Retele Petri

CAPITOLUL 2

Modelarea sistemelor dinamice cu evenimente discrete utilzând Reţele Petri 2.1 Introducere Exis Există tă o oare oareca care re difi dificu cult ltate ate în perc percep eper erea ea cara caract cter erul ului ui dina dinami micc al sistemelor cu evenimente discrete. Conceptul de sistem dinamic trebuie privit în strânsă legătură cu cel de semnal, deoarece sistemele dinamice apar ca “prelucrând” semnale de intrare, pentru a furniza semnale de ieşire. Această prelucrare se traduce, la sistemele dinamice continue sau discrete prin întârzieri întârzieri datorate fenomenelor fenomenelor de acumulare acumulare de masă sau energie. energie. Principiul Principiul de bază ază în model odelaarea rea sist sistem emel elor or dina dinami micce cons constă tă în evid eviden enţi ţier erea ea "transformării" pe care o suferă semnalul de intrare, pentru a genera semnalul de ieşire. Pentru analistul obişnuit cu sistemele clasice (continue sau discrete), dificultatea modelării SDED provine din faptul că "semnalele" sunt modelate uneori implicit şi, oricum, de manieră abstractă. Ele sunt privite ca succesiuni de evenimente. Evoluţia stării unui SDED se produce ca urmare a producerii unui astfel de eveniment. Un SDED este discret în timp, are un spaţiu al stărilor de natură discretă şi o evoluţie asincronă în raport cu evenimentele de intrare. SDED SDED pot pot fi dete determ rmin inis iste te sau sau nede nedete term rmin inist iste, e, după după cum cum evolu evoluţia ţia pe traiectoria de stare se poate face de manieră deterministă sau funcţie de alte criterii, cum ar fi "şansa" internă sau alte mecanisme care nu sunt în mod necesar modelate de analistul sistemului. Reţeaua Petri este un model matematic, cu ajutorul căruia se poate face descrierea relaţiilor ce există între condiţii şi evenimente. Deoarece reţeaua Petri (RP), ca instrument de modelare, are numeroase aplicaţii, în afară de reţelele Petri de bază, au fost dezvoltate o multitudine de tipuri de reţele. În secţiunea 2.3, sunt prezentate conceptele de bază referitoare la reţelele Petri şi câteva clase de modele derivate, care pot fi utilizate pentru modelarea SDED. În acest capitol vom prezenta utilizarea reţelelor Petri pentru modelarea şi evaluarea performanţelor sistemelor dinamice cu evenimente discrete (SDED).

22

Partea I – Modelare si analiza

Pent Pentru ru urmă urmări rire reaa aces acestu tuii obie obiect ctiv iv vom vom prez prezen enta ta defi defini niţi ţiil ilee de bază bază,, mecanismele de evoluţie ale reţelelor Petri (pe scurt RP), proprietăţile generale şi me meto tode de gene genera rale le de anal analiz izăă cum cum ar fi matrice matricea a de inciden incidenţă ţă, graful marcajelor accesibile , arborele şi graful de acoperire Reţelele Petri prezintă două caracteristici interesante pentru studiul SDED. Prima caracteristică este posibilitatea de a modela şi vizualiza comportamente de tipul tipul concur concurenţ enţă, ă, sincro sincroniza nizare re şi partaj partajare areaa resurs resurselo elor. r. Cea de-a de-a dou douaa caracteristică interesantă a reţelelor Petri este dată de posibilităţile de analiză pe care acestea le oferă. Reţeaua Petri este un instrument care permite modelarea oricărui proces cu evenimente discrete. Un astfel de model răspunde foarte bine la întrebarea “cum funcţionează funcţionează procesul” procesul” şi permite permite analiza analiza calitativă calitativă a acestuia. acestuia. Analiza Analiza performanţelor se poate face în mai mică măsură iar problemele de conducere sunt mai greu abordabile.

2.2 Definiţie. Proprietăţi generale

O reţea Petri este un graf bipartid cu două tipuri de noduri: locuri şi tranziţii. Arcele orientate leagă anumite locuri de anumite tranziţii, sau anumite tranziţii de anumite locuri. Un arc nu leagă niciodată două noduri de aceeaşi natură. În general, locurile sunt reprezentate prin cercuri şi tranziţiile prin bare (sau dreptu dreptungh nghiur iuri). i). Fiecare Fiecare loc poate poate conţine conţine una sau mai multe multe mărci (sau jetoane), reprezentate prin puncte. Aşa cum vom vedea mai departe, aceste mărci vor permite modelarea dinamicii sistemului. Marcajul unei

reţele Petri este un vector de dimensiune egală cu numărul de locuri, ale cărui componente sunt numere întregi pozitive sau nule. Cea de-a “n”–a componentă a vectorului reprezintă numărul de mărci ce figurează în locul n al reţelei Petri.

Fiecărui arc i se asociază ca pondere un număr întreg pozitiv. Dacă această pondere nu este figurată pe arc, se consideră consideră că este egală cu 1. Cu aceste elemente fixate, putem defini o RP. Definiţie 2.1:

O re reţea Petri este un cvintuplu RP = ( P, T, A, W, M0), unde: P = {P1, P2, …,Pn} este mulţimea locurilor; T = {T1, T2, …, Tm} este mulţimea tranziţiilor; A ⊆(P×T) ∪ (T×P) este mulţimea arcelor, W : A → {1, 2, 3, …} este funcţia de ponderare ataşată arcelor, M0 : P → {0, 1, 2, …} este marcajul iniţial.

Cap. 2 – ModelareaSDED utilizand RP

Observaţie:

23

Mulţimile locurilor şi tranziţiilor sunt disjuncte: P ∩ T = ∅.

O reţea Petri fără marcaj iniţial este notată: N = (P, T, A, W), deci, o reţea Petri este definită prin dubletul: RP = (N, W0). Dacă toate arcele reţelei Petri au ponderea 1, atunci reţeaua se numeşte reţea Petri ordinară . Se introduc notaţiile următoare: °T j = {Pi∈P| (Pi, T j) ∈ A} = mulţimea locurilor de intrare în tranziţia T j T j° = {Pi∈P| (T j, Pi) ∈ A} = mulţimea locurilor de ieşire din T j °Pi = {T j∈T| (T j, Pi,) ∈ A} = mulţimea tranziţiilor de intrare în P i Pi° = {T j∈T| ( Pi, T j,) ∈ A} = multimea tranziţiilor de ieşire din P i. Definiţie 2.2:

O tr tranziţie T j se spune că este validată (sau autorizată) dacă este îndeplinită condiţia: M(Pi) ≥ W (P (Pi, T j), ∀ Pi ∈ °T j, sau, cu alte cuvinte, dacă orice loc de intrare P i, în tranziţia T j conţine un număr de mărci cel puţin egal cu ponderea arcului de la Pi la T j. Declanşarea tranziţiei este indivizibilă.

În cazul particular al RP ordinare, condiţia de autorizare a unei tranziţii constă în existenţa a cel puţin unei mărci în toate locurile de intrare. O tranziţie T j, care este autorizată se poate declanşa. A declanşa tranziţia T j înseamnă: - a extrage W(P i, T j) mărci din toate locurile P i aparţinând mulţimii °T j, - a adăuga W(T j, Pk ) mărci în toate locurile P k aparţinând mulţimii T j°. Form Formal al,, decl declan anşa şare reaa unei unei tran tranzi ziţi ţiii T j, din marcajul jul M0, constă stă în tran transfo sform rmar area ea ma marc rcaj ajul ului ui iniţ iniţial ial într într-u -unn ma marc rcaj aj M, defi defini nitt de ma mani nier eraa următoare:

24

Partea I – Modelare si analiza M ( P ) − W ( P , T ) daca P ∈ T i i j j  0 i  M (Pi ) =M 0 ( Pi ) + W (T j , Pi ) daca Pi ∈T j  M 0 ( Pi ) daca Pi ∉ T j si Pi ∉T j   





P1

P2

P3

P1

.



P2

T1

P3 T1

P4

P4 P1

P3

P2 T1 P4

a) Figura 2.1. Exemple de declanşări

b)

Declanşarea (tirul) tranziţiei se produce într-un interval de timp infinit scurt. În exemplul din fig.2.1 a), tranziţia T 1 nu este autorizată în vreme ce în fig.2. fig.2.11 b) tranzi tranziţia ţia T1 este este autori autorizat zatăă prin prin marcaju marcajull M 0 = (1, 1, 1, 0). Declanşarea tranziţiei T 1 conduce în marcajul M 1=(0, 0, 0, 1), conform relaţiei: M0(T1→ M1. Mulţimea marcajelor care pot fi atinse plecând din marcajul M 0, efectuând una sau mai multe declanşări, se notează R(M 0). Marcajul la un moment dat defineşte starea reţelei sau, mai precis, starea sistemu sistemului lui mod modela elatt de reţeau reţeauaa Petri. Petri. Evoluţ Evoluţia ia stării stării coresp corespund undee evoluţ evoluţiei iei marcajului, care este determinat de declanşarea tranziţiilor. Într-o Într-o RP marcată marcată,, declan declanşare şareaa unei unei tranzi tranziţii ţii autori autorizat zatee se produc producee în momentul apariţiei evenimentului care determină tirul (declanşarea) tranziţiei. Dacă declanşarea unei tranziţii nu este condiţionată de nici un eveniment, atunci ea se declanşează de îndată ce este autorizată.


25

Se consideră că tirul tranziţiei are loc într-un interval de timp de durată nulă, deoarece conceptul de durată nu este explicitat într-un model de tip reţea Petri (nici măcar în reţelele Petri sincronizate sau temporizate). În modelele SDED de tip RP este uzual să se considere că, la un moment dat, se declanşează o singură tranziţie. Exemplul 2.1

Se consideră reţeaua Petri din figura 2.2. Marcajul său iniţial este M 0 = [1, 2, 3, 4]. Declanşarea (sau tirul ) tranziţiei T2 conduce la marcajul M 1=[0, 3, 4, 4]. Dacă plecând din M 1 se declanşează T5 se obţine marcajul M 2=[0, 3, 5, 3]. Dacă plecând din M 2 se declanşează T3, marcajul devine M 3=[0, 2, 5, 3]. Se spune că s-a trecut de la marcajul M 0 la marcajul M3 efectuând declanşarea secvenţei σ = şi se scrie: M0 M3. Secvenţa σ va fi numită declanşabilă (sau, uneori, admisibilă). σ

  →

T1

P1

P3

T4

T2

P2

T3

P4

T5 Definiţie 2.3:

Figura 2.2 Un marcaj este accesibil dacă poate fi obţinut plecând din marcajul iniţial al RP, prin aplicarea unei secvenţe de tranziţii.

2.3 Analiza calitativă a Reţelelor Petri

Pentru analiza calitativă a comportamentului unui SDED modelat cu reţele Petri, se definesc câteva proprietăţi ale acestora. Definiţie 2.4:

Un conflict (sau conflict structural ) corespunde existenţei unui loc Pi care are cel puţin două tranziţii de ieşire T 1, T2, … Acest conflict se va nota printr-un dublet format dintr-un loc şi o mulţime de tranziţii:

26


K = . Definiţie 2.5:

Un conflict efectiv este dat de existenţa unui conflict structural K, şi a unui marcaj, M, astfel încât numărul de marci din locul Pi este inferior numărului de tranziţii de ieşire din P i care sunt validate de M. Acest conflict efectiv este reprezentat de tripletul: K e = .

În figura 2.3 sunt reprezentate câteva RP ce ilustrează conceptele de conflict şi conflict efectiv. În figura 2.3 a), avem conflictul structural K 1 = .

P1

P1 T2

T1

P2

P3

T2

T1

b)

a)

P1

P1 T2

T1 c)

T2

T1 d)

Figura 2.3 Exemple de RP în care există conflict Marcajul iniţial validează T 1 şi T2, dar nu este decât o marcă, deci există un conflict efectiv: K e = . Pentru figura 2.3 b), marcajul curent nu validează decât T 1, deci nu este conflict efectiv. În figura 2.3 c) cele două tranziţii ale conflictului sunt validate, şi există două mărci, deci nu există conflict deoarece ambele tarnziţii se pot declanşa. În cazul reţelei din figura 2.3 d) există un conflict efectiv cu o structură particulară. Marcajul permite declanşarea unei singure tranziţii dintre cele două validate: de exemplu după declanşarea T 1 se poate apoi declanşa T 2 deoarece există încă o marcă în P 1. Această reţea este persitentă pentru


27

marcajul considerat. Ordinea de declanşarea a tranziţiilor T 1 şi T2 este indiferentă deoarece secvenţele T 1T2 şi T2T1 sunt amândouă posibile, şi în plus conduc la acelaşi marcaj. Noţiunea de persistenţă este importantă în cazul conflictului, dar ea se poate aplica şi în alte cazuri. Definiţie 2.6:

O Reţea Petri se numeşte persistentă pentru marcajul iniţial M0,m dacă pentru orice marcaj accesibil M i∈R(M0) este îndeplinită proprietatea următoare: - dacă Tk , T j sunt validate din M i atunci Tk T j este o secvenţă de declanşări plecând din M i (la fel ca şi T jTk ) prin simetrie.

Anumite RP au structuri particulare, adică posedă caracteristici şi proprietăţi pe care nu le au reţelele în cazul general. Aceste structuri particulare sunt grafurile de evenimente , grafurile de stări, reţele fără conflict, etc. Definiţie 2.7:

O reţea Petri se spune că este graf de evenimente dacă şi numai dacă orice loc are exact o tranziţie de intrare şi o tranziţie de ieşire.

Definiţie 2.8:

O reţea Petri se spune că este graf de stări dacă şi numai dacă orice tranziţie are exact un loc de intrare şi un loc de ieşire.

Observaţie:

Caracteristicile de tip graf de stări sau graf de marcaj se mai numesc şi caracteristici structurale deoarece ele nu depind de marcajul RP

Definiţie 2.9:

Se spune despre un loc Pi că este mărginit pentru un marcaj iniţial M0, dacă pentru orice marcaj accesibil, plecând din M 0 numărul de mărci din P i este finit.

Definiţie 2.10:

O reţea Petri este mărginită pentru marcajul iniţial M 0 dacă, pentru fiecare dintre marcajele accesibile, toate locurile sunt mărginite pentru M0.

Un caz particular de reţea mărginită este reţeaua binară (sau sigură), în care marcajul fiecărui loc este cel mult 1.

28


Reţeaua din figura 2.4 a) este o reţea mărginită, deoarece mulţimea marcajelor accesibile din M 0 este: {M1, M2, M3, M3}, unde M1 = [1, 2], M2 = [0, 3], M3 = [2, 1], M4 = [3, 0.], şi se poate vedea imediat că marcajele celor două locuri sunt mărginite. Reţeaua din figura 2.4 b) nu este o reţea mărginită, deoarece în locul P 2 se acumulează mărci la fiecare declanşare a tranziţiei T 1, deci P2 nu este mărginit.

P1 T1

T1

P2

P2

P1

T2 b) Figura 2.4 Reţele mărginite şi nemărginte Marcajul unei reţele Petri evoluează prin declanşarea tranziţiilor. Atunci când anumite tranziţii nu sunt declanşabile, o anumită parte a reţelei nu mai “funcţionează”, şi cel mai probabil există o problemă de proiectare a sistemului modelat de reţea. a)

Definiţie 2.11:

O tranziţie T j este vivantă pentru marcajul iniţial M 0, dacă pentru orice marcaj accesibil Mi ∈ R(M0) există o secvenţă de declanşări S ce conţine tranziţia T j plecând din Mi.

Altfel spus, oricare ar fi evoluţia, va exista întotdeauna o posibilitate de a declanşa T j, dacă aceasta este vivantă. Această noţiune este ilustrată în figura 2.5, pentru tranziţia T 1. Figura 2.5 a) reprezintă o RP care are două marcaje accesibile: R(M0) = {M0, M1}, unde M0 = [1, 0], M1 = [0, 1] şi pentru fiecare dintre aceste marcaje există o secvenţă de declanşări ce conţine T1, deci tranziţia este vivantă. Reţeaua din figura 2.5 b) are trei marcaje accesibile, adică:


29

R(M0) = {M0, M1, M2}, unde M0 = [1, 0, 0], M 1 = [0, 1, 0], M 2 = [0, 0, 1]. Se poate remarca uşor că nu există secvenţă de declanşări care să conţină tranziţia T1 plecând din marcajul M 1 (nici plecând din M 2), deci tranziţia T 1 pentru reţeaua Petri din figura 2.5 b) nu este vivantă. Definiţie 2.12:

O reţea Petri se numeşte vivantă pentru marcajul iniţial M 0 dacă toate tranziţiile sale sunt vivante pentru M 0.

Altfel spus, dacă o RP este vivantă pentru marcajul iniţial M 0, aceasta înseamnă că oricare ar fi evoluţia nici o tranziţie nu va deveni definitiv nedeclanşabilă. Definiţie 2.13:

a) O tranziţie T j este quasi-vivantă pentru un marcaj iniţial M 0 dacă există o secvenţă de declanşări ce conţine T j plecând din M0. b) O reţea Petri este quasi-vivantă pentru un marcaj iniţial M 0, P1 T1

P1 P2

T1

T2

P2

P3

T2

T3 a)

b)

Figura 2.5 Reţele vivante şi quasi-vivante dacă toate tranziţiile sale sunt quasi-vivante. Altfel spus, o tranziţie este quasi-vivantă dacă există o şansă ca acestă tranziţie să fie declanşată. Un exemplu în acest sens, este tranziţia T 1 din RP din figura 2.5b), care se declanşează o dată înainte de a deveni definitiv nedeclanşabilă. Definiţie 2.14:

Un blocaj (sau stare finală) este un marcaj din care nici o tranziţie nu este autorizată.

30


Spre exemplu, în reţeaua Petri din figura 2.6, declanşarea tranziţiei T 1 conduce la marcajul M 1 = [0, 1, 0, 0]. Acest marcaj este un blocaj. Nici o evoluţie a marcajului nu mai este posibilă. Reţeaua este quasi-vivantă. Definiţie 2.15:

Se spune că o reţea Petri este fără blocaj pentru un marcaj iniţial M0 dacă nici un marcaj accesibil M i ∈ R(M0) nu este un blocaj.

Reţeaua din figura 2.5 b) este o reţea quasi-vivantă făra blocaj. După declanşarea tranziţiei T 1 se ajunge în marcajul M 1 = [0, 1, 0] şi tranziţiile T 2 şi T3 sunt vivante plecând din acest marcaj. Altfel spus, o reţea fără blocaj este caracterizată de faptul că rămâne întotdeauna o parte care “funcţionează”. Observaţie:

Proprietăţile de vivacitate şi blocaj depind de manieră evidentă de marcajul iniţial. De exemplu dacă marcajul iniţial al RPdin figura 2.4 a) ar fi M 0 = [0, 0], atunci acesta ar fi un blocaj: nici o tranziţie nu este validată. P1 T1 P2

T2 P3 T2 P4

Figura 2.6 Blocaj Definiţie 2.16: a) O RP are o stare de primire Ma pentru un marcaj iniţial M 0 dacă pentru orice marcaj accesibil M i ∈ R(M0) există o secvenţă de declanşări astfel încât: Mi (Si → Ma. b) O RP este reiniţializabilă pentru un marcaj iniţial M 0 dacă M0 este o stare de primire. Starea de primire este o proprietate a reţelei ce depinde de marcajul iniţial. De exemplu, pentru RP din figura 2.6 şi marcajul iniţial M 0 = [1, 0, 0, 0] nu există stare de primire, în vreme ce pentru aceeaşi reţea şi marcajul iniţial M 0’ = [0,0,1,0], există două stări de primire. Aceste stări sunt marcajele M 0’ şi [0,0,0,1]. După ce am prezentat câteva proprietăţi pe care le pot avea reţelele Petri, este interesant de văzut cum putem determina dacă o reţea are o anumită


31

proprietate. Există în principal trei clase de metode pentru determinarea proprietăţior reţelelor Petri: -stabilirea grafului de marcaj şi a arborelui de acoperire (aceasta este metoda cea mai importantă), - determinarea proprietăţilor cantitative şi calitative utilizând algebra liniară, - determinarea proprietăţilor RP prin reducerea acestora, care nu conduce la RP echivalente, dar permite păstrarea anumitor proprietăţi, pentru simplificarea analizei prin metodele precedente. Definiţie 2.17: Graful de marcaj

este compus din noduri ce corespund marcajelor accesibile şi arce corespunzând declanşărilor tranziţiilor ce determină trecerea de la un marcaj la altul.

P1

T1 P2

T2

T1

2 T 1 0  1 1    T 2 M

M1

0

a)

b)

0  2  

M2 0  1   

M1

Figura 2.7 Graf de marcaj În figura 2.7 a) este prezentată o Reţea Petri cu marcajul său iniţial M 0 = [2, 0]. În figura 2.7 b) este prezentat graful său de marcaj. Din acest graf se pot determina proprietăţile reţelei. Se poate vedea foarte uşor că reţeaua este mărginită (deoarece numărul maxim de mărci din fiecare loc este maxim 2), nu este vivantă şi chiar are două stări de blocaj, este quasi-vivantă (deoarece plecând din M0 este posibilă declanşarea T 1 cel puţin o dată şi pentru T 2 la fel), nu are stare de primire, deci nu este reiniţializabilă. Definiţie 2.18:

Un arbore de acoperire este un graf de marcaj particular, cu un număr finit de noduri, pentru reţele care nu sunt mărginite (care au un număr infinit de marcaje accesibile) în care nu există nici buclă, nici circuit.

Pentru RP din figura 2.8 a), tranziţia T 1 este validată; declanşarea ei are ca rezultat depunerea unei mărci în P 1. Dupa aceea sunt două tranziţii validate T 1 şi T2. Dacă se declanşează T 1 marcajul locului P 1 devine 2 ş.a.m.d.. În figura 2.8 b) este reprezentat începutul construcţiei grafului de marcaj. Acest graf nu poate fi construit în întregime deoarece reţeaua nu este mărginită, adică

32


numărul marcajelor accesibile este infinit. Din acest motiv, putem construi un arbore de acoperire, care are prin definiţie un număr finit de locuri. Pentru construcţia arborelui de acoperire se pleacă din marcajul iniţial M 0 = [0] şi declanşând T 1 se obţine: M0(T1 → M1 = [1], T1 T1 [ ω] T1 T1 T1 T1 T [ 2] [ 3] … [1] [ 0] [ 0] 1 [ ω] P1 T T T T M0 M0 2 M1 2 M2 2 M3 2 T2 [ ω] T2 a) b) c) Figura 2.8 Arbore de acoperire şi cum M1 > M0, declanşarea T 1 se poate repeta de ori de câte ori se doreşte. Din acest motiv i se asociază lui P 1 marcajul simbolic ω ce are semnificaţia că marcajul P1 poate atinge un numar întreg k oricât de mare. (prin abuz de limbaj, [ω] va fi numit marcaj chiar dacă el reprezintă o infinitate de marcaje posibile. Plecând din marcajul [ ω] sunt două tranziţii validateT 1 şi T2,. Dacă erau k mărci în P 1 înainte de declanşarea T 1, vor fi k+1 mărci după declanşarea T1 şi k-1 mărci după declanşarea T 2. Ambele valori k+1 şi k-1 pot fi oricât de mari, şi li se asociază simbolul ω. Se obţine astfel arborele de acoperire din figura .8 c). Algoritmul de construcţie al arborelui de acoperire Pasul

1. Plecând din marcajul iniţial M 0 sunt indicate toate tranziţiile validate şi marcajele succesoare corespunzătoare. Dacă unul dintre aceste marcaje este strict mai mare decât M 0, se pune ω pentru fiecare dintre componentele superioare componentelor corespunzătoare din M 0.

Pasul 2.

Pentru fiecare nou marcaj M i al arborelui de marcaj se trece fie la pasul 2.1, fie la pasul 2.2.

Pasul 2.1

Dacă există pe drumul de la M 0 la Mi, un marcaj M j = Mi , atunci Mi nu are succesor.

Pasul 2.2 Dacă nu există pe drumul de la M 0 la Mi, un marcaj M j = Mi,

atunci se prelungeşte arborele adăugând toţi succesorii marcajului Mi. Pentru fiecare succesor M k al lui M i se aplică următoarea regulă:


33

1) o componentă ω a lui M i rămâne o componentă ω pentru Mk ; 2) dacă există un marcaj M j pe drumul de la M 0 la Mk astfel încât Mk > M j, atunci se pune ω pentru fiecare dintre componentele superioare componentele din M j.

T2 1 0    0 

T1

M0

0 1   1

T3

M1

P1 T3

0 0   0

M2 1  0    ω

M

T2 T1

0 1    ω

M2+ T3

+ 1

+ 0

M

T1 P2 T2 a)

T2 1 0    0 

T1

M0

0 1   1

M1

T3

0 0   0

M2 1  0   ω

1 0   ω

M0+

b)

P3

0 0   ω

T2 T1

T3 M0+ c) Figura 2.9 Arbore de acoperire şi graf de acoperire

0 1    ω

0 0   ω

M2+

M1+

Acest algoritm este ilustrat cu ajutorul figurilor 2.9 a), b) şi c).În figura 2.9 b) este prezentat arborele de acoperire pentru reţeaua Petri din figura 2.9 a), iar în figura 2.9 este prezentat graful de acoperire obţinut în urma aplicării algoritmului. Exemplul 2.2. (ilustrat prin figurile 2.9 a) şi b)) Pasul 1. M0(T1 → M1 Pasul 2.2. pentru M 1

M1(T2 → M2

34


M1(T3 → [1, 0 ,1]. Cum [1, 0 ,1] > [1, 0 ,0] = M 0, se scrie: M1(T3 → [1, 0 ,ω] = M0+. Pasul 2.2. pentru M 2: nici o tranziţie validată, este un blocaj. Pasul 2.2. pentru M 0+

M0+(T1 → [0, 1 ,ω] = M1+ Pasul 2.2. pentru M 1+

M1+(T2 → [0, 0 ,ω] = M2+ M1+(T3 → [1, 0 ,ω] = M0+ Pasul 2.2. pentru M 2+: nici o tranziţie validată, este un blocaj. Pasul 2.1. pentru M 0+

Pe drumul ce corespunde tranziţiilor T 1T3T1T3 din M0, acelaşi marcaj M0+ a fost deja întâlnit. Arborele de acoperire obţinut prin acest algoritm conţine totdeauna un număr finit de noduri. Se poate obţine un graf de acoperire (adică un graf de acoperire al marcajelor accesibile) fuzionând nodurile arborelui care corespund aceluiaşi “marcaj”. Pe figura 2.9 b) există două noduri ce corespund M0+. Dacă se fuzionează aceste noduri, se obţine graful de acoperire din figura 2.9 c). Plecând de la arborele de acoperire din figura 2.9 b), sau de la graful de acoperire din figura 2.9 c), se pot face următoarele observaţii: - locurile P1 şi P2 sunt mărginite, dar locul P 3 nu este; - există o infinitate de blocaje, ce corespund M 2 şi M2+; - reţeaua este quasi – vivantă; - mulţimea secvenţelor declanşări formează limbajul: L = T1T2 + T1T3(T1T3)*T2. Un alt instrument utilizat pentru analiza calitativă a SDED modelate prin RP este algebra liniară, care în principal utilizează ecuaţia fundamentală pentru a obţine invarianţii reţelei. Pentru a exemplifica utilizarea algebrei liniare în analiza SDED modelate cu RP, vom considera exemplul prezentat în cele ce urmează.

Exemplul 2.2


Memorie disponibilă

CP1 cere acces

P1 T3 P3

35

P7

T1

CP1 utilizează memoria

P2

CP2 cere acces

P4

T4 CP2 utilizeză memoria

P5

T6

T5

T2

P6

CP2 nu are nevoie de memorie

CP1 nu are nevoie de memorie

Figura 2.10 Reţea Petri care modelează concurenţa şi partajul resurselor Două calculatoare CP 1 şi CP2 partajează o memorie comună. Calculatorul CP1 are trei stări posibile: fie cere acces la memorie (locul P 1) sau utilizează resursa (locul P2) sau nu are nevoie de ea (locul P 3). De manieră similară calculatorul CP2 are trei stări cu aceeaşi semnificaţie. Când memoria este liberă (locul P 7 este marcat) şi CP 1 face cerere de memorie , tranziţia T 1 din figura 2.2 este autorizată. Dacă T 1 este declanşată, CP 1 utilizează memoria, iar la terminarea taskului de utilizare a memoriei, se declanşează T 2 şi resursa memorie este eliberată, fiind gata de a fi folosită de CP 1 sau de CP2. Reţeaua Petri care modelează funcţionarea celor două calculatoare este prezentată în figura 2.10, şi descrie partajul resursei memorie. Definiţie 2.19:

Un invariant de marcaj este o mulţime de locuri {P j} j = k , k m cu proprietatea: Mi(Pk ) + Mi(Pk+1) + … +M i(P j) + … + M i(Pk+m) = c, unde c este o constantă întreagă. +

De exemplu, pentru reţeaua din Fig. 2.10, {P 2, P5, P7} este un invariant, deoarece: m2 + m5 + m7 = 1. Semnificaţia fizică a acestui invariant este că resursa memorie comună este partajată de cele două calculatoare CP 1 şi CP2, deci, nu poate fi utilizată decât de un singur calculator la un moment dat. Definiţie 2.20:

O reţea este conservativă, dacă există un invariant ce conţine toate locurile.

Definiţie 2.21:

O secvenţă repetitivă din marcajul Mi este o secvenţă de tranziţii s , care realizează transferul:

36


Mi

s

  →

Mi.

De exemplu, pentru reţeaua din Fig.2.10, se poate vedea uşor că, s 1 = T4T5T6 este o secvenţă repetitivă din marcajul M 1, unde M1 = [1, 0, 0, 1, 0, 0, 1]. Definiţie 2.22:

O secvenţă repetitivă este o secvenţă de tranziţii care realizează transferul M0 Mi. , unde s = s 1 s2 astfel încât s2 este o secvenţă repetitivă din M i. s

  →

În exemplul din Fig.2.10, s = s 1 s2 este o secvenţă repetitivă, pentru s 2 = T1T2T3. Definiţie 2.23:

O componentă repetitivă este o submulţime a mulţimii conţine tranziţiile dintr-o secvenţă repetitivă.

T

ce

De exemplu, pentru reţeaua din fig 2.10, se poate vedea intuitiv că, există mai multe componente repetitive: {T 1,T2, T3}, {T4,T5,T6}, {T1,T2, T3, T4,T5,T6}. Definiţie 2.24: Matricea de incidenţă,

notată W , este matricea ale cărei elemente wij corespund modificărilor de marcaj pe care le produce declanşarea tranziţiei T j asupra locului Pi.

Observaţie:

Dimensiunea matricii de incidenţă este (n×m), unde n = card(P) şi m= card( T).

În matricea de incidenţă, o linie este asociată unui loc şi o coloană este asociată unei tranziţii. Pentru reţeaua din figura 2.10, care are card( P) = 7 şi card( T) = 6, matricea de incidenţă este: T1 T2 T3 T4 T5 T6 - 1 0 1 0 0 0 

 1 -1 0 0 0 0     0 1 -1 0 0 0   W = 0 0 0 1 0 1    0 0 0 1 -1 0    0 0 0 0 1 1   - 1 1 0 - 1 1 0   

P1 P2 P3 P4

.

P5 P6 P7

Se poate vedea în matricea de incidenţă că elementul w ij reprezintă modificarea marcajului locului P i în urma declanşării tranziţiei T j. Spre exemplu elementul w 74= -1 are semnificaţia că declanşarea tranziţei T 4 extrage o marcă din locul P 7.


Observaţie:

37

Matricea de incidenţă nu oferă nici o indicaţie asupra posibilităţii de a declanşa o tranziţie, deoarece este independentă de marcaj.

Unei secvenţe de declanşări s i se asociază un vector caracteristic S, a cărui componentă i este numărul de declanşări ale tranziţiei T i din secvenţa s. Se poate observa că un vector caracteristic poate corespunde mai multor secvenţe de declanşări, după cum nu pentru orice vector S cu elemente pozitive există o secvenţa de tranziţii. Dacă o secvenţă de declanşări oarecare s, căreia i s-a asociat vectorul caracteristic S, este aplicată din marcajul M i, marcajul accesibil în care se ajunge, Mk , este dat de ecuaţia fundamentală: Mk = Mi + W ⋅ S. (2.1) În reţeaua din figura 2.10, secvenţa de declanşări s = T1T2T4T5T6T4T5T3T4, căreia îi corespunde vectorul de declansări T S = [1 1 1 3 2 2] conduce în marcajul: 1  - 1 0 1 0 0 0  1   0  1  0   1 - 1 0 0 0 0  1  0   0  0      1        0   0 1 - 1 0 0 0    0   0  0      1        M k = 1  +  0 0 0 - 1 0 1  ×   = 1  + - 1 = 0  0   0 0 0 1 - 1 0  3  0   1  1      2        0   0 0 0 0 1 - 1   0   0  0  1  - 1 1 0 - 1 1 0  2  1  - 1 0           

. Se poate verifică imediat, urmărind figura 2.10, că acesta este marcajul în care se ajunge după declanşarea secvenţei s = T 1T2T4T5T6T4T5T3T6T4 , căreia îi corespunde vectorul de declanşări S = [1 1 1 3 2 2] T. Observaţie

Pentru orice secvenţă de declanşări există un vector de declanşări, dar reciproca nu este totdeauna adevărată. Spre exemplu vectorului S1 =[3 2 3 3 2 3] nu îi corespunde nici o secvenţă de declanşări deoarece, funcţionarea reţelei nu permite ca numărul de declanşări ale tranziţiei T 6 să fie mai mare decât numărul de declanşări ale T 5 întrucât autorizarea T 6 depinde de marcajul locului P 6 care creşte numai prin declanşarea T5.

38

Definiţie 2.25


Un vector X este P-invariant , dacă T X ⋅W = 0.

(2.2)

Un astfel de vector are o proprietate interesantă. Dacă din marcajul inţial M0, cu secvenţa de declanşări s, de vector caracteristic S, se ajunge în marcajul accesibil Mk definit prin: Mk = M0 + W S, se obţine XT Mk = XT M0 + XT W S, iar din relaţia (2.2) rezultă că XT Mk = XT M0 ,

(2.3)

pentru orice marcaj accesibil. Relaţia (2.3) arată că existenţa unui vector P -invariant este o proprietate structurală, deoarece nu depinde de marcaj. Un vector P -invariant corespunde unui vector al ponderilor asociat locurilor. În general, ponderea asociată unui loc poate fi un număr pozitiv sau nul, dar sunt de interes locurile cu ponderi nenule. Mulţimea locurilor care au ponderi nenule, într-un invariant, formează o componentă conservativă . Într-o componentă conservativă, numărul de mărci dat de ponderile locurilor din mulţimea respectivă este constant. Definiţie 2.26:

Un vector Y este T-invariant dacă: W Y = 0.

(2.4)

Dacă din marcajul M i există o secvenţă de declanşări S, astfel încât S = q Y, unde q este un număr intreg pozitiv, atunci S duce înapoi în marcajul M i. Marcajul atins din M i este dat de ecuaţia fundamentală (2.1), în care se ţine seama de relaţia (2.4) , şi rezultă imediat că: Mk = Mi . Observaţie

Relaţiile 2.3 şi 2.4 permit determinarea invarianţilor de marcaj şi respectiv a invarianţilor de tranziţii utilizând algebra liniară.

Spre exemplu, pentru RP din figura 2.10 determinarea P-invarianţilor se face determinând soluţiile sistemului de ecuaţii:


39

- 1 0 1 0 0 0   1 -1 0 0 0 0     0 1 -1 0 0 0    [ m1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 ] ×  0 0 0 - 1 0 1  = 0 .  0 0 0 1 -1 0     0 0 0 0 1 - 1 - 1 1 0 - 1 1 0   

Spaţiul soluţiilor acestui sistem este determinat de vectorii liniar independenţi ce determină P-invarianţii: - [0 0 0 1 1 1 0] ce determină invariantul {P 4, P5, P6}; - [1 1 1 0 0 0 0] ce determină invariantul {P 4, P5, P6}; - [0 0 0 1 1 1 1] ce determină invariantul {P 4, P5, P6, P7}; - [1 1 1 0 0 0 1] ce determină invariantul {P 1, P2, P3, P7}. Observaţie:

Toate locurile dintr-o componentă conservativă sunt mărginite.

2.4 Câteva tipuri de Reţele Petri

Evoluţia pe traiectoria de stare unui SDED modelat prin RP se produce ca efect al declanşării tranziţiilor. Declanşarea unei tranziţii (secţiunea 2.1) se produce dacă aceasta este autorizată şi - în anumite cazuri - s-a produs evenimentul extern ce condiţionează declanşarea. Deci, tranziţiile se pot declanşa deîndată ce sunt validate, dacă nu există condiţionări externe, şi în acest caz RP modelează un SDED care evoluează de manieră autonomă. Într-un astfel de sistem momentele la care se produce tranziţia stării nu sunt nici cunoscute, nici indicate. Reţelele ce modelează această categorie de sisteme se numesc RP autonome. Aceste reţele sunt utilizate pentru analiza calitativă (reţelele utilizate ca exemple în secţiunea 2..3 sunt RP autonome). O RP neautonomă descrie funcţionarea unui sistem a cărui evoluţie este condiţionată de evenimente externe sau de timp. Evenimentele externe corespund unei schimbări de stare a lumii exterioare (în opoziţie, se poate numi eveniment intern o schimbare de stare internă, o schimbare de marcaj). 2.4.1 Reţele Petri sincronizate

40


Definiţie 2.27:

O Reţea Petri sincronizată (notată RPS) este un triplet: , unde - R este o RP marcată; - E este o mulţime de evenimente externe; - Sinc: T → E ∪ {e}, este o aplicaţie pe mulţimea tranziţiilor cu valori în mulţimea evenimentelor reunită cu e, care este evenimentul cu apariţie permanentă

Mulţimea E a evenimentelor externe este: E = {E1, E2,…}. Principiul de funcţionare al RP sincronizate

În figura 2.11 a) , evenimentul extern E 3 este asociat tranziţei T1. În acest caz, se spune că tranziţia T 1 este receptivă la evenimentul E3, T1 este autorizată, şi declanşarea ei se produce la apariţia evenimentului E 3, aşa cum se vede în cronograma corespunzătoare. În figura 2.11 b) tranziţia T 2 este receptivă la evenimentul E2, deoarece ea este validată. T2 este declanşată în monentul apariţiei evenimentului E 2, dar declanşarea nu se produce decât o singură dată, chiar dacă marcajul P 2 este 2 la momentul producerii E 2. În figura 2.11 c) tranziţia T 3 este receptivă la evenimentul E 1, deoarece ea este validată, şi se declanşează în momentul în care se produce evenimentul E 1. În schimb, tranziţia T 4 nu se declanşează chiar dacă este sincronizată tot cu E 1 (deoarece nefiind autorizată, nu este receptivă la E 1). Observaţie:

Într-o RP autonomă orice tranziţie poate fi calificată prin validată sau declanşabilă. Acest lucru nu este valabil pentru RP sincronizate. O tranziţie dintr-o RP sincronizată este validată dacă fiecare dintre locurile de intrare conţine cel puţin o marcă. Dacă este validată, ea este declanşabilă la apariţia evenimentului care îi este asociat, şi este imediat declanşată (cu excepţia cazului în care există conflict ce nu permite declanşarea tuturor tranziţiilor declanşabile).

Evenimentul cu apariţie permanentă, notat e, nu este un eveniment extern.


41

apariţia E3 P1 a)

T1

E3

marcajul P1

P2 marcajul P2

1 0 1 0

apariţia E2 2

P3 b)

T2

2

E

marcajul P3 1 0

P4 marcajul P4

1 0

apariţia E1 P5 T3 c)

E1

marcajul P5

P6 T4

marcajul P6

P7 marcajul P7

1 0 1 0 1

0 Figura 2.11 Principiu de declanşare a unei tranziţii sincronizate În figura 2.12, evenimentul e este asociat tranziţiei T 2. Aceasta înseamnă că deîndată ce tranziţia T 2 va fi validată, ea fiind receptivă la e, se va declanşa imediat. Pentru marcajul iniţial M0 =[1, 0] din figura a) RP sincronizată este receptivă la E 3. La producerea evenimentului E 3, se declanşează T1 ce conduce în marcajul [0, 1] pentru care este validată T 2. Cum T 2 este receptivă la e, ea se

42


declanşează imediat şi se revine în marcajul [1, 0]. Din acest marcaj se aşteaptă o nouă apariţie a evenimentului E 3 pentru ca reţeaua să evolueze din nou. Din acest exemplu se vede că marcajul [1, 0] este un marcaj stabil , în P1 apariţia E3 T1

E3

marcaje stabile

P2 T2 M0 a)

1

M0=   0  

1  0   

0  1   

marcaje instabile

1  0   

0    1 

b)

Figura 2.12 Evenimentul cu apariţie permanentă, e vreme ce marcajul [0, 1] este un marcaj instabil deoarece din acest marcaj există o tranziţie receptivă la e. Definiţie2.28:

O RP sincronizată astfel încât fiecărei tranziţii îi este asociat un eveniment extern (nici unei tranziţii nu îi este asociat evenimentul cu apariţie permanentă, e) se numeşte Reţea Petri total sincronizată.

Definiţie 2.29:

Atunci când mai multe tranziţii sunt declanşabile simultan la apariţia unui eveniment X∈E∪{e}, se face o sevenţă de declanşări a acestor tranziţii (întrucât nu se pot declanşa simultan), care se numeşte secvenţă de simulare completă (pe scurt SSC).

Se notează mulţimea tranziţiilor receptive la evenimentul X, pentru marcajul M, cu: T(X, M). Definiţie 2.30:

Sk este o secvenţă de simulare completă (SSC) în raport cu evenimentul X, pentru un marcaj M, dacă îndeplineşte următoarele patru condiţii: - Sk este o secvenţă de declanşări din marcajul M, ce conţine numai tranziţii din mulţimea T(X, M). - orice tranziţie din T(X, M) apare cel mult o dată în S k . - orice secvenţă S h obţinută permutând tranziţii din S k este o secvenţă de declanşări din marcajul M.


43

- nu există nici o secvenţă mai lungă care să conţină toate tranziţiile din Sk şi care să îndeplinească cele trei condiţii anterioare. O secvenţă de declanşări se notează cu Sk ={T1T2…Ta}.

2.4.2 Reţele Petri temporizate

O reţea Petri temporizată permite descrierea unui sistem a cărui funcţionare depinde de timp. De exemplu, între începutul şi sfârşitul unei operaţii se poate scurge un interval de timp. Dacă o marcă care se află într-un loc indică faptul că operaţia se află în curs, o RP temporizată permite să se ţină seama de durata acestei operaţii. Reţelele Petri temporizate sunt utile pentru evaluarea performanţelor unui sistem. Există în principal două metode pentru modelarea temporizărilor: fie temporizările sunt asociate locurilor (în acest caz, se spune că reţeaua este o RP P-temporizată), fie temporizările sunt asociate tranziţiilor (în acest caz, se spune că reţeaua este T-temporizată).

2.4.2.1 Reţele Petri P-temporizate Fiecărui loc Pi îi este asociată o temporizare d i; eventual nulă. În cele ce urmează, se va considera cazul în care d i are valoare constantă, dar în cazul general, di ar putea fi variabilă. Definiţie 2.31:

O reţea Petri P-temporizată este un dublet: - astfel încât: - R este o RP marcată; - Temp: P → Q ,Temp(Pi) = di, temporizarea asociată locului Pi.

Principiul de funcţionare al RP P-temporizate

Deîndată ce o marcă este depusă în locul P i, această marcă trebuie să rămână în acest loc cel puţin pe durata d i. Se spune că marca este indisponibilă pe această perioadă de timp. După scurgerea duratei d i, marca devine diponibilă. Această funcţionare este ilustrată în figura 2.13. Declanşarea tranziţiei T1 are ca efect depunerea unei mărci în locul P 1. Această marcă rămâne indisponibilă pe o durată de timp d 1. În momentul în care această marcă devine disponibilă, tranziţia T 2 este validată. Când se declanşează T 2 (nu

44


neapărat imediat ce este validată), o marcă indisponibilă este depusă în P 2, ş.a.m.d. marcă indisponibilă marcă disponibilă

P1

d1

T3

d1

d2

P2

d2

P2 T3

T3

marcă indisponibilă în P 1 (tranziţia T2 nu este validată) marcă disponibilă în P 1 (tranziţia T2 este validată) marcă indisponibilă în P 2

P1

d1

P1

d1

T2

T2

T2

T2 P2

P1

T1

T1

T1

T1

d2

P2

d2

T3

d1

d2

declanşare T1 declanşare T2 Figura 2.13 Disponibilitatea unei mărci Funcţionarea unei RP P-temporizate

La momentul iniţial, marcajul M 0 este dat de mărcile disponibile. La un moment t oarecare, marcajul prezent M, este suma a două marcaje M d şi Mi, astfel încât M d este marcajul constituit din mărcile disponibile, iar M i este marcajul dat de mărcile indisponibile. O tranziţie este validată pentru marcajul M = Md + Mi, dacă este validată pentru marcajul M d. Declanşarea unei tranziţii într-o RP Ptemporizată se face la fel ca într-o RP netemporizată, cu precizarea că la declanşarea tranziţiei nu se extrag, din locurile de intrare decât mărcile disponibile. Declanşarea unei tranziţii se produce pe un interval de timp de durată nulă. Dacă o marcă este depusă într-un loc P i după declanşarea unei tranziţii care se produce la momentul de timp t, atunci această marcă rămâne indisponibilă pe intervalul de timp [t, t+d i]. Definiţie 2.32:

O RP P-temporizată funcţionează la viteză maximală dacă orice tranziţie se declanşează deîndată ce este validată.

Graful de marcaj al funcţionării la viteză maximală Observaţie:

Un graf de marcaj pentru o RP P-temporizată nu poate fi reprezentat decât pentru funcţionarea la viteză maximală.


45

În graful de marcaj al funcţionarii la viteză maximală, un marcaj corespunde relaţiei: M = Md + Mi, adică mărcile disponibile şi cele indisponibile nu sunt distincte. Trecerea de la marcajul M1 la un marcaj M 2 este marcată T j/dk . Tranziţia T j este cea a cărei declanşare determină trecerea de la marcajul M 1 la marcajul M2, iar dk este durata între momentul în care marcajul a fost atins şi momentul în care are loc M0 P1 P1 P1 d1=2 d1=2 d1=2 T1

T1 a)

d2=3

P2

M0

1 {T1 T2}/0 1

T2 2< t ≤3

0< t ≤2 M1

1 1

d2=3

P2

T2 t=0

b)

d2=3

P2

T2

T1

M2

0  2

T1/2

T2/1

M3

1 1

[T1 T2]/2 c)

2 T1 T1/0 0 

0  2

M0’

M1’

T2T2/3 T1 T1/2

2 0 

M2’

Figura 2.14 Funcţionarea la viteză maximală (RP P-temporizată) declanşarea tranziţiei T j. În anumite cazuri, trecerea de la M 1 la M2 se poate face prin declanşarea mai multor tranziţii care sunt validate la acelaşi moment de timp. În această situaţie se foloseşte notaţia {T i, T j,…}/dk , pentru a indica faptul că există o declanşare a tranziţiilor T i T j…într-o ordine oarecare. În figura 2.14 b) este prezentat graful marcajelor funcţionării la viteză maximală pentru marcajul M 0 = [1, 1]. Pentru acest marcaj T 1 şi T2 sunt validate şi sunt, deci, imediat declanşate. Se atinge marcajul [1, 1]pentru care ambele mărci devin indisponibile. La sfârşitul intervalului de timp d 1=2 marca

46


din P1 devine disponibilă şi avem declanşarea T 1/d1 = T1/2, ce conduce în marcajul M2 = [0, 2]. Una dintre cele două mărci din P 2 devine indisponibilă pentru o durată d 2, dar cea care era deja în P 2 rămâne indisponibilă numai pe M0

1(0) {T1T2}/0 1(0)

M1 1(2) 1(3) 

T1/2

M2 0  2(1,3)

T2/1

M3 1(2) 1(2)

{T1T2}/2 Figura 2.15 Indicarea duratelor indisponibilităţilor reziduale durata d2-d1 = 1. Avem deci o tranziţie marcată T 2 /(d2-d1) = T2 /1 între M2 şi M3. Două unităţi de timp mai târziu, cele două marci vor deveni disponibile şi se va reveni la marcajul M 1 prin dubla declanşare notată {T 1, T2} / 2. Figura 2.14 b) indică funcţionarea ce se obţine plecând din marcajul iniţial M0’=[2, 0]. Tranziţia T 1 este validată prin cele două mărci şi ea este declanşată de două ori la momentul 0. După aceea, două mărci sunt tot timpul disponibile la aceleaşi momente de timp, şi vor fi două declanşări fie ale T 1, fie ale T2, de fiecare dată. Observaţie:

Pe figura 2.14 b, se vede că marcajele M 0, M1 şi M3 corespund aceluiaşi număr de mărci în fiecare loc. Ceea ce le diferenţiază (dar nu apare explicit în graful de marcaj al funcţionării la viteză maximală) este durata indisponibilăţii reziduale a fiecărei mărci în momentul în care este atins un marcaj.

În figura 2.15 este explicitată această informaţie indicând între paranteze duratele indisponibilităţii reziduale ale diferitelor mărci. Această durată este 0 pentru toate mărcile marcajului iniţial (dacă această ipoteză nu ar fi adevărată atunci ar fi indicate valorile corespunzătoare). Observaţie:

Se poate remarca faptul că toate funcţionările reprezentate în grafurile de marcaj din figurile 2.14 b), 2.14 c) şi 2.15 ajung la un regim periodic după un anumit interval de timp. Această proprietate are un caracter de generalitate.

Proprietate:

Fie o RP P-temporizată ale cărei temporizări sunt numere raţionale. Funcţionarea la viteză maximală a acestei reţele conduce la o funcţionare periodică, după un interval finit, pentru orice marcaj iniţial, dacă reţeaua este mărginită.


Definiţie 2.33:

47

O reţea Petri P-temporizată se spune că funcţionează la viteză proprie dacă orice marcă nu rămâne într-un anumit loc decât pe durata sa de indisponibilitate.

Altfel spus, funcţionarea la viteză proprie este o funcţionare la viteză maximală astfel încât nici o marcă nu rămâne disponibilă. În cazul general, o marcă poate rămâne disponibilă un anumit timp dacă ea nu este suficientă pentru a valida o tranziţie. În acest caz, ea trebuie să aştepte ca alte mărci să devină disponibile, în alte locuri. Funcţionarea la viteză maximală a RP Ptemporizate din figura 2.14 este o funcţionare la viteză proprie. Pentru analiza regimului staţionar, sunt interesante frecvenţele de declanşări ale tranziţiilor. Definiţie 2.34: Frecvenţa de declanşare ,

F j, a unei tranziţii, T j, este numărul mediu de declanşări ale T j pe unitatea de timp, după ce s-a ajuns în regim staţionar.

Se consideră RP P-temporizată din figura 2.14, funcţionând la viteză proprie. Numărul mediu de mărci din P1 (în regim staţionar) este egal cu produsul d 1F2 deoarece mărcile intră în P 1 cu frecvenţa F 2 şi rămân acolo pe o durată de timp d 1. De asemenea, numărul mediu de mărci din P 2 este d2F1. Suma celor două numere este un invariant, deci avem: d1F2 + d2F1 = M0(P1) + M0(P2). În acest exemplu, se observă că F1 = F2. Cum d1=2 şi d2=3, rezultă că: 5F1 = M0(P1) + M0(P2) = 2. De unde, avem că: F1 = F2 = 2/5, rezultat ce rămâne coerent cu figura 2.14 b) şi 2.14 c). În figura 2.14 b) se vede că ciclul M1 → M2 → M3→ M1 durează 5 unităţi de timp şi sunt două declanşări T1 şi două declanşări T2 pe durata unui ciclu. În figura 2.14 c) ciclul este M1’→M2’→M1’, are aceeaşi durată şi sunt, de asemenea, două declanşări pentru fiecare dintre cele două tranziţii pe durata unui ciclu. În cazul general, avem relaţiile următoare: 1) O relaţie legând temporizările, frecvenţele şi marcajul iniţial, care este asociată fiecărui invariant liniar al locurilor. Această relaţie este în general o inegalitate, deoarece frecvenţele reale pot fi inferioare celor

48


ce corespund funcţionării la viteză proprie. Această relaţie se poate scrie sub forma: XT.D.W.F ≤ XT.M0, unde - X este un invariant de marcaj, - D o matrice diagonală astfel încât D ii = d ii este temporizarea asociată locului Pi, - W este matricea de incidenţă, - F este vectorul frecvenţelor de declanşări, - M0 este marcajul iniţial. 2) O relaţie între frecvenţele de declanşări ale diverselor tranziţii corespunzătoare fiecărui invariant de declanşări, care se poate scrie sub forma: W .Y = 0, unde - Y este un invariant de tranziţii. 3) Din toate aceste relaţii se deduc frecvenţele de declanşări corespunzătoare funcţionării la viteză maximală (când problema are soluţie). Determinarea frecvenţelor de declanşări ale tranziţiilor permit evaluarea anumitor performanţe ale sistemului: declanşarea unei tranziţii ar putea corespunde, de exemplu, încheierii unui task, marcajul mediu al unui loc, numărului mediu de clienţi în aşteptare pentru a fi serviţi. Exemplul 2.3

Se consideră RP P-temporizată din figura 2.16. Se cere să se determine frecvenţele de declanşări ale tranziţiilor T 1 şi T2. Funcţionarea la viteză proprie în bucla P 2 – P3. Sunt doi invarianţi liniari de marcaj care sunt : M(P1) + M(P2) = 2, şi


49

M(P2) + M(P3) = 1. Din cele două relaţii rezultă cele două inecuaţii: d1F2 + d2F1≤ 2

(2.5)

d3F2 + d2F1≤ 1. (2.6) Inegalităţile ar deveni egalităţi dacă reţeaua ar funcţiona la viteză proprie. Există un singur invariant de tranziţii (corespunzător secvenţei repetitive minimale) din care se deduce: F1 = F2. (2.7) Pentru d1 = 2, d2 = 3 şi d d 3 = 1, din (2.5), şi (2.7) rezultă că: F1 ≤ 2/5. Din relaţiile (2.6) şi (2.7) rezultă că: F1 ≤ 1/4. P1 T1 P2

d1=2 d2=3 P3

d3=1

T2 Figura 2.16 Frecvenţe de declanşări Din cele două rezultă imediat că: F1= min (2/5, 1/4) = 1/4. 2.4.2.2 Reţele Petri T-temporizate Într-o RP temporizată, există două posibilităţi de modelare a temporizărilor: ataşându-le fie locurilor, fie tranziţiilor. Dacă în RP temporizările sunt ataşate tranziţiilor, atunci reţeaua se spune că este T-temporizată. Reţelele Petri Ptemporizate şi T-temporizate sunt echivalente. Din acest motiv se poate trece de la un model la altul. Definiţie 2.35:

O reţea Petri T-temporizată este un dublet: , astfel încât:

50


T1

marcă rezervată

d1

T2

d2

T2

d3

T3

d1

T1

d2

d2

T2

d3

T3

marcă nerezervată în P 1 (tranziţia T2 validată) marcă rezervată în P 1 (pentru declanşarea T 2) marcă nerezervată în P 2

d1

T2

d2

P2

P2 d3

T1 P1

P1

P2

P2 T3

d1

P1

P1

marcă nerezervată

T1

T3

d3

d2

(sfârşit de) declanşare T 1 decizie de declanşare T 2 (sau început de declanşare T 2) (sfârşit de) declanşare T 2 Figura 2.17 Principiul de funcţionare al RP T-temporizate - R este o RP marcată, - Temp: T→ Q+ , Tempo (T j) = d j este temporizarea asociată tranziţiei T j. Principiul de funcţionare al RP T-temporizate

O marcă poate avea două stări: - poate fi rezervată pentru declanşarea unei tranziţii T j - poate fi nerezervată. Funcţionarea reţelei T-temporizate este ilustrată cu ajutorul figurii 2.17. Deîndată ce tranziţia T 1 este declanşată, este depusă o marcă în locul P 1, ceea ce conduce la validarea tranziţiei T 2. Din acest moment, se va putea decide declanşarea T2. În momentul în care se decide declanşarea, marca necesară acestei declanşări este rezervată. După scurgerea duratei d 2, din momentul deciziei de declanşare, tranziţia este efectiv declanşată. Marca rezervată pentru declanşarea tranziţiei este extrasă din P 1 şi o marcă nerezervată este depusă în P2, ş.a.m.d.


51

Fie t momentul de timp la care este decisă declanşarea tranziţiei T j şi t+d j momentul de timp la care declanşarea este efectiv realizată. Această abordare are avantajul de a prezenta declanşarea pe o durată nulă ceea ce este coerent cu definiţia 2.2, în care se consideră că declanşarea unei tranziţii este indivizibilă. De multe ori se utilizează un vocabular mai sugestiv: t este începutul declanşării T j şi t+d j este sfârşitul declanşării T j. Unii autori spun chiar că între t şi t+d j mărcile rezervate sunt “în” tranziţie. Pentru o RP T-temporizată se pot, de asemenea, defini o funcţionare la viteză maximală (deîndată ce o tranziţie este validată, mărcile necesare declanşării ei sunt rezervate) şi o funcţionare la viteză proprie (deîndată ce o marcă este depusă într-un loc, ea este rezervată pentru declanşarea unei tranziţii). Ca şi în cazul RP P-temporizate, pentru RP T-temporizate se pot calcula frecvenţele de declanşări ale tranziţiilor în regim staţionar. Pentru calculul frecvenţelor de declanşari se folosesc aceleaşi relaţii de calcul, cu observaţia că numărul mediu de mărci într-un loc P i este este cel puţin egal cu produsul dintre frecvenţa de declanşări a tranziţiei sale de ieşire şi durata acestei tranziţii, dacă tranziţia de ieşire a locului este unică, sau cu suma produselor T jd j unde T j ∈ Pi° dacă mulţimea locurilor de ieşire din P i, P i°,are mai mult de un element. Pentru o RP t-temporizată trebuie contabilizate mărcile care ies dintr-un loc, deoarece timpul de şedere în locul respectiv depinde de tranziţia de ieşire. Observaţie:

După ce în definiţia RP s-a făcut precizarea că declanşarea unei tranziţii are o durată nulă, modelul P-temporizat ar părea mai logic decât modelul T-temporizat. Totuşi, cel de-al doilea model se justifică dacă fiecare operaţie care are o anumită durată se asociază unui loc cu o singură tranziţie de intrare şi o singură tranziţie de ieşire. În acest caz, se obţine un model mai compact utilizând o RP T-temporizată.

2.4.3 Reţele Petri stochastice

Într-o RP temporizată, se asociază o durată fixă fiecărui loc sau fiecărei tranziţii a reţelei. Se obţin astfel, modele care sunt bine adaptate pentru studiul sistemelor în care duratele operatorii sunt fixe. Un exemplu ar putea fi sistemele de producţie unde timpul de lucru al unei maşini pentru a trata o piesă este constant. Pe de altă parte, există fenomene care nu pot fi bine modelate cu durate constante. Acesta este cazul, spre exemplu, al timpului de bună funcţionare (între două defectări) al unei maşini. Această durată poate fi

52


stoc de intrare

stoc de intrare

a) Fiecare dintre maşini poate fi operaţională sau în pană maşini operaţionale b)

P stoc de 1 intrare T1 stoc de ieşire P2

T2 µ1

P3

µ2

P4

maşini în pană

T3

µ3

Figura 2.18 Exemplu de modelare a penelor într-un sistem de producţie modelată printr-o variabilă aleatoare. În astfel de cazuri se pot utiliza Reţele Petri stochastice. În RP stochastice se asociază declanşării fiecărei tranziţii un timp aleatoriu. Ipoteza cea mai frecventă este că temporizările sunt distribuite după o lege exponenţială. Marcajul M(t) al unei RP stochastice (nu al unei RP cu temporizări stochastice) este atunci un proces markovian omogen şi, deci, oricărei RP stochastice i se poate asocia un lanţ Markov omogen. Analiza unei RP stochastice face apel la metodele de analiză cunoscute. Rezultatele privind invarianţii de marcaj şi de tranziţii sunt uşor generalizabile la RP stochastice. Pentru aceste reţele sunt interesante conservarea marcajului mediu şi frecvenţele medii de declanşare în regim permanent. 2.4.3.1 Definirea modelelor RP stochastice

Se consideră staţia de producţie din figura 2.18, compusă din două maşini, un stoc de intrare şi un stoc de ieşire. Staţia produce piese prelucrând piesele brute din stocul de intrare care sunt depuse în stocul de ieşire. Funcţionarea acestui sistem poate fi descrisă de RP din figura 2.18 b). Se presupune că


53

timpul de servire al unei maşini este o variabilă aleatoare, cu o distribuţie după o lege exponenţială , a cărei medie este ν1. Pornind de la acest timp mediu, ν1, se definesc ratele de declanşări, µ1 = 1/ ν1, ale tranziţiei T 1 din figura 2.18 b). Această rată semnifică faptul că există o probabilitate µ1.dt de declanşare a server operaţional

client în curs de servire sfârşit de servire

P1

T1

µ2 server în pană

µ1 T2

a) staţia 1 liberă staţia 1 în lucru

T1

P1

client gata pentru a fi de servit

µ1 T2

staţia 2 liberă

µ2 staţia 2 în lucru

b) Figura 2.19 a) RP stochastică b) RP cu temporizare stochastică tranziţiei T1 între momentele t şi t+dt, ştiind că tranziţia T 1 este validată la momentul t, şi că marcajul nu permite decât o singură declanşare a tranziţei (acesta este cazul reţelei din figura 2.18 b) deoarece există o singură marcă în locul P3). O maşină este susceptibilă de a cădea în pană. Intervalul de timp de bună funcţionare între două pene este o variabilă aleatoare; se notează cu µ2 rata de pană a unei maşini. Marcajul reţelei din figura 2.18 arată că o maşină este în pană şi o maşină este operatională. O maşină în pană este reparată după un interval de timp variabil, depinzând, spre exemplu, de gravitatea defecţiunii, fie µ3 rata de reparare. Pentru a defini RP stochastice, vor fi prezentate în continuare două astfel de modele prin intermediul figurii 2.19. În fiecare dintre cele două exemple există o situaţie de conflict. Definirea fiecărui model este legată de interpretarea conflictului. În RP din figura 2.19.a) există un conflict între tranziţiile T 1 şi T2, deoarece declanşările lor depind de marca din P 1. Declanşarea T1 se produce la apariţia

54


evenimentului “sfârşit de servire”, iar declanşarea T 2, la apariţia evenimentului “server în pană”. Tranziţia declanşată va corespunde, deci, evenimentului ce se va produce primul. Durata de servire a unui client este o variabilă aleatoare D 1 (de medie 1/µ1) şi durata de bună funcţionare a serverului pornind din marcajul P1 este o variabilă aleatoare D 2 (de medie 1/µ2). Numărul d j reprezintă o realizare a variabilei D j. Dacă d1d2, atunci se va declanşa T 2. În figura 2.19.b) există, de asemenea, conflict între tranziţiile T 1 şi T2, dar este de natură diferită. Marca P 1 corespunde unui job (client) ce poate fi tratat fie de către staţia 1, fie de către staţia 2. Trebuie, deci, făcută alegerea staţiei ce va trata acest client (criteriul nu este în mod necesar durata de servire, această durată putând fi, de altfel, necunoscută la momentul luării deciziei). Dacă se alege staţia 1, durata de servire va fi d 1, care este o variabilă aleatoare de medie 1/µ1. RP din figura 2.19.a) corespunde unei RP autonome a cărei evoluţie este caracterizată de variabile aleatoare, şi această reţea este o RP stochastică. Exemplul din figura 2.19.b) corespunde unei RP T-temporizate ale cărei durate de declanşari sunt stochastice.Deîndată ce staţia a fost aleasă, mărcile corespunatoare sunt rezervate; este o RP cu temporizare stochastică . Înainte de a defini o RP stochastică şi o RP cu temporizare stochastică, se introduce noţiunea de n-validare. Se consideră exemplul din figura 2.18. Pentru marcajul M 1 = [3,1,1,1…] al RP din figura 2.18.b), tranziţiile T 1, T 2 şi T3 sunt validate, şi declanşabile la ratele µ1, µ2 şi µ3. Dacă este declanşată tranziţia T3, se atinge marcajul M 2 = [3,1,2,0…]. Din M 2 nu sunt validate decât T1 şi T2, dar ele sunt declanşabile cu ratele 2 µ1 şi respectiv 2µ2. Cele două maşini fiind operaţionale , timpul mediu de servire este împărţit la doi; ceea ce corespunde faptului că există suficiente mărci în P 1 şi P3 pentru a “valida de două ori” tranziţia T 1, întrucât M 2(P3) = 2 şi M 2(P1)>2 (se spune în acest caz, că tranziţia T1 este 2-validată). De manieră similară, T 2 este 2-validată (probabilitatea ca o maşină să cadă în pană, între momentele t şi t+dt este 2.µ2.dt). Definiţie 2.36:

a) Într-o RP ordinară T j este n-validată dacă: mini(M(Pi)) = n, Pi∈ °T j. b) Într-o RP generalizată T j este n-validată dacă: n ≤ mini(M(Pi)) / W(P i,T j)) < n+1, Pi∈ °T j, unde, W(Pi,T j) este ponderea arcului de la P i la T j.

Definiţie 2.37:

O Reţea Petri stochastică este o RP autonomă în care se asociază o temporizare aleatoare d j fiecărei tranziţii T j, şi care se comportă conform algoritmului 2.1.


55

Algoritmul 2.1 Interpretarea unei RP stochastice Pas 1. Iniţializarea marcajului. Calendarul termenului limită

conţine t=0.

Pas 2. Fie X = {T 1, T2, …,T j,…} mulţimea tranziţiilor validate. Pas 3. Pentru fiecare tranziţie T j din mulţimea X, se calculează durata d j. Dacă rata de declanşare asociată T j este µ j, şi T j este n-validată, atunci declanşarea ei se face cu o rată n. µ j. Pas 4. Fie

dm = min(d1, d2, …, d j,…) şi Tm tranziţia corespuzătoare. Se înlocuieşte t cu t+d m în calendarul termenului limită. Pas 5. Se declanşează T m la momentul t. Pas2. Definitie 2.38:

O RP cu temporizare stochastică este o RP T-temporizată ce funcţionează la viteză maximală, în care se asociază o temporizare aleatoare fiecărei tranziţii.

Observaţie:

O RP stochastică şi o RP cu temporizare stochastică au exact acelaşi comportament dacă nu există conflict efectiv.

Pentru analiza unei RP, se pot utiliza două abordări complementare: - prima abordare este cea a proprietăţilor de conservare a RP- calculul invarianţilor de marcaj şi a invarianţilor de tranziţii- ce conduc la relaţii de conservare a marcajelor şi a ratelor de declanşări; - cea de-a doua abordare constă în construcţia grafului marcajelor accesibile ale RP autonome sub-adiacentă RP stochastice şi etichetarea fiecărui arc cu o rată de declanşări ce depinde de rata asociată tranziţiei şi marcajelor locurilor din amonte de această tranziţie; analiza RP stochastice conduce la analiza unui proces Markov omogen cu un spaţiu al stărilor discret, în timp continuu. Această analiză este posibilă numai în cazul în care reţeaua autonomă sub-adiacentă este mărginită.

2.4.4 Reţele Petri colorate

Reţelele Petri sunt instrumente utile pentru modelarea proceselor în care apar aspecte de concurenţă, sincronizare şi paralelism. În astfel de sisteme se

56


întâmplă deseori să existe aspecte repetitive. Aspectele repetitive se referă uneori la părţi ale procesului care au descriere identică. Acestea sunt modelate prin aceeaşi RP sau porţiune de reţea care se repetă de atâtea ori cate porţiuni identice sunt. Dacă numărul acestor porţiuni identice din proces este mare, creşte dimensiunea modelului care poate ajunge la dimensiuni care să îl facă greu de exploatat. Într-o RP, informaţia în general este purtată de loc. Prezenţa unei mărci poate, spre exemplu, să modeleze o maşină disponibilă. Dacă locul este liber, aceasta înseamnă că maşina este ocupată. Mai multe mărci într-un loc pot avea semnificaţia numărului de piese identice dintr-un stoc. Dacă se doreşte să se îmbogăţeasă informaţia conţinută de un loc din reţeaua Petri trebuie să existe o modalitate de a distinge între mărcile diferite din acelaşi loc. Pentru aceasta, se asociază fiecărei mărci din locul respectiv, un identificator numit “culoare” şi informaţia este reprezentată de mulţimea loc-culoare. Rezultă astfel un nou instrument de modelare: reţelele Petri colorate. Într-o RP colorată fiecare tranziţie poate fi declanşată în mai multe moduri, reprezentate de diferitele culori de declanşări care sunt asociate tranziţiei. Definiţie 2.39:

O Reţea Petri colorată este un cvintuplu: R = , unde: - P este mulţimea locurilor, - T este mulţimea tranziţiilor, - C = {C 1, C2, …} este mulţimea culorilor, - M0 este marcajul iniţial, - W este funcţia de ponderare a arcelor relativă la culorile de declanşări.

O RP colorată se diferenţiază de o RP prin adăugarea mulţimii de culori. O culoare Ck = se va nota fie global C k , fie prin n-uplul care o defineşte. Ca orice RP, reţeaua petri colorată are două tipuri de noduri: locuri şi tranziţii, legate prin arce orientate. Locurile.

Un loc poate conţine mărci colorate, mai multe mărci de aceeaşi culoare se pot gasi într-un loc la un moment dat, aşa cum este cazul reţelei din figura 2.20. În această figură, locul P 1 conţine tei mărci, două marci şi o marcă . Tranziţiile.

Fiecărei tranziţii îi este asociată o mulţime de culori, fiecare dintre culori indică o posibilitate distinctă de declanşare. Tranziţia T 1 din figura 2.20 se poate declanşa în raport cu culoarea în culoarea sau în culoarea .


57

Arcele.

Ponderea unui arc este dată de funcţia W ca în definiţia 2.1 a RP, cu deosebirea că, pentru RP colorate ea stabileşte o corespondenţă între fiecare culoare a tranziţiei şi culorile locurilor din amonte sau aval de tranziţie. Funcţia de ponderarea are în cazul RP colorate un argument suplimentar care este culoarea Ck de declanşare a tranziţiei T j. De asemenea, W(P i, T j/Ck ) şi W(T j/Ck , Pi), corespund, în cazul general, unei combinaţii liniare de culori de mărci relative la locul P i. În figura 2.20: W(P1, T1/) = f() = + . Se poate produce o “transformare” a culorilor odată cu declanşarea unei tranziţii. Astfel declanşarea T 1 în raport cu culoarea extrage o marcă de de culoarea din P 1 şi adaugă o marcă de culoarea . în P 2. P1

f () =< v >   f (< v >) = + < v > f (< o >) = +2 < o > 

f T1

P2

{, , } g g() =  g(< v >) =< o > +  g (< o >) = 2 < o > 

Figura 2.20 O porţiune dintr-o RP colorată Evoluţia marcajului . Marcajul M(P i) al unui loc P i reprezintă numărul de mărci

de fiecare culoare din locul P i. Marcajul iniţial al RP colorate din figura 2.20 este dat de marcajul locurilor P 1 şi P2, unde: M(P1) = 3 + 2 + , şi M(P2) = 0. Suma simbolică M(P1) semnifică 3 mărci de culoarea , 2 mărci de culoarea şi o marcă de culoarea . Fie C(T j) mulţimea culorilor asociate tranziţei T j. Această tranziţie poate fi declanşată în raport cu una dintre aceste culori (numărul de culori din C(T j) corespunde numărului de tranziţii are reţelei Petri echivalente necolorate care au fost grupate într-o singură tranziţie în RP colorată). Fie C k o culoare

58


oarecare din C(T j) şi M marcajul curent al RP colorate. Tranziţia T j este validată pentru culoarea C k din marcajul M dacă şi numai dacă numărul de mărci conţinute de orice loc P i care are T j ca tranziţie de ieşire, este mai mare cel puţin egal cu ponderea arcului P i, T j, adică: ∀Pi∈°T j, M(Pi) ≥ W(Pi, T j/Ck ), unde W(Pi, T j/Ck ) este imaginea culorii C k prin funcţia pondere a arcului ce leagă locul Pi de tranziţia T j. Spre exemplu, în figura 2.20, tranziţia T 1 este validată în raport cu culoarea deoarece f() = şi locul P 1 conţine două mărci (una singură ar fi fost suficientă). În schimb, T 1 nu este validată în raport cu culoarea deoarece ar fi trebuit ca în P 1 să fie o marcă şi două mărci , şi P 1 nu conţine decât o singură marcă de culoare . La declanşarea unei tranziţii T j validată în raport cu culoarea C k , notată T j/Ck , se efectuează simultan următoarele două operaţii: 1) se extrag din fiecare loc P i de intrare în T j o cantitate de mărci egală cu W(Pi,T j/Ck ); 2) se depun în toate locurile P m de ieşire din T j o cantitate de marci egală cu W(T j/Ck , Pm). Dacă M’ este marcajul obţinut după declanşarea tranziţiei T j/Ck , acesta se poate deduce din marcajul M după relaţia următoare: ∀Pi, M(Pi)’ = M(Pi) + W(T j/Ck , Pi) – W(Pi, T j/Ck ). În exemplul din figura 2.20, tranziţia T 1 este validată în raport cu culoarea şi, deci, ea poate fi declanşată în raport cu această culoare. Declanşarea T1/ constă în 1) extragerea unei mărci de culoare din P 1, deoarece f()= ; 2) depunerea unei mărci în locul P 2, deoarece g() = . Reţelele Petri colorate sunt instrumente utile pentru modelarea sistemelor în care există mai multe părţi ce au o funcţionare identică, şi sunt utilizate, în general, pentru micşorarea dimensiunii modelului. Pentru determinarea proprietăţilor acestei clase de RP, se pot utiliza metodele generale. Determinarea proprietăţilor acestor RP utilizând graful de marcaj nu este o abordare realistă dată fiind dimensiunea impresionantă la care poate ajunge graful de marcaj. Utilizarea algebrei liniare este posibilă, dar destul de complicată. Determinarea sistematică a proprietăţilor este destul de dificilă, în schimb verificarea proprietăţilor despre care se ştie că trebuie să existe, este mult mai simplă. Plecând de la caietul de sarcini, se pot determina, intuitiv,


59

invarianţii de marcaj. Verificarea că aceaşti invarianţi există în model, permite validarea descrierii. 2.5 Exemplu de modelare cu RP a unui proces real Pentru a modela aspectele repetitive legate de fabricarea mai multor exemplare ale aceluiaşi produs, se consideră exemplul din fig. 2.21, în care se prezintă organizarea unui sistem de asamblare (pe scurt, SA) simplu, în care se asamblează produse din două componente elementare, a şi b. b,y

a,x

post încărcare

R 1

post încărcare

(a+b),z

R 2

post descărcare

P1

P2 banda transportoare Figura 2.21 Exemplu de sistem de asamblare pentru doi constituenţi

În alcătuirea obiectelor intervin paletele P, x, y, şi z precum şi doi efectori (de exemplu 2 prehensori manipulaţi de un singur robot sau de doi roboţi). Componentele a şi b se iau din staţii de încărcare pe paletele x şi y, şi produsul final a+b este depus pe paleta z într-o staţie de descărcare. Modelul RP al sistemului de asamblare, prezentat în fig 2.21, este dat în fig.2.22. Sistemul considerat constă în două staţii de lucru P 1 şi P2, deservite respectiv de roboţii R 1 şi R 2. În reţeaua Petri din figura 2.22, un loc codifică un obiect localizat, ceea ce face ca, spre exemplu, locurile A şi B să fie ataşate aceluiaşi obiect a+EF1, dar care nu are aceeaşi poziţie în cadrul SA; o tranziţie codifică un task, astfel încât: - robotul R1 dotat cu prehensorul EF1 execută acţiunile: şi t18;

t 1 ,t2 ,t5 ,t6 ,t17

- acţiunea t 7 este executată de banda transportoare; - robotul R2 dotat cu prehensorul EF2 execută celelalte acţiuni. Se remarcă, pe figura 2.22 existenţa a 6 cicluri, corespunzătoare celor 6 tipuri de resurse utilizate: a, b, P, x, y şi z . Un ciclu este o secvenţă de locuri ataşate unor obiecte ce conţin o anumită resursă, secvenţă care se va parcurge în mod repetat pentru fabricarea mai multor exemplare de produs.

60

Partea I – Modelare si analiza b+y

x

b+y+EF2

x+a

t18

t14

EF2

t15

EF2

t13

a+b+z

a+b+EF2+z

t16

x+a+EF1

t12

z

y A

t17

a+EF1

D

EF1

a+EF1

P

t5

C

F

a+EF1+P

t6

EF1 G a+P

t7

a+b+EF2

t3

t2

t1

B E

b+EF

2

H

t8

t4

b+EF2

I

t9

EF2 M

a+P+b+EF2

J a+P

a+P+b+EF2

t10

a+P+b

K

a+b+EF2 L

t11

P

Figura 2.22 RP corespunzătoare procesului de asamblare pentru produsul cu do uă componente

Ciclurile corespunzătoare paletelor x, y, z sunt reprezentate incomplet, nedorindu-se detalierea proceselor de încărcare a componentelor de intrare şi de descărcare a produsului finit. Evidenţierea resurselor şi a ciclurilor ataşate lor permite determinarea componentelor conservative şi a invarianţilor de marcaj ai reţelei. De exemplu, efectorul EF 1 se găseşte, la un anumit moment, doar în componenţa unuia dintre obiectele ataşate locurilor A, B, C sau D şi deci numai unul dintre aceste obiecte poate exista la un moment dat. Avem deci componenta conservativă {A, B, C, D} şi invariantul de marcaj: m(A)+m(B)+m(C)+m(D) = 1 În situaţiile în care există r resurse de acelaşi tip, valoarea 1 este înlocuită cu r . De exemplu, dacă în sistemul nostru am avea r palete de acelaşi tip, am obţine invariantul de marcaj: m(E)+m(F)+m(G)+m(H)+m(I)+m(J)+m(K)+m(L) = r În cazul considerat, r = 1. Modelarea unui număr r de resurse de acelaşi tip se traduce printr-un anumit marcaj iniţial. Să mai remarcăm că, în funcţie de structura reţelei, mai există şi alte componente conservative, neasociate ciclurilor aferente resurselor, de exemplu, în cazul considerat: m(E)+m(F)+m(G)+m(H)+m(I)+m(M)+m(K)+m(L) = r Oricum, fiecare loc al reţelei este arondat unei resurse şi deci avem demonstraţia faptului că reţeaua este mărginită.


61

Execuţia unei acţiuni (modelate ca tranziţie a RP) se produce când sistemul de comandă va da ordinul de declanşare a tranziţiei respective. Cum declanşarea tranziţiilor depinde de evenimente externe RP, avem de a face cu RP neautonome. De remarcat, în încheierea prezentării, că pentru un exemplu foarte simplu (asamblarea a doi constituenţi), s-a obţinut deja o RP de o complexitate destul de ridicată.

Retele Petri

Recommend Documents