Este es un resumen del codigo deontologico del Colegio de ingenieros del Peru. Esta dirigido a aquellas personas que necesiten una forma resumida del CipDescripción completa
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Un resumen del actual conocimiento sobre las archaeas
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Descripción: RESUMEN ANTIBIOTICOS
conceptos resumen libro
Facultad de Ingeniería Curso: Ecuaciones Diferenciales Diferenciales
Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
RESUMEN EDO ’ S
1.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1.1.- ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES dy dt
g (t ) h( y )
dy h( y )
g (t )dt c
1.1.1.-ECUACIONES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES dy
(a)
dx
N f ( x) entonces se tiene el N y x factor integrante: f ( x ) dx u ( x, y) h( x) e (a) Si
1 M N g ( y ) entonces se tiene el M y x factor integrante: (b) Si
u ( x, y ) h( y ) e
Son de la forma: dy
dz dx
ab
dt
dy dx
y (t ) e
Remplazando se obtiene:
dx
dy
Hacemos z
x
dz dx
dx
dx
e a (t ) dt b(t ) c
1.4.1.- ECUACIÓN DE BERNOULLI
x y x 2
dy dx
Remplazando se obtiene: dz
a ( t ) dt
1.4.- ECUACIONES QUE SE RED UCEN AL CASO LINEAL
y f dx x
dy
y
a(t ) y b(t )
*Fórmula de Leibniz
a bf ( z ) *ecuación de variables separables
(b)
f ( y ) dy
1.3.- ECUACIONES LINEALES
f (ax by c)
Hacemos z ax by c
dz
1 M
f ( z ) z x
1.2.- ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Y FACTOR INTEGRANTE
Multiplicando la ecuación por y n y luego haciendo el cambio z y 1n se obtiene: dz dx
(1 n) p( x) z (1 n) f ( x) *Ecuación Lineal
1.4.2.- ECUACIÓN DE RICCATI
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 es exacta ssi:
M N de no cumplirse esta igualdad la ecuación y x no es exacta y se busca el factor integrante
p( x) y f ( x) y n con n 1
dy dx
p( x) y q( x) y 2 f ( x) Se requiere de solución
particular y1 ( x) . Así, hacemos el cambio de coordenadas y( x) y1 ( x) ecuación lineal.
1
z ( x)
y obtenemos una
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Facultad de Ingeniería Curso: Ecuaciones Diferenciales Diferenciales
1.5.- APLICACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN 1.5.1.- REACCIONES QUÍMICAS DE PRIMER PRIMER ORDEN Y DESINTEGRACIÓN Se tienen los siguientes parámetros y condiciones: x 0 : Cantidad inicial en gramos x(t ) : Número de gramos presentes en el instante t dx dt
: Ritmo de crecimiento de x
Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
1.5.3.- LEY DE ENFRIAMIENTO ENFRIAMIENTO DE NEWTON “La velocidad con que se enfrí a una sustancia en el aire
es proporcional a la diferencia de la temperatura de la sustancia y el aire”
Se tiene : T s (t ) : Temperatura de la sustancia en el instante t T m :
Temperatura del medio(aire) constante Luego, la ecuación diferencial que modela el fenómeno es: dT s dt
dx dt
: Ritmo de decrecimiento de x
k : Constante de proporcionalidad
k T s (t ) T m
T s (t ) T m T s (0) T m e kt
1.5.3.- PROBLEMAS DE MEZCLAS
De esta forma, si k>0, la ecuación diferencial que describe el proceso químico es:
dx dt
kx x(t ) x0 e kt
Denominamos semivida al tiempo requerido para que la sustancia reduzca su masa a la mitad, el cual está dado por: T
ln(2)
k
1.5.2.- CRECIMIENTO DE BACTERIAS N (t ) : Cantidad de bacterias en el instante t
dN dt
nacimiento s muertes a(t ) N b(t ) N
N (t ) N (0)e
x(t ) : Cantidad de soluto en el estanque en el tiempo t
V e : Velocidad de entrada del fluido al estanque V s : Velocidad de salida del fluido del estanque C e : Concentración de entrada del soluto al estanque C s : Concentración de salida del soluto del estanque
( a ( t ) b ( t )) dt
V : Volumen inicial de fluido en el estanque
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Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
Donde: y1 e y2 soluciones particulares LI Conociendo y1(x), la otra solución particular p articular y2(x) la calculamos según: p ( x ) dx e 1
y 2 ( x) y1 ( x) x1 (t ) : Cantidad de soluto en el estanque 1 de
y ( x)
2
dx * Fórmula de Abel
1
capacidad V1 en el tiempo t x2 (t ) : Cantidad de soluto en el estanque 2 de
capacidad V2 en el tiempo t
2.3.- ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES a 0 y' 'a1 y'a 2 y 0
Considerando: Entrada de fluido por la llave A a razón de d e b lts/min, entonces por la llave B y C sale solución so lución a razón de b lts/min. Tenemos así el sistema de ecuaciones diferenciales:
x1 ' (t ) x2 ' (t )
b V 1
b V 1
2 a0 k a1k a2 0 * Ecuación Característica
(a)
0 k1, k2 raíces reales y distintas Luego y h ( x) c1e
x1
x1
Calculamos:
(b)
b V 2
x2
Resolviendo la primera ecuación se encuentra x 1(t) para remplazar en la segunda ecuación.
2.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN 2.1.- ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN a 0 ( x) y' 'a1 ( x) y'a 2 ( x) y ( x)
FORMA NORMAL
2
0 k1=k2 raíces reales
Luego y h ( x) c1e (c)
c2 e k x
k 1 x
k 1 x
c2 xe k x 1
0 k1, k2 raíces complejas con: k i Luego
y h ( x) e x [c1 cos( x) c2 sen( x)] 2.4.- ECUACIÓN DE EULER a0 x 2 y' 'a1 y'a 2 y 0
Con: a0,a1,a2 constantes reales, a0≠0 Hacemos: x e t Además : d dy dt
dx dt
e t
d dy
dt dx
e t
d dy
dt
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Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
Remplazando se obtiene una ecuación de coeficientes constantes cuya ecuación característica característica es:
2.6.- MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS Se aplica para encontrar una solución particular de ecuaciones del tipo:
a 0 k (a1 a 0 )k a 2 0 2
(a)
0 k1, k2 raíces reales y distintas Luego yh ( x) c1 x
(b)
k 1
a0 y' 'a1 y'a2 y
c2 x k
2
0 k1=k2 raíces reales Luego y h ( x) c1 x
k 1
e P ( x) cos(q x) Q ( x)sen(q x) r i x
i
i
i
i
donde a0 a1 a2 ri y qi ctes reales, Pi(x) y Qi(x) polinomios.
c2 x ln x k 1
(c) 0 0 k1, k2 raíces complejas con: k i
En la siguiente tabla se ilustra algunos a lgunos ejemplos específicos de f(x) de la ecuación con su respectiva forma de solución particular.