Sayısal Filtre Tasarımı • Sayısal filtre tasarımında amaç, verilen bir frekans yanıtını yaklaşık olarak sağlayan gerçeklenebilir bir transfer fonksiyonu G(z) elde etmektir. • Çoğu uygulamada sayısal filtrenin tasarımı için genlik ve/veya faz yanıtı belirtilir. Bazı durumlarda, impuls veya basamak yanıtı belirtilebilir.
• Pratik çoğu uygulamada, verilen bir genlik yanıtını yaklaşık olarak sağlayan gerçeklenebilir bir transfer fonksiyonu elde etmek istenir. Bu nedenle, bu derste biz sadece genlik yaklaşıklığını ele alacağız.
Filtre Karakteristiklerinin Belirtilmesi • Dört tür ideal filtreye karşılık gelen impuls yanıtlarının nedensel olmadıklarından ve sonsuz uzunluklu olduklarından ideal filtreler gerçeklenemez. • Pratikte, sayısal bir filtrenin genlik yanıtı geçirme ve söndürme bandında kabul edilebilir toleranslarla belirtilir. Ayrıca, geçirme ve söndürme bandları arasında bir geçiş bandı vardır.
• Örneğin, sayısal alçak geçiren bir filtrenin genlik yanıtı |G(ej)| aşağıda gösterilmiştir.
Filtre Karakteristiklerinin Belirtilmesi
p : geçirme bandı kenar frekansı s : söndürme bandı kenar frekansı p : geçirme bandındaki maksimum dalgalanma s : söndürma bandındaki minimum dalgalanma
Filtre Karakteristiklerinin Belirtilmesi • Karakteristikler genelde dB olarak A() = -20log10 |G(ej)| ile tanımlanan kayıp fonksiyonu cinsinden verilir.
• Benzer şekilde, dB cinsinden geçirme bandı maksimum dalgalanması p ve söndürme bandı minimum zayıflatması s p = -20log10 (1-p) s = -20log10 (s) olarak hesaplanır.
Filtre Karakteristiklerinin Belirtilmesi Filtre karakteristikleri alternatif olarak aşağıdaki gösterildiği gibi belirtilebilir. Alternatif gösterilimde, genliğin geçirme bandındaki maksimum değerinin 1 olduğu varsayılr.
Filtre Karakteristiklerinin Belirtilmesi • Pratikte, geçirme bandı kenar frekansı Fp ve söndürme bandı kenar frekansı Fs Hz cinsinden belirtilir.
• Sayısal filtre tasarım formüllerinde geçirme ve södürme bandı kenar frekansları radyan cinsinden olduğu varsayıldığından Hz cinsinden verilen frekansların radyan cinsinden eşdeğerleri hesaplanmalıdır. Örnekleme frekansının FT olduğu varsayılırsa, kenar frekansları aşağıdaki eşitlikler kullanılarak hesaplanabilir:
Filtre Türünün Seçilmesi • Belirtilen frekans yanıtı özelliklerini sağlayan transfer fonksiyonu H(z) nedensel bir transfer fonksiyonu olmalıdır. • Sonsuz impuls yanıtlı (IIR) filtre durumunda transfer fonksiyonu
şeklinde gerçel bir rasyonel fonksiyondur. Bu durumda, H(z) kararlı olmanın yanında hesap yükünü en aza indirmek için küçük dereceye (N) sahip olmalıdır.
Filtre Türünün Seçilmesi • Sonlu impuls yanıtlı (FIR) filtre durumunda transfer fonksiyonu
şeklinde gerçel katsayılı bir polinomdur. • Hesap karmaşıklığının az olması için transfer fonksiyonunun derecesi (N) mümkün olduğu kadar küçük olmalıdır. H(z) kutup içermediğinden FIR filtrelerin kararlılık problemi yoktur. • Doğrusal faz isteniyorsa, filtre katsayılarının h[n] = ∓ h[N-n] ilişkisini sağlaması gereklidir.
Sayısal Filtre Tasarımı: Temel Yaklaşımlar • En sık kullanılan IIR filtre tasarım yöntemi aşağıdaki adımlardan oluşur: 1.Sayısal filtre karakteristikleri prototip bir analog alçak geçiren filtre karakteristiklerine dönüştürülür. 2.Analog alçak geçiren filtre taransfer fonksiyonu Ha(s) belirlenir. 3.Ha(s), gerekli sayısal transfer fonksiyonu G(z)’ye dönüştürülür.
• Bu yaklaşımın kullanılmasının nedenleri şöyle sıralanabilir: analog filtre tasarım yöntemleri oldukça gelişmiş olup genelde analitik çözümle sonuçlanırlar. Bu nedenle, analog filtre tasarımı için tablolar mevcuttur. İlave olarak, çoğu uygulama analog sistemlerin sayısal simülasyonunu gerektirmektedir.
Sayısal Filtre Tasarımı: Temel Yaklaşımlar • “a” analog uzayı belirtmek üzere, analog transfer fonksiyonu
olarak belirtilecektir. • Ha(s)’den türetilen sayısal transfer fonksiyonu da aşağıdaki gibi temsil edilecektir: • Ha(s), G(z)’ye dönüştürmek, analog frekans yanıtının temel karakteristikleri korunacak şekilde s-uzayından z-uzayına bir dönüşüm uygulamaktır. O halde, dönüşüm kararlı bir analog transfer fonksiyonunu kararlı bir sayısal transfer fonksiyonuna dönüştürmelidir.
Sayısal Filtre Tasarımı: Temel Yaklaşımlar • FIR filtre tasarımı, belirtilen genlik yanıtının doğrudan yaklaşıklığına dayalıdır. Ayrıca, genelde filtrenin doğrusal faza sahip olması istenir.
• N. dereceden bir FIR filtrenin tasarımı, ya (N+1)-uzunluklu impuls yanıtı katsayıları {h[n]}, ya da frekans yanıtı |G(ej)|’nın (N+1) örneği bulunarak yapılabilir. En sık kullanılan FIR filtre tasarım yöntemleri şöyledir: 1. Pencerelenmiş Fourier serisi yaklaşımı 2. Frekans örnekleme yaklaşımı 3. Bilgisayar tabanlı optimizasyon yöntemleri
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm • Çift doğrusal dönüşüm (ÇDD) s-uzayındaki bir noktayı zuzayındaki bir noktaya dönüştürür ve aşağıdaki eşitlikle verilir:
• O halde, G(z) ile Ha(s) arasındaki ilişki şöyle olur:
• Sayısal filtre tasarımı üç adımdan oluşur: (i) G(z)’nin karakteristiklerine ters ÇDD uygulanıp Ha(s)’nin karakteristikleri elde edilir, (ii) Ha(s) belirlenir, (iii) Ha(s)’ye ÇDD uygulanıp G(z) belirlenir. Dönüşüm formülündeki T parametresinin etkisi olmadığından, genelde T = 2 seçilir.
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm • T = 2 için ters ÇDD formülü kolaylıkla elde edilebilir:
• s = 0+j0 yazıp, s ile z arasında yukarıda verilen eşitlikten
elde edilir. 0’ın farklı değerleri için z’nin genlikleri aşağıda verilmiştir.
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm • Aşağıda gösterildiği gibi, sol yarı s-düzlemi, karmaşık zdüzleminde birim çemberin içine, sağ yarı s-düzlemi birim çemberin dışına, j-ekseni de birim çembere dönüşmüştür.
• s-düzleminde kararlılık koşulu, kutupların sol yarı s-düzleminde, z-düzleminde kararlılık koşulu ise kutupların birim çember içinde olmasıdır. O halde, ÇDD kararlı bir analog transfer fonksiyonunu kararlı bir sayısal transfer fonksiyonuna dönüştürmektedir.
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm Şimdi de analog frekans ile sayısal frekans arasındaki ilişkiyi belirleyelim. ÇDD ilişkisinde (T=2 için) s=j, z=ej yazılırsa
bulunur. Bu ifade düzenlenirse, = tan (/2) elde edilir ve aşağıda gösterildiği gibi aralarında doğrusal olmayan bir ilişki vardır
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm Analog frekans ile sayısal frekans arasındaki doğrusal olmayan ilişki frekans ekseninde FREKANS BÜKMESİ denen bir bozunum oluşturur. Frekans bükmesinin etkisi aşağıda gösterilmiştir:
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm • Sayısal filtre tasarımındaki adımlar şöyle özetlenebilir:
1. (p, s) frekanslarına ön bükme işlemi uygulanarak (ters ÇDD kullanarak) analog karşılıkları (p,s) bulunur. 2. Analog filtre tasarlanarak karşılık gelen transfer fonksiyonu Ha(s) elde edilir. 3. Ha(s)’ye ÇDD ugulanarak sayısal filtreye karşılık gelen transfer fonksiyonu G(z) belirlenir. • ÇDD, sadece parçalı sabit değerli genlik yanıtlı sayısal filtre tasarımında kullanılabilir.
• Dönüşüm, analog filtrenin faz yanıtını korumaz. Diğer bir deyişle, analog filtrenin faz yanıtı dönüşüm sonunda bozulabilir.
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm • Örnek: Aşağıda verilen alçak geçiren Butterworth analog transfer fonksiyonunu ele alalım: • Ha(s)’ye ÇDD uygulanırsa alçak geçiren Butterworth sayısal transfer fonksiyonu elde edilir:
• İfade yeniden düzenlenirse aşağıdaki ifade elde edilir:
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm • Örnek: |Ha(j0)|=0, |Ha (j0)|= |Ha (j∞)|=1 olmak üzere, aşağıda verilen 2. derece analog çentik transfer fonksiyonunu ele alalım:
• 0’a ÇENTİK FREKANSI denir. |Ha(j2)| = |Ha(j1)| =1/2 ise, B= 2- 1’ye 3-dB ÇENTİK BANDGENİŞLİĞİ denir. Ha(s)’ye ÇDD uygulanarak karşılık gelen sayısal çentik transfer fonksiyonu aşağıdaki şekilde elde edilir:
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm • Örnek: Çentik frekansı 60 Hz, 3-dB çentik bandgenişliği Hz olan ve 400 Hz örnekleme frekansında çalışan 2. derece sayısal çentik filtre tasarlayalım. • 0=2π(60/400)=0.3π, Bw=2π(6/400)=0.03π elde edilir. ve β hesaplanırsa =0.90993, β=0.587785 bulunur. Karşılık gelen transfer fonksiyonu ile genlik ve faz yanıtları aşağıda verilmiştir.
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm • Örnek: Aşağıda verilen karakteristiklere sahip alçak geçiren Butterworth sayısal filtre tasarlayalım: p=0.25π, s=0.55π, p=0.5 dB, s=15 dB. • Verilenlerden 2=0.1220185, A2=31.622777 bulunur. Ters ÇDD kullanılarak karşılık gelen analog frekanslar
olarak elde edilir. 1/k ve 1/k1
şeklinde elde edilir. Derece hesaplanırsa bulunur. N=3 seçilir.
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm c’yi hesaplamak için
eşitliği kullanılırsa c=1.419915(p)=0.588148 bulunur. c = 1için 3. derece alçak geçiren Butterworth transfer fonksiyonu
şeklinde tablolarda mevcuttur. c= 0.588148 olacak şekilde normalleştirme yapılırsa gerekli analog transfer fonksiyonu
olarak bulunur.
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm Ha(s)’ye ÇDD uygulanırsa gerekli sayısal transfer fonksiyonu elde edilir. G(z)’nin genlik ve kazanç yanıtları aşağıda çizilmişitir.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı Bu amaçla iki yaklaşım mevcuttur. İki yaklaşımın da detayları aşağıda verilmiştir: • Birinci yaklaşım 1.
2. 3. 4.
5.
(TERS ÇDD) Gerekli sayısal filtre GD(z)’nin frekans karakteristiklerine ön bükme uygulanarak aynı tür analog filtre HD(s)’nin frekans karakteristikleri belirlenir. HD(s)’nin karakteristikleri uygun bir frekans dönüşümüyle prototip alçak geçiren filtre HLP(s)’ye dönüştürülür. Analog alçak geçiren filtre HLP(s) tasarlanır. İkinci adımda kullanılan frekans dönüşümünün tersi kullanılarak HLP(s), HD(s)’ye dönüştürülür. HD(s)’ye ÇDD uygulanarak gerekli sayısal filtre GD(z) elde edilir.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı • İkinci yaklaşım
(TERS ÇDD)
1. Gerekli sayısal filtre GD(z)’nin frekans karakteristiklerine ön bükme uygulanarak aynı tür analog filtre HD(s)’nin frekans karakteristikleri belirlenir. 2. HD(s)’nin karakteristikleri uygun bir frekans dönüşümüyle prototip alçak geçiren filtre HLP(s)’ye dönüştürülür. 3. Analog alçak geçiren filtre HLP(s) tasarlanır. 4. HLP(s)’ye ÇDD dönüşüm uygulanarak sayısal alçak geçiren transfer fonksiyonu GLP(z) elde edilir. 5. Sayısal uzayda uygun bir frekans dönüşümü kullanılarak GLP(z), gerekli sayısal filtre GD(z)’ye dönüştürülür.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı • Örnek: 1. yaklaşımı kullanarak aşağıdaki karakteristiklere sahip 1. tür Chebyshev IIR sayısal yüksek geçiren filtre tasarlayalım: Fp=700 Hz, Fs=500 Hz, p=1dB, s=32 dB, FT =2 kHz. • İlk önce, radyan cinsinden band kenar frekansları hesaplanır:
• Sonra, ön bükmeyle karşılık gelen analog frekanslar bulunur: • Prototip alçak geçiren analog filtre için Ωp = 1 seçilip ilişkisinden Ωs = 1.962105 bulunur. • O halde, analog alçak geçiren filtre karakteristikleri şöyle elde edilmiş oldu: Ωp = 1, Ωs = 1.962105, p=1dB, s=32 dB.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı • Filtre tasarımında kullanılan MATLAB komutları ve komutlar çalıştırılarak elde edilen kazanç grafiği aşağıda verilmiştir.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı • Örnek: Aşağıdaki karakteristiklere sahip Butterworth IIR sayısal band geçiren filtre tasarlayalım: ωp1=0.45π, ωp2=0.65π, ωs1=0.3π ωs2=0.75π , p=1dB, s=40 dB. • Ön bükmeyle karşılık gelen analog frekanslar hesaplanır:
• Bandgenişliği
olduğundan
olup çarpımlar eşit olacak şekilde band kenarlarının değiştirilmesi gereklidir. Seçilirse çarpımlar eşit olur.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı • Prototip alçak geçiren analog filtre için Ωp = 1 seçilip
ilişkisinden
• O halde, analog alçak geçiren filtre karakteristikleri şöyle elde edilmiş oldu: Ωp = 1, Ωs = 2.3617627, p=1dB, s=40 dB. • Filtre tasarımında kullanılan MATLAB komutları ve komutlar çalıştırılarak elde edilen kazanç grafiği aşağıda verilmiştir.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı • Örnek: Aşağıdaki karakteristiklere sahip elliptik IIR sayısal band söndüren filtre tasarlayalım: ωp1=0.3π, ωp2=0.75π, ωs1=0.45π ωs2=0.65π , p=1dB, s=40 dB. • Ön bükmeyle karşılık gelen analog frekanslar hesaplanır:
• Bandgenişliği
olduğundan
olup çarpımlar eşit olacak şekilde band kenarlarının değiştirilmesi gereklidir. Seçilirse çarpımlar eşit olur.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı • Prototip alçak geçiren analog filtre için Ωs = 1 seçilip 0.577303 olacak
ilişkisinden
• O halde, analog alçak geçiren filtre karakteristikleri şöyle elde edilmiş oldu: Ωs = 1, Ωp = 0.4234126, p=1dB, s=40 dB. • Filtre tasarımında kullanılan MATLAB komutları ve komutlar çalıştırılarak elde edilen kazanç grafiği aşağıda verilmiştir.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı
IIR Sayısal Filtrelerin Spektral Dönüşümleri • Amaç: Verilen bir alçak geçiren sayısal transfer fonksiyonu GL(z)’yi alçak, yüksek, bandgeçiren veya bandsöndüren bir filtreye karşılık gelen diğer bir transfer fonksiyonu ye dönüştürmek. • Karışıklığı önlemek için prototip alçak geçiren filtrenin transfer fonksiyonunda bağımsız değişken için z, gerekli filtreninki için ise kullanılmıştır. • İki uzaydaki birim çemberler ve uzaylar arasındaki dönüşüm aşağıda gösterildiği şekilde olur:
IIR Sayısal Filtrelerin Spektral Dönüşümleri •
ilişkisinden,
elde edilir. O halde,
• Kararlı bir tüm geçiren transfer fonksiyonu A(z) şu koşulu sağlar:
• O halde, genel şekli aşağıda verilen kararlı bir tüm geçiren transfer fonksiyonu olmalıdır.
AG-AG Spektral Dönüşümü • c kesim frekanslı alçak geçiren bir filtre GL(z)’yi, kesim frekanslı diğer bir alçak geçiren filtre ye dönüştürmek için gerekli dönüşüm aşağıda verilmiştir:
• Formüldeki parametresi verilen frekanslardan şöyle hesaplanır:
• AG-AG spektral dönüşümü, YG-YG, BG-BG ve BS-BS spektral dönüşümleri için de kullanılabilir.
AG-AG Spektral Dönüşümü • Örnek: Kesim frekansı 0.25π olan aşağıda verilen sayısal alçak geçiren filtrenin transfer fonksiyonundan yararlanarak kesim frekansı 0.35π olan alçak geçiren filtrenin transfer fonksiyonunu elde ediniz.
• Dönüşüm için gerekli parametresi hesaplanır:
• O halde,
AG-YG Spektral Dönüşümü • c kesim frekanslı alçak geçiren bir filtre GL(z)’yi, kesim frekanslı bir yüksek geçiren filtreye dönüştürmek için gerekli dönüşüm aşağıda verilmiştir:
• AG-YG spektral dönüşümü, c kesim frekanslı yüksek geçiren bir filtreyi kesim frekanslı bir alçak geçiren filtreye dönüştürmek ve 0 merkez frekanslı bandgeçiren bir filtreyi merkez frekanslı bandsöndüren bir filtreye dönüştürmek amacıyla da kullanılabilir.
AG-YG Spektral Dönüşümü • Örnek: Kesim frekansı 0.25π olan aşağıda verilen sayısal alçak geçiren filtrenin transfer fonksiyonundan yararlanarak kesim frekansı 0.55π olan yüksek geçiren filtrenin transfer fonksiyonunu elde ediniz.
• Dönüşüm için gerekli parametresi hesaplanır: • O halde,
AG-BG Spektral Dönüşümü • c kesim frekanslı alçak geçiren bir filtreyi alt ve üst kesim frekanslı bandgeçiren filtreye dönüştürmek için gerekli dönüşüm aşağıda verilmiştir:
• Not: c =
-
durumunda dönüşüm basitleşir:
AG-BS Spektral Dönüşümü • c kesim frekanslı alçak geçiren bir filtreyi alt ve üst kesim frekanslı bir bandsöndüren filtreye dönüştürmek için gerekli dönüşüm aşağıda verilmiştir:
MATLAB ile Tüm Geçiren Fonksiyonun Üretilmesi [tumgecpay,tumgecpayda] = allpasslp2hp(wag,wyg) [tumgecpay,tumgecpayda] = allpasslp2bp(wag,wbg) [tumgecpay,tumgecpayda] = allpasslp2bs(wag,wbs)
% AG-YG % AG-BG % AG-BS
Örnek: AG-YG dönüşümünde wag= 0.25π ve wyg = 0.55π için [tumgecpay,tumgecpayda] = allpasslp2hp(0.25, 0.55) komutunun çalıştırılması sonucunda aşağıdaki dönüşümü elde edilir:
MATLAB ile Spektral Dönüşüm [pay,payda] = iirlp2hp(payag, paydaag, wag,wyg) [pay,payda] = iirlp2bp(payag, paydaag, wag,wbg) [pay,payda] = iirlp2bs(payag, paydaag, wag,wbs)
% AG-YG % AG-BG % AG-BS
Örnek: Kesim frekansı 0.25π olan aşağıda verilen sayısal alçak geçiren filtrenin transfer fonksiyonundan yararlanarak kesim frekansı 0.55π olan yüksek geçiren filtrenin transfer fonksiyonunu elde edelim
Gerekli MATLAB satırları şöyledir: payag=0.0662*[1 3 3 1]; paydaag=[1 -0.9353 -0.5669 -0.1015 ]; [pay,payda] = iirlp2hp(payag, paydaag, 0.25,0.55);
MATLAB ile Sayısal IIR Filtre Tasarımı Derece kestirim komutları:
Örnek: Aşağıdaki karakteristiklere sahip 2. tür Chebyshev sayısal yüksek geçiren filtrenin derceseni belirleyelim: Fp=1 kHz, Fs=0.6 kHz, p=1dB, s=40 dB, FT =4 kHz. İlk önce, verilen frekanslar [0,1] aralığına normalize edilmelidir. Verilen değerlerden ωp=2x1/4=0.5, ωs=2x0.6/4=0.3 bulunur. Daha sonra, [N,Wn]=cheb2ord(0.5, 0.3, 1, 40) komutunun çalıştırılması sonucunda N=5, Wn=0.3224 elde edilir.
MATLAB ile Sayısal IIR Filtre Tasarımı Filtre Tasarım Komutları:
Elde edilen transfer fonksiyonunun şekli b ve a vektörlerinin katsayılarına bakılarak aşağıdaki şekilde yazılabilir:
Transfer fonksiyonundan frekans yanıtını bulmak için freqz(b,a,w) komutu kullanılabilir. Komuttaki w, frekans yanıtının hesaplanmak istendiği açısal frekans değerleridir. Komutun çalıştırılması sonucunda her frekans değerinde sistemin frekans yanıtı elde edilir. Daha sonra, genlik ve faz yanıtı kolay bir şekilde belirlenebilir.
MATLAB ile Sayısal IIR Filtre Tasarımı Örnek: Aşağıdaki karakteristiklere sahip elliptik IIR sayısal alçak geçiren filtre tasarlayalım: Fp=0.8 kHz, Fs=1 kHz, p=0.5 dB, s=40 dB, FT =4 kHz. Verilen değerlerden ωp=2x0.8/4=0.4, ωs=2x1/4=0.5 bulunur. MATLAB komutları ve komutların çalıştırılması sonucunda elde edilen kazanç yanıtı aşağıda verilmiştir.
Bigisayar Destekli Sayısal IIR Filtre Tasarımı • Şimdiye kadar tartışılan IIR filtre tasarım algoritmaları AG, YG, BG veya BS genlik yanıtına sahip fitre gerektiren uygulamalarda kullanılmaktadır. • Diğer tür IIR filtrelerin tasarımı, bigisayarla üretilen filtre ile gerekli filtre arasındaki hatayı minimum yapan yinelemeli optimizasyon yöntemleri içermektedir.
• H(ej) bilgisayarla üretilen transfer fonksiyonu H(z)’nin frekans yanıtını, D(ej) gerekli frekans yanıtını belirtsin. Amaç, H(ej) ile D(ej) arasındaki hata minimum olacak şekilde H(z)’yi tasarlamaktır.
Bigisayar Destekli Sayısal IIR Filtre Tasarımı • H(ej) ile D(ej) arasındaki hata aşağıda gösterildiği gibi genelde ağaırlıklandırılmış bir hata fonksiyonu olarak belirtilir: • W(ej) önceden belirtilmiş pozitif bir ağırlıklandırma fonksiyonu olmak üzere, E(), 0 ≤ ≤ π aralığında her değeri için minimum yapılır. • Chebyshev veya minimaks ölçütü denen sıklıkla kullanılan bir yaklaşıklık ölçütü aşağıda gösterildiği gibi E()’nın mutlak tepe değerini minimum yapmaktır: • Eşitlikteki R, gerekli frekans yanıtının tanımlandığı 0 ≤ ≤ π aralığında kesişmeyen frekans bandları kümesidir.
Bigisayar Destekli Sayısal IIR Filtre Tasarımı • Filtreleme uygulamalarında, R tasarlanacak filtrenin gerekli geçirme ve söndürme bandlarından oluşur. Örneğin, alçak geçiren filtre tasarımında p ve s tasarlanacak filtrenin geçirme ve söndürme bandı kenar frekansları olmak üzere, R [0, p] ile [0, s] frekans aralıklarının birleşimidir. • En küçük-p ölçütü denen diğer bir yaklaşıklık ölçütü, E()’nın p. kuvvetinin integralini belirtilen frekans aralığı R üzerinde minimum yapmaktır:
Bigisayar Destekli Sayısal IIR Filtre Tasarımı • p = 2 için elde edilen en küçük kareler ölçütü genelde basitlik açısından tercih edilir. • p sonsuza gittiğinde en küçük-p çözümünün çözümüne yaklaştığı gösterilebilir.
minimaks
• Pratikte, integral hata ölçütü aşağıda gösterildiği gibi sonlu bir toplamayla yaklaşık olarak hesaplanır:
• Eşitlikteki i’ler 1 ≤ i ≤ K, yeterince sık miktarda alınmış sayısal açısal frekansları göstermektedir.
Sayısal IIR Filtrelerin Grup Gecikme Denkleştirmesi • Bir işaretin, verilen frekans aralığında sayısal bir filtreden bozunumsuz iletimi için filtrenin transfer fonksiyonu birim genlik yanıtına ve doğrusal faz yanıtına, yani ilgili frekans aralığında sabit grup gecikmesine sahip olmalıdır. • Şimdiye kadar tartışılan sayısal IIR filtre tasarım yöntemleri doğrusal olmayan faz yanıtlı transfer fonksiyonlarıyla sonuçlanır. • O halde, sabit grup gecikmeli sayısal IIR filtre etmek için pratik bir yaklaşım belirtilien genlik yanıtını sağlayan sayısal IIR filtre ile tüm geçiren bir filtreyi toplam grup gecikmesi sabit olacak şekilde seri bağlamaktır. • Tüm geçiren gecikme denkleştiricisi optimizasyon yöntemleri kullanılarak tasarlanır. Aşağıda bir yöntem verilmiştir.
Sayısal IIR Filtrelerin Grup Gecikme Denkleştirmesi • H(z), grup gecikmesi τH(ω) olan sayısal IIR filtrenin transfer fonksiyonu olsun. Amacımız, grup gecikmesi τA(ω) ve transfer fonksiyonu
olan tüm geçiren bir filtreyi, tüm geçiren filtre ile H(z) aşağıda gösterildiği gibi seri bağlandığında toplam grup gecikmesi τ(ω) = τH(ω) + τA(ω) sabit olacak şekilde tasarlamaktır.
• Kararlılığı garantilemek için aşağıdaki koşul da sağlanmalıdır:
Sayısal IIR Filtrelerin Grup Gecikme Denkleştirmesi • Tüm geçiren gecikme denkleştiricisi tasarım problemi şeklinde verilen hatanın maksimum mutlak değerinin minimum yapıldığı bir optimizasyon problemi olarak ifade edilebilir. • Hesaplanacak parametreler, gerekli gecikme τ0 ve tüm geçiren filtrenin katsayıları d1,l, d2,l’dir.
• MATLAB’de, bu optimizasyon problemi iirgrpdelay M-dosyası kullanılarak çözülebilir.
Sayısal IIR Filtrelerin Grup Gecikme Denkleştirmesi • Örnek: Geçirme bandı kenar frekansı 0.3π, geçirme bandı dalgalanması 1 dB ve söndürme bandı dalgalanması 30 dB olan 4. derece elliptik alçak geçiren filtrenin grup gecikmesini 8. derece tüm geçiren denkleştirici tasarlayarak denkleştirelim.
• Alçak geçiren filtrenin ve toplam sistemin grup gecikmeleri aşağıda gösterilmiştir:
