MATEMÁTICA de las OPERACIONES FINANCIERAS http://ecosdelaeconomia.wordpress.com/
1. Introducción 1.4 equivalencia financiera 1.5 factor financiero 2. Regímenes financieros 2.1. TAE 2.2 . Operaciones de capitalización y de descuento 3. Ejercicios
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1.
Introducción
1.Introducción 1.1 Concepto de operación financiera La OF es un instrumento que permite intercambiar capitales financieros en diferentes momentos del tiempo. Un sujeto activo dispone de liquidez, una cuantía C o capital financiero, y la cede dentro de un marco legal, o mercado financiero, al sujeto pasivo para que la utilice durante un determinado periodo de tiempo, o expresado en años: diferimiento T. El sujeto activo reclamará el pago del precio de este servicio, el interés.
El capital financiero se simboliza como (C,T) un vector donde el primer componente es el capital financiero C el segundo componente es el diferimiento en años T
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+500 3.000 €
3.500 €
0
5
+interés C
C’
T
T’
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Introducción
1.2 Tipos de operación financiera Según su función a) operaciones financieras de financiación El sujeto activo proporciona liquidez al sujeto pasivo, con el precio de mercado que tenga este tipo de operación. P.ej: un banco (s.act.) presta dinero a un cliente, o un crédito a un comercio, (sujetos pasivos) a cambio del pago de los intereses que se hayan fijado en los mercados financieros. Un ahorrador (s.act.) abre una cuenta de depósito a plazo en un banco (suj.pasivo) Cuando el sujeto activo “presta” su liquidez al sujeto pasivo, esta realizando una prestación. Cuando el sujeto pasivo “devuelve” una parte o todo un capital al sujeto activo, está realizando una contraprestación.
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Introducción
b) operaciones financieras de inversión El sujeto activo participa en un proyecto económico con el objetivo de batir la rentabilidad del precio de los mercados financieros. Si tiene éxito, la diferencia entre lo que habría obtenido financiando, y lo que finalmente ha obtenido invirtiendo, se llama renta del inversor. Si fracasa, la diferencia será un renta del inversor negativa. P.ej: Un empresario decide invertir un dinero en un nuevo negocio (inversión) en lugar de colocar este dinero a plazo (financiación) Cuando el inversor coloca su liquidez en su objeto de negocio o contrainversor, se dice que está colocando inputs. Cuando el objeto de negocio o contrainversor genera un capital o conjuto de capitales que llegan de vuelta al inversor, se dice que está generando unos cobros o outputs.
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1.3 Tipos de operación financiera Según su complejidad a) operaciones elementales Tanto las prestaciones como las contraprestaciones están constituidas por un único capital. La prestación (C,T) recibe de vuelta una contraprestación C’ en un momento T’ (C’,T’) b) operaciones parcialmente complejas La prestación es un único capital pero las contraprestaciones son un conjunto de capitales y diferimientos. O al revés, varias prestaciones para una sola contraprestación. c) operaciones totalmente complejas Varias de cada.
P.ej. tener un depósito e ir ingresando y reintegrando dinero varias veces. http://ecosdelaeconomia.wordpress.com/
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1.4 Equivalencia financiera La prestación y la contraprestación deben ser equivalentes. Es decir, un capital C en un momento T, debe ser equivalente al capital C’, en el momento T’ p.ej: si se abre un depósito de 1000 euros hoy (1000,0) y se tendrán 1100 euros en un año gracias a los intereses (1100,1) es porque existe una relación entre los dos capitales que hace que su equivalencia sea esta y no otra.
Formalmente se escribe
ya que existe una expresión o ecuación entre sus componentes tal que
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Para que esto no sea un caos, se le deben presuponer 3 propiedades lógicas y 2 principios de naturaleza financiera que permitan hacer cálculos y operaciones. Propiedades lógicas
1. Reflexiva es equivalente a sí mismo 2. Simétrica
Si
entonces
3. Transitiva Si
y también
...entonces
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Principios de naturaleza financiera 1. Homogeneidad respecto cuantías
Aunque en la realidad suele ser habitual que cuanto mayor es el importe, mayor es el precio. Este principio se cumple por tramos de cuantías.
2. Preferencia por la liquidez Al incremento de diferimiento positivo T’>T (avanzamos en el tiempo) le corresponde un incremento de cuantías positivo C’>C
Al incremento de diferimiento negativo T’
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Introducción
1.5 Factor financiero Siguiendo el principio de homogeneidad...
...es porque existe una expresión tal que...
...y si suponemos
...resulta que la relación entre C y C’ depende únicamente de una función de los diferimientos se le llama factor financiero Se puede definir como, el equivalente de una unidad monetaria de T en el momento T’
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+500 3.000 €
3.500 € CAPITALIZACIÓN
0
5
3mil euros en el momento 0 (3000, 0) es equivalente a 3mil500 en el momento 5 años (3500, 5)
3.000 €
3.500 € DESCUENTO
0
valor nominal= 3mil500 euros hoy (3500, 5) es equivalente a valor descontado= 3mil euros 5 años atrás (3000, 0)
5
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En las operaciones de capitalización 1. se calcula el valor C’ multiplicando el valor inicial C * el factor financiero viajando adelante en el tiempo
2. se calcula el valor de C multiplicando el valor final C’ * el factor financiero viajando atrás en el tiempo
ej: 1. calcular el valor de 3000 euros dentro de 5 años. 2. calcular el valor inicial si después de 5 años hoy tengo 3000 euros.
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En las operaciones de descuento 1. se calcula el valor C’ C’ es el valor nominal del efecto, C es el valor descontado El valor descontado * el fac.fin. viajando atrás en el tiempo
2. se calcula el valor de C C es el valor descontado, C’ es el valor nominal del efecto El valor nominal * el fc.fin. viajando adelante en el tiempo.
ej: 1. calcular el valor nominal de un efecto dentro de 5 años si el valor descontado hoy es de 3000 euros. 2. calcular el valor descontado hace 5 años si el valor nominal hoy es de 3000 euros.
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3.000 €
3.500 € CAPITALIZACIÓN
0 5 Si quiero saber cuánto vale C’ a partir de una cantidad C, y estoy viajando adelante en el tiempo el factor financiero es
ej: coloco 3000 euros hoy ¿qué valor tendrán en cinco años? Si quiero saber cuánto vale C’ a partir de una cantidad C, pero estoy en un descuento, el factor financiero es
ej: ¿Qué valor nominal tiene un efecto, si cinco años antes me pagan 3000? 3.000 €
3.500 € DESCUENTO
0
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Propiedades del factor financiero: 1. es siempre positivo Como cociente de dos cuantías que siempre son positivas, siempre es positivo. 2. Preferencia por la liquidez Si T’>T estamos en una operación de capitalización; el factor financiero es > 1 Si T’
3. es equivalente ir de T’ a T, que de T a T’
4. escindibilidad, o propiedad circular del factor financiero Gracias a la propiedad transitiva de la equivalencia financiera, si f(T,T’) ~ f(T’,T’’) f(T,T’’)
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Introducción
5. El factor financiero f(T,T’) es decreciente respecto T, y creciente respecto T’ Significa que al crecer T, el plazo de la operación es más corto (se aproxima a T’) y la remuneración será menor. El incremento de T’ incrementa el plazo de la operación, y el factor financiero será mayor.
El factor financiero que cumple estas cinco propiedades es una función exponencial...
Si suponemos una ley financiera estacionaria
...ya que T’-T es el plazo de la operación t, podemos simplificar e p como A, y queda:
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1.6 Valor financiero El valor financiero V es la suma de las cuantías C’ de un conjunto de capitales. Como por ejemplo, el valor que pueda tener en el momento cero un préstamo.
Se puede calcular el valor actual de una operación (si se lleva al momento cero), o se puede calcular en el momento final n, valor final.
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Se hace una operación de capitalización entre el años 2 y 5. ¿Cuál es el valor actual de esta operación en el momento 0?
1. se calcula la equivalencia financiera de 3mil el año 2 en el año 5... 3500
?€ 0
3.000 €
3.500 €
2
5
2. se calcula el valor en cero de 3500 en el año 5.
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2. Regímenes financieros
2. REGIMENES FINANCIEROS 2.1 definición y clasificación Es un equilibrio en el mercado financiero; es un conjunto de pactos o acuerdos de una operación de financiación en el mercado financiero sobre el precio, la cuantía y el momento de pago. a) regímenes financieros prácticos. b) regímenes financieros racionales.
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2. Regímenes financieros
Regimen financiero de interés simple vencido Sólo el capital genera intereses. Al finalizar la operación se devolverá el capital más los intereses que se hayan generado. Este interés total Y es proporcional a la cuantía inicial y al plazo de la operación; y se calcula mediante el “tanto nominal de interes” o tanto anual “i”.
Es decir, el capital inicial C generará unos intereses. Al final de la operación, se devolverán los intereses generados más el capital inicial. De esta forma, el capital equivalente C’ es
El interés total Y es una proporción respecto el plazo de la operación en años (t) y el precio o interés que tiene la operación en años (i)
...sustituyendo y simplificando
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2. Regímenes financieros
C*1 = la cuantía inicial
C*i*t es el interés Y, se está multiplicando la cuantía inicial por el precio y por el plazo de la operación.
Ya que la función no es exponencial, no cumple la reciprocidad ni la escindibilidad. El factor financiero es (1+it)
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2. Regímenes financieros
ejemplo 1. C’ ? si C=12.000, colocados al 5% anual en interés simple vencido, durante 11 meses. C= 12.000 i = 0,05 t = 11/12 años
ejemplo 2. C?
si C’=14.000, descuento en 9 meses al 6%
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2. Regímenes financieros
Regimen financiero de interés compuesto Capital e intereses generan nuevos intereses. El interés que va generando la operación se suma de nuevo al capital y genera nuevos intereses. Al final de la operación se devuelve el capital más los intereses generados. De esta forma, el capital equivalente C’ está relacionado con 1. el interés de la operación 2. la cantidad de veces que el interés se revierte en la operación 3. el plazo de la operación
Im es una relación entre el interés de la operación (que a veces se da en interés anual) y el número de veces que se capitaliza o revierte este interés dentro del año.
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2. Regímenes financieros
Una operación de 3000 euros cuenta con 4 periodos “p” de capitalización de los intereses. En cada uno de esos periodos, el interés se revierte y genera sus propios intereses.
3.000 € T
3.500 €
T+p
T+2p
T+np=T’
T+3p
Dado un tipo de interés anual... El interés de esta operación es un tipo de interés efectivo, que tiene en cuenta cada una de estas reversiones.
Si estuviéramos en una operación de descuento, la única diferencia esta en que el interés efectivo se encuentra restando...
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2. Regímenes financieros
ejemplo: Se depositan 30.000€ en una cuenta durante 4 años, con un interés anual del 3% que se capitaliza mensualmente. C’? C= 30000 i12=3%
Si el interés es anual del 3% pero se capitaliza cada mes, significa que realmente (efectivamente) el interés que se aplica es I12= i12/3 = 0,0025
La cantidad de veces que se capitaliza el interés es = mensualmente durante cuatro años = 4*12 = 48
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2. Regímenes financieros
TAE La TAE es el interés efectivo capitalizado anualmente. Es el equivalente al interés de cualquier operación con interés compuesto pero valorado a 1 año. Es útil porque permite comparar tipos de interés con capitalizaciones diferentes. Consiste en convertir una tasa de interés efectiva con una determinada frecuencia de capitalización; Im, en una tasa de interés con frecuencia de capitalización anual; I1 Esto se consigue buscando la equivalencia de ambas tasas, y despejando I1, la TAE
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2. Regímenes financieros
Operaciones de capitalización: 1. Para calcular la cuantía final (C’) a partir de una cuantía inicial (C), con un interés efectivo y “n” periodos de capitalización por vivir:
2. Para calcular la cuantía inicial (C) a partir de la cuantía final (C’), con un interés efectivo y “n” periodos de capitalización ya vividos:
Operaciones de descuento: 1. Para calcular el valor nominal (C’) a partir de un valor descontado (C), con un interés efectivo y “n” periodos de capitalización ya vividos:
2. Para calcular el valor descontado (C) a partir de un valor nominal (C’), con un interés efectivo y “n” periodos de capitalización por vivir:
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Ejercicios
1. Calcular la cuantía final que se obtiene al colocar 20.000 al 4% anual en interés simple vencido durante 9 meses
2. Calcular el tiempo necesario para que un capital doble su cuantía, a interés SV del 3,5% anual
3. Hace 8 meses se ingresaron 1800 al 3,5% anual SV, y hace 5 meses 1500, C’?
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3.
Ejercicios
4. Qué cuantía (C) debe ingresarse hoy para disponer de 19.000€ (C’)en 5 meses, si se aplica un 4% de interés anual SV.
5. Si la cuantía inicial (C) es de 18500 y el interés SV de 3% anual, a) qué cuantía se obtiene a los 9 meses? y a los 11 meses? Por qué no existe escindibilidad?
Al ser un factor financiero de interés simple vencido,
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Ejercicios
6. Calcular el valor descontado de un efecto con valor nominal 1200, a 15 días, con un interés del 6% anual.
7. Qué tanto anual de descuento se ha aplicado si el valor nominal de un efecto es de 800, con vencimiento 9 meses y valor descontado de 770.
8. Calcular la cuantía final si se colocan 3000 durante 3 años al a) 5% anual capitalizable semestralmente b) 5% anual capitalizable trimestralmente c) 5% anual capitalizable mensualmente
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3.
Ejercicios
9. Calcular el interés efectivo de...
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3.
Ejercicios
10. Calcular la cuantía acumulada al cabo de 2 años si se ingresan 1200 al 3,75% anual pagadero bimestralmente.
11. Cuál es la cuantía inicial si la cuantía final es de 50.000 al cabo de 4 años, al 3% anual capitalizable trimestralmente.
12. Para calcular la TAE a partir de un interés anual...
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Ejercicios
13. Cuánto tiempo necesita un capital para incrementarse en un 70% si el tanto de interés anual es del 5% a) bajo régimen de interés simple vencido b) bajo régimen de interés compuesto
14. Calcular la cuantía final acumulada si hace 5 años se ingresaron 1000€, hace 2 años 500, y hace medio año 500, al tipo de interés 0,13% efectivo mensual.
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Ejercicios
15. Si se ingresan 1000 hoy, 500 en un año, 350 en 2 años, en una cuenta al 3% anual de capitalización cuatrimestral, cuál es la cuantía final acumulada al cabo de 5 años?
5 años son 15 cuatrimestres...
16. La cuantía inicial es de 30.000, el interés ha sido 3% anual capitalizable mensualmente los 6 primeros meses, 0,95% trimestral, 3,9% anual capitalizable semestralmente, a) cuantía final acumulada? b) TAE de la operación.
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Ejercicios
17.
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