RESONANCIA EN SISTEMAS MECÁNICOS El término resonancia se aplica comúnmente a cualquier situación en la que un sistema mecánico, estructural o acústico vibra en respuesta a una fuerza aplicada con la frecuencia natural del sistema o con una frecuencia próxima. La frecuencia natural es aquella a la que el sistema vibraría si lo desviáramos de su posición de equilibrio y lo deáramos moverse libremente. !i se excita un sistema mediante la aplicación continuada de fuerzas externas con esa frecuencia, la amplitud de la oscilación va creciendo continuamente, y puede llevar a la destrucción del sistema. El "undimiento del puente col#ante de $acoma $acoma %arro&s en 'u#et !ound, (as"in#ton )EE**+, que tuvo tuvo lu#ar lu#ar en -/, -/, fue causad causado o por vibra vibracio ciones nes con la frecue frecuenci ncia a natura naturall de la estruc estructur tura, a, producidas por el viento. 0uc"os problemas #raves de vibración en in#eniería son debidos a la resonancia. 'or eemplo, si la frecuencia natural de la carrocería de un automóvil es la misma que el ritmo del motor cuando #ira a una velocidad determinada, la carrocería puede empezar a vibrar o a dar fuertes sacudidas. Esta vibración puede evitarse al montar el motor sobre un material amorti#uador, por eemplo "ule o #oma, para aislarlo de la carrocería.
1recuencia de resonancia !e denom denomina ina frecu frecuencia encia de reson resonancia ancia a aquel aquella la frecu frecuencia encia característi característica ca de un cuerpo o un sistema que alcanza el #rado máximo de oscilación. $odo cuerpo o sistema tiene una, o varias, frecuencias características. 2uando un sistema es excitado a una de sus frecuencias características, su vibración es la máxima posible. El aumento de vibración se produce porque a estas frecuencias el sistema entra en resonancia. 2uando un sistema físico se somete a un estímulo, parte de la ener#ía pasa al mismo. !i e l aporte de ener#ía se "ace a una frecuencia determinada, la tasa de absorción es la máxima posible. Esto puede dar lu#ar a la inestabilidad en el sistema, o simplemente a la ruptura en al#ún punto del mismo. El eemplo más conocido puede ser la ima#en de una soprano "aciendo estallar el cristal al alcanzar una nota especialmente a#uda, que no es otra, que la frecuencia de resonancia de la copa. 2omo anécdota, se puede decir que a los soldados se les "ace romper la marc"a cuando pasan por un puente, ya que la frecuencia de los pasos de todos untos puede coincidir con la frecuencia frecuencia del puente. puente. !implemente !implemente es una anécdota, pues en los puentes actuales no ocurrirí ocurriría a nada ya que se dise3an para que su frecuencia propia no coincida con otras frecuencias que podrían afectarlo. !e presenta una deducción deducción matemática del fenómeno para un un caso sencillo como como es el sistema resorte4masa, para lue#o ir más más allá ilustrándolo con una serie de casos en los cuales el fenómeno está presente en la vida real, por eemplo5 en la comunicación entre insectos como los mosquitos mosquitos al sintonizar sintonizarse se la frecuencia frecuencia del aleteo de las "embras con las frecuenci frecuencias as naturales naturales de las antenas de los mac"os, mac"os, durante la la ocurrencia de un sismo cuando la frecuencia de éste coincide con al#unas de las frecuencias frecuencias naturales de los edificios, edificios, en la la vibración de ventanas cuando cuando las notas musicale musicales s coinciden coinciden con al#uno de los modos de vibración vibración de éstas, éstas, en el dise3o dise3o de los automóviles para evitar que que las frecuencias del motor provoquen provoquen indeseables vibraciones en sus partes, y en el cuerpo "umano sueto a vibraciones en ciertas situaciones situaciones de la vida laboral. LA RESONANCIA EN UN SISTEMA SENCILLO
'ara 'ara ilust ilustrar rar al#unos al#unos de los aspectos aspectos más relevant relevantes es del fenóme fenómeno no de la resona resonanci ncia, a, es conveniente desarrollar desarrollar el análisis de un sistema sencillo sencillo como es el de de una masa m li#ada a un resorte de constante elástica 6, 6, ya que este caso, pese a su sencillez ilustra conceptos conceptos básicos del
fenómeno que se presentan en casos más compleos. 'ara describir la dinámica de una masa acoplada a un resorte se parte de la 78 Ley de %e&ton
d ² y m dt ²
= -ky
!e propone como solución para su posición en función del tiempo un movimiento armónico simple5 A c o s w
y)t+9
:l sustituir esta función en la ecuación se tiene que la frecuencia an#ular con que en el estado estacionario se moverá la masa es5
´ =√ k / m w
Es de "acer notar que la frecuencia an#ular no depende de la amplitud sino solo de la constante 6 del resorte y de la masa, por tanto, este sistema tiene una sola frecuencia que ;adopta< en forma espontánea en cuanto se le dea oscilar libremente, por ello se le denomina ;frecuencia natural del sistema<. :nalicemos a"ora el caso de un oscilador forzado, para ello se aplica sobre la masa otra fuerza más la cual tendrá un carácter periódico con una amplitud 1, frecuencia an#ular = y actuando en la dirección del ee del resorte, tal como se observa en la fi#ura.
!i la fuerza externa periódica tiene la forma 1 9 1cos=t , entonces la fuerza total que actúa sobre la masa m es5
19 4>y ? 1cos=t a"ora la se#unda ley de %e&ton toma la forma5
d ² y m dt ²
= -ky + 1cos=t
!i al i#ual que el caso anterior se propone como solución de la anterior ecuación y 9 :cos=t, con = la frecuencia an#ular de la fuerza externa, al sustituir este valor de y, así como de su se#unda derivada respecto al tiempo se tiene que.
4m:=@cos=t 9 46:cos=t ? 1cos=t y al despear el valor : de la amplitud de la oscilación ésta tiene el valor
:9
'ero si 6 9 m
w ²
F K −mw ²
así es que sustituyendo este
valor en la anterior relación se obtiene
finalmente que5
F
:9
!e observa que cuando = tiende a
w
m ( ´ w
2
−w ²)
el valor absoluto de la amplitud : tiende a infinito. En esta
situación en que el sistema elástico tiende a oscilar con una máxima amplitud se dice que el sistema entra en un estado de resonancia. !i nos aproximamos a la frecuencia natural con valores mayores que
w
el valor de la amplitud tendrá valores
ne#ativosA para evitar este
comportamiento anómalo se introduce en la solución propuesta un án#ulo de fase B
y 9 :cos)=t ?B+ $al que B será i#ual a / para valores de = menores que w , y C para valores mayores. 'ara
que este comportamiento sea un modelo más realista se tiene que tomar en cuenta la fricción. !i se supone que la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad de la masa, la se#unda ley de %e&ton a"ora es5
d ² y m dt ²
dy = -ky + 1cos=t 4b dt
2on b una constante de proporcionalidad, la amplitud resultante es5
( ´w − w ) 2
:9
2
[¿ ¿ 2 +( yw ) ² ] ½ F / m ¿
Donde 9bFm. :unque a"ora la amplitud máxima ya no ocurre cuando la frecuencia de la fuerza externa es exactamente la frecuencia natural =o, para muc"os problemas de interés la diferencia no es considerable. El fenómeno de la resonancia requiere por tanto5 a+ De un sistema elástico que presente frecuencias naturales de vibración, b+ De una fuerza externa de tipo periódico que actúe sobre el sistema elástico, c+ De una coincidencia entre ambos tipos de frecuencia.
LA PRESENCIA DE RESONANCIA EN LA VIDA REAL .
!i estamos en un mundo sometido continuamente a fuerzas oscilantes, y si además estamos rodeados de estructuras elásticas tales como ventanas, puentes, edificios, etc., es factible que en muc"os casos la frecuencia de las fuerzas oscilantes coincida con al#una de las frecuencias naturales de las estructuras elásticas provocando fenómenos de resonancia. + 2uando decenas o cientos de soldados marc"an dando #olpes rítmicos de frecuencia muy constante en el piso, al cruzar sobre un puente, que como se "a se3alado es una estructura elástica con sus propias frecuencias naturales de vibración, en caso de que conserven su marc"a acompasada se corre el peli#ro de que su frecuencia de #olpeteo G aproximadamente de Hz4 coincida con al#una de las frecuencias naturales del puenteA "ay que tomar en cuenta además que la fuerza del #olpe colectivo puede alcanzar ma#nitudes de decenas de miles de %, para evitar ese peli#ro es que a las formaciones de soldados se les ordena romper la marc"a cuando cruzan un puente. 7+ Es una experiencia común que cuando se escuc"a música dentro de un cuarto, al#unas veces al aparecer sonidos de frecuencia muy baa los vidrios de las ventanas empiezan a vibrar violentamente. Esto ocurre, naturalmente, porque "ay un fenómeno de resonancia, ya que en tales casos la frecuencia de los sonidos #raves coincide con al#una de las frecuencias naturales de oscilación de los vidrios de las ventanas. I+ Los autos están "ec"os de muc"as partes elásticas como por eemplo el volante, la palanca de velocidades, los vidrios de las ventanas, etc.A de "ec"o, cuando al volante se le da un #olpe, se siente inmediatamente su vibraciónA pues bien, cuando el motor #enera vibraciones que coinciden con la frecuencia natural de vibración de al#unas de estas partes sucede el fenómeno de resonanciaA es por ello que los dise3adores de las carrocerías deben tener en cuenta que la potente fuente de vibraciones del motor no provoque la coincidencia con las frecuencias naturales de los diversos componentes de los automotores. + El cuerpo "umano está conformado con estructuras elásticas como son los "uesos, y es así que en el mundo de la medicina laboral se debe cuidar que la frecuencia de #olpeteo de máquinas como los taladros que rompen las capas de pavimento, no coincida con la frecuencia natural de
al#unas de las partes de la estructura ósea. 2uando el cuerpo "umano está sometido a vibraciones de baa frecuencia, éste se mueve como un todo, pero a frecuencias altas la respuesta del cuerpo es específicaA así de a 7 Hz las caderas y los "ombros comienzan a resonar, entre 7/ y I/ Hz es el cráneo el que resuena, a f recuencias más altas de J/ a -/ Hz son los #lobos oculares los que pueden entrar en resonancia K. M+ *n caso muy conocido de resonancia es cuando u n o una cantante diri#en su voz "acia una copa de cristalA es aparente que la copa es una estructura elástica que vibra a frecuencias claramente reconocibles por el oído "umano, por tanto, el afinado oído de los cantantes se entona con esos sonidos y lanza contra la copa un sonido potente de la misma frecuencia, con ello se forman en la copa ondas estacionarias, y si la intensidad y la frecuencia se mantienen el tiempo suficiente, se produce el fenómeno de resonancia "asta que la copa a causa d e sus intensas vibraciones se rompe.
J+ En el mundo animal se tienen también eemplos muy "ermosos de resonanciaA por eemplo Ncómo pueden los mosquitos mac"os detectar a los mosquitos "embrasO las frecuencias de aleteo de los mac"os y las "embras son diferentesA los mac"os aletean a una frecuencia aproximada de M// Hz, mientras que las "embras lo "acen a una frecuencia aproximada de I// HzA pues bien, se encuentra que las antenas de los mac"os tienen una frecuencia natural de vibración muy cercana a los I// Hz, por tanto, el aleteo de las "embras provoca en e llos resonancia de sus antenas y es así como se efectúa el reconocimiento.
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