MATEMATICA BASICA SEMANA 7: ECUACION DE LA PARABOLA Y SUS APLICACIONES SOLUCIONARIO Determine la ecuación ordinaria de la parábola; indique el valor del parámetro “p”, las coordenadas del vértice, del foco, la longitud del lado recto y la ecuación de la directriz. = − 6 + 1 1 Determine la ecuación general de la parábola que tiene V(-2;3) y F(-2;0) y la longitud del lado recto.
Determine la ecuación General de la Parábola que tiene foco F(5;2) y ecuación directriz x=1. Además determine la longitud del lado recto en cada caso. Determine la ecuación canónica de la parábola; indique el valor del parámetro “p”, las coordenadas del foco, la longitud del lado recto y la ecuación de la directriz. −42 a) 15 = −42 1 2 = 0 b) 6 − 12
Graficar cada una de las parábolas además de hallar el vértice, el foco, la longitud del lado recto y la ecuación de la directriz. 2 ( x 4) 16( y 2)
Tenemos que
16 4 p p 4
V (h; k ) V ( 4; 2) F (h; k p) F ( 4; 2) LR 4 p 4 4 16 Directriz , D : y k p y 6
( x 3) 2 4 y Tenemos que
4 4 p
p 1
V ( h; k ) V (3; 0) F (h; k p) F (3;1) LR 4 p 4 1 4 Directriz , D : y k p y 1
( x 3)2 8 y 3 Tenemos que
8 4 p p 2
V (h; k ) V (3;3) F (h; k p) F (3;1)
LR 4 p 4 2 8 Directriz , D : y k p y 5
Transformar la ecuación dada a la forma de parábola ordinaria para hallar el vértice, foco además de la longitud del lado recto. Realizar la gráfica en cada caso.
x 2 y 2 0
2
P : x h 4 p ( y k ) x 2 y 2 0 x 2 y 2 2 x 0 1 y 2 4 p 1 p 14 V h; k 0; 2 F h; k p 0; 2 14 0; 94
LR 4 p 4 14 1
x2 4 x 2 y 1 0
2
P : x h 4 p( y k ) x 2 4 x 2 y 1 0 x 2 2(2) x (2) 2 (2) 2 2 y 1 2 x 2 2 y 3 2
x 2 2 y 32 4 p 2 p 12 V h; k 2; 32 F h; k p 2; 32 12 2; 1 LR 4 p 4 12 2
2 x2 8 x 6 y 29 0
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2
P : x h 4 p ( y k ) 2 x 2 8x 6 y 29 0 2 x 2 4 x 6 y 29
x 4 x 3 y 292 2
2
2
x 2 2(2) x 2 2 3y 292 2 x 2 3 y 212 2 x 2 3( y 72 ) 4 p 3 p 34 V h; k 2; 72 F h; k p 2; 72 34 2; 174 L R 4 p 4 34 3
x 2 6 x y 5 0
2
P : x h 4 p ( y k ) x 2 6 x y 5 0 2 2 x 2 2(3) x 3 3 y 5 2
x 3 y 5 9 2 x 3 1( y 4) 4 p 1 p 14 V h; k 3; 4 F h; k p 3; 4 14 3; 415 LR 4 p 4 14 1
x 2 4 x y 1 0
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2
P : x h 4 p ( y k ) x 2 4 x y 1 0 2 2 x 2 2(2) x 2 2 y 1 2
x 2 y 1 4 2 x 2 1( y 3) 4 p 1 p 41 V h; k 2;3 F h; k p 2;3 14 2; 114 LR 4 p 4 41 1
x 2 4 x y 4 0
2
P : x h 4 p ( y k ) x 2 4 x y 4 0 2 2 x 2 2(2) x 2 2 y 4 2
x 2 y 4 4 2 x 2 1( y 8) 4 p 1 p 14 V h; k 2; 8 F h; k p 2; 8 14 2; 431 LR 4 p 4 14 1
g) x2 2 x 6 y 5 0
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2
P : x h 4 p( y k ) x 2 2 x 6 y 5 0 2 2 x 2 2(1) x 1 1 6 y 5 2
x 2 1 6 y 5 2 x 2 6 y 6 2 x 2 6 y 1 4 p 6 p 32 V h; k 2; 1 F h; k p 2; 1 32 2; 12 LR 4 p 4 32 6
h) x2 6 x y 11 0
2
P : x h 4 p ( y k ) x 2 6 x y 11 0 2 2 x 2 2(3) x 3 3 y 11 2
x 3 9 y 11 2 x 3 y 2 2 x 3 1 y 2 4 p 1 p 14 V h; k 3; 2 F h; k p 3; 2 14 2; 94 LR 4 p 4 14 1
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Encontrar la ecuación ordinaria de la parábola que satisfacen cada una de las condiciones dadas a continuación y graficar en cada caso. Foco: F (5;2) y la recta directriz: x 1 0 Por la posición de la directriz, la parábola será de la forma: 2
P : y k 4 p( x h)... Primero trabajamos con la directriz:
x 1
h p 1
... 1
Ahora trabajamos la coordenada del foco:
F 5; 2
h p 5
k 2
h p 5
... 2
Uniendo la ecuación (1) y (2), obtenemos:
h p 1 h p 5
2h 6
h3
p2
Luego, tenemos: 2
y k 4 p x h
2
2
y 2 4 2 x 3 y 2 8 x 3
Vértice: V (2;1) y la recta directriz: x 3,5 Por la posición de la directriz, la parábola será de la forma: 2
P : y k 4 p( x h)... Primero trabajamos con la coordenada del vértice:
V 2;1
h 2 k 1
Ahora trabajamos con la directriz:
x 3.5
x
7 2
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h p
7 2
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2 p
7 2
p 2
7 2
p
3 2
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Luego, tenemos: 2 2 2 3 y k 4 p x h y 1 4 x 2 y 1 6 x 2
2
Vértice: V (1; 4) y foco: F (3;4) Por la posición del vértice y del foco, la parábola será de la forma: 2
P : y k 4 p( x h)... Primero trabajamos con la coordenada del vértice:
V 1; 4
h 1
k 4
Ahora trabajamos con la coordenada del foco:
F 3; 4
h p 3
k 4
1 p 3
p2
Luego, tenemos: 2
2
y k 4 p x h y 4 4 2 x 1
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2
y 4 8 x 1
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Transformar la ecuación dada a la forma de parábola ordinaria para hallar el vértice, foco además de la longitud del lado recto. Realizar la gráfica en cada caso.
y 2 6 y 8 x 17 0
2
P : y k 4 p( x h) y 2 6 y 8 x 17 0 y 2 2(3) y (3) 2 (3) 2 8 x 17 2 y 3 9 8 x 17 2
y 3 8 x 8 2 y 3 8 x 1 4 p 8 p 2 V h; k 1;3 F h p; k 3;3 LR 4 p 4 2 8
y 4 y x 12 0 2
2
P : y k 4 p( x h) y 2 4 y x 12 0 y 2 2(2) y (2) 2 (2) 2 x 12 2 y 2 4 x 12 2
y 2 x 16 2 y 2 1 x 16 4 p 1 p 14 V h; k 16; 2 F h p; k 634 ; 2 LR 4 p 4 14 1
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y 2 8 y 8 x 0
2
P : y k 4 p( x h) y 2 8 y 8 x 0 y 2 2(4) y (4) 2 (4) 2 8 x 2 y 4 16 8 x 2
y 4 8 x 16 2 y 4 8 x 2 4 p 8 p 2 V h; k 2; 4 F h p; k 0; 4 L R 4 p 4 2 8
y 2 4 y 12 x 32 0
2
P : y k 4 p( x h) y 2 4 y 12 x 32 0 y 2 2(2) y (2) 2 (2) 2 12 x 32 2 y 2 4 12 x 32 2
y 2 12 x 36 2 y 2 12 x 3 4 p 12 p 3 V h; k 3; 2 F h p; k 1; 2 LR 4 p 4 3 12
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2
y 8 y 12 x 52 0
2
P : y k 4 p( x h) y 2 8 y 12 x 52 0 y 2 2(4) y (4) 2 (4) 2 12 x 52 2 y 4 16 12 x 52 2
y 4 12 x 36 2 y 4 12 x 3 4 p 12 p 3 V h; k 3; 4 F h p; k 6; 4 LR 4 p 4 3 12
y 4 3x y 10 2
2
P : y k 4 p( x h) y 2 4 3 x y 10 y 2 4 y 12 x 40 y 2 2(2) y (2) 2 (2) 2 12 x 40 2 y 2 4 12 x 40 2
y 2 12 x 36 2 y 2 12 x 3 4 p 12 p 3 V h; k 3; 2 F h p; k 6; 2 LR 4 p 4 3 12 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
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y 2 4 y 2 x 11
2
P : y k 4 p( x h) y 2 4 y 2 x 11 y 2 4 y 8x 44 y 2 2(2) y (2) 2 (2) 2 8 x 44 2 y 2 4 8 x 44 2
y 2 8 x 40 2 y 2 8 x 5 4 p 8 p 2 V h; k 5; 2 F h p; k 7; 2 L R 4 p 4 2 8
y 2 4 y 8 x 4 0
2
P : y k 4 p( x h) y 2 4 y 8 x 4 0 y 2 2(2) y (2) 2 (2) 2 8 x 4 2 y 2 4 8 x 4 2
y 2 8 x 8 2 y 2 8 x 1 4 p 8 p 2 V h; k 1; 2 F h p; k 1; 2 LR 4 p 4 2 8
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9. Solución Empezarnos seleccionando la ubicación de los ejes de coordenadas de modo que el eje x coincida en la calzada y el origen coincida en el centro del puente. Como resultado de esto, las torres gemelas quedarán a 746-220=526 pies arriba de la calzada y ubicadas a 4200/2=2100 pies del centro. Los cables de forma parabólica se extenderán desde las torres, abriendo hacia arriba, y tendrán su vértice en (0,0) como se ilustra en la figura:
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10.
Solución
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11.
Solución
12.
La ganancia obtenida por un comerciante al vender “ x ” cepillos está dada por
P x 1000 x 242000. Encuentre el número de cepillos que debe vender el comerciante para obtener la mayor ganancia. ¿Cuál es la ganancia obtenida en ese caso? 2
SOLUCIÓN: 2 De la ecuación P x 1000x 242000. , con a 1(coeficiente de x )
2
La gráfica de la ecuación de la ganancia es una parábola que se abre hacia abajo, el punto
máximo estará determinado por el vértice, por tanto nuestro problema se reduce a encontrar las coordenadas del vértice.
h
1000 2 1
500,
2
k 500 1000 500 242000 8000
h, k 500,8000
Respuesta: El número de cepillos que debe vender para obtener la mayor ganancia es
500 y la
ganancia máxima obtenida será 8000.
Se determina la ganancia diaria de la venta de un producto por medio de P 16 x 0.1x 100 dólares. 2
13.
a) ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
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b) ¿Cuál es la máxima ganancia posible?
SOLUCIÓN: Como la gráfica de la ecuación de la ganancia es una parábola que se abre hacia abajo, el punto
máximo estará determinado por el vértice, por tanto nuestro problema se reduce a encontrar las coordenadas del vértice.
h
16 2 0.1
80,
2
k 16 80 0.180 100 540
h, k 80,540
Respuesta: El nivel de producción que maximiza la ganancia es 80 y la ganancia máxima
obtenida será 540.
14.
La ganancia diaria de la venta de x unidades de un producto es P 80 x 0.4 x 200 dólares. 2
a) ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? b) ¿Cuál es la máxima ganancia posible?
SOLUCIÓN: Como la gráfica de la ecuación de la ganancia es una parábola que se abre hacia abajo, el punto máximo estará determinado por el vértice, por tanto nuestro problema se reduce a encontrar las coordenadas del vértice.
h
80 2 0.4
2
100, k 80 100 0.4 100 200 3800
h, k 100, 3800
Respuesta: El nivel de producción que maximiza la ganancia es 100 unidades y la ganancia
máxima obtenida será $ 3800.
15.
El propietario de una pista de patinaje renta la pista para fiestas en S/. 600 si asisten 50 o menos patinadores, de modo que el coto por persona es de S/. 12 si asisten 50. Por cada 5 patinadores sobre 50, reduce S/. 0.50 el precio por patinador. a) Elabore una tabla que dé el ingreso generado si asisten 50, 60 y 70 patinadores. b) ¿El ingreso del dueño derivado de la renta de la pista se incrementa o se reduce conforme aumenta el número de patinadores de 50 a 70? c) Escriba una ecuación que describa el ingreso de las fiestas con más de 50 patinadores. d) Encuentre el número de patinadores que maximizará el ingreso.
SOLUCIÓN:
Nº de Patinadores
Precio de Alquiler
Ingreso Generado
50
S/. 12 c/u
S/. 600
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60 70
S/. 11 c/u S/. 10 c/u
S/. 660 S/. 700
a) Aumenta
b) Sea “ x ” el número de incrementos de 5 en 5 en el los patinadores e “ I ” el ingreso generado, entonces:
I 50 5 x 12 0.5x 600 25x 60x 0.25x 600 35x 2.5x 2
2
c) Utilizaremos la ecuación obtenida en el ítem anterior, pues como la grafica es una parábola que se abre hacia abajo entonces el máximo será determinada por el vértice:
h
35 2 2.5
7,
2
k 600 35 7 2.5 7 722.5,
h, k 7, 722.5
Respuesta: el ingreso máximo se obtendrá con 7 incrementos lo cual da como resultado un
total de: 85 patinadores.
16.
Si la ecuación de la oferta de una mercancía es p q 2 8q 16 y la de la demanda es
p 3q 2 6q 436, encuentre la cantidad de equilibrio y el precio de equilibrio.
SOLUCIÓN: Para hallar el punto de equilibrio basta igualar las ecuaciones de la oferta y la demanda:
q 2 8q 16 3q2 6q 436
4q2 2q 420 0 q
21 2
2q 21 q 10 0
q 10
Luego el precio sale reemplazando el valor de q en cualquiera de las ecuaciones: 2
p 10 8 10 16 196 Respuesta: la cantidad de equilibrio es
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10 unidades y el precio será: 196 unidades monetarias.
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