DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
ELECTRONICA E INSTRUMENTCION
PROCESOS ESTOCASTICOS
ANDRES ACURIO
AGOSTO 2013 – DICIEMBRE 2013
CAPÍTULO 6 Distribución Binomial 6.51.-Encuentre P(k) para la distribución binomial B(n,p) donde: a)
n=5, p=1/3, k=2
b) n=7, p=1/2, k=3
c) n=4, p=1/4, k=2
6.52.- Se saca una carta de un naipe corriente de 52 cartas y esta es remplazada 3 veces. Encuentre la probabilidad de que
a) Se saquen dos corazones
b) Se saquen tres corazones
c) Se saque un corazón
6.53.-Una caja contiene 3 canicas rojas y 2 canicas blancas. Se saca una canica y es reemplazada 3 veces de la caja. Encuentre la probabilidad de que: a) Se saque 1 canica roja b) Se saquen 2 canicas rojas c) Por lo menos se saque 1 canica roja
6.54.- El promedio de bateo de un jugador de beisbol es 0.300 (es decir, la probabilidad de que el golpee la bola acertadamente es 0.300). El viene a batear 4 veces. Encuentre la probabilidad de que golpee la bola acertadamente : a) Exactamente 2 veces
b) Al menos una vez
6.55.- La probabilidad de que Tomas obtenga puntaje en un lanzamiento de baloncesto de tres puntos es p=0.4. Él dispara n=5 veces. Encuentre la probabilidad de que obtenga el puntaje: a)
b)
Exactamente 2 veces
Al menos una vez
6.56.- El equipo A tiene probabilidad p=0.4 de ganar cada vez que juega. Suponga que A juega 4 juegos. Encuentre la probabilidad de que A gane: a) La mitad de los juegos
b) Al menos un juego
c) mas de la mitad de los juegos.
6.57.- Un estudiante no preparado responde un quiz de 5 preguntas de verdaderofalso y adivina todas las respuestas. Encuentre la probabilidad de que el estudiante pase el quiz si al menos 4 respuestas correctas es la nota aprobatoria.
6.58.-Cierto tipo de misil alcanza su objetivo con probabilidad p=1/5 a) Si se disparan 3 misiles, encuentre la probabilidad de que el objetivo se alcance por lo menos una vez.
b) Encuentre el numero de misiles que debe ser disparado de manera que haya por lo menos una probabilidad del 90% de alcanzar el objetivo (al menos una vez).
6.59.- Se saca una carta de un naipe corriente de 52 cartas y esta es reemplazada. Encuentre el número de veces que la carta debe sacarse de manera que: a) Haya una probabilidad del 50% de sacar un corazón.
La probabilidad de que al sacar n cartas no aparezca un corazón es:
6.60.- Un dado equilibrado se lanza repetitivamente. Encuentre el numero de veces que el dado debe ser lanzado de manera que : a) Haya una probabilidad del 50% de obtener un 6
b) La probabilidad de lanzar un 6 sea mayor del 80%
a) La probabilidad de sacar un corazón sea mayor del 75%.
Valor Esperado y Desviación Estándar 6.61.- El equipo tiene probabilidad p=0.6 de ganar cada vez que este juega. Sea X el número de veces que B gana en 4 juegos. a) Encuentre la distribución de X. b) Encuentre la media μ, la varianza σ2 y la desviación estándar σ de X a)
X
0
1
2
3
4
f(X)
16/625
96/625
216/625
216/625
81/625
6.62.-Suponga que el 2% de los tornillos producidor por una fábrica están defectuosos. En un despacho de 3600 tornillos de la fábrica, encuentre el numero esperado E de tornillos defectuosos y la desviación estándar .
6.63.- Se lanza un dado equilibrado 180 veces. Encuentre el numero esperado E de las veces en que sale la cara 6 y la desviación estándar σ.
6.64.- El equipo A tiene probabilidad p=0.8 de ganar cada vez que juega .Sea X el numero de veces que A ganara en n=100 juegos. Encuentre la media, la varianza , y la desviación estándar de X.
6.65.- Sea X una variable aleatoria distribuida binomialmente B(n,p) con E(x)=2 y var(X)=4/3. Encuentre n y p.
6.66.- Considere la distribución binomial B(n, p). Demuestre que a)
b)
DISTRIBUCIÓN NORMAL 6.67.- Sea Z una variable aleatoria normal estándar. Encuentre: a) P(-0.81≤Z≤1.13).
b) (-0.23≤Z≤1.6).
c) P(0.53≤Z≤2.03).
d) P(0.15≤Z≤1.50).
6.68.- Sea Z la variable aleatoria normal estándar. Encuentre a)
b)
c)
d)
e)
f)
6.69.- Sea X normalmente distribuida con media μ=8 y desviación estándar σ=2. Encuentre: a) P(6≤X≤10).
b) P(4≤X≤12).
c) P(4≤X≤10).
d) P(4≤X≤6).
e) P(6≤X≤12).
f) P(8≤X≤10).
6.70.- Sea X normalmente distribuida con media . Encuentre lo siguiente sin utilizar la Tabla 6-1. a)
b)
c)
y la desviación estándar
d)
e)
f)
6.71.- Suponga que el peso de 2000 estudiantes hombres está distribuido normalmente con media 155lb y 20lb . Encuentre el número de estudiantes con pesos: a) Que no superen 100 lbs. w=100
P ( x 100) w
100 155 2.75 20 P( z 2.75) (2.75) 0.4970 z
P( w 100) P( z 0.497) Si la mitad del área bajo la curva es 0.5
P 0.5 0.4970 0.003 n 2000(0.003) n6 b) Entre 120 y 130 lbs. P(120 w 130) 120 155 w 130 155 1.75 z2 1.25 20 20 P(1.75 z 1.25) ( 1.75 ) ( 1.25 ) 0.4599 0.3944 z
w
P 0.0655 n 2000(0.0655) n 131
c) Entre 150 y 175 lbs. P(150 z 175) 150 155 w 175 155 0.25 z2 1 20 20 P(0.25 z 1) ( 1 ) ( 0.25 ) 0.3413 0.0987 z
w
P 0.44 n 2000(0.44) n 880
d) Mayor o igual a 200 lbs. P( w 200) w 200 155 z 2.25 20 P( z 2.25) ( 2.25 ) 0.4878
Si la mitad del área bajo la curva es 0.5 P 0.55 0.4878 n 2000(0.0122) n 0.0122 n 24
6.72.- Suponga que el diámetro d de los tornillos manufacturados por una compañía esta distribuida normalmente con media μ =0.5 cm y la desviación estándar σ=0.4 cm. Un tornillo es considerado defectuoso si d ≤0.45 cm o d >0.55 cm. Encuentre el porcentaje de tornillos defectuosos fabricados por la Compañía.
6.73.- Suponga que el diámetro d de los tornillos manufacturados por una compañía esta distribuida normalmente con media μ =0.5 cm y la desviación estándar σ=0.4 cm. Un tornillo es considerado defectuoso si d ≤0.45 cm o d >0.55 cm. Encuentre el porcentaje de tornillos defectuosos fabricados por la Compañía.
Aproximación Normal a la Distribución Binomial. 6.74.- Se lanza una moneda equilibrada 10 veces. Encuentre la probabilidad de obtener entre 4 y 7 caras inclusive utilizando: a) La distribución binomial
b) La aproximación normal a la distribución binomial
6.75.- Se lanza una moneda equilibrada 10 veces. Encuentre la probabilidad de obtener entre 4 y 7 caras inclusive utilizando: a)
La distribución binomial
b)
La aproximación normal a la distribución binomial
7.76.- Un dado equilibrado se lanza 720 veces. Encuentre la probabilidad de que ocurra la cara 6: a) Entre 100 y 125 veces inclusive
b) Mas de 135 veces
c) Menos de 110 veces
6.77.-Un dado equilibrado se lanza 720 veces. Encuentre la probabilidad de que ocurra la cara 6: a)
Entre 100 y 125 veces inclusive
b)
Mas de 135 veces
c)
Menos de 110 veces
Distribución de Poisson 6.78.- Encuentre : a) b)
6.79.- Para la distribución de Poisson f (k , ) k k ! encuentre:
k
(1.5) 2 ( 1.5 ) 0.251 k! 2! k (1)3 ( 1 ) f (3,1) 0.0613 k! 3! k (0.6) 2 ( 0.6 ) f (2,0.6) 0.0988 k! 2! f (2,1.5)
6.80.- Suponga que 220 errores de impresión están distribuidos aleatoriamente a lo largo de un libro de 200 páginas. Encuentre la probabilidad de que una pagina dada contenga :
a) Ningún error de impresión
b) 1 error de impresión
c) 2 errores de impresión
d) 2 o mas errores de impresión
6.81.- Suponga que uno de los artículos hechos por una máquina están defectuosos en una muestra de 100 artículos, encuentre la probabilidad de que la muestra contenga: a. Ningún artículo defectuoso:
100
1 100
1 f (0,1)
k k!
(1)0 ( 1 ) 0.368 1!
b. Un artículo defectuoso:
f (1,1)
k k!
(1)1 ( 1 ) 0.368 0!
c. Tres o más artículos defectuosos:
k
(1) 2 ( 1 ) 0.1839 k! 2! f (3) 1 (0.368 0.368 0.1839) f (2,1)
f (3) 0.0801
6.82.- Suponga que el promedio el 2% de las personas son zurdas. Encuentre la probabilidad de que haya 3 o más zurdos entre 100 personas.
6.83.- Suponga que hay un promedio de 2 suicidios por año por cada 50000 personas. En una ciudad de 100000, encuentre la probabilidad de que en un año dado el número de suicidios sea: a. 0
n p 2 4 50000 k (4)0 ( 4 ) f (0,4) 0.0133 k! 0!
100000
b. 1:
f (1,4)
k k!
(4)1 ( 4 ) 0.0732 1!
(4) 2 ( 4 ) 0.1465 2!
c. 1:
f (2,4)
k k!
d. 2 o más: f (2,) 1 (0.0732 0.0183) f (2,) 1 (0.0915) f (2,) 0.909
Distribución Misceláneas 6.84.- Un dado esta cargado de manera que las caras ocurren con las siguientes probabilidades: k P(k)
1 0.1
2 0.15
3 0.15
4 0.15
5 0.15
6 0.3
El dado es lanzado 6 veces. Encuentre la probabilidad de que:
a) Cada cara ocurra una vez
b) Las caras 4,5 y 6 aparezcan dos veces cada una
6.85.- Una caja contiene 5 canicas rojas, 3 blancas y 2 azules. Se saca una muestra de 6 canicas con reposición. Encuentre la probabilidad de que: a) 3 sean rojas, 2 sean blancas y 1 sea azul. 5 0.5 10 3 pb 0.3 10 2 pa 0.2 10 6! p (0.53 )(0.32 )(0.21 ) 3!2!1! p 0.135 pr
6.86 Una caja contiene 8 canicas rojas y cuatro canicas blancas. Encuentre la probabilidad de que una muestra de tamaño n=4 contenga 2 canicas rojas y dos canicas blancas si se realiza el muestreo : a) Sin reposición
b) Con reposición
6.87.- Conduciendo por la calle principal, la probabilidad de que un auto encuentre una luz verde (seguir) en lugar de una luz roja (parar), es de 0.8. a. Encuentre el número esperado E de luces verdes que el auto encuentra antes que tenga que detenerse: 1 1 1 p 1 0.8 0.2 E 5 E
6.88.- Sea X la variable aleatoria uniforme continua UNIF (1,3). Encuentre E(X), var(X) y la distribución acumulativa F(X).
6.89.- Suponga que la esperanza de vida x(en horas) de un tubo transistor es exponencial con 180 es decir; las siguientes son las distribuciones f(x) y la distribución acumulativa F(x) de X:
x
1 180 f ( x) 180 x
F ( x) 1 180
a. Encuentre la probabilidad de que el tubo dure menos de 6 horas: p ( x 36) F (36) 36
F (36) 1 180 p ( x 36) 0.181
b. Entre 36 y 90h p(36 x 90) F (90) F (36) 90
p(36 x 90) (1 180 ) 0.181 p(36 x 90) 0.212
c. Mas de 90h p( x 90) 0.3935 p( x 90) 1 0.3935 p( x 36) 0.607 6.90.- Sea X la variable aleatoria geométrica GEO (p). usando la relación demuestre que: a)
b)
6.91.- Sea X la variable aleatoria geométrica GEO (p). usando la relación demuestre que: a)
b)
6.92.- Demuestre que la variable aleatoria geométrica X=GEO(p) no tiene propiedad de “no memoria ”, es decir,
CAPITULO 7 7.23. Dado
. Encuentre uA donde: (a)
, (b)
. (a)
(b)
(c)
7.24.
Dado
y
. Encuentre
y
, (c)
7.25. Dado
Encuentre A2y A3 a) A2
b) A3
7.26. Dado
a)
b)
c)
7.27.¿Cuáles vectores son vectores de probabilidad?
No es vector de probabilidad ya que uno de los términos es negativo
La suma de los términos que contiene el vector excede el valor de 1
Si es un vector de probabilidad.
7.28. Encuentre un escalar múltiplo de cada vector v que es un vector de probabilidad: a)
b)
c)
7.29. ¿Cuáles matrices son estocásticas?
A no es una matriz estocástica, puesto que esta no es una matriz cuadrada.
B es una matriz estocástica, puesto que la suma de sus filas y columnas independientemente no es superior a 1.
C no es una matriz estocástica, puesto que la suma de la segunda columna excede de 1.
D si es una matriz estocástica, puesto que la suma de sus filas y columnas independientemente no es superior a 1.
7.30. Encuentre el vector de probabilidad único fijo t de cada matriz:
(a)
7.31. Encuentre el vector de probabilidad único fijo t de cada matriz (a)
(b)
(a) Primero se busca un vector fijo
de P.
Luego nos queda multiplicar las matrices e igualar a los valores de la derecha.
Se fija a un valor
por tanto
. Por tanto,
es un punto fijo de P. Puesto
que Entonces el vector
(b) Primero se busca un vector fijo
de P.
Luego nos queda multiplicar las matrices e igualar a los valores de la derecha.
Se fija a un valor
por tanto
. Por tanto,
que Entonces el vector
7.32. Considere la siguiente matriz estocástica:
a) Demuestre que P es regular
es un punto fijo de P. Puesto
Tiene componentes positivas solamente. b) Encuentre el vector de probabilidad único t de P Primero se busca cualquier vector fijo
Por lo tanto,
de P. Por lo tanto, fije
es un punto fijo en P. Puesto que
c) ¿Hacia cuál matriz tiene
?
, el vector es:
Todas las filas son t d) ¿Hacia cuál vector tiende
?
Hacia t
7.33. Considere la siguiente matriz estocástica:
a) Demuestre que P es regular
Puesto que todas las componentes de P3 son positivas, P es regular
b) Encuentre el vector de probabilidad fijo único t de P.
Se fija w=2.
, es un punto fijo de P La suma de los elementos del vector u es: , entonces el vector t es:
c) ¿Hacia cuál matriz tiende Pn? La matriz Pn tiende a la matriz T cada una de cuyas filas es el punto fijo t; de donde Pn tiende a:
d) ¿Hacia cual vector tiende [1/4, 0, 1/2, 1/4] Pn? La matriz Pn tiende a la matriz T cada una de cuyas filas es el punto fijo t; de donde Pn tiende a:
7.34. Considere la siguiente matriz estocástica de 3*3:
Demuestre que el siguiente vector v es un punto fijo de P:
7.35. Juan conduce el auto o toma el tren al trabajo. Si un día conduce al trabajo, la probabilidad de que al día siguiente tome el tren será 0.2. Por otra parte, si toma el tren al trabajo, la probabilidad de conducir su auto al día siguiente será 0.3. Encuentre con qué frecuencia, en el largo plazo, él conduce al trabajo. Este es un proceso Markov donde los estados del sistema son C (conducir) y T (tomar el tren)
Por definición se tiene que
, por tanto se tiene que la matriz
, con lo
cual se obtiene que él conduce con una frecuencia del
7.36. La suerte de María en el juego sigue un patrón. Si ella gana un juego, la probabilidad de ganar el juego siguiente es 0.6. Sin embargo, si ella pierde un juego, la probabilidad de perder el juego siguiente es 0.7. Hay igual posibilidad de que ella gane el primer juego. a) Encuentre la matriz de transición M del proceso Markov
b) Encuentre la probabilidad de que ella gane el segundo juego La distribución de probabilidad del primer juego es Para predecir la distribución de probabilidad del segundo juego se multiplica
Por lo tanto la probabilidad que María gane el segundo juego es del 45% c) Encuentre la probabilidad de que ella gane el tercer juego Para predecir la distribución de probabilidad del tercer juego se multiplica
Por lo tanto la probabilidad que María gane el tercer juego es del 43.5% d) Encuentre con qué frecuencia, en el largo plazo, ella gana
La frecuencia a largo plazo con que María gane es de ó del 7.37. Suponga que q0 = [1/4, 3/4] es la distribución de estado inicial para un proceso de Markov con la siguiente matriz de transición:
a) Encuentre q1, q2 y q3.
b) Encuentre el vector v al cuál tiende q0Mn
c) Encuentre la matriz a la cuál tiende Mn
7.38. Suponga que
es la distribución de estado inicial para un proceso Markov
con la siguiente matriz de transición:
(a) Encuentre q1, q2 y q3. (b)Encuentre el vector v al cual tiende matriz a la cual tiende
(a)
.
(c) Encuentre la
(b)
(c)
7.39. Cada año Ana intercambia su auto por uno nuevo. Si ella tiene un Buick, lo entrega a cambio de un Plymouth. Si ella tiene un Plymouth, lo entrega a cambio de un Ford. Sin embargo, si ella tiene un Ford, le da lo mismo cambiarlo por un Ford nuevo, por un Buick o por un Plymouth. En 1995, ella compró su primer auto que era un Ford. (a) Encuentre la probabilidad de que ella haya comprado: (i) un Buick modelo 1997, (ii) un Plymouth modelo 1998, (iii) un Ford, modelo 1998 (b) Encuentre con qué frecuencia, en el largo plazo, ella tendrá un Ford. (a)
Primero se busca un vector fijo
de P.
Luego nos queda multiplicar las matrices e igualar a los valores de la derecha.
Se fija a un valor
por tanto
. Por tanto,
es un punto fijo de P. Puesto
que Entonces el vector
Hay una probabilidad de que Ana adquiera: i) Un Buick modelo 1997: , ii) Un Plymouth modelo 1998: 1/3 y iii) Un Ford 1998: 1/2. (b) Hay una probabilidad de que adquiera un Ford en un 50% en cada intercambio
7.40. Encuentre la matriz de transición correspondiente a cada diagrama de transición de la siguiente figura:
(a) (b) a)
b)
7.41. Trace un diagrama de transición para cada matriz de transición:
a)
b)
