VESTIBULAR: VESTIBULAR: RESUMOS PROFESSOR: WALTER TADEU MATEMÁTICA I
Progressão Aritmética Uma sucessão aritmética é também chamada de Progressão Aritmética se a diferença entre seus termos consecutivos for constante. Termo Geral de uma Progressão Aritmética Uma progressão aritmética genérica pode ser escrita da forma (a1, a2, a3, ... , an, ...) cuja ...) cuja a razão é r. De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r a3 = a = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r ..................................................... Podemos deduzir das igualdades acima que: an = a1 + (n – 1).r (denominada termo geral da PA). Dessa fórmula, temos que: an é o termo de ordem n (n-ésimo termo); r é é a razão; a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA. – PA.
→ → →
Propriedades de uma PA - 1ª Propriedade: Em toda Progressão Aritmética (PA), um termo qualquer, excluindo-se os extremos, é média aritmética entre o seu antecedente e o seu consequente. Desta forma na P.A. temos: (a ( a1, a2, ...ak-1, ak, ak+1 ... an-1, an) => ak
ak1 ak 1 2
Exemplo: P.A = (1,3,5,7,9,11,...) => 5 3 7 ; 9 7 11; etc. 2
2
- 2ª Propriedade: Em toda P.A. limitada, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Na P.A. (a ( a1, a2,..., an-1, an) temos a1 an
etc. a2 an1 ...etc
Exemplo: PA (1,2,3,...98, 99, 100) => Temos: 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 1 + 100. - 3ª Propriedade: Em toda P.A. de número ímpar de termos, o termo central ou termo médio é a média aritmética dos termos equidistantes a ele.. 3 11 5 9 Exemplo: PA (3, 5, 7, 9, 11) => 7 . 2 2 Soma dos termos uma Progressão Aritmética (P.A.): (P.A.) : Soma dos termos de uma P.A. finita (ou limitada) é igual ao produto da semissoma dos extremos pelo número de termos. Demonstração. Se fizermos a soma dos n termos de uma PA finita ordenando de forma crescente e decrescente os termos teremos:
S a1 a2 a3 ... an2 an1 an n Sn an an1 an2 ... a3 a2 a1 2.Sn a1 an a 2 an1 a 3 an2 ... an2 a3 an1 a 2 an a1 Como há n termos de mesmo valor (a1 + an), pela propriedade 2, temos: S
(a1 an ).n 2
Exemplo: Calcular a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A. (2, 5, 8...). Solução: Solução: a20
2 (20 1).3 a20
2 57 59 S
(a1 an ).n 2
(2 59).20 (61).(10) 610 . 2 1
Interpolação de uma Progressão Aritmética (P.A.): Interpolar ou inserir “k” meios aritméticos entre dois extremos a1 e an, significa formar uma P.A. de n = k + 2 termos onde a1 e an são os extremos. Como a1 e an são sempre dados, basta determinar a razão r . Exemplo: Inserir 4 meios aritméticos entre 3 e 38. Solução. 3, ____,____,____,_____,38 a1 = 3; an = 38; n = 6; r = ? an = a1 + (n 1)r => r = 7. Logo, PA (3, 10, 17, 24,31,38). –
Progressão Aritmética de 2ª Ordem A definição de progressão aritmética utilizada até agora, na verdade é um caso particular chamado progressão aritmética de 1ª ordem, onde a subtração dos termos consecutivos é constante. No caso da PA de 2ª ordem a segunda subtração de termos consecutivos e que será constante. Exemplo 1: (1, 3, 6, 10, ...) 1ª subtração: 3 – 1 = 2; 6 – 3 = 3; 10 – 6 = 4, .... Observe que as diferenças não são constantes, mas os resultados (2, 3, 4,...) formam um PA de razão constante igual a 1. De forma geral, podemos escrever essa situação da seguinte forma: i) a1, a2, a3, a4, ...., an representando a PA de 2ª ordem. ii) b1, b2, ...,bn-1 representando a PA de 1ª ordem. a2 a1 = b1 a3 a2 = b2 a4 a3 = b3 ................ an an -1 = bn-1 – – –
–
Adicionando os dois membros entre si, observamos que os termos simétricos do 1º membro se anulam sobrando (an – a1) e no 2º membro forma-se uma soma de PA. Escrevendo essa expressão, temos:
an
a1
(b1 bn 1 ).(n 1) an 2
a1
(b1 bn 1 ).(n 1) . 2
Exemplo 2. “Números triangulares” são números que podem ser representados por pontos arranjados na forma de triângulos equiláteros. E conveniente definir 1 como o primeiro numero triangular. Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares. Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T1 = 1, T2 = 3, T3 = 6, T4 = 10, e assim por diante. O valor de T100 é igual a: a) 5.050
b) 4.950
c) 2.187
d) 1.458
e) 729
(2 b1001 ).(100 1) (2 b99 ).99 1 (2 100).99 (102).99 a100 1 a100 1 1 . 2 2 2 2 b99 2 (99 1).1 2 98 100 a1 1 (51).(99) 1 5049 5050 Questão da UERJ: A soma de todos os números desta tabela até a vigésima linha é: Solução. Cada coluna da esquerda para a direita é uma PA de razões respectivamente, 3, 4 e 5. Calculando as somas dos vinte termos de cada coluna, temos:
a20 3 (20 1).3 3 (19).3 3 57 60 i) 1ª : ; (3 60).20 (63).(10) 630 S 20 2 . a 20 4 (20 1).4 4 (19).4 4 76 80 Total: 630 840 1050 2520 ii) 2ª : (4 80).20 (84).(10) 840 S 20 2 a 20 5 (20 1).5 5 (19).5 5 95 100 iii) 3ª : (5 100).20 (105).(10) 1050 S20 2 2
Soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética de 2ª Ordem Expressando a soma dos termos de an, temos:
a1
a1
a2
a1 b1
a3
a2
b2
a1 b1 b2
a4
a3
b3
a1 2b1 r b3
a5
a4
b4
a1 3b1 3r b 4
a1 3b1 3r b1 3r a1 4b1 6r
a6
a5
b5
a1 4b1 6r b5
a1 4b1 6r b1 4r a1 5b1 10r
a7
a6
b6
a1 5b1 10r b 6
... an
an 1 bn
1
a1 b1 b1 r a1 2b1 r a1 2b1 r b1 2r a1 3b1 3r
a1 5b1 10r b1 5r a1 6b1 15r
a1 (n 1)b1 (1 3 6 10 ... C).r
Somando os termos do 1º e igualando à soma dos termos ( a1), (b1) e (r ), temos:
a1 a 2
a3
... an
n.a1 (1 2 ... (n 1).b1 (1 3 6 10 ...C)r
a1 a 2
a3
... an
n.a1 b1.
n.(n 1) (1 3 6 10 ...C)r 2
O coeficiente da terceira parcela do 2º membro pode ser escrito da seguinte forma:
1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) ... (1 2 3 4 ... k) -> (*) Essa expressão representa a soma de soma de progressões aritméticas de razão 1. Temos:
k(k 1) k2 k 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) ... (1 2 3 4 ... k) 2 2 2 k 1 1 k(k 1) k(k 1) OBS : . k . 2 2 2 2 4 Observação: Calculando
k
2
, temos:
(0 1)3 03 3.0 2 3.0.1 1 3 3 2 (1 1) 1 3.1 3.1.1 1 (2 1)3 23 3.22 3.2.1 1 3 3 2 ( 3 1 ) 3 3 . 3 3 . 3 . 1 1 ... (k 1)3 k 3 3.k 2 12 3.3.1 1
k
13 23 33 ... k 3 (k 1)3 13 23 33 ... k 3 3.
2
3.k k 1
3k.(k 1) 3k.(k 1) k 1 3. k 2 (k 1)3 k 1 2 2 2(k 1)3 3k.(k 1) 2k 1 (k 1)2(k 1)2 3k. 2 2 2 3. k k 2 6 (k 1)2k 2 4k 2 3k. 2 (k 1)2k 2 k. k.(k 1).(2k 1) 2 2 k k k2 6 6 6
(k 1)3 3.k 2
No caso da soma dos termos da PA de segunda ordem, k = (n – 2).
n.(n 1) (n 2).(n 2 1).(2(n 2) 1) 3(n 2)(n 2 1) r . 2 12 12 n.(n 1) (n 2).(n 1).(2n 3) 3 a1 a 2 a 3 ... an n.a1 b1. r . 2 12 n.(n 1) r .n.(n 2).(n 1) a1 a 2 a 3 ... an n.a1 b1. 2 6 a1 a 2
a3
... an
n.a1 b1.
3
