Respuestas 1

Respuestas a los Ejercicios Propuestos

MOISES VILLENA

CAPITULO 1: La Integral Indefinida Ejercicios Propuestos 1.1 1. 2. 3.

8 3 2 x2  x   C 3 2 9 x7 27 x  9 x3  x5   C 5 7 2 7 2 4 52 2 32 x  x  x C 7 5 3

4x 

4.

7 1 4 x 4  4x 4  C 7

5.

e x 1  3tan x  2ln cos x  C

6. 7.

3 C x e x  2ln x  ln sec x  tan x  C  cos x  2ln x 

8.

x3 9 x 2   27 x  27ln x  C 3 2

9.

3 133 3 7 3 1 x  x  6x 3  C 13 7

10.

100 x 20 x 2  4 C ln 2 ln 4 5

11.

2



x

2 ln 2

12. ln x 

C

x

5 ln 5

1 C 4x4

Ejercicios Propuestos 1.2 1.

2. 3. 4.



2

C

155 x  2 2 3

2 x  15 2 5



2 x  132





3

1 c tg 2 x    C 4 2 1  ln 2 cos x  cos 2 x  C 2



5.

x 2  x  2 ln x  1  C

6.

x  ln 1  x 2  C

7.

2 arctg x  C

8.

C





arctg x 2  C 155


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9.

1 2 1  x  ln    C 4 1 x 

10.

3 3  1   x  1 2  x  1 2   C 3  

11.

arcsenx  1  x 2  C

12.

2  2  ln x 1  ln x  C 3

13.

ln ln ln x  C

14.

 a 2  x 2  a arcsen x  C

a 

a 2 sen 2 x  b 2 cos2 x

15.

C

a2  b2

4 cot g 3 4  C 3

16.



17.

2 32   ln  x  1  x 2   C 3  

18.

1 ln 2ln 3  ln 2

19.

2 1  1  x2  C

20.

1 4 x 2  8x  3  C 4

3x  2 x 3x  2 x

C

Ejercicios Propuestos 1.3 1. 2. 3. 4.

x 3x e3x e  C 3 9

x  1e2 x

e2 x C 2 4 cos 3x 2  2 x  1  sin 3x  C 3 9 cos3x  1 sin 3x  1 x  C 3 9 





e 2 x 2x2  2x  1  C 4

5.



6.

e2x 2 x 2  8x  9  C 4

7.

x  xln x  x2  x  C

8.

2 32  2 4 8 x  ln x  ln x    C 3 3 3 

9.

2 32  2 x  ln x    C 3 3 

10. 11.





2

2

x arctg x  12  arctg x2  ln1  x 2   C  x csc x  ln csc x  cot gx  C





12.

2 x 1e

13.

x ln x  1  x 2  1  x 2  C

14.

x arcsin x  1  x 2  C

15.

x arctanx 

x

C

1 ln 1  x 2  C 2

156


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16.

 x  1  x arctg x  C

17.

x senln x  cosln x  C 2

18.

 2 x cos x  2 sen x  C

19.

x senln x  cosln x  C 2

20.

cos x ln tg x  12 csc x cot gx  12 ln csc x  cot gx  C


2x 

2.



3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

3 3 x  sin 4 x  C 2 8

cos 3x cos 3x 3  C 3 9 1 5 3 1  x  2 sen 2 x  sen 4 x  sen3 2 x  C 8  2 8 6 

3 11 2 2 sen 2 x  sen 2 x  C 3 11 1 1 sen 2 x  sen 8 x  C 4 16 1 3  cos x  cos 3x  C 2 2 1 1  cos 5x    cos x  5   C 12 12 10 2 1 1 1 sen x  sen 7 x  sen 5 x  C 2 28 20 1 1  cos8 2 x  cos10 2 x  C 16 20 1 1 1 1 x  sen 2 x  sen 4 x  sen 6 x  C 4 8 16 24 1 sec4 x  ln sec x  C 4











c tg 5 x c tg 3 x   c tg x  C 5 3

12.

x

13.

15.

1 tg 5x  5x  C 2 5 2 2 3 sec 2 x  sec 2 x  C 5 3 2c tg 2 x  C

16.

2 csc xc tg x  2 ln csc x  c tg x  2 csc2 x  C

17.

3 tg x 

14.

18.

1 3 tg x  C 3

2 2 ln sec x  tg x  ln csc x  c tg x  C 2 2

19.

ln sec x  tg x  csc x  C

20.



1 1 csc x c tg x  ln csc x  c tg x  C 2 2

Ejercicios Propuestos 1.5 1. 2.

81  x 1 4x   arcsen  sen   C 8  3 4 3  1  x2 x2

C

157


MOISES VILLENA

x

3.

 arcsin x  C

1  x2

4.

9 x 9 2x arcsen  sen C 2 3 4 3

5.

1 ln 3

6.

  2 x2  9 1 3 1 ar cos   sen  9 3  x 4  

x2  9  3 C x

   C  

3

x 2  1  x 2  1     C x x   

7.

8.

9.

x x2  2 x  ln  2 2

x2  2

C

2

 

 x   2 sen 2 x  C 8 arcsen  2    x2

10.

C

2

2 x  4 x  13

1  e2 x  1

11.

ln

12.

 ln

13.

1 ln 2

14.

arctgx  1  x 2  ln 1  x 2  x  C

15.

ex

tg x  2 3

C 2

 tg x  2   1  C   3  

9  sen4 x  sen2 x C 3

x 1 2 1 x

2

earctg x  C

16.

sen3 x  sen x  x3 arccos C 3

17.

 ln x  2  C  5 1  4 ln x  ln 2 x  2 arcsen 5  

18.





x2  1 2 1  x4



C



19.

1   arctg x 2  1  ln x 4  x 2  2   C 2 

20.

x4 





3 4 x4  7  37 ln 4  6 ln 16 x8  3x 4  2  C 2 4x  5


1 x 1 ln C 4 x3

2.

ln x 

5 8 ln x  2  ln x  1 C 4 3

158


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3.

37 127 5 6 ln x  2  ln x  2  ln x  3  C 305 305 61 61x  3

4.

ln

5.

1 1  x ln  arctg   C 2 2 x  3 x 2  4 2

6.

2 ln x  1  arctanx  C

7.

x 1 3 7  ln x 2  x  2  ln 2 2 3

x

C

x 2  3x  2





x 1 x  x2

C

2

11 x  2 13 ln  C 12 x  3 15x  2

8.



9.

3 ln x 2  1 x 2  2 x  2  arctg x  2 arctg x  1  C 2

10.

x3  18 x  ln x  77 ln x 2  9  C 3

11.

 2 arctg x 2  1  2 ln x  1  C

12.

2 ln x  2  arctgx  1  C

13.

x3 8   4 ln x 2  4  C 2 x2  4

14.

  2  ln 2  2  arctg x  C  2   x 2   

15. 16.











2

x2

1 ln x 2  1  ln x  1  arctg x  C 2 x 1 1  2x  1  ln x  ln x 2  1  ln  C 4 2 8  2 x  1  1 cos x  3 ln C 5 cos x  3

17. 16.

tg x  2 C tg x  1

18.

ln

19.

1 1 1 ln 2  cos x  ln 1  cos x  ln 1  cos x  C 3 6 2

20.

x  3 ln e

x

6

x  1  6 arctan e 6   C  


1



5

2. 3. 4. 5.

C

2 tan x  1 arctan

2

5

1 2 ln 2  tan x  ln 1  2 tan x 2 2 5 5 2 1 ln 2 tan x  1  ln 2  tan x 2 2 5 5 2 2 arctantan x   arctan 2 tan x  C 2 1 1 ln tan x  tan 2 x  C 2 2 2 4





6.

ln 1  tan 2 x  C

7.

 ln tan x  1  arctan tan x  C 2 2

8.



2



 

 

1 3 1 ln tan x  1  ln 1  tan 2 x  arctan tan x  C 2 2 2 2 4 2

159


MOISES VILLENA

CAPITULO 2: La Integral Definida Ejercicios Propuestos 2.1 13 3 3 2 5. ln 2 2 2 1 47 9. e3  e2  9 2 18

5 12 5 7 6. ln 2  2 4

1.

2.

3.

1 

4.

7. 21ln 2  10. e

1 3

8. ln 2 3  2 24

11.

9 3 5 ln 2  ln 3  ln 5 4 8 8 16. 219.09

12. 31  37ln 2

13.

15. 2ln 2  1

3 sen3  2 3

1   e  1 2

14.

Ejercicios Propuestos 2.2 1. 1. 0

85 3 11. 45 6.

28 3

14 3 9 7. 2 12. 2

3. 

13. 0 ; es im par

14. 0 ; es im par

b) V g) V

c) V h) V

d) F

2.

8.

115 3

4. 5 9.

5.

13 2

29 2

10.

41 2

2. 6 3. 10 4.

a) F f) F

5.

a)

cos x ln x  senx

e) V

x

1  senx ln x





 tgx  3 c) 1  32 x15 sec3 x 6 x 2 sec x  2 x3 sec xtgx  1  ln 3 xtg5x   ln x sec2 x   x  sec x 3ex 1  ln 3  x  sec xtgx ln x c) 2  e ln x sec x 2  3e x



2 x3  senx

d) 4

x

3



5

 3x

3



4 x3

 cos x 

x10  1

 senx  1

1  x sen tgx 3x sentgx   x costgx sec x  1  ln x  12x x  1 e) cosx sentgx   senx sentgx  cosln x  1  senln x  1 9

3

2

3

3

2

3

3 2

2

2

2

f) x2

6.

a) 1 3

b) sen1

c) 1

d)

 0

dt 1  5t

. 2

4x 1  5 x10

Misceláneos 1.

a) V f) F k) V p) F u) F z)

b) F g) V l) F q) V v) V

c) F h) V m) r) F w) V

d) V i) F n) F s) F x) V

e) V j) V o) V t) V y)

160


MOISES VILLENA

1 5  2  6  5  d) 3arctg3  arctg 2

2.

a) 1

b)

6

1 3

e)

f)

6

c) 2

15

g) 29 3

h) 4  ln 4

k) 334

l) 77 2

i) 16 5

75 3 5 1 41 j) ln  ln 4 2 2 20



3. 4.



Es cóncava hacia arriba para

7

x2 y x4

CAPITULO 3: Aplicaciones de la Integral Ejercicios Propuestos 3.1 1) 21

2)

6

22

3) 16

3 125 7) 6

6) 8

12) 71

11) 131 4

8) 8

4) 9

3

9) 22

3

5) 32

2

3

10) 919

75

6

Ejercicios Propuestos 3.2 1).

a 2

2)

4

8  3 3

7) 18 

6) 8 2

3) 9 2 

27 3 2

27 4 8)

4) 3 3

 2

 3     2 6  

5) 8

9) 9 3  3

1

Ejercicios Propuestos 3.3 1). a)

5 6

b) 8 2  3  17 arctan 4



2) a) 2  2 ln 2 



500 3 625  7) a) 48 3)

7   12 

4)



c)

b)  2 ln 2 

 128  5) 5

875  32 b)

11 3

1   30  6) 13

125  4

Ejercicios Propuestos 3.4





 3 1 4) 3

1) 2 ln 2  1

2) 16

3) a

3

Ejercicios Propuestos 3.5 1). A 

5 4

2) a) a 

P  4 6

b) 8 6

161


MOISES VILLENA

Ejercicios Propuestos 3.6 1). a) Div ergente

b)

e) Div ergente

1 2) 2 5) a) 3

 2

c)

1 2

4)

4  3

f) Div ergente 3) 6

d) Div ergente

b) div ergente

6) Div erge para p  1 , converge a

1 si p  1 1 p

CAPITULO 4: Sucesiones y Series Ejercicios Propuestos 4.1 1). a) converge a

3 2

e) converge a 0 2) a) Creciente d) no monótona

b) Div erge

c) no converge

f) converge a 0

g) conv erge a

b) Decreciente e) Creciente para n  2

d) conv erge a e3

e

c) decreciente

162

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