Rezolvari Probleme Manual Mate11M2

Marius Burtea

Georgeta Burtea

REZOLVAREA PROBLEMELOR  DIN MANUALUL DE

MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile profesionale (TC). 3 ore/s`pt`m@n`.

1

 Instruc\iuni de utilizare

Lucrarea de fa\` a fost g@ndit` pentru a veni [n sprijinul elevilor [n rezolvarea   problemelor din manual, fiind modele de rezolvare pentru orice tip de exerci\ii ]i  probleme pe care ace]tia le pot [nt@lni [n culegeri sau alte manuale de clasa a XI-a, ajut@ndu-i [n preg`tirea pentru Olimpiadele de matematic` sau examenul de Bacalaureat. Materialul este format [n esen\` din dou` p`r\i distincte: Partea [nt@i, intitulat` Elemente de calcul matriceal ]i sisteme de ecua\ii liniare, ce cuprinde capitolele: Matrice, Determinan\i ]i Sisteme de ecua\ii liniare. Partea a doua, intitulat`   Elemente de analiz` matematic`  , este format` din urm`toarele capitole: Limite de func\ii, Func\ii continu`, Func\ii derivabile ]i Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor. Fi]ierul este organizat astfel: calcul matriceal ]i sisteme de ecua\ii ecua\ii liniare Ø Partea I, intitulat`  Elemente de calcul ü Enun\uri ü Rezolv`ri Ø Partea a II-a, intitulat` Elemente de analiz` matematic`  ü Enun\uri ü Rezolv`ri Am conceput Cuprinsul acestei lucr`ri astfel [nc@t s` se poat` urm`ri u]or, [n  paralel, cele dou` problematici tratate: Enun\uri ]i Rezolv`ri. {n cazul [n care ave\i dubii asupra unui enun\ din acest material, pentru a g`si u]or u]o r [n manual problema propus` am notat [n cadrul Cuprinsului ]i pagina din manual unde se afl` aceste exerci\ii ]i  probleme (coloana scris` cu albastru).  Modul de utilizare a fi]ierului 

Pentru a u]ura g`sirea unei anumite probleme din manual sau a rezolvarii unui anumit exerci\iu am conceput acest material [ntr-o manier` simpl` de utilizare. Astfel, dac` utilizatorul dore]te s` vizualizeze setul de d e exerci\ii de la o anumit` tematic`, este suficient ca, [n pagina de Cuprins (pag.3), [n coloana  Enun\uri exerci\ii ]i probleme  propuse [n manual , s` se pozi\ioneze deasupra capitolului sau temei care [l intereseaz` ]i s` ac\ioneze butonul din st@nga a mouseului. Automat fi]ierul sare la pagina corespunz`toare. Similar se ac\ioneaz` ]i pentru ajungerea rapid` la pagina de rezolv`ri dorit`, ac\ion@nd mouseul de data aceasta [n coloana Rezolv`ri exerci\ii ]i probleme . O dat` ajuns [n pagina dorit`, [ntoarcerea la Cuprins se face prin ap`sarea casetei cu s`geat` aflat` [n partea dreapt` sus a fiec`rei pagini ini\iale a fiec`rei sec\iuni. V` dorim mult succes la matematic`  AURORII 

2

CUPRINS PARTEA I. Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecua\ii liniare Enun\uri exerci\ii ]i probleme propuse [n manual Capitolul 1. Matrice

pag.

pag. manual

7

1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Opera\ii cu matrice . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. 1.2 .3. {nm {nmul\ ul\ire ireaa unei unei matr matrice ice cu un un scala scalarr . . 7 1.2.4. {n {nmul\irea ma matricelor . . . . . . . . . . 9 Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12

Capitolul 2. Determinan\i 2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei . . . . . . . . . . 13 2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 17 Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare | ) . . . . . . 19 3.1. Matrice inversabile din M  n (C  3.2. Ecua\ii matriceale . . . . . . . . . . . . 3.4. Metod Metodee de rezo rezolvare lvare a sisteme sistemelor lor linear linearee Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . Probleme re recapitulative . . . . . . . . . . .

. . . .

21 22 26 26 27

14 24 24 32 34 37 52 62 64 66 70 74 90 96 97

Rezolvari exerci\ii ]i probleme

pag.

Capitolul 1. Matrice 1.1. Tabel de tip matriceal. m atriceal. Matrice, mul\imi de matrice . . . . . . . . . . . . 1.2. Opera\ii cu matrice. . . . . . . . . . . . 1.2.3. 1.2 .3. {nmul {nmul\ir \irea ea unei unei matri matrice ce cu un scal scalar ar 1.2.4. {nmul\irea matricelor . . . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

30 33 33 38 51 51

Capitolul 2. Determinan\i 2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei . . . . . . . . . . 54 2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . 70 70

Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare | ) . . . . . . 73 3.1. Matrice inversabile din M  n (C 

3.2. Ecua\ii matriceale . . . . . . . . . . . . . 80 3.4. Metode Metode de rezolva rezolvare re a siste sistemelor melor linear linearee . 83 Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . 10 1 02 Probleme recapitulative . . . . . . . . . . . . 106

PARTEA a II-a. Elemente de analiz` matematic` Enun\uri exerci\ii ]i probleme propuse [n manual Capitolul 1. Limite de func\ii

pag. manual

1.1. Mu 1.1. Mul\ l\im imii de de pun punct ctee pe pe dre dreap apta ta re real al`` . . 1.4. Calculul lilimitelor de func\ii . . . . . . 1.4.3. 1.4 .3. Limit Limitele ele func func\ii \iilor lor trigon trigonome ometri trice ce . 1.5. Opera\ii cu limite de func\ii . . . . . . 1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor  de func\ii . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4. Limite fundamentale [n calculul limitelor de func\ii . . . . . . . . . 1.7 Asimptotele func\iilor reale. . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . .

pag. manual

Rezolvari exerci\ii ]i probleme Capitolul 1. Limite de func\ii

112 112 114 116 118

103 113 134 140 151

. 120

160

. 122 . 124 . 12 1 25

167 176 177 179 183 187

. . . .

Capitolul 2. Func\ii continue 2.1. Fu Func\ii continue [ntr-un pu punct . 2.2. Opera\ii cu func\ii continue . . 2.3. Semnul unei func\ii continue pe un interval . . . . . . . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . .

. . . . . 127 . . . . . 129 . . . . . 130 . . . . . 13 1 31

Capitolul 3. Func\ii derivabile 3.1. De 3.1. Deri riva vata ta un unei ei fu func nc\i \iii [n [ntr tr-u -unn pun punct ct . 3.2. 3. 2. De Deri riva vate tele le un unor or fu func nc\i \iii el elem emen enta tare re . 3.3. Op Opera\ii cu fu func\ii de derivabil ile. e. . . . 3.3. 3. 3.55 Deri riva vare reaa fu func nc\i \iil ilor or in inve verrse . . 3.4. De Derivata de ordinul doi . . . . . . . 3.5 Regulire lui l'Hôspital . . . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

133 133 1355 13 136 1388 13 139 141 1 41 14

Capitolul 4. Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor 4.1 Rolul Rolul deriva derivatei tei [nt@i [n studiul studiul func\ func\iilor iilor . 4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. 4. 3. Re Repr prez ezen enta tare reaa gra grafi fic` c` a fun func\ c\ii iilo lorr . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . Probleme recapitulative . . . . . . . . . . . .

191 192 194 202 209 213 220 224 229 230

143

235 239

145 1477 14 1 48 14 150

246 255 256 258

3

pag.

1.1. Mu 1.1. Mul\ l\im imii de de pun punct ctee pe pe dre dreap apta ta re real al`` . . 1.4. Calculul limitelor de func\ii . . . . . . 1.4.3. 1.4. 3. Limite Limitele le func\i func\iilo ilorr trigono trigonomet metric ricee . 1.5. Opera\ii cu limite de func\ii . . . . . . 1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor  de func\ii . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4. Limite fundamentale [n calculul limitelor de func\ii . . . . . . . . . 1.7 Asimptotele func\iilor reale. . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

156 156 1 60 162 165

. 168 . 172 . 1 76 . 18 1 85

Capitolul 2. Func\ii continue 2.1. Fu Func\ii co continue [ntr tr--un pu punct . 2.2. Opera\ii cu func\ii continue . . 2.3. Semnul unei func\ii continue pe un interval . . . . . . . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . .

. . . . . 18 1888 . . . . . 192 . . . . . 196 . . . . . 20 2 00

Capitolul 3. Func\ii derivabile 3.1. 3. 1. De Deri riva vata ta un unei ei fu func nc\i \iii [n [ntr tr-u -unn pu punc nctt . . . . 203 3.3. Op Opera\ii cu cu fu func\ii derivabile. . 3.3.5 De Derivarea fu func\ii iillor inv inveerse 3.4. Derivata de ordinul doi . . . . . 3.5 Regulire lui l'Hôspital . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

208 208 2144 21 219 222 2 26 22

4.1 Rolul Rolul deriva derivatei tei [nt@i [nt@i [n studiul studiul func func\iilor \iilor . 4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. 4. 3. Re Repr prez ezen enta tare reaa gra grafi fic` c` a fun func\ c\ii iilo lorr . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . Probleme recapitulative . . . . . . . . . . . .

228

Capitolul 4. Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor 237 2433 24 2 60 26 264

PARTEA I ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL SISTEME DE ECUA|II LINIARE

Ø

Capitolul 1. Matrice Ø 1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice Ø 1.2. Opera\ii cu matrice Ø Exerci\ii ]i probleme Ø Teste de evaluare

Ø

Capitolul 2. Determinan\i 13 Ø 2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei Ø 2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie Ø Teste de evaluare

Ø

Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare | ) Ø 3.1. Matrice inversabile din M  n (C  Ø 3.2. Ecua\ii matriceale Ø 3.3. Sisteme de ecua\ii liniare cu cel mult trei necunoscute. Forma matriceal` Ø Teste de evaluare Ø

Probleme recapitulative

4

PARTEA I. Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecua\ii ecu a\ii liniare

Capitolul 1. Matrice 1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice

 Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 14 manual

 E  xersare E1. S` se scrie o matrice

AÎ M 3,2 (Z), BÎ M2 ,2 (Q), CÎ M 3 ,4 (R ),

| ) . XÎ M2  ,3 (C

  

E2. S` se scrie: a) o matrice coloan` cu 4 linii; c) ma matricea un unitate de de or ordinul 5; 5;

E3. Se consider` matricele: æ 1 -3 4 ö ç ÷ =Aç-7 8 -2÷; ç ÷ è 0 -4 1 ø

b) o matrice linie cu 4 coloane; d) ma matricea nu nul` de de ti tipul (3 (3, 4) 4).

æ 2 -3 ç =Bç ç-2 -5 è

3ö ÷ 4 ÷;

÷

3ø

æ 8 ö ç ÷ æ2 =Cç -1 ÷; D -i   =ç è 5 ç ÷ è1+ i ø

ö

5 -7÷.

ø

a) S` se precizeze tipul matricelor  A,  A, B, C, D.  b) S` se scrie elementele matricei B matricei B ]i ]i D  D preciz@nd linia ]i coloana pe care sunt a]ezate.  Exemplu: b11 = 2, d 13 = 5 , ... . c) S` se completeze: a23 =..., a32 =..., a22 =..., c 31 =..., c 21 =..., 1+ i =...,

3 =..., - 4 =...,

b23 =..., d 14 =... ]i ] i altele. d) S` se precizeze valoarea de adev`r a afirma\iilor: • a11 + a22 + a33 reprezint` diagonala principal` a matricei A matricei A.. • diagonala secundar` a matricei A matricei A are suma elementelor egal` cu 12. • a31 + b22 + c 21 - d14  =

3 +1.

2 • a23 ×b123 × c 31 × d12 U-12 .

• a23 = b21 = 5d 11 .

æ 3a - 6 1- b a2 - 4 ö ç ÷reprezint` matricea nul` de tipul (2, 3). S` se Matricea X   X  =ç 2 E4. Matricea ÷ è b - b c - 12 4 - 2m ø determine a, b, c, m Î R. æ  x +1 ç E5. Matricea  A =ç 4 - y2 ç 2 è z +1

ö ÷ 3 u 1- t ÷  reprezint` matricea unitate de ordinul 3. S` se ÷ v2 1- x2 ø 0

0

determine numerele complexe x, complexe x, y, z, t, u, v. 5

E6. S` se determine elementele necunoscute astfel [nc@t s` aib` loc egalitatea: æ2 x +1 -1 ö æ- y + 6 æ x + y 2 x - yö æ 3 -1 ö  y + 2ö ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ a)ç  b) = = ; ç ÷ ç ç ÷ ç ÷. ÷ 4 - 2 x + y ø  x - y ø è - 5 2 x + y ø è x + 2 y 5 ø è 5 è 4 | ) ]i | ). S` se determine m, n Î Z astfel matricele A Î M  4 , 5-n (C  ]i B  B Î M  m2 , 2 (C  E7. Se consider` matricele A [nc@t s` fie posibil` rela\ia A rela\ia  A = B.

intez`  S intez`

S1. S` se scrie matricea  A = ( aij ) S2. S` se scrie matricea B = ( bij )

4´4 3´3

, ]tiind c` aij = max{i, j}, i, j = 1, 4 .

, ]tiind c` bij = j i+1 , i, j = 1, 3.

ì 2, dac` i = j ï ï dac` i > j . S3. S` se scrie matricea C = ( c ij ) , ]tiind c` c ij = í1, 3´4 ï i+ j i ï A j , dac` i< j î(-1) æ4 æ 4 x -6 2 4 ö 2 ö ç ÷ ç ÷ 2 1 ÷ ] i  B =ç 0 - x -10÷. S4. Se dau matricele  A =ç 3 -2x ç ÷ ç ÷ 6  y 2 + 6ø 0 2 y ø è5 è-4 a) S` se scrie tr ( A)  A) ]i tr ( B).  B).  b) Pentru ce valori ale lui y lui y are loc egalitatea a33 + b33 = a 21 - b12 ? c) Pentru ce valori ale lui x lui x are loc egalitatea a22 + 2b22 = a32 + b23 ? d) S` se determine x determine x , y Î R astfel ca tr( A) - tr (  B) = a13 + b31 .

S5. Se dau matricele p`tratice æ  y 2 - 2 y ö æ 2 x-1 ö x x ç ÷ 0 3 -9 lg ç ÷  A =ç ÷. 3 ÷ ] i  B =ç 2 ç è log 2 (a -1) 4 y - 3x ø 2 ÷ 3!- C n ø è a + 3bi -1 a) S` se determine  determine  x, y, a Î R astfel [nc@t A [nc@t  A = I 2 .  b) Pentru ce numere x , y, a, b, n Î R are loc egalitatea O 2 = B?

S6. S` se determine elementele necunoscute din urm`toarele egalit`\i de matrice: ö 2×C 2 æ a2 - 4 æ 2 - a -1 ö æ 4 ö a + bö x 2 + 7÷ æ çC n2+1 n ç ÷. ç ÷ ç ÷ a)ç =ç ÷=ç2 x -1 x - 2÷; b)ç 3 2 ÷ ÷ ø è b log 2 aø z ø è è 3 x(1- 2 x) -3 ø è 4 pozitive x, y, z, m, p pentru care urm`toarele matrice sunt S7. S` se determine numerele reale pozitive x, egale:

æ2 æx 2 - x 2 ö ç ÷ = =  A ç ,  B ç ç m÷ 2 ø è 3 è3

æ y - 3ö ÷, C =ç 3 x - 4 ç 2 ÷ è C  z +1 m2 ø

6

y -5ö ÷ ÷.  p ø

1.2. Opera\ii cu matrice 1.2.1. Adunarea matricelor

 Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 24 manual

 E  xersare æ2 -1 3 ö æ-7 ÷ a)ç E1. S` se calculeze: ç ÷+ç ç 5 4 2 è ø è3 æ ö æ ç-6 2 -5 ÷ ç 2 ç ÷ ç æ-2a b ö æ a - 5b ö ÷ ç ÷  b)ç c) + ; 1 0 1 ç ÷+ç 4 ç ÷ ç ÷ è 3 x -8 y ø è2 x 6 y ø ç2 4 2÷ ç 5 ç ÷ çè 3 5 3 ø è 3 æi 2 ç æ-1 4 ö æ-6 1ö æ1 0ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ E2. S` se calculeze: a)ç ÷-ç ÷-ç ÷; b)ç 2 ç è 2 -5 ø è 0 2 ø è 0 1 ø ç1 è

5ö ÷ ÷; 0 4ø

8

-7 -1 1 5

ö 3 ÷ ÷ 2 ÷. 8÷ ÷ 3 ø

ö æ ö -i 4 ö ÷ æ ç 1 2÷ ç 0 i ÷ 3 ÷+ç-2 0÷-ç-3 2 ÷. ÷ ç ÷ ç ÷ -1 ÷ ø è 3 4 ø è 4 6ø

E3. Se dau matricele: æ-1 2 0ö ÷ =Aç ç ÷; è 1 -3 2 ø

æ1 -3 2 ö ÷ Bç = ç ÷; è 0 -1 2 ø

æ-1 2 ö ç ÷ Cç 0   3 ÷. = ç ÷ è-4 -5ø

a) S` se calculeze A + B, A - B, t A+t B , t ( A + B ), t ( A - B ).  b) S` se calculeze A+t C, B-t C, t ( A - B+t C )  .

E4. Se dau matricele p`tratice: æ2 x 4 y 3 z ö æ 1  z æ 3 -2 3 ö v ö ç ÷ ç ÷ ç ÷  A =ç 1 u x ÷, C =ç2 3 -3÷. -4 ÷,  B =ç- y - v ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 ø è-v -2v t + 3ø è- x 2 y x - zø è2 4 S` se determine x, determine x, y, z, u, v, t astfel t  astfel ca A+ B = C.   matricea  X  Î M  2 (R ) dac` E5. S` se determine matricea X 

æ 1 ç æ 2 ö æ1 -1ö ç1- 2 1 ç ÷- X +ç ÷ ç ÷= ç ÷ è 3 -1ø ç 2 è 4 - 5ø ç è

æ5 ç trei, A =ç a 2 E6. Se d` matricea de ordinul trei, A ç ç3 è

6- a

bö ÷

ö 1 ÷ ÷ . 4 ÷ ÷ 1- 5 ø

-1 -10÷. S` se determine numerele reale a, b, ÷ 3c +2 n ÷ ø

c, n astfel ca t  A = A .

7

æ-2 3 ö ÷ matricea  A =ç matricea A sub forma: E7. Se d` matricea A ç ÷. S` se scrie matricea A 5 2 è ø A = B + C, A = A1 - A2 , A = I 2 + E, A = D- I 2 .

E8. S` se calculeze: æ-1- 2 æ ö ç 1 8 6 1 2 æ ö 1ç 6 -8÷ 2ç ÷ a) ç ÷; b) - ç15 C 2 1,5÷; c) ( 2 -1)ç 1 2è 12 0,2 ø 3è 3 ç ø 2 è 1- 2

ö ÷ æ 2i 3 1- i ö ÷. ÷; d) iç ç ÷ 3+ 8 ÷ è-3i 4 ø ø 0

matricea X ]tiind ]tiind c` are loc egalitatea: E9. S` se determine matricea X  æ ö æ-1 4 3ö æ0 1 3 ö ç 1 -1 5 ÷ 5 ÷ ÷  X  = 2ç ç ÷+ (-1) ×ç ç ÷- 3ç 2 5 - 1 ÷. è 1 0 1ø è2 -5 -4 ø è 3 3ø constantele x, y, z, a, b, c din egalitatea: E10. S` se determine constantele x, æ x -2 y 4 zö æ1 -3 -2ö æ 7 13 22ö ÷ ç ÷ ç ÷ + × = 2×ç 5 ç ÷ ç ÷ ç ÷. è-3 4 -1ø è a 4b 3c ø è-21 -2 8 ø

intez`  S intez`

S1. Se dau matricele:

æ2 5 ö ÷ = Aç ç ÷, è5 6ø

æ2 x -4ö ÷, = Bç ç  y ÷ 9 ø è3

æ 4 x 6 ö ç ÷. =ç   C 2÷ è log 2 z C n ø

S` se determine elementele necunoscute ]tiind c` t A+t  B = C.  

S2. S` se determine x, y, z, t  Î R pentru care are loc egalitatea: æ x +1 2 ö æ0 1ö æ 9 4 + y ö ÷ ç ÷ ç ÷ + + × =  x ×ç 3  I x ç ÷ ç ÷ ç ÷. 2 è -1  x ø è2 0ø è z + 2 t + 4 ø matricea A [n fiecare caz: S3. S` se determine matricea A æ1 2ö æ 5 6ö æ 4 -1 2 ö æ2 1 1 ö ç ÷ ç ÷ ÷ ÷ a) 2 A +ç b) 3 A + 5ç ÷=ç ÷; ç ÷=ç ç ÷; è 3 1ø è-1 3ø è 3 1 0ø è 0 -4 9ø æ-1 -3ö æ-3 0 ö æ 0 1,5ö ç ÷ ç ÷ 4ç ÷ c) -4ç 0 4 ÷+ 7 A =ç 1 -2÷- ç 6 0 ÷. ç ÷ ç ÷ 3ç ÷ 6 ø è 3 12 ø è 12 -1ø è5 matricele A, B ]tiind c`: S4. S` se determine matricele A, æ 3 2ö æ 1 -1ö ç ÷ ÷ a) A a)  A + 2B =ç ÷]i 2 A - B =ç ç ÷; è2 3ø è-1 1 ø æ2 + i æ2 - i 1- i ö 1 ö ÷ ç ÷ + = b) ( 1+)i A + B =ç ]i A ( 1 i ) B ç ÷ ç ÷. è 1 2 + iø è1- i 2 - i ø

S5. S` se calculeze matricea: n æ1 k  ö ç ÷ a) A a)  A = åç 3 ÷; + k k ( k  1 ) è ø k =1

æ1  b) A  b)  A = åç ç k k =1è2 n

8

2 k × 3k +1 ö ÷. k -k  ÷ 2 ×3 ø

 Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 32 manual

 E  xersare E1. S` se calculeze: æ 4 5 öæ 2 1 ö ÷ ÷ a)ç ç ÷×ç ç ÷; 6 – 1 – 3 – 2 è øè ø 

æ1  – 2öæ1 4ö ÷ ÷  b)ç ç ÷×ç ç ÷; 4 1 2 1 è øè ø æ ö ç ÷ – 1 – 1 c o s 0 æ – 1 2 ö ÷ æ 3 1 2öç ç ÷æ 0  – 2 3 ö ç ÷ç p÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ c) 1 0 ×ç d) 2 1 2 ×ç 2 – 1 sin ÷; ÷; ç ÷ 2÷ 1  – 1 –  4 è ø ç ÷ç ç 2 ÷ 1 2 3 è ø è2 i ø  p ÷ ç ç 0 1 tg ÷ è 4ø æ1 1 ö ÷ æ1  – 1 2 4 öç ç ÷ æ1 2 3ö ç – 1 2 ÷ ÷ ç ÷ e)ç 1 2 1 2 × × ç ÷ ç ÷. è 3  – 1 1øç ÷ç 0 1÷ è1 3  – 1 – 1 øç ÷ è – 2 2ø

B ) s` se determine AB, BA BA, tA tB, tB tA  . E2. Pentru fiecare pereche de matrice ( A, B) æ 1 ö æ1 ö ç –  1 ÷ ç ÷ æ1 3ö ç 2 ÷ ç ÷ a)  A =ç ; b)  A =ç2÷, B = (–3 1 – 1) ; ÷, B =ç ÷ 1 è 3 1ø ç ÷ ç 1  –  ÷ è 3ø è 2ø æ ö æ – 2 1 ö æ1 0 0ö æ 0 0  – 4ö ç – 1 1 sin  p ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 6÷ ç c) A c)  A =ç 1 3 ÷; d) A d)  A =ç 0 1 0÷, B =ç – 3 0 0 ÷. ÷, B =ç  p ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç cos 1 2 ÷  – 2 tg0ø 1 0 1ø 1  – 1 1 ø è è è è ø 2 æ – 1 2 ö ç ÷ æ 3 1  – 4 0ö ç 0 1÷ ç ÷ , B = E3. Pentru matricele  A =ç ç ÷ s` se verifice egalitatea ÷  –  3 1 0 1 0 5 è ø ç ÷ ç ÷ è 2 0ø t ( A× B) = t B× t A. ]i s` se calculeze AB + t B× t  A.

E4. Se dau matricele p`tratice: æ – 1 0 3 ö ç ÷ =Aç 2  – 1 2 ÷; ç ÷ 1 0ø è1 S` se verifice egalit`\ile matriceale: a) A× ( B× C) = ( A× B) ×C;  c) ( A + B )× C = A× C + B× C . 

æ 5 1  – 2 ö ç ÷ Bç 1 1 3 ÷; = ç ÷ è –1 1 – 2ø

æ0 2 0 ö ç ÷ Cç –1  3 – 1÷. = ç ÷ è –4 0 – 2ø

b) A× ( B + C ) = A× B + A× C; 

9

E5. S` se calculeze urm`toarele puteri de matrice: 2

3

5

æ2 1 ö æ1  – 1ö æ 2  – 1ö ç ÷ ÷ ÷ ç ÷ ;ç ç ÷ ;ç ç ÷ è1  – 3ø è 3 2 ø è – 1 1 ø

æ2 1 1 ö2 ç ÷ ; ç 3  – 1 0 ÷ . ç ÷ è 0 1  – 2ø

æ –1 2 – 2ö ç ÷ matricea  A =ç 4  – 3 4 ÷. S` se calculeze A2 , A3 , A2006 ]i ( A 3 +I ) 10 . E6. Fie matricea A ç ÷ è 4  – 4 5 ø æ1 1ö ÷ E7. Se d` matricea  A =ç ç ÷. Folosind metoda induc\iei matematice s` se calculeze è 0 1ø  A n , n Î N* . determine  X  Î M  2 (R ) care verific` egalitatea matriceal`: E8. S` se determine X  æ – 1 2 ö æ5 10ö æ – 1 3ö æ5 7 ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ a) X a)  X ×ç ;  b) X  = × = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷. è 3 4ø è 4 2ø è 2 1ø è 4 0ø

æ – 1 0 ö 3 ÷ matricea E =ç E9. Se d` matricea E  ç ÷]i f ( X ) = X – 4 X + 2 I 2  . S` se determine matricele: è 2  – 1ø a) B = 2 f ( A) – f ( A + I 2  );

b) C = f ( A ) + 2 f ( A – t A ).

intez`  S intez` matricea X care care verific` egalitatea: S1. S` se determine matricea X  æ-1 4 1ö æ-3ö ç ÷ ç ÷ æ1 -1 1 ö æ 0 3ö ç ÷ ç ÷ a)ç b)ç 0 1 3÷× X  =ç 8 ÷; ÷× X  =ç ÷; è 0 1 -1ø è 3 2ø ç ÷ ç ÷ è-2 2 5ø è9ø æ1 -1 1 ö æ8 2 -1ö ç ÷ ç ÷ c)ç2 0 3 ÷× X  =ç 9 5 4 ÷. ç ÷ ç ÷ è1 1 -2ø è-3 -1 5 ø

æ1 5ö æ2 1ö ÷ ç ÷ = , B S2. Se dau matricele p`tratice  A =ç ç ÷ ç ÷. S` se rezolve [n è 0 1ø è1 1ø

R)

M  2 (

ecua\iile

matriceale: a) AX= I2 ;

b) AX= B;

c) XA= B;

d) AX= XB;

e) BXB= A.

æ a -bö ÷ S3. S` se determine matricea  A Î M  2 (R ), de forma ç ç ÷, care verific` egalitatea èb a ø æ-1 -1ö ÷ A2 - 3 A+ 2 I2  =ç ç ÷. è 1 -1ø æ 1 2ö æ 3 1ö æ 0 -3ö ÷ ÷ ÷ S4. S` se rezolve ecua\ia matriceal`: 2 -Aç ç ÷× ×ç çA ÷=ç ç ÷+ è-1 1ø è-1 1ø è 4 1 ø

10

2

.I

 

æ1 -1ö æ1 -1ö ç ÷ ÷ matrice  A Î M  2 (R ) care verific` egalitatea ç S5. Exist` matrice A ÷× A = A×ç ç ÷? 3 2 3 2 è ø è ø æ-1 0 2 ö ç ÷ ç S6. S` d` matricea  A = 0 1 0 ÷. S` se determine numerele  x , y Î R astfel [nc@t s` fie ç ÷ è 2 0 -1ø verificat` egalitatea A3 = xA2 - yA.  Facultatea de Inginerie economic` Tg. Mure], 2002

æ 3 ç ç matricei  A =ç 2 S7. S` se determine puterea n a matricei A 1 çè 2

1 ö ÷

2 ÷. 3÷

÷

2 ø  Facultatea de inginerie Sibiu, 2002

æ2 1 0 ö ç ÷ matricei  A =ç 0 1 0÷. S8. S` se determine puterea n a matricei A ç ÷ è0 0 2 ø Universitatea Politehnic` Timi]oara, 2002

æ1- 2 x x ö ÷ matricea  A (x ) =ç S9. Fie matricea A ç ÷Î M  2 (R ) . è -6 x 1+ 3x ø a) S` se arate c` A( x ) × A( y ) = A( x + y + xy ), " x, y Î R .  b) S` se verifice egalit`\ile:

(

)

(

)

A2 ( x ) = A ( x +1) 2 -1 , A3 ( x ) = A ( x +1) 3 -1 . c) S` se calculeze A calculeze  A 2006 (1) .

æ1 1 2 ö æ0 1 2ö ç ÷ ç ÷ matricele  A =ç 0 1 1÷, B =ç 0 0 1 ÷. S10. Fie matricele A ç ÷ ç ÷ è 0 0 1ø è 0 0 0ø a) S` se arate c` A= I3 + B ]i s` se calculeze A calculeze  A n , n Î N *.  b) S` se calculeze suma S = A + A 2 + A 3 +...+ A 20 .

æ1 1ö æ1 ÷ ç matricele  A =ç , B = S11. Se dau matricele A ç ÷ ç 2 è 0 1ø è k 

k ö ÷ ÷. 1ø

a) S` se determine matricea C (k ) = A× B×t  A .  b) S` se calculeze suma de matrice S = C (1) +C (2) +...+C (20  ) .

11

pag. 32 manual

Teste de evaluare Testul 1 æ1  x x 2 ö ç ÷ ç Fie A  A Î M  3 (R ), A = 0 1  x ÷]i a =2a13 +3a23 . Dac`  a = 5, atunci: 1. Fie ç ç0 0 1 ÷ ÷ è ø ì 5 ü a) x a)  x = 1; b) x =- 2,5 ; b) x c) x Î {0, 1}; d) x Î í- , 1ý. î 2 þ reale x, y cu proprietatea c` 2. S` se determine numerele reale x, æ1 2 ö æ y 1 ö æ 4 5 ö ç ÷ ÷ ÷  xç ÷+ 3 yç ç ÷=ç ç ÷. è2  x ø è 1  x ø è5 4ø æ1 1 1 ö ç ÷ 3. Fie A=ç 0 1 0÷Î M  3 (R ) ] i B= A10 + A9 . ç ÷ è1 0 1 ø a) S` se calculeze Tr( B) ] i b31 + b22 + b13 ;  b) S` se calculeze A calculeze  A n , n Î N*

Testul 2 ì ü æ1 ï ï  x ö ç ÷ ý.  x Î Z 1. Se consider` mul\imea de matrice M = í A( x) =ç ÷ ï ï è 0 (-1) x ø î þ a) S` se arate c` I c` I 2 Î M  .  b) S` se arate c` dac` A, B Î M ,  atunci A× B Î M .  c) S` se calculeze An , nÎ N* ] i AÎ M.  

2. S` se determine numerele x, y, z, t  Î N pentru care: æ2 x + 4 x 3 y + 9 yö 4 18ö ç ÷= 5×æ ç ÷ ç ÷. ç ÷ 2 2 9 12 è ø C 5 A è  z t +1 ø æ1 1ö æ ö æ ö t  ç1 1÷ ç 4 7÷ ÷ matricea  A Î M  2 (Z ) ]tiind c`:ç  A A × + = 3. S` se determine matricea A ç ÷ ç ÷ ç ÷. è 0 1ø è 0 1ø è 3 7ø æ 0 aö æ x 0 ö ç ÷ ÷ | 4. Fie A, BÎ M  2 (C ), A=ç ÷,  B =ç ç ÷. b 0 0  y è ø è ø S` se arate c` matricea ( AB- BA) 2 are cel pu\in dou` elemente nule.

12

Capitolul 2. Determinan\i 2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mult trei

 Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 52 manual

 E  xersare E1. S` se calculeze urm`torii determinan\i de ordinul doi: 1,5 -7,2 2 + i -1 -2 - 5 2 -6 a) ; b) ; c) ; d) 2 . 8 10 5 8 i 2- i -3 32 E2. S` se calculeze, scriind sub forma cea mai simpl`, determinan\ii: 7

8

a) 5 3 ; 9 25 e)

3! 5! 0 ! 4!

;

b)

f)

3 - 32 2 - 75

 A42

A33

C 51

C 43

;

g)

;

-1- 3 1+ 5

c)

2 x+1

32 y

9- y+1

2-x

5 -1 3 -1

;

d)

h)

;

log100

0,5

-8

lg 0,1

(1- i ) 2

-i . (1+ i ) 2

i

æ2 -1ö æ 4 -5 ö ç ÷ ÷ p`tratice  A =ç E3. S` dau matricele p`tratice A ÷, B =ç ç ÷. Compara\i numerele: è7 4 ø è6 2 ø a) det ( A ) + det (B ) ]i det ( A + B ) . b) det ( A)B] idet ( ) A×det ( )B ; c) det[ 3 ( A- I2 )] ] i det ( A+ 2 I2 ) .

E4. S` se rezolve ecua\iile:  x -3x -5 3 x -1 a) b) = 20; = 10 ; - x 4 -2 2 d)

3- x  x +1

4x -1 x

= x - 5 ; e)

x- i 2 x

i x

=

3  x i

3

c)

; f)

3 x 2

x +1

 x

2

3 x

 x

1

 x

2

=

= 4; 2 x

-1

- x 18 x

.

E5. S` se calculeze determinan\ii de ordinul al treilea prin cele trei reguli de calcul: 3 -1 2 2 1 3 1 2 -5 0! 1! 2! a) 1 4 5 ; b) 3 2 1 ; c) 2 -1 0 ; d) 1! 2! 0! ; 1 3 2 4 -1 0 2! 0! 1! -2 -1 -1 -8 2 8 P0 P1 P2   10 20 40 11 21 47 e) C 20 C 21 C 22 ; f) -1 -5 -7 ; g) -1 18 7 ; h) 3 7 -3 . A31 A32 A33 100 200 400 0 0 0 -1 5 1 E6. Enun\a\i c@te o proprietate a determinan\ilor ]i da\i un exemplu de aplicare a acesteia. E7. Folosind propriet`\ile determinan\ilor s` se calculeze determinan\ii: 300 400 500 10 -1 3 5 11 -1 a) 1 b) 50 1 1 ; c) 15 22 -3 ; -1 4 ; 3 4 5 100 2 1 25 44 -5 13

;

1 a

m

d) 1 b

n ;

1 c

x

y

y

e) y

x

y ;

y

y

x

p

a

b

c

f) b

c

a .

c

a

b

-9 1100 E8. Se consider` determinantul d = 4 6 -3 . 8

12

5

1

a) S` se determine complemen\ii algebrici ai elementelor determinantului d .  b) S` se calculeze d  d folosind folosind dezvoltarea dup` coloana a doua ]i apoi dup` linia a treia. c) Folosind propriet`\ile determinan\ilor, s` se forme ze dou` zerouri pe coloana [nt@i, apoi s` se calculeze determinantul ob\inut folosind dezvoltarea deter- minantului dup` coloana [nt@i.

Sintez`

S1. S` se calculeze valoarea expresiei:

-1

4

8

-25

4 -1

- 6× 3

5

2

1

2

-1 + 2× -5 . 0

S2. S` se verifice dac` urm`toarea egalitate este adev`rat`: 3 4 -3 4 -1 7 -1 5 5 - 2 4 - 17 20 2 5 . + 0 2 1 = 6 7 3 7 1 4 + 17 - 5 - 2 3

5

10

S3. S` se rezolve ecua\iile: x( x+ 2) x+ 3 a) =- 14 ;

c)

5

4

x( x-1)

4- x

5

2

b)

-5 x 2 ; =  x +1 x

d)

x2 + x

x- 2

3 x

2

3 x+2

9

4

1

=

1

=

3

i

3+ i

3- i

-i

2

3x

1

3 x+1

;

.

S4. S` se rezolve ecua\iile:  x 1 1 7 -1 2 - x 1 1 -1 -1  x (1+ i ) 2 1 a) 1  x 1 = -3 9 4 ; b) 1  x 1 - -1  x -1 = ; -2 i 1 1 2 7 -1 5 1 1  x  x -1 -1 2 x -1

2

c) 3 x + 2 -1 4

-2

1 3 = 2

1  x  x

3

; d)

 x +1 1

S5. Se consider` ecua\ia  x -1 x 0

 x

x

x+1

x+ 2

x+ 3

x+ 4

x+ 5 =

2x

2 x-1

2

 x

x- 3 1

 x +1 x 4

5

.

. Dac` x1 , x2 , x3 sunt solu\iile ecua\iei, s` -3 = -1 5 1- x

se calculeze S = x 13 + x 23 + x 33 .

14

S6. Folosind propriet`\ile determinan\ilor, s` se calculeze urm`torii determinan\i scriind rezultatul sub form` de produs: a2

a

a +1

a +2

b) b

b +1

b +2 ;

c

c +1

c +2

a 1

a) b 2

b 1 ;

c2

1

c

a- b

m-n

x -y

d) b - c

n- p

y-z ;

c-a

p-m

z -x

x

y

z

e) x2

y2

z2 ;

xz

xy

yz

a

a 2 +1

a +1

c) b

b 2 +1

b +1 ;

c

c 2 +1

c +1

a +1 a -1 f) b +1 b -1 c +1 c -1

a 2 -1 b 2 -1 . c 2 -1

S7. S` se verifice egalit`\ile: 2a

a-b-c

2b

2b

2c

c - a- b

2c

x+ y

y+ z

2a a) b - c - a

= (a + b + c ) 3 ;

z+ x

 b) x 2 + y2

y2 + z 2

z 2 + x 2 = 2 xyz ( x- y) ( y - z ) (z - x ) .

x 3 + y3

y3 + z 3

z3 + x 3

Fie A  A Î M  2 (R ). S` se arate c` are loc egalitatea A2 - tr ( A) × A+ det ( A)× I 2 = O2 (rela\ia S8. Fie lui Hamilton-Cayley).

æ1 -2 1 ö ç ÷ ç matricea  A = 1 -1 3÷. S9. Se d` matricea A ç ÷ è 0 1 4ø a) S` se calculeze d = det ( A ) ] i t = tr ( A ).  b) S` se calculeze s calculeze s = d11 + d 22 + d 33 , unde d ii reprezint` complementul algebric al elementului aii din matricea A matricea A,, i = 1, 2, 3. c) C@t este suma s1 = a13 d12 12 + a23 d22 2 2 + a33 d32 32 ? 3 d) S` se verifice egalitatea matriceal` A - tA2 + sA- d× I 3 = O3 . æ-2 1 -4ö ç ÷ S10. Se dau matricele A=ç 1 -1 3 ÷] i B= ( bij ) 3´3, unde bij = i, dac` i = j ] i bij = i - j , ç ÷ 1 0 ø è2 dac` i ¹ j . a) S` se determine det ( A), de det ( B) ]i det ( A× B) . b) S` se verifice dac` are loc egalitatea det ( A× B) = det ( A) ×det ( B) . c) C@t este suma s= b11d 31 + b12 d32 + b13 d33 ? C`rei propriet`\i a determinan\ilor corespunde rezultatul?

S11. Aplic@nd propriet`\ile determinan\ilor, s` se arate c` urm`torii determinan\i sunt nuli: a+ b 3 c a- b 2 a-b a 2 (b + c ) 2 b + c - a a) b + c b) a 2 + b 2 a - b -2ab ; c) b 2 (a + c ) 2 a + c - b . 3 a ; c+a 3 b c 2 (a + b) 2 a + b - c -2ab a - b a 2 + b 2

15

2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie

 Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 62 manual

 E  xersare punctele  A (2, - 4) ] i B (-1, 3). ). S` se scrie ecua\ia dreptei AB ]i s` se verifice dac` E1. Se dau punctele A  punctul C  C ((5, -11) este coliniar cu punctele A, punctele A, B.

E2. Care din urm`toarele triplete de puncte sunt formate din puncte coliniare: a) A  b) M(2, - 3); N(1, -1) ; P(1, 5 ) . (-1, - 9); B (2, - 3); C (4, 1)  . c) E(-4, - 2) ; F(2, 1); ) ; G(6, 3). d) T (2, -1) ; U (3, 1) ; V (m, 2m -5 ). ). E3. Se dau punctele A(2, - 3) , B( m+1, 2 m) , C(1,  5 ). a) S` se determine ecua\ia dreptei AC. dreptei AC.  b) Pentru ce valori ale parametrului m, punctele A, punctele A, B, C sunt C  sunt coliniare. c) S` se determine triunghiul ABC  triunghiul ABC cu cu aria 22,5.

E4. Se dau punctele A(-3, - 2), B(5, - 4 ) , C(-1,  - 3) . a) S` se scrie ecua\iile laturilor triunghiului ABC. triunghiului ABC.  b) S` se determine lungimile [n`l\imilor triunghiului ABC. triunghiului ABC. c) S` se determine A  ( ABC ) . Patrulaterul ABCD  ABCD are v@rfurile A(1, 2) , B(8, 2 ) , C(6, 4 ) , D(3, 4 ) . E5. Patrulaterul a) S` se scrie ecua\iile laturilor patrulaterului.  b) S` se scrie ecua\iile diagonalelor patrulaterului. c) S` se compare distan\ele punctelor  A  A ]i C  C la la diagonala [ BD] . d) S` se calculeze aria suprafe\ei ( ABCD).  ABCD).

intez`  S intez`

S1. Se dau punctele A(1, 0), B(-2, 4) , C(-1, 4 ) ] i D(3, 5). a) S` se reprezinte punctele [n plan ]i s` se scrie ecua\iile dreptelor   AB, BC, CA, CD.  b) S` se determine distan\ele de la v@rfurile B v@rfurile B ]i ]i D  D la dreapta AC. dreapta AC. c) S` se compare ariile suprafe\elor ( ABD  ABD), ), ( BCD)  BCD) ]i (COD (COD). ). d) Dac` punctul  punctul  M ( m, m + 2) este col colini iniar ar cu cu B ]i C, calcula\i aria suprafe\ei ( MAD).  MAD). determine x Î R astfel [nc@t punctele A punctele  A (1, 1), B (2 x , 2 x+1 -2 ), C (2 x+1 - 2, 2 x ) s` fie S2. S` se determine x coliniare. cos 2 a), B (sin 2 b, co cos 2 b), C (sin 2 c, co cos 2 c ). S3. Se dau punctele A (sin 2 a, co 1

sin(a - b)×sin(a + b )) . 2  b) S` se arate c` pentru oricare a, b, c Î R, punctele A, punctele A, B, C sunt C  sunt pe o dreapt`. a) S` se verifice dac` A  ( OAB ) =

16

S4. Se dau punctele distincte A (2, m), B ( m +1, m), C (1  , 2) . a) S` se determine m Î R astfel [nc@t punctele s` fie coliniare.  b) S` se determine m Î R astfel ca aria suprafe\ei ( ABC   ABC ) s` fie 1. S5. Se consider` punctele A ( m, 2 m-1), B( m +1, - m+ 2 ) . Pentru ce valori ale lui m are loc egalitatea A  ( OAB ) =

23 2

.

punctele A, B, C s` C  s` fie coliniare [n cazurile: S6. S` se determine m, n Î R astfel ca punctele A, a) A ( m-1, 3), B(2 m, - m), C (2 m- 3, 1+ m) .  b) A ( m - n, 1+ m) , B (2 m - n, 1) , C (m, n +1) . punctul  A (1, 1) s` fie fie la dista distan\a n\a 3 fa\` de dreap dreapta ta BC   BC , unde S7. S` se determine m Î R astfel ca punctul A æ 2 - 6m ö æ 7m -1 ö ÷, C ç1, ÷.  Bç 0, è 1- m ø è m -1 ø

S8. Se consider` punctele  A (3, 2), B (2, 4 ). S` se determine punctele  M  situate pe dreapta  x - y - 3 = 0 pentru care A ( OAM ) = A  (OBM )  . S9. Exist` puncte A ( m, 1) , B (1, m), C (m, m ) astfel [nc@t A  ( ABC ) = 2 ? pag. 64 manual

Teste de evaluare Testul 1 expresia E = 1. Se d` expresia E 

1 4 -5 22

Valoarea expresiei este:

3

1

- 5-1

a) –2;

3

0

2

1

5 - (-1) 3 × -6 .

2

-2 1

b) 2;

c) 20;

d) –36.

æ 2 -1 3 ö ç ÷ ç matricea  A = -1 4 -5÷. S` se ca calc lcul ulez ezee det det ( A ) utiliz@nd: 2. Se d` matricea A ç ÷ è 4 -2 6 ø a) regula lui Sarrus;  b) regula triunghiului; c) dezvoltarea dup` linia a doua; d) dezvoltarea dup` coloana a doua; e) dezvoltarea dup` coloana [nt@i dup` ce s-au ob\inut dou` zerouri pe aceasta. f) o proprietate a determinan\ilor nuli. æ  x æ 3 2 x +1ö æ x 1ö -2ö ÷ ç ÷ ç ÷ ,  B , C  = = 3. Se dau matricele  A =ç ç ÷ ç ÷ ç ÷. Suma solu\iilor ecua\iei è x -1 1 ø è5  x -1 ø è 2 3ø det ( A+ B) = det ( C2 )  este ... .

4. Punctele A(2 m+1, 3), B(1, m) ] i C(-  4, 2 ) sunt coliniare dac` m =... . 17

Testul 2 1. Fie S 1, respectiv S 2 mul\imile solu\iilor ecua\iilor: a)

 x - 4 1- 3x 5

-3

-

y+ 4 - y- 5  b)

2 8 -2 3 2

7

y+1

1

 y -1

3

 y + 2

-1

y

=

=

3 5 1, (6)

-1

2 3

2 y +1 -1 1

2 y

;

.

S` se determine S1 , S 2 , S1 È S 2 , S1 ´ S 2  .

æ 1 -e e 2 ö ç ÷ 2 1 ÷, unde e este solu\ie a ecua\iei  x 2 + x +1 = 0. Atunci 2. Se d` matricea  A =ç-e e ç ç e 2 1 -e÷ ÷ è ø æ1 ö det( A ) + detç A 2 ÷= ... . è2 ø æ x æ  x 0 bö æ  x 0  y ö y bö ç ÷ ç ÷ ç ÷ matricele  A =ç a 0 z ÷,  B =ç a y z ÷, C =ç a y 0 ÷]i 3. Se dau matricele A ç ÷ ç ÷ ç ÷ è-c -z 0ø è-c b 0ø è-c b -z ø n = x det ( A ) + a det (B ) + c det (C ) . Atunci n =.. .... . æ 2m ö æ ö ç 3- m, - 1 ÷] i C(1, 2  ). Valoarea lui m Î Z , 1÷ B è 3 ø è 4ø

4. Se consider` triunghiul  ABC, cu  Aç pentru care d (C , AB ) = 3 este ... .

18

Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare | ) 3.1. Matrice inversabile din M  n (C   Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 70 manual

 E  xersare E1. S` se determine care din urm`toarele matrice sunt inversabile: æ 2 -1 ö æ5 2ö æ-2 5ö æ2 -5ö ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ a)ç ; b) ; c) ; d) ç 2 ÷. ç ÷ ç ÷ 3÷ ç2 ç ÷ è 4 3ø è 3 -7ø 1 è9 4 ø è 2 ø E2. S` se determine inversa matricei: æ-8 6 ö æ2 -1ö ç ÷ ÷ 1 ; a)ç b)ç 2 ç ÷; - ÷ è8 -5ø è 3 4ø æ1 1 1 ö ç ÷ e)ç1 1 0÷; ç ÷ è2 1 1 ø

æ2 1 3ö ç ÷ f)ç 0 -1 4 ÷; ç ÷ è 0 0 -5 ø

æ-1 0ö ÷ c)ç ç ÷; è 0 1ø

æ 3 2ö ç ÷; d)ç ÷ è2 2 3 3 ø

æ 3 -2 0 ö ç ÷ g)ç 0 2 2 ÷; ç ÷ è1 -2 -3ø

æ1 3 2ö ç ÷ h)ç2 0 1÷. ç ÷ è1 2 1ø

| pentru care matricea este inversabil`: E3. S` se determine m Î C  æ m 2 - 3m m ö æ2 m ö æ m 5ö æm - 3 7 ö ÷; ç ÷ ç ÷ ç ÷ a)ç b)ç c)ç d)ç ÷; ÷; ÷; ç ÷ m + 2ø è 3 -6ø è-20 m ø è 2 1ø è m-3 æ 3m +1 ö ç ÷ 1 7 2 æ ö æ m m +1 2 ö ç m æ2 + m ç 2 ÷ 4 3÷ 1 1ö ç ÷ ç ÷ m 7 ç ÷ e)ç 1 1 m -1 1÷; h)ç 4 9 -3÷; f)ç 2 -1 0÷; g)ç m ÷. ÷ 2 ç ÷ ç ç ÷ 2 ç 2 m 1 ø ç 11 9÷ m 1ø è0 è 1 7 ÷ -1 èm ø ç ÷ è ø æ-1 2 ö æ 7 5ö ÷ ç ÷ matricele  A =ç = ] i B E4. Se dau matricele A ç ÷ ç ÷. è-4 10ø è 3 2ø

a) S` se arate c` matricele A, matricele A, B, AB ]i ]i BA  BA sunt inversabile ]i s` se calculeze inversele lor. b) Este adev`rat` egalitatea ( AB ) -1 = B-1 × A-1? c) S` se verifice egalit`\ile ( A 2 ) -1 = ( A-1 ) 2 ]i ( B 2 ) -1 = (B -1 ) 2 . matricea A a c`rei invers` este: E5. S` se determine matricea A æ-5 8 ö æ ö -1 ç 3 1 ÷ -1 ç-1 0÷ a) A a) b) A b)  A =ç  A =ç ÷; ÷; 4 2 è ø è 2 2ø

æ-2 -1 1 ö ç ÷ -1 c) A c)  A =ç 0 4 -1÷; ç ÷ è 1 -2 0 ø

æ 1 11 7ö ç - ÷ 5÷ ç5 5 -1 d) A d)  A =ç 0 -2 1 ÷. 1 4 3 ÷ ç ç ÷ 5 5 ø è5 19

intez`  S intez`

S1. Care din urm`toarele matrice sunt inversabile: æ2 x 5 x ö æ lg1 2 ö æ 0! 3 ö ç ÷ ç ÷ ÷ a)ç  x ; b)ç c)ç ÷; ç ÷; x÷ è-2 lg 5ø è 8 4!ø è 4 10 ø

æC 2 A 2 ö 4 3÷ d)ç ç ÷? è-1 1 ø

S2. S` se determine inversa matricei: æ i -i 2 ö ÷; a)ç ç ÷ è 3 -4i ø

æ 2+ 3 b)ç ç è 1+ i

ö ÷; ÷ 3- 2 ø

æ sin x c)ç ç è- cos x

1- i

cos x ö ÷ ÷; sin x ø

æ ö ç-1 C m2 C m1 ÷ ç ÷ d)ç 4 -3 5 ÷. 1 ç ÷ ç3 2 ÷ è 2 ø

matricea A este inversabil`, oricare S3. S` se determine valorile parametrului real m pentru care matricea A ar fi x fi x Î R . æ 1  x 2 ö æ 1 3  x ö æ 1 2  x ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ a) A a)  A =ç 2 -1  x ÷; b) A b)  A =ç 1  x -1÷; c) A c)  A =ç m -1 3÷. ç ÷ ç ÷ ç ÷ è m x 3ø èm 2 x ø è 2 1 2ø [nc@t  A* = A-1 dac`: S4. S` se determine m Î R astfel [nc@t A æ2 æm - 3 m 1 ö 0 1 ö ç ÷ ç ÷ a) A a)  A =ç 3 m + 3 1 ÷;  b) A  b)  A =ç 3 5 2 ÷; ç ÷ ç ÷ 1 mø è-3 m - 4 -3ø è 0 æ 4 m -1 0 ö æ 2m -1 -1 4ö ç ÷ ç ÷ c) A c) d) A d) -1 1 ÷;  A =ç m  A =ç 3 1 -3÷. ç ç ÷ ç2 m -1 1 ÷ ÷ è 3m - 2 2 3ø è ø | ), nÎ {1, 2, 3} , dou` matrice inversabile astfel [nc@t AB= BA. S` se S5. Fie A, BÎ M  n (C 

arate c`: a) AB-1 = B-1 A;

b) A-1 B= BA-1 ;

c) A-1 B-1 = B-1 A-1 .

æ1 1 -1ö ç ÷ matricea  A =ç2 2 -2÷. S6. Se d` matricea A ç ÷ è 3 3 -3ø a) S` se determine produsul ( I 3 - A) (I 3 + A) .  b) S` se arate c` I c` I 3 - A este matrice inversabil` ]i s` se calculeze  I ( 3 - A )-1 .

20

3.2. Ecua\ii matriceale  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 74 manual

 E  xersare E1. S` se rezolve ecua\iile matriceale: æ2 1ö ÷ æ1 2ö ç ç ÷ b) X  b)  X ç ÷=ç 3 1÷; è 3 5ø ç ÷ è 0 1ø æ2 1 ö æ 3i 1 ö ÷ ÷ d)ç  X .. ç ÷=ç ç ÷ X  è-1 -1ø è-5 2i ø

æ1 2ö æ2 1ö ÷ ÷ a) X  a)  X ç ç ÷=ç ç ÷; è 3 5ø è 3 1ø æ2 3ö æ-1 1 ö ÷ ç ÷ c)ç =  X  ç ÷ ç ÷; è 3 4ø è 1 0ø

E2. S` se rezolve ecua\ia matriceal`: æ 3 2ö æ 4 1ö æ1 0ö ÷ ÷ ÷ a)ç ç ÷× X ×ç ç ÷=ç ç ÷; 4 3 5 1 0 1 è ø è ø è ø

æ-1 2ö æ2 -1ö æ1 4 ö ÷ ÷ ÷ b)ç ç ÷×Y ×ç ç ÷= 2ç ç ÷; 3 1 0 3 4 5 è ø è ø è ø

æ1 0ö æ-2 1 ö æ 3 2öæ1 0ö æ-1 1 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ c)ç ç ÷× X ×ç ç ÷-ç ç ÷ç ç ÷= 2ç ç ÷- 3 I 2 . è2 1 ø è 2 0ø è 0 1øè1 2 ø è 3 0ø

E3. S` se determine matricea necunoscut` din egalit`\ile: æ-2 3 -1ö æ1ö æ1 -1 2 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ æ1 -2 1ö ÷ ç a)ç 3 -4 2 ÷× X  =ç 0 ÷; b) X  b) ×  X  1 0 1÷=ç ç ÷; ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 0 -1 3ø è 1 -1 -2 ø è-2ø è1 -1 1 ø æ2 æ ö æ ö 2 3ö ç ÷ ç1 2 -3÷ ç 0 -1 -1÷ c)ç 1 -1 0÷× X ×ç 0 1 2 ÷=ç 0 1 1 ÷. ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 ø è-1 2 1 ø è 0 0 1 ø è 0 0

E4. Se dau matricele

æ1 -1 1ö ç ÷ A ç1 1 1÷, = ç ÷ è 0 0 1ø

æ2 3ö ÷ Bç = ç ÷, è 3 4ø

S` se determine matricea X  matricea X care care verific` rela\ia: a) AXB= C;  

b) BXA=t  C. 

21

æ2 1 ö ç ÷ C =ç1   0÷. ç ÷ è0 1ø

3.3. Sisteme de ecua\ii liniare cu cel mult trei necunoscute. Forma matriceal` Enun\uri Exerci\ii ]i probleme

pag. 90 manual

 E  xersare E1. S` se scrie matricele asociate urm`toarelor sisteme de ecua\ii: ì x - 2 y = 3 ì x - 2 y+ z = 1 ì3 x + 5 y = 7 ï ï a) í ; b) í2 x - 4 y = 1 ; c) í4 x+ y+ 3 z = 0 ; î8 x - y = 2 ï ï î5 x - 6 y =- 8 î9 x-2 y- z = 4 ì3 x + 2 y- z =z 2) = - x + y+1 ì3( x-1) + 4 (2 - )y= 3( ìa + b - c = 6 ï ï d) í ; e) í x- y+ 3 z= ix- 2 ; f) í2(1+ x) + 3( z - y) = 5 ( x- y) . î3a -2b + c = 11 ï ï iy + z = 2(x -1) îix - iy î3( x- y) + 4( y- z) = 2( x+ y- z) E2. Care din sistemele de numere (-3, - 2 ) ; (-2 , - 4 ) ; (-6, 2 ) ; (i , 1 ) sunt solu\ii ale sistemelor de ecua\ii: ì2 x + y =- 8 a) í ; î3 x - 4 y =10

ì x + y =- 4 b) í ; î2 x +5 y =- 2

ì(2 - i ) x - 4 y = -3+ 2 i ì3( x - i) + i( y-1) = 0 c) í ; d) í . î2ix + iy = -2 + i î(1+ i ) (x +1) + (1- i ) ( y +1) = 2 ì(a + 3) x - 3y = 8 , a, b Î R . S` se determine a ]i b astfel [nc@t E3. Se d` sistemul de ecua\ii í î4 x- (2 b+ 3) y= 18 solu\ia sistemului s` fie: a) (1, - 2);

æ 7 ö b)ç- , - 5÷. è 4 ø

E4. S` se scrie sub form` matriceal` ]i s` se rezolve sistemele de ecua\ii: ì3 x - 4 y = 7 ì2 x - 3y =1 ì3( x+ y) - 2( x+ 2 y) = 5 í í a) ; b) ; c) í ; î2 x - 3y = 5 î5 x - 7y = 3 î4( x - y) - y+ 2 x = 2 ì2 x+ y- 3 z = -6 ì2(3 x- y) +5 z= 3+ y ì x + y+ z = a ï ï ï d) í4 x + y+ z = 10 ; e) í4( x + y- z) + 2 y = 3+ z ; f) í2 x + 5 y- 3 z = b . ï ï ï î-3 x+ y+ 2 z= -1 î2 x- 3 y+10 z= 2 î x + 3 y- 2 z = c E5. S` se determine care din urm`toarele sisteme sunt de tip Cramer ]i s` se rezolve prin regula lui Cramer: ì x - 8 y = 5 a) í ; î3 x + 9 y =11

ì3 x- 4 y+ 2 z= 3 ï c) í5 x+ y+ 3 z = 6 ; ï î x- 6 y+ z = -4

ì2( x - y) - 3( x+ y) = 1  b) í ; î8 x- 5( x- 3 y) = 4 ì x- 2 y+ 2 z = 10 ï d) í2 x - y- z = 2 . ï î x + y- z = 4

E6. S` se rezolve sistemele de ecua\ii prin regula lui Cramer: ì x + 2 y = 4 ì-2 x + 5 y = -1 ì4 x + 3y = 17 a) í ; b) í ; c) í ; î2 x + 5 y = 9 î3 x - 7y = 2 î6 x +5 y =- 3 22

ì x + y+ z = 2 ï d) í2 x + 3 y- z = 5 ; ï î3 x+ y+ 3 z = 4

ì x+ 2 y- 4 z= -2 ì-2 x+ y+ 3 z = -1 ï ï e) í-3 x+ 4 y+ z= 13 ; f) í x + y+ 2( y+ z) = 4 . ï ï î2 x- y+ 3 z= 9 î2( x + z) - (3 y+ x) = 10 E7. Se consider` sistemul de ecua\ii A× X = B , unde æ-3 2 1ö æ x ö æ 4ö ç ÷ ç ÷ ç ÷  A =ç 4 -1 2÷, X  =ç y ÷,  B =ç8 ÷. ç ÷ ç ÷ ç ÷ è-5 2 3ø è z ø è8 ø a) S` se rezolve sistemul de ecua\ii prin metoda matriceal`.  b) S` se scrie ecua\iile sistemului. c) S` se rezolve sistemul de ecua\ii prin regula lui Cramer.

E8. S` se rezolve prin metoda lui Gauss sistemele de ecua\ii: ì x + y = 4 ì2 x + y = 3 a) í ; b) í ; î2 x + 3y = 9 î x + 2 y = 0 ì2 x+ 5 y+ 3 z= 17 ì x + y+ z = 1 ï ï ï4 x- 6 y- 3 z= 0 c) í x+ 2 y+ 2 z= -1; d) í ; 6 x 1 0 y 1 0 z 8 + = ï ï î x- y+ 2 z = 2 ï î x + y+ z = 6 ì x+ y- 3 z = -1 ì x+ y+ 2 z = 4 ï ï ï2 x+ y- 2 z = 1 ï x + 2 y- z = 2 e) í ; f) í ; ï2 x+ 3 y- 2 z = 4 ï2 x+ 3 y+ z = 6 ï ï î x+ 2 y- 3 z= 1 î3 x+ 4 y+ 3 z= 10 ì2 x - 3 y+ z = -1 ï ì2 x- 3 y- z = 1 ï x+ 2 y- 3 z= 0 í g) ; h) í ; =- 1 î x- y- 2 z = -3 ï2 x-10 y+8 z=ï î4 x-15 y+ 9 z= 0 ì x + y+ z = 1 ìa - 2b + c = 10 ï i) í ;  j) í2 x - y+ z = 2 . î3a - 2b - c = 7 ï î x + 3 y- z = 1 intez`  S intez` siste mul s` fie de tip Cramer ]i s` se rezolve [n ace st caz: S1. S` se determine m Î R astfel [nc@t sistemul ì x- my ì x+ my- z= 8 m y+ z= 2 m ï ï a) í x- 2 y+ z = -1 ;  b) í2 x- y- 2 z = 6 . ï ï 2 îmx + 2 y + z = 4 m x m y 2 z 2 + = î

S2. Pentru ce valori ale parametrului m sistemul de ecua\ii nu este de tip Cramer? ì x + ( m+1) y+ z = 2 ì2 x+ 3 y+ ( m+ 2) z = 0 ï ï a) ímx + y - z = 0 ;  b) í3 x+ y+ mz= 4 . ï ï mz= 3 î x- 2 y- mz î3 x - y+ z = 6

23

S3.. S` se rezolve prin metoda matriceal`, metoda lui Cramer ]i metoda lui Gauss sistemul de ecua\ii: S3 ì 7 ì1 x 3 y (5 x+12 z) + = 1 ï 9 (5 x- 2 y) +1 = x- ( y+ 2) ï ï ï4 5 a) í ; b) í9 y+ 20 z= 6 ( x- 48 y) . 1 ï1 ï (5 x+ 3 y) + (9 y-11) = x+ y ï ï2 x+ 3 y+ 4 z= 128 î7 14 î S4. S` se rezolve prin regula lui Cramer sistemele de ecua\ii: ìC 1x - C 2 y + 4C 3z = 2 ì x+ y- (2 - i) z= -2 + 2 i 3 3 3 ï ï ï 1 a) í x+ iy- (1+ i) z= -1 ;  b) í2C 5 x - 4C 50 y + C 52 z = 6 . ï ï 2 1 3 îix - iz = -1- i ï î A3 x - 2 A3 y + A3 z = 0 S5. S` se rezolve prin metoda lui Gauss sistemele de ecua\ii: ì2( x+2 y) = 3 z+11 ì2 x+ y= 2 - z ì x+ y= 3 z-1 11 ï ï ï ï5 x- 3 y= 6 - 5 z-2 x ï x+ 3 y= 5 - z ï2 x+ y= 2 z+1 a) í b) í c) í ; ; ; 3 ( x z ) 1 5 y 5 z x y 7 5 z x y z 3 0 = + + = + + = ï ï ï ï ï ï î6( x- y) +11 z= -4 - y î2 x+ 3 y= 14 + 3 z î x+ 2 y- 3 z-1 = 0 ì3 x+ 4 z= -2(2 + y) ì2 x+ 7 y- 4 z= 0 ì x- 4 y+ (2 m+ 3) z= 0 ï ï ï d) í5 y+ 7 z= 4( x+ 2 ) ; e) í5 x- 2 y- 8 z= 0 ; f) í x- my- z= 0 . ï ï ï î11 x- 31 y- 47 z= -68 î12 x+ 3 y- 20 z= 0 î2 x+ y= 8, mÎ R ì2 x + y+ ( m+1) z = m ï S6. Se d` sistemul de ecua\ii í x+ ( m-1) y+ mz= 2 m. ï î5 x+ 4 y+ 3( m+1) z = 3 a) Pentru ce valori ale parametrului m Î R sistemul este compatibil determinat?  b) S` se rezolve sistemul de ecua\ii ob\inut pentru m = 0, m = -1, m = 2 . ì x + y+ z = 1 ï . }tiind c` a, b, c sunt numere reale diferite, S7. Se d` sistemul de ecua\ii íax + by + cz = 2 ï 2 îa x + b 2 y + c 2 z = 4 s` se rezolve sistemul.

ì(2m -1) x + 3y - mz = 1 ï S8. Se consider` sistemul de ecua\ii í3 x+ (2 m-1) y+ ( m-1) = 3. ï î(m - 2) x + (m -2) y + z = 2 a) S` se scrie matricea A matricea A a si sistemului ]i ]i s` s` se se re rezolve ec ecua\ia de det ( A ) = 0 .  b) Pentru ce valori ale parametrului m sistemul nu este de tip Cramer? c) Da Dac` sis isttem emu ul est estee de de tip tip Cra ram mer s` s` se se de dete terrmine so solu\ia si sist steemului no notat` ( xm , ym , zm ). d) S` se determine m Î R astfel [nc@t s` aib` loc rela\ia xm + 2 ym - zm > 1. ì2 x + y+ z = 1

ï S9. Se consider` sistemul de ecua\ii í x + y+ z = 2 a ,  a Î R . ï î x+ y+ 2 z = 4 a

a) S` se determine solu\ia (x (a), y (a ), z (a )) a sistemului de ecua\ii.  b) S` se determine mul\imea A= { a Î R y( a) > 1}.  ASE Bucure]ti, 1998

24

ìax + y + z = 4 ï S10. Sistemul de ecua\ii í( a+1) x+ ( b+1) y+ 2 z= 7, a, bÎ R este compatibil determinat ï î x + 2 b y + z = 4  pentru: a)  a = 1, b ¹ 0;

b)  a ¹ 1, b ¹ 0 ;

1 d)  a = 1, b = . 2

c)  a, b Î R ;

Universitatea Gala\i, 2004

ì2 x+ y+ 3 z = 1 ï S11. S` se discute dup` m Î R ]i s` se rezolve sistemul: í x- y+ z= -1 . ï î x + 2 y+ mz= m ìmx + y + z = 0 ï S12. Sistemul de ecua\ii í x+ my+ 2 z= 0 are numai solu\ia nul` (0, 0, 0) dac`: ï î x - y - z = 0 a) m ¹- 1, m ¹ 2 ; b) m = 0; c) m = 2; d) m Î R .  Politehnic` Bucure]ti, 2004

S13. Pentru golirea unui bazin cu ap` se utilizeaz` trei robinete. Timpul de func\ionare a fiec`rui robinet ]i cantitatea de ap` evacuat` exprimat` [n hectolitri sunt date [n tabelul matric eal al`turat. Tabelul 3.3. Robinetul I

Robinetul II

Robinetul III

(nr. de ore)

(nr. de ore)

(nr. de ore)

Cantitatea de ap` evacuat` ([n hl)

2 ore

3 ore

6 ore

220 hl

3 ore

2 ore

6 ore

210 hl

2 ore

2 ore

3 ore

145 hl

S` se determine debitul fiec`rui robinet. dec@ t are, atunci v@rsta actual` a fiului mai mic ar fi S14. Dac` tat`l ar avea cu 7 ani mai mult dec@t din v@rsta tat`lui. Peste 15 ani v@rsta fiului mai mare va fi

1 6

1

din v@rsta tat`lui. S` se determine 2 v@rsta fiec`ruia, dac` peste 18 ani cei doi copii vor avea [mpreun` c@t v@rsta tat`lui lor.

ì x+ my- 2 z= 2 ï S15. Se consider` sistemul de ecua\ii: í2 x + (2 m-1) y + z = n, m, n Î R . ï î x + 2 y + 3z = 1 a) S` se rezolve sistemul pentru m = 1 ] i n = 5 .  b) S` se discute dup` valorile lui m, n Î R ]i s` se rezolve sistemul. Universitatea Bra]ov, 2002

25

pag. 96 manual

Teste de evaluare Testul 1 æ 2 0 1ö ç ÷ ç 3- x x÷Î M  3 Î (R ) . 1. Se d` matricea A= 5 ç ÷ è x + 6 -2 8 ø a) S` se determine x determine x Î R astfel ca matricea A matricea A s` nu fie inversabil`. -1  b) S` se calculeze A calculeze  A dac` dac` x  x = 2. ì x+ 2 y+ z = 1 ï . 2. Fie sistemul de ecua\ii: í x- y+ 2 z = 2 ï î2mx + m 2 y+ 3 z= 3 m a) S` se determine m Î R pentru care sistemul are solu\ie unic`.  b) S` se rezolve sistemul ob\inut dac` m = 3. Universitatea Construc\ii Bucure]ti, 2004

3. Pentru 3 creioane, o gum` ]i 7 caiete un elev pl`te]te 45 lei. Dac` ar cump`ra 5 creioane, 3 gume ]i dou` caiete ar pl`ti 28 lei. }tiind c` 4 creioane, 5 gume ]i 5 caiete cost` [mpreun` 42 lei, s` se afle pre\ul fiec`rui obiect.

Testul 2 1. S` se calculeze inversele matricelor: æ 2 3 1ö ç ÷ æ 3 2ö æ-2 1 ö ÷ = Bç-1 2 0÷; = Cç ç  ÷ ÷×ç ç ÷. è 4 3ø è 3 -1ø ç ÷ è 1 2 2ø ìC i , i > j æ-4ö ç ÷ ï 2i matricele  A = (aij ) 3´3 , unde aij = íi, i = j ] i  B =ç 2 ÷ 2. Se dau matricele A ç ÷ ï < i , i j è 45 ø î S` se rezolve ecua\ia matriceal` AX= B. ì(1+ m ) x + y + z = 1 ï 3. Se d` sistemul de ecua\ii: í x + (1+ m) y+ z = m , m 2 Î R ï î x + y+ (1+ m) z = m2 æ 2 = Aç ç è1

3ö ÷; ÷ 2ø

a) S` se calculeze determinantul sistemului.  b) Pentru ce valori ale lui m sistemul este compatibil determinat? c) S` se rezolve sistemul pentru m = 2. d) S` se rezolve sistemul pentru m = 0. Universitatea Baia Mare, 2005

26

pag. 97 manual Probleme recapitulative æ1 3ö 3 2 ÷ Fie A  A =ç 1. Fie ç ÷Î M  2 (R ) . S` se determine a, b Î R pentru care A + aA + bA= O2 . è2 4ø æ x y ö 2 ÷ matricea  A =ç 2. S` se determine matricea A ç ÷Î M  2 (R ) ]tiind c` A + 4 I2 = 4 A, ]i apoi s` se afle è y x ø  A n , nU1. }tiin\e economice Cluj, 1996 

æ1 0 0 ö ç ÷ matricea  A =ç a 1 0÷Î M  3 (R ) . 3. Se consider` matricea A ç ÷ èb c 1ø a) S` se calculeze A calculeze  A 2 ]i ]i A  A 3 .  b) S` se determine  a, b Î R cu proprietatea c` A3 = a A2 + b A+ I 3 .  Universitatea Bac`u, 1997 

æ 0 a 0ö ç ÷ 2 ç 4. Fie E( X ) = X - 4 X + 4 I 3  . Dac`  A = 1 0 1 ÷, s` se determine a Î R pentru care ç ÷ è1 0 1 ø æ3 4 -1ö ç ÷  E ( A ) =ç-3 3 -3÷. ç ÷ è-3 -1 1 ø Universitatea Craiova, 2003

æ 0 1 -1ö ç ÷ ç ÷. S` se calculeze ( I3 + A) n , nU1 . Fie A Fie  A 0 0 1 = 5. ç ÷ è0 0 0 ø Universitatea Politehnic`, 1994

æ1 0 -1ö ç ÷ Fie A  A =ç 0 1 1 ÷. S` se calculeze S = A + A 2 + A 3 +...+ A 10 . 6. Fie ç ÷ è0 0 1 ø æ a 0 bö ç ÷ matricea  A =ç 0 c 0÷Î M  3 (R ) , cu proprietatea c` ae = bd .  7. Se consider` matricea A ç ÷ èd 0 eø æ 0 0 0ö ç ÷ 2 a) S` se demonstreze c` exist` x exist` x , y Î R astfel [nc@t A = xA+ yE unde E  yE,  unde  E =ç 0 1 0÷. ç ÷ è 0 0 0ø  b) S` se arate c` pentru oricare nU1, exist` an , bn Î R , cu proprietatea c` A n = x n A + yn E .   Facultatea de Sociologie, 1997 

27

æ1ö ç ÷ ç 1 ÷Î M3, 1 (R ), B = (1 2 -1) Î M  1, 3 (R ) . Dac` C = AB , s` se calculeze C 101 . Fie =  A 8. ç ÷ è-1ø

9. S` se rezolve sistemele de ecua\ii: ì æ1 ï A + 3B =ç ç ï è-2 b) í æ0 ï ç + = 3  A 4 B ç ï è1 î

ì A+ B = I 2  ï æ 1 1ö; a) í ç ÷  A 3 B 2 + = ï ç ÷ è-1 1ø î

2ö

÷ ÷ 1ø . ö 1 ÷ ÷ 0ø

æ1 aö ÷ matricea  A =ç 10. S` se determine matricea A ç ÷Î M  2 (R ) ]tiind c` è1 1 ø æ1 1ö æ1 1ö æ 4 4ö ÷ ç ÷ ç ÷  A×ç  A + × = ç ÷ ç ÷ ç ÷. è a 1ø è a 1ø è 4 4ø | ) , ]tiind c`: determine  A Î M  2 (C  11. S` se determine A æ1 i ö æ1 i ö æ2 4 i ö ÷ ç ÷ ç ÷  A + × = ÷ ç ÷ ç ÷. è 0 1ø è 0 1ø è0 2 ø

 A×ç ç

12. S` se rezolve [n R ecua\iile:  x

x

1

a) 1

 x

1 = 0;

4 -5

 x b) -1

4

1

1

2

 x

1 = 5;

 x

1

c) 1  x

-2  x

1

1 1 = 0.

1  x 2

13. S` se rezolve ecua\iile: 1

x

a) 1 a 1 b 1

bx = 0, dac` a ¹ b .

x+1

x+ 2

b) 2 x+ 7

x+ 4

x+ 5 = 0 ;

x+ 7

x+8

2 x+13

ax 1

c) a + b x + b x2

2 x+1

ab

a2

1 x + a = 0 , dac` a ¹ b . b2

matricea A s` fie inversabil`: 14. S` se determine a Î R pentru ca matricea A æ1 1 æ1+ a 1 ö 1 1 ö ç ÷ ç ÷ 2 a) A a) b) A b)  A =ç1 a +1 1 ÷;  A =ç 1 1+ a 1 ÷. ç ÷ ç ÷ a 2 +1ø 1 1+ a 3 ø è1 1 è 1

15. S` se rezolve ecua\iile: æ1 1ö æ1 2ö ÷ ÷ a) X  a)  X ×ç ç ÷=ç ç ÷; 1 2 1 1 è ø è ø

æ 1 2 3ö æ-1 5 3 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç  b) X   b)  X × 0 1 2 = 2 1 -1÷. ç ÷ ç ÷ è-1 2 1ø è-3 4 5 ø Universitatea Bac`u, 1998

28

æ x+ m m ö ç ÷ Fie A matricea A este  A Î M  2 (R ), A =ç 16. Fie ÷. S` se determine m Î R pentru care matricea A + 1 m x 2 m è ø inversabil`  " x Î R . æ1 1ö ÷ Fie A matricei A 4 .  A =ç 17. Fie ç ÷Î M  2 (R ) . S` se calculeze inversa matricei A è1 2ø æ1 2ö æ ö -1 ç 3 2 ÷ ÷ Fie A  A =ç ]i B ]i  B A calculeze B -1 . = × 18. Fie ç ÷ ç ÷. S` se calculeze B è1 1ø è2 1ø

19. S` se rezolve sistemele: ì x+ 3 y- z = 3 ï a) í2 x+ y- 4 z = -1; ï î x + y - 2z = 0

ì x + y+ z = 1 ï b) í2 x+ y- 3 z= 1 ; ï î4 x + y - 5z = 1

ì x + y+ z = 2 ï ï2 x+ y+ 2 z = 3 c) í . ï3x + y + 4z = 1 ï î x- y+ 3 z = 1

ì2 x+ y+ 3 z = 1 ï ím x+ y- 2 z= 1 Se consider` sistemul . Dac` 20. ï î(2m - 1)x + 2 y+ z = n A= {( m, n) Î R ´ R sistemul este compatibil nedeterminat} ]i a =å (m 2

2 n+ ) , atunci:

( m, n )ÎA

a)  a = 18;

b)  a = 26;

c)  a = 32;

d)  a = 13;

e)  a = 25.

ì x- my+ z= 0 ï ï x - 2 y+ z = m- 2 21. Se consider` sistemul í 2 2 . + = y z 2 m mx m ï ï î2mx + (m +1) z = 2m 2 Dac`  A = {m Î R sistemul este incompatibil a)  A = {-1, 0, 2} ;

b)  A = {0, 2} ;

d)  A = {-1, 0} ;

e)  A = {-1, 2} .

}, atunci:

c)  A = Æ ;  ASE Bucure]ti, 2003

29

REZOLVĂ REZOLVĂRI Partea I. Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecuaţ ecuaţii liniare Capitolul I. Matrice 1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţ mulţimi de matrice  Exersare

E1. Rezolvare: ⎛ ⎛ 2 0⎞ ⎜ 0 −1 0 ⎛ 1 −7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ =⎜ 2 5 A =⎜−1 3 ⎟; = B⎜ 3 5 ⎟; C 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 4 ⎠ ⎜ ⎝ 4 -5⎠ ⎜ 4 9 −1 ⎝3 2

⎞ 1⎟ ⎟ 0 ⎟; ⎟ 3⎟ ⎠

=⎜ X

0 0 1 0 0

0 ⎞  ⎛0 0 ⎟  ⎜0 ⎟  0 ⎟ ; d)  D = ⎜ ⎜0 ⎟  0 ⎟  ⎜0 ⎝ ⎟  1 ⎠ 

⎛ 2 + i 1 −5⎞   ⎟. ⎝ 4 3i 2 ⎠

E2. Rezolvare: ⎛2 ⎞ ⎜ ⎟ −1 a)  A =⎜⎜ ⎟⎟; b)  B = 1 4 1 + i 3 5 ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠

(

⎛1 ⎜0 ⎜ 2 ; c) C = ⎜ 0 5 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝

)

0 1 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 ⎞  0 ⎟  ⎟ . 0 ⎟  0 ⎟  ⎠ 

E3. Rezolvare: a) A i M  3(m); B i M  2,3(Z); C i M  3,1(  ); D i M  1,4(  );  b) b11 = 2; b12 = –3, b13 = 3 ; b21 = –2; b22 = –5; b23 = 4 ; d11 = 2 ; d12 = −i ; d13 = 5 ; d14 =  −7 . 3 5 c) a23 = –2; a32 = –4; a22 = 8; c31 = 1 + i; c21 = –1; 1 + i = c31; 4 3 = b13 ; − 4 = a32 ; b23 2 3 = ; d14 =  −7 . 3 d) • Suma a11 + a22 + a33 reprezintă urma matricei A şi nu diagonala principal ă. • Suma elementelor diagonalei secundare a matricei  A este 12. • a31 + b22 + c21 – d 14 14 = 0 + (–5) + (–1) – (–7) = 1 ≠ 3 + 1 . • a23 ⋅ b123 ⋅ c321 ⋅ d12 = −2 ⋅ ( 3)2 ⋅ (1 + i)2 ⋅ (− i) = − 2 ⋅ 3⋅ 2i ⋅ (− i) = − 12 U − 12 . • a23 = b21 = –2 şi 5d 11 11 = 2. Aşadar –2 @ 2 şi a23 = b21 @ 5d 11 11. E4. Rezolvare: Se egaleaz ă fiecare elemente cu zero şi se obţine: • 3a – 6 = 0 şi a2 – 4 = 0. Se ob ţine a = 2. • 1 – b = 0 şi b2 – b = 0. Se ob ţine b = 1. • c − 12 = 0 , cu soluţia c = 2 3 . • 4 − 2m = 0 , cu soluţia m = 4 = 2 2 . 2

E5. Rezolvare: Se pune condi ţia ca să aibă loc egalitatea de matrice  A = I 3. Se ob ţin succesiv egalit ăţile: 2 2 2 2  x + 1 = 1; 4 –  y  y = 0; 3u = 1; 1 –  t  = 0;  z  + 1 = 0; v = 0; 1 –  x  x = 1. Rezolvând ecua ţiile se obţine: x = 0, y i {–2, 2}, u = 1 ; t = 1; z i {– i, i}, v = 0. 3

30

E6. Rezolvare: Se aplică egalitatea a dou ă matrice. Se ob ţin următoarele egalităţi: a) 2 x + 1 = –  y + 6 şi x –  y  y = 4 – 2 x + y. ⎧2 x + y = 5 Avem sistemul de ecua ţii: ⎨ cu soluţia x = 2, y = 1. ⎩3 x − 2 y = 4  b) x + y = 3; 2 x –  y  y = y + 2; 4 = x + 2 y; 2 x + y = 5. Se obţine soluţia x = 2, y = 1. E7. Rezolvare: Se pune condi ţia ca matricele s ă fie de acelaşi tip. Rezultă că 4 = m2 şi 5 – n = 2. Se obţine m i {–2, 2}, n = 3.  Sintez ă

S1. Rezolvare: Au loc egalit ăţile: a11 = 1, a12 = 2, a13 = 3, a14 = 4 a21 = 2, a22 = 2, a23 = 3, a24 = 4 a31 = 3, a32 = 3, a33 = 3, a34 = 4 a41 = 4, a42 = 4, a43 = 4, a44 = 4. S2. Rezolvare: Au loc egalit ăţile: 1+1 1+1 1+1 b11 = 1 = 1; b12 = 2 = 4; b13 = 3 = 9 2+1 2+1 2+1 b21 = 1 = 1; b22 = 2 = 8; b23 = 3 = 27 3+1 3+1 3+1 b31 = 1 = 1; b32 = 2 = 16; b33 = 3 = 81. S3. Rezolvare: Se obţin următoarele elemente: c11 = c22 = c33 = 2; c21 = c31 = c32 = 1; c12 = (−1)1+ 2 ⋅ A21 = −2 ; c13 = (−1)1+ 3 A31 = 3; c14 = (−1)1+ 4 A41 = −4 ; c23 = (−1)2+ 3 ⋅ A32 = −6 ; c24 = (−1)2+ 4 A42 = 12 ; c34 = (−1)3+ 4 ⋅ A43 = −24 . S4. Rezolvare: 2 2 a) tr( A  A) = 4 + (–2 x) + y + 6 = 10 – 2 x + y 2 2 tr( B  B) = 4 x + (–   x ) + 2 y = 4 x –  x  x + 2 y  b) Relaţia din enun ţ se scrie sub forma: ( y2 + 6) + 2 y = 3 – (–6). Se obţine ecua ţia de gradul doi:  y2 + 2 y – 3 = 0 cu solu ţiile y1 = –3; y2 = 1. c) Se obţine ecuaţia de gradul doi:  x2 + x – 2 = 0 cu solu ţiile x1 = –2, x2 = 1. d) Se obţine relaţia 10 – 2 x + y2 – 4 x + x2 – 2 y = 4 – 4 care se scrie sub forma: 2 2 ( y  y – 1) + ( x  x – 3) = 0, x, y i Z. Rezultă că y – 1 = 0 şi x – 3 = 0. A şadar, x = 3, y = 1. S5. Rezolvare: a) Din egalitatea matriceal ă A = I 2 se obţin egalităţile: 2 x –1 = 1, log2(a – 1) = 0 şi 4 y2 – 3 x = 1. Din egalitatea 2 x –1 = 1, rezultă x – 1 = 0, deci  x = 1. Înlocuind x = 1 în ecuaţia 4 y2 – 3 x = 1 se obţine 4 y2 = 4, deci y i {–1, 1}. 31

Ecuaţia log2(a – 1) = 0 conduce la ecua ţia a –1 = 20 cu soluţia a = 2.  b) Deoarece O2 = B se obţin ecuaţiile:  y2 − 2 y  x  x 3 – 9 = 0, lg = 0 , a + 3bi – 1 = 0 şi 3!− C 2 = 0 . 3

n

• Ecuaţia 3 x – 9 x = 0 este echivalent ă cu 3 x(1 – 3 x) = 0, adic ă 3 x = 0 sau 1 – 3 x = 0. Se obţine soluţia x = 0.  y 2 − 2 y  y 2 − 2 y • Ecuaţia lg = 0 este echivalent ă cu = 1 cu soluţia y i {–1, 3}. 3

3

• Din egalitatea a + 3bi – 1 = 0, a, b i Z se obţine a – 1 = 0 şi 3b = 0, adică a = 1 şi b = 0. • Din egalitatea 3!− C 2 = 0 se obţine 6 − n(n − 1) = 0 , n i Z, n U 2, ecua ţia cu solu ţia n = 4. n

2

S6. Rezolvare: ⎧ a2 − 4 = 2 − a ⎪a + b = −1 a) Aplicând egalitatea matricelor se ob ţine următorul sistem de ecua ţii: ⎪⎨ ⎪3 x(1 − 2 x) = 2 x− 1 ⎪⎩ z = x − 2 Din ecuaţia a2 – 4 = 2 – a se ob ţine a2 + a – 6 = 0 cu solu ţia a i {–3, 2}. Din ecuaţia a + b = –1 se obţine b = – a – 1. Pentru a = –3, se ob ţine b = 2 şi pentru a = 2, se ob ţine b = –3. Ecuaţia 3 x(1 – 2 x) = 2 x – 1 se scrie sub forma echivalent ă 6 x2 –  x – 1 = 0 şi se obţine  x ∈ 1 , − 1} . 2

3

Pentru  x = 1 se obţine  z = − 3 şi pentru  x = − 1 se obţine  z = − 7 . 2 2 3 3  b) Se obţin succesiv ecua ţiile: • Cn2+1 = 2C n2 , n i q, n U 2, echivalent ă cu (n + 1) ⋅ n = 2 ⋅ n(n − 1) cu soluţia n i {3}. 2 •  x2 + 7 = 4 ⇔ x2 + 7 = 16 , cu soluţia  x ∈{−3 , 3} .

•

3

b2

2

= 4 ⇔ b2 = 64 , cu solu ţia b i {–8, 8}.

• log2 a =−3 ⇔ log2 a = log 2 2−3 , a > 0 cu soluţia a = 1 . 8

S7. Rezolvare: Din egalitatea matriceal ă  A =  B = C  se obţin următoarele egalităţi care dau valorile necunoscutelor din problem ă: • x2 –  x  x = 2 = 3 x – 4 •  y −3 = 2 = y −5 • C  z 2+1 = 3 • 2m = m2 = p Se obţine: x = 2, y = 7, z = 2; m = 2 şi p = 4 sau m = 4 şi p = 16.

32

1.2. Operaţ Operaţii cu matrice 1.2.3. Înmulţ Înmulţirea unei matrice cu un scalar  Exersare

E1. Rezolvare: Se aplică regula de adunare a dou ă matrice şi se obţine succesiv: ⎛ 2 + (−7) (−1) + 8 3 + 5 ⎞ ⎛ −5 7 8 ⎞   ⎛ −2a + a b − 5b ⎞ ⎛ −a −4b ⎞ = a) ⎜ ; b)   ⎜ 3 x + 2 x −8 y + 6 y⎟ = ⎜ 5 x −2 y⎟ ; 4 + 0 (−2) + 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 4 2 ⎟⎠ ⎝ 5+3   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞  ⎜ −6 + 2 2 − 7 −5 + 3 ⎟  ⎛ −4 −5 −2 ⎞  ⎜ 5 −1 1 ⎟ . = c) ⎜⎜ 1 + 4 0 − 1 −1 + 2 ⎟  ⎟  ⎟  ⎜⎜ ⎟  ⎜⎜ 2 − 5 4 + 1 2 + 8 ⎟  − 1 1 2 ⎠  ⎟  ⎝ ⎝ 3 3 5 5 3 3 ⎠  E2. Rezolvare: Se obţine succesiv: ⎛ −1 − (−6) − 1 4 − 1 − 0 ⎞ ⎛ 4 3 ⎞ a) ⎜ ⎟ = ⎜ 2 −8 ⎟ − − − − − 2 0 0 5 2 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

     

⎛ i2 + 1 − 0 −i4 + 2 − i ⎞ ⎛ i2 + 1 −i4 + 2 − i ⎞ ⎛ −1 +  1 −1 + 2 − i ⎞ ⎛ 0 1 − i ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜   1 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 3 1 ⎟⎟ .  b) ⎜ 2 − 2 − (−3) 3 + 0 − 2 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ = ⎜ 3  ⎜ 1 + 3 − 4 −1+ 4 − 6 ⎟ ⎜ 0 −3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0   −3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 −3 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝

         

E3. Rezolvare: ⎛ −1 + 1  A + B = ⎜ ⎝ 1+ 0 ⎛ −1 − 1  A − B = ⎜ ⎝ 1− 0

2 − 3 0 + 2 ⎞ ⎛ 0 −1 2 ⎞   =⎜ ⎟ ⎟   −3 − 1 2 + 2 ⎠ ⎝ 1 −4 4 ⎠   2 − (−3) 0 − 2 ⎞ ⎛ −2 5 −2 ⎞   =⎜ ⎟ ⎟   −3 − (−1) 2 − 2 ⎠ ⎝ 1 −2 0 ⎠   ⎛−1 1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛−1+1 1+ 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ t + t B =⎜ 2 −3⎟+⎜−3 −1⎟=⎜ 2 − 3 −3−1⎟=⎜−1 −4⎟  A ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 0+ 2 2+ 2 ⎠ ⎝ 2 4 ⎠ ⎛0 1⎞ ⎛−2 1 ⎞ t  t  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − − 0 1 2 2 5 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ t  t  ( A + B) = ⎜ ( A − B) = ⎜ ⎟=⎜−1 −4⎟; ⎟=⎜ 5 −2⎟; ⎝1 −4 4⎠ ⎜ ⎝ 1 −2 0 ⎠ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝2 4⎠ ⎝−2 0 ⎠

⎛−1 2 0⎞ ⎛−1 ⎟+⎜ ⎝ 1 −3 2⎠ ⎝ 2 ⎛1 −3 2 ⎞ ⎛−1  B − t C =⎜ ⎟−⎜ ⎝0 −1 −2⎠ ⎝ 2

 b)  A + t C =⎜

0 3 0 3

−4⎞ ⎛−2 ⎟=⎜ −5⎠ ⎝ 3 −4⎞ ⎛ 2 ⎟=⎜ −5⎠ ⎝−2

2 −4 ⎞ ⎟ 0 −3 ⎠ −3 6⎞ ⎟ − 4 7⎠

t 

t

⎡⎛−1 2 0⎞ ⎛1 −3 2⎞ ⎛−1 0 −4⎞⎤ t ⎛−1−1−1 2 + 3+ 0 0− 2− 4⎞ ( A− B+ C)  = ⎢⎜ ⎟−⎜ ⎟+⎜ ⎟⎥= ⎜ ⎟= ⎣⎝ 1 −3 2⎠ ⎝0 −1 2⎠ ⎝ 2 3 −5⎠⎦ ⎝ 1− 0 + 2 −3+1+ 3 2− 2− 5⎠ ⎛−3 3 ⎞ t  ⎛−3 5 −6⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟=⎜ 5 1 ⎟. ⎝ 3 1 −5⎠ ⎜ ⎟ ⎝−6 −5⎠ t 

33

     

E4. Rezolvare: Egalitatea  A + B + C este echivalentă cu următoarea egalitate de matrice: 3 z+ v ⎞ ⎛ 3 −2 3 ⎞ ⎛ 2 x+ 1 4 y+ z   ⎜ 1− y ⎟ ⎜ ⎟   −4 + x ⎟ = ⎜ 2 3 −3 ⎟ u− v ⎜   ⎜ −v − x −2v + 2 y t + x − z +  3 ⎟ ⎜ 2 4 2 ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Aplicând egalitatea a dou ă matrice se obţine că: x = 1, y = –1, z = 2, v = –3, u = 0, t = 0. E5. Rezolvare: Folosind operaţiile cu matrice egalitatea din enun ţ conduce la: ⎛ 2 +1 0 ⎞ ⎛ −1 − 2 1 ⎞ − X  = ⎜ ⎜ 7 ⎟ ⎟, − − − − 5 1 2 1 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

     

⎛ 2 +1 0 ⎞ ⎛ −1 − 2 1 ⎞ −⎜ egalitate din care se ob ţine  X  = ⎜ ⎟ ⎟. − − − − 7 5 1 2 1 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2 + 2 2 −1⎞  Rezultă că  X  = ⎜ ⎟ . 5 0 ⎝ ⎠ 

     

E6. Rezolvare: t Egalitatea  A = A se scrie sub forma echivalent ă: ⎛ 5 a2 3 ⎞  ⎛ 5 6 − a b ⎞  ⎜ ⎟  ⎜ 2 ⎟  −1 − 10 10 ⎟  ⎜ 6 − a −1 3c + 2 ⎟ = ⎜ a ⎜ b −10 n ⎟  ⎜⎝ 3 3c + 2 n ⎟  ⎠  ⎝ ⎠  Se obţin ecuaţiile: a2 = 6 – a; 3 = a i {–3, 2}, b = 9, c = –4, n i Z.

b , 3c + 2 = –10; n = n cu

soluţiile:

E7. Rezolvare: ⎛ −1 0 ⎞ ⎛ − 1 3 ⎞   Avem:  A = ⎜ ⎟+⎜ ⎟  sau ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 3 0⎠   ⎛ −3 5 ⎞ ⎛ −1 2 ⎞    A = ⎜ ⎟ −⎜ 1 2⎟   6 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Să se dea şi alte scrieri pentru A ca sum ă, respectiv diferen ţă de două matrice. ⎛−3 ⎝5

= 2I+⎜ A

⎛−1 3 ⎞ = ; A ⎟ ⎜ 2 −1⎠ ⎝5

E8. Rezolvare: Se înmulţeşte fiecare element al matricei cu num ărul real ⎛ 6 − 8 ⎞  2 ⎟ = ⎛ 3 −4 ⎞ ; a) ⎜⎜ 2 ⎟  ⎟  ⎜ ⎜ 12 0,2 ⎟  ⎝ 3 0,1⎠  ⎝ 2 2 ⎠  ⎛ − 36 12 − 24 ⎞  3 3 ⎟ = ⎛ −12 4 −8 ⎞ .  b) ⎜⎜ 3 ⎟  ⎟  ⎜ ⎜ − 30 − 2 ⋅ 3 − 3 ⎟  ⎝ −5 −2 −1⎠  ⎝ 6 3 3 ⎠  c) Se va folosi că 3 + 8 = 3 + 2 2 = ( 2 + 1)2 = 2 + 1 . 34

3 ⎞ ⎟− I. 2 +1⎠ 2

 

⎛ −( 2 − 1) 1)( 2 + 1) 1) 0 ⎞  ⎛ −1 0 ⎞  ⎜ ⎟ = ⎜ Se obţine: . 2 − 1 ⎜ ( 2 − 1)( 2 + 1) ⎟  ⎝ −1 1 ⎟  ⎠  1− 2 ⎝ ⎠  2 d) Se foloseşte faptul că i = –1 din care se deduce că i3 = – i, i4 = 1. Se obţine: ⎛ 2i4 i − i2 ⎞  ⎛ 2 i + 1⎞  ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 3 4i ⎟ . − 3 i 4 i ⎠  ⎝ ⎠  ⎝ E9. Rezolvare. Se obţine succesiv: ⎛ −2 8 6 ⎞ ⎛ 0 −1 −3⎞ ⎛ −3 3 −15 ⎞    X  = ⎜ ⎟ + ⎜ −2 5 4 ⎟ + ⎜ −2 −15 2 0 2 1 5 1 ⎟⎠    ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ −2 + 0 − 3 8 − 1 + 3 6 − 3 − 15 ⎞ ⎛ −5 10 −12 ⎞  X  = ⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ 2 − 2 − 2 0 + 5 − 15 2 + 4 + 1 ⎠ ⎝ −2 −10 7 ⎠ ⎛ −5 10 −12 ⎞  Aşadar,  X  = ⎜ ⎟ . ⎝ −2 −10 7 ⎠ 

     

E10. Rezolvare: Se efectuează înmulţirea cu un număr real a unei matrice şi operaţia de adunare a dou ă matrice şi se obţine egalitatea matriceal ă: ⎛2 + 13 22 ⎞ x 5 −4 + y (−15) 8 + z (−1  0) ⎞ ⎛ 7 ⎜ ⎟=⎜ ⎟. 8 + 20b −2 +15c ⎠ ⎝−21 −2 8 ⎠ ⎝−6 + 5a Din egalitatea acestor dou ă matrice rezultă următoarele ecua ţii de gradul întâi: 2 x + 5 = 7, –4 y – 15 = 13, 8 z – 10 = 22, –6 + 5 a = –21, 8 + 20b = –2, –2 + 15 c = 8 cu soluţiile  x = 1, y = –7; z = 4, a = –3; b = − 1 ; c = 2 . 2

3

 Sintez ă

S1. Rezolvare: Egalitatea matriceal ă din enun ţ se scrie sub forma echivalent ă astfel: 6 ⎞  ⎛ 2 5 ⎞  ⎛ 2 x 3y ⎞  ⎛ 4 x ⎜ 5 6 ⎟ + ⎜ −4 9 ⎟ = ⎜ log  z C 2 ⎟ . ⎝ ⎠  ⎝ ⎠  ⎝ 2 n ⎠  ⎛ 2 + 2 x 5 + 3y ⎞  ⎛ 4 x 6 ⎞  Efectuând adunarea matricelor se ob ţine egalitatea matriceal ă ⎜ ⎟ = ⎜ log  z C 2 ⎟  15 ⎠  ⎝ 2 ⎝ 1 n ⎠  din care se ob ţin ecuaţiile: 2 + 2 x = 4 x, 5 + 3 y = 6, log2 z = 1, C n2 = 15 . • Ecuaţia 2 + 2 x = 4 x se scrie sub forma 4 x – 2 x – 2 = 0. Cu nota ţia 2 x = m se obţine ecuaţia de gradul doi m2 – m – 2 = 0, m > 0 cu solu ţia pozitivă m = 2. Se obţine x = 1. • Din 5 + 3 y = 6, rezultă 3 y = 1 şi y = 0. • Ecuaţia log2 z  = 1 are solu ţia  z  = 2, iar ecua ţia C n2 = 15 se scrie sub forma echivalent ă n(n − 1) = 15 , n i q, n U 2. Se obţine n = 6. 2

Aşadar, x = 1, y = 0, z = 2, n = 6.

35

S2. Rezolvare: Egalitatea matriceal ă din enun ţ se scrie succesiv ⎛ x2 + x 2 x⎞ ⎛ 3 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ x⎛ 9 4 + ⎞ y ⎛ x2 + x+ 3 + ⎜ ⎟ + ⎜ 2 x 0 ⎟ = ⎜ z+ 2 t+ 4 ⎟ ⇔ ⎜ 2⎟ ⎜ 0 3 − x x x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝

3 x ⎞ ⎛ 9 4  + ⎞ y   ⎟=⎜   ⎟.   2 x+ 3 ⎠ ⎝ z+ 2   t+ 4 ⎠    

Aplicând egalitatea a dou ă matrice se ob ţin ecuaţiile: 2 2  x + x + 3 = 9, 3 x = 4 + y, x = z + 2, x + 3 = t + 4. Ecuaţia x2 + x + 3 = 9 are solu ţiile x1 = –3, x2 = 2. • Pentru x1 = –3 se obţine: y = –13, z 1 = –5, t 1 = 8 • Pentru x2 = 2 se ob ţine: y = 2, z 2 = 0, t 2 = 3.

S3. Rezolvare: ⎛ 5 6⎞ ⎛ 1 2⎞   ⎛ 4 4 ⎞  a) Din egalitatea dat ă rezultă că 2 A = ⎜ , adic −⎜ ă 2 A = ⎜ ⎟ ⎟   ⎟ . ⎝ −1 3 ⎠ ⎝ 3 1 ⎠   ⎝ −4 2 ⎠  ⎛ 2 2 ⎞  Se obţine  A = ⎜ ⎟ . ⎝ −2 1 ⎠  ⎛ 2 1 1 ⎞ ⎛ 20 −5 10 ⎞   ⎛ −18 6 −9 ⎞   b) 3 A = ⎜ − , deci = 3  A ⎟ ⎜ ⎟   ⎜ −15 −9 9 ⎟ . ⎝ 0 −4 9 ⎠ ⎝ 15 5 0 ⎠   ⎝ ⎠  ⎛ −6 2 −3 ⎞  Se obţine  A = ⎜ ⎟ . − 5 − 3 3 ⎝ ⎠  ⎛ −3 0 ⎞ ⎛ 0 −2 ⎞ ⎛ −4 −12 ⎞     c) 7 A = ⎜⎜ 1 −2 ⎟⎟ + ⎜⎜ −8 0 ⎟⎟ + ⎜⎜ 0 16 ⎟⎟ , egalitate din care se ob ţine:   ⎜ 5 6 ⎟ ⎜ −4 −16 ⎟ ⎜ 48 −4 ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ −7 −14 ⎞  ⎛ −1 −2 ⎞  ⎜ ⎟  7 A = ⎜⎜ −7 14 ⎟  ⎟ . Rezultă că  A = ⎜ −1 2 ⎟ . ⎜ 49 −14 ⎟  ⎜ 7 −2 ⎟  ⎝ ⎠  ⎝ ⎠  S4. Rezolvare: a) Înmulţim prima ecua ţie cu –2 şi adunăm ecuaţia obţinută cu cealaltă ecuaţie. Se ob ţine: ⎛ −6 −4 ⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ −5 −5 ⎞   −5 B = ⎜ +⎜ ⇔ −5B = ⎜ ⎟ ⎟ ⎟.   − − − − − 4 6 1 1 5 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛1 1⎞  Rezultă că  B = ⎜ ⎟ . Înlocuind pe  B în prima ecua ţie din enunţ şi efectuând opera ţiile cu ⎝1 1⎠  matrice se ob ţine: ⎛ 3 2⎞ ⎛ 2 2⎞    A = ⎜ ⎟ − ⎜ 2 2⎟ . A   şadar, A = I 2. 2 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠    b) Înmul ţim prima ecua ţie cu –(1 – i) şi adunăm ecuaţia obţinută cu a doua ecua ţie din enun ţ. Se obţine egalitatea matriceal ă: ⎛ 2 + i 1 ⎞ ⎛2 − i 1− i ⎞   −(1 + i)(1 − i) A + A = −(1 − i) ⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ 1− i 2 − i⎟   1 2 i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   care se scrie sub forma: ⎛ −3 + i −1 + i ⎞ ⎛ 2 − i 1 − i ⎞   ⎛ −1 0 ⎞  −2 A + A = ⎜ +⎜ , sau  − A = ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ . − 1 + − 3 + 1 − 2 − 0 − 1 i i i i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎝ ⎠  Rezultă că A = I 2. 36

Pentru determinarea matricei  B se înlocuie, de exemplu, matricea  A în prima ecua ţie a ⎛1 1⎞  enunţului şi efectuând calculele se ob ţine  B = ⎜ ⎟ . ⎝1 1⎠ 

S5. Solu ţ ie: ie: a) Se scrie sub forma: ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ... ⎛ 1  A = ⎜ 3 ⎟+⎜ 3 ⎟+⎜ 3 ⎟ + + ⎜ n3 ⎝1 1 ⋅ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⋅ 3⎠ ⎝ 3 3 ⋅ 4 ⎠ ⎝ n ⎛ n ⎞  k  ⎟  ∑ ⎜ k =1 =⎜ n ⎟ . n 3 ⎜⎜ ∑ k ∑ k (k + 1) ⎟  ⎟  ⎝ k =1 ⎠  k =1 n Se ştie că k = n(n + 1) ,

∑

k =1

2

n

∑ k  = 2

n(n + 1)(2n + 1)

6

k =1

1 + 2 + 3 + ... + n ⎞ ⎞ ⎛ 1 + 1 + 1 + ... + 1   = =   ⎟ ⎜ ⎟ 3 3 3 3 n(n + 1) ⎠ ⎝ 1 + 2 + 3 + ... + n 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ... + n(n + 1) ⎠   n

şi

n

∑ k 

3

k =1

Vom calcula suma urm ătoare: n

n

2

= ⎡⎢ n(n + 1) ⎤⎥ . ⎣ 2 ⎦ n

n

∑ k (k + 1)1) = ∑=1 (k + k) = ∑=1 k + ∑=1 k .

k =1

2

k

k

2

k

   

Folosind formulele scrise mai înainte se ob ţine că n ∑ k (k + 1) = n(n + 1)(2n + 1) + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) . 6

k =1

⎛ n ⎜ Aşadar,  A = ⎜ 2 2 ⎜ n (n + 1) ⎝ 4

2

3

n(n + 1)

⎞  ⎟  2 ⎟ , n i q*. n(n + 1)(n + 2) ⎟  ⎠  3 k 

+1  b) Scriem mai întâi c ă: 2 k  · 3k +1 = 2k  · 3k  · 3 = 6k  · 3 şi 2k ⋅ 3−k  = ( 2 ) . Cu acestea matricea  A se

3

scrie sub forma:

⎛ ∑n 1 3∑n 6k  ⎞  ⎜ k =1 ⎟  k =1 ⎟ .  A = ⎜ k  n n ⎜ ∑ 2k  ∑ 2 ⎟  ⎜ ( ) ⎟ ⎠  ⎝ k =1 k =1 3 Reamintim că suma a n termeni aflaţi în progresie geometric ă cu raţia q @ 1 şi primul termen n notat a1 este: S  = a1(q − 1) . q −1 Rezultă că: n n • ∑ 6k = 6 + 62 + ..... + 6n = 6(6 − 1) = 6 ⋅ (6n − 1) 1) 6 −1 5 k =1 n n • ∑ 2k = 2 + 22 + ... + 2n = 2(2 − 1) = 2(2n − 1) 2 −1 k =1 n

2 −1 n n n n 2 n • ∑ 2 = 2 + 2 + ... + 2 = 2 ⋅ 3 = −2 ⎡⎢ 2 − 1⎤⎥ = 2 ⎡⎢1 − 2 ⎤⎥ . 3 3 3 3 2 −1 k =1 3 ⎣3 ⎦ ⎣ 3 ⎦ 3 18 ⋅ (6n − 1) ⎞  ⎛ n ⎜ ⎟  5 Rezultă că  A = ⎜ n ⎟ . ⎡ ⎤ ⎟  n 2 ⎜⎜ 2(2 − 1) 2 ⎢1 − ⎣ 3 ⎥⎦ ⎟  ⎝ ⎠ 

()

()

()

()

()

()

37

()

1.2.4. Înmulţ Înmulţirea matricelor  Exersare

E1. Rezolvare: ⎛4 5 ⎞ ⎛ 2 a) ⎜ ⎟⋅⎜ ⎝ 6 −1⎠ ⎝ −3 ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 1  b) ⎜ ⎟⋅⎜ 2 4 1 ⎝ ⎠⎝ ⎛ −1 2 ⎞ 0 c) ⎜⎜ 1 0 ⎟⎟ ⋅ ⎛⎜ ⎜ 2 i2 ⎟ ⎝ 1 ⎝ ⎠

1 ⎞ ⎛ 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ (−3) 4 ⋅ 1 + 5 ⋅ (−2) ⎞ ⎛ −7 −6 ⎞   = = −2 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 ⋅ 2 + (−1) ⋅ (−3) 6 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−2) ⎟⎠ ⎜⎝ 15 8 ⎟⎠    4 ⎞ ⎛ 1 ⋅1 + (−2) ⋅ 2 1⋅ 4 + ( −2) ⋅1⎞ ⎛ −3 2 ⎞   = = 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⋅1 + 1 ⋅ 2 4 ⋅ 4 + 1 ⋅ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 17 17 ⎟⎠    −11 ⎞ 0 ⎛ −1⋅ 0 + 2 ⋅1 −1⋅ (−2) + 2(−1) −1⋅ 3 + 2(−4) ⎞ ⎛ 2 −2 3 ⎞  ⎜ 3 ⎟⎟ = = ⎜ 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 1 ⋅ (−2) + 0 ⋅ (−1) 1⋅ 3 + 0 ⋅ (−4) ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 −2 ⎟  −1 −4 ⎠  ⎜ 2 2 2 2 2⎟ ⎟ ⎜2 ⎝ 2 ⋅ 0 + i ⋅ 1 2 ⋅ (−2) + i ⋅ (−1) 2 ⋅ 3 + i ⋅ (−4) ⎠ ⎝ i (−4 − i ) 6 − 4i ⎠ ⎛ 2 0 −11⎞  = ⎜⎜ 0 −2 3 ⎟  ⎟ . ⎜ −1 −3 10 ⎟  ⎝ ⎠ 

         

d) Se înlocuie cos0 = 1, sin π = 1, tg π = 1 şi avem de efectuat urm ătoarea înmul ţire de matrice:

2 4 ⎛ 3 1 2 ⎞ ⎛ −1 −1 1⎞ ⎛ 3 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 0 3 ⋅ (−1) + 1 ⋅ (−1) + 2 ⋅1 3 ⋅1 + 1⋅1 + 2 ⋅1 ⎞ ⎛−1 −2 6 ⎞ ⎜ 2 1 2 ⎟ ⎜ 2 −1 1⎟ = ⎜ 2 ⋅ (−1) +1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 0 2 ⋅ (−1) + 1 ⋅ (−1) + 2 ⋅1 2 ⋅1 + 1⋅1 + 2 ⋅1 ⎟ = ⎜ 0 −1 5 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 3 ⎟ ⎜ 0 1 1⎟ ⎜1 ⋅ ( −1) + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 0 1 ⋅ (−1) + 2 ⋅ (−1) + 3 ⋅1 1 ⋅1 + 2 ⋅1 + 3 ⋅1 ⎟ ⎜ 3 0 6 ⎟  ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e) Se aplică proprietatea de asociativitate a înmul ţirii matricelor: ⎛ 1 1 ⎞  ⎛1 −1 2 4 ⎞  ⎜ ⎟  − 1 2 ⎛ 1 2 3 ⎞  ⎜ ⎟  = ⎜ 3 −1 1 ⎟ ⋅ ⎜1 2 1 2 ⎟ ⋅ ⎜⎜ 0 1 ⎟  ⎟  ⎝ ⎠  ⎜1 3 −1 −1⎟  ⎝ ⎠  ⎜ −2 2 ⎟  ⎝ ⎠ 

⎛1 1⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−1) 1⋅ 4 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ (−1) ⎞  ⎜⎜ −1 ⎛ 1 ⋅1 + 2 ⋅1 + 3 ⋅ 1 1 ⋅ (−1) + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 =⎜ ⎟ ⋅ ⎜ 0 ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ − + − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅ + ⋅ − 3 1 ( 1) 1 ) 1 1 1 3 ( 1) 1 ) ( 1) 1 ) 2 1 3 3 2 ( 1) 1 ) 1 1 ( 1) 1 ) 3 4 ( 1) 1 ) 2 1 ( 1) 1 ) ⎝ ⎠  ⎜ ⎝ −2 ⎛ 1 1 ⎞  12 ⋅ (−1) + 1⋅ 0 + 5 ⋅ (−2) 6 ⋅1 + 12 1 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 ⎞ ⎛ − 16 ⎛ 6 12 1 5 ⎞ ⎜⎜ −1 2 ⎟  ⎟ = ⎛⎜ 6 ⋅1 + 12 =⎜ ⋅ ⎟ ⎟=⎜ ⎝ 3 −2 4 9 ⎠ ⎜ 0 1 ⎟  ⎝ 3 ⋅ 1 + (−2)(−1) + 4 ⋅ 0 + 9 ⋅ (−2) 3 ⋅1 + (−2) ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 + 9 ⋅ 2 ⎠ ⎝ −13 ⎜ −2 2 ⎟  ⎝ ⎠  E2. Rezolvare: ⎛ − 1 1 ⎞ ⎛1 ⋅ − 1 + 3 ⋅1 1⋅ 1 + 3 ⋅ − 1 ⎞  ⎛ 5 − 1 ⎞ 1 3 ⎛ ⎞  ⎜ 2 2 2 ⎟  ⎜ 2 ⎟=⎜ 2⎟ a)  AB = ⎜ ⋅⎜ =⎜ ⎜ ⎟  ⎟  ⎟ ⎝ 3 1 ⎠  ⎜ 1 − 1 ⎟ ⎜ 3 ⋅ − 1 + 1 ⋅1 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ − 1 ⎟  ⎜ − 1 5 ⎟⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 2 ⎠  ⎝ 2 2 ⎠ ⎛ − 1 ⋅ 1 + 1⋅ 3 − 1 ⋅ 3 + 1 ⋅1 ⎞  ⎛ 5 − 1 ⎞ ⎛−1 1 ⎞ 1 3 ⎞  ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 2 2 ⎜ 2 ⎟⎛ 2⎟ =⎜  BA = ⎜ ⎜ ⎟  ⎟  ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 − 1 ⎟ ⎝ 3 1 ⎠  ⎜1 ⋅1 + − 1 ⋅ 3 1⋅ 3 + − 1 ⋅ 1⎟  ⎜ − 1 5 ⎟   ⎝ 2 2 ⎠  ⎝ 2 2 ⎠ 2⎠ ⎝

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) 38

                 

       

1 ⎞  2 ⎟  ⎟ = 1 ⎟  ⎟  2 ⎠  41 ⎞ . 21⎟⎠

     

⎛−1 1 ⎞ ⎛ 5 −1⎞   1 3 ⎛ ⎞  ⎜ ⎟ ⎜ 2   2 2⎟ t ⋅⎜ = ⋅ = A⋅ t  B= ⎜ A B ⎟  ⎜ 1 5⎟   ⎝ 3 1 ⎠  ⎜ 1 − 1 ⎟⎟ ⎜− ⎟   ⎝ ⎝ 2 2⎠   2⎠ ⎛ − 1 1 ⎞  ⎜ 2 ⎟ ⎛ 1 3 ⎞ = B⋅ A= AB t t  B⋅ A= ⎜ ⎟  ⎟ ⎜ ⎜ 1 − 1 ⎟ ⎝ 3 1 ⎠  ⎝ 2 ⎠  ⎛1 ⎞ ⎛ 1 ⋅ (−3) 1⋅ 1 1 ⋅ (−1) ⎞ ⎛ −3 1 −1 ⎞      b)  A ⋅ B = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⋅ ( −3 1 −1) = ⎜⎜ 2 ⋅ (−3) 2 ⋅1 2 ⋅ (−1) ⎟⎟ = ⎜⎜ −6 2 −2 ⎟⎟   ⎜ 3 ⎟  ⎜ 3 ⋅ (−3) 3 ⋅ 1 3 ⋅ (−1) ⎟ ⎜ −9 3 −3 ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎝ ⎠  ⎛1 ⎞  ⋅ B= (A−3 1 −1) ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟    ⎟ = (−3 ⋅1 + 1 ⋅ 2 + (−1) ⋅ 3) = (−4) ∈ 1(ZM) ⎜ 3 ⎟  ⎝ ⎠  ⎛ −3 ⎞  t t  ⋅ A= (B1 2 3) ⋅ ⎜⎜1 ⎟    ⎟ = (1⋅ (−3) + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−1)) = (−4) ∈ 1(ZM) ⎜ −1 ⎟  ⎝ ⎠  ⎛ −3 ⎞ ⎛ −3 ⋅1 −3 ⋅ 2 −3 ⋅ 3 ⎞ ⎛ −3 −6 −9 ⎞   ⎜ ⎟  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟   t t   B ⋅ A = ⎜1 ⎟ ⋅ (1 2 3) = 1 ⋅ 1 1⋅ 2 1⋅ 3 ⎟ = ⎜ 1 2 3 ⎟ ⎜   ⎜ −1 ⎟  ⎜ −1 ⋅ 1 −1 ⋅ 2 −1 ⋅ 3 ⎟ ⎜ −1 −2 −3 ⎟   ⎝ ⎠  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ −1 1 1 ⎞ ⎛⎜ −2 1 ⎞  ⎛ −1 ⋅ (−2) + 1 ⋅1 + 1 ⋅ 2 −1 ⋅ 1 + 1⋅ 3 + 1 ⋅ 0 ⎞ ⎛ 4 2 ⎞   ⎟  2 ⎟ ⋅ 1 3 ⎟ = ⎜ 2 2 ⎟=⎜ c)  A ⋅ B = ⎜ ⎟   . ⎜ 0 1 2 ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟ 5 3 ⎝ ⎠   ⎝ ⎠ ⎝ 2 0 ⎟  ⎠  ⎝ 0 ⋅ (−2) + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 0 ⎠ ⎛ −2 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 0 −2 ⋅ 1 + 1⋅ 1 −2 ⋅ 1 + 1⋅ 2 ⎞  ⎜ ⎟  ⎛ 2 −1 1 ⎞ 2 ⎛ −2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞  ⎜ ⎟ −1 1 2 ⎟ = ⎜ 1 ⋅ (−1) + 3 ⋅ 0 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 1 1 + 3 ⋅ 2 ⎟ = ⎜ −1 4 6,  BA = 1 3 ⋅ ⎜ 6, 5 ⎟⎟ ⎜ ⎟  ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⎜ 2 0 ⎟ ⎝ 0 1 2 ⎟  ⎟  ⎜⎝ −2 2 1 ⎟⎠ ⎠  ⎜ ⎝ ⎠ 1 ⎜⎜ 2 ⋅ (−1) + 0 ⋅ 0 2 ⋅1 + 0 ⋅1 2 ⋅ + 0 ⋅ 2 ⎟  ⎟  2 ⎝ ⎠  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞   ⎜ −1 0 ⎟ −2 1 2 ⎜ −1 ⋅ (−2) + 0 ⋅ 1 −1 ⋅1 + 0 ⋅ 3 −1⋅ 2 + 0 ⋅ 0 ⎟ ⎛ 2 − 1 −2 ⎞  ⎞ = ⎜ ⋅ − + ⋅ t ⋅ t = ⎜ 1 A 1 B⎟ ⋅ ⎛⎜ = t ( ) 1 ( 2) 1 1 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 1 ⋅ 2 + 1⋅ 0 ⎟ = ⎜⎜ −1 4  2 ⎟  ⎟  ⎟  ⎜ ⎟ ⎝ 1 3 0 ⎠  ⎜ ⎟   ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 ⋅ (−2) + 2 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 0 ⎟⎟ ⎜⎝ 1 6,  5 1 ⎟  ⎠  ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠   2 2 ⎛ ⎞  −1 0 ⎟  ⎛ −2 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 −2 ⋅ 0 + 1⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⎞  ⎜ ⎛ −2 1 2 ⎞ ⎟ = ⎛ 4 5 ⎞ = t ( )   AB 2 t ⋅ t = ⎜ B A ⎟ ⋅ ⎜ 1 1 ⎟ = ⎜⎜ ⎜ 2 3⎟   ⎝ 1 3 0 ⎠ ⎜ 1 ⎟  ⎜ 1 ⋅ (−1) + 3 ⋅1 + 0 ⋅ 1 1 ⋅ 0 + 3 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 ⎟  ⎝ ⎠   ⎟  ⎜⎜ ⎟  ⎝ ⎠  2 ⎟  ⎝ 2 2 ⎠  d) A · B = I 3 · B = B  B · A = B · I 3 = B t  t  t  t   A ·  B = I 3 ·  B =  B t  t  t  t   B ·  A =  B · I 3 =  B

39

         

BA

E3. Rezolvare: Calculăm ⎛−1 ⎜ ⎜0  AB = ⎜−3 ⎜ ⎝2 ⎛ −3 ⎜0 =⎜ ⎜ −9 ⎜ ⎝6

2⎞ ⎟ 1⎟ ⎛3 ⋅⎜ 1⎟ ⎝0 ⎟ 0⎠ 1 4 1 0 −2 12 12 2 −8

⎛−1⋅3 + 2⋅0 −1⋅1+ 2⋅1 −1⋅(−4) + 2⋅0 −1⋅ 0 + 2⋅ 5⎞ ⎜ ⎟ 1 −4 0⎞ ⎜ 0⋅3 +1⋅0 0⋅1+1⋅1 0⋅(−4) +1⋅0 0⋅ 0 +1⋅5 ⎟ = ⎟= 1 0 5⎠ ⎜−3⋅3 + 1⋅0 −3⋅1+1⋅1 − 3⋅ (−4) +1⋅0 −3⋅ 0 + 1⋅5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⋅3 + 0⋅0 2⋅1+ 0⋅1 2⋅(−4) + 0⋅0 2⋅0 + 0⋅5 ⎠ 10 ⎞  5 ⎟  ⎟ . 5 ⎟  ⎟  0 ⎠  ⎛ −3 0 −9 6 ⎞  ⎜ 1 1 −2 2 ⎟  t  ⎟ . Rezultă că ( AB) = ⎜ ⎜ 4 0 12 12 −8 ⎟  ⎜ 10 5 5 0 ⎟  ⎝ ⎠  ⎛ 3 0⎞ ⎛ 3 ⋅ (−1) + 0 ⋅ 2 3 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 3 ⋅ (−3) + 0 ⋅1 3 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎛ −1 0 −3 2 ⎞  ⎜ 1 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 2 1 ⋅ 0 + 1 ⋅1 1 ⋅ (−3) + 1 ⋅ 1 1⋅ 2 + 1⋅ 0 ⎟ t t  ⎟ ⎟= =⎜  B ⋅ A = ⎜ ⎜ −4 0 ⎟ ⎜⎝ 2 1 1 0 ⎟  ⎜ ⎟ − 4 ⋅ ( − 1 ) + 0 ⋅ 2 − 4 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 − 4 ( − 3 ) + 0 ⋅ 1 − 4 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 ⎠  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 5⎠ ⎝ 0 ⋅ (−1) + 5 ⋅ 2 0 ⋅ 0 + 5 ⋅ 1 0 ⋅ (−3) + 5 ⋅1 0 ⋅ 2 + 5 ⋅ 0 ⎠ ⎛ −3 0 −9 6 ⎞  ⎜ 1 1 −2 2 ⎟  ⎟ . =⎜ ⎜ 4 0 12 12 −8 ⎟  ⎜ ⎟  ⎝ 10 5 5 0 ⎠ 

           

t  t  Se observ ă că t ( AB  AB) =  B ·  A.

⎛ −6 ⎜1 t t  Avem de asemenea: AB + B A = ⎜ ⎜ −5 ⎜ ⎝ 16

1 2 −2 7

−5 16 ⎞  −2 7 ⎟  ⎟ . 24 24 −3 ⎟  ⎟  −3 0 ⎠ 

E4. Rezolvare: 1) + (−2) 2)(−4) 4) 5 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 + (−2) 2) ⋅ 0 5 ⋅ 0 + 1⋅ (−1) 1) + (−2) 2)(−2) 2) ⎞  ⎛ 5 ⋅ 0 + 1 ⋅ (−1) ⎜ A⋅ ( B⋅ C) = A⋅ ⎜ 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−4) 1⋅ 2 + 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 0 1⋅ 0 + 1⋅ (−1) + 3 ⋅ (−2) ⎟  ⎟ = ⎜ −1 ⋅ 0 + 1 ⋅ (−1) + (−2) ⋅ (−4) (−1) ⋅ 2 + 1⋅ 3 + (−2) ⋅ 0 (−1) ⋅ 0 + 1⋅ (−1) + (−2)(−2) ⎟  ⎝ ⎠  ⎛ −1 0 3 ⎞ ⎛ 7 13 3 ⎞ ⎛ −1 ⋅ 7 + 0 ⋅ (−13) + 3 ⋅ 7 −1 ⋅13 + 0 ⋅ 5 + 3 ⋅1 −1 ⋅ 3 + 0 ⋅ (−7) + 3 ⋅ 3 ⎞ = ⎜⎜ 2 −1 2 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ −13 5 −7 ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 ⋅ 7 + (−1)(−13) + 2 ⋅ 7 2 ⋅13 + (−1) ⋅ 5 + 2 ⋅1 2 ⋅ 3 + (−1)(−7) + 2 ⋅ 3 ⎟⎟= ⎜ 1 1 0 ⎟ ⎜ 7 1 3 ⎟ ⎜ 1 ⋅ 7 +1 ⋅ (−13) + 0 ⋅ 7 1 ⋅13 + 1 ⋅ 5 + 0 ⋅1 1 ⋅ 3 + 1⋅ (−7) + 0 ⋅ 3 ⎟⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 14 −10 6 ⎞  = ⎜⎜ 41 23 19 ⎟  ⎟ . ⎜ −6 18 −4 ⎟  ⎝ ⎠  ⎛−1⋅5 + 0⋅1+3⋅(−1) −1⋅1+ 0⋅1+3⋅1 −1⋅(−2) + 0⋅3+ 3⋅(−2) ⎞ ⎛−8 2 −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ⋅ A)⋅B =C⎜ 2⋅5 + (−1) 1)1+ 2⋅(−1) 1) 2⋅1+ (−1) 1)1+ 2⋅1 2⋅(−2) 2) + (−1) 1)3+ 2⋅ (−2) 2) ⎟⋅ =C⎜ 7 3 −   11⎟⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⋅1+1⋅1+ 0⋅1 1⋅(−2) +1⋅3+ 0⋅(−2) ⎠ ⎝ 1⋅5 +1⋅1+ 0⋅(−1) ⎝6 2 1 ⎠

40

         

⎛ 0 2 0 ⎞ ⎛ 0 − 2 + 16 −16 + 6 + 0 0 − 2 + 8 ⎞ ⎛ 14 −10 6 ⎞   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟   ⋅⎜ −1 3 −1⎟ = ⎜ 0 − 3 + 44 14 + 9 + 0 0 − 3 + 22 ⎟ = ⎜ 41 23 19 ⎟ .   ⎜ −4 0 −2 ⎟ ⎜ 0 − 2 − 4 12 + 6 + 0 0 − 2 − 2 ⎟ ⎜ −6 18 ⎟   1 8 − 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Aşadar, A · ( B  B · C ) = ( A  A · B) · C . ⎛ −1 0 3⎞ ⎛ 5 3 −2 ⎞ ⎛ −5 + 0 − 15 −3 + 0 + 3 2 + 0 − 12 ⎞ ⎛ −20 0 −10 ⎞  b) A⋅ ( B + C) = ⎜⎜ 2 −1 2⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 0 4 2 ⎟⎟ = ⎜⎜ 10 + 0 − 10 6 − 4 + 2 −4 − 2 − 8 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 4 −14 ⎟⎟ ⎜ 1 1 0⎟ ⎜ −5 1 −4 ⎟ ⎜ 5 + 0 + 0 3 + 4 + 0 −2 + 2 + 0 ⎟ ⎜ 5 7 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 0 3 ⎞ ⎛ 5 1 −2 ⎞ ⎛ −1 0 3 ⎞ ⎛ 0 2 0 ⎞ ⎛ −5 + 0 − 3 −1 + 0 + 3 2 + 0 − 6 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB+ AC = 2 −1 2 ⋅ 1 1 3 + 2 −1 2 ⋅ −1 3 −1 = 10 −1 − 2 2 −1 + 2 −4 − 3 − 4 + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 0 ⎟ ⎜ −1 1 −2 ⎟ ⎜ 1 1 0 ⎟ ⎜ −4 0 −2 ⎟ ⎜ 5 +1 + 0 1 +1 + 0 −2 + 3 + 0 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 + 0 − 12 −2 + 0 + 0 0 + 0 − 6 ⎞ ⎛ −8 2 −4 ⎞ ⎛ −12 −2 −6 ⎞ ⎛ −20 0 −10 ⎞   + ⎜⎜ 0 + 1 − 8 4 − 3 + 0 0 + 1 − 4 ⎟⎟ = ⎜⎜ 7 3 −11⎟⎟ + ⎜⎜ −7 1 −3 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 4 −14 ⎟⎟ .    ⎜ 0 − 1 + 0 2 + 3 + 0 0 − 1 − 0 ⎟ ⎜ 6 2 1 ⎟ ⎜ −1 5 −1 ⎟ ⎜ 5 7 0 ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Aşadar  A  A · ( B  B + C ) = AB + AC . ⎛ 4 1 1 ⎞ ⎛ 0 2 0 ⎞ ⎛ 0 − 1 − 4 8 + 3 + 0 0 − 1 − 2 ⎞ ⎛ −5 11 −3 ⎞ c) ( A + B) ⋅ C  = ⎜⎜ 3 0 5 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ −1 3 −1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 + 0 − 20 6 + 0 + 0 0 + 0 − 10 ⎟⎟ = ⎜⎜ −20 6 −10 ⎟⎟ . ⎜ 0 2 −2 ⎟ ⎜ −4 0 −2 ⎟ ⎜ 0 − 2 + 8 0 + 6 + 0 0 − 2 + 4 ⎟ ⎜ 6 6 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Pentru calculul expresiei  A · C + B · C vom folosi calculul lui A · C f ăcut la punctul b) şi al lui  B · C f ăcut la a). ⎛ −12 −2 −6 ⎞ ⎛ 7 13 3 ⎞ ⎛ −5 11 −3 ⎞   Avem: A ⋅ C + B ⋅ C  = ⎜⎜ −7 1 −3 ⎟⎟ + ⎜⎜ −13 5 −7 ⎟⎟ = ⎜⎜ −20 6 −10 ⎟⎟ .    ⎜ −1 5 −1⎟ ⎜ 7 1 3 ⎟ ⎜ 6 6 2 ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Aşadar, ( A + B) · C = A · C + B · C . E5. Rezolvare: 2 ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 4 + 1 2 − 3 ⎞ ⎛ 5 −1⎞   ⎜ 1 −3 ⎟ = ⎜ 1 −3 ⎟ ⋅ ⎜ 1 −3 ⎟ = ⎜ 2 − 3 1 + 9 ⎟ = ⎜ −1 10 ⎟ ;   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   3 ⎛ 1 −1⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ 1 − 3 −1 − 2 ⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ −2 −3 ⎞ ⎛ 1 −1⎞   ⎜ 3 2 ⎟ = ⎜ 3 2 ⎟ ⋅ ⎜ 3 2 ⎟ ⋅ ⎜ 3 2 ⎟ = ⎜ 3 + 6 −3 + 4 ⎟ ⋅ ⎜ 3 2 ⎟ = ⎜ 9 1 ⎟ ⎜ 3 2 ⎟ =   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠   ⎛ −2 − 9 2 − 6 ⎞ ⎛ −11 −4 ⎞   =⎜ ⎟ = ⎜ 12 − 7 ⎟ .   + − + 9 3 9 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   2 ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 4 + 1 −2 − 1⎞ ⎛ 5 −3 ⎞   Avem: ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟   ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ −2 − 1 1 + 1 ⎠ ⎝ −3 2 ⎠   4 2 2 ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 5 −3 ⎞ ⎛ 5 −3 ⎞ ⎛ 25 + 9 −15 − 6 ⎞ ⎛ 34 −21⎞   ⎜ −1 1 ⎟ = ⎜ −1 1 ⎟ ⋅ ⎜ −1 1 ⎟ = ⎜ −3 2 ⎟ ⋅ ⎜ −3 2 ⎟ = ⎜ −15 − 6 9 + 4 ⎟ = ⎜ −21 13 ⎟ .   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   5 4 ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 34 −21⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 68 + 21 −34 − 21⎞ ⎛ 89 −55 ⎞   ⎜ −1 1 ⎟ = ⎜ −1 1 ⎟ ⋅ ⎜ −1 1 ⎟ = ⎜ −21 13 ⎟ ⋅ ⎜ −1 1 ⎟ = ⎜ −42 − 13 21 + 13 ⎟ = ⎜ −55 34 ⎟.   1 3 3 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   E6. Rezolvare: ⎛−1 2 −2⎞⎛−1 2 −2⎞ ⎛ 1+ 8− 8 − 2 − 6 + 8 2 + 8 − 10 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟  A2 =⎜ 4 −3 4 ⎟⎜ 4 −3 4 ⎟=⎜−4 −12 +16 8 + 9−16 −8−12 + 20 20⎟= I 3 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 0 8 +12 − 20 20 −8−16 + 25 2 5⎠ ⎝ 4 −4 5 ⎠⎝ 4 −4 5 ⎠ ⎝−4 −16 + 20

41

                   

         

Aşadar   A2 = I 3. 3 2  A = A · A = I 3 · A = A 1 00 3 = I32003 = I3   A2006 = ( A2 )10 ( A3 + I)10 = ( A+ I3)1 0 ⎛ 0 1 −1⎞ not  2 Dar  +A 3 I= 2 ⋅ ⎜⎜ 2 −1 2 ⎟  ⎟ = 2 ⋅ Bşi B = B. ⎜ 2 −2 3 ⎟  ⎝ ⎠  10 10 Rezultă că ( A+ I3) = (2 (2 B) = 210 ⋅ B10 = 210 ⋅ B.

E7. Rezolvare: Calculăm câteva puteri consecutive ale lui  A ⎛ 1 0 ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞   2 A = A⋅ A = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟   ⎝ 1 1 ⎠ ⎝1 1 ⎠ ⎝ 2 1 ⎠   ⎛ 1 0 ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞   A3 = A2 ⋅ A= ⎜ ⎟ ⋅ ⎜1 1 ⎟ = ⎜ 3 1 ⎟   2 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ 1 0 ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞   4 3 A = A ⋅ A= ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟.   ⎝ 3 1 ⎠ ⎝1 1 ⎠ ⎝ 4 1 ⎠   Din forma de scriere a matricelor  A,  A2,  A3,  A4 se deduce c ă

 An

⎛ 1 0 ⎞  =⎜ ⎟ , formulă care o ⎝ n 1 ⎠ 

demonstr ăm prin inducţie matematică după n i q, n U 1. ⎛1 0 ⎞  Pentru n = 1, rezult ă că  A1 = ⎜ ⎟ = A , ceea ce este evident adev ărat. ⎝1 1 ⎠  ⎛ 1 0 ⎞  ⎛ 1 0 ⎞  k +1 Presupunem c ă  Ak  = ⎜ i demonstr  m c = ş ă ă  A ⎟  ⎜ k + 1 1 ⎟ . ⎝ k  0 ⎠  ⎝ ⎠  ⎛ 1 0 ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞   Avem că Ak +1 = Ak  ⋅ A= ⎜ ce trebuia tr ebuia demonstrat. ⎟ ⋅ ⎜1 1 ⎟ = ⎜ k + 1 1 ⎟ , ceea   k 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ 1 0 ⎞  Aşadar,  An = ⎜ ⎟ ,  ¼ n i q*. ⎝ n 1 ⎠ 

E8. Rezolvare: ⎛a Luăm matricea X de forma:  X  = ⎜ ⎝ x

b ⎞ 

⎟ , a, b, x, y i Z.

y ⎠ 

⎛ a b ⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ 5 • Înlocuind în rela ţia de la a) avem: ⎜ ⎟⎜ 3 4⎟ = ⎜ 4  x y ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎛ −a + 3b 2a + 4b ⎞ ⎛ 5 10 ⎞ relaţie echivalent ă cu ⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ − x+ 3 y 2 x+ 4 y⎠ ⎝ 4 2 ⎠

10 ⎞   , 2 ⎟⎠   

     

⎧−a + 3b = 5 ⎧− x + 3 y = 4 Se obţin sistemele de ecua ţii: ⎨ şi ⎨ ⎩2a + 4b = 10 ⎩2 x + 4 y = 2 cu soluţiile a = 1, b = 2, respectiv  x = –1, y = 1. ⎛ 1 2 ⎞  Aşadar,  X  = ⎜ ⎟ . − 1 1 ⎝ ⎠  42

⎛ −1 3 ⎞ ⎛ a • Înlocuind în rela ţia de la punctul b) se ob ţine: ⎜ ⎟⎜ ⎝ 2 1 ⎠ ⎝ x

⎛5 7⎞   =⎜ ⎟ ⎟,   y⎠ ⎝ 4 0⎠  

b⎞

⎛−a + 3x −b + 3y ⎞ ⎛ 5 7 ⎞ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ 2a + x 2b + y ⎠ ⎝ 4 0⎠

relaţie echivalent ă cu: ⎜

Din aceast ă egalitate de matrice se ob ţin sistemele de ecua ţii: ⎧−a + 3x = 5 ⎧−b + 3y = 7 ⎨2a + x = 4 şi ⎨2b + y = 0 ⎩ ⎩

⎛ 1 −1⎞  care au solu ţiile a = 1, x = 2, respectiv b = –1, y = 2. A şadar,  X  = ⎜ ⎟ . 2 2 ⎝ ⎠  E9. Rezolvare: a) B = 2 f ( A  A) –  f   f ( A  A + I 2). Avem: 3  f ( A  A) = A – 4 A + 2 I 2 ⎛ −1 0 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞   Dar  A3 = A2 ⋅ A= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟   ⎝ 2 −1⎠ ⎝ 2 −1⎠ ⎝ 2 −1⎠ ⎝ −4 1 ⎠ ⎝ 2 −1⎠ ⎝ 6 −1⎠   ⎛ −1 0 ⎞ ⎛ − 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ ⎛ 4 0 ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ 5 0 ⎞   Rezultă că  f ( A) = ⎜ ⎟ − 4 ⎜ 2 −1⎟ + 2 ⎜ 0 1 ⎟ = ⎜ 6 −1⎟ + ⎜ −8 4 ⎟ + ⎜ 0 2 ⎟ = ⎜ −2 5 ⎟ .   − 6 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   3  f ( A  A + I 2) = ( A  A + I 2) – 4( A  A + I 2) + 2 I 2. ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0⎞⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0⎞   Dar  A+ 2I = ⎜ , ( A+ 2I)2 = ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ =   O2 ⎝ 2 0⎠ ⎝ 2 0⎠⎝ 2 0⎠ ⎝ 0 0⎠   şi ( A+ I2 )3 = ( A+ I2 )2 ⋅( A+ I2 ) = O2 . ⎛ 0 0⎞ ⎛ 1 Rezultă că f ( A + I2 ) = O2 − 4 ⋅ ⎜ ⎟ + 2⎜ ⎝ 2 0⎠ ⎝ 0 Înlocuind în expresia matricei  B se obţine:

0⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 2 0⎞ ⎛ 2 0 ⎞   = + + = . 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ ⎜⎝ −8 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 2 ⎟⎠ ⎜⎝ −8 2 ⎟⎠   

⎛ 5 0⎞ ⎛ 2 0⎞ ⎛ 8 0⎞   ⎟ − ⎜ −8 2 ⎟ = ⎜ 4 8 ⎟ .   − 2 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠  

 B = 2 ⋅ ⎜

⎛ −1 0 ⎞ ⎛ − 1 2 ⎞ ⎛ 0 − 2 ⎞    b) Calcul ăm  A − t A = ⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟   ⎝ 2 −1⎠ ⎝ 0 −1⎠ ⎝ 2 0 ⎠   ⎛ 5 0 ⎞  Din punctul a) avem c ă  f ( A) = ⎜ ⎟  ⎝ −2 5 ⎠  3

t  t  ) = ( A )  f ( A  A –  A  A –  A

t  – 4( A ) + 2 I 2.  A –  A

3 ⎛ 0 −2 ⎞ ⎛ 0 −2 ⎞ ⎛ 0 −2 ⎞ ⎛ 0 −2 ⎞ ⎛ −4 0 ⎞ ⎛ 0 −2 ⎞ ⎛ 0 8 ⎞   Dar  ( A − A) = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟.   ⎝ 2 0 ⎠ ⎝ 2 0 ⎠ ⎝ 2 0 ⎠ ⎝ 2 0 ⎠ ⎝ 0 −4 ⎠ ⎝ 2 0 ⎠ ⎝ −8 0 ⎠   t 

3

⎛ 0 8 ⎞ ⎛ 0 8 ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ 2 1166 ⎞   Rezultă că f ( A− t  A) = ⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟.   ⎝ −8 0 ⎠ ⎝ −8 0 ⎠ ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ −16 2 ⎠   Înlocuind în expresia matricei C se obţine: 32 ⎞ ⎛ 9 32 32 ⎞   ⎛ 5 0⎞ ⎛ 2 16 ⎞ ⎛ 5 0 ⎞ ⎛ 4 32 + 2 ⋅ = + = ⎟ ⎜ −16 2 ⎟ ⎜ −2 5 ⎟ ⎜ −32 4 ⎟ ⎜ −34 9 ⎟ .   ⎝ −2 5 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠  

C = ⎜

43

 Sintez ă

S1. Rezolvare: a) Matricea X trebuie să fie de tipul (3, 2) pentru a avea loc egalitatea de matrice din enun ţ. ⎛ a x ⎞  1 −1 1 ⎞ ⎜ ⎛ ⎟ = ⎛ 0 3 ⎞ .   Înlocuind pe X avem: ⎜ ⋅ b y ⎟ ⎜ ⎟   ⎝ 0 1 −1⎠ ⎜⎜ c z ⎟  ⎟  ⎝ 3 2 ⎠   ⎝ ⎠  Efectuând înmul ţirea de matrice se ob ţine următoarea egalitate de matrice: ⎛ a − b + c x − y + z ⎞  ⎛ 0 3 ⎞   ⎜ b−c ⎟=⎜ ⎟,   y − z  ⎠ ⎝ 3 2 ⎠ ⎝   ⎧a − b + c = 0 ⎪⎪b − c = 3 din care se ob ţine sistemul de ecua ţii: ⎨ ⎪ x − y + z =  3 ⎪⎩ y − z = 2 Din primele dou ă ecuaţii se obţine a = b – c = 3, b = 3 + c şi c i Z. Din următoarele două ecuaţii se obţine x = 5, y = 2 + z şi z i Z. 5 ⎞  ⎛ 3 Aşadar  X= ⎜⎜ 3 + c 2 + z⎟  ⎟ , c  , z i Z. ⎜ c z  ⎟  ⎝ ⎠   b) În egalitatea aceasta se impune condi ţia ca X i M  3,1(Z). Avem: ⎛ −1 4 1 ⎞  ⎛ a ⎞ ⎛ −3 ⎞   ⎛ −a + 4b + c ⎞ ⎛ −3 ⎞   ⎟ = ⎜ 8⎟   ⎜ 0 1 3 ⎟ ⋅ ⎜ b ⎟ = ⎜ 8 ⎟ ,  egalitate care se scrie sub forma: ⎜ b + 3c ⎜ ⎟ ⎜ ⎟   ⎜ ⎟  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟   ⎜ −2 2 5 ⎟ ⎜ c ⎟ ⎜ 9 ⎟   ⎜ −2a + 2b + 5c ⎟ ⎜ 9 ⎟   ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Identificând elementele corespunz ătoare ale acestor matrice se ob ţine sistemul de ecua ţii: ⎧−a + 4b + c = −3 ⎪b + 3c = 8 ⎨ ⎪⎩−2a + 2b + 5c = 9 Înmulţind prima ecua ţie cu –2 şi adunând-o la ecua ţia a treia se ob ţine un sistem de dou ă ecuaţii cu necunoscutele b şi c: ⎧−6b + 3c = 15 cu soluţia: b = –1, c = 3. ⎨b + 3c = 8 ⎩ Înlocuind b şi c în una din ecua ţiile care conţin a se obţine a = 2. ⎛ 2 ⎞  Aşadar,  X  = ⎜⎜ −1⎟  ⎟  ⎜ 3 ⎟  ⎝ ⎠  c) În aceast ă relaţie matriceală matricea X este pătratică de ordinul 3: ⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎛ a x m ⎞ ⎛ 8 2 −1⎞   Avem: ⎜⎜ 2 0 3 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ b y n ⎟⎟ = ⎜⎜ 9 5 4 ⎟⎟    ⎜ 1 1 −2 ⎟ ⎜ c z p ⎟ ⎜ − 3 − 1 5 ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Efectuând înmul ţirea de matrice se ob ţine egalitatea matriceal ă: ⎛ a − b + c x − y + z m − n + p ⎞ ⎛ 8 2 −1⎞   ⎜ 2a + 3c ⎟ ⎜ ⎟   2 x + 3 z 2 m + 3 p = 9 5 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟   ⎜ a + b − 2c x + y − 2 z m + n − 2 p ⎟ ⎜ −3 −1 5 ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   44

Punând condi ţia egalităţii celor două matrice se structureaz ă trei sisteme de ecua ţii cu câte trei necunoscute de forma: ⎧ a − b + c = 8 ⎧ x − y + z = 2 ⎧ m − n + p = −1 ⎪2a + 3c = 9 , ⎪2x + 3 z = 5 , ⎪2m + 3 p = 4 ⎨ ⎨ ⎨ ⎪a + b − 2c = −3 ⎪ x + y − 2 z = −1 ⎪m + n − 2 p = 5 ⎩ ⎩ ⎩ Se obţin soluţiile: a = 3, b = –4; c = 1  x = 1; y = 0; z = 1 m = 2; n = 3; p = 0 ⎛ 3 1 2 ⎞  Aşadar,  X  = ⎜⎜ −4 0 3 ⎟  ⎟ . ⎜ 1 1 0 ⎟  ⎝ ⎠ 

S2. Rezolvare: ⎛ 1 5⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 0 ⎞   a) Avem egalitatea: ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ x y ⎟ = ⎜ 0 1 ⎟ ,   0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ a + 5x b + 5 y ⎞ ⎛ 1 care este echivalent ă cu: ⎜ ⎟=⎜ y ⎠ ⎝0 ⎝  x Se obţin egalităţile de elemente: • a + 5 x = 1 • b + 5 y = 0 • x = 0 ⎛ 1 −5 ⎞  Rezultă că: a = 1, b = –5 şi  X  = ⎜ ⎟ , 0 1 ⎝ ⎠   b) Înlocuind  A, X şi B se obţine egalitatea:

0⎞ 1 ⎟⎠

     

⎧ a + 5x = 2 ⎪⎪b + 5 y = 1 ⎛ 1 5 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 2 1⎞   ⎜ 0 1 ⎟ ⋅ ⎜ x y ⎟ = ⎜ 1 1⎟ .  Procedând ca la a) se ob ţine sistemul de ecua ţii: ⎨  x = 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎪ ⎪⎩  y = 1 ⎛ −3 −4 ⎞  cu soluţiile a = –3; b = –4, x = 1, y = 1. Aşadar,  X  = ⎜ ⎟ . 1 1 ⎝ ⎠  ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 5 ⎞ ⎛ 2 1⎞   c) După înlocuirea matricelor X, A şi B se obţine egalitatea ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟ ,  care este ⎝ x y ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 1 1⎠   ⎛ a 5a + b ⎞ ⎛ 2 1⎞   echivalentă cu: ⎜ ⎟=⎜ ⎟.  ⎝ x 5 x+ y⎠ ⎝ 1 1⎠   Rezultă că: a = 2, x = 1, 5a + b = 1, 5 x + y = 1. ⎛ 2 −9 ⎞  Se obţine că  X  = ⎜ ⎟ . ⎝ 1 −4 ⎠  ⎛ 1 5 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛ a + 5x b + 5 y ⎞ ⎛ 2a + b a + b ⎞   d) AX= XB⇔ ⎜ ⎟ ⎜ x y ⎟ = ⎜ x y ⎟ ⎜ 1 1⎟ ⇔ ⎜ x ⎟ = ⎜ 2 x + y x + y⎟ .   0 1 y ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Se obţine sistemul de ecua ţii: ⎧a + 5x = 2a + b ⎧a + b − 5x = 0 ⎪⎪b + 5 y = a + b ⎪⎪a − 5 y = 0 ⇔⎨ , cu solu ţia x = y = a = b = 0. Rezult ă că X = O2. ⎨ x = 2 x+ y + = x y 0 ⎪ ⎪ ⎪⎩ y= x+ y ⎪⎩ x= 0 45

⎛ 2 1⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 1 5 ⎞   e) Egalitatea BXB = A este echivalent ă cu: ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ x y ⎟ ⋅ ⎜ 1 1⎟ = ⎜ 0 1 ⎟ .   1 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Efectuând înmul ţirea de matrice se ob ţine succesiv: ⎛ 2a + x 2b + y ⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 5 ⎞ ⎛ 4a + 2x + 2b + y 2a + x + 2b + y ⎞ ⎛ 1 5 ⎞   ⎜ a + x b + y ⎟ ⋅ ⎜ 1 1⎟ = ⎜ 0 1 ⎟ ⇔ ⎜ 2a + 2 x + b + y a + x + b + y ⎟ = ⎜ 0 1 ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Identificând elementele celor dou ă matrice egale se ob ţine sistemul de ecua ţii: ⎧4a + 2x + 2b + y = 1 ⎪⎪2a + x + 2b + y = 5 ⎨2a + 2x + b + y = 0 ⎪ ⎪⎩a + x + b + y = 1 Scădem primele dou ă ecua ţii între ele şi ultimele două ecua ţii între ele. Se ob ţine un nou ⎧2a + x = −4 sistem de ecua ţii: ⎨ , cu soluţia: a = –3; x = 2 ⎩a + x = −1 Înlocuim pe a şi x în prima şi a treia ecua ţie a sistemului ini ţial şi se obţine un sistem cu dou ă ⎧2b + y = 9 ecuaţii cu necunoscutele b şi y: ⎨ , cu solu ţia b = 7, y = –5. ⎩b + y = 2 ⎛ −3 7 ⎞  Aşadar  X  = ⎜ ⎟ . ⎝ 2 −5 ⎠  S3. Rezolvare: ⎛ a −b ⎞ ⎛ a −b ⎞  ⎛ a2 − b2 −2ab ⎞  = A⋅ A = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ b a ⎟ =  ⎜ 2ab a2 − b2 ⎟  b a ⎝ ⎠⎝ ⎠  ⎝ ⎠  Înlocuind în egalitatea din enun ţ se obţine egalitatea matriceal ă: ⎛ a2 − b2 −2ab ⎞  ⎛ −3a 3b ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ −1 −1⎞   + ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟   2 2 ⎟  ⎜ ⎝ 2ab a − b ⎠  ⎝ −3b −3a ⎠ ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ 1 −1⎠   echivalentă cu: ⎛ a2 − b2 − 3a + 2 −2ab + 3b ⎞  ⎛ −1 −1⎞  ⎜ ⎟ = ⎜ 1 −1⎟ . 2 2 − − − + 2 a b 3 b a b 3 a 2 ⎠  ⎝ ⎠  ⎝ Din aceast ă egalitate matriceal ă se obţine sistemul de ecua ţii: ⎧a2 − b2 − 3a + 2 = −1 ⎧a2 − b2 − 3a = −3 ⇔⎨ ⎨ ⎩2ab − 3b = 1 ⎩2ab − 3b = 1 ⎧b2 = a2 − 3a + 3 Sistemul de ecua ţii se aduce la forma: ⎨ ⎩b(2a − 3) = 1 Se ridică la pătrat a doua ecua ţie şi se substituie b2 obţinându-se ecua ţia: (a2 – 3a + 3)(2a – 3)2 = 1, sau (a2 – 3a + 3)[4(a2 – 3a) + 9] = 1. Se noteaz ă a2 – 3a = y şi se obţine ecuaţia ( y  y + 3)(4 y + 9) = 1 cu solu ţiile y1 = –2,  y2 = −13 . 4 Revenind la nota ţia f ăcută se obţine: 2 a – 3a = –2, cu solu ţia a i {1, 2}, respectiv a2 − 3a = −13 care nu are solu ţii reale. 4 Pentru a = 1 se obţine b = –1, iar pentru a = 2 se ob ţine b = 1. ⎛ 1 1⎞  ⎛ 2 −1⎞  Aşadar,  A = ⎜ sau  A = ⎜ ⎟  ⎟ . − 1 1 1 2 ⎝ ⎠  ⎝ ⎠  46 A2

S4. Rezolvare: ⎛a b ⎞ ⎟∈ M  2 (Z) . Ecuaţia matriceală devine: ⎝ x y ⎠ ⎛ 2a 2b ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 3 1⎞ ⎛ 1 −3 ⎞   ⎜ 2 x 2 y⎟ − ⎜ −1 1 ⎟ ⎜ x y⎟ ⎜ −1 1⎟ = ⎜ 4 2 ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠  

Fie  A =⎜

echivalentă cu:

⎛ 2a 2b ⎞ ⎛ a + 2x b + 2 y ⎞ ⎛ 3 1⎞ ⎛ 1 −3 ⎞   ⎜ 2 x 2 y ⎟ − ⎜ − a + x − b + y ⎟ ⎜ − 1 1⎟ = ⎜ 4 2 ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠   sau încă:

⎛ 2a 2b ⎞ ⎛ 3a + 6 x − b − 2 y a + 2x + b + 2 y ⎞ ⎛ 1 −3 ⎞   − = ⎜ 2 x 2 y ⎟ ⎜ −3a + 3 x + b − y − a + x − b + y ⎟ ⎜ 4 2 ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Efectuând sc ăderea de matrice şi respectând egalitatea de matrice se ob ţine sistemul de ecua ţii cu necunoscutele a, b, x, y. ⎧−a − 6x + b + 2 y = 1 ⎪⎪−a − 2x + b − 2 y = −3 (1) ⎨3a − x − b + y = 4 ⎪ ⎪⎩a − x + b + y = 2 Adunăm ecuaţia a treia la toate t oate celelalte ecua ţii ale sistemului (1) şi se obţine: ⎧2a − 7 x + 3 y = 5 ⎧2a − 7 x + 3y = 5 ⎪ ⎪ ⎨2a − 3x − y =1 ⇔ ⎨2a − 3x − y = 1 ⎪ ⎪ ⎩4a − 2x + 2 y = 6 ⎩2a − x + y = 3

(2)

⎧−4 x+ 4 y= 4 ⎧− x+ y= 1 Scădem prima ecua ţie din celelalte dou ă ecuaţii şi se obţine: ⎨ ⇔⎨ . ⎩−6 x+ 2 y= 2 ⎩−3 x+ y= 1 Se obţine x = 0 şi y = 1. Înlocuind x şi y în una din ecua ţiile sistemului (2) se ob ţine a = 1. Înlocuind a, x şi y într-o ecuaţie a sistemului (1) se ob ţine b = 0. ⎛ 1 0 ⎞  Aşadar,  A = ⎜ ⎟ . ⎝ 0 1 ⎠  S5. Rezolvare: ⎛ a b ⎞   A = ⎜ ⎟ ∈ M 2 (Z) . Egalitatea din enun ţ se scrie sub forma urm ătoare: ⎝ x y ⎠  ⎛ 1 −1⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 −1⎞   ⎜ 3 2 ⎟ ⋅ ⎜ x y⎟ = ⎜ x y⎟ ⋅ ⎜ 3 2 ⎟ .   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Efectuând înmul ţirea de matrice se ob ţine egalitatea matriceal ă: b − y ⎞ ⎛ a + 3b −a + 2b ⎞ ⎛ a−x   ⎜ 3a + 2x 3b + 2 y ⎟ = ⎜ x + 3 y − x + 2 y ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎧a − x = a + 3b ⎧ x = −3b ⎪b − y = −a + 2b ⎪ din care se ob ţine sistemul de ecua ţii: ⎨ ⇔ ⎪⎨ y = a − b . ⎪3a + 2x = x + 3 y ⎪a , b ∈ Z ⎩ ⎪⎩3b + 2 y = −x + 2 y b ⎞  ⎛ a Aşadar  A = ⎜ ⎟ , a, b i Z. ⎝ −3b a − b ⎠  47

S6. Rezolvare: Să calculăm mai întâi A2 şi A3. Avem: ⎛ −1 0 2 ⎞ ⎛ −1 0 2 ⎞ ⎛ 5 0 −4 ⎞   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟   2 A = A⋅ A = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⋅ ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟   ⎜ 2 0 −1 ⎟ ⎜ 2 0 −1 ⎟ ⎜ −4 0 5 ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   14 ⎞   ⎛ 5 0 −4 ⎞ ⎛ −1 0 2 ⎞ ⎛ −13 0 14 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ A3 = A2 ⋅ A= 0 1 0 ⋅ 0 1 0 = 0 1 0 ⎟⎟    ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ −4 0 5 ⎟ ⎜ 2 0 −1⎟ ⎜ 14 0 −13 ⎟   ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠   2 3 Înlocuind A şi A în relaţia din enun ţ se obţine: ⎛ −13 0 14 ⎞ ⎛ 5 0 −4 ⎞ ⎛ −1 0 2 ⎞   ⎜ 0 1 0 ⎟ = x ⋅ ⎜ 0 1 0 ⎟ − y ⎜ 0 1 0 ⎟   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟   ⎜ 14 0 −13 ⎟ ⎜ −4 0 5 ⎟ ⎜ 2 0 −1⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   sau încă: −4 x− 2 y⎞ 0 ⎛ −13 0 14 ⎞ ⎛ 5 x+ y   ⎜ 0 1 0 ⎟=⎜ 0 ⎟    x − y 0 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜   ⎜ 14 0 −13 ⎟ ⎜ −4 x− 2 y 0 ⎟   5 x+ y ⎠ ⎝ ⎠ ⎝   Identificând elementele omoloage ale acestor matrice egale se ob ţine sistemul de ecua ţii: ⎧5 x + y = −13 ⎪−4 x − 2 y = 14 cu soluţia: x = –2, y = –3. ⎨ ⎪⎩ x − y = 1 S7. Rezolvare: ⎛ cos π sin π ⎞  6 6 ⎟ . Matricea A se poate scrie sub forma:  A = ⎜⎜ ⎟  ⎜ − sin π cos π ⎟  ⎝ 6 6 ⎠  Pentru uşurinţa scrierii vom nota  x = π . Calculăm câteva puteri ale matricei  A şi obţinem:

6 ⎛ cos x sin x⎞ ⎛ cos x sin x⎞ ⎛ cos2 x− sin 2 x 2 sin xcos x ⎞  ⎛ cos 2 x sin 2 x⎞ 2 A = A⋅ A = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ − sin x cos x⎠ ⎝ − sin x cos x⎠ ⎝ −2 sin xcos x cos2 x− sin 2 x⎠  ⎝ − sin 2 x cos 2 x⎠ ⎛ cos 2 x sin 2 x ⎞ ⎛ cos x sin x ⎞ ⎛ cos 2 x⋅ cos x − sin 2 xsin x cos 2 xsin x + sin 2x cos x ⎞ A3 = A2 ⋅ A= ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟= ⎝ − sin 2 x cos 2 x⎠ ⎝ − sin x cos x⎠ ⎝ − sin 2 xcos x − cos 2 xsin x − sin x sin 2x + cos 2x cos x⎠ ⎛ cos(2 x+ x) sin( x+ 2 x) ⎞ ⎛ cos 3 x sin 3 x⎞   =⎜ =⎜ . ⎟ ⎟   ⎝ − sin( x+ 2 x) cos(2 x+ x) ⎠ ⎝ − sin 3 x cos 3 x⎠  

           

2 3 Din forma de scriere a matricelor  A  A, A , A se poate generaliza c ă

⎛ cos n x sin n x ⎞ ⎟, n i q*. ⎝−sin n x cos n x⎠

 An =⎜

Demonstr ăm această relaţie prin induc ţie matematică după n i q*. ⎛ cos x sin x ⎞ ⎟, ceea ce este evident adev ărat. ⎝−sin x cos x ⎠ ⎛ cos k x sin k x ⎞ ⎛ cos(k + 1) x sin(k + 1) x ⎞  Presupunem c ă  Ak  =⎜ ⎟ şi demonstr ăm că  Ak +1 = ⎜ ⎟ . ⎝−sin k x cos k x⎠ ⎝ − sin(k + 1) x cos(k + 1) x ⎠ 

Pentru n = 1 se obţine  A1 =⎜

Avem că ⎛ cos kx sin kx ⎞ ⎛ cos x sin x ⎞ ⎛ cos kx ⋅ cos x − sin kx ⋅ sin x cos kx sin x + sin kx cos x ⎞ ⎟ ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟= ⎝ − sin kx cos kx ⎠ ⎝ − sin x cos x ⎠ ⎝ − sin kx cos x − cos kx sin x − sin kx sin x + cos kx cos x ⎠ 48

Ak +1 = Ak  ⋅ A= ⎜

     

⎛ cos(kx + x) sin(kx + x) ⎞ ⎛ cos(k + 1) x sin(k + 1) x ⎞   =⎜ =⎜ , ceea ce  trebuia ar ătat. ⎟ ⎟ ⎝ − sin(kx + x) cos(kx + x) ⎠ ⎝ − sin(k + 1) x cos(k + 1) x ⎠   ⎛ cos nx sin nx ⎞  Aşadar,  A n = ⎜ ,  ¼ n i q*, unde  x = π . ⎟  6 ⎝ − sin nx cos nx ⎠  S8. Rezolvare: ⎛ 2 1 0⎞⎛ 2 1 0⎞ ⎛ 4 3 0⎞   ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟   2 Avem:  A = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟   ⎜ 0 0 2⎟⎜ 0 0 2⎟ ⎜ 0 0 4⎟   ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ 4 3 0⎞⎛ 2 1 0⎞ ⎛ 8 7 0⎞   ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟   A3 = A2 ⋅ A= ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟   ⎜ 0 0 4⎟⎜ 0 0 2⎟ ⎜ 0 0 8⎟   ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠   15 0 ⎞   ⎛ 8 7 0 ⎞ ⎛ 2 1 0 ⎞ ⎛16 15 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟   4 3 A = A ⋅ A= ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟   ⎜ 0 0 8 ⎟ ⎜ 0 0 2 ⎟ ⎜ 0 0 16 16 ⎟⎠    ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ Analizând forma de scriere a matricelor  A,  A2,  A3,  A4 se observ ă că  An se poate ⎛ 2n 2 n −1 0 ⎞  ⎜ ⎟  forma:  An = ⎜ 0 1 0 ⎟ , n i q*. ⎜0 0 2n ⎟  ⎝ ⎠  Demonstr ăm această formulă prin inducţie matematică după n i q*. Pentru n = 1 se obţine A1 = A. ⎛ 2k 2 k  −1 0 ⎞  ⎛ 2k +1 2k +1 − 1 0 ⎞  ⎜ ⎟  ⎜ ⎟  Presupunem c ă  Ak  = ⎜ 0 1 0 ⎟  şi demonstr ăm că  Ak +1 = ⎜ 0 1 0 ⎟ . ⎜0 ⎜ 0 0 2k  ⎟  0 2k +1 ⎟  ⎝ ⎠  ⎝ ⎠  Avem că ⎛ 2k 2k − 1 0 ⎞ ⎛ 2 1 0 ⎞  ⎛ 2k +1 2k + 2k − 1 0 ⎞ ⎛ 2k +1 2k +1 − 1  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Ak +1 = Ak  ⋅ A= ⎜ 0 1 0 ⎟ ⋅ ⎜⎜ 0 1 0 ⎟  = 0 1 0 1 ⎟=⎜ 0 ⎟  ⎜ k k + 1 ⎜ ⎟  ⎜0 0 2 ⎟⎠ ⎝ 0 0 2 ⎠  ⎜⎝ 0 0 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎝ ceea ce trebuia demonstrat.

scrie sub

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟, 2k +1 ⎟⎠

         

⎛ 2n 2 n −1 0 ⎞  ⎜ ⎟  Aşadar  An = ⎜ 0 1 0 ⎟ ,  ¼ n i q*. ⎜0 0 2n ⎟  ⎝ ⎠  S9. Rezolvare: ⎛1 − 2 x x ⎞ ⎛1 − 2 y y ⎞ ⎛ (1 − 2 x)(1 − 2 y) + x(−6 y) (1 − 2 x) y + x(1 + 3 y) ⎞ a) A( x) ⋅ A( y) = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟= x y+ (1 + 3 x)(1 + 3 y) ⎠ ⎝ −6 x 1 + 3 x⎠ ⎝ −6 y 1 + 3 y⎠ ⎝ −6 x(1 − 2 y) − 6 y(1 + 3 x) −6 xy x y− 6 xy xy y− 2 xy xy+ x+ 3 xy xy ⎞ ⎛1 − 2( x+ y+ xy) x+ y+ xy ⎞ ⎛ 1 − 2 x− 2 y+ 4 xy =⎜ = ⎟ ⎜ ⎟= ⎝ −6 x+ 12 xy− 6 y− 18 xy −6 xy+ 1 + 3 x+ 3 y+ 9 xy⎠ ⎝ −6( x+ y+ xy) 1 + 3( x+ y+ xy) ⎠ = A( x + y + xy) ,  ¼  x, y i Z. Aşadar, A( x  x), A( y  y) = A( x  x + y + xy),  ¼  x, y i Z. 49

           

 b) Vom respecta regula de înmul ţire a două matrice A( x  x), A( y  y) dată de punctul a). Avem:

a)

A2 ( x) = A( x) ⋅ A( x) = A( x + x + x ⋅ x) = A(2 x + x2 ) 2

2 2 – 1) = A( x  x + 2 x + 1 – 1) =  A( x  x + 2 x) Aşadar  A2 ( x) = A(( x + 1)2 − 1) ,  ¼  x i Z.

 A(( x  x + 1)

a)

A3 ( x) = A2 ( x) ⋅ A( x) = A( x2 + 2 x) ⋅ A( x) = A( x2 + 2 x + x + x( x2 + 2 x)) = A( x3 + 3 x2 + 3 x)

1) . = A(( x +1) 3 −1)

3 3 Aşadar  A  A ( x  x) = A(( x  x + 1) – 1),  ¼  x i Z.

c) Folosind punctul b) se poate generaliza c ă: A( xn ) = A(( x+1)n −1) ,  ¼ n i q*,  ¼  x i Z. Vom demonstra aceast ă formulă prin inducţie matematică după n i q*. Pentru n = 1, formula devine: A1( x) = A( x + 1 − 1) ⇔ A( x) = A( x) +1 +1 +1 Presupunem c ă Ak ( x) = A(( x + 1)k  − 1) şi demonstr ăm că Ak +1 ( x  x) = A(( x  x + 1)k  – 1) a)

Dar  Ak +1( x) = Ak ( x) ⋅ A( x) = A(( x + 1)k − 1) ⋅ A( x) = A(( x + 1)k − 1 + x + x( x + 1)k − x) =   = A(( x + 1)k (1 + x) − 1) = A(( x+ 1)k +1 − 1) , ceea ce trebuia demonstrat. Aşadar  A  An( x  x) = A(( x  x + 1)n – 1),  ¼ n i q*, x i Z. Rezultă că pentru n = 2006 şi x = 1 se ob ţine ⎛1 − 2(22006 − 1) 22006 − 1 ⎞  2006 A (1) = (A (1 + 1)206 − 1) = (A22006 − 1) = ⎜ ⎟ . 2006 2006 − 6 ( 2 − 1 ) 1 + 3 ( 2 − 1 ) ⎝ ⎠ 

S10. Rezolvare: ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 0 1 2⎞ ⎛ 1 1 2⎞   a) 3 + I = B⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ + ⎜⎜ 0 0 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 1 1 ⎟⎟ =    . A ⎜ 0 0 1⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 0 0 1⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Aşadar  I   I 3 + B = A. Pentru calculul lui  An folosim că A = I 3 + B şi aplicăm formula binomului lui Newton: An = ( I3 + B)n = Cn0 I3 + Cn1 B + Cn2 B2 + Cn3 B3 + ... + Cnn Bn . ⎛ 0 0 1 ⎞  3 n Dar  B2 = B ⋅ B = ⎜⎜ 0 0 0 ⎟  ⎟  şi B = O3, deci B = O3, n U 3. ⎜ 0 0 0 ⎟  ⎝ ⎠  Rezultă că An = I3 + n⋅ B+ n(n − 1) ⋅ B2 . (1) 2 Pentru calculul sumei S se foloseşte formula 1 dând lui n valori de la 1 la 20 şi însumând. Se obţine: S = I 3 + B + 2 ⋅ 1 ⋅ B2 + 3I + 2 B+ 2 I + 3 B+ 3 ⋅ 2 ⋅ B2 + 3

2

........................... 20 ⋅ 19 ⋅ B2 = 3I + 20 B+ 2

20

= 20 I3 + (1+ 2 + 3 + ...+ 20) B+ 1 (2⋅1+3⋅ 2 + ...+19 19⋅ 20) B2 = 20 I3 + 20⋅21⋅ B+ 1⋅ ∑ k( k−1)⋅ B2 = 2 2 2 k =1 20⋅ 21⋅ 41− 20⋅21⎤⋅ B2 = 20 I + 210 B+ 2660 B2 . = 20 I3 + 210 B+ 1⎡ 3 2⎣ 6 2 ⎦

50

S11. Rezolvare: ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 k ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛1 + k 2 k + 1⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛  k 2 + k + 2 a) C(k ) = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⋅⎜ 2 ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟ = ⎜  1 ⎠ ⎝1 1 ⎠ ⎝  k 2 + 1 ⎝ 0 1⎠ ⎝ k  1 ⎠ ⎝1 1 ⎠ ⎝ k 2 20 20 ⎛∑ 2 + + ( k k 2 ) (k + 1) 1) ⎞  ∑ ⎜ k =1 ⎟  20 k =1  b) S = ∑ C(k ) = ⎜ 20 ⎟ . 20 k =1 2 ⎜⎜ ∑ (k  + 1) 1) 1 ⎟  ∑ ⎟  ⎝ k =1 ⎠  k =1 Calculăm separat fiecare termen al matricei S. 20

20

20

20

k =1

k =1

k + 1 ⎞

⎟ 1 ⎠

     

n(n +1)(2n +1) n(n +1) + 20⋅ 2 =   2= ∑ (k + k + 2) = ∑ k + ∑ k + ∑ n=20+ 6 2 n=20 2

k=1

k=1

2

 

= 20⋅ 21⋅41 + 20⋅21 + 40 = 2870 + 210 + 40 = 3120 . 6 2 20 20 20 (k + 1) = ∑ k + ∑ 1 = 20 ⋅ 21 + 20 = 21 210 + 20 = 23 230 . ∑ 2 k =1 k =1 k =1 20 20 20 2 2 + = + ( k 1 ) k  1 = 20 ⋅ 21 ⋅ 41 + 20 = 28 2870 + 20 = 28 2890 . ∑ ∑ ∑ 6 k =1 k =1 k =1 ⎛ 3120 230 ⎞  Aşadar, S  = ⎜ ⎟ . ⎝ 2890 20 ⎠ 

TESTE DE EVALUARE TESTUL 1 1. Rezolvare: Relaţia = 5 este echivalentă cu 2 x2 + 3 x – 5 = 0. Se obţine x1 = 1,  x2 = − 5 . Aşadar, r ăspunsul este d). 2

2. Rezolvare: 2

2

⎛  x 2x ⎞ + ⎛ 3y 3 y ⎞ = ⎛ 4 5 ⎞ ⇔ ⎛ x + 3 y Avem: ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎝ 2 x x ⎠ ⎝ 3 y 3xy ⎠ ⎝ 5 4 ⎠ ⎝ 2 x + 3 y

⎧ x + 3 y2 = 4 2 x + 3 y ⎞ ⎛ 4  5 ⎞ ⎪   ⎟ = ⎜   ⎟ ⇔ ⎨2 x   + 3 y = 5 (1) 2 x + 3 xy ⎠ ⎝ 5   4 ⎠ ⎪  2x + 3 xy= 4 ⎩

Din prima ecua ţie se obţine x = 4 – 3 y2. Substituind în a doua ecua ţie se ob ţine ecuaţia 2 y2 –  y  y – 1 = 0 cu solu ţiile y1 = 1,  y2 = − 1 . 2 • Pentru y = 1 se ob ţine x = 1, valori care satisfac şi ecuaţia a treia a sistemului (1) • Pentru  y = − 1 se obţine  x = 13 , valori care nu satisfac ecua ţia a treia a sistemului (1). 2

Aşadar, x = y = 1.

4

3. Rezolvare: a) Să determinăm A9, respectiv A10. ⎛1 1 1⎞⎛ 1 1 1⎞ ⎛ 2 2 2⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2  A = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ . ⎜1 0 1⎟⎜ 1 0 1⎟ ⎜ 2 1 2⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

         

⎛ 4 4 4⎞ ⎜ ⎟ A3 = A2 ⋅ A=⎜ 0 1 0⎟, ⎜ ⎟ ⎝ 4 3 4⎠

51

⎛8 8 8⎞ ⎜ ⎟ A4 = A3 ⋅ A=⎜0 1 0⎟. ⎜ ⎟ ⎝8 7 8⎠

⎛ 2n−1 2n−1 2n−1 ⎞  ⎜ ⎟  Se demonstreaz ă prin inducţie că  An = ⎜ 0 1 0 ⎟ , n i q*. ⎜ 2n−1 2n−1 − 1 2n−1 ⎟  ⎝ ⎠  9 10 Pentru n = 9, respectiv n = 10 se determin ă A , A şi ⎛ 28 28 28 ⎞ ⎛ 29 2 9 29 ⎞ ⎛ 64  0 640 640 ⎞  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟   . B = A9 + A10 = ⎜ 0 1 0 ⎟+⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜⎜ 0  2 0 ⎟  ⎟  ⎜ 28 28 − 1 28 ⎟ ⎜ 29 29 − 1 2 9 ⎟ ⎜⎝ 64  0 638 640 ⎟  ⎠  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Rezultă că tr( B  B) = 640 + 2 + 640 = 1282 şi b31 + b22 + b13 = 1282. ⎛ 2n−1 2n−1 2n −1 ⎞  ⎜ ⎟   b) Demonstr ăm prin inducţie matematică faptul că  An = ⎜ 0 1 0 ⎟ ,  ¼ n i q*. ⎜ 2n−1 2n−1 − 1 2n −1 ⎟  ⎝ ⎠  Pentru n = 1, egalitatea este evident ă. ⎛ 2k −1 2k −1 2k −1 ⎞  ⎛ 2k 2k 2k  ⎞  ⎜ ⎟  ⎜ ⎟  Presupunem c ă  Ak  = ⎜ 0 1 0 ⎟  şi demonstr ăm că  Ak +1 = ⎜ 0 1 0 ⎟ . ⎜ 2k −1 2k −1 − 1 2k −1 ⎟  ⎜ 2k 2k − 1 2k  ⎟  ⎝ ⎠  ⎝ ⎠  Dar  ⎛ 2k −1 2k −1 2k −1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞  ⎛ 2 ⋅ 2k −1 2 ⋅ 2k −1 2 ⋅ 2k − 1 ⎞ ⎛ 2k 2k 2k ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟, Ak +1 = Ak  ⋅ A= ⎜ 0 1 0 ⎟ ⋅ ⎜⎜ 0 1 0 ⎟  = 0 1 0 = 0 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟  k −1 k −1 k −1 ⎟ k k k ⎟ ⎜ 2k −1 2k −1 − 1 2k −1 ⎟ ⎜⎝ 1 0 1 ⎟  ⎜ ⎜ 2 ⋅ 2 −1 2 ⋅ 2 ⎠ ⎝ 2 2 −1 2 ⎠ ⎠  ⎝ 2 ⋅ 2 ⎝ ⎠ ceea ce trebuia demonstrat.

 

 

⎛ 2n−1 2n−1 2n−1 ⎞  ⎜ ⎟  Aşadar,  An = ⎜ 0 1 0 ⎟ ,  ¼ n i q*. ⎜ 2n−1 2n−1 − 1 2n−1 ⎟  ⎝ ⎠ 

Testul 2 1. Rezolvare: ⎛1 0 ⎞ ⎛ 1 0⎞ I I M   .  ∈ ⎟=⎜ ⎟= ⇒ ⎝0 (−1)0 ⎠ ⎝0 1⎠ 2 2

a) Luând x = 0 se ob ţine (0) A =⎜

 b) Fie A, B i M  . Rezultă că există x, y i m astfel încât A = A( x  x) şi B = A( y  y). În acest caz,  y ⎛ 1  x ⎞ ⎛ 1 y ⎞ ⎛ 1 y + (−1) ⋅ x ⎞ . A ⋅ B = A( x) ⋅ A( y) = ⎜ ⋅ = ⎜  ⎟   x ⎟ ⎜ y⎟ − − 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝  0 (−1)x + y ⎠  Deoarece (−1) y+(−1) ⋅ x = (−1) y ⋅ (−1)( −1) ⋅ x = (−1) y ⋅ ((−1)( −1) y

y

xy

)

= (−1) y ⋅ (−1) x = (−1) x+ y , rezultă că A · B i M  .

c) Fie A = A( x  x), x i m.

⎛ 1  x ⎞ • Pentru x = 2k , A( x) = ⎜ ⎟, ⎝ 0 1⎠

⎛ 1 2 x ⎞ 3  ⎛ 1 3 x ⎞  =  A ( x ) ⎟   ⎜ 0 1 ⎟ . ⎝0 1 ⎠   ⎝ ⎠  ⎛ 1 nx ⎞  Prin inducţie se arat ă că  An ( x) = ⎜ ⎟ , n i q*. 0 1 ⎝ ⎠  2

A ( x) = ⎜

52

         

⎛ 1  x ⎞  • Pentru x = 2k + 1, A( x) = ⎜ ⎟ , − 0 1 ⎝ ⎠ 

2

A ( x) = I2 .  

⎧ I2 , n = par   . ⎩ A , n = impar  

3

 A ( x  x) = A( x  x). În general, se ob ţine că  An ( x) = ⎨

2. Rezolvare: Se obţin ecuaţiile: 2 x + 4 x = 20, 3 y + 9 y = 90,

C z2 = 45 , 5 At 2+1 = 60 .

• Ecuaţia 2 x + 4 x = 20 se scrie sub forma 4 x + 2 x – 20 = 0. Notând 2 x = m > 0 se obţine ecuaţia 2 m + m – 20 = 0 cu solu ţiile m1 = 4 şi m2 = –5, de unde se ob ţine x = 2. • Notând 3 y = a se obţine ecuaţia de gradul doi a2 + a – 90 = 0 cu solu ţiile a1 = 9, a2 = –10 din care se ob ţine y = 2. • Ecuaţia C  z 2 = 45 este echivalent ă cu  z( z − 1) = 45 sau încă  z 2 –  z   z  – 90 = 0 cu solu ţia natural ă 2

 z = 10.

• Din 5 At 2+1 = 60 se obţine (t + 1)t = 12, adică t 2 + t – 12 = 0, cu solu ţia natural ă t = 3. Aşadar, x = 2, y = 2, z = 10, t = 3.

3. Rezolvare: ⎛1 Înlocuind A i M  2(m) se ob ţine ecua ţia ⎜ ⎝0 care se scrie sub forme echivalente astfel: ⎛a + x b + y⎞ ⎛ a a + x⎞ ⎛4 ⎜ x ⎟ + ⎜ b b + y⎟ = ⎜ 3 y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

1 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a x ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 4 7 ⎞   + = , a, b, x,  y i m, 1⎟⎠ ⎜⎝ x y⎟⎠ ⎜⎝ b y⎟⎠ ⎜⎝ 0 1⎟⎠ ⎜⎝ 3 7 ⎟⎠    7 ⎞ ⎛ 2a + x b + a + y + x ⎞ ⎛ 4 7 ⎞ ⇔ ⎟=⎜ ⎟ b+ 2 y ⎠ ⎝ 3 7 ⎠ 7 ⎟⎠ ⎜⎝ x + b

     

⎧2a + x = 4 ⎪⎪ x + b = 3 Rezultă că: ⎨ ⎪b + a + y + x = 7 ⎪⎩b + 2 y = 7 Se obţine: a = 4 –  y  y; b = 7 – 2 y, x = 2 y – 4, y i m. ⎛ 4 − y 7 − 2 y ⎞  Aşadar  A = ⎜ ⎟ , y i m. y ⎠  ⎝ 2 y − 4 4. Rezolvare: ⎛0 a ⎞ ⎛ x 0 ⎞ ⎛ x 0 ⎞⎛ 0 a ⎞ ⎛ 0 ay ⎞ ⎛ 0 xa⎞ ⎛ 0 ay − ax⎞ ⎟⋅⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟ 0 ⎠ ⎝b 0 ⎠ ⎝ 0 y ⎠ ⎝ 0 y ⎠⎝ b 0⎠ ⎝bx 0 ⎠ ⎝ by 0 ⎠ ⎝ bx − by

AB− BA=⎜

⎛ 0 ⎞ ay − ax ⎞⎛ 0 ay − ax⎞ ⎛ (ay − ax)(bx − by) 0 ( AB− BA)2 =⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟. 0 ⎠⎝ bx − by 0 ⎠ ⎝ 0 (bx − by)(ay − ax)⎠ ⎝bx − by 2 Aşadar ( AB  AB –  BA  BA) are cel pu ţin două elemente nule.

53

Capitolul II. Determinanţ Determinan ţi 2.1. Determinantul unei matrice pă p ătratice de ordin cel mult trei  Exersare

E1. Rezolvare E1. Rezolvare

−2 −5

= (−2) ⋅ 10 − 8(−5) = 20 ; 8 10 2 −6  b) = 2 ⋅ 32 − (−3)(−6) = 64 − 18 = 46 −3 32 1, 5 −7, 2 c) = 1, 5 ⋅ 8 − 5 ⋅ (−7, 2) = 12 + 36 = 48 ; 5 8 2 + i −1 d) 2 = (2 + i)(2 − i) − i2 (−1) = 4 ⋅ i 2 (−1) = 4 − i 2 + i 2 = 4 . 2−i i a)

E2. Rezolvare. E2.  Rezolvare.

7 8 a) 5 3 = 7 ⋅ 25 − 9 ⋅ 8 = 35 − 24 = 11 ; 5 3 9 25 3 − 32  b) = 3 ⋅ (− 75) − 2 ⋅ (− 32) = − 225 + 64 = −15 + 8 = −7 ; 2 − 75 −1− 3 5 −1 =−(1+ 3)( 3−1) − (1+ 5)( 5−1) =−− 2− 4 =−6 ; c) 1+ 5 3 −1 lg 100 0, 5 d) = lg 100 ⋅ lg 0,1 + 8 ⋅ 0, 5 = 2 ⋅( −1) + 4 = 2 ; −8 lg 0,1 3! 5! e) 120 = 24 ; = 3!4!− 0!5! = 6 ⋅ 24 −1 ⋅12 0 ! 4! f)

 A42

A33

C51

C 43

=

A42 ⋅ C43 − C51 ⋅ A33

= 12 ⋅ 4 − 5 ⋅ 6 = 18 ;

2 x +1 32 y g) − y +1 −x = 2 x+1 ⋅ 2− x − 9 − y+1 ⋅ 32 y = 2 − 9 = −7 ; 9 2 (1 − i)2 −i h) = (1 − i)2 (1 + i)2 − i(−i ) = (1 − i 2 )2 + i 2 = 4 − 1 = 3 . 2 (1 + i) i E3. Rezolvare E3. Rezolvare

2 −1 4 −5 + = (8 + 7) + (8 + 30) = 53 7 4 6 2 6 −6 det( A + B) = 78 =12 1 26 . = 48 + 78 13 8 Rezultă că det( A  A) + det( B  B) < det( A  A + B), pentru matricele date. a) det( A) + det(B ) =

54

 b) det( AB) =

2 −12 = −54 + 624 = 570 52 −27

det( A  A) · det( B  B) = 15 · 38 = 570 Aşadar, det( AB  AB) = det( A  A) · det( B  B); 3 − 3 ⎡ ⎛ 1 −1⎞ ⎤ c) det[ 3( A − I 2 )] = det ⎢ 3 ⋅ ⎜ = ⎟ ⎥ 7 3 3 3 = 9 + 21 = 30 . 7 3 ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ⎛ 4 −1⎞  4 −1 det( A + 2I 2 ) = de det ⎜ 31 . ⎟ = 7 6 = 24 + 7 = 31 7 6 ⎝ ⎠  Rezultă că det[ 3( A− I2 )] < det( A+ 2 I2 )  . E4. Rezolvare E4.  Rezolvare a) Ecuaţia se scrie sub forma: –2 x + 12 x = 20 ® 10 x = 20 ® x = 2.  b) Se obţine: 5 x – 6 x + 2 = 10 ® x = –8.

c) Se obţine: 6 x2 − x2 − x = 4 ⇔ 5 x2 − x − 4 = 0 cu soluţiile:  x1 = 1,  x2 = − 4 ; 5 2 2 2 d) Ecuaţia este: 3 x –  x  x – 4 x + x – 4 x + 1 = x – 5 ® 5 x + x – 6 = 0 cu solu ţiile:  x1 = 1,  x2 = − 6 ; 5 2 2 e) Avem: x –  xi  xi – 2 xi = 9 –  xi  xi ® x – 2 xi – 9 = 0 cu solu ţiile:  x1,2

= 1± 2 2 ;

f) Se obţine succesiv: 6 x –  x  x = 36 x –  x  x – 30 ® 36 x – 6 x – 30 = 0.  Notând 6 x = y se obţine ecuaţia y2 –  y  y – 30 = 0 cu solu ţiile:  y1 = 6, y2 = –5. Se obţine soluţia x = 1. E5. Rezolvare:

Regula lui Sarrus 3 −1 2 1 4 5 −2 −1 −1 = 3⋅4(−1) +1⋅(−1)⋅2 +(−2)(−1)⋅5− 2⋅4(−2) − 5(−1)⋅3− (−1)(−1)⋅1= 26 . 3 −1 2 1 4 5 Regula triunghiului

3 −1 2 1 4 5 = 3⋅4⋅(−1) +1⋅(−1)⋅2 +(−2)⋅(−1)⋅5⋅(−2) −2⋅4⋅(−2) −(−1)⋅1⋅(−1) −(−1)⋅5⋅3 = −2 −1 −1 = 26 55

Regula minorilor  3 −1 2 4 5 1 5 1 4 5 = 3⋅δ11 + (−1)⋅δ12 + 2⋅δ13 = 3⋅ + (−1)⋅(−1)1+2 ⋅ + −1 −1 −2 −1 −2 −1 −1 1 4 1 0) + 2( −1 + 8) = 26 . +2 ⋅ (−1)1+3 = 3(−4 + 5) + ( −1 +10 −2 −1 Se procedeaz ă analog pentru ceilal ţi determinanţi şi se obţin rezultatele:  b) 18; c) –10; d) –4; e) 3; f) 0; g) 0; h) 0. E7. Rezolvare: E7. Rezolvare: a) Se observ ă că elementele liniilor „unu” şi „trei” sunt propor ţionale. Rezultă că determinantul este nul.

 b) Se d ă factor comun 10 de pe coloana I şi se obţine: 1 −1 3 10 5 1 1 =10(1+30 −10 −30 +5 −2) =− =−60 ; 10 2 1 c) Se observ ă că determinantul are prima şi a treia coloan ă propor ţionale, factorul de propor ţionalitate fiind k = –5. Rezultă că determinantul este nul. d) Se formeaz ă două zerouri scăzând prima linie din celelalte. Avem: 1 a m b− a n −m 0 b−a n−m = = (b − a)( p − m) − (n − m)(c −a ) ; c−a p−m 0 c−a p−m e) Se adun ă coloana a doua şi a treia la prima coloan ă, se dă factor comun de pe aceast ă coloană şi se obţine: 1 y y x+ 2 y y y x + 2 y x y = ( x + 2 y) 1 x y . 1 y x x+ 2 y y x Se formează zerouri pe prima coloan ă scăzând prima linie din celelalte linii. 1  y y 0  x − y = ( x+ 2 y)( x− y)2 ; Se obţine: ( + 2 y) 0 x− y 0 = ( x+ 2 y) 0  x − y 0 0  x − y f) Se adun ă toate coloanele la prima coloan ă şi se dă factor comun pe coloana întâi. Se ob ţine: 1 b c a+b+c b c a + b + c c a = (a + b + c) 1 c a . 1 a b a+b+c a b Se formează zerouri pe coloana întâi sc ăzând prima linie din celelalte linii. Se ob ţine: 1 b c c − b a −c = (a + b + c)⋅ 0 c − b a − c = (a + b + c)⋅ a −b b − c 0 a −b b −c )(a − c )]= (a + b + c )(ab + bc +ca − a 2 − b 2 − c 2 ) . = (a + b + c)[−(c − b)2 − (a − b )(

56

E8. Rezolvare: E8.  Rezolvare:

6 −3 = 21 5 1 4 −3 1+2 δ 12 = (−1) d 12 =− = − 40 12 1 4 6 δ13 = (−1)1+3 d 13 = = − 52 12 5 −9 10 δ21 = (−1)2+1 d 21 =− = 59 5 1 8 10 δ22 = (−1)2+2 d 22 = = 8−120 =− = −112 12 1 8 −9 δ23 = (−1)2+3 d 23 =− =−148 12 5 −9 10 δ31 = (−1)3+1 d 31 = = − 33 6 −3 8 10 δ32 = (−1)3+2 d 32 =− = 64 4 −3 8 −9 δ33 = (−1)3+3 d 33 = = 84 4 6

a) δ11 = (−1)1+1d 11 =

 b) d  = −9 ⋅ δ12 + 6δ22 + 5δ32 = −9( −40) + 6( −112) + 5 ⋅64 = 8 d  = 12 ⋅ δ31 + 5 ⋅ δ32 + 1 ⋅ δ33 = 12( −33) + 5 ⋅64 + 84 = 8 . c) Înmulţim linia a doua cu –2 şi o adunăm la prima linie, apoi o înmul ţim cu –3 şi o adunăm la a treia linie. Se ob ţine: 0 −21 16 −21 16 = 4 6 −3 = 0⋅δ′11 + 4⋅δ′21 + 0⋅δ′31 = 4⋅ δ′21 = 4⋅(−1) 2+1d 2′1 =−4⋅ −13 10 0 −13 10 = −4(−210 + 208) = −4 ⋅ ( −2) = 8 .

 Sintez ă

S1. Rezolvare: S1.  Rezolvare: Calculăm cei trei determinan ţi şi obţinem:

(25 – 32) – 6(6 + 2 – 20 + 4) – 10 = 31. S2. Rezolvare: S2.  Rezolvare: Calculăm determinanţii şi obţinem:

20 21 − 24 − (−3 +1) 1) + 5 (−18 + 20 + 10 + 3) = 14 ⇔ 16 = 14 ; fals. 20 15 3

(

)

57

S3. Rezolvare: S3.  Rezolvare: a) Ecuaţia se scrie sub forma echivalent ă:

4 x2 + 8 x – 5 x – 15 = –14 ® 4 x2 + 3 x – 1 = 0, cu solu ţiile x1 = –1,  x2 = 1 ; 4  b) Ecua ţia este echivalent ă cu: 2 x2 + 2 x – 3 x2 + 6 x = – i2 – (9 – i2) ® x2 – 8 x – 9 = 0 cu solu ţiile x1 = –1, x2 = 9. c) Se obţine ecuaţia: 2 x2 – 2 x – 20 + 5 x = –5 x2 – 2 x – 2 ® 7 x2 + 5 x – 18 = 0 cu solu ţiile  x1 = 9 ; x2 = −2 ; 7 d) Se obţine succesiv: 3 x+2 – 36 = 2 · 3 x+1 – 3 x ® 3x(9 – 6 + 1) = 36 ® 3 x = 9 ® x = 2. S4. Rezolvare: S4. Rezolvare:

a) Calculând determinan ţii se obţine: 2 2 x2 + 1 + 1 –  x  x – 2 –  x  x = 315 + 6 – 28 – 126 – 15 + 28 ® x –  x  x – 90 = 0 cu soluţiile x1 = 10, x2 = –9;  b) Calculând determinan ţii se obţine: 3  –  x3 + 2 –  x  x – (3 x –  x  x + 2) = 0 ® 4 x = 0 ® x = 0; c) Ecuaţia este echivalent ă cu: 2 2  –2(2 x – 1) – 2(3 x + 2) + 24 + 4 + 6(2 x – 1) – 4(3 x + 2) = 3 –  x  x ® x – 10 x + 9 = 0,

cu soluţiile x1 = 1, x2 = 9; d) Pentru calcule mai restrânse aplic ăm de câteva ori propriet ăţi ale determinan ţilor pentru determinantul de ordin 3. De exemplu: Scădem coloana întâi din celelalte şi se obţine ecuaţia: 1 2  x +x3 1 2 = 5( +x1) − 4 x 2 x −1 −x −3 Scădem linia întâi din a doua şi o adunăm la a treia şi se obţine: 2  x 1 3 0 0 = x+ 5 ⇔ 3 x+ 3 = x+ 5 , 3 x 0 − x − 1 cu soluţia x = 1. S5. Rezolvare: S5. Rezolvare:

Calculând determinan ţii se obţine ecuaţia: 3 2 2  x – 6 x + 5 x = 0 ® x( x  x – 6 x + 5) = 0, cu soluţiile x1 = 0, x2 = 1, x3 = 5. Rezultă că S = 126. S6. Rezolvare: S6.  Rezolvare: a2

a) Se scade succesiv linia întâi din a doua şi a treia, ob ţinându-se: d = b2 − a2 c2 − a2

58

1 b −a 0 . c−a 0 a

Se dă factor comun (b – a) şi (c – a) de pe linia a doua, respectiv linia a treia şi se ob ţine: a2 a 1 b+a 1 d = (b − a)(c − a) b + a 1 0 = (b − a )(c − a ) = (b − a )(c − a )(b −c ) ; c+a 1 c+a 1 0  b) Se scade coloana întâi din celelalte şi se obţine: a 1 2 a 1 1 d = b 1 2 = 2 b 1 1 = 0 (două coloane sunt identice, deci d = 0); c 1 2 c 1 1 c) Se scade linia întâi din celelalte apoi se d ă factor comun pe linia a doua şi a treia. Se ob ţine succesiv: a a2 + 1 a + 1 a a2 + 1 a + 1 1 . d = b − a b2 − a 2 b − a = (b − a )(c − a ) 1 b + a 1 c+a 1 c − a c2 − a 2 c − a Se scade coloana întâi din a treia şi se obţin două zerouri pe coloana a treia: a a2 + 1 1 1 b+a = (b − a )(c − a )(c − b ) ; d = (b − a)(c − a) 1 b + a 0 = (b − a )(c − a ) 1 c+a 1 c+a 0 d) Se adun ă la prima linie celelalte linii ob ţinându-se: 0 0 0 d = b − c n − p y − z  = 0 (o linie are toate elementele nule); c−a

p−m

z−x

e) Se scade coloana întâi din celelalte coloane, apoi se d ă factor comun pe coloana a doua şi a treia şi se obţine: 1 1 x y− x z− x x d = x2 y2 − x2 z 2 − x2 = ( y − x)(z − x ) x 2 y + x z + x . yz

xz− yz

xy− yz

yz

−

z

−

y

Se scade coloana a doua din a treia şi se dă factor comun pe coloana a treia ob ţinându-se: 1 0 1 0  x x d = ( y − x)(z − x) ⋅ x 2 y + x z − y = ( y − x )(z − x )(z − y ) x 2 y + x 1 = yz − z z− y yz − z  1 1 0  x 1= = ( y− x)( z− x)( z− y) x2 y+ x yz− x2 − x− y− z   0 1  x = ( y− x)( z− x)( z− y)⋅(− 1)⋅ = ( x− y)( z− x)( z− y)(− xy− xz− yz)=   2 yz− x

− x− y− z  

= ( x− y)( x− z)( z− y)( xy+ xz+ yz) ;

f) Se scade coloana întâi din coloana a doua şi se adun ă la a treia şi apoi se formeaz ă două zerouri pe coloana a doua. 59

Avem: a +1

−2 d = b + 1 −2 c + 1 −2

a2 + a

a +1

a2 + a

−2

a +1

b2 + b

= b − a 0 b2 − a2 + b − a = (b − a)(c − a) 1 1 c2 + c c − a 0 c2 − a2 + c − a 1 b + a +1 = (b − a)(c − a) ⋅ 2 = 2(b − a)(c − a )(c − b ) . 1 c + a +1

−2

a2 + a

0 0

b + a +1

=

c + a +1

S7. Rezolvare: S7.  Rezolvare: a + b + c a + b + c a +b + c

Se adun ă linia a doua şi a treia la prima ob ţinându-se d = b − c − a 2b 2b . 2c 2c c −a −b Se dă factor pe linia întâi apoi se fac zerouri pe aceasta. Avem succesiv: 1 1 1 1 0 0 2b 2b = (a + b + c) b − c − a a + b + c a + b + c . d = (a + b + c) ⋅ b − c − a 2c 2c 0 c − a − b 2c −a − b − c Se dă factor pe coloana a doua şi a treia şi se obţine: 1 0 0 d = (a + b + c)3 ⋅ b − c − a 1 1 = (a + b + c)3 . −1 0 2c Aşadar egalitatea este verificat ă.  b) Se scade coloana întâi din celelalte şi se dă factor comun pe aceste coloane ob ţinându-se succesiv: 1 1 x+ y z− x z− y x+ y . d = x2 + y 2 z2 − x2 z2 − y2 = (z − x)(z − y ) x2 + y2 z +x z+y x3 + y3

z3 − x3

z3 − y3

x3 + y3

z2 + xz + x2

z2

+ zy + y2

Se formează un zerou pe linia întâi, sc ăzând coloana a doua din a treia. Avem: 1 0  x + y = d = ( z − x)(z − y ) x 2 + y 2 z+x y−x x3 + y3 z2 + xz + x2 z( y− x) + ( y2 + x2 ) 1 0  x + y 1 = ( z− x)( z− y)( y− x)⋅ x2 + y2 = 2 xyz( z− x)( z− y)( y− x)= z+ x x3 + y3

z2 + xz+ x2

x+ y+ z  

= 2 xyz( x− y)( y− z)( z− x) S8. Rezolvare: S8. Rezolvare: ⎛a b ⎞ Fie  A =⎜ ⎟∈ M  2 (Z) . Avem: ⎝ x y ⎠ 2

 A

⎛a =⎜ ⎝x

b ⎞ ⎛a

⎟⎜

y⎠ ⎝ x

  ⎛ a 2 + bx ⎟ = ⎜ y ⎠   ⎝ ax + yx

b⎞

60

ab + by b y ⎞ 

⎟ 

bx + y2 ⎠ 

.

⎛a tr ( A) ⋅ A = (a + y) ⋅ ⎜ ⎝ x

⎛ a2 + ay ⎟ = ⎜ y ⎠  ⎝ ax + yx

b ⎞ 

ab + by b y ⎞ 

⎟ .

ay + y2 ⎠ 

det( A  A) = ay – bx. Înlocuind în expresia  A2 – tr( A  A) · A + det( A  A) · I 2 se obţine matricea O2, ceea ce trebuie ar ătat. S9. Rezolvare: S9.  Rezolvare:

1 −2 1 a) d  = 1 −1 3 = −4 + 1 + 0 − 0 + 8 − 3 = 2 0 1 4 t = tr( A  A) = 1 + (–1) + 4 = 4  b) δ11 = (−1)1+1d 11 =

−1 3

1 1 δ22 = (−1)2+ 2 d 22 = 0 1 δ33 = (−1)3+3 d 33 = 1 Rezultă că s = –2;

= −4 − 3 = −7 4 1 =4 4 −2 =−1+ 2 = 1 −1

c) Avem: 1)1+2 d12 + 3(− 1) 1)2+2 d22 + 4(− 1) 1)3+2 d32 =   s1 = a13δ12 + a23δ22 + a33δ 32 = 1⋅(− 1) = −1

1 3 1 1 + 3⋅4 + 4(−1) =0 0 4 1 3

d) Calculăm mai întâi A2 şi A3 obţinând: ⎛ 1 −2 1 ⎞ ⎛ 1 −2 1 ⎞ ⎛ −1 1 −1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A2 = A⋅ A = 1 −1 3 1 −1 3 = 0 2 10 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 4 ⎟ ⎜ 1 3 19 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 0 −2 ⎞  ⎜ ⎟  A3 = A2 ⋅ A = 2 8 46 ⎜ ⎟  ⎜ 4 14 86 ⎟  ⎝ ⎠ 

         

Rezultă că:

⎛ 0 0 −2 ⎞ ⎛ 4 −4 4 ⎞ ⎛ −2 4 −2 ⎞   ⎜ ⎟ ⎜ −8 −40 ⎟⎟ + ⎜⎜ −2 2 −6 ⎟⎟ +    A3 − t ⋅ A2 + s ⋅ A − d ⋅ I3  = 2 8 46 + 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 4 14 86 ⎟ ⎜ −4 −12 −76 ⎟ ⎜ 0 −2 −8 ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ −2 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞     ce trebuia g ăsit. + ⎜⎜ 0 −2 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟ , ceea   ⎜ 0 0 −2 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠  

61

S10. Rezolvare: S10.  Rezolvare:

−2 1 −4 a) det( A) = 1 −1 3 = 0 − 4 + 6 − 8 + 6 = 0 . 2

⎛ 1 −1 ⎜  B = 1 2 ⎜ ⎜2 1 ⎝ ⎛ −2 ⎜  A ⋅ B = 1 ⎜ ⎜2 ⎝

1

0

−2 ⎞  −1 ⎟   B) = 6 – 2 + 2 + 8 + 3 + 1 = 18. ⎟  şi det( B 3 ⎟  ⎠  1 −4 ⎞ ⎛ 1 −1 −2 ⎞ ⎛ −9 0 −9 ⎞   −1 3 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 2 −1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 6 0 8 ⎟⎟ şi    det( AB  AB) = 0, având o coloan ă cu 1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 1 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 0 −5 ⎟⎠   

elementele nule;

 b) Evident, 0 = 0 · 18; 3+1 c) s= b11δ31 + b12 ⋅ d31 + ( −1)( −1)3+2 d32 + ( −2) ⋅( −1)3+3 d33 =   12 δ32 + b 1 3 δ33 = 1 ⋅ ( −1) 13 −1 −2 1 −2 1 −1 = + −2⋅ =0. 2 −1 1 −1 1 2 Rezultatul corespunde propriet ăţii P10. S11. Rezolvare: S11. Rezolvare:

a) Se adună coloana a treia la prima, se d ă factor comun pe coloana întâi şi pe coloana a doua şi se obţin două coloane identice. Avem: 3 c 1 1 c a+b+c 3 a = (a + b + c) ⋅ 3 ⋅ 1 1 a = 0 . d = a+b+c 3 b 1 1 b a+b+c   b) Se adună coloana a treia la prima şi se obţin două coloane propor ţionale, factorul de  propor ţionalitate fiind ( a – b); c) Se scade coloana întâi din a doua şi se vor obţine coloane propor ţionale. Avem: a2 (b + c)2 − a2 b + c − a a 2 (a + b + c)(b + c − a) (b + c − a ) d = b2 (a + c)2 − b2 a + c − b = b2 (a + b + c)(a + c − b) a + c −b = 0 . c2 (a + b)2 − c2 a + b − c c2 (a + b + c)(a + b − c) a + b − c

62

2.2. Aplicaţ Aplica ţii ale determinanţ determinan ţilor în geometrie  Exersare

E1. Rezolvare: E1. Rezolvare:

1 Ecuaţia dreptei AB are forma: 2 −4 1 = 0 , echivalentă cu 7 x + 3 y – 2 = 0. −1 3 1 2 −4 1 Punctele  A(2, –4), B(–1, 3), C (5, (5, –11) sunt coliniare dac ă −1 3 1 = 0 . 5 −11 1 Calculând determinantul se ob ţine că este nul, deci punctele sunt coliniare.  x

y

E2. Rezolvare: E2.  Rezolvare:

−1 −9 1 a) Avem: 2 −3 1 = 3 + 2 − 36 + 12 + 18 +1 = 0 . 4 1 1 Rezultă că A, B, C sunt coliniare. 2 −3 1  b) 1 −1 1 = −2 + 5 − 3 +1 + 3 −10 = −6 ≠ 0 . 1 5 1 Rezultă că punctele M , N , P sunt necoliniare;

−4 −2 1 c) 2 1 1 = −4 + 6 −12 − 6 + 4 + 12 12 = 0 . 6 3 1  E , F , G sunt puncte coliniare; Aşadar  E  2 d) 3

−1

1 1 1 = 2 + 6m − 15 − m − m + 3 − 4m +10 = 0 . m 2m − 5 1 Rezultă că punctele T , U , V sunt coliniare, oricare ar fi m i Z.

E3. Rezolvare: E3.  Rezolvare: a) Ecuaţia dreptei AC are forma:  x

1 2 −3 1 = 0 ⇔ 8 x + y −13 = 0 ; 1 5 1  b) Punem condiţia de coliniaritate a trei puncte: −3 1 2 m + 1 2m 1 = 0 ⇔ 10m − 5 = 0 ⇔ m = 1 ; 2 1 5 1 63 y

c) Folosind formula ariei unei suprafe ţe triunghiulare cu ajutorul determinantului se ob ţine egalitatea: −3 1 2 1 ⋅ ∆ = 22,5 , unde ∆ = m + 1 2m 1 . 2 1 5 1 Aşadar, 1 ⋅ 10m − 5 = 22, 5 sau încă, 10m − 5 = 45 . 2 Rezultă că 10m – 5 = 45 şi m = 5 sau 10m – 5 = –45 şi m = –4. În concluzie, exist ă două triunghiuri  ABC în condiţiile problemei. E4. Rezolvare: E4. Rezolvare:  x y

a)

A: B−3

−2 5 −4

 x

y

A:C−3

−2 −1 −3

 x

y

−4 −1 −3

B:C5

• d ( A , BC) =

1 1 = 0 ⇔ +x4 +y11 = 0 1 1 1 = 0 ⇔ +x2 +y7 = 0 1 1 1 = 0 ⇔ +x6 +y19 = 0 ; 1

ax0 + by0 + c 2

2

; A(−3 , − 2) ; BC : x + 6 y +19 = 0 ;

+b −3 + 6 ⋅ ( −2) + 19 4 = • d ( A , B C )  = ; 37 12 + 62 5 + 2(−4) + 7 4 = ; • d (B , AC)  = 5 12 + 22 • d (C , B A) =

a

−1+ 4(−3) +11 = 2 . 2 2 17 1 +4

−3 −2 1 c) A  ( ABC ) = 1 ⋅ ∆ ,unde ∆ = 5 −4 1 =−4 . 2 −1 −3 1

Rezultă că A     ( ABC   ABC ) = 2. E5. Rezolvare: E5. Rezolvare:  x y 1

a)

: 1AB2 1 = 0 ⇔ = 2 y 8 2 1  x y 1 B:C8 2 1 = 0 ⇔ +x −y10 = 0 6 4 1

64

 x CD :

1 1 =0⇔ y =4 1 1 1 = 0 ⇔ −x +y1 = 0 ; 1

y

6 4 3 4  x

y

A:D1

2 3 4

 x

 b)

y

A:C1

2 6 4

 x

y

B:D8

2 3 4

1 1 = 0 ⇔ 2 −x5 +y8 = 0 1 1 1 = 0 ⇔ 2 +x5 −y26 = 0 ; 1

2 ⋅1 + 5 ⋅ 2 − 26 14 = 2 2 29 2 +5 2 ⋅ 6 + 5 ⋅ 4 − 26 d (C , BD) = = 6 . 2 2 29 2 +5 Rezultă că 14 > 6 , adică d ( A , BD BD) > d (C , BD) ; 29 29 c) d ( A , B D) =

d) A(

=

)D A BC

A (

+

)C AB

A (

)D AC

1  A( ABC ) = 1 ⋅ ∆1 , unde ∆1 = 8 2 6 1  A( ACD ) = 1 ∆2 , unde ∆2 = 6 2 3 Se obţine A( ABCD  ABCD) = 10.

2 2 4 2 4 4

1 1 = 14 . 1 1 1=6. 1

 Sintez ă

S1. Rezolvare: S1.  Rezolvare: a) Reprezent ăm punctele într-un reper cartezian

 y

 D(3, 5)

5

 B

C 

4 3 2 1

 A  x

65

 x

y

A: B1

0 −2 4  x

y

: −B2C 4 −1 4  x CD :

CA :

y

−1 4 3

5

 x

y

−1 4 1

0

1 1 = 0 ⇔ 4 +x3 −y4 = 0 1 1 1 =0 ⇔ =4 y 1 1 1 = 0 ⇔ x − 4 y +17 = 0 1 1 1 = 0 ⇔ 2x + y − 2 = 0 ; 1

2 ⋅ (−2) 2) + 4 − 2 2 = 5 22 + 12 2⋅3 + 5 − 2 9 = ; d ( D , AC )  = 2 2 5 2 +1

 b) d (B , AC )  =

1 0 1 c)  A( ABD) = 1 ∆1 , unde ∆1 = −2 4 1 = −23 . 2 3 5 1

−2 4 1  A( BCD) = 1 ⋅ ∆ 2 , unde ∆2 = −1 4 1 = 1 . 2 3

Rezultă că  A( ABD) = 23 . 2

Rezultă că  A( BCD) = 1 . 2

5 1

−1 4 1

 A(COD)

. = 12 ⋅ ∆ 3 , unde ∆3 = 0 0 1 = +17 . Rezultă că  A(COD) = 17 2 3

5 1 În concluzie,  A( BCD  BCD) < A(COD) < A( ABD  ABD).

d) Din condi ţia M , B, C sunt coliniare rezult ă: m m+2 1 −2 4 1 = 0 , rezultă m = 2 şi M (2, (2, 4). −1 4 1 2 4 1  A(MAD) = 1 ∆ , unde ∆ = 1 0 1 = 3 . 2 3 5 1 Rezultă că  A(MAD) = 3 . 2

66

S2. Rezolvare: S2.  Rezolvare: Din condi ţia de coliniaritate a trei puncte se ob ţine:

1 2 x

1

1 2x +1 − 2 1 = 0 , 2 x +1 − 2 2x 1 relaţie echivalent ă cu 3 · (2 x)2 – 10 · 2 x + 8 = 0 cu soluţiile: 2x = 2 şi 2 x = 4 . 3 Rezultă că  x ∈ 1, log2 4 . 3

}

S3. Rezolvare: S3.  Rezolvare:  A( AOB)

= 12 ⋅ ∆ , unde

0 0 1 ∆ = sin 2 a cos2 a 1 = sin 2 a⋅cos 2 b −sin 2 b⋅cos 2 a = sin 2 b cos2 b 1 = (sin a cos b −sin b cos a)⋅(sin a cos b +sin b cos a) = sin( a −b) ⋅sin( a +b) . Rezultă că A( AOB) = 1 ⋅ sin( a− b) ⋅ si sin( a+ b) . 2  b) Revinde la a studia c ă punctele sunt coliniare, oricare ar fi a, b, c i Z. Avem: sin 2 a cos2 a 1 sin 2 a −1 cos 2 a 1 − cos 2 a cos 2 a 1 sin 2 b cos2 b 1 = sin 2 b −1 cos 2 b 1 = − cos 2 b cos 2 b 1 = 0 . sin 2 c cos2 c 1 sin 2 c −1 cos 2 c 1 − cos 2 c cos 2 c 1 (două coloane sunt propor ţionale). Aşadar, punctele  A, B, C sunt coliniare,  ¼ a, b, c i Z. S4. Rezolvare: S4.  Rezolvare:

a) Punem condi ţia ca punctele  A, B, C să fie coliniare: 2 m 1 m + 1 m 1 = 0 ⇔ m2 − 3m + 2 = 0 1 2 1 cu soluţiile m1 = 1, m2 = 2; 2 m 1  b)  A( ABC ) = 1 ⇔ 1 ⋅ ∆ = 1 , unde ∆ = m + 1 m 1 = −m2 + 3m − 2 . 2 1 2 1 Rezultă că 1 ⋅ −m2 + 3m − 2 = 1 ⇔ m2 − 3m + 2 = 2 . 2 Semnul expresiei m2 – 3m + 2 este dat în urm ătorul tabel de semn: m 2 m – 3m + 2

1 2 +++0––0++++

Pentru m i (– ∞, 1] N [2, +∞) ecuaţia 1 devine: m2 – 3m = 0, cu solu ţiile m1 = 0, m2 = 3. 67

Pentru m i (1, 2) ecuaţia 1 devine: – m2 + 3m – 2 = 2 ® m2 – 3m + 4 = 0 care nu are solu ţii reale. Aşadar, m i {0, 3}. S5. Rezolvare: S5. Rezolvare:

2m − 1 1 Calculăm  A( AOB) = 1 ⋅ ∆ ∆ = m + 1 −m + 2 1 = −3m2 + m +1 . 2 0 0 1 Condiţia din enun ţ se scrie sub forma: 1 ⋅ −3m2 + m + 1 = 23 ⇔ 3m2 − m −1 = 23 . 2 2 2 Tabelul de semn al expresiei 3 m – m – 1 este m

1 − 13 1 + 13 +∞ 2 2 ++++ 0–––––0++++

 – ∞

m

3m2 – m – 1

Pentru m ∈ −∞ , 1 − 13 ⎤⎥ ∪ ⎡⎢1 + 13 , + ∞ ecuaţia 2 devine: 3 m2 –  m – 24 = 0 cu solu ţiile 2 ⎦ ⎣ 2 m1 = − 8 ; m2 = 3 . 3 Pentru m ∈ 1 − 13 , 1 + 13 ecuaţia (2) devine: 2 2  –3m2 + m + 1 = 23 ® 3m2 – m + 22 = 0, care nu are solu ţii reale. Aşadar, m ∈ − 8 , 3 . 3

(

)

(

)

}

S6. Rezolvare: S6.  Rezolvare: m −1

3

1 a) Avem relaţia 2m −m 1 = 0 ⇔ m2 − 4 = 0 ⇔ m ∈{−2 , 2} ; 2m − 3 1 + m 1 m − m 1+ m 1  b) Avem condi ţia: 2m − n 1 1 = 0 ⇔ 2mn − m2 = 0 ⇔ m(2n − m) = 0 ⇔ m = 0 sau m n +1 1 m = 2n, n i Z. S7. Rezolvare: S7. Rezolvare:  x

y

1

0 2 − 6m 1 = 0 , m≠ 1 ⇔ ( m+ 1) x+ (1 − m) y+ 6 m− 2 = 0 , m≠ 1 . 1− m 1 7m − 1 1 m −1 m +1+1− m + 6m − 2 = 3 ⇔ 6m = 3 2m2 + 2 . d ( A , BC ) = 3 ⇔ 2 2 (m +1) +(1− m) = 3 Ridicând la p ătrat se obţine ecuaţia m2 = 1, m @ 1 cu solu ţia m = –1. BC:

68

S8. Rezolvare: S8.  Rezolvare:

Fie M( α  α, β) situat pe dreapta de ecua ţie x –  y  β – 3 = 0.  y – 3 = 0. Rezult ă că α –  β Egalitatea A(OAM ) = A(OBM ) se scrie sub forma: 1 ⋅ ∆1 = 1 ∆2 unde: 2 2 0 0 1 0 0 1 ∆1 = 3 2 1 = 3β − 2α şi ∆2 = 2 4 1 = 2β − 4α . α β 1 α β 1 Rezultă că 3 β −2α = 2 β −4α şi   α−β−3 = 0 . Înlocuind α = β + 3, ecua ţia cu moduli devine: β −6 = 2 β +12 (*) Tabelul de semn al expresiile din moduli este:  β  – ∞ –6 6 +∞  β – 6  – – – – – – –  0 + + + + + + + 2 β + 12  – – – – 0 + + + + + + + + + +

• Pentru β i (– ∞, –6] ecua ţia (*) devine:  –  β + 6 = –2 β – 12, cu solu ţia β = –18 i (– ∞, –6] • Pentru β i (–6, 6) ecua ţia (*) devine:  –  β + 6 = 2 β + 12, cu soluţia  β = – 2 i (–6, 6) • Pentru β i [6, + β) se obţine ecuaţia:  β – 6 = 2 β + 12, cu solu ţia β = –18 h [6, + ∞). Aşadar există două puncte cu proprietatea din enun ţ: M 1(–15, –18), M 2(+1, –2). S9. Rezolvare: S9.  Rezolvare: m 1 1 1 A   m 1 = −m2 + 2m − 1 . ( ABC ) = 2 ⋅ ∆ , unde ∆ = 1 m m 1 Condiţia din problem ă se scrie sub forma: 1 ⋅ −m2 + 2m −1 = 2 ⇔ m2 − 2m +1 = 4 ⇔ ( m −1)2 = 4 , 2 ecuaţie care are solu ţiile m1 = –1, m2 = 3.

69

TESTE DE EVALUARE TESTUL 1 1. Rezolvare: 1.  Rezolvare: Calculăm determinanţii şi obţinem:  E  = 1 (12 + 10) − 5(1 + 4 − 6 +10) + 36

2

= 2 . Rezultă că r ăspunsul corect este b).

2. Rezolvare: 2. Rezolvare:

2 −1 3 −1 4 −5 a) det( A) = 4 −1 3 = 48 + 6 + 20 − 48 − 20 − 6 = 0 . 2 −1 3 −1 4 −5 c) det( ) A= −1 ⋅ δ21 + 4 ⋅ δ22 − 5 ⋅ δ23 = ( −1) ⋅ ( −1)2+1 21d+ 4 ⋅( −1)2 +2 22d− 5 ⋅( −1)2 +3 23d= 2 −1 −1 3 2 3 12) +5( −4 + 4) = 0 . = +4 +5⋅ = (−6 + 6) + 4(12 −12 4 −2 −2 6 4 6 d) det( A) = (−1)δ12 + 4 ⋅ δ22 − 2 ⋅ δ32 = ( −1)( −1)1+ 2 ⋅

−1 −5

+4 ⋅

4 6 = −6 + 20 + 4(12 −12) + 2( −10 + 3) =14 −14 = 0 ;

2 3 2 3 − 2 ⋅( −1)3+2 = 4 6 −1 −5

e) Înmulţim succesiv linia a doua cu 2 şi 4 şi o adunăm la prima, respectiv a treia linie. li nie. 0 7 −7 7 −7 det( A) = −1 4 −5 = (−1) ⋅ ( −1)2+1 ⋅ =0; 14 −14 0 14 −14 f) Coloana a treia este o combina ţie liniar ă a celorlalte dou ă coloane: 3 = 2 + (–1) · (–1); –5 = –1 + 4(–1); 6 = 4 + (–2)(–1). Rezultă că det (A) = 0. 3. Rezolvare: 3. Rezolvare:  x + 3 det( A+ B) =  x + 4

2x − 1 x

= − x2 − 4 x+ 4

1 ⎞   ⎛ x2 + 2 x + 3 ⎞  = 3 ⎟⎠    ⎜⎝ 2 x + 6 2 + 9 ⎟  ⎠  x+3 = 9 x 2 − 12 x + 4 . 11 2 Ecuaţia det( A  A + B) = det(C  ) este echivalent ă cu:  –  x2 – 4 x + 4 = 9 x2 – 12 x + 4 ® 10 x2 – 8 x = 0 cu soluţiile x1 = 0,  x2 = 4 . 5 Rezultă că suma soluţiilor ecuaţiei este 4 . 5

⎛ x 1 ⎞ ⎛ x C  = ⎜ ⎟⎜ ⎝ 2 3⎠ ⎝ 2  x2 + 2 2 det(C ) = 2 x + 6 2

70

 

4. Rezolvare: 4.  Rezolvare:

2m + 1 3 1 1 m 1 = 0 ⇔ 2m2 + m −15 = 0 , −4 2 1 cu soluţiile m1 = –3, m2 = 5 . 2 TESTUL 2

1. Rezolvare: 1.  Rezolvare: Rezolvăm ecuaţia a). Avem succesiv:

−3( −x 4) − 5(1 − 3 ) x− 23 (56 + 4) = 32 ( −5 − 5) ⇔ 12 =x 18 ⇔ =x 32 . Aşadar  S 1 = 3 . 2 Ecuaţia b) se scrie sub forme echivalente astfel:

}

2

2 – 1)( y  y + 2) + y( y  y + 5) + 3( y + 4) = 4 y + 2 y + 1 ® 2 ® 5 y + 19 y + 18 = 0 cu mul ţimea soluţiile S 2 = −2 , − 9 . 5 Aşadar, S1 = 3 , S2 = −2 , − 9 , S1 ∪ S2 = 3 , − 2 , − 9 , S1 × S2 =   3 , − 2 , 3 , − 9 . 2 2 2 5 2 2 5

 y( y  y – 1)( y  y + 4) –  y  y – 1 – 3( y + 2)( y  y + 5) – ( y

}

}

}

2. Rezolvare: 2.  Rezolvare: Soluţia ε a ecuaţiei x2 + x + 1 = 0 se obţine ε 3 = – ε 2 – ε = 1.

}

(

)(

)}

are proprietatea c ă ε 2 + ε + 1 = 0 şi ε 3 + ε 2 + ε = 0, de unde

det(A) = – ε3 – ε3 – ε3 – ε6 + ε3 – 1 = –4 ⎛ 0 2ε2 2ε2 ⎞ ⎛ 0 ε2 ε2 ⎞   0 ε2 ε2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟   2ε2 ⎟ = 2 ⎜ ε2 0 ε2 ⎟ şi d et 1 ⋅ A2 = ε2 0 ε2 = ε6 + ε6 = 2 .  A2 = ⎜ 2ε2 0 2 ⎜ 2ε2 2ε2 0 ⎟ ⎜ ε2 ε2 0 ⎟   ε2 ε2 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   d et 1 A2 = −4 + 2 = −2 . Rezultă că det( A) + de 2

(

)

( )

3. Rezolvare: 3.  Rezolvare:

Avem:

2 det( A  A) = – abz  abz – cyz + z  x = z ( xz   xz – ab – cy) 2 det( B  B) = ab + bcy – bxy = b(ab + cy –  xz   xz ) det(C ) = –  xyz + aby + cy2 = y(–  xz + ab + cy).

Rezultă că (– ab )(–  xy + ab + yc) = n = xz (–  ab – cy + xz ) + ab(ab + cy –  xz   xz ) + yc(–   xz + ab + cy) = (ab + cy –  xz   xz )(–  2 = (ab + cy –  xz   xz ) .

71

4. Ecua ţia dreptei AB este:  x

y

1

− 2m

1

1 = 0 ⇔ x+ m + y(3− m) − 3+ m+ 2m⋅ y+ x = 0 ⇔ 6 3 4

3

3− m − 1 1 4 ⇔ 15 x+ (36 − 4 m) y+ (14 m− 36) = 0 d (C , AB) = 3 ⇔

15 + 2(36 − 4m) + 14m − 36 = 3 , m ∈ m ⇔ 6m + 51 = 3 ⋅ 225 + (36 − 4m)2

⋅ 225 + (36 − 4m) 2 , m ∈ m ⇔ 2 m +17 = 225 + (36 − 4 m) 2 ,

m ∈m .

După ridicare la p ătrat se obţine ecuaţia de gradul doi: 6 m2 – 178m + 616 = 0 cu solu ţia întreagă m = 4.

72

Capitolul III. Sisteme de ecuaţii liniare 3.1. Matrice inversabile din M  n ()  Exersare

E1. Rezolvare: O matrice pătratică este inversabil ă dacă şi numai dac ă determinantul ei este nenul.

⎛ −2 5 ⎞  = −6 − 20 = −26 ≠ 0 ; matricea ⎜ ⎟  este inversabil ă; 4 3 ⎝ 4 3 ⎠  2 −5 ⎛ 2 −5 ⎞   b) =−14 +15 =1 ≠ 0 ; matricea ⎜ ⎟  este inversabil ă; 3 −7 − 3 7 ⎝ ⎠  5 −2 ⎛ 5 − 2 ⎞  3 = 10 + 6 = 16 ≠ 0 ; matricea ⎜ 2 3 ⎟  este inversabil ă; c) 2 ⎜ ⎟  9 4 ⎝ 9 4 ⎠  ⎛ 2 −1 ⎞  2 −1 ⎟  este inversabil ă. = 1 + 1= 2 ≠ 0 ; matricea ⎜ d) 2 2 ⎜1 ⎟  1 ⎝ 2 2 ⎠  a)

−2 5

E2. Rezolvare:

Vom folosi formula:  A−1 =

1 ⋅ A* . det( A)

2 −1 = − 10 + 8 = − 2 ≠ 0 8 −5 ⎛2 8 ⎞ * ⎛ δ11 δ12 ⎞ t  =⎜  A ⎟, unde δij sunt complemen ţii algebrici ai elementelor  aij ale ⎟; A =⎜ ⎝−1 −5⎠ ⎝ δ21 δ22 ⎠ t  matricei transpuse  A . ⎛ −5 1 ⎞  −1 1 ⋅ ⎛ −5 1 ⎞ . = − Aşadar,  A* = ⎜ i ş  A ⎟  2 ⎜⎝ −8 2 ⎟  ⎝ −8 2 ⎠  ⎠  −8 6  b) det( A) = 2 1 = 2 − 4 = −2 ≠ 0 . − 3 4 ⎛ ⎞ ⎛ − 1 −6 ⎞  −8 2 ⎟ ⎜ 3 ⎜ 4 ⎟ . t  * =⎜ şi  A = ⎜  A ⎟ 2 −8 ⎟  ⎜ 6 −1 ⎟ ⎜ ⎟  − ⎝ 4⎠ ⎝ 3 ⎠  ⎛ − 1 −6 ⎞  ⎛ 1 3 ⎞  ⎟ = ⎜ 8 ⎟  Rezultă că  A−1 = − 1 ⎜⎜ 4 ⎟  ⎟  ⎜ 2⎜ 2 − − 8⎟ ⎜ 1 4 ⎟   ⎝ 3 ⎠  ⎝ 3 ⎠  a) det( A) =

c) det( A) =

−1 0

0

⎛−1 0 ⎞ ⎛1 * =−1≠ 0 ; t A =⎜ ⎟ şi  A = ⎜ 1 ⎝ 0 1⎠ ⎝0

⎛ −1 0 ⎞  ⎟ . ⎝ 0 1 ⎠ 

Rezultă că  A−1 = − A* = ⎜

73

0 ⎞  . −1⎟  ⎠ 

⎛ 3 2 2⎞ 3 2 = 9 − 4 = 5 ≠ 0 ; t A =⎜ ⎟ 2 2 3 3 ⎝ 2 3 3⎠ ⎛ 3 3 − 2 ⎞  −1 1 ⎛ 3 3 − 2 ⎞  A* = ⎜ ⎟ ⎟  şi  A = 5⋅⎜⎝−2 2 3 − ⎠ 2 2 3 ⎝ ⎠ 

d) det A =

⎛1 1 2 ⎞ 1 1 1 ⎜ ⎟ e) det =A1 1 0 =−1 ≠ 0 , t  =A⎜1 1 1 ⎟, ⎜ ⎟ 2 1 1 ⎝1 0 1 ⎠ ⎛ −1 0 1 ⎞  ⎜ 1 −1⎟   A−1 = − A* = 1 ⎜ ⎟ ; ⎜ 1 −1 0 ⎟  ⎝ ⎠ 

2 1 3 f) det =A0 −1 4 =10 ; 0 0 −5

t 

⎛1 0 −1⎞ ⎟ * ⎜ = A⎜−1 −1 1 ⎟ şi ⎜ ⎟ 0⎠ ⎝−1 1

⎛2 0 0⎞ ⎜ ⎟ =A − 1 1 0 ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ ⎝ 3 4 −5 ⎠

⎛5 5 7 ⎞ ⎜ ⎟ * = A⎜0 −10 −8 ⎟ şi  A−1 = 1 ⋅ A* . 10 ⎜ ⎟ 0 0 2 − ⎝ ⎠

3 −2 0 g) det( A) = 0 2 2 = −18 − 4 + 12 = −10 1 −2 −3 ⎛ 3 0 1 ⎞ ⎛−2 −6 −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ t  =⎜−2 2 −2 ⎟, A* =⎜ 2 −9 −6 ⎟ şi  A−1 = − 1 ⋅ A*  A 10 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 6⎠ ⎝ 0 2 −3⎠ ⎝−2 4 ⎛1 2 1 ⎞ 1 3 2 ⎛ −2 1 3 ⎞  ⎜ ⎟ * ⎜ t  h) det( A) = 2 0 1 = 8 +3− 6 − 2 = 3 , A =⎜3 0 2 ⎟; A= ⎜ −1 −1 3 ⎟  ; ⎟  ⎜ ⎟ ⎜ 4 1 −6 ⎟  1 2 1 ⎝2 1 1 ⎠ ⎝ ⎠  E3. Rezolvare:

Pentru fiecare matrice se pune condi ţia ca determinantul s ă fie nenul. 2 m =−12− 3m ≠ 0 ⇒ m ≠− ≠ −4 ⇒ m ∈  \ {−4} ; a) 3 −6 5 m = m2 +100 ≠ 0 ⇒ m ≠ ±10i ⇒ m ∈  \ {−10i , 10i} ;  b) −20 m 7 m−3 = m2 − m − 20 ≠ 0 . c) 2 m+2 Dacă m2 – m – 20 = 0 ⇒ ∆ = 81 şi m1,2 i {–4, 5}. Rezultă că matricea este inversabil ă dacă m i  \ {–4, 5}. d)

m2 − 3m

m

m−3

1

= (m − 3)

m

m

1

1

= 0 , ∀m ∈  . Rezultă că m ∈ Φ .

74

A= 1 ⋅

−1

3

*

. A

m +1

m

e) 1 0

2 −3 = 3m2 + 2m − 1 ≠ 0 . 1

1 m

Dacă 3m2 + 2m − 1 = 0 ⇒ m ∈ −1, 1 . 3

}

{

}

Rezultă că matricea este inversabil ă dacă m ∈  \ −1, 1 . 3 m2

4 3 −1 0 = −6m2 − 6 ≠ 0 . 11 9

f) 2 m2

Dacă –6m2 – 6 = 0 ⇒ m i {– i, i}. Rezultă că matricea este inversabil ă pentru m i 2+m



\ {– i, i}

1

1 g) m m − 1 1 = m2 − 3m = m(m − 3) ≠ 0 . 1 1 m Rezultă că m i  \ {0, 3}. 3m + 1 −1 2 h)

4

9

2

−1

7 m−7

2 7

= 14 (3m2 + 354m − 357) ≠ 0 .

Dacă 3m2 + 354m – 357 = 0, împăr ţind cu 3 rezult ă ecuaţia m2 + 118m – 119 = 0 pentru care ∆ = 1182 – 476 = 14400. Se obţine m1 = 1, m2 = –19. Aşadar, matricea este inversabil ă pentru m i  \ {1, –19}. E4. Rezolvare: a) det( A  A) = –2 @ 0; det( B  B) = –1 @ 0. det( AB  AB) = det( BA  BA) = det( A  A) · det( B  B) = 2 @ 0. Rezultă că matricele A, B, AB, BA sunt inversabile.

⎛ −1 −4 ⎞ * ⎛10 −2 ⎞   −1 1 * ⎛⎜ −5 1 ⎞  . •  A = ⎜ ⎟ , A = ⎜ 4 −1 ⎟ şi   A = − 2 ⋅ A = ⎜ −2 1 ⎟  ⎟  ⎝ 2 10 ⎠ ⎝ ⎠   ⎝ 2 ⎠  t 

⎛7 3⎞ * ⎛ 2 −5⎞ −1 ⎛−2 5 ⎞ * ⎟, B=⎜ ⎟, B =− B=⎜ ⎟ ⎝ 5 2⎠ ⎝−3 7 ⎠ ⎝ 3 −7 ⎠

• t  B=⎜

⎛ −1 2 ⎞ ⎛ 7 5 ⎞ ⎛ −1 − 1 ⎞    AB) = 2 ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟ , det(    AB ⎝ −4 10 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 2 0 ⎠  

•  AB = ⎜ (

t 

⎛−1 2⎞ ) =A⎜B ⎟, ( ⎝−1 0⎠

⎛ 0 +1⎞ −1 1 ⎛ 0 )* = A⎜ B ⎟ şi ( AB) = ⋅ ⎜ 2 ⎝ −2 ⎝−2 −1⎠

75

1 ⎞  ⎛ 1 ⎞  ⎜ 0 2 ⎟  =⎜ −1⎟  ⎠  ⎜ −1 − 1 ⎟  ⎟  ⎝ 2 ⎠ 

⎛ 7 5 ⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ −27 64 ⎞   •  BA = ⎜  BA) = 2 ⎟ ⎜ −4 10 ⎟ = ⎜ −11 26 ⎟ , det(    BA 3 2 1 0 2 6 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛−27 −11⎞ ) =⎜BA ⎟, ( 26 ⎠ ⎝ 64

(

t 

⎛ 26 )* =⎜ BA ⎝ 11 ⎛ 13 * ⎜ B ) A= 11 ⎜ ⎝2

−64⎞ ⎟ −27 ⎠

−32 ⎞  ⎟  Rezultă că ( − 27 ⎟  2 ⎠   b) Se verifică prin calcul, folosind rezultatele de la punctul a) ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ −7 18 ⎞   c) •  A2 = ⎜ ⎟ ⎜ −4 10 ⎟ = ⎜ −36 92 ⎟   − 4 1 0 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠   B ) A= 1 ⋅ ( 2 −1

⎛−7 −36⎞ ⎟ ⎝ 18 92 ⎠

det A2 = (det A)2 = 4 ; t ( A2 ) =⎜

⎛ −2 −18 ⎞  ⎟ . ⎝ 36 −7 ⎠ 

( A2 )* = ⎜

⎛ 23 − 9 ⎞ ⎛ ⎞ 9 2 1 8 − ⎜ 2⎟ Rezultă că ( A2 )−1 = 14 ⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝36 −7 ⎠ ⎜ 9 − 7 ⎟ ⎝ 4⎠

−5 1 ⎞ ⎛ −5 1 ⎞  ⎛⎜ 23 − 9 ⎞  ⎛ 2 ⎟ . ⎟⎜ ⎟ =  ⎜ ( A−1)2 = ⎜ 1 1 ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟  ⎜ 9 − 7 ⎟  ⎟  ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠  ⎝ 4 ⎠  Aşadar, ( A2 )−1 = ( A−1)2 . 2

•

⎛ 7 5 ⎞ ⎛ 7 5 ⎞ ⎛ 6 4 45 ⎞   2 =B⎜ =⎜ ; de d  et( ) B= (det( ))2B= 1 . ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 19 ⎠   ⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 27 19

⎛ 64 27 ⎞ 2 * ⎛ 19 −45⎞ ⎟, (B ) =⎜ ⎟. ⎝ 45 19 ⎠ ⎝−27 64 ⎠ Rezultă că ( B2 )−1 = (B2 )* .

( B2 ) =⎜

t 

⎛ −2 5 ⎞ ⎛ −2 5 ⎞ ⎛ 19 −45 ⎞   ⎟⎜ ⎟=⎜ 64 ⎟⎠    ⎝ 3 −7 ⎠ ⎝ 3 −7 ⎠ ⎝ −27 64 Aşadar, ( B2 )−1 = (B−1)2 . ( B−1)2 = ⎜

E5. Rezolvare:  –1  –1 Se foloseşte formula ( A  A ) = A. −1

a) Determinăm inversa matricei  A

⎛ −5 8 ⎞  = ⎜ 3 1 ⎟ . ⎜− ⎟  ⎝ 2 2 ⎠ 

det( A−1) = − 5 + 12 = 19 . 2 2 ⎛ ⎞ ⎛1 ⎞ −5 − 3 ⎟ −8⎟ ⎜ ⎜ 2 , ( A−1)* = 2 t  ( A−1) =⎜ ⎜3 ⎟. 1 ⎟ ⎜8 ⎟ ⎜ −5⎟ ⎝ ⎝2 ⎠ 2⎠

76

⎛1 Rezultă că ( A−1)−1 = A = 2 ⋅ ⎜⎜ 2 19 ⎜ 3 ⎝2 ⎛ −1  b) det( A –1) = –2; t ( A−1) = ⎜ ⎝0

−8 ⎞  ⎟ . ⎟  −5 ⎟  ⎠  4 ⎞  2 ⎟  ⎠ 

⎛ 2 0 ⎞  ⎛ 2 0 ⎞  ⎛⎜ −1 0 ⎞  −1 − 1 1 . ( A ) = ⎜ ⎟  şi ( A ) = A = − 2 ⋅ ⎜ −4 −1⎟ = ⎜ 2 1 ⎟  ⎟  − 4 − 1 ⎝ ⎠  ⎝ ⎠  ⎝ 2 ⎠  −2 0 1 c) det(A –1) = 1; t ( A−1) = −1 4 −2 ; 1 −1 0 ⎛ −2 −2 −3 ⎞  ⎛ −2 −2 −3 ⎞  ⎜ ⎟  −1 −1 ( A−1)* = ⎜⎜ −1 −1 −2 ⎟  ⎟  şi ( A ) = A = ⎜ −1 −1 −2 ⎟  ⎜ −4 −5 −8 ⎟  ⎜ −4 −5 −8 ⎟  ⎝ ⎠  ⎝ ⎠  1 11 − 7 1 11 −7 −1 *

5 5 5 d) det A = 0 −2 1 = 1 ⋅ 0 −2 25 1 −4 3 1 −4 5 5 5 1 0 1 ⎛−2 ⎜ 5 5 5 ⎜ t  ( A−1) = 11 −2 − 4 ; ( A−1)* = ⎜ 1 5 5 ⎜ 5 ⎜⎜ 2 −7 1 3 5 5 ⎝ 5 ⎛ +2 Rezultă că ( A−1)−1 = A= −5( A−1)* = ⎜⎜ −1 ⎜ −2 ⎝ −1

1 = 1 ⋅ (−5) = − 1 . 25 5 3

− 1 − 3 ⎞  5 5 ⎟  2 − 1 ⎟ . 5 5 ⎟  ⎟  3 − 2 ⎟  ⎟  5 5 ⎠  +1 +3 ⎞  −2 1 ⎟  ⎟ . −3 2 ⎟  ⎠ 

 Sintez ă

S1. Rezolvare:

⎛ 2 x 5x ⎞  2 x 5x  x x = − = Rezult c matricea nu este inversabil ă. ă ă 2 0 2 0 0 ⎜  x x ⎟  4 x 10x 4 10 ⎝ ⎠  lg 1 2 0 2 ⎛ lg1 2 ⎞   b) = = 4 ≠ 0 . Rezultă că matricea ⎜ ⎟  este inversabil ă. −2 lg 5 −2 lg 5 − 2 l g 5 ⎝ ⎠  0! 3 ⎛ 0! 3 ⎞  c) = 4!− 24 = 0 . Matricea ⎜ ⎟  nu este inversabil ă. 8 4! ⎝ 8 4!⎠  2 2 6 6 C4 A3 d) = = 6 + 6 = 12 ≠ 0 ; −1 1 −1 1 a)

⎛ C42 A32 ⎞  Rezultă că matricea ⎜ ⎟  este inversabil ă. − 1 1 ⎝ ⎠  77

S2. Rezolvare:

⎛ i −i2 ⎞  ⎛ i 1 ⎞  a)  A = ⎜ ⎟ = ⎜ 3 −4i ⎟  3 − 4 i ⎠  ⎝ ⎠  ⎝ 2 det( A  A) = –4i – 3 = 4 – 3 = 1. 3 ⎞ * ⎛−4i −1⎞ ⎟; A =⎜ ⎟. ⎝1 −4i ⎠ ⎝ −3 i ⎠ ⎛i

t  =⎜  A

Rezultă că A –1 = A*.

⎛ 2+ 3  b)  A = ⎜ ⎝ 1+ i

1 − i ⎞  2 ; det A  A = (3 – 2) – (1 –  i ) = –1. ⎟  3 − 2 ⎠ 

⎛ 2+ 3 1+ i ⎞ * ⎛ 3 − 2 ⎟, A =⎜ 3− 2⎠ ⎝ 1− i ⎝ −1− i  –1 * Rezultă că A = –  A . t   A =⎜

−1+ i ⎞ ⎟. 2 + 3⎠

⎛ sin x cos x ⎞  2 2 c)  A = ⎜ , det A  A = sin  x + cos  x = 1 ⎟  ⎝ − cos x sin x ⎠  ⎛ sin x −cos x ⎞ ⎛ sin x −cos x⎞ * ⎟ iar  A =⎜ ⎟ ⎝cos x sin x⎠ ⎝ cos x sin x⎠ Rezultă că A –1 = A*. t  =⎜  A

⎛ 2 ⎜ −1 Cm d)  A = ⎜ 4 −3 ⎜ ⎜⎜ − 1 3 ⎝

⎞ 

C m1 ⎟ 

5 ⎟ ;

⎟  ⎟  2 ⎟  ⎠  2 det( A) = 21 (− m2 + 3 m+ 4) , m i q, m U 2. 4 Din det( A  A) = 0, rezultă că m = 4. Aşadar, A este inversabil ă dacă şi numai dac ă m i q* \ {1, 4} şi  A−1 =

1 ⋅ A* . det( A)

S3. Rezolvare:

Pentru fiecare matrice  A punem condi ţia ca det( A) @ 0,  ¼  x i Z. 2 a) det A  A = (m – 1) x  x – 2 x + 2m – 3. 2 Punem condi ţia ca (m – 1) x  x – 2 x + 2m – 3 @ 0,  ¼  x i Z. 2 Rezultă că discriminantul ∆ al ecuaţiei (m – 1) x  x – 2 x + 2m – 3 = 0 este num ăr negativ. Aşadar 4 – 4( m – 1)(2m – 3) < 0 ⇔ 2m2 – 5m + 2 > 0 ⇔ m ∈ −∞, 12 ∪ (2 , +∞) .

(

)

2  b) det A  A @ 0,  ¼  x i Z ⇔ (1 – m) x  x –  x  x – 3m + 2 @ 0,  ¼  x i Z ® ⇔ ∆ < 0 ® 1 – 4(1 –  m)(2 – 3m) < 0. Se obţine inecuaţia de gradul doi 12 m2 – 20m + 7 > 0 cu mul ţimea soluţiilor  ( −∞ , 1 ) ∪ ( 7 ; + ∞ ) .

2

6

c) det A  A @ 0,  ¼  x i Z ® (m + 2) x  x + 7 – 4 m @ 0,  ¼  x i Z ⇔ m + 2 = 0 şi 7 – 4m @ 0. Rezultă că m = –2. S4. Rezolvare: Condiţia A* = A –1 este echivalent ă cu faptul c ă det( A  A) = 1.

78

a) det( A  A) = 1 ® –2m – 13 = 1 ® m = –7;

{ }

 b) det( A) = 1 ⇔ 2 m2 −17 m+ 9 = 1 ⇔ m∈ 12 ; 8 ; c) det( )A=1 ⇔ 10 m−1=1 ⇔ m= 15 ; m m m m d) det( A  A) = 1 ® –2 · 4 + 3 · 2 + 3 = 1 ® –2 · 4 + 3 · 2 + 2 = 0.  Notăm 2m = y şi se obţine ecuaţia de gradul al doilea: –2 y2 + 3 y + 2 = 0 cu solu ţiile:  y1 = 2,  y2 = − 1 .

2

Revenind la nota ţie se ob ţine m = 1. S5. Rezolvare:

a) Pornim de la ipoteza  AB =  BA. Înmulţim egalitatea matriceal ă cu  B –1, pe partea dreapt ă şi obţinem:  –1  –1  –1  –1  ABB =  BAB ®  A =  BAB . Înmulţim aceast ă egalitate în partea stâng ă cu  B şi obţinem:  –1  –1  –1  –1  –1  B  A = B  BAB ® B  A = AB , ceea ce trebuia demonstrat.  b) Înmul ţim egalitatea AB = BA, în partea stâng ă, cu A –1 şi obţinem:  –1  –1  –1  A  AB = A  BA ® B = A  BA. Înmulţim această ultimă egalitate în partea dreapt ă cu A –1 şi se obţine BA –1 = A –1 B, ceea ce trebuia ar ătat. c) În egalitatea de la a) înmul ţim în stânga cu  A –1 şi se obţine B –1 = A –1 B –1 A. Înmulţim acum cu A –1 în dreapta şi obţinem B –1 A –1 = A –1 B –1. S6. Rezolvare:

⎛ 1 1 −1 ⎞ ⎛ 1 1 −1 ⎞ ⎛ 0 0 0⎞ a) ( I3 − A)( I3 + A) = I32 + I3 A− AI3 − A2 = I3 − A2 = I3 − ⎜⎜ 2 2 −2 ⎟⎟ ⎜⎜ 2 2 −2 ⎟⎟ = I3 − ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟ = ⎜ 3 3 −3 ⎟ ⎜ 3 3 −3 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠  b) Deoarece ( I3 − A)( I3 + A) = ( I3 + A)( I3 − A) = I3 ,  rezultă că I 3 –  A  A este inversabil ă şi ( I   I 3 –  A  A)–1 = ( I   I 3 + A). Observa ţ ie ie.

    I 3 .      

Se poate deduce prin calcul c ă  I 3 –  A  A este inversabil ă şi apoi i se determin ă inversa dup ă regula cunoscut ă ( B−1 = 1 ⋅ B* ) . det B

79

3.2. Ecuaţii matriceale  Exersare

E1. Rezolvare:

⎛1 2⎞ ⎛ 2 1⎞   a) Ecuaţia este de forma  XA = B unde  A = ⎜ = , B ⎟ ⎜ 3 1⎟ .   ⎝3 5⎠ ⎝ ⎠   Deoarece det( A) = –1, rezult ă că  A este inversabil ă şi ecuaţia matriceală dată este echivalent ă cu X = B · A –1. ⎛ 5 − 2 ⎞ ⎛ −5 2 ⎞   Dar  A−1 = 1 ⋅ A* = − ⎜ ⎟=⎜ ⎟.   det( A) ⎝ −3 1 ⎠ ⎝ 3 − 1⎠   ⎛ 2 1⎞ ⎛ −5 2 ⎞ ⎛ −7 3 ⎞   Rezultă că  X  = ⎜ ⎟ ⎜ 3 −1⎟ = ⎜ −12 5 ⎟ .   3 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ 2 1⎞  ⎛ 1 2 ⎞   b) Ecua ţia este de forma  XA = B, unde  A = ⎜ , B = ⎜⎜ 3 1⎟  ⎟  ⎟ . ⎝ 3 5 ⎠  ⎜ 0 1⎟  ⎝ ⎠   –1 Deoarece det( A) = –1, rezultă că există A şi ecuaţia matriceală este echivalent ă cu  –1  X = BA . ⎛ 5 − 2⎞ ⎛ −5 2 ⎞   Dar  A−1 = 1 ⋅ A* = − ⎜ ⎟=⎜ ⎟.   det A ⎝ −3 1 ⎠ ⎝ 3 − 1⎠   ⎛ 2 1⎞ ⎛ −7 3 ⎞   − 5 2 ⎛ ⎞  Rezultă că  X  = ⎜⎜ 3 1⎟⎟ ⋅ ⎜ = ⎜⎜ −12 5 ⎟⎟ .    ⎟  ⎜ 0 1⎟ ⎝ 3 −1⎠  ⎜ 3 −1⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ 2 3⎞ ⎛ −1 1 ⎞   c) Ecuaţia este de forma  AX = B, unde  A = ⎜ ,B = ⎜ ⎟ ⎟.   ⎝ 3 4⎠ ⎝ 1 0⎠   Deoarece det( A) = –1, rezult ă că există A –1 şi se obţine soluţia X = A –1 B. ⎛ 4 − 3⎞ ⎛ −4 3 ⎞   Dar  A−1 = 1 ⋅ A* = − A* = − ⎜ ⎟=⎜ ⎟.   det( A) ⎝ −3 2 ⎠ ⎝ 3 − 2 ⎠   ⎛ −4 3 ⎞ ⎛ −1 1 ⎞ ⎛ 7 −4 ⎞   Rezultă că  X  = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ 1 0 ⎟ = ⎜ −5 +3 ⎟ .   − 3 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ 2 1 ⎞  ⎛ 3i 1 ⎞  d) Ecuaţia este de forma  A = BX unde  A = ⎜ şi  B = ⎜ ⎟  ⎟ . − − − 1 1 5 2 i ⎝ ⎠  ⎝ ⎠  Deoarece det( B) = –1, rezultă că matricea B este inversabil ă şi ⎛ 2i −1⎞ ⎛ −2i 1 ⎞   −1 = 1 ⋅ B* = − B* = − ⎜ B ⎟ = ⎜ −5 −3i ⎟ .   det( B) 5 3 i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ −2i 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ −4i − 1 −2i − 1 ⎞   Rezultă că soluţia ecuaţiei este X = B−1 A = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟.   ⎝ −5 −3i ⎠ ⎝ −1 −1 ⎠ ⎝ −10 + 3i −5 + 3i ⎠   E2. Rezolvare:

⎛ 3 2⎞ ⎛ 4 1⎞   a) Ecuaţia este de tipul  AXB = C , unde  A = ⎜ = , B ⎟ ⎜ 5 1⎟ ş i C = I 2. Deoarece det( A) = 1, ⎝ 4 3⎠ ⎝ ⎠    –1  –1  –1  –1 det( B  B) = –1, rezult ă că există A şi B , iar soluţia ecua ţiei matriceale este  X = A CB . 80

1 ⋅ A* = A* = ⎛ 3 −2 ⎞  şi B−1 = 1 ⋅ B* = − B* = − ⎛ 1 −1⎞ = ⎛ −1 1 ⎞ .   ⎜ −4 3 ⎟  ⎜ −5 4 ⎟ ⎜ 5 − 4 ⎟   det( A) det( B) ⎝ ⎠  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ −1 1 ⎞ ⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ −1 1 ⎞ ⎛ −13 11 ⎞   Rezultă că  X  = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟.   ⎝ −4 3 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 5 −4 ⎠ ⎝ −4 3 ⎠ ⎝ 5 −4 ⎠ ⎝ 19 −16 ⎠  

Dar 

−1 = A

⎛ −1 2⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛2 8 ⎞   , B = , C = ⎟ ⎜0 3 ⎟ ⎜ 8   −10 ⎟ .   ⎝ 3 1⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠    –1  –1 Deoarece det( A) = –7 şi det( B  B) = 6 rezult ă că există  A şi  B , iar soluţia ecuaţiei matriceale  –1  –1 este de forma: Y = A CB . ⎛ 1 −2 ⎞ 1 ⎛ −1 2 ⎞   Dar  A−1 = 1 ⋅ A* = − 1 ⋅ ⎜ = det( A) 7 ⎝ −3 −1 ⎟⎠ 7 ⎜⎝ 3 1 ⎟⎠    ⎛ 3 1 ⎞  −1 = 1 ⋅ B* = 1 B* = 1 ⎜ . B det( B) 6 6 ⎝ 0 2 ⎟  ⎠  Se obţine ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ 2 8 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ 1 ⎛14 −28 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ 1 ⎛ 42 −42 ⎞ ⎛1 −1⎞   ⋅ ⋅ = = = . Y  = 1 ⋅ 1 ⎜ 7 6 ⎝ 3 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 −10 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 2 ⎟⎠ 42 ⎜⎝14 14 14 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 2⎟⎠ 42 ⎜⎝ 42 42 ⎟⎠ ⎜⎝1 1 ⎟⎠    c) Ecuaţia se scrie succesiv sub forme echivalente astfel: ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ −2 1 ⎞ ⎛ 5 4 ⎞ ⎛ −2 2 ⎞ ⎛ 3 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ −2 1 ⎞ ⎛ 0 6 ⎞   ⎜ 2 1 ⎟ ⋅ X ⋅ ⎜ 2 0 ⎟ − ⎜ 1 2 ⎟ = ⎜ 6 0 ⎟ − ⎜ 0 3 ⎟ ⇔ ⎜ 2 1 ⎟ X ⎜ 2 0 ⎟ = ⎜ 7 −1⎟ .   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ 1 0⎞ ⎛ −2 1 ⎞ ⎛0 6 ⎞   Ecuaţia s-a adus la forma  AXB = C unde A= ⎜ , B= ⎜ , C= ⎜   ⎟ .   ⎟ ⎟ ⎝ 2 1⎠ ⎝ 2 0⎠ ⎝ 7 −1⎠   Deoarece det( A) = 1, det( B) = –2, rezult ă că  A şi  B sunt inversabile şi soluţia ecuaţiei matriceale este de forma  X = A –1CB –1. ⎛ 1 0 ⎞  Dar  A−1 = 1 ⋅ A* = A* = ⎜ ⎟  det( A) ⎝ −2 1 ⎠  ⎛ 0 −1⎞  ⎛⎜ 0 12 ⎞  * −1 1 1 ⎟ . ⋅ B = − ⋅⎜ =  B = det( B) 2 ⎝ −2 −2 ⎟  ⎜ ⎠  ⎝ 1 1 ⎟  ⎠  6 ⎞   ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 6 ⎞ ⎛⎜ 0 12 ⎞⎟ ⎛ 0 6 ⎞ ⎛⎜ 0   12 ⎞⎟ ⎛⎜ 6 Se obţine soluţia  X  = ⎜ = = ⎟ ⎜ 7 −1⎟ ⎜ ⎜ 7 −13 ⎟ ⎜   ⎟ ⎜ −13 − 19 ⎟⎟ .    ⎟ − 2 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ 1 1 ⎠ ⎝ ⎠⎝ 1  1 ⎠ ⎝ 2⎠  

 b) Ecua ţia este de forma  A · Y · B = C , unde

A =⎜

E3. Rezolvare: a) Ecuaţia este de tipul  AX = B . Deoarece det( A) = 3, rezultă că există A –1 şi ecuaţia matriceală are soluţia X = A –1 B.

⎛−2 3 ⎛10 7 2 ⎞ 1⎞ ⎛ 10 7 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ t  Dar   A =⎜ 3 −4 −1⎟, A* =⎜ 8 5 1 ⎟ şi  A−1 = 1 ⋅ ⎜⎜ 8 5 3 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−1 2 −2⎠ ⎝ 1 1 −1⎠ ⎝1 1

2 ⎞  1 ⎟  ⎟ . −1⎟  ⎠ 

⎛10 7 2 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 2 ⎞   ⎜ 0 ⎟ = 1 ⎜ 6 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ .  Rezultă că  X  = 1 ⋅ ⎜⎜ 8 5 1 ⎟  ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟   3 ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜1 ⎟   − 1 1 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠    b) Ecua ţia este de forma  X · A = B . Deoarece det( A) = –1, rezultă că există A –1 şi ecuaţia matriceală are soluţia X = BA –1. 81

⎛1 1 1⎞ ⎛ −1 −1 1 ⎞   ⎛ 1 1 −1⎞  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ t  Dar   A = ⎜ −1 0 −1⎟ , A* = ⎜ −2 −1 3 ⎟ şi  A   −1 = ⎜⎜ 2 1 −3 ⎟  ⎟ . ⎜ 2 −1 1 ⎟ ⎜ −1 0 1 ⎟   ⎜ 1 0 −1⎟  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎝ ⎠  ⎛ 1 1 −1⎞  ⎛ 1 −2 1 ⎞ ⎜   ⎟ = ⎛ −2 −1 4 ⎞ . Rezultă că  X  = ⎜ ⋅ − 2 1 3 ⎟ ⎜ ⎟   ⎜ ⎟  ⎝ 0 −1 3⎠ ⎜ 1 0 −1⎟  ⎝ 1 −1 0 ⎠   ⎝ ⎠  c) Ecuaţia matriceal ă este de tipul  AXB = C . Avem: det( A  A) = –1 şi det( B  B) = 1. Rezult ă că matricele  A şi  B sunt inversabile, deci solu ţia ecuaţiei matriceale se poate scrie sub forma  X = A –1CB –1. Să calculăm A –1 şi B –1. ⎛ 2 1 −1 ⎞ ⎛ −1 4 3 ⎞   ⎛ 1 −4 −3 ⎞  t  • Avem  A = ⎜⎜ 2 − 1 2 ⎟⎟ , A* = ⎜⎜ −1 5 3 ⎟⎟ şi  A   −1 = ⎜⎜ 1 −5 −3 ⎟  ⎟ . ⎜3 0 1 ⎟ ⎜ 1 −6 −4 ⎟   ⎜ −1 6 4 ⎟  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎝ ⎠  ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 −2 7 ⎞   t  •  B = ⎜⎜ 2 1 0 ⎟⎟ , B* = ⎜⎜ 0 1 −2 ⎟⎟ şi B   –1 = B*. ⎜ −3 2 1 ⎟ ⎜0 0 1 ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ 1 −4 −3 ⎞ ⎛ 0 −1 −1⎞ ⎛ 1 −2 7 ⎞ ⎛ 0 −5 −8 ⎞ ⎛ 1 −2 7 ⎞   −1 −1 ⎜ Rezultă că X = A CB = ⎜ 1 −5 −3 ⎟⎟ ⎜⎜ 0 1 1 ⎟⎟ ⎜⎜ 0 1 −2 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 −6 −9 ⎟⎟ ⎜⎜ 0 1 −2 ⎟⎟ =    ⎜ −1 6 4 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 7 11 11 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠    ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 0 −5 2 ⎞  = ⎜⎜ 0 −6 3 ⎟  ⎟ . ⎜ 0 7 −3 ⎟  ⎝ ⎠  E4. Rezolvare: a) Să calculăm det( A  A) şi det( B  B). Avem: det( A  A) = 2 şi det( B  B) = –1. Rezult ă că matricele  A şi  B sunt inversabile, caz ecuaţiei matriceale se scrie sub forma  X = A –1CB –1. Să determinăm A –1 şi B –1.

în care solu ţia

1 0⎞ ⎛ 1 1 −2 ⎞   ⎟   −1 = 1 ⋅ A* . 1 0 ⎟ , A* = ⎜⎜ −1 1 0 ⎟⎟ şi  A   2 ⎜0 0 2⎟   1 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠   3 ⎞ * ⎛ 4 −3 ⎞   −1 ⎛ −4 3 ⎞  , B =⎜ şi  B = −B* = ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ . 4⎠ ⎝ −3 2 ⎠   ⎝ 3 −2 ⎠  ⎛ 1 1 −2 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 3 −1⎞ ⎛ −15 11 ⎞ − − 4 3 4 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞   Rezultă că  X  = 1 ⎜⎜ −1 1 0 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1 0 ⎟⎟ ⋅ ⎜ = 1 ⎜⎜ −1 −1⎟⎟ ⋅ ⎜ = 1 ⎜⎜  1 −1 ⎟⎟ . ⎟ ⎟ 2⎜ 3 −2 ⎠ 2 ⎜ 3 −2 ⎠ 2 ⎜  ⎝ ⎝ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ 0 0 2 ⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝0 2⎠ ⎝ 6 −4 ⎠

⎛1 t  Avem:  A = ⎜⎜ −1 ⎜1 ⎝ ⎛2 t   B =⎜ ⎝3

  b) Deoarece  A şi  B sunt matrice inversabile, solu ţia ecuaţiei  –1  –1  X = B · t C · A , adică ⎛ 1 1 −2 ⎞ ⎛1 1 − − 5 4 3 ⎛ −4 3 ⎞ ⎛ 2 1 0 ⎞ 1 ⎜ ⎛ ⎞ ⋅⎜ ⋅ ⎜ −1 1 0 ⎟⎟ = ⎜ ⋅ 1 ⎜⎜ −1 1  X  = ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ 3 −2 ⎠ ⎝ 1 0 1 ⎠ 2 ⎜ 0 0 2 ⎟ ⎝ 4 3 −2 ⎠ 2 ⎜ 0 0 ⎝ ⎠ ⎝

82

         

matriceale  BXA = t C  este

−2 ⎞   ⎛ −  1 −9 16 ⎞ ⎟ 1 . 0 ⎟ = ⋅⎜   2 ⎝  1 7 −12 ⎟⎠ ⎟ 2⎠  

     

3.4. Metode de rezolvare a sistemelor liniare  Exersare

E1. Rezolvare:

Matricele asociate sistemului de ecua ţii sunt: a)

⎛ 3 5 ⎞  ⎛7⎞ ; B= ⎜ ⎟ ; ⎟  ⎝ 8 −1⎠  ⎝ 2⎠

A= ⎜

⎛ x ⎞ X= ⎜   ⎟ ⎝ y ⎠

     

⎛ 1 −2 ⎞  ⎛ 3 ⎞  ⎜ 1 ⎟ ; X= ⎛ x ⎞ .  b) A= ⎜⎜ 2 −4 ⎟  = ; B ⎜ ⎟  ⎟  ⎜ ⎟  ⎜ 5 −6 ⎟ ⎜ −8 ⎟   ⎝ y ⎠  ⎝ ⎠  ⎝ ⎠  ⎛1 ⎞ ⎛ x ⎞   ⎛ 1 −2 1 ⎞  ⎜ ⎟  ⎜ ⎟ c) A= ⎜ 4 1 3 ⎟ ; B= ⎜ 0 ⎟ ; X= ⎜⎜ y⎟⎟ .    ⎜ 9 −2 −1⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ z ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ a ⎞  ⎛ 1 1 −1⎞  ⎛ 6 ⎞  d) A= ⎜ ; B= ⎜ ⎟ ; X= ⎜⎜ b⎟  ⎟  ⎝ 3 −2 1 ⎠ ⎝11⎠   ⎜ c ⎟  ⎟  ⎝ ⎠  ⎧4 x + y − z =  1 e) Sistemul se aduce la forma cea mai simpl ă: ⎪⎨(1 − i) x − y + 3z =  −2 ⎪⎩(i − 2) x − iy + z =  −2 ⎛1 ⎞ ⎛ x ⎞   ⎛ 4 1 −1⎞  ⎜ ⎟  ⎜ ⎟ Matricele asociate sunt: A= ⎜ 1 − i −1 3 ⎟ ; B= ⎜ −2 ⎟ ; X = ⎜⎜ y⎟⎟ .    ⎜ ⎟  ⎜ −2 ⎟ ⎜ z ⎟   ⎝ i − 2 −i 1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎧3 x− 4 y− 3 z =  −11 f) Forma simplă a sistemului este: ⎪⎨−3 x+ 2 y+ 3 z =  −2 ⎪⎩ x− y − 2 z =  0 ⎛ −11⎞ ⎛ x ⎞   ⎛ 3 −4 −3 ⎞  ⎜ ⎟  ⎜ ⎟ Matricele asociate sistemului sunt: A= ⎜ −3 2 3 ⎟ ; B= ⎜ −2 ⎟ ; X= ⎜⎜ y⎟⎟ .    ⎜ ⎟  ⎜ 0⎟ ⎜ z ⎟   ⎝ 1 −1 − 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   E2. Rezolvare: a) • Verificăm dacă perechea (–3, –2) este solu ţie a sistemului înlocuind  x = –3, y = –2.

⎧−6 − 2 = −8 (adevărat) Obţinem: ⎨ ( fals) ⎩9 + 8 = 10 (f Rezultă că (–3, –2) nu e solu ţie a sistemului de ecua ţii. • Verificăm dacă perechea (–2, –4) este solu ţie, înlocuind x = –2, y = –4. ⎧−4 − 4 = −8 (adevărat) Obţinem: ⎨ ( adevărat) ⎩−6 + 16 = 10 (a Rezultă că perechea (–2, –4) este solu ţie a sistemului de ecua ţii.

83

• Verificăm dacă perechea (–6, 2) este solu ţie. ⎧−12 + 2 =−8 (fals)

Obţinem: ⎨

.

( fals) ⎩−18 − 8 =10 (f Rezultă că (–6, 2) nu este solu ţie.

• Verificăm dacă perechea ( i, 1) este solu ţie. Obţinem: 2i + 1 = –8 (fals). Rezultă că (i, 1) nu este solu ţie.  b) Se verifică pe rând fiecare pereche dac ă este solu ţie înlocuind pe  x cu primul număr şi pe  y cu al doilea num ăr al perechii. Pentru acest sistem verific ă perechea (–6, 2). c) Soluţia este perechea ( i, 1). d) Soluţia este perechea ( i, 1). E3. Rezolvare: a) Se înlocuie  x = 1 şi y = –2 şi se obţine succesiv

⎧a + 3 + 6 = 8 ⎧a = −1 ⎧a = −1 ⎨4 − (2b + 3) ⋅ (−2) = 18 ⇔ ⎨4b + 10 = 18 ⇔ ⎨b = 2 ⎩ ⎩ ⎩  b) Se înlocuie  x = − 7 , y = −5 şi obţinem succesiv: 4 ⎪⎧(a + 3) − 74 +15 = 8 ⇔ ⎪⎧− 74 (a + 3) = −7 ⇔ ⎧a + 3 = 4 ⇔ ⎧a = 1 ⎨ ⎨ ⎨2 + 3 = 5 ⎨ = 1 ⎩b ⎩b ⎪⎩−7 + 5(2b + 3) = 18 ⎪⎩5(2b + 3) = 25

( )

E4. Rezolvare:

a) Forma matriceal ă a sistemului de ecua ţii este: ⎛ 3 −4 ⎞ ⎛ 7⎞ ⎛ ⎞   = = ; ,  AX = B, unde A= ⎜ B X ⎟ ⎜5⎟ ⎜ y  ⎟   ⎝ 2 −3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Deoarece det( A) = –1 @ 0, matricea A este inversabil ă şi soluţia ecuaţiei matriceale este:  –1  X = A  B. ⎛ −3 4 ⎞ ⎛ 3 −4 ⎞   −1 = det1( ) ⋅ A* = − A* = − ⎜ Dar  A ⎟ = ⎜ 2 −3 ⎟ .    A − 2 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ 3 −4 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛1 ⎞   Se obţine soluţia  X  = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ .  ⎝ 2 −3 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ −1⎠   Aşadar, soluţia sistemului este perechea de numere reale (1, –1).  b) Forma matriceal ă a sistemului de ecua ţii este: AX = B, unde ⎛ 2 −3 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ x ⎞   = = , , A= ⎜ B X ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ y  ⎟ .   − 5 7 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Deoarece det( A) = 1, matricea A este inversabil ă şi soluţia ecuaţiei matriceale este  X = A –1 B. ⎛ −7 3 ⎞  Dar  A−1 = 1 ⋅ A* = A* = ⎜ ⎟ . det( A) − 5 2 ⎝ ⎠  84

⎛ −7 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞   ⎟ ⎜ 3 ⎟ = ⎜1 ⎟ .  − 5 2 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠  

Rezultă că  X  = ⎜

Aşadar, soluţia sistemului de ecua ţii este perechea de numere reale (2, 1).

⎧ x − y = 5 , − = 6 5 2  x y ⎩

c) Forma general ă a sistemului de ecua ţii este: ⎨ iar forma matriceal ă este:

⎛ 1 −1 ⎞ ⎛5⎞ = , B ⎟ ⎜ 2⎟ , ⎝ 6 −5 ⎠ ⎝ ⎠

A= ⎜

 AX = B, unde

⎛ x ⎞ X= ⎜   ⎟ . ⎝ y ⎠

     

Deoarece det( A) = 1, rezultă că A este matrice inversaibl ă, iar soluţia ecuaţiei matriceale este: ⎛ −5 1⎞   –1 −  X = A  B, unde  A 1 = A* = ⎜ ⎟ . − 6 1 ⎝ ⎠  ⎛ −5 1⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ −23 ⎞   Se obţine  X  = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ .  ⎝ −6 1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ −28 ⎠   Aşadar, soluţia sistemului de ecua ţii este perechea de numere reale (–23, –28). d) Forma matriceal ă a sistemului este ecua ţia matriceală AX = B unde: ⎛ 2 1 −3 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎛ x ⎞   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟   A= ⎜ 4 1 1 ⎟ , B= ⎜ 10 ⎟ , X= ⎜ y⎟ .   ⎜ −3 1 2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ z ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ 1 −5 4 ⎞  ⎜ ⎟  Avem că det( A  A) = –30, deci exist ă  A−1 = 1 A* = − 1 ⎜ −11 −5 −14 ⎟ . det( A) 30 ⎜ ⎟  ⎝ 7 −5 −2 ⎠  Soluţia ecuaţiei matriceale este: ⎛ 1 −5 4 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎛ −60 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 30 ⎟ = ⎜ −1 ⎟ . X = A−1 ⋅ B = − 1 −11 −5 −14 10 = − 1 ⎟ ⎜ ⎟ 30 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 30 ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ −90 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ 7 −5 −2 ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

         

Aşadar, soluţia sistemului de ecua ţii este tripletul de numere reale (2, –1, 3). e) Forma general ă a sistemului de ecua ţii este:

⎧6 x− 3 y+ 5 z =  3 ⎪4 x+ 6 y− 5 z =  3 , ⎨ ⎪⎩2 x− 3 y+ 10 z =  2 iar forma matriceal ă este AX = B, unde

⎛ 6 −3 5 ⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A= 4 6 −5 , B= 3 , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 −3 10 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞   ⎜ ⎟   X= y . ⎜ ⎟   ⎜ z ⎟   ⎝ ⎠   ⎛ 45 15 −15 ⎞  ⎜ ⎟  Avem că det( A  A) = 300 @ 0, deci exist ă  A−1 = 1 ⋅ A* = 1 ⋅ −50 50 50 , ⎟  det A 300 ⎜⎜ ⎟  − ⎝ 24 12 48 ⎠  85

iar soluţia ecuaţiei matriceale este:

⎛ 1 ⎞  ⎛ 45 15 −15 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛150 ⎞ ⎜  2 ⎟  ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜  ⎟  X = A−1 ⋅ B = 1 ⎜ −50 50 50 ⎟ ⋅ ⎜ 3 ⎟ = 1 ⎜100 ⎟ = ⎜  1 ⎟ . 300 ⎜ 300 ⎜ ⎟ ⎜  3 ⎟  ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −24 12 48 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 60 ⎠ ⎜  1 ⎟  ⎝ 5 ⎠  Rezultă că soluţia sistemului de ecua ţii este tripletul 1 , 1 , 1 . 2 3 5

(

)

f) Forma matriceal ă a sistemului de ecua ţii este: ⎛1 1 1 ⎞ ⎛ a⎞ ⎛ x⎞   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟    AX = B unde A= 2 5 −3 , B= b , X = y . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟   ⎜ 1 3 −2 ⎟ ⎜c ⎟ ⎜ z ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ −1 5 −8 ⎞  − * = A* = ⎜⎜ 1 −3 5 ⎟  Avem că det( A  A) = 1, deci exist ă A1 = 1 ⋅ A ⎟ , iar soluţia ecuaţiei det( A) ⎜ 1 −2 3 ⎟  ⎝ ⎠  ⎛−1 5 −8⎞⎛ a ⎞ ⎛ a +5b −8c ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ matriceale este X = A−1 B=⎜ 1 −3 5 ⎟⋅⎜ b⎟=⎜ a−3 b+5 c⎟. ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 −2 3 ⎠⎝c ⎠ ⎝ a − 2b +3c ⎠ Rezultă că soluţia sistemului de ecua ţii este tripletul de numere (– a + 5b – 8c, a – 3b + 5c, a – 2b + 3c). E5. Rezolvare:

Un sistem de n ecua ţii cu n necunoscute este de tip Cramer dac ă determinantul matricei sistemului este nenul. ⎛ 1 −8 ⎞  a) Matricea sistemului este  A = ⎜ ⎟  cu det( A) = 33 @ 0. ⎝ 3 9 ⎠  Rezultă că sistemul este de tip Cramer  şi are soluţia unică: 5 −8 1 5 dx dy = 133 şi dy = = −4 . , y= , unde dx =  x = 11 9 3 11 det( A) det( A) 133 4 Rezultă că:  x = , y=− . 33 33  b) Matricele asociate sistemului sunt: ⎛ −1 −5 ⎞ ⎛1 ⎞   ⎛ ⎞  , B = ⎜ ⎟ ,  X   A = ⎜ ⎟   = ⎜ ⎟ . ⎝ 3 15 ⎠ ⎝ 4 ⎠   ⎝ y ⎠  Avem că det( A  A) = 0. Rezultă că sistemul nu este de tip Cramer.

86

⎛ 3 −4 2 ⎞  ⎛ 3 ⎞  ⎜ ⎟  @ 0 şi  B = 6 . c) Avem că  A = ⎜⎜ 5 1 3 ⎟  , cu det( ) = 3  A ⎟  ⎜ ⎟  ⎜ 1 −6 1 ⎟  ⎜ −4 ⎟  ⎝ ⎠  ⎝ ⎠  Rezultă că sistemul este de tip Cramer  şi are soluţia:

=x

dx

d  y

, =y

det( )A

det( 3 −4 2 3 3 1 3 = 65 65 ; d = y5 6 d = x6 −4 −6 1 1 −4 65 4 101 Rezultă că x= , y= − , z= −  . 3 3 3

d z   

, =z

, unde: )A det( )A 2 3 −4 3 3 =−4 , d  = 5z 1   6 =−101 . 1 1 −6 −4

⎛ 1 −2 2 ⎞  d) Matricea sistemului de ecua ţii este  A = ⎜⎜ 2 −1 −1⎟  ⎟  cu det( A) = 6 @ 0, deci sistemul este ⎜ 1 1 −1⎟  ⎝ ⎠  de tip Cramer. 10 −2 2 1 10 2 1 −2 10 36 , d = 2y 2 −1 = 24 24 , d  = 2z −1   2 = 36 . d = x2 −1 −1 = 36 4 1 −1 1 4 −1 1 1 4 Rezultă că soluţia sistemului este:

=x

d  x

= 6 ; =y

det( )A

d  y

= 4 , =z

d z   

= 6.

det( )A

det( )A

⎛ 1 2⎞ ⎛ 4⎞ = , B ⎟ ⎜9⎟, 2 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ x ⎞ X= ⎜   ⎟ . ⎝ y ⎠

E6. Rezolvare: ⎧ x + 2 y = 4

a) ⎨

⎩2 x + 5 y = 9

Matricele asociate sistemului sunt:

A= ⎜

     

4 2 1 4 = 2 ; d y = = 1. 9 5 2 9 Rezultă că soluţia sistemului de ecua ţii este dat ă de formulele lui Cramer: Avem că det( A  A) = 1, d x =

 x =

dx

det( A)

= 2, y =

dy

det( A)

= 1.

⎧−2 x + 5 y = −1 ⎩3 x − 7 y = 2

 b) ⎨

⎛ −2 5 ⎞  ⎟  cu det( A) = –1. ⎝ 3 −7 ⎠ 

Matricea sistemului de ecua ţii este  A = ⎜

Rezultă că sistemul este de tip Cramer  şi soluţia se află cu formulele lui Cramer: d y −1 5 −2 −1 d  x = −3 , d  y = = −1 . , y= , unde d  x =  x = 2 −7 3 2 det( A) det( A) Aşadar, soluţia sistemului de ecua ţii este x = 3, y = 1. 87

⎧4 x + 3 y =17 c) ⎨ . ⎩6 x +5 y =−3

⎛ 4 3 ⎞  ⎟  cu det( A) = 2. Rezultă că sistemul este de tip ⎝ 6 5 ⎠ 

Matricea sistemului de ecua ţii este  A = ⎜

Cramer şi soluţia se află cu formulele lui Cramer:  x =

d  x

det( A)

, y=

d y

det( A)

,

unde: 17 3 4 17 = 94 , d y = = −114 . −3 5 6 −3 Se obţine soluţia sistemului de ecua ţii: x = 47, y = –57. d x

=

⎧ x + y + z =  2 ⎪ d) ⎨ 2 x+ 3 y − z =  5 ⎪3 x+ y+ 3 z =  4 ⎩ ⎛ 1 1 1 ⎞  Matricea sistemului este  A = ⎜⎜ 2 3 −1⎟   A) = –6. ⎟  cu det( A ⎜ 3 1 3 ⎟  ⎝ ⎠  Rezultă că sistemul de ecua ţii este de tip Cramer  şi soluţia se afl ă folosind formulele lui Cramer:

=x

d  x

, y=

det( )A

d  y

, =z

det( )A

d z   

, det( )A

unde 2 1 1 1 2 1 1 1 2 d = x5 3 −1 = −6 ; d = y2 5 −1 = −6 ; d  = y2 3 5 = 0 . 4 1 3 3 4 3 3 1 4 Rezultă că soluţia sistemului este:  x = y = 1, z = 0.

⎧ x+ 2 y− 4 z =  −2 ⎪ e) ⎨−3 x+ 4 y + z =  13 ⎪2 x− y+ 3 z =  9 ⎩ ⎛ 1 2 −4 ⎞  Matricea sistemului este:  A = ⎜⎜ −3 4 1 ⎟  ⎟  cu det( A) = 55. ⎜ 2 −1 3 ⎟  ⎝ ⎠  Rezultă că sistemul de ecua ţii este de tip Cramer  şi soluţia se află cu formulele lui Cramer:

=x

d  x

, =y

d  y

, =z

d z   

, unde det( )A det( )A −2 2 −4 1 −2 −4 1 2 −2 1 = 110 ; d y = −3 13 1 = 220 , d  z  = −3 4 13 = 167 . d x = 13 4 9 −1 3 2 9 3 2 −1 9 Rezultă că soluţia sistemului de ecua ţii este: x = 2, y = 4, z = 3. det( )A

88

⎧−2 x+ y+ 3 z =  −1 ⎪ f) Sistemul de ecua ţii are următoarea formă generală: ⎨ x+ 3 y+ 2 z =  4 . ⎪ x− 3 y+ 2 z =  10 ⎩ ⎛ −2 1 3 ⎞  Matricea sistemului de ecua ţii este  A = ⎜⎜ 1 3 2 ⎟  ⎟  cu det( A) = –42. ⎜ 1 −3 2 ⎟  ⎝ ⎠  Rezultă că sistemul este de tip Cramer  şi soluţia se calculeaz ă cu formulele lui Cramer:

=x

d  x

, =y

d  y

, =z

d z   

, unde: det( )A det( )A −1 1 3 −2 −1 3 −2 1 −1 3 2 = −126 ; d = y1 4 2 = 42 , d  = z1 3   4 = −84 . d = x4 10 −3 2 1 10 2 1 −3 10 Rezultă că soluţia sistemului de ecua ţii este: x = 3, y = –1, z = 2. det( )A

E7. Rezolvare:

−3 2 1 a) Calculăm det( A) = 4 −1 2 = 9 + 8 − 20 − 5 − 24 + 12 = −20 . −5 2 3 ⎛ −7 −4 5 ⎞  1 1 Rezultă că A este matrice inversabil ă şi  A−1 = ⋅ A* = − ⋅ ⎜⎜ −22 −4 10 ⎟  ⎟ . det( A) 20 ⎜ ⎟  ⎝ 3 −4 −5 ⎠  Aşadar, soluţia sistemului de ecua ţii este X = A –1 B, adică: ⎛ −7 −5 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −20 ⎞ ⎛1 ⎞ 1⎜ ⎟ ⋅ ⎜ 8 ⎟ = − 1 ⎜ −40 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ . − − 2 2 4 1 0  X  = − ⎟ ⎜ ⎟ 20 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 20 ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ −60 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ 3 −4 −5 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

         

⎧−3 x+ 2 y+ z=  4 ⎪  b) Sistemul de ecua ţii este: ⎨4 x− y+ 2 z=  8 . ⎪ ⎩−5 x+2 y+ 3 z=  8 ⎛−1 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ c) Matricea sistemului este  A =⎜ 4 −1 2 ⎟. ⎜ ⎟ ⎝−5 2 3 ⎠

Avem că det( A  A) = –20. Formulele Cramer sunt:

=x

d  x

, y=

d  y

, =z

d z   

, det( )A det( )A det( )A −3 4 1 −3 2 4 4 2 1 unde d = x8 −1 2 = −20 , d = y 4 8 2 = −40 , d  = z4 −1   8 = −60 . −5 8 3 −5 2 8 8 2 3 Se obţinem soluţia: x = 1; y = 2, z = 3. 89

E8. Rezolvare:

⎧ ⎪ x + y = 4 ⋅(−2) a) ⎨ . ⎪2 x + 3 y = 9 ⎩

Eliminăm necunoscuta  x din a doua ecua ţie înmulţind prima ecua ţie cu (–2) şi adunând-o la a doua. Se obţine sistemul echivalent: ⎧ x+ y = 4 ⎧ x = 4 − y ⎧ x = 3 ⎨ y = 1 ~ ⎨ y= 1 ~ ⎨ y= 1 . ⎩ ⎩ ⎩ Rezultă că soluţia sistemului de ecua ţii este perechea (3, 1).

⎧2 x + y = 3 ⎩ x + 2 y = 0

 b) ⎨

⎧ x + 2 y = 0 ⋅(−2) ⎪ 2) Permutăm cele dou ă ecuaţii şi observăm sistemul: ⎨ ⎪2 x + y = 3 ⎩ Eliminăm necunoscuta  x din a doua ecua ţie înmulţind prima ecua ţie cu (–2) şi aduând-o la cealaltă. ⎧ x + 2 y = 0 Se obţine: ⎨ . ⎩ −3 y = 3 Rezultă că y = –1 şi x = 2. Aşadar soluţia sistemului de ecua ţii este perechea (2, – 1). ⎧ x+ y+ z = ⋅(−1)   1 ⎪ c) ⎨ x+ 2 y+ 2 z=  −1 . ⎪ ⎩ x− y+ 2 z=  2

Eliminăm x din ecuaţia a doua şi a treia p ăstrând prima ecua ţie neschimbat ă. ⎧ x+ y+ z=  1 ⎪ Rezultă sistemul de ecua ţii: ⎨  y + 2 z =−2 ⋅2 ⎪ ⎩ − 2 y + z =1 Eliminăm y din ecuaţia a treia înmul ţind ecuaţia a doua cu 2 şi adunând-o la ultima ecua ţie. ⎧ x+ y+ z=  1 ⎪ Se obţine: ⎨  y + z =−2 ⎪ 3 z =−3 ⎩ Pornind de la ultima ecua ţie a sistemului spre prima ecua ţie se ob ţine: z = –1, y = –1, x = 3. Aşadar, soluţia sistemului de ecua ţii este tripletul (3, –1, –1). d) Permutăm ecuaţia întâi cu a patra şi se obţine sistemul echivalent: ⎧ x+ ⋅(−4) ; ⋅(−6) ; ⋅(−2) y+ z= 6 ⎪ ⎪4 x− 6 y− 3 z=  0 ⎨ (1) + − = 6 1 0 1 0 8 x y z   ⎪ ⎪2 x+ 5 y+ 3 z= 17 ⎩ Eliminăm necunoscuta x din a doua, a treia şi a patra ecua ţie, păstrând prima ecuaţie neschimbată. Pentru aceasta înmul ţim succesiv prima ecua ţie cu –4, –6, –2 şi o adunăm la a doua, a treia, respectiv a patra ecua ţie a sistemului (1). 90

⎧ x+ y+ z= 6 ⎪ ⎪ −10 y − 7 z =−24 Se obţine sistemul echivalent: ⎨ 4 y −16 z =−28 ⎪ ⎪ 3 y + z = 5 ⎩

:4

.

Împăr ţim ecuaţia a treia cu 4 şi o permutăm cu a doua ecua ţie după care proced ăm la eliminarea necunoscutei  y din ultimele dou ă ecua ţii raportându-se la a doua ecua ţie a sistemului. Se ob ţin sistemele echivalente: ⎧ x+ y+ z=  6 ⎪ ⎪ =−7 ⋅10; ⋅(−3) 3)  y − 4 z =− ⎨ =− −24 ⎪ −10 y − 7 z = ⎪ 3 y + z = 5 ⎩

⎧ x+ y+ z=  6 ⎪ ⎪  y − 4 z =−7 ⎨ . − 47 z =−94 ⎪ ⎪ 13 z = 26 ⎩

Din ultimele dou ă ecuaţii se obţine z = 2, apoi se ob ţine y = 1 şi x = 3. Aşadar soluţia sistemului este tripletul (3, 1, 2). e) Eliminăm necunoscuta  x din ecuaţiile a doua, a treia şi a patra înmulţind prima ecua ţie cu (–2), (–2) şi (–1) şi adunând-o respectiv la a doua, a treia şi a patra ecua ţie. Se obţine sistemul echivalent: ⎧ x+ y− 3 z=  −1 ⎪ ⎪ − y + 4 z = 3 ⎨ . + = 4 6  y z  ⎪ ⎪ =0 ⎩  y Înlocuind y = 0 în ecua ţia a doua şi a treia se ob ţin două ecuaţii contradictorii: 4 z = 3 şi 4 z = 6. Rezultă că sistemul este incompatibil. f) Eliminăm x din ecuaţia a doua, a treia şi a patra. Se ob ţine sistemul echivalent. ⎧ x+ y+ 2 z=  4 ⎪ ⎪ − y −3z =−2 ⎨ ⎪  y − 3z =−2 ⎪ ⎩  y − 3z =−2 Eliminăm y din ecuaţia a treia şi a patra, raportându-ne la ecua ţia a doua. Se ob ţine: ⎧ x+ y+ 2 z=  4 ⎪ ⎪ − y −3z =−2 ⎨ 0⋅ z = 0 ⎪ ⎪ 0⋅ z = 0 ⎩ Rezultă că z poate fi orice num ăr real sau complex. Not ăm  z = α, α ∈  şi se obţine:  y = 3α− 2 şi  x =−5α+ 6 Aşadar sistemul este simplu nedeterminat şi mulţimea soluţiilor este: S = {(−5 α + 6, 3α − 2, α) α ∈ } 91 •

•

g) Permutăm prima şi a doua ecua ţie între ele. Se ob ţine sistemul echivalent: ⎧ x+ 2 y−3 z= 0 ⋅(−2) ; (−2) ; ⋅(−4) ⎪ ⎪2 x− 3 y+ z=  −1 ⎨ ⎪2 x−10 y+8 z=  −1 ⎪4 x−15 y+9 z=  0 ⎩ Eliminăm x din a doua, a treia şi a patra ecua ţie. Se ob ţine sistemul echivalent: ⎧ x+ 2 y− 2 z=  0 ⎪ ⎧ x+ 2 y− 3 z= 0 ⎪ −  y + z =− 1 ⎪ ⎪ − 7 y + 7 z =−1 ⎪ 7 . ⎨ ~⎨ ⎪ −14 y +14 z =−1 ⎪ −  y + z =− 1 ⎪ ⎪ 14 ⎩ − 23 y + 21z = 0 ⎪ ⎩ 23 y − 21z = 0 Se observ ă că a doua şi a treia ecua ţie sunt contradictorii. Rezultă că sistemul este incompatibil. h) Sistemul se scrie sub forme echivalente astfel: ⎧ x− y− 2 z=  −3 ⋅(−2) ⎧ x− y− 2 z=  −3 ⎪ ⎨ ~⎨ ⎪2 x−3 y− z=  1 ⎩ − y + 3 z = 7 ⎩ Se consider ă z necunoscut ă secundar ă, notată parametric  z = α, a ∈  şi se obţine  y = 3α − 7, x = α −10 . Soluţia sistemului este mul ţimea S = {(5α −10, 3α− 7, α) α ∈ } i) Sistemul se scrie sub forma echivalent ă succesiv: ⎧ a − 2b + c =10 ⎧a − 2b + c =10 ⎨ ~⎨ . ⎩3a − 2b − c = 7 ⎩ 4b − 4c =−23 4 x − 23 2 α− 3 , a= Se ia c = α, α ∈  şi se obţine b = . 4 2 ⎧⎛ 2 α − ⎫ 3 4 α− 23 ⎞ Aşadar, mul ţimea soluţiilor sistemului de ecua ţii este S = ⎨⎜ , , α⎟ α ∈ ⎬ . ⎠ 4 ⎩⎝ 2 ⎭  j) Sistemul este echivalent cu: ⎧ x+ y+ z =1 ⎧ x+ y+ z =  1 ⎪ ⎪ ⎨ −3 y− z= 0 ~ ⎨ z+3 y= 0 . ⎪ ⎪ 8 y= 0 y 2 = z 0 ⎩ ⎩ 2 −

Rezultă că y = 0, z = 0 şi x = 1. Aşadar, sistemul este compatibil determinat cu solu ţia tripletul (1, 0, 0).

92

 Sintez ă

S1. Rezolvare:

a) Sistemul este de tip Cramer dac ă determinantul matricei sistemului este nenul. Aşadar, avem condi ţia: 1 −m 1 det( A) = 1 −2 1 = 4 − m2 . m m 2 −2 Din condi ţia 4 –  m2 @ 0 rezultă că m i Z \ {–2, 2}. Soluţia sistemului se calculeaz ă cu formulele lui Cramer:

=x

d  x

,

det( )A

=y

d  y

, =z

det( )A

d z   

det( )A

2m − m 1 unde d x = −1 −2 1 = −2m3 − m 2 + 8m + 4 = − m2 ( 2 m + 1) + 4( 2 m + 1) = (2 (2m + 1)( 4 − m2 ) . 2 m2 −2 1 2m 1 (2 m+1)( m + 2) , d y = 1 −1 1 = 2m 2 +5m + 2 = (2 m 2 −2 1 − m 2m d z  = 1 −2 −1 = 2 m3 + 6 m2 + 2 m − 4 = ( m + 2)(2 m2 + 2 m − 2) . 2 m m2 2m + 1 2 m2 + 2 m − 2 Se obţine soluţia sistemului: x= 2 m+ 1, y= , z=   . 2−m 2−m  b) Punem condi ţia: det( A  A) @ 0, adică: 1 m −1 2 −1 −2 = −2m2 − 3m − 1 = −( 2 m + 1)( m + 1) . 1 m 2 1 Sistemul este de tip Cramer dac ă m ∈ Z \ ⎧⎨− , − 1⎫⎬ şi soluţia se calculeaz ă cu formulele: ⎩ 2 ⎭

=x

d  x

, =y

d  y

, =z

d z   

, unde det( )A det( )A det( )A 8 m −1 1 8 −1 1 m 8 d = 6x −1 −2 = −14 m + 8 , d = 2y 6 −2 = −10( m + 1) , d = 2z −1 6 =  6 m 2 + 16 . 4 2 1 m 4 1 m 2 4 −6 m2 −16 14m −8 10 Se obţine soluţia: =x , =y , =z .   (m +1)(2m +1) 2m +1 (m −1)( 2m +1)

93

S2. Rezolvare: Sistemul de n ecuaţii

cu n necunoscute nu este de tip Cramer dac ă determinantul matricei sistemului este nul: det( A) = 0. a) Avem: 1 m +1 1 −1 = m3 + m2 − 4 m− 4 = m2 ( m+ 1) − 4( m+ 1) = ( m+ 1)( m2 − 4) = det( A) = m 1 1 −2 − m = (m + 1)(m − 2)(m + 2) . Condiţia det( A  A) = 0 conduce la m i {–2, –1, 2}. 2 3 m+2 19  b) det A= 0 ⇔ 3 1 − 19 = 0 ⇔ m= . m =0⇔5 m 5 3 −1 1 S3. Rezolvare:

a) Forma simpl ă a sistemului de ecua ţii este: ⎧5 x − 6 y = −28 ⎨ 4 − = −11 . ⎩  x y Matricele asociate sistemului sunt: ⎛ 5 −6 ⎞ ⎛ −28 ⎞ ⎛ x ⎞   =⎜ , B= ⎜ , X= ⎜  ⎟ .   A ⎟ ⎟ ⎝ 4 −1 ⎠ ⎝ −11 ⎠ ⎝ y ⎠   • Rezolvarea sistemului prin metoda matriceal ă: Forma matriceală a sistemului este  AX = B . det( A  A) = 19 @ 0. 1 1 ⎛ −1 6 ⎞  ⋅ A* , adică  A−1 = ⋅ ⎜ Rezultă că există  A−1 = şi soluţia ecuaţiei matriceale este det A 19 ⎝ −4 5 ⎟  ⎠  1 ⎛ −1 6 ⎞ ⎛ −28 ⎞   matricea  X  = ⎜ . ⋅ 19 ⎝ −4 5 ⎟⎠ ⎜⎝ −11 ⎟⎠    1 ⎛ −38 ⎞ ⎛ −2 ⎞   = . 19 ⎜⎝ 57 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠    Aşadar soluţia sistemului de ecua ţii este perechea (–2, 3). Se obţine  X  =

• Rezolvarea sistemului prin metoda lui Cramer. Avem că det( A  A) = 19, deci sistemul este de tip Cramer  şi soluţia lui se calculeaz ă cu formulele lui Cramer: −28 −6 5 −28 d y d  x =−38, d y = = 57. , y= unde d x =  x = −11 −1 4 −11 det( A) det( A) Rezultă că soluţia sistemului este:  x = –2; y = 3. • Rezolvarea sistemului prin metoda lui Gauss. Forma simplă a sistemului este: ⎧ ⎛ 4⎞ ⎪5 x − 6 y =−28 ⋅⎜− ⎟ ⎝ 5⎠ . ⎨ ⎪ ⎩4 x − y =−11 94

Eliminăm necunoscuta  x din a doua ecua ţie, înmulţind prima ecua ţie cu − doua. Se ob ţine sistemul echivalent:

4 şi adunând-o la a 5

⎧5 x − 6 y = −28 ⎪ 57 . ⎨ 19 ⋅ =  y ⎪⎩ 5 5 Din a doua ecua ţie rezultă y = 3 iar din prima ecua ţie se obţine x = –2. S4. Rezolvare:

⎛1 1 −2 + i ⎞ ⎛−2 + 2i ⎞ ⎛x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A=⎜1 i −1− i⎟; B=⎜ −1 ⎟; X =⎜ y⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −i ⎠ ⎝i 0 ⎝−1−i ⎠ ⎝z ⎠

a) Matricele asociate sistemului sunt:

 

Determinantul matricei A este det( A  A) = i @ 0. Sistemul este de tip Cramer  şi soluţia se află cu formulele:

=x

d  x

, =y

d  y

, =z

d z   

, unde det( )A det( )A −2 + 2i 1 −2 +i 1 −2 + 2i −2 + i 1 1 −2 + 2i −1 −1 − i = 0 ; d z  = 1 i −1 = i . d x = −1 i −1− i =−1 ; d y = 1 −i −1− i 0 −i i −1 − i i 0 −1 − i Se obţine soluţia x = i, y = 0, z = 1.  b) Forma simpl ă a sistemului este: ⎧ 3 x− 3 y+ 4 z= 2 ⎧3 x−3 y+ 4 z= 2 ⎪ ⎪ ⎨10 x− 4 y+10 z= 6 ~ ⎨ 5 x− 2 y+5 z = 3 ⎪ ⎪ x− y+ z= 0 ⎩ 6 x− 6 y+ 6 z= 0 ⎩ Matricele asociate sunt: ⎛ 3 −3 4 ⎞ ⎛2⎞ ⎛ x ⎞   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟   A= ⎜ 5 −2 5 ⎟ , B= ⎜ 3 ⎟ , X= ⎜ y⎟ .   ⎜ 1 −1 1 ⎟ ⎜0⎟ ⎜ z ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Avem că det( A  A) = –3 @ 0. Rezultă că sistemul este de tip Cramer  şi soluţia se calculeaz ă cu formulele:

=x

d  x

det( )A

, y=

d  y

, =z

det( )A det( )A Se obţine soluţia: x = –1, y = 1, z = 2.

d z   

det( )A

unde d  x = 3, d  y = –3, d  z  = –6.

S5. Rezolvare:

a) Formula simplă a sistemului este:

⎧2 x+ 4 y− 3 z =  11 ⎪7 x− 3 y+ 5 z =  6 ⎪ ⎨3 x+ y− 8 z =  15 15 ⎪ ⎪⎩6 x− 5 y+ 11 z=  −4

Pentru uşurinţa calculelor vom permuta în cadrul fiec ărei ecuaţii termenii cu necunoscutele  x şi y şi totodat ă vom schimba între ele prima şi a treia ecua ţie. Se ob ţine sistemul echivalent: 95

⎧ y+ 3 x−8 z=  15 ⋅−4 ; ⋅3 ; ⋅5 ⎪ ⎪ 4 y+ 2 x−3 z=  11 ⎨ . − + + = 3 7 5 6 y x z   ⎪ ⎪−5 y+ 6 z+11 z=  −4 ⎩ ⎧ y+ 3 x− 8 z= 15 ⎪ ⎪ −10 x + 29 z =−49 Eliminăm necunoscuta  y din ecua ţiile a II-a, a III-a, a IV-a, ob ţinând ⎨ . ⎪ 16 x −19 z = 51 ⎪ ⎩ 21 x − 29 z = 71

Din ecuaţia a doua şi a patra se ob ţine, după adunarea lor, 11 x = 22, deci  x = 2. Pentru x = 2 din ecua ţia a doua se ob ţine z = –1. Perechea x = 2, z = –1 verifică şi ecuaţia a treia şi a patra. Din prima ecua ţie se obţine y = 17. Aşadar, soluţia sistemului de ecua ţii este tripletul (2, 1, –1). ⎧2 x+ y+ z=  2 ⎪ ⎪ x+ 3 y+ z=  5  b) Sistemul se scrie sub urm ătoarea formă echivalentă: ⎨ . + + = − 5 7 x y z   ⎪ ⎪ ⎩2 x+3 y−3 z=  14

Schimbăm prima ecua ţie cu a doua şi apoi eliminăm din celelalte ecua ţii necunoscuta x: ⎧ x+ 3 y+ z=  5 (−2) 2) ; (−1) 1) ; (−2) 2) ⎧ x+ 3 y+ z=  5 ⎪ ⎪ ⎪2 x+ y+ z=  2 ⎪ −5 y − z =−8 ⎨ ~⎨ ~ ⎪ x+ y+ 5 z=  −7 ⎪ − 2 y + 4 z =−12 ⎪2 x+ 3 y−3 z=  14 ⎪ − 3 y − 5 z = 4 ⎩ ⎩ ⎧ x+ z+ 3 y= 5 ⎧x + z +3 y = 5 ⎪ ⎪ ⎪  z + 5 y = 8 ⋅(−2) 2); ⋅(−5) 5) ⎪ ~⎨ ~⎨ ⎪ 2 z − y =−6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 5 z + 3 y =−4

 z +5 y = 8

−11 y =−22 − 22 y =−44

.

Din ultimele dou ă ecuaţii se obţine y = 2, apoi  z = –2, x = 1. Aşadar soluţia sistemului ini ţial este tripletul (1, 2, –2). c) Sistemul se scrie în urm ătoarea formă echivalentă: ⎧ x+ y−3 z=− =  −1 ⋅(−2) ; (−1) ; ⋅(−1) ⎪ ⎪2 x+ y− 2 z=  1 ⎨ ⎪ x+ y+ z=  3 ⎪ x+ 2 y−3 z=  1 ⎩ Se elimină necunoscuta x din ecuaţiile a doua, a treia şi a patra şi se obţine sistemul echivalent: ⎧ x+ y− 3 z =  −1 ⎪ − y + 4 z = 3 ⎪ ⎨ 4 z = 4 ⎪ ⎪⎩  y + 0 ⋅ z = 2 Din ultimele dou ă ecuaţii se obţine că: y = 2, z = 1 soluţii care nu verifică ecua ţia a doua. Rezultă că sistemul este incompatibil. 96

d) Sistemul se scrie sub urm ătoarea formă echivalentă: ⎧ 4 ⎛ 11⎞ ⎪ 3 x+ 2 y+ 4 z= −4 ⋅ ; ⋅⎜− ⎟ 3 ⎝ 3⎠ ⎪ ⎪ ⎨−4 x+ 5 y+ 7 z= 8 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 11 x−31 y− 47 z= −68

Eliminăm x din a doua şi a treia ecua ţie obţinând sistemul echivalent: ⎧3 x+ 2 y+ 4 z= −4

⎪ ⎪ ⎧3 x+ 2 y+ 4 z= −4 ⎪ 23 ⎪ 37 8 ⎨  y + z = ~ ⎨ 23 y + 37 z = 8 3 3 3 ⎪ ⎪ 23 y + 37 z = 32 ⎩ ⎪ 115 185 160 ⎛ 3 ⎞ ⎪− ⋅⎜− ⎟  y − z =− 3 3 ⎝ 5⎠ ⎩ 3

Se observ ă că ultimele două ecuaţii sunt contradictorii. Rezultă că sistemul de ecua ţii este incompatibil. e) Sistemul se scrie sub urm ătoarele forme echivalente: ⎧ ⎛ 5⎞ ⎪ 2 x+7 y− 4 z=  0 ⋅⎜− ⎟; ⋅(−6) ⎧2 x + 7 y − 4 z = 0 ⎝ 2⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 39 ⎨ 5 x− 2 y− 8 z= 0 ~ ⎨− y+ 2 z= 0   ~ 2 ⎪ ⎪ ⎪12 x+ 3 y− 20 z=  0 ⎪−39 y + 4 z = 0 ⎩

⎪ ⎩

⎧2 x+ 7 y− 2 z= 0 ⎧2 x+ 7 y− 4 z= 0 ⎪ ⎪ ~ ⎨ − 39 y+ 2 z= 0 ~ ⎨ − 39 y+ 2 z= 0  ⎪ ⎪ 0⋅ = y2 = z0 ⎩ z 0   ⎩ − 39 +

Rezultă că z poate fi orice num ăr real sau complex. 2 α 71α  Notăm  z ∈ α, α ∈  şi apoi se ob ţine că  y = ; x = . 39 39 ⎧ x− 4 y+ (2 m+3) z=  0 ⎪ f) • Eliminăm necunoscutele  x şi obţinem: ⎨ (4 − m) y − ( 2m + 4) z =  0 ⎪ 9 y− 2(2 m+3) z= 8 ⎩ ⎧ x− 4 y+ (2 m+ 3) z =  0 ⎪ 9 y− 2(2 m+ 3) z=  8 /⋅ m − 4 Rescriem sistemul sub forma: ⎨ 9 ⎪(4 − m) y − (2m + 4) z =  0 ⎩

⎧ ⎪ x− 4 y+ (2 m+ 3) z =  0 ⎪ • Eliminăm y din ecua ţia a treia: ⎨ 9 y− 2(2 m+ 3) z=  8 ⎪ −4m2 − 8m − 12 8( − 4) ⎪ ⋅ z = m ⎪⎩ 9 9 2 2( 4 − m) 4( m + 2) 2( 2m + 3m + 4) Se obţine:  z = 2 ;  y = 2 ;  x = , m ∈Z . m + 2m + 3 m + 2m + 3 m 2 + 2m + 3 97

S6. Rezolvare:

a) Sistemul este compatibil determinat dac ă şi numai dacă determinantul matricei sistemului este nenul. 2 1 m +1 ≠ 0. Avem: 1 m − 1 m 5 4 3( m + 1) Se obţine m2 – 2m @ 0 ® m i Z \ {0, 2}.  b) Pentru m = 0 se ob ţine sistemul de ecua ţii: ⎧ 2 x + y + z =  0 ⎛ 2 1 1 ⎞  ⎪ ⎜ ⎟   x − y = 0 şi  A = ⎜ 1 −1 0 ⎟ . ⎨ ⎪5 x+ 4 y+ 3 z =  3 ⎜ 5 4 3 ⎟  ⎩ ⎝ ⎠  Se găseşte că det( A  A) = 0, deci sistemul nu este de tip Cramer. Rezolvăm sistemul cu metoda lui Gauss. Rescriem sistemul sub urm ătoarea formă: ⎧  x − y = 0 ⋅(−2) ; ⋅(−5) ⎪ ⎨2 x+ y+ z=  0 ⎪ ⎩5 x+ 4 y+ 3 z=  3 Eliminăm necunoscuta  x din a doua şi a treia ecua ţie păstrând prima ecua ţie neschimbat ă. Se obţine sistemul echivalent: ⎧ x − y =0 ⎪ ⎨ 3 y + z = 0 (−3) ⎪ ⎩ 9 y + 3z = 3 Eliminăm necunoscuta  y din a treia ecua ţie înmulţind pe a doua cu (–3) şi adunând-o la a treia: ⎧ x − y = 0 ⎪ Avem sistemul: ⎨ 3 y + z = 0 ⎪ 0⋅ z = 3 ⎩ Se observă că ultima ecuaţie este contradictorie (0 = 3) şi ca urmare sistemul este incompatibil. • Pentru m = –1 sistemul de ecua ţii devine: ⎧ 2 x + y = −1 ⎪ x− 2 y − z =  −2 ⎨ ⎪ 5 x + 4 y = 3 ⎩ ⎧ z+ 2 y− x= 2 ⎪ Rescriem sistemul sub urm ătoarea formă: ⎨  y + 2 x =−1 ⋅(−4) ⎪ ⎩ 4 y + 5 x = 3 ⎧ z+ 2 y− x = 2 ⎪ Eliminăm pe y din ultima ecua ţie raportându-ne la ecua ţia a doua şi obţinem: ⎨  y + 2 x = −1 ⎪ − 3 x = 7 ⎩ 7 11 23 Se obţin soluţiile: x= − , y= , z= −  . 3 3 3 98

• Pentru m = 2 sistemul de ecua ţii devine:

⎧2 x+ y+ 3 z=  2 ⎪ ⎨ x+ y+ 2 z=  4 ⎪ ⎩5 x+ 4 y+ 9 z=  3

Determinantul matricei sistemului este zero, deci sistemul nu este de tip Cramer. Rezolvăm sistemul cu metoda lui Gauss. Sistemul de ecua ţii se scrie sub urm ătoarea formă echivalentă: ⎧ x+ y+ 2 z=  4 ⋅(−2) ; ⋅(−5) ⎪ ⎨2 x+ y+ 3 z=  2 ⎪ ⎩5 x+ 4 y+ 9 z=  3 Eliminăm x din ecuaţiile a doua şi a treia p ăstrând prima ecua ţie neschimbat ă. Se ob ţine: ⎧ x+ y + 2 z =  4 ⎪ − y − z = −6 ⎨ ⎪ − y − z = −17 ⎩ Se observ ă deja că din ultimele două ecua ţii rezultă că 6 = 17, ceea ce este fals. Aşadar, pentru m = 2 sistemul de ecua ţii este incompatibil. S7. Rezolvare:

1

1

1

Determinantul matricei sistemului este d = a

b

c

a2

b2

c2

= (b − a )(c − a )(c − b ) (vezi exerciţiul

rezolvat de la pagina 51 din manual). Deoarece a @ b @ c rezultă că d @ 0 şi sistemul este de tip Cramer. Aplicăm formulele lui Cramer  şi obţinem: 1 1 1 d x •  x = , unde d x = 2 b c = (b − 2)(c − 2)(c − b ) (determinant Vandermonde de ordinul 3) d  4 b2 c2 (b − 2)(c − 2) Rezultă că  x = . (b − a)(c − a ) 1 1 1 d y •  y = unde d y = a 2 c = ( 2 − a)(c − a )(c − 2) . d  a2 4 c2 ( 2 − a)(c − 2) Se obţine  y = . (b − a)(c − b ) 1 1 1 d  •  z = z  , unde d z  = a b 2 = (b − a )(2 − a )( 2 − b ) . d  a 2 b2 4 ( 2 − a)( 2 − b) Se obţine  z = . (c − a )(c − b )

99

S8. Rezolvare: ⎛ 2m − 1

− m ⎞  a) A= ⎜⎜ 3 2 m− 1 m− 1⎟  ⎟ ; det( A) = 0 ⇔ 6 m( m− 2) = 0 ⇔ m∈ {0 , 2} . ⎜ m − 2 m − 2 1 ⎟  ⎝ ⎠  3

 b) Sistemul nu este de tip Cramer dac ă det( A  A) = 0, deci pentru m i {0, 2}. c) Pentru m i Z \ {0, 2} solu ţia sistemului este dat ă de formulele lui Cramer: −m 1 3 d  y d  x d z  , y= , =z   unde d x = 3 2m − 1 m − 1 = 3(5m − 6) mx= det( )A m det( )A det( )A 2 m−2 1 2m − 1 1 − m 2m − 1 3 1 3 m − 1 = −3( m + 2) , d z  = 3 2m − 1 3 = 24( m − 2) . d y = 3 1 m−2 2 m−2 m−2 2 −m − 2 5m − 6 4 Se obţine soluţia: m x= ; m y= , m z= .   2m(m − 2) 2m( m − 2) m 2 m −4) 5m − 6 4 5 m − 6 − 2 m − 8 m + 16 m+2 − − >1⇔ >1⇔ d) xm + 2 ym − zm  > 1 ⇔ 2m( m − 2) 2) m( m − 2) 2) 2m(m − 2) 2) m −5m + 6 −2m2 − m + 6 ⇔ −1 > 0 ⇔ >. 2m( m − 2) 2m(m − 2) Tabelul de semn pentru expresia frac ţionar ă este: 3  –    –2 0 2 + m 2  –2m2 – m + 6 – – – – 0 + + + + + + 0 – – – – – – –  2m(m – 2) +++++++0–––––– 0++++ −2 m 2 − m + 6  – – – 0 + + + | – – – –0 + + | – – – –  2m (m − 2) ⎛ 3 ⎞  Soluţia inecuaţiei este mul ţimea: S  = ( −2 , 0 ) ∪ ⎜ , 2 ⎟ . ⎝ 2 ⎠ 

S9. Rezolvare:

2 1 1 a) Determinantul matricei sistemului este: d  = 1 1 1 = 1 . 1 1 2 Rezultă că sistemul este de tip Cramer  şi soluţia este dat ă de formulele: 1 1 1 d  y d x d z  , y( a) = , z( a) = , unde d  x = 2a 1 1 = 1 − 2 a , x( a) = d d d  44 1 2 2 1 1 2 1 1 d  y = 1 2 a 1 = −4 a + 3 ⋅ 2 a −1 , d  z  = 1 1 2 a = 4 a − 2 a . 1 4a 2 1 1 4a Se obţine soluţia: x(a) = 1 – 2 a, y(a) = –4a + 3 · 2a – 1, z (a) = 4a – 2a, a i Z. 100

 b) y(a) > 1 ® – a4 + 3 · 2 a – 1 > 1 ® –4a + 3 · 2a – 2 > 0.  Notăm 2a = m şi se obţine inecuaţia – m2 + 3m – 2 > 0. Dar – m2 + 3m – 2 = 0 pentru m i {1, 2}. Tabelul de semn pentru expresia – m2 + 3m – 2 este: m 2

 –2m + 3m – 2

 –  1 2 + – – – – – – 0 + + + + 0 – – – – – 

Soluţia inecuaţiei cu necunoscuta m este: m i (1, 2). Revenind la nota ţia f ăcută se obţine că 2a i (1, 2) adică a i (0, 1). S10. Rezolvare:

Sistemul este compatibil determinat dac ă determinantul matricei sistemului este nenul. Aşadar, avem condi ţia: 1 1 α  α + 1 β + 1 2 ≠ 0 ⇔ −αβ + β ≠ 0 ⇔ β (1 − α ) ≠ 0 ⇔ β ≠ 0  şi α  ≠ 1 . 1 2 β  1 Rezultă că r ăspunsul corect este b) S11. Rezolvare:

Matricele asociate sistemului sunt: ⎛2 1 3 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ x ⎞   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟    A A= ⎜ 1 −1 1 ⎟ ; B= ⎜ −1⎟ ; X= ⎜ y⎟ ; det(    A) = –3m + 6 = –3(m – 2). ⎜1 2 m⎟ ⎜m ⎟ ⎜ z ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   • Dacă m @ 2, atunci det( A) @ 0, atunci det( A) @ 0 şisistemul este compatibil determinat cu soluţia dată de formulele: d  x

, = y

d  y

det( )A

, = z

d z   

, unde d  x = 4(m – 2), d  y = –2(m – 2), d  z  = –3(m – 2). det( )A det( )A 4 2 Se obţine soluţia x= − , y= , z= 1, m≠ 2 . 3 3 ⎧2 x+ y+ 3 z =  1 ⎪ • Dacă m = 2 sistemul devine: ⎨ x − y + z =  −1 ⎪ x+ 2 y+ 2 z =  2 ⎩ Deoarece det( A) = 0, sistemul nu este de tip Cramer. Pentru rezolvare aplic ăm metoda lui Gauss. Sistemul este echivalent cu urm ătoarele sisteme: ⎧ x− y+ z=− ⎧ x − y+ z = −1   −1 =   −1 ⋅(−2) ⎧ x− y+ z= ⎪ ⎪ ⎪ ⎨2 x+ y+ 3 z=1 ⋅(−1) ~ ⎨ 3 y+ z= 3   . ∼ ⎨ 3 y+ z= 3 ⎪ ⎪ ⎪ 0⋅ =z 0   ⎩ ⎩ 3 y + z = 3 ⎩ +x 2 +y 2 =z 2 3−α 4α  Rezultă că  z = α, α ∈  ,  y = , x=− . 3 3 Aşadar, pentru m = 2 sistemul este compatibil nedeterminat cu mul ţimea soluţiilor: ⎧⎛ 4 α 3 − α ⎞ ⎫ , , α⎟ α ∈ ⎬ . S = ⎨⎜− ⎠ 3 ⎩⎝ 3 ⎭ = x

101

S12. Rezolvare: Dacă sistemul de ecua ţii are numai solu ţia nulă rezultă că condiţia ca det( A) @ 0, unde A este matricea sistemului.

este de tip Cramer  şi se pune

1 Avem det( A) = 1 m 2 = − m2 + m+ 2 . 1 −1 −1 Dacă – m2 + m + 2 = 0, rezult ă că m i {–1, 2}, iar det( A) @ 0 pentru m i Z \ {–1, 2}. R ăspunsul corect este a). m

1

S13. Rezolvare:  Notăm cu x, y, z debitul robinetului r obinetului I, debitul robinetului II, respectiv debitul robinetului III. Se obţine sistemului de 3 ecua ţii liniare cu 3 necunoscute: ⎧2 x+ 3 y+ 6 z =  220

⎪3 x+ 2 y+ 6 z =  210 ⎨ ⎪2 x+ 2 y+ 3 z =  145 ⎩

Matricea sistemului are determinantul d = 9. Rezultă că sistemul este de tip Cramer  şi soluţia este dat ă de formulele x=

d  x d

, y=

d  y d

d 

, z=   z  .

Se obţine x = 20 hl, y = 30 hl, z = 15 hl.

d 

S14. Rezolvare:  Notăm cu t , f , F vârstele tatălui, fiului mic şi fiului mare.

1 1 Din datele problemei se ob ţin următoarele relaţii între t , f , F . f = ( t+ 7) ; F+ 15 = ( t+ 1 5) , 6 2 t − 15 adică  F  = şi f + 18 + F + 18 = t + 18. 2 Aceste relaţii se constituie în sistemul de 3 ecua ţii liniare cu 3 necunoscute  f , F , t . ⎧6 f − t = 7 ⎪2 F − t = −15 . ⎨ ⎪ f + F − t =  −18 ⎩ Matricea A a sistemului are det( A) = –4 @ 0, deci sistemul este de tip Cramer. Se obţin soluţiile f = 7, F = 10, t = 35. S15. Rezolvare: a) Pentru m = 1 şi n = 5 se ob ţine sistemul de ecua ţii: ⎧ x+ y− 2 z =  2

⎪ 2 x + y + z =  5 . ⎨ ⎪ x+ 2 y+ 3 z =  1 ⎩ 1 1 −2 Matricea A a sistemului are det( A) = 2 1 1 = −10 . 1 2 3 Rezultă că sistemul este de tip Cramer  şi soluţia este dat ă de formulele lui Cramer. 102

d  −30 10 0 = 3 ; = y  y = = −1; = z d z  =  = 0. det( ) A −10 det( ) A −10 det( ) A −10

=x

d  x

=

 b) Fie A matricea sistemului de ecua ţii: ⎛ 1 m −2 ⎞  ⎜ ⎟   A = ⎜ 2 2m − 1 1 ⎟  cu det( A  A) = 5(m – 3). ⎜1 2 3 ⎟  ⎝ ⎠  Se observ ă că det( A  A) = 0 dac ă m = 3. • Dacă m i Z \ {3}, det( A) @ 0 şi sistemul este compatibil determinat cu solu ţia dată de formulele lui Cramer: 17 − 4 − 3 − 12 d  x = m n mn  x = det( A) 5(m − 3) d  y 5(n − 3) d  mn − 4m − 2n +9 , = z z  = , ∈Z =y = n. det( A) 5( m− 3) det A 5( m−3) • Dacă m = 3, det( A) = 0, caz în care vom rezolva sistemul cu metoda lui Gauss. Avem următorul sistem: ⎧ x+ 3 y−2 z=  2 ⋅(−2) 2) , ⋅(−1) 1) ⎪ ⎨2 x+ 5 y+ z = n . ⎪ ⎩ x+ 2 y+ 3 z=  1 Eliminăm necunoscuta  x din a doua şi a treia ecua ţie păstrând pe prima neschimbat ă. Se obţine sistemul echivalent: ⎧ x+ 3 y− 2 z =  2 ⎪ − y+ 5 z = n− 4 . ⎨ ⎪ − y + 5z = −1 ⎩ Din acest moment se poate începe discu ţia compatibilit ăţii sistemului referindu-ne la ultimele două ecua ţii (n – 4 = –1 etc.) sau, înc ă, eliminăm y din ultima ecua ţie raportându-ne la a doua. Se obţine sistemul echivalent. ⎧ x+ 3 y− 2 z =  2 ⎪ − y+ 5 z = n− 4 . ⎨ ⎪ 0 ⋅ z = n − 3 ⎩ Dacă n – 3 @ 0, adică n = 3, sistemul este compatibil simplu nedeterminat. Se ia  z = α, α ∈ Z şi se obţine  y = 5 α +1, x =−13 α −1 . Aşadar, pentru m = 3, n = 3, mulţimea soluţiilor este S = {(−13α −1, 5 α +1, α) α∈ α∈ } .

103

TESTE DE EVALUARE Testul 1. 1. Rezolvare: a) A nu este inversabil ă dacă

det( A) = 0 . Se ob ţine ecuaţia  x 2 − 9 x + 20 = 0 cu sluţiile:

 x1 = 5, x2 = 4

⎛ 2 0 1 ⎞   b) Pentru x = 2, se ob ţine matricea  A = ⎜⎜ 5 1 2 ⎟   A) = 6 şi ⎟ , cu det( A ⎜ 8 −2 8 ⎟  ⎝ ⎠  ⎛ 12 −2 −1⎞  1 1 ⎜ 1 ⎟   A−1 = ⋅ A* = ⋅ ⎜ −24 8 ⎟ . 6 6 ⎜ ⎟  ⎝ −18 4 2 ⎠  2. Rezolvare:

a) Sistemul are solu ţie unică dacă determinantul matricei  A a sistemului este nenul. Avem: det( A) @ 0 ® – m2 + 10m – 9 @ 0. Se obţine m i Z \ {1, 9}.  b) Pentru m = 3 se ob ţine sistemul de ecua ţii: ⎧ x+ 2 y+ z=  1 ⋅(−1) ; ⋅(−6) ⎪ ⎨ x− y+ 2 z=  2 ⎪ ⎩6 x+ 9 y+ 3 z=  9 Rezolvăm sistemul prin metoda lui Gauss. Obţinem succesiv urm ătoarele sisteme echivalente: ⎧ x + 2 y + z = 1 ⎧ x + 2 y + z = 1 ⎪ − 3 y+ z= 1 ~ ⎪ − 3 y+ z= 1  . ⎨ ⎨ ⎪ − 3 y− 3 z= 3 ⎪ 4 z= −2  ⎩ ⎩ 1 1 5 Se obţine soluţia: z= − , y= − ; x= . 2 2 2 3. Rezolvare:

Modelul matematic al problemei este urm ătorul sistem liniar de ecua ţii: 45 ⎧3 x+ y+ 7 z =  45 ⎪5 x+ 3 y+ 2 z =  28 ⎨ ⎪4 x+ 5 y+ 5 z =  42 ⎩ Rezolvăm sistemul cu metoda lui Gauss reordonând mai întâi necunoscutele în cadrul fiec ărei ecuaţii. Se obţin succesiv urm ătoarele sisteme echivalente: ⎧ y+ 3 x+ 7 z=  45 ⋅(−3) ; ⋅(−5) ⎧ y + 3x + 7 z = 45 ⎧ y +3 x + 7 z =  45 45 45 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨3 y+ 5 x+ 2 z= 28 ~ ⎨ − 4 x−19 19 z=−107 ∼ ⎨ 4 x+19 19 z=107  ⎪ ⎪ ⎪ 89 z= 445  ⎩ −11 x−30 z=−183 ⎩ ⎩5 y+ 4 x+ 5 z= 42 Începând cu ultima ecua ţie a sistemului se ob ţine: z = 5, x = 3, y = 5. 104

Testul 2. 1. Rezolvare:

⎛ 2 1 * * ⋅ A= − A= − ⎜⎜ A= det( A) ⎝ −1 −1

⎛ 4 −4 1 1 ⋅ B* = ⋅ ⎜⎜ 2 3  B −1 = det( B) 10 ⎜ ⎝ −4 −1 ⎛ 0 1⎞  ⎛1 * −1 = − = − i ş C  = ⎜ C C  ⎟  ⎜ −1 ⎝ 1 1⎠  ⎝

−3 ⎞ ⎛ − 2 3 ⎞ ⎟=⎜ ⎟ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − 2 ⎟⎠ −2 ⎞  −1 ⎟  ⎟ . 7 ⎟  ⎠  −1⎞ ⎛ −1 1 ⎞   = . 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 0 ⎟⎠   

      

2. Rezolvare:

⎛ 1 −1 −1 ⎞  ⎜ ⎟   A = ⎜ 4 2 −2 ⎟  cu det( A  A) = 12 @ 0. ⎜ 6 15 3 ⎟  ⎝ ⎠  Rezultă că soluţia ecuaţiei matriceale este matricea ⎛ 36 −12 4 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 1 1 ⋅ A* ⋅ B = ⋅ ⎜⎜ −24 9 −2 ⎟⎟ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = ⎜⎜ −168 ⎟⎟ = ⎜⎜ −14 ⎟⎟ . X = A−1 ⋅ B = 12 12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 12 ⎜ 36 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ 48 −21 6 ⎠ ⎝ 45 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

         

3. Rezolvare:

m +1

1

1 a) Dacă A este matricea sistemului, atunci det( A) = 1 1 = m3 + 3 m2 . m+ 1 1 1 m +1  b) Sistemul de ecua ţii este compatibil determinat dac ă det( A  A) @ 0. 2 Dar det( A  A) = 0, dac ă m (m + 3) = 0, adic ă m = 0, m = –3. c) Pentru m = 2 sistemul de ecua ţii devine: ⎧3 x + y + z =  1 ⎛ 3 1 1 ⎞  ⎪ x+ 3 y + z =  2 cu  A = ⎜ 1 3 1 ⎟  şi det A  A = 20. ⎨ ⎜ ⎟  ⎪ x+ y+ 3 z =  4 ⎜ 1 1 3 ⎟  ⎩ ⎝ ⎠  Prin regula lui Cramer se ob ţine: d  4 1 6 3 26 13 d  x = − = − ;  y =  y = = ; z = d z  = = .  x = det( A) 20 5 det( A) 20 10 det( A) 20 10 ⎧ x + y + z =  1 ⎪ d) Pentru m = 0 sistemul devine: ⎨ x + y + z =  0 ⎪ x + y + z =  0 ⎩ Se observ ă că prima şi a doua ecua ţie sunt contradictorii (ar rezulta c ă 1 = 0). Rezult ă că  pentru m = 0 sistemul ob ţinut este incompatibil.

105

Probleme recapitulative  Solu ţ ii  ii 

⎛ 7 15 ⎞ 3 ⎛37 81 ⎞ Avem  A2 =⎜ ⎟, A =⎜ ⎟. Se obţine sistemul de ecua ţie ⎝10 22⎠ ⎝54 118⎠ soluţia a = –5, b = –2. 1.

⎞  ⎟  şi se obţine egalitatea: 2 2 ⎟  2 xy x + y ⎠  ⎛ 2x + 2y 2 xy xy ⎞  ⎛ 4 ⎜⎜ ⎟ + 2 2 ⎟  ⎜ + 2 x y x y ⎝ ⎠  ⎝ 0 ⎧ x2 + y2 + 4 = 4 de unde rezult ă sistemul de ecua ţii ⎨ ⎩2 xy= 4 y 2

2.  A

⎛ = ⎜⎜ ⎝

x + y2

2

⎧b + 7 a = −37 cu ⎨3 b + 15 = − 1 5 a 8 1 ⎩

2 xy

0⎞

⎛4 x = ⎟ ⎜ 4 ⎠ ⎝ 4 y

4 y⎞

  ⎟   4x ⎠  

x

.

Se deosebesc cazurile:

⎛ 2 0⎞ ⎧ y = 0 •⎨ 2 deci x = 2 , y = 0,  A =⎜ ⎟, 0 2 ⎝ ⎠ + =  x 4 4 x ⎩

A

n

⎛ 2n 0 ⎞ ⎟. =⎜ ⎝ 0 2n ⎠

•  y ≠ 0 şi astfel  x = 2 . Din prima ecua ţie se află y = 0 fals.

3.

⎛ 1 2 = ⎜⎜ 2 a A ⎜ 2 b + ac ⎝

0

0⎞

1

0 ,

2c

⎟ ⎟ 1 ⎟⎠

⎛ 1 3 = ⎜⎜ 3 a A ⎜ 3ac + 3b ⎝

0 1 3c

0⎞

  ⎟   0 . Din relaţia dată, pentru ⎟   ⎟   1⎠  

a, b, c ∈ Z *

se

⎧ α+β= 0 obţine că ⎨ şi α =3, β =− =−3 . ⎩2 α+β= 3  α = m , Pentru a = c = b = 0,  A =  I 3 şi vom avea c ă ( α + β) I 3 =O3 , deci  α+β= 0 . Soluţia  α= β =− Z. m, m ∈ 2

4. A

⎛a = ⎜⎜ 1 ⎜1 ⎝

0

a⎞

⎟ ⎟ 1 ⎟⎠

a 1 , E( a

⎛ a + 4 −4 a a ⎞   ⎜ ⎟   A) = −3 a+ 4 −3 . Se ob ţine a = –1. ⎜ ⎟   ⎜ −3 a + 4 −3 ⎟   ⎝ ⎠  

⎛0 ⎜ 5. Fie B = I3 + A. Avem 2A = 0 ⎜ ⎜0 ⎝

0 0 0

1 ⎞ 

⎟  ⎟  0 ⎟  ⎠ 

n 0 , 3A = O 3 şi astfel A

= O3 , ∀ nU 3 .

Cu formula binomului lui Newton se ob ţine:

⎛ ⎜1 n n ( n −1) 2 ⎜ Bn = Cn0 In3 + Cn1 A+ Cn2 A2 = I3 + nA+ A =⎜ 0 1 2 ⎜0 0 ⎜ ⎝ 106

n ( n −1) ⎞ ⎟ 2 ⎟ n ⎟, n ∈ q * .

1

⎟ ⎟ ⎠

2

6.  A

⎛1 = ⎜⎜ 0 ⎜0 ⎝

0 1 0

−2 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 0 , A3 = 0 ⎟ ⎜ ⎜0 1 ⎟⎠ ⎝

Prin inducţie se ob ţine că  An

0 1 0

−3 ⎞ ⎟ 0 . ⎟ 1 ⎟⎠

⎛1 = ⎜⎜ 0 ⎜0 ⎝

0 1 0

          − n ⎞  ⎟  0 etc. ⎟  1 ⎟  ⎠ 

⎛ a2 + bd bd 0 b ( a +e )⎞ ⎛ a 2 + ae ae ⎜ ⎟ ⎜ 2 A⎜ 0 c 0 7. a) 2 = ⎟=⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ 2 bd ⎠ ⎝d ( a +e ) ⎝ d ( a +e ) 0 e + bd Se obţine x = a+ e, y = c2 − ac − ce ce .

0 2

0

b (a +e )⎞ c

0 e 2 + ae ae

⎟ ⎟. ⎟ ⎠

 b) Folosim metoda induc ţiei matematice. Pentru n = 1, a1 = x, b1 = y. Presupunem c ă Ak  = xk ⋅ A+ yk  I3 . Atunci: Ak +1 = ( xk A+ yk I3 ) A = xk A2 + yk A = xk ( xA x A + yI 3 ) + yk A = ( x ⋅x k + y k ) A + yx k I 3 

 

Aşadar există xk +1 = x ⋅ xk + yk , yk +1 = y ⋅ xk cu proprietatea c ă Ak +1 = xk +1 A + yk +1 I3   deci   egalitatea are loc şi pentru k + 1. Aşadar are loc pentru oricare n ∈ q * .

⎛ 1 0 −1⎞ ⎜ ⎟ 2 −1 , C 2 8. C = 1 ⎜ ⎟ ⎜ −1 −2 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 4 8 −4 ⎞   = ⎜⎜ 4 8 −4 ⎟⎟ = 4 C    . ⎜ −4 −8 4 ⎟   ⎝ ⎠   C 3 = 4 C 2 = 42 C  şi prin inducţie C n = 4n−1 C  .

9. Folosim metoda reducerii sau substitu ţiei.

a) B = I2 − A şi din a doua ecua ţie se ob ţine că: 2 A+ 3 I2

⎛1 − 3 A= ⎜ ⎝ −1

1⎞ 

⎛1 ⎝ −1

⎟  sau  A = 3 I 2 − ⎜

1⎠ 

⎛ 2 −1⎞   = ⎟ ⎜ ⎟.   1⎠ ⎝ 1 2 ⎠   1⎞

⎛ −1 1 ⎞  ⎟ . − − 1 1 ⎝ ⎠ 

Rezultă  B = ⎜

10. Egalitatea se scrie:

⎛ 1 a ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 a ⎞ ⎛ 4 4 ⎞   ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ a 1⎟ + ⎜ a 1⎟ ⎜1 1 ⎟ = ⎜ 4 4 ⎟ sau   ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛1 + a2 1 + a ⎞ ⎛ 2 a + 1 ⎞ ⎛ 4  4 ⎞  ⎜ 1 + a 2 ⎟ + ⎜ a + 1 a2 + 1⎟ = ⎜ 4  4 ⎟  sau ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝   ⎠  ⎛ a2 + 3 2 a + 2⎞ ⎛ 4 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟. ⎜ a ⎟=⎜ ⎝ 2 + 2 a2 + 3 ⎠ ⎝ 4 4 ⎠ Rezultă că a = 1. 107

⎛ x 11. Fie  A = ⎜ ⎝ z

y ⎞ 

⎟ .

t  ⎠ 

Avem succesiv ⎛ x y⎞⎛ 1 i⎞ ⎛ 1 i⎞⎛ x y⎞ ⎛ 2 4 i⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⇒ ⎝ z t⎠⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 1⎠⎝ z t⎠ ⎝  0 2 ⎠ ⎛ x y+ ix⎞ ⎛ x y+ it⎞ ⎛ 2 4 i⎞ ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟⇒ t   ⎠ ⎝0 2 ⎠ ⎝ z t+ iz⎠ ⎝ z ⎛ 2 x 2 y+ i( x+ t )⎞ ⎛ 2 4 i⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟. 2 + t iz ⎠ ⎝ 0 2 ⎠ ⎝2 z Se obţine x = 1, z = 0, t = 1 şi 2 y+ 2 i = 4 i deci y = i. 12. a) Se ob ţine

1, − 5 4

∆ = 4 x2 + x − 5 şi soluţiile  x ∈

}.

 b) ∆ = x3 +2 x+ 3= ( x+1)( x2 − x+ 3 ), x =−1 . x 1

c) ∆ = 1

x 1− x 1− x

1 x1

=1

1 1  x2

1

1 13. a)

∆=

−x1

0

 x

= ( −x1)2 ⋅ 1

1

0

1

0

 x +1

x2 −1

0

−1 −1

ab

1

0 a− x

b(x − a)

= ( a − x )( b − x ) 0

1

0 b− x

a(x − b)

0

1

x

x

= ( x−1)2 ( x2 +2 x+2 ), x∈{1}

ab

−b = ( a − x )(b − x )(b −a ) . −a

Se obţine x∈{ a, b} . 2 x+ 1

x+ 1

x+ 2

6

3

3

12

6

6

 b) ∆ =

0

c) ∆ = b − x

= 0 , ∀ x ∈ Z .

0

1

b −a

x +a

=

− b2 a2 − b2 b2 = ( b − x )( b − a )( x − a ) . Soluţie x∈{ a, b} . x2

b− x x2

− b2

b−a a2

− b2

= ( b − x )( b − a )

1

− x− b − a− b

14. Se pune condi ţia ca determinantul s ă fie nenul: a) det( A ) = a3 , deci a ∈ Z \{0} .

 b) det( A) = a3 (1 + a)(1 + a2 ) , deci a ∈ Z \{0, \{0, − 1} . 16. det( A) = ( x + m)( x + 2 m) − m(1 − m ) = x

2

+ 3 mx + 3 m2 − m .

Se pune condi ţia ca det( A ) ≠ 0 , ∀x ∈ Z deci ∆ = 9 m2 − 4 ( 3m2 − m ) < 0 .

(3

)

Se obţine m ∈ ( −∞ , 0 ) ∪ 4 , + ∞ . 108

1

=

− 17. Avem  A

18.

1

⎛ 2 −1⎞  =⎜ , iar  ( A4 )−1 = ( A−1 ) 4 . ⎟  ⎝ −1 1 ⎠ 

−1 ⎛ ⎞ ⎛ 3 2⎞−1 −1 −1 ⎛ 3 ⎡ ⎤ 3 2 −1 −1 B =⎢ A ⎜ ⎟⎥ =⎜ ⎟ ( A ) =⎜ ⎣ ⎝ 2 1⎠⎦ ⎝ 2 1⎠ ⎝2 ⎛−1 2 ⎞⎛1 2⎞ ⎛ 1 0⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ 2 −3⎠⎝1 1⎠ ⎝−1 1⎠

⎛1 ⎜ 19. a)  A = 2 ⎜ ⎜1 ⎝

3 1 1

−1

2⎞

⎟

1⎠

⎛−1 2 ⎞ A =⎜ ⎟⋅ A= ⎝ 2 −3⎠

−1 ⎞  −4 ⎟  det( A ) = 1 deci sistemul este un sistem Cramer. ⎟ , de −2 ⎟  ⎠ 

Se obţine x = 1, y = 1, z = 1.

⎛1  b)  A = ⎜⎜ 2 ⎜4 ⎝

1 1 1

⎞  −3 ⎟  ⎟ , det( A ) = −6 . deci sistemul este un sistem de tip Cramer. −5 ⎟  ⎠  1

Se obţine x = 0, y = 1, z = 0.

⎛1 1 ⎜2 1 c)  A = ⎜ ⎜3 1 ⎜ 1 −1 ⎝

1 ⎞ 

⎟  ⎟ . Deoarece ∆ = 4 ⎟  ⎟  3 ⎠  2

1 1 1 2 1 2

= −1 rezultă că rang( A  A) = 3.

3 1 4

Primele 3 ecua ţii sunt ecua ţii principale, iar  x,  x, y, z necunoscute principale.

Sistemul principal are solu ţia  x = 4,  y = 1,  z  = –3 care nu verific ă ecuaţia a patra. A şadar  sistemul este incompatibil. Altfel, se arat ă că rang ( A ) = 4 ≠ rang ( A ) .

⎛ 2 ⎜ m 20.  A = ⎜ ⎜ 2m −1 ⎝

⎞  ⎟  1 −2 . Sistemul este nedeterminat dac ă det( A  A) = 0. Se ob ţine m = 3. ⎟  2 1 ⎟  ⎠  Pentru m = 3 se pune condi ţie ca rang ( A ) = rang ( A ) = 2 . ⎛ 2 1 3 1 ⎞  Se obţine că  A = ⎜⎜ 3 1 −2 1 ⎟  ⎟ . ⎜ 5 2 1 n ⎟  ⎝ ⎠  1

3

2

1

1

Punem condi ţia ca 3 1 1 = 0 . Se ob ţine n = 2 şi α = 9 + 4 = 13 . 5

2

n

109

⎛ 1 −m ⎜ 1 −2 21.  A = ⎜ ⎜ m m2 ⎜⎜ ⎝ 2m 0

⎞  ⎟  1 ⎟ . Calculând determinan ţii de ordinul 3 se ob ţin rezultatele: −1 ⎟  ⎟  m + 1⎟  ⎠  ∆1 = ( m + 1)( m − 2 ) , ∆2 = − ( m − 1)( m − 2 ) , ∆3 = 4 m2 . 1

Se observ ă că nu pot fi nuli to ţi cei 3 determinan ţi deci rang( A) = 3.

⎛ 1 −m ⎜ 1 −2  A = ⎜ ⎜ m m2 ⎜⎜ ⎝ 2m 0

⎞  ⎟  m−2 ⎟ . 2 ⎟  2m ⎟  2 ⎟  2 m ⎠  0

1

−1 m +1 1

0

1

−m −2

1

m−2

m

m2

2 m2

2m

0

−1 m +1

1 det( A ) =

1

.

2 m2

Înmulţim cu m prima coloan ă şi adunăm rezultatul la a doua coloan ă. Rezultă:

det( A ) =

1

0

1

0

1

m−2

1

m−2

m

2 m2

2 m2

2m

2 m2

−1 m +1

=0

2 m2

deoarece exist ă două coloane egale. Aşadar  rang ( A ) = 3 = rang ( A ) deci sistemul este compatibil pentru oricare m ∈ Z . R ăspuns corect c)  A = ∅ .

110

PARTEA a II-a ELEMENTE DE ANALIZ~ MATEMATIC~

Ø

Capitolul 1. Limite de func\ii Ø 1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real` Ø 1.4. Calculul limitelor de func\ii Ø 1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice Ø 1.5. Opera\ii cu limite de func\ii Ø 1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor de func\ii Ø 1.6.4. Limite fundamentale [n calculullimitelor de func\ii Ø 1.7 Asimptotele func\iilor reale Ø

Ø

Capitolul 2. Func\ii continue Ø 2.1. Func\ii continue [ntr-un punct Ø 2.2. Opera\ii cu func\ii continue Ø 2.3. Semnul unei func\ii continue pe un interval Ø

Ø

Teste de evaluare

Capitolul 3. Func\ii derivabile Ø 3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct Ø 3.2. Derivatele unor func\ii elementare Ø 3.3. Opera\ii cu func\ii derivabile Ø 3.3.5 Derivarea func\iilor inverse Ø 3.4. Derivata de ordinul doi Ø 3.5 Regulire lui l'Hôspital Ø

Ø

Teste de evaluare

Teste de evaluare

Capitolul 4. Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor Ø 4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor  Ø 4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor  Ø 4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor  Ø

Teste de evaluare

Probleme recapitulative

111

PARTEA a II-a. Elemente de analiz` matematic` Capitolul 1. Limite de func\ii 1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real`  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 113 manual

 E  xersare

E1. S` se determine mul\imile de minoran\i ]i majoran\i pentru mul\imile: a)  A = (-3, 5] ; b)  A = (-2, 3) ; c)  A = [-5, 4] ; d)  A = (-2, 1) U (3, 5) ; e)  A = (1, 5] U[ 6, 11] ; f)  A = [-1, 1) U{3}. E2. S` se determine mul\imea minoran\ilor ]i mul\imea majoran\ilor pentru mul\imile:

{ } c) A={ xÎ R x- 3T2}; e)  A = {x Î (0, ¥) 2 T 0, 25};

b) A= x Î R x2 - 3 xT 0 ;

g) A= { xÎ R log 2 ( x-1)T2};

h) A= { xÎ R log 2 ( x-1)T log 4 (3- x)}.

a) A= x Î R x2 - 3 x= 0 ;

x-3

{

}

{

}

d) A= xÎ R x- 3 T 1 ;

{

}

f)  A = x Î R 0, 12 125T 4 x T 0, 25 25 ;

E3. S` se arate c` urm`toarele mul\imi sunt mul\imi m`rginite:

ì 2n ü n Î N ý; b)  A = í î n +1 þ ì ü 48 í Î N ý; d)  A = n Î N n + 1 î þ ì x +1 ü  x Î R ý. f)  A = í 2 î x + x +1 þ

a) A= {sin x xÎ R }; c) A=

{

n+1 -

n nÎ N

};

ì 2 ü  x Î R ý ; e)  A = í 2 î x +1 þ

mul\imil e: E4. S` se scrie cu ajutorul intervalelor mul\imile:

{ A= { xÎ R

}

{

a) A= xÎ R x T 3 ; c)

};

x- 2 U1

ì ü x -1 e)  A = íx Î R 2 U 0ý ; î þ  x - 4

{

}

b) A= xÎ R x-1 T2 ; ì 1 ü d)  A = íx Î R T1ý;  x þ î ì ï ï x 2 -4 ü f)  A = íx Î R 2 T1ý; ï  x - 9 ï î þ

}

g)  A = x Î R 2 x+1T16 x × (0,25) x+1 ;

{ xÎ R

h) A=

}.

x- 3T x- 3

E5. S` se precizeze care dintre mul\imile urm`toare sunt vecin`t`\i ale num`rului  x 0 = 0, respectiv x 1 =- 1;

a) V 1 = (-5, 7) ; d) V 4 = (-1, ¥) ; g) V 7 = Q ;

b) V 2 = (-1, 0) ; e) V 5 = N; h) V 8 = R ;

c) V 3 = (0, ¥) ; f) V 6 = Z ; i) V 9 = R \ {0} . 112

E6. S` se precizeze care dintre mul\imile urm`toare sunt vecin`t`\i pentru +¥ : a) V 1 = (-6, ¥) ;

b) V 2 = (100, ¥) ;

c) V 3 = ( 2, ¥) ;

d) V 4 = (-¥, 10) ;

e) V 5 = Z ;

f) V 6 = Q ;

g) V 7 = R \ Q ;

h) V 8 = R \ Q ;

i) V 9 = R ;

E7. S` se determine punctele de acumulare [n R pentru mul\imile: a)  A = [ 0, 3) ; b)  A = {0, 3} ; c)  A = (-¥, 3); ); d)  A = (-2, 2) U (3, 5) ; e)  A = N \ {0, 1} ;

f)  A = (1, 2) U{5} .

E8. S` se demonstreze c` urm`toarele mul\imi sunt nem`rginite (inferior sau superior): a)  A = (-¥, 3] ; b)  A = (-1, ¥) ;

{

}

{

x-1 U2

c) A= (-1) n n nÎ N ; e) A= xÎ R

};

ì1 ü d)  A = í  x Î (0 , 1)ý ; î x þ ì x -1 ü  x Î (2, ¥)ý ; f)  A = í î x - 2 þ

x. g) A= { xÎ N 7 di divide }

113

1.4. Calculul limitelor de func\ii  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 134 manual

 E  xersare

E1. S` se calculeze limitele: b) lim 5 3 ;

a) lim 3;  x® 3

c) lim 3 3 ;

 x® 0

 x®

d) lim (2 x +1) ;  x® 2

2

æ  x ö e) limç- +1÷; f) lim (3 x 2 - x + 2 ) ; g) lim (5 3 +1) ; h) lim ln 3.  x® pè p  x®1  x®+¥  x®-1 ø E2. S` se calculeze: a) lim ( x +1) 2 +1 ; b) lim 2 x + (x -1) 2 ; c) lim ( x 2 - 3) ; d) d) lim (-3 x + 2 + x 2 ) ;

[

]

 x®1

[

 x®¥

]

e) lim (-5 x - 7x 2 ) ; f) lim (  x ) ;

g) lim lo log 3 x ;

 x® 9

 x®+¥

 x®-¥  x® 0  x>0

 x®-¥

h) lim log 0,3 x .  x® 0  x>0

E3. S` se calculeze: æ 1 ö x a) lim (2 ) ; b) lim 3 ; c) lim lo log 5 2 ; d) lim lo log 3ç ÷ .  x®1  x® 0  x® 5  x®-¥ è 3ø E4. S` se studieze existen\a limitei func\iei f [n punctele specificate: ì2 x 2 + 3, xT1 a) f:R ® R, f( x) = í ,  x 0 Î {1, 2} ; î5 x -1, x > 0 ì x + 3, x Î (0, 1)  b) f : D ® R, f ( x ) = í  x ,  x 0 Î {1, 0, +¥} . î4 ,  x Î (1, +¥) log2 x

log3 ( x 2+1)

 x

intez`  S intez`

S1. S` se determine parametrii reali pentru care: a) lim[ (a -1) x + 3]= 6 ; b) lim (5 + 6ax ) = 23;  x®1

 x® 3

c) lim (ax + 3x - 3) = 5 ;

d) lim  x = 3;

e) lim (a 2 x 2 + 2ax +11) = a +14 ;

f) lim 3  x = 3;

g) lim  x = a -1;

h) lim 2 ax = 16 .

 x® a

 x®1

 x® a-1

 x® a

 x® a+1  x® a

S2. S` se studieze existen\a limitei func\iei  f :D ® R pe domeniul de defini\ie: ì æ 1ö ïlog2 x , x Îç 0, ÷ è 2ø ï a) f:(0, 1) ® R, f( x) = í ; ö é 1 ï 2 x - 2 , x Îê , 1÷ ï ë2 ø î ì2 x ,  x Î (0, 1) ï  b) f:(0, 2) È {3} ® R, f( x) = ílog2 x, xÎ [1, 2] . ï  x = 3 î0 , 114

S3. S` se determine constantele reale pentru care func\ia f are limit` [n punctele specificate: a) f:R ® R,  b) f:R ® R,

c) f:R ® R,

d) f:R ® R,

ì ïax 2 + (a + 2) x , xT1 f( x) = í ,  x 0 = 1; 3 ï x >1 î  x , ì( x +)a2 + (x -1) 2 , Tx1 f( x) = í ,  x 0 = 1; î( x-1+ a) ( x+ 4- a) , x > 1 ìa x + b, xT2 ï f( x) = ílog 2 x , x Î (2, 4) ,  x 0 Î {2 , 4} ; ï 2 îax + bx + 6 ,  xU4 ì2 a x ,  xT1 ï ï f( x) = í4 bx , xÎ (1, 3) , x0 Î {1, 3} . ï (a+2 )x ï ,  xU3 î8

S4. S` se studieze existen\a limitei func\iei  f :D ® R [n punctele specificate: a) f :R ® R, f ( x) = x , x0 Î {- 1, 0, 1} ;  b) f:R ® R, f ( x) = x- 3 , x0 Î {0, 3, 4} ; c) f :R ® R, f ( x) = x- 3+ x , x0 Î {- 5, 3, 5} ; ì ï x ,  xT1 R R f ® f x = d) : , ( ) í ,  x 0 Î {0, 1} ; ï î  x , x > 1 ì x 2 -1, xT2 ï e) f:R ® R, f( x) = í ,  x 0 Î {-1, 1, 2} . 2 ï î  x +1, x > 2

115

1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 140 manual

 E  xersare

E1. S` se calculeze: a) lim sin x ;  p  x® 6

e) lim sin x ;  x® p  x< p

b) lim cos x ;

c) lim sin x ;

 p  x® 6

d) lim cos x ;

 p  x®4

f) lim cos x ;

 p 6

 x®-

g) lim sin x ;

h) lim cos x .

 x® 2 p  x>2 p

 x® p  x> p

 x®- p  x<- p

E2. S` se calculeze: a) lim tg x ;  p  x® 3

 b) lim tg x ;

d) lim tg x ;

f) lim ctg x ;

i) lim ctg x ;

j) lim ctg x .

 x® p  x> p

 x® p  x< p

c) lim tg x ;

 p  x®3

d) lim tg x ;

 p  x®4

 p 2  p h) x>li2m 3 p  x® 2  x®

g) lim ctg x ;

 p  x® 2

 p  x®4

 x® 2 p  x>2 p

E3. S` se calculeze: a) lim arcsin x ; 1  x®2

d) lim arcsin x ; 3  x®2

b) lim arccos x ; 1  x®2

c) lim arccos x ;  x®-

e) lim arccos x ; 2  x®2

3 2

f) lim arcsin x .  x®

2 2

E4. S` se calculeze: a) lim arctg x ; 3  x® 3

d) lim arcctg x ; 3  x®3

b) lim arcctg x ; 3  x® 3

 x®-

e) lim arctg x ;  x®-

c) lim arctg x ;

3

3 3

f) lim arctg x .  x®  x>

3 3

intez`  S intez`

S1. S` se determine valorile parametrului a Î R pentru care au loc egalit`\ile: p a) lim arcsin x = ;  x® a 2 p d) lim arcsin x = ;  x® a 4

p c) lim arctg x = ;  x® a  x® a 4 p e) lim arccos x = p ; f) lim arctg x =- .  x® a  x® a 4

b) lim arccos x =;0

S2. S` se studieze existen\a limitei func\iei  f :D ® R [n punctele specificate: ìsin x , xT0 a) f:R ® R , f( x) = í 2 ,  x 0 Î {0, -¥, +¥} ; î x , x > 0 ìsin x , xT p í  b) f:R ® R , f( x) = ,  x 0 Î {0,  p, 2p} ; 2 î3( x - p ) , x > p 116

ctg x ;

ìarccos x , x Î [-1, 0) ï c) :f[-1, 1] ® R , f( x) = í 2 ,  x 0 Î {-1, 0,1} ; p [ ] ï x + 2 x+ , xÎ 0, 1 î 2 ìarctg x , xT0 ï d) f:R ® R , f( x) = íarcsin x , x Î (0, 1) ,  x 0 Î {-¥, 0, 1, +¥} . ï îarcctg x , x Î [1, +¥)

S3. S` se determine valorile parametrilor reali, pentru care func\ia  f :D ® R are limit` pe domeniul de defini\ie.

ìsin x , xT0 ï a) f:R ® R , f( x) = íax + b , x Î (0, 1) ï îarctg x , xU1 ìa, x Î [-2, -1) ï  b) :f[-2, 2] ® R , f( x) = íarcsin x , x Î [-1, 1] ; ï x Î (1, 2] îb,

S4. S` se studieze existen\a limitei func\iei  f :D ® R [n punctele specificate: a) f:R ® R , f ( x) = sin x , x0 Î {- 1, 0, 1} ; ì p é  p ù  b) f:ê- ,  p ú® R , f( x) = sin x , x0 Î í- , 0, ë 2 û î 2 ì  p pü c) f:R ® R , f ( x) = - cos x , x0 Î í- , 0, ý; î 2 2þ d) f:R ® R , f ( x) = arctg x , x0 Î {-1, 0, 1} .

117

pü ý; 2þ

1.5. Opera\ii cu limite de func\ii  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 151 manual

 E  xersare

E1. S` se calculeze: a) lim x2 - 3 x+ x ;

æ xö b) limç2 x -1+ ln ÷;  x® 3è 3ø

c) lim (sin x + 3 cos x ) ;

d) lim 2 x+ 3 x- 4 x ;

 x

( ®4

)

( f) lim (2 ®-1  x®1

 x® p

e) lim (3 x2 - 27 x+ log 3 x) ;

 x

 x® 9

 x

E2. S` se calculeze:

( ®1

)(x 2 - 3);

a) lim  x 2 - 2  x

( ®1

)

b) lim  x 2 log 3 x ;  x

+ 3x

) - 3  x ).

( ®0

c) lim  x 2 + 2 x  x

)3 x ;

æ 2 x 3x ö × ÷ d) limç ; e) lim(2 x +1)( 3  x + x ) ; f) lim (1- cos x ) (1+ sin x ) . ç ÷  x® 3è 8  x® 0  x® 2 p 27 ø

E3. S` se calculeze:  x -1

a) lim

 x®1 x 2

3

d) lim  x®1

;

+ x +1

 x + x

;

2 +  x

 x 2 + 4x -10

b) lim  x® 2

2 x - 3

;

sin x + tg x ;  x® p sin x + 2

e) lim

sin x + cos x ;  x® 0 1+ sin x + x  x>0

c) lim

arcsin x + arccos x .  x®1 p + arctg x

f) lim

E4. S` se calculeze: a) lim ( x +1)  x®1

 x

;

c) lim  x 2 + x -1

e) lim (sin x + tg x ) p+ x ;

f) lim (arctg x )

 x® 0  x>0

d) lim (1+ sin x ) cos x ;  x® p

) +1 ;

( ®2

b) lim (sin x )1+ x ;

 x

 x® p  x> p

 x®1

 x

 x

.

intez`  S intez`

S1. S` se calculeze:

( ®1

a) lim  x + 3 x  x

)2 ;

( ®0

b) lim 2  x - 33 x  x

)4 ;

c) lim (s (sin x + cos x ) 2 ;  x® 2 p

æ 2x +1 ö ç ÷; f) lim(2 x - 3x +1) x ; d) lim (sin x tg x ) ; e) lim  x x + 2  x® 0  x®1è  x®1  x - x +1ø arctg x arccos x g) lim (2 arcsin x + arccos x ) x ; h) lim ; i) lim . 1  x® 0 1+ arcsin x  x® 3 arcctg x  x®  x+1

2

118

S2. S` se determine constantele reale pentru care au loc egalit`\ile: a) lim

a p + arcsin x

 p + arccos x  x + 2x = 1; c) lim  x® a 2 +  x  x®1

= 2;

( x +1) 2 + (x - 2) 2 = 1; b) lim  x®-1 a+ 3 x 2 x + 4 x 3 = d) lim  x .  x® a 2×2 + 3× 4 x 8

S3. S` se studieze existen\a limitelor func\iei  f :D ® R [n punctele specificate: ì æ  p ö ï x tg x, x Îç 0, ÷ ì  p ü ï è 2ø a)  f (x ) = í ,  x 0 Î í0, ý; ö î 2þ é p ï ÷  x x Î +¥ s i n , , ê ï ë2 ø î ì ï( x-1) x, x Î (0, 1)  b)  f (x ) = í ,  x 0 Î {0, 1} ; 3 ) ( ] [ ) ( Î ¥ È + ¥  x x 1 , , 0 1 , ï î ìæ  x -1 ö3 ÷ ,  x Î (-¥, 0] ïç 2 c)  f (x ) = íè x + x +1ø ,  x 0 = 0 . ï î(-1+ sin x ) 3 , x Î (0, +¥ )

S4. S` se calculeze: a) lim(sin x )3 x -1 ;  x®1

c) lim (2 x -1) lg ( x + 8 ) ;  x® 2

e) lim

e x+1

; 1+ 2 x+1 arcsin ( x sin x ) g) lim ;  x® 0 1+ sin (arccos x )  x®-1

 x

(

 x®¥

 x

3

d) lim  x®1

7 x + x

); 5

 x + 2 + 3 x + 6

f) lim  x® 2

 x

2

3

+12 - 10 - x

;

h) lim log 2 (2 + log 3 ( x + 9 )) .  x® 0

S5. S` se calculeze: é1ù a) lim x 2ê 2 ú; ë x û  x® 0 cos x + x d) lim ; 2

)2 ;

( ®0

b) lim x2 + xln( x+1)

b) lim

[ x ]

 x®¥

e) lim

 x

;

 x cos x

 x®¥  x 2

+1

119

c) lim

 x®¥

;

f) lim

 x®¥

sin x  x 2

;

[ x ] +[ 3x ]  x

.

1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor de func\ii  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 160 manual

 E  xersare

E1. S` se calculeze:  x

a) lim

+1

 x® 2 x

 x 2 + x +1

;

b) lim

3 x +1

 x® 0

2 x 2 c) lim ;  x® 2 3 x + x 2 +1

;

3 x + 2 .  x®-1 4 x 2 - 3

d) lim

E2. S` se calculeze: a) lim

2

 x® 0 x  x>0

;

b) lim

 x®-1  x>-1

2 x d) lim 2 ;  x® 4 x -16  x>4

 x

2 x + 2

3 x +1 ;  x®1 x 2 -1  x<1

;

c) lim

2 x 2 + 3x - 4 e) lim 2 ;  x®1  x - 3x + 2  x<1

5 x 2 -19 f) lim 2 .  x®-2 x + 3x + 2  x>-2

2 ;  x®-1 (x +1) 2 3 x +11 e) lim 2 ;  x® 0 x (x +1)

3 x - 4 ;  x® 2 x 2 - 4x + 4 4 x + 3 f) lim .  x®-1 1+ 2 x + x 2

E3. S` se calculeze: 1 ;  x®1 (x -1) 2 6 x d) lim 2 ;  x® 3 - x + 6x - 9 a) lim

b) lim

c) lim

E4. S` se calculeze: 4 x - 4 a) lim 2 ;  x®1 9 x - 9  x 2 - 3x d) lim 2 ;  x® 3 x - 7x +12

b) lim

 x 2 -1

 x®-1 x 2

+ 3x + 2 ( x - 2) 2 e) lim 2 ;  x® 2  x - 2x

;

c) lim

 x 2 - 4

; - 3x + 2  x 2 + 4x + 4 f) lim .  x®-2 2 x 2 + 4x  x® 2 x 2

E5. S` se calculeze: 2 x + 3 4 - x 2 a) lim ; b) lim 2 ;  x®¥ - x + 4  x®+¥ 2 x + x +1 2 - x 2 3 x 2 + 6x + 3 d) lim 2 ; e) lim ;  x®-¥ 3 x + 4x +11  x®+¥ 2 x +1 3 x - 2 2 x g) lim h) ; lim .  x®+¥ 4 x 2 + 6x +1  x®¥ ( x 2 +1) (x -1) 2

-2 x +11 ;  x®-¥ 6 x -11 6 x 2 - 3x +11 f) lim ;  x®-¥ 2 x + 6 c) l i m

E6. S` se calculeze: 2  x +1 a) lim ;  x®¥ 3+ x 3

d) lim

 x®¥

g) lim

 x + x

2 x + 3

 x®-¥

;

3 x -1 2

9 x - x + 7

b) lim

 x®-¥

e) lim

 x®¥

;

 x 2 + x 2

;

4 x + 3  x 2 +1 + 2x 2

c) lim

 x®¥

;

f) lim

 x®¥

 x + x

3 x + 2 x +1

 x + 2 x +1

3  x -1 + 4x +1

2  x -1 + x 2 x 2 - 3x + 5 h) lim .  x®-¥ 3 x - 4

120

; ;

intez`  S intez`

S1. S` se calculeze: ( x +1) 2 + (x -1) 2 - 4 a) lim ;  x®1  x 2 -1 (2 x -1) 2 + (x -1)2 -10 10 c) lim ;  x® 2 ( x - 2) 2 + (x -1) 2 -1 ( x- 2) 2 - ( x-1) 2 + x2 -2 e) lim ;  x®1 2 x 2 - 3x +1

3

( x +1) 3 - x -1 - 8 b) lim ;  x®1  x 2 - 3x + 2  x 2 - 9 d) lim ;  x® 3 ( x - 3) 2 + x 2 - 9 ( x -1) 2 + (x +1) 2 - 4 f) lim .  x®-1 4 x 2 - (x + 3) 2

S2. S` se determine limitele func\iei  f :D ® R [n punctele specificate: ì  x -1 ì x -1 ,  x Î (-¥, 1) , ( , 2 ) x Î -¥ ï 2 ï ï x - 2 ï2 x - x - 2 , x 0 = 2 ; b)  f (x ) = í 2 , x 0 =1 . a)  f (x ) = í 2 ï - x ,  x Î (2, +¥ ) ï x - 4x + 3 , x Î (1, +¥ ) ï ï î x 2- 4 ( -1) î 9 x

S3. S` se studieze constantele reale pentru func\ia  f :D ® R are limit` finit` [n punctele specificate:

2x + a a)  f (x ) = ,  x 0 = 1;  x -1 (x - a) 2 - 4 c)  f (x ) = ,  x 0 = 1;  x 2 -1

3x + ax 2 b)  f (x ) = ,  x 0 = 3;  x - 3 x - a 2 2 x + a 2 + 2 d)  f (x ) = ,  x 0 = 1.  x -1  x -1

S4. S` se calculeze limitele de func\ii:

æ  x 2 -1 æ  x - 2  x 2 - 6x + 8 ö 6 x 2 - x - 5 ö ç ÷ ç ÷; + 2 - 2 a) limç 2 ; b) limç 2 ÷ ÷  x®1è 2 x - 5x + 3  x® 2è 5 x - 4x -12  x -16 ø 4 x - 3x -1ø æ ( x +1) 2 + x 2 -1 ( x -1) 2 + 3x -1ö ÷. + c) limç ç ÷ 2 2  x®-1è  x + 3x + 2 2 x + 3x +1 ø

S5. S` se calculeze:

æ 2 x +1 ö  x ç ÷; × a) limç 2 ÷  x®¥è 3 x + 4x +1  x 2 +1 ø æ 3 x 2 + 4x ö ç ÷ c) limç ÷; 2  x®¥ è ( x +1) x +1 ø

æ 4 x 2 + 3  x + x ö ÷; × b) limç ç ÷ 2  x®¥è 2 x + 6x +1  x 2 + 4 ø d) lim

 x®-¥

121

3 x 2 + 4x 2

( x +1) x +1

.

1.6.4. Limite fundamentale [n calculul limitelor de func\ii  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 167 manual

 E  xersare

E1. S` se calculeze: sin (5 x ) sin(6 x ) sin (2 x 2 ) sin (2 x ) a) lim ; b) lim ; c) lim ; d) lim ;  x® 0  x® 0 ( x +1)  x® 0  x® 0 sin (4 x ) 6 x 3 x 2 sin ( x 2 -1) sin ( x - 2) sin (1- x 2 ) sin (3 x - 3) e) lim ; f) lim 2 ; g) lim ; h) lim .  x®1  x® 2  x - 4  x®-1  x®1 sin ( x 2 -1)  x -1 2 x + 2

E2. S` se calculeze: tg 2 x ;  x® 0 3 x

a) lim

sin ( x - p ) ;  x® p tg ( x - p )

d) lim

tg ( x -1) p ;  x®1 ( x 2 -1) tg ( x 2 -1) e) lim ;  x®1 sin ( x 2 - x )

tg (3 x - 9) ;  x® 3  x 2 - 9 tg ( x -1) 2 f) lim ;  x®1 ( x -1) sin (x 2 -1)

b) lim

c) lim

E3. S` se calculeze: arcsin (3 x ) a) lim ;  x® 0 5 x arcsin (5 x ) d) lim ;  x® 0 sin (10 x )

arcsin ( x 2 ) b) lim 2 ;  x® 0  x + x 3 æ  p ö arctgç x - ÷ è 4ø e) lim ;  p 16 x 2 - p 2  x®

arcsin(10 x ) ;  x® 0 arcsin (5 x )

c) lim

arctg (9 x 2 -1) f) lim . 1 arcsin(3 x +1)  x®-

4

3

E4. S` se calculeze: ln (1+ x 2 ) a) lim ;  x® 0 5 x 2 6 x d) lim ;  x® 0 ln (1+ 8 x )

ln (1+ 6 x ) b) lim ;  x® 0 8 x ln (1+ 3  x ) e) lim 3 ;  x® 0 5 x

ln (1+ 5 x 2 ) c) lim 2 ;  x® 0  x + x 3 ln (1+ x 2 ) f) lim .  x® 0 ln (1+ 3 x 2 )

E5. S` se calculeze: 3 x -1 a) lim ;  x® 0 6 x 2 x+1 - 8 d) lim ;  x® 2  x - 2

2

3 x -1 b) lim 2 ;  x® 0 x + x 3 2 x - 3x e) lim ;  x® 0

8 x - 8 c) lim ;  x®1  x -1 3 x - 2 x f) lim  x .  x® 0 2 -1

 x

intez`  S intez`

S1. S` se calculeze: sin x + sin 9x sin 2 x+ 3sin 5 x+ x sin(tg x ) c) ; b) lim ; lim ;  x® 0  x® 0  x® 0  x 3 x  x + x 2 tg (sin x ) sin ( x 2 - 4x + 3) tg ( x 2 + x - 2) d) lim ; e) lim ; f) lim ;  x® 0  x®1 sin (3 x - 4x +1)  x®-2 tg ( x 2 + 5x + 6 ) 2 x a) lim

122

( ) g) lim ; ®-1 arcsin ( x 2 + x )

( ) h) lim . ®1 arcsin ( x 2 + 4x - 5)

arcsin  x 2 -1

arctg  x 2 - 6x + 5

 x

 x

S2. S` se calculeze: a) lim  x® 0

c) lim  x® 0

1- cos 2 x

cos 4 x - cos 2x ;  x® 0 sin 5 x sin 3x tg (arcsin x ) d) lim .  x® 0 sin (arctg x )

;

 x 2 sin 3 x - 5 sin x

sin 4 x - 2 sin 3x

b) lim ;

S3. S` se calculeze: ln (2 - 3 x ) b) lim ;  x® 0 sin x  x ln (1+ ln (x +1)) d) lim .  x® 0 ln (1+ ln ( x 2 +1))

ln (1+ sin 3 x ) a) lim ;  x® 0 sin 5 x ln (1+ x sin x ) c) lim ;  x® 0 ln (1+ x sin 5x )

S4. S` se calculeze valoarea expresiei  E =

a2 - b2 a2 + b

tg ax - sin ax 1 = .  x® 0 tg bx - sin bx 8

, dac` lim 2

sin x+ 2 sin 2 x+...+ nsin nx = 14 ?  x® 0  x + x 2

S5. Pentru care valori ale lui n Î N* , lim

S6. S` se determine constantele reale pentru care au loc egalit`\ile: æ x 2 + x +1 ö ç - ax ÷ a) lim ç ÷= 3+ b ;  x®+¥è  x + 2 ø 3 c) lim x2 + x- ax- b = ;  x®¥ 2 a ln (4 - x ) 2 x - 8 = lim 2 e) lim ;  x® 3 x® 3 x - 9  x - 3

(

)

æ 2 x2 + 3 x+ a ö ç - bx ÷ b) limç ÷= a ;  x®¥è  x -1 ø sin xa = 2; d) lim  x® 0 ( x + 2) sin 3x 2 x+2 -16 2 =  x a f) lim  x l i m .  x® 2 4 - 2 4  x®1

123

1.7 Asimptotele func\iilor reale  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 176 manual

 E  xersare

E1. S` se determine asimptotele orizontale ale func\iei  f :D ® Z, [n cazurile: 1 a)  f (x ) = ;

1 ;  x - 3

b)  f (x ) =

 x

d)  f (x ) =

3x ; 2 x -1

e)  f (x ) =

x

c)  f (x ) =

x

; 4 - x 2x f)  f (x ) = ; 3 x + 5

;

 x 2 +1

 x x 3x 2 -1 g)  f (x ) = ; h)  f (x ) = 2 ; i)  f (x ) = 2 . 2 x +1  x + x +  x + x + 2 1 1 E2. S` se determine asimptotele verticale ale func\iei  f :D ® Z, [n cazurile: x 1 1 =  f x a)  f (x ) = ; b)  f (x ) = ; c) ( ) ; 2 2  x -1  x ( x 1) 1 x 2 +1 x 2 + x +1 d)  f (x ) = 2 ; e)  f (x ) = 2 ; f) f( x) = ln ( x+1);  x - 4  x - 3x + 2 1 2 g)  f (x ) = ; h)  f (x ) =  x .  x +1 2 -1 E3. S` se determine asimptotele oblice ale func\iei  f :D ® Z, [n cazurile: x2 2x 2 + x 1- x 2 a)  f (x ) = ; b)  f (x ) = ; c)  f (x ) = ;  x - 2  x -1 2 + x  x 2 + 2 x  x 2 - 2 x x x d)  f (x ) = ; e)  f (x ) = ; f)  f (x ) = .  x -1 2 x -1 1+  x x

intez`  S intez`

S1. S` se determine asimptotele func\iiilor  f :D ® Z, [n cazurile: x

a)  f (x ) =

( x -1)(x - 3) 1+ x d)  f (x ) = ;  x -1 g)  f (x ) =

x2

 x 2 - x

;

;

 x x

b)  f (x ) =

;

c)  f (x ) =

 x 2 -1

e)  f (x ) = h)  f (x ) =

x2  x 2 -1 x3

;

f)  f (x ) =

.

 x 2 -1

S2. S` se determine asimptotele func\iilor  f :D ® Z, [n cazurile: 1

a) f ( x) = x×2 x ;

æ 1ö c) f ( x) = ( x-1) lnç1+ ÷; è  x ø

æ 1ö b) f ( x ) = x lnç e+ ÷; è  x ø d)  f (x ) =

124

x 3 +1  x -1

.

x2

( x -1)(x - 5) x2  x -1

;

;

S3. S` se determine parametrii reali pentru func\ia  f :D ® Z, singur` asimptot` vertical`.

x 2 -1

 f (x ) = 2 x - ax+ a+1

are o

S4. S` se determine parametrii reali pentru care func\ia  f :D ® Z, admite asimptota indicat`: a)  f (x ) =

ax 2 + 2a + bx  x -1

, y = a2 x + 2; b)  f (x ) =

(x + a)(x + a +1) , y= x- a+ 3.  x + a + 2

pag. 177 manual

Teste de evaluare Testul 1  x 2 - 6x + 9

1. Dac` l 1 = lim

 x® 3

a) 1;

 x 2 - 9

b) 3;

,

l2

= lim

 x 2 + 3

, atunci l 1 + l 2 este egal cu: -3 d) -¥

 x®¥ x 2

c) +¥;

2. S` se calculeze: sin( x 2 - 5x + 4) a) lim ;  x®1 sin( x -1) *

3. Fie f:Z ® Z, f( x) = atunci a) a + b = 3;

b) lim

 x®¥

 x 2 + 3x

2 x +1

.

x 2 + ax + 3  x

b) a×b = 3;

. Dac` dreapta y= bx+ 2 este asimptot` a func\iei  f ,

c) 2a + b = 3; d) a 2 + b 2 = 3.

Testul 2 1. S` se calculeze limitele de func\ii: a) lim

 x arcsin x

; sin x arctg x 3 x - a x = 1, atunci: 2. Dac` l 1 = lim  x® 0

 x® 0

b) lim

 x®-¥

 x 2 + x +1

3 x -1

.

 x

c) a = 3×e-1; d) a = 1. ax 2 +1 are o singur` asimptot` dac`: 3. Func\ia f : D ® Z, f ( x ) = 2 x + 2 bx+1 a) a = b = 0; b) a = b = 1; c) a Î Z, b Î (-1, 1); d) b Î Z, a = 7. a) a = 2;

b) a = 4;

125

Testul 3 3 x 2 - 4x - 4 ; 1. S` se calculeze: a) lim 2  x® 2  x - 4

2. S` se determine a ÎZ pentru care lim  x® a

(2 x - 3x ) 2 b) lim .  x® 0  x sin x  x 2 - a 2  x - a

= 4.

asi mptot` a 3. S` se determine valorile parametrului real a ]tiind c` dreapta y= ax+ a+1 este asimptot` func\iei f :Z ® Z, f ( x) = x2 + a2 c` 2 f ( x ) + 3 f (-x ) = x 2 -1, " x Î Z, are limit` 4. S` se studieze dac` func\ia  f :Z ® Z, cu proprietatea c`2 [n oricare punct x 0 Î Z.

Testul 4 ìx 3 + a 3 , x £ a . S` se determine a ÎZ pentru care 1. Se consider` func\ia f:Z ® Z, f( x) = í î x+1, x> a func\ia f are limit` [n oricare x 0 ÎZ. ì x2 + ax+ 3, x£ 1 ï . 2. Se consider` func\ia f:Z ® Z, f( x) = í 3 x + b ,  x > 1 ï 2 î x + 2 f ( x) - f ( 1) S` se determine a, b ÎZ astfel [nc@t f s` aib` limit` [n x = 1 ]i s` existe lim .  x®1  x -1 ax+ bx2 + cx-1, a, bÎ (0,+¥ ), cÎ Z. S` se deter- mine parametrii a, b, c astfel [nc@t dreapta  y = 2x +1 s` fie asimptot` oblic` spre +¥, iar  y  y =- 1 s` fie asimptot`

3. Fie f : D® Z, f( x) = spre -¥.

126

Capitolul 2. Limite de func\ii 2.1. Func\ii continue [ntr-un punct  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 183 manual

 E  xersare

E1. S` se studieze continuitatea func\iei  f :D ® Z [n punctele specificate: a) f ( x ) = x 2 - 7 x, x0 Î {- 1, 0,1}; c)  f (x ) =

x2

 x +1

,  x 0 Î {-2, 1};

b) f ( x ) = x + 2 x , x0 Î {- 1, 0, 2}; c) f ( x ) = x - x , x 0 Î {0, 4}.

E2. S` se studieze continuitatea func\iilor [n punctele specificate: ìx 2 , x £ 1 a) f:Z ® Z, f( x) = í , x 0 = 1;  x x > 2 1 , 1 î

ìsin x ï ,  x < 0 b) f:Z ® Z, f( x) = í  x , x 0 = 0 ï î x +1, x ³ 0

ì3 x +1, x £ 0 ï ï arcsin x c) f:Z ® Z, f( x) = í , x Î (0,1), x 0 Î {0,1},  x ï ï x ³1 îln x , ì  x =- 1 ï3, ï d) :f{-1} U (0,+¥) ® Z, (f )x= í3+ x, xÎ (0,1), x0 Î {- 1, 1}. ï ï x + 3 , x ³ 1 î2 x -1

E3. S` se studieze natura punctelor de discontinuitate pentru func\ia  f :D ® Z: ìx 2 - x + 2, x £ 1 a)  f (x ) = í ; î2 x -1, x > 1 ì  x 2 ï ,  x < 1 c)  f (x ) = í x -1 ; ï3 x -1, x ³ 1 î

ì ï2 x - 2,  x £ 0 b)  f (x ) = í  x ; ï î3 - 2 x ,  x > 0 ì ïln x , x > 0 ï d)  f (x ) = í2,  x = 0 . ï ï 1 ,  x < 0 î x

E4. S` se studieze continuitatea func\iei  f :D ® Z, [n func\ie de parametrii reali: ì x+ a, x£ 1 a)  f (x ) = í 2 ; î x + x+1, x> 1 ìsin(ax ) ,  x < 0 ï  x 2 ï ï x = 0; c)  f (x ) = í2a 2 , ï ï ï î5 x+ 2 a, x > 0

ì2 x + 2 a , x £ 0 b)  f (x ) = í ; îax + 3, x > 0

ì2ax +1, x £ 0 ï d)  f (x ) = í x+ a, x Î (0,1) . ï î3x + b, x ³ 1

127

intez`  S intez`

S1. S` se studieze continuitatea func\iei  f :D ® Z: ìsin(ax + x 2 ) ï ,  x < 0 a)  f (x ) = í ;  x ï x³ 0 îln( x+ e3 ), ì arcsin x ,  x Î [-1, 0) ï2a +  x ï ï ln(1+ ax )  f x = c) ( ) í ,  x > 0 ;  x ï ï-1+ sin a p, x = 0 ï î

ì ï 6x 2 + 4a 2 + 4ax , x £ 1 b)  f (x ) = í ; 2 ï x> 1 î x + 4 ,a

ì ï2 x + a, x £ a d)  f (x ) = í  x . ï î3 + a, x > a

S2. S` se determine constantele reale pentru care func\ia  f :D ® Z este continu`, [n cazurile: ì ï9 ax - 4× 3ax+1 +12,  x £ 1 a) f (x ) = í ; 2 ï x >1 îa - ax -15x , ì2 ax × 3bx ,  x < 1 ï  x = 1 ; c)  f (x ) = í12, ï ax-1 1+bx î3 ×2 , x > 1

ì ï3bx + 2 x, x £ 2 a-1 b)  f (x ) = í ; bx 2 ï î9 x- 4 , x³ a ì2 ax + 3bx ,  x < 1 ï ï d)  f (x ) = í x2 - 3 x+ 7, xÎ [1, 2] . ï ax bx ï î2 + 3 - 8, x > 2

S3. S` se determine a, b Î Z pentru care func\ia  f :D ® Z este continu` ]i are loc condi\ia data: ì ï3 x2 - x, x< 1 f ( x) - f ( 1) a)  f (x ) = í 2 ]i lim exist`; ï îax + bx + 3, x ³ 1  x®1  x -1 ì ln(1+ sin 2 x ) ï f ( x) - f ( 0 ) ,  x £ 0  b)  f (x ) = í ]i exist` lim .  x  x® 0  x ïax + b x ³0 , î

128

2.2. Opera\ii cu func\ii continue  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 187 manual

 E  xersare f 

E1. S` se studieze continuitatea func\iilor   f , g : D ® Z ]i a func\iilor   f + g , f - g, f × g,  , [n  g 

cazurile: a) f ( x ) = x -1, g ( x ) = x +1; c) f ( x ) = 2 x , g ( x ) = x;

b) f ( x ) = x 2 -1, g ( x ) = 3x - x 2 ; 1 d) f ( x ) = ln x; g ( x ) = ln ;  x

ìx 2 +1, x £ 0 e)  f (x ) = í , g( x) = x -1 ; î x +1, x > 0 ì2 x -1, x £ 0 ì1- x , x £ 0 f)  f (x ) = í ,  g (x ) = í . î x -1, x > 0 î x +1, x > 0

E2. S` se studieze continuitatea func\iilor compuse  f o g ]i g o f  [n cazul func\iilor  f f , g :Z ® Z. a) f ( x ) = x -1, g ( x ) = 2 x - 3 ;

b) f ( x ) = x 2 +1, g ( x ) = x -1 ;

c) f ( x ) = x 2 +1, g ( x ) = x -1 ; d) f ( x) = ln( x 2 +1), g ( x ) = 2 x -1. intez`  S intez`

ì x + a, x £ 0 ì2ax , x £ 0 , g (x ) = í . S1. Se dau func\iile  f , g :Z ® Z,  f (x ) = í 2 î x +1, x > 0 î x- x2 , x > 0 S` se determine a Î Z pentru care func\ia  f + g  este continu` pe Z. S2. S` se studieze continuitatea func\iilor  f :Z ® Z ]i  f 2 [n cazurile: ì-1,  x £ 1 ì x , x £ 1 í a)  f (x ) = ; b)  f (x ) = í ; î1,  x > 1 î-1, x > 1 ì x + a, x £ 1 ì2 x + a, x £ 2 c)  f (x ) = í ; d)  f (x ) = í . î2 x +1, x > 1 î x+ a, x > 2 S3. S` se studieze continuitatea func\iei  f o g  [n cazurile: a) f ( x ) = 2 x - 4, g ( x ) = sgn( x ), x Î Z; b) f ( x ) = 3 x - 6, g ( x ) = x -1, x Î Z ; ìa 2 , x £ 1 ì1,  x £ 1 ì1- x , x £ 1 c)  f (x ) = í , g( x) = 2 x-1,Î Z ; d)  f (x ) = í , g (x ) = í . î2, x > 1 î0,  x > 1 î x , x > 1 S4. S` se studieze continuitatea func\iilor  f o g, g o f :  ìe x , x £ 0 ìln x , x > 1 a)  f (x ) = í , g (x ) = í ; £  x x , 1 î î x +1, x > 0 ì ì ï  x , x ³ 0 ï x 2 , x ³ 0  b)  f (x ) = í3 , g (x ) = í . 3 ï ï < +  x x < , 0 î1 î  x , x 0

129

2.3. Semnul unei func\ii continue pe un interval  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 191 manual

 E  xersare

E1. Fie f:Z ® Z, f( x) = 3+1. S` se arate c`  f  are proprietatea lui Darboux pe intervalele  I 1 = (-2, 2) ]i I 2 = [ 0, 3]. Exist` intervale pe care f nu are proprietatea lui Darboux? E2. S` se stabileasc` dac` func\ia  f :D ® Z are proprietatea lui Darboux pe intervalul dat: ì x , x £ 0 a)  f (x ) = í , I  = [-1,1]; îsin x , x > 0 ì ln(1+ x ) ï ,  x Î (-1, 0)  b)  f (x ) = í  x , I  = (-1, 2]; ï x+ cos x, xÎ [ 0,+¥) î ì ïarcsin x, x Î [-1, 0] é 1 ù  I  =ê- , 2ú. c)  f (x ) = í , ë 2 û ï î x + 3 x , x Î (0,+¥ )

E3. S` se stabileasc` semnul func\iei  f :D ® Z: a) f ( x) = x 3 - x ; c)  f (x ) = 3x+1 - 9;

b)  f (x ) = 2 x -1 ; d) f ( x) = sin x, x Î [ 0, 2 p].

intez`  S intez`

S1. S` se arate c` func\iile  f :D ® Z, au proprietatea lui Darboux pe oricare interval din domeniul de defini\ie: ì1-  x ï  x > 1 , 2 ï ï1- x  x = 1 ; a)  f (x ) = í0,25, ï ïsin(4 x - 4) ,  x Î (0,1 ï î 8 x 2 - 8 ì0,  x = 2 ï ï 1 ö-1 c)  f (x ) = íæ ; ç ÷ ïç1+ 3 x-2 ÷ ,  x > 2 ï ø îè

ì x2 + 5 x- 6, x£ 1 ï b)  f (x ) = í  x -1 sin(x -1) ;  x > , 1 ï î 3( x 2 -1) ì0,  x Î m d)  f (x ) = í . îsin( p x ), x Î Z Sm

S2. Folosind consecin\a 1 a propriet`\ii lui Darboux, s` se arate c` urm`toarele ecua\iile au cel

 pu\in o solu\ie pe intervalul dat: a) x3 + 4 x2 - 5 = 0, I= [ 0, 2]; c) x + 2 x -2 = 0, I  = [ 0,1] ;

b) x3 + 5 x- 27 = 0, I= [ 0, 3] ; é  p ù d) x+1+ sin x= 0, I=ê - , 0ú; ë 2 û

e) x+ ln x= 0, I=  (0,1). 130

stabileasc` semnul func\iei func\iei  f :D ® Z: S3. S` se stabileasc` a) f ( x) = x(2 x -1) ;

b) f ( x) = ( x-1)(3x - 2 x ) ; 2 x -1 d)  f (x ) = ;  x - 2

c) (f x) = (3 x -1) log 2 ( x+ 2 ) ; e)  f (x ) =

x -1 -1  x - 3

f) f ( x ) = ( x 3 - x )( x 4 -16 ) .

;

S4. S` se rezolve inecua\iile: a) (2 x -1)( x 2 -1) ³ 0 ; c)

( x-1+

)(

x2 +1

b) ( x- x3 )(1-

)£ 0 ;

x-1

x+1 ) £ 0 ;

d) (2 x - 3x )(2 - log 2 ( x +1)) £ 0 .

S5. Se consider` func\ia f :Z ® Z , f ( x ) = x + e x . a) S` se arate c` func\ia  f este strict monoton` pe R.  b) Folosind proprietatea lui Darboux, s` se arate c` func\ia  f este surjectiv`.

pag. 192 manual Teste de evaluare Testul 1

1. S` se studieze continuittea func\iei  f :Z ® Z,

ì x 2 + x ï , x Î Z S {-1, 0,1}  f (x ) = í x 2 - x . ï x Î {-1, 0,1} î1 ,

2. S` se determine parametrul real pentru care func\ia  f :Z ® Z, ì ï x + 2 ax , x £ 1  f (x ) = í ï î4 ax -1 , x > 1 este continu` pe Z.

3. S` se stabileasc` semnul func\iei  f :(0,¥) ® Z,  f (x ) =

(2 -1 -1)(3 -1 - 9) . x

131

x

Testul 2

ìsin 2 2 x ï 2 ,  x Î (-¥, 0)  x ï ï 1. S` se studieze continuitatea func\iei  f :Z ® Z,  f (x ) = íax + b , x Î [ 0,1] [n func\ie de ï ïsin( x -1) , x Î (1,+¥) ï î  x 2 -1  parametrii reali a ]i b. ì x , x Î { 2. Fie  f :Z ® Z, f (x ) = í 2 î x , x Î Z S { a) Fie I  = [2, 3]. Exi Exist st`` val valor orii ale ale lu luii x Î I  pentru care  f (x ) = 3,5 ?  b) Func\ia  f are proprietatea lui Darboux pe I ? 3. S` se rezolve inecua\ia (2 x -16)( x - x 3 ) £ 0. Testul 3

1. Se consider` func\ia  f :Z ® Z, f ( x ) = x [ x].. S` se studieze continuitatea func\iei f [n x 0 Î m. ì ï x 2 + a+ x , x £ a pentru a Î Z. 2. S` se studieze continuitatea func\iei  f :Z ® Z,  f (x ) = í 2 ï î2 x + ax , x > a 3. S` se stabileasc` semnul func\iei  f :Z ® Z, f (x ) = (2 x - 2 a )(x - a) [n func\ie de valorile  parametrului real a. Testul 4 n 2 2 x + 3

-x

*

1. Se consider` func\ia  f :q ® Z, dat` de rela\ia  f (n) = lim

 x®¥

2 x n + 2-x

.

S` se calculeze suma f(1) + f(2) +...+ f( n) .

2. S` se arate dac` f :[ a, b] ® Z este func\ie continu` ]i f (x ) ³ a, f (b) £ b, atunci exist` x0 Î [ a, b] cu proprietatea c` f ( x0 ) = x0 . ì ï(2 x - 2)(log 2 x -1) , x > 0 . 3. S` se studieze semnul func\iei  f :Z ® Z, f (x ) = í 3 ï x£ 0 îx - x,

132

Capitolul 3. Func\ii derivabile 3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 202 manual

 E  xersare

E1. S` se stabileasc` dac` graficul func\iei  f :D ® Z admite tangent` [n punctul specificat, dac`:

2

a) f ( x ) = 3 x - 4 x, x0 = 2; c) f ( x ) = x + x-1, x0 = 1 ;

ì ï2 x2 - 3 x, x £ 0 b)  f (x ) = í 2 ,  x 0 = 0; ï î5 x - 3 x, x > 0 d) f ( x ) = x 2 x , x 0 = 0.

E2. S` se arate c` func\ia  f :D ® Z are derivat` [n punctul specificat ]i s` se calculeze aceasta: a) f ( x) = 3 x+11, x0 = -1; 1 c)  f (x ) = ,  x 0 = 0;  x + 5 e) f( x) = 2 x + 3, x0 = -1;

b) f ( x) = x 2 - 3 x-11, x0 = 2 ; d) f ( x) = x+1, x0 = 0; f) f ( x) = sin x + sin 2 x, x0 = 0.

E3. S` se studieze derivabilitatea func\iei  f :D ® Z [n punctul specificat ]i s` se scrie ecua\ia tangentei [n acest punct: a) f ( x ) = 2 x - x 2 , x 0 Î {0,1, 2}; b) f ( x ) = x 3 , x 0 Î {0,1,-1}; c) f ( x ) = sin x + x, x0 Î {0, p};

d)  f (x ) =

 x

x 2

+1

,  x 0 Î {-1, 0,1}.

E4. S` se determine derivatele laterale ale func\iei  f :D ® Z [n punctele date: a) f ( x) = x -1, x0 = 1 ; ì x +1, x £- 1 c)  f (x ) = í 2 , x 0 =- 1 î x -1, x >- 1

b) f ( x ) = x + x , x 0 = 0 ; ìsin( p x ), x £ 1 d) f (x ) = í , x = 1. îln x , x > 1 0

intez`  S intez`

S1. S` se studieze dac` urm`toarele func\ii  f :D ® Z admit tangent` la grafic [n punctele specificate:

ì x+ x+1, x< 0 a)  f (x ) = í , x 0 Î {-1, 0,1}; x ³0 îcos x , ìe x+1, x ³- 1 ï  b)  f (x ) = í1+ e x+1 , x 0 Î {-1, 0}; ï î 2 ,  x <- 1 ìe x-1 -1, x £ 0 c)  f (x ) = í , x 0 Î {-1, 0, 2}. îln(1+ 2 x ), x > 0

133

S2. S` se studieze continuitatea ]i derivabilitatea func\iei  f :D ® Z [n punctele specificate: ìx 2 + ax , x < 0 a)  f (x ) = í , x 0 = 0; x ³0 î2 x -1,

ì4 x- a, x> 2 í  b)  f (x ) = 2 , x 0 = 2; î x + ax+ b, x£ 2 c) f ( x) = min( x, 2 x-1) , x0 = 1 ;

ì ï x 2 -1 + a, x ³ 1 d)  f (x ) = í , x 0 = 1. ï [ ) îarccos x + b, x Î 0,1 S3. Fie  f :D ® Z ]i x 0 Î D, punct de continuitate al func\iei f . Punctul M (x 0 , f (x 0 )) se nume]te  punct unghiular  al graficului func\iei  f  dac` func\ia  f  are derivate laterale diferite [n x 0 ]i cel  pu\in una dintre ele este finit`. S` se studieze dac` punctul de abscis` x 0 este punct unghiular [n cazurile: ì ì2 x -1, x £ 1 ï x 2 +1, x £ 0 a)  f (x ) = í 2 , x 0 = 1; b)  f (x ) = í  x , x 0 = 0; ï î x + x-1, x> 1 îe , x > 0 ìx 2 , x < 0 c)  f (x ) = í , x 0 = 0. îsin x , x ³ 0

S4. Fie  f :D ® Z ]i  x 0 punct de continuitate al func\iei  f . Punctul M (x 0 , f (x 0 )) se nume]te  punct de [ntoarcere

al graficului func\iei f dac` func\ia f are derivate laterale [n x 0 infinite ]i de

semne contrare. S` se determine dac` punctul de abscis` x 0 este punct de [ntoarcere [n cazurile: ì ì ï 1- x , x £ 1 ï  x - 3, x ³ 3 a)  f (x ) = í , x 0 = 1; b)  f (x ) = í , x 0 = 3. ï ï î  x -1, x > 1 î2 3- x , x < 3

S5. S` se determine parametrii reali pentru care graficele func\iilor  f , g :Z ® Z admit tangent` comun` [n punctul de abscis`  x 0 Î Z. a) f ( x ) = 2 x + a, g ( x ) = x 2 + bx + b, x 0 = 1;  b) f ( x ) = x 2 + ax + b, g ( x ) = 2 x 2 - x +1, x 0 = 1.

S6. Se dau func\iile   f , g : D ® Z,

f ( x) = x 3 + ax 2 + b, g( x) = 3 x 2 + cx+1.

S` se determine: a) c Î Z pentru care tangenta la graficul func\iei g [n punctul de abscis` x 0 = 1 este paralel` cu dreapta de ecua\ie  y = 7x - 6.  b) a, b Î Z, ]tiind c` tangenta [n punctul x 0 = 1, la graficul func\iei f este paralel` cu dreapta  y = 5x +1, iar iar [n pun uncctu tull de de ab absci cis` s` x 0 =- 1, tangenta are ecua\ia  y = x + 5.

S7. Se dau func\iile f , g :Z ® Z, f ( x) = 2 x 2 + ax + b, g ( x ) = x 2 + bx+ a. S` se determine a, b Î Z pentru care graficele celor dou` func\ii admit tangent` comun`.

134

3.2. Derivatele unor func\ii elementare  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 209 manual

TEM~ 1. Aplic@nd formulele ob\inute, s` se calculeze derivatele func\iilor  f :D ® Z: a) c) e) g)

f( x) = 2007, xÎ Z; f( x) = sin 5, xÎ Z; f ( x) = x 2007 , x Î Z; f ( x) = log 0 ,3 x, x Î (0,+¥ ); x

b) d) f) h)

2 , xÎ Z; f ( x ) = x 3 , x Î Z; f ( x) = log 3 x, x Î (0,+¥ ); f( x) = 2 x , x Î (0,+¥ ); f( x) = 5

x

i)  f (x ) = cos 2 - sin 2 ,  x Î Z; j) f( x) = log 3 (5 x2 ) - log 3 (5 x), x> 0; 2 2 7 x 3 , x > 0;

k) f ( x ) = l) f ( x) = e2 x , x Î Z. ) , ( f(1)) ',', f' (-  1). 2. Pentru func\ia f:Z ®Z, f( x) = 4 x , s` se calculeze f' (0),

3. Pentru func\ia f :Z ®Z, f( x) = 3 x, s` se calculeze æ1 ö ¢ ¢ f¢(-1)),, ( f(-1)) , f¢(27), ( f(27)) , f¢ç ÷, è8 ø

135

æ ç ç è

¢ æ 1 öö çf ÷÷  . è 8 ø÷ ø

3.3. Opera\ii cu func\ii derivabile  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 213 manual

 E  xersare

E1. S` se calculeze derivatele func\iilor  f :D ® Z: a) c) e) g) i) k)

f ( x) = x 3 + 3 x+1;

b) d) f) h) j) l)

f ( x) = x+ 2 x ; f ( x) = 2 x3 + ln x; f( x) = log 2 x+ log 3 x; f ( x) = x 2 + log 3 x+ sin x ; f ( x) = ( x-1) 2 + ( x+1) 2 ;

f ( x) = 2 x - x 4 ; f ( x) = x3 + sin x+ cos x; f( x) = 2 x + 3x - x; f( x) = 4 sin x- 5 cos x+ f( x) =

3;

2 + tg x; f( x) = 23 x+ 3 2 + log 0 ,5 x; x-

m) f( x) = log 3 x3 + log 2 x4 ; n) f( x) = 2tg x- ctg x;  p) f ( x) = x 2 + 3 2 x; q)  f (x ) = 2 x+1 + 3x-1 . E2. S` se calculeze derivatele func\iilor  f :D ® Z: a) f ( x) = x log 2 x ; b) f ( x) = x 2 x ; c) f ( x ) = x sin x ; d) f ( x) = x 2 cos x; e)  f (x ) = (2 x -1)(3x -1) ; f) f( x) = (2 ln x+1) log2 x; g) f ( x ) = ( x - x )( x + 3 x ) ; h) f( x) = (3- x2 ) 3 ; i) f ( x) = ( x- x ) 3 ; j) f ( x) = x ln x + ln 2 x ; 2

k) f ( x) = x sin 2 x ; l) f ( x) = ( x-1) e x . E3. S` se calculeze derivatele func\iilor  f :D ® Z: x -1 1 1 a)  f (x ) = ; b)  f (x ) = 2 ; c)  f (x ) = ;  x

d)  f (x ) =

x -1

 x +1

 x

 x

;

e)  f (x ) =

x 2 - x +1

 x 2 + x +1 cos x

f)  f (x ) =

;

x

 x 2 - x +1 1+ tgx

;

sin x h)  f (x ) = i)  f (x ) = ; ; ; 1+ cos x 1+ sin x sin x x +1+ ln x x x 1+ e x  j)  f (x ) = ; k)  f (x ) = ; l)  f (x ) = ;  x  x +1- ln x 2+ e 1+  x tg x 1- tg x m)  f (x ) = ; n)  f (x ) = . 1+ tg x 1+ ctg x E4. Pentru func\ia  f :D ® Z s` se rezolve ecua\ia  f ' (x ) = 0 preciz@nd mul\imile  D ]i  D f ¢ [n fiecare caz: a) f ( x) = x3 -12 x; b) f ( x) = 2 x3 -15 x2 + 24 x+ 5 ; c) f ( x) = x2 + 6 x-15 e x ; d) f ( x) = x 2 ln x ; g)  f (x ) =

(

1 e)  f (x ) = 2 ;  x - 6x + 8 sin x + 2 g)  f (x ) = ; cos x

)

f)  f (x ) =

x 2 - 3x + 3

 x 2 - 5x + 7

h)  f (x ) = 136

x 2 +3  x

.

;

intez`  S intez`

S1. S` se calculeze derivatele func\iilor  f :D ® Z:

æ x x2 xn ö a)  f (x ) = ; b) f ( x) = e ç1+ + +...+ ÷ , n Î q* . ÷ xcos x- sin x n! ø è 1! 2! 3x 2 - 2 . S2. Fie f:Z S {1} ® Z, f( x) =  x -1 a) S` se calculeze derivata func\iei f.  b) S` se determine punctele M (x 0 , f (x 0 )) de pe graficul func\iei  f  [n care tangenta ese  paralel` cu dreapta  y = 2x -1. c) S` se determine punctele M (x 0 , f (x 0 )) de pe graficul func\iei  f  [n care tangenta este  perpendicular` pe dreatpa  y = x . x +a e x S3. Se consider` func\iile f , g :Z ® Z, f ( x) = 2 , g (x ) = 2 . S` se deter- mine a ÎZ  x +1  x +1 2g (x )  pentru care are loc egalitatea e x f ' (x ) + g ' (x ) = 2 , x Î Z.  x +1 x +m . S` se determine m ÎZ pentru care  f ' (x ) < 0, " ÎZ . S4. Fie f:Z ® Z, f( x) = 2  x + x +1 S5. Se consider` f :Z ® Z, f ( x) = e x ( x2 + mx+ m): a) S` se determine m Î Z cu proprietatea c`  f ¢(x ) £ 0 dac` ]i numai dac` x Î [-2, 2]. x sin x + cos x

- xç

 b) Pentru m = 1 se noteaz` g (x ) = Sn

e x  f ' (x )

. S` se calculeze:

= g (0) + g (1) +...+ g (n ), n Î q.

137

3.3.5 Derivarea func\iilor inverse  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 220 manual

 E  xersare

E1. S` se calculeze derivatele func\iilor  f :D ® R: a) f( x) = ( x2 +1) 3 , x Î R; 1- x c)  f (x ) = ln ln ,  x Î (-1, 1); 1+ x 2 e) f ( x ) = x e x , x Î R; g) f ( x) = cos( x2 + x+1), x Î R;

b) f( x) = ln( x2 +1), x Î R;

d)  f (x ) =

x

,  x Î (0,+¥); 1+ x f) f( x) = sin ( x2 +1), x Î R; h) f ( x) = sin x , x Î (0, p );

i) f ( x) = x x 2 +1, x Î R; j) f ( x ) = x e x , x Î (0, +¥). E2. S` se calculeze derivatele func\iilor  f :D ® R: a) f( x) = ln(1+ sin 2 x), xÎ R; b) f( x) = ln(1+ e x ), x Î R; c) f( x) = 1+ sin 2 x, xÎ R; d) f ( x) = sin( x x ), x Î (0, +¥ ); æx ö æ 1 ö ÷,  x Î (3, +¥). e)  f (x ) = arcsinç ÷,  x Î (0, 2); f)  f (x ) = arccosç è2 ø è x -1ø E3. S` se determine domeniul de derivabilitate pentru func\iile  f :D ® R: a) f ( x) = x-1, x Î [1, +¥); b) f ( x) = e  x , x Î [ 0, +¥); 3

c) f ( x) = x2 -1 , x Î R;

d) f( x) = ln(1+ e x ), x Î R;

e) f( x) = arcsin x , x Î [- 1, 1);

f) f( x) = arccos x , x Î [-1, 1].

E4. Fie func\iile f:[ 0,+¥) ® [ 3,+¥), f( x) =

x2 + 3 ]i g:R ® R, g( x) = x3 .

a) S` se arate c`  f ]i g sunt bijective. b) S` se calculeze calculeze ( f -1 )¢(4) ]i ( g -1 )¢(8). intez`  S intez`

S1.. S` se calculeze derivatele func\iei  f :D ® R, specific@nd domeniul de derivabilitate: S1 a) f( x) = x2 -1 , x Î R; b) f ( x) = 1- ln x, x Î (0, e]; 2x 1- x 2 c)  f (x ) = arcsin ,  x Î R; d)  f (x ) = arcsin ,  x Î R; 1+ x 2 1+ x 2 e) f ( x ) = x  x , x > 0; f) f ( x) = xln( x+1) , x > 0. S2. S` se rezolve ecua\ia  f ¢(x ) = 0 pentru fifiecare func\ie  f :D ® R, preciz@nd D ]i D f ¢: a) f ( x) = (2 x2 - 6 x) 3; b) f ( x) = cos 2 x- cos 2 x, x Î [ 0, p]; c) f ( x) = x2 + 6 x+ 5;

d) f ( x) = ln(3 x2 + 2 x);

2x +1 f) f( x) = arctg (4 x - 3 x +1); g)  f (x ) = 2 ; 3

2

 x

e

3

2

e)  f (x ) = 3x -3x ; h)  f (x ) =

x 2 +4

3 x + 8

.

S3. Se consider` f:R ® R, f( x) = x+ 2 . x

a) S` se arate c` func\ia  f este inversabil`. b) S` se calculeze ( f -1 )¢(3). S4. Se consider` func\ia f:(1, +¥) ® R, f( x) = x+ ln( x-1). a) S` se arate c` func\ia  f este invers rsaabil` l`.. b) S` se calcule lezze ( f -1 )¢(2) ]i ( f -1 )¢(e + 2). 138

3.4. Derivata de ordinul doi  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 224 manual

 E  xersare

E1. S` se stuieze dac` func\ia  f :D ® R este de dou` ori derivabil` [n punctele specificate: a) f ( x ) = x 3 + x, x 0 Î {- 1, 0};

b) f ( x ) = x e x , x 0 Î {0, 1}

c) f ( x) = sin x+ cos x, x0 Î {0, p};

d) f ( x ) = x + x, x 0 Î {1, 4}; sin x f)  f (x ) = ,  x Î {0, p}; 1+ sin x 0

e)  f (x ) =

x 2

 x +1

g)  f (x ) =

e x  x

,  x 0 Î {0, 1}; ,  x 0 Î {0, 1};

h) f ( x ) = x 2 ln x, x 0 Î {1, e}.

1+ e E2. S` se arate c` func\ia  f :R ® R este derivabil` de dou` ori [n punctul specificat: ì ìsin x , x T 0 ï x 3 , x T 0 í a)  f (x ) = ,  x 0 = 0; b)  f (x ) = í 3 ,  x 0 = 0 4 ï î x + x, x > 0 î5 x , x > 0 ì ï x3 ln x, x > 0 3 c) f ( x ) = x x , x 0 = 0; d)  f (x ) = í 3 ,  x 0 = 0 ï x T0 î x , E3. Folosind regulile de calcul cu derivate, s` se calculeze derivata de ordinul doi pentru  f :D ® R: a) f ( x) = 2 x2 + 5 x; b) f ( x) = x 3 - 4 x; c) f ( x ) = e x + x; d) f ( x) = x + ln x; e) f ( x ) = x ln x; f) f ( x ) = x 2 e x ; g) f ( x) = x 2 ln x; h) f( x) = sin 2 x; i) f( x) = cos 3 x;  j) f ( x) = x sin x + cos x; k) f ( x ) = x 2 x , x > 0; l) f ( x ) = x tg x; x -1 x m)  f (x ) = ; n)  f (x ) = 2 .  x + 2  x +1 intez`  S intez`

S1. S` se arate c`: a) dac` f:R ® R, f( x) = sin x, atunci: æ  p ö f¢( x) = sinç x+ ÷, f¢¢( x) = sin( x+ p ). è 2ø  b) dac` f:R ® R, f( x) = cos x, atunci: æ  p ö f¢( x) = cosç x+ ÷, f¢¢( x) = cos ( x+ p ). è 2ø S2. S` se verifice dac` func\ia  f :R ® R, f ( x) = e2 x (3+ 4 x) verific` egalitatea: f ¢¢( x ) - 2 f ¢( x ) + f ( x ) = e2 x (4 x +11), x Î R

S3. Fie  f :R ® R, f ( x) = e x sin x. S` se determine a Î R cu proprietatea c`: f¢¢( x) - af¢( x) + af ( x) = 0, x Î R

139

S4. S` se determine a, b Î R ]tiind c` func\ia  f :R ® R, f ( x) = e-2 x (sin x+ cos x) verific` egalitatea: f ¢¢( x ) + ( a+ b) f ¢( x ) + ( ab+ 2 ) f ( x ) = 0, x Î R.

S5.. S` se determine func\ia polinomial` de gradul doi  f :R ® R, f( x) = ax2 + bx+ c care verific` S5 rela\iile:  f (2) = 9, f ¢(1) = 2 ]i  f ¢¢(0) = 8.

S6.. Exist` o func\ie polinomial` de gradul trei  f :R ® R, f( x) = S6

ax3+ bx2+ cx+1, care s` verifice

condi\iile  f (-1) =- 6, f ¢(1) =- 3 ]i  f ¢¢(2) = 4?

S7. S` se determine a, b, c Î R dac`  f :D ® R este de dou` ori derivabil` pe D. ì ï x3 + ax, xT 0 a)  f (x ) = í 3 ; 2 ï î x + bx + c, x> 0

ì ï x3 + 3 x+ a-1, x T2 b)  f (x ) = í 2 ; ï îax + bx + c, x > 2 ì2 x 3 + cx 2 + 8 x+ b, x <0 ìa sin x + b cos x , x T p ï í 3,  f x =  x = 0 . c)  f (x ) = í ; d) ( ) x > p îc sin 2 x + x 2 , ï 2 ax+ b, x> 0 î x + ax

140

3.5 Regulile lui l'Hôspital  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 229 manual

 E  xersare

E1. S` se calculeze  x 3 - 3x + 2

a) lim

2

;

 x 2 - 4

b) lim

c) lim

 x 2006 -1

; -8 + 4x + 3  x + sin x  x + ln(x +1) f) lim 2 ; g) lim ;  x® 0 x + sin x  x® 0  x sin x  x® 2  x 3

;

 x 3 +1

d) lim

; -1 sin x + 3sin 8x h) lim .  x® 0 sin 7 x - sin 2x

 x®-1 x 2

 x®1 x 2007

-1  x - 27 e) lim 2 ;  x® 3 x - 4x + 3 E2. S` se calculeze:  x - sin x sin 2 x 1- cos 3 x a) lim 2 ; b) lim ; c) lim ; 3  x® 0 x + sin 2 x  x® 0 1- cos x  x® 0  x 2 + + e x - cos x  x - sin x nx n 2- (n +1) x n 1+ x d) lim 2 ; e) lim x ; f) lim .  x® 0  x + x  x® 0 2e - 2 - 2 x - x 2  x®1  x -1) 2 (  x>1  x®1

 x

3

E3. S` se calculeze: 2 x 3 + 4x + 9 3 x2 - x+ ln x a) lim 3 ; b) lim 2 ;  x®¥ x + 3x +16  x®¥ 2 x + x- ln x ln(2 x ) d) lim ;  x® 0 ctg(3 x )  x>0

ln(sin 2 x ) ;  x® 0 ln(sin x )

c) lim  x>0

ln( x 2 + x +1)

ln(1+ sin 2 x ) e) lim ;  x® 0 ln(1+ sin x )

f) lim

b) lim ( x - p ) ctg x ;

c) lim x ln

 x

 x®¥

.

E4. S` se calculeze: a) lim x ln  x®¥

x

;  x +1

d) lilim arcsin x ln x ;  x® 0  x>0

 x® p

1 -

e) lim e  x® 0  x>0

 x

 x® 0  x>0

x

;  x +1 2

1  x+2

ln x ;

f) lim ( x + 2 )e  x®-2  x>-2

.

pag. 230 manual

Teste de evaluare Testul 1 3

1. Fie  f :R ® R, f ( x) = x + ax+1. S` se determine a Î R pentru care tangenta la graficul func\iei  f  [n punctul x 0 = 1 trece prin punctul M (2, 1).

ì  x ï ,  x U 0 [n punctul 2. S` se determine derivatele laterale ale func\iei  f :R ® R,  f (x ) = í x +1 ï îsin x , x < 0  x 0 = 0. 3. S` se calculeze derivatele de ordinul doi pentru func\ia  f , [n cazurile: a) f:(0, +¥) ® R, f( x) = x ln( x+1); b) f:R ® R, f ( x) = arctg x- ln( x2 +1). 141

Testul 2 ì xsin x, x> 0 í pe mul\imea R. 1. S` se determine derivabilitatea func\iei  f :R ® R,  f (x ) = 2 2 îax + a -1, x T 0

2. S` se calculeze derivatele func\iilor  f :D ® R: a)  f (x ) =

x 2 - x +2

 x 2 + x + 2

b) f ( x ) = x x 2 + x + 2.

;

3. S` se calculeze: a) lim  x® 0

 x 2 + x +1 -1  x +1 -1

;

2 x + ln(x +1) .  x®¥ 3 x + ln(2x +1)

b) lim

Testul 3 1- cos x× cos 2 x× cos 3 x ; 1. S` se calculeze: a) lim 2  x® 0

 x

b) lim  x® 0

e x

2

- cos x . 2 sin  x

2. S` se calculeze derivatele func\iilor  f :D ® R: 2x a)  f (x ) = arcsin ; 1+ x 2

1- x 2 b)  f (x ) = ln . 1+ x 2

3. S` se determine valorile parametrilor a, b, c Î R pentru c are func\ia  f :D ® R este de dou` ori derivabil` pe D. ìa x - x -1, x T 0 a)  f (x ) = í ; îb sin x + c, x > 0

ìx 3 ln x + a, x > 0 b)  f (x ) = í . îb cos x +1, x T 0

142

Capitolul 4. Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor 4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 239 manual

 E  xersare

E1. S` se studieze dac` se poate aplica teorema lui Lagrange func\iilor: a) f:[-3, 2] ® R, f( x) = 2 x2 - 3 x; b) f:[1, e] ® R, f ( x) = ln x; c) f:[1, 2] ® R, f( x) =

x -1

;

 x +1

c) f:[ 0, 1] ® R, f ( x) = x 2 x-1 .

E2. S` se stabileasc` intervalele de monotonie ale func\iei  f :D ® R: a) f ( x) = x 2 - 4 x; b) f ( x ) = 3 x - x 3; c) f ( x) = x 4 - 8 x 2 ; d) f ( x ) = x e x ; e) f ( x ) = x ln x; f) f ( x) = x - ln x; x -1 x 2 -1 g)  f (x ) = ; h)  f (x ) = 2 .  x +1  x +1 E3. S` se determine punctele de extrem pentru func\ia  f :D ® R: 3

a) f ( x) = x - 6 x; d)  f (x ) =

 x

b) f ( x) = ( x-1) e ;

c)  f (x ) =

x 2 + 4x -1

x +1

 x -1

;

x

; e) f ( x) = x- 2arctg x; f)  f (x ) = ; ln x  x 2 + x +1 g) f ( x) = ( x 2 - x+1) e-x ; h) f ( x) = x-1.

intez`  S intez`

S1. S` se determine constantele reale pentru care se poate aplica teorema lui Lagrange func\iei f : ì ï x2 + ax, xT1 a) :f[-1, 2] ® R, f( x) = í ; 2 ï î5 x+ bx , x> 1 ìa + sin x , x T p  b) :f[ 0, 2 p] ® R, f( x) = í . îa cos x + bx , x > p S2. S` se studieze monotonia func\iei  f :D ® R ]i s` se determine punctele de extrem, [n cazurile: x 2- 4x -1 x2 a)  f (x ) = ; b)  f (x ) = 4 ; c) f ( x) = x 2 ln x;  x +1  x + 4 5 d) f ( x ) = x x -1; e) f ( x) = x- 2 x2 +1; f) f( x) = ln x- arctg x; 2 g) f ( x) = 3 x3 - 3 x; h) f( x) = ln 1+ x2 +1 ;

(

(

)

i) f( x) = arctg x+ 1- x2 ;

j)  f (x ) = arcsin

143

)

2x . 2 +  x 1

S3. S` se determine valoarea parametrului m Î R pentru care func\ia  f :D ® R este monoton`

 pe D. a) f ( x) = x3 + mx; b) f ( x ) = ( x 2 + m) e2x ; c) f( x) = 2 x3 + 5 mx2 + 6 x-1; d) f ( x ) = x 2 + x - m ln x. S4. S` se determine m Î R pentru care func\ia  f :R ® R , f ( x) = ( x2 + mx+1) e2 x are dou` puncte de extrem. m-x . S` se determine m Î R pentru care func\ia f nu S5. Fie  f :R \ {1, 2} ® R,  f (x ) = 2  x - 3x + 2 admite puncte de extrem. x 2 + 2bx + 5 . S` se determine a, b Î R pentru care func\ia  f  S6. Fie  f :R \ {a} ® R,  f (x ) =  x - a admite puncte de extrem punctele  x =- 1 ]i x = 3 S7. Se d` func\ia  f :R ® R, f ( x) = mx3 + nx2 + p( x+1). S` se determine m, n, p Î R pentru care punctul  A (1,1) este punct de de extrem al func\iei, iar tangenta la graficul func\iei f [n punctul  B (0, p ) formeaz` cu axa Ox un unghi cu m`sura de 45 o . x 2 + ax + b . S` se studieze monotonia func\iei S8. Se consider` func\ia  f :R \ {b} ® R,  f (x ) =  x - b  f ]i s` se determine punctele de extrem, ]tiind c` dreptele  x = 1 ]i  y = x + 4 sunt asimptote ale func\iei f .

S9. S` se determine dreptunghiul de perimetru maxim [nscris [ntr-un cerc dat. S10. Dintre toate dreptunghiurile care au aceea]i arie, s` se determine cel de perimetru minim. S11. Un triunghi isoscel cu perimetrul 3 P se rote]te [n jurul bazei. S` se determine triunghiul care genereaz` un corp de volum maxim.

S12. Se consider` func\ia  f :(0, ¥) ® R, f ( x) = ln x ]i intervalele: I n = [ n, n+1], nÎ N* a) S` se arate c` func\iei f i se poate aplica teorema lui Lagrange pe intervalul I n .   b) S` se aplice teorema lui Lagrange func\iei  f  pe intervalul  I n . Dac` c n Î I n are  proprietatea c` f ¢( cn ) = f ( n+1) - f ( n), s` se determine c n . c) S` se arate c` pentru orice n Î N* are loc inegalitatea 1 1 < ln(n +1) - ln n < . n +1 n d) S` se demonstreze c` pentru oricare n Î N* are loc: 1 1 1 1 + + +...+ > ln n. n 1 2 3

144

4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 246 manual

 E  xersare

E1. S` se determine intervalele de convexitate ]i de concavitate pentru func\iile  f :D ® R : a) f ( x) = x 2 - 3 x ; c) f ( x) = x3 -12 x; x

e)  f (x ) =

 x + 3 x

g)  f (x ) =

 x

3

;

+1

b) f ( x) = -3 x2 + 6 x-11; d) f ( x) = 3 x2 - 2 x3 ; f)  f (x ) =

x

 x 2 + 4

;

h) f ( x ) = x 2 e-x ;

;

i) f ( x ) = x ln x ;

j) f( x) = arctg x+

x3

. 3 E2. S` se determine punctele de inflexiune pentru func\iile  f :D ® R : a) f ( x) = x 3 -1; b) f ( x) = x 4 - 4 x 3 ; 1 c) f ( x) = ( x2 +1) e-x ; d)  f (x ) = 2 ;  x -1 2 e) f( x) = ln ( x2 +1) ; f) f ( x) = xe-x ; 1 g)  f (x ) = arctg ; h) f( x) = sin 2 x.  x

E3. S` se determine intervalele de convexitate, de concavitate ]i punctele de inflexiune pentru

 f :D ® R :

ì ï x2 - 3 x+ 2 , xT1 a)  f (x ) = í 2 ; ï î2 x - 5 x+ 3, x> 1 ì ï x xe, x0 T c)  f (x ) = í 2 . ï î x + x, x > 0

ì ï x3 + x+1, xT0 b)  f (x ) = í ; 2 ï î x+ ln ( x +1) , x> 0

intez`  S intez`

S1. S` se determine intervalele de monotonie, convexitate ]i concavitate pentru func\iile

 f :D ® R :

4x - x 2 a) f ( x) = x - 4 x +1; b)  f (x ) = c) f( x) = x- arcsin x; ;  x + 2 d) f ( x) = x + x 2+1 ; e) f ( x) = ( x 2- x + 2) e x ; f) f ( x) = x 3 ln x . 4

2

S2. Se consider` func\ia  f :R ® R , f ( x) = ( x 2 + ax + b) e x .  x =- 2, este punct de a) S` se determine a, b Î R ]tiind c` x = 1 este punct de extrem, iar  x inflexiune pentru func\ia f .  b) Pentru valorile lui a, b g`site, s` se determine intervalele de monotonie, convexitate, concavitate ]i punctele de extrem ]i de inflexiune ale func\iei  f .

145

S3. S` se determine punctele de extrem ]i de inflexiune ale func\iei 5

f ( x) = x

3

 f :R ® R ,

+ ax + 85 x- 2 , ]tiind c`  f ¢¢(-3) = 0 .

S4. Se consider` func\ia  f :R ® R , f ( x) = ax+ barctg x. a) S` se determine a, b Î R ]tiind c`  f ¢(1) = 2 ]i  f ¢¢(-1) = 1.  b) Pentru valorile lui a ]i b g`site, determina\i intervalele de monotonie, convexitate ]i concavitate ]i punctele de inflexiune ale func\iei f .

S5. Fie  f :R ® R ,  f (x ) =

x

 x 2 + a 2

, a Î (0, +¥).

a) S` se determine a ]tiind c` ecua\ia tangentei la graficul func\iei f  [n punctul de inflexiune cu abscisa pozitiv` este  x + 24 y - 9 = 0 .  b) Pentru a = 3, s` se studieze monotonia func\iei, intervalele de convexitate-concavitate ]i s` se afle punctele de extrem ]i de inflexiune ale func\iei.

146

4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor  Enun\uri  Exerci\ii ]i probleme

pag. 255 manual

 E  xersare

E1. S` se reprezinte grafic func\iile  f :D ® R : a) d) g)  j)

f ( x) = x 3 - 3 x 2 ;

b) f ( x) = x 5 - 5 x 4 ; e) f( x) = 16 - x4 ; h) f ( x) = x 3 (1- x); k)

f( x) = 8 - x3 ;

c) f ( x) =- 2 x3 + 3 x2 ; f ( x) = x 4 - 5 x2 + 4; f) f ( x) = 2 x3 - 3 x2 + 5; f ( x) = x 4 - 2 x2 +1; i) f ( x) = ( x-1) 2 ( x+1); f ( x) = (1- x) 3 x; l) f ( x) = ( x-1) 2 ( x+ 2 ) 2 .

E2. S` se reprezinte grafic func\iile  f :D ® R : x -1

a)  f (x ) =

 x +1

d)  f (x ) =

x2

 x 2 +1

g)  f (x ) =

1- x ;  x - 2

;

b)  f (x ) = ;

x 2 -1

 x 2 - 9

;

x

e)  f (x ) =

 x 2 -1

h)  f (x ) =

x

c)  f (x ) =

 x 2 +1

f)  f (x ) =

;

x3

 x 2 -1

x3

( x -1) (x - 2)

;

;

.

E3. S` se reprezinte graficul func\iei  f :D ® R : a) f ( x ) = x x ; b) f ( x) = x2 +1 ; d) f ( x) = xe x ; e) f ( x ) = x 2 e x ; g) f( x) = ln( x2 +1) ; h) f( x) = ln( x2 -1);  j) f( x) = 2arctg x;

k) f ( x) = x- ln x ;

c) f ( x) = x2 -1 ; f) f ( x ) = x ln x ; i) f ( x) = x 2 ln x ; ln x l)  f (x ) = .  x

intez`  S intez`

S1. S` se reprezinte grafic func\ia  f :D ® R : a) f ( x ) = x x ; ì ï x 2 , xT1 c)  f (x ) = í 3 ; ï î2 x -1, x > 1 ì ï3  x , xT0 e)  f (x ) = í ; ï î1-  x +1, x > 0

b) f ( x ) = x x -1 ; ìxe x , xT0 d)  f (x ) = í ; î xln x-1, x> 0 f) f ( x) = x ln ( x 2 ) .

S2. Se consider`  f :R \ {1} ® R,  f (x ) =

x 2 + ax  x -1

, a ÎR.

S` se reprezinte graficul func\iei f ]tiind c` are asimptota  y = x -1.

S3. S` se reprezint` graficul func\iei  f :R \ {-1} ® R,  f (x ) = [n x =- 3.

147

x 2 + ax  x +1

, ]tiind c` are un extrem

S4. Se consider` func\ia  f :D ® R ,  f (x ) =

x 2 - 4x + 3 ax + 3

.

a) S` se determine a Î R pentru care func\ia are o asimptot` paralel` cu a doua bisectoare.  b) S` se determine a Î R pentru care func\ia are un punct de extrem situat pe axa Oy. c) Pentru a =- 4, s` se reprezinte grafic func\ia f .

S5. Fie  f :R ® R ,  f (x ) =

x3

3

+ x - sin x . S` se reprezinte grafic func\ia  f ¢¢ .

x +a

S6. Fie  f :R ® R ,  f (x ) =

 x

2

este prima bisectoare.

+b

2

. S` se reprezinte grafic func\ia f ]tiind c` tangenta [n origine

S7. Se consider`  f :D ® R ,  f (x ) =

ax 2 + 2  x -1

.

a) Pentru care a Î R, graficul func\iei este tangent dreptei  y + 2x = 10 ?  b) S` se traseze graficul func\iei  f pentru a = 1.

pag. 256 manual

Teste de evaluare Testul 1 1. S` se studieze monotonia func\iei  f :R ® R ,  f (x ) =

 x

x +a 2

+ x +1

, ]tiind c`  f ¢(1) = 0 .

ln ( x 2 + 4 x+ m) . 2. S` consider` func\ia  f :R ® R , f ( x) = ln a) S` se determine m Î R pentru care func\ia este definit` pe R .   b) Pentru ce valori ale lui m Î R, punctul  A (-2, 0) este punct de extrem al graficului func\iei f . c) Pentru m = 9, s` se studieze monotonia func\iei  f  ]i s` se afle punctele de extrem ale acesteia.

3. Studia\i convexitatea ]i concavitatea func\iei  f :R ® R , f( x) = arctg x- ln ( x2 +1) .

Testul 2 5

1. Fie  f :R ® R , f ( x) = x . a) S` se arate c`  f este derivabil` pe R .  b) S` se arate c`  f ¢(0) = 0 . Este x = 0 un punct de extrem al func\iei  f ? 2x . 1+ x 2 a) S` se studieze derivabilitatea func\iei f.  b) S` se precizeze extremele func\iei  f . c) S` se arate c` semitangentele laterale [n punctul  x = 1 sunt perpendiculare.

2. Fie  f :R ® R ,  f (x ) = arcsin

3. Fie  f ;R \ {-1} ® R,  f (x ) =

x2

 x +1

. S` se determine punctele [n care tangenta la graficul

func\iei este paralel` cu prima bisectoare. 148

Testul 3 ìx 2 + a, xT2 . 1. Se consider` func\ia  f :R ® R ,  f (x ) = í îax + b, x > 2 a) S` se determine a, b Î R pentru care f este continu` pe R .  b) Exist` valori ale lui a pentru care f este derivabil` pe R ? c) Dac`  f (1) = 5 ]i  f ¢(3) = 4 + b , s` se traseze graficul func\iei g :R ® R , g ( x ) = f ( x 2 +1) . 2x

ln (1+ x) . 2. Fie  f :[ 0, +¥) ® R , f( x) = ln  x + 2 a) S` se calculeze f ¢( x ), x Î [ 0, +¥).  b) S` se studieze monotonia func\iei  f . 2x c) S` se arate c` ln (1+ x )U , " x Î [ 0, +¥) .  x + 2

3. Se dau func\iile  f :D1 ® R, g :D2 ® R, f ( x ) =

x - 2 , g ( x ) = e x ( x 2 + x - 6 ) .

a) S` se afle D1 ]i D2 .  f ]i g ]i s` se calculeze  f ¢ ]i g ¢.  b) S` se studieze derivabilitatea func\iilor  f   g (x ) c) S` se calculeze lim .  x® 2  f (x )  x>2

Testul 4 1. Se consider` func\ia  f :[ 0, +¥) ® R , f ( x) = arctg x- x+

x3

3

.

a) S` se calculeze  f ¢ ]i  f ¢¢.  b) S` se studieze monotonia func\iei  f . c) S` se arate c` arctg xUx -

x3

3

,  x Î [ 0, +¥) .

2. S` se reprezinte grafic func\ia  f :R ® R , f ( x) = 3. Fie  f :R \ {0} ® R ,  f (x ) =

1- x  x 2

x2 +1 -

x

2

.

]i M (a, f ( a)) Î G   f  , a Î R \ {0, 2, 3}. Not`m cu N punctul

[n care tangenta la grafic [n punctul  M intersecteaz` din nou graficul func\iei. S` se determine valorile parametrului a pentru care coeficientul unghiular al tangentei la grafic [n punctul N este egal cu 3.

149

pag. 258 manual Probleme recapitulative 1. S` se determine limitele de func\ii:  x 20 - 2x 10 +1

a) lim

2 ;  x®1  x + 2 - 3 arcsin(8 x ) d) lim ;  x® 0 sin (2 x ) 2 x+ 3 x+ 4 x- 3 f) lim  x . x  x® 0 + 5 6 2

;

b) lim

( x -1) 2 x sin 2 + x...+sin nx sin + c) lim ;  x® 0 tg + x tg 2 + x ...+ tg nx 1- cos x cos 2x e) lim ; 2  x®1

 x® 0

 x

2. Fie L = lim

 x®¥

a) L = 3;

[ x+

]

x+ ln 2 x

3 x +1 b) L = 0;

 x +1 -

. Atunci:

c) L = ln 2;

1 d) L = ; 3

(

3. S` se determine a, b Î R pentru care lim

 x®¥

e) L = 1.

)= 0 .

x2 - x+1 - ax- b

 Facultatea de Chimie Constan\a, 1997 

4. S` se determine a, b, c Î R pentru care lim

a cos x + b cos 2x + c

 x® 0

 x 4

= 1.

5. S` se studieze continuitatea func\iilor  f :D ® R: ì5x 2 - 3, xT1 a)  f (x ) = í ; îa - x , x > 1

ì ïx sin 1 ,  x < 0 b)  f (x ) = í ;  x ï îa + ln (x +1), x U 0

ì x2 + ax+ b, xT1 ï x Î (1, 2) . c)  f (x ) = í2 x+ a, ï 3 î x - ax+ 2, xU2 6. S` se studieze continuitatea func\iei  f :R ® R , ìa + e x , xT0 ï  f (x ) = í  x + 4 - b . ï ,  x > 0 î  x Universitatea Pite]ti, 1995

7. S` se determine parametrii reali a, b, c pentru care func\ia  f :R ® R , ì ïe x , xT0 f ( x ) - f ( o)  f (x ) = í Î R. este continu` ]i lim ï  x® 0  x îax 2 + bx + c , x > 0 Universitatea Politehnic` Bucure]ti, 2004

8. S` se determine a, b, c Î R , pentru care func\ia  f :R ® R ,

ìae 2 x , xT0  f (x ) = í este derivabil` pe R . î-2 sin x + bcos 4 x , x > 0 150

ì x  x ü ý. , î x -1  x +1þ

9. Se consider` func\ia ;fR \ {-1, 1} ® R, (f )x= maxí

a) S` se expliciteze  f (x ).  b) S` se studieze continuitatea ]i derivabilitatea func\iei  f .

ì ïax 2 - 3 x +1, x Î [-1, 0) . 10. Fie :f[-1, 1] ® R , f( x) = í 2 ï [ ] x + b x c x Î , 0 , 1 î a) S` se determine a, b, c Î R , pe pent ntru ru ca care re fu func nc\i \iaa es este te de deri riva vabi bil` l` pe (-1, 1) ]i  f (-1) = f (1) .  b) Perntru valorile g`site, s` se studieze derivabilitatea func\iei æ 2x ö [ ] g: -1, 1 ® R, g( x) = fç   2 ÷. è1+ x ø

11. Se consider` :f(-1, ¥) ® R, f( x) =  F : (-1,

0) È (0, +¥ ) ® R,

x  x +1

 F (x ) =

- ln ( x +1) ]i

c + bx bx + a ln (x +1)  x

.

 a = F (2) , atunci: Dac` lim F (x ) = 1 ]i x 2 F¢( x ) = f ( x ), " x Î (- 1, 0 ) È (0, +¥ ), iar  a  x® 0

a) a = ln 3 ;

b) a = 2;

c) a = ln 6;

d) a = 1;

e) a = 2 ln 2 .  ASE Bucure]ti, 2001

ì ï2x - x 2 m 2 + mx m x +1 , x T1 . 12. Fie  f :R ® R ,  f (x ) = í ï x> 1 î x-1 + m x,   continu` pe R} ]i a = å m 2 , atunci: Dac` A= { mÎ R f este mÎA

58 81 ; e) a = . 9 64 æ éx ù ö unde de a, b Î R . 13. Se consider` func\ia  f :R ® R , f( x) = (-1)[ x ]çç x+ aê ú+ b÷÷+ 3, un ë2û ø è Dac` A= {( a, b) Î R ´ R f este   periodic` de perioad` 2 ]i este continu` [n  x = 1} , iar  a) a = 1;

S=

b) a =

34 ; 25

c) a =

25 ; 4

d) a =

å (a + b) , atunci:

( a , b )ÎA

a) S = 2;

b) S =- 1;

c) S = 0;

d) S =- 3;

e) S = 4.  ASE Bucure]ti, 2002

14. Se consider` func\ia  f :[ 0, 2] ® R , ì p,x xÎ [ 0, 1)

ï  f (x ) = ím, x =1 ï 3 î x + q, x Î (1, 2]   derivabil` pe (0, 2)} . ]i mul\imea A= {( p, m, q) Î R ´ R ´ R f este

151

å ( p + m + q) , atunci:

Dac` S =

( p, m, q )ÎA

a) S = 7;

b) S =- 1;

c) S = 0;

d) S = 10;

e) S = 8.  ASE Bucure]ti, 1998

15. S` se determine asimptotele func\iei  f :D ® R :  x 2 - 3 x - 2

a)  f (x ) =

 x -1

 x 3 - 3 x - 2

c)  f (x ) =

 x (x -1)

b) f ( x ) = x + x 2 -1 ;

; .

6x - x 2 + 4 ln x - 2 . 16. Se consider` func\ia :f(0, +¥) ® R , (f x) = 2 x a) S` se calculeze limitele func\iei  f [n punctele x 0 = 0 ]i x 0 =+¥.  b) S` se determine asimptota oblic` a func\iei  f la +¥. c) S` se afle punctele [n care tangenta la grafic este paralel` cu asimptota oblic` a func\iei.  Bacalaureat, 1997 

17. Fie f: (0, +¥) ® R , f( x) = 2- x-

4 ln x  x

. S` se determine coordonatele punctului [n care

tangenta la graficul func\iei este paralel` cu asimptota oblic` a func\iei. 2x 2 + ax + b . 18. Fie f : D ® R , f ( x) =  x +1 a) S` se afle parametrii a, b Î R pentru care dreapta  y = 2x + 3 este asimptot` a func\iei.  b) Pentru a = 5 , s` se determine b astfel [nc@t func\ia f s` admit` asimptot` vertical`.  Facultatea de }tiin\e Economice Timi]oara, 1995

19. Pentru ce valori ale lui m Î R , func\ia  f :R ® R , f ( x) = 3 x 2 + ( m- 2 ) x+ 2- m

are domeniul de derivabilitate R ? Universitatea Politehnic` Bucure]ti, 1990

20. Se consider` func\ia  f ; R \ {-1, 1} ® R,  f (x ) =

1+ ax 2 x ×e , a Î R . 2 1- x

a) S` se calculeze lim x 2 f ( x).  x®-¥

 b) Pentru care valori ale lui a exist` egalitatea 3 f ¢(0) - f (0) = 11 ? (x + 2) 33 + (x - 2) 33 ]i T = f ¢(-2) + f ¢(0) + f ¢(2 ) . At Atunci: 21. Fie  f :R ® R ,  f (x ) = ( x + 2) 33 - (x - 2) 33 1 33 3 22 a) T = ; b) T = ; c) T = 1; d) T = ; e) T = . 2 2 2 3  ASE Bucure]ti, 2000

152

ìln (1- x ) , xT0 . S` se determine valorile lui a, b, c Î R pentru 22. Fie  f :R ® R ,  f (x ) = í 2 îax + bx + c, x > 0 care func\ia f este de dou` ori derivabil` pe R .  ASE Bucure]ti, 1990

23. Pentru ce valori ale parametrilor a, b, c Î R, func\ia  f :R ® R , ìx 3 + ax 2 + bx + c , xT1  f (x ) = í x >1 îarctg( x -1), este de dou` ori derivabil` pe R .  ASE Bucure]ti, 1994

24. Se consider` func\ia  f :R ® R , f ( x) = x- p sin x. a) S` se arate c` func\ia  f este derivabil` [n x = p .  b) Func\ia  f este de dou` ori derivabil` [n  x = p ?

25. Fie :fR ® (1, +¥) , (f x) = 4 x + 2 x +1. a) S` se arate c`  f este func\ie inversabil`. ¢  b) S` se determine  f -1 ]i  f -1 (3) .

( )

Universitatea Politehnic` Bucure]ti, 1987 

1 . x( x+1) ( x+ 2 ) a) S` se arate c` exist` numerele a, b, c Î R pentru care:

26. Fie  f ;R \ {-2, -1, 0} ® R,  f (x ) =

a b c  f (x ) = + + .  x  x +1  x + 2

 b) S` se calculeze S = f ¢¢(1) + f ¢¢(2) +... .+ . f ¢¢(1 0 ) . sin x - tg x . 27. S` se calculeze lim 2  x® 0  x tg x  ASE Bucure]ti, 1990

28. S` se calculeze lim

 x® 0

e x - e sin x  x - sin x

. Universitatea Politehnic` Bucure]ti, 1990

ì ü x cos x - sin x í Î Rý. Dac` m = å n , atunci: 29. Fie M = n Î N lim n  x ® 0 î þ  x nÎM  a) m = 3;

b) m = 6;

c) m = 4;

d) m = 15;

e) m = 10.  ASE Bucure]ti, 2000

30. Se consider` func\ia  f :[-1, +¥) ® R , f ( x) =

x+ 5 - 4 x+1 +

153

x+10- 6 x+1 .

Dac` B= { 0x Î (-1, +¥ )

2

f este   derivabil` [n x 0 } ]i S = å( f d¢ (b ) - f s¢ (b )) , atunci: nu bÎB

1 13 a) S = ; b) S = ; 4 36

1 c) S = ; 9

d) S =

11 ; 36

3 e) S = . 2  ASE Bucure]ti, 1998

31. Se consider` func\ia  f a :R ® R , fa ( x ) = 3

4( e x - x -1) - x 3 + ( a- 3) x 2 , a Î R .

  Dac` A= { aÎ R fa este derivabil` [n x = 0} , atunci:

æ 1ö a)  A Ìç-3, - ÷; è 2ø

æ 1 3ö b)  A Ìç- , ÷; è 2 2ø

æ 9 13ö d)  A Ìç , ÷; è2 2 ø

e)  A Ì (7, 15) .

æ5 ö c)  A Ìç , 5÷; è2 ø

 ASE Bucure]ti, 2000

32. Se consider` func\ia  f :R ® R , f (x ) = x 2 x - a - x - b, a, b Î R .   derivabil` pe R} ]i S = Fie A= {( a, b) Î R ´ R f este

å (a 2 + b 2 ) , atunci:

( a , b )ÎA

a) S = 13;

b) S = 26;

c) S = 17 17;;

d) S = 5;

e) S = 4.  ASE Bucure]ti, 2001

ìxe x , xT1 . 33. Fie func\ia  f :R ® R ,  f (x ) = í îax + b , x > 1 10

Dac` f este derivabil` pe R ]i A= å f¢( k) ,  atunci: k =1

a)  A = 20e;

b)  A = 0;

c)  A = 100e;

d)  A = 11e;

e)  A = e .

34. S` se determine num`rul de elemente ale mul\imii: ì ü ï ï x 2 n - 2x n - a ý. R  A = ía Î R lim = b Î 2 ®  x 1 ï ï  x ( 1 ) î þ

35. Fie a = lim  x® 0

5 a) a = ; 2

ln (1+ x 5 ) - ln 5 (1+ x )  x 6

5 b) a = ; 6

c) a =

e

2

. Atunci: ;

6 d) a = ; 5

3 e) a = . 2  ASE Bucure]ti, 2001

ln ( x 2 + e x ) . 36. S` se calculeze lim  x®¥ ln ( x 4 + e 2 x ) 154

37. Fie  f :R \ {1} ® R,  f (x ) =

ax 2 + bx + 2  x -1

.

a) S` se determine a, b, c Î R pentru care func\ia admite asimptota  y = x + 2.  b) S` se reprezinte graficul func\iei  f pentru a = 1 ]i b = 1. c) Pentru a = b = 1, s` se determine aria triunghiului determinat de axa Ox ]i asimptotele func\iei f .

38. Se consider` func\ia  f :R \ {1, 2} ® R,  f (x ) =

x2

( x -1) (x - 2)

.

a) S` se traseze graficul func\iei  f . x

 b) S` se determine [n ce raport [mparte dreapta  y = aria patrulaterului determinat de axa 2 Ox ]i asimptotele func\iei f.

39. S` se demonstreze c` pentru oricare

m ÎR,

func\ia  f :R ® R , f ( x) = ( x2 + mx) e-x ,

admite un maxim ]i un minim local. l ocal.

40. Se consider` func\ia  f :D ® R , f ( x) = ax+

bx2 + cx+1 , a, b, cÎ ( 0, +¥ ) .

a) S` se determine a, b, c ]tiind c` func\ia admite o asimptot` oblic` la +¥ paralel` cu dreapta  y = 4x + 5 , iar c`tre -¥ o asimptot` orizontal`  y =- 1.  b) S` se construiasc` graficul func\iei pentru valorile lui a, b, c determinate.

41. Se d` func\ia  f :D ® R ,  f (x ) =

x 2 + ax bx + 2

.

a) S` se determine a, b Î R pentru care extremele func\iei se ob\in pentru x =- 8 ]i x = 4.  b) Pentru valorile lui a, b determinate, s` se reprezinte graficul func\iei f .

42. Fie  f :D ® R ,  f (x ) =

m (x +1) 3 2

, m Î R* .

+ x+ m a) Pentru ce valori ale lui m func\ia admite dou` asimptote paralele cu axa Oy?  b) Pentru ce valori ale lui m func\ia este monoton` pe R ? c) Pentru m = 1, s` se reprezinte graficul func\iei f . d) Fie   A, B   punctele [n care graficul func\iei  f , pentru m = 1, intersecteaz` axele de coordonate. {n ce puncte graficul func\iei admite tangente paralele cu dreapta  AB? x

155

REZOLVĂRI Partea a II-a. Elemente de analiz ă matematică Capitolul I. Limite de func ţii 1.1. Mulţimi de puncte pe dreapta real ă  Exersare

ie: E1. Solu ţ ie: Mulţimile de minoran ţi şi majoranţi sunt respectiv: a) m = (– ∞, –3], M = [5, +∞), b) m = (– ∞, –2], M = [3, +∞), c) m = (– ∞, –5], M = [4, +∞), d) m = (– ∞, –2], M = [5, +∞), e) m = (– ∞, 1], M = [11, +∞), f) m = (– ∞, –1], M = [3, +∞). ie: E2. Solu ţ ie:

Mai întâi se rezolv ă ecuaţiile şi inecuaţiile de gradul 2, cu radicali, cu modul, exponen ţiale şi logaritmice. a) x2 – 3 x = 0 ± x( x  x – 3) = 0 ± x i {0, 3}. Aşadar  A  A = {0, 3} şi avem: m = (– ∞, 0], M = [3, +∞).  x) = x2 – 3 x.  b) Alcătuim tabelul de semn pentru  f ( x

 – ∞ 0 3 +∞  x – 3 x + + + + + 0 – – – – – 0 + + + + + 2

 x

Se obţine x i [0, 3], deci  A = [0, 3]. Rezultă m = (– ∞, 0] şi M = [3, + ∞). c) Condiţii impuse: x – 3 U 0, deci domeniul de lucru este  D = [3, +∞). Prin ridicare la p ătrat obţinem succesiv

−x 3 T 2 ⇒ −x 3 T 4 ⇒

x 7 ⇒  x i T

(– ∞, 7].

 A = (– ∞, 7) O D = [3, 7] şi se obţine: m = (– ∞, 3], M = [7, +∞). Aşadar  A

d) Folosim proprietatea modulului: E( x) T M ⇔ − M T E( x) T M .  Se obţine succesiv: −x3 T 1 ⇔ −1 T −x3 T 1 ⇔ 2 T Tx 4 . Rezultă că x [2, 4], A = [2, 4], iar  m = (– ∞, 2], M = [4, +∞). e) Avem succesiv 2

−x3

0, 25 ⇔ 2 T 0,

−x3

T

25 ⇔ 2 −x3 T 1 ⇔ 2 −3x T 2 −2 ⇔  x − 3 T − 2 ⇔ x T 1 . 100 4

Aşadar  x  x i (– ∞, 1] iar  A  A = (0, +∞) O (– ∞, 1] = (0, 1]. Rezultă că: m = (– ∞, 0], M = [1, +∞). f) Deoarece 0,125 = 125 = 1 = 13 = 2−3 , iar  0, 25 = 1 = 2−2 se obţine: 1000 8 2

4

2 –3 T 4 x T 2 –2 ® 2 –3 T 22 x T 2 –2 ® –3 T 2 x T –2 ⇔ − 3 T x T − 1 . 2

Aşadar  A = ⎡⎢ − 3 , − 1⎤⎥ , m = (−∞ , − 3 ⎤⎥ , M = [–1, +∞). 2⎦ ⎣ 2 ⎦ 156

g) Condiţii: x – 1 > 0 ± x > 1 ± D = (1, + ∞). Folosim proprietatea log a E   E ( x  x) T b, a > 1 ± E ( x  x) T ab. Se obţine succesiv: 2 log2( x  x – 1) T 2 ± x – 1 T 2 ± x T 5.  A = (– ∞, 5) O D = (1, 5), iar  m = (– ∞, 1], M = [5, + ∞). Aşadar  A

⎧ x − 1 > 0 h) Condiţii de existen ţă pentru logaritmi: ⎨ ⎩3 x > 0 Se obţine domeniul de existen ţă: D = (1, +∞) O (– ∞, 3) = (1, 3). Folosim formula de schimbare a bazei pentru logaritmi loga N  = logb N  . logb a

Se obţine succesiv: log2 ( − x 1) T log 4(3 − ) x⇔ log 2( − x 1) T

log2(3 (3 − x) ⇔ log 2 4

1 ⇔ log2 ( − x 1) T log 2 (3 − )x⇔ log 2( − x 1) T log 2 3 − x 2 Din monotonia logaritmilor rezult ă că  x − 1 T 3 − x . Cum x – 1 > 0, prin ridicare la p ătrat avem ( x − 1)2 T 3 − x ⇒ x2 − 2 x + 1 T 3 − x ⇒ x2 − x − 2 T 0 .  x) = x2 –  x  x – 2 este: Tabelul de semn pentru  f ( x  x  x –  x  x – 2

 – ∞ –1 2 +∞ 2 + ++ ++ 0– –– –– 0+ ++ ++

Soluţia inecuaţiei este x i [–1, 2]. Rezultă A = [–1, 2] O (1, 3) = (1, 2], iar  m = (– ∞, 1], M = [2, +∞). ie: E3. Solu ţ ie: a) Avem că –1 T sin x T 1,  ¼  x i Z, deci A = [–1, 1], care este interval m ărginit.

 b) Avem: 2n = 2n + 2 − 2 = 2(n + 1) − 2 = 2 − 2 < 2 , deci M  = 2 este un majorant pentru n +1 n +1 n +1 n +1 n +1 mulţimea  A. Deoarece n ∈ q ⇒ 2n U 0 ,  ¼ n i q deci m = 0 este un minorant pentru  A. n +1 Aşadar  A  A este mulţime mărginită. ( n + 1 − n)( n + 1 + n) 1 = n +1− n = . n +1 + n n +1 + n n +1+ n 1 Aşadar  0 < < 1 , deci A _ (0, 1). n +1 + n

c)

n +1 − n =

d) Deoarece 48 ∈ q , rezultă că n + 1 este divizor pozitiv pentru 48. n +1 Dar  D  D48 = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48}. Rezultă că n + 1 i {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} şi astfel n i {0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 23, 47}.  A = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 23, 47} _ [0, 47]. Aşadar  A e) Deoarece  x2 U 0 ⇒ x2 + 1 U 1 ⇒ 0 < 21 T 1 ⇒ 0 < 22 T 2 , deci A _ [0, 2].  x + 1 x +1 157

 x +1 ∈ A . Rezultă, după aducerea la acela şi numitor: yx2 + ( y  y  x + x +1

f) Fie  y =

2

– 1) x  x + y – 1 = 0.

Ecuaţia are soluţie dacă ∆ U 0. Se ob ţine ∆ = ( y  y – 1)2 – 4 y( y  y – 1) = ( y  y – 1)(–3 y – 1). Soluţiile inecuaţiei ∆ U 0 sunt  y ∈ ⎡⎢ − 1 , 1⎤⎥ . Aşadar   A = ⎡⎢ − 1 , 1⎤⎥ . ⎣ 3 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ie: E4. Solu ţ ie:

a) Avem:  b) Avem:

 x T 3 ⇔ − 3 T x T 3 . Aşadar  x  x i [–3, 3] =  A.

−x1 T 2 ⇔ −2 T −x1 T 2 ⇔ −1 T

Tx 3 .

Aşadar x i [–1, 3] = A.

⎧ x − 2, dacă x − 2 U 0 ⎧ x − 2, dacă x U 2 =⎨ . Rezultă că  x − 2 = ⎨ . ⎩− x + 2, dacă x − 2 < 0 ⎩− x + 2, dacă x < 2 • Pentru x U 2, inecuaţia  x − 2 U 1 se scrie x – 2 U 1 cu solu ţia x U 3, deci x i [3, +∞). • Pentru x < 2, inecua ţia  x − 2 U 1 se scrie –  x + 2 U 1 şi are soluţia x T 1, deci x i (– ∞, 1]. Rezultă că −x2 U 1 ⇔ ∈x(−∞ , 1] ∪ [3 [3 , + ∞) = . A c) Avem:

 x − 2

d) Avem succesiv: 1 T 1 ⇔ 1 − 1 T 0 ⇔ 1 − x T 0 . x

x

x

Alcătuim tabelul de semn pentru  f ( x) = 1 − x .  x

 x  x 1 –  x  x  f ( x  x)

 – ∞ 0 1 +∞ + + + + + 0 + + + + + 0 – – – – – –   – – – – – 0 + + + + + + + + + + + – – – – – | + + + + + 0 – – – – – 

Se obţine că x i (– ∞, 0) N [1, +∞) = A. e) Tabelul de semn pentru  f ( x) =  x2 − 1 este  x − 4  x  x – 1  x2 – 4  f ( x  x)

 – ∞ –2 1 2 +∞ –––––––––––– 0++++++++++ +++++ 0––––––––––0++++++ – – – – – | + + + + + 0 – – –  | + + + + + +

Se obţine: x i (–2, 1] N (2, +∞) = A. 2 2 f) Avem că:  x2 − 4 T 1 ⇔ x2 − 4 − 1 T 0 ⇔ 2 5 T 0 ⇔  x2 − 9 < 0 . x− 9 x− 9 x− 9 Se obţine că x i (–3, 3) = A.

g) Deoarece 0,25 = 2 –2 obţinem că: 2 x+1 T 24 x · 2 –2( x x+1) ® 2 x+1 T 24 x –2 x –2 ® 2 x+1 T 22x–2 ® x + 1 T 2 x – 2 ® 3 T x. Aşadar, x i [3, +∞) = A. h) Condiţiile de existen ţă pentru radical:  x – 3 U 0. Deoarece  x − 3 U 0 ± că  x − 3 U x − 3 U 0 deci domeniul de existen ţă este x i [3, +∞). Prin ridicare la p ătrat se obţine: 2 2 ( x  x – 3) T ( x  x – 3) sau x – 7 x + 12 U 0, cu solu ţia x i (– ∞, 3] N [4, +∞). Aşadar, A = {(– ∞, 3] N [4, +∞)) ∩ [3, +∞) = [4, +∞) N {3}. 158

ie: E5. Solu ţ ie: Vecinătăţi pentru x0 = 0 sunt: V 1, V4, V8, iar vecinătăţi pentru x = –1 sunt: V1, V8, V9.  b) V2 nu este vecin ătate pentru x0 şi x1 deoarece nu con ţine aceste puncte. c) 0 h V2, –1 h V2. d) –1 h V4, e) –1 h q, iar 0 nu apar ţine unui interval inclus în q. e), f) m şi { nu conţine intervale deschise care s ă conţină pe 0 şi –1. i) 0 h V9. ie: E6. Solu ţ ie: O mulţime V _ Z este vecinătate pentru +∞, dacă există a i Z, astfel încât V = ( a, +∞). Vecinătăţi ale lui +∞ sunt. V1, V2, V3, V9.

E7. Soluţie: a) A′ = [0, 3],  b) A′ = l, deoarece  A este mulţime finită; c) A′ = (– ∞, 3] N {– ∞} = [– ∞, 3],  Numărul x = 5 este punct izolat al mul ţimii A.

d) A′ = [–2, 2] N [3, 5], e) A′ = {+∞}, f) A′ = [1, 2].

ie: E8. Solu ţ ie: a), b) Mulţimea A este interval nem ărginit.

c) Mulţimea  A este nemărginită şi superior  şi inferior deoarece con ţine toate numerele pare  pozitive şi numerele impare negative. d) A = (1, +∞). Într-adevăr dacă y i A, atunci rezult ă că există x i (0, 1) cu  y = 1 .  x

Dar, atunci  x = 1 < (0, 1) 0 < 1 < 1 .  y

 y

Rezultă că y > 0 şi 1 < 1 . Cum y este pozitiv, rezult ă că din 1 < 1 se obţine y > 1.  y

 y

 y i (1, +∞) = A. Aşadar  y

e) Inecuaţia  x − 1 U 2 conduce la  x – 1 U 2 sau –  x + 1 U 2, deci x ∈ [3, +∞) au x ∈ (– ∞, –1]. Aşadar  x  x i (– ∞, –1] N [3, +∞) = A. f) Fie  y i  A. Atunci exist ă  x i (2, + ∞) cu  y =  x − 1 . Se obţine că  x = 2 y − 1 iar din condi ţia  y − 1  x − 2 2 y − 1  x > 2 rezult ă că  A = (1, + ∞). > 2 , inecuaţie cu solu ţia y i (1, +∞). Aşadar  A  y − 1 Observa ţ ie. ie.

Deoarece

 x − 1 = x − 2 + 1 = 1 + 1 şi x – 2 > 0 rezult ă că  x − 1 > 1, ∀ x ∈ (2 , + ∞) x− 2 x− 2 x− 2  x − 2

etc.

g)  A = {0, 7, 14, ...} = {7 n | n i q}. Dacă M  i Z ar fi un majorant pentru  A, atunci 7n T M ,  ¼ n i q, sau n T M  , ∀n ∈ q , ceea ce ar însemna c ă mulţimea q ar fi mărginită superior de 7

M  , absurd. A şadar  A  A este nemărginită superior.

7

159

1.4. Calculul limitelor de func ţii  Exersare

ie: E1. Solu ţ ie:

a) 3; e)  =− π + = ,  π 1 0

b) 125; f)  = 3 · 1 2 – 1 + 2 = 4;

c) 3 3 ; d)  = 2 · 2 + 1 = 5; g)  = 53 + 1 = 126, h)  = ln3.

ie: E2. Solu ţ ie:

a)  = (1 + 1)2 + 1 = 5, b)  = ∞ + ∞2 = + ∞, d)  = 3 · ∞ + 1 + ∞2 = +∞, e)  = –7 · ∞2 = – ∞, g)  = log3(0+) = – ∞, h)  = log0,3(0+) = +∞.

c)  = (– ∞)2 – 3 = +∞, f)  = 9 = 3 ,

ie: E3. Solu ţ ie: Aplicăm proprietăţi ale logaritmilor.

a)  = l xi→m1 x =1 ; b)  =  xli→m0 ( x2 +1) = 1 ; c)  =  xli→m5 ( x log5 2) = 5 log 5 2 . d)  = xl→−∞ im  x⋅ log3 1 =−∞⋅ (−1) =+∞ . 3 →−∞

()

ie: E4. Solu ţ ie: Funcţia f are limită în x0 i D′ dacă limitele laterale f ( x  x0 – 0) şi f ( x  x0 + 0) există şi sunt egale. 2 a) f (1 (1 – 0) = 2 · 1 + 3 = 5, f (1 (1 + 0) = 5 · 1 – 1 = 4,  f (2 (2 – 0) = f (2 (2 + 0) = 5 · 2 – 1 = 9. Funcţia f nu are limit ă în x0 = 1, iar în x0 = 2 limita este l = 9.

 b) Avem: lim0 f( x) = lim0( x+ 3) = 3, lim f( x) = lim (4 x ) = +∞ . → x → x → x +∞ →x +∞  x > 0

De asemenea, (1f − 0) =  xli→m1( +x 3) = 4 , (f1 + 0 ) = lxi→m1 4 x = 4 .  x <1

x >1

Aşadar  f   f are limită în x0 i {0, 1, + ∞}.  Sintez ă

ie: S1. Solu ţ ie:

a) Avem: 6 = a – 1 + 3 ± a = 4;  b) 5 + 6 a · 3 = 23 ± a = 1; c) a2 + 2a – 3 = 5 ± a2 + 2a – 8 = 0 ± a i {2, –4}; d)

a =3⇒ a =9 ;

e) a2 + 3a + 11 = a + 14 ± a2 + 2a – 3 = 0 ± a i {–3, 1]; f) 3 a +1 = 3 ⇒ a +1 = 27 ⇒ a = 26 ; g) a −1 = a −1 . Condiţia de existen ţă a – 1 U 0 deci a U 1. Se obţine a – 1 = ( a – 1)2 cu soluţia a i {1, 2}; 2

2

h) 2a = 16 ⇒ 2a = 24 ⇒ a2 = 4 ⇒ a ∈ {− 2 , 2} . 160

S2. Solu ţ ie: ie:

a) Pe mulţimea (0 , 1 ) ∪ ( 1 , 1) funcţia f are limite. 2

2

Studiem existen ţa limitei funcţiei f în  x0 = 1 .

2 Rezultă că:  f 12 − 0 = lim1 log2 x = log2 12 =−1 , iar   f 1 + 0 = lim1(2x − 2) = 2 ⋅ 1 − 2 = − 1 . 2 2  x →  x → 2 2

(

)

()

(

)

Aşadar  f   f are limită şi în  x0 = 1 . 2

 b) Pentru x0 i (0, 1) N (1, 2) f are limită. Avem: (1− f 0) = lim 2 x = 2 , (1+ f 0) = lim log2 =xlog2 1= 0 .  x→1 x →1 Aşadar  f   f nu are limit ă în x0 = 1. Punctul  x0 = 3 este punct izolat pentru domeniul de defini ţie şi în el nu se pune problema existenţei limitei. S3. Solu ţ ie: ie:

a) Avem: f(1 − 0) 0) = lim[ ax2 + ( a+ 2) x] = a+ a+ 2 = 2 a+ 2 şi  f (1+ 0) = lim 3 x = 1 .  x →1  x →1 Din egalitatea f (1 (1 – 0) = f (1 (1 + 0) se ob ţine că 2a + 2 = 1 deci

a = −1 .

2

 b) Avem: f(1 − 0) =  xli→m1[( x+ a)2 + ( x− 1)2 ] = ( a+ 1)2 şi f (1 + 0) =  xli→m1 ( x − 1 + a)( x + 4 − a) = a⋅ (5 − a) . Din egalitatea  f (1 (1 – 0) =  f (1 (1 + 0) se ob ţine ecuaţia ( a + 1) 2 = a(5 – a) sau 2 a2 – 3a + 1 = 0 cu soluţia a ∈ 1 , 1} . 2

c) Avem: f(2 − 0) = lim2 ( ax+ b) = 2 a+ b,  x →  f (2 + 0) = lim log2 x =1,  x→2

 f (4 − 0) = lim log2 x = log2 4 = 2,

,

 x →4

(f4 + 0) = lim( a2x+ bx+ 6) = 16 a+ 4 b+ 6 .  x →4

Din egalităţile f (2 (2 – 0) = f (2 (2 + 0) şi f (4 (4 – 0) =  f (4 (4 + 0) rezultă sistemul de ecua ţii ⎧2a + b = 1 ⎨16a + 4b + 6 = 2 cu soluţia a = –1, b = 3; ⎩ d) Avem: f (1 (1 – 0) = 2 a, f (1 (1 + 0) = 4b, f (3 (3 – 0) = 4 3b, f (3 (3 + 0) = 8 3(a+2). ⎧2a = 4b ⎪ ⎧a = 2b Rezultă sistemul de ecua ţii: ⎨ 3b 3(a+2) sau ⎨ cu soluţia a = –3, b = − 3 . 2 ⎪4 = 8 ⎩ ⎩6b = 9(a + 2) S4. Solu ţ ie: ie:

a) (f−1 − 0) = −1 = 1, (−f 1 + 0) = − 1 , (f0 − 0) = 0 = (f0 + 0) ,   f (1− 0) = 1 =1= f (1+ 0) . Aşadar  f   f are limite în x0 i {–1, 0, 1};  b) f (0 (0 – 0) = 3 =  f (0 (0 + 0), f (3 (3 – 0) = 0 =  f (3 (3 + 0), f (4 (4 – 0) = 1 =  f (4 (4 + 0); d) f (–5 (–5 – 0) = 8 – 5 = 3 =  f (–5 (–5 + 0), f (3 (3 – 0) = 3 =  f (3 (3 + 0), f (5 (5 – 0) = 7 =  f (5 (5 + 0); 2 2 e) Avem: lim f( x) = lim x −1 = 0 , lim f( x) = lim x − 1 = 0 , x 1 x 1 x1 x1 →−

→−

(f2 − 0) = lim 2x−1 = 3 ,  x →2

→

→

(f2 + 0) = lim x →2

161

x+ 1= 3 .

2

1.4.3. Limitele func ţiilor trigonometrice  Exersare

E1. Solu ţ ie: ie: Se obţine:

2 , d)  = cos − π = cos π = 3 , a)  = sin π = 1 , b)  = cos π = 3 , c)  = sin− π =− = − 6 2 6 6 2 6 2 4 2 e)  = sin π = 0 , f)  = cos π =−1 , g)  = sin 2 π = 0 , h)  = cos(−π) = cos π =−1 .

( )

E2. Solu ţ ie: ie:

( )

a)  = tg π = 3 , 3

b)  = tg − π =−tg π = − 3 , 3 3

d)  =−∞ ;

e)  = tgπ = 0 , h)  = ctg 3 π = 0 ; 2

( )

( )

g)  = ctg − π =−ctg π =−1 ; 4 4

( )

c)  = tg − π =−tg π =−1 ; 4 4 f)  = ctg π = 0 ; 2 i)  =−∞ ;

j)  =+∞ .

E3. Solu ţ ie: ie:

a)  = arcsin − 1 =−arcsin 1 = π ; 2 2 6 2π ; =  b)  = arccos − 12 = π − arccos 12 = π − π 3 3 c)  = arccos − 3 = π −arccos 3 = π − π = 5π 2 2 6 6

( ) ( )

() ()

( )

( )

( ) ( ) ( )

d)  = arcsin − 23 =− π 3; ; e)  = arccos − 22 = 3 π 4 f)  = arcsin 2 = π . 2 4

E4. Solu ţ ie: ie:

( ) ( ) ( )

( )

( )

a)  = arctg 3 = π ; d)  = arcctg − 3 = π −arcctg 3 = π − π = 5π ; 3 6 3 3 6 6  b)  = arcctg 3 = π ; e)  = arctg(− 3) =− π ; 3 3 3 c)  = arctg − 3 =−arctg 3 =− π ; f)  = arctg( 3) = π . 3 3 6 3

( )

 Sintez ă

S1. Solu ţ i:. i:.

a) Se obţine egalitatea arcsin a = π şi rezultă că a = sin π =1 ; 2 2  b) arccos a = 0 ± a = cos0 = 1; c) arctg a = π ⇒ a = tg π = 1 ; 4 4 d) arcsin a = π ⇒ a = sin π = 2 ; e) arccos a = π ⇒ a = cos π =−1 ; 4 4 2 f) arctg a =− π ⇒ a = tg − π =− 1 . 4 4

( )

162

S2. Solu ţ ie: ie: a) f (0 (0 – 0) = sin 0 = 0,  f (0 (0 + 0) = 0 2 = 0, deci lim  f (x) = 0  x →0

• lim f( x) ]i lim si sin xnu exist ă  x→−∞

x→−∞

lim f( x) = lim x2 = +∞ .

 x →+∞

x→+∞

 b) lim f( x) = lim sin x= 0 ,  x →0

x→0

•  f ( π −0) =lim sin x =sin π =0  x→π

 f (

π +0) =lim 3( x − π)2 =0 , deci lim  f ( x) = 0 .  x→π

 x →π

• lim f( x) = lim 3( x− π)2 = 3π2  x →2 π

x→ 2 π

c) lim f ( x) = f ( −1+ 0) = arccos(−1) = π ;  x →−1

•  f (0 − 0) = lim arccos x = arccos 0 = π , 2  x →∞  π = π , deci lim  f ( x) = π ; (f0 + 0) = lim 2x+ 2 + x 2 2 2  x →0  x →0 3+ π . • lim f ( x) = lim f ( x) = lim x2 + 2 x+ π = 2 2 →x1 →x1 →x1

(

 x<1

) (

)

d) lim f( )x= lim arctg x=− π ; 2  x→−∞ x→−∞ • f (0 (0 – 0) = arctg0 = 0, (0 + 0) = arcsin0 = 0, deci lim  f (x) = 0 ;  f (0  x→0

•  f (1− 0) = arcsin 1= π , 2  π  f (1+ 0) = arctg 1 = ; 4 • lim (f )x= lim ar arcctg x= 0 .  x →∞

x→+∞

S3. Solu ţ ie: ie: a) Funcţia are limite pentru x0 i (– ∞, 0) N (0, 1) N (1, +∞). Punem condi ţia să existe limite în x0 i {0, 1}. Avem: • f (0 (0 – 0) = sin0 = 0,  f (0 (0 + 0) = b, deci b = 0;

• f (1 (1 – 0) = a + b,  f (1+ 0) = arctg1 = π , deci a + b = π şi se obţine a = π . 4 4 4  b) Func ţia are limită pentru x0 i [–2, –1) N (–1, 1) N (1, 2]. Punem condi ţia să existe limite şi în x0 i {–1, 1}. Avem: • f (–1 (–1 – 0) = a,  π  π  f (−1+ 0) = arcsin(−1) =− , deci a =− ; 2 2 •  f (1− 0) = arcsin 1= π , 2  π  f (1+ 0) = b , deci b = . 2 163

S4. Solu ţ ie: ie:

a) Avem, dup ă explicitarea modulului:

⎧− sin x , x T 0 . ⎩sin x , x > 0

 f ( x) = ⎨

Se obţine: • lim1 f( x) = lim1(− sin x) = − sin(− 1) = sin 1 ;  x → − x →− • lim f( x) = lim sin x= sin 1 ;  x →1 x →1

x 0 , deci lim  f (x) = 0 . • (f0 − 0) =  xli→m0 (−sin )x= 0 , (f0 + 0) = lxi→m0 sin =  x →0

⎧ ⎪−sin x , x ∈⎡ − π2 , 0 ⎤ ⎣ ⎦.  b)  f ( x) = ⎨ ⎪ ⎩sin x , x ∈ (0 , π] Rezultă că: • lim π  f (x) =−sin − π = 1; 2  x →− 2

( )

 π • lim f( x) = lim sin x= sin =1 ;  π π 2  x→

2

x→

2

• f (0 (0 – 0) = –sin0 = 0,  f (0 (0 + 0) = sin0 = 0, deci lim  f ( x) = 0 .  x →0

( )

c) • lim π  f (x) = cos − π = 0 , 2  x→− 2

 π • lim  f (x ) = cos = 0 ,  π 2  x→ 2 • lim  f (x) = cos 0 =1 .  x→0

⎧−arctg x , x T 0 d) Avem:  f ( x) = ⎨ . ⎩ arctg x , x > 0 Se obţine: • lim  f (x) =−arctg (−1) = π , 4  x →−1

• lim  f (x) = arctg 0 = 0 ,  x →0

• lim  f (x) = arctg 1= π . 4  x→1

164

1.5. Operaţii cu limite de func ţii  Exersare

E1. Solu ţ ie: ie: a)  = lim 2x− lim 3 x+ lim →x 4

→x4

x= 42 − 3⋅ 4+

→x4

4= 6 ;

 b)  = 2⋅3−1+ ln 3 = 5 ; 3 c)  = –3; d)



= 2 + 3 – 4 = 1;

e)



= 2;

f)  = 1 + 1 +1= 11 . 2 3 6 E2. Solu ţ ie: ie: a)  = lim( x2 − 2)⋅li l im(x2 − 3) = (− 1)⋅(− 2) = 2 ;  x→1

(

x→1

)(

)

 b)  = lim x2 ⋅ lim log3 x =1⋅log3 1= 0 ; c)



 x→1

x→1

= 0;

⎛ 2 x ⎞⎛ 3x ⎞ 8 27 d)  =⎜ lim ⎟⋅⎜ lim ⎟= ⋅ = 1; ⎝  x→3 8 ⎠⎝ x→3 27 ⎠ 8 27 e)  = 0; f)



= 0.

E3. Solu ţ ie: ie:

a)  =

lim( x −1) x→1

2

lim( x + x +1)  x→1

c)



lim( x2 + 4x −10) 2 b)  = x→2 2; lim(2 x − 3) = 1 =

= 03 = 0 ;

 x →2

d)  = 2 ; 3

= 1;

e)



f)  = 2 . 5

= 0;

E4. Solu ţ ie: ie:

(

a)  = lim( x +1) c)



 x →1

lim  x

)

x→1

= 53 = 125;

(

=2 1 =2 ; d)



b)  = lim sin x

= 1;

e)



 x→0

lim(1+ x)

)

x→0

= 01 = 0 ;

f)  = π . 4

= 0;

 Sintez ă

S1. Solu ţ ie: ie:

(

a)  = lim( x+ d)



→1x

= 0;

e)



3

x)

2

) = ( lim

= 4;

→1x

f)



→1x

= 0;

2

) = (1+1) = 4 ; g)  = ( 2⋅ π+ π) = 6 3

x+ lim

3

2

x

1 2

S2. Solu ţ ie: ie:

165

b) 2 π; 3



h)

= 0; 

= 2;

c)



= 1;

i)  = π . 2

Folosim operaţiile cu limite de func ţii. Se obţine: a π+  π + π2 a) 2 ⇒ a+1 =2 ⇒ a = 3 ; = 2 2  π+  π + 0  b) 9 =1 ⇒ a −1= 9 ⇒ a = 10 ; a −1 c) a + 2a =1 ⇒ 2a + a = a + 2 ⇒ a =1 ; 2+ a a a d) 2a + 4 a = 3 ⇒ 8 ⋅ 22 + 8 ⋅ 4 a = 6 ⋅ 2a + 9 ⋅ 4a ⇒ 2 ⋅ 2 a = 4 a ⇒ 2 a +1 = 2 2a ⇒ 2 ⋅ 2 + 3⋅ 4 8 ⇒ a + 1 = 2a ⇒ a = 1 . S3. Solu ţ ie: ie: a) • lim f ( x) = lim f ( x) = lim( x⋅ tg x) = 0 ; →x0

•

→x0  x>0

→x0

( πf2 −0) = lilim  π  x→ 2  x< π 2

(

)

⋅x tg=x π2 (+∞) = +∞ , iar   f   π2 + 0 =1 .

 π Aşadar  f   f nu are limit ă în  x0 = 2 3  b) •  f (0 − 0) = lim(1− x ) =1,  x →0

x 1) (f0 + 0) = lim( −  x→0

• (f1− 0) = lim( − x 1)  x →1

x= 0 , deci f nu are limită în x0 = 0. x= 0 ,

 f (1+ 0) = lim(1− 3 x ) = 0 ,  x→1

deci



= 0.

3

(

)

c) •  f (0− 0) = lilim 2 x −1 =−1,  x →0  x + x +1  f (0 + 0) = lim(−1+ sin x)3 =−1 ,  x→0

deci

 = –1.

S4. Solu ţ ie: ie:

(  b)  = ( lim

)(

)

a)  = lim sin xlim 3 −x1 = (sin 1)⋅ 3 lim( −x1) = (sin 1)⋅0 = 0 ; →1x x0 →

→1x

x2 + lim ⋅ x lim ln( x+1) x0 →

x0 →

→1x

2

) = (0+ 0) = 0 ; 2

c)  = 3 · log10 = 3; 3 d)  = ( 3 7 +1) = 8 ; 1 e0 e)  = 0 =2; 1+ 2 3 f)  = 4 + 38 = 2 ; 16 − 8 g)  = arcsin0 = 0 ; 1+sin π 2 h)  = log 2(2 + log3 9) = log2 4 = 2 .

166

S5. Solu ţ ie: ie:

1 <⎡1⎤T 1 . − 1 ⎢⎣ x2 ⎥⎦ x2

a) Din definiţia păr ţii întregi se ob ţine că:

2

2 Rezultă că:  x2 12 − 1 < x2 ⎡ 12 ⎤ T 1 sau 1 –  x  x < f ( x  x) T 1.

( x )

⎢⎣ x ⎥⎦

Aşadar, cu criteriul cle ştelui se obţine lim(1 − x2 ) T lim x2 ⎡ 12 ⎤ T 1, deci  x → 0

x →0

⎢⎣ x ⎥⎦



= 1.

 b) Avem: x – 1 < [ x] T x şi astfel  x − 1 < [ x] T 1, ∀ x > 0 .  x

Rezultă că:

[ x] 1 , deci l = 1. T lim T )  x x

lim 1 − 1

 x → ∞

(

x

x →∞

c) Deoarece –1 T sin x T 1,  ¼  x i Z se va ob ţine inegalitatea: − 1 T sin x T 1 şi lim sin x = 0 . x2

x2

x2

 x →∞

 x2

d) Deoarece –1 T cos x T 1,  ¼  x i Z, rezultă că –1 + x T cos x + x T 1 + x. Se obţine inegalitatea x−2 1 T cos 2x+ xT 1 +2 x sau 1 − 12 T cos x2 + x T 1 + 12 .  x

Rezultă că



 x

x

 x

x

x

= 0.

 x x= x ⋅ cos x T e) Se obţine că xcos i cum ş = 0 rezultă că limita cerută l i m 2 2 2 2  x →∞ x + 1 x+ 1 x+ 1 x+ 1 este  = 0. f) Deoarece:  x – 1 < [ x] T x şi 3 x – 1 < [3 x] T 3 x se obţine că 4 x – 2 < [ x  x] + [3 x] T 4 x,  ¼  x i Z. Aşadar, pentru  x > 0 avem inegalitatea 4 − 2 < [ x] + [3x] T 4 , din  = 4.

 x

x

167

1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor de func ţii  Exersare

E1. Solu ţ ie: ie:

a)  = 2 = 2 ; 2 +1 3

b)  = 0 + 0 +1 =1 ; 3⋅0 +1

c)  = 2⋅4 = 8 ; 6 + 4 +1 11

d)  = −3+ 2 =−1 . 4−3

E2. Solu ţ ie: ie:

a)  = 2 = +∞ ; b)  = −1 =−∞ ; c)  = 4 =−∞ ; d)  = 8 = +∞ ; 0+ 2⋅0+ 0− 0+ 2 1 1 = +∞ ; f)  = lim 5 x2 −19 = 1 = +∞ . e)  = lim 2 x + 3x − 4 = = (0−)⋅ (−1) 0+ 0+⋅1  x→1 ( x −1)( x − 2)  x →−2 ( x + 2)( x + 3)  x<1

 x>−2

E3. Solu ţ ie: ie:

a)  = 1 = +∞ ; b)  = 2 = +∞ ; 0+ 0+ d)  = lim 6 x 2 = 18 = −∞ ; e)  = 11 = +∞ ; 0− 0+  x→3 −( x − 3)

c)  = 2 = +∞ ; 0+ f)  = −1 =−∞ . 0+

E4. Solu ţ ie: ie:

Cazuri de nedeterminare 0 . Se aduc expresiile date la forme mai simple. 0 4( x −1) 4( x −1) a) 4 x2− 4 = 2 = 9( x−1)( x+1) = 9( 4x+1) ,  = 92 ; 9 x − 9 9( x −1) 2 ( x −1)( x +1) x −1  b) 2  x −1 = = x+ 2 ,  =−2 ;  x + 3x + 2 ( x+1)( x+ 2) 2 ( x − 2)( x + 2) x + 2 c) 2 x − 4 = = x−1 ,  = 4 ;  x − 3x + 2 ( x−1)( x− 2) 2  x( x − 3) x, d) 2 x−3 x =  =−3 ; = x− 4  x − 7 x +12 ( x− 3)( x− 4) ( x − 2)2 ( x − 2)2 x − 2 e) 2 = x( x− 2) = x ,  = 0 ;  x − 2 x 2 ( x + 2)2 4 4 x + + x x 2, f) =0 . = 2 x( x+ 2) = 2+ 2 x 2 x + 4 x E5. Solu ţ ie: ie:

Caz de nedeterminare ∞ . Fiind limite de func ţii raţionale se compar ă gradele numitorului şi număr ătorului. a)  = 2 =−2 ; −1 e)  = 3⋅(+∞) =+∞ =+∞ ; 2

∞

b)  = −1 ; 2

c)  = −2 =− 1 ; 6 3

d)  = −1 ; 3

f)  = 6⋅(−∞) =−∞ ; 2

g)  = 0 ;

h)  = 0 .

168

E6. Solu ţ ie: ie:

Cazuri de nedeterminare ∞ . Se folose şte metoda factorului comun for ţat.

∞

( ) ( x ) 1  x (1+ ) x  x = lim 3  x ⋅  x ( 4 + )  x

2  x 1+ 1 2 1+ 1 2⋅ 1+ 0  x x= a)  = lim = lim =2;  x→∞ x→∞ 3 0 1 + 3 +1  x +1  x 2

 b)  = lim

→−x∞

x →−∞

2

2

1+ 1 1+ 1 x = lim x = 1+ 0 = 1 ; 4 +0 2 4 + 32 →−∞x 4 + 32  x

(1+ 1 x )

x

1+ 1 x , 1; c) Avem:  x + x = = =3 3 x + 2 x +1  x⋅ 3+ 2 + 1 3+ 2 + 1  x  x  x  x

(

⎛

⎞

 x⋅⎜ 3 1 2 +1⎟ ⎝  x ⎠

 x

)

1 +1 2

3

3 = x d)  x + x = , = 1 ; 2 x + 3  x⋅ 2 + 3 2 2 + x3  x 1 1 2 x 1+ 2 + 2 x x 1+ 2 + 2 1+ 12 + 2 2 1+ 2x =  x x x e)  x + , =3 ; = = 2 2 2  x −1 + x 2  x2 1− 1 + x  x 1− 1 +1 1− 12 +1 2 2

(

)

(

( (

)

(

 x

)

) )

 x

 x

1 1 2 1 + +  x + 2 x +1 x f) ,  = 1+ 2 = 3 ; = 3  x −1 + 4 x +1 3⋅ 1− 1 + 4 + 1 3+ 4 5  x x

(3 − x1 )

(3 − 1x )

3− 1 x = = = g) , pentru x < 0,  =−1 ; 2 1 7 1 7 9 x − x + 7  x2 9 − 1 + 7  x 9 − + 2 − 9 − + 2 2  x x  x ⋅

3 x − 1

(

2

h) 2 x − 3x + 5 = 3 x − 4

 x  x

2 − 3 + 52

 x

 x

 x

(3 − x4 )

x

)

=

x

− 2 − 3x + 52 3− 4

x

x

, pentru x < 0,  =− 2 . 3

 x

 Sintez ă

S1. Solu ţ ie: ie:

Se aduc func ţiile raţionale la forma cea mai simpl ă. 14 = 2 x2 −2 = 2 . Limita este  = 2 . x2 + 2 x+1+ x2 − 2 x+14  f ( x) = 2 −1  x2 −1 ( x+1)3 −8 − ( x−1)2 | x−1 | ( x−1)( x2 + 2 x+1− 2 x− 2 +4) −( x−1)2 | x−1 |  b)  f ( x) = = = ( − 2) ( − 2) x 1)( − x 2) x 1)( − x 2)  x2 + 3 ( x −1) | x −1 | = − 2 −  x − 2 ;  = −41 =−4 ; 2 5 x 6 −x8 ( x − 2)(5x + 4) 5 +x4 ; c)  f ( x) = 2 − =7 ; = = 2 x − 6 x + 4 2( x−1)( x− 2) 2( x−1) 169

( x− 3)( x+ 3) ( x− 3)( x+ 3) x +3 , 1; = ( x−3)⋅2 x = 2 x  = x− 3)( x− 3+ x+ 3) 2 ( x −1)2 − x 2 +x1 −x1 ,  = 0 ; e)  f ( x) = = = (2 x−1)( x−1) ( x−1)(2 x−1) 2 x−1 2 2( x−1)( x+1) 2( x−1) f)  f ( x) = 22 x − 2 = , =1 . = 3 3 x − 6 x −9 3( x+1)( x− 3) 3( x−3) d)  f ( x) = (

S2. Solu ţ ie: ie:

a)  f (2 − 0) = lim  x −1 = 1 =−∞; a  x→2  x − 2  x<2

− x2 = lim −x2  f (2 + 0) = lim 2 = 0−⋅44 =−∞ . ( 2 ) ( 2 )  x x − +  x →2  x − 4 x→ 2 +  x>2

x>2

Aşadar  lim  f ( x) = −∞ .  x → 2

 x − 1

= lim 1 = 1 ,  x →1 ( x − 1)(2 x+ 1) x→1 2 x+ 1 3  x <1

 b)  f (1 − 0) = lim  f (1 + 0) = lim

→1x

 x >1

−x 4 +x3 = lim ( x − 1)(x − 3) = lim −x3 = − 2 . →1x 9( x − 1) →1x 9 9( x − 1) 9 x >1

2

Aşadar  f   f nu are limit ă în x0 = 1. S3. Solu ţ ie: ie:

⎧⎪±∞ , dacă a + 2 ≠ 0 x a a + + 2 2 = 0 = ⎨0 a) lim .  x →1  x − 1 + = , d a c 2 0 ă a − ⎪⎩ 0  x <1 Aşadar limita poate fi finit ă numai în cazul a = –2. 2( x −1) Pentru a = –2 obţinem:  = lim 2 x − 2 = lim =2. x −1  x→1  x −1 x→1 2 ax + 3 9 + 9a . Limita poate fi finit ă dacă 9 + 9a = 0, deci a = –1. Obţinem:  b) lim =  x →3  x − 3 0−  x < 3

 x(3− x) 3  x − x2  = lim lim = = lim(− x) =−3 . →3x  x − 3 →3x x − 3 →3x 2 (1− a) − 4 c) Se obţine:  = , deci este necesar ca (1 –  a)2 = 4, deci a i {–1, 3}. 0± ( + ( + x 1)2 − 4 x 3)( − x 1) • Pentru a = –1 se obţine:  = lim lim lim x + 3 = 2 . = = →1 x( x−1)( x+1) →1 x( x−1)( x+1) →1 x x+1 ( − ( − x 3)2 − 4 x 5)( − x 1) • Pentru a = 3 se ob ţine:  = lim lim lim x − 5 =−2 . = = →1 x( x−1)( x+1) →1 x( x−1)( x+1) →1 x x+1 2 2 d) Se aduce  f la forma:  f ( x) = x + 32 x − a x .  x − 1 2 2 Se pune condi ţia ca 1 + 3 · 1 –  a = 0, deci a2 = 4 şi a i {–2, 2}. 2  x( x − 1) x x şi  = 1 . = Avem:  f ( x) = + 3 x− 4 x= 2 ( x− 1)( x+ 1) ( x− 1)( x+ 1) x+ 1

170

ie: S4. Solu ţ ie:

Cazuri de nedeterminare 0 . Este necesar s ă se aduc ă funcţiile raţionale la forme mai simple. 0 ( x− 1)( x+ 1) + ( x− 1)(6 x+ 5) = x + 1 + 6x + 5 a)  f ( x) = ; =1 ; 5 ( x− 1)(2 x− 3) ( x− 1)(4 x+ 1) 2 x− 3 4 x+ 1 ( x − 2)( x − 4) 1 − x−2 ;  = 1 ;  x − 2  b)  f ( x) = − = ( x− 2)(5 x+ 6) ( x− 4)( x+ 4) 5 x+ 6 x+ 4 16 2 2x + 2 x + x ,  = −1 . x2 + x c)  f ( x) = ( x2 x1)+ = ( 2 ) ( 1 ) ( 2 1 ) x+ x+ x+ 2 2 x+1 + x+ ie: S5. Solu ţ ie:

2 x +1 ⋅lim x = 0⋅1= 0 ;  x→∞ 3 x + 4 x +1 x→∞ x2 +1 1  x 1+ 2  x  b)  = lim 42 x + 3 ⋅lim = 42⋅11 = 2 ;  x →∞ 2 x + 6 x +1 x→∞ 4  x 1+ 2 a)  = lim

2

(

(

)

 x

)

3 3⋅1= 3 ; x2 + 4 x x c)  = lim l i m ⋅ = 2 1  x→∞  x( x +1) x→∞  x +1 2 3 4 x⋅ lim x = 3⋅ lim d) l = lim  x xx+ 2 ( +1) →−x ∞  x +1 x∞ →− →−x ∞  x

x

1+ 12  x

171

=− 3⋅ lim

→−x ∞

1 =− 3 . 1+ 12 x

1.6.4. Limite fundamentale în calculul limitelor de func ţii  Exersare

ie: E1. Solu ţ ie:

⎛ sin(6 x) 6 ⎞ ⎟= 1⋅6 = 6 ; a)  = lim sin 5 x ⋅ 5 = 5 ; b)  = lim⎜ ⋅ 5 x 6 6 6 x x +1⎠  x →0  x →0⎝ ⎛ sin(2 x2 ) 2 ⎞ 2 c)  = lim⎜ d)  = lim sin 2 x ⋅ 4 x ⋅ 2 = 1 ; ⋅ 3 ⎟= 3 ; 2 2 x sin 4 x 4 2  x→0⎝  x→0 2 x ⎠ ⎛ sin( x2 −1) x +1⎞ ⎛ sin( x − 2) 1 ⎞ 1 e)  = lim⎜ 2 f)  = lim⎜ ⋅ x + ⎟= ; ⋅ 1 ⎟= 1⋅2 = 2 ; 2⎠ 4  x→1⎝  x −1  x →2⎝  x − 2 ⎠ ⎛ sin(1− x2 ) 1− x ⎞ 2 g)  = lim⎜ ⋅ 2 ⎟= 2 = 1 ;  x →−1⎝ 1− x2 ⎠ ⎛ sin(3 x − 3) x2 −1 3 ⎞= 1⋅1⋅ 3 = 3 . h)  = lim⎜ ⋅ ⋅ ⎟ 2 2  x→1⎝ 3( x −1) sin( x2 −1) x +1⎠

(

)

(

ie: E2. Solu ţ ie: tg 2 x 2 ⎞  2 ⋅ 3 ⎟ = 3 ; a) l = lim ⎛⎜  x →0 ⎝ 2 x ⎠  tg (3x − 9) 3 ⎞  3 1 ⋅ x + 3 ⎟ = 6 = 2 ;  x →3 ⎝ 3( x − 3) ⎠ 

)

tg ( x − 1)π π ⎞  ⋅ x + 1 ⎟ =  x →1 ⎝ ( x − 1)π ⎠ 

b) l = lim ⎛⎜

π; 2

sin( x − π) ⋅ x − π ⎞ = 1;  x →π ⎝ x− π tg( x− π) ⎟  ⎠  2 ⎛ tg ( x2 −1) ( x −1)( x +1) x x2 −1 ⎞ x2 −1 ⋅ x− ⋅ = ⋅ ⋅ = lim  x x − = e)  = lim⎜ 2 1 1 l i m ⎟ 2 2 2 1) →1⎝ x x −1 →1 xx − x →1 x ( sin( x − x) x − x⎠ = lim x + 1 = 2 ; c) l  = lim ⎛⎜

 x →1

d) l = lim ⎛⎜

 x

⎛ tg ( x −1)2 x2 −1 1 ⎞= 1 . f)  = lim⎜ ⋅ ⋅ ⎟ 2  x→1⎝ ( x −1) sin( x2 −1)  x +1⎠ 2 ie: E3. Solu ţ ie:

⎛ arcsin( x2 ) 1 ⎞ 1 ⎛ arcs arcsin in((3 x) 3 ⎞ 3 a)  = lim⎜ b)  = lim⎜ ⋅ ⎟= ; ⋅1+ x ⎟= 1 = 1 ; 3 x 5⎠ 5  x→0⎝  x →0⎝  x2 ⎠ ⎛ arcs ⎛ arcs arcsin in((10 x) arcsin in((5 x) 10x 5x ⋅10 ⎞ 5⎞ ⎟= 2 ; ⎟= 1 ; c)  = lim⎜ d)  = lim⎜ ⋅ ⋅ ⋅ 10 x arcsin(5x) 5 ⎠ 5 x sin(10 x) 10 10 ⎠ 2  x →0⎝  x →0⎝ ⎛ arctg  x − π 4 x − π π ⎞ x − ⎜ ⎟ 4 1 1 ; 4 = 1⋅lim⋅ 4 e)  = lim⎜ π l i m ⋅ = = 2 2 ⎟ )(π4 x +) π → 4 4x(4π x +) π 8 π π 16 x − π ⎟ → 4⎜ x  x − → 4 (x4 π x − ⎝ ⎠ 4

(

)

ie: E4. Solu ţ ie:

⎛ ln(1+ x 2 ) 1 ⎞ 1 a)  = lim⎜ ⋅ ⎟= ;  x →0⎝ 5⎠ 5  x 2 ⎛ ln(1+5 x 2 ) 5 ⎞ 5 c)  = lim⎜ ⋅ =5 ; ⎟= lim 2  x →0⎝ 5 x 1+ ⎠x x→0 1+ x ⎛ ln(1+ 3  x ) 1 ⎞ 1 e)  = lim⎜ ⎜ 3  x ⋅ 3 5 ⎟ ⎟= 3 5 ;  x →0 ⎝ ⎠ 172

⎛ ln(1+ 6 x) 6 ⎞ 6 3 b)  = lim⎜ ⋅ ⎟= = ;  x →0⎝ 6 x 8⎠ 8 4 ⎛ 8 x 6⎞ 6 3 d)  = lim⎜ ⋅ ⎟= = ;  x →0⎝ ln(1+ 8 x ) 8 ⎠ 8 4 ⎛ ln(1+ x 2 ) 3x2 1⎞ 1 f)  = lim⎜ ⋅ ⋅ ⎟= .  x→0⎝  x 2 ln(1+3x 2 ) 3 ⎠ 3

ie: E5. Solu ţ ie:

⎛ 3 x −1 1 ⎞ ln 3 ; ⎟ a)  = lim⎜ (ln 3)⋅1 = ln ⋅ = 6⎠ 6 6 x  x →0⎝ ⎛ 3 x2 −1 1 ⎞  b)  = lim⎜ 2 ⋅ (ln 3)⋅1 = ln 3 ; = ⎟ 1+ x ⎠ 1  x→0⎝  x 8(8 x−1 −1) c)  = lim = 8⋅ln 8 ; x −1  x→1  x+1 x−2 3 ⎛ ⎞ d)  = lim 2 − 2 = lim⎜ 23 ⋅ 2 −1⎟= 23 ⋅ln 2 ; x −2 ⎠  x →2  x − 2 x→2⎝ x x ⎛ 2 x−1 3 x−1⎞ 2 1 1 3 − + − ⎟= ln 2 − ln 3 = ln 2 ; e)  = lim lim⎜ = − 3 x x x⎠  x →0 x→0⎝ ⎛ 3 x −1 2x −1 ⎞ −  x x ⎜ ⎟ f)  = lim 3 −1 x+1− 2 = lim⎜  x x x = ln 3 −ln 2 ⎟. ln 2 ⎟  x →0 x→0 2 −1 ⎜ 2 −1 ⎝ ⎠  x  Sintez ă

S1. Solu ţ ie: ie:

sin 9 ⋅x3 = 1 + 3= 10 ; x sin 9 x 1 = + a)  = lim 1⋅ sin x + l i m 3 x 3 x→0 9 x 3 3  x→0 3 ⎛ x ⎞ ⎟= lim sin 2 x⋅ 2 + lim sin 5 ⋅x 15 +  b)  = lim⎜ sin 2 x+ 3 sin 5 x+ x( x+1) x( x+1) ⎠ →0 x 2 x x+1 x+1 →0⎝ xx( x+1) →0 x 5 x +  xli→m0 1+ 1 = 2 + 15 + 1 = 18 ; x ⎛ sin(tg x) tg x ⎞ ⎟ 1 1 1; c)  = lim⎜ tg x ⋅ x ⎠= ⋅ =  x→0⎝ ⎛ tg (s (sin x) sin x 1 ⎞ d)  = lim⎜ 1⋅1⋅1 = 1 ; ⎟ ⋅ ⋅ = sin x 2 2 x 2⎠  x→0⎝ ⎛ sin( x2 − 4 x + 3) 3x2 − 4 x +1 x2 − 4 x + 3 ⎞ x2 − 4 x + 3 e)  = lim⎜ 2 ⋅ ⋅ = ⎟= 1⋅1⋅lxi→m1 2  x→1⎝ x − 4 x+ 3 sin(3 x2 − 4 x+1) 3 x2 − 4 x+1⎠ 3 x − 4 x+1 =  xli→m1 (( x −− 11)(3(x −−31)) = lxi→m1 3x −−31 = −1 ; x x x ⎛ tg ( x2 + x − 2) x2 + 5x + 6 x2 + x − 2 ⎞ x2 + x− 2 f)  = lim⎜ 2 1 1 l i m ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⎟ 2  x→−2⎝ x→−2 x + 5 x+ 6 x + x− 2 tg( x2 + 5 x+ 6) x2 + 5 x+ 6 ⎠ ( x + 2)( x −1) −1 =−3 ; = lim ( + 2)( + 3) = lim x+ x x  x→−2 x→−2 x 3 ⎛ arcsin( 2 −1x) ( −1)x( +1)x x2 + x x2 −1 ⎞ x2 −1 g)  = lim⎜ l i m ⋅ ⋅ = = lim  x⋅( x +1) = ⎟ 2 2 2 2 →−1⎝x arcsin( x + x) x + x⎠ →−1 xx + x →−1 x x −1 = lim  x −1 = 2 ;

(

)

(

)

(

 x →−1

)

(

)

 x

⎛ arctg( x2 − 6 x+ 5) arctg( x2 − 6 x+ 5) x2 + 4 x − 5 x2 − 6 x + 5 ⎞ = lim⎜ ⋅ ⋅ h)  = lim ⎟= 2  x →1 arcsin( x + 4 x− 5) x→1⎝ x2 − 6 x+ 5 arcsin( x2 + 4 x− 5) x2 + 4 x− 5 ⎠ 2 1)( x − 5) = = li→m1x 2 −x 6 +x5 = li→m1x(( x −1) lim −x5 = −4 = − 2 . 6 3 →1x x+ 5 x−1)( x+ 5)  x + 4x − 5 173

S2. Solu ţ ie: ie:

a) Folosim formula trigonometric ă: cos2 x = 1 – 2sin2 x. 2 2 2 x x Rezultă că  = lim 1−1+ 22 sin = lim 2 sin 2 = 2 lim sin x = 2 ; →0 x

→0 x

(  x )

 x

→0 x

 b) Folosim formula trigonometric ă: cos a − cos b = −2 sin a + b ⋅ sin a − b . 2 2 Se obţine:  = lim −2 sin 3 x⋅sin x=−2 lim sin x =−2⋅ lim sin x⋅ 5 x ⋅ 1 =− 2 ; ⋅sin 3 x x sin 5 x 5 5 →0 x sin 5 x →0 xsin 5 x →0 x sin 3 x⋅3 x − 5⋅ sin x⋅ x 3⋅ sin3 3 x x− 5 sin x x 3 x x 5 =1 ; = lim = 3− c)  = lim sin 3 x⋅3x x→0 4 sin 4 x− 6⋅ sin 3 x 4 − 6  x →0 sin 4 x 4 ⋅  x − 2⋅ 4 x 3 x 4 x 3 x ⎛ tg(arcsin x) arctg x arcsin x ⎞ ⎟= 1⋅1⋅lim arcsin x = d)  = lim⎜ ⋅ ⋅ x⎠ x  x→0⎝ arcsin x sin(arctg )x arctg x→0 arctg ⎛  x x ⎞ ⎟= 1⋅1= 1 . = lim⎜ arcsin ⋅  x arctg x ⎠  x→0⎝

(

(

(

)

( (

)

) )

(

(

)

) ( ) ) ( )

S3. Solu ţ ie: ie:

⎛ ln(1+ sin 3 x) sin 3x ⎞ ⎟= 1⋅lim sin 3x = lim sin 3 x⋅ 5 x ⋅3 = 1⋅1⋅ 3 = 3 ; a)  = lim⎜ ⋅ sin 3 x sin 9 x⎠ 5 5 →0⎝x →0 x sin 5 x →0 x 3 x sin 5 x 5 ⎛ ln(1+1− 3 x)  x 1−3x ⎞  b)  = lim⎜ ⋅  x ⋅ x ⎟= 1⋅1⋅ (− ln 3) =− ln 3 ; sin  x→0⎝ 1− 3 x ⎠ ⎛ ln(1+ x sin x) x⋅sin 5x sin x ⎞ ⎟= 1⋅1⋅ lim sin x = c)  = lim⎜ ⋅ ⋅ s in 5 x⎠ ⋅sin x ln(1+ xsin 5 x) si  x →0⎝ x→0 sin 5 x =  xli→m0 sin x ⋅ si5nx5 ⋅ 15 = 1 ⋅1⋅ 15 = 15 ;  x x ⎛ ln(1+ ln( x+1)) ln( x2 +1) xln( x+1) ⎞ x⋅ ln( x+1) d)  = lim⎜ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 1 1 l i m ⎟ 2 2 2 ln( x +1)  x→0⎝ x→0 ln( x +1) ln(1+ ln( x +1)) ln( x +1) ⎠ 2 =  xli→m0 ⎛⎜ ln( x + 1) ⋅ x 2 ⎞  = 1 ⋅1 = 1 . ln(1 + x ) ⎟  ⎝  x ⎠ 

(

(

)

(

)

)

S4. Solu ţ ie: ie: sin ax − sin ax (sin ax) cos ax = lim  = lim →0 xsin bx →0 x sin − bx (sin bx) cos bx

(1−coscoaxs ax ) = lim sin ax⋅ bx ⋅ cos bx⋅1−cos ax⋅ a = ( ax sin bx cos ax 1−cos bx b ) 1− cos bx ( cos bx ) →0 x

2

2 sin 2 ax a ⎛ a sin ax bx ⎞  a a2 a 3 a a x a − 1 c o s 2 = lim ⎜ 2 ⋅ 2 ⎟  = ⋅ = . = 1⋅1⋅1 ⋅ b lili→m0x1 − cos bx = b ⋅ li→m0x 2 2 bx b →0x⎜ b a x b x b b ⎟  b ⎜ ⎟  2 sin sin ⎠  ⎝ 2 2 2 Dar   = 1 şi se obţine că a = 1 , deci b = 2a. 8 b 2 2 2 2 2 Avem:  E = a2 − b2 = a2 − 4a2 = −3 . 5 a +b a + 4a

()

174

S5. Solu ţ ie: ie:

( +1x 1⋅sin +x 2 sin 2 +xx ...+ nsin n)x=1⋅lim (sin x +x 2 sin x2 +x ...+ n sin xn)x= n(n +1)(2n +1) x 1+ 2 +... + n = = lim ( sin x+x4⋅sin2 2 x+x...+ n sin nx)n= =14 . 6

 n = lim  x→0

x→0

2

2

2

 x→0

Se obţine

1

= 1,

2

= 1 + 22 = 5,

3

= 1 + 4 + 9 = 14, deci n = 3.

S6. Solu ţ ie: ie:

2 2 +3 x+ a− bx( x−1) 1) (2 − b) x2 +( b+3) 3) x+ a a)  = lim lim . =  x −1 x −1  x→∞ x→∞ Pentru ca limita s ă fie finită trebuie ca num ăr ătorul să aibă gradul cel mult egal cu gradul numitorului. Se impune condi ţia 2 – b = 0, deci b = 2. Atunci: 5 x + a = 5 .  = lim  x→∞  x −1 Aşadar   = a şi  = 5. 2 (1− a) x2 + (1− 2 a) x+1 + x+1− ax( x+ 2) a) Avem:  = lim . = lim  x + 2 x +2  x→∞ x→∞ Limita este finită dacă număr ătorul are cel mult gradul 1. Se impune condi ţia 1 – a = 0, deci a = 1. Rezultă că: − x +1 =−1 , dar l = 3 + b şi se obţine că –1 = 3 + b deci b = –4;  = lim  x→∞  x + 2 (1− a2 ) x2 + x x2 + x− a2 x2 2 c)  =−b + lim( x + x − ax) =−b + lim 2 . =−b + lim 2 →∞ x →∞ x x + x+ ax →∞ x x + x+ ax Limita poate fi finit ă dacă 1 – a2 = 0, deci a = 1 sau a = –1. • Pentru a =−1 ⇒  =−b + lim( x2 + x + x)=+ = +∞ .  x→∞

• Pentru a =1 ⇒  =−b + lim

 x→∞

1 −b . Se ob ţine că 1 − b = 3 deci b = –1. = 2 2 x2 + x+ x 2  x

Aşadar a = 1, b = –1. d)  = lim sin ax ⋅ 3x ⋅ a⋅ 1 = 1⋅1⋅ a = a . Rezultă că a = 2 şi a = 12. ax sin 3x 3 x + 2 6 6  x→0 6 ln(1+ 3− x) e) 1 = a lim =−a , iar   x − 3  x →3 ⎛ 2x−3 −1 8 ⎞ 8(2 x−3 −1) ⎟= (ln 2)⋅8 = 4 ln 2 . lim⎜  2 = lim = ⋅ 6 3 − 3)( x+ 3) x→3⎝ x− 3 x+ 3⎠  x →3 ( x Rezultă a = − 4ln2 ; 3 ⎛ 2x−2 −1  x − 2 ⎞ ln 2 ln 2 1 16(2 x−2 −1) ⎟= = lim⎜ ⋅ = = , iar  f) 1 = lim  x−2  x→2 16(4 −1) x→2⎝  x − 2 4x−2 −1⎠ ln 4 2 ln 2 2

(

 2 = lim  x→1

)

− a2 = 1− a2 .

Din egalitatea 1 = 1 − a2 se obţine a2 = 3 , deci a = ± 3 . 2 4 2

175

1.7. Asimptotele func ţiilor reale  Exersare

E1. Solu ţ ie: ie: a)  D = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) . Aşadar ±∞ sunt puncte de acumulare pentru  D. Rezultă că:

• lim  f (x) = lim 1 = 0 şi lim  f (x) = lim 1 = 0 .  x → +∞

x → +∞

 x

 x → −∞

 x

x → −∞

Aşadar dreapta y = 0 este asimptot ă orizontală la – ∞, şi la +∞.  b)  D = (−∞, 3) ∪ (3, +∞) . Se obţine:

lim  f ( x) = lim 1 = 0 şi lim  f ( x) = lim 1 = 0 ,  x → −∞ x →−∞ x − 3  x → +∞ x → +∞ x − 3 deci dreapta y = 0 este asimptot ă orizontală la – ∞ şi la +∞. c)  D = (−∞, 4) ∪ (4, +∞) . Se ob ţine: lim  f ( x ) = lim  x = −1 şi lim  f ( x) = lim  x = −1 .  x → −∞ x → −∞ 4 − x  x →∞ x →∞ 4 − x Dreapta y = –1 este asimptot ă orizontală la – ∞ şi la +∞. d)  D = −∞ , 1 2

(

) ∪ ( 12 , +∞) .

Se obţine: lim f( x) = 3 = lim f( x) . Dreapta  y = 3 este asimptot ă orizontală la – ∞ şi la +∞.  x → −∞ 2 x→+∞ 2 e) D = Z, iar lim f ( x) = lim f ( x) = 0 . Asimptota orizontal ă la – ∞ şi la +∞ este dreapta  y = 0;  x →∞

x → −∞

f)  D = −∞ , − 5 ∪ − 5 , + ∞ . Asimptota orizontal ă la – ∞ şi la +∞ este  y = 2 . 3 3 3 g) D = [0, +∞). În acest caz numai + ∞ este punct de acumulare pentru  D. Se obţine lim  f ( x) = 0 şi asimptota orizontal ă la +∞, dreapta y = 0.

) (

(

)

 x →∞

h) D = Z,  y = 3 la ±∞. 2 i) D = Z. Se obţine: lim  f ( x) = lim →−x ∞

 x x

→−x ∞

2

+ x+1

x2

= lim

x2 + x+1

→−x∞

= 1,

− x2 = −1 . 2 x →−∞ x + x + 1

lim  f (x) = lim

 x →−∞

Dreapta y = 1 este asimptotă orizontală la +∞, iar y = –1 este asimptotă orizontală la – ∞ E2. Solu ţ ie: ie:

a)  D = (−∞,1) ∪ (1, +∞) . Avem:  f (1 − 0) 0) = lim 1 = 1 = −∞ , f (1 + 0) 0) = lim 1 = 1 = +∞ .  x →1  x − 1 x →1 x − 1 0− 0+  x <1

x >1

Dreapta x = 1 este asimptot ă verticală bilaterală. Dacă x0 i Z \ {1}, atunci lim 1 = 1 ∈ Z , deci nu mai exist ă alte asimptote verticale.  x → x0 x − 1 x0 − 1 )  Db=

1, . Rezult ) ă lim  f (x) = lim −∞( ∪,1) +(∞

1

( x − 1) Dreapta x = 1 este asimptot ă verticală bilaterală;  x →1

x →1

c)  D = (−∞ , − 1) ∪ (−1, 1, 1) ∪ (1, + ∞) . Se obţine: 176

2

= 01 = +∞ . +

−1 = −∞ şi  f (−1 + 0) = −1 = +∞ . x = •  f (−1 − 0) = lim 2 x = lim  x → −1 x − 1 x → −1 ( x − 1)( x + 1) −2 ⋅ 0− −2 ⋅ 0+  x < −1 x < −1 Dreapta x = –1 este asimptot ă verticală bilaterală. 1 =−∞, f (1+ 0) = +∞ , deci dreapta  x = 1 este asimptot ă  x •  f (1− 0) = lim = 0−⋅2  x→1 ( x −1)( x +1)  x<1

verticală bilaterală. d)  D = (−∞, − 2) ∪ (−2 , 2) ∪ (2 , +∞) . •  f (−2 −0) 0) =+∞, f (−2 +0) 0) =−∞ ; •  f (2 −0) = −∞, f (2 +0) = +∞ . Dreptele x = 2, x = –2 sunt asimptote verticale bilaterale. e)  D = (−∞, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2 , +∞) . Asimptote verticale  x = 1 şi x = 2; f)  D = (−1,+∞) . Avem: lim f( x) = lim ln( x+ 1) = −∞ .  x → −1

x →−1  x >− 1

Dreapta x = –1 este asimptot ă verticală la dreapta; g)  D = (−1,+∞) , x = –1; h)  D = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) , x = 0. E3. Solu ţ ie: ie: a)  D = (−∞, 2) ∪ (2, +∞) . Punctele ± ∞ sunt puncte de acumulare pentru  D. • Asimptotă oblică spre – ∞. 2 ( ) Avem: m = lim  f x = lim x = 1;  x →−∞ x → −∞ x ( x− 2) x 2 ⎛ ⎞   x − n = lim ( f ( x) − mx) = lim ⎜ x ⎟ = lim 2 x = 2 . → −x∞ → −x∞ ⎝ x − 2 ⎠  →−x∞ x − 2

Dreapa y = x + 2 este asimptot ă oblică spre – ∞. • Asimptotă oblică spre +∞  f ( x) Avem: m = lim = lim  x→+∞

x

x→+∞

x2 = 1 şi x( x− 2)

⎛ 2 ⎞ lim ( f (x) − mx) = lim ⎜  x − x ⎟= lim 2 x = 2 . →+x∞ →+x∞⎝ x − 2 ⎠ →∞x x − 2 Dreapta y = x + 2 este asimptot ă oblică spre +∞. n=

)  Db=

1, . ) −∞( ∪,1) +(∞ 2  f ( x) + x = 2, 2 x Se obţine: m = lim lim =  x →−∞ x → −∞ x ( x− 1) x ⎛ 2 ⎞  n = lim ( f ( x) − mx) = lim ⎜ 2 x+ x− 2x ⎟ = lim 3 x = 3 . x x ⎝  x − 1 → −∞ → −∞ ⎠  →−∞x x − 1 ( ) Analog se ob ţine că lim  f x = 2 , lim( f ( x) − 2 x) = 3 şi astfel dreapta  y = 2 x + 3 este  x →+∞

 x

x →∞

asimptotă oblică spre – ∞ şi spre +∞; c)  D = (−∞, − 2) ∪ (−2, +∞) . Se obţine că y = –  x + 2, este asimptot ă oblică spre – ∞ şi spre +∞; 177

d)  D = (−∞,1) ∪ (1, +∞) . • Asimptota oblic ă la +∞. 2  x2 + 2 x  f ( x) x Avem: m = lim lim lim + 2x = 1, = = x →+x ∞ →+x∞ x( x−1) →+x∞ x( x−1) ⎛ 2x+ 2 x ⎞ 3 x= 3 . lim⎜ n = lim( f (x) − x) = li − x ⎟= lim →∞x →∞x⎝  x −1 ⎠ →+x∞ x −1 Dreapta y = x + 3 este asimptot ă oblică spre + ∞ . • Asimptotă oblică spre – ∞ . 2  f ( x) Avem: m = lim lim x − 2 x =1 şi = ( x−1) x  x→−∞ x→−∞ x ⎛ 2 ⎞  n = lim ( f ( x) − x) = lim ⎜ x− 2 x− x ⎟ = lim − x = −1. → −x∞ →−x∞ ⎝  x − 1 ⎠  →−x∞ x − 1 Dreapta y = x – 1 este asimptot ă oblică spre – ∞. e) D = [0, +∞). Problema determin ării asimptotei oblice se pune numai la + ∞. Se obţine:  f ( x) x = 1, li m = m = lim  x → +∞  x x → +∞ 1 + x x x n = lim ( f (x) − x) = lim − x = lim − x =−∞ . →+x∞ →∞x 1+  x →∞x1+ x Rezultă că nu există asimptotă oblică.

(

f)  D = −∞ , 1 2

(

Avem:

)

) ∪ ( 12 , + ∞ ) .

⎛ x2 + 2 x ⎞ 1  f ( x) m = lim = lim ⎜ (2 1) ⎟= 2 , x x− ⎠  x→−∞ x→−∞⎝ x

⎛ 2 ⎞ lim f ( x) − 1 x = lim ⎜ x + 2 x− x⎟= lim 5 x = 5 . 2 2 ⎠ →−∞x 2(2 x −1) 4 →−∞ →−∞ x x ⎝ 2 x −1 Dreapta  y =  x + 5 este asimptot ă oblică spre – ∞. 2 4 2  f ( x) x Analog: m = lim lim − 2x = 1 , = (2 x−1) 2 x  x→+∞ x→+∞ x ⎛ x2 − 2 x x⎞ x ⎟= lim −3 = −3 . − n = lim f ( x) − = lim ⎜ 2 2 ⎠ →∞x2(2 x −1) 1) 4 →∞x →+x∞⎝ 2 x −1 Dreapta  y =  x − 3 este asimptot ă oblică spre +∞. 2 4

(

n=

)

(

)

 Sintez ă

S1. Solu ţ ie: ie: a) D = (– ∞, 1) N (1, 3) N (3, +∞) Avem: lim f ( x) = lim f ( x) = 0 , deci y = 0 este asimptot ă orizontală la – ∞ şi la +∞.  x → −∞

x → +∞

1 = +∞ =  x −1)( x − 3) 0−⋅(−2)

•  f (1− 0) = lim (  x→1  x<1

 f (1+ 0) =

 x

1 =−∞ , 0− 178

3 =−∞ , = 2⋅0−  x →3 ( x −1)( x − 3)  x

 f (3− 0) = lim  x<3

 f (3 + 0) = + ∞. Rezultă că dreptele x = 1, x = 3 sunt asimptote verticale bilaterale.

 b) D = (– ∞, –1) N (–1, 1) N (1, +∞). • Asimptote orizontale. Se obţine: 2 2 lim  f (x) = lim −2 x = −1 şi lim  f (x) = lim  x = 1 , deci  y = –1 este asimptot ă orizontală 2  x →−∞ x →−∞ x − 1  x →+∞ x →∞ x − 1 la – ∞, iar  y  y = 1 este asimptot ă orizontală la +∞.

• Asimptote verticale Se obţine:

 x x −1 = +∞ , = −2⋅0+ x→−1  x −1)( x +1)

(f−1+ 0) = lim (f )x= lim (  x →−1  x>−1

x>−1

 f (−1− 0) =−∞,  f (1− 0) = lim  x →1  x<1

 x x −1 =−∞, = ( x −1)( x +1) 0−⋅2

(1 + 0) = + ∞.  f (1 Aşadar dreptele x = 1, x = –1 sunt asimptote verticale bilaterale.  Nu exist ă asimptote oblice, deoarece la ambele ramuri exist ă asimptote orizontale; c)  D = (−∞,1) ∪ (1, 5) ∪ (5, +∞) . Dreapta  y =1 este asimptot ă orizontală la −∞ şi la +∞ , iar dreptele  x =1, x = 5 sunt asimptote verticale bilaterale. 1+ x U 0,  x −1 ≠ 0 . Se obţine  D = (−∞, −1]∪ (1, +∞) .  x −1 • Asimptote orizontale.  x +1 Avem lim  f ( x ) = lim = 1 =1 şi lim  f ( x) = 1 .  x →−∞ x→−∞  x −1  x→+∞ →+∞ Rezultă că  y =1 este asimptot ă orizontală la −∞ şi la +∞ . d) Se pune condi ţia

• Asimptote verticale Avem lim  f ( x ) = lim  x→1

x→1  x>1

 x +1  x −1

=

2 = +∞ , deci  x −1 este asimptot ă verticală. 0+

e)  D = (−∞,−1) ∪ (−1,1) ∪ (1, +∞) . Avem, dup ă explicitarea modulului: ⎧  x 2 1) ∪ (1, +∞) ⎪ ⎪ x 2 −1 ,  x ∈ (−∞,− 1)  f ( x ) = ⎨ 2 ⎪  x ,  x ∈ (−1, 1) ⎪ ⎩1− x 2 • Asimptote orizontale. Se obţine: lim  f ( x ) = lim

 x 2

 x 2

2

2

= 1 şi lim  f ( x ) = lim  x →∞ x→∞ −1 deci  y =1 este asimptot ă orizontală la −∞ şi la +∞ .  x →−∞

x→−∞

179

−1

=1

• Asimptote verticale Avem:

 x 2 (–1 + 0) = + ∞, f (1 (1 + 0) = +  f (−1− 0) = lim 2 = 01 = +∞ , f (–1  x→−1  x −1 +

(1 – 0) = + ∞. ∞, f (1

Dreptele x = 1 şi x = –1 sunt asimptote verticale bilaterale. f)  D = (−∞, 1) ∪ (1, +∞) . Deoarece lim f( x) = +∞ , lim f( x) = +∞ nu există asimptote orizontale la – ∞ şi la +∞.  x →∞

x → −∞

• Asimptote verticale 2 Avem: lim  f (x) = lim  x = 1 = +∞ .  x →1 x →1  x − 1 0+ Dreapta x = 1 este asimptot ă verticală bilaterală. • Asimptote oblice 2  f ( x) lim x lim x = 1 , m = lim = =  x →∞ →∞ →∞ x x  x⋅ x −1 x x −1 2 2 ⎛ ⎞  ⎛ x x− x ⎞ = lim x= 1 . − n = lim ⎜ x ⎟ = lim ⎜ ⎟  →∞x ⎝  x − 1 ⎠  →∞x ⎝ x − 1 ⎠  →∞x x − 1

Aşadar  y  y = x + 1 este asimptot ă oblică spre +∞. • m=

( ) lim  f x = →x−∞  x

2 x lim →x−∞ x x − 1

x = −1 , = l→im x−∞ 1 − x

2 2 ⎛ ⎞  ⎛ x x+ x ⎞ = lim x= −1 . + n = lim ⎜ x ⎟ = lim ⎜ ⎟  → −x∞ ⎝ ( x − 1) ⎠  →−x∞ ⎝ 1 − x ⎠  →−x∞ 1 − x

Dreapta y = –  x – 1 este asimptot ă oblică spre – ∞. g) D = (– ∞, –1) N (–1, 0) N (0, 1) N (1, + ∞). Asimptote orizontale 2 ⎛ x2 ⎞ = 1, deci  y = 1 este asimptot ă Avem: lim f( x) = lim  x f x = = 1 , l i m ( ) l i m ⎜ 2 ⎟  2

→x +∞

→x ∞

x− x

→x −∞

→x −∞

orizontală la – ∞ şi la + ∞.

⎝

x + x⎠ 

• Asimptote verticale Avem: 2  x f( x) = lim 2 →x1  x − x >1x

f(1 + 0) = lim →x1 >1x

 f (1 − 0) = −∞ ,

2  x f (−1 + 0) = lim 2  x → −1 x + x  x > −1

= li→mx1 x x = 1 = +∞ , − 1 0+ >1x

= xl→im−1 x x+ 1 = −01 = −∞ , f (–1 (–1 – 0) = + ∞. x > −1

+

Aşadar  x  x = –1, x = 1 sunt asimptote verticale bilaterale. 2 = Deoarece lim  f ( x) = lim  x lim x = 0 ,  f (0 (0 + 0) = 0, dreapta  x = 0 nu este asimptot ă 2 →x0 →x0 x + x →x0  x + 1

< 0x

<0x

<0x

verticală; h)  D = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞) . • Nu exist ă asimptote orizontale. • Asimptote verticale sunt dreptele  x = –1 şi x = 1. • Asimptote oblice. 180

3  f ( x) lim x2 =  x →∞  x x →∞ x( x − 1)

m = lim

Se obţine:

= 1,

⎛ 3 ⎞ lim ( f (x) − x) = lim ⎜  x − x ⎟= lim 2 x = 0 . 2 →+x∞ →+x∞⎝ x −1 ⎠ →∞x x −1 ( ) Analog se ob ţine că lim  f x = 1, lim ( f ( x) − x) = 0 , deci  y =  x este asimptot ă oblică spre n=

 x

 x →−∞

 – ∞ şi spre + ∞.

x → −∞

S2. Solu ţ ie: ie: a)  D = (−∞,

0) ∪ (0, +∞) . • Asimptote orizontale 1

lim f( x) = lim x⋅ 2 =∞ =∞⋅20 = ∞ ,  x

 x→∞

x→∞

1

lim f( x) = lim x⋅ 2 = −∞ ⋅ 20 = −∞ .  x

 x → −∞

x → −∞

Aşadar nu exist ă asimptote orizontale. • Asimptote verticale  f (0 − 0) = lim x ⋅ 2

1

 x

 x →0  x < 0

 f (0 + 0) = lim x⋅2

1

 x

 x→0  x>0

1 0−

= 0 ⋅ 2 = 0 ⋅ 2−∞ = 0 , iar  1 0+

= 0⋅2 = 0⋅2+∞ = 0

caz de excep ţie. 1

1

 y  x 2 2 Avem: lim x ⋅ 2 = lim = lim = +∞ . →x 0 →x 0 1 →y ∞  y  x

 x > 0

x >0

 x

Rezultă că x = 0 este asimptot ă verticală lateral dreapta. • Asiptote oblice  f ( x) m = lim →x∞  x

1

x ⋅ 2 x = li→m x∞ x

1

= li→m 2 = 20 = 1, x∞  x

1

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞    x n = lim( f (x) − x ) = lim ⎜ x 2 x − x ⎟ = lim x ⎜ 2x − 1⎟ = l im 2 − 1 = ln 2 . →x∞ →x∞ ⎝ ⎠ →x∞ ⎝ ⎠  →x∞ 1  x

1

1  x ⎛ 1 ⎞  f ( x) = Analog, m = lim lim 2 x = 1 şi n = lim ⎜ x⋅2 x − x⎟= lim 2 −1 = ln2 .  x → −∞  x x → −∞  x→−∞⎝ ⎠ x→−∞ 1

 x

Rezultă că dreapta y = x + ln2 este asimptot ă oblică spre – ∞ şi spre +∞.  b) Se pune condi ţia e + 1 > 0 . Se obţine  xe + 1 > 0 cu soluţia: ∈ −∞ , − 1  x

(

 x

• Asimptote orizontale. lim f( x) = lim xln l n e+ 1 = ∞ ⋅ ln e= ∞ ,  x →∞

x →∞

(

 x

)

lim f( x) = lim xln e+ x1 =−∞⋅ln e=−∞ .  x →−∞ x→−∞  Nu exist ă asimptote orizontale.

(

)

181

e

) ∪ (0 , + ∞) = D .

(f0 + 0) 0) = lim xln e+ 1 = lim  x

• Asimptote verticale

(

 x →0  x>0

)

ln(e + y) y

y→∞

=0,

ln(e + y) = −∞ = +∞ +e 1 ) =  yl→− im . e −e x y

(f − 1e − 0) = lim lxn (  x →− 1 e  x <− 1 e

Dreapta  x = − 1 este asimptot ă verticală. e

• Asimptote oblice  f ( x) lim ln e + 1 = x  x→∞  x x→∞

(

• m = lim

) = ln e = 1 ,

⎛e+ y ⎞ ⎟ ln⎜ ⎝ e ⎠ ln(e + y) −1 1 n = lim( f (x) − x) = lim x ln x + − x = lim = lim = →∞x

→∞x

( (

)x )

y

→0y

→ 0y

y

⎛  y ⎞ ln⎜1+ ⎟ ⎝ e⎠ 1 = lim  y =e  y →0 ⋅e e Dreapta  y = x + 1 este asimptot ă oblică spre +∞. e

 f ( x)  x → −∞  x

= xl→im−∞ ln (e + 1 ) = ln e = 1 ,

• m = lim n=

x

ln( + ) − 1 = 1 lim x ln e + 1 − x = lim e y .

 x → −∞

) )

( (

 y

y →0

e

Dreapta  y = x + 1 este asimptot ă oblică spre – ∞. e

c) Se impune condi ţia: 1 + 1 > 0 . Rezultă că x i (– ∞, –1) (0, +∞) = D.  x

• Asimptote orizontale

lim (f )x= lim( x− 1) ln 1 + 1 = lim ⎛⎜ 1 − 1⎞⎟ ln(1 + )y= lim ⎛⎜ →x∞

( )x

→x∞

→y0  y > 0

⎝

y

⎠

→y0

ln(1 lim ( − 1)xln 1 + 1 = lim ⎛⎜ 1 − 1⎞⎟ ln(1 + ) = ylim ⎛⎜ → −∞x

(

)x

⎝

→0 y

 y <0

y

⎠

⎝

→0 y

⎝

ln(1 + y)

(1 − )y⎞⎟ = 1⋅1  ⋅1 y ⎠  

+ y) ⋅ (1 − ) ⎞ =y1.   ⎟   y ⎠  

Rezultă că y = 1 este asimptot ă orizontală la – ∞ şi la + ∞. • Asimptote verticale •  f (− 1 − 0) = lim (x − 1) ln 1 + 1 = −2 ln 0+ = −2( −∞) = +∞ ,  x →− 1  x <− 1

(  x )

•  f (0 + 0) = lim( x − 1) ln 1 + 1 = −1ln ∞ = −∞ .  x →0  x > 0

(  x )

Dreptele x = –1, x = 0 sunt asimptote verticale. 3  x d) Condiţii de existen ţă: + 1 U 0 ,  x − 1 ≠ 0 .  x − 1 Se obţine  x ∈ (−∞ , − 1] ∪ (1, + ∞) .

Deoarece lim  f ( x) = +∞ nu există asimptote orizontale.  x →±∞

182

• Asimptote verticale 3  f (1 + 0) = lim  x + 1 = 2 = +∞ , deci dreapta  x = 1 este asimptot ă verticală. 0+  x →1  x − 1  x >1

• Asimptote oblice 3 3  f ( x) + 1 1 x x = = • m = lim lim lim 2 + 1 = 1, →x∞ →x∞ x →x∞ x ( x − 1) x x− 1  x3 + 1 − x 2 x2 + 1 3 ⎛ ⎞  x −1 = = lim ⎜  x + 1 − x ⎟ = lim x −3 1 li m n = lim( f ( x) − x) = li →x∞ →x∞ ⎝  x − 1 ⎠  →x∞  x + 1 + x →x∞ ⎛ x + 12 ⎞  ⎜ x ⎟ + x  x − 1  x2 ⎜⎜  x − 1 ⎟  ⎟ 

⎝

2 =  xli→∞ m  x + 1 ⋅  x( x − 1)

1  x + 1

 x2

 x − 1

⎠ 

= 1⋅ 12 = 12 . +1

Dreapta  y = x + 1 este asimptot ă oblică spre +∞. 2 3 3  f ( x) = • m = lim lim 1 x + 1 = lim − 2x + 1 = −1, →x−∞ →x−∞ x →x−∞ x x− 1 x ( x − 1) ⎛ 1− y3 ⎞ ⎛ y3 −1 ⎞ ⎛  x3 +1 ⎞ n = lim ( f ( x) + x) = lim ⎜ x = lim ⎜ − y ⎟= lim⎜ − y ⎟= −x1 + ⎟ →−x∞ →−x∞⎝ ⎠ →+y∞⎝ − −y1 ⎠ →∞y⎝ +y1 ⎠ ⎛ ⎞ 3 2 ⎜ ⎟  y −1 −y −1 2 ⎜ 2 ⎟ y1 +y1 − y +y1 − − 1 ⎜ ⎟=− 1 . = lim 3 = lim 3 = lim  y( y +1) ⋅ →∞y  y −1 →∞y y −1 →∞y⎜ 1 ⎟ 2  y + 2 + y +y ⎜ ⎟  y  y +1 y +1 1 ⎜ + ⎟  y +1 ⎝ ⎠ Dreapta  y = −x − 1 este asimptot ă oblică spre – ∞. 2 ie: S3. Solu ţ ie:

Pentru numitor avem ∆ = a 2 − 4a − 4 . Deosebim următoarele cazuri: • ∆ < 0 . Atunci domeniul de defini ţie pentru func ţia  f  este  D = Z şi nu exist ă asimptote verticale.  x0)2 şi dreapta x = x0 este asimptot ă verticală. • ∆ = 0 . Atunci x2 – ax + a + 1 = ( x –  x Se obţine: a ∈{2 − 2 2 , 2 + 2 2} . ( x − 1)( x + 1)  x1)( x  x –  x  x2) şi  f ( x) = • ∆ > 0 . Atunci x2 – ax + a + 1 = ( x –  x . ( x − x1)( x − x2 ) Dreptele x = x1 şi x = x2 sunt posibile asimptote.  x) trebuie să se simplifice fie cu x – 1, fie cu x + 1. Pentru a r ămâne doar o asimptot ă, fracţia f ( x 2  x1 = x – 1 atunci  x1 = 1 şi 1 – a + a + 1 = 2 @ 0. Dacă x –  x

183

 x1 = x + 1 atunci  x1 = –1 şi (–1)2 + a + a + 1 = 0 ± a = –1, iar   f ( x) = Dacă x –  x

2

 x

2

cu singura asimptot ă verticală x = 0. În concluzie exist ă o singur ă asimptotă verticală dacă a ∈{2 − 2 2 , − 1, 2 + 2 2} .

− 1 = x −1 , + x  x

ie: S4. Solu ţ ie: 2  f ( x) = lim ax + 2a + bx  x →∞ x →∞ x x( x− 1)

a) Avem: m = lim

=a.

Din egalitatea a = a2 se obţine a i {0, 1}. Pentru a = 0, f( x) = bx , y= 2 . Atunci este necesar ca 2 = lim f ( x) = b .  x →∞  x − 1 2 Pentru a = 1, f( x) = x + bx+ 2 , y= x+ 2 .  x − 1 ⎛ x2 + bx+ 2 ⎞ (b +1) x + 2 x ⎟= lim Se pune condi ţia 2 = n = lim( f (x) − x ) = lim⎜ − = b +1 .  x −1 x →∞x →∞⎝ ⎠ →∞x x −1 Aşadar b + 1 = 2 ± b = 1.  b) Avem m = 1. Rezultă că

⎛ ( x+ a)( x+ a+1) ⎞ ( a−1) x+ a2 + a −a + 3 = n = lim( f ( x) − x) = lim⎜ ( x+ a+ 2) − a ⎟= lim = a −1 . →∞ x →∞⎝ ⎠ →∞ x x+ a+ 2 x Aşadar – a + 3 = a – 1 ± a = 2.

184

Teste de evaluare Testul 1  Solu ţ ii  ii 

( x − 3)2 lim x − 3 = 0 ,  2 = 1, 1 + 2 =1 . R ăspuns: a). 1. 1 = lim = − 3)( x+ 3) x→3 x+ 3  x →3 ( x 0 sin( x2 − 5 x+ 4) (=0 ) ⎛ sin( x2 − 5 x+ 4) ⋅ x − 1 ⋅ x2 − 5x + 4 ⎞ = lim ⎜ 2 2. a) lim  x →1 x →1 − 1x ⎟  sin( − 1x) ⎝  x − 5x + 4 sin( − 1x) ⎠  2 − 5x + 4 = lim ( x − 1)(x − 4) = lim( x − 4) = −3 ; = 1⋅1⋅ li→m1x x  x →1x →1x −1 x −1 2 2  b) lim x + 3 x = lim x + 3 x2 = 1 = 1 .  x →∞ 2 x + 1 x →∞ 4 2 (2 x + 1) 2  f ( x) = lim x + ax + 3 = 1 , 3. b = m = lim  x →∞

 x

x2

x →∞

2 = n = lim( f (x) − x) = lilim ⎛⎜

2

⎝

→∞x

→∞x

x+ a+x3 − x ⎞ = lim ⎟   x ⎠  →∞x

a+x3 = a . x

Aşadar a = 2, b = 1, a + b = 3. R ăspuns corect a).

Testul 2  Solu ţ ii  ii 

1. a)

⎛ ⎞ xarcsin x lim⎜ x ⋅arcsin x⋅ x ⎟= 1⋅1⋅1=1 ; = arctg x⎠ x ⋅arctg x x→0⎝ sin x  x →0 sin x lim

 x

2

1+ x1 + 12

x  b) lim  x + x −1 = lim 3 x −1 →−∞ →−∞ x x  x 3− 1  x

(

)

− 1+ 1x + 12 1. x = lim = − 3 →−∞ x 3− 1  x

x ⎛ 3 x−1 a x−1⎞ 3 1 1 a x − + − 2. 1 = lim = lim⎜ 3 −  x ⎟= ln 3− ln a = ln 3a .  x→0 x→1⎝ ⎠ Aşadar  ln 3 = 1 ⇒ 3 = e deci a = 3 . R ăspuns corect c).

a

a

e

ax2 +1 3. Deoarece lim (f )x= lim 2 = ,arezultă că dreapta y = a este asimptot ă orizontală.  x →∞ x→∞ x+ 2 b+ x1 Este necesar ca  f să nu mai admit ă alte asimptote. Pentru a nu exista asimptote verticale se pune condi ţia ca ecua ţia  x2 + 2 bx + 1 = 0 să nu aibă soluţii reale. Se obţine ∆ = 4b2 – 4 < 0, deci b i (–1, 1). R ăspuns corect c).

185

Testul 3  Solu ţ ii  ii  2 −x 4 −x4 = lim ( x − 2)(3x + 2) = lim 3 +x2 = 8 = 2 ; 3 1. a) lim →2x  x 2 − 4 →2x ( x− 2)( x+ 2) →2x x+ 2 4 ⎛ 2x −3x ⎞2  x ⎛ 2 x −1 3x −1⎞2 (2 x − 3x )2  b) lim = lim⎜ x ⎟ ⋅ sin x = lim⎜ x − x ⎟ = (ln 2− ln 3)2 . →0 x xsin x →0⎝ →0⎝ x x ⎠ ⎠

(

2.

( x − a)(x + a)( x + a ) = (x + a )( x + a ) = lim x a x→ a x→ a ( x − a) 1 →  x − a = 2a ⋅ 2 a = 4a a . Rezultă că a a = 1 şi a = 1.

4 = lim

( − a)(x + a) =

)

li m

3. Avem: 2 2 a = m = lim  x + a  x →∞  x

= 1 , iar 

2 2 1 = n = lim ( f ( x) − x) = lim( x2 + 1 − x) = lim  x 2+ 1 − x = lim →x−∞ →x∞ →x∞ x + 1 + x →x∞ ceea ce nu se poate. 2 2 +  x a a = m = lim  x →−∞  x

= −1 , deci a = –1, iar  a + 1 = n =  xl→im−∞(

Aşadar a = –1 are proprietatea cerut ă. (–  x) + 3 f ( x  x se obţine egalitate 2 f (–   x) = x 4. Pentru x → – 

2

1 = 0, x +1 + x 2

2 2 + − 1  x x x + 1 + x) = lim x →−∞  x 2 + 1 − x 2

– 1,  ¼  x i Z.

⎧⎪2 f ( x) + 3 f (− x) = x2 −1 Formăm sistemul ⎨ . ⎪⎩3 f ( x) + 2 f (− x) = x2 −1  x) deci f este funcţie par ă. Prin scădere se ob ţine că f (–  (–  x) = f ( x 2 Aşadar, din prima ecua ţie se obţine:  f ( x) =  x − 1 . 5 2  x − 1 Avem că lim  f (x) = 0 ,  ¼  x0 i Z.  x → x0 5

Testul 4  Solu ţ ii  ii 

1. Func ţia f are limit ă pentru  ¼  x i (– ∞, a) N (a, +∞).

Avem: f ( a− 0) = lim( x3 + a3 ) = 2 a3 ,  x→a

f( a+ 0) = lim( x+1) = a+1  x →a

.

Funcţia are limită în a dacă  f (a – 0) = f (a + 0), deci 2a3 = a + 1. Avem succesiv: 2a3 – a – 1 = 0 ± a3 – a + a3 – 1 = 0 ± a(a – 1)(a + 1) + (a – 1)(a2 + a + 1) = 0 ± (a – 1)(a2 + a + a2 + a + 1) = 0 de unde a = 1 şi 2a2 + 2a + 1 = 0, f ăr ă soluţii reale. 186

=0.

2. Calculăm limitele laterale în  x0 = 1.

Rezultă că (f1 − 0) 0) = lim( 2x+ ax+ 3) = a+ 4 ,  f (1 + 0) = lim 3 2x + b = b + 3 .  x →1  x →1  x + 2 3 Aşadar a + 4 = b + 1 deci b = 3a + 9. 3 Avem că: 2 ( x− 1)( x+ a+ 1) f( x) − f(1) = = li→m1x( x + a + 1) = lim lim x + ax+ 3 − a− 4 = lim →1x →1x →1x − 1x − 1x ( − 1x)  x <1

x <1

3 x+ b − b+ 3 2 f( x) − f (1) = a + 2 , iar  li→m1x  x − 1 = li→m1x x + x2 − 1 3

2 = li→m1x−( b+ 3) x + 92 x+ b− 6 = 3( x − 1)( x + 2)  x >1 x >1 =  xli→m1 ( x− 1)[−( b+ 3)2( x+ 1) + 9] = lxi→m1 −( b+ 3)2( x+ 1) + 9 = 9 − 2( b+ 3) = 3 − 2b . 9 9 3( −x1)( x+ 2) 3( x+ 2)

⎧⎪a + 2 = 3 − 2b 9 se obţine că a = − 11 , b = 12 . Din egalităţile ⎨ 5 5 ⎪⎩b = 3a + 9 3. Se obţine:

2=m=

 f ( x) ax + bx2 + cx −1 bx2 + cx −1 lim = lim = a + lim =a+ b . x x  x →+∞ →∞ x →∞ x x2

b − a 2 ) x 2 + cx − 1 ( cx− 1) = −1 = l→im−x∞ f( x) = lil→im−x∞( ax+ bx + cx = l→im . −x∞ bx2 + cx − 1 − ax Se impune condi ţia b – a2 = 0, pentru ca limita s ă fie finită. Rezultă că: 2 2 2 li lim bx +2 cx − 1 − a x → −x∞ bx + cx − 1 − ax

2

−1= lim

→−∞x

cx −1 = bx + cx cx −1− ax 2

lim

→−∞x

(

)

 x⋅ c − 1  x = c 1 x b+ − 2 − ax  x  x

1

lim

→−∞x

c−  x = c . c 1 a b b+ − 2 − a − − x x

⎧ ⎪a + b = 2 ⎪ Aşadar se ob ţine sistemul de condi ţii ⎨a = b2 , cu soluţia c = 2, b = 1, a = 1. ⎪ c ⎪⎩ a + b = 1

187

Capitolul II. Funcţii continue 1.1. Mulţimi de puncte pe dreapta reală  Exersare

ie: E1. Solu ţ ie:

a) Folosind opera ţiile cu limite de func ţii se obţine: lim f ( x) = lim( x2 − 7 x) = lim x2 − lim 7 x= x02 − 7 x0 ,  ¼  x0 i Z. x→ x0

x→ x0

x→ x0

x→ x0

Deoarece f ( x0 ) = x02 − 7 x0 rezultă că funcţia f este continu ă pentru  ¼  x0 i {–1, 0, 1}.  b) Fie x0 i {–1, 0, 2}. Rezult ă că: lim f ( x) = lim ( x + 2 x ) = lim x + 2 lim x = x0 + 2 x0 = f ( x0 ) , x→ x0

x→ x0

x→ x0

x→ x0

deci f este funcţie continuă în x0 i {–1, 0, 2}. c) Pentru x0 i {–2, 1} se obţine că lim f( x) = x→ x0

2  x02  x = + 1 = f( x0 ) , deci f este continuă în x0; lim x→ x0  x + 1 x0

E2. Solu ţ ii: ii:

a) Avem: f(1 − 0) = lim x2 = 1, f(1 + 0) = lim(2 x− 1) = 1, f(1) = 1 , deci funcţia este continu ă în  x →1

x →1

 x0 = 1;

 b) Se obţine:

(f0 − 0) = lim sin x = 1, (f0 + 0) = lim( +x 1) = 1, (f0) = 1 ,  deci  f  este continuă în  x

 x →0

 x0 = 0.

c) Se obţine:

x →0

(f0 − 0) = lim(3 +x1) = 1, (f0 + 0) = lim arcsin x = 1, (f0) = 1 ,   deci  f  este  x →0

x →0

continuă în x0 = 0.

 x

(1 −f 0) = lim arcsin x = arcsin 1 = π , (1 +f 0) = lim ln = 0x,  f (1) (1) = 0, deci  f  este discontinu ă  x →1 x →1 2  x în x0 = 1. d) Punctul  x0 = –1 este punct izolat al domeniului de defini ţie, deci funcţia  f  este continu ă în  x0 = –1. Avem: (1f − 0) = lim(3 + )x= 4 , (1f + 0) = lim  x + 3 = 4 , (1f ) = 4 ,   x →1 x →1 2 x − 1 deci funcţia f este continuă în x0 = 1. •

E3. Solu ţ ie: ie: a) Funcţia este continu ă pe  x0 ∈ (−∞, 1) ∪ (1, +∞) .

Studiem continuitatea în  x0 = 1. Se obţine: f(1 − 0) = lim( x2 − x+ 2) = 2 , f(1 + 0) = lim(2 x− 1) = 1, f(1) =  2 .  x →1

x →1

Limitele laterale exist ă, sunt finite, deci punctul de discontinuitate  x0 = 1 este de prima spe ţă.  b) Studiem continuitatea în  x0 = 0. Se ob ţine: x 0.  f (0 − 0) = lim(2 −x 2) = −1, f (0 + 0) = lim(2 −x3 ) =  x→0

x→0

Rezultă că x0 = 0 este punct de discontinuitate de prima spe ţă. 188

2 c) Se obţine:  f (1− 0) = lim  x = 1 =−∞ ,  f (1 + 0) = lim(3x − 1) = 2 , deci  x0 = 1 este punct 0−  x →1  x −1  x →1  x<1

de discontinuitate de spe ţa a doua (limitele laterale exist ă şi una este infinit ă). d) Avem: (f0 + 0) = lim ln =x −∞ , (f0 − 0 ) = lim 1 = −∞ , f(0) = 2. Punctul  x0 = 0 este punct  x →0  x > 0

x →0 x <0

 x

de discontinuitate de spe ţa a doua (deoarece limitele laterale sunt infinite). E4. Solu ţ ie: ie:

În acest cazuri vom studia continuitatea func ţiilor numai în punctele de leg ătur ă, în rest fiind sigur funcţii continue. a) Avem: f (1 − 0) = lim( x+ a) = 1 + a, f (1 + 0) = lim ( x2 + x + 1) = 3 , f (1) (1) = 1 + a.  x →1

x →1

Dacă a + 1 = 3, deci a = 2, funcţia  f  este continuă pe Z, iar pentru a @ 2, domeniul de continuitate este Z \ {1}.  b)  f  (0 – 0) = 1 + 2 a,  f  (0 + 0) = 3,  f  (0) = 1 + 2a. Dacă 1 + 2a = 3, deci a = 1 funcţia  f  este continuă pe Z \ {0}. a; c) Avem:  f (0 − 0) = lim sin(ax) = lim ⎛⎜ sin(ax) ⋅ a ⎞  = ⎟   x →0 2 x x →0 ⎝ ax2 ⎠  2 sin(5 x + 2a) = 2 ,a (f0) = 2 2a. (f0 +0) 0) = lim 2 x  x→0 Funcţia f este continuă în x0 = 0, dacă şi numai dac ă a = 2a = 2a2 , deci dac ă a = 0. 2 • Pentru a = 0, funcţia f este continu ă pe Z. • Pentru a i Z \ {0} funcţia f este continu ă pe Z \ {0}. d) Studiem continuitatea în  x0 = 0 şi x0 = 1. Avem: • f(0 − 0) = lim(2 ax+ 1) = 1, f(0 + 0) = lim( x+ a) = a, f(0)  = 1  x →0

x →0

• f (1 − 0) = lim( x + a) = 1 + a, f (1 + 0) = lim(3 x + b) = 3 + b, f (1) = b + 3 .  x →1

x →1

• Pentru a = 1 şi 1 + a = 3 + b, deci a = 1, b = –1, funcţia f este continuă pe Z. • Pentru a = 1 şi b i Z \ {–1} funcţia este continuă pe Z \ {1}. • Pentru a @ 1 şi a @ b + 2, funcţia este continu ă pe Z \ {0, 1}.  Sintez ă

S1. Solu ţ ie: ie:

Studiem continuitatea func ţiilor în punctele de leg ătur ă în celelalte puncte din domeniu de definiţie, acestea fiind continue. sin(ax + x2 ) = ⎛ sin(ax + x2) ⋅ a + x ⎞ = a a)  f (0 − 0) 0) = lim lim ⎜ 2 ⎟  ,  x →0 x →0 1  x + ax x ⎝ ⎠  f(0 + 0) = lim ln( x+ e3 ) = ln e3  x →0

= 3 , f(0)  = 3 .

• Pentru a = 3, domeniul de continuitate este Z. • Pentru a i Z \ {3} domeniul de continuitate este Z \ {0}. 189

 b) f(1− 0) = 6 + 4 a2 + 4 a, f(1+ 0) =1+ 4 a. Funcţia este continu ă în x0 = 1 dacă 6 + 4a2 + 4a = 1 + 4a . Se obţine a = 1 . 2 • Pentru a = 1 domeniul de continuitate este C = Z, iar pentru a ∈ Z \ 12 avem C = Z \ {1}. 2

{}

c) Se obţine: (0 – 0) = 2a + 1, f (0 (0 + 0) = a, f (0) (0) = –1 + sin a π.  f (0 Funcţia este continu ă în x0 = 0 dacă 2a + 1 = a = –1 + sina π, adică a = –1. • Pentru a = –1, avem C = [–1, ∞), iar pentru a i Z \ {–1} se obţine C = [–1, 0) N (0, +∞) d) f (a – 0) = 2a + a, f (a + 0) = 3a + a. Egalitatea 2a + a = 3a + a conduce la a = 0. • Pentru a = 0 avem C = Z, iar pentru a i Z \ {0} avem C = Z \ {a}. S2. Solu ţ ie: ie: Se studiază continuitatea func ţiei  f în de definiţie, aceasta fiind continu ă.

punctele de leg ătur ă, în celelalte puncte ale domeniului

a) f (1 (1 – 0) = 9a – 4 · 3a+1 + 12, f (1 (1 + 0) = a – a – 15 = –15. Condiţia de continuitate în  x0 = 1 conduce la ecua ţia exponenţială 9a – 4 · 3a+1 + 12 = –15.  Notăm 3a = y > 0 şi rezultă ecuaţia y2 – 12 y + 27 = 0 cu solu ţiile y1 = 3, y2 = 9. Aşadar 3a = 3 cu soluţia a = 1 şi 3a = 9 cu solu ţia a = 2.  b) Deosebim cazurile. ⎧3bx + 2 x , x T 1 ⎪ 2 . • 2a – 1 = a deci a = 1 când D = Z, iar   f ( x) = ⎨ ⎪⎩9 x − 4bx , x > 1 Funcţia  f  este continu ă în  x = 1, dacă  f (1 (1 – 0) =  f (1 (1 + 0) =  f (1), (1), deci dacă 3b + 2 = 9 – 4 b. Rezultă ecuaţia exponen ţială 3b + 4b = 7 cu soluţia unică b = 1. • 2a – 1 @ a2. În acest caz avem 2 a – 1 < a2 şi  ¼ a i Z \ {1}, b i Z.

D= (−∞ ,

2 a− 1] ∪ [ a2 , + ∞) , iar funcţia este continu ă

c) Se obţine: f (1 (1 – 0) = 2 a – 3b, (1 + 0) = 3 a –1 · 21+b, f (1) (1) = 12.  f (1 ⎧⎪2a ⋅ 3b = 12 Funcţia este continu ă în x0 = 1 dacă ⎨ a −1 1+b . ⎪⎩3 ⋅ 2 = 12

⎧2a ⋅ 3b = 12 ⎪ Sistemul se scrie sub forma ⎨ a b . ⎪⎩3 ⋅ 2 = 18 Înmulţind şi împăr ţind cele dou ă ecuaţii ale sistemului se ob ţine: ⎧6a+b = 63 ⎧6a ⋅ 6b = 12 ⋅18 ⎪ ⎪ a 1. b ⎨ 2 a−b sau mai simplu scris: ⎨ 2 3 12 2 = ⎪ ⎪⎩ 3 ⋅ 2 = 18 ⎩ 3 3 ⎧a + b = 3 Aşadar  ⎨ şi rezultă soluţia a = 2, b = 1. − = 1 a b ⎩

()

() ()

190

()

d) Obţinem: f (1 (1 – 0) = 2 a + 3b,  f (1 (1 + 0) = 5,  f (2 (2 – 0) = 5,  f (2 (2 + 0) = 2 2a + 32b – 8. Funcţia f este continuă în x = 1 şi x = 2 dac ă 2a + 3b = 5 şi 22a + 32b – 8 = 5. ⎧⎪2a + 3b = 5 Se obţine sistemul de ecua ţii exponenţiale ⎨ 2a . 2b ⎩⎪2 + 3 = 13 ⎧u + v = 5 Se noteaz ă 2a = u, 3b = v şi avem ⎨ 2 2 . ⎩u + v = 13 Se substituie v = 5 – u în a doua ecua ţie şi rezultă ecuaţia de gradul 2 în u: u2 + (5 –  u)2 = 13 cu soluţiile u1 = 2, u2 = 3. Pentru u = 2 se ob ţine v = 3 iar pentru u = 3 se ob ţine v = 2. ⎧2 x = 2 ⎪⎧2 x = 3 ⎪ Aşadar rezult ă sistemele de ecua ţii: ⎨  y şi ⎨ ⎪⎩3 = 3 ⎪⎩3 y = 2 cu soluţiile x = y = 1, respectiv  x = log23, y = log32. S3. Solu ţ ie: ie: a) Avem: f (1 (1 – 0) = 2,  f (1 (1 + 0) = a + b + 3, f (1) (1) = 2. Funcţia f este continuă şi în punctul  x0 = 1 dacă 2 = a + b + 3, deci a + b = –1.

Avem: • lim

2 ( x−1)(3 x+ 2) f( x) − f(1) = lim 3 x − x − 2 = lim = lim(3 x + 2) = 5 . −x1 −x1 −x1 →1x →1x →1x

• li m

2 f( x) − f(1) b x + 3 − a − b − 3 = lim ( x− 1)( a( x+ 1) + b) = lim a (x + 1) + b = = lim ax + bx →1x →1x →1x − 1x − 1x − 1x

→1x  x<1

→1x

 x >1

= 2a + b . Limita dată există dacă 2a + b = 5.

⎧a + b = −1 cu soluţia a = 6, b = –7. + = 2 5 a b ⎩

Rezultă sistemul de ecua ţii ⎨  b) Obţinem: (0 − 0f) = lim  x →0

ln(1 + sin 2 x) =  x

⎛ ln(1 + sin 2 x) ⋅ sin 2 x ⎞ = 1⋅ 0 = 0 , (0 + 0f) = . 2 x →0 x ⎟  ⎝ sin  x ⎠ 

lim ⎜

Funcţia este continu ă şi în punctul x0 = 0 dacă b = 0.

⎛ ln(1 + sin2 x) ⋅ sin 2 x ⎞ = 1⋅1 = 1 , iar  ( ) − (0) ln(1 + sin 2 x) = Avem: lim f x f = lim l i m 2 →0x →0x →0x⎜  x x2 x2 ⎟  ⎝ sin x ⎠   x < 0 ( ) − (0) lim f x f   = lim ax − 0 = a .

 x →0  x > 0

 x

x →0

x

Limita există dacă a = 1. Aşadar  a = 1, b = 0.

191

b

2.2. Operaţii cu funcţii continue  Exersare

E1. Solu ţ ie ie.

 f  Toate func ţiile  f  şi  g  sunt funcţii continue deci  f  +  g ,  f  –  g  sunt funcţii continue pe  g ,  f  ·  g  şi  g 

domeniul de defini ţie. E2. Solu ţ ie: ie: a) Avem: ( f  g)( x) = f ( g( x)) )) = g( x) − 1 = (2 x − 3) − 1 = 2 x − 4 , ( g  f )( x) = g( f ( x)) = 2 f ( x) − 3 = 2( x − 1) − 3 = 2 x − 5 .

Funcţiile compuse sunt continue pe Z deoarece sunt func ţii elementare (funcţii de gradul 1);  b) Avem: ( f  g)( x) = f ( g( x)) = g 2 ( x) + 1 = ( x − 1)2 + 1 = x2 − 2 x + 2 , ( g  f )( x) = g( f ( x)) = f ( x) − 1 = ( x2 + 1) − 1 = x2 . Funcţiile obţinute prin compunere sunt func ţii de gradul 2 şi sunt continue pe Z. c) Avem: ( f  g)( x) = f ( g( x)) = g2 ( x)+1= ( x− 1)2 +1= x2 − 2 x+ 2 , ( g  f )( x) = g ( f ( x)) = f ( x)−1= x2 +1−1 . Funcţiile compuse sunt continue deoarece f  şi g sunt continue. d) Funcţiile f , g sunt continue deci şi f  g , g  f   sunt continue. Avem ( f  g)( x) = ln[(2 x − 1)2 + 1] = ln(4 x2 − 4 x + 2) , ( g  f )( x) = 2 ln(1+ x2 ) − 1.  Sintez ă

S1. Solu ţ ie: ie: Fie h = f + g .

⎧ x+ a, xT 0 ⎧2 ax, x T 0 ⎧x + a + 2ax , x T 0 ⎨ ⎨ ⎨ + = . h( x) = ( f + g )(x) = f (x ) + g (x ) = 2 ⎩ x +1, x> 0 ⎩ x− x2 , x> 0 ⎩ x +1, x > 0

Avem că h(0 – 0) = a şi h(0 + 0) = 1. Aşadar  f   f + g este continu ă şi în x0 = 0 dacă a = 1. S2. Solu ţ ie: ie:

a) Deoarece f (1 (1 – 0) = –1 şi f (1 (1 + 0) = 1, func ţia f nu este continu ă în x0 = 1. Domeniul său de continuitate este C = Z \ {1}. ⎧(−1)2 ,  x T 1, ∀x ∈ Z ⎪ 2 2 Funcţia  f  : Z → Z este  f ( x) = ⎨ 2 şi este continu ă pe Z. ⎪ >  x 1 ⎩1 ,  b) Avem: f (1 (1 – 0) = 1,  f (1 (1 + 0) = –1 deci  f este discontinu ă în x0 = 1. ⎧ x2 , x T 1 2 2 Pentru  f  avem:  f ( x) = ⎨ . >  x 1, 1 ⎩ 2 Se observă că funcţia  f  este continuă pe Z. 192

c) Avem:  f (1 (1 – 0) = a + 1,  f (1 (1 + 0) = 3. Dacă a + 1 = 3, deci a = 2, atunci func ţia  f  este continuă pe Z şi se obţine că  f 2 este continu ă pe Z. ⎧ ⎪( x+ a)2 , x T 1 2 Avem g( x) = f ( x) = ⎨ ⎪ ⎩(2 x +1)2 , x >1 Studiem continuitatea func ţiei  f 2 în x0 = 1. Se obţine: g (1 (1 – 0) = (1 + a)2, g (1 (1 + 0) = 9. 2 Funcţia  f  este continuă în x0 = 1 dacă (1 + a)2 = 9 deci dacă a i {2, –4}. Aşadar: • pentru a = 2, f şi  f 2 sunt continue pe Z; • pentru a = –4, f este continu ă pe Z \ {1} iar   f 2 este continuă pe Z; • pentru a i Z \ {–4, 2} func ţiile f şi  f 2 sunt continue pe Z \ {1}. d) Avem  f

2

⎧⎪(2 x+ a)2 , x T 2 ( x) = ⎨ . 2 ⎩⎪( x+ a) , x > 2

Se obţine f (2 (2 – 0) = a + 4, f (2 (2 + 0) = a + 2, deci f este discontinuă în x0 = 2 pentru oricare a i Z. De asemenea,  f 2 (2 – 0) = ( a + 4)2,  f 2 (2 + 0) = ( a + 2)2. Din egalitatea ( a + 4)2 = (a + 2)2 se obţine că a = –3. • Pentru a = –3, f este continu ă pe Z \ {2}, iar   f 2 este continu ă pe Z. • Pentru a i Z \ {–3}, func ţiile f şi  f 2 sunt continue pe Z \ {2}. S3. Solu ţ ie: ie:

⎧−1,  x < 0 ⎧−6 , x < 0 ⎪ ⎪ a) ( f  g)( x) = f ( g( x)) = 2 sgn( x) − 4 = 2⋅⎨ 0 , x= 0 − 4 = ⎨−4 , x= 0 . ⎪ ⎪ ⎩ 1,  x > 0 ⎩−2 , x > 0

Rezultă că  f  g  este discontinu ă în x0 = 0 şi continuă pe Z \ {0}.  b)  f  g  este continu ă pe Z deoarece func ţiile f şi g sunt continue pe Z.

⎧1, g( x) T 1 ⎧1, 2 x− 1 T 1 ⎧1, xT 1 =⎨ =⎨ c) ( f  g)( x) = f ( g( x)) = ⎨ . > − > 2 , ( ) 1 2 , 2 1 1 g x x ⎩ ⎩ ⎩2 , x> 1 Rezultă că  f  g  este continuă pe Z \ {1}. ⎧1 − g( x) , g( x) T 1 d) ( f  g)( x) = f ( g( x)) = ⎨ . > 0 , ( ) 1  g x ⎩ Să rezolvăm inecuaţia g ( x  x) < 1. 2 2 • Dacă x T 1, se ob ţine că g ( x  x) = a şi inecua ţia este a T 1. Se deosebesc situa ţiile: • a2 T 1 deci a i [–1, 1], şi soluţia inecua ţiei este x T 1. • a2 > 1, deci a i (– ∞, –1) N (1, +∞), şi inecuaţia nu are solu ţii. • Dacă x > 1, atunci g ( x  x) = x şi inecuaţia este x > 1, cu solu ţia x i (1, +∞). Aşadar   x) T 1 este x i Z, şi obţinem că: • pentru a i [–1, 1], solu ţia inecua ţiei g ( x ⎧1 − a2 , x T 1 ( f  g)( x) = 1 − g( x) = ⎨ . − > 1 , 1  x x ⎩ 193

Rezultă că ( f  g)(1 − 0) = 1 − a2 , ( f  g)(1 + 0) = 0 . Funcţia  f  g  este continuă dacă 1 – a2 = 0, deci dac ă a i {–1, 1}.  x) T 1 este  x > 1, deci  x i (1, +∞). • Pentru a i (– ∞, –1) N (1, + ∞) soluţia inecuaţiei  g ( x ⎧1 − g( x) , x > 1 ⎧1 − x, x > 1 =⎨ Rezultă că ( f  g)( x) = ⎨ funcţie continuă pe Z. ⎩ 0 ,  x T 1 ⎩0 , x T 1 S4. Solu ţ ie: ie:

⎧e g ( x) , g( x) T 0 a) ( f  g)( x) = f ( g( x)) = ⎨ . + > g x g x ( ) 1 , ( ) 0 ⎩  x) T 0. Rezolvăm inecuaţia g ( x  x) = ln x şi inecuaţia este ln  x T 0, deci x i (0, 1]. Nu sunt solu ţii. • Pentru x > 1 avem g ( x • Pentru x T 1, g ( x  x) = x şi inecuaţia este x T 1 cu solu ţia x i (– ∞, 1]. Aşadar soluţia inecuaţiei g ( x  x) T 1 este x i (– ∞, 1]. Rezultă că: ⎧e ( g) ,x x T 1 ⎧e , x x T 1 =⎨ ( f  g)( x) = ⎨ iar   f  g  este discontinu ă în  x = 1 şi + > > + > ( ) 1, 1 , 1 , 1 1 ln l n , 1 g x x x x x ⎩ ⎩ continuă pe Z \ {1}.

) , f ( x) > 1 ⎧ln f ( x), . ( ) , ( ) 1 f x f x T ⎩

• Avem ( g  f )( x) = g( f ( x)) = ⎨ Rezolvăm inecuaţia f ( x  x) > 1.

• Pentru x T 0, f ( x  x) = e x şi inecuaţia este e x > 1 care are solu ţia x > 0.  Nu exist ă soluţii pentru f ( x  x) > 1. • Pentru x > 0, f ( x  x) = x + 1 şi inecuaţia este x + 1 > 1, deci  x > 0. ⎧ln f ( x) , x > 0 ⎧ln( x + 1) , x > 0 Aşadar  f   f ( x  x) > 1 dac ă x i (0, + ∞). Se obţine că ( g  f )( x) = ⎨ =⎨ ⎩ f ( x) , x T 1 ⎩ e x , x T 0 şi  g  f  continuă pe Z \ {0}. ⎧ ⎪ g( x) , g( x) U 0  b) ( f  g)( x) = ⎨ . ⎪ 3 g( x) , g( x) < 0 ⎩

Rezolvăm inecuaţia g ( x  x) U 0.  x) = x2 U 0. • Pentru x U 0 ⇒ g ( x 3 • Pentru x < 0 ⇒ g ( x  x) = 1 + x > 0, dacă 1 + x > 0, deci  x > –1. Soluţia este în acest caz  x i (–1, 0). Rezultă că g ( x  x) U 0 dacă x i (–1, 0) N [0, +∞) = (–1, + ∞). Aşadar:

⎪⎧ ⎪⎩ 3

( f  g)( x) = ⎨

⎧ g( x) , x ∈ (−1, 0) ⎧ 1 + x3 , x ∈ (−1, 0) ⎪⎪ 2 g( x) , x ∈ (−1, + ∞) ⎪ = ⎨ g( x) , x∈ [0 , ∞) = ⎨ x , x∈ [0 , + ∞) ⇒ g( x) , x ∈ ( −∞, − 1] ⎪ ⎪3 3 ⎩ 3 g( x) , x ∈ ( −∞, − 1] ⎩⎪ 1 + x , x ∈ (−∞ , − 1] 194

⎧ 3 1 + x3 , x T − 1 ⎪⎪ ( f  g)( x) = ⎨ 1 + x3 , x∈ (−1, 0) . Rezultă că  f  g  este continuă pe Z \ {0}. ⎪ x , x ∈ [0 , + ∞) ⎪⎩ ⎧⎪ f 2 ( x) , f ( x) U 0 • ( g  f )( x) = g( f ( x)) = ⎨ . 3 ⎪⎩1 + f ( x) , f ( x) < 0  x) U 0. Rezolvăm inecuaţia f ( x • Pentru x U 0 avem f( x) = x şi inecuaţia este  x U 0 cu soluţia x U [0, +∞). • Pentru x < 0 avem f( x) = 3 x şi inecuaţia este 3  x U 0 f ăr ă soluţii pe (– ∞, 0). Aşadar  f   f ( x  x) U 0 dacă x i [0, +∞). ⎧⎪ f 2 ( x) , x U 0 ⎧⎪( x)2 , x U 0 ⎧ x, x U 0 = = Rezultă că ( g  f )( x) = ⎨ ⎨ ⎨1 + x , x < 0 . 3 3 3 ⎪⎩1 + f ( x) , x < 0 ⎪⎩1 + ( x) , x < 0 ⎩ Funcţia  g  f  este continuă pe Z \ 0}.

195

2.3. Semnul unei funcţii continue pe un interval  Exersare

E1. Solu ţ ie: ie: Funcţia f este funcţie de gradul 1, deci este func ţie continuă pe Z. Aşadar  f   f are proprietatea lui Darboux pe oricare interval  I _ Z.

ie: E2. Solu ţ ie:

a), b) Se arat ă că funcţiile sunt continue deci au proprietatea lui Darboux pe  I . c) Funcţia  f  este discontinu ă în  x0 = 0, punctul  x0 = 0 fiind punct de discontinuitate de prima speţă. Cum 0 i I rezultă că funcţia f nu are proprietatea lui Darboux pe  I . E3. Solu ţ ie: ie: a) D = Z. Rezolvăm ecuaţia f ( x  x) = 0. 2 Se obţine succesiv:  x3 –  x  x = 0 ⇒ x( x  x – 1) = 0 ⇒ x i {0, –1, 1}. Alcătuim tabelul de semn:

 x

 x

Avem:

3

–  x  x

(−f 12 ) = − 18 + 12 > 0 ,

 – ∞ –1 0 1 +∞ ––––0+++0–––0++++++ (−f3) = −24 < 0 ,

(3) = 24 > 0. ( 12f ) > 0 , f   (3)

 x  b) D = 0. Ecuaţia f ( x  x) = 0 este 2 – 1 = 0 cu solu ţia x = 0. Tabelul de semn, având în vedere c ă f (–1) (–1) < 0, f (1) (1) > 0 este:

 x  f ( x  x)

 – ∞ 0 +∞ ––––––––0++++++++

2  x+1  x+1 c) D = Z. Ecuaţia f ( x  x) = 0 se scrie 3 – 9 = 0 sau 3 = 3 şi are soluţia x = 1. 3x+1 = 32 şi are soluţia x = 1. Tabelul de semn:

 x  f ( x  x)

 – ∞ 1 +∞ ––––––––0++++++++

d) D = [0, 2 π]. Ecuaţia f ( x  x) = 0 este sin x = 0 şi are solu ţiile x i {0, π, 2 π}. Tabelul de semn:  x sin x

 π 0 2 π 0++++++0–––––––0

 Sintez ă

S1. Solu ţ ie: ie: Se arată că interval I _ Z.

funcţiile sunt continue pe Z, deci au proprietatea lui Darboux pe oricare

Vom studia continuitatea func ţiilor doar în punctele de leg ătur ă, în rest func ţiile fiind continue. 1− x 1 a)  f (1− 0) = lim 1−  x2 = lim = lim = 1 , iar  →1 x1− x →1 x(1− x)(1+ x)(1+ →1 x(1+ x)(1+ x) x) 4 sin(4 −x 4) = ⎛ sin(4 −x 4) ⋅ 4( −x 1) ⎞ = 4( −x 1) = li m ⎜ li m lim 1 = 1 .  f (1 + 0) = lim ⎟  2 2 →1x 8 x − 8 →1x ⎝ 4( − →1x 2( x + 1) 4 x 1) 8( x − 1) ⎠  →1x 8( + x 1)( − x 1) 196

Având  f (1) = 0, 25 25 = 1 rezultă că funcţia f este continuă în x0 = 1. 4 ⎛ sin( − ⎞ − x 1 sin( − x 1) x 1)  b)  f (1− 0) = 0 , f (1+ 0) = lim = lim⎜ ⋅ x −1 ⎟= 1⋅0 = 0 . 2 3( x +1) ⎠  x →1 x →1⎝  x −1 3( x −1)  x>1 x>1 Rezultă că f este continuă în x0 = 1. 1 ⎞−1 1 ⎞−1 ⎛ ⎛ 0 c) f (2) (2) = 0,  f (2 + 0) = lim⎜1+ 3 x−2 ⎟ =⎜1+ 3 + ⎟ = (1+ 3+∞)−1 = ∞−1 = 1 = 0 . ∞ ⎠ ⎝  x →2⎝ ⎠  x>2

Aşadar  f   f este continu ă în x0 = 2. d) Dacă x0 i m avem că f ( x  x0) = 0 şi lim f( x) = lim sin π x= sin π x0 = 0 . x→ x0

x→ x0

Aşadar  f   f este continu ă în x0 i m. . S2. Solu ţ ie: ie: a) Fie  f  : [0,

3 2 2] → Z, f ( x  x) =  x + 4 x – 5. Func ţia  f  este funcţie continu ă, deci are proprietatea lui Darboux pe  I . Avem că f (0) (0) = –5 < 0,  f (2) (2) = 19 > 0, deci exist ă x0 i (0, 2) cu f ( x  x0) = 0. 3  b) Funcţia  f  : [0, 3] → Z,  f ( x  x) =  x + 5 x – 27 este continu ă şi are proprietatea lui Darboux pe [0, 3]. Deoarece  f (0) (0) = –27 < 0,  f (3) (3) = 15 > 0 exist ă x0 i (0, 3) cu f ( x  x0) = 0;

c) Funcţia f : [0, 1] → Z, f(x) = x + 2x – 2 este continu ă şi f (0) (0) · f (1) (1) = (–1) · 1 = –1 < 0. Din proprietatea lui Darboux rezult ă că există x0 i (0, 1) cu f ( x  x0) = 0; d) Funcţia  f  : ⎡⎢− π , 0 ⎤⎥ → Z , f ( x  x) = x + 1 + sin x. Avem  f − π = − π < 0 , f (0) = 1 > 0 . 2 2 ⎣ 2 ⎦

( )

Din continuitatea func ţiei f rezultă că ∃ x0 ∈ − π , 0 cu f ( x  x0) = 0. 2 e) Consider ăm f : (0, 1) → Z, f ( x  x) = x + ln x. Funcţia f este continu ă. Avem f (1) (1) = 1 > 0 şi f(0 + 0) = lim f( x) = lim( x+ ln x) =−∞ < 0 .

(

 x→0  x>0

)

x→0 x>0

Aşadar există x0 i (0, 1) cu proprietatea c ă f ( x  x0) = 0. S3. Solu ţ ie: ie: a) D = Z. Ecuaţia f ( x  x) = 0 este x(2 x – 1) = 0 şi are solu ţia x = 0. Tabelul de semn al func ţiei:

 x  f ( x  x)

 – ∞ 0 +∞ +++++++ 0++++++++

 x  x  b) D = Z. Ecuaţia ( x  x – 1)(3 – 2 ) = 0 au solu ţiile x = 1, x = 0. Tabelul de semn:

 x  f ( x  x)

 – ∞ 0 1 +∞ +++++ 0–––– 0++++++

c) D = (–2, +∞). Avem: (f )x= 0 ⇒ (3 x −1) log2 ( +x 2) = 0 ⇒ 3x = 1 sau log2 ( x + 2) = 0 ⇒ x1 = 0 sau  x + 2 = 1 deci  x i {–1, 0}. 197

Tabelul de semn:  x  f ( x  x)

 

–2 –1 0 ∞ +++++ 0–––– 0+++++++

+

d) D = Z \ {2}. Ecua ţia f ( x  x) = 0 are solu ţia x = 0. Tabelul de semn:  x  f ( x  x)

 – ∞ 0 2 +∞ +++++ 0–––– |+++++++

e) D = [1, 3) N (3, +∞). Ecuaţia f ( x  x) = 0 conduce la  x −1 −1 = 0 sau  x − 1 = 1 cu soluţia x = 2. Tabelul de semn:  x  f ( x  x)

1 2 3 +∞ +++++0––––|+++++++++

3 4 3 4 f) D = Z. Ecuaţia f ( x  x) = 0 se scrie ( x –  x  x) ( x  x – 16) = 0 de unde x –  x  x = 0 sau x – 16 = 0. Se obţin soluţiile x i {–1, 0, 1, –2, 2}. Tabelul de semn:

 x  f ( x  x)

 – ∞ –2 –1 0 1 2 +∞ – –– –– –0+ ++ +0 –– –– 0+ ++ +0– –– 0+ ++ +

S4. Solu ţ ie: ie: 2  x a) Consider ăm f : Z → Z, f ( x  x) = (2 – 1)( x  x – 1), funcţie continu ă pe Z. Avem de rezolvat inecua ţia f ( x  x) U 0. Soluţiile ecuaţiei f ( x  x) = 0 sunt x i {–1, 0, 1}. Stabilim semnul func ţiei f . Se obţine tabelul de semn:

 x  f ( x  x)

 – ∞ 0 1 +∞ −1 ––––– 0++++0 ––– 0++++

Rezultă că f ( x  x) U 0 dacă x i [–1, 0] N [1, +∞), care reprezint ă soluţia inecuaţiei date.   b) Fie f  : [–1, +∞) → Z, f ( x) = ( x − x3 )(1 − x + 1) . Avem de rezolvat inecua ţia  f ( x  x) T 0. 3 Soluţiile ecuaţiei f ( x  x) = 0 sunt date de ecua ţiile x –  x  x = 0 şi 1 −  x + 1 = 0 . Se obţine x i {0, 1, –1}. Stabilim semnul func ţiei continue f. Se ob ţine tabelul de semn:  x  f ( x  x)

 –1 1 +∞    0 0 – – – 0 – – – – 0 + + ++ + + + + +

Rezultă că f ( x  x) T 0 pentru x i [–1, 1], iar solu ţia inecuaţiei date este  x i [–1, 1]. c) Consider ăm funcţia continuă f : [0, +∞) → Z, f( x) = ( x− 1 + x2 + 1)( x − 1) . Soluţiile ecuaţiei f ( x  x) = 0 sunt date de ecua ţiile  x − 1 = 0 şi  x − 1 + x2 + 1 = 0 . Obţinem x = 1, respectiv 2 + 1 = 1 − x . 2 2 Punem condi ţia 1 –  x  x U 0 şi prin ridicare la p ătrat se ob ţine ecuaţia x + 1 = (1 –  x  x) cu soluţia  x = 0. Aşadar  f   f ( x  x) = 0 dacă x i {0, 1}. Tabelul de semn al func ţiei f este: 198

 x  f ( x  x)

0 +∞ 1 0–––– 0 +++++++

Rezultă că soluţia inecuaţiei f ( x  x) T 0 este x i [0, 1].  x  x d) Fie f : (–1, +∞) → Z,  f ( x  x) = (2 – 3 )(2 – log 2( x  x + 1)). Funcţia f este continuă. x x Din egalitatea f ( x  x) = 0 se ob ţin ecuaţiile 2 – 3 = 0 şi 2 – log 2( x  x + 1) = 0. 2 Rezultă x = 0 şi respectiv log 2( x  x + 1) = 2, de unde  x + 1 = 2 = 4 sau x = 3. Semnul funcţiei f este dat de tabelul:

 x  f ( x  x)

0 3  –1 +∞ +++++0–––– 0++++++

Soluţia inecuaţiei f ( x  x) T 0 este x i [0, 3]. S5. Solu ţ ie: ie:  x a) Funcţiile   g, h : Z → Z,  g ( x  x) =  x, h( x  x) = e sunt func ţii suma lor  f f = g + h este funcţie strict crescătoare pe Z.

strict crescătoare pe Z. Atunci şi

b) Avem: lim (f )x =lim ( x+ e) x = −∞ + e−∞ = −∞ +0 = −∞ şi lim f( x) = ∞ + e∞ = +∞ .  x →−∞

x → −∞

 x →∞

Funcţia  f  fiind continuă rezultă, folosind proprietatea lui Darboux, c ă ia toate valorile intermediare dintre – ∞ şi +∞, adică Im f = (– ∞, +∞) = Z. Aşadar funcţia f este surjectivă. Observa ţ ie. ie.

Funcţia  f  fiind strict cresc ătoare pe Z este funcţie injectivă. Aşadar funcţia  f  este funcţie  bijectivă.

199

Teste de evaluare Testul 1  Solu ţ ii  ii 

Funcţia  f  este continuă pe mulţimea Z \ {–1, 0, 1} având în vedere opera ţiile cu funcţii continue. Studiem continuitatea func ţiei  f  în punctele –1, 0, 1. Obţinem: 2  x2 + x x • (f−1 − 0) 0) = lim (f )x = lim 2 lim 2 − x = lim x − 1 = −2 = +∞ = →x −1 →x −1 x − x →x −1 x + x →x −1 x + 1 0− 1.



2

+ x2 −

 x

•  f (1 − 0) 0) = lim →x1 <1x


2 = li→mx1 x2 + x = li→mx1  xx +− 11 = 02 = −∞ x x − x <1x − <1x

x

 x2 + x

•  f (0 − 0) = li lim →x0 <0x


2

= li→mx1 x2 − x = li→mx0 x +− 11 = −1 . 2 x− x x + x <0x  x <1x

Aşadar funcia  f  nu este continu ă pentru  x0 i {–1, 0, 1}, deoarece limitele laterale în acestea nu sunt egale cu valoarea func ţiei în x0. 2. Pe Z \ {1} funcţia f este continu ă. Studiem continuitatea în  x0 = 1. Avem: (1 – 0) = 1 + 2 a, f (1 (1 + 0) = 4 a – 1. Din egalitatea  f (1 (1 – 0) =  f (1 (1 + 0) se ob ţine 1 + 2 a  f (1 iar cu notaţia y = 2a rezultă ecuaţia y2 –  y  y – 2 = 0. Se ob ţine y i {–1, 2} şi apoi a = 1.

= 4a – 1,

Ecuaţia  f ( x  x) = 0 conduce la ecua ţiile 2 x−1 −1= 0 şi 3 x−1 −9 = 0 . Rezultă că 2 x−1 =1 = 20 , respectiv 3 x−1 = 32 , deci  x ∈ {1, 3} . Tabelul de semn al func ţiei continue f este: 3.

 x  f ( x  x)

1 3 0 +∞ +++++0–––– 0++++++

Testul 2  Solu ţ ii  ii 

1. Funcţia f este continu ă pe Z \ {0, 1} având în vedere opera ţiile cu func ţii continue. Studiem continuitatea în  x0 = 0 şi x0 = 1. 2 2 •  f (0 − 0) = li lim sin 22 x = lim sin 2 x ⋅ 4 = 4 , iar  f(0 + 0) = lim( ax+ b) = b  x →0 x →0  x →0 2 x  x  x x • f (1 (1 – 0) = a + b,  f (1 + 0) = lim sin(2 − 1) = lim ⎛⎜ sin( − 1) ⋅ 1 ⎞  ⎟ = 1 .  x →1  x − 1 x →1 ⎝  x − 1 x + 1 ⎠  Rezultă că: ⎧b = 4 • f este continuă pe Z dacă ⎨ deci a = –3, b = 4. 1 + = a b ⎩

(

)

200

• f este continuă pe Z \ {1} dacă b = 4 şi a @ –3. • f este continuă pe Z \ {0, 1} dac ă b @ 4 şi a + b @ 1. 2. a) Dacă x i {, din f ( x  x) = 3,5 rezult ă că x = 3,5 h [2, 3].

Dacă  x i Z \ {, din f(x) = 3,5 se ob ţine  x2 = 3,5 sau  x ∈{− 3, 5, 5 , 3, 5} 5} . Dar 3, 5 < 2 şi nu există x cu proprietatea cerut ă.  b) Avem f (2) (2) = 2 şi  f ( 5) = 5 .  α) = 3,5. Aceasta deoarece Pentru  λ = 3,5 i [2, 5], nu exist ă  α ∈ [2 , 5] astfel încât  f ( α [2 , 5] ⊂ [2 , 3] 3] şi se are în vedere punctul a). Aşadar  f   f nu are proprietatea lui Darboux. Fie  f  : Z → Z, f( x) = (2 x −16)( x− x3 ) . Inecuaţia dată se scrie  f ( x) T0 . Vom stabili semnul func ţiei continue  f . Ecuaţia  f ( x) = 0 conduce la ecua ţiile 2 x −16 = 0 şi  x − x 3 = 0 , cu soluţiile  x ∈ {4, 0, 0,1,−1} . Alcătuim tabelul de semn pentru  f : 3.

 x  f ( x  x)

 – ∞ –1 0 1 4 +∞ – – – – – – 0 + + + + 0 – – – – 0 + + + + 0 – – – 

Soluţia iencuaţiei f ( x  x) T 0 este x i (– ∞, –1] N [0, 1] N [4, +∞).

Testul 3  Solu ţ ii  ii 

1. Fie x0 i m. Se ob ţine:

f ( x0 − 0) =

lim ( x[ x]) = x0 ( x0 − 1) şi f ( x0 + 0) = lim x[ x] = x0 ⋅ x0 = x02 .

 x → x0  x < x0

 x→ x0  x
Funcţia f are limită în x0 dacă şi numai dac ă x0 ( x0 − 1) = x02 deci numai dac ă x0 = 0. Aşadar  f   f este continuă în x0 = 0 şi discontinuă în oricare x0 i m \ {0}. 2

3

2. Avem: f (a – 0) = a + 2a,  f (a + 0) = 2 a + a . Din egalitatea f (a – 0) = f (a + 0) se obţine ecua ţia a2 + 2a = 2a + a3 cu soluţia a i {0, 1}. Aşadar: • pentru a i {0, 1}, func ţia este continu ă pe Z, • pentru a i Z \ {0, 1} funcţia este continu ă pe Z \ {a}. 3. Ecua ţia f ( x  x) = 0 are solu ţia x = a. Funcţia f este continuă pe Z şi are tabelul de semne:

 x  f ( x  x)

 – ∞ +∞ a +++++++ 0++++++++

201

Testul 4  Solu ţ ii  ii  x x x x 2 2 2 = ( ) f= nlim ⎛⎜ n 6 +x 1 ⋅ 2 x ⎞  lim n ⋅12 x+ 2 x = n = . n ⎟   x →∞ ⎝ n 3 n ⋅ 4 + 1 ⎠  x→∞ n ⋅12 + 3 ( + 1) Aşadar: f(1) + f(2) + ... + f( n) = 1 + 2 + ... + n= n n . 2

1. Avem:

2. Consider ăm funcţia g : [a, b] → Z, g ( x  x) = f ( x  x) –  x  x. Funcţia g este continu ă şi avem:  g (a) =  f (a) –  a U 0,  g (b) =  f (b) –  b T 0. Folosind proprietatea lui Darboux funcţia g rezultă că există x0 i [a, b] cu g ( x  x0) = 0, adică f ( x  x0) –  x  x0 = 0. 3. Tabelul de semn:

 x  f ( x  x)

0 1 2  – ∞  –1 +∞ ––––– 0+++0++++0––––0++++

202

pe [ a, b] pentru

Capitolul III. Func ţii derivabile 3.1. Derivata unei funcţii într-un punct  Exersare

E1. Solu ţ ie: ie:

a) Studiem existe ţa derivatei func ţiei f în punctul x 0 = 2. Rezultă că: 3 x2 − 4 x− 4 ( x− 2)(3 x+ 2) = = li→m2 x(3x + 2) = 8, deci func ţia f este derivabil ă în lim lim  f ′(2) = li →2 x →2 x  x − 2 x−2  x0 = 2, graficul s ău admite tangent ă în x0 = 2, iar tangenta are panta m = 8.  b) Avem:  f s′(0) = lim  x → 0  x < 0

2 x 2 − 3 x  x

= lxi→m0 (2x − 3) = −3 şi  f d ′(0) = l xi→m0

5 x 2 − 3x  x

 x>0

= li→m0 (5x − 3) =−3 . x

Aşadar   f ′(0) = −3 şi graficul funcţiei admite tangent ă în x0 = 0, panta fiind m = –3.

⎧2 x − 1, x U 1 . ⎩ 1 ,  x < 1 2 x − 1 − 1 2( x − 1) = = 2 , deci  f  nu are derivat ă în Se obţine că  f  s′(1) = 0 şi  f d ′ (1) = lim lim  x →1 x →1 − − 1 1  x x  x >1 x >1

c) Avem:  f ( x) = ⎨

 x0 = 1 şi graficul său nu admite tangent ă în x0 = 1.

d) Avem ′(f0) = lim

 x 2 x

−0

= lxi→m0 x x= 0 .  x − 0 Aşadar graficul func ţiei admite tangent ă în x0 = 0.  x →0

E2. Solu ţ ie: ie:

3 x +11−8 3( x +1) lim = =3;  x→−1 x→−1 x +1  x +1 ( x− 2)( x− 1) x2 − 3 x− 11 + 13 x2 − 3 x+ 2 = = = li→m2x (x − 1) = 1 .  b)  f ′(2) = lim lim lim →2x → 2x →2x 2  x − 2 x−2 1 −1 −1 5 − x − 5 1 = = − c)  f ′(0) = li lim  x + 5 5 = lim lim . →0x →0x 5( x+ 5) x →0x 5( x+ 5) 25 x ( x + 1) − 1 1 1  x + 1 − 1 = = = d)  f (0′ ) = lim lim lim . →0x →0x x( x + 1 + 1) →0x x + 1 + 1 2  x x 2 +x3− 2−1 −3 2 −x2−1 2 +1 − 1 ln 2 e)  f ′(−1) = lim lim lim . = = = →−x1 →−1x →−1x 2( + 2 x1) +x1 +x1 ⎛ sin x sin 2 x⎞ sin x+ sin 2 x f)  f ′(0) = lim = lim⎜ +2 ⎟= 1+ 2+ 3 .  x→0 x→0⎝ 2 x⎠ x x a) Se obţine:  f ′(−1) = lim

E3. Solu ţ ie: ie:

a) Avem:

′(f 0x) = lim → x x 0

2 x − x2 − 2 x0 + x02 x− x0

= l→ximx 0

2( x − x0 ) − ( x2 − x02 ) x− x0

În particular se ob ţine că  f  (0) = 2,  f  (1) = 0,  f  (2) = –2. 203

= l→ximx[2 − ( +x 0x)] = 2 − 2 0x. 0

x3 − x03

( x− x0 )( x2 + xx xx0 + x02 )  b) Avem ′(f 0x) = lim = lim = lim( 2x+ x0x+ 02x)= 3 02x. → → → x 0x x− x x 0x x 0x x− x0 0 În particular se ob ţine că ′f(0) = 0 , ′f(1) = 3 , ′f(−1 ) = 3 .

⎛ sin mx ⎞ sin + x x = lim⎜ +1⎟= 2 şi  x→0 x→0 ⎝ ⎠  x x ⎛ sin x ⎞ sin + x − π = lim⎜1+ l im  f ′( π) = li ⎟.  x→ π x→ π⎝  x − π x− π ⎠ Deoarece sin( − π) = sin ⋅xcos π − sin π ⋅ cos =x − sin xavem că ⎛ sin( x − π) ⎞ = 1 − 1 = 0  f ′( π) = lim ⎜ 1 − ⎟ 

c) Avem:  f ′(0) = lilim

 x →π

d) Avem:  x0  x − 2 2 x+1 +1 0x

 f ′( x0 ) = lim

x− x0

→ x 0x

= li→m

x 0x

 x − π

⎝

⎠ 

x( x02 +1)− x0 ( x2 +1) 2

x02

( x− x0 )( x +1)( +1)

1 − 0 xx 1 − 02 x =  xlim = . 2 → x0 ( x + 1)( 0x2 + 1) ( x02 + 1)2 În particular se ob ţine: ′f(−1) = 0, ′f(1) = 0,

( −x 0 )x(1− 0x)x = 2 2 0x ( x− x )( x +1)( x +1) 0 0

= li→m x

′f(0) =  1 .

ie: E4. Solu ţ ie:

a) Avem  f  s′(1) = lilim

 x − 1 − 0  x − 1

 x →1  x <1

 b)  f  s′(0) = lim

x+ x  x

 x→0  x<0

c)  f  s′(−1) = lim

= li→m0 x x<0

 x + 1 − 0

 x →− 1  x <− 1

 x + 1

= lxi→m1 x <1

x− x x

 x − 1 1− x x −1 = −1 , iar   f d ′ (1) = l xi→m1 = lxi→m1 = 1. − − 1 1 x −1  x x  x >1  x + x

= 0 , iar   f d ′ (1) = lim0  x →  x > 0

 x 2 − 1

= 1 şi  f d ′ (−1) =  xl→im−1  x >− 1

 x + 1

 x

= lxi→m0

x+ x x

= 2.

= xl→im−1(x − 1) = − 2 .

d) sin( π x) − sin π = li→m1 →1 x − 1  x  x <1 x <1

 f  s′(1) = lim

2 ⋅ sin

π −xπ 2

x

⋅ cos

π +xπ

x −1

2

⎛ 2 sin π( −x1) ⎞  ⎜ 2 ⋅ π ⋅ cos πx + π ⎟ = = li→m1 ⎜x ⎟  π (  x − 1) 2 2 ⎜ ⎟  ⎝ ⎠  2

ln x − 0 ln(1+ x −1) π = 2 ⋅1⋅ ⋅ cos π = −π , iar   f d ′(1) = l xi→m1 = lim =1 . x→1 2

 x>1

 x −1

x −1

 Sintez ă

S1. Solu ţ ie: ie: Se studiaz ă derivaiblitatea func ţiei în punctele date: a)  sf′( x)(0) = lim( x+ x+1) = 1, fd ′(0) = lim cos x= cos 0 = 0 , deci f  (0) = 1.  x→0  x<0

•  f ′(−1) = lim

x→0 x>0

 x + x

 x → −1

+1 −1 x−x = lxi−m−1 = 0,  x + 1 x +1 204

sin

 x − 2

⋅ sin x + 2

cos x − cos 2 2 2 = −1⋅ sin 2 = − sin 2 . = lim− 2  x → 2 x→2  x − 2 x−2 Aşadar graficul func ţiei f admite tangente în punctele date. •  f ′(2) = lim

1 + e x +1 −1 e x +1 − e0 e x +1 − 1 1 2 = ln =e1, d ′ (f−1) =  l→im−1 x = l→im−1 x = .  b) •  s′(f−1) = lim → −1 x + 1x + 1x 2( + 1x) 2 1+ e x+1 1+ e + − e x 1 − e e e x −1 e 2 2 •  f ′(0) = lim = li→m = li→m = . →0 x 0 x 2 x 2 0x x 2 Graficul admite tangent ă în x = 0 şi nu admite tangent ă în x = –1. 2 c) Se obţine: f  (–1) = e –2,  f ′(2) = , deci graficul admite tangent ă în x0 i {–1, 2}. 5 e −1 −x 1 − e −1 + 1 e −1 −x e −1 e − 1x 1 −1 = lim = e ⋅ li m = , iar  •  f s′(0) = lim →0 x

x ln(1+ 2 x)

→0 x

x ln(1+ 2 x) ⎞

→0 x

x

e

⎛ = lim⎜ 2⋅ ⎟= 2 .  x→0 x→0⎝ 2x ⎠  x Aşadar graficul func ţiei nu admite tangent ă în x0 = 0. •  f d ′(0) = lim

S2. Solu ţ ie: ie: a) Funcţia este continu ă şi derivabilă pe Z \ {0}. Studiem continuitatea în  x0 = 0. Rezultă că  f (0 (0 – 0) = 0,  f (0 (0 + 0) = –1 deci  f  este discontinu ă în  x0 = 0 pentru Funcţia f nu este derivabil ă în x0 = 0 deoarece nu este continu ă în x0 = 0.

oricare a i Z.

 b) Avem: f (2 (2 – 0) = 4 + 2 a + b, f (2 (2 + 0) = 8 –  a. Funcţia este continu ă în x0 = 2 dacă 8 – a = 4 + 2a + b deci 3a + b = 4. Studiul derivabilit ăţii în x0 = 2. ( x− 2)( x+ 2 + x) x2 + ax+ b− 4 − 2 a− b x2 − 4 + a( x− 2) = = = 4+ a . •  f s′( 2) = lim lim lim →2 x →2 x →2 x − 2x − 2x − 2x 4 x− a− 8 + a 4( x− 2) = = 4. •  f d ′ ( 2) = lim lim  x → 2 x →2  x − 2 x−2 Funcţia este derivabil ă în x0 = 2 dacă 4 + a = 4 deci dacă a = 0. Din egalitatea 3 a + b = 4 se obţine b = 4. Aşadar: • dacă a = 0, b = 4 funcţia este continu ă şi derivabilă în x0 = 2; • dacă 3a + b = 4, a @ 0, funcţia este continu ă dar nu este derivabil ă în x0 = 2; • dacă 3a + b @ 4 funcţia nu este continu ă, deci nici derivabil ă în x0 = 2.

⎧ x , x U 1 . − < 2 1 , 1  x ⎩

c) Avem:  f ( x) = ⎨

Se obţine f (1 (1 – 0) = 1,  f (1 (1 + 0) = 1,  f (1) (1) = 1, deci f este continuă pe Z. 2 x −1−1  x − 1 = 1 , deci f nu este derivabil ă în x0 = 1. De asemenea  f  s′(1) = lim = 2 şi  f d ′ (1) = lim  x→1  x →1  x − 1 − 1  x  x<1 205

d) D = [0, + ). Avem f (1 (1 – 0) = arccos1 + b = b, f (1 (1 + 0) = a. Rezultă că f este continuă în x0 = 0 dacă a = b. ( x − 1)( x + 1) 2  x 2 − 1 x +1 = = = = +∞ . Pentru a = b rezultă că  f d ′ (1) = lim lim lim →1x  x − 1 →1x ( x − 1)( x − 1) →1x x − 1 0 + >1 x >1 x >1 x Aşadar pentru oricare a, b i Z, f nu este derivabil ă în x0 = 1. S3. Solu ţ ii: ii:

a) Deoarece f (1 (1 – 0) = –1 =  f (1 (1 + 0) func ţia f este continu ă în x0 = 1. Se obţine: 2 x − 1 − 1 ( x− 1)( x+ 2) x2 + x− 2 = = = 3. 2 şi  f d ′ (1) = lim lim  f  s′(1) = lim  x →1  x →1 x →1  x − 1  x − 1 x −1 Rezultă că x0 = 1 este punct unghiular pentru  f .  b) Func ţia este continu ă în x0 = 0.  x 2 +1−1 e x − 1 = 1. Rezultă că  f s′(0) = lim l im = lim x = 0 şi  f d ′ ( x ) = li  x→0

 x →0

x→0

Punctul x0 = 0 este punct unghiular pentru  f . c) Funcţia este continu ă în x0 = 0.  x 2 − 0 sin x = 1. Se obţine că  f  s′(0) = lim = 0 şi  f d ′ (0) = lim  x→0

 x

 x →0

 x

 x

Aşadar  x  x0 = 0 este punct unghiular. S4. Solu ţ ie: ie: a) Funcţia f este continuă în x0 = 1.

Se obţine că  f  s′(1) = lim

→1x <1 x

 f 0′(1) = lim

1 − x 1− x 1 = li→m1x = − = −∞ , iar  l i m 2 →1x 1 − x  x − 1 <1 x (1 − x) <1 x  x − 1

x −1

 x − 1

= li→m1x

1

= +∞ . 2 − 1 x − ( 1 )  x >1x >1x Aşadar punctul  x0 = 1 este punct de întoarcere.  b) Func ţia f este continuă în x0 = 3. Se obţine că  f x′(3) = −∞ , f d ′ (3) = +∞ deci  x0 = 3 este punct de întoarcere. →1x >1x

= li→m1x

S5. Solu ţ ie: ie: Funcţiile  f  şi  g  admit tangent ă comună în punctul  x0 dacă  f ( x  x0) =  g ( x  x0) şi  f  ( x  x0) =  g ( x  x0), adică  punctul de abscis ă  x0 este comun graficelor  şi tangentele în  x0 la cele două grafice au aceea şi  pantă. a) Se obţin condiţiile: f (1) (1) = g (1) (1) şi f  (1) = g (1). Rezultă că 2 + a = 1 + b + b şi 2 = 2 + b, adică b = 0, a = –1.

 b) Se pun condi ţiile f (1) (1) = g (1), f  (1) = g (1) şi rezultă egalităţile: 1 + a + b = 2 – 1 + 1 şi 2 + a = 3, deci a = 1, b = 0. Observa ţ ie: ie:

Funcţiile f  şi g fiind de gradul 1 sau 2 graficele lor sunt tangente în  x0 i D, dacă ecuaţia  f ( x  x) = g ( x  x) are o solu ţie reală dubl ă x0. 2 2 a) Ecuaţia f ( x  x) = g ( x  x) se scrie x + bx + b = 2 x + a sau x + (b – 2) x  x + b – a = 0.

206

Se pune condi ţia ca x0 = 1 să fie soluţie dublă. Avem: 1 + (b – 2) + b – a = 0 şi 0 = ∆ = (b – 2)2 – 4(b – a). ⎧2b − a = 1 Rezultă sistemul de ecua ţii ⎨ 2 cu soluţia a = –1, b = 0. − + = − 8 4 4 b b a ⎩ S6. Solu ţ ie: ie:

a) Tangenta la graficul func ţiei g în punctul  x0 = 1 are panta 3 x2 + cx+1− c− 4 3( x2 −1) + c( x−1) [3( x+1) + x]( x−1) lim lim  g ′(1) = lim = = = →1 x →1 x →1 x ( −1x) −1x −1x = lim[3( + 1) + c ] = 6 + c .  x →1

Panta dreptei y = 7 x – 6 este m1 = 7. Cele două drepte sunt paralele dac ă m = m1 deci 6 + c = 7, adică pentru c = 1.  b) Panta tangentei în  x0 = 1 la graficul lui f este egal ă cu ( x3 −1) 1) + a( x2 −1) x3 + ax2 + b−1− a− b m = f ′(1) = lim = li→m =  x→1 x 1  x −1 x −1 = lim⎡ ⎣ ( x2 + x+1) + a( x+1)⎤ ⎦= 3+2 a  x→1

Condiţia de paralelism a tangentei cu deapta  y = 5 x + 1 impune egalitatea 3 + 2 a = 5, deci a = 1. Tangenta în x0 = –1 la graficul func ţiei f are ecuaţia (–1) = f  (–1)( x  y –  f   f ( x  x0) = f  ( x  x0)( x  x –  x  x0) adică y –  f   f (–1)  x + 1) sau y + 1 – a – b = (3 – 2 a)( x  x + 1) care adusă la o formă mai simplă se scrie pentru a = 1 : y = x + 1 + b. Deoarece tangenta trebuie s ă aibă ecua ţia y = x + 5 se ob ţine că 1 + b = 5 deci b = 4. S7. Solu ţ ie: ie:

Punctele comune ale graficelor sunt date de ecua ţia f ( x  x) = g ( x  x). 2 Se obţine ecuaţia x0 + ( a − b) x0 + b − a = 0 (1), unde x0 i Z reprezintă abscisa punctelor comune. Tangentele în punctele x0 trebuie să aibă aceeaşi pantă. Aşadar se pune condi ţia  f  ( x  x0) =  g  ( x  x0). Se obţine 4 x0 + a = 2 x0 + b de unde a –  b = –2 x0. Înlocuind a –  b = –2 x0 în relaţia (1) se obţine x02 + (−2 x0 ) x0 + 2 x0 = 0 cu soluţia  x0 i {0, 2}. Aşadar rezult ă a = b, pentru x0 = 0, respectiv a = b – 4, pentru  x0 = 2. 2 2 Se obţin funcţiile  f ( x  x) = 2 x + ax + a,  g ( x  x) =  x + ax + a, cu tangenta comun ă în  x0 = 0, 2 2 respectiv f ( x  x) = 2 x + ax + a + 4, g ( x  x) = x + (a + 4) x  x + a cu tangent ă comun ă în x0 = 2.

207

3.3 Operaţii cu funcţii derivabile  Exersare

ii: E1. Solu ţ ii: 2 a) D = Z, f  ( x  x) = 3 x + 3, x i Z; 3  b) D = Z, f  ( x  x) = 2 – 4 x , x i Z;

1 c) D = [0, + ), f′( x) = 1 + , x∈ (0 , + ∞) ;  x

2 d) D = Z, f  ( x  x) = 3 x + cos x – sin x, x i Z;

1 e) D = (0, + ), f′( x) = 6 x2 + , x∈ (0 , + ∞) ;  x

f) D = Z, f  ( x  x) = 2 xln2 + 3 xln3 – 1, x i Z; g) D = (0, + ),  f ′( x) =

1 1 , x i (0, + ); +  x ln 2 x ln 3

h) D = Z, f  ( x  x) = 4cos x + 5sin x, x i Z; i) D = (0, + ) f′( x) = 2 x+

1 + cos x, x∈ (0 , + ∞) ;  x ln 3

⎧  π ⎫ 1 1  j) D= [0 , +∞) \ ⎨± + kπ / k∈ m⎬; f′( x) = + 2 , x∈ D\ {0} ⎩ 2 ⎭ 2  x cos  x k) D = Z, f ( x  x) = 2 x2 + 2, f  ( x  x) = 4 x, x i Z; l) D= [0 , +∞), ′f( )x=

2⋅1 1 , x∈ (0 , +∞) ; + 3 3  x 2  x ln0,5

m) D= (0 , +∞) , f ( x) = 3 log3 x+ 4 log 2 x, f ′( x) =

3 4 , x ∈ (0 , +∞); + ln 3  x ln 2

⎛⎧  π ⎞ ⎫ n) D= Z \⎜⎨± + kπ⎬ ∪ { kπ / k∈ m  ⎟, ⎭ ⎝⎩ 2 ⎠ 2 1 2 sin 2 x+ cos 2 x sin 2 + x1 ′(f ) = = 2 ; ∈x ;D x 2 + 2 = 2 2 cos sin x cos x⋅sin x cos x⋅sin 2 x  p) D = Z, f′( )x = 2 + 3 2 , x∈ Z ; 1 1 q) D = Z, f( x) = 2 ⋅ 2 x+ ⋅ 3 ,x f′( x) = 2 ⋅ 2 xln 2 + 3 lxn 3 , x∈ Z . 3 3 E2. Solu ţ ii: ii:

1 1 = log 2 x+ , x∈ (0 , + ∞) ; ln 2  x ln 2 208

a) D= (0 , + ∞) , f′( x) = log 2 x+ x⋅

 b) D = [0, + ), f ′( x) = 2 x x + x2 ⋅

1 2  x

 x Pentru x = 0 se obţine: ′(f0) = lim  x →0

2

= 2x

x

 x

= lxi→m0

x+

1 5 x x = x x , x ∈ D \ {0} . 2 2

x x= 0 .

5 x x , x ∈ [ 0 , + ∞) ; 2 c) D = Z, f  ( x  x) = sin x + xcos x, x i Z; 2 d) D = Z, f  ( x  x) = 2 xcos x –  x  x sin x, x i Z; e) D = Z,  f ′( x) = 2 xln 2(3 x−1) + ( 2 x−1)⋅3 xln 3 , x i Z; 2 1 f) D = (0, + ), f′( x) = log 2 x+ ( 2 ln x+ 1) , x∈ (0 , + ∞) ;  x x ln 2 ⎛ 1 ⎞  1 ⎛ 3 g) D = [0, + ), f ′( x) = ⎜ 1 − + + − + ( ) 1 x x x x ⎜ ( ) ⎟  ⎝ 2  x ⎠  ⎝ 3 3 x2 Pentru x = 0 avem: ( − x )( x + 3 x ) x2 − x 3 x − x x − x − x ⋅ 3 = li m  f ′(0) = lim Aşadar  f ′( x) =

 x →0  x > 0

x →0 x >0

 x

= li→mx0 ( x− 3 x−

1 x2

x) − lim →x0 >0x

>0x

x

⋅

 x

1 x3

= li→mx0 >0x

5 x6

x

= − li→mx0 >0x

1

1  x 6

=−

⎞  ⎟ , x∈ (0 , + ∞ ) ; ⎠  x

=

1 = −∞ ; 0+

h) D = Z, f ′( x) = 3 ⋅ (3 − x2 ) ⋅ (3 − x2 )′ = 3 ⋅ (3 − x2 ) ⋅ (− 2 x) = − 6 x(3 − x2 ) , x∈ Z ; 1 ⎞  ⎛ i) D = [0, + ), f ′( x) = 3 ⋅ ( x − x)2 ⋅ ( x − x)′ = 3( x − x )2 ⎜ 1− , x ∈ (0 , + ∞ ) . ⎟  ⎝ 2  x ⎠  Pentru x = 0 se obţine: ( x− x)3 x3 − 3 x2 x + 3 x2 − x x ′f(0) = lim = lim = lim( x2 − 3 x x+ 3 x− x) = 0 ; →0 x >0 x

 x

x

→0 x >0 x

→0 x >0 x

1 ln x  j) D= (0 , +∞) , f′( x) = ln x+ x⋅ + 2⋅ln x(ln x)′ = ln x+1+2 , x ∈ (0 , +∞) ;  x x 2 x)′ = sin x + x ⋅ 2 sin x ⋅ cos x, x ∈ Z ;

k) D = Z, f ′( x) = sin x + x(sin l) D = Z, f ′( x) = 2( x − 1) e +x ( x − 1) 2 e =x ( x − 1)e (xx + 1) = ( x2 − 1)e ,x x ∈ Z . 2

2

ie: E3. Solu ţ ie:

a) D = Z \ {0}, f′( x) =  b) D = Z \ {0}, ′f( )x= c) D = Z \ {0}, ′f( )x=

1′⋅ x −1⋅ x′ 2

=−

1

 x x2 1′⋅ x2 −1⋅( x2 )′

, x∈ D;

=−

4

2 x 2 x D; 4 =− 3 , ∈

x x x ( x−1)′ x− ( x−1) x′ x− x+1

d) D = Z \ {–1}, ′(f ) = x

2

(

=

 x 2 x−1)′( x+1) − ( x−1)( x+1)′

= =

1

, ∈ ; x D x2 x+1− x+1

( +x1)2 ( +x1)2 ( x2 − x+1)′( x2 + x+1)− ( x2 − x+ 1)( x2 + x+ 1)′ e) D = Z,  f ′( x) = = ( x 2 + x +1)2 209

=

2 , ∈x ;D ( +x1)2

( 2 x−1)( x2 + x+1)− ( 2 x+1)( x2 − x+ 1) 2(− 1+ x2 ) ,  x ∈ Z ; = = 2 ( x2 + x+1) 2 ( x + x+1)2 1 − x 2 f) D = Z, ′f( )x= 2 , ∈ x Z; ( x − x + 1)2 1+ cos x 1 g) D= Z \ {π + 2 kπ | k∈ m}, f′( x) = , x∈ D; = (1+ cos x) 2 1+ cos x ⎧ π ⎫ (1 + sin x ) 1 − − h) D= Z \ ⎨− + 2 kπ k∈ m⎬ , f′( x) = , x∈ D; = (1+sin x) 2 1+sin x ⎩ 2 ⎭ ⎧ ⎫ sin x − cos 3 x − sin x c⋅os 2 x π i) D= Z \ ⎨ kπ , ± + 2 kπ / k∈ m⎬ , f′( x) = , x∈ D; ⎩ ⎭ 2 sin 2 x⋅cos 2 x ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ln x) − ( x+1+ln ln x)⎜1− ⎟ ⎜1+ ⎟( x+1−ln ⎝  x ⎠ ⎝ x ⎠ 2( x+1− xln x)  j) D= (0 , +∞) , ′f( x) = , = ( +1− ln x) 2 x( x+1− ln x)2  x ∈ (0 , + ∞) ; 3  x − 2 x k) D= [0 , + ∞) , f′( )x = , x∈ [0 , + ∞ ) ; 2(1 +  x ) 2 l) D = Z, ′f( )x=

e x

(2 + e x ) 2

, x∈ Z ;

⎧  π ⎫ 1+ tg 2 x m) D= Z \ ⎨± + kπ k ∈ m⎬ , f′( x) = , x∈ D; (1+ tg x) 2 ⎩ 2 ⎭ ⎧ ⎫ 1 −2tg x −4tg 3 x −tg 4 x π n) D= Z \ ⎨ kπ , ± + kπ k∈ m⎬ , f′( x) = , x∈ D. 2 (1+ tg x) 2 ⎩ ⎭ E4. Solu ţ ie: ie: a) D= Z, f′( x) = 3 x2 −12, x∈ Z . Se ob ţin soluţiile  x ∈

−1,1} .

 b) D= Z, f ′( x) = 6 x2 − 30 x+ 23 = 6( x2 −5 x+ 4), x ∈ Z . Mulţimea de solu ţii 1; 4} . x x c) D = D f  ' = Z, f ′( x) = (2 ( 2 x + 6) e + ( x2 + 6 x−15) e = e (xx2 +8 x − 9) . Soluţiile:  x ∈ {1,−9} .

1 d) D = D f  ' = (0, +∞), f ( x) = 2 x ln x+ x2 = x( 2 ln x+1) . 1 Se obţine ecuaţia 2 ln x + 1 = 0 sa sau ln ln x = − cu soluţia 2 e) D= D f  ' = Z −{2, 4}, f′( x) =

−

=e .

−(2 x − 6) . Soluţia x = 3. ( x 2 − 6 x +8)2

−2( x 2 − 4 +3) f) D= D f  ' = Z, f′( x) = 2 . Soluţiile  x ∈ 1, 3} . ( x − 5 x + 7) 2 210

1 2

⎧ ⎫ cos 2 s+ in 2 x 2+sin x) π g) D= D f  ' = Z −⎨± + 2 kπ k∈ ⎬ , f′( x) = . cos 2 x ⎩ 2 ⎭ 1 Se obţine ecuaţia 1 + 2 sin x = 0 sau sin x = − , cu solu ţiile 2 7 π 11π x= + 2 kπ, x= + 2 kπ, k∈   . 6 6 3( x 2 −1) h) D= D f  ' = (0, +∞), f′( x) = . Soluţia x = 1. 2 x x

211

 Sintez ă

S1. Solu ţ ie: ie: a) Calculăm mai întâi: • ( sin x+ cos x)′ = sin x+ xcos x−sin x = xcos x • ( cos x−sin x)′ = cos x− xsin x−cos x =− =− xsin x Rezultă că: ( x sin x+ cos x)′( x cos x−sin x) −( x sin x +cos x)( x cos x−sin x)′  f ′( x) = = ( xcos x−sin x) 2

=

x cos x( x cos x−sin x) + x sin x( x sin x +cos x)

( xcos x−sin x) 2

=

x2

( xcos x−sin x) 2

;

 b) Avem: − − ⎛ x x2 xn 1 xn ⎞ − x⎛ x x2 xn 1 ⎞ −x xn f′( x) =− e ⎜1+ + +... + + ⎟+ e ⎜1+ + +... + ⎟= e 2! (n −1) ! n ! ⎠ 2! (n −1) !⎠ n! ⎝ 1! 2! ⎝ 1! 2! − x

S2. Solu ţ ie: ie:

6 x( x−1) −3 x2 + 2 3 x2 − 6 x+ 2 a) ′( f) =x , ∈x −{1} . = ( x −1) 2 ( x −1)2  b) Tangenta în  x0 are panta m =  f ′ ( x  x0) şi este paralel ă cu y = 2 x – 1 dac ă m = 2. Rezultă ecua ţia f ´ ( x 2( x0 −1) 2 cu soluţiile  x0 ∈ 0,2 0, 2} .  x0) = 2, adic ă 3 x02 − 6 x0 + 2 = 2( c) Două drepte sunt perpendiculare dac ă produsul pantelor lor este egal cu –1. Tangenta în x0 are panta m =  f ′( x0 ) iar dreapta y = x are panta m1=1.

⎧1 3⎫ Se obţine relaţia  f ′( x0 ) = – 1 sau 3 0x2 − 6 0x + 2 = −( 0x − 1) 2 , cu soluţiile  x0 ∈ ⎨ , ⎬ . ⎩2 2⎭ S3. Solu ţ ie: ie:

Avem: f′( x) =

x2 +1− ( x+ a) 2 x

e x ( x2 +1− 2 x)

, g′( x) = . ( x 2 +1) 2 ( x 2 +1)2 Se obţine egalitatea, dup ă reducere: e x (−2ax − 2 x) = 0, ∀x ∈

şi rezultă că a = –1.

S4. Solu ţ ie ie:

Obţinem ′(f ) = x

x2 + x+1− ( x+ m)(2 x+1)

, ∈x . ( x 2 + x +1) 2 Condiţia f′( x) < 0, ∀ x∈ conduce la − x2 − 2 mx+1− m< 0, ∀ x∈ . Se impune condi ţia ∆ < 0 , adică 4(m2 − m + 1) < 0 şi nu exist ă m cu aceast ă proprietate. S5. Solu ţ ie ie

⎡ x2 + ( m+ 2) x+ 2m⎦ ⎤, x ∈ . a) Avem f ′( x) = e x⎣ Inegalitatea  f ′( x0 ) < 0 are loc pentru  x ∈ [−2,2 2, 2] , dacă  x = –2 şi  x = 2 sunt solu ţii pentru  f ′( x0 ) = 0. Se ob ţine m = –2. 212

1 . Rezultă că e x ( x +1)( x + 2) ( x +1)( x + 2) 1 1 1 1 S n = + + +...+ = 1⋅2 2⋅3 3⋅4 ( n +1)( n + 2) ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ =⎜1− ⎟+⎜ − ⎟+⎜ − ⎟+...+⎜ − − ⎟+⎜ ⎟= ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ n n +1⎠ ⎝ n +1 n +2 ⎠ 1 n +1 = 1− = . n+2 n+2

 b)  g ( x) =

e x

=

213

3.3.5. Derivarea func ţiilor inverse (pag...)  Exersare

ii: E1. Solu ţ ii: a) f ′( x) = 3( x2 +1)2 ( x2 +1)′ = 3⋅( x2 +1)2 ⋅2 x= 6 x⋅( x2 +1) 2 , x ∈

;

2

( x +1)′ 2x , ∈ = x ; 2 2  x +1 x +1 1′ 1 − x ⎞ ′ 2 ⎛ ⋅⎜ = 2 , ∈x(−1,1) ; c) ′(f ) x= ⎟  ⎛ 1 − x ⎞  ⎝ 1 + x ⎠  x − 1 ⎜ 1 + x ⎟  ⎝ ⎠ 

 b) ′(f )x=

1

d) ′( f) =x 2

x 1 + x 2 2

1 + 2x ⋅ (1 − 2x) x ⎞ ′ ⎛ ⋅⎜ = , ∈ (x0, ∞ ) ; 2 ⎟  2 2 + 1  x ⎝ ⎠  2 ⋅x( x+ 1) 2

e) f ′( x) = e x+ x⋅e ⋅x( x2 )′ = e x(1+ 2 x2 ), x ∈ ; f) f′( x) = cos( x2 +1)⋅( x2 +1)′ = 2 xcos( x2 +1), x∈ ; g) f ′( x) =−sin( x2 + x+1)⋅( x2 + x+1)′ =−( 2 x+1) sin( x2 + x+1), x ∈ ; 1 ⋅ cos x; x∈ (0, π) ; h) f′( x) = 2 sin x 2 x 2 +1  x 2 i) f′( x) = x +1 + x⋅ 2 = 2 , x∈ ;  x +1 x +1 1 e x ( x + 1)  x ⋅ ( xe)′ =  j) ′(f )x= , ∈x (0, +∞ ) .  x x 2 2 xe xe E2. Solu ţ ii: ii:

a)  b) c) d)

(1+ sin 2 x)′ 2 sin x⋅cos x sin 2 x , ∈x ; ′( f) =x = = 1+si s in 2 1+si s in 2 x 1+si s in 2 x (1+ e x )′ ex ′f( )x= , ∈ = x ; 1+ e x 1+ e x (1+ sin 2  x)′ sin 2 x ′( f ) = , ∈x ; x = 2 2 2 1+sin  x 2 1+sin x 3 f ′( x) = cos( x x ) ⋅ ( x x )′ = x ⋅ cos( x x ), x ∈ (0, +∞ ) ; 2

e) ′( f) =x

1 1 ⎛ x ⎞ ′ = ⋅ = , ∈ (x0, 2) ; ⎜ ⎟  2 2 2 2 ⎝ ⎠  4 − x 4− x  x 2 1 − ⎛⎜ ⎞  ⎟  4 ⎝ 2 ⎠  1

⎛ 1 ⎞′ 1 −1 −1 −1 f) ′( ) =f x , ∈ (3x,+∞) ⋅ = ⋅ = ⎜ ⎟ 2 ⎝ x −1⎠ 2 ( x −1) 2 2 ( 1 ) 2 x− x − x ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1−⎜ 1−⎜ ⎟ ⎟ ⎝ x −1⎠ ⎝ x −1⎠

214

E3. Solu ţ ii: ii:

1

a) Pentru  x0 ∈ (1, +∞) se obţine că  f ′( x0 ) = lim  x →1  x >1

 x − 1  x − 1

2  x0 −1

= lxi→m1 x >1

, iar pentru x0 = 1, avem:

1 x −1

= +∞ .

Rezultă că domeniul de derivabilitate este (1, +∞) . 1  x  b) f′( x) = e , x∈ (0, +∞ ) = D f  ' . 2  x

⎧ ⎪( x 2 −1)3 , x ∈ (−∞,−1]∪ [1, +∞) c)  f ( x ) = ⎨ ⎪(1− x 2 )3 , x ∈ (−1,1) ⎩ Funcţia este derivabil ă pe −{−1,1} . Studiem derivabilitatea în  x0 ∈ −1,1} . ( x 2 − 1)3 ′ (−1) = lim = lim ( +x1)2 ⋅ ( −x1)3 = 0 şi  f  s′(−1) = 0 . d  f  x → −1  x + 1 x → −1  x >− 1 Analog se ob ţine că  f ′(1) = 0 . Aşadar  f   f este derivabil ă pe . d) Pentru  x ∈ −{0} se obţine că Pentru x = 0 avem

−e−x , x> 0 şi f′( x) = , x< 0 . f′( x) = 1+ e x 1+ e−x e x

⎛ ⎛ e−x −1⎞ ⎞ ⎛1+ e− x ⎞ ⎜ ln⎜1+ ⎟ ln⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎠ e−x −1⎟ ln(1+ e x ) − ln 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎜  f  s′(0) = lim = li→m0 = li→m0⎜ ⋅ −x ⎟= →0 x x x 1 e − 2 x x x ⋅ <0 x <0 x <0 ⎜ x ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ e− x −1 1 ⎞ 1 1 1 1 = li→m⎜ ⋅ ⎟= ln =− ln e =− =− .  x 0⎝ 2⎠ 2 e 2 2  x ⎛ ⎛ e x −1⎞ ⎞ ⎛ e− x −1⎞ ⎜ ⎟ l n 1 l n 1 + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x 2 ⎠ 2 ln(1+ e x ) − ln 2 1 1 e − ⎝ ⎝ ⎠ ⎟= 1 . lim lim⎜  f ′(0) = lim = = ⋅ ⋅ →0 x →0 x →0⎜x e x −1 x x x2 ⎟ 2 >0 x >0 x >0 ⎜x ⎟ 2 ⎝ ⎠ Aşadar  f   f nu este derivabil ă în x0 = 0.

⎧− 1 , x ∈ (−1, 0) ⎪⎪ 1 − x 2 ⎧− arcsin x, x ∈ [−1, 0 ] ⎪ e)  f ( x ) = ⎨ . Avem  f ′( x ) = ⎨ . 1 ⎪⎩+ arcsin x, x ∈ (0,1) ⎪ , x ∈ (0,1) ⎪⎩ 1 − x 2 Pentru x = 0,  f  s′(0) = lim  x→0  x<0

−arcsin x  x

=−1 şi  f d ′(0) = li→m0  x  x>0

Aşadar  f   f nu este derivabil ă în x = 0. De asemenea  f nu este derivabil ă în x0 = –1. 215

arcsin x  x

=1.

⎧arccos(− x), x ∈ [−1, 0 ] ⎧ ⎪π − arccos x, x ∈ [−1, 0 ] f)  f ( x ) = ⎨ . =⎨ ⎪ ⎩arccos x, x ∈ (0,1] ⎩arccos x, x ∈ (0,1] Funcţia  f  nu este derivabil ă în  x0 ∈ −1,1} deoarece func ţia arccos nu este derivabil ă în  x0 ∈ −1,1} . Pentru x = 0 avem:  f d ′ (0) = lim  x → 0

 f  s′(0) = lim  x →0  x < 0

arccos x − arc co cos 0  x

π − arccos x −

= lxi→m0 2

arcsin x − x

π 2 = −1 şi

π

2 = lim arcsin x = 1 . x →0

 x

π−

x

Aşadar  f   f nu este derivabil ă în x0 = 0. E4. Solu ţ ie: ie: a) Funcţia f este strict cresc ătoare pe

[0 , +∞ ) , deci este func ţie injectivă. Deoarece  f  este funcţie continuă,  f (0) (0) = 3 şi lim  f ( x) = +∞ , din proprietatea lui Darboux →∞  x

rezultă că f ia toate valorile intermediare de la 3 la + ∞. Aşadar Im f  = [3, +∞) şi f este surjectivă. Deci f este bijectiv ă. Analog, g este strict cresc ătoare pe , deci este injectiv ă. Fiind continuă şi având li l→im =(– ∞, +∞)=  g ( x) =−∞ , lim g ( x) = +∞ , rezultă că Im f =(–  −∞  x

 x →∞

este surjectiv ă. În concluzie g este bijectivă. 1  b) Rezult ă: ( −f1 )′ (4) = , unde (f 0 x) = 4 .  f '(x0 ) Din relaţia  f ( x0 ) = 4 se obţine că x2 + 3 = 4, deci  x0 = 1. 1 1 = . Aşadar  ( f −1 )′ (4) =  f  '(1) 2 1 1 1 = = . Analog: ( g −1 )′ (8) =  g ′(2) 3⋅4 12  Sintez ă

ie: S1. Solu ţ ie:

⎧ ⎪  x 2 −1, x ∈ (−∞,−1] ∪ [1, +∞) a) D= , f ( x) = ⎨ . 2 ⎪ 1,1) ⎩ 1− x , x ∈ (−1, ⎧  x 1) ∪ (1, +∞) ⎪ 2 , x ∈ (−∞,−1) ⎪  x −1 ′( f) =x ⎨ = −{−1,1} ,  f ′ D −  x ⎪ , x ∈ (−1,1) ⎪ ⎩ 1− x 2 216

, deci g 

−1 (1 − ln x)′ =  b) ′f( )x= , x∈ (0, )e. 2 1 − ln ln x 2 x 1 − ln ln x ⎛ 2 x ⎞ ′ . ⋅ 2 ⎜ 1 + x 2 ⎟  ⎠  2 x ⎞  ⎝ 1 − ⎛⎜ ⎟  ⎝ 1 + x 2 ⎠  2 ⎞ ′ 2(1 + x2 ) − 4 x2 2(1 − x2 ) ⎛ Dar  ⎜ ⎟  = (1 + 2x)2 = (1 + 2 x)2 . ⎝ 1 + 2x⎠  2 2 2x ⎞ ⎛ 2 x ⎞⎛ 2 x ⎞  ( x− 1)2 ( x+ 1) 2 ⎛ x2 − 1 ⎞  ⎛ = ⎜ 2 ⎟  . De asemenea: 1 − ⎜ 2 ⎟ = ⎜1 − 2 ⎟ ⎜ 1 + 2 ⎟ =   x +1⎠⎝ x + 1 ⎠   ( x2 + 1)2 ⎝ x + 1⎠ ⎝ ⎝ x + 1 ⎠  ⎧ 2 , x ∈ (−1,1) 2 2 ⎪⎪ x2 + 1 1 2(1 − x ) 2(1 − x ) ⋅ 2 2= 2 =⎨ Aşadar   f ′( x ) = 2 . x− 1 ( x + 1) x− 1 ( 2x+ 1) ⎪ −2 , x ∈ (−∞, − 1) 1) ∪ (1, +∞) 2 2 ⎪ + 1 ⎩  x  x + 1 1

c)  f ′( x) =

Aşadar  D f ′ = −{−1,1} .

⎛ 1 − x 2 ⎞ ′ ⋅⎜ d)  f ′( x) = . 2 ⎟  2 2 ⎝ 1 + x ⎠  ⎛ 1 − x ⎞  1− ⎜ 2 ⎟  ⎝ 1 + x ⎠  1

⎛1− Avem: 1 − ⎜ ⎝1+

x⎞

2

⎛ 1− = ⎜1 − 1 + 2 ⎟ x⎠ ⎝

2

x⎞

⎛ 1− ⋅ 1+ 2 ⎟ ⎜ x⎠ ⎝ 1+ 2

⎛1− x 2 ⎞′   4 2x 4x = ş i . =− ⎜ ⎟   2 ⎟ (1+ x 2 ) 2 x ⎠  (1 + 2x)2 ⎝1+ x 2 ⎠ x⎞

2

Rezultă că:

⎧ −1 , x > 0 ⎪⎪1 + x2 (1 + x ) −4 x ′ = ⋅ = .  f ( x ) ⎨ 4  x (1 + x 2 ) 2 ⎪ 1 , x < 0 ⎪⎩1 + x 2 2

Aşadar  D f ′ =

∗

. x

e) f ( x) = x x = eln( x ) = e

xln x

, iar 

⎛ 1 x ⎞  ln x + 2 = (x x ⋅ ln x) ' = x ⎜⎜x ln x + , x> 0. x x ⎟  ⎟   x 2 2  x x ⎝ ⎠  ⎛ ln x + ln( x + 1) ⎞ , x > 0 . f) f ( x) = eln( x +1) lnln x şi f '( x) = xln( x +1) (ln( x+ 1) 1)(ln x) ) ' = xln( x +1) ⎜ ⎟  x ⎝ x + 1 ⎠  f '( x) = e

lnx

ii: S2. Solu ţ ii: a) D= , f ′( x) = 3⋅(2 x2 − 6 x) 2 ⋅(4 x− 6), x ∈

.

⎧ 3⎫ Ecuaţia  f ′( x) = 0 are soluţiile  x ∈ ⎨0,3, ⎬ . ⎩ 2⎭  b) D = [0, π], f '( x) = −2 sin xcos x + 2 sin 2 x = sin 2 x, x∈ D . 217

⎧  π ⎫ Soluţiile ecuaţiei sin 2 x = 0 sunt  x ∈ ⎨0, , π⎬ . ⎩ 2 ⎭  x + 3 , ∈ c) D= (−∞, −5] ∪ [−1, +∞), 'f( )x= x (−∞, −5) ∪ (− 1, +∞ ) . Soluţiile  x ∈ ∅ . 2  x + 6 x + 5 ⎛ 2⎤ 6 x + 2 , x∈ D. Ecuaţia  f ′( x) = 0 nu are soluţii. d) D=⎜−∞,− ⎥∪ (0,+∞), f′( x) = 2 ⎝ 3⎦ 3 x + 2 x 3 2 0, 2} . e) D= , f′( x) = (3 x2 − 6 x)⋅3 x −3 x ln 3, x∈ . Soluţiile sunt  x ∈ 0,2 12 x 2 − 6 x 1 ∈ . Soluţiile ecuaţiei sunt  x ∈ ⎧⎨0, ⎫⎬ . f) D= , ′f( )x= 3 2 2 , x 1+ (4 (4 x − 3 x +1) ⎩ 2⎭ 2 2 2 ⎧ 1⎫ x x ( 2 x+1) e− ⋅x (− 2 x) = e− (− 4 x2 − 2 x+ 2) . Soluţiile  x ∈ ⎨−1, ⎬ . g) D= , f ′( x) = 2⋅ e− + ⎩ 2⎭ ' ⎛ x2 + 4 ⎞ 3 x2 +16 x−12 3 x+8 ⎛ 8 ⎞ 1 x D h) D=⎜− ,+∞⎟, 'f( )x= . ⋅⎜ ⋅ 2 , ∈ ⎟= ⎝ 3 ⎠ x 8⎠ x 8) 2 x+ 4 2(3 + 2(  x 2 + 4 ⎝ 3 + 2 3 x +8 2 Soluţiile ecuaţiei f’ ( x  x)=0 sunt date de ecua ţia 3 x 2 + 16 x − 12 = 0 . Rezultă că  x = ∈ D . 3 ii: S3. Solu ţ ii: a) Funcţia  f  este strict cresc ătoare pe funcţie injectiv ă. Funcţia  f  este continuă, lim f( x) = −∞,  x → −∞

că Im f =

ca sumă de funcţii strict cresc ătoare pe , deci este lim f( x) = +∞ . Din proprietatea lui Darboux rezult ă

x → +∞

R,

deci f este surjectivă. Aşadar  f   f este bijectiv ă, deci inversabilă. ' 1  b) ( f −1 ) (3) = , unde  f  ( x  x0) = 3. Ecuaţia  x + 2 x = 3 are soluţia unică  x = 1 (din  f '(x0 ) monotonia lui f ). 1 1 Se obţine că ( f −1 )′ (3) = . =  f  '(1) 1+ 2 ln 2 ii: S4. Solu ţ ii: a) Funcia f este bijectivă. Într-adevăr, fiind strict cresc ătoare pe (1,+∞) ea este injectiv ă. Fiind continuă şi având: lim f( x) =−∞, lim f( x) = +∞ , rezultă că mulţimea de valori  x→1  x>1

funcţiei este Im f =

x→∞

, deci f este surjectivă.

1 =2  b) ( f −1 )′ (2) =  f  '(2) ( f −1 )′ (e + 2) = 1 =1+ 1 . f'( e+1) e

218

a

3.4 Derivate de ordinul doi  Exersare

ii: E1. Solu ţ ii: a)  D = = D

. Se obţine f '( x) = 3 x2 + 1 şi f′′( x) = (3 x2 +1)′ = 6 x. În particular ′f′(−1) =−6, ′f′( )x= 0 . ′

1), Db=) f x, ='(e x) x + ( x ∈ Se obţine ′f′(0) = 2, ′f′(1) = 3 e.

f ′′ ,x

=(ex) x + (

), x2∈

.

c) D = , f ′( x) = cos x−sin x, f ′′( x) =−sin x−cos x, x ∈ d) D= [0 ,+∞), f′( x) =

1 2

+1, x∈ (0, +∞), f′′( x) =− x

şi  f ′′(0) =−1, f ′′( π) =1 .

1

, x> 0 .

4 x x

1− x 2 , x∈ . Funcţia  f  ' este funcţie derivabilă pe , fiind obţinută e) D= , f′( x) = (1+ x 2 ) 2  prin opera ţii cu funcţii derivabile pe . Aşadar  f   f este de două ori derivabil ă în x0.

⎧  π ⎫ cos x , x∈ D. f) D= −⎨− + 2 kπ / k∈ Z⎬ , f′( x) = ⎩ 2 ⎭ (1+ sin x) 2 Funcţia f’ este derivabilă pe D, (operaţii cu funcţii derivabile). g) D= , f′( x) =

e x

(1+ e x )2

, x∈

. Funcţia este de două ori derivabilă.

E2. Solu ţ ii: ii: a) Avem:  f (0 − 0) = 0 = f (0 + 0) deci f este continuă în x=0. De asemenea, '

 f s (0) = lim  x → 0  x < 0

 x 3  x

2

= 0 şi f d ' (0) = 0 deci f este derivabil ă în x0=0.

⎧⎪3 x 2 , x ≤ 0 Obţinem  f '(x) = ⎨ 3 şi rezultă că: >  x x ⎩⎪20 , 0

''

 f s

(0) = lim  x → 0  x < 0

3 x 2  x

''

= 0, f d  (0) = lxi→m0 x >0

20 x 3 x

= 0 , deci  f 

este de două ori derivabilă în x0=0.

⎧cos x, x ≤ 0  b) Avem că f este continuă şi derivabilă în x0=0 şi  f '(x) = ⎨ 2 . 3 1 , 0 + >  x x ⎩ Funcţia f’ este şi ea derivabil ă în x0=0, avînd  f ′′(0) = 0 . ⎧⎪− x4 , x≤ 0 ⎧⎪−4 x3 , x≤ 0 c) f( x) = ⎨ 4 , f'( x) = ⎨ 3 , f''(0) = 0 . > > x x x x 0 0 ⎪⎩ 4 , ⎩⎪ , ⎧ x2 (3 ln x+ 1), x> 0 ⎪ d) Funcţia  f  este continuă şi derivabilă pe (0,+∞) şi  f '(x) = ⎨ 2 . Se obţine x≤0 ⎪⎩3 x , apoi că  f ′′(0) = 0 .

219

ii: E3. Solu ţ ii:

a) D= , f ′( x) = 4 x+5, x ∈ , f ′′( x) = 4, x ∈ .  b) D = , f ′( x) = 3 x2 − 4, x ∈ , f ′′( x) = 6 x, x ∈ . c) D = , f ′( x) = e x +1, x ∈ , f ′′( x) = ex , x ∈

.

1 1 d) D= (0, +∞), f′( x) =1+ , x> 0, f′′( x) =− 2 , x> 0 .  x

1 e) D= (0, +∞), f′( x) = ln x+1, x∈ (0, +∞), f′′( x) = , x ∈ (0, +∞) . f) D = , f ′( x) = e x ( x2 + 2 x), x ∈ , f ′′( x) = ex ( x2 + 4 x + 2), x ∈ . g) D = (0, +∞), f ′( x) = 2 x ln ln x+ x, x ∈ (0, +∞), f ′′( x) = 2 ln x +3, x ∈ (0, +∞) . h) D = , f ′( x) = 2 sin x cos x = sin 2 x, x ∈ , f ′′( x) = 2 cos 2 x, x ∈ . i) D = , f ′( x) =−3 cos 2 x sin x, x ∈ , f ′′( x) = 6 sin 2 x cos x−3 cos3 x, x ∈ . j) D=

f ′ x,

=(x )

k) D = (0, +∞), f '( x) =

s , x cxo∈

f ′′ x,

coxs =( ) x −

x sxin∈ ,

.

5 15 x x, x ∈ (0, +∞), f ''( x) = x, x ∈ (0, +∞) . 2 4

⎧  π ⎫  x l) D= −⎨± + 2 kπ k∈  Z ⎬ f′( x) = tg x+ 2 , cos  x ⎩ 2 ⎭ 1 cos 2 x+ xsin 2 x ′f′( )x= 2 + , x∈ D. cos cos 4 x

m) D= −{−2} , f′( x) =

−6 3 ′ ′ , ( ) , x∈ D. f x = ( x +2) 2) 2 ( x +2) 2 )3

1− x2 2 (x x2 − 3) , f′′( x) = 2 , x∈ n) D= , f′( x) = 2 ( x +1)2 ( x +1)3

.

 Sintez ă

S1. Solu ţ ie: ie:

Folosim formulele trigonometrice: • sin( x + y) = sin xcos y + sin ycos x , • cos( x+ y) = cos x⋅cos y−sin x⋅sin y

⎛ π⎞ π π a) Avem • sin⎜ + x ⎟= sin cxos + sin cos = x cos xşi ⎝ 2⎠ 2 2 x −sin .x • sin( + π) = sin cxos π +sin π cos =

⎛

π  

⎞ 

Aşadar f '( x) = cos x = sin ⎜ x + ⎟ , f ''( x) = − sin x = sin( x + π  ) . ⎝ 2 ⎠  220

⎛

π  

⎞ 

 b) Se arată că au loc relaţiile: cos ⎜ x + ⎟ = − sin x şi cos( x + π  ) = − cos x . ⎝ 2 ⎠  ie: S2. Solu ţ ie: Avem f ′( x) = e2 x (8 x+10), f ′′( x) = e2 x (16 x + 28), x ∈

şi relaţia este verificat ă.

S3. Solu ţ ie: ie: Avem f ′( x) = e x (sin x +cos x), f ′′( x) = e x 2 cos x, x ∈

. Înlocuind în rela ţia dată se obţine că e x ⋅cos x⋅(2 − a ) = 0, ∀x ∈

, deci a=2.

S4. Solu ţ ie: ie: Avem f ′( x) = e−2 x (−3 sin x− cos x) şi f ′′( x) = e−2 x (7 sin x−cos x), x ∈

. Înlocuind în rela ţia dată rezultă că e−2 x [(9 + ab − 3(a +b)) sin x +(ab − a −b −1) cos x ] = 0, x ∈ . π Pentru x = 0 se obţine ab – ( a + b) = 1, iar pentru  x = se obţine ab – 3(a + b) = –9. 2 ⎧ab − (a + b) = 1 ⎧a + b = 5 Sistemul ⎨ conduce la ⎨ cu soluţiile a=2, b=3, şi a=3, b=2. ⎩ab − 3(a + b) = −9 ⎩ab = 6 S5. Solu ţ ie: ie: Obţinem f ′( x) = 2 ax+ b, f ′′( x) = 2 a, x ∈

şi 4a + 2b + c = 9, 2a + b = 2, 2a = 8.

Aşadar a = 4, b = –6 , c = 5 şi f ( x) = 4 x2 − 6 x + 5 . S6. Solu ţ ie: ie: Avem f′( x) = 3 ax2 + 2 bx+ c, f ′′( x) = 6 ax+ 2 b, x ∈

şi se obţine sistemul

⎧ − a + b − c + 1 = −6 ⎪3a + 2b + c = −3 ⎨ ⎪12a + 2b = 4 ⎩ cu soluţia a = 1, b = –4, c = 2, iar  f ( x) = x3 − 4 x2 + 2 x+1 . ie: S7. Solu ţ ie:

Se pune condiţia ca funcţiile să fie continue, derivabile în  x0 şi ca f s′( x0 ) = fd ′( x0 ) . a) (f0 − 0) = 0, (f0 + 0) = ,cdeci f este continuă dacă c = 0. x3 + ax •  s′f(0) = li→m = li→m( 2x + a) = a,  x 0  x<0

• d ′(0f) = li→m  x 0  x>0

 x

x3 + bx2  x

x

0

= li→m( 2 +x ) b=x0 , x

0

deci f este derivabilă în x0 = 0 pentru a = 0. ⎧⎪ x3 , x≤ 0 ⎧⎪3 x2 , x≤ 0 Se obţine f( x) = ⎨ 3 , f'( x) = ⎨ 2 . 2 + > + > , 0 3 2 , 0 x b x x x b x x ⎩⎪ ⎩⎪

221

2

3 x •  f s′ (0) = li→m0 = li→m0 3 x = 0 şi  x  x<0

 x

x

3 2x+ 2 bx ′ = lim(3 + • d f (0) = li→m x 2 )b= 2 b. →

x 0  x Rezultă că 2b = 0 deci b = 0.  f este de două ori derivabil ă în x0 = 0 dacă a = 0, b = 0, c = 0 şi deci f ( x) = x3 . Aşadar  f   x

0

=−b, f( π  +0) = π2 , deci f este continuă pentru b = −π  2 . c) f( π −0) =− ′ , fd ′ ( π) =2 π, deci f este derivabilă în  x0 = π   dacă a = −2π   .  sf ( π) = − a ⎧−2 π sin x− π2 cos x, x≤ π, ⎧−2 π co ⎪ cos x+ π2 sin x, x≤ π, şi  f ′( x ) = ⎨ Avem:  f ( x) = ⎨ . 2 2 ⎪ c x x x x 2 s i n c o s 2 , + > π ⎩ ⎩c sin x + x , x > π Se obţine: 2 ⎛ π2 sin( −xπ) − π + π − x2 π 2 c o s s i n 1+cos ⎞x ′ ′ •  f  s ( π) = li→mπ = li→mπ⎜ −2 π ⎟=  x x − x π − x π −π − x π ⎝ ⎠  x<π x<π  π − x ⎞ 2⎛ π− sin ⎜ ⎟ 2cos ⎝ 2 ⎠ 2 2 =−2 π li→mπ =−4 π li→mπ =π .  x x ⎛ x − π ⎞  x − π 2⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 2( x − π) sin 2 x ⎞ 2c sin x co cos x + 2 x − 2 π •  f d ′′ ( π) = li→mπ = li→mπ⎜ +c ⎟=  x x ⎝ ⎠ − x π − x π − x π  x>π 2  x

m = 2 + c li→π  x

sin(2 x − 2 π) = 2 + 2c .  x − π 2

Rezultă că trebuie ca 2 + 2c = π   2

π2 − 2 deci 2c =−2 + π , c = . 2

Aşadar  a = −2π , b = −π   , c = −1 +

2

2

π  

. 2 b) f (2− 0)= a+ 13, f (2+ 0)= 4a+ b+ c, deci f continu ă dacă 3a + b + c = 13. ′ fd ′ (2) = 4 a+ b, deci f este derivabil ă dacă 4a + b = 15.  sf ( 2) =15, ⎧3 x 2 +3, x ≤ 2 Rezultă că  f ′( x) = ⎨ . ⎩2ax + b ≤, x > 2 Se obţine că 3 x 2 + 3−15 3( x 2 − 4) ′ ′ •  f s (2) = li→m2 = li→m2 = li→m2 3( x +2) =12 şi x x x 2 2  x − x −  x<2 2ax + b −15 2ax +b − 4a −b 2a ( x − 2) •  f d ′′ (2) = li→m2 = li→m2 = li→m2 = 2a . x x x −x2 −x2 −x2 Rezultă că 2a = 12 şi a = 6, apoi b = –9. d) f(0 − 0) = b, f (0 + 0) = b, f(0 ) = 3 , deci f este continuă pentru b = 3. 2 x2 + cx+8 x+ 3− 3 x(2 x2 + cx+8) ′  f  s (0) = lim = li→m =8 , →  x 0  x<0

 x

x 0 x<0

x

222

x2 + ax+ 3−3 ′ x a= a, deci f este derivabil ă pentru a = 8. = li→m0 + d f (0) = lim →0  x  x>0

 x

x

⎧6 x2 + 2 cx+8, x≤ 0 Se obţine:  f ′( x) = ⎨ . ⎩2 x +8, x > 0 2 x +8−8  x 2 + 2c + 8− 8 6 l im =2. Avem:  s′′f (0) = lim lim(6 + = x 2 )c= 2 şci  f d ′′ (0) = li →0 →0 →0  x  x<0

 x

x

 x  x>0

Rezultă că 2c = 2 deci c = 1.

223

 x

3.5 Regulile lui L’Hôspital  Exersare

ii: E1. Solu ţ ii:

Cazuri

0 0

( 3x− 3 + 3 2x− 3 0 x 2) ' = li→m = = 0; a)  = li→m  x 1 x 1 ( x 2 −1) 1) ' 2x 2 ( x 2 − 4)′ 2x 1 = lim 2 = ;  b)  = li→m 3  x 2 ( x − 8)′ x→2 3 x 3 3 x 2 3 = ; c)  = lim  x→−1 2 x + 4 2 2005 2006⋅ x 2006 = d)  = lim ; 2006  x→1 2007 ⋅ x 2007 3 x 2 27 = ; e)  = lim  x→3 2 − 4 2 1+ cos x 2 f)  = lim = =2 ;  x→0 2 + cos x 1 1 1 1− ⎛0⎞ 1 ( x +1) 2 1  x + lim g)  = li→m ; = = = ⎜ ⎟  x 0 sin x+ cos x ⎝ 0 ⎠ x→0 cos x+cos x− xsin x 2 cos x + 24 cos 8 x 25 = =5 . h)  = li→m  x 0 7 cos 7 x − 2 cos 2 x 5 E2. Solu ţ ii: ii:

Cazuri de nedeterminare

0 0

2 sin cxos x sin 2 x ⎛ 0 ⎞ 2 cos 2 x 2 1 = li→m =⎜ ⎟= li→m = = . 0 2 0 2 0 2x +2 cos 2 x 4 x x+ 2 sin xco x x+sin 2 x ⎝ 0 ⎠ cos x 2 3 sin 3 x 9 cos 3x = =9 .  b)  = lim lim  x→0 sin x x→0 cos 1− co cos x sin x 1 = = . c)  = li→m l i m  x 0 x→0 6 x 3 x 2 6 2 e x 2 x + sin x =0 . d)  = li→m  x 0 2 x +1 1− cos x sin x cos x 1 lim lim = = = e)  = li→m . x x x →0x 2 x − 2 →0x 2e 0x 2e − 2 − 2 x 2 + − n(n + 2) x n 1 − (n +1) 2 x n +1 n(n + 2)(n +1) xn −n(n +1) 2 x n 1 f)  = li→m = li→m1 =  x 1 x  x 2 ( 1 ) 2 −  x>1

a)  = li→m

=

n(n +1)(n + 2) − n (n +1)2

2

=

n (n +1)

2

. 224

ii: E3. Solu ţ ii:

Cazuri de nedeterminare

∞ ∞

6 x 2 + 4 12 x a)  = li→m∞ 2 = li→m∞ = 2.  x 3 x +3 x 6 x 1 6 x −1+ 6 x2 − x+1 12 x−1 12 3  x li m 2 lim lim = . = = =  b)  = lim →∞ →∞ x x 8 1 →∞x 4 x+ x−1 →∞x 8 x+1 2 4 x +1−  x

cos2 x ⋅2 ⎛ 2 sin cos 2 x ⎞ sin x cos x 2 sin2  x = lim⎜ ⋅ = 2 lim = = =1 . c)  = li→m 2 l i m ⎟  x 0 x→0 ⎝ sin 2 x  x→0 sin 2 x x→0 2 cos 2 x cos  x ⎠ c o s 2 x  x>0 sin 1 1 sin 2 3 x  x =− lim =0. d)  = li→m  x 0 x→0 3 3  x  x>0 − sin 2 3 x 2cos2 x e)  = li→m 1+ sin 2 x = 2 .  x 0 cos x 1+ sin x 2 x +1 2 2 x +1 =0 f)  = li→m∞  x + x +1 = li→m∞ 2  x x 1  x + x +1 E4. Solu ţ ii: ii:

Cazuri de nedeterminare 0· ∞. 1

1

−

− x 2 x ln x − ln( x + 1) + 1 x x = = lim lim =− lim =−1 . a) l  = lim → ∞ → ∞  x → ∞ x → ∞  x x 1 + + ( 1 ) 1 x x x 1 ⎛ ⎞  −

⎜ x ⎟  ⎝ ⎠ 

 x − π  

 x 2

1 = 1.  x → tg x ⎛ 1 ⎞  ⎜ cos2  x ⎟  ⎝ ⎠  1 2 x − 2 2 −(1− x2 ) x2 x( x2 −1) ln x − ln( x + 1) x + 1 x = lim 2 =0 = lxi→m0 = l xi→m0 c) l  = lim  x → 0 x→0 1 (x 2x+1) x+1 ⎛ 1 ⎞ 

 b) l  = lim π

= lxi→m π  

⎜ x ⎟  ⎝ ⎠ 

−

 x 2

1

⎛ arcsin x ⎞ ln x lim  x = lim(− x ) = 0 . d) l = li→m⎜ ( x ln ln x) ⎟= li→m x ln x = li→m = →x0 →x0  x 0⎝ x0 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎠ xx>00  x  x>0  x>0 ⎜ ⎟ x>0 −  x 2 ⎝ x ⎠

225

⎛ 1 ⎞  1 − ⎜ ⎟   x ln x e  x = e) l  = lim 1 = lim 1 ⎝ ⎠  = lim →x0 →x0 →x0 1 1 ⎞  > 0x e x >0x e x ⎛ − ⎜  x 2 ⎟  >0x − ⎝ ⎠  ' 1 − ⎛ 1 ⎞   x e ⎜ − ⎟  1 −  x ⎠  ⎝  x =  xli→m0 = lxi→m0 e = e −∞ = 0 . ' ⎛ − 1 ⎞   x > 0 x >0 ⎜  x ⎟  ⎝ ⎠  ' 1 1 ⎛ ⎞  1 e x + 2 ⎜ 1 ⎟   x + 2 e x + 2 ⎠  ⎝  x + 2 = = f) l = lim lim lim e = e ∞ = +∞ ' → −x2 1 → −x2 → −x2 ⎛ 1 ⎞  > −2x > −2x > −2x ⎜ x + 2 ⎟   x + 2 ⎝ ⎠ 

Teste de evaluare Testul 1  Solu ţ ii  ii 

1. Tangenta la graficul func ţiei f în punctul

( 0 ,  f ( x0 ) ) are ecuaţia y − f ( x0 ) = f '( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) . Aceasta trece prin M (2,1) dacă 1 − f ( x0 ) = f '( x0 )( )(2 − x0 ) . Deoarece f ( x0 ) = f (1) = a + 2 şi f′( x0 ) = f′(1) = a+3 se obţine că: 1 − (a + 2) = (a + 3) ⋅1 de unde a =−2 .  x 2.  f s' (0) = lim

→0x  x < 0

sin x x

= 1, f d ' (0) = li→m0x x + 1 = li→m0x x >0

x

1

+x1

= 1 , deci f este derivabil ă în x0=0.

3.

1 1 x +2 , x∈ (0,+∞) . + = x+1 x+1 ( x+1) 2 ( x+1) 2 1 2 x 1− 2 x −2( x2 +1) −(1− 2 x)2 x x2 −2 x−2  b) ′f( )x= 2 − 2 = 2 , ′′f( )x= , ∈ = 2 x R. ( 2x+1) 2 ( x+1)2 x+1 x+1 x+1 a) f′( x) = ln( x+1) +

 x

, f′′( x) =

226

Testul 2  Solu ţ ii  ii 

1. Funcţia  x0=0.

este continu ă şi derivabilă pe

−{0} . Studiem continuitatea şi derivabilitatea în

Avem: (f0 + 0) = 0, (f0 − 0) = 2a− 1 . Funcţia este continu ă în  x0=0 dacă a2 –1=0, deci dacă a ∈ {−1,1} . sin ± 2x x x ′ Pentru a = ±1, f s (0) = lim = 0, f d ′ (0) = lim = 0 , deci f este derivabil ă în x0=0.  x→0  x<0

 x

x→0 x>0

x

Aşadar  Pentru a ∈ −{−1,1} , f nu este continu ă în x0=0, iar  f   f este derivabil ă pe Pentru a ∈ {−1,1} , f este derivabil ă pe .

−{0} .

( 2 x−1)( x2 + x+ 2) − ( x2 − x+ 2)( 2 x+1) 2 x2 − 4 , ∈ x. = 2 2. a) '( ) f= x ( x2 + x+ 2)2 ( x + x+ 2)2 2 x+1 2( x2 + x+ 2) + 2 x2 + x 2  b) D= , f ′( x) = x + x+ 2 + x = = 2 x2 + x+ 2 2 x2 + x+ 2 4 x 2 + 3x + 4 , x ∈ . = 2  x 2 + x + 2 3. a) Caz de nedeterminare

 b) Caz de nedeterminare

0 . Aplicăm regula lui L’Hôspital. 0 2 x +1 1 2 2  x + x +1 = 2 =1 ;  = lim  x→0 1 1 2 2  x +1

∞ . Se obţine: ∞

1  x +1 = 2 + 0 = 2 .  = lim  x→∞ 2 3+ 0 3 3+ 2 +1 2+

227

Capitolul IV. Studiul func ţiilor cu ajutorul derivatelor 4.1. Rolul derivatei întâi în studiul func ţiilor  Exersare

E1. Solu ţ ie: ie: Se verifică continuitatea şi derivabilitatea func ţiei f pe intervalul [a, b], respectiv ( a, b). a) Funcţia este restricţia unei func ţii de gradul 2 pe [–3,2], deci este continu ă şi derivabilă. Aşadar se poate aplica teorema lui Lagrange.  f ( 2) − f (−3) Avem că ∃c ∈ (−3, 22)) astfel încât  f '(c) = , adică :

5

2 − 27 1 de unde c = − . 5 2  b) Func ţia este continu ă şi derivabilă pe [1, e] şi se poate aplica teorema lui Lagrange. ln e − ln 1 1 1 deci c = e −1 ∈ (1, e) . Rezultă că există c ∈ (1, e) cu f ′(c) = sau = e −1 c e −1 c) Se poate aplica teorema lui Lagrange func ţiei f .  f ( 2) − f (1) 1 Se obţine că  f ′(c ) = = . 2 −1 3 2 2 1 = de unde c = 6 − 1 . deci Dar  f '( x) = 2 2 ( x + 1) (c + 1) 3 4c − 3 =

1 d) Funcţia f  nu este derivabil ă în  x0 = , deci nu se poate aplica teorema lui Lagrange. 2 E2. Solu ţ ie: ie: Funcţiile sunt derivabile pe domeniul de defini ţie. Se studiaz ă semnul primei derivate. a) D = , f ′( x ) = 2 x −1, x ∈ . Alcătuim tabelul de semn şi de monotonie pentru  f .

 – ∞  f ′( x) – – – – – –  f ( x  x) 1  x

 b) D = , f ′( x) = 3− 3x 2 , x ∈

1 2

+∞ 0 + + + + + + 0

. Tabelul de monotonie: –1 1 +∞  x  – ∞  f ′( x) – – – – 0 + + + + 0 – – – –   f ( x  x) 1 0 1 c) D = , f ′( x) = 4 x3 −16 x, x ∈ . Soluţiile ecuaţiei  f ′( x) = 0 sunt  x ∈ {0, − 2,2} ,2} . Rezultă tabelul: +∞  –2 0 2  x  – ∞  f ′( x ) – – – – 0 + + + 0 – – – 0 + + + +  f ( x  x) 1 0 1 0 d) D = , f ′( x) = ( x +1)e x , x ∈ . Avem tabelul de monotonie: +∞  –1  x  – ∞  f ′( x) – – – – – – 0 + + + + + +  f ( x  x) 1 0 228

e) D = (0,+∞), f ′( x ) = ln x +1, x ∈ (0, +∞) . Ecuaţia  f ′( x) = 0 este ln  x = –1, cu solu ţia  x = e −1 . Tabelul de monotonie:  –1 +∞ e  x  – ∞  f ′( x) – – – – – – 0 + + + + + +  f ( x  x) 1 0 1  x 1

f)  D = (0, + ∞),  f ′( x) = 1 − =  x

 x

,  x ∈ (0, + ∞) . Rezultă tabelul:

+∞ 0 1  f ′( x) – – – – – – 0 + + + + + +  f ( x  x) 1 0  x

g) D = \{−1}, f ′( x) =

2 , x∈D. ( x +1)2

Tabelul de monotonie:  – ∞ +∞  –1  f ′( x) + + + + + + | + + + + + + |  f ( x  x) 0 0  x

Funcţia f este crescătoare pe fiecare din intervalele (−∞, 1) şi (−1, +∞) . h) D = , f ′( x) =

4 x , x∈ . ( x 2 +1) 2

Rezultă tabelul:  – ∞ +∞ 0  f ′( x) – – – – – – 0 + + + + + +  f ( x  x) 1 0  x

E3. Solu ţ ie ie Se alcătuieşte tabelul de semn al primei derivate şi de monotonie pentru func ţia f . a) D = , f ′( x) = 3x 2 − 6 x, x ∈ .

Avem tabelul:  – ∞  f ′( x ) + + + +  f ( x  x) 0  x

Punctul  x =

2

0 M

2

– – – 1

0 m

+∞ ++++ 0

2 este punct de maxim local, iar   x = 2 este punct de minim local.

) Db= f ′ ,x =( x)e x x ∈, Rezultă tabelul:

.

 – ∞ +∞ 0  f ′( x) – – – – 0 + + + + + m 0  f ( x  x) 1 Punctul  x = 0 este punct de minim.  x

229

c) D = \{1}, f ′( x) =

 x 2 − 2 x − 3  x −1

Rezultă tabelul:

, x∈D.

 – ∞ +∞  –1 1 3  f ′( x) + + + + 0 – – | – – – 0 + + + +  f ( x  x) M 1 | m 0 1 0 Rezultă că  x =−1 este punct de maxim local, iar  x = 3 este punct de minim local. − x 2 − 2 x d) D = , f ′( x) = 2 , x∈ . ( x + x +1)2 Se obţine tabelul: –2 0 +∞  x  – ∞ + + + + 0 – – – –   f ′( x) – – – – 0  f ( x  x) m M 1 0 1  x

Rezultă că  x = 2 este punct de minim local, iar  x  x = 0 este punct de maxim local. 2  x 2 −1 e) D = , f ′( x) = 1− 2 = 2 , x ∈ .  x +1 x +1 Se obţine tabelul: –1 1 +∞  x  – ∞  f ′( x) + + + + 0 – – – 0 + + + +  f ( x  x) M m 0   0 1 Aşadar,  x =−1 este punct de maxim local, iar  x  x = 1 este punct de minim local. f) D = (0,1) ∪ (1, +∞), f ′( x) =

ln x −1 , x∈D. (ln x) 2

Avem tabelul: 0  f ′( x) – – –  f ( x  x) 1  x

+∞ 1 e | – – – 0 + + + + | m 1 0

Punctul x = e este punct de minim local. g) D = , f ′( x) = (−x 2 + 3x − 2)e x , x ∈ Avem tabelul:  x  – ∞  f ′( x) – – – –  f ( x  x) 1 h)  D = [1, + ∞),  f ′( x) =

1 2  x − 1

. +∞ +1 2 0 + + + + 0 – – – –  1  m M 0

,  x ∈ (1, + ∞) .

Se obţine tabelul: +∞ 1  f ′( x) | + + + + + + + + +  f ( x  x) 0 0 0  x

Punctul  x = 1 este de minim relativ. 230

 Sintez ă

S1. Solu ţ ie: ie:

a) Se pune condi ţia ca funcţia f să fie continuă şi derivabilă în x = 0. Avem: • f (1− 0) =1+ a, f (1+ a ) = 5 +b, deci este necesar ca a = 4 + b . • f s′(1) = 2 + a, f d ′(1) = 5 + 2b . Se pune condi ţia ca 2 + a = 5+ 2b . ⎧a = 4 + b Rezultă sistemul: ⎨ , cu solu ţia a = 5, b = 1. ⎩a = 3 + 2b  b) Se pune condi ţia ca funcţia f să fie continuă şi derivabilă în  x0 = π . • f ( π −0) =a, f ( π +0) =−a +b π, deci rezult ă că 2a = bπ . π • f s′( π) =−1, f d ′( π) =b. Aşadar, b =−1 şi a = − . 2

ii S2. Solu ţ ii

a) D = \ {−1}, f ′( x) =

 x 2 + 2 x − 3

, x∈D. ( x +1)2 Se obţine tabelul de monotonie:  – ∞  –3    x |  f ′( x) + + + + 0 – –  f ( x  x) M 1 | 0

+1 ∞ –1 – – – 0 + + + + m 1 0

Funcţia este monoton cresc ătoare pe intervalele (−∞, −3) şi (1, +∞) , descresc ătoare pe intervalele (−3, −1) şi (−1, 1),  x =−3 este punct de maxim local, iar  x =1 este punct de minim local. −2 x 5 +8 x −2 x( x 4 − 2)  b) D = , f ′( x) = 4 , x∈ . = ( x + 4)2 ( x4 + 4)2 Rezultă tabelul:  – ∞ +∞ 0  x − 2 2 0 – –– – 0 + + + 0 – – – –   f ′( x ) + + + +  f ( x  x) M m M 0 1 0 1 c) D = (0, +∞), f ′( x) = 2 x ln ln x + x = x( 2 ln x +1), x ∈ (0, +∞) . Se obţine tabelul: 1 − +∞ 0  x e 2 0 + ++++  f ′( x) – – – – m  f ( x  x) 1 0 d) D = [1, +∞), ), f ′( x) = x −1 + x⋅ Se obţine tabelul:

1 3 x − 2 , x ∈ (1, +∞) . = 2  x −1 2 x −1

+∞ 1 | + + + + + + + + +  f ′( x)  f ( x  x) 0 0 0 Punctul  x = 1 este punct de minim local.  x

231

e) D = , f ′( x) =1−  x =

2 x , x∈  x 2 +1

. Ecuaţia

 f ′( x) = 0

conduce la

 x 2

+ 1 = 2 x, cu soluţia

3 . Se obţine tabelul: 3  x  f ′( x )

 – ∞

3 3

+ + + +

0 M

 f ( x  x)

0

+∞ – – – – –  1

5 2 x 2 −5 x + 2 f) D = (0, +∞), f ′( x) = − 2 = + 2, x ∈ (0, +∞) . 2 x( x 2 +1) x 2( x +1) Se obţine tabelul: 1

0

 x  f ′( x)

+ + + +

 f ( x  x)

0

1 2

2

0 – – – M 1

0 m

+∞ + + + + 0

3( x 2 −1) x 2 −1 g) D = , f ′( x) = , x ∈ \{0, 3, − 3} 3} . = 3 2 3 2 3 3 3 ( x − 3x) ( x − 3x ) Se obţine tabelul de monotonie:  –1 +∞ 0 1  x  – ∞ − 3 3  f ′( x) + + + + | + + + + 0 – – – – | – – – – 0 + + + | + + + +  f ( x  x) M m 0 0 0 1 1 0 h) D = , f ′( x) =

1 2

1+  x +1

′ ⋅(1+ x 2 +1) =

 x

(1+  x +1) 2

x

2

+1

, x∈

.

Rezultă tabelul de monotonie: +∞ 0 −∞  f ′( x) – – – – 0 + + + + + m  f ( x  x) 1 0  x

⎛ x ⎞ 1− x2 − x [ ] ⎜ ⎟= i) D =[−1,1] , f ′( x) = 2 ⋅ 1− 2 , x ∈ −1,1 . 2 2 2⎡ 2 ⎤ ⎝ ⎠ −  x 1 1+  x + 1− x 1− x ⎣1+ x + 1− x ⎦ Se obţine tabelul de monotonie: 1

(

)

 x  f ′( x)

 f ( x  x)

(

 – 1

2 2

+ + + +  π 0 − 4

0 M

1 – – – – –   π 1 4

Punctele x = – 1, x = 1 sunt puncte de minim local, iar  x =

232

)

2 , de maxim local. 2

⎧ −2 1) ∪ (1, ∞) ⎪ ⎪ x 2 +1 ,  x ∈ (−∞,−1)  j) D = , f ′( x) = ⎨ . ⎪ 2 ,  x ∈ (−1, 1) ⎪ x 2 +1 ⎩ Se obţine tabelul de monotonie:  – ∞ –1 1 +∞  x | + + + + | – – – –   f ′( x) – – – –  f ( x  x) m M 1 0 1 S3. Solu ţ ie ie a) D = , f ′( x) = 3x 2 + m, x ∈ . Funcţia este monoton ă pe dacă  f ′( x) are semn constant   pe . Cum f ′ este funcţie de gradul 2, punem condi ţia ∆ ≤ 0 şi se obţine m ∈ [0, +∞) .

 b) D = , f ′( x) = ( 2x )e 2 x + 2( x 2 + m)e2 x = 2e 2 x ( x2 + x + m), x ∈ . Punem condi ţia ca x 2 + x + m U 0, ∀x ∈

şi se obţine că

∆ = 1 4m 0 , deci

⎡ 1 , + ∞ ⎞ . ⎟  ⎣4 ⎠ 

m∈⎢

c) D = , f ′( x) = 6 x 2 +10mx +6, x ∈ . Condiţiile  f ′( x) ≥ 0 şi  x ∈ conduc la ∆ =100m2 −144 ≤ 0 , de unde m

d) D = (0,+∞), f ′( x) = 2 x +1− =

⎡ 6 , 6⎤ . ⎣ 5 5 ⎥⎦

m ∈ ⎢−

2 x2 + x − m

, x ∈ (0,+∞) .  x 2 x 2 + x − m ≥ 0, ∀ x ∈ (0, +∞) .

Este necesar ă condiţia Avem că m 2 ≤ 2 x 2 + x, ∀ x ∈ (0, + ∞) , deci m este cel mult valoarea, minim ă a expresiei 2 x 2 + x pe (0, +∞) . Se obţine m ≤ 0, de deci m ∈ (−∞, 0) 0) . ie S4. Solu ţ ie Se obţine că f ′( x ) = (2 x + m)e 2 x + 2e 2 x ( x 2 + mx +1) = (2x 2 + 2mx + 2 x + m + 2)e2 x , x ∈

. Se  pune condi ţia ca ecua ţia  f ′( x) = 0 , deci 2 x 2 + 2mx + 2 x + m + 2 = 0 să aibă două soluţii reale diferite. Rezultă că ∆ = 4( m +1) 2 −8(m + 2) > 0 , cu solu ţia m ∈ (−∞,− 3 ) ∪ ( 3, +∞) . S5. Solu ţ ie ie

−( x 2 − 3x + 2) − (m− x)(2 x− 3) x 2 − 2mx+ 3m− 2 = , x ∈ \{1, 2} . Se obţine f ′( x ) = ( x 2 − 3x + 2) 2 ( x 2 − 3x + 2)2 Se impune condiţia  x 2 − 2mx + 3m − 2 ≠ 0, ∀ x ∈ D f  . Rezultă că ∆ = 4m 2 − 4(3m − 2) < 0 , cu soluţia m ∈ (1, 2). Pentru x = 1 obţinem 12 − 2m + 3m − 2 = 0 ⇒ m = 1, iar pentru x = 2 se obţine m = 2. În concluzie, mul ţimea valorilor lui m este [1, 2] . ie S6. Solu ţ ie

(2 x + 2b)( x − a ) − x 2 − 2bx − 5  x 2 − 2ax − 2ab − 5 = Avem:  f ′( x) = . ( x − a) 2 ( x − a) 2

233

Punem condiţiile:  f ′( 1) = 0 şi  f ′(3) = 0. ⎧ a − ab = 2 Se obţine sistemul de ecua ţii: ⎨ , deci a = 1, b = – 1. ⎩3a + ab = 2  x 2 − 2 x − 5 Se verifică apoi că funcţia obţinută  f ( x) = verific ă propriet ăţile cerute.  x

1

S7. Solu ţ ie ie

Punem condiţiile  f (1) = 1,  f ′(1) = 0 pentru ca A(1, 1) să poată fi punct de extrem. Avem: f ′( x) = 3mx + 2nx + p şi se obţin egalităţile m + n +2 p = 1, 3m + 2n + p = 0 (1). Panta tangentei la grafic în  B(0, p) este m =  f ′(0) = tg 45° = 1 . Se obţine că p = 1. Din relaţiile (1) va rezulta c ă m = 1, n = –2. ie S8. Solu ţ ie • Dreapta x = 1 este asimptotă vertical ă. Rezultă că b = 1. • Dreapta y =  x + 4 este asimptotă oblică.

Se obţine 1 = m = lim

 x →∞

 f ( x )

⎛ x 2 + ax +1 ⎞ (a +1) x +1 = 1 şi 4 = n = lim⎜ − x ⎟= lim = a +1 , deci  x→∞⎝  x −1 ⎠ x→∞ x −1

a = 3.

Funcţia este f ( x ) =

 x 2 + 3x +1

−1

, x ∈ \{1}

S9. Solu ţ ie ie Fie ABCD dreptunghiul înscris în cercul de centru O şi rază R.  Notăm x lungimea laturii AD, cu  x ∈ [0, 2 R] . (fig. 1)

Rezultă că

 AB =

 A

 D

4 R 2 − x 2 , deci perimetrul dreptunghiului

 ABCD este dat de rela ţia  f ( x) = 2⎛  ⎜ x + 4 R 2 − x 2

⎝ 

⎞  ⎟ . ⎠ 

Se obţine că: ⎛ ⎞ 4R 2 − x 2 − x x ⎟= 2 , x ∈ [0, 2 R) . f ′( x) = 2⎜1− 2 2 2 2 ⎝ 4R − x ⎠ 4R − x Determinăm punctele de extrem ale func ţiei f . Avem tabelul: 2 R  x 0  R 2  f ′( x) + + + + 0 – – – – –  M  f ( x  x) 4 R 0 1 4 R

 R

 x O  B

C 

Figura 1

Rezultă că  x = R 2 este punct de maxim şi se obţine că  AB = R 2 , deci ABCD este un pătrat. S10. Solu ţ ie ie Fie ABCD un dreptunghi de arie S .  Notăm cu x lungimea laturii AD (fig. 2).

 A

 D  x

S 

S 

Obţinem că  x ⋅ AB = S , deci  AB = ,  x

⎛ S ⎞ iar perimetrul dreptunghiului este f ( x ) = 2⎜ x + ⎟, x > 0 . ⎝  x ⎠ 234

 B

Figura 2

C 

S  ⎞  Avem  f ′( x) = 2⎛  ⎜1 − 2 ⎟  şi rezultă tabelul de monotonie: ⎝   x ⎠  +∞  x 0 S  0 + + +++  f ′( x ) – – – – m  f ( x  x) 1 0 ∞

Rezultă că  x =

S 

este punci de minim şi  AB =

S  S 

=

S  .

Aşadar, patrulaterul  ABCD este pătrat. ie S11. Solu ţ ie Fie O mijlocul bazei [ BC ] a triunghiului  ABC .

 Notăm x = OB. Rezultă că  AB =

 A

3 P  2 x . 2

 B

Prin rotaţie în jurul bazei [ BC ] se ob ţine un corp format din două conuri cu aceea şi bază (fig. 3). Înălţimea conului este  x, iar raza sa este OA =  AB

− x

2

x O

C 

Figura 3

2

2

 x

3 P  ⎞  = ⎛  ⎜ − x ⎟  − x 2 . ⎝  2 ⎠ 

2 2 π ⎛ 3P ⎞   2 πRh 2 π Volumul corpului este f ( x) = 2⋅ = OA⋅ x = x⋅ ⎜ − x ⎟ − x . ⎝2 ⎠ 3 3 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎜ π9 p 2 3Px x) ⎟= 9πP( P 2− Aşadar  f ′( x ) = ⎜ . − 3Px − ⎟ 6 9 P 2 3 4 9  P 2 ⎜ 2 −3Px ⎟ −3Px ⎝ ⎠ 4 4 Tabelul de monotonie este:

 x  f ′( x)

 P 

+ + + +

0 – – – – –  M 1

2

 f ( x  x)

Punctul de maxim pentru  f ( x  x) este  x = echilateral.

3 P  2

0 0

 P 

2

când BC = P , AB = AC = P , deci triunghiul  ABC este

S12. Solu ţ ie ie a) Funcţia f este derivabil ă pe I n, deci i se poate aplica teorema lui Lagrange.

1) , cu proprietatea c ă  f ′(c n ) =  f (n 1)  f (n) şi se obţine că: 1 1 = ln (n + 1) − ln n , deci c n = . cn ln (n + 1) − ln n 1 1 1 ⎞  1 1 1 c) Deoarece c n ∈ (n, n 1) rezultă că ∈ ⎛  < < deci , ⎟  şi astfel ⎜ c n ⎝ n + 1 n ⎠  n + 1 cn n

 b) Avem c ă există

c n ∈ (n, n

1 1 < ln (n +1) − ln n < , ∀n ∈ n +1 n 235

*

(1)

d) În relaţia (1) dăm lui n valori şi rezultă că avem: 1 1 < ln 2 − ln 1 < 2 1 1 1 < ln 3 − ln 2 < 3 2

................................... 1 n

1

< ln (n + 1) − ln n <

1 n

Prin adunarea acestor inegalit ăţi obţinem, după reduceri: 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + < ln (n + 1) < + + ... + 2 3 n n 1 1 2 n 1 1 1 2

1 3

1

Aşadar  + + + ... > ln (n + 1) > ln n n

236

4.2. Rolul derivatei a doua în studiul func ţiilor  Exersare

ie E1. Solu ţ ie Se stabileşte semnul derivatei a doua a func ţiei f . a) D = , f ′( x) = 2 x − 3, f ′′( x) = 2, x ∈ . Rezultă că funcţia f este convex ă pe .

) Db=

f ′ x, =(−) x +6 f ′′6,x =(−) Rezultă că funcţia f este concav ă pe

0, . < 6 x∈ .

c) D = , f ′( x) = 3x 2 −12, f ′′( x) = 6 x, x ∈ . Tabelul de convexitate:  – ∞ +∞ 0  f ′′( x) – – – – – 0 + + + + +  f ( x  x)  x

d) D = , f ′( x) = 6 x − 6x 2 , f ′′( x ) = 6 −12 12 x, x ∈ . Se obţine tabelul:  x  f ′ ( x)

1 2

 – ∞

+ +++ + 0

+∞ –

– – – – 

 f ( x  x)

e) D = \ {−3}, f ′( x) =

3 −6 ′ ′ , ( ) , x ∈ D . Rezultă tabelul: f x = ( x +3) 3)2 ( x +3) 3)3  – ∞ +∞  –3  x | – – – – –   f ′ ( x ) + + + + + |  f ( x  x)

4− x 2 2 x( x 2 −12) f) D = , f ′( x) = 2 , f ′′( x ) = 2 , x∈ . ( x + 4)2 ( x + 4)3 Rezultă tabelul:  – ∞ +∞ 0  x  –  12 12 0 +++ 0 – – – – 0 + + + +  f ′′( x) – – – –  f ( x  x) 1− 2 x3 6 x 2 ( x3 − 2) g) D = \ {−1}, f ′( x) = 3 , f ′′( x ) = , x∈D. ( x +1)2 ( x3 +1)3 Se obţine tabelul: 3  – ∞  –1 0  x 2  f ′ ( x) + + + + | – – – 0 – – – 0  f ( x  x)

237

+∞ + + + +

h) D = , f ′( x) = (2 ( 2 x − x 2 )e− x , f ′′( x ) = (2 ( 2− 4x + x 2 )e−x , x ∈ Se obţine tabelul:  – ∞  x 2 2 2 2 0 – – – – – – 0  f ′ ( x) + + + +  f ( x  x)

+∞ + + + +

1

i)  D = (0, + ∞),  f ′( x) = ln x + 1,  f ′ ( x) = ,  x ∈ (0, + ∞) .  x

Funcţia este convex ă pe D. 1 2x ( x 2 +1) 2 −1 2 x3 ( x 2 + 2) 2  j) D = , f ′( x) = 2 + x , f ′′( x ) = 2x − 2 , x∈ = 2x = ( x +1) 2 ( x2 +1)2 ( x2 +1) x +1 Se obţine tabelul:  – ∞ +∞ 0  x  f ′′( x) – – – – – 0 + + + + +  f ( x  x) E2. Solu ţ ii ii a) D = , f ′( x) = 3x 2, f ′′( x) = 6 x, x ∈

. Avem tabelul: +∞ 0  x  – ∞  f ′′( x) – – – – – 0 + + + + +  f ( x  x) i

Punctul x = 0 este punct de inflexiune.  b) D = , f ′( x) = 4 x 3 −12 x 2 , f ′′( x ) =12 x 2 − 24 x, x ∈ .  – ∞ +∞ 0 2  x  f ′′( x) + + + + 0 – – – – – – 0 + + + +  f ( x  x) i i Punctele de inflexiune sunt  x = 0 şi  x = 2 . c) D = , f ′(x) = (−x 2 + 2 x −1)e− x , f ′′( x ) = e−x (x 2 − 4x +3), x ∈ . Se obţine tabelul:  – ∞ +∞ 1 3  x  f ′′( x) + + + + 0 – – – – – – 0 + + + +  f ( x  x) i i 6 x 2 + 2) −2 x d) D = \ {−1,1}, f ′( x) = 2 , f ′′( x) = 2 , x∈D. ( x −1)2 ( x −1)3 Rezultă tabelul:  – ∞ +∞  –1 1  x  f ′ ( x) + + + + | – – – – – – | + + + + | |  f ( x  x) Funcţia nu are puncte de inflexiune.

238

2 x 2(1− x 2 ) e) D = , f ′( x) = 2 , f ′′( x ) = 2 , x∈ . ( x +1) 1)2  x +1 Se obţine tabelul:  – ∞ +∞  –1 1  x 0 + + + + 0 – – – – – –   f ′ ( x) – – – – – –  f ( x  x) i i 2

2

f) D = , f ′( x) = (1− 2x 2 )e− x , f ′′( x ) = e−x ( 4x 3 − 6x ), x ∈ . Se obţine tabelul:  – ∞ 0  x − 3 0 + + + + 0 – – –  f ′ ( x) – – – –  f ( x  x) i i g) D = \ {0}, f ′( x) =

3

0

+∞ + + + +

i

2 x) −1 ′ ′ , ( ) , x∈D. f x = ( x 2 +1) 1) 2  x 2 +1

Se obţine tabelul:  – ∞ +∞ 0  f ′′( x) – – – – – 0 + + + + +  f ( x  x) i  x

h) D = , f ′( x) = sin 2 x, f ′′( x) = 2 cos 2 x, x ∈ .

⎧  π adică cos 2 x = 0, are solu ţiile x ∈ ⎨± + k π k ∈ ⎩ 4 semn pentru a doua derivat ă: π π 5π 3π 3π  x  – ∞ − − ..... − Ecuaţia

 f ′′( x) = 0 ,

4

 f ′ ( x)  f ( x  x)

–––

0 i

4

++

0 i

4

––

0

4

++ 0

i

i

4

––

0 i

⎫ Alcătuim tabelul de ⎭

 ⎬ .

5π 4

++

0 i

7π ... 4 ––

0

+∞

+ ++

i

 π Punctele de inflexiune sunt xk =± + k π, k ∈   . 4 ii E3. Solu ţ ii

⎧2 x − 3,  x ≤ 1 ⎧2,  x < 1 a) Se obţine  f ′( x) = ⎨ ,  f ′ ( x) = ⎨ . Rezultă că funcţia este convex ă pe fiecare  x −  x >  x > 4 5 , 1 4 , 1 ⎩ ⎩ din intervalele (– ∞, 1) şi (1, ). Nu există puncte de inflexiune. ⎧6 x,  x < 0 ⎧3 x 2 + 1,  x < 0  b) Se obţine  f ′( x) = ⎪⎨ ,  f ′′( x) = ⎪⎨ 2(1 − x 2 ) . 2 x > ,  x 0 + > 1 ,  x 0 ⎪⎩  x 2 + 1 ⎪ ( x 2 + 1) 2 ⎩ Tabelul de semn pentru a doua derivat ă este:  – ∞ +∞ 0 1  x  f ′′( x) – – – – – – | + + + + 0 – – – – – –   f ( x  x) i Punct de inflexiune este  x =1 ; punctul  x = 0 nu este de inflexiune deoarece  f  nu este continuă în  x0 = 0 . 239

⎧( x + 1)e x ,  x ≤ 0 ⎧( x + 1)e x ,  x ≤ 0 c) Se obţine  f ′( x) = ⎨ ,  f ′′( x) = ⎨ . + > > 2  x 1 ,  x 0 2 ,  x 0 ⎩ ⎩ Tabelul de semn pentru  f ′′( x) este:  – ∞ +∞  –2 0  x  f ′ ( x) – – – – – – 0 + + + + + + + + +  f ( x  x) i  Sintez ă

S1. Solu ţ ii: ii: a) D = , f ′( x) = 4 x3 −8 x, f ′′( x ) =12 x 2 −8, x ∈  x

 f ′( x)  f ( x  x)

 f ′ ( x)

 – ∞

−

2

6 3

. Se obţine tabelul de varia ţie:

6 3 – – – – – –

0

–––

0 + + + + +++ ++ 0 1 m 0 M + + + + +++ ++ 0 – – – – – i

1

0

+∞

2 0 + + + + + m 0 +++++++++

i

− x 2 − 4 x +8 −24 ′ ′  b) D = \{−2}, f ′( x) = , ( ) , x∈D . f x = ( x + 2) 2 ( x + 2)3 Se obţine tabelul de varia ţie:  x  f ′( x)

 –2 | | |

 – ∞ −2 − 12   – – – – – –– – – – 0 ++ + + +

 f ( x  x)

m 0 + + + +++ ++++++++ 1

 f ′′( x)

+∞

−2 + 12

+ + 0 – – – – – – – – – –  0

M 1   – – – – – – – – – – – – 

1  x , , x ∈ (−1, 1) f ′′( x) =− 2 2 2 1− x (1− x ) 1− x

c). D = [−1, 1], f ′( x) =1− Tabelul de varia ţie:

  –1 0  f ′( x) (– ∞) – – – – – – – – – – – – – – – – – –  0  – – – – – – – – – – – – – – – – – – ( – ) 1 1 1 1 1 1  f ( x  x) 0 0   – – – – – – – – – – – – – –   f ′ ( x) + + + + + + + + + + + +  x

i

d) D = , f ′( x) =1+

 x x 2 +1

, f ′′( x) =

1 , x∈ . 2 2 ( x +1) x +1

Tabelul de varia ţie:  x

 f ′( x)

 – ∞

+∞ +

 f ( x  x)

 f ′ ( x)

+

+

+

0

+

+

+

+

+

+

0

+

+

+

+ + + 0

+

+

+

+ + +

240

+ + + + + 0

+ + + + +

+ + 0

+ +

e) D = , f ′( x) = ( x 2 + x +1)e x , f ′′( x ) = e x (x 3 + 3x + 2), x ∈ . Rezultă tabelul de varia ţie:  x

 f ′( x)

 – ∞ +

 f ( x  x)

+

+

+

0

 f ′ ( x)

+

  + +

0

–2 + + + + + + + +

+ 0

+ + + + +++ ++

0

0

  – – – – –  0

i

i

+∞

–1 + +

0

0

+++++++++

f) D = (0, + ∞),  f ′( x) = x 2 (3 ln x + 1),  f ′ ( x) = x(6 ln x + 5),  x ∈ (0, + ∞) . Rezultă tabelul de varia ţie: 0

 x

 f ′( x)

e

−

5 6

e

  – – – – – – – – – – – – – – – – – –– – – – – –

 f ( x  x)

1

1

1

−

1 3

0 m

1

+∞ + + + + + 0

0

 f ′ ( x)   – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + i

ie S2. Solu ţ ie a) Funcţia este de dou ă ori derivabilă pe . Se obţine: f ′( x) = e x [ x 2 + (a + 2) x + a +b ] , f ′′(x ) = e x [x 2 + (a + 4)x + 2a +b + 2] , x ∈ Condiţiile  f ′(1) = 0,  f ′ ( 2) = 0 conduc la sistemul de ecua ţii:

.

⎧ 2a + b = − 3 5 , cu solu ţia a = − , b = 2 . ⎨b = 2 2 ⎩ ⎛ 1  x 1 ⎞ 1 Rezultă că f ( x ) = (2 x 2 − 5 x + 4)e x , f ′( x) = e x⎜ x 2 − − ⎟= (2 x 2 − x −1)e x , ⎝ 2 2 2⎠ 2 1  x f ′′( x ) = ( 2 x 2 + 3x − 2)e , x ∈ . 2  b) Avem tabelul de varia ţie:  x  f ′( x)

 f ( x  x)  f ′′( x)

 – ∞ + + + 0

+ + +

 –2

−

1 2

1 2

1

+∞

+ + + + 0– – – –   – –0++ + + + + + M 1 m 0 1 0 + 0 –    – – – 0+ + + + + + + + + i

i

ie S3. Solu ţ ie Funcţia este de dou ă ori derivabil ă pe . Avem: f ′( x ) = 5x 4 +3ax 2 +85, f ′′( x ) = 20 x 3 +6ax, x ∈ Condiţia  f ′ ( 3) = 0 conduce la a = 30 .

.

Rezultă că f ′( x) = 5x 4 −90 x 2 +85, f ′′( x) = 20 x 3 −180 x, x ∈ . • Rezolvăm ecuaţia  f ′ ( x) = 0 .  Notând x2 = y obţinem 5 y 2 − 90 y + 85 = 0 , de unde  y = 1, y = 17 şi se ob ţine  x ∈ {±1, ± 17 } . • Rezolvăm ecuaţia  f ′ ( x) = 0 . Se obţine că 20 x 3 180 x = 0 sau 20 x( x 2 − 9) = 0 , cu solu ţiile  x ∈ {0, −3, 3} . Se obţine tabelul de varia ţie: 241

 – ∞ –3 –1 − 17    f ′( x) + + + + 0 – – – –0+ + m M 0 1 0  f ( x  x)  f ′ ( x) – – – – – – 0 + + 0

0

 x

i

i

S4. Solu ţ ie ie a) Funcţia este de dou ă ori derivabilă pe

Se obţine:  f ′( x) = a +

b  x 2

+1

1 3 +0– – – M 1   – – – – 0

+∞ + + +

0 m + + + + +

0

i

.

2bx

,  f ′′( x) =

17

2

( x + 1) 2

, x

.

Din condi ţiile date se ob ţin relaţiile: a + = 2,

2b = 1, deci b = 2, a = 1. 4

 b) Rezult ă că f ( x  x) = x + 2 arctg x,  f ′( x ) = 1 +

2

b

2

 x

2

+1

,  f ′ ( x ) =

Rezultă tabelul de varia ţie: 0  x  – ∞  f ′( x ) + + + + + + + + 0 0 0  f ( x  x)  f ′′( x) + + + + + + 0

4 x 2

( x + 1) 2

+ +

.

, x

+∞ + +

+ + 0

0

0

  – – – – – – 

i S5. Solu ţ ie ie a) Funcţia este de dou ă ori derivabilă pe

.

− x 2 2 x 3 − 6a 2 x ′ ′ . ,  f  ( x) = ,x ( x 2 + a 2 )2 ( x 2 + a 2 )3 Ecuaţia  f ′′( x) = 0 conduce la 2 x 3 6a 2 x = 0 , cu soluţiile  x ∈ {0,± a 3} . Ecuaţia tangentei la grafic în  x0 = a 3 este:  y −  f (a 3 ) =  f ′(a 3 )⋅  x ( − a 3 ).

Se obţine:  f ′( x) =

Deoarece

(

 f  a

3 )=

a2

3 4a

,  f ′(a 3 )= −

1 8a 2

, se ob ţine ecua ţia tangentei:

 y =−

 x

8a

2+

3 3 . 8a

3 se obţine că 8 3 3 3 1 1 = şi 2 = , deci a = 3 . 8a 8 8a 24  x 2 3 − x 2 2 x 3 − 18 x  b)  f ( x) = 2 , f ′( x) = 2 2 ,  f ′′( x) = 2 3 , x .  x + 3 ( x + 3) ( x + 3)

Identificând cu ecua ţia dată  y = − x +

Rezultă tabelul de varia ţie:  –3  x  – ∞ − 3  f ′( x)   – – – – – – – 0 + m  f ( x  x) 0 + +  f ′′( x) – – – – – – i

0 + 0 i

242

3

+0– M   – –

3 – –

– –

+∞ – – 

0+ + + + + i

4.3 Reprezentarea grafică a funcţiilor  Exersare

E1. Solu ţ ie ie Funcţiile sunt de dou ă ori derivabile pe  D. a) Domeniul de defini ţ ie ie:  D ∈ . Se obţine că lim  f ( x) = lim ( x 3 − 3 x 2 ) = −∞, lim  f ( x) = +∞  x → −∞

 Asimptote. Funcţia

 x → −∞

 x →∞

este polinomial ă şi nu are asimptote.

 Intersec ţ ia ia cu axele de coordonate Ecuaţia f ( x  x) = 0 este  x 3 − 3x = 0 şi are solu ţiile  x ∈{0, 3} . Graficul intersecteaz ă Ox în O(0, 0) şi A(3, 0). Studiul folosind derivatele Se obţine:  f ′( x) = 3 x 2 − 6 x,  f ′′( x) = 6 x − 6 ,  x ∈ . Rezultă că f′( x) = 0 ⇒ x∈{0, 2}, iar f′′( x) = 0 ⇒ x=1 . Tabelul de varia ţ ie: ie:  – ∞  x  f ′( x)

+ + +

+ +

 f ( x  x)

 – ∞

 f ′ ( x)

– – – – – –

0

0 0 – – – M 1 (0) – – – –

1 – – – 1

0 i(– 2)

+∞ 2 –– 0 + + + + + (– 4) +∞ 1 0 m + + + + + + + +

Graficul func ţ iei: iei:

 y 2 1 1 −2

 x

−1 −1

−2

i

−3

−4

 b)  D ∈ . lim f ( x ) =+∞, lim f ( x ) =−∞  x→−∞

x→∞

 Intersec ţ ia ia cu axele: A axele: A(0, 8) şi B(2, 0). Studiul folosind derivatele Avem:  f ′( x) = −3 x 2 ,  f ′ ( x) = −6 x , x ∈

2

. 243

Tabelul de varia ţ ie ie:  x

 – ∞ +∞ 0  f ′( x) – – – – – – – 0 – – – – – –  1 1 1 1 1 1 8  f ( x  x)  f ′ ( x) + + + + + + + + + 0   – – – – – – – – – – –  i(8)

Graficul func ţ iei: iei:  y

8

i

0

1

 x

2

c)  D ∈ . lim f( x) =+∞, lim f( x) =−∞  x →−∞

x→∞

⎛3 ⎞  Punctele de intersec ţ ie ie cu axele: O(0, 0) şi A⎜ , 0 ⎟. ⎝2 ⎠ Studiul folosind derivatele Avem:  f ′( x) = −6 x 2 + 6 x,  f ′ ( x) = −12 x + 6 ,  x ∈ . Tabelul de varia ţ ie ie:  x  f ′( x)

 – ∞

1 2

0

1

– – – – –

+∞

0 + + + + + + 0 – – – –  (0) M  – ∞ 1 0 0 1  f ( x  x) + ∞ m (1)  f ′ ( x) + + + + + + + + + 0   – – – – – – –  ⎛ 1 ⎞  i ⎜ ⎟  ⎝ 2 ⎠  Graficul func ţ iei: iei:

 y

 M  1

i

 A −2

−1

1 2

244

1

 x

d)  D ∈ . lim f( x) =−∞, lim f( x) =+∞  x →−∞

x→∞

 Punctele de intersec ţ ie ie cu axele: O(0, 0) şi A(5, 0). Studiul folosind derivatele Avem:  f ′( x) = 5 x 4 − 20 x 3 ,  f ′ ( x) = 20 x 3 − 60 x 2 ,  x ∈ Tabelul de varia ţ ie ie:  – ∞ 0  x  f ′( x)

+ + + + + +

 f ( x  x)

 – ∞

 f ′ ( x)

0

– – – – – –

+ +0– – M (0) – –0 – –

.

+∞ 4 – – – – – – 0 + + + + 4 -4  – ∞ 1 1 0 m – – – – 0 + + + ++ + + + + + 3

i

e)  D ∈ , lim  f ( x ) =+∞  x →±∞

 Intersec ţ ia ia cu axa Ox:  x) = 0 se scrie  x 4 − 5 x 2 + 4 = 0 sau ( x 2 − 1)( x 2 − 4) = 0 şi are soluţiile  x ∈ {−1,1, ,1,− 2, 2} . Ecuaţia f ( x Graficul intersecteaz ă axa Oy în punctul  A(0, 4). Studiul folosind derivatele Se obţine:  f ′( x) = 4 x 3 − 10 x,  f ′ ( x) = 12 x 2 − 10 , x ∈ .

⎧ 10 ⎪⎫ Ecuaţia  f ′( x) = 0 are soluţiile  x ∈ ⎪⎨0, ± ⎬ , iar  2 ⎪⎭ ⎪⎩ 10 30 =± . 12 6

ecuaţia  f ′ ( x) = 0 are soluţiile  x = ± Tabelul de varia ţ ie ie:  x

 – ∞

−

10 2

 f ′( x)

  – – – – – 0+

 f ( x  x)

+∞

 f ′ ( x)

1

m

+ + + + + +

−

30 6

0

10 2

+∞

+ + + +

+ + 0 – – – – – – 0 + + + + M +∞ 0 1 1 0 m (4) + + 0 – –    – – – – – 0 + + + + + + + + i

  Punctele de extrem sunt:

30 6

i

⎛  10 9 ⎞  ⎜− ⎟  ⎜ 2 ,− 4 ⎟ , (0, 4) şi ⎝  ⎠ 

⎛  30 19 ⎞  ⎛  30 19 ⎞  ⎜− ⎟  ⎜ ⎟  ⎜ 6 , 36 ⎟ , ⎜ 6 , 36 ⎟ . ⎝  ⎠  ⎝  ⎠  Graficul func ţ iei iei este simetric fa ţă de Oy.

245

⎛  10 9 ⎞  ⎜ ⎟  ⎜ 2 ,− 4 ⎟ , iar cele de inflexiune sunt ⎝  ⎠ 

f)  D ∈ , lim f( x) =−∞, lim f( x) =+∞  x →−∞

x→∞

 Intersec ţ ia ia cu axele de coordonate Punctul A(0, 5) este intersec ţia cu Oy. Ecuaţia  f ( x) = 0 se scrie 2 x 3 − 3x 2 +5 = 0

sau 2 x 3 + 2 x 2 − 5 x 2 + 5 = 0 ⇒ 2 x 2 ( x + 1) − 5( x 2 − 1) ⇒ ( x + 1)(2 x 2 − 5 x + 5) = 0 , cu soluţia x = –1.

Studiul folosind derivatele  f ′( x) = 6 x

2

− 6 x,  f ′′( x) = 12 x − 6 , x ∈ . 1 2

Ecuaţia  f ′( x) = 0 are soluţiile  x ∈{0,1} , iar ecuaţia  f ′ ( x) = 0 are soluţia  x = . Tabelul de varia ţ ie ie:  x

 – ∞

1 2

0

+∞

1

 f ′( x)

+ + + + + 0– – – – – – – – 0+ + + + + + + + + + + + +∞  f ( x  x)  – ∞ 0 1 1 0 0 M m  f ′ ( x) – – – – – – –– – – – 0 + + + + + + + + + + + + + i

⎛ 1 9 ⎞ . ⎟  ⎝ 2 2 ⎠ 

 Punctele de extrem sunt: (0, 5) şi (1, 4), iar cel de inflexiune ⎜ , Graficul func ţ iei iei

 y  M 

5

i 4

m

3 2 1

−1

O

1

 x

1

2

s

g)  D ∈ , lim  f ( x ) =−∞ →±∞ ∞  x →±

 Intersec ţ ia ia cu axele Se obţin punctele A(0, 16), B(–2, 0), C (2, (2, 0). Funcţia este par ă, deci graficul este simetric fa ţă de Oy. Studiul folosind derivatele:  f ′( x) = −4 x 3 ,  f ′ ( x) = −12 x 2 ,  x ∈ Tabelul de varia ţ ie ie:  – ∞ 0 1  x  f ′( x)

+ + + +

+ +

. +∞ – – 

+ + + + +0– – – – – – – – M  – ∞ 0 0 1 1  f ( x  x)  – ∞ (16)  f ′ ( x)   – – – – – – – – – – – 0 – – – – – – – – – – – –  246

Graficul func ţ iei iei

 y  M 

−2

16

2

O

 x

h)  D ∈ , lim  f ( x ) =+∞ , funcţia este par ă. →±∞ ∞  x →±

 Intersec ţ ia ia cu axele de coordonate A (0, 1), B(–1, 0), C (1, (1, 0). Studiul folosind derivatele 3 2  f ′( x) = 4 x − 4 x,  f ′ ( x) = 12 x − 4 ,  x ∈ . Soluţiile ecua ţiei  f ′( x ) = 0

0,1} , iar  sunt  x ∈ {−1, 0,1}

⎧ 3⎫ ale ecuaţiei  f ′ ( x) = 0 sunt  x ∈ ⎪⎨± ⎪⎬ . ⎪⎩ 3 ⎪⎭ Tabelul de varia ţ ie ie:  x

 – ∞

 –1

−

3 3

3 3

0

 f ′( x)

  – – – – 0 + + + + + 0  f ( x  x) + ∞ 1 m  f ′′( x) + + + + + + + + 0 – – 

+0– M

– –

+ + +∞ 1 0 m – – – 0+ + + + + + + +

– –

i

– –

+∞

1 0

+ +

i

Graficul func ţ iei iei

 y

1

i −1

i

m

m −2

 M 

O

1

2

 x

⎛  3 4 ⎞  ⎛  3 4 ⎞  ⎜ ⎟  Punctele de extrem sunt: ( –  1, 0), (0, 1), (1,0), iar cele de inflexiune: ⎜⎜ − , ⎟   – 1, ⎟ , ⎜ 3 , 9 ⎟ . 3 9 ⎝  ⎠  ⎝  ⎠  247

i)  D ∈ , lim f( x) =−∞, lim f( x) =+∞  x →−∞

x →∞

 Intersec ţ ia ia cu axele de coordonate A (0, 1), B(1, 0), C (–1, (–1, 0). Studiul folosind derivatele 3 2 2  f ( x) = x − x − x + 1,  f ′( x) = 3 x − 2 x − 1,  f ′ ( x) = 6 x − 2 ,  x ∈

. 1 2

Ecuaţia  f ′( x) = 0 are soluţiile  x ∈{0,1} , iar ecuaţia  f ′ ( x) = 0 are soluţia  x = . Tabelul de varia ţ ie ie:

 – ∞

 x

−

1 3

1 3

+∞

1

 f ′( x)

+ + + + + + + + 0– – – – – 0 + + + + + + + + +∞ 0 1 0 0  f ( x  x)  – ∞ 0 M m  f ′′( x) – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + – – –  i

1 32 ⎞  ⎛ 1 16 ⎞  Punctele de extrem sunt: ⎛  ⎜ − , ⎟ , (1, 0) , iar cel de inflexiune ⎜ , ⎟ . ⎝  3 27 ⎠  ⎝ 3 27 ⎠  Graficul func ţ iei iei

 y  M  1

i

m

−1 −1

1

3

3

 x

1

 j)  D ∈ , lim  f ( x ) =−∞ .  x →±∞

 Intersec ţ ia ia cu axele de coordonate O (0, 0), A(1, 0). Studiul folosind derivatele 3 4 2 3 2  f ( x ) = x − x ,  f ′( x) = 3 x − 4 x ,  f ′′( x) = 6 x − 12 x ,  x ∈ Tabelul de varia ţ ie ie:  x

 – ∞

0

1 2

3 4

 f ′( x)

+ + + + + + + + 0+ + + + + 0 –  – ∞ 0 0 0 M  f ( x  x)  f ′ ( x) – – – – – – – – 0+ + 0   – – i

i

248

. +∞ – – – – – – – – – –   – ∞ 1 1 1 – – – – – – – – – – 

⎛ 3 27 ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎟ iar de inflexiune (0, 0) şi ⎜ , ⎟. ⎝ 4 256 ⎠ ⎝ 2 16 ⎠

Punctele de extrem: ⎜ , Graficul func ţ iei iei

 y  M  i i

O

1

3

2

4

1

 x

k)  D ∈ , lim f ( x) =−∞, lim f ( x) =−∞  x→−∞

x→∞

 Intersec ţ ia ia cu axele de coordonate O (0, 0), A(1, 0). Studiul folosind derivatele 2

f ′( x) = (1− x ) (1− 4 x ) , f ′′( x ) = 2 ( x −1) (3− 6 x ) = 6 ( x −1) (1− 2 x ) ,  x ∈

.

⎧ 1⎫ ⎧1 ⎫ Soluţiile ecuaţiei  f ′( x) = 0 sunt  x ∈ ⎨1, ⎬ , iar ale ecuaţiei  f ′′( x) = 0 sunt  x ∈ ⎨ ,1⎬ . ⎩ 4⎭ ⎩2 ⎭ Tabele de varia ţ ie ie  x  f ′ ( x )  f ( x  x)  f ′′ ( x )

1 4

−∞

1 2

1

+∞

+ + + + + + + + 0 – – – – 0 – – –  −∞     M  –∞ – – – – – – – – – – – – 0 + + 0 – – – –  i

(4

)

i

( 2 16 )

Punctele de extrem: 1 , 27 iar cele de inflexiune: 1 , 1 , (1, 0 ) . 256

Graficul funcţiei:  y

 M  i i 1

1

4

2

249

1

 x

E2. Solu ţ ie ie a) D= \{−1}, lim f( x) =1, lim f( x) =1 .  x →−∞

x→−∞

Dreapta y = 1 este asimptot ă orizontală la +∞ şi la −∞ .  Asimptotele func ţ iei iei

Avem  f  (−1− 0 ) = lim  x −1 = −2 =+∞ şi lim  f ( x ) =−∞ .  x +1

0−

 x →−1  x<−1

 x →−1  x>−1

Dreapta x = –1 este asimptot ă verticală bilaterală.  Intersec ţ ie ie cu axele: A axele:  A(0, –1), B(1, 0) 2 , f ′′ ( x) = −4 3 , x∈ D . 2 ( x + 1) ( x + 1)

f ′ ( x) =

Studiul folosind derivatele Tabelul de varia ţ ie ie

+∞ –1 + + + + | + + + + + 1   +∞ | −∞    1 + + + + | – – – – –  −∞

 x  f ′ ( x )  f ( x  x)  f ′′ ( x ) Graficul 

 y 1

–1

 x

1 –1

c) D= , lim f( x) = 0 . Dreapta y = 0 este asimptot ă la −∞ şi la +∞ . →±∞ ∞  x →±

Studiul folosind derivatele 1− 2x 2 3x− 6 x f′( x) = 2 , f′′( x) = 2 , x∈ ( x +1)2 ( x +1)3

.

,1} iar   f ′′ ( x ) = 0 are soluţiile  x ∈ { 0 , + 3 , − 3} . Ecuaţia  f ′ ( x ) = 0 are soluţiile  x ∈ {−1,1} Tabelul de varia ţ ie ie  x  f ′ ( x )  f ( x  x)  f ′′ ( x )

−∞

  – 

–

–

−

–



– – – –

–1

3

– 

0 +

0 1 3 0 + + + 0 – – – – 

m 

+

+

i



+ 0 i

250

M 





+∞



– – – – 0 + + + i

(

) ( 2)

Punctele de extrem sunt −1, −1 , 1, 1 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ iar cele de inflexiune : ⎜− 3 , − 3 ⎟, ( 0 , 0 ),⎜ 3 , 3 ⎟. ⎝

4 ⎠

⎝

4 ⎠

Graficul func ţ iei iei  y  M 

1 2

i

–1

– 3

C  i

1

3

 x

1 2

m

Graficul funcţiei este simetric în raport cu punctul 0. d) D= , lim f( x) =1 , deci y = 1 este asimptot ă orizontală la −∞ şi +∞ .  x →±∞

Studiul folosind derivatele: 2 x 1− 3 x 2 f′( x) = 2 , f′′( x) = 2 2 , x∈ ( x +1)2 ( x +1)3

.

Tabelul de varia ţ ie ie  x  f ′ ( x )

 f ( x  x)  f ′ ( x )

−∞

– 1

−

–

–

3 3

–



– 1 4

  – – – –

3 3

0 – – 0 + +

+

0 m

1 4



0 +



+

+

+

i

+∞

+

+ + + + 

0 – –

– – – – 

i

Graficul func ţ iei iei

 y 1

i

i 0

3 3

3 3

Graficul este simetric fa ţă de Oy, deoarece func ţia f este par ă. 251

1

 x

e) D= \ {−1, 1} 1}, lim f( x) = 0 , lim f( x) = 0 .  x →∞

x→−∞

Rezultă că y = 0 este asimptot ă orizontală la −∞ şi la +∞ . Dreptele x = –1, x = 1 sunt asimptote verticale bilaterale. Studiul folosind derivatele

− − 2 f ′ ( x) = 12 3 x 2 , ( x − 1)

f ′′ ( x) =

2 x ( x 2 ( x2

+ 5)

− 1) 3

, x∈ D.

Tabelul de varia ţ ie ie  x  f ′ ( x )  f ( x  x)  f ′ ( x )

−∞ –1 0 1 – – – | – – – – – – | – – – – – –  0  −∞ | +∞  0  −∞ | +∞   – – – – | – – – 0 + + + +|+ + + + + + −∞

i Graficul func ţ iei iei  y

1

 x

0

= +∞ f) D= \ {–1, 1} 1}, lim f( x) =−∞, lim f( x) =+  x →−∞

x→∞

Intersecţiile cu axele de coordonate: O(0, 0)  Asimptote Dreptele x = –1, x = 1 sunt asimptote verticale 2  f ( x ) ⎛ 3 ⎞ m = lim = lim 2x = 1, n = lim ⎜ 2x − x ⎟= lim 2 x = 0 . →± →± →± x∞ x ∞ x −1 x ∞⎝ x −1 ⎠ →±x ∞ x −1  x Rezultă că dreapta y = x este asimptot ă oblică spre −∞ şi spre +∞ . Studiul folosind derivatele  x 4 − 3 x 2 Avem f′( x) = 2 , x∈ D. ( x −1)2 Tabelul de varia ţ ie ie  x  f ′ ( x )  f ( x  x)

−∞

+ + +

−∞

−

3

0 –

 −

3 3 2

–1 0 1 3 +∞ – | – –0 – – | – – 0+ + +

−∞ | +∞



M

 | +∞ −

3 3 2

m

252



+∞

Graficul   y m

0

i

1

 x

M

E3. Solu ţ ie: ie: a) D= [ 0 , +∞), lim

 x →∞

f( x) = +∞ .

 Intersec ţ ia ia cu axele O (0, 0) Studiul folosind derivatele 3 , x ∈ ( 0 , +∞) . 4  x Funcţia nu este de dou ă ori derivabilă în x = 0 şi  f ′′( 0 ) = f  d ′′( 0 ) =+∞ . f ′ ( x) =

3 2

x, f ′′( x) =

Tabelul de varia ţ ie ie  x  f ′ ( x )  f ( x  x)  f ′′ ( x )

0 +∞ + + + + + + + + +   +∞ 0    | + + + + + + + + +

Punctul x = 0 este punct de minim local. Graficul 

 y

1

1

253

 x

 b) D= , lim f( x) =+∞, lilim f( x) =+∞ .  x →+∞

x→−∞

Punctul de intersec ţie cu axele  A(0, 1).  Asimptotele oblice: m = lim  x →∞

f( x)  x

x2 +1

= lim

x

x→∞

= 1,

n = lim

 x →∞

(

)

l im x 2 +1− x = li x →∞

1 2

 x +1 + x

Dreapta y = x este asimptot ă oblică spre +∞ . Analog y = –  x este asimptot ă la −∞ . Studiul folosind derivatele  x

f′ ( x) =

2

x+ 1

f′′ ( x) =

,

1 x+ 1)

2

(

x+ 1

2

, x∈ Z

Tabelul de varia ţ ie ie

−∞

0 – – – – – – 0 +

 x  f ′ ( x )  f ( x  x)

+∞

 f ′′ ( x )

+



(1) (1)



+ +

m

+

+ +

+ 

+

+

+∞

+

+

+∞



+

+

Graficul 

 y  y = –x

 y = x 1

 x

0

c)

= ( −∞ , − 1] D 1] ∪ [1 [ 1, + ∞ ), lim

 x →±∞

( f ) x= +∞ .

 Intersec ţ iile iile cu axele . A(1, 0), B(–1, 0)  Asimptote oblice 2 x2 − 1 m= lim − x 2− 1 = −1 = l→im = x−∞ →x−∞ x x −1 = 0 . n = lim ( x 2 − 1 + x ) = lim 2  x → −∞ x → −∞  x − 1 − x Rezultă că dreapta y = –  x este asimptot ă oblică spre −∞ . Analog rezult ă că y = x este asimptot ă oblică spre +∞ .

 f ( x ) lim →x−∞  x

Studiul folosind derivatele f′ ( x) =  x

x− 1

2

, f′′ ( x) =

−1 ( 2x− 1)

Se obţine că  f s′( −1) = −∞ , f  d ′ (1) = +∞ . 254

x− 1

2

, x∈ ( −∞ , − 1) ∪ (1, + ∞ ) .

=0 .

Tabelul de varia ţ ie ie  x  f ′ ( x )  f ( x  x)  f ′′ ( x )

−∞  

–1

– – – – –

+∞  



|

|

0



– – – – –

+∞

1 0 |

+



|

+

+∞



+

+

+

+

Punctele x = –1 şi x = 1 sunt puncte de minim. În x = –1 şi x = 1 graficul este tangent dreptelor  x  x = –1, respectiv  x = 1. Graficul   y  y = –x

 y = x 1

0

–1

 x

1

d) D= , lim f( x) = lim  x− x = lim

1 = 0 . lim  f ( x ) =+∞ . →− →− →− x∞ x ∞e x ∞ −e− x  x →+∞ Dreapta y = 0 este asimptot ă orizontală spre −∞ . Studiul folosind derivatele f ′( x ) = ( x +1) e x , f ′′( x ) = ( x + 2 ) e x , x ∈ . Tabelul de varia ţ ie ie

 x  f ′ ( x )  f ( x  x)  f ′′ ( x )

−∞

–2

+∞ –1 0 – – 0 + + + + + +

– – – – –   0  m – – – – – 0 + + +





+ + + + + +

i

(

)e şi de inflexiune ⎛⎜⎝ −2, − e2 ⎞ ⎟ ⎠ .

Punctele de extrem: −1, − 1

2

Graficul   y

–2

–1 0

i

m

255

+∞

 x

f) D= ( 0 , +∞), lim f( x) =+∞, lim xln x= 0 .  x →∞

x→0  x>0

 Intersec ţ ia ia cu axele A(1, 0) Studiul folosind derivatele 1 f ′( x) = ln x+1, f ′′( x) = , x ∈ ( 0 , +∞) .  x

Tabelul de varia ţ ie ie  x  f ′ ( x )  f ( x  x)  f ′′ ( x )

e−1

0 – – – – – 0  +

0 +

+

−e−1



+ +

+∞

m

+

+ +

+



+

+



+

+∞

+

+

Graficul 

 y

e –1

1

 x

0 – e –1

m

Graficul este tangent axei Oy deoarece  f  d ′ ( 0 ) = −∞ . h)

= +∞ ∞), lim D (−∞, −1) 1 ) ∪ (1, +

 x →±∞

( f ) x=+∞ .

 Asimptote verticale lim ln ln( x 2 −1) =−∞, lim ln( x 2 −1) = −∞ ,  x →1  x>1

deci dreptele  x = 1,  x = –1 sunt asimptote

x→−1 x<−1

verticale Studiul folosind derivatele 2−2 x2 − f′( x) = 2 , f ′′( x) = 2 , x∈ D.  x −1 ( x −1)2 2 x

Tabelul de varia ţ ie ie  x  f ′ ( x )  f ( x  x)  f ′′ ( x )

–1

−∞

 

– – – – –

+∞ 

 



1 |

−∞ |

– – – – –

|

+∞

|

+

+

+

+ +

| −∞   +∞ | – – – – – 

Intersecţia cu axele: din ln( x 2 − 1) = 0 ⇒ x 2 − 1 = 1 cu soluţiile  x ∈ {− 2 , 2 } . 256

Graficul 

 y

–1

1

– 2

2

 x

S2. Solu ţ ie ie 2 Obţinem 1= m = lim x + ax şi  x →∞

 x ( x −1)

⎛ 2x + ax ⎞ + −1= n = lim⎜ − x ⎟= lim ax x= a +1 .  x →∞⎝  x −1 ⎠ x→∞ x −1  x 2 − 2 x Aşadar  a = –2 şi  f ( x ) = .  x −1  Intersec ţ iile iile cu axele de coordonate O (0, 0), A(2, 0) Dreapta x = 1 este asimptot ă verticală bilaterală. Studiul folosind derivatele  x 2 − 2 x + 2 −2 , x ∈ D f ′( x) = , x ∈ D, f ′′( x) = 2 ( x −1) ( x −1)3 Tabelul de varia ţ ie ie  x  f ′ ( x )  f ( x  x)  f ′′ ( x )

1 +∞ + + + + | + + + + + −∞   +∞ | −∞   +∞ + + + + | – – – – –  −∞

Graficul 

 y

1

257

2

 x

S3. Solu ţ ie ie

x2 + 2 x+ a. ( x + 1)2

Funcţia este derivabil ă pe Z \{ −1} şi se obţine  f ′ ( x ) =

2 Condiţia  f  ′ ( −3 ) = 0 conduce la a = –3, deci  f ( x ) =  x + 2 x − 3 , etc.

 x + 1

S4. Solu ţ ie ie

a) A doua bisectoare a sistemului de coordonate are ecua ţia  y = –x, deci are panta m = –1. Rezultă că panta asimptotei oblice este m = –1. Se ob ţine: 2 − 4 x + 3 = 1 , deci a = –1. −1 = m =  xli→∞ m  x x( ax + a) a

 b) Func ţia f este derivabil ă pe D. 2 Se obţine că f′ ( x) = ax + bx − 3a2 − 12 , x∈ D.

( ax + 3)

2 Din condi ţie  f  ′ ( 0 ) = 0 , rezultă că a = –4, deci  f ( x ) =  x − 4 x + 3 .

3 − 4 x

S5. Solu ţ ie ie Funcţia f este de dou ă ori derivabilă pe Z . Se obţine f ′ ( x) = x2 + 1 − cos x, f ′′ ( x) = 2 x + sin x, x ∈ Z .

Avem: lim f ′′ ( x) = −∞ , lim f ′′( x) = +∞ .  x → −∞

x →∞

 Notăm g( x) = 2 x+sin x, x ∈ . Se obţine: g′ ( x) = 2 + co cos x> 0 , ∀ x∈ Z deci g este strcit cresc ătoare pe Z . Deoarece g (0) (0) = 0, rezultă că x = 0 este singura solu ţie a ecua ţiei g ( x  x) = 0.  Asimptotele oblice .  f ( x ) + = Avem m = lim lim 2 x sin x  x →∞ x →∞  x x Se obţine că g nu are asimptote.

(

) = 2 , n = lim (2(2 x +sin x − 2 x ) = lim sisin x = nu există.  x→∞

x →∞

Studiul folosind derivatele cos x, g′ ( x) = − sin x, x ∈ Z Funcţia g este de dou ă ori derivabilă pe şi avem g′ ( x) = 2 + co Ecuaţia  g ′ ( x ) = 0 nu are soluţii, iar ecuaţia  g ′ ( x ) = 0 are soluţiile x= kπ , k ∈   . Tabelul de varia ţ ie ie  x  f ′ ( x )  f ( x  x)  f ′ ( x )

−∞ +

+

−∞

–3 +



 –2  –  + + + 



0 + + 

+



2 + 

+∞

3 +

+ 

+∞

 – – 0 + –0 – – 0 ++0– – 0+ + 0 – – 0 + + i

i

i

258

i

i

i

i

Graficul   y

–3π

–2π

–π π

 x

2π

Graficul are o infinitate de puncte de inflexiune de coordonate ( k π, 2 k π), k  ∈ simetric în raport cu originea O. S6. Solu ţ ie ie

Derivata func ţiei este

′f(

)x=

−

x2 − 2 ax+ b2 , ( x 2 + b2 )2

∈x Z .

Panta tangentei în origine este m = f  ′ ( 0 ) = 12 şi trebuie să fie egală cu 1. Se obţine b2 = 1 . Tangenta are ecua ţia y−

b f( 0 ) = 1( 1( x− 0 )

sau y = x + f (  0  ) .

Rezultă că f (0) (0) = 0. Se ob ţine a2 = 0 deci a = 0. b

Aşadar   f ( x ) = 2 x .  x

+1

S7. Solu ţ ie ie a) Fie  x0 ∈ D

punctul de tangent ă. Tangenta în x0 are ecuaţia y − f ( x0 ) = f ′ ( x0 )( x − x0 ) sau, altfel scris ă : y = f ′ ( x0 ) x + f ( x0 ) − x0 f ′ ( x 0 ) .

⎧ f ′ ( x0 ) = 2 . ′ − = f ( x ) x f ( x ) 1 0 ⎩ 0 0 0

Identificând cu ecua ţia dată  y = −2 x + 10 se obţine sistemul ⎨

2 − 2 ax − 2 . a x ′ Dar   f ( x ) = ( x − 1)2 ⎧ax02 − 2 ax0 − 2 = −2( 2 ( x 0 − 1) 2 ⎪ Sistemul se scrie: ⎨ ax02 + 2 . ⎪  x − 1 + 2 x0 = 10 ⎩ 0 Din prima ecua ţia se obţine că x0 ( x0 − 1)( a+ 2 ) = 0 . Avem cazurile:

• Pentru x0 = 0 din a doua ecua ţie se obţine că –2 = 10, fals. • Pentru x0 = 2 din a doua ecua ţie rezultă că a = 1. • Pentru a = –2, din a doua ecua ţie rezultă că x0 = 1, fals. Aşadar a = 1 şi tangenta este dus ă în punctul de abscis ă x0 = 2.  b) Func ţia este

2 + 2 , etc.  x  f ( x ) =  x − 1

259

şi

este

Teste de evaluare Testul 1  Solu ţ ii  ii 

1. Solu ţ ie ie Funcţia f este derivabil ă pe Z . 2 Se obţine că  f ′ ( x ) = − x 2− 2 ax+ 12− a. Din condi ţia  f  ′ (1) = 1 rezultă că a = 0, deci ( x + x + 1) 2 , iar  ′f( )x= 2 1− x 2 , ∈  f ( x ) = 2  x x Z. ( x + x +1)  x + x + 1

Tabelul de monotonie

−∞

 x  f

′( x ) – – – – –

 f ( x  x)



+∞ 1 + 0 – – – – 

–1 0 +





m

M  



2. Solu ţ ie ie a) Condiţia pusă: x2 + 4 x+ m> 0, ∀ x∈ . Rezultă că ∆ = 16 - 4 m < 0 , deci m ∈ ( 4 , + ∞ ) .

2 x + 4 . x2 + 4 x+ m Deoarece  f  ′ ( −2 ) = 0 rezultă că

 b) Avem:  f ′ ( x ) =

m ∈ ( 4, + ∞ ) .

c) Avem: f( x) = ln( x2 + 4 xc+ 9 ), f ′ ( x) =

2 ( x + 2 ) , x∈ π .  x 2 + 4 x + 9

Tabelul de varia ţ ie. ie.

−∞

 x  f

–2 – – – – 0 +

+





′( x ) – –

 f ( x  x)





m

+

+

+∞ +



Punctul de minim x = –2. 3. Solu ţ ie ie Funcţia este de dou ă ori derivabil ă pe Z . 2

2 ( x − x − 1) Avem: f′ ( x) = 21 − 22 x = 1 − 2 2x , f′′ ( x) = . 2 2 ( x + 1) x +1 x +1 1+ x Tabelul de convexitate  x  f ′′( x )  f ( x  x)

−∞ + + + +

1− 5 1+ 5 2 2 + 0 – – – – 0 + i

i

260

+∞ + +

Testul 2 1. Solu ţ ie ie Avem f ′ ( x) = 5 x4 , x ∈ Z . Semnul derivatei

−∞

 x

 f ′ ( x )  f ( x  x)

+

+



+

0 + 0 +

+





+



+ 

+

+

+∞



Punctul x = 0 nu este de extrem. 2. Solu ţ ie ie

⎧ −2 ,  x ∈ ( −∞ , − 1) ∪ (1, + ∞ ) ⎪ 2 a)  f ′ ( x ) = ⎨ x + 1 . 2 ⎪ 2 ,  x ∈ ( −1, 1) ⎩ x + 1 Funcţia nu este derivabil ă în  x ∈{ −1,1} .  b) Semnul derivatei  x  f

′( x )

 f ( x  x)

−∞

– – – – – 



–1 | + m

+∞ 1 + | – – – –  

M   

c) Semitangentele în  x = 1, au pantele m1 = f s′(1) = 1, m2 = f d ′ (1  ) =  1 , deci m1 · m2 = −1 . 3. Solu ţ ie ie

Avem

2 + 2x  x  f ′ ( x ) = ( x + 1)2

. Se pune condi ţia  f ′( x0 ) =−1.

Se obţine ecuaţia x02 + 2 x0 + ( x0 + 1)2 = 0 sau 2 x02 + 4 x0 + 1 = 0 cu soluţiile  x0 ∈ −2 ± 2 . 2

}

261

Testul 3. 1. Solu ţ ie ie

  a) Punem condi ţia (f 2 − 0 ) = (f 2 + 0 ) = (f 2 ) .  α ∈ Z şi b = 4 − α . Rezultă egalitatea 4 + a = 2 a + b , deci a + b = 4. Putem lua a = α∈

 b) Func ţia f este derivabil ă pe Z \{2} . Studiem derivabilitatea în  x0 = 2 . Avem  f   s′( 2 ) = 4 ,  f d ′ ( 2 ) = a , deci a = 4. Din continuitate se ob ţine b = 0. c) Avem 5 =  f (1) = 1 + a deci a = 4. De asemenea 4 + b = f ′ ( 3) = a = 4 deci b = 0. ⎧ x2 + 4 , x T 2 Rezultă că funcţia f este  f ( x ) = ⎨ . >  x x 2 , 2 ⎩ 2. Solu ţ ie ie a) Funcţia f este derivabil ă pe

[ 0, + ∞ ) .

2  x 1 4 ′ − = Avem  f ( x ) = .  x + 1 ( x + 2 )2 ( x + 1)( x + 2 )2

 b) Tabelul de monotonie  x

 f ′ ( x )  f ( x  x)

−∞

+ + 0 

+ 

+

+

+



+



+ 

+

+



+∞

+∞

c) Din monotonia func ţiei  f  se obţine că  x = 0 este punct de minim. Atunci vom avea c ă 2 x , ∀x ∈ [ 0 , + ∞ ) . f ( x) U f ( 0 ) = 0 , ∀ x∈ [ 0 , + ∞ ) deci ln(1 +  x ) U  x + 2 3. Solu ţ ie ie a)  D1 = [ 2 , + ∞ ), D2

=Z

 b) Func ţia f este derivabil ă pe ( 2 , + ∞ ) şi  f ′ ( x ) =

1

, iar  2  x − 2 2 x  g este derivabil ă pe Z şi g′ ( x) = ( x + 3 x − 5 ) e . ( x2 + x− 6 ) e x 0 ( x2 + 3 x− 5 ) ex c) lim = = lim = lim ( 2 x− 2⋅( x2 + 3 x− 5 ) e x ) = 0 . →2 x →2 x →2 x 0 1  x − 2 >2 x >2 x >2 x 2  x − 2

()

262

Testul 4

a) Funcţia f este de dou ă ori derivabilă pe [ 0 , + ∞ ) şi 5 3  x 4 ′f′ ( )x = 2 x 2 + 4 x2 , xU 0 . f′ ( x) = 2 1 − 1 + 2x = 2  x + 1 x +1 ( x + 1)  b) Tabelul de monotonie 0  f ′ ( x ) + +  f ( x  x) 0   x

+

+



+

+



+

+



+



+

+∞ +∞



c) Din tabelul de monotonie se ob ţine că x = 0 este punct de minim pentru  f . 3

Aşadar  f ( x) U f ( 0 ) = 0 , ∀ x∈ [ 0 , + ∞ ) sau arctgx U x −  x . 3 3. Tangenta în M are ecua ţia y - f ( a ) = f ′ ( a )( x − a )

sau 2 −2 − 2 3 − 2a . 1− y= 2 a + a 4 a ( x− a) = a 3 x+ 2 a

a

a

a

Punctele de intersec ţie ale graficului cu tangenta sunt date de sistemul ⎧ y = 1 − x

⎪  x 2 ⎨ 1− a a − 2 ⎪ y− 2 = 3 ( x− a) ⎩ a a

A doua ecua ţie, după substituţia lui y, se scrie: a x − x − a) a − 2 1 − x− 1 − a= a− 2 ( x − a ) sau ( x − a)( ax = ( x − a ) . Se

x2 obţine  x –  a =

a2

0 cu

a3 soluţia  x

x2 a2

= a şi ecuaţia de gradul 2,

a3 a ( ax − x − a ) = ( a − 2 ) x 2

cu

}. a Rezultă că  N ( . f  ( a−2 a − 2 )) Se pune condi ţia ca  f  ′ ( a ) = 3 . a−2 soluţiile  x ∈ a , a

a−2 a ,

 Notăm u = a

a−2

şi

se obţine ecua ţia u −3 2 = 3 sau 3u3 − u + 2 = 0 care se scrie u

2

( u + 1)( 3u − 3u + 2 ) = 0 cu soluţia u = –1. Aşadar  a = −1 şi a = 1. a−2

263

Probleme recapitulative  Solu ţ ii  ii 

1. Vom aplica regula lui l’Hospital. 19 18 2 0 2 0 1 9 x − 20 9x x − 20⋅9⋅ x8 ⋅ a)  = lim = lim = 10⋅19 −10⋅9 =100 ;  x →1 x →1 2 ( x −1) 2

1 +  b)  = lim 2  x 1 = 3 ;  x →1 1 2 2  x + 2 c)  = lim cos x+ 2 cos x+... + ncos nx= 1+2 +... + n= 1; n→0 1+ 2 +...+ n 1 + 2 +...+ n 2 2 2 cos x cos x cos nx 1 8⋅ 1−( 8 x )2 d)  = lim =4;  x →0 2cos2 x 4cos2 x cos x− 2 sin2 x sin x = e)  = lim sin xcos2 x+2 sin2 x⋅cos x = lim cos x cos2 x−2 sin x sin2 x+ 4co  x→0 x→0 2 x 2 =5. 2 x x x f)  = lim 2 ln 2 x + 3 ln 3x+ 4 ln 4 = ln 2 +ln 3+ln 4 .  x →0 ln 5 + ln 6 5 ln ln 5 +6 ln ln 6 2. Din proprietatea p ăr ţii întregi se ob ţine că

x+

x + ln2 x − 1 < ⎡⎣ x +

x+

x+ ln2 x− 1 [ x+ < 3 +x1

x + ln2 x⎤⎦ T x + x + ln2 x şi astfel x+ ln2 x] x+ T +x1

3 Din criteriul cleşte se obţine că  = 1 . 3

x + ln 2 x . 3 +x1

⎛ x2 − x+1− a2 x2 ⎞ (1− a2 ) x 2 − x +1 . 3.  = lim⎜ − b⎟=−b + lim 2 2  x →∞⎝ x→∞ x − x+1+ ax ⎠ x − x+1+ ax Se pune condi ţia ca 1 − a2 = 0 . Se ob ţine a = 1, a = –1. Valoarea a = –1 nu este convenabil ă deoarece se ob ţine că  =+∞ . − b =− 1 − b . Pentru a = 1 se obţine  = lim 2 − x +1  x →∞ 2 x − x+1+ x Din − 1 − b = 1 se obţine b = − 3 . 2 2 4. Avem  =

a +b +c

. Se pune condi ţia ca a + b + c = 0, astfel limita ar fi infinit ă. 0+ Rezultă  = lim −a sin x −23 b sin 2 x = lim −a cos x −42b cos 2 x = −a −4 b .  x →0 x→0 0+ 4 x 12 x Se pune condi ţia ca – a – 4b = 0. 264

Rezultă că  = lim a sin x +8 b sin 2 x = lim a cos x + 2 b cos 2 x = a +16 b = 1 . l →0 l →0 24 x 24 24 ⎧a + b + c = 0 ⎪ Se obţine sistemul ⎨a + 4 b = 0 cu soluţia a = –8, b = 2, c = 6. ⎪⎩a + 16 b = 24 5. Se studiaz ă continuitatea în punctele de leg ătur ă în rest func ţiile fiind continue. a) (f1 − 0 ) = 2 , (1 (f1 + 0 ) = −a 1 .

Funcţia este continu ă în  x0 = 1 dacă a = 3.  b) Func ţia este continu ă pentru a = 0. ⎧1 + a + b = a + 2 c) Se obţine că f este continu ă dacă ⎨ deci a = 2, b = 1. + = − 4 1 0 2 a a ⎩ 6. Func ţia este continu ă pe Z \{0} . În x = 0 este continu ă dacă a + 1 = 7. Condiţiile de continuitate şi derivabilitate în  x0

1, b = 4. 4

= 0 conduc la b = c = 1, a ∈ Z .

8. Se obţine că a = b şi 2a = –2, deci a = b = –1. 10. a) Din continuitate se ob ţine că c = –1. Avem: ⎧2 ax − 3, x ∈ [ −1, 0 )  f ′ ( x ) = ⎨ . + ∈ x b x 2 , [ 0 , 1 ] ⎩

Funcţia este derivabil ă dacă b = –3. Egalitatea f (–1) (–1) = f (1) (1) implică a + 4 = 1 + b – c. Se obţine că a = –5, b = –3, c = –1.

 b) Func ţia g este continuă fiind obţinută prin compunerea a dou ă funcţii continue f şi g ,  g ( x ) = 2 x 2 . 1 +  x

⎛ ⎝

11. Obţinem F′ ( x) = ⎜

c + a ln( x + 1) ⎞ ′ b+ ⎟   x ⎠ 

ax − [ c + a ln( x − 1)] f (x ) =  x + 1 = . x2 x2

Aşadar trebuie cu a = 1 şi c = 0. bx + ln( x + 1) Se obţine că  F ( x ) = .  x

Deoatece lim F ( x) = b + 1 , se ob ţine că b = 0.  x →0

Astfel α =  F ( 2 ) =

ln(3) = ln 3 . 2

este ca 2 − m2 + m + 1 =| m | . m2 + m + 1 = 2 − | m | U 0 .

12. Condiţia ca f să fie continuă pe Z

Obţinem că

265

Prin ridicare la p ătrat avem ecua ţia m2 + m + 1 = 4 − 4 | m | + m2 sau m + 4|m| = 3 cu soluţia 3 m = şi m = –1. 5 Se obţine că α = 9 + 1 = 34 . 25 25 13. Funcţia f are perioada T = 2 dacă f ( x + 2 ) = f ( x ), ∀ x ∈ Z .

Avem:

(

⎡x ⎤ x+ a⎣ +1⎦+ b) + 3 = + 3 = (−1) ) ( 2 2 ( x+ a⎡⎣ x2 ⎤⎦+ b+ a)+3= (−1) ( x+ a⎡⎣ 2x ⎤⎦+ b)+3+(−1) a=

⎡ x + 2 ⎤+ b f ( x+ 2 ) = (−1)[  x+2 ] x+ a⎣ ⎦ = (−1)[

]

[ x ]+2

[ ]

x

x

[ ]

x

= f( x)+ (−1)[ x ] a deci a = 0. Rezultă că f ( x) = (−1)[ x ] ( x+ b) + 3 . Avem: (f1 − 0 ) = ( −1)0 (1 + )b+ 3 = +b 4 , iar  f(1 + b) = ( −1)[1 + b] + 3 şi se obţine că: b + 4 = −1 − b + 3 deci b = –1. Aşadar S = 0 – 1 = – 1. R ăspuns corect b). iei în x0 = 1 14. Continuitatea func ţ iei (1) = m, f (1 (1+ 0 ) =1+ q • f (1− 0 ) = p, f (1

deci p= m= 1+ q.

 Derivabilitatea func ţ iei iei în x 0 = 1  p x − p , f  d ′ (1) = 3 , deci p = 3 = m şi q = 2. •  f s′ (1) = lim  x →1  x −1 Se obţine S = m + p + q = 8. R ăspuns corect e). 15. a) x = 1 este asimptot ă verticală.  Asimptote oblice f ( x) x2 − 3( x− 2 ) = lxi→m∞ = 1 , iar  • m = lim  x →∞  x x2 − x

⎛ 2x− 3 + ⎞ x6 x6 − x ⎟= lim −2 + = −2 .  x →∞⎝ ⎠ x→∞ x −1  x −1 Aşadar dreapta y = x – 2 este asimptot ă oblică spre +∞ .  x 2 + 3( x − 2 ) = 1 , iar  • m = li m 2 n = lim⎜

−x ⎛ + − ⎞  − n = lim ⎜ x 3 x 6 − x ⎟ = lim 4 x 6 = 4 .  x → −∞ ⎝  x − 1 ⎠  x→−∞ x − 1  x →−∞

 x

2

Aşadar dreapta y = x – 4 este asimptot ă oblică spre −∞ .  b) Asimptote orizontale 2

• lim f( x) = lim ( x → −x∞

→ −x∞

 x 2

2 − − x 1 − 1 + x) = l→im−x∞ 2 = 0.  x − 1 − x

• lim  f ( x ) = +∞  x →∞

266

Dreapta y = 0 este asimptot ă orizontală spre −∞ .  Asimptot ă  ă  oblic ă  spre

+∞

⎛ = li m ⎜ 1 +  x →∞ x →∞  x ⎝ n = lim ( x + x 2 − 1 − 2 x ) = li lim ( →∞x →∞ x

• m = lim +x

2

x− 1

x− 1 ⎞  ⎟ = 2 x ⎠ 

2

x2

iar 

− 1 − x ) = li→m∞x

Dreapta y = 2 x este asimptot ă oblică spre +∞ . c)  D = Z \{0,1} .

 x

2

−1 = 0. −1 + x

 Asimptote verticale • Dreptele x = 0, x = 1 sunt asimptote verticale.  Asimptote oblice f ( x) x3 − 3( x− 2 ) = lxi→m∞ 2 • m = lim  x →∞  x x ( x − 1)

= 1 iar 

x3 − 3 x+ 6 − ⎞ = x2 − 3 x+ 6 x ⎟  lim ⎠  →∞x x2 − x x2 − x Dreapta y = x + 1 este asimptot ă  ă  oblică  spre +∞ . f ( x) x3 + 3( x− 2 ) = xl→im−∞ 2 = 1 , iar  • m = li m  x → −∞  x x ( x − 1)

⎛ n = lim ( f ( x ) − mx ) = lim ⎜ →∞x →∞x⎝

= 1.

x3 + 3 x− 6 − x ⎞ = lim x2 + 3 x− 6 = 1 ⎟  x→−∞ 2  x → −∞ ⎝ ⎠  x2 − x x− x Dreapta y = x + 1 este asimptot ă  ă  oblică  spre −∞ . n=

16. a)

lim ⎛⎜

lim  f ( x ) = lim 6 x−

 x →0  x > 0

x2

x →0 x >0

+ 4 ln x− 2 = 0 − ∞ − 2 = −∞ 1 = −∞

2 x

0+

0+

⎛−2 x +6 + 4 ⎞ ⎟x x b +x4 ln −x2 = ∞ = lim⎜ • lim  f ( x ) = lim − + ⎜ ⎟=−∞ ; →∞ x →∞ x →∞ x 2 x 2 ∞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −2 x +6 + 4 2  L ' H  2 x + 6 x+ 4 ln x− 2 x x2 +6 x+ 4 − −  b) m = lim = li m = lim =− 2 =− 1 iar  2 2 →∞ x →∞ x →∞ x 4 x 4 2 2 x 4x ⎛− x2 +6 x+ 4 ln x− 2 x⎞ n = lim⎜ + ⎟= lim 6 x+ 4 ln x− 2 = 3  x →∞⎝ 2 x 2 ⎠ x→∞ 2x 2

( )

 L ' H 

 x  Asimptota oblic ă  este  y = − + 3 .

2

c) Panta tangentei trebuie s ă fie m = − 1 . 2 Se obţine egalitatea  f ′( x0 ) =− 1 . 2 6 − 2 x+ 4 2 x− 2 ( 6 x− x2 + 4 ln x− 2) 2)  x − x 2 − 8 ln x +12 2 Avem că  f ′( x ) = . = 4 x2 4 x2 3 1 2 Din egalitatea  f ′( x0 ) =− rexultă ecua ţia logaritmică 8 ln x − 12 = 0 cu soluţia  x = e . 2 267

(

)

⎛ 4 ln x ⎞  17. Avem: m = lim ⎜ 2 − 1 − 2 ⎟ = −1, iar   x →∞ ⎝  x x ⎠  n = lim 2 − x − 4 ln x + x = lim 2 − 4 ln x  x →∞ x →∞  x x

)

(

 Asimptota oblic ă  spre

(

) = 2.

+∞ este y = –  x + 2.

Tangenta are panta  f ′( x0 ) şi se obţine egalitatea  f ′ ( x0 ) = −1. Dar   f ′ ( x ) = −1 − 4 1 − ln x .  x 2

Ecuaţia  f ′ ( x0 ) = −1 se scrie −4

1 − ln x0  x02

= 0 deci  x0 = e .

Punctul de tangen ţă este M e, 2 − e − 4 .

(

e

)

( a− 2 ) x +b ⎛ 2 ⎞ 3 = n = lim⎜ 2 x + ax+ b− 2 x ⎟= lim = a − 2 , deci a = 5.  x →∞⎝ ⎠ x→∞  x +1 x +1 Aşadar  a = 5, b ∈ Z . 18. a) Avem

2 (f )x = 2 x + 5 x+ b, D= Z \ { −1} .  x + 1 Funcţia poate avea dreapta  x = –1 asimptot ă verticală dacă 2 − 5 + b ≠ 0 , deci dac ă b ≠ 3 .

 b)

2 x + m − 2 . 2 2 3 3 ( x + ( m− 2 ) x+ 2 − m)  f ′ ( x ) are sens pe Z dacă x2 + ( m− 2 ) x+ 2 − m ≠ 0 , ∀ x∈ Z . Rezultă că ∆ = ( m − 2 )2 − 4 ( 2 − m ) < 0 şi se obţine că m ∈ ( −2, 2) .

19. Avem:  f

′( x ) =

⎛ 2x(1 + a)x 2 x ⎞  2x 1 + ax = 0 . = − + = − 20. a) Se ob ţine lim ⎜ e a x e l i m ( 1 ) l i m ⎟  2 → −∞x →−∞x e −2  x ⎝ 1 − x ⎠  →−∞x  b) f′(

ax 2 + 2 x + a 1+ ax x) = e2 x , x∈ D. 2 2 + 2 ⋅2 (1− x ) 1− x

Se obţine că f′ ( 0 ) = a+ 2 , f( 0 ) =  1 şi egalitatea 3( a + 2 ) − 1 = 11 cu soluţia a = 2. 21. Se obţine

[33( x+2)32 +33( x−2)32 ][( x+2)33 −( x−2)33 ]−[( x+2)33 +( x−2)33 ][33( x+2)33 −33( x−2)32 ]  f ′( x)= [( x+2)33 −(x−2)33 ]2 Rezultă că  f  ′ ( 0 ) = 33 ,  f ′ ( 2 ) = 0 , f  ′ ( −2 ) = 0 . 2 Aşadar  T  = 33 . 2

268

= 0 se obţine că c = ln 1 = 0 . Din derivabilitatea func ţiei în  x0 = 0 se obţine că –1 = b, iar derivata este: ⎧⎪ 1 ,  x T 0  f ′ ( x ) = ⎨ x − 1 . ⎪⎩2 ax − 1, x > 0 1 +1 Rezultă că  f d ′′( 0 ) = lim 2 ax −1+1 = 2 a şi  f   s′′( 0 ) = lim  x − 1 = lim x = −1  x →0  x →0 x →0 ( x− 1) x  x x 22. Din continuitatea în  x0

Aşadar 2a = –1 şi a = − 1 . 2 23. Continuitatea în  x = 1 implică 1 + a + b + c = 0 . Din derivabilitatea func ţiei f în  x0 = 1 avem  f s′(1) = f  d ′ (1) .

arct arctg g ( x − 1) = 1.  x →1  x − 1

Dar   sf′(1) = 3 + 2 a+ b, iar   f  d ′ (1) = lim Aşadar  2 a + b = −2 .

⎧3 x2 + 2 ax− 2 − 2 a, x<1 ⎪ Derivata func ţiei f se scrie:  f ′( x ) = ⎨ . 1  x , 1 > ⎪ ⎩ x 2 − 2 x + 2 Se obţine că 2 3( x2 − 1) + 2 a( x− 1) + − − − x a x a 3 2 2 2 1 ′′ f) = lim = li→m1 x = li→m1 3x( + 1x) + 2 = a6 + 2 . a  s (1 →1 x  x − 1 x −1 1 −1 −( x −1)2 −( x −1)  x 2 − 2 x + 2 De asemenea  f  d ′′(1) = lim = li m = =0. l i m →1 x →1 (xx −1)( x 2 − 2 x + 2 ) →1 xx 2 − 2 x + 2  x −1 Aşadar  6 + 2 a = 0 şi a = –3, apoi b = 4 şi c = –2.

|  x − π | sin x −( x − π ) sin x = lim =−sin π = 0 .  x →π x→ π  x − π x−π  x<π x<π

24. a) Avem  f   s′( π ) = lim

( x − π ) sin x = sin π = 0 .  x →π  x − π  x>π

 f  d ′ ( π ) = lim

Aşadar   f  ′( π ) = 0 .

⎧( x− π ) sin x, xU π , π − < π ( ) s i n , x x x ⎩

⎧sin x + ( x − π ) cos x, x U π . − + π − π < π s i n ( ) c o s , x x x ⎩

f′ ( x) = ⎨

 b) f( x) = ⎨ Se obţine:

 f d ′′( π ) = lim →xπ  x >π

sin x+ ( x− π ) cos  x − π

= li→mxπ cos x + li→mxπ sin x = −1 + li→mxπ cos x = −1 − 1 = −2 . x −π 1

x

− sin x− ( x− π ) cos x = +2 .  x →π  x − π  x <π

 f   s′′( π ) = lim

Aşadata f nu este de dou ă ori derivabil ă în  x = π . 269

a) Funcţia  f  este sumă de funcţie strict crescătoare pe Z , ( h ( x ) = 4 x , g ( x ) = 2x + 1) , deci este funcţie strict crescătoare şi injectivă. Funcţia f este continuă, iar  lim f( x) = +∞, lim f ( x) = 0 + 0 +1= 1. 25.

 x →∞

x→−∞

Din proprietatea lui Darboux se ob ţine că mulţimea valorilor func ţiei  f  este Im  f   = (1, + ∞ ) , deci f este surjectivă. În concluzie f este bijectiv ă şi inversabilă.  b) Fie f ( x  x) = y deci 4 x + 2 x + 1 =  y . Cu notaţia t = 2 x > 0 se obţine ecua ţia de gradul 2 în t : t2

+ t + 1 − y = 0 cu soluţie acceptabil ă t  =

−1 + 4 y − 3 2

.

Rezultă că 2 x = t . Aşadar  −f1 : (1, +∞ ) → Z , −f1 ( )x= log2 −1 + 4 x − 3 . 2 Avem (  f  −1 ) ′( 3) = 1 unde  f ( x0 ) = 3 .  f ′ ( x0 ) Din egalitatea 4 x0 + 2x0 + 1 = 3 ⇒  x0 = 0 . 1 Astfel, (  f  −1 )′( 3) = 1 = = 1 .  f  ′ ( 0 ) ln 4 + ln 2 ln 8 26. a)  f ( x ) =

1 1 − 2 + 1 , deci a = c = 1 , b = −1 . 2 x x+ 1 x+ 2 2

)

(

⎡ ⎤  b)  f ′ ( x ) = 1 ⎢ − 12 + 2 2 − 1 2 ⎥ ; 2 ⎣ x ( x+ 1) ( x+ 2 ) ⎦ ⎡ ⎤ ′′ ( x ) = 1 ⎢ 23 − 4 3 + 2 3 ⎥ = 13 − 2 3 + 1 3 . 2 ⎣ x ( x+ 1) ( x+ 2) 2 ) ⎦ x ( x+ 1) ( x+ 2) 2) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞   S  = ⎜ 13 + 13 + ... + 13 ⎟ − 2 ⎜ 13 + 13 + ... + 13 ⎟ + ⎜ 13 + 13 + ... + 13 ⎟ = 1 −  1 − 13 + 13 . 8  11 12 ⎝1 2 10 ⎠ ⎝ 2 3 11 ⎠ ⎝ 3 4 12 ⎠

 f

27.

sin x 1− 1 (cos x −1) cos x = lim sin x (c  = li m = lim sin x lim cos x2 −1 = 3 →0x →0x →0x x →0x xcos x x 3 tg x

(

 x

)

 x

=  xli→m0 cos x2 − 1 = lxi→m0 − sin x = − 1 .  x

2 x

2

esin x ( e x−sin x −1) 28.  = lim = e0 ⋅ln e = 1 .  x →0  x − sin x

270

29. Pentru n = 0, l = 0. •

Pentru n U 1 este caz de nedeterminare e . 0 Aplicăm regula lui L’Hospital.  = lim − x sin x .  x →0

•

•

nx n−1

Pentru n = 1,  = 0 ,  pentru n = 2,  = lim sin x = 1 .  x →0 2 x 2 Pentru n U 3 avem:  = lim −sin x = lim  x →0

nx n−2

−cos x . x→0 n ( n − 2 ) x n−3

Pentru n = 3,  = −1 , iar  3  pentru n U4 ,  = −1 deci nu se mai ob ţine limită finită. 0± Aşadar  n ∈{0,1 {0,1,, 2 , 3} şi m = 6. •

30. Notăm

x + 1 = t ⇒ x + 1 = t2

⇒ x = t2 −  1 .

Rezultă E( t) = t2 + 4 − 4 t + 9 + t2 − 6 t = | t − 2 | + | t− 3| 3 |⇒ f ( x) = | x+ 1 − 2 | + | x+ 1 − 3 |= ⎧5 − 2  x + 1, x ∈ ( −1, 3] = ⎪⎨1,  x ∈ ( 3, . 3, 8 ) ⎪2  x + 1 − 9 , x ∈ [ 8 , + ∞ ) ⎩ 2 ( 2 −  x +1) 2 ( 3− x ) Avem  f   s′( 3) = lim 5− 2  x +1−1 = lim = li m =− 1 , iar  →3 x →3 x →3 x( x − 3 )( 2 + x +1 )  x − 3 x −3 2  x<3 x<3

1 − 1 = 0 , deci f nu este derivabil ă în  x = 3 . 0  x →3  x − 3 Analog rezult ă că f nu este derivabil ă în  x0 = 8 . Avem: f′(s 3) = − 1 , f′d( 3) = 0, 0, f′(s 8 ) = 0, 0, f′d( 8 )  =  1 .   2 3 Se obţine S  = 1 + 1 = 13 . 4 9 36  f  d ′ ( 3 ) = lim

31.  f  ′( 0 ) = lim  x →0

3

4 ( e x − x − 1) − x 3 + ( a − 3) x 2  x

= lxi→m0 3

4 ( e x − x − 1) − x 3 + ( a − 3) x2 x3

.

Limita de sus radical o calcul ăm folosind regula lui L’Hospital. Avem: 4 ( e x −1) − 3 x 2 + 2 ( a − 3) x 4 e x − 6 x + 2 ( a − 3 ) 4− 2 ( a− 3) . = li m = l = lim  x →0 x→0 6 x 0± 3 x 2 Se pune condi ţia 4 = 2( 2 ( a − 3) deci a = 5.  x Rezultă că l  = lim 4 e − 6 = − 1 .  x →0 6 3 32. Funcţia este derivabil ă dacă a = b ∈{ −1,1} . Se obţine S = 4.

271

33. Funcţia este derivabil ă pe Z ⎧ x xe, x1 T Rezultă  f ( x ) = ⎨ . ⎩2 ex − e , x >1

dacă a = 2e, b = – e.

⎧( x+1) e x , xT1  f ′( x ) = ⎨ şi astfel, x >1 ⎩2 e ,

A= 2 e⋅10 = 20 e.

x2 n 34. l  = lim

− 2 xn − n = −1 − a deci este necesar ca a = –1.  x →1 0+ ( x − 1)2 2 n −1 n −1 2 n ( 2 n − 1) x 2 n− 2 − 2 n ( n − 1) x n−2 − 2 2 n x n x = lxi→m1 = Avem l  = lim  x →1 2 ( x − 1) 2 2 n ( 2 n − 1) − 2 n ( n − 1) 2 = =n . 2

35.

5 x 4 − 5 x4 5 ln(1 + x5 ) − x5 x5 − ln5 (1 + x) + x 1 + li→m0 x = li→m0 x + a = li m 6 6 →0 x x x 6 5x ⎛ x− ln( x+1) x4 + x3 ln( x+1) +...+ ln4 ( x+1) ⎞ x5 1 1 − − +lim⎜ ⋅ ⋅5+ ⎟= li→m0 2 4  x →0⎝ x x ⎠ x (1+ 5 x) 6 x 2 3 4 ⎡ ln( x+ 1) x− ln( x+ 1) 1) 1) ⎛ ln( x+ 1) 1) ⎞ ⎛ ln( x+ 1) 1) ⎞ ⎛ ln( x+ 1) 1) ⎞ ⎤   +  xli→m0 ⋅ lxi→m0 ⎢1 + +⎜ + + ⎥= 2 x x ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ x ⎟    x

= 0 + 5  xli→m0

1− 1

⎣⎢

 x + 1 = 5 lim x x →0 2 x 2 x ( x+ 1)

36. Caz de nedeterminare

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠ ⎥⎦  

=5. 2

∞ . Se obţine cu regula lui l’Hospital ∞

2 x + e x x ⎛ e +x 2 x⎞ x2 + e x e2 + 3 x4 = 1 . = ⎜ ⎟ l i m l i m  = lim 2 x x →∞x 3 x + 2 e2 x →∞x⎝ e + 3 x2 2 x2 ⎠ →∞x 2 e2 +  x 4 + e 2  x 37. a) Avem

 f ( x ) = a , deci a = 1.  x →∞  x

1= m = lim

2 = Apoi 2 = n = lim ( f ( x ) − mx ) = lim ⎛⎜ x + bx+ 2 − x ⎞  lim bx+ x+ 2 = b + 1, deci b = 1. ⎟  → ∞x →∞x⎝  x − 1 ⎠  →∞x x − 1

 b)

f( x) =  x

2

+ x + 2 , x∈ Z \ {1} .  x − 1

c) Asimptotele sunt  y = x + 2, şi x = 1. Triunghiul are vârfurile  A(–2, 0), B(1, 0), C (1, 3), iar  S  = 9 . 2

272

39. Avem: f ′ ( x ) = e−  x [ − x

2

+ x ( 2 − m ) + m ], x ∈ Z . Se obţine ∆ = ( 2 − m )2 + 4 m = m2 + 4 > 0 , ∀m ∈ Z . Aşadar ecuaţia  f ′ ( x ) = 0 are două soluţii distincte, iar din semnul func ţiei  f  ′ se deduce c ă are două puncte de extrem.

⎛ ax + bx 2 +cx +1⎞ ⎟= a + b = 4 .  x →∞⎝  x ⎠ Pentru asimptota orizontal ă la −∞ se obţine că: 40. a) m = lim⎜

−1= lim (ax +

bx

 x→−∞

2

+cx +1) = lim

Se pune condi ţia b − a 2 = 0 şi rezultă că: cx + 1 −1 = lim 2  x →−∞

bx

=

x2 ( b− a2 ) + cx+1

x→−∞

bx 2 +cx c x +1 − ax

c

= − c deci c = 4.

+ cx + 1 − ax − a −

b

4

⎧⎪a + b = 4 se obţine a = 2, b = 4. 2 ⎩⎪a = b

Din sistemul ⎨

⎧4 x + 1, x U − 1 ⎪ 2.  b) Func ţia f este f ( x) = 2 x+ | 2 x + 1 | = ⎨ ⎪−1, x < − 1 ⎩ 2 bx 2 + 4 x + 2 a ′ = ( ) Func ia este derivabil pe i se ob ine c . 41. ţ ă  D ş ţ ă  f x 2 ( bx + 2 ) ⎧2 a + 64 b = 32 , cu soluţia Condiţia  f  ′ ( −8 ) = 0 ,  f  ′ ( 4 ) = 0 conduce la sistemul ⎨ 16 b = −16 ⎩2 a + 16 2 − 16 , f: Z  \ { − 1} → Z .  x b = 1, a = –16, deci f( x) = 2 ( x + 1)

a) Cele două asimptote trebuie s ă fie asimptote verticale. Se pune condi ţia ca ecua ţia x2 + x + m = 0 să admită două soluţii reale diferite. Rezult ă că ∆ = 1 − 4 m > 0 deci m < 1 . 4

42.

 b)

f( x) =

( x + 1)3 2

 x + x + 1  Asimptote oblice .

, f: Z  → Z  . Graficul intersecteaz ă axele în A(0, 1) şi B(–1, 0).

( x + 1)3

2 ⎛ ( x + 1)3 ⎞  + 2 x + 1 = 2 deci dreapta x 2 = − • m = lim x ⎟ = lim 1, n = lim ⎜ 2 2 2 → ±∞x x( x + x + 1) → ±∞x x + x + 1 ⎝ ⎠  →±∞x x + x + 1  y = x + 2 este asimptot ă oblică la ±∞ .

Studiul folosind derivatele ( x 2 + 2 )( x +1)2 • ′f( )x= ( x 2 + x +1)2

x Z; , ∈

′f( )x=

−6 x ( x +1) , ∈ x Z. ( x2 + x +1)3

273

Tabelul de varia ţ ie ie  x  f

′( x )

 f ( x  x)  f

′′ ( x )

−∞

+ +

−∞

+∞

–1 0 + 0 + + +







+ + 

+∞

  – – – 0 + + + 0 – –  i

i

 y

2

1 –2  x

–1

Graficul este tangent axei Ox în x = –1

274