RESERVORIOS - II

Ing.Freedy Reynolds P. Reservorios II

Preparo: Ing. Freddy Reynolds P. COCHABAMBA – AGOSTO – 2.008

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CAPITULO N° 1 RESERVAS DE HIDROCARBUROS 1.0 DEFINICIONES 1.1.0 RESERVAS DE HIDROCARBUROS Se llama así al volumen de HC medidos a condiciones atmosféricas, que se puede producir con cualquier de los métodos y sistemas de extracción aplicables (Métodos mecánicos, Recuperación Primaria, Recuperación Secundaria, etc.) Se debe hacer notar que los datos de las reservas de HC no son fijos, sino que tienen un carácter dinámico debido al ajuste continuo a medida que se cuenta con una mayor información: La exactitud de las reservas depende de la calidad y cantidad de los datos disponibles, su valor más cercano a la realidad se la obtendrá a medida que se incremente la vida productiva del yacimiento. Los volúmenes deben representar a juicios estrictamente técnicos y no deberán entrar influenciados por actitudes conservadoras u optimistas por parte del que calcula

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1.2.0 CLASIFICACION DE LAS RESERVAS

RESERVAS PROBADA DESARROLLADA: El olerlo y puede comerlo

Y

PECES

pez esta en el bote. Ud. lo pesco, puede

PROBADA NO DESARROLLADA: El pez esta en su anzuelo dentro del agua junto al bote. Ud esta listo para agarrarlo con una red Ud. Puede decir lo grande que parece (siempre se ven mas grandes dentro del agua). PROBABLE: Hay peces en el lago Ud puede aun ser capaz de verlos, pero Ud. No ha pescado ni uno lo pesco, POSIBLE: Hay agua en el lago. Alguien le dijo a Ud de que hay peces en ese lago .Ud tiene su bote sobre el trailer pero en vez de ir a pescar Ud. Puede ir a jugar fútbol. Existen diversos criterios para la clasificación de las reservas de HC dentro de las importantes están: a).- Según la cantidad y el grado de exactitud de los datos: 1.0 Reservas Probadas 1.0 Reservas Probables 2.0 Reservas Posibles b).- De acuerdo con el tipo de fluidos 1.0 Reservas de petróleo 2.0 Reservas de gas 3.0 Reservas de condensado

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1.2.1 RESERVAS

PROBADAS (P1)

Son aquellas cantidades de HC. Que con razonable certidumbre se estima que serán comercialmente recuperables, de una fecha dada en adelante, por análisis de datos geológicos y de ingeniería, de reservorios conocidos y bajo condiciones económicas, métodos de operación y legislación vigentes a esa misma fecha. Las reservas probadas pueden ser caracterizadas como desarrolladas y no desarrolladas. Es aquella reserva que procede de yacimientos donde existe la “evidencia de producción de HC” por información confiable, que proviene de : (1) pozos productores, (2) pruebas de formación, (3) pruebas de producción, (4) registros geofísicos,(5) balance de materia, etc. 1.2.2 RESERVAS

PROBABLES (P2)

Son aquellas reservas no probadas que, según lo sugieren los análisis de datos geológicos y de ingeniería, son mas factibles de ser recuperables que de no serlo. En este contexto, cuando se utilizan métodos probabilísticos, debería haber por lo menos un 50 % de probabilidad de que las cantidades realmente recuperables igualen o excedan la suma de las reservas estimadas como probadas más las probables.

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Es aquella cuya “existencia se supone en “áreas vecinas “a las probadas, de acuerdo con la interpretación geológica o la aplicación de métodos del balance de materia. Además, se consideraran como reservas probables, los incrementos que se infieran provenientes de proyectos de inyección de fluidos o al empleo de mejores técnicas para complementar el mecanismo de recuperación, podrán incluirse como “Probadas” cuando el incremento en la recuperación ha sido “confirmado” por una prueba piloto representativa. 1.2.3 RESERVAS

POSIBLES (P3)

Las reservas posibles son aquellas reservas no probadas que, según lo sugieren los análisis de datos geológicos y de ingeniería, son menos factibles de ser recuperables que las reservas probables. En este contexto, cuando se utilizan métodos probabilísticas debería haber por lo menos un 10 % de probabilidad de que las cantidades realmente recuperadas igualen o excedan la suma de las reservas estimadas como probadas mas las probables mas las posibles. Es aquella reserva que pudieran provenir de áreas donde se hubieran localizado” condiciones geológicas favorables” para la acumulación de HC. Esas condiciones podrán ser nuevas estructuras o formaciones “mas profundas” que las conocidas.

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1.3 FACTOR DE RECUPERACION (FR La recuperación de HC del yacimiento depende de muchos factores, entre otros, de las variaciones en las propiedades petrofisicas de la roca, propiedades de los fluidos, tipo de mecanismo que impera en el yacimiento, ritmo de explotación, etc. El factor de recuperación a una fecha determinada se obtiene de dividir el volumen producido acumulado (Np) a la fecha, entre el volumen original de oil (N)”, pudiendo expresarse en fracción o porcentaje, esto es: FR = Np/N Este factor se puede calcular utilizando diferentes métodos como ser: 1.0 2.0 3.0 4.0

Modelos analógicos Estudios de predicción de comportamiento Curvas de declinación Empíricos

1.4 CLASIFICACIÓN DEL SISTEMA DE RECURSOS DE PETROLEO Y DEFINICIONES

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Estimaciones derivadas bajo estas definiciones se confía en la integridad, habilidad, y juicio del evaluador y son afectados por la complejidad geológica, de la fase de exploración o desarrollo, del grado de vaciamiento de los reservorios, y de la cantidad de datos disponibles. El uso de las definiciones debe apuntar a la distinción entre las varias clasificaciones y proporcionar los recursos más consistentes para la información.

1.4.1 DEFINICIONES El sistema de clasificación de los recursos se resume en la Figura Nº1 y las definiciones pertinentes que se dan mas abajo. Por otra parte, los recursos se han definido incluyendo todas las cantidades de petróleo que son estimados inicialmente-in-situ; sin embargo, algunos usuarios consideran que sólo la porción estimada recuperable estimada constituye un recurso. En estas definiciones, se definen que las cantidades estimadas como ser el petróleo inicial-in-situ como el Petróleo Total-inicial-in-situ, se define el Petróleoinicial-in-situ Descubierto y el Petróleo-inicial-in-situ No Descubierto, y las porciones Recuperables separadamente como las Reservas, Recursos Contingentes y Recursos Probables. En todo caso, debe entenderse que las reservas constituyen un subconjunto de recursos, mientras serán estas cantidades que se descubren (es decir de las acumulaciones conocidas), recuperable, comercial y remanentes.

1.4.2 EL PETRÓLEO-INICIAL-IN-SITU TOTAL. El Petróleo Total -inicial-insitu es esa cantidad de petróleo que se estima que existe originalmente en las acumulaciones que ocurren naturalmente. Por consiguiente, el Petróleo totalinicial-in-situ es esa cantidad de petróleo que se estima, en una fecha dada, por estar contenido en las acumulaciones conocidas, más esas cantidades ya producidas de esta forma más esas cantidades estimadas en las acumulaciones todavía que no fueron descubiertos. El Petróleo Total-inicial-in-situ puede subdividirse en el Petróleo-inicial-in-situ Descubierto y el Petróleo-inicial-insitu No Descubierto, como el Petróleo-Inicial-In-Situ Descubierto esta limitado únicamente a las acumulaciones conocidas. Se reconoce que todas las cantidades del Petróleo-inicial-in-situ pueden constituir los recursos potencialmente recuperables desde la estimación de la porción que puede ser recuperable y puede estar sujeto a una incertidumbre significante y pueden cambiar con las variaciones den las circunstancias comerciales, desarrollos tecnológicos y disponibilidad de información de los datos. Una porción de estas cantidades clasificadas como Irrecuperable puede volverse recursos recuperables en el futuro cuando las circunstancias comerciales cambien, ocurren desarrollos tecnológicos, o los datos adicionales son adquiridos. 7


1.4.3 EL PETRÓLEO-INICIAL-IN-SITU DESCUBIERTO. El Petróleo-inicialin-situ Descubierto es esa cantidad de petróleo que se estima, para una fecha dada, como ser contenido en las acumulaciones conocidas, más esas cantidades ya producidas allí mismo. El Petróleo-inicial-in-situ Descubierto puede subdividirse en dos categorías: Comerciales y Sub-comerciales, con la porción potencialmente recuperable estimada que es respectivamente clasificado como las Reservas y los Recursos Contingentes, como se definirá mas abajo. 1.4.4 LAS RESERVAS. Se definen las reservas como esas cantidades de petróleo que se prevé que serán recuperados comercialmente con anticipación de las acumulaciones conocidas a una fecha dada. La referencia debe hacerse completamente a las las Definiciones de Reservas de SPE/WPC para las definiciones completas y guías. Las cantidades recuperables estimadas de las acumulaciones conocidas que no son un requisito complementario de la comercialidad deben ser clasificadas como los Recursos Contingentes, como será definido mas abajo. La definición de comercialidad para una acumulación variará según las condiciones locales, circunstancias y dejará a la discreción del país o compañías involucradas. Sin embargo, todavía deben categorizarse las reservas según el criterio específico de las definiciones del SPE/WPC y las reservas por consiguiente demostradas que se limitarán para esas cantidades que son comerciales bajo las condiciones económicas actuales, mientras que las reservas probables y posibles pueden estar basadas en las condiciones económicas futuras. En general, las cantidades no deben ser clasificadas como reservas a menos que haya una expectativa de que la acumulación se desarrollará y se pondrá en producción dentro de un tiempo razonable. En ciertas circunstancias, pueden asignarse a las reservas aunque el desarrollo no ocurrirá durante dentro de un tiempo determinado. Un ejemplo de esto sería donde se tiene un campo con un contrato de suministro a largo plazo y que sólo se desarrollará cuando las exigencias satisfagan ese contrato.

1.4.5 LOS RECURSOS CONTINGENTES. Los Recursos contingentes son esas cantidades de petróleo que se estima, en una fecha dada, podrán ser potencialmente recuperables las acumulaciones conocidas, pero que no se consideran actualmente que sean comercialmente recuperables. Se reconoce que puede existir alguna ambigüedad entre las definiciones de recursos contingentes y reservas no probadas. Ésta es una reflexión de las variaciones en la práctica actual de la industria. Se recomienda que si el grado de compromiso no es tal que se espera que la acumulación sea desarrollada y 8


poner la producción dentro de un periodo de tiempo razonable, los volúmenes recuperables estimados para la acumulación serán clasificados como los recursos contingentes. Por ejemplo, los Recursos contingentes pueden incluir las acumulaciones para los que no hay ningún mercado viable actualmente, o donde la recuperación comercial es dependiente del desarrollo de una nueva tecnología, o donde la evaluación de la acumulación todavía está en una fase temprana.

1.4.6 EL PETRÓLEO-INICIAL-IN-SITU NO DESCUBIERTO. El PetróleoInicial-In-Situ no Descubierto es esa cantidad de petróleo que se estima, A una fecha dada, para ser contenido todavía en las acumulaciones ser descubierto. La porción potencialmente recuperable estimada de PetróleoInicial-In-Situ No descubierto es clasificada como los Recursos Probables, como serán definidos mas abajo. 1.4.7 LOS RECURSOS PROBABLES. Los Recursos probables son esas cantidades de petróleo que se estiman, en una fecha dada, para ser potencialmente recuperable de las acumulaciones no descubiertas. 1.4.8 LA ÚLTIMA RECUPERACIÓN ESTIMADA. La Última Recuperación Estimada (EUR) no es una categoría del recurso como a tal, pero un término que puede aplicarse a una acumulación individual de cualquier status/madurez (descubierto o no descubierto).La Estimación de la Última Recuperación se define como esas cantidades de petróleo que se estiman, a una fecha dada, por ser potencialmente recuperables de una acumulación, más esas cantidades ya producidas de allí mismo. 1.4.9 LA AGREGACIÓN. Las cantidades de petróleo que son clasificados como las Reservas, no deben agregarse a los Recursos Contingentes o a los Recursos Probables entre sí sin la consideración debida de las diferencias significantes en el criterio asociado con su clasificación. Puede haber un riesgo significante en particular, porque las acumulaciones que contienen los Recursos Contingentes o los Recursos Probables no lograrán la producción comercial. 1.4.10 EL RANGO DE INCERTIDUMBRE. El Rango de Incertidumbre, como se demuestra en Figura Nº1, refleja un rango razonable de volúmenes potencialmente recuperables estimados para una acumulación individual. Cualquier estimación de cantidades del recurso para una acumulación está sujeta a las incertidumbres técnicas y comerciales, y en general se debería citar con un rango. En el caso de reservas y donde es apropiado, este rango de incertidumbre puede reflejarse en las estimaciones para los escenarios Reservas Probadas (1P), Probadas plus las Reservas Probables (2P) y Probadas 9


plus Probables plus las Posibles Reservas (3P) . Para otras categorías de los recursos, las condiciones que se recomiendan son en términos: Baja Estimación, la más Buena (Best) y más Alta Estimación. El término de la Estimación" más "Buena se usa aquí como una expresión genérica para la estimación que considera ser el más cercana a la cantidad que realmente se recuperará de la acumulación entre la fecha de la estimación y el tiempo de abandono. Si se usan los métodos probabilisticos, este término generalmente será una medida de la tendencia central de la distribución de la incertidumbre (la mas probable/mode, mediano/P50 o media). Las condiciones de la “Estimación Baja” y la “Estimación" Alta” deben proporcionar una valoración razonable del rango de incertidumbre en la Estimación más Buena o Best. Para las acumulaciones no Descubiertas (los Recursos Probables) el rango que se quieren en general, es substancialmente mayor que los rangos que para las acumulaciones descubiertas. En todos estos casos, sin embargo, el rango real será dependiente de la cantidad y calidad de datos (técnicos y comerciales) qué están disponibles para esa acumulación. Cuando más datos son puestos a disposición para una acumulación específica (por ejemplo los pozos adicionales, datos de comportamiento del reservorio, etc.) el rango de incertidumbre en el EUR para esa acumulación debe reducirse. El Sistema de Clasificación de los recursos

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

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Figura Nº 1 La Figura Nº1 es una representación gráfica de las definiciones. El eje horizontal representa el rango de incertidumbre de los volúmenes potencialmente recuperables estimados para una acumulación, considerando que el eje vertical representa el nivel de status/madurez de la acumulación. Muchas organizaciones escogen llevar más allá la subdivisión de cada categoría del recurso que usa el eje vertical para clasificar las acumulaciones en base a las decisiones comerciales que se exigió mover una acumulación hacia la producción. Como se indica en la Figura 1, el Bajo, el más Mejor y las Estimaciones mas Altas de volúmenes potencialmente recuperables deben reflejar alguna comparabilidad con las categorías de las reservas Probadas, Probadas plus Probable y Probada plus la Probable plus la Posible, respectivamente. Mientras pueda haber un riesgo significativo de que las acumulaciones subcomerciales o no descubiertas no lograrán una producción comercial, es útil

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considerar el rango de volúmenes independientemente de algún riesgo.

potencialmente

recuperables

Si se usan los métodos probabilisticos, estas cantidades estimadas deben estar basadas en las metodologías análogas a estas aplicaciones a las definiciones de reservas; debe haber por lo menos en general, por consiguiente una probabilidad del 90% que, asumiendo la acumulación se desarrollan las cantidades realmente recuperadas igualarán o excederán la Estimación Baja. Además, un valor de probabilidad equivalente del 10% debe, en general, ser usada para la Estimación Alta. Donde se usan los métodos deterministicos, una analogía similar a las definiciones de las reservas debe seguirse. Como un posible ejemplo, consideremos a una acumulación que no es actualmente solamente ninguna deuda comercial a la falta de un mercado. Los volúmenes recuperables estimados son clasificados como los Recursos Contingentes, con Bajo, Best y Altas estimaciones. Donde un mercado se desarrolla como consecuencia, y en la ausencia de cualquier nuevo dato técnico, la acumulación pasa a la categoría de las Reservas y las Reservas Probadas estimadas tendrán que esperar que se aproxime con la Estimación Baja anterior. 1.5 RESERVA ORIGINAL La reserva original de petróleo para una fecha considerada, se obtiene de “multiplicar el volumen original de petróleo @ c.s. por el factor de recuperación” esto es: Reserva Original = FR X N

(1 – 2)

Esta reserva podrá ir modificándose (aumentar o disminuir), según el desarrollo del campo y la información que se obtenga. En casos en los cuales solo se disponga de datos de producción, se podrá calcular por métodos estadísticos tales como las curvas de declinación. 1.6 RESERVA ACTUAL La reserva actual de oil para una fecha considerada, se obtiene “restando el volumen producido acumulado de oil (Np) a la misma fecha de la reserva original”, es decir: Reserva actual = Reserva original – Np

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(1 – 3)


1.7 CALCULO DEL PETROLEO”IN SITU” La geología del subsuelo proporciona mapas estructurales que representan líneas de nivel. Consideremos para simplificar, un reservorio sin casquete de gas. El primer problema es determinar la línea del contacto agua-petróleo para poder calcular el volumen de roca que contiene HC. Luego de haber determinado el contacto. Se calcula el volumen de roca – reservorio, V. Antes de la utilización de las computadoras, esto se hacia midiendo el área encerrada entre dos curvas de nivel. Por ejemplo 2050 mts. Y 2150 mts. Y multiplicar dicha área por el espesor correspondiente (100 mts.). El procedimiento se repetía para todas las líneas de nivel. Se utilizaba un planímetro. Los mapas isopaquicos conectan puntos que tienen igual espesores de capas, es decir, sus líneas de contorno representan los espesores mineralizados. Actualmente los mapas geológicos se cargan a la computadora. Y el cálculo del volumen de roca impregnado con HC se lo realiza con un programa adecuado. El producto VΦ donde Φ representa la porosidad, constituye el volumen poral del reservorio. Todo reservorio contiene una cierta saturación de agua connota, que es irreducible. Esta saturación Swc se expresa como una fracción del volumen poral y su valor oscila entre el 10% y el 30%.Entonces el volumen del HC en el reservorio es VpΦ (1 – Swc), pero medido en condiciones de reservorio, es decir a alta presión y alta temperaturas. En esas condiciones, el petróleo líquido contiene gas disuelto, por esta razón se expresa el petróleo In Situ en condiciones de superficie. En superficie, el volumen de petróleo disminuye, pues el disuelto se libera y se separa del petróleo liquido. La contracción del volumen del petróleo, al momento de pasar de condiciones de fondo a condiciones de superficie, es afectada por el factor volumétrico del petróleo, Boi. Entonces tendremos: N=

V pϕ (1 − S wc ) Boi

1.8 CALCULO DEL GAS NATURAL ”IN SITU” El método volumétrico del gas se calcula usando las condiciones Standard como condiciones normales. Usando mapas del subsuelo e isopaquicos 13


basados en la información obtenida de los registros eléctricos núcleos y pruebas de formación y producción. Un mapa de curvas de nivel o de contorno del subsuelo muestra líneas que conectan puntos de una misma elevación a partir de la parte superior del estrato de referencia o estrato base y por consiguiente, muestra la estructura geológica. Un mapa isopaquico neto muestra líneas que conectan puntos de igual espesor de la formación y las líneas individuales se denominan líneas isopacas 6.9 RECUPERACION UNITARIA DE YACIMIENTOS VOLUMEN DE GAS Volumen de agua innata, ft3 = 43.560* Φ * Sw Espacio poroso disponible para el gas, ft3= 43.560* Φ*(1- Sw) Espacio poroso del yacimiento, ft3= 43.560* Φ G = 43.560*A *h* Φ *(1 – Sw) / Bg ( PCS/@- ft) Donde: Vg = Volumen poroso para el gas. Acre-ft . Φ= Porosidad, fracción Sw = Saturación promedio del agua innata, fracción Bg = Factor volumétrico del gas, PCS/ft3

CAPITULO N ° 2 VOLUMEN ORIGINAL DE HIDROCARBUROS Con el fin de pronosticar el comportamiento de un yacimiento petrolífero se necesita conocer el volumen original de hidrocarburos en el yacimiento, así como también la energía disponible para expulsar el aceite y el gas

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Un yacimiento petrolíferos esta confinado por limites geológicos como también por limites de fluido, todos cuales deben determinarse lo mas exactamente posibles. Dentro del confinamiento de tales limites, el aceite esta contenido en lo que generalmente se refiere a la “zona bruta”. el “volumen neto” es la parte del yacimiento de donde se produce aceite o gas y se determina de acuerdo con los valores de permeabilidad , porosidad y saturación de agua .La información que se obtiene de las muestras de formación del analistas de núcleos y de los registros geofísicos de los pozos “es básica” en la evaluación antes dicha. Si se conoce el volumen del espacio poroso y las propiedades de los fluidos que lo saturan, el computo de los hidrocarburos en el yacimientos se convierte en una operación bastantes simple. El volumen original de hidrocarburos se puedes calcular básicamente aplicando dos métodos, a saber: método volumetrico y ecuación del balance de materia. de un yacimiento aquel Sin embargo, para fines de este capitulo solamente se considera el “método volumetrico”. 2.0 LIMITE AREAL DE LOS YACIMIENTOS PARA RESERVAR PROBADAS. 2.1 LIMITES FISICOS. Se entiende por “limites físicos” definido por algún accidente geológico (fallas, discordancias, etc.) o por la disminución de los valores de la saturación de hidrocarburos, porosidad, permeabilidad, o por el efecto combinado de estos parámetros. 2.2

LIMITE CONVENCIONAL.

Son limites convencionales aquellos que se establecen de acuerdo con el grado de exactitud de los datos o de conformidad con las normas establecidas. Las normas que a continuación se enlistan, han sido propuestas por un grupo de analistas expertos en estimación de reservas; las cuales parecen ser bastante razonables y lógicas pero, de ninguna manera deberán tomarse como únicas o definitivas ya que esta pueden cambiar con el criterio de cada analista. 2.2.1 Si el limite físico del yacimiento se estima a una distancia “mayor de un espaciamiento” entre pozos, del yacimiento de que se trate; del pozo situado mas al exterior, se fijara como limites convencional la poligonal formada por las tangentes a las circunferencias vecinas trazadas con un radio igual a la unidad del esparcimiento entre pozos. (Ver Fig. 3 – 1) 15


2.2.2 Si el limite físico del yacimientos queda a una distancia menor de un espaciamiento entre pozos, del pozo productor situado mas al exterior se deberá considerar el limite físico. 2.2.3 En el caso de existir pozos extremos improductivos a una distancia menor o igual a la del espaciamiento entre pozos , el limite se estimara a partir de los datos disponibles, y en ausencia de ellos, a la mitad de la distancia que separa el pozo improductivo y el productor mas cercano a el. 2.2.4 En el caso de tener un pozo productor a una distancia de DOS espaciamientos este se tomara en cuenta para el trazo de la poligonal que define el área probada, Únicamente si existen correlación geológica confiable o pruebas de comportamiento que indique la continuidad del yacimiento en esa dirección. De no existir los datos anteriores el pozo se considera pozo AISLADO, y su reserva se calculara con el limite convencional o sea con la circunferencia trazada con radio igual ala mitad del esparcimiento. 3.1.0 Cuando no se disponga de estudios geológicos que confirme o demuestren la continuidad de los yacimiento entre pozos vecinos, la reserva se calculara para cada pozo considerándolo como aislado, con un radio de drene convencional igual a la mitad del espaciamiento entre pozos del yacimiento de que se trate o del considerado mejor a aplicado entre campos vecinos. 3.2.0 Para la estimación de la reservas de un yacimiento se tomara como área probada la limitada físicamente y de no existir esta , se utilizara la limitada convencionalmente

METODOS VOLUMÉTRICOS PARA EL CALCULO DEL VOLUMEN ORIGINAL DE HIDROCARBUROS A CONDICIONES DE YACIMIENTO.

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La secuencia de estudio de un yacimiento desde el punto de vista “estático” comprende los siguientes pasos: 1.-Construcción de secciones transversales, utilizando los registros geofísicos de todos los pozos perforados en el área del yacimiento. 2.-Correlación de dichas secciones. 3.-Construcción de mapas estructurales. 4.-Calculo del volumen de roca.* 5.-Determinación de la porosidad media de yacimiento.* 6.-Determinación de la saturación de agua congénita media.* 7.-Calculo del volumen original de hidrocarburos a condiciones de yacimientos. 2.3 CONSTRUCCIÓN DE SECCIONES TRANSVERSALES. Las secciones transversales se escogen de una manera arbitraria y las mas posibles, procurando que unan o pasen cerca del mayor numero de pozos, tal como se observa en la Fig.(3-3)

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Fig.(3-3) *no es indispensable la determinación de estos parámetros, cuando se utiliza el método de izo hidrocarburos. 2.4 CORRELACIÓN DE SECCIONES TRANSVERSALES. La correlación de las secciones se hace por medio de los registros geofísicos , dibujando dichos registros a una escala determinada y uniendo por medio de curvas continuas las marcas que identifiquen las mismas formaciones teniendo en cuenta que los registros deben dibujarse a partir del nivel de mar o de un plano de referencia cualquiera Fig. (3 - 4) .La correlación de las secciones se pueden hacer también por medio de cortes de barrena, los registros de calibración de agujeros etc., pero con los registros eléctricos es una forma sencilla y precisa. 2.5 MAPAS ESTRUCTURALES.Utilizando las secciones ya correlacionadas, se produce a trazar la configuración de “cimas”, anotando en un plano de localizaciones del campo la profundidad de la “cima”de la formación que se esta estudiando y haciendo las interpolaciones necesarias; entre los pozos se unen puntos de igual cota , obteniéndose de esta manera un “ mapa de cimas”. De la misma manera que se realiza la configuración de “cima”; se pueden hacer la de “bases”. Para trazar la de “isopacas” se superponen las dos anteriores coincidiendo los pozos de las dos configuraciones, y en los puntos en los cuales se crucen las curvas se determinan el espesor, teniendo estos puntos se procede a configurar las curvas de igual espesor o de isopacas. Pozos. (Espesores netos).

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2.6 METODOS UTILIZADOS PARA LOS CALCULOS VOLUMETRICOS Después de que el área de cada contorno es computado, el volumen es computado por técnicas diversas. Los cálculos básicos del volumen pueden ser mirados tan divisorios la estructura en estratos de un espesor común. Las técnicas diferentes definen la geometría del estrato de diferentes maneras. Metodo Trapezoidal Piramidal Trap./Piram. Cuadratica Step Ratio Simpson 3/8 Regla

Pies cubicos 788.198.312 772.647.680 774.632.448 763.922.239 627.841.408 761.142.784 805.281.472 764.773.440

Acres - pies 18.095 17.738 17.783 17.537 14.413 17.473 18.487 17.557

La Regla Trapezoidal calcula el volumen del estrato computando el área común del estrato desde lo alto y al estrato más bajo y luego multiplicando el área promedio por el espesor del estrato. (Matemáticamente, esto equivale también a computar el área debajo de un espesor vs. gráfica de área). El Método Trapezoidal históricamente ha servido comúnmente para calcuar volumenes del mapa por su facilidad, comprensibilidad, y exactitud. Vtrap = Sum { 1/2 (Ai + Ai+1) * (hi - hi-1) } Porque los mapas isopaquicos siempre tienen áreas más pequeñas del contorno como los incrementos de espesor, el Método Trapezoidal sin embargo preciso siempre ligeramente las sobrestimaciones del volumen del reservorio. Otro método común para el calculo de volumenes es la Regla Pirámidal. Esta técnica para la determinación del volumen computa las áreas del tronco de una pirámide o del cono (las áreas dentro de una pirámide cortada por dos mitades con área (Ai y Ai +1). Vpiram = Sum { 1/3 (Ai-1 + Ai + Ai+1) * (hi - hi-1) } Fácil para computar con una calculadora o computadora, el Metodo Pirámidal y matemáticamente se parecen a los mapas estamos tratando de computar. Sin embargo, porque los métodos es arrogante una línea recta entre contornos para depósito cóncavo, más comúnmente encontrado en la industria petrolera, el volumen está siendo subestimado. 19


Algunas veces los analistas usan ambos de los cálculos de volumen descritos arriba basado en la proporción de área de contornos adyacentes. Este método, conocido como el Método de la Combinación, usó la Regla Trapezoidal cuándo Ai AI-1 > = 0.5 y usó la Regla de la Pirámide cuando Ai1<0.5 Ai. Dos técnicas superiores de integración numérica de orden también pueden usarse para computar volumenes, Simpson S Rule y 3/8 Rule. La Rule Simpson es una segunda técnica de Integración Numérica de Newton-Cotes del orden para n = 2 que usa tres términos. El Método está derivativo para un número par de contornos. Vsimp = Sum { 1/6 (Ai-2 + 4Ai-1 + Ai) * (hi-1 - hi) } La Regla del 3/8 es también una segunda Integración Numérica de NewtonCotes de orden de n = 3 que usa cuatro términos. Derivativo para el número de contornos como un múltiplo de tres, este método de integración está el doble de preciso como Simpson S Rule. V3/8 = Sum { 1/8) (Ai-3 + 3Ai- 2 + 3Ai- 1 + Ai) * (hi-1 - hi) } Sin embargo matemáticamente estos últimos dos métodos deberían ser más precisos que el Método Trapezoidal, ambos requieren numerosos los contornos uniformemente espaciados. El método del Intervalo computa volumenes asumiendo una superficie horizontal plana entre contornos parecido a los pasos en una escalera. Este método siempre significativamente menospreciará el volumen. El método de Relacion trata de mejorar el método del Intervalo sumando volumen por encima de cada paso que es proporcional para la ración de lo las áreas del contorno. La curva cuadrática de método equipa una línea cuadrática a través de una gráfica de espesor de vs de área del contorno y computa el área bajo la curva y el volumen de mapa. En el PLAN 2002, el área de todos los contornos del espesor igual está acrecentado de una colina sola y luego el libro es computado. Para las estructuras simples la Regla del 3/8 computará el valor mínimo de volumen con Simpson S Rule lo siguiente mínimo y medianamente cerca del valor de Regla del 3/8. La Regla Trapecial dará el valor más grande.

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CAPITULO N° 4 PROPIEDADES DEL GAS NATURAL 4.1 Introducción El petróleo y el gas natural son mezclas de hidrocarburos sumamente complejas en su composición química, que se encuentran a elevadas temperaturas y presiones en el yacimiento. El estado de la mezcla de hidrocarburos en las condiciones de superficie depende sobre todo de su “composición”, presión y temperatura a la cual fue recuperada la muestra de fondo; además el fluido remanente en el yacimiento en cualquier etapa de su agotamiento, sufrirá cambios físicos y su presión se vera disminuida por la producción del petróleo y gas natural de dicho yacimiento.

El conocimiento de estas propiedades, capacitara al ingeniero para evaluar la producción en condiciones de superficie o estándar de un volumen unitario de fluido. Estos datos son necesarios para determinar el comportamiento del yacimiento. Las propiedades del agua se encuentra asociada a los hidrocarburos del yacimiento, porque contribuye con su energía a la producción del petróleo o gas y además que es producida juntamente con el petróleo y el gas.

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4.2

PROPIEDADES FISICAS DEL GAS NATURAL

El gas es definido como un fluido homogéneo de baja viscosidad y densidad que no tiene un volumen definido pero que se extiende completamente hasta llenar un determinado espacio. Generalmente el gas es una mezcla de hidrocarbones y no hidrocarbones. Las propiedades que están incluidas en el análisis P.V.T. son los siguientes:  Peso molecular aparente, Ma  Gravedad especifica, S.G.  Factor de compresibilidad, Z      

Densidad, ρg Volumen especifico, v Coeficiente de compresibilidad del gas isotérmico, Cg Factor volumétrico del gas ,Bg Factor de expansión del gas, Eg Viscosidad, μg.

4.3.- LEY DE LOS GASES PERFECTOS

Composición del gas natural de la Planta campo Víbora E lem ento M etano Etano Propano I-Butano N -Butano I-Pentano N -Pentano H exano H eptano+ N itrógeno D ioxidodeC arbono

yi(% ) 84.979 6.082 3.339 0.436 1.081 0.257 0.302 0.22 0.254 2.431 0.619

La teoría de los gases perfectos supone que existe un movimiento caótico y desordenado de las moléculas salvo que entre ellas no se produzcan ningún tipo de interacción, es decir, entre las moléculas de los gases perfectos no ejercen fuerzas de atracción ni de repulsión y sus choques son puntuales y perfectamente elásticos. Boyle y Charles experimentaron con las tres principales variables: presión, volumen y temperatura y encontraron la siguiente relación: P1*V1/T1 =P2*V2/T2 22


3.4.- COMPORTAMIENTO DE LOS GASES REALES Se ha observado que si el volumen se comprime a la mitad de su volumen original, la presión resultante será menor en dos veces a la presión inicial; es decir, el gas es mas compresible que el gas perfecto, esto se debe a que las moléculas de los gases reales tienen dos tendencias 1) se apartan entre si por su constante movimiento cinético y 2) se atraen por fuerzas eléctricas.

Esta disminución del volumen a menos de la mitad si se dobla la presión, se dice que el gas es súper compresible y el causante de este comportamiento es el factor de compresibilidad o también llamado factor de desviación del gas y su símbolo es z. siendo la relación: PV = ZnRT

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Basados en la teórica cinética de los gases la ecuación matemática llamada ECUACIÓN DE ESTADO puede ser derivada de las relaciones existentes entre la presión, volumen y temperatura y que tenga una cantidad de moles de gas n. Esta relación para estos gases es llamada también la ley de gases ideales donde: P*V= nRT (3-1) donde p = presión absoluta, psia V = volumen, ft3 T = temperatura absorta, °R n = numero de moles del gas, lb – mol R = constante universal de los gases, 10.730(psia) (ft3) / (lb-mol)(°R) El numero de moles del gas esta definido como: n = m/ M (3 -2) Combinando la ecuacion 3-1 con 3-2 obtendremos: P*V = (m/M)RT

(3 - 3)

Donde m: peso del gas, lb. M = peso molecular, lb./lb.-mol La densidad esta definida como la relación de la masa por la unidad de volumen

ρg = m/M = pM/RT

(3- 4)

Donde ρg = densidad del gas, lb. /ft3.

Ejemplo 3 – 1 Tres libras de n-butano ocupan un volumen a 120°F y 60 psia. Calcular el volumen del gas asumiendo que tiene un comportamiento ideal. Paso 1. Determinar el peso molecular del n-butano desde la Tabla 1-1 se tiene M =∑ 58.12 lb./lb.-mol Paso 2. Resolviendo la ecuacion 1-3 para determinar el volumen del gas V = (m/M) RT /p 24


V = (3/58.123)(10.73)(120+460)/60 = 5.35 ft3

Ejemplo 3 – 2 Usando los datos anteriores calcular la densidad del n-butano

ρg = (60)(58.123)/(10.73)(580)= 0.56 lb. /ft3 PESO MOLECULAR APARENTE Si yi representa una fracción molar de i-vo componente de la mezcla de gas, el peso molecular aparente matemáticamente esta definido con la siguiente ecuación: Ma = ∑ yi*Mi…………….(3 -5) Donde: Ma = peso molecular aparente de la mezcla de gas, lb./lb.-mol Mi = peso molecular del i- avo componente de la mezcla yi = fracción molar del componente i en la mezcla VOLUMEN STANDART Para numerosos cálculos de ingeniería es muy conveniente determinar el volumen ocupado por 1 lb. – mol de gas con referencia a una presión y temperatura. Esas condiciones de referencia son usualmente 14.7 psia y 60° que son referidas como condición standart. Aplicando estas condiciones y utilizando la ecuación 3 – 1 y determinado el volumen a estas condiciones: Vsc = (1)(10.73)(520)/14.7 = Vsc = 379.4 scf./lb.-mol Donde Vsc = volumen sc. Scf/lb-mol scf = standart cubic ft Tsc = Standard temperatura, °R Psc = Standard presión, psia

25


DENSIDAD La densidad de un gas ideal es calculada por el reemplazo del peso molecular del componente puro de la ecuación 3-4 con el peso aparente de la mezcla de gas:

ρg = pMa/ RT

(3- 7)

Donde ρg = densidad de la mezcla.lb/ft3 Ma= peso molecular aparente, lb./lb.-mol VOLUMEN ESPECÍFICO El volumen especifico esta definido como el volumen ocupado por la unidad de masa del gas. Para el gas ideal esta propiedad se calcula aplicando la ecuación 3-3

v= Donde:

V = m

R *T p *M a

=

1 ρg

v = V/m = RT/pMa = 1/ ρg…………….. (3- 8) v = volumen especifico, ft3/lb.

ρg = densidad el gas, lb./ft3 GRAVEDAD ESPECÍFICA (S.G.) Se define como la razón de la densidad de un gas a determinada presión y temperatura entre la densidad del aire a la misma presión y temperatura, generalmente a 60° F y presión atmosférica.

γg

= ρg/ρaire (gamma)g (3-9) (rho)g/(rho)aire Si sé los rescribe como gas es ideal la gravedad específica será:

O también Donde

γg

= {PscMa/RTsc}/{PscMaire/RTsc}

γg

=

Ma/M

aire = Ma/28.96

γg = gravedad especifica del gas ρ aire = densidad del aire, Maire = peso molecular aparente del aire Ma = peso molecular aparente del gas 26

(3-10)

= 28.96


Psc = presión Standard, psia Tsc = temperatura Standard, ªR

Ejemplo 3 – 3 Un pozo de gas produce con un gravedad especifica de 0.65 a un caudal de 1.1 MMscf/d. La presión promedio y la temperatura son: 1,500 psia y 150 °F. Calcular a.- Peso Molecular aparente b.- Densidad del gas a condiciones del reservorio c.- Caudal de producción en lb. /día a.- De la ecuación 1-10

Ma = 28.96 γg Ma = (28.96) (0.65)= 18.82

b.- Aplicando la ecuación 2-7 determinamos la densidad del gas:

ρg =PMa/RT ρg = (1,500) (18.82)/(10.73) (610)= 4.31 lb. /ft3 c.- Paso 1.-Porque 1 lb. – mol de cualquier gas ocupa 379.4 scf. a @ sc entonces la producción diaria de número de moles se calculara como: Vsc = (1)(10.73)(520)/14.7 = Vsc = 379.4 scf./lb.-mol n= (1.1)(10)6/379.4= 2,899 lb.-mol Paso 2.- Determinamos la masa de gas diaria producida con ecuación 1-2 m =(n)*(Ma) m = (2899)(18.82)= 54,559 lb/dia

Ejemplo 3 – 4 Un pozo de gas natural produce con la siguiente composición

27


Componente

(fracción molar del componente) 0.05 0.90 0.03 0.02

CO2 C1 C2 C3

yi

Asumiendo que se tiene un comportamiento de un gas ideal, calcular a.- Peso molecular aparente b.- Gravedad especifica del gas c.- Densidad del gas a 2,000 psia y 150° F d.- Volumen especifico a 2,000 psia y 150° F Componente CO2 C1 C2 C3

yi 0.05 0.90 0.03 0.02

Mi 44.01 16.04 30.07 44.11

yi*Mi 2.200 14.436 0.902 0.882 Σ 18.42

a.- Aplicando la ecuación 3-5 determinamos el peso molecular aparente: Ma = 18.42 lb./lb.-mol b.- Calculamos la gravedad específica usando la ecuacion 3-10

γg

= 18.42/28.86 = 0.636

c.- La densidad del gas será:

ρg = (2,000)(18.42)/(10.73)(610)= 5.628 lb./ft3 d.- Determinamos el volumen específico: v= 1/5.628= 0.178 ft3/lb. FACTOR DE COMPRESIBILIDAD (Z) Un método usual para estimar la desviación de los gases reales de uno ideal, consiste en introducir un factor de corrección (Z) dentro de la ley de los gases ideales ecuación (3-1): pV = ZnRT……………….(3- 7)

28


el factor de compresibilidad también puede ser definido como la relación del volumen actual de n –moles de gas a la T y p y el volumen ideal del mismo número de moles a la mismo T y p. Z = V actual/ Videal = V / {(nRT)/p}……………. (3- 7) El valor de Z se puede calcular a partir de la composición de la mezcla o por medio de su densidad relativa (S.G.) utilizando correlaciones de compresibilidad con la p y T de las mezclas. Sin embargo, estas correlaciones no están elaboradas directamente con T y p, sino con “temperaturas pseudoreducidas” y “presiones pseudo reducidas”. Estos términos adimensionales se definen a continuación: Ppr = P/Ppc Tpr = T/Tpc Donde p = presión del sistema Ppr = presión pseudo reducida, adimensional T = temperatura del sistema, °R Tpr=temperatura seudo reducida, adimensional Ppc, Tpc = presión y temperatura pseudo-critica. Ppc = Tpc =

yi*Pci yi*Tci

(3- 14) (3- 15)

Ejemplo 3 – 5 El gas de un reservorio fluye con la siguiente composición: la Pi y Ty son 3000 psia y 180°R

Componente

yi

CO2 N2 C1 C2 C3 i – C4 n – C4

0.02 0.01 0.85 0.05 0.03 0.03 0.02

29


Calcular el factor de compresibilidad bajo las condiciones iniciales. Componente CO2 N2 C1 C2 C3 i – C4 n – C4

yi 0.02 0.01 0.85 0.05 0.03 0.03 0.02

Tci °R

yiTci

547.91 10.96 227.49 2.27 343.33 291.83 549.92 22.00 666.06 19.98 734.46 22.03 764.62 15.31

Tpc = 3383.38

Pci 1071 493.1 666.4 706.5 616.4 527.9 550.6

yiPci 21.42 4.93 566.44 28.26 18.48 15.84 11.01

Ppc = 666.38

Paso 1. Determinar la Ppc desde la ecuación 3-14 Ppc= 666.18

Paso 2. Determinar la Tpc desde la ecuacion 3-15 Tpc= 383.38

Paso 3. Determinar la Ppr y Tpr desde las ecuaciones 3-12 y 3-13 respectivamente: Ppr= 3000/666.38 = 4.50 Tpr= 640/383.38 = 1.67

Paso 4. Determinar el factor z desde la figura 2-1 Z = 0.85 La ecuación 1 – 11 se puede escribir en términos del peso molecular aparente del gas m: pV= z (m/M) RT Se puede resolver para determinar el volumen específico y la densidad: v= V/m = zRT/pMa

ρg = 1/v = pMa / ZRT

30


Donde: v= volumen especifico, ft3/lb.

ρg = densidad, lb. /ft3

Ejemplo 3 – 6 Usando los datos del anterior ejemplo y asumiendo que el gas tiene un comportamiento real, calcular la densidad de la fase gaseosa en las condiciones del reservorio. Comparar el resultado como si tuviera un comportamiento ideal Componente yi

Mi

Mi* yi Tci*(°R) yi*Tci

CO2 0.02 44.01 0.88 N2 0.01 28.01 0.28 C1 0.85 16.04 13.63 C2 0.05 30.1 1.20 C3 0.03 1.32 1.32 i – C4 0.03 1.74 1.74 n – C4 0.02 1.16 1.16 Σ 20.23 Ma = 20.23

Pci

547.91 10.96 1071 227.49 2.27 493.1 343.33 291.83 666.4 549.92 22.00 706.5 666.06 19.98 616.4 734.46 22.03 527.9 764.62 15.31 550.6

Tpc = 383.38

yi*Pci 21.42 4.93 566.44 28.26 18.48 15.84 11.01

Ppc = 666.68

Paso 1. Determinar el peso molecular aparente desde la ecuacion 3-5 Ma = 20.23 Paso 2. Determinar la Ppc desde la ecuación 3-14 Ppc= 666.18

Paso 3. Determinar la Tpc desde la ecua 3-15 Tpc= 383.38

Paso 4. Determinar la Ppr y Tpr desde la ecuación 2-12 y 2-13 respectivamente: Ppr= 3,000/666.38 = 4.50 Tpr= 640/383.38 = 1.67

Paso 5. Determinar el factor z desde la figura 2-1 Z = 0.85

31


Paso 6 Calcular la densidad desde la ecuación

ρg = (3,000)(20.23)/(0.85)(10.73)(640) = 10.4 lb. /ft3 Paso 7 Calcular la densidad del gas asumiendo el comportamiento de gas ideal desde la ecuación 3-7

ρg = (3,000)(20.23)/(10.73)(640) = 8.84 lb. /ft3 El resultado del ejemplo nos muestra que la estimación de la densidad con la ecuación del gas ideal nos un error absoluto del 15 % comparado con el valor de la densidad obtenido con la ecuación del gas real. La correlación que se tiene en la Figura 2-2 presentada por Standing (1977) expresada en este grafico corresponden a las siguientes relaciones matemáticas: Caso 1: Sistemas de gas natural

γg-12.5 γg^2 677+15.0 γg-37.5 γg^2

Tpc = 168+325 Ppc =

(2-18) (2-19)

Caso 2: Sistemas de gas – condensado

γg -71.5 γg^2 706-51.7 γg -11.1 γg^2

Tpc = 187+330 Ppc =

(2- 20) (2 – 21)

Donde Ppc = presión pseudo critica, psia Tpc= temperatura pseudo critica,°R S.G. = gravedad especifica de la mezcla Ejemplo 3 – 7 Recalcular el ejemplo 3 5 calculando las propiedades pseudo criticas con las ecuaciones 3-18 y 3-19

Paso 1. Determinar la S.G. del gas:

γg

= Ma/28.96 = 20.23/58.96 = 0.699 32


Paso 2. Determinar la Ppc y Tpc desde la ecuación 3-18 y 3-19 respectivamente Tpc = 168+325*(0.699)-12.5*(0.699)2 = 389.1 °R Ppc = 677+15.0*(0.699)-37.5*(0.699)2 = 699.2 psia

Paso 3. Determinar la Ppr y Tpr Ppr= 3000/669.2 = 4.48 Tpr= 640/389.1 = 1.64

Paso 5. Determinar el factor z desde la figura 2-1 Z = 0.824

Paso 6 .Calcular la densidad desde la ecuación 3-17

ρg = (3000)(20.23)/(0.845)(10.73)(640) = 10.46 lb/ft3 EFECTOS DE LOS COMPONENTES NONHYDROCARBON EN EL FACTOR Z Método de corrección Wichert-Aziz

γg2 2 3.6 γg

T`pc = 169.2 -349.5 Yg- 70.0 P`pc = 756.9- 131.07

γg

–

(3-25)

A continuación se efectua un ajuste a las propiedades seudo críticas usando los parámetros Wichert & Aziz: Є = 120(Y

0.9 Co2+H2S

– Y

1.6 Co2+H2S

)+ 15(Y

Co2+H2S

0.9

– Y

Co2+H2S

)

4

T`pc = Tpc - Є y la P’pc =

PpcT `pc Tpc −Y H 2 S (1 −Y H 2 S )ε

P

Ppr = P`pc T

Tpr = T ´ pc Posteriormente con los valores anteriores se determinará el valor de z

33


Método de corrección Carr-Kobayasi-Burrows

γH2S-250 γN2 +600 γH2S -170 YN2

T`pc = Tpc -80 Yco2+130 P`pc = Ppc+440

γCO2

(3-25) (3-26)

COMPRESIBILDAD DE LOS GASES NATURALES Por definición la compresibilidad del gas es el cambio de volumen por unidad de volumen debido a un cambio unitario de la presión, expresada matemáticamente:

(1/psia)………….

Cg = -1/V [dV/dp]

(3 - 22)

1 dV 

Cg = −V  dp   T Desde la ecuación de estado de los gases reales V= nRTz/p diferenciando esta ecuación con respecto a la presión si la temperatura es constante tenemos: {dV/dp}T= nRT {1/p(dz/dp)T-z/p2} en la ecuación 3-22 sustituyendo se generaliza la siguiente relación cg= 1/p*1/z*{dz/dp}T Para el gas ideal, z=1 y [dz/dp]T=0 cg= 1/p……………………..(3 - 23) FACTOR VOLUMETRICO DEL GAS El factor volumétrico Bg, relaciona el volumen del gas en condiciones en el yacimiento con el volumen del mismo en la superficie, a @ normales, Psc y Tsc Cuando Psc es 14.7 y Tsc es 60°F Bg = 0.02827 zT/p Bg = 0.00504 zT/p Bg = 35.35 zT/p Bg = 198.4zT/p

(ft3/PCS) (bbl/PCS) (PCS/ft3) (PCS/bbl)

34


El reciproco al Bg se denomina como el factor de expansión y esta designado con el símbolo Eg donde: Eg = 35.37 p/zT

(scf/ft3)………………. (3 - 24)

VISCOSIDAD DEL GAS (μg) La viscosidad del gas depende de la temperatura, presión y composición del gas. Se mide en laboratorio ya se puede estimar con bastante precisión con los gráficos y correlaciones de Lee y Carr, Kobayasi y Burrow. µ = k exp( xρy ) k =

[0.00094

]

+( 2 x10 −6 T 1.5

( 209 +19 M g +T )

donde μg = viscosidad del gas. cp ρ=

pM g zRT

X = 3.5 +

y

= 0.00149406

pMg exp( xρ y ) zT

986 + 0.01Mg T

Y = 2.4 - 0.2X

donde: p = presion, psia T = temperatura,ºR Mg= peso molecular del gas, 28.97*γg Es aplicable esta correlación de Lee, para los siguientes rangos: 100 psia< p < 8,000 psia 100ºF < ºF < 340º F 0.9 mol%< CO2 < 3.2 mol% 0.0 mol% < N2 < 4.8 mol

CAPITULO N°4 35


Desarrollo de la Ecuación fundamental de flujo En el desarrollo de la ecuación fundamental del Flujo del fluido en una sola fase, ciertas suposiciones deben ser hechas. Estas suposiciones, las cuales están nombradas aquí, deben estar en la mente cuando se este aplicando las soluciones que son desarrolladas. 1. 2. 3. 4.

El Flujo es de una sola fase. La ley de Darcy es valida, cuando se emplea en el flujo laminar La permeabilidad del Reservorio k es constante La porosidad del Reservorio Φ, es permitida con cambios de presión pero es constante respecto a su posición. 5. La viscosidad del fluido μ y la compresibilidad del fluido c son constantes 6. El fluido es ligeramente compresible. La suposiciones 5 y 6 son aproximadamente correctas para petróleo y el agua bajo condiciones isotérmicas. Son también razonables para elevadas presiones de los gases (estas presiones mayores a 3000 Psia). Incluso también las propiedades del fluido μ y c hacen, de hecho varíen con la presión, las variaciones son razonablemente lineales hasta un rango moderado de presión; por consiguiente valores aproximados de μ y c pueden ser usados. Para bajas presiones de los gases, la suposición de constantes lineales de compresibilidad no son validas, pero estas puede ser manipuladas por el concepto de Pseudo presión, la cual es discutida a detalle en Ref. 1. Las lejanas implicaciones de la suposición 6 serán discutidas después en esta sección. Del balance de materia. Podemos fácilmente ver que para la transición del flujo de una fase esta gobernada por: 1 ∂( rρv) − ∂(φ ρ) = …………………………………………….(4.1) r ∂r ∂t

La velocidad, v, puede ser relacionada con la presión a través de la Ley de Darcy v =−

k ∂p ………………………………………………………..(4.2) µ ∂r

Sustituyendo Eq 6.2 en Eq 6.1 tenemos

36


1 ∂ k ∂p  ∂(φρ )  rρ = …………………………………(4.3)  r ∂r  µ ∂r  ∂t 

El lado derecho de la Eq 6.3 puede ser desarrollado como ∂(φρ ) ∂ρ ∂φ =φ +ρ ………………………………………(4.4) ∂t ∂t ∂t

Se asumimos que la Porosidad varia con la constante de compresibilidad de la formación cf, y la compresibilidad de la formación es relacionada con la porosidad por cf =

1 ∂φ ……………………………………………………(4.5) φ ∂p

Aplicando la Regla de la cadena para derivadas ∂φ ∂φ ∂p ∂p = =φ c f ………………………………………….(4.6) ∂t ∂p ∂t ∂t

Substituyendo las Ecuaciones 6.4 y 6.6 en la Ecuación 6.3 tenemos 1 ∂ k ∂p  ∂ρ ∂p  rρ   = φ ∂t + ρφ c f ∂t ……………………………….(4.7) r ∂r  µ ∂ r  

Si el fluido es ligeramente compresible con una constante de compresibilidad (usando 6), la densidad ρ, puede ser aproximada por

ρ = ρ sc e c ( p − psc ) ……………………………………………………. (4.8) Donde sc = condiciones estándar o condiciones de referencia. Sustituyendo la Eq 6.8 en 6.7 tenemos k 1 ∂  ∂p  ∂p ∂p rρsc e c ( p − psc ) = φ cρsc e c ( p − psc ) + ρsc e c ( p − psc ) φ c f ……….. (4.9)   µ r ∂r  ∂r  ∂t ∂t

Desarrollando el lado izquierdo de la Eq. 4.9 tenemos k

µ

∂2 p

ρsc e c ( p − p )  sc

  ∂r

2

+

2 1 ∂p ∂p  ∂p   c ( p − p sc ) ∂p + c + ρsc e c ( p − psc )φ c f   = φ cρsc e ..(4.10) r ∂r ∂ r ∂ t ∂t    

El término ligero de densidad compresible ahora puede ser simplificado de los dos lados. Además, el tercer término en paréntesis en el lado izquierdo es omitido 37


porque este es mas pequeño que los otros términos dentro el paréntesis y esta simplificación resulta una ecuación no lineal e irresolvible. Por tanto, la Eq 4.10 se reduce a  ∂ 2 p 1 ∂p  k ∂p k ∂p = φ c1 …………………………………..(4.11)  2 +  = φ (c + c f ) r ∂r  µ ∂t µ ∂t  ∂r

La Eq 4.11 es la ecuación que resolveremos con varias condiciones de limites en las siguientes secciones.

Soluciones para Caudales constantes: Para reservorios cilíndricos

La Eq 6.11 es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, parabólica y lineal. Es decir su solución requiere de dos condiciones límites y una condición inicial. Las condiciones de límite Por lo tanto las condiciones de límite son: ∂p =0 ∂r Cuando y

q=

r = re 2π rw h k  ∂p  =a   B µ  ∂r  r =rw

La condición inicial es que la presión inicial, pi, para todo r y t es cero; i.e, p(r,0)=pi. Vemos que la solución limitada para reservorios cilíndricos los problemas solo con r = rw. Es conveniente expresar la solución en términos de las siguientes variables adimensionales pD = t Dw =

2πkh ( p i − p ) …………………………….. qBµ

(4.12)

kt

φµ ct rw2 …………………………………….. (4.13)

y reD ≡

re ……………………………………………..(4.14) rw

Estos parámetros son adimensionales para cualquier sistema de unidades consistentes, tal como el SI de unidades, donde las unidades pueden ser k = m2, h = m, p = Pa, q = m3/s, μ = Pa*s, t = segundos, r = m y ct = Pa-1. Otros sistema consistente de unidades puede ser k = ft2, h = ft, p = lbf/ft2, q = ft3/seg. μ = lbfseg/ft2, t = segundos, r = ft y ct= ft2/lbf.

38


De modo que las unidades estándar en los campos petroleros no son consistentes; por consiguiente los factores de conversión son usualmente usados en las siguientes ecuaciones. Si las unidades usadas son k = md, h = ft, p = lbf/in 2 o Psia, q = STB/D, μ = cp, t = horas, r = ft, ct = in2/lbf o Psi-1. Las ecuaciones 6.12 y 6.13 son escritas respectivamente como: pD ≡

0.007082 kh ( p i − p ) ………………………….(4.15) qB µ

t Dw ≡

0.0002637 kt φµ ct rw2 …………………………………..(4.16)

La solución de Eq 6.11 con estas condiciones de frontera esta dada solo por r = rw que reduce la complejidad y porque la presión en el fondo del pozo es un parámetro que puede ser medido. La solución, fue deducida por van Everdingen y Hurst, y es:

p D (rw , t ) = −

2( t D w − 0.25) reD2 − 1 3reD4 − 4reD4 ln reD − 2reD2 − 1

(

)

4 reD2 − 1

2

e − an t D w J 12 ( a n reD ) + 2∑ 2 2 2 n = 1 a n J 1 ( a n reD ) − J 1 ( a n ) ∞

2

[

] ......................(4.17)

Donde a = raíz de J t (a n reD )Yt ( a n ) − J 1 ( a n )Y1 (a n reD ) = 0 ………........….(4.18)

Donde Ji = es la función de primer grado de Bessel y Yi = es la función de Bessel de segundo grado. Ecuación 6.17 es molesta de manejar y tediosa para implementar; por lo tanto, Lee y van Everdingen y Hurts tabularon soluciones para esto. En consecuencia. Lee también desarrollo algunas aproximaciones que son aplicables solo bajo las siguientes condiciones. Para r2cD>>1, tDw > 25, y tDw >¼ r2cD, la ecuación 4.17 puede ser aproximada por

p D ( rw , t ) =

2t Dw 3 + ln reD − …………………………………..(4.19) 2 4 reD

39


La Ecuación 6.19 es valida porque la sumatoria de los términos de la función de Bessel comenzó siendo muy pequeña y puede ser simplificada bajos las siguientes condiciones específicas y r2eD – 1 ≈ r2eD.

p D ( rw , t ) =

2t Dw 3 + ln reD − 2 4 reD

Para 100 << tDw < r2eD, la ecuación 4.17 puede ser aproximada por p D ( rw , t ) = 0.5(ln Dw − 0.80907 )

esta aproximación solo es valida para la región de un comportamiento infinito antes de la turbulencia de la alcance el presión alcance el limite y tenga su efecto en el.

Derivación de la Condición de acción finita Si tenemos el tDw > 0.25 r2eD, A lo largo del tiempo, la ecuación 4.19 es valida cuando el pozo tiene un comportamiento de accion infinita. Entonces la aproximación se tendrá como: p D ( rw , t ) = (

2t Dw r2 eD

+ ln reD −

3 ) − [0.5(ln t Dw + 0.80907 4

)] ……. (6.21)

Entonces encontramos que la diferencia es mínima, si la derivada con respecto a tDw = 0 ∂∆p

D =

∂t Dw

2 r2 eD

−

1 =0 2t Dw

……. (6.22)

En consecuencia tDw > 0.25 r2eD que es la condición necesaria para que el pozo tenga un comportamiento de acción finita ECUACION DE LA DIFUSIVIDAD PARA EL FLUJO RADIAL 12.1 CONCEPTO LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD PARA FLUJO RADIAL 12.1. Concepto. El movimiento de hidrocarburos en medios porosos corresponde al flujo hidrodinámico bajo severas restricciones. En una arena porosa solamente una parte de los poros están interconectados; el resto puede o no contener fluidos y no es de interés en los proyectos de recuperación, a menos que se proceda a una fracturamiento hidráulico. La interconexión de los poros forman canales que se entrecruzan en forma de ramificaciones; estos canales son de tipo capilar y diámetro variable, y adoptan formas sinuosas. En función al tipo de roca porosa, diámetro y forma existen una rugosidad y fricción del fluido con las paredes de la 40


roca, lo cual ocasiona una perdida de energía y por lo general el tipo de flujo resulta ser aproximadamente laminar. El problema de establecer una ley o ecuación que representa este tipo de movimiento, resulta ser, aparentemente, muy complejo. Sin embargo, con la introducción de la ley de Darcy en la Ingeniería de yacimientos, este problema ha sido notablemente simplificado. 12.2. Desarrollo Matemático. Para este efecto, se aplica la ley de conservación de masa, con la que se planea un balance de materia, en realidad, un balance de flujo de masa que varía con el tiempo. El flujo radical es aplicable al caso de un pozo productor, siendo el eje del pozo, el eje de cilindro cuyo radio de drenaje y su altura, el espesor de la arena. Se aplica la teoría de flujo radial, considerando que las líneas de flujo convergen radicalmente hacia el eje del pozo, y asumiendo que el intervalo productor corresponde íntegramente con el espesor de la arena. En la realidad, esto es cierto: con frecuencia el pozo se balea solo un tramo de arena productora, lo que se conoce como penetración parcial. Esto crea un problema que será analizado en la parte correspondiente análisis de presiones. Otra limitación que se introducirá en la deducción de la ecuación, es la supo cisión que la movilidad K/μ del fluido permanece constante en todo el volumen de drenaje y para todo el lapso del tiempo considerado. Además, la deducción se aplicara a un fluido considerado incompresible, suposición que nos conduce a asumir que su densidad permanecerá constante. En la fig. 12.1. se ha aislado una cuña cilíndrica del volumen de roca del pozo en cuestión. Considerando un radio cualquiera r, sea ∆r el espesor de un volumen elemental de roca. el flujo del fluidos atraviesa este volumen elemental en dirección hacia el pozo. En estas circunstancias de acuerdo a la ley de conservación de masa, se puede establecer el siguiente balance:

Caudal de masa de entrada – caudal de masa de salida = masa que queda en un tiempo t Que se puede expresar analíticamente como: qρ∆ r →0 − qρr = ( 2πh∆rφ )

∆p ∆t

Trasladando ∆r al primer miembro y tomando límites se tienen:

41


( qρ ) r + ∆ r − ( qρ ) r ∆p = lim ∆t → 0 ( 2πhφ ) ∂r ∆t El primer miembro es, por definición, la deriva. Por lo tanto se tiene: q ρ∆ r → 0

∂ ∆p qρ = ( 2πh∆rφ ) ∂r ∆t

Por otra parte, la ecuación de Darcy en un pozo con fluido radical (ecuación 9.27) es: q = vA = ( 2πh∆rφ )

k ∆p

µ ∆t

Reemplazando en la ecuación (12.3): ∂ ( 2πh∆rφ) = ( 2πh∆rφ ) ∆p ∂r ∆t

Las constantes pueden salir del paréntesis y eliminarse entre si: 1 ∂ k ∂p ∂p (r ρ) = φ r ∂r µ ∂r ∂t

densidad es:

El factor de compresibilidad en funcion del volumen yo la

c =−

1 ∆v 1 ∂p = v ∆p ρ ∂p

Luego:

∂ρ = cρ∂p

O bien :

∂p ∂p ρ = cρ ∂t ∂t

Reemplazando en la ecuación (12.4):

1 ∂ k ∂p ∂p ( rρ ) =φ c r ∂r µ ∂r ∂t

Esta es la ecuación de continuidad.

12.2.1. Linearizacion A fin de facilitar la solución de la ecuación (12.5), es preciso reducirla a una forma lineal. Desarrollando las derivadas, se tiene para el primer miembro:

42

Ing.Freedy Reynolds P. Reservorios II    k    ∂      1 k ∂2 p 1 ∂p  ∂p  ∂p  k ∂r  µ   = r(ρ + + ρ + r   r r ∂r 2 r ∂r  ∂r  ∂r  µ ∂r ∂r         

1 k ∂  ∂p  ∂p ∂  ( k )  r( ρ  + ρ r  =  r  r ∂r  ∂r  ∂r ∂r  r 

   k    ∂  2  µ   1 k ∂ p ∂p ∂p  k   ∂p     =ϕcρ ∂p   r(ρ + c ρ + ρ r    r r ∂r 2 ∂r ∂r  ∂r  ∂r  ∂r   µ          

(

∂p 2 ) cρ Simplificando este término que es despreciable frente a los ∂p

demás; la movilidad k/μ puede considerarse como constante. Por tanto, la ecuación (12.6) se reduce a:

 ∂2 p 1  ∂p  ϕµρ∂p ( 2 ) +   = r  ∂r  k ∂r  ∂r

que es la ecuación de la difusividad o continuidad linearizada 12.3. Soluciones para un yacimiento infinito Condiciones iniciales y de frontera: Para establecer los valores iniciales y de frontera, recuérdese que en condiciones iniciales, en cualquier punto del reservorio la presión es la misma y su valor es igual a la presión inicial u original; por otra parte, en cualquier momento después de haber producido el reservorio, para un punto muy alejado del pozo, es posible hallar una presión muy cercana a la original; finalmente, se asume que el flujo en el reservorio es flujo darcico. En resumen, las condiciones son las siguientes:

1) p = pi para cualquiera r , cuando t = 0 2) p = pi para cualquier t, cuando r  ∞ 3).- lim ∆t →0

∂p = ( 2πhφ ) ∂r

La ecuación (12.7) puede escribirse de la siguiente forma:

43


1 ∂  k ∂p  ϕµc ∂( ρ) r  = k r ∂r  ∂t  µ ∂r 

Boltzman introdujo un artificio para simplificar la solución de la ecuación que tiene semejanza con el tiempo adimensional, conocida como la transformación de Boltzman: ϕµc ∂p γ= ∂t

k

La primera derivada de esta transformación con respecto al radio será: ∂γ ϕµcr = ∂r 2kt

Y respecto al tiempo: ∂γ ϕ µcr 2 = ∂t 4kt 2

Aplicando la propiedad matemática de las diferenciales, la ecuación (12.11) puede escribirse como: 1 ∂  dp ∂y  ∂y ϕµc ∂( y ) dp r   ∂r = k r ∂y  dy ∂ r ∂t dy  

Reemplazando las expresiones (12.13) y (12.14) en (12.15) se tiene:… 1 ϕµcr ∂  dp ∂y  ∂y ϕµc dp ϕµcr 2   r = −  r 2kt ∂y  k dy 4kt 2  dy ∂r  ∂r

Modificando y transformando: ∂  dp y ∂y   dy

 ∂y dp   ∂r = −y dy 

Que es lo mismo que:  d2p  y 2  dy

 ∂y dp  + = −y dy  ∂y

Factorizando tenemos:  d ´2 p  y 2  dy

 dp ´  − (1 + y ) =´0 dy 

Haciendo un cambio de variable p´= dp/dy, la ecuación anterior quedara como:

44


 d ´2 p  y 2  dy

  1 − y  ´,  −   p =´0   y 

Separando variables e integrando se tiene: Ln p´ = - ln y + C1 Tomando antilogaritmos: P´= C2 + e-(y/Y) Aplicando la condición © y la transformación de Boltzmann: lim r→0r

 qµ ∂p = −  2πkh ∂r 

 dp ∂y   = r dy ∂r 

O sea: lim y

→0

2y

 qµ dp = −  2πkh dr 

   

Reemplazando en (12.17):  1 qµ  e−y   = C 2  y 2πkh  y  

Aplicando el límite cuando y-> 0:  qµ  C2 =    4πkh  Reemplazando en la ecuación (12.17), separando variables y volviendo a integra, se tiene:  qµ e − y    dp = dx ∫p  4πkh ∫ y   ∞  i Nótese que los límites de la integración del primer miembro van desde la presión inicial, hasta una presión y un tiempo y un radio cualquiera; correspondiente, los límites de la variable (de Boltzmann) de acuerdo a los valores iniciales y de frontera más usual, como sigue: p

p ( r , t ) = pi −

 qµ  1 − Ei (− x ) 2πkh  2 

Donde el factor Ei(x) es considerado como la integral exponencial que se representa a: ∞ y e−

∫

y

dy

=− E i

(−x )

x

Donde:

45

Ing.Freedy Reynolds P. Reservorios II  2  ϕµcr w x =  4kt 

    

Es el argumento de la integral exponencial. En unidades de campo:  2 µcr w  948 ϕ x = 4kt  

    

La función (12.19) puede ser aproximada mediante el desarrollo de la serie de Taylor, con el siguiente resultado: Ei(-x)= ln/1.781x)-x+

x x 3 x 4 − + − 2*2¡ 3*3¡ 4*4¡

i x .......... *¡ i i

En los siguientes capítulos se tratara con más detalle esta solución, aplicada de presiones. 12.4. Flujo en el reservorio Los fluidos que se mueven en el reservorio pueden seguir diferentes patrones de flujo dependiendo del complejo sistema de propiedades, características, naturaleza, entorno heterogeneidad etc. de la roca y los fluidos. Por ejemplo, la heterogeneidad puede causar que un mismo reservorio, un mismo fluido se comporte con tipos diferentes de flujo en diferentes posiciones del reservorio. Para fines de simplificación del problema generalmente se conviene en asumir condiciones y comportamientos ideales. De acuerdo a esto, el flujo puede ser ocurrir de dos maneras: flujo estacionario y fluido semi- estacionario. Utilizando una expresión básica de balance de masa es posible lograr una mejor definición de los conceptos. 12.4.1. Fluidos estacionarios (steady state). En este Caso el balance de masa puede escribirse como: Caudal de masa que ingresa = caudal de masa que sale La acumulación es cero. Matemáticamente se puede expresar como: Para todos los valores de x y t El sistema responde a cambios de presión o caudal de flujo, en cualquier parte del sistema de modo instantáneo. La instrucción de agua, o una inyección tal que el caudal de inundación coincida con el caudal de inyección, seria flujo estacionario.

12.4.2. Flujo semi( o seudo) – estacionario.(estacionario) 46


Suponiendo por ejemplo que un pozo este produciendo a un caudal constante, el flujo semi – estacionario estaría indicado por: Para todos los valores de xyz Esto quiere decir que la variación de la presión con el tiempo es constante cualquier lugar del reservorio y no se siente el efecto de límite de reservorio.

en

12.4.3. Condición transciente. bajo las condiciones de flujo transciente, la variación de la expresión Expresión que indica que la presión, para este caso, depende de la posición y el tiempo no es ya una relación simple, sino es compleja, a saber: Esta característica es muy importante en el análisis de presión, por que permite estudiar la respuesta que da el reservorio en forma de presiones. Estas respuestas se las llamo comúnmente transigentes de presión. Las transigentes de presión se originan como respuesta a cualquier perturbación ocasionada en el yacimiento: la perturbación puede ser, por ejemplo, una variación en el caudal de flujo. La respuesta de la presión es registrada por un medidor de una adecuada sensibilidad y el análisis se efectúa en base a una teoría fisicomatemática, dando como resultado un conocimiento indirecto del reservorio y sus propiedades.

EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICION 13.1. La ecuación de continuidad para flujo radical En el capitulo anterior se dedujo esta ecuación en realidad expresa el flujo hidrodinámico en un medio poroso, la cual después de haber sido reducida a su forma lineal presenta la siguiente forma:  ∂2 p 1  ∂p  ϕµρ∂p ( 2 ) +   = r  ∂r  k ∂t  ∂r

Dependiendo de las condiciones iniciales y de frontera, puede resolverse por métodos matemáticos ordinarios. De acuerdo con esto, se tiene los siguientes tres casos: •

Yacimiento infinito 47


Yacimiento circular limitado Yacimiento con presión externa constante

• •

13.2. Yacimiento infinito Este caso asume un pozo en el centro de un yacimiento. Se asume además que el pozo produce a caudal constante que el pozo tiene radio cero lo que implica un radio despreciable frente al radio equivalente del yacimiento, que el reservorio tiene una presión uniforme p y que el pozo drena un área infinita. En consecuencia los valores iniciales y de frontera son: 1) p = pi para cualquiera r, cuando t = 0 2) p = pi para cualquiera t, cuando r > ∞ ∂p  qµ  = −  cuando t > 0 3) lim ∆t →0 r ∂r  2πkh  la solucione es: qµ  1  ϕµr 2   p ( r , t ) = pi − − Ei  − 2πhϕ  2  5kt  Donde: ∞

Ei ( −x ) = ∫

x

e −u u

que es la llamada integral exponencial: Esta integral puede ser evaluada numéricamente, desarrollando la función con la serie de Taylor, del siguiente modo: Ei (−x) = ln(1.781 − x +

o bien: Ei ( −x )= ln(1.781 +

x2 x3 xi − + .......... + 2 * 2 ↓ 3*3 ↓ i *i ↓

( −x )

∑i *i ↓

13.3. Yacimiento circular limitado. Los valores iniciales y de frontera son los siguientes: 1) p = pi para cualquiera r, cuando t = 0 2)

 k ∂p  qµ   r µ ∂r   = 2πkh  rw

3) (

∂p )r = 0 ∂r e

para t > 0

para cualquier valor de t

48


Este problema fue resuelto por diferentes fue resuelto por diferentes autores. La solución de Hurst y van Everdigen que utiliza la transformación de Laplace es la más conocida y se presenta a continuación: 2  reD2 ln reD 3reD4 − 4reD4 − 2reD2 − 1 qµ  2  reD  p( r , t ) = pi − − + t wD  − 2 − −  2πhk  reD − 1  4 4(reD2 − 1) 2  reD − 1 

Donde los valores de α = 0 son la raíces de la ecuación:

[

]

e − α ntwD J I2 ( α nreD) J I ( α n ) Y0 ( α n rD ) − Y1 ( α n reD ) Y1 ( α n ) J I ( α n rD ) +π∑ = α n ( J I2 (α n reD ) ) − jI2 ( α n ) n =1 ∞

2

[

]

En esta ecuación J1 es la función de Bessel de primera especie y orden 1 y Y1 función de Bessel de segunda especie y orden 1. 13.4 Yacimientos de Presión Externa Constante .a).- La presión se mantiene constante en el limite del área de drenaje, p.e., en yacimientos con empuje por agua o en proyectos de inyección de fluidos. Estos se detectan por lo general con pruebas normas de flujo; sin embargo para su análisis pueden requerirse pruebas especiales tales como pruebas de fluencia (drawdown) de larga duración. En dichas pruebas, el reservorio de presión externa constante año Alcanzara el estado estacionario, el fluido que fluye del pozo será reemplazado al mismo caudal por el fluido que fluye cruzando los limites del área de drenaje y la presión en la frontera permanecerá constante. b).- No hay flujo fuera del área de drenaje, el flujo debido a la existencia de barrearas impermeables en el limite del área de drenaje, discontinuidades tales como fallas o acuñamientos (pinch – out). La distancia a esas discontinuidades pueden ser calculadas con las pruebas de presión., pero tales efectos solo se muestran durante tiempos largos. En este tipo de reservorios a diferencia del anterior caso, el flujo estable nunca es alcanzado debido a que el fluido que fluye del pozo no es reemplazado; sin embargo se puede alcanzar lo que se llama el estado seudo-estacionario caracterizado por los cambios de presión cuando el tiempo es constante. El tiempo necesario para alcanzar este estado seudo-estacionario depende de la geometría del reservorio.

Condiciones iniciales y de frontera 1).- p= pi = Pe cuando t =0 para cualquier r 49


qµ

 k ∂p 

2).-   r µ ∂r   = 2πkh  r

para t > 0

w

3).- p(r,t) = pi para cualquier valor de t La solución también se la obtiene aplicando la transformación de Laplace

qµ e J (β ) p(r,t) = p − { rl − n2∑ = 2π k h β J ( β n) − J ( α r )

− β n2 t w 2D 0 nreD eD 2 2 2 n= 1 n n 0 ne D ∞

Donde Вn es la raíz de la ecuación: J I ( βn )Y0 ( βI reD ) −YI ( βn ) J 0 ( βn reD )

Esta interesante particularidad será analizada un poco mas adelante. 13.5 PRINCIPIO DE SUPERPOSICION En las anteriores consideraciones se asumió que los caudales son constantes. Sin embargo, este es un caso ideal, normalmente se tiene un caudal variable y por lo tanto, es necesario establecer las ecuaciones tomando en cuenta el caudal variable o múltiple. El principio de superposición es un método matemático que la readecuación de las ecuaciones para caudal múltiple partiendo de la correspondiente a caudal constante. Supóngase que se tiene un pozo produciendo a un caudal q1, constante durante un tiempo determinada t1. (Fig.13.12), lo cual produce una caída de presión como se muestra en la parte inferior de la grafica, que se puede llamar ∆p1. Supóngase ahora que se modifica este caudal a q2, la diferencia de caudales q1 –q2 provocara una nueva caída de presión que se nota ∆p2. Para tener la caída total se sumara los ∆p1+ ∆p2 o en otras palabras se superpondrá ∆p1 a ∆p2. El principio de superposición aplicado a la caída de presiones se puede resumir de la siguiente manera;

50


Sumatoria de caídas parciales de presión = caída total de presión. Se puede anotar que se puede tener una caída de presión en función del tiempo adimensional y se lo puede representar como: Es posible aplicar el principio de superposición a esta ecuación. qµ ∆p ( t ) = ∆pD ( t ) 2πkh Si tenemos un tiempo variable t. Para 0
(q − q )µ qµ ∆p D ( t ) + 2 1 ∆p D ( t − t 2 ) 2πkh 2πkh Si ahora se considera otro rango de variación para el tiempo t, tal que t1
Fig. 13.3 Haciendo un a tercera consideración que el tiempo varía por el lapso que dura el tercer caudal, que es t2
51

∆p ( t ) =

(q − q )µ (q − q )µ qµ ∆pD ( t ) + 2 1 ∆pD ( t − t1 ) + 3 2 ∆pD ( t − t 2 ) 2πkh 2πkh 2πkh


Examinando estos elementos se puede ver que cada nuevo término sigue una determinada ley de formación y por lo tanto es posible hacer extensiva para un acaso general de n caudales diferentes, obteniéndose la siguiente relación:

∆p ( t ) =

(q − q )µ ( q − q2 ) µ ∆p ( t − t ) + ........ + ( qn − qn −1 ) µ ∆p ( t − t ) qµ ∆pD ( t ) + 2 1 ∆pD ( t − t1 ) + 3 D 2 D n −1 2πkh 2πkh 2πkh 2πkh

Con la finalidad de simplificar la expresión anterior y utilizando la sumatoria tendremos: n ( qi − qi−1 ) µ ∆p ( t − t )} qµ {∆pD ( t ) + ∑ D i −1 2πkh 2πkh i =1 Será esta es la ecuación general de la superposición.

∆p( t ) =

Si las variaciones de caudal y tiempo son infinitesimales, o en otras palabras las variaciones se presentan en forma de una curva continua, la ecuación anterior se expresa como: ∆p ( t ) =

qµ I {∆pD ( t ) + 2πkh qI

t

∫ 0

dq (τ ) ∆pD ( t − ti −1 ) dτ } dτ

Generalmente se denotara con ∆t la duración del tiempo de cierre. Durante este periodo de cierre, la presión tiende a recuperar su valor inicial; este efecto se llama restitución (buildup). El valor final de la variable t será el siguiente: t = tn +1 + ∆t

Aplicando la ecuación de superposición considerado el último periodo de cierre (q =0) resulta: ∆p ( t ) =

qµ I {∆pD ( t ) + 2πkh qI

n −1

∑ i =2

qi − qi −1 ∆pD ( tn −i + ∆t − ti −1 )} qI

13.6 LA ECUACION EN UNIDADES DE CAMPO Para las aplicaciones practicas es conveniente adoptar superposición a las unidades de campo (ln = 2.3 log) 52

la ecuación de la


La solución para un yacimiento infinito es: qµ  1  ϕµcr 2   p (r , t ) = pi − − Ei  − 2πkh  2  4kt    La misma ecuación en unidades de campo tendrá la siguiente forma p (r , t ) = pi −

70 * qµ   948 ϕ µcr 2   Ei  − 2πkh   4kt 

Cuando el argumentote l la integral exponencial es pequeño, p.e., si en Ei (-x) se tiene un argumento x< 0.01, la aproximación de Ei≈- ln (γx) es valida y matemáticamente esto es demostrable. En esta ultima expresión, y es la constante de Euler, definida como:

 n  1  1  1 1  γ = lim k → ∞pi  ∑  −  − ln( n )  = limk →∞ 1 + + + ..... + ln( n )  k  2 3   k =1  k   Por lo tanto, si  ϕµcr 2      < 0.01 

kt



Entonces la ecuación (12.8) toma la forma: p ( r , t ) = pi −

qµ 4πkh

  γ ϕµ cr 2    ln      4kt 

O expresada de otro modo: p (r , t ) = pi −

   qµ   kt  ln −0.80907  2 4π kh   ϕ  µ c r    

    

CAPITULO N°5 ANALISIS DE LA CURVA DE DECLINACION

53


14.1 INTRODUCCIÓN... El análisis de la curva de declinación ha sido el mayormente usado método ampliamente más usado en el pronóstico futuro de la producción tanto para campos de gas como de oil en consecuencia toda vez que Arps en 1945 formalizo esta técnica. Estas tres tipos de curvas de declinación: exponencial, harmónica y hiperbólica. En la actualidad las curvas de declinación exponencial y harmónica son un subconjunto particular de la declinación hiperbólica; en consecuencia Realmente existe un tipo parámetro general de la curva de declinación con tres parámetro (qi, d y n) esto tendrá que ser determinado con los datos medidos. Cuando n = 0 (o también h = ∞), la declinación es exponencial; Y cuando el valor de n = 1 (o h = 1), la declinación es harmónica. Mientras la n usualmente es entre 0 y 1, los casos donde n > 1 ha sido reportada. Aprecia de n < 0 no han sido reportados; Sin embargo, no hay razón esto de que no podría ocurrir. Nosotros hemos observado a los exponentes negativos, que salta a la vista en un ejemplo en este capítulo y explicamos 14.2 REVISION HISTORICA. Arnold y Andersen fueron los primeros en demostrar matemáticamente la aproximación de las curvas de declinación. Los tres métodos de fueron derivadas desde la Eq. diferencial para el caudal normalizado, d.

dq n d =− dt = Kq= Kq q

1 h

...........(14.1)

Donde los dos exponentes de declinación, n y h, serán observados como (note que n = 1 / h) y k = constante de proporcionalidad. En el siguiente las tres ecuaciones de declinación, di = caudal de declinación inicial. 1° Declinación exponencial n =0 o h = ∞ 54


t qt = qi e − di.......................(14.2)

Y la producción acumulada será:

qi − qt Qp = di

.

........................(14.3)

2° Declinación hiperbólica, para todos los valores de n = 0 aparte de n = 1 o h < 1.

qt =

qi

qi

= h dit   1 +  h  

1+[ nd ti

]

n

1/

...........(14.4)


Qp =

q in

q ( ( 1 − n) d

1− n

i

i

− qt1− n )

 h −1    hh−1       h  Qp = − qt  qi    ( h − 1) di  

hq in

...........(14.5)

3° Declinación harmonica, para n = 1 o h = 1.

qi qt = ( 1 + [ di t ] )

...........(14.6)

55



qi  qi  Qp = ln   d i  qt 

...........(14.7)

14.3 ESTIMACION DE LOS PARÁMETROS PARA LA DECLINACIÓN EXPONENCIAL Si n = 0 la declinación es exponencial, este el método mas ampliamente usado entre los tres metodos.primeramente porque es fácil la determinación de los parámetros y se obtiene estimaciones bastante conservativas de las futuras reservas a parte de los parámetros p. e, en 6.5 y la Fig. 6.6 se observa la declinación e un pozo productor con una presión de fondo fluyente constante de acción finita en un reservorio cilíndrico homogéneo el cual es aproximadamente exponencial. Si asumimos que n = 0 únicamente los dos parámetros qi y d, tendrán que necesariamente ser determinados. Tomaremos el log n en ambos lados de la relación exponencial caudal/tiempo (Eq. 14.2 – di log e) se obtiene

ln qt = ln qi

−di t

...........(14.8)

En consecuencia, el ploteo de ln qi versus t se tiene una línea recta con una m = -di y b = ln qi. Si es mas conveniente el ploteo log qi versus t, entonces m = - di log e y b = log qi 14.3 ESTIMACION DE LOS PARÁMETROS PARA LA DECLINACIÓN HARMONICA 56


Si n = 1 la declinación es harmonica, este el método muy común, pero no es sencillo, este método de declinación. Ampliamente. Puede ser usado si el plot del log qt versus Qp es linear. Esto viene de la Eq. 14.7 la cual se la reordena será como:

ln qt = ln qi −

di Qp

qi

...........(14.9)

En consecuencia, la grafica de ln qt versus Qp se obtendrá una línea recta con una m= -di/qi y b = ln qi, Si es mas conveniente el ploteo log qt versus Qp, entonces m = -di/qi log e y b= ln qi. La declinación harmónica es también lineal con la inversa de del caudal versus el tiempo. Esto viene de la Eq. 14.6 la cual se la reordena será como:

d 1/ qt = 1/ qi −  i  t  qi 

...........(14.10)

Aquí, el plot de 1/qt vs. T se obtendrá una línea recta donde m = di / qi y b = 1 / qi. 14.5 GRAFICACION DE LA PRODUCCION En la sección previa se discutieron o analizaron 4 tipos de gráficos para el analizar y diagnosticar la declinación de la producción. Si alguno de esos ploteos serán lineales, con una pendiente, m, y una intercepción, b, podrán ser usadas como se describió previamente para la determinación de di y qi. En esta es la sección resumen los plots y discute sus relativos méritos:

57


1° El de plot log qi vs.t es lineal si la declinación es exponencial y cóncava hacia arriba si la declinación es hiperbólica (n> 0) o harmónica (n=1))

2° El plot log qi vs.Qp es lineal si la declinación es exponencial y cóncava hacia arriba si la declinación es hiperbólica (n> 0) o harmónica (n=1)) 3° El plot log qi vs.Qp es lineal si la declinación es harmónica y cóncava hacia abajo si la declinación es hiperbólica (n< 1) o exponencial (n=0) y cóncava hacia arriba si la declinación es hiperbólica con n > 1. 4° El plot log 1 / qi vs. t es lineal si la declinación es harmónica y cóncava hacia arriba si la declinación es hiperbólica (n< 1) o exponencial (n=0) y cóncava hacia arriba si la declinación es hiperbólica con n > 1. Los ploteos 1° y 3° son los métodos mas comunes en la presentación de los datos de producción y los plots 2° y 4° pueden ser usados para evitar la confusión de las tendencias observadas de estos. 14.6 DECLINACIÓN HARMONICA 14.7 DETERNIMACION DE LOS PARÁMETROS DE LA CURVA DE DECLINACIÓN HIPERBOLICA USANDO LA REGRESION LINEAL. Muchos métodos fueron propuestos para la determinación de los parámetros de la curva de declinación hiperbólica. Algunos tediosos, subjetivos e inconsistentes. Un análisis racional de los métodos aquí propuestos tienen dos componentes (1) obtiene el parámetro para ser ploteado con la Eq. gobernante fundamental del análisis de la declinación hiperbólica y el uso (2) para determinar los parámetros de declinación usando el 58


máximo del coeficiente de la regresión que indica la mejor de línea recta ajustada con las Eq. 14.4 y 14.5 que son las ecuaciones fundamentales de la declinación hiperbólica .Towler y Bansal propusieron dos métodos para la estimación de los parámetros que se utilizan en estas dos ecuaciones.

14.7.1 METODO N°1 El método N° 1 esta basado en la Eq. 14.4 e involucra los siguientes pasos: 1° Asume un valor para ndi. 2° Plotea log qi vs. Log (1+ndit) 3° Si la línea no es recta (o los coeficientes de regresión no son máximos), se vuelve al paso 1° 4°Si la línea de la regresión es lineal y si los coeficientes de la regresión son máximos, m= - 1/n y b = log qi. Entonces, di, se puede determinar desde di = ndi (desde el ndi, valor obtenido en el paso 1° divido entre n)

14.7.1 METODO N°2 El método N° 2 esta basado en la Eq. 14.5 e involucra los siguientes pasos: 1° Asumir un valor para n. 2° Plotear log

qt1− n

vs. Qp (en una escala lineal)

3° Si la línea no es recta (o los coeficientes de regresión no son máximos), se vuelve al paso 1°

59


4°Si la línea de la regresión es lineal y si los coeficientes de la regresión son máximos, m= b =

m = −( 1 − n) di / qnt

n qt1− n . di = −( bqi ) / ( 1 −d)i

y

,

o entonces donde n es el valor asumido en el paso 1°. 14.8 APLICACIONES Los métodos iterativos describen tempranamente para encontrar los tres parámetros desconocidos de la declinación hiperbólica serán usados. Es rápidamente obtenida la mejor línea de ajuste cuando los coeficientes son los máximos. El coeficiente de la regresión al cuadrado esta definida como:

S SE R =1− S ST 2

...........(14.11)

Donde SSE = Es la suma de los errores al cuadrado en la determinación de la línea recta n

(

S ST = ∑ yi − y i =1

)

2

...........(14.12)

Y SST = Es la suma de los cuadrados del total de la desviación promedio de la determinación de la línea recta

n

S SE =....... ∑ ( yi − b − mxi ) i =1

60

2

....(14.13)


Para cualquier mejor ajuste de la línea, el valor del rango de R2 se amplia hasta 1. R2=1 indicando un ajuste perfecto para los datos. Walpole y Meyers proveen más detalles de los coeficientes de regresión. La Tabla 14.1 resumieron los resultados de todos los seis ejemplos que se tienen elaborados: 14.9 ANALISIS DE LA CURVA DE DECLINACIÓN HIPERBOLICA USANDO LA REGRESION LINEAL EN UN SPREADSHEET. 14.9.1 METODO DE LA REGRESION LINEAL 1° Desde los datos experimentales, crear la hoja de cálculo con una columna del caudal de producción, qi, y otra columna con el tiempo de producción. 2° Crear una nueva columna para los ajustes del qi desde el comienzo en el punto del periodo del tiempo del periodo de acción infinita Cuando las caudales de producción de aceite declinan sostenidamente. En algunas veces de ayuda el plotear los datos en el Paso 1 para determinar este punto mas alto, en especial para un conjunto de datos tan grande, el tiempo cuando el pozo o el depósito se convierten en acción finita puede ser determinada con las Eq 6.21 y 6.22. Todos los demás pasos dependen de los valores de qt de esta columna. 3° Coloque la columna del tiempo, t, a continuación de qt. 4° Establezca celdas para el exponente hiperbolico, n, el caudal inicial de declinación, di, y el caudal inicial de producción de petroleo, qi. Llenando estas celdas de una suposición inicial de 0.5 para n, d puede ser estimada con la Eq. 14.1 y qi el valor mas alto de qt. 5° Establezca una celda para calcular el caudal promedio de la producción de petróleo, q, desde la qt.

61


6° Establezca una columna conteniendo el ajuste de producción de la curva de la ecuación de la declinación hiperbólica, qt’. 7° Establezca una celda para calcular los errores al cuadrado desde (qt – q’t)2 8° Establezca una columna para la suma de los errores al cuadrado, SSE del Paso 7. 9° Establezca una columna para la suma total de los errores al cuadrado desde (qt – q’t)2

10° Establezca una columna para la suma de total los errores al cuadrado, SST del Paso 9. 11° Establezca una celda para calcular el coeficiente de regresión al cuadrado, R2, como R2 0 1- SSE/ SST. 12° Iniciando con el solver para optimizar el contenido de las celdas que contienen a n, di, y qi maximizando a la célula que contiene a R2. Towler y Bansal recomiendan que el solver sea corrido más de una vez para asegurar que ese R2 sea maximizado. 14.10 OTRAS APLICACIONES 14.11 UTILIZACION DE LAS FORMULAS DE DECLINACION Determinar la producción anual para el futuro pronosticó, por ejemplo, el peligro insospechado de calcular la tasa en algún punto luego multiplicando por 365 obtener la producción anual debería ser evitado. Esto está equivocado porque la tasa cambia a todo lo largo del año. Uno podría calcular la producción acumulativa a principios del ejercicio y otra vez a finales del año sustraiga lo dos para obtener la producción anual. Sin embargo, esto puede hacerse en un

62


paso derivando las siguientes ecuaciones para darán la producción acumulativa entre dos lapsos de tiempo, t1 y t2 Para la declinación hiperbólica

Qp 2 − Q p1=

q in q− − q 1t 1−n t 2 ( ( 1 − n )d i

−1 1

n

)

...(14.14)

Para la declinación exponencial

Qp 2 −Q p1 =

q........................(14.15) t 1 − qt 2 di

Para la declinación harmónica

  qt1 q ............ Qp 2 − Q p1= ln t1  di q t 2

....(14.16)

Otro grupo útiles de fórmulas de hace cálculos el tiempo para cada uno que una cierta tasa de producción una vez que los parámetros de disminución es determinada. Lo siguiente es las fórmulas del tiempo Para la declinación exponencial (n = 0), el tiempo será

.  1  qi ........ t = ln   di  qt 

……….......(14.17)

Y para la declinación hiperbólica (n < 1), el tiempo será:

63


1 t= nd i

 q  n  i − q t 

 1 

...........(14.18)

Para la declinación harmónica (n = 1), el tiempo será

t =

1  qi  −   di  q t   

1

...........(14.19)

Es también importante a ser capaz de calcular la tasa de declinación en cualquier Tiempo, t. Esto puede ser usado a convertir los pozos que iniciaron su producción en momentos diferentes para la misma base de tiempo. La fórmula también puede usarse para calcular la tasa de declinación de todos los días, meses o cada año. De la ecuación 14.1 el caudal de declinación para cualquier t Tiempo está dados por:

 q d t =i qt 

n

...........(14.20)

La Eq. 14.20 se aplica para cualquier valor de n. Note, sin embargo, que la tasa de declinación permanece constante cuándo n = 0, mientras que la declinación disminuye con el tiempo para cuando va tiendo valores de n > 0.

CAPITULO N°5 64


LAS ECUACIONES GENERALES DEL BALANCE DE MATERIA RESERVORIOS DE GAS NATURAL Para reservorios de gas seco sin influjo de agua y sin producción de agua la ecuación se expresa en términos del volumen poral. Gruí = (G – Gp)* Bg

(5 – 1)

Donde: Gruí = Gas libre in situ, MSCF Bgi = Factor volumétrico inicial, RVB/MSCF Gp = Producción acumulada de gas, MSCF Bg = Factor volumétrico de gas, RVB/MSCF La cantidad actual del gas seco es (G – Gp) Expresada en MSCF. La ecuación (5 – 1) se lo reordena y se lo resuelve como una funcion del factor volumétrico de gas de formación: Bg = G*Bgi / (G – Gp)

(5 – 2)

La reciproca de ambos lados será:

y reordenando

1/ Bg = (G – Gp)/ G* Bgi

(5 – 2)

1/ Bg = (1/ Bgi) – {Gp / (G – Gp)}

(5 – 4)

Usando la definición del factor volumetrico del gas Bg = 5.035 zT/p

(5 – 5)

p/ (5.635 z T) = {pi/ (5.635 zi Ti)} - {(Gp pi)/ (5.635 zi Ti G)} (5 – 6) Asumiendo que el reservorio es isotérmico (T = Ti) lados por (5.635 T). p/z = pi / zi - {p i/ zi G}

65

y multiplicando ambos

(5 – 7)


Esta relación ahora puede ser reordenada como una ecuación de la línea recta de la forma (y = mx +a), donde: P/z = {- pi / zi G} Gp + pi / zi (5 – 8) Cuando el acuífero reemplaza a las fuerzas del empuje. La ecuación del MBE será: GBgi = (G – Gp) Bg

+ We

(5 – 9)

Donde: We = influjo de agua acumulada, RVB. La producción acumulada del influjo de agua en muchos casos es denominada como agua de invasión y se lo expresa normalmente en barriles y se lo puede medir en superficie. Después de haberse producido el gas del reservorio el balance de materia se modificara de la siguiente manera: GBgi = (G – Gp) *Bg

+ We - Wp*Bw

(5 – 10)

Donde Wp = producción acumulada de agua, STB Bw = factor volumetrico del agua de formación, RVB/STB.

GBgi = (G – Gp) Bg + {GBgi/ (1 –Sw)} Cf (Pi –P) + {GBgi/ (1 –Sw)} Cw (Pi –P) (5 – 11) Donde: Sw = saturación de agua, fracción Cf = compresibidad de la formación, 1/psi Pi = presión inicial, psia P = presión corriente, psia Cw = compresilidad de agua, 1/ psi Reservorios de gas volumétricos y asumiendo de que no se tiene producción de agua. Psc G p / Tsc = {pi / (zi T)} V - {p / z T} V La ecuación anterior se puede expresar de dos maneras:

66

(5 – 12)


FORMA N° 1: EN TERMINOS DE P/Z P/z = pi / zi - {P La pendiente

m=P

sc *

sc

T/T

T/T

sc*

sc

V}*Gp

(5 – 13)

V

El volumen inicial de gas V en el reservorio expresado en términos del mismo en condiciones Standard: V= 43.560*A*h*(1 - Sw) V= Bg*G = {P sc T Zi / T

sc

Pi} G

Combinando con la ecuación inicial obtendremos: P/z = pi / zi - {(Pi / Zi)*1/G} Gp

(5 – 14)

Una de las muchas técnicas es la llamada energy plot la cual esta basada en reordenar la ecuación anterior y logaritmizando ambas partes: Log [1 - P zi / z Pi] = log Gp – log G

(5 – 15)

FORMA N° 2: EN TERMINOS DE Bg Por definición el Bg se expresa como: Bg = V/G

(5 – 16)

P sc T zi / T sc Pi = V/G Donde V = Volumen original del gas in situ, ft3 G = Volumen original del gas in situ, ft3 Pi = Presión original del reservorio, psi Zi = factor de compresibilidad a la Pi Combinando con la ecuación inicial tenemos: G = Gp*Bg / (Bg - Bgi)

(5 – 17)

67


RESERVORIOS DE GAS NATURAL CON EMPUJE DE AGUA G = [Gp*Bg – (We –Wp*Bw)] / (Bg-Bgi) La ecuacion reordenándola se puede escribir como:

(5 – 18)

G + We / (Bg-Bgi) = (Gp*Bg + Wp*Bw) / (Bg-Bgi) LA M.B.E. COMO UNA

(5 – 19)

ECUACION DE UNA LINEA RECTA

Produc del subsuelo = Expansión del gas + expansión del agua + influjo del agua Gp Bg+WpBw = G (Bg - Bgi)+ GBgi [(SwiCw + Cf) / (1- Sw)]*∆p + WeBw (5 – 20) F = G (Eg +Ef, w) + We*Bw La producción del fluido en el subsuelo:

•

(5 – 21)

F = Gp*Bg + We*Bw (5 – 23) Expansión del gas (5 – 24) Eg = Bg –Bgi La expansión del agua y la roca Ef, w =Bgi [(SwiCw + Cf) / (1- Sw)]

(5 – 24)

Asumiendo que los términos de la expansión de la roca y el fluido es muy pequeño en comparación de la expansión del gas se simplicara la ecuación como sigue: F = G*Eg + We*Bw (5 – 25) Finalmente dividiéremos ambos lados por Eg entonces tendremos: F/Eg = G + We*Bw / Eg

(5 – 26)

68


RESERVORIOS DE PETROLEO Las siguientes asunciones son efectuadas para derivar la ecuación del balance de materia. 1.- El reservorio puede tener una fase inicial de vapor y una fase líquida. 2. - El gas puede disolverse en la fase líquida. 3.- El aceite puede ser volátil en la fase de vapor. 4. - Se permite la invasión de agua del acuífero al reservorio durante la producción. 5. - El agua y la roca son compresibles. Np [(Bo-RsBg)/ (1- RvRs)] + Gp [(Bg – RvBo)/ (1 – RvRs)] = = Nfoi {[Bo – Boi + Bg (Rsi – Rs) + Rv (BoiRs – BoRsi)] / (1-RvRs)} + Gfoi {[Bg – Bgi + Bo (Rvi –Rv) + Rs (BgiRv – BgRvi)] / 1 –RvRs) +We – BwWp + (NfoiBoi +GfoiBgi) * [(SwiCw + Cf) / (1- Sw)]*∆p (5 – 1)) Donde: Bg = Factor volumetrico de formación (FVF) del gas, RB/scf. Btg = Total FVF del gas, RB/scf Bto = Total FVF del petróleo, RB / STB Efw = Factor de expansión del agua de formación, RB / STB F = volumen del reservorio a producirse, res. Bbls. R = relación entre el volumen de fase de vapor y el volumen de la fase liquida reservorio. Rp = Ratio del gas disuelto en el petróleo, scf / STB. Rvi = relación inicial entre petróleo volátil y el gas, STB / scf. W = Volumen inicial del agua en el reservorio, res. Bbls. We = Volumen invadida del agua desde el acuífero, res. Bbls Wp = Producción acumulada de agua, res. Bbls

del

En forma compacta la ecuación del balance de material la podemos escribir de la siguiente forma: F = NfoiEo + GfoiEg + ∆W + (NfoiBoi + GfoiBgi) Efw

(5 –

1) Donde F = Np [(Bo-RsBg)/ (1- RvRs)]+ Gp [(Bg – RvBo)/1 – RvRs)] – 1) Eo = Bto – Boi Eg = Btg – Bgi Efw = [(SwiCw + Cf) / (1- Sw)]*∆p 69

(5


∆W = We – BwWp Donde

Bto = [(Bo (1 -RsiRv) + (Rsi –Rs) Bg) Btg = [(Bg (1 - RpRv) + (Rp –Rs) Bo)

/ (1 –RvRs)] / (1 –RvRs)]

(5 – 1)

Frecuentemente aquí es conveniente expresar la producción de gas en términos de la relación de gas / petróleo, Rp. En este caso la ecuación (1 –3) define el volumen a vaciarse del reservorio como: F = Np [Bo (1-RsRp) + (Rp - Rs) Bg] / (1 – RvRs)]

(5 – 1)

El volumen del casquete de gas muchas veces es expresada en términos de r que es la relación entre el volumen del casquete de gas del reservorio y el volumen de la zona de petróleo entonces: (5 – 1)

r = GfoiBgi / NfoiBoi En este caso la MBE de la ecuación (1 –2) se podrá escribir como:

F = NfoiEo + NfoiBoi r Eg / Bgi + ∆W + NfoiBoi (1+ r) Efw 1)

(5 –

Esta ecuación no incluye los términos de inyección de agua o gas, pero éstos pueden ser incluidos fácilmente las condiciones de producción del agua o gas como producciones negativas. La Ecuación Balance de Materia para caso del petróleo, en el punto de burbuja, sin casquete de gas, sin influjo de agua y producción de agua la MBE se escribe como: NBoi = (N-Np) {Bo+ (Rsi-Rs) Bg}

(5 – 1)

Donde: N = oil inicial in situ, STB Boi = factor volumetrico inicial del oil, RVB/STB Np = producción acumulada de oil, STB Bo = factor volumetrico corriente del oil, RVB/STB Rsi = relación inicial del gas – oil, MCF/STB Rs = relación corriente del gas – oil, MCF/STB Bg = factor volumetrico del gas de formación corriente, RVB/MCF Expresando la producción acumulada del petróleo:

N Boi =N (N-Np) {Bo+ (Rsi-Rs) Bg} –NpBo-NpRsiBg+NpRsBg La producción del gas puede ser incluida en la MBE como (5 – 1)

Gp = NpRsi

70


Donde Gp = gas producido acumulado, MSCF Y entonces el MBE se convertirá:

N Boi =N (N-Np) {Bo+ (Rsi-Rs) Bg} –NpBo-GpBg+ NpRsiBg

(5 – 1)

Con esta ecuación se puede calcular el oil in situ, como a lo largo de la vida productiva, esta ecuación pude ser usada para pronosticar el futuro comportamiento, el método determina Np o Gp, Una técnica fue presentada por Havlena y Odeh, que consiste en rescribir la ecuación (3) (5 – 1)

Np Bo+GpBg =N {Bo + (Rsi-Rs) Bg} – NpBo = N {(Bo-Boi) + (Rsi-Rs) Bg}

Obteniéndose una línea recta de la forma y = ax, donde y = NpBo-GpBg + NpRsiBg a=N x = (Bo-Boi) + (Rsi-Rs) Bg Para reservorios con presión por debajo del punto de burbuja se tiene rescribir la ecuacion para el oil como para el gas N Boi+GBgi = (N-Np) {Bo+ (Rsi-Rs) Bg} + (G-Gpc) Bg

(5 – 1)

Desplegando en términos de producción el lado derecho de la anterior ecuación:

NBoi+GBgi = (N-Np) {Bo+ (Rsi-Rs) Bg} + GBg - NpBo + NpRsiBg - NpRsBg – GpBg (6 – 7) Combinando los términos de la producción del gas en solución (NpRsiBg) y la producción del casquete de gas GpcBg entonces la producción acumulada total será:

GBg =NRsiBg +GpcBg

(6 – 8)

El MBE para reservorios con presión por debajo del punto de burbuja y sin influjo de agua y sin producción de agua de formación será: N Boi+GBgi =N {Bo+ (Rsi-Rs) Bg} +GBg++ NpBo-GpBg+ NpRsBg

( 6 – 9)

La relación del volumen inicial del casquete de gas en el volumen inicial del oil se define como:

m = GBgi/ N Boi El balance de materia se escribirá como: 71

(6 – 10)


Np Bo+GpBg- NpRsBg =N {(Bo-Boi + (Rsi-Rs) Bg+mBoi {(Bg/Bgi)-1}}

(6 – 11)

Si esta presente un acuífero, el MBE para reservorios de oil con gas saturado es necesario incluir las cantidades de agua que se introdujeron en el reservorio y tendrá un signo negativo los términos de producción, entonces se podrá escribir como sigue: NpBoi+GpBg - NpRsBg = N {(Bo-Boi + (Rsi-Rs) Bg+mBoi {(Bg/Bgi)-1}}+We.

(6 – 12)

Simplificado la solución, se define:

A1= Np Boi+ GpBg - NpRsBg A2 = (Bo-Boi) + (Rsi-Rs) Bg+mBoi {(Bg/Bgi)-1} Resultando la sgte expresión:

A1 = A2 + We

(6 – 13)

Dividiendo ambos lados por A2 de la ecuación.

A1/A2 = N + We/A2 Si ploteamos A1/A2 en función de We/A2 entonces se obtendrá una línea recta y se podrá determinar correctamente el valor del agua que se introdujo .La intercepción será N y seleccionara el valor correcto de We de la pendiente de 45° grados. Cuando se produce agua, aquí de manera similar están incluidos los otros términos de la producción: Np Boi+GBg =N (Bo + (Rsi-Rs) Bg)+ GBg – NpBo - GpBg + NpRsBg + We + WpBw (6 – 14) Completara la inyección para el MBE total nótese que el signo positivo de los términos de producción. Entonces el MBE cuando se tiene inyección de agua y gas se obtendrá la sgte ecuación. Np Boi+GBg = N (Bo + (Rsi-Rs) Bg) + GBg – Nabo - GpBg + NpRsBg + We + WpBw + WiBw + GiBg (6 – 15) Donde Wi = inyección acumulada de agua, STB Gi = inyección acumulada de gas, MCF Para reservorios de petróleo por encima de la presión del punto de burbuja (reservorios subsaturados), Rs es igual a Rsi, entonces se simplificara la ecuac de la sgte manera: Np Boi =(N – Np) {Bo+ (Rsi-Rs) Bg}

(6 – 16)

72


Np Boi =(N – Np) Bo

(6 – 17)

Donde Bo y Boi son factores volumétricos del petróleo usualmente se calcula con la sgte ecuación. Bo = Bob (1 – Co (p –Pb))

(6 – 18)

Donde: Bob= factor volumetrico en la presión del punto de burbuja, RVB/STB Co = compresibilidad del petróleo subsaturado, 1/psi Pb = presión en el punto de burbuja, psia El cambio del factor volumetrico del petróleo con los cambios de la presión por debajo del punto de burbuja es usualmente muy pequeño y la inclusión de los términos del agua de formación y su compresilidad puede ser requeridos para el calculo del MBE en los reservorios subsaturados. N Boi =(N – Np) Bo + {NBoi/ (1-Sw)} Cf (Pi –P) + {NBoi / (1-Sw) CwSw (Pi –P)}

(6 – 19)

Incluyendo los efectos del influjo de agua, la producción de agua, la inyección de gas o agua la MBE general para petróleos subsaturados será: N Boi = (N – Np) Bo + {NBoi/ (1-Sw)} Cf (Pi –P)+ {Nboi / (1-Sw) WpBw + WiBw + GiBg

(Pi –P)} + We -

(6 – 20)

Donde: Gi = Gas injectado acumulado (N – Np)Bo = Volumen inicial del oil NBoi/ (1-Sw)} Cf (Pi –P) = Volumen ocupado por la expansión de la formación. NBoi / (1-Sw) (Pi –P) = Volumen del agua ocupado por la expansión del agua We – WpBw = Diferencia entre intrusión y la producción de agua We – WpBw = Inyección acumulada de agua

LA MBE COMO UNA ECUACION DE LINEA RECTA Una visión general dentro del MBE y considerando su significado físico se puede descomponer en los siguientes términos:

Np {Bo+ (Rp-Rs) Bg} (We – WpBw)

Volumen acumulado de petroleo y el gas producido La entrada de agua neta que se retiene en el

reservorio

(GinjBinj= WinjBw) Este término representa el mantenimiento de la presión

del

fluido cumulativa en el reservorio

mBoi {(Bg/Bgi)-1}

Representa la expansión neta de la capa de gas que ocurre con la producción inventariada de Np en barriles de petróleo.

73


Las principales incógnitas a).- N: original oil in place b).- We: agua introducida acumulada c).- m: el tamaño original del casquete de gas comparado con el tamaño de la zona del petróleo La ecuación de Havlena y Odeh se puede escribir incógnitas

para determinar estas tres

Np {Bo/ (Rp-Rs) Bg}+WpBw=N {(Bo- Boi)+ (Rp-Rs) Bg} + m NBoi (Bg/Bgi – 1)+ We+WinjBw + GinjBginj (6 – 21 En forma condensada tenemos la sgte expresión: F = N {Eo + mEg +Ef, w}+(We+ WinjBw+ GinjBginj)

(6 – 22)

Con el propósito de simplificar la ecuación, no considera el mantenimiento de presión debido a la inyección de agua y gas. F = N {Eo + mEg +Ef, w}+We F representa el vaciado del subsuelo F = Np {Bo+ (Rp-Rs) Bg}+WpBw

(6 – 23)

En términos del factor volumétrico bifásico Bt F = Np {Bt (Rp-Rsi) Bg}+WpBw

(6 – 24)

Esto representa que la expansión del petroleo y la disolución del gas original están expresados como factor volumetrico del petróleo de formación. Eo = (Bo- Boi) + (Rp-Rs) Bg como su equivalente en terminos Bt: Eo = Bt - Bti

(6 – 25) 74


Eg = Boi {(Bg/Bgi – 1)} (6 – 26) Ef, w representa la expansion inicial del agua y la reducción en el P.V.

B F Eo +Efw A N

Ef, w = (1+m) Boi [CwSwi+Cf/ (1-Swi)] ∆p (6 – 27)

Np o Tiempo

Por ejemplo si no se tiene capa de gas inicial m= 0 o tambien sin influjo de agua We = 0 y es muy pequeña la Cw = 0 entonces la ecuación anterior se reduce a: F = NEo

(6 – 28)

Lo que indica que F esta función del parámetro de la expansión Eo.

La línea A es considerando un yacimiento volumétrico y las curvas B y C son indicativos de que están energetizados por el influjo de aguador computación poral anormal o la combinacion de estos dos. La curva C muestra una fuerte intrusión de agua y la curva B que el acuífero se repleta al mismo tiempo que el reservori

Esto representa que la expansión del petroleo y la disolución del gas original están expresados como factor volumetrico del petróleo de formación. 75


Eo = (Bo- Boi) + (Rp-Rs) Bg como su equivalente en terminos Bt: Eo = Bt - Bti

(6 – 25)

Eg = Boi {(Bg/Bgi – 1)}

(6 – 26)

Ef, w representa la expansion inicial del agua y la reducción en el P.V. Ef, w = (1+m) Boi [CwSwi+Cf/ (1-Swi)] ∆p

(6 – 27)

Por ejemplo si no se tiene capa de gas inicial m= 0 o tambien sin influjo de agua We = 0 y es muy pequeña la Cw = 0 entonces la ecuación anterior se reduce a: F = NEo

(6 – 28)

Lo que indica que F esta función del parámetro de la expansión Eo.

La línea A es considerando un yacimiento volumétrico y las curvas B y C son indicativos de que están energetizados por el influjo de aguador computación poral anormal o la combinacion de estos dos. La curva C muestra una fuerte intrusión de agua y la curva B que el acuífero se repleta al mismo tiempo que el reservori

CASO N°1

RESERVORIOS VOLUMETRICOS DE PETROLEO SUBSATURADO Asumiendo De que no se tiene inyección de agua ni gas, la forma linear del MBE se expresara como sigue: F = N {Eo + mEg +Ef, w}+We Para este tipo de reservorios, las condiciones asociadas con este tipo de mecanismo de empuje son: • • •

We = 0 el reservorio es volumétrico m = 0 el reservorio es subsaturado. Rs = Rsi =Rp. todo el gas producido esta disuelto en el petróleo.

Aplicando las condiciones anteriormente mencionadas la ecuación retransforma en la séte forma: F = N {Eo +Ef, w} o también N = F / {Eo + Ef, w} Donde

N = OIP, STB

76


F = NpBo +Wp*Bw Eo = (Bo- Boi) Ef, w = Boi [CwSwi+Cf/(1-Swi)] ∆p

CASO N°2

RESERVORIOS VOLUMETRICOS DE PETROLEO SATURADO El principal mecanismo de empuje en este tipo de reservorios es el resultado de la liberación y expansión del gas en solución que se origina como consecuencia s de la cauda de presión por debajo del punto de burbuja. La única incógnita es el OIP N, asumiendo que la expansión de la roca y del agua son insignificantes Efw es muy pequeña con relación a la expansión del gas en solución. Entonces la ecuación (8-6) se simplificara a:

F = N*Eo Donde el comportamiento de F y Eo están definidos anteriormente, entonces se obtendrá la siguiente ecuación: F = Np {Bt+ (Rp-Rs)*Bg}+Wp*Bw Eo = (Bt- Bti)

CASO N°3

RESERVORIOS CON EMPUJE DE CASQUETE DE GAS Para reservorios en los cuales la expansión del casquete de gases el predeterminarte en el mecanismo de empuje ya sumiendo deque se tiene influjo de agua y que la compresibilidad poral y del agua son insignificantes, bajo estas condiciones la ecuación de H&O del MBE se expresara como sigue: F = N {Eo + m*Eg}

(8-6)

Donde Eg esta definida como: Eg = Boi {(Bg/Bgi – 1)}

Es posible tener tres incógnitas de la ecuación (8-6):

77


• • •

N es desconocida ,m será conocida m es desconocida , N será conocida N y m son desconocidos

a.- Desconocida N, conocido m: Después de plotear F versus {Eo + m*Eg} en una escala Cartesiana podrá producirse un aliena recta desde el origen y se obtendrá una pendiente, para diferentes valores de F puede calcularse para diferentes tiempos como una función de los términos de producción de N y Rp En conclusión: N = Pendiente.

250 200 150 100

Slope=N N

50 0

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

E +mEg

b.- Desconocida m, conocido N: De la ecuación entonces tendremos:

(8-6) se reordena como una ecuación de la línea recta,

[F / N – Eo] = m*Eg Una ventaja de esta forma particular de la grafica es que necesariamente tiene que pasar por el origen como se ilustra en la grafica.

78


En conclusión: m = Pendiente. 250 200 150 100

Slope=m N

50 0 0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

Eg

c.- N y m son Desconocidos Si se tiene incertidumbre de ambos valores, la ecuación (8-6) se reordena como una ecuación de la línea recta, entonces tendremos: F / Eo = N +m*N {Eg/Eo} Al graficar F / Eo versus Eg/Eo la cual sera necesariamente una recta que interceptara N y la pendiente será mN. En conclusión: N = intercepción mN = Pendiente. m = Pendiente/intercepción

CASO N°4

RESERVORIOS CON EMPUJE DE AGUA La ecuación completa del MBE puede expresada como: F = N {Eo + m*Eg +Ef, w}+We Donde por la dp el término Ef, w se elimina entonces la ecuación se reducirá: F = N {Eo + m*Eg}+We Si se tenía inicialmente un casquete de gas, entonces la ecuación se reducirá a: 79


F = N*Eo + We Para reservorios sin casquete de gas se reordenara la ecuación de la siguiente forma: F/Eo = N+We/Eo Algunos modelos cuando se tiene influjo de agua son: • • •

Modelo pot-acuífero Método steady-state Schilthuis Modelo Van Everdingen-Hurst. Diagnostico del w ater drive 1600 1400 1200

F/Eg

1000 800

Nm = 3,1x 10 ^7

600 400 200

N = 9 MMSTB

0 0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

Eg/Eo

80

70000

80000


MODELO POT-ACUIFERO We= (Cw +Cf)*Wi*f*(Pi-P) f= (Angulo de intrusión) °/360 = Ө /360° We= [Pi (r2a -r2e) h Φ / 5.614] Donde ra = radio del acuifero, ft re = radio del reservorio, ft h= espesor del acuifero, ft Φ = porosidad del acuífero Ө = Angulo de intrusión Cw= compresibilidad del agua Cf = compresibilidad de a roca Wi = volumen inicial de agua del acuífero, bbl Entonces la ecuación que obtenemos será la siguiente: We= K*dp F/Eo = N+K [dp/Eo]

Diagnostico del w ater drive 1600 1400 1200

F/Eg

1000 800

Nm = 3,1x 10^7

600 400 200

N = 9 MMSTB

0 0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

Eg/Eo

Se grafica en este caso F / Eo versus dp / Eo, obteniendose la pendiente Nm y en la intersección el valor de N.

81


METODO STEADY-STATE SCHILTHUIS t We= C ⌡ (Pi – P) dt o Donde We = intrusión de agua acumulada, bbl C = constante de intrusión de agua, bbl/dia/psi t = tiempo, días Pi= presión inicial del reservorio, psi P = presión en el contacto agua –petróleo en el tiempo t, psi. La ecuación con las modificaciones se pude reescribir como: t F/Eo = N+C [⌡ (Pi – P)dt / Eo ] 0 Si se grafica en este caso F / Eo versus [⌡ (Pi – P) dt / Eo, entonces se obtendrá la pendiente Nm y en la intersección el valor de N.

MODELO VAN EVERDINGEN - HURST We= B∑∆PWe D Cuando B= 1.119 *Φ*Ct* r2e* hf Van Everdingen presento el We D como función del t D y del r D t D = 6.328x10-3 kt/ Φ μCt r2e r D = ra / re Ct = Cw + Donde ra = radio del acuifero, ft re = radio del reservorio, ft k= permeabilidad del acuifero,ft Φ = porosidad del acuífero μ= viscosidad del agua del acuífero, cp Cw= compresibilidad del agua Cf = compresibilidad de la roca Entonces la ecuación que obtenemos será la siguiente: F/Eo = N+B*[∑∆P*We D /Eo]

82


PREDICCION DEL COMPORTAMIENTO DE UN RESERVORIO DE PETROLEO La predicción del futuro comportamiento del reservorio comprende dos fases:

Fase 1.- Se predice la producción acumulada del hidrocarbon como una función de la declinación de la presión del yacimiento. Esta fase es cumplida sin tener en cuenta: • Numero actual de pozos • Localizacion de los pozos • Caudal de producción de los pozos individuales • Tiempo requerido para la depleción del reservorio.

Fase 2.- Esta segunda etapa es la predicción es la fase del tiempo y la producción. En estos cálculos, los datos de comportamiento del depósito, calculados en la Fase Uno, se colocan en correlación con el tiempo. Es necesario en esta fase calcular bien el número de pozos y la productividad de cada uno

FASE 1: PREDICCION DEL COMPORTAMIENTO DEL RESERVORIO De la ecuación MBE se presento matemáticamente varias formas con las cuales se determina o estimo los valores de: N, m y We. Usando la MBE para efectuar el comportamiento futuro se requiere de las siguientes relaciones:

• Ecuación de la producción instantánea de la relación gas – petróleo. • Ecuación para relacionar las saturaciones de la producción acumulativa de la producción de petróleo. RELACION INSTATANEA GAS – PETROLEO La relación matemática de la relación instantánea de la relacion gas-petróleo (GOR) se determina a continuación como: GOR = Rs + [k rg/K ro] [Bo* µo / Bg* µg] donde: GOR = relación instantánea del ratio gas-petróleo, scf/STB Rs = solubilidad del gas Bo = factor volumétrico del oil de formación, bbl/STB Bg = factor volumétrico del gas de formación, bbl/scf µo = viscosidad del oil, cp µg = viscosidad del gas, cp

Punto1.- Cuando la presión del reservorio P esta por encima de la presión del punto de burbuja Pb aquí no se tiene gas libre en la formación, así que k rg = 0 y por consiguiente: GOR = Rsi = Rsb 83


La ratio gas –oil remante es constante hasta alcanzar la presión del punto de burbuja en el punto 2.

Punto 2.- Como la presión del reservorio declina por debajo de la presión de burbuja Pb el gas comienza a desplegarse de la solución y se incrementa su saturación, el GOR instantáneo es descrita por el decrecimiento de la solubilidad del gas: GOR = Rs

Punto 3.- En este punto el gas comienza a fluir con el petróleo y os valores del GOR se incrementaran progresivamente hasta que comienza declinar a partir del punto 4, como lo determina la siguiente ecuación:

Presión

GOR = Rs + [k rg/K ro] [Bo*µo / Bg*µg]

4 Pi GOR Pb 1

2

Presión 5 3 Sg

Tiempo

Punto 4.-En este punto se obtiene el máximo GOR debido al hecho de que el suministro de gas ha alcanzado un máximo y marca el principio del periodo de caída hacia abajo hasta el apunto 5.

Punto 5.- Este punto nos indica que todo el gas libre el producible que pudo ser producido y el GOR sones esencialmente iguales a la solubilidad de gas y continuaran hasta el punto 6.

4

84

Ing.Freedy Reynolds P. Reservorios II Rs 1

2

Rsi

Rs

Pi

GOR 5

Pb

Presión

Se tiene que distinguir tres tipos de relaciones de gas / petróleo expresado en scf /STB que son los siguientes: • GOR instantáneo • GOR en solución • GOR cumulativo Debe señalarse que como a lo largo de la liberación del gas remanente permanece inmóvil por ejemplo la saturación de gas es menor que la saturación crítica del gas, entonces el GOR instantáneo será igual a la solubilidad del gas. GOR = Rs El GOR cumulativo se define como: Rp = gas producido (TOTAL) acumulado / producción de petróleo acumulado O también: RP = Gp/Np donde: RP = ratio gas-petróleo acumulada, scf/STB Gp = producción de gas acumulada, scf Np = producción de petróleo acumulada, STB. La determinación de la producción acumulada de gas relacionado con el GOR instantáneo será: 85


Np Gp = ⌡ (GOR) dNp o

El incremento de la producción acumulativa del gas producido ∆Gp entre Np1 y Np2 se obtendrá como: Np2 ∆ Gp = ⌡ (GOR) dNp Np1

La integral anterior se la puede aproximar usando la regla trapezoidal donde: ∆ Gp = [(GOR)1 + (GOR)2 / 2]*(Np2 - Np1) O también: ∆ Gp = (GOR) avg * ∆ Np2 la aproximación de la ecuación será Gp = ∑ (GOR) avg * ∆ Np

ECUACIONES PARA RESERVORIOS SATURADOS So + Sg = SHC SHC + Sw =1 Volumen total del oil / volumen poral

86


Sg= volumen total del gas / volumen poral Sw= volumen total del agua / volumen poral Si un poro contiene oil, gas y agua se puede demostrar que So +Sg + Sw = 1 So + Sg = SHC SHC + Sw =1 Considerando un reservorio volumétrico de petróleo sin capa de gas ni influjo de agua tal que contenga N (STB) de petróleo a una presión inicial de Pi. Asumiendo que la Soi: Soi = 1 - Swi Por definición la saturación de petróleo: 1 – Swi = NBoi / P.V. O también P.V.= NBoi / (1 – Swi). Si el reservorio produjo Np STB de petróleo, el volumen remanente que se obtendrá será: Volumen remanente de petróleo = (N –Np) Bo Entonces reemplazado en las ecuaciones anteriores obtendremos: So = (N –Np) Bo / [NBoi / (1 – Swi)]. So = =(1 – Swi) (1 – Np /N)*[Bo/Boi]. Sg= 1 – So – Swi

SATURACION DE PETROLEO AJUSTADO FOR EL INFLUJO DE AGUA DE FORMACION

87


Paso 1.- Calcular el volumen poral invadido por el agua como: We - WpBw = (P.V.) water*(1 – Swi - Sorw) Resolviendo para el P.V. de la zona invadida por el agua se tiene: (P.V.)water = We - WpBw / (1 – Swi - Sorw ). Paso 2.- Calcular el volumen de petróleo en la zona invadida de agua: Volumen de petróleo == (P.V.)water*( Sorw) Paso 3.-Ajustar la cantidad de petróleo entrampado con el uso de la siguiente ecuación:

So = (N –Np) Bo - [We – Wp*Bw / (1 – Swi - Sorw)] *(Sorw) / [N*Boi / (1 – Swi)] - [We – Wp*Bw / (1 – Swi - Sorw)]

SATURACION DE PETROLEO AJUSTADO POR EL CASQUETE DE GAS Paso 1.- Asumiendo de que no se produce gas de la capa de gas, se calcula la expansión neta de la capa de gas como: Expansión de la capa de gas = m N Boi *[Bg/Bgi - 1]. Paso 2.-Calcular el volumen coral invadido por el gas en la zona invadida (P.V.)gas como: m *N *Boi *[Bg/Bgi - 1] = (P.V.)gas*(1 – Swi - Sorg) (P.V.)gas = m* N* Boi *[Bg/Bgi - 1] / (1 – Swi - Sorg)

Paso 3.- Calcular el volumen de petróleo en la zona invadida por el gas Volumen de petróleo == (P.V.)gas* Sorg Paso 4.-Ajustar la cantidad de petróleo entrampado y del gas en la zona expansión con el uso de la siguiente ecuación: 88


So = F1 / F2 F1 = (N –Np) Bo - [m* N *Boi / (1 – Swi - Sorg)] *( Sorg) / F2 = [N*Boi / (1 – Swi)] - [m* N *Boi / (1 – Swi - Sorg)* *(Bg/Bgi – 1)] SATURACION DE PETROLEO AJUSTADO POR LA COMBINACION DE AMBOS EMPUJES So = F1 / F2 F1 = (N –Np) Bo - [m N Boi / (1 – Swi - Sorg)] *(Sorg) + [We - WpBw / (1 – Swi - Sorw)] F2 = [NBoi / (1 – Swi)] - [m N Boi / (1 – Swi - Sorg)* (Bg/Bgi – 1) + [We WpBw / (1 – Swi - Sorw)]] SATURACION DE PETROLEO AJUSTADO POR EL ENCOJIMIENTO DE LA CAPA DE GAS Cole (1969) propuso un método para el control del tamaño de la capa y generalmente es una buena guía para conocer la eficiencia en las operaciones en el reservorio. Hay pequeño o ninguna saturación de petroleo en la capa de gas, y si el petróleo migra en el zona original de gas dividen en zonas allí legue el requisito sea que tenga un poco de saturación de petróleo residual que permanecerá en esta porción de la capa de gas hasta el momento del abandono. La magnitud de esta pérdida puede ser bastante grande, dependiendo principalmente del: •

Área de contacto de gas - petróleo

•

De la proporción del encogimiento de la capa de gas

•

La características de la permeabilidad relativa

•

La permeabilidad vertical.

Si el tamaño de la capa original de gas es m N Boi cuando la expansión de la capa de gas libre resulta de la reducción de presión desde Pi hasta P. entonces obtendremos: Expansión original de la capa de gas = m N Boi *[Bg/Bgi - 1]. 89


Donde: m N Boi = volumen original de la capa de gas, bbls. Bg = FVF de gas, bbl/scf Encogimiento de la capa de gas =Gpc Bg - m N Boi *[Bg/Bgi - 1]. Para la ecuación de un yacimiento de comportamiento volumétrico.

Gpc Bg - m N Boi *[Bg/Bgi - 1] = 7750*A*h*Φ*(1 – Swi - Srg) Donde: A = área promedio de la sección transversal del área del contacto, acres h = cambio de la altura promedio del contacto gas – petroleo, ft Sgr = saturación residual de gas en la zona de encogimiento El volumen de la perdida de petróleo debido a la migración a la capa de gas puede ser calculado desde la ecuación volumétrica siguiente: Perdida de petroleo = 7750*A*h*Φ* Sorg / Boa Donde: Sogr = Saturación residual de la capa de gas en la zona de encogimiento Boa = FVF de gas en el abandono, bbl/scf Combinado las anteriores ecuaciones y eliminando el término de 7750 con la siguiente relación determinamos el volumen perdido en barriles en la capa de gas: Perdida de petróleo = [Gpc Bg - m N Boi *[Bg/Bgi - 1]]* Sogr / (1 – Swi - Sorg)* Boa

RESERVORIOS DE PETROLEO SUBSATURADOS Cuando la presión de yacimiento esta por encima de la presión del punto de burbuja de un sistema de petróleo es considerado como subsaturado. N = R1 /R2 90


R1 =Np [Bo+ (Rp-Rs) Bg) + (We + WpBw) - WinjBwinj - GinjBginj R2 = (Bo-Boi) + (Rsi-Rs) Bg + m Boi *[Bg/Bgi - 1] + Boi (1 – m)* [( SwiCw - Cf) / (1 –Swi)]* ∆ P Para yacimientos volumétricos subsaturados y que no tengan fluidos de inyección se tiene las siguientes condiciones: M=0 We = 0 Rs = Rsi = Rp Colocando las anteriores condiciones en la ecuación del MBE se reducirá al a siguiente expresión matemática: N = Np*Bo / (Bo-Boi) + Boi [(SwiCw - Cf) / (1 –Swi)]* ∆ P ∆ P = Pi –P Hawkins (1955) introduce el concepto de la compresibilidad del petróleo Co dentro Della MBE definido como: Co = 1/ Boi *[(Bo –Boi) / ∆ P] Reordenando la ecuación anterior se tiene: Bo –Boi = CoBoi∆ P Combinando las dos ecuaciones anteriores tendremos que: N = Np*Bo / Co*Boi* ∆ P + Boi [( SwiCw - Cf) / (1 –Swi)]* ∆ P

El denominador se podrá escribir como: Boi [(Co + SwiCw / (1 –Swi) + Cf / (1 –Swi)]* ∆ P Si están presentes los tipos de fluido en el reservorio es decir petróleo y agua entonces será: 1 = Soi – Swi La ecuación se transformara en:

91


Boi [(SoiCw + SwiCw) + Cf) / (1 –Swi)]* ∆ P El término que se encuentra en medio de las llaves se lo llamara según Hawkins como compresibilidad efectiva: Ce = (SoiCw + SwiCw) + Cf) / (1 –Swi) Entonces nuestra ecuación de N será: N = Np*Bo / Ce*Boi* ∆ P Esta ecuación puede ser expresada como una línea recta con la siguiente ecuación: P = Pi – [1 / Ce*Boi]*Np* ∆ P

Reordenando la ecuación de la presión para la producción acumulada de petróleo obtendremos que: Np = N* Ce*(Bo/Boi)* ∆ P El cálculo de la futuro producción del reservorio no requerirá el procedimiento de prueba y error por lo que se obtendrá los resultados con la ecuacion anterior. RESERVORIOS DE PETROLEO SATURADOS Para yacimientos de petróleo volumétricos y saturados, que no tengan fluidos de inyección se tiene la siguiente ecuación MBE expresada como: N = T1/T2 T1 = Np*Bo + (Gp – NpRs)*Bg T2 = (Bo-Boi) + Bg *(Rsi – Rs) So = (1 – Swi) (1 – Np /N)*[Bo/Boi]. [krg / k ro] = (GOR *Rs) [Bg µg / Bo µo] Se utiliza tres técnicas donde se desarrolla la predicción del comportamiento del empuje de gas en solución: • Método de Tracy • Método de Muskat • Método de Tarner 92


Método de Tracy En 1955 sugirió que MBE puede ser reordenado y expresado en términos de tres variables funciones del PVT y se parte de la siguiente correlación: N = Np Фo+ Gp Фg + (WpBw - We) Фo Donde: Фo = Bo – RsBg / Den Фg= Bg/ Den Фw= 1/ Den Den = (Bo – Boi) + (Rsi –Rs) Bg + mBoi [Bg/Bgi – 1] Donde: Фo = oil en función del PVT Фg= gas en función del PVT Фw= agua en función del PVT Para reservorios con empuje de gas en solución tendremos: N = Np Фo+ Gp Фg Y también: Den = (Bo – Boi) + (Rsi –Rs) Bg En el Proceso desde las condiciones a cualquier presión p * a la presión más baja del yacimuiento p, considera que la producción incrementadas de petróleo y de gas son ∆ Np y ∆ Gp Np = Np*+ ∆ Np Gp = Gp* + ∆ Gp Donde: Np*, Gp* = producción de gas y petróleo conocida antes de la presión p* Np, Gp = producción de gas y petróleo desconocida a la nueva presión p Reordenando la ecuación obtendremos: N = (Np*+ ∆ Np) Фo+ (Gp* + ∆ Gp) Фg

93


Por disminución del GOR instantáneo entre ambas presiones es decir p* y p (GOR)avg = (GOR)* + (GOR) / 2 La producción acumulada del gas puede ser aproximada con l a siguiente ecuación: ∆ Gp = (GOR)avg * ∆ Np Reemplazando en la ecuación anterior y reordenando: N = (Np*+ ∆ Np) Фo+ [Gp* + ∆ Np (GOR)avg] Фg Si en la ecuación de encima N= 1, la producción acumulada de petróleo y la de gas viene a ser una fracción del OIP: ∆ Np= (1 – (N*p Фo+ G*p Фg) / Фo+ (GOR)avgФg

Método de Muskat En 1945 expreso que MBE puede ser reordenado y expresado en para reservorios por depleción con la siguiente correlación diferencial: So/dp = R1/R2 R1 = (SoBg/Bo*dRs/dp +So/Bo* k rg/K ro* µo / µg*dBo/dp + (1 – So - Swc) *Bg d (1/Bg) /dp R2 = [(1 – k rg/K ro* µo / µg)]

Cuando: So = So* - So ∆ P = P* – P Donde: So*, p* = saturación del petroleo y la presión promedio al inicio de los pasos del incremento del a presión. So*, p* = saturación del petróleo y la presión promedio al final de los pasos del incremento de la presión y el tiempo. 94


Rs= Solubilidad del gas, scf/STB Bg= FVF del gas, bbl/scf. Craft, Hawkins y Ferry (1991) sugirieron que los cálculos pueden ser fácilmente calculados y preparados en base a un grafico que depende de la presión: X (p) = Bg/Bo*dRs/dp Y (p) = 1/Bo* µo / µg*dBo/dp Z (p) = Bg d (1/Bg) /dp Introduciendo la presión y que dependen de la presión en la primera ecuación tendremos que: So/dp = R1/R2 R1 =(So X (p)+ So* k rg/K ro* Y (p)+ (1 – So - Swc) * Z (p) R2 = [(1 – k rg/K ro* µo / µg)]

ECUACION DEL BALANCE DE MATERIA Las siguientes asunciones son efectuadas para derivar la ecuación del balance de materia. 1.- El reservorio puede tener una fase inicial de vapor y una fase líquida. 2. - El gas puede disolverse en la fase líquida. 3.- El aceite puede ser volátil en la fase de vapor. 95


4. - Se permite la invasión de agua del acuífero al reservorio durante la producción. 5. - El agua y la roca son compresibles. La nomenclatura que se utilizara el listado estan en unidades petroleras. El OGIP se divide en dos partes: G = Gfoi + NfoiRsi ............... (5.1) Y similarmente el OOIP es dividido en dos partes: N = GfoiRsi + Nfoi ............... (5.2) Después de algún tiempo el petróleo N (a condiciones std) y Gp el gas (a condiciones std. los cu ft.) Serán producidos, el gas & petróleo remanente In situ, respectivamente, serán: Np + GfgRs = (N-Np) ............... (5.3)

And

Nfo + Gfg = (G-Gp) ............... (5.4)

Reordenando las ecuaciones (5.3 & 5.4) tendremos: Np = (N-Np) + GfgRv............... (5.5) and Nfo = (G-Gp) + NfoRv............... (5.6) Resolviendo simultáneamente estas dos ecuaciones tenemos: Gfg = [G-Gp -(N-Np)Rs/( 1 – RsRv)] ............... (5.7)

And Gfo = [N-Np- (G-Gp) Rs/( 1 – RsRv)] ............... (5.8) 96


Sustituyendo las dos ecuaciones ( 5.1 & 5.2) dentro de las ecuaciones ( 5.7 & 5.8) tendremos: Gfg = [Gfgi + NfoiRsi Gp – Gp-(Nfoi-Gfgi -Np)Rs/( 1 – RsRv)] ..(5.9) Nfo = [Nfoi + GfgiRvi Gp –Np-(Gfgi-Nfoi -Gp)Rs/( 1 – RsRv)]…(5.10) Las ecuaciones 5.9 & 5.10 expresan el volumen en @ std. del gas y el petróleo en el reservorio en términos del volumen std. inicial y los volúmenes producidos en @ std. El control de los volúmenes del reservorio ahora estará balanceado. El cambio de volúmenes de todas las fases es el control del volumen durante la producción. El control del volumen original del reservorio, por consiguiente: ΔVo + ΔVg + ΔVw + ΔVr = 0............... (5.11) El volumen inicial ocupado por la fase del petróleo, Voi, es Voi = NfoiBoi. En un reservorio corriente el volumen de la fase de petróleo será: Δvo = [Nfoi-GfgiRvi-GfgRv - Np]Bo............... (5.12) En consecuencia: Δvo = NfoiBoi-[Nfoi-GfgiRvi-GfgRv - Np]Bo............... (5.13) En forma similar se determinara el volumen inicial ocupado por la fase del gas antes y después de haberse calculado la producción. El volumen inicial de la fase del gas, Vgi, es Vgi = GfgiBgi. En un reservorio corriente el volumen de la fase del gas será: Vg = [Gfoi-NfoiRsi-NfoRs - Gp]Bg............... (5.14)

97


Consecuentemente: Δvg = [GfoiBgi-[Gfoi-NfoiRsi-NfoRs - Gp]Bg............... (5.15) Los cambios de volumen de la fase del agua ΔVw, es el resultado de la compresibilidad del aguadle influjo del agua desde el acuífero y de la misma producción de agua. Si W es el volumen

inicial del volumen del agua Vθ es el volumen del espacio vaciado, entonces: W =

Vθ*Swi

……………(5.16)

En consecuencia Vw = We- Wp- ΔW …………..(5.17) El volumen de la fase de agua corriente (final)Vw,sera: ΔW = - We- BwWp- Vθ*SwiCw Δp

…………..(5.18)

Donde Δp= Pi - P Los cambios del volumen de roca son negativos por los cambios del volumen del espacio vaciado, en consecuencia: ΔVr = Vθ*Cf Δp

…………..(5.19)

Porque Vθ = {Nfoi *Boi+ GfgiBgi} / (1 – Swi) ……….(5.20) Sustituyendo la ecuación (4.20) dentro la ecuación (5.19) y entonces sustituierenos las ecuaciones 5.13,5.15,5.18 y 5.19 dentro de la ecuación 5.11 obtendremos:

98


NfoiBoi-[Nfoi-GfgiRvi-GfgRv - Np]Bo+[GfoiBgi-[Gfoi-NfoiRsi-

NfoRs-Gp]Bg-We-BwWp-(NfoiBoi-GfgBgi)CtΔp= 0.........(5.21) donde: Ct = (Cf+CwSwi) / (1 –Swi) ………………… (5.22) Sustituyendo la ecuación 5.9 y 5.10 dentro de la ecuación 5.21 y reordenándola se tendra la ecuación general del balance d e materia

Np [(Bo-RsBg) / (1- RvRs)] + Gp [(Bg – RvBo)/ (1 – RvRs)] = = Nfoi {[Bo – Boi + Bg (Rsi – Rs) + Rv (BoiRs – BoRsi)] / (1-RvRs)} + Gfoi {[Bg – Bgi + Bo (Rvi –Rv) + Rs (BgiRv – BgRvi)] / 1 –RvRs) +We – BwWp + (NfoiBoi +GfoiBgi) * [(SwiCw + Cf) / (1- Sw)]*∆p (5.23)

Donde:

Bg = Factor volumetrico de formación (FVF) del gas, RB/scf. Btg = Total FVF del gas, RB/scf Bto = Total FVF del petróleo, RB / STB Efw = Factor de expansión del agua de formación, RB / STB F = Volumen del reservorio a producirse, res. Bbls. R = Relación entre el volumen de fase de vapor y el volumen de la fase liquida del reservorio. Rp = Ratio del gas disuelto en el petróleo, scf / STB. Rvi =Relación inicial entre petróleo volátil y el gas, STB / scf. W = Volumen inicial del agua en el reservorio, res. Bbls. We = Volumen invadida del agua desde el acuífero, res. Bbls Wp = Producción acumulada de agua, res. Bbls En forma compacta la ecuación del balance de material la podemos escribir de la siguiente forma: 99


F = NfoiEo + GfoiEg + ∆W + (NfoiBoi + GfoiBgi) Effw

(5.24)

Donde: F = Np [(Bo-RsBg)/ (1- RvRs)]+ Gp [(Bg – RvBo)/1 – RvRs)] Eo = Bto – Boi

(5.26)

Eg = Btg – Bgi

(5.27)

Efw = [(SwiCw + Cf) / (1- Sw)]*∆p ∆W = We – BwWp Donde

(5.25)

(5.28)

(5.29)

Bto = [(Bo (1 -RsiRv) + (Rsi –Rs) Bg) Btg = [(Bg (1 - RpRv) + (Rp – Rs) Bo) (5.30)

/ (1 –RvRs)] / (1 –RvRs)]

Frecuentemente aquí es conveniente expresar la producción de gas en términos de la relación de gas / petróleo, Rp. En este caso la ecuación (1 –3) define el volumen a vaciarse del reservorio como: F = Np [Bo (1-RsRp) + (Rp - Rs) Bg] / (1 – RvRs)] (5.32) El volumen del casquete de gas muchas veces es expresada en términos de r que es la relación entre el volumen del casquete de gas del reservorio y el volumen de la zona de petróleo entonces: r = GfoiBgi / NfoiBoi

(5.33)

En este caso la MBE de la ecuación (1 –2) se podrá escribir como: F = NfoiEo + NfoiBoi r Eg / Bgi + ∆W + NfoiBoi (1+ r) Efw (5.34) 100


Esta ecuación no incluye los términos de inyección de agua o gas, pero éstos pueden ser incluidos fácilmente las condiciones de producción del agua o gas como producciones negativas.

RESERVORIOS DE GAS En la mayoría de los casos para los cálculos de ingeniería se involucra el uso del FVF (Bg) y factor de expansión Eg. Al primero se lo define como: •

Bg = Psc *Z*T/Tsc*p = 0.02827* Z*T/p

•

Eg = Tsc*p/Psc*Z*T = 35.37*p/ Z*T

( ft3/scf) (scf/ ft3)

Se tiene dos aproximaciones para la estimación del GIP, las reservas, la recuperación volumétrica y el mecanismo de empuje del agua. • Método volumétrico • Aproximación por el balance de materia

METODO VOLUMETRICO La ecuación con la que se calcula es: G = 43560 A*h*Φ*(1 – Sw)/Bgi Esta ecuación aplicada en las condiciones iniciales y a las de abandono se determinara el volumen de gas recuperable como: Gas producido = Gas inicial – gas remanente G = 43560 A*h*Φ*(1 – Sw)/(1/Bgi – 1/Bga)

METODO BALANCE DE MATERIA Esto se logra obteniendo un balance de la masa o molar del gas como: np = ni - nf

101


Donde np = moles del gas producido ni = moles del gas inicial en el reservorio nf = moles del gas remanente en el reservorio Psc* G p / Tsc*R = {pi*V / (zi*R* T)} - p [V- (We –Wp)]/ {zR T}

RESERVORIOS DE GAS NATURAL ANORMALMENTE PRESURIZADOS La ecuación del MBE podemos escribirla a continuacion para yacimientos volumétricos de gas natural: (p/z)*Ct = pi / zi - {1 - Gp/ G} Donde: Ct = 1 – {(Cf – Cw* Swi - Swi )*(Pi –P)}/(1-Swi) Definiendo la expansión de la formación: ER = {(Cf – Cw* Swi)}/ (1-Swi)

La ecuación inicial se puede ordenar como: Ct = 1 – ER* (Pi –P) Para evitar la técnica o el procedimiento de prueba y error, Roach propuso la utilización de las siguientes ecuaciones: α = (1/G)*β –ER α = {(pi / zi) / (p/z) – 1} / (Pi –P) β = {(pi / zi) / (p/z)} / (Pi –P) Donde: G = Gas libre in situ, scf Swi = Saturación inicial del agua ER = Termino de la expansión de la roca, psi -1

102


Begland y Whitehead (1989) propusieron un método de predicción de la recuperación porcentual, los autores tuvieron en cuenta el volumen poral y la compresibilidad del agua en función de la presión, derivando la siguiente ecuación del MBE para reservorios de gas volumétricos sobre presurizados: r = Gp/G = Bgi*Swi/ (1-Swi)*[Btw/Btwi – 1 +Cf*(Pi –P)/ (1-Swi)]/Bg Donde: r =factor de recuperación Cf = Compresibilidad de la formación, psi -1 Bg = FVF de gas, bbl/scf Btw = FVF de las dos fases del agua de formacion, bbl/SCF Btwi = FVF inicial de las dos fases del agua de formación, bbl/SCF El FVF de las dos fases del agua se determina como: Btw = Bw + Bg*(Rswi – Rsw) Donde: Rsw = Solubilidad del gas en el agua, scf/STB Bw = FVF de agua, bbl/STB A continuación tres asunciones principales inherentes para la utilización de la ecuación de r: Yacimiento volumétrico de simple fase de gas en el reservorio. • Sin producción de agua • La Cf remanente es constante para las caídas de presión (Pi –P) •

METODO DE CALACULO SEGÚN RAMAGOST Y OTROS FECHA

P

Z

(psia) 22-Dic-65 01-Abr-66 02-May-67 03-Ago-67 04-Abr-68 05-Sep-69 06-Feb-73

12599,4 11014,7 9014,7 7014,7 5851,94 5014,7 2514,7

1,5367 1,4396 1,3172 1,1947 1,1392 1,0845 1,0101

Gp

p/z

[p/z]'

(Bscf)

(psia)

(psia)

0 105,84 231,39 345,42 405,37 445,46 539,47

8199,0 7651,2 6843,8 5871,5 5136,9 4624,0 2489,6

8199,00 6687,45 4894,41 3265,89 2409,71 1837,17 494,57

103

Ing.Freedy Reynolds P. Reservorios II 22-Dic-75

14,7

1,0000

574,10

14,7

0,00

M BE - Ramagost 14000

12000

Py Py,P/Z,[p/z]',psia

10000

P/Z 8000

6000

4000

[P/Z]'

2000

0 0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

Gp.Bscf

Este grafico nos muestra el comportamiento del yacimiento Icla que tiene un gradiente estático de 0.82 psi/ft. Para poder obtener una ecuación del tipo [P/Z] ` vs. Gp que considera los efectos de los cambios en el volumen del agua Vw y del volumen de la formación Vf Ramagost y otros utilizaron la siguiente ecuación del Balance de Materiales Gp*Bgi = (G –Gp) + Vw + Vf

Para determinar la ecuación [P/Z]`= [P/Z]* [1 -[(Cw*Swi + Cf) (Pi – P)/ (1-Swi)]= [Pi/Zi] - [(Pi/Zi)/G] Gp

Lo cual representa una línea recta de la pendiente [(Pi/Zi)/G], la correspondiente intersección será (Pi/Zi). BALANCE DE MATERIA EN YACIMIENTOS SOBREPRESURIZADOS La compresibilidad de formación Cf. conocido G, para Gp = G, [P/Z] `= 0. Luego:

104


Ct = (1-Swi)/ (Pi -P) – CwSw. Si P = 14.7 psia para Gp =G La pendiente de la intersección es calculada para Pi, Zi y G que son conocidos utilizando las equivalencias correspondientes: m = [(Pi/Zi)/G] y para b = [Pi/Zi] Para valores decrecientes de P durante la vida productiva del pozo se obtiene el factor de compresibilidad, Z, equivalente mediante la correlación de Standing & Katz. Con P y Z definidos, se puede calcular el termino [P/Z] ` de la ecuación (2). Para los mismos valores de P se obtienen los acumulados de la producción de gas, Gp, utilizando la ecuación (4) derivada de la ecuación (2) y en combinación con m y b, Gp = (1/m) [(b - (P/Z)] Con los valores calculados de Gp y [P/Z] ` se grafica la curva del Balance de Materia de la formación Icla. Para propósitos de comparación, también se grafican las curvas Gp vs. P/Z y GP vs. P.

CAPITULO N°7 Estado de flujo estacionario(Steady State Flow) El sistema responde a cambios de presión o caudal de flujo, en cualquier parte el sistema, de modo instantáneo. La intrusión de agua, el soporte de expansión de la capa de gas o una inyección tal que el caudal de inundación coincida con el caudal de inyección, será flujo estacionario. 105


Vertical Radial Flow

El flujo radial vertical ocurre durante tiempo anterior región antes de que el radio de investigación ha alcanzado el máximo o el fondo de la formación. El flujo radial vertical en un wellbore horizontal es similar al flujo radial en un wellbore vertical, excepto que está en la dirección vertical

Linear Flow

Después de que el radio de investigación haya alcanzado el máximo y el fondo de la formación, el fluido viaja en la formación perpendicular a la longitud del wellbore. Éste es flujo lineal intermedio.

106


107


Flujo Eliptico

El flujo elíptico ocurre cuando la fluido ha comenzado a fluir del reservorio en ya sea el fin del wellbore horizontal. Es una transición entre el flujo lineal y el flujo radial.

Horizontal Radial Flow

El flujo radial horizontal puede ser observado durante la región de tiempo intermedio, después de que el radio de investigación se ha expandido en el pozo más allá de la longitud del wellbore.

108


Tiempo de Horner

El tiempo de Horner se utiliza para analizar los datos del buildup test. En efecto el tiempo de Horner la superposición (radial) del tiempo para el caso especial de un caudal sencillo y de flujo constante en el periodo de cierre después el flujo. Aquí tendremos a continuación la La superposición en el tiempo de la ecuación del flujo radial para el caso de una prueba de restitución.

109


110


La solución para un caudal constante para el análisis del flujo radial será como sigue: Oil and Water

La ecuacion superpuesta:

Para un caudal constante de q, partiendo de un tiempo igual a cero.

Para un caudal constante de - q, partiendo de un tiempo igual a tc.

111


Sumando a las anteriores ecuaciones, se obtendrá

El tiempo de Horner Time será definido como:

Las datos de la restitución del flujo radial están colocados en una línea recta estando acomodado en un plot del semilog de Pws versus Horner Time. Como el tiempo de cierre (el Tiempo del Delta) aumenta, Horner Time decrece y como el tiempo de cierre tiende al infinito, Horner Time se acerca a uno. Tradicionalmente, un plot Radial es graficado en un papel semilog puesto al revés. Esto equivale a graficar a la inversa el Horner Time. Nótese en que sólo la ecuación radial de flujo fue tomada en cuenta al definir Horner el tiempo. Esto quiere decir que al derivar Horner tiempo, el flujo radial - se asume - como el único régimen de flujo para la duración total del flujo (tp +t) y el total del tiempo de cierre entero encerrado (t). Es recomendable que se usen modelos para complementar todos los análisis. El cálculo Horner Time es válido si el depósito es de comportamiento infinito y la tasa antes del cierre fue constante. Cuando la tasa no ha sido constante, la superposición del tiempo radial es requerida. Alternativamente, una simplificación es hacer cálculos con el tiempo de producción efectivo de: Radial flow buildup data lies on a straight line when placed on a semilog plot of pws versus Horner Time. As shut-in time (Delta Time) increases, Horner Time decreases and as shut-in time approaches infinity, Horner Time approaches one. Traditionally, a Radial Plot is plotted on reversed semi-log paper. This is equivalent to plotting the inverse of Horner Time. Note that only the radial flow equation was taken into consideration when defining Horner time. This means that in deriving Horner time, radial flow is assumed to be the only flow regime for the entire flow duration (tp+t) and the entire shut-in (t). It is recommended that models be used to supplement all analyses.

112

Ing.Freedy Reynolds P. Reservorios II The Horner Time calculation is valid if the reservoir is infinite-acting and the rate prior to shut-in was constant. When the rate has not been constant, superposition radial time is required. Alternatively, one simplification is to calculate the effective producing time from:

Pseudo-Time

El Pseudo tiempo es una función matemática de tiempo que da razón de la variable viscosidad - compresibilidad de gas y de la variable de la porosidad de la formación con tiempo y la presión. Está a menudo confundido con la seudo presión. Entonces, para empezar, un debate del origen de cada uno de estos términos es apropiado Why Pseudo-Pressure or Pseudo-Time?

La ecuación para el flujo de gas en el como para el flujo de líquido. En ecuaciones analíticas son solucionadas suposiciones. En particular cuatro son mucha importancia. Estos son:

reservorio es muy parecida una prueba de pozo, las después de hacer ciertas las suposiciones que tiene

 La compresibilidad total del sistema, ct, es constante;  La viscosidad, es constante;  La porosidad, es constante;  Las saturaciones de los fluidos, Sw y Sg son constantes,

entoces Swi no sera igual a 0.

Para los líquidos, estas suposiciones son razonables, y las ecuaciones pueden ser solucionadas analíticamente. Estos son las llamadas "soluciones líquidas de flujo", y forman la base de todo análisis de pruebas de pozo. El resultado es una relación analítica entre la presión y el tiempo, por ejemplo, en un reservorio de acción infinita: The equation for flow of gas in the reservoir is very similar to that for liquid flow. In well testing, analytical equations are solved after making certain assumptions. In particular four assumptions are very important. These are:

113

Ing.Freedy Reynolds P. Reservorios II • • • •

Total system compressibility, ct, is constant; Viscosity, , is constant; Porosity, , is constant; Fluid Saturations, Sw and Sg are constant, if Swi is not equal to 0.

For liquids, these assumptions are reasonable, and the equations can be solved analytically. These are referred to as the "liquid flow solutions", and form the basis of all well test analysis. The result is an analytical relationship between pressure and time, for example, in an infinite-acting reservoir:

Pressure = Constant * log t +... Para gas, estas suposiciones son apropiadas sólo bajo condiciones muy restringidas. Fuera del rango de estas condiciones, los errores causados severos pueden ser severos . La razón por la que el gas es que el gas es altamente compresible, y la compresibilidad, cg, no es constante sino cambia con la presión. La viscosidad del gas tiene una situación similar, pero no con el mismo grado. Otro factor que complica la solución de la ecuación de flujo para el gas es el factor de compresibilidad, Z. Este, también, cambia con la presión. Las propiedades del gas cambiantes discutidas distribuidas con dos combinaciones diferentes:

pueden

•

Viscosidad, el Factor de Compresibilidad y la Presión;

•

Viscosidad, la Compresibilidad, Saturaciones de Fluidos y el Tiempo.

la

estar

Porosidad,

las

La primera combinación de problemas fue solucionada rigurosamente por Al-Hussainy et al. (1966), cuando introdujeron pseudo presión del gas(y):

For gas, these assumptions are appropriate only under very restricted conditions. Outside the range of these conditions, severe errors can be caused. The reason is that gas is highly compressible, and the compressibility, cg, is not constant but changes with pressure. Gas viscosity has a similar situation, but not to the same degree. Another factor that complicates the solution of the flow equation for gas is the compressibility factor, Z. It, too, changes with pressure. The changing gas properties discussed can be taken dealt with in two different combinations:

• •

Viscosity, Compressibility Factor and Pressure; Viscosity, Compressibility, Porosity, Fluid Saturations and Time.

The first combination of problems was solved rigorously by Al-Hussainy et al. (1966), when they introduced gas pseudo-pressure () as:

114


. Sometimes this is also called "the real gas potential, m(p)". That is why all gas well test equations are solved in terms of pseudo-pressure, and not pressure. The transformation of pressure to pseudo-pressure is an exact transformation, and is completely rigorous. Thus, the "liquid flow" solution can be used for gas, provided that pseudo-pressure is used instead of pressure. The gas flow equation should become:

Pseudo-pressure = Constant * log (time) +... La primera combinación de problemas fue solucionada rigurosamente por Al-Hussainy et al. (1966), cuando introdujeron asfixie con gas presión (de la presión seuda tan: Algunas veces esto se llama también "el potencial verdadero del gas, m (p )". Por esto es que todas las ecuaciones de prueba de pozo del gas son solucionadas en términos de la pseudo- presión , y no en términos de la presión. La transformación de presión en la seudo-presión es una transformación exacta, y es completamente rigurosa. Así, que la solucion del "flujo líquido" puede servir tambien para el gas, con tal que la seudo presión es usada en lugar de la presión. La ecuación de flujo del gas debería obtenerse: Pseudo-pressure = Constant * log (time) +... La segunda combinación de variar las propiedades del gas con "el seudo tiempo " no es satisfactorio para una solución completamente rigurosa. En otras palabras, no hay transformación como la que sirvió para la presión, eso hará que la ecuación de flujo sea soluble. Por largos años, se asumio que la compresibilidad, c, y la viscosidad,, estuviesen constantes e iguales para los valores de la presión inicial del reservorio. Pues el análisis transiente de la presión de grandes reservorios, esta suposición marcha bien. De cualquier forma fallara bajo las dos situaciones siguientes cuando: La presión es baja en el wellbore Resevorios Agotados En 1980, Agarwal introdujo una transformación APROXIMACION llamada seudo-tiempo . La definición matemática del seudo-tiempo es una reminicencia de la definición del seudo-tiempo . Agrawal fue canalizado a presiones en el wellbore, y él definió el seudo-tiempo 115


en términos de la viscosidad y la compresibilidad en el wellbore. Esta definición dio razón del cambio grande en la compresibilidad del gas que ocurre en las bajas presiones (tiempo temprano del cierre). Tuvo muy poco efecto en los datos tardios del tiempo, y sirvió generalmente para sólo el uso unicamente de los Build -Ups.

The second combination of varying gas properties "pseudo-time" is not amenable to a completely rigorous solution. In other words, there is no transformation such as the one that was used for pressure, that will make the flow equation solvable. For many years, it was assumed that the compressibility, c, and the viscosity, , were constant and equal to the values at the initial reservoir pressure. For pressure transient analysis of large reservoirs, this assumption works well. However it fails under two situations as:

• •

Low pressure at the wellbore Depleting reservoirs

In 1980, Agarwal introduced an APPROXIMATE transformation called pseudo-time. The mathematical definition of pseudo-time is reminiscent of the definition of pseudo-pressure. Agrawal was focussed on pressures in the wellbore, and he defined pseudo-time in terms of the viscosity and compressibility at the wellbore. This definition accounted for the large change in gas compressibility that occurs at low pressures (early time in a buildup). It had little effect on late time data, and was generally used for buildups only. In the 90’s, when the gas flow equations were being used for analyzing, or forecasting, data affected by reservoir depletion, it was realized that the traditional assumption of constant compressibility-viscosity, while adequate for transient flow, was inappropriate for Boundary Dominated Flow (depleting systems). Moreover, the Agarwal pseudotime definition did not solve the problem, because it was using a simplified version of the total system compressibility (the rigorous version is presented below). Blasingame and co-workers introduced a new definition of pseudo-time to account for depletion effects. Instead of defining the pseudo-time transformation in terms of wellbore conditions like Agarwal did, they defined it in terms of the average pressure in the reservoir. This pseudo-time is best described as "Material Balance Pseudo-Time," which is appropriate for Rate Transient Analysis. With the introduction of pseudo-time, the gas flow equation can be written in a manner similar to the liquid equation. Therefore, the "liquid flow solution" can be used for gas well test analysis and forecasting provided pressure is replaced by pseudo-pressure, and time is replaced by pseudo-time.

Pseudo-pressure = Constant * log (Pseudo-time) +…. Keep in mind that two different pseudo-time formulations are needed, one for buildup and a different one for drawdown. They look similar, but they are radically different from each other. The effects of application of pseudo-pressure and pseudo-time are illustrated in the following plots. The first plot shows that type curves can be inaccurate if pseudo-time is not used. The second plot shows that the buildup pressure does not reach up to the average reservoir pressure, when pseudo-time is not used. Thus it is imperative that pseudo-time be used for accurate analysis, modeling and forecasting of gas production.

116


117


Definition of Pseudo-Time Pseudo-time, ta, esta definido como:

. El Pseudo-time para usar en el analisis del buildup analysis, esta definedo en terminos de la presion en el wellbore:

El Pseudo-time para usar en el analisis del drawdown , esta definedo en terminos de la presion promedio del reservorio:

Calculation of Pseudo-Time Agarwal sugirio que la compresibilidad total del sistema esta definido

, where the compressibilities and saturations of residual fluids (oil and water) are considered constant. As shown by Rahman et al., the above definition of total system compressibility does not honor the material balance equation in most scenarios of depletion. Therefore, a rigorous definition of total system compressibility for the purpose of computing pseudo-time has been proposed as

, where

. The integral for calculating pseudo-time is evaluated with reasonable accuracies by using the trapezoidal rule. At any point in time, there exists a corresponding pressure (average pressure for drawdown or wellbore pressure for buildup). The compressibility and viscosity at that pressure are obtained from fluid property correlations. The term 1/ ct is calculated for each time point. The average value of the two consecutive time points is calculated. This is then multiplied by dt (the difference in time between these points or the time step), and all these are added cumulatively to generate pseudo-time. The calculation procedure for buildup and drawdown pseudo-time is the same. However, there is a major difference in that the viscosity and compressibility are evaluated at the wellbore pressure in the case of buildup, whereas the viscosity and compressibility are evaluated at the average reservoir pressure for a drawdown.

118


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RESERVORIOS - II

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