Resis 1 PC's y Exámenes 2016-2

FCI-Adm-4.01

PONTIFICIA PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 1ra. práctica (tip o a+c) (segundo semestre 2016) Indicaciones generales: La presentación, la ortogr afía y la gramática influ irán en la califi cación. Se alienta el trabajo colaborativo en grupos de máximo de 2 alumnos, pero cada alumno deberá desarrollar desarrollar su propio informe. informe. Hay tolerancia cero al plagio. La calificación de cada pregunta se hará como sigue: Procedimiento: 40% Explicación: 30% Respuesta correcta: 20% Limpieza y orden: 10% (solo si PER > 50%) • • • •

Parte Parte 1: p ara desarrollar en el aula • •

Duración: 2h50 minutos Sin libros ni apuntes. Sólo está permitido el uso de una calculadora no programable.

Pregunta 1 (4 puntos) Se tiene un puente de tipo armadura sometido a una carga puntual P = 6 kN aplicada en el punto E, tal como se muestra en la figura 1. Todas las barras son de acero y de sección tubular con área de sección transversal de 200 mm 2.

Figura 1

Se pide: a) Determinar las fuerzas máximas máximas en tracción y en compresión en las las barras de la armadura. b) Determinar los esfuerzos esfuerzos máximos en tracción y en compresión en en las barras de la armadura.

Pregunta 2 (4 puntos) La viga ABC, mostrada en la figura 2, está simplemente apoyada en el extremo A y está conectada a un cable de 5/8” 5/8” de diámetro e inclinado 45° en el extremo B. La viga soporta una carga distribuida y una carga concentrada. Se pide: a) Dibujar el diagrama de fuerza normal (DFN), el diagrama diagrama de fuerza cortante (DFC) y el diagrama de momento flector (DMF) para la viga ABC. b) Calcular el esfuerzo normal normal en el cable.

Figura 2

Pregunta 3 (4 puntos) El pórtico ABCDE de la figura 3 incluye una rótula en el punto C y está sometida a la carga concentrada y la carga distribuida mostradas. Se conoce que la reacción vertical en el apoyo A es 3.65 kN y kN y el momento de empotramiento en el apoyo E es 17.83 kN-m. kN-m. Se pide: a) Calcular todas las reacciones de los apoyos apoyos A y E. b) Calcular las fuerzas internas transmitidas por por la rótula. c) Dibujar el DFN, DFC y DMF DMF del pórtico. pórtico.

Pregunta 4 (4 puntos) Para la sección mostrada en la figura 4 se pide calcular el momento de inercia respecto al eje horizontal que pasa por su centroide.

Pregunta 2 (4 puntos) La viga ABC, mostrada en la figura 2, está simplemente apoyada en el extremo A y está conectada a un cable de 5/8” 5/8” de diámetro e inclinado 45° en el extremo B. La viga soporta una carga distribuida y una carga concentrada. Se pide: a) Dibujar el diagrama de fuerza normal (DFN), el diagrama diagrama de fuerza cortante (DFC) y el diagrama de momento flector (DMF) para la viga ABC. b) Calcular el esfuerzo normal normal en el cable.

Figura 2

Pregunta 3 (4 puntos) El pórtico ABCDE de la figura 3 incluye una rótula en el punto C y está sometida a la carga concentrada y la carga distribuida mostradas. Se conoce que la reacción vertical en el apoyo A es 3.65 kN y kN y el momento de empotramiento en el apoyo E es 17.83 kN-m. kN-m. Se pide: a) Calcular todas las reacciones de los apoyos apoyos A y E. b) Calcular las fuerzas internas transmitidas por por la rótula. c) Dibujar el DFN, DFC y DMF DMF del pórtico. pórtico.


(dimensiones en mm)

Figura 3

Figura 4

Parte 2: Para la casa • •

•

Fecha límite: domingo 11/09/2016 hasta las 11:59 p.m. Cada alumno deberá desarrollar desarrollar su propio informe y deberá deberá colgar los archivos (programas y funciones) a través del curso unificado (I NG215) en la plataforma Paideia. Paideia. Puntaje total: 4 puntos

Pregunta 5 (4 puntos) Desarrolle un programa de computadora (MatLAB o VBA) con el fin de dibujar el diagrama de fuerza cortante (DFC) y el diagrama de momento flector (DMF) de una viga simplemente apoyada y sometida a diferentes cargas uniformemente distribuidas y cargas concentradas. Las cargas concentradas están aplicadas en el extremo derecho de cada carga distribuida. La ubicación y magnitud de las cargas puntuales, y la magnitud de las cargas distribuidas deben ser ingresadas por el usuario, usando las variables que se muestran en la figura 5.

Figura 5

El usuario deberá reconocer claramente los datos de entrada, los objetivos del trabajo y los conceptos empleados. Los programas y funciones deben estar adecuadamente comentados y estos comentarios deben explicar claramente las tareas que ejecutan las líneas de código. Los datos de salida mínimos son los siguientes: 1. Diagrama de fuerza cortante (DFC) 2. Diagrama de momento flector (DMF) Proponga 2 ejemplos de aplicación y utilice el programa para resolverlos. Debe indicar en cada ejemplo la geometría y las cargas del problema.

Profesores del curso: Marcial Blondet José Velásquez Christian Asmat César Huapaya Susana Moreira Pablo Basto San Miguel, 9 de septiembre de 2016

RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 Solucionario 1ra. prácti ca 2016-2 Pregunta 1 (4 puntos) Se tiene un puente de tipo armadura sometido a una carga puntual P = 6 kN aplicada en el punto E, tal como se muestra en la figura 1. Todas las barras son de acero y de sección tubular con área de sección transversal de 200 mm 2.

Figura 1

Se pide: a) Determinar las fuerzas máximas en tracción y en compresión en las barras de la armadura. b) Determinar los esfuerzos máximos en tracción y en compresión en las barras de la armadura.

Pregunta 2 (4 puntos) La viga ABC, mostrada en la figura 2, está simplemente apoyada en el extremo A y está conectada a un cable de 5/8” de diámetro e inclinado 45° en el extremo B. La viga soporta una carga distribuida y una carga concentrada. Se pide: a) Dibujar el diagrama de fuerza normal (DFN), el diagrama de fuerza cortante (DFC) y el diagrama de momento flector (DMF) para la viga ABC. b) Calcular el esfuerzo normal en el cable.

Figura 2

Pregunta 3 (4 puntos) El pórtico ABCDE de la figura 3 incluye una rótula en el punto C y está sometida a la carga concentrada y la carga distribuida mostradas. Se conoce que la reacción vertical en el apoyo A es 3.65 kN y el momento de empotramiento en el apoyo E es 17.83 kN-m. Se pide: a) Calcular todas las reacciones de los apoyos A y E. b) Calcular las fuerzas internas transmitidas por la rótula. c) Dibujar el DFN, DFC y DMF del pórtico.

Figura 3


(dimensiones en mm) Figura 4

Parte 2: Para la casa Fecha límite: domingo 11/09/2016 hasta las 11:59 p.m. Cada alumno deberá desarrollar su propio informe y deberá colgar los archivos (programas y funciones) a través del curso unificado (I NG215) en la plataforma Paideia. Puntaje total: 4 puntos • •

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Pregunta 5 (4 puntos) Desarrolle un programa de computadora (MatLAB o VBA) con el fin de dibujar el diagrama de fuerza cortante (DFC) y el diagrama de momento flector (DMF) de una viga simplemente apoyada y sometida a diferentes cargas uniformemente distribuidas y cargas concentradas. Las cargas concentradas están aplicadas en el extremo derecho de cada carga distribuida. La ubicación y magnitud de las cargas puntuales, y la magnitud de las cargas distribuidas deben ser ingresadas por el usuario, usando las variables que se muestran en la figura 5.

Figura 5

El usuario deberá reconocer claramente los datos de entrada, los objetivos del trabajo y los conceptos empleados. Los programas y funciones deben estar adecuadamente comentados y estos comentarios deben explicar claramente las tareas que ejecutan las líneas de código. Los datos de salida mínimos son los siguientes: 1. Diagrama de fuerza cortante (DFC) 2. Diagrama de momento flector (DMF) Proponga 2 ejemplos de aplicación y utilice el programa para resolverlos. Debe indicar en cada ejemplo la geometría y las cargas del problema.

%% Sol uci ón de l a PC1 c l ear ; c l c ; c l os e al l ; % Li mpi a var i abl es, l i mpi a pant al l a y ci er r a f i gur as di spl ay( ' I ngr esar l as ubi caci ones y el val or de l as car gas. ' ) di spl ay( ' El si gno negati vo de l as cargas i ndi can haci a ar r i ba' ) t i t = ' Vi ga somet i da a cargas punt ual es y di st r i bui das' ; pr ompt = {' Long. Vi ga (m) ' , ' Ubi caci ón Xi de l a fuer za Pi ( i =1. . n) [ m] ' , . . . ' Fuer za Apl i cada Pi [ kN] ' , ' Di s t r i bui das ' }; def = {' 10' , ' 3 6' , ' 10 15' , ' 3 2 3' }; r esp = i nput dl g( pr ompt , t i t , [ 1 70] , def ) ; L =ssc anf ( r esp{1}, ' %f ' ) ; %Longi t ud t otal de l a vi ga a anal i zar np = 100; % númer o de punt os a gr af i car x P w

=ssc anf ( r esp{2}, ' %f ' ) ; =ssc anf ( r esp{3}, ' %f ' ) ; =ss canf ( r esp{4}, ' %f ' ) ;

n = l ength( w) ; ej ex = ( 0: L / n p : L ) ' ; np = l engt h( ej ex) ;

%Ubi caci ón Xi de l as car gas puntual es apl i cadas %Val or de l as car gas puntual es apl i cadas [ N] %Magni t ud de l as car gas di st r i bui das [ N/ m]

% numer o de casos % número de punt os a anal i zar en el ej e x % numer o de punt os

% Sol uci ón para l a cargas punt ual es Ra = zeros( 2*n- 1, 1) ; % Hay 2*n- 1 casos a cal cul ar Rb = zeros( 2*n- 1, 1) ; DFC = zer os( np, 1) ; DMF = zer os( np, 1) ; % Par a cada caso de car ga punt ual f or i = 1 : ( n- 1) Ra( i ) = Ra( i ) + P( i ) * ( L - x( i ) ) / L; Rb( i ) = Rb( i ) + P( i ) * x( i ) / L ;

DFC DMF

= DFC + Ra(i ) + ( - P( i ) ) * ( ej ex > x(i ) ) ; = DMF + Ra( i ) *ej ex + ( - P( i ) * ( ej ex- x( i ) ) ) . * (ej ex > x(i ) ) ;

end % t ermi na n- 1 casos % Par a cada caso de carga di st r i bui da xm = [ 0; x; L ] ; f or j = 1 : n i = j + 1; k = ( n- 1) + j ;

% posi ci ones modi f i cadas ( necesi t o 0 al ppi o. y L al f i nal ) % j r ef er enci a a l as car gas % i r ef er enci a a l as posi ci ones % k r ef er enci a al caso de car ga desde k=n hast a k=2n- 1

l ongw = xm( i ) - xm( i - 1) ; R = w( j ) * l ongw; xr = xm( i - 1) + ( xm( i ) - xm( i - 1) ) / 2; Ra(k) = Ra( k) + R*( L- xr) / L; Rb(k) = Rb( k) + R*xr / L;

% l ongi t ud de l a car ga di st r i bui da % Resul t ant e de l a car ga di st r i bui da % posi ci ón de l a resul t ant e de l a car ga di st r i bui da

cort 1 = Ra(k) ; c or t 2 = - w( j ) * ( ej ex - xm( i - 1) ) ; cor t 3 = +w( j ) * ( ej ex - xm( i ) ) ; cor t ot = cor t 1 + cor t 2 . * ( ej ex > xm( i - 1) ) + cor t 3 . * ( ej ex > xm( i ) ) ; DFC = DFC + cor t ot ; mom1 = Ra( k) * ej ex; mom2 = - ( 1/ 2) *w( j ) * ( ej ex - xm( i - 1) ) . ^2; mom3 = ( 1/ 2) * w( j ) * ( ej ex - xm( i ) ) . ^2; momt ot = mom1 + mom2 . * ( ej ex > xm( i - 1) ) + mom3 . * ( ej ex > xm( i ) ) ; DMF = DMF + momt ot ; end aaa=f i nd( DMF==max( DMF) ) ; x1=ej ex( aaa) ;

DFC DMF

= DFC + Ra(i ) + ( - P( i ) ) * ( ej ex > x(i ) ) ; = DMF + Ra( i ) *ej ex + ( - P( i ) * ( ej ex- x( i ) ) ) . * (ej ex > x(i ) ) ;

end % t ermi na n- 1 casos % Par a cada caso de carga di st r i bui da xm = [ 0; x; L ] ; f or j = 1 : n i = j + 1; k = ( n- 1) + j ;

% posi ci ones modi f i cadas ( necesi t o 0 al ppi o. y L al f i nal ) % j r ef er enci a a l as car gas % i r ef er enci a a l as posi ci ones % k r ef er enci a al caso de car ga desde k=n hast a k=2n- 1

l ongw = xm( i ) - xm( i - 1) ; R = w( j ) * l ongw; xr = xm( i - 1) + ( xm( i ) - xm( i - 1) ) / 2; Ra(k) = Ra( k) + R*( L- xr) / L; Rb(k) = Rb( k) + R*xr / L;

% l ongi t ud de l a car ga di st r i bui da % Resul t ant e de l a car ga di st r i bui da % posi ci ón de l a resul t ant e de l a car ga di st r i bui da

cort 1 = Ra(k) ; c or t 2 = - w( j ) * ( ej ex - xm( i - 1) ) ; cor t 3 = +w( j ) * ( ej ex - xm( i ) ) ; cor t ot = cor t 1 + cor t 2 . * ( ej ex > xm( i - 1) ) + cor t 3 . * ( ej ex > xm( i ) ) ; DFC = DFC + cor t ot ; mom1 = Ra( k) * ej ex; mom2 = - ( 1/ 2) *w( j ) * ( ej ex - xm( i - 1) ) . ^2; mom3 = ( 1/ 2) * w( j ) * ( ej ex - xm( i ) ) . ^2; momt ot = mom1 + mom2 . * ( ej ex > xm( i - 1) ) + mom3 . * ( ej ex > xm( i ) ) ; DMF = DMF + momt ot ; end aaa=f i nd( DMF==max( DMF) ) ; x1=ej ex( aaa) ; y1=DMF( aaa) ; bbb=f i nd( DFC==max( DFC) ) ; x2=ej ex( bbb) ;

y2=DFC( bbb) ; st em( ej ex, DFC, ' k' , ' Li neWi dt h' , . 01) ; gr i d on; hol d on t ext ( x2, y2+y2/ 10, [ ' ( ' , num2st r ( x2) , ' , ' , num2st r ( y2) , ' ) ' ] , ' Hor i zont al Al i gnment ' , ' l ef t ' , ' Font Si ze' , 10, ' col or ' , ' r e d' , ' Font Wei ght ' , ' bol d' ) ; t i t l e( ' DI AGRAMA DE FUERZA CORTANTE' , ' Font Si ze' , 14, ' c ol or ' , ' bl ue' ) ; %Tí t ul o del gr áf i co f i gur e ; st em( ej ex, DMF, ' k' , ' Li neWi dt h' , . 01) ; gr i d on; hol d on t ext ( x1, y1+y1/ 20, [ ' ( ' , num2st r ( x1) , ' , ' , num2st r ( y1) , ' ) ' ] , ' Hor i zont al Al i gnment ' , ' l ef t ' , ' Font Si ze' , 10, ' col or ' , ' r e d' , ' Font Wei ght ' , ' bol d' ) ; t i t l e( ' DI AGRAMA DE MOMENTO FL ECTOR' , ' Font Si ze' , 14, ' c ol or ' , ' bl ue' ) ; %Tí t ul o del gr áf i co set( gca, ' yDi r ' , ' r ever se' ) Elaborado por: José Velásquez Christian Asmat Stewart López Revisado por: Profesores del curso ING215

y2=DFC( bbb) ; st em( ej ex, DFC, ' k' , ' Li neWi dt h' , . 01) ; gr i d on; hol d on t ext ( x2, y2+y2/ 10, [ ' ( ' , num2st r ( x2) , ' , ' , num2st r ( y2) , ' ) ' ] , ' Hor i zont al Al i gnment ' , ' l ef t ' , ' Font Si ze' , 10, ' col or ' , ' r e d' , ' Font Wei ght ' , ' bol d' ) ; t i t l e( ' DI AGRAMA DE FUERZA CORTANTE' , ' Font Si ze' , 14, ' c ol or ' , ' bl ue' ) ; %Tí t ul o del gr áf i co f i gur e ; st em( ej ex, DMF, ' k' , ' Li neWi dt h' , . 01) ; gr i d on; hol d on t ext ( x1, y1+y1/ 20, [ ' ( ' , num2st r ( x1) , ' , ' , num2st r ( y1) , ' ) ' ] , ' Hor i zont al Al i gnment ' , ' l ef t ' , ' Font Si ze' , 10, ' col or ' , ' r e d' , ' Font Wei ght ' , ' bol d' ) ; t i t l e( ' DI AGRAMA DE MOMENTO FL ECTOR' , ' Font Si ze' , 14, ' c ol or ' , ' bl ue' ) ; %Tí t ul o del gr áf i co set( gca, ' yDi r ' , ' r ever se' ) Elaborado por: José Velásquez Christian Asmat Stewart López Revisado por: Profesores del curso ING215

FCI-Adm-4.01

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 2da. práctica (tipo a+c) (segundo semestre 2016) Indicaciones generales: La presentación, la ortogr afía y la gramática influ irán en la califi cación. Se alienta el trabajo colaborativo en grupos de máximo de 2 alumnos, pero cada alumno deberá desarrollar su propio informe. Hay tolerancia cero al plagio. La calificación de cada pregunta se hará como sigue: • Procedimiento: 40% • Explicación: 30% • Respuesta correcta: 20% • Limpieza y orden: 10% (solo si PER > 50%)

Parte 1: para desarrollar en el aula

FCI-Adm-4.01

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 2da. práctica (tipo a+c) (segundo semestre 2016) Indicaciones generales: La presentación, la ortogr afía y la gramática influ irán en la califi cación. Se alienta el trabajo colaborativo en grupos de máximo de 2 alumnos, pero cada alumno deberá desarrollar su propio informe. Hay tolerancia cero al plagio. La calificación de cada pregunta se hará como sigue: • Procedimiento: 40% • Explicación: 30% • Respuesta correcta: 20% • Limpieza y orden: 10% (solo si PER > 50%)

Parte 1: para desarrollar en el aula • •


Pregunta 1 (4 puntos) a) Para una barra de longitud L y que está hecha de un material con módulo de elasticidad E, desarrolle una expresión que permita obtener la deformación δ . La barra está sometida a carga axial variable P(x) y su sección transversal tiene un área variable A(x). (2 puntos). b) La fundición mostrada en la figura 1 tiene la forma de una pirámide y está fabricada de un material que tiene peso específico  y un módulo de elasticidad E. Con la expresión obtenida en (a), determine la deformación total debido al peso propio cuando se suspende en posición vertical (2 puntos).

Figura 1

Pregunta 2 (5 puntos)

El sistema mostrado en la figura 2 está formado por la barra rígida BEC y los eslabones de acero AB y CD (E= 200 GPa; esfuerzo normal admisible σadm=120 MPa y esfuerzo de aplastamiento admisible σap,adm=180 MPa). Los eslabones tienen una sección rectangular de 30 mm de ancho por 4 mm de espesor y están conectados a la barra rígida y a los apoyos A y D con pasadores también de acero de 10 mm de diámetro en conexiones simples. Estos pasadores tienen un esfuerzo cortante admisible de τadm=45 MPa. El sistema tiene una única carga aplicada P = 4.5 kN.

Figura 2

a) Calcule el esfuerzo cortante promedio en cada uno de los 4 pasadores y el esfuerzo normal máximo en los eslabones AB y CD. Verifique si son menores a los valores admisibles (1.5 puntos). b) Calcule los esfuerzos normales de aplastamiento en las conexiones entre el pasador y el eslabón para AB y CD. El diámetro de los orificios en los eslabones es igual al diámetro de los pasadores (0.5 punto). c) Determine la deflexión del punto E de la barra rígida (1 punto). d) Si se incrementa la carga P a un valor de 12 kN se pide determinar el nuevo diámetro de los pasadores a fin de cumplir con los esfuerzos permisibles del material. Los diámetros disponibles en el mercado son de 10, 12, 16, 20 y 25 mm. Elija el más económico (1 punto). e) Considerando un cambio de temperatura de -20°C en la barra AB y la carga P toma un valor de 20 KN, determine el esfuerzo normal en la barra AB (1 punto).


La barra rígida CDE de la figura 3 está unida a un apoyo con pasador en E y descansa sobre el cilindro de latón de 30 mm de diámetro BD. Una varilla de acero de 25 mm de diámetro AC pasa a través de un agujero en la barra y está asegurada por una tuerca que se encuentra ajustada cuando todo el ensamble se encuentra a 20°C. La temperatura del cilindro de latón se eleva entonces a 60°C mientras que la varilla de acero permanece a 20°C. Suponiendo que no habrá esfuerzos presentes antes del cambio de temperatura, determine: a) el esfuerzo normal en el cilindro (3 puntos), y b) la deflexión en C (1 punto)

Varilla AC: Acero E = 200 GPa  = 11.7 x 10 -6/°C

Cilindro BD: Latón E = 105 GPa  = 20.9 x 10 -6/°C

Figura 3

Pregunta 4 (4 puntos) Las tres barras de acero que se muestran en la figura 4 están conectadas mediante pasadores a un elemento rígido. Si la carga aplicada sobre el elemento es de 15 KN, determine la fuerza desarrollada en cada barra. Las barras AB y EF tienen cada una un área en su sección transversal de 50 mm 2, mientras que la barra CD tiene 30 mm 2.

Figura 4


•

Fecha límite: domingo 18/09/2016 hasta las 11:55 p.m. Cada alumno deberá desarrollar su propio informe y deberá colgar los archivos (desarrollo analítico, programas y funciones) a través del curso unificado (ING215) en la plataforma Paideia. Puntaje total: 3 puntos

Pregunta 5 (3 puntos) Calcule carga admisible P y el acortamiento que se produce en la columna corta de concreto armado mostrada en la figura 5. La sección cuenta con n varillas de acero (considere valores enteros). El área total de las varillas de acero puede variar entre 1% hasta 8% del área total de la columna.

Figura 5

Luego, desarrolle un programa en Matlab o VBA que solicite al usuario: diámetro D y altura h de la columna, diámetro de cada varilla de acero db, módulo de elasticidad Ec y esfuerzo admisible del concreto σc, módulo de elasticidad Es y esfuerzo admisible del acero σs. Con las expresiones calculadas para P y δ , el programa deberá graficar: (a) la relación entre la carga admisible P y el número de varillas n, y (b) la relación entre el acortamiento δ y el número de varillas n. Comente estos gráficos. Presente todos los esquemas de la solución y el código fuente del programa adecuadamente comentado. Profesores del curso: Marcial Blondet José Velásquez Christian Asmat César Huapaya Susana Moreira Pablo Basto

San Miguel, 16 de septiembre de 2016

RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 Solucionario 2da. práct ica 2016-2 Pregunta 1 (4 puntos) a) Para una barra prismática de longitud L y que está hecha de un material con módulo de elasticidad E, desarrolle una expresión que permita obtener la deformación δ . La barra está sometida a carga axial variable P(x) y su sección transversal tiene un área variable A(x). (2 puntos). b) La fundición mostrada en la figura 1 tiene la forma de una pirámide y está fabricada de un material que tiene peso específico y un módulo de elasticidad E. Con la expresión obtenida en (a), determine la deformación total debido al peso propio cuando se suspende en posición vertical (2 puntos).



Figura 1

Pregunta 2 (5 puntos) El sistema mostrado en la figura 2 está formado por la barra rígida BEC y los eslabones de acero AB y CD (E= 200 GPa; esfuerzo normal admisible σadm=120 MPa y esfuerzo de aplastamiento admisible σap,adm=180 MPa). Los eslabones tienen una sección rectangular de 30 mm de ancho por 4 mm de espesor y están conectados a la barra rígida y a los apoyos A y D con pasadores también de acero de 10 mm de diámetro en conexiones simples. Estos pasadores tienen un esfuerzo cortante admisible de τadm=45 MPa. El sistema tiene una única carga aplicada P = 4.5 kN.

Figura 2

a) Calcule el esfuerzo cortante promedio en cada uno de los 4 pasadores y el esfuerzo normal máximo en los eslabones AB y CD. Verifique si son menores a los valores admisibles (1.5 puntos). b) Calcule los esfuerzos normales de aplastamiento en las conexiones entre el pasador y el eslabón para AB y CD. El diámetro de los orificios en los eslabones es igual al diámetro de los pasadores (0.5 punto). c) Determine la deflexión del punto E de la barra rígida (1 punto). d) Si se incrementa la carga P a un valor de 12 kN se pide determinar el nuevo diámetro de los pasadores a fin de cumplir con los esfuerzos permisibles del material. Los diámetros disponibles en el mercado son de 10, 12, 16, 20 y 25 mm. Elija el más económico (1 punto). e) Considerando un cambio de temperatura de -20°C en la barra AB y la carga P toma un valor de 20 KN, determine el esfuerzo normal en la barra AB (1 punto).

Pregunta 3 (4 3 (4 puntos) La barra rígida CDE de CDE de la figura 3 está 3 está unida a un apoyo con pasador en E y BD. Una varilla de descansa sobre el cilindro de latón de 30 mm de diámetro BD. acero de 25 mm de diámetro AC pasa a través de un agujero en la barra y está asegurada por una tuerca que se encuentra ajustada cuando todo el ensamble se encuentra a 20°C. La temperatura del cilindro de latón se eleva entonces a 60°C mientras que la varilla de acero permanece a 20°C. Suponiendo que no habrá esfuerzos presentes antes del cambio de temperatura, determine: a) el esfuerzo normal en el cilindro (3 puntos), y b) la deflexión deflexión en C (1 punto)

Varilla AC Varilla AC:: Acero E = 200 GPa = 11.7 x 10 -6/°C

Cilindro BD: BD: Latón E = 105 GPa = 20.9 x 10 -6/°C



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Figura 3

Pregunta 4 (4 puntos) Las tres barras de acero que se muestran en la figura 4 están conectadas mediante pasadores a un elemento rígido. Si la carga aplicada sobre el elemento es de 15 KN, determine la fuerza desarrollada en cada barra. Las barras AB y EF tienen cada una un área en su sección transversal de 50 mm 2, mientras que la barra CD tiene 30 mm 2.

Figura 4

Parte 2: Para la casa Fecha límite: domingo 18/09/2016 hasta las 11:55 p.m. • Cada alumno deberá desarrollar su propio informe y deberá colgar los • archivos (desarrollo analítico, programas y funciones) a través del curso unificado (ING215) en la plataforma Paideia. Puntaje total: 3 puntos • Pregunta 5 (3 puntos) Calcule carga admisible P y el acortamiento que se produce en la columna corta de concreto armado mostrada en la figura 5. La sección cuenta con n varillas de acero (considere valores enteros). El área total de las varillas de acero puede variar entre 1% hasta 8% del área total de la columna.

Figura 5

Luego, desarrolle un programa en Matlab o VBA que solicite al usuario: diámetro D y altura h de la columna, diámetro de cada varilla de acero db, módulo de elasticidad Ec y esfuerzo admisible del concreto σc, módulo de elasticidad Es y esfuerzo admisible del acero σs. Con las expresiones calculadas para P y δ , el programa deberá graficar: (a) la relación entre la carga admisible P y el número de varillas n, y (b) la relación entre el acortamiento δ y el número de varillas n. Comente estos gráficos. Presente todos los esquemas de la solución y el código fuente del programa adecuadamente comentado.

Solución

Datos a ingresar: D= diámetro de la sección transversal = 0.40 m

3 4

db= diámetro de la barra de refuerzo= × (0.0254)

 = 2.2 × 107 6 /2  = 2 × 1 0 /2 []  = 0.5 × 2100 /2 []  = 0.6 × 42000 /2 1) Equilibrio:

 +  =  … … … … … . . ( 1 ) 2)

Compatibilidad

= δ  δ  δ  =     ó

δ×=  ó    × 

 × =× ×   = � ×  × 

Reemplazando en (1)

…………………………(2)

…………………………(3)

  ×  1+  ×  Luego:  ×   ×  … … … … … … … … … ( 4 )  = � ×  +  ×    = � ×  ×+   ×  … … … … … … … … … ( 5 ) ×   En resumen:  =  ×  …………………  =   =  ×  ……………….  =   =

Donde:

   =  +  ×

×

×

Además se sabe:





[  ] = (σ ) ×

 =  +  ×

×

×





[  ] = (σ ) ×

Por lo tanto se tiene: [ ]

1 =  [ ] 2 =   = mín(1, 2) CÓDIGO EN MATLAB

%% SOLUCI ÓN DE LA PC2 cl ear ; cl c; cl os e al l ; % Li mpi a var i abl es, l i mpi a pant al l a y ci er r a f i gur a s % DATOS DE ENTRADA D = 0. 40; Col umna h=4; db=( 3/ 4) *0. 0254; Ec = 2. 2e+06; Es = 2e+07; si gmac =0. 5*2100; si gmas = 0. 6*42000;

% Di ámet r o de l a Secci ón Transver sal de l a % Al t ur a de l a col umna % Di ámet r o de l a var i l l ar a usar % Módul o de El ast i ci dad del Concr et o % Módul o de El ast i ci dad del Acer o % Esf uer zo admi si bl e del Concr et o % Esf uer zo admi si bl e del Acer o

%% Cál cul os Ab = pi *db^2/ 4; At = pi *D^2/ 4; nmi n = cei l ( 0. 01*At / Ab) ; super i or nmax = f l oor ( 0. 08*At / Ab) ; i nf er i or

% Ár ea de una Var i l l a de Acer o % Ár ea de l a Secci ón Tr ansver sal % Cei l nos r edondea un númer o al ent er o % Fl ooor nos r edondea un númer o al ent er o % El númer o de var i l l as debe ser un númer o % ent er o, debi do a eso se r edondea. % n= al número de var i l l as l as cual es vamos

n = ( nmi n: 1: nmax) ' ; i ncr ement ando una por una np = l engt h( n) ; P = zer os( np, 1) ; del t a = zer os( np, 1) ;

f or i = 1: np As = n( i ) *pi *db^2/ 4; Ac = pi *D^2/ 4 - As; den = Es* As + Ec*Ac; al f as = Es*As/ den; al f ac = Ec*Ac/ den; Psadm = si gmas* As; Pcadm = si gmac*Ac; Pad = mi n( Psadm/ al f as, Pcadm/ al f ac) ; P( i ) = Pad; % Cuando se t i ene cal cul ado el P admi si bl e, se pr ocede a usar l as % ecuaci ones de equi l i br i o Ps = al f as*Pad; Pc = al f ac*Pad; del t a( i ) = Pc*h/ ( Ec*Ac); % Usando l a f ór mul a de l a Pel ea, obt enemos l a def or maci ón. end %%% Gr áf i cos pl ot ( n, P, ' o' ) ; t i t l e ( ' Rel aci ón ent r e l a Car ga Admi si bl e P y el Número de Var i l l as n' ) f i gur e ; pl ot ( n, del t a, ' o' ) ; t i t l e ( ' Rel aci ón ent r e el Acor t ami ent o y el Númer o de Var i l l as n' )

Gráficos obtenidos mediante el código

Elaborado por : José Velásquez Christian Asmat Stewart López Revisado por: Profesores del curso ING215

FCI-Adm-4.01

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 3ra. práctica (tip o a+c) (segundo semestre 2016) Indicaciones generales: La presentación, la ortogr afía y la gramática influ irán en la califi cación. Se alienta el trabajo colaborativo en grupos de máximo de 2 alumnos, pero cada alumno deberá desarrollar su propio informe. Hay tolerancia cero al plagio. La calificación de cada pregunta se hará como sigue: Procedimiento: 40% Explicación: 30% Respuesta correcta: 20% Limpieza y orden: 10% (solo si PER > 50%) • • • •



Pregunta 1 (6 puntos) A partir de las observaciones del comportamiento de materiales sometidos a carga axial y a fuerzas cortantes, se pide: a) Desarrollar las expresiones de la ley de Hooke generalizada (LdHG) indicando claramente las asunciones realizadas y el significado físico de cada una de las constantes que aparecen. ¿Qué propiedades del material representan? ¿En qué unidades se expresan? (3 ptos.) b) Emplear la LdHG para determinar el cambio en altura y el cambio en volumen del cilindro de latón mostrado en la figura 1, considerando: a) sólo la presión vertical mostrada; y b) la presión vertical mostrada y una presión hidrostática (constante) en toda su superficie lateral de 40 MPa. (3 ptos.)

Figura 1

Pregunta 2 (6 puntos) El eje AB consta de n elementos cilíndricos homogéneos, los cuales pueden ser sólidos o huecos. Su extremo A está fijo, mientras que su extremo B es libre y está sometido a las cargas que se muestran en la figura 2. La longitud del elemento i se denota por Li, su diámetro exterior mediante DEi, su diámetro interior con DIi, su módulo de rigidez por Gi y el momento torsor aplicado a su extremo derecho por Ti siendo su magnitud Ti supuesta positiva si Ti se observa antihorario desde el extremo B y negativa si es de otro modo. Advierta que DIi = 0 si el elemento es sólido.

Figura 2

Figura 3

a) Indique los pasos a seguir para completar la tabla 1 con el fin de poder analizar el caso genérico mostrado y poder determinar el esfuerzo máximo en cada elemento y el giro máximo de todo el sistema. (3 ptos.) b) Utilice la tabla 1 para determinar lo indicado en (a) para el sistema de la figura 3, la cual consiste en una varilla de aluminio AB ( G = 27 GPa) unida a la varilla de latón BD (G = 39 GPa). Se sabe que la porción CD de la varilla de latón es hueca y tiene un diámetro interior de 40 mm. (3 ptos.)

Tabla 1 Elemento

S/H

Li

DEi

DIi

Gi

Ti

Ji



i

Nota: S/H = Sólido/Hueco

Pregunta 3 (4 puntos) Un montaje antivibratorio construido como se muestra en la figura 4 se utiliza para soportar un instrumento delicado. El soporte consiste en un tubo exterior de acero con diámetro interior b, una barra central de acero con diámetro d que soporta la carga P y un cilindro hueco de caucho (altura h) unido al tubo y a la barra.

a) Obtenga una fórmula para el esfuerzo cortante  en el caucho a una distancia radial r desde el centro del montaje antivibratorio. (2 ptos.) c) Obtenga una fórmula para el desplazamiento  hacia abajo de la barra central debido a la carga P. Suponga que G es el módulo de corte del caucho y que el tubo de acero y la barra son rígidos. (2 ptos.)

Figura 4


•


Pregunta 4 (4 puntos) El eje AB consta de n elementos cilíndricos homogéneos, los cuales pueden ser sólidos o huecos. Su extremo A está fijo, mientras que su extremo B es libre y está sometido a las cargas que se muestran en la figura 2. La longitud del elemento i se denota por Li, su diámetro exterior mediante DEi, su diámetro interior con DIi, su módulo de rigidez por Gi y el momento torsor aplicado a su extremo derecho por Ti siendo su magnitud Ti supuesta positiva si Ti se observa antihorario desde el extremo B y negativa si es de otro modo (advierta que DIi = 0 si el elemento es sólido). a) Desarrolle un programa para computadora (Matlab o VBA) que pueda utilizarse para determinar el diagrama de momento torsor (DMT), el esfuerzo cortante máximo en cada elemento, el ángulo de giro en cada elemento y el ángulo de giro del eje completo. b) Use este programa para resolver la parte (b) de la pregunta 2. Presente todos los esquemas de la solución y el código fuente del programa adecuadamente comentado. Profesores del curso: Marcial Blondet, José Velásquez, Christian Asmat, César Huapaya, Susana Moreira y Pablo Basto. San Miguel, 23 de septiembre de 2016

RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 Solucionario 3ra. práctica 2016-2 Pregunta 1 (6 puntos) A partir de las observaciones del comportamiento de materiales sometidos a carga axial y a fuerzas cortantes, se pide: a) Desarrollar las expresiones de la ley de Hooke generalizada (LdHG) indicando claramente las asunciones realizadas y el significado físico de cada una de las constantes que aparecen. ¿Qué propiedades del material representan? ¿En qué unidades se expresan? (3 ptos.) b) Emplear la LdHG para determinar el cambio en altura y el cambio en volumen del cilindro de latón mostrado en la figura 1, considerando: a) sólo la presión vertical mostrada; y b) la presión vertical mostrada y una presión hidrostática (constante) en toda su superficie lateral de 40 MPa. (3 ptos.)

Figura 1

Pregunta 2 (6 puntos) El eje AB consta de n elementos cilíndricos homogéneos, los cuales pueden ser sólidos o huecos. Su extremo A está fijo, mientras que su extremo B es libre y está sometido a las cargas que se muestran en la figura 2. La longitud del elemento i se denota por Li, su diámetro exterior mediante DEi, su diámetro interior con DIi, su módulo de rigidez por Gi y el momento torsor aplicado a su extremo derecho por Ti siendo su magnitud Ti supuesta positiva si Ti se observa antihorario desde el extremo B y negativa si es de otro modo. Advierta que DIi = 0 si el elemento es sólido.

Figura 2

Figura 3

a) Indique los pasos a seguir para completar la tabla 1 con el fin de poder analizar el caso genérico mostrado y poder determinar el esfuerzo máximo en cada elemento y el giro máximo de todo el sistema. (3 ptos.) b) Utilice la tabla 1 para determinar lo indicado en (a) para el sistema de la figur a 3, la cual consiste en una varilla de aluminio AB (G = 27 GPa) unida a la varilla de latón BD ( G = 39 GPa). Se sabe que la porción CD de la varilla de latón es hueca y tiene un diámetro interior de 40 mm. (3 ptos.)

Tabla 1 Elemento

S/H

Li

Nota: S/H = Sólido/Hueco

DEi

DIi

Gi

Ti

Ji



i

Pregunta 3 (4 puntos) Un montaje antivibratorio construido como se muestra en la figura 4 se utiliza para soportar un instrumento delicado. El soporte consiste en un tubo exterior de acero con diámetro interior b, una barra central de acero con diámetro d que soporta la carga P y un cilindro hueco de caucho (altura h) unido al tubo y a la barra. a) Obtenga una fórmula para el esfuerzo cortante  en el caucho a una distancia radial r desde el centro del montaje antivibratorio. (2 ptos.) c) Obtenga una fórmula para el desplazamiento  hacia abajo de la barra central debido a la carga P. Suponga que G es el módulo de corte del caucho y que el tubo de acero y la barra son rígidos. (2 ptos.)

Figura 4

Parte 2: Para la casa  




Pregunta 4 (4 puntos) El eje AB consta de n elementos cilíndricos homogéneos, los cuales pueden ser sólidos o huecos. Su extremo A está fijo, mientras que su extremo B es libre y está sometido a las cargas que se muestran en la figura 2. La longitud del elemento i se denota por Li, su diámetro exterior mediante DEi, su diámetro interior con DIi, su módulo de rigidez por Gi y el momento torsor aplicado a su extremo derecho por Ti siendo su magnitud Ti supuesta positiva si Ti se observa antihorario desde el extremo B y negativa si es de otro modo (advierta que DIi = 0 si el elemento es sólido). a) Desarrolle un programa para computadora (Matlab o VBA) que pueda utilizarse para determinar el diagrama de momento torsor (DMT), el esfuerzo cortante máximo en cada elemento, el ángulo de giro en cada elemento y el ángulo de giro del eje completo. b) Use este programa para resolver la parte (b) de la pregunta 2. Presente todos los esquemas de la solución y el código fuente del programa adecuadamente comentado.

CÓDIGO EN MATLAB % pc3 % solución tarea en Paideia % Programa para calcular las reacciones, esfuerzos cortantes y giros en una % barra empotrada en su extremos. La barra tiene "n" elementos de sección % circular (hueca, en general) y está sometida a "n" torsores %% DATOS DEL PROBLEMA clear; clc; close all; tit = 'Ejes circulares sometidos a torsión'; prompt = {'Módulo de corte G (GPa)', 'Longitudes Li (i=1..n) [mm]','Diámetros ext. DEi (i=1..n) [mm]', 'Diámetros int. DIi (i=1..n)[mm]', 'Torsores Ti[kN*m]'}; def = {'35E+09 83E+09 28E+09 ', '1500 2000 3000', '75 75 100','0 0 0', '-1.5 0 4'}; resp = inputdlg(prompt,tit, 1, def); G = sscanf(resp{1},'%f')*10^-9; % Módulo de corte, G L = sscanf(resp{2},'%f'); % vector de longitudes, Li DE = sscanf(resp{3},'%f'); % vector de diámetros exteriores, DEi DI = sscanf(resp{4},'%f'); % vector de diámetros exteriores, DIi T = sscanf(resp{5},'%f'); % vector de torsores aplicados externamente, Ti %% Cálculos iniciales n = size(L,1) ; rext = DE/2; rint = DI/2; J = pi*(rext.^4 - rint.^4)/2;

% % % %

número de tramos radios exteriores radios interiores momento polar de inercia

%% Cálculo de las reacciones TA = sum(T); %% Momentos torsores en cada MT = cumsum(T); tau = (MT.*rext./J)*1e6; taum=max(abs(tau)); phi = MT.*L./(G.*J); phicumg = cumsum(phi);

barra % momento torsor en cada barra % esfuerzos cortantes en cada barra % esfuerzo cortante máximo % giros en cada barra % giros acumulados en las barras

phicum = [phicumg(n:-1:1);0]; phit = sum(phi);

% giro total

%% Gráficos maxT = max(abs(MT)); maxphi = max(abs(phicumg)); ejex = [0; cumsum(L)]; % eje horizontal para los gráficos escalaT = [0 max(ejex) -maxT maxT]; escalatau = [0 max(ejex) -taum taum]; escalaphi= [0 max(ejex) -maxphi maxphi]; figure; subplot(3,1,1); stairs(ejex, [MT;TA]); % diagrama de momentos torsores grid on; title('Diagrama de momentos torsores'); ylabel('Momento torsor[kN-m]'); axis(escalaT); subplot(3,1,2); stairs(ejex, [tau;tau(n)]); % diagrama de esfuerzos cortantes grid on; title('Diagrama de esfuerzos cortantes'); ylabel('Esfuerzo cortante [MPa]'); axis(escalatau); subplot(3,1,3); plot(ejex, phicum); % diagrama de ángulos de giro grid on; title('Diagrama de ángulos de giro'); ylabel('Ángulo de giro [rad]'); axis(escalaphi);

Elaborado por: José Velásquez Christian Asmat Stewart López

Revisado por: Profesores del curso ING215

phicum = [phicumg(n:-1:1);0]; phit = sum(phi);

% giro total

%% Gráficos maxT = max(abs(MT)); maxphi = max(abs(phicumg)); ejex = [0; cumsum(L)]; % eje horizontal para los gráficos escalaT = [0 max(ejex) -maxT maxT]; escalatau = [0 max(ejex) -taum taum]; escalaphi= [0 max(ejex) -maxphi maxphi]; figure; subplot(3,1,1); stairs(ejex, [MT;TA]); % diagrama de momentos torsores grid on; title('Diagrama de momentos torsores'); ylabel('Momento torsor[kN-m]'); axis(escalaT); subplot(3,1,2); stairs(ejex, [tau;tau(n)]); % diagrama de esfuerzos cortantes grid on; title('Diagrama de esfuerzos cortantes'); ylabel('Esfuerzo cortante [MPa]'); axis(escalatau); subplot(3,1,3); plot(ejex, phicum); % diagrama de ángulos de giro grid on; title('Diagrama de ángulos de giro'); ylabel('Ángulo de giro [rad]'); axis(escalaphi);

Elaborado por: José Velásquez Christian Asmat Stewart López

Revisado por: Profesores del curso ING215

FCI-Adm-4.01

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 4ta. práctica (tipo a+c) (segundo semestre 2016) Indicaciones generales: La presentación, la ortogr afía y la gramática influ irán en la califi cación. Se alienta el trabajo colaborativo en grupos de máximo de 2 alumnos, pero cada alumno deberá desarrollar su propio informe. Hay tolerancia cero al plagio. La calificación de cada pregunta se hará como sigue: • Procedimiento: 40% • Explicación: 30% • Respuesta correcta: 20% • Limpieza y orden: 10% (solo si PER > 50%)

Parte 1: para desarrollar en el aula •

Duración: 2h50 minutos

FCI-Adm-4.01

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 4ta. práctica (tipo a+c) (segundo semestre 2016) Indicaciones generales: La presentación, la ortogr afía y la gramática influ irán en la califi cación. Se alienta el trabajo colaborativo en grupos de máximo de 2 alumnos, pero cada alumno deberá desarrollar su propio informe. Hay tolerancia cero al plagio. La calificación de cada pregunta se hará como sigue: • Procedimiento: 40% • Explicación: 30% • Respuesta correcta: 20% • Limpieza y orden: 10% (solo si PER > 50%)



Pregunta 1 (5 puntos) Sea un eje recto de longitud L y sección tubular circular con radio medio R y espesor de pared t. En sus extremos está sometido a torsores de magnitud T y sentidos opuestos tal como se muestra en la figura 1. Se pide: a) Deducir expresiones para calcular los esfuerzos cortantes en cualquier sección del eje. Hacer un esquema de la distribución de esfuerzos, indicando los valores máximo y mínimo del esfuerzo cortante. Calcule el esfuerzo cortante promedio τ prom. (3 puntos) b) Si se asume que el espesor de pared es pequeño comparado con el radio medio del eje ( ≪  ), estimar el esfuerzo cortante promedio τprom asumiendo que éste es constante en la pared del tubo. (1 punto) c) Calcular el porcentaje de error cometido al utilizar la expresión obtenida en la parte (b) para estimar el esfuerzo cortante promedio τ prom en la sección. Obtener el porcentaje de error para relaciones de � de 0.10, 0.20, y 0.40. Comentar los resultados obtenidos. (1 puntos)

Figura 1

Pregunta 2 (4 puntos) Cada una de las barras de acero que se muestran en la figura 2 están sometidas a un momento torsor de magnitud T. a) Si se sabe que el esfuerzo cortante admisible es adm = 50 MPa, determine la dimensión b requerida para cada barra, cuando T = 250 N.m. (2 puntos) b) Cada una de las tres barras se tuercen a través de un ángulo de giro máximo ϕ = 2°. Si se sabe que b = 30 mm, adm = 50 MPa y G = 27 GPa, determine la longitud máxima L de cada barra. (2 puntos)

Figura 2


La viga hiperestática ACB mostrada en la figura 3 tiene una sección cuadrada maciza de 15 cm de lado y está sometida a un momento torsor en C de 1200 Nm. Para resolver este problema, aplique el Principio de Superposición de Efectos (PSE) con los siguientes pasos:

Figura 3

Figura 4

a) Se libera el apoyo en B, por lo que ya no existe la reacción de momento torsor en dicho punto. Al no haber empotramiento en B se considera la estructura isostática de la figura 4 sometida al momento torsor de 1200 N.m en C. Para esta estructura se pide calcular el diagrama de momentos torsores (DMT), el esfuerzo cortante máximo y el giro en el extremo B. (1.5 puntos) b) Para la estructura de la figura 4, considerando un momento torsor TB aplicado en B (indique claramente el sentido asumido) y omitiendo el torsor

aplicado en C, se pide determinar el DMT, el esfuerzo cortante máximo y el giro en el extremo B, todos en función de TB. (1.5 puntos) c) Si se superpone el caso de (a) con el de (b), se obtiene el sistema de la figura 3, considerando que TB es la reacción original. Escriba la ecuación de compatibilidad en la cual el giro en B es cero y despeje la reacción TB. Luego, calcule el DMT, el esfuerzo cortante máximo y el giro en C. (1 punto)

Pregunta 4 (3 puntos) Un eje cilíndrico hueco se diseñó para tener un espesor de pared uniforme de 0.1 pulg. Sin embargo, un defecto de fabricación produjo un eje con la sección transversal mostrada en la figura 5. Si se sabe que en el eje debe aplicarse un momento torsor de 15 klb.pulg, determine los esfuerzos cortantes en los puntos a y b.

Nota: Para el cálculo del área media es suficiente suponer una forma circular.

Figura 5

Fórmulas de torsión


•

Fecha límite: domingo 02/10/2016 hasta las 11:59 p.m. Cada alumno deberá desarrollar su propio trabajo y deberá colgar el archivo (solución claramente escaneada) a través del curso unif icado (ING215) en la plataforma Paideia. Puntaje total: 4 puntos

Pregunta 5 (4 puntos) La figura 6 muestra un sistema compuesto por una barra tubular circular AB y un eje macizo cuadrado AD, unidos en A mediante un disco rígido. El sistema se fija al apoyo en B mediante cuatro pernos igualmente espaciados. Si se aplican los momentos torsores M1 = 300 kN.m y M2 = 200 kN.m en C, y se conoce:

Se pide hallar: a) El ángulo de torsión en A y en C. (1 punto) b) El máximo esfuerzo cortante en la barra tubular AB y en el eje macizo AD. (1 punto) c) El esfuerzo cortante promedio en los pernos (1 punto) d) El factor de seguridad global del sistema (1 punto)

Figura 6

Profesores del curso: Marcial Blondet José Velásquez Christian Asmat César Huapaya Susana Moreira Pablo Basto

San Miguel, 30 de septiembre de 2016

RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 Solucionario 4ta. práctica 206-2 Pregun ta 1 (5 puntos) Sea un eje recto de longitud L y sección tubular circular con radio medio R y espesor de pared t. En sus extremos está sometido a torsores de magnitud T y sentidos opuestos tal como se muestra en la figura 1. Se pide: a) Deducir expresiones para calcular los esfuerzos cortantes en cualquier sección del eje. Hacer un esquema de la distribución de esfuerzos, indicando los valores máximo y mínimo del esfuerzo cortante. Calcule el esfuerzo cortante promedio  prom. (3 puntos) b) Si se asume que el espesor de pared es pequeño comparado con el radio medio del eje (  ≪  ), estimar el esfuerzo cortante promedio prom asumiendo que éste es constante en la pared del tubo. (1 punto) c) Calcular el porcentaje de error cometido al utilizar la expresión obtenida en la parte (b) para estimar el esfuerzo cortante promedio  prom en la sección. Obtener el porcentaje de error para relaciones de ⁄ de 0.10, 0.20, y 0.40. Comentar los resultados obtenidos. (1 puntos)

Figura 1

Pregun ta 2 (4 puntos) Cada una de las barras de acero que se muestran en la figur a 2 están sometidas a un momento torsor de magnitud T. a) Si se sabe que el esfuerzo cortante admisible es adm = 50 MPa, determine la dimensión b requerida para cada barra, cuando T = 250 N.m. (2 puntos) b) Cada una de las tres barras se tuercen a través de un ángulo de giro máximo ϕ = 2°. Si se sabe que b = 30 mm, adm = 50 MPa y G = 27 GPa, determine la longitud máxima L de cada barra. (2 puntos)

Figura 2

Pregun ta 3 (4 puntos) La viga hiperestática ACB mostrada en la figura 3 tiene una sección cuadrada maciza de 15 cm de lado y está sometida a un momento torsor en C de 1200 Nm. Para resolver este problema, aplique el Principio de Superposición de Efectos (PSE) con los siguientes pasos:

Figura 3

Figura 4

a) Se libera el apoyo en B, por lo que ya no existe la reacción de momento torsor en dicho punto. Al no haber empotramiento en B se considera la estructura isostática de la figura 4 sometida al momento torsor de 1200 N.m en C. Para esta estructura se pide calcular el diagrama de momentos torsores (DMT), el esfuerzo cortante máximo y el giro en el extremo B. (1.5 puntos) b) Para la estructura de la figura 4, considerando un momento torsor TB aplicado en B (indique claramente el sentido asumido) y omitiendo el torsor aplicado en C, se pide determinar el DMT, el esfuerzo cortante máximo y el giro en el extremo B, todos en función de TB. (1.5 puntos) c) Si se superpone el caso de (a) con el de (b), se obtiene el sistema de la figura 3, considerando que TB es la reacción original. Escriba la ecuación de compatibilidad en la cual el giro en B es cero y despeje la reacción TB. Luego, calcule el DMT, el esfuerzo cortante máximo y el giro en C. (1 punto)

Pregun ta 4 (3 puntos) Un eje cilíndrico hueco se diseñó para tener un espesor de pared uniforme de 0.1 pulg. Sin embargo, un defecto de fabricación produjo un eje con la sección transversal mostrada en la figura 5. Si se sabe que en el eje debe aplicarse un momento torsor de 15 klb.pulg, determine los esfuerzos cortantes en los puntos a y b. Nota: Para el cálculo del área media es suficiente suponer una forma circular.

Figura 5

Parte 2: Para la casa  



Fecha límite: domingo 02/10/2016 hasta las 11:59 p.m. Cada alumno deberá desarrollar su propio trabajo y deberá colgar el archivo (solución claramente escaneada) a través del curso unificado (ING215) en la plataforma Paideia. Puntaje total: 4 puntos

Pregun ta 5 (4 puntos) La figura 6 muestra un sistema compuesto por una barra tubular circular AB y un eje macizo cuadrado AD, unidos en A mediante un disco rígido. El sistema se fija al apoyo en B mediante cuatro pernos igualmente espaciados. Si se aplican los momentos torsores M1 = 300 kN.m y M2 = 200 kN.m en C, y se conoce:

Se pide hallar: a) El ángulo de torsión en A y en C. (1 punto) b) El máximo esfuerzo cortante en la barra tubular AB y en el eje macizo AD. (1 punto) c) El esfuerzo cortante promedio en los pernos (1 punto) d) El factor de seguridad global del sistema (1 punto)

Figura 6

Elaborado por: José Velásquez Christian Asmat Stewart López Revisado por: Profesores del curso ING215

FCI-Adm-4.01

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 5ta. práctica (tipo a+c) (segundo semestre 2016) Indicaciones generales: La presentación, la ortogr afía y la gramática influ irán en la califi cación. Se alienta el trabajo colaborativo en grupos de máximo de 2 alumnos, pero cada alumno deberá desarrollar su propio informe. Hay tolerancia cero al plagio. La calificación de cada pregunta se hará como sigue: Procedimiento: 40% Explicación: 30% Respuesta correcta: 20% Limpieza y orden: 10% (solo si PER > 50%) • • • •


Duración: 2h50 minutos Sin libros ni apuntes. Solo está permitido el uso de una calculadora no programable.

Pregunta 1 (4 puntos) Sea la viga de sección simétrica de la figura 1, sometida a una carga vertical w(x) externa en el plano de simetría ( figura 2), donde x es una coordenada de posición a lo largo del eje de la viga. En una sección S(x) la fuerza cortante y el momento flector son V(x) y M(x), respectivamente. Se pide desarrollar una expresión para calcular la distribución de esfuerzos cortantes τ xy en la sección transversal S de la viga. Deben indicarse claramente las asunciones realizadas y explicar el significado de cada término en la expresión final hallada.

Figura 1

Figura 2

Pregunta 2 (4 puntos) Se tiene una viga simplemente apoyada de 7 m de longitud que soporta una carga distribuida de 5 kN/m. Para la fabricación de la viga, se dobló una plancha de 10 mm de espesor para formar un perfil tubular de 100x200 mm de lados exteriores, tal como se muestra en la figura 3. La plancha está hecha de un

material con ú = 180 MPa y ú = 60 MPa. Si se asume que la carga distribuida está aplicada en el plano que contiene el centro de gravedad de la sección, se pide: a) Calcular el centro de corte de la sección dada. (2 puntos) b) Determinar el factor de seguridad para esfuerzos normales de la sección. (1 punto) c) Determinar el factor de seguridad para esfuerzos de corte de la sección. (1 punto)

Figura 3

Pregunta 3 (4 puntos) En la figura 4 se muestra la elevación de una viga de madera ABC que se apoya en C y en el tirante de acero BD. La viga soporta una carga uniformemente repartida de 4 kN/m. La sección de la viga es rectangular de 30 mm de base por 120 mm de altura. El tirante es de sección circular de 6 mm de diámetro. Los esfuerzos admisibles de la madera son: esfuerzo normal admisible . =25 MPa y esfuerzo cortante admisible . =1.8 MPa. El esfuerzo normal admisible en el acero es de .= 150 MPa. a) Calcule las fuerzas internas que se presentan en la viga de madera y en el tirante de acero (1 punto). b) Calcule los esfuerzos normales y cortantes que se presentan en las siguientes secciones de la viga de madera (2 puntos). i. S1: en el volado de la viga justo antes del punto B. ii. S2: en el tramo BC (interior) justo después del punto B. iii. S3: en el tramo BC en la sección de máximo momento flector positivo. c) Calcule los esfuerzos normales que se producen el tirante de acero (0.5 puntos) d) Indique si los esfuerzos calculados superan los valores permisibles de cada material (0.5 puntos)

Figura 4

Pregunta 4 (4 puntos) La viga de acero en voladizo con perfil de patín ancho, mostrado en la figura 5, está sometido a la fuerza concentrada P en uno de sus extremos. La carga P es de 25 kN. Se pide: a) Determinar los esfuerzos normales máximos de tensión y de compresión en la sección localizada en A. (2 puntos) b) Determinar la distribución de esfuerzos cortantes al largo del ala superior del perfil. (2 puntos)

Figura 5


•

Fecha límite: martes 01/11/2016 hasta las 11:59 p.m. Cada alumno deberá desarrollar su propio informe y deberá colgar los archivos (desarrollo analítico, programas y funciones) a través del curso unificado (ING215) en la plataforma Paideia. Puntaje total: 4 puntos

Pregunta 5 (4 puntos) Se trata de analizar una viga prismática simplemente apoyada de longitud L (en metros) según se muestra en la Figura 6. La viga está sometida a n cargas distribuidas ( en /). Cada carga distribuida es uniforme y se inicia a una distancia −1 y termina a una distancia  (ambas en metros) desde el punto A. Las propiedades del material son el esfuerzo normal admisible  y el esfuerzo cortante admisible  . Se pide escribir un programa en Matlab o VBA que permita obtener: a) El diagrama de fuerza cortante y de momento flector de la viga, despreciando su peso propio. Las fuerzas deben estar en kN y los momentos flectores en kN.m. b) Seleccionar una sección rectangular (base b y altura h=5b en múltiplos de 5 mm) que sea capaz de soportar los esfuerzos admisibles por flexión y por fuerza cortante.

Figura 6

c) Resolver los siguientes casos, considerando para ambos.

 =

150 MPa y  =15 MPa

Profesores del curso: Marcial Blondet José Velásquez Christian Asmat César Huapaya Susana Moreira Pablo Basto San Miguel, 28 de octubre de 2016

RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 5ta. prácti ca (tipo a+c) (segundo semestre 2016) Pregun ta 1 (4 pun tos) Sea la viga de sección simétrica de la figura 1, sometida a una carga vertical w(x) externa en el plano de simetría (figura 2), donde x es una coordenada de posición a lo largo del eje de la viga. En una sección S(x) la fuerza cortante y el momento flector son V(x) y M(x), respectivamente. Se pide desarrollar una expresión para calcular la distribución de esfuerzos cortantes  xy en la sección transversal S de la viga. Deben indicarse claramente las asunciones realizadas y explicar el significado de cada término en la expresión final hallada.

Figura 1

Figura 2

Pregun Pregun ta 2 (4 pun tos) Se tiene una viga simplemente apoyada de 7 m de longitud que soporta una carga distribuida de 5 kN/m kN/m.. Para la fabricación de la viga, se dobló una plancha de 10 mm de mm de espesor para formar un perfil tubular de 100x200 mm de mm de lados exteriores, tal como se muestra en la figura 3. 3. La plancha está hecha de un material con = 180 MPa y = 60 MPa. MPa. Si se asume que la carga distribuida está aplicada en el plano que contiene el centro de gravedad de la sección, se pide:

ú

ú

a) Calcular el centro centro de corte de la sección dada. (2 puntos) b) Determinar el factor factor de seguridad para esfuerzos normales normales de la sección. sección. (1 punto) c) Determinar el factor factor de seguridad seguridad para esfuerzos esfuerzos de corte de la sección. (1 punto)

Figura 3

Pregun ta 3 (4 pun tos) En la figura 4 se muestra la elevación de una viga de madera ABC que se apoya en C y en el tirante de acero BD. La viga soporta una carga uniformemente repartida de 4 kN/m. La sección de la viga es rectangular de 30 mm de base por 120 mm de altura. El tirante es de sección circular de 6 mm de diámetro. Los esfuerzos admisibles de la madera son: esfuerzo normal admisible =25 MPa y esfuerzo cortante admisible =1.8 MPa. El esfuerzo normal admisible en el acero es de = 150 MPa.

.

 .   .

a) Calcule las fuerzas internas que se presentan en la viga de madera y en el tirante de acero (1 punto). b) Calcule los esfuerzos normales y cortantes que se presentan en las siguientes secciones de la viga de madera (2 puntos). i. S1: en el volado de la viga justo antes del punto B. ii. S2: en el tramo BC (interior) justo después del punto B. iii. S3: en el tramo BC en la sección de máximo momento flector positivo. c) Calcule los esfuerzos normales que se producen el tirante de acero (0.5 puntos) d) Indique si los esfuerzos calculados superan los valores permisibles de cada material (0.5 puntos)

Figura 4

c) Se aplica P/A para hallar el v alor d el esfuerzo en el cable.

   .  ∙  .  ∙    =  = ∙ ( ) = .   =.   

d) Se compararán los esfuerzos hallados con los esfuerzos admisibles indicados para verificar la seguridad de la estructura. Madera:

Acero :

|á| =.  < =  |á| =.   < =.  |á| =. < = 

Se observa qu e el acero sup era el esfuerzo admis ibl e, por lo que sería necesario aumentar el di ámetro del cable.

Pregun ta 4 (4 pun tos) La viga de acero en voladizo con perfil de patín ancho, mostrado en la figura 5, está sometido a la fuerza concentrada P en uno de sus extremos. La carga P es de 25 kN. Se pide: a) Determinar los esfuerzos normales máximos de tensión y de compresión en la sección localizada en A. (2 puntos) b) Determinar la distribución de esfuerzos cortantes al largo del ala superior del perfil. (2 puntos)

Figura 5

Parte 2: Para la casa  



Fecha límite: martes 01/11/2016 hasta las 11:59 p.m. Cada alumno deberá desarrollar su propio informe y deberá colgar los archivos (desarrollo analítico, programas y funciones) a través del curso unificado (ING215) en la plataforma Paideia. Puntaje total: 4 puntos

Pregun ta 5 (4 pun tos) Se trata de analizar una viga prismática simplemente apoyada de longitud L (en metros) según se muestra en la Figura 6. La viga está sometida a n cargas distribuidas ( ). Cada carga distribuida es uniforme y se inicia a una distancia y termina a una distancia (ambas en metros) desde el punto A. Las propiedades del material son el esfuerzo normal admisible y el esfuerzo cortante admisible . Se pide escribir un programa en Matlab o VBA que permita obtener:

 e n /  −1







a) El diagrama de fuerza cortante y de momento flector de la viga, despreciando su peso propio. Las fuerzas deben estar en kN y los momentos flectores en kN.m. b) Seleccionar una sección rectangular (base b y altura h=5b en múltiplos de 5 mm) que sea capaz de soportar los esfuerzos admisibles por flexión y por fuerza cortante.

Figura 6

c) Resolver los siguientes casos, considerando MPa para ambos.



= 150 MPa y



=15

Solución 1) Realizamos el diagrama de cuerpo libre de la viga.

Planteamos las ecuaciones de equilibrio para el cálculo de las reacciones.

∑ (=) () () = ∑  ==    +== ∑   ==

…………….. (1)

…………….. (2)

…………….. (3)

2) Calculo de los diagramas de fuerza cortante y momento flector.

3) Por condición del problema: Seleccio nar una sección rectangul ar (base b y altu ra h=5b en múl tip los d e 5 mm) que sea capaz de sopor tar los esfu erzos admisibles por f lexión y por fuerza cortante

3.1) Flexión: Los esfuerzos normales por flexión se pueden calcular mediante la sigu iente expresión.

( ) = × ( ) = × ………. . ( ) = =á       =     ó ( ) ≤ ( )  ×  ×   ×   ( ) = × = ×(×)     ×() =√ × ……….. (4)

En consecuencia:

Por condición:

3.1) Corte:

 ≤.×  = ×() = √ .×(×) Finalmente: b= min [b 1, b2] h= 5b

4) Resultados de Matlab: Vmax = 6 Mmax = 6 b = 0.0110

CÓDIGO EN MATLAB %% Solución de la PC5 clear; clc; close all all; ;

% Limpia variables, limpia pantalla y cierra figuras

display('Ingresar display('Ingresar las ubicaciones y el valor de las cargas.' ) display('El display('El signo negativo de las cargas indican hacia arriba' ) tit = 'Viga sometida a cargas puntuales y distribuidas' ; prompt = {'Long. { 'Long. Viga (m)', (m)' ,'Ubicación Xi de la fuerza Pi (i=1..n) [m]' ,... 'Fuerza Aplicada Pi [kN]' , 'Distribuidas' 'Distribuidas'}; }; def = {'6' { '6', , '2 4', 4', '0 0', 0', '3 0 3'}; 3' }; resp = inputdlg(prompt,tit,[1 inputdlg(prompt,tit,[1 70],def); L =sscanf(resp{1}, '%f'); =sscanf(resp{1},'%f' ); %Longitud total de la viga a analizar np = 100; % número de puntos a graficar

x P w

=sscanf(resp{2},'%f' =sscanf(resp{2}, '%f'); ); =sscanf(resp{3}, '%f'); =sscanf(resp{3},'%f' ); =sscanf(resp{4}, '%f'); =sscanf(resp{4},'%f' );

n = length(w); % ejex = (0: L/np : L)'; % np = length(ejex); % fadm= 150000; % Tadm= 15000; % % Solución para la cargas Ra = zeros(2*n-1,1); % Rb = zeros(2*n-1,1); DFC = zeros(np, 1); DMF = zeros(np, 1);

%Ubicación Xi de las cargas puntuales aplicadas %Valor de las cargas puntuales aplicadas [N] %Magnitud de las cargas distribuidas [N/m]

numero de casos número de puntos a analizar en el eje x numero de puntos Esfuerzo admisible del material en KN/m2 Esfuerzo cortante admisible del material en KN/m2 puntuales Hay 2*n-1 casos a calcular

% Para cada caso de carga puntual for i for i = 1 : (n-1)

Ra(i) = Ra(i) + P(i)*(L-x(i)) / L; Rb(i) = Rb(i) + P(i)*x(i)/L; DFC DMF

= DFC + Ra(i)+ (-P(i))* (ejex > x(i)); = DMF + Ra(i)*ejex + ( -P(i)* ( ejex-x(i) ejex-x(i) ) ) .* (ejex > x(i));

end % termina n-1 casos % Para cada caso de carga distribuida xm = [ 0; x; L]; for j for j = 1 : n i = j + 1; k = (n-1) + j;

% % % %

posiciones modificadas (necesito 0 al ppio. y L al final) j referencia a las cargas i referencia a las posiciones k referencia al caso de carga desde k=n hasta k=2n-1

longw = xm(i) - xm(i-1); R = w(j)* longw; xr = xm(i-1) + ( xm(i) - xm(i-1) )/2; Ra(k) = Ra(k) + R*(L-xr)/L; Rb(k) = Rb(k) + R*xr / L;

% longitud de la carga distribuida % Resultante de la carga distribuida % posición de la resultante de la carga distribuida

cort1 = Ra(k); cort2 = -w(j) -w(j) * ( ejex ejex -xm(i-1) -xm(i-1) ); cort3 = +w(j) +w(j) * ( ejex ejex - xm(i) ); cortot = cort1 + cort2 .* (ejex > xm(i-1)) + cort3 .* (ejex > xm(i)); DFC = DFC + cortot; mom1 = Ra(k) * ejex; mom2 = -(1/2)*w(j) * ( ejex - xm(i-1) ).^2; mom3 = (1/2)* w(j) * ( ejex - xm(i) ).^2; momtot = mom1 + mom2 .* ( ejex ejex > xm(i-1)) + mom3 .* (ejex > xm(i)); xm(i)); DMF = DMF + momtot;

Ra(i) = Ra(i) + P(i)*(L-x(i)) / L; Rb(i) = Rb(i) + P(i)*x(i)/L; DFC DMF

= DFC + Ra(i)+ (-P(i))* (ejex > x(i)); = DMF + Ra(i)*ejex + ( -P(i)* ( ejex-x(i) ejex-x(i) ) ) .* (ejex > x(i));

end % termina n-1 casos % Para cada caso de carga distribuida xm = [ 0; x; L]; for j for j = 1 : n i = j + 1; k = (n-1) + j;

% % % %

posiciones modificadas (necesito 0 al ppio. y L al final) j referencia a las cargas i referencia a las posiciones k referencia al caso de carga desde k=n hasta k=2n-1

longw = xm(i) - xm(i-1); R = w(j)* longw; xr = xm(i-1) + ( xm(i) - xm(i-1) )/2; Ra(k) = Ra(k) + R*(L-xr)/L; Rb(k) = Rb(k) + R*xr / L;

% longitud de la carga distribuida % Resultante de la carga distribuida % posición de la resultante de la carga distribuida

cort1 = Ra(k); cort2 = -w(j) -w(j) * ( ejex ejex -xm(i-1) -xm(i-1) ); cort3 = +w(j) +w(j) * ( ejex ejex - xm(i) ); cortot = cort1 + cort2 .* (ejex > xm(i-1)) + cort3 .* (ejex > xm(i)); DFC = DFC + cortot; mom1 = Ra(k) * ejex; mom2 = -(1/2)*w(j) * ( ejex - xm(i-1) ).^2; mom3 = (1/2)* w(j) * ( ejex - xm(i) ).^2; momtot = mom1 + mom2 .* ( ejex ejex > xm(i-1)) + mom3 .* (ejex > xm(i)); xm(i)); DMF = DMF + momtot; end aaa=find(DMF==max(DMF)); x1=ejex(aaa);

y1=DMF(aaa); bbb=find(DFC==max(DFC)); x2=ejex(bbb); y2=DFC(bbb); %% Cálculo de momento y fuerza cortante máxima Vmax=max(abs(DFC)) % Fuerza cortante máxima Mmax=max(DMF) % Momento flector máximo %% Cálculo del ancho b de la viga b1=((30*Mmax)/(125*fadm))^(1/3); b2=((1.5*Vmax)/(5*Tadm))^0.5; b=min(b1,b2) %% Presentación de gráficos stem(ejex, DFC,'k' DFC, 'k', ,'LineWidth' 'LineWidth',.01); ,.01); grid on on; ; hold on text(x2,y2+y2/10,['(' text(x2,y2+y2/10,[ '(',num2str(x2), ,num2str(x2),',' ',',num2str(y2), ,num2str(y2),')' ')'], ],'HorizontalAlignment' 'HorizontalAlignment', ,'left' 'left', ,'FontSize' 'FontSize',10, ,10,'color' 'color', , 'red', 'red' ,'FontWeight' 'FontWeight', ,'bold' 'bold'); ); title('DIAGRAMA title('DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE' ,'FontSize' 'FontSize',14, ,14,'color' 'color', ,'blue' 'blue'); ); %Título del gráfico figure; stem(ejex, DMF,'k' DMF, 'k', ,'LineWidth' 'LineWidth',.01); ,.01); grid on on; ; hold on text(x1,y1+y1/20,['(' text(x1,y1+y1/20,[ '(',num2str(x1), ,num2str(x1),',' ',',num2str(y1), ,num2str(y1),')' ')'], ],'HorizontalAlignment' 'HorizontalAlignment', ,'left' 'left', ,'FontSize' 'FontSize',10, ,10,'color' 'color', , 'red', 'red' ,'FontWeight' 'FontWeight', ,'bold' 'bold'); ); title('DIAGRAMA title('DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR' ,'FontSize' 'FontSize',14, ,14,'color' 'color', ,'blue' 'blue'); ); %Título del gráfico set(gca,'yDir' set(gca,'yDir', ,'reverse' 'reverse') ) m=zeros(length(ejex)); n=L/ejex;

Elaborado por: José por: José Velásquez

y1=DMF(aaa); bbb=find(DFC==max(DFC)); x2=ejex(bbb); y2=DFC(bbb); %% Cálculo de momento y fuerza cortante máxima Vmax=max(abs(DFC)) % Fuerza cortante máxima Mmax=max(DMF) % Momento flector máximo %% Cálculo del ancho b de la viga b1=((30*Mmax)/(125*fadm))^(1/3); b2=((1.5*Vmax)/(5*Tadm))^0.5; b=min(b1,b2) %% Presentación de gráficos stem(ejex, DFC,'k' DFC, 'k', ,'LineWidth' 'LineWidth',.01); ,.01); grid on on; ; hold on text(x2,y2+y2/10,['(' text(x2,y2+y2/10,[ '(',num2str(x2), ,num2str(x2),',' ',',num2str(y2), ,num2str(y2),')' ')'], ],'HorizontalAlignment' 'HorizontalAlignment', ,'left' 'left', ,'FontSize' 'FontSize',10, ,10,'color' 'color', , 'red', 'red' ,'FontWeight' 'FontWeight', ,'bold' 'bold'); ); title('DIAGRAMA title('DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE' ,'FontSize' 'FontSize',14, ,14,'color' 'color', ,'blue' 'blue'); ); %Título del gráfico figure; stem(ejex, DMF,'k' DMF, 'k', ,'LineWidth' 'LineWidth',.01); ,.01); grid on on; ; hold on text(x1,y1+y1/20,['(' text(x1,y1+y1/20,[ '(',num2str(x1), ,num2str(x1),',' ',',num2str(y1), ,num2str(y1),')' ')'], ],'HorizontalAlignment' 'HorizontalAlignment', ,'left' 'left', ,'FontSize' 'FontSize',10, ,10,'color' 'color', , 'red', 'red' ,'FontWeight' 'FontWeight', ,'bold' 'bold'); ); title('DIAGRAMA title('DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR' ,'FontSize' 'FontSize',14, ,14,'color' 'color', ,'blue' 'blue'); ); %Título del gráfico set(gca,'yDir' set(gca,'yDir', ,'reverse' 'reverse') ) m=zeros(length(ejex)); n=L/ejex;

Elaborado por: José por: José Velásquez Christian Asmat Stewart López Revisado por: Profesores por: Profesores del curso ING215

FCI-Adm-4.01



FCI-Adm-4.01




Pregunta 1 (5 puntos) Considere un punto Q, dentro de un cuerpo en estado plano de esfuerzos. Las componentes  ,  y  del estado de esfuerzos respecto al sistema Qxy se muestra en la figura 1a. Se pide desarrollar expresiones para calcular: a) las componentes  ′ , ′ y  ′ ′ del estado de esfuerzos, respecto al sistema Qx’y’, obtenido rotando el eje x un ángulo antihorario  , como se muestra en la figura 1b . (2.5 puntos) b) los esfuerzos principales y la orientación de los planos principales, así como el esfuerzo cortante máximo y la orientación de los planos en que se produce (2.5 puntos)

(a)

(b)

Figura 1

Pregunta 2 (3.5 puntos) La barra mostrada en la figura 2 es de sección circular y tiene un diámetro de 40 mm. Si la barra se somete a las fuerzas que se muestran, determine: a) el estado plano de esfuerzos del punto A y muestre los resultados en un elemento diferencial ubicado en este punto (1.5 puntos), b) utilizando el círculo de Mohr, los esfuerzos principales y la orientación de los planos principales. Muestre los resultados en un elemento diferencial (1 punto), y c) el esfuerzo cortante máximo, el esfuerzo normal correspondiente y la orientación de los planos en que se producen. Muestre los resultados en un elemento diferencial (1 punto)

Figura 2

Pregunta 3 (4 puntos) Una viga armada de acero compuesta por un perfil I y canales sujetos a los patines, tal como se muestra en la figura 3, está simplemente apoyada en los extremos, en donde actúa momentos Mo iguales, pero en sentidos opuestos, de manera que la viga está en flexión pura. Los momentos actúan en el plano mm, que está orientado a un ángulo  con respecto al plano xy. Determine la orientación del eje neutro y calcule el esfuerzo de tensión máximo  debido a Mo. Considere Mo = 45 klb-pulg y  =40°. En la tabla 1 se presentan las propiedades de las secciones propuestas.

Figura 3 Tabla 1. Propiedades de las secciones del problema 3

Pregunta 4 (3.5 puntos) Un letrero para una estación de servicio automotriz está soportado por dos postes de aluminio con secciones tubulares, tal como se muestra en la figura 4. Los postes se diseñan para resistir una presión de viento de 75 lb/pie2 contra el área total del letrero. Las dimensiones de los postes y el letrero son h 1=20 pies, h2 = 5 pies y b = 10 pies. Para evitar un fenómeno conocido como pandeo en las paredes de los postes, el espesor t se especifica como 1/10 del diámetro exterior d. a) Determine el diámetro requerido mínimo de los postes para un esfuerzo normal admisible de 7500 psi en el aluminio (1.5 puntos). b) Determine el diámetro mínimo requerido de los postes para un esfuerzo cortante permisible de 2000 psi en el aluminio. Luego, indique cuál debe ser el diámetro seleccionado (2 puntos).

Figura 4


•

Fecha límite: domingo 06/11/2016 hasta las 11:55 p.m. Cada alumno deberá desarrollar su propio informe a través del curso unificado (ING215) en el Paideia. Puntaje total: 4 puntos

Pregunta 5 (4 puntos) Considere un punto Q, dentro de un cuerpo en estado plano de esfuerzos. Las componentes  ,  y  del estado de esfuerzos respecto al sistema Qxy se muestra en la figura 5a. Se pide desarrollar un programa en Matlab o VBA para calcular las componentes  ′ , y  ′ ′ del estado de esfuerzos, respecto al sistema Qx’y’, obtenido rotando el eje x un ángulo antihorario  , como se muestra en la figura 5b . El programa debe: a) tabular y graficar los esfuerzos normal y cortante para  = 0°, 15°, 30°, 45°,90° y 180°. Verifique que el gráfico corresponde al círculo de Mohr. (1.5 puntos) b) tabular los esfuerzos y direcciones principales, el esfuerzo cortante máximo y las direcciones de los planos en que actúa. (1.5 puntos) Utilice el programa para verificar los resultados de la pregunta 2. (1 punto).

(a)

(b) Figura 5


San Miguel, 04 de octubre de 2016

RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 6ta. práctica (tipo a+c) (segundo semestre 2016) Pregunta 1 (5 puntos) Considere un punto Q, dentro de un cuerpo en estado plano de esfuerzos. Las componentes  ,  y  del estado de esfuerzos respecto al sistema Qxy se muestra en la figura 1a. Se pide desarrollar expresiones para calcular: a) las componentes  ′ , ′ y  ′ ′ del estado de esfuerzos, respecto al sistema Qx’y’, obtenido rotando el eje x un ángulo antihorario  , como se muestra en la figura 1b. (2.5 puntos) b) los esfuerzos principales y la orientación de los planos principales, así como el esfuerzo cortante máximo y la orientación de los planos en que se produce (2.5 puntos)

(a)

(b) Figura 1

Pregunta 2 (3.5 puntos) La barra mostrada en la figura 2 es de sección circular y tiene un diámetro de 40 mm. Si la barra se somete a las fuerzas que se muestran, determine: a) el estado plano de esfuerzos del punto A y muestre los resultados en un elemento diferencial ubicado en este punto (1.5 puntos), b) utilizando el círculo de Mohr, los esfuerzos principales y la orientación de los planos principales. Muestre los resultados en un elemento diferencial (1 punto), y c) el esfuerzo cortante máximo, el esfuerzo normal correspondiente y la orientación de los planos en que se producen. Muestre los resultados en un elemento diferencial (1 punto)

Figura 2

Pregunta 3 (4 puntos) Una viga armada de acero compuesta por un perfil I y canales sujetos a los patines, tal como se muestra en la figura 3, está simplemente apoyada en los extremos, en donde actúa momentos Mo iguales, pero en sentidos opuestos, de manera que la viga está en flexión pura. Los momentos actúan en el plano mm, que está orientado a un ángulo  con respecto al plano xy. Determine la orientación del eje neutro y calcule el esfuerzo de tensión máximo  debido a Mo. Considere Mo = 45 klb-pulg y  =40°. En la tabla 1 se presentan las propiedades de las secciones propuestas.

Figura 3

Tabla 1. Propiedades de las secciones del problema 3

Pregunta 4 (3.5 puntos) Un letrero para una estación de servicio automotriz está soportado por dos postes de aluminio con secciones tubulares, tal como se muestra en la figura 4. Los postes se diseñan para resistir una presión de viento de 75 lb/pie2 contra el área total del letrero. Las dimensiones de los postes y el letrero son h 1=20 pies, h2 = 5 pies y b = 10 pies. Para evitar un fenómeno conocido como pandeo en las paredes de los postes, el espesor t se especifica como 1/10 del diámetro exterior d. a) Determine el diámetro requerido mínimo de los postes para un esfuerzo normal admisible de 7500 psi en el aluminio (1.5 puntos). b) Determine el diámetro mínimo requerido de los postes para un esfuerzo cortante permisible de 2000 psi en el aluminio. Luego, indique cuál debe ser el diámetro seleccionado (2 puntos).

Figura 4


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Fecha límite: domingo 06/11/2016 hasta las 11:55 p.m. Cada alumno deberá desarrollar su propio informe a través del curso unificado (ING215) en el Paideia. Puntaje total: 4 puntos

Pregunta 5 (4 puntos) Considere un punto Q, dentro de un cuerpo en estado plano de esfuerzos. Las componentes  ,  y  del estado de esfuerzos respecto al sistema Qxy se muestra en la fig ura 5a. Se pide desarrollar un programa en Matlab o VBA para calcular las componentes  ′ , y  ′ ′ del estado de esfuerzos, respecto al sistema Qx’y’, obtenido rotando el eje x un ángulo antihorario  , como se muestra en la figura 5b. El programa debe: a) tabular y graficar los esfuerzos normal y cortante para  = 0°, 15°, 30°, 45°,90° y 180°. Verifique que el gráfico corresponde al círculo de Mohr. (1.5 puntos) b) tabular los esfuerzos y direcciones principales, el esfuerzo cortante máximo y las direcciones de los planos en que actúa. (1.5 puntos) Utilice el programa para verificar los resultados de la pregunta 2. (1 punto).

(a)

(b) Figura 5

SOLUCIÓN

Se ingresa los datos:

Donde: Sx= Esfuerzo normal en la dirección X [Mpa] Sx= Esfuerzo normal en dirección Y [Mpa] Txy= Esfuerzo cortante en el plano perpendicular a X [Mpa]

Luego, se muestran los valores tabulados para distint itos valores de : Listado para rotaciones de 0° a 360° y gráfico Angulo

sxp

txyp

0

0

7.96

10

2.989

8.9917

20

6.1507

8.9388

30

9.1036

7.8078

40

11.4915

5.7351

50

13.0266

2.9706

210

9.1036

7.8078

60

13.5236

-0.1522

220

11.4915

5.7351

70

12.9225

-3.2566

230

13.0266

2.9706

80

11.2959

-5.9682

240

13.5236

-0.1522

90

8.84

-7.96

250

12.9225

-3.2566

100

5.851

-8.9917

260

11.2959

-5.9682

110

2.6893

-8.9388

270

8.84

-7.96

120

-0.2636

-7.8078

280

5.851

-8.9917

130

-2.6515

-5.7351

290

2.6893

-8.9388

140

-4.1866

-2.9706

300

-0.2636

-7.8078

150

-4.6836

0.1522

310

-2.6515

-5.7351

160

-4.0825

3.2566

320

-4.1866

-2.9706

170

-2.4559

5.9682

330

-4.6836

0.1522

180

0

7.96

340

-4.0825

3.2566

190

2.989

8.9917

350

-2.4559

5.9682

200

6.1507

8.9388

360

0

7.96

Esfuerzos y pl anos princi pales Esfuerzos principales de 13.52 MPa y -4.68 MPa en planos a -60.96° y 29.04° Esfuerzo cortante máximo y planos en los que se produce Esfuerzo cortante máximo de 9.10 MPa en los planos a -15.96° y 74.04°

A continuación, se muestra el círculo de Mohr.

CÓDIGO EN MATLAB %PROBLEMA #1 % PROGRAMA PARA CALCULAR LA RESPUESTA EN EL TI EMPO DE UN OSCI LADOR % DATOS DE ENTRADA DEL PROBLEMA c l ear ; c l c ; c l os e al l ; ti t = ' cí r cul o de Mohr ' ; pr ompt = {' Sx' , ' Sy' , ' Txy' , } ; def = {' 0' , ' 8. 84' , ' 7. 96' , } ; r esp = i nput dl g( prompt , t i t , 1, def ) ; sx = sscanf ( r esp{1}, ' %f ' ) ; % esf uer zo nor mal en x ( MPa) sy = sscanf ( r esp{2}, ' %f ' ) ; % esf uer zo nor mal en y ( MPa) t xy = ssc anf ( r esp{3}, ' %f ' ) ; % esf uerz o cort ant e en el pl ano per pendi cul ar a x ( MPa)

%% Cál cul o de l as component es en el si st ema Qx´- y' t het a = ( 0: 10: 360) ' ; %Angul o de rot aci ón np = si ze( t het a, 1) ; sxp = zeros( np, 1) ; t xyp = zeros( np, 1) ; spr om= ( sx + sy) / 2; srest = ( sx - sy) / 2;

% esf uerz o pr omedi o

f or i = 1: np t et ar = t het a( i ) *pi / 180; % ángul o en r adi anes sxp( i ) = spr om + sr est *cos( 2*t et ar ) + t xy*si n( 2*t et ar ) ; t xyp( i ) = - srest*si n( 2*t et ar ) + t xy*cos( 2*t et ar) ; end %% Cal cul o de l as pl anos y esf uerzo pr i nci pal es t het ap1 = at an( t xy/ sr est ) *180/ pi ; t het ap2 = t het ap1 + 90; R = sqr t ( sr est ^2 + t xy^2) ; % Radi o del ci r cul o de mor h s1 = spr om + R; % Esf uer zo pr i nci pal máxi mo s2 = sprom - R; % Esf uer zo pr i nci pal mí ni mo %% Esf uer zo cor t at e máxi mo y pl anos en l os que se pr oduce

t max = R; t het at 1 = t het ap1 + 45; t het at 2 = t het at 1 + 90;

% El esf uerzo cot ant e máxi mo, es el r adi o del ci r cul o de morh

%% Gr áf i cos y r esul t ados f pr i nt f ( ' \ n a) Dat os de ent r ada para esf uer zo pl ano \ n' ) ; f pr i nt f ( ' Component e sx=%10. 2f \ n' , s x ) ; f pr i nt f ( ' Component e sy=%10. 2f \ n' , s y ) ; f pr i nt f ( ' Component e t xy=%10. 2f \ n \ n' , t x y ) ; f pr i nt f ( ' \ n b) Li st ado para rot aci ones de 0° a 360° y gr áf i co \ n' ) ; f pr i nt f ( ' Ángul o( °) sxp t xyp \ n' ) ; [ t het a, sxp, t xyp] pl ot ( sxp, t xyp) ; gri d on; t i t l e( ' Est ado de esf uerz o pl ano' ) ; xl abel ( ' Esf uerz o nor mal ' ) ; yl abel ( ' Esf uer zo cor t ant e' ) ; f pr i nt f ( ' \ n c) Esf uer zos y pl anos pr i nci pal es \ n' ) ; f pr i nt f ( ' Esf uer zos pr i nci pal es de %6. 2f y %6. 2f en pl anos a %6. 2f ° y %6. 2f °' , s1, s2, t het ap1, t het ap2) ; f pr i nt f ( ' \ n d) Esf uer zo cort ant e máxi mo y pl anos en l os que se pr oduce \ n' ) ; f pr i nt f ( ' Esf uer zo cor t ant e máxi mo de %6. 2f en l os pl anos a %6. 2f ° y %6. 2f °' , t max, t het at 1, t het at 2) ; %============FI N=============================================================


t max = R; t het at 1 = t het ap1 + 45; t het at 2 = t het at 1 + 90;

% El esf uerzo cot ant e máxi mo, es el r adi o del ci r cul o de morh

%% Gr áf i cos y r esul t ados f pr i nt f ( ' \ n a) Dat os de ent r ada para esf uer zo pl ano \ n' ) ; f pr i nt f ( ' Component e sx=%10. 2f \ n' , s x ) ; f pr i nt f ( ' Component e sy=%10. 2f \ n' , s y ) ; f pr i nt f ( ' Component e t xy=%10. 2f \ n \ n' , t x y ) ; f pr i nt f ( ' \ n b) Li st ado para rot aci ones de 0° a 360° y gr áf i co \ n' ) ; f pr i nt f ( ' Ángul o( °) sxp t xyp \ n' ) ; [ t het a, sxp, t xyp] pl ot ( sxp, t xyp) ; gri d on; t i t l e( ' Est ado de esf uerz o pl ano' ) ; xl abel ( ' Esf uerz o nor mal ' ) ; yl abel ( ' Esf uer zo cor t ant e' ) ; f pr i nt f ( ' \ n c) Esf uer zos y pl anos pr i nci pal es \ n' ) ; f pr i nt f ( ' Esf uer zos pr i nci pal es de %6. 2f y %6. 2f en pl anos a %6. 2f ° y %6. 2f °' , s1, s2, t het ap1, t het ap2) ; f pr i nt f ( ' \ n d) Esf uer zo cort ant e máxi mo y pl anos en l os que se pr oduce \ n' ) ; f pr i nt f ( ' Esf uer zo cor t ant e máxi mo de %6. 2f en l os pl anos a %6. 2f ° y %6. 2f °' , t max, t het at 1, t het at 2) ; %============FI N=============================================================


FCI-Adm-4.01

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 7ma. práctica (tipo a+c) (segundo semestre 2016) Indicaciones generales: La presentación, la ortogr afía y la gramática influ irán en la califi cación. Se alienta el trabajo colaborativo en grupos de máximo de 2 alumnos, pero cada alumno deberá desarrollar su propio informe. Hay tolerancia cero al plagio. La calificación de cada pregunta se hará como sigue: Procedimiento: 40% Explicación: 30% Respuesta correcta: 20% Limpieza y orden: 10% (solo si PER > 50%) • • • •


FCI-Adm-4.01

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 7ma. práctica (tipo a+c) (segundo semestre 2016) Indicaciones generales: La presentación, la ortogr afía y la gramática influ irán en la califi cación. Se alienta el trabajo colaborativo en grupos de máximo de 2 alumnos, pero cada alumno deberá desarrollar su propio informe. Hay tolerancia cero al plagio. La calificación de cada pregunta se hará como sigue: Procedimiento: 40% Explicación: 30% Respuesta correcta: 20% Limpieza y orden: 10% (solo si PER > 50%) • • • •



Pregunta 1 (4 puntos) Al analizar una estructura sometida a cargas se ha estimado las componentes del estado de esfuerzo plano en los puntos críticos A, B y C, tal como se muestra en la figura 1. La estructura ha sido construida con un material dúctil cuyo esfuerzo de fluencia es  = 280 MPa. Se pide determinar el factor de seguridad para los siguientes criterios de falla. Comparar y comentar los resultados obtenidos. a) Criterio del máximo esfuerzo cortante o Tresca (1.5 puntos). b) Criterio de la máxima energía de distorsión o Von Mises (1.5 puntos). c) Criterio del máximo esfuerzo normal o Coulomb (1 punto).

Figura 1

Pregunta 2 (4 puntos) El tanque de aire comprimido AB mostrado en la figura 2 tiene un diámetro interior de 500 mm y una pared uniforme de 7 mm de espesor. Si se sabe que la presión manométrica en el tanque es de 1.5 MPa, determine el máximo esfuerzo normal, el máximo esfuerzo cortante en el plano y el máximo esfuerzo cortante absoluto, en el punto b mostrado.

Figura 2

Pregunta 3 (4 puntos) Un tanque presurizado de acero está construido con una soldadura helicoidal que forma un ángulo  = 55° con el eje longitudinal (ver figura 3). El tanque tiene un radio interior r = 0,60 m, espesor de pared t = 18 mm y presión manométrica p = 2.8 MPa. Determine las cantidades siguientes para la parte cilíndrica del tanque. a) Los esfuerzos circunferencial (de costilla) y longitudinal (1 punto) b) Los esfuerzos cortantes máximos en el plano y el absoluto (1 punto). c) Los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre planos paralelos y perpendiculares a la soldadura. Muestre estos esfuerzos en un elemento de esfuerzo orientado de manera apropiada) (2 punto).

Figura 3

Pregunta 4 (3 puntos) El tanque de almacenamiento no presurizado que se muestra en la figura 4 tiene un grosor de pared 5 mm y está hecho de un acero con esfuerzo último en tensión de 420 MPa. Determine la altura h máxima a la cual puede llenarse con agua si se desea un factor de seguridad de 4,0. La densidad del agua es 1000 kg/m3.

Figura 4


• •

Fecha límite: miércoles 16/11/2016 hasta las 11:55 p.m. Cada alumno deberá desarrollar su propio informe a través del curso unificado (ING215) en el Paideia. Puntaje total: 5 puntos Puntaje opcional: 20% sobre la nota total de la PC7

Pregunta 5 (5 puntos) Considere la viga prismática AB simplemente apoyada de longitud L, con sección rectangular de ancho b y peralte h (en metros), sometida a n cargas distribuidas ( en kN/m). Ver figura 5. Desarrollar un programa en Matlab o VBA para calcular los esfuerzos en cualquier punto K(x,y) de la viga. Ver figura 6. El programa deberá calcular: a) la fuerza cortante y el momento flector en la sección que contiene al punto K, (1 punto) b) las componentes  ,  y  del estado de esfuerzo plano en el punto K, (2 puntos) c) los esfuerzos principales (tracción y compresión) y las direcciones de los planos en los que actúan en el punto K (2 puntos)

Figura 5

Vista isométri ca

Vista lateral (longitu dinal) Figura 6

Utilice el programa para analizar la viga mostrada en la figura 7, de sección transversal rectangular de 200 x 600 mm. Presente los resultados para puntos con x = 2.0 m; e y = -0.30, -0.20, -0.10, 0.00, 0.10, 0.20 y 0.30 m.

Figura 7

OPCIONAL: Dibujar la trayectoria de esfuerzos que consiste en unir las líneas tangentes que indican las direcciones de los esfuerzos principales (de tracción y compresión), tal como se muestra en el ejemplo de la figura 8. Los estudiantes que resuelvan esta parte utilizando el programa desarrollado para analizar la viga de la figura 7, recibirán una bonificación del 20% de la nota total de la PC7.

Figura 8 Profesores del curso: Marcial Blondet José Velásquez Christian Asmat César Huapaya Susana Moreira Pablo Basto San Miguel, 11 de noviembre de 2016

RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 7ma. práctica (tipo a+c) (segundo semestre 2016) Pregunta 1 (4 punt os) Al analizar una estructura sometida a cargas se ha estimado las componentes del estado de esfuerzo plano en los puntos críticos A, B y C, tal como se muestra en la fig ura 1. La estructura ha sido construida con un material dúctil cuyo esfuerzo de fluencia es  = 280 MPa. Se pide determinar el factor de seguridad para los siguientes criterios de falla. Comparar y comentar los resultados obtenidos. a) Criterio del máximo esfuerzo cortante o Tresca (1.5 puntos). b) Criterio de la máxima energía de distorsión o Von Mises (1.5 puntos). c) Criterio del máximo esfuerzo normal o Coulomb (1 punto).

Figura 1

Pregunta 2 (4 punt os) El tanque de aire comprimido AB mostrado en la figura 2 tiene un diámetro interior de 500 mm y una pared uniforme de 7 mm de espesor. Si se sabe que la presión manométrica en el tanque es de 1.5 MPa, determine el máximo esfuerzo normal, el máximo esfuerzo cortante en el plano y el máximo esfuerzo cortante absoluto, en el punto b mostrado.

Figura 2

Pregunta 3 (4 punt os) Un tanque presurizado de acero está construido con una soldadura helicoidal que forma un ángulo  = 55° con el eje longitudinal (ver figura 3). 3). El tanque tiene un radio interior r = 0,60 m, espesor de pared t = 18 mm y presión manométrica p = 2.8 MPa. Determine las cantidades siguientes para la parte cilíndrica del tanque. a) Los esfuerzos circunferencial (de costilla) costilla) y longitudinal longitudinal (1 punto) b) Los esfuerzos cortantes máximos en el plano y el absoluto (1 punto). c) Los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre planos paralelos y perpendiculares a la soldadura. Muestre estos esfuerzos en un elemento de esfuerzo orientado de manera apropiada) (2 punto).

Figura 3

Pregunta 4 (3 punt os) El tanque de almacenamiento no presurizado que se muestra en la figura 4 tiene un grosor de pared 5 mm y está hecho de un acero con esfuerzo último en tensión de 420 MPa. Determine la altura h máxima a la cual puede llenarse con agua si se desea un factor de seguridad de 4,0. La densidad del agua es 1000 kg/m3.

Figura 4

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 8va. práctica (tipo C) (segundo semestre 2016) Nota: El siguiente trabajo debe ser elaborado por grupos de 4 a 5 integrantes. La entrega y el ensayo se realizarán en la sesión de la 8va. práctica del curso, el 25 de noviembre de 2 a 5 p.m.

I. DESCRIPCIÓN Se desea construir una viga simplemente apoyada para que soporte una carga concentrada P ubicada en cualquier punto a lo largo de la viga. La viga será construida exclusivamente con madera balsa utilizando varillas de sección cuadrada de 6 x 6 mm o planchas de hasta 4 mm de espesor. Para unir los elementos de la viga se podrá utilizar pegamento (cualquier tipo) y alfileres. No se podrá utilizar ningún tipo de cinta adhesiva. Esta viga tendrá una luz libre de 1 400 mm y se apoyará directamente sobre los bordes de dos mesas como se muestra en la figura 1. Durante el proceso de carga la viga debe mantenerse estable. Cada grupo decidirá la forma que tendrá la sección transversal, aunque el ancho de la viga no deberá ser menor de 100 mm para evitar problemas de pandeo lateral. El peso máximo de la viga será de 2,0 N.

Figura 1. Esquema de viga simplemente apoyada II. FASES DEL ENSAYO La viga se ensayará en dos fases:

Fase 1. Se aplicará una carga P = 20 N recorriendo dos veces la longitud de la viga. En esta fase se medirá la deflexión de la viga para la carga colocada al centro.

Fase 2. La carga P se coloca en el centro de la viga y se incrementa paulatinamente hasta lograr el colapso de la estructura. Cada incremento de carga debe mantenerse por lo menos 10 s antes de proceder al siguiente incremento de carga. Se medirá en esta fase la carga que produce el colapso de la estructura.

Se registrará el peso de toda la estructura para obtener la relación carga máxima resistente versus peso de la estructura.

III. PROPIEDADES DEL MATERIAL Las propiedades mecánicas de la madera balsa deberán determinarse haciendo pequeños ensayos a flexión del material (mínimo 3 ensayos). Se determinará así el esfuerzo normal de falla por flexión y se calculará un esfuerzo permisible con un factor de seguridad de 4 respecto del valor de falla hallado. Con este esfuerzo permisible se diseñará la sección de la viga. Todos los cálculos deben ser justificados. También se calculará el módulo de elasticidad E del material midiendo la deflexión en un punto notable. Por ejemplo, si se usa una viga simplemente apoyada se medirá la deflexión de la viga al centro del tramo donde se verifica la relación que aparece en la figura 2.

Figura 2. Deflexión de una viga simplemente apoyada Para el esfuerzo cortante se podrá considerar un esfuerzo permisible de 0,3 MPa.

IV. INFORME Para sustentar el trabajo realizado cada grupo presentará un informe con los cálculos del análisis y diseño de la viga presentando sus diagramas de fuerzas internas y los cálculos de esfuerzos para cada condición de carga. Se calculará también la deflexión esperada cuando la carga P de 20 N se aplica al centro de la viga. Los cálculos pueden ser manuales o con Matlab/VBA. En este último caso, también deberá hacer esquemas de justificación del algoritmo. Del mismo modo se deberá presentar los resultados del ensayo de flexión que ha realizado para determinar los esfuerzos de falla por flexión y el módulo de elasticidad del material. El contenido mínimo del informe será el siguiente: 1. Introducción 2. Descripción del puente (incluir fotografías del proceso constructivo) 3. Ensayos realizados (incluir fotografías) 3.1 Módulo de elasticidad 3.2 Esfuerzo de falla y esfuerzo admisible 4. Análisis y diseño del puente (cálculos manuales o Matlab/VBA) 5. Cálculo de deflexiones (cálculos manuales o Matlab/VBA) 6. Conclusiones y recomendaciones ANEXO 1: Panel fotográfico de toda la experiencia

ANEXO 2: Cálculos: Hoja de cálculo / Código VBA / Código Matlab (el que se haya empleado)

V. EVALUACIÓN La evaluación final de la viga tendrá en cuenta los siguientes criterios: CRITERIO

PESO

1 Informe con cálculos de la viga diseñada

35%

2

Desempeño de la viga en la FASE 1

25%

3

Desempeño de la viga en la FASE 2

10%

4 Expresión y calidad artística de la viga

15%

5

15%

Relación carga / peso de la estructura TOTAL

100%

La nota será asignada por igual a todos los integrantes de cada grupo, excepto a los que no asistan a la práctica. Si el diseño estructural del puente no se encuentra debidamente sustentado en el informe, se anularán los criterios 1, 2 y 3 en la calificación del puente.

VI. INCENTIVO Se otorgará una bonificación de hasta 2 puntos en el examen final (después de aplicar el factor de asistencia y antes de redondear). La bonificación se calculará dividiendo la nota de esta práctica entre 10.


San Miguel, noviembre del 2016

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 8va práctica (tipo C) (segundo semestre 2016) Nombre y apellidos de alumnos

Horario

Código de alumnos

Nombre de profesor

Fecha de entrega

No rellenar Inciso

Puntaje parcial

1 INTRO

/ 2%

2 DESC

/ 2%

3 ENSA

/ 7%

4 AN+DI

/ 7%

5 DEFL

/ 7%

6 CON

/ 5%

A1 FOT

/ 3%

A2 CAL

/ 2%

TOTAL

/ 35%

Nota final

ANOTACIONES:

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 1 –ING215 Soluci onario del Examen 1 (segundo semestre 2016) Pregunta 1 (4 puntos) La figura 1 muestra las secciones longitudinal y transversal de un elemento estructural sometido a flexión pura. A partir de esos esquemas se puede demostrar que la superficie neutra pasa por el centroide de la sección y que las deformaciones y esfuerzos longitudinales se pueden calcular con las expresiones siguientes: 



=

−



=

−



 

(1)

(2)

Se pide: a) Describir de manera clara y precisa el significado de cada término de la tabla 1. (1.5 puntos) b) Indicar las asunciones realizadas para obtener las expresiones (1) y (2) sobre: el material, la forma del elemento, la deformación de cualquier fibra, la deformación de la sección transversal y las cargas aplicadas. (1 punto) c) Demostrar la expresión (2) partiendo de la expresión (1). Explique claramente cada paso del desarrollo. (1.5 puntos)

Figura 1 Pregunta 2 (4 puntos) La columna mostrada en la figura 2 está construida con concreto y reforzada con un perfil de acero de 120 cm 2 de sección transversal. Los ejes centroidales de la columna y del perfil de acero coinciden y se aplica sobre la parte superior de la columna una carga axial de 270 kN que pasa por el centroide. Se pide determinar los esfuerzos normales que se producen en el acero y en el concreto. Los módulos de elasticidad de ambos materiales son Eacero = 200 GPa y Econcreto = 21 GPa. Indicar claramente las asunciones realizadas.

Pregunta 3 (4 puntos) El eje mostrado en la figura 3 está construido con dos piezas de acero, una de sección cuadrada (90 mm de lado) en el tramo CB y la otra de sección circular (30 mm de radio) en el tramo BA. Este eje está empotrado en el punto C. El esfuerzo cortante último del acero es τ U = 75 MPa y su módulo de corte es G = 77 GPa. Si se aplica un momento torsor T = 300 N-m en el extremo A y un momento

a) Calcular el giro máximo absoluto en el eje. (2 puntos) b) Calcular el factor de seguridad del conjunto. (1 punto) c) Indicar qué tramo, AB ó BC, es más flexible de acuerdo a su giro relativo. (1 punto)

Figura 2

Figur a 3

Pregunta 4 (4 puntos) Durante la construcción de un puente vehicular, las vigas principales se proyectan en voladizo desde un pilar hacia el siguiente, tal como se muestra en la figura 4, la cual muestra también la sección transversal de la viga. Cada viga está sometida a una carga uniformemente distribuida durante la construcción de 9,5 kN/m, que incluye el peso de la viga. Si el esfuerzo normal permisible para el acero utilizado es σ adm = 160 MPa, determine la longitud máxima en voladizo que podría permitirse para la viga.

Pregunta 5 (4 puntos) En la estructura mostrada en la figura 5 la barra ABC es rígida. Los tirantes BD y CE son del mismo material (E = 150 GPa) y tienen la misma sección transversal (sección circular con 16 mm de diámetro). La carga P está aplicada en el centro de BC y ocasiona que la barra AB gire un ángulo de 0,02°. Se pide: a) Dibujar el diagrama de cuerpo libre de la barra rígida con todas las cargas aplicadas y sus magnitudes. Justifique su respuesta. (1 punto) b) Calcular las deformaciones unitarias y los esfuerzos en los tirantes. (2 puntos) c) Indicar qué pasos debe seguir para calcular las reacciones y las fuerzas en los tirantes si ahora se aplica la misma carga P a la mitad de AB. Utilizar el Principio de Superposición de Efectos (PSE) liberando la restricción del tirante en BD. Solo debe indicar los pasos a seguir. No necesita hacer ningún cálculo. (1 punto)

Nombre del alumno

Código

Horario

Pregunta 1 (4 puntos) a) Tabla 1. Indicar el significado de cada término (Total 1.5 puntos) Puntos

Término

Significado

σ x

Esfuerzo axial en el eje x

ε x

Deformación unitaria normal en el eje x

ρ

Radio de curvatura del arco de circulo DE (superficie neutra)

M

Momento flector aplicado en el plano de simetría

y

Distancia vertical (en el eje y) de cualquier punto a la superficie neutra

I

Momento de inercia de la sección transversal con respecto al eje centroidal perpendicular al plano del par M

(0.20)

Eje neutro

Línea resultante de la intersección de la superficie neutra con la sección transversal, donde σx e εx se anulan.

(0.30)

(0.20) (0.20) (0.20) (0.20) (0.20)

b) Material: se considera un material homogéneo (0.20 puntos); Forma del elemento: se considera un elemento prismático (sección transversal constante) con por lo menos un plan de simetría (0.20 puntos); Deformación de cualquier fibra: como el momento flector M es el mismo en cualquier sección, el elemento se flexionará de manera uniforme. Es decir que todas las líneas longitudinales en el plan de simetría, que originalmente eran rectas, se transformarán en círculos de centro C, cada una con curvatura constante (0.20 puntos); Deformación de la sección transversal: cualquier sección transversal perpendicular al eje longitudinal del elemento permanece plana y perpendicular a este, en la barra flexionada (0.20 puntos); Cargas aplicadas: en el elemento están aplicados solamente un par de momentos flectores iguales y opuestos, M y M’, aplicados en sus extremos. Se considera que los esfuerzos normales resultantes en el elemento permanecen por debajo del esfuerzo de fluencia σy del material, por lo tanto no existen deformaciones permanentes y se puede aplicar la ley de Hooke (0.20 puntos); Total 1 punto. Fueran consideradas respuestas alternativas que demuestran las asunciones mencionadas.

Examen Parcial ING215 -2016-2

Página 5 de 14

c) Considerando las asunciones anteriores, la deformación unitaria εx alcanza su máximo valor absoluto cuando y es máxima. Si c es la distancia máxima a la superficie neutra (que corresponde a la superficie superior o inferior del elemento), y es el máximo valor absoluto de la deformación unitaria, se tiene la ecuación (3):

3 Resolviendo (3) para ρ y reemplazando en (1), se obtiene la ecuación (4):

4 Para localizar la superficie neutra y hallar el valor máximo σm se tiene que especificar la relación esfuerzodeformación del material utilizado. Aplicando la ley de Hooke para el esfuerzo uniaxial, suponiendo que el material es homogéneo, y denotando por E al módulo de elasticidad, se tiene que en la dirección longitudinal x:

5 Usando la ecuación (4) en conjunto con la ecuación (5), se tiene la ecuación (6):

6 Que si puede reescribir como se presenta en la ecuación (7):

7 Haciendo el equilibrio de momentos en el eje z (momento internos equivalentes a momentos externos), como se ve en la Figura 1, se define la ecuación (8).

Figura 1

8 Reemplazando la ecuación (7) en la ecuación (8), se obtiene la ecuación (9).

9 Se observa que I es el momento de inercia, o segundo momento, de la sección transversal con respecto al eje centroidal perpendicular al plano del par M . Se obtiene la ecuación (10):

10 Reemplazando σm de la ecuación (10) en la ecuación (7), se obtiene el esfuerzo normal distancia y del eje neutro, ecuación 11:

σx

a cualquier

11

Fueran consideradas respuestas alternativas correctas desde que todos los pasos fuesen correctamente demostrados. P:

E:

Examen Parcial ING215 -2016-2

R:

L:

TOTAL: Página 6 de 14

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 1 – ING215 Soluci onario del Examen 2 (Segundo semestre 2016) Indicaciones generales: La presentación, la ortografía y la gramática de los trabajos influirán en la calificación. Solo se permite el uso de una calculadora científica sin capacidad para guardar fórmulas o textos. No se podrán usar libros, apuntes, calculadoras programables o teléfonos celulares. La calificación de cada pregunta en todas las partes se hará utilizando la forma PERL: • • • •

Procedimiento: 40% Explicación: 30% Respuesta correcta: 20% Limpieza y orden: 10% (solo si PER > 50%)

Puntaje total: 20 puntos

Pregunta 1 (4 puntos) Considere un punto Q dentro de un cuerpo en estado plano de esfuerzos. Las componentes  ,  y  del estado de esfuerzos respecto al sistema  se muestran en la

figur a 1a. Se pide:

a) Desarrollar expresiones que permitan calcular los esfuerzos ′ y ′′ correspondientes a un plano cuya normal forma un ángulo , en sentido antihorario, con el eje x, tal como se muestra en la figura 1b . No es necesario llegar a ecuaciones con ángulo doble. (2.5 puntos) b) Utilice el Círculo de Mohr para determinar el plano de falla de una barra de sección circular constante sometida a tracción pura ( figura 1c ) fabricada con un material dúctil. Presentar un esquema de la falla. (1.5 puntos)

(a)

(b)

(c) Figura 1

7 Pregunta 2 (4 puntos) En una columna de acero (  = 200 GPa) de sección rectangular, sometida a una fuerza vertical P dirigida hacia abajo, se han instalado tres deformímetros ( strain gages) en los puntos A, B y C que miden la deformación vertical en dichos puntos, tal como se muestra en la figura 2. Las lecturas en los deformímetros luego de aplicar la carga P son:

 = − 400   = − 900   = − 150  Se pide determinar la magnitud de la carga P y las coordenadas de su punto de aplicación respecto al sistema de coordenadas mostrado.


Para la viga mostrada en la figura 3 se pide calcular las reacciones, dibujar el diagrama de fuerza cortante, dibujar el diagrama de momento flector, y realizar un esquema de la curva elástica. Deberá emplear el método de superposición de efectos considerando las expresiones indicadas en la Tabla N°1 y realizar sus cálculos en función de EI, w y L .

Tabla N°1

Figura 2

Figura 3

Pregunta 4 (4 puntos) La figur a 4a muestra la viga de un puente de madera (  = 9 GPa) de longitud L = 11 m . En la figura 4b se indica el momento de inercia y la ubicación del centroide de su sección transversal. Una carga concentrada P recorrerá el puente de un extremo a otro. Se empleará una madera con esfuerzo normal admisible de 15 MPa y esfuerzo cortante admisible de 3 MPa. Despreciando el peso propio del puente, se pide: a) Determinar los valores de x que permiten encontrar la máxima fuerza cortante y el máximo momento flector, independientemente, requeridos para el diseño de la viga. Además, indicar las expresiones de estas fuerzas internas máximas. (0.5 puntos) Considerando que la carga P se ubica al centro de la viga (  =  /2), se pide: b) Calcular el momento flector admisible que puede resistir la sección de la viga y la magnitud de la carga P necesaria para alcanzar dicha resistencia. (0.5 puntos) c) Empleando el valor hallado de P, calcular el esfuerzo cortante en cada clavo. La separación entre clavos es de 100 mm tal como se muestra en la figur a 4b . (1 punto) d) Aplicando el método de doble integración, desarrolle una expresión para la deflexión al centro de la viga. Emplear dicha expresión y el valor hallado de P para calcular el valor numérico de esta deflexión. (2 puntos)

(a)

(b) Figura 4


La viga representada en la figura 5 tiene una sección cerrada en el tramo AB y una sección abierta en el tramo BC. Las secciones tienen espesor t constante a lo largo de toda su longitud. El punto de aplicación de la carga concentrada F coincide con el plano medio del alma de la sección en el extremo C. Se pide: a) Determinar el centro de corte de la sección para cada tramo. (2 puntos) b) Determine el valor y la ubicación del máximo esfuerzo cortante en la sección localizada en A, para t = 5 mm y F = 10 kN. (2 puntos)

F

100t

18t 100t 10t

18t

18t

10t

10t

Tramo AB

Tramo BC

Figura 5

Resis 1 PC's y Exámenes 2016-2

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