Processo de Capitalização Processo que leva a que determinado capital gere juro através de um processo de acumulação, ou seja, Cn > C1 > C0.
C0
C1
…
Cn
J = f (C, n, i)
Juro (J) – é função crescente do montante de capital e do tempo durante o qual se faz cedência desse capital; Capital (C); Unidade de tempo (n); Taxa de juro (i) – é o juro produzido por uma unidade de d e capital numa unidade de tempo.
1
Regimes de Capitalização Capitalização: operação através da qual se adiciona ao capital inicial o juro produzido por esse mesmo capital. Como regimes de capitalização existe: →
Regime de juro simples: o juro é pago no final de cada período, saindo do “processo” não indo acrescer ao capital para contagem do juro (este é sempre constante);
→
Regime de juro composto: o juro é adicionado ao capital, ou seja, este altera-se ao longo de todo o processo, assim: C n = Cn-1 + jn
O capital acumulado em qualquer momento do processo dá-se o nome de capital acumulado, designa-se por M. 1. Bases de Calendário
Considera-se três bases de calendário: Ano Comercial: ano de 360 dias (12 x 30); Ano Civil: ano de 365 dias; Ano Actual: ano de 365/6 dias. Estas bases são importantes para fazer a diarização dos dias. Esquematicamente podemos ter: BC (Actual;360)
Diarização Contagem de dias Significa que para a contagem de dias (primeira parcela), utilizamos o tipo de calendário o actual, para a diarização da taxa de juro (dividir a taxa de juro pelo número de dias), utilizamos a segunda parcela, neste caso, é o calendário comercial.
2
Capitalização em Regime de Juro Simples 1. Cálculo do valor acumulado
C0
M1
M2
M3
0
1
2
3
…
Mn n
Como o juro produzido por um capital durante um determinado período, contado a partir do momento inicial 0, é directamente proporcional a C X n e mantém-se constante durante todo o processo de capitalização, temos então:
2. Taxas equivalentes A taxa de um subperíodo correspondente à taxa do período obtém-se dividindo a taxa efectiva pelo número de capitalizações em cada período. Assim: 12% ao ano 6% ao semestre 3% ao trimestre
3. Taxas brutas e taxas líquidas 3
4. Valor actual e desconto Actualização V 0
V
V
V
1
2
3
…
M n
Capitalização A actualização será o processo que determina o valor de um determinado capital num momento anterior ao prazo de vencimento, a uma dada taxa de juro. A diferença entre o crédito inicial e o montante pago, antes do vencimento, dá-se o nome de desconto. M – valor nominal de uma divida, exigível na data de vencimento; V – valor actual de uma dividia, acrescido da taxa de juro correspondente ao tempo que falta para o vencimento, perfaz o valor nominal; D – desconto. A diferença entre valor nominal e valor actual. É calculado em função de V ou de M
Vni ou Mni.
Desconto por dentro ou racional É feito em função de V.
Desconto por dentro ou comercial É feito em função de M.
4
O desconto por dentro é superior ao desconto por fora.
5. Equivalência de capitais
Por exemplo, tem-se X letras de valores diferentes que se vendem em momentos diferentes e quer-se transformá-las numa sucessão de X letras de mesmo valor e que se vencem entre períodos contastes. A equação de valor em RJS traduz que: o somatório dos valores nominais menos o produto da taxa com o somatório dos valores nominais com n (desconto por dentro dos respectivos capitais) equivale ao somatório do novo valor nominal X vezes menos o somatório do desconto do valor nominal vencido às respectivas datas.
6. Capital comum, vencimento comum e vencimento médio Pegando no caso anterior, há uma situação particular em que se pretende transformar vários capitais vencíveis em datas distintas num só capital vencível no final do prazo. Criando-se, assim, a noção de capital comum, vencimento comum e vencimento médio.
Capital comum Valor do capital M vencível ao fim do prazo
5
Vencimento comum Vencimento do capital M
Vencimento médio
7. Taxa média Pretende-se calcular uma taxa única para um grupo de capitais diferentes que se vencem a momentos diferentes e a taxas diferentes, de tal modo que os mesmos capitais aplicados durante os mesmos prazos, produzem exactamente o mesmo juro total que produziriam aplicadas as diferentes taxas, aos respectivos capitais. Como:
Então:
8. Operações financeiras em RJS Desconto bancário de letras O juro é calculado em função do desconto por dentro, sendo assim:
Sendo os dias calculados desde a data do desconto até à do vencimento, mais dois, e acresce-se de dias até calhar em dia útil. 6
A taxa de juro utilizada é a diária. A base de calendário é o ano civil. A comissão de cobrança incide sobre o valor nominal da letra:
O imposto de selo incide sobre o somatório do juro com a comissão de cobrança:
O juro, comissão de cobrança, imposto de selo e outras despesas formam os encargos da operação de desconto. O portador ao receber antecipadamente o valor da letra deve de os suportar, ou seja, receber o valor nominal da letra deduzindo os encargos, formando o produto líquido do desconto (PLD).
Nota: considerando o IS=0,04
No caso de várias letras de mesmo valor nominal:
Livranças Feito com base no desconto por dentro. +M
+J-IS -M
Não há comissão de cobrança. O cálculo de juros e imposto de selo é semelhante ao do desconto de letras.
7
Contas Correntes Factoring
8
Capitalização em Regime de Juro Composto 1. Cálculo valor acumulado Ao contrário do RJS, em que o juro incidia sempre sobre o valor do capital inicial, em RJC os juros produzidos num determinado período são adicionados ao capital para produzirem também juros nos períodos seguintes, ou seja, os juros de cada período são adicionados ao capital inicial indo constituir a base de calculo de juros para o período seguinte. C0
M1
M2
M3
0
1
2
3
Mn
…
n
Juro do período:
Valor acumulado:
Juros acumulados até ao momento n:
2. Valor actual e desconto Actualização V
…
M n
0
Capitalização
9
Valor actual:
Valor acumulado:
Desconto por dentro:
Desconto por fora:
O valor actual de um capital é tanto maior quanto menor for o tempo que falta para o seu vencimento.
3. Equação de valor
0
0
M1 n1
M2 n2 M1’ n1’
Mk nk M2’ n2 ’
Mp’ np’ 10
Um conjunto de capitais de um determinado valor nominal, a uma determinada taxa i e que vencem ao fim do período np é igual a outro conjunto de capitais, de um determinado valor nominal, taxa i e vencido ao fim do período n, se se verificar a condição:
Se quisermos transformar um conjunto de capitais que vencem a uma determinada data a uma taxa comum, pode-se considerar a primeira parcela da expressão anterior como um único capital, ou seja :
,
de onde se pode tirar as seguintes expressões: Capital comum:
Vencimento comum:
Para chegar ao valor de n, recorre-se ao uso de logaritmo.
Vencimento médio: Mesma expressão que vencimento comum, mas
.
4. Taxa média Na situação em que existem um conjunto de capitais, que vendem ao fim de um determinado n e cada um com a sua taxa de juro, o juro total será a soma das várias capitalizações. A taxa média representa a taxa que aplicada aos mesmos capitais durante os mesmos prazos, produzirá o mesmo juro. Analiticamente: 11
Em que i representa a taxa média.
5. Taxas equivalentes A conversão de uma taxa real efectiva anual numa taxa nominal referente a um subperíodo da efectiva, em regime de juro composto, não deve ser calculada da mesma forma como em regime de juro simples, ou seja, através da proporção. Deve-se recorrer à fórmula:
E quem m representa o numero de capitalizações durante o período efectivo. Da expressão retira-se: Conversão de uma taxa nominal em taxa efectiva:
Conversão de uma taxa efectiva em taxa nominal:
6. Comparação RJS e RJC Por equivalência conclui-se que, considerando i’ referente ao RJS e o i referente ao RJC:
12
Se n for entre 0 e o 1º período de capitalização, a capitalização em RJS é superior à em RJC. Igualam-se no final do 1º período de capitalização. A partir daqui a capitalização em RJC é superior à em RJS.
7. Preenchimento de quadros Período de referência (m)
EURIBOR
Spreed
TANB
Dado no Dado no EURIBOR enunciado enunciado Spreed restantes taxas
Taxa TANL efectiva de m + TANB (1- TANL / m + 0,20)
Fornecidos os dados do enunciado, faz-se este quadro para determinar a taxa efectiva correspondente ao período em causa, de modo a ter-se em conta a EURIBOR, o Spreed e outras taxas para o cálculo de valores acumulados em RJC.
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Rendas Dá-se o nome de renda a um conjunto de capitais vencíveis em momentos equidistantes. O período de renda será o tempo que decorre entre dois termos consecutivos. Quanto à classificação temos: →
→
Termos de renda. −
Certas: não dependem de acontecimentos para existirem;
−
Incertas;
Número de termos: −
−
→
Temporárias: número finito de termos; Perpétuas;
Valor dos termos: −
Constantes: são todos iguais;
−
Variáveis: podem ser em progressão geométrica ou aritmética;
→
Quanto aos períodos: −
Inteiras: o período da renda é igual ao período da taxa;
−
Fraccionadas: o período da renda é inferior ao período da taxa;
→
Momento de referência dos termos: −
Imediatas: as rendas são recebidas desde a origem, ou seja, o momento de referência coincide com o inicio do primeiro período;
−
Diferidas: o serviço de renda começa ao fim de um certo número de períodos;
→
Momento de vencimento: −
Postecipada ou normais: os seus termos estão disponíveis no fim de cada período;
−
Antecipada: quando os seus termos se vencem no inicio de cada período. 14
An - Valor actual de renda, que é igual à soma dos valores actual de todos os termos de renda. Sn - valor acumulado de renda, que é igual à soma dos valores acumulados de todos os termos de renda. 1. Rendas certas, inteiras, com termos constantes, temporárias, imediatas a. Termos postecipados ou normais 1º P 0
1
…
K
An
T
K+1
T
…
Último P
K (n-1)
T
K+n
K (n+1)
Sn
15
b. Termos antecipados T
0
1
…
K
1º P
K+1
T
…
K (n-1)
Último P
T
K+n
An
K (n+1)
Sn
2. Rendas certas, inteiras, com termos constantes, temporárias, diferidas a. Termos postecipados ou normais T
0
Än
1
…
K
An
K+1
T
…
K (n-1)
T
K+n
K (n+1)
¨ ¨Sn
Sendo k o prazo de diferimento
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b. Termos antecipados
T
0
1
Än
…
K
K+1
T
…
K (n-1)
T
K+n
An
K (n+1)
¨ ¨Sn
Em termos de cálculos, o cálculo de rendas actuais diferidas ou postecipadas vai originar o mesmo resultado.
3. Rendas inteiras Capitalização em subperíodo da renda Quando a renda ocorre de ano a ano, mas a taxa dada corresponde a uma taxa nominal, esta deve ser convertida em efectiva ou real:
Pois, neste caso, a taxa nominal não é capitalizada.
17
4. Rendas fraccionadas Quando o período de renda é inferior ao período da taxa dada. Neste caso, a taxa efectiva ou real deve ser convertida para a taxa nominal correspondente ao período.
5. Rendas de termos variáveis a. Renda de termos variáveis numa qualquer proporção i. Imediata Postecipada
0
T 1
T 2
T 3
1
2
3
T n-1
…
…
n-1
V
T n
n S
O valor actual será a soma da actualização de todos os termos da renda.
O valor acumulado será a soma das capitalizações de todos os termos da renda.
ii. Imediata antecipada T 0
T 1
T 2
T 3
0
1
2
3
V
T n-1
…
…
n-1
n
n+1
S
18
b. Renda de termos variáveis numa progressão aritmética i. Postecipada O termo Tn será da forma: T1(Tr) + (n - 1)h, sendo h a razão.
0
T 1
T 2
T 3
1
2
3
T n-1
…
…
n-1
(IA)n
T n
n (SA)n
Imediata
Diferida
Diferida
Antecipada
Postecipada
Antecipada
Valor Actual Valor Acumulado
c. Renda de termos variáveis numa progressão geométrica i. Postecipada O termo Tn será da forma: T1 x hn-1, sendo h a razão.
0 (GA)n
T 1
T 2
T 3
1
2
3
T n-1
…
…
n-1
T n
n (GA)n
19
Imediata
Diferida
Diferida
Antecipada
Postecipada
Antecipada
Valor Actual Valor Acumulado
6. Rendas perpétuas Nas rendas perpétuas não tem significado calcular o valor da renda acumulada, nesta situação apenas se calcula o valor actual de renda, fazendo-se o limite quando n→∞. a. Termos constantes i. Imediata Postecipada
ii. Imediata antecipada
iii. Diferida postecipada
iv. Diferida antecipada
b. Termos variáveis i. Progressão geométrica
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7. Empréstimos de médio e longo prazo A restituição de capital pode ser feita de duas formas: →
M1 – pela totalidade no final do empréstimo;
→
M2 – feita ao longo do empréstimo.
Quanto ao pagamento de juros, este pode ser: →
J1 – de uma só vez no final do período;
→
J2 – de uma só vez no inicio da operação;
→
J3 – de forma escalonada.
a. M1 J1 V
-J -V
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b. M1 J2 -J V
-V
c. M1 J3 (ou sistema Americano) V
-J
-J
-J
-J
-V
…
-J -V/n
d. M2 J1
V 0
-V/n
-V/n
-V/n
n
Se antecipada
e. M2 J2 22
-J V
-V/n
-V/n
-V/n
…
-V/n n
0
f. M2 J3 (Método Francês ou método progressivo de amortização) Amortização por meio de quotas constantes:
V
T1
T2
0
1
2
…
Tk k
…
Tn-1
Tn
n-1
n
R1 Cada termo é constituído pelo juro (j) e pelo capital amortizado (m). A quantia paga periodicamente é constante. Os pagamentos verificam-se no final do período. R representa o capital em divida no momento após pago T do período. j1 > j2 > j3 > … > jn m1 < m2 < m3 < … < mn
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M – valor acumulado de capital já retribuído. J – valor acumulado de juros
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Nota: Preenchimento de quadros K Termo 1 Termo n1 Termo n Total
Rk-1
jk
Jk
mk
T
Mk
Rk
(a) (b) -
(c)
(c) -
(b) (a)
(a) -
0 -
1. Calcular T e preencher a respectiva coluna; 2. Calcular j1 e preencher a 1ª linha do quadro obtendo assim m 1; 3. Preencher a coluna de mk a partir de m1; 4. Efectuar somas de controlo para completar o resto do quadro. i. 1ª Variante. Carência de Capital. Quando se está perante esta situação, é elaborado o mesmo quadro, só que m e M não são preenchidos nos períodos em que há carência de capital.
ii. 2ª Variante: Carência de Capital e Juros. Mesma coisa que o anterior, mas j e J não são preenchidos também. Ao não se pagar juros, este é calculado na mesma mais vai acumular ao capital em divida para o período seguinte.
g. Variante do método francês: Amortização do contrato de locação financeira (leasing) K Termo Total
Rk-1
jk
mk
T
IVA
Tk + IVA
h. Método Hamburguês (capital constante ou quotas variadas) 25
V
T1
T2
0
1
2
Tk
…
…
k
Tn-1
Tn
n-1
n
Enquanto no método francês T era constante, no método hamburguês o elemento constante é o capital amortizado.
K Termo Total
Rk-1
jk
Jk
m
Tk
Mk
Rk
No método hamburguês, a primeira coluna a ser completada é a de m.
26
