SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM TEORIA Y PROBLEMAS DE
RETROALIMENTACIONI Y SISTEMAS DE CONTROL Sesunda Edici6n
O"'"ANO, III, Ph.D. JOSEPH Departments of'.Computer Science and Medicine University of California, Los Angeles ALLEN R. STUBBERUD, Ph.D. Department of Electrical and Computer Engineering University of California, lrvine
IVAN J. WILLIAMS, Ph.D. Space and Technology Group, TRW Inc. Traducci6n
RIGOBERTO GOMEZ CRUZ Profesor titular de la Facultad de Ciencias. Departamento de Qufmica de la Universidad de los Andes. Revisi6n t6cnica JORGE LUIS SANCHEZ TELLEZ Ingeniero electr6nico. Jefe de la secci6n de t6cnicas digitales del Departamento de Ingenierfa Electr6nica de la Pontificia Univeisidad Javeriana. Master of Science in Electrical Engineering State University of New York at Stony Brook
MCGRAW.HTLL Santaf6 de Bogot6, Buenos Aireso Caracas, Guatemala, Lisboa, Madrid, M6xico' Nueva York, Panam6, San Juan, Santiago, Sao Paulot Auckland, Hamburgo, Londres, Mili{n, Montreal, Nueva Delhi, Paris, San Francisco, San Luis, Sidney, Singapur, To!
.,4'
JOSEPH J. DISTEFANO, III recibi6 su grado M.S. en Sistemas de Control y su Ph.D. en Biocibern6tica de la Universidad de California, I-os Angeles (UCLA), en 1966. A.ctualmente es profesor de Ciencia de la Computaci6n y Medicina, director del Laboratorio de Investigaci6n de Biocibern6tica y presidente del Programa Interdepartamental de Ciberndtica en la UCLA. Tambi6n hace parte de los consejos editoriales de Anales de ingenieria biom6dica (Annals of biomedical engineering) y de Aplicaciones y m6todos de control 6ptimo (Optimal contol applications and methods), y es editor y fundador del Foro para la metodologia de la modelaci6n (Modeling methodology forum) en las Revistas americanas de Fisiologfa (American jourruls of physiology). Es autor de miis de 100 articulos y libros de investigaci6n y est6 activamente involucrado con la teorfa y el desanollo de programas de aplicaci6n de modelaci6n de sistemas, @ofrware) de igual manera en la investigaci6n experimental sobre fisiologfa.
ALLEN R. STUBBERUD obtuvo el grado B.S. de la Universidad de Idaho y los grados M.S. y Ph.D. de la Universidad de Califomia. Los Angeles (UCLA). En el momento es profesor de Ingenierfa El6ctrica y de Computaci6n en la Univeisidad de California, Irvine. El Dr. Stubb€rud es autor de mds de 100 articulos.y libros y pertenece a varias organizaciones profesionales y t6cnicas, incfuyendo el Instituto Americano de Aeron6utica y Astroni4utica (IAAA) (American Institute of Aeronautics and Astronautics (AIAA). Es miembro del Instituto de Ingenieros El6ctricos y Electr6nicos (llEE) (lnstitute of Electical and Electronics Engineers (IEEE) y de la Asociaci6n Americana para el avance de la Ciencia (AAAC) (American Association for the Advancement of Science (AAAS).
IVAN J. WILLIAMS obtuvo sus grados de B.S., M.S. y Ph.D. de la Universidad de California, Berkeley. Ha sido instructor en cursos de ingenierfa en sistemas de control en la Universidad de California, Los Angeles (UCLA), y actualmente es director de proyecto en el Grupo del Espacio y Tecnologfa de la TRW, Inc
Prohibida la reproducci6n total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorizaci6n escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS. Copyright
o 1992 por
McGRAW-HILL INTERAMERICANA, S.A. Transversal 42B
No.
19-77
- Santaf6 de Bogot6, Colombia
Traducido de la segunda edici6n de Schaum's Outline of Theory and Problems of FEEDBACK AND CONTROL SYSTEMS
Copyright O MCMXC, por McGRAW-HILL, Inc. ISBN 0-07-017047-9 Editores: Omar Farf6n Bautista y Martha Edna Sur{rez R. 2134567890 90134s6782
rsBN 958-600-l0t-6 lmpreso en Colombia
Printed in Colornbia
Se imprimieron 3.5t00 ejemplares en el mes de
Impresor: Nomos Editores e Impresores.
julio de 1992
Prefacio Los procesos de retroalimentaci6n abundan en la naturaleza y, durante las riltimas d6cadas, la palabra relroalimentaci6n, al igual que computador, ha encontrado su sitio en nuestro lenguaje mucho mds persuasivamente que muchas otras de origen tecnol6gico. El marco de referencia conceptual para la teorfa de la retroalimentaci6n y de la disciplina en la que estd inmerso -ingenieria de los sistemas de control- se ha desarrollado desde la Segunda Guerra Mundial. Cuandoie public6 nuestra primera edici6n, en 1967 , el tema de los sistemas de control lineales contiel tiempo (o anal|gicos) ya habia alcanzado un alto nivel de madurez y a menudo se nuo, "n designaron (y arin se hace as() control cldsico por el conocimiento. Este tambi6n fue el periodo del
desarrollo temprano del c
les
o microprocesadores.
En esta segunda edici6n, como en la primera, presentamos un tratamiento conciso aunque y los bastante completo de los fundamentos de la teoria y las aplicaciones de la retroalimentaci6n y comportadel sistemas de control para ingenieros, estudiosos de las ciencias fisicas, biol6gicas miento, economistas, matemfticos y estudiantes de estas disciplinas. Los irnicos prerrequisitos necesasom los conocimientos b6sicos de c6lculo y algo de ffsica. Las herramientas matem6ticas en las utilizan rias m6s all6 del c6lculo y los principios fisicos y no ffsicos y los modelos que se resueltos' aplicaciones, se desarrollan completamente en el texto y en numerosos problemas
En esta nueva edici6n hemos actualizado el material, de varias maneras significativas. Primero que todo, hemos incluido seflales, elementos y sistemas de control de datos discretos en el tiempo (digitales), a trav6s de todo el libro, principalmente en conexi6n con los tratamjentos de contrafartes continuas en el tiempo (anal6gicas), en lugar de presentarlos en capftulos o secsus
se ciones separadas, a diferencia de la mayor parte de los otros libros de texto en que estos temas estos integrado posible, hemos han mantenido pedagtigicamente separados. Siempre que ha sido temas, en un nivel introductorio, en una exposici6n unificada de los conceptos de sistemas de control continuos en el tiempo y discretos en el tiempo. El 6nfasis se mantiene en los sistemas de control continuos en el tiempo y lineales, particularmente en los problemas resueltos, pero creemos que nuestra aproximacitin recupera mucho de la mistica de las diferencias metodol6gicas y entre los mundos de los sistemas de control anal6gicos y digitales. Adem6s, hemos actualizado (modelos) de estado variables modemizado la nomenclatura, introducido las representaciones de y las hemos utilizado en un capitulo reforzado introductorio a los sistemas de control no lineales, como tambi6n en un capitulo sustancialmente modernizado introductorio a los conceptos de sistemas de control avanzado..Tambi6n hemos resuelto numerosos problemas de an6lisis y disefio de
III
..,- r, /'r. .!' l'
.
IV
PREFACIO
sistemas de control anal6gicos y digitales usando programas de computador (softvare) para prop6sitos especiales, ilustrando el poder y la facilidad de estas nuevas herramientas.
El libro estd diseflado para utilizarse como texto en.un curso formal, como suplemento a otros libros de texto, como manual de referencia o de autoinstrucci6n. El fndice, bastante completo y de formato altamente estructurado, facilitard su uso para cualquier clase de lector. Cada nuevo t6pico se presenta por secci6n o por capitulo, y cada cap(tulo concluye con numerosos problemas resueltos que constan de extensiones y pruebas de la teoria y sus aplicaciones en diferentes campos.
Los Angeles, Irvine y Redondo Beach, California
Marzo de 1990
J. DisrsneNo, III Alleu R. Srunsppun Ivnru J. Wlllrevs Josppn
Contenido
Capitulo
I
Capitulo 2
...........
................1 r -....'................. r.r sistemasdecontror:d;;;;'.:..::.:.::.:::.::.:..::. ................:' """''"''""2 I.2 Ejemplosdesistemasdecontrol ........... 1.3 Sistemasdecontrolenmallaabiertayenmallacerrada .'...""""""' 3 ............'.........'4 1.4 Retroalimentaci6n .'............'.''5 1.5 Caracterfsticasdelaretroalimentaci6n .'...."""""' 5 1.6 Sistemasdecontrolanal6gicosydigitales................ 1.7 Elproblemadelaingenieriadelossistemasdecontrol .....-""""""7 1.8 Modelosorepresentacionesdesistemasdecontrol .......""""""'"7
INTRODUCCION
TERMINOLOGIADELOSSISTEMASDECONTROL .............
18
2.1
18
Diagramasdebloques:fundamentos
"""""""""'
2.2 Diagramas de bloques de sistemas de control continuos (anal6gicos) con retroalimentaci6n ..... 2. 3 Terminologfa del diagrama de bloques en malla cerrada 2.4 Diagramas de bloques de componentes discretos en el tiOmpo (datos muestreados digitales), y de sistemas controlados por computador 2- 5 Terminologia suplementaria . .. .. .. . ..... . 2.6 2.7 Capitulo 3
l9 20
2l 24 27 27
Servomecanismos Reguladores ..............
ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA
................'.. 3.1 Ecuacionesdeunsistema 3.2 Ecuacionesdiferencialesyecuacionesdediferencia ......... 3.3 Ecuacionesdiferencialesparcialesyordinarias .-.............. 3.4 Variabilidadeinvarianzaeneltiempo .......3 .5 Ecuaciones diferenciales y de diferencia lineales y no lineales 3.6 EloperadordiferencialDylaecuaci6ncaracterfstica ......'..
Y STSTEMAS LTNEALES
--........-.....
47
"""""" "'""' .'.'"' """'
47'
' ' "' '
47 48 49
'
49
"""' 50 3.'7 Independencialinealyconjuntosfundamentales............. """"5l 3.8 Soluci6n de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con ' . . . . . ' . 53 coeficientes constantes """' 54 3.g Larespuestalibre.............. """" 55 r 3.10 Larespuestaforzada.......... 56 ...'...""""""" 3-ll Larespuestatotal .
..
..
.
.
,
VI
CONTENIDO
2 Las respuestas transitoria y en estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.13 Funcionesdesingularidad:pasos,rampaseimpulsos..................................57 3.14 Sistemasdesegundoorden .............. .............. 59 3.15 Representaci6n por variables de estado de sistemas descritos por 3. I
ecuaciones diferenciales lineales
.............
........
3. I 6 Soluci6n de ecuaciones de diferencia lineales con coeficientes constantes
..
......
.
60
. 63
3.17 Representaci6n por variables de estado de sistemas descritos por ecuaciones dediferencialineales
.-.-.....
3.18 Linealidadysuperposici6n ............. 3.19 Causalidadysistemasrealizablesffsicamente
Capitulo 4
.........
........67 ...............69 ............... 7l
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA z ...... ............ 92
4.1 Introducci6n ......... 92 4.2 Latransformadadelaplace .........92 4.3 Lainversadelatransformadadelaplace ............ 93 4.4 AlgunaspropiedadesdelatransformadadeLaplaceydesuinversa .................. 93 4.5 Tabla resumida de transformadas de Laplace . . .. . 9'l 4.6 Aplicaci6n de las transformadas de Laplace a la soluci6n de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes . . . . 98 4.7 Expansionesenfraccionesparciales......... ....... 103 4.8 Inversasdelastransformadasutilizandoexpansionesenfraccionesparciales.... 105 4.9 Latransformadaz.............. ..... 106 4. l0 Determinaci6nderafcesdepolinomios ............ 115 4.ll Elplanocomplejo: diagramasdepolosyceros .... ll8 4.12 Evaluaci6ngr6ficaderesiduos......... ............. l2O 4.13 Sistemasdesegundoorden .............. ............ 122 ..
.
Capitulo
5
Capitulo 6
.
..
ESTABILIDAD .............. ............ 145 5.1 Definiciones de estabilidad ......... 145 5.2 Localizaci6n de las raices caracteristicas en sistemas continuos . . . . 145 5.3 CriteriodeestabilidaddeRouth........... ........... 146 5.4 CriteriodeestabilidaddeHurwitz......... ........... 147 5.5 Criteriodeestabilidaddefraccionescontinuas............ ........... 148 5.6 Criterio de estabilidad para sistemas discretos en el tiempo . . . . .. . . . 149
FUNCIONESDETRANSFERENCIA
................
163
6.1 Definici6ndefunci6ndetransferenciadeunsistemacontinuo....................... 6.2 Propiedadesdelafunci6ndetransferenciadeunsistemacontinuo................... 6.3 Funciones de transferencia de compensadores y controladores de
163
........ .............
165
............
.
166
......
.
168
sistemasdecontrolcontinuo
6.4 Respuestadetiempodesistemascontinuos .............. 6.5 Respuesta de frecuencia del sistema continuo . . . . . . . . . . . 6.6 Funciones de transferencia, de sistemas discretos en el tiempo, compensadores y respuesta de tiempo
.......
.
164
166
6.7 Respuestadefrecuenciadesistemasdiscretosenel tiempo.............1............ 170 6.8 Combinaci6ndeelementoscontinuosydiscretoseneltiempo ....................... l7l
VII
CONTENIDO
Capitulo 7
ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS ...............
7.1 Introducci6n ............. 7.2 Revisi6n de fundamentos 7.3 Bloquesencascada 7 .4 Formas can6nicas de un sistema de control 7.5 Teoremas de transformaci6n de diagramas 7.6 Sistemas con retroalimentaci6n unitaria 7 .7 Superposici6n de entradas mriltiples 7.
Capitulo
I
8
198 198 198 199
200 201 203 204
con retroalimentaci6n de bloques
Reducci6n de diagramas de bloques complicados
GRAFOS DE FLUJO DE SENA.T,NS
8.1
lritroducci6n.............
8.2
Fundamentosdelosgrafosdeflujodesefrales.'...'....
8.3 Algebradelosgrafosdeflujodesefrales 8.4 Definiciones.............. 8.5 Construcci6n de grafos de flujo de seial€s . . . . . . . . , . . . . . 8.6 Laf6rmulageneraldegananciaentrada-salida
206
.........
...........
""""""' """"""" """"""' """""" '
""""""
'
""""""
cascada " " " " " " " " 8.8 Reducci6n de diagramas de bloques utilizando grafos de flujo de
8.7 C6lculo de la funci6n
231 231 232
de transferencia de componentes de
234 235 237
"
240
sefralesylaf6rmulageneraldegananciaentrada-salida'"""""" 2 2
Capitulo 9
MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION
DESISTEMASCONRETROALIMENTACION......... ............ 268 .......268 9.1 Introducci6n de funciones y las de transferencia de las funciones de 9.2 Sensitividad ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 268 respuesta de frecuencia a los pardmetros del sistema 9.3 Sensitividad de la Salida con respecto a los pariimetros para ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 275 los modelos de ecuaciones diferenciales y de diferencia g.4 Clasificaci6ndelossistemascontinuosconretroalimentaci6n..""""""" """ 277 9.5 Constantes de error de posici6n para sistemas continuos con '"""" 278 retroalimentaci6nunitaria 9.6 Constantes de error de velocidad para sistemas continuos con 9.7 9.8 g.g 9.
Capitulo 10
|
0
retroalimentaci6n unitaria Constantes de error de aceleraci6n para sistemas continuos con retroal imentaci6n unitaria Constantes de error para sistemas discretos con retfoalimentaci6n unitaria .. . . .. .. Tabla resumen para sistemas continuos y discretos en el tiempo, con retroalimentaci6n unitaria
279
Constantes de error para sistemas mds generales
282
ANALISIS Y DISENO DE SISTEMAS DE CONTROL CON RETROALIMENTACION: OBJETMS Y METODOS 10.
I
Introducci6n .............
10.2 Objetivosdel an6lisis 10.3 M6todosde an6lisis
280 281 281
zvr 297 297 297
VIII
CONTENIDO
10.4 10.5 10.6 10.7
Objetivos del diseflo Compensaci6n del sistema
298
304
M6todosdedisefro La transformada w para el an6lisis y el diseno de sistemas discretos en el tiempo utilizando m6todos de sistemas continuos 10.8 Diseno algebraico de sistemas digitales, incluyendo sistemas con transitorio minimo
Capitulo
ll
305 305 308
ANALISISDENYQUIST I l. I Introducci6n
3r8
| | .2 Representaci6n gr6fica de funciones comprejas de una variabre compleja | | .3 Definiciones .......
tt.4 Propiedadesdel"'.";;";;;;i.""r"iri""i,j
I 1.5 Diagramas polares ........... II Propiedades de los diagramas polares .......... || La trayectoria de Nyquist | 1.8 El diagramade estabilidad de Nyquist .........
318 .......
:...:...........:.......:.:.:.::...:.
32I
330
Diagramas de estabilidad de Nyquist de sistemas prdcticos de control con retroalimentaci6n
331
I I . l0 El criterio de estabilidad de Nyquist I l.l I {,stabilidadrelativa
336 338
ll.12 LoscfrculosMyN
Capitulo 12
339
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST
l2.l Filosoffadeldisefro
..........f.:....
2
Compensaci6n del factor de ganancia Compensaci6n del factor de ganancia utilizando cfrculos M Compensaci6n por adelanto .............. 12.5 Compensaci6n por atraso . . . . . . . . . .. . . . . I 2.6 Compensaci6n por atraso-adelanto I 2.
2.3 I 2.4 I
12.7 otros esquemas
Capitulo 13
...........
I
13.2 l
3.3
391 393
de compensaci6n y combinaciones de compensadores
395
Introducci6n
variaci6n de los polos de un sistema en malla cerrada: el lugar de las raices Criterios de 6ngulo y magnitud Nrimerode lugares ............ Lugares sobreet ejereal Asfntotas
...............
13.4 13.5 13.6 13.7 Puntos de separaci6n . . . . . .. . . . . .. 13.8 Angulos de salida y de llegada 13.9 Construcci6n del lugarde las rafces . . . . . . . . .. .. 13.10 La funci6n de transferencia en malla cerrada y la respuesta en el
dominio del tiempo
384 384 384 386 387
ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES 13.
322
324 32s
.6 .7
I1.9
319 320
.....
4tl 4tl 4tl 413 414 414 415 415 416, 418
420
IX
CONTENIDO
13. I
I
422
Mr4rgenes de ganancia y de fase a partir del lugar de las raices
13.12 Relaci6n de amortiguaci6n a partir del lugar de las raices para slstemas contlnuos .................
Capitulo 14
RAICES l4.l Elproblemadedisefio 14.2 Compensaci6nporcancelaci6n 14.3 Compensaci6n de fase: redes de adelanto y de atraso
............. 443 ...........'.' M3
DISENO UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS
14.4 14.5 14.6 14.7
Capitulo 15
424
...
444
............... 445 ..................446 Compensaci6ndemagnitudycombinacionesdecompensadores Aproximacionesporpolos-cerosdominantes......... ..............449 ............. 454 Disefropuntual......... 456 .............. por retroalimentaci6n Compensaci6n
........ l5.l Introducci6n.............
ANALTSISDEBODE
........... (tr
............1.....
...-.-.--...
471
.-.-.-.----.- 471 15.2 EscalaslogaritmicasydiagramasdeBode .............' 15.3 LaformadeBodeylagananciadeBodeparasistemascontinuoseneltiemfu.... 472 15.4 Diagramas de Bode de funciones de respuesta de frecuencia sencillas continuas en el tiempo y sus aproximaciones
asint6ticas
.. -..
15.5 Construcci6n de diapgamas de Bode para sisteriras continuos en el tiempo 15.6 Diagramas de Bode de funciones de respuesta de frecuencia discretas tiempo r5.7 Estabilidad relativa
-..... .
.......
483
en el
484 486
...........
15.8 Respuesta de frecuencia en malla cerrada . . . . . . . . . . . : . . . .. . r5.9 An6lisis de Bode de sistemas discretos en el tiempo utilizando
latransferencia
Capitulo 16
w ..............
DISENOUTILIZANDOELANALISISDEBODE 16.1 16.2
472
480
487
........
...........
499 499 --- 499
.......'.'.'.'...
Filosofiadeldisefro Compensaci6ndelfactordeganancia
16..3 Compensaci6n por adelanto para sistemas continuos en el tiempo . . .. . . .. .. . ' .. . . .. 501 16.4 Compensaci6n por atraso para sistemas continuos en el tiempo . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 16.5 Compensaci6n por atraso-adelanto para sistemas continuos en el tiempo . . . . . . . . . . 507
16.6 Disenodesistemasdiscretoseneltiempoutilizandoelan6lisisdeBode
Capitulo 17
ANALISISDELOSDIAGRAMASDENICHOLS
........
l7.l Introducci6n.............
...........
509
...........
529 529 529 530
-----....... .----.....
17.2 DiagramasdemagnitudendB-iingulodefase ............ 17.3 Construcci6ndediagramasdemagnitudendBAngulodefase '............'.-----17.4 Estabilidadrelativa '.......'........ 535 ..........-----.- 537 17.5 LacartadeNichols 17.6 Funcionesderespuestadefrecuenciaenmallacerrada ............. 539
lL-"
X
Capitulo 18
CONTENIDO
DISENOUTILIZANDOELANALISISDELOSDIAGRAMASDENICHOLS
l8.l Filosof(adeldiseno 18.2 Compensaci6ndelfactordeganancia I
8.3 compensaci6n
................. ..............
del factor de ganancia utilizando curvas de amplitud constante
..
.
18.4 Compensaci6nporadelantoensistemascontinuoseneltiempo .................... 18.5 Compensaci6n por atraso en sistemas continuos en el tiempo . . .. .. .. . .. . ........... 18.6 Compensaci6nporatraso-adelanto ................. 18.7 Diseno de sistemas discretos en el tiempo utilizando las cartas de Nichols .........
Capitulo 19
INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES
l9.l Introducci6n.............
556 556 556 557 558
562 564 568
........... 581 ............ 5gl
19.2 Aproximacioneslinealizadasylinealizadasportramosdesistemasnolineales...582
19.3 19.4 19.5
Capitulo 20
M6todosdelplanodefase............... Criteriodeestabilidaddelyapunov M6todosderespuestadefrecuencia
............. -5gg ................ 594 ................ 59i.
INTRODUCCION A TEMAS AVANZADOS EN EL ANALISIS Y
.............. Introducci6n............ 20.2 Controlabilidadyobservabilidad ELDISEfiODESISTEMASDECONTROL
............ 614 ............. 614 ................... 614
20.f
20.3 Diseno en el dominio del tiempo de sistemas con retroalimentaci6n (retroalimentaci6n de estados) . .. . . . . . .. . . .
20.4 Sistemas de control con entradas aleatorias . . . .. . . .. . . . .. 20.5 Sistemasdecontrol6ptimo............. 20.6 Sistemasdecontroladaptable ...........
..
..
..
616
.. 6l g .............619 ............ 620 .
.. .. . .. ..
APENDICE A .,\lgunos pares de transformadas de Laplace ftiles para el anrilisis de
sistemasdecontrol.............
............
622
...........,
625
APENDICE B Algunos pares de transformadas z ritiles para el andlisis de sistemasdecontrol
.............
BIBLIOGRAFIAYREFERENCIAS TNDICE
.................. 627 ..................629
Capftulo
1
Introduccion 1.1
Sistemas de control: qu6 son
El uso moderno de la palabra sistema tiene muchos significados. Asf que comencemos por definir lo que queremos decir cuando la utilicemos en este libro; primero, en forma abstracta y luego, de manera m6s especffica, en relaci6n con la literatura cient(fica.
Definici6n
1.1a: '
Un sistema es un conjunto, arreglo o colecci6n de cosas unidas o relacionadas de tal manera que forman una entidad o un todo.
Definicidn
1.1b:
Un sistema es un ordenamiento de componentes ffsicos, unidos o relacionados de tal manera que forman y/o actrian como una unidad completa.
La palabra control usualmente se toma en el sentido de regular, dirigir omandar. Combinan-
do las definiciones anteriores, tenemos Detinicidn
1.22
Un sistema de control es un ordenamiento de componentes fisicos unidos o relacionados de tal manera que mandan, dirigen o regulan al mismo sistema o a otro.
En el sentido m6s abstracto, es posible considerar todo sistema ffsico como un sistema de control. Todo altera su entorno de alguna manera, si no activa, entonces pasivamente, como un espejo que dirige unrayo de luz que lo ilumina en un 6ngulo agudo. El espejo (figura 1-1) se puede considerar como un sistema de control elemental, ya que controla el rayo de luz de acuerdo con la ecuaci6n simple de "el 6ngulo de reflexi6n ct es igual al dngulo de incidencia ct".
JJ,lo.
rayo
--\,
ineidenrl
I
A-/ A&.\/
Tsf\ Ri&iJ;a // | -{
tuente-\t
luminosa
\
Figura
l-l
Figura
1-2
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
En ciencias e ingenier(a usualmente restringimos el significado de sistemas de control para aplicarlo a aquellos sistemas cuya funci6n principal es mandar, dirigir o regular dindmica o icti-
vamente. El sistgma que se muestra en la figura l-2, que consta de un espejo fijo en uno de sus extremos, y que puede ajustarse hacia arriba o hacia abajo mediante un tornillo en su otro extremo , adecuadamente se denomin a sistema de control. El 6ngulo de la luz reflejada se regula mediante el
tornillo.
Sin embargo, es importante notar que los sistemas de control de inter6s para prop6sitos.de andlisis o de diseflo incluyen no s6lo aquellos que son fabricados, sino tambi6n los que existen en la naturaleza, y los sistemas de control con componentes fabricados y naturales.
1.2
Ejemplos de sistemas de control
En nuestro ambiente abundan los sistemas de control. Pero antes de dar los ejemplos, definamos dos t6rminos: entrada y salida,los cuales nos ayudardn a identificar, delinear o definir un
sistema de control.
Delinicidn
1.32
La entrada es el estimulo, la excitaci6n o el mandato aplicado a un sistema de control, generalmente desde una fuente externa de energfa, usualmente
para producir una respuesta especffica del sistema de control.
Definici6n 1.4:
La salida es la respuesta real que se obtiene de un sistema de control. puede ser o no igual a la respuesta implicita especificada por la entrada.
Las entradas y las salidas pueden tener muchas formas diferentes. Las entradas, por ejemplo, pueden ser variables fisicas o cantidades mils abstractas, tales como valores de referencia-, de ajuste o deseados para la salida del sistema de control. Usualmente, el prop6sito del sistema de control es identificar o definir la entrada y la'salida. Si se dan la entrada y la salida, es posible identificar, delinear o definir la naturaleza de los componentes del sistema. Los sistemas de control pueden tener m6s de una entrada o de una salida. A menudo, todas las entradas y salidas est6n bien definidas en la descripci6n del sistema. Pero algunas veces no. por
ejemplo, una tormenta el6ctrica puede interferir intermitentemente con la recepci6n de radio, produciendo una salida no deseada en el altoparlante, en forma de est6tica. Esta salida de "ruido" es parte de la salida total que se defini6 antes, pero par4 los prop6sitos de identificar un sistema, normalmente no se consideran como entradas y salidas en la descripci6n del mismo, aquellas entradas espurias que producen salidas indeseabies. Sin embargo, usualmente es necesario considerar cuidadosamente esds entradas y salidas extras cuando se examina en detalle el sistema.
Los t6rminos entrada y salida tambi6n pueden utilizarse en la descripci6n de cualquier tipo de sistema, sea o no un sistema decontrol, y un sistema de control puede ser partd de otro mayor, en cuyo caso se llama subsistema o subsistema de control, y sus entradas y salidas pueden ser variables internas del sistema mavor. EJEMPLO 1.1. Un interruptor el1ctrico es un sistema de control fabricadq, que controla el flujo de electrieidad. Por definici6n, el aparato o la persona que mueve el interruptor no hacen parte de este sistema de control.
INTRODUCCION
la El movimiento del intemrptor a la posici6n de encendido o de apagado se puede considerar como el saliriaes La apagado. o el encendido el entrada: Es decir, la entrada puede estarin uno de los dos estados, (dos ue electricidad estados) flujo o el no flujo El interruptor el6ctrico es uno de los sistemas de control m6s rudimentarios. automdtica EJEMPLO 1.2. Un calentador u horno controlado termostdticamente que regula de manera
sistema es una temperala temperatura de un cuarto o un recinto es un sistema de contfol. La entrada a este La salida es apropiadamente' ajustado tura de referencia, usualmente especificada mediante un termostato la temperatura real del cuarto o del recinto. proporciona calor hasta que Cuando el terrnostato detecta que la salida es menor que la entrada, el horno el horno se apaga autom6tila temperatura del recinto se hace igual a la de la entrada de referencia. Entonces de referencia' el horno se camente. Cuando la temperatura desciende un poco por debajo de la temperatura
enciende de nuevo.
EJEMPLO 1.3. El acto aparentemente simple, de seftalar un obieto con el dedo requiere un sistema de control biol6gico, el cual consiste, primordialmente, de los ojos, el brazo, la mano y el dedo, y el cerebroLa entrada es la direcci6n precisa del ^bjeto (en movimiento o no) respecto de aleuna referencia, y la salida es la direcci6n real sefralada en relaci6n con la misma referencia. EJEMPLO 1 .4. Una parte del sistema humano de control de temperatura es el sistema de transpiraci6n.
secretan Cuando la temperatura del aire exterior a la piel se hace demasiado alta, las gli4ndulas sudoriparas se reducen Las secreciones la evaporaci6n. piel mediante la en un enfriamiento induciendo copiosamente, cuando se logra el efecto refrescante deseado o cuando la temperatura del aire se reduce lo suficiente. La entrada en este sistema puede ser la temperatura "normal" o confortable de la piel, un "punto de
piel. referencia", o la t€mperatura del aire, una variable ffsica. La salida es la temperatura real de la
comEJEMPLO 1 .5. El sistema de control que consiste en una persona que conduce un autombvil tiene
en la calzada ponentes fabricados y componentes biol,6gicos. El conductor quiere mantener el autom6vil respecto a la con autom6vil del correcta de la carretera. El iogra esto mirando constantemente la direcci6n o lineas de linea por la representado camino, del direcci6n del camino. En este caso, la direcci6n o el curso es la autom6vil del El curso la entrada. como pueden considerar se guia trazadas a los lados de la calzada sus ojos y su cerebro, con mididndola constantemente, salida esta controla El conductor sistema. salida del control son y corrigi6ndola con sus manos sobre el volante. Los componentes principales de este sistema de
las manos, los ojos y el cerebro del conductor, y el vehiculo'
1.3
Sistemas de control en malla abierta
y en malla cerrada
Los sistemas {e control se clasifican en dos categorias: sistemas en mnlla abierta y en mellL cerrada. La distinci6n se determina mediante la acci6n de control, esa cantidad responsable de activar el sistema para producir la salida. El t6rmino acci6n de contol es muy empleado en la literatura de sistemas de control; sin embargo, la palabra acci6n en esta expresi6n no siempre implica directamente cambio, movimiento o actividad. Por ejemplo, la acci6n de control en un sistema diseflado para hacer que un objeto d6 en un blanco, usualmente esla distancia entre el objeto y el blanco. La distancia, como tal, no es una acci6n, pero aqui est6 implicita una acci6n (movimiento) porque la meta de tal sistema de conffol es reducir la distancia a cero.
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
STSTEMAS
DE CONTROL
Definicifin
1.5:
Un sistema de control en malla abierta es aquel en el cual la acci6n de control es independiente de la salida.
Delinicidn
1.6:
Un sistema de control en malla cerrada es aquel en el cual la acci6n control depende, de alguna manera, de la salida.
de
Dos caracteristicas destacadas de los sistemas de control en malla abierta son:
1'.
Su capacidad de desempeflo con exactituci estii determinada por su calibraci6n.
Calibrar
significa establecer o reestablecer la relaci6n entrada-salidi para obtener una exactitud
deseada del sistema.
2'
Usualmente no presentan problemas de inestabilidad, concepto que se tratarii en detalle a
continuaci6n.
Los sistemas de control en malla cerrada, m6s comdnmente se llaman sistemas de control retroalimentados; 6stos se tratar6n de manera m6s detallada al comienzo de la siguiente secci6n. Para clasificar un sistema de control en malla abierta o en malla cerrada, debemos distinguir
claramente entre los componentes del sistema y los componentes que interactrian con 61, p".o"qu" no hacen parte del sistema. V. gt., en el ejemplo 1.5 el conductor se defini6 d"t sistema de control, pero un operador humano puede ser componente de "o-oo fuft" un sistema, no serlo.
EJEMPLO 1'6' La mayor parte de las tostadoras automdticas son sistemas en malla abierta porque esl4n controladas por un temporizador. El tiempo que se requiere para hacer una "buena tostadal'debe ser calculado por el usuario' quien no hace parte del sistema. El control sobre la calidad del tostado (la salida) se retira una vez que el tiempo, que es la entrada y la acci6n de control, se ha determinado. Normalmente, el tiempo se ajusta mediante un disco
o un interruptor
calibrado.
EJEMPLO 1'7. Un mecanismo de piloto automdtico y el avi6n que dste controlason un sistema de control en malla cerrada (retroalimentado). Su prop6sito es mantener una direcci6n especifica del avi6n, a pesar de los cambios atmosf6ricos. Realiza esta tarea midiendo continuamente la direcci6n real del avi6n y ajustando de manera autom6tica los mecanismos de control del avi6n (tim6n, alerones, etc.) de ta moOo que togra una correspondencia entre la direcci6n real del avi6n y la direcci6n especificada. El piloto humano o el
que programa el piloto automdtico no hacen parte del sistema de control.
1.4'
operador
Retroalimentaci6n
La retroalimentaci6n es la caracteristica de los sistemas de control en malla cerrada que los
distingue de los sistemas on malla abierta.
Detinicidn 1.7:
Retroalimentaci6n
es aquella propiedad de un sistema en malla cerrada que
permite que la salida (o alguna otra variable controlada) se compare con la entrada del sistema (o una entrada de algrin otro componente o subsistema situado internamente) de tal manera que la acci6n de control apropiada se puede fbrmar como alguna funci6n de la entrada y la salidi.
5
INTRODUCCION
De modo m6s general, se dice que hay retroalimentaci6n en un sistema cuando existe una secuencia cerrada de relaciones de causa y efecto entre las variables del sistema.
EJEMPLO 1.8. El mecanismo de piloto automdtico del ejemplo 1.7 ilustra claramente ei concepto de retroalimentaci6n. La entrada es la direcci6n especificada, la cual se puede ajustar con un marcador u offo instrumento en el tablero de control del avi6n, y la salida es la direcci6n real, la cual se determina mediante los instrumentos de navegaci6n autom6tica. Un dispositivo de comparaci6n supervisa continuamente la entrada y la salida. Cuando hay correspondencia entre las dos, no se requiere ninguna acci6n de controlCuando existe una diferencia entre la entrada y la salida, el dispositivo de comparaci6n envia una seflal de acci6n de control al controlador, el mecanismo de piloto autom6tico. El controlador suministra las sefrales apropiadas a los mecanismos de control del avidn para reducir la diferencia entrada-salida. La retroalimentaci6n se puede efectuar mediante conexiones el6ctricas o mec6nicas de los instrumentos de navegaci6n, que determinan la direcci6n, al dispositivo de comparaci6n. En la pr6ctica, el dispositivo de comparaci6n puede integrarse dentro del dispositivo del piloto autom6tico.
1.5
Caracteristicas de la retroalimentaci6n
La presencia de retroalimentaci6n tfpicamente imparte las siguientes propiedades al sistema.
l.
Exactitud aumentada. Por ejemplo, la habilidad de reproducir fielmente la entrada. Esta propiedad se ilustra a trav6s de todo el texto.
2.
Tendencia hacia la oscilaci6n o la inestabilidad. Esta caracter(stica tan importante considera detalladamente en los Capftulos 5 y 9 al 19.
3.
se
Sensitividad reducida de laraz6n salida a entrada frente a las variaciones en los paremey en otras caracter(sticas (Cap(tulo 9).
tros del sistema
4. 5. 6.
1.6
Efectos reducidos de las no linealidades (Capitulos 3
y l9).
Efectos reducidos de las distorsiones externas o ruido (Capftulos
7, 9 y lO).
Ancho de banda aumentado. El ancho de banda de un sistema es una medida de la respuesta de frecuencia de qu6 tan bien responde (o filtra) el sistema a las variaciones (o frecuencias) de la seflal de entrada (Capitulos 6, lO, 12 y 15 al l8).
Sistemas de control anal6gicos
y digitales
Las sefiales en un sistema de control, por ejemplo, las formas de onda de entrada y salida, son funciones de alguna variable independiente, usualmente el tiempo, denotada por /.
Definici6n 1,8:
Una sefial dependiente de un continuum de valores de la variable independiente r se llama sefial continua en el tiempo o, m6s generalmente, sefial de datos continuos o (con menor frecuencia) sefial anal6gica.
Definici6n 1.9,
Una sefral definida o de inter6s solamente en los instantes discretos (diferentes) de la variable independiente r (de la cual depende) se llama sefral discre-
ta en el tiempo, de datos discretos, de datos muestreados o digital.
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Destacamos que digital es un t6rmino un poco m6s especializado, particularmente en otros contextos. Lo usamos aqui como sin6nimo porque 6sta es la convenci6n en la literatura de los sistemas de control.
EJEMPLO 1.9. El vohaje continuo que var(a sinusoidalmente v(r) o la corriente alterna i (r), disponible en un tomacorriente el6ctrico comfn es una sefral continua en el tiempo (anal6gica) porque estii definida en cada uno y en todos los instantes de tiempo r que la energfa el6ctrica est6 disponible en esa toma. EJEMPLO 1 .10. Si se conecta una l6mpara al tomacorriente del ejemplo I .9, y si se enciende y luego se apaga inmediatamente cada minuto, la luz de la li4mpara es una sefral discreta en el tiempo, la cual s6lo est6 encendida un instante cada minuto. 1.1 1. La temperatura media I en una habitaci6n, precisamente a las 8 a.m. (08 horas) de cada dia, es una senal discreta en el tiempo. Esta seflal se puede indicar de varias maneras, dependiendo de la aplicaci6n; por ejemplo, (8) para la temperatura a las 8 en punto -y no a otra hora-; r(l), T(2), ... parala temperatura a las 8 en punto de la mafrana del dfa I , el dia 2, etc. , o de modo equivalente, utilizando una notaci6n con subindices , Tr, Tz, etc. Note que estas seflales discretas en el tiempo son valores muestreados de una sefral continua en el tiempo, la temperatura media del cuarto en todas las horas, indicada por (r).
EJEMPLO
EJEMPLO 1 .12. Las sefrales dentro de los computadores digitales y los microprocesadores son inherentemente sefrales discretas en el tiempo, de datos discretos o digitates (o codificadas de manera digital). En su nivel mds b6sico, a menudo se encuentran en forma de secuencias de voltajes, corrientes, intensidades de Iuz u otras variables fisicas, en uno de dos niveles constantes, por ejemplo, -r 15 V; luz encendida, luz apagada; etc. Usualmente estas sefiales binarias se representan en forma alfanum6rica (nfmeros, letras u otros caracteres) en las entradas y salidas de tales dispositivos digitales. De otra parte, las sefrales de computadores anal6gicos y de otros dispositivos anal6gicos son continuas en el tiempo.
Los sistemas de control se pueden clasificar segrin los tipos de sefrales que procesan: continuos en el tiempo (anal6gicos), discretos en el tiempo (digitales), o la combinaci6n de ambos (hibridos).
Definicidn 1.10:
Los sistemas de control continuos en el tiempo, llamados tambi6n sistemas de control de datos continuos o sistemas de control anal6gicos, contienen o procesan fnicamente sefrales y componentes continuos en el tiempo (anal6gicos).
Definicidn 1.112
Los sistemas de control discretos en el tiempo, llamados tambidn sistemas de control de datos discretos o sistemas de control de datos muestreados, tienen seflales o componentes discretos en el tiempo en uno o m6s puntos del sistema.
Anotamos que los sistemas de control discretos en el tiempo pueden tener sefrales continuas en el tiempo y sefrales discretas en el tiempo; es decir, pueden ser hibridos. El factor distintivo es que el sistema de control discreto en el tiempo, o digital, debe incluir por lo menos una sefral de datos
discretos. Asi mismo, los sistemas de control digital, particularmente los del tipo de datos muestreados, a menudo tienen modos de operaci6n en malla abierta y en malla cerrada.
INTRODUCCION
EJEMPLO 1.13. Un sistema de rastreo y seguimiento de un blanco, como el que se describi6 en el ejemplo 1.3 (rastreo t' sefralamiento de un objeto con el dedo), usualmente se considera sistema de control anal6gico o continuo en el tiempo, porque Ia distancia entre el "rastreador" (el dedo) y el blanco es una funci6n continua en el tiempo, y el objetivo de tal sistema de control es seguir conli nuamente el blanco. Esistema que cons'iste en una persona que conduce un putom6vil (ejemplo 1.5) se considera de la misma categoria. Sin embargo, de manera estricta, los sistemas de rastreo, tanto naturales como fabricados pueden tener sefrales o componentes digitales. Por ejemplo, en modelos m6s detallados que incluyen el cerebro, las sefrales de control del cerebro se tratan a menudo como "pulsatorias" o de datos discretos en el tiempo, y los computadores digitales o los microprocesadores han remplazado muchos de los componentes anal6gicos en los sistemas de control de los vehfculos y en los mecanismos de rastreo.
EJEMPLO '1.14. Una mirada mils de cerca al sistema de calefacci6n conffolado termostdticamente, el cual aparece en el ejemplo 1.2, nos indica que es un sistema de control de datos muestreados, con sefrales y componentes digitales y anal6gicos. Si la temperatura deseada del recinto es, por ejemplo, de 22"C en el
termostato y desciende por debajo de 21"C, el sistema conmutador del termostato cierra el circuito del calentador (un dispositivo arial6gico) y lo enciende hasta que alcance, digamos, 23oC. Entonces el sistema conmutador autom6ticamente apaga el calentador hasta que la temperatura del recinto descienda de nuevo por debajo de 21"C. En realidad, este sistema de control est6 operando en malla abierta entre los instantes de encendido y de apagado del calentador, pero la operaci6n completa se considera en malla cerrada. El termostato recibe como entrada una sefral continua en el tiempo, la temperatura real del recinto, y entrega como salida una sefral discreta en el tiempo (binaria) de conmutaci6n, la cual enciende y apaga el calentador. La temperatura real del recinto varia-asi de manera continua entre los 2l"C y los 23"C, y la media se controla alrededor de los 22"C, el valor de referencia en el termostato.
Los t6rminos discreto en el tiempo y de datos discretos de datos muestreados y continuo en el tiempo y de datos continuos, a menudo se abrevian como discreto, muestreado y continuo enlo que resta del libro, dondequiera que su significado no sea ambiguo. Tambi6n se utilizan digital o anal6gico enlugar de discreto (muestreado) o continuo donde sea apropiado y cuando el significado resulte claro del contexto.
1.7 El problema de la ingenieria de los sistemas de control La ingenieria de los sistemas de control consiste en el andlisis y el disefio de las configuraciones de los sistemas de control. El an6lisis es la investigaci6n de las propiedades de un sistema existente. El diseno es la elecci6n y el ordenamiento de los componentes del sistemir para desempeflar una tarea especffica. Existen dos m6todos para el diseflo:
l. 2.
Disefro por an6lisis Disefro por sintesis
El diseno por anAlisis se efectfa al modificar las caracteristicas de la configuraci6n de un sistema existente o estdndar, y el diseno por sfntesis, al definir la forma del sistema directamente de sus especificaciones.
1.8
Modelos o representaciones de sistemas de control
Para resolver un problema de sistemas de control, debemos especificar o describir la configu-
raci6n del sistema
y
sus componentes de una forma que facilite el an6lisis
o el disefio.
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
En el estudio de sistemas de control se usan extensamente tres representaciones b6sicas (moy sus componentes:
delos) de los sistemas
l.
Modelos matem6ticos en forma de ecuaciones diferenciales, ecuaciones de diferencia y/u otras relaciones matemdticas, por ejemplo, la transformada de Laplace y la transformada z
2.
Diagramas de bloques
J.
Grafos de flujo de sefrales
En los Capitulos 3 y 4 se desarrollan los modelos matemdticos de los sistemas de control. Los diagramas de bloques y los grafos de flujo de sefiales son las representaciones grdficas abreviadas, del diagrama esquem6tico de un sistema o del conjunto de ecuaciones matemiiticas que caracterizan sus partes. En los Capitulos 2 y 7 se consideran en detalle los diagramas de bloques, y en el Capitulo 8, los grafos de flujo de sefiales. Los modelos matem6ticos son necesarios cuando se requieren relaciones cuantitativas, por ejemplo, para representar el comportamiento detallado de la salida de un sistema con retroalimentaci6n a una entrada dada. El desarrollo de modelos matem6ticos usualmente se basa en los principios de las ciencias ffsicas, biol6gicas, sociales, o de la informaci6n, dependiendo del Srea de aplicaci6n del sistema de control, y la complejidad de tales modelos varfa de manera amplia. Los modelos llamados sistemas lineales han encontrado notable aplicaci6n en la ciencia de los sistemas de control. En la literatura de las matem6ticas aplicadas y la ingenieria se encuentran bien establecidas y documentadas las t6cnicas para resolver sistemas lineales, y el principal objetivo de este libro son los sistemas de control lineales retroalimentados, su andlisis y su disefro. Se hace 6nfasis en los sistemas continuos en el tiempo (continuos, anal6gicos), pero tambi6n se desarrollan t6cnicas para los sistemas discretos en el tiempo (discretos, digitales) a lo largo del texto, de una manera unificada aunque no exhaustiva. El tema del Capitulo 19 son las t6cnicas para el aniilisis y el disefro de sistemas de control no lineales, a manera de introducci6n a este tema m6s
complejo. Para comunicarse con tantos lectores como sea posible, el material en este libro se desarrolla desde los principios bdsicos de las ciencias y las matem6ticas aplicadas, y en los ejemplos y en los problemas resueltos al final de cada capftulo se presentan aplicaciones especificas en la ingenierfa
y en otras
disciplinas.
Problemas resueltos Entrada y salida
l.l.
Identifique la enrrada
y la salida
der espejo ajustable de la figura l-2.
La entrada es el ilngulo de inclinaci6n g del espejo, el cual se varia girando el tomillo. La salida es la posici6n angular 0 ct del rayo reflejado con respecto a la superficie de referencih.
*
1.2.
Identifique una entrada y una salida posibles para un generador rotacional de electricidad. La entrada puede ser la velocidad rotacional del motor primario (por ejemplo, una turbina de vapor), en revoluciones por minuto. Suponiendo que el generador no tiene conectada una carga a sus terminales de salida, 6sta puede ser el voltaje inducido en los terminales de salida.
INTRODUCCION
Alternativamente, la entrada se puede expresar como el momento angular del eje del motor primario, y la s'alida como unidades de potencia el6ctrica (vatios) con una carga conectada al generador.
f.3.
Identifique la entrada
y la
salida de una rp6quina lavadora automdtica.
Muchas m6quinas lavadoras operan de la siguiente manera: despu6s que la ropa se ha colocado en la m6quina, se agregan eljab6n o detergente, el blanqueador y el agua, en cantidades apropiadas. El tiempo del ciclo de lavado y exprimido se ajusta en un temporizador, y luego se enciende la lavadora. Cuando el ciclo se completa, la m6quina se apaga por si misma' Si las cantidades apropiadas de detergente, blanqueador y agua, y la temperatura del agua esti{n predeterminadas o especificadas por el fabricante de la m6quina, o son suministradas autom6ticamente por la misma mdquina, entonces laentrada es el tiempo (en minutos) para el ciclo de lavado y
exprimido. Lo usual es que el temporizador lo ajuste una persona. La salida en una m6quina lavadora es mi4s dificil de identificar. Definamos limpio como la ausencia de sustancias.extrafras en la ropa que se va a lavar. Entonces podemos identificar la salida como el porcentaje de limpieza. Al comienzo del ciclo la salida es menor,que el 1OO7o, y al final del mismo la salida ideal es igual al 1OO7o (no siempre se obtiene la ropa limpia). Para la mayor parte de las m6quinas que operan con monedas, el tiempo del ciclo estd predeterminado, y la m6quina comienza a operiu cuando se introduce la moneda. En este caso, el porcentaje
de limpieza se puede controlar ajustando las cantidades de detergente, blanqueador y agua, y la temperatura del agua. Podemos considerar que todas estas cantidades son las entradas. Tambi6n son posibles otras combinaciones de entrada-q y salidas.
1.4.
Identifique los componentes 6rgano-sistemas, la entrada y la salida, y describa la operaci6n del sistema de control biol6gico que consiste en un ser humano que alcanza un objeto. Los componentes b6sicos de la descripci6n de este sistema de control, simplificado intencionalmente, son el cerebro, el brazo, la mano y los ojos. El cerebro envia la seflal requerida al sistema nervioso central para que el brazo y la mano alcancen el objeto. Esta sefral se amplifica en los mfsculos del brazo y de la mano, los cuales sirven de ejecutores de la fuerza para el sistema. [,os ojos se emplean como dispositivos sensores que con-
tinuamente "retroalimentan" al cerebro la posici6n de la mano. La posici6n de la mano es la salida en el sistema. La entrada es la posici6n del objeto. El objetivo del sistema de control es reducir a cero la distancia entre la posici6n de la mano y la posici6n del objeto. La figura l-3 es un diagrama esquem6tico. Las lineas punteadas y las flechas representan la direcci6n del flujo de la informaci6n.
R__ del objeto
Figura 1-3
t0
TEORIA
Sistemas en malla abierta
1.5.
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
y en malla cerrada
Explique c6mo podria operar una m6quina lavadora autom5tica en malla cerrada. Se supone que todas las cantidades descritas como entradas posibles, en el problema 1.3, a saber, tiempo del ciclo, volumen de agua, temperatura del agua, cantidad de detergente y de blan-
queador, se pueden ajustar mediante dispositivos como viilvulas y calentadores. Una lavadora automiitica en malla cerrada podria medir de manera continua o peri6dica el porcentaje de limpieza (salida) de las prendas que se estiin lavando, ajustar adecuadamente las cantidades de entrada y apagarse sola cuando se alcance la limpieza del lWvo.
1.6.
;C6mo se calibran los siguientes sistemas en malla abierta: a) una lavadora autom6tica, b) una tostadora automdtica y c) un volt(metro? a'l
Las lavadoras autom6ticas se calibran estimando cuatquier combinaci6n de las siguientes cantidades de entrada: l ) cantidad de detergente, 2) cantidad de blanqueador u otros aditivos,
3) cantidad de agua, 4) temperatura del agua, 5) tiempo del ciclo. En algunas lavadoras se predeterrhinan una o m6s de estas entradas. Las cantidades restantes las debe estimar el usuario, las cuales dependen de factores tales como el grado de dureza del agua, la clase de detergente, y la clase y el poder del blanqueador o..de otros aditivos. Una vez que esta calibraci6n se ha determinado para un tipo espec(fico de lavada (por ejemplo, ropa blanca, ropa muy sucia), normalmente no tiene que determinarse de nuevo durante el tiempo de vida 6til de la miiquina. Si 6sta sufre una averia y se le instalan piezas de repuesto, puede ser necesaria una recalibraci6n. h)
c)
Aunque el disco del temporizador de la mayor parte de las tostadoras autorniiticas es calibrado por el fabricante (por ejemplo, bajo-medio-alto), la cantidad de calor producida por el elemento calefactor puede variar sobre un rango muy amplio. Ademds, la eficiencia del elemento calefactor normalmente se deteriora con el tiempo. En consecuencia, la cantidad de tiempo requerido para un "buen tostado" debe ser estimada por el usuario; a menudo este ajuste debe revisarse en forma peri6dica. Al principio, la tostada est6 demasiado clara o demasiado oscura. Despu6s de varios estimativos sucesivamente diferentes, se obtiene el tiempo de tostado requerido para la calidad de tostada deseada. En general, un voltimetro se calibra compariindolo con una fuente estdndar de voltaje conoci-
do y marcando apropiadamente la escala de lectura en los intervalos especificados.
1.7.
Identifique la acci6n de control en los sistemas de los problemas 1.1, 1.2 Para el sistema del espejo senalado en el problema es decir, el dngulo de
l. I , la acci6n
y
1.4.
de control es igual a la entrada,
inclinaci6n d del espejo. Para el generador especificado en el problema 1.2,
la acci6n de control es igual a la entrada, esto es, la velocidad rotacional o el momento angular del eje del motor primario. En el problema 1.4 la acci6n de control del sistema de aproximaci6n del ser
humano es igual a la distancia entre la mano
y la posici6n del objeto.
' INTRODUCCION
1.8.
problemas l. iCu6les de los sistemas de control de los ;Cudles son en malla cerrada?
l,
1.2
ll
y 1.4 son en malla abierta?
puesto que la acci6n de control es igual a la entrada en los sistemas de los problemas I ' I y l '2, de aproximaci6n del ser no existe retroalimentaci6n, y los sistemas son en malla abierta' El sistema de la salida' esto depende control humano del problema 1.4 es en malla cerrada porque la acci6n de
es, la posici6n de la mano.
1.9.
Identifique la acci6n de control en los ejemplos
1'l al l'5'
es decir, La acci6n de control para el interruptor el6ctrico del ejemplo l. I es igual a la entrada, ejemplo l '2 es calefactordel sistema para el control de La acci6n upugur. o d encender de la orden " Para el sistema de igual a la diferencia entre la telperatura de referencia y la temperatura del cuarto. entre la, la diferencia a igual es control de sefralamiento con el dedo del ejemplo 1.3, la acci6n 1.4' la ejemplc del transpiraci6n de el sistema En sefralada. direcci6n real del objeto y 1a direcci6n real de la "normal" y la temperatura la temperatura entre la diferencia a esiguai acci6n de control y la direcci6n superficie de la piel. dn el ejemplo I .5, la diferencia entre la direcci6n de la carretera autom6vil' un que conduce persona del'autom6vit es la acci6n Je control para el sistema de una
1.10.
los ejemplos 1.1 al I .5 son en malla abierta? iCu6les iCu6les de los sistemas de control de son en malla cerrada? de control es igual a la El intemrptor el6ctrico del ejemplo l.l es en malla abierta porque la acci6n del | '2 al l '5 ' la acci6n de entrada y, por tanto, independiente de la salida. Para los restantes ejemplos en malla cerrada' sistemas son control es claramente una funci6n de la salida. En consecuencia,
Retroalimentaci6n
1.11.
es u2, Considere la red divisora de voltaje de la figura 1-4- La salida
!
la entrada es ur
Figura 1'4
a')
Escribaunaecuaci6nparau2enfunci6ndeul,RrYRz.Esdecir,escribaunaecuaci6n
para u2 que corresponda a un sistema en malla abierta'
'
12
TEORIA
b)
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Escriba una ecuaci6n para u2 en forma de malla cerrada, es decir, u2 en funci6n de u,,
u2, R1
y
R2.
Este problema ilustra c6mo una red pasiva se puede caractenzarcomo un sistema en
malla abierta o en malla cerrada.
a)
A partir de la ley de Ohm y de las leyes de voltaje y corriente de Kirchhoff.
ur: Rri Luego
b)
ul
Rl+R2
': ( uh)":"u"R" R')
Expresando la corriente i en una forma algo diferente, tenemos
^lur-uz\ /Rr\ ',: R,t-& I : ti/,' l'12'
i:
tenemos
-
1nr\ (
i)":r(u,,u,,
i:
(ur
-
u2)/R1. por tanto
R,, R,)
Explique c6mo el concepto econ6mico clSsico conocido como la ley de la oferta y la
demanda se puede interpretar como un sistema de control con retroalimentaci6n. Escoja como salida del sistema el precio del mercado (precio de venta) de un item en particular, y
suponga que el objetivo del sistema es mantener la estabilidad del
preci,o.
-----'J
La ley se puede enunciar de la siguiente manera. La demandadel mercado por el ftem disminuye cuando su precio aumenta. usualmente la oferta del mercado se incrementa cuando su precio aumenta' La ley de la oferta y Ia demanda dice que se alcanzaun precio estable en el mercado, si y s6lo si la oferta es igual a la demanda. La manera como se regula el precio por la oferta y la demanda se puede describir con los conceptos de control con retroalimentaci6n. Escojamos los siguientes cuatro elementos biisicos para nuestro sistema: el proveedor, el comprador, el vendedor y el riercado en donde el item se compra y se vende' (En realidad, estos elementos representan generalmente procesos muy complicados). La entrada en nuestro sistema econ6mico ideal es la estabilida) del precio,esto es, Ia salida "deseada"' Una manera mds conveniente de describir esta entrada esfluctuacifun cero del precio. La salida es el precio real en el mercado. El sistema opera como sigue: el vendedor recibe una orden (cero) para la estabilidad del precio. Este calcula un precio pnra la transacci6n en el mercado con la ayuda de la informaci6n de su memoria o sus registros de transacciones pasadas. Este precio tu"" qu" el proveedor produzca o suministre cierto nrimero de items, y qu" al comprador demande cierto n[mero de los mismos. La diferencia entre la oferta y la demanda es la acci6n de control en este sistema. si esta riltima es diferente de cero, es decir. si la oferta no es igual a la demanJa, J inicia un cambio en el precio del mercado en la. direcci6n que hace que eventualmente la """0"0o. oferta iguale a la demanda. En consecuencia, el proveedor y el comprador pueden considerarse cemo la retroalimentaci6n, puesto que ellos determinan la acci6n de controi.
l3
INTRODUCCION
Problemas misceldneos
1.13.
a) Explique c6mo operan los semdforos corrientes que controlan el trdfico automotor.en las intersecciones de las vfas. b) iPor qu6 6stos son sistemas de control en malla abierta? c) ;C6mo se puede controlar el tr6fico m6s eficientemente? d) 6Por qu6 el sistema de c) es en
malla cerrada?
a)
[.os semdforos controlan el flujo de ese tr6fico confrontando en forma sucesiva el h6fico en una direcci6n particular (por ejemplo, norte-sur) con una luz roja (pare), y luego con una luz verde (siga). Cuando una direccl6n tiene la sefral verde, el trdfico cruzado en la otra direcci6n (este-oeste) tiene la roja. En la mayor parte de los semilforos los intervalos de las luces roja y verde est6n predeterminados por un mecanismo sincronizador calibrado.
b)
Los sistemas de control operados por mecanismos sincronizadores prefijados son en malla abierta. La acci6n de control es igual a la entrada, es decir, los intervalos de rojo y verde.
c)
Ademiis de prevenir los choques, generalmente es funci6n de los sem6foros controlar el volumen de trdfico. Para el sistema en malla abierta descrito antes, el volumen de tn{fico no influye los intervalos predeterminados de luz verde y luz roja. Para hacer que el tr6fico fluya mi4s uniformemente, el intervalo de tiempo de la luz verde debe ser mayor que el de la luz roja en la direcci6n que tiene mayor volumen de tri4fico. A menudo, un agente del tr6nsito realiza esta tarea. El sistema ideal seria medir autom6ticamente el volumen del tr6nsito en todas las direc-
A
1.t4.
ciones utilizando dispositivos sensores apropiados, compararlos. y luego utilizar la diferencia para controlar los intervalos de tiempo de luz verde y luz roja; una tarea ideal para un computador. El sistema de c) es en malla cerrada porque la acci6n de control (la diferencia entre el volumen de tr6fico en cada direcci6n) es una funci6n de la salida (el volumen de tr6fico real que fluye por la intersecci6n en cada direcci6n).
a) Describa de manera simplificada los componentes y las variables de los sistemas de control biol6gicos involucrados en el caminar en una direcci6n determinada. b);Por qu6 caminar es una operaci6n en malla cerrada? c) ;Bajo qu6 condiciones el aparato de caminar del ser humano serfa un sistema en malla abierta? iUn sistema de datos muestreados? Suponga que la persona tiene una visi6n normal.
a)
Los principales componentes involucrados en la marcha son el cerebro, los ojos, las piernas y los pies. Se puede escoger la entrada como la direcci6n en la que se desea caminar, y la salida como ld direcci6n real en que se camina. La acci6n de control se determina por los ojos, los cuales detectan la diferencia entre la entrada y la salida y envian esta informaci6n al cerebro.
b)
Caminar es una operaci6n en malla cerrada porque la acci6n de control es una funci6n de la
El cerebro ordena a las piernas y los pies caminar en la direcci6n prescrita. salida.
c)
Si se cierran los ojos se rompe el lazo de retroalimentaci6n y el sistema se hace en malla abierta. Si se abren y cierran los ojos peri6dicamente el sistema se convierte en uno de datos muestreados, y el caminar se controla de manera m6s exacta que si se hace siempre con los ojos cerrados.
l4
1.15.
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Disefle un sistema de control para llenar de agua un recipiente despuds de haberse vaciado a trav6s de una llave en el fondo. El sistema debe cortar autom6ticamente el asua cuando el
recipiente est6 lleno. El diagrama esquem6tico simplificado (figura I -5) ilustra el principio del sistema de llenado de las cisternas comunes de los sanitarios.
recipiente
Figura
1-5
La bola flota sobre el agua. A medida que la bola se acerca a la parte superior del recipiente, el tap6n disminuye el flujo de agua, y cuando el recipiente se llena, el tap6n lo suspende.
f.16.
Disene un sistema de control simple que encienda automdticamente la l6mpara de una habitaci6n al anochecer, y la apague al amanecer. En la figura 1-6 se muestra un sistema simple que realiza esta tarea. Al anochecer, Ia fotocelda, que funciona como un intemrptor sensible a la luz, cierra el circuito de la li4mpara y en consecuencia ilumina el cuarto. La l6mpara se mantiene encendida hasta el amanecer, cuando la fotocelda detecta el brillo de la luz exterior y abre el circuito de la l6mpara.
tomacomente
espeJo
[joI*lg' j" r"q9..tim€g!1.,6lJ Figura l-6
Figura
1-7
l5
INTRODUCCION
1.17.
Disefre una tostadora autom6tica en malla cerrada. Suponga que cada elemento calefactor suministra la misma cantidad de calor a ambos lados del pan y que la calidad de tostado se puede determinar por su color. En la figura l-7 se muestraun diagrama esquem6tico simplificado de una posible forma de aplicar el principio de retroalimentaci6n a una tostadora. Solamente se ilustra un lado de la tostadora. Inicialmente la tostadora se calibra a una calidad de tostado deseada mediante un bot6n de ajuste. Este ajuste nunca requiere una recalibraci6n a no ser que cambie el criterio de calidad del tostado. Cuando el interruptor se cierra, el pan se tuesta hasta que el detector de color "ve" el color deseado. Entonces el intemrptor se abre automilticamente mediante la conexi6n de retroalimenta-
ci6n, que puede ser el6ctrica o mecilnica.
1.18.
La red divisora de voltaje del problema l.l I ;es un dispositivo anal6gico o digital? Las entradas y salidas lson anal6gicas o digitales? Claramente es un dispositivo anal6gico, como lo son todas las redes el6ctricas que constan rinicamente de elementos pasivos tales como resistores, capacitores e inductores. La fuente de voltaje v1 se considera como una entrada externa a esta red. Si produce una sefral continua, por ejemplo, de una baterfa o una fuente de corriente alterna, la salidaes una sefral continua o anal6gica. Sin embargo, si la fuente de voltaje v' eS uno sefral discreta en el tiempo o digital, entonces asi seri4 la salida u 2: ufi2l(R1+ R). Del mismo modo, si se incluyera un interruptor en el circuito, en serie con una fuente de voltaje anal6gica, la apertura y el cierre intermitente del intemrptor generarfan una onda muestreada de la fuente de voltaje u1, y en consecuencia se tendria una salida muestreada o discreta en el tiempo de esta red anal6gica.
total del efectivo en una cuenta bancaria 1,es un sistema el tiempo? o discreto en continuo ;Por qu6? Suponga que se hace un dep6sito solamente
1.19. El sistema que controla el valor una vez,
y no se hace ningfn retiro.
Si el banco no paga intereses ni extrae derechos por mantenimiento de la cuenta (como poner su dinero "bajo el colch64), el sistema que controla el valor total del efectivo de la cuenta puede considerarse como continuo, porque el valor siempre es el mismo. Sin embargo, la mayor parte de los bancos pagan intereses en forma peri6dica, por ejemplo, diaria, mensual o anualmente, y el
valor de la cuenta, por tanto, cambia peri6dicamente en tiempos discretos. En este caso, el sistema que controla el valor del efectivo en la cuenta es un sistema discreto. Suponiendo que no hay rettros, se agregan los intereses al principio de cada vez que la cuenta gana el inter6s, llamado compuesto, y el valor de la cuenta continfa creciendo sin limite (el "mayor invento de la humani-
dad". c,omentario atribuido a Einstein)'
1.20.
iQud tipo de sistema de control, en malla abierta o en malla cerrada, continuo o discreto, utiliza un inversionista del mercado ordinario de valores, cuyo objetivo es obtener rentabilidad de su inversi6n?
A menudo, los inversionistas del mercado de valores siguen en forma peri6dica el progreso de sus valores, por ejemplo, de sus precios. Pueden verificar a diario los precios de puja, con su corredor de bolsa o en el peri6dico del dfa, o con cierta frecuencia, dependiendo de las circunstancias individuales. En cualquier caso, ellos muestrean peri6dicamente las seflales de precios, en consecuencia, el sistema es de datos muestreados o discreto en el tiempo. Sin embargo, los precios de los valores normalmente suben y bajan entre los tiempos de muestreo, y entonces el sistema
t6
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
opera en malla abierta durante estos periodos. La malla de retroalimentaci6n se cierra s6lo cuando el inversionista hace sus observaciones peri6dicas y actria sobre la informaci6n recibida, que puede ser comprar, vender o no hacer nada. De esta manera, el control global es en malla cerrada. El
proceso de medida (muestreo) podrfa, por supuesto, manejarse mfs eficientemente usando un computador, el cual tambi6n se puede programar para que tome decisiones con base en la informaci6n que recibe. En este caso el sistema de control perrnanece discreto en el tiempo, pero no s6lo porque hay un computador digital en la malla de control. Los precios de puja no cambian de modo continuo, sino que inherentemente son sefiales discretas en el tiempo.
Problemas suplementarios 1.21.
Identifique la entrada
y la salida
1.22.
Identifique la entrada
y la
1.23.
Identifique una entrada y una salida de una cafetera el6ctrica autgm6tica. ;Este sistema es en malla abierta o en malla cerrada?
t-U.
Disefre un sistema de control para elevar y bajar en forma autometica un puente levadizo.que permita el paso de los barcos. No se permite que el operador sea una persona. El sistema debe funcionar completamente de manera autom6tica.
1.25.
Explique la operaci6n e identifique las cantidades y los componentes pertinentes de un cai6n antiadreo autom6tico que es controlado por radar. Suponga que no se necesita operador excepto para poner inicialmente el sistema en un modo operacional.
1.26- ;C6mo se le puede dar
de un homo con temperatura regulada autom6ticamente.
salida de un refrigerador autom6tico.
una interpretaci6n de sistema de control con retroalimentaciiln a la red
el6ctrica de la figura l-8? ;Este sistema es anal6gico o digital?
fuente de voltaje u
Figura 1.27
.
1-8
Disene un sistema de control para poner en posici6n el tim6n de una embarcaci6n desde el cuarto de mando localizado lejos del tim6n. El objetivo del sistema de control es conducir la embarcaci6n en
la direcci6n
deseada.
1.28.
aQu6 entradas adicionales a la orden de la direcci6n deseada esperaria encontrar actuando en el sistema del problema 1.27?
1.29.
6Se puede interpretar como un sistema de control con retroalimentaci6n ta aplicaci6n del
mo sin intervenci6n del Estado? ;Por qu6?
lEl "socialismo"
capitdis-
en su forma miis pura? ;Por qu6?
l7
INTRODUCCION
1.30.
1,La operaci6n de intercambio de valores,
modelo de la ley de la oferta
1.31.
6Un sistema econ6mico puramente socialista se ajusta al modelo de la tey de la oferta y la demanda
descrito en el problema
1.32.
por e-iemplo, comprar y vender acciones, se ajusta al
y la demanda descrito en el problema 1.12?;C6mo?
l.l2?;Por
qu6 (o por qu6 no)?
6Qu6sistemasdecontroldelosproblemas
l.l
al l.4ydel
1.l2all.l7
sondigitalesodedatos
muestreados, y cu6les son continuos o anal6gicos? Defina las seiales continuas discretas en cada sistema.
y las
sefiales
f.33.
Explique por qu6 los sistemas de control econ6mico basados en la obtenci6n de datos a partir de los procedimientos de contabilidad corrientes son sistemas de control de datos muestreados ;Son en malla abierta o en malla cerrada?
1.34.
Un sistema de radar de antena rotatoria que normalmente recibe datos direccionales y de intervalo en cada una de las revoluciones, ies un sistema anal6gico o digital?
1.35.
;Qu6 tipo de sistema de control estd involucrado en el tratamiento de un paciente por un m6dico, basado en los datoi obtenidos de los an6lisis de laboratorio de una muestra de sangre del paciente?
Respuestas a algunos problemas suplementarios 1.21,
La entrada es la temperatura de referencia. La salida es la temperatura real del homo.
1.22.
La entrada es la temperatura de referencia. La salida es la temperatura real del refrigerador.
l.?3.
Una entrada posible para la cafetera el6ctrica autom6tica es la cantidad de caf6 usado. Ademiis, la mayor parte de las cafeteras tienen un disco que se puede ajustar para caf{ clato, medio u oscuro. Este ajuste generalmente regula un mecanismo de tiempo. Otra entrada posible es el tiempo de preparaci6n. lra concentraci6n del caf6 se puede escoger como la salida de cualquier cafetera. Las dafeteras descritas antes son sistemas en malla abierta.
Capitulo 2 Terminologia de los sistemas de control 2.1
Diagramas de bloques: fundamentos
Un diagrama de bloques es una representaci6n gr6fica y abreviada de la relaci6n de causa y efecto entre la entrada y la salida de un sistema fisico. Proporciona un m6todo ritil y conveniente para caracterizar las relaciones funcionales entre los diversos componentes de un sistema de control. Los componentes del sistema se llaman de manera alterna elementos del sistema. La forma miis simple de un diagrama de bloques es un solo bloque, con una entrada y una salida, como se muestra en la figura 2-1. bloque
Figura 2-l El interior del recti{ngulo que representa el bloque, usualmente contiene la descripci6n o el nombre del elemento, o el sfmbolo de la operaci6n matem6tica que se va a efectuar sobre la entmda para producir la salida. I-as flechas representan la direcci6n de la informaci6n o fluio de la seflal. EJEMPLO 2.1.
a)
b)
Figura 2-2 Las operaciones de adici6n y sustracci6n tienen una representaci6n especial. El bloque se convierte en un pequefro circulo, llamado punto de suma, con el signo apropiado m6s o menos, asociado con las flechas que entran al circulo. La salida es la suma algebraica de las entradas. Cualquier nrimero de entradas puede llegar a un punto de suma. EJEMPLO 2.2. a)
b)
Figura 2-3 l8
l9
TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Algunos autores ponen una cruz en el circulo: (Figura 2-4)
T
I I
Figura 2-4 multiplicaci6n' Esta notaCi6n se evitar6 aqu( porque algunas veces se confunde con la operaci6n de para hacer que la misma seflal o variable sea una entrada a m6s de un bloque o punto de suma, por diferentes trayectose utiliza on porrto de toma. Este permite que la seflal prosiga inalterada
rias a varios destinos. EJEMPLO 2.3. b)
a)
Figura 2-5
2.2
Diagramas de bloques de sistemas de control continuos (anal6gicos)
con retroalimentaci6n Los bloques que representan los diferentes componentes de un sistema de control estiin conectados de un modo que caracteizasus relaciones funcionales dentro del sistema. En la figura 2-6 se ilustra la configuraci6n b6sica de un sistema de control simple en malla cerrada (retroalimentado), con una sola entrada y una sola salida (abreviada UEUS [en ingl6s, SISO]) para un sistema con seflales continuas fnicamente. perturbaci6n
seflal de control o variable
mmipulada
e=r+bffiffi 6
uom ttuyectoria directa
trayectoria de retsoalimentaci6n
Figura 2-6
20
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Enfatizamos que las flechas de una malla cerrada, que conectan un bloque con otro, representan la direcci6n del flujo de la energfa de contol o informaci6n, que a menudo no es la fuente principal de energfa para el sistema. En el caso del ejemplo 1.2.,lafuente principal de energia para el calentador controlado termostdticamente, por lo general, es qufmica, proveniente de la combusti6n de gasolina, carb6n o gas. Pero esta fuente de energia no aparece en la malla de control cerrada del sistema.
2.3
Terminologia del diagrama de bloques en malla cerrada
Es importante que se entiendan claramente los t6rminos usados en el diagrama de bloques en
malla cerrada. Las letras minfsculas
se utilizan para representar las variables de entrada y de salida de cada elemento, como tambi6n los sfmbolos para los bloques gi, g2y ft. Estas cantidades representan funciones de tiempo, a no ser que se especifique otra cosa.
EJEMPLO2.4.r:r(t) En los capftulos subsiguientes, usamos letras mayf sculas para rndicar cantidades de transformada de Laplace o de transformada z, como funciones de la variable compleja s, 6 z, respectivamente, o cantidades de transformada de Fourier (funciones de frecuencia), como funciones de la variable imaginaria ptraio. A menudo las funciones de s 6 db z se abrevian presentando la letra
mayfscula sola. Las funciones de frecuencia nunca se abrevian. EJEMPLO 2.5- R(s) se puede abreviar como R, o F(z) como
F.
RQto)
nunca se abrevia.
Se escogieron las letras r, c, e, etc., para preservar la naturaleza gen6rica del diagrama de bloques. Esta convenci6n ahora es cliisica.
Definici6n 2.1:
La planta (proceso o sistema controlado) g2 es el sistema, subsistema, proceso u objeto comandado por el sistema de control con retroalimentaci6n.
Definici6n 2.2:
La salida controlada c es la variable de salida de la pranta, bajo el mando del
sistema de control con retroalimentaci6n.
Delinicidn 2.3:
La trayectoria directa es la ruta de salida controlada c.
Definici6n 2.4:
Los elementos anticipativos (de control; 91 son los componentes de la trayectoria directa que generan las sefrales de control u o m aplicadas a la planta. Nota: Entre los elementos anticipativos de control corrientemente se encuentran controladores, compensadores (o elementos de ecualizaci6n) v/o
de transmisi6n del punto de suma al punto
amplificadores.
Delinicifin
2.52
La sefral de control u (o la variable manipulad a m) es la seflal de salida de'
los elementos anticipativos
91
, aplicada
como enffada en la planta g2.
TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
21
Delinicidn 2.62
La trayectoria de retroalimentaci6n es la ruta de transmisi6n de la salida controlada c que regresa al punto de suma.
Detinicidn 2.7:
Los elementos de retroalimentaci6n ft establecen la relaci6n funcional entre la salida controlada c y la seflal primaria de retroalimentaci6n b- Notoi Entre los elementos de retroalimentaci6n normalmente se encuentran sensores de la salida controlada c, compensadores y/o elementos controladores.
Delinicidn 2.8:
La entrada de referencia r es una sefral externa aplicada al sistema de control con retroalimentaci6n, usualmente en el primer punto de suma, para ordenar una acci6n especffica a la planta. A menudo representa el comportamiento ideal (o deseado) de la salida en la planta.
Definicidn 2,92
La seftal primaria de retroalimentaci6n b es una funci6n de la salida controlada c, sumada algebraicamente con la entrada de referencia r para obtener la sefial actuante (error) e, esto es, r + b : e . Nota: Un sistema en mallq abierta
no tiene sefial primaria de retroalimentaci6n. Definici6n 2.10:
La senal actuante (error) es la seflal de entrada de referencia r m6s o menos la sefral primaria de retroalimentaci6n b. La acci6n de contol se genera por
la sefial actudnte (error) en un sistema de control con retroalimentaci6n (vianse las definiciones I .5 y | .6). Nota: En un sistema en malla abierta, que no tiene retroalimentaci6n, la sefral actuante es igual a r. Definicidn
2.4
2.112
Retroalimentaci6n negativa significa que el punto de suma es un sustractor, esto es e : r - b Retroatimentaci6n positiva significa que el punto de suma es un sumador. es decir. e : r I b.
Diagramas de bloques de componentes discretos en el tiempo (datos muestreados digitales), de sistemas de control y de sistemas controlados por computador
La definici6n 1 . 1 I describe un sistema de control discreto en el tiempo (de datos muestreados o digital) como aquel que tiene sefrales o componentes discretos en el tiempo en unci o m6s puntos del sistema. Primero, relacionamos varios componentes comunes de sistemas discretos en el tiempo, y luego, ilustramos algunas de las formas como pueden interconectarse en los sistemas de control digital. Recordamos al lector que en este libro discreto en el tiempo a menudo se abrevia como discreto, y continuo en el tiempo como continuo, siempre que su significado no resulte
ambiguo. .EJEMPLO 2.6. Un computador digital o microprocesador es un dispositivo discreto en el tiempo (discreto o digital), componente com(rn en sistemas de control digital. Las sefrales internas y extemas de un computador digital se caracterizan por ser discretas en el tiempo o codificadas digitalmente.
EJEMPLO 2.7. IJncomponente (o componentes) de un sistema discreto con entradas z(4) discretas en el tiempo y sefrales de salida y(4) discretas en el tiempo, en donde tr son los instantes discretos de tiempo' 1,2,..., etc., puede representarse por un diagrama de bloques como el que se muestra enlafigura2'7.
k:
22
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
k
:
Y
SISTEMAS DE CONTROL
1,2,...
Figura
2_7
Muqhos sistemas de control digital contienen componentes discretos y continuos. Usualmente en tales sistemas se incluyen uno o mds dispositivos conocidos como muestreadores, y otros
conocidos como retenes.
Delinici6n
2.12:
Un muestreador es un dispositivo que convierte una sefral continua en el tiempo, digamos u(t), en una sefral discreta en el tiempo, representada por a*(t), lacual consiste en una secuenciade valores de la seflal en los instantes tr, t2,..., es decir, u(t), u(t2),..., etc.
Usualmente los muestreadores ideales se representan de manera esquemdtica por un intemrpse muestra en la figura 2-8, en la cual el intemrptor normalmente est6 abierto, excepto en los instantes t1, t2, etc., cuando se cierra por un instante. El intemrptor tambi6n puede represen-
tor, como
tarse como encerrado en un bloque, como se muestra en la fieura 2-9.
Ik
Figura 2-8
Figura 2-9 EJEMPLO 2.8. En la figura 2-10 se ilustran la sefral de entrada de un muestreador ideal y algunas muestras de la senal de salida. Este tipo de sefral habitualmente se llama sefial de datos muestreados.
u(t)
Figura 2-10 A menudo las sefiales de datos discretos u(t) se escriben de manera m6s simple, con el fndice /ccomo fnico argumento, esto es, u(k), y la secuenciau(t), u(t2),..., etc., se convierte en rz(l), u(2), ..., etc. En el Capftulo 3 se introduce esta notaci6n. Aunque en general las tasas de muestreo no son uniformes, como en el ejemplo 2.8, en este libro se sigue como regla el muestreo uniforme,
es decir, tk+r
- t* = T para todo ft.
23
TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Definici6n
2.132
Un ret6n o sistema de sostenimiento de datos es un dispositivo que convierte la salida discreta en el tiempo de un muestreador en alguna clase particular de sefral continua en el tiempo o anal6gica.
EJEMPLO 2.9. Un sistema de sostenimiento de orden cero (retdn simple\ es aquel que mantienE
(es
decir, retiene) el valor de a(4) constante hasta el siguiente tiempo de muestreo /11 , colrlo se muestra en la Note que la salida yp(t) del reten de orden cero es continua, excepto en los tiempos de figura 2-f 1
l.
muestreo. Este tipo de sefral se llama continua
a
lno(t
tramos.
)
Figura 2-12
Definici6n
2.14:
Un convertidor anal6gico a digital (A/D) es un dispositivo que convierte una sefral anal6gica o continua en una discreta o digital'
Detinici6n
2.152
Un convertidor digital a anal6gico (D/A) es un dispositivo que convierte una seflal discreta o digital en una continua en el tiempo o anal6gica.
.
EJEMPLO 2.10. El muestreador del ejemplo 2.8 (figuras 2-9
y 2-lO) es un convertidor A/D'
EJEMPLO2.11. Elsistemadesostenimientodeordencerodelejemplo2.g(figuras2-lly2-12)esun convertidor D/A.
Los sistemas de muestreo y sostenimiento de orden cero, comfnmente se utilizan como convertidores A/D y D/A, pero no son los finicos tipos disponibles. En particular, algunos convertidores D/A son m6s complejos. EJEMPLO 2.12. A menudo se utilizan computadores digitales o microprocesadores para controlar plantas o procesos continuos. En tales aplicaciones se necesitan convertidores fuD y D/A, para convertir sefrales de la planta en sefrales digitales, y seiales digitales del computador en sefrales de control para la planta anal6gica. La operaci6n conjunta de estos elementos usualmente se sincroniza con un reloj, y el controlador resultante algunas veces se llama fihro digitat, como se ilustra en la figura 2-13.
z+
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Figura 2-13
Definici6n
2.16:
Un sistema controlado por computador incluye un computador como elemento primdrio de control.
Los sistemas controlados por computador m6s comunes tienen computadores digitales comandando procesos anal6gicos o continuos. En este caso, se necesitan convertidores A/D v D/A. como se ilustra en la fisura 2-14.
I
controlador
I
Figura 2-14 El reloj puede omitirse del diagrama, ya que sincroniza pero no hace parte explfcita del flujo de la seial en la malla de control. De la misma manera, algunas veces se omiien del diagrama el punto de suma y la entrada de referencia porque ambos pueden ser implementadas poi el computador.
2.5
Terminologia suplementaria
En este momento hay varios t6rminos que requieren definici6n e ilustraci6n. Otros se presen-
tan en los capftulos subsiguientes a medida que sean necesarios.
Definici6n
2.172
Un transductor es un dispositivo que convierte una forma de energfa en otra.
Porejemplo, uno de los transductores m6s comunes en las aplicaciones de sistemas de control potenci6metro, el cual convierte una posici6n mec6nica enun voltaje el6ctrico (figura 2- I 5).
es el
25
TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
I
|, I
#
l+ |
entrada de
la w.i.ion del brazo
,
uoltale de salida
diagrama de bloque
esquem6tico
Figura 2-15
Definicihn
2.182
La orden u es una sefral de entrada, usualmente igual a la entrada de referencia r. Pero, cuando la clase de energ(a de la orden u no es la misma que la de retroalimentaci6n primaria b, se requiere un transductor entre la orden u y la entrada d,: referencia r, como se muestra en la figura 2-16 a.
a)
b)
Figura 2-16
Definicidn 2.192
Cuando el elemento de retroalimentaci6n consta de un transductor, y ademds se necesita un transductor en la entrada, esa parte del sistema de control,
ilustrada en la figura 2-16
Definici6n 2.202
b,
se llama detector de error.
Un estimulo o entrada de prueba es cualquier seial de entrada introducida externamente (ex6genamente) que afecta la salida controlada c . Nota: la entrada de referencia r es un ejemplo de un estimulo, pero no es la itnica clase
de estimulo.
Definici6n 2,21:
Una perturb aci6n n(ruido de entrada) es un est(mulo o una sefral de entrada no deseados que afectan el valor c de la salida controlada. Puede entrar a la planta con ,, o m, como se muestra en el diagrama de bloques de la figura
2-6, en el primer punto de suma o en cualquier otro punto intermedio. Delinicidn 2.222
La respuesta de tiempo de un sistema, subsistema o elemento es la salida como funci6n de tiempo, usualmente en seguida de la aplicaci6n de una entrada prescrita bajo condiciones de operaci6n especificadas.
Detinicidn 2.232
Un sistema multivariable es aquel que tiene mds de una entrada (multien-
trada, ME-), m6s de una salida (multisalida' -MS) o ambas (multientra' da-multisalida. MEMS).
26
TEORIA
Definici6n 2.242
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
El t6rmino controlador en un sistema de control con retroalimentaci6n, a menudo est6 asociado con los elementos de la trayectoria directa entre la seflal actuante (error) e y la variable de control u. Pero, algunas veces, incluye el punto de suma, los elementos de retroalimentaci6n o ambos. Algunos
autores utilizan los t6rminos controlador y compensador como sin6nimos.
El contexto debeni elirninar cualquier ambigtiedad. Las cinco definiciones siguientes son ejemplos de leyes de control o
algoritmos de control. Definicidn
2.25:
Un controlador de encendido-apagado (on-ofr)* (controlador binario, de dos posiciones) tiene 0nicamente dos valores posibles en su salida z, dependiendo de la entrada e en el controlador.
EJEMPLO 2.13. Un controlador binario puede tener una salida es positiva, es decir, e > 0, y u : -l cuando e 0.
u
: *l
cuando
la
sefral de error
=
Definici6n 2.26:
Un controlador proporcional (P) tiene una salida a proporcional a su entrada e esto es, rr : Kpe, en donde Kp es una constante de proporcionalidad.
Definici6n 2.27:
Un controlador derivativo (D) tiene una salida a proporcional aladerivada de su entrada e, esto €S, 4 : Kodeldt, en donde Kp es una constante de
proporcionalidad.
Delinici6n
2.28:
Un controlador integral (4 tiene una salida u proporcion al ala integral de su entrada e, esto es, u : KIe(t)dt, en donde KTes una constante de proporcionalidad.
Definici6n
2.29:
Los controladores PD, PI, DI y PID son combinaciones de los controladores proporcional (P), de derivativo (D) e integral (I).
EJEMPLO 2.14. La salida z de un controlador PD tiene la forma: de
upe: Kpe* Ko
,
AT
La salida de un controlador PID tiene la forma:
upro:
x
Kre
*
*oide + K,leQ) dt
Aunque se escribe en ingl6s, est6 muy difundido en espafrol el uso del t6rmino controladores on-off.
TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
2.6
27
Servomecanismos
Los sistemas de control con retroalimentaci6n especializados, llamados servomecanismos, requieren una atenci6n especial, debido a su frecuente aparici6n en aplicaciones industriales y en
la literatura de los sistemas de control.
Definicihn
2.30:
Un servomecanismo es un sistema de control con retroalimentaci6n de am-
plificaci6n de potencia, en el cual la variable controlada c es una posici6n mec6nica o una derivada con respecto al tiempo, tal como la velocidad o la aceleraci6n.
EJEMPLO 2.15. El aparato de direcci6n de potencic de un autom6vil es un servomecanismo. La orden de entrada es la posici6n angular del volante de direcci6n. Un pequeno torque rotacional que se aplica al volante de direcci6n se amplifica hidri4ulicamente, dando como resultado una fuerza adecuada para modificar la salida, la cual es la posici6n angular de las ruedas delanteras. En la figura 2- l 7 se presenta el diagrama de bloques de tal sistema. La retroalimentaci6n negativa es necesaria para regresar la v6lvula de control a la posici6n neutra, reduciendo a cero el torque del amplificador hidri4ulico cuando se ha alcanzado la posici6n deseada
en la rueda.
a-elementos
de control; Cr
posici6n
-------l
volante de
posici6n angular de las ruedm en
direcci6n
la carretera
angulu del
Figura 2-17
2.7
Reguladores
Definici6n
2.31:
Un regulador o sistema regulador es un sistema de control con retroalimentaci6n en el cual la entrada o comando de referencia es constante por largos periodos de tiempo, habitualmente durante todo el intervalo de tiempo en el cual el sistema es operacional. Con frecuencia tal entrada se llama
punto de referencia. Un regulador se diferencia de un servomecanismo en que la funci6n primaria de un regulador usualmente es mantener una salida controlada constante, mientras que la de un servomecanismo es, casi siempre, hacer que una entrada variable en el sistema ocasione una salida.
28
TIIORIA
Y
PROBLEMAS Dt1 RUTROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Problemas resueltos Diagramas de bloque
2.1.
Considerelassiguientesecuacionesenlascualesxt,xz,...,r,sonvariables,yal son coeficientes generales u operadores matemdticos: ,A)
b)
,a2,...,e,,
x3: arx.* arxr- 5 xn: arxr* arxr* '.. *an ,xn_,
Dibuje un diagrama de bloque para cada ecuaci6n, identificando todos los bloques, las entradas y las salidas.
a)
En la forma como estA escrita la ecuaci6n, x3 es la salida. Los t6rminos del Iado derecho de la
ecuaci6n sc combinan en un punto de suma, como se muestra en la figura 2-lg. El t6rmino ./r.rr se representa por un bloque sencillo, con -f,' corno entrada y cr-rr como salida. Por tanto, el coeficiente dr se coloca dentro del bloque, como se muestra enila figura 2-19. a1 puede representar cualquier operaci6n matqm6tica. Por ejemplo, si ay fuera una constante, la operaci6n del bloque serfa "multiplicar la entradaxl por la constante a1". Usualmente, de la descripci6n o dcl contexto de un problema resulta claro qu6 significa el simbolo,
el operador o la descripci6n dentro del bloque.
at& t 4zfr2
D
Figura 2-18
Figura 2-19
El t6rmino ale SC representa de la misma manera. En la figura 2.20 se muestra el. diagrama de bloque para la ecuaci6n completa.
b)
Siguiendo el mismo razonamiento que en la parte a), el diagrama de bloque para
xn: atxt* a2x2* ... lan_rxo_1 se muestra en la figura 2-21.
2.2. Dibuje un diagrama
a) .r:tr(*)
de bloque para cada una de las siguientes ecuaciones:
;'r. b) xt: -;f dt'
+
dx,
-idt - *,
c)
xo: lxrdt
29
TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE COI.ITROL
at&t az0z
Figura 2-21
Figura 2-20
a)
! la deivada dldt. Por tanto, el diagrama contiene dos.blgques, como se muestra en la figura 2-22. N6tese el orden de los mismos. En esta ecuaci6n se especifican dos olieraciones, a1
Figwa 2-23
Figura 2-22
Ahora, si d.r fuera constante, el bloque ar se podria combinar con el bloque dldt, como se muestra en la figura 2-23, ya que no habrfa confusi6n en relaci6n con el orden de los bloques. Pero, si a1 fuera un operador desconoiido, la inversi6n de los bloques dldt y a1 no resultaria, necesaridmente, en una salida igual a .r2 como se muestra en
la figura
2-24.
alxl
Figara 2-24 b)
*y
Las operaciones indican la necesidad de un punto de suma. La derivada puede traftfse como en la parte a), o combinando las dos primeras operaciones de derivaci6n en un bloque operador de segunda derivada, con lo cual se obtienen dos diagramas de bloques diferentes
para la ecuaci6n de 13, como se muestra en la figura 2-25.
f Figura 2-25
30
TEoRIA
c)
y
pRoBLEMAs DE RETRoALIMENTACIoN
y sIsrEMAs
DE coNTRoL
La integraci6n puede representarse en la forma del diagrama de bloque de la figura 2-26.
Figara 2-26 2.3.
Dibuje un diagrama de bloque para el mecanismo del espejo ajustable que aparece en la secci6n I .1 , con la salida que se identifica en el problema 1.1. Suponga que en cada rotaci6n de 360'del tornillo, el espejo sube o baja /c grados. Identifique en el diagrama todas las seflales y los componentes del sistema de control. Por conveniencia, en la figura 2-2'l se repite el diagrama esquem6tico del sistema.
rayo reflejado
I fuente de luz
@
Figura 2-27 Mientras que en el problema l.l la entrada se definia como d, las especificaciones en este problema implican una entrada igual al nfmero de rotaciones del tornillo. Sea n el ndmero de
rotacionesdeltomillo,talquen:0cuandod:0".Portanto,nygpuedenrelacionarse mediante un bloque descrito por la constante &, tal que 0
Figura
2-28
:
kn, como se muestra en la figura 2-28.
Figura 2-29
En ei problema l.l se determin6 d * a como salida del sistema. Pero, puesto que la fuente de luz est6 dirigida paralela a la superficie de referencia, entonces a : 0. En consecuencia, la salida es igual a20, y el espejo puede representarse en un bloque mediante una constante igual a 2, como se muestra en la figura 2-29. En la figura 2-30 se da completo el diagrama de bloque del sistema en malla abierta. Para este ejemplo simple, tambi€n podemos notar que la salida 20 es igual a2knrotaciones del tornillo. Esto produce el diagrama de bloques m6s simple que se muestra en la figura 2-31.
3l
TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL espei) oscilante
fngulo dirigido del rayo reflejado
Figura
Figura 2-30 2.4.
2-31
Dibuje un diagrama de bloque en malla abierta y otro en malla cerrada, para la red divisora
de voltaje del problema
l.l l.
Enel problemal.ll sedetermin6quelaecuaci6nenmallaabiertaesu2=(R2l(Rt+ R))ut,en donde u1 es la entrada y u2 es la salida. En consecuencia, el bloque se representa por R2l(R
1
+
R2)
(figura 2-32), y claramente la operaci6n es la multiplicaci6n. La ecuaci6n en malla cerrada es
,:(*),,-(t).,:(t),,' -
oz)
- v2. El diagrama de bloque en malla cerrada con retroalimentaci6n negativa construye fdcilmente con el fnico bloque representado por R2/R1,como se muestra en la figura 2-33. La sefral actuante es vt
r
se
Figva 2-32
2.5.
Figura 2-33
Dibuje un diagrama de bloque para el intemrptor el6ctrico del ejemplo L problemas 1.9 y l.l0).
I
(v6anse los
Tanto la entrada como la salida son variables binarias (de dos estados). El interruptor se representa por un bloque, y la fuente de potencia eldctrica que el intem"rptor controla no hace parte del sistema de control.
Un posible diagrama de bloques en malla abierta se presenta en la figura 2-34.
Figura
El
2-3
Por ejemplo, suponga que la fuente de potencia es una fuente de corriente el6ctrica. Entonces, ediagrama de bloques para el intemrptor podrfa tomar Ia forma de la figura 2-35, en donde (de nuevo) la fuente de corriente no hace parte del sistema de control, y la entrada en el bloque del intemtptor se muestra como una conexi6n mecilnica a un interruptor simple de "cuchilla", y la salida es una corriente diferente de cero s6lo cuando el intemrptor est6 cerrado (encendido). De otro modo es cero (apagado).
32
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
interruptor operado
mec6nicmente encendido
cornente conectada salida
aPagado
lcomente desconectada
Figura 2-35
2.6.
Dibuje los diagramas de bloque simples para los sistemas de confiol de los ejemplos 1.2 al 1.5. En cl problema l.l0 notamos que estos sistemas son en malla cerrada, y del problema 1.9 dcdujirnos que en cada ejemplo la scnal actuante (acci6n de control) para el sistema es igual a la entrada menos la salida. Por tanto, en cada sistema existe una retroalimentaci6n negativa.
t
Para el calentador controlado termostdticamente, del ejemplo 1.2, se puede escoger el termostato como el punto de suma, puesto que €ste es el dispositivo que determina si el calentador se cncicndc o no. La tcmpcratura dcl ambientc del rccinto (extcrior) puede.tratarse como una entrada dc ruido quc actfa. directamente en el recinto.
Los ojos puedcn representarse como el punto de suma tanto en el sistema humano de sefralamicnto, dcl cjemplo 1.3, como en el sistcma dcl conductor de autom6viles, del ejemplo 1.5. Los ojos realizan la funci6n de supervisar la entrada y la salida. Para el sistema de transpiraci6n del ejemplo | .4, el punto de suma no se define tan f6cilmente. En aras dc la simplicidad llamimoslo sistcma ncrvioso.
Los diagramas de bloquc sc construycn fdcilmente, como sc mucstra abajo, a partir de la informaci6n dada antcs y dc la lista dc componcntes, entradas y salidas dadas en los ejemplos. Las flechas cntrc los componentcs en los diagramas dc bloquc de los sistemas biol6gicos, que sc muestran cn los cjemplos 1.3 al 1.5, representan sefrales el6ctricas, quimicas o mec6nicas, controladas por el sistema nervioso central.
temperatura de rcferencia
(ajuste)
f Ejemplo 1.2
JJ
TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Ejemplo 1.3
tempemtura real de la piel
temperatua de la piel
I
o
I
temperatura del aire
I
Ejemplo 1.4
I
, I
Ejemplo 1.5
Diagramas de bloque de sistemas de control con retroalimentaci6n 2.7
.
Dbuje un diagrama de bloque para el sistema de la cisterna descrito en el problema I . 15. ;Qu€ componente o componentes conforman la planta, el controlador y la retroalimentaci6n? El recipiente es la planta porque el nivel del agua del recipiente se controla (v6ase la definici6n 2.1). Lav6.lvula tap6n puede escogerse como el elemento de control, y como elementos de retroalimentaci6n el flotador, la cuerda y las conexiones asociadas. En la figura 2-36 se presenta el diagrama de bloques. ,elemento de control
plmta
nivel rcal del agua
fa nivel de referencia del agua
(lleno)
1* Figura 2-36
34
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
La retroalimentaci6n es negativa porque la tasa de flujo del agua debe disminuir a medida que sube el nivel del agua en el recipiente.
2.8.
Dibuje un diagrama de bloque para el sistema de control con retroalimentaci6n de los ejemplos 1.7 y 1.8, el avi6n con piloto automdtico. La planta para este sistema es el avi6n, incluyendo sus mecanismos de control y los instrumentos de navegaci6n. El controlador es el mecanismo del piloto autom6tico, y el punto de suma es el
dispositivo de comparaci6n. La conexi6n de retroalimentaci6n puede representarse simplemente mediante una flecha desde la salida hasta el punto de suma, ya que esta conexi6n no est6 bien definida en el ejemplo 1.8. EI piloto autom6tico suministra las seiales de control para operar los mecanismos de control
(tim6n, alerones, etc.). Estas sefrales pueden designarse cofiro u1, tr2,... En la figura 2-37 se presenta el diagrama de bloque mi4s simple para este sistema con retroalimentaci6n.
Figura 2-37
Servomecanismos
2.9
Dibuje un diagrama esquem6tico y un diagrama de bloque a partir de la siguiente descripci6n de un servomccanismo de posici6n cuyafunci6n es abrir y cerrar una v6lvula de agua. En la entrada del sistema hay un potenci6metro de tipo rotatorio conectado a trav6s de una bateria como fuente de voltaje. Su terminal m6vil (el tercero) est6 calibrado en tdrminos de la posici6n angular (en radianes). Este terminal de salida est6 conectado el6ctricaa un terminal de un amplificador de voltaje llamado sery oamplificador. Este fltimo suministra suficiente potencia de salida para operar un motor el6ctrico llamado servomotor, el cual est6 conectado en forma mecdnica con la v6lvula de agua de manera que permite que esta riltima sea abierta o cerrada por el motor.
mente
Suponga que el efecto de carga de la v6lvula sobre el motor es despreciable; esto es, no le hace "resistencia" al motor. Una rotaci6n de 360'del eje del motor abre completamente
la v6lvula. Adem6s, el terminal m6vil de un segundo potenci6metro conectado en paralelo a los terminales fijos del potenci6metro de entrada se encuentra conectado de manera mec6nica
35
TERMINOLOCIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
al eje del motor. Este se encuentra conectado el6ctricamente al terminal de entrada restante del servoamplificador. Las relaciones del potenci6metro se ajustan de tal modo que sean
iguales cuando la v6lvula est6 cerrada. Cuando se da la orden de abrir la v6lvula, el servomotor gira en la direcci6n apropiada. se abre, el segundo potenci6metro, llamado potenci6metro de retroalimentaci6n, gira en la misma direcci6n que el potenci6metro de entrada. Este se detiene cuando las relaciones de los potenci6metros son iguales de nuevo.
A medida que la vdlvula
Con la descripci6n precedente puede trazarse fiicilmente el diagrama esquemiltico (figura 238). Las conexiones meci4nicas se muestran con lfneas no contlnuas. i
v6lvula
i
I
bateria fuente de
voltaje
I
[; +rt
W--,".i*
W
de entrada potenci6metre de retroalimentaci6n
Figura 2-38
El diagrama de bloque para este sistema (figura 2-39) puede dibujarse f6cilmente a partir de este diagrama esquem6tico.
t Figura 2-39
36
TEORIA
2'10.
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Dibuje un diagrama de bloque para el sistema elemental de control de velocidad (servomecanismo de velocidad) que se da en la figura 2_40.
u , radianes/seg
baterfa fuente de
voltaje
@ 1c J---t
+ -
radianes/seg
bobinado f000!U0q (o arrollamiento) de | campo del
|
.r- !.lflql baieria
I tac6metro
Figura 2-40
El potenci6metro es de tipo rotatorio, calibrado en radianes por segundo, y las corrientes del alranque, del bobinado de campo del motor y del potenci6metro de entrada son funciones constantes de tiempo. Ninguna carga se encuentra acoplada al eje del motor.
Figura 2-41 Labateria, fuente de voltaje para el potenci6metro de entrada y para el bobinado de campo del motor, y la fuente de arranque para el generador, no hacen partb de la malla de control de este servomecanismo. La salida de cada una de estas fuentes es una funci6n constante de tiempo, y pueden tenerse en cuenta en la descripcidn matemdtica del potenci6metro de entrada, del generador y del motor, respectivamente. En consecuencia el diagrama de bloques para este sistema es el dado en la fieura 2-41.
T
37
TERMINOLOCIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Problemas miscel6neos
2.11.
Dibuje un diagrama de bloque para el sistema intemrptor de luz con fotocelda, descrito en el problema I . 16. La intensidad de luz en la habitaci6n debe mantenerse en un nivel mayor
que o igual a un nivel especificado. Un modo de describir este sistema es con dos entradas, la primera se escoge como la intensidad luminosa minima de referencia en la habitaci6n r; , y la segunda como la intensidad de la luz solar en la habitaci6n 12. La salida c es la intensidad luminosa real en la habitaci6n. La habitaci6n es la planta. La variable manipulada (seial de control) es la cantidad de luz suministrada a Ia habitaci6n por la li4mpara y por el sol. La fotocelda y la l6mpara son los elementos de control porque ellos controlan la intensidad luminosa en la habitaci6n. Suponga que la intensidad luminosa minima de referencia en la habitaci6n rr es igual a la intensidad de la luz en la habitaci6n suministrada solamente por la l6mpara. La figura 2-42 presenta un diagrama de bloque para este sistema.
I
Figwa
Claramente el sistema es en malla abierta. La sefral actuante e es independiente de la salida c, y aladiferenciaentrelasdosentradas: r1 * rz.Cuandoe = 0,1:0(laluzse apaga). Cuando
es igual
e
)
2-42
O,
2.12. Dibuje
I : rr (a luz se enciende).
un diagrama de bloque para el sistema en malla cerrada de sefrales de trdfico
descrito en el problema 1.13.
* I I
Figura 2-43
38
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETRoALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CoNTRoL
Este sistema tiene dos salidas, el volumen de triifico que pasa en la intersecci6n en una direcci6n (la direcci6n A), y el volumen que pasa en la intersecci6n en la otra direcci6n fla direcci6n B). La entrada es la orden de iguales volfmenes de tr6fico en las direcciones A y B: es decir. la entrada
es la diferencia de volumen cero.
Suponga que al mecanismo para calcular los intervalos de tiempo adecuados de luces roja y verde lo llamamos computador para el intervalo de tiempo rojo-verde. Este dispositivo, ademr{s dL la senal de triifico, conforma los elementos de control. Las plantas son las vfas en las direcciones A
y B. El
2'13'
diagrama de bloques de este regulador de triifico se presenta en
la figura 2-43.
Dibuje un diagrama de bloque ilustrando la ley de la oferta y la demanda, como bi6 en el problema 1.12.
se
descri-
El diagrama de bloque se da en la fisura 2_44.
fluctuaci6n de precios del mercado cero
Figura 2-44
2.14. El siguiente modelo,
muy simplificado, del mecanismo biol6gico que regula la presi6n arterial sanguinea humana es un ejemplo de sistema de control con retroalimentaci6n.
Debe mantenerse una presi6n bien regulada en los vasos sanguineos (arterias, arteriolas y capilares) que irrigan los tejidos, de modo que se mantenga el flujo sangufneo en forma adecuada. A menudo, esta presi6n se mide en la aorta (una arteria) y se llama presidn sanguinea p. Esta no es constante, y normalmente est6 en un rango de 70- | 30 mm de mercurio (mm Hg) en los adultos. Supongamos quep es igual a l0o mm Hg (en prome-
dio) en un individuo normal. La siguiente ecuaci6n para la presi6n arterial es un modelo fundamental para la fisiolo-
gia circulatoria:
p:Qp p es la salida cardfuca, olatasa volum6trica de flujo de sangre del coraz6n a la aorta, yp es la resistencia perifirica ofrecida por las arteriolas al flujo sangufneo. Bajo condiciones normales, p es inversamente proporcional a la cuarta potencia del di6metro d de los vasos (arteriolas). en la cual
a
39
TERMINOLOCIA DE LOS SISTEMAS DE CONTR.OL
Ahora, se cree que d estii controlado por el centro vasomotor (CVM) del cerebro; al aumentar la actividad del CVM disminuye d y viceversa. Aunque hay varios factores que afectan la actividad de CVM, se cree que las cdlulas barorreceptoras del seno arterial son las mds importantes. La actividad barorreceptora inhibe el CVM, y por tanto funcion3 a modo de retroalimentaci6n negativa. De acuerdo con esta teorta, si p aumenta, los barorreceptores envian seflales a lo largo de los nervios vago y glosofaringeos al CVM, disminuyendo su actividad. De esto resulta un aumento en el didmetro d dela arteriola, una disminuci6n en la resistencia perif6rica p y (suponiendo constante la salida cxdiaca Q) una correspondiente disminuci6n en la presi6n sanguinea p. Esta red retroalimentada, probablemente regula, al menos en parte, la presi6n sangu(nea en la aorta.
Dibuje un diagrama de bloque para este sistema de control con retroalimentaci6n, identificando todas las sefrales y componentes. (la salida cardfaca); el CVM y las arteriolas pueden escogerse como el controlador; los barorreceptores son los elementos de retroalimentaci6n. La entrada ps es la presi6n sanguinea normal promedio (de referencia), 100 mm Hg' La salida p es la Sea la aorta la planta, representada por Q
presi6n real de la sangre. Puesto que p
:
k(Vil4,
en donde k es una constante de proporcionalidad' bloque se da en la figura 245
las arteriolas se pueden representar en el bloque por ft( ')a . El diagrama de elementos de
Po+
control
.
planta
r/d
presi6n sanguinea promedio de referencia 100 mm Hg
elementos sensores de retroalimentaci6n
Figura 2-45 gl6ndula endocrina (de secreci6n interna) localizada en el cuello humano, segrega tiroxina al torrente sanguineo, el cual es el sistema transmisor de sefiales para la
2.15. Latiroides,una
mayor parte de las gldndulas endocrinas, al igual que los alambres conductores son el sistema de transmisi6n para el flujo de la corriente el6ctrica, o los tubos y ductos pueden ser el sistema de transmisi6n para el flujo de un fluido hidrodin6mico. Como la mayor parte de los procesos fisiol6gicos humanos, la producci6n de tiroxina en la glindula tiroides se controla autom6ticamente. La cantidad de tiroxina en el torrente sangufneo est6 regulada, en parte, por una hormona secretada por la pituitaria anterior, una gldndula endocrina suspendida en la base del cerebro. Esta hormona de "control" se llamahormona estimulante de la tiroides (HET). En una vista simplificada de este sistema de control, cuando la cantidad de tiroxina en el sistema circulatorio es mayor que la requerida por el organismo, se inhibe (reduce) la secreci6n de HET, causando una reducci6n en la actividad de la tiroides. En consecuencia, esta gl6ndula libera menos tiroxina.
40
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Dibuje un diagrama de bloque del sistema simplificado descrito, identificando todos
los componentes
y
sefrales.
Sea la tiroides la planta, y la cantidad de tiroxina en la sangre la variable conaolada. La pituitaria es el controlador, y la variable manipulada es la cantidad de HET que segrega. El diagrama de bloque se da en la figura 2-46.
Figuna 2-46
Enfatizamos que 6sta es una forma muy simplificada de este sistema de control biol6gico, como
lo fue el del problema anterior.
{
2.16. ;Qu6 tipo de controlador
se incluye en el sistema, m6s real, de calefacci6n controlado termostdticamente, descrito en el ejemplo l.14?
El controlador del calentador con termostato tiene una salida binaria: encendido o apagado. En consecuencia, es un controlador de encendido-apagado (on-ofi). Pero este fltimo no es tan simple como el sensor de signo del ejemplo 2.13. El interruptor del termostato enciende el calentador cuando la temperatura de la habitaci6n desciende l" por debajo del punto de referencia, 22"C, y lo apaga cuando se eleva lo por encinra de ese punto de referencia. Grdficamente, la curva caracteristica de tal controlador tiene la forma dada en
Figtra
lafigura}A?.
2-47
Esta se llama curva caracteristica de hist6resis, porque su salida tiene "mernoria"; es decir, los puntos de conmutaci6n dependen de si. la entrada e estii aumentando o disminuyendo cuando el controlador conmuta los estados de encendido a apagado o de apagado a encendido.
G
TERMINOLOCIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
2.17.
41
Haga un bosquejo de las sefrales de error, de control y de salida controlada en funci6n del tiernpo, y analice c6mo el controlador de encendido-apagado (on-off), del problema 2.16, mantiene la temperatura promedio de la habitaci6n especificada por el punto predetermi-
nado (22"C) del termostato. Las sefrales tipicas de e(t), u(t) y c(t) tienen la forma que se muestra en la figura 2-48, suponien-
do que la temperatura es inferior a 22oC al comienzo.
Figura 2-48
La temperatura de la habitaci6n c(t) varia de manera constante y en cada intervalo de conmutaci6n del controlador se eleva a una tasa aproximadamente constante, de 2l"C a23"C, o disminuye a una tasa de23"C a2l"C. La temperatura promedio de la habitaci6n es el valor medio de esta funci6n c(r), el cual es cercano a 22"C.
2.18. ;Cu6l
es la ventaja
principal de un sistema controlado por computador, en relaci6n con un
sistema anal6gico? EI controlador (la ley de control) en un sistema controlado por computador se realiza normalmente por programas de apticaci6n (software) en lugar de dispositivos adicionales (hardware). En consecuencia, las clases de leyes de control que se pueden desarrollar convenientemente, se incrementan de manera sustancial.
42
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIIVTENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Problemas suplementarios 2.19.
En la figura 2-49 se da el diagrama esquem6tico de un amplificador de voltaje semiconductor llamado seguidor de emisor. En la figura 2-50 se muestra un circuito equivalente de este amplificador, en donde ro es la resistencia interna y l, es un par6metro del semiconductor en particular. Dibuje los diagramas de bloques en malla abierta y en malla cerrada para este circuito con una entrado
?entnda
y una salida u
.o1;6o.
Tp
B+ bateria
f
fuente de pod€r
PacK
2"A
Figura 2-49
= ?"n,.o4u irsalida
Figura 2-50
2.20.
Dibuje un diagrama de bloque para el sistema de caminar humano del problema 1.14.
2.21,
Dibuje un diagrama de bloQue para el sistema humano de aproximaci6n, descrito en el problema I .4.
2.22.
Dibuje un diagrama de bloque para el homo automiitico de temperatura regulada, del problema l .21
2.23.
Dibuje un diagrama de bloque para la tostadora automdtica en malla cerrada del problema 1.17.
2.24.
Establezca las unidades dirirensionales comunes para la entrada y la salida en los siguientes transductores: a) aceler6metro, b) generador de electricidad, c) termistor (resistencia sensitiva a la temperatura), d) termopar.
2,25. icurilcs 2.26-
de los sistcmas 2. I al 2.8 y del
.
2.ll al 2.21 son servomecanismos?
La gliindula endocrina gonocida como cortezo atlrenal se localiza encima de cada rin6n (en dos partes). Ella segrega varias hormonas, una de las cuales es la cortisona, la cual juega un papel importantc en la regulaci6n dcl metabolismo de los carbohidratos, las protefnas'y las grasas, especialmcnte cn momcntos dc tensi6n. La producci6n de cortisona estii controlada por la hormona adrenocorticotnipica (HACT) de la gh{ndula pituitaria anterior. Cantidades altas de cortisona en Ia sangre inhiben la producci6n de HACT. Dibuje un diagrama de bloque de este sistema de control
con retroalimentaci6n simplificado.
2.27.
Dibuje un diagrama de bloquc para cada uno de los siguientes elementos, primero con un voltaje u de enfada y una corriente i de salida, y luego a la inversa: c) resistor R, b) capacitor C, y c) inductor
2.28.
L.
Dibuje un diagrama de bloque para cada uno de los siguientes sistemas meci{nicos, en donde la fuerza es la entrada, y la posici6n es ta salida: a) un amortiguador, b) un resorte, c) una masa, y d) una masa, un resorte y un amortiguador conectados en serie y asegurados en un extremo (ta posici6n de la masa es la salida).
T
43
TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE COT{TROL
2.2g.
Dibuje un diagrama de bloque para una red R-L-C, a) en paralelo y b) en serie.
2.30.
1,Cu6les de
2.31.
en este capftulo, podria utilizarse para i,Qu6 tipo de sistema de datos muestreados, de los descritos
2.32.
Dibuje un diagrama de bloque simple de un sistema controlado por computador, en el cual se utilice un computador digital para controlar una planta o un proceso anal6gico, con el punto de suma y la entrada de referencia implementadas en los programas de aplicaci6n del computador.
2.33.
descrito en el problema iQu6 tipo de controlador es la vdlvula de tap6n del sistema de la cistema,
los sistemas descritos en los problemas de este capftulo son reguladores?
implementar un dispositivo o algoritmo para aproximar la integral de una funci6n continua u(t), utilizando la bien conocida regla rectangular o t6cnica de integraci6n rectangular?
l
2.7?
2.34.
;Qu6 tipos de controladores problemas 2.9
y 2.10, y
incluidos en: a) cada uno de los servomecanismos de los regulador de tr6fico del problema 2'12?
se encuentran
b;)
el
Respuestas a los problemas suplementarios 2.1g.
El circuito equivalente para el seguidor de emisor tiene la misma forma que la red divisora de voltaje del problema 1.l l. En consecuencia, la ecuaci6n en malla abierta para la salida es
4"ria?
y el
pR* trRx D*n,.d, I - 4urao) : olfi( TFCTDR;
\ uenr.aaa J
diagrama de bloque en malla abierta se muestra en la figura 2-51.
Figura 2-51 La ecuaci6n de salida en malla cerrada es simplemente
4"[F
PRx
ffi(
/
uent.oou- u.otia,
)
TEORIA
. y ef
Y
PROBLEMAS DE RETROAL.IMENTACION
diagrama de bloque en malla cqrrada se muestra en
Y
la figura
SISTEMAS DE CONTROL
2_52.
Figura 2-52
l
2.20.
I
elemento de control
2.2r. elemento de control
', J)
elementos de
conrol---.',
temperatura de
referencia del homo
temperatura del horno
45
TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
b Cuando e
> 0 (r >
b), el interruptor enciende el calcntador. Cuando e
< 0, el calentador se apaga.
2.23.
de control
_--.,
l-elementos
I
2.24.
2.25.
a)
La entrada en un aceler6metro es la aceleraci6n. La salida es el desplazamiento de una masa, un voltaje u otra cantidad proporcional a la aceleraci6n.
b)
Vdase el problema 1.2.
c)
La entrada en un termistor es la temperatura. La salida es una cantidad eldctrica medida en ohmios, voltios o amperios.
A
La entrada en un termopar es una diferencia de temperatura. La salida es un voltaje.
Los siguientes problemas describen servomecanismos: los ejemplos I .3 y L-5 en el problema2.6, y los problemas 2.7, 2.8, 2.17 y 2.21 .
2.26.
nivel
de
cortisol en
la sagre
2.30.
Los sistemas de los ejemplos I .2 y I .4 en el problema2.6, y los sistemas 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.22, 2.23 y 2.26 son reguladores
2.31.
El dispositivo de muestreo y sostenimiento de orden cero, del ejemplo 2.9, ejecuta parte del proceso necesario para la integraci6n rectangular. Para este sencillfsimo algoritmo de integraci6n num6rica, el "iirea bajo la curva" (esto es, la integral) se aproxima por los pequefros rect6ngulos de altura z(r1) y ancho t*+r -tt,. Este resultado podria obtenerse multiplicando la salida del dispositivo de sostenimiento u*(r) por el ancho del intervalo t*+ r - t*, cuando a*(r) estd en el intervalo entre t* y t1,a1. La suma de estos productos es el resultado deseado.
de los problemas 2.7
,2.8,
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
2.32.
2.33.
Si Ia vdlvula tap6n es sencilla, del tipo de las que s6lo pueden estar o totalmente cerradas o totalmente abiertas , es un controktdor de encendido-apagado (on-oJfl. Pero si es del tipo de las que se cicrran gradualmente a medida que el tanque se llena, es un controlador proporcional.
t
Capftulo 3 i
I
Ecuaciones diferenciales, ecuaciones de diferencia y sistemas lineales 3.1
Ecuaciones de un sistema
Una propiedad comrin a todas las leyes b6sicas de la fisica es que ciertas cantidades fundamentales pueden definirse mediante valores num6ricos. Las leyes f(sicas definen relaciones entre estas
cantidades fundamentales
y
usualmente se representan por ecuaciones.
EJEMPLO 3.1. La versi6n escalar de la segunda ley de Newton establece que, si una fuerza de magnitud/ se aplica a una masa de M unidades, la aceleraci6n a de la masa est6 relacionada con/por la ecuaci6nf : yo. EJEMPLO 3.2. La ley de Ohm establece que si se aplica un voltaje de magnitud u a travds de una resistencia de R unidades, la corriente I que fluye por la resistencia est6 relacionada con u por la ecuaci6n u : Ri.
i
Muchas leyes que no son fisicas tambidn pueden representarse por ecuaciones.
I I
I
EJEMPLO 3.3. La ley del interes compuesto establece que si se deposita una cantidad P(0) durante n periodos iguales de tiempo a una tasa de inter6s
de P(n)
3.2 I
I
:
P(0)
(l +
1
par? cada periodo de tiempo, la cantidad crecer6 a un valor
O'.
Ecuaciones diferenciales y ecuaciones de diferencia
Las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones de diferencia son de amplia aplicaci6n en la descripci6n de sistemas.
Definici6n 3,12
Una ecuaci6n diferencial es cualquier igualdad algebraica o trascendental que involucra diferenciales o derivadas.
Las ecuaciones diferenciales son ritiles para relacionar razones de cambio de variables y de
otros pardmetros. I
EJEMPLO 3.4. De otra manera, la segunda ley de Newton (ejemplo 3.1) puede escribirse como una relaci6n entre lafuerzaf ,la masa M y la raz6n de cambio de la velocidad u de la masa con respecto al tiempo ,, esto es, f : M(duldt). EJEMPLO 3.5. De otro modo la ley de Ohm (ejemplo 3.2) puede escribirse como la relaci6n entre el voltaje u, la resistencia R, y la raz6n temporal de paso de carga 4
[* I
resistencia, esto es, u
:
R(dqldt).
EJEMPLO 3.6. La ecuaci6n de difusi6n en una dimensi6n describe la relaci6n entre la raz6n de cambio temporal de la cantidad 7 en un objeto (por ejemplo, concentraci6n de calor en una barra de hierro) y la 47
I
a trav6s de la
48
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
:
ruz6n de cambio posicional de T: dTldx k(dTldt), en donde y I es el tiempo.
t
Y
SISTEMAS DE CONTROL
es una constante de proporcionalidad, .r
es una variable de posici6n
Detinici6n
3.2:
Una ecuaci6n de diferencia es una igualdad algebraica o trascendental que involucra m6s de un valor de la(s) variable(s) dependiente(s) correspondiente, por lo menos, a miis de un valor de una de la(s) variable(s) independiente(s). Las variables dependientes no involucran diferenciales ni derivadas. I
Las ecuaciones de diferencia son ritiles para relacionar la evoluci6n de las variables (o de los
pariimetros) de un instante discreto de tiempo (u otra variable independiente) a otro.
EJEMPLO 3.7. De otro modo, la ley de inter€s compuesto, del ejemplo 3.3, puede escribirse como la relaci6nentreP(&),lacantidaddedinerodespudsdeftperiodosdetiempo, yp(k+ l),lacantidadoedinero despu6s de
t + l periodos de tiempo, en una eclaci6n de diferenciu, rrio
3.3 Ecuaciones diferenciales
".,
p(ft
+ l) : (l + Dp(t).
parciales y ordinarias
Definicidn 3.3:
Una ecuaci6n diferencial parcial es una igualdad que involucra una o m6s variables dependientes y dos o m6s variables independientes, junto con las derivadas parciales de la(s) variable(s) dependiente(s) con respecto a las variables independientes.
Definicidn 3.4:
Una ecuaci6n diferencial ordinaria (total) es una igualdad que involucra una o m6s variables dependientes, una variable independiente y una o mds derivadas de la(s) variable(s) dependiente(s) con respecto a la variable independiente.
E TEMPLO
3.8. t,a ecuaci6n
de difusi6n
dTllx
:
KAndD es una ecuaci6n diferencial parcial Z
=
T(x, t)
es la variable dependiente que representa la concentraci6n de alguna cantidad en alguna posici6n y en algrin
momento en el objeto. La variable independiente -r define la posici6n en el objeto, y la variable independiente r define el tiempo.
:
EJEMPLO 3.9. [a segunda ley de Newton (ejemplo 3.4) La velocidad u = u(t y lafuenaf diente.
:
flt)
es una ecuaci6n diferencial ordin uia:f M(dutdt). son las variables dependientes, y el tiempo r es la variable indepen-
EJEMPLO 3.10. La ley de Ohm (ejempto 3.5) es una ecuaci6n diferencial ordinaria: u : R(dqldt). La catgaq: q(t)y el voltajeu : u(t) son las variables dependientes, yel tiempores la variable independiente. EJEMPLO 3.11. Una ecuaci6n diferencial de la forma:
q# *',-,#
+ ..-
+at* + aoy: u(t)
ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA
o de
Y
49
SISTEMAS LINEALES
manera mAs comPacta,
g
Ef,-f :"(t) i
d'v(t)
en donde ao, at,..., d, son constantes, es una ecuaci6n diferencial ordinaria. y(t\ dependientes, y r es la variable independiente.
(3'1) y u(t)
son variables
l
3.4
Variabilidad e invarianza en el tiempo
I
En lo que resta de este cap(tulo, la fnica variable independiente es el tiempo, a no ser que se especifique otra cosa. Esta variable normalmente se designa como /, excepto en las ecuaciones de diferencia en donde a menudo se usa la variable discreta ft como abreviatura para el instante de tiempo t1, (vdase el ejemplo I .l I y la secci6n 2.5); esto es, se utiliza y(ft) en lugar de y(tp), etc. lJn tdrmino de una ecuaci6n diferencial o de una ecuaci6n de difereneia consiste de productos y/o cocientes de funciones explfcitas de la variable independiente, las variables dependientes y, para las ecuaciones diferenciales, las derivadas de las variables dependientes. En las definiciones de esta secci6n y de la siguiente, el t6rmino ec'uaci1n se refiere a una
t
ecuaci6n diferencial
Definici6n 3.52
o a una ecuaci6n de diferencia. Una ecuaci6n variable en el tiempo es aquella en la cual uno o miis t6rmi-
nos dependen explicitamente de la variable independiente tiempo. t
Definici6n
3.62
Una ecuaci6n invariable en el tiempo es aquella en la cual ninguno de los
t6rminos depende explicitamente de la variable independiente tiempo. EJEMPLO 3.12. La ecuaci6n de diferencia ky(k + 2) + y(k) dependientes, es variable en el tiempo porque el t6rmino ky(ft
que representa el tiempo
*
:
u(k), en la cual a e y son las variables 2) depende explicitamente del coeficiente k
t1.
EJEMPLO 3.13. Cualquier ecuaci6n diferencia de la forma: I I
t,',#:P"'# I I
en donde los coeficientes a6, a1,..., an, bs, bb1,..., b- son constantes, es invariable en el tiempo. La ecuaci6n depende implicitamente de t a travds de las variables dependientes u e !, ! de sus derivadas.
3.5
l. I
(3.2)
Ecuaciones diferenciales
y de diferencia lineales y no lineales
Delinicidn 3.7:
Un t6rmino lineal es aquel de prinrer grado en la(s) variable(s) dependiente(s) y en sus derivadas.
Definicidn 3.8:
Una ecuaci6n lineal es aquella que consiste en una suma de t6rminos linea-
les. Todas las demds son ecuaciones no lineales.
TEORIA'Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
50
Si algfn t6rmino de una ecuaci6n diferencial contiene potencias superiores, productos o funciones trascendentales de las variables dependientes, esta ecuaci6n es no lineal . Entre tales t6rminos se encuentran(dyldt)3 , u(lyldt)y sen rr, respectivamente. Por ejemplo (5/cos r) (&y/dP), esun t6rmino de primer grado en la variable dependiente y , y 2uy3{dyldt) es un t6rmino de quinto grado
en las variables a e y. EJEMPLO3.14. Lasecuacionesdiferencialesordinarias (dyldt)2
+y:0
y
&yldP
* cosy:0sonno
lineales porque en la primera ecuacion (dyldt)2 es de segundo grado, y cos y en la segunda ecuaci6n no es de primer grado, lo cual es cierto para todas las funciones trascendentales.
l)+y(ft):u(k),enlacualley
EJEMPLO3.15. Laecuaci6ndediferenciay(k+2)+u(k+1)y(k+
y(k * I ) es de segundo grado en u e y. Algunas veces, este tipo de ecuaci6n no lineal se llama bilineal en u e y. son las variables dependientes, es no lineal porque u(k
+
1)
EJEMPLO 3.16. Cualquier ecuaci6n de diferencia
i
,-0
o,1oy r1o+ r)
:i
b,(k)u(k + i)
(
3.3)
en la quc los cocficientes alk) y b;(/<) dependen solamcnte de la variable independiente ft, es lineal. EJEMPLO 3.17 Cualquier ecuaci6n diferencial ordinaria
d'y
3
!oo,(t) d,, en donde los coeficientes r.r(t) y
3.6 El operador
b(l)
diferencial D
:
m
d'u
(i.4)
\b,() d,
dependen finicamente de la variable independiente
y la
r, es lineal.
ecuaci6n caracterfstica
Considere la ecuaci6n diferencial lineal de r?-simo orden con coeficientes constantes
dny dn-ry dt*an-r7i=T*"'
* ot
dy
,tt
t asY:
u
Es conveniente definir el operador diferencial d
D=-= dt
y de manera
m6s general un operador diferencial de n-simo orden
o': *dn
(3.5)
ECUACIONES DIFERENCIALES. ECUACIONES DE DIFERENCIA
Y
SISTEMAS LINEALES
I
La ecuaci6n diferencial puede escribirse ahora como
t an-rD"-\ * "' *arDy * aoy : u (o' * an-tD'-r *'. - *arD + ao) y :u
D"y I
Definici6n
3.92 El polinomio en D: * an-rD'-l +' " *arD I
Dn
ao
(3.6)
se llama polinomio caracterfstico.
Definicifln
3.102 La ecuaci6n
D'I a,-rD'-r + "' *arD l ao:O
(J'7)
se llama ecuaci6n caracteristica.
r
El teorema fundamental del 6lgebra establece que la ecuaci6n caracteristica tiene exactamente n soluciones
D
:
D
r,
D
:
.D2,.
..
,
D
:
D n. Estas
nsoluciones (tambi6n llamadas raices) no necesaria-
mente son diferentes. EJEMPLO 3.18. Considere la ecuaci6n diferencial
d2v dv a,'*3A+2Y:Y El polinomio caracterfstico es Dz + 3D + 2. La ecuaci6n caractenstica es D2 la cual tiene dos raices distintas D : *l y D : -2.
3.7
Independencia lineal
Definici6n
3.11:
O,
y conjuntos fundamentales
Un conjunto de n funciones de tiempo frQ), fzf),..., f"(t) es linealmente independiente, si el rinico conjunto de constantes c t, c2,..., cnpata las cuales
+
"r/r(r) EJEMPLO 3.19. Las funciones r y
crfr(t) * "' *cofn(t) :0
/,
para cualquier
I
son las constantes
: -t.
ct :
cz
son linealmente independientes, puesto que
cl * implica eue c1lc2
+ 3D + 2 :
c2t2
-
l(c1
+ crt) -g
No hny constantes que satisfagan esta relaci6n.
52
I
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Una ecuaci6n diferencial lineal homogdnea de n-simo orden de la forma: C'Y tl' a,-;:o L -dt' i-o
tiene por
lo
Definici6n
menos un conjunto de
3.122
n soluciones linealmente independientes.
En una ecuaci6n diferencial lineal homog6nea de n-simo orden, cualquier conjunto de n soluciones linealmente independientes se llama conjunto fun-
damental. No hay un conjunto fundamental fnico. Por medio de la siguiente t6cnica, pueden generarse otros conjuntos fundamentales a partir de un conjunto fundamental dado. Suponga que y1(r), yzt),..., y"(t) es un conjunto fundamental de una ecuaci6n dif'erencial lineal de n-simo orden. Entonces, se puede formar un conjunto de n funciones z/t), z2e),..., z,(t) I
zr(t): L a,y,(t)" tr(t): E a,y,(t),..., t,(t): E a^,y,(t) j:l t:1 en donde las a;; son un
conjunto de
n2
(3.s)
constantes. Cada z;(r) es una soluci6n de la ecuaci6n diferen-
cial. Este conjunto de n soluciones es un conjunto fundamental, si el determinante
lott arz
lon 1",'^''
azz
;:,'
aul
ar,l+
0
o,^l
EJEMPLO 3.20. La ecuaci6n del movimiento arm6nico simple, &ytdP +
,ry :
0, tiene un conjunto
fundamental
!1 :
sgn tDt
)2 =
COS
arl
Un segundo conjunto fundamental es* zl :
COS
(l,t
I j senot: st'I
Raices diferentes
ens
of -
jss11s's1
- g-tat
n
Si la ecuaci6n caracteristica tiene las rafces D1 , D2,.-.,
22:
D, diferentes,
I
j:0
a,Di:o l
entonces, un conjunto fundamental para la ecuaci6n
homog6nea
; Laffi6n;xpoffffii-complejae", en donde w: u * jvcon il y yreales yj : tf- t,sedefineen lareorfade variables complejas como e' = e"(cos v f j sen v). Por tanto "* i6t = 66s at ! j sea at.
I
las
I i
I
ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA
I
Y
SISTEMAS LINEALES
n
53
div
Lo,*:o t-0 u'
I
es el conjunto de funciones
/r :e\t, !2:eD't,..., Ln:eDo'.
EJEMPLO 3.21. La ecuaci6n diferencial
dzv dv --4 +3j +2y:n tlt
tienelaecuaci6ncaracteristica D2 + 3D * 2:OcuyasraicessonD fundamental para esta ecuaci6n es.lr s-2r.
: e-'y yz:
: Dt: -ly
D
=
Dz: -Z.Unconjunto
Raices repetidas Si la ecuaci6n caracter(stica tiene raices repetidas, entonces parccadaraiz D; de multiplicidad
n; (es decir, n; rafces iguales a D;), hay n; elementos del conjunto fundamental sD,t,\sD,t,
...,tn,-lgD,t. EJEMPLO
3.22.
La ecuaci6n
d'y
dy
+2--- +Y:0 --" dt' dt conecuaci6ncaracteristicaD2+2D+ consiste de
3.8
e-t y te-t.
l:0,tienelaraizreptidaD: -l,yunconjuntofundamentalque
Soluci6n de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con coeficientes constantes
Considere la clase de ecuaciones diferenciales de la forma:
t,",#:t,u,#
(3.e)
en donde los coeficientes a; y b; son constantes, ,, : u(t) (Ia entrada) es unafunci6n de tiempo conociday y : y(t) (la salida) es la soluci6n desconocida de la ecuaci6n. Si esta ecuaci6n describe un sistema f(sico, generalmente m 3 n, y n se llama el orden de la ecuaci6n diferencial. Para especificar de manera completa el problema de tal modo que pueda obtenerse una soluci6n finica y(r), deben darse dos especificaciones adicionales: l) el intervalo de tiempo en el cual se desea la soluci6n, y 2) un conjunto de n condiciones iniciales paray(t) y sus primeras n - 1 derivadas. El intervalo de tiempo para la clase de problemas considerados se define por 0 < t 4 1 oo y lo usaremos en lo que resta del libro, a menos que se especifique otra cosa. El conjunto de condicio-
nes iniciales es
54
TEORIA
Y
dv
v(o).
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
I
d"-rv
Al,:0,...,
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
I
*;1*,
(3.r0) l
Un problema definido en este intervalo y con estas condiciones iniciales se denomina problema
I
del valor inicial. La soluci6n de una ecuaci6n diferencial de esta clase puede dividirse en dos partes, vnarespuesta libre y \ia respuestaforzada. La suma de las dos constituye larespuesta total, o soluci6n y(t) de. la ecuaci6n.
I
3.9 La respuesta libre La respuesta libre de una ecuaci6n diferencial es la soluci6n de 6sta cuando la entrada u(t) es
id6ntica a cero.
Si la entrada a(r) es id6ntica a cero, entonces la ecuaci6n diferencial tiene la forma:
n
div
Lo,-;:O i:o at'
(3.11)
La soluci6n y(t) de una ecuaci6n tal, depende fnicamente de las n condiciones iniciales de la ecuaci6n (3. l0). EJEMPLO3.23. Lasoluci6ndelaecuaci6ndiferencial homog6neadeprimerordendyldt+y:0conla
es y(r) : ce-' . Esta puede verificarse por sustituci6n dire cta. ce- t eslarespuesta libre de cualquier ecuaci6n.diferencial de la forma dyldt + y : u con la condici6n inicial y(0) : 6.
condici6n y(0) = c,
La respuesta libre de una ecuaci6n diferencial siempre puede escribirse como una combinaci6n lineaf de los elementos de un conjunto fundamental. Esto es, si y1(r), yze),..., y,(t) es un
conjunto fundamental, entonces cualquier respuesta libre y.(l) de la ecuaci6n diferencial puede representarse como
y"(t): L t,y,(t) j-1 en donde las constante.i c;
Se definen
y(o),
(3.r2)
en tdrminos de las condiciones iniciales dv
I
d"-Lvl
A l,:0,..., iF_|,_,
a partir del conjunto de n ecuaciones algebraicas
-1 dY'l d"-tYl 3 o2l /(o):ir,r,(q,!l Er "" '' nl,-o: !r'' al,:o""'Zrt l,:,:,|,'' or*'l,:o
I I
(3.13)
ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACTONES DE DIFERENCIA
La independencia lineal de estas ecuaciones.
y(r)
Y
55
SISTEMAS LINEALES
garantiza que para c t, c2, . . . , c, puede obtenerse una soluci6n de
i I
EJEMPLO 3.24.. La respuesta libre yJt) de la ecuaci6n diferencial
I
d2v
I
dv
+3: *2v:u -1 dt" dt
I
I
con las condiciones iniciales v(0)
:
O, (dy/dt)1, -- o
= l.
se determina haciendo
Y'(t):cre-'+cre-z' ] c2 Son coeficientes desconocidos, y e-t y e-2t son un conjunto fundamental para la ecuaci6n (ejemplo 3.21). Puesto que y,(r) debe satisfacer las condiciones iniciales, es decir.
en donde cy
r,(o) :r(o) entonces
cr : I y cz : -
:o:
c,*
c2
fuPl,_,:11,=,:
Entonces, la respuesta libre est6 dada por
t
:
y"(t)
- cr-
Zcz
: e-' -e-'
3.10 La respuesta forzada La respuesta forzaday6Q) de una ecuaci6n diferencial es la soluci6n de 6sta cuando todas las condiciones iniciales
dvl
tv(o)..| \v r, dt
d"-Lvl
.' ' ' , dt"-,=l
l,:o
l,_0,
son id6nticas a cero. Esta definici6n implica que la respuesta forzada depende solamente de la entrada u(t). La respuestaforzada de una ecuaci6n diferencial lineal ordinaria con coeficientes constantes puede escribirse en t6rminos de una integral de convoluci6n (v1ase el ejemplo 3.38):
y
r(t)
: I,* 1, -
ili,u,!#fo,
(3.r4)
r) eslafunci6n de ponderaci6n (o nrtcko lkernell) de la ecuaci6n diferencial. Esta forma de la integral de convoluci6n supone que la funci6n de ponderaci6n describe un siste-
en donde w(t
-
ma causal (viase la definici6n 3.22). Esta suposici6n se mantiene a continuaci6n. La funci6n de ponderaci6n de una ecuaci6n diferencial lineal ordinaria con coeficientes constantes puede escribirse como n
w(t): L r,y,(t)
,>0
i-1
:0
r<0
(3./5)
56
TEORIA
en donde
ct,...,
Y
PROBLEMAS DE RETROAUMENTACION Y'SISTEMAS DE CONTROL
cn son constantes, y el conjunto de funciones
yr(D, yz(t),...,y,(t)
conjunto fundamenral de la ecuaci6n diferencial. Deberfa notarse que w(r) es una respuesta libre de la ecuaci6n diftrencial y,'en consecuencia, requi'ere n condiciones iniciales para su especificaci6n completa. Estas condiciones fijan los valores de las constantes c1, c2,..,, cn. Las condiciones iniciales que deben satisfacer todas las funciones de ponderaci6n de las ecuaciones diferenciales lineales son:
w(o)
: o' dwl *
l,-o:
0" "
dn-2wl ' dti l,:o:
o'
d"-rwl
a*l
:
es un
t
(3.r6)
l,_o
EJEMPLO 3.25- La funci6n de ponderaci6n de la ecuaci6n diferencial
d'v dv --*+3.dt t2v:u es una combinaci6n lineal de
e-ty
e-2, (un conjunto fundamental de la ecuaci6n). Esto
es,
w(t): cre-'+ cre-2' ct y cz se determinan a partir de las dos ecuaciones
'n(0) La soluci6n
€S c1
:0 :
c,
*
dwl
* l,-r: L: - cr -
c,
= l, c2: -1, y la funci6n
algebraicas
de ponderaci6n es w(r)
EJEMPLO 3.26. Para la ecuaci6n diferencial del ejemplo 3.25, si u(t) y6Q) de la ecuaci6n es
ytQ)
:
1r"1, - r)u(r)
: , "-
ar: l'1"-<'-,t
,, O, - ,-2,
Io'
Itez,
a,
:
:
2cz
: e-t -
e-2t.
y, entonces la respuesta forzada
_ e-z(t-ttl
dr
){t - 2e-' + ,-'')
3.11 La respuesta total La respuesta total de una ecuaci6n diferencial lineal con coeficientes'constant€s es la suma de
la respuesta libre y la respuesta forzada.
EJEMPLO 3.27. La respuesta total y(r) de la ecuaci6n diferencial
d2v dv *3A +2y:1
al
I
ECUACIONES DIFERENCIALES. ECUACIONES DE DIFERENCIA
con las condiciones iniciales y(0)
:
0y
(dy/dt)1,=s: I
Y
57
SISTEMAS LINEALES
es la suma de la respuesta libre
y.(r), determinada en
el ejemplo 3.24, y la respuesta forzada ya(t), determinada en el ejemplo 1,26. Asf
t1
y(t) :y"(t)+"yD(r) : (e-t - e-2') + r{t - zr-' + e-2') : r{t - r-'') 3.12 Las respuestas transitoria y en estado estacionario La respuesta en estado estacionario y la respuesta transituriason otro par de cantidades cuya suma es igual a la respuesta total. Estos t6rminos se utilizan a menudo para especificar el desem-
pefro de sistemas de control,
Delinieifin
3.13:
y
se definen como sigue.
La respuesta en estado estacionario es la parte de la respuesta total qae no
se aproxima a cero cuando el tiempo tiende a infinito.
Detinici6n
3.142
La respuesta transitoria es la parte de la respuesta total que se aproxima a cero cuando el tiempo tiende a infinito.
EJEMPLO 3.28. La respuesta total de la ecuaci6n diferencial del ejemplo 3.27 se determin6 como y : : * - trr=' . Claramente ,. u" qo" la respuesta del estado estacionario est6 dada por y@ | . Puesto que
limr-*[- trt-'l:0,
la respuesta transiente es )r
: - Lr-'.
3.13 Funciones de singularidad: pasos, rampas e impulsos En el estudio de los sistemas de control y de las ecuaciones que los describen, se usa extensamente una familia particular de funciones llamadasfunciones de singularidad. Cada miembro de esta familia se relaciona con los dem6s por una o m6s integrales o derivadas. Las tres funciones de
singularidad de m6s amplio uso son el paso unitario, el impulso unitario y la rampa unitaria.
Definicifin
3.152
Una funci6n paso unitario
1(r - re) se define
ftl-rrl:{f En la figura
paso unitario
3-l
mediante
para t> to Para t 3to
(3.17)
se ilustra esta funci6n paso unitario.
rampa um[ana
1t-
i=0
t=to Figura 3-l
t=0 Figura 3-2
Figura 3-3
58
TEORIA
Detinici6n 3.16:
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Una funci6n rampa unitaria es la integral de una funci6n paso unitario
(t-to -")o":\ 0 fJ--' 1(r-tn'
t>to t
Para para
l
(-?.18)
En la figura 3-2 se ilustra la funci6n rampa unitaria. Detinicidn
3.17:
Una funci6n impulso unitario 6(l) puede definirse mediante
6(r)
: ri. [ 1(t) - A,t ltt - at) j 4,-q I
1
(3.re)*
Ar>O'
en donde 10) es la funci6n paso unitario. El ear
{
ti ]
3
)
+ no".te uu."uiarse por Ar -+0 que quiere decir que Ar se aproxima a ceropor
la derecha. El cociente entre corchetes representa un rectdngulo de altura
l/Al y de ancho At, como la figura 3-3. El proceso de lfmite produce una funci6n cuya altura se aproxima a infinito y el ancho se aproxima a cero. El Srea bajo la curya es igual a I para todos los valores de Al. se muestra en
Esto es.
t@
| 6(t)dt:r
,-@
La funci6n impulso unitario tiene la siguiente propiedad muy importante: Propiedad de muestreo: La integral del producto de una funci6n impulso unitario 6(r una funci6n/(/), continuas en t
ro, es igual a la funci6n
t* Delinicidn
3.18:
EJEIIPLO 3-29.
I
fit)
rc'16(r-ro)
:
-
ro) y
intervalo que incluya a evaluada en to, es decir, /o y sobre un
dt:f(tr)
(3,20\
La respuesta impulso unitario de un sistema es la saliday(t) de 6ste cuando la entrada u(t) : 6(r) y todas sus condiciones iniciales son cero.
Si la relaci6n entrada-salida de un sistema lineal est6 dada por la integral de convoluci6n
* En un sentido formal, la ecuaci6n (3 .19) definela derivada por un lado delafunci6n paso unitario. pero en el sentido matemdtico ordinario no existen ni el limite ni la derivada. Sin embargo, para los prop6sitos de este libro y muchos otros, la definici6n 3.17 es satisfactoria.
ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA
Y
59
SISTEMAS LINEALES
3
y(i: I
ru(r): 1"r1,-r) s(r) a,:
I
i
- r)u(r) dr
entonces, la respuesta impulso unitario ya(/) del sistema es
\ i l
['nQ J6
yaque w(t
l-*n(t-t)
- r) -- 0parar> r,6(r):0para"<
0, y se hautilizadolapropiedaddemuestreodel
impulso unitario para evaluar la integral.
i
i
Definici,6n
3.19:
Definicifin
3.202
I t
La respuesta paso unitario es la salida y(t) cuando la entrada u(D todas las condiciones iniciales son cero.
P
:
lQ) y
La respuesta rampa unitaria es la saliday(t) cuando la entrada r(l) : r para t > O, u(t) : g para t 0, y todas las condiciones iniciales son cero.
=
i
I
(3.2t)
s(r) dr:w(t)
3.14 Sistemas de segundo orden En el estudio de los sistemas de control son importantes las ecuaciones diferenciales lineales
de segundo orden con coeficientes constantes, de la forma:
I
d'v
I
dv
2f""; dr,
l
+
+
alY: af,u
(3.22)
I
I t I t I
l
puesto que a menudo los sistemas de orden superior pueden aproximarse a sistemas de segundo orden. La constante f se llama raz6n de amortiguaci6n, y la constante @n se llama frecuencia natural no amortiguada del sistema. De particular inter6s resulta la respuesta fotzada de esta ecuaci6n para entradas u pertenecientes a la clase de funciones de singularidad. Esto es, la respuestaforzada a un impulso unitario. un paso unitario o una rampa unitaria, es lo mismo que la respuesta impulso unitario,larespuestapaso unitario olarespuestarampounitariadeun sistema representado por esta ecuaci6n.
I
l
Suponiendo que
0 < { = 1,la
ecuaci6n caracteristica de la ecuaci6n (3.22) es
I i'
Dz
I
t
De aqui que las raices
t i
t f
rt I
t
I I
+2!a,D + 4:(o +
Dr: -(a,+ a:
gr^-ir,,ll_i,)(o
+
f", +;r^,"fi - f'z):
o
sean
jasll
j
= - a*i.l.a
Dr: - (on- jr^,,11 - (' = - a - iaa
se llama t@n se llama el coeficiente de amortiguaci6nn y @a = .,fQ frecuencia natural amortiguada. a es el inverso de la constante de tiempo r del sistema, esto es r : lla. La funci6n de ponderaci6n de la ecuaci6n (3.22) es w(t) : (11
en donde
60
TEORIA
y,(t)
:
Io'r1,
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
- r) ofi, dr : t -
ff""n{'o'
*
Y
SISTEMAS DE CONTROL
(3.23)
E1
I i
I
en donde Q= tan-'(@d,/d). 1
La figura 3-4 es una representaci6n param6trica de la respuesta paso unitario. Note que la abscisa de esta familia de curvas es el tiempo normalizado ant y el par6metro que define cada curva es la raz6n de amortiguaci6n (.
i
3.15 Representaci6n por variables de estado de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales En algunos problemas de retroalimentaci6n y control es m6s conveniente describir un sistema mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales de primerordenn en lugarde hacerlo poruna o m6s ecuaciones diferenciales de n-simo orden. Una raz6nparaello es que pueden aplicarse mds fiicilmente resultados bastante generales y mds poderosos a partir del 6lgebra vectorial y matricial
'para obtener las soluciones a las ecuaciones diferenciales.
EJEMPLO 3.30. Considere la forma diferencial de la segunda ley de Newton
f:
MefxldA.
De los significados de velocidad v y aceteraci6n a, resulta claro que esta ecuaci6n de segundo orden puede remplazarse por dos ecuacioneg de primer orden, v dxldt y M(dv/dt).
:
,
f:
Hay numerosas maneras de transformar ecuaciones diferenciales de r-simo orden en ,? ecuaciones de primer orden. Una de 6stas es bastante frecuente en la literatura, y fnicamente la presentamos aqui a modo de ilustraci6n. Considere la ecuaci6n diferencial lineal con coeficientes constantes de n-simo orden
y una sola entrada.
1 I
l I
i,,y,:"
I I
j-O
Ix I
Esta ecuaci6n siempre puede remplazarse por las siguientes n ecuaciones diferenciales de primer
I
tl
)
orden:
I
d*, dt
dr, dt
:x2
I I
I
:x3
I :
fu,_r dt
_:Y
I
nn
dxn
dt
1
;[:i:",.,.,].
an
Q.2aa)
6l
:
4567 Tiempo normalizado
Figura 3-4
62
TEORIA
en donde hemos escogido -r1
:
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION.Y
SISTEMAS DE CONTROL
{ y. Utilizando la notaci6n de vectores y matrices, este conjunto de
ecuaciones puede escribirse como
dr, xr
dt
dx,
001
dt
0
:
-!:an -tan -2
dt
o de manera m 6s compacta como dx
*
(3.24b)
:
0 1
_ar-l an
an
0
x2
:
4*,
0
xn an
: Ax*bu
Q.2ac)
En la ecuaci6n (3.24c) x x(t) se denomina vector = llamados variables dede estado, con n funciones de tiempo,r1(t), xzQ),..., x,(/ como elementos, estado del sistema. La entrada escalar del sistema es u(t). De una manera mds general, los sistemas multientrada-mwltisalida (MEMS) descritos por una
o m6s ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, pueden representarse mediante una ecuaci6n diferencial de vectores y matrices de la forma: dx, dt
au
atz
Qt,
xl
azt
azz
a2n
x2
d*, dt :
'1-
br,, b'
br,
ul
brt
br,
u2
:
:
b,,
ur
bn
:
d*, dt
anl
a12
ann
xn
brt
bnz
(s.2sa)
o de forma m6s compacta como dx
V:Ax+Bu
(3.2sb)
Enlaecuaci6n(3.25b) xsedefinecomoenlaecuaci6n(3.24c),Aesla matizn x n deconstantes a;i,yBeslamatnzn X rdeconstantesby,cadaunadadaenlaecuaci6n (3.25a),yuesunvector,' de funciones de entrada.
)
ECUACIONES DIFERENCIALES. ECUACIONES DE DIFERENCIA
Y
63
SISTEMAS LINEALES
7 La matriz de transici6n La ecuacion matricial
d@
dt
:
AID
n x n de funciones de tiempo, llamada matriz de transici6n de la (3.24c) o (3.25b), juega un papel especial en la soluci6n de ecuaciones diferencial ecuaci6n
en donde O es una matiz
diferenciales de vectores y matrices como la ecua ci6n (3 .25b) . Si 1 es la matnz n x n identidad o unidady 6(0) : /es la condici6n inicial de esta ecuaci6n homog6nea, la matriz de transici6n tiene la soluci6n especial: O(t) : eA'. En este caso eA'es una funci6n matrici al n x n definida por la serie
infinita:
Azt2
A3t3
eA':I+At+ 2l * 3!
+
"'
Otambi6ntienelapropiedaddeyansici6te,seg(tnlacual,paratodotl,t2!ts:O(lr : @(lr - tr).
- t)Q(tz-h)
Para resolver la ecuaci6n diferencial Q .2{ ola(3 .25) debe especificarse el intervalo de tiemo, tambi6n se necesita el vector de condici6n inicial x(0). po de inter6s, por ejemplo , 0 < t
( *
En este caso, la
soluci6n general de la ecuaci6n (3.25) es
x(r)
:
e/'x(o) +
loteA{'-'tBu(r\
dr
(3.26)
La condici6n inicial x(0) se conoce, algunas veces, como el estado del sistema en el tiempo t : 0. De la ecuaci6n (3 .26) vemos que el conocimiento de x(0), y de la entrada u(r) en el intervalo 0 < r < + oo, son adecuados para determinar completamente las variables de estado para cualquier tiempo r > 0. En realidad, el conocimiento del estado del sistema en cualquier tiempo t' , tal que
O
t'. 3.16 Soluci6n de ecuaciones de diferencia lineales con coeficientes constantes Considere la clase de ecuaciones de diferencia
Eo,y(k+,): i-0 lu,u(t<+i) i-O
(
3.27)
variable discreta de tiempo de valor entero, los coeficientes a, y b, son constantes, aoy anson diferentes de cero, la entrada a(/c) es una secuencia de tiempo conocida, y la salida y(k) es la secuencia desconocida, soluci6n de la ecuaci6n. Puesto que y(k + n) es una funci6n explicita de y(fr), y(k * l),..., y(k + n - l), entonces el orden de la ecuaci6n de diferencia es n. Para obtener una soluci6n tinica paray(ft) deben especificarse dos t6rminos adicionales, la secuencia de en donde
/<
es la
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
tiempo sobre el cual se desea una'soluci6n, y un conjunto de n condiciones iniciales paray(k). La secuencia de tiempo para los problemas tratados en este libro es el conjunto de enteros no negati-
vos, es decir,
k:
O,1
,2,... El conjunto de condiciones iniciales y(0), y(1), ..., y(n
es
- t)
(s.za)
Un problema que se defina sobre esta secuencia de tiempo y con estas condiciones iniciales denomina problema del valor inicial.
se
Considere la ecuaci6n de diferencia lineal con coeficientes constantes de z-simo orden
y(k+n) + a,-ry(k+ n-1)+ .. . +ary(k+r)+ Es conveniente definir un operador de desplazamiento
aoy&\:u(k) Z
(3.2s)
mediante la ecuaci6n
zly&\l =y(ft + 1) Por aplicaci6n repetida de esta operaci6n, obtenemos
z'ly&)l : zlzl... zly(D|...]l :y(ft + n) De manera similar, se define un operador unitario 1, mediante
r y
[y(*)l : y(k\
f = 1. El operador Z tiene las siguientes propiedades algebraicas importantes: 1. Para c constante, ..., Zl,cy(k)|: cZly(k)l 2. z^ly(k) + x(ft)l : z^ly(k)l + Z^[x(k\l
Asi, la ecuaci6n de diferencia puede escribirse como
z"ly(k)l
La
+
an-rZ"-tf/(ft)l + ... +arZly(t)l + aoyft) : u(k) o (z' * an_rZn-r * ... *arZ+ ar)ly(k)l :"(k)
ecuaci6n
Zn
* an_rZo-r + .. . *arZ * ao:
g
(3.30)
llama ecuaci6n caracteristica de la ecuaci6n de diferencia y, por el teorema fundamental del 6lgebra, tiene exactamente n soluciones: Z: 21, Z : 22,... , 2 : Zn-
se
EJEMPLO 3.31. Considere la ecuaci6n de diferencia
y(k+2\ +
|il*+
r) +
]r(r): u(r)
I
IICUACIONtIS DIFtlRIlNClAl.t:S. lr('LIACIONIIS DE DIF'IIRIINCIA
Y
SISTIIMAS
tlNIrAl-lls
65
Y;
La ccuacitin caractcristica c\ Z: + 3Z+
L:0.
con dos solucioncs
Z: - + y Z: -
tl
.
Una ecuaci6n de dit'erencia lineal homog6nea de r?-simo orden tiene por lo menos un conjunto de
,l soluciones linealmente independientes. Cualquiera de tales conjuntos se llama conjunto fundamental. Al igual que las ecuaciones diferenciales, los conjuntos fundamentales no son rinibos.
2,,22,...,2,,
Si la ecuaci6n caracteristica tiene
ra(ces distintas, un conjunto fundamental para
la ecuaci6n homog6nea
L
o,y(k + t)
:0
(J.-ll
)
l:0 es el conjunto de
funciones Zf , Zt,
...
, Z:,.
EJEMPLO 3.32. La ccuaci6n dc dif-crcncia
51 ' + -6'v( k + 1) + --6''v( k ) :0 ticne laccuaci6ncaractcrfstica Z2 + lZ+ * : 0, con raiccs Z : Zr : - i fundamcntal clc csta ccuaci6n cs .r'1(ll) : (- i )* y t'.(*) : ( 1 t^. v( k + 2\
vZ:
Zz: - i.
Un conjunto
Si la ecuaci6n caracteristica tiene raices repetidas, entonces existen n; elementos del conjunto f
undamental Z! . kZ!,.
..
,
k',"22!, k', tZ!,
para cada raiz Z; de multiplici dad n;.
EJEMPLO3.33.Laccuaci6nr'(&+2)+.r'(t+l)+l.r(t):0conlaraizrcpcfidaZ:-:tieneun (- j )( y k(- j tt.
conjunto fundanrcntal quc consistc dc
La respuesta libre de una ecuaci6n de dif-erencia de la firrma de la ecuaci(ln (3.27), es la soluci6n cuando la secuencia de entrada es id6ntica a cero. La ecuaci(rn tiene entonces la forma de la ecuaci(rn (3.-ll), y su solucitin depende tinicamente de las n condiciones iniciales (-i.28). Si )'r(k),l'2(k),...,l',,(k) es un conjunto fundamental, entonces cualquier respuesta libre de la ecuaci
v"(k): L
r,v,(lr)
en donde las constantes se definen en t6rminos de las condiciones iniciales,yi(0) a partir del con-
junto de las n ecuaciones algebraicas:
/(0) :
r (0) r/-/ c,f ,(l) tl
/-r crY, n
/(1): :
y(n-1): lc,y,(n-7) i:l
(3.32)
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
La independencia lineal de y;(k) garantiza una soluci6n part c1, c2,..., EJEMPLO 3.34. La respuesta libre de la ecuaci6n de diferencia y(k + 2) + ly(k con las condiciones iniciales y(0) : 0 y y(l) : 1 se determina haciendo
{ cn.
+ t)
+ [y(k)
:
u(k)
-
:",( - +)- * .,|' - :) \ zl \ r/ en donde c1 ! c2 son los coeficientes desconocidos, y (- )* y (+ i f son un conjunto fundamental para la (vdase y"(k)
el ejemplo 3.32). Puesto que y,(t) debe satisfacer las condiciones iniciales, esto
ecuaci6n
es,
z(o) :r(o) :0: cy* c2
y,(r):y(L):1: - 1r-1,', 2', 3' entonces
cr
: -6 ! cz:
6. La
respuesta libre esti6 dada entonces por
y"(k): -6(- +)k+6(_
+)&.
La respuesta forzada y6(k) de una ecuaci6n de diferencia es su soluci6n cuando todas las condiciones iniciales y(0), y(l),... , y(n - l) son cero. Esta puede escribirse en t6rminos de una suma de convoluci6n:
yb(k)
fm I : k-r tj-o,& -/)l r-o I u,u(i + i)l L
k
:0,r,.
..,
(3.33)
n
J
en donde w(k - i) es la secuencia de ponderaci6n de la ecuaci6n de diferencia. N6tese que por definici6n de la respuesta forzadaya(0) : 0, y w(k - j) :0 para k < j (v6asela secci6n 3.19).
si
a(/ :6o:
t paraj:0, y6(l):0paraj:0,
estaentradaespecial sedenominasecuencia
delta de Kronecker, entonces la respuesta forzada yr(k) y5(ft) se llama respuesta delta de =
Kronecker.
La secuencia de ponderaci6n de una ecuaci6n de diferencia lineal con coeficientes constantes puede escribirse como
M,(l) Ij-r iffitig7 n
w(k-t): en donde
y1(k), yz(k),.
..,
y,(k)
es un
(3.34)
conjunto fundamental de la ecuaci6n de diferenc ia, M(l) es el
determinante:
y,(/+ l)
M(t):
yr(l + 2)
y,(l + 7) yr(t + 2)
y,(l + t\ |
vrt: '?\
|
yr(t +
n\
yr(t + n)
y,(t + n\l
Y
ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA
SISTEMAS LINEAI-ES
2
y Mlt)
es el cofactor del riltimo elemento en la 7'-6sima columna de M(l).
EJEMPLO3.35. Considerelaecuaci6ndediferenciay(k+2) +f y(ft+ l) +ly{ft) = u(k).Lasecuencia de ponderaci6n est6 dada por
w(k
en donde
yr&): (-
+)-,
- t) :
ffi ,,tot ffi t,(r,) +
yz(k): (- i)*, MJt): -(- i)'*t, M2(l)- (-;)'*t' I
Ir
I
( *)I
;)'.'
I
"(,):ll Lr)'. ( i) l(-
I
En consecuencia
w(k
v
2
:*(
/ l\k t t):121 -;zl| \
;)'(-;)'
I l\r 18[
\
1
-;J/
Al igual que para los sistemas continuos, la respuesta total
I
de una ecuaci6n de
diferencia es la
suma de las respuestas libre y forzada de la ecuaci6n. La respuesta transitoriade una ecuaci6n de diferencia es aquella parte de la respuesta total que se aproxima a cero cuando el tiempo tiende a I
infinito. Aquella parte de la respuesta total que no se aproxima a cero se llama respuesta en estado estacionario.
I
I
I
I
3.17 Representaci6n por variables de estado de sistemas descritos por ecuaciones de diferencia lineales Como sucede con las ecuaciones diferenciales de la secci6n 3.15, a menudo es fitil describir un sistema por medio de un conjunto de ecuaciones de diferencia de primer orden, en lugar de hacerlo por una o m6s ecuaciones de diferencia de n-simo orden' EJEMPLO 3.36. La ecuaci6n de diferencia de segundo orden
I
y(k+z) +
51 ut(k
+
t) +
;r(ft): r(t)
puede escribirse como dos ecuaciones de primer orden
x,(k+ 1):xr(ft) xr(k+
l* en donde hemos elegido
xlk) :
1): -
y(k).
51 err(k)
-
Ot'(k)
+ u(k)
68
TEoRtA
Y
IRoBLEMAS DE RETRoALIMENTAcToN
y
srsrEMAS DE
coNTRoL t
Considere la ecuaci6n de diferencia lineal con coeficientes constantes de n-simo orden con
una sola entrada.
i
o,y(t
i:0
+
i):
u(k)
Esta ecuaci6n siempre puede remplazarse por las siguientes n ecuaciones de diferencia de primer
orden:
x,(k+t):xr(k) xr(k+1):.xr(k) :
x,_r(k+1):x,(k) 1 [,-t I r x,(k+l): - _ | I a,x,*r(k)l+ 'l -a(k) a,l,Jo en
l
(3.3sa)
endondehemosescogidoxl(k)
=y(k).Utilizandolanotaci6ndevectoresymatrices,esteconjunto de ecuaciones puede escribirse como la ecuaci6n de diferencia de vectores y matriies 0 0
f;;r:r,rllliitll;;r:11. l -a'r/an J.
f
",1t
* rl
l-ooro^
:
(3.3sb)
\/an i
: Ax(k) +bu
(3.3sc)
En estas ecuaciones x(ft) es un elemento vector n de una secuencia de tiempo e_stado, c-onformado por los elementos escalares -r {k), x2(k),. . ., x,(&) llamados
do del sistema en el tiempo k.
I
u
0
-on.-,/onlL*,i*,
o de manera m6s compacta, como x(ft + 1)
I
llamada vector de
variables de esta-
En general, los sistemas muhientrada-multisalida (MEMS) descritos por una o m6s ecuaciones de diferencia lineales con coeficientes constantes pueden presentarse por
x(e+
1)
:Ax(k) +ru(r)
en donde x(/c) es el vector de estado del sistema; corno antes, A es una matiz
(3.36) n x n deconstantes
yBesuna matizn x rdeconstantesb4,cadaunadefinidacomoenlaecuaci6n(3 .25a),y1ul(k) es un elemento vector r de una secuencia de entrada (mdltiple). Dados una secuencia de tiempo de inter6s, k: 0,1,2,..., y un vector x(0) de condici6n inicial, la soluci6n de la ecuaci6n (3.J@ fuede 4,7,
escribirse como
x(k):l&x(o) +
k-1
| a*-r-rru(r) j:o
(3.37)
*
ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA
Y
69
SISTEMAS LINEALI]S
; N6tese que la ecuaci 6n (3 .37) tiene una forma similar ala (3 .26). Sin embargo, en general, no se necesita que Ae tenga las propiedades de una matriz de transici6n de una ecuaci6n diferencial. rniy importante cuando Ak tiene tales propiedades, es decir, en donde Ar es una Pero hay un "uro matriz de transici6n. Este caso proporciona la base dela discretizaci6n de las ecuaciones diferen'
ciales, como se ilustra a continuaci6n.
Discretizaci6n de ecuaciones diferenciales Considere un sistema dlle rencia.l descrito por la ecu aci6n (3 -26) . Suponga que s6lo es necesario tener conocimiento de las variables de estado en instantes peri6dicos de tiempo r : O,T ,27 , . . . ,
kT,... En este caso, puede escribirse la siguiente secuencia de vectores de estado como
*(r) :
eArx(o)
x(Zr):
eArx(T)
* *
loreA{r-'tBu(r) rur
dr
l2reer-'\Bu(r) d,
:
x(/cr):enrx((k-1)r)
+
n'
"
o
-
"'
Iroo'- rrr'
Si suprimimos el par6metro 7, utilizamos la abreviatura x(k) secuencia de entrada mediante
u,(k)
n" -''B u( r d r )
:
: ,*r [(k*rtr"4r-,t}r(r) Jkr
x(kT) y definimos una nueva
dr
entonces el conjunto anterior de ecuaciones de soluci6n puede remplazarse por la ecuecidn de difurencia de matrices y vectores
x(ft+t):enrx(k) +u'(k) N6tese que
A' : 4r
(_1.-38)
es una matriz de transici6n en la ecuaci6n (3.38).
3.18 Linealidad y superposici6n I
En la definici6n 3.8 se present6 el concepto de linealidad como una propiedad de las ecuaciones diferenciales y de diferencia. En esta secci6n, la linealidad se plantea como una propiedad de los sistemas generales, con una variable independiente, el tiempo t. En los Capitulos 1 y 2 se definieron los conceptos de sistema, entrada y salida. La siguiente definici6n de linealidad se basa
en estas definiciones.
Definicifin
3.212
Si todas las condiciones iniciales en un sistema son cero, esto es, si el sistema estd completamente en reposo, entonces el sistema es lineal si tiene la siguiente propiedad:
70
TEORIA
a) b) c)
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Si una entrada z;(l) produce una salida
Y
y{t)
SISTEMAS DE CONTROL
I y
una entrada u2Q) produce una salida y2(r),
entonces cp(t) * c2u2Q) produce una salida cllt) t c.7t2Q) para todos los pares de entradas ult) y uzG) y para todos los pares de cons-
tantes
cl y
c2.
I
A menudo los sistemas lineales pueden representarse mediante ecuaciones lineales diferencia. les o de diferencia. EJEMPLO 3.37. Un sistema ci6n diferencial lineal
es
lineal si su relaci6n de entrada-salida puede describirse mediante la ecua-
d'v ^. d'u : L a,(t);ar : L b,(t) " ' dt',_o
( 3.3e)
i_s
en donde
l
y : y(t) es la salida del sistema, y u :
u(t) es la entrada del mismo.
EJEMPLO 3.38. Un sistema es lineal si la relaci6n de entrada-salida puede describirse mediante la inte-
gral de convoluci6n
,@: Il-w(t,r)u(r)
dr
(3.40)
r) es la funci6n de ponderaci6n, que incorpora las propiedades ffsicas internas del sistema, y(r) es la salida, y a(t) es la entrada. en donde w(r,
En la secci6n 3.10 se analiz6 la relaci6n entre los sistemas de los ejemplos 3.37 A menudo el concepto de linealidad se expresa por el principio de superposici6n.
y 3.38.
Principio de superposici6n: La respuestay(r) de un sistema lineal, debida a varias entradas a1(r), uzQ),..., un(t) que acttian simultiineamente, es igual a la suma de las respuestas a cada entrada actuando solas, cuando todas las condiciones iniciales en el sistema son cero. Esto es, si y,{t) es la respuesta debida a la entrada a;(t), entonces
v@: iv,Q) EJEMPLO 3.39. Un sistema lineal se describe por la ecuaci6n algebraica lineal
y(t) :2ur(t) + ur(t) u(t) : t y u2Q): I son las entradas, y y(r) es la salida. Cuando a 1(r) : t y uze): 0, entoncesy(r) : y{t):2t. Cuando zy(r) = Oy u2Q): l, entoncesy(r): y2Q): l. La salida total resultante deu(t): ty u2e) = 12 eS entonces igual a en donde
y(t) : y{t)
+ y2Q)
:2t
+
t2
ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACTONES DE DIFERENCIA
Y
SISTEMAS LINEAI-ES
'11
(definici6n El principio de superpcsici6n se deriva directamente de la definici6n de linealidad 3.21). Cualquier sistema que satisfaga el principio de superposici6n es lineal' i
i
3.19 Causalidad y sistemas realizables fisicamente Las propiedades de un sistema f(sico restringen la forma de su salida. Esta restricci6n encuentra incorporada en el concepto de causalidad. Definici6n
3.222
se
Un sistema en el cual el tiempo es la variable independiente se llama causal si la salida depende fnicamente de los valores presente y pasado de la entrada. Esto es, siy(t) es la salida, entonces y(r) depende fnicamente de la entra-
da u(t) Para valores de
r=
t'
cu6l Esta definici6n implica que un sistema causal es aquel en el cual no se puede anticipar veces se llaman ser6 la entrada futura. En concgrdancia con ello, los sistemas causales algunas ffsica) es factibilidad la causalidad de importante 0a consecuencia Una realizables flsicamente. que la funci6n de ponderaci6nw(t, z) de un sistema continuo lineal causal es id€ntica a cero para i > t, esto es, los valores futuros d9 la entrada se ponderan a cero. Para sistemas causales discretos la secuencia de ponderaci6n w(k - i) = 0 para i > k'
Problemas resueltos Ecuaciones de un sistema
3.1.
es La ley de Faraday establece que el voltaje v inducido entre los terminales de un inductor que magndtico flujo de linea La flujo. de igual a la tasa temporal de cambio de las lineas que se une una vuelta del devanado del inductor se define como linea de flujo- Suponga con la relacionado i estil flujo de lineas determina experimentalmente que el nrimero de aproxilinea es una La curva j 3-5. corriente en el iUductof , como se muestra en la figura i < 16. Determine una ecuaci6n diferencial que relacione el madamente recta para -Io
voltaje inducido v
= y la corriente i,
v6lida para
I
Figura 3-5
-/s ' i '
Io'
72
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMEIITACION
La ley de Faraday puede escribirse como u
L
:
sustituyendo
dtt/dt. De la grdfica puede verse que
Ao//o se denomina inductancia del inductor. La ecuaci6n que relaciona u e i se obtiene )t:
Zl por
dxddi u: dt: *(fi):Z; 3.2,
SISTEMAS DE CONTROL
-/o
^:(*),:'' en donde
:
Y
en donde
-/o
Determine una ecuaci6n diferencial que relacione el voltaje v(t) y lacorriente i(t) para t > O, para la red el6ctrica de la figura 3.6. Suponga que el capacitor estd descargado en el tiempo
/:0,
lacorrienteiesceroeneltiempot:0,ysecierraelintemrptorSeneltiempor:0.
fuente de voltaje 0
Figura 3.6 Mediante la ley de voltaje de Kirchhoff, el voltaje aplicado u(r) es igual a la suma de las caidas ut Y uc a traves del resistor R, el inductor L y el capacitor C, respectivamente. Asf
de voltaje un,
r,:
un
*
aL+
di 1,, dt V J't(t)
oc: Ri + tV +
Para eliminar la integral se derivan con respecto al tiempo ambos lados de la ecuaci6n, resultando la ecuaci6n diferencial deseada:
d2i di i a) to,r*^a*z:a 3.3.
Las dos primeras leyes del movimiento planetario de Kepler establecen que:
2. l
La 6rbita de un planeta es una elipse con el sol en uno de sus focos. El radio vector dibujado desde el sol a un planeta barre 6reas iguales en tiempos iguales.
Encuentre dos ecuaciones diferenciales que describan el movimiento de un planeta alrede-
dor del sol, utilizando las dos primeras leyes de Kepler.
A partir de la primera ley de Kepler, el movimiento de un planeta satisface la ecuaci6n de una elipse:
Y
ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA
t5
SISTEMAS LINEALES
3' p
t: I + r"osd I
en donde
r y d se definen en la figura
3-7 y
p:
b2/a
: a(l -
e2).
Figura 3-7 En un tiempo infinitesimal dr el i4ngulo d se incrementa en una cantidad d0. El 6rea barrida
porel radiorduranteel periododresigual adA:!r2ae.Lavelocidadalacual el rauro r es una constante (segunda ley de Kepler). Por tanto,
dA | ^de A:rr'A:constante o
sebarreel iireapor
^d0 :k rz-
La primera ecuaci6n diferencial se obtiene derivando este resultado con respecto al tiempo:
dr de ^ d20 :0 ,rAA +rz *
dr
"
2A
d0
*+r-*:0
La segunda ecuaci6n se obtiene derivando la ecuaci6n de la
dr I
d20
elipse:
prt"n0 ld|
a:loT;;Ela Utilizando los resultados de d|ldr
: kli
y
(l *
e cos 0)
= plr, drldr
dr: ek -dtp -send Derivando de nuevo
y
remplazando a P(aeiaD por ft produce
#:(;)(s)*,,
puede reescribirse como
t4
TEORIA
Pero cos
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
0 : (l/e)[plr - l]. Por tanto
d2r 1rz .....-:.....dt"
pr' [;
1rz -'] : ra-
1rz
pr-,
Sustituyendo a r(dilldt)2 por kzl13, obtenemos la segunda ecuaci6n diferencial solicitada.
d2r
dr
3.4,
d2r
kz
-'(#)' +pr-,:0
ld0\2
1rz
dr-'\a):-;t
Como resultado del trabajo de varios autores 12,3,4f , se ha producido un modelo matem6tico para describir una caracterfstica de la organizaci6n del sistema nervioso denominada inhibici6n lateral. El fen6meno inhibitorio lateral puede describirse de manera simple como la interacci6n el6ctrica inhibitoria entre las neuronas (c6lulas nerviosas) vecinas, lateralmente espaciadas. Cada neurona en este modelo tiene una respuesta c, medida por la frecuencia de descarga de pulsos en su ax6n (el "cable" o "alambre" de conexi6n). La respuesta se determina mediante una excitaci6n r suministrada por un estimulo externo, y se disminuye mediante todas las influencias inhibitorias que actrian sobre las neuronas como resultado de la actividad de las neuronas vecinas. En un sistema de n neuronas, la respuesta en estado estacionario de la k-6sima neurona est6 dada por
c*: rk- L a*-,r, i:l
en donde la constante
a1, - ; es el coeficiente inhibitorio de la acci6n de la neurona i sobre la neurona t. Depende solanrente de la separaci6n de la t-6sima y la i-6sima neuronas, y puede interpretarse como unafunci6n de ponderaci6n espacial . Adem6s, a,, : a , ,, (inte-
racci6n espacial sim6trica).
a) b)
Si el efecto de la neurona i sobre la neurona k no se siente inmediatamente, sino que presenta un pequefro retardo de tiempo Ar, lc6mo se modificaria el modelo?
:
Si la entrada 4(r) se determina dnicamente por la salida c1, Ar segundos antes de t freft) Lt)1, determine una ecuaci6n diferencial aproximada para el sistema de la parte a).
c1,Q
u)
-
La ecuaci6n se
hace n
c*(r): ,kU) - \' /J
ar,-;ci(t
i:l
b)
Sustituyendo c1(r
- Lt)
- At) por rp(t),
cr(t)
-
coQ
- At): -
ar_,c,(t ,I_
-
L,t)
DE DIFERENCIA Y SISTEMAS LINEALES
ECUACTONES DIFERENCIALES. ECUACIONES
75
Dividiendo ambos lados por At,
cr(r)-coQ-At) A,
-
AD
es aproximadamente
:
dr*
c'('l-''l\
igual adcpldt para Ar pequeno. Si adec;(t) para Ar pequefro, obtenemos entorices la ecuaci6n dife-
El lado izquierdo de la ecuaci6n miis suponemos que c;(r rencial aproximada
: i(t.)
,
dt- ,r-(")c,(r)--o 3.5.
Determine una ecuaci6n matem6tica que describa una salida de datos muestreados para el muestreador ideal descrito en la definict6n 2.12 y el ejemplo 2.8. Una representaci6n conveniente de la salida en un muestreador ideal se basa en la extensi6n del concepto de funci6n de impulso unitario 6(t) a un tren de impulsos, definido para t > 0 como la funci6n
-rr(r) :s(r) +6'(r-r,) +8(ren donde /o
: 0 y t*+t )
tz)
+
. : i 8(r-ro) k-O
t1. La sefral muestreada u*(t) estd dada entonces por
u*(t)
: u(t) mrr(t) : u(t) i a1r - rol *-O
La utilidad de esta representaci6n se desarrolla al comienzo del Capftulo 4, en seguida de la introducci6n de los m6todos de transftrrmada.
3.6.
Demuestre c6mo la red simple R-C, que se da en la figura 3-8, puede usarse para aproximar la funci6n de muestreo y la funci6n de sostenimiento (de orden cero), descrito en el
ejemplo 2.9.
Figura 3-8
b I
Este sistema opera como sigue. Cuando el intem-rptor de muestreo S se cierra, se carga el capacitor C a travds del resistor R, y el voltaje a trav6s de C se aproxima a la entrada u(t). Cuando S se abre, el capacitor no puede liberar su carga porque la corriente (carga) no tiene en donde disiparse, asi que sostiene su voltaje hasta la siguiente vez que S se cierre. Si describimos la apertura y el cierre del interruptor mediante la funci6n simple
'76
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
t"(t):
Y
SISTEMAS DE CONTROI-
I
Si S est6 abierto Si S est6 cerrado
{;
podemos decir que la corriente a travds de R y podemos escribir
C
est6
modulada por m.,(t). En estos t6rminos,
i(t):^"1',(all y
i = CdyHsldt, la ecuaci6n
puesto que
^:(2) diferencial para este circuito es
hno lu-!no\ ,, dt:f Rc /'ns(t) Notamos que 6sta es una ecuaci6n diferencial variable en el tiempo,debido al efecto multiplicativo de la funci6n msQ) en el lado derecho. Tambi6n, a medida que RC se hace mi4s pequefro, es decir, l/RC se hace mds grande, dysddt se hace m6s grande y el capacitor se carga mils r6pidamente. Asf, un RC mds pequefro en este circuito crea una mejor aproximaci6n de la funci6n de muestreo y de
sostenimiento.
3.7.
Si el muestreador del problema anterior es ideal, y la velocidad de muestreo es uniforme.
con un periodo
T, icl6l
es la ecuaci6n diferencial?
En el problema 3.5 se defini6 la funci6n modutadora
ma{t)
del tren de impulsos del muestrea-
dor ideal. Asi que la ecuaciSn diferencial del muestreo y del sostenimiento se hace
dym lu-lso\:
;:(-^-/
.
Lo6(t-*r1
I I I
En esta idealizaci6n, los impulsos remplazan los pulsos de corriente.
I
Clasificaciones de las ecuaciones diferenciales
3.8.
Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales dependiendo de si son ordinarias o parciales. Indique las variables dependientes e independientes.
a) b) c)
d)
dx -; * clt
af
dy
-:dt
*x*y:0
af
a.* a, *x*Y:Q dlafl
aLnl:o df dx
x:
x(t)
f:
f(x, y)
v
: y(t)
^dx
f - yzq "dt -
f:y2@)+
4 dx
ri
ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA
a) b) c)
Y
SISTEMAS LINEALES
t; variables dependientes -r e y. Parcial; variables independientes ,r e y; variable dependiente /. Ordinaria; variable independiente Puesto que
)fldx
:
2x, entonces (dldt)[dfl0x]: Z(dxldt): 0, que
diferencial ordinaria; variable independiente
d)
3.9.
t; variable
es una ecuaci6n
dependiente .r.
:
2y(dyldx) + *yldx2 : ,r, que es una ecuaci6n diferencial ordinaria; variable independiente ,r; variable dependiente y.
dfldx
Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales lineales dependiendo de si son variables o invariables en el tiempo. Indique los t6rminos variables en el tiempo, si los hay
d2v
a)
,J aI-
+
1 c) | 1 \dzv |
2y:0
l'-t )aa*|,'.t
d
b) -(t'v): o
d)
AT
d2v
dr,
\
)t=o
* (cosl)y:0
a) Invariable en el tiempo b) (dlfiey\ : 2ty + t21dytdt1 = 0. Dividiendo todo por t, se obtiene t, t(dyldt) + 2y :0 es variable en el tiempo.
c) d)
Multiplicando todo por /
la cual
El t6rmino variable en el tiempo es t(dy/dt).
+ l, obtenemos *yldf + y :
0 la cual es invariable en el tiempo.
Variable en el tiempo; el t6rmino variable en el tiempo es (cos r)y.
3.10. Clasifique las siguientes ecuaciones
diferenciales dependiendo de si son lineales o no lineales. Indique las variables independientes y dependientes, y los tdrminos no lineales,
si los hay.
a) tff+:,:o y:y(t)
d)
Pot1ff+
b) r!
e)
@"
*
t:o
c) * *r':o
,:e
a) b) c) d) e) fl
y:
y(t)
y:y(t)
D#t
(sen2r)y: sen2y:
Q y: y(t)
Q
y:
y(t)
f) gor*>ft*sen2x:o y: y(t), x:
x(t)
Lineal; variable independiente r; variable dependiente y.
No lineal; variable independiente r; variable dependiente y; t6rmino no lineal y(dyldt). No lineal; variable independiente r; variable dependiente y; t6rmino no lineal y2. Lineal; variable independiente
l;
variable dependiente y.
No lineal; variable independiente r; variable dependiente y; t6rminos no lineales (cos y)&yldtz y sen 2y.
No lineal; variable independiente t; variables dependientes
fl&yldtz y
sen 2x.
.x e
y; t6rminos no lineales (cos
78
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
3.11. iPor qu6 ninguna de las funciones trascendentales es de primer grado? cas
Las funciones trascendentales, tales como las logaritmicas, las trigonom6tricas y las hiperb6liy sus correspondientes inversas, no son de primer orden porque ellas se definen o pueden
escribirsecomoseries infinitas. Por tanto su grado es, en general, iguala infinito. Porejemplo
@
,2n-l
X3 X5 --:: 3!* 5! -
x: f, (-t)'-t; *:x,E, ' l2n - I)l
...
en la cual el primer t6rmino es de primer grado, el segundo es de tercer grado, y asi sucesivamente.
La ecuaci6n caracteristica
3.12.
Encuentre el polinomio caracter(stico
a)
day d2v *9 +7Y:u aro
b)
orz
caracteristica para cada sistema:
dav
d2v
dro
orz
*9
+
7y:
senu
a)
Haciendo D'': d'ld{ paran:2y n:4, el polinomiocaracteristicoesDa ecuaci6n caracteristica es Da + 9D2 + '7 : O.
b)
Aunque la ecuaci6n dada en la parte D) es no lineal, mediante la definici6n 3.8 (el t6rmino sen rl no es de primer grado en u), podemos tratarla como una ecuaci6n lineal si arbitrariamente hacemos sen u : .r, y tratamos a.r como una segunda variable dependiente, la cual representa la entrada. En este caso, la parte b) tiene la misma respuesta que la parte a).
3.13. Determine la soluci6n de la ecuaci6n Hagamos D2
= E. Entonces, Da :
E2+9E+7:0 Independencia lineal
3.14.
y la ecuaci6n
E:-
caracterfstica del problema anterior.
E2, y la ecuaci6n caracterfstica se convierte en cuadr6tica:
9
t,[s3
v
D:
+
y conjuntos fundamentales
Demuestre que para que un conjunto de z funcione s fr, fz,.
..,
diente, es condici6n suficiente que el determinante
f' dh
f,
f,
dh
df"
dt
dt
dt
d"-rh
d"-rfz
d"-rfn
a;- a;sea
+ 9Dz -l 7;yla
f,
sea
linealmente indepen-
a;-
diferente de cero. Este determinante se llama wronskiano de las funcione
sfr,fz,...,f,.
ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA
Y
79
SISTEMAS LINEALES
v Suponiendo que
I
lasf
son derivables por lo menos n
-
I
veces, dejemos que las n
-
I
derivadas de
crfr*crfr4.'- *cnfn:Q se formen como sigue, en donde los c; son las constantes desconocidas:
df, df. ,r; +rr;
cr
dn rfz
dn-'f,.
n*r +', o*u
+
*.-'*r,ff:O dn-'fn "'+c' o- :v
/? ecuaciones lineales homog6neas simult6neas en las n dados por los elementos del wronskiano. Es con coeficientes constantes desconocidas c r, c2,.. ., cn bien conocido que estas ecuaciones tienen una soluci6n diferente de cero pdtacl, c2,..., c, (es decir, no todos los c; son iguales a cero) si y s6lo si el determinante de los coeficientes (el wronskiano) es igual a cero. En consecuencia, si el wronskiano es diferente de cero, la rinica soluci6n para c1,
Estas ecuaciones pueden considerarse como
I
: cn:0' Evidentemente,estoequivaleadecirque , ft, ., f" son linealmente independientes, puestoquelarinicasoluci6nparaclfl-lc2f2*"'*cnfn:0esentoncescl--c2 cn:0. : c2:
c2,...,cnecslasoluci6ndegeneradacl
si el wronskiano es diferente de cero, las funcionesfl
En consecuencia, una condici6n suficiente para la independencia lineal de/I, f2,...,f" es que el wronskiano sea diferente de cero. Esta no es condici6n necesaria; es decir, existen conjuntos de funciones linealmente independientes para los cuales el wronskiano es cero.
3.15.
Demuestre que las funciones
El wronskiano de
l, t,
t2 son linealmente independientes.
estas tres funciones (v6ase el problema 3.14) es
11 rt tl l0 2tl:2
l0
0
2l
Puesto que el wronskiano es diferente de cero, las funciones son linealmente independientes.
3.16. Determine un coniunto
fundamental para las ecuaciones diferenciales
d3v dzv dv a) drr*5*+8A*4y:u
I
t
a)
b)
d3v drt
*4
dzv dv +uA*4Y:u dt,
El polinomio caracteristico es D3 + 5D2 + 8D * 4, el cual puede escribirse en forma factorizada como (D + 2)(D + 2)(D * l). Correspondiente alataiz D1: - I hay una soluci6n e-t, y correspondiente a la raiz repetida Dz: Dt : - 2hay dos soluciones s-2t y tu-z'. Las tres soluciones constituyen un conjunto fundamental.
80
b) 3.ll .
Y
TEORIA
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
El polinomio caracteristico es D3 + 4D2 + 6D * 4, el cual puede escribirse en forma factorij)(D + 2). zada como (D + Entonces un conjunto fundamental es e(-l -t)t, e(- | +i)t, y e-2t .
+l
i@ + | -
Para las ecuaciones diferenciales del problema 3.16, encuentre conjuntos fundamentales diferentes de los encontrados alli.
a)
Escojamos cualquier determinante
3 x 3 diferente de cero, digamos
r 2 -11 -3132 0l: -5 -21 Utilizando los elementos de la primera fila como coeficientes ali para el conjunto fundamental encontrado en el problema 3.16, se forma
g-t, s-2t, tu-zt,
zr:
e-t + 2e-2t
te-2'
-
I
Utilizando Ia segunda fila, se forma
l
I
l I
zz: -3e-' +2e-2t
I l
De la tercera fila, se forma
l l
23:e-t +3e-2r -2rc-2t
l /
j I
l
Las funciones zr, zz
b)
! zj, constituyen un conjunto
Para esta ecuaci6n generamos
el
l
fundamentat.
l
segundo conjunto fundamental haciendo
l
Zt: e -' l I
,r: i.r,-
r
+i)' +
! r,-r -,r, : u,('-t'
_ e_,( cosr-"/sent + cost +/senr)
,r:
J-"r-r*r>,
l
; "' ) :
I
l
"_,"or,
- L"<-r-ir:,
:ct_,/ cost*7sent-cost+j z,,'
t
ECUACIONES DIFERENCIALES. ECUACIONES DE DIFERENCIA
El determinante de coeficientes en este caso
Y
8t
SISTEMAS LINEALES
es
100 11 0- 22 11 o-2j2j
1
2j
Soluci6n de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con co€ficientes constantes
3.18. Demuestrequecualquierrespuestalibrey,(r):Il:,c6yp(r)satisfaceLi=sai(dyldfy:9.
:
Por la definici6n de conjunto fundamental, yk!), k |,2,..., n satisface Sustituyendo Li,:ctv*(t) en esta ecuaci6n diferencial se produce
-1 d'[3 ,1,",
*[)
I : n n di
+r-(r)J
Li-,6a,(diyo/dti1:
n f n a'yo7)f
g.
L,,ol|r",-#]:o EoP,", *(,ovo?)):
^
Se obtiene la riltima igualdad porque el t6rmino entre corchetes es cero para cualquier k.
3.19.
Demuestre que la respuesta fbrzada dada por la ecuaci6n (3.14)
y u(t
)
:
Io',1,
-
ili,u,!#fo,
satisface la ecuaci6n diferencial
# 'd'u i^o'' - !o'' *
':ootT: Por simplificaci6n, hagamos
avri
dt
:- Jo y a'u^ ')
r(t) =E'!'
ob
(diu/dti). Entonces ytQ): IdrU - t)r(t)dt !
10w(t - r) rft) dt dr++ w(t w(r - r)r(r)1,_,: t)r( 'l
ar-'(t)
[i-r(r)
dt + 0'r(r)
De manera similar,
dty, I 02w(t - r\ dn-ryt,: 1,O,-rw(t - r\ r(r) dt,. , -A, : J;--;--,, ,r- J; at;=T-r(r) puesto que por la ecuaci6n (3.16),
a
o'w(t-r)l :!:91 ?ti
I
dti
_o l
para
i:0,r,2,...,il_2
dr
82
TEORIA
La r-sima derivada d"
y
pRoBLEMAs DE RETROALIMENTAiIoN
stsrEMAS DE coNTRol-
es
y,, ,, O"w(t - r) |u-tw( r - r) | r(r) dr + -F ''( t) : at--l,_,
dt - [-
puesto que, por
y
n,
|nw( t -
r\
J;-iF--t
r(r\
dr +
r(t)
la ecuaci6n (3.16),
0'-tw(t-r) |
d"-tu,(r) _ :-r,-,-l atuT,
[,a suma de las n derivadas
|
:1
es
.1. d'yu: ,,[ g
T'w(t
l,l!"'-T
!,"';
Finalmente, haciendo el cambio de variables
t- r:
-
t)l )r(r)
dr +
r(t)
d en el tdrmino entre corchetes, se produce
3 diw(o) :o i,:0o,.u''(e\- Loo' * '/,'
porque w(d) es una respuestalibre (Vdanse la secci6n 3.10 y el problema 3.18). En
consecuencia
I
iu*
i",+:r'(r)= Fo' dl i:o ' fu' 3.20.
Encuentre la respuesta libre de la ecuaci6n
diferencial
l
d3v d2v dv -=*4-3i6-:-*4v:u dt' dt' dt /(0): l,(dy/dt)1,-o:0, y @2y/dtz)1,:o: -1.
con las condiciones iniciales
De los resultados de los problemas 3. I 6 y 3. I 7, se encuentra que un conjunto fundamental para esta t, sen /. En consecuencia, la respuesta libre puede escribirse como ecuaci6n es e-2', e-r, cos t,
e
Y"(t)
:
cte-2' + c2e-' cost
*
cre-t
sen
/
Las condiciones iniciales proporcionan el siguiente conjunto de ecuaciones algebraicas para c 1 , c2,
ca.'
y"(0):c,*c2:, *1,:o: -r.,-c2*cr:Q #1,_r:4ct-2cr: -1 de las cuales
cr:!,t2:i,
ct: |.
y.(t): 3.21.
Por tanto, la respuesta libre es
1^1 rt-'' *
re-tcost
*
3
1e-tsent
Encuentre la funci6n de ponderaci6n de la ecuaci6n diferencial
dzv
dv
du
d,r*oA*4t:3V+2u
!
ECUACIONES DIFERENCIAL€S, ECUACIONES DE DIFERENCIA
La ecuaci6n caracterfstica es D2
Y
LINEALES
SISTEMAS
+ 4D + 4: (D +
:
2)2
O, conraiz repetida
83
D : -2.
En consecuencia, un conjunto fundamental es el dado por e-2' , te-2' , y Ia funci6n de ponderaci6n
tiene la forma
tu(t) : cte-2'+ crte-zt con las condiciones iniciales
,(0)
:
Irrr-'' + crte-2'll,-o: Entonces
3.22.
w(t):
cr
:0
+
#1,:":l-2cre-''
cre-zt
-
2crte-2'll,:o:
rc-2t.
Encuentre la respuesta forzada de la ecuaci6n diferencial (problema 3.21):
+.q!*+y:t!+zu dt" dt dt en donde
u(t):
e-3t, t >
O.
La respuesta forzada esti{ dada por la ecuaci6n (J./4) como
y;t)' : ro ['n(,
-,>lt* ['n(t' - i+ 'L dr + zulI a,: t Jo 'dr
dr +
2
['w(t - r\udr
Jo
Realizando la primera integral por partes,
I"*1, -
i#
o,:w(t - r)u(r)lio- I"Y!fa,o, :,u(o) u(t)-w(r)u(o) -
Pero w(0)
:
I'a"lLlud,
0; en consecuencia, la respuesta forzada puede escribirse como
I ['[ -ru"('r-') - a, *, 2w(t - r)lu(r) dr - 3w(t)u(0) , : Jol.
vt(t)
A partir del problema
3.21
,
w(t
- r):
(t
- r)s-2(t-'1' I
| -aw(t-r) +2w(t-")] : 3e 2('-7t [-ra;--1
por tanto
4(t
-'t - r)s-2t'
y Ia respuesta forzada es
yr(t) :3r-u ftr2'r-3' dt Jg
4te-2'
['e2's-t' Jg
dr + 4e-2t ftrr"r-3t 4, JO
- 3p-2t
:7Ie-2t-e-3t-rc-2tf 3.23.
Encuentre la salida
con las condiciones
y de un sistema descrito por la ecuaci6n
dzv dv * 3A *2Y:l + t dr, iniciales y(0) : O y (dyldt)lt:o : l.
diferencial
cz
:I
84
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETRoALIMENTACIoN
Y
SISTEMAS DE CoNTRoL
Hagamosrl1:Iyu2:t.Larespuestaydebidaarractuandosola,sedetermin6enelejemplo
: tr( En el ejemplo 3.24 se encontr6 que la respuesta libre yoparala "-''). ecuaci6ndiferencial esya= e-t - €-:2t. Larespuestaforzadadebida au2est6dadaprlaecuaci6n (3 . I 4) . Utilizando la funci6n de ponderaci6n determinada en el ejemplo 3 . 25 la respuesta forzada , 3.27 que er&)1
debida a u2 es
n: t'n( - r)ur(r) dr: l'1r-<'-r' - e-z(t-atlrdr : J6 ftzs' dr - e- Jo ['r"" d, : llor-' - e-2' + zt - 3] 2'
"-'
4'
Asi, la respuesta forzada es
rt : rr t
!z: 4'llor-, -
3e-2,
+ 2t -
rl
-
Ll
y la respuesta total es
| : lo * lt :
1
Tlge-,
-
7e-2, + 2t
l
1 3.24.
Encuentre las respuestas transiente y en estado estacionario de un sistema descrito por la
ecuaci6n diferencial
dzv dv *3A*2Y:7+t d,, iniciales y(0) : 0 y (dy/dt)|,:0 : L
con las condiciones
La respuesta total para esta ecuaci6n se determin6 en el problema3.23 como 1
,: olle-'-7e-2'+2t-rl Puestoqueel lim,--[f(8e-t-7e-zt)] :0, larespuestatransientees rr:1{8"-'-7e-2').Y larespuesta en estado estacionario es ;ls.e : IQt - t). Funciones de singularidad
3.25. Evalfe: a) lft2|(t -
a)
Utilizando /r8t2611
b)
*
(b) Ii
sen 16(r
-
propiedad de muestreo t2lt :6 : 36.
Puesto que el intervalo de integraci6n 0
unitario,
3.26.
la :
6) dt
6) dt,
t = 7 , la integral /oa sen 16(l -
7) dt.
de la
funci6n
de
impulso unitario
4 no incluye la posici6n de la funci6n impulso
7) dt
:0.
Demuestre que la respuesta paso unitario y1(t) de un sistema lineal causal, descrito por la
integral de convoluci6n
y(t\: I:t, - r)u(r) dr
$
I
ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA
I
b
Y
SISTEMAS
LINEALES
85
est6 relacionada con la respuesta impulso unitario y6(t) por medio de la ecuaci6n
v,(t):
!{v6Q) dr-
La respuesta paso unitario estd dada por y1(t) - ISuQ - r)u(r)dr, en donde 11t; es una funci6n paso unitario. En el ejemplo 3.29 se demostr6 9ue )a(D : w(t). Por tanto
ylt) Ahora hacemos el cambio
:
- r) u(r) a, : t' nQ - r) dr de variable 0 : t - r. Entonces, dr : -d0, r : Ion{,
i : r implica e : 0, y la integral y,(t) 3.21
.
0 implica 0
:
t,
se convierte en
: - t,o ru{e) d0 :
d0
fr'n(0)
Demuestre que la respuesta rampa unitaria y,(r) de un sistema lineal causal descrito por la integral de convoluci 6n (vtase el problema 3 .26) est6 relacionada con la respuesta impulso unitario yo(t) y con la respuesta paso unitario y1(t) por medio de la ecuaci6n
y,(t): Io'r,tr') ar' :
lo'
lo
*(o)
do
dr'
Procediendocomoenelproblema3.26conw(t-r):)'6(/-z),ycambiandorport-r', obtenemos
y,(t): l;rt, - r)rdt: !'{t -
r') tu(r') dr
:
dr' Ir,^
A partir del problema 3.26, el primer t6rmino puede escribirse como tldya!) dr'
:
ty1/t). El
segundo t6rmino puede integrarse por partes, produciendo
[r'
en donde
ru1r'1
dy{r') : y5ft')dr'. y,(t)
dr'
:r' yt(")l; I]rr{r') or'
En consecuencia
: ty,(t) - ry,( r) + ton\) dr, : t'r,(,,) d,,
Utilizando nuevamente el resultado del problema 3.26, obtenemos la ecuaci6n pedida.
Sistemas de segundo orden
3.28.
Demuestre que la funci6n de ponderaci6n de la ecuaci6n diferencial de segundo orden dv dzv * z(',
ar,
est6 dada por
lr(t)
dt
: (llo)e-at
+ o:iY: otiu
Kn @4t,en donde d
:
(@n,
La ecuaci6n caracterfstica D2 + 2(o4D + af
:0
tiene las raices
3
Dr: -{a,+ir,rft { Dr: - {o4 - jr,,lt 1
: -ol_ j.;.a : - a - jua
ro = r,{l--(,
0
=f=
1.
TEORIA
86
Y
Un conjunto fundamental es .lr escribirse como
PROBLEMAS DE RETROAI,IMENTACION
:
e-o'eJ'ot,
,( r) : en donde c1
(t) : : :
e- "'
L
rrcos
e-dts-Jaa'; y la funci6n de ponderaci6n puede
cre a's-ioat * cre-otsi'tt
ca,i
t - jc1 sen r,2/ +
( c,
+ ,r) r- "'cos al/, + j(cz
Ae-
dt
cos
SISTEMAS DE CONTROL
coeficientes desconocidos. w(r) puede escribirse de nuevo como
) c2 son hasta ahora w
y^:
Y
o// + Be-"'
-
c2 cos
cr)
a, t *
e-"t
j
crsen t rTt
]
senaot
sen.ndt
A = c t I cz y B : j(cz - c I ) son los coef icientes desconocidos determinados a partir de las condiciones iniciales dadas por la ecuaci6n (J./6). Esto es, en donde
,(0) : IAr-"'
t
*
Be*otsenosotll,_o:
,l :
O
dwlI
El,:n: Be "'[orcos a.tt-a.sen.i.(tt]1,:o: Bau:1 ,(t):
Por tanto
3.29.
cosr,i'.tt
I -e-ot od
seno't
I
Determine la raz6n de amortiguact6n {,la frecuencia natural no amortiguada an, la frecuencia natural amortiguada ro7, el coeficiente de amortiguaci6n ct, y la constante de tiempo r, para el siguiente sistema de segundo orden:
2
d2v
dv
*+oA*8y:8u
Dividiendo por 2 ambos lados de la ecuaci6n &yldt2 + 2(dy/dt) + 4y coeficientes de esta ecuaci6n con los de la ecuaci6n (3 .22), ob:tenemos: 2{t soluciones @n: 2 y t : i: 0,5. Ahora rr:rnf|J:'ll ,
:42.
t, :
2
":(a,:1,!
3.30.
Comparando los y ,1 : 4 con las
r:L/a:1.
El sobrepulso de un sistema de segundo orden en respuesta a una entrada peso unitario es la diferencia entre el valor m6ximo alcanzado por la salida y la soluci6n en estado estacionario. Detennine el sobrepulso para el sistema del problema 3.29, utilizando la familia de curvas normalizadas dada en la secci6n 3.14. Puesto que laraz6n de amortiguaci6n del sistemaes { :0,5 se utiliza la curva normalizada correspondiente a { :0,5. Esta curva tiene su valor miiximo (pico) en ant : 3,4. A partir del problema 3.29, a,: 2, por tanto el tiempo to en el cual ocurre el pico es to : 3 , 4/an : 3,412 : 1 ,7 s. El valor alcanzado en este tiempo es 1,17 y el sobrepulso es l,l7 - 1,00 : 0,17.
Representaci6n por variables de estado de sistemas descritos por ecuaciones lineales diferenciales y de diferencia
3.31. Convierta la ecuaci6n
diferencial
d'y dtz
a
ECUACIONES DIFERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA
Y
87
SISTEMAS LINEALES
:
l y (dyldt)|,:g: - 1 , en la forma de variables de estado. con las condiciones iniciales y(0) Desarrolle luego una soluci6n para la ecuaci6n de vectores y matrices resultante en la forma de la ecuaci6n(3.26),y a partir de ella especifique larespuesta libre y la respuesta forzada. Tambi6n, para u(t) y
: I especifique las respuestas transiente y en estado estacionario.'
=xzconxr(0): I, Haciendo.rl =yydx/dt:.x2,larepresentaci6nporvariablesdeestadoesdx/dt (3.25) son ecuaci6n de la general forma y la A B en Las matrices 11 con xz(0) -1.
:
dx2ldt:
,': [3 l] Puesto que Ak
,: [?]
: 0 para k >-- 2, la matiz de transici6n es [r 'l
eA':I+rlt:Ii i]
y la soluci6n de Ia ecuaci6n de
l;;[:]]
i
o,
despu6s de
variables de estado puede escribirse como
:ll ilt-tl.lJ[l ";"'][,,0",],"
multiplicar las matrices en cada t6rmino,
xt(r)
:1 -t+ I'Q-r)u(r)dr
tr(t) : - I+ l'u(r) dr Las respuestas /lbres son
xt,(t) :t -
t
xr.(t): -L .
.. y las respuestas
forzadas son xu,U)
:
['{ t - ,) u(r) dr
x,u(t): JO['u(r) d, Parau(t):
y
3.32.
l,xr(t): I - l+ ft2yx2Q;: -l
+ t.Lasrespuestastransientessonxtlt):0yx2{t):0
las respuestas en estado estacionario son xrEE(t)
: I - t + ttl2 I
xzre!)
: -l *
r'
Demuestre que la secuencia de ponderaci6n de la ecuaci6n de diferencia (3.29) tiene la
forma de la ecuaci6n (3.34). La t6cnica utilizada para resolver este problema se llama variaci6n de pardmetos. Se supone que la respuesta forzada de la ecuaci6n (3.29) tiene la forma:
yuG):ic,(rc)y,(r<) J:L
*
,..., y,(k) es un conjunto fundamental de soluciones, Y c (k), ' " , c,(ft) es un conjunto de par6metros desconocidos dependientes del tiempo, los cuales van a determinarse. Puesto que : 0'...' ya(0) : 0 para cualquier respuesta forzadade una ecuaci6n de diferencia, entonces' cr(0) : Asi + Acl/<). : + l) clk) cr(ft como + escribe l) se pardmetro c{k 0. El c,(0) en donde yr (k)
Y
TEORIA
yt(k+1)
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
n
I : I c,(k)r1(k+ r) + ln Aci( k)y,(k+\l | | j:r [.r:r I
Los incrementos Ac;(k),. .. , Ac,(k) se escogen de tal mancra que el t6rmino entre corchetes es cero. Este proceso se repite para y6(k + 2) de tal modo que
yt(k + 2) :
n
fn
I
t c,(k) t,(k + 2) + | | ac,(k) r,(r + z)| j-t Lr-r l
El t6rmino entre corchetes nuevamente se hace cero al escoger los incrementos Ac1(/<),..., Ac,(t). Se generan expresiones similares para y6(k + 3), y6ft + 4),..., y6(k * n - l). Finalmente,
yt(k+,?):
n
ln
I
L"r:t
I
I c,(k)4G+n)+ | Ia",(k)y,(k+n)l j:r
En esta riltima expresi6n, el t6rmino entre corchetes no se hace cero. Ahora, la suma en la ecuaci6n
G.29) es nnnn
L
o,yr(k
t-0
+,)
: E ,iG) l, j:l
a,h(k+ i) r:0
+
a,l
j-l
tc,(k) r1(k + n): u(k)
1
Puesto que cada elemento del conjunto fundamental es una respuesta libre, entonces n
L
t:0
o,y,(k+ t)
:0
para cada i . Se ha generado entonces un conjunto de z ecuaciones algebraicas lineales con n inc6gnrtas:
i
d,",1t 1y,1e + 1) :
n
I
j:r
A,c,(k) y,(k + 2)
o
:0 :
' Ij:r
t'c,(k)
t(k + n) :
u(k)
-
Ahora Ac;(k) puede escribirse como
an
M,(k) t; u(k) Ac.(k): r\ r M(k):'- an en donde M(k) es el determinante
lr'(t + t) z) M(k) :lr,(* .+
l::'.:l ltt(k+
")
yr(k+t) y,(k+\l v,(k 2) ' ' v(t.+ z) .+ :
yr(k+
n)
|
y,(k+ n)l
I
Y
ECUACIONES DIFERENqIALES, ECUACIONES DE DIFERENCIA
SISTEMAS LINEALES
89
F M1&) es el cofactor del riltimo elemento en lai-6sima columna de este determinante. Entonces los par6metros c(k),..., cn(k) esti4n dados por
i
c,(k):
t-l
f
t:o
Acr(/)
:rf' 524t) Eo M(l) an
Entonces la respuesta forzada se convierte
yt(k):
n k-L M,(l) u(l) I E +=:v,(k\ o, r:o M(l) a, '"
n M.(t\ I : *_rl I I L;#;r'(k)1il(/) anivr\t )
t:o l7=r
J
Esta riltima ecuaci6n estd en la forma de una suma de convoluci6n con la secuencia de ponderaci6n
w(k-t):i!*r,t*) a'M(l)''' 1-'1
Linealidad
3.33.
y
superposici6n
Usando la definici6n de linealidad, definici6n 3.21, demuestre que cualquier ecuaci6n diferencial de la forma:
io,(,)#:,
,:0 en donde y es la salida Sean u1 y z2 dos entradas
y a es la entrada,
aftitrarias,
!
es lineal.
sean ;l1 y y2 las salidas correspondientes. Entonces, con todas
las condiciones iniciales iguales a cero,
.:. a,\t). -dty,: u, )-
i:0
AI
y
3 ar\t) , ,d'yr. : L )j a, i:0
u2
Ahora formamos
c,u,*
c2u2:
"[i,,,,
,#]*.,11
,,1,
,#)
d'(rrv-r) 3 .,d'(rrvr)* io,(r) : l-^a,\t) ,. , dt, &, ,1 : c2v)
]
t,",rr#(c,v,+
Puesto que esta ecuaci6n es v6lida para cualquier
cr Y cz, la
ecuaci6n es lineal.
90
TEoRIA
3.34.
y
pRoBLEMAS DE RETRoALTMENTAcToN
Demuestre que un sistema descrito por
y(t) lineal, y es la salida Sean
u; y
:
I
la integral de convoluci6n
y ,, es la entrada. y
sean
n: t**r(t,r)ur(r)
n: l**r(t,r)ur(T) dr *
stsrEMAs DE coNTRoL
Il*,{,, r\u(r) dr
u2 dos entradas arbitrarias,
Ahora, sea cp1
y
c2u2 urril- tercera entrada,
Il**1,,r)lcrur(r) + crur(r)l
y
formamos
dr: rtl**n(t,r)ur(r) :
qYr +
dr
d, + cr!*-r(t,r)ur(r) dr
czy2
Ya que esta relaci6n es viilida para cualquier c1 y c2,la integral de convoluci6n es una operaci6n (o
transformaci6n) lineal.
3.35. Utilice el principio de superposici6n u2
la salida y, en la figura 3-9.
para determinar
= coazt
Figura 3-9 Parau2: ut: O,lr: 5(d/dt)(sent): 5 cos t. Paraul: - uz : 0. y., : -5t2. En consecuencia
uz: O,lz:5(d/dt)(cos2t)
Para u1
| : h 1 lz+y, : 3.36. Un
5(cost
sistema lineal se describe mediante
w(t,r) - e-lt-rl Suponga que
-
2sen2t
-
: - l0 sen 2r.
t2)
la siguiente funci6n de ponderaci6n para cualquier
t,I
el sistema se estimula mediante una entrada
u(t): t
para cualquier /
Encuentre la salida y(r).
La salida estii dada por la integral de convoluci6n (ejemplo 3.38):
y(t)
: I* d, : l' _r-t'-'tr dr * t,* rr'-'r, d, *r-,'-n, : !' dr + e' [,- e-'r dr '-' *"'
: e-'le'G- 1)l'--l + e'fe-"(-' - r)lil = zr
I
ECUACIONES DII.-ERENCIALES, ECUACIONES DE DIFERI]NCIA
Y
9l
SISTEMAS LINEALES
Causalidad
3.37.
Dos sistemas se definen por medio de las relaciones entre sus entradas y sus salidas como sigue:
Sistema
l:
I-a entrada es u(t),
y
en ese mismo instante la salida
es
y(t):u(t+T),7>0. Sistema 2: La entrada es u(t), y en ese mismo instante la salida
es
v(t):u(t'T),7>0. iAlguno de estos sistemas es causal? En el sistema l, la salida depende iinicamente de la entrada 7 segundos en el futuro. Asf que 6ste'no es causal. Una operaci6n de este tipo se llama predicci6n, En el sistema 2, la salida depende dnicamente de la entrada 7 segundos en el pasado. Este es un sistema causal. Una operaci6n de este tipo se llama retardo de tiempo.
Problemas suplementarios 3.38.
3.39.
;Cu6les de los siguientes t6rminos son de primer grado en la variable dependiente y b) tan y, c) cos r, A e ', e) te-'.
:
:
y(t\? al Py,
*
mu b en donde y es la salida, ulaenttaday Demuestre que un sistema descrito por la ecuaci6n y b son constantes diferentes de cero, no es lineal, de acuerdo con la definici6n 3.21 .
my
3.40.
Demuestre que cualquier ecuaci6n dif'erencial de la forma
3 o,(t); ,d'v: {.-,,d'u L b,(t) ut), L AI t-O i-0 .
satisface la definici6n 3.21
(Vdanse el ejemplo 3.37
y el problema
3.33).
ty
sen
,
y
sen
ftf, en las cuales n y ft son enteros, son linealmente
3.41.
Demuestre que las funciones cos
3.42.
Demuestre que las funciones sen nt
son linealmente independientes.
independientessin*k.
3.43.
Demuestre que las funciones
ry
I
constituyen un conjunto fundamental para la ecuaci6n diferencial
d2v dv t2-4 -2t: +2v:0 dt dt' 3.44.
F
Encuentre un conjunto fundamental para
d3v d2v 6, *6 + 2LA +'26Y: art ar,
tl
Capftulo 4 La transformada de Laplace y la transformada z 4.1
Introducci6n
Varias'tdcnicas de las usadas en la resoluci6n de problemas en ingenierfa se basan en el remplazo de funciones de una variable real (usualmente el tiempo o la distancia) por ciertas representaciones dependientes de la frecuencia o por funciones de una variable compleja que depende de la frecuencia. Un ejemplo tipico es el uso de las series de Fourier para resolver ciertos problemas el6ctricos. Uno de tales problemas consiste en encontrar la corriente en alguna parte de una red el6ctrica lineal, en la cual el voltaje de entrada es una onda peri6dica o repetitiva. El voltaje peri6dico puede remplazarse por su representaci6n en series de Fourier, y entonces puede determinarse la corriente producida por cada t6rmino de la serie. La corriente total es la suma de las corrientes individuales (superposici6n). A menudo esta t6cnica resulta en un ahorro sustancial de
los esfuerzos de c6mputo. En este capitulo se presentan dos t6cnicas de transformaci6n para el an6lisis de sistemas de control lineal muy importantes: la transformada de Laplace y la transformada z. La pimera relaciona funciones de tiempo con funciones dependientes de la frecuencia de una variable compleja. La segunda relaciona secuencias de tiempo con un tipo diferente, pero relacionado, de funciones dependientes de la frecuencia. Aqui tambi6n se tratan las aplicaciones de estas transformaciones matenrSticas para resolver ecuaciones lineales diferenciales y de diferencia con coeficientes constantes. Estos m6todos juntos proporcionan la base de las t6cnicas de an6lisis y diseno que se desarrollan en los capitulos siguientes.
4.2 La transformada
de Laplace
La transformada de Laplace se define de la siguiente manera: Definicidn 4,1:
Sea/(l) una funci6n real de una variable real r, definidaparat
sIf (t)l
= F(s)
= ,lT* l,'f {,1r-",dt: e+0
se
Io*.f
(t)e-,,dt
)
0. Entonces
0
llama transformada de Laplace def(t).,s es una variable compleja defi-
nidapors: a* jat,en dondeayalsonvariablesreales* y j:V
-1.
N6tese que el lfmite inferior de la integral es / : e ) 0. Esta definici6n del limite inferior algunas veces es titil al tratar funciones que son discontinuas en / : 0. Cuando s ehaceuso explicito
deestel(mite,seabreviaenlaformat:lim.-o€=0+,comosemuestraarribaenlaintegralde la derecha. La variable real t siempre representa el tiempo. x r,r
La parte real a de una variable compleja s a menudo
{ se escribe como Re(s)
como Im(s) (la parte imaginaria de s). Se colocan par€ntesis alrededor de
92
(la parte real de s) y la parte imaginaria
.r solamente si existe la
posibilidad de confusi6n.
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA ;
Definici6n
4.2:
93
Si.flr) est6 definida y es de valor sencillo parat > 0, y F(a) te convergente para algfn nrimero real o6, esto es,
es absolutamen-
0
< + oo lim f-lr(r) ' '" " ls-oo'|dt: ,r1t t,['lt?\le-ootd.t
JO*
entonces,(| es transformable en Laplace para Re(s) > ae. EJEMPLO 4.1. La funci6n e-t es transformable en Laplace puesto
[* Jo*
p-'1r-oo' dt [@-e-(r+astt "' : Jo,
'- '-
si 1*oo>0 6
oo>
:
cl1
-(1
+ %)
e-'
es
-
rr +
ootrl
: -l lo. 1*
<
+@
oo
-1.
EJEMPLO 4.2. La transformada de Laplace de
eI,-'l: loie-'e-"'r,: U$,-'"."'l:: *
t
que
4.3 La inversa de la transformada
para Re(s) >
-1
de Laplace
La transformada de Laplace convierte un problema del dominio de la variable real tiempo en el dominio de la variable compleja s. Luego de obtenerse la soluci6n al problema transformado, en t6rminos de s, es necesario "invertir" esta transformada para obtener la soluci6n en el dominio del tiempo. La transformaci6n del dominio s en el dominio r se llama inversa de la transformada de
Laplace.
Definici6n
4,32
Sea F(s) la transformada de Laplace de una funci6n
f{t),para t > 0. La
integral de contorno
g-tlF(s)l en donde
j : \/=
yc
)
se denomina inversa de
=
f (t)
n.*,^ : *1 Jc_ '* F(s1e" dg l' ZltJ ja
os(cro como se estableci6 en la definici6n 4.2),
la transformada de Laplace de F(s).
En la pr6ctica raravezse hace necesario efectuar la integral de contorno, dada en la definici6n 4.3. Para las aplicaciones de la transformada de Laplace en este libro, nunca ser6 necesario. En la secci6n 4.8 se presenta una t6cnica simple para evaluar la inversa de la transformada en la mayor parte de los problemas de sistemas de control.
4.4
,
Algunas propiedades de la transformada de Laplace
y de su inversa
La transformada de Laplace y su inversa tienen varias propiedades importantes que pueden usarse ventajosamente en la soluci6n de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes cons-
tantes. Estas son:
94
TEORIA
l.
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACTON
Y
t
SISTEMAS DE CONTROL
La transformada de Laplace es una transformaci1n lineal entre funciones definidas en el dominio / y funciones definidas en el dominio s. Esto es, si F;(s) y FzG), son las transformadas de Laplace deflQ)yfz|), respectivamente, entonces af {s) * a2F2(p) es la transformada de Laplace de af(t) + a;f2Q) en donde at y az son constantes arbitrarias.
2. La inversa de la transformada de Laplace es una transJbrmaci6n lineal entre funciones definidas en el dominio s y funciones definidas en el dominio t. Esto es, sif(t) y f2@
son las inversas de las transformadas de Laplace de F1(s) y FzG), respectivamente, entonces btflt) + btrfrQ) es la inversa de la transformada de Laplace de brFr(s) *
bzFzf) en donde br y bz son constantes arbitrarias,
Es la transformada de Laplac e de la derivada dfldt de una funci6n/(r) cuya transforma-
da de Laplace es F(s). I dfl sl+ l:sF(s) -/(0-) Ldt
l
en donde.l(0*) es el valor inicial def(t), evaluada como el limite unilateral cuando t tiende a cero, a partir de valores positivos. 4. Es la transformada de Laplace de la integral ldf
formada de Laplace es F(s).
5. F.s
uf[,'tt,l
o,f
el valor inicialflO*) de la funci6n
f(t)
G) dr
cuya transformada de Laplace es F(s).
Esta relaci6n se llama rcorema clel valor inicial
r>o
.
el valor final /(cc; de la funci6n.l(r) cuya transformada de Laplace es F(.r).
/(m) 7.
F
de snafunci6n.f(r) cuya trans-
/(0.): |r1i/tr): ,[1sr(s) 6. Es
del(r)
:
,h /(t)
:
lyXsr(s)
Si existe lim,--/(l). Esta relaci6n se llama teorema del valor final. La transformada de Laplace de una funci6n f\tla) (cambio de escctla de tiempo)
es
: aF(as) tl# [ \a/l)] en donde
F(s): gIf
Q)1.
La inversa de la transformada de Laplace de la funci6n F(sla) (cambio de escala de frecuencia) es
'-'1,(;)] en donde
9-r[;F(s)]: f(t).
: ar(a,)
t
f
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA Z
9.
La transformada de Laplace de la f'unci6n
yf(t-D:0parat
95
f(t -
11
(retardo de tiempo\,en donde i"
)
0
slf (t - r)l : e-"rF(s) en donde F(s\:5t171111. 10. La transformada cie Laplace de la funci6n
e-"tf(t)
est6 dada por
9[e-"'f(t)] :F(s+a) en donde F(s):glfG)l Qraslaci1n compleia). 1
I
. I-a transformada
de Laplace del producto de dos funciones
frQ\ y f2Q1 est6dada por la
integral de convoluci6n comPleja 1
slfr(t)fr(il: ; I,'** r,(r)rr(' - a) da en donde
Fr(s):9lfr(t)l y Fr(s):9lfr(t)|.
12. Lainversa de la transformada de Laplace del producto de dos transformadas Fl(s) y F2(s) est6 dada por las integrales de convoluci6n
F
v,-t
Ir,(')rr(')1: frl,t,lfru - r) dr:
Io',.-h{')f,tt
- r) dr
I
en donde
I
V"\fr1s11: fr(t) y 9-rlFrls)l:t(t)'
EJEMPLO 4.3. Las transformadas de Laplace de las funciones 9Le-2'l: l/(s + 2). Entonces, por la propiedad l,
9l3e-' -'-''l:391e-'l
i
e-' y z-2t
-91"-''l: *
son
g[e-'] :
l/(s
+ l) y
-
*
"*=+ l) y l/(s * 3) son
EJEMPLO 4.4. Las inversas de las transformadas de Laplace de las funciones l/(s
u'
f 11 v '1, ,,l:
.l 1 I
..
s='1, + 3l: ,- ''
Entonces, por la ProPiedad 2,
|2 4I :2e-'1,-l -t1l -4s-' tII :2e-'-4e-3' t-'l#-,*l l,*l
I
I
(dl.lr) EJEMPLO 4.5. Mecliante la aplicaci6n de la propiedad 3 puede determinarse la transformada de l/(s + 1) y lim t-o€ ': l, entonces Puesto que g[e-'l:
la I tr \ - I : slvk-,)l:,|.,;_,; r+
.-1
I
I' I
I
le-tl'
EJEMPLO 4.6. La transformada de Laplace dad
4.
Puesto que
9le- 'l : l/(s) + l),
de
l[e-'dr
1
puede determinarse por aplicaci6n de la propie.
cntonces
t., I 1/ 1\ slJ,,-, d"l : ;l., + I I :
1
;i;O
96
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
EJEMPLO4.7. LatransformadadeLaplacedee-3'es determinarse mediante el teorema del valor inicial
g[e-3j:
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
l/(s + 3). Elvalorinicialdee-3'puede
lime-3': ri- r(-l-\:t r*0 "'- \s+3/ EJEMPLO 4.8. La transformada de Laplace de la funci6n (1 - e-) es l/s(s funci6n puede determinarse mediante el teorema del valor final.
+ l).
El valor final de esta
,g(t -,-,):;1irc+u-t EJEMPLO 4'9. La transformada de Laplace e-'es l/(s + l). Mediante la aplicaci6n de la propiedad 7 (cambio en laBscala de tiempo) puede determinarse la transformada de Laplace de e-3,, en dondi a :
*:
lt 1 I :,* ete_,,1:;tFTl 1
EJEMPLO4.10. Lainversadelahansformadade l/(s + l)ese-'. L-ainversadelatransformadade puede determinarse mediante la aplicaci6n de la propiedad 8 (cambio en la escala de frecueniia):
l(js+ l)
!
9-,l.l -;t Il:3r-tt Iis+rJ EJEMPLO 4.11. LatransformadadeLaplacedelafunci6ne-res l/(s de Ia funci6n definida como
t>2 t<2
r(t\:{e-(-2) t 0 'puede determinarse mediante la propiedad 9 con
sIfU\l:
T:
+ l). LatransformadadeLaplace
2:
+ s*1
e-zs.sfe-\-
EJEMPLO 4.12. Latransformada de Laplace de cos / es s/(s2 t puede determinarse a partir de Ia propiedad l0 con a
cos
s*2 , -^. _a, Yle ---'t r- -'costl (s+2)2+t
+ l). La transformada.de
:
Laplace de e-2,
2:
s*'2 s2+4s+5
EJEMPLO 4.13. La transformada de Laplace del producto e-2'cos I puede determinarse mediante ta aplicaci6n de la propiedad I I (convoluci6n compleja). Es decir, puesto que J?[ e-ztl : l/(s + 2)y g[cos tl = s/(s2 * l), entonces
l
l
ete-z,cosrl _
* 1,,:;("h )( ,_=) a, : 7ffi 1
Aqui no
se presentan los detalles de esta
integraci6n de contorno porque son demasiado com plicados (v6aie por ejemplo !a referencia I I ]) y no son necesarios. La transformada de Laplace de e - 2'cos t se determin6 de manera muy simple al utilizar la propiedad 10, en el ejemplo 4. 12. Sin embargo, hay muchos casos en tratamientos miis avanzados de sistemas de control automiltico en los que puede usarse efectivamente la convoluci6n compleja.
I
"l l
I
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA
97
Z
: s/(s + l) (s2 + l) puede g-rfll(s + l)l - e-t y g'-L [s/(sz + l)]
EJEMPLO 4.14. Lainversa de la transformada de Laplace de la funci6n F(s) determinarse mediante la aplicaci6n de la pnopiedad 12. Puesto rye = cos t, entonces
tt I \/ t'll#)(*)l
4.5
s \l
,, tt : t',e-t'-'t cosrdr :'-' I:."'
cosrdr: |(cosr+sen t- e-')
Tabla resumida de transformadas de Laplace
En la tabla 4.1 se presentan algunas transfofmadas de I-aplace. No es completa pero, cuando esta tabla se usajunto con las propiedades de las transformadas de Laplace descritas en la secci6n 4.4 y las t6cnicas de expansi6n en fracciones parciales descritas en la secci6n 4.7, es apropiada para manejar todos los problemas de este libro. En el ap6ndice A se encuentra una tabla m6s
completa de los pares de transformadas de Laplace
TABLA
4.1 Transformada de Laplace
Funci6n de tiempo
6(r)
Impulso unitario
1(
1
r)
s
I
-J-
Rampa unitaria
t'
Polinomio
e-'
Exponencial
1
s+a G)
Onda sinusoidal
sen (,)t
Onda cosenoidal
cos (t)t
s2
+ ,r]
s --;--
s-+o(d
Onda sinusoidal amortiguada e
'Onda cosenoidal amortiguadd
e-o'cos tol
-:------* (s*c)-*o' J+lt (s+a)2+o2
La tabla 4.1 puede utilizarse para encontrar las transformadas de Laplace y sus inversas. Para encontrar la transformada de Laplace de una funci6n de tiempo que puede representarse por alguna combinaci6n de las funciones elementales que se dan en la tabla 4. I , se escogen las transformadas apropiadas de la tabla y se combinan utilizando las propiedades de la secci6n 4.4. EJEI1|PLO4.15. LatransformadadeLaplacedelafunci6nffl):e-4t+sen(r-2)+Pe-2'sedetermina como sigue. En la tabla se encuentra que las transformadas de e-4', sen
t y P son:
98
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
sl,-o,i:* L_a
aplicaci6n de las propiedades 9
glsen(t-41: Entonces la propiedad
I
+
SISTEMAS DE CONTROL
{
elsentl:#
y l0 respectivamente,
Y
s1,,1:3
produce
9lt2e-2'l:
dry
(linealidad) produce
I
"glf@l:,*
+
e-2"
2
rr+1* tr*r;
Para encontrar la inversa de la transformada de una combinaci6n de aquellas dadas en la tabla
4.1, se determinan las correspondientes funciones de tienrpo (inversas de las transformadas) de la tabla y se combinan de manera apropiada utilizando las propiedades de la secci6n 4.4. EJEMPLO 4.16. La inversa de la transformada de taplace de F(s) determinarse como sigue. Escribimos de nuevo F(s) como
:
[(s + 2)ls2 +
4]
e-"
puede
Jg-'
2e_ " r(s):rr+4+rr+4
Ahora
s '[.L l :"orzr t-'l:-]:sen2' Ls'+41 tr'+41 La aplicaci6n de la propiedad 9 para
t'[fr] Entonces la propiedad
I) l
produce
:cos2(r-1)
2 (linealidad)
'l?;]-sen2(,-
1)
da
9-tlr(s)l:cos2(r-
:0
4.6
'
1) +sen2(r-
1)
r> I t<7
Aplicaci6n de las transformadas de Laplace a la soluci6n de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
La aplicaci6n de las transformadas de Laplace a la soluci6n de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes consantes es de principal importancia en problemas de sistemas lineales de
control. En esta secci6n tratamos dos clases de ecuaciones de inter6s general. La primera de ellas tiene la forma:
3 : L ai--j r:O Al' d'v
u
(4.1)
endondeyeslasalida,zeslaentrada, loscoeficientes40,at,...,d!2-lsonconstantes,yan:1. Las condiciones iniciales para esta ecuaci6n se escriben como
dkv
I
fr\,-o.='t
k:0,I,...,fr-1
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA
F en donde
yf
son constantes. La transformada de Laplace de la ecuaci6n(4.1) estit dada por
nl
I
I lo,l''r1') ,:oL \ y la
99
Z
i-t \l E si-t--# | l: u(') *:o IJ
(4.2)
transformada de Ia salida es n i-l
si-r-kYk
,.0- -l'' \ u(r) -r --------a-., I (s' : -A-I o,t' L o,tt
(4.3)
,:0
,:o
N6tese que el lado derecho de la ecuaci6n @), es la suma de dos t6rminos: uno dependiente fnicamente de la transformada de la entrada, y otro que depende s6lo de las condiciones iniciales'
Adem6s, n6tese que el denominador de ambos t6rminos en la ecuaci6n (4'3)' esto es, n.
Io,"':J'+
ar-rs'-L * "'*ars*a6
t:0
es el polinomio caracteristico de la ecuaci6n (4.1) (viase la secci6n 3.6). La soluci6n en el tiempo y(l) de la ecuaci6n (4.1) es la inversa de la transformada de Laplace
de I(s), esto
es.
n i-l
,,,,:,_l#]._,1
I a,si-!-kY[ I k:0 ,:0 ----------nrsi
L
(4.4)
i
ais-
t:0 libre El primer t6rmino de la dere chaeslarespuestaforzada, y el segundo t6rmino es larespuesta del sistema, representado por la ecuaci6n (4.1). La sustituci6n directa en las ecuaciones (4.2), (4.3) y (4.4) produce la transformada de la y(r), respectiecuaci6n diferencial, la soluci6n de la transformada Y(s) o la soluci6n en el tiempo 4'4 vamente. Pero, a menudo es mds f6cil aplicar de manera directa las propiedades de la secci6n es bajo' para determinar estas cantidades, sobre todo cuando el orden de la ecuaci6n diferencial EJEMPLO 4.17. La rransformada de Laplace de la ecuaci6n diferencial
dzv dv :4 + 2y:1(r) : paso unitario + dt" l-idt : 2 puede escribirse directamente a partir de la con las condiciones iniciales y(0*) : -l y (dyldt)l r:o+ y3: -t' f6:2,ao:2'ttr:3'az: l'La y[:n:2, n,aiy (4.2),identifrcandoprimero ecuaci6n sustituci6n de estos valores en la ecuaci6n (4.2), produce
t 2Y + 3(sY
+1) + 1(s2I+ r - 2) :
1
;
o
(s, +3s+2')Y:
-(s2+s,-t) s
l0o
TEoRtA Y PRoBLEMAS DE RETRoALTMENTAcIoN
Debe tenerse en cuenta que cuando
definici6n
i:
y sIsrEMAs
DE coNTRoL
I
0 en la ecuaci6n (4.2), lasuma en el interior de los corchetes, por
es
,-l I
k:-r
II I:O ft-Oli-o k-o La transformada de Laplace de la ecuaci6n diferencial tambi6n puede determinarse de la siguiente manera. La transformada de *yldtz est6 dada por
dvl sl;I a'vl -'/(0.) -;l l:s,r(s) dr
J
L
ctt
l,_s*
Esta ecuaci6n es una consecuencia directa de la propiedad 3, secci6n 4r4
( viase elproblema 4. l7). Con esta.'N informaci6n puede determinarse la transformada de la ecuaci6n diferencial aplicando la propiedad (lineaI lidad) de Ia secci6n 4.4; esto es,
a'y+ -dy I --[ ary] | arl g:12 g.^l| -:+ 3-i- + -'J 2 v | - I | --r | + *L"atJ'&tL-'/t-\r -dt yl : (r,-rrrrL) + 3s + 2) I/+ s + t : g[1( t\l -tdt, l -sr 7:- | + Ldt' La transformada de la salida P(s) se determina reordenando la ecuaci6n anterior. v
: !r
s
es
r(')::(j'?+s-t)
s1s2+3s+2)
La soluci6n de la salida en el tiempo y(r) es la inversa de la transformada de y(s). Anteriormente, en las secciones 4.7 y 4.8 se present6 un m6todo para determinar la inversa de la transformada de funciones como
f(s).
Ahora, considere ecuaciones de coeficientes constantes de la forma:
(4.s\
!-",#:t"u,#
en dondeyes la salida, u es laentrada,
(4.5) estf dada por
3l
|
an:
Iym
,:1
\l
-
n. La transformadade Laplace de laecuaci6n
nl
i-r
I
\t
Dlo,ls'r(s)- I''-'-oy#ll: I la,ls,u(s)- Dr,-,-"u61| -ll ,:oL \ r:o lJ i-L \ Eo en donde
G.6)
u6:Gku/dtft)lr:0*. La transformada de salida I(s) es mi-t ni_I rn I
v('):
f e-0lb,s'-r-*u6 I Lo,r,-r-oyt lIa,', 1 i-0 + ,-0 &-0|+ lu(') Io,'' Io,r, llo,t'lJ i:o L i-0 i:o
G.z)
La soluci6n en el tiempo y(t) es la inversa de la transformada de Laplace de IZ(s):
f n
mi-r
I
f n i-r
l
IIb,si-t-kv[l lIIa,si-r-*r*l lDa,r' y(t):e-t | +-U(') - ':0 e-0l*s-rl i-o t:o| tr.rl
llo,'' L,-o
Io,r, j| ,-o
|L
Io,r, i_o
I
J
]
l0l
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA :
1r
El primer t6rmino de la derecha es la resp uestaforzada, y el segundo t6rmino es larespuesta libre de un sistema representado por la ecuaci6n (4.5). N6tese que la transformada de Laplace /(s) de la salida y(r) est6 formada por relaciones entre polinomios en la variable compleja s. Tales relaciones generalmente se llaman funciones racio: I nales (algebraicas). Si todas las condiciones iniciales de la ecuaci6n (4 .8) son cero y U(s) ' (4.8) dala respuesta impulso unitario. El denominador en cada t6rmino de (4.8) es el polinomio
caracteristico del sistema.
Para los problemas en los cuales no se especifican las condiciones iniciales en y(t), sino en algrin otro pardmetro del sistema (tal como el voltaje inicial en un capacitor que no aparece en la salida), deben obtenerse los yf , k: 0,1 , ..., n - l , correspondientes, utilizando la informaci6n disponible. Para los sistemas representados en la forma de la ecuaci6n (4.5), es decir, que incluyen t6rminos de derivada en u, el c6lculo de 1'f tambi6n depender6 de ufi . El problema 4.38 ilustra estos puntos. La restricci6n n 2 m de la ecuaci6n (4.5) se basa en el hecho de que lo9 sistemas reales ttenen un efecto suavizadoren su entrada. Porefecto suavizadorquiere decirse que las variaciones en laentrada se hacen menos pronunciadas (por lo menos no m6s pronunciadas) por acci6n del sistema sobre la enffada. Un diferenciador acentria las variaciones de la funci6n, puesto gue genera la pendiente de una funci6n de tiempo. De offa parte, un integrador suma el rirea bajo la curva de una funci6n de tiempo, en un intervalo determinado, y asi promedia (suaviza) las variaciones de la funci6n. En la ecuaci6 n (4 .5),la salida y estd relacionada con la entrada u mediante una operaci6n que incluye m derivaciones y n integraciones de la entrada. En consecuencia, para que haya un efecto suavizador (por lo menos qire no haya acentuaci6n de las variaciones) entre la entrada y la salida, debe haber m6s (al menos, igual nfmero) integraciones que derivaciones; es decir, n > m.
EJEMPLO 4.18. Cierto sistema se describe mediante la ecuaci6n diferencial
d'y du dt':A'
dvl
.y(o*):;1,:,.:o
de la cual, en la figura 4-l se representa gr6ficamente la entrada a. Tambi6n se presentan las funciones correspondientes duldt y
y(t): !".(-fio"ot: !'. u(0) d0 en estas gr6ficas, n6tese que la derivaci6n de rr acentria las variaciones, mientras que la integraci6n las suaviza.
Figura 4-l
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
rl EJEMPLO 4.19. considere un sistema descrito por la ecuaci6n diferencial
d2v dv
du
a,r*3a+2Y: *+3u con las condiciones iniciales /3 : I , d : 0. Si la entrada estri dada por u(r) : "- o, ,entonces la transforma_ da de Laplace y(t) de la salida puede obtenerse por aplicaci6n directa de la ecuaci6n (4.2), identificando
primerorn, n,ai,biy uf; n:2,as:2,a1=3,,a2:l,m: sustituci6n de estos valores en la ecuaci6n (4.7) produce
l, t3:lim,
,6
e-4t:l,bo:3,bt:1.La
y(,):(,'l' \r-l-)* -'13 -.--ls2+3s+2 \s2+3s+2/\s+41' s2+3s+2 Esta transformada tambi6n puede obtenerse por aplicaci6n directa de las propiedades ecuaci6n diferencial, como se hizo en el ejemplo 4. 17.
4.4, ala
I y 3, de la secci6n
Las ecuaciones diferenciales lineales de matrices y vectores con coeficientes constantes, tratados en la secci6n 3.15, tambi6n pueden resolverse mediante las t6cnicas de transformada de La-
place, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 4.20. Considere la ecuaci6n diferencial de vectores y matrices del probtema 3.31:
dx
V:Ax+bu
en donde
o,,:[;;[i]J ,:[B t] ': [l]
'.(o: [_l]
con u: ltO, la funci6n paso unitario. La transformada de Laplace de la forma de vectores y matrices de esta ecuaci6n es
y
sX(s)
-
x(0)
I :,4x(s) + -b
en donde iX(s) es la transformada de Laplace vectorial cuyos componentes son las transformadas
de Laplace de los componentes de x(r). Esta puede eicribirse de nuevo como Isr
-,1]x(s)
: x(o) + 15
en donde 1es la matriz identidad o unidad.La transform"i" O" Laplace del vector soluci6n x(t;
puede escribirse como
x(r) en donde
entonces
[.]-r
representa
: lsl - Al-rx(o) + 11rr - z1 -'u .s'
el inverso de la
matriz. puesto que
,r-r:{; :t] rsr
- At
': ih i]
LA TRANSFORMADA DE LAPI,ACE Y LA TRANSFORMADA
Sustituyendo [s1
-
A]
-',
103
Z
x(0) y b se obtiene
x':11].Ii] en la cual el primer t6rmino es la transformada de Laplace dela respuesta libre, y el segundo es_la
transformadadeLaplace delarespuestaforzada.Utilizandolatabla4.l,puedeninvertirse,t6rmino por t6rmino, ias transformadas de Laplace de estos vectores, que proporcionan el vector soluci6n:
x('): 4.7
,'/21
Ittluii +t
I
Expansiones en fracciones parciales
En la secci6n 4.6 se mostr6 que las transformadas de Laplace encontradas en la soluci6n de (es ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes son funciones racionales de s decir, razones de polinomios en s). En esta secci6n se muestra una representaci6n importante de las funciones racionales: la expansi6n en fracciones parciales. En la siguiente secci6n se muestra que esta representaci6n simplifica de manera significativa la inversi6n de las transformadas de
Laplace de una funci6n racional. Considere la funci6n racional
I
b,"'
L
o,t'
r('):+ j:o en donde an
{4.e)
: I y n 2 m. Mediante el teorema fundamental del 6lgebra, la ecuaci6n
polin6mica
del denominador
f, a,s': o
i:0 trene
n raices. Algunas de
estas rafces pueden ser repetidas.
EJEttfPLO4.21. Elpolinomios3+5s2*8s*4tienetresraices:
-2,-2,-l'-zesunaraizrepetida'
Supongaque laecuaci6n polin6micadel denominadoranteriortiene n1 raices iguales a en donde Li:t'nt: n' Entonces n, taices iguales 1 raices iguales 3
-P,,
-p2,...,
I o,t': j-ilI (" + p,)"'
,-0
-Pr,rtz
lo4
TEoRtA Y pRoBLEMAS DE RETRoALIMENTAcToN
y
srsrEMAs DE coNTRoL
La funci6n racional F(.r) puede escribirse como
I
m
I
,:0
F(s):
b,"'
rr ('+p,)'' La representaci6n de la expansi6n en fracciones parciares de la funci6n racional F(s) r
r('): en donde bn
:
O, a no ser que m
b^+
',0:
Ai
L I ;jI-;
dn'-
Dt
(a.rca)
t-l /<-l (J +Pil
: n. Los coeficientes
7
c;1 est6n dados por
k
+r,)''r,'r]
;*[('
(4.10b)
l": _r,
[-oscoeficientesparticularescil,i: l,2,...,rsedenominannesiduosdeF(s)en Si ninguna de las raices se repite, entonces
F(s):4+ en donde
ca
es
hr
n
f
-p;,
i:1,2,...,r. l
-
I ii-1 s+P'
(4.r ra)
: (s +p,)F(s)1,= _,
(t.t tt)
EJEMPLO 4.22. Considere la funci6n racional
F, \ s2+2s+2 s2+2s+2 r(s,,:P+3s+2:Glln;t La expansi6n en fracciones parciales de F(s)
es
r(r): b,+ j* + '?'= s*1 s42 El coeficientedes2enel
numeradoresb2: l. Loscoeficientesclr yc2r sedeterminandelaecuaci6n(4.1lb1
como
crr
:(s+ 1)r(s)1"-r:U:'r:;'l
ts--l
czr
En
consecuencia
:(s+2)r(s)1": f("):l*
-,-u
:1:{'l
-]s*1
rs--2
s*2
EJEMPLO 4.23. Considere la funci6n racional
I ' - (s+l)'z(s+z)
F(s) \
.
:t
^:
-,
LA TRANSFORMADA DE LAPL.T:E Y LA
105
TRANSFORI\
La expansi6n en fracciones parciales de F(s)
es
crr 4z +;i r(,):h+;T.Gff czt
Los coeficient€s 03, c11, cn, czr est6n dados por Dl
:0
d c' :;(r+ 6
d 1l " I I : -l l)'r(s)l ts=-t ds s*21"--t
:t crz:(s+l)'?r(s)1"--r:+l s*21":-, czr:(s+2)r(s)1"-_r:1 De esta
4.8 I
manera
r(r): -*.
*
#4,.
Inversas de las transformadas utilizando expansiones en fracciones parciales
En la secci6n 4.6 se mostr6 que la soluci6n a una ecuaci6n diferencial lineal ordinaria con coeficientes constantes puede determinarse encontrando la inversa de la transformada de Laplace de una funci6n racional. La forma general de esta operaci6n puede escribirse usando la ecuaci6n (4.10) como
jiEffiy]
:b.d(r).
b,:0
i _i ffito-,,-,,, (4
12)
:
n. Hacemos notar que el t6rmino del extremo derecho en la ecuaci6n (4 .l 2) es la forma general de la respuesta impulso unitario para la ecuaci6n (4.5). en donde 6(r) es la funci6n impulso unitario, y
a no ser qrre m
EJEMPLO 4.24. La inversa de la transformada de Laplace de la funci6n
r(,)' : (s+1)(s+2) ,'ii3'11. est6 dada Por
2 LI:s-'$]*n-'[,*11 l | 21 :6(r) +,-'r I s2+2s+2 I .t t :r'fiffi -2' -,-l ]-s'L,.rl l:s-'lt* i que es la respuesta impulso unitario para la ecuaci6n diferencial
d2v
dv
i*t*+2Y:
d2u
du
d,r*2*+2u
2'l
TEORIA
106
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
EJEMPLO 4.25. La inversa de la transformada de Laplace de la funci6n
r(,):
I
I
1,*fi,+A
estii dada por
Ijl:g-rl I .t_ I 1 .f [(s+1)'(s+2)l I t+1 (r+r)'z
!2-tl-
1
s+2
.l 1 I .f t r --,t 1l : -9-tl _ l+g-tl--------l+g-tl _ l:_r-t+rc-t+e-2r Is+rJ Is+2.| l(s+1)'l
4.9 La transformada z La transformada z se utiliza para describir seflales y componentes en sistemas de control discretos en el tiempo. Esta se define como sigue: Definici6n
4.42
Digamos que {/(f)}representa una secuencia de valores f(2), ..., o de manera equivalente f(k) para ft 0,
:
z se
z Comentario
l:
Comentario 2:
{
f(k)}
= F(z)
l,
reales/(0),/(l), Z, ...Entonces
l
: L f(r,)'-o k:o
llama transformada z de {f(k) . z es una variable complejqllgfuida por reales y j V -1.
: lL * jv, en donde p y y son variables
El k-6simo t6rmino de la serie en esta definici6n siempre es el k-6simo elemento de la secuencia que es z-& veces la transformada z. A menudo, {/(k)} se define para tiempos igualmente espaciados: 0, Z, 27,..., kT ..., en donde Zes un intervalo de tiempo fijo. Algunas veces la secuencia resultante se escribe como {/(/cl)l , o f(kT), k : O, l, 2, . .., y
I
:
LT-of &f \z- k, Wro,usualmente se suprime la dependencia de Z. Utilizamos los argumentos de la variable ky ET para las secuencias de tiempo de manera intercambiable, cuando no se presenta ambigiiedad. Z {f(kT)l
Comentario 3:
De modo diferente algunos autores definen la transformad a z como la transformaci6n z :- e"r,la cual se convierte en un simple cambio exponencial de
variablesentrelavariablecompleja
* j
s: p* jv
y lavariablecomplejas:
a
de la transformada de Laplace, en donde Zes el periodo de muesffeo de un sistema discreto en el tiempo. Esta definici6n implica una
secuencia l"f(k)l o lf(kT)\, obtenida medianre un muesrreo ideal (algunas veces flamado muestreo de impulso) de una seflal contimnf(t) en tiempos espaciados uniformemente kT, k : | ,2, ... Entonces, s : ln zlT, y nuestra
definici6n anterior, es decir, F(z) : DT_of &Dz- &, se obtiene directamente del resultado del problema 4.39. Comenzando el Capitulo 6 se desarrollan relaciones adicionales entre sistemas continuos y sistemas discretos en el tiempo, de manera particular para sistemas con los dos tipos de elementos.
I
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA
,
IO7
:1* z-t + z-2 +... + z-k + ...,eslatransformadazde
EJEMPLO 4.26. LaserieF(z)
f(k) -- t, k : 0. 1,2. ...
lasecuencia
Si la tasa de incremento en los t6rminos de la secuencia {/(k)l no es mayor que la de alguna serie geom6trica, a medida que k tiende a infinito, entonces se dice que {/(/<)} es de orden expo-
nencial. En este caso, existe un nfimero real
F(,):
r tal que
i
r7),-r
k:o r. A r se le llama radio de convergencia de la serie. Si r
converge para lzl ) secuencia t/(ft)l se llama transformable en z.
es
finito, la
i
EJEMPLO 4.27. La serie del ejemplo 4.26 es convergente para lzl cerrada como la funci6n
F(t) :
I'
I
> l. y puede escribirse en forma
para lzl> I
| ,_, _
Si existe F(z) para lzl ) r, la integral y la derivada de F(z), pueden evaluarse efectuando la operaci6n, t6rmino por t6rmino, sobre la serie que la define. Adem6s, si
k
para lzl> rt
Fr(r): L frUr)ro
para lzl> r,
Fr('): L fr!)t k:0 €
ft-0
I
entonces
F,(z)F,(z):
' * lk \ f I L nQ,- i)fz1)l'-o
r-o \ i:o
:
/
* lk ..\ I f,(k- i)fJi)l{k E I i:o
t:p
I
\
El t6rmino L!:rfr(k - i)fzl)se llama suma de convoluci6n de las secuencias ifi(fr)| y lfz$)l donde el radio de convergencia es el mayor de los dos radios de convergencia F{z) y FzQ)'
EJEMPLO 4.28. La derivada de la serie, en el ejemplo 4.26,
O'
2-Zz-3
:-,
kz-(k+Lt-...
dz
La integral indefinida
es
es
IrQ)dz:z*lnz-z-r+ "' EJEMPLO 4.29. La transformada z de la secuencia
fz&l
:
2k.
k
:0,
1,2,"',
es
Fr(t)-|*2z-r+4z-2+ "' para lzl
>
2. Si,
F1(z) es la transformada z en el ejemplo 4'26, entonces
@lk
F1Q)Fr(z):
\
I I lt-r2il'-o: *-o \,:o
l
o
L (20*'-t)z-* *-o
para
lzl>2
r08
Y
TEORIA
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
Latransformadazdelasecuencia/(k):Ak,ft:0,l,2,...,enlacualAescualquiernrimero complejo finito,
es
Z{Ao\ :
1
* Az-L + Azz-2 + ...
7z :1_A}:;J en donde el radio de convergencia es r : lAl. Eligiendo de manera adecuadaA, pueden definirse los tipos de secuencias m6s comunes y sus transformadas z generadas de esta relaci6n.
EJEMPLO 4.30. Para A
:
eor,la secuencia {Ae} es la exponencial muestreada
transformada z de esta secuencia es
Z con un radio de convergencia La transformada
Definicidn
4.5:
z
l,
eoT, e2ur,..., y ia
{"'o'}: -l| _ edTz-.r
,:le"rl.
tierte una inversa muy parecida a la inversa de la transformada de Laplace.
Sea C un circulo con centro en el origen del plano z, y conun radio mayor que el radio de convergencia de la transformada z, F(z). Entonces
z-1[r(z)l= {/(ft)} es la inversa de Ia transformada
::
zltJ
Ire)zk-r
rc
az
z de F(z\.
mayor parte de los problemas de sistemas de control discretos en el tiempo. En seguida se encuentran algunas propiedades adicionales de la transformada z y de su inversa, las cuales pueden utilizarse ventajosamente en los problemas de sistemas de control discretos en el tiempo.
.
La transformada z y su inversa son transformaciones lineales entre el dominio del tiempo y el dominio z. En consecuencia, si {/1(r)} y F{z) son un parde transformadas, y si {fz&)} y F2(z) son otro par, entonces {orfr(k) + a2f2(kl y af (z) * a2F2e) son un par
de transformadas para cualquier ar y az. 2. Si F(z) es la transformada z de la secuencia/(0),
z"F(z)
-
f(l), f(2),..., 4b - t)
entonces
z,f (0) - ,"*rf (t) secuencia/(n),f(n + l),f(n + 2), ..., para
es latransformadazde la
n) l. N6tese
que el ft-6simo elemento de esta secuencia es f(n + k). 3. El t6rmino inicial /(0) de la secuencia {f(k)}, cuya transformada z es F(z),
/(o) :
,t1i
(t
- z-t)r(z): r(*)
Esta relaci6n se llama teorema del
valor
inicta,i
I I
En la pr6ctica , raravez es necesario realizar la integral de contorno de la definici6n 4.5- Para las aplicaciones de la transformada z en este libro, nunca ser6 necesario. En lo que resta de esta secci6n las propiedades y t6cnicas son adecuadas para evaluar la inversa de la transformada de la
I
l
es
I
I
I
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y I-A TRANSFORMADA
:
IO9
1 4.
Asuma que la secuencia {/(k)} tiene una transformad a z, F (z), con radio de convergenl. Entonces, si el siguiente limite existe, el valor finalf(o) de la secuencia est6 cia
=
dado por
/(*) :
,tr3,
(t
- z-t)r(z)
Esta relaci6n se llama teorema del valor final.
5. La inversa
de la transform ada z de la funci6n F(zla) (catrbio de escala de frecuencia) es
: z-'lr(1'll a /1
1\ en donde z-tlF(z)l: t/(k)). i
oof(k)
k:0.1,2,.
.
O. SiF(z)eslarransformadazdelasecuenciaf(O),f(l),f(2),...,entoncesz-' F(z)esla transformad a z delasecuencia desplazada en el tiempofl - I )a/(0)',f( I ),..., en donde 0. Esta relaci6n se llama teorema del desplazamiento. f(-l)
=
;
EJEMPLO4.31. Lastransformadaszdelassecuencias {(l)o} V {(})fr} son z{(+)o} :t/(t - };' Entonces' por la propiedad I'
'{'(;).-(:)^\:+ :
Z"-1z
--9---T -t
i)
y z/(z
- i) ton
' ]-//1\-\ --,[ , ,L_l:\|.;/ i
l,
Entonces, por la propiedad
6
de las transformadas z de las funcione s zl(z
z I (l 1\o\ o-,I ,_,lu+l:\l._r)
y
*
'"-7* EJEMPLO 4.32. Las inversas
Z{(+)o\:'/(t -})'
l,
I z z .[ z" I / / l:lzl 2l -41;l z,lz_!,_4_+l:zz '\41 l 'l-+l-m-rl ' l''*! ''-il I L'-Il \-\-':l l'*Il 1
,
r , 1
.1\t
EJEMPLO 4.33. La transformada z de la secuencia 1, j,i, ..,tll*,. ..es zl(z propiedad 2, la transformada z de la secuencia i,i,...,(])**',..."t
- |).
llr*\
Entonces, por la
z \ ^ z L z t-l"l - ,l-z-2 az-l \z-zl
t
EJEMPLO 4.34. La transformada z de {(})t} es zl(z mediante el teorema de valor inicial como
-
} ). El uulor inicial
I-\
-,3,.{tll-}:"gi(1-'-')(
de
+):'
{(})*} puede determinarse
ll0
TEoRtA Y PROBLEMAS DE RETROALTMENTACION
EJEMPLO 4.35. Latransformada z de la secuencia {l -(})r} eslz/(22 - ! secuencia puede determinarse mediante el teorema del valor final como -
y srsrEMAS DE coNTRoL * }). El valor final de esta
-lt{'-(;)-) :,uil(' -'-') [t+.]:'
\t'- a+il EJEMPLO 4.36. La inversa de la transformada z de z/(z I ) - ". (if). r." inversa de <$lt
serie de potencias por una divisi6n no abreviada. Suponga que la transformada z tiene la forma:
Dl _\ , t\z ):
bnz"
*
b,_rZn-r
* ... *brz *
Fdcilmente puede escribirse de nuevo en potencias de
z-,
bo
{
como
F/ \ br+ bn_rz-r + ... +boz-, r\z):ffi multiplicando cada t6rmino por z- ". Entonces, la divisi6n no abreviada del numerador entre el denominador, produce un polinomio en z- | de la forma:
FG):
L + 1l an
u\u,-' -
u"i:-'),-'*
EJEMPLO4.37- Latransformadazde z/(z -l)puedeescribirsedenuevocomo que mediante una divisi6n no abreviada tiene la forma: 1
I - z-'/2
:
'. ( :),-'. (;)'
l/(l -
r-tr2S,expresi6n
z -+...
Porel segundo m6todo de inversi6n, F(z) se expande primero en una tbrma de fracci6n parcial especial, y cada t6rmino se invierte utilizando las propiedades discutidas anteriormente. En la tabla 4.2 se presentan algunos pares de transformadas z. Cuando esta tabla se utiliza junto con las propiedades de las transformadas z descritas antes, y se emplean las t6cnicas de expansi6n en fracciones parciales descritas en la secci6n 4.7 , es suficiente para resolver todos los problemas de este libro. En el ap6ndice B se presenta una tabla m6s completa de transformadas z.
t
lll
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA :
Tabla 4.2 k-6simo tdrmino dc la secuencia de tiempo
I
en /<, 0 en cualquier otra Parte
(Secuencia delta de Kronecker)
I
(Secuencia de paso unitario)
('- r)'
k (Secuencia de rampa unitaria) Ar (Para nirmeros complejos A )
,
fltimo par de transformadas, de latabla4.2,puede utilizarse para generar muchaS transformadas ritiles, eligiendo adecuadamente A y utilizando la propiedad I ' Ef
Los ejemplos siguientes ilustran c6mo pueden invertirse las transformadas z utilizando el m6todo de expansi6n en fracciones parciales. EJEMPLO 4.38' Para invertir la transformad a z F(z) fracciones parciales de F(.2)lz:
I
l(z
* ;-
tF/\L -\ ) 7
:
z(z+L)(z+2)
+ l)(z + 2) ' conformamos
la expansi6n en
-r tu;:I ,+r
2
Entonces
Lz F(,):r-,+t
Iz 2
z+2
que puede invertirse t6rmino por t6rmino, como
/(0)
:0
,1 f(k): -(-1)-+;(-2)z EJEMPLO 4.39. para invertir F(z) -- ll(z
+
l)2 (z
*
paratodo &>1
2), tomamos la expansi6n en fracciones parciales de
F(z)lz:
a
F(') l z
0
z z*L
-1 , -t
(z+I)'z z*2
n2
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Entonces
! ' F(,)::2 - (z+L)2 -:-- - 2zt2 f(k):-r(-1)* -l<-ryr
para todo
ft>1 y /(0):0
EJEMPLO4'40. Utilizandoel rttirnopu.a"-t.unsformadas, delatabla4.2,puedegenerarselatransformadaz de la secuencia 1lc/2i, teniendo en cuenta los siguientes pares de transformadas:
/(k+lxk+2))
(
z3
2! I
1'-ry' {*} - -:- r)2 \'-
1r7,.;\
t
Puesto que
(ft+1Xft+2) 2l entonces, por la propiedad
k23 2 + ik+r
l,
kr\_
,,
,l ^\t l: (,-if
3 z
-
a
d:*
z
- ,-r:
z(z+t)/z
?:r)-
Las ecuaciones de diferencia de coeficientes constantes de n-simo orden pueden resolverse utilizando los m6todos de las transformadas z mediante un procedimiento que es viftualmente el
mismo empleado para resolver ecuaciones diferenciales por medio de las transformadas de Laplace. Esto se ilustra paso a paso en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 4.41. La ecuaci6n de diferencia
x(k + 2) + con las condiciones iniciales x(0)
la propiedad
I
:
0 y x( I )
(linealidad):
,{.
5t
ix(*+ t) + ;x(ft) :
= l se transforma
1
en z aplicando las propiedades I y 2. Mediante
:z {x(k+2)\ *1"tx(/c+r)) *luzt (k)) :z{r}
-l
lr3
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA
F Mediante la propiedad
2, si Zl"r(k)l
:
X(z), entonces
z {x(k+ 1)} : zx(z) - zx(o): sY1'1 Z {x(k+ 2)} : zzx(z) - z2x(0') - zx(t) : z2X(z) A partir de la tabla 4.2,
z
vemos que la transformada z de la secuencia paso unitario es z
z{r\: ,-t La sustituci6n directa de estas expresiones en la ecuaci6n transformada produce entonces
1\
|^ 5
z
lz2+ 6-z+;lx(z') 6l \
z-L
Asi, la transformada z X(z) de la secuencia soluci6n x(ft)
x(') - +T;T * T
J I
es
1;:76,1;lg
: x,(') + xu(z)
N6tese que el primer tdrmino X,(z) resulta de las condiciones iniciales, y el segundo, X6(z), resulta de la secuencia de entrada. En consecuencia, el inverso del primer tdrmino es la respuesta libre , y el inverso del segundo es la respuestaforzada. El primero puede invertirse formarido la expansi6n en fracciones parciales
6 1 t :7+22+I:--z+r-4
X,(t) i
6
De esto,
X"(z):
I
_6
aa
, + ,,
+
6
, + ,,
I
y de la
tabla 4.2,
el inverso de X"(z) (la respuesta libre)
es
I
x"(*):-.(-;)-.'(-;)I
k:0,I,2,...
De modo similar, para encontrar la respuesta forzada se forma la siguiente expansi6n en fracciones parcia les:
xoG)
1
I
I
I
Asi
f' t
x6Q)-
4z lz lz r_l* z+Lr-,l1
114
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACTON
Y
SISTEMAS DE CONTROL
4 Entonces, de la tabla 4.2, la inversa de X6Q) (la respuesta forzada) es
x6(ft): La respuesta total x(/<)
L | l\k 91 1\* t *o(-rl - rt-;,|
k:0,r,2,...
es
x(*)=x.(k)+xu&)-:-4-;)-.;(-i)*
o:0,t,2,
..
Las ecuaciones de diferencias lineales de vectores y matrices con coeficientes constantes, presentadas en la secci6n 3.17, tambidn pueden resolverse mediante las t6cnicas de transformadas z,
como se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 4,42. Considere la ecuaci6n de diferencia del ejemplo 4.41, escrita en la forma de variables de estado (vdase el ejemplo 3.36):
xt(k + 1) :.rr(e)
xr(k+ concondicionesiniciales"rl(0) =
51 1): G*r&) -;x,(/c)
0yxz(0): l.
t +
1
Enlaformadevectoresymatrices,
estasdosecuacionesse
escriben como
x(t+ r) :Ax(k) +bz(k) en donde ]
,: [-l tl
x(e)
'- [l]
:
[;[:]l
('): [l]
l I
l
u(k)
:
1. La transformada z de la forma de vectores y matrices de la ecuaci6n
es I
zX(z)
-
zx(O):1Y1r1a
-16 z-l
X(z) es la transformada z de un vector evaluado, cuyos componentes son las transformadas z de los componentes correspondientes del vector de estado x(&). Esta ecuaci6n transformada puede escribirse de
I
I
en donde
nuevo como
I
I
I
(zt
-,t)x(z):
zx(O)
*
-1r z-I
en donde 1es la matriz identidad o unidad. La transformada
z
del vector soluci6n x(&) es
I
I
i
?] x(r) -
z(zr
-l)-rx(o) *
;l{*
- A)-'b
I
I
I
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA en donde
(')-r
representa
I t5
TRANSFORM
el inverso de la matriz.
Puesto que
lz
-1
I
'I-A:Lt '+zl entonces
(zr-A\-':.-] ,f'*.3 tl,l \----, z'+lz*lL_I Sustituyendo en
(zl
- A)-',
x(0) y b, producen
z l[ I z'z+lz+l ' I I | | (r- l)(22+*r+*) x(,)_l LnT,."J Lc-rrc+Fitl
,, l.l ,,
|
I
en donde, el primer t6rmino es la transform ada z de la respuesta libre, y el segundo, la transformada de la respuesta forzada. Utilizando el m6todo de expansi6n en fracciones parciales y la tabla 4.2, la inversa de
esta transformada z es
o-, :
- 2(-t)r
+;(-i)-l
li +(-i)* - j(-+)-,l
k:0,L,2,...
4.10 Determinaci6n de raices de polinomios Los resultados de las secciones 4.1 ,4.8 y 4.9 indican que encontrar la soluci6n de ecuaciones diferenciales y de diferencia lineales con coeficientes constantes mediante las t6cnicas de transformada, generalmente requiere la determinaci6n de las raices de ecuaciones polin6micas de la forma:
Q.G): io,,',:o t:0
endondec,
:
l,ao,at,...,en-,rsonconstantesreales,ysseremplazaporzparalospolinomiosde
transformada z. Las rafces de una ecuaci6n polin6mica de segundo orden s2
*
a1s
* ao:
O
pueden obtenerse
directamente de la f6rmula de la ecuaci6n cuadr6tica, y est6n dadas por
Jt:
t,
-at+
Jz:
Pero, para polinomios de orden superior, en general, tales expresiones analfticas no existen. Las que existen son muy complicadas. Afortunadamente, existen t6cnicas num6ricas para determinar estas rafces.
ll6
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Como una ayuda para el uso de tales t6cnicas num6ricas, se dan las siguientes propiedades generales d" Q"kll. |
.
si una raiz repetida de multiplicidad exactamentb
2.
n
/r, se cuenta como n; raices, entonces
raices (teorema fundamental del 6lgebra).
Si Q'(s) se divide por el factor s
*
e,G)
:0
tiene
p hasta obtener un residuo constante, el residuo es
Q"?p).
3. 4. 5. 6.
p es un factor de Q,(s) si y s6lo si Q,tD : O I-p es una raiz de 0"(s) : 01. Si o * 7'ar (con a y ar reales) es una raiz de e,G) : 0, entonces c - j@tambi6n es raiz de Q"G) : O. Si n es impar, Q"(s) : 0 tiene por lo menos una raiz real. s
*
El nrimero de raices reales positivas de e,G) :0 no puede exceder el nrimero de variaciones de signo de los coeficientes del polinomio Q,G),y el nrimero de raices negativas no puede exceder el ntimero de variaciones de signo de los coeficientes de Q,t s) (regla de los signos, de Descartes).
De las t6cnicas disponibles para la determinaci6n iterativa de las raices de una ecuaci6n polin6mica (o de modo equivalente, de los factores del polinomio), algunas permiten determinar s6lo las raices reales, y otras, las reales y las complejas. A continuaci6n se presentan los dos tipos.
El m6todo de Horner Este m6todo puede utilizarse para determinar las raices reales de la ecuaci6n polin6mica
Q"G)
: 0. Los pasos a seguir son:
l.
Evaluar Q,,$) para los valores enteros reales de s, s : 0, *l , *2,..., hasta que para dos valores enteros consecutivoscomo/<6yk6 + I ,e,kdy e,(ko * l) tengan signos opuestos. Entre hy ko * | se encuentra unaraiz real. Sin perder generalidad, se supone que esta raiz es positiva. Se toma ts como la primera aproximaci6n alaraiz. En los pasos restantes se obtienen correcciones a la misma.
2.
Determinar una secuencia de polinomios QI,(s) utilizando la relaci6n recursiva
o1*'(,)
: nL(# .')
en donde Q2@
3. 4.
:
Determinar el entero
: torl','
Q,G), y los valores kt, k1
l:0,1,2,.
t : 1,2,...,
en cada iteraci6n, evaluando
Ql$)
-.
(4.13 )
se generan en el paso 3. para los valores reales de s
dadospors:kll}t,k:O,l,2,...,g.paradosvaloresconsecutivosdek,porejemplotTy k7*', los valores de Q,(k1l10/) y e^(kt*,/101) tienen signos opuestos. Repetir el procedimiento hasta que se alcance la exactitud deseada de la raiz. La aproximaci6n de la raiz real para la N-sima iteraci6n, esti4 dada por
}{ _!_ "': ,;10'
(4.r4)
Cada iteraci6n aumenta la exactitud de la aproximaci6n en una cifra decimal.
t
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA
lt7
Z
El m6todo de Ngwton a
Este m6todo puede determi narlas raices reales delaecuaci6n polinomial Q,(s) seguir son:
1.
0. Los pasos
Obtener una primera aproximaci6n de una raiz, ss, haciendo una suposici6n "razonable"
o mediante una t6cnica como la del paso
2.
:
I
del m6todo de Horner.
Generar una secuencia de aproximaciones mejoradas hasta que se alcance la exactitud
deseada, mediante la relaci6n recursiva
Q^G)
s/+r:s/-
;
E (i - 1)a,si t:0 : -----nJL+r \ ia,si-r
F I
(4.1s)
i-1
I
en donde
I
I
l"_",
que tambidn puede escribirse como
'
I
In,G)l
I
I:
O,
l,
2,...
Este metodo no proporciona una medida de la exactitud de la aproximaci6n. En realidad, no
hay ninguna garantia de que las aproximaciones converjan al valor correcto.
I
I
i
I I
I
El m6todo de Lin-Bairstow Este m6todo puede determinar las rafces reales y las complejas de la ecuaci6n polinomial partir de los Q^G) = 0. M6s exactamente, este m6todo define los factores cuadrdticos de Q"6) a pueden las raices supuesto, Por cuales se determinan dos raices mediante la f6rmula cuadr6tica. ser reales o complejas. Los pasos a seguir son:
l.
Obtener una primera aproximaci6n de un factor cuadr6tico
I
s2+crs*ao I
de Q,(s)
I
:
L'!-oaisi mediante algfn m6todo , ta! vez una suposici6n "razonable". En los
pasos siguientes se consigue la correcci6n a esta aproximaci6n.
I
2.
Generarunconjuntodeconstantes
bn-z,b,-3,...,bo,b 1,b-2apartirdelarelaci6nre-
I
t
lil I I
I
bi-z: a,-
r- dobi cursiva en donde bn : bn-r : 0 € i : n,n - 1,..., 1, 0' arb,-
ll8
TEoRIA
3.
y
pRoBLEMAs DE RETRoALIMENTACToN
Generarunconjuntodeconstantes
y
srsrEMAs DE coNTRoL
cn-2,cn*3,...,cr,coapartirdelarelaci6nfecursiva.
ci_l: br_r- arci- q.oci+l en donde
4.
cn: cn_r : 0 e i: n, n -
1.,...,
l.
Resolver las dos ecuaciones simultdneas
* cr\ao:b_, ( - or"o - cocr) Ac, * co Aus: b -2 coAa,
para Aa1
y Aao.La
nueva aproximaci6n del factor cuadriitico es
s2+ (c,
5.
*
Ac1)s
* (co+ Aco)
Repetir los pasos 1 al 4 para el factor cuadrdtico obtenido en el paso 4, hasta que las aproximaciones sucesivas se encuentren lo suficientemente cercanas.
Este m6todo no proporciona una medida de la exactitud de la aproximaci6n. En realidad. no
{
hay ninguna garantfa de que las aproximaciones converjan al valor correcto.
El m6todo del lugar de las
raices
Este mdtodo puede utilizarse para determinar las rafces reales y las complejas de una ecuaci6n
polinomial Q,G)
: 0. La t6cnica se estudiar6 en el Capftuto
13.
4.11 El plano complejo: diagramas de polos y ceros Las funciones racionales F(s) para los sistemas continuos pueden escribirse nuevamente como
mm
I
t^l (0,7n^\st b^fl(s + z,) F(s): ---=+- !-:r I
,-0
o,t'
fI
,*0
(t +p,)
*
z; son los factores del numerador polinomial, y los tdrminos s * p; son los del denominador polinomial, con en: l. Si s se remplaza por z, F(z) representa una funci6n
en donde los t6rminos s
I
I
I
i
del sistema para los sistemas discretos en el tiempo. I
Definici6n
4.5:
Aquellos valores de la variable compleja r, para los cuales lF(s)l [el valor absoluto de F(s)l es cero, se denominan ceros de F(s).
I
1
Delinici6n
4.72
Aquellos valores de la variable compleja s, para los cuales lF(s)l es infi-
*l
nito, se denominan polos de F(s). l 1
I
il9
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA :
EJEMPLO 4.43. Sea F(s) dada por
F('):
2s2-2s-4 s3+5s2+8s+6
que puedc reescribirse como
2(s+1)(s-2) r('): (s+3)(s+1+j)(s+1-i) f'(s)tiene cerosfinitosens:
ys
: -l
+ j.
-l y s:2,yunceroens: @.F(s)tienepolosfinitorenr: -3's: -l -J
Los polos y los ceros son nfmeros complejos determinados por dos variables reales, una que representd la parte real, y la otra, la parte imaginaria del n0mero complejo. Entonces, un polo o un
,
cero pueden representarse como puntos en el sistema de coordenadas rectangulare s . La a,bscisa de este punto representa la parte real, y la ortlenada la parte imaginaria. En el plano s la abscisa se llama eje o, y la ordenada eje j
ladoizquierdodelplanosodelplanoz(LIP),yaquellamitadenlaqueRe(s)>0oRe(z)>0se llama lado derecho del plano s o del plano z (LDP). La porci6n del plano z en la que lzl < l se llama (el interior del) circulo unitario en el plano z. La posici6n de un polo en el plano complejo se nota simb6licamente mediante una equis ( x ), y la posici6n de un cero, mediante un pequeio circulo (O). El plano s que incluye las posiciones de los polos y los ceros finitos de F(s) se denomina diagrama de polos y ceros de F(s). Para el plano z, se tiene una descripci6n similar. EJEMPLO 4.44. La funci6n racional
(s+1)(s-2) r('): (s+3)(s+1+l)(s+1-j) tienelospolosfinitoss: -3,s: -l -"l,ys: -l +i,yloscerosfinitoss: muestra el diagrama de polos y ceros de F(s).
I Figura 4-2
-l
y
s:2.
Enlafigura4-2se
t20
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
4.12 Evaluaci6n grSfica de residuos* Sea F(s) una funci6n racional escrita en su forma de factores
F(s):
fl (" +p,)
Puesto que F(s) es una funci6n compleja, puede escribirse en forma
F(s)
:
lr'1s;;s,o
en donde lF(s)les el valor absoluto de F(s)
polar
como
:lrG)l/l
ye=
arg F(s)
: tan-r [lm f'(syRe F(s)1. * z; y s * pi
F(s) ademiis puede escribirse en t6rminos de las formas polares de los factores s como
o-fip
+
2,1
f (r/ : ---n---
[,i*,.-,r,*-]
fI l" +p,l
en donde s
*
z
:
ls
*
z;l
fuV
s
* p,:
ls
*
ptl/etp.
Cadanrimerocomplejo s,zi,pi,s* z;ys*p;puederepresentarseporunvectorenel planos. es un nfmero complejo general, el vector que lo representa tiene magnitud lpl y direcci6n definida por el iingulo Si
p
0:ran-rlH] medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj a partir del eje o positivo. En la figura 4-3 se muestran un polo -p; y un cero -z; tfpicos, junto con una variable compleja general s. Tambi6n se muestran las sumas de vectores s I ziy s * p,. N6tese qu" el u"ctor, + ,, comienza en el cero -z; y termina en .r, y el vector s * p; comienza en el polo y termina en s:
-p;
* En esta secci6n, mientras se emplee .r para representar la variable compleja ne se intenta representar la variable de Laplace rinicamente, sino mds bien se hace referencia a una variable compleia-en general, y la discusi6n se aplica tanto a las transformadas de Laplace como a las transformadas z.
f
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA
t2l
Z
Figura 4-3 Elresiduoc1.l
por
=cT.delpolo-plparalosdiferentespolosdelafunci6nracionalF(s),estiidado m
I
cr
h
: (s + po) f(s)1" -
b^(s
-p*:
+
po\
fl1s
j:1
+ z,)
I-l (' +p,)
i-1 Estos residuos pueden determinarse mediante
l. 2.
Dibujar el diagrama de polos
y
I
l"__,.
el siguiente procedimiento gr6fico:
ceros de
(s
*
p*) F(s).
Sobre este diagrama, dibujar los vectores comenzando en los polos y ceros de (s + p1) F(s), y terminando en -p1. Medir la magnitud (en la escala del diagrama de polos y ceros) de estos vectores y los 6ngulos correspondientes desde el eje real positivo en la direcci6n ,
contraria al sentido del movimiento de las manecillas del reloj.
3.
b^y
las magnitudes de los vectores desde los ceros hasta -p1,, dividido entre el producto de las magnitudes de
Obtener la magnitud lcll del residuo c1 por medio del producto de
los vectores desde los polos hasta -p1.
4.
del residuo ce mediante la suma de los 6ngulos de los vectores desde los ceros hasta -p1 m€nos la suma de los 6ngulos de los vectores desde los polos hasta -p1. Esto es ciertopanb^positivo. Si b- es negativo, se suman | 80" a ese 6ngulo. Determinar al 6ngulo
@1
El residuo cft en forma polar
es
co: lcoleio*: trAb o en forma rectangular
*
k:
ckcos0r+,1 c1 sen $1
Esta,t6cnica grifrca no es aplicable directamente para la evaluaci6n de residuos de polos mriltiples.
122
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
4.13 Sistemas de segundo orden Como se indic6 en la secci6n 3. I 4, muchos sistemas de control pueden describirse o aproximarse mediante la ecuaci6n diferencial de segundo orden
dzv dv *z{"t^E dr,
+
4Y:4"
En la cual el coeficiente positivo ar, se denomina frecuencia natural no amortiguada, y el coeficiente f es la raz6n de amortiguaci6n del sistema. La transformada de Laplace de y(r), cuando las condiciones iniciales son cero, es
I,(s):
la?l
l- zsonr +. oi" lufrl Lr- +-* J
en donde U(s)
:$[u(t)].
Los polos de la funci6n y(s)/U(s)
:
a?,/$2
* 2(ans +cf ) son
s:-fo,ttt;f(-|
{
N6tese que:
l. 2. 3'
> l, los dos polos son negativos y reales. : l, los polos son iguales, negativos y reales (s: -a,). < { < l, los polos son las conjugadas complejas con partes reales negativas -tan -r jo" \/t -(y. 4. Si f : 0, los polos son imaginarios y conjugadas complejas (s : ! ja,). 5. Si f < 0, los polos se encuentran al lado derecho del plano s (LDp). Si f Si f Si 0 (s :
En este libro es de particular inter6s el caso 3, ya que representa un sistema subamortiguado de segundo orden, Los polos son conjugadas complejas con partes reales negativas localizadas en
s: -frn tio.sft - Ez s: -axjQa lla : ll(o,, se denomina constante de tiempo del sistema, y @a a,\/ | - {2, = frecuencia natural amortiguada del sistema. Para un rl.nfijo,la figura 4-4 muestra lalocalizaci6n de estos polos en funci6n de {, para 0 < f < l. El lugar geom6trico es un semicirculo de radio aro. El dngulo 0 est'{ relacionado con laradn de amortiguaci6n por medio de 0 : cos-r en las cuales
f.
No existe una descripci6n similar tan simple y ritil para los sistemas de segundo orden que se representan mediante ecuaciones de diferencia.
$
LA TRANSFORMADA DE'LAPLACE Y LA TRANSFO(MADA
123
Z
i=0
!
Problemas resueltos Transformadas de Laplace a partir de su definici6n
4.1
su y Demuestre que la funci6n paso unitario 114 tiene transformada de Laplace, determine transformada.
Lasustituci6ndirectaen|aecuaci6n,deladefinici6n4.2,produce
-ll(
f \ ,)/ le-oo, | JO*' para oo
r-'.,1* : 1 dt: /0* [* ,-oo, dt: - L o0 OO
> 0. La transformada
sll14l: {lrt,l 4.2
<
+
oo
In-
e-"
de Laplace esti4 dada por la definici6n
dt
:- :"-{ : :
paraRes)0
Demuestre que la funci6n rampa unitaria / tiene transformada de Laplace, y determine su transformada.
La sustituci6n directa en la ecuaci6n' de la definici6n 4'2, produce e-oo' ' . l(-aot -t)1".: lo-Vl'-"' at: A' ** 1
16
O
,t l
4'l:
para c()
> 0. La transformada
sltl:
I-,,-,,
dc Laplacc cstii dada por la dcfinici6n 4'l:
*:-lt-"-
rr[::
para Re s
]
o
124
4.3
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACIoN
Y
SISTEMAS DE CoNTRoL
Demuestre que la funci6n sen t tiene transformada de Laplace, y determine su transformada. La integral ,{oT lsenr;e-oo'dt puede evaluarse rescribi6ndola sobre todos los semiciclos positi/ como
vos de sen
*
oot : I'o "'r"n t e- dt
f, ". 1 r- "* *
parc n par, y para todos los semiciclos negativos de sen
- l(,
*r)"r"n t
e-
oo,
dt
:
,
11
como
ffiIr_,* *
11
para n impar. Entonces
{l Para e-oo"<
t,.n,|"_*,
I 6 a6 ) 0la
* :,#
suma converge
f
y
oon':
n-o '-
l*tt
^,,
I
puede escribirse en forma cerrada como
.l
T
Eo,_
-
e-oon
Entonces
lL+e-,o"11 I
,@
Jo.
Finalmente, g[sent]
4'4
lsenrle-oo,dt:Lr_
:
/-sente-",dt
\
e_%"J(;;1 . -t-
:
para
oo
>0
para Res>0
Demuestre que la transformada de Laplace de la funci6n impulso unitario est6 dada por
sl6(t)l:1.
La sustituci6n directa de la ecuaci6n (3.19) en la ecuaci6n de la definici6n 4.1 produce
l('* [[t(') - Ar /-01,;"-' a,: Js* [- 6f-6 ro*
: Ar+a uo, [ [*t\') Lt [16+
at)
f -,-",a,
I
r-",at- /o* [*l(t-t't) u- 1[1 "-"'"1 - J ai_b A, r-",atf: Ar s - s I
J
en donde la transformada de Laplace de 11t) es l/s, como se demostro en el problema4.l, y el segundo t6rmino se obtiene utilizando la propiedad 9. Ahora
,-
Lts
(Ars)2 (Ars)3 -1 - Ars * 2t -3! *"'
t
'
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA
?
(vdase la referencia
Ul). Asi
vra(r)r:;l1,,*[:
+]:^Ti*[^' q+.s#
Propiedades de la transformada de Laplace
4.5.
t25
z
Demuestre que 9[aflQ)
+ a;f2Q)l:
Fz(s) : g Vr@l (propiedad l).
-l:'
y de su inversa
a1F1(s)
*
a2F2(s), en donde Fr(s)
: 9Vt@]y
Por definici6n
efarfr(t)
+
arfr(t)l: Ioil^tr{,) + arfr(t)le-', dt -- Iri^trt,le-"'dt + Ioiorfrt,)r-"' :
o, [* f,(t\e-"t dt + a, [* f,(t\e'J6*"" O+r'\ '
"'
o, dt
: at"slfit)l + a2slf27)l : o,4(r) + arFr(s) Demuestreque
!'rfa1F{s) *
a2F2(s)l
g-r1Fr(s)) : fz(t) (propiedad
: afrQ) + a;f2Q),endonde-9/-rlf,(t)l :fily
2).
Por definici6n
e-'\la,F,(s)+ a,E,(s)l
: -
* t::;[o,ri(,)
+
a,F,(s)le"
ds
* ffa,{(s)e', d,. + ['1,,n{,\"', ^
:
r,(,)e,
a,l+,,[*
",1+ I** ff4(r)",,ds] : : o,9-'f4(')l + or9-'14(r)l at'f'(t) + arf2() 4.7
Demuestre que la transformada de Laplace de Ia derivada dfldt de una
gldftdtl:
sF(s)
-.(0 *), en donde
F(s)
:gt [flt)i
funci6n/(r) est6 dada por
(propiedad 3).
Por definici6n.
0' 'l#1:15 I,'ffu"
t26
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALTMENTAGION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Integrando por partes,
,r df
lim
-:-e-sl
f' T- a re 4t
i
dt:
e-O
en donde
lim.-o/(e) :,f(0*).
Demuestre que
| .,
sLJ"',f
(,)
r f'(s) d,l: "
en donde F(s) : g
V@1 (Propiedad 4).
Por definici6n y con un cambio en el orden de las integraciones, tenemos
-l
I
[", sllo'r(,) o,l: I,lr*rtIltr) dre-" a: l"i ttr) [,* e-', dtdr f
.
,€'l
: I"irr",[-i"-"1. 4.9
]a,:
l,it,tio,:
+
Demuestreque"f(O*):lim,-6l(r):lim"--sF(s),endondeF(s):gtfe)l(propiedad s).
A partir del problema 4.7,
!1
sl
tdil:
.
sr(s)
-/(o'): Ai l''rrdf*'-'' +o
o'
e
Ahora hacemos que
s - o,
"rim
esto
€s,
IsF(s) -/(o- )]
:
],* 1,,#.,, "Li |Le-0
*f J
Puesto que los procesos de limite pueden intercambiarse, tenemos
.. |-
"g Lls Pero el
:
lim.,
"f(0*).
- -€-'" :
,rdf
Lrdfr :
l,' a,- " ".|
1'+
\
J,'
;1,\e-")
dt
0. En consecuencia el lado derecho de la eciraci6n es cero, y lim r -
*
sF(s)
I27
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA ;
, 4.10
Demuestrequesi lim t-6fQ)exis(e,entonces/(oo): lim (ProPiedad 6). donde F(s)
: slf@l
,-*f(t): lim"*o
sF(s),en
Del problema 4.7,
I dfl " /''rdf sl+l:sF(s) -/(0'): r, je ar -li' r,a; dt I I Ahora, hacemos
"
dr
s + 0, esto es,
riqlsr(s)
-.r(0*11
:
|
,rdf
l'*Lttt
Ve
I " dtf
Puesto que los procesos de limite son intercambiables, tenemos
ti^ I,'L*:/(*)-/(0 I,'#(,0$"') d': (+0 :'lh*-0 I,'L'"".l:J* I r-0 L
Sumando
lfmite
)
e
+ f(0 ) a ambo.s lados de la riltima ecuaci6n
se produce lim
/1o; : lim,-- /(t).
,_,l,ol : + Haciendo el cambio de variable
o:
1,,:;,(i)
n,
'
- o sF(s) :
^
slu,
t-'lr(t)): ,, I,'l; r1r,a(u,, d.": ar(at)
/(oo) si existe el
128
4.13.
TEORIA
Demuestre que (propiedad 9).
"glf(t
-
Y
pROBLEMAS DE RETROAT-IMENTACTON
:
T))
e-"rF1sy,en donde/(r
-
T")
:
y O
t
srsrEMAS DE coNTRoL
<
T
yF(s)
: gVe)l
Por definicitin
slf U- r)l : I"itt, - r)s-", dr: I* f(t _ r)e-", dt Haciendo el cambio de variable
0: t-
T,
sIf 0- ?)l : Ioit{r)u",-sr 4Q:e-" 4.14.
Demuestre
que9[e-",f(t)):
F(s
F(s)
+ a), en donde F(s) : gt-f()]
(propiedad t0).
Por definici6n,
eIr-''f (r1l: Ioiu.,f(r)"-", a,: l"ittt)s-{sta'tt 4.15.
6ft:F(s
Demuestre que
s I f,(t ) fr(t)l : En donde F;(s)
+ ['*'* r,(,) Fr(, - o) ZI|J rc_1x,
: I tfie)l y Fz(s) : g
d t"t
Vr@l (propiedad l l).
Por definici6n
s I f,( t) f,( tll : t,t f,i
o
f,e), -"t dt
| .--'^ f,(t): uj J,"_;: o,(ot)e't
da
En consecuencia
slh(t)h(t)l: Intcrcambiando
+ I": I*4(,)
cl ordcn de las
s[f{t)f2(t\:
e.,duf,(t)e-",dt
intcgraciones se produce
+
I:::: r,1'1 loi7,1t)e-(s-@), dtda
+ a)
I
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA
129
z
T
i
euesto que
l#ft(r)"-"-')' dt:
Fz(s
sl 4.16.
a);
-
:
f,(t) f,()1
a) da ,) * I::;r,( 4( " -
Demuestre que
v-t[rr(s) n (')l : Io',,fr{r)frQ - r) dr en donde
f,(t)
: 9-l lrr3)) y fz1) :
9-L1r1sy1(propiedad l2).
Por definici6n,
s-'[ \( s)4(,)] :
:
Pero F|(s)
t
lrf
I
n I"li nts) S(s)
e"'
a/s
fr(r)e-', dr. por tanto
g-tlFt(s)4(r)l :
f "t*
[* -'f,(r)e' 'Lii , Jc-i6 Jor ' ' ='
,, drF2(s)e,,
ds
Intercambiando el orden de las integraciones se produce
s-,1F,(s)4(,)l : I":
,,dsf,(r) dt I'',:; O{,re"'
+
Puesto que
L "..-,^ l' '*4(t) entonces
'l@
.
s-tlFLG)4(')l
:
es(t- 1\ h:
fr(t - ,)
tritr{r)t tt - r) d.r: Ir"t,tr)fr(t - r) dr
en donde la segunda igualdad es verdadera puesto que fzQ
4.17.
- r) -
O par,
Demuestre que
para
i>
'l#:
0, en donde Y(s)
:
,-l
s'Y(s)
- f
sr-
t-tr*
k:0
9ty0l
y
yt :
(dk
yldl)t,:o+
Este resultado puede demostrarse por inducci6n matem6tica. Para
t
r>
t\l:
sY(
s) - y(o ' )
:
,,y(
,) - y;;
i : l,
t
130
y
TEoRIA
pROBLEMAS DE RETRoALTMENTAcIoN
y
SISTEMAS DE coNTRoL
como se demostr6 en el problema 4.7. Ahora, suponemos que este resultado tambi6n es v6lido para i : n - I, es decir
I
n-z I d'-'rf sl -;; | :s,-'r(s) - | s"-2-*r* Lat"' J r:o Entonces
9ld: y/d{
se puede escribir como
ld"vl lala'-'v\1
ld'-'v1
"l * l:ulaf 7'- )l:'ular-]
a^-tvl
o-1,_".
n-z
n.-1
.\ t:s'Y(s) - f, s'-t-r'r* :slI s'-rr(s) - | sa-z-*ytl-yt *:o t:o \ I n
Para el caso especial en que
:
2, tenemos
9klzy/dt2l:s2f(r) -ryrt -fJ
Transformadas de Laplace y sus inversas a partir de la tabla de pares de
4.18.
Encuentre la transformada
de Laplace def(t) :
2e-t cosllt
-
t4
transformadas
+ 6e-Q-
r0)
para /
>
I
0.
De la tabla de pares de transformadas,
tlrt 4t' r ' : (s+l)'+102 ^ slfl:7
sl,
'coslorl
Utifizando la propiedad
sIf(t)l 4.19.
9,91s-(-to,l:
:2e[e-'cos10r]
-sltoj
e+
'oY1s
+ l).
6efs-t,-to,l
1
9t'-'l:r+l
Utilizando la propiedad
l,
: s'*2s*101 u1(i*,t]=- - 1 .s'*gl .s*1
Encuentre la inversa de la transformada de Laplace de
,=\,,f para
l)
:
2r-O.5s
;=s
+ 13
-
S
_1
;T _ 2s +
2
0.
2 2 sr,6s+13 (s- 3)2+22
s-l s-l s2-2s+2 (s_f)2+f
Las invcrsas dc las transformadas se determinan directamente de la tabla 4.1, asf
r
Jr'l . ^.I I l(s-r)'+z:l -l:"t'."n2r
s-l I - l:r."orr [1'-r;'+r]
.--,1. S-,1
+
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA
l3l
z
V Utilizando la propiedad 9,
y luego la propiedad 2, el resultado
./.\ l-e'cost r,-ns,
I\I):1
es
0
^/ - 0.5) - e'cost I srtt-u')sen2(l
/>
0.5
Transformadas de Laplace de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
4.20. Determine la transformada de la salida Y(s)
para la ecuaci6n diferencial
d3v d2v dv : _ *' -3__: _ _ + 6r, dt3 dtz dt -' en donde
y
:
la salida, u
:
dtz
_
u
la entrada y las condiciones iniciales
dvl :o y(o*):;l ' dt
son
dzvl
:1 -;l dt' l,_o*
l,:o*
a
dzu _-____=
Utilizando la propiedad 3 o el resultado del problema 4.1?, las transformadas de Laplace de los t6rminos de la ecuaci6n son como sisuen:
tl#]: "l#l:
s3r( s )
s2r( s )
"l#l:sy(s) en donde Y(s)
:I
-
-'*1, :,.- #1, -,.:
)
"v(0* s/(o* )
-
#1,
_,.:
s3
v( s )
s2r( s)
-.v(0*):sr(s) t[#]:s2u(s)
ty(t)l y U(s)
:I
-t
-
lu(t)|.[,a transformada de Laplace
su(0
') -#1,:",
de la ecuaci6n dada puede
escribirse ahora como
t I a3vl*
a'r]
t -' " la I L; I + 6sr Yl I
laF ) :s3r(s) :
Resolviendo para
t
r,, r(s'\ :
I(s), (s,
t[#]
dv1
1
+ 3s2y(r)
-
slul:
-sr(s) + 6r(s)
s2u( s)
- sz('* ) -
#1*,.- u(,)
obtenemos
- l)u(r)
su(o*)
F+ tu'? -r+ 6 - Tffi
*
dul
il,-o. +
I rr
-*z-"*
132
4.2L
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
eQu6 parte de la soluci6n del problema 4.20 es la transformada de la respuesta libre?;La respuesta forzada? La transformada de la respuesta libre f"(s) es aquella parte de la transformada de salida I(s) que no depende de la entrada u(t), de sus derivadas o de su transformada; es decir,
r,(r): s3+3s2-s*6 La transformada de la respuesta forzada f6(s) es aquella parte de Y(s) que depende de u(r), de su derivada y de su transformada; es decir,
r,, ra\s/\ :
- 1)u(s) + 3s, -r + 6 -
(s2
I
4.22. iCuril es el polinomio caracterfstico
4.212
su(o*)
*
dul
El,-o. T+ 3J-;+6
para la ecuaci6n diferencial de los problemas 4.20 y
I
El polinomio caracteristico es el denominador polinomial que es comrin a las transformadas de las respuestas libre y forzada (vy'aseel problema 4.21),esdecir, el polinomios3 + 3s2 s 6.
- *
4.23
Determine la transformada de la salida Y(s) del sistema del problema 4.20 para una entrada
uft\:5sen/.
:
:
:
+
De la tabla 4.1, U(s) "g[u(t)] "9tt5 sen rl 5/(s2 l). Los valores iniciales de u(t) y duldt son a(0+; limr*05 sen r 0, (du/dt)|,:s+
5cosl:5.
:
Sustituyendo estos valores en la transformada de la salida
r(,):+
:
: lim,-o
I(s)
dada en el problema 4.20.
1s3+3s2-s+6)(s2+l)
Expansiones en fracciones parciales
4,24.
Una funci6n racional F(s) puede representarse por n
I b,"'
r
ni
:bn*IEr:Lr('):i'-o (s +Pi)" fI (t +P,)'' ':r k:r j:l en donde la segunda forma es la expansi6n en fracciones parciales de
las constantes c;1 estdn dadas por
Q.Ila)
F(s). Demuestre que
*
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA
r
7 d"'-k . " [(.s cik: =:-=(r,- k)! dsn'-*' t'" +p,)"'r(s)][ ls: Sea (s
* p)
I
(4.10b) -p,
el factor de inter6s y de forma
: (, + pi\"U,*
(s +pr)"F(s ) I
t33
Z
f,Er.{If
Esta puede escribirse de nuevo como
(s
+pr)"'F(s; -
1s
+pr)"'u,-
:i: Er{g;+
r S(s+pr)",cir,,+ /- , . ,k -i(r+pj)''-rcjk
+ I
i:j+r k:r
Ahora
t
(s
+Pil
k:r
dni-t . ,l +pr)'rr(s)ll [(s ds",-/
_
_ ls_ _ pi
+ p)ni F(s) tendr6n el factor s * p; en 1,2,..., n;) de modo que se hacen cero
N6tese que los tres primeros t6rminos del lado derecho de (s
el numerador a(rn despu6s de derivarlos nl - / veces cuando se evalfan en s : _p7. Entonces
(l:
1,
ll , .rl : d't-'12, (s+ I t)''-*r1nll t' t\ t,-[tr+4)"'F(s)]l ' ',lr:_p, 4t",-'lEt ds"' ' Jl"__p, -l d,",
tl : L 0,- k)(",- k-
1) ..
r
(/-
/<
+ 1)(s + p,)(-k*t' qol
k:1
Excepto por el tdrmino en la sumatoria para el que contienen a (s + pj) como factor. Entonces
k = /,
ls: - pi todos los demi4s son cero puesto que
I
d,t,-l ,
,
;-[t'+4)"'F(s)ll- -p, :Q,-t)(nt-l-1) "'(r)\r I
l,
,,,
I
:
65
#t,*or)
",.(,)l l"_ _o-
Expanda Y(s), del ejemplo 4.17, en fracciones parciales.
f(s) I I
puede escribirse de nuevo con el denominador polinomial en forma factorizada como
134
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
-(s2+s-t) Y('): s(s+1)(s+2) La expansi6n en fracciones parciares de r(s) es fvdase la ecuaci6n (4.r r)l y( en donde
"
bt:0.
(s:+s-t) |
: br- + 1! + tl'. + tit^ s s*l s*2
1
(s+1)(s+2)1._o
-(r2+s-1)l : _; -" :____;__-_l z .r, s(s+2) tr:_r I y(s):l2s s*1
Asi 4.26.
r)
cal:_
-(st+s-l)l
I
,(;+1) l"_,2--2
2(s+2)
Expanda IZ(s), del ejemplo 4.19, en fracciones parciales.
/(s)
r
puede escribirse nuevamente con el denominador polinomial en forma factorizada como
r(,):d*ffi:a
l
La expansi6n de l,(s) en fracciones parciales es [vdase la ecuaci6n (4.1 t)]
v(r): en donde
bt:
br+
j* + '?'= + tl" s*1 s*2 s*4
I
0,
.,,:j*i*l GtG+ 4)
::tt l,_ _,
T
czr
:
s2+es+re 1,.'. 1ys + a;
| l,: ,-
-
5
t
I
-i
1
Y(s):
Asi
11 1)
3(s +
5
I
2(s +2)
6(s + a)
Inversas de las transformadas de Laplace utilizando expansiones en fracciones parciales
4.27.
Determine
y(t)
para
el sistema del ejemplo 4.17.
Del resultado del problema 4.25, la transformada de y(r) puede escribirse como
_11 sly(t)l=Y(s):r-r+r-
1
*1 2(s + 2)
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA
t35
z
En consecuencia
I .fll .t 1 I I .t 1 I 1/(r):.9'rl:l-g-'l-;l-=s-'l--=l:=lr-ze-' 2 Lsl ls+l1 2 ls+2) 2' 4.28.
Determine
-e-2rl
r>0
y(t) para el sistema del ejemplo 4.19.
Del resultado del problema 4.26, la transformada de y(l) puede escribirse como
slY(t)l:Y('):-l]-3(s + 1)
En
I
consecuencia
t
' 2) '---L6(s + a)
2(s +
11 I 5 y(t): -=e-, - -e 2t^ - -e-4t 326
Raices de los polinomios
4.2g.
de
Encuentre una aproximaci6n
una raiz real de
la ecuaci6n polinomial
2r("):s3-3s2+4s-5:o )on una exactitud de tres cifras significativas utilizando el mdtodo de Horner. Mediante la regla de los signos, de Descartes. Or(s) tiene tres variaciones en los signos de sus coeficientes (l a -3, -3 a 4 y 4 a -5). Entonces puede haber tres raices reales positivas. O:(-s) = -s3 - 3s2 - 4s - 5 no tiene cambios de signo; en consecuencia Q3(s) no tiene rafces reales regativas y s6lo se necesita considerar los valores de s mayores que cero. Paso
I
Qr(0)
: - 5, Od I ) : - 3, QtQ) : - l, QzQ) : : ko : 2.
la primera -Tenemos aproximaci6n €s 16 Puso 2
91(
r)
-
:
Se determina que
QgQ +
e\Q) : r:h+kt:2-2. Paso 3
r)
:
(2 +
- I, ql (+) :
01tr)
r)' -
7.
En consecuencia &o
:
es
3(z + s)2 + 4(2 + s)
-0.56e. QI(IS
:
- 5:
-o.otz,g\1fu
s3
+
3s2
+ 4s -
1
:
o.+et . De donde
ft 1
s3
+ 3.6s2 + 5.32s
-
:
0.2 y
Ahora se repite el paso 2 para determinarQ]1s;:
r
93(
r)
:
Q\@.2+ s)
:
2
(0.2 + s)3 + 3(0.2 +s)2 + +(o.z + s)
-I:
0.072
;:,T,"i#T'fi:"i-:1?;.,?313;?;i1i,.%.;'J"','"-#l3"ltrl;l;ll"1i"'J"",x1il3
y
t36
TI]ORIA
4.30.
.
Y
DI] RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE
PROBI-I'MAS
CONTROL
Encuentre una aproximaci6n de unaraizreal de la ecuaci6n polinomial dada en el problema 4 .29, utilizando el mttodo de Newton. Efectrie cuatro iteraciones y compare el resulta-
t
do con la soluci6n obtenida en el problema 4.29. Lasecuenciadeaproximacionessedefinehaciendon:3,a3=l,az:_3,61:4ycts:-5enla relaci6n recursiva del mdtodo de Newton [ecuaci6n (4.1s)). El resi..rltado es
+.r:
2sl-lsl+s
: 0. Entonces
Digamos que la primera suposici6n €s se
st
:
5 -.' :1.25
^ _2(t.2r3 ----:-------
-
s^: '
-3(1.25)2+5
r, -+
_.
3(t.25)'" - 6(1.25) + 4
-- ------!---1 :2.76 3(3.s5)._6(3.55)+4 -2(3.55)3
3(3.55)'?+
5
2(2.76)3-3(2.76)2+s 3Q.7q2 _ 6Q.76) + 4
- z.JJ
---;-
:
La siguiente iteraci6n produce ss
4.31.
l:0,1,2,...
3r,z_ffi
2.22,
y la secuencia converge.
t
Encuentre una aproximaci6n de un factor cuadr6tico del polinomio
0r(t):s3-3s2+4s-5 de los problemas 4.29 y 4.30, utilizando el mitodo de Lin-Bairstow. Realice dos iteraciones.
Paso
I
-
s
-l,as:2,n:3,a3-1,a2:
_
-
Escoja el factor s2
*
2 como primera aproximaci6n.
Las constantes necesarias en el paso 2 son
dl =
Paso 2
-
De la relaci6n recursiva bi
i = n, n -
3,ar:4,ao: -5.
1,..., 1,0,
_z
-
ai
-
at:\ b-r:at+bs-2br:$ 3
-
-
aob,
se forman las siguientes constantes:
b1:
Paso
_,
arb,
bo: az+
br: -2
'b-r.:oo+D-r - 2h: -L
De Ia relaci6n recursiva
ci_t: i: n, n - 1,..., I,
bi_t
-
clc,
-
docr+l
se determinan las siguientes constantes: c1
-Dr:1
"o:Iro+cr:-1
l,
t
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA Paso
4
-
137
z
Las ecuaciones simult6neas co
( -or"o
-
Adl + c, Aao
docr) Ac,
*
co
:
D_,
Aco: b,2
ahora pueden escribirse como
-Act * Aco: g - 3Act - Aco: -1 cuya soluci6n es
Aa, : l, Aoo : l, y la
nueva aproximaci6n del factor cuadr6tico es
s2-o.7ss+2.25 Si se repiten los pasos
I
a
4
ar : -0.'15, a6: 2,25 la segunda iteraci6n
para
I
produce
s2-0.7861s +2.2583
Diagramas de polos
y
ceros
4.32. Determine todos los polos y
ceros de F(s)
: (.f - l6y(t' -
7s4
-
30s3;.
Los polos finitos de F(s) son las raices del polinomio del denominador de la ecuaci6n
s5
Enconsecuencias:0,
-
-
7sa
3os3
s: -3ys:
:s3(c + 3)(s -
10)
:
o
l0son lospolosfinitosdeF(s).5:0esunarafztripledela
ecuaci6n y se denomina polo triple de F(s). Estos son los rinicos valores de s para los cuales lF(s)l es infinito, y son todos los polos de F(s). L,os ceros finitos de F(s) son las rafces del polinomio del numerador de la ecuaci6n
s2
- 16: (s -
a)(s + 4)
:0
= 4 y s : -4 son los cerosfinitosde F(s). A medida que Entonces F(s) tiene un cero triple en s : @. En consecuencia s
I
4.33
Dibuje un diagrama de polos De la soluci6n del problema
s:0
(unpolotriple)
s:
-3
4
y
lsl*
6, F(s) = 1751* g.
ceros para la funci6n del problema 4.32.
:
:
.32, F(s) tiene ceros finiros en ,t 4 y s -4, y polos finitos en 10. En lafigura4-5 se muestrael diagramadepolos y ceros.
ys:
r38
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
c
Figura 4-5
4.34. Utilizando la t6cnica erdfica evalfe los residuos de la funci6n 20
F(s): (s+10)(s+1+7)(s+l-j) En la figura 4-6 se muestrd el diagrama de polos y ceros de F(s).
a
Figura 4-6 En este diagrama de polos y ceros se incluyen los vectores de desplazamiento entre los polos. Porejemplo,Aesel vectordedesplazamientodel polos: + j. -l0enrelaci6nconelpolos:
Entonces,resultaclaroque-Aeselvectordedesplazamientodelpolos: polo s = -10. La magnitud del residuo en el polo s : -10 es 20
:
20
" lAltBl (e.07xe.07)
lc.l El ringulo
@1
del residuo en s
: -[186'20' +
: --
10 es el negativo de la suma de los i4ngulos de A y
20
: |
-Ailct
20
(e.07x2)
-l
*jenrelaci6nconel
:0.243
173"40'] : -360". En consecuencia c, La magnitud del residuo en el polo .r : r I * j es
lczl
-l
:
B,esto es,,{l
9.243.
:1.102
: - I *,1 es er negativo de la suma de los 6ngulos de - A y c: : 6r: -[6"2O'+ 90o] -96"20'. por ranto c2: l.102/-96"20,: -0.12g -j1.095.
El 6ngulo {2 del residuo en el polo s
*
TRANSFORMADA DE LAPLACE
p
Y LA
TRANSFORMADA
139
z
La magnitud del residuo en el Bolo s : - I -.t
es
20 l",l: l-Bll-cl : (roD(a
El 6ngulo {3 del residuo en el polo s
Qz : -[-90" -6"20'] :
: - I -j
:L'ro2
es el negativo de la sum,a de los 6ngulos de
-B y -C:
jl .095. N6tese que los residuos c2 y ca de los polos en conjugada compleja tambi6n son conjugadas complejas. Esto siempre es cierto para los residuos de polos en conjugada compleja. 96"20'. En consecuencia ca
= l.lo2 /96"20': -0.
128 +
Sistemas de segundo orden I
4.35. I
Determine: a) la frecuencia natural no amortigua da o^, b) la raz6n de amortiguaci6n f, r, d)la frecuencia natural amortiguada oa,y e) la ecuaci6n caracteristica para el sistema de segundo orden dado por
c) la constante de tiempo
dzv dv -- +5-:*9V:9u dt' dt
I
p
Comparando esta ecuaci6n con las definiciones de
a)
4:s
b)
2(a..:5 o -(:
I
o
r.1,,
I
I
-
3
la
secci6n 4.13, tenemos
t2 c) r:r*:Js
I
rad/s
)) 2a,,
d\
6
4.36. lC6mo y por qu6 el siguiente
,'to:
u,,f
|-
e)s2+5s+9:o (2
:1.66
rad/s
sistema puede aproximarse a uno de segundo orden?
d3vr 11' d2v dv -22__ +20v:20u
I
____r_
dt3'"dt'
dt
I
Cuando las condiciones iniciales sobre y(t) I
.sly(t)l= r(s) :
I
i
en donde U(s)
: gIu(t)].
v(,):
U
y
sus derivadas son cero, la transformada de la
salida es
F+n#ns+nu:!t
Esta puede escribirse de nuevo como
#(* - F.;*)r,,, * #(#*r)
El factor constante # del segundo t6rmino es 8 veces el factor salida y(r) estar6 dominada por la funci6n de tiempo
constante
del primer tdrmino. La
Y
t40
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Bo
*_r[ 'lrT+ut'l
{L"Y
,r
+
Y
SISTEMAS EE CONTROL
{
I
,l
transformada de la salida r(s) puede aproximarse por este segundo t6rmino; esto es,
801 u(') \ / =
Y(s) =
A
I
;4;t/
(
*
yldP
La aproximaci6n de segundo orden es
4.37.
2 "-
*
2,
\
;J u(')
+ 2@yldt) +
2y
:
21r.
En el Capitulo 6 se mostrar6 que la salida y(r) de un sistema causal lineal invariante en el tiempo con todas las condiciones iniciales iguales a cero, estd relacionada con la entrada u(t) en el dominio dela transformada de Laplace mediante la ecuaci6n IZ(s) : p(s)U(s), en donde P(s) sellamafunci4n de transferanciadel sistema. Demuestre que p(t),la transformada inversa de Laplace de P(s), es igual alafunci6n de ponderaci6n w(t) de un sistema
descrito por la ecuaci6n diferencial con coeficientes constantes
n d'y La, *:u j:0 La respuesta forzada de un sistema descrito por la ecuaci6n anterior est6 dada por la ecuaci6n
(3./5), con todos los bi
:
O excepto bo
:
l:
y(t) : [' r) u(r) dr Jo* "Q y w(t - z) es la funci6n
de ponderaci6n de la ecuaci6n diferencial. f(s) : p(s)U(s) se determina f6citmente, la integral de convoluci6n de la propiedad 12, como La inversa de la transformada de Laplace de
y( t) En consecuencia Ir''.
: s-' [v(s)] : s- tlr(
w(t
s) u(
s)l
- r)u(r) dr: t'r_r{, - t\u(r)
a
partir de
: Ir-or' - r)u(r) dt dr
o
w(t) - p(t\
Problemas misceldneos
4.38.
Para la red R-C de la figura 4-7:
a) b)
Encuentre una ecuaci6n diferencial que relacione el voltaje de salida y el de errrrada a Haga que el voltaje inicial en el capacitor C S€n v..6 : I voltio, con la polaridad como se muestra en la figura, y haga u : 2e-'. Utilizando la t6cnica de transformada de
Laplace encuentre y.
#
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA
t4l
z
voltaje u de entrada
Figura 4-7
a)
De la ley del voltaje de Kirchhoff.
:
u,.n*
L,, 1CJo [' ia,* Ri:
u.,,
+ J6[' idt + i
Peroy: Ri: i. Enconsecuenciau: v,a+ Iiydt * y. Derivandoambos
b)
sY(s)
;
ladosdeesta
ecuaci6n integral se obtiene la ecuaci6n diferencial j, + y : it. La transformada de Laplace de la ecuaci6n diferencial encontrada en la parte a) es
€D
donde U(s)
:
-y(0*) + r(s):sU(s) - u(0*)
g/[2e-'1 :21(s + l)y a(0+) = li^,
-?e-'
:2.Parahallary(0*),
se toman
los limites a ambos lados de la ecuaci6n original de voltaje:
|
u(0'): lg,(,1: ,qlu. = a(0*) -
En consecuenciay(0+)
v,.o
+
:
,, J,',rdt
2
+
I
v(r)l :
-l : l.
r,o
+.r'(0')
La transformada de,v(t) entonces
212l .r*1 .s*1
(s+l)'
es
.r*1
Finalmente,
y(t) 4.39.
:s,l_I
2 1+rr-,ls+ .f 1 I i
1,; ry1
f:
_2,"-, *
"-'
Determine la transformada de Laplace de la salida del muestreador ideal descrito en el problema 3.5. De la definici6n 4.
I y de la ecuaci6n (3.20),la
propiedad de muestreo del impulso unitario,
tenemos
U"(s)
rl
: J0, [* r-',r.t*1t1 dt: Jo, [* r-"i
r(r) En ' '
6@
s(t-
kT) dt
: I /-e-"u(t)6(r-lcr) dt: E e-"kru(kT) k*0 /.: "0* o
142
TEoRtA
4.40.
y
pRoBr.uMAS DE RETRoAT-TMENTACToN
y
srsrEMAS DE coNTROl-
I
Compare el resultado del problema 4.39 con la transformad a z de la sefral muestreada
u(kT),
k : 0, 1, 2,...
Por definici6n Ia transformada z de la sefral muestreada
u(,): i
*:0
es
u(kr)z-k
Este resultado se pudo haber obtenido directamente sustituyendo z
:
e"T enel resultado del proble-
ma 4.39.
4.41.
Pruebe el teorema del desplazamiento (propiedad
6, secci6n 4.9).
Por definici6n.
z{
f(k)}
= F(z)
=
Si defininros unanuevasecuenciadesplazadaporg(0) entonces
i
,]1*1,-o
k-O =
J'(-
I
)
:0y
g{kl
=f(k - l),k: 1,2,...,
€
::{s(k)}: L s(k)'-o: L s(i)ri: L t(i -L)z-i j:0 j-0 k:0 (v€useelcomentariolquesiguealadefinici6n4.4).Ahoraredefinamosaftcomolr:i-lenla riltima ecuaci6n. Entonces
66
z{f(k-1)}: L fu),-o-'.:,-, L k: k: -l
:
:
-l
fQ1,-o
6
L fG)t-o '-Lf(-r)r*, +'-' k-O €
zo . 0 +
t-, L f&) r-o : z-rf(z) ft-0
N6tese que la aplicaci6n repetida de este resultado da
lr z[f(k -j)] : z-iF(z)
l
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA
143
Z
Problemas suplementarios que9l-tf(t)l :
: gWt\1.
4.42.
Demuestre
4.43.
lJtilizando la inregral de convoluci6n encuentre la inversa de la transformada de l/s(s)
4.4.
Determine el valor final de la funci6n
dF(s)/ds, en donde F(s)
F(s): 4.45.
f(t)
2(s+
1)
-
s(s+3)(s+5)'
es
4s s3
l2r,
+ 9s + 6
: l0/(s +
4.46.
Encuentre la expansi6n en fracciones parciales de la funci6n F(s)
4.47.
Encuentre la inversa de la transformada de Laplace/(r) de la funci6n F(s)
4.48.
Resuelva el problema 3.24 utilizando la t6cnica de la transformada de Laplace.
4.49.
2).
cuya transformada de Laplace es
Determine el valor inicial de la funci6n J'O) cuya transtbrmada de Laplace
r(t) -
+
:
4)(s
+
2)3.
l0/(s) + 4)(s
+
2)3.
Utilizando la t6cnica de la transformada de Laplace, encuentre la respuesta forzada de la ecuaci6n diferencial
dzv dv _,+ + 4+ + 4v:3_- *2u du
dt"
en donde
4.50.
u(t):
"-tt,
esta soluci6n con la obtenida en el problema3.26.
y(0*) y (dyldt)1,:6+ :
I
Usando la t6cnica de la transformada de Laplace, encuentre la respuesta de impulso unitario del sistema descrito por la ecuaci6n diferencial dyldt3 + dyldt : u.
Respuestas
r
t > 0. Compare
dt
Usando la t6cnica de la transformada de Laplace, encuentre las respuestas transiente y en estado : I con las estacionario del sistema descrito por la ecuaci6n diferencial *yldP + 3(dyldt) + 2y
condiciones iniciales
4.51.
dt
'
4.43. Ilr -
4.4. *
"-''l
a algunos problemas suplementarios
144
4.45.
TEoRIA
y
pRoBLEMAS DE RETRoALTMENTAcToN
srsrEMAS DE coNTRoL
d
0
5555 (s + 2)' 2(s + 2)"
4.6- F{-c):"---r. 4.47. f \t): 4.49. hG) 4.5o.
y
-
-lt 5t2e
5p-
a(s +
z, 5e-2,
2)
a(s + a)
Se-4,
z
7e-2'
Respuesta
-
7a
3'
-
7rc-2'
transitoria- 2e-t
4.51. ya(t):1 -
- 7r-zt. Respuesta
en estado estacionario
: l.
cosl
;
I
Capftulo 5
F
Estabilidad
I
i
5.1
I
Deliniciones de estabilidad
La estabilidad de un sistema continuo o discreto en el tiempo se determina por su respuesta a entradas o perturbaciones. Intuitivamente, un sistema estable es el que permanece en reposo a no ser que se estimule por una fuente externa, y regrese al reposo si se remueven todas las estimula-
I
I
ciones. La estabilidad puede definirse de manera precisa en t6rminos de la respuesta impulso y5(t) de un sistema continuo, o de la respuesta delta de Kronecker y5(k) de un sistema discreto en el tiempo (vdanse las secciones 3.13 y 3.16), como sigue:
I
I
Definicifin
5.1a:
I
t I
I
Uri sistema continuo (discreto en el tiempo) es estable si su respuesta impulso ya(t) (respuesta delta de Kronecker y6(k)) tiende a cero cuando el tiempo
tiende a infinito. De otra manera, la definici6n de sistema estable puede basarse en la respuesta del sistema a entradas acotadas, esto es, entradas cuyas magnitudes son menores que algfn valor finito en todo momento.
Detinici6n
5.1b2
Un sistema continuo o discreto en el tiempo es estable si toda entrada acotada produce una salida acotada.
I
La consideraci6ndel grado de estabilidad de un sistema, a menudo proporciona valiosa informaci6n acerca de su comportamiento. Esto es, si es estable, 1,qu6 tan cerca est6 de ser inestable? Este es el concepto de estabilidad relativa. Usualmente, la estabilidad relativa se expresa en t6rminos de alguna variaci6n permisible de un pardmetro particular del sistema, durante la cual el sistema permanece estable. En los capitulos posteriores se presentardn definiciones m6s precisas de los indicadores de estabilidad relativa. En el Capitulo l9 se tratalaestabilidad de los sistemas
I
I
no lineales.
I
5.2 I
I
i I
I
.}
Localizaci6n de las raices caracteristicas para sistemas continuos
Un resultado importante de los Capftulos 3 y 4 es que la respuesta impulso de un sistema continuo lineal invariable en el tiempo es una suma de funciones exponenciales en el tiempo, cuyos exponentes son las raices de la ecuaci6n caracteristica del sistema (vdase la ecuaci6n 4 . I 2) . IJnacondicihnnecesariay suftciente paraque el sisterna seaestable es que las partes reales de las raices de la ecuacihn caractertstica sean negativa.r. Esto asegura que la respuesta de impulso disminuin{ exponencialmente con el tiempo. Si el sistema tiene algunas raices con partes reales iguales a cero, pero no tiene ninguna con parte real positiva, se dice que es estable marginalmente. En este caso, la respuesta impulso no disminuye a cero, aunque estd acotada, pero ciertas entradas producir6n respuestas no ac6tadas. Entonces, los sistemas estables marginalmente son inestables. t45
146
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
{ EJEMPLO 5.1. El sistema descrito por la ecuaci6n diferencial transforinada en Laplace.
(s2+r)r(s):U(u) tiene la ecuaci6n caracteristica
s2+1:0 Esta ecuaci6n tiene dos raices
+j,
pero al 6stad tener partes reales iguales
a
cero, el sistema no es estable. Sin
embargo es marginalmente estable, puesto que la ecuaci6n no tiene raices con partes reales positivas. En respuesta a la mayor parte de las entradas o perturbaciones, el sistema oscila con una salida acotada. Sin embargo, si la entrada es & sen t, la salida contendr6 un tdrmino de la formay = t cos t,que no es acotado.
:
5.3
Criterio de estabilidad de Routh
El criterio de estabilidad de Routh es un m6todo para determinar la estabilidad de tm sistema
continuo, para sistemas con una ecuaci6n caracteristica de n-simo orden. de la forma: ansn
I
+ ar-tso-l + ... +ars * ag:0
El criterio se aplica utilizando una tabla de Routh, definida como J,
:"-'
an an-l
sigue:
dn-2 an-4 An-3 An-S
4b2b3 cr c2
l
I
ca
I
en donde an,
an-r,..., ao, son los coeficientes de la
ecuaci6n caracteristica v l I
br=
An*l0n-2- AnAn-3 Q
cr=
n-l
bz=
Qn-lAn_4a
AnAr_5 etc.
I
n-l
bter-l- ar-tbz
btan-s- ao-tbs
br
br
etc.
La tabla se continfa horizontal y verticalmente hasta que s6lo se obtengan ceros. Cualquier fila puede multiplicarse por una constante positiva antes de calcular la siguiente fila, sin alterar las propiedades de la tabla.
El criterio de Routh: Todas las raices de la ecuaci6n caracteristicq tienen partes reales negativas si y s6lo si los elementos de la primera columna de la tabla de Routh tienen el mismo signo. De lo contrario, el nftmero de laices con partes reales positivas es igual al nfimero de cambios de signo.
I
t
t47
ESTABILIDAD
EJEMPLO 5.2.
s3+6s2+L2s+8:0 1
s-
I 120
s2
6
80
sl
64 6
0
s"
8
I
I I
Pucsto quc no hay cambio en cl signo dc la primera columna de la tabla, todas las raices de la ecuaci6n tienen
pancs rcales negativas.
A menudo es deseable determinar un rango de valores de un par6metro particular del sistema para el cual es estable el sistema. Esto puede lograrse escribiendo las desigualdades que aseguren que no hay.cambio de signo en la primera columna de la tabla de Routh para el sistema. Estas desigualdades especifican entonces
el rango de valores permisibles para el pardmetro.
EJEMPLO 5.3.
s3+
3s2+3s+1+(:0
s-
1
30
s2
J
1+K0
1
8-K .sl
o
s-
^
0
1+K
- K > 0, S,queesla
Para que no haya cambios de signo en la primera columna, se hace necesario satisfacer las condiciones 8
| + K>
0. Asi, laecuaci6ncaracteristicatieneraicesconpartesrealesnegativassi soluci6n simultdnea de estas dos desigualdades.
-l < K<
Una fila de ceros para sr en la tabla de Routh indica que el polinomio tiene un par de raices que
satisfacen la ecuaci6n
auxiliar. formada como
sigue:
As2+B:0 en donde A y B son el primero
y el
segundo elementos de la
fila
s2.
Paia continuar la tabla, los ceros en la fila sr se remplazan con los coeficientes de la derivada
de la ecuaci6n auxiliar. La derivada de la ecuaci6n auxiliar 2As +
es
0:0
Los coeficientes 2A v 0 se colocan en la fila s'. y la tabla se continfa como se describi6 antes. EJEMPLO 5.4. En el ejemplo anterior, la fila sr es cero si K : 8. En este caso, la ecuacidn auxiliar 3sz + 9: 0. En consecuencia dos de las raices de la ecuaci6n caracterfstica son s: +"/y'J.
es
5.4 Criterio de estabilidad de Hurwitz El criterio de Hurwitz es otro m6todo para determinar si todas las raices de la ecuaci6n caracteristica de un sistema continuo tienen partes reales negativas. Este criterio se aplica utilizando los
I
r48
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
determinantes formados a partirde los coeficientes de la ecuaci6n caracterfstica. Se supone que el primer coeficiente, c,, es positivo. Los determinantes A;, i : | ,2,..., r4.- I se forman como los menores principales del deterrninante
Qn-,
an-3
l1':i'"11':"i L4l sl ,? es parj
an a,t-z
A,:
0 0
I
on_, ar_3.. on dn_,..
a, ,i
n es impar
I
loi ,t , ., purJ
0 ...
0
o "'
o
....0 '...0
Entonces los determinantes se forman como sigue:
Lr: ar-r ^ lar-t ur: lo,, lor-t lr:11, 0 |
an-rl
ar-zl: an-rQ,-2- anQ,*3 an-3 ar-sl an-2 o"-ol: an_1a,_2e,__r* {t,e,_Lon_5- a,a|_tan_r a,_31
I
a,_ca|_.r I
y asi
sucesivamente hasta
/,,_,.
El criterio de Hurwitz: Todas las ra{ces de la ecuac'i1n caracter[stica tienen partes reales negativas si _tl solo .ri A, > 0, i : l, 2,.. ., n.
:
3,
ao
0l
EJEMPLO 5.5. Para n
lo, A, : o, aL 0 I l: l0 a2 ool
5.5
a2a1as- atat,
Q"
tr:loi
anl
oil:
oro,
-
eoag. Lt: az
ara,
-
aoar> 0
a2a1ao- af,ar> 0
Criterio de estabilidad de fracciones continuas
Este criterio se aplica a la ecuaci6n caracteristica de un sistema continuo, formando una fracci6n continua a partir de las porciones impares y pares de la ecuaci6n, de la siguiente manera.
Hacemos
I I I
I I
Entonces todas las raices de la ecuaci6n caracterfstica tendrdn partes reales negativas si
az> 0
I
t49
ESTABII-IDAD
0(t)= ansn*Q,-rs'-t * "'*ars*ao 0t(") = ans' + ar-2sn-2 "'
i
QrG):- e,-rsn-r + e,-rsn-3 t
-..
Forme la tiacci6n QrlQz, y luego divida el numerador entre el denominador e invierta el residuo para formar una fracci6n continua como sigue:
t
I
0r(s) : Qr$)
I
:
I l
ont a
(o,-,-+:),'-'* +
+:),,-o*
...
Q,
r-l
/rrs
an-4-
* h,s
I I
* ftrs+
I
1
has*
, .
r
1
h;
I
Si ht, h2,..., h, son todos positivos, todas las raices de QG)
:0
tienen partes reales negativas.
EJEMPLO 5.6. I
0(t):s3+6s2+12s+8
gr(") s3 + 12s _c+I QzG) 6s'+ 8 6" -:-: : - T--izr o 16'* E
I
t
I
32
-.s J 6s2+8
Puestoquetodosloscoeficientesdesenlafracci6ncontinuasonpositivos,esdecir, h,:I,,hz=h,Vhr:t, todas las raices de la ecuaci6n polinomial Q$) : 0 tienen partes reales negativas.
I
5.6 I
l+ I
i
Criterios de estabilidad para sistemas discretos en el tiempo
La estabilidad de sistemas discretos se determina mediante las raices de la ecuaci6n caracteristica del sistema discreto
QG) :
anzn +
en-Lz'-L
* "'
4 arz
t ao: g
(5.1)
a
150
TEORIA
Y
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACTON
SISTEMAS DE CONTROL
Sin embargo, en este caso la regi6n de estabilidad se define mediante el circulo unitario lzl : 1 Una condici6n suficiente y necesaria para la estabilidad del sistema es que todas las raices de la ecuaci6n caracterfstica tengan una magnitud menor que uno, es decir, que se encuentren dentro del circulo unitario . Esto asegura que la respuesta delta de Kronecker disminuen el plano z.
ye con el tiempo. Un criterio de estabilidad para sistemas discretos, similar al de Routh, se llama prueba de
Jury.
Para esta prueba, primero se organizan los coeficientes de la ecuaci6n caracterfstica en el denominado arreglo de Jury;
fila 1
ao
aL
a2
an-l
an
2
Qn
Qn-l
a
ar
ao
a
5
bo bl b2 bn-t bn-z br_t co cl c2
Cn-2
6
C.n-2 C.n-3
C.n-4
c0
ro\
:
J
4
n-2
br_r bo
I
:
2n-5 2n-4 2n-3 en donde
13 Jo
r2
r3
12
rl
r0
sl
J2
lao ar**l rr:l"i ,;-^
lro ro:lr,
I
k
bk
lU,-r
rzl tt:lr,ro rrl
,oI
bn-r=
,o: lbo
|
rzl
1
I
ro
",:lr,
rrl ,rl
I
Las dos primeras filas se escriben utilizando los coeficientes de la ecuaci6n caracterfstica, y las dos siguientes se calculan utilizando las relaciones de los determinantes que se mostraron antes. El proceso se continfa de modo que cada par subsiguiente de filas tenga una columna menos que el par anterior, hasta calcular lafila2 n - 3,lacuals6lo tiene tres miembros. Ahi se terrnina el arreglo.
La prueba de Jury: Para que las ra{ces de Q Q) condiciones suJicientes y necesarias son:
:
O
tengan magnitudes menores que uno,
lot I
c(1) > 0
7eD {:3
para n par para n impar
I
laol < a^
> 14-'l lcol > lc,-zl
lbol
:
> lr:l lsol > lszl lrol
I
l
t
j
l5l
ESTABILIDAD
N6tese que si no se satisfacen las condiciones anteriores para
ble, y no hay
necesidad de construir
el
arreglo.
:
+
z2
EJEMPLO 5.7. Para QQ)
324
+
223
+ z -r | :0
Q()
o
Q? l), el sistema es inesta-
(n par),
1:8>0 ,0(-l):3-2+1-1 l:2> 0 O0):3+2+1+1
+ +
I
Dcbc complctarsc cl arreglo de Jury como
fila
I
I
I
1
2
2
I
8
I
4
I
1
t.
-5a
J
38
| 23 1 11 -2 -1 -5 -8 11
I
t
Las restantes condiciones restrictivas de la prueba son entonces
:
13 -- on lbol: l- 8l> l-
laol
I
1
1l:
: lc,- 2l lcnl :63 > 11
t
I
I
lb,-rl
Puesto que se satisfacen todas las restricciones de la prueba de Jury, se concluye que todas las raices de la ecuaci6n caracteristica estiln dentro del circulo unitario, y el sistema es estable.
La transformada w La estabilidad de un sistema lineal discreto en el tiempo, expresada en el dominio z tambi6n puede determinarse utilizando los m6todos del plano s desarrollados para los sistemas continuos (por ejemplo, Routh, Hurwitz). Las siguientes expresiones equivalentes representan la transformaci1n bilineal de la variable compleja z en la nueva variable compleja w:
l
I
1,*w
(s.2 )
1-w z-I zlI
(5.3)
t
I
i* I
i
ella transforma el interior del circulo unitario en el plano z enla mitad izquierda del plano w. En consecuencia, puede determinarse la estabilidad de un sistema discreto en el tiempo con polinomio caracteristico QQ), examinando las localizaciones de las raices de
Qfu ) -- Q (, ll, : o + w17qt - w1 :
o
t52
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
en el plano h/, tratando w como s y
utilizando las t6cnicas del plano s para establecer las propiedades de estabilidad. Esta transformaci6n se desarrolla m6s extensamente en el Capftulo 10, y tambi6n se usa en los subsiguientes capitulos de an6lisis y diseno en el dominio de la frecuencia. EJEII|PLO 5.8. La ecuaci6n polinomial 272! + 2722
*
9z
r l:
O
es la ecuaci6n caracterfstica de un sistema discreto en el tiempo. Para verificar la existencia de raices por fuera del circulo unitario que significarfa inestabilidad, hacemos
I
lzl: l,
z:
i
L+tl
i
t-w
la cual, despuds de cierta manipulaci6n algebraica, conduce a la nueva ecuaci6n caracteristica en w.
ty3+
I
6u'r+12w+8:0
I
En el ejemplo 5.2 se encontrd que esta ecuaci6n solamente tiene raices en la mitad izquierda del plano complejo. En conbecuencia, el sistema original discreto cn el tiempo es estable.
.l I
Problemas resueltos I
Definiciones de estabilidad
5.1.
A continuaci6n
I
presentan las respuestas impulso de varios sistemas lineales continuos. En cada caso determine si la respuesta impulso representa un sistema estable o inestable se
I
a) h(t): e-', b) h(t): 1r-', c) h(t):1, d) h(t) : e-'sen 3t, e) h(t):
senor. I
Si la respuesta impulso tiendc a ccro cuando cl ticmpo se aproxima a infinito, el sistema es estable. Como puede verse en la figura 5-1, las respuestas impulso a), b) y d) tienden a cero a medida que el tiempo tiende a infinito, por tanto representan sistemas estables. Puesto que las respuestas impulso c') y e) no tienden a cero, ellas representan sistemas inestables. (Viase figura 5.1 en la prigina siguiente).
5.2.
l
I
l
Si se aplica una funci6n paso unitario en la entrada de un sistema continuo y la salida permanece por debajo de cierto nivel durante todo el tiempo, les estable el sistema? El sistema no necesariamente es estable puesto que la salida debe ser acotada para toda entrada acotada. Una salida acotada a una cntrada especffica acotada no asegura estabilidad.
l
I
5.3.
Si se aplica una funci6n paso unitario a la entrada de un sistema continuo y la salida es de la
forma
y : /, ies estable o inestable el sistema?
El sistcma cs incstablc pucsto quc una cntrada acotada producc una salida no
acotada.
*
r53
ESTABILIDAD
l
r'(t)
c)
b)
Figura 5"1
Localizaciones d€ las raices caracteristicas para sistemas continuos
5.4.
A continuaci6n se presentan las ra(ces de las ecuaciones caracteristicas de varios sistemas. Determine en cada caso si el conjunto de raices representa sistemas estables, marginalmente estables o inestables.
-1,-2
a) b)
-- 1, +1
c)
-1 -)
-1+j, -1-j e) -2+j,-2-j,2j,-2j 2,-1,-3 f)
d) O
g) -6,-4,7 h) -2+3j,-2-3j,.-2 ,) -j,j,-7,1
Los conjuntos de raices a), A y /r) representan sistemas estables puesto que todas las raices tienen partes reales negativas. Los conjuntos de raices c) y e) representan sistemas marginalmente estables puesto que todas las raices tienen partes reales no positivas, es decir, son cero o negativas. Los conjuntos b), fl, d e i) representan sistemas inestables puesto que cada uno de ellos tiene por lo menos una raiz con parte real positiva.
5.5.
+
Un sistema tiene polos en -l y -5, y ceros en I y -2. ;Es estable el sistema? El sistema es estable puesto que los polos son las raices de la ecuaci6n caracterfstica del sistema (Capitulo 3) que tienen partes reales negativas. El hecho de que el sistema tenga un cero con una parte real positiva no afecta su estabilidad.
.TEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
154
5.6.
t
Determine si el sistema con la sisuiente ecuaci6n caracterfstica es estable: (s + 1)(s + 2)(s
-
3)
:0.
Estaecuaci6ncaracteristicatienelasraices _ 1,-2y3,yenconsecuenciarepresentaunsistema inestable puesto que hay una raiz real positiva.
5.7.
La ecuaci6n diferencial de un integrador puede escribirse como sigue: dyldt ne si un integrador es estable.
:
u. Determi-
:
La ecuaci6n caracteristica de este sistema es s 0. Puesto que la raiz, no tiene parte real negativa, un integrador no es estable. Puesto que no tiene raices con partes reales positivas, un integrador es marginalmente esta$le.
5.8.
Determine una entrada acotada que produzca una salida no acotada de un integrador. La entrada u
: I producird Ia salida y :
t, que es no acotada.
Criterio de estabilidad de Routh
5.9.
Determine si la siguiente ecuaci6n caracteristica representa un sistema estable:
s3+4s2*8s*72:0 La tabla de Routh para este sistema
es
r'r I-I1
8
srls
o
s2
so
| 412 I
ltz
Puesto que no hay cambios de signo en la primera columna, todas las raices de la ecuaci6n caracte-
ristica tienen partes reales negativas y el sistema es estable.
5.10.
Determine si la siguiente ecuaci6n caracteristica tiene alguna raiz con parte real positiva:
sa+s3-s-1:0 N6tese que el coeficiente del t6rmino s2 es cero. La tabla de Routh para esta ecuaci6n es
s' 1
s-
s2
sl nueva sl o.
s"
10 -1 1 -1 0 1 -1 00 20 -1
*
r55
ESTABILIDAD
La presencia de ceros en la fila s1 indica que la ecuaci6n caracteristica tiene dos rafces que satisfacen la ecuaci6n auxiliar formada a partir de la fila s2 como s2 I 0. Las rafces de esta ecuaci6n son
:
-
+l y -1.
- :
[a nueva fila sr se form6 utilizando los coeficientes de la derivada de la ecuaci6n auxiliar: ?s 0 0. Puesto que hay un cambio de signo, la ecuaci6n caracteristica tiene una raiz con una parte rea' positiva, la raiz en
5.11. La ecuaci6n
*1
determinada a partir de la ecuaci6n auxiliar.
caracterfstica de un sistema dado es:
sa+6s3*11s2*6s*K:0 1Qu6 restricciones deben impon6rsele al pardmetro
K para asegurar que el sistema
sea
estable?
La tabla de Routh para este sistema s4
I
s-
6
sl
60-6K
0
10
K
s0
Para que el sistema sea estable, 60
LIK 60 KO
10
s2
5.12.
es
-6K>
0.
oK < l0 v K > 0. Asi0 < K <
10.
Construya una tabla de Routh y determine el nfmero de raices con partes reales positivas para la ecuaci6n
2s3+4s2*4s*\2:0 A continuaci6n se presenta la tabla de Routh para esta ecuaci6n. Aqui se ha dividido por 4 la fila s2 antes de calcular la fila sr. La fila sr se ha dividido entre 2 antes de calcular la fila so.
ss2
sl so
Puesto que hay dos cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh, la ecuaci6n anterior tiene dos raices con partes reales positivas.
Criterio de estabilidad de Hurwitz
5.13.
Determine si la siguiente ecuaci6n caracter(stica representa un sistema estable o uno inestable.
TEORIA
156
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
s3+8s2*14s* 24:o Los determinantes de Hurwitz para este sistema son
ls 24 a,:li ii olol:ntz to 8 24t
A"
?11: ss -19 11 r4l
Ar
:8
Puesto que cada determinante es positivo, el sistema es estable. N6tese que se pudo haber utilizado
la formulaci6n general del ejemplo 5.5 para verificar la estabilidad en este caso, sustituyendo los valores apropiados de los coeficientes ao, a1, a2 ! a3.
5.14.
;Para qu6 rango de valores de Kes estable el sistema con la siguiente ecuaci6n caracteristica?
s2+Ks
+ZK-L:0
Los determinantes de Hurwitz para este sistema
son
A,:lf -9 . :zK2 "- - K: K(zK-t) l1 ^2K-rl |
Para que estos determinantes sean positivos, es necesario que
sistema es estable si
5.15.
K>*
K
)
Ar: K O
y 2K
- I > 0. Por tanto el
.
Un sistema est6 disefrado para que tenga un desempefio satisfactorio cuando un amplificador de ganancia particular K : 2. Determine cu6nto puede variar K antes de que el sistema se vuelva inestable, si la ecuaci6n caracteristica es
"""0i,"l::i::: :::
: ; ::":"",
Sus,i,uyendo,", genera,es de Hurw i,z, de, ejemplo 5.5, se obtienen las siguientes condiciones para la estabilidad:
4+K>0
(4+r)6-(16+8K)>0
(4+KX6X16+8K)-(16+8K)2>0
Suponiendo que la ganancia K del amplificador no puede ser negativa, se satisface la primera condici6n. Las condiciones segunda y tercera se satisfacen si K es menor que 4. En consecuencia, con un valor de ganancia de disefro del amplificador de 2, el sistema podria tolerar el aumento de ganancia en un factor de 2 antes de hacerse inestable. La ganancia tambi6n podria reducirse a cero
sin causar inestabilidad.
5.f6.
Determine las condiciones de Hurwitz para la estabilidad de la siguiente ecuaci6n caracte-
rfstica de cuarto orden, suponiendo eue aa es positivo. a4s4
+
a3J3
+ arsz + ars * a6:
0
$
t57
ESTABILIDAD
* Los determinantes de Hurwitz
son
lot at 0l Lt:loo a2 aol: a3a2a1 - aoa? - a&? 0 a.t orl I ^ lat or:loo Lr:
arl
arl':4ta2-
aoat
at
Entonces, las condiciones de estabilidad son
at>0 otez-auat>0 5.17. iEs
estable
ar(o2atao- a.'r,l)
a3a2a1-aoa?-aoal>0
el sistema con la siguiente ecuaci6n
-
ala6ao> o
caracterfstica?
sa+3s3+6s2+9s+12:0 Sustituyendo los valores apropiados para los coeficientes en las condiciones generales del problema 5.16, tenemos
3>0
18-9>0
L62-108-81>0
3(648-432)-972>0
Pnesto que no se satisfacen las dos iltimas condiciones,
el
sistema es inestable.
Criterio de estabilidad de fracciones continuas
5.18. Repita el
problema 5.9 empleando el criterio de estabilidad de fracciones continuas.
El polinomio O(s):53 + 4s2 * 8s t 12 se divide en dos partes:
0t(t):s3
+
La fracci6n continua para p1(s)/Q2(s)
0,(')
Qr(t\ :4sz + 12
8s
s3+8s 1
es
5s
ol;t: 4s\n:;t+ 4s'z+n:;t*ry :s+=)*s
158
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Puesto que todos los coeficientes de s son positivos, el polinomio tiene todas sus raices en la mitad izquierda del plano, y el sistema con la ecuaci6n caracterfstica eg) :0 es estable.
5.19.
Determine los limites sobre el par6metro ecuaci6n caracteristica es estable:
K
para los cuales el sistema con la siguiente
s3+14s2+56s+K:0
56s:-s-t. 1'
0,(r) 0r(r) 14s2+K s3
+
- K/r4)s : 1. * I4s2+K 14"'
(56
14
Para que el sistema sea estable, deben satisfacerse las siguientes condiciones:
y K > 0,
5.20.
Para
es decir.
0
784.
56
-
K/14 >
O
Derive las condiciones para las cuales todas las raices de un polinomio general de tercer orden tienen partes reales negativas.
p(s):
drs3
*
ars2
+
a1s
*
+
as,
ars3 + ars a3 [or- a3as/a2ls a3 O,(r) :;V : + %: A'* --;;r+ % ad') r'*
1
Ltr-"*il'ql"-T@, Lool
Las condiciones para que todas las raices de O(s) tengan partes reales negativas son
ot
A1
__:>0 a2
Asi, si aj dr3
es
aL
-
, a3a\/ a2
uo
at
-
a3ao/a2 ao
positivo, las condiciones necesarias son a2, a1, ast Oy a1a2 - .a3a6) 0. N6tese que si Q(s) debe multiplicarse por -l antes de verificar las condiciones anteriores.
Do eS positivo,
5.21. iEs
estable
el sistema con la siguiente ecuaci6n
caracteristica?
s4+4s3+8s2+16s*32:0
9,(")
O6
14 + 8s2 + 32 | 4sz + 32 - -7",-;16r : a'* A;+ rtu : 1111 : * ;t + s*;" t+ --T---t 4s' + 32 -:i&--s* --T-4 -ts -
{}
r59
ESTABILIDAD
7 Puesto que no todos los coeficientes de s son positivos,
el
sistema es inestable.
Sistemas discretos en el tiempo
5.22. iEs
estable
el sistema con la siguiente ecuaci6n
caracterfstica?
QQ):za+223+322+z*7:o Aplicando la prueba de Jury, con
n : 4 (par)
OQ):L+2+3+1+1:8>0
ael):1-2+3-1+1:2>0 El arreglo de Jury debe construirse como
sigue:
Fila
1 1 0 1
1
,, 5
4
1 2 -1 0
321 311 0 -1 0 1
Las restricciones de la prueba de Jury son laol
:1/ L:a,
lbol:0>r:lb,_rl
lcol:l-11>0:lc)
2l
Puesto que no se satisfacen todas las restricciones,
el
5.23, lEs estable el sistema con la siguiente QG)
:
ecuaci6n caracteristica?
2za + 223 + 3zz + z
Aplicando la prueba de Jury con
sistema es inestable.
* 7:
n : 4 par,
AQ):2+2+3+1+1:9>0
oct):2-2+3-1+1:3>0 El arreglo de Jury debe construirse como
sigue:
o
r60
TEORIA
Y
PROBI-EMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
fila
11322 223L1 3320 0233 970
1
2 J
4 5
Las restricciones de la prueba son
laol
:1 12:
on
lbol :3 > 0:
14_,1
lcol:9>0:lc,_zl Puesto que se satisfacen todas las restricciones,
5.24 lEs estable el sistema con la siguiente QG)
:
zs
+ 3za +
Aplicando la prueba de Jury con Q{G)
:1
A(-I):
el
sistema es estable.
ecuaci6n caracteristica?
323
+ 3z? + 2z+
:
o
n = 5 (impar),
+ 3 + 3 + 3 + 2+ 1 :13
-1
1
+
3
-
3+3
- 2+1 :
I
>0 1
>0 i
Puesto que z es impar,
cuencia
el
O(- l)
debe ser menor que cero para que el sistema sea estable. En consesistema es inestable. i
Problemas miscelSneos 5.25.
l
Si aparece un cero en la primera columna de la tabla de Routh, ael sistema es necesariamente inestable? Estrictamente hablando, un cero en la primera columna debe interpretarse como carente de signo, es decir, ni positivo ni negativo. En consecuencia, todos tos elementos de la primera columna no pueden tener el mismo signo si uno de ellos es cero, y el sistema es inestable. En algunos casos, un cero en la primera columna indica la presencia de dos raices de igual magnitud pero de signo opuesto (vdase el problema 5. l0). En otros casos, esto indica la presencia de una o miis raices con partes reales cero. As(, una ecuaci6n caracteristica que tenga una o m6s raices con parte real cero y ninguna niz con parte real positiva, producird una tabla de Routh en la cual todos los elementos de la primera columna no tienen el mismo signo y tampoco ningrin crimbio de signo.
e
I
r6r
ESTABILIDAD
5.26.
Pruebe que un sistema continuo es inestable si cualquiera de los coeficientes de la ecuaci6n
caracteristica es cero. La ecuaci6n caracteristica puede escribirse en la forma (s
- st)(s - lzXs - rr) "'
(s
- s,) :
g
en donde s,, rz, s:, ..., sn, son las rafces de la ecuaci6n. Si se efecttia la multiplicaci6n en esta ecuaci6n, pueden obtenerse n ecuaciones nuevas que relacionan las raices y los coeficientes de la ecuaci6n caracteristica en la forma usual. Asi a,,s"
r ar-rsn-l + ". *ao:0
y las relaciones arr-l ar
-_ Irr,
,n+o'-'rr-1+...+3:O an Q,
6
son
o"-iir,r,,o'-':-i
i:l
Qn
i:|
j:f
'
An
n
i:|
n
I f, ' j-l k:L ",s,ro
/t.-
un
i+j de cero si 1, an-2,..., a0 tienen todos el mismo signo que an, y son diferentes todas las raices sL 12,..., sn tienen partes reales negativas. La fnica manera de que alguno de ellos sea cero es que una de las rafces o miis tengan partes reales positivas o sean cero. En cualquiera de estos casos el sistema serfa inestable.
Los coeficientos d2-
5.27.
Pruebe que un sistema continuo es inestable si todos los coeficientes de la ecuaci6n carac-
teristica no tienen el mismo signo. De las relaciones presentadas en cl problema 5.26, puede verse que los cocficientes a,,-1, an-2,...,rtotienen el mismo signoque a- si todas las raices sr, su,...,.s, tienen partes rcalcs negativas. La fnica manera dc que cualquiera de estos coeficientes difiera en signo dc zlo es que una de las raices o m6s tenga una parte real positiva. De este modo el sistema necesariamente cs inestable si todos los coeficientes no tienen el mismo signo. N6tese que un sistema no es necesariamente estable si todos los coeficicntes tienen el mismo signo.
de estabilidad para los sistemas continuos, presentados en este capitulo epueden aplicarse a sistemas continuos que contengan retardos de tiempo?
5.28. Los criterios
No, 6stos no pueden aplicarse directamcnte porque los sistemas que ticncn retrasos cn cl ticmpo no poseen ecuaciones caracterfsticas de la forma requerida, es dccir, polinomios finitos cn s. Por ejemplo, la siguiente ecuaci6n caracteristica reprcsenta un.sistema que contienc un retardo de ticmpo:
s2+s+ e'tr:0 Estrictamente hablando, esta ecuaci6n tiene un nfmero infinito de raices. Sin embargo, en algunos qu€ d6 una informaci6n ftil, aunque no_totalcasos puede emplearse una aproximaci6n para "-s7 -"7 en ta mente exacta, en relaci6n con la estabilidad del sistema. Para ilustrar esto, remplacemos e La ecuaci6n Taylor. ecuaci6n anterior por los dos primeros t6rminos de su expansi6n en la serie de
entonces se hace
162
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
.r2+s+1-sZ:0
o
s2+(1
Y
SISTEMAS DE CONTROL
-7)s+1:0
Ahora, puede aplicarse uno de los criterios de estabilidad de este capitulo a esta aproximaci6n de la ecuaci6n caracteristica.
5.29.
Determine un limite superior aproximado para el retardo de tiempo de modo que el sistema
discutido en la soluci6n del problema 5.28 sea estable. Ar
:
Empleando la ecuaci6n aproximada s2 + 1l 7)s + I 0, los determinantes de Hurwitz son Az | T. Portanto, paraqueelsistemaseaestableelretardodetiempodebesermenorque l.
:
-
: -
Problemas suplementarios 5.30.
Para cada polinomio caracteristico, determine si 6ste representa un sistema estable
a)
2sa+8s3+10s2+10s+20
b)
sr+7s2+7s+46
c) s5+6sa+10s2+ 5s+24 e) d) s3-2s2+4s+6 f)
o inestable.
sa+8s3 +24s2 +32s+16
s6+4sa+gr2+16
5.3f.
aPara qu6 valores de negativas?
5.32.
r,Cui{ntas raices con partes reales positivas tiene cada uno de los siguientes polinomios?
a) s3+s2-s*1 5.33
K el polinomio s3 + 14
r
Asz
*
6s
*
12 tiene raices reales con partes
b) sa+2s3*2sz+-2sl-l c) s3+s2-2 e) s3+s2*s*6
iPara qu6 valores positivos de K, el polinomio sa reales iguales a cero? ;Cur4les son esas raices?
+
8s3
j
24s2
+
32s
d) s4-s2-Zs*2
+ K tiene raices
con partes
Respuestas a los problemas suplementarios 5.30.
b) y e) representan sistemas estables; a), c),
531. K> -2 5.32. a)2,
b) U, c)
533. K:80; s: tjz
1, d)2, e)2
a
y;f)
representan sistemas inestables.
I
Capftulo 6
]
Funciones de transferencia 6.1
Definici6n de funci6n de transferencia de un sistema continuo
Como se mostr6 en los Capitulos 3 y 4, la respuesta de un sistema lineal invariable en el tiempo puede separarse en dos partes: la respuesta forzada y la respuesta libre. Esto es cierto para los sistemas continuos y para los discretos. Consideremos primero las funciones de transferencia continuas finicamente para sistemas de una sola entrada y una sola salida. La ecuaci6n (4.8) ilustra con cla.ridad esta divisi6n para la m6s general de las ecuaciones difereqciales lineales ordinarias con coeficientes constantes. La respuesta forzadaincluye t6rminos debidos a los valores iniciales af Oe la entrada, y la respuesta libre depende rinicamente {e las condiciones iniciales yf de ta salida. Si se mezclan los t6rminos debidos a todos los valores iniciales, es decir, a ufiy a y[ ,la ecuaci6n (4.8) puede escribirse como
v(t) -
o'[(,i,,'
/io,,')
o, en notaci6n de la transformada,
Y(")
u(, ) + (los tdrminos
I i:o
ut,
iniciales
yt)
I I
como
\ : tlmD t,s' flnLa,s'lu(s)*
\,:o
debidos a todos los valores
(los t6rminos debidos a todos los valores
iniciales
I
ut, Yt)
La funci6n de transferencia P(s) de un sistema continuo se define como aquel factor en la ecuaci6n de I(s) que multiplica la transformada de la entrada U(s). Para el sistema descrito antes, la
funci6n de transferencia
es
P('):
b^s^ +
t,un'I
b--rs^-t
r,'n': ansn+dr-Ls'-t*
* '"
4bo
"'*a,
el denominador es el polinomio caracteristico, y la transformada de la respuesta puede escribirse nuevamente como
f("): P(s)U(s) +
(los t6rminos debidos a t1dls.los valores rnrcrales
ut, yt)
Si la cantidad (los t6rminos debidos a todoslos valores iniciales ut, ytles cero, la transformada de Laplace de la salida I(s) en respuesta a una entrada U(s) est6 dada por
r(r) : P(s)u(s) r63
154
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Si el sistema estd en reposo antes de la aplicaci6n de la entrada, es decir,
n - 1, para t ( 0, entonces
(los t6rminos debidos a todos los valores iniciales u3,
Y
SISTEMAS DE CONTROL
d*yldt*
yh :
:
O,
k
:0,1 ,...,
O
y la salida en funci6n del tiempo y(t) es simplemente la transformada inversa de P(s)U(s). Se hace 6nfasis en que no todas las funciones de transferencia son expresiones algebraicas racionales. Por ejemplo, la funci6n de transferencia de un sistema continuo que incluye retardos de tiempo contiene t6rminos de la forma e 'r (por ejemplo el problema 5.28). La funci6n de transferencia de un elemento que representa un retardo puro de tiempo es p(s) : e- "r endonde Z
es el retardo de tiempo en unidades de tiempo. Puesto que la formaci6n de la transformada de la salida Y(s) es simplemente una rnultiplicaci6n algebraica de P(s) y U(s), cuando (los t6rminos debidosatodo.s los valores iniciales u$,y[) : 0, la multiplicaci6n es conmutativa; es decir,
Y(s)
6.2
: u(s)P(s): r(s)u(s)
(a.t)
Propiedades de la funci6n de transferencia de un sistema continuo
La funci6n de transferencia de un sistema continuo tiene varias propiedades ftiles: I
.
Es la transformada de Laplace de su respuesta impulso y5 ft). t = 0. Esto es, si Ia entrada en un sistema con funci6n de transferencia P(s) es un impulso, y todos sus valores inicia-
les son cero, la transformada de la salida es p(s).
2.
3.
La funci6n de transferencia del sistema puede determinarse a partir de la ecuaci6n diferencial del sistema, tomando la transformada de Laplace e ignorando todos los t6rminos provenientes de los valores iniciales. La funci6n de transferencia P(s), entonces, est6 dada por
La ecuaci6n diferencial del sistefna puede obtenerse a partir de la funci6n de transferen-
cia, remplazando la variable s por el operador diferencial D, definido como D :- dldt. 4.
La estabilidad de un sistema lineal invariable en el tiempo puede determinarse a partir de la ecuaci6n caracteristica (viase el Capitulo 5). El denominador de la funci6n de transferencia del sistema es el polinomio caracterfstico. En consecuencia, para sistemas continuos, si todas las raices del denominador tienen partes reales negativas, el sistema es estable.
5.
Las raices del denominador son los polos del sistema, y las del numerador son sus ceros (vdase el Capitulo 4). La funci6n de transferencia del sistema puede especificarse entonces como una constante, especificando los polos y ceros del sistema. Esta constante, usualmente representada por K. es el factor de ganancia del sistema. Como se describi6 en el capitulo 4, secci6n 4. I l, los polos y ceros del sistema pueden representarse de
manera esquemiitica por medio de un diagrama de polos
y
ceros en el plano s.
I
t
t65
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
Si la funci6n de transferencia del sistema no tiene polos o ceros con partes reales positivas, el sistema es uno de fase minima.
6.
EJEMPLO 6.1. Considere el sistema con la ecuaci6n diferencial dyldt
+
2y
= duldt *
tt'
cero es La versi6n en transformada de Laplace de esta ecuaci6n con todos sus valores iniciales iguales a
(s+2)I(s):(s+lX/(s). Entonces, la funci6n de transferencia del sistema est6 dada por P(s)
EJEMPLO 6.2. Si p1t;
:
(2s
zD+t
| I v:l1'+ o+tl"
+
t)/(s2
+ s + l), la ecuaci6n
f(s)/U(s)
:
(5
+
l)/(s + 2)'
diferencial del sistema es
D2Y+DY*Y:2Du+u
o
:
o
d2v dy
du
fr*a+y:2v+u
EJEMPLO 6.3. La funci6n de transferencia P(s) : K(s + a)/(s + D)(s + c) puede especificarse dando la localizaci6n del cero -n, las localizaciones de los polos -b y -r, y el factor de ganancia k'
s
6.3
Funciones de transferencia de compensadores y controladores de sistemas de control
continuo se presentan las funciones de transferencia de cuatro componentes comunes control. En los problemas resueltos se presentan las mecanizaciones tipicas de tres de estas funciones de control utilizando redes li-C.
A continuaci6n
de los sistemas de
EJEMPLO 6.4. La funci6n de transferencia general de un compensador por adelanto de un sistema continuo es
s+a Pea"tunro(s)
Este compensador tiene un cero en
I
s+D
(6.2)
b>a
s: -d y un polo
en
s: -b.
EJEMPLO 6.5.. La funci6n de transferencia general de un compensador por atraso de un sistema conti-
nuo
es
P.+ru,o(s):
a(s + D)
DG+r)
Sin embargo, en este caso el cero est6 en s
(6.3)
b>a
: -b y el polo en s : -4.
Se incluye el factor de ganancia
alb
porque usualmente se mecaniza de este modo (problema 6.13).
EJEMPLO 6.6. La funci6n de transferencia general de un compensador por atraso'adelanto de un sistema continuo es
Poo
(t) :
(s+c')(s+fu) (s+Dr)(s+c2)
br) ar,4.>
az
(6.4)
166
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
Este compensador tiene dos ceros y dos polos. usualmente se impone la restri cci6n
SISTEMAS DE CONTROL
aft2:
b1c2 por conside-
I
raciones de mecanizaci6n (problema 6.14).
EJEMPLO 6.7. La funci6n de transferencia del controlador pID, del ejemplo 2.14,
P*o(r)=W
-Kp+KDr++
Kos2+KpsiK,
es
(6.s)
Este controlador tiene dos ceros y un polo. Es similar al compensador por atraso-adelanto del ejemplo anterior, excepto que el polo m6s pequefro se encuentra en el origen (un integrador) y no tiene el segundo polo. Tipicamente esto se mecaniza en un computador analdgico o digital.
6.4
Respuesta de tiempo de sistemas continuos
La transformada de Laplace de la respuesta de un sistema continuo a una entrada especffica estd dada por
Y(")
:
P(s)u(s)
cuandotodaslascondicionesinicialessoncero.Latransformadainversay(t):
g-r[p(s)u(s)]es
entonces la respuesta de tiempo, y y(r) puede determinarse encontrando los polos de P(s)U(i) y evaluando los residuos en estos polos (cuando no hay polos mriltiples). En consecuencia y(l) depende tanto de los polos y ceros de la funci6n de transferencia como de los polos y ceros de la entrada. I os residuos pueden determinarse gr6ficamente a partir del diagrama de polos y ceros de I(s), construido a partir del mismo diagrama de P(s), simplemente sumando l,os polos y ceros de U(s). La evaluaci6n grdfica de los residuos puede efectuarse como se describi6 en el Capftulo 4, secci6n
4.r2.
6.5
Respuesta de frecuencia del sistema continuo La respuesta en estado estacionario de un sistema continuo a entradas sinusoidales puede determinarse a partir de la funci6n de transferencia del sistema. Para el caso especial de una entrada paso de amplitud A , llamada a menudo entrada en c.c., la transformada de Laplace de la
salida en el sistema est6 dada por
I(s): pG)!s Si el sistema es estable, la respuesta en estado estacionario es una funci6n paso de amplitud 'AP(O), puesto que 6ste es el residuo en el polo de la entrada. La amplitud de la sefral de entrada se
multiplica entonces porP(O) para determinar la amplitud de la salida. Entonces, P(0) es la ganan-
cia en c.c. del sistema.
:
N6tese que para un sistema inestable, tal como un integrador (P(s) l/s), no siempre existe una respuesta en estado estacionario. Si la entrada en un integrador es una funci6n paso, la salida es una rampa, la cual es no acotada (vdanse los problemas 5.7 y 5.8). Por esta raz6n, algunas
veces se dice que los integradores tienen una ganancia en c.c. infinita.
I
167
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
La respuesta en estado estacionario de un sistema estable a una entrada u
:
A
sen
oil estfdada
por
we: AIP(io)
lsen(ot + Q)
endondelPQlo)l:magnituddePQa),6:argPAai'yelnfmerocomplejoPQa)se determina a partir de P(s), remplazando s porj<'r (viase el problema 6.20). La salida en el sistema tiene la misma frecuencia que la entrada, y puede obtenerse multiplicando la magnitud de la entrada por lPfu'ar)l y desplazando el dngulo de fase de la entrada por el arg PQa). La magni-
tud 1Pfiar)l y el 6ngulo argPQo) para todo ar, definen juntos la respuesta de frecuencia del sistema. La magnitud de lPQto)l es la ganancja del sistema para entradas sinusoidales de frecuencia ar. La respuesta de frecuencia del sistema puede determinarse gr6ficamente en el plano s a partir del diagrama de polos y ceros de P(s) del mismo modo que la determinaci6n grdfica de residuos. Sin embargo, en este caso, la magnitud y el 6ngulo de fase de P(s) se calculan en un punto sobre el eje jar, midiendo las magnitudes y los 6ngulos de los vectores dibujados desde los polos y ceros de
P(s) al punto en el
r
e1e
ja.
EJEMPLO 6.8. Considere el sistema con funci6n de transferencia
p(")
:
1
G+TX;+ 4
Con referencia a la figura 6-1, la magnitud y el ringulo de
sigue. La magnitud de P(y 1
)
PQa)
para &)
: I se calculan en el plano s como
es
lP(
jl)
l:
I -a---r:0.316 v)'vz
Figura 6-l
y el
6ngulo es
arg
P(;1)
:
-26.6"
-
45o
:
-71.60
168
TEORIA
Y
PPOBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
EJEMPLO 6.9. La respuesta de ffecuencia del sistema usualmente se representa mediante dos graficas (viase la figura 6-2): una de lPfu'ar)l en funci6n de at y una de arg PQo\ en funci6n de ar. Fara la funci6n de transferencia del ejemplo 6.g, p(s) : l/(s + l)(s + 2), estas grdficas se determinan f6cilmente representando los valores de lP(ir.o)l y del arg PQa) para diferentes valores de ar, como se muestra a
continuaci6n.
a
lP(r,)l arg P(7r.r)
0
0.5
1.0
2.0
4.0
0.5
0.433
0.316
0.r58
0.054
0
-
40.60
-
-7L.6"
109.5"
-139.4"
8.0 0.015
-
158.9"
o.2 0.1
-
2oo9
arg P(jo) Figura 6-2
6.6
Funciones de transferencia, de sistemas discretos en el tiempo, compensadores y respuestas de tiempo
La funci6n de transferenciaP(z) para un sistema discreto en el tiempo se define como el factor en la ecuaci6n de la transformada de la salida Y(z) que multiplica la transformada de la entrada U(z). Si todos los t6rmtnos debidos a las condiciones iniciales son cero, entorrues la respuesta del sistema a una entrada U(z) estd dada pr: Y(z) : p(z)U(z) en el dominio z, y {'irk)l : , - iplz)U(z))
en el dominio del tiempo.
La funci6n de transferencia de un sistema discreto en el tiempo tiene las siguientes propiedades:
l. 2.
P(z) es la transformada z de su respuesta delta de Kronecker
z"ly&)l:y(k+n) J.
h(k), k:
0, 1,...
La ecuaci6n de diferencia del sistema puede obtenerse a partir de p(z), remplazando la variable z por el operador de desplazamiento Z definido para dos enteros cualesquiera k y n como
(6.6)
El denominador de P(z) es el polinomio caracteristico del sistema. En consecuencia, si todas las raices del denominador se encuentran dentro del circulo unitario del plano z, el sistema es estable.
4.
Las rafces del denominad or de P(z) son los polos del sistema, y las del numerador son sus
ceros. P(z) puede definirse especificando los polos y ceros del sistema y el factor de ganancia K:
169
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
(6.7) Los polos y ceros del sistema pueden representarse esquem6ticamente mediante un diagrama de polos y ceros en el plano z. El diagrama de polos y ceros de la respuesta de salida puede construirse a partir del mismo di4grama de P(z) incluyendo los polos y ceros de la entrada U(z). 5.
El orden del polinomio del denominador de la funci6n de transferencia de un sistema causal (realizable fisicamente) Qiscreto en el tiempo debe ser mayor que o igual al orden del polinomio del numerador.
I
6.
Larespuesta en estado estacionario de un sistema discreto en el tiempo a una entrada paso unitario se llama ganancia en c.c. y se determina mediante el teorema del valor final
(secci6n 4.9):
-l11r( ft )
r
: lT,
lt)
*l:
r, 4
P(1)
(
6.8)
EJEMPLO 6.10. Considere un sistema discreto en el tiempo caracterizado por la ecuaci6n de diferencia
v(k+z)+ 1.1y(k+ 1) + 0.3/(ft)
:
"(t
+ 2) + 0.2&(k + 1)
La versi6n en transformada z de esta ecuaci6n, con todas sus condiciones iniciales iguales a cero, (zz + La funci6n de transferencia
r.rz+
: ( z2 + 0.22)u(z)
esti4 dada por
z(z+0.2) z(z+0.2) .(z+0.5)(z+0.6) z' + -L.Lz*0.3 -
rlzt: Este sistema tiene un cero en
r(z)
0.3)
es
-0.2
y dos polos en
del circulo unitario, el sistema es estable.
y en
-0.5
-0.6.
t" t*-.'j;j;.
p(1):
(r
Puesto que los polos se encuentran dentro
.t
sxfr:o.s
EJEMPLO 6.11. La funci6n de transferencia general de un compensador digital por adelanto Ptaau"t"(z)
KAdelmto
(t - tr)
z")
2-P,
Este compensadOr tiene un cero en z
:
Peoet-ro( | )
:
zc
P"
y un polo en z = pc. Su
Kea"tunto(l
* z")
l-p,.
es
(a.c) gananCia en estado estacionario es
(6.10)
170
TEORIA
El factor de ganancia
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
incluye en la funci6n de transferencia para ajustar su ganancia para un &) dado a un valor deseado. Por ejemplo, en el problema 12.13, se escoge Kaa"runto para dar una ganancia en estado estacionario de PAderanto (en ar = 0) igual a la de su contraparte anal6gica. KAd"runto se
EJEMPLO 6.12. La funci6n de transferencia general de un compensador digital por atraso Pet'aso
(z) =
(r-p.)(z-2") (I-2,)(z-p")
es
(at t1
zr4P"
Estecompensadortiene unceroenz: z..y unpoloefrz: p,.Se incluyeel factordeganan cia(l p,)/(l - z,) de tal modoque lagananciaen bajas frecuencias oen estadoestacionariopAt,u.o (r) : l, de maneraandloga al compensador por atraso continuo en el tiempo.
EJEMPLO 6.13. Los compensadores digitales por adelanto y atraso pueden disefrarse directamente a partir de especificaciones en el dominio s utilizando las transformadas entre los dominios y s z definidos mediante z : e'r. Esto significa que los polos y ceros de PAd"rrnto
(t) :
s+a
y
J+D -
Pnrurc:
a(s + b)
A;;t
z : e'r. Para el compensador por adelanto, el cero en J : -d se e-oT,yel poloens: -bse transformaenel poloefrz: p,= r-u,.Estonos =
pueden representarse de acuerdo con
transformaen el ceroen z :2,. da
P'Ad"l,nro
(r):
z
_ e-oT
-
De modo similar,
L-r-ur\l
I P'nr.,.o(z):l-ll \ r - "-"' N6tese que P'eno'o (l) : l.
(6.12)
--, z-e-hr\ l
(6.13)
\'- ,-'' -l I
Esta transformaci6n es solamente una de las muchas posibles para los compensadores digitales por adelanto y atraso, o cualquier tipo de compensadores para ese prop6sito. En los problemas
al 12.1 5 se ilustra otra variante de compensadores por adelanto. En el ejemplo 12.1 se presenta la manera como puede utilizarse la ecuaci6n
del 12.13
(6./j)
en sus
aplicaciones.
6.7
Respuesta de frecuencia de sistemas discretos en el tiempo
La respuesta en estado estacionario a una secuencia de entrada {u(k): A sen artZ} de un sistema estable discreto en el tiempo, con funci6n de transferencia P(z), est6 dada por
yu"
: AIP(er.r)
lsen(arkT +
+)
k:0,I,2,...
(6.t4)
I
t7l
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
endondelp?i-\leslamagniruddeP@i'\,6:argP(ei-'),ylafunci6ncomplejaP@i-r1 en el se determina a partir de P(z) remplazando z por ei-r (viase el problema 6.40). La salida de sistema es una secuencia de muestras de una sinusoide con la misma frecuencia que la sinusoide
La secuencia de salida se obtiene multiplicando la magnitud A de la entrada por desplazando el 6ngulo de fase de la entrada en arg P@i-r1. Para cualquier iuola lp@i-|1l y -lfpi;,11y de
eritrada.
el 6ngulo de fase arg P@i-r1 definen juntos la funci6n de respuesta frecuencia para un sistema discreto en el tiempo. La magnitud lP@i-\l es la ganancia del sistema para entradas sinusoidales con frecuencia angular ar' magnitud
Una funci6n de respuesta de frecuencia de un sistema discreto en el tiempo puede determinarse hizo el se en el plano z a partir de un diagrama de polos y ceros de P(z) del mismo modo como magnitud la caso, este en f e] 6ngulo c6lculo gr6fico de los residuos (secci6n 4. I 2) . Sin embargo, de los y 6ngulo el magnitud la midiendo de fass se calculan en el circulo ei''r (elcfrculo unitario), que P(er@') Puesto unitario. circulo vectores dibujados desde los polos y ceros de P al punto en el es peri6dica en @, con un periodo 2rlT,la funci6n de frecuencia s6lo necesita determinarse
< rlT. Tambi6n, puesto que la funci6n sobre el intervalo de frecuencia angular -tlT'< o magnitud de r.r es par, y el dngulo de fase ar es funci6n impar, los c6lculos reales solamente ttt < tlT ' necesitan efectuarse sobre la mitad del intervalo de frecuencia angular, es decir O =
F 6.8
Combinaci6n de elementos continuos
y discretos en el tiempo
I
Hasta aqui, la transformada z se ha utilizado principalmente para describir sistemas y elementos que operan sobre seflales discretas en el tiempo y producen s6lo sefiales discretas en el tiempo, y la i.ansfo.rnada de Laplace se ha utilizado irnicamente para sistemas y elementos continuos en el tiempo, con seflales de entrada y salida continuas en el tiempo. Sin embargo, muchos sistemas de l
control contienen ambos tipos de elementos. Aquf
se
desarrollan algunas de las relaciones imporparafacilitarel andlisis y el diseno
tantes entre las transformadas.z y las transformadas de Laplace,
de sistemas mixtos (continuos/discretos). I
I
Las sefiales discretas provienen del muestreo de sefiales continuas en el tiempo o de la salida de un sistema de componentes inherentemente discretos en el tiempo, tales como los computadores digitales. Si una senal y(r) continua en el tiempo, con transformada de Laplace Y(s) se muestrea : uniformemente, con un periodo T, la secuencia resultante de muestras y(kf), ft 0,1,2,'.., puede
escribirse como
v(kr):
1
zltJ
-
['*t*
Y1'1"'0' 4"
k:0,1,2,.
'c- j@
c ) oo (viase la definici6n 4.3). La transformada z de esta secuencia es I/*(z) :I?_oy(fti")z &1definici6n4.4),lacual,comosedemuestraenelproblema6.4l,puedeescribir-
en donde se como I
Y(,):
I
*
I,':;rr'l(;ja=) *
(6.1s)
t72
TEORIA
Y
PROBI-EMAS DE RETROALIMENTACTON
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
) e'r. Esta relaci6n entre la transformada de Laplace y la transformada z puede evaluarse mediante la aplicaci6n de la ley de integraci6n de Cauchy I I ]. Sin embargo, en la pr6ctica, usualmente no es necesario utilizar este m6todo de an6lisis complejo. La funci6n y(t) : gt-r [I(s)l continua en el tiempo puede determinarse a partir de I(s) y una tabfa de transformadas de Laplace, remplazando luego la variable t por kT, produciendoel ft6simo elemento de la secuencia deseada: para la regi6n de convergencia lzl
y(kr) :s-'[Y(s)ll,:kr Entonces la transformada z de la secuencia
y
(kT), k
:
O,l ,2,...,
se genera
refiri6ndose
de transformadas z, lo cual produce el resultado deseado:
:
Y*(')
z
{
y(kr)\ : z {v-t[v(")]
a una
tabla
(6. t 6)
l,:0. ]
Asi, en la ecuaci6n (6.16),las operaciones simb6licas g-r y Z representan directamente una brisqueda en la tabla, y lt:*r genera la secuencia que va a transformarse en z. En la figura 6.3 se presenta una combinaci6n comrin de elementos y sefiales discretos v conti_ nuos en el tiempo
)
u*(t)
u(s)
u*( zl
u\t
{
Figura 6.3 Si el circuito de sostenimiento es de orden cero, la funci6n de transferencia discreta en el tiempo de U*(z) a Y*(z), como se demuestra en el problema 6.42, estd dada por
ffi:(r-
'-'\z(-'?1,:-,)
(6. tT)
En la prdctica, puede que el muestreador que genera y*(t) en la figura 6-3 no exista en la salida. Sin embargo, algunas veces es conveniente suponer que existe uno en ese punto para prop6sitos de anr4lisis (por ejemplo , viase el problema 10. l3). Cuando se hace esto, a menudo este muestreador se llama muestreador ficticio. Si la entrada y la salida en un sistema como el que se muestra en la figura 6-3, son sefrales continuas en el tiempo, y en seguida se muestrea la entrada, entonces la ecuaci6n (6.17) genera una funci6n de transferencia discreta en el tiempo, la cual relaciona la entrada en los tiempos de
muestreo 7,27,..., con la salida en los mismos tiempos de muestreo. Sin embargo, esta funci6n no relaciona las sefrales de entrada y de salida en los tiempos r, entre los tiempos de muestreo,
esto es, para kT
1r 1(k + l)7, k:0,1
l
I
l I
,2,...
I
:
EJEMPLO 6.14. En la figura 6-3, si el circuito de sostenimiento es de orden cero y p(s) l/(s + l), a partir de la ecuaci6n (6.17),la funci6n de transferencia discreta en el tiempo del subsistema de elementos mezclados es
*l l
l
173
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
ffi:
'
(1
-,-'), {''(oh)1,:^.)
: (t _,-,),(*,(:
_
*)1,_,.)
: (r -'-r,,2 {(ttr) - r-,)1,:or} : (r -,-'; z {r(kr) - ,-o'11 : (r -,-')[ z {r(kr)} - z {,-o'\l
:1'-,-,r[;!
-:-]
+)(=)l=#l -e
z-e
Problemas resueltos Definiciones de funciones de transferencia
6.1.
y estdn 6Cu6l es la funci6n de transferencia en un sistema en el cual la entrada la salida relacionadas mediante la sieuiente ecuaci6n diferencial?
dzv dv dtz " dt -', -*j-+)y:4q-
du dt
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuaci6n, ignorando los t6rminos debidos a las condiciones iniciales, obtenemos
s2r(s) + 3sr(s) + 2Y(s)
Esta ecuaci6n puede escribirse como
I s+l
:
u(r) +su(s)
I
v('):[,r*3,,*r]ut') La funci6n de transferencia de este sistema est6 dada entonces por
P(r)
:
s*1 s, *,Js +
2
174
6.2.
TEORIA
Y
PROBLEMAS'DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
Un sistema particular que contiene un retraso de tiempo tiene la ecuaci6n diferencial (dldt)y(t) + y(l) : uQ - n.Encuentre su funci6n de transferencia. La transformada de Laplace de la ecuaci6n diferencial, ignorando los t6rminos debidos a las condiciones iniciales, es sl(s) + I(s) = e-'ru1s1. f(s) y U(s) est6n relacionadas mediante la siguiente funci6n de s, la cual es la funci6n de transferencia del sistema.
:{ P(,):-19 U(r) s*1 6.3.
La posici6n y de un objeto en movimiento de masa constante M est6relacionada con la fuerza/aplicada al objeto mediante la ecuaci6n diferencial M(*yld?):/. Determine la funci6n de transferencia que relaciona la posici6n con la fuerza aplicada. Tomando la transformada de Laplace de la ecuaci6n diferencial obtenemos
funci6n de transferencia que relaciona f(s) con F(s) es entonces P(s)
6.4.
:
MszYlsl: F(s). La
y1r;r"(s)
:
llMs2.
Un motor conectado a una carga con inercia J y una fricci6n viscosa B produce un torque proporcional a la corriente de entrada i. Si la ecuaci6n diferencial, para el motor y la carga, es {&eta?) + B(dilldt): Ki, determine la funci6n de transferencia entre la corriente de entrada i y la posici6n d del eje. La versi6n en transformada de Laplace de la ecuaci6n diferencial es ("/s2 + Bs)@(s)
funci6n de transferencia requerida es P(s)
: A(s)/I(s) :
:
{ i
K/(s) y la
K/s(Js + B).
Propiedades de las funciones de transferencia
6.5.
Se aplica un impulso a la entrada en un sistema continuo y se observa que la salida funci6n de tiempo e-2t. Encuentre su funci6n de transferencia.
La funci6n de transferencia es P(s)
:
I(s)/U(s)
y U(s)
:
1 para u(t)
:
es
6(r). Entonces
1
P('):r('):r+z I
6.6.
La respuesta impulso en cierto sistema continuo es la sefral sinusoidal sen t. Determine la
funci6n de transferencia
y la ecuaci6n
diferencial.
I
La funci6n de transferencia del sistema es la transformada de Laplace de su respuesta impulso,
P(s):
14rz
*
1). Entonces
p(D):y/u:I/(D2+l), Dry*y:u 6 d2y/dt2*y:u.
I
6,7.
La respuesta paso de un sistema dado es y funci6n de transferencia?
:7 - *"-' + 1t-'' - |e-at. iCudl es su
Puesto que la derivada de un paso es un impulso (viase la defirici6n 3.11), ia respuesta impulso para este sistema es p(/):dy/dt:Te-t -3e-2'+trr-o' La transformada de Laplace de p(r) es la funci6n de transferencia deseada. Asi
3
t75
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
s+8 (,r+1)(s+2)(s+a) N6tese que una soluci6n alterna habria sido calcular la transformada de Laplace de y y luego multiplicarla por s para determinar P(s), ya que una multiplicaci6n por s en el dominio de s equivale a su derivaci6n en el dominio del tiempo.
6.8.
Determine si la funci6n de transferencia P(s) sistema estable o uno inestable.
:
(2s
+
1)/(s2
+ s + l)
representa un
La ecuaci6n caracteristica del sistema se obtiene igualando a cero el polinomio del denomina+ s * I : 0. La ecuaci6n caracteristica puede probarse utilizando uno de los criterios de estabilidad descritos en el Capitulo 5. La tabla de Routh para este sistema est6 dada por
dor, esto es s2
s2
s' o
s-
|}
Puesto que no hay cambios de signo en la primera columna,
6.9.
l1-afunci6ndetransferenciaP(s): (s + 4)l(s estable
o uno
el
sistema es estable.
+ l)(s + 2)(s -
l)representaunsistema
inestable?
La estabilidad del sistema se determina mediante las raices del polinomio del denominador, esto es, los polos del sistema. Aquf el denominador se encuentra en forma factorizada, y los polos +1. Puesto que hay un polo con parte real positiva, el sistema es se localizan en s = ,
-l -2,
inestable.
es la funci6n de transferencia de un sistema con un factor de ganancia de 2 y el diagrama de polos y ceros en el plano s que se muestra en la figura 6-4?
6.10. ;Cu6l
La funci6n de transferencia tiene un cero en esta funci6n es P(s) : 2(s + L)/s(s + 2).
-
I y polos en -2 y en el origen.
En consecuencia
i
I} I
I
I
Figura 6-4
Figura 6-5
176
6.11.
Y
TEORIA
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Determine la funci6n de transferencia de un sistema con un factor de ganancia de 3 y el diagrama de polos y ceros que se muestra en la figura 6-5. La funci6n de transferencia tiene ceros en -2 tj y polos en -3 y en funci6n cs P(s):3(s+ 2+j)(s+Z-j)/(s+ 3)(s + i +y1" +I _j).
-l tj.
Entonces esta
Funciones de transferencia de componentes de sistemas de control continuos
6-12.
En la figura 6-6 se muestra una red R-C como mecanizaci6n de un compensador por adelanto. Encuentre su funci6n de transferencia.
d
Figura 6-6 Suponiendo que el circuito no estii cargado. cs dccir, quc no fluyc corricntc a travis dc sus terminales de salida, la ley de corriente dc Kirchhoff para cl nodo dc salida producc
^d. CVQ:-
uo)
+
I *
(u, -0,,)
: i
oun
La transformada dc Laplace dc csta ccuaci6n (con condicioncs inicialcs ccro)
cs[4(r) - zu(,)] *
*tzt,l - rro(,)l : *
cs
PAderanro
en donde
6.13.
n,(r)
112
^l
La funci6n de transfcrcncia
cs
|/n(s)
:2(s)-
Cs
+ L/R,
s+4
Cs+L/Rr+L/Rz s*D
a:l/RS y b:l/Rp+L/R2C.
Determine la funci6n de transferencia de la red R-C como mecani zaci6ndel compensador
por atraso que se muestra en la figura
6_7.
t l l
177
FUNCIONES DE TRANSFF,RENCIA
Figura 6-7 La lcy de voltajc dc Kirchhoff para la malla produce la ecuaci6n
rR,+1f'iat+iRr:u, ' CJo
cuya transformada dc Laplacc cs
/
I n, + R, + \
3
1\
;tJ/
l1(r)
:4(s)
El voltajc dc salida cst:i dado por
r\
/ vo('):lnr+;|1(s) LJ/ \
Entonccs, la funcitin dc transfcrcncia dc la rcd por atraso
Pr...-..
6.14.
:
,ru(r) v,(t)
l/Cs Rr + R, +l/Cs Rr+
b) b(s+ a)
a(s +
i
I
I
I
I
l
l; I I
I
1 (Rr + R2)C
1
RzC
Encuentre la funci(rn de transferencia de la red R-C como mecanizaci6n del compensador
por adelanto-atraso que se muestra en la figura 6-8.
l
es
Figura 6-8
178
TEORIA
y
Igualando las corrientes en el nodo de salida
Ld ;(u, 1(l El voltaje ue y la
corrien-te
i
y srsrEMAS DE coNTRoL
pRoBLEMAs DE RETROALIMENTACIoN
uo)
+
c
se obtiene
C,;(u, ' dt' ' -
uo)
: i
se relacionan mediante
1,, ;\-2 "oI idt * iRr:
uo
Tomando la transformada de Laplace de estas dos ecuaciones (con condiciones iniciales cero) y eliminando (s) se obtiene la ecuaci6n
(+ . c')tzr't - ro(")t :
#k
Entonces la funci6n de transfereniia de la red es
Ple :
("1#)('.#)
zo(t)
v,(t)
{
t
\ RrQ RrC,
R Cr
l-
(s+a,)(s+b2) (s+0,)(s+a2) RtqR2q
en donde
' 6.15.
I R'G
bra2:
1
arb2
b,Ia.:a,*b"+-RtCt
b": '
I RrQ
-
Encuentre la funci6n de transferencia de la red de atraso simple que se muestra en la figura 6-9. Esta red es un caso especial de la red de compensaci6n por atraso del problema 6_13, con R2
igual a cero. En consecuencia ra funci6n de transferencia estd dada por
L/Cs r/RC V,(s) R+I/Cs- s+I/RC
p(s)-&Q: R
--vvvvvF, -fl-r
4\l
air=Cao
t Figura 6-9
Figura 6-10
I
l l I
j
r79
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
) 6.16.
Determine la funci6n de transferencia de dos redes de atraso simple conectadas en serie, como se muestra en la figura 6-10 Las ecuaciones de las dos mallas son
*;
L,,
-
ir)
dt:u,
Rri.r*; I'i2dt+; ,0l'QzLZ '0 Lr
ir)
dt:0
Rri,
Lt'ol'(,,
l,,In,
Utilizando la transformaci6n dc Laplace y resolviendo las ecuaciones de las dos mallas para 12(s), obtcncmos
1r(t):
CasV,(s) RrRrCrcns2 +
El voltaje de salida estii dado por u0
3
,'o(
:
OlC2)
/t.
I'i2
As( que
I
t)
v,(t)
(Rrc, + RtC2+ R2c2)s + 1
RrRrcrcrs2+ (Rrc, + Rrc2+Rrcr)s+ I
Respuesta de tiempo de sistemas continuos 6.17.
;Cudl es la respuesta paso unitario de un sistema continuo cuya funci6n de transferencia tiene un cero en - I, un polo en -2 y un factor de ganancia de 2? La transformada de Laplace de la salida est6 dada por I(s)
:
P(s)U(s). Aqui
i
P(,):+# u(,):i v(,):tr$::-*
I
I
I
I I
I
Evaluando la transformada inversa de la expansi6n en fracciones parciales de I/(s) se obtiene
I
Y(t):l+e-zt
I I
I I
I
6.f8.
Evahie gr6ficamente la respuesta paso unitario de un sistema continuo cuya funci6n de transferencia estd dada por
I I
ll I
I
t I
I
I
P('):
(s+2) (s+O.s)(s+a)
TEORIA
180
Y
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
SISTEMAS DE CONTROL
{ El diagrama de polos y ceros se obtiene sumando los polos y los ceros de la entrada al diagrama de polos y ceros de la funci6n de transferencia. El diagrama de polos y ceros de la salida tiene entonces polos en 0, -0,5 y -4, y un cero en -2, como se muestra en la figura 6-ll.
cero de P(s)
Figura El residuo para el polo en el origen
6-ll
es
2
In'l- os(t) - I Para el polo en
l|
1.5
0.5(3.5)
-
argRr:
0.857
-139c
-4,
lRrl-
4(3.5)
La respuesta de tiempo es entonces y(r)
6.19. Evahie la
:0o
-0.5,
lRzl: Para el polo en
arg Rl
-
:0.143
Rr
*
Rre-o.st
argRr- -139o
*
Rre-at:
1
-
0.g57e-o.st
respuesta paso unitario del sistema del problema 6. I
La transformada de Laplace de la salida en el sistema
Y(r)
: r(s)u(s) :
l.
-
0.I43e-at
,
es
3(s+2+7)(s+2-j) s(s+3)(s+1+j)(s+1-7)
l
I
1
I
Al expandir I(s) en
fracciones parciales se obtiene
I
I
rl
I
Ii{s):
R, R" R. R, o r 't ' r-------i.t r+3 s+1*7 s*1-7
I
I I
i
t8t
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
en donde
Rr:
3(2+j)(2-j):
Rz:
r(-r+7)(-L-j) -3(-2+j)(-2-j)
3(1+l[r
3(1xr 2j) R:: (-L j\(2 - j)(-2 j) : :I0+i) 3(1+ 2jxl) -3 Ra= -i) C+ j)CL+ j)(rj): nQ _J
5
1) t
-2
Evaluando Ia transformada inversa de Laplace,
y:
s23a
r- rr-t, -'-O en donde 0: -tan-r[]l: -8.13".
e-,1e-i
ei(t+e\l-
52
t-
t'
-r,
-3Q
,-,cos(r+o)
Respuesta de frecuencia de sistemas continuos
3
6.20.
Demuestre que la salida en estado estacionario en un sistema estable con funci6n de trans-
ferencia P(s)
y
entrada
)en
u
:
Asenat estd dada por
: A\P(ior)fsen(or+Q) en donde O:arg P(i")
La transformada de Laplace de la salida es Y(s)
:
: P(s)lAa/(s2
P(s)U(s)
-l'co?;1.
Cuando esta transformada se expande en fracciones parciales, habr6 tdrminos debidos a los polos de P(s) y dos tdrminos debidos a los polos de la entrada (s : rjo). Puesto que el sistema es estable, todas las funciones de tiempo resultarrtes de los polos de P(s) tienden a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Asi, la salida en estado estacionario contiene fnicamente las funciones de tiempo que resultan de los tdrminos en la expansi6n en fracciones parciales debidas a los polos de la entrada. La transformada de Laplace de la salida en estado estacionario es entonces
r.. (s)
AP(ja) : ;6 Ll\
La transformada inversa de esta ecuaci6n
+
AP(-jo)
:2/G
+re,)
es
| ,t+ri'r _ , ^iLo-la I : elP(iot) )eE I L2j
6.21.
Encuentre la ganancia en c.c. de cada uno de los sistemas representados por las siguientes funciones de transflerencia:
i
1
T I
I
t I
a) P(s): ' s*l -
l0
b) P('): (s+1)(s+2)
c) P(s):
La ganancia en c. c. estd dada por P(0). Entonces a) P(0)
(s+8) (s + 2)(s +'a)
: l, b) P(0) :
5 c)
P(0)
:
l.
t82
6.22.
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
SISTEMAS DE CONTROL
+ 2) paru @ : 1,2 y 10. La ganancia de P(s) est6 dada por lP(7
Evalfe la ganancia y el desplazamiento de fase de P(s)
El
desplazamiento de fase de
:
Y
2/(s
la funci6n de transferencia es el dngulo de fase de PQar), l): -tan-l] : -26.6";pa17-62:2,argPQ2) 10, arg p(/ l0) : -tan 15 : -78.i'.
argPQot): -tan-r a/2.Para,o: I, arg P(j
: -tan-r I : -45"; para a:
6.23. Esboce los diagramas de lP(7'ar)l y de arg PQa) en funci6n de la frecuencia para la funci6n de transferencia del problema 6.22. Adicionaf a los valores calculados en el problema 6.22 para lPQo'yl y para arg P(jt.t), tambi6n serdn dtiles los valores pana:0: lP00)l :2/2: I, arg P(p) : -tan-r0 :0. A medida que rrl se hace grande lP(7ar)l se aproxima asint6ticamente a cero mientras que arg PQa) tiende asint6ticamente a -90". En la figura 6-l 2 se presentan las grdficas de la respuesta de frecuencia de P(s).
I
l-0 0.8
Figura 6-12
Funciones de transferencia
6.24.
y
respuestas de tiempo de sistemas discretos en el tiempo
La respuesta delta de Kronecker de un sistema discreto en el tiempo est6 dada pory5(k)
para todo
t > 0. 6Cu6l es su funci6n
:
I
de transferencia?
La funci6n de transferencia es la transformada z de la respuesta delta de Kronecker, como se da
en el ejemplo 4.26:
*
r83
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
P(r) -l * z-r Para determinar una representaci6n de polos
+ z-z + z-3
y
+ "'
ceros de P(z), notamos que
- z: P(z) (z_1)p(z):z zP(z)
o de modo que
pQ):
i
,
z-
L
De otra manera, n6tese que la respuesta delta de Kronecker es la secuencia paso unitario que tiene la
transformada (vdase
j
6.25.
la
Z
rabla
P(z):
4.2).
2
z
-
-
L
La respuesta delta de Kronecker en un sistema discreto particular est6 dada pory5(k) para k > 0. 6Cu6l es su funci6n de transferencia?
:
(0.5)&
La respuesta delta de Kronecker de un sistema con un solo polo y ningdn cero no tiene salida en k
:
0
y su forma indica la presencia de un polo sencillo en 0.5.
I
+0'52-2 +0'252-3
*:z-t
+ "'+(0'5)',-rz-'+ "'
En consecuencia, la funci6n de transferencia debe tener un cero en el numerador para que la secuen-
cia de salida avance un intervalo de muestra. Esto es.
p(r): 6.26.
,_us
Para un sistema cuya funci6n de transferencia es
z-0.1
P(t): --j=.jJ-z"*O.32*0.2 Remplazando a zn por
Z',
lCudl es la ecuaci6n de diferencia?
obtenemos
z-0.1
P(Z): 22+o3z+a.2 Entonces
t
TEORIA
184
y por multiplicaci6n
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
SISTEMAS DE CONTROL
cruzada
y(k + 2) + 0.3y(k+ t) + 0.2),(k)
6.27.
Y
:
"(k+
1) _ 0.rr(/<)
;Cur{l es la funci6n de transferencia en un sistema discreto con un factor de ganancia de 2, ceros en 0.2 y -0.5, y polos en 0.5, 0.6 y -0.4? lEs estable? La funci6n de transferencia
es
P('):
2(z-0.2)(z+0.s) (z
-
0.s)(z
-
0.6)( z + 0.a)
Puesto que todos los polos se encuentran dentro del circulo unitario,
el
sistcma es cstable.
Problemas miscel6neos
6.28.
En la figura 6- l3 se muestra el esquema de un motor de c.c. (de corriente continua). L y R representan la inductancia y la resistencia del circuito de la armadura del motor, y el voltaje ur, representa la f.e.m. (fuerza electromotriz) generada, la cual es proporcignal a la velocidad del eje dilldt. El torque 7 generado por el motor es proporcional a la corriente I en la armadura. La inercia representa la inercia combinada de la armadura del motor y de '/ la carga, y B es la fricci6n viscosa total que actda sobre el eje de salida. Determine la funci6n de transferencia entre el voltaje de entrada V y la posici6n angular O del eje de salida.
Circuito de la armadura del motor
I
Carga inercial J
voltaje de entmda
Figura 6.13 Las ecuaciones diferenciales del circuito de la armadura del motor y de la carga incrcial son
di Ri+LA:u-\
d0
at
y
d20 d0 K.i:J, dl, + B-dt
Tomando la transformada de Laplace de cada ecuaci6n e ignorando las condiciones inicialcs,
(R+sZ)r-V-K1sQ
K,I
:
(Jsz + Bs) I
I
r85
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
, Resolviendo estas ecuaciones simultiineas para la funci6n de transferencia entre V y O, tenemos i
o
K,
("Is2+Bs)(tu+R)+K,Krs
'['2
K,PL + (BF + R/L)s + BRPL+ KtKflL]
6.29. Laf.e.m.generadaporelcircuitodelaarmaduradeunam6quinadec.c.esproporcionala la velocidad angular del eje, como se anot6 en el problema anterior. Este principio se utiliza en el tac6metro tle c.c. cuyo esquema se muestra en la figura 6-14, en donde la armadura u/, genera el voltaje u1,, tiene inductancia L y resistencia Ro, y u6 es el voltaje de salida. Si K7 es la constante de proporcionalidad entre u6 y la velocidad d0ldt del eje, esto es, u6: Kfd9ldt), determine la funci6n de transferencia entre la posici6n @ del eje y el voltaje de salida Vu. La carga de salida est6 representada por una resistencia Rt! Rt * R,, : R.
; Figura 6-14 La ccuacitin transf'ormada dc Laplacc quc rcprcscnta cl tac6metro es /(R voltajc dc salida cstil dado por
+ sL) : KtsO. El
t
vs: IR2:
R, KrsO
;17
Entonccs, la tuncitin dc transfcrcncia dcl tac6mctro dc c.c.
Vo RtKrl s \
e: r \*ntr)
I
l
I I I I
r
es
6.30.
En f a tigura 6- l5 se muestr aun acelerrimetro mec6nico simple. La posici6n y de la masa M con respecto a la caja del aceler(rmetro es prop
la funci6n de transferencia entre la aceleraci6n de entrada A
I I
I
I I
F.-*
a-
posici6n de la caja
I ll I
I I
I
t
lr I I
I I I I I
-a-.-.--|
I
-:"fu-W-t Figura 6-15
(a:
d2rldtz) y la salida I?
r86
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Igualando la suma de las fuerzas que actfan sobre la masa M a su aceleraci6n inercial, obtenemos
_ o
d2 B;dv _ xy: uV(t
_ x)
dzv h, dzx M u +B --+Ky:M -:14o ata, at-
en donde a es la aceleraci6n de entrada. La condici6n inicial cero de la ecuaci6n transformada es
(Ms2 + Bs +
K)Y:
MA
Entonces, Ia funci6n de transferencia del aceler6metro es
Y1
i:FT@/M)' 6.31.
+
Kft'r
Una ecuaci6n diferencial que describe la operaci6n dindmica del gir1scopo de un grado de
libertad, que se muestra en la figura 6-16,
es
t
d20-l d0 J=; B--- * K0: Ha dt' dt en la cual @ es la velocidad angular del gir6scopo alrededor del eje de entrada, d es la posici6n angular del eje de giro, la salida medida del gir6scopo. H es el momento angular almacenado en la rueda giratoria, J es la inercia de la rueda alrededor del eje de salida, B es el coeficiente de fricci6n viscosa alrededor del eje de salida, y K es la constante de recupe-
l :
raci6n del resorte que se encuentra unido al eje de giro.
,
l I
l
€;-*
eje de entrada
l l i
rueda que gira a
velocidad constante
l I
I
l I
)
I
fr
I
Figura 6-16
I I I
I I I
I I
187
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
a)
Determine la funci6n de transferencia que relaciona las transformadas de Laplace de o y e, y demuestre que la salida en estado estacionario es proporcional a la magnitud de una entrada de tasa Constante. Este tipo de gir6scopo sellama giro-derivador.
b)
Determine la funci6n de transferencia entre ar y d cuando se ha removido el resorte de restauraci6n (K : 0). Puesto que aqui la salida es proporcional a la integral de la tasa de entrada, este tipo de gir6scopo se llama giro-integrador.
a)
La transformada con condici6n inicial cero de la ecuaci6n diferencial del gir6scopo (Js2 + Bs +
r()o:
es.
r1o
en donde @ y O ron las transformadas de Laplace de 0 y a,respectivamente. En consecuen-
cia, la funci6n dc transferencia que relaciona O y 'fl
o O
es
H
(Js2+Bs+K)
Para una entrada de tasa constante o una entrada de c.c. ar1, la magnitud de la salida en estado estacionario dgs puede obtenerse multiplicando la entrada por la ganancia en c.c. de la funci6n de transferencia, que en este caso es H/K. Asi, la salida en estado estacionario es proporcional a Ia magnitud de la tasa de entrada, esto es, ilee: (HlK)ax.
t i
h)
6.32.
lgualando K a cero cn la funci6n de transfercncia de a) se obtiene @/Q : H/s(Js * B). Esta funcirin dc transfcrcncia tiene ahora un polo cn cl origen. de tal modo que la integraci6n se obticnc cntrc la cntrada O y la salida O. Entonces la salida es proporcional a la integral de la tasa dc cntrada o, lo quc cs cquivalcntc. al iingulo de entrada.
Una ecuaci6n diferencial que se aproxima a la din6mica rotacional de un vehiculo rigido
que se mueve en la atm6sfera
es
d20
J"* -NLq:T en donde d es el 6ngulo de orientaci6n del vehiculo, "/ es su inercia, N es el coeficiente de fuerza normal. L es la distancia del centro de gravedad al centro de presi6n, y T es cualquier torque aplicado (vdase la figura 6-17). Determine la funci6n de transferencia entre
un torque aplicado y el 6ngulo de orientaci6n del vehiculo.
t Figura 6-17
r88
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
La ecuaci6n diferencial transformada del sistema con condici6n inicial cero
(Jt' La funci6n de transferencia deseada
es
Nr)e: r
es
a1 T Jsz-NL
Lfi sz - NL4J
N6tese que si NL es positivo (centro de presi6n adelantado con respecto al centro de gravedad del vehiculo), el sistema es inestable porque hay un polo en la mitad derecha del plano en s Y NLIJ . Si NL es negativo, los polos son imaginarios y el sistema es oscilante (estable marginalmente). Sin embargo, en la realidad se encuentran presentes los t6rminos de amortiguamiento aerodindmico que no se incluyen en la ecuaci6n diferencial y que amortiguan cualquier oscilaci6n de la funci6n.
:
6.33.
Los receptores de presi6n, llamados barorreceptores, miden los cambios en la presi6n de la sangre arterial, como se deScribi6 en el problema 2. 14. Alli se muestran como un bloque en la trayectoria de retroalimentaci6n del diagrama de bloques propuesto para la soluci6n de tal problema. La frecuenciah(t) a la que se mueven las seflales (potenciales de acci6n) a lo largo de los nervios vago y glosofarfngeo desde ios barorreceptores al centro vasomotor (CVM) en el cerebro, es proporcional a la presi6n arterial p de la sangre miis la tasa temporal de cambio de la presi6n sanguinea. Determine la forma de la funci6n de transferencia para los barorreceptores.
A partir de la
descripci6n dada antes, la ecuaci6n para
b
t .l
I
es
dp
b: hP* *zv en donde kl y /<2 son constantes y p es la presi6n sanguinea Ino debe confundirse aqui a p con la notaci6n p(r), la transformada inversa de Laplace de P(.r), que se introdujo en este capitulo como representaci6n general para una funci6n de transfcrencial. La transformada de Laplacc dc la ccua-
ci6n anterior con condiciones iniciales cero.
es
B: hP r krsP:
P(ftr + krs)
:
La funci6n de transferencia de los barorreceptores es entonces BiP kt * &2s. Dc nuevo recordamos al lector que P representa la transformada de la presi6n sanguinea arterial en este problema.
6.34. Considere
la funci6n de transferenciaCp/Repara el sistema biol6gico descrito en el proble-
ma 3.4a1 mediante las ecuaciones n
tr?\: r*(t) -'l ar-,c,(t j-1 para
k : 1,2,..., n.
At)
Explique c6mo puede calcularse
C;1R1.
,
189
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
Tomando las transformadas de Laplace de las ecuaciones anteriores e ignorando las condiciones iniciales, se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones:
C*: Rr- |
ao-,C,e-'^'
i:I
:
| ,2,. . . , n. Si se escribieran todas las ,? ecuaciones anteriores, tendrfamos n ecuaciones con n inc6gnitas (C1 para k 1 , 2.. ., n). La soluci6n general para cualquier Cl en t6rminos de las entradas Rp, pueden determinarse utilizando las t6cnicas corrientes de para k
:
resoluci6n de ecuaciones simult6neas. Digamos que D representa el determinante de la
matriz de coeficientes:
,=lI'
+ ooe-ta' are-sLt' an-
r
re-
"
a-r€-"o' L
+ aoe'-'Lt
are-"o' 1 *
Lt
aoe
Entonces, en general,
C*:
Dk
D
en donde D1 es el determinante de la matriz de coeficientes, en el cual se remplaza k-6sima columna por R1
R2 :
R, Entonces, Ia funci6n de transf-erencia Ci )R1 se determina igualando a cero todas las entradas excepto R1, calculando C1 con la f6rmula anterior y dividiendo a C1 entre R1.
6.35.
,,La funci6n de transferencia en el dominio.r puede determinarse para el muestreador ideal descrito en los problemas 3.5 y 4.39? ;Por qu6? No. A partir de los resultados del problema 4.39, la transformada de la salida U(s) del muestrea-
dor ideal
cs
U*(r): i e-"rru(kT) k-O
t
No cs posible factorizar la transformada U(s) de la seflal de entrada r(t) aplicada al muestreador porque el muestreador no es un elemento invariable en el tiempo del sistema. En consecuencia, 6sta
no puede describirse mediante una funci6n de transferencia ordinaria.
r90
6.36.
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACTON
Y
SISTEMAS DE CONIROL
Con base en los desarrollos del muestreador y de la funci6n de sostenimiento de orden cero, dados en los problemas 3.5, 3.6,3.7 y 4.39, disefie una idealizaci6n de la funci6n de transferencia del sistema de sostenimiento de orden cero. En el problema 3.7, los impulsos en ms() remplazan los pulsos de corriente modulada por m.(t) en el problema 3.6. Entonces, por la propiedad de muestreo del impulso unitario, ecuaci6n
(3.20),la integral de cada impulso es el valor de z(r) en el instante de muestreo /cI , k = 0,1,..., etc. Entonces, es l6gico remplazar el capacitor (y el resistor) en el circuito de sostenimiento aproximado del problema 3.6 por un integrador que tiene la transformada de Laplace l/s. Para completar ef disefro, la salida del circuito de sostenimiento debe ser igual a u en cada tiempo de muestreo, no u - )p6i en consecuencia, necesitamos una funci6n que restaure autom6ticamente a cero el integrador despu6s de cada periodo de muestreo. La funci6n de transferencia de tal dispositivo esti{ dada por la funci6n de transferencia del ,.pulso',:
poo(r): 11r s "-"'; Entonces. podemos escribir la transformada de la salida del dispositivo de sostenimiento ideal como
I
I'"o(r): Poo(s)u*(rl: 1tt - r-"') i e-"ru(kr) J k-o 6.37.
;Se puede determinar la funci6n de transferencia en el dominio s de la combinaci6n: muestreador ideal y dispositivo de sostenimiento ideal de orden cero del problema anterior?
;Por
qu6?
No. Es imposible factorizar la transformada U(s) de n(t) aplicada al muestreador. De nuevo, el muestreador no es un dispositivo invariable en el tiempo.
6.38.
En el problema 3.6 se describi6 el circuito de atraso simple de la figura 6-3 con un intemrptor S en la lfnea de entrada, como un muestreador y circuito de sostenimiento de orden cero
aproximado y se idealiz6 en el problema 6.36. iPor qu6 se trata de ese caso y bajo qu6 circunstancias? En el problema 6.15 se demostr6 que la funci6n de transferencia del atfaso simple
I/RC vRC p(s) I y el capacitor =
P(')
:
*
Si RC < l, P(s) puede aproximarse como constante hasta el siguiente momento de muestreo.
6.39.
es
sostiene idealmente la salida
Demuestre que el orden del polinomio del denominador debe ser igual a o mayor que el orden del polinomio de su numerador (propiedad 6, secci6n 6.6), para que una funci6n racional P(z) sea una funci6n de transferencia de un sistema discreto en el tiempo y causal. En Ia secci6n 3.16 vimos que un sistema discreto en el tiempo es causal si su secuencia de : 0 para /c ( 0. Hagamos que P(z),la funci6n de transferencia del sistema, tenga
ponderaci6n w(/c)
la forma
,
191
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
b^-tz^-r * ... ibrz * bo + ar-lZ'-l *'.' *arz + a6
bn,z- +
P(') :
erzn
+ 0 y b- + O. La secuencia de ponderaci6n w(ft) puede generarse invirtiendo P(z), empleando la t6cnica de divisi6n no abreviada de la secci6n 4.9. Dividimos primero el numerador y el denominador de P(z) por z^, formando asi en donde an
P(') :
bn+b-_rz r*...*bsz-^ arzn-^ * ar_rzn-^-t + ... * aoz-^
Dividiendo el numerador de P(z) entre su denominador. entonces da
P(,)
:(?)*-^. (o-,
+)*-'
a
El coeficientedez-*enestaexpansi6ndeP(z)esw(ft)yvemosquew(ft):0parak
-
w(n-m):lY+o an Para que haya causalidad. w(ft)
6.40.
:
0
para &
< 0, entonces n -
m
> 0 y n >- m.
Demuestre que la respuesta en estado estacionario de un sistema estable, discreto en el tiempo, a una secuencia de entrada u(k) : sen okT, k : O, l,2,..., estd dada por
yr:p.:
k:0,1,2,...
AIP(e"''r) lsen(orftr + O)
(6.r4)
en donde P(z) es la funci6n de transferencia del sistema.
:
Puesto que el sistema es lineal, si este resultado es cierto para A | . entonces tambi6n es cierto para valores arbitrarios de A. Para simplificar los argumentos se utiliza una entrada u'(k) ei-kr , ,t 0, 1,2,... Teniendo en cuenta que
:
u'(k) :,lakr : I
cos
akT
l senr.rkT
la respuesta del sistema a {u'(k)} es una combinaci6n compleja de las respuestas a {cos akT} y {sen
okTlendondelaparteimaginariaeslarespuestaa{sen
{d'r
es
Z
I
+
:
- giar
akT}.Delatabla4.2,latransformadazde
192
TF]ORIA
Y
PROBI-EMAS
DI] RETROAI-IMENTACION Y SISTEMAS DE
Asi, la transformada z de la salida del sistema Y'(z\
CONTROI-
I
es
.z
Y'('):P(z\ -_"Para invertir )''(z), formamos la expansi6n en fracciones parciales de
Y'(
z\
,
:r(z)
1
r-"-
Esta expansi6n consta de los t6rminos debidos a los polos de P(z) y un termino debido al polo en ej-T. Entonces
t :
Y'(r):zlf
., J
L
{y'(*)} :.--t[rf
t6rminos debidos a los polos de '
p(:)
tetrninos debidos a los potos de p(z)
. 'J:21 z-eial'l ] * { nt et.I-)ei.Al}
Pucsto que el sistcma es estable, el primer t6rmino desaparece cuando
y"e
en donde
se hace grande y
: P( et'r)ei'kr:lf 1ri"1lrit.rr++t :lr1ri"1 l[cos(o/
4:
arg P(e-i-r1. La respuesta en estado estacionario a la entrada sen
imaginaria de
i
okT es la parte
_,-sp, o "vee
6.41.
k
:
I
P(
e/'r)
lsen(
k:0,1,2,...
o&I + e)
Demuestre que si una tunci6n continua en el tiempoy(t) con transformada de Laplace Y(s) se muestrea uniformemente con un periodo 7, la transformada z de la secuencia resultante
de muestras Y*(z) est| relacionada con I(s) por medio de la ecuaci6n (6.15). De la definici6n 4.3:
I r,.+ i* /(t) : *ZnJ rc_ja l' 'en donde c
)
Y(s)e"
ds
ao. El muestreo uniforme de y(r) genera las nruestras y(
L .-' '^ y(kr) : ^ . Jc_ja l' '- Y(s1 e'tr 7t ZI|J '
k
kn, k :
:0,r,2,.
O,l ,2,... Entonces
..
La transformada z de esta secuencia es
Y(,): i ygr),-k: i ZltJ Jc-1o ['*t*"(,),sLr4, k:0 P=6 = y despuds de intercambiar la integraci6n y la suma,
jl
r93
FUNCIONES DE TRANSFERI:NCIA
?
y*(r):
f ,,^r, + rt._1a ['''* y(r) A:0 ZT|J
^
d,
Ahora
€&
D (e'r, tk:0 "'^" t: k:0 cs una scrie gcom6trica qiie convcrge si le''tz-ll
6l \- 1-sr.-11^:
Eo" La desigualdad psrr-\1 le" | : le" ' tutt l*
< I
implica que
< L
t',4
En este caso,
1-rsr=-l --
lzl > le'rl. Al hacer la integral de contorno
e('
Asi la scric convcrgc para lzl
3
>
e'1. En consecuencia
I L.,,- 'l'*(:): *Trj J,-,,' r'(sl \ ' l-e\tz_ para
6.42.
l;l > /',
I
ds
quc cs la ccuaci6n (6./5).
Demuestre que si el circuito de sostenimiento de la figura 6-3 es de orden cero, la ecuaci6n
(6./7) da la ecuaci6n de la funci6n de transferencia discreta en el tiempo. Hagamosp(t) : g, tlP(s)1. Entonces, usando la integral de convolucion (dcfinici6n 3.2-11, la salida de P(.s) se puede escribir como
f( I)
:
ft
J,,n{,
- rlx,,,,(r) dr
Pucsto quc -rs1;(t) es la salida dcl dispositivo dc sostcnimicnto dc ordcn cero, ista cs constantc sobrc cada intervalo de muestreo. Asi, r(t) sc pucdc escribir corno:
-y(/)
:
Io'ot, *
en donde
3
_z).r(0) a, +
I,',i_r'r,i ot,
(j - l)T < r = jI. y(
-
")
f2'r(t - r)x(r)
dr
* ..'
z)rl o, * l,'., "[( .i urr(,
,)'l( i - \rl
Ahora
ir):
*tr
({i', "' p( ir * 4 a,),1 ir1
dr
194
TEORIA
Haciendo
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
0 : jf - r, la integral t(i+ltT'
l' riT endonde
i:0.1,2,3,..., j
produce
i'ttr p(0\ [{ J(t-t-ttr
d0
: [(iJo
itr
Y
SISTEMAS DE CONTROL
se puede escribir como
rt i-ir'f p(jr - ) dr: J(i_i_r).r' l" ' p(0) d0
- l. Ahora, aldefinirft(r) = Il.,p(0)d0yk: j -
110\ ae
|i - Jo
'
'
"'p(0\
d0
16
j
= k * I,
se
: ['o-'*t" p(0\ d0 - ['^ -'tr p(0) d0 Jo Jo
: hIG-, + l)rl - r[(k - r)rl En consecuencia, podemos escribir
yl(k+1)rl
:i i:0
o[o- i+ 1)zlx( ir)
- i:O i
hl4- i)rlx(ir) la
Al utilizar la relaci6n
entre la suma de convoluci6n y el producto de las transformadas z en secci6n 4.9, el teorema del desplazamiento (propiedad 6, secci6n 4.9) y la definici6n de la transfor-
"|
mada z, entonces la transformada z de la fltima ecuaci6n es
zY*(z): zn"(z)X*(t) - H*(z)x"(z) en donde
y*(z) es la transformada
ltr p(ilde, k
:
0,1
z de
la secuenciay(kn, k --
,2,..., y X*(z) es la transformada
0,1,2,..., H*(z)
z de x(kT), k
:
0,1
es la transformada de
,2,... Al reordenar
t6rminos se obtiene
Y( '\ :0 - t r.C, Entonces, puesto
que nQ): []p(0)d0,
') H*( t)
glh(t)l: P(s)/s
y
#2:._-,'\z{s'frq)l x*(r) -, \-\sJl,:o,l 6.43.
\
Compare la soluci6n del problema 6.42 con la del problem a 6.3i . iCu6l es la diferencia fundamental en el problema6.42 qlue permite el uso de los m6todos del dominio de la frecuencia lineal en 6l?
transferencia
La presencia de un muestreador en la salida de P(s) permite el uso de funciones de en el dominio z para la combinaci6n del muestreador, el dispositivo de sostenimiento de orden cero
Y P(s).
C
r95
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
Problemas suplementarios Determine la funci6n de transferencia de la red R-C que se muestra en la figura 6. 18.
6.44.
Pactr T
Figura 6-19
Figura 6-18
l|
6.45.
En la figura 6-19 se muestra un circuito equivalente de un amplificadorelectr6nico. ;Cudl es su funci6n de transferencia?
6.46.
Encuentre la funci6n de transferencia de un sistema que tiene una respuesta impulsop(l)
6.47.
A un sistema con una funci6n de transferencia P(s)
x : 2 sen 2t. Determine la salida
6.48.
2ls(s
*
sen t).
2) se aplica una entrada sinusoidal
yEE.
Encuentro-la respuesta al paso de un sistema que tiene la funci6n de transferencia
P(s): 4/(t'6.49.
:
en estado estacionario
: e-'(l -
1)(s: + 1)'
Determine cu6les de las siguientes funciones de transferencia representan sistemas estables y cuilles
representan sistemas inestables:
a\
P1s):
bt
P(s):
e) P(s)
t
6.50.
:
(s
-
1)
Gllx?_.4) (s
-
1)
GltG..)
c)
P(s)
:
d) P(s):
(s+2)(s-2) (s+1)(s-1)(s+a) 6
(s2+s+1)(s+1)2
s(s + l0)
(s+5)(s'?-s+10)
final (Capitulo 4) para demostrar que el valor en estado estacionario de una salida de un sistema estable, en respuesta a una entrada paso unitario, es igual a la ganancia en c.c. del sistema. Use el teorema de valor
t96
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
6.51.
Determine la funci6n de transferencia de dos de las redes presentadas en el problema 6.44 conectadas en cascada (en serie).
6.52.
Examine la literatura de las funciones de transferencia de los gir6scopos de dos y tres grados de libertad y compiirelas con la del gir6scopo de un grado de libertad descrito en el problema 6.31.
5.53.
Determine la respuesta rampa de un sistema que tiene la funci6n de transf€rencia
I
P(s): (sLL)/(s+2). 6.54.
Demuestre que si un sistema esti{ descrito por
+ d'v: 3.d'u
!oo'* !^'' *
parum< nest6enreposoantesdelaaplicaci6ndelaentrada,esto es,dyldl = 0,k:0, 1,...,n l, para t < 0, entonces (los tdrminos debidos a todos los valores iniciales y$ : O. "3, (Sugerencia; Integre n veces la ecuaci6n diferencial desde 0= ho. - 0, ..0€ hasta, y luego haga
t-0+.
o.5!.
Determine la respuesta de frecuencia del dispositivo de sostenimiento ideal de orden cero (SOC) con la funci6n de transferencia dada en el problema 6.36 y haga un esquema de las caracteristicas de ganancia y fase.
6.56.
En la definici6n.2.13 y en el ejemplo 2.9 se explic6 un sostenimiento de orden cero, el cual mantiene la pendiente de.la funci6n definida por los dos
{
fltimos valores de la salida del muestrea-
dor, hasta el siguiente instante de muestreo. Determine la funci6n de transferencia discreta en el tiempo de U*(z) a Y*(z) para el subsistema de la figura 6-3, con un elemento de sostenimiento de primer orden.
Respuestas a los problemas suplementarios 6.4.
6.4s.
vr_ vr
s+
*":
6.6. P(s):
L/RC
-PRr (R( + Rr_)Rpcot + G+ 1)R& + R, + & s2+s+1.
(s+1)(s2+2s+2)
6.47. )ee :0.707sen(2t
-
135')
-I
t9'l
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
} 6.48. Y: -4+e-r
6.49.
+2*,st
+ e'
b) y d) representan sistemas estables; a), c) y e) representan sistemas inestables.
6.51. V2
vr:W
s2
6.53. Y:Lr- Lr'.zr*5t
6.ss.
io,): Irse"9T12)fe-i-rrz '\r-' f otf/z I' p(
2t
T-T
4tr
- 180" Figura P6-55
H
: (, - z- \2
z\*'(+
.;
+) l,__.)
Capftulo-7 Algebra de los diagramas de bloques y funciones de transferencia de los sistemas 7.1
Introducci6n
Se destaca en los Capftulos I y 2 que los diagramas de bloques son una forma gr6fica y abreviada de representar un sisterna fisico, por medio de la ilustraci6n de las relaciones funcionales entre sus componentes. Esta fltima caracterfstica permite la evaluaei6n de las contribuciones
de los elementos individuales al desempef,o total del sistema. En este capitulo investigamos primero mils detalladamente estas relaciones, utilizando los conceptos de dominio de frecuencia y funci6n de transferencia desarrollados en los capftulos precedentes. Luego desarrollamos m6todos para reducir diagramas de bloques complicados a formas m6s manejables, de tal manera que se puedan utilizar para predecir el desempefro global de
{
un sistema.
7.2
Revisi6n de fundamentos
En general, un diagrama de bloques consiste en una configuraci6n especffica de cuatro tipos de elementos: bloques, puntos de suma, puntos de toma y flechas que representan la sefral de
flujo
unidireccional:
Figura
7'l
7-l queda clarcj el significado de cada elemento. Las cantidades del dominio del tiempo se representan en minfsculas.
En la figura
EJEMPLO 7.1.
r = r(t)
parasefrales continuas y
r(rl) o r.(k),
tiempo. r98
k:
1.2. ...,para
sefrales discretas en el
t
ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES
Y
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS STSTEMAS
I99
* En este capftulo se utilizan las mayfsculas para las transformadas de Laplace o las transformadas z. A menudo se suprimen los argumentos s 6 z para simplificar la notaci6n, si el contexto es claro o si los resultados presentados son los mismos tanto para los dominios de las funciones de transfe*encia de Laplace (sistemas continuos en el tiempo) como para las funciones z (sistemas discre-
tos en el tiempo). EJEMPLO 7.2. R
:
R(s) o R
:
R(z).
En la figura 7-2 se reproduce el sistema b6sico de control con retroalimentaci6n presentado en transformadas.
el Capitulo 2, con todas las cantidades abreviadas en la notaci6n de
T
trayectoria directa
B
b trayectoria de retroalimentaci6n
Figura 7-2 Las cantidad es G1, G2y Il son las funciones de transferencia de los componentes en los bloques. Ellas pueden ser funciones de transferencia de las transformadas z o de las de Laplace. EJEMPLO 7.3.
Ct
:
UtE o
It :
GE.
Es importante notar que estos resultados se aplican a las funciones de transferencia bien sea transformadas en Laplace o transformadas z, pero no necesariamente a diagramas de blociues mezclados continuosidiscretos en los que sp incluyan muestreadores. Los muestreadores son dispositivos lineales, pero no son invariables en el tiempo y, por tanto, no se pueden caracteizar mediante una funci6n de transferencia ordinaria en el dominio s, como se defini6 en el Capftulo 6. Viase el problema 7.38para algunas excepciones, y la secci6n 6.8 para un an6lisis mds extenso acerca de los sistemas mezclados continuo/discreto.
7.3
Bloques en cascada
Cualquier nfmero finito de bloques en serie se puede combinar algebraicamente por medio de la multiplicaci6n de funciones de transferencia. Esto es, n componentes o bloques con funciones de transferenciaGl, G2,..., G, conectados en cascada, son equivalentes a un solo elemento G con
una funci6n de transferencia dada por
{
G: Gr'Gz'Gt "' Gn: fI G, ,-1
(7.r)
200
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
a Siempre que no haya posibilidad de confusi6n se omite el simbolo de la multiplicaci6n
"."
EJEMPLO 7.4.
t*ffiffi* Figura 7-3
La multiplicaci6n de las funciones de transferencia es conmutativa, esto es,
G,G,:
(7.2)
G,G,
paracualquieri6j. EJEMPLO 7.5.
Figura 7-4
w
il
Los efectos de carga (interacpi6n de una funci6n de transferencia sobre su vecina) deben tenerse en cuenta en la obtenci6n de funciones de transferencia individuales antes de que los
bloques se puedan colocar en cascada. (Vdase el problema 7.4)
7.4
Formas can6nicas de un sistema de control con retroalimentaci6n
Los dos bloques en la trayectoria directa del sistema con retroalimentaci6n de la figura 7-2 se pueden combinar. Haciendo G G 1G2,la configuraci6n resultante se denomina forma can6nica del sistema de control retroalimentado. G y F1 no necesariamente son rinicas para un sistema en
:
particular. Las siguientes definiciones se refieren a la figura 7-5.
t Figura 7-5
ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE
Definici6n 7.12 Definici6n 7.2: Definicidn 7.32
Detinicifin 7.42 Definicidn 7.5: Detinicifin 7.6:
BI'QUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 2OI
G : funci6n de transferencia directa : funci6n de transferencia 11
:
GH
:
funci6n de transferencia de la retroalimentaci6n
funci6n de transferencia de la malla = funci6n de transferencia en malla abierta CIR: funci6n de transferencia en malla cerrada: relaci6n de control EIR : relaci6n de sefral actuante : relaci6n de error BIR : relaci6n de retroalimentaci6n primaria
- se refiere a un sistema con retroalimentaci6n positiva, retroalimentaci6n negativa:
En las siguientes ecuaciones, el signo
y el signo * a un sistema con
CG R 1+GH E1 R I+GH BGH R TTGH
b
El denominador de C/R determina la ecuaci6n caracteristica del sistema, que usualmente ne a partir de I + GH : 0, o de forma equivalente,
Dca! Nca:0
I
(7.3) (7.4)
(7.s)
se
defi-
(7.6)
I
D6s es el denominador y N6g es el numerador de GH , a no ser que un polo de G cancele un cero de H (vdase el problema 7.9). Las relaciones (7.1) a(7.6) son v6lidas para sistemas continuos (en el dominio s) y para sistemas discretos (en el dominio z).
I
7.5
en donde
I
Teoremas de transformaci6n de diagramas de bloques
Los diagramas de bloques de sistemas de control complicados se pueden simplificar utilizando transformaciones f6cilmente derivables. La primera transformaci6n importante, combinar bloques en cascada, se present6 en la secci6n 7 .3 . Esta se repite en la tabla que ilustra los teoremas de transformaciones (figura 7-6)para presentarla completa. Se utiliza la letra P para representar
cualquierfunci6ndetransferencia,yW,X,Y,Zrepresentancualesquierasefialestransformadas. I
I
I
l" I
202
I
TEORIA
Combinaci6n de bloques en cascada
Y=
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
(PtP2)X
Combinaci6n de
2
bloques en paralelo:
o eliminaci6n de
la
Y = PrX=PzX
'malla directa
Remoci6n de un
3
4
bloque de una trayectoria directa
Eliminaci6n de una malla de
Y = PrXtPzX
Y = Pr(X+PzY)
retroalimentaci6n
5
Remoci6n de un bloque en una malla de rctroalimentaci6n
I
Y = Pt(X+PzY',
w+ Reordcnamiento dc
60 los puntos de suma
z = tl!xtY
Y
w+ Reordenamiento de
6b
los puntos dc suma
Z = W!X!Y
7
Movimiento de un punto dc suma
Z = PXIY
adelante dc un bloque
I
'i3
Movimie;rto de un punlo de suma m6s allii de un bloque
x
z = PlxtYl Fig. 7-6
ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES
Movimie*o de
Y
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 243
un
punte de toma adelante de un bloque
Pa:,. Movimiento de un punto de toma mAs
all6 de un bloque
Movimiento de un punto de toma adelante de un punto de suma
L
Z=XlY
Movimiento de un punto de toma nrds all6 de un punto de
2 = XlY
suma I
Figura 7-6 kontinuaci6nl
7,6
Sistemas con retroalimentaci6n unitaria
Definicidn
Un sistema con retroalimentaci6n unitaria es aquel en el cual la retroalimentaci6n primaria b es exactamente igual a la salida controlada c.
7.72
EJEMPLO 7.6.
H
: I para un sistema lineal con retroalimentaci6n unitaria (figura 7'7)'
I
Figura 7-7 Cualquier sistema retroalimentado con elementos lineales invariables en el tiempo, finicamente se puede poner en la forma de un sistema con retroalimentaci6n unitaria utilizando la trans-
formaci6n 5.
?
l
l
204
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
EJEMPLO 7.7.
i
Figura 7-8 La ecuaci6n caracteristica del sistema con retroalimentaci6n unitaria, determinada a partir de
1-rG:0,es
D6
t l[o:0
(7.7 )
en donde D6 es el denominador y N6 es el nurnerador de G.
7.7
Superposici6n de entradas mfltiples
-
Algunas veces es necesario evaluarel desempefro de un sistema cuando se aplican simult6neamente varias entradas en diferentes puntos de dicho sistema. Si en un sistema lineal estiln presentes entradas mfltiples, cada una se trata independientemente. La salida debida a los estfmulos que actrian juntos se encuentra asf: suponemos condiciones iniciales cero, ya que buscamos c6mo responde el sistema fnicamente a las entradas.
1: Paso 2: Paso
3: Paso 4: Paso 5: Paso
J
Igualar todas las entradas, excepto una, a cero. Transformar el diagrama de bloques ciones de la secci6n 7.5.
a
la forma can6nica, utilizando las transforma-
Calcular la respuesta debida a la entrada escogida cuando 6sta actfa sola. Repetir los pasos I al 3 para cada una de las entradas restantes.
I
Sumar algebraicamente todas las respuestas (salidas) determinadas en los pasos I al 4. Esta suma es la salida total del sistema cuando todas las entradas actrian simult6neamente.
Aquf recalcamos nuevamente que el proceso de superposici6n anterior depende de que el
l
sistema sea lineal. EJEMPLO 7.8. Determinamos la salida
c
debida a las entradas (J
yR
para
la figura 7-9.
I
l
I
Figura 7-9
ALGEBRA DE LOS DIACRAMAS DE BLOQUES
Y
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS
l: Hacemos U : O. Paso 2: El sistema se reduce a Paso
Paso
3:
Mediante la ecuaci6n (7.3),la salida Ca debida a la entrada R es Ca
: lcQ2l(l
G$)lR. Paso 4a: Hacemos R : 0. Paso 4b: Ponemos - 1 en un bloque para representar el efecto de retroalimentaci6n
negativo:
b Reordenamos el diagrama de bloques:
Hacemos que
Paso 4c:
el bloque
-I
(1 + GG)IU. Paso 5:
T
se absorba en el punto de suma:
Mediante la ecuaci6n
La salida total
(7
.3), la salida Cy, debida
a la entrada U, es C
u
es
C:Cn+cu:
I
G,G"
I
tm;,R.
t G. I l' G. I [1.;s, P:1r.fu][c'n+
ul
:
+
fGzl
206
TEORIA
7.8
Y
PROBI-EMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS
DI]
CONTROL
Reducci6n de diagramas de bloques complicados
Los diagramas de bloques de sistemas de control con retroalimentaci6n prdcticos, a menudo son bastante complicados. Estos pueden presentar varias mallas directas o de retroalimentaci6n y entradas mfltiples. Mediante una reducci6n sistem6tica del diagrama de bloques, todo sistema de retroalimentaci6n lineal de mallas mriltiples se puede reducir a la forma can6nica. Las t6cnicas
desarrolladas en los pardgrafos anteriores proporcionan las herramientas necesarias. Se pueden utilizar los siguientes pasos generales como una aproximaci6n bdsica en la reducci6n de diagramas de bloques complicados. Cada paso se refiere a transformaciones especificas, las cuales se relacionan en la figura 7-6.
l: Paso 2: Paso 3: Paso
Combine todos los bloques en cascada utilizando la transfbrmaci6n l. Combine todos los bloques en paralelo utilizando la transfbrmaci6n 2. Elimine todas las mallas de retroalimentaci6n menores utilizando la transtirrmaci6n 4.
Paso
4:
Desplace los puntos de suma a la izquierda y los puntos de toma malla principal utilizando las transformaciones 7, l0 y 12.
Paso
5:
Repita los pasos I al 4 hasta que alcance la forma can6nica para una entrada particular.
Paso
6:
Repita los pasos
Algunas veces
a la derecha de la
{
I
al 5 para cada entrada, segdn se necesite. las transformaciones 3, 5 , 6, 8, 9 y | | son f tiles, y la experiencia con la t6cnica
de reducci6n determina su aplicaci6n. EJEMPLO 7.9. Reduzcamos el diagrama de bloques (figura 7-10) a la forma can6nica.
Figura 7-10 Paso
l:
U
ALGEBRA DE t.OS DIAGRAMAS DE BI-OQUES
y
FUNCTONES
DE TRANSFERENCIA DE. LOS SISTEMAS 2O'l
Paso 2:
@ Paso 3:
W Paso
4:
No se aplica
)
Paso 5:
Paso
6:
No se aplica
Una necesidad ocasional en la reducci6n del diagrama de bloques es el aislamiento de un bloque particular en la malla directa o de retroalimentaci6n. Esto puede ser deseable para examinar m6s f6cilmente el efecto de un bloque particular sobre todo el sistema. El aislamiento de un bloque generalmente se logra aplicando los mismos pasos de reducci6n al sistema, pero usualmente en orden diferente. El bloque que se va q aislar no se puede combinar
;
con alguno de los otros. El reordenamiento de los puntos de suma (transformaci6n 6) y las transformaciones 8, 9 y I I son especialmente ftiles para el aislamiento de bloques.
208
TEoRtA
y
pRoBLEMAS DE RETROALTMENTACION
y
slsrEMAS DE coNTRoL
I
I
EJEMPLO 7.10. Reduzcamos el diagrama de bloques del ejemplo 7.9 aislando el bloque I/1. Pasos
I y 2:
En esta oportunidad no aplicamos el paso 3, sino que vamos directamente al paso 4 moviendo el punto
de toma
I
m6s
alli del bloque G2 I Gt.
{
Ahora podemos reordenar los puntos de suma I y 2 y combinar los bloques en cascada en la malla directa; y en seguida la transformaci6n l:
utilizamos la transformaci6n 6
Paso 3:
4
r
AI-GEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES
Y
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 209
Finalmente, aplicamos la transformaci6n 5 para eliminar I l(G2
+
Gg) de la malla de retroalimentaci6n:
I
;
Note que pudo haberse obtenido el mismo resultado despu6s de aplicar el paso 2 moviendo el punto de toma2 udekntte de G2 * Cj, en lugar del punto de toma I m6s alld,de G2 + G3. El bloque G2 * Gr tiene el mismo efecto sobre la relaci6n de control C/R, bien sea que siga directamente a R o que preceda directamen-
teaC.
Problemas resueltos
F Bloques en cascada
7.1.
Pruebe la ecuaci6n (7.1) para bloques en cascada. En la figura
7-l I
se da
el diagrama de bloques para
Figura
r
funciones de transferencia C1, G2,..., Gn
7-ll
La transformada de la salida para cualquier bloque es igual a la entrada de la transformada multiplicada por la funcitin dc transfcrenc ia (viase la secci6n 6. | ). En consecuencia X 2 : X 1G 1, Xz : XzGz,..., Xr: Xr-t Gr-r, Xu+t : X,,G,,. Combinando estas ecuaciones, tenemos
i
i
Xn+t: XnG,: Xn-LGn-rG,
I
XrGrG2
I
Dividiendo ambos lados por
X1
,
obtenemos X,11/X1
:
' ' ' Gn-rG,
GrGz
"'
Gn-tG,.
I I
7.2.
Pruebe la conmutatividad de los bloques en cascada, ecuaci6n (7.2). Considere dos bloques en cascada (figura 7-12):
i
t
l* I
I
I I
Figura 7-12
2r0
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
" ''S'U"O'
DE CONTROL
I
A partirde la ecuaci6n (6.1) tenemoS X;+ r : Xfii: Gfi;y Xi+ t : Xi+ 1Gi: G/i+ r. EntoncesX;+ r : (XS)Gi : XlGiGi. Dividiendo ambos lados por Xi, Xi+1lXi : GiGi. Tambi6n,XT+ 1: Gi(GX): GrGXt. Dividiendodenuevoporx,, Xi+rlXi: GFi. Asi
GiGi
: Gpi.
Este resultado se extiende por inducci6n matem6tica a cualquier nrimero finito de funciones de transferencia (bloques) en cascada.
7.3.
Encuentre X,/X1 para cada uno de los sistemas de
la figun
7-13.
a)
{ Figura 7-13
a)
Una manera de resolver este problema es escribir primero X2 en t6rminos de X1:
/10\ x,:(;/x, Luego se escribe
X, en t6rminos
de X2:
':(*)':(*)(#)' Multiplicando
y dividiendo
ambos lados por Xy
,
tenemos
XJXt : l0/(s2 - l).
En seguida se presenta un m6todo m6s corto. Sabemos, a partirde la ecuaci6n (7.1), que dos bloques se pueden reducir a uno simplemente multiplicando sus funciones de transferencia. Tambi6n, la funci6n de transferencia de un bloque sencillo es su transformada de salida a entrada. Por tanto
xn I L \/ l0 \ 10 4 -t'-1/t,.tl-F-1
l
l
b)
Este sistema tiene la misma funci6n de transferencia determinada en la parte a) ya que la rnultiplicaci6n de las funciones de transferencia es conmutativa.
c)
Mediante la ecuaci6n (7.1), tenemos
I
n1 I I
I l l
AT,CEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES
F
Y
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS
2I
I
*^:(:r.1(l-\/|l'4\ -r4 x, \s+r/\'-r/t;r:JGL) 7.4.
La funci6n de transferencia de la figwa7-l4a es rrrsl(s * aro), en donde as : llRC. La funci6n de transferencia de la figura 7-l4b ies igual a ,'t$t1s + at)2? 6Por qu6?
Figura 7-14a
l| Figura 7-l4b No. Si se conectan dos redes en serie (figura 7-15), la segunda carga a la primera extrayendo corrientedeella. Entonces, laecuaci6n (7.1)no sepuedeaplicardirectamenteal sistemacombinado. La funci6n de transferencia corecta para las redes conectadas es,^f/1r2 * 3arsr + ofi) (viase el problema 6.16), y por tanto no es igual a (r.rsl(s l- ,d)2.
i
i
I
I
I
t
I
I
puntos de conexi6n I
Figura 7-15 I I
I
Sistemas can6nicos de control con retroalimentaci6n
7.5; I
Pruebe la ecuaci6n (7.3), CIR
: Gl(l t
Gm.
Las ecuaciones que describen los sistemas can6nicos de control con retroalimentaci6n se toman
directamentedelafiguraT-l6,yest6ndadasporE: en la otra, tenemos
R+B,B:HC,yC:GE.
Sustituyendouna
2t2
TEORIA
Y
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACTON
SISTEMAS DE CONTROL
{
c-G(Rr8)- c(R+HC)
l
:cRT GHC-cR+(+cHC) Restando
(+
GHC) de ambos lados, se obtiene C
't
GHC
:
GR
o
CIR
: Gl(l -r GH).
Figura 7-16
7.6.
7.7.
7.8.
: l/(l -+ GA. Del problema anterior, tenemos E : R + B, B = HC y C : GE. Entonces, E : R + HC : R + HGE, E ! GHE : R y ElR : ll(l t
Pruebe la ecudci6n (7.4), ElR
: GHt(t -+ GIt). ApartirdeE : R + B, B : HC I C : GE seobtieneB : HGE : Entonces B -r GHB : GHR, B : GHR|(I t Gm y BtR :
* GH).
Pruebe la ecuaci6n (7.5), BIR
+ Ncn :
Pruebe la ecuaci6n (7.6), DGH
HG(R + A)
GHI(I +
:
GHR
1
GHB
Gm.
O.
| -+ GH : O. (Viase el problema 7.9 N6{\DGH, se obtiene Dcn ! Ncn : 0.
La ecuaci6n caracteristica usualmente se obtiene haciendo
para una excepci6n). Poniendo GH
7.9.
:
l
Determine a) la funci6n de transferencia de la malla, D) la relaci6n de control, c) la relaci6n de error, d) la relaci6n primaria dsretroalimentaci6n y e) la ecuaci6n caracteristica del sistema de control retroalimentado en el que I(r y K2 son constantes (figura7-|7). I
I
I
*l
i
Figura 7-17 I I I
AICEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS .213
a\ La funci6n de
transferencia de la malla es igual a GH.
GH:
Por tanto
b)
I K, I &': _IrG +P) I
KrKr.
;;
La relaci6n de control, o funci6n de transferencia de malla cerrada, est6 dada por la ecuaci6n (7.3) (con signo negativo para la retroalimentaci6n positiva):
I I
cGKr R: t-cn:
I
i
c)
I
sG+e-Krk)
La relaci6n de error, o relaci6n de sefral actuante, est6 dada.por
la
ecuaci6n (7.4):
I
E 1 : I : R: 1 - GH L - K.I
I
i
d)
r
s+p s+
p
- KtIt
La relaci6n de retroalimentaci6n primaria est6 dada por la ecuaci6n (7.5):
I
BGH
K,K,
R: r-c'H: e)
t I
s+p-KtL1-
La ecuaci6n caracterfstica esti{ dada por el denominador de C/R, s(s + p - Kg): 0. En este caso, l-GH=s*p-K$2:O,lacualnoeslaecuaci6ncaracterfsticaporqueelpolosdeG se cancela con el cero s de f1.
I
I
Transformaciones de los diagramas de bloques I 7
.lO.
Pruebe la equivalencia de los diagramas de bloques para la transformaci6n 2 (secci6n 7 .5)
:
.
La ecuaci6n en la segunda columna, Y P$ + P2X,igepara la construcci6n del diagrama de (P r bloques de la tercera columna, tal como se muestra. Reescriba esta ecuaci6n como Y P)X. El diagrama de bloques equivalente en la riltima columna representa con claridad esta forma de la
:
!
ecuaci6n (figura 7-18)
Figura 7-18
7.11. Repita el
problema 7.10 para la transformaci6n 3.
Reescriba
Y: Pi
+ P2Xcomo
Y:
(PJP)PzX + PzX.LafiguraT-lgpresentaconclaridadel
diagrama de bloques para esta forma de la ecuaci6n.
214
{
Figura 7-19
7.12. Repita el
problema 7.10 para la transformaci6n 5.
Y:
Tenemos Pt[X+ P2Yl: P'Pz[Q/P)X bloques para esta riltima forma.
T f]. EnlafiguraT-2Osepresentaeldiagramade
c Figura 7-20
7.13. Repita el
problema 7.10 para la transformaci6n 7.
Tenemos
figura 7-21
Z
:
PX -r Y
:
PIX -r (llP)n, que produce el diagrama de bloques que
se da en la
l
. I
I
i
Figura
7-21
I I
I I
7.14. Repita el
problema 7.10 para la transformaci6n 8.
Tenemos
Z
:
P(X
t
D
:
I
I
PX )- PY, cuyo diagrama de bloques se presenta con claridad en la
figura 7-22. I
Figura 7-22
ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BT.OQUES
>
Y
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 215
Sistemas con retroalimentaci6n unitaria
7.15.
Reduzca el diagrama de bloques que se da en la figura '1-23 alaforma con retroalimentaci6n unitaria y encuentre la ecuaci6n caracteristica del sistema.
Figura 7-23 Combinando los bloques en la trayectoria directa se obtiene la figura 7-24.
*
Figura 7-24 Aplicando la transformaci6n 5, se tiene la figura 7-25.
Figura 7-25
(s
*
Mediante la ecuaci6n (7.7) se obtiene que la ecuaci6n caracteristica de este sistema es s(s 3s2 + 2s+ I : 0.
+ 2) + I : 0os3 +
Entradas y salidas m0ltiples
7.16. En la figura 7-26
determine la salida
C debida aU1, U2y
R.
* l)
2t6
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
{
Figura 7-26 Hagamos Il r : Ilz = 0. Despu6s de combinar los bloques en cascada se obtiene lafiguraT-27 , en la cual Ca es la salida debida a R cuando 6sta actfa sola. Aplicando la ecuaci6n (7.3) a este sistema, Ca : IG$z/(l - GGzHfl)|R.
fi I
Figura 7-27
,r l
Ahora, hagamos R : U2 : 0. El diagrama de bloques ahora se presenta en la figura 7-28, en el cual C1 es la respuesta debida a U1 cuando 6sta actfa sola. Reordenando los bloques, tenemos la figuraT-29.. A partir de la ecuaci6n (Z.J) se obtiene Cr : IGz/(l - GG2Hfl)lUt. l
l
l I
I
I
I
Figura 7-28
I
I
I I
i I
tl
I
I
Figura 7-29
j
I I
>
AICEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 2I7 Finalmente, hagamos R -- U t = 0. En la figura 7-30 se presenta el diagrama de bloques, en el cual C2 es la respuesta debida a U2 cuando €sta actfa sola. Reordenando los bloques se obtiene la figura 7-31. En consecuencia C2': lCP2Htl(l - GtG2Hfi2lu2.
Figura 7-30
* Figura
7-31
Por superposici6n, la salida total es
C:Cn+C1 +Ca:
7.17. La figura l-32 debidai aR1
G]G2R+G2Ut+G1G2HLU2 L
-
GrG2HrH2
es un ejemplo de sistema multientrada-multisalida. Determine
y
aR2.
Ct
!
Cz
Figura 7-32
rJ I
Primero expresamos el diagrama de bloques en la forma de la figura 7-33, sin tener en cuenta la
salida C'.
218
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
Figura.T-33 Haciendo Rz
:
0y
combinando los puntos de suma, se obtiene
la figura
7-34.
t
Figura 7-34 En consecuencia Cl
l:
G
tenemos la figura 7-35.
fi t/(1 -
G tG2G3G
)es
la salida en C; debida a Rl sola. para Rl
=0
Figura 7-35
Cn: : Crr * Cn:
Entonces,
Cr
-.GtG3G4R2l(1
(GrRr
-
-
G:G2G3G)eslasalidaencl debidaaR2sola. portanto - GpzG3G).
GG3G4R)/(1
Ahora reducimos el diagrama de bloques original, pero ignoramos la salida Cy . Primero obtene-
mos la fisura 7-36.
13 Figura 7-36
I
ALGEBRA DE
LoS DIAGRAMAS DE BLoQUES Y
F.UNCIONES
DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 219
: : - GG2GiGi'
GqRzl Luego se obtiene el diagrama de bloques que se presenta en lafigura7-37 . Por tanto, Czz GrGzG+Rt/ 0, se obtiene la figura 7-38. Por tanto, Cz: G P2G3Ga). En seguida al hacerR2
(l (1
i
-
GG2GtG+).
Y finalmente,
: : Cz
Czz
*
Czt
:
(GqRz
-
GGzG4R)l(l
i
Figura 7-37
i
r
Figura 7-38
: t I
I I
i
Reducci6n de diagramas de bloques
7.f8.
Reduzca a la forma can6nica el diagrama de bloques que se da en la figura 7-39, y encuentre la transformada C de la salida. K es una constante.
I
i I
t I
t I
I I
I
t I
t I
I
t t
I'
Figura 7-39 Primero combinamos los bloques en cascada de la trayectoria directa y aplicamos la transforma-
ci6n 4 a la malla de retroalirnentaci6n m6s interna para obtener la figura 7-40'
I
I t t I
I I
t', I I
I I I
Figura 7-40
220
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
La ecuaci6n (7.3) o la reaplicaci6n de la transformaci6n 4 produce
(r + 7.19.
0.lK)].
SISTEMAS DE CONTROL
c:
{ KRlt(o
+ K)s *
Reduzca el diagrama de bloques de la figura 1-39 alaforma can6nica, aislando el bloque
K en la malla
directa.
Mediante la transformaci6n 9 podemos mover el punto de toma adelante del bloque l/(s
(figura 7 -41):
Figura Aplicando las transformaciones
I
y 6b,
+ l)
I 7-41
se obtiene
la frgura 7-42.
l
l l 1
I
i
I
Figura 7-42
l I
Ahora se puede aplicar la transformaci6n 2 a las mallas de retroalimentaci6n en la forma final que se da en la figura 7-43.
I
l I
I I
*l
I
Figura 7-43
I
I I I
ALCEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES
3
7.20.
Y
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS
22I
Reduzca a la forma de malla abierta el diagrama de bloques que se da en la frgura7-44-.
Figura 7-44
s
Primero, al mover .l punto de suma de la izquierda m6s all6 de Gr (transformaci6n 8), obtiene la figura 7-45.
se
Figura 7-45
Luego se mueve el punto de toma d m6s allii de G1
y
se obtiene
la figura 7-46'
-!C b
Figura 7-46
'r*
Ahora se utiliza la transformaci6n 6b y luego la transformaci6n 2 para combinar las dos mallas de retroalimentaci6n inferiores de (GrHr) que entran en d y en e, y se obtiene la figura7-47.
222
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROAT_IMENTACION
y
STSTEMAS
DE CONTROL
I
i"2 \t
Figura 7-47
Al aplicar la transformaci6n 4 a esta malla interna, el sistema
a
se vuelve
Aplicando de nuevo la transformaci6n 4 a la malla de retroalimentaci6n restante, se produce
Finalmente, las transformaciones
l yz
dan
el diagrama de bloques cn malla
abierta:
rl
t
ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES
Y
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 223
Problemas miscel6neos
7.21
Demuestre que la transformaci6n I de diagramas de bloques simple de la secci6n 7'5 (combinaci6n de bloques en cascada) no es vdlida si el primer bloque es (o contiene) un
muesteador. En el problema 4.39 se determin6 que la transformada U*(s) de la salida de un muestreador
ideal
es
U*(s): i e-,kru(kT) k*O
Tomando a U*(s) como la entrada para el bloque P2, de la transformaci6n I de la tabla, la transformada I(s) de la salida del bloque P2 es
r(r) : Pr(r) U.(s) : Pr(") | e-"kra(kT) &-0
: U(s) no se puede factotizar del lado Con claridad se ve que la transformada de entrada X(s) se presenta si P; incluye otros problema derecho de I(s), es decir, I(s) + F(s)U(s). El mismo elementos del tipo de los muestreadores.
t 1
.22. ipor qu6 es invariante la ecuaci6n
caracteristica bajo las transformaciones de diagramas de
bloques? Las transformaciones de diagramas de bloques est6n determinadas poy el reordenamiento delas En ecuaciones de entrada-salida de uno o m6s de los subsistemas que constituyen el sistema total. consecuencia, el sistema final transformado se rige por las mismas ecuaciones, probablemente
ordenadas de forma distinta que en el sistema original' Ahora bien. la ecuaci6n caracteristica est6 determinada por el denominador de la funci6n de transferencia global del sistema que se iguala a cero. La factorizaci6n, o cualquier otro reordenamiento del numerador y del denominador de la funci6n de transferencia del sistema, no la cambia ni
la altera si el denominador se iguala a 7
.23.
cero.
Pruebe que la funci6n de transferencia representada por C/R en la ecuaci6n (7 .3) se puede
o lGHl son muy grandes' lt t \ Dividiendo el numerador y el denominador de G/( | + GH) por G se obtiene t lle =, )
aproximar
a'r llH
cuando lGl
Entonces
. Ict- . | 1 I : .
,"ly_ [
^l
pttrl-
I
Lu
=
Dividiendo por GH y tomando el lfmite, se obtiene
*
,oH*
t;] -
I|
I
;
224 7.24.
TEoRIA
y
pRoBLEMAs DE RETRoALTMENTACToN
y
srsrEMAS DE coNTRoL
I
Suponga que las caracteristicas de G cambian radical o impredeciblemente durante la operaci6n del sistema. Utilice los resultados del problema anterior y demuestre c6mo se disenarfa el sistema de tal forma que la salida C se pueda predecir siempre razonablemente
bien. En el problema 7.23 se encontr6 que
.. lcl lim l-l:-r-
lcnl*6[Rl C
lGHl
I H
t-R/H crtando o 6 C es independiente de G para lGHl grande. Entonces el sistema debe disefrarse de manera que lGlll l. Asi
>
7.25. Determinelafunci6ndetransferenciadel sistemadelafi y H2 : ltG2.
garaT-4S.LuegohagaI/
1:
llGy
a
Figura 7-48 Reducimos las mallas interiores
y
obtenemos
la figura
7_49.
Figura Z-49 Aplicando de nuevo la transformaci6n 4, obtenemos la figura 7-50.
* Figura 7-50
ATCEBRA DE LOS DTAGRAMAS DE BLOQUES
)
Ahora, al poner 111 : llGr y Hz
c R 7.26.
:
y
FUNCTONES
DE TRANSFERENCTA DE LOS SISTEMAS 225
l/G2, se produce GrGz
(1
- lxl - r) + G$2H3 H3
Demuestre que la figura 7-51 es v6lida.
Figura 7-51
lf
: R/(s -f p;). Reordenando, (s + p)C El diagrama en malla cerrada se obtiene de esta ecuaci6n.
Del diagrama en malla abierta, tenemos C
6'
7.27.
:
(lis) (R
Pruebe
- p€).
:
Ry
la figura 7-52.
w
Figura 7-52
Este problema ilustra c6mo un cero finito se puede remover de un bloque.
A partir del diagrama de malla directa, C
:
R 4 (zr
-
p1)R/(s
*
p;).
Reordenando,
- l r*rr -P, \ n:(t+ Pt+ tr- pr\"_{*3)^ c:lt+ *pr)^:\ *p, /"-\r+Prl La equivalencia matemi4tica prueba claramente la equivalencia de los diagramas de bloques.
*
7.28.
Suponga que para cada bloque del sistema de oferta y demanda del problema 2.13 se pueden obtener aproximaciones lineales en forma de funciones de transferencia, y que tal
sistema se puede representar por la figura 7-53.
226
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
4 Proveedor
Figura 7-53 Determine la funci6n de transferencia global del sistema. Se aplica dos veces la transformaci6n
4 a este diagrama de bloques y se obtiene ta figura 7-54.
a{
1)
2)
Figura 7-54 En consecuencia, la funci6n de transferencia obtenida por aproximaciones lineales del modelo de
oferta y demanda es:
GpGu
t+GPGM(H>_H)'
Problemas suplementarios 7.29.
Determine CIR para cada uno de los sistemas de la figura 7-55.
a
a)
*
ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES
Y
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 227
]
6)
c)
r
Figura 7-55
7.30.
Considere el regulador de presi6n sangufnea descrito en el problema 2.14. Suponga que el centro vasomotor (CVM) se puede describir mediante la funci6n de transferencia lineal Gr r(s) Y los baroffeceptores mediante la funci6n de transferencia /c1., * k2 (vlase el problema 6.33). Transforme el diagrama de bloques de retroalimentaci6n unitaria, en su forma miis simple.
7.31.
Reduzca la figura 7-56 a su forma can6nica.
* Figura 7-56
228
TEoRtA
7.32, Determine C
para
el
y
pRoBLEMAs DE RETRoALIMENTACToN
y
srsrEMAS DE coNTRoL
sistema representado por la figura 7-57.
I
Figura 7-57
7.33
D6 un ejemplo de dos sistemas con retroalimentaci6n en su forma can6nica que tengan id6nticas relaciones de control C/R, pero diferentes componentes C y H.
7.34.
Determine CtR. para el sistema dado en la figura 7-58.
il
Figura 7-58
7.35.
Determine la salida completa C, las entradas R1 y R2 actrian simultdneamente, para el sistema dado
en el problema anterior.
7.36.
Determine ClR para el sistema representado por la figura 7-59
t} Figura 7-59
ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES
>
7.37.
Y
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS 229
Determine la ecuaci6n caracteristica de cada uno de los sistemas de los problemas a)'1 .32, b)7.35,
c) 7.36.
7.38.
;Qu6 reglas de transformaci6n de diagramas inclusi6n de un muestreador?
Respuestas 7
.29.
a los problemas suplementarios
Vdase el problema 8. I 5 .
730.
ry
73r.
732.
7.y.
c
C:
*
7.K.
L:
C R
+ GzRz- GrRr- GrG2HrR4 L
+ G2H2+ GrG2Hl
q(L + G2H)
C R2
735.
GtG2Rl
L
bloques de la tabla de la secci6n 7.5 permiten la
+ G3H2+ G2Ht+
GrGzG3Hr
G$2q& + q(t + G2H3) R2 | + G3H2+ G2H3+ GLG|GIH\ GrG2G3G4
(1+ G,Grrl,)(t+ G$4H) +
t
G2G3H3
230
737.
7.38.
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
{
a) !+G2H2*GrGrHr:0 b) L + G3H2+ G2H3* G1G2G3H1:0 c) (l + G$'H)(L + qG4H) + GrGrHr:0. l
Los resultados del problema 7.2 indican que cualquier transformaci6n que involucre un producto de dos o mils transformadas no es v6lida si se encuentra incluido un muestreador. Pero son vrilidos todos aquellos que simplemente involucren sumas o diferencias de sefrales, estoes, las fansformaciones
6'
ll
y
12. Cada una representa un reordenamiento simple de las sefrales como una suma lineal, y la
adici6nesunaoperaci6nconmutativa,aunparasefralesmuestreadas,esdecirZ:X)-y:y+X.
*
t
Capftulo
)
I
Grafos de flujo de sefrales 8.1
Introducci6n
La representaci6n grdfica de un sistema de control con retroalimentaci6n m6s ampliamente usada es el diagrama de bloques que se present6 en los Capitulos 2 y 7 . En este capitulo consideraremos otro modelo, el grafo de flujo de sefrales. Un grafo de flujo de sefrales es una representaci6n grilfica de las ecuaciones simult6neas que
r
describen un sistema. Gr6ficamente muestra la transmisi6n de sefiales a trav6s del sistema, como lo hace el diagrama de bloques. Pero es m6s fdcil de dibujar y en consecuencia m6s f6cil de manipular que un diagrama de bloques. En las siguientes secciones se presentan las propiedades de los grafos de flujo de seflales. El resto del capftulo trata de sus aplicaciones.
8.2
Fundamentos de los grafos de
flujo de seflales
Consideremos primero la ecuaci6n simple
(s./ )
X,: AttXt
Las variables X; y X; pueden ser funciones de tiempo de la frecuencia compleja o de cualquier otra
cantidad. Pueden afn ser constantes, las cuales son "variables" en el sentido matemdtico. Para los grafos de flujo de sefrales, A,7 es un operador matem6tico que transforma a X; en X; y se llama funci6n de transmisi6n. Por ejemplo, A,7 puede ser una constante, en cuyo caso X; es una constante Xy veces en la ecuaci6n (8./); si X, y X7 son funciones de s o de z, Aii puede ser una funqi6n de transferencia Ai/s) o Aa{z). En la figura 8- I se presenta el grafo de flujo de seflales para la ecuaci6n (8.1). Esta es la forma m6s simple de un grafo de flujo de seflales. N6tese que las variables Xi! Xi se representan por un pequeio punto llamado nodo, y la funci6n de transmisi6n
A,7
por una lfnea con una flecha llamada
rama.
nodo
xt
Au
nodo
rama
xi
Figura 8-l
;
Cada variable en un grafo de flujo de sefrales se designa mediante un nodo, y toda funcidn de transmisi6n mediante una rama. Las ramas siempre son unidireccionales. La flecha representa la direcci6n de flujo de la sefral. 231
232
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
EJEMPLO 8.1. La ley de Ohm establece que y : 1R, en donde V es un voltaje, l una corriente y R una resistencia. En la figura 8-2 se muestra la gr6fica de flujo de sefiales para esta ecuaci6n.
{
n Figura 8-2
8.3. Algebra de los grafos de flujo de sefrales
l. La regla de la adici6n El valor de la variable designada por un nodo es igual a la suma de todas las sefrales que entran
en 61. En otras palabras, la ecuaci6n
x,:
I
j:r
A,,x,
se representa por la figura 8-3.
I
xk xn
Figura 8-3
EJEMPLO 8.2. En la figura 8-4
se muestra el grafo de flujo de senales para la ecuaci6n de una linea, mX -t b, en el sistema de coordenadas rectangulares. Puesto que b,laintersecci6n con el eje I/,es una constante; 6sta puede representar un nodo (variable) o una funci6n de transmisi6n.
Y
:
{t
GRAFOS DE FLUJO DE
J
2.
SENALES
233
La regla de transmisi6n El valor de la variable designada por un nodo se transmite en todas las ramas que parten de
61.
En otras palabras, la ecuaci6n
X,:
AroXp
se representa por la figura 8-5.
xr x2
xj xn Figura 8-5 EJEMPLO 8.3. En la figura 8-6
se muestra el
grafo de flujo de sefrales de las ecuaciones simult6neas
Y=3X,2:-4X. Y
3.
La regla de Ia multiplicaci6n
-
I ramas con funciones.de transmisi6n Azr, Asz, Una conexi6n en cascada (en serie) de n . . , A, 1, - I ; puede remplazarse por una sola rama con una nueva funci6n de transmisi6n igual al producto de todas las ramas. Esto es, Aqt,.
Xn: Azr.Atr.Aur... A,(,_r).
Xr
La figura 8-7 representa la equivalencia en grafos de flujo de sefrales.
AzrA"z
+
xl
x2
Xn-r
xo
= Figura 8-7
xr
An(n-r) xo
234
TEORIA
EJEMPLO 8.4. En la figura 8.8
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
se presenta el grafo de
flujo de
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
sefrales para las ecuacionbs simult6neas
Y:lOX.Z:-20Y. 10
x
-20
que se reduce
a
-200
z
X
Figura 8-8
8.4
Definiciones
Con frecuencia se emplea la siguiente terminologia en la teoria de grafos de flujo de sefrales.
Los ejemplos asociados con cada definici6n hacen referencia a la figura 8-9.
A
Azs
Figura 8-9
Definici6n 8.1:
Una trayectoria es una sucesi6n continua unidirbccional de ramas a lo largo de las cuales no se pasa un nodo m6s de una vez. Por ejemplo, X1aX2aX3 a Xq, Xz a Xz Y de nuevo a Xz, Y X1 a X2 a Xa son trayectorias.
Definici6n 8.2:
Un nodo de entrada o fuente es aquel desde el cual solamente salen ramas. Por ejemplo, X1 es un nodo de entrada.
Delinici6n 8.3:
Un nodo de salida o sumidero es aquel al cual solamente llegan ramas. Por ejemplo, Xa es un nodo de salida.
Delinici6n 8.4:
Una trayectoria directa es una trayectoria de un nodo de entrada a un nodo de salida. Por ejemplo, X1 a X2 a X3 a Xa, y X1 a X2 & X4, Sor trayectorias directas.
Delinicifin 8,5:
Una trayectoria de retroalimentaci6n o malla de retroalimentaci6n es aquella que se origina y termina en el mismo nodo. Por ejemplo,X2aX3y de nuevo a X2 es una trayectoria de retroalimentaci6n.
Definici6n 8.6:
Una auto-malla es una malla de retroalimentaci6n que consta de una sola rama. Por ejemplo, A33 es una auto-malla.
*
t
235
GRAFOS DE FLUJO DE SENALES
Definicifin 8.7:
La ganancia de una rama eS la funci6n de transmisi6n de esa rama' cuando la funci6n de transmisi6n es un operador multiplicativo. Porejemplo, A33 es la ganancia de la auto-malla, si A33 eS una constante o una funci6n de transferencia.
Definici6n 8.8:
La ganancia de la trayectoria es el producto de las ganancias de rama encontradas a lo largo de una trayectoria. Por ejemplo, la ganancia de la trayectoria directa de X1 a X2 a X3 a Xa es A21A32Aa3.
Definici6n
8.9:
La ganancia de malla es el producto de las ganancias de rama de la malla. Por ejemplo, la ganancia de malla, en la malla de retroalimentaci6n de X2 a X3 Y de regreso a X2 es AzzAzt.
Muy a menudo, una variable en un sistema es funci6n de la variable de salida. El sistema can6nico retroalimentado es un ejemplo obvio. En este caso, si el grafo de flujo de sefrales se
{t
dibujara directamente a partir de las ecuaciones, el "nodo de salida" necesitarfa una rama saliente, contrario a la definici6n- Este problema puede remediarse agregando una rama con una funci6n de transmisi6n de unidad que entre a un nodo "hipot6tico". Por ejemplo, los dos grafos de la figura 8-10 son equivalentes, y )za es un nodo de salida. N6tese que Ya: Y3'
ffi,, 8.5
nodo
hipot6tico
Figura 8-10
Construcci6n de grafos de flujo de seflales
El grafo de flujo de sefrales de un sistema de control lineal con retroalimentaci6n cuyos componen;s se especifican mediante funciones de transferencia no interactivas, puede construirse mediante referencia directa al diagrama de bloques del sistema. Cada variable del diagrama de bloques se convierte en un nodo, y cada bloque serd una rama' EJEMPLO 8.5. En la figura 8-11 se presenta el diagrama de bloques del sistema'de control can6nico retroalimentado.
+
f
B
Figura
8-ll
236
-
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALTMENTACION
El grafo de flujo de senales puede construirse f6cilmente o + en los puntos de suma est6n asociados con 11.
a
Y
partir de la figura 8-l
SISTEMAS DE CONTROL
l.
I
N6tese que los signos
Figura 8-12 El grafo de flujo de sefrales de un sistema descrito por un conjunto de ecuaciones simult6neas puede construirse en la siguiente forma general,
l.
Escriba
el sistema de ecuaciones en la forma
Xr: ArrXr+ AnXz+ . .. +AbXn X2: A.rrXr+ A2zXz+ . .. +Aznxn
;
X^: A^rXr+ A^zXz+ ... +A^,Xn Si X1 es un nodo de entrada no se necesita de una ecuaci6n para x1
2. 3. 4. 5.
rn '6 n (el mayor de los dos) nodos de izquierda a derecha. Los nodos pueden reordenarse si las mallas requeridas m6s tarde parecen demasiado engorrosas. Conecte los nodos por medio de las ramas apropiadas A11, Ap, etc.
Ordene los
Si el nodo de salida deseado tiene ramas que surgen de 61, agregue un nodo hipot6tico y una rama de ganancia unitaria. Reordene los nodos y/o las mallas en el grafo para lograr la m6xima claridad gr1fica.
EJEMPLO 8.6. Construyamos un grafo de flujo de seiales para la red simple de resistencil dada en la figura 8-13. Alli hay cinco variable s u1, u2, u3, i1 E i2. Se conoce u; . Podemos escribir cuatro ecuaciones independientes a partir de las leyes de voltaje y corriente de Kirchhoff. procediendo en el esquema de izquie?da a derecha, tenemos
,,: (+),,- (+),,
u..:
Rri,
- Rri,
,,-(+),-(;),.
14:
Rai2
t Figura 8-13
GRAFOS DE FLUJO DE SENALES
l
Colocando los cinco nodos en el mismo orden con u1 como nodo de entrada, y conectando los nodos con las ramas apropiadas, obtenemos la figura 8-14. Si deseamos considerar a u3 como nodo de salida, debemos agtegar una rama de ganancia unitaria y otro nodo, produciendo la figura 8-15. No es necesario reordenar los dem6s nodos. Tenemos en clara evidencia, una trayectoria directa y tres mallas de retroalimentaci6n.
-83
-uR2
L1
Figura 8-15
?* N6tese que la representaci6n de ecuaciones mediante grafos de flujo de sefiales no es fnica. Por ejemplo, la adici6n de la rama de ganancia unitaria, seguida del nodo hipot6tico cambia el grafo, pero no las ecuaciones que representa.
8.6 La f6rmula general
de ganancia entrada-salida
En el Capftulo 7 encontramos que puede reducirse un diagrama de bloques complicado a la
forma can6nica, a parti de la cual puede escribirse f6cilmente la relaci6n de control como C
G
R
I-+ GH
Es posible simplificar los grafos de flujo de seflales de un modo similar a como se hizo la reducci6n de los diagramas de bloques. Pero tambi6n es posible, y consume mucho menos tiempo, escribir la relaci6n de entrada-salidapor inspecci6n del grafo de flujo de seflales original. Esto puede.realizarse utilizando la f6rmula que se dar6 luego. Esta f6rmula tambi6n puede aplicarse directamente a los diagramas de bloques, pero la representaci6n en grafos de flujo de seflales es m6s f6cil de leer, especialmente cuando los diagramas de bloques son muy complicados. Representemos mediante T,laraz6n de la variable de entrada a la variable de salida. Para sistemas lineales de control con retroalimentaci6n, T : ClR. Para el grafo general de flujo de seflales presentado en los pardgrafos anterioresT : XnlX1, en donde X, es la salida y X1 es la entrada-
La f6rmula general para cualquier grafo de flujo de sefrales
't
T:
L,P,A, A
es
(s.2)
238
TEORIA
en donde
Pi:la
Pit,
:el
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I ganancia de la i-6sima trayectoria directa j-6simo producto posible de las ganancias de las ft mallas que no se toquen
a:1- (-r)o*'LEPio kj
:r-IPi,+lPp-frrr+... jjj
:|-
(la suma de todas las ganancias de rrralla) * (la suma de todos los productos toquen) * (la suma de todos los productos de las ganancias de tres mallas que no se toquen) + "' :A evaluada eliminando todas las mallas que toquen a P; de las ganancias de dos mallas que no se
Ai
Se dice que dos mallas, dos trayectorias o una malla y una
trayectoria no
se
tocan si no tienen
nodos en comfn. A
se
llama determinante del grafo de flujos de sefrales o funci6n caracteristica, puesto que caracteristica del sistema.
A : 0 es la ecuaci6n
La aplicaci6n de la ecuaci6n (8.2) es considerablemente m6s sencilla de lo que parece, [.os siguientes ejemplos ilustran este punto.
F
EJEMPLO 8.7. Apliquemos primero la ecuaci6n (8.2) algrafo de flujo de sefrales del sistema candnico retroalimentado (figura 8-16). G
+H Figura 8-16 Aquf s6lo hay una trayectoria directa; en consecuencia
Pt: G Pz:Pt: "':0 Hay solamente una malla (de retroalimentaci6n). Por tanto,
P:r.: +GH
Pi1,:0
i +l
k+L
Entonces
A:L-Prr:lt-GH
y
Ar:1-0:1
t
239
GRAFOS DE FLUJO DE SENALES
:
Finalmente,
c PrA, G ':R: A:rrGH EJEMPLO 8.8. En la figura 8-17 se presenta el grafo de flujo de sefrales de la red de resistencias del : ejemplo 8.6. Apliquemos la ecuaci6n (8.2) a este grafo y determinemos la ganancia de voltaje 7 ullu I para
la red de
resistencias.
-UBz
-83
Figura 8-17 Hay una trayectoria directa (figura 8-18). Por tanto, Ia ganancia de esta riltima
es
R.Ro
J}
-P-r : ---:-----
RrR,
l/Rl
t/R2
P3
ir
01
R4
!g
0g
a2
Figura 8-18 Hay tres mallas de retroalimentaci6n (figura 8-19). En consecuencia, las ganancias de las mallas
4r: -URr
R1
-E
Prr:
-
R1
Prt: -
n,
R,
&
/6\ ajl -lln|
-R3
x2
2
malla
3
froducto de las ganancias de las dos fnicas mallas que no se tocan
-
malla I
malla
son
Ig
Figura 8-19
Las mallas 1
T P12
=
y 3 no
se tocan. Por tanto
P r 'Pr,
:
R.R,
^r&
240
TEORIA
Y
PROBLEMAS
t
DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
t
No hay tres mallas que no se toquen. Entonces
A-1 - (Pn +
pzL+p3,) +
prz:r.
t . t. t. ffi
RrR2 + RrR3 + R1R4 + R2R3 + R3R4
RrR, Puesto que todas las mallas tocan la trayectoria directa,
u3
8.7
Ar
: l.
Finalmente
PrA,
RrRo
A
RrR2 + RrR3 + R1R4 + R2.R3 + R3R4
': C6lculo de la funci6n de transferencia de componentes en cascada
Los efectos de carga de componentes que interactfan, requieren alguna atenci6n especial cuando se usan grafos de flujo de seflales. Combine los grafos de los componentes en sus puntos de uni6n normales (nodo de salida de uno con el nodo de entrada del otro), tenga en cuenta lalcarga al agregar nuevas mallas en los nodos unidos y calcule la ganancia total utilizartdo la eciraci6n
i:
(8.2). Este procedimiento se ilustra mejor en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 8.9. Suponga que dos redes id6nticas de resistencias se unen en cascada y se usan como elemcntos de control en la malla directa de un sistema de control. Las redes son simples divisores de voltaje de la forma dada en la fieura 8-20.
Figura 8-20 Las dos ecuaciones independientes para esta red son
":(;),,-(+),,
v
u2:
R3i,
El grafo de flujo de seflales puede dibujarse f6cilmente (figura 8-21). Por inspecci6n, la ganancia de esta red
es igual a
u2 or
R3
Rl+R3
*
GRAFOS DE FLUJO DE SENALES
241
: -t/El Dr
it Figura
uz
8-21
Si ignoramos la carga, la ganancia total de las dos redes en cascada se determina simplemente multiplicando
las ganancias individuales:
l'r\' \r,/ t_:t:
R3
nf+nl+2RrR3
Esta respuesta es incorrecta. Probamos esto de la siguiente manera. Cuando las dos redes iddnticas sc unen en cascada, notamos que el resultado es equivalente a la red del ejemplo 8.6, con Rz Rr y Ra Rj (figura
:
:
8-22).
8r
Rr
lt
Figura 8-22 El grafo de flujo de
sefrales de esta red tambi6n,se determin6 en el ejcmplo
-.R3
A1
il
8.6 (figura 8-23).
-t/Rl
U2
a3
Ag
Figura 8-23 Observamos que Ia rama de retroalimcntaci6n -Rj, en la figura 8-23, no aparece en el grafo de flujo de sefrales de las redes individuales conectadas del nodo u2 al u'1 (figura 8-24). Esto significa que como resuftado de la conexi6n de las dos redes, la segunda red carga a la primera, cambiando la ecuaci6n parau2de uz
: Rrrr
a
uz:
R3i1
-
R3i2
-l/R,
lt
-t/Rr
=oi Figura 8-24
i'=tz
uz=ug
TEORIA
242
Y
PROBI-I]MAS DE RETROAT-IMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
Este resultado tambi6n se pudo haber obtenido escribiendo de manera directa las ecuaciones para las redes
combinadas. En este caso, (nicamente habria cambiado la forma de la ecuaci6n para u2. La ganancia de las redes combinadas se determin6 en el ejemplo 8.8 como
u3
R3
[ - n;+ p1. r*, cuando R2 se hace igual a Rr,
y
Ra se hace igual a
ur\'
I l--:l:
\r,/
Rj.
Observamos que
R? ut ' t-:l nl+nl+2RrRr- u,
En general, es una buena prdctica calcular la ganancia de redes en cascada directamente del grafo de flujo de sefiales combinado. La mayor parte de los componentes de sistemas de control se
cargan entre si cuando se conectan en serie.
8.8
Reducci6n de diagramas de bloques utilizando grafos de flujo de sefrales y Ia f6rmula general de ganancia entrada-salida
+
A menudo, el modo m6s fricil de determinar la relaci6n de control de un diagrama de bloques complicado es trasladarlo a un grafo de flujo de sefrales y aplicar la ecuaci6n (8.2). Los puntos de toma y los de suma deben separarse mediante una rama de ganancia unitaria en el grafo de flujo de sefrales, cuando se utiliza
la ecuaci6n (8.2).
Si se desean los elementos G y H de la representaci6n can6nica retroalimentada de la ecuaci6n
(8.2) tambi6n proporciona esta informaci6n. La funci6n de transferencia directa
G: LPtAi
es
(8.r)
I
La funci6n de transferencia de malla
es
GH:A_1
(s.4)
Las ecuaciones (8.3) y (8.4) se resuelven simultiineamente para G y paraH, y la funci6n can6nica retroalimentada se dibuja a partir del resultado.
EJEMPLO 8.10. Determinemos la relaci6n de control CIR y el diagrama de bloques can6nico del sistema de control con retroalimentaci6n, del ejemplo 7.9 (figura 8-25).
;
?43
GRAFOS DE FLUJO DE SENALES
I
Figura 8-25
El grafo de flujo de
sefrales se da en
la figura 8-26. Hay dos trayectorias
P1
directas:
: G1G2Ga P2: GtGsGa
t
Gs
Figura 8-26 Hay tres mallas de retroalimentaci6n:
Prr: GrGaH, Todas las mallas se tocan,
y
Pzr: -G:G2G4H2
P31- -G1G3GaH2
ademds tocan ambas trayectorias directas; entonces
Ar:1
Az:1
En consecuencia la relaci6n de control es
C eA, + BA, r:R:-
GIG|G4+ GrG3GA
r
-
GrG4Hr
+
GrG2G4H2+ G\G3G4H2
G$4(G2+ 1
, A partir de las ecuaciones (8.-l) y (5.4),
-
tenemos
C
q)
lG4Hr +,G :G2G4H2 +
G
\G3G4H2
244
TEORIA
G:
GrGo(Gr+
En consecuencia
Y
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Gr)
I GH H-G
SISTEMAS DE CONTROL
GH: G$4(G3H2+ czH2- Hr) (G2+
q)Hz-
G2+
I
Hr
G3
La figura 8-27 presenta el diagrama de bloques can6nico.
Figura 8-27
El signo negativo en el punto de suma para la malla de retroalimentaci6n resulta de usar un signo positivo paraGH en la f6rmula anterior. Si esto no resulta obvio, remitase a la ecuaci6n (7.3) y a su explicaci6n en la secci6n 7.4. El diagrama de bloques anteriorpuede plantearse en la forma final de los ejemplos 7 .9 (,7.10 utilizando los teoremas de transformaci6n de la secci6n 7.5.
*
Problemas resueltos Definiciones
8.1.
y ilgebra de los grafos de flujo de sertales
Simplifique los grafos de flujo de seflales que se dan en la figura 8-28.
xr c)
b)
a)
Figura 8-28
a)
Claramente
X2:
AX1
+ BXt: (A + B)Xr. En consecuencia tenemos
A+B
}..-......_.O
xr b)
TenemosX2
:
x2
BX1yX1
:
xz
AX2. PortantoX2
:
BAXzoXr
:
ABXI,locualproduce
C
GRAFOS DE FLUJO OE
l
c)
S'*O'Uf
245
Si A y B son operadores
ferencia), tenemos
flujo de
multiplicativos (por ejemplo, constantes o funciones de transAXy + BX2: @l(l - B))Xr.En consecuencia el grafo de
X2:
sefrales seri{
A
1-B xr 8.2.
x2
Dibuje los grafos de flujo de sefrales para los diagramas de bloques del problema 7.3, y redfzcalos por la regla de la multiplicaci6n (figura 8-29).
I
10
c*1
u\
xt b)
>
I c-1
8r= xr
xn t.4
1
s*1
xo 10
10
x2
xr
xr
s*1
-10
c)
sl-l x,
x2
xr
10
s-1
s-l
s
xs
x2
xn
xr
xn
Figura 8-29 8.3.
Considere
el erafo
de
flujo de sefrales de la figura 8-30. Azs
xr
x2
x3
x4
Figura 8-30 a)
Dibuje el grafo de flujo de sefrales para el sistema equivalente al dibujado en la figura 8-30, pero con X1 igual &Xr (con & constante), ! Xt Xz y Xa permanecen iguales.
b)
Repita la parte a) para el caso en el cual Xzy Xt se hacen k2X2y iguales (t2 y ft3 son constantes).
fuft,1 Xr y Xc perrnanecen
Este problema ilustra los fundamentos de una t6cnica que puede utilizarse para cambiar la escala de las variables.
a)
*
Para que el sistema permanezca igual cuando una variable de un nodo se multiplica por una constante, todas las seiales que entran al nodo deben multiplicarse por la misma constante, y todas las que salen deben dividirse por esa constante. Puesto que X 1, X2y Xa deben permanecer
iguales, se modifican las ramas (figura 8-31).
246
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE
*"r*oo'"u*,troN y
srsrEMAS DE coNTRoL
a
A2s/k
x2
xr
kxs Figura
b)
Se sustituye k2X2 por X2,
8-31
y fuXy por X3 (figura
,iAr.
kzxz
xr
x4
8-32).
k"xs
x4
Figura 8-32
A partir del grafo (kz/h)An,
!
es claro que A21 se hace kzAu, (llfu)Aa3 (figura 8-33).
Ap
se hace
(h/k)h2, A4
se hace
Aa3 se hace
k2A2s/kl
kzxz
ksxz
Figura 8-33
8.4.
Considere el grafo de flujo de seflales que se da en la figura 8-34.
Figura 8-34 Identifique c) el nodo de entrada, b) el nodo de salida, c) las trayectorias directas, d) las trayectorias de retroalimentaci6n, e) el autocircuito. Determinefl las ganancias de malla de las mallas de retroalimentaci6n, y g) las ganancias de trayectoria de las trayecto-
rias directas.
N
247
GRAFOS DE FLUJO DE SENALES
-
a)
xr
b)
xs
c)
X1 aX2 aX, aXa aX5 aX6 aX, aXs
f)
A32A4i A$Atq', A5aAa5i A6sAs6; ArcAdti A65Ai6As1; Arr; AorAtaA4;
Xt aX2aX, aXs aXs XraX2aXaaX5aXo^Xt d) X, a X, a Xzi Xt a Xo a X3; Xt a Xs a Xi Xz a Xa aX3 a X'r; X, a X., a X, a Xo aX3 aX2; X5 aX5 aX5i X6 aX7 aX6i X, aXu aX, aXr;X, aX1;X, aX7 aXu aX, aXo aXt aXz e) X, aX, I
g)
4;
n Aot A s6 A 45 434 Az3 A32AqA54A6rA6; A72i A42As4A65Aj6 A
I
n
A sj A
4s
A
3o
A
A
I
t. Construcci6n de grafos de flujo de seiales
I
8.5.
I
I
l*
Considere las siguientes ecuaciones, en las cuales -1 r, x2,..., -r4 Son variables, y a1o a2,..., du son los coeficientes de los operadores matemdticos:
n-L
I
b) x,: L
a) x3: arxr* arxr+ 5
I
I
aoxo*
k:r
I
5
los ;Cu6l es el nrimero m(nimo tanto de nodos como de ramas, necesarios para construir grafos de flujo de seflales de estas ecuaciones? Dibuje los grafos.
i
a)
I I
Hay cuatro variables en esta ecuaci6r\i x1, x2, x3 y t 5. Entonces se requiere un minimo de cuatro nodos. Hay tres coeficientes o funciones de transmisi6n del lado derecho de la ecuaci6n: a1, a2y 1 1. Por tanto se requiere un minimo de tres ramas. En la figura 8-35a) se presenta un grafo de flujo de senales minimo.
rl fi2
ni
fig
frn-
L
D
b)
a'|
,
*
Figura 8-35
b) Hayn* lvariables:xr,x2.,...,x,y5;y hayncoeficientl{a1,a2,...,a,-r!l.Portantola figura 8-350) presenta el grafo de flujo de sefrales mfnimo'
248
TEORIA
Y
Y
PROBLEMAS DE RETRoALIMENTACIoN
SISTEMAS DE CoNTRoL
T
8.6.
Dibuje los grafos de flujo de sefiales para
drr\
d2x, dx1
, ,r:or\I a) *) a)
. c)
b) ,r:6*i-',
/ xo: Jxrdt
Las operaciones solicitadas en esta ecuaci6fl Solt 4 I y dl dt . La ecuaci6n puede escribirse como ar ' @ldt)(x). Puesto que hay dos operaciones, puede definirse una nueva vanable dxtldt
x2:
y utilizarse como nodo intermedio. El grafo de flujo de
sefrales se da en
la figura 8-36.
d
at
a,
xr
tz
dr,
.---:
i
i
dt
Figura 8-36
b)
De modo similar,
at:
18UPS1x)
+ (dtdt)(x)
-
x|
.
Por tanto se obriene la figura 8-37.
i I
Figura 8-37
c)
La operaci6n es la integraci6n. Representemos por Jdt el operador. En la figura 8-38 se da el
grafo de flujo de seiales.
.f
o,
fig
I4
Figura 8-38
8.7.
Construya el grafo de flujo de sefrales para el siguiente conjunto de ecuaciones simult6neas:
x2= Ar1x1*' Arrx3
xs:
A3rx1*
Arrx2* Arrx,
xo:
An2x21
A*x,
Hay cuatro variables: 11 ,. . . , xa. Por tanto se requieren cuatro nodos. Orden6ndolos de izquierda a derecha y conectdndolos con las ramas apropiadas, obtenemos la figura 8-39.
t
GRAFOS DE FLUJO DE SENALES
249
i
r I
t
Figura 8-39 En la figura 8-40, este grafo se presenta de una forma m6s clara.
lF I
t
Figura 8-40 Dibuje un grafo de flujo de sefrales para la red de resistencias que se muestra en la figura 8-41, en la cual uz(O) : ur(O) : 0. u2 es el voltaje a trav6s de C1.
.T\ Figura 8-41 Las cinco variables son u1, u2, u3, i1 e i2l u1 es la entrada. Las cuatro ecuaciones independientes
que se derivan de las leyes de voltaje y corriente de Kirchhoff son
i l\
/l\
'-tn/*-tA/*
{
r n,
k: c,lJ,&-
/1\ L,, /1\ ,,:tn/*-tn,|* u: o['i,at
r
".
ql'i2dt
,j
250
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS
DE CONTROL
T
El grafo de flujo de sefrales puede dibujarse directamente a partir de estas ecuaciones (figura 8-42).
Figura 8-42 En la notaci6n de transformadas de Laplace, al grafo de flujo de sefrales esti{ dado por la figura
8-43.
Figura 8-43
a
La f6rmula general de ganancia entrada-salida
8.9.
Las ecuaciones transformadas para el sistema mec6nico dado en la figura 8-44, son:
i) ii)
F+
krx2: (MLsz +/rs + kr) X, krXr: (Mrt, * f"s * h+ kz\ x2
Figura 8-44 Fes latuerza,Mes la masa, /c es la constante de un resorte,/es la fricci6n, yXes el desplazamiento. Determine X2lF utilizando la ecuaci6n (8.2). en donde
Hay tres variables: Xr,
Xz! F.
Entonces necesitamos tres nodos. Para dibujar el grafo de
flujo
desefrafesdividimoslaecuaci6ni)entreA,ylaecuaci6nii)entreB,endondeA:M$2*f6*k1, yB:M2s2 If2s*k1 *k2..
iii)
'e
(;)..
(*)": ^
(+)o:,
l
251
GRAFOS DE FLUJO DE SENALES
a En consecuencia, el grafo de flujo de sefiales est6 dado por la figura 8-45.
,\ i
I
xr
t
Figura 8-45
I,
I
La ganancia de la trayectoria directa es Pr : k/AB. La ganancia de la malla de retroalimentaPy:k?/AB. Entonces A: | - P11 : (AB -*!1tm y Ar : l. Finalmente
I i
ci6n es
t
I
x2 PrA, : kr : -..-.-----FA AB-ki
t;
I
kr
(Mrsz +
yrs
+ k)(Mzs2 + frs +
h + k2) -
k?
I
8.10.
i t
l*
Determine la funci6n de transferencia para el diagrama de bloques del problema medio de las t6cnicas de grafos de flujo de sefiales. A partir de la figura 7-44
I
se dibuja directamente el grafo de
.2O, por
flujo de sefrales, figura 8-46. Hay
l
dos trayectorias directas. Las ganancias de las trayectorias son P1
r
cias de las tres mallas de retroalimentaci6n son
I:
7
:
P2: G+. Las ganan: - GzG dl z. 1G 2H 1 ! P tr
G 1G2G3y
:
-GzH r, Todaslasmallassetocan.EnconsecuenciaA: I -(Prr +P2t+ P31).Tambi6nAr: l,ypuesto que no hay mallas que toquen los nodos de P2, L,2: A. Asi
I I
P1
P21
G
I
,:LfP,A, +
I I
P"
A.
GLG2G3+
G4+ G2G4Hr= GlG2GaHy+ L
+ G2Hr*
GyG3G4H2
GrG2Hr + G2G3H2
-H2
i I
I
,''.I
Figura 8-46
8.11.
{
Determine la funci6n de transferencia V3lV l del grafo de flujo de seflales del problema 8.8. La ganancia de la frnica trayectoria directa es 1/(s2Rfi2C{). Las ganancias de las tres mallas deretroalimentaci6nson - l/(sR1C;), Pzt: -ll(sR2C)YPtr: -l/(sR2C). Elproductode las ganancias de las fnicas dos mallas que no se tocan es P12 Prr' Pzr: ll(szR$zCrC2). De aqui
Ptt:
:
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
T A
: I - (PLr + P'r+ P3r) +
szR'RtrC?C'+ s(ntrC'C-'+
s2nrn?rclc,
"r-
Puesto que todas las mallas tocan la trayectoria directa,
v3 PrA,
I
Ar : 1. Finalmente,
I
Z- ^: 8.12.
n'n C'C'+ n'n'C?) + n'C'
)
Resuelva el problema 7.16 con las t6cnicas de grafos de
flujo de
seflales.
I
l
A partir de la figura 7-26puede dibujarse directamente la figura 8-47,|a cual muestra el grafo de flujo de sefrales.
I
l I I
)
l
I
"i
-j
l
q
I
I
I I
I
'I
I
I
u2
Figura 8-47 Con U1 : Ilz:0, tenemos lafigura8-48. EntoncesPl: GlG2YPrr : A: I - Prr : I - G1G2H1H2, Ar : I' Y
G1G2H1H2. Asf que l
!'
Cn-TR:
P,A,R
f
:
GrGzR
t-
GrG2HlH2
GrGz
HrHz Figura 8-48 Ahora hacemos U2
:
R
:
? 0 (figura
8-49).
GRAFOS DE FLUJO DE SENALES
253
GtHrH2
Figura 8-49 Entonces
Pr-Gz, Py-G1G2H1H2, A=L-GrG2HrH2, Ar-1,
y
GzU'
C,:TU,vr rvr- L-G$2H.H2 AhorahacemosR:
U;
0 (figura
8-50). GLG2Hl
Y H2
Figura 8-50 Entonces
P1
:
G1G2Hp P11: G1G2H1H2,
C^:
TLr
a,: | -
GrG2HrH2, Ar
: 1, y
PLLtu2 G:G2H:IJ\ A I _ GrG2HrH2
Finalmente, tenemos
Grcln +G214+G\G2H{J2 C-Ca+q+Cr:ffi Cdlculo de funciones de transferencia de componentes en cascada
S.f3.
Determine la funci6n de transferencia de dos redes en cascada, de las mostradas en la
figura 8-51.
a Figura 8-51
254
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
En nolaci6n de transformada de Laplace, la red se convierte en lo que muestra la figura 8-52.
llsC
Figura 8-52 Mediante las leyes de Kirchhoff, tenemos /1
el grafo de flujo de
:
sCV t
-
sCV zy V z
:
RI
r
En la figura 8-53
se
presenta
senales.
-sC
Ir Figura 8-53 Para las dos redes en cascada (figura 8-54) la ecuaci6n de V2 tambi6n depende de 12:
Vz:
RI r
-
RIz.
Asi que las dos redes est6n unidas en el nodo 2 (figura 8-55), y se adiciona una malla de retroalimentaci6n
(-R/z)
entre Iz
y
Vz (figura 8-56).
n 'r;=.Figura 8-54
-sC
Figura 8-55
I
I
255
GRAFOS DE FLUJO DE SENALES
v2
Figura 8-56
Entonces Pr-- s2R2C2, Pr,
* Prz: I
:
Pr,
+ 3sRC+ szR)C2, Ar
:
: -sRC, Pp: Ptr' Pt :
: 1-
(Pu +
P2r
+
P3r)
1,
r:t:
PtAt
8.14.
s2R2C2, A
J2
s2+(3/RC)s+L/(RC)2
Dos rejdes de resistencias, de la forma que se muestra en el ejemplo 8.6, se utilizan como elementos de control en la trayectoria directa de un sistema de control. Estos se van a conectar en cascada y deber6n tener valores de los respectivos elementos id6nticos, como
se muestra en la figura 8-57. Encuentre uslut utilizando la ecuaci6n (8.2).
4\ Figura 8-57 Hay nueve variables:
u 1,
u2, u3, u4, u5, i1, i2, ft, e ia. Las ocho ecuaciones independientes son
,,: (+),,u2:
Rri,
-
(;),,
R3i,
,,:(+),.- (+). uo:
R3i.'
-
Rrio
i,:(;),.-(;). ":(;),,-(;),, ut: Roir- Roi3
u5:
Roio
Unicamente la ecuaci6n para u3 es diferente de aquellas de la red simple del ejemplo 8.6; en ella hay un t6rmino extra, ( -Rai3). Por tanto el diagrama de flujo de sefiales para cada red sola (ejemplo 8.6)
puedeunirseenelnodou3,ysedibujaunaramaextradeganancia -Radelau3. Elgrafodeflujode sefrales resultante para la red doble se presenta en la figura 8-58.
256
-tn
al
Y
TEORIA
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
-r/F,
-R3
Y
-un
-URl
-Fn
SISTEMAS DE CONTROL
t/!, ( s,Yrr",\I B,\ ".\f,r")fn,Yrn,\f ag irt a2
r
Ig
1)4
o5
Figura 8-58 La ganancia de voltaje T : u5lu1 se calcula a partir de la ecuaci6n (8.2) como sigue. La trayectoria directa produce P1 : (fuRy'R1Rr)2. Las ganancias de las siete mallas de retroalimentaci6n son P11
:
-R3/Rt
=
=
Psr, Pzt,
-RzlRz
:
Por,
Py : -RtlRz : Ptr, ! Ptt :
Hay I 5 productos de ganancias de dos mallas que no
RrRo R1 R3 n,R, P*: nr7- Pu: nrn, _ RrRo _ / n, \' - RrRo, r": P":
se
Ptr:
_ RrRo Ptr.r: _ RrRo Ptr,r:T"R; Ri;
E ^ / n, \t .':f&/
_ P".,:
Td
t
^,
/
RrRo _ P*.r:
E / \' * RrRo P*:-E - RrRo _ P':R"R; "",:tij "":
",,:# ",,:-# ,,,:-# ,,,:-# r,,:-#, Ptt:-
RZRo
R,Rt
se
tocan. De izquierda a derecha, tenemos
RrRl * - RrRl Prr: _ P*: R,,R3 Ed
R3Ro _ _ Pu: Pro'r:
- n4t
Hay un productode gananciasdecuatro mallasquenose tocan: P
Por tanto el determinante
p:
P11P31P51P1r:
-
RrRl
EE
(fuRy'Rfi)z.
es
71510
- j"r f, rr, + L P,r- | i:r
:1+
Ri
ni, RrRo P".,:;ii
Ro
Hay l0 productos de ganancias de tres mallas que no
A:1
-RqlRr.
tocan. De izquierda a derecha, tenemos
P,r+
Pro
i-t
RrR3 + RrR4 + R2R, + R2R4 + 6R3R4 +2RZ+ Rz Rr Rz
RrRo + R3
, -&t'
Puesto que todas las mallas tocan.la trayectoria directa A1
n! +
n'zo+ R3R4 R?,
:
1, y
(RrRo)' (R,Rr)t + Ri(R2R3 + R2R4 +R3R4 + R3 + nl) + n!(n] + RrR3 + RrR4 + R3R4) +2RrR2R3 + Rrn2Rl+ 6RrR2R3R4
GRAFOS DE FLUJO DE SENAT-ES
*
257
Reducci6n de diagramas de bloques
8.15.
Determine CIR para cadauno de los sistemas que se muestran en la figura 8-59, utilizando
la ecuaci6n (8.2).
a)
hl
Figura 8-59
a)
En la figura 8-60 se presenta el grafo de flujo de sefrales. Las ganancias de las dos trayectorias directas son P1 : Gt, Pz: G2. Las ganancias de las dos mallas de retroalimentaci6n son P11 = G1H1, P21 : G2H1. Entonces
A
: 1 - (&, + Pr) : | - GrHt-
GrH,
258
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
Figura 8-60 Ahora, A; : I y Az : I porque ambas trayectorias tocan los dos nodos interiores. Asf que
C R: b)
PrLr+
las mallas de retroalimentaci6n en
Gr+G2
P2L2
A
L
- GJ\-
GrH,
El grafode flujodeseiales sepreseintaen lafigura 8-61. Denuevo, tenemosPl: G1y G2.
Peroahoras6lohayunamalladeretroalimentaci6n,!
P1: G1H1;portantoA: | -
La trayectoria directa por G1 toca claramente la malla de retroalimentaci6n en los nodos
asiqueAl que
A. :
:
l.LatrayectoriadirectaporG2tocalamalladeretroalimentaci6nenel l. En consccuencia
c _PAl
R
+P2L2
A
Figura
c)
_
A:1 - Gflr,! Ar:
PrAr+ P2L2 A
y b;
Gr+G2
8-61
:G1,P2:G2,
l.Perolatrayectoriaderetroalimentaci6nr?otocala
trayectoria directa por G2 en ningiln nodo. Por tanto 42
C R:
r.r
nodoa;asi
L-GlHr
Elgrafodeflujodesefralessepresentaenlatigura8-62.Denuevo,tehemosPl
P11:C1H1,
P2: GtHl
: A: | -
q+G2(t-GrHr) | - GLH\
Figura 8-62
C1H1, y
259
GRAFOS DE FLUJO DE SENALES
* Este problema ilustra la importancia de separar los puntos de suma y los puntos de toma con
una rama de ganancia unitaria al aplicar la ecuaci6n (8'2).
8.16.
Encuentre la funci6n de transferen ciaClR para el sistema que se muestra en la figura 8-63, en la cual K es una constante.
Figura 8-63 En Ia figura 8-64 se presenta el grafo de flujo de senalcs. La ganancia dc la fnica traycctoria
directa
es
t I \ /1\ a:t,.,J |.;/":,G.,) K
I
O--+s+"
I a
n
Figura 8-64 LasgananciasdelasdosmallasderctroalimentacionsonPl,:(l/s)'(-sr)
:
-sYP:r
:
-0. lKls
Todas las mallas se tocan. Por tanto
A:l-(Prt+Pr): 8.17.
c &At n:f-
s2+s-0.1.K Ar:1 ,
K
(s+a)(s2+s+0.1K)
Resuelva el problema 7.18 utilizando las t6cnicas de los grafos de flujo de sefrales. En la figura 8-65 se presenta el gratb de flujo de sefralcs' 1
Figura 8-u5
260
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Aplicando las reglas de la multiplicaci6n
K P:' s*l
y la adici6n,
P':_5$P
-(r
Y
SISTEMAS DE CONTROL
obtenemos la figura
A:1+
K(s + 0.1)
g-ff.
Ahora
Ar:1,
s*1
+ 0.1)
Figura 8-66
C:TR:
8.18.
Encuentre ClR para
e'l
RA'R
KR
I
t
(1+Ir)s+1+o.rK
sistema de control dado en la figura 8-67.
Figura 8'67
En la figura 8-68 se muestra el grafo de flujo de senales. Las ganancias de las dos trayectorias = G 1G2G3y P2 = G rG+. Las ganancias de las cinco maltas de retroalimentaci6n son P1; G1G2H1, Pzt = GzGtHz, P31 GqHz, Psr -G1GzGt, P+, -GrGq. Asi que
directas son P1
:
A
:
1
-
( Pr, + Pr, + Prr + P4r +
:
Pr) : | +
y
=
:
* GrG2G3
-
GLG|HT
-
G2G3H2- GoHr+ GrG4
GRAFOS DE FLUJO DE SENALES
261
.
Figura 8-68 Y
Ar : Az : l.
c
Finalmente
PrLr+
R:
P2L2
A
8.19. Determine CIR
GrG2G3
:
+
GrG4
para el sistema dado en la figura 8-69. Entonces haga Gz
:
GrGzHz.
Figura 8-69 En la
fi
gura 8-70
se
presenta el grafo de fl ujo de
-GzHz, A : I + G2H2, At :
c_
Az : I, y
PrLr+
P2L2
A
R
sefr ales.
Tenemos P ; -- G,G z, P 2
:
G 2G 3, P 1 1 =
_ G2(q+ q) L+G)H)
Gt
Gs
-Hz Figura 8-70
Haciendo
G3:
G1G2H2, obtenemos CIR
:
GrGz, y la funci6n de transfbrencia del sistema
se
convierte en una malla abierta.
8.20.
Determine los elementos de un sistema can6nico con retroalimentaci6n para el sistema del
problema 8.10.
262
TEORIA Del problema 8. 10, Pr
:
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
G tG2G 3, P 2
A partir de la ecuaci6n (8.3)
=
G +,
L=|
I
GzH r
-
G 1G2H
1
Y
SISTEMAS DE CONTROL
+
G2G
3112, A 1
:
I, y tr,
:
6.
tenemos
2
c
: E
P,L,,:
G1GxG3+ G4+ GzGaH,
,-1
y de la ecuaci6n (8.4)
H:-
A-I. G
-
GrG2G4Hr
+
G,G3G4H2
obtenemos
GzHr- GrG2Hr+
G2G3H2
GrG2G3+ G4+ GzGqHr- GrG2G4Hr+ G2G3G4H2
Problemas suplementarios 8.21.
Encuentre ClR para la figura 8-71, utilizando la ecuaci6n (8.2).
Figura 8-71
8.22.
Deterrnine un conjunto de funciones de transferencia del sistema can6nico con retroalimentaci6n,
que aparece en el problema anterior, utilizando las ecuaciones (8.3)
8.23.
y @.4.
Cambie la escala del grafo de flujo de seffales de la figura 8-72. detal modo que X3 X3/2 (viase el problema 8.3).
Figura 8-72
se
convierta en
I
t
GRAFOS DE FLUJO DE
8.24.
SENALES
263
Dibuje un grafo de flujo de sefrales para varios nodos del sisterna de inhibici6n lateral, descrito en el problema 3.4, mediantc la ecuaci6n
c*:
r*- i
oo-,r,
8.25.
Dibuie un grafo de flujo de sefrales para el sistema presentado en el problema
8.26.
Dibuje un grafo de flujo de senales para el sistema presentado en el problem a 7-32.
8.27.
Para el grafo de flujo de sefrales dibujado en el problema 8.26, determine ClRa a partir de la ecuaci6n (8.2).
8.28.
Dibuje un grafo de flujo de sehales para la red el6ctrica de la figura 8-73.
fuente de
7-31
.
B2
&s at\
voltaje de
entrada 01
c=
cons&tnte
Figura 8-73
8.29.
Para la red del problema 8.28, determine V3lV1a partir de la ecuaci6n (8.2).
8,30.
Utilizando las ecuaciones (8 .3) y (8.a), determine los elementos de un sistema can6nico con retroalimentaci6n para la red del problema 8.28.
8.31.
Dibuje un grafo de flujo de sefrales para el circuito de computador anal6gico de la figura 8-74.
8.32.
Cambie la escala del circuito del computador anal6gico del problema 8.31 , de tal modo que y se convierta en l0y, dyldt en 2}(dyldt) y d2yldtz en 5(d2y/dt2).
264
&*
-.ffi-w
TEORIA
:
v
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Infeprador
Y
SISTEMAS DE CONTROL
inversor
&:
e inversor
multiplicador constante
Figura 8-74
Respuestas a los problemas suplementarios 8.21. Pr: GrG2Ga; .P2: G,.G3Ga, Pp: G1GaH1, Pzr: -GrGzG4H2, \r: A : 1 - GTG4HL + GrG2G4H2 + G.G3G4H2, Y Ar : Az : 1. Entonces C _ PrLL+ PzL2 RA
GlGo(Gi+ Q) L-GrG4IL-H2(G2+Cr)I Gs
Figura 8-75
8.22. G:
PrA,
+ P2L2: Gga(G2+ Q)
-G1G3GaH2,
A_1 :H.' G
H, G2+G3
I
f
GRAFOS
DE FLUJO DE SENALES
265
8.23.
Figura 8-76
8.4.
tr-
tp +l
rk
|
I
I
I
f
-"0'
(-") -a_l
f _"
N I
I
cr-
t
Cp
Figura 8-77
8.25,
Figura 8-78
-oo'
266
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
8.?5.
C 8.27.
-GtG2Hl
&
I + G2H2+
G|G2HI
8.28.
a2
a
Figura 8-80 vt
R3R4 + dR2ft4
8.29.
vt
RrRr + RrRl + RrR4 + R2R3 + RrRo _ aftrR,
8.30.
G:
R4(R1 + aR2)
H--
,( Rz +
R3
+ R4) + R3R4 + RrRr(1 Ro( R, +
-
c)
aRr)
8.31.
Figura 8-81
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
+
267
GRAFOS DE FLUJO DE SENALES
8.32.
Figura 8-82
Capitulo
I
Medidas de sensitividad de un sistema y clasificacion de sistemas con retroalimentacion 9.1. Introducci6n En los capitulos anteriores se ha hecho 6nfasis en los conceptos de retroalimentaci6n y sistemas con retroalimentaci6n. Puesto que un sistema con una funci6n de transferencia dada puede sintetizarse en una configuraci6n en malla abierta o en malla cerrada, una configuraci6n en malla cerrada (con retroalimentaci6n) debe tener algunas propiedades deseables que la distingan'de Ia
configuraci6n en malla abierta. En este capftulo se analizan en detalle algunas de las propiedades de la retroalimentaci6n y de los sistemas con retroalimentaci6n, y las medidas cuantitativas de la efectividad de la retroalimen-
taci5n se desarrollan en t6rminos de los conceplos sensitividad
9.2
y
constantes de
eror.
Sensitividad de las funciones de transferencia y de las funciones de respuesta de frecuencia a los parimetros del sistema
Un primer paso en el andlisis o disefro de un sistema de control es la generaci6n de modelos para los diferentes elementos en el sistema. Si 6ste es lineal e invariante en el tiempo, los dos modelos matemdticos ftiles para estos elementos son lafunci6n de transferencia y lafunci6n de respuesta de frecuencia (viase el Capitulo 6). La funci6n de transferencia se fija cuando se especifican sus pariimetros, y los valores dados a estos pariimetros se llaman valores nominales. Si los hay, raras veces se conocen con exactitud, de tal modo que en realidad son aproximaciones a los valores verdaderos de los pari4metros. La funci6n de transferencia correspondiEnte se llama funci6n nominal de transferencia. La exactitud del modelo depende entonces, en parte, de cudn cerca estbs valores nominales se aproximan a los par6metros reales que representan, y tambi6n de cu6nto se desv(an estos par6metros de los valores nominales durante el curso de la operaci6n del sistema. La sensitividad de un sistema a sus pardmetros es una medida de cudnto difiere la funci6n de transferencia de su forma nominal cuando cada uno de sus parfmetros difiere de su valor nominal. La sensitividad del sistema tambi6n puede definirse y analizarse en t6rminos de Ia funci6n de respuesta de frecuencia. La funci6n de respuesta de frecuencia de un sistema continuo puede determinarse directamente a partir de la funci6n de transferencia del sistema. si se conoce. remplazando en la funci6n de transferencia la variable compleja s porjro. Para sistemas discretos en el tiempo, esta funci6n se obtiene remplazando z por ei-r. De este modo, se define mediante los mismos pardmetros que definen la funci6n de transferencia, y su exactitud est6 determinada por la exactitud de estos par6metros. La funci6n de respuesta de frecuencia puede definirse de otra manera mediante gr6ficas de su magnitud y su dngulo de fase, dibujados ambos como funci6n de la frecuencia real
I
MEDIDAS DESENSITIVIDAD DE UNSISTEMA YcLAstFIcAcIoNDESISTEMAS CoN
RETROALIMENTACION 269
valoreF de amplitud y de dngulo de fase (valores para todas las frecuencias) definen la funci6n de respue$ta de frecuencia. En este caso, la sensitividad del sistema es una medida de cudnto difiere su funci6n de respuesta de frecuencia de su valor nominal cuando la funci6n de respuesta de frecuencia de un elemento del sistema difiere de su valor nominal. Considere el modelo matemdtico (/c) (funci6n de transferencia o funci6n de respuesta de frecuencia) de un sistema lineal invariable en el tiempo, escrito en forma polar como
r(k):lr(*11eio,
(e.r)
en donde k es un par6metro del que depende T(,t). Usualmente, tanto de k, y t es un pariimetro real o complejo del sistema.
Detinicidn
9.1:
Para el modelo matdm6tico
sensitividad de
sr(*) rk
d
"(k)
l(t)l
como
@7
(k), viendo a ft como el rinico par6metro, la
con respecto al pardmetro
ft
se define mediante
dr(k)/r(k) dr(k) k dk r(k) dk/k
h.r(k) dl.,r.k
3
dependen
(e.2)
En algunos tratamientos de este tema, S/(e) se llama sensitividad relativa o normalizada, porque representa la variaci6n dT relativaa la 7 nominal,
para una variaci6n dk relativa a la nominal k. S[<*t algunas veces se llama sensitividad de Bode.
Definicidn 9.2:
La sensitividad de la magnitud de T(k) con respecto al par6metro lr define mediante
s,i^,r)l=
"
Definicihn 9,3:
ulr(k)l
dlr(k)l/lr(k)l
dlnk
dk/k
dlr(k)l.:'...'......::: k dk lr(k)
se
(e.3)
|
La sensitividad del 6ngulo de fase Qr de T(k) con respecto al se define mediante
parimetro
k
cor: d lna" _ "*._ dil, Las sensitividades de T(k) respecto al pardmetro
t
:
lT(k)l
ri$r,
dQr/$r dk/k
la magnitud lT(k)l
(e.4)
y el 6ngulo de fase S7 con
estdn relacionados por la expresi6n
S/(ft): Sjr{*)l+7pr5;r
t*
d$r k dk er
(e.J)
N6teseque,engeneral, Sfl(ft)l ySf,'sonn(rmeroscomplejos.Enelcasoespecialenquetesreal, tanto Sl(t)l como Sf,' son reales. Cuando S,l o, - O, f&) es insensitivo a ft.
270
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
a EJEMPLO 9.1 Considere la funci6n de respuesta de frecuencia T(P"\ en donde
p = k.La
magnitud de T(p) es
: s-i't'
l(g.)l :
1, y.el iingulo de fase (p) es
La sensitividad de TQt) con respecto al pardmetro p,
Qr: -aF.
es
d(e-i't") P ^tt ^\ q'(P': e-r.t'--iolt O La sensitividad de la magnitud de TQt\ con respecto al pardmetro p,
es
cr?'(p)l:4r(il1 P :n"P p lr(p)| La sensitividad del dngulo de fase de TQr) con respecto al pardmeto p,
es
d6"p :-(,). p :1 S9r: dlt :' ' $r -op N6tese que SJrtt'lt
*rtrttr:
-jus1t:
S,.ttut
El siguiente desarrollo se efecttia en t6rminos de las funciones de transferencia. Sin embargo, todo es aplicable a las funciones de respuesta de frecuencia (para sistemas continuos) simplemente remplazando a s en todas las ecuaciones por jo, o z : ei-T parh sistemas discretos. Una clase muy importante de funciones de transferencia de sistemas tiene la forma:
T: '
A, + kAj --:-----------1
A3+ kA4
(e.6)
y At, Az, Aty Acson polinomios en s (o en z). Este tipo de dependencia entre un par6metro k y una funci6n de transferenciaT, es en general suficiente para incluir muchos en donde ft es un pardmetro
de los sistemas considerados en este libro. Para las funciones de transferencia con la forma de la ecuaci6n (9 .6),la sensitividad de T con respecto al pardmetro ft estd dada por
k(A24- ArAo) _drk si= at '7: (4+ kA)(At+ kA2) En general,
S/
es una funci6n de la variable compleja s (6 z).
(e.7)
3
MEDIDAS DESENSITIVIDADDE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION
EJEMPLO 9.2. La funci6n de transferencia del sistema discreto en el tiempo que
se presenta en la figura
9-1.-es
'-R
c
K z3
(a+
+
b\22
*
abz
*K
Figura 9-l
:
Si K cs cl pariimetro dc inter6s (k
T:
K),
agrupamos los t6rminos en
7 como
srgue:
K
lz3+(a+b)22+abzl+K
Comparando T con la ecuaci6n (9.6), vemos quc
Ar:O
Az:l
Si a cs cl par6mctro de intcrds 1k
At:
:
T:
z3
Aa:1
+ (a + b) z2 +'abz
a), T puedc escribirsc nucvamente
conro
K lz3+bz2
+Kl+ alz2+bzl
Comparando esta expresi6n con la ecuaci6n (9.6), vemos que
At: K
At:
Az:0
Si b es cl parilmetro dc intcrds (k
:
T:
h),
I
t3 + bz2 + K
Aa,:
z2
+
puede escribirse esta vez como
K f z3
+ azz +
Kl
+ blzz + az)
De nuevo, comparando esta expresi6n con la ecuaci6n (9.6), vemos que
\:K
Az:0
At: zj + az2 + K
At:
z2
*
271
az
bz
272
TEORIA
Y
PROBI,EMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
EJEMPLO 9.3. Para la red de adelanto que se muestra en la figura 9-2, la funci6n de transferencia
T:
es
En 1+RCs Ei 2+ RCs
---
Figura 9-2 Si C (la capacidad) es el pariimetro de interds, escribimos 7 : [ + C(Rs)]/12 + C(Rs)]. Comparando esta expresi6n con la ecuaci6n (9.6), vemos que Ar = l, 42 : Rs, At: 2, Aa = Rs.
EJEMPLO 9.4. Para el sistema del ejemplo 9.2, la sensitividad de T con respecto a K
s[:
Kff+(a+b)22+abzl Klzs+(a+b)22+abz+Kl
.ta sensitividad de T con
respecto al pardmetro
a
:_ *'
z3+(a+b\22+abz
es
+ bz\ bz2 + K+ a(22 + tz)l
s;-
I
rf-
sJ: Klzs + -aK(22
La sensitividad de T con respecto al pardmetro b
es
-1
1+-z3+bz2+K a( z2 + bz\
es
-1 -bK(22 + az) +azz+K+b(22+az\l Klz3 . tt +azz+
K
'* b(r\ *)
EJEMPLO 9.5. Para la red de adelanto de lafigurag-2,Ia sensitividad de Tcon respecto a Ia capacidad C es
C(2nr
Rr)
sJ: (2+Rcrxl+RCs)
RCs
(2+Rcr)(l+RCs)
(r+z/Rcs)(r+L/RCs)
t
t
MEDIDAS DE SENSITIV]DAD DE UN SISTEMA Y CLASTFICACION DESISTEMAS CON RETROALIMENTACION
273
EJEMPLO 9.6. Los sistemas en malla abierta y malla cerrada que se presentan en la figura 9-3 tienen la misma planta y la misma funci6n de transferencia del sistema global para K : 2.
I
planta
(g),
=
K
;t+4s+6 planta
/q\ \n/z
= PT
K
lsTT+T Figura 9-3
Aunque estos sistemas son precisamente equivalentes para K = 2, sus propiedades difieren de manera significativa para desviaciones pequefras (y grandes) de K en relaci6n con el valor K - 2. La funci6n de transferencia del primer,sistema es
:F**
n=(;)
Comparando esta expresi6n con la ecuaci6n (9.6), tenemos A1 Sustituyendo estos valores en la ecuaci6n (9.2), obtenemos
sp:
K(sl+
4s + 5)
(s2 + +s +
5)r
=
O,
Az
: l, At:
:
s2
+
4s
*
s2
*
4s
* 3,Ao:1.
5,Ao
g.
:1
para todo K.
La funci6n de transferencia del seeundo sistema
es
K /C\ T-=l'2 \R/,| :-s2+4s+3+K Comparandoestaexpresi6nconlaecuaci6n(9.6),
setiene
At: O,Az= l,At:
Sustituyendo estos valores en la ecuaci6n (9.7), obtenemos
K(s2+4s+3)
sp: (s2+4s+3+KXK)
1
L+ K/(s2+4s+3)
:
Para K 2, S[' L/lt + Z/(s2 + s + 3)]. N6tese que la sensitividad T1 del sistema en malla abierta se encuentra fija en I para todos los valores de la ganancia K. De otra parte, la sensitividad del sistema en malla cerrada es funci6n de K y de la variable compleja s. Asf, Sp puede ajustarse en un problema de disefro, variando K o manteniendo las frecuencias en
-
la funci6n de entrada dentro de un rango apropiado. Para a < \/T rad/seg, la sensitividad del sistema en malla cerrada
es
274
TI]ORIA
Y
PROBT-EMAS
DE RT]TROAI,IMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROI-
_13 sir=r+ri:5:06 Asi, el sistcma con retroalimentacion cs 40Vo menos sensitivo que el sistema en malla abierta para frecuencias bajas. Para frecuencias altas, la sensitividad del sistema en malla cerrada se aproxima a l, el mismo valor que para el sistema en malla ahierta.
EJEMPLO 9.7. Suponga que G es una funci6n de respuesta de frecuencia, puede ser GQa) para un sistcma continuo, o G(dtrl para un sistema discreto en el tiempo. La funci6n de respuesta de frecuencia para el sistema con retroalimentaci6n unitaria (continuo o discreto en el tiempo), dado en la figura 9-4, se relaciona con la funci6n de respuesta de frecuencia G de la malla directa por medio de
C lCl ._ :f
R lRl-
-
-l^tv("A:
G
lGletoo
1+G
r+1c1ei+,
Figura 9-4 en donde Sglp esel 6ngulo de fase CIR y S"es el de G. dada por
n.,R d(C/R) lGl
J,1,":
dlcl
'\'r
C/
kt
sensitividad de ClR con respectoa
estii
lGl
"i$a
R (t + 1C1eio,y, L
11
lcl
lclr,rn + lGlei+c (e.8)
L+1c1etoo l+G N6tese que para lGl grande la sensitividad de CIR con respecto
a IGI es
relativamente pequena.
EJEMPLO 9.8. Suponga que el sistema del ejemplo 9.7 es continuo, que <.l - I y para alg6n GQa),
G(it)
Y
: I + j. EntonceslG(jo)l :'lT,0n:n/4rad,(C/R)(jct):t +i!,lG/n)Ou)l:,/n/5,
Qctn:0.3215
rad.
Usando loir resultados del ejemplo anterior, la sensitividad de (C/R)(ia) con respecto
r2l s$rlii"':rrj:5-ls
a lGQo)l es
.|
l
MEDIDAS DESENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CI,ASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION
2'15
Entonces, de la ecuaci6n (9.5), tenemos
2 '^ '-' '. :i:o.o
^b-rn or/*sl6t.r:
s,t[[/x,]t;.'t
|
^rrr^ sli,X,,:
5
I
- 5(0,3,,
:
-0.622
Estos valores realcs dc scnsitividad indican que un cambio del lOVo en lG(l'ar)l producir6n un cambio
del 4Vo en lClR)Qa)1,
y un cambio de -6.22Vo en Qctn.
Un atributo cualitativo del sistema, relacionado con su sensitividad, es su robustez. Se dice que un sistema es robusto cuando al operar no es sensitivo a la variaci6n de los pariimetros. La robustez puede caracterizarse en t6rminos de la sensitividad de su funci6n de transferencia o de respuesta de frecuencia, o de un conjunto de indices de desempefio con respecto a los pariimetros del sistema.
9.3
Sensitividad de la salida con respecto a los par6metros para los modelos de ecuaciones diferenciales y de diferencia
El concepto de sensitividad tambi6n es aplicable a los modelos de sistemas expresados en el dominio del tiempo. La sensitividad de la salida modeloy a cualquier par6metrop est6 dada por
d(tn
y) dy/y
cvrr): "P sv "P d(ln p)
dp/p
dY P
dp v
Puesto que el modelo se define en el dominio del tiempo, la sensitividad usualmente se encuentra para la salida y(r) en el dominio del tiempo. La derivada dyldp se llama algunas veces coeficiente de sensitividad de la salida, el cual es una funci6n del tiempo, como lo es la sensitividad Sl .
EJEMPLO 9.9. Determinamos la sensitividad de la salida y(l) sistema'diferencial
i =
ax
+ a. La sensitividad
s;:
:
x(t) con respecto al par6metro a, para el
es
dva dxa
ar: a;
Paradeterminar Sf,consideremosladerivadaconrespectoaltiempodedxlda,eintercambiemosel de la derivaci6n, esto es,
dldx\
dldx\ :
a\a): a\a ) lp,* Ahora definimos una nueva variable
u
:
u = drlda.
*tax + u)
(aJ
u1
Entonces
:'#
* r' x :
au
*
x
orden
276
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
La funci6n de sensitividad S/ ,. entonces puede encontrarse resolviendo primero la ecuaci6n diferencial del sistema para x(r), porque x(r), es la funci6n de excitaci6n en la ecuaci6n anterior parau(t). Las soluciones necesarias se desarrollaron en la secci6n 3.15 como
t(t): e"'x(0) + J6fte"(-'tu(r\ dr t porque u(0)
o() - Jg['",t,-.tx(r) dr :
0. La sensitividad de la salida variable en el tiempo
se
calcula a partir de esas dos funciones
como
s;: E;a : au(t) ,(,) dx
EJEMPLO 9.10. Para el sistema discreto definido por
x( ft + 1) : ax(k) + u(k)
y(k): determinamos la sensitividad de la salida
y con
cx(k) respecto al pari{metro
4, como sigue.
,(k)-+? Entonces
u(k+L):0x(k+Ll: a *[ax(k)+u(k)) ox( k) :r(k) *o-if :au(k) +x(/c) ay(k): 0cx(k):' ax(k) : at a" a, cu\k) A
v
Asi, para determinar S/, resolvemos primero las dos ecuaciones
x(k+1):ax(k)+u(k) u( /c + 1) : au(k) + x( k) (por ejemplo, viase la secci6n 3.17). Entonces 0v( -' kl' .-:a : " 0a y(k)
s1
au(k)
*(k)
discretas:
Hagamos
I
277
MEDIDAS DESENSITIVIDAD DE UNSISTEMA Y CLASIFICACION DESISTEMASCON RETROALIMENTACION
3
9.4
Clasificaci6n de los sistemas continuos con retroalimentaci6n
Considere la clase de sistemas can6nicos con retroalimentaci6n definidos en la figura 9-5. Para los sistemas continuos, la funci6n de transferencia en malla abierta puede escribirse como m
GH:
Kfl j:1
(s + z,)
n
fI (' +p,) i:1
Figura 9-5
s n, y -zi y -p, son ceros y polos finitos. respectivamente, GH. Si hay c ceros y b polos en el origen, entonces en donde K es una constante, m
de
m-- a
cn:
Kr'
fI
(s + z,)
--;lf-(s +p,) sb
fl
t:l
En lo que resta de este capitulo, solamente se considerardn los sistemas para los cuales b
2a
Yl=b-a. Definicidn
9.42
Un sistema can6nico con retroalimentaci6n cuya funci6n de transferencia en malla abierta puede escribirse en la forma
r"fr g + ,,)
GH:
KB,(s)
-;+r-(s+p,) = ;Ert-
(e.e)
"' l:lll
- O y - z, y -p; son ceros y polos fi nrtos diferentes de cero de GH, respectivamente, se denomina sistema tipo l. en donde /
TEORIA
2'78
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
EJEMPLO 9.11. El sistema definido en la figura 9-6 es un sistemn del tipo 2.
Figura 9-6 EJEMPLO 9.12. El sistema definido en la figura 9-7 es un sistema del tipo I .
Figura 9-7 EJEMPLO 9.13. El sistema definido en la figura 9-8 es un sistema del tipo 0.
Figura 9-8
9.5
Constantes de error de posici6n para sistemas continuos con retroalimentaci6n unita-
ria Un criterio de la efectividad de la retroalimentaci6n en \n sistema estable del tipo I con retroalimentaci6n unitaria, es la constante de error de posici6n (paso) . Esta es una medida del effor en estado estacionario entre la entrada y la salida cuando la entrada es una funci6n paso unitario, esto es, la diferencia entre la entrada y la salida cuando el sistema se encuentra en estado estacionario y la entrada es un paso.
Definicidn 9.5:
error de posici6n K, de un sistema del tipo / con retroalimentaci6n unitaria se define como La constante de
{
2"19
MEDIDAS DESENSITIVIDADDE UN SISTEMA YCLASIFICACIONDE SISTEMAS CON RETROALIMFNTACION
b K,=
tsc(,)
:
lrl#s \ ;8 co :
{
parat:o
(e.10)
Par:al>Q
El error en estado estacionario de un sistema estable del tipo / con retroalimentaci6n unitaria cuando la entrada es una funci6n paso unitario [e(oo) : 1 - c(oo)] , est6 relacionado con la constan-
te de error de posici6n
e(oo): lim e(r) :
(e.r r )
\+Kp
EJEMPLO 9.14. La constante de error de posici6n para un sistema del tipo 0 es finita. Esto
lKB,(o)
tK,t:lT,(o)
es,
<00
El error en estado estacionario para un sistema del tipo 0 es distinto de cero y finito. EJEMPLO 9.15. La constante de error de posici6n para un sistema del tipo
I
es
KBr(0) Kr:"li$ffi:* En consecuencia, el error en estado estacionario
es e(o):L/(I+ K"):0.
EJEMPLO 9.16. La constante de error de posici6n para un sistema del tipo 2
es
rKB,(s)
K-: lim -;-----:=-: : € " s-0 s"Br(s) Entonces, el error en estado estacionario
9.6
es e(oo): l/(I+ K,):0.
Constantes de error de velocidad para sistemas continuos con retroalimentaci6n uni-
taria Otro criterio de la efectividad de la retroalimentaci6n en un sistema estable del tipo I con retroalimentaci1n unitaria es la constante de error de velocidad (rampa) . Esta es una medida del effor en estado estacionario entre la entrada y la salida del sistema cuando la entrada es una funci6n rampa unitaria.
280
TEORIA
Dctinicifin 9.6:
Y
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
SISTEMAS DE CONTROL
La constante de error de velocidad K, de un sistema estable del tipo / con
retroalimentaci6n unitaria estd definida como
para
/:0 para l: t
0
K,,= - limsG(s):
s+o
KBr(0)
ri* fBt(f), : Bret )
r-o s'- ?z(s
para
00
(9.12)
l>l
El error en estado estacionario de un sistema estable del tipo / con retroalimentaci6n unitaria, cuando la entrada es una funci6n rampa unitaria, esl6 relacionado con la constante de error de velocidad mediante
e(oo)
:
,[t "(t)
:
1
(e.13)
,.
EJEMPLO 9.17. La constante de error de velocidad para un sistema del tipo 0
es
6,:
0. Puesto que el
:
KA1(0)/42(0), es
error en estado estacionario es infinito.
EJEMPLO 9.18. La constante de error de velocidad para un sistema del tipo l, Ku finita. Por tanto, el error en estado estacionario es diferente de cero v finito.
EJEMPLO 9.19. La constante de error de velocidad para un sistema del tipo 2 es infinita. Por tanto, el error en estado estacionario es cero.
9,7
Constantes de error de aceleraci6n para sistemas continuos con retroalimentaci6n unitaria
Un tercer criterio de la efectividad de la retroalimentaci6n en un sistema estable del tipo I con retroalimentaci6n unitaria es la constante de error de aceleracihn (parab6lica) . Esta es una medida del error en estado estacionario del sistema, cuando la entrada es una funci6n parab6lica unitaria; esto es, r: ftZ y R : l/s3.
Detinici6n
9.7:
La constante de error de aceleraci6n l(, de un sistema estable del tipo / con retroalimentaci6n unitaria se define como
KB,(s) K": limszG('):,uS7:ffi:
(
0
| KB,(0)
tt-"Eibj\ o
Para
/:0'l
para
t:2
para
I>2
(e.t4)
El error en estado estacionario de un sistema estable del tipo / con retroalimentaci6n unitaria cuando la entrada es una funci6n parab6lica unitaria, est6 relacionado con la constante de error de aceleraci6n mediante
l
1
"(-): ,1T"(t):
r
(e.1s\
EJEMPLO 9.20. La constante de error de aceleraci6n para un sistema del tipo 0 error en estado estacionario es infinito. I
281
MEDIDAS DESENSITIVIDAD DE UNSISTEMA Y CLASIFICACION DESISTEMAS CON RETROALIMENTACION
es Ko
= 0. Por lo tanto, el
EJEMPLO 9.21. La constante de error de aceleraci6n para un sistema del tipo I es ko = 0. Por lo tanto, el error en estado estacionario es infinito.
EJEMPLO 9.22. La constante de error de aceleraci6n para un sistema del tipo 2, Ko: KBl(0)/82(0) finita. Por lo tanto, el error en estado estacionario es diferente de cero y finito.
9.8
es
Constantes de error para sistemas discretos con retroalimentaci6n unitaria
La funci6n de transferencia en malla abierta para un sistema discreto del tipo /, puede escribir-
se como
GH:
K(z + z)
(z -t)t(z
+
...(z
+ z^)
KBr(z)
p)'.. (' + p,)
(z
-t)tnr(z)
I =- O, y -zi y -p; son los ceros y polos no unitarios de GH en el plano z. Todos los resultados desarrollados en las secciones 9.5 ala9.7 para los sistemas continuos con retroalimentaci6n unitaria son iguales para los sistemas discretos con esta funci6n de transfeen donde
rencia en malla abierta.
9.9
Tabla resumen para sistemas continuos y discretos en el tiempo' con retroalimentaci6n unitaria
En la tabla 9.1 se dan las constantes de error en tdrminos de continuos, y cr : I para sistemas discretos.
TABLA Error Tipo de Sistema
KBr(c)
1
4@)
l+ r,,
1
@
0
Tipo 2
@
0
Tipo 0
Tipo
0 para sistemas
Par6bola Unitaria
Error en
Error en
en
Estacionario
:
9.7
Estado
Ko
en donde cr
Rampa Unitaria
Paso Unitario
Entrada
c,
Estado
Estado
Ko
Estacionario
Ko
Estacionario
0
@
0
@
0
€
KB{a)
I
4@)
&
KBr(c)
q; @
1
K" 0
282
TEORIA
Y
PROBI-F,MAS DI-] RIITROAI-IMENTACION
Y
SISTF]MAS
DIi
CONTROI,
9.10 Constantes de error para sistemas m6s generales Los resultados de las secciones 9.5 a la 9.9 son aplicables frnicamente a sistemas lineales estables con retroalimentaci6n unitaria. Sin embargo, ellos pueden extenderse f6cilmente a sistemas lineales estables mds generales. En la figura 9-9, 7.1 representa la funcirin de transferencia de
unsistema(ideal)deseado,yClR,ladel sistemareal (unaaproximaci6n deT).Reslaentradaen
ambos sistemas, y E es la diferencia (el enor) entre la salida deseada y la salida real. para este sistema miis general, a continuaci6n se definen tres constantes de error y se relacionan con el error en estado estacionario. sistema ideal
" Definicidn
9.8:
Figura 9-9
La constante de error de paso,(, se define para un sistema continuo como
K,=
I
-rrT l'*[a- n]
(e.16)
El error en estado estacionario para el sistema general cuando la entrada es una funci6n paso
unitario, estd relacionada con K. mediante
e(oo): lim e(l): Definicidn
9.92
I
La constante de error de rampa como
K,=
(e. 17 )
K"
K,
se
-TT--TT '$;[a- u1
define para un sistema continuo
(e.rs)
El error en estado estacionario para el sistema general, cuando la entrada es una funci6n rampa K. mediante
unitaria, estii relacionada con
I
283
MEDIDAS DE SENSITIYIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACICN DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION
I
e(m):,11"(t):
I
1
(e.re)
r
t
Delinici6n
9.10:
La constante de error parab6lico Krose define para sistemas continuos como
Koo=
lim
-
s+O J-
(e.20)
C
1
Td
R
El error en estado estacionario para el sistema general, cuando la entrada es una funci6n parab6lica unitaria, est6 relacionada con K,, mediante e(oo)
:
lim
t+o
e(l): : Ko"
(e.2r )
EJEMPLO 9.23. El sistema con retroalimentaci6n no unitaria, que funci6n de transferenci aClR CIR es Ta : |, entonces
:
2l(s2
+
2s
+ 4). Si la funci6n
To-
se presenta en la
figura 9-10, tiene la
de transferencia deseada a la cual se aproxima
s(s + 2)
C
R: XP+z'+4)
Figura 9-10 Entonces
(:
I
K,: Kro-
u-
t=[
rT--;G+ 2t--l ""S; [21"-;z' + ay 1
,t=(t*t) 4),l
"-o s'[ 2(s'+2s+
:4
:0
]
EJEMPLO9.24. Paraelsistemadel ejemplo9.23 loserroresenestadoestacionariodebidosaunaentrada paso unitario a una entrada rampa unitaria y a una entrada parab6lica unitaria, pueden encontrarse utilizando los resultados de ese ejemplo. Para una entrada paso unitario e(r1 11y.: 0. Para una entrada rampa
:
unitaria
e(x): llK,:
Para una entrada parab6lica unitaria,
e(o)
: llK,,,: x.
284
TUORIA
Y
PROBI.EMAS
Dll
RITTROAI.IMENTACION
Para establecer relaciones entre las constantes de error generales K.,
Y
SISTIIMAS DE CONTROL
deerrorK-,, K,yKuparasistemasconretroalimentaci6nunitaria,hacemosqueel sistemareal
sea
uno continuo con retroalimentacitln unitaria, y que el sistema deseado tenga una funci6n de transferencia unitaria. Esto es. hacemos
Ta:7 En
:
1
+ limG(s)
: 1 +l(,
(e.22 )
,"ilLr. cl K,: Koo:
limsG(s): K, 1
: lims2G(s):
Ko
(e.23)
(e.24)
s+O
Problemas resueltos Configuraciones de sistemas
9.1.
Una planta dada tiene una funci6n de transferenciaG2. Se desea un sistema que incluya a funci6n de transferenciaClR. Demuestre que, si no hay restricciones (tales como estabilidad) en los elementos compensadores, el sistema puede sintetizarse en uno en malla abierta o en otro con retroalimentaci6n unitaria.
G2 como elemento de salida y que tenga una
Si el sistema puede sintetizarse en uno en malla abierta, entonces tendri{ !a configuraci6n dada cn la figura 9- I I , en donde G 1 es un elemento compensador desconocido. La funci6n de transferen-
ciadel sistemaesClR:GiGz,del cualGi= como un sistema en malla abierta.
,!IR)lG2.EstevalorparaGipermitelasintesisdeC/R
Figura
9-ll
Si el sistema puede sintetizarse en uno con retroalimentaci6n unitaria, entonces tendril la confi-
guraci6n dada en la figura 9-12.
l
CG' R 1+G
Y
consecuencia l K,: -TT
I
K,y Krn y las constantes
I
MEDIDAS DESENSITIVIDAD DE UN SISTEMA YCLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION
285
*
Figura 9-12 La funci6n de transferencia del sistema es C/R
: CQzl(l + GP),
de la cual
II C/R \ Gt:^l-l ' Gz\L-L',/RJ Este valor para
9.2.
,
Gl permite la
sintesis de CIR como sistema con retroalimentaci6n unitaria.
Utilizando los resultados del problema 9.1 , demuestre c6mo puede sintetizarse la funci6n de transferencia del sistemaClR : 2l(s2 + s + 2) que incluye como su elemento de salida la planta G: : l/s(s + l), a) como un sistema en malla abierta, b) como un sistema con retroalimentaci6n unitaria.
a)
Para
el sistema en malla
abierta
tt: y el
2s(s + l) C/R:s'z+s+2 c,
diagrama de bloques del sistema est6 dado en la figura 9-13.
Figura 9-13
b)
Para
el sistema con retroalimentaci6n unitaria,
G,
:
;(:+r):
s(s
+',1ffi1:'
y el diagrama de bloques del sistema se da en la figura 9-14.
i, Figura 9-14
286
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RS|ROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE- CONTROL
*
Sensitividad de la funci6n de transferencia
9.3.
Los dos sistemas que se dan en la figura 9-15 tienen la misma funci6n de transferencia cuando Kt : Kz: 100.
KrKz
n:(;),1^,:,*: , , ,rKz:100 :
"
(
;)jr::rn
I + 0.0099K1K2
:(
:100
:'* r**,) -fr*) (
i
Figura 9-15 Compare las sensitividades de estos dos sistemas con respecto al pardmetro K1 para valo-
res nominales
Kl : Kz :
1OO.
: Kgzlll + Kr(0.0099K2)1. comparando esta expresi6n con la 42: K2, A1 : | , Aq : O.OO99Kz. Sustituyendo estos valores en la
Para el primer sistema, T1 ecuaci6n (9.6) se obtiene A 1 0, ccuaci6n (9.7), obtenemos
:
KrKz s{: (1 + 0.0099Kr K)(KtK2)
Para
el
1
+ 0.0099K, K"
'
I
K, \/tt
\ 1+0.09K,
/\
K2 \t_ -
sft:
Kr: & :
100
1+0.09&
,('& r+
I
Comparando esta eipresi6n con la ecuaci6n (9.6)
+
para
segundo sistema,
T_t___________:_
0.09
:0.01
se
0.09Kr +0.09K2+0.0081KrK2 obtiene A
1
:
O,
A2:
Kz,
At
: |*
0.09K2,
0.0081K2. Sustituyendo estos valores en la ecuaci6n (9.2), tenemos
K$2(r
@:
+
0.09K)
r
1+009&
:o'1
Para
Ao:
Kt:'(r:1oo
Una variaci6n del lOVo en 1(1 producird una variaci6n aproximada de O.lVo en 71, y una de lfto en 72. De este modo el segundo sistema 72 es l0 veces miis sensitivo que es el primero, a las variaciones en K;.
t
i
287
MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION
I
g
.4.
El sistema en malla cerrada que se da en la figura 9- I 6, se define en t6rminos de la funci6n de respuesta de frecuencia del elemento GQa) da la trayectoria directa.
$u,t
G(r;) = 1 + G(i.) Figura 9'16
Suponga que G(7ro) : de respuesia de frecuencia
de magnitud
y
fase de
ll(ja + l).
En el Capitulo
l5
se demuestra que las funciones
llQa + l) pueden aproximarse a las grdficas de lineas rectas
(G(id,
dadas en
la figura 9-17. iingulo de fa or
=
0.1
-l
-r/4
+
I I I
Figura 9'17
En r,r
: I
los valores verdaderos de 20 logls lG(iat)l y de Q son
respectivamente.
a) b)
Para a : I'
-3 y -ttl4'
encuentre:
La sensitividad de l(C/R)far)l con respecto a lGQat)l' error en Utilizando el rezultado de la parte a), determine un valor aproximado para el
|(ClR)Qa)|causadoporlasaproximacionesalinearectapara|lQa+1).
a)
est6 dada utilizando la ecuaci6n (9.8), la sensitividad de clRQa) con respecto a lG(i(d)l por
s,(flrfljr.,
I
1 - f+C(;") 2+ia
Puesto que lG(7ar)l es real,
sr[i/iif '"'r
para
I
:
ne s,(flrXlii''
2-i' 4+.']
: 4+b?
r.r: 1, S,[f/*1t,'"lt :9.4.
el valor exacto de lGffar)l es lGja)l : ll\/T: 0'707' El valor aproxima: l. Entonces el porcentaje de error en la aproximaci6n do tomado de la gr6fica es lGfar)l
b) Paruo: l,
esl00(l-0.707y0.70.7:4|.4Vo.E|porcentajedeerroraproximadoenl(C/RXl.al)les
4r.4
Srr6?/.fif
ia)t: r$.ss.
?"
-:'
"{o'
JY'
288
TEoRTA
y
pRoBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Demuestre que las sensitividades de T(fr) : lT(k)ld6,la magnitud lT(k)l de fase Q7 con respecto al pardmetro fr est6n relacionados rnediante
9.5. lo
y el
t
6ngu-
a
Sf,,t,
-
Sf,t*)t a
ipr. gfr
lecuaci6n (9.5)l
Usando la ecuaci6n (9.2).
^r,,\ S'(^l: -^
dhr$) dlak
drnllr&)lei+,1 dlak
dlhlr(k) l+io,l dbk , .. ano, _dtnlr(k>l *, d$, : dl'!,lr(k)l +jor7ir,:slfik)r + jorst' dln k ' dlnk
-#
N6tese que si k es real, entonces
glrttll t
Sfl
9.6.
#.
ton reales, y
orSf,': Im Sf(&)
Demuestrequelasensitividaddelafunci6ndetransferenciaT: con respecto al panimetro ft est6 dada por s;: k(A24_
(At + l(A)l(At
I
M+)
f
ArA)/(At* Mo)
(Ar+ kA). Por definicidn, la sensitividad de
I
con respecto al par6metro k es
sr:dhr:dr " dlnk dk-LT
Ahora
Az(4+ lc,4) - A4(Ar+ (1, + tut)'
dT dk
Mz)
A2A3- ArA4
(1,
+ *,no\z
Asf que
s7:A.zAt-Atlr.k(4+-4) - - .k(4zaz -.ArAo\ (,er+ *ln\2 Ar+ kA2 (lr+ kA){r(,+ kAz\ .
9.7.
Considere el sistema del ejemplo 9.6 con la adici6n de una perturbaci6n en la carga y una entrada de ruido, como se muestra en la figura 9-18. Demuestre que el controlador con retroalimentaci6n mejora la sensitividad de la salida a la entrada de ruido y a la perturbaci6n en la carga.
-
entrada de ruido
planta
/r/(s)
perturbacidn en la crga
L(s)
+
f
t Figura 9-18
MEDTDAS DESENSITIVTDAD DEUNSISTEMA YCLASIFICACIONDE SISTEMAS CON
RETROALIMENTACION 289
* Para el sistema en malla abierta, la salida debida a la entrada de ruido y a la perturbaci6n en la
carga es
c(') :
z(E) +
L
ryr* 4 n(s)
(s+
independientemente de la acci6n del controlador en malla abierta. Para un sistema en malla cerrada.
c(")
:
(s+1)(s+3)
ifr;;:r(s)
+
I sz .,.
a,
*
tv(s)
lacargay la entrada de ruido, comparado con el sistema en malla abieita. En particular, el sistema en malla cerrada tiene una ganancia en estado estacionario o de c.c.: Para frecuencias bajas, el sistema en malla cerrada atenfa la perturbaci6n en
31
c(0): sz(o) + sir(O) mientras que
+
el
sistema en malla abierta tiene una de
c(0) A
-r(o)
+
1
liv(o)
frecuencias altas, estas ganancias son aproximadamente
iguales.
:
Sensitividad de la salida del sistema en el dominio del tiempo
9.8.
Para
el sistema definido por
*:l(p)x + B(p)u v: c(p)x Demuestre que la matriz de sensitividades de salida
I av,l
t-l
Lapi se determina mediante
I
l
la soluci6n de las ecuaciones diferenciales
*:lx*u .AAAB V: AV +
._-x dp
(9.25\
* ;;u dp
(9.26)
290
'r€oRIA
I
con en
donde
y
pRoBLEMAS DE RETROALIMENTACToN
av,l
y
srsrEMAS DE. coNTRoL
*
ac
l-l:CV-t^x dP LoPi I 0x I a*,1 v=Iu,,l = ;- F l.'-'r' ap
(9.27)
|
Lapi
l
esto es, V es la matriz de las funciones de sensitividad. La derivada de la funci6n de
sensitividad v,y est6 dada por
d
I Ax,\ t,i: at\rr,) Suponiendo que las variables de estado tienen derivadas continuas, podemos intercambiar
el orden de las derivaciones total y parcial, de modo
que
A
tdx,\ ,i.:-l -tr op,\ dt'l
I
G
En forma de matriz.
t Puesto que
V
:
: + : *rn*+Bul : #** dp dpdp
t!dp * P, dp
dxldp, tenemos
,AAAB AV * ;-x * -:-u dp dp
V: Entonces
0y : |Cx AC 0x :CL-_r AC : x_C ^ x ^ ^ ^ ^ op dp dp dp dp N6tese que, en las ecuaciones anteriores, la derivada parcial de una matriz con respec-
to al vector p se sobreentiende que genera una serie de matrices, cada una de las cuales, cuando se multiplica por x, genera una columna en la matriz resultante. Esto es, @Aldp)x es una matriz con (dAldp)x como j-6sima columna. Esto puede verificarse f6cilmente, escribiendo de manera explicita todas las ecuaciones escalares y derivdndolas t6rmino a t6rmino.
Clasificaci6n de sistemas por
9.9,
tipo
En la figura 9-19 se representa el sistema can6nico con retroalimentaci(rn
*
MEDIDAS DESENSITIVIDAD DE UNSISTEMA Y CLASIFICACION DESISTEMAS CON
RETROALIMENTACION 291
*
Figura 9'19 Clasifique este sistema de acuerdo con el tipo si
a) G: 1
H:l
J
b) G:
5
H:
s(s + 3)
s*1 s+z
2
c) d')
f
e)
G: ;Ttr+ 5 ^Ef:s*5 24 H: G: (2s+1)(as+1) G:
4
----:-----------: s(s + 3)
a)
I GH: -;
b)
GH:
c)
GH:
d) GH:
H:
4s(3s + 1)
I J
tipo l) 5(s + 1)
G;rX"
+ 3)
)
tiPo t)
2(s + s)
s'?4,2s+5' tiPoo) %
4s(2s+1)(3s+l)(as+1)
s(s+|)(s+|)(s+|) i
4
e)
9.f0.
GH: s-(s+J) ni
tipo 2)
Clasifique por tipo el sistema dado en la figura 9-20.
C Figura 9-20
tipo l)
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALTMEIITACION
La funci6n de transferencia en malla abierta de este sistema
Y
SISTEMAS DE CONTROL
* es
s2(s+1)(s2+s+1) _ (s+1Xs2+s+1) GH- _ sa(s+2)2(s+3)2
s2(s+2)2(s+3)2
Por tanto es un sistema del tipo 2.
Constantes de error
9.11.
y
er.rores en estado estacionario
Demuestre que el error en estado estacionario e(oo) de un sistema estable del tipo / con reffoalimentaci6n unitaria, cuando la entrada es una funci6n paso unitario, estii relacionada con la constante de error de posici6n, mediante
e(o):,9"(r):+ Laraz6n de error (definici6n 7.5) en un sistema con retroalimentaci6n unitaria negativa
dadaporlaecuaci6n(7.4),confl: l,estoes, ElR= l/(l A partir del teorema del valor final, obtenemos e(oo)
: rinsE(s) :
"g(n+(J)T)
en donde se ha utilizado la definici6n
9.12.
*G).paraR:lls,E:(l/s)(l/(l
est6
+G)).
+
: 1+lim"-6G(s)
I t+Kp
Ko=lim"-o6(s).
Demuestre que el error en estado estacionario e(oo) de un sistema estable del tipo / con retroalimentaci6n unitaria con una funci6n de entrada rampa unitaria, estd relacionado con
la constante de error de velocidad mediante TenemosElR:l/(l
e(o): limr_.e(l) :L/K".
+G),yE=(lktro +c))paraR:
por la definici6n 9.4,
t/s2.puestogueG: KBt(s)/stB2!),
r'4(r)
":
iI r'4(s)
+ KB,(s)
Paral>0.tenemos
sE(s):
4(') sB2(s) +
KBr(s\/st-r
1 > 0. Ahora
Ipodemos utilizar el teorema del valor final, como se hizo en el problema anterior, porque se satisface la condici6n para la aplicaci6n de este teorema. Es decir, para / > 0 en donde
tenemos
0
e(o):
-{ K4(0) Br(o)
"8""(r)
para
I>l para I:L
t
MEDIDAS DE SENSITIVIDAD DE UN SISTEMA Y CLASIFICACION DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION
r}
293
Br(0) y Bz(0) son finitas y diferentes de cero, por la definici6n9.4;en consecuencia existe el limite (es decir, es finito). No podemos evocar el teorema del valor final para el caso en que / : 0 porque
sE(s)r,_o:tIEI#*;to] *
0. Sin embargo, podemos utilizar el y el limite de la cantidad del lado derecho no existe cuando s 0 tiene ra(ces siguiente argumento para I 0. Puesto que el sistema es estable, B2$) + KB1(s) inicamente en el lado izquierdo del plano. Entonces puede escribirse E con su denominador en la
:
:
forma factorizada general:
r:
B"(s) s2n;-r(s + p,)n'
__________::__:__
endondeRe(pi)>0y Ei-fli:n-a(v4aseladefinici6n9.4),estoes,puedehaberalgunasraices repetidbs. Expandiendo E en fracciones parciales [ecuaci6n (4.10a)], obtenemos r ,:"os2*!g*s s i
ni
t
"'*
i-, fr, (r +a)*
l0a) es cero porque el grado del denominador n). Invirtiendo E(s) (secci6n 4.8), logramos
en donde b, en la ecuaci6n (4
numerador (m
<
.
:
e(t)
c2ot+ cro+
es mayor gue el del
:=:f-rs-t" i /<-1 i 7:cik \e - f)!'
,-r
Puesto que Re(p) > O y tzo ] c1s son constantes finitas diferentes de cero (E es una expresi6n algebraica racional), entonces
e(o)
:
,|g
r(t)
:
,!1
(cror) + cro:
Agrupando los resultados, tenemos
/:0 para ,:1
Para
e(o):tqe
para ,>
1
O de modo equivalente,
1
*
a;t
:\T /*,
para
r:0
para
I:l
para
l>L
e
294
TEORIA
Estos tres valores para
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACTON
lle(o) definen a K,;
,@): 9.13.
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
asi 1
x"
En la figura 9-2 I , encuentre las constantes de error de posici6n, velocidad y aceleraci6n.
Figura 9-21 La constante de error de posici6n:
.. riilt ---;--------11-;-1 - s*o r(s + 1)(s + 4) a(s + 2)
Ko: tiqc(s)
: 6
+
La constante de error de velocidad:
'('
:
lia1
s-0
sG(s)
: lim ;- 4(s'::+ 2)' . :2 s*o (r + r)(s + 4)
La constante de error de aceleraci6n: 4s(s + 2)
lin s'zc(s) : ti -: s-o "S1r*ryr*4y:o
K,
9.14.
En el sistema del problema 9. 13, encuenffe el error en estado estacionario para c) una entrada paso unitario, b) una entrada rampa unitaria, c) una entrada parab6lica unitaria.
tt)
: l/(l + Kp). e(a): l/(t + oo):6. rampa unitaria esti{ dado por e(€) : 11K,.
El error en estado estacionario para una entrada paso unitario estd dado por e(o)
Utilizando el resultado del problema 9.13 se obtiene
b) c) 9.15.
El error en estado estacionario para una entrada Utilizando de nuevo el resultado del problema 9.13, logramos
e(oo):i.
El error en estado estacionario para una entrada parab6lica unitaria estd dado por e (a) Entonces e(a) l/0 m.
:
:
:
|/
K,.
La figura 9-22 representa de manera aproximada un diferenciador. Su funci6n de transferencia es ClR : Ksl[s(zs + l) + Kl. N6tese que lirnr*o r*-ClR : .r, esto es, en el l(mite, C/R es un diferenciador puro. Encuentre las constantes de error de paso, de rampa y parab6lico en este sistema, en donde se supone que el sistema Qideal es un diferenciador.
}
r
295
MEDIDAS DESENSITIVIDADDE UNSISTEMA Y CLASIFICACION EE SISTEMAS CON RETROALIMENTACION
Figura 9-22
Utilizandolanotaci6ndelasecci6ng.l}T,t--syTa-ClR:s2(rs*l)/[s(rs+l)+Kl. Aplicando las definiciones 9.8, 9.9 y 9.10 se obtiene
K":
:o
---t-zt : -J,@;1 1
"9[a- "] "S[1"'-,. K': ---rr-zr :-Tsi!.e
t1
1
,
1-m
Kl ,H;[a^l "t'$l;G;il-. :---T---ffiT:^ Ko'-: T-T
9.16.
1
1
"*"'-[4- nl
"tr*tl;o-l
Encuentre el valor en estado estacionario de la diferencia (enor) entre las salidas de un diferenciador puro y el diferenciador aproximado del problema anterior, para c) una entra-
da paso unitario, b) una entrada rampa unitaria, c) una entrada parab6lica unitaria. Del Problema 9.15, K"
cr) El error
b) c)
: o, K, : a Y Kro :
K'
en estado estacionario para la entrada paso unitario es
e(o):l/K":o.
El errbr en estado estacionario para la entrada rampa unitaria es e(oo):L/Kr:gEl error en estado estacionario para la entrada parab6lica unitaria es
e(m): L/K,.:t/K. g.17.
Dado el sistema estable del tipo 2 con retroalimentaci6n unitaria, que se muestra en la figura9-23, encuentre c) las constantes de error de posici6n, de velocidad yde acelera1r 1 ci6n, b) el error en estado estacionario cuando la entrada eS o 1
rf:--.T-r;-. - - s^r
{' Figura 9-23
,r.s-
296
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACTON
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Utilizando la riltima fila de la tabla 9. 1 (sistemas del tipo 2), las constantes de error son
a)
Kp: e,
K,,
t
: o, K,: (4\(L)/2:2,
Los errores en estado estacionario para las entradas paso unitario, rampa unitaria y parab6lica unitaria, se obtienen de la misma fila de la tabla y est6n dadas por: e l@) : 0 para el paso unitario e,(a1 :0 para la rampa unitaria; ez(6) : I para la pariibola unitaria.
b)
Puesto que el sistema es lineal, tos errores pueden superponerse. Asi, el error en estado estacionario cuando la entrada es 3 1 I es1i{ dado por o_
fi:__l_2r,
e(o) - 3e,(o) - ez(a) + ]er(o): |.
Problemas suplementarios 9.18.
Pruebe la validez de Ia ecuaci6n
9.19.
Pruebe
9.2O.
9.21-
problemas
9.ll y 9.12).
ecuaci6n (9.19). (Sugerencia: vlanse los problemas
9.ll y 9.12).
Pruebe la validez de la ecuaci6n (9.21). (Sugerencia: vdanse los problemas
9.ll y 9.12\.
la validez de la
(9.t7). (Sugerencia: vianse los
Determine la sensitividad del sistema del problema K1 , Kz I p, individualmente.
7
.9,
+
con respecto a las variaciones de cada uno
de los parilmetros
9.22.
Genere unaexpresi6n, en t6rminos de las sensitividades determinadas en el problema 9.21 ,que relacione la variaci6n total en la funci6n de transferencia del sistema en el problema7.9, con respecto a las variaciones en K1 Kz y p.
9.23.
Demuestre que el error en estado estacion ario e(a) de un sistema estable del tipo / con retroalimen. taci6n unitaria, con una entrada parab6lica unitaria, estd relacionada con la constante de error de aceleraci6n mediante e m : limr* *e(t) : 11K". (Sugerencia: vdase el probtema 9.12).
9.U.
Verifique las ecuaciones (9.26) y (9.27) efectuando todas las derivaciones sobre el conjunto total de ecuaciones diferenciales simultiineas que hacen la ecuaci6n (9.25).
Respuestas
e.2r.
sf(*
9.22.
A-R
C
:
a algunos problemas suplementarios
s+p
s4p-KrK,
KtK' : ^2 sip-KrK,
S7/R
(KjK)LKzs*p-KrK,
(s +p)AK, +
pAp
sf'*
-p : s|'p-KrK,
?
Capftulo 10
*
An6lisis y disefio de sistemas de control con retroalimentaci6n: objetivos y m6todos 10.1 Introducci6n
C
En los primeros nueve capftulos se han presentado los conceptos b6sicos, las herramientas matemdticas y las propiedades de los sistemas de control con retroalimentaci6n. Ahora la atenci6n se enfoca hacia nuestra meta principal: el andlisis y el disefio de los sistemas de control con retroalimentaci6n.' Los m6todos que se presentar6n en los pr6ximos ocho capftulos son t6cnicas lineales, aplicables a los modelos lineales. Sin embargo, bajo circunstancias apropiadas, una o mds de ellas pueden emplearse para algunos problemas de sistemas de control no lineates. generando de ese modo disefros aproximados cuando el m6todo particular es suficientemente s6lido. En el Capftulo 19 se presentan las t6cnicas para resolver los problemas de sistemas de control representados por modelos no lineales. Este capftulo se dedica principalmente a hacer explicitos los objetivos y a describir de manera breve la metodologfa del an6lisis y el diseno. Tambi6n incluye, en la secci6n 10.8, una aproximaci6n al disefro de sistemas digitales, la cual puede considerarse independientemente de las diferentes aproximaciones que se desarrollan en los capitulos siguientes.
10.2 Objetivos del an6lisis Los tres objetivos predominantes del an6lisis de sistemas de control con retroalimentaci6n son
la determinaci6n de las siguientes caracterfsticas del sistema:
l. El grado o alcance de la estabilidad 2. El desempeflo en estado estacionario 3. El desempeno transitorio
del sistema
Saber si un sistema 6s o no absolutamente estable es una informaci6n insuficiente para la mayor parte de los prop6sitos. Si un sistema es estable, usualmente queremos saber qu6 tan cerca
est6 de ser inestable. Necesitamos determinar gu estabilidad relativa. En el Capftulo 3 aprendimos que la soluci6n completa de las ecuaciones que describen un sistema puede dividirse en dos partes. La primera, la respuesta en estado estacionario, es la parte de la soluci6n completa que no se aproxima a cero cuando el tiempo tiende a infinito. La segunda, la respuesta transitoria, es la parte de la soluci6n completa que se aproxima a cero (o disminuye) cuando el tiempo tiende a infinito. Pronto veremos que hay una fuerte correlaci6n entre la estabilidad relativa y la respuesta transitoria de los sistemas de control con retroalimentaci6n.
e
10.3 M6todos de an6lisis
El procedimiento general para analizar un sistema de control lineal es el
siguiente:
298
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
l.
Determinar las ecuaciones o la funci6n de transferencia para cada uno de sus componen-
2.
Escoger un esquema para representarlo (diagrama de bloques o grafo de flujo de seflales).
J.
Formular el modelo del mismo conectando apropiadamente sus componentes (bloques o nodos y ramas).
4.
Determinar las caracterfsticas de su respuesta.
t
tes.
Existen varios m6todos para determinar las caracteristicas de las respuestas de los sistemas lineales. La soluci6n directa del sistema de ecuaciones puede emplearse para encontrar las soluciones en estado estacionario y transitoria (Capftulos 3 y 4). Esta t6cnica puede ser algo engorrosa para sistemas superiores a los de segundo orden, a la vez que se hace dificil estudiar la eslabilidad relativa €n el dominio del tiempo. El analista de sistemas de control dispone de cuatro m6todos gr6ficos, los cuales son mds simples y directos que los m6todos en el dominio del tiempo para modelos lineales pri{cticos de sistemas de control con retroalimentaci6n. Ellos son:
L El m6todo del lugar de las raices 2. Representaciones de diagramas de Bode 3. Diagramas de Nyquist 4. Cartas de Nichols
+
Los tres riltimos son t6cnicas en el dominio de la frecuencia. Estos cuatro mdtodos se considell y 17, respectivamente.
ran en detalle en los Capitulos 13, 15,
10.4 Objetivos del diseno La meta bdsica en el diseflo de sistemas de control es alcanzar las especificaciones de desema las caracterfsticas de respuesta del sistema.
pefio,las cuales son las restricciones que se aplican
Estps especificaciones pueden establecerse de diversas maneras, generalmente las dos siguientes:
l.
Especificaciones en el dominio de la frecuencia (cantidades pertinentes expresadas como
funciones de la frecuencia)
2.
Especificaciones en el dominio del tiempo (en t6rminos de respuesta de tiempo)
Las caracteristicas que se desean para el sistema pueden prescribirse en cualquiera o ambas de las dos maneras anteriores. En general. ellas especifican tres propiedades importantes de los siste-
mas dindmicos:
l. 2. 3.
Velocidad de respuesta Estabilidad relativa Exactitud del sistema o error permisible
Las especificaciones en el dominio de la frecuencia tanto para sistemas continuos como para sistemas discretos, a menudo se establecen en una o m6s de las siguientes siete maneras. Para
generalizar, definimos una funci6n unificada de respuesta de frecuencia en malla abierta
GH(a\:
;
ANALISIS Y DISENOS DESISTEMAS DECONTROLCON RETROALIMENTACION: OBJETIVOS YMETODOS
299
* para sistemas continuos
GH(a) =
1.
\"Jrlt,i),,
(to.t)
para sistenias discretos
Margen de ganancia
El margen de ganancia es una meclida de la estabilidad relativa que se define como la magniaro en la tud del universo de la funci6n de transferencia en malla abierta, evaluada en la frecuencia es, Esto (v6ase 6). el Capitulo es cual el 6ngulo de fase -180" 1
Margen de ganancia
en donde
2.
{
(10.2)
= IGI{"J
argGH(a-): -180" : -rr
radianes, y @tse llama frecuencia de cruce de fase.
Margen de fase @yp
El margen de fase @yp es una medida de la estabilidad relativa, definida como 180' mds el 6ngulo de fase @1 de la funci6n de transferencia en malla abierta a ganancia unitaria. Esto es
@r" en donde IGH(o4)l
:
(10.3)
[rtO + argGH(r;'r)] graaos
: I y ar1 se llama frecuencia de cruce de ganancia'
control EJEMPLO 10,1 En la figura l0-l se ilustran los mi4rgenes de ganancia y de fase de un sistema de retroalimentaci6n. tfpico continuo en el tiempo con
arg GII(o)
I
-\
r-----Tmargen i
f Figura l0-l I
L II
_____]-
de
tase
-300
3.
THORIA
Tiempo de retaqdo El tiernptl de retardo
\'
PROBI-I:I\IAS DE RI.,TROAI-IMF:NTACION
l/.
Dri
CONTROI
i
interpreta
rod): :
SISTIiMAS
Ta
es una nrdida de la velocidad de respuesta.
en donde 7
Y
y estii dado por
-*
(r0.4)
arg (C/R). Usualmente se especifica el valor promedio deT,fuo) sobre las frecuen-
cias de inter6s.
4.
Ancho de Banda (AB) El ancho de banda de un sistema
se
defini6 en el Capftulo | , de manera aproximada, como el
intervalo de frecuencias sobre el cual el sistema responde satisfactoriamente.
El desempeno satisfactorio se determin6 mediante la aplicaci6n y las caracteristicas del sistema en particular. Porejemplo, Ios amplificadores de sonido a menudo se comparan con respecto a
su ancho de banda. Un amplificador de sonido ideal de alta fidelidad tiene una respuesta de frecuencia plara desde 20 hasta 20,000 Hz. Esto es, tiene una banda de paso o un ancho de banda de l9'980 Hz (usualmente redondeado a 20,000 Hz). Respuesta de frecuencia plana significa que la relaci6n de magnitudes de salida a entrada es, en esencia, constante sobre el ancho de banda. Por tanto' un amplificador con ancho de banda de 20,000 Hz reproduce de manera fiel las sefrales en el espectro de audio. La relaci6n de magnitudes es el valor aLsoluto de la funci6n de respuesta de frecuencia del sistemaEn la figura l0-2 se muestra la respuesta de frecuencia de un amplificador de sonido de alta fidelidad. La relaci6n de magnitudes es 0.707 de, o aproximadamente, 3 dB por debajo de su
lt'
mdximo en las frecuencias de corte
f"t:20H2
f"2:20,g111gHz
Figura l0-2
"dB" es la
abreviatura de decibel, definido mediante
dB
:
la siguiente ecuaci6n
20 log16(relaci6n de magnitudes)
+ Q0.s)
J
ANALISIS Y DISENOSDESISTEMASDECONTROLCON
RETROALIMENTACION: OBJETIVOS YMETODOS
30r
A menudo se define el ancho de banda de un sistema'como el intervalo de frecuencias sobre el cual la relaci6n de magnitudes no difiere en mi4s de - 3 dB de su valor a la frecuencia especificada. Pero no siempre. En general, se hace claro el significado preciso de ancho de banda mediante la descripci6n del problema. En cualquier caso, el ancho de banda, generalmente es una medida tle la velocidad de respuesta de un sistema. La frecuencia de cruce de ganancia ar 1 definida en la ecuaci6n (l 0 .3) a menudo es una buena aproximaci6n del ancho de banda de un sistema en malla cerrada. En los Capftulos I y 2 (especialmente en la secci6n 2.4) sepresentaron la noci6n de muedtreo de sefral, y de tiempo de muestreo uniforme T, para sistemas que contienen sefrales tanto discretas
como continuas en el tiempo, y ambos tipos de elementos, los cuales incluyen muestreadores, dispositivos de sostenimr;nto y computadores. El valor de I es un par6metro de disefro para tales sistemas, y su elecci6n depende de las consideraciones de exactitud y de costos. El teorema de muestreo [9.10] proporciona un limite superior paraT, al requerir que la tasa de muestreo sea por lo menos el doble de la del componente de mayor frecuenciaf-^^ de la seflal muestreada, esto es,
,1 T<_ - - 2f^*
I
. En la prdctica. podriamos utilizar la frecuencia de,cortef,2 (como en la figura l0-2)
para/-"^.'yunareglapr6cticaserfaescogeraIenel
rango I aTa I .Sinembargo,es l0f"r- - - 6f,z
posible que otros requerimientos de disefro necesiten valores arin menores de T. De otra parte, el mayor valor de Tque sea consistente con las especificaciones a menudo produce el costo m6s bajo para los componentes.
5.
Tasa de corte
La tasa de corte es la tasa de frecuencia a la cual la relaci6n de magnitudes disminuye m6s all6 de la frecuencia de corte ar,. Por ejemplo, la tasa de corte puede especificarse como 6 dB/octava.
Una octava es un cambio por un factor de dos en frecuencia.
6.
;
Pico de resonancia Mi, El pico de resonancia Mo, una medida de la estabilidad relativa,
magnitud de la
es el valor m6ximo de la
respuesta de frecuencia en malla cerrada. Esto es,
tcl
M"= -.3*lnl
7.
Frecuencia resonante
(r0.6)
aro
La frecuencia resonante a, es la frecuencia a la cual ocune Mo.
ut* se ilustran el ancho de banda (AB), la frecuencia de corte rrl.., el pico de la frecuencia resonante @p, para un sistema continuo subamortiguado de segundo orden.
EJEMPLO 10.2. En la figura l0-3 resonancia
Mry
302
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
Figura l0-3 Es costumbre definir las especificaciones en el dominio det tiempo en t6rminos de las respuestas paso, rampa y pardbola unitarios. Cada respuesta tiene un componente en estado estacio-
y otro transitorio. El desempeno en estado estacionario, en t6rminos del error en estado estacionario,
nario
es una
medida de la exactitud del sistema cuando se aplica una entrada especifica. Por ejemplo, las constantes Kp, K, y K" definidas en el Capitulo 9 son indicadores importantes del desempefro en estado estacionario. El desempefio transitorio a menudo se describe en t6rminos de la respuesta a la funci6n paso unitario. Las especificaciones tipicas son:
1.
*-
Sobretensi6n La sobretensi6n es la diferencia m6xima entre las soluciones transitoria y en estado estaciona-
rio para una entrada paso unitario. Es una medida de la estabilidad relativa, y a menudo se representa como un porcentaje del valor final de la salida (soluci6n en estado estacionario). Las cuatro siguientes especificaciones son medidas de la velocidad de respuesta.
2.
Tiempo de retardo
I,
El tiempo de retardo ?,, interpretado como una especificaci6n en el dominio del tiempo, se define a menudo como el tiempo requerido para que la respuesta a una enirada paso unitario alcance el 50Vo de su valor final.
3.
I
Tiempo de subida T.
Es costumbre definir el tiempo de subida T, como el tiempo necesario para que la respuesta a una entrada paso unitario suba del lOVo al 9OVo de su valor final.
4.
Tiempo de acomodaci6n T" La mayor parte de las veces el tiempo de acomodaci6n se define como el tiempo requerido
*
ANALISIS Y DISENOS DESISTEMASDECONTROLCONRETROALIMENTACION:
OBJETIVOS Y METODOS
303
* para que la respuesta a una entrada paso unitario alcance y permanezca dentro de un porcentaje especificado de su valor final (usualmente el 2Vo o el SVo)-
5.
Constante de tiempo dominante
La constante de tiempo dominante r, una medida alterna del tiempo de acomodaci6n, a menudo se define como la constante de tiempo asociada con el t6rmino que domina la respuesta transitoria. La constante de tiempo dominante se define en t6rminos del cardcter exponencialmente decadente de la respuesta transitoria. Por ejemplo, para sistemas continuos subamortiguados de primer o'y Ae o' cos(a4t @), respecy segundo orden, los t6rminos transitorios tienen laformaAe-
*
o'. La constante de tiempo z En cada caso, la disminuci6n est6 regida por e: se define como el tiempo en el cual el exponente - at - I , esto es, cuando la exponencial alcanza el 37Vo de su valor inicial. Por tanto r : lla. Para sistemas de control continuos con retroalimentaci6n de orden superior dos, la constante de tiempo dominante algunas veces puede calcularse a partir de la constante de tiempo de un sistema subamortiguado de segundo orden que se aproxime al sistema superior. Puesto que tivamente (a
> 0).
*
t<-
1
(10.7)
s@,
de desempeflo mds significativos, definidos para sistemas de segundo orden pero tambi6n ritiles para sistemas de orden superior. A menudo las especifica-
{ y o^ (Capitulo 3) son los indicadores
ciones se dan en t6rminos de { y a". En el Cap(tulo 14 este concepto se desarrolla m6s en detalle para sistemas tanto continuos como discretos, en t6rminos de las aproximaciones de polo-cero dominantes. EJEMPLO 10.3. En la figura l0-4, la gr6fica de la respuesta paso unitario de un sistema continuo subamortiguado de segundo orden ilustra las especificaciones en el dominio del tiempo.
sobretensi6n
*
1\.
304
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
10.5 Compensaci6n del sistema
a
Suponemos primero, que G y F/ son configuraciones fijas de los componentes sobre las cuales el disefiador no tiene control. Para cumplir las especificaciones de desempeflo de los sistemas de control con retroalimentaci6n, normalmente se introducen al sistema apropiados componentes de compensaci6n (algunas vec6s llamados ecualizadores) los cuales pueden consistir de elementos pasivos o activos, varios de ellos se trataron en los Capitulos 2 y 6. Estos componentes pueden introducirse en la trayectoria directa (compensacidn en cascada) o en la trayectoria de retroalimentaci6n (compensacidn por retroalimentaci6n), como se muestra en la figura l0-5:
t Figura
10-5
La compensaci6n por retroalimentaci6n tambi6n puede ocurrir en una de las mallas de retroa-
limentaci6n menores. (figura l0-6).
Figura
10-6
Normalmente los compensadores se diseffan de tal forma que todo el sistema (continuo o discreto) tenga una respuesta transitoria aceptable, y por tanto caracteristicas de estabilidad, y una exactitud deseada o aceptable en estado estacionario (Cap(tulo 9). A menudo estos objetivos estdn en conflicto, porque, usualmente, errores pequefios en estado estacionario requieren grandes ganancias en malla abierta, las cuales degradan la estabilidad del sistema. Por esta raz6n, a menudo los elementos compensadores simples se combinan en un solo diseflo. Normalmente consisten de
t
ANALISIS Y DISENOS
+
oestsrsues
DECONTROLCON RETROALIMENTACIoN:
OBJETIVOS Y METODOS
305
combinaciones de componentes que modifican la ganancia K y/o las constantes de tiempo r, o, aGH.Los compensadores pasivos comprenden elementos ffsicamente pasivos, tales como redes de resistores y capacitores, para modificar K(K < 1), constantes de tiempo, ceros o polos; las redes de atraso, adelantoy atraso-adelanfo son ejemplos de ellos (Capitulo 6). El compensador activo m6s comdn es el amplificador (K > l). El m6s general de ellos es el controlador PID (proporcional-integral-derivativo), analizado en los capitulos 2 y 6 (ejemplos 2.14y 6.7), que comfnmente se usa en el diseflo de sistemas tanto anal6gicos de algfn modo, agregan ceros o polos
(continuos) como discretos en el tiempos (digitales).
10.6 M6todos de diseno El diseno por an6lisis es el esquema de diseflo que se ha desarrollado en este libro, porque generalmente esta es la aproximacion mds prilctica, con la excepci6n de que el disefro directo de sistemas digitales, tratado en la secci6n 10.8, es una verdadera t6cnica de sfntesis. Los m6todos de an6lisis mencionados anteriormente, reiterados a continuaci6n, se aplican al diseflo en los Capitu-
los 12. I4, l6
*
l. 2. 3. 4.
y
18.
Diagramas Nyquist (Capitulo 12)
Lugar de las raices (Capftulo
14)
Diagramas de Bode (Capitulo 16) Cartas de Nichols (Capitulo 18)
Los procedimientos de an6lisis y diseno de sistemas de control basados en estos mdtodos se han automatizado en paquetes de aplicaci6n para prop6sitos especiales en computador, llamados pa-
quetes de Diseno ayudado
por computador (DAC).
De los cuatro m6todos enumerados antes, los de Nyquist, Bode y Nichols son t6cnicas de respuesta defrecuencia, porque en cada uno de ellos se exploran grdficamente las propiedades de GH(a), esto es, GH(ja) para sistemas continuos, o GH(dd) para sistemas discretos en el tiempo [ecuaci6n (10.1)], en funci6n de la frecuencia angular ar. Mds importante afin es el hecho de que, utilizando estos m6todos, el an6lisis y el disefro se realizan fundamentalmente del mismo modo para sistemas continuos o discretos, tal como se ilustra en los capftulos siguientes. Las fnicas diferencias (en detalles especificos) provienen del hecho de que la regi6n de estabilidad para los sistemas continuos es la mitad izquierda del plano s, y que para sistemas discretos es el circulo unitario en el plano z . Sin embargo, una transformaci6n de variables, llamada transformada w, permite el andlisis y el disefio de sistemas discretos utilizando los resultados especificos desarrollados para sistemas continuos. Presentamos las.principales caracteristicas y los resultados dela transformada w en la siguiente secci6n, para su uso en el an6lisis y el diseno de sistemas de control en los capftulos siguientes.
10.7 La transformada vl, para el an6lisis y el diseno de sistemas discretos en el tiempo utilizando m6todos de sistemas continuos
a
En el Capitulo 5 se defini6 la transformada w para el an6lisis de la estabilidad de sistemas discretos. Esta es una transformaci6n bilineal entre el plano complejo w y el plano complejo z
definido por el par:
306
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y. SISTEMAS DE CONTROL
z-1
z:- 1-w
z+1 en donde
a
1*w
z : p t jv. La variable compleja w
(r0.8)
se define como
w:Rew*jlmw
(ro.e)
Las siguientes relaciones entre estas variables son ritiles en el andlisis y el disefro de sistemas
de control discretos en el tiempo:
tt2+v2-l p'+y'+2y"+l
1.
Re
v.':
2.
Im
w:
3.
Si lzl < 1, entoncesw < 0
(r0.12)
entoncesw:0 Si lzl > 1, entonces w > 0
(to. r 3)
Si lzl :
4
5.
6.
(r0.10)
2v
(10.r
p2+v2+2p-t7 1,
r)
I
(10.r4)
Sobre el circulo unitario del plano z z pz
:
eirT
+ v2:
:
COS
al?
*7
sen
cos2 otT *sen2
asl:1
v i-'---'-'--
w: "
s) (r0.r6) (10.1
(10.17 )
p+7
De esta manera, la regi6n dentro del circulo unitario en el plano z representa la mitad izquierda del plano w (MIP); la regi6n de afuera, la mitad derecha del plano w (MDP); y el cfrculo unitario, el eje imaginario del plano w. Igualmente, las funciones racionales de z se representan en funciones racionales de rv.
Por estas razones, las propiedades de estabilidad absoluta y relativa de los sistemas discretos pueden determinarse utilizando in6todos desarrollados para sistemas continuos en el plano s. De manera especifica, para el an6lisis y el diseno de respuesta de frecuencia de sistemas discretos en el plano w, generalmente ss trata el plano lv como si fuera el plano s. Sin embargo, deben tenerse en cuenta las distorsiones en ciertas representaciones, de manera particular en la frecuencia angular, cuando se interpretan los resultados.
A partir de la ecuaci6n (t0.17),definimos una frecuencia angular en el plano w, mediante
o' =
v
ITT
ar*. sobre el eje
imaginario
(t0rs)
I
ANALISIS Y DISENOS DE SISTEMAS DECONTROL CON RETROALIMENTACION: OBJETIVOS Y METODOS
f
Esta nueva frecuencia Angular
dera
a
a,r,,.
en el plano
ll
307
estd relacionada con la frecuencia angular verda-
en el plano z mediante
,*--
r^nf
u
2 a: _tan-ro,
(r0.1e)
Las siguientes propiedades de ar,,. son ftiles al hacer grdficas de funciones para el an6lisis de la respuesta de frecuencia en el plano w:
l.
Si
c,r
: 0,
entoncgs rel.
2.
Si
t's
+ i, I
entonces
-
&)w
(r0.20)
Q
-+ +
co
(r0.2r )
1l
-t - 7, entonces G).- -€ .E 1f 4. El intervalo-=
3.
t
(r0.23)
Algoritmo para el anflisis y el diseno de la respuesta de frecuencia utilizando la transformada w
El procedimiento
l.
Sustituir
puede resumrrse como srgue:
(l + w)l(l -
w) por z enla funcion de transferenciaGH(z) en malla abierta:
GH ( z )l : 6 n w,s/e w) "
2.
:
GH'
(w)
(r0.24)
Generar las curvas de respuesta de frecuencia, esto es, diagramas de Nyquist, diagramas de Bode, etc., para
GH'
,
u0.22)
co
(w)l* :r.* = GH' ( i a,)
(10.2s)
3.
Analizar las propiedades de estabilidad relativa del sistema en el plano w (como si fuera el plano s). Por ejemplo. determinar los mdrgenes de ganancia y de fase, las frecuencias de cruce, la respuesta de frecuencia en malla cerrada, el ancho de banda, o cualquier otra caracteristica deseada y relacionada con la respuesta de frecuencia.
4.
Transformar las frecuencias criticas del plano w (valores de a-) determinados en el paso 3 a sus frecuencias angulares correspondientes (valores de ar) en el dominio de la frecuencia verdadera (plano z), utilizando la ecuaci6n (10.19).
5.
Si se trata de un problema de disefro, diseflar los compensadores apropiados para modificar GH'Qa,,) para satisfacer las especificaciones de desempefro.
En los Capitulos 15 al
l8 se amplfa y aplica este algoritmo.
EJEMPLO 1O.4. La funci6n de transferencia en malla abierta
308
TEORIA
Y
GH(z): se
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
(z
Y
SISTEMAS DE CONTROL
+L)2/rn
(r0.26)
(z-I)(z+|)(z+|)
transforma al dominio w sustituyendo
z: (l + w)l(l -
i
w) en la expresi6n paraGH(z),lo que conduce a
GH'(w): -6(n -L\/Ln w(w+2)(w+3)
(10.27)
El an6lisis de la estabilidad relativa de GH'(w) se pospone hasta el Capitulo
15.
10.8 Diseno algebraico de sistemas digitales, incluyendo sistemas con transitorio mfnimo Cuando hay computadores digitales o microprocesadores como componentes de un sistema discreto, f6cilmente pueden implementarse compensadores por medio de programas de aplicaci6n (software) o de dispositivos (firmware) facilitando de ese modo el disefro directo del sistema mediante la soluci6n algebraica de la funci6n de transferencia del compensador que satisfaga los objetivos dados del disefio. Por ejemplo, suponga que deseamos construir un sistema que tenga una funci6n de transferencia en malla cerradaClR,la cual podria definirse mediante las caracteristicas requeridas en malla cerrada, tales como el ancho de banda, la ganancia en estado estacionario, el tiempo de respuesta, etc. Entonces, dada la funci6n de transferenciaG2Q), de la planta, la malla de compensaci6n directa G1(z) necesaria puede determinarse a partir de la relaci6n para la
t
funci6n de transferencia en malla cerrada del sistema can6nico dado en la secci6n 7.5:
9: R
G,G,
1+
uo28)
G,G2H
Entonces, el compensador requerido se determina resolviendo la ecuaci6n para G{z):
Gr: EJEMPLO 10.5.
C/R Gr(\- HC/R)
(to.2e)
Se requiere que el sistema con retroalimentaci6n unitaria
con I :
y sincr6nico, de la figura l0-7, tiempo de subida 7. de 2 s o menos.
(H
:
I)
de muestreo uniforme (l) l y un
0.1 s tenga una ganancia en estado estacionario (C/R)
:
Gz(zl
Figura l0-7
rio
La C/R mr{s simple que satisface los requerimientos es (C/R) seria
: l. Sin embargo, el compensador
necesa-
f
ANALISISY DISENOS DESISTEMAS DECONTROLCON RETROALIMENTACION: OBJETIVOS Y METODOS
j
309
C
:--i---:I
R
Gr:
z-0.5
z-oJ(1-l)
'('-;) :
quc ticnc una ganancia infinita, un ccro cn z 0.5 , y no ticne polos, Io cual lo hace irrealizable. Para que sea rcalizablc (sccci6n 6.6), C I dcbc tencr por lo mcnos igual.nf mero de polos ceros. En consecuencia, af n con fa cancclaci6n dc los polos y los ceros de G2 con los polos y los ceros deG t,ClR debe contenerpor lo menos
n - m polos, cn dondc n cs cl nfimcro de polos y m es el nfmero de
ceros de G2.
La ClR realizablc miis simple tiene la forma:
CK R: t-" Como sc muestra en el problema 10. 10, el tiempo de subida de un sistema discreto de primer orden, como el
dado por la C/R anterior, es
T
t
lnt
T<,'lna Rcsolviendo para
a sc tiene
.- [;]'" :l;7":0
8e5e
Entonces
K z-0.8959
K
C
z-a
I -0.8959=0.l04l.Enconsecuenciael
yparaquclagananciaenestadoestacionario(C/R)(l)seal,K: compcnsador rcqucrido cs
c
Gl
:"EI: R
0.1041 z
-
L | z-0.5\- -ll
Vemos que G1 ha agregado un polo aGlG2en z
:
0.104r
\ I
0.s)
z-0.89591
l, haciendo -
que el sistema sea del tipo
requerimiento de que la ganancia en estado estacionario es igual
,
z-1
0.10a1( z
0.8959
|.
Esto se debe al
a l.
Los sistemas con transitorio mlnimo son una clase de sistemas discretos en el tiempo que pueden disefrarse f6cilmente al utilizar la aproximaci6n directa descrita antes. Por definici6n, la respuesta transitoria en malla cerrada de un sistema con transitorio minimo tiene una duraci6n finita, esto es, se hace cero y permanece en cero despu6s de un nfmero finito de tiempos de muestreo. En respuesta a una entrada paso, la salida en tal sistema es constante en cada tiempo de muestreo despuds de un periodo
finito. Esta se denomina respuesta con transitorio minimo.
TEORIA
3r0
Y
PROBI-EMAS DE RETROAI,IMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
EJEMPLO 10.5. Para un sistema con retroalimentaci6n unitaria con funci6n de transferencia directa
Gr(t) :
Kr(z + zr)
(z+pr\(z+pr)
la introduccitin de un compensador anticipativo
con
(z+pr)(z+pr) G'(t): (z-Kt)(z+zt) produce la funci6n de transferencia en malla cerrada:
c _ GrG2 _Kr
R I+GrGz
z
Larespuestaimpulsodeestesistemaesc(0):Klyc(k):0para/<>0.Larespuestapasoesc(0):0yc(k):Kr para /< > 0. En general, pueden disefrarse sistemas para que exhiban una respuesta con transitorio minimo m muestras, en donde rn es el nfrmero de ceros y z es el nfmero de polos de la de duraci6n /, pf anta. Sin embargo, para evitar rizado entre las muestras (variaciones peri6dicas o aperi6dicas) en sistemas mixtos continuo/discretos en el tiempo, en los cuales G2(z) tiene una entrada y/o salida
c
-
continua, el compensador no deberia cancelar los ceros de G2Q), como en el ejemplo 10.5. La respuesta transitoria en estos casos es un mfnimo de n muestras de duraci6n, y la funci6n de transferencia en malla cerrada tiene n polos en z : O. EJEMPLO 10.7. Para un sistema con
K(z + 0.5)
Gr(t): (z-0.2\(z-o.a) hagamos
G'('):
(z-0.2)(z-0.a) (z+a)(z+b)
Entonces
C R
_
GtG,
K(z + 0.5)
| + GrG2
(z+a\(z+b)+/r(z+0.5) rK( z
+ 0.5)
z2+(a+b+K)z+ab+0.5K
i
ANALISIS Y DISENOS DE SISTEMAS DECONTROL CON RETROAT,IMENTACION: OBJETIVOS Y
*
METODOS
3
II
Para una respuesta con transitorio minimo, escogemos
C
K(z + 0.5)
Rz2 y en consecuencia
a4 b* K=0 ab+05K=0 Hay muchas solucionesposibles paraa,
by K,y unadcellases4:
0.3,
b: -0.75
y
K:0.45.
Si se requiere que el sistema en malla cerrada sea del tipo /, es necesario que G lz)GzQ) contenga / polos en z Si G2(z) tiene el nrimero requerido de polos, 6stos deberian conservarse, es decir, no deben
: l.
cancelarseconloscerosdeC,,z).Si G:(z)notienetodoslospolosrequeridosenz: l,puedenagregarseen
Glz). EJEMPLO 10.8. Para el sistema con
K
*
cr(t): ,-t
suponga que se desea un sistema del tipo 2 cn malla cerrada con respuesta con transitorio minimo. Esto pucde lograrsc con un compcnsador dc la forma:
c'('): z*a l. Entonces z-
ef cual agrega un polo cn z
:
C GrG, R: r + GrG,
L
K(z + a)
Si se desea una respuesta con transitorio mfnimo, debemos
K(z + a)
tener
C K(z+a)
R:- I y cn consecuencia K
- 2:
O
y | -t Ka : 0, con lo quc sc obtienc K : 2 y u :
-O.5.
Problemas resueltos 10.1.
''
La gr6fica de la figura I 0-8 representa las caracterfsticas de entrada-salida de un amplificador-controlador para un sistema de control con retroalimentaci6n cuyos otros componen-
tes son lineales. 1,Cu6l es el intervalo lineal de e(t) en este sistema?
3t2
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
*
-nl1 -f,2 -n3 -na
Figura l0-8 El amplificador-controlador opera linealmente sobre el intervalo aproximado de
1O.2. Determine el margen de ganancia para el sistema en el cual CHQa)
-
e3
3e3
e7.
: ll(ito + l)t.
Escribiendo GH(la) en forma polar, tenemos
tt GH(io): , . -,j/r/ (ro'+ 1)-'
-3tan
ta
*
aryGH(jo): -3tan-r0,
Entonces-3tan-'.n:-o,a---tanQr!3):l.T32.Portanto,porlaecuaci6n(10.2),elmargen de ganancia es lllGHQu.)l
f0.3.
:
8.
Determine el margen de fase para
el sistema del problema
10.2.
Tenemos
I
IGH(j.r)l:-:1+l\"" 1rz : at : 0. Por tanto 6ue -- 180" + (-3 tan-'0) : 180' : zr radianes tinicamente cuando (o
10.4.
Determine el valor promedio de TaQo) sobre el intervalo de frecuencia 0 < ar CIR : jolQot + l). Ta@) se obtiene por medio de la ecuaci6n (10.4).
n C y:arCR(/o): r-tan-rar por
10.5.
tanto
y
AvgTo(o)hom
d :;[tan-r"l: Tt("): -dy d.
l+@2
- ilr*#:0.147sec
Determine el ancho de banda en el sistema con funci6n de transferencia(ClR) (s) Tenemos
< l0 para
:
l/(s
+
l
).
?
ANALISIS Y DISENOS DESISTEMAS DECONTROLCON RETROALIMENTACION: OBJETIVOSY METODOS
N
lc
3r3
I
lntr"l;: ,tFn En la figura l0-9 se da un esquema de l(C/R) Qa)l en funci6n de
lc
<,r.
I
liUo)l I
I 0.?07
o=0
cc
Figura 10-9
ftVQTT
:0.70'1 . Puesto que l(ClR)(ja;)l es una funci6n r,r, se derermina a partir A" ar. I rad. positiva, tenemos AB estrictamente decreciente de la frecuencia
:
:
* f0.6.
lCuiintas octavas hay entre a)2OOHzy 8@ Hz, b)2OOHz y 100 Hz, c) 10,048 rad/s (rps) y 100 Hz?
a) Dos octavas b) Una c)
10.7.
f:
octava
ol2n
:
10,048/2n
: l 600 Hz. Por tanto, hay cuatro octavas entre 10,048 rps y 100 Hz.
Determine el pico de resonancia M o y la fr^ecuencia resonante ci6n de transferencia es (C/RXs) : 5/(s' + 2s + 5).
5
lc. .t
i;(r"tl:
@p
en el sistema cuya fun-
5
t_;+L.@+sl
Igualando a cero la derivada de l(C/R)(iar)1, obtenemos
ap: t VT
En consecuencia
tc je,) I tc. -.t ,,: l:f'i.lR( l:l;trvr ) l:; 5
f0.8.
La salida en respuesta a la entrada de una funci6n paso unitario en un sistema de control continuo en particular es c(t) : I - e-'. 1Clu6l es el tiempo de retardo T,? La salida est6 dada como una funci6n de tiempo. En consecuencia, es aplicable la definici6n de l0.4. El valor final de la salida es lim,*- c(r) : | .
T, en el dominio del tiempo, dada en la secci6n
Portantol,(enel 50%delvalorfinal)eslasoluci6nde0.5:l-e-T,,yesigualalog"(2):0.693.
t
10.9.
Encuentre el tiempo de subida
7, para c(t):
1
-r-'. :0. l04s.Enel90%odelvalorfinal,0.9: Enell}Vodel valorfinal,0. l: I -e 'l,dedondetr | -"-"' asi que t2 : 2.302 s. Entonces T. : 2.302 - 0. 104 : 2.198 s.
3t4
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
10.10. Determine el tiempo de subida del sistema discreto de primer orden
P(t) : (t -
o)
/(z - a)
I
con lcl < 1.
Para una entrada paso, la transformada de la salida es
Y(r)
:
P(z)u(z)
('.,l)', :, (z-L)(z-a)
yel tiempoderespuestaesy(/c) :l _ akparak:0, l,...Puestoquey(o): t.el tiempodesubidal es el tiempo necesario para que esta respuesta paso unitario vaya desde 0. I a 0.9. Puesto que la respuesta muestreada no puede tener los valores exactos de 0.1 y 0.9, debemos encontrar los
valores muestreados que limitan estos valores. De esta manera, para el valor inferior y(ft) < 0. I 6 1 y por tanto ak > 0.9. De modosimilar, para y(k + T"IT) 1 ak+'4/r =- O.g, ak
-
=0.1 <
ak+71/T
:
-
O.l.
Dividiendo las dos expresiones, obtenemos
*
r,"/T 1
ak+
ar"/'r
-9
Luego, tomando logaritmo a ambos lados, se obtiene
."
thi = lta
10.11. Verifiquelasseispropiedadesdelatransformadawenlasecci6nl0.T,ecuaciones(10.i,0) hasta (10.17).
A partir
dew:(z-l)/(z+L) y z:tL+jv, t'+jv-1 (p-I+jt)(p+r-jv)
2v \ ' 1t+jv+r (p+1+jr)(p+L-jv) | f+v2-r 1l\ ''\/ t+rr+zp,+rJ \t+rr+2p.+ Por tanto
1.
-' Rew- p'*y'+2p+l =o* =u'1"
2.
Im'- - --;------;-----: E ar. p'* y'+2p,+l
2v
3.
fzf < 1 significa p2 + v2
4,
fzf
).
:1
(
1, lo cual imptica
f +v2:l,lo fzf > 1 significa f + v2 2l,lo significa
o.
<
Q
cual
implicaow:0
cual
implico o. )
0
?
ANALISIS YDISENOS DESISTEMASDECONTROLCONRETROALIMENTACION:
OBJETIVOSY METODOS
315
3 La sexta propiedad se deriva de las identidades trigonom6tricas
elementales.
10.12. Demuestre que la transformada de la frecuencia angular &lw est6 relacionada con la frecuencia rcal a mediante la ecuaci6n (10.19).
l, lzl : I tambi6n implica que 'r : j[v/(p. + l)] = ja" [ecuaci6n =limplicaguez=d6:costiT+jsenarT=p+jvlecuaci6n(l0.l5ll.
A partir del problema l0.l
(10.17)l.Perolzl En consecuencia
rrrl
Sen
": ilslr+
I
Finalmente, sustituyendo las siguientes identidades trigonomdtricas para semidngulos, en la fltima expresi6n:
,*"(f)*'(T) :*""'
**(f)
*
_..n,(
**(f)*,"n'(
+\:cosoz
+):'
se tlene
,-"(T)*,(T) -looT\ 2coszl |
\.1^
:SI :'*(f) *'(f)
10.13. Para el sistema uniforme y sincr6nicamente muestreado, dado en la figura l0- 10, determine G1Q) tal que el sistema sea del tipo. I con respuesta con transitorio minimo.
sostenimiento de orden cero
Figura
10-10
La transformada z de la malla directa, suponiendo un muestreoficticio de la salida c(t) (vdasela secci6n 6.8), se determina a partir de la ecuaci6n (6.9)
r
G,(,)
:
K{z + zr) +,(''(9)1,_.,) : (z-r)(z-r-')
316
Y
TEORIA Y.-PROBLEMAS.DE RETROALIMENTACION
SISTEMAS DE CONTROL
{
en donde
r, =K(T+ e-r -l) Y zr=t :e-r=re.r I+e'-L = 1y - e-r)/(z * b). Entonces, si tambi€n suponemos un muestreador ficticio en la entrada r(t), puede determinarse la funci6n de transferencia en malla cerrada en el dominio z: Se hace que Gy(z) tenga la forma G1(z)
c
Kr(z + zr)
GtGz
R l+Gtc2 (z-L)(z+r)+
Kr(z+zr)
Kt(z + zr)
z2+(b-l+Kr)z-b*Krz, Paraunarespuestacontransitoriominimob
KFr
:
0).
-l+Kt:O(b:l-Kr)I
-b*Kp1=0(-l+Kr
+
Entonces
I
K,-' I+2,
*
t' b:t - K,: ' 1*2, Puesto
que &:
K(T +
"-' -
t),
Kr= K, 1 ' T+e-r -r -:-----L....-=.: (1+2,)(r+ e-r -r) T(L-e-r) =,
Para este sistema, con seflales continuas de entrada y salida, (C/R) (z), determinado como se muestra arriba, origina la relaci6n entrada-salida en malla cerrada (rnicamente en los tiempos de muestreo.
Problemas suplementarios 10.14. Determine el margen de fase para GH 10.15. Encuentre el ancho de banda
para
GH
:
:
2(s 60/s(s
+
l)/s2.
+
2Xs
10.16. Calcule la ganancia y el margen de fase para GH 10.17. Calculeelmargendefaseyelanchodebanda malla cerrada.
:
+ 6) para el sisterna 4321s(s2
+
l3s
en malla cerrada.
+ ll5).
paraGH:640/s(s+4)(s+ t6)parael
sistemaen
t
r
ANALISIS Y DISENOS DESISTEMAS DECONTROLCON RETROALIMENTACION: OBJETIVOS Y
Respuestas a los problemas suplementarios 10.14. @MF : 65.5'
10.f5.
AB:3rad/s
10.16. Margen de ganancia 10.17.
]
;
METODOS
@MF
:
17", AB
:
:
3.4, margen de fase
5.5 rad/s
:
65o
317
Capftulo
11
I
An6lisis de Nyquist l1.l
Introducci6n
El an6lisis de Nyquist, un m6todo de respuesta de frecuencia, es esencialmente un procedimiento gr6fico para determinar la estabilidad absoluta y relativa de sistemas de control en malla cerrada. La informaci6n acerca de la estabilidad est6 disponible de manera directa a partir de una grilficade la funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta GH(a), unavez que el sistema con retroalimentaci6n ha sido convertido a su forma can6nica. Los m6todos de Nyquist son aplicables a sistemas de control, continuos y discretos, y aqui se presenta el desarrollo metodol6gico del an6lisis de Nyquist para ambos tipos, con cierto 6nfasis en los sistemas continuos, por prop6sitos pedag6gicos. Hay varias razones por las cuales puede elegirse el m6todo de Nyquist para determinar la informaci6n acerca de la estabilidad del sistema. Los m6todos del Capitulo 5 (Routh, Hurwitz, etc.) a menudo son inadecuados porque, con pocas excepciones, ellos s6lo pueden usarse para determinar la estabilidad absoluta, y son aplicables rinicamente a sistemas cuya ecuaci6n caracteristica es un polinomiofinito en.s o en z. Por ejemplo, cuando una sefral se retarda Z segundos en 7'' alguna parte de la malla de un sistema continuo, aparecen t6rminos exponenciales de la forma e * 7" en la ecuaci6n caracterfstica. Los m6todos del Capftulo 5 pueden aplicarse a tales sistemas si e se aproxima mediante unos pocos t6rminos de la serie de potencias
Tzsz
*
T3s3
e-r'-1-Ts* zl --3! *... pero esta t6cnica s6lo produce informaci6n aproximada acercade la estabilidad. El m6todo de Nyquist maneja sistemas con retardos sin la necesidad de aproximaciones, y en consecuencia produce resultados exactos acerca de las estabilidades absoluta y relativa del sistema. Las t6cnicas de Nyquist tambi6n son ftiles para obtener informaci6n referente a las funciones de transferencia de componentes o sistemas a partir de datos experimentales de respuesta de frecuencia. El diagrama polar (secci6n I l 5) puede construirse directamente a partir de las medidas en estado estacionario sinusoidal de los componentes que conforman la funci6n de transferencia en malla abierta. Estg propiedad es muy (rtil en la determinaci6n de las caracter(sticas de estabilidad del sistema cuando las funciones de transferencia de los componentes de la malla no est6n disponibles en forma analitica, o cuando los sistemas fisicos se ensayan y se evalfan experimentalmente. En varias de las siguientes secciones presentamos los fundamentos y las t6cnicas matem6ticas necesarias para generar diagramas polares y diagramas de estabilidad de Nyquist de sistemas de control con retroalimentaci6n, y las bases y propiedades matemeticas del criterio de estabilidad de Nyquist. Las dem6s secciones de este capitulo se relacionan con la interpretaci6n y los usos del an6lisis de Nyquist para la determinaci6n de la estabilidad relativa y la evaluaci6n de la respuesta de frecuencia en malla cerrada. 318
I
t
3t9
ANALISIS DE NYQUIST
11.2 Representaci6n gr6fica de funciones complejas de una variable compleja Una funci6n real de una variable real se grafica fdcilmente en un conjunto sencillo de ejes de coordenadas. Por ejemplo, la funci6n reaf(r), con xreal, se grafica en coordenadas rectangulares con r como la abscisa y/(x) como la ordenada. Una funci6n compleja de una variable compleja, tal como la funci6n de transferencia P(s), con s : o -l jto, no puede graficarse en un conjunto sencillo de coordenadas. La variable compleja s : o * 7'ar depende de dos cantidades independientes, las partes real e imaginaria de s. En consecuencia s no puede graficarse mediante una linea. La funci6n compleja P(s) tambi6n tiene partes real e imaginaria. Esta tampoco puede graficarse en una sola dimensi6n. De manera similar, la variable compleja z : p * 7u y las funciones de transferencia complejas P(z) de sistemas discretos en el tiempo, no pueden graficarse en una dimensi6n. En general, para representar grdficamente P(s) con r : o * jot, se requieren gr6ficas bidimensionales. La primera es una grilfica de jot, en funci6n de o llamada plano s, el mismo conjunto de coordenadas que se utiliz6 para representar los diagramas de polos y ceros en el Capitulo 4. La segunda es la parte imaginaria de P(s). (Im P. Versus la parte real de P(s) (Re P) llamado plano P(s). Los planos de coordenadas correspondientes para sistemas discretos son el
plano z
)
y el plano
P(z).
La correspondencia entre los puntos en los dos planos se llama representaci6n o transformaci6n. Por ejemplo, los puntos en el plano s se transforman en puntos en el plano P(s) mediante la
funci6n P (figura 11.1).
ImP representaci6n ---!
-----';-
P(go)
P(c).plano
Figura
ll-L
En general, solamente un lugar geom6trico de puntos muy espec(fico del plano s (o del plano z) se transforma en el plano P(s) [o en el plano P(z)|. En los diagramas de estabilidad de Nyquist este lugar geom6trico se denomina Trayectoria de Nyquist, y ser6 el tema de la secci6n 11.7. Para el caso especial en que o : O, s : j@,el plano s termina siendo una linea, y Pfar) puede graficarse en un plano PQa) con al como par6metro. En el plano P(7'ar) se construyen diagramas
polares a partir de esta lfnea (s
I
:
j,uo)
en el plano s.
EJEMPLO11.1. Considerelafunci6ncomplejaP(s) = rz + l. Elpuntos0:2+ j4setransformaenel : P(2 + j4) : (2 + jq2 + I : -ll + j 16 (figura 1l-2).
punto P(se)
320
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
ll
Figura
ll.3
ll-2
Definiciones
Las slgutentes dettntclones son necesarias para entender mejor las pr6ximas secciones.
Definicidn
11.1:
Si la derivada de P en so definida mediante
dPl
---t : ds l,=,u
.llm fp(')-P('o)l
r-"u
L
s
- Jo
t
J
existe en todos los puntos de una regi6n del plano s, esto es, si el l(mite es finito y fnico, entonces P es analitica en esa regi6n [se da la misma defini-
ci6n para P(z) en el plano z, remplazando s por z
y
sspor zsl.
Las funciones de transferencia en los sistemas f(sicos prdcticos (aquellos que se consideran en este libro) son analiticas en el plano s finito (o en el plano z finito) excepto en los polos de P(s) [o en los polos de P(z)1. En los desarrollos siguientes, cuando no hay riesgo de ambigiiedad y cuando un enunciado dado se aplica tanto a P(s) como a P(z),6stas pueden abreviarse como P sin argumento.
Definicifin
11.2:
Un punto en el cual P [P(s) o P(z)] no es analftica es un punto singular o una
singularidad de P [P(s) o P(z)]. Un polo de
P [P(s) o P(z)l es un punto
Definici6n
11.3:
singular.
Un contorno cerrado en un plano complejo es una curya continua que comienza y termina en el mismo punto (figura I l-3).
Figura 11-3
t
t
ANALISIS DE NYQUIST
Definici6n
11.42
_
321
Todos los puntos a la derecha de un contorno, el cual se recorre en una direcci6n presc.ita, se dice que estdn encerrados en 6l (figura l l-4).
Figura l1-4
Detinici6n 11.5:
Un recorrido enel sentido de giro de las manecillas del reloj (R*) alrededor
de un contorno se define como direcci6n positiva (figura
it
ll-5).
direcci6n
Figura
Detinici6n 11.6:
11-5
Un contorno cerrado en el plano P se dice que hace n.rodeos positivos del origen si una lfnea radial, dibujada desde el origen hasta un punto en la curva P, gira en el sentido (R) de las manecillas del reloj 360ru grados en una trayectoria completamente cerrada. Si la trayectoria se recorre en la direcci6n contraria a la de las manecillas del reloj (S) se obtiene un rodeo negativo. El ntmero total de rodeos N6 es igual a los rodeos R menos los rodeos S.
I
a
N. del T.: Para designar estos giros, en el idioma espaiol se adopta la nomenclatura empleada de manera univercal en todos los idiomas cuando se hace referenciaala quiralidad delos sistemas; esto es, R, para rectus, equivalente al sentido de giro de las manecillas del reloj, y S, para sinister, equivalente al sentido contrario al de las manecillas del reloj; entre par6ntesis se indica otro modo corriente de referirso a estos giros como horario y antihorario. De otra parte, cabe anotar en este punto que ya algunos fabricantes ofrecen relojes cuyas manecillas giran en sentido contrario al tradicional, y es muy probable que las nuevas generaciones desconozcan el sentido de giro de tales manecillas puesto que cada dia son mds
comunes los relojes digitales.
322
TEORIA
Y
PROBI.EMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
{
EJEMPLO 11.2. El contorno del plano P, en la figura l1-6, rodea el origen una vez. Esto es, Ne : l. Comenzando en el punto a, giramos una linea radial trazada desde el origen hasta el contorno, en la direcci6n R hasta el punto c. El ringulo subtendido es * 27O". De c a d aumenta el i{ngulo, luego disminuye, y la suma total es 0". De d a e y de regreso nuevamente a d, el r4ngulo barrido por la linea radial de nuevo es 0o. De d a c es 0", y de c hasta a es * 90". Por tanto, el 6ngulo total es 27O" * 90' : 360'. En consecuencia
No
: l.
Figura 1l-6
ll.4
Propiedades de las representaciones P(s) o P(z)
Todas las transformaciones P [P(s) o P(z)] que tienen las siguientes propiedades. I
.
lo que resta de este
capftulo
]
P esunafunciiln univaluada. Esto es, todo punto en el plano s (o en el plano z) se transfor-
ma en uno
2. 3.
se consideran en
y
s6lo uno en el plano P.
Los contornos del plano s (y del plano z) evitan los puntos singulares de P. P es analitica excepto posiblemente en un nrimero finito de puntos (singularidades) en el
plano s (o en el plano z).
4. 5. 6.
Todo cort'.omo cerrado en el plano s (o en el plano z) se transforma en otro en el plano P. P es una transformaci6n ccnforme . Esto significa que la direcci6n del 6ngulo y el dngulo en si entre dos curvas cualesquiera que se cortan en su punto de intersecci6n en el plano s (o en el plano ;) se preservan en la transformaci6n de estas curvas en el plano P. La transformaci6n P obedece al prinrrrro O, los argumentoJ. Esto es, el nrtmero total de rodeos Nsdel origen hechos por un contorno cerrado P en el plano P, transformado desde un contorno cerrado en el plano s (o en el plano z), es igual al nfmero de ceros C6 menos €l nitmero de polos Ps de P encerrados por el contorno del plano s (o del plano z). Esto es,
N6
7.
:
Cs
- Ps
(1/.1)
Si el origen estd encerrado por el contorno P, entonces No el contorno P, entonces No < 0. Esto es,
)
0. Si el oigen no estd
encerrado por
encerrado
no
*No > 0 < => No
encerTado
0
El signo de Ns se determina fdcilmente al sombrear la regi6n a la derecha del contorno en la direcci6n prescrita. Si el origen cae en la regi6n sombreada. N6 > 0; si no, N6 s 0.
t
323
ANALISIS DENYQUIST
t
EJEMPLO11.3. Enlafigurall-Tseilustraelprincipiodeffansformaci6nconforme.LascurvasCrlCz se transforman en C' 1 y C' 2. El6ngulo entre las tangentes a estas curvas en se ! P(ss) es igual a c, y las curvas giran a la derecha en s0 y en P(se), como lo indican las flechas en ambas gn4ficas.
|l
Figura l1-7
EJEIIIPLO 11.4. Se sabe que cierta funci6n de transferencia P(s) tiene un cero en la mitad derecha del plano s, y que este cero estii encerrado por el contomo del plano ,t transformado al plano P(s), como se muestra en la figura l1-8. Los puntos rr, rz, s: y P(sr), P(s), P(s3) determinan las.direcciones_de sus respectivos contomos. La regi6n sombreada a la derecha del contomo del plano P(s) indica que N6 = 0, puesto que el origen no se encuentra dentro de la regi6n sombreada. Pero claramente, el contorno P(s) rodea el origen una sola vez en la direcci6n S. Por tanto. No = - | . Asi. 3 nfmero de polos de P(s) encerrados por
el contorno del plano s es P6
:
Co
-
No
: I - (-l):2.
I Figura l1-8
TEORIA
Y
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
SISTEMAS DE CONTROL
11.5 Diagramas polares
I
Una funci6n de transferencia P(s) en un sistema continuo puede representarse en el dominio de la frecuencia como una funci6n de transferencia sinusoidal al sustituir s porj
siguientes formas equivalentes:
Forma polar: Forma de Euler:
p(j,n): lp(.r') l/+(") P( ja): lr(,r") l(cosq(r^r) +7senS(or))
lPQa)l es la magnitud de la funci6n compleja pAa),
y gQa)
(il.2)
ur3)
es su dngulo de fase,
arg PQco)
lPQo)l cos @(ar) es la parte real,
y
lpQo)r sen @(ar) es la parte imaginaria
de
P(7ro). Por consiguiente P(7ar) tambi6n puede escribirse como
Forma rectangular o
compteja: P(jr): Rep(jol) +7Im
p(
j")
(r r .4)
J
Un diagrama polar de PQa) es una representaci6n gr6fica de tm P(7ar) en funci6n de Re PQa) en la parte finita del plano PQo) para -@ 1a 1oo. En los puntos singulares de pQal (los polos en el eje jroo), lPQo)l + oo. Un diagrama polar tambidn puede generarse sobre un papel de coordenadas polares. La magnitud y el 5ngulo de fase de PQa) se grafican variando a ar
desde
-:o
hasta
+
oo,
El lugar geom6trico de P(ja) es id6ntico en cualquiera de las coordenadas rectangulares o polares. La elecci6n del sistema de coordenadas puede depender de si P(71) estd disponible en forma analitica o en datos experimentales. Si Pfar) est6 expresada analiticamente, la elecci6n de Ias coordenadas depende de si es m6s fdcil escribir PQa) en la forma de la ecuaci6n (t I .2), en cuyo caso se utilizan coordenadas polares, o en la forma de la ecuaci6n (l I .4) paracoordenadas rectangulares. A menudo los datos experimentales de P(7ar) se expresan en t6rminos de la magnitud y del dngulo de fase. En este caso, la elecci6n natural es coordenadas polares. EJEMPLO 11.5. Los diagramas polares en la figura sistemas de coordenadas.
ll-9
son id6nticos; solamente son diferentes los
Para sistemas discretos en el tiempo,los diagramas polares se definen de la misma manera en el dominio de la frecuencia. Recordemos que puede escribirse z dr (vdase la secci6n 4.9). Por = consiguiente, una funci6n de transferencia discreta P(z) : p(e"r) y, si hacemos s : j@, p(z) se
convierte en P@id\. El diagrama polar de p@i-1es una grfuficade Im p@ie1en funci6n de Re P@idS en la parte finita del plano P@ie) para -@ 1 o 1 a. En las secciones subsiguientes analizamos los diagramas polares, sus propiedades, y muchos resultados que dependen de 6stas, de una manera unificada, para los sistemas de control, continuos y discretos en el tiempo. Para hacer esto, adoptamos para nuestra funci6n de transferencia
l}
??5
ANALISIS DENYQUIST
|}
Im P(fto)
coordenadas polar€s coordenadas
a'\
i'nFtr'.ii-\
\
i\
ne P$.ro
8e
\t".1
P(irl
$=2700 P(ior)
=
ReP(iq)
*
r ImP(rrro)
P(1:er)
= lP(lr)l/O(r)
Figura l1-9 general P la representaci6n unificada de las funciones de respuesta de frecuencia que se da en la ecuaci6n (10.1) para GfiI, esto es, usamos la representaci6n gen6rica P(ar) definida mediante
;
P(,):
para sistemas continuos
{ii::,,
para sistemas discretos
En estos t6rminos, las ecuaciones (I L2) a la (I 1.4) se convierten
P(") : lp(")
l/
o|ro).:
lr(")
l(cos p(or)
+jseno(ar))
:
en
ReP(o) +7Im P(o)
Usamos esta notaci6n unificada en la mayor parte de lo que resta de este capitulo y en los siguientes, particularmente en donde los resultados son aplicables a ambos sistemas.
11.6 Propiedades de los diagramas polares Las siguientes son varias propiedades PQi"n71.
l. El diagrama
ftiles de los diagramas polares de P(a)[PQa) o
polar para
P(ot) + a
;
2.
en donde a es cualquier constante compleja, es-id6ntico al diagrama para P(ar) con el origen de coordenadas desplazado al punto -o : -(Re a + j Im a).
El diagrama polar de la funci6n de transferencia en un sistema lineal invariable en el tiempo exhibe simetria conjugada. Esto es, la gr6fica pura -e I a 10 es la imagen especirlar alrededor del eje horizontal de la gnifica'para 0 < @ < e.
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACTON
y
STSTEMAS
DE
CONTROL t
3.
4.
El diagrama polar puede construirse directamente a partir de un diagrama de Bode (Capi tulo l5), si 6ste se encuentra disponible. Los valores de la magnitud y del dngulo de fase a diferentes frecuencias ar en el diagrama de Bode representan puntos en el lugar geom6tricos del diagrama polar. Los incrementos constantes de frecuencia generalmente no se encuentran separados por intervalos iguales en el diagrama polar.
:
EJEMPLO 11.6.
:
Para a I y P GH, el diagrama polar de la funci6n diagrama para GH, con el origen de coordenadas desplazado al punto I *
-
(figura 1l-10).
Im
[1
+
| + GH estA representado por el p en coordenadas rectangirlares
GII]f
Re [1+ GIr]
Figura
{t
11-10
EJEMPLO 11.7. Para ilustrar la representaci6n gnifica de funciones de transferencia, considere la funci6n de transferencia del sistema continuo en malla abierta
I GIr(s)-r+1 Haciendo s
:
i@ y escribiendo de nuevo GH(jto) en la forma de la ecuaci6n
GH(
11 jo)::---.. + I yfr;T .1'r.r
-
(//.2)
(forma polar), tenemos
tan- I ro
Parao=O,a-lya+a GH( jo) -L/0"
rin
Grr( jr)
: (rt,/,\/
cl{7t.l)
:o/_-*
-qs"
|r
327
ANALISIS DE NYQUIST
t
La sustituci6n de algunos otros valores positivos de ar producen un lugar geom6trico semicircular para 0 = < a. La griifica paft -c ( a.r { 0 es la imagen especular alrededor del dii4metro de este semicfrculoEste se muestra en la figura 11-11 mediante una linea de guiones. Note los incrementos de frecuencia marcadamente desiguales entre los arcos ab y bc
@
d=900
,--*---a
\ @
\ =01
O=0o
/6,>(
I
,/qr)/
o=l Fnlotl = -L d = -900
6(o)
voz+1 = -1s1-t '
Figura l1-11
Los diagramas polares no son muy dificiles de dibujar para funciones de transferencia muy simples, aunque usualmente son un poco m6s diffciles de determinar para sistemas discretos, como se ilustra en el ejemplo I l.l I . Pero los c6lculos para P(s) o P(z) complicadas pueden ser muy dispendiosos. De otra parte, pueden generarse, de manera m6s conveniente, diagramas polares exactos mediante programas de computador ampliamente difundidos para an6lisis de respuesta de frecuencia, o, de modo mds general, para representar gr6ficas de funciones complejas de una variable compleja.
ll.7 La trayectoria
It
de Nyquist
En sistemas continuos, la trayectoria de Nyquist es un contorno celrado en el plano s, que encierra toda la mitad derecha del plano s (MDP). En sistemas discretos, la correspondiente trayectoria de Nyquist encierra la totalidad del plano z por fuera del circulo unitario. En sistemas continuos, para que la trayectoria de Nyquist no pase por ningrin polo de P(s), se requieren pequeflos semicirculos en la trayectoria del eje imaginario o en el origen de P(s), si P(s) tiene polos sobre el eje jo o en el origen. Los radios p de estos pequefros cfrculos se interpretan
en el limite como aproxim6ndose a cero.
328
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
rl
Para encerrar la MDP en el infinito, y de este modo cualquier polo en el interior de la MDP, se dibuja una trayectoria semicircular grande en la MDP, y el radio R de este semicfrculo se interpre-
ta en el lfmite como infinito. El contorno del plano s en la figura I 1 - I 2 ilustra la trayectoria generalizada de Nyquist en el planos. Es evidente que todo polo y todo cero de P(s) en la MDP estdn encerrados por la trayectoria de Nyquist cuando se transforman al plano P(s).
t6
il jro b
polos posibles de P(s) (
t
-p\
p'|anoS
\
.p etA
\
o
I
Figura
11-12
Las diferentes partes de la trayectoria de Nyquist pueden describirse analiticamente de la siguiente manera.
TrayectoriaA:
.t
Trayectoria bc:
s:
=/&) lim^
P4u
Trayectoria
Z:
s
Trayectoria
1-ef :
s:
Trayectoria
fs:
s:j@
Trayectoria gh:
Trayectoria hi:
::-
Trayectoria ua:
( j,l,o+ pejo)
:,/(,)
s:
lim Rerc R-o
P+u
J:,1(^)
P-0
UI.5)
-900
(r r.6)
oo
(11.7)
+90o
lim^(-fro + peio)
s: lim
0
pela
QI.g)
-90"
(tt.to)
-oo
(|I.tI) (I
I.t2)
f
329
ANALISIS DE NYQUIST
l
En la figura I I - I 3 se presenta !a trayectoria generalizada de Nyquist en el plano z. Todo polo y todo cero de P(z) por fuera del circulo unitario est6n encerrados por la trayectoria de Nyquist cuando se transforman al plano P(z). Al recorrer el cfrculo unitario como una funci6n de frecuencia angular rrr creciente, cualquier pol o de P(z) sobre el circulo unitario que pueda incluir "integradores"enz: I (correspondientesaz =so'r - l cuandos:0),seexcluyenmediantearcos circulares infinitesimales. Por ejemplo, en la figura I I - I 3 se muestra un par de polos conjugados complejos sobre el cfrculo unitario, excluidos mediante arcos de radio p --+ 0. El resto del plano z por fuera del c(rculo unitario est6 encerrado por el circulo grande de radio R -+ oo como se muestra
en la figura ll-13. polos posibles de P(z) sobre el circulo unitario
J
,:
o,
a
Figura ll-13
I
El circulo unitario en el plano z tiene una caracter(stica pr6ctica no comirartida por la trayectoria de Nyquist en el plano s, la cual facilita la elaboraci6n de diagramas polares, a la vez que genera otras consecuencias en el diseflo de sistemas digitales. Definimos primero la frecuencia angular de muestreo a, : ZtrlT (radianes por unidad de tiempo). La ventaja es que el circulo unitario se repite en cada frecuencia angular de muestreo ar" a medida que a,r aumenta' Esto se muestra en la figura 11-14 (a),la cual ilustra que la parte del eje ja en,el plano r entre -io"l2 y * j
330
TEORIA
Y
PROELEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
inferior del cfrculo unitario en coordenadas polares, desde -180'(-a'radianes) hasta
I
0'(0
radianes) [figura 1l-l4b)1.
plano z
plano s
\a)
2r -t
/ radianes\|
I \ tiempo /
t
-
g(oo) lanes
t./
(h\
+:27o" o -90" Q:270" -90o
Figura ll-14
ff.8 El diagrama
de estabilidad de Nyquist
El diagrama de estabilidad de Nyquist, una extensi6n del diagrama polar, es una transformaci6n de todalatrayectoria de Nyquist en el plano P. Se construye utilizando las propiedades de las transformaciones tratadas en las secciones I I .4 y 11.6, y, para los sistemas continuos, las ecuaciones (1/.5) ala(1 1 .8) y la ecuaci6n (l 1 .12). Un bosquejo dibujado cuidadosamente es suficien-
te para la mayor parte de los prop6sitos. En los siguientes pasos se esboza un procedimiento general de construcci6n para los sistemas
continuos.
l: Paso 2: Paso
Verifique los polos de P(s) sobre
el
eje
ja y en el ongen.
Utilizando las ecuaciones (11.5) a la (l I .7), haga un bosquejo de la imagen de la trayectoria d en el plano P(s). S i no hay polos sobre el eje ja , no necesita emplear laecuaci6n (l I .6). Enestecaso, el paso 2 debe leerse: hagaun bosquejo del diagrama polar de PQo).
*
331
ANALISIS DENYQUIST
l Paso
3:
Dibuje la imagen especular cerca del eje real Re P_del bosquejo resultante del paso 2. Esta es la transformaci6n de la trayectoia ft
Paso
4:
Utilice la ecuaci6n (/ / .8) para graficar la imagen de la trayecto Aa def . Esta trayectoria en el infinito usualmente representa un punto en el plano P(s).
5: Paso 6:
Paso
Emplee la ecuaci6n (l I .t2) para graficar la imagen de la trayecto"u iio. Conecte todas las curyas dibujadas en los pasos anteriores. Tenga en cuenta que la imagen de un contorno cerrado es, cerrada. La propiedad de transformaci6n conforme de la representaci6n ayuda a determinar la imagen en el plano P(s) de los 6ngu-
los de esquina de los semicirculos en la trayectoria de Nyquist. El procedimiento es similar para sistemas discretos en el tiempo., utilizando a cambio la trayectoria de Nyquist dada en la figura I l-13, como se ilustra en el ejemplo I l.l I y en los problemas I I .65
al
11.72.
11.9 Diagramas
de estabilidad de Nyquist de sistemas pr6cticos de control con
retroalimen'
taci6n
I
Para el an6lisis de estabilidad de Nyquist en sistemas de control lineales con retroalimentaci6n, P(ar) es igual a la funci6n de transferencia en malla abierta GH(o). Los sistemas de control m6s comunes encontrados en la pr6ctica son los clasificados como de los tipos 0,1,2,. '., / (Capitulo
e). EJEMPLO 11.8. Sistema continuo del tipo 0 L
Gn(s):r+1 no ttene polos en el origen. Este sistema particular no tiene polos en se presenta la trayectoria de Nyquist.
Por definici6n , un sistema del tipo 0
el ejey'ar. En la figura
ll-15
o=900
o=-1
/-j
t
or==€
r.r=1
Figura
t
11-15
Figura 1l-16
El diagrama polar para esta funci6n de transferencia de malla se construy6 en el ejemplo I1.7 y se muestra en la figura I l-16. Este diagrama es la imagen del eje ja, o :trayecto/lafu de la trayectoria de Nyquist, en el plano GH(s). La trayectoria semicircular d-ef en el infinito se transforma en el plano GH(s) de la siguiente manera. La ecuaci6n (11.8) implica la sustituci6n de s = limn- *Rei0 en la expresi6n para Gll(s), en donde 90' < 0 < -90". En consecuencia
332
TEORIA
Y
GH(s)l our""..; r
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
A-
GH(a1
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
:ilfo,-'
Mediante las propiedades elementales de los limites,
Grl(o):^l1t"hl Pero, puesto que ld
+ bl > llal -
lDll, entonces
lcn(o)l-
I r l ^L.
|
*4Tl = *h
tl\
:o
(
^_,
J
y el semicfrculo infinito se representa por un punto en el origen. Por supuesto este cdlculo fue innecesario para este ejemplo simple porque el diagrama polar pnoduce un contorno completamenk cerrado en el plano GII(s). De hecho, los diagramas polares de todos los sistemas det tipo 0 presentan esta propiedad. El diagrama de estabilidad de Nyquist es una rEplica del diagrama polar con los ejes renombrados, como se presenta en la figura I l-17.
t
lmGH
/\/---\ /tt
GII(0) =
GH(ol
Re
1
Gf
Figura 1l-17 EJEMPLO 11.9. Sistema continuo del tipo
I
Ga(s) Hay un polo en el origen. En la figura La trayectoria
ffi. s : jot
cH
para
-
ll-18
1
I'*rt se presenta la trayectoria de Nyquist;
0 I o < a, y
(i@):tdtt
:;ft7/
-n"-,^-',
t
JJJ
ANALISIS DE NYQUIST
f,
En los valores extremos de
oo tenemos
nmGH(irl:q/-w
[n @16
clr( jo)
:0/ / -180"
Amedidaque(l)aumentaenelintervalo0{ar(o, lamagnituddeGHdisminuyedeooa0yel
6ngulo
-90o hasta - I 80'. Por tanto el contorno no atraviesa el eje real negativo, sino que se aproxima a 6ste desde abajo, como se muestra en la figura ll-19.
de fase disminuye de manera estacionaria desde
t
Figura ll-18
ir-
Im GII
\
\
\ dt r Q'r
f'
/
Figura 11-19
\
i'
I
Figura 11-20
77. Puesto que los origen, claramente 6ste es la imagen de la trayectorialS. en consecuencia se hace innecesaria la aplicaci6n de la ecuaci6n (//.8). La trayectoria i", t = lim o-opeio para - 90o < d < So, y La trayectoriaf? es la imagen especular alrededor de Re GH, de la trayectoria
puntos
il
d'
y/
se encuentran en el
)y;cn(oen)
:,tq
: ICE*,,] ;3;t#] - @
e-ie
:
*/ -0
334
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
* l) +l cuandop+0. Por tanto la trayectoria qa se transforma en un semicirculo de radio infinito. Para el punto i, GH : * /9}";para el punto j, GH : * / tr; y para el punto d, GH : a /-gO".El diagrama de estabilidad de Nyquist que resulta se presenta en la endondehemosutilizadoelhecho
dequeQxiq
figura l l-20.
La trayectoria i'i'a' tambien se podria haber determinado de la siguiente manera. La trayectoria de Nyquist hace un giro de 90'a la derecha en el punto i; por tanto, por transformaci6n conforme, debe hacer un giro de 90'a la derecha en i en el plano GH(s).[-n mismo va para el punto a'. Puesto que tanto i' como a' son puntos en el infinito. y puesto que el diagrama de estabilidad de Nyquist debe ser un contomo cerrado, el punto i' se debe unir al a' mediante un semicirculo de radio infinito en el sentido horario.
Sistemas continuos del tipo
/
El diagrama de estabilidad de Nyquist de un sistema del tipo / incluye / semicirculos infinitos
en su trayectoria. Hay 180/ grados en el arco que conecta al infinito del plano GH(s). EJEMPLO 11.10. El sistema del tioo 3 con
I GH(s):Rs+1) tiene tres semicfrculos infinitos en su diagrama de estabilidad de Nyquist (figura ll-21)
t
Im GH
/
J
\
I
rt \\
\
I
Re
\\
GII
\,
\\ \
--+' -Jt
Figura
11-21
Sistemas discretos en el tiempo Los diagramas de estabilidad de Nyquist en sistemas discretos en el tiempo se dibujan de la misma manera que los anteriores, la fnica diferencia es que las trayectorias de Nyquist se presen-
tan como en la figura
ll-13 en lugar
de como se muestran en la figura
EJEMPLO 11.11. Considere el sistema de control digital del tipo malla abierta.
I
ll-12.
con la funci6n de transferencia en
t
335
ANALISIS DE NYQUIST
f del circulo unitario del plano z en El diagrama polar deGH se determina primero transforrnando la mitad inferior que se ilustra en la figura 11-14 b) ' la transformaci6n de ayuda con el plano CH . Ellose logra rdpidamente 0' (o desde -a'hasta 0 es decir, evaluamos GH 1ej;Tpparavalores crecientes de arT, desde -180'hasta
radianes). Para valores determinados de
K y T, por ejemplo, K
=
1
y T : l'
L/4
K/4
GH(ei-r): (ei'r-l)(et't-1
(e/" - l)( e'- - i)
para los cdlculos realizados manualmente, resulta 6til emplear una combinaci6n de la forma polar, la forma cos de Euler y la forma compleja al evaluar G H@i';\ a diferentes valores de ar, porque si"tr /llaT(rad) tad (-180), tenemos (toT + sen (a.'7) Re(erd) + Im(ei6). En
:
:
j
a : -r
j
or(r/:t*):
GH(e-t'1:
t
0.25
0.25
(-1+j0- rx -1 +j0 :o.o$i:0" Entonces, en
a:
:
+)
2'70".
GH(eit'tz1
:
GH(e-i'/z)
:
0.25 :CFIX:FT: 2(0.2s)
fio
/
tso'
-
0.25
'-1,+i1'
ru,-'(z) :o.rss/-J08.4"
De manera similar, encontramos que CH(ei21 no existe, p".o[m4-169"GH(eJe):lim"-OGI{e/')
: */g0". para
-mpletar el esquema
de esta mitad del diagrama polar,
cuantosvaloresm6sdear.F6cilmenteen"ontrurnorbHls-lzr
/
*
127"
, y GHk-i
n
t t1
:
GH(er1en algunos
:l5g /%.5",GH(e-l- / l2):1.8
-necesitamos,evaluar t0oo1
g.17g / L59" ' El resultado se representa por la curva de guiones de a' hasta b' en la
f,g"* ti-22,'quee. lat.ansforriti6i-deahastabdelafigurall-l3.Laparterestantedeldiagramapolar, hastab' paraa) :0 hasta 77., esto es, desde g' hasta a' enlafigura I l-22, es la imagen especular de a'
g' hasta a" se ha alrededor del eje real, mediante la propiedad 2 dela secci6n 11.6. Esta parte, desde positivos de a,O 1
336
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENITACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
{ Im GIl b'
I
I
I
I \
\\ 0.6 0.4 0.2
Re
GII
diagrama polar
para0
t Figura 1l-22 EI diagrama de estabilidad de Nyquist se determina al completar la proyecci6n de la figura I l-13 para los segmentos b a c, c a d, d a e, y f a g, en el plano GH . lJtilizando las propiedades de las transformaciones dc Ia secci6n | | .4, y calculando los lfmites, GH@i\ da una vuetta a la derecha en D' desde X)o hasta
* / * g,, /0" "n / -9f." en utilEilndo las operacionesdelimitesparalosradiospyRenlafigurall-l3.porejemplo, lim;-6 GH(z:l+pd\ para -90o a0r. o", proporcionalatransformaci6ndelarcodesdeDhastacenlafigura ll-l3,enelarco dcsde D'1r /n\ hasta c' 1* /g"y en la figura ll-22. - /
O" en
c',
luego hasta 0
d' y en e',! a/0" en/
hasra
ll.l0 El criterio de estabilidad de Nyquist lJn sistema de control continuolinealen malla cerrada es absolutamente estable si las rafces de la ecuaci6n caracteristica tienen partes reales negativas (secci6n 5.2). O lo que es equivalente, los
polos de la funci6n de transferencia en malla cerrada, o los ceros del denominador, 1 * GII(s), de la funci6n de transferencia en malla cerrada, deben estar en la mitad izquierda del plano (MIp). Para sistemas continuos, el criterio de estabilidad de Nyquist establece de manera directa mediante el diagrama de estabilidad de Nyquist de G/{s), el nfmero de ceros de I GH(s) en la MDp. Para sistemas de control discretos en el tiempo, el criterio de estabilidad de Nyquist establece el
*
ntimero de ceros de 1 + GH(z) porfuera del circulo unitario del plano z, la regi6n de inestabilidad para sistemas discretos. El criterio de estabilidad de Nyquist para cualquier clase de sistemas, continuos o discretos, puede definirse como sigue.
*
337
ANALISIS DENYQUIST
I
Criterio de estabilidad de Nyquist El sistema de control en malla cerrada cuya funci6n de ffansferencia en malla abierta estable si y s6lo si
es
GH, es
(tr.r3)
N:-Po<0 en donde
Po= N
1
{(
nrtmero de polos (= O) Oe GH en la MDP para sistemas continuos n(rmerodepolos (=O)deGI/porfueradelcfrculounitario(delplano z)parasistemas discretos
nfmero total de rodeos R (horarios) del punto (continuo o discreto).
=
(- i, 0) (es decir, GH : -l)
enel plano
GII
|*
GH en la MDP para sistemas continuos, o por fuera del c{rculo unitario para sistemas discretos, se determina mediante Si N
>
O,
el nrtmero de ceros Cs de
*
(11.14)
Cs:N*Pe
Si N < 0, el punto (-1, 0) no se encuentra encerrado por el diagrama de estabilidad de Nyquist. En consecuencia N s 0 si la regi6n a la derecha del contorno en la direcci6n prescrita no incluye el punto (- 1 , 0)" El sombreado de esta regi6n ayuda de manera significativa a determinar
siN<0ono.
< 0y Po : 0, el sisternaes absolutamente estable, si y s6lo siN punto (-1, 0) no se encuentra en la regi6n sombreada. Si N
:
0; esto es, si y s6lo si el
EJEMPLO11.12. Enelejemploll.gsedetermin6eldiagramadeestabilidaddeNyquistparaGil(s): l/s(s * 1), y se presenta en la figura ll-23. Se ha sombreado la reli6n de la derecha del contorno.
Claramente el punto (-1, q) no est6 en la regi6n sombreada; en consecuencia, no est6 encerrada por el contorno, asi que N < 0. Los polos de GH(s) estr4n en s 0 y s - I , ninguno de los cuales se encuentra en
la MDP; por tanto Po :
y el
:
0. Asi
:
N:-Po:0
sistema es absolutamente estable.
] Figura 1l-23
Figura 11-24
338
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
EJEMPLO11.13. Enlafigurall-24sepresentaeldiagramadeestabilidaddeNyquistparal/s(s-l).Se ha sombreado la regi6n a la derecha del contorno, y el punto
(- l, 0) estil encerrado; entonces N > 0. (Es
claroqueN: l')LospolosdeGl/estiinens:0ys: +l,yel filtimopoloestiienlaMDP.portantopo:1.
N + -Po indica que el sistema es inestable. A partir de la ecuaci6n (lt.I4)
tenemos
Co:N+Po:2 ceros de
| +
GH en la MDP.
EJEMPLO 11.14. En el ejemplo I I .l I se determin6 el diagrama de estabilidad de Nyquist para la funci6n de transferencia discreta en el tiempo en malla abierta
GH(z):
K/4
(z*t)(z*0.5)
yserepiteenlafigura ll-25paraK: l. Sehasombreadolaregi6naladerechadel contomo,yel punto(-1, : I . Asi, N = 0, y a partir de la ecuaci6n (l I . I 3) no hay polos por fuera del
0) no estii encerrado para K
circulo unitario del plano z, esto es, Po
:
0. Por tanto, N
: - Po -- 0, y en consecuencia
el sistema es estable.
*
diagrama polar
para0
Figura
11-25
11.11 Estabilidad relativa
Los resultados de esta secci6n y de Ia siguiente se establecen en t6rminos de GH(a), para
sistemas continuos IGH(jo)]
o para
sistemas discretos
[Gnpi";ry.
*
t
339
ANALISIS DENYQUIST
La estabilidad relativa de un sistemade control con retroalimentaci6n se determina f6cilmente
a partir del diagrama de estabilidad polar o de Nyquist.
La frecuencia de cruce de fase (angular) ar- es aquella a la cual el dngulo de fase de GH(a) es - 180", es decir, la frecuencia a la que el diagrama polar cruza el eje real negativo. El margen de ganancia est6 dado por margen de ganancia
Estas cantidades se ilustran en
:
IGH(a")l
la figura ll-26.
\
*
Figura
ll-zl Figura lrgura 11-27
11-26
La frecuencia de cruce de ganancia ar1 es aquella a la cual IGH(ot)l: 1. El margen de fase drran es el 6ngulo por el cual debe rotarse el diagrama polar para hacer que pase por el punto (-1, 0). Este se encuentra dado Por dr,ar
: [80 + argGH(1o)]
Estas cantidades se ilustran en
grados
la figuta ll-27.
11.12 Los circulos M y N* La respuesta de frecuencia en malla cerrada de un sistema de control con retroalimentaci6n unitaria esta dada por
c : c(,) : | c(,) | / -,'1R"rc/R)G\ f lm(c7nX") I ;(co) 1 + c(") lTlZ6l/ '* l {t
ur.ls)
* Las fetras M y N, que en esta secci6n se usan como simbolos para los circulos M y N, no son iguales y no deben confundirse con lavariable manipuladaM -- M(s) definidaenel Capitulo 2, ni con el ndmeroderodeosNdel punto (- I,0) de la secci6n I 1.10. Es infortunado que se utilicen los mismos sfmbolos para representar mds de una cantidad. Pero, en virtud de ser consistentes con la mayor parte de los dem6s textos de sistemas de control, hemos mantenido la terminologia de la literatura cldsica. v ahora lo hemos aclarado al lector.
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
Las caracteristicas de la magnrtud y del 6ngulo de fase de la respuesta de frecuencia en malla cerrada de un sistema de control con retroalimentaci6n unitaria pueden determinarse de manera directa a partirdel diagrama polar de G(
, =l o(",) ,
I
It+c(
N:
(r
r.r6)
Im(c/RXar) Re(c7R)(
(r 1.17)
La intersecci6n del diagrama polar con un circulo M especffico produce el valor de M a la frecuencia o de G(a) en el punto de intersecci6n. La intersecci6n del diagrama polar con un circulo N determinado produce el valor de N a la frecuencia co de GQo) en el punto de intersecci6n. Puede dibujarse filcilmente M en funci6n de ar y N en funci6n de ar a partir de esos puntos.
t
En la figura I l-28 se sobreponen varios circulos M en un diagrama polar tfpico en el plano
G(a).
f Figura 11-28
ANALISIS DE NYQUIST
341
I El radio de un cfrculo
M
estd dado por
radio der circulo
El centro de un circulo
M
, -l#-l
t
rr.rs)
siempre estd en el eje Re G(
,:(ffi,r)
centro del cfrcuto
(1r.re)
El pico de resonancia M oestd dado por el mayor valor de M del (de los) cfrculo(s) M tangente(s) al diagrama polar. (Puede haber m6s de una tangencia). La relaci6n de amortiguamiento f en un sistema continuo de segundo orden con O < { < 0.707 estd relacionada con Mo por medio de
Mo:
*
1
2l,lr
(r r.20)
- ('
En la figura I I -29 se muestran varios circulos N superpuestos en un diagrama polar. El radio
de un cfrculo N est6 dado por
radio del cfrculo
N:
lT tt\' Va*l*/
(r r.21)
ImG
+N
riF-i
*# (-2
\
I
\
1
\
fE * _N
I
/-z \ /*
{ Figura 11-29
Re G
342
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
El centro de un cfrculoNsiempre cae sobre la linea Re G(ar)
por
centro del circulo
: -
SISTEMAS DE CONTROL
{ *. El punto del centro est6 dado
N:(-1^f 2'2N
\
Y
)
(r 1.22)
I
Problemas resueltos Funciones complejas de una variable compleja
11.1. ;Cu6les
son los valores de P(s)
:
l/(s2
+ l)
para
st
:
2, sz :
j4,y r: : 2 + j4? 1
G
::::=-:/
rLg"
1
11.2.
*
v--Lz4.o'
re.4/ '
/ter.-t(to/-tr) :0.0514/' -rus" : -0.0514/'5!.4' : /1tt;'+
1
+ro
Qe)2
-0.0292_j0.u23
Transforme el eje imaginario del plano s al plano P(s), utilizando la funci6n de transfor-
maci6n P(s)
:
"2.
ja, - @ < @ ( o. En consecuencia p(ja) : (icr), : ,A,hora, cuando ar no, P(jo) ) -@ (o si lo prefiere, -al;. Cuando a + * *, p(ja) -ar2. + _&, y cuando a: O, P(70) : 0. Asf, a medida que jar aumenta en el eje negativo imaginario desde -jo hacia j0, pQat) aumenta en el eje real negativo desde -o hasta 0. Cuando jro aumenta desde p hasta + 7oo, Tenemos s =
P(jar) disminuye de nuevo hasta -oo, en el eje real negativo. La transformaci6n siguiente manera (figura ll-30):
se representa de
la
* Figura 11.30
343
ANALISIS DENYQUIST
l
Realmente las dos lfneas en el plano P(7'r.r) est6n superpuestas, pero aqu(, para mayor claridad,
se muestran separadas.
11.3.
Transforme la regi6n rectangular del plano s, delimitada por las lfneas ar a : I y c : 2, al plano P(s) utilizando la transformaci6n P(s) : s
: 0, o : 0, + | - i2.
Tenemos
: (o + I) - j2 P(i"):L +i(u -2)
ar:0: o:0:
P(o+fl)-(o+1)-/1
or-l: o:2:
P(o)
P(2+7o):3 +i(ot-2)
varta en todo el intervalo de los nrimeros reales (-o < o 1 @) sobre la linea * l en P(o): (o + l) -j2.En consecuencia, ar:0setransformaen la linea -j2enel plano P(s). De modo similar, o : 0 se transforma en la linea P(s) : l,to : I se Puesto que
ar:0,
o
tambi6nlohaceo
transformaenlalineaP(s):
-jl,ya:2enlalineaP(s):3.Enlafigura11-3lseilustrala
transformaci6n resultante.
t
Figura
11-31
Este tipo de representaci6n se llama ransforrhaci6n por traslaci6n. N6tese que 6sta seria exaccr "l'ar se remplazara por z tamente la misma si s tL + jv en este ejemplo.
:
:
*
11.4, Halle la derivada de P(s)
:
s2 en los puntos
r:
so Y so
: l.
dPl :liml .. .,_ [P(') -P(so)l -. f --;-t l:linl---l:lim(s+so):2s6 "-'o'l 61":"o s-so[ $-so I
En ss
: I
tenemos (dPlds)l
Funciones analiticas
11.5. iP(s) :
*
y
"-"oLJ-sol
,=r -- 2. De modo
"-"o
similar, si P(z)
:
22, (dPtdz)t
,=t:2.
singularidades
st es una funci6n analftica en alguna regi6n del plano s? Si lo es, 1,en cudl regi6n?
Del problema anterior (dP/ds)1"-"^:2so. De donde s2 es analitica dondequiera que 2se sea s2 es analitica en toda la regi6n finita del plano s. Tales funciones a menudo se llaman funciones completas. Igualmente zz es analitica en toda la regi6n finita del plano z.
finita (definici6n I l. | ). De esta maneia
344
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
11.6. aP(s) : l/s es analitica en alguna regi6n del plano
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
s?
dPl _uml .. I r/'- r/so1 -. [ -(r -'o) I -l _;l l_xml_-_______rl:_ dr1"-"o r-so J "-.Ioo(r-ro)l "*.I se'?
Esta derivada es fnica y finita para todo se * 0. De tal manera que l/s es analitica en todos los puntosdel plano, exceptoenel origen, s: ro:0. Elpuntos :0es unasingularidad(polo) de l/s. Existen otras singularidades diferentes de los polos, pero no en las funciones de transferencia de los componentes de los sistemas de control ordinarios.
11.7. iP(s) :
lsl2 es anal(tica en alguna regi6n del plano s?
Primero hacemos s
|
: o * ja,
so
:
oo
i
jato. Entonces
.. rrin
lo + jolz - lob +robl' I Il:--------l---dr l.:"o (s-sot*ol(o+j<.r) -(oo+fq)-t l (o - oo)(o + q) + (3 "tX' lim [ (o - q) +f(, - q) t(o-oo)+i(o-oo)t-o [
dP
--l-r
+
"b) I
*
I
Si existe el limite, 6ste debe ser rinico y no debe depender de c6mo se aproxime r it s6, o de manera equivalente c6mo [(o - o) + j(at - aro)] se aproxime a cero. Asi que, primero, hagamos que r -+ r0 a lo largo del eje 7ao y obtenemos
dPl [ (" - otX, + ro) ] lim l--;7---\;ids l":"o: -. t: r( ot - at) ] ?:f"" I Ahora, hagamos que
r+
-Jz.Dou
ro o lo largo del eje o; es decir,
dPl
I rm [(o-sxo+%) . | : ,, I l:2o^ 61"-"o o-% I l:x3t
De donde no existe el lfmite para valores arbitarios diferentes de cero de o6 y ab, y en consecuencia lsl? no es analitica en parte alguna del plano s excepto posiblemente en el origen. Cuando so 0,
:
Entonces,
11.8.
dPl .. [(o+7'a,)(o-l0r)] -;l - ,._ tlm [Fl'-ol l 61"-o "*o[ s J "*o[ o*ju I P(s) : lsl2 es analitica rinicamente en el origen, s = 0.
Si P(s) es analitica en Jo, demuestre que debe ser continua en ss. Es decir, demuesffe que
lim ,-"oP(s) Puesto
que
:
P(so).
r(r) -
p(so)
:
P(s) - P(so)
I" - "J
i) '(s -
so)
345
ANALISIS DE NYQUIST
t
paras+s6,€ntonCOS
Ir(')-P(")I Iin (s-so) :
lim IP(r)-P(so)]: " s+so "T"t(;=t-l
[#1"_",1
r-t
porqte (dPlds)|":". existe por hip6tesis [es decir, P(s) es analitica]. Por tanto
lim IP(s)
s+so
11.9.
- r(so)] :
lin P(s) : P(ro)
o
r+JO
ans' I an-tsn- l + ... * ars * = c6,endondean*0,nesunenteropositivollamadogradodelpolinomio, !as,d1,...,a, Las funciones polin6micas se definen mediante QG)
son constantes. Demuestre que Q(s) es analftica en toda regi6n limitada (finita) del plano s.
Primero consideremos s':
+
d- -t : fi. fs'-sfrl ;[r"]l | - i Il: 6 ls-ss s+sol r-Jb
tin (s'-t +s'-2ss+ "'+ssff-2+16-t):^6-'
s+ro
De modo que s'es analftica en toda regi6n finita del plano s. Entonces, por inducci6n nratem6tica, sn- t , ,n-t,..., s tambi6n son analiticas. En consecuencia, mediante los teoremas elementales de los limites de sumas y productos, vemos que O(s) es analitica en toda regi6n finita del plano s.
U.10. Las funciones atgebraicas racionales se definen
mediante P(s) = N(s/D(s), en donde N(s) y D(s) son polinomios. Demuestre que P(s) es analitica en todo punto s donde D(s) 0; es
*
decir, pruebe que las funciones de transferencia de los elementos de sistemas de control que toman la forma de funciones algebraicas racionales son analiticas excepto en sus polos. Pr6cticamente la totalidad de los elementos de los $istemas de control lineales se encuentran en polinomio de grado n tiene n ceros y puede expresarse como un producto de n factores lineales", nos ayuda a introducir a P(s) en una forma m6s esta categoria. El teorema fundamental del 6lgebra, "un
reconocible como funci6n de transferencia de un sistema de control; es decir, P(s) puede escribirse
en la forma familiar.
P(r)=# en donde
+b^-rs^-r + ... +bo _b^(s+ zr)(s+ z):..(s+ z^\ ansn+ar-rsn-r+... +co a,(s +p1)(s + p) " ' (t +A)
b^s^
-zr, -22,..., -2,
De la identidad dada por
f
son ceros,
-pl, -p2,..., -p2 son polos' y m =
N(r) N(so) I . tit ffi DG)DGJ Ip('oX N(") -
rv('o))
n.
- /v(s6)(D(s) - o("))]
TEORIA
en donde D(s)
dPl -;-l
* 0,
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
obtenemos
I(') - N('o) .. I P(') D(so) :[ml I
dbl,-,o "-rol
.. l:liml
$-so
|
,-"ot D(s)D(,J
l^,,[r(")-N('o)l- u"l[a*. --,.[p(')-o('r)l\l
\"t*'[-,-,,@1
ttl p(r) - p(so) I r / N(s) - il(ro) \l ,._ [ \l :liml-^l l/ "(ro) r-ro lJ \ I] "].1.'Ia(s) ":i,iIa1';a1'o;1 '-'o ,|.. r .. I n('o) 1.. Ip(')-D('u)l : .. rm tr- | . lim Irr(')-N(ro)l l-:-:-------:--:| '*'nID(s)I'.-"0[ r-ro I "tiT ttctt6tl ,t*" t , *, lv('o) dDl : I ' dN I -;GJ '
.|
D('J
d, l"-,"
d, l"-""
l.l.
+
en donde hemos usado los resultados de los problemas I 1.8, I1.9, y la definici6n I En consecuencia, la derivada de P(s) existe (P(s) es analitica) para todos los puntos s en donde D(s) 0. N6tese que hemos determinado una f6rmula para la derivada de una funci6n algebraica racional (la riltima parte de la ecuaci6n anterior) en t6rmlnos de las derivadas de su numerador y su denomi-
*
nador, adem6s de resolver el problema pedido.
11.11. Demuestre que
e-'r
es analitica en toda regi6n limitada del plano s.
En la teorfa de las variables complejas
.
s-''r
i "-"t: ,t:o
se define por medio de la serie de potencias
(-"r)n kt'
Mediante la prueba de relaci6n, a medida que ft
+
@ tenemos
En consecuencia el radio de convergencia de esta serie de potencias es infinito. La suma de una serie de potencias es analitica dentro de su radio de convergencia. Asi que, ? -'r es analftica en cada regi6n
limitada del plano s.
11.12. Demuestre que e- "a P1s1es analftica dondequiera que P(s) sea analftica. En consecuencia los sistemas que contienen una combinaci6n de funciones de transferencia algebraicas racionales y opgradores de retardo de tiempo (es decir, polos del sistema.
e
-'r)
son analiticas excepto en los
*
ANALISIS DE NYQUIST
l
A partir del problema l l .l l , e-"T es analftica en toda regi6n limitada del plano s; y problema ll.l0, P(s) es analitica excepto en sus polos. Ahora
a
partir del
r-"tP1r) - e-".?P(s6) I ,._ llm fl-l ll":"": ftlu*r{,) s-so I "-"oL
:*
f"-"f
'*"oL \ _dPt :e-"0'; l
P(s) -P(so)
*"t*l[ "-"'-'-""')l s-so )/ \ r-ro l] d _l + P(so);(e-"')l -'
ff l"_"o
Por tanto,
ll.13.
e-''t
ds
'
-
l"_ro
P(s) es analitica dondequiera que P (s) sea analitica.
Considere la fiunci6n dada por P(s)
: ,-
'7- 1s2
t
2s
r
3)l(s2
-
2s
las singularidades de esta funci6n? 6En d6nde es analftica P LospuntossingularessonlospolosdeP(s).Puestoques2-2s
+ 2).;En d6nde
est6n
(s)?
+2:(s- I +jl)(s- I -jl),
fosdospolosest6ndadospor-pt:l- j1y-p2: I +jl.P(s)esanalfticaentodaregi6nlimitada def plano s, excepto en los puntos s : -pr y s : -pz.
t-
Contornos
ll.l4.
y
rodeos
;Qu6 puntos son encerrados por los siguientes contornos (figura ll-32)?
Figura 1l-32 Sombreando la regi6n a la derecha de cada contorno a medida que se recorre en la direcci6n prescrita, obtenemos la figura ll-33. Tqdos los puntos de las regiones sombreadas est6n encerrados.
ll.l5.;Qu6
contornos del problema
ll.14
son cerrados?
Claramente el contorno de la parte D) es cerrado. El de la parte a) puede o no cerrarse sobre sf mismo en el infinito en el plano complejci. Esto no puede determinarse en la gr6fica dada.
t
11.16. ;Cui{l es la direcci6n (positiva o negativa) de cada contorno en el problema
lt.t4
b\?
ll.l4
a) y
348
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
(a)
(b)
Figura ll-33
Utilizando el origen como base, se dirige cada contorno en direcci6n S (antihoraria), direcci6n negativa alrededor del origen.
11.17. Determine el nirmero de rodeos Nq del origen para el contorno de la figura 11-34.
}
Figura ll-34 Comenzando en el punto c, giramos una l(nea radial desde el origen hasta el contorno en la direcci6n de las flechas. Tres giros de 360" en sentido S (antihorario) pfoducen el retorno de la linea radial al punto c. Por tanto No : -3.
,
11.18. Determine el nfmero de rodeos Ns del origen para el contorno de la figura 1l-35.
Al comenzar en el punto a, el contorno barre un 6ngulo de + l80o cuando se alcanza b por primera vez. Al seguir desde D hasta c y luego regresar a D, la ganancia neta angular es cero. Al regresuu de D hasta a produce + 180". De modo que Ne : + l. 11.19. DetermineelntimeroderodeosNdelpunto(-1,0)(estoes,elpunto
el contorno del problema 11.17.
-l
delejereal)para
Al comenzar de nuevo en el punto a, giramos una linea radial desde el punto (- I, 0) hasta el contorno en la direcci6n de las flechas que se muestran en la figura I l-36. Al seguirde ahastaby
|}
349
ANALISIS DE NYQUIST
+
Figura
Figura 1l-35
11-36
c, la lfnea radial barre algo menos de -360'. Pero de c a d y de regreso a D, el 6ngulo se incrementa de nuevo hacia el valor alcanzado al ir de a hasta D fnicamente. Entonces, de b a e hasta a el iingulo resultante es -360'. Asi que N: -1. hasta
+
Propiedades de las transformaciones P 11.20. Las siguientes funciones: a)
P(s):
s2, b) P(s)
:
sr'2, lson univaluadas?
a)
La sustituci6n de cualquier nrimero complejo s en P(s) : s2 produce un valor 6nico para P(s). En consecuencia P(s) : s2 es una funci6n univaluada.
b)
En la forma polar tenemos s : lsleil en donde 0 : arg(s). En consecuenciastt2 : lslt/2 eiq/2. Ahora, si aumentamos 0 en 2rr regresamos al mismo punto J. Pero
p(r) :
1s1r/2ri
:
Ff
/zeie/zeiil
-
P(s) ei"
otro punto en el plano P(s). En consecuencia P(s) : sr/2 tiene dos puntos en el plano P(s) por cada punto en el plano s. Esta no es una funci6n univaluada, es una funci6n multivaluada (con dos valores). que es
11.21. Demuestre que todo contorno cerrado que contenga puntos no singulares de P(s) en el plano s se transforma en un contorno cerrado en el plano (P(s). Supongamos que no. Entonces, en algrin punto s0 en donde el contorno del plano s se cierra sobre si mismo, el contorno en el plano P(s) no es cerrado. Esto significa que un punto (no singular) s6 del plano s se transforma en m6s de un punto en el plano P(s) (las im6genes del punto ss). Esto
contradice el hecho de que P(s) sea una funci6n univaluada (propiedad
I,
secci6n
ll.4).
11.22. Demuestra que P es una transformaci6n cpnforme dondequiera que P sea analiticay dPlds
+0.
*
Consid6rense dos curvas: C en el plano s y C'
,la
imagen de C, en el plano P(s). Dejemos que
la curva en el plano s sea descrita por el pardmetro /; es decir, cada f corresponde a Lln
puntos
:
s(r) a
350
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
lo largo de la curva C. En consecuencia, C' se describe por medio de P[s(r)] en el plano P(s). Las derivadas dsldt y dP/dt representan los vectores tangentes a los puntos correspondientes en C y
{
C'.
Ahora
drls(r)l I :as.ap3)l dt lp("):p("o) dt * l"-"o en donde se ha utilizado el hecho de que P es analftica en algfn punto so = s(to). Pontendo dPldt rrejf, dPlds = r2ejo, y dsldt = rzeiq. Entonces
1(so) e/o("o)
:
=
rz(so) .rr(so) eilr("o)+"t"o)l
Igualando los i4ngulos, tenemos d(so) : d(s6) + d(so) : d(s6) + arg (dP/ds)| vemos que la tangente a C en ss ha rotado un 6ngulo arg(dP/ds)lr-"oen p(s6) sobre C' en ":se,] el plano p(s). Ahora consideremos dos curvas C1 y C2 que intersecan €n .16, con imi4genes Ci VCi en el plano
P(s) (figura 1l-37).
Sea 01 el 6ngulo de inclinaci6n de ta tangente aCr, y 02el de C2. Entbnces, los 6ngulos de inclinaci6n para Ci y Cj son 01 * arg(dPlds)1"-"o, y 02 + arg(dP/ds)|"-,o.,En consecuencia el dngulo (01 - 02) entre Cr y Cz es igual en magnitud y sentido al ringulo'entre Ci y Ci,
dt + arc
N6tese que
dPt d" l""o
el arg(dP/ds)|":soes
l1-
o' *t dPl *
*
:\-02
l,:""
indeterminado si (dPlds)| ,-"nO.
02
l
I
-t
Figura 11-37
: e-"7 es confolme en toda regi6n limitada del plano s. e-'res,analitica(problema ll.ll). M6s a$n.(d/ds)(e-sr1 : -7r-sr *0encualquierregi6n limitada (finita) dcl plano s. Entonces, a partir del problema 11.12, P(s) : e-sr es conforme.
11.23. Demuestre que P(s)
cD
351
ANALISIS DE NYQUIST
* 11.24. Demuestre que P(s)e-"r es conforme para P(s) racional
y dPlds *
0.
A partir del problema ll .l2, Pe-"r es analftica excepto en los polos de P, y
d
tambi6n,
_
_dP _ _tdP \ PTe-'r: e-'rl - rn) ;lPe-'rl: "-",i
^
Sup6ngase
-
TP
:0
0. Entonces, puestoquee-"? * 0paracualquiersfinito, setienedP/ds cuya soluci6n general es P(s) ke'r , con /< constante. Pero P es racional y e'r no lo es.
(dlds)IPe-"rl:
Por ranto (dlds)lPe
:
'rl + 0.
11.25. Dos contornos C t y Czen el plano s intersecan en un 6ngulo de 90' en la figura I 1-38. La funci6n anal(tica P(s) transforma estos contornos en el plano P(s), y dPlds * 0 en s6. Dibuje la imagen del contorno C2cerca de P(so). Tambi6n se da la imagen de C1.
t
Figura 11-38 A partir del problema ll .22, P es conforme; en consecuencia el 6ngulo entre Ci y Ct es X)" ' C| hace un giro a la izquierda en torno a C2 en so, entonces Cl tambi6n debe girar a la izquierda en P(ss) (figura ll-39). Puesto que
Figura ll-39
,
11.26. Pruebe la ecuaci6 n (t esre
I.l):
No
:
Co
-
Po.
La prueba exhaustiva implica mucho mds de lo que podemos manejar con lo que se presenta en libro acerca de la teoria de variables complejas. Asf que asumimos que se tiene conocimiento
352
TEoRIA
y
pRoBLEMAs DE RETRoALIMENTAcToN
y
srsrEMAS DE coNTRoL
{
de un teorema bien conocido de funciones de una variable compleja, y continuamos a partir de allf. El teorema establece que si C es un contomo cerrado en el plano s, P(s) es una funci6n analftica en C
y dentro de C excepto en los posibles polos, y P(s) * 0 en C,
_,| , P'(s)- ds:Co_ 2nj l6 P(s\
entonces
Po
en donde C6 es el nfmero total de polos dentro de C, P6 el nfmero de polos dentro de C y P' = dP/ds. Los polos y los ceros m0ltiples se cuentan uno por uno; es decir, un polo doble en un punto
son dos polos del total, un cero triple son tres ceros del total. Ahora, puesto que d[n P(s)] : [P'(s)/P(s)]ds y ln P(s) = ln lP(s)l
* [l#l
: ^
* t,rrrn
p(
s
)r
: :
*r"p(,
)I
: l.
fi r^rr(
s
)
* |
7 arg P(s), tenemos
+;
-,
"(
"
)t
l.
{,wr(,) ll l,* fitt *rP(,)ll.
t
Ahora, puesto que lnlP(s)l devuelve su valor original cuando vamos una vez alrededor de C, el primer t6rmino en la'0ltima ecuaci6n es cero. Por tanto
c;- ,,:*WrP(,)ll. Puesto que C es cerrado, la imagen de C en el plano P(s) es cerrada, y el cambio neto en el 6ngulo P(r) es 2z veces el nrimero de rodeos N6 del origen en el plano P(s). Entonces Co Po: 2Nod2rr: No. A menudo este resultado sellama principio del argumento. N6tese que 6ste seria el mismo si reemplazamos r por z en todo lo anterior. Por tanto, la ecuaci6n arg P(s) alrededor del contorno
-
(11.1) tambi€n es v6lida para sistemas discretos en el tiempo.
11.27. Determine el nfmero Ns de rodeos del contorno en el plano P parael contorno del plano complejo, transformado en el primero, como se muestra en la figura 11-40.
Figura 11-40 Po
:
2, Co
: l.
] Por tanto No
=I - 2=-
L
353
ANALISIS DENYQUIST
3 11.28. Determine el nfmero C6 de ceros encerrados por el contorno del plano complejo de la figura ll-41, en donde P6 : 5. Im
X
X
X
X
Figura ll-41
:
I se calcul6 en el problema I1.8 a partir del contorno dado en el plano P. Puesto que Pe Ns + 5 6. No + Po entonces Co
:
:
: I
:
5,
11.29. Determine el nrimero P6 de polos encerrados por el contorno del plano complejo en la
;
figura I l-42, en donde C6 = 0. P ,z---\\
Figura 11-42 Claramente,No=
-1.
EnconsecuenciaP6
:Co- No= 0 + l: l.
11.30. Determine N6 [ecuaci6n (l t .t)) para la funci6n de transferencia (transformaci6n) y el contorno del plano s de la figura 1l-43.
* Figura
11-43
354
TIIORIA
Y
PROBI.IIMAS
DIr RIITROAI.IMENTACION Y SISTEMAS DE
CONTROI-
I
La transformaci6n de polos y ceros de P(s) se presenta en la figura ll-44. De donde, hay tres polos (dosen s: 0y unoen s: - l) yningrinceroencerraclosporel contomo. Asf po: 3, c6:0y
No
: -3.
Figura ll-44
ll.3l.
En Ia figura I l-45, iel origen estd encerrado por el contorno?
tl
Figura
I l -45
Se ha sombreado la regi6n a la derecha del contomo. El origen cae en la regi6n sombreada y, en consecuencia, este encerrado por el contomo.
ll.32.6Cu6l es el signo de N6 en el problema ll.3l? Puesto que el origen estd encerrado por el contorno en la direcci6n R (horaria), No
>
0
Diagramas polares 11.33. Verifique la propiedad Sea P(ro) Entonces
I
de la secci6n I 1.6.
= P(at) + i2P(a), y a = at p( o) +
o
: ( r,(
")
* jru, + ar)
endonde p1(a.r), p2(a),'1 y a2 son reales.
+;( pr(a) + ar)
y la imagen de cualquier punto (P1(a.r), P2(r.r) en el plano p(ro es (p1(rrr) * at, pzko * a,) en el plano (P(
l
355
ANAl.lSlS DE NYQUIST
l 11.34. Verifique la propiedad 2 de la secci6n I 1.6. La funci6n de transferencia P(s) de un sistema lineal con coeficierites constantes es, en general, una relaci6n de polinomios con coeficicntes constantes. Las raices complejas de tales polinomios si a * jbes unaraiz,entoncesrr - ibtambi€nesunarafz. Sirepresentamosconunasterisco(+)laconjugadacompleja,entonces, a+ib:(a-ib)*,Ysia: 0, entoncesTb : (- jb)*. Entonces PQot) : P(- ja)*. Griificamente esto significa que el diagrama para p(-ja) es la imagen especular alrededor del eje real de la gri4fica para P(ja) ya que s6lo cambia de signo la parte imaginaria de PUr.r).
sepresentanenparesconjugados;estoes,
11.35. Dibuje el diagrama polar para cada una de las siguientes funciones complejas:
a) p( j.J):62/45", b) P( jo:): (,2(cos45o +7sen45"), c) P(i(i'):0.707u2 0.707
ia'.
a) .. /
qS" est6
en la forma de la ecuaci6n polarcs en Ia figura I l-46.
:
c)
.2). I:n consecuencia se utilizan coordenadas
o2(cos 45'
g,i decir,
+
(1 t
i j sen 45') : al Q'707j) tiene la forma de la ecuaci6n ( I t .3) o la \ t I .4). En consecuencia la elecci6n l-47. natural son las coordenadas rectangulares, como se muestra en Ia figura I En por las coordenadas' a) excepto parte la la de a identica N6tese quc esta gr6fica es : ,n) + 0.707i) efccto. d2(0.707 /45". este Claramente puede verse que c) es id6ntica a h) y en consecuencia a a). Entre otras cosas, y matem6tica pero diferentes formas tres problema ha ilustrado c6mo puede escribirse de polar, ecuaci6n la forma ro: frecuencia de compleja funci6n una gr6ficamente equivalcntes a (l 1 .21;lu7or^a de Euler o trigonomatica, ecuaci6n (t I .3) y la forma rectangular (compleja) P(jto)
h)
+
p(jo)
equivalente, ecuaci6n (l 1.4).
Figura
Figura 1l-46
11-47
11.36. Dibuje el diagrama Polar de
P(
*
jr)
:0.707a2(r
+i)
+
1
,.:Ti:::i*Ti:i:ii[:"*?"ri,Tm]ffi1.*iT{i1,'l*;il1T1i::11T::::: desplazado
a
-a : -1,
como se muestra eF{a'figura
ll-48'
3s6
TITORIA
Y
PROBI-F.MAS
DE RI]TROAI-IMENTACION y STSTEMAS DE CONTROI
a
Figura 1l-48
I1.37. Construya
un diagrama polar a partir de las gr6ficas de la magnitud y del 6ngulo de fase de de la figura I I -49, que representan la respuesta de frecuencia de un sistema lineal con coef,icientes constantes. P(
ja)
t
Figura ll-49
Las griificas que se presentan antes difieren poco de las representaciones de Bode, que se discuten en detalle en el Capitulo 15. El diagrama polar se construye transformando este conjunto de grrificas en el plano P(7'ar). Solamente es necesario escoger los valores de ar y los correspondientes de lP(ja)l y Q@) de las gr6ficas, y representar estos puntos en el plano p(jo). por ejemplo en a = o' tP(j
La parte de la gr6fica para conjugada (secci6n | 1.6).
-e <
@
<
0 se ha dibujado utilizando la propiedad de simetria
l
ANAI-lSlS
DtT
357
NYQUIST
I
d=900
o - -l
I
\ o
=
\
-:-*--
1800
o==€
P(io) =
10
o=00
o=2'5
+ Figura ll-50 11.38. Dibuje el diagrama polar para 1
GH(s) Sustituyendo .s porjar
: ,s"(s*p)
P>0
y aplicando la ecuaci6n (//.2),
obtenemos
1
GH(jut): ru j,_ + p)' .r-r"( I
aa,,ia2 + p2
Paraoo: Oy o +
cc, tenemos
GIl( j0)
,
-tan-t(ot/p)
: */o'_
rim
GH(ia):0/ -90'
Claramente, a medida que @ aumenta desde cero hasta infinito, el 6ngulo de fase perrnanece negativo y disminuye a -90", y su magnitud disminuye de manera mon6tona a cero. Asi, el
358
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACTON
Y
SISTEMAS DE CONTROL
{
diagrama polar puede dibujarse como se muestra en la figura I 1-5 I . La lfnea de guiones representa oo (secci6n I 1.6, propiedad 2). En consecuencia la imagen especular de la gr6fica para 0 rrr
esta es la gr6fica polar para
-a (
ar
( (
{
0.
t
Figura
11-51
La trayectoria de Nyquist 11.39. Demuestrequeelsemicirculoinfinito, lapartettefdelatrayectoriadeNyquist,setransforma en el origen P(s) : 0 en el plano P(s) para todas las funciones de transferencia de la forma:
K
P(s): ---n--
II
j:l en donde
(' +p,)
n > 0, K es una constante, y -pi
* es cualquier polo finito.
359
ANALISIS DE NYQUIST
3 Para
n
)
0.
ll
ri* 11 nrie)l=lp(-)l: K--lfI(nete+p,)l " IlR+o -lim | , '
I
: lim' -:t u* - lKl -o = '*' -- fl lReio + p,1 ^-- fI In - tntl i-l i-l Puesto que lP(rc)l
< 0, entonces claramente
lP(o)l = 0'
11.40. Demuestrequeel semic(rculoinfinito, lapartedef delatrayectoriadeNyquist, seffansforma en el origen P(s) : 0 en el plano P(s) para todas las funciones de transferencia de la forma:
P('):
+ en donde ru
(
rz,
K
es una constan te,
rfr(,+,,)
-#-(" +P,) ll
y - piy -z; son polos y ceros finitos, respectivamen-
te. Para m
I
n,
lml
lr fl ( Reio + z,)l ti- l+=t-l lri| rR-or(ne,o)l=lp(-)l^--l ,:1 il(^""+P,)
|
|
I
lKlfr lRen+z,l lKlfrln+;2,11 g : lim ;-t < lim -=-j:fR+*, fl ;nerd +p,1 R+o fI ln - tp,tl ti:l 1
Puesto que IP(o)l
< 0, entonces
lP(oo)l
=
0'
Diagramas de estabilidad de Nyquist 11.41. pruebe que un sistema continuo del tipo / incluye I semicirculos infinitos en el lugar-geom6trico de su diagrama de estabilidad de Nyquist. Es decir, demuestre que la porci6n la plano de la ffayectoria de Nyquist se transforma en un arco de 180/ grados al infinito en el
*
P(s).
La funci6n de transferencia de un sistema continuo del tipo I tiene la forma:
360
TEoRtA
y
pRoBLEMAs DE RETRoALIMENTACToN
y
srsrEMAs DE coNTRoL
{
P(,):3II r'&(r) en donde Br(0) y B2(0) son finitos y diferentes de cero. Si hacemos
B{s)/B2g) = F(s),
entonces
t(i)
"(r):
s'
:
en donde F(0) es finita y diferente de cero. Ahora, hacemss s ecuaci6n (l l.12). Claramente limo*6F(pe.it): fe). Enronces
limP(pel) : a - e-ito
en la
p(pep): plOsiev/ein
V
-90"
p+0
:
psi|, como se requiere
0 -90o, el limite es n.rN/.En 90", el lfmite es *.e-Nt. por tanto el ringulo subtendido en el plano P(s) al transforma el lugar geomdtrico del semicirculo infinitesimal de la trayectoria de Nyquist en las vecindades del origen en el plano s, es 90/ (-90r) l g0/ grados, lo cual representa / semicirculos infinitos en el plano p(s). En
0: *
-
:
11.42. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para la funci6n de transferencia en malla abierta dada por
GIl(s):
(s
+pr)(s +pr)
Itt
Pv Pz> 0
En la figura ll-52 se presenta la trayectoria de Nyquist para este sistema del tipo 0. 1.r
Figura ll-52
Figura 1l-53
Puesto que no hay polos en el eje j
:
.1r/ GH(io):G*rXrn cH(
jo)
: J- / o" Pr Pz-
/ -,^'(;)-'^-'(;) li,m cr+-
GH( io\=0/L80"
;
361
ANALTSIS DE NYQUIST
! Para0< alq,eldiagramapolarpasaporelterceroycuartocuadrantesporque (to/p) + tan-t (@lp2)j varia desde 0o hasta 180" cuando aumenta &r.
{: -[tan-
=
0. Por tanto el A partir del problema 11.39, la trayectoria delse dibuja en el origen P(s) diagrama de estabilidad de Nyquist es una r€plica del diagrama polar. Esta se dibuja f6cilmente a partir de las derivaciones anteriores, como se muestra en la figura ll-53. 11.43. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para Gfl(s) En la figura
ll-54
:
l/s. tipo
se presenta la trayectoria de Nyquist para este sistema simple del
l.
tmGHf .,
i---t, cHU")V;) \T Figura ll-54 Para la trayectoria
1 1/ lu -/
cH(jot')
iZ,
-90"
Figura 11-55
t : ia
0
I
@, Y
lirr GIf( jat)
o-0
f
-a/
f
lin Glt(io):0/ -90"
-90"
o{o
La trayectoria dZ se transforma en el oigen (vdase el problema 11.39). La trayectoria fTes la imagen especular de ffi alrededor del eje real. La imagen de la trayectoia ija se determina a partir de la ecuaci6n (ll.l2) haciendo
s-limo-6pere, en donde -90" < 0 <
90":
p5en1o,'1:ji*[;"-"] Para el punto
i, 0 : -W;entonces i
entonces el punto
/-n".
j
se transforma en
j'
-"..e-ie i'
-*/
-o
* /{/f.t'En
i,
:
el punto e 0"; en se transforma en en * 0o ' De manera similar' a se transforma en a' en o
/
La trayectoriaTfa'tantli€n pud6--haberse obtenido a partir de la propiedad de la
conforme de la transformaci6n, como se explic6 en el ejemplo 11.9, adem6s de la afirmaci6n probada en el problema 11.41. El diagrama de estabilidad de Nyquist resultante se muestra en la figura 11-55.
@ntaci6n
I
11.44. Dibuie el diagrama de estabilidad de Nyquist para GIl(s)
Py
Pz>
O.
:l/s(s *
pt\(s 1p2),
362
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
{| La trayectoria de Nyquist para este sistema del tipo
Para la trayectoria aa,
GH(
jo:):
j,,t(
j,
s:jr,:,0
<
ar
I
es la misma que para el problema anterior
< @, y
+ pr)( jw + pr)
lim GIl(
jo) :6/
-90"
Puesto que el iingulo de fase cambia de signo a medida que
a.r
aumenta, la gr6fica atraviesa el eje
real. A valores intermedios de frecuencia, el 6ngulo de fase @ esti4 dentro del rango 90. < d< -270". Por tanto la gr6fica estii en el segundo y tercer cuadrantes. Se encuentra una asintota de GH(ja) para a 4 0, al escribir G H(jo) como una parte real m6s una imaginaria, y tomar luego el
limite cuando ar -.+ 0:
cH(
jo):
j(p'p;- G)
-(pt+pr) ("'z+pl){,,}+p})
,(,o'?+pf
nqGn(,1r.,)
o-o
)(rt + rt)
- -(n+P) -i* pfp;
: + p)lp?pl sea una asfntota diagrama polar. --(p, en el origen (viase el problemadel La trayectoria delse transforma I1.39). La trayectoria;f r" es imagen especular .de a'd' alrededor del eje real. La trayectoria ilf t determina mi4s
De aquf que la lfnea GH
la
*
f6cilmente mediante la propiedad de la transformaci6n conforme y por el hecho "" de que un sistema del tipo 1 tiene un semicirculo infinito en su trayectoria (problema l t.4l). En la figura I l-56 se presenta el diagrama de estabilidad de Nyquist resultante.
Im GII
i,
r I
t
I
Re
GII
I
Il(i")
g----L--(pr + &)
-4€11.45. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para
GIl(s):l/sz
La trayectoria de Nyquist para este sistema del tipo 2 es la misma que para el problema anterior, excepto que en lugar de uno hay dos polos en el origen. para ilf,
11/ GH(ju):-;-:-/180" J-o-
lm oru
GIr( jro)
:
/
@/ I80"
ttm GH( jo) @-@
:o/
tso.
*
363
ANALISIS DE NYQUIST
) ffi ":111i:T53'-"jT:ffi ? i:Tff;":'iil:ilT:?XH,3,:T:'#:i',;"f,1:fr
:":'J:i
origen, y la trayectoria ijd, en dos semicirculos infinitos en el infinito (vdase el problema I I '41). puesto que la trayectoria de Nyquist gira a la derecha en i y en a,tambi6n el diagrama de estabilidad de Nyquist lo hace en i' y a'. Enla figura ll-57 se presenta el lugar geomdtrico resultante.
#
Figura I l-57 11.46. Dibuje la grdfica de estabilidad de Nyquist para
Q!{$):1/s2(s * p), p > 0.
La trayectoria de Nyquist para este sistema det tipo 2 es la misma que la del problema anterior. Para ad,
GH(io:):VIU"*p): tm
GH( jor)
effi
: @/t -r80"
'--'(;) rin G//(jor)
:o/:ua"
o+@
( a 1 a el iingulo de fase varfa continuamente desde - I 80o hasta -270"; asi el diagrama localiza en el segundo cuadrante. El resto del diagrama de Nyquist se transforma en el plano Gill como en el problema anterior. En la figura I l-58 se presenta el diagrama de estabilidad de Nyquist para 0 se
resultante.
t Figura 1l-58
3@
TEORIA
Y
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
11.47. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquisr para
SISTEMAS DE CONTROL
I GIl(s):l/sa(s*p),
p>0.
Hay cuatro polos en el origen en el ptano .r, y la trayectoria de Nyquist es la misma que la del problema anterior. El diagrama polar para este sistema se determin6 en el problema I l .38. El resto de la trayectoria de Nyquist se transforma at utilizar los resultados de los problemas | 1.39 y l l.4l , y la propiedad conforme de Ia transformaci6n. En la figura ll-59 se presenta el diagrama de
estabilidad de Nyquist resultante.
o=900
./-,/
., ----
\.
----i-..
/ /l /
ti tl
\ /---\
\\
\ \ \\ \
----l_
\
*
I
aumenta
&,
\".
\t, tt
/
\\
'/
/
I
I
t
I /
z/ ,l ./'
-€---/ o = -900 Figura ll-59 11.'18. Dibuje
el diagrama de estabilidad de Nyquist para ff1(s):e-r,/(s*p),
p>0.
El tdrmino e - r' representa el retardo en el tiempo de I segundos en la trayectoria directa o en la de retroalimentaci6n. Por ejemplo, en la figura I I -60 se representa un grafo de flujo de sefrales de
tal
sistema.
I 8'r o
* Figura ll-60
365
ANALISIS DE NYQUIST
;
En el ejemplo I 1.8 se dibuj6 el diagrama de estabilidad de Nyquist para l/(s + l). El diagrama se modifica de Ia siguiente manera por la inclusi6n del t6rmino e-r'. Para la trayectoria aZ
cH(iot)-
e- Tja
jr+p:W
El limite de CH(ja) cuando a
-tan -'(;)
-
^
4 e no existe. p"16 lim.-olG/{jr.r)l : g y IGH(iu)l
disminuye de manera mon6tona a medida que ar aumenta. El t6rmino del iingulo de fase
o(,) = -,*-'(i)-
t"
da vueltas repetidamente alrededor del origen entre 0" y -360' a medida que a; aumqnta. En t" consecuencia el diagrama polar es una espiral decreciente, la cual comienzaen(l/p) E, aproxima al origen en direcci6n R (horaria). Los puntos en donde el lugar geom6trico atraviesa el eje real negativo se determinan haciendo d : -180" : -z'radianes:
+
-r: -tan-l(?)- ^' u oo = ptan (Ta,) que puede resolverse f6cilmente cuando p y T son conocidos- El resto de la trayectoria de Nyquist se transforma al utilizar los resultados de los problemas I I .41 y I | .42. En la figura I I -6l se presenta el diagrama de estabilidad de Nyquist. Por claridad se ha omitido la imagen
de la trayectoria
fa(s: -it)
* Figura ll-61
366
TEORIA
Y
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMEIITACIoN
11.49. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para
SISTEMAS DE CoNTRoL
GI(s) : l/(si +
{
az).
Los polos de Gl1(s) estdn en s : tja = !j@s. En consecuencia, en la figura I l-62 se presenta la trayectoria de Nyquist para este sistema. Para la trayectoria ab, o I a, y
cH(ict)
:
*rc
GH(in)
Para la trayectoria bc, hacemos
l\outn+
peio): lim p{0
:
*ty
s = ja I pelq, -90" < 0 < 90"; t I
It
!y,cn(io) -
jt(Z ,
.
Ja + pefr
il
:
. -J'@ e-io
*/0"
entonces
=&
{F
Figura ll-62
GH(*,
Figura ll-63
: -90. el fimite es - /O'; Para la trayectoria ul. ,, a , v En 0
en 0 -- O. ss
-/-9ool
en 0
:
gO"
es
-/-1g0".
*
367
ANALISIS DE NYQUIST
J cll(io) : @/ Lsl" @)a
lim
rim
GH(7r^,)
:0/ / L80"
OJ€
la La trayectoria dZ-lse transforma en el origen por medio del problema ll .39 ' y f g'h'Q' es diagrama presenta el se ll-63 la figura En real. eje del imagen especular de aUrA'alrededor de estabilidad de Nyquist resultante.
11.50. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist
pataGH(s): (s - zt)/s(s
+ p),
zyp)0. I l '43' La trayectoria de Nyquist para este sisrema del tipo I es la misma que para el problema Para la trayectoria ad,
+ tan-rx
r
tan-l.y = tan-r
tffil
Ahora
lim GH(
/ iol): @/ +n"
GH(
Ir jJpzr): t- / ' plpzt-
f
0o
tim d+6
GH(i(,):0/_e0"
Asi, el lugar geom6trico viene del primer cuadrante, atraviesa el eje real positivo hacia el cuarto cuadrante, y se aproxima al origen en un iingulo de -90'' Latfayectoriaalefse transforma en el origen, y la trayectoria -lja se transforma en un semicfrculo ll-64 se presenta la gr6fica resultante'
en el infinito. En la figura
lm GH a'
/
GH(i6l
/
I i'1
d',
e' ,
v-=:8:--_-
t'
\
Re GTI
\
tI I
t
1i, Figura 11-64
368
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALTMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
El criterio de estabilidad de Nyquist 11.51. Demuestre el criterio de estabilidad de Nyquist. La ecuaci6n (l I .l l) establece que el nrimero N6 de rodeos R (horarios) del origen, hechos por un contorno cerrado en el plano P, transformados desde un contorno cerrado en el plano complejo,
esigual al n(rmerodecerosCsmenosel nfmerodepolos P6dePencerradosporel contornodel plano complejo: ly's = Co - po. Esto se demostr6 en el problema 11.26. AhorahacemosP = I * GH. Entonces,el origen paral * GHenel planoGflestitenGH = -l (vdanse el ejemplo I | '6 y el problema l 1.33). Por tanto hagamos que N represente el nrimero de rodeos R (horarios) de este punto -l + j0 (-1, 0), y hagamos que el contomo en el plano
=
complejo sea la trayectoria de Nyquist definida en la secci6n l | .7. Entonces N = Co - ps, en donde CoY Po son el nfmero de ceros y de polos de | + GH encerrados por la trayectoria de Nyquist. ps tambi6n es el nrimero de polos de CH encerrados, puesto que GH NlD,entonces | + GH : | + NID : (D + N\/D. Esto es, GH y | * Gfl tienen ei mismo=denominador. Sabemos, a partir del Capitulo 5, que un sistema con retroalimentaci6n (continuo o discreto) es absolutamente estable si y s6lo si los ceros del polinomio caracteristico | + GH (las raices de la ecuaci6n caracteristica 1 + GH : 0) est{n en la MIP (o en el cfrculo unitario), es decir, Co : 0. por tanto, N : -po, y claramente po 0.
=
l1'52'
Extienda el criterio de estabilidad de Nyquist a una clase superior de sistemas lineales continuos distintos a los ya consideradoi en este capitulo.
+
Desoer [5] ha extendido el criterio de estabilidad de Nyquist. El siguiente enunciado es una modificaci6n de esta generalizaci6n, la cual .a con su prueba en la referencia. "nau"nt.u Un criterio generalizado de estabilidad de Nyquist: Consid6rese ei sistema 1ineal
invariable en el tiempo descrito por el diagrama de bloques de la figura I l-65. Si g(l) satisface las condiciones que se dan a continuaci6n y el diagrama de estabilidad de Nyquist de C6y no encienael punto (- | , 0), entonces el sistema es estable. Si el punto (-1, 0) esti{ encerrado, el sistema es inestable.
Figura ll-65
l. 2.
G(s) representa un elemento de sistema causal lineal invariable en el tiempo. La relaci6n de entrada-salida en g(r) es
c(r)
:
c"(t\
+
Irtt, - r)e(r) dr
r>0
c"(r), la respuesta libre del sistema g(r), est6 limitada para todo r > 0 y para todas las condiciones iniciales, y tiende a un valor finito, dependiendo de las condiciones iniciales, a medida Qu€ f +- cc. en donde
3.
La respuesta impulso unitario para g(l)
s(t):
es
lft+sr(r)11(r)
I
369
ANALISIS DENYQUIST
!
t > 0, l(r) es la funci6n paso unitario, gr(t) est6 limitada y es integrable para todo t > 0, Y gt|) t 0 a medida que t + o.
en donde
Estas condiciones se cumplen muy a menudo en los sistemas fisicos descritos mediante ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, y ecuaciones de diferencia-diferenciales. La forma del diagrama de bloques en malla cerrada que se muestra en la figura ll-65 no es necesariamente restrictiva. Muchos sistemas de inter6s pueden transformarse a esta configuraci6n.
:
I /s(s * p) se modificara de tal modo que el polo del origen est6 encerrado, como se muestra en la figura I I -66. ;C6mo modifi-
11.53. Suponga que la trayectoria de Nyquist para G11(s)
ca esto la aplicaci6n del criterio de estabilidad de Nyquist?
+ Figura ll-67
Figura ll-66
EI diagrama polar permanece igual, pero la imagen de la trayectoriafithacegiros a la izquierda en lugar de hacerlo a la derecha en i' y a', igual que en la trayectoria de Nyquist. Entonces, en la figura I I -67 se presenta el diagrama de estabilidad de Nyquist. Con claridad se ve que N = I . Pero, puesto que el polo de GH en el origen estil encerrado por la trayectoria de Nyquist, entonces
-
po: I yCo:N+Po: -l + | :0.Entonceselsistemaesestable.
Laaplicaci6ndel criteriode plano s' en el estabilidad de Nyquist no depende de la trayectoria elegida
11.54.
El sistema del problema 11.42, ies estable o
inestable?
Al sombrear la regi6n a la derecha del contorno en la direcci6n prescrita se produce la figura -68. Resulta claro que N : 0. El punto (- I , 0) no esti4 en la regi6n sombreada. Ahora, puesto que lI pr>oy pz) 0, entoncesPo:0. EnconsecuenciaN: -Po:0, oco: N * Po, yel sistemaes estable.
t Figura 11-68
370
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
11.55. El sistema del problema 11.43, les estable
Y
SISTEMAS DE CONTROL
o inestable?
En la figura I I -69.se ha sombreado la regi6n a la derecha del contorno. El punto (- 1 , 0) no estr4 N 0. Puesto que Po 0, entonces Co Po+ N 0, y el sistema es estable.
encerrado, y
:
:
Im GII
:
:
I
+
Figura ll-69 11.56. Determine la estabilidad del sistema del problema 11.44. En la figura I 1.70 se ha sombreado la regi6n a la derecha del contorno. Si el punto (- l, 0) se |. encuentra a la izquierda del punto ft, entonces N = 0; si 6ste se encuentra a la derecha, entonces N
:
PuestoqueP6:0,entoncesCs:061:Portantoelsistemaesestablesiys6losi el punto(-1,0)se halla a la izquierda del punto ft. El punto & puede determinarse resolviendo para GH(ja.), en donde
-,:;-,*-'(;) cuando se dan
p; y pz, u. puede
-'*'(;)
determinarse f6cilmente a partir de egta ecuaci6n.
Im GII
f
r -(pr + ?d
-vir-1 I
punto K
-regi6n
inestable
para el punto
Figura tl-70
I
37r
ANALISIS DE NYQUIST
3 11.57. Determine la estabilidad del sistema del problema I 1.46. En la figura I l-71 se ha sombreado laregi6n a Ia derecha del contorno. Claramente puede verse = 1, Po 0 y Co t + 0 l. En consecuenciael sistema es inestable para todop 0.
gueN
:
:
:
)
f Figura ll-71 11.58. Determine la estabilidad del sistema del problema I 1.47. En fa figura 11.72 se ha sorirbreado la regi6n a la derecha del contorno-
ResultaclaroqueN>0.PuestoquePo:0parap>0,entoncesN+-Po'Enconsecuenciael sistema es inestable. Fieura I l-72
I Figura
11-72
372
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
T
Estabilidad relativa
I1.59. Determine: a) la frecuencia
de cruce de fase oo, b) la frecuencia de cruce de ganancia ar1 c) el margen de ganancia, y d) el margen de fase, para el sistema del problema | | .44 con p
: I v nr: I.
a)
Haciendo
!):t,l,a,
1
tenemos
- -" - ;-
O(r,)
,
tar,-raro
3o4/(l-24)-taar(r/2):
-
o.
ton-r2uo -
+ -r--t( *"\
Por ranro o,
:'11
-O.lW.
: t,rcnemos/a,r/("?+t)(r!+0.25) -t
h)
De ICH(ar1)l
c)
Ef margen de ganancia lllGH(a.)l puede determinarse de manera fricil de la griifica,
u
or-0.g2.
como se muestra en la figura I1.73. Tambi6n puede calcularse analiticamente: ICH(a")l : lGHl(.i0.'107)l : 4/3; por tanto el margen de ganancia : 3t4.
I
cfrculo unitario or = 0.82
Figura 1l-73
o^
",
lu,
l---- \
I I
9MF-
9go
\
GH(.r,
"=0?
/
Figura ll-74
li,
I
Re GII
I
Jt)
ANALISIS DE NYQUIST
J
A
El margen de fase puede determinarse con facilidad a partir de la gri6fica o analiticamente:
argGIl(o,)
:
argGH(0.82): -m"
En consecuenciaQve:
180'*
arg
que el sistema es inestable.
-
-
tan-1(O.AZ)
tan-l(r.e4)
GH(a): -7.8'.
:
-18?.8'
El margen de fase negativo significa
11.60. Determine los mdrgenes de fase y de ganancia en el sistema (GH I r.43.
:
l/s) del problema
El diagrama de estabilidad de Nyquist de l/.r, como se muestra en la figura ll-74, nunca atraviesa el eje real ncgativo; en consecuencia el margen de ganancia es indefinido para este sistema. El margen de fase es @rr
Cfrculos I I .61
*
:
99".
MyN
. Verifique las ecuaciones (l I .1 S) y (t I .1 9), las cuales M, respectivamente. Hagamos
dan el radio y el centro de un circulo
GQ't): x + jy. Entonces
I C(r) | | x+iv 'M:t----+t:t
I
|
It+G(co)l l1+x+7yl
Elevando al cuadrado ambos lados
t t
M2
y
reordenando, se produce
\l'.*":\r-fr) , l M \'
["- [m )]
ItM2\l'^tM\' x*f - ll +v':l-----:-l
[ \M'-1ll ' f
Para
M:
(-M2t(M2
\M'-rl
ML
constante, estas ecuaciones son circulos con radios lM/(M2
- l),
- l)l y centros en
0).
11.62. Verifique la ecuaci6n (l1.20). La funci6nde transferencia G para un sistema continuo de segundo orden, cuyo grafo de flujo C:o*,/s(s+2lo:,) Ahora
de sefrales se muestra en la figura ll-75, es
l|
TEORIA
3'14
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
1G
Figura ll-75 Para encontrar orr,, hallamos
el mdximo de la expresi6n anterior:
+ sfit'"| rr,, - "!'[z!"]' - "")(-2") !t da''-'
o
[t";_,r), +4rr,r,rf'
dc la
e: 6r: tur,,/l -
cual
. :l "'r ["; L
I
1
2(2
",](1-
.
Por tanto para 0 <
G(a)
c(r) R(
')
= ,r *
< 0.707,
_1"' : "i, z(\l' a(a](L -zf')
I
+
.63 Verifique las ecuaciones (1 1 .2 1) y (l I .227,las cuales Hagamos
f
I 2nE
1
t
dan el radio y el centro de un circulo
7_v. Entonces
x2+x+y2+iy (t + x)2 +y2
,,_ Im(C/R)(o,) :;r+ '": R.(c,/R)(,t
y x +:y1
lo cual produce
/
1\2 / t(- 1\ *('- 1\2 :o('*
|,"*tJ
r.)
"',l
Para N igual a un pardmetro constante, 6sta es la ecuaci6n de un circulo de radio
centro en
(- \,172U1.
!
+ (r72N)'z v
11.64. EncuentreMry (parael sistemaconretroalimentaci6nunitariadadoporG: l/s(s
+ l).
La funci6n de transferencia general en malla abierta para un sistema de segundo orden es Entonces o,,:1,f :0.5, y Mo-L/(z$ll-f'):O.8OO.
G: u|/s(s+2(a,,).
fl
375
ANALISIS DE NYQUIST
I
Problemas miscel6neos 11.65. Determine el diagrama polar en
-
P(r): para un periodo de muesffeo
z-I
T : l.
La soluci6n requiere la transformaci6n de la franja desde
-
jl;., 12 hasta jar.
/2 sobre el
eje
jo
delplanos,o,demodoequivalente,rrl: -,2'hastaa:nradianesenelcirculounitariodelplano zal pfanop(e/i.Tenemotp,";if -- O.S/y)VPkP\:-/X90".Laevaluaci6n deP(ei\para diferentes valores de ar entre - T y O da ii-a linea recta parTiEla ai-eje imaginario en el plano P' como se muestra en la figura 1 1-76, en donde los segmentos desde a hasta b y desde S.hasta 4 transforman los segmentos correspondientes del cfrculo unitario en la figura ll-13.
ImP
*
ro:0 Figura
11-76
11.66. Determine el diagrama polar de la funci6n de transferencia en malla abierta del sistema discreto del tipo 0.
GH
(
zt_
3(z
+.tXz+ z(z +
*)r
i)
paraK:lyT:1.
It
En este caso, el diagrama polar, como se muestra en la figura I I -77, se ha dibujado mediante un computador. El programa de computador evalfa GH@ia para valores de oT : o en el rango de - z hasta a'radianes, separa cada resultado en las partes real e imaginaria (fon4a compleja) y luego genera la grdfica rectangular a partir de estas coordenadas.
3't6
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
Im GIf
0.3
0.2 0.1
Re
-
GII
0.1
-0.2
-
0.3
Figura 11.77 11.67. Determine el diagrama polar de la funci6n de transferencia en malla abierta del sistema discreto del tipo l.
GH(z): para
K(z +
i*
7\2
(z-1)(z+|)(z+|)
K : I y T : l.
Como en el problema I I .66, el diagrama polar que se presenta en la figura I I -78 fuc generado por computador, exactamente de la misma manera como se describi6 en el problema anterior.
Im GII
; Figura ll-78
377
ANALISIS DE NYQUTST
I
11.68. Determine la estabilidad absoluta del sistema dado en los ejemplos
K :- 2 y T
:
1
l.l I y 11.14, para
l.
En la figura I 1.79 se presenta el diagrama de estabilidad de Nyquist para K : 2. Laregi6n ala derechasehasombreadoylagrdficapasaexactamentepor(-1,0).Asi,N>0yN+ -Ps,elcuales cero para este problema. En consecuencia el sistema es marginalmente estable pala K : 2. Paru K
>2,elpunto(-1,0)est6encerradoporcompletoN: l,yelsistemaenmallacerradaesinestable.
lmGH
*
Figura ll-79 11.69. Determineel diagramadeestabilidaddeNyquistenel sistemadadoenel problema I1.65.
:
-
Notamos que P(z) zl(z I ) tiene un polo en I , asf que debemos comenzar transformando al plano P el scgmento desde b hasta c del semicirculo infinitesimal cerca de z l, en la figura l l- 13. En su conjunto, tenernos una transformaci6n conforme, asi que la gr6fica debe girar a la derecha en peJo,con @ aumentando desde -90o hasta 0o. En consecuencia b'. Enrre b y c, z
:
: | *
P(L
+
peio)
:
|*
petQ
pejq
,
;g",
r+ pei+):^:*:*/
-+
Por tanto, el arco desde b hasta c en el plano z se transforma en el semicirculo infinito desde b' hasta c', desde *90' hasta 0o, como se muestra en la figura I l-80. Para obtener la transformaci6n de la linea desde c hasta d eq la figura I l-13, notamos que 6sta es la transformaci6n de P(z) desde
z
:
/f
l/O%asta z
: .Iy
(iingulo
d constante).
esto es.
P(1): */0"-
t
en donde hemos remplazado z en P(z) por I
la fisura ll-80 muestra la transformaci6n
*
a al obtener el resultante.
limite. La linea c'
a
d' (a
+
l
) en
378
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
ImP
Figura ll-80 El circulo infinito de
0o
a -360',
desde
*
d hasta e enlafigura ll-13, se transforma en el z : I en el plano P, porque
semicirculo infinitesimal alrededor del punto
P(Reio):
yP+ I amedidaqueR +
RerQ
Rejv
eJQ
-_
- |
-T
eJg--
R
eparacualquier@;unaspocasevaluacionesdel argP(Rd)para
valores de @ entre 0' y -360" muestran que el limite se aproxima desde valores en el primer cuadrante de P cuando 0 < d < -180', y desde el cuarto cuadrante cuando -180' < d <
-360", conP(RdS): arco
l/(l + l/R)< lparaR)0en4l:180o.
Enlafigura ll-80semuestrael
d' a e' resultante.
El arco e' af en la iigura ll-80 se obtiene de la misma manera que el de c' a d', tomando los limitesde(a + l)/aamedidaque 4+ a y0. Yel cierrefinaldeldiagramadeestabilidadde Nyquist, el arco / a g' se obtiene, como se muestra, de la misma manera que. el de b' a c' .
11.70. Para GH
: P:
zl(z
- l) del problema
11.69, aes estable el sistema en malla cerrada?
En la figura I l-80 se ha sombreado la regi6n a la derecha del contorno y 6sta no encierra el
punto(-1,0).EnconsecuenciaN<0.EI fnicopolodeGHest|enz=l,elcualnoestdporfuera del circulo unitario. Asi Po : 0, N : -Po:0, y el sistema es absolutamente estable. 11.71. Determine la estabilidad del sistema dado en el problema 11.66. La funci6n de transferencia en malla abierta
es
!) o, _ iG:t)(': z\z +
i)
'
379
ANALISIS DE NYQUIST
l
En la figura I l-77 se presenta el diagrama polar de GH, que es la transformaci6n de los arcbs desde ahastaby desdeg hastaa de lafigura I l-13. No hay polos deGH enel circulo unitario, asique no
infinitesimales debacy def agde lafigura ll-13. Haciendoz:1 * ay utilizando los mismos procedimientos para hallar el limite, mostrados en el problema 1 1.70' las lfneas rectas hacia el infinito y desde el infinito, b a d y e a/en la figura 1 I - I 3, se transforman en las lineasde badydeeaTenireReGHly S.Demodosimilar, remplazando azporl + Reio,Y cuando R 1 6, el arco infinito desde d hasta e se transforma en el semicirculo infinitesimal se necesitan los arcos
alrededor de ReGH
:
f , como se muestran todos en la figura ll-81.
Im GII
t
Figura
11-81
como se muestra, el punto (-1,0) no estii encerrado por este contorno, N sistema en malla cerrada es absolutamente estable.
:
0 Po
:
0, y el
11.72. Determine la estabilidad del sistema dado en el problema I l '67'
La funci6n de transferencia en malla abierta
GH:
es
(z + r\2
(z-t)(z+])(z+|)
En la figura I l-78 se presenta el diagrama polar de GH. La conclusi6n de la transformaci6n del
contomocerradodelexteriordelcirculounitarioenelplanoz(figura tl-13)resultamuyparecidaa
*
ladescritaenelproblemall.6gyenelejemploll.ll.Enestecaso,elpunto(-1,.0)est6encerrado : I . Puesto que Pe : 0 y Cs : N * Po : l, entonces un cero de
una sola vez por el contomo, esto es, N
I * GH esti por fuera del cfrculo unitario del plano z, y el sistema en malla cerrada en consecuencia es inestable (figura ll-82).
380
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALTMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
a lmGH
* Figura 11-82
Problemas suplementarios 11.73. Si en el problema 11.48, T
: 2yp:
5,6es estable este
sistema?
11.74. 6Es estable o inestable el sistema del problema 11.49?
11.75. ;Es estable o inestable el sistema del problema I1.50? 11.76. Dibuje el diagrama potar para
11.77. Dibuje el diagrama polar para
cn: 4t t"(;
+ zt)(s +
GH: -;-
'
z;'
Pi) 0'
K
(,+;JGJ;JG+pJ
11.78. Encuentre la respuesta de frecuencia en malla descrito
z2)
' Pi>o'
cerrada del sistema con retroalimentaci6n unitaria
por G: Utitizando los cfrcutos M y -jq=95)-. s'(s + 1)(s + 10) '
N.
i
381
ANAI-ISIS DE NYQUIST
* Gtrl:
11.79. Dibuje el diagrama polar para
K(s + zt) zy +p2Xs + pr\' '" P;> +p1)(s s2(s "'
11.80. Dibuje el diagrama de estabilidad de Nyquist para
ll.8l.
Dibuje el diagrama polar
cn: -*apr ,
para
11.82. Dibuje el diagrama polar para
11.83. Dibuje el diagrama polar para 11.84. Dibuje el diagrama polar
{
para GH
11.86. Dibuje el diagrama polar paraG/y':
11.87. Dibuje el diagrama polar paraCH:
Dibuje el diagrama polar para
s2(s
,
,
21, p17 0.
s+zr
s1s+l\Xs+;1
t \1 p1)0.
(s + zt)(s + zr) s2(s +
p,)(s +
p'r')(s
+ pr)'
zi, pi > 0.
K
r1(r+p.Xr+pJ,
11.89. Dibuje el diagrama polar para
GH:
tt.90.
Dibuje el diagrama polar para
or:!#+,
It.er.
Dibuje el diagrama potar paraeu:
P,>0.
,
"": mJ*r'*,
11.93. Dibuje el diagrama polar paracll:
zr,pi>0.
0. +p,)(s +pr) ' Pi>
zr, pi> 0.
21,.iP1> 0.
n#,
Zt,pr)o.
,
-r";f,ll,;'l--
11.92. Dibuje el diagrama polar paracll:+:+
*
> o.
zr, pr
K
: -:::]-s-(s+pr)
11.85. Dibuje el diagrama polar para GH:
u.88.
GH: :L: + s(r I'
cll: ,G;#.pr,
GH:
0.
21,a,b)0.
,21,p1>0.
G;JG:;;
,
p,)0.
la figura I l-12 se presentan diferentes partes de la trayectoria de Nyquist para sistemas continuos, y los diferentes segmentos se definen matem6ticamente por medio de las ecuaciones (11.5) a
11.94. En
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE. CONTROL
I
la (t t .12). Escriba las ecuaciones correspondientes a cada segmento de la trayectoria de Nyquist para los sistemas discretos en el tiempo que se dan en la figura l I - I 3. (Una de 6stas se presenta en el problema l1.ll. Vdanse tambi6n los problemass 11.69 y 11.70).
Respuestas
a algunos problemas suplementarios
11.73. si 11.74.
Inestable
11.75.
Inestable
tL.76.
f
n.n.
n.79.
*
383
ANALISIS DENYQUIST
3
r1.$. ImGH
a
*
Capftulo 12
il
Disefro utilizando el an6lisis de Nyquist l2.l
Filosofia del diseno
El diseno mediante el an6lisis en el dominio de la frecuencia utilizando las t6cnicas de Nyquist misma manera general que los otros mdtodos de disefro descritos en este libro: se introducen redes de compensaci6n apropiadas en las trayectorias directa o de retroalimentaci6n, y se analiza y reanaliza criticamente el comportamiento del sistema resultante. De este modo se da forma y se reforma el diagrama polar hasta que se cumplan las especificaciones de desempeno. Eprocedimiento se facilita notablemente cuando se utilizan programas de computador para generar diagramas polares. Puesto que el diagrama polar es una representaci6n gr6fica de la funci6n de respuesta de fiecuencia GH(at) en malla abierta, muchos tipos de componentes de compensaci6n pueden utilizarse en la trayectoria directa o en la de retroalimentaci6n, llegando a ser parte de G o de H. A menudo, la compensaci6n en una sola trayectoria, o una combinaci6n de compensaci6n por retroalimentaci6n y en cascada, pueden utilizarse para satisfacer las especificaciones. En este capitulo se realiza de la
f
se hace 6nfasis en la compensaci6n en cascada.
12.2 Compensaci6n del factor de ganancia En el Capitulo 5 se destac6 que un sistema inestable con retroalimentaci6n puede estabilizarse algunas veces, o que un sistema estable puede desestabilizarse, al ajustar de manera apropiada eL t'actor de ganancia K de GH. El m6todo del lugar de las raices, descrito en los Capftulos t3 y 14. ilustra claramente este fen6meno, pero hmbi6n se evidencia en los diagramqs de estabilidad de
Nyquist.
EJEMPLO12.1. Lafigura l2-l indicaunsistema continuo inestablecuandoel factordegananciacsKl, cn donde
G/1(s):
Kr
s(s +pr)(s
+pr)
Pt, Pz, Kl >
O
Po:0
N:2
Como se ilustra en la figura l2-2, una disminuci6n suficiente en el factor de ganancia cstabiliza cl sistcma.
GIl(s):
K2
s(s +pr)(s
+pr)
0.Kr
La disminuci6n adicional de K no altera la estabilidad
.
384
Po-0
a
K2(K2
< K)
N-0
*
385
DISENO UTILIZANDO ELANALISIS DE NYQUIST
J
Figura
12-1
Figura EJEMPLO 12.2. El sistema de control del tipo
GHr: cs inestable, como se muestra en la figura cn malla abierta
ll-79
I
12-2
discreto en el tiempo con
I
(z-L)(z-r) y en el problema I 1.68. Esto es, la funci6n de transferencia
cH-G#;' se encontr6 inestable para K = 2. Por tanto puede utilizarse compensaci6n del factor de ganancia para estabilizarGHr, atcnuandoel factordegananciaKl-- l deGHr porunfactormenorque0.5. Porejemplo, si al atenuador se le da un valor de 0.25, la GH : G/12 resultante tendrfa el diagrama de estabilidad de Nyquist de la figura ll-25, el cual se mostr6 en el ejemplo ll.l4 para representar un sistema estable.
*
EJEMPLO 12.3. En la figura I 2-3 sombreada del eie real:
se indica la regi6n estable para el punto
(
-
I
, 0) mediante la parte no
386
TEORIA
GH(s)
-
Y
PROBLEMAS DE RETROAUMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
{
K(s+er)(.r+22) s2(s #p,)(s +pr)(.r +p3)
211
Z2)0
Pr>0
Po-O
# Figura l2-3
(-
Si el punto l, 0) cae en la regi6n estable, un aumento o disminuci6n de Kpuede causar un desplazamiento en el contorno de GH , hacia la izquierda o hacia la derecha, suficiente para desestabilizar el sistema. Esto puede suceder porque la regi6n sombreada (inestable) aparece a la derecha y a la izquierda de la regi6n no
sombreada (estable). Este fen6meno se llama estabitidad condicional.
Aunque a menudo la estabilidad absoluta puede alterarse al ajustar s6lo el factor de ganancia, otros criterios de desempefio tales como los relacionados conla estabilidad relativa, usualmente requieren compensadores adicionales.
12.3 Compensaci6n del factor de ganancia utilizando circulos
M
El factor de ganancia K de G en un sistema con retroalimentaci1n unitaria puede determinarse para un pico resonante especffico Mrpor medio del siguiente procedimiento, el cual requiere
dibujar el diagrama polar una sola vez. Paso
l:
Paso 2z
Dibuje el diagrama polar de G(ar) para
K : |.
Calcule Vo, dado por
Vo:
sen
'(;)
(r2.r )
*
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE
* Paso
3:
NYQUIST
Dibuje una linea radial
E
387
a un 6ngulo
V,
por debajo del eje real negativo, como se
muestra en la figura 12-4.
Figura
Paso
4:
a G(ar) como alalinea B en C. Trace entonces una perpendicular al eje real como se muestra en el diagrama polar del ejemplo de
Dibuje el circulo M rtangente tanto
lineaD
;
Figura l2-5
12-4
la figura l2-5. Paso
5:
Mida la longitud de lalinea AID a lo largo del eje real. El factor de ganancia K necesario para el Mo especificado se calcula p.or medio de
(r2.2)
Kro
lonsitud de la linea AD
Si se dispone del diagrama polar de G para otro factor de ganancia K' diferente de aplique lospasos2 al 5 y utifice la siguiente f6rmula para el factol de ganancia necesario parcalcanzar el
K: l, noes necesariorepetirestagrfifrcaparaK: l. Simplemente Mo especificado:
K'
Kro
(r2.3)
loneitud de la lfnea ,4D
12.4 Compensaci6n por adelanto La funci6n de transferencia para una red de adelanto en un sistema continuo, presentada en la ecuaci6n (6.2), es
P ud.l-,o
. en donde a
< b. En la figura 12-6 se muestra
J+(I J+D el diagrama polar de
Prd.l-.
para 0
388
TEORIA
Y
fm
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
P"6";-1o
Pd.k.to (o)
P*uro (.) R€
l'igura
Padetanto
12-6
Para algunos sistemas en los cuales es aplicable la compensaci6n por adelanto, una elecci6n apropiada del cero en -a y el polo en -b permite un incremento en el factor de ganancia Ken malla abierta, proporcionando mayor exactitud (yalgunas veces estabilidad), sin afectar adversamente la respuesta transitoria. A la inversa, para un K dado, el desempef,o transitorio puede mejorarse. En algunos casos, las respuestas en estado estacionario y transitoria pueden modificarse de modo
favorable con una compensaci6n por adelanto. La red de adelanto proporciona compensaci6n en virtud de su propiedad de adelanto de fase en el rango de baja a media frecuencia y su atenuaci6n es imperceptible a altas frecuencias. El rango de baja a media frecuencia se define en la vecindad de la frecuencia resonante aro. Varias redes de adelanto pueden conectarse en cascada si se requiere un adelanto de fase grande.
t
La compensaci6n por adelanto generalmente aumenta el ancho de banda de un sistema. EJEMPLO 12.4. En la figura 12-'7 se presenta el diagrama polar para Kr c4("): s(s +pr)(s +pr)
K1, p1,
p2)
0
Figura l2-7 Este sistema es estable, y el margen de fase @yp es mayor que 45". Para una aplicaci6n dada, @yp es demasiado grande y causa un tiempo de retardoTa mayor que el deseado en la respuesta transitoria del sistema. El error en estado estacionario tambi6n es demasiado grande. Esto es., la constante de error de velocidad Ku es demasiado pequena para un factor de ,\ > l, Modificaremos este sistema mediante una combinaci6n de compcnsaci6n del factor de ganancia, para cumplir la especificaci6n en estado estaciona-
I
389
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST
t
rio, y la compensaci6n por adelanto de fase, para mejorar la respuesta transitoria. Suponiendo H(s)
: l, la
ecuaci6n (9.12) produce
Kr=riq[sGl{
IK
trK.:j -' PrPz
y por tanto Haciendo Kz
d:h
= )tKr, la funci6n
de transferencia en malla abierta es entonces
K2
GHz:
s(s
+p,)(s +pr)
sistema representado por GH2 tiene la constante de velocidad deseada K,2: iK6. Consideremos ahora lo que le sucederia a K,2 de GH2 si se introdujera una red de adelanto. Esta actria como un atenuador a bajas frecuencias. Esto es,
El
fiq IsCttr(s)
I
p"d"r"n,o
(t)] :
K"a
;ij.
^*,t
puesto que alb < l:Enconsecuencia, si la red de adelanto se usa para modificar la respuesta transitoria, el factor de ganancia Kr de GH r debe aumentarse )t(b/a) veces para cumplir con el requerimiento de estado estacionario. La parte del factor de ganancia de la compensaci6n total deberia ser entonces mi6s grande de lo que se necesitaria si s6lo tuviera que cumplirse la especificaci6n en estado estacionario. Por tanto modifica-
mos GHz, produci6ndose
GH3:
)rKr(b/a) s(s +p1)(.r +p2)
Como ocurre a menudo, el sistema se desestabiliza al aumentar el factor de ganancia en una cantidad tan
grandecomo,\(b/a)veces,comosemuestraenlosdiagramaspolaresde GH1,GH2y GH3enlafigural2-8'
* Figura l2-8
390
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
STSTEMAS
DE CONTROL
{
Ahora, insertemos la red de adelanto y determinemos sus efectos. GH3 se hace
GH4El lim,
- o[sGI/o(s)] = 1,K,1 nos convence
+ a)
s(s ^KJb/a)(s +p,)(s +pr)(s
+ D)
de que la especificaci6n en estado estacionario se ha cumplido.
En efecto, en la regi6n de muy bajas frecuencias tenemos
GHa(jo)1.^,ypequeno-
_
,ja ^Tt,ja + pr)( + pr) ,
J,n( '
GHz
Por tanto el contorno GHaprdcticamente coincide con el contorno GH2en el intervalo de frecuencias muy bajas.
En la regi6n de frecuencias muy altas, GHa Qat)l-
muy gmnde
3
jr(
)rKr(b/a) j" + pr)( ja + pr) = GHt
En consecuencia, el contorno GHa c4si coincide con el contorno GH3 para frecuencias muy altas.
|l
En el intervalo de frecuencias medias, en donde la propiedad de adelanto de fase de la red de adelanto altera de manera sustancial las caracteristicas de fase de Gfla, su contorno se inclina desde el lugar geom6trico de GH2 hacia el de GH3 a medida que al aumenta. Este :fecto se entiende meior si escribimos GHr enla
forma sisuiente:
or^(id:l
\K{b/a)
Itf#l
jr( j, + pr)( ju + pr) : GHy( ja).Paderanto (rr) : Gg(
j.l\.lpuo,,un,ot
liQl/
O(t)
t Figura l2-9
391
DISENO UTIT-IZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST
; en dondelPadefanto (jr.,,)l lPaderanto Oro)l < l, 0'<
: t/@ +@@+ 6fut) < 90'.
u'), Q@) = tan-t (ala) - tan-t (alb)' alb <
En consecuencia la red de adelanto modifica GH3 como sigue' GH3 se desplaza hacia abajo comenzando enGHz( ja) en la direcci6n S (antihoraria) haciaGH2, debido a la contribuci6n de fase positiva de Pu6"1un,o t0" < d(ar) < 90']. Ademds est6 atenuada [0 { lP34.1un1o (jat)l < ll. En la figura l2-9 se ilustra el diagrama polar resultante para GHa. El sistema representado por GH aclaramente es estable, y dvr es menor que 45', al reducir el tiempo de retraso I.1 del sistema original representado por GH 1. Mediante un procedimiento de ensayo y error, el cero
en
-a y el polo en -b
pueden elegir de tal manera que se alcance un Mo especifico.
En la figura l2-10 se presenta un diagrama de bloques del sistema totalmente compensado. Por conve-
niencia s6lo se muestra la retroalimentaci6n unitaria.
funci6n de tmnsferencia de la malla original
amplificador del factor de ganancia
T
Figura l2-10
12.5 Compensaci6n por atraso La funci6n de transferencia para la red de atraso en un sistema continuo, presentada en la ecuaci6n (6.3),
es
als+Dl Prr-"o:;l . bls+al
I
endonde
a
Enlafigura
l2-ll
sepresentaeldiagramapolardePara.o
Figura
*
psfilOSale'
l2-ll
Usualmente la red de atraso produce compensaci6n en virtud de su propiedad de atenuaci6n en : t ! Put *o (@) : alb < l ' la parte de alta frecuencia del diagrama polar, puesto que lPu,*,o (0) Varias redes de atraso pueden colocarse en cascada para proporcionar una atenuaci6n afin mayor,
392
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
si se necesita. La contribuci6n de atraso de fase de la red de atraso a menudo se restringe mediante
el diseflo al intervalo de muy baja frecuencia. Algunos de los efectos generales de la compensaci6n por atraso son:
l. 2.
Usualmente disminuye el ancho de banda del sistema.
La constante de tiempo dominante
r
del sistema a menudo aumenta, produciendo un
sistema mds lento.
3. 4.
Para una estabilidad relativa dada, el valor de la constante de eror aumenta. Para un valor dado de la constante de error, la estabilidad relativa se mejora.
El procedimiento para utilizar la compensaci6n por atraso para mejorar el desempefro del sistema es esencialmente el mismo usado para la compensaci6n por adelanto. EJEMPLO 12.5. Redisenemos el sistema del ejemplo 12.3 utilizando un factor de ganancia mi{s la compensaci6n por atraso. La funci6n de transferencia en malla abierta orieinal es
G&:
Kl s(s
+p,)(s +pr)
La funci6n de transferencia de la compensaci6n del factor de ganancia
GHz:
es
t
I& s(s +p,)(s +p2)
:
Puesto que Put" o (0) I , la introducci6n de la red de atraso despuds que se ha cumplido el criterio de estado estacionario mediante la compensaci6n del factor de ganancia, no requiere un aumento adicional en el factor de ganancia.
Introduciendo la red de atraso, obtenemos
GHi =
)t.Kr(a/b)(s + b) s(s +p,)(s + pr)(s + a)
Iq [scaj(s)] : Ir.,
Ahora
K"; = KtlprPz. Por tanto GIIj cumple la especificaci6n de estado estacionario. En la regi6n de frecuencias muy bajas,
donde
GHiUa)l-
nruy pequeio
3
IKr
jr( j,
+ pr)( jot + pr)
:
GH2(io;)
Por tanto CH casi coincide con GH2 a frecuencias muy bajas, y en este intervalo se manifiesta de por si la propiedad de atraso de esta red. En la regi6n de frecuencias muy altas,
GHi Q
grande
3
j"(
)r(a/b) K1 j, + pr)( ju + pr) -)r(a/b)cHr( jot)
*
393
DISENO UTILIZANDOEL ANALISIS DE NYQUIST
l
GHi
En consecuencia, el contomo
si
,\ > bla o si i < b/a,
se
encuentra por encima o por debajo del contorno GH1 , dependiendo de
respectivamente. Si ,tr
:
b/a, los contornos GHi y GHt coinciden.
En el intervalo de frecuencias medias. el efecto de atenuaci6n de P"o^o aumenta a medida que ar se hace mi4s grande, y hay un atraso de fase relativamente pequefro. En las figuras 12-12 y I 2- I 3 se presentan el diagrama polar resultante (con ,\ b/a) y un diagrama de .
:
bloques del sistema completamente compensado.
lm GH
I I
t
I
I I
I
CH;
I
I
leu,
lGHl
I
I
Figura
12-12
ainplificador
del factor
funci6n de transferencia de la malla original.
de
ganancia
Figura
12-13
12.6 Compensaci6n por atraso-adelanto La funci6n de transferengia para una red de atraso-adelanto en un sistema continuo, presenta-
da en la ecuaci6n (6.4),
es
4no
+
(s+at)(s+b2) (s+6,)(s+42)
endondealb2lbp.2: l,b1la1 :b2la2) l,a1,bi>0. Enlafigura l2-l4sepresentaeldiagrama
polardePaaparaO=afa.
TEORIA
394
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
ee(o) =Pee(.)
Figura
12-14
La compensaci6n por atraso-adelanto tiene todas las ventajas de la compensaci6n por atraso y de la compensaci6n por adelanto, y solamente un mfnimo de sus caracteristicas inconvenientes. La satisfacci6n de muchas especificaciones del sistema es posible sin la carga de un excesivo ancho de banda y de pequefras constantes de tiempo dominantes.. No es f6cil generalizar sobre la aplicaci6n de la compensaci6n por atraso-adelanto o prescribir un m6todo para su empleo, especialmente al utilizar las t6cnicas de Nyquist. Pero, con prop6sitos ilustrativos, podemos describir c6mo altera las propiedades de un sistema simple del tipo 2, con el ejemplo siguiente.
l
EJEMPLO 12.6. En la figura 12-15 se presenta el diagrama de estabilidad de Nyquist para
K GH: -;:-' . s'(s +pt)
h, K>0
puede verse con claridad que el sistema es inestable, y ninguna compensaci6n del factor de ganancia puede
estabilizarlo porque el contorno para 0 ( o < @ siempre est6 por encima del eje real negativo. La compensaci6n por atraso tambi6n es inaplicable, bi6sicamente por la misma raz6n.
Im
Gllaaet-to
efecto de la compensaci6n por adelanto
Re Gfl"a"t-ro
+ Figura
12-15
Figura 12-16
395
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST
t
Como se muestra en la figura 12-16,la compensaci6n por adelanto puede lograr la estabilizaci6n del sistema. Pero la aplicaci6n deseada para el sistema compensado puede pedir un ancho de banda menor que
el que puede lograrse con la red de adelanto. Si se utiliza la red de atraso-adelanto, la funci6n de transferencia en malla abierta se hace
GHw:
K(s+cr)(s+6r) sz(s +p,)(.r + D,)(s + a2)
y el diagrama polar se presentp en la figura l2- 17. Este sistema es condicionalmente estable si el punto ( - l , 0) cae sobre el eje real en la regi6n no sombreada. Por ensayo y error, los par6metros de la red de atrasoadelanto pueden escogerse para producir un buen desempefro transitorio y en estado estacionario en este sistema previamente inestable, y el ancho de banda ser6 mi{s pequefro que el del sistema compensado por adelanto. Un paquete de disefro de sistemas de control con ayuda del computador (DAC), o cualquier programa que genere diagramas polares, pueden utilizarse para ayudar a realizar esta tarea de manera r6pida v efectiva.
*
Figura
12-17
12.7 Otros esquemas de compensaci6n y combinaciones de compensadores Muchos tipos de redes f(sicas pueden utilizarse para compensar los sistemas de control con retroalimentaci6n. Las redes de compensaci6n tambi6n pueden implementarse mediante programas de aplicaci6n (software), como parte de un algoritmo de control en un sistema controlado por computador. Los controladores PID son de una clase bastante popular (vianse los ejemplos 2. l4 y 6.7. y la secci6n 10.5;. En los ejemplos 12 .4 y I 2.5 se utilizaron combinaciones de redes con factores de ganancia de adelanto o de atraso respectivamente, y en el ejemplo 12.6 se utiliz6 s6lo un compensador por atraso-adelanto. Otras combinaciones tambidn son factibles y efectivas, particularmente donde
't
los requerimientos de error en estado estacionario no pueden alcanzarse mediante la sola compensaci6n del factor de ganancia. A menudo este es el caso cuando la funci6n de transferencia en
malla abierta tiene muy pocos "integradores", esto es, t6rminos en el denominador de la forma s/ parasistemascontinuos, o(z - l)lparasistenrasdiscretos, comoseilustraenel siguienteejemplo.
396
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CON.TROL
a EJEMPLO 12.7. Nuestro objetivo es determinar un compensador apropiado G{z) para el sistema digital que se muestra en la figura 12-18. El sistema en malla cerrada resultante debe cumplir las siguientes especificaciones de desempefro:
l. 2. 3.
El error en
estado estacionario
Margen de fase dup
=
e(a)
: |-
c(a1
<
0.2, para una entrada rampa unitaia.
30'.
Frecuencia de cruce de ganancia ar1
> l0 rad/s* planta
Figura 12-18
Z:
El periodo de muestreo en este sistemaes 0.1 s (frecuenciaangularde muestreo@u :2zr I O.l -- 2}r,rzd,/s). Primero notamos que la planta es un sistema del tipo 0, porque no hay ningfn t6rmino "integrador" de la forma (z l)l en el denominador de G2Q) para I (vdase la secci6n 9.8). Para cumplir la primera especificaci6n de desempefro, inmediatamente se aprecia con claridad que el tipo de sistema global en malla abierta debe incrementarse en un factor por lo menos de l, esto es, el sistema compensado debe ser por lo menos del tipo l, para alcanzar un error en estado estacionario finito para una entrada rampa unitaria..En
>|
-
consecuencia adicionamos un polo sencillo en z compensaci6n apropiada:
Ahora,
: l,
*
como Gf , en un primer paso para determinar la
partir de la tabla de la secci6n 9.9, el error en estado estacionario para una entrada rampa unitaria es 11y,, y Iaconstante de errorde velocidad esKy : 3(2xiy8() = f. Enconsecuenciae(a) = 3, que es mayor que el valor de 0.2 requerido por la especificaci6n de desempefio l. La siguiente pregunta obvia es si la adici6n de una compensaci6n del factor de ganancia seria suficiente para completar el disefro. Esto requeriria un aumento en la ganancia en por lo menos un factor de ,\ : lt(O.2) (il: f , lo cual produce a
e(a):
Gt'Gr=
45(z+t)(z+|) l5 TGtGi- 16z(z-t)(z+|)
Para verificar los criterios de desempefro restantes (2 y 3) la frecuencia de cruce de ganancia ar1 y el margen de fase @yp pueden evaluarse a partir de las ecuaciones que los definen en la secci6n l1.ll. Tenemos
dMF
*Vdase el problema
I2.I
banda AB del sistema.
:
[180
+ argGi'Gr(or)]
graoos.
6 para un an6lisis adicional de esta especificaci6n de desempeffo y su relaci6n con el ancha de
!l
397
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST
I
y (dl satisface la ecuaci6n
l: r
lci'cr(r,rt)
y Q"np podrian determinarse de manera gr6fica a partir de un diagrama de estabilidad de Nyquist de G!'G2,como se muestra en la figura I l-16. Pero una tarea menos dificil es resolver ar1 y fyp a partir de las ecuaciones que los definen, preferiblemente empleando un programa de computador capaz de hacer c6lculos num6riqos complejos. Esto puede hacerse al sustituir primero z enGl'Gr(z) por eie,y gtilizar las sustituciones dE la forma polar, la forma de Euler y/o la forma compleja [ecuaciones Ahora, @r
(1
1.2)ala(1 1.4)lyluegoresolverparaoyTdetalmodoquelGi'G2l:1. Aeste.respectolasoluci6n
por ensayo y error de c,r17 puede ser ftil, ya que la utilizamos para encontrar a1T de varios ensayos, lo cual da como resultado Gi'Gr(u) : -0.72 + i0.7, y
d",
*
\l : I1180" - tan-rlt ---0.7 ll: ^_ \ -0.7211 L
:
2.54 rad, despu6s
-44.4"
Con claridad se ve que a1 -- 2.5410.1 : 25.4 > l0 rad/s satisface la espe-cificaci6n 3 de desempefio pero no el requerimiento 2 del margen de fase, porque Qur: -44.4o >3Oo, el margen de fase negativo tambi6n indica que el sistema en malla cerrada conGl'G2 es inestable. La introducci6n de un compensador por affaso podria resolver la restricci6n restante porque 6ste aumenta el margen de fase sin afectar el error en estado estacionario. La funci6n de transferencia de un compensador digital por atraso se present6 en el ejemplo 6.12, ecuaci6n (6./1), como
Pa,ram(z)
en donde z"
(
=(=)l=l
p.. N6tese que Puo*( I ) : Pu,.*o (eI)
:
1
respuesta en estado estacionario de este sistema del tipo
de
,
(12.4)
lo cual explica por qu6 la red de atraso no afecta la En la figura 12-26 se presenta el diagrama polar
l.
Paftaso.
Ef problema ahora es escoger los valores apropiados de z, y p" que produzcan drtrr = 30' y ar1 = 10 rad/s. De nuevo, efectuamos esto por ensayo y error, utilizando un computador para evaluar la soluci6n simuft6nea para zc y p, de las dos relaciones lG1"'G2(L0)I:L, y
dMF,: [180 en donde
Gi|cz:
Pu1,u"o
(C1"G).
*
argGi" c2(10)l > 30"
Estas ecuaciones tienen
mriltiples soluciones
y,
a menudo, unas
buenas elecciones para pc y z. son valores cercanos a I , porque entonsss Put ass tiene efectos minimos sobre la fase de Gi'G2a frecuencias m6s altas. El polo y el cero de Puo* efectivamente se cancelan entre si a altas frecuencias cuando sus valores son cercanos a l. Despu6s de varios ensayos, obtuvimos a = 0.86 y b
:
0.97, y un compensador final: 1.5e( z - 0.86) G,('): Gi" (') : (z-L)(z-0.e7)
*
En la figura 12-19 se presenta el diagrama polar resultante (para 0 C1G2
con
{vr'>
30".
1a 1zr) en el sistema
compensado
398
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
a
lm GrG,
Re G,G,
# Figura
12-19
El ejemplo anterior se trabaj6 por medio de las t6cnicas del lugar de las raices del ejemplo 14.5, y tambi6n mediante los m6todos de Bode del ejemplo 16.6, la riltima soluci6n utilizando la transformada w presentada en la secci6n 10.7.
Problemas resueltos Compensaci6n del factor de ganancia
12.1.
Considere la funci6n de transferencia en malla abierta GH sistema representado por GH es estable o inestable?
:
Inestable. La ecuaci6n caracteristica se determina a partir de | + GH 0 y est6 dada mediante 3s I 0. Puesto que todos los coeficientes no tienen el mismo signo, el sistema es inestable (vlase el problema 5,27). Determine el valor minimo del factor de ganancia para estabilizar el sistema del problema s2
12.2.
: -3/(s + l)(s + 2). 1El
+
- :
anterior. 3s
Escribamos Gll como GH : K/(s + l)(s + 2). Entonces. la ecuaci6n + 2 + K = 0, y la tabla de Routh (vlase la secci6n 5.3) es
,' l-f---12 + r;srlt o so Nz+r;
caracteristica es s2 +
t
399
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DENYQUIST
I
Por tanto el factor de ganancia minimo para la estabilidad es K nfmero positivo pequefro.
= -2 + e, en donde
e es
cualquier
del problema anterior nos dice que el sistema de los problemas 12. 1 y 12.2 es .estable para todo K > -2. Dibuje el diagrama polar de este sistema, superpuestos sobre los mismos ejes de coordenadas, para K1 - -3 y Kz: - I . ;Qu6 comentarios generales puede hacer acerca de la respuesta transitoria en el sistema estable? Suponga que es un
12.3. La soluci6n
sistema con retroalimentaci6n unitaria. En la figura 12.20 se muestran los diagramas polares solicitados. El cfrculo M tangente ala gr|fica de K : - I tiene radio infinito; entonces M o: I . Esto significa que el pico de la sobretensi6n es cero (no hay sobretensi6n), y el sistema es crfticamente amortiguado o sobreamortiguado.
Kr=-3
* Kz=
-l
Figura
12-20
12.4. Elsistemarepresentadoporlaecuaci6ncaracter(sticas3 siempre condicionalmente estable? iPor qu6?
*
3s2
+ 3s+ I + K:0, les
Si. En el ejemplo 5.3 se determin6 que el intervalo del factor de ganancia para la estabilidad de K < 8. Puesto que ambos limites son finitos, un aumento del factor de este sistema es ganancia por encima de 8 o una disminuci6n por debajo de - I desestabiliza el sistema.
-l (
12.5.
I
Determine el factor de ganancia K en un sistema con retroalimentaci6n unitaria cuya funci6n de transferencia en malla abierta estd dada por @ : K/(s + 1) (s + 2) para un pico resonante especificado por M, : 2.
Apartirdelaecuaci6n(/2./)tenemos4,:senr(j)=30'.Enlafigura12-21 linea
B
semuestrala
trazada a un iingulo de 30' por debajo del eje real negativo, 6sta es una r6plica de la figura
12-20paraK:-1.
,m0
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE COT.,IfROL
t
ImG diagrama
polr
a
Mc=2
nraK=-l 4
D
\
*,or \*7
A
\
Re G
I
I C
B Figura
12-21
El circulo marcado con M r: 2 se ha dibujado tangente tanto a B como al diagrama polar de K : - l. Utilizando la escala de este diagrama polar. la linea AT tiene una longitud igual a 0.76. Por tanto la ecuaci6n (/2.3) produce
K',
:
^t, a**
0. oD
I
: -1
1'32 o.i6: -
Tambi6n es posible calcular un valorp ositivo de gananciapara M G(s) para cualquier valor positivo de K. El diagrama polar para 12-21, pero girado 180'.
r: 2:a partir del diagrama polar de K I es el mismo de la figura
Compensaci6n miscel6nea
12.6. ';Qu6 clase de compensaci6n figura 12-22?
es
posible en un sistema cuyo diagrama polar se muestra en la
Las compensaciones de adelanto, de atraso-adelanto y del factor de ganancia simple son capa-
ces de estabilizar
el
sistema
y mejorar su
estabilidad relativa.
t Figura 12-22
t
401
DISENO UTILIZANDOEL ANALISIS DE NYQUIST
12.7.
Considere el sistema con retroalimentabi6n unitaria cuva funci6n de transferencia en malla
abierta est6 dada por
G: ,,
?
a, Kr>
0
La inclusi6n de una malla de retroalimentaci6n menor con una funci6n de transferencia K2s (K2 ) 0), como se muestra en el diagrama de bloques de la figura 12-23, i,c6mo afectarta el desempefro del sistema en estado transitorio y en estado estacionario?
Figura 12-23 Al combinar los bloques de la malla interna
se produce un nuevo sistema con
retroalimentaci6n
unitaria con una funci6n de transferencia en malla abierta
Kr
G': s(s*a+K$2) En fa figura 12-24 se dibujan los diagramas polares para G y G' .
Figva l2-A
*
Claramente se ve que el margen de fase es mayor en el sistema de retroalimentaci6n G' con dos mallas. Por tanto el pico de sobretensi6n es menor, o su relaci6ri de amortiguaci6n es mayor,, y la
402
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
respuesta transitoria es superior a la del sistema no compensado. Sin embargo, el desempefro en estado estacionario, por lo general es un poco peor. Para una entrada paso unitario el error en estado estacionario es cero, igual que para cualquier sistema del tipo I . Pero el error en estado estacionario para una rampa unitaria o entrada de velocidad es mayor fvdanse las ecuaciones Q.a) y (9.5)1. El esquema de compensaci6n ilustrado por este problema se llama retroalimentaci6n tacomitrica o
derivada, y el algoritmo de control es un control (D) derivada.
12.8.
Determine un tipo de compensador que produzca un margen de fase de aproximadamente 45o cuando se agrega a los componentes del sistema fijo definido por tlrf _ _
4
s(s2+3.2s+64\
Un requerimiento adicional es que la respuesta de alta frecuencia en el sistema compensado sea aproximadamente la misma que la del no compensado. En la figura 1 2-25 se presenta el diagrama polar para GfI. Este se encuentra muy pr6ximo al eje imaginario negativo para casi todos los valores de ar.
Figura
12-25
El margen de fase es casi de 90', y un incremento en el factor de ganancia y/o un compensador por atraso es capaz de satisfacer los requerimientos del margen de fase. Pero, puesto que la red de atraso puede disenarse para proporcionar atenuaci6n a altas frecuencias y atraso en el intervalo de baja frecuencia seria ideal y suficiente una combinaci6n de ambos (vdase el ejemplo 12.5), como se muestra en la figura 12-25. Por supuesto, no es necesario un compensador por factor de ganancia m6s atraso, para satisfacer los requerimientos de disefro. Probablemente hay un nfmero infinito de redes diferentes o funciones de transferencia capaces de satisfacer estas especificaciones. Sin embargo, la red de atraso y el amplificador son convenientes debido a su normalizaci6n, disponibilidad
y facilidad de
sintesis.
t
I
403
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST
+
12.9.
Esboce el disefro de un servomecanismo capaz de seguir una entrada de velocidad constante con errorcero en estado estacionario y aproximadamente un 257o de sobretensi6n m6xi-
ma en el estado transitorio. La planta fija est6 dada por G2
:
501s2(s
*
5).
Puesto que la planta es del tipo 2, es capaz de seguir una entrada de velocidad constante con en estado estacionario (vdase el Capftulo 9). Sin embargo, el sistema en malla cerrada es inestable para cualquier valor del factor de ganancia (vdase el ejemplo I 2.6). Puesto que no se han hecho demandas sobre el ancho de banda, debe ser suficiente una compensaci6n de adelanto (de
eror cero
nuevo vt4ase el ejemplo 12.6) para estabilizar el sistema y cumplir con la especificaci6n transitoria. Pero, probablemente se requieran dos redes de adelanto en serie porque el margen de fase del sistema inestable es negativo, y una sobretensi6n del 25Vo es equivalente miis o menos a un margen de fase de *45". La mayor parte de las redes normales de adelanto tienen un adelanto de fase
m6ximo de casi 54" (viase la figura 16-2). El diseno detallado seria muy tedioso al utilizar el aniilisis de Nyquist, si se hace manualmente, porque el diagrama polar a menudo debe dibujarse con detalle varias veces antes de converger a una soluci6n satisfactoria. Si no se dispone de un computador para facilitar dicho proceso, este problema puede resolverse de manera mucho mds f:icil al utilizar los m6todos de diseno que se presentan en los Capitulos 14, 16 y 18. En realidad, dos redes compensadoras por adelanto, cada una con una funci6n de transferencia aproximadamente de Paaeran,o (s 3)l(s + 2O), satisfarfa las especifica-
:
*
*
ciones. Si el error m6ximo de aceleraci6n en estado estacionario, se especificara tambi6n, se necesitaria un preamplificador con las redes de adclanto. Por ejemplo, si f" : 56, entonces se necesitarfa un preamplificador de ganancia 5(2013)r. Este preamplificador deberia colocarse entre las dos redes de adelanto para prevenir o minimizar los efectos de carga (vdase la secci6n 8.7).
12.10. Esboce un diseflo para un sistema con retroalimentaci6n unitaria con una planta dada por
Gz: y las
2000
s(s+5)(s+10)
especificaciones de desempeflo:
l) dvp = 45"' 2) K" : 50. 3) El ancho de banda AB del sistema compensado debe ser aproximadamente
igual, o no mucho mayor que el del sistema no compensado, porque se presentan perturbaciones por "ruido" de alta frecuencia, bajo condiciones norrnales de operaci6n.
4)
t
El sistema compensado no deberfa responder de manera lenta; esto es, la constante de tiempo z predominante del sistema debe mantenerse en un valor que sea aproximadamente el mismo que el del sistema no compensado.
Un ciilculo simple nos muestra con claridad que el sistema no compensado es inestable (por ejemplo, pruebe el criterio de Routh). En consecuencia es obligatoria la compensaci6n. Pero debido a la naturaleza rigurosa de las especificaciones, el disefro detallado de este sistema al utilizar las t6cnicas de Nyquist, requiere demasiado esfuerzo, si se hace manualmente. Las t6cnicas de los siguientes capitulos proporcionan una soluci6n mucho m6s simple. Sin embargo, el an6lisis del enunciado del problema indica la clase de compensaci6n necesaria.
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
:
:
ParaG2, K, lim - e sG2(s) 40. En consecuencia la satisfacci6n de 2) requiere una compen" saci6n de ganancia de 5/4. Pero un incremento en la ganancia s6lo hace m6s inestable el sistema. Por tanto es necesaria una compensaci6n adicional. La compensaci6n por adelanto probablemente es inadecuada debido a la especificaci6n 3), y no es posible la compensaci6n por atraso debido a la
especificaci6n 4). Asi, parece que una red de atraso-adelanto y un amplificador lograrian satisfacer todos los criterios. La parte de atraso de la red de atraso-adelanto satisfaria la especificaci6n 3), y la
parte de adelanto harfa lo propio con las especificaciones 4)
y l).
12.11. ;Cu6l es el efecto sobre el diagrama polar del sistema
fl (s + z,)
GH: !--l-
fI
j-1
en donde
m= n,O 1zi1oo,
han incluido en GH, adem6s
(" +p,)
< pi1@, cuandokpolos finrtos diferentes decero de los n polos originales?
Q
se
*
Para bajas frecuencias el diagrama polar s6lo se modifica en magnitud, puesto que m
fl,, [, :l
j:l
limGH':
n+ k
s-0
fI i:l
Para altas frecuencias, agregar k polos reduce
lim argGH'(,.r): lim o+@
o-@
m7l 2
t,q
p,
]
llimGI/
"
I i-lno, i "-'
enknl2 radianes el dngulo
,- '(;)-:i '-
(n + k)r
: lim arg o-6
de fase de
GH, puesto que
'(;)] kt
"r-
,
En consecuencia, la parte del diagrama polar cerca del origen sc gira en el sentido R (horario) /
grados cuando se agregan
f
k
polos.
2.12. Dibuje el diagrama polar del compensador digital por atraso dado por la ecuaci6n (12.4):
ll-o^\lz-z (, j )1,=,1
1
Puou.o(z):
2"1P"
*
405
DISTNO UTII-IZANDO I]L ANAI-ISIS DII NYQUIST
; Hagamos
z, : 0.86 y p. : 0.97
En ar:0,
Po*...
Pu,ru.o
("'") :
para simplificar la tarea.
: Pu,,u.o(eFT): Pururo(l): l. En oT:
(
t
j+] : L-t,p,,-(p,-r,) L-t,p"+(p,-t")
=)
En unos pocos valores intermedios, Pu&u,o(ein/4)=0.02 -7O.03
y
=
r,
c:0.2
Pur,o,oleio'2)-0.2
la figura 12.26 se muestra el diagrama polar resultante para O
<
aT
-
jO.0l2.En
zr radianes. Resulta = instructivo comparar este diagrama polar del compensador digital por atraso con su equivalente
continuo en el tiempo, dado en la figura 12. I l. IfIl
Pot.u"o
0.175
0.15
*
0.1 25 0.1
0.075 0.05
obzs
0.2
0.4
I 0.6
0.8
Re
Pur.u"o
a/b
Figura
12-26
12.13. Dibuje el diagrama polar del compensador digital por adelanto:
Puo.,un,o ( z
)
: /a\[1-e-brllt-r-"1 l; I lt _;= ll; _;=n l
endondea
pade,an,o
(etor) -
pade,an,o
:
(t) : (;)(
a
;<1 D
=;)(#) El resto de la gr6fica se ha dibujado con computador, mediante la evaluaci6n de
{t
Po6"1on,o(
l/@) para
valoresdel6ngulo,fenelrangode0
406
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALTMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
Padelanto
0
-
0.1
-
0.2
-
0.3
-
0.4
-
0.5
0.4 0.6 0.8
Padelanto
1
Figura 12-27 Esta forma de compensador digital por adelanto, presentada en la ecuaci6n (6.9), tiene un factor de ganancia
A'adetanro=
*
a[ I - e-hr1 : l-l blL-e-"rl
Este compensador es un digital-anal69ico directo del compensador continuo por adelanto Padelmto
:
+ a)/(s * b), en el cual ios ceros y los polos en -a y -D en el plano s se han transformado directamente en ceros y polos en el plano z z(.: e-"ry p": e-br, y se hapreservado la gananciaen estado estacionario (en ar : 0) como a/b. (s
12.14. El sistema continuo en malla cerada con compensaci6n del factor de ganancia y con compensaci6n por adelanto, que se muestra en la figura12-28, es estable, con una relaci6n de amortiguaci6n { = 0.7 , Y una constante de tiempo dominante r = 4.5 s (vdanse las secciones 4.13
y
10.4). red de adelanto
atenuador de ganancia
Figura
12-28
Redisene este sistema remplazando el controlador (incluida la uni6n de suma) con un computador digital y cualquier otro componente necesario para la conversi6n de datos de anal6gico a digital. El nuevo sistema debe tener casi las mismas caracteristicas dindmicas. La tasa de muestreo de los componentes digitales debe ser suficientemente r6pida para reproducir las sefrales con exactitud. La frecuencia n alural on se calcula a partir de la ecuaci6n ( 10.7) como
I
407
DISENO UTTLIZANDO EL ANALISIS DE NYQUIST
,
l(0.7X4.5) : 0.317 rad/s. Para un sistema continuo con esta an, una frecuencia angular de muestreo segura es o^=Zoat, : 6.35 =2n rad/s, equivalente af- : I Hz, porque ro: 27d^.En consecuencia escogemos T : I s. Ahora remplazamos el compensador continuo por adelanto por el compensador digital por adelanto que se dio en el problema 12.13
on=ll(r:
Pad"ranroJz) =
I
a\l l-e-br\l z-e-"'f
t
;)[ ;;:a )l;_ ;"
1
I z - 0.821
= 0.551
|
lz-0.141
-
:
:
en donde a 0.2 y b 2, a partir de la figura 12-28. El factor de 0.55 puede obtenerse con el compensador de factor de ganancia en el sistema continuo, K 0.8 | , produciendo un factor global de 0.55 (0.81) 0.45. El disefro resultante tambi6n necesita muestreadores en las trayectorias de
:
-
y de entrada, y un sistema de sostenimiento de orden cero en la trayectoria directa, tal como se muestra en la figura 12-29. retroalimentaci6n
I
sistema de sostenimiento
computador digital
I
r(tt
/ t(k) T=ls
<-
de orden cero
k)
wl I
--J c(
k)
T- ls Figura
12-29
La funci6n de transferencia digital Padelanto (z) , puede implementarse por c6lculo digital como una ecuaci6n de diferencia entre la entrada y la salida de Pu6"1un1o, utilizando los m6todos que se describieron en la seccidn 4.9. Esto es. escribir Pu3"lunro (z) como una funci6n de z - | en lugar de z. y tratar a z-r como un operador de desplazamiento de tiempo unitario. Al combinar el factor de ganancia 0.45 con Padelanto: obtenemos
o48Pu6";un1o
:Y#=#+6
Entonces, al multiplicar los tdrminos cruzados y hacer ecuaci6n de diferencia deseada:
z
'u(k) -- u(k
+ l), etc., obtenemos la
T u(k) - 0.14u(k-
1) +
0.a5[r(t) - c(t)] - 0.3e[r(/c
- t) -
c(/<
- t)]
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
* 12.15. Conviertaendigitalesloscomponentescontinuosrestantesdelafigura l2-2gycompareel diagrama polar de: a) la planta continua original sin compensaci6n, G2(s) : lls2, b) el sistema compensado de la figura 12-28, G g2(s) y c) el sistema digital de la figura l2-30,
GGzk). La combinaci6n del sistema de sostenimiento de orden cero y la planta G2(s) convertir en digital al utilizar la ecuaci6n (6.9):
GiQ)
: (+\"{''(
i
)
= l/s2 puede
l,:_.}
:+(#): (' -
0.5( z + 1)
L)'
En la figura 12-30 se muestra el sistema discreto equivalente en malla cerrada. Los diagramas de estabilidad de Nyquist (que no se muestran) indicarian que los sistemas compensados son absolutamente estables. Para verificar la estabilidad relativa, en la figura l2-31 se muestran superpuestos los diagramas polares de los tres sistemas, s6lo para ar > 0. El margen de fase de Gp2$) es drtap =53o, una mejora sustancial sobre la de G2(s). Los diagramas polares paraG 1G2$) y G GzQ) son bastante similares en un amplio intervalo de a.r, y el margen de fase para
GGyQ) todavfa es bastante bueno, {yp
-
Figura
GrG2l
*
37".
12-30
zl
G,Gr('s)
Figura
12-31
12.16. Determine el ancho de banda AB del sistema en malla cerrada en el sistema compensado que se disen6 en el ejemplo 12.7.
I
409
DISI]NO UTII-IZANDO III- ANAI,ISIS DE NYQUIST
* La especificaci6n 3 de desempefro se dio en t6rminos de la frecuencia de cruce de ganancia ar1, l0 rad/s. Esto puede parecer algo irreal o artificial, puesto que tambi6n se da como especificaci6n 2 de desempefro un margen de fase @yp 80 + argGH(a)] grados. En realidad, el cncho de banda (AB) del sistema en malla cerrada seria la frecuencia m6s probable de inter6s en el diseno de un sistema de control. (Estos criterios de disefro se analizaron en el Capitulo l0). Sin embargo, como se hizo notar en la secci6n 10.4, es usual el caso en que arl resulta ser una buena
corro ar1
=
: [
aproximaci6n del ancho de banda AB del sistema en malla cerrada, cuando se da su interpretaci6n comfn como el intervalo de frecuencias sobre el cual la relaci6n de magnitudes del sistema, que en este caso significa lClRl, no cae mils de 3 dB de su valor en estado estacionario, en &l : 0 (z : l). Para este problema
Gt:
- 0.86) (z-L)(z-0.e7) l.5e( z
+ t)(z + !) ur: t(zad, + r) G,c, 9: R l+GrGz
*
Encontramos fi{cilmente que
,iir(;) :.'ir (;)
:'
Ahora, 3 dB por abajo de I es 0.707 [vlase laecuaci6n (/0.5)]. En consecuenciael ancho de banda AB es la frecuencia {rras Que satisface Ia ecuaci6n:
tc
I
l;(.ou)l:0.707 l^ I
Riipidamente obtenemos la soluci6n oee = 10.724 rad/s por ensayo y error, al utilizar un computador 10. para evaluar Ia relaci6n de magnitudes a unos pocos valores de ar en las proximidades de alr Asi, se confirma como buena la aproximaci6n o)t = roA.B para el problema resuelto en el ejemplo 12.7.
:
Problemas suplementarios 12.17. Determine
un valor positivo de factor de ganancia K cuando
M,
:
2 en el sistema del
problema l2.5
12.18. Verifique la ecuaci6n (/2./). 12.19. Verifique las ecuaciones (12.2) y (12.3).
;
12.20. Disene un
compensador que produzca un margen de fase de aproximadamente 45o en el sistema
definido por GH
:
84/s(s
+
2)(s
+
6).
410
12.21.
TEORIA
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Disefre un compensador que produzca un margen de fase cercano a
dad
12.22.
Y
K, : 40 en el sistema definido por GH : (4 x
105)/s(r
Y
40'y
+
20)
SISTEMAS DE CONTROL
* una constante de veloci(s 100).
+
iQu€:clase de compensaci6n puede utilizarse para producir una sobretensi6n mdxima del 2OVo (4 ldyr2(s 100)?
sistema definido por GH
:
x
12.23. Demuestre que la adici6n de ft ceros finitos (z; + 0) al sistema del problema 12.11 gira en radianes la parte de alta frecuencia del diagrama polar en la direcci6n S (antihoraria).
Respuestas
:
12.17.
K
12.18.
P"a"1snto
s+30 : ---lTls+I20
12.21.
Paaetano
: s+20 _.,.
enel
+
kr
12
a algunos problemas suplementarios
3r.2
,
1ge,
no se requiere preamplificador.
12.22. Compensaci6n por atraso-adelanto y posiblemente compensaci6n por adelanto mi4s factor
de ga-
v
nancia.
t
Capitulo 13
r
Andlisis utilizando el lugar de las rafces 13.1 Introducci6n En los Capftulos 4 y 6 se demostr6 que los polos de una funci6n de transferencia pueden representarse gr6ficamente en el plano s o en el plano z por medio de un diagrama de polos y ceros. En este capitulo se desarrolla un m6todo analitico para representar la localizaci6n de los polos de
la funci6n de transferencia en malla cerrada
G
I+GH a partir del factor de ganancia K (vianse las seccione s 6.2 y 6 .6) de la funci6n de transferen cia GH en malla abierta. Este m6todo, llamado andlisis del lugar de las raices, solamente requiere que se conozca la localizaci6n de los polos y los ceros de GH, y no requiere la factorizaci6n del polino-
t
mio caracterfstico. Las t6cnicas del lugar de las raices permiten el cdlculo exacto de la respuesta en el dominio del
tiempo, adem6s de producir informaci6n disponible acerca de la respuesta de frecuencia. La siguiente discusi6n del andlisis del lugar de las raices se aplica de manera id6ntica a sistemas continuos en el plano s y a sistemas discretos en el plano z.
13.2 Variaci6n de los polos de un sistema en malla cerrada: el lugar de las raices Considere el sistema can6nico de control con retroalimentaci6n dado en la fisura 13.1. La funci6n de tiansferencia en malla cerrada es
9:, R
G
I+ GH
Figura 13-l Dejemos que la funci6n de transferencia
f,
Gll en malla KN
GH=-D 4ll
abierta sea representada por
4r2
Y
TEORIA
PROBLEMAS DE RETROAT.IMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
endondeNyDsonpolinomiosfinitosdelavariablecomplejas6zyKeselfactordegananciaen malla abierta. La funci6n de transferencia en malla abierta se hace entonces
CGGD
T: r,+KN/D:m Los polos de la malla cerrada son las rarces de ta ecuaci6n caracteristica
D+KM:O
(r 3.1)
En general, la localizaci6n de estas rafces en el plano s o en el plano z cambia a medida que se varia el factor de ganancia K en malla abierta. El lugar geom6trico de estas raices representado grdfica-
mente en el plano s
:
o en el plano z a partir de K se denomina lugar de las raices.
0, las raices de la ecuaci 6n (13 .I) son las raices del polinomio D, que son los mismos polos de la funci6n de transferencia GH en malla abierta. Si K se hace muy grande, las raices se aproximan a las del polinomio N, los ceros de la malla abierta. Asf , a medida que K aumenta desde cero hasta infinito, los lugares de los polos de la malla cerrada se originan a partir de los polos de la Para
K
malla abierta
y
terminan en los ceros de la misma.
EJEMPLO 13.1. Considere la funci6n de transferencia del sistema continuo en malla abierta
"": Para H
-.: l,
f
KN(s):;t+ K(s + 1) K(s + 1) : DG) 2s r(r + 4
la funci6n de transferencia en malla abierta
K(s +
C R
es
1)
s2+2s+rK(s+1)
Los polos de la malla cerrada de este sistema se determinan f6cilmente al factorizar el polinomio del denominador:
pr:-|(z+r)+ Pz:
L+iK2
-iQ+ x) - L+rKz
En la figura I 3-2 se muestra el lugar geom6trico de estas raices representado en el plano s en funci6n de K (para K > 0). Como se observa en la figura, este lugar de las raices tiene dos ramat. una para un polo de la malla cerrada que se mueve desde el polo de la malla abierta en el origen hasta el cero de la malla abierta en x. y desde el polo de la malla abierta en hasta el cero de la malla abierta en
-l
-2
-
En el ejemplo anterior, el lugar de las raices se construye al factorizar el polinomio del denominador de la funci6n de transferencia en malla cerrada. En las secciones siguientes se describen t6cnicas que permiten la construcci6n de lugares de las raices sin necesidad de la factorizaci6n.
*
I
ANALISIS UTILIZANDO Fl- LUCAR DE LAS RAICES
4t3
Figura l3-2
13.3 Criterios de 6ngulo
y de magnitud
Para que una rama de un lugar de las raices pase por un punto particular p1 enel plano
jo,
es necesario que p 1 sea una
raiz
rJe
comple-
la ecuaci6n caracteristica (l 3 .l) para algfn valor real de K.
Es decir,
D(pr) + KN(p,)
e
o, de manera
equivalente
:0
(13.2)
- D( p,) : -, , GH:rJ(pl)
(13.3)
En c
argGH(pr)
:
180" + 360/'
:
(21
+ 1)z radianes
/:
0, + 1, +
2,...
(t 3.aa)
que tambi6n puede escribirse como
I : [{zt* 1)r radianes para K> 0 -lo( pr) "r"i"1r'l I ( 2/z radianes para K < o
/:0,*1,+2,...
(j,3.4b)
Para que p1 sea un polo de la malla cerrada del sistema, en el lugar de las rafces, es necesario que se satisfaga, adem6s del dngulo de fase, la ecuaci6n (13.3) con respecto alamagnitud.Es decir, K debe tener el valor particular que satisfaga el criterio de magnitud: IGH(p)l : l, o
,",:l##l
(/3.5)
El 6ngulo y la magnitud de GH en cualquier punto de los planos complejos s 6 z pueden
;
determinarse de manera griifica como se describi6 en las seccion es 4.12 y 6.5 . De esta manera, es posible construir manualmente el lugar de las raices por un procedimiento de tanteo, probando puntos en el plano complejo. Es decir, el lugar de las rafces se dibuja a trav6s de todos los puntos que satisfacen el criterio del 6ngulo, ecuaci6n (l 3.4b), y el criterio de magnitud se utiliza para determinar los valores de Ken puntos a lo largo de los lugares. Se dispone ampliamente de progra-
TEORIA
414
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
mas para computadores digitales que grafican los lugares de las raices. Sin embargo, la construcci6n manual se simplifica de modo considerable al utilizar ciertas reglas de construcci6n que se'
I
describen en las siguientes secciones.
13.4 Nfmero de lugares El ndmero de lugares, esto es, el nrimero de ramas del lugar de las raices, es igual al ntimero de
polos de la funci6n de transferencia GH en malla abierta (para
n>
m).
EJEMPLO 13.2. La funci6n de transferencia en malla abierta de un sistema discreto GH(z) (z +
i)lz2Q +
|
:
K
I tiene tres polos. Por tanto hay tres lugares geom6tricos en la gr6fica del lugar de las raices.
13.5 Lugares sobre el eje real Aquellas secciones del lugar de las raices sobre el eje real en el plano complejo se determinan al contar el ntimero total de polos y ce_ros finitos de GH a la derecha de los puntos en cuesti6n. La regla siguiente depende de si el factor de ganancia K en malla abierta es positivo o negativo. Regla para K > 0 Los puntos del lugar de las rafces en el eje real se encuentran a la izquierda de un nfmero impar de polos y ceros finitos.
i
ReglaparaK<0 Los puntos del lugar de las raibes en el eje real y ceros finitos.
se
encuentran a la izquierda de un nfmeropar
de polos
Si no hay puntos en el eje real que se encuentren a la izquierda de un nrimero impar de polos y ceros finitos, entonces ninguna parte del lugar de las raices para K 0 se encuentra en el eje real .
Una afirmaci6n similar tambi6n es v6lida para EJEMPLO'13.3. Considere el diagrama de polos y
K<
)
0.
ceros de una funci6n de transferencia OH cn malla
abiertaquesepresentaenlafigural3-3.Puestoquetodoslospuntosenelejerealentre0y-l,yentre-ly izquierda de un nf mero impar de polos y ceros finitos, estos puntos estiin en el lugar 0. La parte del eje real entre - * y -4 se encuentra a la izquierda de un nfmero impar de polos y ceros finitos; por tanto estos puntos tambi6n est6n en el lugar de las raices para K > 0. En la tigura | 3-4 se ilustran todas las partes del lugar de las raices para K ) 0 en el eje real . Las partes restantes del eje real, esto es, entre -2 y -4, y entre 0 s o, S€ encgentran en el lugar de las raices para K ( 0.
-2,
se encuentran a la
de las raices para K
)
t Figura l3-3
Figura l3-4
ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES
j
415
13.6 Aslntotas Para grandes distancias desde el origen en el plano complejo, las ramas de un lugar de las raices se aproximan a un conjunto de lineas rectas asintotas. Estas asintotas parten de un punto en
el plano complbjo sobre el eje real, llamado centro de asintotas ac, y est| dado por nm
L p,- j-lL', i-l o": n-m en donde
-p;
Son los
polos, y -2, son los ceros,
,?
es el
(r3.6) nrimero de polos, y meselnfmero de ceros
de GH. Los 6ngulos entre las asintotas y el eje real est6n dados por
(2/+ 1)180 ||/ ' n-m' o-l
"
f
-\
1zr;rro
\ n-m
para K> 0
grados
(13.7)
para K<0
graoos
paral:0,1 ,2,...,n-nt - l.Estodacomoresultadounnfmerodeasintotasigualan-m. EJEMPLO 13.4. El centro de asintotas para GH
:
K(s
+
2)/s2(s
+ 4) estr4 localizado en
4_2 oc:__r_:_l Puestoque n - m:3 - I :2, haydos asintotas. Sus iingulosconel ejereal son 90" y27O",paraK> O, como se muestra en la figura l3-5.
13.7 Puntos de separaci6n Un punto de separaci6n trs es un punto en el eje real de donde salen o a donde llegan dos o m6s ramas del lugar de las raices. En la gr6fica del lugar de las rafces de la figrrra l3-6 se ilustran
dos ramas que salen del eje real,
y en la figura l3-7, dos ramas que llegan al eje real.
La localizaci6n del punto de separaci6n puede determinarse al resolver para os la siguiente
t
ecuaci6n:
+(o"+1p) :s (o"+ 1
l-,
!,
z,)
(1_r.8)
416
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
{l
Figura 13-6
Figura l3-7
en donde -PiY -zi son, respectivamente, los polos y los ceros de GH. La soluci6n de esta ecuaci6n requiere la factorizaci6n de un polinomio de orden (n * m - l) en o". En consecuencia, el punto de separaci6n puede determinarse con facilidad s6lo de manera analftica panGH relativamente simple. Sin embargo, a menudo una localizaci6n aproximada puede determinarse de manera intuitiva; entonces, un proceso iterativo puede utilizarse para resolver la ecuaci6n con mayor exactitud (vdase el problema 13.20). Tambi6n podrian aplicarse programas de computador
para factorizar los polinomios. EJEMPLO 13.5.
Para determinar los puntos de separaci6n
enGH
:
r(/s(s
*
lXs + 2), debe
resolverse
pata os la siguiente ecuaci6n:
-T_----T_--:;:u os or* I 1o. +
lacual se reduce a 3 Al aplicar la regla
d, +
60"
1)(*
3
or*2
+ 2) +%(%+ 2) +o"(a"+ 1) :0
+ 2 : 0, cuyas
raices son
o,
:
-0.423,
-
1.577.
K > 0, se indica que hay ramas del lugar de las raices entre 0 y - l, y entre -* y -2. En consecuenciala raiz en -O.423 es un punto de separaci6n, como se muestra en la figura l3-8. El valor de os: -1.577 reptesenta una separaci6n en el lugar de las ra(ces para valores negativos de K puesto que la parte del eje real entre - | y -2 estd en el lugar de las raices para
K(
de las rafces reales de la secci6n 13.5 para
0.
Figura l3-8
13.8 Angulos de salida
y de llegada
El ingulo de salida o partida del lugar de las raices desde un polo complejo est6 dado
0r:
180o
* argGH'
por
(r3.e)
I
I
ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES
417
en donde el arg GH' es el dngulo de fase de GFl calculado en el polo complejo, pero ignorando Ia
contribuci6n de ese polo particular. EJEMPLO 13.6. Considere la funci6n de transferencia del sistema continuo en malla abierta
K(s +
2)
GH: (s+i+7)(s+1-j)
K>0
EI i{ngulo de salida del lugar de las raices desde el polo complejo en s
i{ngulode
GHparas:
el iingulo dc salida
-l +j,
: - l * j se determina como sigue. El : -l + j,es -45". Enconsecuencia
ignorandolacontribuci6ndel poloens
-
es
d": 180"-45":
135"
como sc ilustra en la figura l3-9.
{
Figura
13-9
El Sngulo de llegada del lugar de las raices a un cero complejo estd dado por
ott : en donde
el
l8o"
-
arg
CH"
(13.10)
arg GH" es el 6ngulo de fase de GH en el cero complejo, ignorando el efecto de ese
cero.
EJEMPLO 13.7. Considere la funci6n de transferencia del sistema discreto en el tiempo en malla abierta
x(z+j)(z-j) z(z + r)
K>0
El iingulo dc llegada del lugar de las rafces para e I ccro complejo en z
como se muestra en la fisura l3-10.
t
: j es 0tt:
l8O"
-(-45') :
225",
4t8
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
13.9 Construcci6n del lugar de las raices Un diagrama del lugar de las rafces puede dibujarse con facilidad y exactitud utilizando las reglas que para su construcci6n se dan en las secciones 13 .4 a 13 .8. El siguiente es un procedimiento eficiente. Primero, determine las partes del tugar de las raices en el eje real. Segundo, calcule el centro y los 6ngulos de las asfntotas, y dibuje las asfntotas en el diagrama. Luego determine el 6ngulo de salida del polo complejo y el 6ngulo de llegada al cero complejo (si hay alguno) e indiquelos en la grdfica. En seguida, haga un bosquejo tentativo de las ramas del lugar de las rafces, tal que cada rama del lugar termine en un cero o tienda a infinito a lo largo de una de las asintotas. Por supuesto, la exactitud de este riltimo paso debe mejorarse con la experiencia. La exactitud del diagrama puede mejorarse aplicando el criterio del dngulo en la vecindad de las localizaciones estimadas de las ramas. La regla de la secci6n 13.7 tambi6n puede aplicarse para determinar la localizaci6n exacta de los puntos de separaci6n. El criterio de magnitud de la secci6n 13.3 se utiliza para determinar los valores de K a lo largo
de las ramas del lugar de las rafces. Puesto que los polos complejos deben presentarse como pares conjugados complejos (suponiendo coeficientes reales para los polinomios del numerador y del denominador de GA, el lugar de las raices es sim6trico con respecto al eje real. De esta manera es suficiente graficar solamente la mita{l superior del lugar de las raices. Sin embargo, debe recordarse que, al hacer esto, las
mitades inferiores de los polos y ceros complejos en malla abierta deben incluirse cuando se aplican los criterios de iingulo y de magnitud. A menudo, para prop6sitos de andlisis o de diseflo, se requiere una grdfica exacta del lugar de las raices s6lo en.ciertas regiones del plano complejo. En este caso, los criterios de 6ngulo y de magnitud s6lo se aplican en aquellas regiones de inter6s luego que un esbozo tentativo haya establecido la forma general de la gr6fica. Por supuesto, si se dispone de un programa de aplicaci6n (software) apropiado para computador, laelaboraci6n de grdficas muy complejas de lugares de las raices arin puede ser un asunto sencillo.
U
EJEMPLO 13.8. El lugar de las raices para un sistema continuo en malla cerrada con funci6n de transf'erencia en malla abierta
GH:
K
s(s+2)(s+a)
K>0
se construye como sigue. Aplicando la regla del eje real de la secci6n 13.5, las partes del eje real entre 0
y
el lugar de las raices para K ) 0. A partir de la ecuaci6n (13.6), el centro de asintotas se determina que es o(. : -(2 + 4)13 : -2, y hay tres asintotas localizadas en los
-2,
y entre
iingulos
-4 y --,
se encuentran en
P - 60", 180'y 300'.
)
Puesto que se unen dos ramas del lugar de las raices en el eje real para K 0 entre 0 y -2, existe un punto de separaci6n en esa parte del eje real. Por tanto el lugar de las raices para K 0 puede dibujarse al
estimar la localizaci6n del punto de separaci6n
)
y prolongar las
ramas del lugar de las raices hacia las asintotas, como se muestra en la figura l 3- I I . Para mejorar la exactitud de esta griifica, debe determinarse la localizaci6n exacta del punto de separaci6n a partir de la ecuaci6n (/-1.8):
I o.
t
J
la cuaf simplifica a
i
4t9
ANALISIS UTILIZANDO EL LUCAR DE LAS RAICES
3fi *
l2o" + 8
:
0. La soluci6n apropiada de
Figura
esta ecuaci6n es cr"
:
-0.845.
13-11
El criterio de iingulo se aplica a los puntos en Ia vecindad del lugar de las raices aproximado paraiileiorar exactitud de la localizaci6n de las ramas en la parte compleja del plano s; el criterio de magnitud se utiliza para dcterminar los valores de K a lo largo del lugar de las raices. En la figura l 3- | 2 se presenta la gr6fica resultante del lugar de las raices para K > 0. Ia
Figura
I
13-12
El lugar de las raices para K ( 0 se construye de manera similar. Sin embargo, en este caso. las partes del eje real entre 0 e s y entre -2 y -4 se encuentran en el lugar de las rafces; el punto de separaci6n se localiza en -3.155, y las asintotas tienen ilngulos de 0", 120', y 24O". En la figura 13-13 se muestra el lugar de las raices para K < 0.
420
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Figura
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
J
13-13
13.10 La funci6n de transferencia en malla cerrada y la respuesta en el dominio del tiempo La funcitin de transferencia en malla cerradaClR se determina fiicilmente a partir de la grdfica del lugar de las raices para un valor especifico del factor de ganancia K en malla abierta. A partir de 6sta, puede determinarse la respuesta en el dominio del tiempo c(t) parauna entrada r(r) ffansfilrmable en Laplace, dada para un sistema continuo por medio de la inversi6n de C(s). Para sistemas.discretos, c(k) puede determinarse de manera similar por medio de la inversi6n de C(z). Considere la funci6n de transferencia en malla cerrada CIR para el sistema can6nico unitorio c<>n re troal imentaci1n (ne gativa)
CG R l+G
(13.r r )
Las funciones de transferencia en malla abierta que son expresiones algebraicas racionales pueden
escribirse (para sistemas continuos) como
KN D
K(s+zr)(s + z) -'.
(s + z^)
(s+p,)(s+p)."('+a)
Gtienelamismaformaparasistemasdiscretos,remplazando estaecuaci6n, -z;soo losceros! -p;son lospolos deG, rafces son -zi y -pi, respectivamente. Entonces
C R
(r3.r2)
sporzenlaecuaci6n(l 3.12).En
m= n,y NyDsonpolinomioscuyas
KN
D+KN
(13.r 3)
t
ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES
421
a y resulta claro que C/R y G tienen los mismos ceros pero no los mismos polos (a no ser que K
:
0).
En consecuencia
C
K(s + zr)(s + zr) .' .(s + z-\
R- (r+"JG+"r) {r+",) en donde -o, denotan los n polos de la malla cerrada. Por definici6n, la localizaci6n de estos polos se determina directamente a partir de la grdfica del lugar de las raices para un valor especifico de ganancia K en malla abierta.
EJEMPLO 13.9. Considere el sistema continuo cuya funci6n de transferencia en malla abierta
K(s +
G:--+
2)
(s + 1)'
es
K>0
En la figura 13-14 se presenta la grifica del lugar de las rafces.
I
Figura
13-14
Varios valores de factor de ganancia K se muestrSn en los puntos sobre los lugares marcados con tridngulos pequefros. Estos puntos son los polos de la m'alla cerrada correspondientes a los valores especi-
ficosdeK.ParaK:2,lospolosdelamallacerradason-ctt:-2'lj,y-az--2-jr.Portanto 2(s +2) C R: (s+,+jXs+r1) Cuando el sistema no tiene retroalimentaci6n unitaria. entonces
CG R 1+GH
(r 3.r4)
KN ^ L'
u3.rs)
GH:
f
Los polos de la malla cerrada pueden determinarse directamente a partir del lugar de las raices para un K dado, pero los ceros de la malla cerrada no son iguales a los ceros de la malla abierta. Estos fltimos deben calcularse de manera separada resolviendo las fracciones en la ecuaci6n (l 3.14).
422
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
EJEMPLO 13.10. Considere el sistema continuo descrito por
^ G:
I
K(s+2) s*1.
.
K(s +
GH:-(s
H:- s*l
C: K(s+1)(s+2)
Y
R
(s +
1)2
+ K(s +
2)
+ 1)'
K>0
K(s+1)(s+2)
2)
(s + c1)(s + cr)
La gn4fica del lugar de las raices para este ejemplo es la misma del ejemplo 13.9. En consecuencia, para K
at:2*j,yaz--2-j.Asi
2,
2(s+1)(s+2)
C R
:
(s+2+j)(s
+2-j)
EJEMPLO 13.11. Parael sistemadiscretoconGH(z): K/z(z l), en lafigura l3-15 semuestralagrifica del fugardc las raices paraK 0. ParaK = 0.25, las raicesestiin en z 0.5, y la funci6n de transferenciaen
-
)
malla cerrada
:
es
:
c 0.25 -:_ R (z - 0.5)'
lp
Figura 13.11 Mdrgenes de ganancia
13-15
y de fase a partir del lugar de las
raices
El margen de ganancia es el factor por el cual puede multiplicarse el factor de ganancia K antes que el sistema en malla cerrada se vuelva inestable. Puede determinarse a partir del lugar de las raices utilizando la sisuiente f6rmula:
margen de ganancia
:
valor de K en el limite de estabilidad valor de disefro para K
(13.r6)
en donde el lfmite de estabilidad es el ejeT'ar en el plano s, o el cfrculo unitario en el plano z. Si el
lugar de las ra(ces no atraviesa el limite de estabilidad, el margen de ganancia es infinito.
*
423
ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES
t3 EJEMPLO 13.12. Considere el sistema continuo de la figura l3-16. El valor de diseno para el factor de ganancia es 8, que produce los polos de la malla cerrada (marcados con triSngulos pequefros) que se muestran en el lugar de las raices, de la figura 13-17 . El factor de ganancia en el corte del eie ieo es 64, de aqui que el margen de ganancia para este sistema sea 6418 8.
:
Figura
ll
Figura
13-16
13-17
EJEMPLO13.13. Ellugardelasraicesparaelsistemadiscretoenel tiempodel ejemplo l3.ll cruzael : limite de estabilidad (el circulo unitario) para K : l. Para un valor de diseno de K 0.25, el margen de ganancia es
ll0.25
:
4.
El margen de fase tambi6n puede determinarse a partir del lugar de las rafces. En este caso es : I para el valor de necesario encontrar el punto rd1 en el l(mite de estabilidad, en el cual lGHl diseno de K: es decir.
1D(o4) 7 N (ar)l
:
K
ai,"a"
Usualmente es necesario emplear un procedimiento de ensayo y error para localizar a1. Entonces
el margen de fase se calcula a partir del arg GH(ar;), como
eur: [ttO" + argcfl(o,t)] grados
Q3.17)
EJEMPLO 13.14. Para el sistema del ejemplo 13.12, lcH(a1)l : l8/(jar1 + 2)31 : : 0; el dngulo de fase de Gf(0) es 00. En consecuencia el margen de fase es 180".
EJIMPLO 13.15. Para el sistema continuo de la figura I 3- | 8, el lugar de las raices 13-19. El punro sobre el eje jar para el cual lGHko)l : l24lja(j
a
-
l2g.6".Enconsecuencia el margen de fase es
Qur:
I cuando
se muestra en la
| estii en
180"
arl
figura
1.35;
-129.6" = 50.4".
424
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
{
Figura 13-19
13.12 Relaci6n de amortiguaci6n a
patrir del lugar de las raices para sistemas continuos
El factor de ganancia K requerido para dar una relaci6n de amortiguaci6n viceversa) para el sistema continuo de segundo orden
(
especffica (o
I GH: -:--'-"-----'-(s
K, py pz> 0
+pr)(s +pr)
se determina de manera f6cil a partir del lugar de las rafces. Simplemente trace una lfnea desde el origen con un 6ngulo de m6s o menos 0 con el eje real negativo, en donde
d:cos-l(
(rs.tt)
(Viase la secci6n 4. I 3). El factor de ganancia cn el punto de intersecci6n con el lugar de las rafces valor requerido de K. Este procedimiento puede aplicarse a cualquier par de polos conjugados complejos, para sistemas de segundo orden o de orden superior. Mediante este procedimiento, para sistemas de orden superior, la relaci6n de amortiguaci6n determinada para un p ar especifico de polos complejos no n0cesariamente determina la amortiguaci6n (constante de tiempo predominante) del sistema. es el
EJEMPLO 13.16. Considere el sistema de tercer orden del ejemplo I 3. 15. La relaci6n de amortiguaci6n ( de los polos complejos para K = 24 se determina de manera f6cil al trazar una lfnea desde el origen hasta el punto sobre el lugar de las raices donde K = 24, como se muestra en la figura 13-20. El ringulo 0 medido es 60", por tanto
(:
cos
0:
0.5
Este valor de ( es una buena aproximaci6n de la amortiguaci6n del sistema de tercer orden con porque el polo complejo domina la respuesta.
K
: 24
I
ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES
425
U
Figura 13-20
Problemas resueltos Variaci6n de los polos de un sistema en malla cerrada
T
13.1.
Determine la funci6n de transferencia en malla cerrada y la ecuaci6n caracteristica del sistema de control con retroalimentaci6n unitaria negativa cuya funci6n de transferencia en malla abierta es G: K(s + 2)l(s + l)(s + 4). La funci6n de transferencia en malla cerrada
es
I{(s+2) C G (s+1)(s+4)+K(r+2) R 1+G La ecuaci6n caracteristica se obtiene al igualar a cero el polinomio del denominador:
(s+1)(s+4)+K(s+2):0 13.2. ;C6mo se determinarian los polos de la mSlla cerrada del sistema del problema K : 2 a partir de su gr6fica del lugar de las rafces?
13.
I para
El lugar de las raices es una gr5fica de los polos de la malla cerrada de un sistema con retroali2 se determinan mentaci6n en funci6n de K. En consecuencia los polos de la malla cerradapara K mediante los puntos del lugar de las raices que correspondan a K 2 (un punto en cada rama del
:
:
lugar).
13.3. ;C6mo puede
emplearse un lugar de las rafces parafactorizar el polinomio s2
+
6s
+
l8?
Puesto que, seg0n la ecuaci6n (13.1), el lugar de las raices es una gr6fica de las raices de la ecuaci6n caracteristica de un sistema en funci6n de su factor de ganancia en malla abierta, las raices del polinomio anterior pueden determinarse a partir del lugar de las raices de cualquier sistema cuyo
fl
polinomio caracteristico sea equivalente a 6ste para algrin valor de K. Por ejemplo, el lugar de las raicesparaGH:K/s(s 1-6)factoizaelpolinomios2+6s I K.ParaK: 18,estepolinomioes equivalenfe al que deseamos factorizar. De este modo, las raices deseadas se localizan sobre este lugar de las raices en los puntos correspondientes a K : 1.8.
TEORIA
426
Y
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
SISTEMAS DE CONTROL
I
:
Kl(s + 2)(s + 4) cuyo N6tese que podrian escogerse otras formas para GH, tales como GH polinomio caracteristico en malla cerrada corresponde al que deseamos factorizar, pero ahora para
K:10. Criterios de 6ngulo y de magnitud
13.4.
Demuestre que el puntopr : -0.5 satisface los criterios de dngulo, ecuaci6n (l 3.4),y de magnitud, ecuaci6n (l 3 .5) , cuando K : I . 5 en la funci6n de transferencia en malla abierta
del ejemplo
aryGH(
13. I
.
K( p, +
p,): uli(;lr:
r) I
1.5(0.s) a'c:o.5(1' :180"
o( p,)
|
I -0.5(1.5)
l'1o,tl:l-',
tcu(p,),:l#ffi|:'
|
l:1
5:
K
Asi, como se ilustr6 en la gr6fica del lugar de las raices del ejemplo 13.1, el punto p1 : encuentra sobre el lugar de las raices, y es un polo de la malla cerrada para K :
13.5.
cH(
Determine el dngulo y la magnitud de GH(j2) para GH satisface IGH(j2)l : l'l
j2):
K
arscz(i2):
JW;+A y
para IGH(j2)t
:
I es necesario
13.6. Ilustre la composici6n
argcH(j2)
:
{
-l3o'
iil:
que lKl
:
grdfica de arg GH(j2)
-fr)o -
45o
-
45o
:
f
:
K/s(s
+
-0.5
1.5.
se
t
2)2. ;Qu6 valor de K
:3 tc*(i2l: j# : f
16.
y de IGH(j2)l del problema
-180o
IGH(i2) ---\r / '
13.5.
l,(l : lKl l:' --2(2,/r)2 -16
* Figura
13-21
t
427
ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES
13.7. Demuestre que el punto pr
: -l *
7V5 estd en el lugar de las raices
K
K>0
cfr(s): (s+1)(s+2)(s+a) y determine K en
*c
este punto.
N(p')
D(o):*s i,/1(t +1,ll7p *i,/i)
:
-9()o
-
60o
- 30":
-180o
Elcriteriodeilngulo,ecuaci6n(1J.4b),sesatisfaceentonces pataK)0,yelpuntop1 est6 en el lugar de las raices. A partir de la ecuaci6n (/3.5),
^:lli'ti(r+i6x3 ' i3
para
+i'/t)
: -l +i\/t
:,lT6n:n
Nfmero de lugares
13.8.
abierta para 6Por qu6 el n(rmero de lugares debe ser igual al nfmero de polos de la malla
m3n?
Cada rama del lugar de las raices representa el lugar geom6trico de un polo de la malla cerrada. En consecuencia debe haber tantas ramas o lugares como polos haya en la malla cerrada. Puesto que el nimero de polos de la malla cerrada es igual al nfmero de polos de la malla abiettapara m a n, el
n(rmero de lugares debe ser igu-al al nfmero de polos de la malla abierta'
13.9. lCu6ntos
lugares hay en el lugar de las raices para
GH(z):
K(z+iX"+*) z(z+l+j/z)(z-+-i/2)
Puesto que el nfmero de polos de la malla abierta es tres, hay tres lugares en la griifica del lugar
de las raices.
Lugares sobre el eje real 13.10. Verifique las reglas de los lugares sobre el eje real. Para cualquier punto sobre el eje real, 0" 6 180" son los 6ngulos con que cualquier polo o cero sobre el eje real contribuye al arg GH, dependiendo de si el punto est6 o no a la derecha o a la izquierda del polo o del cero. El 6ngulo total con que un par de polos o ceros complejos contribuyen
{
al arg GI(s) es cero porque arg(s + o, *7ro1) + arg(s +
o1
-ir,1) :0
428
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
para todos los valores reales de s. Entonces, el arg GI(s) para valores reales de s (s escribirse como
argGF(o):
l80nd
*
:
t
a) puede
arg K
o Para satisfacer el criterio deiingulo, nadebeserimparparaKpositivo,yparparaKnegativo. Asf, paraK) 0, lospuntosdel lugar de las raices sobre el eje real se encuentran a la izquierda de un nimero impar de polos y ceros firritos; y para K ( 0, los puntos del lugar de las raices sobre el eje real se encuentr.an a la izquierda de un nrimero par de polos y ceros finitos. en donde n7 es el nfmero total de polos y ceros finitos a la derecha de
13.11. Determine qu6 partes del eje real estan en el lugar de las rafces de
r{(s + 2)
GH:
tr>
(s+l)(s+3+7)(s+3-i)
0
Los puntos en el eje real que se encuentran a la izquierda de un nrimero impar de polos y ceros
finitos, son fnicamente los puntos entre - 1 y -2.Entonces, mediante la regla para K > 0, s6lo ta parte del eje real entre - 1 y -2 se encuentra en el lugar de las raices.
,
13.12. iQu6 partes del eje real est6n en el lugar de las raices para
K s(s+1)"(s+2)
/:tJ _ _
K>0
Lospuntossobreelejerealentre0y -l yentre *l,y -Z,seencuentranalaizquierdadeun nfmero impar de polos Y ceros, y por tanto estdn en el lugar de las raices para K > 0.
Asintotas 13.13. Verifique que los 6ngulos de las asintotas est6n dados por
r (2/+
n I| P:
\
1)180
.. n-m
1zr;uo
| ,t-^
grados para K> 0 (13.7)
grados
Para los puntos s lejos del origen en el plano's,
contribuye al arg
Gfl
Para
K
el dngulo con que cada uno de los rc ceros
es
ary(s + z,)lp1-1,,1= arg(s) De manera similar, el 6ngulo con que cada uno de los n polos contribuye al arg Gl1es aproximadamente igual a -arg(s). En consecuencia
t
ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES
429
C
*[#]
=
en donde B = arg(s). Para que ecuaci6n (13.4D. Asi
-(n-z)'arg(s) - -(n-
s est6 en
el lugar de las raices, debe satisfacerse el criterio de i4ngulo,
_-[iv(r,)1: -(z - m)p: t(1t.LL)r *lti"ij tiril" y,
puesto que
-|-
(-f
zl'radianes
l:______:_
F:\,;,# m
La prueba es similar para el plano
t
para para
(>[ K
180) son los mismos 6ngulos en el plano s,
/ (2r+ 1)180
lI n-
m)P
grados
grados
para
K>0
para
K<0
entonces
z
13.14. Demuestre que el centro de asfntotas est6 dado por nm
oc
: --
L p,j-l
L',
i-L
(r3.6)
n-m
Los puntos en el lugar de las raices satisfacen la ecuaci6n caracteristica D sn
+ bn_rs'-l +
*KN:0.o
...+h+K(s- Ia^-1s^-r +.'. +ao):g
Dividiendo por el polinomio del numerador N(s), se obtiene
Jo-t+(Dr-r- d^-r)sn-^-r +... +K:0 (lo mismo para el plano z, remplazando s por z). Cuando el primer coeficiente de un polinomio el segundo coeficiente es igual a menos la suma de las rafces (viase el problema 5.26). Asi, apartirdeD(s) =O,bn*r:L?-rpi. 1. ParaN(s) :O,a-_t:L!_rz;;y -(b,_t - a^_) es igual a la suma de las n - m raices de la ecuaci6n caracteristica. Ahora, para valores grandes de K y distancias del origen igualmente grandes, estas n - m raices se aproximan a las lineas rectas asfntotas y; a lo largo de estas asintotas, la suma de las n - m raices es igual a -(bn- | - a^- 1). Puesto qle b,- 1 - am- | es un nrimero real, las asintotas deben es fa unidad,
intersecarse en un punto sobre el eje real. El centro de asfntotas estr{ dado entonces por el punto en el
eje real, en donde
n - m raices
iguales se suman hasta
bn-r-
]
",:-11^
am-r :-
-(Dn_;
Ero'-
Para una prueba m6s detallada, vtase la referencia [6].
Zt'
,_^
- a--1).
Asf
430
TEORIA
13.15. Encuentre los 6ngulos
GH:
Y
PROBLEMAS DE RETROALTMENTACION
y el centro, y
SISTEMAS DE CONTROL
I
dibqie las asintotas para
K(s + 2) (s + 1)(s + 3 +7)(s + 3 -7)(s + a)
El centro de asfntotas
Y
K>0
es
0": -
L+3+j+3-j+4-2 : 4-l
Hay tres asintotas localizadas en los 6ngulos de B
:60',
_3 180'y 300", como
se rnuestra en la
fieura 13-22.
t6 j2
jl t6$o
-4 -3\-2
x\
*
Figura
f3.16. Dibuje las asfntotas para K
GH:
13-22
> 0 y K < 0, para K
s(s+2)(s+1+j)(s+1-j)
* -(0 + 2 + I + j + | - )la : -1. de las asintotas son B : 45", I 35', 225" y 315" , como se muestra
El centro de asintotas es o,.
Para K ) 0, los dngulos la figura l3-23. Para K ( 0, los ilngulos de las asfntotas figura 13-24.
son
B
:
0o, 90o,
180'y 270', como
en
se muestra en la
{l Figura
13-23
431
ANALISIS UTII-IZANDO EL LUGAR DE LAS RAICES
; Puntos de separaci6n 13.17. Demuestre que un punto de separaci6n os satisface
i ,j-_': i ,_+__ p,) f,, (o'+
3,
(1j.8)
z,)
@" +
Un punto de separaci6n es un punto sobre el eje real en donde el factor de ganancia K a lo largo miiximu para los polos que se alejan del eje real, o
de la parte del eje real del lugar de las rafces es un
unminimoparalospolosqueseacercanal ejereal (vdaselasecci6n13.2.).Elfactordegananciaa lo largo del lugar de las raices esti4 dado por
rrr Enel eje
real,s: o(o7:
:
l:lNl|
1,r
,;
pc)ylossignosdemagnitudpuedencancelarseporqueD(o)yN(a)
son reales. Entonces
K:-
* Para encontrar el valor de
D(o) N(o)
o para el cual K es un m6ximo o un mfnimo, se iguala
a cero la
de K con respecto a o:
dK: dl(o+p,)"'(o+a)l :' ^ d" d"[ 1'+r,1 - 1"+r; ] Por derivaci6n
y factorizaci6n
repetidas, 6sta puede escribirse como
dK 3 I [D(o)l S 1 [D(o)l :t d": !,G.il ttr"ll - !,1". 11 [tt"l-] Finalmente, al dividir ambos lados por D(o)lN(o) se produce el resultado deseado.
13.18. Determine el punto de separaci6n para GH
El punto de
: Kls(s *
separaci6n satisface
111 **r"*+r*r:0 de la cual
ar : - l.
13.19. Encuentre el punto de separaci6n para
t
/:IT _
K(s + 2)
(s+1+i16)(s+l -j,/T)
3)2.
derivada
432
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
A partir de la ecuaci6n (/3.8),
I
111
;+r+F- ",+*t6: 'J, 4o":
:
lo que nos da o? + O. Esta ecuaci6n tiene las soluciones % 0y punto de separaci6n para K > O, y o" 0 es el punto de separaci6n para K la figura 13-25.
:
Figura 13.20. Encuentre el punto de separaci6n entre
GH: El punto de separaci6n debe
o": -4;o" : -4 es el { 0, como se muestra en
t
13-25
0y
-l
para
K
s(s+1)(s+3)(s+a)
satisfacer
111
*- G"- - {o"- -
(o,+4)
:o
Si se simplificara esta ecuaci6n, se obtendria un polinomio de tercer orden. Para evitar la resoluci6n de un polinomio de tercer orden; puede utilizarse el siguiente procedimiento. Como primera aproximaci6n, suponemos o" -0.5 y utilizamos este valor en los dos tdrminos para los polos m6s
:
alejados del punto de separaci6n. Entonces
1111
**r,*t*Ls+3i:o lacualsesimplificaa'ol+3.92o"+ 1.46:0,ytienelaraizo,,: -0.43entre0y-l.Estevalor se utiliza para obtener una mejor aproximaci6n, como sigue:
1111 os o.* I
-a-I-I-:n
2.57
3.57
ol
+ 3.99o,+ 1.4%
:0
o":
-0'424
El segundo ci{lculo result6 ser un valor no muy diferente del primero. A menudo puede suceder que la primera aproximaci6n produzca un valor bastante exacto solamente con un c6lculo.
t
c
ANALISIS UTILIZANDO EL LUCAR DE LAS RAICES
Angulos de salida
433
y de llegada
13.21. Demuestre que el 6ngulo de salida del lugar de las rafces dp
:180o
*
de un polo
complejo estii dado por
(13.e)
argGH'
Considere un circulo de radio infinitesimalmente pequefro alrededor del polo complejo. Con claridad puede verse que el dngulo de fase arg GH' de GH es constante alrededor de este circulo, despreciando la contribuci6n del polo complejo. Si 0p representa el 6ngulo de salida, el Sngulo de fase total de GII en el punto sobre el circulo en donde se cruza con el lugar de las raices es
aryGH: argGH'puesto que
- 0p es el 6ngulo
de fase con que el polo complejo contribuye al
elcriteriodelringulo, elargGH: argGH'
+
180"
y -180"
0p
- 0p:180',odr:
18ff
xg GH . Para satisfacer argGH', puestoque
*
son equivalentes.
13.22. Determine la relaci6n entre el ilngulo de salida de un polo complejo para K
I
Puesto que
>
0yK
<
0.
argGH'cambia en 180" si K cambia de un nrimero positivo a uno negativo, el K < 0 difiere en 180'del 6ngulo de partida para K > 0.
i4ngulo de partida para
13.23. Demuestre que el 6ngulo de llegada a un cero complejo satisface
drr-180o-atgcH"
(1 3.
r0)
De la misma manera que en la soluci6n del problema 13.21, el 6ngulo de fase de GH enla vecindad del cero complejo est6 dado por arg GH : argGH" * 027, puesto que 02 es el ilngulo de fase con que el cero complejo contribuye al arg GH . Entonces, aplicando el criterio de 6ngulo se Produce 9tt = 180" - arg GH".
13.24. Determine griificamente el arg GH' y
calcule el iingulo de salida del lugar de las raices del polo
complejoens: -2 I jpara
K
GH: (s+1)(s+2-j)(s +2+ Apartirdelafigura 13-26,elargGH': como se muestra en la figura 13-27.
t Figura
13-26
-135'-90':
j)
-225";y
K>0 0p:
180"
-225": -45",
434
TEORIA,
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
i}
13.25. Determine los 6ngulos de partida de los polos complejos y los iingulos de llegada a los ceros complejos, para la funci6n de transferencia en malla abierta
GH:
K(s+1+7)(s+1-j) s(s+2j)(s-2j)
Para el polo complejo en
atgGH',-
45o + 71.6o
-
90"
s
:
-
90o
K>0
2j,
: -63.4"
I
0o:
180"
-
63.4": 116.6'
Puesto que el lugar de las ra(ces es sim6trico alrededor del eje real, el 6ngulo de salida del polo
en
r : -2j
argcH":90o
-
es -116.6o. Para el cero complejo en s
108.4o
-
l35o
: -l
- 225": -18.4o !
Asi, el iingulo de llegada al cero complejo s
: -l -j
+ j,
0*: es
L80o
0s:
- (-18.4'):198.4o
]
-198.+'.
Construcci6n del lugar de las raices 13.26. Construya el lugar de las raices para
GH: EI eje real desde
K
(s+1)(s+2-ixr+2+j) - | hasta -
K>0
o estii sobre el lugar de las raices. El centro de asintotas
estd en
-L-2+j-2-j o":----3 -:-1.67 Hay tres asintotas (n - m -- 3), localizadas en iingulos de 60', 180' y 300'. El iingulo de salida del polo complejo en s : -2 * j, calculado en el problema 13.24, es -45'. En la figura 13.28 se muestra un esbozo del lugar de las raices resultante. Al verificar el criterio de dngulo en varios puntos a Io largo de las ramas dibujadas, se obtiene un diagrama exacto del lugar de las raices, ajustando la localizaci6n de las ramas si es necesario, y aplicando luego el criterio de magnitud para determinar los valores de K en los puntos seleccionados a lo largo de las ramas. En la figura l3-29 se muestra el lugar de las raices completo.
a
t
435
ANALISIS UTILIZANDO EL LUCAR DE LAS RAICES
ju K--40
K=13 n
.i3
.i2
K =3.5
vn llilll
ki{v
K=3.5
I(=13 K=40 Figura
*
Figura
13-28
13-29
13.27. Dibuje las ramas del lugar de las raices para la funci6n de transferencia
K(s + 2)
GH: (s+1)(s+3+j)(s+3-j)
K>0
El ejc real entre I y -2 estri sobre el lugar de las raices (problema 13.l l). Hay dos asintotas con fngulos de 90' y 270". El centro de asintotas puede calcularse filcilmente como o(. -2.5, y partida de el iingulo Por simetrfa, + 72" . como polo s 3 complejo en el iingulo de partida de I i, es -'12". Las ramas del lugar de las rafces pueden dibujarse entonces como se dcl pofo en muestra en la fisura 13-30.
-
:
:
-3 -j
t Figura
13-30
436
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
13.28. Construya el lugar de las rafces para K
GH:
>0yK(
Y
SISTEMAS DE CONTROL
l
0, para la funci6n de transferencia
K s(s+1)(s+3)(s+a) :
:
Para esta funci6n de transferencia el centro de asintotas es simplemente o. -2, y n m 4. Por tanto para K > 0, las asintotas tienen iingulos de 45', 135', 225" y 315". Las secciones del eje real entre0y - l, yentre -3y -4, eslinen el lugarde las raices paraK > 0, yen el problema 13.20 se determin6 que hay un punto de separaci6n localizado en o" = -O.424. A partir de la simetria de
-
focalizaci6ndelospolos,otropuntodeseparaci6nselocalizaen -3.576. Estepuedeverificarseal sustituireste valoren larelaci6nparael punto de separaci6n, ecuaci6n (/3.8). En la figura l3-31 se muestra el lugar de las raices completo para K > 0. Para K < 0, las asintotas tienen iingulos de 0o, 90", 180" y 270'. En este caso las partes del eje
realentreoy0,entre-ly-3,yentre-4y-m,est6nenellugardelasraices.Solamentehayun punto de separaci6n, localizado en
para
K<
-2.
En la figura l3-32 se muestra el lugar de las rafces completo
0.
+
K=6
//K
-4 K=6
=
-1
\K=
Figura
Figura
13-31
13.29. Construya el lugar de las raices para K
)
13-32
0 para la funci6n de transferencia del sistema
discreto
GH(z) __- \_ /
rK(z
-0.s)
(, _ l),
Este lugar de las raices tiene dos lugares geomdtricos y una asintota. El lugar de las raices est6 enef ejereal paraz<0.5.Lospuntosdeseparaci6nestiinenz=0y z= l.Enlafigura13-33se muestra el lugar de las raices completo.
t
ANALISIS UTILIZANDO EL LUCAR DE LAS RAICES
437
* Jt
Figura 13.30. Construya el lugar de las raices para K discreto
GH(z):
t
13-33
)
0 para la funci6n de transferencia del sistema
K
(z+o.s)(z-1.5)
Este lugar de las raices tiene dos ramas y dos asintotas. El punto de separaci6n y el centro de asintotas estdn en z : 0.5. En la fisura 13-34 se muestra el lugar de las raices.
K:i
//
I
K:7
I
-0.5
Figura
13-34
'13.31. Construya el lugar de las raices para K > 0 para el sistema discreto con transferencia directa
t
K(z+|)(z+t) G(r): z(z+l)(z-I)
Il :
I y funci6n de
438
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
El sistema tiene un polo m6s que ceros, asi que el lugar de las raices tiene s6lo una asintota a lo largo del eje real negativo. El lugar de las raices est6 sobre el eje real entre 0 y I , entre - !y -t,y u la izquierda de - l. Los puntos de separaci6n esti4n localizados entre 0 y l, y a la izquierda de - 1. Por ensayo y error (o soluci6n por computador), los puntos de separaci6n se encuentran en z
:0.383 y 7: -2.22.
El lugar de las raices es una elipse entre los puntos de separaci6n en z - 0.383 y z : -2.22. El punto en el eje jv, en donde el argG(z): -180", se encuentra que es z : j0.85 mediarte el procedimiento de ensayo y error. De manera similar, el punto en lalineaz : -l + jv, en donde el
jl
+ argG(z): -l80",esz: .26.Enlafigural3-35sedibujaellugardelasraices.Elfactorde ganancia a lo largo del lugar de las raices se determina de manera grfifica a partir del diagrama de
-l
polos y ceros, o de manera analitica al evaluar G(z).
jt
K:
K:2e K: , o
4.r
K:
\\ \\ Y=06 \\ lx= o.z
K:7.1
5=5:3
-t\
-2
* lp
\
I
\ \-rZ / .; -/ Figura
13-35
La funci6n de transferencia en malla cerrada y la respuesta en el dominio del tiempo 13.32. Determine la funci6n de transferencia en malla cerrada del sistema continuo del ejemplo
f3.8paraK:48,dadaslassiguientesfuncionesdetransferenciaparaH:a)H:1,b)H: 4l(s -r l), c) H : (s + l)/(s + 2).
K
A partir de la grdfica del lugar de las raices del ejemplo I 3.8, los polos de la malla cerrada para 48 esten localizados en .r : -6. i2.83 v -i2.83. Para H : l,
:
G-
48
v"
s(s+2)(s+a)
CGH R I+GH
48
(s + 6)(s -j2.83)(s +j2.83)
Para H=4/(s+l), 12(s + 1)
G: s(s+2)(s+a)
'
c :-l-l-rl
R
GH \ H\L+GHI
;
12(s + 1)
(s + 6)(s -j2.83)(s
+
j2.83)
I
ANALISIS UTILIZANDO EL LUGAR
Para
lf -
I/E LAS RAICES
439
(s + l.)/(s + 2),
--_ 48 t'-r1r*91"+e) Y
c R:@
a8(s+2)
N6tese que en este riltimo caso hay cuatro polos en la malla cerrada, mientras que GH s6lo tiene tres. Esto se debe a la cancelaci6n de un polo de G con un cero de H.
13.33. Determine la respuesta paso unitario del sistema del ejemplo La funci6n de transferencia en malla cerrada de este sistema
C
l.s (s+
l3.l
con
K:
1.5.
es
1)
R:G;o^s)l$+l1 Para
R
:
l/s,
1.5(s+1)
a
1
-0.6
-0.4
- 1-
0.6s-05t
a J : - s(s+0.5)(s+3) s s*0.5 s*3 -
^ : __:_________--:
y la respuesta paso unitario es 9-L[C1s7]
:
-
c(t)
-
-
O.4e-3t.
13.34. Determine la relaci6n entre los ceros de la malla cerrada y los polos y ceros de G y H, suponiendo que no hay cancelaciones.
:
:
Hagamos G Nr/Dr y H N2/D2, en donde Nr y Dr son los polinomios del numerador (los ceros) y del denominador (los polos) de G, y Nz y Dz son los polinomios del numerador y el denominador de H. Entonces
C G R:l+GA:
N,DZ
Dpr+NrN,
De esta manera, los ceros de la malla cerrada son iguales a los ceros de
M6rgenes de ganancia 13.35. Encuentre
6 y a los polos
de H.
y de fase
el margen de ganancia del sistema del ejemplo 13.8 para K
:6.
El factordegananciaenel crucedel ejejares4S,comosemuestraenlafigura l3-12. Portanto
el margen de ganancia es 48/6
t
:
8.
13.36. Demuestre c6mo puede utilizarse una tabla de Routh (secci6n 5.3) para determinar la frecuencia y la ganancia en el cruce con el eje ja. En la secci6n 5.3 se destac6 que una fila dc ceros en Ia fila sr de la tabla de Routh indica que el polinomiotiene un parde raices que satisfacen laecuaci6n auxiliarAs2 + B :0, en dondeA yB son
440
rEoRrA
y
pRoBLEMAS DE RETRoALTMENTAcToN
el primero y segundo elementos de la fila s2. Si A y
y
srsrEMAS DE coNTRoL
I
I
tienen el mismo signo, las raices de la ecuaci6n auxiliar son imaginarias (sobre el ejeT'a,r).. De esta manera, si se construye una tabla de Routh para Ia ecuaci6n caracteristica de un sistema, pueden determinarse los valores de K y a correspondientes a los cruces con el eje jo. Por ejemplo, considere el sistema con funci6n de transferencia en malla abierta
GH:
K s(s +
2)2
l,a ecuaci6n caracteristica para este sistema es -
s3+4s2+4s+K:0 La tabla de Routh para el polinomio caracteristico
L4 4K
s-
ssl
L6
K --
De esta manera, para
K
:
I
a
16. La ecuaci6n auxiliar entonces se convierte en 4s2
en
- K)/4 K
so
La fila sr es cero para
es
+
16
:0
6 la ecuaci6n caracteristica tiene soluciones (polos de la malla cerrada)
s : t-j2, y el lugar de las rafces cruza el
eje
jo
en
j2.
13.37. Determine el margen de fase para el sistema del ejemplo 13.8 (figura l3- l2) para K
:
6.
El punto sobre el eje ja para el cual IGH(ja)l : l, se encuentra que es j 0.7 mediante el procedimiento de ensayo y error. Entonces el arg GH(J0.7) se calcula como - 12ff. Por tanto el margen de fase es 180' -120" : 60o. 13.38. ;Es necesario construir totalmente el lugar de las rafces para determinar los m6rgenes de ganancia y de fase de un sistema? No. Solamente se requiere un punto en el lugar de las raices para determinar el margen de ganancia. Este punto, en o) t, en donde el lugar de las raices cruza el lfmite de estabilidad, puede detcrminarse por el procedimiento de ensayo y error, o mediante el uso de una tabla de Routh, como sc dcscribi6 en el problema | 3.36. Para determinar el margen de fase s6lo es necesario determinar cl punto en el lfmite de estabilidad en donde \CH(jruo)l : l. Aunque no es necesaria la grr6fica completa del lugar de las raices, a menudo puede ser 6til, especialmente en el caso de cruces mriltiples del limite de estabi:lidad
Relaci6n de amortiguaci6n a
partir det lugar de las rafces para
sistemas continuos
13.39. Verifique la ecuaci6n (13.18). Las raices
de
s2
+ 2(aos
*,ol
i son s1.2:
-frn +jr,rlI l
. Enronces
MI
ANALISIS UTILIZANDO EL LUCAR DE LAS RAICES
I lsrl
:
trresr,z
O
$r.Z
: o,,
qOo
t
r.
Asi
fszl
roj(t
: +t'.-'(,ft1
: (ot,/o,:
cos d
(4+
:,1
-
f'?)
7f)=
180" + d
(.
13.40. Determine el valor positivo de la ganancia que resulta en una relaci6n de amortiguaci6n de 0.55 para los polos complejos en el lugar de las raices que se muestra en la figura l3- 12.
:
:
El 6ngulo de los polos deseados es 0 cos- | 0.55 56.6". Una linea trazada desde el origen y 7 el lugar de las rafces de la figura a un i{ngulo de 55.6'con el eje real negativo, interseca en K 13-12.
:
13.41. Encuentre la relaci6n de amortiguaci6n de los polos complejos del problema 13.26 para K
:3.5.
:
Una linea trazada desde el lugqr de las raices con K 3.5 hasta el origen hace un iingulo de 53" cos con el eje real negativo. De aqui que la relaci6n de amortiguaci6n de los polos complejos es f
53"
:
:
0.6.
* Problemas suplementarios 13.42. Determine el 6ngulo y la magnitud
de
GH*
16(s + 1)
s(s+2)(s+a)
en los siguientes puntos en el plano s:
s: -6.
a)
a) s: j2,
b)
s:-2*j2,
c) s:-4+j2,
A
s: -3.
13.43. Determine el Sngulo y la magnitud
GH:
de
20(s + 10 +710)(s + 10
-j10) (s+10)(s+1s)(s+25)
en los siguientes puntos del plano s:
d) s: -20 +.i20,
e)
a)
s:jL},
b) s: j20, c)
s: -10+ j20,
s: - 15 +i5.
13.44. Para cada funci6n de transferencia, encuentre los puntos de separaci6n en el lugar de las raices:
?
a) GH:
K s(s + 6)(s + 8) '
b) GIt:
K(s +
5)
G+2)G+4)'
c)
G/1:
K(s +
1)
Fis + e)'
442
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
13.45. Encuentre el Sngulo de partida del lugar de las Jaices del polo en.,
o":ffi
: -10 + jlO para
., + 10)(s +
K r5 +j9)(s + t5
K(s+7+i5Xs+7-i5) cll:ffi (s+3)(s+
: -15 + j9 para K>o
-je)
13.47. Encuentre el Sngulo de llegada del Iugar de las rafces al cero en
r : -7
+ j5
para
K>0
13.48. Construya el lugar de las raices para K
)
0 para la funci6n de transferencia del problema 13.444).
13.49. Construya el lugar de las rafces para k
)
0 para la funci6n de transferencia del problem a 13.44c).
13.50. Construya el lugar de las
raices para
13.51. Construya el lugar de las raices
t
K>o
13.46. Encuentre el 6ngulo de salida del lugar de las raices del polo en s
GH:,(s + -rt s)(s
SISTEMAS DE CONTROL
para
K
)
0 para la funci6n de transferencia del problema 13.45.
K
)
0 para la funci6n de transferencia del problema 13.46.
I
13.52. Determine los
mi{rgenes de ganancia y de fase para el sistema con la funci6n de transferencia en malla abierta del problema 13.46, si el factor de ganancia K se iguala a 20.000.
a algunos problemas suplementarios
Respuestas
13.42. a) aryGH: - 99", lGlll : Ls; b) aryGH : - 153", lGHl:2.3; c) argG{ : -232", lGHl:1.8; d) aryGH: 0', lclll : t.7; e) aryGH : - 180o, lGHl: to.t 13.43. 13.M.
a) argGl:-38", lcHl:0.68r b) argGl: -40", lGHl:0.37; c) argGH: - 4I", lGHl= 0.60; d) argGH : - 56", lGHl: 0.95; e) argGH : + 80", IGIll : 6.3 a) o,: -2.25, -'1 .07: b) a,: -3.27, -6J3; c) o,:0, -3
13.45. ep
:
r24"
13.46. 0p
:
193"
13.47.
|tt:
t
26"
13.52. Margen de ganancia
:
3.7; Margen de fase
:
102'
Capftulo 14
t
Disefro utilizando el lugar de las raices 14.1 El problema de disefio
*
El m6todo del lugar de las rafces puede resultar bastante efectivo en el diseflo de sistemas de control con retroalimentaci6n, continuos o discretos, porque ilustra gr6ficamente la variaci6n de los polos en malla cerrada del sistema como una funci6n del factor de ganancia K en malla abierta. En su forma m6s simple. el diseflo se efectfa escogiendo un valor de K que produzca un comportamiento satisfactorio en malla cerrada. Esto se llama compensaci6n delfactor de ganancia (vdase tambi6n la secci6n 12.2).Lasespecificaciones sobre los errores permisibles en estado estacionario usualmente toman la forma de un valor minimo de K, expresado en t6rminos de las constantes de error, por ejemplo Ko , K,y Ko(Capftulo 9). Si no es posible cumplir todas las especificaciones usando la sola compensaci6n del factor de ganancia, pueden agregarse al sistema otras formas de compensaci6n para alterar el lugar de las rafces segrin sea necesario, por ejemplo con redes de atraso, de adelanto, de atraso-adelanto o controladores PID. Para efectuar el disefio del sistema en los planos s 6 z utilizando las t6cnicas del lugar de las raices, es necesario interpretar las especificaciones del sistema en t6rminos de las configuraciones deseadas de polos y ceros. Los programas para computador digital que construyen el lugar de las ra(ces son muy ritiles en
el disefro de sistemas, al igual que para su an6lisis, como se indic6 en el Capftulo
13.
EJEMPLO 14.1. Consid6rese el disefro de un sistema continuo con retroalimentaci6n unitaria con la planta
G : K/(s + I )(s + 3) y las siguientes especificaciones: I ) Sobretensi6n menor que el 207o, 2) Kp > 4, 3) tiempo de subida del 107o al 9Wo menor que I s. En la figura l4-1 se presentael lugarde las raices paraeste sistema. Su funci6n de transferenciaen malla cerrada puede escribirse como
CK -:..."R s" + 2(.n,s +-a: ( y ar, pueden determinarse a partir del lugar de las rafces para un valor K dado. Para satisfacer la primera especificaci6n, f debe ser mayor que 0.45 (viase lafigura 3-4). Entonces, a partir del lugar de las raices vemos que K debe ser menor que 16 (vdase la secci6n 13. 12). En este sistema, Ko estd dada por Kl3. Asi, para satisfacer la segunda especificaci6n, K debe ser mayor que 12. El tiempo de subida es funci6n de ( y de an. Sup6ngase que se escoge un valor de prueba de K : 13. En este caso, f : 0.5, ton: 4, y el tiempo de subida es 0.5 s. En consecuencia, todas las especificaciones pueden cumplirse haciendo K : l 3 . N6tese que si la especificaci6n de Krflera mayor que 5.33, o la especificaci6n del tiempo de subida fuera menor que 0.34 s, todas las especificaciones no podrfan cumplirse ajustando simplemente el factor de ganancia en malla abierta. en donde
I
443
TEORIA
'144
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
*
cos- I 0.45
Figura l4-l
14.2 Compensaci6n por cancelaci6n Si la configuraci6n de polos y ceros de la planta es tal que las especificaciones del sistema no pueden cumplirse mediante un ajuste del factor de ganancia en malla abierta, puede agregarse un
ir
compensador en cascada m6s complicado, como se presenta en la figura l4-2, conel prop6sito de cancelar algunos o todos los polos y ceros de la planta. Debido a consideraciones de factibilidad, el compensador no debe tener m6s ceros que polos. En consecuencia, cuando los polos de la planta se cancelan por los ceros del compensador, 6ste agrega nuevos polos a la funci6n de transferencia de la malla directa. La filosoffa de esta t6cnica de compensaci6n es entonces remplazar polos inconvenientes con polos convenientes.
compensador
planta
en cascada
Figura l4-2 La dificultad encontrada al aplicar este esquema es que no siempre resulta aparente qu6 configuraci6n de polos y ceros en malla abierta es conveniente desde el punto de vista de cumplir las especificaciones de desempeno en un sistema en malla cerrada. Las siguientes son algunas situaciones en las cuales puede utilizarse con ventaja la compensa-
ci6n por cancelaci6n:
l.
Si las especificaciones de tiempo de subida o de ancho de banda del sistema no pueden cumplirse sin compensaci6n, es 0til cancelar los polos de baja frecuencia y remplizarlos
por polos de alta frecuencia.
t
DISI:NO UTII.IZANDO
I
L.
EL LUGAR DE l.AS
445
RAICES
Si las especificaciones de los errores permisibles en estado estacionario no pueden cumplirse, podria cancelarse un polo de baja frecuencia y remplazarse por otro de m6s baja frecuencia, obteni6ndose entonces una mayor ganancia de malla directa a frecuencias bajas.
3.
Si ciertos polos con pequefras razones de amortiguaci6n estdn presentes en la funci6n de transferencia de la planta, pueden cancelarse y remplazarse por polos que tengan mayo*
res razones de amortisuaci6n.
14.3 Compensaci6n de fase: redes de adelanto
y de atraso
A un sistema puede agregarse un compensador en cascada para alterar las caracteristicas cie fase de su funci6n de transferencia en malla abierta, de tal modo que afecte favorablemente su
ir
desempefro. Estos efectos se trataron en el Capitulo | 2, secciones 12.4 a 12.7 ,las cuales resumen los efectos generales de estas redes en el dominio de la frecuencia, para redes de adelanto, de atraso y de atraso-adelanto, utilizando los diagramas polares. En las figuras l4-3 y l4-4 se presentan los diagramas de polos y ceros de las redes de adelanto y de atraso de sistemas continuos. N6tese que una red de adelanto hace una contribuci6n de fase p
construcci6n descrita en el problema 6.14. Puesto que el lugar de las raices del sistema compensado se determina mediante los puntos en el plano complejo, para los cuales el iingulo de fase de G : G1G2 es igual a - 180", las ramas del lugar de las raices pueden moverse por medio de la selecci6n adecuada del 6ngulo de fase con que contribuye el compensador. En general, el compensador por adelanto tiene el efecto de mover a la
izquierda los lugares de las ra(ces.
arg P,,*.,,
=
f,6
- e6 (
0
Figura l4-3
Figura l4-4
{l
EJEMPLO 14.2 El compensador por adclanto dc fasc G 1 : (.e + 2)/(.s * 8) altera el lugar de las raiccs del sistcma con planta Gz : Kt(s * l):. como se ilustra cn la figura l4-5.
446
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Figura
Y
SISTEMAS DE CONTROL
l
14-5
EJEMPLO 14.3. En la figura 14-6 se ilustra el uso de compensaci6n por ataso simple (un polo en - l y ningfn cero) para alterar los iingulos de separaci6n del lugar de las raices de un par de polos complejos.
*
Figura l4-6
14.4 Compensaci6n de magnitud y combinaciones de compensadores Las redes de compensaci6n pueden emplearse para alterar la caracteristica de magnitud (l(C/R) (r.r)l) en malla cerrada de un sistema de control con retroalimentaci6n. La caracterfstica de baja frecuencia puede modificarse mediante la adici6n de un par polo-cero de baja frecuencia, o dipolo, de tal manera que el comportamiento de alta frecuencia, pr6cticamente no se altera.
EJEMPLO14.4. Enlafigural4-Tsepresentael lugardelasraicesparaelsistemacontinuoGH:K/s(s+2)r. Supongamos que este sistema tiene una respuesta transitoria satisfactoria con K = 3, pero la constante de error de velocidad resultante K" = 0.75 es demasiado pequefra. Podemos incrementar K" a 5 sin afectar seriamente la respuesta transitoria agregando el compensador Gr : (s + 0. 1)/(s + 0.015), puesto que
K,l: K,,Gr(0):
0.75(0.1)
:5
0.015
En la figura l4-8 se muestra el lugar de las rafces resultante. La parte de alta frecuencia del lugar de las raices y Ia respuesta transitoria no se afectan de manera esencial, porque la funci6n de transferencia en malla cerrada tiene un par polo-c€ro de baja frecuencia que se cancelan entre sf casi totalmente.
+
s
447
DISENO UTILIZANDO EI- LUGAR DE LAS RAICES
Figura l4-8
Figura l4-7
Como se muestra en la figura l4-9, un dipolo de baja frecuencia para la compensaci6n de magnitud de un sistema continuo puede sintetizarse con el polo en el origen utilizando un compensador proporcional integral (PI), con la funci6n de transferendia
G':
I
s*K'
-l-
Figura l4-9 Algunas veces se necesitan combinaciones de varios esquemas de compensaci6n para satisfacer requerimientos que competen a las especificaciones de desempefro de las respuestas transitoria y en estado estacionario, como se ilustra a continuaci6n. Este ejemplo, resuelto por m6todos del lugar de las raices, es la repetici6n de un problema de disefro resuelto por los m6todos de Nyquist
en el ejemplo 12.7,
y por los m6todos de Bode en el ejemplo 16.6.
EJEMPLO 14.5. Nuestro objetivo
es determinar un compensador apropiado C
lz)
en el sistema discreto
con retroalimentaci6n unitaria. con
Gr(t):
3(z+r)(z+]) 8z( z + 0.5)
El sistema en malla cerrada resultante debe satisfacer las siguientes especificaciones de
(}
l. 2. 3.
desempefro:
Error cn cstado cstacionario menor quc o igual a 0.2 para una entrada rampa unitaria Margen de fase
: 4*r >
30o.
Frccucncia de ganancia de cruce ro1
> l0 rad/s, con 7:0.1
s.
finito en estado estacionario con rampa unitaria, el sistema debe ser del tipo compensaci6n entonces debe proporcionar un polo en z : l. Consid6rese el compensador Para tener un error
l.
La
448
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
Gi::L z-t La funci6n de transferencia de la malla directa se hace.entonces
ciG2Q): A partir de la
3Kr(z+t)(z+|) 8(z
-
t) z(z + 0.5)
secci6n 9.9, el coeficiente del error de velocidad es
K,
tXt
3K,(1+
- -O*
+ *)
0n:
:0.667I(l
Ahora, para que el sistema en estado estacionario tenga un error menor que 0.2, con entrada rampa unitaria, debe tenerse K,. > 5, o K1 > 7.5. Para investigar los efectos de la ganancia agregada, consid6rese el lugar de las raices para
cic2Q)
K(z+1)(z+|)
- z(z+0.5')(z-L)
!t
endondeK =3K118. Estelugardelasraicesseconstruy6enel problema 13.31yserepiteenlafigura l4-10.
Jv
K:
K:.2'9 K=1.9 4.1
t
K: 0.6
\K:
\
K:
K
5.3
-2
-t\ \ -\ / Figura
Enel
:0.2
)/
/ _;
14-10
puntoz: -0. l8+p.98endondeellugardelasraicescruzaelcirculounitario,
K: |.25(Kt:8K/3:3.33).
ooT:
l.75rad
PuestoquedstaesmenorquelagananciaKl : T.5necesariaparahacerK":5, es insuficiente la compensaci6n simple det factor de ganancia. El paso siguiente es evaluar la magnitud y la fase deGiG2Q) ala frecuencia de cruce de ganancia minima requerida, ar1 : 10, rt a1T : I rad. Este es el punto z : eiotr : e/ sobre el circulo unitario. En este punto, y
t
DISENO UTILIZANDO
* lGiG2@r)l
:
1.66K
EL LUGAR DE LAS
M9
RAICES
y el argGiGz@r) : -142.5". Si se ajustara la ganancia K de tal modo
que
lGiG2@r)l: l,esdecir,K:0.6,elmargendefaseserfa(180- 142.5)o:3T.5oysecumplirfaconel requerimientode30'.EllorequierequeKl
:8K13:
l.6,ylaconstantedevelocidadsehaceK,,:0.66'7Kt
=
1.067. Para completar el diseno debe agregarse la ganancia adicional para aumentar la constante de velocidad hasta el valor requerido de 5 a bajas frecuencias, sin alterar significativamente las caracteristicas de alta frecuencia ya obtenidas. Esto requiere una ganancia adicional de 5l | .06'7 : 4.69 , la cual puede suministrarse con un compensador por atraso. Este deberd tener una ganancia en z : I que sea 4.69 veces tan grande como la ganancia en atT : |, sin agregar m6s de 7.5' de retraso de fase eh aT : l, para satisfacer el requerimiento de d". > 30". Si se elige el valor de0.9'7 para el polo del compensador por atraso, el cero deberia localizarse de tal modo que
Putu.o:
o zt
t
=
0.86. Si se asigna z1
:
t-z
ffi>-
t'ss
0.86, entonces
lz-0.86|1
lp l-l-l:1 I'atmsor
1
Iz-0.97
l+t
/e/-0.86\
il8P",. o = *g|..
",
_ AS7
El compensador entonces se convierte
para z:\ para z - e)
\o.ss
):
-6.25"
para
(or:1) z:
si
en
Kt(z
Gr- (z-0.e7\(z-L) 0.86)
Finalmente, para a1T: l, se necesita lGQzkr)l: l, asi que K1 : 1.60/0.95 : 1.68, para tcner en cuenta la ganancia del compensador por atraso en aT : l. El compensador completo es 1.68( z - 0.86) Gr: (z-0.e7)(z-t)
que es casi el mismo diseno obtenido por los m6todos de Nyquist en el ejemplo 12.7.
14.5 Aproximaciones por polos-ceros dominantes
*
El mdtodo del lugar de las rafces ofrece la ventaja de un despliegue gr6fico de los polos y los ceros del sistema en malla cerrada. El diseflador puede determinar te6ricamente las caracteristicas de la respuesta del sistema a partir del diagrama de polos y ceros en malla ceffada. Sin embargo, en la priictica esta tarea se hace cadavez m6s diffcil para sistemas con cuatro o m6s polos y ceros. En algunos casos el problema puede simplificarse de manera considerable si la respuesta est6 dominada por dos o tres polos y ceros.
TEORIA
450
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
tl
Efectos en las respuestas de tiempo del sistema La influencia de un polo particular (o un par de polos complejos) en la respuesta, se determina principalmente por dos factores: laraz6n relativa de disminuci6n del t6rmino transitorio debido a
ese polo, y la magnitud relativa del residuo en el mismo. Para sistemas continuos, la parte real rr del polo p determina la tasa a la cual disminuye el t6rmino transitorio debido a ese polo; entre m6s grande sea a, mds r6pida es la tasa de disminu' ci6n. La magnitud relativa del residuo determina el porcentaje de la respuesta total debida a ese polo particular. EJEMPLO 14.6. Consid6rese un sistema con funci6n de transferencia en malla cerrada
C5 R:G+l)G+5) La rcspucsta paso dc cstc sistcma
cs
c(l) :
1
-
L'25e'-' + 0'25e-sr
En la rcspucsta cl tirmino dcbido al polo cn .sr : rlr : -5 disminuye cinco vcces miis riipido que el t6rmino dcbidoal polocn.r2: o3 : -1. Ademris,el residuoenelpolosr: -5estansololdet des:: -1. En consccucncia, para la mayor parte de los prop6sitos priicticos, el efecto del polo s1 : - 5 puede ignorarse y
cl
*
sistcma aproximarsc mcdiantc
I s*1
C R
:
*5scharemovidodelafunci6nde transferenciayel numeradorsehaajustadoparamantener El polocn.r-1 l). La respuesta en el sistema aproximado es la misma ganancia cn cstado estacionario ((C/R)(O)
-e
:
c(t):7
'.
EJEMPLO 14.7. El sistema con funci6n de transferencia en malla
cerrada
C 5.5(r + 0.e1) R:(.r+1)(r+t ticne la respuesta paso
"(r)
: L + 0.I25e- | - Ll25e- s'
En este caso, la presencia de un cero cerca del polo en I reduce de manera significativa la magnitud del residuo en ese polo. En consecuencia el polo en -5 es el quc ahora domina la respuesta del sistema. El polo I , de tal modo que su funci6n de dc la malla cerrada y el cero efectivamente se cancelan cntre si y (C/R)(O)
-
:
transferencia aproximada es
C5 R=r+5 y
la correspondiente respuesta paso aproximada
es c= L - e-5'.
tl
DISENO UTILIZANDO
*
EL LUGAR DE LAS
451
RAICES
Para sistemas discretos en el tiempo con polos distintos (no repetidos) p r , pz,. . . , la parte transitoriayz(k) de la respuesta debida al polop tiene la formayT(/c) : p*, conk: O,l ,2,... (vdase la tabla $.2.). Por tanto cada muestra sucesiva en el tiempo es igual al muestreo anterior multipli-
cado por
p,
es decir
yr(k+r):pyr(k) La magnitud de un polo distinto determina entonces la tasa de disminuci6n de la respuesta transi-
toria, al ser la tasa de disminuci6n inversamente proporcional a lpl: entre m6s pequefia la magnitud, m6s rdpida la tasa de disminuci6n. Por ejemplo, los polos cerca del circulo unitario disminuyen de manera mucho m6s lenta que los polos cerca del origen, puesto que sus magnitudes son mds pequefras. El an6lisis en los sistemas con polos repetidos es mds complicado, y las aproximaciones pueden resultar inapropiadas. EJEMPLO 14.8. El sistema discreto con-funci6n de transferencia en malla cerrada
c
*
0.452
(z-0.1)(z-0.s) tiene
la
respuesta paso
c(k)
:r - 1.12s(0.5; * + o.rzs1o.r; *
k=O,lr2r..-
:
En la respuesta el tdrmino debido al polo en z 0.1, el valor de la muestra en el tiempo k es s6lo el l07o del | , y por tanto disminuye cinco veces m6s rdpido que el t6rmino debido valor de la muestra en el tiempo k
z:0.5. Lamagnituddelresiduoenz:0.1 es0.l25,queesunanovenapartedelamagnituddel residuo | .125 en z: 0.5. En consecuencia, para muchos prop6sitos pr6cticos, a menudo puede ignorarse el polo en z : O.l, y el sistema aproximarse mediante alpoloen
c
0.5
R z-0.5 en donde el numerador se ha ajustado para mantener la misma ganancia en estado estacionario C
R' =(1):1
:
0 se elimin6 para mantener un polo m6s que los ceros en el sistema aproximado. Ello es necesario para dar el mismo retardo inicial (tiempo de una muestra) en el sistema aproximado que en el original. La respuesta paso del sistema aproximado es c(ft) -(0.5)^, con k 0,1 ,2,... y el cero en z
: I
:
Bfectos en otras caracteristicas del sistema
f
En las figuras l4-ll y 14-12 se ilustra el efecto de un p olo delamalla cerada en el eje real, en -p. ( 0. sobre la sobretensi6n y el tiempo de subida Z" de un sistema continuo que tambi6n tiene
los polos complejos
-p,, -
P!.Para
452
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
P,
SISTEMAS DE CONTROL
I
(r4.t)
;->) S@o
p/r7
,",
(s*p")(s2*2(cns*o|)
9zo t).o NQ
=
0.7
/
r234567
t
P,/ !an
Figura
14-11
t0
pp7
aQ
G8
s 3 o6 .! -s
(s
I
*
p")(s2
1
2(o,,.s
*
ofi)
,\=*
SN
5, 5-
\ \ \
0.?
(=0.3
q
Ro
-( =
t2!1
4567
.9
P,/ ta,"
Figura
14-12
la sobretensi6n y el tiempo de subida se aproximan a los de un sistema de segundo orden que solamente tiene polos complejos (vdase la figura 3-4). Por tanto, p, puede despreciarse en la determinaci6n de la sobretensi6n y el tiempo de subida si > 0.5 y f
p">5lRep.l :5f@,
(r4.2)
r;
DISENO UTII,IZANDO EI- LUCAR
t
No hay sobretensi6n
DI] LAS
453
RAICES
p,< lRep.l : (r,r,
si
(14.3)
y el tiempo de subida se aproxima al de un sistema de primer orden que contiene solamente un polo
en el eje real. Enlasfiguras 14-13y l4-l4seilustraelefectodeluncerodelamallacerradaenelejereal,en
- 2,10,
sobre la sobretensi6n y el tiempo de subida Z" de un sistema continuo que tambi6n tiene los polos complejos - p,., Pf,. Estas gr6ficas muestran que e, puede despreciarse al determinar la
sobretensi6n
-
y el tiempo de subida si ( > 0.5 y z,> 5lRep"l :5fa,,
t14.4) Stzf
s2*2fons*o2^
\ )9
|}
60
_f = 0.8
g
o40
\
s
l=
o.s
J=0.7
234567 zr/ Ean
Figura
S
z.o
t"t
E
N
1.6
Q
rt
/
=L: L
O
l
b0
(,-
U.b
5 -
14-13
0.4
t/
*
s*2, s2*2!o4s*uf,
234567 zrllon
Figura
14-14
454
TI]ORIA
Y
PROBI,EMAS DE RETROAI-IMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
EJEMPLO 14.9. La funci6n de transferencia en malla cerrada de un sistema continuo particular est6 rcprcscntada por cl diagrama dc polos y ceros quc sc mucstra en la figura l4-15. Dado quc Ia ganancia en cstado estacionario es (C/RXF) : l, una aproximaci6n dc polo-cero dominante es
C R
--.-4
s'+2s+4
Esta cs una aproximacitin razonable porquc el polo y el ccro cerca de .r
: - 2 efcctivamente se cancelan ntre -p,: -L + j/I V
si, y los dcm6s polos y ccros satisfaccn las ccuacioncs ea.2) y (14.4) con
(
:
t
e
0.5.
*
Figura
14-15
14.6 Diseno puntual Si a partir de las especificaciones del sistema puede determinarse la posici6n deseadapl de un polo en malla cerrada, el lugar de las rafces del sistema puede alterarse para asegurar que una rama
+
DISI]NO TITII,IZANDO
f
IlI- I-UGAR DIl I-AS
455
RAICI1S
pt.La
especificaci6n de un polo en malla cerrada en un punto particular del plano complejo se llama disefro puntual. La t6cnica se lleva a cabo utilizando la compensaci(rn de fase y de magnitud.
del lugar cle las raices pasar6 por el punto deseado
EJEMPLO 14.10. Considircse la planta continua
Gt:
K
,G + zr
La respuesta en malla ccrrada debe tencr un tiempo dc subida del
llva al 9OVa menor quc I s, y
una
sobretensi6n menor quc el20c/c . A partir de la figura 3-4 se obscrva que cstas especificac iones se cumplcn st cl sistema cn malla cerrada ticne una configuraci6n dc dos polos dominantcs con ( O.5 y an 2. Asi, pt tu cual es una solucidn dc sc cscogc cn
:
:
- I * j\5,
p!+2(u,pr+4:0 y a.,,, : 2. Claramcntc pucclc vcrsc qucpr*-- l-j\Ecs la otra soluci6n dc csta ccuaci6n la {igura 14-16 sc mucstra la oricntaci6n dc p1 con respccto a los polos dc C:' En cuadriitica, para
{ :0.-5
+
Figura
14-16
lugardelasrafccspascporpr.el sistema El :ingulodefasedcGles-240'enpr.Paraqucunaramadcl sca - | 80" cn 21 . Ello se logra al compcnsado f-asc dcl sistcma quc dc cl iingulo dc tal modo dcbc modificarsc : 60' en p I , lo cual se agrcgar una rcd de adclanto cn cascada quc tcnga un dngulo dc fasc da 240" I 80' satislacc mcdiantc
Gt:
P,,,,,.,.:
s*1 ,a4
como sc muestra en el diagrama dc polos y ceros dc la funci6n dc transfcrcncia en malla abierta compensada G1G2, en la figura l4-17. El polo dc la malla ccrrada puedc localizarse ahora enpl escogiendo un valor para i6. K quc satisfaga el critcrio dc magnitud dcl lugar dc las rafccs. La soluci6n dc la ecuaci6n (/3.5) produce K El lugar de las raice s o diagrama de polos y ceros cn malla cerrada del sistema compensado debe dibujarse para verificar la validcz dc la suposicitin de los dos polos dominantcs. La figura l4- l8 ilustra que los polos en pt y p1* dominan la rcspuesta.
:
t
456
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
*
Iigura Figura
14-17
Figura
14-17
14-18
14.7 Compensaci6n por retroalimentaci6n La adici6n de elementos de compensaci6n a una trayectoria de retroalimentaci6n de un sistema de control puede emplearse en el disefio del lugar de las raices de un modo similar al que se trat6 en las secciones anteriores. Los elementos de compensaci6n afectan el lugar de las raices de la funci6n de transferencia en malla abierta de la misma manera. Pero, aunque el lugar de las rafces es el mismo cuando el compensador est6 en la trayectoria directa o en la
ir
de retroalimentaci6n, la funci6n de transferencia en malla cerrada puede ser significativamente diferente. Se demostr6, en el problema | 3 .34, que los ceros de la retroalimentaci6n no aparecen en la funci6n de transferencia en malla cerrada, mientras que sus palos se hacen ceros de la funci6n de transferencia en malla cerrada (suponiendo que no se producen cance-
laciones).
EJEMPLO 14.11. Suponga que se agrega un compensador por retroalimentaci6n a un sistema continuo con funci6n de transferencia directa
K
G: (s+1)(s+a)(s+5) enunintentoporcancelarelpoloen -lyremplazarlo porunpoloen -6. Fntonces,el compensador
seriaH:(s+l)/(s+6),GHestariadadaporGH:K/(s+4)(s+5)(s+6),ylafunci6nde
transferencia en malla cerrada se volverfa
C
R
K(s+6) (s +
t)[(s
+ a)(s + s)(s + 6) + /<]
Aunque el polo en - | se cancela en GH, 6ste aparece como un polo de lamalla cerradc. Ademiis, el polo de la retroalimentaci6n en -6 se convierte en un cero de la malla cerrada. En consecuencia, /a tdcnica de cancelacidn no funciona con un compensador en la trayectoria de retroalimentaci'n.
EJEMPLO 14.12. El diagrama de bloques del sistema continuo en la figura 14-19 contiene dos trayectorias de retroalimentaci6n.
*
*
LIISENO UTILIZANDO
EL LUGAR DE .t-AS
*
457
RAICES
Figura
14-19
Figura
14-20
Estas dos trayectorias pueden comtinarse como se muestra en la figura 14-20. En esta representaci6n la trayectoria de retroalimentaci6n contiene un cero en s - l/Ky. Este cero aparece en GH y en consecuencia afecta el lugar de las raices. Sin embargo, no aparece en la funci6n de transferencia de la malla cerrada, la cual contiene tres polos sin importar d6nde est€
:
localizado el cero.
El hecho de que los ceros de la retroalimentaci6n no aparezcan en la funci6n de transferencia de la malla cerrada puede utilizarse con ventaja de la siguiente manera. Si se desean polos de malla cerrada en ciertas localizaciones en el plano complejo, los ceros de retroalimentaci6n pueden colocarse en estos puntos. Puesto que las ramas del lugar de las raices terminar6n en estos ceros, las localizaciones de los polos deseados de la malla cerrada pueden obtenerse al hacer suficientemente grande el factor de ganancia en malla abierta. EJEMPLO 14,13. En un sistema continuo, el compensador por retroalimentaci6n
H=
s2+2s+4 (s +
6)2
se agrega al sistema con funci6n de transferencia en malla directa
K
G:-s(s + 2)
a
para Earantizar que los polos dominantes de la malla cerrada est6n cerca de s 14-21 se muestra el lugar de las raices resultante.
figtra
: - I + iVT
En la
458
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Figura
Y
SISTEMAS DE CONTROL
14-21
Si K se iguala a 100, Ia funci6n de transferencia de la malla cerrada
Y el par de
jv3.
C
100(s + 6)2
R
(s2 + r.72s+ 2.96)(s2 + 12.3s + 135)
polos complejos dominante sr.r
:
t
0.86
-F
jl
#
es
.5 estiin lo suficientemente cercanos a
-|+
Problemas resueltos Compensaci6n del factor de ganancia
l4-1.
Determine el valor del factor de ganancia K para el cual el sistema con funci6n de transfe-
rencia en malla abierta
GH:
K
s(s+2)(s+a)
tiene polos de malla cerrada con una raz6n de amortiguaci6n
f :
0.5.
Los polos de la malla cerrada tendr6n una raz6n de amortiguaci6n de 0.5 cuando formcn un 6ngulo de 60o con el eje real negativo [ecuaci6n (t 3 . I 8)1. El valor deseado de K se determina en el punto en donde el lugar de las raices cruce la linea en el plano s. En la figura 14_22 se muestra un diagrama del lugar de las raices. El valor deseado para K es g.3
{ :0.5
;
DISENO UTII-IZANDO
EL LUGAR DE LAS
459
RAICES
;
Figara
14.2.
Figura 14-23
14-22
Determine un valor de
K
para el cual la funci6n de transferencia en malla abierta
GH:
K (s + Z)'z(s
*
+:)
satisfaga las siguientes especificaciones: a) Ko
2 2, b) margen de ganancia >
3.
Kp :
Para este sistema, K112. Por tanto, para satisfacer la primera especificaci6n, K debe ser mayor que 24. El valor de K en el cruce del ejeT'a; con el lugar de las raices es igual a 100, como se muestra en la figura l4-23. Entonces, para satisfacer la segunda especificaci6n, K debe ser menor que 100/3 33.3. K 30 satisface ambas especificaciones.
:
14.3.
:
Determine un factor de ganancia margen de ganancia de 2.
K
para el cual el sistema del ejemplo
l3.ll
Como se muestra en la figura I 3- 15, la ganancia en el limite de estabilidad es K para tener un margen de ganancia de 2, K debe ser 0.5.
:
tenga un
| . Por tanto,
Compensaci6n por cancelaci6n
14.4.
iPueden cancelarse efectivamente los polos de una planta en la mitad derecha del plano s con un compensador que tiene un cero en la mitad derecha del plano s? No. Por ejemplo, sup6ngase una planta particular que tiene la funci6n de transferencia
Ga: '
K
s-1 -
{
K>0
y se agrega un compensador en cascada con funci6n de ffansferenciaG, : (s - I + e/(s + l). El t6rmino € en la funci6n de transferencia representa cualquier pequefro error entre la localizaci6n deseada del cero en * I y lalocalizaci6n real. La funci6n de transferencia de la malla cerrada es entonces
460
TEORIA
Y C R
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
K(s-1+e) s'+Ks+Ke-rK-1
Aplicando el criterio de estabilidad de Hurwitz o de Routh (Capitulo 5) al denominador de esta funci6n de transferencia, puede verse que el sistema es inestable para cualquier vaior de K si 6 es menor que (1 * IllK, que usualmente es el caso porque € representa el error
en la localizaci6n deseada del cero.
14.5. [in el
sistema discreto con retroalimentaci6n unitaria. con funci6n de transferencia en
malla directa.
/- -- z*l ' z(z-7) determine un compensador G1 que proporcione una respuesla con transitorio minimo para el sistema en malla cerrada. Para una respuesta con transitorio minimo (secci6n 10.8), queremos que todos los polos de la malla cerrada estdn en z 0. En la figura l4-24a) se muestra un diagrama de polos y ceros del
:
z:Oy elceroen z: -l,ellugardelasraicespasar6porz:0, como se muestra en la figura 14-24b). El compensador resultante es entonces
c
sistema. Sicancelamoselpoloen
G:' z*l
a)
Figara 14-24
y la funci6n
de transferencia en malla cerrada es
9 - GtG, :! R t+GrG2 z
I
DISENO UTILIZANDO
f
EL LUGAR DE LAS
461
RAICES
Compensaci6n de fase
14.6.
: -
Se desea agregar a un sistema un compensador con rn cero en s | para producir un + j3. ;C6mo puede determinarse la localizaci6n apro. adelanto de fase de 60o en s
piada del polo?
: -2
Con referencia a la figura l4-3, queremos que la contribuci6n de fase de la red sea do
- 0o: 60'. De la figura 14-25, g": 108". De donde 0r: 0o - 60' : 48", y el polo estarfa localizado en s : -4.7, como se muestra en la figura 14-25.
l Fiwra M-G
I4.7.
Determine un compensador que cambie a -735o el Sngulo de desviaci6n del lugar de las raices a partir del polo en s : -0.5 * j para la funci6n de transferencia de la planta
Gz:
K s(s2+s+1.25)
El r4ngulo de desviaci6n del sistema no compensado es -27" . Para cambiarlo a - 135', puede l08oens: -0.5 * j. Elretrasodefase emplearseuncompensadorporatrasoconretrasodefasede requerido podrfa suministrarse por medio de un compensador por atraso simple (tn polo y ningrin cero) con un polo en s : -0.18, como se muestra en la figura l4-26a), o mediante dos atrasos simples en cascada con dos polos en s : -1.22, como se muestra en la figura l4-26b).
t
b)
Figura
14-26
462
TEORIA
14.8. Determine un
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
compensador para
ElargGHenz-,jn'
DE CONTROL
I
con
K z\z
- I)
que proporcione una frecuencia de cruce de fase -225"
STSTEMAS
el sistema discreto en el tiempo
GH(z)
es
Y
ao tal
que
o4T
: rl2
rad.
:jsedeterminaapartirdeldiagramadepolosyceros delafigura|4-27
. Para que el lugar de las raices pase por este punto, se necesita agregar 45" de adelanto de
fase, de tal forma que el arg GH
: +
P"*,-,"(
180'. Esto puede lograrlo el compensador
r) :
argGH
z
z+L -
:
735"
:
-225"
C
Figtlra El cero en z
:
fase de 45",
14-27
0 proporciona un adelanto de fase de
lo cual
90', y el polo en z :
resulta en un adelanto neto de 45o.
-
I proporciona un atraso de
Compensaci6n de magnitud
14.9. Enelejemplol4.4, laconstantedeerrordevelocidadK,seincrement6enunfactorde6{ sin aumentar el factor de ganancia. ;C6mo puede lograrse Se supuso que el compensador G1 tenia una ganancia de
I
esto?
en alta frecuencia y una ganancia en
(c.c.) de6f,en baja frecuencia. Este compensador no puede mecanizarse pasivamente porque un compensador pasivo de atraso tiene una ganancia en c.c. de l. En consecuencia, Gy debe incluir un amplificador. Un m6todo altemo serfa dejar que G1 sea un compensador pasivo de atraso
Gi:
0.015/ s+0.1 \ 0.1 ('. ** /
y luego afnplificar el factor de ganancia por 6|. Sin embargo, cuando se emplean las t6cnicas del Iugar de las raices, a menudo es miis conveniente suponer que el compensadorjustamente agrega un polo y un cero, como se hizo en el problema 14.4. Algunos ajustes apropiados pueden hacerse en las etapas finales del disefro para alcanzar la m6s simple y/o la menos costosa mecanizaci6n del compensador.
t
it
DISENO UTILIZANDO
EL LUCAR DE LAS
463
RAICES
Aproximaciones de polo-cero dominante 14.10. Determine la sobretensi6n y el tiempo de subida
en el sistema con
funci6n de transferencia
(-
R
(s+1)(s'z+s+1)
Para este sistema, @,: l, t : O.5, p,: 1 y p/t a ,: 2. A partir de 1a figura l4-ll, el porcentaje de sobretensi6n es aproximadamente 8Va. A partir de la figura 14-12, el tiempo de subida es 2.4. Los nfmeros correspondientes en un sistema con s6lo polos complejos son l87o y 1.6 s. De esta manera el polo sobre el eje real reduce la sobretensi6n y retarda la respuesta.
14.11. Determine la sobretensi6n y el tiempo de subida
en el sistema con la
funci6n de transferen-
cia
C s*1 R:s:+s+t i}
Para este sistema an: l, t:0.5, z,: I y z,l ta,:2. A partir de la figura 14-],3, el porcentaje de sobretensi6n es 3l7o . A partir de la figura 14-14, el tiempo de subida, del lOTa al 9OVo, es 1.0 s. Los nfmeros correspondientes en un sistema sin el cero son l87o y 1.6 s. De esta manera el cero sobre el eje real aumenta la sobretensi6n y reduce el tiempo de subida, es decir, acelera la respuesta.
14.12. iCu6l es la aproximaci6n adecuada del polo-cero dominante para el siguiente 2(s + 8)
9 E, po,o en s
:
- u, ",.:,"
sistema?
":']l]::,il::l::.1)"",",
""""
(t 4 2) y (t 4 4), ciones
respectivamente, en relaci6n con los polos complejos ({un : I y t > 0.5) y por tanto pueden despreciarse. El polo sobre el eje real en r : - I y los polos complejos no pueden despreciarse. De aqui que una aproximaci6n adecuada (con la misma ganancia en c.c.) es
C
R
3(s + 1)(s2 + 2s + 3)
14.13. Determine una aproximaci6n de polo dominante en el sistema discreto con funci6n de transferencia
c R
J
0.16
(z
- 0.2)(z - 0.s)
I-a respuesta paso estii dada por
"(ft)
:1-
1.33(0.8)'
l-
0.33(0.2)k k:0,!,2,...
464
TEoRtA
y
pROBLEMAS DE RETRoALIMENTACIoN
y
stsrEMAs DE coNTRoL
:
I
La magnitud 0.33 del residuo en z 0.2es cuatro veces menor que la magnitud I .33 del residuo en z = 0.8. Tambi6n, Ia respuesta transitoria debida al pblo en z 0.2 disminuye 0.810.2 4 veces miis riipido que la del polo en z 0.8. Asi, el sistema en malla cerrada aproximado tendria s6lo un polo en z 0.8. Sin embargo, para mantener en la respuesta del sistema un retardo de dos muestras (el sistema original tiene dos polos mds que los ceros), es necesario agregar a la aproximaci6n un polo
:
:
:
:
enz=0.Entonces
c R=
0.2
r(r-0^8)
La respuesta paso en el sistema aproximado es
,(k)
:{l-
, r,,o
N6tese que el rinico efecto del polo en z
r-
:
para para
k:0 t>0
0 sobre la respuesta es retardarla en una muestra.
Diseno puntual
*
14.14. Determine K,
ay b, tales que el sistema
GH:
con funci6n de transferencia en malla abierta
K(s + a)
(s+b)(s +2)2(s+4) tenga un polo en malla cerrada en pt : -2 + j3. El 6nguloquecontribuyeconlospolosen s: -2yen.s: -4alargGH(sr)es -237".Para satisfacerelcriteriodel6ngulo,lascontribucionesdelceroens: -cydelpoloens= -bdeben totalizar - | 80' -(-237") : 57o. Puesto que este es un 6ngulo positivo, el cero debe estar m6s a la
derecha que el polo (b > a).Arbitrariamente (a o b) pueden elegirse tan grande que permita que el otro pueda fijarse en Ia mitad izquierda finita del plano s para dar una contribuci6n total de 57o. Hagamos a 2, lo cual resulta en una contribuci6n de fase de 9ff. Entonces b debe colocarse en
:
donde la contribuci6n del polo sea
el eje real en 6.6
:
-33o. Una linea trazada desdepr en un 6ngulo de 33o intercepta
b, como se muestra en la figura
14-28.
{l Figura 14-28
t
DISENO UTILIZANDO
EL LUCAR DE LAS
465
RAICES
El valor necesario de K, requerido para satisfacer el criterio de magnitud en p; puede calcularse ahora utilizando los valores escogidos para a y b. A partir del siguiente ciilculo, el valor requerido
deKes (
p, + 6.6)( p, + 2)'( p, +4)
(pr+2)
:60 t,
14.15. Determine la compensaci6n requerida en un sistema con la funci6n de transferencia de planta
K (s+8)(s+1a)(s+20)
Gz:
para satisfacer las siguientes especificaciones: a) sobretensi6n
del lOVo al
a
9OVo
7" = tSO ms, c) K, >
<
5Vo, b)
tiempo de subida
6.
La primera especificaci6n puede satisfacerse con una funci6n de transferencia en malla cerrada cuya respuesta est6 dominada por dos polos complejos con ( > 0.7, como se observa en la figura 3-4. Una amplia variedad de configuraciones de polo-cero dominante puede satisfacer la especificaci6n de sobretensi6n; pero la configuraci6n de dos polos usualmente es la forma mds simple de obtener. A partir de la figura 3-4 tambi6n vemos que, si f : 0.7, el tiempo de subida del lOVo al 9OVo normalizado es cerca de onT, : 2.2. Asf, para satisfacer la segunda especificacidn con ( : 0.7 , tenemos T,:2.2/an < 0.15 s u a,rn > 14.7 rad/s. Pero escojamos @n: l7 de tal modo que se logre algrin margen con respecto a la especificaci6n de tiempo de subida. Otros polos en malla cerrada, si aparecen en el disefro final, pueden retardar la respuesta. Asi, para satisfacer las primeras dos especificaciones, diseffaremos el sistema con una respuesta dominante de dos polos con { : 0.7 y a, = 17. Unaevaluaci6n de Gz(pt) en el plano s, con pl : -12 + j 12 (correspondiente a { : O.7, an : l7), produce el arg Gz@t) : -245". Entonces, para satisfacer el criterio del 6ngulo en p; , debemos compensar el sistema con un adelanto de fase tal que el dngulo total sea - 180o. Por tanto agregamos un compensador por adelanto en cascada con 245" - I 80' = 65' de adelanto de fase en p . Colocando arbitrariamente el cero del compensador por adelanto en s : - 8 se obtiene 0, : 108" (vdase lafigura l4-3). Entonces, puesto 1
quequeremos0"-0r:65",00:108'-65':43'.Dibujandounalineadesdepl al ejereal con el iingulo d6 requerido se determina la localizaci6n del polo en s : -25. La adici6n del compensador por adelanto con cr
:
8y
b
:
25 produce la funci6n de transferencia en malla abierta
GzGad"run,o@
K
: 3100. La constante de error posicional resultante para este disefro es Kr: 31001(14)(20)(25) : 0.444, la cual es sustanciaf mente menor que el valor especificado de 6 o m6s. Krpodrta incrementarse levemente al intentar otros disefros puntuales (arn mds alta); pero el Ko requerido no puede alcanzarse sin algfn modo de compensaci6n de magnitud en baja frecuencia. El aumento requerido es 6/O.444 : I 3.5, y puede obtenerse con un compensador por atraso en baja frecuencia eon bla: I 3.5. El rinico requerimiento El valor de K necesario para satisfacer el criterio de magnitud en p1 es K
I
466
TEORIA
Y
PROBI-EMAS DE RETROALIMENTACIoN
Y
SISTEMAS DE CoNTRoL
f
adicional es que rr y bpara el compensador por atraso deben ser lo suficientemente pequeios como para no afectar el disefro en alta frecuencia logrado con la red de adelanto. Es decir,
arg Hacie,ruo
b: I ya:
O.074.
(pr) =
Po,,o.o
El
0
compensador requerido es
si-1 G aru.o
s
+ 0.074
Para sintetizar este compensador utilizando una red de atraso convencional con funci6n de transferencla
^^,-"-^: 0.074(s + 1)
P
s
se requiere un
+ 0.074
amplificador adicional con una ganancia cle 13.5; o de manera equivalente, el valor
de diseno de K escogido antes puede incrementarse en I 3.5. Con cualquiera de las mecanizaciones
pri4cticas, la funci6n de transferencia total en malla abierta es
GH:
*
3100(s + 1)
(s + 0.075)(s + ia)(s + 20)(s + 25)
En la figura 14-29 se muestran los polos y ceros de la malla cerrada. Et polo y el cero de baja frectrencia efectivamente se cancelan entre si. El polo sobre el eje real en s : -35 afectarii de manera leve la respuesta del sistema porque pr I (an para este polo es aproximadamente de 3 [ecuaci6n ( 1 4 .2)1. Sin embargo, hay necesidad de referirse a las figuras | 4-l 1 y | 4-12 para verificar que la sobretensi6n y el tiempo de subida cumplen bien con las especificaciones. Si el sistema se ha diseflado para cumplir apenas con la especificaci6n del tiempo de subida con la aproximaci6n de dos polos dominantes, la presencia del polo adicional en la funci6n de transferencia en malla ccrrada puede haber retardado la respuesta lo suficicnte para que no se cumpla esa especificacitin.
t
t
DISENO UTILIZANDO
I]I- I-UCAR DE LAS
RAICES
467
Compensaci6n por retroalimentaci6n de posici6n con un tac6metro en la trayectoria de retroalimentaci6n tiene el diagrama de bloques que se muestra en la figura l4-30. Determine los valores de K r y Kzque resultan en el diseio del sistema que produce un tiempo de subida del lOVa al 90c/o menor que l.s y una sobretensi6n menor que el 2OVc.
14.16. Un sistema de control
Figura 14-30
.l
Una via directa para lograr este disefio es determinar un punto de diseno apropiado en
el plano s y utilizar la t6cnica de disefro puntual. Si se combinan las dos trayectorias de retroalimentaci6n, se obtiene el diagrama de bloques que se muestra en la figura l4-31.
Figura 14-31 Para esta configuraci6n
GH:
{
Kr/Kr) s(s+2)(s+a)
Kz(r +
La localizaci6n del cero en s : - K rlK2 np&rece en la trayectoria de retroalimentaci6n y el factor de ganancia es K2. Asi, para una localizaci6n fija del cero (la relaci6n K 1lK) un lugar de fas raices para el sistema puede construirse en funci6n de K2. La funci6n de transferencia en malla cerrada contendrd entonces tres polos, pero ningrin cero. Los esbozos tentativos del lugar de las raices (figura l4-32) revelan que si la relaci6n KllK2se localiza en cualquier lugar entre 0 y 4, la funci6n de transferencia en malla cerrada probablemente contendrd dos polos complejos (si K2 es lo suficientemente grande) y un polo sobre el eje real cerca del valor de -KtlK2.
468
TEORIA
Y
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
SISTEMAS DE CONTROL
f
Figura 14-32 Entonces, es posible que una configuraci6n de tres polos dominantes sea apropiada para el diseno. Un valor de ( = 9.5 para los polos complejos satisfar6 el requerimiento de sobretensi6n.
Para{:O.5yp,/{a^:2,lafigural4-l2muestrauntiempodesubidanormalizadori.nT,=2.3.
l:2.3/o, ( lsuar,>2.3rad/s.Sip,/(a,sehacemayorque2,el tiempodesubidaserd riipido, y viceversa. Para tener un pequefro margen en el caso que p, /(o, sea menor que 2, se escoge &r, : 2.6. El punto de diseno en el plano s es entonces p/ : - I .3 + j2.3, que corresponde a Asf, mi4s
(:05Yo,:2.6.
De la figura I 4-33
:
*
obtiene que la contribuci6n de los polos en s O, - Z y - 4 al arg G H (p ) es 180" -(-233") 53" enpr para satisfacer el criterio del ringulo en p1. La localizaci6n del cero debe ser entonces s -3. el cual se obtiene al trazar una lfnea desde p1 hasta el eje real en un ilngulo de 53o con el eje real. Con K / K2: 3, el factor se
*233o. Entonces la contribuci6n del cero debe ser
-
:
:
degananciaenplparacHes7.5.Asi, losvaloresdedisefrosonK2 =7.5yKr:22.5.Elpolosobre el eje real para la malla cerrada estd a la izquierda del cero localizado en s
Por consiguiente, para este diseno
p,t{u,
es por lo menos 311.3
Figura
14.17 En
el sistema discreto en
=
: -3, pero cerca de 61.
2.3.
14-33
el tiempo con funci6n de transferencia
K ---:---:Gr: " z(z-1)
en malla directa
*1
I
DISENO UTILIZANDO
EL LUGAR DE LAS
469
RAICES
* determine un compensador por retroalimentaci6n que produzca un sistema en malla cerrada con una respuesta con transitorio mfnimo. Para una respuesta con transitorio minimo (secci6n 10.8), la t-unci6n de transferencia en malla cerrada debe tener todos sus polos en z 0. Puesto que los polos cancelados por los ceros de la
:
retroalimentaci6n aparecen en la funci6n de transferencia en malla cerrada, hagamos que H tenga un cero en z : O. Esto elimina el polo en z : 0 del lugar de las raices, pero perrnanece en la funci6n de transferencia en malla cerrada. Para que H sea factible tambi6n debe tener por lo menos un polo: Si colocamos el polo de l/ en z : -1, el lugar de las raices resultante pasa por z : 0, como se muestra en la figura 14-34. Entonces, haciendo K : l, todos los polos de la malla cerrada estdn localizados en z = 0, y el sistema tiene respuesta con transitorio minimo.
f, Figura 14-34
Problemas suplementarios 14.18. En el sistema con funci6n de transferencia en malla abierta GH
:
K(s
+
a)l(s2
:
- lXs + 5) an: 2.
determine K y a, tales que el sistema en malla cerrada tenga polos dominantes con { 0.5 ! 6Cu6l es el porcentaje de sobretensi6n en el sistema en malla cerrada con estos valores de
K y a?
14.19. Determine un compensador apropiado en el sistema con funci6n de transferencia de planta
Gz-
s(s+1)(s+a)
para satisfacer las siguientes especificaciones: lOVo al 9OVo < I s,.3) margen de ganancia
l) sobretensi6n < > 5.
:
14.20. Determine
*
la compensaci6n adecuada en el sistema con funci6n de transferencia de planta G2 I /s(s 4)2 para satisfacer las siguientes especificaciones: I ) sobreten si6n < 207o,2) constante de error
de velocidad K"
t
2OVa,2) tiempo de subida del
14.21. En el sistema que
>
10.
se muestra en el diagrama de bloques de la
que el sistema tenga polos en malla cerrada en ,r
figura t4-35, determine K1 ! K2 tales
= -2 * j
2.
TEORIA
470
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACTON
Y
SISTEMAS DE CONTROL
*
Figura
14-35
14.22. Determine un valor de K en el sistema con funci6n de transferencia en malla abierta GH : KlsTs? + 6s + 25) tal que la constante de error de velocidad K, ) I , la respuesta paso en malla cerrada no tenga sobretensi6n y el margen de ganancia ) 5.
14.23. Disefre un compensador en el sistema con funci6n de transferencia de planta Gz = 63/s(s + 7Xs + 9) tal que la consthnte de error de velocidad K" > 30, Ia sobretensi6n sea menor que el de subida del lOTo al 9oo/o sea menor que 0.5 s.
Respuestas
2OVo y
el tiempo
a los problemas suplementarios
+
f4.18. K:11.25,a:l.6,sobretensi6n:38vo;n6tesequeel sistematieneuncerodemallacerradaen s -- -a = -1.6. 14.19. Gr:24(s +
14.m. Gt
:
24/.s
r)/$
+ a)
+ 0.2)/(s+ 0.03)
14.21.
K2:1, Kr:5
t4.t2.
K:28
14.23.
Gr:3(s+0.5)/(s+0.05)
?
Capftulo 15
't
Anilisis de Bode 15.1 Introducci6n El an6lisis de los sistemas de control con retroalimentaci6n utilizando el m6todo de Bode es equivalente al aniilisis de Nyquist en que ambas t6cnicas emplean representaciones grdficas para la funci6n de respuesta de frecuencia en malla abiena GH(a), en donde GH(o) se refiere a un sistema discreto o a uno continuo. Sin embargo, los diagramas de Bode constan de dos grdficas: ia magnitud de GH(a) y el 6ngulo de fase de GH(a), ambos representados en t6rminos de la frecuencia ar. Usualmente se emplean escalas logaritmicas para los ejes de frecuencia'y para IGH(a)1.
d
Los diagramas de Bode ilustran de manera clara la estabilidad relativa de un sistema. En efecto, a menudo se definen los m6rgenes de ganancia y de fase en t6rminos de los diagramas de Bode (vdase el ejemplo 10. I ). Estas medidas de estabilidad relativa pueden determinarse para un sistema particular con un mfnimo de esfuerzo de c6lculo utilizando los diagrarnas de Bode, especialmente para aquellos casos en los cuales se dispone de los datos experimentales de la respuesta de frecuencia.
15.2 Escalas logaritmicas y diagramas de Bode Los diagramas de Bode utilizan escalas logaritmicas porque simplifican de manera considera-
ble su construcci6n, manipulaci6n e interpretaci6n. logar(tmica para el eje ar (la abscisa) porque con ello pueden representarse y la magnitud el 6ngulo-de fase sobre un intervalo de frecuencias mucho mayor que lo que podrfa representarse con el eje lineal de frecuencias, acentuando por igual todas las frecuencias, y tales griificas a menudo resultan lineas rectas para sistemas continuos en el tiempo (secci6n 15.4). La magnitud lP(ar)l de cualquier funci6n de respuesta de frecuencia P(at) para cualquier valor de r.l se representa en una escala logaritmica en decibeles (dB), en donde Se usa una escala
dB
:
(ts.t)
20 lo916 lP(ar)l
fVdase tambi6n la ecuaci6n (10.4).1 EJEMPLO 15.1. Si lP(2)l
f
=
IGH(2)|
:
10, la magnitud es 20 lo91610
:
20 dB.
Puesto que el decibel es una unidad logaritmica, la magnitud en dB de una funci6n de respuesta de frecuencia compuesta deun producfo de t6rminos es igual ala suma de las magnitudes en dB de los t6rminos individuales. Asf, cuando se emplea la escala logaritmica, la gr6fica de magnitud de una funci6n de respuesta de frecuencia que puede expresarse como el producto de m6s de un t6rmino, se obtiene al sumar las magnitudes en dB de las gr6ficas individuales para cada
t6rmino del producto. 471
Y
TEORIA
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
La grdfica de la magnitud en dB en funci6n del log ar se llama diagrama de magnitud de Bode, y la gr6fica de dngulo de fase enfuncihn del tog ar es el diagrama de dnguto de fase de Bode. Algunas veces en la literatura t6cnica el diagrama de magnitud de Bode sellamadiagrama log-mddulo. EJEMPLO 15.2. EI diagrama de magnitud de Bode para la funci6n de respuesta de frecuencia continua en
el tiernpo
+7(o/10)]
100[1
P(i"):
I+ju
puede obtenerse al sumar los diagramas de magnitud de Bode para 100,
15.3 La forma de Bode
y la
l
+ j(a/10) y
ll(l
+ ja).
ganancia de Bode para sistemas continuos en el tiempo
Debido a las aproximaciones asint6ticas, de la secci6n 15.4, es conveniente utilizar la llamada forma de Bode de una funci6n de respuesta de frecuencia continua en el tiempo cuando se utilizan los diagramas de Bode para el an6lisis y el diseno. La forma de Bode para la funci6n
K(jot+zr')(jo+zr\...(ja+z^)
(j")' (j"
+
pJ(j@
+
p)
...
(j,
+
l} p,)
en donde / es un entero no negativo, se obtiene al factorizar todos losp; y z; y reordenarlos para
formar
I m ln I lxfl', I [l p, I| (t + jo:/ L r:r /,-1 (
jr)'(r
+
ju/pr)(L
zr)(r +
+
ja / z r) . . . (r
+
io/ z ^)
j,a/p) ...(r +iu7p^)
(ts.2)
La ganancia de Bode Ks se define como el coeficiente del numerador en la ecuaci6n (l 5.2):
xfi.,,
K"=
-#-
(15.J)
TIp, j-1
15.4 Diagramas de Bode de funciones de respuesta de frecuencia sencillas continuas en el tiempo y sus aproximaciones asint6ticas La constante K6tiene una magnitud lKsl y un dngulo de fase de 0o si Ks es positiva, y de
20 logro
lKrl
t Figura l5-l
473
ANALISIS DE BODE
* - 180'si K6 es negativa. En consecuencia los diagramas de Bode paraKu son simplemente lineas rectas horizontales, como las que se muestran en las figuras l5-l y l5-2. o
Ioglq {,
-190
0
Figura 15-2 La funcirin de respuesta cle fiecuencia (o f unci6n de transt'erencia sinusoidal) para un
t,rrlctt
I ctt cl t,rigctt
ytlo
de
es
I
(r5.4)
(i,)'
I
Los diagrantas de Bode para esta tunci(ln son lineas rectas, como las que se muestran en las figuras
lJ--l
y
l.s-4.
s
bo0
,0,""'.
\
E
\
I
Figura l5-3 Frecuencia a.
-60 0.1
|
fr
|
4'14
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
"*[#] l=1 q q
I
l=2
-t8oo
l=3 Figura 15-4 Frecuencia &r,
rad/s
0.1
Para un cero de orden
O.2
0.5
|
2
5
l0
I en el origen,
(/i.5)
(.rr)'.
*
los diagramas de Bode son las reflexiones alrededor de las lineas de 0 dB y 0' de las figuras l5-3 y
l5-4, como se muestra en las figuras l5-5 y
15-6.
20 loglsl(jo)!l
.= oo
I--|
6
\ty
-20
z 7
\t/
Figura
15-5
Frecuencra &r,
.. ra(vs-600.1
0.2
' 0.5
'- ' |
' 2
' 5
t ' l0
475
ANALISIS DE BODE
} arg (jo)r
l=3 o o
!
l=2
r80c
E4
l=1
0c
I
o I
0.2
0.5 Frecuencia
a
Figura
1 a,
2
tadls
15-6
Considere la funci6n de transferencia de polo sencillo pl(s + p), p Bode para su funci6n de respuesta de frecuencia 1
| + ja/p se presenta en las
de
(r s,6)
figuras I 5-7 y I 5-8. N6tese que la escala de frecuencia logaritmica est6 normali-
zada en tdrminos de p.
d 6
't
> 0. Los diagramas
Frecuencia normalizada, al p
Figura 15-7
476
TEORIA
Y
Y
PROBLEMAS DE
SISTEMAS DE CONTROL
I
o o at -40. o0
\d
t 0.t0.20.5125r0 Frecuencia normalizada, wl p
Figura l5-8 Para determinar las aproximaciones asint6ticas para estos diagramas de Bode, vemos que
paraalp(l,u@
zorog,.l
yparaalp)1,uou*p, 2o rog,o
;el
l#l=
= zorog"l
2oroero
lhl
:
o dB
: - ro,or,, (
;)
En consecuencia el diagrama de magnitud de Bode se aproxima asint6ticamente a una linea recta horizontal a 0 dB a medida que olp se aproxima a cero, y a -2olog1s(a/p) a medida que alp tiende a infinito (figura 1 5-7). N6tese que esta asintota de alta frecuencia es una lfnea recta con una pendiente de -2O dBid6cada o -6 dB/octava cuando se representan en escalas logaritmicas de frecuencia, como se muestra en la figura l5-7. Las dos asintotas se intersecan en la frecuencia de corte ar : p rad/s. Para determinar la asintota del Sngulo de fase, vemos que para alp 4 l, u o
4p,
|}
111
ANALISIS DE BODE
*
*(#) :-o"-'(i)1.*,=o' yparaoilp*l,u ul\p,
*(#) : -,*-'( ;)
l,_.
= -eo.
a 0'a medida que alp tiende a infinito, como se muestra en la figura l5-8. Una linea -90" recta asfntota de pendiente negativa puede utilizarse para unir la asintota de 0o y la asintota de -90o, trazando una linea desde la asintota de 0o en , : pl5 hasta la asintota de -90" en a = 5p. N6tese que 6sta es tangente a las curvas exactas en @ : p.
Asi, el diagrama de 6ngulo de fase de Bode tiende asint6ticamente
cero, y a
a medida qlue otlp tiende a
En la tabla l5-l se muestran los errores introducidos por estas aproximaciones asint6ticas para la funci6n de transferencia de polo sencillo a diferentes frecuencias.
Tabla 15-1. Errores asint6ticos
4 a
p/s
Error de magnitud (dB)
-
Error de 6neulo de fase
-
'
I + ir,t/p
p/2 -
0.17
11.3"
0.96
p
2p
-3
-0.96
-0.t7
+ 0.80
+ 11.3o
0o
0.80
5p
En las figuras I 5-9 y I 5- l0 se muestran los diagramas de Bode y sus aproximaciones asint6ticas para la funci6n de respuesta de frecuencia de cero sencillo I
1+-
tr)
(rs.7)
zl
a
Figura l5-9 Frecuencia normalizada, w/2,
o.t
0.2
0.5
|
2
478
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROAUMENTACION
Y
SISTEMAS DE COI.ITROL
*
800
q
€o
e w
4oc
r
0.5
r
Frecuencia normalizada
Figura
, o/zr
15-10
I
479
ANALISISDEBODE
*
20
+ 0.5r2 Frecuencia nomalizada, ul on
Figura 15-11
o a
{
{l
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
En las figuras l5-11 y 15-12 se muestran los diagramas de Bode y sus aproximaciones asint6ticas para la funci6n de respuesta de frecuencia de segundo orden con polos complejos,
0
| + j2{a/o^- (r/r,)'
i
(15.8)
N6tese que en estas grdficas la relaci6n de amortiguaci6n f es un par6metro. La asfntota de magnitud que se muestra en la figura 15-l I tiene un frecuencia de corte en al : @n, y lna pendiente de alta frecuencia que es dos veces la de la asfntota para el caso del polo sencillo de la figura 15-7 . La asfntota del ilngulo de fase es similar a la de la figura l5-8 excepto que la parte de alta frecuencia se encuentra en - 180" en lugar de -90o, y el punto de tangencia o inflexi6n estd en -90o. Los diagramas de Bode para un par de ceros complejos son las reflexiones alrededor de las lfneas de 0 dB y 0" para aquellos polos complejos.
15.5 construcci6n de diagramas de Bode para sistemas continuos en el tiempo Los diagramas de Bode de funciones de respuesta de frecuencia continuas en el tiempo se construyen sumando las contribuciones de magnitud y de dngulo de fase para cada polo y cada cero (o pares de polos y ceros complejos). A menudo son suficientes las aproximaciones asint6ticas de estas
gnlficas' Si se desean gr6ficas m6s exactas,
se
(}
consiguen muchos paquetes de progra-
mas de aplicaci6n para efectuar de manera nipida esta tarea. En general, para la funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta
Kr('t + iu/zr)(t
GH(j@): (
en donde
/
+
iaTzr)
j")'(t + jot/pr)(r + j,,t/p) ...(t
es un entero positivo o cero, la magnitud
20log,o IGH(j@)l:20log,olKal+ zoros,olr
+ 2olosro
jo/z^)
. . . (1 +
y el 6ngulo de
.
111
*y1
aryGl(i.')
:
+20tozrc*r7;7*
arsKa+
*.,(#)
-c(r
**,(
.:)+ .
;^)+
(rs.e)
+iu7p,)
f l. "'
fase est6n dados por
+zorog,,lr
.:l
*20locroO*ir7il Qs.tl\
+axs(
,.:)
+ars(
ir")
Qs.r
r)
*
481
ANALTSIS DE BODE
t* En las figuras 1 5- I a 1 5- I 2 se muestran los diagramas de Bode para cada uno de los t6rminos de las ecuaciones (15.10)y (15-11). SiGH(jot) tiene polos o ceros complejos, los t6rminos que tengan forma similar a la ecuaci6n (/5.8) simplemente se suman a las ecuaciones (15.10) y (l,5.1i,). El
procedimiento de construcci6n se ilustra mejor mediante un ejemplo. EJEMPLO 15.3. Los diagramas
de Bode asint6ticos para la funci6n de respuesta de frecuencia
GH(
seconstruyen utilizando
10(1 +7r.r)
jot):
( iq'Lr + jut/4 - ("/q)'l las ecuaciones (lS.I0) y (l5.ll):
20l"c,rl#l.rt""rl,.-rlTril
20log,,,lcH(/..,) l:201o9,010 + 20log,ol1 +7orl+
argcl(io):
arc(l +jo,) +
*g(t71ir')')
+
.g(
L+ja/4*G/a\'
+
bo
-2O
40
60
! -*,
0.1
rt
0.2
0.4
2
| Frecuencia
a,
Figura
15-13
4
lo
zo
{0
radls
Los diagramas para cada uno de los tdrminos en estas ecuaciones se obtienen de las figuras l5-l a 15-12, y se presentan en las figuras l5-l3 y 15-14. l,os diagramas de Bode asint6ticos para GH(ja) se obtienen al sumar estas curvas, como se muestra en las figuras 15-15 y 15-16, en las cuales tambi6n se muestran, para comparaci6n con las aproximaciones asint6ticas, los diagramas de Bode para la funci6n de respuesta de
frecuencia generados por computador.
482
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
*
o ,6 o
o
-5oo
ts \d
-1000
Frecuencia
u,
a
rad/s
Figura 15-14
60 ,10
20
0
-20
b0
-40 -60
-80
*
483
ANALISTS DE BODE
* -l.m -
160
-
180
-
200
-220
a o d \a
-2& -2& -
510
280
Frecuencia at, radls
Figura 15-16
*
15.6 Diagramas de Bode de funciones de respuesta de frecuencia discretas en el tiempo La forma factorizada de la funci6n general de respuesta de frecuencia en malla abierta discreta
en el tiempo
es
GH(ei'r\:
K(ei'r + zr)(ei'r + z) ... (ei"r * z^) (ei" + pr)(ei'r + pz) ... (ei'r + p,)
(ts.12)
No existen aproximaciones asint6ticas simples, similares a las de la secci6n 15.4, para los t6rminos individuales de la ecuac i6n (I 5 .12). Asf que no hay ninguna ventaja particular para unaforma de Bode del tipo de la ecuaci6n(15.12) para sistemas discretos. En general, los computadores proporcionan la via m6s conveniente para generar los diagxamas de Bode de los sistemas discretos en el tiempo, y existen varios paquetes de programas de aplicaci6n para realizar esta tarca. Para la funci6n general de respuesta de frecuencia en malla abierta de la ecuaci6n (15-12),la
magnitud
y el 6ngulo de fase
20 log,ol
Grl(
e
i" ) l:
se obtienen por medio de
20logrolK
I
* 20logrofei" +
argGH(et'r)
u
* trl+ ... *20logrolei'r 11 ...
2oloeronr,*U +
+ z^l
+20logLotei,r
+
e,l
U5.13\
: -g K + arg(ei"r + zr) + "' +
ars(ei'r
+,^) +
are1fil6* . . **u( #.
(ts.t4)
"\
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETR,OAIJMETITACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
Es imponante hacer notar que la magnitud y el r{ngulo de fase de las funciones de respuesta de frecuencia discretas en el tiempo son peri6dicos en la variable de frecuencia angular real ar. Esto es cierto puesto que
giot -
"i(o+2kn/TlT
- gioTri2kd
asi de es peri6dica en el dominio de la frecuencia con un periodo 2trlT. De este modo, cada tdrmino tanto en la magnitud como en el 6ngulo de fase es peri6dico. En consecuencia, s6lo es necesario generar diagramas de Bode en un intervalo angular de -r < aT < zr radianes; y normalmente la magnitud y el dngulo de fase se representan en t6rminos del rdngulo o;T enlugar de la frecuencia angular al. Otra propiedad 6til de la funci6n de respuesta de frecuencia discreta en el tiempo es que la magnitud es una funci6n par de la freeuencia ar (y de oT) y que el 6ngulo de fase es una funci6n
impar de
a (y de aT).
EJEMPLO 15.4 En las figuras 15-17 y 15-18 se presentan los diagramas de Bode para respuesta de frecuencia discreta en el tiempo
GH(ei'r):
w
la funci6n de
6(er.r+ 1)2
i
39
dBJ=
',
margen de ganancia I
t
: : : ,:l
bo
0.01 @rT 0.05 0.1
0.5 | o4T
5
l0
Angulo arZ, radianes
Figura
15-17
15.7 Estabilidad relativa Los indicadores de estabilidad relativa "margen de ganancia" y "margen de fase", para sistemas discretos y sistemas continuos, se definen en tdrminos de la funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta del sistema, en la secci6n 10.4. En consecuencia, estos pardmetros se determinan de manera f6cil a partir de los diagramas de Bode de GH(a), como se ilusff6 en los ejemplos
t
485
ANALISIS DE BODE
a
-50
-
100
-
r50
-
180
200
-250
@rT
0.05
0.1
O.5 Angulo
o?,
Figura
*
| o"T
5
-
300
-
350
-
400
10
ndianes
15-18
10.1 y 15.4. Puesto que 0 dB corresponde a una magnitud de l, el margen de ganancia es el nirmero de decibeles que IGH(a)l estf por debajo de 0 dB a la frecuencia de cruce de fase aro (el argGH(a-) : - 180'). El margen de fase es el nrimero de grados que el arg GH(a) est6 por encima de -180'a la frecuencia de cruce de ganancia ar (lGH(a)l : l). Para determinar con exactitud @o, @r y los m6rgenes de ganancia y de fase, deben utilizarse diagramas de Bode generados por computador: En la mayor parte de los casos, m6rgenes de ganancia y de fase positivos, como se definieron antes, aseguran la estabilidad del sistema en malla cerrada. Sin embargo, puede dibujarse un diagrama de estabilidad de Nyquist (Capitulo 1l) o utilizarse uno de los m6todos del Capftulo 5 para verificar la estabilidad absoluta del sistema.
EJEMPLO 15.5. El sistema continuo en el tiempo cuyos diagramas de Bode se presentan en la figura 15-19, tiene un margen de ganancia de 8 dB y un margen de fase de 40'.
arg.GtIii'I
oo
d
J Figura
15-19
486
TEORIA
Y
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
SISTEMAS DE CONTROL
I
EJEMPLO 15.6. Para el sistema del ejemplo 15.4, el margen de ganancia es 39 dB, el ringulo en la frecuencia de cruce de fase ao es a,T : 1.57 rad, el margen de fase es 90', y el 6ngulo en la frecuencia de cruce de ganancia a1 es a1T: 0.02 rad, tal como se ilustra en las figuras 15_17 v l5_lg.
15.8 Respuesta de frecuencia en malla cerrada Aunque no hay un m6todo directo para representar la grdfica de la respuesta de frecuencia en malla cerrada (ClR)(u) a partir de los diagramas de Bode de GH(a), puede aproximarse de la siguiente manera, para sistemas de control tanto continuos como discretos en el tiempo. La respuesta de frecuencia en malla cerrada estd dada por
C.. (G') :
R
Si IGI(or)l>>
,&, ,lll
-lR '
lGfl(o)l<<
T+ GH(")
1,
C
Si
c(")
',llor(,)t=,
I
G(") GH(o:)
H(')
1,
i,,,1,o,..,,*, =
G(r)
La respuesta de frecuencia en malla abierta para la maytrr parte de los sistemas se caracteriza por una ganancia grande para bajas frecuencias y una disminuci6n de la ganancia para frecuencias m6s altas, debido al usual exceso de polos sobre ceros. De esta manera, la respuesta de frecuencia en malla cerrada para un sistema con retoalimentacihn unitaria (H : I ) se aproxima a una magnitud de I (0 dB) y un 6ngulo de fase de 0" para frecuencias por debajo de la frecuencia de cruce de ganancia a1. Para frecuencias por encima de a1, la respuesta de frecuencia en malla cerrada puede aproximarse a la magnitud y al 6ngulo de fase de G(ar). Lafrecuencia de cruce de ganancia @1 es para muchos sistemas un ancho de banda en malla cerrada aproximado (vdase elejemplo 12.7).
EJEMPLO 15.7. En la figura 15-20 se presentan el diagrama de magnitud de Bode en malla abierta y el diagrama de magnitud de Bode en malla cerrada aproximado para el sistema continuo con retroalimentaci6n loljat(l jat). unitaria representado por GQ
:
+
t
t
487
ANALISIS DE BODE
30
20 losre IGU*)I 20
-6tr' ;
F e,
l
10,
i.upro*i,nudo zo r.c'" [#
--..
ti,ll
-.:.'. ,....-...
-,":.
0.4
J
- a......... :--,,."..-l.;.:..
1.0
2.0 dl
4.0
Frecuencia ar, rad/s
Figura
15-20
15.9 An6lisis de Bode de sistemas discretos en el tiempo utilizando la transformada w La transfbrmada n,, estudiada en la secci6n 10.7, puede utilizarse en el andlisis de Bode de sistemas discretos en el tiempo. El algoritmo para el an6lisis de Bode utilizando la transformada w CS:
l.
Sustituir z por
(l + w)l(l -
w) en la funci6n de transferencia en malla abierta GH(z):
GH(z)1,-r+Y GH'(w) 'l-w =
2.
Hacer w
:
j@- y generar los diagramas de Bode para GH'(jo-), utilizando los m6to-
dos de las secciones 15.3
3.
a 15.5.
Analizar la estabilidad relativa del sistema en el plano w determinando los mi{rgenes de ganancia y de fase, las frecuencias de cruce de ganancia y de fase, la respuesta de frecuencia en malla cerrada, el ancho de banda y/o cualquier otra caracterfstica relacionada con la frecuencia de interds.
4.
Transformar las frecuencias crfticas determinadas en el paso 3 al dominio de la frecuencia del plano z utilizando la transformaci6n aT :2 tan-t.a.*.
EJEMPLO 15.8. La funci6n de transferencia en malla abierta
a
GH(z):
fi(z
+ l)'?
(z-t)(z+|)(e+!)
488
TEORIA
sc transforma al dominio
lo cual
l
al
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
SISTEMAS DE CONTROL
t
haccr -,:t** L-w GH'(w):
produce
Y
-*("-t) w(w+2)(w+3)
N6tcsc, cn particular, que cl signo menos contribuye con -180'de iingulo de fasc, y el ccro cn *l *90'cn r.,',,.: 0'. En las figuras 15-21 y 15-22 se muestran los diagramas dc Bodc dc GH'(ito,,) contribuyc con
0
-20 -40 -60
I
-80
-
0.5
0.01
orl
Frectlencia
Figura
l0
1
o,,.
100
-120 50
100
rad/s
15-21
-50 -
100
-
150
-
200
-
-250
- 300 0.05
0.1
0.5 I Frecuencia
5
o,,.
rad/s
Figura l5-22
10
50
350
-400 100
l
a
489
ANALISIS DE BODE
EJEMPLO 15.9. A partir de los diagramas de Bode del ejemplo 15.8, el margen de ganancia en el dominio w es 39 dB, y la frecuencia de cruce de fase es a;.- : I rad/s' Al transformar de nuevo al dominio z, la frecuencia de cruce de fase ar. se obtiene a partir de
ooT
:
2tan-
ro,to,
:
L.57 l'ad,
Compare estos resultados con los del ejemplo 15.6, notar6 que son los mismos.
EJEMPLO 15.10. A partir de los diagramas dc Bodc dcl cjcmplo 15.8. el margen de fasc es 90", y la frecuencia de cruce de ganancia eslrrr-r : 0.01 rad/s. Al transformar al dominio z,lafrecuenciade cruce de ganancia a,l1 se obtiene a partir de
o4T:2tan-ro*r
t
:
0.02 rad
Comparc cstos rcsultados con los dcl ejcmplo 15.6, notari que son los mismos.
Con a amplia disponibilidad de programas de aplicaci6n (software) para el an6lisis de sistemas de coirtrol, a menudo es innecesario el uso de la transformada w para el antilisis de Bode de sistemas discretos en el tiempo. Sin embargo, para el tliseno utilizando el an6lisis de Bode como se estudiar, en el Capitulo 16, en donde la visi6n ganada en las t6cnicas de diseno de sistemas continuos en el tiempo se transfiere al diseno de sistemas discretos en el tiempo, la transformada w puede ser una herramienta muy fitil. f
Problemas resueltos Escalas logaritmicas
15.1.' Expreselassiguientescantidadesendecibeles(dB):
a)2,b)4,c)8,d)20,e)25,fl14O.
A partir de la ecuaci6n (/5./),
: 20(0.301) : 6.02 dB6: 20 logro4 : 20(0.602) : L2.M dB" : 20logro8 : 20(0.903) : 18.06 dB,:
I
20log,o2
N6tese que, puesto que
: 201o9,620 : 20(1.301) - 26.02 dB, : 20log,o 25 : 20(1.398) : 27 .96 dBl : 20 logrol4iJ_ : 2o(2.L46 : {Z.SZ dB7
4 = 2 x 2, entonces para la parte b)
20logro4: 201o9,62 * 20logro2: lz.M
tenemos
490
Y
TEORIA
y
puesto que
8 : 2 x 4,
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
entonces para la parte c) tenemos
20log,o8 :20logro2 + 20log,o4
:6.02 + 12.04 -
18.06
La forma de Bode y la ganancia de Bode en sistemas continuos en el tiempo
15.2
y la ganancia de Bode para la funci6n de
Determine la forma de Bode
/1tr
transferencia
K(s + 2) -
s'(s*a)(s+6)
Al tomar2como factoren el numerador, y 4y 6en el denominador, y al hacers: jar,
se
obtiene la forma de Bode
GH(
(K/12)(L + ja/2)
ju): (
La ganancia de Bode es Ku
15.3.
=
*
j")'(t + ja/4)(r + jo/6)
Y112.
;Cu6ndo la ganancia de Bode es igual una funci6n de transferencia?
a la
ganancia de c.c. (magnitud
a
frecuencia cero) de
La ganancia de Bode es igual a la ganancia de c.c. de cualquier funci6n de transferencia sin polos ni ceros en el origen [/: 0 en la ecuaci6n (15.2)].
Diagramas de Bode de funciones de respuesta de frecuencia sencillas
15.4.
Demuestre que el diagrama de magnitud de Bode para
(ja)t
es una linea recta.
EI diagrama de magnitud de Bode para (ja)tes una representaci6n griifica de 20 log tdrminos de loglear. De esta manera
pendie.nte
:ffi#
:'YlaS:J:i',
;6r.r/ en
:^'
Puesto que la pendiente es constante para cualquier /, el diagrama de magnitud de Bode es una lfnea
recta.
15.5. Determine:
I ) las condiciones bajo las cuales el diagrama de magnitud de Bode para un par de polos complejos tiene un pico en un valor infinito ar, diferente de cero; y 2) la
frecuen-
cia a la cual se presenta ese pico.
I
491
ANALISIS DE BODE
{ La magnitud de Bode estd dada por
l1r
20los,^l-___ "'"ll jz{a/a, +
,
- (a/a,,)"
I I
Puesto que el logaritmo es una funci6n que aumenta de manera mon6tona, la magnitud en decibeles
tiene un pico (mriximo) si y s6lo Si la magnitud en si misma es miixima. La magnitud al cuadrado,
que es m6xima cuando la magnitud tambi6n lo es, resulta
ft -
1, y',,1'12 + +((,,, 7,,:,,)2
Al tomar la derivada de esta funci6n e igualarla a cero se produce
(q"/4)lr - (,/il'zl - s("/4 _,
e
{b -
{
t
" ",)212
+
\l'
7',\2}
o
'-(;)'-2(:o es al : ,,\/T - 2f . Puesto que ar debe ser real, por definici6n, la magnitudtieneunpicoenunvalorardiferentedecerosiys6losil-2(>06(<11!2: 0.7O7. Para ( - O.lOl , la magnitud de Bode disminuye de manera mon6tona.
y la frecuencia en el pico
Construcci6n de diagramas de Bode para sistemas continuos en el tiempo
f5.6.
Construya los diagramas de Bode asint6ticos para la funci6n de respuesta de frecuencia
GH(jo):
I
7+ja/2-("/2)' j
o'
(r + j /0.s)(1 @
+
j Q / 4)
Los diagramas de Bode asint6ticos se determinan al sumar las griificas de las representaciones asint6ticas de cada uno de los t6rminos de GH(ia), como se hizo en las ecuaciones (15.10) y (t 5 . t l). En las figuras 15-23 y l5-24 se presentan las asintotas de cada uno de estos t6rminos, y los diagramas de Bode asint6ticos paraGH(jot), en las figuras 15-25 y 15-26. Para comparaci6n se muestran los diagramas de Bode exactos generados por computador.
492
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
t
SISTEMAS DE CONTROL
l
::-t i :; t a',: ' r! :::
1500
':i,'::.:
! :
"--'11"' '".,',
I
r00c
i:
,...i.. :. i i- :,'.i
"
a)
2
50c
.:v
0)
Soc -50' i
Figura
15-24
t
-1000 Frecuencia ar, rad,/s o.r
l
493
ANALISISDEBODE
,
40 30
m l0 0
- ln
oo
-20 *30 -,m
-50
0.51510 Frecuencia ar, rad/s
Figura
15-25
a
-IU
-80 -90
-
100
- ltO
0.5 1 Frecuencia
510 a,
-
120
-
130
O
o ao
-140
rad/s
Figura 15-26
15.7.
Construya los diagramas de Bode para la funci6n de respuesta de frecuencia
GH(ja): ja(\+j.n/2)(t+ioc7s)
I
Los diagramas de Bode asint6ticos se construyen al sumar las gr6ficas asint6ticas de cada t6rmino de Gfl(jar), como se hizo en las ecuaciones (l 5.10) y (15.1 l), y se presentan en las figuras 15-27 y 15-28. Por computador se determinaron num6ricamente curvas mds exactas, que tambidn se muestran para comparaci6n.
494
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
2
Frecuencia
Figura
Frecuencia
Figura
a,
radls
15-27
l
a,
t
radls
15-28
t
495
ANALISIS DE BODE
f5.8.
Construya los diagramas de Bode para la funci6n de transferencia en malla abierta
GH
: 2(s+ 2)t(s2 -
1).
Con s : ja, la forma de Bode para esta funci6n
GH(
jot):
de transferencia
es
- 4(I + j.n/z) (1 +jo)(l -j0,)
Esta funci6n tiene un polo en la mitad derecha del plano [debido el t6rmino 1/(l - ja)l la cual no es una de las funciones normales presentadas en la secci6n 15.4. Sin embargo, esta funci6n tiene la j'uo), y el mismo 6ngulo de fase que + ja. De esta manera, para una misma magnitud que 1/(l jtolp),la magnitud puede detenninarse a partir de la figura l5-7, y el funci6n de la forma 1l(1 dngulo de fase, a partir de la figura l5-10. Para este problema las contribuciones al iingulo de fase + ja) y ll(1 ja) se cancelan entre si. En la figura 15-29 se presentan las de los t6rminos
|
t -
l/(l
-
asintotas para el diagrama de magnitud de Bode, junto con un diagrama de Bode mi4s exiicto. El arg(-4) 180'y del cero en 6ngulo de fase de Bode se determina solamente a partir del arg Ks 2. como se muestra en la figura 15-30.
:
o:
-
* t. 1o
;.
$
.t
0i
a,
E
-rri ;
I i
0.2
0.4
t24 Frecuencia a;, rad/s
Figura
15-29
tsstabilidad relatiYa
15.9.
*
Para el sistema con funci6n de transferencia en malla abierta, del problema 15.6, encuentre at1, ao, el margen de ganancia y el margen de fase.
Utilizando la curva de magnitud exacta que se presenta en la figura 15-25, la frecuencia de cruce de ganancia eS {d1 : 0.62. La frecuencia de cruce de fase aro es indeterminada porque el arg GH(ja) nuncacruza -180" (vlase lafigura l5-26). El argGH(ja): argGH(i0.62)es -129". Por tanto el nrargen de fase es - 129" + I 80' : 51'. Puesto que c,r- es indeterminado, tambi6n lo es
el
margen de ganancia.
496
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
:::
ri":
,1r.
Y
SISTEMAS DE CONTROL
*
| ..:
:i]i i
..i
,-i-"i'
o0
0.2
Frecuencia
Figura
u,
rad/s
15-30
15.10. Determine los m6rgenes de ganancia y de fase para los sistemas con la funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta del problema 15.7.
Apartirdelafigura15-27,a1:1.5;yapartirdelafigura15-28,elargGH(ja):-144".
Por tanto el margen de fase es 180' - 144" : 36o. A partir de la figura 15-28, ttmargen de ganancia. leido de la figura 15-27 es -20 logls IGH(ja-)l : lt dB.
:
*
3.2, y el
15.11. Determine los miirgenes de ganancia y de fase para el sistema con la funci6n de transferencia en malla abierta del problema 15.8.
: 2.3 radls. A partir de la figura 15-30, el argGH(ja) -. Por tanto el margen de fase es l8O" - l2'7" : 53". Como se muestra en la figura 15-30, el argGH(ja) tiende a -180'a medida que ar disminuye. Puesto que el arg GH(jo;): -180" A partir de la figura 15-29, a1
-
12'1"
: 0, entonces ao = 0. Por tanto el margen de ganancia es -20 : -12 dB utilizando el procedimiento normal. Aunque un margen de ganancia
fnicamente en @ log 'slGH(ja-)l
negativo indica inestabilidad para la mayor parte de los sistemas, este sistema es estable, como puede verificarse mediante el diagrama de estabilidad de Nyquist que se muestra en la mitad figura l5-31 . Recuerde que el sistema tiene un polo de malla abierta en la mitad derecha del plano; pero el cero de GH en -2 actfa para estabilizar el sistema para K : 2.
* Figura
15-31
497
ANALISIS DE BODE
* Respuesta de frecuencia en malla cerrada
:
I , determine la funci6n de respuesta de frecuen. cia en malla cerrada y compare el diagrama de magnitud real de Bode en malla cerrada con
15.12. Parael sistema del ejemplo 15.7 , conH
el diagrama aproximado del ejemplo 15.7. Para este sistema, GH
:
l0/s(s C R
* l).
Entonces
:--
10
s'+r+10
f,tr"l:
l+jolI\-r27I0
Por tanto, el diagrama de magnitud de Bode en malla cerrada corresponde a la figura l5;l l, con I .5 en 0. 18 y an = 3.16. A partir de esta gr6fica, el ancho de banda real de 3 dB es alatn 1.5(3.16) 4.74 radls. El ancho de forma normalizada; de donde, puesto que an 3.16, AB banda aproximado de 3 dB determinado a partir de la figura 15-20 del ejemplo 15.7 es 3.7 rad/s. 3.1 Ntitese que arn 3. l6 rad/s para el sistema en malla cerrada se corresponde muy bien con @t rad/s a partir de la figura 15-20. De esta manera la frecuencia de cruce de ganancia del sistema en malla abierta se corresponde muy bien con ar, del sistema en malla cerrada, aunque el ancho de
:
f:
:
:
:
:
:
*
banda aproximado de 3 dB, determinado antes, no es muy exacto. LarazSn de esto es que el diagrama de magnitud de Bode aproximado de la figura l5-20 no muestra los picos que se presentan
en la curva exacta.
15.13. Para el sistema discreto en el tiempo con funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta
GH(z):
3(z+1)(z+]) 8z(z- t)(z+ |)
H:7 N 20
ff ag,=, :;1,
I I
0
margen de
\
E
Slanancia
-20 d
:].
-4 -60
0.1
f,
0.5 6rT
Angulo arT, radianes
Figura
l0
1
15-32
o,T
-80
498
TEORIA
Y
PRoBLEMAS DE RETRoALIMENTACIoN
Y
SISTEMAS DE CONTROL
* encuentre el margen de ganancia, el margen de fase, el 6ngulo de cruce de fase y el dngulo de cruce de ganancia. En las figuras 15-32 (vdase pflgina 497) y 15-33 se muestran los diagramas de Bode para este sistema. El r4ngulo de cruce de fase
-80
-
100
-
120
-
140
-160 u -180 3 -2oo a '- 220
-2N
t
-260
0.05 0.1
0.5
-
I
otT
280
,n,T
Angulo <.rI, radianes
Figura
15-33
Problemas suplementarios 15.14. Construya los diagramas de Bode para la funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta.
GH(
4(t + j6/2)
jot): (
j")"(1 + jo/8)(r
+
juiro)
15.15. Construya los diagramas de Bode y determine los m6rgenes de ganancia y de fase para el sistema con la funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta
GH(
15.16. Resuelva los problemas 13.35
j(d):
y
(t +;o)(r + ja/3)2
13.37 construyendo los diagramas de Bode
15.17. Desarrolle el problema 13.52 utilizando los diagramas de
Bode.
15.18. Desarrolle el problema 11.59 utilizando los diagramas de
Bode.
t
Capftulo 16
t}
Disefro utilizando el andlisis de Bode 16.1 Filosoffa del disefro
{
El diseno de un sistema de control con retroalimentaci6ri utilizando las t6cnicas de Bode trae consigo determinar y redeterminar los diagramas de magnitud y de dngulo de fase de Bode hasta satisfacer las especificaciones del sistema. Estas se expresan m6s convenientemente en tdrminos de indicadores de desempeno en el dominio de la fiecuencia, como son los m6rgenes de ganancia y de f'ase para el desentpeio transitorio y las constantes de error (Capitulo 9) para Ia respuesta en estado estacionario en el dominio del tiempo. La confirrmaci6n de diagramas de Bode asinttiticos de sistemas continuos en el tiempo sumando compensaci6n en cascada o por retroalimentaci6n, es un procedimiento relativamente simple. En las secciones 16.3, 16.4 y 16.5 se presentan los diagramas de Bode para varias redes de compensaci(rn comunes continuas en el tiempo. Con estas gr6ficas las contribuciones de magnitud y de 6ngulo de fase de un compensador particular pueden sumarse directamente a los diagramas de Bode del sistema no compensado. A menudo es necesario corregir kls diagramas de Bode asint6ticos en las fases finales del diseno para verificar de manera exacta la satisfacci6n de las especificaciones de desempeno. Puesto que no existen diagramas de Bode asintciticos simpies para sistemas discretos en el tiempo, la determinaci6n y la redeterminaci6n de diagramas de Bode para sistemas discretos en el tiempo no es tan simple e intuitiva como para los sistemas c
16.2 Compensaci6n del factor de ganancia En algunos casos es posible satisfacer todas las especificaciones del sistema simplemente ajustando el facrcr de ganancia K en malla abierta. El ajuste del f'actor de ganancia K no afecta el diagrama del dngulo de fase. Esto s(rlo desplaza el diagrama de magnitud hacia arriba o hacia abajo, en corespondencia con el aumento o la disminuci6n de K. El procedimiento m6s simple es alterar la escala de dB del diagrarna de magnitud de acuerdo con el cambio en K, en lugar de volver a construir toda la curver. Por ejemplo, si K se duplica la escala de dB debe desplazarse 20lo962 : 6,02 dB hacia abajo. Cuando se trabaja con diagramas de Bode continuos en el tiempo, es mds conveniente utilizar la ganancia de Bode:
xfi,,, Kr: -#L TIp,
+
i:l
en donde
-pi y -zi
son los polos
y
ceros finitos de GH. 499
500
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
EJEMPLO 16.1. En la figura 16-l se muestran los diagramas de Bode para
I
K' GH(ia):jo(r' + ja/z) ,
para K3 : l. La cantidad mdxima cn quc puedc incrementarsc Ks para mejorar cl dcscmpcfro cn estado estacionario del sistema sin disminuir el margen de fase por debajo de 45', se determina como sigue. En la figura l6-1, el margen de fase es 45'si la frecucncia de cruce de ganancia @1 es2 rad/s, yel diagrama de magnitud puede subirse a lo sumo en 9 dB antes que r,.r1 se haga 2 rad/s. Asi K6 puede incrementarse hasta en 9 dB sin disminuir el margcn de fase por debajo dc 45".
I 4
E
-20
-1000
4 -1500
-2000
0.1
o.2
0.4
Frecuencia rr.r, rad/s
Figura 16-l
+
DISENO UTILIZANDO ELANALISIS DE BODE
50r
!} 16.3 Compensaci6n por adelanto para sistemas continuos en el tiempo El compensador por adelanto, que se present6 en las secciones 6.3
y I 2.4,
tiene la siguiente
lorma de Bode de funci6n de respuesta de frecuencia:
Puo",-,o(,/a):
(a/u)(t + jo/a) | + ja/b
(t6.r)
En la figura l6-2 se presentan los diagramas de Bode para este compensador con dif'erentes relac'iones cle adelanto alb. Estas griificas ilustran que la adici6n a un sistema de un compensador por adelank) en cascada disminuye la totalidad de Ia curva de magnitud en la regi6n de baja frecuencia
y eleva la totalidad de la curva de 6ngulo de fase en la regi6n de baja a media frecuencia. En la secci6n 12.4 se discuten otras propiedades del compensador por adelanto. La cantidad de atenuaci6n de baja frecuencia y de adelanto de fase que produzca un cempen-
sadorporadelantodependedelarelaci6ndeadelanto a Ia frecuencia to,,, : f ot, V es igual a
:
0-",
-lo !
q/b;
0,5
alb =
0.3
ilb:=
0.2
:
(m
-
Ztan-
t
rl;n)
alb.Elmiiximoadelantodefaseseproduce
j zo loer
I ::
i
O
?* -.
EI.,-r .E ^
260
o
I
i ""
E -zo
o
(16.2)
grados
a Frecuencia normalizada, o/ a
Figura 16-2
Paaa"no {r-o[i I
'1',.::.
502
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
*
La compensaci6n por adelanto de un sistema se utiliza normalmente para aumentar los mdrgenes de ganancia y/o de fase o para aumentar su ancho de banda. A menudo, como se describe en la
secci6n 12.4, se requiere una modificaci6n adicional de la ganancia de.Bode K6 con redes de adelanto.
EJEMPLO 16.2. Va a disefrarse un sistema continuo no compensado cuya funci6n de transferencia
en
malla abierta es
GII =
24
H:I
s(s+2)(s+6)
para que cumpla las siguientes especificaciones de desempefro: |
.
2' 3.
cuando la entrada es un rampa con pendiente (velocidad) 2r rad/s, el error de posici6n en estado estacionario debe ser menor que o igual a dl$ radianes. dr,ae = 45" t 5'' la frecuencia de cruce de ganancia arr
2 |
I
rad,/s*.
Como se describi6 detalladamente en el ejemplo 12.4,la compensaci6n por adelanto es apropiada. Al transformar CH(jto) en Ia forma de Bode,
cII(
ju):
iot(t+io/2)(L+j@/6)
notamos que la ganancia de Bode Ka es igual a la constante de error de velocidad K,,1 (vdase plgina 503) se presentan los diagramas de Bode para este sistema.
:
2. En la figura 16-3
La ecuaci6n (9. 13) da para la funci6n de entrada rampa unitaria I /K", para el error en estado estacionario e(cc). Por tanto, si e(e) < n/10 radianes y la rampa tiene una pendiente de 2n en lugar de l, entonces la
constante de error de velocidad requerida es
2tr
K"t' ,/to:
*
2o
s-l
Cuandoseutilizanlast6cnicasdeBode,lasespecificacionesdeazchodebandadelsistemaenmallacerradaamenudo
se interpretan en t6rminos de la frecuencia de cruce de ganancia ar,, la cual se determina de manera f6cil a partir del diagrama de magnitud de Bode. Generalmente el ancho de banda y ar, no son equivalentes; pero si uno de ellos aumenta o disminuye, el otro tambi6n lo hace. Como se anot6 en las secciones I 0.4, y | 5.8, y en el problema I 2.6, a menudo ar1 es
una aproximaci6n razonable para el ancho de banda.
+
*
503
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE
20
ta0 E
r"9.1idr +r./tlt -
r*l . j,l ...,.;.:--
bo
\
?"-
5 -20
;
', r.,:
';-; * ;;* * **;
" -."
*
i
rj: ,,it'
;i
:
::i'l
i, :J i;i .j,,
:* ,
^ -.
-
I
0.2
Frecuencia
a,
rad/s
*
o
,.9 o
-tsO'
Boo
€
- 200'
I Frecuencia ar, rad,/s
Figura
16-3
:
{t
l0 6 20 dB satisface la especificaci6n De esta manera un amplificador en cascada con una ganancia de,\ en estado estacionario. Pero esta ganancia debe incrementarse a(ln miis depuds de escoger los parAmetros de la red de adelajrto, como se describi6 en el ejemplo 12.4. Cuando la ganancia de Bode aumenta en 20 dB, el margen de ganancia es -8 dB y el margen de fase -28', como puede leerse directamente de las gr6ficas de la figura 16-3. En consecuencia el compensador por adelanto debe escogerse de tal modo que lleve el margen de fase a 45'. Esto requiere una gran cantidad de adelanto de fase. ddem6s, puesto que la adici6n del compensador por adelanto debe estar acompanada de un incremento en la ganancia de b/a, el efecto neto es incrementar la ganancia en las frecuencias medias y altas, elevando asi la frecuencia de cruce de ganan-
504
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
It
cia. Por tanto, se tiene que establecer un margen de fase de 45o a una frecuencia m6s alta, necesitilndose afn mayor adelanto de fase. Por estas razones agregamos dos redes de adelanto en cascada (con el aislamiento necesario para reducir los efectos de carga, si se requiere).
Para determinar los pariimetros del compensador por adelanto, suponemos que la ganancia de Bode se
dB. Si escogemos 10, entonces el compensador por adelanto mils un incremento adicional de la ganancia de Bode de (bla)2 para las dos redes tiene la siguiente forma combinada: ha incrementado en 20 dB de tal modo que la linea de 0 dB se reduce efectivamente en 20
bla
:
IloPu6"1un,o
(.lr)]':
G"(
(t + i,a7a)z (t + i,,oltOa)2
jr):
Ahora escogemos un valor apropiado para a. Un mdtodo ritil para mejorar la estabilidad del sistema es tratar -6 dB/octava. A menudo cruzar con una pendiente de I 2 dB/octava produce un valor demasiado bajo para el margen de fase. Si a 2, un bosquejo dc las asintotas revela que la linea de 0 dB se cruza en * l2 dB/octava. Si a 4, la linea de 0 dB se cruza con una pendiente de - 6 dB/octava. En la figura I 6-4 se muestran los diagramas de magnitud y de 6ngulo de fase de Bode para el sistema con d 4 rad/s. El margen de ganancia es 14 dB y el margen de fase es 50". De esta manera se satisface la segunda especificaci6n. La frecuencia de cruce de ganancia a1 -- 14 rad/s es sustancialmcnte superior al valor especificado, indicando que el sistema responderii muchisimo mds riipido de lo pedido en la tercera especificaci6n. En la figura l6-5 se muestra el diagrama de bloques del sistema compensado. Si un amplificador disenado apropiadamente se coloca entre las dos redes de adelanto puede servir de manera adicional al prop6sito de aislar el efecto de carga.
-
de cruzar la linea de 0 dB con una pendiente de
t
:
:
24 Frecuencia ar, rad/s
Figura
16-4
t
r
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE
505
Frecuencia ar, rad/s
Figura 16-4 (continuaci6n)
tJ
redes de
adelanto ganancia
d"llb/o1"
Figura
planta no compensada
16-5
l6.a Comiensaci6n por atraso para sistemas
continuos en el tiempo
El compensador por atraso, presentado en las secciones 6.3 y | 2.5 tiene la siguiente forrna de
Bode para la funci6n de respuesta de frecuencia
,. \
P"ruro(Jo,l:
7+jot/b
;---:--; L+J@/a
(16.3)
En la figura l6-6 se presentan los diagramas de Bode para el compensador por atraso, para varias relaciones de atraso bla. Las propiedades de este compensador se estudiaron en la secci6n 12.5. 0
-o
-10 20 losro
[patmsoij"]l
oo
-24
t Frecuencia normalizada, al b
Figura 16-6
506
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
lt
o
o
-Zir"
oo
-500: t o.02
0.0{
0.1
Frecuencia normalizada
o/b
Figura 16-6 (continuaci6n) EJEMPLO 16.3. Redisenamos el sistema del ejemplo 16.2 utilizando un factor de ganancia miis compensaci6n por atraso, como se describi6 de manera detallada en el ejemplo 12.5. De nueva, el sistema no compensado se representa por
cH( y
jo):
* io{r+io/2)(L+j!'/6)
las especificaciones son:
l. K,.>20s' 2. dr.ar : 45" t 3. ars>lrad/s
5'
Como antes, se requiere un incremento en la ganancia Bode por un factor de | 0 6 20 dB para satisfacer la primera especificaci6n (estado estacionario). De aquf que se necesite considerar de nuevo los diagramas de Bode de la figura 16-3 bajando efectivamente en 20 dB la linea de 0 dB. La adici6n de un retraso de fase significativo a frecuencias -enorei que 0. I rad/s bajar6 la curva o elevar6 efectivamente la linea de 0 dB en una cantidad correspondiente a bla. De esta manera la relaci6n bla debe elegirse de tal modo que el margen de fase resultante sea 45". A partir del diagrama de i4ngulo de fase de Bode (figura 16-3) vemos que se obtiene un margen de fase de 45' si la frecuencia de cruce de ganancia eS al; = 1.3 rad/s. A partir del diagrama de magnitud de Bode, esto requiere que la curva de magnitud baje 2 + 2O : 22 dB. De este modo se necesita una disminuci6n de ganancia de 22 dB o en un factor de | 4. Esto puede obtenerse utilizando un compensador por atraso con bla : 14. La localizaci6n real del compensador es arbitraria, ya que el desplazamiento de fase producido €n cd1 €S despreciable. Los valores de a:0.01 y b :0.14 rad/s son los adecuados. En la figura 16-7 se muestra el diagrama de bloques del sistema compensado.
compensador por
atraso
ganancia de
)t
planta no compensada
t Figura
16-7
507
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE
; 16.5 Compensaci6n por atraso-adelanto para sistemas continuos en el tiempo Algunas veces es conveniente, como se estudi6 en la secci6n 12.6, emplear de manera simultdnea tanto la compensaci6n por atraso como la de adelanto. Aunque cada una de estas dos redes pueda conectarse en serie para alcanzar el efecto deseado, a menudo es m6s conveniente mecanizar el compensador por atraso-adelanto combinado, descrito en el ejemplo 6.6. Este compensador puede construirse con una red R-C sencilla, como se muestra en el problema 6.14. La forma de Bode de la funci6n de respuesta de frecuencia para el compensador por atrasoadelanto es
Poor(7ar): eonbl
(1 + io/ar)(1 + iulbr)
(t +io7br\(\+ jot/a2)
) at,bz)o2f aft2:bflz.Enlafigura l6-8semuestraundiagramademagnituddeBode a I ) b2. Los diagramas de Bode para un compensador por atraso-adelanto especi-
tipico en el cual
fico pueden determinarse al combinar los diagramas de Bode para la parte de atraso de la figura l6-6 con los de la parte de adelanto de la figura 16-2. En la secci6n 12.6 se estudiaron las propiedades adicionales del compensador por atraso-adelanto.
lr
Frecuencia ar, rad/s
Figura
16-8
EJEMPLO I 6.4. Redisenemos el sistema del ejemplo I 6.2 utilizando compensaci6n pbr atraso-adelanto. Suponga, por ejemplo, que se quiere que la frecuencia de cruce de ganancia arl (aproximadamente el ancho de banda en malla cerrada) sea mayor que 2 rad/s pero menor que 5 rad/s, con todas las dem6s especificacio-
nes iguales a las del ejemplo 16.2. Para esta aplicaci6n, vemos que el compensador por atraso-adelanto tiene ventajas sobre la compensaci6n por atraso o por adelanto. De nuevo, el sistema no compensado est6 representado por
)
cH( jot) * j@(r+jo,/2)(r+io/6)
508
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
: En fa figura l6-3 se muestran los diagramas de Bode. Como en el ejemplo 16.2, se requiere un incremento de 20 dB en la ganancia de Bode para satisfacer la especificaci6n de desempeio en estado estacionario. Una vez mds, refiri6ndonos a la figura
l6-3, el incremento en la ganancia de Bode corresponde
a un desplaza-
miento de 20 dB hacia abajo de Ia linea de 0 dB, los par6metros del compensador por atraso-adelanto deben elegirse tales que resulten en una frecuencia de cruce de ganancia entre 2 y 5 rad/s con un margen de fase cercano a
45'. El diagrama de 6ngulo de fase de la figura l6-3 presenta un 6ngulo de fase cercano a
-
188"
aproximadamente a 4 rad/s. Asf que necesitamos cerca de 53" de adelanto de fase para establecer un margen
de fase de 45o en ese rango de frecuencia. Escojamos un4 relaci6n de adelanto de a1lb1 = 0. I para estar seguros de que tenemos suficiente adelanto de fase. Para colocarlo cerca del intervalo de frecuencia correc-
to,hagamosar
:0.8 lbr:8rad/s.Lapartedeatrasodebetenerlamismarelaci6na2lb2:0. l,perodebe
ser lo suficientemente mils pequena que dr como para nO reducir de manera significativa el adelanto de fase
logrado con la parte de adelanto;
bz:
0.2 y
a2:
O.O2 son adecuados. En la
diagramas de Bode para el sistema compensado, y en la figura
l6-10
figura 16-9 se presentan los el diagrama de bloques.
se muestra
Hacemos notar que el compensador por atraso-adelanto no produce atenuaci6n de magnitud a frecuencias altas ni a frecuencias bajas. En consecuencia, al utilizar la compensaci6n por atraso-adelanto se obtiene
un ajuste en el factor de ganancia mds pequefro (que el obtenido con la compensaci6n por atraso en el ejemplo I 6.3), un ancho de banda y una frecuencia de cruce de ganancia m6s pequenos (que los resultantes con la compensaci6n por adelanto del problema 16.2).
I
20
4 It
o q E 00
I Frecuencia ar, radls
Figura
16-9
*
DJ{S{$!!{TI$EANDQ EI;.ANAL$ISD!.1W
I
'iil9
1.1,1:
Figura
16-10
:i..;1"":i
16.6 Diseno de siitemas disereto$ en el ,tiemBo utilizando,el,an6lisis de Bode '. :
:;
a
it
',
I
l:r
,:
:
.
El diseno d'6;sistemasrdiscreios en,el tiempo utiilzando et analisis:ae Bode ge basa.ien la misma filosofia que para les sislemas conlinuos enel tiemoo. en oue ffae consiso la conformaci6n v reconformaci6n de los diagramas de-magnitud y de Sngulo ae fqse de hdJasta que se cumplan las especificaci
mayor.
.}
K
,"r rurtun.iul..nt
:
Algunas veces es posible satisfacer las especificaciones con s6lo ajustar el factor de ganancia en malla abierta, como se describi6 en la secci6n 16.2 para sistemas-tont:inqq$, .,.i
EJEMPLO 16.5. Considere el sistema discreto en et tiJinpo OeFe;am1*U:15;€ eoA:.fuircidn
i.i
ril8 rAabue&a de
;
jrr
?Oi;
::rll,:l'..-1.i: :+llr,
l-:iir';:,,.,* ;;r.:i. -::,;
t.if:l{:l
-r20
-
1/10
- 160
.
,i.rif::'i,tOf$r:a1iidl,rii::|'i,.1,,:.:.;..1 ';.:1..i,i1;:,r::t:*:-.:*+4;...ir,ia:,i€3:::i::tl:ir*ilo]':l::.,+::r.:,r:, '. t,j.ii.::.,i :r':rrrr:1 ,'::,t'r.; * Air!tlftii;f;j",iadilnra*.1;':.::'.:r i,i .:l- ,i:';tea:. :i ;,l;.+" '-i.i:;
,:.,t:":.1:t:;1,.:.;t::,]'+*;: :,: ,
:,
16:tl i':jij,.'j jti:,:t!{;,r:,tJ.
':,r:i...,,or:.1:,t,,,.
,.:i:
5r0
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALTMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
-50
-
t
100
- 150 - 180 - 200
o o
-250 oo
- 300 - 350 6tT
0.05
0.5 |
0.1
u"T
-400
arl, radianes Figura 16-12
Angulo
l. dMF > 3o'. 2. l0 dB = margen de ganancia <
t
l-5 dB.
:
orl
A partir de la figura 16.12 vemos que si puede incrementarse a L l I rad, cntonccs drrrp 30'. Para lograr esto, la ganancia debe incrementarse en 35 dB, como se muestra en la figura | 6- I | , con lo cual resulta un margen de ganancia de 39 35 4 dB, que es demasiado pequeno. Si aumentamos la ganancia s6lo cn 25 dB (el aumento de K en un factor de l8), entonces atlT 0.35 rad y el margen de fase es 70'. N6tcsc quc
-
:
:
af cambiar K no se altera onT. Para especificaciones de disefro de sistemas discretos en el tiempo que no puedan satist'acerse por la sola compensaci6n del factor de ganancia, el disefro de Bode en el dominio de z no es tan directo como en el dominio de s. Sin embargo, los m6todos de disefro de sistemas continuos en el tiempo pueden transferirse a sistemas discretos en el tiempo utilizando la transJbrmada n,. C
l.
Sustituir z por
(l + w)l(l -
w) en la funci6n de transferencia en malla cen:ada GH(z):
GH ( z)1, _,, * w)/(r 2.
Hacer w
: jto*!
_ w)
= GH, (w)
luego transformar del dominio z al dominio w las frecuencias criticas en
las especificaciones de desempefro, utilizando
aT @w:tannJ.
Desarrollar una compensaci6n continua en el tiempo (como en las secciones | 6.3 a 16.5) tal que el sistema en el dominio w satisfaga las especificaciones dadas a las frecuencias obtenidas en el paso 2 (como si el dominio w fuera el dominio s).
t
5lt
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE
, 4.
Transformar de nuevo al dominio z los elementos de compensaci6n obtenidos en el paso 3 para completar el disefio, utilizando w : (z - l) (z + l).
EJEMPLO 16.6. El sistema discreto con retroalim;ntaci6n unitaria y funci6n de transferencia en malla abierta G
y periodo de muestreo 7
:
0.
I
(,) :
cH( z)
:
s va a compensar de
i'' :rly;ru tal manera que cumpla con las siguientes especificacio-
nes:
l. 2. 3.
El error en estadd estacionario debe ser menor que o igual a 0.2 pata una entrada rampa unitaria. dr.,1p
=
30'.
La frecuencia de cruce de ganancia
a.r1
debe satisfacer u1T
> |
rad'
Este es un sistema del tipo 0 y el error en estado estacionario para la entrada rampa unitaria es infinito | , y la nueva funci6n de transferencia que (secci6n 9.9). Por tanto la compensaci6n debe tener un polo en z
:
incluye este polo se convierte
en
f
GH'(z)
(z+t)(z+{)
- 3BV;iGllJ
: 1117"' A partir de la tabla de la secci6n 9.9 el error en estado estacionario para la rampa unitaria es e(a1 "n : debe ganancia de el factor I)GH'(z): De esta manera, con e(cc) |, Oonae f,. : GH(l) =lim, +(z -
|.
incrcmentarse en un factor de l5/2 (17.5 dB). En las figuras 16-13 y 16-14 se muestran los diagramas de Bode paraGH'. De la figura 16-13' el : 0.68 rad y el margen de fase es 56". Aumentando la dngulo en la irecuencia de cruce de ganancia es roll :2'56 rad, pero el ganancia en 17.5 dB se moveria el dngulo en la frecuencia de cruce de ganancia a a1T la sola compensaci6n margen de fase se haria entonces -41', desestabilizando el sistema. Aparentemente diseno' de problema del factor de ganancia no es adecuada para este
20 ;
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Figura
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TEORIA
Y
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Angulo a.ll. radianes
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1{,,iPr* 16-14. r'ir j. ,-li.t"r i '" ': ; ;i:1:;1.
Para completar el diseno, transforrnamos GH(z) al dominio w haciendo z
* : ( | + w)/( I -
w) y formando
...-:]..,1:';illi,i.:.|:i:ili,.;',:.::i:.:.'a:l.l::':.:::1l:l;:l.:..l:i;']l.ir1.i'ii':l::..l: r:::lii;:,,;t::liii,r,'f, i:rir.:+:itd -:., :: :'f ,,:: r:::
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ir
."':. :l':''.t 'i: i. Para satisfacer la especificaci6n del error en estado estacionario, el factor de ganancia debe aumentar por lo menos a 17.5 dB (como se anot6 antes), y para satisfacer las dem6s especificaciones, la frecuencia de cruce de ganancia debe incrementarse a por lo menos 0.55 rad/s (figura l6-16), y el 6ngulo de fase en o* = 0.55 debe mantenerse hasta ppr lo menos 150'--Ese i6ltimo requerimiento implica que no puede presentarse un affaso de miis de 6.5o en a* = 0.55 rad/s'. N6tese que requiere cerca de 4.3 dB de aumento de ganancia en o4 O .55 rad./s de tal manera que esta frecuencia puede llegar a ser la frecuencia de cruce de
-
:
ganancia'
.
- ..
,-.i,'
,
La compensaci6n oor atraso ouede satisfacer estas esoecificaciones (oaso 3). A oartir de la fisura l6-6. una ielaci6n de atraso de blti S'proporcionh 14 dB de atenuaci6n a frecutncias hi{s'ahat. Para inbremenfar' la'ffecuencia de cruce de ganancia,'el factor de ganancia se incremdnta en'18.3d8, de tal riiodb que en
:
:
tambi6n la especificaci6n de error en estado estacionario (se necesitan 17.5 dB).
C
Ahora el par6metro a en la relaci6n de atrasopuede escogerse para satisfacer el requerimiento de margen de fase. Como se anot6 antes, debemo$ nretrtdniir,el atraqa, d .,fra compensador por debajo de 6.5" en r..r",
:
*!
0.55 rad/s. Notemos que el anddo.,Oe fase;del compensador por atraso
es
TEORIA
514
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
oT dut*o:*-t
SISTEMAS DE CONTROL
t
otT
-'^-';
,
:
Y
b:5a
(comoantes),deestaecuaci6nfiicilmentese Asi, al hacer@ ut,*o -6.5o, @: @u.:0.55rad/s y resuelve a. Al escoger la. mds pequena de las soluciones, se genera un dipolo (un par polo-cero) muy cerca 0.0157. Escogemos a = 0.015 que da solamente 6.2" de atraso de fase. Dc del origen del plano n,, para
a:
este modo
b : 0.075, y el
compensador por atraso en
el plano w
estd dado por la expresi6n
/0.015\/w*0.075\
ll-l Puo^o(r):l^ 1'.0?5/\r+0.015/ Paraso s€
transforma de nuevo al dominio z (paso 4), haciendo v,
:
(z
-
l)/(z
+ l). El resultado cs
/z-0.86046\ Pu,.u.o(z):0.211821 ^.-^- I
\z-0'97W1
Al combinar6staconel poloenz: I yconel incrementode l8.3dBenel factordeganancia(unincrcmcnto de 8.22 en la relaci6n del factor de ganancia), el elemento de compensaci6n completo Gr(z) cs
Gr(r):1.7$71
f
- 0.86o46 I (z- lX, - 0ri044) I z
En la figura | 6- | 7 se muestra el sistema de control compensado. N6tese que este disefro es bastantc similar los desarrollados para este mismo sistema con las especificaciones de los ejemplos 12.7 14.5.
a
y
Figura
16-17
Problemas resueltos Compensaci6n del factor de ganancia
16.1.
Determine el valor m6ximo para la ganancia de Bode K6 que resultar6 en un margen de ganancia de 6 dB o m6s, y un margen de fase de 45" o mds, para el sistema con funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta
GH(jot'):
KB
ioo(t + iuls\z
il
5r5
DISENO UTILIZANDO ELANALISIS DE BODE
* En la figura 16-18 se presentan los diagramas de Bode para este sistema con KB
: l.
El margen de ganancia, medido en o)d = 5 rad/s, es 20 dB. De este modo la ganancia de Bode puede elevarse hasta 20 14 dB y arin satisface el requerimiento de margen de ganancia. Sin de 6ngulo de fase de Bode indica que para Syp > 45", la frecuencia de cruce embargo, el diagrama de ganancia rr.r1 debe ser menor que 2 rad/s. La curva de magnitud puede elevarse hasta en 7.5 dB cificacio' antes que ar1 exceda los 2 rad/s. Asi que el valor mdximo de K6 Que satisface ambas
- 6:
es
nes es 7.5 dB
6
2.3'1
.
16.2. Disefie el sistema del problema 15.7 pan que tenga un margen de fase de 55'. El diagrama de 6ngulo de fase de Bode de la figura 15-28 indica que la frecuencia de cruce de ganancia arl debe ser 0.9 rad/s para un margen de fase de 55'. A partir del diagrama de rnagnitud 0.9 de Bode de la figura 15-27 , KB debe reducirse en 6 dB o en un factor de 2 para alcanzar arr 55". rad/s y en consecuencia @*r
:
:
Compensaci6n por adelanto
16.3.
.t
Demuestre que el m6ximo adelanto de fase de un compensador por adelanto [ecuaci6n (16.1)l se presenta en @m : \/ab, y pruebe la ecuaci6n (16.2)El 6ngulo de fase del compensador por adelanto es Q
:
arg Pud"rmto Uto)
:
tan- | ala
-
tan-
|
arlb. Entonces
d+
da
I
+
(a/a)z
-fr;Gm
dQlda: 0, se produce a2 : ab. De este modo el adelanto de fase m6ximo oculre en &ru =t/TO.Dedonde@-o:tun-t\/ut-tan-'{Ts.Pero,puestoquetan-t\/ffi: r/2-tan-l \/Vi6, lr:n" oS d-u* : e0 - 2 tan-t \/-atb1. Alhacer
it or.-".
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24orl0
Frecuencia co, rad/s
: l' aaa* ^ *^.a 4 - +a ;?. i' -'
516
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RErRoAl-rNlGif*f$eroN',Y..*islsri.S*4i3,ibellbi*fi
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;;; :",i"iftt..
o
"- *r,tTf$flq}--aTryff1:y,ff''1iT,ii
I
'l ;;l'.:
l de adelanto de fase m6xima @-
El factor de
atenuag9l,,.!,s.]f
:
;e,"p-p"r:Fl:{p*,1ry,1..-.
(a/t)(r+ 16.5. Disefle la
compensaci6n para
el
-
,,
.'..r.,:. r :
.
'
.
;
i:
j{V;)
sistema 8
GIII jo) f.-, '
.:r.-.
\/ab?
1 . l' ',
'
:
' .' :,
.j
que.produzca uh rnargen de fase total de 45" y la misina {rgcucne'ia de cruce de ganancia @r que el sistema no compenlado. ,En esencia.esqo'1lltimo qs iguql ia disefiarlo para el misrno ancho de bandlr, como rser tratQen la secci6n 15.8. , i ,'. ,!i
:0 B. d)-;:.
.
9::.-
9''
.
,:.,
-20
-40 o.2
I
DTSENO
UTILIZANDO EL ANALIS]S DE BODE
517
*
o
|
2
ol{
Frecuencia ar, rad/s
Figura
16-19
n La frecuencia de cruce de ganancia arl es 3.4 rad/s y el margen de fase es l0o. Las especificaciones pueden cumplirse con un compensador por adelanto en cascada y un amplificador de faclor de ganancia. La elecci6n de a y b para el compensador por adelanto es algo arbitraria, ya que el adelanto de fase en ot = 3.4 es suficiente para elevar el margen de fase desde l0'hasta 45o. Sin embargo, a menudo es conveniente, por razones econ6micas, reducir al minimo la atenuaci6n de mds baja frecuencia obtenida de Ia red de adelanto, escogiendo la relaci6n de adelanto alb grande, la cual suministrar6 la cantidad de aumento de fase requerido. Suponiendo que este es el 35" es cerca caso, la miixima relaci6n de adelanto que produce un adelanto de fase de 45o de 0.3, a partir de la figura 162. La soluci6n de la ecuaci6n (16.2) produce un valor para ry'b = O.27 .
1|
- lff :
atb:0.3 porque disponemos de las curvas para este valoren la figura lG2. se Queremos escoger un rr y un b tales que el adelanto de fase mi4ximo que ocurra en a)m = O.3b en esta ecuaci6n y obtenga €r all = 3.4 rad/s. De este modo!ab: 3.4. Si sustituimos a b, encoritramos que b 6.2 y a 1.86. Pero este compensador produce 20 log 1e V6.211.86 = 5.2 dB de atenuaci6n en
Pero utifizaremos
:
d.rp.j*
:
:
ffi
:
requiere un amplificador con una ganancia de 5.2 dB 6 I .82, adem6s del compensador por adelanto, para mantener a1 en3.4 rad/s. En la figura 16-20 se muestran los diagramas de Bode del sistema compensado, y el diagrama de bloques, en la figura 16-21.
]
5r8
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
*
*
comp€nsador por
adelanto amplificador
sistema no compensado
rt Figura
16-21
5
519
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE
Compensaci6n por atraso
16.6. iCu6l
es el atraso de fase m6ximo producido por el compensador por atraso [ecuaci6n
(t 6.3)l?
El
i6ngulo de fase del compensador por atraso es
arg puo*o(7ro): tan-r
- r^-ti:
1,
-*tpua"r"*" ( jo,)
De esta manera el atraso de fase mi{ximo (r4ngulo de fase negativo) del compensador por atraso es el mismo adelanto de fase m6ximo del compensador por adelanto, con los mismos valores de a y b. De
aqui que el mdximo se presente en am
o.*
:|
: \/ab y, a partir de la ecuaci6n
. fa\
teo-
2tan-r
/ ; I e'"0"'
Expresada en t6rminos de la relaci6n de atraso bla,
o**:
*
16.7.
(z*-'
la
ecuaci6n se escribe
-m) e*a*
Disefre la compensaci6n para el sistema del problema | 6. I , para satisfacer las mismas especificaciones y, ademds, tener una frecuencia de cruce de ganancia rlrmenor que o igual a I rad/s y una constante de error de velocidad K, > 5. Los diagramas de Bode para este sistema, que se presentan en la figura l6-18, indican que ar : I radl s para K 6 : 1 . En consecuencia K, : K e : I para a 1 : I . Los requerimientos de margen de fase y de ganancia se cumplen de manera fdcil con K6 < 2.37; pero la especificaci6n en estado estacionario requiere que K, : Ka ) 5. Por tanto, un compensador por atraso en cascada de baja frecuencia conbla:5 puede utilizarse para aumentar K,a5. manteniendo la frecuencia de cruce y los mdrgenes de ganancia y de fase en sus valores anteriores. Como se muestra en la figura 16-22, un compensador por atraso con b : 0.5 y a : 0.1 satisface estos requerimientos.
bo
-20
J
(16.2), se obtiene
0.2
0.4
Frecuencia a;, rad/s
Figura
16-22
520
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROAUMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
&
-1000 o
o -1600 oo
\6
-2000 0.2
Frecuencia r.r, rad/s
Figura 16-22 (continuaci6n)
La funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta, compensada,
es
5(L + j.,r/0.5)
io\l + jo/o.t'1Q
+;0075\2'
* 16.8.
Disefre un sistema discreto con retroalimentaci6n unitaria, con la planta fija
27 (z +l)3 64 Q+ r\3
G.(:) -2\-'
que satisfaga las siguientes especificaciones:
3) margen de fase
>
l) Kr2 4,2)
margen de ganancia
> l2 dB,
45o.
La especificaci6n en la constante de error de posici6n rK, requiere un incremento de 4 en el factor de ganancia. Esta funci6n de transferencia se transforma al plano w haciendo 2
(l -
w), formando
: (l + w)t
asi
I
Gi(w\: -z\ -' ' (t + w7l)3 En Ia figura 16-23 se presentan los diagramas de Bode para este sistema con el factor de ganancia incrementando en 20 logls 4 12 dB.
:
|t
o.4
Frecuencia
Figura
a,,,
radls
16-23
521
DISENO UTILIZANDO ELANALISIS DE BODE
* q q
tr'::
60
l"
-200" f-i.
i':,: ,! ,iri l*-J;,i;ji;::-,
0.04
0.t
o.2
0.4
|
2
4
l0
Frecuencia ar,.., rad/s
Figura 16-23 (continuacirin) El margen de ganancia es 6 dB y el margen de t'ase es 30' Estos m6rgenes pueden incrementarse al agregar un compensador por atraso. Para aumentar el margen de ganancia en 12 dB, la magnitud de alta frecuencia debe reducirse en 6 dB. Para elevar el margen de fase a 45o, ar,,.; debe bajarse a 3.0 rad/s o menos. Esto requiere una atenuaci6n de magnitud de 3 dB a esa frecuencia. En consecuencia escogemos una relaci6n de atraso bla : 2 para producir una atenuaci6n de alta fre-
cuenciade20
log1s2:6dB.Paraa:O.lyb=O.2elm.lrgendefasees65"yelmargende
ganancia es 12 dB, como se muestra en los diagramas de Bode compensados de la figura 16-23. La funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta compensada es
*
4(L + io4/0.2\
(L+io4/0.L)(t +;q)3 El
elemento de compensaci6n
4(1+ w/0.2)
Gi(,): ' -;-:| + w/0.1 se transforma de nuevo al dominio z haciendo
z\ : G'( vr\-,,
w : (z - l)/(z * l),
24
(z-tr)
tt
(e _
en
fi)
Compensaci6n por atraso-adelanto
16.9.
Determine la compensaci6n para el sistema del problema 16.5 de tal modo que produzca
Kp> lO, dvr > el sistema no compensado.
una constante de error de posici6n
ganancia al que
La compensaci6n determinada en el problema 16.5 satisface todas las especificaciones excepto que Ko es solamente 4.4. El compensador por adelanto escogido en dicho problema tiene una atenuaci6n de baja frecuencia de 10.4 dB o un factor de 3.33. Remplacemos la red de adelanto por uncompensadorporatraso-adelanto,escogiendoat 1.86,bt:66.2ya2 I b2=9.3. Lamagnitud a baja frecuencia se hace a1b1 I bp2: I 6 0 dB, y se borra la.atenuaci6n producida por la red de adelanto, elevando efectivamente Kopara el sistema en un factor de 3.33 hasta 14.5. La parte de atraso del compensador debe colocarse a frecuencias suficientemente bajas como para que el mar-
:
t,
45" y la misma frecuencia de cruce de
IIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE
522
CONTROL
gen oe fase no se reduzca por debajo del valor especificado de 45". Esto puede lograrse con a2
:
:
+
0.09
0 .3 . En la figura 16-24 se presenta el diagrama de bloques del sistema compensado. N6tese que se incluye un amplificador con una ganancia de 1.82, del mismo modo que en el problema 16.5, para mantener @r = 3.4.
I
bz
compensadorporatraso-adelanto
.amplificador
Figura
sistemanocompensado
16-24
Los diagramas de Bode compensados se muestran en la figura 16-25.
*
9Po: : tr.
I I i: I :: a ::.:::,.,:j -;
;,:::i 0.0,1
j
:.::::::l
0.t
o.2
0.4 Frecuencia
1
o.
radls
:i''::T",*'"i:'." ,
,,
l,tjt,t,r',i..t.
q
-1oo' "g o
€ ts
u)
-2000
;i--;; jiL;""i*-i;-,,,.,;*;;;;;: 0,2
0.4
I
Frecuencia ar, rad/s
Figura
16-25
*
t*
523
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE
16.10. Disene una compensaci6n en cascada para un sistema de control con retroalimentaci6n
unitaria, cgn planta
Gr(ir): j@(r+ja/8\(r+joD/20) para que cumpla con las siguientes especificaciones:
1)
K, >
100
2)
10
p67s
3) 4)
margen de ganancia > 10 dB margen de fase dr,re > 45o
Para satisfacer la primera especificaci6n se requiere incrementar la ganancia de Bode en un factor de 100, puesto que el Ku no compensado es igual a l. En la figura 16-26 se muestran los diagramas de Bode para este sistema con su ganancia incrementada a l0O.
*
g0 oo
Frecuencia ar. rad/s
-100" o
I 4
-2ooo
t0
il
Frecuencia ar, rad/s
Figura 16-26
20
'r
524
TEoRtA
y
pRoBLEMAs DE RETRoAUMENTACToN
y
srsrEMAs DE coNTRoL
* La frecuencia de cruce de ganancia a1 es23 rad/s, el margen de fase es -30" y el margen de ganancia es - l2 dB. La compensaci6n por atraso podria utilizarse para incrcmentar los m6rgenes de ganancia y de fase al reducir ar1 . Sin embargo, arl tendria que bajane a menos de 8 rad/s para lograr un margen de fase de 45", y a menos de 6 rad/s, para un margen de ganancia de l0 dB. En consecuencia no se satisfar{a la segunda especificaci6n. Con la compensaci6n por adelanto, se requeriria un incrcmento adicional de la ganancia de Bode en un factor & bta y ar; aumentaria, necesitando asi mucho m6s de 75" de adelanto de fase pau';a ot1 23 radls. Estas desventajas pueden recuperarse al utilizar una compensaci6n por atraso-adelanto. L,a parte adelanto produce atenuaci6n y adelanto de fase. Las frecuencias a las que ocuren estos efectos deben localizarse cerca de arl de tal modo que &rt se reduzca levemente y se incr€mente el margen de fase. N6tese que, aunque la compensaci6n por adelanto pura aumentaarl, la parte de adelanto del compensador por atraso-adelanto disminuye arl porque el incremento de bla en el factor de ganancia es innecesario, reduciendo de este modo la caracteristica de magnitud. L,a parte de adelanto puede determinarse independientemente al utilizar las curvas de la frgura t6-2; pero debe tenene presente que, cuando se incluye la parte de atraso, pueden reducirse en algo la atenuaci6n y el adelanto de fase. Ensayemos una relaci6n de adelanto de a1lb1 = 0. l, con as = 5 y b r = 50. El mfximo adelanto de fase ocurre entonces a 15.8 rad/s. Esto permite que la aslntota de magnitud cruce la linea de 0 dB con una pendiente de -6 dB/octava (vdase el ejemplo 16.2). En la figura 16-27 se muestran los diagramas de Bode compensados escogiendo a2!b2como 0.1 y 1.0 rad/s, respectivamente. [,os pan4metros resultantes Soo arp 12 rad/s, el marlen de ganancia 14 dB y dyr = 52", como se muestra en las grdficas. La funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta del sistema compensado es
:
:
:
a
tm(l+jr.rxr + jo/5) j.n
(r + j 6t /O.lX
1
+J'o,/SX L +
jolm)(L
+
j ol
SO\)
ow E ! u
a oo
lo
21 Frecuencia or,
Figura lG27
+
525
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE BODE
,
2
4
ro"t
20
'"4o
Frecuencia ar, rad/s
Figura 16-27 (continuaci6n)
Problemas miscel6neos 16.11. La funci6n de frecuencia de respuesta nominal de una planta
Gr(iot\:
j
i ot (L + i a / 8)(L
+ j.n
es
/20)
Un sistema de control con retroalimentaci6n debe disenarse para comandar la salida de esta planta en cierta aplicaci6n y debe satisfacer las siguientes especificaciones en el
domi-
nio de la frecuencia: margen de ganancia > 6 dB margen de fase (dvr) = 30'
r) 2)
Adem6s, se sabe que los pardmetros "fijos" de la planta pueden variar levemente durante la operaci6n del sistema. Los efectos de esta variaci6n sobre la respuesta del sistema deben hacerse minimos sobre el intervalo de frecuencias de inter6s, el cual es 0 ar < 8 rad/s, y = el requisito real puede interpretarse como una especificaci6n en la sensitividad de (C/ R)(ja) con respecto a lG2Qo)|, es decir,
r) Tambi6n
20llog,o se sabe
S{Sli[frl < -ro
an
para 0 < o < 8 rad/s
que la planta estard sujeta a una perturbaci6n de entrada adicional incon-
trolable, representada en el dominio de la frecuencia por U(ja). En la aplicaci6n, la respuesta del sistema a esta perturbaci6n de entrada debe suprimirse en el intervalo de
frecuencia 0 s ar < 8 rad/s. Por tanto el problema de disefro incluye la restricci6n adicional sobre la relaci6n de magnitud de la salida a la perturbaci6n de la entrada, expresada como
4)
t
zor"g,,lf,17,y < -20dB
para
03to38rad/s
Disene un sistema que satisfaga estas cuatro especificaciones. En la figura | 6-28 se presenta la configuraci6n general del sistema, el cual incluye la posibilidad de compensadores tanto en cascada como con retroalimentaci6n.
526
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
ll
U(i"l
compensador por retroalimentaci6n
Figura
16-28
A partir de la figura 16-28, se obtiene C
u(
i'|r)
:
cr(i') |
+ G1G2H(
C
jo)
(i&')
R
GP2(i.")
: L
+ GtGrH( jco)
1l
De manera similar a la del ejemplo 9.7, f6cilmente puede demostrarse que
*tu2tra)t ,((^C,/R X l@
)
l
+ GrGrH(io)
Si suponemos que lG$yH(jar)l ) I en el intervalo de frecuencia 0 = zo < 8 radls (esta desigualdad debe verificarse al completar el disefro y, si no se satisface, la compensaci6n deberd calcularse de nuevo) entonces la especificaci6n 3) puede aproximarse por medio de zo
rog,,l
q!(fJ!i", | = z0 rocrol
:
"fhl
-20lo916lG$zH( j@) | < _ro an
2llog.olc.c,2a( io,) | >
10 dB
De modo similar, la especificaci6n 4) puede aproximarse por medio de zor"e,,l
2oroc, f, t ia,) | =
:
o
##
20log,ol Gr(
/r) | -
2}ro9'olcrc2H(
2ltogrolcrGrn(y") | > [zo + zotog,olcr(;or)
l]
j") | < - 20 dB
ae
Las especificaciones 3) y 4) pueden transformarse entonces en la siguiente forma combinada. Necesitamos que la respuesta de frecuencia en malla abierta C 1G2H(jar) se localice en una regi6n del diagrama de magnitud de Bode que satisfaga simultiineamente las dos desigualdades:
t
f
DISENO UTILIZANDO ELANALISIS DE BODE
527
20log1olGrG2rt(7r.r) | >
fo oo
2llogrolcrcra("r") I > [zo + zotogrolcrl;") l] an Esta regi6n se encuentra por encima de Ia linea interrumpida mostrada en el diagrama de magnitud de Bode de la figura 16-29, en la cual tambi6n se incluyen los diagramas de Bode de G2$t't). El disefro puede completarse al determinar Ia compensaci6n que satisfaga los requerimientos de mar-
l) y 2), sujetos a esta restricci6n de magnitud. Un aumento de 32 dB en la ganancia de Bode, la cual es necesaria en ar = 8 rad/s, satisfaria las especificaciones 3) y 4), pero no las especificaciones l) y 2).En consecuencia se necesita una compensaci6n mds complicada. Para un segundo intento, encontramos que la compensaci6n por gen de ganancia y de fase,
atraso-adelanto:
GtH'(io):
(r + j a /0.2s) (t + j /zs)(t + j a / 0.025\
100(T + j o /2.s) @
produce un sistema con un margen de ganancia de 6 dB y Qve = 26o, como se muestra en la figura 16-29. En la figura se observa que es necesario un adelanto de fase de miis de l0'a l5o cerca de
0
a: r,r :
25 rad/s
y
lGlH'(j<,.r)l debe incrementarse por lo menos en 2 dB en las proximidades de
8 radis para satisfacer la restricci6n de magnitud. Si se introduce una red de adelanto adicional
y
se aumenta la ganancia de Bode para compensar la atenuaci6n de baja frecuencia de la red de adelanto, la compensaci6n se hace
G1H"(ia):*(H#)lfi
jolz.s)(r + ja/o.25 + jot/z')(L + ja/o.025) +
il
Esto produce un margen de ganancia de 7 dB, drrap = 30'y la satisfacci6n de las especificaciones 3) y 4), como se muestra en la figura 16-29. La suposici6n de que lG1G2H(jo)l para 0 c,r
<
>l
8 rad/s fiicilmente se iustifica al calcular los valores reales de las magnitudes dB
o_
50 e,
at
20lgcrojqi(i{)l . .,:,
O 20
--
a
lgtfro
lCrIl'Uo): Gz(/o)l
20 lagro lGrfi'! $a) t Gr(i"1|
0 bo
-10 -20
i x a,
-30
i I
-40 i ;-,-.,.,*-:-;J
I Frecuencia
ot, radls
de
=
528
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
. ;: : O Arg Gr:Ii!(r') f Glio) $,, Ars C.;1i"1,
-,00.
i-;-- j- j- il:,lt 0.2 0.4
0.1
:
.t:f.-l:.1
I
Frecuencia ar. rad/s
Figura
I rqf;l,4.5f''l ' El compensador
16-29
tC' 'l
v
l;(r") lu
| I
Gfl"(ja)
puede dividirse entre las trayectorias directa y de retroalimentaci6n, o ponerlas todas en una trayectoria, dependiendo de la forma deseadapara (CR) Aa) si asi se especifica en la aplicaci6n.
t
Problemas suplementarios 16.12.
Disene un compensador para el sistema con la funci6n de respuesta de frecuencia en malta abierta
, ., 2o ,' .- \'-' GH(io): , j@(L + j.t/10)(L + j@/25')(t + jo:/aD) ,
con el fin de que se produzca un sistema en malla cerrada con un margen de ganancia de por lo menos l0 dB y un margen de fase de por lo menos 45".
16.13. Determine
un compensador para el sistema del problema 16.
I
que produzca los mismos m6rgenes
de ganancia y de fase pero con una frecuencia de cruce @r de por lo menos 4 rad/s.
16.14. Disene un compensador para el
Gn1p1
sistema con funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta
2
(1 +7'r,r) [1
+
jo/10 -
(r/a)'l
que produzca un sistema en malla cerrada con un margen de ganancia de por lo menos 6 dB y un
margen de fase de por
lo
menos 40o.
.16.15. Resuelva el problema 12.9 utilizando los diagramas de Bode. Suponga que debe garantizarse una sobretensi6n mdxima del 25Vo, si el sistema tiene un margen de fase de por lo menos 45o.
16.16. Resuelva el problema l2.lo usando diagramas de Bode. 16.17. Resuelva el problema 12.20 usando diagramas de
Bode.
16.18. Resuelva el problema 12.21 usando diagramas de Bode.
t
Capftulo 17
]
Andlisis de los diagramas de Nichols l7.l
Introducci6n
El andlisis de los diagramas de Nichols, un m6todo de respuesta de frecuencia, es una modificaci6n de los m6todos de Nyquist y de Bode. Lacarta de Niciols en esencia es una transformaci6n
deloscirculosMyNeneldiagramapolar(secci6n 11.12)encontornosnocircularesMyNenuna gr6fica de la magnitud en dB en t6rminos del dngulo de fase en coordenadas rectangulares. Si GH(a) representa la funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta de un sistema continuo en el tiempo o discreto en el tiempo, entonces GH(at) representado en una carta de Nichols se llama diagrama de carta de Nichols de GH(a). La estabilidad relativa de un sistema en malla
t
cerrada se obtiene fi{cilmente a partir de esta gr6fica. Sin embargo, la determinaci6n de la estabilidad absoluta con este m6todo en general no es prdctica, y es preferible emplear las t6cnicas del Capitulo 5 o el criterio de estabilidad de Nyquist (secci6n ll.l0). Las razones para utilizar el an6lisis de los diagramas de Nichols son las mismas que para los otros metodos de respuesta de frecuencia, las tdcnicas de Nyquist y de Bode, las cuales se discutieron en los Capitulos I I y 15. El diagrama de carta de Nichols tiene por lo menos dos ventajas sobre el diagrama polar: I ) puede graficarse un intervalo de magnitudes mucho m6s amplio porque IGH(a)l se representa en una escala logar(tmica; y 2) la grilfica de GH(a) se obtiene de la suma algebraica de las contribuciones de las magnitudes y los i{ngulos de fase individuales de sus polos y ceros. Si bien estas dos propiedades son compartidas por los diagramas de Bode, IGH(a)l y el arg GH(a) se incluyen en un solo diagrama de carta de Nichols, en lugar de dos diagramas de Bode. Las t6cnicas de la carta de Nichols son ritiles para representar de manera directa (C/RXar) y se aplican especialmente en el diseflo de sistemas, como se muestra en el capitulo siguiente.
17.2 Diagramas de magnitud en dB-ingulo de fase La forma polar de las funciones de respuesta de frecuencia en malla abierta, tanto de sistemas continuos como discretos. es
GH(o): lca(
r
17.12
aryGH(@\
(r7.1)
El diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase de GH(a) es una grdfica de IGH(a)|, en decibeles, en t6rminos de arg GH(a), en grados, en coordenadas rectangulares con @ como par6metro.
EJEMPLO 17.1 . En la figura | 7- I se presenta el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase de la funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta continua en el tiempo.
GH(io)-
1
+itr
=,/*7 / t^-', 529
530
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
lk
4 E
20.
40..
60"
rl
6ngulo de fare
Figura l7-l
17.3 Construcci6n de diagramas de magnitud en dB-ingulo de fase Los diagramas de magnitud en dB-6ngulo de fase para sistemas continuos en el tiempo o discretos en el tiempo pueden construirse directamente al evaluar 20 logle IGH(a)l y arg GH(a) en grados, para un nrimero suficiente de valores de ar (o de oT), y representar los resultados en coordenadas rectangulares con el log de la magnitud como ordenada, y el dngulo de fase como abscisa. Algunos programas de aplicaci6n disponibles hacen de 6ste un proceso relativamente simple. EJEMPLO 17.2. En la figura l7-2 se presenta el diagrama de magnitud en dB-i{ngulo de fuse para la funci6n de respuesta
e/"r + t)2 GH(ei'r\: (ei.r #( -L)(ei"r + *)("^t+ j) de'frecuencia en malla abierta. N6tese que oT es el pariimetro a lo largo de la curvh.
Al examinar la t6cnica aplicada a los sistemas continuos, se ilustrar6 un m6todo gr6fico para la construcci6n de los diagramas de magnitud en dB-dngulo de fase. Primero se escribe GH(ja) en la forma de Bode (secci6n 15.3):
GH(
jot):
ja/2,) . .. (l + ja/z^) (i")'(t + j,,t/p) .. . (t + io7p,) K
r(1
+
I
r
ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS
531
20 0.03 0.21
0
-20 _40
-60 -80
- 100 -
120
-
140
-
160
-400" -350" -300" -250. -200" -150" -100. -50" iingulo de fase
Figura l7-2
t
> 0 [si Ku <
en la cual / es un entero no negativo. Para Ks
20tog,nlca( jr)l:20log,o KB+2ltostlt
I
+ zoroe,ol
#l *
*'jl. ztl
ro'"r,.1
O, sume
-180' al arg GH(ja)],
+zorog,rlr +
#
I z^l l1 + "' +20loe,^ll6 l1+ ,PN
,PT
I ir\ ...+arglt/ +:l+arel ic,r\ [ t , I argGH(ja):argl1*;l+ z^I "L(;r)'l ;ri
(
r7.2 )
-
I
\
*urr-f 16 ..^ +...+arg-f " J0)
,*i
ryl
t*i
(r7.3)
Al utilizar las ecuaciones (17.2) y (17.3), el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase de GH(ja) se genera al sumar las magnitudes en dB y los Sngulos de fase de los polos y ceros, o los pares de polos
y
ceros cuando son conjugados complejos.
El diagrama de magnitud en dB-dngulo de fase de K6 es una linea recta paralela al eje del iingulo de fase. La ordenada de la recta es 20 log16Ks. El diagrama de magnitud en dB-iingulo de fase para un polo de orden I en eI origen,
t
I
(i,)'
(r7.4)
TEORIA
532
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
es una linea recta paralela al eje de la magnitud en dB con una abscisa
la figura l7-3. N6tese que el pan{metro sobre esta curva es..r1.
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
-9Of , como se muestra en
t
Figura l7-3
El diagrama para un cero de orden I en el origen,
(i")'
(r7.s)
dB con una abscisa de 90f. El diagrama paraQi.i)t es la imagen diagonal especular con respecto al origen de la gnifica de llQr.o)t Eq, decir, para un valor fijo de <.r, la magnitud en dB y el 6ngulo de fase de ll(ja)t son los valores negativos de los es una linea recta paralela al eje de magnitud en
de (.ia)t. En la figura 17-4 se presenta el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase paraun polo real,
I + jot/p
p>
0
(17.6)
la forma de la gr6fica es independiente de p porque el pariimetro de frecuencia en la curva encuentra normalizado a alp.
se
*
t
nNXijStSOdfbSggie*f.i{AS Ud*req{iii:S, i.r,.:.:,:ri:tr1!: iir.r,
5*
r:,rir:}::t!r"::i!:;.!.,; 11. :!,iii:,.nir:
:lrrr'j angulo de fase :l:::' I ' r:'::-_t00: _80o _605 _44.. . . _20.
* t7-4 :.;.::l ,:
El diagrama para un cere real at::'; ; l 1
t
l0t
::,:.i1..
(r7.7)
.l::.;,4? 0
z
es la imagen diagonal especularr,Gon-re-qpp9 ;B! Erigg.e14gr..h;lfig*ra.- ,.4s ,ni: j rt,..r:#ji;i..1; En la figura l7-5 se presenta un conjunto de diagramas de magnitud en dB-6ngulo de fase para varios pares de polos conju"gados comVlujgr,r;,
t,',,t,.liffi
.''
I
,..+
fijo de (. las gn{fisas son independientos de l se encuentra normalizado'a ali,. Para un valor
I"Cr.!.1*l3u-,+.1.p,.,T?.,€r.,.1.9,$.,.€,9!j,yc,
9p!.,S9y!!fjo;:.,
:..:..:1l:l.l-i:.'lill.]:.:.]'.:']:.J:,i..?{j:i]]]:.'}:i:,];:i..t.::1..ri:.:l';::l:i:.:
i r.'..
--,:
.,,
, /,a\2 ''i'.'.'].'1..'r'.1-{=|+lzr{;l'{
I
,i,,9,.:,1{5;} c,la
1.r ,:,;.l.ri.
:,:
,,,,.,!{7rr8J:
porque el pariimetro de frecuencia
_;, . ,:.
,
.
"..,,
..i".
.;i'iil.ii].:::-:..:.]]':.d:l::jjl::,'."\,cl.'"'\o,t.:/.1.;:.=!i:.,;...::.j:,t.=;-\1'1'::]l:u:.:l ]:::.::::::;:]..I1]l|'..'ij.1"Jjil;!1i.]1.i.:.:!1:l;-|j:1li.;.1i.i.'..i.::i-;.'i.:i]..ii:.'f.l:f:ni.
son las igl{igenes diagonales.esFculares
mn
respecto al origen.:de
h figwa:fi-S:;'.:. , ,
',
TEORTA
534
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
o0
*
Figura
17-5
EJEMPLO 17.3. El diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase
GH(
jo):
tC{.l + j.n/2)
(r
+;r^,)
se construye al sumar las magnitudes en dB
rv
r T;
itt z
de
[r
- @/2\'
y los dngulos de
1 L+Joo
;-:--:-
+
io/21
fase de los factores individuales: 1
L-(o/2)2+jo/Z
Como en Ia tabla 17.l, la tabulaci6n de estos factores es bastante 6til. La primera fila contiene la magnitud en dB y el dngulo de fase de ganancia de Bode K6 : I 0 para varios valores de frecuencia. La magnitud es 20 dB y el iingulo de fase es 0o para cualquier ar. La segunda fila contiene la magnitud en dB y el 6ngulo de fase del t6rmino (l + jal2) para los mismos valores de rrr. Estos se obtuvieron a partir de la figura l7-4 al hacer p: 2 y tomar tos negativos de los valores en la curva para las frecuencias en la tabla. La tercera fila corresponde al t6rmino ll(l + jto), y tambi6n se obtuvo de la figura l'7-4. Lacuarta fila se tom6 de la curva ( : 0.5 de la figura l7-5 al hacer a, : 2.La suma de las magnitudes en dB y los 6ngulos de fase de los
t
t
s35
ANALISIS DE LOS DIACRAMAS DE NICHOLS
l7.l
Tabla 0.4
2.8
0.8
Tirmino
l0
r*tl(t
20dB 20 0o
dB 00 0 dB 00 1+jr,r 0 dB r-(o/2f+io/2 0o 20 dB Suma: Cll(jor) 0" 0
20
0o
0o
o.2
0.6 2L"
1lo
20
20
20
20
20
0o
0"
0"
0"
0o
t.3 31"
2.2
39"
3.0 45"
4.7 540
630
7
20
20
0o
0o
10 'lL"
12.3
-2.2 -3.8 -5.4 -7.0 - 15.7 -9.4 -39" -500 -57" -63" - 70" - 810 0.3 0.6 0.9 0 -4.11 -I2 -19.s _l2o _26" _460 -900 -126" *148' -160" 19.9 l9 0 ltt.4 17.8 16 10.5 2.7 -5-2 _22o _44o _65" _g6o - 108' -r42" - 16lo - 170"
76"
-0.6
-21."
-21.5
-166' -t0.3 -173"
tdrminos individualcs para las t-recucncias dadas cn la tabla apareccn en la riltima fila. Estos valorcs se grafican en la figura 17-6 y rcprcscntan cl diagrama dc magnitud en dB-6ngulo dc fase de GH(jto).
*
(1 +
t0(r + jdl2l - (ot2l2 + jal2l
jo)Il
bo
Figura
17-6
17.4 Estabilidad relativa
a
A partir del diagrama de magnitud en dB-ilngulo de fase de GH(a),los m6rgenes de ganancia se determinan con facilidad para los sistemas continuos en el tiempo y los sistemas discretos en el tiempo.
y de fase
536
rEoRtA
y
PROBLEMAS DE
RErRoALtEtff.Ati&t :+.iisisfEMfrSlb€$ctr{*{*@.
t
La frecue ncia de cruce de fase aro es la frecusrsidta la cual la grSfica de GH(to) corta la linea Et' raairgbrrde '[iqartA].i€.?J:t dado por
,i '
dd"!'l8i]*€d €l'di'agihda tfa malnitiiii €ii "ffi--aiigunue Tastf
' ).ri.-r
"''z::'t';1':;:; ir. t -:i-ir -:rjr:t,.i
:,(17.i,0) tri :. ir't'1r
r'r;::a-r .iii,r
EJEMPLO 17.4. En la ligura I7-7.sc plgscrrta.i.q*granra de^nrAgnitud en dB-iingulo de fase de GH(ar) para un sistema estable. Como.s€ indica. ei rnargen de ganancia es 15 dB y el margen de fase es 35o.
':
:r ,i:
rl
.'.'
,i .-il!.
,
* Figura l7-7
I}
4l${ia{gSDF!qq'El4S&4tt4ASS"t{{€i,l9LS
iorir:ji: ri:t
!:i!,:i,.!:i:
:,.ii,ti.r:
'.-r
,r:.,!+i
.ffi,7
17.5 La carta de Nichols
iji:r:t.!::l::.i:..r.1; t:#;.1:
.,1;
Lo que sigue de este tema se restringe a los sistqmas continuos o discretos, con retroalimentaci6n unitaria. Como se ilustra en el ejgihplo, i?, lbg,1q ados se generalizan con facilidad a los sistemas con retroalimentaci6n no unitaria:. ': 'L'
Iedqnerq"n.dB repB+9*!ade.frge,ueqgrg,e4girel-lesryIsdq.-de;g4r,,piotery1q.gg,1, relqealime4aei6n
unitaria puede escribirse en forma polar como t€:-,.::+ t;:t
'-; 0i:i i)
'^"..,".,
"
.-
en donde 0c= argG(
:tl.C_.,J ,ia:!ri::;+:i,l;.;i l;(") l: U: constante
:.'i.,..i,i':
i.l.:]:i''i.:;i]:.l:,n!,:|:..;i]::;ij.].'.;]]'::i;n::.-''r..i..'.|I....l..:..,,r..'-';t.::.1;;111'.',a;:;;1
t
.d;...a"iid..;ji..d;;.":1i1i:.iiii.*{::.::::..i:.::..ll'.::.i:a,.:*'l,;i;.:r...;.'.1l...,*,i,.'.;.'..lj:l:.,ii.::.:li:: e.cr9'.3'9,.!$!-.i
.r:i:;;::i':;;'i:j1;:r:"'j'!:*-''sf6t
::::.:+r,,,:ar i!r.r.i
a:d:r :,rj 'i:ir.i:tr,,.r1:;:!,
"y1l"ffito+"l|13g
,#
+f
.i;-':r"r',';:,r.:
*;.;J
,+
1,1.,.,.,+;:.q
'''::?:j'ri.:tl,*,q
fijo de M, el lugar georn6trico puede re$esentarse en tres pasos: I ) escoger los lG(a)l;2) de$ejai',bc,dg,'+tit$iiaciones resultantes, excluyendo los valores de lG(ar)l para los cuales el lcostflol j l; y 3) representar en el diagrama de magnitudendB-fngulodefaselos:puntosobtenidos. Notesequepma'$aloresfijosde My:dE lG(a)|, S6 tiene valores m.fltiples porque aparece en la ecuaci6n como cos @5. Para un valor
valores num6ricos para
EJEMPLO 17.5 En la figurd,l:$8$C,'rep,.1.9,$eirqjtl lugaf georfietitcb Oe ldii puntos para los cuales :t': '::: :: ':::
,'!$'t*8:iirtftir4*'r,€b,
t
:,t'..,-,tttii
i!{:,': t:iirii::-irir: r"j '"r'i
F-*Ssg t?'r8ii':'.,,r
,,P
,
.-.'
il
i +li
.,ij S.l,l-;,n-.j:1,!i::ii:ii*
.l!r ..iir-ti:1r'1lir: .;:._'f:.
iii;:
TEORIA
538
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONIROL
*
o, de modo equivalente,
zorog,.lf,1,t
l:
r o'
Una curva similar aparece en todos los mriltiplos impares de 180" a lo largo del eje arg G(ro).
El lugar geomdtrico de los puntos del diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase para los cuales arg(C/RXco) es constante o, de modo equivalente, tan
est6 definido por
la
lct [are;
(o)] :
"
:
constante
ecuaci6n 1
(17.r3\
lC(r) l+ cosgo- ;senS6:0
Para un valor fijo de N este lugar geom6trico de los puntos puede representarse en tres pasos: l) elegir fos valores para $6;2) despejar G(c,r) de las ecuaciones resultantes; y 3) representar en el diagrama de magnitud en dB-dngulo de fase los puntos obtenidos.
rl
EJEMPLO 17.6. En la figura l7-9 se presenta la griifica del lugar geom6trico de los puntos para los cuales arg (C/RXar) : -60" o, de modo equivalente,
lcl-
tan[are;(a,)]
: -/,
Una curva similar aparece en todos los miltiplos de 180" a lo largo del eje G(ar).
=
-rz
.= F"
Figura l7'9
Definicihn
17.2:
Una carta de Nichols es un diagrama de magnitud en dB-dngulo de fase de los lugares geom6tricos de magnitud constante en dB y 6ngulo de fase de (ClR)(t't), representados como lG(ar)l en t6rminos de arg G(ar).
EJEMPLO 17.7. En la figura | 7- l0 se muestra una carta de Nichols. En es muy apropiado en el an6lisis de sistemas de control.
esta carta el rango
del
arg
G(a\
*
I ANALISIS DELOS DIAGRAMAS DE NICHOLS
539
l. t
l t
t t2
t
l
8
I
oE
t
d)
l*
-4
I I
I -16
l [,
-20
t -24
t t t
F+$
a-2E
1 N
!
oo tl
I
t{ngulo de fase
i
Figura
17-10
i I
i
Defrnici6n 17.3: Un diagrama de Nichols
es una grdfica de magnitud en dB-dngulo de fase de una funci6n de respuesta de frecuencia P(ar) superpuesta a una carta de
Nichols. I
l
i* I
;
17.6 Funciones de respuesta de frecuencia en malla cerrada La funci6n de respuesta de frecuencia (C/R)(o) de un sistema con retroalimentaci6n unitaria puede determinarse a partir del diagrama de Nichols de G(ar). Los valores de l(C/RXar)l en
l
TEORIA
.t40
Y
PROBLEMAS DE RErRoAt llSN-49€.!019.,.Y",:, S8"-XF,!44S,],QSj
-
W€l-
1 I i )
l I I
I il
I
,
,
'i''i: r -l-
I
&',.i',=;,];,1,,
l
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J a,
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.;:1;1:1;,g-gr.;;
a
I
541
ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NTCHOLS
EJEMPLO 17.9. Suponga que el sistema del ejemplo 17.3 no es un sistema con retroalimentaci6n unitaria
y
que
c(")
Entonces c..
- (r +;0,)[r -
10
@/2)'+ cn1,,t1 I
1
n(r): r* j;
jt:/21
r
c(")
| I :aot*15, ;("):Eo[**tl
I
G' = GH. En el ejemplo 17.8 se obtuvo el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase de G'(a)l(l + C'(ro)) y se muestra en la figura 17-12. El diagrama de magnitud en dB.iingulo de fase de
en donde
(C/R)(a) puede obtenerse al sumar punto por punto a esta gr6fica la magnitud y el 6ngulo de fase del polo | /(l + jat/2),los cuales pueden obtenerse a partir de la figura l1-4 para p : 2. El resultado se muestra en la figura l7-13.
,
*4
.: @
-180.
-
120
ringulo de fase
Figura
17-12
4.8 +.o
\Jaz 2 812 0
'l
{
|
b
-1
€ c(.) R'-' - r + GH(d)
{
Q,..,t
E
-12 -16
,
-180,,
-r20'.
dngulo de fase
Figura
17-13
-60
542
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACTON
Y
SISTEMAS DE CONTROL
J
Problemas resueltos Diagramas de magnitud en dB-6ngulo de fase 17
.1.
Demuesffe que el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase para un polo de orden / en el origen del plano s, ll(ji.o)t, es una linea recta paralela al eje de magnitud en dB con una abscisa de -90f para ar > 0.
En forma polar,
jro:r/W,r,r)0. 11 (
En consecuencia
t--
i,)'
''t
Irl : 20lo9,6;I : -'l(r,)'l -'"(" -,
20log,nl,
|
-20logroo'
y el arg ll(jro\t : -90f. Vemos que el arg l/(ju)t es independiente de ar y por tanto la abscisa del diagrama es una constante igual a -9Of . Ademi4s, para la regi6n 0 < ar < + o, la magnitud en dB varia desde * o hasta - o. De esta manera la abscisa es fija y la ordenada toma todos los valores. El resultado es la linea recta que se muestra en la figura l7-3.
17.2.
+
Construya el diagrama de magnitud en dB-dngulo de fase para la funci6n de transferencia
en malla abierta continua en el tiempo
GH: La magnitud en dB de GH(jo)
2lrostolcH(
iro) |
2
s(l + sxt + /t es
: 2.0log,o
f'1*r-U
:20logro2-
t.
+ ,.1
Z0roero
[.,/r
: El dngulo de
6.02 -robg'o
[,'(r
,[4]
+,')(r .
f
)]
fase de GH(jar) es
arg[Ga(
j",)]
:
-arslj,'l -
arc[l
+i.,l --r[t . f
]
: -90o-tan-r"-,*-t(i) En la figura 17-14 se presenta
el diagrama de magnitud en dB-i4ngulo de fase.
t
ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DENICHOLS
, 17.3. Utilizando los diagramas de las figuras 17-3 y el diagrama de la figura 17-14.
17-4, demuestre c6mo puede aproximarse
Escribimos GH(ja) como
1 \/ 1 \ /1\/ GH(io):(a(,/t_J\*,*1 La magnitud en dB de CH(ja\
2ltosolcl(
iro) |
:
es
zorog,o2 +
.
20ros,0l:
,"r,,1# . ,"r,.1nh
I
1
I
?8
2r
20'
e
l6
8
4i oo
0
-4 GHtj.', =
-8
-12
-16
-180.
*
-t600
-140c
dngulo de fase
Figura 17-14
-120c
-20 -1000 -900
544
TEORIA
El
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
r4ngulo de fase es
. *(,.r,-J-) . *(*tO)
arsG*(io): arc(2). *(*) Ahora construimos la tabla 17.2.
LaprimerafilacontienelamagnitudendByelringulodefasedelagananciadeBodeKs:2.La segunda fila contiene la magnitud en dB y el 6ngulo de fase del t6rmino llja para diferentes valdres de ar. Estos se obtienen a partir de la figura l7-3 al hacer / I y tomar los valores de la curva para fas frecuencias dadas. La tercera fila corresponde al t6rmino + jro) y se obtiene a partir de la
:
figuralT-4parap-- l. Lacuartafilacorrespondealtdrmino figura 11-4 para p = 3. Ca{a par de valores de la fltima fila
ll(l l/(l + jal3)
yseobtieneapartirdela
se obtiene al sumar las magnitudes en
dB y los 6ngulos de fase de bada columna y corresponde a la magnitud en dB y el 6ngulo de fase de GH(jto) para el valor dado de a.r. En la figura l7-14 se representan estos valores de la fltima fila de esta tabla (con excepci6n del primero) y se unen para generar una aproximaci6n.
Tabla 17.2 0.1
0.2
0.5
1.0
1.5
2.0
3.0
6 0o
6 0"
6 0o
6 0"
6 0o
6 0o
6 0o
L4 - 900
0
-
6 900
- 0.3 -110
-
l[
T6rmino
6dB 0o
@20 -90o -90o
1 .
lo
0
l+jct 1
L+
t"/3
Suma: GH(ist)
17.4.
0"
- 0.1 - 5.5"
0
0
0o
O
- 900
ao
-
-
900
1.0
-
-26"
-
3.0 450
-
0.5
0.1
_40
-17,5"
25.9 19.6 10.8 .5" - 1050 -I25"
- 9.5 - 900 -7.0 - 63"
-10 -26"
2.5 -3.8 - 152.5" -L73"
-g'l
-1.6 -33"
-8.6 - 16.5 -1860 -247"
Construya el diagrama de magnitud en dB-dngulo de fase para la funci6n de transferencia
en malla abierta
GH:
4(s + 0.s)
s2(s2+2s+4)
La funci6n de respuesta de frecuencia
GH(
jcl):
es
t
4( jo, + 0.s)
(iq'(( j,)'
+
z
ja
+ a)
ANALISIS DELOS DIAGRAMAS DE NICHOLS
* En la figura l7- l5 se presenta un diagrama de magnitud en dB-ilngulo de fase de GH(ja), genera-
do por computador. 24
20
16
8
4
I
0
margen de ganancia
{
-l
8
-t2
-20
-28 -150"
dngulo de fase
Figura
17.5.
Construya el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase para la funci6n de transferencia
en malla abierta discreta en
*
17-15
el tiempo.
^,,, \ GH\z):
3(z+t)(z+])
e7;_96;5
546
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
La funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta
Y
SISTEMAS DE CONTROL
f,l
es
(ei.r + r)(ePr+
GnQrry:1 (ri"'-l)(et-r +l)]) En la figura I 7- | 6 se presenta el diagrama de magnitud en dB-i4ngulo de fase de GH generado por computador. 20
0
-r0 -20
E
I
-30
-40 _90" _88o _86" _84o _82o _80" -78" i{ngulo de fase
Figura
Mdrgenes de ganancia
y de
17-16
fase
17.6. Determine los mdrgenes de ganancia y de fase en el
sistema del problema 17.2.
El diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase para la funci6n de transferencia en malla abierta figura I 7- l4 (problem a 17 .2). Vemos que la curva cruza la lfnea de
de este sistema se presenta en la
0dBenundngulodefasede-162".Portantoelmargendefaseesd1ar:180"- 162": l8'. (La frecuencia de cruce de ganancia alr se determina por interpolaci6n a lo largo de la curva 1.5, quelimitaarol arribayabajo, respectivamente. El valoraproximadode arl es 1.2 rad/s.)
entreal: l.0y a:
La curva cruza la lfnea de
es=-(-6):6dB.
-
| 80o
en una magnitud de
-6
dB. En consecuencia el margen de fase
(La frecuencia de cruce de fase a;- se determina por interpolaci6n a lo largo de la curva entre ar y a : 2.0, que limitan a oo aniba y abajo, respectivamente. El valor aproximado de r.ro es = 1.75 rad/s.) I .5
17.7. Determine los m6rgenes de ganancia y de fase en el
sistema del problema 17.4.
El diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase para la t'unci6n de transferencia en malla abierta figura I 7- I 5 (problem a 17 .4). Vemos que la curva cruza la lfnea de 0 dB en un i{ngulo de fase de -159'. Por tanto el margen de fase es dvr : 180" - 159" : 21".
de este sistema se presenta en Ia
*
ir
547
ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DENICHOLS
(La frecuencia de cruce de ganancia a.)r se deterrnina por interpolaci6n a lo largo de la curva entre al : 1.0 j, a : 1.5, que limita a ro; arriba y abajo, respectivamente. El valor aproximado de a.r; es 1.2 rad/s.) L,a curva cruza la linea de - 180'en una magnitud de -3.1 dB. En consecuencia el margen de ganancia es 3.1 dB. (La frecuencia de cruce de fase roo se determina por interpolaci6n entre a : 1.5 y o :2'0, que limitan a ao aniba y abajo, respectivamente. El valor aproximado de aro es 1.7 rad/s.)
17.8.
Determine los m6rgenes de ganancia y de fase en el sistema definido por la funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta
I + jco/ 0.5
GH(ja): ,," [r
]
- b/2)'
+
io/21
En la figura 17-17 se prescnta el diagrama de magnitud en dB-iingulo de fase de GH(ia). Vemos que la curva cruzala linea de 0 dB en un iingulo de fasc de - I40". De donde el margen de fase es 6ur = 180' - 140' : 40'.
|*
ial0.6
(jo\l-(o/212+ia/21
-r80. _160. -140. -r20c
i;
-100"
dngulo de fase
Figura
17-17
-600 -50c
548
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
* La curva no cruza la lfnea de Sin embargo, cuando o) + e.
GH( i(,l
-
I
80" para el intervalo de magnitudes en dB de la figura 17- 17.
8 + --*iot/0.5 : ^ ./t _180o -io(o/2\" Q)'L--
La curva tiende asint6ticamente a la linea de -180" pero no lacruza. Por tanto el margen
de
ganancia es indeterminado. Esto implica que el factor de ganancia debe incrementarse eil .una cantidad que no produzca inestabilidad.
17.9.
Determine los m6rgenes de fase y de ganancia en el sistema discreto en el tiempo del
problema l7.5. En la figura l7-16 (problema l/.5) se presenta el diagrama de magnitud en dB-i4ngulo de fase para la funci6n de transferencia en inalla abierta de este sistema. Vemos que la curva cruza la lfnea
:
-
de 0 dB en un 6ngulo de fase de -87'. De donde el margen de fase es dur 180' 87' = 93'. El r4ngulo de cruce de ganancia a,r1T puede determinarse por interpolaci6n a lo largo de la curva cntre @T: 0.5 y atT 1.0, que limitan aalT aniba y abajo, respectivamente. @tT:0.6 rad. La curva nunca cruza la linea dc -180", asi que el margen de ganancia es indeterminado al
:
igual que el iingulo de cruce de fase.
I
Carta de Nichols 17.10. Demuestre que el lugar geom6trico de los puntos sobre un diagrama de magnitud en dBiingulo de fase para los cuales la magnitud de la respuesta de frecuencia en malla cerrada (ClR)(a\ de un sistema continuo en el tiempo o discreto en el tiempo, con retroalimentaci6n unitaria, igual a una constante M, est6 definido por la ecuaci6n (17.12). Utilizando la ecuaci6n (17.1
l),
l(C/RXar)l puede escribirse como
lc(')l/0.
lf,",l:l r +lc(")l/ Ya quc
lC(r\l/Qr,:
tc r
lG(
lG(or)lcosf., +7lC(r.r)Jsenf,r, puede escribirse como
<,l) lcos Oc +
l;r"ll:lr ffil I
oo
jlG(
a,)
lsen4c
I
lc(") I'
rl-.
V Ir * lc(
or) lcospo]'z +
lc(,)
l2."n2qo
+
zlc(a)
lcos Qo
+
lc( ") l'
Si igualamos a M csta frltima expresi6n, clevamos al cuadrado ambos lados y eliminamos fracciones, se obticne
u'llc{")1'z + zlc1,) lcospn + rl : lc{")
las
t: I'
t
ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS
la cual puede escribirse como
(M'- r)lc(o) Al dividir por (Mz
l2
+zu2lc(,,:)
lcosQo +
* l) obtenemos la ecuaci6n (17.12),
M2:0
como se pedia.
17.11. Demuestre que el lugar geom6trico de los puntos en el diagrama de magnitud en dB6ngulo de fase para los cuales la tangente del argumento de la funci6n de respuesta de frecuencia en malla cerrada (ClR)(a) de un sistema con retroalimentaci6n unitaria igual a una constante N, se define mediante la ecuaci6n (17.13).
Al utilizar la ecuaci6n (17.l'1), el
arg (C/R)(a) puede escribirse como
-,[fr,r] Puesto
que,
lG
(a)l/
/ Q<;
:
:-'l:pg1
lG ( o ) lcos Qo + 7lG ( o ) fsengo,
I C , .l :-clffiJ I lc(") lcospc trsl^r')l
j
+ilc(a;) lsengo I
Al multiplicar el numerador
jo del
y el denominador del t6rmino entre corchetes por el conjugado compledenominador se produce
I , ,l arclR("'l C
f (lot"llcos06+jlc(o,)lsenpo)(t +lc(co)lcosEo-;lc(o)lsen66) :*cL (r.lG(")l"*o"f*tr(")11"#0"
I
l
Puesto que el t6rmino del denominador en el riltimo corchete es real, el arg[(C/R)(at)] se determina
s6lo a partir del numerador. Es decir.
f.
I
-c[;("1]
:arg[(1c(ar)lcosQ6+ilc(o,)lsen6o)(1+lc(a,)lcosOc-ilG(a,)lsen4o)]
: -g[;c1"; utilizando cos2@5
+
lcos eo
sen2@6
I
+ lG(
: l. C
")
lt
+
jlc( {^,) l'"noo]
Por consiguiente
, .l
lc(r,,) lsen6o tanlargR(&,)l :|G((,)|cosoc+|G(a,)r Si igualamos esto a N, si cancelamos los t6rminos comunes lG(a)l y eliminamos la fracci6n,
se
obriene
N[cosgo + | c(ro)
l] :
senEo
la cual puede volver a escribirse en la forma de la ecuaci6n (17.13), como se
U
requiere.
17.12. Construya el diagrama de magnitud en dB-dngulo de fase del lugar geom6trico definido por la ecuaci6n (17./2) para la magnitud en dB de (C/R)ko) igual a 6 dB.
550
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
20 lo916 l(C/RX
lc(')
l' +
j tct,l
lcos
:
2. En
ro +
Y
SISTEMAS DE CONTROL
consecuencia hacemos
M:
G 2
4
t:0
el lugar geom6trico. Puesto que lcos@61 < l, puede tomarse lC(ar)l tinicamente en aquellos valores para los cuales se satisface la restricci6n. Para determinar los limites de lG(ar)|, hacemos que cos @6 tome s6lo sus dos valores extremos de mds y menos la unidad. Para cos Qc : 1, la ecuaci6n del lugar geom6trico se hace
como ccuaci6n que define
.84
lc(")l'+ 5lc(o,)l* J:o cuyas soluciones son lG(a.r)l - -2 y lG(ar)l : -3. Puesto que un valor absoluto no puede ser negativo, se descartan estas soluciones. Esto implica quc el lugar geom6trico no existe en la lfnea de 0'(en general, en cualquier lfnea que sea mriltiplo de 360"), lo que corresponde a cos @5 : l. Para cos
Qa: -1,
la ecuacidn del lugar geom6trico se
hace
e
.84
lc(")l'-5lc(o)l+ r:o cuyas soluciones son lG(ro)l : 2 y lG@ll: i. Estas soluciones son viilidas para lG(a;)l y son los valores extremos que puede tomar lG(a,r)|. Al despejar cos @6 de la ecuaci6n del lugar geom6trico, obtenemos
cos06
-
3lc(")
I
Las curvas obtenidas a partir de esta relaci6n son peri6dicas, con un periodo de 360o. La gr6fica se restringe a un solo ciclo en la vecindad de la linea de - 180'y se obtiene al despejar @6 para varios valores de lG(
Tabla 17.3 lG(,o)l
20log,.lG(&,)l
2.0
6dB
1.59
4
r.26
2
1.0
0.79 0.67
cos 0c
-1
-
-0.9r0
-204.5
-2
-0.867 -0.873 -0.928
-3.5
-1
0
Qc
1800
" -209.90 -209.2" -201.90
-
- 155.5" - 150. l' - 150.9' -158.1"
1800
N6tese que hay dos valores de Q6 para todo valor lcos @61 presenta el diagrama resultante.
< l.
En la figura 17-18
se
t
551
ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DENICHOLS
,
-8
_2{0.
_2201 _20O. _r80"
_1600 _r40o
_r20
-10
6ngulo de fase
Figura
*
17-18
17.13. Construya el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase del lugar geom6trico definido por la ecuaci6n (17.13) para tan[arg(ClR)(a)] : N : -oo,
*implicaquearg(CiR)(ar): -90+ k360"'conk = 0, -r- l, *2,.'.,o arg(C/R)(a) -270" + ft360', con ft : 0, t l, + 2,... Grafrcaremos s6lo el ciclo entre - 360' y 0o,el cualcorrespondeak:0.AlhacerN:-6enlaecuaci6n(17.13),obtenemoslaecuaci6ir tanlarg(C/R)(ar)l:
:
-
del lugar geom6trico
lG(")l*cosEo:g o Puesto que lcos @61
< l,
cos{o:-lC(")l
el lugar geom6trico existe s6lo para 0
<
lG(
o, de manera
equivalente,
-
oo
< 20logrolC( e,) | < 0
'
Para obtener el diagrama, utilizamos la ecuaci6n del lugar geomdtrico con el fin de calcular los valores de magnitud en dB de G(ar) conespondientes a valores diferentes de @6. En la tabla 17.4 se presentan los resultados de estos ciilculos. El diagrama deseado se presenta en la figura l7-19.
Tabla 17.4 cos 0c
Qo
-153' - 135' - 120" * 10.7' - 104.5 0 - 100.30 190.
1
C
lG(a,)l
-1
1
-0.893
0.893
-222.5"
-0.707
0.707
-240"
-0.5 * 0.354
0.5
-207" -249.3" -255.5" -25g.go
-0.2s -0.178
0.354 0.25 0.178
20log,olG(r,r)l
0dB - 1.0
-3 -6 -9 -L2 -15
552
Y
TEORIA
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CON'fROL
t
{ 0
-4 -8 oo
-12
_260. _240. _2200 _200. ._r80:
_100
dngulo de fase
Figura 17-19
a
Funciones de respuesta de frecuencia en malla cerrada 17.14. Construya el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase de la funci6n de respuesta de frecuencia en malla cerrada (ClR)(ja) del sistema con retroalimentaci6n unitaria cuya funci6n de ffansferencia en malla abierta es
G: r(1+rX1 +s/3)
c(ir)
C
;(r"):
1
+
G(
6
j0,)
( jr),
+ t(, jr), + 3jot + 6
:
6
G:+..r) +X3":;T
Por tanto
zor"g,,lf,1;,ll
:ror"s,,l9(i,)l :
lC I: *e[;(r")] En la figura
l0roe,o-,I+
-tan-r
-
ro3)2
3or-or3
e:4;,
l7-20,la linea continua muestra un diagrama de magnitud por computador.
(C/ R)Qto), generado
(3or
en dB-dngulo de fase de
I
J
553
ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS
-o
.: oo
; _200: _160' -r20.
-80o
dngulo de fase
Figura
17-20
17.15. Resuelva de nuevo el problema lT.l4utilizando la t6cnica estudiada en la secci6n 17.6. En la figura 17-21 se presenta el diagrama de Nichols de G(jto). Determinamos los valores de
la magnitud en dB de l(C/RXjro)l y del arg[(C/R)("lar)] por interpolaci6n de los valores de magnitud en dB y 6ngulo de fase en el diagrama de Nichols paft 2.0 y 3.0. En la tabla 17.5 se presentan estos valores.
a : 0, 0.2, 0.5, 1.0, 1.25, 1.5,
Tabla 17.5
zor"c,.lf,f ;"1| 0 0.2 0.5 1.0 1.25
l'
;(rr^')
0dB
00
_60
o.2
-
1.2
6.0
6.0
2.0
-4.0 - 15.0
15"
-420
lo.0
t.5 3.0
C arE
-
-
900
155"
-194" -212"
En la figura 17-20, el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase de (ClR)(jt't), elaborado utilizando los valores de la tabla, se representa mediante una linea de guiones. Las diferencias entre
TEORIA
554
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
las dos curvas se deben a las interpolaciones necesarias para obtener los valores de magnitud en dB
y 6ngulo de
fase.
i1f .il
32
,9
u 20
l6 12
8
0 oo
6
t
-a
-20 -21 -28 @sNo@@ NNNN tltttl
sNo
lrl
6ngulo de fase
Figura
17-21
Problemas suplementarios 17.16. Construya el diagrama
de magnitud e'n dB-6ngulo de fase para la funci6n de transferencia en malla
abierta
GH-
s(s + 2)
s(s+3)(s+5)
f
e
)))
ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS
17.17. Construya el diagrama de magnitud en dB-i4ngulo de fase para la funci6n de transferencia en malla abierta
l0
GH: ^ "1,.*rffiTlsb) 17.18. Construya el diagrama de magnitud
en dB-6ngulo de fase para la funci6n de transferencia en malla
abierta
GH
:
+'/2 s(1+r)(l +s/$(t+s/20) L
17.19, Determine los mi4rgenes de ganancia y de fase en el sistema del problema 17.17. 17.20. Determine el pico de resonancia Moy la frecuencia resonante arenel sistema cuya funci6n
de
transferencia en malla abierta es
tj
r(l+r)(1+s/4) 17,21, Determine
las frecuencias de cruce de ganancia y de cruce de fase en el sistema del problema 17.17.
17.22. Determineel picoderesonanciaMrylafrecuenciaresonantea.rodelsistemadelproblemalT.lT. 17.23. Convierta el sistema del problema 17.17 en uno con retroalimentaci6n unitaria y construya el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase de (C/RXlar).
Respuestas a algunos problemas suplementarios :
17.19. Margen de ganancia 17.20. Mp
:
17,21. a1
: 7 rad/s, a- :
17,22,
*
Mp:
9.5 dB, 6uv
1.3 dB, a.ro : 0.9 rad/s
8 dB, at,
:
14.5 radls
7.2
rad/s
:
25"
Capftulo 18
t
Disefro utilizando el an6lisis de los diagramas de Nichols 18.1 Filosofia del diseno El diseno mediante el an6lisis en el dominio de la frecuencia utilizando las t6cnicas de la carta de Nichols se efectria del mismo modo general que los m6todos de disefio descritos en los capitulos anterioresr redes de compensaci6n apropiadas se introducen en las trayectorias directa y/o de retroalimentaci6n, y el comportamiento del sistema resultante se andliza crfticamente. De esta manera, el diagrama de Nichols se construye y se reconstruye hasta que se cumplan las especificaciones de desempefro. Estas se expresan de modo m6s conveniente como indicadores de desempefro en el dominio de la frecuencia, tales como margen de ganancia y margen de fase para el desempefro transitorio, y las constantes de error (Capitulo 9) para la respuesta en estado estaciona-
rio en el dominio del tiempo. El diagrama de Nichols es una gr6fica de la funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta GH(at), para un sistema continuo en el tiempo o discreto en el tiempo, y la compensaci6n puede introducirse en las trayectorias directa y/o de retroalimentaci6n, modificando asi G(ai, H(a), o ambas. Debemos hacer 6nfasis en que ningrin sistema de compensaci6n simple es aplicable uni-
,|t
versalmente.
18.2 Compensaci6n del factor de ganancia Hemos visto en algunos de los capftulos anteriores (5, 12, 13, 16) que algunas veces un sistema inestable con retroalimentaci6n puede estabilizarse, o un sistema estable puede desestabilizarse mediante ajuste del factor de ganancia K de GH. Los diagramas de Nichols se adecfan de manera particular para determinar los ajustes del factor de ganancia. Sin embargo, cuando se utilizan las t6cnicas de Nichols para sistemas continuos en el tiempo, es m6s conveniente utilizar la ganancia de Bode Ks (secci6n 15.3), expresada en decibeles (dB) en lugar del factor de ganan-
cia K. Los cambios en Kp y en K, cuando se dan en decibeles, son iguales. EJEMPLO 18'1. En la figura l8-l se muestra el diagrama de magnitud en dB-Sngulo de fase
para un sistema inestable continuo en el tiempo, representado por GH(ja) con una ganancia de Bode Ka 5. La inestabilidad de este sistema puede verificarse mediante un bosquejo del diagrama de Nyquist o mediante la aplicaci6n del criterio de Routh. El diagrama de Nyquist del ejemplo 12.l ilustra Ia forma general de todos los diagramas de Nyquist de sistemas con un polo en el origen y dos polos reales en la mitad izquierda del plano. Esta gr6fica indica que los mdrgenes de ganancia y de fase positivos garantizan la estabilidad, y los mdrgenes de ganancia y de fase negativos garantizan la inestabilidad de tal sistema, lo cual implica que una
:
disminuci6n suficiente en la ganancia de Bode estabiliza el sistema. Si la ganancia de Bode disminuye de 20 log ys5 dB a 2O lo962 dB, el sistema se estabiliza. En la figura I 8-2 se presenta el diagrama de magnitud en dB-iingulo de fase para el sistema compensado. Una disminuci6n adicional en la ganancia no altera la estabilidad. N6tese que las curvas para KB = 5 y Ka: 2 tienen formas id6nticas, y la 6nica diferencia es que las ordenadas de la curva para Ks: 5 exceden a las de Ke = 2 en2Ologlt)(5/2) dB. Entonces, el cambio de la ganancia en un diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase se logra simplemente al desplazar hacia arriba o hacia abajo el lugar geom6trico de GH(ja) en un apropiado nfmero de decibeles. 556
*
t
557
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS
Aunque a menudo puede alterarse la estabilidad absoluta mediante el ajuste del factor de ganancia, este modo de compensaci6n es inadecuado en la mayor parte de los disefros porque otros criterios tales como los relacionados con la estabilidad relativa usualmente no pueden cumplirse sin la inclusi6n de otros tipos de compensadores.
20
16
12l
-o
.=
lt=
3'
8 lr5
.l&"
*
I-
I
0
GH(i@')
@vr
=
j;U-;rr^
: -5' GH(iut
= j"(,Trfut;7r,
_200. _180c -160o -1400 _120. iingulo de fase
Figura 18-l
_100. _90.
_2000-180c-160.-1400-120.-1000-90. Sngulo de fase
Figura
18-2
18.3 Compensaci6n del factor de ganancia utilizando curvas de amplitud constante La carta de Nichols puede utilizarse para determinar el factor de ganancia K (en un sistema con
retroalimentaci6n unitaria) para un pico resonante especifico M, (en decibeles). El siguiente procedimiento requiere dibujar el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase s6lo una vez. Paso
f
l:
Sobre un papel transparente dibuje el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase de G(ot) para K : 1 . Laescala de la gr6fica debe ser la misma que la de la carta de
Nichols. Paso
2:
Superponga este diagrama a la carta de Nichols de tal manera que en cada hoja queden alineadas las escalas de magnitud y 6ngulo de fase.
TEORIA
558
Paso
3:
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
; Fije la caita de Nichols y deslice el diagrama hacia arriba o hacia abajo hasta que sea tangente a la curva de amplitud constante de M , dB . La cantidad de desplazamiento en decibeles es el valor requerido de K.
EJEMPLO 18.2. En la figura l8-3 a), el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase de la funci6n respuesta de frecuencia en malla abierta de un sistema particular con retroalimentaci6n unitaria con
K
:
de
I se presenta superpuesta alacafia de Nichols. EI M, deseado es 4 dB. En la figura l8-3b) vemos que si la transparencia se desplaza 4 dB hacia arriba, el pico resonante del sistema M, es 4 dB. Por tanto el K deseado es 4 dB. lranspArencra
r-I
V/ !-__
t
oo
E
' --i
E
!-r-
J4d"
Figura l8-3
b)
18.4 Compensaci6n por adelanto en sistemas continuos en el tiempo
La forma de Bode de la funci6n de transparencia para una red de adelanto ID.. adelanto -
Gft\F*
t*t
J
i)
es
(r8.t\
I
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS
*
559
< l. En la figura l8-4, los diagramas de magnitud
en donde alb
en dB-6ngulo de fase de P"6"1*1o bla y con la frecuencia normaliz ada ala como panimeffo. En algunos sistemas en los cuales es aplicable la compensaci6n por adelanto, en malla directa, la elecci6n adecuada de a y b permite un incremento en Ks,lo cual proporciona mayorexactitud y menor sensitividad, sin afectar de manera adversa el desempefro transitorio. A la inversa, para una K6 determinada, el desempefro transitorio puede mejorarse mediante la compensaci6n por adelanto tambi6n es posible mejorar las respuestas transitoria y en estado estacionario. Las propiedades importantes de una red compensadora por adelanto son su contribuci6n al adelanto de fase en el intervalo de frecuencia bajo a medio (la vecindad de la frecuencia resonante op) y su atenuaci6n insignificante a altas frecuencias. Si se requiere un adelanto de fase muy grande, varias redes de adelanto pueden colocarse en cascada. La compensaci6n por adelanto generalmente aumenta el ancho de banda de un sistema. se presentan para diferentes valores de
iingulo de fase
30.
i
403
Padelanto(io)
!
-12
4 E
; Figura l8-4
=
560
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
* EJEMPLO 18.3. El sistema continuo no compensado con retroalimentaci6n unitaria cuya funci6n de transferencia en malla abierta es
GH:
s(l+rxl+r/3)
debe disefrarse de tal modo que cumpla las siguientes especificaciones de desempefro:
l.
Cuando la entrada es una funci6n rampa unitaria, el error de posici6n en estado estacionario debe ser menor que 0.25.
I
I
.{l
8E MP
bI)
= l'7
MP=
5
-12
-1600
-t4 -140
iingulo de fase
Figura l8-5
-1000 -900
t
DISENOUTILIZANDO
*
2' 3.
Qvlr
=
ELANALISIS DELOS DIAGRAMAS DE NICHOLS
561
4O"'
El pico de resonancia
=
1.7 dB.
N6tese que la ganancia de Bode es igual a la constante de error de velocidad K,. Por tanto el error en estadoestacionariodel sistemanocompensadoes e (e's= llK,:\ [ecuaci6n (9.13)]. Apartirdeldiagrama de magnitud en dB-dngulo de fase de CH en la figura l8-5, vemos gue drrae : l8o y Mp: 5 dB. El error en estado estacionario es demasiado grande para un factor de 2; por tanto la ganancia de Bode debe aumentarse en un factor de 2 (6 dB). Si incrementamos la ganancia de Bode en 6 dB, obtenemos la gr{fica C H 1de la figura I 8-5. El margen de fase de CH 1 es cercano a cero. y el pico resonante es cercano a infinito. El sistema esti{ entonces en el borde de la inestabilidad.
La compensaci6n por adelanto de fase puede utilizarse para mejorar la estabilidad relativa del sistema. La funci6n de transferencia en malla abierta del sistema compensado es
GH2:
Kr(a/b)(L + s/a) 4(L + s/a) r(1 + s)(1 + s/3)(L + s/b) s(1 + s)(1 + s/3)(L + s/b)
= 4(blo) satistace el error en estado estacionario. Un modo de satisfacer los requerimientos de dMF y M , es sumar entre 40" y 50o de adelanto de fase a la curva GH 1en la regi6n | a < 2.5 sin cambios sustanciales de la magnitud en dB. Ya hemos escogido Kg : 4(bla) para compensar=por alb en la red de adelanto. Por tanto necesitamos ocuparnos fnicamente del
en donde K6
t
efectoqueel factor(l +sla)l(l *s/b)tienesobrelacurvaGHl.Conreferenciaalafigural8-4,vemosque paraproporcionareladelantodefasenecesarioserequierequebla> l0.Hacemosnotarquelascurvasde la figura I 8-4 incluyen el efecto de a/ b dela red de adelanto. Puesto que ya se ha hecho la compensaci6n por 6sta, se necesita agregar 20 log (bla) a las magnitudes en dB sobre la curva. Para mantener pequefra la '6 de la red de adelanto en la regi6n I s ar < 2.5 hacemos bla contribuci6n a la magnitud en dB -- 15 y escogcmos a de tal mo
GH3:
4(L + s/1.333)
s(1
+r)(1
+
s/3)(L+ s/20)
:
En la figura l8-5 se presenta el diagrama de magnitud en dB-dngulo de fase de GI1:. Vemos gue dve 40.5o I .7 dB. De esta manera se cumplen todas las especificaciones. Sin embargo, hacemos notar que la frecuen'cia resonante r,r, del sistema compensado es cerca de 2.25 rad/s. En el sistema no compensado
! Mp:
definido por GH dsta es cerca de 1.2 rad/s. De este modo el ancho de banda se ha incrementado. La figura 18-6 presenta un diagrama de bloques del sistema totalmente compensado.
amplificador de factor de ganancia
] Figura
18-6
funci6n de trmsferencia de la malla original
562
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
STSTEMAS
DE CONTROL
* 18.5 Compensaci6n por atraso en sistemas continuos en el tiempo
La forma de Bode para la funci6n de transferencia de una red por atraso es
7+s/b Pu*t
(1s.2)
1*s/a 6ngulo de fase
_70.
_600
_50o
-40o
-30.
ola =
ala =
ala =
ola =
2.0
-20o
-10o
0.6
//
*
/
3.O
4.0
-14 olo =
6.0
ola
=
20.0
ala =
Figura
40.0
18-7
< b. En la figura l8-7, los diagramas de magnitud en dB-dngulo de fase de p*u"o se presentan para diferentes valores de bla y con la frecuencia normalizada ala como par6metro. La red por atraso produce la compensaci6n al atenuar la parte de alta frecuencia del diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase. Una atenuaci6n mayor se produce al colocar en cascada varias redes de atraso. en donde a
t
563
DISENO UTILIZANDOEL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DENICHOLS
*
Algunos de los efectos generales de la compensaci6n por atraso son:
1. El ancho de banda del sistema usualmente disminuye. 2. La constante de tiempo dominante z del sistema usualmente aumenta
produciendo un
sistema m6s lento.
3. 4.
Para una estabilidad relativa dada, el valor de la constante de error se aumenta. Para una constante de error dada, la estabilidad relativa se mejora.
El procedimiento para usar la compensaci6n por atraso es esencialmente el mismo que aquel para la compensaci6n por adelanto. EJEMPLO 18.4. Redisenemos el sistema del ejemplo 18.3 utilizando un factor de ganancia m6s una compensaci6n por atraso. GH1 satisface de nuevo la especificaci6n en estado estacionario. En la figura l8-8 l, la introducci6n se repite el diagrama de magnitud en dB-ringulo de fase de GH1. Puesto que Puou*(7O)
:
+
bo
-180c -1600
-1400
dngulo de fase
Figura
18-8
TEORIA
566
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
,3i.
-
60c
ar ar
= l0d2 = l00qz
i
rAAr/o,
(l+io/a)(l+ialbzl
- G+ jolbLl\t+
jdlaz\
Figura 18-10 c)
Al combinar los diagramas de las redes de atraso (figura l8-7) y de las redes de adelanto (figura l8-4) pueden obtenerse gr6ficas adicionales de Pao para otros valores de b1la1 \ a1la2. La compensaci6n por atraso-adelanto tiene todas las ventajas de la compensaci6n por atraso y de la compensaci6n por adelanto y un minimo de sus caracter(sticas usualmente inconvenientes. Por ejemplo, las especificaciones del sistema pueden satisfacerse sin el ancho de banda excesivo o
sin la demora en el tiempo de respuesta causados por el adelanto o el atraso de fase, respectivamente.
EJEMPLO 18.5. Redisenemos el sistema del ejemplo 18.3 utilizando un factor de ganancia mds
una
compensaci6n por atraso-adelanto. Agregamos la especificaci6n adicional de la frecuencia resonante aro del sistema compensado que debe ser aproximadamente la misma que Ia del sistema no compensado. La especificaci6n en estado estacionario nuevamente se satisface con
GHr-
s(1+s)(1+r/3)
567
DISENO UTILIZANDO ELANALISIS DELOS DIAGRAMAS DE NICHOLS
*
como se demostr6 en el ejemplo 18.3. Puesto que PAA(/0) : l, la introducci6n de la red de atraso-adelanto no requiere un incremento adicional del factor de ganancia. Al insertar la red de atraso-adelanto obtenemos la funci6n de transferencia en malla abierta
GH5-
4(r+s/ar)(L+s/4) s(l + s)(1 + s/3)(L + s/b)(L + s/a2)
A partir de la figura l8-5, vemos que en el sistema no compensado GH,
ao:
1.2 rad/s. A partir del
(j1.2) se atenria en 6.5 dBytieneunafaseincrementadaen20', lafrecuenciaresonanterll.r): l.2sedesplazaaMr:1.7dB.Con
diagrama de magnitud en dB-dngulo de fase de GH 1(figura
l8-l
I)
vemos que si CH
referencia a la figura l 8- l0 a), vemos que la atenuaci6n y el adelanto de fase deseados se obtienen con 12. b2la2: 3, a1la2: l0 y
:
ola2:
t
t2
EA
E
"m E
_180. _t60o _1400 _1200
t
.
i{ngulo de fase
Figura 18-ll
_1000 _90o
blal
568
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
* Las constantes
a., a2,
@n
1.2
h1
or:i:12:0.1
y b2 se determinan
teniendo en cuenta que
ar:l0ar:l
h:3az:0.3
bt
- tar:3
GH5 se hace
GHs: En la figura I 8- I
dvr
:
I
40.5", Mo
especificaciones.
s/0.3)
a(r + s)(l + 4(r + s/0.3) s(1 + sXt + s/3)(1 + s/3')(L + s/0.1) s(r + s7:)2(r + s/o.L)
se presenta el diagrama
=
completo de magnitud en dB-6ngulo de fase de GH5. Vemos que 1.7 dB y la frecuencia resonante op = l. 15. De este modo se han satisfecho todas las
18.7 Diseno de sistemas discretos en el tiempo utilizando las cartas de Nichols
Al igual que con los m6todos de Bode (secci6n l6-6), el diseflo de sistemas discretos en el tiempo utilizando las cartas de Nichols no es tan directo como el disefro de sistemas continuos en el tiempo utilizando cualquiera de estos m6todos. Pero, de nuevo, la transformada w puede facilitar el proceso como lo hizo para el diseno utilizando el aniilisis de Bode de sistemas discretos en el tiempo. El m6todo es el mismo desarrollado en la secci6n 16.6.
+
EJEMPLO 18.6. El sistema discrcto no compensado con retroalimentaci6n unitaria y funci6n de transferencia de planta
G,(,)
:1a
(.'*'.1,, z(z +
i)"
debe disenarse de tal modo que produzca un margen de fase global de 40'y la misma frecuencia de cruce de ganancia rol que el sistema no compensado. Puesto que ambas especificaciones se encuentran en el dominio de
fafrecuencia, transformamosel problemadirectamenteal dominiodewsustituyendoz:
formando asi
(l + w)/(l -
w),
72 ci("): (w+1)(w+3)2 En la figura I 8- | 2 se presenta el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase de es.(e sistema. La frecuencia de cruce de ganancia obtenida de esta griifica €S &)u.1 3.4 radls y el margen de fase de 10". Un compensa-
:
dor por adelanto con algunos a y b arbitrarios puede escogerse para que el adelanto de fase en an.1 : 3.4 rad/s sea suficiente para elevar el margen de fase de l0o a 40". La relaci6n bla minima que produce un adelanto de fase de 30" es cerca de 3.3, a partir de la figura l8-4. Escogemos a y b tales que el miiximo adelanto de fase se presente €h &)*,1 : 3.4 rad/s. De la secci6n 16.3 obtenemos que esto ocurre cuando a,.1
:3.4: @_t5ltqqueb:3.3a,encontramosb :6.27ya: l.g0.Estecompensadorproducecercade V(6.2'lll.90) : 5 dB de atenuaci6n en r.r",1 : 3.4 rad/s. De este modo se requiere un amplificador
20 logle
con una ganancia de 5.2 dB o un factor de ganancia de 1.82, adem6s del compensador por adelanto, para mantener {d".1 €rt 3.4 rad/s. Entonces, la funci6n de transferencia en el dominio w parael compensador es
t
569
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS
u l0o:margen de fase--\
a.!ffit.o 6.0
-20
8.0 10.0
-40 oo
E
-60 r
-
300.
-80
00.0
-250" -200"
-180.
- 100
-150"
-1000
dngulo de fasc
Figura
18-12
* Gr(r):
1.82( w
+
1.90)
w + 6.27
Esta sc transforma de nuevo al dominio z haciendo
v,
:
(z
- l)/(z + l),
form6ndose
0.7229(z + 0.3001
Gr(t):
z + 4.7222
En la figura 18-13 se presenta cl sistema de control compensado
Figura l8-13
Problemas resueltos Compensaci6n de factor de ganancia
18.1. Enlafigura l8-l4sepresentael diagramademagnitudendB-6ngulodefasedelafunci6n de respuesta de frecuencia continua en malla abierta
{
GH(ja\:
r"h - G/z)'+ ja/zl i ot (t
+ i ot 70.5)?(t +
ia 7 +\
570
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION Y.SISTEMAS DE CONTROL
paraKB: l.ElsistemaenmallacerradadefinidoporGH(jto)esestableparaKs: un valor de K6 en el cual el margen de fase sea 45".
l.Determine
*
-10 ! GHuo)
=
bo
#;_#fj;;,+?r,
-20
*
a'; = l.g5
-2000 -1800 -1600 -1400 -l21o
-100' -90'
r{ngulo de fase
Figura dr.ar
:
18-14
180' + argGH(ja), en donde a.rl es la frecuencia de cruce de ganancia. Para drvp : r,,r1 de tal manera que el arg GH(ja): -135'. Si dibujamos una linea
45", debe escogerse
vertical con abscisa de
argGH(jr'til
: -
-
135', 6sta corta la curva GH(jo) en el punto
r^r'1
=
0.25 rad/s en donde el
35'. La ordenada en este punto de intersecci6n es | 0.5 dB. Si disminuimos K6 en | 0.5 dB, la frecuencia de cruce de ganancia se hace uiy Qvp : 45'. Una disminuci6n de I 0.5 dB implicaque20 log's Ka:10.5o/(u:19-r05/20-0.3.Unadisminuci6nadicionalenKsaumenta @yp m6s alli de 45".
18.2,
|
En el sistema del problema | 8. I , determine el valor de K6 para el cual el sistema es estable
y el margen de ganancia es l0 dB. Margen de ganancia -- -2Ologrc IGH(ja.)l dB, en donde r.ro es la frecuencia de cruce de fase. Con referencia a la figura l8-4, vemos que hay dos frecuencias de cruce de fase: o', = 0.62 rad/s y a'l = 1.95 rad/s. Para a'.: 0.62, tenemos 20 log 16 \GH(jt't'"rl: -3 dB. Por tanto el margen de ganancia es 3 dB. Este puede aumentarse hasta l0 dB al desplazar la curva GH(jo)l dB hacia abajo. La frecuencia de cruce de fase r.{ es la misma en la nueva posici6n, pero 20 logro
+
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS
* IGH(ju'")l
: -
Puesto que
571
l0 dB. Una disminuci6n adicional de 7 dB implica que KB
el sistema es estable para Ks:
l,
:
lgtn --tr2o = 0.44i
.
permanece estable cuando la curva GH(jto) se desplaza hacia abajo. La estabilidad absoluta no se afecta a no ser que la curva GH(jat) se desplace
y atraviese el punto definido por 0 dB y -180", como seria necesario si -20 tos6 GH(iai ): 10 db. hacia arriba
18.3.
En el sistema del problema 18. I , determine un valor de KBtalque: el margen de ganancia
> l0 dB, Qvr =
45o.
En el problema l8.1 se demostr6 que @yp > 45o si K6 = 0.3; en el problema 18.2, el margen de ganancia > l0 dB si K6 < 0.447. Por tanto ambos requerimientos pueden satisfacerse al hacer Kr = 0.3. N6tese que si se hubiera especificado un margen de ganancia l0 dB J 6ue las especificaciones no se habian podido cumplir con la sola compensaci6n del factor de ganancia.
:
18.4.
:45',
Suponga que el sistema del problema 18. I es con retroalimentaci6n unitaria, y determine
ef vafor de Ku tal que el plco resonante M, sea dB.
*
-lu ! K
r$ -
.io(1
1"121t 1 i"121
+ jol0.5)r(1 + jol.t)
oo
-20 -
'Kr = 1.0 o
-160c
I{d =
0.40
-140'
dngulo de fase
Figura
'*
18-15
En la figura l8-15 se presenta el diagrama de magnitud en dB-iingulo de fase de GH( jll) para K6: l, junto con el lugar geomdtrico de los puntos para los cuales l(C/R) (ilo)l : 2 dB (Mp : Z dB). Vemos que si K6 dismimuye en 8 dB, la curva resultante GH(jo) apenas es tangente a la curva Mr: 2 dB. una disminuci6n de 8 dB implica que K6 : 10-8/20 : 0.40.
TEORIA
572
f
8.5.
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CON'TROL
* el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase de la funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta En la figura I 8-
l6
se presenta
GH(jol):
KB0 + j@/0.s)
(.r")'[r - @/2)'+ ja/zl
paraK6:0.5. El sistemaen mallacerradadefinido porGH(ja) esestableparaK6:0.5. Determine el valor de Ks que hace m6ximo el margen de fase.
atgGH(jail = -147"
GHtjol
=
0'5(1
+jol0'6)
idt!lr-t*l2l2+
I
io/21
0FOE c il c
-8
-2800 -2600
--240. -2200 -2003 -180. ringulo de fase Figura
@"p
:
180"
+ argGH(ia),
T
18-16
en donde ar1 es la frecuencia de cruce de ganancia. Con referen-
cia a la figura 18-16, vemos que el arg GH(ja) siempre es negativo. Por tanto, si se halla el miiximo para el arg GH(jo), tambi6n ser6 el miiximo de @yp. La figura l8-16 indica que el arg GH(ja) sehacemdximocuando at=t;i =0.8rad/syelarg CH(jt':l: -|47". Laordenadadel
Gft(joi
4.6 dB. Por tanto, si K6 disminuye en 4.6 dB, la frecuencia de cruce de fase esarl ; dur : 180" + argGH(ja\): 33". Una disminuci6n de 4.6 dB en K6 ! implica que 20 logls (Ksl0.5) : -4.6 dB o Ksl0.5 : l1-4'6/m Entonces Ka: 0.295.
punto
) es
@yp toma su milximo valor:
t
573
DISENO UTILIZANDO ELANALISIS DELOS DIACRAMAS DENICHOLS
*
18.6.
En el sistema del problema 18.5, determine un valor de K6 parael cual el sistema sea estable y el margen de ganancia sea 8 dB.
:
Margen de ganancia -2Ologrc IGH(ja-)l dB. Con referencia en la figura 18-16, vemos que el margen de ganancia es 3. I dB. Este puede incrementarse a 8 dB al desplazar la curva 4.9 dB hacia abajo; alr perrnanece igual ya que es independiente de Ks. Una disminuci6n de 4.9 dB en Kg
implica que 20 logls (Ksl0.5)
: -4.9 6 K":9.250.
Compensaci6n de fase
18.7.
En la figura 18- l7 se presenta el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase, determinado experimentalmente, de la funci6n de transferencia en malla abierta G(jat) de un sistema particular con retroalimentaci6n unitaria. Adem6s, se midi6 el error en estado estacionario e(o) para una entrada rampa unitaria, encontrdndose e(oo) : 0.2. Se sabe que la funci6n de transferencia en malla abierta tiene un polo en el origen. Determine una combinaci6n de adelanto de fase m6s compensaci6n de ganancia tal que: Mp = 1.5 dB, dMF = 40" y el effor en estado estacionario para una entrada rampa unitaria sea e(co) : 0. I I
*
" G(i,) No compensada o Gr(r,) compensaci6n de
f i
rf
. G:(j") r Gi(i'o)
ganancra
y de
fase
comp. de ganancia y de
fase
Comp. de ganancia
574
TEoRIA
y
pRoBLEMAs DE RETRoALTMENTAcIoN
y
srsrEMAS DE coNTRoL
e(a) : 11y,: llKs, el requerimiento en estado estacionario puede satisfacerse al duplicar K". La compensaci6n tiene la forma Puesto que
K'Ptut^ro(r"):
t
K'(a/b)(L + s/a)
I+s/b
En consecuencia K3 se duplica al hdcer K'(a/b) : 2 6 K' = 2(bla). En la figura I 8- I 7 se presenta el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase de la funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta, compensada en ganancia
G,(.r'):2c(ju) G1(jar)satisfacelaespecificaci6nenestadoestacionario. Parasatisfacerlasespecificacionessobre
MoyQwp, lacurvaGlffar)debedesplazarsede30"a40"aladerechaenlaregi6n
1.2=a=2.5
sin cambios sustanciales de la magnitud en dB. Esto se hace mediante la elecci6n apropiada de a y D. Con referencia a la figura l8-4, vemos que se obtiene un adelanto de fase de 3O" para ala > 0.65 con b/a lO. Puesto que la relaci6n de adelanto alb de la red de adelanto se tiene en cuenta al
:
disefrarparaunfactordegananciaK':2(bla):20,debemossumar20 log1s (b/a\:2}logrcl}: 20 dB para todas las maghitudes en dB tomadas de la figura l8-4. Para obtener 30o o m6s de adelanto de fase en el intervalo de frecuencia de inter6s, hacemos a
t
:
2. Para esta elecci6n tenemos a : (2)(0.65): 1.3 y se obtienen 30" de adelanto de fase. Puesto quebla: l0,entonces b=2O.Lafunci6nderespuestadefrecuenciaenmallaabiertacompensada
20 i6/21 G,(j,):ffic(j") +
En la figura l8-17 se presenta el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase de G2(jar). vemos que Mo = 2.0 dB I Q1y1r : 36"; por tanto las especificaciones no se satisfacen con esta compensaci6n. Necesitamos desplazar G2(ja) entre 5" y l0' m6s hacia la derecha; luego se necesita un adelanto de fase adicional. Una vez mds con referencia a la figura l8-4, veriros qu e alhacer bla : 15 se incrementael adelantodefase. Denuevo, hacemosa :2;entonces b:30. En lafigura l8-17 se presenta el diagrama de magnitud en dB-dngulo de fase de
G( lor) : Vemos que saci6n
Qvrr:
41" y Mp
=
2(L +
ia/2\
G(i') I--:-:=+ jo/30
1.5 dB y por tanto las especificaciones se cumplen con la compen-
30
Pua"t,nto
:
2(r + s/2\ 1.
+ s/30
t *
{t
DISENOUTILIZANDO ELANALISIS DELOS DIAGRAMAS DE NICHOLS
575
18.8. Resuelva el problema 18.7 utilizando una compensaci6n por atraso m6s
ganancia.
Mp= l'5dB Mp
=
2'6 dB
f . cr(rd)
ComP. de ganmcia
.Gr0o) Comp. de
fase de ganancia
oG5(io) ComP. de fase Y ganancia
iingulo de fase
F'igura 18-18 En el problema I 8.7 encontramos que la ganancia de Bode K3 debi6 incrementarse en un factor de 2 para satisfacer la especificaci6n en estado estacionario. Pero la ganancia de Bode de una red de
atraso es
h
s+0
puo",*,o- lim
I+s/b
s-O L+S/A
requerida tiene la forma 2(1 + s/a)l(l + s/b) en Por tanto, en este problema, la compensaci6n -:1 ganancia lo suministra un amplificador, y a y b det:F-n donde el incremento de dos veces el factor de escogerse para la red de atraso de tal manera que satisfagan los requerimientos de Mp y @ye. En la figura 18-18 se presenta la funci6n compensada en ganancia como Grfu'ar) = zG(illo); GrUar) debe desplazarse entre 7 y l0 dB hacia abajo en la regi6n 0.7 = to < 2.0, sin un incremento sustancial en el retraso de fase, para cumplir con las especificaciones transitorias. Con referencia a la figura | 8-7, vemos que para bla : 3, obtenemos una atenuaci6n m6xima de
*
9.5d8. Paraa:0. l,elatrasodefasees -l5oen a:O.'7 (tolrt:1) y -6"en es decir,
a:2.0(a/a:2O),
el atraso de fase es relativamente pequefro en la regi6n de frecuencia de inter6s. En la
figura 18-18 se presenta el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase para
576
TEORIA
Y
Go(
PROBLEMAS DE RETRoALIMENTAcIoN
2(I + i@/0.3\
jr)
L -r
:
G(
Y
SISTEMAS DE CoNTRoL,
t
j")
Jut/u.L
con M, = 2.5 dB y 6vr 32o; en consecuencia este sistema no cumple con las especificaciones. < Para disminuir el atraso de fase presentado en la regi6n de frecuencia O.'l = a 2.0, cambiamos a a 0.05 y b a0.15. Ahora el atraso de fase es 9o en a 14). En la figura 18-18 se
:0.7 (ala:
presenta el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase para
G,(
= 1.5 dB y compensaci6n deseada es vemos que Mo
j,) :4r'i i?l!'P L + jut/O.O5 6run:41".
G(
j,)
De este modo se satisfacen las especificaciones. La
p _2(r+s/0J5) )-'Atraso L+s/O.05
18.9.
Resuelva el problema 18.7 utilizando una compensaci6n por atraso-adelanto m6s ganancia. Adem6s de las especificaciones anteriores, necesitamos que la frecuencia resonante aro del sistema compensado sea aproximadamente la misma que la del sistema no compensado. En los problemas l 8.7
y I 8.8 encontramos
I
que la ganancia de Bode Ks debe aumentarse en un
factor de 2 para satisfacer la especificaci6n en estado estacionario. La funci6n de respuesta de frecuencia de la compensaci6n por atraso-adelanto mds ganancia resulta entonces
2
PAA
Ahoradebemosescogerar,
(jG,) :
2(l+ia/ar)(l+ja/br) (l+j.r/bJ[+jot/ar)
bt,bzl a2parasatisfacerlosrequerimientossobreM, evrclao.con
referencia a Ia figura 18-17, vemos que la frecuencia resonante en el sistema no compeniado es cercana a l.l rad/s. El diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase de G(jo) = 26(ja.r), que se presenta en la figura 18-19, indica que si la curva Gl(jar) se atenfa en 6.5 dB y se agrega un adelanto de fase de l0o a una frecuencia de o: 1.0 rad/s, entonces la curva resultante serii tangente a la cuwa Mo:2 dB cerca de l rad/s. Con referencia a la figura l8- 10, si hacemos b1la1 : b2la2: 3, at : 6a2y a/a2: 6.0 para at : 1, obtenemos la atenuaci6n y el adelanto de fase deseados. Al resolver los par5metros restantes obtenem os a2 : I 16 : 0. 167 , b2 : 3a2 : 0.50, a1 :
6at:1.O,bt:3at:3.9.
Enlafigural8-lgsepresentael diagramademagnitudendB-dngulode
fase de Ia funci6n de respuesta de frecuencia en malla abierta resultante
Gu("r,)-ffic(i') en donde
M, =
l
especi ficaciones.
5 dB,
Qur
:
44" y op
=
| .O radls. Estos valores satisfacen aproximadamente las
*
I
DISENO UTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DENICHOLS
577
oo
+
o Gt(j")
o
_2{0r
_220, _200.
Compensado en ganancia
Go(r'o) Compensado en fase
y
ganancia
-1800 _1600 _140c _1200 _100._90" - t000 -900 6ngulo de fase
Figura
18-19
18.10. Disefie la compensaci6n del sistema discreto en el tiempo con funci6n de transferencia en
malla abierta
GH(z):
K(z +
7)3
(z-t)(z+!)2
tal que se satisfagan las siguientes especificaciones de desempeflo:
I
l. 2. 3. 4.
> 6 dB margen de fase 6ve > 45" margen de ganancia
frecuencia de cruce de ganancia arl tal que a1T constante de velocidad K,,
> l0
=
1.6 rad
578
TEORTA
y
pRoBLEMAs DE RETROALIMENTAcToN
y
srsrEMAS DE coNTRoL
El diagrama de Nichols de GH que se presenta en la figura l8-20 indica que a1T : I .6 rad para : K -3 dB. Los m6rgenes de ganancia y de fase se cumplen si K ( 4.7 dB; pero la especificaci6n en estado estacionario requiere que K > 10.8 dB (factor de ganancia de 3.47). Al sustituir z : (1 + w)/(1 - w), transformamos la funci6n de transferencia en malla abierta del dominio z al dominio w, '
t
formando asf
GH'(w):
36K ,5 "O;;B
0
-50
- 100 -
150
-
200
_290o _160o_240o -220" _2W" _190. _160._140o _120o _100o -800
s
?
6ngulo de fase
Figura
18-20
En el dominio de ru la especificaci6n de frecuencia de cruce de ganancia se hace
,.:',o( +):102
rad/s
Un compensador por atraso de baja frecuencia en cascada con bla: 3.5 puede utilizarse para aumentar K,, a 10, mientras se mantiene la frecuencia de cruce de ganancia a,l1 y los mi{rgenes de ganancia y de fase en sus valores anteriores. Un compensador por atraso con b :0.35 y a : 0. I satisface los requerimientos. El compensador por atraso en el plano w es
G1(w):
3.5(1+ w/0.3s)
|
+ w/O.L
Este se transforma de nuevo al dominio de z al sustituir
/z-0.4815\
w : (z - l)/(z * l),
G{z):r.2273\, _ r.:ulsr)
formindose
*
f
579
DISENOUTILIZANDO EL ANALISIS DE LOS DIAGRAMAS DE NICHOLS
En la figura | 8-2l se presenta el diagrama de magnitud en dB-6ngulo de fase del sistema discreto compensado. 100
-50
o tr
-
r50
-280' -260' _240" -220" -200' -180' -160'-1400 -1200 -1000
r;
dngulo de fase
Figura
18-21
Problemas suplementarios 18.11. Encuentre el valor de K 6
para el cual
el sistema cuya funci6n de transferencia en malla abierta es
vn:@ ticne un pico resonante M, de 1.4 dB. Resp. 18.
12.
1.7,
Para
Mp
18.14.
119.4.
Para el sistema del problema l 8. I I , encuentre la compensaci6n de ganancia m6s atraso tal que M o
= 18.13.
Ke:
6rp =
35" Y K,,
> 50.
:
el sistema del problema l8.l | , encuentre la compensaci6n de ganancia mils adelanto tal que
=
1.7, 6ve
=
50" Y K,
>
50'
Para el sistema del problema 18. I I , encuentre la compensaci6n de ganancia m6s atraso-adelanto tal
que
M, = l'5' dtr = 40" Y K' >
18.15, Encuentre la compensaci6n
100'
de ganancia m6s atraso para el sistema cuya funcidn de transferencia en
malla abierta es
GH:
; tal que Ku
:
30
y
drvrr
=
40'.
KB
s(r+s7ro)(r+s7s)
580
18.16.
TEORIA
Y
Para el sistema del problema I 8.
=
30,
drp >
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
l5, encuentre
SISTEMAS DE CONTROL
la compensaci6n de ganancia m6s adelanto tal que
K,
t
45". Sugerencia: utilice dos redes de compensaci6n por adelanto en cascada.
18.17. Encuentre la compensaci6n en malla abierta
de ganancia mi4s adelanto para el sistema cuya funci6n de transferencia
es
cn: tal que K, :
Y
20
!
Qvn
:
fi,721
45".
?
t
Capftulo 19
*
lntroduccion a los sistemas de control no lineales 19.1 Introducci6n
i
Hasta ahora hemos limitado el estudio a los sistemas que pueden describirse mediante modelos de ecuaciones diferenciales ordinarias o ecuaciones de diferencia lineales invariables en el tiempo, o mediante sus funciones de transferencia, excitados por funciones de entrada transformables en Laplace o transformables en z. Las t6cnicas desarrolladas para estudiar estos sistemas son relativamente directas y a menudo conducen a disenos de sistemas de control prdcticos. Si bien es cierto que ningfn sistema ffsico es exactamente lineal e invariable en el tiempo, tales modelos a menudo son aproximaciones adecuadas y, como resultado,.los m6todos de sistemas lineales desarrollados en este Iibro tienen amplia aplicaci6n. Sin embargo, hay muchas situaciones para las cuales son inapropiadas las representaciones lineales y se requieren modelos no lineales.
Las teorias y los m6todos para el an6lisis y el disefro de sistemas de control no lineales constituyen un amplio campo de conocimiento, parte del cual es bastante complejo. El prop6sito de este capitulo es presentar algunas de las t6cnicas cl6sicas que prevalecen, utilizando las matemiiticas
casi en el mismo nivel que en los capitulos anteriores. Los sistemas Iineales se establecen en la definici6n 3.21. Cualquier sistema que no satisfaga esta definici6n es no lineal. La mayor dificultad con los sistemas no lineales, especialmente con los descritos mediante ecuaciones diferenciales ordinarias o ecuaciones de diferencia no lineales, es que las soluciones analiticas o de forma cerrada s6lo son posibles para muy pocos casos especiales, y 6stos, por lo general, no son de inter6s pr6ctico en el an6lisis o el diseno de sistemas de control. Ademiis, a diferencia de los sistemas lineales, para los cuales pueden determinarse de manera separada las respuestas libre y forzada y luego superponer los resultados para obtener la respuesta total, las respuestas libre y forzada de los sistemas no lineales a menudo interactilany no pueden estudiarse por separado y la superposici6n generalmente no se cumple para las entradas
o las condiciones iniciales. En general. las respuestas caracteristicas y la estabilidad de los sistemas no lineales dependen
cualitativa y cuantitativamente de los valores de las condiciones iniciales y de la magnitud, configuraci6n y forma de las entradas al sistema. De otra parte, a menudo las soluciones a ecuaciones de sistemas no lineales en el dominio del tiempo pueden obtenerse mediante t6cnicas de simulaci6n por computador, para entradas, par6metros y condiciones iniciales especffica.s. Los algoritmos y programas de aplicaci6n para simulaci6n, un tema especial que se encuentra fuera del alcance de este libro, son ampliamente accesibles y por tanto aqui no recibiri{n atenci6n adicional. En lugar de ello, nos enfocaremos sobre varios m6todos analiticos para estudiar sistemas de con-
trol no lineales. Los problemas de sistemas de control no lineales aparecen cuando la estructura de elementos
f
fijos de un sistema son inherentemente no lineales y/o se presenta compensaci6n no lineal en el sistema con el prop6sito de mejorar su comportamiento. En cualquier caso, las propiedades de estabilidad son la consecuencia central. 58r
TEORIA
582
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
.
*
EJEMPLO 1 9.1 La figur a l9-la) es un diagrama de bloques de un sistema retroalimentado no lineal que tr, contiene dos bloques. El bloque lineal estdrepresentado por la funci6n de transferenciaGr: |1p1O
*
endondeD =dldteseloperador.diferencial.SeutilizaDenlugardesenestafunci6ndetransferencialineal porque la transformada de Laplace y su inversa por lo general no son estrictamente aplicables en el an6lisis no lineal de sistemas con elementos tanto lineales como no lineales. De manera altema, cuando se utiliza el m€todo de las funciones descriptoras (secci6n 19.5), una t6cnica aproximada de respuesta de frecuencia, a
menudo escribimos 1
Gr(i,): j,(r."+.r)
elementos lineales
no
elernentos lineales
al
o)
t
Figura 19-l El bloque no lineal N tiene la caracteristica de transferenciaf(e) definida en la figura l9-lb). Tales no linealidades se llaman (lineal por tramos) funciones de saturaci6n que se describen en la siguiente secci6n. se sutrione que la tierra es esf6rica y que todas las fuerzas extemas diferentes de la gravedad son imperceptibles, entonces el movimiento de un satdlite terrestre se encuentra en un plano Este movimiento se define mediante el siguiente conjunto de ecuaciones difellamado pilano de la ^rbita. (vlase el problema 3.3): renciafes no lineales
EJEMPLO 19.2. Si
d20 f-
dt"
tude +2aa:o
d2r I d0\2: k2 ap -'\a ) - ;7
(ecuaci6n de
la fuerza
(ecuaci6n de
la fuerza radial)
transversal)
El sat6lite, junto con cualquier controlador disenado para modificar su movimiento. constituye un sistema de control no lineal.
A
continuaci6n se resumen varios m6todos populares para
19.2 Aproximaciones linealizadas y linealizadas
el andlisis no lineal.
lxlr tramos de sistemas no lineales
Los t6rminos no lineales en las ecuaciones diferenciales o en las de diferencia algunas veces pueden aproximarse mediante t6rminos lineales o t6rminos de orden cero (constantes), sobre rangos lirnitados de la respuesta del sistema o la funci6n que fuerza el sistema. En cualquier caso' una o mes ecuaciones diferenciales o ecuaciones de diferencia lineales, pueden obtenerse como apro-
ximaciones del sistema no lineal, vdlidas sobre los mismos rangos de operaci6n limitados.
t
t
INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DECONTROLNOLINEALES
583
EJEMPLO 19.3. Considere el sistema masa-resorte de la figura 19-2, en donde la fuerza del resortef,(.r) es una funci6n no lineal del desplazamiento
x medido desde su posici6n de reposo, como se muestra en la
figura l9-3.
:
La ecuaci6n de movimiento de la masa es M(*xld?) +.[(x) 0. Sin embargo, si la magnitud absoluta del desplazamiento no excede r0, entoncesi( x) 1r*, en donde & es una constante. En este caso, la ecuaci6n de movimiento es una ecuacidn lineal con coeficientes constantes dad a por M(d2xldF) + kr = 0. vrilida para
:
lxl <
x6.
f"(n\
Figura l9-3
Figura l9-2
t
EJEMPLO 19.4. Considercmos de nuevo el sistema del ejemplo 19.3, pero ahora el desplazamiento excede
a
-r
xs. Para tratar este problema, hagamos que la curva de fuerza del resorte sea aproximada por las tres
lineas rectas que se muestran en la figura l9-4, una aproximaci6n lineal por ftemos de/,(.r). El sistema se aproxima entonces mediante un sistema lineal por tramos; es decir, el sistema se describe mediante la ecuaci6n lineal M(txltttl) + k: 0 cuando lxl < x1, y mediante las ecuaciones M(ex/dt2) + F1 cuando l-rl ) -y,. Se usa el signo * si x ) x1, y el signo - si x ( -x1.
Algunas veces los t6rminos no lineales en la ecuaci6n de un sistema se conocen de tal modo que puede expandirse f6cilmente en una serie, por ejemplo una serie de Taylor o una de Maclaurin. De esta manera, un t6rmino no lineal puede aproximarse mediante los primeros t6rminos de la
serie, excluyendo los t6rminos superiores al primer grado.
Figura
l9-4
Figura
19-5
EJEMPLO 19.5. Considere la ecuaci6n no lineal que describe el movimiento de un p6ndulo (vdase la figura l9-5):
;
d20
dt' ' Iseno:o
TEORIA
584
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
I
en donde / es la longitud de la cuerda del p6ndulo y g es la aceleraci6n de la gravedad. Si nos interesan los pequeios movimientos del pdndulo alrededor del "punto de operaci6n", 0 : 0,entonces la ecuaci6n del movimiento puede linealizarse alrededor de este punto de operaci6n. Esto se logra con la expansi6n en serie de Taylor del t6rmino no lineal (g//)sen d alrededor del punto 0 : O y la retenci6n de los t6rminos de primer grado fnicamente. La ecuacidn no lineal es
d2o s dt" I -*Isend:-+
d2o
i E,r\(#u*',;,-,;
dt" d20
11,-+* l-o
dt2
La ecuaci6n lineal es
EOnf + Gll)0 : 0, vdlida
para variaciones pequenas de 0.
Es instructivo expresar mds formalmente el proceso de linealizaci6n de las aplicaciones de la serie de Taylor, para establecer mejor su aplicabilidad y sus iimitaciones.
Serie de Taylor La expansi6n en serie infinita de una funci6n no lineal generalflx) puede ser muy ritil en el aniilisis de sistemas no lineales. La funci6nflx) puede escribirse como la siguiente serie infinita, expandida alrededor del punto 7
f (*)
: f(t) *
I
#1":,r,- r) + * #1":,," - x)' +
S ('-r)o dof :2, H d,Jl,-I
en donde
x
:
(*ftdi)l , : o es el valor de la k-6sima derivada de/con
x. Obviamente,
(re.1) respecto a x evaluada en el punto
esta expansi6n existe (es posible) s6lo si existen todas las derivadas reque-
ridas.
Si la suma de los t6rminos de segundo grado y de grado superior en (r - xl de la ecuaci6n son insignificantes comparados con la suma de los dos primeros t6rminos, podemos escribir
(/9.1)
r(x) =r(r) * #1,_, (r -;)
(re.2)
A menudo esta aproximaci6n es adecuada si x es "suficientemente cercana" a i, o, lo que es equivalente, si x - .i es "suficientemente pequeflo", en cuyo caso los t6rminos de orden superior son relativamenle pequeflos. La ecuaci6n (19.2) puede escribirse de nuevo como
f (,)-f (t)=#1.:_ (r -;)
(re.3)
t
585
INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DECONTROL NO LINEALES
+
Entonces, si definimos
Lx=x-x
(1e.4)
tf:-f(*)-f(,)
(re.s)
dfl Lf=,ax I
(
La ecuaci6n (/9.3) se convierte en
l,:1
A"
te.6)
Si r : x(t) es una funci6n de tiempo t, o de cualquier otra variable independiente, entonces t puede tratarse como un pardmetro fijo para la mayor parte de las aplicaciones cuando se realizan los c6fculos de linealizaci6n anteriores, y Ax: Ax(t) = x(t) - f(l), etc.
EJEMPLO19.6. Supongaquel'(t):Jlu(t))representaunsistemanolineal conentradau(t)ysalidayQ),
t > tspa'a algin ro, y df/du existe para todo a. Si las condiciones normales de operaci6n de este sistemacsti{ndcfinidasporlaentradau:uylasaliday:_t,entoncesloscambiospequefrosAy(t) =y(r)r1t) en Ia operaci6n de salida en respuesta a cambios pequefros Lu(t1 : u(t) - fr(t) en la entrada pueden en donde
expresarse mediante la relaci6n lineal aproximada
*
t para
t>
ll
(1e.7)
ygs = Au( r) ail lu:attl
t(J.
Serie de Taylor para procesos vectoriales
Las ecuaciones (19.1) a (19.7) se generalizan f6cilmente para funciones no lineales ruvectoriales de argumentos n-vectoriales, f(x), en donde
,=l'll 'L::l y my n son arbitrarios. En este caso,
Ax:x - x, 4f =f(x) dIl
Af=.1
dxr
f(x) y laecuaci6n (19.6)
se hace
(re.8)
Ax
en donde dfldx es la matriz definida como
of, dt
r
dx
0f',
0fr
A*r. *t ::
o"n
af^
af-
Ar, i r,
Ar"
0
af^
:
(1e.e)
586
TEORIA
EJEMPLO 19.7. Para
Y
PROBLEMAS DE RETROALIT4ENTACION
m: I y n:2,laecuaci6n (t9.9) sereduce
af :l dx dr'
af
df
SISTEMAS DE CONTROL
a
I
l
AxzI
L
y la ecuaci6n (/9.8)
Y
es
*=[#
#] [ilr] : fr.., * fro.,
(te.r0)
La ecuaci6n (19.10) representa el caso comfn en donde una funci6n escalar no lineal/de dos variables, digamos xr = x Y Ir = )) se linealizan alrededor del punto {F, yJ en el plano.
Linealizaci6n de ecuaciones diferenciales no lineales Para linealizar ecuaciones diferenciales seguimos el mismo procedimiento empleado para linealizar funciones f(x). Considere un sistema diferencial no lineal escrito en forma de variables
de estado:
: r[x(r),u(r)]
f
(re.1r )
en donde el vector de n variables de estado x(t) y el vector de r entradas u(t) se definen como en el
I
Capitulo3,enlasecuaciones G.2QyQ.25),yt>to.Enlaecuaci6n(t9.ll),fesunvectorden funciones no lineales de x(t) y u(/). De manera similar, las ecuaciones de salida no lineales pueden escribirse en la forma vecto-
rial:
y(t)
:
(te.r2)
g[*(r)]
en donde y(t) es un vector de m salidas y g es un vector de rz funciones no lineales de x(r).
EJEMPLO 19.8. Un ejemplo de un sistema diferencial ESSS no lineal de la forma de las ecuaciones
(l9.tt) y (t9.t2) es dx, *dt :fi(t, u):
dx, i:L(x.il):' dt
Y:
g(x)
-
crux2- c2x!
ctxt c4+ xr csx?
Las versiones linealizadas de las ecuaciones (19.t
t) y (t9.t2)
se representan por
d(Ax) I -f = a,.h-;l:ie* aull:;l:1to
(te.t 3)
av(r) = #1.:u,,*
(te.r 4)
AI
Af
I
*
s87
INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES
t
en donde las matrices de derivadas parciales en estas ecuaciones se definen como en las ecuacio-
nes (19.9) y (19.10), cada una evaluada en el "punto" {X, []. Los pares X:f(0 y tr:tr(/) realmente son funciones de tiempo" pero se tralan como "puntos" en los cdlculos indicados. Las ecuaciones linealizadas (19.13) y (19.14\ a menudo se interpretan como sigue. Si la entrada se distorsiona o se desvfa de un "punto de operaci6n" ii(t) en una cantidad suficientemente pequefra Au(t), generando perturbaciones Ax(t) suficientemente pequeflas en el estado y perturbaciones Ay(t) suficientemente pequenas en la salida alrededor de sus puntos de operaci6n, entonces fas ecuaciones lineales (1 9. I 3) y (1 9.1 4) son ecuaciones aproximadas razonables para los estados distorsionados Ax(r) y las salidas distorsionadas Ay(l). Las ecuaciones linealizadas (19.13) y (l9.la) a menudo se llaman ecuaciones de perturbaci6n Qtequena) en el sistema diferencial no lineal. Son lineales en Ax y (Au) porque las matrices de coeficientes:
all
all
a*h_il:l
a"
h_il:l
ael a* l.:*,,,
que se han evaluado en x(t) y/o tr(t) r?o son funciones de Ax(r) [o de Au(r)].
e
Las ecuaciones linealizadas (l 9 .l 3) y (l 9 .l a) tambi6n son invariables en el tiempo si u(t) : u constante y x(0 : i : constante. En este caso, todos los m6todos desarrollados en este libro pueden aplicarse para ecuaciones diferenciales ordinarias invariables en el tiempo. Sin embargo. Ios resultados deben interpretarse juiciosamente porque, de nuevo. el modelo Iinealizado es una aproximaci6n, vrilida s6lo para perturbaciones "suficientemente pequeflas" alrededor de un punto de operacitln y, hablando de modo general, las perturbaciones "suficientemente pequefras" no siempre son fi{ciles de descubrir.
:
EJEMPLO 19.9. Las ecuaciones linealizadas (de perturbaci6n) del sistema dado en el ejemplo 19.8 se determinan como sigue, a partir de las ecuaciones (19.13) y (19.14). Por conveniencia, primero definimos
afl
aj
ul:=;i,,i=
t
etc., para simplificar la notaci6n. Entonces
4i1i : ! orr* ! orr* ! dt 0x, ' 0x, 0u
ou: -2czltaxr* criLx2* criiLu
De manera similar,
d(Lx,l Af, Af, Af, = -i Ax,' +;= Ax," + i Lu dt 0x, 0x" 0u czca ( co +
i,
c^co
)'
(co
Lx,
+ xr)'
y la ecuaci6n de la perturbaci6n de la salida es
?
Ay =
#
d,*, +
fi
ax2: 2c,i, ax,
588
Y
TEORIA
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Linealizaciri'n de ecuaciones discretas en el tiempo no lineales
I
El procedimiento de linealizaci6n en serie de Taylor puede aplicarse a muchos problemas de sistemas discretos en el tiempo, pero debe tenerse suficiente cuidado al justificar la existencia de la serie. A menudo la aplicaci6n se justifica si las ecuaciones discretas en el {iempo representan procesos no lineales que se comportan razonablemente bien, tales como las representaciones discretas en el tiempo de sistemas continuos con variables de estado expresadas s6lo en instantes de tiempo discretos. EJEMPLO 19.1 0. El sistema discreto e invariable en el tiempo representado por la ecuaci6n de diferencia nolineal .r(& + l): ai2 (k), cona < 0yx(0) * 0, selinealizaf6cilmenteporqueel tdrmino nolineal a.rr(ft) cs una funci6n uniforme de .r. Entonces tenemos
x(k+1):ax2(k)=f(x) - f(*) afl ^f _zax " | dxl
_/(r)
x(k):t(k)+Ax(t) t(e+1):ax2(k)
Q
La sustituci6n de estas ecuaciones en la ecuaci6n (19.16) y el reordenamiento de tdrminos producc Ax(/< + 1)
=2a7(k) Ax(/<)
que es lineal en Ax, pero en general variable en el tiempo.
19.3 M6todos del plano de fase En las secciones 3.15 y 4.6 se trat6 la forma de variables de estado de las ecuaciones diferenciales lineales y se demostr6 que es una herramienta ftil para el an6lisis de sistemas lineales. En la secci6n 19.2 esta representacion se aplic6 a los sistemas no lineales mediante el concepto de linealizaci6n. En esta secci6n, los m6todos de plano de fase se desarrollan paraanalizar ecuaciones diferenciales no lineales en forma de variables de estado, sin necesidad de linealizarlas.
Una ecuaci6n diferencial de sesundo orden de la forma:
dzx
I dx\
(te.r s)
o*:f\.'a)
puede escribirse de nuevo iomo un par de ecuaciones diferenciales de primerorden, como se hizo
en la secci6n 3.15, al hacerel cambio de variables
dr,
--1dt
x: xry drldt: xz,!
: xt
dx"
o1:fG',*r)
producir
(re.r6)
(to.rz\
I
I
589
INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES
La dupla o par de variables de estado (xr, xz) puede considerarse como un punto en el plano. Puesto que x1 ) -r2 son funciones de tiempo, entonces a medida que t aumenta, (xlt), x2Q)) describe una linea o trayectoria en el plano. Este plano se llama plano de fase, y la trayectoria es una
gr6fica param6trica de "r2 respecto de xy , parametrizada por t. Si eliminamos el tiempo como variable independiente en las ecuaciones (19.16) y (19.17), obtenemos Ia ecuaci6n diferencial de primer orden
d*,
xz
(re.r8)
drr:7Gr, rr)
La soluci(rn de la ecuaci6n (l 9 .l 8) paraxl en t6rminos de x2 (o viceversa) define una trayectoria en el plano de fase. AI resolver esta ecuaci6n para varias condiciones iniciales de x1 y xzy examinar las trayectorias resultantes en el plano de fase, podemos determinar el comportamiento del sistema de segundo orden.
EJEMPLO 19.11. La ecuaci6n diferencial
+
d2x I dx\2 :o *la) dr con las condicioncs iniciales .r(0) primcr ordcn
:
0 y (d-rldt)|,:o: dxt
: dxz: : dl
---iclt
cn dondc.r
=.rI
y d.rldt
x) )
-x"-
=,r,. Al eliminar el tiempo
dx,
x2
d,r:-E:-n
1
I,
puede remplazarse por las dos ecuaciones de
x'(0)
:0
xr(o)
:
1
como variable independiente, obtenemos entonces
dx, o dx':-.,
La intcgracirln dc csta ccuaci6n para las condiciones iniciales dadas produce
\r
. rx' dX4 Irxr(0)-0dxi:xr:-l'r x2(O):L-*:-tnxz Xi
x2: e-rL
En la figura 19-6 sc prcscnta la trayectoria dcl plano de fase definida por esta ecuaci6n. x2
1.0
0.5
l
0
r.0 1.5 Figura 19-6
2.0
2.5
590
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Su direcci6n en el plano de fase se determina al tener en cuenta que dx2ldt
:
Y
SISTEMAS DE CONTROL
- x'z 10
para todo x2
*
0. En
I
consecuencia,r2 siempre disminuye y obtenemos la trayectoria que se muestra
Sistemas de control enciende - apaga (On-OtT) Una aplicaci6n particularmente ritil de los m6todos de plano de fase es el diseno de controladores enciende-apaga on-off (definici6n2.25), para la clase especial de sistemas de control con retroalimentaci6n con plantas de segundo orden continuas en el tiempo, como las de la figura l9-7
y la ecuacion (19.19).
dzc dc --;-;*a-.:u dt'
Las condiciones iniciales c(O) y (dcldt) enciende-apag
a(on-ffi
valores.u:!L
con entrada e
a>0
dt
(re.1e)
l,:e
: r-
de la ecuaci6n (19.19) son arbitrarias. El controlador c genera la sefral de control u,la cual s6lo puede tener dos
* Figura 19-7 Especificaciones de diseno del controlador enciende-apaga (on-off) Si la entrada de referencia r es una funci6n paso unitario aplicada en el tiempo cero, las especificaciones de disefio tipica-s para el sistema de la figura l9-7 son las siguientes. La entrada de control
u a la planta debe conducir la salida de la planta c(t) a c(/) : I y su derivada dcldt a (dcldt l,:,, : 0, simult6neamente, y en el menor tiempo posible /'. El error en estado estacionario se hace cero en /' y permanece en cero si la seflal de control se apaga (z : 0). Puesto que se requiere que /' sea minimo, 6ste es un problema de control 6ptimo (vlase la secci6n 20.5). Puede demostrarse que f' se hace minimo s6lo si la sefral de control a conmuta los
valoresde*la-lode-la*l,alosumounavezduranteelintervalodetiempoO'
deddc -;:T(r-c):_dt dt' dze dzc dc :
-:-r-
dt'
: A-- - -:-:; clt' dt
dt de
U
: - A: dt
U
(1e.20)
I
591
INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DECONTROLNO LINEALES
t
con las condiciones iniciales e(0) : I - c(0) y (deldt)|,:o: -@cldt)lt:s. Luego remplazamos f a ecuaci6n (t 9.20) por dos ecuaciones diferenciales de primer orden, haciendo e =x1y deldt= x2:
dxr
---:_
dt
:.tr
(re.2t )
dt, (1e.22\ : dt -axz-u : e(O) : I - c(0) Y xz(O) : (deldt)|,:o: -(dcldt)lt:o. Al
con las condiciones iniciales.rr(0) eliminar el tiempo como variable independiente, obtenemos entonces
d*,
axrl
d*r,
x2
u
o
xo
dx,
dx,
ax2+ u
(r
e.23)
Esta ecuaci6n m6s las condiciones iniciales en r1(0) y xz(O) definen una trayectoria en el plano de fase.
?
Puesto que la sefral de control a no conmuta (de +l a -1 o de -1 a *l) m6s de una vez, podemos separar la trayectoria en dos partes, la primera, antes del tiempo de conmutaci6n, y la segunda, despu6s de la conmutaci6n . Consideremos primero la segunda parte, ya que 6sta termina
enelorigendelplanodefase,
xt:xz:0.Hacemosa: tlenlaecuaci6n(19'23)
yluego
integramos entre un conjunto general de condiciones iniciales x1( t) y xzf) y las condiciones terminalesxy :xr:0.Paraefectuarlaintegraci6n,consideramoscuatroconjuntosdiferentesdecondiciones iniciales, cada una correspondiente a uno de los cuadrantes del plano de fase. En el primer cuadrante, xl ) 0 y x2 > 0. N6tese que dtlldt - xz) 0. De este modo xl aumenta cuando 12 estd en el primer cuadrante, y cuando..r2 tiende a cero, x1 no puede ser cero. Por tanto, las trayectorias que comienzan en el primer cuadrante no pueden terminar en el origen del plano de fase si ,/ no conmuta. Cuando las condiciones iniciales est6n en el tercercuadrante tenemos argumentos id6nticos, es decir. si x, ( 0 y x, < 0. la rrayectoria no puede terminar en el origen si a no conmuta. En el segundo cuadrante, -r1 { 0 Y xz > 0. Puesto que dxlldt : xz>. 0, xl aumentar6 mientras
0. Puestoque4 > 0, entonces -axz10y asidx2ldt ( 0para u: I l, dondequieraquex2 > 0. La integraci6n de la ecuaci6n (19.23) con rz : * l, condiciones iniciales en el segundo cuadrante y condiciones terminales.tr : x: : 0, produce x2
)
.n
X.dX"
', ll""i dxr: -*r1'): - Jr1r7AX2* /*,(r, | I -lo o xJt): -Isxz+ 1 - ln(ax,- + 1)]l ''lt"1'7
x,(t)
I
* --; ln + t] a a' [a.rr(r)
0, x2(t) > 0. Esta ecuaci6n define una curva en el segundo cuadrante del plano de |. fase, tal que, para cualquier punto sobre esta curva, la trayectoria termina en el origen si rr I conduce a xt y a-r2 simult6neamente a cero. Esto es, la senal de control u
en donde xr (r)
<
(19.24)
: *
: I
Mediante argumentos id6nticos, existe una curva en el cuarto cuadrante definida mediante
t
x,(r):
+- jt"f -ax,(t) +rl
(1e.2s)
TEORIA
592 en donde xr(r)
control
= 0,
x2Q)
<
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
0 tales que, para cualquier
Y
SISTEMAS DE CONTROL
(x(t), xz!)) sobre esta curva,
la seffal de
t
I conduce ax1 ! ar2simult6neamenteacero. Las curvas definidas por las ecuaciones (19.24) y (19.25) se unen en xr : xz : O y juntas definen la curva de conmutaci6n del controlador enciende-apaga(on-ffi. La curva de conmutaci6n divide todo el plano de fase en dos regiones, como se indica en la figura l9-8. La parte de cualquier trayectoria despu6s de la conmutaci6n siempre comienza sobre esta curva, se mueve a lo largo de ella, y termina €fl -{1 : xz : 0.
?
Figura l9-8 Consideremos ahora la parte de la trayectoria antes de la conmutaci6n. Primero, exploremos una propiedad mon6tona de la curva de conmutaci6n. En el segundo cuadrante, en donde a I, x2 O y la pendiente de la curva es negativa:
: *
)
#:-(,.;) -' En el cuarto cuadrante, en
donde
l,
xz
*:-(.-;)
(
0y
-'
Por tanto la pendiente de toda la curva de conmutaci6n es negativa para todo (x1 , x2) sobre Ia curva, es decir, la curva de conmutaci6n disminuye mon6tonamente. De este modo, existe uno y s6lo un valor de.r2 correspondiente con cualquier valor especifico de -rr. Debido a la propiedad mon6tona de la curva de conmutaci6n, la regi6n por encima de la curva es igual a la regi6n de la derecha de la curva de conmutaci6n, es decir, consta del conjunto de puntos (xr, x) tales que
) - 2 + \n1*r+t1
(re.26)
) - 7 - i"r-ax,*r)
(re.27)
rr cuando
xz>
0
! rr
cuando x2
3
O.
I
t
s93
INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DECONTROLNO LINEALES
Consideramos la parte de la trayectoria antes de la conmutaci6n, cuando las condiciones (xr(0), xz(0)) se encuentran por encima de la curva de conmutaci6n. Para este caso, u : * | , y \a primera parte de la trayectoria se obtiene mediante la integraci6n de la ecuaci6n (19 .23) con ,l : * I entre las condiciones iniciales (.rr(0), xz(O)) y un par de puntos arbitrarios (rr(r), xz(t)) que satisfacen las desiguald ades (l 9 .26) y (l 9 .27). Obtenemos la trayectoria al integrar la ecuaci6n (l 9.23), la cual produce
['rr',
"rr(o)
o
d*r: xr(r) - x,(0) : -
x,(r) :x,(0) +
I:,i,:r'
:-
#
x" (o) 1 :':' -,lnlax'(o)
+ 1]
)lax2+'t x"(
- -:
t)
-
tn(ax2+
1
*,lnlax2(l)
t,, +
[,,
t]
(19.28)
N6tese que esta parte de la trayectoria tiene la misma forma que la de la ecuaci6n (19 .24), pero 6sta se encuentra desplazada a la derecha. Asi que, cuando xz() :0, xr(t) :rr(0) +(L/a) [-r2(0)
-
(lla)ln(ax2Q)
+
l)1, que es mayor que 0 debido a la desigualdad (19.26).
encuentra por encima de la curva de conmutaci6n , el controlador de encendido-apagado desarrolla una sefral de control u : * l, y la trayectoria resultante (x | (0, .r2(0) se define mediante la ecuaci6n (1 9 .28) . Cuando esta trayectoria interseca la curva de conmutaci6n, es decir, cuando (xlt), xzQD satisface las ecuaciones (19.25) y (19.28) simult6nea-
Asi,
cuando (x r (0),
xz(0))
se
(on-ffi
iF
mente,elcontroladordeencendido-apagado(on-offlconmutalasefralau:-l,ylatrayectoria continfa a lo largo de la curva de conmutaci6n hasta el origen del plano de fase. Por razonamiento id6ntico, si las condiciones iniciales se encuentran.por debajo de la curva de
conmutaci6n. es decir.
x,(o) < cuando xz(0)
control
\nlo*,(o)
+
+ 1l
> 0, o x1(0)
cuando-rz(0)
-+
<
-
xr(o)
\rn1-o*r1o) + ll
= 0, entonces el controlador de encendido-apagado I y la trayectoria (x1(r), x2(r)) satisface
x,(r) :x,(o) +
*
- \rn1-^,10)
+ 1l
-
xr(t)
(on-ofr) genera una seflal de
\tn1-orr1,)
+
tl
(ts.2s)
Cuando esta trayectoria interseca la curva de conmutaci6n, es decir, cuando (xrG), xzft)) satisface las ecuaciones(19.24)y (19.29) simultdneamente, el controladorde encendido-apagado(on-ofr)
conmutalaseflaldecontrolau:*lylatrayectoriasemuevealolargodelacurvadeconmutaci6n en el segundo cuadrante y termina en el origen del plano de fase. Recordando que -rrr = e y xz :- i, la l6gica de conmutaci6n del controlador de encendidoapagado
;
(on-ffi
es como sigue:
a'S Cuando
i>0 y
e+
al
- -,ln(ai+1)>0,
entonces
a: *L
TEORIA
594
Y
Y
PROBLEMAS DE
SISTEMAS DE CONTROL
{t 1
u: *1
b)
Cuando
i<0 y e+1a
c)
Cuando
i>0 y e+-a -
d)
Cuando
i<0 y e+- * ,ln(- ai + 1) < 0, entonces u: -l a a-
a
e
a-"ln(-ai
+ 1) > 0, entonces
1
,ln(ai + 1) < 0, entonces
a-
u: -l
1
EJEMPLO 19.12. Para el sistema de control con retroalimentaci6n descrito en la figura l9-7 y la planta definidaporlaecuaci6n(19.19) conpariimetro a: l,lacurvadeconmutaci6nestiidefinidapor
e- -3+h(a+1)
para e>0 para a<0
e: -i-ln(-a+t)
y en la tabla 19. l se presenta la l6gica de conmutaci6n para el controlador de encendido-apagado (on-off)
Tabla 19.l
a>0
ft(e):e+.i-ln(i+1)>0
fr(e):e+e+h(-i+1)>0
u
No No No No
No No
No Si
-l +l
Si
No
-1
Sf
S(
+1
Si
No
Si
No No
-1 -1
Si
Si
No
si
Si
ST
Sf
rl
+1 +1
Generalizaci6n Los m6todos del plano de fase se aplican a sistemas de segundo orden. La t6cnica se ha generalizado a sistemas de tercer orden y de orden superior, pero normalmente el andlisis es mucho m6s complejo. Por ejemplo, para diseflar controladores de encendido-apagado (on-oft) de esta manera en sistemas de tercer orden, las curvas de conmutaci6n se remplazan por superficies de conmutaci6n, y la l6gica de conmutaci6n se hace mucho mds extensa que la presentada en la tabla 19.l en sistemas de sesundo orden.
19.4 Criterio de estabilidad de Lyapunov Los criterios de estabilidad presentados en el Capitulo 5 en general no pueden aplicarse a sistemas no lineales, aunque pueden ser aplicables si el sistema se linealiza como en la secci6n I 9.2, si las perturbaciones Ax son lo suficientemente pequefras, y si ii(t) y X(/) son constantes, es decir, si las ecuaciones linealizadas son invariables en el tiempo. La teor(a de Lyapunov proporciona un m6todo m6s general, para explorar la estabilidad de los sistemas, los estados x(r) y las salidas y(t) en el dominio del tiempo, para perturbaciones Ax(t) de cualquier tamafro. Puede utilizarce para sistemas, lineales o no lineales, descritos por conjuntos de ecuaciones simult6neas
il
595
INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DECONTROLNO LINEALES
] ordinarias de primer orden, diferenciales o de diferencia, que escribimos aquf de manera concisa
en forma de variables de estado:
*: f (x,u) x(/c + t) : f[x(/c),u(k)]
(1e.30)
(te.3r )
para u Las siguientes definiciones de estabilidad son para sistemas no forzados, es decir' : : f[x(k)]' + 1) (x) x(k o y por simplicidad escribimos * f
:
0,
Unpunto*"paraelcualf(x,):0sellamapuntosingular.Sedicequeunpuntosingularx.es
de estable si, para cualquier regi6n hiperesf6rica Sa (por ejemplo, un circulo en dos dimensiones) en xs en < centrada tambi6n R r radio de S,. hiperesf6rica radio R centrado en xs, existe una regi6n siempre' en Sp permanece en S' comenzando sistema la qual cualquier movimiento x(f) del
Unpuntox,paraelcualf(x"):0sellamapuntosingular.Sedicequeunpuntosingularx"es
mientos) x(t) tienden hacia x" a medida que el tiempo tiende a infinito' El criterio de estabilidad de Lyapunov determina que, si el origen es un punto singular"es propiedades: estable si puede encontrarse una funci6n de Lyapunov V(x) con las siguientes
I
u) b)
V(x)
>
0 para todos los valores de
x
(re.32)
;e 0
dVldt < 0 para todo x, en sistemas continuos, o AV[x(ft)] =Vlx(k oara t
+ l)] -
x, en sistemas discretos
Vlx(k)l < 0,
(1e.33)
Adem6s, si dVldt (o A\4 nunca es cero excepto en el origen, este riltimo es estable asintdticamente'
EJEMPLO 19.13. Un sistcma continuo no lineal representado por
d2x dx.ldx\3 *
i a. \;J +x:o o, dc nrodo cquivalcntc, el par dc ecuacioncs
dtt dt
d*,
:xz
dt
:
:
=.t, tlcnc un punto singularen,tl -rr 0. cxccpto .\'r - ,tr : 0 cn dondc V : 0' La dcrivada
cn clnn
dV d,
:rr+
: - x2- x)La funci6n V
+2rr+:2xrx2+2x2(-xz-
nunca cs positiva. En consecuencia
x1
: x] + x2- es positiva para todo x1 Y x1.
xtr-
"')
: -2xl- 2x|
cl origen es establc'
ecuaciones EJEMPLO 19.14. En la figura l9-9 se muestra el sistcma no lineal representado por las
difcrcnciales Icon,r1(t)
.
= -c(t)l:
*r: -xr*
x2
*r: -f(xr+ r)
596
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
Figura 19-9 Tambi6n,fl0) = 0 para este elemento no lineal particular. Si r es constante, podemos hacer los cambios de variables xt = xt * r, x'2= xt * r, y las ecuaciones de estado se convierten en
*i: -xi+ x'2
El origen
xi :
x5
:
*i: -fbi)
0 es un punto singular puesto que
Lyapunov estiidefinida por
ri
;e
0. Derivando
t
V=2ld'if(e)de+x52 >0
*i, : *i =
para todo x{,
0 en el origen. La funci6n
x!2*0, sixifQi)>0
de
para todo
V,
: zylxi)l *i + 2xi*i- zf(r)(- xi + xi) - 2xilQ) : -2xifQi)
Asi, si nos restringimos a
xifQ) >0 para mantener y > 0, V < 0 para xi + O. En consecuencia
el
sistema es estable para cualquier elemento no lineal que satisfaga las condiciones
:0 xil(xf)>0
+
/(0)
para
xi*0
N6tese que este resultado es muy general, y s6lo se requieren las condiciones anteriores para asegurar la estabilidad. Si r no es constante, la soluci6n p ara x1(r) y para x2(l) correspondiente a 4t), en general no es constante. Pero, si se conociera la soluci6n, la estabilidad de la soluci6n podria analizarse de modo similar.
EJEMPLO 19.15. Para el sistema discreto en el tiempo
xr(k+ 1):x2(/c)
xr(k+
t): -/[x,(*)]
dondeflxl) es la no linealidad de saturaci6n de la figura l9-lb), el origen es un punto singular porque xr(k) : xz&) : 0 implicaque.,,rl(& + l) : x2(& + l) : 0. Haciendo V = xl + x22 , que es mayor que cero para todo x1, x2 * 0, entonces en
Lv: x!(k
+ r) + x3G + 1) -.,rr2(t)
- xgv)
: *1G\ +/'?[x1(/<)] - *?(k\ - r|G) : -rl(k) +/2[x,(/c)] Puesto que/2 (xt) estable.
<
.x12
para todo .r1,
ay <
0 para todo xt, x2, y en consecuencia el origen es
Elecci6n de las funciones de Lyapunov Para muchos problemas, una elecci6n conveniente de la funci6n de Lyapunov V(x) es la fun-
ci6ndeformaescalarcuadrdticaV(x):xrPx,endondexreslatraspuestadelvectorcolumnax,y
t
INTRODUCCION A LOSSISTEMAS DECONTROLNOLINEALES
s
597
P es una matriz sim6trica real. Para producir V > O,lamatizP debe ser claramente positiva. A partir del teorema de Sylvester [7], P es claramente positiva si y s6lo si todos sus discriminantes son positivos, es decir
Ptr>o
l;;i ;:l', :
l&' l: i
,,,1
il'o
II
lP" En sistemas continuos
i :
P',1
f(x), la derivada de V(x)
v(*): t?x + x?*:
C
En sistemas discretos, x(& +
Lv(k)
:
1): t[x(k)l
(te.34)
f
:
xrPx est6 dada por
r(x)Px + xlPf (x)
y
v(k+ t) - v(k) :xr(ft + l)px(ft + 1) - xr(/c)Px(k)
: f r[x(k)]rf [x(t)] - xr(t)rx(t) EJEMPLO 19.16. En el sistema representado por I r n'l
con
r: Ii i].
Ax
con
:[-i ^
- ]],
r,u".rno
s
V:
xrPx
Entonces
t-xrttrp + PAtx:*[[ t:*,[ -! r]
r r -;l':
endonde
i:
-? _?]. --1 _1]]"
-x'Qx
4 o:l Y L-l -3.| 6l )
PuestoquePesclaramentepositiva, V 0paratodox #0. Losdiscrifninantesde Q son En consecuencia Q es claramente positiva y -Q es claramente negativa, lo cual garanti todo x + 0. En este sistema, el origen es estable.asint6ticamente.
4y (24 - 9): 15. ra que t < 0 para
19.5 M6todos de respupsta de frecuencia Funciones descriptoras
C
Las funciones descriptoras son funciones de respuesta de frecuencia aproximadas para los elementos no lineales de un sistema, las cuales pueden utilizarse para analizar todo el sistema utilizando las t6cnicas de respuesta de frecuencia desarrolladas en los capitulos anteriores. Una funci6n descriptora se desarrolla para un elemento no lineal, al analizar su respuesta a una entrada sinusoidal A senot,la cual puede escribircomo una serie de Fourier:
TEORIA
598
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
t
@
!
n:l
(1e.-r5)
4sen(n ot + O,)
La funci6n descriptora es la relaci6n de los coeficientes complejos deFourier Breih de la frecuencia fundamental de esta salida, a la amplitud A de la entrada. Es decir, lafunci6n descriptora es la funci6n compleja der,l, (Br/A)eiorstna funci6n de respuesta de frecuencia de una aproximaci6n del elemento no lineal. La funci6n descriptora representa asf la ganancia efectiva del elemehto no lineal a la frecuencia de la sinusoide de entrada. En general , B t y Q r son funciones tanto de la frecuencia de entrad a at : 2nlT como de la amplitud de entrada A. En consecuencia podemos escribir Br : B{A, a), 6r : Q{A, a), y la funci6n descriptora como
Brei$, Br(A, a) eih(e'o)
, -, |i(A,o): i:
(19.36)
A
Para aplicar el m6todo, remplazamos las no linealidades del sistema por las funciones dedcrip-
torasyluegoaplicamoslast6cnicasdeldominiodelafrecuenciadelosCapftulos 1l,l2y l5hasta el 18, con algunas modificaciones para tener en cuenta la dependencia de 81 y Qt en A. EJEMPLO19.17. Lasalidadelafunci6nnolineal/(e):e3enrespuestaaunaentradae:Asenol.tes f
(r)
:,{3sen3 orr
:
| {rr"nrr-
A partir de la ecuaci6n (19.36),la funci6n descriptora parafle)
senr
+
or)
es
\e1:Y4 N6tese que esta no linealidad no produce desplazamiento de fase; asf que @1(A, ar)
:
0'
Hist6resis En la figura 19-10 se presenta un tipo comtn de no linealidad llamada hist€resis o zona muerta. En sistemas eldctricos puede ocurrir debido a las propiedades electromagn6ticas no lineales, y en sistemas mec6nicos puede resultar de la zona muerta en los trenes de engranaje o uniones mec6nicas. Para otro
ejemplo, v6ase el problema 2.16.
salida
-
0.8
- 90" - 700 - 600
0.7
0.6
lF(,r)l
tNl
o.s
-50' 0r(l)
0.4
-
0.3
Q{A)
0.2 0.1
4 567 A
Figura 19-10
90"
0.9
Figura 19-11
400
- 30" - 20" - 100
I
599
INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DECONTROLNO LINEALES
* En la figura I 9- I I se presenta la funci6n caracteristica descriptora de la hist6resis , normalizaI y pendiente K I . El atraso de fase @1(A) de esta funci6n da al parilmetro de zona muerta d descriptora es funci6n de la amplitud de entrada A. pero es independiente de la frecuencia de
:
:
entrada ar. La t6cnica de la funci6n descriptora es particularmente muy apropiada en el an6lisis de sistemas continuos o discretos que contienen un elemento no lineal sencillo, como se ilustra en la figura 19-12, con funci6n de transferencia en malla abierta Gtt : N(A , a)G(a). El andlisis de respuesta de frecuencia de tales sistemas normalmente conlleva primero determinar si existen valores de A y ar que satisfagan la ecuaci6n caracterfstica, I + N-(A, a)Gko): 0, o
G(or):
1
-FAA
C Figura 19-12 es decir, valores de A y ar que permitan oscilaciones. Los diagramas de Nyquist, de Bode o de Nichols de G y de l/N pueden utilizarse por separado para resolver este problema, porque las gr6ficas deben cortarse si existen tales A y a. La estabilidad relativa tambi6n puede evaluarse a partir de tales diagramas, al determinar la ganancia adicional (margen de ganancia) y/o el desplazamiento de fase (margen de fase) requerido para que las curvas se corten. Debe tenerse presente que la funci6n descriptora es s6lo una aproximaci6n de la no linealidad. La exactitud de los m6todos de la funci6n descriptora, que utilizan el andlisis de respuesta de frecuencia basados en los m6todos de sistemas lineales, dependen del filtraje efectivo de la planta
-
superior al primero (despreciados) producidos por la no linealidad. Puesto que la mayor parte de las plantas tienen m6s polos que ceros, a menudo esta es una aproximaci6n razonable. G(a,,) de los arm6nicos de orden
:
8/juQa + 2)2 y la no linealidad de sistema de la figura 19-12 con GQo) saturaci6n del problema 19.17. En la figura 19-13 se presentan los diagramas polares de G(ar) y -llNG).
EJEMPLO 19.18. Considere el
? Figura 19-13
600
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
No hay valores de A y de ar para los cuales se corten las dos griificas, indicando que el sistema es estable no son posibles las oscilaciones sostenidas de amplitud conitante. Sin embargo, si se incrementara la
tl
y gananciadelamalladirectaenunfactorde2,de8al6, lasgr6ficassecortarianen(-1,0)parao:2yO<
< I, y serfan posibles las oscilaciones sostenidas. De este modo un margen de ganancia aproximado de este sistema es 2 (6 dB). A
Criterio de estabilidad de Popov Este criterio se desarroll6 para sistemas retroalimentados no lineales con un elemento no lineal sencillo en la malla, por ejemplo, como se muestra en la figura l9-12. Tales sistemas son estables si el elemento lineal G es estable, Re G(or) > -llK, y el elemento no lineal fe) satisface las
condiciones:flO):0yO
EJEMPLO19.19. Enlafiguralg-l4sepresentaeldiagramapolardelsistemadelafiguralg.l2,con G:l/(ia * l)3.Paratodoar,ReG> -ll4.EnconsecuenciaelsistemanolinealesestablesiK<4,/(0)
:0,
y
0
para
e*0.
t
igura 19-14 EJEMPLO 19.20. En el sistema no lineal de la figura l9-12, con una planta estable discreta en el tiempo
G
:
ltz, GQ i"r1
:
e-
iur
-
cos orT
-7 sencrl
En la figura 19-15 se presenta el diagrama polar circular de G, y
ReG(ei'r; > -1 Asf el sistemaesestable si para
e
*
para K<
flO):0y0
1
< fle)le
|
O.
Figura 19-15
t
INTRODUCCIONA LOS SISTEMAS DECONTROLNO LINEALES
60r
* Problemas resueltos Sistemas de control no lineales 19.f
.
En las definiciones 2.25 a 2.29 se presentaron varios tipos de leyes de contol o de algorit-. mos de control. iCu6ies de ellos son no lineales y cu6les son lineales, desde el punto de vista de sus caracterfsticas de entrada;salida? El controladordi! encendido-apagado (binario) de la definici6n 2.25, claramente es no lineal, funci6n discontinua de su entrada. Los dem6s controladores, es decir, el proporcional (P), el derivativo (D), el integral (1) y los PD, PI, DI y PID que se dieron en las definiciones 2.26 a\a2.29, son todos lineales. Cada una de sus salidas est6 definida por operaciones lineales, o combinaciones lineales de operaciones lineales, en cada una de sus entradas.
.. su salida es una
1g.2. ;Por qu6 el sistema
de calefacci6n controlado termost6ticamente, descrito en el problema
2.16, es no lineal? El controlador por termostato en este sistema es un dispositivo binario no lineal, con
una
hist6resis caracteristica de entrada-salida, como se describi6 en el problema 2.16. Este controlador regula la salida de la temperatura del recinto de este sistema de control de una manera oscilatoria entre los limites superior e inferior que encierran el ajuste de la temperatura deseada. Este tipo de comportamiento es caracteristico de muchos sistemas de control no lineales.
Q
Aproximaciones de sistemas linealizados y linealizados por tramos
f9.3.
La ecuaci6n diferencial de cierto sistema fisico est6 dada por
d3v
dzv
d,'*47i+f(Y):o La funci6n/(y) es no lineal, pero puede aproximarse mediante la gr|fica lineal por tramos que se ilustra en la figura l9-16. Determine una aproximaci6n lineal por tramos para la ecuaci6n diferencial del sistema no lineal.
Figura 19-16
{F
El sistema no lineal puede aproximarse mediante el siguiente conjunto de cinco ecuaciones lineales en los rangos indicados de y:
IEORIA Y PROBLEMAS DE RETROALIMTNTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
602
dzv d3v q-+ + -dtr dt' -
l: o
.1'<
dlv d2v --:-+4--u-2:0 dt' dtt
-1<.y<1
d2v
I
+4-dt' -v+2:0 --l dt' d3v
d2v
2
at*4ar'+l:o 19.4. Una soluci6n
-2
-2.y< *1
d3v d2v dtt dt' -*4-+u:0 d3v
I
de la ecuaci6n diferencial no lineal
dry
di *ycosy:u
t
con entrada u : 0, es _y : 0. Linealice la ecuaci6n diferencial alrededor de esta entrada y esta salida utilizando una expansi6n en serie rJe Taylor de la funci6n dzt'ldtl * r'cos t' - tt alrededor del punto u : ,r : 0. La expansi6n en scric de Taylor de cos,r'alredcdor de r'
cosl:
En
consecuencia
d'y 4rz
i,#[#,*,,,1,
+ lcos y
:,,]
: r-
:
0 e'
]r *
,l=y (, Y2 , - u: Ol * ,\, - -. *
\
AI conservar s6lo los t6rminos de primer orden, la ecuaci6n lincalizada cs d2vldt2
* ,t' : a Esta
opcraecuaci6n s6lo es vrilida para desviaciones pcquefras (pcrturbaciones) alredcdor dcl punto dc
citin
r.r
:
-r'
:
0.
de perturbaci6n determinadas en el ejempl
19.5. Escriba las ecuaciones
-zf,',;'r't I | I | d':lryl:Li;6*
d(^x)
=
=
L,y
=
l2crir(t)
"o:" ] 0l A"
*. 1";'(r) ] r' t
I
INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DECONTROLNOLINEALES
603
Estas ccuaciones son linealcs porque las matrices que previamente multiplican a Ax y Az son independicntes dc Ax y dc Au. Serian invariables en el tiempo si los par6metroS c L c2,. . . , c5 fueran constantes y el "punto de operaci6n" del sistema, para u nQ) y x I(t), tambidn fueran constantes. Estc scria el caso si a- constante.
:
:
19.6.
Deduzca las ecuaciones linealizadas (l
9 .1
3) y
(1 9
.l
dado por (19.11) y (19.12).
:
4
en el sistema diferencial no lineal
Consideramos los cambios Ax en x como resultado de los cambios Au en y respectivamente, es decir,
alrededor de los puntos de operaci6n
i
u. cada uno de ellos
[,
'(r):l(r)
+Ax(r)
u(r)
+ Au(r)
:n(t)
En estas ccuaciones, I se considera un pariimetro, que se mantiene constante en la derivaci6n. Luegosuprimimosf porconveniencia. Lasustituci6ndeT* Axporxydeu * Auporuen (t9.1t) produce
: r(x + Ax,-u + Au) +dt : +*'(f) dt dt
f
Ahora cxpandimos csta ccuaci6n en una serie de Taylor alrededor de
tirminos de primcr ordcn:
dx .; d(Ax) * = f(x,-u) d,
*
dl I
*
AI
'u:u(,)|u:u(',
^
* a* l.:I1,,
{E U}, reteniendo
s6lo los
I
l,_:ill
ou
Entonces, pucsto que dTldt : .flf, u), la ecuaci6n (19.1t) se obtiene inmediatamente despuds de rcstar cstos t6rminos correspondicntes de ambos lados de las ecuaciones anteriores. De manera
similar, para
y: y Rcstando
!
:
c(x)
r + Ay
:
e(i + ax) = c(x) *
#1,:.
*
:-v.
#1.__
*
a ambos lados de la ccuaci6n finalmente se produce
ar=#l * dX l*:r 19.7
.
Las ecuaciones que describen el movimiento de un sat6lite terrestre en el plano de la 6rbita son
r
t
d20 dr d0
*
+'a
*:o
dzr l d0 \2 rl | dtz '\dtl -
1rz
pr2
(Para m6s detallesvdanse el problema 3.3 y el ejemplo 19.2). Un sat6lite estd en una 6rbita casi circular determinada por r y d9ldt : ar. Una 6rbita exactamente circular se define mediante
f : fo: constante @: @o:
Constante
ffi4
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Puesto que drddt : O y d@sldt : 0, se elimina la primera ecuaci6n diferencial para una 6rbita circular. La segunda ecuaci6n se reduce a rorofi : k'/pr&. Encuentre un conjunto de ecuaciones lineales que describa de manera aproximada las diferencias
?
6o=o-too
6r=r-ro
En las ecuaciones del movimiento hacemos las sustituciones
y:6*6r
ar:coo*8r,r
y obtenemos las ecuaciones d( o^ * 6ar) * ztT(oo sr)rjj
d(
( ro +
/2(ro + 6r)
dt'
-
( rn
rn
+ 8r)(o16 +
+ Er)
8<'r)2
:
+ 6o)
: -
0
,-- * 6r)'
p(rn
Hacemos notar que
d(ro+Sr) _ d(Sr)
dt
dt
puesto que
d2(rr+6r) :d2(Sr) dt2 dt2
ro! ah son constantes. La primera
/(6r)
d(0o)
(6r)(d(6a)/dt)
y
lineal resultante
dt
dt
ecuaci6n diferencial se convierte en
.^.d(6o) h dt +(6r);+2on^ Puesto que las diferencias 6r,
d(cro+6ar) _ d(6ar)
-d(0r)^
*:+21i8a:0
t
^
6a y sus derivadas son pequefras, los tdrminos de segundo orden
2(d(6r)ldt)6ar pueden suponerse insignificantes
y
eliminarse. La ecuaci6n
es
8to) ^ d( 6r ) :v +)'ao dt 'o d, d(
la cual es una de las dos ecuaciones deseadas. La segunda ecuaci6n diferencial puede escribirse de
nu.uo.o.orrlor) , ^2rooe8.r ,^ \2 ,fr8r 2r'rs(Er)(6"r) ^ - rs(Er)2 ,o4dt, k 2kir * t€rminos de orden superior en 6r y 6r'r pri - - 16.
(6r")26r
en donde el lado derecho de la ecuaci6n es la expansi6n en serie de Taylor de - k pr2 alrededor de rs. Todos los t6rminos en 6r y 6ar de orden 2 o mayor que 2 de nuevo pueden suponerse insignifican-
tes
y eliminarse, dejando la ecuaci6n lineal
k 2k8r az$r) ^ -2rnto66o - arfr8'o - oidr: h4 i ;E - -r|i En el enunciado del problema vemos que rotofr
d2(8r\ - ,V- -
: k/pri'
2r6toedo
-
Por tanto la ecuaci6n final
arfrDr:
que es la segunda de las ecuaciones linealizadas deseadas.
-
2ktr
i{
es
t
t
TNTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO
LINEALES
605
M6todos del plano de fase
19.8.
Demuestre que la ecuaci6n txldtz : flx, dxldt) puede describirse de modo equivalente mediante un par de ecuaciones diferenciales de primer orden.
x ! x2= dxr/dt: dx/dt. d2x: dzx,: dx.:f\''A I dx\:f\','E | dx, \ :f(',' d,, dt ; ",) ) )
Definimos un nuevo conjunto de variables: xr=
En consecuencia las dos ecuaciones deseadas son
19.9.
d\
dt,
*:*t
oi-fGt'xz)
Demuestre que la trayectoria del plano de fase de la soluci6n de la ecuaci6n diferencial
dzx
*+x:0 con las condiciones iniciales x(0) :
0 y (dxldt)1,:6
: I es un cfrculo
de radio unitario
centrado en. el origen.
;
Hacienclo .r
= -rr y xt = dxlltlt, obtenemos el par de ecuaciones dx, -:dt : t,
dx"
dt
: -*,
x'(0)
:0
xr(0)
:1
Eliminamos el tiempo como variable independiente al escribir
d*t
: .xl dxz -t.Al
o
xr dxr+ xrdxr-g
integrar esta ecuaci6n para las condiciones iniciales dadas, obtenemos
["*idri+ Jg
o x?+xl-1
["tid*5:trtl+lxl-!:o
J1
que es la ecuacidn de un circulo de radio unitario centrada en el origen.
19.10. Determine la ecuaci6n de la trayectoria del plano de fase de la ecuaci6n
con las condiciones iniciales Con x1 = x
!
d2x dx * dr' A:o .x(0) : 0 y (dx/dt)|,-o:
x2 = dxlldt obtenemos el par de ecuaciones de primer orden dx,
A C
1.
dxz
:*,
-f - -*, AT
xr(0):0 xr(o)
-
1
606
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Eliminamos el tiempo como variable independiente al escribir
dx, 4X2 -:-j:-l
x1 dx1 X2
t
* dx2:0
Entonces
["ari+ Jg'Jl
o
["d*i:xr*x2-1:o
rr*xr:1
que es la ecuaci6n de una linea recta, como se muestra en la figura 19-17 . La direcci6n del movimiento en el plano de fase se indica por la flecha y se determina al tener en cuenta que, inicialmente, xr(O): l; portanto drtldt> 0yx1 aumenta y dxzldt 0y,r2 disminuye. Latrayectoria terminaen
(
el punto (-rr,
xz): (1,0), en donde drtldt: dr2ldt:0, aun termina el movimiento.
Figura 19-17 19.11. Disene un controlador de encendido-apagado
(19.19) y la figura l9-7, con a Para
a
:
:
(on-ffi
para el sistema dado por la ecuacitin
I
O.
0 en la ecuaci6n (19.19), la ecuaci6n (19.23) se convierte en
a*':
!42 u
La curva de conmutaci6n se genera al integrar esta ecuaci6n en el segundo cuadrante con rr terminar en el origen, lo cual produce
xr(r): -;
x1(
y al integrar en el cuarto cuadrante con ,/
t\
o
e: -
: - I y terminar
x3( t\ xJt)- Z
: *
|y
a2
z
cn el origen' se produce a2
e:Z
En la figura l9-18 se presenta la curva de conmutaci6n. En latabla 19.2 sc presenta la l6gica dc conmutaci6n dc este controlador de encendido-apagado.
* Figura 19-18
ffi1
INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES
, Tabla 19.2
e>0
e
+ 0"/2> 0
e
- t'/2>
0
u
No No
No
-1
Si
+1
No No
Si
No
-1
si
si
+1
Si
No
No
si
No
Si
-1 -1
Si
Si
No
Si
Si
si
No
No
+1 +1
Criterio de estabilidad de Lyapunov 19.12. Encuentre los puntos singulares para el par de ecuaciones
ia
J
dr, : senxz dt
d*,
dt
:
x1+ x2
*
Los puntos singulares se encuentran al hacer S€fl.r2 = 0 y r1 x: = 0. La primera ecuaci6n se satisfacc cuando -r2 n 0, I ,2,... La segunda se satisface cuando x; -x2. Por tanto los puntos singulares se definen mediante
: tttr, :
-
xr:1nr,x2: *nt
n:O,1,2,...
19.13. El origen es un punto singular para el par de ecuaciones
dx,
Oi:
axr+
dx"
bxz
cxL+ dxz
i:
Utilizando la teorfa de Lyapunov. encuentre las condiciones suficientes ena, b, cy dtales que el origen sea asint6ticamente estable. Escogemos una funci6n
v:xl+x| la cual es positiva para todo
.r1 ,
.r2, excepto -rr
:
-r:
:
0. La derivada de V con respecto al tiempo es
dV:
dx, dx, + zxzfi : 2ax! * 2bxrx2 * 2cxrx2 + 2dxl 2*r; A Paraf,,acerrivtdrnegativaparatodo-r..r,-rl, podrfamosescogerrr
{:r.ori dt excepto cuando.rl
:
.r2
:
0. De donde
se
b: -c. Enestecaso,
+2dxl
concluye que un conjunto suficiente de condiciones para la
estabilidadasint6ticaesa(0,d
ic
19.14. Determinelascondicionessuficientesparalaestabilidaddelorigendelsistemadiscretono lineal descrito por .xr(ft + 1)
: x,(k) -/ [",(t)]
608
TEoRIA
Hagamos Vtx(k)l
y
-- [",(ft)]t,
pRoBLEMAS.DE RETRoALTMENTAcToN
x * 0.
que es mayor que 0 para todo
Lv: xl(k+ r) -.r,2(ft):
y
srsrEMAS DE coNTRoL
a
Entonces
(',(r) -f1,,(*)l)'- *?(k)
/ f[.x,(k)]\ " "I -x,(/c)/[x,(k\ll2- -\ " xr I
Por tanto las condiciones suficientes para que
x,/(x,)
sistema
>0
,f(',).2
.xl
Ay = 0 y de esta manera la estabilidad del
parctodox,
19.15. Determine las condiciones suficientes para la estabilidad del sistema
ir: Ax+ b/(x,)
v:
Hagamos
xrPx y P
: 11 il
t:xr(p,4 + Arp)x+
:*
|
en donde
n:l-/
Entonces
xrpb/(11)
-;!0, -i; : ;lx + z( a + 2c)x, f ( x,) + 2( c + 2) x, f ( x,) t:
n=lro!, ';t] v: V.Oy
Entonces
*
+/(x,)ilpx
Para eliminar los tdrminos del producto cruz
En donde
_1],0: t1]
x2f (xr), hacemos c--
-2.
Entonces
-xrQx+2(a- a)x1fQ) Parae>0, a = 8. La
-tzx!+ 8x,/(x1) - -u?(q^\
el sistemaesestablesi l-r1)/x1
rTresultanrees
f('') xr
) I
<4paratodoxl
*0.
19.16. Determine las condiciones suficientes para la estabilidad del sistema discreto en el tiempo no lineal
x(/c + 1)
endonde
:
'qx(k)+ b/ [xt(e)]
t 01 e:ltto 1l Y D:[-rl' -tJ v:xrpx,endonde p
:
[: f ]. un,on.r. Av: vlx(k+ 1)l - z[x(r)]:x(k+ r)rrx(r+ r) -x(/c)rpx(/<)
Hagamos
- [l[',(t)Jf + x(r)r,lr] r[;*1r; + b/[x1(r)]l - x(r)rrx(r) -xr(ArPA -
P)x+
f(xr)trpb/(x,) +/(x,)fptx
+
xl,rrrry(x,)
t
609
INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES
, en donde
y ,crp,a_p:l 4- zcJ la- zc "-?r1
lfpt_[_c
1_"]
Ahora, paraArPA - P < 0, hacemos a -- 2c y, para eliminare! t6rmino del producto hacemosc: l. EntoncesATPA - P:0y
Lv
-
[
f (xr)12
- 2xrf(xr)-' : - rrIG)(, - -\ - I xr
Entonces las condiciones suficientes para que
x,/(x,)>o
,
Ay < 0 y de esta manera
{l
=,
cruzxflx),
)
I
la estabilidad en el origen
paratodo
x1.
M6todos de respuesta de frecuencia 19.17. Demuestre que la funci6n descriptora del elemento de saturaci6n lineal por tramos en el ejemplo 19.l estd dada por
B'r,^:3[.n-'l * 1*rr.n
,
A
zrl
A A
,11 AJ
A partir de la figura l9-lb), vemos que, cuando la magnitud de la entrada es menor que 1.0, la salida se iguala a la entrada. Cuando la entrada excede a l 0, entonces la salida se iguala a 1.0. Utilizando la notaci6n del ejemplo 19.1, si
e(l):,4."nrt
A>l
entoncesft) es como se muestra en la figura l9-19 y puede escribirse como
I
l,{senot f(t):{ I
t I -1 [
A 1r0
t Figura 19-19
{0
\t2
610
TEoRIA
y
pRoBLEMAs DE RETRoALTMENTACToN
y
srsrEMAS DE coNTRoL
*
El tiempo r1 se obtiene al tener en cuenta que
lsenrotr:1 or r,:1r.tti De manera similar,
n
tz:i
L.__rl -sen ^7
1 _,L -sen-,-
tr:i+
tq:
2n I _, 1 , --sen-t7
La magnitud de 81 y el iingulo de fase @1 de Ia funci6n descriptora se determinan a partir de Ia expresi6n del primer coeficiente de Fourier:
Br:1 . nJo[2"/'11tyr"nrt dt Puesto queflr) es una funci6n impar, el iingulo de fase escribirse de nuevo como
BL:
!
I"
Asenzutt dt
+2
es cero. La integral que define B1 puede
l','renrt dt o
''lsenzrotdt, ftr. lto " |.Q-ttf rt2 f - -qt Jhl'"senotdt
+
6 1Tn/o
-.Jt Jtll-"'-
Asenzatdt
e
!"Asen2otdt: '2"/'A'"n",a,:)l'r'A"n',tdr
pero ,
I:r'sen"'tt
Podemos escribir
Br: '
@1
dt
:-
l'ro'"n't
4 :2l'/2'sen"tt
dt
Br como
4a ,r, , , 4a p7z. A ^ I --senatdt: 2l + 2cosarl,'lI l''Asenlo:,tdt+ ft r\ t' -|Auttr-sen2art, 1t ro ltL 2 -
Al sustituir t'
:
(l/ar)sen-t(llA) y simplificar,
obtenemos
,,:?[,r,.n '1**r*,,
']]
Finalmente, la funci6n descriptora es
i 4 2llsen '-,1 +---:COSSen ,ll '-l A nL
A A
Al
19.18. Determine la amplitud A y la frecuencia @ para las cuales podrian'mantenerse las oscilaciones en el sistema del ejemplo 19. 18, aumentando la ganancia de la malla directa desde 8 hasta 32.
En la figura 19-20 se presentan los diagramas polares de
t
t
6il
INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL NO LINEALES
c('): ^ y de
-
1/ff(A). Los dos lugares
32
1,'t11o
*
2)2
A
:
2.5 y to
se cortan en
:
2,
que son las condiciones de
oscilaci6n.
A:l
;
Figura 19-20
19.19. Determine la amplitud y la frecuencia de las posibles oscilaciones del sistema de la figura f9-12. con f(e): e3 y 1
G(cr): -:---------(jar + 1)'
A partir del ejemplo 19.17,la funci6n descriptora de esta no linealidad
N(A):
3A2
4
Y
L4 -::N -
---= 34"
De los diagramas polares que se presentan en la figura 19-21 , G(a) 3.21 ,las cuales son las condiciones de oscilaci6n.
yA
trl
:
Figura 19-21
es
y
- l/ff se cortan
en
:
1.732
6t2
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
19.20. Determine la amplitud y la frecuencia de las posibles oscilaciones del sistema de la figura l9-12, con la no linealidad de hist6resis que se muestra en la figura 19-22, y G(a) : 2ljoQco + l).
e
El diagrama de bloques del sistema puede manipularse como se muestra en la figura l9-23, de tal modo que el elemento de hist6resis se normalice, con una zona muerta de I y una pendiente de | . La figura l9-l I puede utilizarse para construir el diagrama polar de lN, el cual se muestra en la figura 19-24 con el diagrama polar de ZC(a), en lugar de G(ar), porque la funci6n de transferencia
-
de la malla que excluye la no linealidad es 4c(at)12
Figura 19-22
= 2C(a\.
?
Figura 19-23
C,l:l
,f Figura 19-24
t
INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DECONTROL NO LINEALES
6t3
Las dos curvas se cortan en a : l.2rad/sy A: 1.7, que son las condiciones de oscilaci6n del sistema. N6tese que A es la amplitud de la entrada a la no linealidad normalizada. Por tanto, en t6rminos de e, la amplitud para las oscilaciones es 3.4.
Problemas suplementarios 19.21. Determine la trayectoria del plano de fase de la soluci6n de la ecuaci6n diferencial
d2x dx *2- +4x:0 -dt" dt 19.22. lJtlliz.ando la teoria de Lyapunov, encuentre las condiciones suficientes en a1! as que garanticen que el punto x : 0, dxldt: 0 sea estable para la ecuaci6n
*
4
d2x dx drr*ot7*aox:0
Capftulo 20
?
Introducci6n a temas avanzados en andlisis y disefro de sistemas de contror 20.1 Introduccirin Este capftulo final es una introducci6n a temas avanzados en la ciencia de los sistemas de control' Cada tema se trata aqui s6lo de manera breve para familiarizar al lector con la terminolo-, gia y el nivel matemiitico de metodologias avanzadas. Tambi6n se espera que produzca cierta
motivaci6n para estudios avanzados. Las t6cnicas de variables de estado en el dominio del tiem-
po' que presentadas en los Capitulos 3 y 4 y utilizadas de manera extensa en el Capitulo
19,
predominan en los desarrollos metodol6gicos avanzados, principalmente porque proporcionan la base para resolver muchas clases de problemas de sistemas de control, inclusive problemas mucho m6s complejos.de los que pueden tratarse con los m6todos del dominio de la fiecuencia.
20.2 Controlabilidad y observabilidad Gran parte de la teoria moderna de control se desarrolla en el dominio del tiempo, en lugar del dominio de la frecuencia, y al modelo b6sico de laplantet (proceso controlado) lineal e invariable e1 tle4p9 se le da tipicamente una descripci 5n de variables cle estado (Capitulo 3), la ecuaci6n 9l (3.25b): dx(t)ldt: Ax(r) + Bu(r) para plantas de sistemas continuos, o la ecuaci6n (3 .36): x(k + I ) : A.(ft) + B"(ft) para plantas de sistemas discretos. Para cualquier tipo de modelo, la ecuaci6n
desalidapuedeescribirsecomoy:cx,enlacuar
I
y:y(0oy(t),x:x(l)ox(t),ycesunamatriz
de dimensi6n compatible. De paso mencionamos que esta forma de modelo b6sico a menudo se usa para representar sistemas lineales qtte var[an con el tiempo, con los elementos que varian en el
tiempo en las matrices A, B o C, y (menos frecuente) sistemas no lineales,en los que A, B o C contienen elementos que son funciones del vector de estados x. El concepto de controlabilidadformulala pregunta de si es posible contolar o guiar elvector de estados x desde la entrada u. De manera especifica, iexiste una entrada u fisicamente factible que pueda aplicarse a la planta durante un periodo finito de tiempo y que guie el vector de estados
x
completo (todos y cada uno de los n componentes de x) desde cualquier punto xo en el espacio de estados a cualquier otro punto x1? Si la respuesta es si, la planta es controlable: si es no, es
incontrolable.
El concepto de observabilidad es complementario al de controlabilidad. Este formula la pregunta de si es posible determinar todos los /, componentes del vector de estados x mediante la medida de la salida y durante un periodo finito de tiempo. Si la respuesta es si, el sistema es observable; si es no, es inobservable. Obviamente, si y : x, es decir, si se miden todas las variables de estado, el sistemaes observable. Sin embargo, si y * x y C no es una matriz cuadrada, la planta afn puede ser observable. Las propiedades de controlabilidad y observabilidad de la planta tienen importantes consecuencias pr6cticas en el andlisis y, arin m6s importantes, en el disefro de sistemas de control retroalimentados modernos. lntuitivamente, las plantas incontrolables no pueden guiarse de manera arbitraria; y es imposible conocer todas las variables de estado de las plantas inobservables. Estos problemas est6n claramente relacionados porque juntos significan que los estados (o varia614
*
615
INTRODUCCION ATEMAS AVANZADOS EN ANALISIS Y DISENODE SISTEMAS DECONTROL
*
bles de estado) inobservables no pueden controlarse de manera individual si se requiere que la variable de control u sea una funci6n de x, esto es, si se necesita un control retroalimentado. Los modelos de plantas lineales invariables en el tiempo, en forma de variables de estado [ecuaciones (3 .25b) o (3.36)l son controlables si y s6lo si la siguiente matriz de controlabilidad tiene rango n (n columnas linealmente independientes), en donde n es el ntimero de variables de estado en el vector de estados x:
In AB
(20.r)
A"-rnl
A2B
De modo similar, el modelo de planta es observable si y s6lo si la siguiente matriz de la observa-
bilidad tiene rango n (n filas linealmente independientes):
*
(20.2)
l:) EJEMPLO 20.1
.
Considerc cl siguiente modelo de planta de entrada sencilla salida sencilla (ESSS) con x
lx' I y cada uno de los a1t, a2., azz diferentcs --' I = |Lxz)"
#:1"; fi]'.
de cero:
[l],
v:cx:tr or*
Para probar si este sistema es controlable, primero evaluamos
lamalriz dada por laecuaci6n (20.1):
tn ^o:[', ';'] Mediante la definici6n 3.1
l,
las dos columnas
ttl
t Itt ]
,.rrun linealmente independientes si las
fnicas constantes o y B para las cuales
.Y
Ir'l
ro,,l _ [0]
"loj*Plor
ror
iueranct:B=O.Claramenteestenoeselcaso,porquect:lyF: -llallsatisfacenestaecuaci6n.Por
[B AB] son linealmente dependientes, el rango de planta entonces es incontroktble. De modo similar. a partir de la ecuaci6n (20.2). tanto las dos columnas de
*
Ii]:[,i,
"i,]
[B
ABI
:
1
*
2 = n, y esta
616
Y
TEORIA
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Paraestamatriz, losfnicoscyBparaloscualescr[l O]+ B[a11
ap
*
o- En consecuencia et rango
20.3 Diseno
n "l|nl ".
:
2,
y
an):IO
Y
SISTEMAS DE CONTROL
0]sonct rB*0,porque
+
laplanta es obsemable.
en el dominio del tiempo de sistemas con retroalimentaci6n (retroalimentaci6n
de estados) El diseno de muchos sistemas de control retroalimentados puede lograrse al utilizar representaciones en el dominio del tiempo y los conceptos de controlabilidad y observabilidad tratados antes. Como se anot6 en capitulos anteriores, particularmente en el Capitulo 14, Disefro utilizando el an6lisis del lugar de las rafces, el disefio de sistemas de control lineales a menudo se efectfa al manipular las localizaciones de los polos de la funci6n de transferencia en malla cerrada (las raices de lh ecuaci6n caracteristica), utilizando compensadores apropiados en la trayectoria de alimentaci6n directa o en la de retroalimentaci6n con el fin de cumplir con las especificaciones de desempefro. Este acercamiento es satisfactorio en muchas circunstancias, pero tiene ciertas limitaciones que pueden salvarse utilizando una filosofia de disefro diferente. llamado disefro con retroalimentaci6n de estados, el cual permite la colocaci6n arbitrariade polos y, en consecuencia, suministra de manera sustancial m6s flexibilidad en el disefio. La idea b6sica que rige el diseno de sistemas de control con retroalimentaci6n de estados es como sigue para plantas continuas de entrada sencilla dxldt : Ax 1 Bu. El procedimiento es el mismo para sistemas discretos en el tiempo. Con referencia a la figura 2-1, buscamos un control con retroalimentaci6n de estados:
u: -Gx* r
t
(20.3\
en donde G es una matriz de retroalimentaci6n I x n de ganancias constantes (que va a disefiarse) y r es la entrada de referencia. Al combinar estas ecuaciones, el sistema en malla cerrada resulta
dx
a:u-BG)x+Br
(20.4)
Si la planta es controlable la matriz G existe y puede producir cualquier conjunto (arbitrario) representado
de raices deseadas para la ecuaci6n caracteristica de este sistema en malla
por lV-A*BGl : 0' en donde las ecuaci6n. Este es el resultado b6sico.
r\ soluciones de este determinante""arudu, son las rafces de la
EJEMPLO 20.2. En la figura 20-l se presenta un diagrama de bloques del sistema con rerroalimentaci6n de estados definido en las ecuaciones (20,3) y (20.O. planta
matriz de retroalimentaci6n de ganancia constante
Figura 20-l
l
t
617
INTRODUCCION ATEMAS AVANZADOS EN ANALISIS Y DISENO DESISTEMAS DECONTROL
Para implementar un disefro con retroalimentaci6n de estados, de alguna manera debe disponerse de todo el vector de estados x como x exactamente o como alguna aproximaci6n adecuada, x, como se muestra en la figura 20-l , obviamente no hay representada como *. Si la salida es y problema. Pero, si no todos los estados estdn disponibles como salidas, lo que es m6s comfn, entonces se necesita la o bservabilidad de las ecuaciones diferenciales y de las ecuaciones de salida
:
del modelo de la planta (dxtat : Ax * Bu y y : Cx) para obtener el estado estimado necesario u observador i. Las ecttaciones de un sistema observador de estados tipico son
d?
a : (A - LC)?+ Ly * Bl en donde A, B y C son las matrices de los sistemas de medida de la planta y de la salida, y matriz de disefio del observador que se determina para un problema particular.
(20.s)
I
es una
EJEMPLO 20.3. En la figura 2O-2 se presenta un diagrama de bloques detallado del sistema observador de estados definido por la ecuaci6n (20.S),junto con el diagrama de bloques de la planta y el sistema de medida (parte superior) para generar las sefrales de entrada necesarias del sistema observador (parte inferior).
Figura 20-2 EJEMPLO 20.4. Bajo condiciones apropiadas, las cuales incluyen controlabilidad y observabilidad de la planta que se va a controlar, se aplica un principio de separaci1n y la parte de retroalimentaci6n de estados (matriz G) y la parte observadora (matriz L) de un sistema de control con retroalimentaci6n de estados (con y x) pue{cn disefrarse independientemente. La figura 20-3 presenta un diagrama de bloques de los
*
sistemas combinados.
* Figura 20-3
618
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
Hemos omitido muchos detalles en este material introductorio y a menudo los sistemas de control con retroalimentaci6n de estados son mds complejos que lo descrito antes.
+
20.4 Sistemas de control con entradas aleatorias Los estimulos del sistema a menudo presentan componentes aleatorios o de cualquier forma "desconocidos". Esto significa que las funciones de entrada algunas veces pueden definirse m6s apropiadamente de manera probabilfstica que determinfstica. Tales excitaciones se llaman procesos aleatorios. Las perturbaciones n del sistema (definici6n 2.21), estudiadas en varios .upitulo,
anteriores, algunas veces se representan mediante modelos de procesos aleatorios en la teoiia y en la prdctica de controles modernos. Un proceso aleatorio puede considerarse como una funci6n de dos variables, r y 4, en donde / representa el tiempo y ? un evento aleatorio. El valor de 4 se determina al azar.
EJEMPLO20'5. Unprocesoaleatorioparticularsedesignacomox(r,4).El eventoaleatorio4esel
resulta-
do de lanzar al aire una moneda no -cargada; las caras y los sellos aparecen con igual probabilidad. Definimos
x(r,a; = (
una funci6n paso unitario si 4 : cara una funci6n rampa unitaria si 4 : ."1;n
De este modo x(r,q) consta de dos funiiones simples, pero es un proceso aleatorio porque el azar decide qu€ funci6n ocurre.
En la prdctica, los procesos aleatorios constan de una infinidad de funciones de tiempo posibles, f lamadas realizaciones, y a menudo no podemos describirlas tan explicitamente como la del ejemplo 20.5. En lugar de ello, debemos describirlas en un sentido estad(stico, mediante promedios sobre todas las funciones de tiempo posibles. Los criterios de desempefro estudiados antes se han relacionado todos con entradas especificas (por ejemplo , Knse define para una entrada paso unitario, Mr Y Qwp, para ondas sinusoidales). Pero la satisfacci6n de las especificaciones de desempefro definidas para una seial de entrada, no necesariamente garantiza la satisfacci6n de las otras. En consecuencia, para una entrada aleatoria, no puede disefrarse para una seital particular, tal como una funci6n paso, sino para el prbmedio estadistico de senales de entrada aleatorias. EJEMPLO 20.6. EI sistema con retroalimentaci6n unitaria de la figura 2O-4 seexcita mediante una entrada de proceso aleatorio r que tiene infinitas posibilidades. Queremos determinar la compensacidn de tal manera que el error e no sea excesivo. Hay posibilidades infinitas paru r y, por tanto, tambi6n para e. En consecuencia no podemos pedir que cada error posible satisfaga los criterios de desempefro dados, sino que el promedio de errores sea pequefro. Por ejemplo, podriamos espcrar que G1 sea escogida del conjunto de todos los sistemas causales, tal que, a medida que el tiempo tiende a infinito, el promedio estadfstico de e2(r) no exceda alguna constante o sea minimo.
* Figura 20-4
619
INTRODUCCION ATEMAS AVANZADOS EN ANALISIS Y DISENO DE SISTEMAS DECONTROL
{ El estudio de los procesos aleatorios en sistemas de control, a menudo llamado teorfa de control estocdstico, es un tema de nivel avanzado en matem6ticas aplicadas.
20.5 Sistemas de control6ptimo Los problemas de control estudiados en los capitulos anteriores son, en un sentido elemental, problemas de control 6ptimo. Las medidas cli{sicas de desempefro del sistem4, tales como error en estado estacionario, margen de ganancia y margen de fase, son esencialmente criterios de optimizaci6n, y los compensadores de sistemas de control se diseflan para cumplir estos requerimientos. En problemas de control 6ptimo miis generales, la medida de desempefro del sistema, o indice de desempeno, no se fija de antemano. En lugar de ello, se elige la compensaci6n de tal modo que el fndice de desempefro se hace mdximo o se hace minimo. El valor del indice de desempefro no se conoce hasta que se complete el proceso de optimizaci6n. En muchos problemas, el fndice de desempefro es una medida o funci6n del enor e(t) entre las respuestas real e ideal. Se formula en t6rminos de los pardmetros de disefro elegidos, con el fin de
optimizar el fndice de desempefro, sujeto a las limitaciones fisicas existentes.
;
.
EJEMPLO 20.7 En el sistema ilustrado en la figura 20-5, queremos encontrar un K > 0 tal que la integral e(t) no del cuadrado del error e sea minima cuando la entrada sea una funci6n paso unitario. Puesto que e es constante, sino una funci6n de tiempo, podemos formular este problema como sigue: escoger K > 0 tal
:
gue ./o* e1 (t)dt sea minima,
y en donde
e(t):s,-rt"*=1:
K
sen(,fFir K-1 e-'
+ tan-r 1ft
- 1;
Figura 20-5 La soluci6n puede obtenerse para K ) | utilizando las t6cnicas convencionales del ciilculo integral para hallar minimos, como se muestra a continuaci6n:
Ii ,'1,1 dt: *f
["-t"^1rlr-
1a 6o-r,[x
-
r1l2 at
La integraci6n produce
Io-,' 1,v" - (
*
:
*
)
(
+
)[
-r-
*'(2fr - r' + z t--'
Er
]
K [. . cos(ztao-tt[K-L-tan-r(-tfT))
{r:t['-
- t--'( - fr - r ))
,"
I J
l*
TEORIA
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
Y
SISTEMAS DE CONTROL
l
Pero
cos(2tan-lrFT - tan-t(
-rF))
: -cos3y'f=-- 3sesrfrT - 4cos31frl 3K-
-.-K,lK
4
En consecuencia o - l)('K+ 4) K + 4 *'1= [- -r'(,',t\ d,-' - -=L(t ) - =:-:('K ' yz 4(K_l) \K2 - 4K I 4(K_t\
16
La primera derivada de
lf
e2(t)dt con respecto a
K
es
!(f::\: dK\ 4K I - x2 1
En apariencia, de
K
es
If ,'(t)
K = a,
dl disminuye mon6tonamente a medida que K aumenta. Por tanto el valor 6ptimo que por supuesto es irrealizable. para este valor de K,
ti^ [- ,'( t) dt: tjm f {1'l : K-oro x-*\ 4K I
1 4
: lK :
N6tese que tambidn la frecuencia natural a), del sistema 6ptimo es a, a, y la relaci6n de amortiguaci6n ( = 1/a,: 0, haci6ndolo marginalmente estable. Por tanto s6lo puede realizarse de manera prdctica un sistema sub6ptimo (menos que el 6ptimo) y su disefro depende de la aplicaci6n especifica.
Los problemas de control 6ptimo comunes son sin embargo mucho miis complejos que este simple ejemplo y requieren t6cnicas matem6ticas miis sofisticadas para su soluci6n. Hacemos aqui poco m6s que mencionar su existencia.
20.6 Sistemas de control adaptable En algunos sistemas de control, ciertos pardmetros son o no constantes, o varfan de un modo desconocido. En el Capitulo 9 estudiamos una manera de minimizar los efectos de tales contingencias mediante el disefro para minima sensitividad. Sin embargo, si las variaciones del par6metro son grandes o muy nipidas, puede ser conveniente disefrar para lograr la capacidadr*e medirlos continuamente y cambiar la compensaci6n de tal modo que los criterios de desempefro del sistema siempre se satisfagan. Este se llama diseflo de control adaptable. EJEMPLO 20.8. La figura 20-6 presenta un bosquejo de un diagrama de bloques de un sistema de control adaptable' Se sabe que los pardmetros A y B de la planta varian con el tiempo. El bloque marcado "identificaci6n y ajuste de pariimetros" mide continuamente la entrada a(l) y la salidac(t) delaplantapara idefiirtcar (cuantificar) los pardmetros A y B.De esta manera, ay b del compensador por adelanto se modifican de acuerdo con la salida de este elemento para satisfacer las especificaciones del sistema. El diseno del bloque
de identificaci6n y ajuste de par6metros es el principal problema del controt adaptable, otro tema requiere el conocimiento avanzado de matemiiticas aplicadas.
que
i
t
INTRODUCCION ATEMAS AVANZADOS ENANALISIS Y DISENODE SISTEMAS DECONTROL
compensaci6n por adelanto
Figura 20-6
*
621
Apendice
A
I
Algunos pares de transformadas de Laplace 0tiles para el andlisis de sistemas de control F(s)
6(t)
1
Tt
e-
r>0
f(t)
8(r
impulso unitario
-
Z)
impulso retardado
I
eo'
J+A
I
G+,f;
1
(n
-7r{-t '-"'
1
1
, D-A
(s+a)(s+b) J
I
(s+c)(s+b)
s+zl
(s+a)(s+b)(s+c)
_ r-ht1
1
s+zr
(s+a)(s+b)(s+c)
(e -at
C
I,2,3,.
-----(ae-o' - be-h') a-D
(s+a)(s+D)
I
n:
6
_ olQ,
e- o,
(b-a)(c-a) (z,- a)e-o'
(b-a)(c-a)
+
+
-
a)s-
ot
-
Q,
- b)e-''l
e "'
(c-b)(a-b)
e-' T
(a-c)(b-c)
(zr- b)e-h' , (zr- c)e " (c-b)(a-b)
'(dr(Ja
&)
sen (.)t
-1
s-+(t)-
J
-;-; s"*a'
cos ({)t
ozzt..,
*
AT,GUNOS PARES DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE UTILES PARA EL ANALISIS DE SISTEMAS DE
{
rlzi*u' \/uo- ,
s+zr
--:------;
s'+ o'
sen(ot+0)
JsenO+cdcos0
0 = tan-1
1
1
-(t) g-
G;t +d
ut,
sen
1
I
s2+2{a,,s+otj
ti4
,o= rnll{
e-fu,'renrot
s+4
ot
r>0
f (t)
F(s)
g o' cos r.rl
.-- * (s+a)-+or' s+zr
(r/z)
sen(arf*f)
s2+12
-;-----------(s+c)-+co-
CONTROL
Ito\
,lrye-",sen(ror*{)
1
o=tant\t,-t) paso unltano
l( r)
s
1_
_e-,t
-
T)
f(t) -
1(t
r(t
s
i_ -(l s
e-
"t
I
1
-(L a
--;-----------.
s(s + a)
1l ;|,'-
I
s(s+a)(s+b)
oaso retardado
- f)
Pulso rectangular
- e-'')
be-ot Ae-h, b-a b-a
II b(t, - a)s ot a(4 - a)r-o'\ b-" b-t ot\t')
s+zl
s(s+a)(s+b)
I
1
(F +;T
;(1-
s+zr
zl
,GT;T
(r.r-
r-;- tt'"
I zi +
)- liY -t (t,'"
cos&,t)
cos(att+f)
0 = tan-r
(r/tr)
623
624
TEORIA
I s(s2+2fr,l,,s+olj)
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
11 ,,t- *o'8 ,o= r,rf l:(
I s(s +
s(s +
a)'
I
-jl4-
I
/
) "sen(ar't*f) O
=
zre-utI a(a-
1
cos-lf
zr)te -orl
s-)
I
I
I --;(at-L+e -ar)
--;;------: s'(s + a)
n:1,2,3,.
SISTEMAS DE CONTROL
I A0-e*at-atu-at)
a)'
---= s+zl
Y
rampa unitaria
a-
{-l
G- rx
o!:1
Apendice B
&
Algunos pares de transformadas z utiles para el andlisis de sistemas de control F(z\
&-6simo t€rmino de la secuencia de tiempo f
zA
I
en k, 0 en cualquier otra Parte
(secuencia delta de Kronecker)
,- akr
--------.=
- e "'
z
Te'uTz
.-..-------.----=
(z
ilrz(z+e "r)
T2e
*
P7r-akr
- e ur1'
(,-, ")'
1kr12e- "kr
(k + L)(k + 2) ' . .(k + n - r)
z" ....-.--...--;
(z - A)"
(n
-
1)!
.4k
(A es cualquier nfmero complejo) 7
I
t-L
(secuencia de paso unitario)
Tz
-------;
(' -
kI
L)'
T1z(z + L)
(secuencia de rampa unitaria)
(kr)2
(, --L)t
(e+lXft+2)...(k+n-r)
z"
G_T
(n
5. z senoT z2
-2zcosaT+I
z(z - cosorl) z) -ZzrcsoT+1
ze z2
-
z(z z2
"T senuT
2ze- ur
-
e
- 2ze'oT
cos
oT + e-z"r
senokT cos
okT
e-okr senotkT
-"rcosroT)
"otr7
L-2aT
e-okr cosokT 625
-
1)!
(k), k:0,L,2,.
TEORIA
626
I
(z-a)(z-b)
Y
PROBLEMAS DE RETROALIMENTACION
0
para 1
SISTEMAS DE CONTROL
e
k:0
-__--_( a^
a-b'
Y
-I
_
b^-l)
parak > 0
(z-a)(z-b) z(I - a)
(z-r)(z-a)
l-a^
'lt
,
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627
Indice diagramas de, 47t, 489, 499 diseflo utilizando el an6lisis de, 499 forma de, 472,489 ganancia de, 472, 489, 499 sensitividad de. 269
Aceler6metro, 185 Aleatorio(os, as): entradas, 618 evento, 618 procesos, 618
Amortiguaci6n: coeficiente de, 59 raz6n (relaci6n) de, 59, 722, 34I, 424, 440 Anal6gico: computador, 263 sistema de control, 6 Ancho de banda,5, 300, 312,388, 392,394, 403, 408, 486, 563 Angulos: de llegada, 4t7,433
c.c.:
entrada de, 166 ganancia en, 166, 169 motor de, 184
Calibrar,4 Can6nico(a): forma, de un sistema de control con retroalimentaci6n, 200, 211 sistema, control con retroalimentaci6n,
de partida, 4L6,433
200,2Lr Carta de Nichols, 537, 538, 548 diagrama de la, 539
Aproximaciones: por polo-cero dominante, 449,458, 463 por serie de Taylor, 584,602 Asintotas (lugar de las raices), 4I7,433 Asint6ticos(as): aproximaciones, 47 6, 491 errores, 478 Atraso: compensaci6n por, 391, 445 compensador por, 165, I70,505,562
diseno de sistemas discretos en el tiempo
utilizando el anrilisis de la, 568 diseno utilizando el andlisis de la, 556 Causa y efecto, 5 Causalidad, 71, 91 Centro de asintotas, 415
Circulo unitario, 150, 329,438 Circulos M, 339, 373, 386 Circulos N, 339, 373 Clasifrcaci6n de los sistemas de control,
continuo, 165 digital, 170,404 Auto-malla, 234
277,290 Cofactor, 67
Barrorreceptores, 188
Bilineal:
Compensaci6n: activa, 305 de fase, 445,461,573 de magnitud, 446, 462 del factor de ganancia, 384, 386, 398,443, 458, 499, 556, 557, 569 en cascada, 304 pasiva, 305 por adelanto ,387, 400, 445,50L,515, 558 por atraso, 391,445,505, 519, 562 por atraso-adelanto, 393, 400, 507,
*,
ecuacion, 50
transformaci6n, 151, 305, 487, 509 Bloque, 18 Bode:
an6lisis de, 471 an6lisis y diseno de sistemas discretos en el tiempo, 487, 509 diagrama de 6ngulo de fase de,472 diagrama de magnitud de,472
52r.564 629
630
INDICE
por cancelacion, 444, 459 por retroalimentaci6n, 304, 456, 467,526
tacom6tnca.4O2 Compensador por adelanto, 165, L69,445, 501, 558
continuo, 165
digital, 169, 405 Compensador por atraso-adelanto, 165, 393, 507, 564 Compiensadores, an6logo y digital: derivada (D).402
integral (1), 26
PID,26,166, 395 por adelanto, 165, 169, t76,272,501, 558 por atraso, 165, 170, 177,178,404, 505, 561 por atraso-adelanto, 165, 177, 507, 564 proporcional (P), 26 Complejo(a):
convoluci6n, 95, 128
forma,324 funci6n, 319 plano, 118 traslacion, 95 Componente, 18
Conjunto fundamental, 52, 65, 78, 9L Constante de tiempo dominante, 303, 392, 394, 563 Constantes de error, 282,292 de aceleraci6n, 280. 294 de de de de
paso, 282,294
posicion, 278,294
rampa, 279,282,294 velocidad.279.294
parab6lico, 283, 294
Continua a tramos, 23 Continuo(a, os) en el tiempo (datos): senal, 5 sistema de control, 6 Contorno cerrado, 320
Control,
I
subsistema de, 2
Control de: calefacci6n, 3, 7
refrigeraci6n, 16 temperatura del horno, 16,42
un avi6n, 4 Gontrolabilidad. 614
matriz de, 615 Controlable, 614 Controlado(a): salida, 20 sistema, 20
variable, 4 Controlador: de encendido-apagado (on -ofI), 26, 40, 590
derivativo, 26 1.26
integral,26 P,26 PD.26 Pl,26 PID,26, 166, 395 proporcional, 26 Controladores, 26 (u€ase tambidn, Compensadores; Compensaci6n)
Convertidor Convertidor Convertidor Convertidor
ND,23,46 anal6gico a digital (ND),23
D/A.23.46 digital a anal6gico, 23, 46
Convolucion:
integral de, 55, 70, 90, 95 suma de,66, 89, 107 Corte: frecuencia de, 300
tasa de, 301
Criterio de estabilidad: de de de de de
fracciones continuas, L48, t57 Hurwitz, 147, L55 Lyapunov, 594, 607, 61.&r Popov, 600
Routh. 146.154
accion de, 3, 11
Criterio del 6ngulo de fase, 4L3,426
algoritmos (leyes) de, 26, 601 modelos de sistemas de, 8 problema de la ingenieria del sistema
Curva de conmutaci6n. 592
de, 7
relaci6n de,2l2 senal de.20 sistema de.
1
'.
Datos discretos en el tiempo (digitales): senal de, 5 sistema de control de, 6 Datos experimentales de respuesta de frecuencia,. 3 18, 324, 356
63r
INDICE
Decibel,300 Delta de Kronecker: respuesta,66, 168, 182
Ecuaci6n auxiliar, 147 Ecuaci6n caracteristica, 51, 64, 78, 201,
238,41L
secuencia, 66, 111
Detector por fotocelda, 14
Determinante,66 Diagrama polar, 324, 354,
37 5
propiedades del, 325, 355 Diagramas de bloques, 18, 28, 198 reducci6n de, 206, 2IO, 21"9, 242, 257 transformaciones de, 201, 213 Diagramas de magnitud en dB-dngulo de fase, 529,542 Digital(es): compensador, por adelanto, 169, 405,406 compensador, por atraso, 170, 404, 449 datos, 5 flrltro, 23 senal (datos), 5, 21
Dipolo,446 Direcci6n, 3 de potencia, 27 de potencia de autom6viles,2T Directa:
funci6n de transferencia, 201 trayectoria, 20, 234 Discretizaci6n de ecuaciones diferenciales, 69
Diseio: lugar de las raices, 443 mdtodos de, 305 objetivos del, 298 por an6lisis, 7, 305 por sintesis, 7, 305
puntual, 454,464 utilizando el an6lisis de Bode, 499, 509 utilieando el anrilisis de Nichols, 556, 568 utilizando el an6lisis de Nyquist, 384 Diseno ayudqfu por computador (DAC), 30b Diseflo algebraico (sintesis) de sistemas
digitales, 308 Distorsi6n (perturbaci6n), 25, 618 Distorsiones externas, 5
Divisor de voltaje, 11 Dominio del tiempo: diseno en el, 616 especificaciones en el, 302
respuesta en el, 63, 113, 131, 420,438
raices diferentes de la, 52 raices repetidas de la, 53 Ecuaci6n de difusi6n, 47 Ecuaci6n diferencial: homogdnea, 52,54
ordinaria, 48 Ecuaciones de diferencia, 47, 63, 67, 86 Ecuaciones de perturbaci6n, 587, 602 Ecuaciones del p6ndulo, 583 Ecuaciones del sat6lite, 72, 582, 603 Ecuaciones del sistema masa-resorte, 583 Ecuaciones diferenciales, 47 invariables en el tiempo, 49, 77, 587
lineales, 49,7I,77 no lineales, 49, 77, 586
ordinarias, 48 soluciones de las, 53, 63,81, 112, 131 variables en el tiempo (variantes en el tiempo), 49, 76 Ecuaciones invariables en el tiempo, 49,587 Ecuaciones variables en el tiempo (variantes con el tiempo), 49 Ecualizadores. 304 Efectos de carga, 34, 2O0, 2II, 242, 255
Elemento(s), 18
anticipativos, 20 Encerrados, 32L,353
Entrada, 2 nodo de, 234
Entrada de prueba, 25 Entrada de referencia, 21 Entradas mriltiples, 204, 2I5 Error: detector de, 25
relaci6n de,212
seial de, 21,619 Escalas logaritmicas, 471 Especifrcaciones de desempeflo, 298, 619 en el dominio de la frecuencia, 298 en el dominio del tiempo, 302 en estado estacionario. 302 transitorio, 302, 619 Especificaciones en el dominio de la frecuencia. 298 m6todos para sistemas no lineales, 598. 608
632
INDICE
Espejo,
F6rmula de ganancia entrada-salida, 237 F6rmula general de ganancia ...entrada-salid a, 237 , 250
1
Estabilidad, 145, 595 asint6tica, 595
Frecuencia: a escala de. 94. 96 de corte, 300, 476 de cruce de fase, 299, 339, 536 de cruce de ganancia, 299, 339, 536
condicional, 386 criterios de, 146, 594 de fracciones continuas, I48, t57 de de de de
Hurwitz, I47, 155 Lyapunov,594,613
natural amortiguada, 59, I22 natural no amortiguada, S9,122
Popov, 600
Rotith, 146, 154, 161 marginal, 145
Funcion:
prueba de Jury, 150, 159 relativa, 145, 338, 372,484,495, 535 Estable:
asint6ticamente, 595 marginalmente, L45 errores en,292,295 respuesta en,57,67 Estado: diseno de control con retroalimentacion
representaciones por variables de (modelos), 60,67,68, 86, 586, 595, 614 soluciones del vector de, 63, 68 vector de, 62, 68
5I4,
6ngulo de,324 compensaci6n de, 445 frecuencia de cruce de,299,339,536 margen de, 299, 312, 339, 423, 439, 484, 498, 536, 546 165
de Euler, 324 polar, 324 rectangular, 320
malla abierta,298,324
de malla, 201 de malla abierta, 201 de retroalimentaci6n, 201 derivadas de las, 319
discretas en el tiempo, 169 Funciones descriptoras, 597, 609 Funciones racionales (algebraicas), 101; ; 103, 110, 118, 119,345
Factibilidad fisica, 71 Factor de ganancia, 164
plano de, 588, 589 Forma:
unifrcada de respuesta de frecuencia en
directa, 201
Estimulo, 25 Avaluaci6n grlfica de residuos, 120 Exactitud, 5
minima.
multivaluada, 349 nominal de transferencia, 268
Funciones completas, 343 Funciones de singularidad, 57,84 Funciones de transferencia, 163 continuas en el tiempo, t63, 173, L74
de, 616 espacios de;614 estimado, 617 observador. 617
compensacion del, 384, 398, 443, 499, 556, 557, 569 Fase:
Lyapunov, 595 saturaci6n, 582 transferencia de pulso, 188 transferencia general, 324 transferencia sinusoidal, 318, 324
matricial exponencial, 63, 87
Estado estacionario:
'
de de de de de
Ganancia, 167, L70, I7l, 235 frecuencia de cruce de, 299, 339,.536 margen de, 299, 312, 339, 422, 439, 484, 498, 536, 546 Ganancia de malla,235 * Generador (el6ctrico), 9 Gir6scopo, 186 Grado de un polinomio, 345 Grafo de flujo de senales, 23L,244
Hist6resis, 40, 598, 6L2 Horno, 3 Impulso unitario:
'funci6n, 57, 84
