8-(bsen8)(-asen8)d8 =
/"2� ab (cos2 8 + sen28) d8 0 J
/'2r =
!
J0
ab d8 = 7rab.
DIVERGENCIA1
TEOREMAS;
ra
(a)
abaixo:
(a)
e a
f
Calcular
9.
(y
c
-
x) dx
scn
STOKE E INTEGRAIS
+cos x dy, ondc C e o triangulo da figu
diretamente; (b) empregando o tcorcma de Green no piano.
=
Ao longo de OA, y
integral 6 igual
dy=O
0,
Y
a
B
(7rf2 (0 - sen x) d;c +(cos x) (0) = Jo.
=
111"/2 0
.
- sen
x
Ao longo de
a int.egml
c igual
dx
=
cos
AB, x
2x 11"
I
"'lr
11"
2,
/2
x
=
) dx
�, 11"
+
=
dx
11
- - srn
7r/2
=
x
a
Ao longo de BO, y
lo (
1
-
0 e
=
(y -
1)
dy =
� d:t
2
-
11"
cos
(17/2,0)
0 + 0dy= 0.
11"
x
integral 6 igual
e a
dx =
( 1
x2 -
11"
-
+ cos
� 4
Logo, a integral ao longo de C = -1+ 0 + 1-
M
=y
c
j
c
-
senx, "" =
cosx,
M dx + N av
=
=
=
2x/1r 1 / [ 2 1' 1 =O
y=O
(- senx
-
(17/2,1)
A
0
=
(Ii)
157
iJN
a;-=
-
x
+
�
-
11"
sen
x)
[I 7r/2 o
)
.
11"
-
4
-
iJM iJy
2
-
11"
=
1J ( �: 0a� ) -
1f
2
-
11"
senx,
senx
a
-
dx =
x=O
4
=
2
11"
11"
1
ax dy
=
l)dydx =
(-ysen:1-y)
I
2r'11" 0 1
dx =
AN,\LISE VETORIAL
158
1.,,.12 (
=
2
;
-
- :) 2
senx
�
.£, 7r
dx
! (-
-
=
.,,.,2 0
2 =
7r
7r
que esta
xcosx + senx) -
•
4
(a).
Note-se que embora haja paralelas aos eixos coordenad.os .(neste caso tam
bem coincidentes corn os eixos) que cortam C numa infinidade de pontos, o teorema de Green no piano ainda se verifica.
mlmero de
Em geral, o teorema
e valido quando c e composta de um numero finito de segmentos de reta. 10.
Mostrar que
0
t�orema de Green no plano e tambcm valido para
UIDll
regiiio R multiplamente ligada, como a da figura abaixo. A
R, da figura abaixo, e multiplamente ligada porque nem t6das
regiiio
curvas fechadas trai;adas em R, podem ser reduzidas a um ponto sem sair de
as
R, como se verifica corn a curva DEFGD por exemplo. As fronteiras de R que
AHJKLA
consistem do limite exterior
do limite interior DEFGD, siio per
e
corridas no sentido positivo
TI
soa
L
sitivo e
indicado na figura.
0
A fim
de
demonstrar
o
gando os limites exterior e interior. A
K
regiiio limitada por ADEFGDALKJHA e simplesmente ligada,
�.
teorema de Green c valido, Logo,
ADEFGDALKJ
H.!
teorema,
tracemos uma reta, AD, por .exemplo, li
0
f
uma pes-
corn a regiiio a esquerda. 0 sentido pc
--�--0
A
se
andando nesse sentido fica sempre
M dx + N dy
=
fRJ ( �� - �My
)
JR
:\!as a integral
lado
0
portanto,
0
dx dy.
inte�rando, e igual
a
.lD 1EFGD 1.l 1LKJHA. 1EFGD 1 +
uma
vez que
+
( ( - lnA
}AD
DEFGD e
C
vo), entiio
r lei
=
+
..\ssim, sendo
C1 a curva
o limite de R composto de C1 +
fa
r J e2
=
r Je
e,
portanto
+
e
C2
ALKJHA,
LKJH.1
C2
c a curva
(percorrido no sentido poslti-
'
TEOREMAS: DIVERG�NCIA, STOKE E INTEGRAIS 11.
Mostrar que o teorema de Green no plano e valido para
da figura ab.aixo, limitada pelas curvas fechadas simples
159
a
regiao R,
C1 (ABDEFGA),
C2 (HKLPH), Ca (QSTUQ) e C4 (VWXYV).
Tmccmos as retas AH, LQ e TV. A regiii.o limitada por AHKLQS7'V lVXYV1'UQLPHABDEFGA c simplesmente ligada e o teorema de Gree n se aplica.
A integral sabre cssc limite e igual
Como as integrais 11os pares, ficamos
onde C e
a
ao
a
longo de AH e HA,
LQ
e
QL, TV
e
VT
se
canl'Pillm
rom
fronteira composta de Ci, C2 Ca
e
C4.
Logo
como querfamos.
12.
Provar que
f
JI d:c + N dy
=
0 ao longo de t6da curva fechadn C
ANALISE "ETORIAL
160
numa re giao simplesmente ligada se e somente
oM/oy=oN/ox,
se
cm
qual<1uC'r
ponto da regiao.
Admitamos que .Me N sejam cont!nuas e tenham de rivadas pa rciais contfnuas
em todo ponto
se
de Green.
a pliqu c o tc oremn
Entiio
aM
Sendo
.
aN
que f
Reclprocamente suponha mos vas C.
Sc
oN/ox - o:ll joy > 0 no
das st>guc-sc quc Sendo r
o
£
oN 0
:c
= Mi
ra�o
13. ao
para t6da s as cur
limitc de A temos
M dx
+ N dy
1! ( �� -- 0:: )
=
a,v a:u 0 - 0 y
x
.
N ote-se que a condu;ao A
,
+ N dy = O.
ponto P, e nt ao da cont.inuidade das deriva-
a
.
=0
aM
a.v
+ Nj (veja os Problemas 10
Sendo F
=
•
s
e
apre e n
- yi + xj 2 + yx
.
oN Tx
oM oy
< 0 conduz
a
con
em todos os pontos.
ay = a?
de curvas no espa<;o e
dx dy > o
integral de linha era nula ao longo de qualquer
l.
o
dx + N dy = 0
/II
�Iogamcntc a npotcsc que curva fec hacI a. Ana Logo
M dx
aM > 0 em alguma re giii o A em tOrno de P. - -0 y
que contradiz a hipotese de que
t1'.!Ji<;iio.
f
em R, temos e v1de n tcm e n te
ay = Tx
� ._,
.
equ1vaiente
11, Capftulo
5).
a
.., v
X A
=
onde
0
Uma generaliza<;iio
tada no Problcma 31.
,
(a) C alc ul a r V' XF.
(I>) Calcular
f
F
para
·
dr
longo de um trajeto fechado qualq ue r e explicar o resultado.
k (al
v X F
a
::r;2
irH"lu�ivP (0, O) .
a
ax
=:
-y + y2
dy ::r;2
x
+y2
a
az 0
0
em
qualquer
regiao,
TEORE¥AS : DIVERGtNCIA, STOKE
f
(b) o;i
(p,
F
cp)
·
dr
f
=
-y dx
x dy
+
x2+Y2
.
E
INTEGRAIS
Fazendo x =
p
cos
q,,
161
y
= p sen 'I' ""',
sao coordenadas polarcs.
Yl'm
dx ,,;, - p sen q, dcp + dp cos q,, <',
dy
=
p cos
+
dp sen q,
portanto,
dx + x 2 2 x +y
-y
dy =
dcp
=
d
(
arc tg
Para uma curva. fechada ABCDA (veja a Fig. g»m, temoA
pleta.
= 0 em A e
Nl'ste caso
a
7r
(a)
y
-;
)
•
abaixo) circundando a ori
em A, novamente, depois de uma volta com-
integral de linha e igual
a
12Tr
dcp
= 211'.
r
1
0
Fig. (a)
Fig.
PQRSP (veja a Fig. (b) acima) que niio contem a
Para uma curva fechada origem no seu interior
caso
a
q,
=
integral de linha e
Como F =Mi +
Nj,
(b)
"'·
1
dcp
cf>o
V X F
=
= 0. O e equivalente
a
aM
aN
-ay =a;-
,
os resul-
tados parecem contrariar aos estabeleeidos no Problerna 12. Entretanto, niio ha - y z <'Ontradit;iio alguma, pois M 2 + 2 e N = 2 + 2 niio tern derivadas conUy x y z =
nuas
em todo ponto da regiiio, inclusive
(0, O),
e esta condit;iio foi adrnitida
no Problema 12.
Teorema da divergencia. 14. em
(a)
Enunciar corn palavras o teorerna da divergencia
coordenadas retangulares.
c
(b)
representa-lo
AN.(LISE VETORIAL
162
(a) A integral de superffcie da componente normal de um vetor A efetuada ao longo de uma superficie fechada e igual a integral de divergencia de A efe tuada s6bre o volume encerrado pela superffcie. + Fazendo A =Aii + A2j Aak, vem div A =V
(b)
_
·
A =
<1Ai + <1A2 + <1Aa
-
ax
ay
az
.
n i = cos a, i + n2 j + na k. Logo ni cosfj e na =n·k =cos"(, onde a, f3 e 'Y sao os angulos que n faz corn os positivos dos eixos do x, y e z ou dos i, j e k, respectivamente. Os nu meros cos a, cos f3 e cos"( siio os co-senos diretores de n. Entiio
n2
0 unitario normal a S 6 n =ni
=n
·
j
=
·
=
A
·
n
=
(Ai i + Ad + Aa k)
=Ai cos
a
A2 cos {3
+
·
+
(cos a i +
cos f3 j
+
cos "( k) =
Aa cos 'Y
e o teorema da div<'rgencia p ode ser assim escrito
fj (
{ }} y
15.
1!
<1.tli + <1A2 + <1Aa ax
oy
az
)
dxdydz =
(Ai cos a+ A2 cos f3 + Aa cos 'Y) dS.
Demonstrar fisicam�nt
e
F�amos A velocidade Da Fig. (a) abaixo tiramos:
v
=
o teorema d!j- divergencia.
num pon to qualquer de um fluido em movinwnto.
Volume do fluido que atravessa dS em At segundos. =volume contido no prisma de ba se dS e distancia inclinada entre
bases vAt
=(vAt)
·
n dS ==:
v
·
n
dS At.
Logo, volume que atravessa dS por sel(undo =v
·
n
dS.
n
Fig.
(a)
Fig. (b)
as
TEOREMAS; DIVERG�NCIA, STOKE E INTEGRAIS
163
Volume total de fluido que sai da supe rffcie fechada S por segundo
1/v ndS. ·
=
Sabemos do Problema 21 do Capftulo 4 que V que sai de um volume elementar
dV por segundo .
·v
dV co volume de fluido
Volume de fluido que sai de todos os volumes elementarcs em S por segundo
ff.f V·vdV. lfv·ndS =!1/v·vdl'. =
Logo,
16.
Demonstrar o teorema da di vc r gcnc ia
Seja 8 uma superffcie fechada tal que qualquer reta parnlela aos eixos coorde na do s so a fure em dois pontos. rior e superior, Sr e S2, scjam signemos por R
1hf ;z cH
V
=
dV
=fr
(x, y) e
l'J.J /dz aA
=
a
I'
z=h
dydx
h
(x, y),
respectivamente.
R
=
A dz d dx a/ y
a -
J
=
fj[Aa(x,y,}2)-Aa(x, y,fr))dydx
=·
�R
dx
De
Consideremos
z=fi(z,y)
cos 'Y2 d82
=
=
k
·
82 faz um angulo agudo 'Y2 corn k. Para a pori;iio inferior 8r, dy
a
=
1J[Jf2
dy dx =
Para a pori;iio su perior 82, dy dx a
z
projei;iio
fJAa(x,y,z)J12
�R
n2 n1
3
a
Admi tamos que as equai;oes das pori;i'ics infe
z
-
cos 'Yr d81
S1 faz um Angulo obtuso 'Y1 corn k.
=
-
k
n2 n1
dS2 pois a normal
·
dS1 pois a normal
ANALISE VETORIAL
164 Entiio
1! 1J
c
J.f
A3 (x,y,}2) dydx
12! - liJ
A3(x, y, }2) dy dx =
A3(x,y,fi)dydx =
- ff Aa (x,
k
A3
y, Ji)dy dx
n2 dS2
·
A3k· n1dS1
=
don de
Analogamente, projetando
1 ff...f aa� jf.J a;:/
(2)
(:!) Soman do (1 ), (2)
j(
{f JJ v
S nos outros pianos coordenndos, tRmos
c
di"=
(:�),
a Ai + aA2 + aA3 ax ay ad
OU
1! 1J
dl" =
!!:!
V
·
)
di" =
ArlV
f Js
Ad
·
ndS
· n
as.
j
(A1 i + Ad + A3 k) · n dS
1!
=
A1i
A· ndS.
Pode-sc aplicar este teorema para superffoies que sejam furadas em mais de dois pontos por paralelas aos eixos coordenados. Para demonstra-lo divide-se a
regiiio limitada por S em outras cujas superflcies satisfai;am a condii;iio do teo
rcma.
17.
0 processo, e semelhante ao usado no teorema de Green no piano.
lf
Calcular
F ·ndS, onde F
ffcie do cubo limitado por
x
= 0, x
=
=
1, y
4x z i
=
1,
- y2 j
z =
0,
+ yz k z =
V
·
FdV
=
ff.! [ :
xz + x (4 )
:y (
·-
y2) +
S e a supcr
I.
Pelo teorcma da divergencia, a integral procurada e igual
f!vf
c
a
:
z
(yz)
]
dV =
TEOREMAS
=
=
:
fj
f .J.Jv
=
(4z -y)dV =
i·l 11 11 I =O
STOKE E INTEGRAIS
DIVERGtNCIA1
2z2 - yz
11=0
·1
:r=O .f11=0
I'
.�
1' !.I
(I .Jz=O 11-0 O
165
(4z-y)dzdyd;r;=
z-o
dy dx =
:
<2 -y) ay ax =
.
A integral de superffcie tambem pode ser calculada diretamente, como no
Problema 23, Capftulo 5.
18.
Verificar o teorema da. diverg�ncia para A
tuada. s6bre
e.
regiiio limitada por z2 +y2
Integral de volume
=
=
=
J!vf
V ·A dV
J!vf 1.2 j' (4
-
-!y
=
f!vf [ ;;
+2z)dl'
(z = 2
v' 4-z• __
.Em 81 (z =
0),
n
=
Em S2
(z = :3),
n
=
Em 83
(x'
+ y2
=
4).
(z2 +1,i2)
"'
= 4z i - 2y2 j +z2 k z = 3.
efe
0 e
(4x) +
:I/
( - 21/J +
13
2z i + 2y j.
:z (z2) ] dl" =
(-l-4y+2z)dzdyd;r;=81'11".
z=O
uma
base inferior 81 (z =0),
3) e da superffoie lateral convexa Sa
Integral rle superffoie
V
=
=
A superffoie 8 do cilindro consiste de superior 8
4, z
=
11=-y4-:r2
=-2
=
(z2 +y2 = 4).
uma
base
Entiio
=
- k, A = -!x i
k, A
=
4:i i
-
-
2112
j
e
A
·
n
2y2 j +9 k e A
Uma perpendicular a
x2 + y2
=
·
0
n
=
=
9, donde
4 tem
a
dir<>i;>io de
ANAldSE
166
VETORIAL
2x i +.2y j Logo, um u nitar io norm11l en= --:===== v 4x2+ 4y2
A
dV
=
• n
(4x i
=
- 2 y2 j + z2 k)
r fA
•
xi+1d 2
(
)
=
2x2 - y3
dxdydz
Da figura acima temos, x
}s3
·
n dSa
f21r 13 ;:21r
=
=
J 11=0
2 COB 0, y
=
z=O
(2 (2 COB 0)2
(48 cos2 0
=0
-
f' a
- (2
=
2 dO dz e, assim
scn 0)3) 2 dz dO
48 Ben3 0) dO ""'
1.21r
+ 3611"
+ 4811"
=
Notc-se que o calculo da integral de
19.
Sc div
P, mostrar que
A
designar
a
d.IV A
0
0 dO
=
48
r.
8-111", que c igual a in te
gral de volume, i·crificando-se assim o teorema da divergencia. sido feito projetando-se 83 sobre
=
48 coB2
11=0
"'.' 0
Logo, a in t gr l rlc su perficie
2 s en 0, dS3
=
superffoie sobre Sa poderia tambem ter
piano COOrdenado xy
OU
yz.
divcrgencia de um campo vetorial A num ponto
=
1·Im
a
f fA·ndS _J_�a_s
_____
.6. V
V->0
ondc .6. V e o volume encerrado pela supe.rficie .6.S, e ob tida rcduzindo-se .6. V ao ponto P. Pelo teorcma da divergfocia,
.fdivAdV
{{ }}ai
=
!A·
{ Jas.
ndS.
TEOREMAS: DIVERGENCIA1 STOKE E INTEGRAIS
167
Pelo teorema do valor mcdio para integrais, o membro esquerdo pode ser escrito
onde div A c um valor comprcendido entre o maximo
AV.
vcs de
e
o mfnimo de div
Logo,
J:JA·ndS AV
_
div A =
div
A
tcnde para o valor de div
div A
atra
------
Tomando o limitc quando AV� 0 de roodo que P fique sempre
AV,
A
'""'
A,
no
no ponto P; donde
J:
Jim
fA·ndS
M
AV-+O
interior de
.
AV
Este resultado pode scr tornado como ponto de partida para a defini<;ao da
divergencia de A, e podem-se deduzir dele
demonstra<;iio do tcorcma da divergencia.
todaR as
propriedades, inclusive a
No Capftulo 7 usarcmos esta defi
ni9iio para estcnder o conccito de divcrgencia d e "um vetor a outros sistemas de coordenadas que niio o retangular.
I<'isicamentc
representa o fluxo ou corrente Hquida por unidadc de volume do vetor
da superfic ie
A
que a Corrente de p e positiva e diz-se que p e
div
A
uma Jonte.
Analogamente,
fOr negativa , a Corrente dirigir�se-a para p e diz-se que p e um
Numa regiiio em que niio ha fontes ou po<;os a div
vetorial solenoidal.
20.
saindo
Se di·v A fOr positiva na vizinhan<;a de um ponto P quer dizer
AS.
1fr ·
Calcular
n
dS,
A
c
= 0
A
se
poi;;o.
e chama do de caropo
ondc S e um a superffcie fechada.
Pelo tcorema da divergenc ia temos
1fr· n dS f!vf r dV Jlvf ( :.r: : f!vf ( �: �� =
=
=
onde V e
V
=
·
i
+
+
o volume enccrrado por S.
y j + +
:z k)
�; ) dV
·
(z i +
= 3
�j
+
z
k) dV
f!vf dV
=
= 3V
AN!LISE
168
Fai;amo s A
=
qi'Vi/I
no teorema da divcrgcncin.
Entiio
f!vf
VETORIAL
V
·(VY,,) dV
=
(V
=
1·1
l
n
·
dS
=
1f1"Vt{;).
dS.
Mas
V
·
(V>/I)
·
Vi/I)
+ (V)
·
(VY,,)
+ (V
V2t{;
=z
·
(VI/;).
Donde
�!!.!\'·(VI/;) dV OU
f!vf
(l)
!"V2j
=
fj�f
+ ("V)
[V2tf;
·(VY,,))
(2)
f!vf
f'lubtraindo (2)
[1/;V2 +(VY,,)
(VJl
•
1ff
=
1f
('VI/;).
Provar que
"1 cntrc si em (1),
(t{;Vr/>)
OU
teorema simetrico.
a
ff!
ft!
(C)
=
c
on tr
segunda ordem.
\'dV
=
1!
Fac;amos; no te ore ma de divergencia A
•
. dS.
Na demonHtra<;ii
= C
ndS. onde C e um vetor cont
Logo,
Como V
dS
c 1/; eram funi;oes e scalare s de posi<;iio corn derivadas
nuas, pelo menos, ate
22.
;:f
de (1), temos
que e a segunda identidade de Green
admitimos que
=
Trocando e
que demonstra a primei:ra identidade de Green.
vem
dl'
("V) ·(VY,,)) dV
+
V
(V)
J!vf
·
·
c
(C)dV C
·
=
C
vq,
·
=
"V
dV
=
1! e
C
·
1!
C
n
c
•
=
·
dS.
n
C
·
(n),
(n) dS.
TEORIDUS: DIVEBGbOIA, STOKE E INTEGRAIS
C para
Tirando
fora dos sinais de integral temos
C ·
e, como
23.
C e um
f!vf
Vt/>dV =C
ffvf
V X BdV =
Provar que
V
Como
-= (C X n)
·
·
V
•
(B XC)dV..,
(B XC) =C
B =C
•
(n X
·
(V X
B),
temos
f!vf Tirando
C
como C e
C
·
(V X
·
J!vf
n XBdS.
A ""B X C
onde C e
um
vetor cone
1!
B) (B XC) e
(B XC)
•
B)dV = 1!C
n
•
=
B
n
·
·
dS.
(C X n) -
(n X B)dS.
V XBdV =C
•
1!
n XBdS
um vetor constante arbitrario, temos
f!vf (a)
1!
para fora dos sinais de integral, vem
C
24.
1! lfmdS
Logo,
J!vf
e,
·
ve tor c onstan te arbitr,ri o , temo e
No teorema da divergencia fa�amos tante.
169
V X
B dV = if n XBdS.
Mostrar que num ponto qualquer P
Ve/> lim
t:..V->O
onde .1 V e o
zindo-se AV
J: fct>ndS t:.._s _
v olume
ao
.1V
___
e
(b)
V X
J:JnxAdS t:.. s _ A =t:..lim V->O .1 V _____
·
encerrado pela superffcie AS, e o limite e o b tido redu
pont o P.
170
ANALISE
(a)
VETORIAL
!1v! \7t/>dV=1sf dS. f1v! \7 1s! t/>n dS.
Do Problema 22,
Logo,
i dV
·
�
i
=
Utilizando o meamo princlpio empregado no Probleµia 19, temos
onde
\7 . i e
vea de AV.
\7
i
•
J:It/>n·idS Ll_S
=
_____
AV
um valor compreendido entre
\7 i
0
maximo e m(nimo
. i
atra
Tomando o limite quando AV-+ 0 de tal modo que P fique sem
pre no interior de AV,
q,
vq, .
(1)
tende para o valor
·
i
lim
LI n·idS
Ll V->0
=
AV
Analogamente achamos
vq,
.
j
=
vq,. k
=
lim
AV->O
lim
= \7cp (
. i) i +
('V X A)
e
i,
j, k
2)
e
respeetivamente, n �
(a),
e
(n i (n . i)
+
aomando, usando
. j) j +
(n . k) k
chegamoa a expressao procurada.
A,
podemos mostmr que
· i=
lim Ll V->O
J: f (n X A)- i dS 8-8------
outras semelhantee com a substitui9ii.o de
k
AV L.l
Do Problema 23, suhstituindo B por
Logo, como no item
e
LIcpn · kdS
(\7cp . j) j + (\7cp . k) k,
(veja o Problema 20, Capftulo (b)
AV
AV->O
Multiplicando (I), (2), (3) por
vq,
J:Jcpn·jdS
-8-----
AV
i
por
j
e k.
eomando, encontramos a expreasiio proeurada.
Multiplicando por i,
TEOREMAS : DIVERGtNCIA, STOKE E INTEGRAIS
171
Os results.dos obtidos podem ser tomados como ponto de partida para defi nicio de gre.diente e rota.cional.
Com essas definic6es. podemos estend�los
a
outros sistemas de coordenadas que nio o retangular.
25.
Esta.belecer a equival@ncia do operador
Ao onde
o
a
I
Air-+O A V
# dS
o
indica um produto qualquer, vetorial, escalar ou comum.
Para esta.belecer-se a equival�ncia, os results.dos das operac0ea num campo vetorial ou escalar devem ser coerentes corn as relac0es ja esta.belecidas. Sendo
o
A, ( fdSoA J um
um produto escalar, entio para
I Vo A= lim AV-+O AV
= lim -1AV-+oAV
temos
AS
OU
I div A= lim AV-+O A V
vetor
( fdS A
}As•
•
!A·ndS
( }As
estabelecida no Problema 19.
o
Analogamente, sendo
·
rot A
=
um produto vetorial, temos
V
X
A
I lim AV-+O AV
=
=
estabelecida no Problema 24
E tamb�m, sendo t.emoB Vo cf>
=
o
I lim AV-+O A V
26.
Sendo
S
I Im AV-+O AV
i
A
AS
·
(b).
uma multiplica<;iio eomum, ent.ao, para um eacalar
( jAS
eatabelecida no Problema 24
quer (x,
f dS X ( Jn XAdS j
( jAS
f dS cf> o
ou
Vc/J
=
I lim AV-+O A V
cf>
f cf>dS
( }As
(a).
uma auperffoie feehada e
r
o vetor posi<;iio de um ponto qual
y, z) medido de uma origem .0, provar que
A.NALIBE
172 6 igual a (a)
zero
se
r
estiver no interior de S.
Pelo teorema da dive g�nc ia temos
(a)
l\fas V
V,
(b) 411' se 0 teorema de Gaus.,.
0 cstiver fora de S;
Esta i guald&de 6 conhecida como
de
VETORIA.L
•
r
r
19,
3 -o ( Problema V,
dcsde que r F- 0 em
Capitulo
4)
em todos
V,
isto 6, 0 fique fora de
011
pontos
no interior
e, assim, fora de
S.
Logo
fj�dS=O.
Js (b)
raio a.
3
Se 0 estiver dentro de S, envolvamos 0 por ullia pequena e sfera
Designe m os por
diverg�ncia, temos
r }s+•
r
T
a regiao limitada por S e
s.
Jn·r S J:jrt·r S }sfjn·r =ff �d
pois r F- 0 em Logo
Agora em
=
-;:a d
8
-;:adS
+
s
de
Entii.o, pelo teorema da
,.
V·
r
r3dV- O
-r.
s,
r
= a, Jl = ra
n
· r ( -r/a} · r =
donde --
r8
=-
a3
e
;:f�dS= -;:J�dS=J:f-1 dS= J:f = �
=
'1:1.
o
uma
r
um elemento de a ea e
a 0 (veja a figura da pag. lota de
I
-
dS
s
a2
ln te rpre tar geomHricamente
Seja dS
�
s
411'a2
-a2
=
4r.
173), formando
assim um cone. r
Seja
dD
8
o Angulo entre
r
e
n,
temos cos 8 -
a area da ca
que 6 interceptada pelo cone; entii.o
por dS em 0 6 definido
formada pela interse9ao do dito cone.
26).
todos os pontos da fronteira de dS
por 00,
=-
d0/r2 e 6
camente igual A area da calota de uma esfera de raio unitario
e
'
o t e ore ma de Gauss (Problem&
ligucmoa
esfera de centro em 0 e raio
4ng.ulo llOlido subentendido
�
s
Sendo
n
n · r/r.
e
num�ri
centro em O,
dS dD - ± dS cos 8 -
o unitario normal positivo a
E tamb6m
173
TEOREMAS : DIVERGENCIA1 STOKE E INTEGRAIS
= ± (n
·
r/r) dS donde, dw = ± (n
forme o ilngulo entr e
n
e
r
Seja S uma superflcie, Figura (a) abaixo, tal que
•
r/r3) dS,
sendo o + ou - escolhido con
sej a agudo ou obtuso.
como
na
qualquer
rcta n:lo a fure em mais de dois pon
de
tos. Se 0 estiver fora
S, teremos,
-
·
para uma pos1c;ao como a I,
n·r -;a dS=
=dw; ao passo quc na posi<;:ao 2 corn ·r
respon
gra<;:iio sobrc estas duas regioes
da
ze
ro, pois, suas contribui<;:6es para o angulo s6lido se cancelam.
Quando
a integra<;:iio e feita sobre s temos assim quc gativa
1f
n r
�
r
· dS=0, pois para t6da contribui<;:iio positiva ha uma ne
correspondente.
No caso de Q estar no interior n·r
3, por exemplo, -.- dS
=
F
de
S, entre tanto, teremos para uma posi<;:iio
n·r dw e para a 4, --3-dS=dw, de modo que as conT
tribui<;:6es sc somam em vez
e igual a area
de
·
0 iingulo s6lido total, neste caso
uma esfera unitaria , ou 411", d onde
1f ��r
dS = 411".
0
Fig . (a)
Fig. (b)
Para superficies S quc po
a
Se 0 estiver fora
de
superficie e nula, uma pares.
pontos por uma
S, p o r ,e xemplo, um cone corn o vertice em
0 intercepta S em um numero par de lugares e aos
dois
mesma situa<;:ao se verifica conforme podemos observar na Fi
vez
que, os llngulos
a
contribui<;:iio para
s6lidos
a
in tegral de
de vertice em 0 se
Se 0 estiver no interior de S, entretanto, um
cone
cancelam
corn o vertice em 0
ANALISE
174
VETORIAL
corta. S num m1mero impar de luga.res, e o ca.ncela.mento ao ocorre para um nd mero p!ir delee, havendo sempre uma. contribui9ao de 4
v
28.
(:i:,
y,
z,
Um fluido de densidade p
t).
(:i:,
y,
r
para. a auperficie tMa.
t) se desloca com uma velocidade
z,
Nao havendo fontea ou po9os, provar que
V J +
a;:
·
=
0
on de
J
=
pv.
Consideremoe uma auperffcie arbitraria envolvendo um volume V do fluido Num tempo qua.lquer a
de fluido nesse volume V 6
maaaa
M
= f!vf
.
pdV.
A taxa. de va.ria9ao dessa ma.saa corn o tempo 6 iJM
=-
at
_j_ at
rr;
jj v
A ma.sea de fluido que sai de
(veja o Problema 15) e, porta.nto,
V
a.
p dV
na.
=
ff j iJp
jj v
at
dV
Jnidade de tempo 6
ta.xa. de va.ria.9ao de ma.sea com o tempo 6
- J:fpv·ndS= -J!vf
V·(pv)dV
pelo teorema. de divergencia. I.ago,
OU
J!vJ(v (pv) ·
+
�) dV
=
o.
Como V 6 arbitririo, o integrando, continuo por hipotese, deve
mente nulo por razoes
L o go ,
analogas
V· J Essa equa9ii.o chama.-se
6 incompressiVel e V
v
as a.presentadas no Problema 12.
+
op
at
=
0
onde
J
equa�ilo de continuidade.
0, isto 6,
v
6 solenoidal.
= pv. Sep
aer
identica
f6r constante, o fl uido
A eq uacao de continuidade a.pa.rece ta.mb6m na. teoria. eletromagn6tica., onde p 6 a. densidade de carga e J pv 6 a demidade de CQTTenU . •
=
=-
TEOREMAS: DIVERGiNCIA, STOKE E INTEGRAIS
29.
p cU
Sendo
1!6lido, e k,
e
(x, y,
z,
175
t) a temperatura num ponto qualquer (x, y, z) de um
respectivamente, a condutividade termica, a densidade e o calor
especifico do s'6lido, admitidos constantes, mostrar que
au
Seja
V
---at
k
=
V2U
onde
k
""Kfpc, S
um volume qualquer no interior d.l s61ido, e
total de calor que atravessa S, ou
a
sua superffoie.
0 fluxo
quantidade de calor que sai de 8 por unidade
de tempo e
Assim, a quantidade de calor que entra em S por unidade de tempo
e
1! (K VU)· dS f!vf (KVU)dV V ffvfcpUdV
(1)
n
V
=
·
0 calor contido num volume
pelo teorema da diverg�ncia.
6 dado por
Logo, a taxa de varia�ao de calor e
(2)
lgualando os membros direitos de (I} e (2), vem
como
e,
V
f!vf [ cp
:a
�
a
v. (KVU) J dV
-
=
0
e qualquer, o integrando, contfnuo por hip6tese, deve ser id�tica
mente nulo, de modo que temos
cp-.,. V (KVU) au at
ou,
se
k,
c,
p sao constantes,
au at A quantidade lee chamada a se
·
cp dijwsiuidade. V2 U =
� v . vu = k
v2
Para o est.ado de equiUbrio, quando
corrente de calor niio varia corn o tempo (isto e, reduz A equa�iio de Laplace
=
0.
u.
au;at
=
0) a equa�iio acima
ANALISE
176
VETORIAL
Teorema de Stoke. 30.
(a) Enunciar com palavras o teorema de Stoke, e (b) represenM-lo
(a)
A integral de linha da. componente tangencial de um vetor A ao longo
em
coordenadas retangulares . de uma curva fechada simples e igual a integral de superffoie da c om ponen te normal do rotacional de
(b)
Como no Problema 14
A
·Logo
VXA.=
( (V X A)· =
(
•
_
=
(b),
Ad +A2 j + Aa k,
=
j
k
o ox
o oy
Tz
Ai
A2
Aa
oAa oy
n =
oAa iiy
A dr
A sobre q'ualquer superffcie S que tenha C como limite.
0A2 oz
_
)
) (
0A2 oz
i
cos a +
+
(
oAi oz
31.
oAa - -0A2 oz 011
)
oAi oz
_
_
oAa ox
oAa ox.
)
) (
0A2 ox
(
0A2 ox
•
,
+
+
cos/3
(dx i +dy j +dz k)
•
e o teorema de Stoke se torna
--
cos a i +cos/3 j + cos 'Y k
o
(Ai i + A2 j + Aa k)
;:! [ (
n =
cos a+
(
oAi - -oAa oz ox
--
=
)
_
_
a'Ai 011
)
oAi oy
)
k
cos 'Y
Aidx +A2dy + Aadz
cos/3 +
Demonstrar o teorema de Stoke.
Seja S uma superffoie cujas proje1,;0es sobre os planos coordene.dos sao regi5es
limitadas por curvas simples fechadas, como mostra a figura da pAg. 177. mos que S seja representada por z
=
j (x, y) ou
x =
g (y, z) ou y
j, g e h Biio fun1,;oes unfvoca�, continuas e derivaveis.
;:f onde C e
a
(VXA)
·
n
dS
=-
curva que limita S.
lsf fa'
=
Devemos mostrar que
[V X (Ai i +A2 j + Aak)]
A• dr
A dmita
h (x, z), onde
·
n
dS
,
TEOREJ\IAS:
DIVERG�CIA,
1f
Consideremos p rimeiro
STOKE E INTEGRAIS
[V' X (A1 i)]
·
177
n dS.
c
X (A1 i) =
V'
Como
temo s
[V'X (A1i)]
(1)
Se tomarmos qualquer
ar
a;
=
bl0ma
.
J
ponto
+
25,
az ay
k
z
•
a ax A1
n
j
k
a
a;
a a;
0
0
dS =
( aAazi
n
=
·
f-
aA1 . az )
aAi ay
n
_
·
k
aA1 ay
)
k
I
dS-:
= j (x, y) como a equiwiio de S, entiio o vetor posic;iio :de s e r = x i + y j + z k = :d + y j + j (x, y) k do n de
de
.
= J
+
Capitulo 3)
aj ay
k
.
Mas
ar ay
� "
um vetor tangente a S
portanto, perpendicular a
e,
n,
n •J=•
(veia .
0
pro-
donde, temos
az
-
ay
n · k•
Substituindo em (1), obtemos
( aA1 az
D
•
j
-
aA1 ay
[V'
x
n
•
k
)
dS =
.
("
aA1 az
� n ay
• k
aA1
- ay
n
•
k
OU
(2)
(A11)] •
•
D
dS
=
-
aA1 ( 7iY
+
aA1 az Ti"" ay
)
n .
k dS.
)
dS
ANALISE
178
Agora em S, t.emos Ai
<1Ai <1z <1Ai ayf + a;- ay [V
<1F ay
=
. (A11)]
X
(x, y, z) =Ai (x, y,J (x, y)) (2)
e
·
VETORIAL
n
donde
transforma em
ee
dS
F (x, y):
=
aF
-
=
7fii n • k dS
=
-
aF d:t dy. ay
Logo,
onde R e a proje9ao de S no piano xy. Pelo t.eorema de Green no piano, a ultima
fr
int.egral e igual a (x,
y)
de
r
F d:t onde r e a linha que limita R. Como em cada ponto
.-ii
o·valor de F e o mesmo que o de
em cada ponto
como dx e o mesmo para ambas ·as curve.a, devemos ter
(x, y, z)
de:
C,
e
.
1f
OU
[V
X
(Ai i)]
• n
dS
.�
..,
Ai dx.
Anllogamente, projetando-se e6bre os outros pianos coordenados, temos
1f
[V
X
(Aa k)]
• n
dS
=
.fa
Aa dz.
E, somando, temos
1f
(V
X
A)
•
n
dS
j'
=
superflcies Si,
82
• • •
Aquelas restri9oes. superflcies.
Ci, C2,
Pois, e s6 admitir que
Sk limitadas pelas curvas
Entao o teorema de Stoke
• • •
Ck,
S
que nao satisfazem as res
S possa C1, C2, se
Somando as correspondentes obtemos
a
ser • • •
dividida em "outras
Ck
que satisfazem
verifica para cada uma das integrais de linha iao . longo·
integral de linha ao longo de
32. Aplicar o teorema de Stoke para A S e a meta.de superior da superffcie da esfera x2
=
limftrofe.
dr.
Somando essas integrl\is de superflcie, obtemos a integral de super
flcie total s6bre S. de
·
c
0 Teorema e tambem v&ido para superflcies tri9ijes impostas acima.
A
C.
(2x - y) i - yz2 j 1 e C + y2 + z2 ...
-
y2z
k, onde
e a sua
curva.
DIVERGiN°CIA,
TEOREllUS:
A)inha limite C eentro na origem. Entiio,
£
cost, y
z =
fa
dr =
A·
=
r2rr 0
J
(2;1;
(2
t,
sen
...
z
""
y) d:c
-
cos t
O,
VXA=
(-
pois,
n
•
;:f
k dS
--1
x A)
•
1'1VFz2
v1-z2
-- dy d:c = 4
11�-v 1-.,2
·
�
n
dS =
1!
=4
dy d:c
o
o
e o teorema de Stoke e verificado.
33.
k
curva fechada C
A condi�iio e
e que V x A
a
sujiciente. S uponhamos que V
de Stoke, temos
f
A•
c
A condi�ao e
necessaria.
quer trajeto fec hado C,
dr =
;:f
1' ...; o
e adm i tamos
que V
1 -
O.
XA
fc
-
• n
O. dS
:c2 d::c= 1r
_
f. c
(V X A)
Suponhamos que
dx dy
Esta 11ltima in
Provar que a condi9iio necessaria e suficiente para que
para qualquer
k.
: - y·z
- yz2
;:f
dS =
n
•
= 11"
=
a;
d:c dy e R e a proje9ao de S s6bre o piano zy.
=
t.egral e igual a
li 1
('v
y
di
a
ay
-
sen t)
k
a
ax
unitario e
y1! dy - y2z dz
-
sen t)
-
a
2:c Logo,
raio
0 � t < 2r as equa91!es
j E tambem,
179
de S e uma circunfer�ncia no piano xy, de
Beja
C.
parametricas de
llNTJIXJIU.IS
STOKE E
A· dr
=
0
Entiio pelo teorema
=
.o,
A·dr=O
ao lo ngo de qual
X A � 0 em algum po n to
P.
Entiio, admitind o que V X A seja continua, havera uma regiao com P no seu
interior onde V mal
n
XA�
Seja S uma superf!cie contida nessa regiii.o cuja nor
O.
em cada ponto tem a mesma dire9ii.o de
a_e u ma constante po�itiva.
£
A
•
dr
=
Sej a Co
;:f f
que contraria a hip6tese de que
('v
V X A,
limite de S.
X
0-
A)
A
•
•
n
dS
isto
f!:, V X A= an,
onde
Logo, pelo teorema de Stoke
= a
lsf
n
dr= 0 e mostra que
·
n
V
dS > O X
A
=
O.
ANALISE
180
Segue-se que V X A para que
a
34.
0 e tambem uma condi�iio necessl!.ria e suficiente
,_
integral de linha
os pontos P1
1:2
A
•
l
dr seja ndependente do trajeto que liga
P2 (Veja os Problemas 10 e 11, Cap!tulo 5).
e
Provar que
f
dr X B
=
1!
Fac;amos no teorema de Stoke A Entiio
VETORIAL
=
(n XV) X BdS.
B X
C
onde
C
e um vetor constante.
f C) 1f dS fC 1! [(C dS C 1f -1f [C C f 1f dS -1 f C 1f dS C 1f dr
·
(B X
[V X (B X C)] · n
=
· (dr X B) =
dr X B
•
C · [V (B
=
=
C ·
[(C
=
•
(V
•
V) B
·
V) BJ ·dS
-
n)]
•
[V (B · n) - n (V ·B)]
•
B)]
•
n
(V · B)]
[n (V
=
•
•
n
dS
B)J dS
(n X V) X B dS.
•
Como C e um vetor constante qualquer
f 35.
dr X B
=
1f
(n X V) XB dS.
Sendo !lS uma superffoie limitada por uma curva simples fechada C,
P um ponto qualquer de AS, mas niio de C, en um unitario normal a AS em P,
mostrar que em P
(rot A)
•
ll.S->O
n = lim
f,
C AS
onde se toma o limite de tal modo que !lS Temos pelo teorema de Stoke Empregando
1sf
se
reduza a P.
(rot A)· ndS
=
£
A· dr.
teorema do valor medio para cintegrais omo nos Problemas
19 e 24, podemos escrever 0
A· dr
(rot A)·
n =
fa
A·dr AS
TEOREMAS: e
STOKE B INTEGIU.IS
DIVERGiNCIA,
chegaremos A igualdade procurada tomando o limite quando
181 M -+ O.
Esta
rela9iio pode ser usada como ponto de partida para a de!ini9ao de rot A (veja o Problema 36), e � muito dtil na obten9ao nadas que niio o retangular. Mmo de C,
a
Como
f0
da
rot A em outros sistemas de coorde-
A·dr � chamada de circula9iio de A em
componente normal do rotacional pode
ser
interpretada flsicamente
eomo o limite da circula9ao por unidade de atrea, dat o seu nome de rotacional.
36. Sendo rot A definido de ac6rdo com o processo do limite do Problem& 35, achar a componente na dire9iio z da rot A.
&
61
£<•-2' r-2'
Seja EFGH
um
•l
retAngulo paralelo ao piano :i:y e de cenb'o no ponto P(:i:, y, a)
eomo mostra a figura acima. :i;
P, nas dire�s
Se r �
" A. Jc Mas
0
�---t-"""""---H<•- �, 1+�, •) 2 2
Sejam, ainda, Ai e At as component.ea de A, em
e y respectivamente.
limite. do retAngulo, temos
dr
=-
( A }EF
dr +
·
1
A
l
A · dr
�
A
•
( A }Fo
dr ..
F
8
8
•
dr
(
=-
1
Ai
"" -
-
(
dr +
•
Ai
(
aAi --
-
-
2
+
A2
( A Joa
ay
1 -
-
�xceto para infinitesimais de ordem superior
2
1 2 a
Ay
aAi
•
dr +
)
-- Ay
au
,
Az
) Az
aA2 -Az a:i:1
Az Ay.
( A }HE
·
)
Ay
·
dr.
ANALYSE
182
VETORIAL
Somando, temos aproximadamente
!c
A
·
c
Entiio, como tlS
component e z de rot
==
iJA2 iJA1 ) ( -- -dx dy. i)z
i)y
dz dy,
=
A
dr
(rot
=
A)
·
k
=
f
lim AS->O
A ·dr
dS
(l iJA2 az
=
iJA1 ay
) dx dy
PROBLEMAS PROPOSTOS
37.
Verificar o teorema de Green no piano para
+ (4y - 6xy) dy, onde c 6 z O, y = 0, x + y
(b)
0
.,.
=
f0
Calcular
(3x2 c
limite da regiiio definida por: (a} y
=
- Sy2) dz
v;. y
=
+
r;
t.
Resp. 38.
f
(a) valor comum
- 3/2;
(b) valor comum
=
5/3.
. (3x + 4y} dx +(2z-3y) dy onde C, 6 uma circunferencia
de raio dois e centro na origem do piano xy percorrida no sentido positivo.
Reap. 39.
-8
7r.
Resolver o problema anterior para a integral
Resp. 40.
f
Calcular
giiio definida por y2
=
.l(11',2)
(6xy
128/5 .
-·
y2) dx + (3x2 - 2zy) dy ao longo da cicl6ide
(.0) x =
8
-
sen 8, y = 1
w.
8z e x = 2 (a) diretamente, (b) empregando o teorema de Resp.
Calcular
(x2+y2) dx+3xy2 dy.
(z2-2xy) dx + (x2y + 3) dy em tOrno do limite da re
Green.
41.
12
fc
-
cos 8.
Resp.
611"2 - 411".
TEOREMAS: DIVERGENCIA, STOKE E INTEGRAIS
42.
Calcular
gramo que tern
y
43. =
Achar
f
(3:z;
vertices em
OS
Resp.
um
arco
44.
Resp.
Achar a area limitada pela. hipocicl6ide
45.
Usar as equa90es pa.rametricas z
Mostrar que em coordenadas polares
Interpretar
!
f
z dy - y dz
- 6.
da cicl6ide
a (1 - cos 9), a > 0, e pelo eixo dos z.
Sugestifo:
a
z2/3 + y2f3
=
z
=
a sen�9.
311' a2/8.
expressao z
dy - y dz
47.
Achar
48.
Achar a area do lai;io do folium de Descartes
Resp.
p
=
3 sen 21/1.
=
a2 cos 21/1.
a2• z3 + y3
49.
Empregar as equai;ioes para.metricas fazendo y
!
f
!
f
=
-=
+ y2
z dy - y d:z;
:z;2 dt. Resp.
Verificar o teorema de Green no plano
50.
=
t
9.
Calcula.r
3azy, a > 0
ti;, e lembrar que
3a2/2. (2x - y3) dz - xy dy,
onde C e o limit.e da regiii:o compreendida entre as circunfer�ncias x2
p2 di/I.
911'/8.·
area de ambos os lai;ios de leminiscata p2 Resp.
=
(veja a figura abaixo).
Area
=
•
Achar a ·area de um lai;io da rosacea de 4 f6lhas
Sugestiio:
a (9 - sen 9),
a2f31 a > 0.
=
a cos3 9, y
Resp.
=
311' .a2•
46.
a
paralelo
(0,0 ) 1 (2, 0), (3, 1) e (1, 1).
area limitada por
a
183
1(-
Resp.
x2+y2
Valor comum
=
=
60
1
e
11'.
l.O) -y dx + x dy ao longo dos seguintel! trajetos: + 2 z2 11 (J,0)
(a) aegmentos de reta. que liga.m sucessiva.mente os pontos (1, 0), (1, 1), (-1,1) e (-1,0).
ANALISE
184 (b)
idem para os pontos (1,0), (1,
embora tenhamos fJM/fJy= fJN/fJx
depende
VETORIAL
do trajeto.
a
-
), (-1, -1 e (-1,0).
1
Explicar.
Resp.
(a)
(b)
r;
Mostrar que
(1, 0)
integral de linha, no trecho
a
(-1, O),
- 7r.
Por uma mudam;a de variaveis de (x, y) para (u, v) de actirdo com
51.
transformai;iio x
x (u, v) e 11
=
=
y (u, v), mostrar que
a.
area A de uma regiiio R
a
limitada por uma curva simples fechada C e dada por
A=
e
J )I Jr; I (� u,
R
o facobiano de
x
II
nada11 u,
11 e
(b)
seguida
u
·!
x dy - y dx, transforms-la para as coorde
o
teorema de Green.
F·ndS, onde F=2xyi+yz2j+xzk e Be: (a) a su
limitada
por
x
O, y
... ... = O, y
O, z
if+ r 9 Rup.
Calcular
(b) B e 11 e
""'
-
ax
56.
ficie
..,
Sendo
uma
cubo limitado. por
x
-
1f l/
A·
Sendo ff=rotA, provar que
mostrar quc
58.
Provar quc
1 e
z
+ 2z
... =
3,
6.
2x2 y i - if j + 4 xz2 k 2, no primeiro octante.
- 1, y
-
- 1, z
(a) 32 7r;
n
dB
div ndV
-
=
ff·ndS
-
J!v J �� 1J
- 1,
......
(b) um
4 -
x
...
1,
(x2 +if}
24; (c) 24 11'. volume V
la+ b + c)
e
V.
0 para qualquer super-
superffoie fechada de
B.
=
z
·
o unitario normal exterior a uma
Jff n
x
--
curva fechada qualquer que encerra
i +byj + cz k, provar que
Sendo
=
0 e
180.
Rup.
B
x
•
(b) 351/2.
a superficie limitada pelo parabol6ide
fechada B.
57.
B,
superffoie do I, (c) B e
3, z
·n dB onde (a) Be a esfera de raio 2 e centro em (O,O,O),
pelo piano x11.
55. A
a
1 e z
1fr
=
(a) 30;
e
-
0, x = 2, y
=
O, y
Verificar o teorema da divergAncia para A
tomado sflbre a regiao limitada por
54.
fJy/fJv
fJx/fJv
'
Que restri�oos deveriio ser feitas ?'
Reap.
53.
fJy/fJu
e v siio coordenadas polares.
do paralelepfpedo limitado por x
a superficie da regiiio
ax/fJu
... f
aplicar
1!
Calcular
52.
perffoie
Empregar A em
u, v
e y em relai;ao a u e v.
Exemplificar o resultado quando
Bugutao:
J (�) .. ,
onde
dudv
r
�ndS
.
area
DIVERGtNCIA,
TEOREMAS:
1f 1f
ds
STOKE E INTEGRAIS
ffj'
5
185
dV.
59.
Provar que
60.
Provar que
61.
Mostrar que a segunda identiuade de Green pode ser escrita.
r0 n
dS
n
JJ:jwv2t/I1fr
=
t/IV2cfi)dv X dS
=
0 para qualquer superffoie S.
=
1j (
Provar que
63.
Verificar o teorema de Stoke para
=
- :r:z k, onde S e a superffoie do cubo acima do plano :r:y.
�:
-t/I
�:)
:r: =-
=
A
O, y
(y - z + 2) i + (yz + 4) j 0, :r: = 2, y = 2, z = 2
= 0, z =
Rup.
Calcular
1f
:r: =
0, y
=
Valor comum
O, z = O, 2:r: + y + 2z
Re8p.
(V
A)·n dS,
X
A.,.
onde
(:r:2 + y
=
- 4.
8.
- 4) =
=-
32/3.
i + 3:r:y ;+
16 acima do
=
Reap.
Sendo
""
Valor comum
+ (2:r:z + z2) k e S e a superf{cie de (a) a hemiesfera :c2 + y2 + z2 z 4 - (:c2 + y2) acima do piano :cy.
piano :r:y, (b) o parabol6ide
66.
dS.
Verificar o teorema de Stoke para F = :r:z i - y j + :r:2y k, onde S e
a, superffoie da regiao limitada por
65.
cti
0 para qualquer superffoie fechada S.
62.
64.
r4 r
A= 2yzi-(:c+3y-2)j+(:c2+z)k,
(a) - 161"; (b) - 4,.-.
1/
calcular
cvxA)·ndS
sObre a superffoie que limita o volume comum aos cilindros z2+y2=a2, :c2+z2�a2, no primeiro octante.
Resp. 67. trar que
68.
Um vetor B' e sempre normal a uma dada superffoie fechada S.
fJ:f Se
f
c
rut B E
•
·
dV
Provar que
=
dr =-
qualquer limitada pela curva
69.
a'
- l2 (31" +Sa).
f
c
O, onde V e
o
-� o/
c,
cfidr
mostrar que
=
1f
volume limitado por S.
H dS, ·
V
dS X
Mos
onde S e uma superficil'
X E =
Vcji.
- ...!... ·
ANALISE
186
.
VETORIAL 25 para chegar
70. Empregar a equivalencia do operador do Problema (a) Vcfi, tb) V · A, (c) V X A em coordenadas retangulares. 71.
Provarque
72.
Seja
r
/fv/
Vcfi·AdV=
1!
cfiA·ndS-
f!vf
cfi
tenha derivadas contlnuas, pelo menos ate a de
ordem, e seja S uma superficie fechada limitando um volume V.
73.
(ou
segunda
Designando
por cfio o valor de cfi em 0, mostrar que
a =
cfiV·A dV.
o vetor posi9iio de um ponto qualquer relativo a uma origem 0.
Suponhamos que
onde
a
0 ou 4 1rcPo conforme 0 esteja fora ou dentro de S. 0 potencial cfi
massas) q1, q2,
(P)
num ponto P
(:c,
y,
z)
para um
sistema de cargas
qn cujos vetores posi9iio em rela9iio a P siio
� dado por
r11 r2, ...
r,.
m q lm=l rm n
cP Provar a lei de
onde E
=
-
V
1f
�
E
· dS =
47r
Q
e a intensidade de campo eletrico, S e a superficie
t6das as cargas e
74.
Gauss.
=
Q
n
=
�
m-1
Se U'Ila re,5iiio V limitada por uma superficie S tern uma distrihuii:ao
definido por
cfi =
di93es adequ'.\das:
(b) carga e
encerra
q,,. e a carga total do interior de S.
continua de carJ;a (ou massa) de densidade p, o potencial
(a)
que
f!vf
1! -
E
V2"' = V!i/> 0 =
•
P
dS = 4:7r
� V.
cfi (P)
num ponto
P e
Deduzir as seguintes expressoos sob con
f!vf
pdV,
4 1rp (equa9iio de Poisson)
onde
em
todos
E
...
OS
- Vcfi. pontos onde existir
(equa9ao de Laplace) onde nao existe carga.
CAPfTULO 7
COORDENADAS CURVILINEAS Transformac;ao (x,
y, z)
de
Sejam
coordenadas.
as
coordenadas
de um ponto qualquer expressas em fum;ao de
(u1, u2, ua)
de modo que
(1)
x
= x (u1, U2, ua),
y = y (u1, u2, ua),
Suponhamo� que as equa9oes tt2
X1 y
e Ua em fun9ii.o de
(2)
u1
As fun9oes
= u1 (x, y, z), (1)
e
(2)
e
(1) possam z, isto e),
z
= z (ui, u2, ua).
ser resolvidas, dando u1,
U2 = U2 (x, y, z'f,
ua
=
ua (x, y, z) .
sii.o consideradas univocas e corn derivadas con
tinuas, de modo que ha uma unica correspondencia entre e (u1, u2, u3).
(x, y, z)
Na pratica esta hip6tese pode nii.o ser verificada em
certos pontos, e entii.o ha necessidade de considera9oes especiais. Ditdo um ponto P de co.ordenadas retangulares mos, corn as equa9oes denadas
(u1, u2, ua)
tRmas de equai;oes
(2),
chamadas coordenadas curvilfneas de P.
(1)
ou
(2)
Coordenadas curvilfoeas As
U1=C1, U2=C2,Ua=Ca,
pode
superficies onde C1,
C2
e c3 sii.o constantes, chamam-se I I I I
superjicies coordenadas, e cor tam-se aos p�res em curvas cha
I
/
,_ ____ ,....,.
madas curvas ou linhas coordena
das (veja a Fig. 1). Se as superfi cics se interceptam em ;ingulos retos o sistema de coordenadas curvilineas e dito ortogonal'.
Os sis·
definem uma transjorma�aa de coorde·
nadas. ortogonais.
(x, y, z)
associa-las a um conjunto unico de coor
As
•
Fig. 1
ANALISE
188
VETORIAL
curvas coordenadas u1, u2 e ua de um sistema curvilineo sAo an1Uo gas aos eixos coordenados x, y e
de um sistema retangular•
z
Vetores unitarios em sistemas curvilln.eos. Seja r = xi +
yj
+ zk o vetor posigao de um ponto P.
(1) podem ser escritos da seguinte forma: Um vetor tangente 8. curva or constantes) e �-. vu1
u1
ei
=
tangente
or ou1
/j
ua). u1 e ua
r = r (u1, u1,
em P (para o qual
Logo, um vetor
�m
or ou1
d onde
unitario
e!o
nessa di
I
onde
Da mesma forma se e2 e ea sao os vetores tangentes unitarios 8.s curvas U-i e ua em P respectivamente, temos or - =ha ea OU3 onde e
ha=
I �1. OU3
As quantidades h1, h2 e ha sao chamadas, fat6res de proporciona
lidade. de
Os vetores unitarios ei, e1 e ea Mm o sentido do crescimento
ui, u2
e ua respectivamente.
Como Vu1 e um vetor no1mal a superffoie U1 = C1 em 'P, um vetor unitario nessa diregao e dado por Ei =
VuJjVuil
•
Analogamente os vetores unita.rios
sao normais em P 8.s superficies u, = c, e ua
=
ea, respectivamente.
COORDEN ADAS
CURVILfNEAS
189
ABSim, em cada ponto P de um sistema curviUneo existe, em geral, dois conjuntos de vetores unitarios, a saber, e1, e2 e ea, tan gentes as curvas coordenadas e E1, E2 e Ea, n ormais as sup erficies coordenadas (Veja a Fig. 2). 1;:sses conjuntos tornam-se identicos se, e somente se, 0 sistema de coordenadas curvilineo f6r ortogonal (veja o Problema 19). Ambos OS c onj untos sao ana logos aos vetores i, j e k uni tarios do sistema de coordena das retangulares, mas difere m destes pelo fato de poderem mu dar de direQao de ponto para ponto. Podemos mostrar (vej a o Problema 15) que os con juntos or/ou1, or/ou2, or/oua e Fig. 2 Vu1, Vu2 e Vua constituem dois sistemas reciprocos de vetores. Podemos representar um vetor A em funQiio dos vetores basi cos u nitarios e1, e2 e ea ou E1, E2 e Ea, da seguinte forma A= A1e1 + A2e2 + Aaea = a1E1 + a2E2 + aaEa
onde A1, A2 e Aa e a1, a2 e aa sao os mente, em cada sistema.
componentes de A,
respectiva
tambem representar A em funQii.O dos vetores or/ou1, iJr/ou2, or/oua OU Vu1, Vu2, Vua, que se chamam vetores bdsicos unitd rios mas que niio siio, em geral, vetores unitarios. T�mos, neste caso, Podemos
A= C1or/ou1 + C2or/ou2 + Caor/oua
= C1a1 + C2a2 + Caaa
e
A= C1 Vu1 + C2 Vu2 + ea Vua
=
C1 �1 + C2 �2 + ea �a
C1, C2 e Ca sao chamados os componentes contravariantes de A C2 e ea, os componentes covariantes de A (vej a os Problemas 33 34). Note-se. que ap = or/oup, �P= Vup, p= 1, 2, 3.
onde
e e
ci,
Elementos de comprimento de arco e de volume. De r = r ( u1, u2, ua) temos dr
=
=
(or/ou1) du1 + (or/ou2) du2 + (or/oua) dua h1 du1 e1 + h2 du2 e2 + ha du.a ea.
=
ANALISE
190
VETORIAL
Logo, a difcrencial do comprimento de arco ds 6 tira da .
ds2 = dr
•
de
dr.
Para sistcmas ortogonais, temos
donde
Para os casos de sistemas nito ortogonais ou
sistemas curvili
neos de um modo geral, vej a. o Problema 17.
Ao
longo
de
uma
curva
u1, u2 e ua sao constahtes, de modo que dr a
h1 du1
=
difcrencial
do
e1.
Logo,
comprimento
do arc o ds1 ao longo de u1, e m
P 6 dado por ma
forma as
h
1 du1.
Da mc s
diferenciais
do
comprimento de arco ao longo de u2 e ua em P sao ds2=h2 du2
Fig. 3
Da
Fig.
3
e dsa
ti ramos
que
o
volume
=
ha dua.
elementar
num
de coordenadas curviHneas ortogonal 6 dado por
pois,
l ei·
e2 X
ea!=
0 gradiente,
a
sistema
1. divergencia e o rotacional pode m ser
ex
pressos em funi;ao de coordenadas curvilineas.
Sendo
cf>
u ma funi;ao escalar e A = Aie1 + A2e2 + Aaea u ma
funi;ao vetorial das coordena.das >Jurvilineas ortogonais
u1,
u2,
1,1,
eeguintea. relai;<'.les sao validas: 1
1.
V = grad = -h
2.
V ·A = div A =
1
1 1 � e1 + � e2 + � ea h3 VU3 h2 vU2 vU1
as
COORDENADAS CURVILINEAS
3.
4.
'V X A= rot A=
191
h1e1
h2e2
haea
a dU1
a dU2
a dUa
h1A1
h2A2
haAa
1
h1h2ha
'V?. = Laplaceano de
Se hi = ha = ha = 1 e e1, e2, ea sao substituidos por i, j, k, as igualdades acima se reduzem as expressoes usuais em coordenadas retangulares, onde se substituem (u1, u2, ua) por (x, y, z), Podemos estender mais os resultados acima por meio de uma teoria mais geral das coordenadas curvilineas, emprcgando os me t odos da andlise tensorial que e tratada no Capitulo 8.
Si� temas especiais de coordenadas ortogonais.
I.
Coordenadas cilindricas (p, q,, z).
onde
x
=
p
�
p cos,
0 �
o,
hp = 2.
y
1,
=
p sell , z
< 271",
-
h"' = p,
Coordenadas esfericas (r, (), ). x = r sen
Fig. 4
0 cos ,
y=
r
Veja a Fig. 4 abaixo.
sen
co
= z
<
z
<
co
ha= 1 Veja
a
() scn ,
Fig. 5
Fig. 5 abaixo. z
=
r
cos()
ANALISE
192 on de r
� 0,
0 � hr
=
1
< 211" '
ho
,
VETORIAL
r
=
,
hq,
= r sen ()
Coordenadas cilindricas parab61icas (u,
3.
v,
z,).
Veja a
Fig. 6 a.baixo.
x
onde
=
! (u2
v2),
-
co
h..
=
h.
t'
� 0,
V u2 +
=
z = z
y = 1w,
2 v ,
h.
= 1
Em coordenadas cilindricas,
- ;-
,
u = v 2p ros 2
•
•
v
=
sen
2 ,
z = z
• =
u=O
=
v '2p
1
u • l/2
•
- ;-
-1/2
1/2
••
0
••
1/2
.. ,
.. -\
Fig. 6
Os tra9os das superficies coordenadas no plano xy estao indi
cados na Fig. 6 a.cima.
muns.
Sao parabolas que tem o foco e eixo
co
COORDENADAS CURVU..fNEAS 4.
Coordenadas paraboloidais (u, x
= UV cos
y = UV sen "'·
v,
·Z =
on de
u � o,
v
h.. = h.
=
� 0,
0 �
v u2 +
193
! (u2
<
-
v2)
211'
htf> = uv
v2,
Doi s conj untos das superficies coordenadas sao obtidos
giran
do-se as parab olas da Fig. 6 da pagina anterior em t 6rno do eixo dos x, que pa ssa agora a chamar- se eixo dos z.
jun to 5.
0 terceiro
con
sao pianos que passam por �sse eixo.
Coordenadas
cil1ndricas
eliticas
(u, v, z).
Veja a
Fig. 7 abaixo. x = a cosh u cos v, on de u
y = a senh u.sen v,
0 � t• < 211',
� 0,
h.. = h. = a
V senh2 u
+ sen2 v ,
h.= 1
N
I:' 7 " "
,,,\'
. ,, 4
'" 0
v.
371/2
Fig. 7
Os tra9os das su perficies coordenadas no p la no xy sao as cur vas
da Fig. 7 acima.
Sao elipses e h i perboles do mesmo foco.
ANALISE
194
VETORIAL
Coordenadas esferoidais oblongas (�, 1],
6.
x =a senh � sen 1J
y=a senh � sen 1J sen
cos c/>,
cf>). z =a cosh � cos '1
c/>,
onde
c/>
0 ;£ h�
=
h11 = a
V senh2 �
+
sen21] ,
<
211"
hrf> = a
senh � sen 1J
Dois conjuntos dessas superficies coordenadas obtem-se giran· do-se as curvas da Fig. 7 em t6mo do eixo dos
0
x.
terceiro, sao
planos que passam pelo eixo dos z, que agora ocupa o lugar do
eixo dos x primitivo.
Coordenadas esferoidais achatadas (�, 1]1
7. x
=
a
y=a cosh � cos '17
cosh � cos '7 cos c/>,
sen c/>,
c/>).
z =a senh � sen 71
onde
-�< <� 2=11= 2•
0 ;£
c/><27r
hrf> = a
cosh
�
cos
77
Obtem-se dois conjuntos das superffoies coordenadas girando-se curva s da Fig. 7, da pagina anterior, em tOmo do eixo dos y, que passa a se chamar eixo dos z. 0 terceiro conjunto sao planos que as
passam por esse eixo.
Coordenadas elipsoidais (A,µ, JI).
8.
:z;2 a2
.....
:z;I a2
+
µ.
---
• . x
a2
---
11
y2 b3
X
+
+
-
X
+
c2
z2 -
X
=
l,
y2 z2 = 1, + 2 b2 - µ c µ +
y2 b2
-
JI
c2
z2 -
11
=
1,
A< c2 < b2 < a1
c
2
< µ < b2 < a2
1 c <
b2 < 11 < a2
COORDENADAS CURVILfNEAS
hx =
_
h"' -
h" -
_
9.
_!__ 2
�
_!__ / �
2
(µ - X) (v - X) (a2 - X) (b2 - X) '(c2 - X) _
(v - µ) (X - µ)
1 (a2 - µ) (b2 - µ) (c2 - µ)
J_ J 2
(X - v) (µ - v)
1 (a2 - v) (b2 - v) (c2 - v)
Coordenadas bipolares :t� +
195
(u,
v,
)
z .
Veja a Fig. 8 abaixo.
(y - a cotg u)2 = a2 cosec2 u, (x - a cotgh v)2 + y2 = a2 cosech2 v,
z = z
'1
Fig. 8 OU a. senh v x = ------ ' cosh v - cos u
y=
a
sen
u
----cosh v - cos u '
on de
0 � u < 21r,
h.
=
h.
=
a
cosh v - cos u '
h, = I.
t: = z
ANALISE
196
VETORIAL
A Fig. 8 da pagina anterior mostra os tra�os das supcrffoies coordenadas no piano xy.
Girando-se as
curvas dessa
figura
em
Mmo do cixo dos y e chamando-o depois de eixo dos y teremos ·
sistema de coordenadas toroidais
o
PROBLEMAS RESOLVIDOS Deecrever as euperf!cies coordenadas e as curvae coordenadas para
1.
coordena�as cilfndricas, e
(a) p
=-
z
(a)
coordenadae eefericae.
As euperffoiee coordenadae eiio: cilindros co-axiaie tendo o eixo doe z como eixo comum (ou o eixo do�
c1
para e1
q,
(b)
...
i
O).
= C2 pianos que passam pelo eixo dos z. = ea
pianos perpendiculares ao eixo dos
t.
As curvas coordenadas si!.o:
tP
lnterse9i!.o de p = e1 e Intersecao de p = lnterse9i!.o de
(b) r
= c1
tP
e1
""
e2 (curva
e z = ea (curva
= e2 e
Z.
= ea
z)
que e Um& reta
,P)
que e uma circunfer�ncia (ou um ponto)
p)
(.curva
que 6_ Uma reta.
As superflcies coordenadas sii.o: esferas de centro na origem (ou a origem se e1
0 = e2
cones de vertice na origem (retas se .e2 =
t/>
pianos que passam pelo eixo dos
=
ea
0
ou
=
71'
0) e piano zy se
c2=7l'/2)
z.
As curvas coordenad:ls ei!.o� lnterse9§.o de r = e1 com (J
=
c2 (curva
t/>)
que 6 uma circunfer�ncia (ou um
ponto) Idem de
r
Idem de (J = e2 com
2.
q, = ea
= e1 com
q, = ea
0)
(curva
(curva
r)
que e uma semi-circunfer�ncia
:cc1
F
0).
que e uma reta.
Determinar as equa9oes de transforma9iio
d� coordenadas ciHndricae
para retangularee.
As equa9oee de transforma9iio de coordenadas retangulares para cilfndricas eiio:
(1)
z
=
p cos q,,
Elevando ao quadrado
p2
(2)
(1)
(cos2
e
q,
(2)
y =
p sen q,,
e BOmando vem
+ sen2
t/>)
=
z2
+
y2
OU
p
"'
..; z2 + y2' pois p e posltivo.
(3)
'
= '.
COORDENADAB CUBvn.fNEA.s (2) por (1)
Dividindo
11
-
-; Logo
temoe
p sen 4' "' p COB "' - tg
(4)
p
(5) 4'
v':c2 +y2,
...
Note-se que para pontos do eixo' dos
3.
sii.o
- arc
tg yfz.
•
1
(z
(6)
tg y/z,
arc
0
-
e y =-
• - ••
0) tP
e indeterminado.
chamados pontoa singularea da transformai;iio.
Provar que
0 V"etor
"'
OU
equat;(jee de traneforma9!<> procuradas, Bio:
as
Taie pontos
197
posic;ii.o r
sistema de coordenadas cilfndricas e ortogonal.
um
de
-
um
ponto qualquer em coordenado.s ciUndricas 6 dado por
:ci +
yj + zk
p cos q, i
..
Os vetores tangentes ls curvas
p, 4'
e
•
+p sen 4' j + z
k
Bio dados,,respectivamente por
iJr
iJr iJp'
iJr - e - o nde
iJz
tPP
iJr iJp
""• .. ooe'l'1
iJr
"" •
+ sen'I'
iJ4'
,,
""' "-']1 'I' I + p COS 'I'
- p sen
-
2!,._k iJz
E oa vetores unitl!.rios dessas direc;l>es eao, portanto,
"'
iJr'iJp
V
ea
iJr/iJz
I iJr/dz I
•
cos2
4'
4'
+ een2
cos
,,.. J "" i + een 'I' 'I'·
-psen4'i + pcoio4'j
iJr/iJ4'
--:�=::;:::= :: ========
I iJr/aq, I
ea""
"'j
COB i +een --:========- '"'
I iJrfiJp I
v' p2 sen2 4' +p! cos2 q,
=-
-
•
sen
q, i + cos q, j
""k
Logo,
entiio
q, i +scn t/>j)
•
ei
e1
·
ea ..
(cos q, i +sen q, j)
·
ea ..
(- sen
ei e,
=-(cos
e1
·
(
·
(k)
q, i +cos q, j)
-
·
sen •
(k)
q, i +cos t/>j).,, 0
0 ..
0
Bio perpendiculares entre si e o sistema de coordenadas 6 or
e11 e2 e ea
togonal.
4.
Representar o vetor
determinando Ap
,
A
e Aa
A •
-
zi
-
2.i;j + yk em coordenadas ciUndricas,
ANALISE
198 Temos, do
VETORIAL
Problema 3:
(2) ecf> = - sen!/> i + cos !/> j
(1) ep =cos!/> i + sen!/> j
(3) e,=k
Resolvendo o sistema de equai;aes (1) e (2), encontramos j = sen!/> ep+cos!/> ecf> Donde,
A = zi - 2xj +yk
= z (cos!/>ep - sen ecf>) - 2p cos!/> (sen q, ep +cos!/> Ccf>) + p sen!/>e. = (z cos q, - 2p cos q, sen)ep - (z sen q, +2p cos2 ) ecf> + p sen!/> e. e
Ap =z cos q, - 2p cos q, sen q,,
5. a
Provar
Acf> =- z sen q, - 2p cos2 q,,
A. =p sen q,.
d d . d"1cam .., ep onde os pontos m dtep = ecf>, dt ecf> =- l •
que
derivada em relai;iio ao tempo t. Temos, do problema 3,
ep
=
ecf>
cosi +senj,
=
-
seni +cos q, j
Logo,
d dt ep = - (sen) i +(cos) j =(- sen •
d
dt 6.
•
•
q>i +cos j)
� =e cf>
•
•
•
•
•
erp =- (cos) i - (sen ) j =- (cosi + sen j) q, =- q, ep Exprimir
a
velocidade
v
e
a acelerai;iio
a
de uma
parUcula
nadas cilindricas. 0 vetor posii;iio, em coordenadas retangubtes e
tores velocidade
v
e
r =
xi +yj
+
em
coorde
zk e os ve
acelerai;ao siio
dr =dt
.
..
•
Xl
. •
+ YJ
+
k
z .
.
e
a =
•• •
...
Xl
•• •
+ YJ
+
..
z
k
Em coordenadas cilindricas, temos, aprovcitando o Problems. 4. r
= xi + yj + zk = (p cos) (cosep - sen ecf>) +
+
(p sen) {sen q,ep+cos!/> erp)
:+- z e1 =
=pep+ze,
Logo, v
dr dp dep dz = dt = dtep+P di+dte,
•
=
•
•
pep+pq,erp + ze6
COORDENADAS CURVILfNEAS empregando os resultados do Problema 5.
a
•
p 4' e + p ep + p � ( -J, ep) + p cP e + p ef, e + (p
=
-
p
utilizando ainds os resultados
Achar,
Derivando novamente, ·temos
il"r d ' ;. = dtf = dt ( p ep + p '+' e + z ez) =
=
7.
199
90
z ez
;, + 2p q,j e + z e.
Problema 5.
em coordenadas cilfndricas, o quadrado do elemento de compri
mento de arco, e determinar os correspondentes fatores de proporcionalidade.
Primeiro Mtltod-0. x
dx = - p sen
e
dy = p cos
se11
q, dp,
dz =
dz.
.
dJ2 = dx2+dy2+dz2=(-p sen q, =
y = p sen "'·
p cos"'·
=
(dp)2 + p�(dcp)2 + (dz)2
h1 = hp=I,
h2=h=p,
Segundo Mtltodo.
-=
(cos
=
dcp+cos
-
h12 (dp)2 + h22 (dq, )2 + ha2 (dz)2
ha=hz=I que siio os fatores de proporciona!idade.
0 vetor posi�iio e
r
= p cos q, i + p sen q, j +
z
k. Logo,
q, i + sen q, j) dp + (- p sen q, i + p COB q, j) dq, + k dz=
= ('Cos q, dp - p sen q, d
ds2 = dr·dr = (cos
= (dp)2 + p2(dcp)2 8.
Resolver o Problema 7
+
(dz)2
para
parab6licas.
(a)
x
=
r
sen (}cos
q,,
y=
(a)
r
coordenadss esfericas e
sen (} sen
q,,
z
=
r COB
8
(b) cilindricas
ANALISE
200
VETORIAL
Logo,
dz
dy dz
=-
- r sen
= r
""
8 sen q, d!/J +
sen 8 cos
-r
sen 8
q, d!/J +
d8 +
r
r
cos 8 cos
q, d8 +
cos 8 sen rp dO
+
sen
8 cos q, dr
8 sen rp dr
sen
cos 8 dr
e
(ds)2 ... (dz)2 + (dy)2 + (dz)2 Os fatOres de escala siio h1
(b)
=-
hr
=
z =
=
(<11')2 + r(d8)2 + r2 sen2 8 (d!/J)1 1,
h2 .,. he
! (u2 - v2),
1J
""
= r, UV,
ha
=-
h.p ...
r sen
8.
I = I
Logo,
dz - u du "" v du ,
dy
=
u dv + 11 du ,
dz
=-
dz
e
(da)2
=
(dz)2 + (dy)2 + (dz)2 ... (u2 + v2) (du)2 + (u2 + v2) (dv)2 + (dz)2
e os fat6res de proporcionalidade silo
9.
Es�ar um volume elementar em (a) coordenadas ciUndricas e (b) esf�
ricas, d:mdo o valor de suas aresta11. (a)
As arestas do volume elementar em coordenadas ciUndricas (Fig.
abaixo) siio iguais a pdrp, dp e dz.
empregando
os
(a)
ltsaes valorcs tambem siio dados por
valores dos fatOres de proporcionalidade achados no Problema 7.
di'"•<' sen B tlJ c raBJ (dr) .=-·r'1sen e ·ar a B arp
dV ,.. (p dr/J)(dp) (d1) "p dp d d• d4> p d
s
Fig. (a) Elemento de 11olume
coordenadaa ciltndricaa
em
Fig.
(b) Elemento de volume coordenadaa esjtricas
em
CURvn.fNEAs
COORDENADAS
da
201
(b) As arestas do volume e le me ntar em coordenadas esfericas (Fig. (b) piig. a n terior ) slio iguais a dr, r d8 e r sen 8 dcp. Tambem podem ser encon
trados da seguinte
ds1
h1 du1
=
=
forma:
(l)
(dr)
=
dr,
ds2
h2 du2
=
= r
dsa
d8,
ha dua
=
= r
sen 8 dcp
empregando os valore a dos faMres de propurcionalidade achados no Problema
Achar o elemento
10.
(b) esfer icas e (c) ciUndricas
de volume dV em (a)
coordenadas
S(a).
cilfndricas,
parab6licas.
0 elemento de volume em coordeuadas cu rvil fueas ortogon ai s u1, u2, ua e
(a) ha
cilfndricas u1
Em coordenadas
1 (veja
=
o
Problema 7).
dV
-
=
'P•
u2
=
If>,
ua
=
z, h1
=
1,
h2
=
p,
Logo,
(1) (p)(l) dp di/> dz - p dp di/> dz
Essa expressio pode tam bem
ser
(a) d o
tirada diretnmente da Fig.
Pro
blema 9.
(b) ha
Em coordenadas esferic as u1 = r, 0 (vej a o Problema 8 (a) ). Logo,
u2 =
ua
8,
-=
If>, hi
dV
-
(1) (r)
(r sen 8) dr d8 di/>
"'
1,
h2
r,
=
r2 se n 8 dr d8 dlf>
Essa exprcssiio tamhem pode ser tiracla diretamente da Fig.
(c)
Em coordenadas cillndricas
v u2
hi ...
1J2,
-t-
dV
=
hi
=
(:v' u.2
V u.2
+ vz)
+ 1J2, h3
(a) •
l: =
- a co sh
y
{b) do
u,
=
u2
=
= a
11,
=
ua ... z,
Logo ,
(u.2 + v2) du dv dz.
(b) o volume clementar
e
Problems 9.
(b) ) .
1 (vcja o Problema 8
(�) (1) du dv dz
acosh £cos f1 cos I/>,
u1
parab6licas -=
11. Achar (a} os faMres de e scala de coordenadas esferoidais achatadas.
dJ;
=
- r sen
cosh £cos f1 sen I/>,
z
dV
=
n
um sistcma
a scnh £ sen f1
£cos 'I sen 4> dlf>-acosh £ sen 'I cos 4> a.,, +a senh £cos 'I cos 4> d£
dy - a cosh £ cos 'I cos 4> di/> - acosh £ sen 'I sen 4> dfl + a senh £ cos 'I sen 4> df dz .,.
a
senh £ cos 'I dfl
Logo,
(ds)2
.,.
+ a cosh £ aen 'I d£
(dJ;)2 + (dy)2 + (dz)2
=-
a2 (senh2 £ + sen2 fl) (d£)2 +
+ a2 (senh2 £ + sen2 fl) (df1)2 + 2 + a2 cosh2 £ cos2 'I (dl/>)
e
h1
=
h�
�
a V senh2 £ + sen2 f1,
-acoshfcOBfl·
h.l
=
h9
=
a
v senh2 £
+
sen
2
'I ,
ha
�
h9
=
ANALISE
202 dV
(b)
(u Vs enh2 �+sen2 71)
=
=
Achar
12.
ortogonais.
VETORIAL
(o.Vsenh2
a3 (sen h2 � + sen2 71) cosh �cos 71 d� d71
I
e2
X
ea
I
=
dcf>.
expressoes dos elementos de area em coordenadas curvilfneas
as
Da Fig. 3, pag. 185, tiramos para
pois,
�+sen2 71) (a cosh � <'os71)d�d71 dcf>
I
=
e1
I
=
1
OS
elementos de area
Analogamente . .
.
dA:i 13.
Sendo u1i u2, u3 coordenadas cu rvi lfne as or togonais mostrar que z em relac;iio a 1t1i u , U3 e ,
cob iano de x, y e
J(
x, y, z
ui,
)
u2, -u3
o
ja
2
ov
OZ·
·�
OU1
ox
0
a
OX 0111
(x, y, z) (ui, u2, 1t3)
oy
iJu2
ou2
ax
a __}/_
oz
oz
0113
oua
hi h2 ha
ou2
0113
Ja sabrmos, pelo Problema 38 do Capitulo 2, que o determinante dado e
igual
a
( 71;;; ox
.
1
+
oy �
.. J +
oz
·a;;; I'
X
Se
0
(
) (
o;'
fiu2
·
fi;_·
•
1
fiua
jacobiano e identicamente nulo
OS
+
. +
1
oy
fi�2
iJy
•
iJua J
+
. J +
oz f1113
oz
.
k
iiu2
k
)
X
)
vetores or/ou1, or/ott2, iJr/0113 siio com
planares e a transformac;iio das coordenadas curvilineas caem por terra, isto e,
ha uma relac;iio por
a
en
tre x, y,
z
da forma F
condii;iio de que o jacobiano
14. 11a ol"i11:"111
Calcular c
JJ:J
raio i11:unl
n
o.
seja
(x, y, z)
=
0.
Portant.o, temos
dife r e n t e de zero.
que im
(x2+y2+z2)dxdydz onde Ve umn esfera de centro
COORDENADAS
CURVILINEAS
20::3
A integral procura da e igu al a oito vezes a integral calc ula da sobre a par t�
da esfera contida no· primeiro octante (Veja Fig.
(a) abaixo ) .
r
Fig. (a)
Fi g . (bl
Porta nto, em coo rdena d a s retangularcs a integral e igual
j'" 1y�2-;:2!
8
=O
ya2-:r2-y2
a
(;r2 + y2 + z2) dz dy d:r
z=O
y=O
f; mais facil empregar as coordenadas
c uj o calculo, c m bora possfvel, e cansat.ivo. esfericas.
integran do x2+y2+z2 volume elementar dx dy dz, por r2 sen (J dr d(J d
Fazen
e substitu fdo por r2, o Problc ma 10
c
(b) ) .
c ons t an te s
ter (J e
o
Para cobrir tO d a
regiii. o no primeiro o c t ante vamos man
a
(veja a Fig. (Ii) acima) e integrar de
g uid a vamos manter
in tegrar em relaQiio
8,
8
a
q, de q,
at e
q,
=
11'/21.tr/"},j•" =O
0=0
8 •
(r2) (r2
ltr/21·trf2 =O
8a•
-
.')
sen (J dr d(J d
=8
,.=o
0=0
1.,.
r" - scn
.')
12
c/> =O
- ('OS
(J
I
(J
tr/2
I
0=0
r-O a ·
-
d
d(J d
Flsicamente essa iutegnd rPpresenta
5
o
=
r =
.
=O 8ci"
= -"·l
=O
o
resultado e:
0=0
d
=
se
na
ord!'m
r,
r4sen (J dr d(J d
1trN i''lr/2 = 0
a; em
7r/2; e, finalmente,
Aqui integramos
E
8a51'tr/�
= -
0 ate
r =
0 a te (J
7r/2. 1tr/21.tr/21"
qualquPr outra ord !' m pode sPr u sada.
mas
=
0
=
=
0=0
H!'n (J d(J d
=
-!7r.')a5
momento de incrcia da esfera em
re
la�iio a orige m , isto c, o momento de in erci a polar, tendo a esfe r a densidade
igual a 1.
ANALISE VETORIAL
204
transformam
se
Em geral, q'qando
por
retangulares
coordenadas
in te grai s
nadas curvillneas ortogonais em
dz 6 substitufdo
,
h1 h2 ha du1 du2 dua ou pelo cquivalente
onde J 6 o j acobi ano da transformacao de :e, y,
1
para u1,
e
ui, u2, ua
Sendo
coordenadas gerais, mostrar que
Vu1, Vu2, Vua siio sistemae de vetores recfprocoe.
or
a ·
Devemos mostrar que
quaisquer dos valores 1, 2, 3.
Temo1
'fp
or dr - � du1 uu1
Multiplicando por Vu1 Vu1
•
dr -du1 -
(
OU
Vu1
Vu1
•
,
+
ar du2 "'
Vu1
(
Vu1
or
16.
Provar
que
Do Problema 15, res recfprocos.
•
--
e
•
X
•
_ _!!!_ 0U2 1
I
,
onde p e
o
Pro
_!!!__ � ou2 ,
q
oua
podem ter
dua
du2+
Vu1
por Vua
{ ;;1 ;;2 ::3 } { ar a U1
uua
::� )
- 0,
o-,
•
Analogamente, multiplicando por Vu2
cOcs rest.an tee.
iJr "'
--
r
dx, dv,
vem
- 1,
o�
+
uu2
du1 +
--
{lsep-q Osep;oEq
=
--
;;1 )
ar
•
•
Vu11
�
uu1
ntar
(veja
ua,
u2,
blema 13).
15.
para coorde
multiplas, o volume elemc
Vu1
·
(
ar
•
·
o�
--
Vu1
•
::a )
du1
- 0
demonstram-se as re�
Vu1 X Vua
}
.. 1
ar e Vui, Vu2, Vua siio sistemas de vctoa U3
Logo, do Problema 53 (c) do Cap(tulo 2, tiramos o resultado
procurado,
Essa igualdade 6 equivalente ao teorema dos jacobianos para au1
au1
au1
iii'" Tv T Vu1
·
au2
Vu2 X Vua ...
au3
az e,
portanto, J
(
x, y,'
11 �:
u2, ua
au2
a112
iii" Ty T
)
J
(
lJ113
ilua i)y
ui, u2, ua x,
1h
z
)
Tz
Ut, U2, 113
x, y,
=J(
z
)
-1
usando o Problcma 13.
COORDENADAS 17.
CURVILfNEAs
205
Mostrar que o quadrado do elemento de comprimento de arco em coor
expresso por
denadas curviHneas, gerais, pode ser
ds2
3
3
•
�
p-1
gpq dup dv.g.
};
q=l
Temos
LogQ
.
da2 - dr
dr
•
«1
-
«1 du12 + «1
•
+
«2
+ «a 3
3
};
};
p=l
Essa �
n
q=l
chamada
·
•
•
•
«2
du1 duz + «1
«1 du2 du1 + «1 duadu1 +
gpq dup du11
onde
«2
«a
gpq
jorrna quddrica fundamental
•
•
•
«a d111 dua +
«2 du22 + «2
«2 duadu2 + ...
ap
ou
•
•
aa
aa
du2 dua
aadua2
·
+
=
aq
Jorma m�trica.
As quan
tidades gpq sao chamadoJ! coejicientea mttricos e siio sim'5trico�. i�to �. gpq =gqp. Se
g22
gpq = 0, p � q, �
h22 e g33
-
e o sistema de coordenadas � ortogonal.
Neste caso
gn =h12,
A forma m6trica aplicada a espai;o� de mais de tr�� dimen
ha2•
sl\es � de \lma importancia fundamen tal na teoria da relatividade (veja o Ca{J( tulo 8).
Gradiente, diverg@ncia e rotacional em coordenadas orto gonais. 18.
Deduz i r nma expresslio para V em coordenada.s curvf!ineas ortogonais.
Fa�:imos v
Como
dr
='1 e1 +h e2+'3 ea or
=-
�du1 + v u1
or
� du2 vus
te mos Mas
(2) Igualando (1) e
Logo ,
onde
(2), tiramos
Ji,]2, Ja silo or
+ � dua uui
..
coeficientes
a
determinar.
ANALISE
206
VETORIAL
Essa igualdade indica a equivalencia do operador
que se reduz a expressiio usual do operador
19.
Seja
(a)
Fai;amos
f e1 l/h1 IV112:
=
=
=
h2-I
u2, ua
=
hp Vup
(a)
Provar que !Vupi
(b)
.\lostrar que ep
u1
no
h1-1, poi�, ie1 I P
=
em coordenadas retangulares.
coordenadas ortogonais.
Problema
=
1.
=
=
h,,-1, p =I, 2, 3.
E1,.
18. Entiio Vu1
Analogamente
=
fazendo
e1 -h
1
=
,
Vu,,
:vu,, I .
=
112
e
e,,, como querfamos demonHtrar. semelhanteil
=
e2 e ea, onde ·u1, u2,
V u1
Do Problema 19, temos
=
e1 , Vu. 2 1h
=
e 2 h2
'
V'u3
=
ea h ·2
•
Logo,
21.
Mostrar que, e m coordenadas ortogonais
(a)
(b) corn
expressi'ies (a) V
Do
·
semelhantes para os vetores A2
Problema 20,
(A1 e1)
u:i,
Do item (a) tiramos que podemos escrever
Provar que e1 h2 h3 Vu2 X Vua com equai;i'ies ua s:io coordenada8 ortogonais.
20.
IV'u3I = ha-1.
Por
(b) Ev
ui,
V
=
V
·
e2
e Aa
ea.
temos
(A1h2ha Vu2 X Vua )
"" V (A1 h2ha)
·
Vu2 X Vua + A1 h2 ha V
·
(V'u2 X Vua) -
para
COORDENADAS
1 =
h1 2 h h3
ll Ul
V (A1 h1J X � + O
Exprimir div A
=
i -
hl h2 h3
207
a -!I- (A1 h2 ha)
=
22.
CURVJLfNEAS
[
h i
=
V'
·
=
A em coordenadas ortogonais.
a a a h h:1) + -!I- (A2 h h) + �!I- (A a 1 h 2 h) !>'-- (At 2 a i "� "� v•
utilizarido os resultados do Problema 21 (a). 23.
Exprimir rot A
+ �
h1h2 e1
+ h 2 h·3
=
V' X A em coordenadas ortogonais.
iJ
-!IllU!
ei
(A 2 h 2 ) - h ·2 h3
CJ
-!Ill U3
(
A 2 h2 ) +
a a ' ' e2 � (Aaha) - � (Aaha) ha h1 vu1 vu2 .
=
J
ANALISE
208
VETOBIAL
(b).
utilizando os result.a.dos do Problem& 21 a
Essa ei:cpress!o pode
ser
e&erit.a sob
forma hi
V XA-
24.
ei
h2
ha
e1
es
a
a
a
1
8u1
8u2
aua
A1h1
Azh2
Aaha
h1h2ha
Exprimir V21" em eoordenndas cu�Unea11 ortogona.is.
e, pelo Problema 22, vem
25.
U88lldo
a
defini�iio seguint.e
divA -
••
It .. V · A
1!
lim �11-8 t.v..o
A·ndS --
---
...
�v
c
:..-,;o..==;�--i�
•,
.
(veja neas
Problema 19,
o
mir V
·
Cap. 6) expri
A ·em coordenadas curvill
ortogonais: Considettmos o volume elemen
(veja n fignra. no lndo) de ares Sejam A - Aie1 + A2C2 + Aa ea e n o uni· tar AV
tas h1 �u1, h2 Aui, ha Aua.
CUBVILfNlwl
COORDENADAS
tA.rio normal A superflcie !!.S de !!. V. ·Na face
209
JKLP temos
n- -c1.
Logo,
temos, aproximadamente
( f
A
·
n
dS
-
(A
·
n
no ponto P) ( Area de
JKLP)
...
}JKLP
"" [(A1e1 + A 2e2 + Aaea)
•
(
-
e1)) (h2'ia !!.us !l.ua)
-
"" -A1h2ha !!.u2 !!.ua Na face EFGH, a integral de superficie 6
desprezando a� infinite,i;imais de ordem superior a !l.ui, !l.u2,
!l.ua.
Logo,
a con·
tribuicao Uquida para a integral de euperficie dessas dua.s faces 6
A contribuic!o de tMae as eeis facea de VV 6
Dividindo pelo volume h1 h2 ha !l.u1 !l.u2 !l.ua e tomando Au1, !l.u2, !!.ua tendem para zero, achamos
o
limite quando
div A� V ·A=
Note-se que obterfamos o mesmo reeultado
se
tiv�ssemos eecolhido
e.,
o
volume elementar VV corn P no cen_
tro. Neste caso o calculo se prol'essa ria de modo analogo ao do Problema
21, Capltulo 4. 26.
(rotA)
•
Usando ·
o
dermi�o
n"'
(V X A)-n
(vcja
a
•
lim As..O
£ A·dr J ·c
Problema 35, Capftulo
ortogonais.
6)
"•
exprimir V X A em ooordenadaa curvilfnea'
ANALISE
210
Calculemos inicialmente (rot A)
·
VETORIAL
ei.
Para iHso consideremos
81, normal a ei, em P, de ac6rdo corn a figura da pag. anterior. el
o limite de Si.
[ ::r
C1
Seja A
A · dr
=
=
{ A JPQ
A le1 + A2e2 + Aaea.
{ A· JQT,
dr +
·
dr +
Temos
{ J
LM
a
superflcie
Designemos por
A · dr +
{ J.'vf
A P
·
dr
Podemos fazer as seguintes aproximai;oes
lQ
(1)
A · dr
= (AemPJ · (h2Au2e2) = = (.41
el
Logo,
+ A2
e2
+ Aa
ea ) ·
(h2 A112 e2) = A2 h2 il112'
OU
Analogamente
{ A· }n1
dr =(A em P) · (ha Aua
(3)
{ A JMP
dr = - Aa ha Aua
(4)
1QL
e� ) .
= A a ha Aua
OU
e
·
A · dr
=
.
1b ha Aua +
a
-!I-
u112
(Aa ha Aua) Au2.
8omando (1), (2), (3), (4) temos
desprezando os infiniMsimos de ordem superior a Au2 Aua.
Vu2
Dividindo pela area de Si, igual a h2 ha Vu2, Vua, toman do o limite quando e
Vua tendem para zero, temos (rot A)· e1
=
i ,-h-
n<.!.
.:-;
[
a . a ·-a- (A a ha! - -a- (A2 h2) u2
ua
J
COORDENADAS
CURVILfNEAS S2
Analogamente, escolhendo as superffcies em P,
respectivamente, achamos
(rot
chegamos ao resultado procurado:
� -h 3 hi
[ ,..� - (.41 hi) -
� + hT
[ -aa CA2h2) -
+
2
1
u113
lti
a -.:ivu1
A)
211
·
e Sa perpendiculares a e2 e e3 e2 e (rot A) ea. Assim fazendo ·
(A 3 ha)
a -a- (Ai h1l
1t2
J+ J
=
.
a OU1
1
ITh i
2
3
a
21.
ha ea
iJu2
hi Ai
Pod{amos tambem ter deduzido essa expressao escolhendo P, area 81;
h2 e2 a
hi e1
a OU3
h2 A2 ha Aa no
centro da
marcha do calculo seria a mesma do Problema 36, Capitulo 6.
(a) V, (b) V
Exprimir em coordenadas ciHndricas as grandezas
(c) V X A, (d) V2�. Temos, para o caso de coordenadas cilindricas
(p,
q, 1 z),
p,
ha
·
A,
e
h1
=
hp
=
11
h2
=
ht1i
=
=
h,
=
1
(a)
(b)
V ·A 1
=
·
(l)(p)(J) I
=p
[
�
[
1 h 1 h2h3
a
a a [ ....,.-- (h2 h3 Ai) +-,.- (ha uu2
vu1
ap-((p)(l)Ap)
+
a A + aq, (Ol(ll t1i)
a . OAtfi. a op (pAp) +�+"Ft° (pA,) ]
a
hi A2) +-,. (hi h2 Aa) uua
a
�((l)(p)A,)
J J
=
=
VETORIAL
ANALIS.B
212·
h2 e2 ha ea
h1 ei 1
(c) V X A• h1 h2ha
h�2
h1A1 1,
1
. 1
..
+
ha aua aua +�(��)]= [� ( (p) (1) ) __!__
(1)
(Jp
{J
(Jp
Exprimir (a) V X A
h�s
ha aua h1A-1 haAa
e1
a au1
(1) (r) (r llCll (J'
ea
a
.
a
ilu2
h1A1
1 =
(1) (1)
(J
CJ
)
p
(b) V2!/I em coordenadas esf6ricu.
o
h1
- lti;sha
(
az
caeo,
(a) V XA
+
e
( (t)(p) �) J ... (1)
er
rea
a
a
a;
iii
A,
rAt1
r111en8etf;
a
iJ r sen
8
_ea
aA, ... iJp ) .,..
- p
+
(J_
(1) (p) (1) a +-{Jz
Nest.e
p
haA3
p
petf;
a a a (Jp {J Ti p A pA tf; A.
aApa.. - -a (p.'14>) ep ( p-- [ ( -) {Jz (Jz aq,
=
28.
ep 1
a a a au� au2 aua
A41
_
+
COORDENADAS
(1) (r)
X
=
..!.. r2
..i_ (� oif )
29.
or
Escrever a
Do Problema 8 u1
=
u, u2
1 --+ 112
- u2
e a
oif or
(1)
or
+
) +..i_((rsenO)(l) -2_1'!_) + ..i_ ((J)(r) iJcp 08
1
-. r2 seu
8
equ:v;iio
i)(}
r
_i. iJO
(
se n
8
ill/I iJ8
)+
r
r2
l
sen 8
oif iJcp
)
J
-
a·"' oq,2
1:1en2 8
de Laplace em coordenadas ciHndric:i.s parab6licas
(b), temos
=
v, u3
( fJ11/Iu.2
--
iJ
=-
+
z;
h1
i)2ift iJu2
) + i)'J.,/I
-
equa�iio de Laplace I! V2
30.
213
l_ri;cu8) X
[_i_((r)(rsenO) or
CURVILfNEAs
"'
"" V ·u.2
- 0
+
i?,
h2
V u2
+
112 ,·
ha
=
l
-
iJz2
OU
Exprimir a equa�iio
n adas cilfndricas cliticas.
.,.
�
a iJ
•
"
V2 U em coord"
Neste Logo,
r;nu
1
a2 (senh2
=
a
c·nso Uj = u, u2
= .
X
e
VETORI.AL
ANALISE
214
[
·u
+ sen2
(
a -
�
=
a. -
+
1 __ + �en2 v)
____
a2 (senh2
u
z: h1
=
=
vsenh2
h2
= a
a
( a2 (senh2
u
+ sen2
v'
ha
=
1.
X
v)
)
au �
v, 113
�
[
(
)
au
&
_a·_u 2 _ iJu2
+ &
]
_a_2u_
+
iJv2
+
u
au
+ sen2 v) &
)]
_a_u 2 _ oz2
equa�iio de condm,:iio dil calor e
au
- K
--
Ot
1
�
[
------
a2 (senh2
+ sen2
11
v)
a2u
+
--
iJu2
a2u
J
--
av2
a2 u +-iJz2
}
Superflcies em coordenadas curvilineas. 31. r = r
'.\fostrar que o quadrado do elemento
na
�uperffcie
(u, v), pode ser dado por ds2
E du2 + 2F du dv + G dv2
=
•
Te mos dr Logo,
ds2
=
dr or
-
=
au
or
du +
a; d11
Cir -
dudv
.
011
or du 2 +2au
·
av
Cir +av
Ci r -dv?
·
av
E du2 + 2F du dv + G dv2•
=
32.
or -
·
au
=
dr
·
or =
Mostrar que o elemento
dS
=
VEG
-
=-
r (u,
v)
F2 du dv.
0 elernento de area e dado por
dS,
=
I I
(
or -
011
_/ ( ..
=
.,
.
du
or -
011
) ( X
X
or av
or -
iJv
-
dv
) ( ·
)I
ar
I
=
----
- X au
[or
I au
or -
av
X
or --
iJv
) du dv.
j
du dv
=
e dado por
COORDENADAS E
( ar
a;7
a
.
expressiio sob
ar a-;;
o
CURVILINEAS
:Z Li
radical e i gual a (veja o Problerna 48, Cap(tulo 2).
ar � ) ( a;;) (� .
_
011
a,,
�
.
01'
) ( ar_ �) 01'
.
011
= RG
_
F�
C.Q.D.
Problemas diversos sobre coordenadas gerais. 33.
Seja A um vetor dado definido em relai;iio
a
dois sistemas de coorde
nadas curvilfneas gerais (u, u2, ua) e (ui, u2, ua). Achar a relai;iio entre os corn
ponentes contravariantes do vetor nos dois sistemas. Suponhamos que
(x,
y,
z)
para
OS
f 'l
(I)
R
x
as
equai;11es
de
istem as (ui, U2, ua)
X2
transformai;iio
(u1, U2, Ua) se j arn
y = Yt (u1, u2,
= l:1 (ui, u2, ua),
l: =
e
(Ui, U2, :Ua),
do
113),
y = Y2 (ui, :U2,
:Ua),
sis tem a
retangular
z = z1(ui,112, ua) z = Z2 (:Ui, :U2, ua)
Portanto, existe uma transforma<;iio direta
e
reciprocament<>.
De (1), tiramo�
Logo,
De
(2),
aua u1
a-
Substituindo em (3)
e
-
du
1
+
O'U3 OU3 1- du2 + ,.-
-
ru2
uua
-
du:i
igualando os !'oeficientes de dui, du2, dua Pncontramo'
ANALISE
216
VETORIAL
(4) au1 a- + U2 U3
. U3 = U1
a 112 a- + U3 U3
dU3 a-
U3
Mas A pode ser expresso nos dois sistemas de coordenadas da seguinte forma:
C1,
onde
aistemas.
C2,
Ca e
(\ C2, Ca
sao os componentes contravariantes de A nos dois
Substituindo os valores das equaQiies (4) em (5) vem
+
(
a aua - aua ua C1 a- + C2 a- + Ca aua u2 u1
)
era.
.
Logo,
(6) Ca ... C1
a� - a� a� - + C2 -a=-+ Ca aua u2 a u1
ou, em notaQiio mais abreviada
(7) e em
Cp
-
- dup - dup - dup C1 a- + C2 a- + Ca aU3 U2 U1
p
...
1, 2, a
p
-
1, 2, 3
p
...
1, 2, 3
outra ainda mais abreviada
(8)
Cp""'
�
,,;., g=l
dup
-C a v-
u11
An�logamente, trocando entre si as coordenadas vemos que
(9)
COORDENADAS Os rcsulta
ti
outras tres quantidades
levam
nos
si s te m a
Ci, G;, Ca
CURV!LfNEAS
a a
a seguinte definii;ao: Se tres quan
de c oordenadas de outro siste
34.
(u1, u2, u3)
siio
rel a c iona das a
�a Cui, u2, ua) pelas equacoos de
(9) entiio e ssas quantidades siio chamadas compo vetor contravariante OU Uffi tensor contravariante de primeira ordem.
transformac;ao (6), (7), (8) ou
nentes de
217
Um
Resolver o Problcma 33 para os companente covariante de A.
(u1,
Rcpresentemos os componentes covariante de A nos sistemas
(ui, U2, U3)
por ci, c2, C3 e ci, c2, C3 respectivamente.
�Ias, como Up= up (11i, 112, u3) corn p = 1,
r
(2)
. oup
I
l
= � oup ou
=
oup
7iZ =
0111
oup OU1
+
ox
OUp
OU1
ou1
ou1
oup
ou'2
OUp
OU2
0112
oy
ox
OU2
-
01t2
112,
ua)
1, 2,
:�
3, temos
+ +
oup
i!ua
OU3
oua
a]J
OU3
cz
OU 3
�
OUp
OU2 + OUp
oup
+-
oz
0111
oup
+-
oy
--
2,
Entlio
p
=
OU3
a-;-
E, tambem
+
(
c1
OU1 --
oy
Ou2
+ c2 --- + ea ov
OU3 --
oy
Igualando os col'fitientes
(5)
I I
au2
+ c2
--
ou1 r1 - - 0y
+ C2
Ou2 - -y0
OU1
.
J
de i, j,
OU1 ci-ox
q
)
ox
Ou2
+
( ·
ci
OU1 --
oz
+ c2
OU2
oz
--
+ c:i
ou · 3
--
oz
)
k
k em (3) e (4), temos oua
+ ea-o.c
+ C3
ou3 ou1 0 11 = C l ay _
---
OU3
fu" + C2 az + ca--az =
- OU1 C1
+
a-;- +
-
C2
ou2
----a;;- + C3 -
oua
---ay
- OU2 - 0 U3 C2az + C3az
e
AN
218
AL I S E
VET0RIAL
Substituindo os valores das equai;oes (2) corn p =1, 2, 3 equai;oes
(5)
em
qualquer das
e igualando os coeficientes de
dua -a;:·
iJu1
fu '
cm ambos os membros, encontramos
(6) -
au1
au2
uua
aua
ea= e1 !>'---- + e 2 -- + que podem ser postas sob a forma
-
au1
-
-
au2
uup
aua
ca--
iJua
aua
ca-,.-
,. + q�+ e11= e i--
(7)
-
uup
p = 1, 2, :�
uup
OU
(8)
3
1:
Cp =
q=l
auq
_
eq
p
u "11. p -
= 1, 2, :{
Analogamente, podemos mostrar que
-
(9)
�
auq
p = 1, 2, 3
Cp= .:,,, eq -au:v q=l
Os resultados acima nos leva a adotar a seguinte dcfinii;iio: dades ei, e2, ea de um sistema de coordenadas
(u1,
tres quantidades ci, c 2, ea de outro sistema transformai;iio (6), (7), (8) ou
fRs de
um. vetor eovariante
(9),
Se tres quanti
u2, ua) siio relacionadas
(ui,
u2,
u:i)
entiio essas quantidades chamarn-Rc
ou um
a
outras
pelas equai;oes de
componen
tensor eovariante.
Generalizando os conccitos contidos neste e no Problema 33 para espa<;oR de mais de trcs dimensoes, e generalizando o conceito de vetor, sornos levados a
andlise
tensorial
de que trataremos no Capftulo
8.
No proceRso de generalizai;iio
e conveniente usar urna notai;iio concisa a firn de cxprirnir as ideias fundarnentais nurna forma compacta.
Devernos lernbrar, no entanto, que, a despeito da nota
�iio empregada, as ideias basicas tratadas no Capftulo
8
estiio intirnamente li
gadas corn as tratadas neste capftulo.
35.
(a)
Provar que, nurn sisterna geral de coordenadas (ui, u2, 1ia),
g
gu
U12
g13
g21
g22
g2a
ga1
ga2
gaa
ondc gpq siio os cocficientes de
du11 du11
(
ar au1
ar •
au2
x
em d..�2 (Problerna
ar aua
17).
)
2
COORDENADAS (b)
e
CURVILiNEAS
219
Mostrar que, num sistema geral de coordenadas o elen:ento de volume
vg dub du2, du3. (a)
Do Problema 17, temos
(1)
gpq
O:p
=
O'.q
•
=
p, q
=
1, 2, :�
Logo, empregando o seguinte teorema da multiplicai;ao de determinantkl�,
aJ
a2
a3
AJ
BJ
CJ
bJ
b2
b3
A2
B2
C2
fJ
C2
f3
A3
B3
C3
aiAJ+a2A2+a3A3
aJ BJ + a2 B2 +a3 B3
aJ Ci +
biAi + b2 A2+b3 A3
bJ B1 + b2 B2+ b3 B3
b1 C1 + b2 C2 +· b3 C3
CJ Ai+ c2A2+ c3A3
CJ BJ+ c2 B2 + ea Ba
r1 CJ+ r2 C2 + C3 C3
a2
C2 + aa (,'3
temos
(
or
or
oui
.
ox OU1
(b)
OU2 x
__j_iL_ OUJ
or
)
OU3
2
ax
oy
oz
OUJ
OUJ
OUJ
ox
=
o u2
oy
ou2
oz O U2
ox
oy
oz
OU3
OU3
OU3
oz
ox
ox
ox
OUJ
OUJ
OU2
OU3
__iJj__
OX
oy
oz
oy
O U2
OU2
ou2
OU1
oy
a112
OU3
oz 0113
ox
ay
az
oz
oz
OU3
OU3
OU3
OU1
ou2
2
0 volume elementar e dado" por
=
'°'
I _E!_
oui
Vu
•
�X QU2 .
�I OU3
dui du2 dua
dui du2 dua pelo item (a).
=
Un
g12
U 3
U2J
U22
g2 3
g 31
g:i2
g33
1
ANALISE
220
yg
N'ote-se que 1111
1121
e o valor absoluto do jacobiano de x, y,
(veja o Problema
1t3
VETORIAL z em
rela<;ao
a
13).
PROBLEMAS PROPOSTOS As respostas
36.
Descrever as superflcies coordenadas e as curvas coordenadas, fazendo
tamMm um esb6<;o,
para um sistema de coordenadas: (b) bipolares e (c) cilfndricas parab61icas. 37.
(a) cilfndricas elfticas,
Determinar as equa<;oes de transforma<;iio: (a) de coordenadas esfericas
para retangulares (b) de coordenadas esfericas para cilfndricas.
38.
Exprimir em coordenadas esfericas os seguintes lugares geometricos:
(a) a es fe ra z
=x
2
+ y2;
39. p
= 4;
40.
(d)
+ y2 +
a
2 z =
o plano
Sendo p,
e escrevrr
(b)
x2
z
z
= O; (e)
2
= 3 (x2 y = x.
(b) o cone z
9;
o piano
+
y2); (c) o
parabol6ide
coordenadas ciHndricaR, descrever os seguintes lugares
equa<;iio de cada um em coordenadas retangulares: (a) p
(c)
Sendo
= 7r/2; (d)
u,
v, z
z
=
=
coordenadas cilfndricas eHticas onde
a
=
u
= O;
41.
z
Se
= O; (c) u, v, z
u =
In
2, z
=
v
2; (d)
::'°
0,
z =
= 2; (c)
1
42.
(a)
� u � 2, 2 � v � 3,
43.
(a)
z =
O; (d)
Achar os vetores unitarios Achar
i, j
Representar
e de te rmi n ar Ar,
O;
7r/4;
sao coordenadas cilfndricas parab6licas, esbo<;ar o grafico da:i
natlas esfericas em fun<;iio _de i,
(b)
v=
0.
curvas ou regioes descritas por cada um dos seguintes: (a) z
=
41 descre ver os
seguiates lugares e escrever suas equa<;oes em coordenadas retangulares: (a)
(Ii)
z
4,
1.
Ao
o
j e
vetor A
u
2,
<
eo, ec/>
e,.,
u
2 <
= 2, z = O;
v
< :3,
z
=
v
=I,
de um si�t!'ma de coord1.'
er e(), ecf>.
= 2y i - z j
+ 3x k em coordenadas esferica:l
44.
Provar que um sistema de coordenadas esfericas 6 ortogonal.
45.
Provar que
siio
(b) 0.
k.
e k em fun<;iio de
e Act>.
I <
ortogonais
os
seguintes
sistemas
lie
coordena
ciHndricas parab6licas, (b) ciHndricas eHticas e (c) esferoidais achatados.
46.
- cos
Provar que
;,=0 eo + sen OrPe, �o= -Oe,+cos OrPe, �= -sen oef,e,
o
47.
Exprimir em coordenadas esfericas
a
velocidade
v
e a acelera<;ao
a
U•'
uma partfcula.
,
48.
Achar o quadrado do elemento de comprimento do arco e os correspon
dentes fatores de proporcionalidade em
(a)
coordenadas parab6licas, (b) coordc
nadas cillndricas elfticas e (c) esferoidais achatados. ·
49.
(/J)
Achar o elernento de volume dV em
(a) coordenadas parabolica s,
r.oordenadas cil!ndricas e (c) coordenadas bipolares.
50.
Achar (a) os fat6res de escala
nadas esferoidais oblongo8.
c
(b)
o elemento de volume
dV em
coor
COORDENADAS
CURVILfNEAS
221
5l. Deduzir as expreBSOes dos fat6res de proporcionalidade em (a) coorde nadas elipsoidais e (b) coordenadas bipolares. 52. Achar os elementos de d.rea de um volume elementar em (a) coorde nadas cilindricas, (b) coordenadas esMricas e (c) coordenadas paraboloidais. 53. Provar que a condi�iio neces811ria e euficiente para que um eistema de coordenadas curviUneas eeja ortogonal e que gpq 0 para p � q. =
{
Achar o jacobiano J
54.
•
x, y,z u1, u2, ua
)
para um sistema de coordenadas
(a) ciUndricas, (b) esfericas, (c) cilfndricas parab6licas, (d) ciHndricas .elfticas e (e) e�feroidais oblongos.
f!vf v'
55. x2
Calcular
+ y2
z
=
c
z
""
8
-
:r2 + y2 eh: dy dz,
(x2 + y2).
onde V e a regiiio limitada por
Sugestio: Empregar coordenadas cilfndricas.
56. Achar o menor dos volumes limitados pela esfera x2 + y2 + ,� = 16 e p<'lo conez2 = z2 + y2 •
Usando coordenadas esfericas, achar o menor dos volumes limitados por csfera de raio a e um plano que a corta a uma distAncia h do centro.
57. 11ma
(a) Descrever as curvas e as superf(cies coordenadas do sistema
58.
(b) :Mostmr
que ease eietema e ortogonal.
(c) De termin ar J
{
' (d) l\fostrar que u1
x, y, z u1, u2, ua
e
u2
)
para o sistema.
siio fun�0ee de p e q, e determinar as rela�0es.
Achar o momento de inercia da regiiio limitada por x2 - y2 = 2, 4, xy-= 1, xy ""2, z= 1 ez=3 em rela�iio ao eixo dos z, sendo a 2 u, xy = v. densidade conetante c igual a K. Sugestiio: Fazer x2 - y2
:r;2
59.
-
y2
=
==
60. Achar
Dadas as equa�0ee de trunsfonna�iio de coordenadas u1 xy, 2 U2 y2, ua z. (a) Mostrar que o sistema d<'. coordenadas niio e ortogonal; x, y,z (b) Achar J ; (c) Achar ds2• �
61. +
=
x2
(
65. clfticas.
)
e
rot A em coordenadas cilindricas parab6licas.
Exprimir em coordenadas eefericas (a) VY,
63. 64.
u1, u2, ua
Achar Vcl>, div A
62.
.
-
==
Achar V2'{1 em coordenadas esferoidais Escrever a equ�iio ()2if>//iJy2
e
(b) V A. ·
achatados. =
cl> cm
coordenadas cillndricas
ANALISE
222
66.
VETORIAL
Exprimir a equar;iio de Maxwell V X E = -
1
aH
-;; --;ft
em
coordeoa-
das csferoidais oblongos.
67.
Exprimir
a
equar;iio de Schroedinger da mecanica quantica
•
V-1{! ondc
in,
h c
E
8 71"2 m -,;,2 (E
+
-
V
(x, y, z) 1/1
=
0,
s'ao constantes, em coordenadas cilfndricas parab6licas.
68.
Exprirnir
69.
Exprimir cm coordenadas csfericas a equar;iio da transmissiio de calor
au
Tt
=
KV2U,
a
.
sendo
equar;iio de Laplace em coordenadas paraboloidais.
U independente (a)
de
cf>, (b)
de
cf> e 0, (c) de re
t,
(d)
de
cf>,
0 et. 70. 71. nais,
sc
72. r
=
r
Achar o elemcnto de comprimento de arco sobre uma e�fera de raio
a.
Provar quc, cm qualquer sistema de coordenadas curvillneas ortogo tern div rot A = 0 Provar que
(u, v)
c
1!
a
B
rot grad = 0.
area da superfkie de uma regiiio dada .R da superffcie
VEG
- F2 du dv.
Aplica-la p ara
0
calculo da supcrficie de
uma esfera.
73. r = r
Provar quc um vctor
(u, v)
p
que e, em todos
OS
ponto�, normal a superficie
e dado por
(a) Descrever a transformar;iio de coordenadas planas x = x (u, v), y (u, v). (b) Sob que condir;oes seriio ortogonais as linhas coordenadas u e v?
74. y=
75.
Sendo (x,y) as coordenadas de um ponto P num piano retangular xy
(u, v) as coordenadas de um ponto Q num piano retangular uv, se x = x (u, v) e y = y (u, v) dizemos que ha uma correspondencia entre os pontos P e Q. (a) Se x = 2 u + v c y u 2 v, . mostrar quc as linhas do piano .xy corres·· pondem as linhas no piano uv.
e
=
(b)
-
A que corrcsponde no piano uv o quadrado limitado por
r
= 0, x = 5,·
y=Oey=5?
•
(c)
Calcular o
jacobiano J
as razoes das areas do quadrado
uv
-
x,
( Y) u,v
c
c mostrar quc �le e relacionado com
de sua imagem no piano
uv.
76. Sc x "" ! (u2 v2), y = 11v determinar a imagem (ou imagcns) no piano de um quadrndo limitado por x = 0, x = 1, 11 = 0 c y � 1 no piano xy.
COORDF:NADAS
CURVILINEAS
'223
Mostrar que, sob certas condi90es de F e G, temos
77.
1"' 1"'
e-•(z+y) F
Sugestiio:
1"' {it
F
x +y = t, x = v
do plano
(x) G(y) dx dy =
Fazer a transformai;iio
e-•t
(u)
G
}
(t - u) du
xy
dt.
para o plano
0 resultado e muito importante na teoria das transforinadas de Laplace.
vt.
(a) Se x = 3 u1 +u2 - ua, y = u1 +2 u2+2 ua, z = 2 u1 - U2 -
78. achar
z=
volumes do cu,bo limitado por
os
x = O, x = 15, y = 0, y = 10,
5, e da imagem desse cubo num sistema de coordenadas retangulares
z =
us,
0
e
u1, u2, us.
Relacionar a raziio desses volumes ao jacobiano da transformai;iio.
(b)
(x, y, z)
Sejam
79.
e (u1,
u2, ua)
as coordenadas retangulares e curvilfneas,
respectivamente, de um ponto. Se x = 3 U1 +u2 - ua, y = 111 +2 u2+2 ua, z = 2 u1 - u2 - us ui, u2, ua serii ortogonal? (b) Achar ds2 e g neste sistema. (c) Quale a relai;iio entre este e 0 problems anterior?
(a)
o
sistema
Sendo
80.
x = u 12 +2 , y=u1 +u21 z=ua2-u11 achar (a)
(x, y, z) (ui, u2 ,ua)
a
J=
a
-
ver1·r·war que J2
.
g e
(b)
o
jacobiano
g.
Respostas dos problemas propostos. (a) u = ci
36.
z
ten:do o eixo dos
c
v
= c2 siio cilindros elftico e parab6lico, respectivamente,
pam cixo comum.
z = ea
siio pianos.
Veja a Fig. 7 do
Capi
tulo 7.
(b) u = e1
e
v
= e siio cilindros circulares cujas interse90es corn o piano xy 2
x, respectivamente, e que
siio circunferencias de centro sobre os eixos do y e dos se cortaln em angulo
(-a, O, O)
(c)
0, 0). z = ea
e (a,
u=
reto.
e1 e
v= c2
siio
Os
cilindros
siio planos.
u
= c1 passam todos pelos pontos
Veja a Fig. 8 do Capftulo 7.
cilindros parab6licos cujos trai;os no piano
xy
siio
parabolas co-axiais que sc cortam perpendicularmente e tern os vertices no eixo dos
x
mas em lados opostos em relai;iio a origem.
z =ea
siio planos. Vej a a Fig. 6
deste capftµlo. As curvas coordenadas siio as interse90es das superffoies coordenadas.
37.
(a)
r
= V x2+y2+ z2 , 8 = arc tg
...Jx2+y2 z
, =
arc
tg
Y
x
�.
(b) r= V p2+z2,8=arctg�, =. z
38. y =
x
(a)
r
= 3,
(b) 8= 7r/6,
(e) rsen2 8 = cos81 = 7r/4 e
� formado pe!os dois semi-pianos
=
(d) 8=7r/2, 57r/4.
(e) o piano
ANALISE
224
VETORIAL
39. (a) Circunferencia no piano xy: x2 + y2 = 16, z = 0. (b) Cilindro + y2 = 16 cujo eixo coincide corn o eixo dos z. (c) 0 piano yz on de y � O•
x2
v3 x,
(d) A reta y =
z = 1 onde x � O, y � 0.
40. (a) Cilind ro hiperb6lico· x2 - y2 = 8. (b) A rcta quc liga os pontos ( - 4 , 0, 0) e (4, 0, 0), isto e, x = t, y = O, z = 0 onde - 4 � t � 4, (c) E lip se .z2
25 z
+
y2
9
= 1, z = 2.
(d) 0 segmento do eixo dos x definido por
x
� 4, y = O.
= o.
41. (a) Parabola y2 = - 8 (x - 2), z = 0. (b) Parabola y2 = 2 x + 1, z =2 . c) Regiiio do piano xy limitada pelas parabolas y2 = -2 (x - 1/2), y2 = -8 (x-2),
y2 8 (x+ 2) e y2 = 18 (x+ 9/2) inclusive a linha que a limita. de (c) mas a linha que a limita esta .excluida. =
42.
(a)
(d) A mesma
er = sen 8 cos q, i + sen (J sen q, j + cos 8 k e9
=
COB
(J cos q, i
+ cos (J sen
q, j - sen 8 k
et/> = - sen q, i + cos q, j
(b)
sen 8 cos q, er + cos 8 cos q, e() - sen q, et/> . j = sen (J sen q, er + cos (J sen q, e() + cos q, et/>
i
=
. k = COB 8 er - sen 8 e(). 43.
A = A.er + A()e() + Atf>eq, onde
2 r sen 2 (J sen q, cos q, -
r sen (J cos (J sen q, + 3r scn (J COB (J cos q, (J A9 = 2r 11en (J cos sen q, cos q, - r cos2 (J sen q, - 3r sen2 (J cos q,
Ar
=
A 4> = - 2r seu (J .sen2 q, 47.
v a
r
cos (J cos if>.
= vrer + v9e9 + vq, etf> onde v,.= r, VII= rO, vq, = r sen 8 ° = Ur er + U()e() + aq,etf> On de ar T - ;(J2 - T sen2 0 ef>2, =
a()
1
=
aq, = 48.
(a)
J,
d dt
•
- - - '(r28) - r r
scn
(J cos (J
•
q,2,
d " i.\ 1 . --- -- (r sen· (J 'f',·
r
�en 8 dt
ds2 = (u2 + v2) (du2 + dv2) + u2v2dcp2, h.,
=
h, =vu2 + v2, hq, = uv
(b) ds2 = a2 (senh2 u + sen2 v) (du2 + dv2) + dz2, hu = hv = a
(c)
ds2
=
h� 49.
V senh2 u + sen2 v ,
=
h.,, = a
V senh2 t + sen2 T) ,
(a) uv (u2 + v2) du dv de/>, (c)
hz = 1
a2 (se nh2 t + sen271) (dt2 + d712) + a2 cosh2t_cos2 'I def>2,
a2 du dv dz ( co�h " - <'oM 11 )2
•
(b) a2 (senh2u
+
hq, = a cosh t cos T).
�en2 v) du dv dz,
CUHVILfNEAH
COOIUlENAlHH 50.
(a)
52.
(a) p dp dt/J, p d
=a ../ Renh2 � + sl'n2 1/, hq, =a SC'nh � �n � 2 (b) a (senh � +sen2 1/) senh � sen 1/ d� d1J dt/J.
(h)
ht = h11
r
sen (} dr dq,,
r�
s!'n (} d(J dq,,
r
54.
sen2
55
(a) p, (b) r2 H('ll 'T/) R<'nh �Ren 'I·
25671" •
J.5
56
.
58.
(c) !; (d)
60.
(a
)
ar
Op or
OtP
71" (2-../2)
(i-!
•
! p2, U2
lit =
. 'I' l = l"OH A.
=-
=
+RCil
\'z
y 112 + v2 di• dt/J.
(d) a2 (sPnh211+ se n2 v), (e) a3 (senh2 �+
;
57.
2!/J.
T7
vp
•
xi+yj
=
'I' J. ('OH A..
(2a3 - 3a2 h
V q,
=
-
��
= senfJ1·os!/Ji+scnfJsen!/Jj + cos fJ k
��or
Ot/J T7 "r
=r
=
=
cos
- 1'
sen fJ HCll
r
<·o� (}
s m
q, j
- r sen
,i.
•
xi+yj+zk ·
Vx2 + y2 + z2
=
-.11i+xj x2 + 112 = 1l
.
l
.
or
+ v }, Tv
k
•
,i.·
T
or
fJ
sen (} ros 'I' i + sen (}
cos (} cos q, i+ cos (} scn q, j -
01l
p
tP l +I" sen fJ C'OS 'f')
xz i +yzj - (x2 + y2)k (x2 + y2 +z2) V x2 + y2
(f)
sen q, i +cos q, j
k
co� q, i +
(}
=cos q, i+sen q, j
---
V x2 +y2
=k '
=
+ h3).
2 K.
59.
tP )•
. 'I' l +p p sen A.
1w
� oz
(b)
(}, (<') u2+v2,
T/
tlr d(J
(c) (112 + v2) 1fo dv, uv ../ '112 + v2 du dt/J, +
225
- sen
q, i +cos q, j r
=
.
sen (} k
sen fJ
. or
- v l + 11 ) , a;
=k
sen
,i. • (Jk 'I' J +cos
ANALISF.
226
,
ui+vj u 2 +v•
rot A
63.
+
65.
66.
=
1
1 -.- -
oif; vr
v ·A
V'21/;
+v2
!I""
=
Cl
V u2 +v2 ou
u-
(a) Ai/;
(b)
64.
=
V
62.
V'v
=
[. j1
-vi+uj w +v 2
�
1 _ _
� r-
1
vu
oi/I :i...i. v'I'
sen u
r
+
k.
Cl
oz
e,
eq,
1
o Aq,.
1
_i_ (r2 Ar)+ -- _.!!__ (sen 0 Ao)+ -or
/'
a
Of]
(12<1> (12<1> + =a-? (8enh2 ovou-0
eu
=
_i_ ( V(u2 +v2 A,.) l v u2 + v2 e,, + oz I
sen
0
ao
r
1 _.!!__ a2 cosh � (senh2 � + sen2 'I]) a�
=
Cl
V 112 +v2 ov
1 oif 1 e,. + - :;a eo +--a r
, V'z
0
=
., e +
oA. ov
a2
VETORIAL
u
(
cos 1/
,
oi/I Of]
+sen.- v)
aq,
( cosh � a�oif;) +
) +
if-. '*'·
sen 0
a2 cosh2 � cos2
a21/;
1/
otj>2-
•
COORDENAD.AS
R
ondc
ondc W
68
.
=
(111
scnh
v,
z)
� sen T/
=V
y,
S
=
v' senh2 �
+ sen2 T/
z).
)
(c)
sen
70.
ds2
=a2
74
(b)
{)
K
=
( �l'll
[d82 +
{)
au a9
sen2 {)
)
79.
(a)
:\tio.
(b)
(b)
+
a2u
aq,2
=
d du (d) dr ( r2 dt
)
=
0.
0.
J acobiano = 10.
ds2 =14 du12 + 6 du 2 2
+ 8 du2 du3,
0
=0.
dc/>2).
a:x ax + jJL ay = au- av au av
(a) 750, 75;
a 21/; aq,2
a [ �,-,.- -� (r2 u) a,. ar J
a a9
78.
'227
•
a a 2 v)2 1w2_j_(u "" +112v_j_(v "")+(u+ au au av av
(b) av at
.
(x,
c
CURVILINEAS
g = 100.
+ 6 dua 2+ 6 du1 du2 -
6
du1 dua+
CAPfTm,o 8
ANALISE TENSORIAL
As leis fisicas, para serem validas, devem ser independente
dos sistemas de coordenadas usados para exprimf-las matematica mente.
E,
justamente, o estudo das conseqiiencias desse requisito
que nos leva a andlise tensorial, de grande emprego na teoria geral da relatividade, na geometria diferencial, na mecanica, elasticidade, hidrodinamica, teoria do eletromagnetismo e numerosos outros cam pos da ciencia
c
da engenharia.
Espa�os d e N dimensoes.
Num espai;o tridimensional um
ponto e representado por um conjunto de tres m1meros, chamados
coordenadas, determinados pela especificai;ao de um .dado sistema de coordenadas
ou
de
rcferencia.
Por
(x,
exemplo,
z), (p, , z),
y,
(r, (), ) sii.o as coordenadas de um ponto, respectivamente, num sis tema de coordenadas retangulares, cilindricas e esfericas.
Um ponto
num espa90 de N dimensoes e, por analogia, um conjunto de N nu meros designados por poentes
e
(x1, x2,
•
•
•
,
xN)
onde l, 2, .
.
., N
nii.o sao ex
sim indices, nota9ao essa que se mostrara de grande utili
dade.
0 fato de nao podermos visualizar um ponto de tres dimens0es :riada tern a ver,
em
espa9os de mais
naturalmente, corn a sua exis
tencia. I! Transiorma�oes d e coord enadas. C
(X\ X2,
•
•
•
,
zN)
8" eJam (x t ,
x2 ,
. . . ,
x
N)
as coordenadas de um ponto e:rl\- dois diferentes
sistemas de referencia.
Suponhamos que existam N
rela9oes in
dependentes entre as coordenadas dos dois sistemas, corn a seguiste
forma:
ANALISE
TENSORIAL
229
(1)
que
podt> m os indicar abreviadamente por
x1,;
(2)
=
x1,;(.r1,.r2, . . . ,xN)
k
=
1,2,
... ,N
ondc se supoe quc as furn;oes qne nelas aparecem sao univocas, con tinuas, e de derivadas continuas. Entao, reeiprocamente, a cada conjunto de coordenadas (x1, X2, . .. , xN) correspondera Um unieo conjunto (x1, x2, , xN) dado por •
(3)
x1,;
•
•
=
x1,;
(x1, x2,
•
•
., xs)
k
=
1, �'
.. ., N.
As rela9oes (2) ou (3) d efinem uma transforma<;ao de coordenadas,
de
um sistema a outro de referencia .
A conven�ao da soma. N
ta9ao 1 a1x
+
abre viada a2x
2
2:
j= l
ai
•
�i
Podemos e mpre ga r
para
a
segn i n te no
significar uma expressiio
como
+ ... + azvxN.
Ha, ainda, uma nota9ao mais abreviada que e simplesmcn te ai xi, onde adotamos a conven9ao de que sempre qu� um indice (inferior ou superior) e repetido num dado termo temos que somar tennos analogos fazendo variar o indice de 1 a N, a niio ser que sej a esperi E o que se chama de convenr;ao da soma. Evi ficada outra coisa . dentemente, poderiamos ter usado qualqu er outra letra para i ndi ce, em vez
do j, digamos p, e a soma seria rcpresentada por
0. indice que e repetid o Illlm dado termo, para
SC
aP:rP
•
ap]i<'al' a l'Oll
yen9ao da soma, e chamado de indice mndo. Um indice que ocorre so men te uma vez n u m termo e dito i11rli1·p livre e pode ter qualquer dos valores 1, 2, ... , N, como o indi<'i; k na equa9ao (2) ou na (:3), earl.a uma das qnais represPntando N ·
equa9oes.
Vetores contravariantes e covariantes. Se N quantidades A1, A 2, ; ; ; •AN n u m sistema de coordenadas (.r1, .r", ... , ;rN ) C'stao
ANALISE
230
VETORTAL
ligadas a N outras quantidades •.• • 1
(x"J, x2,
zN) -
A\ A2,
•
•
•
, AN
num
outro sistema
pe}as equa9oes de t.ransforma9ao N
dzP
-.!}-u 11=1
AP = L
p = 1, 2,
Aq
xq
.
.
., N
que, pela convenc;ao acima, pode ser escrita simplesmente assim:
A_P
dXP
fJxq
=
--
Aq
entao essas quantidades recebem o nome de
c01i1ponentes de um
vetor contravariante ou tensor contravariante de primeira ordem.
Veja
os Problemas 33 e 34 do Capitulo 7 que dao uma motivac;ao dessa transformac;ao e da seguinte. ·
Se N quantidades Ai, A2, , A,v num sistema de coordena � s 2 N x , , xN) estao ligadas a outras quantidades A1, A2, .., AN •
(x1,
•
•
•
•
•
.
num outro Sistema
(X 1, x2,
.
.
.1
XN )
pelas equa9oes de transforma9ao
N fJxq A p= L � Aq vX P q=l
Oil
p = 1, 2, ... , N
entao recebem o nome de componentes de um vetor covariante ou ten sor covariante de primeira ordem.
Note-se que o indice superior e usado para indicar os compo nentes contravariantes, ao passo que o indice inferior, para os com ponentes covariantes, exceto na notac;ao das coordenadas. Em vez de falarmos de um tensor cujas componentes sao AP ou
AP muitas vezes n6s nos referiremos simplesmmtc ao tensor AP ou AP. E isto nao deve causar nenhuma confusao. Tensores contravariantes, covariantes e mistos. quantidades Aq• num sistema de coordenadas ligadas a N2 outras quantidades
Apr num
(x', x2,
• • •
outro sistema
pelas equac;oes de transformac;ao
-
fJxP fJxr � � Aqs £.._,
AP' = £.._,
•=t
OU
q=l
--
--
fJxq fJx•
Pi r = 1, 2,
Se
N2
, xN) estao (x\ x 2, .:., zN)
.
.
.
,N
A
A N
L I S E
T E N S0
R 1 A
pela convern;ao adotada, entao elas recebem
contravariantes de um ten sor
um
J,
231
nome de. componentes
o
de segunda ordem ou ordem dois.
E as N2 quantidades Aq• chamam-sc componentes covariantes de de segunda ordem Re tivP1mo1>
ten sor
•4pr
iJxq x a•
=
diP
di' Aqs·
Analogamente as N2 quantidades A,q recebem o nome de com ponentes de um tensor misto de segunda ordem sc
-
ATP
diP
dX8
Xq
X'
=a -a A.q
0 delta de Kronecker, que se escreve oki, e definido por oki=
{
Osej.,t.k 1 sej
=
k.
Conforme esta indicando sua notar;ao, e um tensor misto de se gunda ordem. Sao tambem facil
Tensores de ordem superior a dois. mente
definidos.
Por
exemplo,
A%�
1
sao os componentes de um
tensor misto de ordem 5, contravariante de ordem 3 e covariante
de ordem 2, se a transformar;ao e feita de acordo corn as relai;oes:
Af:"' J
= ()�P dXq
di' dX8
Escalares ou invariantes. funi;ao das coordenadas
xk,
A
i;i.
Suponhamo� que
e designemos por
seja
uma
o valor da funr;ao
sob uma transformai;ao para um novro sistema de coordenadas ik. Diz-se que de
e um escalar_ou invariante em rela<;ao a transformai;ao
coordenadas se
=
Um
escalar
ou invariante e tambem
chamado de tensor de ordem zero.
Campos tensoriais.
Dizemos que um campo tensorial esta
definido se a cada ponto de uma regiao num espai;o de N dimensoes corresponde um tensor definido.
�sse campo e um campo vetorial
ou um ca.mpo escalar conforme o tensor seja de ordem um ou zero. Deve-se notar que um tensor ou um campo tensorial nao e apenas o conjunto de seus componentes num determinado sistema de coorde. nadas, mas todos os conjuntos possiveis sob qualquer transforma9ao de coordenadas.
232 Tensores simetricos
Dizemos
anti-simetricos.
e
que
um
tensor e simetrwo em rela<;iio a dais tndiees- contravariantes ou cova riantes se seus componentes permanecem inalterados depois de uma
troca dos indi ces entre si. trico em
m
Assim, se
A:Spr
=
A�;'"
o
tensor e sime
e p.
Se um tensor e simet rico em rela9ao a dois antes e covariantes quaisquer, ele e
ind ices contravari chamado de simetrwo.
Um tensor e dito anti-simetrwo em rela<;iio a dais indices contrava
riantes ou covariantes se seus comp onentes mudam de sinal quando se trocam entre si os
referidos
0 tensor e anti-simetrico em
m
indices.
Assim, se
A:Spr
=
-
A!';'"
e p.
Se o tensor e anti-simetrico em rela9ao
dois indices contrava
a
riantes e a dois covariantes quaisquer, e chamado anti-simetrico.
Opera�oes fundamentais Adi�o.
I.
co
rn t en sores.
A soma de dois ou mais tensores da
ordem e tipo (isto e, do mesmo mimero de e mesmo mimero de
indices cova!iantes) e
mesma ordem e tipo.
c:p
=
A;P + B;P,
A;P
Assim, se
e
mesma
i ndices contravariantes � tensor tambem da
_B;P
que e tambem um tensor.
sao
tensores,
temos
A soma de tensores e
comutativa e associativa.
Subtra�o.
2. e
e
A dij eren<;a de dois tensores de mesma ordem
tipo e tambem um tensor da mesma ordem e tipo.
B;P
sao tensores, entao
3.
n;P
=
A;P - B;P
Multiplica�ao exterior.
A ssim, se
0 produto de dois
tensores e
um tensor cuja ordem e a soma das ordens dos tensores dados. produto que envolve
multiplica9ao ordinaria dos
tensor chama-se produto
e
o
produto exterior de
exterior.
A:'
e
B':.
A;P
e tamMm um tensor.
Por exemplo, Note-se,
:f;ste
componentes do
A�' B':
entretanto,
=
que
c:;m nem
iodo tensor pode ser escrito como um produto de dois tensores de ordem mais baixa.
Por isso, nem sempre e possivel a divisao de _
tensores.
4.
Contra�ao.
Se colocarmos um indice contravariante igua l
a um indice covariante teremos, de ac6rdo corn a conven9ao da ::1oma, que efetuar um somat6rio slibre os
indices
iguais.
Esta soma resul
tante e um tensor de ordem duas unidades menos que a do tensor original.
:f;sse processo e cha.ma.do contra<;iio.
Por <'Xemplo,
no
ANALISE tensor de ordem 5, tensor de ordem 3.
A�pr, E,
TENSORIAL
fazendo r =
A;pr = B;P, um obtemos B�P = Cm
obtemos
s,
fazendo ainda p = q,
um tensor de ordem 1.
5.
Multiplica!rao interior.
Se fizermos um produto exte
rior de dois vetores seguido de uma contra9ao, obteremos um novo tensor chamado produto int erior dos tensores dados.
�sse processo
chama-se multiplica9ao interior. Por exemplo, dados os tensores
e
A;P B:1•
A;P
e
B:1,
o produtu exterior,
Fazendo q = r obtemos o produto
interior
Fazendo q = r e p = s, obtemos um outro produto interior:
A;p n:1• A;'.'P B;1•
A multiplica9ao interior e a exterior sao comutativas e associativas. 6.
Lei do quociente.
Suponhamos
uma quantidade x e um tensor OU nao.
que
nao
sabem.os
se·
Se um produto interior de
X corn um tensor qualquer f6r um tensor, entao X e tambem
um
tensor.- Esta e a lei do quociente.
Matrizes.
Chama-se matriz de ordem m por n ao conjunto
das quantidades apq, chamadas elementos, arrumadas em m linhas e
n colunas e geralmente designada por:
OU
ou numa forma abreviada, por (apq) ou [apq], p= 1, .. , m; q= 1, .
Se m =
n
a matriz e uma matriz quadrada de ordem m por
plesmente de ordem
m.
Se m = 1 temos
uma matn"z
m
.
.
.
, n.
ou sim
em
linha
ou vetor � linha, se n = 1 e uma matriz em coluna ou vetor em co
luna. A diagonal de uma matriz quadrada que contem os elementos au,
a22,
•
•
•
, amm chama-se diag ona l principal.
Uma matriz quadra
da cujos elementos sao iguais a um na diagonal principal e zero nos outros lugares chama-se matriz em quc todos dcsignada por 0.
OS
matriz unitaria e e designada por I.
Fma
elementos Sao nulos e uma matriz nula,
<'
e
ANALISE
234
Algebra das matrizes.
VETORIAL
Se
e
A = (aw.)
B = (bw.)
sao matri
zes da mcsma ordem (m porn), temos: se e somente se
1.
A= B
2.
A soma S e a dijeren�a D sao as matrizes definidas por: S
3.
=
aw. = b-pq.
A + B = (aw. + bw.)1 D = A - B = (aw. - bw.). P = AB
0 produto
de colunas em
e definido s0mente quando o m1mero n
e igual ao numero de linhas em
A
B
e neste caso
e
dado por:
"
onde
.
apr /J,v = L: apr brq pela conven9ao da soma. r=l
cujo produto e definido chamam-se E m geral, a
As
matrizes
conjormes.
multiplica9ao de matrizes nao e co mutativa, isto
e,
AB� BA. Entretanto a lei associativa se verifica para a matrizes, isto e, fonnes.
A (BC)= (AB) C
desde que as
multiplica9ao de
matrizes sejam con
Tambem e valida a lei distributiva, isto
e, A (B + C)
=
= AB + AC, (A + B) C = AC + BC. 4.
0 determinante de uma matriz quadrada
nado por
Se 5. tal que
IA I 1
det A,
P = AB, A
temos
ou det
A
=
(apg).
(apg) e desig
IPI = IAI !Bf.
recfproca de uma matriz quadrada A e uma matriz A-1
AA-1 = I
onde I ea matriz unitaria.
e suficiente para que
A
I apg I
A-1
A condi9ao necessaria
exista e que dot A� 0.
Se det A
= 0,
e dita singular.
6.
0 produto de um escalar A por uma matriz
nado por
XA,
ea matriz
cado por A.
7.
A
(Xaw.)
onde cada elemento
A = (a,,,z), desig de A e multipli
transposta de uma matriz A e uma matriz AT que e for
mad.a trocando-se as linhas e as colunas de A entre si.
A = (apq), A por A.
entao
AT = (aqp).
Designa-se,
ainda, a
Assim, se
transposta de
ANALISE
TENSORIAL
O elemento de linha e o tensor metrico.
z) a diferencial dx2 + dy2 + dz2•
retangulares (x, y,
por: ds2
=
235 Em coor denadas
do comprimento de arco
d& e
dada
Transformando essa expressao para coordenadas curvilineas (veja
o Problema 17, Capitulo 7) ela se torna ds2
3
=
3
L: L: ,.-1
g•l
gpq dup dug .
t:sses espa9os chamam-se espa�os euclideanos tridi:mensionais.
A generaliza9ao para um espa90 de N dimensOes e imediata. De finimos o elemento de linha ds neste esp�o, a ser dado pela fonna quadrica, chamada Jorrna metrica ou metrica, por:
ds2
N
=
N
L L p-1
gpg dxP dx'l
g-1
ou, utilizando a conven9ao da soma,
ds2
=
gpg dxP dx'l
No caso particular em que ha urns. t ra nsforma9ao de coordenadas
de x� para xk ta.I que a + (di2)2 + . . . + (dxN)2 deltno .de N dimensaes.
forma metrica. e tran sfonnada em (di ' )2
OU
dik dik,
f.
0 espa99 e dito espa�O eucli
No Caso geral, no entanto, 0 espa90 e dito
riemanneano.
de
As qua.ntidades gpg sao os componentes d.e um tensor covariante ordem dois cha.mado tensor
metrico ou tensor fundamental.
e o faremos Problema 29).
dembs escolher &ite tensor,
simetrico (veja
g
=
o
Po
sempre, de modo a t ornit-lo
Tensores conjugados ou reciprocos . Designemos por I gJlll I o determinante dos elementos gpq, e suponhamos g � 0. " o p r Defina.mos g
gPll
=
cofat-0r de gpg ��
----
g
Entao g" � um tensor contravariante simetrioo de
ordem dois
chamado tensor conjugado ou re.ciproco de gpg (veja o Problems. 34). Podemos demonstrar que (Problems. 33)
gP'lgrg
=
OrP
Tensores associados. Dado um tensor, podP-mos obter outros tensores suspendendo ou a baixand o os indices. Assim, dado o tensor
ANALISE VETORIAL
236
Apq, suspendendo o indice p, obtemos o tensor A�q, onde o ponto indica a posii;iao primitiva do indice mudado. q
obtemos
A� .
nao
Quando
omitiremos, muitas vezes, os em lugar
de
A�.
h ouver
possibilidade de confusao
pontos; assim podemos escrever AM derivados, podem ser
tensores
t:ssee
·
Suspendendo o fndicc
formando-se os produtos interiores do tensor dado m�trico gpq ou
gl>'l.
seu conjugado
Assim,
corn
obtidos o tensor
por exemplo :
Essas operai;ioos se tornam mais claras se i n terpretar mos a mu l tiplica9ao por g•P
como
significando: fazer r = p (ou p = r) na gran
deza que estiver sendo multiplicada e suspender este indice.
Analo
gamente, interpretamos a multiplicac;ao por Urq :como significando: fazer r = q (ou q = r) na grandeza que estiver sendo multiplicada e
abai.-r;ar este ind ice.
Todos OS tensores obtidos de um dado tensor
pelos produtos interiores com
tensor metrico e seu conjugado sao
0
chamados tensores associados do tensor dado.
Por exemplo, A"' e A,,.
sao t ensores ·associados, os primeiros sao componentes contravarian t es OS segundos, covari antes
.
A relac;ao entre eles e dada por:
Para coordenadas retangulares gpq = l se p = q e 0 se p � q,
de
modo que Ap = AP, o que explica porque nao foi feita nenhuma dis tinc;ao entre os componentes contravarianteS' e covariantes de um
vetor nos cap itulos anteriores.
Coinprimento de quantidade AP Bp, que e
Ulll 0
vetor,
angulo
entre vetores.
A
p rodu to interior de AP por Bq, e um es
calar analogo ao produto cscalar em coordenadas retangulares.
De
Iinimos o comprirn ento L de um v etor AP ou AP como sendo dado por:
Podemos definir
0
angulo 0
en t re
AP
e
Bp como scndo dado por
A NA LISE TENS 0 RIAL
Os
237
componentes fisicos de um vetor AP ou Ap, designados por
Au, A, e Aw sao as
proje�oes
do vetor
sobre as
tangentes 3.s curvas
coordenadas e, no caso de coordenadas ortogonais, sao dados por:
Ai
=
;
=== --= V
gu
Aa
Aw = V gaa A 3 = _
,
-
-yg;;
AnAlogamente os componentes ffsico& de um tensor A pq ou Apq silo
dados por :
Au A uu = gu A11 = -gu
;
A.,;., = v gu gaa A13 = _
--
,
Au
/ V gu gaa _
pq'
r]
{ �} p
chamam-se
=
_!__ 2
Ogp + Ogqr OXP iJxv
( r
= g�r [pq,
i,imbolos de
etc.
Os. sfmbolos
Simbolos de Christoffel.
[
,
_
Ogpq iJxr
r]
Christ(>jjel de primeira
r�spectivamente. Em vez de
)
8 pq
{ }
usam-se
c
{ pq, s)
segunda e
r:.i.
espkie,
�ste ulti
mo sfmbolo, entretanto, sugere um carater de tensor que nao e, em
geral, verdadeiro.
Leis de transforma�io dos simbolos de Christoffel.
Se
designarmos corn uma barra um sfmbolo num sistema de coordenadas
xk' teremos:
..---
[Jk, m]
= [pq,
r]
OXP oi;
iJxq iJik
o2 X" ox• OXP g oim + pq oi"' oi; iJ.r,1c
ANALISE VETORIAL
238
que sao as leis de transfonnar;ao dos simbolos de Christoffel, e por onde verificamos que nao sao tensores, a menos que os segundos termos dos segundos membros sejam nulos.
Geodesica. curva xr = xr
(t)
A distancia s entre dois pontos t1 e t2 sobre uma num espa90 riemanneano e dada por:
8
Num
determinado
l
=
dxP
d,xq
--
--
lp !
gpq
l
espa901
a
dt
dt
dt
curva sobre a
e minima chama-se geodesica desse espa.90.
culo das l/aria�oes (veja os Problemas 50
e
.
qual essa distAncia
Com o auxilio do cdl achamos as geodesicas
51)
da equar;ao diferencial
onde s e o par11.metro comprimento do arco.
Num plano, por exem
plo, as geodesicas sao retas, ao passo que numa esfera, sao arcos de grandes circulos.
A derivada covariante de um tensor AP em relac;ao a x'l, e designada por A p,q , e definida por
A
=
p,p
-
oAp axq
-
{ } s
pq
,
A
que e um tensor ·covariante de ordem dois. A derivada covariante de um tensor AP em relar;ao a Xq e desig nada por A",P' e e definida por
que e um tensor misto de ordem dois. Nos sistemas retangulares, os simbolos de Christoffel sao nulos e as derivadas covariantes sao as derivadas parciais usuais. vadas covariantes de tensores sao tambem tensores (veja
blema 52).
As deri o
Pro
A NA LISE TENS 0 RIAL
�39
As defini
APl···Pm TJ.···•n·q
+
Assim,
cJAPl···Pm TJ.••• r,.
=
oxq
-
{ } P1
qs
A 'P2···Pm + r1 r,. •..
{ _P } 2 qs
e a derivada covariante de
·
APl 8 P3· Pm + r1 .••r,.
A�f::::,.m
•••
+
{ } Pm
qs
Pl···Pm-1• A ri r,. ..•
em rela
As regras para a diferencia
Ao efetuar
ser considerados como
constan�s, pois, suas derivadas covariantes sao milas (veja o Pro blema 54).
Como as derivadas covariantes exprimem taxa de va
ria
SU:nbolos pelas
rela
e
de
tensores
e12a = e2a1
=
permuta�o.
eu2 = + 1,
e21a
=
Definamos
e13�
=
ea21
=
epqr -
I,
epqr = 0 se dois ou mais indices forein iguais e definam os epqr do mesmo modo.
Os sfmbolos epqr e eP'l• chamam-se sfmbolos de per
muta
=
_
� epq,
v g
.
Epqr
1
=
Vy epqr
poderemos mostrar que Epqr e EP"' sao, respectivamente, tensores covariantes e contravariantes, chamados tensores de permut�ao num espa
1!}
possfvel a generaliza
mais dimensoes.
Forma tensorial do gradiente, divergencia e rotacional.
1.
Gradiente.
Sendo cJ> um
escalar ou um
invariante,
gradiente de cJ> e definido por
V cJ> = gr ad cJ>
=
cJ> ,
p
=
c3cJ> OXP
onde cf>,v e a derivada covariante de cJ> cm rela
a
xv.
AN ALl·SE VETORIAL
240
2.
Divergencia. A diverg�ncia de AP.e a contrac;iio da sua de
rivada covariante em rela9iio a X'l, isto e ,a contra9iio de Ai>, 1• Entiio,
3.
Rotacional..
0 rotacional de Ap e
A P• q um t�nsor
de
ordem
_
Aq, P
dois.
dAp
_
-
_
dxq
dAq OXP
tambem
Define-se
o
rotacional por
- EP'l" Ap,q• 4.
Laplaciano.
0 laplaciano de e a diverg�ncia do grad.
OU V24>
=
div ,p
No caso de g < O,
_
=
;_ ux' �a.
v g
vg deve ser
( .yg gik
substituida por
) V-
04> iJxk
g
em que g > o e g < o podem ser inc1urdos coiocando-se lugar de
•
Os casos
vTYT
em
vg.
A derivada intrinseca ou absoluta de Ap ao longo de uma curva X'l
=
rz(ll, designada por
{,�P
e definida como sendo o pro-
du to int�rior da derivada covariante de A p e e
dx!I
7
e dada por
fJAp
=
ot
dA ,
_
dt
A
{ }
A
pq
.
1sto e, A,, q
dxq
T
, dxq
{ } r
I
dt
Analogamente, cJefinimos
OAP tJt
=
dAP +
dt
p
qr
r dxq dt
Diz-se que os vetores Ap ou AP se ,.movem paralelamente ao longo de uma curva se suas derivadas intrlnsecas ao longo da curva forem nulas.
A NA LISE
TEN S 0 RIAL
241
Dcfinem-se do mesmo modo as deri vadas intrinsecas de tenso
res de ordem mais elevada. Tensores relativos
e absolutos.
ma-se tensor relativo de peso de acordo corn
Aq1...qm •i .. ·•n
onde J
=
I �� l
a
equa9ao
__:
I
-
ox
I OX
e
0
\
w
w
p1 . J>m Oiql. A ri ... r,. oxP1 .
.
j acobiano
Um
tensor
A�::r;'
cha
se seus componentes se transfonnam
•
.
.
iJJ!lm oxrJ axrn iJxP"' oi"l . . . iJ1•n Se w = 0 0 tensor
da transforme.9ao.
e chamado de absoluto e e 0 tipo de tensor corn que temos lidado. Sew
1 o tensor relativo recebe o nome de derisidade de tensor.
=
As
o pera96es de adi9ao, mult.iplica9ao, etc., de tensores relativos sao semelhantes as de tensores absolutos.
blema 64.
Veja,
por
exemplo
o
Pro
PROBLEMAS RESOLVIDOS
Conven�io da 1.
SOilUl .
Escrcver as expresi'Ocs seguintl's noutra forma, empregando
a
conven�ao
da soma. (a )
aq,l dx1 + iJx2 aq, dx� + . . . + - aq,N dxN d"' ..,, - iJ x iJz
•
ds2
=
Ukk dzk dxk
gpqdxPd�,N 2. (a)
=
Escrever os tcrmos de cada uma das i.eguintes somas.
a;k xk.
N
�
kc� N
�
q�l
a;k xk
=
a;1 z1 + a;2 x2 + ... + a;N zN
ApqAqr=.4p1A1'+Ap2A2r+
.
.
•
+ApNANr
,
3
N
=
3
ANALISE VETORIAL
242
(c)
3.
_
Se zk, k
geometricos,
se
=
I, 2, . . . N
=
3.
coordenadas retangulares, quc lugares
forem
houver, representam as seguintes equai;-Cies para N
=
2, 3 e N !l:; 4.
Admitir qul! as funQoes sejam un(vocas, tenham derivadas contfnuas e sejam inde pendentes, quando necessiirio.
(a) a1c zk = I, onde a1c sao constantes. Para N = 2, a1z1 + a z2 reta num piano. Para N = 3, a1z
2
=
I, e um a reta em 2 dimensoes, isto e,
1 + a z2 + asz3 2
=
I, um piano em 3 dimens0es.
Para N il:; 4, a1zl + a2z2 + . . . + aNz N
(b) zkzk
=
Para N
uma
=
I e um hiperplano.
I. =
2, (z1)2 + (z2)2
=
I , uma circunferencia, de raio unitario, no
piano. Pars N = 3, (zl)2 + (z2)2 + (z3)2
=
I, uma esfera de raio unitario .
Para N !!::; 4, (zl)2 + (z2)2+ ... + (zN)2 = I , uma hiperesfera de raio uni Mrio.
(c)
zk = zk (u). Para N = 2, zl = z1 (u), Para N = 3,
zl = z
1 (u),
z2 z2
=
=
z2
(u), uma
z2 (u), z3
=
curve. z3
plana de parametro
(u), uma curve. no e�pai;-o
de 3 dimens0e�. Para N
u.
ii:; 4, uma curve. num espai;-o de N dimens0es.
NA L I S E
A
(d)
xk
=
xk
Para N
2, x1
3, x1
=
x1
=
v)
denadas de (tt,
x1
=
(u, v),
x2
(u, v),
x2
=
x2
para (xl, x2). =
(u, v)
x2 (u,
tridimensional com parametros u e
ii:;
Para N
243
(u, v).
==
Para N
TENS0RIAL
v),
e uma transformat;iio de
x3
coor
x3 (u, 11) e uma superffoie
=
v.
hipersuperjfcie.
4, uma
Vetores e tensores contravariantes e covariantes. 4.
Escrever
a
lei de transformat;iio pa ra os tensores
(a)
A;k,
(b)
Bi'jk, (c) C"'.
(a) Convem notar, como um subsfdio para posii;0es relativas dos fndices p, q, membro direito. os fndices i, j, se
r
se
lembrar de transform1L9iio, que as
no membro esquerdo sao as mesmas que as
no
Como estes fndices estao associados As coordenadas ?i, e como
k
estao associados respectivamente aos fndices
p,
q,
r,
fAcilmente
escreve a transformai;tio procurada.
(b)
(c) 5.
(j,
Uma grandeza A
k, l,
m)
que e funt;iio das coordenadas xi
se
trans
fo rma para outro �istema de coordenadas zi de ac6rdo com a regra
A
(a)
(p,
Sim; (b)
(c)
=
a:c;
a-zq
oxP
(};ck
ox' o:r}
ox• ox"'
A
(j,
k, l,
m)
(b) Se for, escrever o tensor numa no
dar a ordem do tensor, do contravariante e do covariante.
AJ1"'; (c)
tensor de ordem 8 + 1
6.
8)
Seri essa grandeza um tensor?
tac;iio adequada, e (a)
q, r,
=
Contravariante de ordem 3, covariante de ordem I,
4.
Determinar se as seguintes grandezas siio tensores.
Se forem, dizer se
siio contravariantes ou covariantes e dar suas ordcns:
ot/J (x1, ...
, xN)
a,-ck (a)
Admitamos
. Entao temos ax' OU
=
a
tran8formai;iio
de coordenadas
-z;
=
xi (x1,
•
•
.,
:i;N).
a-z; dxk, logo, dxk e um tensor contravariante de ordem um, iJxk
um vetor contravariante.
Note-SC que a posit;iio do fndice k e apropriada.
ANALJSE VETORIAL
244 (b)
Sob a transformac;iio z� -xk(x"l,
... ,xN),
conscguinte de x; de modo que cp(x1, ... ,zN)
um escalar ou um invariante ( tensor de ordem z ero) .
iJtf> xlc .,.t. iJ
Portanto,
cp c uma func;iio dexkepor
cp(x1, ..., xN),
=
Te mos que
:;
o htdice esta no denominador
que e a mesma coisa, o tensor corn
o
designado por grad tf> ou Vcp.
=
=
:tge, assim, como um
e
Referimos ao tensor
componentes :� ,
Um tensor covariante tem c ompone ntes iguai8 a xy,
7.
:t ::; .
fndice inferior o que indica seu carater de covariante.
t/>
c, cp e
• de or
Note-se que em
ou
_! sto
dena das retangulare s .
a:t
como o gradiente de
2y -
z2, xz em coor
Aehar os componentes em coorden11das esfericas.
Deeignemos por A; os c omponentes covariantes em coordenadas retangu lares
.,
x1
on de
se
x, x2
= y,
=
Logo, temos
= z.
deve tomar cuidado para se distinguirem os indices dos expoentes.
Designemos por
r
xl
q,.
A1c
os componentes em coordenada s esferiras
Ent.iio, temos
x1
=
r, X2 =8,
(l) As equ&90eS de transformac;iio de c oo rdenad as siio: xl
=
xl sen x2 cos x3,
Das equac;oos
(1)
X2 COS z3)
x2
=-
xl .sen xt sen z3,
z3
=
=
(sen
=
(aen 8 cos tf>) (r2 sen2 8
(xx 1 �) + (sen z2 se n
x3) (2z2
coR cp) +
sen
- (z3)2)
+ (<'OS x2) (zlxl)
tf> (2 r sen 8 sen cp - r2 cos� 8) (<'OS 8) ( r2 sen 8 cos 8 c os cp)
+ ( sen 8 sen cp)
+
=
x1 cos x2
tira m os os componentes covariantes procurados:
+
(r cos 8 cos cp) (r2 sen2 8 sen cp cos cp) +
+
(r
cos 8 sen cp) +
(-
(2 r sen 8 sen cp
- r2 cos2 8) +
r sen 8) (r2 sen 8 cos 8 cos cp)
A
=
8 sen
(
" - r sen
+
8.
Mostrar
Por
hip6tese,
TENS0RIAL
(r2 sen2 8
rp)
sen
+
(0)
(r2 sen 8 cos
oA p nii o e oxq
A; =
oxP
!I-· vx'
oA;
axk
=
u
m
o
como deve faT.er
9.
+
cos
r2 cos2
tensor embora Ap
a
oAp oxq
seja
um tensor cova·
Derivando em rela�iio a zk temos
oxP a-x;
a-zk
oxP
oAp
=
a-x;
=
a-x;
ten so r.
um
8)+
I/>).
oAp
+
cJ2xP
oxk ax;
oxq +
a�
axk
oxq
oAp +
axk
a�
Ap
=
cJ2 xP
oxk ax;
Ap
o2xP
Ap
oxk ax;
' segundo termo no mem b ro da d'1re 1"ta
grandeza adequadll. (Problema
8
245
Ap.
oxP
Como ha
4> cos I/>)
(r scn 8 cos) (2 r se n 8 sen q, -
que
riante de ordem 1.
NA L I S E
oAp oxq
==
niio
-�
se
tran ... orma
Mais adiante mostraremos que se somannos uma poderemos
t ransformar
0
resultado
num
tensor
52!.
Moetrar que a velocid11.de de um fluido num ponto qualquer e um tensot
contravariante de ��
A velocidade de um fluido num ponto qualquer tern oomponentes, no sistema
x
k,
dxk
. N -; a veloct. dade de coord enad as x . o ststema
1gua1s a dt . ·
·
donde tiramos·que
vetor
a
contravariante.
velocidade e
um
Calc ula r
Como
(a) 6qP A,qr, (Ii) 611! 6rq·
6q P = 1
se
p = q e
(a) 61,P
0
A,qr =
se
M . as
tensor contravariante de ordem um ou urn
0 Delta de Kronecker. 10.
dz; . .,� dt
p ;id q,
A,Pr,
temos (b) 6qP 6rq
=
6,P
ANALISE
246
Se P
=
8xP · 8x'l
q,
�::
Se p r! q,
8xP
Logo
12.
8xP
Mostrar que
11.
8x'l
·
8xq
=
VETORIAL
611P.
=
1 pois, zP
=
0 pois,
=
:i;P e
xq.
:r/l siio independen�s.
.. 611"·
Provar que
8xP
8xq
_,.-n vx'
-_,.-
vx'
""'
6,P,
Ail coordenadas :i;P siio fun96es das z!1 que l!ao, por sua vez, fun96es das coor
denadas
13.
J.ogo, do Problema 11, temos
x'.
-
Se AP
...
8xP A'l provar que A'l 7fii"
Mult1plicando a equa9ao AP .
.
-
_
pelo Prob. 12.
Fazendo
r
..,
=
=
8x'l 8.zP AP.
8xP 8xr All por , vem 8x'l 8xP
q temos o resultado procurado.
Isto indica que
nas equa96es de transforma9iio dos componentes de tensores podemos trocar as grandezas barradas
e as
sem barra entre si; podemos demonstrar que �sse resul
tado e geral.
14.
Provar que 6qP e um tensor misto de segunda ordem.
Se 61JP f6r um tensor misto de segunda ordem, deve� traneformar-se segundo
a
regra:
Mas, pelo Problems 12
8x; 8xP
8xP
8-Xk
.. 6ki. Como 1ki
O se j r! k, segue-se que 611P e uin tensor misto
=
6�
=
l
se j
=
k e
de ordem dois, .justificando a
nota9iio us?l.da.
Note-se que As v6zes usamos 6pq
Kronecker.
=
1 ee p
=
q e 0 ae p r! q, como o delta de
Este, no enta n to, niio e um tensor covariante de eegunda ordem,
como a nota9iio parece indicar.
A NA L I S E
Opera�oes fundamentais 15.
Se
A,pq
e
Brpq
'l' E N S 0 R I A L
corn
247
tensores.
forem tensore�, provar que sua soma e sua diferen�a
siio tensores. Por hip6tese
A,pq
B,pq
e
siio tensores, logo, temos
- .
oxi
ozk
ox'
oxi
ofik ox'l
oxr oxl
Al,k= -- -- --A rP'l oxP OJ/I. oz l
Somando, vem
-
-
(A1ik + B1ik) =
o:z;P
(Arpq
+
Brpq)
r;
. Subtraindo, vem \lil'k
Arpq
Logo,
A,pq, B,pq 16.
+
. ) - B11k
B,pq
e
Arpq
=
o-Xi (JXk oxr -- -=-1 (ArP'l - Br"") -o:z;P o:z;'l ox
- B,P'l sao tensores da mesma ordem e tipo que
. •
Sendo
A,pq
B1•
e
tensores, provar que
C:J" =. Ar"'l B1•
e tamMm um
tensor.
C-:f"
Devemos provar que
e um tensor cujos component.ea formam•se
ArP'l
zendo-se os produtos dos componentes dos tensores e
B1•
siio tensores, temos:
e
B1•.
Como
fa
Arpq
J\Iultiplica-ndo, vem
que mostra que
Ar"'l B1•
e um tensor de ordem 5, corn indices contravariantes
t, justificando as�im tern o nome de produto exterior de A,pq e Bt'·
p, q,
s,
17. e
e covariant.ea
Seja
emprega
A:: a
r,
um tensor.
conven�iio
(a) ·Efcolher p
da soma,
e
um
a
-=
nota�iio
q
e
c�•. C::f' = A P'l B1• r
mostrar que
tensor.
Qual
e
A.!:P,
sua
onde
ordem ?
ANALISE
248 (b)
Esc olher p
Qual e (a)
sua.
=
t e q
=
s e
A�
ifxi -ozk -o:i;P o;i;q
•
Temos que mostra.r que
Fa<;amos os fndice s correspon
e um tensor.
A::ZP
x o-k
o;i;P
ozq
oxr o-Z'
oxl
oxi
oxk
oz'
=
ox;
ox"
o;i;'l
ox'
. =
&
p
Entiio
(Jxt pq -- ATOI ox"' OXj
ifxi =
=
A�P
um tensor.
ox' -ox• -ox1 -A"q rat ozl oz"' ozn
iguais e somemos em rela<;iio a esse fndice.
-;k A im;
e assim
:::P e
e um tensor, temos
-" 'lmn k A
(1)
n
mostrar, analogamente, que A
ordem ?
Como
dentee j e
VETORIAL
oz•
ox • -- Apq oxm rat
irk -ozr ---Apq ox• o:cq ozl 0-zm rai
z ,__
ozr -ax• a-x,. -Apq iJxq oxl ozm rsp
e um te nsor de ordem 3 e pode
ser
desi gn a do por
Jt:..
0 processo
de fazer um lndice contravariante igual a um lnd i ce covariante num teusor e em seguida e fetuar
a.
soma, cha�-ee
contra�ii.o.
Por tal pro c e sso forma-se um tenoor
de ordem duas unidades menos que o ten so r primitivo.
(b)
Temos que mostrar que A
:::i,
equa<;iio (1) do item
(a)
iJxl =
Af:P
a-x;
Fazendo j
ela<;iio
ox'
a.:c•
a·xi
axk
a-x;
iJ;i;•
axk
iJxP
a-x1c
iJxq
ifxk a-x; -A' k ... -llcj iJzP CJ�
-·
o que moetra. que
e um tensor.
e efetuando a soma cm
ad
= n e
k
= m na
e k tcmo�:
(Jx! Apq -a-x; rt! 1xr --Apq rat (, zl
e um tensor de ordem um e pode ser designado por C r
N"ot.e-ee que, contraindo-se duas vbes, a ordcm foi reduzida de 4 unid11d<'�.
A NA LI SE TEN S 0 RIAL
249
Provar que a contra9ao do tensor A q P e um escalar ou invariante.
18.
Temos,
Fazendo j
Logo,
=
k e somando,
X;i ==ApP
0
vem
que indica que ApP deve
um tensor de ordem dois,
e a
ser
um invariante. Como AqP e ·
contrai;iio em rela9iio a um unico !ndice baixo,
a
ordem de duas unidades, somos levados a definir um invariante como um tensor de ordem zero.
19.
Mostrar que a. contra9iio do produto exterior de AP e Bq e um inva.riante.
Como A P
e
Bq siio tensores,
Logo,
Por contra9iio (fazendo j
=
k
e, entao, AP Bv e um invariante.
e
somando) temos
0 processo de multiplicar tens0res (produto
exterior) e em seguida fazer uma contra9ao chama-sc 11lBUltado tern o nome de produto interior.
multiplic�iio interiui
e
o
Como AP Bp e um escalar, �sse pro
duto tamMm e chamado produto escalar dos vetores AP e Bq.
20.
Mostrar que qualquer produto interior " dos
tensores ArP e B,q• e um
tensor de ordem 3.
0 produto exterior de ArP e B,q•
=
ArP B1q•.
Va.mos fa.zer a. contra9ii.o em rela9iio aos Indices p e t, isto e, fazer p somarmos.
=
t
e
Devemos mostrar que o pro�uto interior resUltante, representado
por A P Bpq•, e um tensor de ordem 3.
Por hip6tese, ArP e B1q• siio tensores; logo,
AN
250
Multiplicando, fazendo
mostrando que A rP
Bpq•
ALISE
j
= n,
VETORIAI,
e somando, temo3
e um tensor de ordem tres. Contraindo em relai;iio a
q
no produto A rP B1q•, podemos analogamente, mostrar que qualquer produto interior e um tensor de ordem tres.
e r
ou a
e
s
r
Outro Metodo.
0 produto exterior de dois tensores e um tensor cuja ordem
6 a .soma das ordens dos tensores dados. ·Logo, ArP Btq• e um tensor de ordem
:� + 2
=
Como a contrai;iio da um tensor cuja ordem 6 duas unidades menos
5.
que a do tensor dado, segue-se que uma contrai;iio qualquer de ArP B1q• e um tensor de ordem 5
2
-
=
3.
e uma grandeza tal que X (p, q, r) Brqn = 0 para um tensor Brqn, provar que X (p, q, r) "" 0. Como B,qn 6 um tensor qualquer, escolhamos um componente particular .(digamos o que tenha q 2, r = 3) niio nulo, enquanto todos os outros sejam nulos. Entiio X (p, 2, 3) Ba2n, = 0, donde X (p, 2, 3) = 0 pois Ba2n � 0. De maneira analoga corn t6das as combinai;oes possfveis de q er, temos X (p,q,r) 0, 21.
(p, q, r)
Se X
qualquer
=
=
como queriamos demonstrar.
22.
Uma grandeza A
(p, q, r) B,qs que A (p, q, r)
A
=
Cp• onde
(p, q, r) 6 tal que no sistema de coordenadas xi temos B,q• e um tensor arbitrario e Cp8 6 um tensor. Provar
e um tensor.
A (j,
Nas novas coordenadas xi,
k,
l) Bzlem
=
C;m.
Logo, _
A
(J,. k ' l).
i)zm i)xr _ __ ax• iJxl
()Xie iJxq
OU
[ iJzle
iJxm
iJxq
iJx• Fazend0
0
traindo corn t
S.11
Brqa
iJxr a-zi .
A
i)zm
-
(j,
ax•
k ,
.
produto mter10r por
=
n)
lf-
iJ:cP iJzm -z; Cp• - -a ax• iJxP
a-z;
A
iJxn iJzm
("IRto.
l)
oxP - -z; A a
(p, q, r)
iJ:cP A a-z;
(.p, q, r) Brq•
Brq•
O
--
J
"' � IDul tJp • l"teand0
=
por
iJxn
&xt
vem
[ i)xle 7ixq
ox• (ffl
A
(j,
k,
-
(p, q , r)
J
Brq•
=
O
e COn•
ANALISE TENSORIAL
OU
[ (J:ik axq
-.
axr
a
A (J k, l) ,
-zi
251
axP; A (p, q, r)
a-z
J
B,qn
=
0.
C-0mo B,qn e um tensor arbitrario, temos, pelo Problema 21, ozk oxq
OX' l ox
-
A (j, k, l) -
Fazendo o produto interior por
-
.
ozP
; ox
oxq
oxn
oxm
ox'
ozP
omk 01" A (J k, l) , az;
A (p, q, r)
=
O
vem
OXq
ozn
a-zm
ax"
A (p, q, r )
=
0
OU
A (j,m, n)
(p, q, r)
o que mostra que A
e um tensor e justifica a notaitiio
Neste problema estabelecemos um caso particular da
A� .
lei do quociente-que
diz que se o produto de uma grandeza X com um tensor arbitrario B Uir um ten sor C, entao X e um tensor.
Tensores simetricos 23.
p
e
q
Se um tensor
e
A!{'
anti-simetricos. e ·simetrico (anti-simetrico) em relaitiio aos-(ndicee
num sistema de coordenadas, mostrar que continua eimetrico (anti-sime
trico) em relaitiio a
p
e
Como SO OS indices tado para BPq.
q em qualquer outro sistema de coordenadas. p e q e que estaq implicados, temos que provar
Se Bpq e simetrico Bpq
=
BqP.
0
resu)
Logo
e Bpq continua simetrico no sistema de coordenadas xi. Se BPq e anti-simetrico BPa
-.
B1k
e
=
=
-
iJXi axk . -- -- Bpq oxP
OZq
Entao
BqP.
=
-
axk -axq
a-z;
-OxP
BqP
=
k,. B
Bpq continua anti-simetrico no sistema de coordenadas ?fi. Oe resultados acima aiio validos, naturalmente, para outros tensoree sime
tricos (anti-simetricos).
ANAI,ISE
252 24. sores,
VETORIAL
Mostrar que todo tensor pode ser expresso como a soma de dois ten
dos quais e simetrico
um
e
outro anti-simetrico num par de (ndices covu
riantes ou contravariantes. Consideremos, por exemplo, o tensor
B'P'l
BP
Temos
! (BP
=
-
R'P'l = ! (B'P'l + BqP) = Rqp e simetrico e SP
Mas
EqP)
=
e anti-simetrico.
! (BP
=
-S'IP
De modo semelhante verificamos que o resultado e verdadeiro para qual c1uer tensor.
25.
Se
a;k Ai A k mostrar quo podemos sempre escrever = b;k Ai A k
""
onde bjk e simetrico.
= ape Ai A k = ilkf A k Ai
=
ak; Ai A k
Logo,
2<1>
==
a;k Ai A k + ak; Ai A,k
=
(ajk + ak;) Ai A k
e
onde bjk
=
t (ajlc + ak;)
""
bk; e simetrico.
Matrizes. 26. P
=
Escrever
AB, Q
=
A
=
=
n
=
P=AB=
(
.1
.
-
B
(
!
A + B, a diferen�a D = A - B, e os produtos
-� -�).
-2
S=A+B
=
soma S =
a
BA. das matrizes
1
-1
!�;
-2+ 1
1+0 -2+ 1 1 -1
-2- 1 3+2 -1+0
3-2 4 +4 -2-1
1-0 -2- 1 1+1
-2+ 1 3-2 - 1 -0
( (
) ( =
1 -1 0
-1
1 8 -3
1 -3 2
-1 1 -1
) ( =
-�)
5 0 -1
)
(3)(2) + (1)(-4) + (-2)(1)
(3)(0) + (1)(1) + (-2)(-1)
(3)(-1) + (1)(2) + (-2)(0)
(4)(2) +(-2)(-4) +' (3)(1)
(4)(0) +(-2)(1) + (3)(-1)
(4)(-1) +(-2)(2)
+
(3)(0)
(-2)(2) + (1)(-4) + (-1)(1) (-2)(0) + (1)(1) + (-1)(-1) (-2)(-1) + (1)(2) + (-1)(0)
=
(lg -9
Q =BA.
=
(
�
-1 -1
3 -5 2 1 -4 3
-1) -8 4 -3
)
-�
)
=
A
em
0 que mostra que
NA LISE T EN S 0 R I AL �
AB BA,
geral, comutativa.
isto 6, a
(A+B) (A-B)�A2-B2• -1 ) ) (A + B) (A - B) = (1 3) ( 2 _4 -51) =( A2=(_� !)( _; !)=(_! �), 6) B2 = ( -22)(-13 -22) = ( 1 A 2 - B2 = ( _21) . e
-
3
1
'
mostrar que
,
Portanto,
5
.
-29
- 1 3
Entlio,
3 -4
3
l
Logo
de matrizes nlio e,
multiplica9iio
SeA=(_; !} B={-! D A+B=(21 ) A-B=(
27.
253
7 -9
10
134
.
.
-4 4
A2 - B2• (A + B) (A - B) = A2 - AB + BA - B2.
(A + B) (A - B) �
Entretanto,
28.
Exprimir corn matrizes as equ11.90es de transforma9lio para (a) um vetor
(a)
As equa9oes de transforma9iio
covariante, (b) um tensor contravariante de ordem dois, admitindo N
Ap
=
guinte forma:
A1
A2 Aa
ax1 a:c1 ax1
a-z2 ax1
a-xa
ax2
axq x Aq podem ser postaR na seP
ax1
ax3
A1
ax2
ax 3 a:c2
A2
ax
2 2
a-xa
3.
a
a:c1 a -x
=
ax3
a -za
Aa
em fun9iio de vetores colunas, ou equivalentemente, em fun9iio de vetores linha�:
- - Aa-- = (A1A2Aa) (A1A 2
r
I l
ax 1 a:c1
1 .ax -z a
ax2 ax-1
ax2 a-x2
2 lJx -x a z
ax3 a-x1
ax3 a·-z2
ax3 a:ca
2
a 1 x ax3
1
J
ANALISE VETOR�AL
254
-
As equa90es de transforma9iio APr
(b)
=
na seguinte forma:
:A 21
A:22 :A23
:A31
:A32 :.433
r
ax-1 iJxl
CJzl ax2
ax-1 iJx3
iJX2
a-x2 ax2
a-x2 iJx3
iJx3
(Jz3 a x2
iJx3 iJx 3
CJ x l
l CJxl
)
rI
l
A11
iJxr q • podem ser postas a x• A
ifxP q iJx
A12 A13
1 J
A 21 A22 A 23
.
a-x1 iJx2
I
A31 A 32 A 33
ax-1 iJxl
a-xa l iJx
a-x2 iJx3
iJx3 iJx3
a-z2 CJ:c2
ax-1 axa
Podemos estender e.sses resultados para N > 3.
a-x2 l iJx
a-xs iJx2
Para tensores de ordem
mais elevada a nota9iio -de matriz niio pode ser usada.
0 elemento de linha
e
0
tensor metrico.
29. Se ds2 gjlc dxi dxlc e um inv-ariante, mostrar quc gilc e um tensor co variante simetrico de ordem dois. =
Pelo Problema 25 temos, � pode ser escolhido de modo
a
=
ds2, A_i
=
ser simetrico.
d:i/
e Ak
=
dxk; segue-se que g;Tc
Alem disso, como ds2 6 um inva
riante, temos
-
gpq
Logo
=
gjk
CJ:r/ CJxP
iJxk (Jzq
e
g;k e um
tensor
covariante simetrico de
ordem dois, chamado tensor m�trico.
30.
Achar o tensor metrico (a) em coordenadas
cilindricas e (b) em coorde
nadas esfericas.
(a)
Como no Problema 7, Capitulo 7, temos ds2
Se xi 1/23
=
1/32
=
=
p,
x2
O, ga1
=
=
cp, g1a
x3 =
=
0.
z teremos gu
=
1, g22
=
==
dp2 + p2 dcp2 + dz2•
p21 g 3a
=
1, g12
=
g21
=
0,
A NA LISE E podemos escrever
TE::.-; S 0 RIAL
255
tensor metrico na forma matricial
o
0
0 0 I
p2
0
(b)
Como no Problema 8
Capftulo 7, temos
(a),
0,a2 = dr2 + ,2 d02 + ,2 sen2 e
Se
xt
=
2
r, x
=
8, xs =
Em geral, para coordenadas ortogonais gjk =
:n.
(a)
Exprimir o determinante g
mentos da scgunda linha g;k
G (j, k)
mente em
(a)
o
)
I
=
gu g21 ga1
0 g12 g22 ga2
dq,2.
(gl
para
j ,,C.·k.
I
gia g2a gas
em func;'iio dos ele-
dos seus cofat6res correspondentes.
= g onde G (j, k) e o cofator de Uik em g
Mostrar quo
(b)
onde o somatorio e so
e
k.
Obtem-se o cofator de Uik eliminando-so em g a linha e a coluna nas
quais Uik aparece, e dando-se ao
determinante
·
novo o sinal
Cofator de U21 =
I
( - J)2+1
g12
gia
ga2
gas
Cofa for de g2a
(2, 1) +
Cofator de u22
'
( -1 )2+3
=
j
gu
gu
gai
ga2
G (2, 1), G (2, 2)
Designemos esses cofat6res por Logo, teremos g21 G
I
U22
G(2, 2) +
g23
(-1)2+2
=
j'
I
e G
=
gu
ga1
.
gia gaa
1.
respcctivamente.
(2, 3)
G (2, 3)
Assim
(-I)i+k,
teremos
g
(b) Aplicando-se o resultado .do item (a) a qualquer linha ou coluna, temos (j, k) =g, onde o somat6rio e somente em k. Estes resultados siio vaiidos
g ;k G
para um determinante de ordem N.
32.
(a)_ Provar que U21 G (3, 1) + (p, k) 0 se j ,,c. p.
que Uik G
(a)
Seja
linhas iguais.
0
determinante
I ��! U21
(3, 2) +
��� ��: I
U22
Desenvolvendo segundo U21 G
(b)
U22 G
g2a G
(3, 3)
=
0.
(b)
Provar
=
(3, 1) +
que e nulo, em virtude de ter duas
g2a
OS
U2 2
elementos da ultima linha, vem
G (3, 2) +
g2a G
(3, 3)
=
0
Fazendo os elementos correspondentes de duas linhas (ou colunas) quais
quer iguais, mostraremos, como no item
(a)
que Uik G
(p, k)
resultado e ainda valido para detenninantes de ordem N.
=
0
se
j ,,C. p.
E�to
ANALISE
256
(] (j
k) --'- onde G g
Definir g;k
33.
g = lu;kl
VETORIAL
.
(J, k)
e o cofator de Yik no determinante
� o.
Provar que Yik
gPk
{,jP.
==
Pelo Problema 31, temos Yik
G (j
k)
g
--'-
1 ou Yik gik
=
=
1, onde o somat6rio
c um k somente. Pelo Prob!ema 32, temos
Yik Logo ,
G (p, k)
g
=0
g1k g Pk
ou
UikgPk(=l se p =j,
=0
� j.
se p
�j) = {,jP.
e 0 se p
Usamos a nota.,iio g;k embora niio tivessemos mostrado ainda que a nota.,ao
c boa, isto e, que
gik
trado n'.> Problema 34.
e um tensor contravariante de ordem dois.
pois, podemos mostrar quc niio c um tensor no sentido usual. mos mostrar que c um
Isto sera mos
Note-se que escrevemos o cofator como G (j, k fe niio
tensor relativo
Gik,
Entretanto, pode
de �so dois que e contravariante,
e corn
essa extensiio do conceito de tensor a nota.,iio GJk pode ser justificada (veja o Pro b!ema Proposto
34.
152).
Provar que gik c um tensor contravariante simetrico de ordem dois.
Como Uik e simetrico
Se
BP
G (j,
k) tambem
�
= G (j, Bq = gpq BP e
e, logo gik
e um vetor contravariante qualquer Multiplicando por giq, temos,
k)/g e simetrico. um vetor cova�
ri:mte qualquer.
Como Bq e um vetor qualquer gjq c um tensor contravariante de ordem dois, conforme a lei do quociente. 0 tensor gik chama-se tensor m�trico conjugado. 35.
Achar o tensor metrico conjugado
(a)
em coordenadas cillndricas e
cm coordcnadas csfericas.
(a)
Do Problema 30
gll
=
g22
=
(a)
te mos, g
cofator de 911 g
cofa tor de 922 g cofator de g3�
g33
=
gl2
=
g cofator de 912
g
18
_l_ ,
0
�I
p2
�!
2 p 0
2
0
P2
0
p
1 11
1
P2 1
-7
11
o 0
1
�I o
0 'p2
I
2 p
p
I
�I
0 =
2
(b)
A
NA L I S E
Ana.Iogamente gik = 0 se
j
�
TE
k.
N S 0RIAL
257
Na forma matricial o tensor metrico con-
jugado pode ser representado J;>Or
o
(g (b)
Como no item
j
para
(b)
Do Problema 30
k,
�
(a),
�
o
)
=
\ �O
�2
(g
Un
=
I
5, U22 = 3, gaa
5 - 3 0
o
3 3 -2
2
4
Os cofat6res G (j,
·
k)
1 .
2
r2 sen 8
e
gik = 0
)
0 0
1/r2 sen2 8
correspondente
ds2 = 5 (d:c1)2 + 3 (d:c2)2 +
a
U12 = U21 = - 3, 023
= 4,
I
r2 sen2 8
1 1, g22 = �, g33=
0 1/r2 0
I
g
0
e entao podemos escrever
g =
(b)
g
achamos g11 =
-
Logo
0
tiramos,
36. Achar (a) g e (b) gik + 4 (d:c3)2 6 d:c1d:c2 + 4 d:c2 d:c3.
(a)
l/p2
= ga2 = 2, gia = g31
=
0
= 4. de Uik sii.o
G (1, 1) 1= 8, G (2, 2) = 20; G (3, 3) = 6, G (1, 2) = G(2, 1) = 12; G (2, 3) = G (3,2)
-
10, .G (1, 3) = G (3, 1) =
-6
011 =2, 022 =5, gaa =3/2, 012=g'-1=3, 02a-g32= -5/2, g13 =ga1 = -3/2
Logo
(-�
(
Note-se que o produto das matrizes (g;k)
0
-�
2
g) 4
-
;
3/2
-
�5/2
e
(gik)"e a matriz unit8.ria I, iato 6,
��� ) ·
= 3/2
=
(� � 81) 0
0
Tensores associados. 37.
Se A; = Uik Ak, mostrar que .4. k =
gik A;.
Mu,ltipliquemos A; = Uilc, A k por giq. Temos
ghA; = giqgjkAk = akqAk=Aq, isto 6, Aq=gi'lA;
Os tensores de ordem um A; componentes covariante
e
e
A k, chamam-se asaociadoa,
contravariante de um vetor.
e
OU
Ak-gikA;.
representam oa
ANALISE VETORIAL
258 38.
Mostrar que L2 =g'P'l AP Aq e um invariante. (b) Mostrar que
(a)
L2 = gpq Ap Aq.
(a) Sejam A; e A� os componentes covariante e contravariante de um vetor. Entao,
e
donde, Aj Ai e um invariante que chamamos de L2•
L2
(a),
(b) De
L2
=
=
Logo, podemos escrever
AjAi = g;kAkAi = g'P'lAPAq
'P'l A; Ai= A;g ki A k = gik A; Ak = g Av Aq.
A grandeza escalar ou invariante L = v' Ap AP chama-se m6dulo ou compri
mento do vetor de componente covariante Ap
39.
(a)
e
contravariante A.P.
Se AP e Bq sao vetores, mostrar que gpq APBq e um invariante
(b)
Most�ar que
(a)
Pelo
g'P'lAP Bq
e um invariante.
y1 (AP Av) (B'l Bq)
Problems 38, temos AP Bp
invariante.
(b) Como AP Ap e
B'l Bq
=
AP gpq Bq
sao invariantes,
=
gpq. AP Bq
V (AP Ap) (Bq Bq)
que
e
um
tatnbem o e,
gpq APB : :::= = ==- e um invariante. = q donde --;=::::::
y1 (AP Ap) (B'l Bq)
Definimos cos 8
como o
co-aeno
vetores sao
do dngulo
entre
ortogonaia.
=
oa
-:=g pq AP B=q = === = = V (AP Ap) (Bq Bq)
vetorea AP
e B'l.
Se gpq AP B'l = AP Bv = 0, os
40.
Exprimir ·a rela�io entre os tensores associados:
(a)
Aikl e A pqr,
(a)
Aikl ;,. .
(b)
·k e Aqkr, A1.1
giP gkq g'r Apqr
ou
·sl ·r•· (c) A p ·q· .1 e A;qk . .
• ·
Apqr = g;p Ukq (/lr_Aikl
A
41.
NA LISE
Provar que os angulos
259
TEN S 0 RIAL
82a, 823
8a1
e
formados pelas curvas coordcnadas
dum sistema de coordenadas tridimensional siio dados por
Ao longo da curva coordenada
x1, x2 =
Logo, da forma metrica temos, ds2 =
z3
constante- e
Un (dx1)2
OU
=
constante.
dx1 1 -- = -d8 �
Assim, um vetor tangente unitario ao longo da curva x1 e A{ AnAlogamente,
.
1
=
--
�
x2
vet-0res unitarios tangentes ao longo das curvas
z3
e
1 1 A2r = -=02r e Aa" =,---= Oa".
VU22
VU33
0 co-seno do Angulo 8 2 entre A1r e A{ e dado por 1
E de maneira semelhante acharemos os outros valores. 42.
Provar que, para um sistema de coordena das ortogonais,
g12
=
g23
=
g31 = o.
Achamos imediatamente �sse resultado fazendo no· Problema 41
Como
Upq_ = gqp
43.
tambem tiramos que u21
=
ga2 = g1a = O.
Provar que para um sistema. de coordenadas ortogonais,
Un=
1
gu,
1
U22 = 221 -
u
l
U33 = g33
•
Do Problema 33 timmos gPr Urq = Oq'P.
12 11 1r Se p = q = 1, u Uri = 1 ou g gu + g U21 + g13 ga1 = 1. Logo, usando o Problema 42,
An:\logamente,
sc
1
Un = Ii
p = q = 2, U22 =
g
1
-2 2
g-
.
; e se p = q = 3, gaa
1
=
g33
•
01r. siio
ANALJSE VETORIAL
260
Simbolos de Christoffel.
1 ;q } 1 q� }
(a) [pq, r] = [qp, r], (b)
44.
Provar
(a)
[ pq, rl =21
(b)
��}
(
=
iJgpr + iJgqr - iJgpq x iJxr iJz'l iJ P
= g"" [pq, r]
) ( iJxP 1
=2
(c) [pq, r]
iJgqr + iJgpr
-
=
iJgqp
iJxr
iJz'l
gr•
)
� ;q }
-
[
-
•
qp, r
l
1 qBp }
gar [qp, r] =
...
,
OU
[pq, kl
=
gk•
1�}
isto e,
[pq, r] =g,.
Note-se que a multiplicai;iio de por s, suspendendo este indice
e
1 ;q } .
[pq, r] por g" tern o efeito de substituir
substituindo os eolcMtes por chaves, dando
Analogamente, a multiplicai;iio de
1 ;q }
por gre ou ger tern
o
r
1 :q �.
efeito de substituir
s por r, abaixando este indice e substituindo as chaves por colchl!tes para dar .
[pq, r].
45.
Provar que
iJgpq
(a) � = [pm, q] + [qm, p] i)
iJxq
(a) =
(b)
[pm, q] !_ 2
(
+
[qm, p]
iJgpq + Ogmq iJxm iJxP
iJ __ (gik g·•J·) iJxm
=
_
Ogpm
iJxq
)
-xm 0 (P') ' iJ
+
.! " 2
=
(
o.
Ogqp
iJxm +
Ogmp
iJz'l
Logo '
ou
g;i
iJgik
xm iJ
Multiplicando por gir,
. iJgik g•rg,· -- = iJxm J
_
. . iJg;j g1TgJk m
__
iJx
_
Ogqm
iJxP
)
- ;In v g
iJgpq iJxm
ANi\LISE
TENSORIAL
261
isto e, Ojr
a jk a�m
- gir gik ([irn, jl + [jm, i])
=
OU
e
suhstituindo
r,
"'• i, j, por p, q,
n, n
respectivamente, temos o resultado pro
cumdo.
(c)
Do Problema 31, temos
Como G
(j, k)
niio contem
do o somat6rio em j
g
=
Yik
Yik G (j, k)
(somat6rio
expllcitamente
!g.
u Y1 r
=
em
k
somente).
G (j, r). Logo, fazen
vem
c r,
og
u:i:m
=
og , ; axm
g gir
(.
og;r oxm
og = og;,
""
=
G . J, r)
og1r oxm
=
g gir ([jm, r] + [rm, J0]} =
Don de
_1 2g
_
_j_g_
-
OU
axm -
a 1 i l 1 jm f = axm
ln
v'U .
Substituindo j por p e m por q encontramos o resultado procurado.
46.
Deduzir as leis de transformai;iio para os simbolos de Christoffel de
(a) primeira ordem e (b) segunda ordem.
(1)
oxP Ogjk axm = oxi +
iJxq ogpq CJxr axk ox' a-xm + O:;P
a-x;
CJ2 :i;P a2 xq a xm iJ xk gpq + a-xmaxi
CJ:cq Y iJxq pq
ANALYSE VETORIAL
262
Fazendo a permutar;iio circular dos indices j,
k, m e p, q, r, obtemos
(2)
(3)
Subtraindo
(1) da soma de (2) e (3), multiplicando por
j,
e usando
a
nir;iio dos s!mbolos de Christoffel de primeira ordem, obtemos -. --
[3k, ml
(4)
(b)
=
iJxP axi
iJxq
iJxr a-xm
iJxk
a-xn
-
(4) "por gnm
Multiplicando
---
gnm [jk, ml
=
iJxP ax-1
+
iJ2 zP
=
iJxq iJxk
iJ2 xP
ax•
--
a-xm iJx1
-·
iJzr iJzn ax-m ax•
iJxi iJxk
iJxq g axm pq
[pq, rl + iJxi iJxk
g•t obtemos
iJzm axt
dxq iJzn -a-xm ax•
--
g•t
iJxm
--
axt
[pq, rl +
g•tgp
q
Logo,
pois, o{ g•t
[p q, r]
=
g81
[pq, r]
=
{ ;q }
e
Otq g•1 gpq
=
g"l gpq
=
Op8•
defi
ANALISE
TENSORIAL
263
Temos, do Problema 46 (b),
Multiplicando por
Tirando o valor de
48.
k
'
chegaremos ao resultado procurado.
Calcular os s!mbolos de Christoffel de (a) I.• ordem,
espat;os em que gpq (a)
iFxm
a xi a x
Se P = q
=
=
0 se p "6 q.
r, [pq, r)
=
[pp, p]
(
. 1
2
=
·
Se p
=
q Fr, [pq,
r)
=
[pp, r]
1
2
=
(b)
2.• ordem, para
dgpp dgpp dgpp dxP + dxP - dxP-,
1
dgpp
2
ax1>-.
( 1
dgpp dgpr Ogpr dxP + iJxP - dxr
) )
=
=
dgpp
-2 a;r· Se p
=
T
� q, [pq, r]
=
[pq, p]
1
2
=
(
.
ogpq ogqp ogpp
1 ogpp {};cQ
2 Se p, q,
r
niio sao iguais entre si, [pq,
Nao empregamos aqui
(b)
a
..
r]
=
0 sc
r
"6
s, e
=
=
•
0.
convent;iio da soma.
Temos pelo Prohlema 43, gn
g•r [pq,
r]
)
1 =
-
(/jj
g•• pq,
s
(niio somados).
=
Logo,
[pq, sl (nao somados) se g••
r
=
s.
AN,\LISE VETORIAL
264 '
Pelo item
Se
p
=
Se
p
=
Se
p, q,
49.
gula re s,
q
(a)
temos:
pq {l
. =
j 1
q, 15 pq ll
=
5 1
=
j I
8'
s
s
8
�
s
siio distintoi>,
, pp {l [pp pj P
=
gpp
pq ll [phl1 1 :q } P
-
gpp
-
1 2 gpp
ogpp
_ 12 gpp
ogw
=
OXq
1
o g o.rP In pp.
_!_
o _ In _ YPP· OXq
2
2
-
= 0.
Achar os slmbolos de Christoffel de 2.• ordem em
(b)
=
oxP.
coordenadas cilindricas e
(c)
coordenadas rctan
(a)
coordenadas esfericas.
Podemos utilizar os resultados do Problema 48, pois, para coorden ada s orto
gonais, g'P'I. = 0 se p �
q.
(a)
Em coordenadas retangularcs gpp
(b)
Em
blema 30
(a),
1 don de
=
coorden:i.das ciHndricas, x1 = p, gu = 1, g22 = p2, gaa = 1.
x2
=
·1 : }
= 0.
q
=
x3
tcmos pelo Pro
z,
Os unicos slmbolos de Christoffel de 2.• ordem niio nulos ocorrem onde p
E siio:
-
5 1 30
(c) (b),
2
21
l 5 l = 1
1 2 gJl
--
2
12
l l
og22 = 0X1
-
--
=
1
1 o . • - - (p•) = 2 Op
og22
2 g22
oxl
Em coordenadas esfericas, zl = 2 2 gu = 1, g2 2 = r , gas = r2 sen 8.
r,
z2
=
1
-
o
2p2
op (
= 8, x3
=
q,,
=
2.
pI
p
2
)
=
1
p
temos
µelo
Proh.
Os unicos simbolos de Christoffel de 2.• o rd em ocorrem onde p = 2 ou 3.
E siio:
-
1
2 gu
--
og 22 ox1
--
-
-
i
2
-
o
- (r2)
or
·
=
-
r
1
r
1 i a ogaa - - - (r2 sen2 8) - -- --- 2 or 2 (111 ox1 -
=
--
r
sen2 8
ANALISE
TENSORIAL
i:J 1 - T8 2 r� v 3
I 3 l I 13 I
2 g33
)3t I 32 I
5 3 t I 23 I
2 g33
31
i:Jg33 -i:Jx1
1
i:Jg33
(r-
2 r2
•
" 8)
sen-
-
=
i:J T
scn2 8
265
vr
sen
(r2 ;;en� 8;
,
1 i:J -- (r· �en- 8 1 2 r2 sen2 8 i:J8 •
i:Jx2
--
=
8 cos 8
·
r
=
rotg 8 .
Geodesica. 50.
Provar que
scja um m:i.ximo Seja
Fntao,
passa por
qu e
ddl
E
=
x
i:JF
ou um m inimo e que ,.-J.' V
d
- 1 ( t
·(
X
=
valor
I
=
condic;iio necessaria para que I i:JF
1 12
)
VX �
=
F
(I,
x,
x) dt
0.
(t), ti ;;a t � t2, a curva que torna I um maximo ou mi11i11l•>. (t) + E71(t), onde E e independente de t e uma curva vizinha,
x
x =
Bste
a
•=0
se ra um cxtremo para
=
tin do que isto
0. :\-fas, d e ri vand u
a
=
E
=
0.
A condi�'ii.o neec�s:iria para ii;'"' e
cxpressii.o sob
o
sinal de integr
seja valido, vcm di dE
l
•=O
-
-
- f't2 ( )11
i:JF OX
71 +
-�r:x � ) v
dt
=
0
que se pode por na seguinte forma
=
Como
71 e
1t2 ( 1
71
arbitrario, de ve mos ter
i:JF
d
- i:Jx dt
(-) i:JF . i:J �;
)
di
=
o.
a
ANALISE
266
VETORIAL
:f�"te re�ultado e facilmente extendido a integral
1
t2
F
(t,
•1 2 x ·2, xI, x , x,
• • •
,
N x·N
, ) dt
x
1
dando
ch11mudas equar;oes de Euler ou de Lagrange
51.
Mo�trar que
geodesica num espar;o riemanneano e dada por
a
d2x'
d.�2
{
+
F
de Euler (Problema 50) corn
..!!:!._ = V gpq dt
..!!:... dt OU
Fazendo
forma
(
Ogpk :i;P xq
iJxq
=
x")
8
=
_!_ 2
(
, J
-dxP
dxq
ds
ds
112
V gpq
:i;P :i;q
gpk
I
r
pq
Temos que achar o extremo de
Dai, como
(Veja tambem o Problema 73).
,
V gpq
=0
·
:i;P :i;q
:i;P xq.
dt
usando
as
Tcmo�
podcmos cFcrever as equar;oes dP Euler:
-
agpq
i
axk
28
a p g k + Ogqk axP axq
xi' H
)
=
o
:i;P :i;q esta equa<;ao se tranl'-
em ••
Yvk xP +
[pq, k]
xP xq= g •
•
pk :i;P
s
8
Se tomarmos o comprimento de arco como par:\metro, t.eremos, 8 e
a
equar;oes
equa<;:io
se
transforma em
gpk
d2 xP ds2 +
dxP
d:i.,Jl
[pq, k] -;j;- ----;J;" =
0.
=
1
,
8
=
O,
A N A J, I S J:o;
TEN S0RIAL
267
Multiplicando por g•·k, obtemos d2 xr ' 2 a.s
{ } r
+
pq
dxq
dxP
.
-
d .s
ds
=
O.
A derivada covariante. 52.
Sc A p
c
AP sao tcnsorcs, mostmr que A p,q
(a)
-
=
fJxq
_
5 I
s
pq
i I
A•
e
siio tensores
(b)
(a)
Como
-
ax•
A;= axi A,,
11) Do Problcma 17, temos
a xi a xk Substituindo em (l), vem
OU
-
aA; � axk - I jk I An
c
��: - { ; f q
=
a:cP axi
axq axk
( aAP - j axq I
s
pq
i I
As
)
s e um tensor cov:i.riante de !'egimda ordem chamado A
11ada covariante de Ap cm rela�iio a xq
c
se designa por Ap,q.
deri-
ANALISE VETORIAL
268
-zj aa;;=_4r,
Como Ai =
(b)
tcmos
(2) Do Problema 47, trocan
Levando cm
a-zi axr
axi
=
-
ax P
(2),
vem
aAr + ax1
ax1
ax''
aAP
a� ax"'
e x, ternos
x
+
axq
{ }
r ax1 a-x1o A
axi
n
rt
axn
{ } p sq
axq
axj
axP
ax""-
A•
-
axi
ax' 0k
l
5 j I il
}
A'=
fTT x i 1k
OU
aAi
a xk +
e
iJ(JAP + xq
5 ( p A• t qs 5
covariante de AP 53.
5i l I ki f
em
Escrcvcr
guintes tensores:
e
-
um
relai;iio
(b)
A ik •
q
iJAi
axP
=
a
;
a
q
k
(
aA p
5
k
-a,"C'l
�A•
)
tensor misto
.
:eq e se designa por AP, . q
5s(, I jq 5 "'ak
-
5
+
I
P i
a;;+ I qs
dcrivada covariantc cm rolu1;fio
a
+ =
a-xJ
.
A1
J qs ·
}
A•k
5s(A· I kq 5 '' I- Aj.; q.� I
{ k.
1t
x'l de cuda
um
dos
ae
ANALISE
(e)
ikl A
ntn,q
jk-l
__
�,. _?A"'-"
_
V,p
+
54.
Provar que
as
(I>)
55.
gi�q
-
5 j l / qs )
r ·q kl ) ,
+
=
Achar
Ox'l
I ikl s t A.n m qJ •
·
a:; { fa }
a
kl + A• n m
-
5 k l / qs )
+ Ai•l mn
r kq, J·1 = o
g•k +
{ ;8 }
5 l l / qs )
Aik•. mn
pc 1 o Probiema 4 s ( a.. l
gi•
=
O
pelo Problema 45
a
(b).
x'l.
· ; A k,q B n Im + A k_; Blm n ,q.
Este problema ilustra o fato de que a mestnR
ikl + Ams
nq
derivada covarian tc de Aki Bnlm em relaoiio
=
segue
{ }
s
-
269
de1ivadas rovariantes de (a1 9ik, (I>) gik, (c) Oki siio nulas.
ao;i, =
{
TEKSORIAL
regra que
a
a
derivada covariantc de
derivada de produtos
no
um
produto
calculo diferencial elf:>mcntar.
ANALISE Vl';TORIAL
270
. A n km) Provar que ( UJk
56 .
pois gjk,q
=
-
_
k gJ A n,m q
k
.
•
ik Uik, g
0 pelo Pi·ob. 54 (a). Na d c riva .,ii o covafrtnte
ser tratados como constantes.
e
oki po
Gradiente, divergencia e rotacional na forma tensorial.
Provar que div
57.
A divergencia de 1r1u;iio de
=
58.
AP
,q
ou
e
A,P AP,p.
+
=
a
--
ln
Provar que V'2<1>
-)
Vg
=
Ak
isto e,
aAk ( avli axk vii axk )
=
· -
1
- -+-
--
gkr
=
V'
=
��
,
um tensor
=
covariante de ordem
de
0 tensor eontravariante de ordem um associado a <1>,r 6 A k
Logo,
=
, escrito gkr
do Problem a 57, temos v2<1>
59.
=
div
Provar que A
( ,q
p
gkr
a<1> ) ax'
- Aq,p
=
a ax1c ( yg aA p aAq azq - axP .
=
1
vu
con-
.
(veja o Prob. 46 (b)) definido coma a de rivada covariante
<1>,r.
a
(rl,. temos
Ak
---
'
;g a:k ( Vg �:, )
0 gradicnte de e gr a d um
de AP,
contraQiio da derivada covariantc
Logo, empregando o resultado do Prob. 45
aAk a axk (axk
--
(Vu A k) .
AP Jg a�k
gkr
a
ax r )
•
a
zTa .
ANALISE
'.rENSORIAL
271
E5tc
tensor de ordem dois e definido como
60.
Exprimir a divergencia de um vetor AP em fulll;iio de seus (a) coordeuadas cilindricas, (b) coordenadas csfericas.
o
rotacional de Ap. componentes
fisicos para
(a)
x'
Para coordenadas cilfndricas temos
g
=
11
0
p2
O 0
0
m ponen te s
co
Os
0 O 1
1
=
p2
e
-
Vg=
p
ffsicos, designados po r
=
AP
1
= -=-
=
(b)
g
=
Para
1
[
P
coordenadas esfericas
g
j 6 �2
r2 sen2
0
0
v
{]
(J
I
=
r4 scn2
:rl
(J
e
x2
=
cp,
x� = z
(veja o Problema :�o
Ap, A.p, Az
J,ogo, div
p,
e
(a) )
siio dados por
--
a a:clc
-(v gAk) a a a (pAp) + (A.p) + a; (pAz) acp ap r, x2
=
Vg
Os componcntcs fi�icos, designados por
=
=
0,
x3
r2 sen
=
J
•
cp,
(J (veja
o
Pro blcmu 30 (b).
Ar, Ao, A.p siio dados por
Logo,
divAP
=
61.
--(v gAk)
Vu
72
-
a
1 -
=
iJxlc
�
n (J
[ :r (r2
1 a --. -a (r-o A r) + r r-
sen (J Ar) +
a
r
sen (J
Exp1imir o laplaceano de
(/1) coordenadas esfericas.
-:0 (r
7i8
sen (J
Ao)+
. (sen (J Ao) +
, V2 ,
cm
(a)
:cp (rA.p) J i
r
sen (J
=
a.1.piJcp
coordcnudas
cilindrica.
A N
2i2 :35
Logo, do Proh. 58, temos
. V'2
(b)
o oxk
1
Em coordcnndas ei
(b) )
= _!_ � r2
.
-.- -- ( y vu
=
or
(
r2
V E T 0 It I A L
g11 =
Em coordcnadas eilindricas
(a) (a)).
Prob. 35
.\ L I S E
•
1,
.o
-
g gkr
oxr
_
g22 =
1/p2,
g33
1
=
(vrja
o Prob.
)=
g11 = l,
g22
o
8 o
l/r2, g33
=
1/r0 scn2 8 (vcja
=
o
Logo,
o or
)
..J_ --'
,.2 scn
(
08
8
scn
)
7ii
i + ,.2 scn2 8
o2
otj>2
•
Derivadas intrinsecas. 62.
Cakular as de1ivadas intr(nsccas de cada
admitindo-os como fum;oos deriva.veis dr t:
(d)
A1�n· (a)
(b)
o
,.,
dxq
.¥-.
dt ot - • q -.
- -
llAi = ot
j d:rq A. q dt
=
=
=
(c)
llA{ ot
=
Ai
k. q
d:Ifl dt
o d:i!l
u.i;• ,,�
(oAi d:Ifl
dt
=
=
-td
qs
)
um
dos
seguintcs tcnsores,
in".'ariantc , (b)
Ai,
oA t_ ax'l
I
s kq s
kq
l f
(<') A�,
.
a (1cnvada ord"mana. • .
j tA.d"'"l=
qs
l
dxq
=
dt
5 j l A • dx'l I qs f dt .
( - 5I { - 5 dA c1t
,
um
oAidxq 5 A.·) d:Ifl= ox'l td +I dt
I .i I
+I
dAi +
d
=
-dt
(a) .
l Ai j j l f • + I qs f Ai d:i!l • dt
A
•
5 j l qs f
+I
)
k
at
A• dx'l k dt
•
ANALISE
273
TENSORIAL
(d)
_
=
dA {:0n dt
ls
5 l
_
q
A.ik
i ik dxq \ A smn dt +
63.
5 s i l nq \
Im•
+
5
s
_
i A •k \ l mn
5. j l qs i \
l mq
k dx'l Ailsn
dt
5 j i •k dx'l l qs \ Azmn dt
+
_
,
.
_
dx'l at
_
pelo Problcma 54.
ogik
o,
_
- u
ot
ik
q
·
s nq
i \
o
siio nulRs.
5 l
c
oo
_
at
l qs
Aik lms
dx'l dt
+
5 k i i• dxfl ! qs \ Almn dt.
Provar que as derivadas intdnsecas de g;k gik
ogfk r ot - .u3''· q)
)
i i• dx'l \ A lmn dt
k
5
+
- o,
ot
t
t
= 01
k, q
dx'l = 0 at
Tensores relativos. 64.
Se
A�
mostrar que
B�'
e
siio tensores relativos de pesos
w1
c
respectivamcnte
w2
produtos interior e exterior siio tensores relativos de �so
seu s
Por hip6tese,
A ki
.
=
J
ID!
()xi o:i;P
o'l"'l 4 1' q ' oxk •
B Im = n
ID2 (J?il. ox"'
J
ox'
ox•
oxt
oxn
Bt
w1 +w2.
r•
0 produto exterior e
que e
um
tensor rehtivo de �SO
WI
+
W2.
Qualquer produ to interior, q uc e
uma contra�iio do produto exterior, e t amb em um tensor relativo de peso
65.
Provar quP.
dade de tensor.
VU e
por gpq
Ox1' O;Jfl equa�Oel! Uik = o'xi oxk gpq .
=J2 g
ou
66.
OS
vfi
=
sc
transformam segundo
. -
dPterminantes de ambo� OS memhros vem, g
Jvg,
Provar qu<-
o
+ w2.
um tensor relativo de peso um, isto e, urna densi
01 clemPntos do determinante g d11dos
Toma!ldo
w1
quc rnostra quc
dV = vg d:c1 rlr2
•
•
Vu •
ox P = ox�
I
ll
oxq ififk
I
as
g=
e um tensor rclativo de peso urn.
dxN c
urn
invariante.
ANilLISE VETORIAL
274.
Pelo Problema 65, temos,
dV = vg dx1 dz2
=
v'-1 I ax
u
a-x
• • •
dxN =
x
= v'u· dx1 dx2 . .
.
axN
=
=
av
Donde concluimos que se f()r um invariante, teremos
para qualquer Sistema de COOrdenadas, em que a integra<;iao e feita sobre Um
lume num espa<;io de N dimensoes.
VO -
Podemos fazer uma afirma<;iiio semelhante
para integrais de superficie.
Aplica!;oes diversas. 67.
(a)
Exprimir em forma tensorial
a velocidade e (b) a acelera<;iiio de uma
partfcula.
(a)
Se a partfoula se desloca ao longo de uma curva x1•
= xk (t)
o parametro tempo, temos vk =dxk/dt para sua velocidade, o que e contravariante de ordem um (veja o Problema
(b)A
grandeza
dvk d2xk & = -;fi2
onde
9).
. nao pode nao .,, em geral, um tensor, e ass1m
nimos a acelera<;iiio
ak
que e um tensor
contravariante de ordem um.
como a derivada intrinseca da velocidade, is toe,
Admitamos que a massa
fOrr;a.
69.
ak
Defi =
0;;
Escrever a lei de Newton na forma tensorial.
do tempo t. Entao,
do
e
_ ,,
representar uma grandeza fisica em todos os sistemas de coordenadas.
68.
t
um tensor
]IJak =
M da particula seja um invariante independent.e
Fk e um tensor contravariante de ordem um, chama
Lo go , a lei de Newton pode ser assim expressa:
Provar que ak
ovk =
ot
=
_d2
;ck
dt2
+
j I
k
l
pq I
dzP
dxq
dt
---;[{
.
ANALISE TENSORIAL
275
Como vk e um tensor contravariante, temos, pelo Problema
dvk
at
d2 xk 5 k ( v• dx'l at = a12 I qs I
+
+
5 k ( I qp I
vP
62 (b), dx'l dt
=
+5k(�� dt . /pq\ dt 70.
Achar os componentes fisicos (a) da velocidade
uma par ticu la em coordenadas cilindricas.
(a)
Do Problema
e
(b) da _acelerar;iio de
67 (a), os componentes contravariantes !!!!__ dt
dx1
Tt
dx2
d4'
dt
'
dt
da veloridade siio
e
Logo, os componentes fisicos da velocidade siio
- dx1 dp v'un Tt = dt' empregando
gu
=
1, U22 =
p2,
d4' 1- dx2 vg22 dt = pdt _
gaa
=
e
1-- dx3 vgaa dt _
=
dz dt
1..
(b) Dos Problemas 69 e 49 (b), sabemos que os componentes contravariantes da ac eler ar;iio siio
d} x2
•
a·
=
a12
+
5 2 ( dx1 dx2 I 12 S di ili
+
5 2 ( dx2 dx1 d2 4' I 21\ dt dt = at2
+
d2 x3 - d2z -- dt2 - dt2
aa-
e Logo,
seus
-
componentes fisicos siio
onde os pontos represerrtam derivadas em relaQiio ao tempo.
71. cidade e
onde
Uk
Sendo a energia cinetica T de uma particula de massa ltf, cuja velo v, dada por j• !Mv2 !Mgpq xP z'l, provar que =
=
designa os componentes covariantes da acelerat;iiio.
ANALISE VETORIAL
276 Como T = iJT
tMgpq .i:P .i;q, temos .!
-
x P x q'
'f ogpq
fJxk
2"
_
iJxk
•
•
Logo,
d
ar
di (fJxk
l
ar
-
fJxk
_
-
u . .
(
=
1ll
(
x1 xq
fJxi
•
•
fJg q g1-q zq + .L ( ,, fJxP 2 .
= Jf (gkq Xq =
k +
..
xq
g1:q
Jfgkr
tendo em vista o Problema 69.
(
+
x' +
[pq, k] zP
_!__
_
2
fJg p k O�
+
xp _.
fJx k
x •
9
fJg ) . pq fJxk
)
72.
)
=
:i;q)
{ ;q} xP )
=
xq
Mgkra• =Mak
Este resultado pode ser usado para cxprimir
cm coordenadas cilfndricas.
Como
as2 = dp2
+
p2dcf>2
+
Do Problema 71 e corn
I..ogo,
OS
Un =
Fk
=
-
I,
x1 =
p,
: )2 = j,2
x2 = c/>, x3 = z
a2
a··
p
ou
••
-
v'gu ' v'g22 ' v'gaa U22 = p2, gaa = 1. Compare-sc
Sendo
fJV xk fJ
v2 = (
dz2,
+
p2J,2
+
Z2
e
achamos
componentes ffsicos sao dados por
a1
73.
a
Empregando o resultado do Problema 71, achar os componentes ffsicos
ace lera �ao
pois
_
:i;P :i;q
acelerai:iio em diferentes sistemas de coordenadas.
da
-
a
A.• l d p'I'- , p dt (p-q,) ' •
corn
for�a covariante que age
ondc V
d
(x1, ... xN) fJL
dt ((J:i;k)
-
c
a
o
•
z
Prohlema 70.
sobre
uma
partfcula
cncrgia potencial, mostrar quc
fJL fJxk =
0
ondc
L
=
T- V.
dnda po r
ANALISE
Como L
=
iJL :i;
1' - V,
01'
(J:i;k
k
a
TENSORIAL
277
V c in
pois
fk.
Logo,
pc;lo Prohlcma 71, temos
a1· d --- ( (J -) dt :i;k -
iJL iJxk
av - iJxk
A func;ii.o L chama-sc lagrangeana.
0
=
As equa�iies de Lagrange, isto e, aquelas
cm quo L apareco, siio de grande jmportancia em mecanica.
Reportando ao Pro
blema 50, conclulmos que o enunriado deste problema 6 equivalente ao seguintc:
quo
a
112
pa rtfo ula sc desloca de ta! maneira que
L dt e um
extrcmo. E
o
cha
mado prindpio de Hamilton.
74.
Exprimir o teorema da divergencia na forma tensorial.
campo tonsorial do ordem um, e designemos por terior
11 uma
qw'r.
8eja .1l k um
o vetor unital'io normal
ex
ponto qual
Entiio o tcorema
Para um espac;o de N dimensoes
a
k
sup!'rffde fechada S, que limita um volume V, num
tegral. multipla de N simholos,
c
P
divcrgeneia de A k (veja
o
e a
a
intrgral tripla c substitulda por uma in
dupla por uma de N - 1.
0 invariante
Prohlema 57).
.0 invariant�
A:k
lar de A k e Pk, an:Uogo ao A· n na notac;ao vetorial do Capitulo 2.
foi possfvel exprimir
0
A\
e o produto esca Como nos
te orema na forma tensoria l, e ve r d a d e ir o para qualquer
sistema de coordenadas, pois, o e para
o
retangnlar (vej�
o
(a) div B
O,
Capftulo
G).
Veja
. tambem o Problemn 66.
75.
Exprimir as cquac;oes de Maxwell
(cl- V X E
=
-
1 iJB - � t , (d) V X H c
u
Definamos os tcn�ores
--
c
=
(b) div D
=
47rp,
na forma tensorial.
Bk, Dk,
'
(a)
B\
(b)
Dkk
(d)
=
- 411"1
Ek, H1.:, Jk e suponhamos que p e c sejam in Entiio p ode mo s escrever as equnc;oes das seguintes formas:
variantes.
(c)
-
,
=
=
0
41rp ou
e'"kq
Ek
I
q
=
1 iJBi - �t C
c
U
ANALYSE VETORIAL
278
Est.as equai;oes conRtituem
76.
(a)
de ordem um. e
um
a
base da teoria eletromagnetica.
ProvarqueAp,ql'-Ap,rq=R
(b}
Provar que R
�,
�,An
onde Ape um tensor arb i trari o
e um tPneor.
(c)
Provar que Rws=Un• R qr
;
tensor.
d2 Ap
�
Trocando q e
r
-
� 5 axr I
j pq
l I
A'
5 i l - I pq I
oA;_ axr
entre si, e 8Uhtraindo, vem
a + oxq
{i} p-;
A
-
J -
A· ·' = Ri
·
AJ pqr
on de
Substituindo j por (b)
n
encontramos o result.ado procurado.
Como Ap,qr - Ap,rq e um tensor, R
um tensor
arbitrario
R�,
�r An
tamMm o e;
e
como An e
c um tensor, de acordo corn a lei do quociente.
:!!;�-
ANALISE
TENSORIAL
279
te tensor se chama tensor de Riemann-Christoffel, e, As vezeR, e representado por
R�pqr• Rj,q;�, ou simplesmente por R;1,. (c) Rpqr• = gn• R�, e um tensor associado
R�, e,
de
portanto, um tensor.
Chama-se tensor covariante de curvatura e e de import.Ancia capital na teoria geral
da relntividade de Einstein.
PROBLEMAS PROPOSTOS As respostas a estes problemas slio dadas no fim do Capftulo.
77.
Escrever as seguintes expressoes empregando a convenc;iio da 'soma.
(a)
a1x1x3 + a!'.X2x3 + ... + aNxNx3
(b)
A21B1 +A22B2 +A23Ba +
. .
. +A2NBN
(c) . A.1iB1 +A2iB2 + AaiB3 + ... + ANiBN (d)
g21 gn + g22 g21 + gn ga1 + g"1 g41
(e) B�i' + B�;2 + s;i' + s;;2
•
78.
Escrever a.s parcelas das somas seguintes:
(a)
--
a
OXk
<
.y-
g Ak) I N
=
3I
(b)
Ai k BkP C;, N
=
2,
(c) =
Que lugar geometrico representa akxkxk
79.
·
1 onde xk, k
slio coordenadas retangulares, a , constantes positivos e N
k
=
=
=
2, escrever o sistema de equac;oes representadas por apqxq
80.
Se N
81.
Escrever a lei .de transformac;lio para os tensores (a) Aki;,
82.
Dizer se as grandezas B
(c) Cmn , (d) Am.
de um sistema de coordenadas
-
(a)
B
(b)
c (p, q, r,
(p, q, r)
sio tensores.
..
1, 2,
2, 3 ou 4?
=
s)
(JxP
=
iJxP x
xi
(Jzq
(j, k, m)
e C
(j, k, m, n)
que
se
., N
=
·
bp.
lhl Bmiik,
tranHformam
a outro J;i segundo as regras seguinteR:
iJzr
B
iJxm axr
.
(J, k, m)
ox• c iJxn
.
(J, k, m, n)
Se forem, escreve-los em notac;iio adequada e dar suns
ordcns
bem como as ordenR dos contravari:mte e rovariantc.
83. mensoes?
Quantos component.ea tem um tensor de ordem 5 num espac;o de 4 di
AN,\LISE VE'L'ORIAL
280 S4.
Provar qne se os ·�ompouentes de um tensor num si8tcma de coorde
nadas forem nu las, tambem serao nul os cm todos os 1
Provttr q11e se qs compooncnts de dois tensores num shitema de c oorde
n�ubs forem igu:iis, tamb6m o seriio em todos 86. cfok
dt
Milstrnr Qllc a veloddv!e _
nao
87.
o
�
k =-
011
sistemas de coordenadas.
vk de um finido e um tensor, mas que
c.
Achar
011 c omponentes,
em coordenadas cilinclric as p,
t/>,
covariantes e contravariantes de um te1111or (a) z..
(b)
em coordenadas esf6ricas
componcntes covariantes em coordc nadas retangulares siio 2 88.
:i;
i·,
8, t/>,
- z, ,?y,
se seus y�.
Os comp onc nws contravariantes de um t en sor em coordenadas retan
gulares sii.o : yz, 3, 2 :i; + y.
Achar seus componentes covnri1mtes em coordc
nadas ciJ(ndrieas parabolicas.
90.
Se
A,Pll
c
um
temior, mostrnr que A,.Pr c um t e nsor contrnvariantc de
ordem um.
91.
Mostmr
que
8;k =
�
1 j� k Oj=k
niio c um tens0r covariantc
como
a
nota�iio poderia indicar.
92.
93. a2 i):r;P dxq c um tensor.
94.
Sendo um invariantc, dctermina!'
sc
95.
Sendo
A9P JJr
A9P
e Br t ensore s , provar quc
96. trico e
Mostrar que
A� - A'!;'
97.
se
A:":
A9P Bq tambcm o siio e
e
um.
6 um tensor, entii.o
6 um tensor anti.:mmtStrico.
A:.':
+
A��
6 um tensor sime
.
Scndo AP'l e Bra tensores an ti-sim 6tri c os , mostmr quc
c::
=
A.PI Bra
c simctrico. 98.
As sucessivas contra�Oes de um tensor 11im6trico (anti-sim6trico) sao
tamb6m siruetricos (anti-si.qi6tricm1)?
99. 100.
Provar que Apq :i;P :i;Q = O se Apq !Or um tensor ant.i-simetrico. Qual e o maior m1mero de componentes distintos quc u m t
trn.vnri1mte de ordei..11 dais pode ter
prira qualquer
v11 l?r
de N?
�e
(a)
N
•
4, (b)
N
=
G?
con·
Qua! 6 o ntimero
ANALISE
TENSORIAL
281
101.
Quantos componentes distintos nao nulos, coiocando de !ado uma dife·
102.
Provar que uma dupla contraQiio do tensor
renQa de sinal, tern um tensor covariante anti-simetrico de ordem tres.
103.
Provar que a condiQi'io necessaria e suficiente para que um tensG>r de
R
seja
par e que o numero de Indices covariantes e o de contravitriantes sejam iguais a
R/2.
ordem
R
da um invariante.
A�
se torne
invariante por meio de contraQoes sucessivas e que
um
104.
Senda Apq e
105.
Sendo
B78
tensores, mostrar que o produto exterior e um tensor
de ordem 4 e que podemo� faz�r dois produto8 interiores, um de ordem dois outro de 0rdem zero.
ordem.um e
CP
A (p, q) Bq =
Bq e
CP, onde
e
um tensor covariante arbitrario de
um tensor contravariante de ordem um, mostrar que A
(p, q)
deve ser um tensor rnisto de ordern dois.
106.
Rendo
P=
107.
AB
Bq tensores arbitnirios, rnostrar que, se AP B'l C
AP e
um invariante, C. (p,
q)
Acha r a soma S = A + B, a diferenQa D =
BA,
e Q=
(p, q) e
e urn tensor que pode ser p0sto na seguinte forrna: Cp'l.
onde
A
B
e
A
-
sao as rnatrizes.
A=(: �) (_: �l) ( -i �) ( �
B e os
produtos
-
(a)
(b)
B=
0
-2
A=
3
-1
108.
Achar (3 A
109.
(a)
-
blema anterior.
zes
Verificar
-
2
B) (2 A
110.
Se riio igu:iis
Sejam
A.
=
-
(:�
4
(A.B)
-1
2
2
3
Mostrar que (a) AB e definido.
definidos.
111.
Achar
x,
y e
(J
z
e
e
-1
2 -2
-1
B), onde
(AB)
iiualdnde det
'a
do Problem.a HJ7.
(b)
B=
det
A
=
e
�)
B sao
2 ;{
a -4.
-2
matrizPB do
as
pro-
para as rnatri
(BA)?
B
-3 1
2
aC'har o seu valor,
2 3 1
-1
-2 ·2
(b) BA.
de rnodo qut' �e tenha
-1
·
I det Al I
( = ) ,
-
) ( ; ) ( -i).
e
). A +
B
niio �iio
ANALISE VETOJtIAL
282 112.
A recfproca
pela equar;ao A11-1
=
I, onde I ea matriz unihtria qne tern um na diagomll prin
cipal e zero nas outras posii;oes. Achar A-1 se (a) A
( _: :) -
=
Nesses casos A-1 A e igual
a
(!
113.
Provllr que :1
114.
Provar quP (AB)-1
=
,
I? 1 -2 -1
-2 3 4
)
1 1 -1
-!) .
niio tern reciproca.
B-1 .1-1, on de A
=
-
(�
A
lb)
B sao matrizes qua
e
niio �ingulares. Fxprimir em nota<;iio matricial as equar;oes de tmnsformai;iio para
115.
um vetor �ontravariantc
(a)
um tensor c.ovariante de ordcm dois (c) um tensor
(b)
misto de ordem d'lis.
116. A
(
X de
Dcterminar os valorcs da constantc
2
-3
'
2 1
)
e
X e
uma matriz qualquer.
modo que AX
ERses valores de
=
XX, onr!t•
X chamam-�e
valores caracteristicos de matriz A.
117.
A equar;iio F (X)
=
0 do problema anterior para a determinar;ao dos
valores cararterfsticos de uma matriz A_ tem o nomc de equ�iio caracte™tfra para
A.
X
Mostrar que II' (A)
=
O, onde F (A) e a matri z que se obtem substituindo-se
p or A na equar;ao caracterfstica e onde
matriz cl,
e
o
termo constante c e substitufdo pela
0 e uma matriz cujos elementos siio nulos (matriz nula).
Este pro
blema e um caso p!lrticular do teorema de Hamillon-Cayley quc diz q1ie uma matriz satisfaz a sua pr6pria eqna r;iio caracteristica.
BT AT.
118.
Provar que (AB)T
119.
Determinar o tensor metrico e o ten�or conjugado metrico (a) em coor
=
denadas ciUn
Provar que sob
a
transformar;oes
se
c
em coordenadas cilindricas clfti cas.
transformar;iio afim zr
siio constantes tais que ap• aq• nentes covariantes
(b)
=
8qP, niio ha
=
ap•xP + b•, onde apr e 11'"
distinr;iio alguma entre os compo No caso particular de as
contrav:uiantes de um tensor.
processarem de um sistema retangular para outro, os tenson's
siio ditos tensores carte3ianos.
121.
i Achar g e g k correspondentcs a ds2
122.
Se
123.
Expri mi r a relar;iio entre
=
3 (dx1)2 + 2 (d:r2)2 + 4 (rfx3f
- 6 dx1 dx3•
(al
Apq
Ak e
==
A?
gik Aj, mostrar que Aj os
=
k Uik A
e
rcciprocamente.
t en sores associado8.
(c)
... Apq
jk
e A
1•
••
-
ANALISE TENSORIAL
283
(a) A�q B�8 =APq Bprs, (h) A::7,B; BPr =Air B�r.
E,
Jaf, dcmonstrar o resultado gcral que um sfmbolo mudo num termo pode
ser
124.
:\Iost.rar que
elevado de sua posi9iio inferior ou abaixado
125.
l\fostrar que se
A�qr = B� Cr
Apq1·
entao
=
Bpq Cr
e
A'J'
=
n: er.
E, daf, demonst.rflr o resultado de que um indice livre numa emm9iio ten sorial pode ser levantado ou abaixado sem afetar a validade da equa9iio.
gw.
126�
Mostrar que os tensores Yw.,
127.
Provar que as seguintes igualdade�:
(a)
e OqP siio tensores associados.
(b)
128.
Srmdo AP um campo vetorial, achar
129.
Mostrar que
OS
o
vetor unitario correspondent.e.
co-senos dos angulos que
vetor unitario tri-dimen
0
sional Ui faz corn as curvas coordenadas siio iguais a
Ua
Vgaa 130.
Determinar os simbolos de Christoffel de I.• especie em
nadas retangulares,
131.
(b)
132.
(b)
(c)
cilindricas e
(b)
(a)
coorde
esfericas.
Determinar os simbolos de Christoffel de 1.• e 2.• especies
denadas cilindricas parab6licas,
dricas,
·
em
(a) coor
cilindricas eliticas.
Achar as equa9oes diferenciais da geodesica em
(a)
coordenadas cilin-
esfcricas.
133.
Mostrar que as geodcsicas num piano siio linhas retas.
134.
Mostrar que as geodesicas numa esfera sao arcos de grandes cfrculoo.
135.
Dar
OS
simbolos de Christoffel de 2.. especie para
0
metrico.
e as equa9oes das geodesicas correspondentes.
xq dos 'k (b) A{:;., (c) A{zm' (d) Amikl, (e) Aim 11
136.
Dar as derivadas covariantes em rela9iio a
seguintes tensores:
•
137. la9iio a
xq.
138.
Achar a derivada covariante de
Empregando
a
rela9ao
159.
Ak.
ai
=
(a) gjk A k, (b)
gik Ak
Ai Bk,
(c) oki Aj
em re
obter a derivada covariante de Ai
Sendo cf> um invariante, provar que ,
w.
=
,
da deriva9iio covariante de um invariante c indiferente.
qp,
isto e, que a ordcm
ANALISE VETORIAL
284 i\Jo3trar que
140.
Epqr
e
sao respectivamente,
Epqr
tensores covariante
e
contravariante. Exprimir
141.
a
divergencia de um vetor
AP
em furn;:iio de seus compo
nentes flsicos para (a) coordenadas cilfndricas parab61icas,
paraboloidais.
Achar os componentes fisicos de grad 4> cm coordenadas
142.
parab61icas,
(a)
cilfndricas
cilfndricas eliticas.
(b)
Achar V'24> em coordenadas cilfndricas parab6licas.
143.
Usando a nota9iio tensorial, mostrar que
144. grad c/>
(b)
=
(a)
div rot A r
=
0,
(b)
rot
0. Calcular as
145.
derivadas intrfnsecas dos seguintes campos tensoriais,
t:
admitindo que sejam fun90es derivaveis de
(a) A k,
(b)
Aik,
(c) A; B k,
(d) tfJAkf
onde c/> e um invariante.
g;k A k,
Ok; A;,
(c)
g;k oi Apr.
146.
Achar a derivada intrfnseca de
147.
Provar que
148.
l\Iostrar que, niio havendo nenhuma f6r9a extema agindo s6bre uma
:t (gpq Ap Aq)
=
2
(a)
(b)
gpq Ap Otiq
partfcula em movimento, esta partfcula se desloca ao longo de uma geodesiea dada pela equa9iio
Provar que a soma e a diferen9a de dois tensores relativos de mesmos
149.
peso e tipo s:i.o tambCm tensores relativos de mesmos peso e tipo. Sendo ArP
150.
w,
provar que
·g-wlz A,1"1
e
um
tensor absoluto. Se A
151. peso
Wl
e
c ;,
(p, q) B,q•
=
c;,,,
onde Brq• e um tensor relativo arbitrario de
e um tensor relativo de peso
e um tensor relativo de peso
W2
-
tv1.
w2,
conhecido, provar que A
(p, q)
Este problema e um exemplo da lei do
quociente para tensores relativos,
152.
Mostrar que
a
grandeza G
(j, k)
do Problema 31 e um tensor relativo
de peso dois.
153.
Achar os componentes ffsicos
(a)
da velocidade e
(b)
de uma partfcula em coordenadas esfericas.
154. Sejam A' e Br dois vetores num espa90 de t.res dimens0es. Mostrar que, se X e µ $8.o constantes, entao er= XAr + µBr e um vetor situado no piano de Are B'.
155.
Qual e a interpreta9ao para um espa90 de mais de tres dimens0es?
Mostrar que um vetor normal a superffcie
e dado por
q, (x1, ..e2, x3)
=
constantc
ANALISE TENSORIAL
285
Achar o nor•nal unit:irio correspondente.
A equa9:i.o de continuidade e dada por V
156.
v
a velocidade de um Jfquido.
·
au (uv) + at =0
�nde u e
Exprimir essa equa9:i.o na forma ten
sorial. Exprimir a equa9:i.o de continuidade em coordenadas (a) cilfndricM,
157.
e (b) esfericas.
(a)
15S.
Exprimir o teorema de Stoke na forma tensorial.
159.
Provar que o tensor covariante de curvatura Rpqrs e anti-simetrico em
p e q, (b)
e
r
s,
(c) q e
s.
160.
Provar que Rpqrs = R r•pq·
161.
Provar que (a) R-pq,.s +
Rp81Jr + Rprsq = 0,
(b) Rpqrs + Rrqps
Rrspq
+
Rpsrq
=
0.
Provar que a diferencia9:i.o covariante num espa90 euclideano e comu
162. tativa.
+
E assim, mostrar que o tensor
vatura s:i.o nulos num espa90 euclideano. Sendo
163. onde
gpq
s
TP
TP =
d :p 0 vetor tangente a curva c cuja equa9:i.o e xP=\xP(s) d
e o comprimento de arco, (a) mostrar que _gpq TP Tq = l; (b) provar que . 1 oTq -.- = 0 e entiio mostrar que Nq= - -.- e um unitario normal a C oTq
K
us
para valores adequados de K; (c) provar que
164.
(a)
g-pq TP N q = 0, oN q
<·&
(b) gpq
+ K Tq)
=
OS
vctor unitario
oNq
TP & = - K
e ortogonal a Nq.
OU
0.
1
oNr
BT = - <-.- + K T r ) T us ortogonal a ·TP e Nq.
E, dai, mostrar que
165.
--
Com a nota9:i.o do problema anterior provar que:
gpq TP
um
us
oNq
e, para valores adequados de _
T,
Demonstrar as formulas de Frenet-Serret.
oTP
--- = KNP ' OS
on
BP sii o os
oNP
. T --=T BP-K OS
p'
oBP T
=
vl'torcs unitarios tangente, normal
!lllo a t:urvatura e a torsiio de C.
-TNP e
binormal a C, e
Kc
1
ALISE VET0RIAL
AN
286
2
Mostrar que ds
166.
=c2 (dx4)2
-
dxk dxk
(N =3) e
. invari nte sob a tran s
�
forma.,iio linear (afim).
zl
c i•
{3, c
onde 'Y,
(:i,l
'Y
=
-
x-2 = z2,
vx4) '
{3 = v/c
siio constantes,
z3
=
e 'Y
x1,
=
xi
ve
um
(.i:4
(1 - {32)-1!2•
E
xi
mento se' realizando na posi.,ao x1, -x2; x3 no tempo x4•
uma
se desloque com c, 8e
ja
l z , X1
e i xo s
(2)
coincidentes,
a rhamada trans
v
velocirlade
x1,
x3
z2 ,
em rela.,ao ao sistema
ne> OS
(1)
Admite-se que
OS eiXOS positiVOS z
2 e
z3
X-3, (3) o sistema, xi zi, e (4) a velocidade
constante.
Mostrar que para um observador fixo no si8tema
167.
c
ve o mesmo aconteci
sC>jam, respectivamente, paralelos aos eixos positivos X2 e
_f!__xl)
acontecimento se realizando na posi.,ao
tempo z4, enquanto um outro na origem do sistema dois sistemas tenham OS
-
'Y
=
Fisicamente, um observador na
Jormai;ao de Lorentz, da relatividade rcstrita. origem do sistema
x4
colocado paralelamente a o eixo zl (zl )
xi (zi)
iixo no sistema
zi e
(xi),
um bastao
de comprimen-
to L, neste sistema, parece ter o seu comprimento reduzido para L Este fenomeno e conhecido como a co11tr�ao de Lorentz-Fitzgerald.
Vl
-
[Jl_.
RESPOSTAS AOS PROBLEMAS PROPOSTOS 77.
(a) ak zkz3;
78.
(a)
:
a
(VuA1)
i
(c) AkiBk ;
(b) A 2iB;;
:
+
a
2
(Vu A2)
(d). g"qgq1, N =4;
:
+
a
(e)
B�;r,
N =2.
(vg A3);
a
2 (b) A11 B1P C1 +A2 1 B1P C2 +A12 B2P C1 + A 2 B2P C2;
(c)
axi azt
azt
79.
Elipse para
80.
5 1
81.
(a) Arpq
au z
1
a21 z1
(b)
-
(a)
2,
axP
= iJ..;i
iJxP
+
' ' '
axi axN axN axm '
= 3,
hiperelips6ide para N =4.
azk ;;. Ak ' iJxr
a-zq iJzi
-
axm - Am. a ;i;P
axr iJzk
iJzm
ax•
B
ijk·
m
,
e um tensor de ordem tres, covariante de ordem dois
contravariailte de ordem um. niio 6 um tensor.
+
elips6ide para N
axq iJxi
= iJ i z
B (j, k, m)
ax2
axm
= b1 = b2
Bapqr
{d) Ap = 82.
==
N
+ a12 z2 2 + a22 z
-
axi az2
+
axm
Podemos escreve-lo asgim:
Bfi<.
(b) C (j, k,
m,
e
n)
ANALJSE ·83. 87.
(a)
2 p cos2 cf> - z cos cf> + p3 sen2 cf> cos?. cp, - 2 p2 scn cf> cos cf> + pz sen cf> + p4 sen cf> cos3 cp, pz scn cf>.
2r
scn2 (J cos2 cf>
2 r2
scn cf> cos cf>+r2 scn (J cos (J sen cf> + r4 scn4 (J sen cf> cos 3 cf>.
89.
(a) Bqr•,
94.
Xiio e um tensor.
98.
Sim.
107.
(a)
(J sen c/>,
2
- r3 scn2 (J cos (J scn cp,
u21z • +3v,
(11) 10,
cos
scn (J cos (J cos2 cf>- r?. cos2 (J cos cf> +r4 sen3 (J cos (J sen 2 cf> cos2 cf>
88.
100.
r scn (J cos (J cos cf> +r3 sen4 (J sen2 cf> cos2 cf> +
-
+ r2 scn (J
- 2 r2 scn2 (J
p=
3u-uv2z,
(b) Aw,
(b) 21,
(c) 1l8P,
(d) 1.
95.
Ordem 3
(c) .V (N + 1)/2
(: : )
s =
u2+uv-v2•
D
,
(
=
s ( c _:) lg)' ( � ( -� ) ( ( ) ( ( ( �)
108.
llO.
112.
(b)
-8
-4 7 9
9
s
Q
-
(a)
-16
-5 2
-86
1 4 0
76
-6
5
-4
17
(a)
3
-2
2
5/2
=
3.'
3 2 -2
-2
=
(b)
(Ii)
-
4
:)
3 -2 I
1
3 9 -61
1/3
-5/:3
--1
N (N-L) (N--2)/6.
x
) 7
)
-16 163 -1:35 =
-
0 0
c� :) ( -� 1
2 0
132
1
1
)
(a) A3
.
)
1 -1
.
-136
'
-4 5
)
.
1, y = 3, z = 2.
1/3
1/3
D=
'
11
-
P=
,
-3
8
-16 1 0
lll.
.
1reRpectivamente.
101.
-1
-1 0
e
(./[I 115.
287
45 = 102 4.
(b)
Q=
TENSORIAL
Sim.
6 -3
'
AN ALISE VETORIAL
288
A11A12A1a (b)
A21 A22A2a A31Aa2Aaa
ax1
.. ax·
ax3
ax-1
ax-1
ax-1
a x1·
ax·•
axa
a-:cz
axz
ax2
a.c1
ox�
a:ra
a-xa
axl oxi
An A12 A13 A2i Az2 .'12a Aa1 Aa2 Aaa
(c)
ox3
oxa ox1 o-i2
a x1
ox3
ax2
ox2
oxi
ax2
ax2 ox-a
ox3 oxi
a:r2 a-xa
a.c3
(J;i;3
a:r1 ox3
A11 A21 Aa1
iJXL
ax-1
axi
ax2
A12 A22 Aa2
a:r2 a-x2 a:r2 axi ax2 a:ca
I1aA:2ax�a
a-xa axi
a-za a:c2
a:ra a:ca
axi
oxl oxl a-z2 a-xa
()xl
ox2 ox2 a:r2 ax.a
ox2 a:ri
iJx3 iJx3 a·xi ·azz
iJx3 ax-a
0 0 1 0
0
1
0
0
1 a2 (senh2
u
0
+ sen2 v)
0
ANALISE 121.- g
=
6,
r0ik)
(a) A_pq
128.
AP -yAPAp
(a)
g i
o l
A�dr
(Ii)
1
AP VgpqAPAq
011
gPi grl Ajql,
=
9pj Uq/c grl A��.
=
•
[22,1) = [12,2) [2 1,2) = [22,1) =- (33,1) - 2 [33,2) [21,2] = [12,2) = [31,3] =[13,3) = 2 8 todos [32 ,3] - [23,3] (a) [11,1] (2 2,2] [11,2) =- (22,1] = [12,1] [21,l] = [21,2) [12,2] {;2} = � L�} ; 1 5 2 i l 11 5 = 2 { d1} { 1 2 } � : 5 2 l - 52 l v2' l 21 5 l 12 5 [22,2] =2a2 2a2 (b) [ 1,1) (11,2) =- 2a2 [22 ,1] =-2a2 [12,l) =[21,1) = (21,2) =[12,2) =2 a2 5 l j 2 l= � 5 2 2 l 22 5 sen2 j 1 l l 22 5 = 2 sen2 {2\} - L�} 2 o {;1}=L 2t rFq, � aq, aq, = rFds2z - (ds )· (a) d�2 - p,
r,
- u,
v
1•2 '
1
=
u
senh u cosh
sen h
tt
+
s<.'nh
senh2
11
+
u
senh2
senh
senh2
(b)
ds2
p
-
r
•
=
8 (d )2 ds
- rF8
. + ds·
2
r
2
r
di)
senh2
+
v'
u
+ se n 2
v'
C()sh u +
2
f)
p
(dq, )2 ds
d - - sen f) cos 8 ds
ds
11 cos
+
u
v
sen2 v
- sen vcosv
'
1•
0,
rsen
sen
se n h
v cos v
u
v,
2a2 sen v cos•,
u cosh u.
v'
sen2 11
ros
u,
cosh
cosh
u
vZ'
v2 '
sen v
v.
sen
rf!p rJs2
112
1
Os outros t.odos s:io nulos.
senh
u
-
u2
=
u c osh u,
senh
11
v2 •
=
:ien v cos
11,
= u.
u2
senh
=
siio nnlos.
v,
=
_u__ u2 +
1
sen 8
Os outros
= v,
+
sen 8 cps 8
r2
=
r
c0s 8.
sen
11,
=
u
r2
sen 8,
r
=
=
Os outros todos sao nul-oe.
p.
=
r,
(c)
}32.
A�;
(t')
Sao todos nulos.
(b)
131.
280
4/3
= P A/
123.
130.
(
=
TENSORIAL
+
sen
v'
0� OUtl'OB t dos sRO DUIOS-
dp d$
'=
u
'
0I
ds
0.
aq, (-)2 ds
d{) df/> dr df/> rFq, -. +- - - +2cotg8- ds d.� ds· r ds ds_
=
0.
=
O.
=
0.
ANALISE VETORIAI,
290
135.
5 1 l I x l 22s- , _
Os outros todos siio nulos.
-- +
d2x1 ds2
xt
dx2 ds x2
(-)2
+ ( 2)� x 136.
(a)
A{,"kq
(b)
"k.. Aim,q
=
=
dxl dx2 2x 1 d2x2 - - -+ -- + ·--='-2 l ds2 (x ) - (x2)2
O'
ds ds
·
dx2 (xl)2 ( """ds"")2 iJA'1·�, ---
0.
{ } A'"k lq s
-
axq
=
+
8
qs )l Asklm / qsk )l Ai•Im ::�m { :q } A�zm { I� } A{,m .i l As l A; / qs ) / ) kla /
A�lm, q
a =
-
-
5
(d) Aim,klq
=
+
+ 5
j + 5
(c)
J.
{ qs } Ark
iJA � l �
+ 5
s
mq
5 s - l mq
l
)
klm
+ 5 j l qs
kl Ai8
+
l Ask! ) m
+
+
- { .:q } A{�. { :s } Al!n { � } A{:,.n . 137.
(a)
Oik A�q,
141.
(a)
-�-1-
(b)
(I>)
A� q Bk
(yu2 [_g_ au
u-
+ v2
UV
(tl 21 + V2)
[ aa
U
+
+ Ai Bk, ii,
(c)
�k; A;, q·
v2 Au)+ _g_ (Vu2 + v2 av
(uv Vu2 + v2 Au)+
A.) ] +
a (uv vu2 + a t'
oA, az
v2 A,)
]
·
+
ANiLISE TENSORIAL 142.
(a) (b)
onde
eu,
1
V112 + ,y.
e, e ..,.
(a)
iJcl>
llAk
A
Tt
-
dx'l
dAk dt
f> Tt (A; Bk) .
""
(a) (b)
g;1c
"1
k
ut
f>i; f>A.; ,,,
-
-
=
_
..
iJcI>
·
j a t 1 kq 5
-
k
8B r,/ Bk+ A; T
dA; (dt
( .
.
-
dA k +
dt
( dA;
dA1c dt
:Aa
j a t d:i;'l A 1kq5 . dt
M·
flik '11.i
k ( iJA iJz'l
·
"·"dt
=
146.
iJcI>
e.
sit<> vctores unitarios no .eentido de crescimento de
•
(c)
cl>
e, + vz
(-eu + - e,) +-e. iJo iJz Vsenh2 U + sen2 II Ou.
respectivamente.
145.
cl>
. i.2
1
a
�
� � eu + � + ri- "" (11'
291
dt
_
-
-
j a t A 1 jq 5 . (it:
dz'l)
j k t 1qa5
' dzf A
j a t a A 1;q5
j a t A dz'l 1kq5 • dt
dt
)
dX'l.) dt
)
dxf
dt
_,
u,
t1 e z
ANALISE VETORIAL
292 153.
(a)
r, rB, rsen 8 �
(b)
r
-
rSi
-
rsen2 8
a
�';;:') . + ��
variantes da velocidade.
157.
(a)
(b)
-
r
sen 8 cos 8
J,t
· .
:; �� +
•
-
0 onde 119 siO OS componentes contra
au a a d u11l, ap (u11l) + aq, (prr) + a; (uv8) + p + Te ..
.
a
or
I
d - (r2 sen2 8 ,P). dt
I
rsen8
--
156.
�2, _!..r .!!. . (r2B) dt
-
0
au . a a 2111 . . (u111) + a (u112) + aq, (ull3) + u (- - + 112 cotg 8) +at r o
..
o.
onde 111, 112 e 113 sao os componentes contravaria�tea da velocidade. il58.
rc ApdS"" th;P da J
=
-
fj s J
gente unitt\rio A. curva fechada C
S, cuja linha limftrofe � C.
e
EP'l"A1,,JJpdS onde
th;
P da
�ovetor�n-
pP � o nor�l unit4rio pollitivo a Guperffcie
1NDICE ALFAB:ETICO
A
c
Acelera'lllo, ao longo de uma eurva no esp�o, . . . . 48, 53, 54, 69, centripeta, . . . . ... . . . 59, 69,
Calculo das varia�oes, 78 73
73 de Cori6lis, , . . . . . . • � . . . • . . . de uma partieula, 144, 58, 59, 69, 72, 119, 274, 276
em coordenadas cilindricas, 194, 269 em
coordenadas
esf�ricas, 269, 270
em eoordenadas gerais, em coordenadas polares, relative.,
269, 270 79
• . . •
• • • • . • . • . . . . . . . • . . •
relativa a observadores fixos e m6veis, . . . . . . • . . • . . 72, . Adii;ii.o, de lei lei lei
de matrizes, • . . • . , . • • • . · 234 tensores, • . . . . . • . • • . . • • . 232 8 associativa para a • . • . 3, 7 comutativa para a . . . . 3, do paralelogra.mo para a 2, 6 6 lei ·do triangulo para a • • • .
Aerodinamica
. . •
• • • •
• .. . . • . •
• • •
116
.Algebra., de matrizes, • . . . • . • . . . 234 2 de vetores, • . . . . . . . • . • • 1, Analise tensorial, 103, 191, 218, 228 Angulo, de duas supei:ficies, . • • 88 de dois vetores, • . . • 27, 236, 258 Angulo s6lido,
. . . . . . . ..
. . . 172, 173
.Area., de uma elipse, • • • • . . . • . • • 158 de um paralelogramo, . . . 24, 33 de uma superficie, 146, 147, 222 de um trill.ngulo, . . . . . . . . . . • 34 limit'ada. por uma superficie fechada, . . . . . . . . . . ... . • .. 150 vetorial,
. . . • . • . • .
. . . . ..
35, 1 17
B Binormal . . . . . Brahe, Tycho,
. . . .
.
.
.
.
. .
51, 62,
65
. . . . . . . . . . . . . . . . 121
• .
. 238
especifico,
. . . . .. . . . ... .. • . .
175
·Campo conservativo; 102, 117, 127, 128, 132 movimento de uma particula num, . . . . . ... . . . . . . . . . . . . 132 Campo, de fonte, • . • . . • . . . . . • • • de po'lo, . . . . . . . . ... . . . . . . ..
72 73
. . . . . . •
Calor, . . • • . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 corrente de, no estado de equilibrio, . . • . . . . • . • . . . • • 175
·
18 18
escalar, . . . . . . . . . . . . . 4, 17, 231 escalar estacionlirio, . . . . • . . 5 irrotacional, . . • ... . . • . . 101, 127 solenoidal, . .. . ... ... .. .. .. . 94 te'llSorial, . . . . . • . . . ... . . . . . • 231 turbilhonario, . . . . . . . . . . . . • • 100 vetorial, · • . • • . . . .. 5, 17, 18, 231 vetorial estacionario, . . . • . • • 5
Centro de gravidade , de um trilngulo1
• . . .. . . . • • •
• • • •
• • • •
21 45
Cl1ristoffel, simbolos de, 237, 260, 264, 283 leis de transforma'loes dos, 237, 261 Cicl6ide,
. . • • . . • • ... • • •
• . • • • • • • • • • . . . . •
Circula'lio,
• • • . • • .. • • . . •
Coeficientes ui�tricos, Cofator,
• . •
182
• . • •
52
• . • • . •
Ciilematica,
• • •
116, 181
• . . • • . • • • •
. . • . . .. . . • . .. • • . •
•
205
235, 255
Componentes, contravariantes, 189 216, 217, 231 covariantes, • . 189, 217, 218, de uma diadica, . . . . .... . .. de um tensor, • . • . . • • • • 217, de um vetor, 4, 189, 215, 217, 218, fisicos,
. • • . • •
231 103 231
230
237, 271, 276, 284
Comprimento de um arco, 51, 78, 189, 205
ANALISE VETORIAL
294 em
eoordenadas
curvilineas,
em eoordenadas eurvilineas ortogonais, 190 sobre uma superfieie, 78 • . • . . . . . •
•
• .. •
•
• . . . . •
Condutividade termiea, Coniea,
• . . •
•
• . • . • . . . •
• . . . . .. . . . . . . • .
Conservac;li.o de energia, Continuidade, equac;io de,
. •
• .
Contr&llio,
•
. .
175
• . . . . •
• . •
,
•
•
• . . . . •
•
232, 248, 249
Coordenadas, bipolare� 195, 221 eilindrieas (veja uoerdenadas eilindrieas) eurvilineas (vcja Coordenadas eurvilineas) elipsoidais, ........... 194, 221 esfericar; (veja esfericas)
esferoidais
Coordenadas
aehatados,
194, 201, 220, 221
ederoidais oblongos, .. 222, 221 linhas ou eurvas, . . . 187 polares, , ........... 138 .
. .
.
. . .
.
. . • . . . .
toroidais, .... 196 transformac;ao de, 82, 83, 106, . . . . •
• . . . . .
. • .
comprimento de arco em, 199 divergencia em, , ... 211, 271 elitieas, 193, 213, 220, 221, 284 •
. •
•
.
geodesica em, . . . . . ... . . .. . gradiente em, ...... ....... jaeobiano em, ............ laplaceano em, .... 211, 213, parab6licas, 192, 199, 201, .
.
• .
283 211 221 271
213, 220, 221, 222, 284
rotacional em, ............ 211 simbolos de Christoffel em, -
\
264, 284
tensor metrico em, ........ 254
tensor metrico conjugado em, .. .. .... 256 velocidade e acelerac;iio em, .
.
.
.
.
.
. ·. . .
.
.
.
198, 275, 276 200, 201
volume elementar em, Coordenadas ear;,
cilindricas 192,
199,
• .
parab6li201,
213,
220, 221, 222, 284 comprimento de arco em, .. 199 divergencia em, . . ......... 221 equac;iio de Schroedinger em, 222 gradiente em, ........ 221, 284. jaeobiano em, . .... 221 laplaceano em, ........ 213, 284 •
.
.
.
.
.
.
.
.
• .
221 284 201
189, 205
definic;ao de, .. gerais, . 205, 215, ortogonais, 67, superficie em, 66, 67, 78, volume elementar em, 189, . . . . . . . . . •
. . . . . . •
• .
• .
. . . . • ... . . • . .
. •
•
187 218 187 214
190, 219
Coordenadas
esfericas,
101, 191, . 192, 196, 203, 221
componentes covariantes em, comprimento de arco em, divergencia em, .. : ... 221, equac;!io da transmissiio de calor em, , . , , .... , ...... geodesica em, gradiente em, . jacobiano em, ............. laplaceano em, ....... 213, rotacional em, simbolos de Christoffel em, . •
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
• . .
.
.
.
.
.
.
.
.
•
. . •
.
.
.
. . .
.
•
•
.
244 .199 271, 222 283 221 221 271 212
264, 283
tensor mefrico em, tensor metrico conjugado em, velocidade, acelerac;lio em, . , volume elementar em, .. 200, . . . .
196, 197, 220, 221
•
.
187, 228
Coordenadas cilindricas, 191, 192,
•
.
Coordenadas curvilineas, . 187 a 227 acelerac;li.o em, .... 198, 275, 276 comprimimto de arco em, 78,
. . . •
.
. . •
. . . . . •
.... 122 .... 132
. 48,. 5-0 ..... . .... 94, 174
. . . . . . . . . . . •
rotaeional em, simbolo de Christoffel em, volume elementar em, •
78, 205
.
. . •
254 256 220 201
Coordenadas ortogonais, especiais, 191 a 196 bipolarefi, . . . . .. . .. . .. 195, 221 cilindricas, 191, 192 (vcja Co ordenadas cilindricas) cilindricas eliticas, 193, 213, .
220, 221
cilindricas parab6Iicas, 192 (veja coordenadas cilindricas parab61icas)
elipsoidal, , ... , , . , 194, L21 esfericas, 191, (veja Coorde nadas esfericas) esferoidais achatadas, 194, • . . .
201, 220, 221
esferoidais oblongos, 194, 222, 221 paraboloidais, 193, 221, 222, 284 toroidais, . . .... 196 .
. . . . . . .
..
. .
Correspondencia, ................ 222 Co-senos, diretores, ...... .. 16, .
lei dos, para triilngulos planor;, ................. lei dos, para triilngulos esfericos, ................... . .
•
.
82 28 45
fNDIOE
ALFABETIOO
295
. .. . .
76
Determina.ntes, multiplica!;lto de,
Curve. no esp&!;O, . .. aceler&!;iiO ao longo de uma, 48, 53, 69, binomial a. uma, . 51, 62,
47
Dia.das,
Cub.ice. reverse.;
•
•
•
, . .
•
•
•
• .
• . • . . . • . . . •
.
. .
79 65
Curve. no espQ!:o, comprimento de arco de uma, IS!, 78, 189, 205 eurvatura de uma, 51, 62, 64, 159 normal principal a. uma., 51, 62, 6•, 66, 68 raio de curvatura de um.a, 51, 62, 63, 68 raio de torsllo de uma, . 52, 62 t'angente a. uma, 51, 52, 54, 62, 64, 66, 68 .
Curve. simples fechada, . . 116, 149 superficie limitada por uma, 145 •
Curvatura, r&io de, tensor de •
•
.
51, 62, 64, 159 . . . . . . 51, 62, 63, 68
• . . .
• .
•
• . •
. . . •
.
•
•
.
.
. . . . •
.
. . 278
. . . .
Diadiea,
. . . . .
.
• ..
• . •
103
. . . . . . . . . . . . .
. . • . •
• . . . . • . •
•
• . •
Diferen<;a, de matrizes, de tensores1 de vetores, . .'� •
•
•
• . •
. • . •
Diferenciabilidade,
•
(veja Del) (veja operador laplaceano)
Del
( V) 80, 81 (veja tamMm, gradiente, divergencia e ro· t'acional) forma. integr&l do opemdor, 150, 171 f6rmulas com, invariii.ncia de,
•
• . • . . . . •
•
•
•
• . •
Delta de Kronecker,
•
.
• . • . . •
.
• .
81 113
231, 245
. . . •
Densidade, de carga, 174 qe corrente, 174 de tensor, ............. 241, 273 . . . . • . . . •
•
•
• . •
.
. .
•
•
• . •
. . . .. 15,
22
• . . . . . . . . . •
• .
• . . . . •
•
Derivadas, de vetores, 47 a ordinarias, 47, 48, 52 a pa.rcia.is, .. 49, 50, 59, 60, f6rmula.s das, . . 49, 55, •
• . •
• . . . .
• .
• .
• .
Descartes, folium de,
• . . . . . . . . •
79 59 61 56 183
Determinante, cofa.tor de, . 255, 256 de um.a. ma.triz, 234, 281 56 derive.de. de um, produto vetoria.l expresso co· mo . . . 24, 32 rotaciona.l expresso como, . 81 triplo produto esca.la.r expres· so como, . 24, 36 .
•
• . . . . •
. .
. . . . .
. . .
•
.. . .
• . . • . . •
•
•
•
•
•
•
. . . .
•
• .
218
•
103
.
. • • . . .
.
• . •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• . . . •
• . . •
•
• . •
•
• . .
•
. 48,
234 232. 3
. . •
Difusividade, Distii.ncia
•
•
• . .
.
.
.
.
51
• . . . • . •
. . . . . . . . . . . . . . . .
entre
dois
pontos,
.
.
175
•
•
17
Div (veja Divergencia) Divergencia, do gradiente, do rotacional, •
em
•
• . • . • .
80, 90 a 94 58, 90 81, 97, 98, 283
•
•
• . . . .
•
•
,
eoordenad.as
• . . •
•
cilindricas, 211, 270, 271 cilindriea.S' •
•
•
•
• .. •
•
•
•
curvilineas, 190, em coordenadas esferieas, 221, 270, forma. retangular da, forma tensorial de., 239, 270, invariancia da., . . . . . prova da, 163, signifieado fisico da., 93, 94, 166, teorema. da (veja Teorema da. divergencia) •
. . . . •
•
• . . . . . . •
• . . •
•
..
• . •
•
221 208 271 162 271 113 164 167
•
Derivada., absolute., 240 cova.riante, 238, 267, 268, 269, 283 direcional, 80, 86, a 89 intrinseca, 240, 272, 284 •
•
51 Diferenciais, exatas, .......... 117, 131, 156
E
.. . . • . . . . . . • . .
Dependencia linear,
•
105, 113
a
• . . • . • .
• . •
v2
•
• . • . •
coordenadas pa.rab6licas, em coordenadas
v
• . •
Diagonal, de uma matriz quadra· da, 233 principal, 233
em
D
• . •
• . •
Einstein, de,
teoria •
•
•
•
da
• . • . . . • .
relatividade .. 205, 279, 286
Elemento, de linha., 235, 254, 255, 153 de volume, 189, 191, 218 •
•
•
•
•
•
•
•
Elementos de uma. matriz,
. . . . .
•
233
Elipse, 89, 193 area de., 156 movimento dos planetas nµma 121, 122 •
•
•
•
•
•
•
•
• . • . • . •
•
• .
.. .. .. . • . . . . . •
Energia, cinetiea, conservQ!:iio da., potencial, . . • . •
• . .
•
•
• . . . • . •
. • . • . . •
•
•
• .. •
• . •
•
• . . . •
•
. 132 . 132 132, 275
•
•
• .
•
•
• .
• .
• . . . . . .. . • .
• . •
....... 132
Equa<;iio, ear&cteristica, .... de Euler, ... de Lagrange, . . . . . . . . . . . . . . de Laplace, 91 , 172, de onda, . . • .
•
.
.
. . •
.
.
•
.
.
• . . . . . • . •
• . . .
•
.
.
• . • . . •
•
• . . . . •
282 266 266 186 101
AN ALISE VETORIAL
296
de Poisson, , 1 86 de Schroedinger, 222 parametriea de uma curva, 53 , 54 parametrica de uma superperficie, , 66, 68 • • • . . • . • • . • . • • •
Frenet-Serret,
f6rmulas
de,
·51, 61, 285
• • . • . . • • • • •
, , , , • • • • , . • . .
Equ�i.o, da reta, 13 , parametrica, . ............. foi'ma simetrica da, . • • . .. . , • . ,
.
. .•• . • .
17 17
174, 175, 222 em coordenada:s cilindricas eliticas, 213 em coordenadas ei>fericas, .. 222 , , • , • , . .. . • • .
Equ�l'ies diferenciais, Equilibrante,
• •
,
. . • • ,
•. . . . . . . . .
...
751 145 ....
8
Escalar, 11 41 231 campo, , . , .. , , , , , 41 171 231 fun1t&o1 de posi4'io ou de ponto, 5 potencial, ·102, 113, 117, 129 produto, . 23, 25 a 30, 249 triplo produto, . 24 47 variavel • •. • • •• • • . • • .
. • . .
. . . .
·
• • . • . . . . , • . ... • . . . • • .
• • .• .
. .••. . • . • . . ,
. . .. . . • . . • . . . ... .. .
Espafto, de N dimensl'ies, 235 enclideano, .. 235 geod6sica em, riemanneano, 238, 265; 266 riemanneano, 2351 238 . .. .. •
. . . . . . . . . . . .• .
• • • • , . . . • .
Estado estacionario (ou de equi1!.brio), corrente de calor no, , 175 ,
Excentricidade,
• . .• , • • ,
........ 122
Extremidade de um vetor, Extremo,
•••• . . . . . .• • •• ,
.
.. . . .
1
, , , , . . , 265
F Fatores de proporcionalidade, Fluido incompressivel, Fluxo,
,
,
•
.
.
• • . • . .• .• . . . . . . . . • . .
Fonte, campo de, linear,
, • , •.•.. .
.
.
174 1 17, 167
, .... .. , , 18, 94, 167 18 ... . . 18 . .• • . . .
. . • .
. . . .• .• • . . . • • . . . . . . •
For1ta, central, . 120 de Cori6lis, ..... . ... ...... 73 de gravita1tiio universal, ... 121 momento de uma, , , . , . , 351 69 repulsiva, . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 sobre uma particula, .. 274, 276 . . . . •• • . . • .• . . •
.
For1tas,. fictfoias, reais, . . .. ...... resultante de varias, Forma, integral do operador . V
. . . . . . . •• • • . • •
• • .• . .• . .• .
• .•• .• •
73 73
16
151, 171 metrica, ................... 205 quadric& fundamental, , .. , , , 205
,
. .. . .
• •
• . .• • ,
5 5
5
5
G Gauss, lei de, . 186 teorema de, .. 172 teorema da divergencia de (veja Teorema da diver· gencia) • •• . . .. . . . . . . • . .
Geod6sica,
. . . .• . . • . . • .
• . • . • • • • • •
Geometria diferencial,
, . 238, 265, ·283
51, 47, 61 a 6$, 75 a 7 8, 286
Grad (veja Gradiente) Gradiente, 80, 84 a 89, . de um veior, defi11.i'ti.O integral de, ... em coordenadas cilindricas, em coordenadas cilindricas parab6lieas, 221, em coordenadas .curvilineas ortogonais, 187 , 205, em coordenadas esfericas, . forma. tensorial de, , .. 239, invariancia do, . • • . , , • • • •
. . . • • .• . . . . . • . , • .
. . . . . . .•
• .•• • •
.
• . • . • • • . • •.
244 102
171 71 1 284 206 221 270 108
Green, primeira identidade do teo Tema de, 150, 168 segunda identidade do teore· ma simetrico de, 150, 1 68 teorema. de, no espa'lo, 150 teorema de, no piano, 150, 151 a. 161 ,
, , . , . . . . .• .
·
• •• •
. . . . •
.. 188
94,
• • . •• .
. ·.
, . .• • • .•
13
Equ�i.o da transmis&ao de calor,
, , , , ,
Fun'i&o, escalar de ponto, escalar de posi'l&o, � vetorial de ponto, : vetorial de p06i1t&o,
H Hamilton-Cayley, .teorema de, Hamilton, principio de, Helice circular,
• .
• .•
282
...... 277 62
• .. . . . . . . . • . • •
.•
Hiperbole, .. .. ................. 122 Hiperesfera., Hiperplano,
, . . . • •• • • . . . , ,
Hipersuperficie, Hipocicl6ide,
• ,
. , •
• ..• . . . . . • •• • • • . . • . · . . • • . • . . . • ••• . . •
. . . . . . .
.
. ...
..
.
. . . ••
242
242 242 183
I Igua.ldade, de matrizes, de vetorea,
• ,
. . . . • •
. . . . • • • • • . . . . . . •
Independencia, da origem, do trajeto de integra1tio, 125, 126, 155,
. .• .
234 2
. . . 13
116, 129, 1 7 9
fNDICE ALFABETICO 1ndiee livre, mudo,
• •. . . . . . • • • • . . • . • • •
• • . • . • • . • . • . . . . . • ••• •
115, 122 a 133, 156, 160, ealeulo de.s, 122, 124, 125, eireulac;io em func;io de, 116, independentes do trajeto, 116, 126, 155, 160, teorema de Green e eRlculo dos, trabalho expresso eomo, 179, 116,
Integrais
de
linha, • •
. . •. . • • • . • . . •. • . . . . • •
299 229 179 156 181 179 '
157 124
Integrais de superficie, 117, 133 a 139 caleulo dos, . . . . . 118 eomo limite de uma soma, . 133
297
para matrizes, para produtos esealares, para produtos vetoriais,
• • • •. . • • . • • • •
23, 23, 31,
•
234 26 32
48, 69, 73 Lei de Newton, da gravitac;il.o universal, 121 forma tensorial da, 274 • • • • • . • • • •
• . •
• . • . . • •
Lei do quociente,
• • • • • • • . • •
Leis da algebra de vetores, Leis de Kepler,
233, 251 3,
• .
26
121, 122, 143
. .• . . . .
'
Leminiscata,
183
• . • • • • . • • • • , . • .. • . •
Loren tz, transformac;io de,
• • • • • •
286
Lorentz Fitzjerald, eontrac;io de, 286
• • • • • . . . ••
M
•
Integrais, teorema de.s, 150, 167, 168, 172, 173, 180 (veja tamblim Teorema de Stokes e Teorema da diver g@neiit). Integrais de volume, 118, 139 a 142, 140 definidas eomo o limite de uma soma, 139, 140 • • • • • • • • . .
Integral, de linha (veja inte grais de linha) de superficie (veja integrais de superficie) de vetores, . 115 a 148 de volume (veja integrais de volume) . .. . . . • . •
Invariii.:ri.cia, .... 82, 106 a 108, 113 Invariante,
. . • . . . • ••• .
. 83, 231, 258
Matriz, 103, 233 Matrizes)
(veja tamblim
coluna, . determinante de uma diagonal principal de uma, elementos de uma, 233, 234, 281, linha, nula1· . .. . . . ordem de uma, quadrada,. reciproca de uma singular, . transposta de uma, . . .. . . • • • • •
233 234 233
. •. . • . . • •
• •. . • •
•
282 233 233 233 233 234 234
• • • • • • • • • • • •. • • • • • . • •
.
.
. . .
.
.
. . . ... . . .
• • . .
.
. • • . • • •
. . • •. . • . • . . . •. . . •
• • . . • • •
Matrizes,
233, 252, 253
. •• • . . . . • . . • •
Matrizes, algebra das conformes igualdade de, operac;oes corn, soma de,
.. : ... . . 234 ll34 . . . . . . 234 234 234 •
. • . . . . . .
. • . . . • . . .
·
. . • . . • ••
. .. . . . . .. . . •
. . . •• . . . • . . .. . • • • •
J
Maxwell, equac;io de, forma tensorial da de,
101, 113 equac;ao 277
• • • . . .
Jacobiano, llO, 184, 202, 204, 220, . 221, 223, 241, 273
• . . • ••. . . . • • • • • . • • . . •
Meeii.nica, dos fluidos, qulntica, .
K
. . • . • •• • . . . . . . • •• .
.
.
.
.
.
.
• . . • • .
52, 78 .. . 116 222
. .. .. .. . • •. •• . • • • .
Kepler, leis de,
121,
Krone cker, delta de, &imbolo de,
·
.
.
•. • • . • .
'122,
143
231, 245, 246 .. . . 108, 280
Momento
.
. . . 266, 277
1 69
73 Movimento, absoluto, de um corpo rigido, 83 de um fluido, 93, 94, 100, 162, 163, 174 dos plan@tas, 120, 121, 122 .
•
. . . ••
• • •. • • • •. • . •• • • • • •
277
Multipl icac;ao, exterior, 232 interior, . .. . . .. . 233, 249 . . .. . . . • •
Laplace, equac;io de, 91, 172, 186 em coordenadas cilindricas parab6lica1>, . . . 213 . . • .
• •. . •.
N
• . . . • • •• • . • • •
• . .••. •
Lei distributive., para di6.dicaa,
. ••• . • .
• •• •• •
Lagrange, equac;io de,
Lei eomutativa,
. . •.
de uma for�a, 38, 35, . . • . . •• .
L
Lagrangeano,
Modulo de um vetor,
3, 7, 23,
• . • • . . . • • • • • • • •
• • . • • . . •• • .
24
3
. . 103
Nabla
(veja
Del)
Newton, lei de,
•. . . . • • • • .
52, 69,
73
ANALISE VETORl.AL
298
Normal, a uma superficie, 68, 78, 86 pO&itiva ou exterior, • • • • 68, 117 principal, • , • • 51, 61, 63, 65, 69
triplo, ............ 24, 36 a vetorial, ...... 23, 24, 30 a vetorial em ·forma de determinante, , , , ...... , , , . 24,
0
Projec,;iio, de unia superficie, 134, 135 de um vetor, • . • • • • . . . • 25, 28
Operai;oes com tensores, 232, 245
a. 251
Operador, das derivadas em rela· c,;iio ao tempo • • • • . . • • • • • • 70, • .. . • • . .. . • . . . • . • • . . • del, Operador I aplac ea no
(V2),
82,
71 80
90,
114, 270 em coordenadas esfericas, 212, 271 em coordenadas cilindricas, · 211, 212, 272
Operador laplaceano, em coorde· nadas cili ndrica s parabOlicas, 213, em coordenadas c urvilineas, 1 90 , forma tensorial do, . . • • 240, invariiincia do, . . . . . . . . . ... .
283 208 270
lU
Or dem, de uma matriz, • . . . . . . . 233 de um tensor, . • . . . • • • 229, 230 • . . . •
1
Ortocentro, ..... , , , , ... , , . , , , , ,
45
Origem de um vetor,
. .. . •
p Par abola,
. . . .. . .
. • .
... .... 122, 192
Periodo dos planetas,
. . . • • • .
PiU.go ras, teorema de,
... 143
. . . .
14
Piano, distancia da origem a um, equac,;iio do, . ........... 30, no rmal , . , , .... , ....... , 52, osc ulador, • . . . . . . . . . . . • 52, retificador, ........ , . . . . 52 , t·angente, ................. ,
30 38 66 66 66 68
•
• , • .
P oc,;o, ..... , , , . ......... 18, 94, 167 cam.po de, . . . . . . . . . . . . • • . .. 18 linear, . . . . . . . . . . . . . .... .... 18
Poisson, equac,;iio de,
.
. . . . . • .
. . . 186
Potencial, escalar, 102 , 113, 117, 129, 130 vetorial, , , , . , ........ , ... , , 113 de determinantes, ...... , , . , 21 7 de um vetor por um escalar, 2 de matrizes, . . . , . . . . . , . . • . 234
Produto, escalar, , , ,
, . 23, 25 a 30 exterior de tensores ....... , 2 32 exterior de· vetorcs, (veja Produto vetorial) inforio� de tensores, . . . . 233, 249 interior de vefore s , (veja Produto escalar) .
Projetil, movimento de,
, , , , , •
41 35 32
, , 143
Q Quantidade de movimento,
52
Quantidade de movimento angu· lar, . . . . • • . . . . . . . • . . . • 69, 70,
79
R Raio, de curvatu"ra, • 51, 62, 63, de torsio . . . . . . . . . . • • 52, vetor, • • , . . . • . . • • . . . . • . • • . . Raios luminosos, . . . . . • • • , . , • Reciproea de uma matriz,
• •
,
•
69 62 4 89 234
Regiii.o, simplesmente ligada, . . • 154 miituamente ligada, 154, 158, 160 Resultante de vetores, , 2, 6, 7, 81 14. Riemann-Christoffel, tensor de,
•
279
Rotac,;iio, de eixos, 83, 106, 107, 108 invariancia sob uma (veja Invarii\ncia) simples, • • • • • . . . . . • . . • • . . , . 83 Rotacional, . . . • . . . . . . . 81, 94 a 101 de.finic,;ii.o de, em integral, 171, · 209 a 2 1 1 do gradiente, . . . . • • 82, 97, 284 en:. coordenadas esfericas, . . 212 em coordenadas cilindricas, 211, 212 . em coordenadas cilindricas pa.· rab6licas, . . • . • • • . ... . • • . • 221 em coordenadas curvilineas ortogonais .......... 190, 208 forma. tensorial do, . • 239, 270 invariancia do, . . . . . . . . . . . . 114 significado fisico do, , . 100, l !il
s Schroedinger, equac,; ii.o de,
.
, , , . . ::22
Senos, lei dos, para triangulos es fe ric os, .................. 34, para tri angulo s pianos, ...
40 34
Sentido pos itivo, .. , . , , 125, 150, 158 Simbolos e tensores de permuta· c,;iio, . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239, 284 Sistema de coordenadas retangulares, . ..... . . . . . . . , . . . , . , , . • Sistema destro, .. , , . , . , .. , , , 3,
3
4
INDICE ALFABETICO Si5t1mias,
de
fixos e
vetores reciprocos, 25, 40, 41, 46, 67, 204 m6vei s, o b servadores
em, .............. 70, 72,
inertcs, ................. . . .
73
72
Soma de m atr i ze s , ............. 234
6
Stokes, teorPma de, 1431 155, 176,
a 182
demonstra()iiO do, . 176, 177, 178 teorema de Green como caso
particula r do, ........... 155
Sumidouro, ............. 18, 94, 167 Superficie orientavel,
. . . . . . . . . . l 39
Superfieie, ....... .............. angulo entre duas, ........ CQmprimento de arco s o br e, . coordenadas,
51 88 78
............... 187
de duas faces , ... .... ...... 117 de uma face, ......... . .. . 139 normal Pxterior a, .. .. .. . 1 17 .
prova do, . .. ... significado fisico do, .. teorema de Green como particular do, .. 150, .
•
1631 164 162, 163 caso 154, 1 55
• •
•
•
.
.
.
.
.
.
Tira de Moebius, . ............. 139 Torsao, . . . . . . . . . . . . raio de, •
.
•
•
.
.
.
52, 62, 64, 285
.
•
.
•
.... 52,
•
Transforma<;iio, afim, de
coorden ad as,
ortogonal,
83, 282, 286 82,
. ......
83,
106,
.
.
. ·.
•
.. . . . . . .
235
Translai;iio,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. • .
.
.
.
•
....
231
279 218 230 231
235
256
235
Tensor, misto, ............ 230, 231 rel ati vo, . . . . . . . . . . . . . . 241, 273 relativo de peso w, . . . ... 241 simetrieo, . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2:l2
Tensores, associados, .. eart<•sianos, . . . . . . . 11<> pPrmuta�iio, . . . . densidade de, . . . . .
235, . ... . . . . . . . . .
257, . . . . :!39, 241,
258 138 284
273
fundamentais com, 232, 247 a 251
reciprocos, ......... ... ..... 235
Teorema da di v cr g e ncia, 149, 155, 150, 161 a J 75 forma retangul ar do, . . . . . . J 62
fonna tensorial do,
. ...
.
•
.. 277
83
Transmissiio de calor, equ ac; ao da, 175, 222 T r iadi c a s , ..................·... 103 .
.
.
.
.
.
.
.
.
•
•
.
.
.
.
.
•
.
.
.
•
.
51
51 1:!1
v Valores caracteristicos, . . . . . . . . .
282
Variavel, . . . ...... ........ 47,
48
Ve loc i dade, an gula r , ..... 35, 59,
il
.
230
83
Transformada de Laplace , .. ... . 223
69
241 232
·
187, 228 .
TYCho Brahe,
Ten so r, ahs o l u to, .. . . . . . . . anti-simetrico, . . . . . . . . . . . . . c onj ugado, . . . . . . . . . . . . . . . . . contravariante de 1' ordem, 217, contravariante de 2• ordem, covariante de curvatura, .... covariante de 1 • ordem, . .. de ordem um, ........ 229, de ordem zero, ....... ..... fundamental, . . . . . . . . . . . . . . metrico, . .... . ... . 235, 254, metrico conj ugado, . . . . . 256,
62
Trabalho, 29, 116, 124, 1251 1271 128' como i ntegral de linha, 116, 124 a 128
move!,......................
T angen tc> a uma curva no cspa· <;o, .......... 51, 54, 62, 65,
opcra<;oes
.
Teoria , da relativi dad e, 205, 279, 286 da relatividade, ........... 286 eletromagnetica, 101, 277
Triedro, .
T
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ao longo de urna curva no PS· pa<;o, 47, 53, 54 da luz, ......... ...... .. 113 .
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de area, .................. ' 121 de um fluido, . . . . . . . . . . . . . 245 de urn ponto num corpo rlgido, ............... . 35, .
.
44
de uma particula, 58, 72, 2 74, 275
li near ,
. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .
35
relativa, . ..................
72
V ctor, coluna, .......... . . ..... 233 componentes_ de um , .. 4, 10, ll componentes retangulares de um, ..................... 4 covariante, ....... 189, 218, 229
derivada em rela()iio ao tempo de um, ............ 70, ·.
.
'i'l
linha, ......... .. . . .. .. 233 m6
.
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nulo, . . . . . . . ............ .. .. origem de um, ........... . posi�ao, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pr6prio, . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1
!) 2
·
ANALISE VETORIAL
300 ra.io,
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4
representa1;ao grifica de um,
1
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Vetores, 61gebra de,
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ingulo entre dois,
basie-08,
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colineares,
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compla na rcs,
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b6.sicos unitarioS',. .
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1,
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11 189 11
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37
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componentes, . . . . . . . . . 4, 10,
eomponentes de,
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co mponentes
2
. 27, 236, 258
11
contravariantes .
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covarianfes . . . . . . . . . . .
189, 217
de, 48,
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49
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189, 21 7, 21 8
derivada de,
equa1;0es de, ............ 3, igualdade de, .............. Vetorer>, linearmente dependen tes , 15, nii.o colineares, .. ... 9, 11, niio complanares, -....... 10, reciprocos, represent�ii.o analitica de 1, resultante de 2, 6, 7, 8, soma de, 2, 3, 4, 7, unitirios retangulares, . •
•
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12 2 22 13 11 25
6 13 8
3
Volume, de um paralelepipedo, 24, 36 integrais de, 118, 140, 141, 142 Volume elementar, ........ 190, 219 em coordenadas curviline8.9, 190 em coordenadas gerais, 219 .
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OUAJlULHOS
DA
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DE
KM
SAO
LTDA.
387
PAULO
