Marinha, Exército e Força Aérea
Serviço Militar
Ficha Resumo Matemática
EsPCEx
FORMULÁRIO DE TRIGONOMETRIA Fórmulas básicas 2
tg x + 1 = sec x 2
2
sen x + cos x = 1
2
1
sec x =
cos ecx =
sen p + sen q = 2.sen
cos x cos x
cot gx =
senx
2
senx
tgx =
cos x 1
Transformação de soma em produto sen( p + q ) + sen (p − q ) = 2.senp .cosq
cot g x + 1 = cos ec x
2
senx
=
1
sen p − sen q = 2.sen
tgx
cos p + cos q = 2. cos
Soma e subtração de arcos sen(a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a
tga + tgb
tg(a + b) =
sen(a − b) = sen a. cos b − sen b. cos a cos(a + b) = cos a.cob − sen a.sen b
tga − tgb
tgp + tgq =
1 + tga.tgb
Arco duplo
tgp − tgq =
sen 2 x = 2.senx. cos x
cos 2x = cos2 x − sen2 x cos 2x = 2. cos2 x − 1
tg 2x =
cos 2x = 1 − 2sen2 x
1 − cos x x =± 2 2
2 p+q 2 p+q 2
cos cos
p−q 2 p+q 2 p−q
sen
2 p−q 2
sen(p + q) cos p. cos q sen(p − q) cos p. cos q
1 − tg2x
Funções trigonométricas
cos 3 x = 4cos3 x − 3.cos x
Funções do tipo:
f(x)= A + B. cos (Cx + D)
eixo y
Arco metade 1 + cos x x =± 2 2
sen
p−q
cos
2.tgx
Arco triplo sen 3 x = 3.sen x − 4.sen 3 x
2
cos p − cos q = −2.sen
1 − tga.tgb
tg(a − b) =
cos(a − b ) = cos a.cob + sen a.sen b
p+q
1 − cos x x =± 1 + cos x 2
cos
tg
2 . Período de f(x): p= (eixo x) |c|
eixo x
Domínio = |R
Imagem de f(x): basta lembrar que -1 < senx < 1 e -1 < cosx < 1 (eixo y) /
/
/
1
I. maior valor de f(x): A + B. cos (Cx + D) -1
I. menor valor de f(x): A + B. cos (Cx + D)
Função Exponencial e Logaritmos Definição de exponencial:
a 0 1 Def.: n 1 an a a
Sendo a IR e n IN , temos:
Se af(x) = ag(x)
f(x) = g(x)
a
m
n a
a
m n
P5:
a
m
P2:
a
n
a
m
n
P6: m n
P3:
(a ) a
P4
(a b)
m
a b a
n
m
m
a
P7:
n
a
af(x) < ag(x)
: af(x) < ag(x)
mantém o sentido (base > 1)
4) logb x =
logc x logc b
(mudança de base)
Desigualdades envolvendo logaritmos Base > 1 ⇒ logbase x > logbase y ⇔ x > y (crescente)
a
n
f(x) > g (x)
f(x) < g(x)
3) logb xn = n. logb x
m
m
inverte o sentido (0 < base < 1) Se a > 1
m
n
Desigualdades envolvendo funções exponenciais Se 0 < a < 1:
2) logb ( x / y ) = logb x − logb y
1 a
b m
m
b
mn
=a
base > 0 e base ≠ 1 logbase x = a ⇔ basea = x , onde x > 0 Resumo das propriedades: 1) logb ( xy) = logb x + logb y
Resumo das propriedades: P1:
Definição de logaritmo:
0 < Base < 1 ⇒ logbase x > logbase y ⇔ x < y (decrescente)
/
Geometria Analítica
O ponto
Distância entre dois pontos
=
(XB – XA )2
dA,B =
∆X2 + ∆Y 2
dA,B
Coeficiente angular
+ (YB – YA )2
m=
ou
YB – YA XB – X A
= tgα
α = inclinação da reta m = tgα : declividade (coef. angular)
Ponto médio de um segmento M
Distância ponto à reta
A reta
Equação da reta
∆x = m.∆y
X A + XB ; YA + YB 2 2
⇔ y - y = m.(x - x ) ° °
Equação reduzida da reta Área do triângulo S∆ =
D 2
onde D =
XA
YA
1
XB
YB
1
XC
YC
1
∈
AB
⇔
XA
YA
1
XB
YB
1
XC
YC
Equação Geral da reta m.x + b.y + (m.x °+ y°) = 0
⇒ ax + by + c = 0
Alinhamento de três pontos C
y = m.x + (m.x + y ) ⇒ y = mx + n ° °
1
P(X,Y) é um ponto qualquer de r
XA XB X
YA 1 YB 1 Y 1
Eq. Geral da reta
dp,r
a ∈ IR, b ∈ IR e c ∈ IR a.b ≠ 0
+ by0 + c a2 + b2
Obs.: distância entre 2 retas paralelas ax + by + k1 = 0 e ax + by + k2 = 0 dr1 ,r2
k1 – k2
=
a2
+ b2
Ângulo formado por duas retas tgα =
m1– m2 1+m1.m2
Posições relativas Paralelas (inclinações iguais)
r1 / / r2
=0 ⇒ ax + by + c = 0
ax0
=
⇔ m1 = m2
Paralelas iguais ou coincidentes
r1 / / r2
⇔ m1 = m2 ⇔
n1 = n2
concorrentes
⇒ m1 =/ m2
Perpendicularidade entre retas
⊥ ⇔ m1 =
r1 r2
Geometria Analítica: Circunferência
–1 m2
Geometria 6spacial
Relação entre retas: Paralelas (não tem ponto em comum) Coeficientes angulares iguais (M 1= M 2)
Coplanares (mesmo plano) Concorrentes (único ponto em comum)
Coeficientes angularess diferentes (M 1= / M 2)
Perpendicular Oblíquo
Distintas Ortogonais (mesmo sentido)
Duas retas
Reversas (planos diferentes) Não ortogonais
Relação entre pontos: 1) Colineares : existe uma reta que passa por todos os pontos.
Coincidentes (paralelas iguais) Uma sobre a outra Coeficientes angulares iguais (M 1= M 2) Coeficientes lineares iguais (N 1= N 2)
2) Coplanares : existe um plano que passa por todos os pontos.
Relação entre planos: Paralelos (Não tem ponto em comum)
Relação de Euler: poliedros convexos
Distintas Perpendiculares
Dois planos
Secantes ou concorrentes (Uma reta em comum) Oblíquos Coincidentes (paralelas iguais) Um sobre o outro
V + FT = A T+ 2 A T= A 1. F1 + A 2. F2 2
V : Vértices Ft : Faces totais A t: Arestas totais
Soma dos ângulos internos da face S i= 360 .(v –2)
Geometria 6spacial
Prismas Área da superfície de um prisma e o volume do paralelepípedo retângulo
Equações para prismas regulares
Cálculo da diagonal de um paralelepípeto reto retangular e de um cubo
A t= 2 .(ab + ac + bc)
·
Á rea lateral: A l = 2P b .h
V = a .b .c
·
Á rea total: A t= A l + 2.A b
D²= a²+ b²+ c²
·
Volum e: V = A b .h A t= 6 .a²
Diagonais de poliedros São segm entos de reta que unem dois vértices não situad os na m esm a face. 2 v
Em que:C –com binação do s vértices tom ad os do is a do is A –núm ero de arestas d f–totaldo núm ero de diagonais de tod as as faces
2
D = C v –A –d f
V = a³ DC
= a. 3
u b o
dF a c= a. 2 e
Geometria 6spacial Pirâmides
Pirâmides: Semelhantes proporcionais
(Hh )²= (AA ) (Hh )³= ( Vv ) h ( H )= ( L ) (AA )³= ( Vv )² b
Equações ·
p
·
·
Área lateral: A l =
B
l .ap 2
Área total: A t= A l + A b Volum e: V =
l
A b .h 3
b
B
Transversal:paralela à base.
Tronco de Pirâmides
proporcionalidade
Cilindros Equações ·
·
·
Área lateral: A l = 2 . .r.h Área total: A t= 2 . .r.h + 2 . .r² Volum e: V =
.r².h
Secções
M eridiana:determ inada porum plano que contenha o eixo do sólido .
·
Equações ·
·
A secção = 2 .r.h C ilindro equilátero:g = 2 .r
Área total: A t= A B + A b + A l Volum e: V =
h .(A B + A b + 3
·
A B .A b )
Cones
Transversal:paralela à base. A secção = .r²
Cones: Semelhantes proporcionais
(Hh )²= (AA ) (Hh )³= ( Vv ) ( Hh )= ( L ) (AA )³= ( Vv )² b
B
l
Equações ·
·
·
Área lateral: A l = g . .r Área total: A t= g . .r+ Volum e: V =
.r².h 3
Tronco de Cones
b
B
.r² ·
Âng ulo central: = (superfície lateral)
Transversal:paralela à base.
2 . .r g
Esferas Equações
Equações
Área lateral: A = .g.(R + r) . 2+ R r+ r2) Volum e: V = .H 1 (R 3
·
Área: A = 4 . .R²
·
Volum e: V =
4..R³ 3
·
Área da calota esférica: A c = 2 . .R .h
·
Área da zona esférica: A z= 2 . .R .h
·
Área da secção esférica: A s =
.r²
proporcionalidade
?nálise CombinatWria
Permutação: Embaralhar
Binômio de Newton
Pn = n.(n-1).(n-2) ... 3.2.1
n! Cn,p= n = p!(n – p)! p
Todos os números diferem entre si pela ordem de seus algarismos
(Princípio Fundamental da Contagem)
... (n-1) ........ n (n-2) ........ 2 1 ........ ........ ........ ........ Arranjo simples
An,p =
n! (n – p)!
(n-1) ........ n (n-2) ........ ........ (Na prática)
Observação: 1) Para A n,n= Pn = n.(n-1).(n-2). ... . 3.2.1 2) A ordem dos fatores altera o resultado;
n = n p p'
Combinação de n elementos tomados p a p, em grupos menores. (A ordem dos fatores não altera o conjunto)
C n (elementos), p (ordenados p a p) Cn,p=
n! p!(n– p)!
(n-1) ........ n (n-2) ........ ........ p! (Na prática)
Observação: 1) A ordem dos fatores NÃO altera o resultado;
Permutação com repetição a,b,c
Pn
n! a!b!c!
Probabilidade P(A) =
N(A) Nº elementos do evento N(S) Nº elementos do espaço amostral
Observação: 1) Se A e B são dois eventos do mesmo espaço amostral S, então: ∩
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Se A∩B= / o , teremos: ∩
P(A B) = P(A) + P(B) 2) Seja A um evento de um espaço amostral S e  o seu evento complementar, então: P(A) + P( Â) = 1 ou P( ) = 1 - P(A) 3) Probabilidade condicional : denomina-se probabilidade de A condicionada em B a probabilidade de ocorrência do evento A sabendo-se que ocorreu ou vai ocorrer o evento B: A
P ( B )= P(A ∩ B) P(B)
/ n
n = s k k=0 /
n 2 = soma
p + p' = n
Triângulo de Pascoal
... n .. 0 1 2 3 ... ... ................................... 0 ... 0 ... ... 0 . 1 ... 1 1 ... ... 0 1 . 2 .... 2 2 2 ... ... 0 1 2 . 3 ... 3 3 3 3 ... .... 0 1 2 3 .. p
/
Combinação
n n n n n + + + ... + = 2 0 1 2 n
Observação: 1) Igualdade dos números binôminais: Cond. Existência : n > p > 0
Arranjo de n elementos tomados p a p, em grupos menores.
A n (elementos), p (ordenados p a p)
Soma de termos
/
(Coeficientes)
Desenvolvimento n n n n–1 n n–2 0 1 (a b) n 0 a b 1 a b 2 a n n 0 (a - b) n = 0 a . b
2
n 0 n ... n a b p
- n an–1 b1 n an–2 b 2 -... + (-1) n a0bn 1 2 n
Termo Geral: (Termo positivo)
n T p + 1 = .a n− p . b p p
Termo Geral: (Termo negativo)
n p T p + 1 = .a n− p . b p . -1 (-1) p
*robabilidades
Definição teórica de Probabilidade e consequências
Definição teórica de Probabilidade e consequências
Exemplo I_ Uma máquina prodoziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos. A probabilidade de que os três sejam PERFEITOS:
C n (elementos), p (ordenados p a p) n! Cn,p= = p!(n – p)!
50! 3!(50 – 3)!
(todas as combinações possíveis)
= 19600 ⇔
Nº elementos do espaço amostral
Observação: 1) A ordem dos fatores NÃO altera o resultado;
P(A) =
n! = p!(n – p)!
45! 3!(45 – 3)!
(somente perfeitos)
= 14190 ⇔
N(A) Nº elementos do evento
Definição teórica de Probabilidade e consequências
Nº elementos do evento
⇔
P(A) = 14190
N(S) Nº elementos do espaço amostral
= 0,7 Probabilidade dos três parafusos perfeitos.
19600
Definição teórica de Probabilidade e consequências
50! 3!(50 – 3)!
(todas as combinações possíveis)
= 19600 ⇔
Nº elementos do espaço amostral
Evento B: os três parafusos são defeituosos
C 5 (elementos), 3 (ordenados 3 a 3)
P(B) =
(somente defeituosos)
5! 3!(5 – 3)!
N(B) Nº elementos do evento
= 10 ⇔
⇔
Nº elementos do evento P(B) =
N(S) Nº elementos do espaço amostral
10 19600
= 0,0005 Probabilidade dos três parafusos defeituosos.
Definição teórica de Probabilidade e consequências Exemplo II_ Uma máquina prodoziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos a probabilidade de que PELO MENOS DOIS sejam defeituosos:
C n (elementos), p (ordenados p a p) n! Cn,p= = p!(n – p)! Observação:
50! 3!(50 – 3)!
(todas as combinações possíveis)
= 19600 ⇔
Nº elementos do espaço amostral
1) A ordem dos fatores NÃO altera o resultado; (Pelo menos dois) Evento D: Pelo menos 2 ser defeituosos Evento B: Pelo menos 2 ser defeituosos
C5,2
ou
. C 45,1
C5,3
⇔
+ P(D B) = P(D) + P(B) (pelo menos 2 sendo defeituosos ) (probabilidade dos 3 parafusos defeituosos)
Ocorrência do primeiro evento
I. as probabilidade P(A ∩ B) e P(B) possuem o mesmo elemento do espaço amostral.
Observação: 1) A ordem dos fatores NÃO altera o resultado;
n! = p!(n – p)!
Ocorrência do segundo evento
Observação
C n (elementos), p (ordenados p a p)
Cn,p=
Exemplo V_ Probabilidade Condicional Muitas vezes quando realizamos um experimento temos informações extras sobre a ocorrência de um evento. (probabilidade de evento A dado a ocorrencia do evento B)
P (A / B) = P(A ∩ B) P(B)
Exemplo II_ Uma máquina prodoziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos. A probabilidade de que os três sejam DEFEITUOSOS:
n! Cn,p= = p!(n – p)!
(Substraindo a probabilidade dos três perfeitos que não apresentam nenhum defeito) 1) Seja A um evento de um espaço amostral S e  o seu evento complementar, então: P(E) + P(A) = 1 ou P(E) = 1 - P(A) Probabilidade dos (Pelo menos um) três perfeitos.
Evento A: os três parafusos são perfeitos
Cn,p=
Exemplo IV_ Uma máquina prodoziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos a probabilidade de que PELO MENOS UM seja defeituoso.
(perfeitos)
∩
Observação: 1) Se A e B são dois eventos do mesmo espaço amostral S, então: ∩
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Se A∩B= / o , teremos: ∩ P(A B) = P(A) + P(B)
Assim
⇔
P(D U B) =
N(D U B) N(S)
II . probabilidade de ocorrer um evento A, tendo ocorrido um evento B
Se9u,ncias
Progressão Aritmética
Progressão Geométrica
Conceito:
Conceito:
É toda seqüencia numérica onde, apartir do primeiro termo encontramos os demais somando ao anterior um valor fixo r chamado de razão. (y-r, y, y+r) ou (y-3r, y-r, y+r, y+3r)
É toda seqüencia em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q chamada de razão. ( y , y , yq ...) ou ( y , y , y , yq , yq 2...) q q q
Razão: r= a
n+1
–a
Razão:
n
q=
Definição:
I. crescente (razão positiva): r > 0
a
n+1 >
an
a a
n+1 =
an
an = ap + (n – p) r, n,p N*
Termos eqüidistantes em PA Seja a PA (a1, a 2, a3 , ..., a p-1, ap , ap+1, ..., a n ) k
ap
k
2
Ou seja:
a2
n
P n = (a1 an Ou então:
, n N*
n–p
an = ap q
Para obtermos um termo qualquer a partir de um termo de ordem p (ap )
*
com p, k IN
a1 a3 2
Soma dos n primeiros termos da PA Seja a PA (a1, a 2, a3 , ..., a n)
(a a n ) n Sn 1 2
1 q
)2
Para obtermos um termo qualquer a partir de um termo de ordem p (ap )
Conseqüência
ap
an
P n =
Conseqüência
an = a1 + (n – 1) r, n
a1
Seja a PG (a1, a 2, a 3 , ..., a n)
an = a1 q
Seja a PA (a1, a 2, a3 , ..., a n)
n
n–1
Termo geral:
ap
lim S n = S =
Produto dos n primeiros termos
a n 1
Seja a PG (a1, a 2, a 3, ..., a n)
n+1 < a n
III. constante (razão nula): r = 0
Seja a PG (a1, a 2, a 3 , ... )
Termo geral:
II. decrescente (razão negativa): r < 0
Soma dos termos de uma PG Infinita
, n,p N*
a1n q
n(n 1) 2
Observação: analisar o sinal do produto Definição:
I. crescente: quando a n+1 > an II. decrescente: quando a n+1> an Termos eqüidistantes em PG Seja a PG (a1, a 2, a 3 , ..., a p-1, a p , ap+1, ..., a n ) III. constante: quando a n+1 = an IV. alternante: quando a 1 0 e q < 0 (ap)2 = (ap – k) (ap + k ), p,k N* V. não decrescente: quando a < 0 e q=0 V. não crescente: quando a 1> 0 e q =0 Ou seja:
a3 a2
a2 a1
2 a 2 a 3 a 1
Soma dos n primeiros termos da PG Limitada Seja a PG (a1, a 2, a 3 , ..., an )
Sn =
a 1 (qn 1) q 1
Se a PG for constante:
Sn = n a1
