CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO ESTACIONARI ESTACIONARIO O SINUSOIDAL. SECCIÓN 10.2 ANÁLISIS NODAL 10.1 Determine i en el circuito de la figura 10.50
2cos((10 2cos 10)) ! " =2#0 = 2#0°° $ = 10 1 = 1 = ,*0.1[-] 1% ! &' = *$+ *10 1/ ! &3 = *$/ = *10[-] &4 = 1[-] &56' = &&44 77 &&33 7 *10 = 9100 8 * 10 :[-] &56' = 11 8*1 8 *100 101 101 7 &' &563 = &&56' 56' 7 &' 7 ,*0.1 = 9 100 , * ;;0 :[-] &563 = &&56' 56' , *0.1 ;;01 ;;01 &56 = &563 8 1 100 , * ;;0 8 1 &56 = ;;01 ;;01 ;;0 : [-] = 1.01<# &56 = 910001 , * 1.01<# , <.><° <.><°[[-] ;;01 ;;01 ? = &"56 2#0° = @.@. AB# ? = 1.0 DC°[E] E] 1.01<# 1<# , <.>< <.><°° AB#C.C.DC°[ ? = 1.;F 1.;F cos cos((10 8 <.> <.><°<°)) [G]
10.2 Determine ! en la figura fi gura 10.51 aplicando análisis nodal.
"# + "$ + "% = 0 &' ( 4)0°
+
2 &' ( 4) 4)0° 0°
+
2
&' (*5 *&'
+
(
5
&' *4
*&' 4
= 0
=0
10! " 40#0° + $4 $4 ! " $5! = 0
! (1 0 " $) $) = 40 40#0 #0°° ! =
40#0° (1 0 " $) $)
! = 3.9 3.98#5 8#5.71 .71°°
10.3 Determine %& en el circuito de la figura.
16 se sen n(4' 4')) * = 16 1 6# " 90° = "$16 2cos(4') * , = 2# 2 #0 ° -=4 1 12
/ * :; =
1 $-<
=
1 1 $ > 4 > 12
= "$ "$3[ 3[?] ?]
2@ * :A = $-@ = $ > 2 > 4 = $8[?] B; + BA + BC = , ! + $16 4"$3 ! 4"$3
+
+ ! +
$16 4"$3
! 6+$8
+ ! +
= 2# 2#0° 0°
! 6+$8
= 2#0°
10.2 Determine ! en la figura fi gura 10.51 aplicando análisis nodal.
"# + "$ + "% = 0 &' ( 4)0°
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10.3 Determine %& en el circuito de la figura.
16 se sen n(4' 4')) * = 16 1 6# " 90° = "$16 2cos(4') * , = 2# 2 #0 ° -=4 1 12
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! 6+$8
+ ! +
= 2# 2#0° 0°
! 6+$8
= 2#0°
! = 98 " # 64 + + 4"#3 ! 6+#8 25 25 1 + 1 + 1 % = 98 " # 64 ! $4"#3 6+#8 25 25 # % = 98 " # 64 ! $61 + 50 25 25 25 328 ! = 468 " # 149 149 ! =3.83&"35.02° ! = 3.83'() 83'()*4 *4,, " 35.02°-[ 02°-[] ] !
10.44 Cal 10. Calcul culee
/7 en el circuito de la figura 10.53.
16sen*4,"10° 16sen* 4,"10°-- :=16&"10° ;=4 1 < : >? = 1 = 1 ="#[B] 4 #;@ # A 4 A 14 1C:>D =#;C=#A4A1=#4[B] EF +0.5EF = E? *16&"10°-"F + *16&"10° 16&"10°-- " F = F #4 #8 1"# *16&"10°-"F + *16&"10° 16&"10°-- " F " F = 0 #4 #8 1"# *16&"10°- " F + *16&"10° 16&"10°-- " F " F = 0 #4 #4 #8 #8 1 " # F + F + F = *16&"10°- + *16&"10° 16&"10°- #8 1 " # #4 #4 #8 F + F + F = *16&"10°- + *16&"10° 16&"10°- #8 1 " # #4 #4 #8 F $ #81 + 1 1" # + #41 %="1.04"#5.91
10.5 Encontrar
!12 + " 18# = $1.04 $ "5.91 % = $4.74 $ "10.63 &' = 1 %$ " &' = $4.741 $$ "10.63 " &' = 2.94 $ "7.69 %( = 1 ) &' %( = 1 ) *2.94 $ "7.69, %( = 2.94 $ "7.69 %( = 8.23- $ 69.04°
/: en el circuito de la Fig. 10.54.
%(
25cos*4 )10; <, > % =25-0° ? = 4 ) 10; 1 = 1 2@A > B' = "?C " ) 2 ) 10DE ) 4) 10; = $"125[F] 1 G > BH = "?G = " ) 4 ) 10; ) 1 = "1000[F] 4 4 &' + &H = &( &( = 25-0°2I$ %( %( + %( $ 10&( = 25-0° $ %( "1000 $"125 2I $*0.5 +"7,%( + "0.04*25 $ %( , = $12.5 $*0.5 + "7.04,%( = $12.5$ " %( = 0.2668 $ "1.7566 &( = 25-0°2I$ %( = 25 $ 0.26682I+ "1.7566 &( = 0.012 + "8.78 ) 10DJ &( = 0.012-4.1°
! = 12"#$(4000% + 4.1°)[&']
10.6 Determine *, en la figura 10.55.
- + / = 350°
! "4 # ! + 20+$10 = 3%0° 20 20! " 420# + 20+$10 ! = 3%0° 20 1 # = 20+$10 20! " 20+$10 4! + 20+$10 ! = 3%0° ("2+$0.5)1 =60+$30 5 3%"139. 4 0° ! =32. 20 (32.53%"139.40°) # = 20+$10 # =29.10%"165.96°
10.7 Utilice análisis nodal para encontrar V en el circuito de la Fig. 10.56
&! +&' +&* +6%30°=0 "120%"15° +6%30°+ + 40+$20 "$30 50 =0 120%"15° + + = 40+$20 1"$30 750 40+$20 "6%30° ,25 +$ 300-="3.19"$4.78 ="111.49"$54.47
=124.08!"153.96°
10.8. Use el análisis nodal para encontrar la corriente Si %
# =&'(%)*$$+,-/7 [:]
#$ en el circuito de la fig. 10.57.
;< =6cos)200>,157 =6!15° ?=200 1 = 1 50@ABCD = E?F E G 50 G 10HI G200 ="E100[J] 100KLBCM =E?L=EG100G10HN G200=E20[J] ;O , ;D , ;M =6!15°,0.1O O " D , O , O =6!15°, O 40 "E100 20 10 5O , EO ,2.5O "2.5D =600!15°,10O )"2.5,E7O "2.5D =600!15°BPQRSQ;óT1 ;N ,0.1O = ;O D , O = O " D 20E 10 40 "2ED , 4O = O " D )1"2E7D , 3O = 0 3O , )1"2E7D =0BPQRSQ;óT2 O V = W600!15°X U"2.53 , E 1"2.5 VU " 2E D 0 O =145.52!"89.03° D = 195.23!154.39° ;O = O 40" D ;O = 145.52!"89.03°"195.23!154.39° 40 ;O =Y.2Y!"52.16°
10.9. Use análisis nodal para encontrar
! en el circuito de la figura.
10"#$(10% &) ' * = 10+0° , = 10% 1 = 1 50-. ' /2 = 3,4 3 6 50 6 1078 6 10% = 93:0[;] 10<> ' /? = 3,> = 3 6 10 6 107% 6 10% = 310[;] Nodo a:
*@ = 10+0 Nodo b:
B2 = BC D B? *@ 9 *E = *E 9 0 9 *E 9 *F :0 :0 :3 1 +0 = *E G 1 9 1 D 1 H D *F G 1 H : :0 :3 :0 :3 5+0 = (1 D 53)*E 9 53*F (1) Nodo c:
B? = IBC D B% 9 *J D IG*E H 9 *E 9:3 *F = *F1003 :0 503*E 9 503*F = 3*J 9 3*F D :0*E 0 = (:0 9503)*E D IK3*F 9 3*J (:) Nodo d:
B% = BL *F 9 *J = *J 1003 M0 0 = 3*F D G10M 9 3H*J (M)
El sistema nos queda:
Donde:
S
) 5!0 =( 1 +5" # % 5"# $ & 0 =(025=%"#50"& +*)#$103 +%49"",##&'%"#' #' =#6.1=5!70.# 15 ' # - = 6.15!70.; 15 #- = 6.15/8:(10 + 70.15)
10.10. Aplique el análisis nodal para hallar " = # %&'(/).
! en el circuito dela figura 10.59. Sea
36 cos*2000+, - 1 = 3640° 5 = 2000 278 =
9 :;<
=
9 :2000 > 2?90 @A
= B:2C0
C0DE = :;F = :2000 > C0?90 @G = :900 HIJI 9 KL M KN M KG = 3640° 1L
1L 1L B 1N M M = 3640° 2O :900 B:2C0 0.92C1L B :2.C1L M :1L B :1N = P00040° *0.92C B :2.C,1L B :1N = P00040° - Q
HIJI 2 0.91L M KU = KG 1L
1N 1L B 1N M = 90 V000 B:2C0
25! +0.0625 = # $ # "
!
"
(25$#)! $(0.0625+#)" =0%&'*,'-ó/2 $3.5# $# 41! 4 = 7900080°: 10.325 25 $# 0.0625 +# " 0 ! = ;5<.>582.3>° " = <953.3>89;.>;° " = ? ? = <953.3>89;.>;° 10.11. Usando análisis nodal encuentre
@A(t), en el circuito de la figura
3B #DE = #2 2 "#$ = "4 0.5% = 0.25% =
1 "#& 1
"#&
= '"
= '"2
Nodo 1 (80) ' 60* ' +,
+, ' +/ 2 '" "2 (1 - "*+, - "+/ = 8) ' 60 =
+,
Nodo 2
1-
+, ' +/ "2
-
(8) ' 60* ' +/ "4 ' "2
=0
! =
% =
4 " # 6 0 + $ + 0 . 5 % 1+8"#60#4"30 1.5#$
&'()* = 5.02,'-(2) # 46.55*[/]
10.12. Mediante análisis nodal determinar i o al circuito de la figura 10.62.
Pasamos al dominio fasorial 7 = 1000 20 -&: 1000 ) = 20 < #;00 20 > = 20 > 10 > = 10 > 2&0 = 2?0 50[@A] = #$20 10[BC] = $10 Nodo 1) #20$ =
1 20
+
?=
#20$ =
1 20
+
1 # 2 10
+2?
2 $ 10
1 # 2 10
2 +2 $ 10
#D400 = 1 + 21 # 22 # D42 #D400 = 21 + 2(#2 # D4* E'F' 2* 1#2 10
2 2 2 +2 = + $ 10 #$20 $10
1 ! 2 10
+
2 ! 10
=
2 #!20
21 # 22 # !22 = !2 0 = 21 + 2(#2 # !3) Resolviendo el Sistema 2 =
400 1 + !0.5
$ =
2 10
$ = 34.74 < #166.6
10.13. Determine %& en el circuito de la figura aplicando el método de su elección.
Realizamos una transformación de fuente en la malla 3 ' = $' * , = (5)(10) = 50[]
- # 40/30° #!2
+
3
+
- # 50 18+!6
=0
9 - = 2:.26/62.88°[;]
10.14. Calcule el voltaje de los nodos 1 y 2 en el circuito. Usando análisis nodal
En el nodo 1 0!1 "2
+
0!1 10
+
!2 !1 "4
= 20#$°
(1 + "2.5)!1 "2.5!2 = 173.2 + "100 En el nodo 2 !2 "2
+
!2 "5
+
!2 !1 "4
= 20#$°
"5.5!2 + "2.5!1 = 173.2 + "100 1 en 2 &1 = 28.93'135.38°
10.15. Resolver por la corriente I en el circuito de Fig.10.64 utilizando análisis nodal.
Nodo 1:
!
= " + # + $
%&20%'! ' ' %' =5+ ! + ! " 2 %&2 &1 %&20%'! &' = 5 + ! % &('! % '") 2 2 %&20%'! = 1 0 + & '! % &2'! + &2'" %10 % &20 = (1 % &)'! +&2'" (1)
Nodo 2:
=
'! %&2
" + 2 + $ = * 5+2 5+
'! '! % '" '" + = %&2 &1 4 '! '! % '" '" + = %& &1 4
5 + & '! % &('! % '") =
'" 4
20+&4'! %&4'! +4&'" = '" '" =
20 (2) 1%&4
Sustituyo (2) en (1)
%10 % &20 = (1 % &)'1 + &2'2 %10 % &20 = (1 % &)'1 + &2 ( %10 % &20 % %10 % &20 +
20 ) 1 % &4
&40 = (1 % &)'1 1 % &4
160 &40 % = (1 % &)'1 17 17
%0.59 % &22.35 = (- 2 2 % 45°)'1 '1 =
22.36/358.49° ( - 22 % 45°)
'1 = 15:81/313:5°
Entonces:
=
!1 "#2
! = 15,81"313,5° #$2 ! = (0,5"90°)(15,81"313,5°) ! = 7,91"43,49° 10.16. Aplique el análisis nodal para hallar Vx en el siguiente circuito
Nodo 1
%1 = %2 + %3 2 = &1 4$#&2 + &15 &1 2 = #' &14#&2 * + $ 5 40 = (#5)(&1 # &2)$ + 4&1 40 = #5&1$ + 5&2$ + 4&1$ (40)/20 = ((4 # 5$)&1 + 5$&2)/20 (1) 2 = (0.2 # 0.25$)&1 + 0.25$&2 Nodo 2
3|450 = 2.121 + 2.121$ %2 + %5 = %4
!1 " !2 4# !1 " !2 4# " 12(
!1 " !2 4
!2 " !1 4
+ 2.121 + 2.121# = "
!2
# +
!2 "3
!2 "3
"3#
= "2.121 " 2.121#
"3#
# +
!2
# = "2.121 " 2.121#
#) = ("2.121 " 2.121#)12
"3!1 # + (3 " 4)!2# = "25.452 " 25.452# ("3!1 # " !2#)/"12 = ("25.452 " 25.452#)/"12 (2) 0. 25#!1 + 0. 08333!2 = 2. 121 + 2. 121# Sistema de ecuaciones dos variables dos incógnitas: !1 = 5.2793 " 5.4190# !2 = 9.6145 " 9.1955# !$ = !1 " !2 !$ = (5.2793 " 5.4190#) " (9.6145 " 9.1955#) !$ = "4.33 + 3.776# [! ] !$ = 5.748%138.950°
10.17. Mediante análisis nodal obtener I 0
Nodo 1.
10020° ! "# = "# + "# ! "% $4 3 2 10020° = "3# (3 +$10) ! $2"% (1) Nodo 2.
10020° ! "% + "# ! "% = "% + 1 2 !$2 10020° = ! "2# + '32 + $ 12*"% (2)
Resolviendo las ecuaciones:
! =64
,74" # 1 3,08°
"#6,35°
$ = 81,17 Para I 0:
I
%
=
V! # V$ 2
= 9,25" # 162,12° [A]
10.18. Aplique análisis nodal para determinar ! en el circuito de la figura 10.67.
"# = "
$
Para el nodo 1
"$
4%45° =
2
+
"$&"' 8 + (6
200%45° = )29 * (3,"$ * )4 * (3,"' Para el nodo 2 "$&"' 8 + (6
+ 2"# = "$ =
"' *(
+
"' 4 + (5 * (2
12 + (41 104 * (3
"'
Reemplazando 200%45° = ) 29 * (3,
"' = "- =
12 + (41 104 * (3
"' * )4 * (3,"'
200%45° 14.21%89.17° *(2 4 + (5 * (2
"'
"- = 5.63%189°["]
10.19. Obtener V 0 en el circuito de la figura usando análisis por nodos.
Súper-nodo: ! "# = 12 " ! "% &2
+
" 2
+
"# !&4
(1) =
"% ! "# 4
!2(" ! "% ) & + 2" + "# & = "% ! "# (!2& + 2)" + ( & + 1)"# + (2 & ! 1)"% = 0
(2)
Nodo V 2 " ! "% '2
+ 0.2" =
"% ! "# 4
(!2' + 0.8)" + "# + (2 ' ! 1)"% = 0
(3)
Sustituyendo 3 en 2 0 = 1.2" + &"# Reemplazamos 1 en 3 0 = 1.2" + &(" ! 12) 0 = 1.2" + &" ! 12& 12& (1.2 + &)
= "
" = 4,9180 + 5,9016& " = 7.6822*50,19°
10.20. Remítase a la figura 10.69. Si v s (t)=Vm sen•t y v0 (t)=A sen (•t+!), derive las expresiones de A y !
Primero convertimos los elementos al dominio fasorial. = !" =
1
!" #$ (%)=#& '*+("%) #, (%) =-'*+("%./%) Observamos que dos elementos están es paralelo
17 !45 6 !4 !456 5 = !45 023 = = 1 8 8 9485.1 !45 . !4 ! 4 5.1 !4 Realizamos un divisor de tensión
!45 #, = : .0023 ; #& = 94 !45 ; # = & 85.1 9:((1 9 485 9: 5)) .!45 ; #& : . 94 !45 85.1 45 & BC #, = < :8(1 9 445# >?@°9%A+ 85 :(19485) 5))8 . 4858 #, =->/ & - = < :8(1 9 445# 85 5))8 . 4858 45 /=?@°9%A+BC :(194 8 5) 21. En relación con cada uno de los circuitos de la figura 10.70, halle Vo/Vi para:
D=EFDGHFDI = KLJ
(a)
"# =1 "$ "# %& =0 "$ "# 1 , = = * "$ 1 * () + ,-) - ' ) () ' () () =0
=
1 () ' ()
(b)
=0
"# =0 "$
"# = 1 ./2#34 "$ () * () "# , = = "$ -, 5 1 + 1 * () - ' ) () () ' ()
%& =
1 () ' ()
10.22. En referencia al circuito de la figura 10.71 determine
#$%=# &$%=
1 '(&
) $ % = '() %*+, = #- . '()
! "
1 %&' !" = 1 !"# + %&' !"# $
1 () + %&, %&' * !" = 1 )* + %& %&, ,+ %&' )* + %&, %&' !" = %&)* ' . & * ,' + 1 %&' !" =
)* + %&, %&)* ' . & * ,' + 1
Aplicando divisor de tensión: /0 =
!" !" + )#
/2
)* + %&, /0 %&)* ' . & * ,' + 1 = )* + %&, /2 + )# %&)* ' . & * ,' + 1 )* + %&, /0 %&)* ' . & * ,' + 1 = )* + %&, %&, + %&)#)* ' . & * )# ,' + )# /2 %&)* ' . & * ,' + 1
10.23. Aplicando Aplicando el análisis nodal nodal obtenga V en el circuito de de la figura.
/3 . /4 )
=
/5 . /1 %&,
/4 . /1 %&,
=
+
/4 1 %&'
789:8;4< 1
/1 789:8;4< > 1 %&'
Despejando /3 )
.
/4 )
=
/4
/1 . + %&'/4 789 789:8;4 :8;4<
!
!1
= "#%!1 '()*(+,- 4 !. 0!,2 1 1 "#%30 51 =7 '()*(+,- 8 / / "#$ "#6 !, 0!12 1 "#%3 = 7 '()*(+,- 9 "#$ "#$ "#$
"#$
Despejamos y Reemplazamos 6 en 5.
;$%< !.:1# !, = 1 # ;$%0"#/%:># ;$%<
SECCIÓN 10.3 ANÁLISIS POR MALLAS 10.24. Designar un problema para ayudar a otro estudiante a entender el análisis de malla. Determinar Vo en la figura 10.72 aplicando el análisis de malla.
:>"8< ?; =CDCE17F; "7DCC !G =HDC90"7DHC9 !G =HDCIA8DJ1°[!]
10.25. Para resolver
KL en la Fig. 10.73 empleando análisis de malla.
:4">?; =17 B :1< ">?@ 0">?; ="9 B :>< ?@ =>0"7D8
! = 1 " #0.5 $% = & " ! $% = (2 + #0.5) " (1 " #0.5) $' = 1 " # $% = 1.41* " 45° $% = 1.41 ,-/(23 + 45°)
10.26. Usando análisis de mallas encontrar la corriente ! en el circuito de la figura
w = 10" Z# =
1 $ % 10" % 10&'
= ($1000[)]
Z* = j % 0.4 % 10" = $400[)] 10 cos,10" -/ = 1020° 30 sen,10" -/ = 302 ( 90° Análisis de mallas: ,35 6 $400/I7 ( j400I8 = 1020°(: ,1/ (j400I7 ( j;00I8 = (302 ( 90°(: ,3/ I7 = 0.003< ( $0.00>< I8 = (0.0?< 6 $0.00< i@ = I7 ( A8 = 0.0?>< ( $0.013< i@ = ?9.<32 ( 1B.4?°[CD]
10.27. Usando análisis de malla, encuentre I1 e I2 en el circuito de la Fig.10.75.
!10"# + !20"$ = 40%30° !20"# + (40 !20)"$ = 50
' (1) ' (2)
"# = 0.4288 + !4.6784 = 4,69% 84.76°[*] "$ = 0.7856 + !0.6072 = 0,99%37,7°[ *]
10.28. En el circuito de la figura 10.76, determine la corriente de malla -/ y -: . Si ;/ = /< >?@(AB) [C] y ;: = :< >?@(AB D<) [C]
Figura 10.76. Circuito para el ejercicio número 10.28 Transformación de las fuentes: =4 !" = 10 cos(4#) = 10$0° [!] &' = 20 *+,(4# - 30) = 20$ - 30° [!] Transformación a impedancias: 1[.] = /4[5] 1[6] = -/0728[9]
Figura 10.76.1. Circuito para el ejercicio número 10.28 Análisis de malla: (2 + 3.75)!" # (1 # 0.25)!$ = 10
#& (1)
(#1 + 0.25)!" + (2 + 3.75)!$ = #20' # 30
#& (2)
!" = *" = 2.07 # 1.8 = 2.74' # 41.009°[A] !$ = *$ = #0.14 + 4.11 = 4.11' # 88.05°[ ,]
10.29. Usando la figura, diseñe un problema que ayude a los demás estudiantes.
Figura 10.77. Circuito para el ejercicio número 10.29. Sea: -/" = 2[6] , :" = 5[6] , -/$ = 10[6] , -/; = 5[6] , :$ = 10[6] , :; = 10[6] , <> = 20'0°[6]. Encontrar !" y !$ reemplazando los valores dados en el circuito.
Figura 10.77.1. Circuito para el ejercicio número 10.29. d m
(1)
(15 + 6)!" # (10 + 4)!$ = 20%0
#'
(20 + 7)!$ # (10 + 4)!" = 0
# ' (2)
!" = 1.75 # 0.656 = 1.87% # 20.5 !$ = 0.9 # 0.294 = 0.95% # 18[ *]
10.30. Aplique el análisis de lazos para hallar en el circuito de la figura 10.78. Sean ,-/ = /3: ;<-(/::> + ?: )@ A, ,-3 = B: ;<- /::> A.
Figura 10.78. Circuito para el ejercicio número 10.30. Transformación a impedancias:
C00DE = C0 200DE = 20
! = "40
400
50! = "#200
Análisis de mallas: (20 + #30)$% " #30$& = 120'90° ", (1) "3$% " 13$& + 20$- = 0 #20$& + (1 " #18)$- = "8
", (2) ", (3)
$% = 2.06 + #3.57 $& = 0.43 + 2.19 $- = 0.59 + #1.96
/: = "#200($& " $- )
/: = 46.68 + #31.4 = 56.26'33.93 [; ]
10.31. Use corrientes de malla y determine la corriente Io en el circuito de la figura.
Figura 10.79.
Circuito para el ejercicio número 10.31.
Análisis de malla: (80 " #40)$% + #40$& = 100'120°
", (1)
#40$% " #20$& + #40$- = 0
", (2)
#40$& + (20 " #40)$- = "(60' " 30°)
", (3)
$: = $& = 1.04 + #1.91 = 2.175'61.43°[ <]
10.32. Determinar Vo y Io en el circuito de la figura 10.80 aplicando análisis de mallas
Figura 10.80. Circuito para el problema 10.32. Análisis de malla:
= 4! " 30°[ #]
"% ( 1)
(2 + &4)'* " 2' + 3,- = 0"% (2) ,- = 2(' " '* ) , .= 2(4! " 30° " '* ) "% (3) (3) /5 (1) (2 + & 4)'* " 2(4!"30. ) + 6(4! " 30 " '* ) = 0 '* = 2783!19:
'- =
3,"&2
=
6(4! " 30 " '* ) "&2
'- = 87489!19: [ #]
, .=
"&2 '3
= 9766!";9: [,]
10.33. Calcule < en el circuito siguiente aplicando el análisis de lazos.
Figura 10.81. Circuito para el problema 10.33. Análisis de malla
! =5[ "] (2#$2)% +$2& =20'#90° #,(1) $2% #$& +4- =$(5) #,(2) #& +- +0.1/3 =0 #,(6) /3 =$100(% #&) #,(4) (4) 78(6) $10% #(1+$10)& +- =0 #,(5) (1). (2) : (5) ; =- =#2<26#$0<16=2<26'6<64°[ "]
Nodo para Supermalla:
Sistema de ecuaciones:
:
10.34. Usar analisis de malla para encontrar Io en l Fig. 10.28.
Analisis de malla:
%
!40 + (18 + !2)"# (8 !2)"$ (10 + !4)" = 0 ' (1) Supermalla
%
%
(" !2)"$ + (30 + !19)" (8 + !2)"# = 0
%
' (3)
"$ = " 3
%
% = 0
!40 + 5(" 3) + (20 + !15)"
% =
"
,
*38.48° % = 1.47*38.48°
3 + !8 = 1.47 5 + !3
' (2)
" = "
10.35. Calcular Io en la Fig. 10.30 utilizando analisis de malla.
Figura 10.30. Circuito para el problema 10.35. Análisis de malla:
8! ! (1 ! "3)#$ + (13 ! ")#% = 0
!' (1)
Supermalla: 8# + (11 ! "8)#$ ! (9 ! "3)#% = 0
!' (2)
# ! #$ = 4* ! 90°
!' (3)
#, = #$ = 1.9* ! 2.1°[ -]
10.36. Calcule Vo en el circuito de la figura aplicando mallas
I1
I2
I3
Malla1 / = "4 [ -] Malla3 /% = !2 [ -] Malla 2 (4 ! 3")/$ ! 2/ + 12 ! 2/% = 0 (4 ! 3")/$ ! 2(4") + 12 ! 2(!2) = 0 (4 ! 3 ")/$ ! 8" + 16 = 0 /$ =
!16 + 8" 4 ! 3"
/$ = !3.56 ! 0.64" [ -]
! = 2("# $ "% ) ! =
2"#4$ ($3.56 $ #. 64)%
! = 7.12
+#9.28[
]
! = 11.69'52.50 []
10.37. Usando análisis de mallas encontrar I 1, I2, I3:
Malla 1.
*,- $ *,/
= $#120 (1)
Malla 2.
*,: $ *,/ = $120'30° (2) Malla 3.
$*,- $ *,: +3*,/ = 0 (3) Resolviendo el sistema de ecuaciones:
,- = $0;264 $ #2;37 [ <] ,: = $2;181 $ #0;954 [ <] ,/ = $0;815 $ #1.017 [ <] Ahora relacionamos con las corrientes del gráfico:
,> = ,- = $0;264 $ #2;37 [ <] ,? = ,: $ ,- = $1;916 $ #1;411 [ <] ,@ = $,: = 0;815 + #1.017 [ <] 10.38. Aplicando el análisis de lazos obtenga AB en el circuito de la figura 10.83.
] " (2#$4) #2! +$4 +$2 $4 + (1 + $2) * + ( * $2 + ( =2(1+$3) = 3.35'174.3° [ "] ! = 2 [
%
& +
(1 # $ 2)%
&
%
10'90° = 0
=2#$5
1 # $ 4)& = $4
= & # 4
%
10.39. Encontrar
Malla 1:
Malla 2:
/6 < />
1 # $)&
,
8 /: 8 /;
#? + @15 * = 12'A4° #?! + (?#$9) * =0 $15 + (10 + $) * =0 (2? ) #? $ 1 5 12'A4° ! #1A$ E=D E B 15$#? (?#9$) CD 0 #1A$ (10+$) * 0 [ "] + $083593 [ "] + $082?41 (2?
# @15)!
%
% # $1A
Malla 3:
! # $1A%
# $15
%
! = #0812?
= 0.3?14'1098A°
% = #08194A
= 0.3443'12484°
= 0,0718 ! "0.1265 = 0.1455# ! 60,42° [ %] &' = &( ! &) = 0,0666 + "0,0752 = 0.1005#48,5° [ %]
SECCIÓN 10.4 TEOREMA SUPERPOSICIÓN 10.40. Encuentre i o en el circuito mostrado en la figura, usando el teorema de superposición
Transformamos los elementos a dominio fasorial
* = 1- = "/* = 4" 1039:;4<> = 10#0° Apagamos la fuente de tensión 10#0° ?@( = AB = 82 = 4[%] Apagamos la fuente de tensión de 8 [v] Aplicamos análisis nodal
10 ! CD = CD + CD 4 4" 2 10 ! CD = C "D + 2CD CD E "1 + FG = 10 CD = 10;"> 1 +F" [A] ?@) = C4"D = 4;110" + F"> = 0.7H05# ! 71.5650° [ %] ?@ = ?@( + ?@) ?@ = 4+ 0.7H05# !71.505° = 4 +0.7H05 I9:;4< !71.565°>[ %]
10.41. Halle Vo en el circuito de la figura 10.86 suponiendo que Vs=6cos(2t)+4sen(4t) [V]
Cuando = 6 cos(2!) = 6"0° [ $] 0.25[%] =
1 &0.5
Aplico método de mallas: '6"0* +
,1
+ 2,1 = 0 &0-5
,1 = 2-12"45* [ $] /31 = ,1(2[7]) /31 = (2"0*)(2-12"45* )[/] /31 = 4-25"45* [/] Cuando / = 4 cos(4!) = 4"0° [/] 0.25[%] =
1 &0
[8]
Aplicando mallas '4"0* +
,1 &
+ 2,1 = 0
,1 = 1-9:"26-59* [ $] /32 = ,1(2[7]) /32 = (2"0* )(1-9:"26-59* ) /32 = ;-56"26-59* [/] En el dominio del tiempo: /3 = 4-25 <3>(2! + 45* ) + ;-56>?@(4! + 26-59* ) [/]
10.42. Determine figura
! utilizando el teorema de superposición en el circuito de la
"# = $# +$% $% (&'2) 9.81*78.69° "# = 33.28* & 56.31° + 9.81*78.69° (&'2) "# = &'2, (0.36*120.25°) "# = 0.72*30.25°[ /] ° Apagamos la fuente de 20 *0
Aplicando transformación de fuente:
"4 = $:44 *;5° [ /] "4 = 30*;5° = 60 2 Calculo de las impedancias equivalentes:
$# = 6060,&&';0 ';0 $# = 33.28* & 56.31° , '10 $% = 50 50 + '10 $% = 9.81*78.69° Aplicando divisor de corriente:
# <*;5°>[ /] "# = $#&$ + $% 2
10.43. Aplicando el principio de superposición, halle en el circuito de la figura
Cambiamos de dominio. Apagando la fuente de corriente. 8 !1 " 4!1 + 3!1 + 5 " 8.66 = 0 !1 =
"5 + 8.66
= "0.7856 " 1.8392 4+3 !#1 = "0.7856 " 1.8392[ $]
Apagando la fuente de voltaje !1 = "0.7856 " 1.8392 "4!2 + 3!2 + 8(!2 " !1) = 0 Reemplazando !2 = 5.472 + 5.824 !#2 = "5.472 " 5.824[ $] !# = !#1 + !#2 Pasando al dominio del tiempo !#(%) = 9.89 &'*(2% " 129.22)[$]
10.44 Usando el principio de superposición obtener v en el circuito de la figura, V=50sin(2t) e Ix=12cos(6t+10°).
Cambiando al dominio fasorial ,- = 50 sen(2%) = 50/0° [,] ;- = 12 cos(6% + 10°) = 12/10° [ $]
Apagando la fuente de voltaje se tiene que. ! = "60
# = 20 + "60 $%& =
20 + "60 36 + "60
12'10°
$%& = 11.04 + "4.39 )%& = *11.04 + "4.39,16 = 166.72 + 70.33" Apagando la fuente de corriente ! = "250 aplicando un divisor de tensión )- =
16 36 + "250
/ 50 = 0.451 8 3.13"
Sumando los voltajes. ): = *0.451 8 3.13", + *166.72 + 70.33", = 167.17 + 67.2" [)]
10.45. Usar superposición para encontrar (!) en el circuito de la Fig. 10.90.
16"#$(10% + 30)[&] = 16'30°[&] = (13.86 + *8)[&] 6$,-(4%) = 6' / 90° = /*6 Se apaga la fuente de 16"#$(10% + 30)[&] 57 = 300:10;<:*:4 = *1.>[?] ( *1.> + >0)@A = j6 @A = 0.018 + *0.3[ B] Se apaga la fuente de 6$,-(4%) 57 = 300:10;<:10:* = *3 (> 0 + * 3)@C = 13.86 + *8
! = 0. Calculo de total
74
+ "0.29 [ $]
= % + ! = 0.
758
+ "0.59
= 960.6&37.9°
10.46 Resolver Vo en el circuito de la figura, usando superposición
Dejamos encendida solo la fuente de 10 V. por lo tanto
! =10[]
Luego dejamos encendida la fuente de amperaje "! = #$% = #4 "& =
1 #$'
= (#6
Aplicamos análisis nodal.
4=
& =
24 1 ( #0.5
& 6
+
& (#6
+
& #4
= 21.45)*,-2/ + 26.56°3[]
Finalmente dejamos encendida la última fuente de voltaje y realizando un análisis nodal se tiene que 1 2 ( 7 6 7 =
12 1 + #0.5
=
7 (#4
+
7 #6
= 10.89: ( 26.56 = 10.89';)-9/ ( 26.563
Sumando los voltajes 1, 2 y 3 obtendremos la respuesta que se busca. > = 10 + 21.45)*,-2/ + 26.563 + 10.89 ';)-9/ ( 26.563 []
10.47. Determine Io en el circuito de la Fig. 10.92, usando el principio de superposición.
Se deja encendida la fuente de 24 V para luego realizar el análisis del circuito.
Por lo que la impedancia total seria 6[!] Entonces "#$ =
%& '
= 4[(]
Se deja encendida la fuente de voltaje de la izquierda y se realiza el análisis.
10 )*+,- . 30°/ = 10 < .30° = 8266 . 57 9=1 1 6
:=
1 1 59 6
= .56
;> = 59; = 5; La impedancia total ?@A = [,5; B 4/•2] !6 + 1 "#$ =
"#$ =
!4 + 8 !2 + 6
!6+1
!4 + 8 + 12 !36 + !2 + 6 !2 + 6 "#$ =
26 !30 6+!2
+ #2) = 8,6626" #5(6 " #30 +10 + #17,32 ! = 51,96 "#30 26 " #30 " #12,68 ! = 61,96 26 " #30 !
Divisor de corriente:
" #12,68 $% = 46 ++ #22# × 61,96 26 " #30 $% = 0,504 < 19,1°[&] $% = 0,504'*-(. +19,1°)[&] Por último se deja encendida la fuente de corriente y la analizamos
2/:'(3.) = 2 < 0° = 2 ;=3 1 > = 1 = "#2 6 16 #; 2? = #;2 = #6 Divisor de corriente:
A2(13 ""#2#2)B $@ = ×2 2(1 " #2) 4 + #6 + A 3 " #2 B $@ = 4+#6(3 2(1"#2) " #2) + 2(1 " #2) × 2 3"#2 2 " #4 $@ = 12 "#8 +18# +12 +2 " #4 × 2 $@ = 262 "+#46# × 2 $@ = 264 "+#86# $@ = 0,3352 < "76,43°[&] $@ = 0,3352/:'(3. "76,43°)[&] $ = 4 + 0,504'*-(. + 19,1°) +0,3352/:'(3. " 76,43°)[&]
10.48 Encuentre i o en el circuito de le Fig. 10.93 usando superposición.
= 2000 1
!"# = $25![%] & = !"' = 80![%] 50cos2000( = 50 < 0° = 50[)] =
Para este caso usaremos análisis de malla Malla 1:
*55! +80,-. $ 80-/ = 50 Malla 2:
240-/ $ 80-. = 0 +80,-. $ 80-/ = 50 3*55!240/ $ 80-. = 0 Resolviendo el sistema de ecuaciones
-/ = 0615 $ 06157! -9. = $-/ = $0615 +06157! = 06218 < 1:4611°[;] >?. = 06218#?@*2000( + 1:4611°,[;]
= 4000
1 = $12,5"[%] ! = "# & = "' = 160"[%] 50#()2000* = 2 < 0° = 2[ +] Para este caso usaremos análisis de malla
-. = 2[ +] Malla 1:
/147,5" 3 809-: $ 80-; = >20" Malla 3:
240-; $ 80-: = 120 : $ 80-; = >20" ?/147,5"240-3809; $ 80-: = 120 Resolviendo el sistema de ecuaciones
-; = 1,17 3 0,15" -@. = $-; = $1,17 $0,15" = $1A17 < 7,>8°[+] B(. = $1,17)CD/4000* 37,>8°9[+]
EFG = 240[%] 24 = 0,1[ +] B@; = EH = 240 B@ = B(: = 0,218#()/2000* 3 1>4,11°9B(. $ 1,17)CD/4000* 3 7,>8°9 30,1[+] SECCIÓN 10.5 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES 10.49 Use transformación de fuente para encontrar i en el circuito.
= 200 1 = 5[!] ! = "# " = #$ = [!] 8sen(200% + 30°) = 8 < 30° = 6,93 + 4[ &]
'* = (6,93 + 4) × 5 = 34,64 + 20['] -./ = 8 1 4 7=
'* -./
= 2,464 + 3,: = 4,4: < 56,5:°[ &]
; = 4,4:>?@(200% + 56,5:°)[&]
10.50 Diseñe un problema para que los estudiantes comprendan mejor la transformación de fuentes.
7A = 2,5[ &] -A = 2B = 0,4 + 0,8[!] 1'A + (-A + 2 + 5)'C = 0 'C =
D+2 5,4 + 2,8
= 0,29: + 0,2D6 = 0,36: < 36,02:°[']
10.51 Use transformación de Fuentes para encontrar Io en el problema 10.42.
7A = 12,5[&] 7E = 3[&]
!=
5"2# = 0,689 + 1,724#[$]
% = 2" & # = 0,4 & 0,8#[$]
' = &#"% = 0,12 & 0,45#[$] (' = )! × ! = &1,72# + 4,31[(] (* = )% × ' = &1,35# + 0,36[(]
)- =
(' + (* ! + '
= 0,94 & 0,51# = 1,06 < &28,40°[ /]
10.52 Use el método de transformación de fuentes y encuentre Ix en el circuito.
)! =
6 2 + #4
= 6 & #12[/]
! = 2 + 4#[$]
% = :!"6; & #2 =
12 + 24# 8 + 4#
= 2,4 & 0,2#[$]
(! = % × )! = 36 & 18#[(]
!
= 4 " #3[$] 5 < 90°[%] = 5#[%] &' =
() '
= 15,52 " 6,21#[%]
Por divisor de corriente
= "$ "+ " × (5% + ) = 5 + 1.56& = 5,24 < 17,34°['] #
!
#
#
10.53 Use el concepto de transformación de fuente para encontrar V O en el circuito de la Fig. 10.97.
* = 5 ['] "* =
8& 4 + 2&
= 0,8 + 1,6&[/]
! !
= " × #! = 4 + 8$ #% = #! & 3$ = 0,8 & 1,4$
"% =
! #%
= &3,08 + 4,62$
#' = (#%)2* = 0,86 & 0,57$
' = " % × # ' = &0,0154 + 5,73$ #- = #' + 4$ = 0,86 + 3,43$ . =
&2$ #- & 2$
× ' = 3,56 & 5,89$[]
10.54 Resuelva el problema 10.7 usando transformacion de fuente.
#! = 40 + 20$
"#30$50) = 13,24 " 22,06# % = 6 < 30° × = 134,95 " 749,15# ! = (
&
!
Ley de tensiones de Kirchoff
"(120 < 15°) + (
&
+ ! )' " %1 = 0
# 31,06 $ = ! + 115% ,91 = #4,78 + 181$ + % "
"
&
#(120 < 15°) + (%"× ) + ! = 0 ! = 124,06 < #154°
SECCIÓN 10.6 CIRCUITOS EQUIVALENTES, THEVENIN Y NORTON 10.55 Encuentre los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton en los terminales a-b para cada uno de los circuitos en laFig.10.98.
%'* = %-. = 10 + ($20/ # $10
)
:]
$20 × #$10 = 10 # 20$ = 22 %-. = 10 + 10$
,36 < #63,43°[
Divisor de tensión #10$
!-.
#$10 + $20
,3+ 25 $)
× (43
!-. = #43,3 # 25$ = 50 < #150°[!]
; =
!-. %-.
=
50 < #150°
,36 < #63,43° = 2,236 < #86,57°[>]
22
%'* = %-. = $10/(8 # 5 $ %-. =
)
[:]
(80 $ + 50) = 8,99 + 4,38 $ = 10 < 25,99° 8+5$
Divisor de corriente
= 8 +85 $ × 4 = 8 +325 $ = 2,88 # 1,8$ = 3,39 < #32°[ >] ?
!-. = ? × $10 = 17,98 + 28,76$ = 33,92 < 57,99°[!]
= $!
"#
=
"#
33,92 < 57,99° 10 < 25,99°
= 3,392 < 32°[%]
10.56 Para cada uno de los circuitos de la Fig. 10.99, obtenga los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton en los terminales a-b.
$&' = $"# = ( )4* + )2- . 6 =
8 2)
. 6 = 6 + 4)[/]
En este caso es mas fácil iniciar calculando el equivalente de Norton por en contrarse una fuente de corriente, por lo que hacemos cortocircuito en los terminales. : = 2 = 2 < 0°[ %] !"# = : × $"# = 12 + 8) = 14,42 < +33,69°[!]
$&' = $"# = [(60*30- . )10]* + )5 $"# =
(20 . )10- × +)5 20 . )5
=
+100) . 50 20 . )5
= 1;18 + 5,29) = 5,42 < +77,47°[/]
:> = 120 < 45° × 20 = 4,24 . 4,24) = 6 < 45°[ %] Aplicamos divisor de corriente :? =
20 20 . )10 + )5
× :>
:? = 5,82 < 30,96°[ %] !"# = (5 . 3)- × +5) = 15 + 25) = 29,15 < +59,04°[!]
!
= 25,9,4125<<"77,"59,407°4° = 5,38 < 18,43° #][
10.57 Usando la Fig. 10.101, diseñe un problema para ayudar a los estudiantes a entender mejor los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton.
!" = #$ = [(1 % &)'&] + 2
#$ =
*(1 % &) × &, + 2 = & + 3 = 3-16 < 18-43°[.] 1%&+&
Usamos analisis de malla para encontrar e l Equivalente de Norton
/0 % &/5 = 7 (2 + &)/5 % &/0 = 9 /5(3 + &) = 7& /5 =
7& = 9-7 + 1-7& 3+&
/: = %/5 = %9-7 % 1-7& = 1-78 < ;1-7;°[ >] ?#$ = /: × #$ = 4-@7 < @9°[?] 10.58 Para el circuito en la Fig. 10.101, encuentre el circuito equivalente de Thevenin.
#$ = !" = (8 % &6)'&19 #$ =
(8 % &6) ×&19 = 11 + 2& = 11-18 < 19-39°[.] 8 + &4
Divisor de corriente
/A =
(8 % &6) × 7 < 47° 8 + &4
/A = (9-7 % &)(7 < 47°) = (1-12 < %63-43°)(7 < 47°) = 76 < ;1-7;°[.] ?#$ = /B × &19 ?#$ = (7-6 < %18-43°)(19 < @9°) = 76 < ;1-7;°[?]
10.59 Calcule la impedancia disipada por el circuito en la figura.
!" =
[$]
10 + #38
10.60 Encuentre el equivalente de Thévenin del circuito de la figura en las terminales: a) Terminales a-b
b) Terminales c-d
a) Terminales a-b Obtenemos Z TH , apagando todas las fuentes de energía 50 $ !"# = 5$ + 10
10$ +4 % 8$ = 2$ + 4 = 2 % $ & 4 = $10$ % 4 & $ = +2 $ + 2 $ + 2 !"' = 2(4) 6 = 1.33[*] = ,-
Para calcular la tensión en las terminales aplicamos, análisis nodal Nodo A
Nodo B
Aplicamos
20/0° % 79 = 79 + 79 % 7_: 10 $5 %$4 40/0° % 279 = 47 $ 9 + 579 % $ 57; 40/0° = 79 <2 + $4 % $5> + 57 $ ; 79 % 7; +4/0° = 7; %$4 4 4/0° = 7 $49 + 7; <14 % $41 >
2 + 4 " 5 1 " $% 2 + 4 " 5 40#0° $% = ! 1!4 ! 4#0° = 9.615#33.69011° $% = $& = 9.615#33.69011° ()* (,- = 50! + 4 = 10! +8 +4! = 14! + 8 10 +5! 2 + ! 2 +! (,- = 56!6 +"32!12 = 23!8 "16!+ 6 = 1/8074# "56.30 = ()* 5 40#0° $: = 4#0° 41 " ! !14 = 18.856#45° ; = $ " $ )* < > 69011° ;)* = 18.856#56° " 9.615#33. ;)* = 9.6151#56.3097° 5
! 1
!
!4
!
= 1.677#26.5650°
1 4
!4
Para encontrar
[V]
b) Terminales c-d Encontramos
Para encontrar la tensión en c-d
[v]
10.61. Halle el equivalente de Thévenin en las terminales a-b del circuito de la figura 10.104.
0?
Para determinar Zth, coloco una fuente de tensión en las terminales a-b de 1 # y apago todas las fuentes independientes. Aplico método de mallas:
? = 0 "! 3 @ 1 +4@ 1 +1#0 ? = "0/16 "!0/12 @1 = 0/A2B#"143/ 1 3 = "@1 = 0/16 +!0/12
1,5! = 0,24 + 0,18" = 0,3#36,87
!1 + 1,5"# = !2 $0,16 $ %0,12 + 0,24 + 0,18% = !2 !2 = 0,08 + 0,06% " = $!2 = $0,08 $ %0,06 = 0,1&$143,13 '() =
1&0 0,1&$143,13
= 10&143,13 [-] = $8 + %6 [-]
Determino ". , para esto las terminales a-b están en cortocircuito. Aplico método de mallas: !1 = 2&0 = 2 $%3/!2 $ !17 + 4!2 = 0 !2 = 1,2&$53,13 = 0,92 $ %0,:6
"# = !1 $ !2 "# = 2 $ /0,92 $ %0,:67 = 1,28 + %0,:6 1,5"# = 1,:2 + %1,44
0,92 $ %0,:6 + 1,:2 + %1,44 = ". ". = 2,64 + 0,48% = 2,68&10,3
Determino ;<> ;<> = ". ? '() ;<> = 26,8&153,43 = $24 + %12 [;]
10.62. Aplicando el teorema de Thévenin halle @A en el circuito de la figura 10.105.
V = 12 cos/t 7 B V = 12&0° w= 1 2H B Z = jwL = j2
1 F Z = 1 = !j4 4 jwC 1 8
FZ=
1 jwC
= !j8
Encontramos Z"# :
$% + $& + 3'( = '( )* !,4
+
,)* 4
)* ! 1 ,2
+
!
)* ! 1 ,2
3)* 4
!
)* 2
=!
)* 4
=0
)* = 0.4 + ,0.8 )* = 0.4 + ,0.8 )* = 0.89-63.43°
'* + $& + 3'( = $/ '* +
)* ! 1 ,2
!
3)*
1 =! 4 ,8
1 )* ! 1 3)* '* = ! ! + ,8 ,2 4 1 !0.6 + ,0.8 1.2 + ,2.4 '* = ! ! + ,8 ,2 4 '* = !0.1 + ,0.425 '* = 0.44-103.24° 7;< = Encontramos V"# :
1 '*
=
1
= 2.29- ! 103.24° 0.44-103.24°
+ !"
+ 3#$ = #$
%&'4 + % '&%2 + 36(0° &3% 12(0° &% 2 +'*% & '2%! + 3# , =-./5.!ó7 1 !
"
4
)
"
=
4
= 24
"
$
9
% & %" + 36(0° &3% = %" '2 4 &': )6 + '4*% & '3%" = ;2 , -./5.!ó7 2 &'2><% > = ?24@ <62++''4 &'3 %" ;2 % = AB21( & 3AB:1° %" = 3B0;(140B1A° %" = %CD = 3B0;(140B1A° %$ = 2 +2ECD F %CD %$ = 2 + 2B2A(2&103B24° F 3B0;(140B1A° %$ = 2B3( &163B3° %$ = 2B3cos)G & 163B3°*[%]
10.63. Obtenga el equivalente de Norton del circuito que se presenta en la figura 10.106 en las terminales a-b.
Cambiamos de dominio
Apagamos la fuente de corriente para calcular RN. ! = 1"# Calculo de IN: 1 = 3.46 + !2 2000!(2 " 1) + 2000(2 " 3) = 0 2000!2 " 2000!(3.46 + !2) + 20002 " 20003 = 0 Despejando las ecuaciones obtenemos. #$% = #& = 0.022732 " 0.000729! Cambiando de dominio fasorial a temporal: #$% = #& == "69.45 [ *] = 5.657%,$(200- + 75.01°)
10.64. Para el circuito de la figura, encuentre el equivalente de Norton entre los terminales a y b:
Apagando la fuente y encontrando /8: /8: =
100 ; 50! 100 + 50!
= 20 + 40!
Para encontrar la corriente de Norton, cortocircuito entre los terminales y por mallas:
Para la malla 1:
100!
"60
# 3$60 = 0
! = 1.8$60 [&]
Para la malla 2: '50( " '80 # 3$60 = 0 ( = 4.8$60 De donde ) = ( " ! = 4.8$60 " 1.8$60 = 3$60 [&] Y el circuito equivalente queda de la siguiente forma:
10.65. Usar la Fig. 10.108., designar un problema para ayudar a otros estudiantes a entender sobre el Teorema de Norton.
Calcular ! aplicando el teorema de Norton sabiendo que:
"# = 5$%&(2')[* ] = 5 +, = - = 2[. ] +/0 = 132[. ] +/4 = 13[. ] +6 = 38[. ] 1) Calculamos +79 : +79 = +: =
(2 1 32) ; 13 (2 1 3 2) < 13
2) Calculamos B: : B: =
3) Calculo de ! ! =
+: +: < 38
B: =
5 >13
= >?@5 1 3>?AA
= 35
(>?@5 1 3>?AA) (>?@5 1 3>?AA) < 38
! = >?@@DA 1 3>?5E
( 35)
! = 542.27 "#$(2% & 77.78°) ['*]
10.66. Obtener el equivalente de Norton para el circuito de la figura, tomar w=10 rad/s.
Cambiando al dominio fasorial:
Para encontrar la impedancia de Norton unimos una fuente de corriente entre los terminales a y b, en este caso una de 1 [A]. Entonces: 1 + 2,- =
,/0 35
,/0 =
+
,/0 16 & 163
163 & 16 21 + 23
:
,- =
,/0 16 & 163
= 14.14;1<5
De donde: >? =
,/0 @
= 6.A7;12B.5A [C]
Para hallar la corriente de Norton, encontramos el voltaje entre a y b para hacer una transformación después:
Donde: (16 & 35)@ + 326 + 316,- & 12 = 6 ,- = (16)(&32 & @) Después: (16 & 3165)@ = &188 & 326 ,/0 = 35(@ + 2,- ) = 35(&1B@ & 346) = &3B5@ + 266
! = 29.73 + "1.8723 #! = 29.79$3.6 Y la corriente de Norton es: #! 29.79$3.6 %& = = = 44.46$ ( 125.96 [*] '& 0.67$129.56 Y el circuito equivalente sería:
10.67. Encuentre el equivalente de Thévenin y Norton en el circuito de la Fig.10.110.
Apagamos la fuente de tensión y encontramos la impedancia equivalente Z Th . ,-/ = [10•:13 ( "5;] + [12•:8 + "6;] ,-/ = ,-/ =
130 ( "50 23 ( "5
+
96 + "72 20 + "6
2600 ( 100" + 780" + 300 + 2208 ( "480 + "1656 + 360 460 + "138 ( "100 + 30 ,-/ =
5468 + "1856 490 + "38
,-/ = 11<24 + "1<08 ,-/ = 11<24 > 5<48° Divisor de tensión: 60 > 45° = 42<42 + "42<42 #-/ = # ( #! # =
10
× 42<42 + "42<42 23 + "5 # = 13<78 + "21<44
8 + "6
,42 + "42,42 = 12,07 + #26,08 = 1,71 & #4,64 = 4,49 < &69,76°
! =
20 + "6
× 42
!
%$
%$'( =
)
$%
%$4,49 < &69,76°
'( =
11,24 < 5,48°
'( = 0,44 < &75,24°
10.68. Encuentre el equivalente de Thévenin en los terminales a-b en el circuito de la Fig.10.111
Primero transformamos los elementos del circuito al dominio frecuencial. Como:
-=6
*
- = 10[@ABC]
./3:10;> []
Entonces ?
-
= 6D0° [] Y
-=2
/ Entonces ?F = 4000[
@AB C
./3:4000;> [E]
]
- = 2D0°[E]
'
Como 1 [G] = #?H = #:10>:1> = #10[I]
1 [] = 1 = 1 = &!2 20 !"# $ !(10)(1)% 20 Realizamos una impedancia en paralelo
!10'(&!2) = &!2.5 !10 & !2 *+ = 4,+ '(&!2.5) = &!10,+ /31 &6 7 4,+ 7 18 *+ = 0 /32 Encontrando en las ecuaciones
,+ = 6 !10 4& 8 Entonces nuestro
*9: = *+
*9: = &!10,; = & !60 !10 = 11.52< & 50.1>° 4& 8 Ahora encontramos la ?9: agregando una fuente de corriente.
4,; 7 18 *; = 0 ,; = & *12; *; 7 *; 1 7 4,; = &!2 !10
Resolviendo las ecuaciones ! =
" !.##$%!.&
= 1.2293 ' (1.4766
)*+ =
! = 1.2293 ' 1.477[,] 1
SECCIÓN 10.7 AMPLIFICADORES OPERACIONALES EN CIRCUITOS CA 10.69. Para el diferenciador mostrado en la figura, obtenga Vo/Vs. Encuentre vo cuando vs=Vm sen(wt) y w=1/RC.
Solución: /
= '(058
Y para :! = ; <>?@0AB :- = '; CD<@0AB
10.70. El circuito de la figura 10.113 es un integrador con un resistor de retroalimentación. Calcule FG @HB si FI = J KGI LMNO L H P.
2 cos 4Q1R& A = 2SR 1R?T = '(2.UVW -
=
')*
/ )X )X = URVW
= 100" # ($%2.5") = $%100 "& 40 $ % !
'* %2 = '+ 40 $ % %4 '* = = 0.1,91.43 / 40 $ %
10.71 Halle en el circuito del amplificador operacional de la figura 10.114.
=
1
= #1! " 10$ ! " 2 " 0.5 " 10 # 6
#!10$ " 10( %&' = = 9999 # 99.99! #10$ + 10( 2) " *, = 5.929 + 4! 2) + 9999 # 99.99! *, = -6.928 + 4!/ " -11999 # 99.99/ ! *, = 41.7645 + 23.6516 *, = 48 < 29.52 :,-;/ = 48 cos-2; + 29.52/ [:]
10.72. Calcular >? en el circuito del amplificador operacional en la figura 10.115 si @A = 4 cos10 t V.
4 cos(10 t) " 4 # 0°, $ = 10 %
%
l nF " &'( = &*+-. )*+-/2 ) = -j 100k3 Considerar el circuito como se muestra a continuación:
En el nodo no inversora 5678 78 = 96&+-78
5
" V8 = +:&-;9
5
I8 = +--< = *+--)*+:&-;9) mA = >?;@A # B CD;?D° EG Por lo tanto
H8*J) = >?;@A KLM*10 J – CD;?D°) EG
10.73. Si la impedancia de entrada se define como !" = #$ /%$ , halle la impedancia de entrada del circuito del amplificador operacional de la figura cuando &' = '([)*], &+ +( [)*], -' = '([".], -+ = +([".] y 0 = 1((( [234/$] .
56 = 57 89 = :;[<>] ?
: @A8
= B@C;[DE]
1
%& = '%10[()] *+,+ 1 ./ ' .3 = .3 ' .4 5 .3 ' .4 10 '%20 20 617 2./ = 68 5 %7.3 ' 61 5 %7.4 *+,+ 2 .3 ' .4 = .4 ' 0 20 '%10 627 .3 = 61 5%27.4 627 9" 617 2./ = %:.4 .4 = '% 18 ./ .3 = 615%27.4 = ;28 ' % 18<./ 1 ? 61 5 %7 . ' . >/ = /10( 3 = 8 10( ./ >/ = 1 5 % ./ 80( @AB = .>// = 180( 5 % = 1C61' %7( @AB = 21D21 'EC° [()]
! = 20["#] $
10.74. Evalue el voltaje de Av=V0/Vs, en el amplificador operacional del circuito en w=0, w , w=1/R1C1 y w=1/R2C2
FG
1 @H = I1 5 %J1
1 @K = I25 %J2
1 I2 5 %J2 .+ '@K 1<;1 5 %JI22< LM = .N = @1 = ' = '; 1 2 1 5 %I11 I1 5 %J1
=0
!" = 1/'1(1 = 1/'2(2
"# = $%1/%2
$% = &'2/'1 1+,'2(2/'1(1* & )(1 *) (2 1+, 1+, * & )(1 *) (2 1+,'1(1/'2(2
10.75 En el circuito del amplificador operacional de la figura 10.118, halle la ganancia en lazo cerrado y el desplazamiento de fase de la tensión de salida • 9 respecto a latensión de entrada si . 0 . 0
- = - = .3456 = 6 = .778 5 6 = 078 5 6: = :78 ; < = 0777>?@/A •
•
(B = &,CDDEF
GHIH 1 JK & JB = JL & JB + JB & JM N1O &,CDD 1DD &,CDD JK = N2+,COJB & ,CJL &JM GHIH 2 JB & JM = JM &,CDD 1DD JB = N1&,COJM N2O JM = 'P +'P 'Q JL = J2L NRO
=! 12 (1 " #5)
$
(4)
3 ! 4 "# 1
1 (26 & '25)$* 2 $% 2 = $* 26 & '25
$% =
$% = 0.055+43.88 , $*
10.76 Determinar Vo e Io en el circuito del amplificador operacional
-/7/1 9: = 9; < 9> 2|30? $: & $? $: & $? = < &4' 20 10 (1)
2|30? = (1 & 0.6@)$: < 0.6@$? -/7/2 $: & $? $? = 10 &2' (2)
$: & (1 < 5')$?
Dos ecuaciones dos incógnitas:
$: = 0.85A3 < 1.3410' $? = 0.2A0A & 0.113B' = 0.3124|&21.34? 9; = 9? =
$: & $? 20
9? = 1.1502 < 1.22B3'
10.77 Encontrar la relación V 0/Vs para el circuito:
!"! $
!
"$ =%&'# #
#
! =(1+%&$#'#)# (1) ,-.- / 0"$2 # = #$"4 3 +%&'4(# "3) # =(# "3)($$24 +%&$2'4) 3 =51+ $$24 +%&$1 2'4)6# (7) 3 = 1+%&$! #'# 81+ %&'$4$44$29 ::;< = (C+@A>>/ +>CBC?)+@AB > > / / ? (>? +@A>/>?B/)
Resolviendo las ecuaciones:
10.78 Determine !(") en el circuito del amplificador operacional de la figura 10.121, abajo.
2sin(400#) = 2$0 & 0.5'* = +,5-/ 0.25!
%$= "#10
&'(' 1 2 " *+ = *+ , *+ " *- , *+ " */ 10 "#10 "#5 20 4 = 36 , #78*+ " #4*- " */ &'('2 *+ " *- = *"#5 10 *+ = 31 "#0.58**- = 2020, 40 */ = 16 */ *+ = 16 31 "#0.58*/ 4 = 36 , #78 16 31"#0.58*/ " # 46 */ " */ = 91 " # 17:*/ */ = 724" # = 6.;45<;.47 > */3?8 = 6.;45sin3400? , ;.47 8> *
10.79 En referencia al circuito del amplificador operacional de la figura 10.122, obtenga vo(t ).
= 1000 1 = 1 0.1!" # $% &(1000)(0,1 × 10'*) = +&10-/ 1 = 1 0.2!" # $% &(1000)(0,2 × 10'*) = +&5-/ 34 = +60 +&5 37 37 = +20 II10(+J10) 39 +(20)(+&10) <5>0° 34 = :+&; < : 10 20 + &10 +(20)(+&10) <5>0° 34 = :+&; < : 10 20 + &10 34 = 1?(2 @ &) = A5,B;>2?,5?° 34 (C) = A5,B;DEF(1000C @ 25,5?°)3 5cos (1000t)= 5 0°,
GH(K) para el circuito del amplificador operacional de la siguiente GL = MNOP(QRRRK+SR°) [T]
10.80 Obtenga figura 10.123 si
UV = 6DEF(1000C +?0°) = 6>+ ?0° 1 = +10000$ % = 0.1W = $X%
1 = $5000" = 0.2! = "# %&'()*)+,-/3 1 67 = 68 = 0 9: $ ;0° $ 0 = 0 $ 6< > 0 $ 6? $10000" 20000 50000 20: $ ;0° = $ 56< $ 6? $" 2 6< = $ 265? > 90:5"$ ;0° %&'()*)+,-/3 2 6@ = 6A = 0 6< $ 0 = 0 $ 6? 10000 $5000" 6< = 26 " ? Reemplazamos en la ecuación anterior
26? = $ 26? > 90: $ ;0° " 5 5" 6? B "2 > 25C = 90:5"$;0 90: $ ;0 6? = 5"D2.0EF: $ GH.;F°I 6? = E.F22: $G1.E0FF[6]
