PETA KONSEP
STATISTIKA
POPULASI dan SAMPEL
VARIABEL ACAK
DISTRIBUSI BINOMIAL
Variabel Acak Diskrit
PROBABILITAS
Variabel Acak Kontinu
RATA-RATA dan RAGAM
Distribusi Probabilitas Distribusi Probabilitas Bersama
Marginal
Bersyarat Rata-rata dan Ragam
Dewasa ini perubahan barang elektronik sangat pesat. Sebagai contoh perubahan dari TV tabung menjadi LED TV. Perubahan tersebut telah diteliti oleh perusahaan elektronik melalui hipotesis-hipotesis yang sesuai dengan perihal kegunaan, minat konsumen, efektivitas pemakaian ruangan, dan kenyamanan tontonan serta daya tahan. Pada ilmu statistika hal-hal yang berkaitan dengan pengamatan, hipotesis, dan kemungkinan (probabilitas) merupakan syarat perlu dalam sebuah penelitian dan akan dibahas pada bab ini. POPULASI DAN SAMPEL
Ketika Ibu memasak sayur asem dengan berbagai sayuran, labu, melinjo, asam, dan bumbu rempah-rempah, Ibu juga juga menambahkan garam ke msakan tersebut. Bagaimana Ibu dapat mengetahui masakan sayur asamnya sudah masak dan rasanya rasan ya sudah sedap (enak)? Untuk mengetahui hal itu dengan pasti, seharusnya Ibu menghasilkan isi kuali masakan yang berisi sayur asam. Akan tetapi, dalam menilai masakan tersebut, Ibu hanya mencicipi sebanyak satu sendok makan. Hal itu cukup mengetahui rasa seluruh sayur asam dalam kuali. Dalam hal ini seluruh kuah dari masakan sayur sa yur asam secara istilah penelitian dikenal dengan populasi dan sesendok makan dari masakan yang dicicipi ibu dinamakan sampel .
Definisi Populasi dan Sampel Populasi merupakan suatu himpunan yang ingin diketahui informasinya dan menjadi tujuan
penelitian. Sampel merupakan sekumpulan objek yang menjadi bagian ba gian dari populasi untuk mewakili
tujuan dari penelitian sebagai penarikan kesimpulan. Proses pengambilan sampel merupakan bagian yang sangat penting dalam suatu penelitian. Dalam pengambilan sampel, ada istilah yang dinamakan sampel bias. Sampel bias merupakan sampel yang tidak dapat merepresentasikan populasi. Untuk menghindari sampel dikembangkan suatu prosedur yang dinamakan pengambilan pengambilan sampel secara acak. Sampel acak merupakan sampel dimana semua anggota populasi mempunyai peluang yang sama untuk dipilih. Pengambilan sampel yang bisa digunakan adalah sebagai berikut : 1. Pengambilan sampel acak sederhana (simple random sampling), teknik pengambilan sampel dilakukan secara sederhana dimana setiap unit dalam dala m populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi anggota sampel. 2. Pengambilan acak sistematik (systematic random sampling) , dilakukan dengan membagi populasi menjadi n bagian dan mengambil sebuah sampel pada tiap bagian secara acak. Misalkan populasi sebanyak 75 buah akan diambil sampel sebanyak 15 buah. Masing-masing bagian akan terdiri 5 buah. buah. Misalkan angka acak yang terpilih untuk mengambil sampel pertama adalah 2, maka sampel berikutnya adalah 7,12,17,..., dan seterusnya sebanyak 15 buah sampel. 3. Pengambilan sampel acak berkelompok (cluster sampling), dilakukan dengan menjadi beberapa grup bagian yang disebut cluster. Selanjutnya beberapa cluster dipilih secara acak. Item-item data yang terpilih pada cluster merupakan sampel. 4. Pengambilan sampel acak stratifikasi (stratified random sampling) , dilakukan dengan membagi populasi menjadi subpopulasi atau strata. Selanjutnya, pengambilan sampel
acak dapat dilakukan dalam masing-masing strata. Strata dapat berupa karakteristik tertentu misalnya jenis industri, besarnya aset, dan lain-lain. 5. Pengambilan sampel bertahap (multistage sampling) dilakukan secara bertingkat, baik bertingkat dua maupun lebih. Misalnya : provinsi-kabupaten-kecamatan-desalingkungan RT-KK. DISTRIBUSI VARIABEL (PEUBAH) ACAK
1. Variabel acak (Random variable) Variabel acak merupakanmerupakan suatu fungsi yang menghubungkan suatu ruang sampel ke nilai numeriknya, dinotasikan dengan huruf kapital X yang menyatakan nilai-nilai dari kemungkinan sebuah kejadian. Hal ini berarti, suatu bilangan X merupakan ukuran dari karakteristik pada setiap kejadian dari ruang sampel. Berikut diberikan suatu ilustrasi : A. Keluarga Abdullah Keluarga Abdullah merencanakanmemilki 3 anak. Variabel acak X menyatakan jumlah anak laki-laki. Ilustrasinya dapat dilihat sebagai berikut : Tabel taksiran anak laki-laki di keluarga Abdullah
Keterangan
Ruang Sampel
Variabel X
PPP
0
LPP = PLP = PPL
1
LLP = LPL = PLL
2
LLL
3
P : anak perempuan L : anak laki-laki
B. Masalah kelereng dalam kantong Dalam sebuah kantong berisi 10 kelereng yang terdiri 4 kelereng mereh (M) dan 6 kelereng biru (B). Dari kantong tersebut, diambil 2 kelereng berturutturut. Hal ini berarti, hasil yang mungkin untuk x sebagai variabel acak X yang menyatakan banyak kelereng merah yang diambil akan menghasilkan ruang sampel = {BB,BM,MB,MM} dengan variabel acak X = {0,1,2}. C. Masalah kendaraan yag melintas di jalan tol Cikampek
Jika tidak mengamati jumlah kendaraan yang melintas di jalan tol dengan X menyatakan variabel acak yang menyatakan jumlah kendaraan yang melintas, maka X = {0,1,2,3,...}. Ilustrasi A dan B merupakan variabel acak yang berrsifat diskrit dengan ruang sampel diskrit dan ilustasi C merupakan variabel acak yang bersifat kontinu dengan ruang sampel kontinu. 2. Distribusi Variabel Acak Diskrit Dalam menghitung probabilitas (peluang), suatu variabel acak dinyatakan dalam nilai fungsi x, yaitu f(x) dengan f(x) = P(X = x). Pada variabel acak diskrit, setiap nilai x dikaitkan dengan probabilitanya. Himpunan pasangan terurut (x,f(x)) menyatakan distribusi probabilitas variabel acak X. Tabel atau distribusi yang memuat data semua kemungkinan nilai variabel acak diskrit x dan nilai probabilitasnya disebut distribusi probabilitas diskrit. CONTOH 1 Tuliskan distribusi probabilitas keluarga Abudllah yang merencanakan memiliki tiga anak dengan variabel acak X menyatakan banyak anak laki-laki. Jawab : Tabel distribusi peubah acak diskrit keluarga Abdullah adalah sebagai berikut : x P(X = x)
Terlihat bahwa CONTOH 2
0
1
2
3
1 3 3 1 8 8 8 8
∑= ( ) 1
Sebuah kotak berisi 10 telur, terdapat diantaranya 5 telur busuk. Tuti telah membeli 4 telur secara acak. Jika X menyatakan banyak telur busuk yang dibeli Tuti, tuliskan tabel distribusi probabilitas untuk X. Jawab : Dengan menggunakan prinsio kombinasi pada penentuan probabilitas, akan diperoleh sebagai berikut. Misalkan : x menyatakan banyak telur busuk yang dibeli Tuti, maka (4-x) menyatakan banyak telur baik yang dibeli Tuti. Hal ini berarti kombinasi yang terjadi
105 4
.
Untuk x = 0,1,2,3 dan 4. Kemungkinan-kemungkinan nilai P(X=x) sebagai berikut.
− ( 0) − ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) Distribusi probabilitas untuk X disajikan pada tabel berikut. x
0
P(X = x)
1
2
3
4
5 50 100 50 5 210 210 210 210 210
CONTOH 3 Buatlah distribusi probabilitas dari masalah berikut. Dalam sebuah kantong berisi 5 kelereng merah (M) dan 4 kelereng putih (P). Jika dalam kantong diambil 4 kelereng, tentukan kemungkinan terambilnya n buah kelereng merah. Jawab : Misalkan n menyatakan banyak kelereng merah yang terambil, maka terambil bukan kelereng
4 4 4 54 4 54 () 54 126 4
merah sebanyak (4-n). Kombinasi yang dibentuk
, untuk n = 0,1,2,3, dan 4.
Analog dengan contoh 2, fungsi probabilitasnya adalah
Distribusi probabilitas untuk M disajikan pada tabel berikut. n P(M = n)
0
1
2
3
4
1 20 60 40 5 126 126 126 126 126
3. Distribusi Variabel Acak Kontinu (kurva beraturan)
Distribusi probabilitas untuk Variabel Acak Kontinu (kurva beraturan) tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel, tetapi dinyatakan dalam bentuk kurva y = f(x) dengan f(x) merupakan nilai-nilai variabel acak kontinu yang dilukiskan sebagai grafik kurva f(x) berikut.
Fungsi probabilitas variabel acak kontinu pada gambar di atas merupakan luas daerah di
≤≤ ( ≤ ≤ ) ∫ ()
bawah kurva yang dibatasi oleh interval diarsir berikut ini :
, yang dinyatakan oleh luas daerah yang
Khusus untuk kurva y = f(x) yang berbentuk kurva lurus beraturan dapat juga dihitung berdasarkan formula luas bidang datar yang terjadi. CONTOH 4 Sebuah variabel acak kontinu X, yang nilai-nilai diantara x = 1 dan x = 5 dinyatakan dengan
() + (1 < < 5) 1 ( < 3) (2 < < 4,5) () +
fungsi probabilitas
.
a. Buktikan
b. Hitunglah c. Hitunglah
.
SOLUSI Kurva
disajikan pada gambar berikut
Kurva tersebut berbentuk trapesium. Hal ini berarti kita dapat menghitung probabilitas dalam dua cara, yaitu : a. Buktikan
(1 < < 5) 1
Cara 1 : (Integral)
(1 < < 5) ∫ + 51 2 ∙5 2∙ 5 ∙1 2∙1 10 2 (128) (1 < < 5) 1 (Terbukti)
Cara 2 : (Menggunakan rumus luas trapesium)
Rumus luas trapesium =
+ (5) (51) ()+() ( ) 1 + (1 < < 5) 4 2 , dengan
+ , hal ini berarti :
(1 < < 5) 1 ( < 3) (1 < < 3) ∫ + 31 2 ∙3 2 ∙3 ∙1 2∙1 6 2 (44) 0,4 ( < 3) 0,4 (2 < < 4,5) ∫, + 4,25 2 ∙4,5 2∙4,5 ∙2 2∙2 (4,5 2)2(4,52) (13,125) Jadi,
b. (Menggunakan Integral)
c. (Menggunakan Integral)
(Terbukti)
dan
Jadi,
(2 < < 4,5) ≈ 0,66
4. Distribusi Probabilitas Bersama Dalam sebuah percobaan, terkadang kita mengamati 2 atau lebih variabel acak secara bersamaan yaitu ketika variabel dalam ruang sampel harus diamati secara berganda.misalkan X dan Y , dua peubah acak diskrit, nilai-nilai X meliputi x1, x2, x3, ..., x n dan nilai-nilai Y meliputi y1, y2, y3, ..., yn maka setiap pasangan terurut (x i,yi) yang merupakan probabilitas bahwa X mempunyai nilai x i dan Y mempunyai nilai yi dengan P(xi,yi) merupakan sebuah fungsi probabilitas bersama dari peubah acak X dan Y yang dinyatakan oleh :
(,) [( )∩( )]
Tabel yang berisi fungsi probabilitas bersama beserta nilai x dan y merupakan distribusi probabilitas bersama (joint distribusion) . A. Distribusi Marginal Dalam kasus percobaan keluarga Abdullah yang merencanakan memiliki 3 anak, kita dapat meninjau variabel acak, yaitu X sebagai variabel acak menyatakan jumlah anak laki-laki dan Y menyatakan jumlah perubahan jenis kelamin. Probabilitas kelahiran anak laki-laki sama dengan probabilitas kelahiran anak perempuan, yaitu sebesar 0,5. Perhatikan tabel 1 mengenai distribusi marginal keluarga Abdullah berikut.
Berdasarkan tabel tersebut di atas dapat dibuat Tabel 2 distribusi probabilitas bersama untuk variabel acak X dan Y berikut ini.
Distribusi probabilitas bersama X dan Y dinyatakan dengan nilai-nilai f(x,y). Dari hal ini, distribusi probabilitas tunggal untuk variabel X dapat dilihat dari total kolom f(x) dan distribusi probabilitas tunggal untuk variabel Y ditunjukkan oleh total baris f(y), seperti ditunjukkan pada tabel 1. Model matematika kedua distribusi marginal tersebut dapat dinyatakan oleh :
(2) (2,0) (2,1) (2,2) ⋯(2,) ∴ (2) (2,) =
Secara umum, distribusi marginal peubah acak X , ditentukan oleh :
() (,) =
Dan distribusi marginal peubah acak Y , ditentukan oleh :
() (,) =
Misalkan : distribusi probabilitas tunggal untuk X adalah g(x) dan distribusi probabilitas tunggal untuk Y adalah h(y) merupakan fungsi distribusi marginal untuk variabel acak X dan Y . Distribusi marginal untuk X dan Y disajikan pada tabel berikut.
CONTOH 5 Sebuah dadu setimbang dilempar dua kali. Dari kedua lemparan itu, X menyatakan muncul angka 4 dan Y menyatakan muncul angka 6. a. Buatlah distribusi marginal untuk variabel acak X dan Y .
b. Untuk
(,)| 2 ≤ 2
, hitunglah
[(,) ∈ ]
.
SOLUSI Buat tabel distribusi probabilitas bersama X dan Y berikut ini.
a. Penentuan distribusi marginal untuk X , yaitu g(x) dan distribusi marginal untuk Y yaitu h(y).
(0) ( 0) (0,0) (0,1) (0,2) (1) ( 1) (2) ( 2) ℎ(0) ( 0) (0,0)(0,1)(0,2) ℎ(1) ( 1) ℎ(2) ( 2) [(,) ∈ ] (,)| 2 ≤ 2 [(,) ∈ ] (0,0) (1,0) (2,0) (0,1) [(,) ∈ ]
b. Penentuan
untuk
Kemungkinan A= (0,0); (1,0); (2,0); (0,1); hal ini berarti :
CONTOH 6
Tiga kelereng diambil dari sebuah keranjang yang berisi 3 kelereng biru, 2 kelereng merah, dan 4 kelereng putih. Diketahui X menyatakan banyak kelereng biru yang terambil dan Y menyatakan banyak kelereng merah yang terambil. a. Buatlah distribusi probabilitas bersama untuk X dan Y. b. Hitunglah
[(,) ∈ ]
untuk
(,)|2 ≤ 3
.
SOLUSI a.
−− Rumus fungsi (,) , untuk X = 0,1,2,3 dan Y = 0,1,2. Dengan menggunakan rumus ini, kita dapat membuat probabilitas bersama untuk X dan Y berikut ini.
[(,) ∈ ] (,)|2 ≤ 3 [(,) ∈ ] (0,0) (1,0) (0,1) (0,2) (1,1) ∴ [(,) ∈ ]
b. Penentuan nilai
untuk
. Kemungkinan B =
(0,0); (1,0); (0,1); (0,2); (1,1). Hal ini berarti :
B. Distribusi Bersyarat Misalkan nilai x dan y sebagai variabel acak X dan Y menyatakan suatu kejadian dan merupakan himpunan ruang sampel, maka distribusi bersyaratnya dinyatakan oleh :
( | ) (=∩=) (=) ∴ (|) (,()) () > 0 , untuk
Bentuk ini menunjukkan bahwa nilai-nilai f(x,y) bergantung hanya pada y untuk x tertentu, asalkan x dan y merupakan variabel acak dari X dan Y. Terdapat sifat bebas (independent) dari variabel acak X dan Y yang dekat kaitannya dengan distribusi bersyarat. Variabel acak X dan Y dinyatakan bersifat bebas jika untuk setiap nilai x dan y, kejadian (X = x) dan (Y = y) saling bebas, hal ini berakibat :
( | ) ( ) Dengan kata lain, X dan Y saling bebas jika f(x | y) = g(x) untuk setiap x. Dengan mensubtitusi f(x | y) = g(x) ke persamaan
) (|) (, ℎ() Sehingga diperoleh hubungan berikut.
(,) ()∙ℎ() Bentuk ini merupakan sifat bebas dari peubah acak X dan Y. Sebaliknya, jika ada satu titik saja dari (x,y) yang membuat
(,) ≠ ()∙ℎ()
, maka kedua variabel acak X
dan Y dikatakan tidak bebas, berarti :
(,) ≠ ()∙ℎ() CONTOH 8 Diberikan tabel distribusi bersama untuk variabel acak X dan Y berikut.
a. Tentukan distribusi bersyarat X untuk Y = 2. b. Apakah kedua peubah acak itu (X dan Y) bersifat saling bebas ? SOLUSI
a. h(2) = f(4,2) + f(5,2) = 0,20 + 0,30 = 0,50 Pembuatan distribusi bersyarat :
(|2) (,()) (,,) ∴ (|2) 2(,2) (4|2) 2(4,2) 2∙(0,20) 0,40 (5|2) 2(4,2) 2∙(0,30) 0,60
Formula di atas digunakan untuk x = 4 dan x = 5. dan
Distribusi bersyaratnya diasajikan pada tabel berikut.
b. Tinjauan kedua variabel acak X dan Y, misalkan untuk x = 5 dan y = 1. f (5,1) = 0,15 g (5)
= 0,15 + 0,30 + 0,15 = 0,60
h (1)
= 0,10 + 0,15 = 0,25
f (5,1) = g (5) × h(1) 0,15
= 0,15 (benar)
⇒
0,15 = 0,60 × 0,25
Jadi, kedua variabel acak X dan Y bersifat saling bebas. 5. Rata-rata
( )
dan Ragam
()
Variabel Acak
Variabel acak diskrit X, dari hasil percobaan dengan distribusi probabilitas P(x) maupun hasil pengamatan, merupakan distribusi frekuensi relatif dari populasinya. Nilai harapan untuk variabel acak X diskrit secara sampel dinotasikan dengan E(x) dan rata-rata tertimbang hasil pengamatan keseluruhan nilai X secara populasi
dinotasikan dengan . Hal ini berarti :
()
merupakan rata-rata populasi
Secara umum, nilai harapan atau rata-rata variabel acak ditentukan oleh :
( ) ∙ () =
Sementara itu, ragam dari variabel acak X ditentukan oleh :
[( )] ( ) ∙ () −
Dengan menurunkan rumus
, diperoleh :
∑− ( ) ∙ () ∑= ∙ ()2 ∑= ∙ () ∑= () ( ) 2 ∴ ( )
, dengan
∑= () 1
Untuk mempermudah pengerjaan soal, nilai harapan dari variabel acak memiliki sifatsifat sebagai berikut. (i) Jika c konstanta, maka E(c) = c. (ii) Jika variabel X dikalikan konstanta c, maka E(cX) = c E(X). (iii) Jika X dan Y variabel acak, maka E ( X ± Y ) = E(X) ± E(Y). CONTOH 11 Pusat Farmasi di Blitar menemukan vaksin baru jenis influenza. Probabilitas bahwa seorang penderita influenza berhasil sembuh dari penyakit itu sebesar 80%. Jika X menyatakan banyaknya pasien yang sembuh, maka tentukan : a. Rata-rata banyak pasien yang sembuh, b. Ragamnya. SOLUSI Dengan menggunakan rumus seperti contoh 4, yaitu
( ) −
, dengan n = 5, p = 0,8, q = 1 - 0,8 =0,2,
Diperoleh tabel distribusi probabilitas X, sebagai berikut.
a. Variabel acak X dpat mengambil nilai 0,1,2,...,5. Rata-rata atau nilai harapan pasien yang berhasil sembuh adalah
( ) 0(0,0003) 1(0,0064) 2(0,0512) 3(2048) 4(0,4096) 5(0,3277) ( ) 4 Jadi, rata-rata pasien yang sembuh sebanyak 4 orang. b. Cara I :
∑= ( ) ∙ () 4 (04)(0,0003) (14)(0,0064) ⋯ (54)(0,3277) 0,00480,0576 0,204800,3277 ∴ 0,8 Berdasarkan rumus
, untuk
sehingga diperoleh
ragam dari X sebagai berikut.
Cara II :
( ) ( ) ∑= ∙ () Berdasarkan rumus
, diperoleh :
= 0(0,0003) + 1 2(0,0064) + 2 2(0,0512) + 3 2(0,2048) + 4 2(0,4096) + 52(0,3277) = 0 + 0,0064 + 0,2048 + 1,8432 + 6,5536 + 8,1925
( ) 16,8 ( ) 16,8 4 0,8 Jadi, ragam dari banyak pasien yang sembuh adalah 0,8.
Sekarang marilah kita lihat kembali variabel acak baru g(X) yang bergantung pada X atau variabel acak h(Y) yang hanya bergantung pada Y. Artinya, setiap nilai g(X) atau h(Y) dapat ditentukan jika nilai X atau Y diketahui. Jika X merupakan suatu variabel acak diskrit dengan distribusi probabilitas
(),(),(),…,()
, maka rata-rata dan ragam variabel acak
g(X) ditentukan oleh :
() [()] ∑= ()∙() () {( ) ()} ∑={( ) ()} ∙ ()
Rata-rata : Ragam :
dan
CONTOH 13 Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit demam adalah 0,5. Diketahui X menyatakan banyak pasien yang sembuh dari penyakit ini dan g(X) = 3X + 2 menyatakan jumlah uang yang diterima toko atas pembelian obat. a. Tentukan besarnya ragam. b. Buktikan bahwa ragam variabel acak g(X) adalah
()
.
SOLUSI Berdasarkan data pada soal di atas maka diperoleh distribusi probabilitas untuk X sebagai berikut.
a. Hitung rata-rata variabel acak g(X) = 3X + 2
() (3 2) ∑ (3 2) ∙() 2 5 8 11 14 8 () 8 () ∑= (3 28) ∙() ∑=(9 36 36) ∙() 36 9 0 9 36 9 Selanjutnya, dengan mensubtitusikan
, kita peroleh :
b. Misalkan fungsi probabilitas diambil sembarang, yaitu g(X) = AX + b. Berdasarkan sifat-sifat variabel acak, diperoleh :
+ [ +] [ ( )] ( ) ( ) +
akan tetapi
+
(terbukti)
DISTRIBUSI BINOMIAL
Sering dalam berbagai macam permasalahan peluang hanya memiliki dua kemungkinan hasil atau dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan. Sebagai contoh,
ketika suatu koin dilempar, maka kita akan mendapat angka atau gambar. Ketika seorang bayi lahir, maka seorang bayi tersebut merupakan bayi laki-laki atau perempuan. Dalam permainan bola basket, tim yang bermain bisa menang atau kalah. Keadaan benar/salah tersebut dapat dijawab dengan dua cara, yaitu benar atau salah. Kondisi-kondisi lainnya dapat disederhanakan untuk menghasilkan dua kemungkinan. Sebagai contoh, suatu pengobatan medis dapat diklasifikasikan sebagai efektif atau tidak efektif, tergantung hasilnya. Seseorang dapat dikategorikan memiliki tekanan darah normal atau tidak normal, tergantung dari pengukuran tekanan darahnya. Pertanyaan-pertanyaan pilihan ganda, walaupun memiliki empat atau lima pilihan jawaban, dapat diklasifikasikan menjadi benar atau salah. Kondisikondisi yang telah dicontohkan tersebut dinamakan percobaan binomial. Percobaan binomial merupakan suatu percobaan yang memenuhi empat syarat berikut:
1. Terdapat n kali percobaan. 2. Masing-masing percobaan hanya dapat menghasilkan dua kemungkinan, atau hasil yang diperoleh dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan. Hasil yang diperoleh tersebut dapat dianggap sebagai hasil yang sukses atau gagal. 3. Hasil dari masing-masing percobaan haruslah saling bebas. 4. Peluang untuk sukses harus sama untuk setiap percobaan. Suatu percobaan binomial dan hasilnya memberikan distribusi peluang khusus yang disebut sebagai distribusi binomial . Hasil-hasil percobaan binomial dan peluang yang bersesuaian dari hasil tersebut dinamakan distribusi binomial .
Dalam percobaan binomial, hasil-hasilnya seringkali diklasifikasikan sebagai hasil yang sukses atau gagal. Sebagai contoh, jawaban benar suatu pertanyaan pilihan ganda dapat diklasifikasikan sebagai hasil yang sukses, sehingga pilihan jawaban lainnya merupakan jawaban yang salah dan diklasifikasikan sebagai hasil yang gagal. Notasi-notasi yang umumnya digunakan dalam percobaan binomial dan distribusi binomial adalah sebagai berikut.
Penerapan Distribusi Binomial :
Beberapa kasus dimana distribusi normal dapat diterapkan yaitu : 1. Jumlah pertanyaan dimana anda dapat mengharapkan bahwa terkadang anda benar dalam ujian pilihan ganda. 2. Jumlah asuransi kecelakaan yang harus dibayar oleh perusahaan asuransi. 3. Jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket selama satu musim. Peluang sukses dalam percobaan binomial dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut. Rumus Peluang Binomial
Dalam suatu percobaan binomial, peluang untuk mendapatkan tepat X sukses dalam n percobaan adalah
Dengan x = 0,1,2,3,...,n Keterangan : n : banyak percobaan x : banyak hasil p : peluang berhasil
q : peluang gagal (q = 1-p) Untuk mengetahui bagaimana ilustrasi dari rumus peluang binomial tersebut bermula, perhatikan Contoh 1 berikut. Contoh 1: Melempar Koin
Suatu koin dilempar sebanyak tiga kali. Tentukan peluang mendapatkan tepat dua angka.
Pembahasan
Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan melihat ruang sampelnya. Ruang sampel dari pelemparan satu koin sebanyak tiga kali adalah S = {AAA, AAG, AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, GGG}
Dari ruang sampel, kita dapat melihat bahwa ada tiga cara untuk mendapatkan tepat dua angka, yaitu AAG, AGA, dan GAA. Sehingga peluang kita mendapatkan tepat dua angka adalah 3/8 atau 0,375. Dengan melihat kembali Contoh 1 dari sudut pandang percobaan binomial, maka contoh tersebut memenuhi keempat kriteria percobaan binomial. 1. Terdapat tiga kali percobaan. 2. Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan, yaitu angka (A) atau gambar (G). 3. Hasil dari masing-masing percobaan saling bebas (hasil dari suatu pelemparan tidak mempengaruhi hasil pelemparan lainnya). 4. Peluang percobaan sukses (angka) adalah ½ di setiap percobaannya. Dalam kasus ini, n = 3, X = 2, p = ½, dan q = ½. Sehingga dengan mensubstitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus, kita mendapatkan
Jawaban tersebut sama dengan jawaban kita sebelumnya yang menggunakan ruang sampel. Contoh 1 tersebut juga dapat digunakan untuk menjelaskan rumus peluang binomial. Pertama, perhatikan bahwa terdapat tiga cara untuk mendapatkan tepat dua angka dan satu gambar dari delapan kemungkinan. Ketiga cara tersebut adalah AAG, AGA, dan GAA. Sehingga, dalam kasus ini banyaknya cara kita mendapatkan dua angka dari pelemparan koin sebanyak tiga kali adalah 3C 2, atau 3. Secara umum, banyak cara untuk mendapatkan X sukses dari n percobaan tanpa memperhitungkan urutannya adalah
Dengan x = 0,1,2,3,...,n Keterangan : n : banyak percobaan x : banyak hasil Ini merupakan bagian pertama rumus binomial. Selanjutnya, masing-masing sukses memiliki peluang ½ dan muncul sebanyak dua kali. Demikian juga masing-masing gagal memiliki peluang ½ dan muncul sekali. Sehingga akan memberikan,
pada rumus binomial. Sehingga apabila masing-masing percobaan sukses sukses memiliki peluang p dan muncul X kali serta peluang gagalnya adalah q dan muncul n – X kali, maka dengan menuliskan peluang percobaan sukses kita akan mendapatkan rumus binomial. Contoh Soal Dan Pembahasan
Sebuah mata uang logam dilemparkan sebanyak 8 kali.Berapa peluang muncul gambar sebanyak 5 kali? Diketahui :
n=8 x=5 p = 1/2 q = 1-p = 1- 1/2 = 1/2 Ditanya : peluang muncul gambar sebanyak 5 kali Jawab :
Jadi, peluang muncul gambar sebanyak 5 kali adalah 7/32 Rata-Rata dan Ragam Distribusi Binomial
Nilai rata-rata
( )
dan ragam
()
distribusi binomial ditentukan oleh kejadian-
kejadian dari percobaan binomial. Percobaan ke -n dinotasikan sebagai Ln dengan probabilitas p, keberhasilan Ln = 1 dan probabilitas kegagalan Ln = 0.
Rata-rata
()
dari populasi distribusi binomial ditentukan oleh :
∙ ∙ ∙ ∙ √ ∙ ∙
Ragam distribusi binomial untuk setiap Li ditentukan oleh :
Ragam untuk populasi distribusi binomial ditentukan oleh : Dan simpangan baku populasi dari distribusi binomial ditentukan oleh :
Dengan q = 1 – p. Contoh 1 Berdasarkan penelitian, probabilitas seorang anak sembuh dari penyakit infeksi saluran pernafasan dengan diberi obat tertentu adalah 60%. Jika diambil 10 orang yang terjangkit penyakit tersebut secara acak, hitunglah probabilitas : a. Tidak lebih dari 3 orang sembuh, b.
Sedikitnya 5 orang sembuh,
c. Hitunglah rata-rata dan simpangan baku untuk pasien yang sembuh (n = 10, p = 0.6 dan q = 0,4). SOLUSI a. Probabilitas tidak lebih dari 3 orang dapat sembuh.
( ≤ 3) ∑ (;10;0.6) (0;10;0.6) (1;10;0.6) (2;10;0.6) (3;10;0.6) ( ≤ 5) 1 (∑ (;10;0. 6) (4;10;0.6)) 1 (0.5480.1115) 0.341 √ 10(0.6)(0.4)
b. Probabilitas sedikitnya 5 orang dapat sembuh.
c. Rata ragam dan simpangan baku pasien dapat sembuh, Rata-rata, = 10(0.6) = 6 Simpangan baku,
= 1.55
Contoh 2 Dari uji petik sebuah perusahaan kalkulator, diperoleh bahwa rata-rata produksi kalkulator yang rusak sebanyak 10%. Jika dari total produksi diambil diambil 5 kalkulator, hitunglah probabilitas : a. Ada 2 kalkulator yang rusak, b. Paling sedikit 2 kalkulator yang rusak. SOLUSI a. Probabilitas sebanyak 2 kalkulator yang rusak
( 2) (2;5;0.1) 0.0729
b. Probabilitas paling sedikit 2 kalkulator yang rusak Diketahui p = 0.9, q = 0.1, dan n = 5
( ≥ 2) 1 ∑ (;5;0.9) 1(0;5;0.9)(1;5;0.9) 1(0.00010.0005) 0.9994
